ESTRUTURAS DE MADEIRA - Moodle UFSC - Apoio … de madeira _____ _____ 3 Carlos Alberto Szücs...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO TECNOLÓGICO
Departamento de Engenharia Civil
ESTRUTURAS DE MADEIRA
Prof. Carlos Alberto Szücs Prof. Rodrigo Figueiredo Terezo
Profª Ângela do Valle Profª Poliana Dias de Moraes
Florianópolis, março de 2015. Versão 3
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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Carlos Alberto Szücs
Professor Titular do Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal de Santa Catarina Engenheiro Civil pela Universidade Federal de Santa Catarina em julho de 1976
Mestre em Engenharia de Estruturas pela Escola de Engenhara de São Carlos em julho de 1979 Doutor em Ciências da Madeira pela Faculté des Sciences de l’Université de Metz, França, em
outubro de 1991
Rodrigo Figueiredo Terezo
Engenheiro Civil pela Universidade Federal do Pará em fevereiro de 2001
Mestre em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Santa Catarina em março de 2004 Doutorando em Engenharia Civil na Universidade Federal de Santa Catarina
Ângela do Valle
Professor Adjunto do Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal de Santa Catarina Engenheiro Civil pela Pontifícia Universidade Católica-RS
Mestre em Engenharia Civil pela Escola Politécnica da USP Doutor em Engenharia Civil pela Escola Politécnica da USP em 1999.
Pós-doutorado na Universidade do Minho, Portugal, em técnicas de ensaios não destrutivos em 2005.
Poliana Dias de Moraes
Professor Associado do Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal de Santa Catarina
Engenheiro Civil pela Universidade Federal de Santa Catarina em janeiro de 1988 Mestre em Engenharia Mecânica pela Universidade Federal de Santa Catarina em fevereiro de 1993.
Doutor em Ciências da Madeira pela Université Henri Poincaré-Nancy I, França, em novembro de 2003.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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Agradecimentos
Agradecimentos especiais aos que
colaboraram na realização deste trabalho:
Andréa M. Frazzon
Ângela Linhares
Arthur Pergher
Cherli M. Domighini
Graziele Giombelli
Joana G. Velloso
Karine Galliani
Ricardo Junckes
Rômulo Ceretta
Ugo Mourão
Viviane Teixeira Iwakiri
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Gimnosperma, Araucária. REPRODUÇÃO..., 2003. .................................................. 15 Figura 2: Angiosperma, Jatobá. ÁRVORES..., 2003. ................................................................ 16 Figura 3: Seção transversal do tronco de uma árvore (LEPAGE, 1986) ..................................... 18 Figura 4: Nutrição da árvore. (RODRIGUES apud HELLMEISTER, 1983). ............................ 19 Figura 5: Planos fundamentais da madeira: (P1) Plano transversal, (P2) Plano tangencial, (P3)
Plano radial. (LEPAGE, 1986). ......................................................................................... 20 Figura 6: Estrutura das madeiras: (a) Coníferas, 1- canal resinífero, 2- madeira primavera-verão,
3- madeira outono-inverno, 4- anel de crescimento, 5- raio medular e (b) Folhosas, 1- poros, 2- madeira primavera-verão, 3- madeira outono-inverno, 4- anel anual, 5- raio medular, 6- seção transversal, 7- seção radial, 8-seção tangencial. (LEPAGE, 1986). .......................... 21
Figura 7: Formação de madeira de reação. (WILCOX et al.,1991). ........................................... 22 Figura 8: Seção transversal de um tronco com madeira de compressão distinta. (WILCOX et
al.,1991). .......................................................................................................................... 22 Figura 9: Aparência de um nó em formação dentro de um tronco. (WILCOX et al.,1991)......... 23 Figura 10: Características de retração e distorção de peças de madeiras afetadas conforme
posicionamento dos anéis de crescimento. (WILCOX et al.,1991). ................................... 24 Figura 11: Eixos principais da madeira em relação à direção das fibras. (WILCOX et al., 1991).
......................................................................................................................................... 26 Figura 12: Umidade na madeira (CALIL apud RITTER, 1990). ............................................... 26 Figura 13: Retração na madeira. ............................................................................................... 28 Figura 14: Madeira carbonizada (CALIL et al., 2000.). ............................................................ 29 Figura 15: Estrutura após um incêndio (WILCOX et al., 1991) ................................................. 30 Figura 16: Gráfico resistência da madeira x teor de umidade (ALMEIDA, 1998). ..................... 32 Figura 17: Curvas de equilíbrio higrotérmico da madeira (CRUZ, MACHADO e NUNES, 1994).
......................................................................................................................................... 33 Figura 18: Defeitos de secagem ................................................................................................ 34 Figura 19: Peças sujeitas a esforços de compressão (RITTER, 1990) ........................................ 36 Figura 20: Peças sujeitas a esforços de tração (RITTER,1990). ................................................. 37 Figura 21: Cisalhamento na madeira (RITTER,1990). .............................................................. 37 Figura 22: Flexão na madeira (RITTER, 1990) ......................................................................... 38 Figura 23: Organograma de ações e carregamentos ................................................................... 55 Figura 24: Geometria e identificação dos nós da treliça............................................................. 64 Figura 25: Viga submetida a carregamentos permanentes e variáveis ........................................ 65 Figura 26: Diagrama de esforços internos ................................................................................. 66 Figura 27: Dimensões transversais mínimas de peças isoladas .................................................. 70 Figura 28: Dimensões transversais mínimas de peças múltiplas ................................................ 70 Figura 29: Tipos de arruelas ..................................................................................................... 71 Figura 30: Desenho de conjunto com os detalhes de contraventamento vertical (NBR
7190:1997). ...................................................................................................................... 73 Figura 31: Detalhes dos nós de ligação de uma tesoura (NBR 7190:1997). ............................... 73 Figura 32: Esquema geral da treliça e detalhes das emendas dos banzos superior e inferior (NBR
7190:1997). ...................................................................................................................... 74 Figura 33: Secção transversal de uma barra tracionada ............................................................. 76 Figura 34: Secção transversal reta ............................................................................................. 76 Figura 35: Critério da norma norte americana NDS-2005 para cálculo da área líquida de peça
tracionada. Fonte: PFEIL (2003) ....................................................................................... 77 Figura 36: Esquema da ligação ................................................................................................. 78 Figura 37: Detalhe do nó da ligação .......................................................................................... 79 Figura 38: Peça comprimida ..................................................................................................... 81
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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Figura 39 : Secção transversal do banzo de treliça .................................................................... 83 Figura 40: Pilar de peroba rosa ................................................................................................. 87 Figura 41: Pilar de peroba rosa com seção 7,5 cm x 15 cm ....................................................... 89 Figura 42: Pilar de peroba rosa ................................................................................................. 94 Figura 43: Pilar de peroba rosa ................................................................................................. 98 Figura 44: Tensões atuantes em peça seção T. ........................................................................ 104 Figura 45: Variação de seção devido a entalhe (NBR 7190:1997). .......................................... 107 Figura 46: Variação de seção duplo T devido a entalhe (NBR 7190:1997). ............................. 107 Figura 47: Viga biapoiada ....................................................................................................... 110 Figura 48: Efeitos das ações permanente e variável ................................................................. 113 Figura 49: Ripas ..................................................................................................................... 118 Figura 50: Ações atuantes na ripa ........................................................................................... 120 Figura 51: Diagrama de esforços da ripa ................................................................................. 122 Figura 52: Efeitos das ações distribuídas e concentradas ......................................................... 127 Figura 53: Pilar em madeira .................................................................................................... 132 Figura 54: Secções compostas ................................................................................................ 140 Figura 55: Peças solidarizadas descontinuamente (NBR 7190:1997) ....................................... 142 Figura 56: Seções compostas por dois ou três elementos iguais (NBR 7190:1997) ................. 142 Figura 57: Seção transversal do banzo de treliça ..................................................................... 149 Figura 58: Formas de transmissão de esforços nas ligações de estruturas de madeira (LE GOVIC,
1995) .............................................................................................................................. 152 Figura 59: Exemplos de ligações entre vigas e pilares classificadas segundo o tipo de transmissão
de esforços (LE GOVIC, 1995) ....................................................................................... 152 Figura 60: Comportamento de ligações por justaposição solicitadas à compressão (LE GOVIC,
1995) .............................................................................................................................. 153 Figura 61: Ligação por entalhe com um dente ......................................................................... 154 Figura 62: Exemplo de entalhe com dente duplo ..................................................................... 158 Figura 63: Pinos em corte simples (NBR 7190:1997). ............................................................. 161 Figura 64: Pinos em corte duplo (NBR 7190:1997). ................................................................ 161 Figura 65: Espaçamentos em ligações com pinos (NBR 7190:1997). ...................................... 163 Figura 66: Ligações com pregos (NBR 7190:1997) ................................................................ 163 Figura 67: Ligação com parafuso «tirafond» e de rosca soberba (NBR 7190:1997) ................. 164 Figura 68: Ligação com parafuso prisioneiro (NBR 7190:1997) ............................................. 164 Figura 69: Ligação com parafuso passante (NBR 7190:1997) ................................................ 164 Figura 70: Ligações com anéis (NBR 7190:1997) ................................................................... 164 Figura 71: Ligações com chapas de dentes estampados (NBR 7190:1997) .............................. 164 Figura 72: Ligação por entalhe de um nó de uma tesoura ........................................................ 165 Figura 73: Nova configuração da ligação ................................................................................ 169 Figura 74: Detalhe final do nó por entalhe .............................................................................. 170 Figura 75: Esquema estático do nó da ligação ......................................................................... 170 Figura 76: Tesoura de cobertura.............................................................................................. 172 Figura 77: Detalha da ligação da tesoura ................................................................................. 174 Figura 78: Espaçamento mínimo para a ligação ...................................................................... 175 Figura 79: Esquema da ligação ............................................................................................... 175 Figura 80: Planos de corte da ligação ...................................................................................... 178 Figura 81: Vista lateral da ligação ........................................................................................... 178 Figura 82: Ligação entre o montante e o banzo inferior de uma tesoura .................................. 179 Figura 83: Espaçamentos dos parafusos .................................................................................. 182 Figura 84: Esquema estático da ligação de uma peça do montante .......................................... 183 Figura 85: Secção transversal do montante ............................................................................. 183 Figura 86: Esquema do processo de fabricação de elementos de MLC. ................................... 191
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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Figura 87: Evolução ocorrida nas emendas longitudinais entre as tábuas................................. 193 Figura 88: Ferramenta utilizada para a usinagem dos entalhes múltiplos. ................................ 195 Figura 89: Pressão de colagem em função do comprimento dos entalhes. ............................... 196 Figura 90: Pavilhão de exposições de Avignon, França – 112 m de diâmetro. ......................... 200 Figura 91: ............................................................................................................................... 201 Figura 92 ................................................................................................................................ 202 Figura 93 ................................................................................................................................ 202 Figura 94: Detalhes................................................................................................................. 202 Figura 95: Treliça ................................................................................................................... 203 Figura 96 ................................................................................................................................ 204 Figura 97 ................................................................................................................................ 204 Figura 98: Treliça de ponte ..................................................................................................... 205 Figura 99: Estrutura de cobertura ............................................................................................ 206 Figura 100 .............................................................................................................................. 207 Figura 101 .............................................................................................................................. 207 Figura 102 .............................................................................................................................. 208 Figura 103 .............................................................................................................................. 209 Figura 104: Esquema estático dos elementos estruturais da Figura 103 ................................... 210
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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Lista de tabelas Tabela 1: Composição orgânica das madeiras (HELLMEISTER, 1983) .................................... 19 Tabela 2: Classes de resistência coníferas. ................................................................................ 42 Tabela 3: Classes de resistência folhosoas. ............................................................................... 42 Tabela 4: Classes de umidade ................................................................................................... 43 Tabela 5: Valores de kmod1 ........................................................................................................ 44 Tabela 6: Valores de kmod2 ........................................................................................................ 44 Tabela 7: Valores de kmod3 ........................................................................................................ 44 Tabela 8: Classes de duração de carregamentos ........................................................................ 55 Tabela 9: situações de projeto ................................................................................................... 59 Tabela 10: Coeficiente de ponderação para ações permanentes de pequena variabilidade .......... 60 Tabela 11: Coeficiente de ponderação para ações permanentes de grande variabilidade ............ 60 Tabela 12: Coeficientes de ponderação para ações permanentes indiretas (incluem os efeitos de
recalque de apoio e de retração dos materiais) ................................................................... 60 Tabela 13: Coeficientes de ponderação para ações variáveis. .................................................... 61 Tabela 14: Fatores de combinação ............................................................................................ 61 Tabela 15: Esforços Solicitantes nas barras da treliça ................................................................ 64 Tabela 16: Momentos fletores atuantes na secção B ................................................................. 66 Tabela 17: Coeficientes de fluência Φ ....................................................................................... 82 Tabela 18: Coeficiente de correlação Mβ ................................................................................ 106 Tabela 19: Valores de αn ........................................................................................................ 156 Tabela 20: Valores do coeficiente αe ...................................................................................... 159 Tabela 21 : Esforços internos .................................................................................................. 173 Tabela 22: Escolha da cola em função do tipo de uso previsto para a estrutura ........................ 190 Tabela 23: Características geométricas dos entalhes múltiplos ............................................... 195 Tabela 24: Tabela de Valores médios de madeiras folhosas nativas e de florestamento (valores
médios para u = 12%) ..................................................................................................... 214 Tabela 25: Tabela de Valores médios de madeiras folhosas nativas e de florestamento (valores
médios para u = 12%) ..................................................................................................... 215
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________
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SUMÁRIO Agradecimentos .................................................................................................... 5 Lista de figuras...................................................................................................... 7 Lista de tabelas ................................................................................................... 10 Sumário ............................................................................................................... 11
1. ESTRUTURA DA MADEIRA ....................................................................................... 15
1.1. CLASSIFICAÇÃO DAS ÁRVORES ................................................................................... 15 1.2. FISIOLOGIA DA ÁRVORE ............................................................................................. 17 1.3. ANATOMIA DO TECIDO LENHOSO ................................................................................ 20 1.4. ALGUNS TIPOS DE DEFEITOS DA MADEIRA ................................................................... 22
2. PROPRIEDADES FÍSICAS DA MADEIRA ................................................................ 25
2.1. TEOR DE UMIDADE ..................................................................................................... 26 2.2. DENSIDADE ............................................................................................................... 27 2.3. RETRATIBILIDADE ...................................................................................................... 27 2.4. DESEMPENHO DA MADEIRA AO FOGO .......................................................................... 28 2.5. DURABILIDADE NATURAL ........................................................................................... 30 2.6. RESISTÊNCIA QUÍMICA ............................................................................................... 30
3. SECAGEM DA MADEIRA ........................................................................................... 31
3.1. DEFEITOS DEVIDO À SECAGEM .................................................................................... 33
4. CARACTERIZAÇÃO E IDENTIFICAÇÃO DAS ESPÉCIES .................................... 35
4.1. IDENTIFICAÇÃO BOTÂNICA ......................................................................................... 35 4.2. TIPOS DE CARACTERIZAÇÃO MECÂNICA ...................................................................... 35
4.2.1. Caracterização completa da resistência da madeira .......................................... 39 4.2.2. Caracterização simplificada da resistência ....................................................... 39 4.2.3. Caracterização mínima da resistência de espécies pouco conhecidas ................ 39 4.2.4. Caracterização mínima de rigidez das madeiras................................................ 40 4.2.5. Caracterização simplificada da rigidez das madeiras ........................................ 40 4.2.6. Caracterização por meio de ensaio de flexão..................................................... 40
4.3. PROCEDIMENTOS PARA CARACTERIZAÇÃO .................................................................. 41 4.3.1. Ensaios .............................................................................................................. 41 4.3.2. Valores representativos das propriedades do material ....................................... 41
4.4. CLASSES DE RESISTÊNCIA ........................................................................................... 42 4.5. CLASSES DE UMIDADE ................................................................................................ 43 4.6. RESISTÊNCIA DE CÁLCULO.......................................................................................... 43 4.7. EXEMPLO DE DETERMINAÇÃO DA RESISTÊNCIA DE CÁLCULO A PARTIR DA RESISTÊNCIA MÉDIA 45 4.8. RESISTÊNCIAS USUAIS DE CÁLCULO ............................................................................ 46
5. MODELO DE SEGURANÇA DA NORMA BRASILEIRA ......................................... 49
5.1. SEGURANÇA DE UMA ESTRUTURA ............................................................................... 49 5.2. SITUAÇÕES DE PROJETO .............................................................................................. 52
6. AÇÕES ATUANTES E COMBINAÇÕES DE PROJETO ........................................... 53
6.1. TIPOS DE AÇÕES ......................................................................................................... 53 6.2. TIPOS DE CARREGAMENTOS ........................................................................................ 54 6.3. CLASSES DE DURAÇÃO DE CARREGAMENTOS ............................................................... 55 6.4. COMBINAÇÕES DE AÇÕES ........................................................................................... 55
6.4.1. Combinação para Estados Limites Últimos ....................................................... 56
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________
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6.4.1.1. Combinações últimas normais ....................................................................... 56 6.4.1.2. Combinações últimas especiais e combinações últimas de construção ............ 56
6.4.2. Combinação para Estados Limites de Utilização ............................................... 56 6.4.2.1. Combinação de longa duração ....................................................................... 57 6.4.2.2. Combinação de média duração ...................................................................... 57 6.4.2.3. Combinações de curta duração ....................................................................... 58 6.4.2.4. Combinações de duração instantânea ............................................................. 58
6.5. COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO E FATORES DE COMBINAÇÃO ...................................... 59 6.5.1. Coeficiente de ponderação para ações permanentes .......................................... 60 6.5.2. Coeficientes de ponderação para ações variáveis:............................................. 61 6.5.3. Fatores de combinação em estados limites últimos ( 0ψ ) .................................... 61
6.5.4. Fatores de combinação em estados limites utilização ( 1ψ , 2ψ ) ......................... 61 6.6. EXEMPLOS ................................................................................................................. 62
6.6.1. Combinações de projeto de ações em uma treliça .............................................. 62 6.6.2. Combinação de ações em uma viga ................................................................... 65
7. CONSIDERAÇÕES BÁSICAS PARA PROJETO DE CONSTRUÇÕES EM MADEIRA .............................................................................................................................. 69
7.1. DURABILIDADE DA MADEIRA ...................................................................................... 69 7.2. EXECUÇÃO DAS ESTRUTURAS ..................................................................................... 69 7.3. DIMENSÕES MÍNIMAS ................................................................................................. 69
7.3.1. Seções transversais mínimas.............................................................................. 70 7.3.2. Espessura mínima das chapas ........................................................................... 70 7.3.3. Dimensões mínimas das arruelas ....................................................................... 71 7.3.4. Diâmetros mínimos de pinos e cavilhas ............................................................. 71
7.4. ESBELTEZ MÁXIMA .................................................................................................... 71 7.5. PROJETO EXECUTIVO ............................................................................................. 72
8. DIMENSIONAMENTO DE BARRAS TRACIONADAS............................................. 75
8.1. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS ....................................................................................... 75 8.1.1. Determinação da área líquida em ligações com pinos ....................................... 75 8.1.2. Seção transversal reta: ...................................................................................... 76
8.2. ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO .............................................................................. 77 8.3. EXEMPLO ................................................................................................................... 77
8.3.1. Verificação da secção útil linha de tesoura (continua no Exemplo 13.7.3) ......... 77 8.3.2. Verificação do banzo inferior de uma tesoura ................................................... 78
9. DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS COMPRIMIDAS ............................................... 79
9.1. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS ....................................................................................... 79 9.1.1. Peças curtas: λ≤ 40 ........................................................................................... 79 9.1.2. Peças semiesbeltas: 40 < λ ≤ 80 ........................................................................ 80 9.1.3. Peças esbeltas: λ > 80 ....................................................................................... 81
9.2. EXEMPLOS ................................................................................................................. 82 9.2.1. Verificação de barra esbelta retangular ............................................................ 82 9.2.2. Verificação de pilar curto de secção retangular ................................................ 86 9.2.3. Verificação de pilar de seção transversal retangular ......................................... 89 9.2.4. Verificação de pilar de seção quadrada............................................................. 93 9.2.5. Verificação de pilar esbelto de secção retangular.............................................. 97
10. DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS FLETIDAS ................................................... 103
10.1. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS PARA MOMENTO FLETOR................................................ 103
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________
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10.1.1. Flexão simples reta ......................................................................................... 103 10.1.2. Flexão simples oblíqua .................................................................................... 104 10.1.3. Estado limite último de instabilidade lateral .................................................... 105
10.2. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS PARA SOLICITAÇÕES TANGENCIAIS ................................. 106 10.2.1. Estado limite último para esforço cortante na flexão simples reta.................... 106 10.2.2. Estado limite último para esforço cortante na flexão oblíqua .......................... 108
10.3. ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO ........................................................................... 108 10.3.1. Estados limites de deformações ....................................................................... 108
10.3.1.1. Deformações limites para construções correntes ...................................... 108 10.3.1.2. Deformações limites para construção com materiais frágeis não estruturais 108 10.3.1.3. Deformações limites para construções especiais. ...................................... 109
10.4. ESTADOS LIMITES DE VIBRAÇÕES ............................................................................. 109 10.5. EXEMPLOS ............................................................................................................... 109
10.5.1. Dimensionamento de viga submetida à flexão simples ..................................... 109 10.5.2. Verificação de viga submetida à flexão simples ............................................... 112 10.5.3. Dimensionamento do vão de uma ripa ............................................................. 118 10.5.4. Dimensionamento de terça .............................................................................. 125
11. DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS EM FLEXÃO COMPOSTA ........................ 130
11.1. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS ..................................................................................... 130 11.1.1. Flexo-tração .................................................................................................... 130 11.1.2. Flexo-compressão ........................................................................................... 130
11.1.2.1. Condições de resistência .......................................................................... 130 11.1.2.2. Condições de estabilidade ........................................................................ 131
11.2. ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO ........................................................................... 132 11.3. EXEMPLO 7 .............................................................................................................. 132
12. PEÇAS COMPOSTAS ............................................................................................. 139
12.1. PEÇAS COMPOSTAS DE SEÇÃO T, I OU CAIXÃO LIGADAS POR PREGOS .......................... 139 12.2. PEÇAS COMPOSTAS COM ALMA EM TRELIÇA OU DE CHAPA DE MADEIRA COMPENSADA 140 12.3. PEÇAS COMPOSTAS DE SEÇÃO RETANGULAR LIGADAS POR CONECTORES METÁLICOS .. 140 12.4. ESTABILIDADE DE PEÇAS COMPOSTAS ....................................................................... 141
12.4.1. Peças solidarizadas continuamente ................................................................. 141 12.4.2. Peças solidarizadas descontinuamente ............................................................ 141
12.5. EXEMPLOS ............................................................................................................... 144 12.5.1. Determinação da distância entre espaçadores de um pilar .............................. 144 12.5.2. Verificação à compressão de barra de treliça .................................................. 145 12.5.3. Verificação do banzo da treliça ....................................................................... 149
13. LIGAÇÕES ............................................................................................................... 151
13.1. LIGAÇÕES POR ENTALHE OU SAMBLADURA ............................................................... 154 13.1.1. Verificação da segurança de ligação com dente único ..................................... 154 13.1.2. Ligações por entalhe com dois dentes .............................................................. 157 13.1.3. Disposições construtivas das ligações por entalhe ........................................... 158
13.2. CRITÉRIO DE DIMENSIONAMENTO DAS LIGAÇÕES POR PINOS ...................................... 158 13.3. RESISTÊNCIA DE EMBUTIMENTO DA MADEIRA ........................................................... 159 13.4. RESISTÊNCIA DE CÁLCULO DOS PINOS ....................................................................... 159
13.4.1. Embutimento da madeira ................................................................................. 160 13.4.2. Flexão do pino ................................................................................................ 160 13.4.3. Disposições construtivas das ligações por pinos .............................................. 161
13.5. ESPAÇAMENTO ENTRE PINOS .................................................................................... 162
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________
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13.6. DETALHAMENTO DAS LIGAÇÕES ............................................................................... 163 13.7. EXERCÍCIOS.............................................................................................................. 165
13.7.1. Verificação de ligação por entalhe .................................................................. 165 13.7.2. Dimensionamento de montante com ligação parafusada .................................. 172 13.7.3. Emenda de uma linha de tesoura (continuação do Exemplo 8.3.1) ................... 175 13.7.4. Dimensionamento de montante com ligação parafusada .................................. 178
14. MADEIRA LAMINADA-COLADA ........................................................................ 185
14.1. DEFINIÇÃO DE MADEIRA LAMINADA-COLADA ........................................................... 185 14.2. HISTÓRICO ............................................................................................................... 185 14.3. COMPOSIÇÃO DA MADEIRA LAMINADA-COLADA........................................................ 186 14.4. OPÇÃO PELA TÉCNICA DA MADEIRA LAMINADA-COLADA ........................................... 186 14.5. VANTAGENS DAS ESTRUTURAS EM MADEIRA LAMINADA-COLADA ............................. 187 14.6. ESCOLHA E COLAGEM DA MADEIRA .......................................................................... 188 14.7. ESCOLHA DA COLA ................................................................................................... 189 14.8. PROCESSO DE FABRICAÇÃO ...................................................................................... 190 14.9. CUIDADOS QUE DEVEM SER OBSERVADOS NA FABRICAÇÃO ........................................ 191 14.10. POSSIBILIDADES DE UTILIZAÇÃO DA MADEIRA LAMINADA-COLADA ....................... 198 14.11. CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................................... 199
15. LISTA DE EXERCICIOS ........................................................................................ 201
15.1. RECOMENDAÇÕES NA HORA DE FAZER OS EXERCÍCIOS ............................................... 201 15.2. DETERMINAÇÃO DE ESFORÇO DE CÁLCULO ............................................................... 201
15.2.1. Esforço de cálculo para situação duradoura ................................................... 201 15.2.2. Carregamento de cálculo ................................................................................ 201 15.2.3. Carregamento de cálculo ................................................................................ 202
15.3. TRELIÇA ................................................................................................................... 202 15.3.1. Verificação de montante de treliça .................................................................. 202 15.3.2. Verificação de banzo de treliça 1 ..................................................................... 203 15.3.3. Verificação de banzo de treliça 2 ..................................................................... 203 15.3.4. Dimensionamento de diagonal de treliça ......................................................... 204 15.3.5. Dimensionamento de linha de tesoura ............................................................. 204 15.3.6. Treliça de ponte............................................................................................... 204 15.3.7. Treliça de cobertura ........................................................................................ 205
15.4. VIGAS ...................................................................................................................... 206 15.4.1. Verificação de viga bi-apoiada ........................................................................ 207 15.4.2. Dimensionamento de viga engastada ............................................................... 207 15.4.3. Dimensionamento de viga com dois balanços .................................................. 208 15.4.4. Dimensionamento de viga e pilar..................................................................... 209
16. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................... 211
Anexo A ...................................................................................................... 213 Anexo B ...................................................................................................... 216 Anexo C – Tabelas de pregos comercializados ............................................. 218
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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1. ESTRUTURA DA MADEIRA
1.1. CLASSIFICAÇÃO DAS ÁRVORES
Pela Botânica as árvores são classificadas como vegetais superiores,
denominados de fanerógamas, que apresentam complexidade anatômica e fisiológica.
Burger e Richter (1991) apresenta o sistema filogenético proposto por Engler para os
vegetais, o qual é composto por 17 divisões. As divisões XVI e XVII são de interesse da
Engenharia por produzirem madeira.
A divisão XVI consiste nas Gimnospermae, cujo termo vem do grego gymno,
‘nu’, ‘descoberto’, e sperma, ‘semente’. As árvores gimnospermas não apresentam
frutos. As Gimnospermae estão subdividas em 4 classes: a Cycadopsida, a
Coniferopsida, Taxopsida e a Chlamydospermae. A classe Coniferopsida engloba a
ordem Coniferae que por sua vez é subdivida em 5 famílias: Pinaceae, Taxodiaceae,
Cupressaceae, Podocarpaceae e Araucariaceae.
A ordem principal das gimnospermas são as coníferas, cujas flores são ‘cones’
ou ‘estróbilos’. A maioria possui folhagem em forma de agulha, denominadas como
aciculifoliadas e raízes pivotantes. Essas árvores apresentam madeira mole e são
designadas internacionalmente por softwoods. Aparecem principalmente no hemisfério
norte, constituindo grandes florestas plantadas e fornecem madeiras empregadas na
indústria e na construção civil. Na América do Sul, destacam–se o pinus e a araucária.
A conífera tipicamente brasileira é o pinheiro-do-Paraná (Araucaria angustifolia).
Figura 1: Gimnosperma, Araucária. REPRODUÇÃO..., 2003.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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A divisão XVII consiste nas Angiospermae a qual engloba a classe
Dicotylodoneae. O termo angiosperma também vem do grego: aggeoin significando
‘vaso’ ou ‘urna’ e sperm, ‘semente’. São vegetais mais evoluídos. Possuem raiz
(tuberosa na maioria), caule, folhas (latifoliadas), flores e frutos. Os frutos protegem as
sementes e fornecem substâncias nutritivas que enriquecem o solo onde as sementes
germinarão.
De acordo com o número de cotilédones existentes nas sementes, as
angiospermas são divididas em duas grandes classes: as monocotiledôneas e as
dicotiledôneas. O cotilédone é a folha seminal ou embrionária, a primeira que surge
quando da germinação da semente, e cuja função é nutrir a planta quando jovem nas
primeiras fases de seu crescimento.
Figura 2: Angiosperma, Jatobá. ÁRVORES..., 2003.
Na classe das monocotiledôneas encontram-se as palmas e gramíneas. Como
exemplos de angiospermas monocotiledôneas, citam-se capim, cana-de-açúcar, milho,
arroz, alho, cebola, banana, bromélias, coco, palmeiras e bambu (Monocotiledôneas e
Dicotiledôneas..., 2015). As palmeiras pertencem ao grupo das palmas e fornecem
madeiras que não são duráveis, mas podem ser empregadas em estruturas
temporárias como escoramentos e cimbramentos. No grupo das gramíneas destaca-se
o bambu, que apresenta boa resistência mecânica e pequeno peso específico, e tem
aplicação como material estrutural.
Alguns exemplos de angiospermas dicotiledôneas são o feijão, o amendoim, a
soja, o café, o abacateiro, a acerola, a cerejeira, o pau-brasil, o ipê, a peroba e o
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
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mogno. Não são todas espécies de dicotiledônea que produzem madeira. Geralmente,
as que produzem madeiras são denominadas de folhosas, de madeira dura e,
internacionalmente, de hardwoods. Nesta categoria encontram-se as principais
espécies utilizadas na construção civil no Brasil (Coníferas e Folhosas –
Madeiras...,2015).
1.2. FISIOLOGIA DA ÁRVORE
Fisiologia é a parte da biologia que investiga as funções orgânicas, processos ou
atividades vitais como o crescimento, a nutrição, a respiração, etc. Nesta seção são
apresentadas as principais informações sobre os processos vitais das árvores.
A árvore cresce no sentido vertical e diametral. Em cada ano há um novo
crescimento vertical e a formação de camadas sucessivas vai se sobrepondo ao redor
das camadas mais antigas. Num corte transversal do tronco, essas camadas aparecem
como anéis de crescimento, porque as características das células do fim de cada
aumento e do início do próximo são suficientes para diferenciar as camadas anuais de
crescimento.
Cada anel de crescimento é formado por duas camadas. A madeira formada no
período de primavera-verão tem coloração mais clara, com células dotadas de paredes
mais finas. Nessa fase, dá-se o crescimento rápido da madeira. A madeira formada no
período de outono-inverno tem coloração escura, células pequenas e crescimento
lento. É possível avaliar a idade da árvore contando os anéis de crescimento.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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Figura 3: Seção transversal do tronco de uma árvore (LEPAGE, 1986)
Observando uma seção transversal (Figura 3) do tronco percebem-se as
seguintes partes: casca, lenho, medula, e raios medulares.
A casca protege a árvore contra agentes externos e é dividida em duas partes:
camada externa (camada cortical), composta de células mortas e camadas internas,
formadas por tecidos vivos moles úmidos. O lenho é a parte resistente do tronco, apresenta as seguintes partes: alburno e
cerne. O alburno é formado de madeira jovem, mais permeável, menos denso, e mais
sujeito ao ataque de fungos apodrecedores e insetos e com menor resistência
mecânica, enquanto que o cerne é formado das modificações do alburno, onde ocorre
a madeira mais densa mais resistente que a do alburno. A medula é parte central que resulta do crescimento vertical, onde ocorre madeira
de menor resistência.
Os raios medulares ligam as diferentes camadas entre si e também transportam e
armazenam a seiva.
Entre a casca e o lenho existe uma camada delgada, visível com o auxílio de
lentes, aparentemente fluida, denominada câmbio. Ela é a parte viva da árvore. Todo o
aumento de diâmetro da árvore vem dela, por adição de novas camadas e não do
desenvolvimento das mais antigas.
O processo de nutrição da árvore está esquematizado na Figura 4.
Raios Medula Lenho inicial (primaveril)
Lenho tardio (verão)
Casca externa (ritidoma)
Casca interna (floema) Região cambial
Alburno
Cerne
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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Figura 4: Nutrição da árvore. (RODRIGUES apud HELLMEISTER, 1983).
A seiva bruta retirada do solo sobe pelo alburno até as folhas, onde se processa
a fotossíntese. Durante a fotossíntese é produzida a seiva elaborada que desce pela
parte interna da casca, o floema, até as raízes. Parte desta seiva elaborada é
conduzida radialmente até o centro do tronco por meio dos raios medulares.
A madeira apresenta o radical monossacarídeo CH2O como seu componente
orgânico elementar, formado a partir da fotossíntese que ocorre nas folhas pela
combinação do gás carbônico do ar com a água do solo e absorção de energia
calorífica:
CO2 + 2H2O + 112,3 Cal ⇒ CH2O + H2O + O2
Na sequência, ocorrem reações que originam os açúcares que formam a maioria
das substâncias orgânicas vegetais. A madeira apresenta três componentes orgânicos
principais que são: celulose, hemicelulose e lignina. O teor de cada um desses
elementos na madeira varia de acordo com a espécie da árvore (Tabela 1).
Tabela 1: Composição orgânica das madeiras (HELLMEISTER, 1983)
Substância Coníferas Folhosas Celulose 48% a 56% 46% a 48%
Hemicelulósica 23% a 26% 19% a 28% Lignina 26% a 30% 26% a 35%
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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A celulose é um polímero constituído por várias centenas de glucoses. É
encontrada nas paredes das fibras, vasos e traqueídes. Já a lignina age na madeira
como um cimento ligando as cadeias de celulose dando rigidez e dureza ao material.
As substâncias não utilizadas como alimento pelas células são lentamente
armazenadas no lenho. A parte do lenho modificada por essas substâncias é o cerne.
1.3. ANATOMIA DO TECIDO LENHOSO
A madeira é constituída principalmente por células de forma alongada
apresentando vazio interno, tendo tamanhos e formas variadas de acordo com a
função. São encontrados nas madeiras os seguintes elementos: traqueídeos, vasos,
fibras e raios medulares (BRUGER e RICHTER, 1991).
Figura 5: Planos fundamentais da madeira: (P1) Plano transversal, (P2) Plano tangencial, (P3) Plano
radial. (LEPAGE, 1986).
As coníferas são constituídas principalmente por traqueídeos e raios medulares
(Figura 6a), já as folhosas são constituídas principalmente por fibras, parênquima,
vasos e raios (Figura 6b).
P1
P3 P2
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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(a) (b)
Figura 6: Estrutura das madeiras: (a) Coníferas, 1- canal resinífero, 2- madeira primavera-verão, 3-
madeira outono-inverno, 4- anel de crescimento, 5- raio medular e (b) Folhosas, 1- poros, 2- madeira
primavera-verão, 3- madeira outono-inverno, 4- anel anual, 5- raio medular, 6- seção transversal, 7-
seção radial, 8-seção tangencial. (LEPAGE, 1986).
Os traqueídeos são células alongadas, fechadas e pontiagudas e têm
comprimento de 3 a 4 mm e diâmetro de 45 µ. Entre traqueídeos adjacentes formam-se
válvulas especiais que regulam a passagem da seiva de uma célula para a seguinte.
Essas válvulas são denominadas como pontuações areoladas.
Os vasos aparecem nos cortes transversais como poros na fase inicial de vida
são formados de células alongadas fechadas, na fase final ocorre a dissolução das
paredes. Podem ser simples ou múltiplos e ter diâmetros de 20 µ até 500 µ.
As fibras são formas de células com paredes grossas e pequenos vazios
internos conhecidos como lúmen. O comprimento das fibras pode variar de 500 µ a
1500 µ.
Os raios medulares são compostos de células de mesmo diâmetro ou de
paralelepipedais, que contém pontuações simples. Tem função de armazenagem e
distribuição de substâncias nutritivas.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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1.4. ALGUNS TIPOS DE DEFEITOS DA MADEIRA
Quando se trata da madeira, é pouco provável a obtenção da matéria-prima
isenta de defeitos, que por fim possa ser aproveitada em sua totalidade. Por ser um
material biológico, este guarda consigo uma carga genética que determina suas
características físicas e mecânicas e, como muitos seres vivos, possui particularidades
que são acentuadas ou abrandadas conforme as condições ambientais. A Figura 7
ilustra um caso comum em florestas onde há a formação da madeira de reação quando
uma árvore, em busca da irradiação solar, é suprimida por outras, crescendo de
maneira excêntrica. Este fenômeno ocorre devido à reorientação do tecido lenhoso
para manter a árvore em posição favorável a sua sobrevivência. Em uma parte do
tronco é formada uma madeira mais resistente a esforços de compressão e a outra, a
esforços de tração, como ilustra a Figura 8. Assim, pode-se obter na mesma tora,
pranchas com propriedades bem distintas, aumentando as chances de problemas
futuros de secagem ou mesmo na sua utilização pela construção civil.
Figura 7: Formação de madeira de reação. (WILCOX et al.,1991).
Figura 8: Seção transversal de um tronco com madeira de compressão distinta. (WILCOX et al.,1991).
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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Um dos defeitos constantes em muitas espécies de madeira é a presença de
nós (Figura 9). É imprescindível um controle sistemático da poda para a redução desse
problema. O corte de galhos durante o crescimento da árvore diminui o surgimento de
nós, sendo estes, gradualmente incorporados da superfície ao centro do tronco. A sua
existência dificulta o processo de desdobro, aplainamento, colagem e acabamento,
propiciando assim o surgimento de problemas patológicos, como por exemplo, fissuras
em elementos estruturais de madeira.
Nó de pinho (vista frontal) Nó de carvalho (vista lateral)
Figura 9: Aparência de um nó em formação dentro de um tronco. (WILCOX et al.,1991).
Um manejo bem planejado e executado produz madeira com um grau
satisfatório de homogeneidade de suas propriedades, tornando menores as chances de
defeitos em etapas futuras do seu beneficiamento e utilização. Não obstante, fraturas,
fendas, machucaduras e cantos quebrados podem igualmente ocorrer por ocasião do
desdobro. MENDONÇA, SANTIAGO e LEAL (1996) definem desdobro como a etapa
que consiste na transformação das toras em peças de madeira com dimensões
previamente definidas, normalmente conhecidas como pranchões sendo executado
normalmente em serrarias com o auxílio de serras-fita. Esta fase, como as demais,
merece cuidados, principalmente com as ferramentas que devem sempre estar afiadas.
A correta identificação botânica de árvores retiradas de florestas nativas é
também importante, pois permite o conhecimento das características biofísicas da
madeira associadas à sua espécie. Este conhecimento é fundamental para a
especificação técnica deste material na construção. No Brasil, devido à grande
diversidade de espécies florestais e a similaridade entre muitas destas, é comum
acontecer a utilização de outra madeira do que aquela especificada no projeto. Este
fato pode acarretar uma deficiência no desempenho da construção, já que a madeira
empregada não correspondente à especificação em projeto.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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As deficiências ocasionadas por variações dimensionais significativas na
madeira são relativamente frequentes na construção civil, assumindo com maior
gravidade em caixilharias.
Sendo um material higroscópico, a madeira tem capacidade de reagir às
condições termo-higrométricas ambientais, procurando sempre manter um teor de
equilíbrio.
Dado que o ambiente é geralmente variável, em maior ou menor grau
dependendo da situação de aplicação, pode ocorrer alterações graves nas dimensões
e deformações dos elementos (Figura 10). A deficiente especificação do material,
concepção e fabrico elevam as chances do aparecimento de fendas.
Figura 10: Características de retração e distorção de peças de madeiras afetadas conforme
posicionamento dos anéis de crescimento. (WILCOX et al.,1991).
Para CRUZ, MACHADO e NUNES (1994) estas condições conduzem a alteração
do teor de umidade das madeiras. Na hipótese dos materiais obterem um teor de água
muito superior ao previsto para seu funcionamento em obra e, se a secagem da
madeira empregada não se processar rapidamente, além das consequentes variações
dimensionais, podem conduzir a degradação da madeira por agentes biológicos,
levando, por exemplo, ao desenvolvimento de bolores ou fungos manchadores e/ou
apodrecedores, depreciando o material.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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25
2. PROPRIEDADES FÍSICAS DA MADEIRA
Conhecer as propriedades físicas da madeira é de grande importância porque
estas propriedades podem influenciar significativamente no desempenho e resistência
da madeira utilizada estruturalmente.
Podem-se destacar os seguintes fatores que influem nas características físicas
da madeira:
• espécie da árvore;
• o solo e o clima da região de origem da árvore;
• fisiologia da árvore;
• anatomia do tecido lenhoso;
• variação da composição química.
Devido a este grande número de fatores, os valores numéricos das propriedades
da madeira, obtidos em ensaios de laboratório, oscilam apresentando uma ampla
dispersão, que pode ser adequadamente representada pela distribuição normal de
Gauss.
Entre as características físicas da madeira, cujo conhecimento é importante para
sua utilização como material de construção, destacam-se:
• umidade;
• densidade;
• retratibilidade;
• resistência ao fogo;
• durabilidade natural;
• resistência química.
Outro fator a ser considerado na utilização da madeira é o fato de se tratar de
um material ortotrópico, ou seja, com comportamentos diferentes em relação à direção
de crescimento das fibras. Devido à orientação das fibras da madeira e à sua forma de
crescimento, as propriedades variam de acordo com três eixos perpendiculares entre
si: longitudinal, radial e tangencial (Figura 11).
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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Figura 11: Eixos principais da madeira em relação à direção das fibras. (WILCOX et al., 1991).
2.1. TEOR DE UMIDADE
A umidade da madeira é determinada pela expressão
1002
21 ×−
=m
mmw , (2.1)
onde 1m é a massa úmida, 2m é a massa seca e w é a umidade (%).
A norma brasileira para estruturas de madeira (NBR 7190:1997) apresenta, em
seu anexo B, um roteiro detalhado para a determinação da umidade de amostras de
madeira.
A água é importante para o crescimento e desenvolvimento da árvore,
constituindo uma grande porção da madeira verde.
Na madeira, a água apresenta-se de duas formas: como água livre contida nas
cavidades das células (lumens), e como água impregnada contida nas paredes das
células.
Figura 12: Umidade na madeira (CALIL apud RITTER, 1990).
Quando a árvore é cortada, ela tende a perder rapidamente a água livre
existente em seu interior para, a seguir, perder a água de impregnação mais
FACE TANGENCIAL
FACE TRANSVERSAL TANGENCIAL LONGITUDINAL
RADIAL
FACE RADIAL
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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lentamente. A umidade na madeira tende a um equilíbrio em função da umidade e
temperatura do ambiente em que se encontra.
O teor de umidade correspondente ao mínimo de água livre e ao máximo de
água de impregnação é denominado de ponto de saturação das fibras (PSF). Para as
madeiras brasileiras esta umidade encontra-se em torno de 25%. A perda de água na
madeira até o ponto de saturação das fibras se dá sem a ocorrência de problemas para
a estrutura da madeira. A partir deste ponto a perda de umidade é acompanhada pela
retração (redução das dimensões) e aumento da resistência, por isso a secagem deve
ser executada com cuidado para se evitarem problemas na madeira.
Para fins de aplicação estrutural da madeira e para classificação de espécies, a
norma brasileira especifica a umidade de 12% como de referência para a realização de
ensaios e valores de resistência nos cálculos.
É importante destacar ainda que a umidade apresenta grande influência na
densidade da madeira.
2.2. DENSIDADE
A norma brasileira apresenta duas definições de densidade a serem utilizadas
em estruturas de madeira: a densidade básica e a densidade aparente. A densidade
básica da madeira é definida como a massa específica convencional obtida pelo
quociente da massa seca pelo volume saturado e pode ser utilizada para fins de
comparação com valores apresentados na literatura internacional.
sat
s
Vm
=ρ , (2.2)
A densidade aparente é determinada para uma umidade padrão de referência de
12%, pode ser utilizada para classificação da madeira e nos cálculos de estruturas.
Vm
=ρ , (2.3)
sendo m e V a massa e o volume da madeira à 12% de umidade.
2.3. RETRATIBILIDADE
Define-se retratibilidade como sendo a redução das dimensões em uma peça da
madeira pela saída de água de impregnação.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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Como visto anteriormente a madeira apresenta comportamentos diferentes de
acordo com a direção em relação às fibras e aos anéis de crescimento. Assim, a
retração ocorre em porcentagens diferentes nas direções tangencial, radial e
longitudinal.
Em ordem decrescente de valores, encontra-se a retração tangencial com
valores de até 10% de variação dimensional, podendo causar também problemas de
torção nas peças de madeira. Na sequência, a retração radial com valores da ordem de
6% de variação dimensional, também pode causar problemas de rachaduras nas peças
de madeira. Por último, encontra-se a retração longitudinal com valores desde 0,5% de
variação dimensional.
Apresenta-se a seguir um gráfico qualitativo para ilustrar a retração nas peças
de madeira (Figura 13).
Figura 13: Retração na madeira.
Um processo inverso também pode ocorrer, o inchamento, que se dá quando a
madeira fica exposta a condições de alta umidade ao invés de perder água ela
absorve, provocando um aumento nas dimensões das peças.
2.4. DESEMPENHO DA MADEIRA AO FOGO
Erroneamente, a madeira é considerada um material de baixo desempenho ao
fogo. Isto se deve, principalmente, à falta de conhecimento das suas propriedades de
resistência quando submetida a altas temperaturas e quando exposta à chama, pois,
Volumétrica
Tangencial
Radial
Longitudinal
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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sendo bem dimensionada ela apresenta desempenho ao fogo superior à de outros
materiais estruturais.
Uma peça de madeira exposta ao fogo torna-se um combustível para a
propagação das chamas, porém, após alguns minutos, uma camada mais externa da
madeira se carboniza tornando-se um isolante térmico, que retém o calor, auxiliando,
assim, na contenção do incêndio, evitando que toda a peça seja destruída. A proporção
da madeira carbonizada com o tempo varia de acordo com a espécie e as condições
de exposição ao fogo. Entre a porção carbonizada e a madeira sã encontra-se uma
região intermediária afetada pelo fogo, mas, não carbonizada, porção esta que não
deve ser levada em consideração na determinação da do elemento estrutural
resistência.
Figura 14: Madeira carbonizada (CALIL et al., 2000.).
Ao contrário, por exemplo, de uma estrutura metálica que é de reação não
inflamável, mas que perde a sua resistência mecânica rapidamente (cerca de 10
minutos) quando em presença de temperaturas elevadas, ou seja, acima de 500°C.
Isto tem levado o corpo de bombeiros de muitos países a preferirem as
construções com estruturas de madeira, devido o seu comportamento perfeitamente
previsível quando da ação de um incêndio, ou seja, algumas normas preveem uma
taxa de carbonização, em madeiras do tipo coníferas, da ordem de 0,7 mm/min.
É, portanto com base nas normas de comportamento da madeira ao fogo, já
existentes em alguns países, que se pode prever, levando em consideração um maior
ou menor risco de incêndio e a finalidade de ocupação da construção, uma espessura
a mais nas dimensões da seção transversal da peça de madeira. Com isso, sabe-se
que mesmo que a madeira venha a ser queimada em 2 cm, por exemplo, o núcleo
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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restante é suficiente para continuar resistindo mecanicamente o tempo que se quiser
estimar. Isto faz com que a madeira tenha comportamento perfeitamente previsível. As
coníferas, por exemplo, queimam até 2 cm em 30 minutos e 3,5 cm em 60 min.
A Figura 15 apresenta os perfis metálicos retorcidos devido à perda de resistência
sob alta temperatura, apoiados sobre uma viga de madeira que, apesar de
carbonizada, ainda possui resistência.
Figura 15: Estrutura após um incêndio (WILCOX et al., 1991)
2.5. DURABILIDADE NATURAL
A durabilidade da madeira, com relação à biodeterioração, depende da espécie e
das características anatômicas. Certas espécies apresentam alta resistência natural ao
ataque biológico enquanto outras são menos resistentes.
Outro ponto importante que deve ser destacado é a diferença na durabilidade da
madeira de acordo com a região da tora da qual a peça de madeira foi extraída, pois,
como visto anteriormente, o cerne e o alburno apresentam características diferentes,
incluindo-se aqui a durabilidade natural, com o alburno sendo muito mais vulnerável ao
ataque biológico.
A baixa durabilidade natural de algumas espécies pode ser compensada por um
tratamento preservativo adequado às peças, alcançando-se assim melhores níveis de
durabilidade, próximos dos apresentados pelas espécies naturalmente resistentes.
2.6. RESISTÊNCIA QUÍMICA
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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A madeira, em linhas gerais, apresenta boa resistência a ataques químicos. Em
muitas indústrias, ela é preferida em lugar de outros materiais que sofrem mais
facilmente o ataque de agentes químicos. Em alguns casos, a madeira pode sofrer
danos devidos ao ataque de ácidos ou bases fortes. O ataque das bases provoca
aparecimento de manchas esbranquiçadas decorrentes da ação sobre a lignina e a
hemicelulose da madeira. Os ácidos também atacam a madeira causando uma
redução no seu peso e na sua resistência.
3. SECAGEM DA MADEIRA
Em face da constituição anatômica das árvores que retém grande quantidade
de líquidos, a madeira extraída deve passar por processos de secagem antes de ser
utilizada.
O início da secagem começa com a evaporação da água localizada no lúmen
das células (vasos, traqueídeos, fibras, etc.), denominada de água livre ou água de
capilaridade. A madeira perde de forma rápida a água de capilaridade sem sofrer
contrações volumétricas significativas ou alterações nas suas propriedades
resistentes.
Após a perda de água de capilaridade, permanece na madeira a água contida
nas paredes celulares, denominada de água de adesão. O teor de umidade relativo
a este estágio é denominado de ponto de saturação das fibras (PSF), estando este
valor em torno de 20% do peso seco. Alterações na umidade abaixo do PSF
acarretam o aumento das propriedades resistentes da madeira e contrações
volumétricas (Figura 16).
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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12 20
Madeira seca ao ar
Madeira seca artificialmente
Madeira saturada
Teor de umidade – U %
Resistência da madeira – fu % PSF
Figura 16: Gráfico resistência da madeira x teor de umidade (ALMEIDA, 1998).
Ao final do processo de secagem há um equilíbrio dinâmico entre a umidade
relativa do ar, em que a madeira se encontra exposta, e a umidade da madeira,
denominado de umidade de equilíbrio (UE). A umidade de equilíbrio é, então, função
da umidade do ar e da temperatura ambiente, portanto, podendo ser especificada
para cada região onde será empregada (Figura 17).
Alterações no teor de umidade abaixo do ponto de saturação acarretam
variações dimensionais na madeira, bem como nas propriedades de resistência. Por
isso, para a utilização da madeira em estruturas é necessário o conhecimento prévio
da umidade relativa do ar e temperatura ambiente, onde a estrutura será implantada.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
33
Figura 17: Curvas de equilíbrio higrotérmico da madeira (CRUZ, MACHADO e NUNES, 1994).
3.1. DEFEITOS DEVIDO À SECAGEM
Os defeitos mais comuns que se estabelecem durante a secagem são: (1)
fendas e rachaduras, geralmente devido a uma secagem rápida nas primeiras horas;
(2) colapso, que se origina nas primeiras etapas da secagem e muitas vezes
acompanhado de fissuras internas; (3) abaulamento, que se deve a tensões internas
as quais apresenta a árvore combinada a uma secagem irregular. No caso 3, a
deformação é causada pela contração diferenciada nas três direções do corte da
madeira, originando defeitos do tipo arqueamento, encanoamento, encurvamento e
torcedura, como ilustra a Figura 18.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
34
Figura 18: Defeitos de secagem
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
35
4. CARACTERIZAÇÃO E IDENTIFICAÇÃO DAS ESPÉCIES
4.1. IDENTIFICAÇÃO BOTÂNICA
O método mais comumente empregado para a identificação tanto macro como
microscópica de madeiras é o de chaves de identificação, as quais podem levar a
determinação da madeira ao nível de família, gênero ou até espécie.
As chaves são apresentadas em forma de fluxograma com as características
anatômicas de diversas madeiras. Esta identificação deve ser sempre confirmada
pela comparação com amostras de xiloteca e/ou laminário de identidade.
A propriedade físico-mecânica da madeira e sua aptidão para o uso comercial
estão relacionadas com a estrutura anatômica do material. Estas características,
também são influenciadas pelas condições ecológicas do local onde o vegetal
cresce. Portanto, através da identificação da estrutura anatômica da madeira
podem-se obter algumas informações sobre suas propriedades tecnológicas e de
utilização. Vale ressaltar que este assunto em questão é muito amplo e complexo, e
necessita de um aprofundamento bem mais especializado.
4.2. TIPOS DE CARACTERIZAÇÃO MECÂNICA
A madeira pode sofrer solicitações de compressão, tração, cisalhamento e
flexão. Ela tem resistências com valores diferentes conforme variar a direção da
solicitação em relação às fibras e também em função do tipo de solicitação. Isso
significa que, mesmo mantida uma direção da solicitação segundo as fibras, a
resistência à tração é diferente da resistência à compressão.
A compressão na madeira pode ocorrer segundo três orientações: paralela,
normal e inclinada em relação às fibras. Quando a peça é solicitada por compressão
paralela às fibras, as forças agem paralelamente ao comprimento das células. As
células reagindo em conjunto conferem uma grande resistência da madeira à
compressão. No caso de solicitação normal ou perpendicular às fibras, a madeira
apresenta resistências menores que na compressão paralela, pois a força é aplicada
na direção normal ao comprimento das células, direção na qual possuem baixa
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
36
resistência. Os valores de resistência à compressão normal às fibras são da ordem
de ¼ dos valores de resistência à compressão paralela.
A compressão paralela tem a tendência de encurtar as células da madeira ao
longo do seu eixo longitudinal (Figura 19a). A compressão normal comprime as
células da madeira perpendicularmente ao eixo longitudinal (Figura 19b). E a
compressão inclinada: age tanto paralela como perpendicularmente às fibras (Figura
19c).
(a) compressão paralela às fibras (b) compressão perpendicular às fibras (c) compressão inclinada em relação às fibras
Figura 19: Peças sujeitas a esforços de compressão (RITTER, 1990)
Nas solicitações inclinadas em relação às fibras da madeira, a NBR
7190:1997 especifica o modelo de Hankinson para estimativa dos valores
intermediários.
θθθ 290
20
900
cos...
cc
ccc fsenf
fff+
= , (4.1)
sendo fc0 a resistência à compressão paralela às fibras; fc90 a resistência à
compressão perpendicular às fibras e θ o ângulo da força em relação às fibras da
madeira.
Na madeira, a tração pode ocorrer com orientação paralela ou normal às
fibras. As propriedades referentes às duas solicitações diferem consideravelmente.
A ruptura por tração paralela pode ocorrer por deslizamento entre as células ou por
ruptura das paredes das células. Em ambos os casos, a ruptura ocorre com baixos
valores de deformação, o que caracteriza como frágil, e com elevados valores de
resistência. A resistência de ruptura por tração normal às fibras apresenta baixos
valores de deformação. A solicitação age na direção normal ao comprimento das
fibras, tendendo a separá-las, afetando a integridade estrutural e apresentando
baixos valores de deformação. Pela baixa resistência apresentada pela madeira sob
este tipo de solicitação, essa deve ser evitada nas situações de projeto.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
37
A tração paralela provoca alongamento das células ao longo do eixo
longitudinal (Figura 20a), enquanto que a tração normal tende a separar as células
da madeira perpendicular aos seus eixos (Figura 20b), onde a resistência é baixa,
devendo ser evitada.
(a) tração paralela às fibras (b) tração perpendicular às fibras
Figura 20: Peças sujeitas a esforços de tração (RITTER,1990).
O cisalhamento na madeira pode ocorrer sob três formas. A primeira seria
quando a ação é perpendicular às fibras (Figura 21a), porém este tipo de solicitação
não é crítico, pois, antes de romper por cisalhamento, a peça apresentará problemas
de esmagamento por compressão normal. As outras duas formas de cisalhamento
ocorrem com a força aplicada no sentido longitudinal às fibras (cisalhamento
horizontal) e à força aplicada perpendicular às linhas dos anéis de crescimento
(cisalhamento rolling). O caso mais crítico é o cisalhamento horizontal que rompe por
escorregamento entre as células da madeira. Na Figura 21a é ilustrada a
deformação das células perpendicularmente ao eixo longitudinal. Normalmente não
é considerada, pois outras falhas ocorrem antes. Na Figura 21b é ilustrada a
tendência das células da madeira separarem e escorregarem longitudinalmente. Na
Figura 21c, é ilustrada a tendência das células da madeira rolarem umas sobre as
outras de forma transversal em relação ao eixo longitudinal.
(a) (b) (c)
Figura 21: Cisalhamento na madeira (RITTER,1990).
Na solicitação à flexão simples, ocorrem quatro tipos de esforços:
compressão paralela às fibras, tração paralela às fibras, cisalhamento horizontal e,
nas regiões dos apoios, compressão normal às fibras.
A ruptura em peças solicitadas à flexão ocorre com a formação de minúsculas
falhas de compressão seguidas pelo esmagamento macroscópico na região
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
38
comprimida. Este fenômeno gera o aumento da área comprimida na seção e a
redução da área tracionada, causando acréscimo de tensões nesta região, podendo
romper por tração.
Figura 22: Flexão na madeira (RITTER, 1990)
O comportamento da madeira, quando solicitada por torção, é pouco
investigado. A NBR 7190:1997 recomenda evitar a torção de equilíbrio em peças de
madeira em virtude do risco de ruptura por tração normal às fibras decorrente do
estado múltiplo de tensões atuante.
A resistência ao choque é a capacidade do material absorver rapidamente
energia pela deformação. A madeira é considerada um material de ótima resistência
ao choque. Existem várias formas de quantificar a resistência ao choque. A NBR
7190:1997 prevê o ensaio de flexão dinâmica para determinação desta propriedade.
A resistência da madeira é identificada pela letra f acompanhada de índices
que identificam a solicitação à qual se aplica a propriedade. Em casos onde é
evidente que o material ao qual se refere à resistência é a madeira, é dispensável o
primeiro índice w (wood). O índice seguinte indica a solicitação: c (compressão), t (tração), v (cisalhamento), M (flexão) e e (embutimento). Os índices após a vírgula
indicam o ângulo entre a solicitação e as fibras: 0 (paralela), 90 (normal) ou θ
(inclinada). Por exemplo, a resistência fwc,90 identifica a resistência da madeira à
compressão normal às fibras. Podem ainda ser usados índices para identificar se o
valor de referência é médio (m) ou característico (k). Assim, a resistência média da
madeira à compressão normal às fibras pode ser representada pelo símbolo fwcm,90,
ou fcm,90.
Segundo a NBR 7190:1997, a caracterização da madeira pode ser completa,
simplificada ou mínima, as quais serão especificadas a seguir.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
39
4.2.1. Caracterização completa da resistência da madeira
A NBR 7190:1997 define como caracterização completa da resistência da
madeira a determinação das resistências à compressão (fwc ou fc), à tração paralela
às fibras (fwt,0 ou ft,0), à compressão normal às fibras (fwc,90 ou fc,90), à tração normal
às fibras (fwt,90 ou ft,90), ao cisalhamento (fwv ou fv), ao embutimento paralelo às fibras
(fwe,0 ou fe,0); ao embutimento normal às fibras (fwe,90 ou fechamento,90) e densidade
básica.
4.2.2. Caracterização simplificada da resistência
A caracterização simplificada das resistências da madeira de espécies usuais
se faz a partir dos ensaios de compressão paralela às fibras. As demais resistências
são determinadas em função da resistência à compressão paralela admitindo-se um
coeficiente de variação de 18% para os esforços normais e um coeficiente de
variação de 28% para as resistências a esforços tangenciais.
Para espécies usuais de madeiras, a NBR 7190 admite as seguintes relações:
77,0,0
,0 =kt
kc
ff
, (4.2)
ktkM ff ,0, = , (4.3)
0,1,0
,0 =kc
ke
ff
, (4.4)
25,0,0
,90 =kc
kc
ff
. (4.5)
Para coníferas:
15,0,0
,0 =kc
kv
ff
(4.6)
Para folhosas:
12,0,0
,0 =kc
kv
ff
(4.7)
4.2.3. Caracterização mínima da resistência de espécies pouco conhecidas
A caracterização mínima da resistência de espécies pouco conhecidas
consiste na determinação da resistência à compressão paralela às fibras (fwc,0 ou
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
40
fc,0); resistência à tração paralela às fibras (fwt,0 ou ft,0); resistência ao cisalhamento
paralelo às fibras (fwv,0 ou fv,0); densidade básica; densidade aparente.
4.2.4. Caracterização mínima de rigidez das madeiras
A caracterização mínima da rigidez das madeiras consiste em determinar o
módulo de elasticidade na compressão paralela às fibras ( mcE ,0 ) e na compressão
perpendicular ( mcE ,90 ) com pelo menos dois ensaios cada.
4.2.5. Caracterização simplificada da rigidez das madeiras
A caracterização simplificada da rigidez das madeiras consiste na
determinação da determinação da rigidez na compressão paralelas às fibras mcE ,0 ,
sendo mcE ,0 o valor médio de pelo menos dois ensaios.
A rigidez da madeira é identificada pela letra E acompanhada de índices que
identificam a direção à qual se aplica a propriedade. A caracterização da rigidez
também é feita para teor de umidade U = 12% (Anexo B, NBR 7190:1997).
A correção da rigidez para teor de umidade U% diferente do valor padrão de
12%, sendo U% menor ou igual a 20% é dada por
( )
−
+=100
12%21%12UEE U . (4.8)
A rigidez na compressão normal às fibras ( mcE ,90 ) é dada por
20,0
,90mc
mc
EE = ,
(4.9)
sendo mcE ,0 a rigidez na compressão paralelas às fibras.
A rigidez na tração paralela às fibras ( mtE ,0 ) é dada por
mcmt EE ,0,0 = , (4.10)
sendo mcE ,0 a rigidez na compressão paralelas às fibras.
4.2.6. Caracterização por meio de ensaio de flexão
A rigidez na madeira na flexão ( ME ) para as coníferas é dada por
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
41
coM EE 85,0= e (4.11)
para folhosas por
coM EE 90,0= , (4.12) sendo 0cE o módulo de elasticidade na compressão paralela às fibras.
4.3. PROCEDIMENTOS PARA CARACTERIZAÇÃO
A norma NBR 7190 adota como condição padrão de referência a classe 1 de
umidade, ou seja, umidade de equilíbrio igual a 12%.
Qualquer resistência ou rigidez determinada no intervalo de 10% a 20%
podem ser corrigidas para umidade padrão através das expressões:
( )
−⋅
+=100
12%31%%12Uff U
(4.13)
( )
−⋅
+=100
12%21%%12UEE U
(4.14)
4.3.1. Ensaios
Os métodos de ensaios para caracterização física e mecânica da madeira
encentram-se descritos no anexo B da NBR 7190.
4.3.2. Valores representativos das propriedades do material
As propriedades mecânicas da madeira podem ser empregadas no projeto
com valores característicos ou médios. Se a propriedade é representada por X, onde
X pode ser resistência ou rigidez, os valores representativos são o valor médio (Xm)
e o valor característico (Xk). O valor característico tem um limite inferior (Xk,inf) e outro
superior (Xk,sup). Xk,inf tem 5% de probabilidade de não ser ultrapassado; Xk,sup tem
5% de probabilidade de ser ultrapassado. Para resistência e rigidez, usa-se, de
modo geral, o Xk = Xk,inf.
A obtenção da resistência característica fk com base no valor médio fm pode
ser feita a partir de uma distribuição de probabilidades do tipo normal, com
coeficientes de variação δ, por relações estatísticas.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
42
)645,11(12,12, δ⋅−⋅= mk ff . (4.15)
Para resistência a esforços normais (compressão, tração e embutimento)
δ=18% e a relação é dada por
12,12,12, 70,0)18,0645,11( mmk fff =⋅−⋅= ; (4.16)
para a resistência a esforços tangenciais (cisalhamento) δ=28% e a relação é dada
por
12,12,12, 54,0)28,0645,11( mmk fff =⋅−⋅= , (4.17)
sendo fm,12 o valor médio da resistência com a umidade padrão de 12%.
4.4. CLASSES DE RESISTÊNCIA
A NBR 7190:1997 definiu classes de resistência para possibilitar o emprego de
madeiras com propriedades padronizadas, mesmo que de espécies florestais
diferentes, orientando a escolha do material para a elaboração de projetos
estruturais (Tabela 2 e Tabela 3).
Tabela 2: Classes de resistência coníferas.
Coníferas (Valores na condição padrão de referência U = 12%)
Classes fcok (MPa) fvk (MPa) Eco,m (MPa) (*) ρ
bas,m
(kg/m3)
ρaparente
(kg/m3) C 20 20 4 3 500 400 500 C 25 25 5 8 500 450 550 C30 30 6 14.500 500 600
(*) como definida em 5.1.2
Tabela 3: Classes de resistência folhosoas.
Folhosas (Valores na condição padrão de referência U = 12%)
Classes fcok (MPa) fvk (MPa) Eco,m (MPa)
(*) ρbas,m
(kg/m3)
ρaparente
(kg/m3) C 20 20 4 9 500 500 650
C 30 30 5 14.500 650 800 C 40 40 6 19.500 750 950
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
43
C 60 60 8 24.500 800 1000 (*) como definida em 5.1.2
4.5. CLASSES DE UMIDADE
A NBR 7190:1997 estabelece que o projeto das estruturas de madeira deve
ser feito considerando o teor de umidade de equilíbrio da madeira do local onde será
implantada a obra. Para isso, foram definidas as classes de umidade especificadas
na Tabela 4. Estas classes também podem ser utilizadas para a escolha de métodos
de tratamentos preservativos das madeiras.
Tabela 4: Classes de umidade
Classes de umidade
Umidade relativa do ambiente ambU Umidade de equilíbrio da madeira
U eq
1 ≤ 65% 12% 2 65% < ambU ≤ 75% 15% 3 75% < ambU ≤ 85% 18% 4 ambU > 85% durante longos períodos ≥ 25%
4.6. RESISTÊNCIA DE CÁLCULO
Os valores de cálculos das resistências são dados por:
w
wkwd
fkfγ
.mod= , (4.18)
onde wkf é o valor característico da resistência; modk é o coeficiente de modificação
que leva em consideração os efeitos da duração do carregamento, da umidade do
meio ambiente e da qualidade do material; wγ é o coeficiente de ponderação de
segurança do material.
Os coeficientes de modificação, modk , afetam os valores de cálculo das
propriedades da madeira em função da classe de carregamento da estrutura, da
classe de umidade admitida, e do eventual emprego de madeira de 2ª qualidade.
O coeficiente de modificação modk é formado pelo produto:
3mod2mod1modmod .. kkkk = (4.19)
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
44
O coeficiente parcial de modificação 1modk , que leva em conta a classe de
carregamento e o tipo de material empregado, é dado pela Tabela 5, devendo ser
escolhido conforme a situação de projeto em que se estiver fazendo a comprovação
da segurança.
Tabela 5: Valores de kmod1
Tipos de madeira
Classes de carregamento Madeira serrada
Madeira laminada colada Madeira compensada
Madeira recomposta
Permanente 0,60 0,30 Longa duração 0,70 0,45 Média duração 0,80 0,65 Curta duração 0,90 0,90 Instantânea 1,10 1,10
As classes de carregamento citadas na Tabela 5 são definidas pela NBR
7190:1997, reproduzidas na Tabela 8 deste texto.
O coeficiente parcial de modificação 2modk , que leva em conta a classe de
umidade e o tipo de material empregado, é dado na Tabela 6.
Tabela 6: Valores de kmod2
Classes de umidade Madeira serrada
Madeira laminada colada Madeira compensada
Madeira recomposta
(1) e (2)
(3) e (4)
1,0
0,8
1,0
0,9
O coeficiente parcial de modificação 3modk , que leva em conta a qualidade da
madeira quanto à presença de defeitos, é dado na Tabela 7.
Tabela 7: Valores de kmod3
Classes 1ª Categoria 2ª Categoria
Coníferas Folhosas
0,8 1,0
0,8 0,8
Os coeficientes de ponderação nos estados limites últimos, de acordo com a
solicitação são:
4,1=wcγ para tensões de compressão paralelas às fibras;
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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45
8,1=wtγ para tensões de tração paralelas às fibras e
8,1=wvγ para tensões de cisalhamento paralelas às fibras
Nos estados limites de utilização, os coeficientes de ponderação possuem o
valor básico de γw = 1,0.
O coeficiente de modificação kmod,3 é definido em função da categoria da
madeira utilizada: primeira categoria ou segunda categoria. Madeira de primeira categoria é aquela que passou por classificação visual para garantir a isenção de
defeitos e por classificação mecânica para garantir a homogeneidade da rigidez.
Para este caso kmod,3 =1,0. Madeira de segunda categoria é considerada os demais
casos. Para estes kmod,3 = 0,8.
Para madeira de coníferas, deve sempre se adotar kmod,3 = 0,8 para
considerar a presença de nós não detectáveis pela inspeção visual.
Para madeira laminada colada o coeficiente parcial de modificação, 3modK ,
leva em consideração a curvatura da peça, valendo 13mod =K para peças retas e
para peças curvas a expressão: 2
3mod .12001
−=
rtK ,
(4.20)
onde t é a espessura das lâminas, r é o menor raio de curvatura.
Nas verificações de segurança que dependem da rigidez da madeira, o
módulo de elasticidade na direção paralela às fibras deve ser tomado como:
mcefc EkkkE ,03mod,2mod,1mod,,0 ⋅⋅⋅= (4.21) 4.7. EXEMPLO DE DETERMINAÇÃO DA RESISTÊNCIA DE CÁLCULO A PARTIR
DA RESISTÊNCIA MÉDIA Como exemplo, considere-se o Jatobá (Hymenaea spp), uma espécie de
madeira muito empregada na construção de pontes. Os resultados experimentais
mostram que a resistência média à compressão paralela para madeira verde é
MPa70f mv,com = .
Transformando esta resistência para a condição padrão, tem-se
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
46
( )( ) MPaff comcom 8,8624,170100
)1220(3120,%12, ==
−
+= .
Deste modo, a resistência característica resulta
( )( ) MPafcok 8,608,867,012, == .
Todavia, admite-se que na estrutura haja pontos menos resistentes. A
resistência em ensaio rápido destes pontos seria de
MPaf
c
kco 4,434,18,60, ==
γ.
Sob ação de cargas de longa duração, em ambiente seco ou parcialmente
úmido, para estruturas construídas com madeira de 2a categoria, a resistência de
tais pontos deve ser admitida com o valor
c
kco
c
kcodco
fkkk
fkf
γγ,
3mod,2mod,1mod,,
mod, ..== ,
sendo kmod1 = 0,7 madeira serrada, para cargas de longa duração; kmod2 = 1,0
madeira serrada, para classe de umidade (1) ou (2); kmod3 = 0,8 madeira de 2a
categoria.
Logo,
( )( )( )( ) MPaf
kfc
kcodco 3,244,438,00,17,0,
mod, ===γ
.
Uma tensão com este valor poderá levar à estrutura à ruptura.
4.8. RESISTÊNCIAS USUAIS DE CÁLCULO
Para peças estruturais em madeira serrada de segunda qualidade e em
madeira laminada colada submetidas a carregamentos de longa duração, na
ausência de determinação experimental específica, permite-se a adoção de critérios
simplificados para a determinação da resistência de cálculo em função da
resistência de cálculo na compressão paralela às fibras. Nestas condições a NBR
7190:1997 admite que:
• a resistência de cálculo na tração paralela às fibras seja dada por dcofdtof ,, = ;
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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47
• a resistência de cálculo na compressão perperpendicular às fibras seja dada
por ndcodc ff α⋅= ,,90 25,0 ;
• resistência de cálculo no embutimento paralelo às fibras seja dada por
dcodeo ff ,, = ;
• resistência de cálculo no embutimento perpendicular às fibras seja dada por
eff dcode α⋅= ,,90 25,0 ;
• resistência de cálculo no cisalhamento paralelo às fibras seja dada por
dcodvo ff ,, 12,0= , para as coníferas, e dcodvo ff ,, 10,0= , para as folhosas.
Quando a carga atuar na extremidade da peça, ou de modo distribuído na
totalidade da superfície de peças de apoio, ou no caso da extensão da carga,
medida na direção das fibras, ser maior ou igual a 15 cm, admite-se αn =1,0.
Quando a extensão da carga, medida na direção das fibras, for menor que 15 cm e a
carga estiver afastada pelo menos de 7,5 cm da extremidade da peça, o coeficiente
αn é fornecido pela Tabela 19.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
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49
5. MODELO DE SEGURANÇA DA NORMA BRASILEIRA
5.1. SEGURANÇA DE UMA ESTRUTURA
O conceito de segurança de uma estrutura é a capacidade que ela apresenta
de suportar as diversas ações que vierem a solicitá-la durante a sua vida útil,
continuando a satisfazer as condições funcionais a que se destinava por ocasião de
sua construção (ZAGOTTIS, 1981). Este conceito de segurança é qualitativo. Para
que seja quantificada a segurança estrutural, utilizam-se processos analíticos,
numéricos, gráficos ou experimentais, que determinam os esforços internos, as
deformações e os deslocamentos nas estruturas, permitindo a comparação destes
valores aos critérios de resistência dos materiais estruturais.
A edição da NBR7190/82 verificava a segurança estrutural pela aplicação do
Método das Tensões Admissíveis. A hipótese fundamental desse modelo considera
o comportamento estrutural de um certo corpo determinístico. Isto significa que, para
um mesmo corpo, com as mesmas vinculações, a aplicação de uma certa
solicitação, de acordo com uma certa lei de variação ao longo do tempo, caso
pudesse ser repetida diversa vezes, produziria em todas elas os mesmos esforços
internos, as mesmas deformações e os mesmos deslocamentos. A condição a ser
satisfeita para que uma estrutura apresente segurança em relação a um tipo de
solicitação era:
RR
is =
γ≤σ com γi > 1, (1.1)
onde σs são as tensões máximas que aparecem por ocasião da utilização da
estrutura e R é a tensão admissível do material, resultante do quociente entre as
tensões de ruptura ou escoamento do material (R) e o coeficiente de segurança
interno (γi).
O Método das Tensões Admissíveis estabelece uma distância entre as
tensões de serviço e as tensões de ruptura e não entre o carregamento de serviço e
o carregamento de ruptura ou colapso. Esta característica deste modelo de
segurança é limitante quando a estrutura deixa de apresentar um comportamento
linear. Isto só vale quando a relação tensão-deformação do material permanece
linear (linearidade física) ou enquanto a geometria é pouco alterada pelos
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
50
deslocamentos produzidos pelo carregamento (linearidade geométrica). A maioria
das estruturas apresenta comportamento linear para uma faixa de carregamento,
mas ao aproximar-se da ruptura perde a linearidade. Nestes casos, o coeficiente de
segurança interno γi passa a não ser mais representativo da segurança da estrutura.
A atual edição da NBR 7190:1997, Projeto de estruturas de madeira, adota
outro modelo de verificação da segurança estrutural, o Método dos Estados Limites.
Quando uma estrutura deixa de preencher qualquer uma das finalidades de sua
construção, diz-se que ela atingiu um estado limite, ou, que ela atingiu a ruína. De
acordo com o conceito de segurança, esta é a capacidade que a estrutura apresenta
de suportar as diversas ações que vierem a solicitá-la durante a sua vida útil, sem
atingir qualquer estado limite.
Os estados limites podem ser classificados em duas categorias: estados
limites últimos e estados limites de utilização.
Os estados limites últimos são aqueles correspondentes ao esgotamento da
capacidade portante da estrutura, podendo ser originados por um ou vários dos
seguintes fenômenos:
• perda de estabilidade do equilíbrio de uma parte ou do conjunto da estrutura,
considerando esta semelhante a um corpo rígido;
• ruptura de seções críticas da estrutura;
• colapso da estrutura, ou seja, transformação da estrutura original em uma
estrutura parcial ou totalmente hipostática, por plastificação;
• perda de estabilidade do equilíbrio de uma parte ou do conjunto da estrutura por
deformação;
• deterioração por efeito de fadiga;
• deformações elásticas ou plásticas, deformação lenta (fluência) e trincas que
provoquem uma mudança de geometria que exija uma substituição da estrutura.
O estado limite último também pode ser atingido devido à sensibilidade da
estrutura aos efeitos de repetição das ações, do fogo, de uma explosão etc.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
51
Os estados limites de utilização são aqueles correspondentes a exigências
funcionais e de durabilidade da estrutura, podendo ser originados, em geral, por um
ou vários dos seguintes fenômenos:
• deformações excessivas para uma utilização normal da estrutura;
• deslocamentos excessivos sem perda do equilíbrio;
• vibrações excessivas.
A introdução da segurança no projeto estrutural relativa aos estados limites de
utilização recai em uma simples verificação do comportamento da estrutura, sujeita
às ações correspondentes à sua utilização, comparando-o ao comportamento
desejável para as condições funcionais e de durabilidades especificadas.
O Método dos Estados Limites introduz a segurança estrutural através dessas
verificações relativamente aos estados limites. Para os estados limites últimos, a
condição de segurança a ser satisfeita segundo a NBR 7190:1997 é:
dd RS ≤ , (1.2)
w
kd
RkRγmod=
,
(1.3)
sendo Sd as tensões máximas que aparecem por ocasião da utilização de
coeficientes de segurança externos, relativamente aos estados limites últimos. Rd é
a resistência de cálculo, Rk é a resistência característica, γw é o coeficiente de
ponderação (minoração) das propriedades da madeira, conforme o tipo de
solicitação em análise e kmod é o coeficiente de modificação que leva em conta as
influências não consideradas em γw .
A vantagem do método dos estados limites é que cada um dos fatores que
influenciam a segurança são levados em conta separadamente. Mesmo
considerando empiricamente os fatores, o método é mais racional que uma simples
adoção de um coeficiente de segurança.
A deficiência que o método dos estados limites não consegue contornar é a
consideração dos parâmetros de resistência como fenômenos determinísticos.
Pode-se até admitir que o comportamento estrutural seja um fenômeno
determinístico, mas os resultados experimentais comprovam que a resistência dos
materiais é uma variável aleatória contínua que pode ser associada a uma lei de
distribuição de densidades de probabilidade.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
52
Entretanto, não é possível normalizar racionalmente um método
probabilístico, ou semi-probabilístico, para o uso corrente em projetos de estruturas.
Portanto, o método dos estados limites, com coeficientes de ponderação internos
para a resistência e externos para as ações, tratando separadamente os diversos
fatores intervenientes, representa uma abordagem mais racional que os outros
métodos adotados anteriormente.
5.2. SITUAÇÕES DE PROJETO
A NBR 7190 :1997 estabelece que toda estrutura deve ser projetada e
construída de modo a satisfazer os requisitos básicos de segurança, permanecendo
adequada ao uso previsto e suportando todas as ações e outras influências que
podem agir durante a construção e durante a sua utilização.
Para cada estrutura devem ser especificadas as situações de projeto a
considerar. A NBR 7190:1997 define basicamente três situação de projeto a serem
consideradas: situações duradouras, situações transitórias e situações excepcionais.
As situações duradouras são consideradas no projeto de todas as
estruturas e são definidas como aquelas que têm duração igual ao período de
referência da estrutura. Para estas situações duradouras, a verificação da segurança
é efetuada em relação aos estados limites últimos e de utilização. Quanto ao estado
limite último consideram-se as combinações últimas normais de carregamento.
Quanto ao estado limite de utilização consideram-se as combinações de longa ou as
de média duração. Estas combinações serão detalhadas no Capítulo 6.
A NBR 7190:1997 define as situações transitórias como sendo aquelas que
têm duração muito menor que o período de vida da construção. Estas situações são
consideradas para construções que podem estar sujeitas a algum carregamento
especial e, em geral, nela é a verificação da segurança é feita quanto aos estados
limites últimos. Em casos especiais, é exigida a verificação da segurança em
relação a estados limites de utilização considerando combinações de ações de curta
ou média duração. Estas combinações serão detalhadas no Capítulo 6.
As situações excepcionais são aquelas que têm duração extremamente
curta. Para estas situações é verificada a segurança somente em relação aos
estados limites últimos.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
53
6. AÇÕES ATUANTES E COMBINAÇÕES DE PROJETO
Ao se conceber uma estrutura deve-se entender que seu funcionamento reflete
a atuação de todas as forças externas presentes na mesma. Assim, o peso próprio de
uma viga, veículos em uma ponte, o vento sobre um telhado representam forças
externas agindo em uma estrutura.
As ações nas estruturas são definidas pela NBR8681:2004 como as causas que
provocam esforços ou deformações nas estruturas. A natureza e a duração das ações
possuem influência relevante na verificação da segurança estrutural.
Para elaboração dos projetos, as ações devem ser combinadas com a aplicação
de coeficientes, sobre cada uma delas, para levar em consideração a probabilidade de
ocorrência simultânea.
A fim de levar em conta o bom comportamento estrutural da madeira para
cargas de curta duração, na verificação da segurança em relação aos estados limites
últimos, a NBR 7190:1997 permite a redução em até 75% das solicitações dessa
natureza. Observa-se que esta redução não deve ser aplicada nas combinações de
verificação das peças metálicas, inclusive dos elementos de ligação como parafusos,
por exemplo.
6.1. TIPOS DE AÇÕES
As ações são classificadas segundo duas formas:
• quanto ao modo de atuação e
• quanto às variações de seus valores e tempo de atuação.
Quanto ao modo de atuação, podem ser diretas ou indiretas que correspondem
respectivamente às forças e às deformações impostas (Figura 23).
Quanto às variações de seus valores e tempo de atuação podem ser
• permanentes,
• variáveis ou
• excepcionais.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
54
As ações permanentes (g) são as que possuem valores constantes, ou de
pequena variação em torno da média, atuantes em praticamente toda a vida da
construção. Ex.: peso próprio.
As ações variáveis (q) são aquelas que possuem valores com variação
significativa atuantes em praticamente toda a vida da construção. Ex: sobrecarga.
As ações excepcionais são aquelas que independem da variação dos seus
valores, pois atuam em curto espaço de tempo. Devido à sua baixa probabilidade de
ocorrência são consideradas apenas em determinadas estruturas. Ex: abalos sísmicos.
6.2. TIPOS DE CARREGAMENTOS Um conjunto de ações com probabilidade de ocorrência simultânea determinam
vários casos de carregamento, dependendo das diferentes formas de combinação
destas ações. O caso mais desfavorável será adotado como carregamento de projeto.
Um carregamento é classificado segundo a natureza das ações atuantes (Figura
23) e pode ser:
• normal,
• especial ou de construção e
• excepcional.
O carregamento é normal quando inclui somente as ações decorrentes do uso
previsto para a construção. Ex: peso e sobrecarga.
O carregamento é especial quando inclui ações variáveis de natureza ou
intensidade especiais, cujos efeitos sejam preponderantes aos produzidos pelo
carregamento normal. Ex: área de estocagem de um supermercado.
O carregamento é excepcional quando inclui ações excepcionais e cujos efeitos
podem ser catastróficos. Ex: ventos fortes, abalo sísmico.
O carregamento de construção cessa com a conclusão da obra sendo portanto
de caráter transitório. Deve ser considerado quando há probabilidade de ocorrência de
estados limites últimos durante a fase de construção. Ex: peças protendidas, estacas.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
55
Ações
Diretas Indiretas
Variável Permanente Excepcional
Cargas Acidentais
Natureza Especial
Carregamento Normal
Carregamento Especial
Carregamento Excepcional
Figura 23: Organograma de ações e carregamentos
6.3. CLASSES DE DURAÇÃO DE CARREGAMENTOS
As classes de duração do carregamento são determinadas em função da
duração acumulada prevista para a ação variável tomada como principal na
combinação considerada. Segundo a norma NBR 7190:1997, elas podem ser
permanentes, de longa, de média ou curta duração e duração instantânea (Tabela 8).
Tabela 8: Classes de duração de carregamentos
Classe de carregamento Ação variável principal da combinação
Duração acumulada Ordem de grandeza da duração acumulada da ação característica
Permanente
Longa duração
Média duração
Curta duração
Duração instantânea
Permanente
Longa duração
Média duração
Curta duração
Duração instantânea
vida útil da construção
mais de 6 meses
1 semana a 6 meses
menos de 1 semana
muito curta 6.4. COMBINAÇÕES DE AÇÕES
As combinações de ações empregam coeficientes diferentes, conforme a
probabilidade de ocorrência durante a vida da estrutura. São diferentes os
carregamentos a serem empregados na verificação dos estados limites último e de
utilização.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
56
6.4.1. Combinação para Estados Limites Últimos
Em Estados Limites Últimos, os formatos de combinações correspondem às
ações combinadas segundo sua natureza. Têm-se combinações para ações normais,
especiais e de construção.
6.4.1.1. Combinações últimas normais
++= ∑∑
==
n
jkQjjkQQkGi
m
iGid FFFF
2,0,1,
1ψγγ ,
(6.1)
onde KGiF , é o valor característico das ações permanentes, kQF ,1 é o valor característico
da ação variável considerada principal em um determinado caso de carregamento,
kQjj F ,0ψ é o valor reduzido de combinação de cada uma das ações variáveis e j0ψ
é o fator de combinação correspondente a cada uma das ações variáveis.
Tendo em vista que a condição de segurança é para uma situação duradoura,
portanto classe de carregamentos de longa duração e que a resistência de projeto leva
em conta um tempo grande de atuação da solicitação, as ações variáveis de curta
duração kQF ,1 deverão ser reduzidas pelo fator de 0,75.
6.4.1.2. Combinações últimas especiais e combinações últimas de construção
++= ∑∑
==
n
jkQjefjkQQkGi
m
iGid FFFF
2,,0,1,
1ψγγ ,
(6.2)
onde KGiF , é o valor característico das ações permanentes, kQF ,1 é o valor característico
da ação variável considerada principal em um determinado caso de carregamento,
efj ,0ψ é igual ao fator j0ψ , adotado nas combinações normais, salvo quando a ação
principal kQF ,1 tiver um tempo de atuação muito pequeno, caso em que efj ,0ψ pode ser
tomado como correspondente a 2ψ .
6.4.2. Combinação para Estados Limites de Utilização
As combinações em estados limites de utilização são determinadas a partir do
grau de deformação que a estrutura considerada deva suportar, permitindo sua
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
57
utilização prevista. Estando as deformações relacionadas à duração do carregamento
existirão formatos diferentes para combinações de longa, média e curta duração e de
duração instantânea.
6.4.2.1. Combinação de longa duração
As combinações de longa duração são as utilizadas quando o uso previsto para
a estrutura permite deformações máximas normativas.
Para estas combinações, todas as ações variáveis atuam com seus valores
correspondentes à classe de longa duração.
KQj
n
jj
m
iKGiutid FFF ,
12
1,, ∑∑
==
+= ψ , (6.3)
onde utidF , é o valor de cálculo das ações para estados limites de utilização, KGiF , é o
valor característico das ações permanentes, KQjF , é o valor característico das demais
ações variáveis, j2ψ é o fator de combinação correspondente a cada uma das demais
ações variáveis, Kqjj F ,2ψ é o valor reduzido de combinação de cada uma das ações
variáveis.
6.4.2.2. Combinação de média duração
As combinações de média duração são utilizadas quando o uso previsto para a
estrutura requer limites de deformações menores que os máximos normativos.
Nestas combinações, a ação variável principal atua com seu valor
correspondente a classe de média duração e as demais ações variáveis atuam com
seus valores correspondentes à classe de longa duração.
KQj
n
jjKQ
m
iKGiutid FFFF ,
22,11
1,, ∑∑
==
++= ψψ , (6.4)
onde KGiF , é o valor característico das ações permanentes; KQjF , é o valor característico
das demais ações variáveis; j2ψ é o fator de combinação correspondente a cada uma
das demais ações variáveis; Kqjj F ,2ψ é o valor reduzido de combinação de cada uma
das ações variáveis; KQF ,1 é o valor característico da ação variável considerada
principal; 1ψ é fator de combinação correspondente a ação variável principal.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
58
6.4.2.3. Combinações de curta duração
As combinações de curta duração são utilizadas quando o uso previsto para a
estrutura requer valores desprezíveis de deformação.
Nestas combinações, a ação variável principal atua com seu valor característico
e as demais ações variáveis atuam com seus valores correspondentes à classe de
média duração.
KQj
n
jjKQ
m
iKGiutid FFFF ,
21,1
1,, ∑∑
==
++= ψ , (6.5)
onde KGiF , é o valor característico das ações permanentes; KQjF , é o valor
característico das demais ações variáveis; KQF ,1 é o valor característico da ação
variável considerada principal; j2ψ é o fator de combinação correspondente a cada
uma das demais ações variáveis; Kqjj F ,1ψ é o valor reduzido de combinação de cada
uma das ações variáveis.
6.4.2.4. Combinações de duração instantânea
As combinações de duração instantânea são utilizadas quando se considera a
existência de uma ação variável especial pertinente à classe de duração imediata. As
demais ações variáveis são consideradas com seus prováveis valores atuando
simultaneamente à ação variável especial, valores estes de longa duração salvo a
existência de outro critério que os determine.
Tais combinações são expressas por
KQj
n
jjespQ
m
iKGiutid FFFF ,
12,
1,, ∑∑
==
++= ψ , (6.6)
onde KGiF , é o valor característico das ações permanentes; KQjF , é o valor
característico das demais ações variáveis; QespF é o valor característico da ação
variável especial; j2ψ é o fator de combinação correspondente a cada uma das demais
ações variáveis, Kqjj F ,2ψ é o valor reduzido de combinação de cada uma das ações
variáveis.
A Tabela 9 identifica as verificações de segurança para os estados limites e as
combinações de carregamento para cada situação de projeto a ser considerada
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
59
Tabela 9: situações de projeto
Situação Verificação Combinação de ações Duradoura: devem ser consideradas sempre
Estado limite último Normais
[ ]FFFF kQjkQQ
m
kgigid
n
jj
i,,1,
20
1∑∑
==
++= ψγγ
Duração igual ao período de referência da estrutura
Estado limite de utilização Longa ou média duração
FFF kQjjkgiutid
n
j
m
i,2,,
11∑∑
==
+= ψ
FFFF kQjjkgiutid
n
jkQ
m
i,2,,
2,11
1∑∑
==
++= ψψ
Transitória: deve ser verificada quando existir carregamento especial para a construção.
Estado limite último Especial ou de construção
∑∑
=
=
++=n
j
kQjkQkgi
m
igid FefjFQFF
2
,,1,1
,0ψγγ
Duração muito menor que o período de vida da estrutura.
Estado limite de utilização (caso necessário)
Média ou curta duração
FFFF kQjjkgiutid
n
jkQ
m
i,2,,
2,11
1∑∑
==
++= ψψ
FFFF kQjjkgiutid
n
jkQ
m
i,1,,
2,1
1∑∑
==
++= ψ
Excepcional: Duração extremamente curta.
Estado limite último Excepcional
FFFF QexcQkgi
m
gid
n
jefj
i,,
1,0
1∑∑
==
++= ψγγ
6.5. COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO E FATORES DE COMBINAÇÃO
As combinações de ações empregam coeficientes diferentes, conforme a
probabilidade de ocorrência de cada uma durante a vida da estrutura. Estão
apresentados a seguir os coeficientes a serem empregados nas combinações para
verificação dos estados limites último e de utilização.
Os coeficientes de ponderação são os fatores pelos quais se multiplicam os
valores característicos das ações para se obter os valores de cálculo. São utilizados
em virtude da necessidade de se considerar a ocorrência de fatores que possam
interferir na segurança da estrutura, seja por variabilidade das ações, por erros de
avaliação dos efeitos destas, por problemas construtivos ou ainda por deficiência do
método de cálculo empregado.
Em Estados Limites de Utilização o coeficiente de ponderação é sempre
considerado igual a 1, salvo algumas situações definidas por normas especiais.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
60
Em Estados Limites Últimos o coeficiente de ponderação varia de acordo com o
tipo de ação considerada; assim, podem existir coeficientes de ponderação para ações
permanentes ( gγ ), para ações variáveis ( qγ ) e para deformações impostas ( εγ ).
6.5.1. Coeficiente de ponderação para ações permanentes
Todas as partes de uma ação permanente são ponderadas pelo mesmo
coeficiente e tais valores dependem do tipo de ação e da combinação (Tabela 10 à
Tabela 13). Segundo a NBR 7190:1997, considera-se como de pequena variabilidade o
peso da madeira classificada estruturalmente cujo peso específico tenha coeficiente de
variação não superior a 10 %. As ações de grande variabilidade podem ser as de peso
próprio das estruturas e dos elementos construtivos permanentes não estruturais e dos
equipamentos fixos, todos considerados globalmente quando o peso próprio da
estrutura não supera 75 % da totalidade dos pesos permanentes.
Tabela 10: Coeficiente de ponderação para ações permanentes de pequena variabilidade
Combinações Efeitos (*) Desfavoráveis Favoráveis
Normais gγ = 1,3 gγ = 1,0
Especiais ou de Construção gγ = 1,2 gγ = 1,0
Excepcionais gγ = 1,1 gγ = 1,0
(*) podem ser usados indiferentemente os símbolos gγ ou G
γ
Tabela 11: Coeficiente de ponderação para ações permanentes de grande variabilidade
Combinações Efeitos Desfavoráveis Favoráveis
Normais gγ = 1,4 gγ = 0,9
Especiais ou de Construção gγ = 1,3 gγ = 0,9
Excepcionais gγ = 1,2 gγ = 0,9
Tabela 12: Coeficientes de ponderação para ações permanentes indiretas (incluem os efeitos de
recalque de apoio e de retração dos materiais)
Combinações Efeitos Desfavoráveis Favoráveis
Normais εγ = 1,2 εγ = 0 Especiais ou de Construção εγ = 1,2 εγ = 0 Excepcionais εγ = 0 εγ = 0
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
61
6.5.2. Coeficientes de ponderação para ações variáveis:
Em uma estrutura, são ponderadas apenas as ações variáveis que produzem
efeitos desfavoráveis para a segurança, majorando-se seus valores característicos
conforme a Tabela 13.
Tabela 13: Coeficientes de ponderação para ações variáveis.
Combinações Ações variáveis em geral incluídas as cargas acidentais móveis
Efeitos da temperatura
Normais Qγ = 1,4 εγ = 1,2
Especiais ou de Construção Qγ = 1,2 εγ = 1,0
Excepcionais Qγ = 1,0 εγ = 0
6.5.3. Fatores de combinação em estados limites últimos ( 0ψ )
São utilizados levando-se em consideração que existe probabilidade remota de
que as ações variáveis consideradas atuem simultaneamente (Tabela 14).
Desta forma, toma-se uma ação variável como principal com o seu valor
característico e reduzem-se os valores das demais ações multiplicando-os pelo fator de
combinação correspondente.
6.5.4. Fatores de combinação em estados limites utilização ( 1ψ , 2ψ )
São utilizados visando minorar os valores das ações variáveis para que
correspondam às condições de serviço, considerando a duração destas ações.
Para combinações de média duração emprega-se o fator 1ψ enquanto que para
longa duração emprega-se o fator 2ψ .
Os fatores de combinação têm seus valores indicados na Tabela 14.
Tabela 14: Fatores de combinação
Ações em estruturas correntes Ψ0 Ψ1 Ψ2
- Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local
- Pressão dinâmica do vento
0,6
0,5
0,5
0,2
0,3
0
Cargas acidentais dos edifícios Ψ0 Ψ1 Ψ2
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
62
- Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos fixos, nem de elevadas concentrações de pessoas.
- Locais onde há predominância de pesos de equipamentos fixos, ou de elevadas concentrações de pessoas.
- Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens.
0,4
0,7
0,8
0,3
0,6
0,7
0,2
0,4
0,6
Cargas móveis e seus efeitos dinâmicos Ψ0 Ψ1 Ψ2
- Pontes de pedestres
- Pontes rodoviárias
- Pontes ferroviárias (ferrovias não especializadas)
0,4
0,6
0,8
0,3
0,4
0,6
0,2*
0,2*
0,4*
* Admite-se Ψ2=0 quando a ação variável principal corresponde a um efeito sísmico
6.6. EXEMPLOS 6.6.1. Combinações de projeto de ações em uma treliça
A treliça da Figura 24 está submetida a carregamentos permanentes e variáveis
causados pelo efeito do vento. Os esforços causados nas barras por esses
carregamentos estão indicados na Tabela 15. Determinar os esforços de cálculo para o
estado limite último, na situação mais crítica (tração ou compressão axiais) em cada
uma das barras.
Resolução: A estrutura está submetida a carregamento normal (uso previsto na construção),
logo de longa duração. A situação de projeto é duradoura, o que exige a verificação de
estado limite último e de utilização. No estado limite último, são consideradas as
combinações normais de carregamento.
A ação permanente deve ser verificada com efeito favorável e desfavorável, por
meio do coeficiente γg. Há somente uma ação variável, o efeito do vento, Fq1,k, que é a
ação variável principal. Para cargas variáveis de curta duração consideradas como
ação variável principal, a NBR 7190:1997 permite a redução para 75% da solicitação
no estado limite último. Logo, a combinação última normal é
FFF kQQkGgd ,, 75,0γγ += .
Determinação dos coeficientes de ponderação das ações:
• Ação permanente de grande variabilidade (FG,k):
o Combinação desfavorável γg = 1,4 (Tabela 11, comb. normais)
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
63
o Combinação favorável γg = 0,9 (Tabela 11, comb. normais)
• Ação variável – vento (FQ,k): γq = 1,4 (Tabela 13, comb. normais)
Os valores dos esforços majorados pelos coeficientes estão apresentados
Tabela 15.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
64
1.75m 1.75m1.95m
1.70m 1.70m 1.70m 1.90m 1.90m 1.70m1.70m 1.70m
1.75 m
Dimensões em metros
12
34
5
10 11 12 13
67
89
14 15 16
Figura 24: Geometria e identificação dos nós da treliça
Tabela 15: Esforços Solicitantes nas barras da treliça
Barra Ação Permanente
Ação Variável (vento) Ação Perm.+Vento Pressão Ação Perm.+Vento Sucção Situação crítica Sobrepressão Sucção γg*A.Perm. γq*0,75*V.Press. Combinação γg*A.Perm. γq*0,75*V.Press. Combinação Tração Compr.
daN daN daN daN daN daN daN daN daN daN daN 1-2 -2649 -1267 6731 -3709 -1330 -5039 -2384 7068 4683 4683 -5039 1-10 2386 1235 -6558 3340 1297 4637 2147 -6886 -4739 4637 -4739 3-4 -2156 -1129 5994 -3018 -1185 -4204 -1940 6294 4353 4353 -4204 4-5 -1830 -965 5126 -2562 -1013 -3575 -1647 5382 3735 3735 -3575 4-11 404 234 -1243 566 246 811 364 -1305 -942 811 -942 4-12 -350 -197 1041 -490 -207 -697 -315 1093 778 778 -697 5-12 507 285 -1513 710 299 1009 456 -1589 -1132 1009 -1132 5-13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
12-13 1401 662 -3522 1961 695 2657 1261 -3698 -2437 2657 -2437 (+) Tração (-) Compressão
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
65
6.6.2. Combinação de ações em uma viga
A viga da Figura 25 está submetida a carregamentos permanentes de grande
variabilidade (g), cargas acidentais (q) de longa duração e pressão do vento (w).
Sabe-se que as ações valem g = 40 daN/m, q = 10 daN/m e w = 20 daN/m. Pede-se:
a) a avaliação das combinações para estado limite de utilização;
b) a determinação do valor do momento de cálculo (MB,d) na seção B, para
estado limite último.
B A g w
3 m 0,8 m
q
Figura 25: Viga submetida a carregamentos permanentes e variáveis
a) a avaliação das combinações para estado limite de utilização
Para se determinar a combinação de cálculo das ações para o estado limite
de utilização é necessário fazer a avaliação das ações para se determinar a mais
crítica. Para situações normais de projeto, a norma NBR 7190:1997 considera que
todas as ações variáveis atuam com seus valores correspondentes à classe de
longa duração, dado por
KQj
n
jj
m
iKGiutid FFF ,
12
1,, ∑∑
==
+= ψ ,
onde utidF , é o valor de cálculo das ações para estados limites de utilização, KGiF , é o
valor característico das ações permanentes, KQjF , é o valor característico das demais
ações variáveis, j2ψ é o fator de combinação correspondente a cada uma das
demais ações variáveis, Kqjj F ,2ψ é o valor reduzido de combinação de cada uma das
ações variáveis. Da Tabela 14, para ações devidas ao vento j2ψ = 0 e para locais em
que não há predominância de pesos e de equipamentos fixos, nem de elevadas
concentrações de pessoas j2ψ = 0,2. Assim, substituindo-se os valores na expressão
anterior, tem-se
( ) ( ) mdaNmdaNmdaNmdaNF utid /42/200/102,0/40, =⋅++= ,
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
66
b) Combinação última normal para MB,d
Para a determinação do momento de cálculo na secção B, tem-se que
terminar o momento fletor em B devido a cada ação, utilizando o método das
secção. O diagrama de esforços para a viga com um carregamento p uniformemente
distribuído é ilustrado pela Figura 26. Os valores dos momentos fletores na secção B
devidos às ações q, g e w são apresentados na Tabela 16.
3 m
p
0,8 m
V
x
M
x
MB
RA RB
Mmáx
3 m
p
0,8 m
V
x
V
x
M
x
MB
RA RB
Mmáx
Figura 26: Diagrama de esforços internos
Tabela 16: Momentos fletores atuantes na secção B
Ações p
(daN/m) MB = p.l2/2 (daN.m)
Aná
lise
Est
rutu
ral Ação permanente gk 40 12,8
Vento wk 20 6,4
Ação acidental qk 10 3,2
De posse do valor do momento fletor interno, passa-se a efeturar as
combinações das ações dada pela equação da combinação última normal para
momento:
[ ]MMMM kQjkQQ
m
kGiGid
n
jj
i,,1,
20
1∑∑
==
++= ψγγ .
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
67
Para as ações variáveis para combinações normais últimas, o coeficiente de
ponderação é Qγ = 1,4. Para a ação de vento, quando considerada principal, pode
ser minorada por um coeficiente de 0,75. A ação permanente é de grande
variabilidade, logo o coeficiente de ponderação Gγ para combinações normais e
para efeitos desfavoráveis é 1,4, Para locais que não há predominâncias de pesos
de equipamentos fixos e nem de elevadas concentrações de pessoas 0ψ =0,4 e para
pressão dinâmica de vento 0ψ =0,5. Assim sendo, considerando o vento como ação
variável principal, tem-se:
( ) ( ) ( )[ ] mdaNmdaNmdaNmdaNM d .43,26.2,34,0.4,675,04,1.8,124,1 =⋅+⋅+= . Agora, considerando-se a ação acidental como variável principal, tem-se:
( ) ( )[ ] mdaNmdaNmdaNmdaNM d .88,26.4,65,0.2,34,1.8,124,1 =⋅++= .
Portanto o valor crítico de MB,d no Estado Limite Último é MB,d = 26,9 daN.m.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
69
7. CONSIDERAÇÕES BÁSICAS PARA PROJETO DE CONSTRUÇÕES EM MADEIRA
A norma brasileira NBR 7190:1997 aborda alguns tópicos relacionados à
durabilidade da madeira, cuidados na execução das estruturas, dimensões mínimas
de elementos estruturais e dos conectores, e características do próprio projeto
estrutural.
7.1. DURABILIDADE DA MADEIRA
Segundo a norma brasileira NBR 7190:1997, o projeto de estruturas de
madeira deve garantir a durabilidade da madeira, facilitando o escoamento das
águas, prevendo a ventilação das faces vizinhas e paralelas às peças em madeira e
utilizando madeira com tratamento preservativo adequado. Além disso, o projeto
deve ser desenvolvido visando permitir a inspeção e os trabalhos de conservação.
7.2. EXECUÇÃO DAS ESTRUTURAS
De acordo com NBR 7190:1997, todo trabalho de carpintaria deve ser
desenvolvido por profissional qualificado, capaz de executar as sambladuras,
encaixes, ligações de juntas e articulações perfeitamente ajustadas em todas as
superfícies. Todas as perfurações, escareações, ranhuras e fresagens para meios
de ligações devem ser feitos à máquina e perfeitamente ajustados. Por ventura, as
peças que, na montagem, não se adaptarem perfeitamente às ligações ou que se
tenham empenado prejudicialmente devem ser substituídas.
7.3. DIMENSÕES MÍNIMAS
A norma brasileira NBR 7190:1997 estabelece dimensões mínimas para
seções transversais dos elementos estruturais, arruelas, espessura de chapas de
aço e diâmetros de pinos e cavilhas.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
70
7.3.1. Seções transversais mínimas
Nas peças principais isoladas, como vigas e barras longitudinais de treliças, a
área mínima das seções transversais será de 50 cm2 e a espessura mínima de 5
cm. Nas peças secundárias esses limites reduzem-se respectivamente a 18 cm2 e
2,5 cm.
5 cm
Amín = 50 cm2
5 cm
Amín = 50 cm2
2,5 cm
Amín = 18 cm2
2,5 cm
Amín = 18 cm2
(a) Peças principais isoladas (b) Peças secundárias isoladas
Figura 27: Dimensões transversais mínimas de peças isoladas
Nas peças principais múltiplas, a área mínima da seção transversal de cada
elemento componente será de 35 cm2 e a espessura mínima de 2,5 cm. Nas peças
secundárias múltiplas esses limites reduzem-se respectivamente a 18 cm2 e 1,8 cm.
1,8 cm
Amín = 18 cm2
1,8 cm 1,8 cm
Amín = 18 cm2
1,8 cm
(a) Peças principais múltiplas (b) Peças secundárias múltiplas
Figura 28: Dimensões transversais mínimas de peças múltiplas
7.3.2. Espessura mínima das chapas
A espessura mínima das chapas de aço das ligações será de 9 mm nas
pontes e de 6 mm em outros casos.
2,5 cm2,5 cm
Amín cm2
2,5 cm2,5 cm
Amín = 35 cm2
2,5 cm2,5 cm
Amín cm2
2,5 cm2,5 cm
Amín = 35 cm2
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
71
7.3.3. Dimensões mínimas das arruelas
A NBR 7190:1997 estabelece, que na fixação dos parafusos, devem ser
usadas arruelas com diâmetro ou comprimento do lado de pelo menos 3d (d é o
diâmetro do parafuso) sob a cabeça e a porca (Figura 29). As arruelas devem estar
em contato total com as peças de madeira.
A espessura mínima das arruelas de aço será de 9 mm nas pontes, de 6 mm
em outras estruturas, não devendo em caso algum ser inferior a 1/8 do lado, no caso
de arruelas quadradas, ou do diâmetro, no caso de arruelas circulares. A área útil
mínima das arruelas deve ser tal que permita utilizar todo o esforço de tração
admissível no parafuso, sem exceder a resistência à compressão normal da
madeira.
3d d3d d
3d d3d d
(a) Arruela circular (b) Arruela quadrada
Figura 29: Tipos de arruelas
7.3.4. Diâmetros mínimos de pinos e cavilhas
O diâmetro dos pregos estruturais deve ser de 3 mm, respeitando a
resistência característica de escoamento fyk = 600 MPa, enquanto que o dos
parafusos estruturais deve ser de 10 mm, respeitando a resistência característica de
escoamento fyk = 240 MPa. As cavilhas estruturais são admitidas somente com
diâmetros de 16, 18 e 20 mm.
7.4. ESBELTEZ MÁXIMA
Deve-se impor limitação máxima na esbeltez de barras comprimidas
correspondente ao comprimento máximo de 40 vezes a menor dimensão da seção
transversal. No caso de seções retangulares implica em considerar
1405,1381240max ≈===
bb
rL fλ .
Para barras tracionadas o limite da esbeltez das barras é dado por
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
72
1731250max ≈==
bb
rL fλ .
7.5. PROJETO EXECUTIVO
De acordo com a NBR 7190:1997, o projeto de estruturas de madeira é
constituído de memorial justificativo e de desenhos. Quando necessário deve-se
apresentar um plano de montagem.
O memorial justificativo deve conter:
a) descrição do arranjo global tridimensional da estrutura;
b) ações e condições de carregamento admitidas, incluídos os percursos das cargas
móveis;
c) esquemas adotados na análise dos elementos estruturais e identificação de suas
peças;
d) análise estrutural;
e) propriedades do material;
f) dimensionamento e detalhamento esquemático das peças estruturais;
g) dimensionamento e detalhamento esquemático das emendas, uniões e ligações.
Os desenhos de projeto são constituídos pelos desenhos de conjunto, de
detalhes e de montagem.
Os desenhos de conjunto representam o arranjo geral da estrutura por meio
de plantas, de elevações, de seções e de cortes (Figura 30). Eles devem ser feitos
em escalas adequadas ao tamanho da obra a ser representada, para que não haja
dúvidas na identificação das partes. Para obras correntes, empregam-se as escalas
1:10, 1:50 e 1:100.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
73
Figura 30: Desenho de conjunto com os detalhes de contraventamento vertical (NBR 7190:1997).
Os desenhos de detalhes são utilizados para representar minúcias
necessárias à execução e arranjo de componentes (Figura 31). Eles podem incluir
plantas, elevações, seções e cortes, recomendando-se as escalas 1:1, 1:5, 1:10,
1:20 para a sua expressão gráfica.
Figura 31: Detalhes dos nós de ligação de uma tesoura (NBR 7190:1997).
Os desenhos de montagem indicam as operações de construção da estrutura.
Incluem um esquema geral do conjunto, em escala adequada à complexidade do
arranjo (Figura 32).
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
74
Figura 32: Esquema geral da treliça e detalhes das emendas dos banzos superior e inferior (NBR
7190:1997).
Os desenhos de projeto devem conter, de modo bem destacado, a
identificação dos materiais a serem empregados (madeira, parafusos, pregos,
arruelas, chapas metálicas) e as suas classes de resistências.
As peças estruturais devem ter a mesma identificação nos desenhos e no
memorial justificativo. Devem conter também o desenho de conjunto com detalhes
das ligações e contraventamentos.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
75
8. DIMENSIONAMENTO DE BARRAS TRACIONADAS
As peças de madeira submetidas a um esforço axial de tração apresentam
comportamento elastofrágil até à ruptura, sem a ocorrência de valores significativos
de deformações antes do rompimento. Nas estruturas, a tração paralela às fibras
ocorre principalmente nas treliças e nos tirantes de madeira.
8.1. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS
Nas barras tracionadas axialmente os estados limites últimos se configuram
por ruptura das fibras na seção líquida, ou na seção bruta quando não houver furos,
com o material seguindo um comportamento elastofrágil e a condição de segurança
é expressa por
dtwn
sddt f
ANσ ,, ≤= , (8.1)
onde σt,d é a tensão solicitante de cálculo decorrente do esforço de tração; ft,d a
resistência de cálculo à tração; Awn é a área líquida da seção; Nsd o esforço normal
solicitante de cálculo.
81,
mod, ,f
kf ktdt ⋅= ,
(8.2)
sendo ftd = ft0,d para fibras com inclinação em relação ao eixo da barra; ftd = ftα,d para
fibras com inclinação em relação ao eixo da peça, com a redução da resistência
dada pela fórmula de Hankinson:
αfαsenfff
f,dt,dt
,dt,dttφφ, 2
902
0
900
cos⋅+⋅⋅
= . (8.3)
O item 10.3 da NBR 7190:1997 limita a esbeltez máxima de peças
tracionadas em λ = 173.
8.1.1. Determinação da área líquida em ligações com pinos
A área útil deve considerar a redução por furos ou entalhes na seção quando
a redução da área resistente for superior a 10% da peça íntegra. Considera-se neste
item somente as barras de seção retangular h x t (Figura 33)
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
76
Figura 33: Secção transversal de uma barra tracionada
8.1.2. Seção transversal reta:
fwwr AnAA ⋅−= , (8.4)
sendo Aw = área bruta da seção = h. t; n = número de furos da seção; Af = área de
um furo (Figura 34).
dft ⋅=fA . (8.5)
+
=pregosparad
afocomparafusosparammddf
,lg,5,0
Figura 34: Secção transversal reta
No caso do exemplo de ligação da Figura 35, o número n de Af a ser
descontado da área bruta Aw da seção tracionada será:
fswn nAAA −= ,
ff dtA ⋅= .
para s ≥ 4d, n = 2, para s < 4d, n = 3,
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
77
sendo s = espaçamento entre furos ao longo das fibras da madeira; d = diâmetro do
pino metálico; n = número de furos a serem considerados na redução da seção bruta
da peça tracionada; Awn = área líquida ou útil da seção; Aw = área bruta da seção e
Af = área da projeção de um furo.
Figura 35: Critério da norma norte americana NDS-2005 para cálculo da área líquida de peça
tracionada. Fonte: PFEIL (2003)
8.2. ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO
Além das verificações das deformações da estrutura completa, recomenda-se
limitar a esbeltez da peça tracionada correspondente ao comprimento máximo de 50
vezes a menor dimensão da seção transversal:
173125012t/
50trLλmáx ≅=== , (8.8)
Evita-se, com esta limitação, o aparecimento de vibrações excessivas em
consequência de ações transversais não previstas no dimensionamento da barra.
8.3. EXEMPLO 8.3.1. Verificação da secção útil linha de tesoura (continua no Exemplo 13.7.3)
A linha de uma tesoura está submetida ao esforço solicitante de cálculo Nsd =
50 kN, considerando uma situação duradoura de projeto, verifique se a seção 7,5 cm
x 10 cm atende a este esforço (Figura 36), considerando: conífera classe C-30;
carregamento de longa duração; classe 4 de umidade; peças de 2ª categoria;
parafusos de diâmetro 12,5 mm com tensão de escoamento fy = 250 MPa.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
78
Nsd Nsd
2,5 cm
5 cm
10 5 5 5 10
2,5 cm
3,75 cm
3,75 cm
7,50 cm
Figura 36: Esquema da ligação
Solução:
( )( )( ) 0,450,8.0,8.0,7.k.kkk mod3mod2mod1mod ≅==
MPa9,641,4300,45
γf
.kffwc
kc0,moddc0,dt0, ====
mm130,512,5mm0,5ddf =+=+= 2
ff 75,93,15,7dtA cm=×=⋅=
Seção reta
( ) ( ) 25,5575,92105,7 cmAAA fww =⋅−⋅=−=
MPafMPaAN
dtwn
sddt 64,90,9
5,5550
,0,0 =≤===σ
8.3.2. Verificação do banzo inferior de uma tesoura
O detalhe da figura representa a ligação entre o banzo superior e inferior,
chamada ligação de extremidade, para uma treliça de Jatobá (Figura 37). Os
esforços normais de cálculo nas peças estão identificados a seguir. Pede-se a
verificação do estado limite último para a barra tracionada da ligação de
extremidade. Considerar carregamento de longa duração, a madeira de 2a categoria,
a classe de umidade do local da construção é 2 e as cargas permanentes são de
grande variabilidade. fc0,m = 93,3 MPa ; Esforços Barra 1-10: Ngk = + 2.386 daN
(perm.); Nqk = + 1.235 daN (vento); θ = 23º. Resposta: σt0,d = 85,9 daN/cm2 ≤ ft0,d =
261 daN/cm2 OK!
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
79
viga de concreto
N1-2
3 cm
11 cm
c=10 cm
12
6 cm N1-10
12
θ
6 cm
Figura 37: Detalhe do nó da ligação
9. DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS COMPRIMIDAS
9.1. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS
Nas barras comprimidas axialmente os estados limites últimos se configuram
pelo esmagamento das fibras, como nas barras denominadas de curtas, ou por
instabilidades associadas a efeitos de segunda ordem provocados por flambagem
típica de Euler, também conhecida como flambagem por flexão, no caso das peças
esbeltas e semiesbeltas.
O índice de esbeltez de barra de barra comprimida é definido por
min
0
rL
=λ , (9.1)
onde λ é o índice de esbeltez; L0 é o comprimento de flambagem; rmín é o raio de
giração mínimo.
O comprimento de flambagem L0 é igual ao comprimento efetivo da barra, não
se permitindo reduções em peças com extremidades indeslocáveis, no caso de
peças engastadas em uma extremidade e livres na outra à L0 = 2L
9.1.1. Peças curtas: λ≤ 40
Uma peça é denominada de curta quando apresenta índice de esbeltez
menor ou igual a 40. A forma de ruptura caracteriza-se por esmagamento da
madeira e a condição de segurança da NBR 7190:1997 é expressa por:
dcW
ddc f
AN
,0,0 ≤=σ , (9.2)
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
80
onde σc0,d é a tensão de cálculo devida à solicitação dos esforços de compressão;
Aw é a área bruta da seção transversal; Nsd o esforço normal solicitante de cálculo;
fc0,d é a resistência de cálculo aos esforços de compressão paralela às fibras.
9.1.2. Peças semiesbeltas: 40 < λ ≤ 80
A forma de ruptura das peças medianamente esbeltas pode ocorrer por
esmagamento da madeira ou por flexão decorrente da perda de estabilidade.
A NBR 7190:1997 não considera, para peças medianamente esbeltas, a
verificação de compressão simples, sendo exigida a verificação de flexocompressão
no elemento mesmo para carga de projeto centrada. É um critério que estabelece a
consideração de possíveis excentricidades na estrutura, não previstas no projeto. A
verificação deve ser feita isoladamente nos planos de rigidez mínima e de rigidez
máxima do elemento estrutural.
A condição de segurança relativa ao estado limite último de instabilidade
impõe a relação para o ponto mais comprimido da seção transversal, aplicada
isoladamente nos planos de rigidez mínima e máxima do elemento estrutural.
1,0,0
≤+dc
Md
dc
Nd
ffσσ , (9.3)
sendo: σNd é o valor de cálculo da tensão de compressão devida à força normal de
compressão e σMd é o valor de cálculo da tensão de compressão devida ao
momento fletor Md , calculado pela excentricidade ed prescrita pela norma.
σnd é definido como sendo o valor de cálculo da tensão devido ao esforço
normal de compressão w
sd
AN .
σMd é definido como sendo o valor de cálculo da tensão de compressão
devido ao momento fletor WM d , expresso por
ddd eNM ⋅= , (9.5) onde ed é definida como sendo a excentricidade de cálculo expressa por
−
=dE
Ed NN
Nee 1 , (9.6)
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
81
e e1 é a excentricidade de primeira ordem, expressa por
ai eee +=1 , (9.7) sendo ea uma excentricidade acidental em virtude das imperfeições geométricas da
barra, com valor máximo dado por
303000 hLea ≥= ,
(9.8)
e ei uma excentricidade decorrente dos valores de cálculo M1d e Nd;
301 h
NdMe d
i ≥= . (9.9)
h é a altura seção transversal na direção referente ao plano de verificação.
Figura 38: Peça comprimida
NE é a força crítica de Euler expressa por
20
,2
LIE
N efcoE
⋅=
π,
(9.10)
sendo I o momento de inércia da seção transversal da peça relativo ao plano de
flexão em que se está verificando a condição de segurança.
9.1.3. Peças esbeltas: λ > 80
A forma de ruptura das peças esbeltas ocorre por flexão causada pela perda
de estabilidade lateral. Neste caso, a condição de segurança relativa ao estado
limite último de instabilidade impõe a relação
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
82
1,0,0
≤+dc
Md
dc
Nd
ffσσ
, (9.11)
definindo-se
−
⋅=dE
Eefdd NN
NeNM ,1 , (9.12)
onde e1ef é a excentricidade efetiva de 1a ordem, expressa por
caicef eeeeee ++=+= 1,1 , (9.13) ea é a excentricidade acidental mínima com valor ≥ h/30 ou L0/300; ec é a
excentricidade suplementar de primeira ordem que representa a fluência da madeira,
expressa por
( ) ( )( )( )[ ]
−
Ψ+Ψ+−
Ψ+Ψ+Φ+= 1exp
21
21
qkgkE
qkgkaigc NNN
NNeee ,
(9.14)
121 ≤Ψ+Ψ , com ψ1 e ψ2 da tabela Tabela 14.
gd
dgig N
Me ,1≤
Ngk e Nqk são valores característicos da força normal devidos às cargas permanentes
e variáveis, respectivamente; M1g,d é o valor de cálculo do momento fletor devido
apenas às ações permanentes; Φ é o coeficiente de fluência relacionado às classes
de carregamento e de umidade, exposto na Tabela 17.
Tabela 17: Coeficientes de fluência Φ
Classes de Umidade Classes de Carregamento 1 e 2 3 e 4 Permanente ou de Longa Duração 0,8 2,0 Média Duração 0,3 1,0 Curta Duração 0,1 0,5
9.2. EXEMPLOS 9.2.1. Verificação de barra esbelta retangular
Verificar, para a combinação última normal, se a barra do banzo da treliça de
comprimento de flambagem L0 = 169 cm e com secção transversal de 6 cm x 16 cm
(Figura 39), construída em local de classe de umidade 1, é suficiente para resistir a
uma solicitação devida à carga permanente de grande variabilidade de -2400 daN, à
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
83
carga de vento de pressão de -564 daN. A madeira usada é uma folhosa de classe
C60 e sem classificação visual.
16
6 Figura 39 : Secção transversal do banzo de treliça
Inicialmente, determinar-se-ão as combinações últimas normais de cálculo
das ações às quais o banzo está submetido. A norma NBR 7190:1997 define a
combinação última normal pela Eq.
∑++=
==∑ kQjoj
n
jKQQkgigi
m
id FFFF ,
2,1,
1
ψγγ
Para as ações apresentadas, existe somente uma ação variável, a qual será
considerada principal. Não existe ação variável secundária. Para a situação normal
de projeto, os coeficientes de majoração da ação permanente de grande
variabilidade são γG = 1,4, e da ação variável γQ = 1,4. A ação do vento é a principal
e de curta duração, portanto ela pode ser multiplica por um coeficiente de redução
de 0,75. Assim sendo, a ação ao qual o banzo está submetido é de
( ) ( )( ) daNFd 39525644,175,024004,1 −=−+−= .
É necessário calcular as propriedades mecânicas da madeira. Para isso,
sabe-se que a madeira é maciça e de classe C60. A resistência de cálculo à
compressão paralela às fibras é dada por
c
kcdc
fkf
γ,0
mod,0 = ,
sendo kmod dado por
3mod,2mod,1mod,mod kkkk ⋅⋅= . kmod,1 é função da ação variável principal e classe de carregamento, kmod,2 é função
da classe de umidade e tipo de material e kmod,3 é devido à categoria da madeira.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
84
A classe de carregamento para a combinação última normal é sempre considerada
de longa duração, portanto kmod,1 = 0,70. Para obras em madeira serrada e inseridas
em locais com classe de umidade 1, kmod,2 = 1,0. Madeira sem classificação visual é
considerada de 2ª categoria, portanto kmod,3 = 0,8.
( ) ( ) ( ) 56,08,00,17,0mod =⋅⋅=k . A madeira classe C 60 apresenta fc0,k = 600 daN/cm2 e γc = 1,4. Assim sendo,
2
2
,0 2404,1
60056,0
cmdaNcm
daN
f dc ==
O módulo de elasticidade efetivo é dado por
22,,0 13720024500056,056,0cmdaN
cmdaNEE mcoefc =
==
A fim de se determinar o critério de segurança a ser empregado para a
verificação da segurança da peça comprimida, deve ser calculado o índice de
esbeltez da mesma nas duas direções, visto que, segundo a NBR 7190:1997, a
verificação deve ser feita nas duas direções independentemente.
rL fl=λ ,
AIr = .
Os momentos de inércia nas direções x e y são dados por
12
3hbI ⋅= ,
( ) 43
204812166 cmcmcmI x =
⋅= .
( ) 43
28812
616 cmcmcmI y =⋅
=
Os raios de giração em torno das direções x e y são dados por
cmcm
cmAIr x
x 62,496
20482
4
=== e
cmcmcm
AI
r yy 73,1
96288
2
4
=== .
Os índices de esbeltez são
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
85
6,3662,4
169===
cmcm
rL
x
flxλ e
7,9773,1
169===
cmcm
rL
y
flyλ .
Assim sendo, em torno do eixo x, o banzo é considerado uma peça curta e
em torno do eixo y é considerado esbelto 807,97 >=yλ .
Verificando a segurança em torno do eixo x, tem-se que
dcdc f ,0,0 ≤σ .
AFd
dc =,0σ
22,0 17,4196
3952cmdaN
cmdaN
dc ==σ .
22,0 24017,41cmdaN
cmdaN
dc ≤=σ .
A segurança é atendida em torno do eixo x, porém é necessário verifica-la em
torno do eixo y. Em torno desse eixo, como a peça é considerada esbelta, a
condição de segurança é dada por:
1,0,0
≤+dc
Md
dc
Nd
ffσσ
,
onde
AFd
dc =,0σ ,
IyM d
dc⋅
=,0σ ,
−
⋅=dE
Eefdd NN
NeNM ,1 e
caicef eeeeee ++=+= 1,1 .
A tensão normal devida ao esforço axial já foi calculada anteriormente e é
2,0 17,41cmdaN
dc =σ .
É necessário calcular as tensões normais devidas à flexão oriunda da
excentricidade. A carga crítica de Euler é dada por
2
2
flE L
EIN π= ,
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
86
( )( )
daNcm
cmcmdaN
N E 4,13654169
288137200
2
42
2
=
=π
.
Os valores das excentricidades a serem consideradas são
ei = 0
ea = L0/300 = 0,56 cm
( )( )1eeee caigc −+=
( )[ ]( )[ ]qkgkE
qkgk
NNFNN
c⋅++−
⋅++=
21
21
ψψψψφ
( )[ ]( )[ ] 18,0
5642,002400136545642,0024008,0
=⋅++−
⋅++=c
11,0=ce cme ef 67,011,056,00,1 =++=
cmdaNM d ., 3726395213654
136546703952 =
−⋅=
239cmdaN
Md =σ
A verificação da segurança em torno do eixo y, dada pela relação abaixo,
mostra que o banzo está seguro.
133,024039
24041
<=+
9.2.2. Verificação de pilar curto de secção retangular
Qual a força máxima acidental que pode ser aplicada no pilar de peroba rosa
da Figura 40 em situação normal de projeto, sabendo que a força permanente vale
Ngk = 16.000 daN? Considere que a extremidade superior do pilar está impedida de
se deslocar nas direções x e y, a madeira é usual, a classe de umidade do local da
construção é 2 e as cargas permanentes são de grande variabilidade. fc0,k = 295
daN/cm2 (peroba rosa)
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
87
Nk
L =
170
cm
15 cm20
cm
x
y
Figura 40: Pilar de peroba rosa
O critério de segurança a ser empregado para a verificação da segurança de
peças comprimidas é determinado em função do índice de esbeltez das mesmas. E
a verificação da segurança, segundo a NBR 7190:1997, deve ser efetuada nas duas
direções independentemente. Assim sendo, devem ser calculados, inicialmente, os
índices de esbeltez em torno do eixo x e y, sendo estes expressos por:
rL fl=λ ,
AIr = .
Os momentos de inércia nas direções x e y, respectivamente, são dados por:
12
3hbI ⋅= ,
( ) 43
1000012
2015 cmcmcmI x =⋅
= .
( ) 43
562512
1520 cmcmcmI y =⋅
= .
Os raios de giração em torno das direções x e y são dados por
cmcmcm
AIr x
x 77,5300
100002
4
=== e
cmcmcm
AI
r yy 33,4
3005625
2
4
=== .
Os índices de esbeltez são
5,2977,5
170===
cmcm
rL
x
flxλ e
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
88
3,3933,4
170===
cmcm
rL
y
flyλ .
Em torno dos dois eixos, a peça é considerada curta, pois 40<λ . O critério
de segurança para peça curta é
dcdc f ,0,0 ≤σ , sendo
AFd
dc =,0σ .
O esforço de cálculo para situação normal de projeto, para estado limite último, é
dado por
[ ]FFFF kQjkQQ
m
kGiGid
n
jj
i,,1,
20
1∑∑
==
++= ψγγ ,
sendo que a ação permanente de grande variabilidade é Ngk = 16.000 daN e o
coeficiente de ponderação correspondente é γg = 1,4 para a combinação normal. A
ação variável máxima deve ser determinada, sendo o coeficiente de ponderação
para ação variável igual a (γq = 1,4).
NNN qkqgkgd γγ +=
( )( ) ( )NN qkd daN 4,1160004,1 += .
A resistência de cálculo à compressão paralela às fibras é dada por :
c
kcodco
fkf
γ,
mod, = ,
sendo 3mod,2mod,1mod,mod .. kkkk = . Para madeira serrada e carregamento de longa
duração (para situação normal de projeto, o carregamento é sempre considerado de
longa duração), 7,01mod, =k ; para madeira serrada e classe de umidade igual a 2,
0,12mod, =k e para madeira de 2a categoria (não submetida a ensaio específico),
8,03mod, =k . Logo,
( )( )( ) 56,08,00,17,0mod ==k .
Dessa forma
22
, /1184,1
/29556,0 cmdaNcmdaNf dco =⋅= .
Aplicando-se o critério da NBR 7190:1997, tem-se:
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
89
2300)000.16(4,1
,0 cmNdaN
AN qkd
dc
+⋅==σ ,
fdcdc ,0,0
≤σ ,
2daN/cm118300
)16000(4,1≤
+⋅ qkN,
daN7,9285≤qkN . A carga acidental característica máxima é 9285,7 daN.
9.2.3. Verificação de pilar de seção transversal retangular
Verificar a estabilidade global do pilar de peroba rosa da Figura 41 para a situação
normal de projeto, sabendo que a ação permanente vale Ngk = 2080 daN e a ação
variável causada pelo efeito do vento vale Nqk = 520 daN. Para a situação normal de
projeto, a ação variável principal sempre é considerada de longa duração, a madeira
é usual, a classe de umidade do local da construção é 2 e as cargas permanentes
são de grande variabilidade. A resistência e a rigidez da madeira conhecidas para a
peroba rosa são: fc0,k = 295 daN/cm2 ; Ec0,m12% = 146.740 daN/cm2.
(a) Vista lateral do pilar (b) Seção transversal do pilar
Figura 41: Pilar de peroba rosa com seção 7,5 cm x 15 cm
O critério de segurança a ser empregado para a verificação da segurança de
peças comprimidas é determinado em função do índice de esbeltez das mesmas. E
a verificação da segurança, segundo a NBR 7190:1997, deve ser efetuada nas duas
direções independentemente. Assim sendo, devem ser calculados, inicialmente, os
índices de esbeltez em torno do eixo x e y, sendo estes expressos por:
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
90
rL fl=λ ,
AIr = .
Os momentos de inércia nas direções x e y, respectivamente, são dados por:
12
3hbI ⋅= ,
( ) 43
4,210912
155,7 cmcmcmI x =⋅
= .
( ) 43
4,52712
5,715 cmcmcmI y =⋅
= .
Os raios de giração em torno das direções x e y são dados por
cmcmcm
AI
r xx 33,4
5,1124,2109
2
4
=== e
cmcmcm
AI
r yy 16,2
5,1124,527
2
4
=== .
Os índices de esbeltez são
9,3633,4
160===
cmcm
rL
x
flxλ e
1,7416,2
160===
cmcm
rL
y
flyλ .
Logo, em torno do eixo x, a peça é considerada curta visto que 0 < λ ≤ 40 e,
em torno do eixo y, a peça é considerada semiesbelta por 40 < λ ≤ 80. Portanto, a
verificação do estado limite último em relação ao eixo x é feita pela condição
dcodco f ,, ≤σ , na qual
.A
NdNd =σ
A verificação em torno do eixo y é feita pela condição
1,0,0
≤+ff
dc
Md
dc
Nd σσ ,
estabelecida na Seção 9.1.2.
Iniciar-se-ão os cálculos a partir da determinação dos esforços de cálculo a
partir da Eq. (6.1) da combinação última normal, na qual são consideradas as ações
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
91
permanentes e de vento atuando simultaneamente. Não existe ação variável
secundária.
∑++=
==∑ kQjoj
n
jKQQkgigi
m
id FFFF ,
2,1,
1
ψγγ
Da Tabela 11, considerando o peso próprio da madeira como apresentando
grande variabilidade, combinação última normal e efeito desfavorável da ação, o
coeficiente de ponderação da ação permanente é γG = 1,4. Da Tabela 13,
considerando combinação última normal e a ação variável em geral, o coeficiente de
ponderação para a ação variável é γQ = 1,4. Visto que a ação variável principal é de
curta duração e na combinação última normal a ação variável principal sempre é
considerada de longa duração, efetua-se a redução da ação variável principal
multiplicando-a por 0,75. Portanto
( ) ( )( ) daNdaNN d 34585204,175,0daN20804,1 =+= .
A resistência de cálculo à compressão paralela às fibras é dada pelas
Equações. 4.18 e 4.19. Para resistência à compressão, 4,1=wγ . A madeira usada
na construção é serrada e a classe do carregamento é de longa duração,
7,01mod =k ; a classe de umidade do local de inserção da obra é 2, logo 0,12mod =k .
A madeira serrada é uma folhosa e não sofreu classificação visual e ou mecânica,
portanto ela é classificada como sendo de 2ª categoria, resultando em 8,03mod =k .
Tem-se que
56,08,00,17,0mod =××=k .
A resistência característica à compressão paralela às fibras da peroba rosa é
fc0,k = 295 daN/cm2. Logo
w
kcdc
fkf
γ,0,
mod,0, = ,
2,0, 0,1184,1
29556,0cmdaNdaNf dc == .
Módulo de elasticidade médio à compressão paralela às fibras é Ec0,m = 14674
MPa, portanto o módulo de elasticidade efetivo à compressão paralela às fibras é
dado por
22, 4,8217414674056,0cmdaN
cmdaNE efco =
= .
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
92
A verificação do elemento estrutural para o estado limite último em relação
ao eixo x, peça curta, tem-se dcodco f ,, ≤σ , na qual a tensão normal atuante na
tensão transversal devida à força axial normal é
( )( ) 27,30155,7
3458cmdaN
cmcmdaN
ANd
Nd ===σ .
A resistência de cálculo à compressão paralela às fibras é 2, 0,118cmdaNf dco = ,
logo
2,2 0,1187,30cmdaNf
cmdaN
dcoNd =≤=σ ,
satisfazendo o critério de estabilidade para peças comprimidas da NBR 7190:1997.
A verificação do estado limite último em relação ao eixo y, para peça
semiesbelta é feita segundo a expressão abaixo
1,0,0
≤+ff
dc
Md
dc
Nd σσ ,
sendo
IxM
y
cdMd
.=σ ,
dd eNM d⋅= ,
−=
dE
Ed NN
Nee 1 ,
1 ai eee += .
ei é a excentricidade inicial e ea é a excentricidade acidental.
301 h
NMe
d
di ≥= ,
sendo h a altura da seção transversal referente ao plano de verificação. h é
perpendicular ao eixo y.
No caso em análise, M1d é nulo, pois a força de compressão inicial está
centrada na seção do pilar. cmcmhei 25,0305,7
300 ==≥=
ea é dada por
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
93
cmcmhcmcmLe y
a 25,0305,7
3053,0
300160
3000 ==≥===
A carga crítica de Euler é dada por
daNcm
cmL
IEN
oy
yefcE 3,16705
1603,527.N/cm.82174,4da
22
222
2,0
2
===ππ
A excentricidade é calculada com sendo
e1 = ei + ea = 0,25 cm + 0,53 cm = 0,78 cm
cmdaNdaN
daNcmNN
NeeNN
NeedE
Eai
dE
Ed 98,0
34583,167053,16705).78,0().( 1 =
−
=
−=
−= +
Momento fletor de segunda ordem, para eixo curvado da peça é
Md = Nd . ed = 3458 daN . 0,98 cm = 3388,8 daN.cm.
As tensões normais devidas ao esforço de compressão e ao momento fletor são
dadas por:
2/7,30)5,7.15(
3458 cmdaNcmcm
daNANd
Nd===σ ,
24 /1,24
3,5272/5,7.8,3388. cmdaN
cmcmcmxdaN
IxM
y
cdMd
===σ
Substituindo as tensões normais devidas ao esforço de compressão e ao
momento fletor na equação que exprime a condição de segurança, tem-se:
146,0/0,118
/1,24/0,118/7,30
2
2
2
2
,0,0
>=+=+cmdaN
cmdaNcmdaNcmdaN
ffdc
Md
dc
Nd σσ
O critério de estabilidade para peças comprimidas da NBR 7190:1997, em
torno do eixo y também é satisfeita. Portanto, como os critérios de estabilidade de
peças submetidas à compressão paralela às fibras em torno dois eixos x e y foram
satisfeitos, pode-se dizer que o pilar está seguro para esta solicitação.
9.2.4. Verificação de pilar de seção quadrada
Verificar, para a situação normal de projeto, o pilar de peroba rosa da Figura
42, sabendo que a ação permanente vale Ngk = 2080 daN e a ação variável causada
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
94
pelo efeito do vento vale Nqk = 520 daN. Considere que a extremidade superior do
pilar tem deslocamento impedido nas direções x e y, a madeira é usual sem
qualquer classificação, a classe de umidade do local da construção é 2 e as cargas
permanentes são de grande variabilidade. A resistência e a rigidez da madeira são:
fc0,k = 295 daN/cm2, Ec0,m = 146.740 daN/cm2, respectivamente.
7,5 cm7,5
cm
L =
1,6
m
Nk
Figura 42: Pilar de peroba rosa
O critério de segurança a ser empregado para a verificação da segurança de
peças comprimidas é determinado em função do índice de esbeltez das mesmas. E
a verificação da segurança, segundo a NBR 7190:1997, deve ser efetuada nas duas
direções independentemente. Porém, como secção transversal do pilar é quadrada e
apresenta a mesma vinculação nos planos xz e yz, é suficiente efetuar a segurança
somente uma vez. Assim sendo, deve ser calculado, inicialmente, o índice de
esbeltez expresso por:
rL fl=λ ,
AIr = .
Os momentos de inércia nas direções x e y, respectivamente, são dados por:
12
3hbI ⋅= ,
( ) 43
7,26312
5,75,7 cmcmcmI x =⋅
= .
O raio de giração em torno de x é dado por
cmcmcm
AIr x
x 16,225,567,263
2
4
=== e
O índice de esbeltez do pilar nas duas direções é
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
95
9,7316,2
160===
cmcm
rL
x
flxλ .
Logo, a peça é considerada medianamente esbelta, pois 8040 ≤< xλ . O critério de
segurança a ser usado é o de peça medianamente esbelta.
1,0,0
≤+dc
Md
dc
Nd
ffσσ
,
onde
AFd
dc =,0σ
IyM d
dc⋅
=,0σ .
ddd eNM ⋅= .
−
=dE
Ed NN
Nee 1
ai eee +=1
O esforço de cálculo para situação normal de projeto, para estado limite
último, é dado por
[ ]FFFF kQjkQQ
m
kGiGid
n
jj
i,,1,
20
1∑∑
==
++= ψγγ ,
sendo que a ação permanente de grande variabilidade é Ngk = 3458 daN e o
coeficiente de ponderação correspondente é γg = 1,4 para a combinação normal. A
ação variável causada pela ação do vento Nqk = 520 daN tem o coeficiente de
ponderação igual a γq = 1,4, porém como é uma ação de curta duração e atua como
ação preponderante (ou principal) deve ser multiplicada por 0,75,.
NNN qkqgkgd γγ ⋅+= 75,0
( )( ) ( )( )daNdaNNd 5204,175,020804,1 ⋅+= .
daNNd 3458= .
A resistência de cálculo à compressão paralela às fibras é dada por
c
kcodco
fkf
γ,
mod, = ,
onde 3mod,2mod,1mod,mod .. kkkk = . Para madeira serrada e carregamento de longa duração
(para situação normal de projeto, o carregamento é sempre considerado de longa
duração), 7,01mod, =k ; para madeira serrada e classe de umidade igual a 2,
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
96
0,12mod, =k e para madeira de 2a categoria (não submetida a ensaio específico),
8,03mod, =k . Logo,
( )( )( ) 56,08,00,17,0mod ==k .
Dessa forma
22
, /1184,1
/29556,0 cmdaNcmdaNf dco =⋅= .
E o módulo de elasticidade efetivo à compressão paralela às fibras é dado por:
mcoefco EkE ,mod, ⋅= .
22, 8217414674056,0cmdaN
cmdaNE efco =
⋅= .
Para calcular as tensões normais devidas à flexão oriunda da excentricidade
é necessário calcular a excentricidade de cálculo, a qual é função da carga crítica de
Euler é dada por
2
2
flE L
EIN π= ,
( )( )
daNcm
cmcmdaN
N E 2,8354160
7,26382174
2
42
2
=
=π
As excentricidades a serem consideradas são: ei, excentricidade inicial, e ea,
a excentricidade acidental. A excentricidade inicial é dada por
.1
d
di N
Me =
Para casos em que não é projeto de barra de treliça biarticulada, deve ser adotado
um valor mínimo dado por
30hei ≥ ,
sendo h é a altura da seção transversal referente ao plano de verificação. No
presente caso, M1d é nulo, pois não existe momento aplicado, porém a
excentricidade mínima deve ser atendida. Dessa forma
cmcmhei 25,0305,7
30=== .
A excentricidade acidental é dada por
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
97
cmcmLea 53,0300
160300
0 === ,
a qual deve atender a condição de excentricidade mínima acidental dada por
cmhea 25,030
=≥ .
cmcmcmeee ai 78,053,025,01 =+=+= .
A excentricidade de cálculo é dada por
−
=dE
Ed NN
Nee 1 ,
cmdaNdaN
daNcmed 33,134582,8354
2,835478,0 =
−
= .
( ) ( ) cmdaNcmdaNM d .14,459933,13458 =⋅= .
De posse das solicitações internas, determinam-se as tensões devidas ao esforço
axial e ao momento oriundo da excentridade.
( )2
2 /5,615,7
3458 cmdaNcmdaN
AN d
Nd===σ ,
( )24 4,65
7,2632
5,714,4599.
cmdaN
cm
cmdaNcm
IyM
x
dMd
=
==σ
1,0,0
≤+ff
dc
Md
dc
Nd σσ
108,1118
4,65
118
5,61
2
2
2
2>=+
cmdaNcmdaN
cmdaNcmdaN
Não atende ao critério de segurança. Para que a coluna atenda o critério de
segurança da norma brasileira é preciso aumentar a seção transversal.
9.2.5. Verificação de pilar esbelto de secção retangular
Verificar a segurança, para situação normal de projeto, do pilar de peroba
rosa engastado-rotulado nos planos xz e yz e submetido às cargas ilustradas na
Figura 43. Considerar a madeira usual, a classe de umidade do local da construção
é 2 e as cargas permanentes são de grande variabilidade. A resistência e a rigidez
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
98
da madeira são: fc0,k = 295 daN/cm2; Ec0,m = 146740 daN/cm2; respectivamente. Ngk =
1300 daN (ação permanente); Nqk = 340 daN (ação variável devida ao uso).
x
y
L =
200
cm
16 c
m
6 cm
Nk = Ngk + Nqk
Figura 43: Pilar de peroba rosa
O critério de segurança a ser empregado para a verificação da segurança de
peças comprimidas é determinado em função do índice de esbeltez das mesmas. E
a verificação da segurança, segundo a NBR 7190:1997, deve ser efetuada nas duas
direções independentemente. Assim sendo, devem ser calculados, inicialmente, os
índices de esbeltez em torno do eixo x e y, sendo estes expressos por:
rL fl=λ ,
AIr = .
Os momentos de inércia nas direções x e y, respectivamente, são dados por:
12
3hbI ⋅= ,
( ) 43
204812166 cmcmcmI x =
⋅= .
( ) 43
28812
616 cmcmcmI y =⋅
= .
Os raios de giração em torno das direções x e y são dados por
cmcmcm
AIr x
x 61,496
20482
4
=== e
cmcmcm
AI
r yy 73,1
96288
2
4
=== .
Os índices de esbeltez são
4,4361,4
200===
cmcm
rL
x
flxλ e
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
99
6,11573,1
200===
cmcm
rL
y
flyλ .
Logo, em torno do eixo x, o pilar é considerado medianamente esbelto, pois
8040 ≤< xλ e, em torno do eixo y, é considerado esbelto, pois 14080 ≤< xλ .
O critério de segurança tanto na direção x quanto na direção y é dado por
1,0,0
≤+ff
dc
Md
dc
Nd σσ .
A NBR 7190:1997 prescreve que a segurança deve ser verificada nas duas
direções independentemente. Neste exemplo, será ilustrada somente a verificação
em torno do eixo y devendo o aluno efetuar a verificação da segurança em torno do
eixo x, para o critério de peça medianamente esbelta, como atividade domiciliar.
Para a verificação em torno do eixo y (critério de peça esbelta),
−
=dE
Eefdd NN
NeNM ,1. ,
onde NE é a carga crítica de Euler ; e1,ef é excentricidade efetiva.
O esforço de cálculo para situação normal de projeto, para estado limite
último, é dado por
[ ]FFFF kQjkQQ
m
kGiGid
n
jj
i,,1,
20
1∑∑
==
++= ψγγ ,
sendo que a ação permanente de grande variabilidade é Ngk = 1300 daN e o
coeficiente de ponderação correspondente é γg = 1,4 para a combinação normal. A
ação variável causada pela ação do vento Nqk = 340 daN tem o coeficiente de
ponderação igual a γq = 1,4.
NNN qkqgkgd γγ +=
( ) ( )daNdaNN d 3404,113004,1 += .
daNNd 2296= .
A resistência de cálculo à compressão paralela às fibras é dada por
c
kcodco
fkf
γ,
mod, = ,
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
100
onde 3mod,2mod,1mod,mod .. kkkk = . Para madeira serrada e carregamento de longa duração
(para situação normal de projeto, o carregamento é sempre considerado de longa
duração), 7,01mod, =k ; para madeira serrada e classe de umidade igual a 2,
0,12mod, =k e para madeira de 2a categoria (não submetida a ensaio específico),
8,03mod, =k . Logo,
( )( )( ) 56,08,00,17,0mod ==k .
Dessa forma
22
, /1184,1
/29556,0 cmdaNcmdaNf dco == .
O módulo de elasticidade efetivo à compressão paralela às fibras é dado por
mcoefco EkE ,mod, ⋅= .
22, 8217414674056,0cmdaN
cmdaNE efco =
= .
Para calcular as tensões normais devidas à flexão oriunda da excentricidade,
é necessário calcular a excentricidade de cálculo, a qual é função da carga crítica de
Euler. Como a vinculação nas duas direções é a mesma, a carga critica de Euler
será obtida com o menor momento de inércia.
2
2
flE L
EIN π= ,
( )( )
daNcm
cmcmdaN
N E 4,5839200
28882174
2
42
2
=
=π
As excentricidades a serem consideradas são: ei, excentricidade inicial; ea, a
excentricidade acidental e a excentricidade devida à fluência ec. A excentricidade
inicial é dada por
d
dd
d
di N
MMN
Me qg ,1,1,1 +== ,
M1g,d é o valor de cálculo do momento fletor devido às ações permanentes; M1q,d é o
valor de cálculo do momento fletor devido às ações variáveis. Para casos em que ei
é diferente de zero, deve ser adotado um valor mínimo dado por
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
101
30hei ≥ ,
sendo h é a altura da seção transversal referente ao plano de verificação. No
presente caso, M1d é nulo, pois não existe momento aplicado, porém a
excentricidade mínima deve ser atendida. Dessa forma
cmcmhei 20,030
630
=== .
A excentricidade acidental é dada por
cmcmLea 67,0300
200300
0 === ,
a qual deve atender a condição de excentricidade mínima acidental dada também
por cmhea 25,030
=≥ .
A excentricidade devida à fluência é dada por
( ){ }1−+= caigc eeee com
( )[ ]( )[ ]qkNgkNN
qkNgkNcE 21
21ψψ
ψψφ++−
++= ,
gd
gg N
Me d,1
i = ,
sendo ψ ψ1 2 1+ ≤ ; Ngk valor característico da força normal devida às cargas
permanentes (sem a majoração); Nqk valor característico da força normal devida às
cargas variáveis. Para a classe de umidade 2 e carregamento de longa duração,
8,0=φ . Para as ações variáveis, 3,01 =ψ e 2,02 =ψ .
( )[ ]( )[ ] 27,0
2121 =
++−++
=qkNgkNEF
qkNgkNcψψ
ψψφ
( ){ } { } cm21,01e)67,00(1eeee 27,0caigc =−+=−+=
A excentricidade efetiva é dada por
cmcmcmcmeeee caief 08,121,067,020,0,1 =++=++= .
A excentricidade de cálculo é dada por
−
=dE
Ed NN
Nee 1
cmdaNdaN
daNcmed 78,122964,5839
4,583908,1 =
−
= .
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
102
( ) ( ) cmdaNcmdaNM d .88,408678,12296 =⋅= .
De posse das solicitações internas, determinam-se as tensões devidas ao
esforço axial e ao momento oriundo da excentricidade.
AFd
dc =,0σ
22,0 92,2396
2296cmdaN
cmdaN
dc ==σ .
( )24 57,42
2882
688,4086.
cmdaN
cm
cmdaNcm
IyM
x
dMd =
==σ .
Substituindo na equação da condição de segurança, tem-se:
105,1118
57,42
118
92,23
2
2
2
2>=+
cmdaN
cmdaN
cmdaNcmdaN
0,156,0 ≤ .
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
103
10. DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS FLETIDAS
A verificação da segurança de peças fletidas consiste nas verificações dos
estados limites últimos e dos estados limites de utilização. Nos estados limites
últimos, são verificadas as tensões normais de tração e compressão, as tensões
cisalhantes e a estabilidade lateral para vigas esbeltas. Nos estados limites de
utilização, são verificadas as deformações e vibrações limites.
10.1. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS PARA MOMENTO FLETOR
10.1.1. Flexão simples reta
Nas peças submetidas à flexão simples, o plano de incidência do
carregamento coincide com um dos eixos principais de inércia e não sofrem efeito
do esforço normal. Para peças com pelo menos um eixo de simetria, um eixo
principal de inércia coincide com o eixo de simetria.
A verificação dos estados limites últimos de esmagamento da borda
comprimida e ruptura da borda tracionada ficam garantidos respectivamente pelas
condições:
dcc
sddc f
WM
,0,0 ≤=σ e (1.1)
dtt
sddt f
WM
,0,0 ≤=σ , (1.2)
onde dc ,0σ e dt ,0σ são, respectivamente, as tensões atuantes de cálculo nas
bordas comprimida e tracionada da seção transversal considerada conforme a
Figura 44 com cW e tW correspondentes aos respectivos módulos de resistência da
seção transversal da peça, definidos por:
cc y
IW = e (1.3)
tt y
IW = , (1.4)
I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo central de inércia
perpendicular ao plano de ação do momento fletor atuante; dcf ,0 e dtf ,0 são as
resistências de cálculo à compressão e à tração paralela às fibras, respectivamente.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
104
Para cálculos das barras fletidas, adota-se para o vão teórico L o menor dos
valores definidos a seguir:
L ≤
- distância entre eixos apoiados;
- vão-livre acrescido da altura da seção transversal da peça no meio do
vão;
- não se consideram acréscimo maior que 10 cm.
d
ação deplano de
dM
yt2
c1yG
M
borda 2t2,dσ
borda 1c1,dσ
Figura 44: Tensões atuantes em peça seção T.
10.1.2. Flexão simples oblíqua
Verifica-se a condição de segurança nas peças submetidos à flexão simples
oblíqua observando-se a mais rigorosa das condições expressas a seguir:
1≤⋅+wd
MydM
wd
Mxd
fk
fσσ e
(1.5)
1≤+⋅wd
Myd
wd
MxdM ff
kσσ ,
(1.6)
onde Mxdσ e Mydσ são as tensões máximas devidas às componentes de flexão
atuantes segundo às direções principais de seção transversal da peça; wdf é a
resistência de cálculo que, conforme a borda verificada, corresponde à tração ou à
compressão; Mk é um coeficiente de correção correspondente à forma geométrica
da seção transversal considerada:
Seção Retangular: 5,0=Mk
Outras Seções: 0,1=Mk
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
105
10.1.3. Estado limite último de instabilidade lateral
A estabilidade lateral de peças fletidas deve ser verificada por teoria cuja
validade tenha sido comprovada experimentalmente.
Nas vigas de seção retangular garante-se esta verificação quando:
- os apoios de extremidade da viga impedirem a rotação de suas seções
externas em torno do eixo longitudinal da peça;
- existir um conjunto de elementos de travamento ao longo do comprimento L
da viga, afastados de uma distância menor ou igual a L1, que também impeçam a
rotação dessas seções transversais em torno do eixo longitudinal da peça;
- atender a condição
dcoM
efcoo
bb f
EbL
,
,
⋅=≤=
βλλ ,
(1.7)
onde bL é a distância entre os elementos de travamento; b é a largura da seção
transversal da viga; Mβ é um coeficiente de correção expresso por
21
23
63,026,01
−
⋅⋅=
bh
bh
wc
EM γ
βπ
β ,
(1.8)
onde h é a altura da seção transversal da viga; Eβ é um coeficiente de correção;
wcγ é um coeficiente de ponderação de resistência à compressão.
Para 4,1=wcγ e 4=Eβ , a norma explicita os valores de Mβ dados na Tabela
18.
Nas peças em que
dcoM
efcoo
bb f
EbL
,
,
⋅=>=
βλλ ,
(1.9)
devem ser satisfeitas as verificações de segurança para flexão simples reta com
valor de dc ,0σ , atendendo a
Mb
efcodc
Eβλ
σ ,,0 ≤ .
(1.10)
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
106
Tabela 18: Coeficiente de correlação Mβ
bh Mβ
1 6,0 2 8,8 3 12,3 4 15,9 5 19,5 6 23,1 7 26,7 8 30,3 9 34,0
10 37,6 11 41,2 12 44,8 13 48,5 14 52,1 15 55,8 16 59,4 17 63,0 18 66,7 19 70,3 20 74,0
10.2. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS PARA SOLICITAÇÕES TANGENCIAIS
10.2.1. Estado limite último para esforço cortante na flexão simples reta
A condição de segurança em relação às tensões cisalhantes em peças
submetidas à flexão com força cortante é expressa por
dvod f ,≤τ , (1.11) onde dτ é a máxima tensão de cisalhamento atuando no ponto mais solicitado da
peça; dvof , é a resistência ao cisalhamento paralelo as fibras.
Em vigas com seção retangular de largura b e altura h , dτ é expresso por
bhVd
d ⋅=23τ ,
(1.12)
onde dv é o esforço cortante de cálculo.
Em vigas de altura h que recebem cargas concentradas e por sua vez geram
tensões de compressão nos planos longitudinais, o calculo de dτ utiliza um valor
reduzido para o esforço cortante expresso por
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
107
havv red 2
⋅= , (1.13)
onde a é a distância do ponto de aplicação da carga ao eixo do apoio limitada por
ha 2≤ .
Em vigas cuja seção transversal sofre bruscas variações decorrentes de
entalhes (Figura 45), dτ é dado por
⋅⋅=
123
hh
bhVd
dτ , (1.14)
onde 1h é a altura da seção mais fraca, ou seja, que sofreu redução por entalhe;
1hh é um fator de amplificação para dτ , cujo valor se restringe 3
41
≤hh .
h1h
h1h
Figura 45: Variação de seção devido a entalhe (NBR 7190:1997).
Nos casos em que 34
1≤h
h , recomenda-se utilizar parafusos verticais
dimensionados à tração axial obtida pela totalidade do esforço cisalhante atuante ou
adotar variações de seção através do emprego de mísulas cujo comprimento seja
maior ou igual a três vezes a altura do entalhe, contudo, deve-se respeitar o limite
absoluto 21
≤hh .
hh1 h
3(h-h )≥
1
1
h
Figura 46: Variação de seção duplo T devido a entalhe (NBR 7190:1997).
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
108
10.2.2. Estado limite último para esforço cortante na flexão oblíqua
Recomenda-se, neste caso, determinar para o mesmo ponto as tensões
cisalhantes para cada componente de esforço cortante dxV e dyV de acordo com a
fórmula de Zuravischi, calculando em seguida a tensão tangencial resultante
tISV
x
xdydy =τ ,
(1.15)
tISV
y
ydxdx =τ e
(1.16)
22dydxd τττ += . (1.17)
10.3. ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO
10.3.1. Estados limites de deformações
10.3.1.1. Deformações limites para construções correntes
É verificado o estado limite de deformações excessivas que possam afetar a
utilização normal da construção ou seu aspecto estético.
Para as ações permanentes, as flechas podem ser compensadas por
contraflechas dadas na construção. A flecha efetiva obtida com a combinação de
ações do item 6.4.2.1 deve atender às seguintes limitações.
≤
balançodoocompriment
vãodo
fd
1001
2001
No caso de flexão oblíqua, permite-se atender os limites anteriores para cada
plano de flexão isoladamente.
10.3.1.2. Deformações limites para construção com materiais frágeis não
estruturais
É verificado o estado limite de deformações que possam causar danos aos
materiais frágeis não estruturais ligados à estrutura.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
109
As flechas totais, obtidas com a combinação de média ou curta duração (ítens
6.4.2.2 e 6.4.2.3), incluindo efeito da fluência, têm seus valores limitados por
≤balançodoocompriment
oavdo
1751
~350
1
f
As flechas que correspondem somente às ações variáveis têm seus limites
fixados em
≤
balançodoocomprimentdo
cm
oavdo
15015,1
~300
1
f
10.3.1.3. Deformações limites para construções especiais.
As deformações têm seus limites estabelecidos pelo proprietário da
construção ou por normas especiais referentes às mesmas.
10.4. ESTADOS LIMITES DE VIBRAÇÕES
Devem ser evitadas as vibrações excessivas nas estruturas através das
disposições construtivas adequadas, de modo que assegure o conforto e a
segurança dos usuários na utilização das mesmas;
Estruturas regularmente utilizadas, tais como pisos de residências e de
escritórios, deve ser obedecido o limite de frequência natural de vibração igual a 8
Hz. Em construções correntes, tal condição é satisfeita se a aplicação do
carregamento correspondente à combinação de curta duração resultar uma flecha
imediata que não exceda o valor de 1,5 cm.
10.5. EXEMPLOS 10.5.1. Dimensionamento de viga submetida à flexão simples
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
110
Uma viga biarticulada de 6 cm de largura está submetida a um carregamento
permanente distribuído de 65 daN/m e uma carga concentrada permanente de 130
daN, no ponto médio do vão de 420 cm. Calcular a altura necessária da viga,
considerando madeira da classe C40 e ações permanentes de grande variabilidade,
considerando situação duradoura de projeto, com carregamento de longa duração e
a classe de umidade igual a 2.
6
h
420
130
65
Figura 47: Viga biapoiada
Esforços atuantes: Momento fletor:
280
M : daN.m Valor característico
Cortante (função de “h”): redução na região próxima aos apoios
201,5
2h
201,5-1,3h
65
65
2h
201,5
V : daN Valores característicos
Redução da força cortante na região do apoio:
Valores de cálculo:
⋅+⋅+⋅= ∑∑
==
n
jkQjjkQQkGi
m
iGid FFFF
2,0,1,
1ψγγ
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
111
cmdaNMM dd .39200280004,1 =⇒⋅= daNdaNVd 1,2825,2014,1 =⋅=
22,0 1092001950056,0cmdaN
cmdaNE efc =
⋅=
Tensões:
( )( ) 23
3920062
1239200h
daNhcm
hcmdaNI
yM cdM d
=⋅
⋅⋅⋅=
⋅=σ
( )( ) cm77,3h
cmdaN
h5,70
hcm6daN1,282
23
bhV
23 d
Vd≥⇒===τ
Condições de segurança
w
wkdmowd
fkfγ
.,=
2,0 1604,1
40056,0cmdaNf dc =⋅=
Tensão normal
2,1,139200
hdaN
dtdc == σσ
cmhcmdaN
hdaNf dcodc 6,1516039200
22,,0 ≥⇒≤⇒≤σ
Cisalhamento
2
2
,0 7,188,1
6056,0
cmdaNcm
daN
f dv =⋅=
cmdaN
hvd5,70
=τ
2,0 7,185,70cmdaN
cmdaN
hf dvvd ≤⇒≤τ
Flecha
qgutild uuu 2, ψΣ+Σ=
gutild uu Σ=,
200483845
,0
32
,0
41 L
IELF
IELF
efc
g
efc
g ≤+
( )( )( )
( )( )( ) 200
420
12610920048
420130
126109200384
420/65,053
2
3
3
2
4 cmhcm
cmdaN
cmdaNhcm
cmdaN
cmcmdaN≤
⋅
+
⋅
⋅
cmh 94,15≥
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
112
Adota-se a maior altura encontrada, ou seja, cmh 94,15≥ .
10.5.2. Verificação de viga submetida à flexão simples
Verificar a segurança da viga de madeira serrada de 6 cm x 16 cm quanto aos
estados limites últimos e de utilização para situação normal de projeto. A viga é em
angelim pedra que será inserida em local com classe de umidade 2. Ela está
submetida a uma ação permanente g = 65 daN/m de grande variabilidade, devida ao
pelo peso próprio e o piso, e a ação variável Q = 130 daN decorrente da sobrecarga
acidental de edificações de uso residencial. O angelim pedra usado caracteriza-se
por resistência características à compressão paralela às fibras de fc0,k = 59,8 MPa e
módulo de elasticidade médio à compressão paralela às fibras Ec0,m = 12912 MPa.
O coeficiente de modificação kmod = 0,56.
BAg
Q
2,1 m 2,1 m
Serão usadas duas combinações de carregamento: uma para os estados
limites últimos das tensões normais e das tensões cisalhantes e outro para o estado
limite de utilização. A combinação para os estado limites últimos é expressa pela Eq.
6.1, enquanto que a combinação para o estado limite de utilização é dada pela Eq.
6.3. A flecha limite para construções correntes é dada por L/200 nos vãos e L/100
nos balanços, logo
cmcmlu 1,2200
420200lim === .
O princípio de superposição de efeito pode ser usado para determinar os
esforços internos na viga. A carga distribuída e a concentrada podem ser separadas
e os seus efeitos calculados separadamente, conforme ilustrado pela Figura 48.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
113
Flecha máxima: EIglumáx
4
3845
= Flecha máxima: EI
Qlumáx 48
3
=
(a) ação permanente (b) ação variável
Figura 48: Efeitos das ações permanente e variável
Para o caso em estudo, há somente uma ação permanente e uma ação
variável, a qual será considerada principal. Desse modo a Eq. 6.1 torna-se
KQQkggd FFF ,1,11 γγ += .
Para a situação normal de projeto, o coeficiente de majoração da ação
permanente de grande variabilidade é γG = 1,4, e da ação variável é γQ = 1,4. A
combinação será feita para os esforços cortantes e para os momentos fletores. Para
a seção mais solicitada, o esforço cortante devido à ação permanente é
daNVgk 5,136= e devido à ação variável é daNVQk 65= , resultando o esforço de
cálculo de
( ) ( )( ) daNdaNdaNVd 1,282654,15,1364,1 =+= .
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
114
O máximo momento fletor oriundo da ação permanente é
mdaNM kg ⋅= 325,143, enquanto que o devido à ação variável é mdaNM kQ ⋅= 5,136, ,
resultando o máximo momento fletor de cálculo é de
( ) ( )( ) mdaNmdaNmdaNM d ⋅=⋅+⋅= 76,3915,1364,1325,1434,1 .
Pela mesma razão que a combinação dos estados limites últimos, a
combinação do estado limite de utilização para uma combinação de longa duração é
simplifica, resultando
KQkgd FFF ,12,1 ψ+= ,
sendo 2ψ o fator de combinação para o estado limite de utilização para longa
duração. Para cargas acidentais em edifícios, em locais em que não há
predominância de pesos de equipamentos fixos, nem elevada concentração de
pessoas, 2,02 =ψ .Os deslocamentos serão analisados por meio da verificação das
flechas no meio do vão. Considerando o princípio da superposição dos efeitos, a
flecha é dada por
Qgutid uuu 2, ψ+= .
O valor de flechas de vigas biapoiadas é expresso pelas equações da Figura 48.
A resistência de cálculo da madeira é dada por
w
kwd
fkf
γ,
mod, = ,
mcoefc EkE ,mod,0 = , sendo kmod dado por
3mod,2mod,1mod,mod kkkk ⋅⋅= . kmod,1 é função da ação variável principal e classe de carregamento, kmod,2 é função
da classe de umidade e tipo de material e kmod,3 é devido à categoria da madeira. A
classe de carregamento para a combinação última normal é sempre considerada de
longa duração, portanto kmod,1 = 0,70. Para obras em madeira serrada e inseridas em
locais com classe de umidade 1, kmod,2 = 1,0. Madeira sem classificação visual é
considerada de 2ª categoria, portanto kmod,3 = 0,8. Consequentemente,
( ) ( ) ( ) 56,08,00,17,0mod =⋅⋅=k .
Dessa forma, o módulo de elasticidade efetivo é
( ) MPaMPaE efc 7,72301291256,0,0 ==
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
115
O momento de inércia da seção transversal em torno do eixo baricêntrico x é
12
3hbI ⋅= ,
( ) 43
204812166 cmcmcmI x =
⋅= .
A contribuição da flecha devida à ação permanente é
( ) ( )
( )cm
cmcmdaN
cmcmdaNug 78,1204872307
420100/653845
42
4
=
⋅= .
A contribuição da flecha devida à sobrecarga é
( ) ( )
( )cm
cmcmdaN
cmdaNuQ 36,1204872307
420130481
42
3
=
⋅= .
Logo
( ) cmcmcmu utid 05,236,12,078,1, =+= . cmucmu utid 10,205,2 lim, =≤= ,
satisfazendo o critério especificado pela NBR 7190:1997.
A resistência de cálculo à compressão paralela às fibras é dada por
c
kcdc
fkf
γ,0
mod,0 = .
A madeira classe C 60 apresenta fc0,k = 600 daN/cm2 e γc = 1,4. Assim sendo,
MPaMPaf dc 9,234,1
8,5956,0,0 == .
Na ausência de informações sobre a resistência à tração da madeira, pode-se
considerar que
MPaff dcdt 9,23,0,0 == .
Pela mesma razão anterior, para as folhosas, pode-se considerar que a
resistência de cálculo ao cisalhamento paralelo às fibras igual a
( ) MPaMPaff dcdv 39,29,231,010,0 ,0,0 === .
A fim de se determinar o critério de segurança a ser empregado para a
verificação da segurança da peça comprimida, deve ser calculado o índice de
esbeltez da mesma nas duas direções, visto que, segundo a NBR 7190:1997, a
verificação deve ser feita nas duas direções independentemente.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
116
rL fl=λ ,
AIr = .
A verificação dos estados limites últimos relativos às tensões normais de
tração e compressão de tangencial serão apresentadas a seguir. Primeiramente, far-
se-á a verificação da tensão normal de compressão.
dcdc f ,0,1 ≤σ .
x
cddc I
yM 1,1 =σ ,
( )( )24,1 03,153
2048810076,391
cmdaN
cmcmcmdaN
dc =⋅
=σ ,
2,02,1 23903,153cmdaNf
cmdaN
dcdc =≤=σ ,
portanto satisfaz a condição especificada pela NBR 7190:1997. O mesmo se dá para
as tensões normais de tração, visto que a seção é simétrica em relação ao eixo x.
A verificação do estado limite último para tensão de cisalhamento é efetuada
a partir de
dvdv f ,0, ≤τ .
bhVd
d ⋅=23τ ,
( )( ) 241,4166
10,28223
cmdaN
cmcmdaN
d =⋅=τ ,
2,02 9,2341,4cmdaNf
cmdaN
dvd =≤=τ ,
portanto satisfaz a condição especificada pela NBR 7190:1997.
Para verificação do estado limite último de instabilidade lateral, supõe-se que
a viga seja travada lateralmente nas 2 extremidades. Considera-se a Eq. 8.7.
dcoM
efcoo
bb f
EbL
,
,
⋅=≤=
βλλ .
(1.7)
onde bL é a distância entre os elementos de travamento; b é a largura da seção
transversal da viga; Mβ é um coeficiente de correção.
A esbeltez da viga é dada por
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
117
706
420==
cmcm
bλ .
A esbeltez limite é dada por
dcoM
efcoo f
E
,
,
⋅=
βλ ,
sendo Mβ função da razão entre a altura e a base da seção transversal da viga e é
expresso pela Eq. 8.8. A razão entre a altura e a base da seção transversal da viga
é
67,26
16==
cmcm
bh .
Substituindo 4,1=cγ , 4=Eβ e 67,2=bh a na Eq. 8.8, tem-se:
( )( )
7,1063,067,2
67,24,1
426,01
21
23
=−
⋅⋅=π
β M
27,282397,10
72307
2
2=
⋅
=
cmdaN
cmdaN
oλ .
Logo
27,2870 =≤= ob λλ .
A expressão é falsa, portanto, para peças em que ob λλ > , a verificação de
segurança à flexão simples deve ser efetuada com a resistência de cálculo à
compressão paralela às fibras atendendo a condição
Mb
efcodc
Eβλ
σ ,,1 ≤ .
.5,967,1070
723072
2,
cmdaNcm
daNE
Mb
efco =⋅
=βλ
22,1 5,9603,153cmdaN
cmdaN
dc ≤=σ .
Não satisfaz o critério de estado limite último de instabilidade.
Embora as condições de segurança para as tensões normais, tensões
cisalhantes e deformações, a peça não pode ser classificada como segura de
acordo com a NBR 7190:1997, pois não satisfaz a condição do estado limite último
de estabilidade.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
118
10.5.3. Dimensionamento do vão de uma ripa
Para uma cobertura em madeira serrada localizada em uma região de classe
de umidade 2, determinar o vão l de uma ripa de 60 mm x 30 mm em Pinus taeda de
25 anos considerando-a isostática e submetida ao seguinte carregamento: peso de
telha de 0,1856 N/mm, peso da ripa de 0,0079 N/mm, a sobrecarga de 0,0897 N/mm
e o vento de sobrepressão é 0,144 N/mm. Considerar as combinações últimas
normais.
As características físico-mecânicas da madeira são as seguintes:
ρap =440 kg/m³ Eco,m =8550 MPa fco,k =33 MPa fto,k =57 MPa fvo,k = 2,84 MPa fM,k = 47 MPa
L = ?
Ripas
Caibros
Cor
te A
-A
L = ?
Ripas
Caibros
Cor
te A
-A
x
xy
y
30 mm
25°
Corte A-A
60 mm
25°x
xy
y
30 mm
25°
Corte A-A
60 mm
25°
L = ?A
L = ?A
(a) Vista em planta (b) Vista em corte (c) Esquema estrutural
Figura 49: Ripas
A ripa ilustrada na Figura 49 está submetida à flexão oblíqua e para
determinar o máximo vão a que ela pode estar submetida, devem ser observados os
critérios de segurança para os estados limites últimos e de utilização
simultaneamente. Quanto ao estado limite último, têm-se os critérios de segurança
às tensões normais em flexão oblíqua e ao cisalhamento paralelo às fibras. Quanto
ao estado limite de utilização, tem-se a verificação da flecha nas direções x e y da
ripa, considerando uma combinação de longa duração, visto que não foi
especificada a existência de materiais frágeis fixados às ripas.
Estado limite último
Tensões normais 1≤⋅+
wd
MydM
wd
Mxd
fk
fσσ
1≤+⋅wd
Myd
wd
MxdM ff
kσσ
(1)
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
119
Tensões cisalhantes ⋅≤ dvd f ,0τ (2)
Estado limite de utilização ⋅≤ limmax ff (3)
Inicialmente, determinar-se-ão as resistências de cálculo do Pinus taeda. A
resistência de cálculo é dada por
γk
d
fkf ,
mod, ⋅= , (4)
sendo kmod o produto de vários coeficientes modificativos determinados em função
da duração do carregamento, da classe de umidade do local e da categoria da
madeira utilizada.
3mod2mod1modmod kkkk ⋅⋅= . (5)
Para combinações últimas normais, a NBR 7190:1997 prescreve que as
ações variáveis devem ser consideradas de longa duração, portanto kmod1 = 0,7.
Para classe de umidade 2, kmod2 = 1,0 e para coníferas kmod3 = 0,8. Substituindo
esses valores na eq. (2), tem-se:
56,0mod =k . (6)
Dessa forma, as resistências de cálculo são:
c
kcdc
fkf
γ,0
mod,0 ⋅= , (7)
26
,0 102,132,134,1
3356,0mNMPaMPaf dc ⋅==⋅=
(8)
26
,0 1073,172,138,1
5756,0mNMPaMPaf dt ⋅==⋅=
(9)
v
kvdv
fkf
γ,0
mod,0 ⋅= , (10)
MPaMPaf dv 883,08,1
84,256,0,0 =⋅= (11)
mcefc EkE ,0mod,0 ⋅= , (12)
MPaMPaE efc 4788855056,0,0 =⋅= (13)
A Figura 50 ilustra as ações atuantes sobre a ripa. A ação devida ao vento (v
= 0,144 N/mm) atua no plano principal y-y da ripa (Figura 50a) enquanto que as
ações permanentes devidas ao peso da telha e da ripa (g = 0,1935 N/mm) e a
sobrecarga (q = 0,0897 N/mm) atuam no plano vertical (Figura 50b). As ações
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
120
verticais devem ser decompostas segundo as direções principais de inércia da ripa a
fim de serem determinados os momentos fletores e esforços cisalhantes atuantes
em cada plano (Figura 50b-c).
x
xy
y25°Corte A-A
v
x
xy
y25°Corte A-A
v
x
xy
y25°
gy 25°
gx
g
x
xy
y25°
gy 25°
gx
g
xy
y25°
25°
qx
q
xy
y25°
25°
qx
q
(a) Ação de vento (b) Ações permanentes (c) Sobrecarga
Figura 50: Ações atuantes na ripa
As componentes x e y das ações permanentes (g = 193,5 N/m) (Figura 50-b)
são
( ) mNsenmNsenggx /78,8125/5,19325 =°=°⋅= e (14)
( ) mNmNgg y /37,17525cos/5,19325cos =°⋅=°⋅= , (15)
enquanto que as componentes x e y da ação variável (q = 89,7 N/m) (Figura 50-c)
são:
( ) mNsenmNqsenqx /91,3725/7,8925 =°=°= e (16)
( ) mNmNqqy /3,8125cos/7,8925cos =°⋅=°= . (17)
As componentes x e y do vento de sobrepressão (Figura 50-c) são:
mNwy /144,0= e (18)
0=xw . (19)
Como todas as cargas em x estão uniformemente distribuídas ao longo do
vão da ripa, pode-se combinar a carga e depois encontrar as solicitações de cálculo.
Da mesma forma acontece para as cargas na direção y.
Para a determinação do vão L da ripa considerando-se os estados limites
últimos, tem-se que verificar duas combinações possíveis de ações para uma
situação duradoura de projeto: o peso próprio e a sobrecarga, o peso próprio e o
vento, o peso próprio, a sobrecarga e o vento. Como todas as cargas tem o mesmo
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
121
sinal, a combinação mais desfavorável é a última e será ela que será detalhada
neste estudo.
Para a hipótese de carregamento peso próprio, sobrecarga e vento, a
sobrecarga ou o vento podem ser considerados como ação principal. Supondo a
sobrecarga a ação principal, nas direções x e y, tem-se:
xqqxGGxd qgp γγ += e (20)
[ ]yyqqyggyd wqgp 0ψγγ ++= . (21)
Supondo agora o vento a ação principal, tem-se
xqqxGGxd qgp 0ψγγ += e [ ]yqyqyggyd qwgp 075,0 ψγγ +⋅+= .
Considerando que o peso próprio de madeira serrada é de grande
variabilidade atuando desfavoravelmente sobre a estrutura, visto que as ações
variáveis têm o mesmo sinal da ação permanente, 4,1=Gγ . Para as ações variáveis
em geral, incluindo as cargas móveis, tem-se que 4,1=qγ . Para a sobrecarga,
4,00 =ψ , considerando cargas acidentais em edifícios e locais sem predominância
de equipamentos fixos e sem concentração de pessoas. Para o vento, 5,00 =ψ .
Substituindo os dados nas equações, para a 1ª hipótese, têm-se :
( ) ( ) mNmNmNpxd /56,167/91,374,1/78,814,1 =+= e (22) ( ) ( )[ ] mNmNmNmNpyd /1,460/1445,0/3,814,1/37,1754,1 =++= . (23)
Para a 2ª hipótese, segue
( ) ( )[ ] mNmNmNpxd /72,135/91,374,04,1/78,814,1 =+= e (24)
( ) ( ) ( )[ ] mNmNmNmNpyd /24,442/3,814,0/14475,04,1/37,1754,1 =++= . (25)
Como as duas hipóteses tem o mesmo sentido, a mais desfavorável é a
primeira e ela será adotada para a determinação dos esforços internos de projeto.
De posse das componentes da combinação de projeto mais desfavorável nas
direções principais de inércia da ripa, podem ser determinados os esforços internos
necessários para o dimensionamento. O esquema estrutural da ripa, tanto na
direção x quanto na direção y, é o de uma viga biapoiada com carregamento
uniformemente distribuído. Os diagramas de esforços internos desse modelo
estrutural estão ilustrados na Figura 51.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
122
B A
V
0
M
x
x 0
aL/2 aL/2
a
L
a
−aL2
aL2
Figura 51: Diagrama de esforços da ripa
As ações de cálculo nas direções x e y podem ser determinadas para a
determinação das solicitações de cálculo usadas na verificação
Os momentos fletores máximos de projeto nas direções y e x devidos são,
respectivamente,
( )( ) 222
/945,208
/56,1678
lmNlmNlpM xdyd ⋅=== e
(26)
( ) 222
/51,578
/1,4608
lmNlmNlpM yd
xd ⋅=== . (27)
Os esforços cortantes máximos de projeto são:
( ) ( )lmNlmNVyd /05,2302
/1,460=
⋅= e
(28)
( ) ( )lmNlmNVxd /78,832
/56,167=
⋅= .
(29)
A partir dos esforços de cálculo determinados, podem-se verificar os estados
limites últimos. A verificação do estado limite último para as tensões normais às
fibras para a flexão oblíqua é dada pela Equação (1). Portanto, determinar-se-ão as
variáveis da equação.
xx
cdxM I
yMdx
1,,
⋅=σ
(30)
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
123
( )( ) 463
10135,012
03,006,0 mmmI xx−⋅==
(31)
( )( ) 463
1054,012
06,003,0 mmmI yy−⋅==
(32)
( ) ( ) ( ) 2646
2
10/38,610135,0
015,0//51,57,
lmNm
mlmNmNdxM ⋅⋅=
⋅⋅
= −σ (33)
( ) ( ) ( ) 2646
21, 10/164,1
1054,003,0/945,20
,lmN
mmlmN
IxM
yy
cdyM dy
⋅⋅=⋅
⋅=
⋅= −σ
(34)
Para secções retangulares, a NBR 7190:1997 prescreve kM = 0,5. Então,
substituindo as variáveis nas Eq. 1-a e b, têm se duas inequações:
( ) ( ) dcflmNlmN ,02626 10/164,15,010/38,6 ≤⋅⋅⋅+⋅⋅ , (35)
mNmNl/10962,6
/102,136
262
⋅⋅
≤ , (36)
ml 38,1≤ (37)
e ( ) ( ) dcflmNlmN ,0
2626 10/164,110/38,65,0 ≤⋅⋅+⋅⋅⋅ , (38)
mNmNl/10354,4
/102,136
262
⋅⋅
≤ , (39)
ml 74,1≤ . (40)
A condição de segurança do estado limite último de cisalhamento (Eq. 2)
fornece outra inequação que também deve ser atendida. Para uma secção
retangular, a tensão cisalhante máxima é dada por
AVf d
dvod 23
, ==τ . (41)
A combinação mais desfavorável quanto ao cisalhamento é a do peso próprio
e do vento. Dessa forma, efetuar-se-á, a verificação desta combinação. Para a
direção y, tem-se
( ) ( )lmNm
lmNA
Vydyd
32 /3,191708
0018,0/05,230
23
23
=⋅
==τ e (42)
para a direção y, tem-se
( ) ( )lmNm
lmNA
Vxdxd
32 /7,68816
0018,0/78,83
23
23
=⋅
==τ , (43)
sendo a tensão cisalhante resultante é dada por:
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
124
( )lmNdydxd32
,2, /6,204025=+= τττ . (44)
Substituído os valores na Eq. (2), tem-se
( ) 263 /10883,0/6,204025 mNlmNd ⋅≤=τ , (45)
ml 33,4≤ . (46)
Utilizando as condições de segurança para o estado limite de utilização para a
combinação de longa duração, para estruturas correntes sem material frágil fixado
sobre ela, a flecha limite é de
200limlf ≤ .
(47)
Esta condição tem que ser obedecida tanto na direção x como na direção y.
Empregando o princípio da superposição dos efeitos, a flecha máxima na ripa
é obtida pela combinação ponderada das flechas originadas pelas ações
permanentes e variáveis. A flecha máxima provocada por uma carga uniformemente
distribuída é dada pela Eq. (3) e a combinação mais desfavorável resulta
WQGd ffff ⋅+⋅+= 22 ψψ . (48)
O coeficiente 2ψ para cargas acidentais dos edifícios em locais sem equipamentos
fixos e sem elevada concentração de pessoas é 0,2 ; para pressão dinâmica do
vento é 02 =ψ .
As flechas máximas originadas pelas ações permanentes nas direções x e y
são:
( )( )( ) ( ) 434
4626
4
/1012,41054,0/104788
/78,81384
5 lmmmN
lmNf xG ⋅⋅=⋅⋅
= −−
e (49)
( )( )( ) ( ) 434
4626
4
/1033,3510135,0/104788
/37,175384
5 lmmmN
lmNf yG ⋅⋅=⋅⋅
= −−
. (50)
As flechas máximas originadas pela ação variável nas direções x e y são:
( )( )( ) ( ) 434
4626
4
/1091,11054,0/104788
/91,37384
5 lmmmN
lmNf xQ ⋅⋅=⋅⋅
= −−
e (51)
( )( )( ) ( ) 434
4626
4
/1038,1610135,0/104788
/3,81384
5 lmmmN
lmNf yQ ⋅⋅=⋅⋅
= −−
. (52)
Comparando a flecha máxima na direção x com a flecha limite, tem-se
xQxGxd fff ⋅+= 2ψ . (53)
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
125
( ) ( )200
/1091,12,0/1012,4 434434 llmNlmNf xd ≤⋅⋅⋅+⋅⋅= −− , (54)
33 11,11 ml ≤ , (55) ml 23,2≤ . (56)
Comparando a flecha máxima na direção y com a flecha limite, tem-se
yQyGyd fff ⋅+= 2ψ . (57)
( ) ( )200
/1038,162,0/1033,35 434434 llmNlmNf xd ≤⋅⋅⋅+⋅⋅= −− . (58)
34
3
606,3820010 ml⋅
≤ , (59)
ml 09,1≤ . (60)
O máximo vão da ripa é o menor valor de L encontrado pelas expressões
(46), (49), (55), (64) e (68), ou seja, ml 09,1≤ . Adota-se o valor de vão da ripa que
resulte em um espaçamento uniforme correspondente a um número inteiro de
caibros na cobertura.
10.5.4. Dimensionamento de terça
Dimensionar uma terça em madeira serrada submetida a uma carga
permanente vertical distribuída de 50 daN/m e uma carga acidental vertical de 65
daN concentrada no ponto médio do vão livre de 3,75 m para situação duradoura de
projeto. Considerar uma inclinação no telhado de 22°, madeira da classe C 60,
classe de umidade igual a 2 e classe de carregamento de longa duração.
50 daN/m65 daN
375 cm
h
b
22°x
y
Para o dimensionamento da terça é necessário considerar os estados limites
últimos e os estados limites de utilização. Para combinações últimas normais, a NBR
7190:1997 prescreve que as ações variáveis devem ser sempre consideradas de
longa duração, portanto kmod1 = 0,7. Para classe de umidade 2, kmod2 = 1,0 e para
coníferas kmod3 = 0,8. Substituindo esses valores na eq. (2), tem-se:
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
126
56,0mod =k . (6)
Dessa forma, as resistências de cálculo são:
c
kcdc
fkf
γ,0
mod,0 ⋅= , (7)
2,0 240244,1
6056,0cmdaNMPaMPaf dc ==⋅=
(8)
MPaMPafkf
v
kvdv 48,2
8,1856,0,0
mod,0 ==⋅=γ
mcefc EkE ,0mod,0 ⋅= , (11)
MPaMPaE efc 137202450056,0,0 =⋅= (12)
Serão usadas duas combinações de carregamento: uma para os estados
limites últimos das tensões normais e das tensões cisalhantes e outro para o estado
limite de utilização. A combinação para os estado limites últimos é expressa pela Eq.
6.1, enquanto que a combinação para o estado limite de utilização é dada pela Eq.
6.3. A flecha limite para construções correntes é dada por L/200 nos vãos e L/100
nos balanços, logo
cmcmlu 1,2200
420200lim === .
O princípio de superposição de efeito pode ser usado para determinar os
esforços internos na viga. As componentes dos carregamentos são determinadas
segundo as direções principais de inércia da seção transversal da terça.
As componentes x e y das ações permanentes (g = 50 daN/m) () são
( ) mdaNsenmdaNsenggx /73,1822/5022 =°=°⋅= e (13)
( ) mdaNmdaNgg y /36,4622cos/5022cos =°⋅=°⋅= , (14)
enquanto que as componentes x e y da ação variável (Q = 65 daN) () são:
( ) daNsendaNsenQQx 35,24226522 =°⋅=°⋅= e (15)
( ) daNdaNQQy 26,6022cos6522cos =°⋅=°⋅= . (16)
As componentes das cargas distribuída e a concentrada podem ser
separadas e os seus efeitos calculados, conforme ilustrado pela Figura 52.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
127
Flecha máxima: EIglumáx
4
3845
= Flecha máxima: EI
Qlumáx 48
3
=
(a) ação permanente (b) ação variável
Figura 52: Efeitos das ações distribuídas e concentradas
Os esforços cortantes nas direções x e y s
( ) ( ) daNmmdaNVxg 156,352
75,3/73,18=
⋅= e
( ) ( ) daNmmdaNVyg 925,862
75,3/36,46=
⋅= e
(22)
daNdaNVxQ 175,122
35,24== .
(23)
daNdaNVyQ 13,302
26,60== .
Os momentos fletores máximos de projeto nas direções y e x devidos são,
respectivamente,
( )( ) mdaNmmdaNlgM xyg ⋅=== 92,32
875,3/73,18
8
22
, (17)
( ) mdaNmdaNlQM xyQ ⋅=== 828,22
475,335,24
4,
(18)
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
128
( )( ) mdaNmmdaNlgM xyg ⋅=== 92,32
875,3/73,18
8
22
,
(17)
( ) mdaNmdaNlQM xyQ ⋅=== 828,22
475,335,24
4 . (18)
( )( ) mdaNmmdaNlgM y
xg ⋅=== 49,818
75,3/36,468
22
e (17)
( ) mdaNmdaNlQM y
xQ ⋅=== 49,564
75,326,604
. (18)
Os máximos esforços cortantes de cálculo nas direções x e y são dados por
( ) ( ) daNdaNdaNVxd 263,52175,24,1156,354,1 =⋅+⋅= ( ) ( ) daNdaNdaNVyd 88,16313,304,1925,864,1 =⋅+⋅=
Os máximos momentos fletores de cálculo nas direções x e y são dados por
( ) ( ) cmdaNcmdaNcmdaNM xd ⋅=⋅⋅+⋅⋅= 2,1931756494,181494,1 ( ) ( ) cmdaNM yd ⋅=⋅+⋅= 780522834,132924,1
As tensões cisalhantes de cálculo são dadas por
AVf d
dvod 23
, ==τ .
Para a direção y, tem-se
( )bh
daNbh
daNA
Vydyd
82,24588,16323
23
===τ e
para a direção x, tem-se
( )bh
daNbh
daNA
Vxdxd
39,78263,5223
23
===τ e
sendo a tensão cisalhante resultante é dada por:
bhdaN
dydxd39,782
,2, =+= τττ .
(
As tensões de cálculo à compressão paralela às fibras devidas aos momentos
em torno dos eixos x e y são :
23
11591421219319
bhbhh
xcxt =⋅⋅
== σσ
hbhbb
ycMytM 2346830
2127805
=⋅
⋅⋅== σσ
A segurança ao estado limite último para flexão oblíqua é dada pelas
equações xx e xxx, substituindo a resistência de cálculo da madeira à compressão
paralela às fibras de 240 daN.cm nessas equações, tem-se :
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
129
1,, ≤+wd
dMyM
wd
dMx
fk
fσσ
1,, ≤+wd
dMy
wd
dMxM ff
kσσ
11955,048322 ≤+hbbh
11954835,0 22 ≤+hbbh
Adotando-se seção de 6 cm × 12 cm, tem-se
123,056,0 <+ 145,028,0 <+
Ambas as condições satisfazem as especificações da NBR7190:2004.
O aluno deve verificar a condição de segurança para o estado limite último de
cisalhamento
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
130
11. DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS EM FLEXÃO COMPOSTA
11.1. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS
11.1.1. Flexo-tração
Nas barras submetidas à flexo-tração oblíqua, a segurança deve ser verificada
por meio de duas condições de resistência aplicadas ao ponto mais solicitado da borda
mais tracionada, considerando-se a influência linear para as tensões decorrentes do
esforço normal de tração:
1,0,0
,
,0
, ≤⋅++dt
MydM
dt
dMx
dt
dNt
fk
ffσσσ
e (11.1)
1,0,0
,
,0
, ≤+⋅+dt
Myd
dt
dMxM
dt
dNt
ffk
fσσσ
, (11.2)
onde σNt,d é o valor de cálculo da parcela de tensão normal atuante em virtude apenas
da força normal de tração; ft0,d é a resistência de cálculo à tração paralelas às fibras;
σMx,d e σ My,d são as tensões máximas devidas às componentes de flexão atuantes
segundo as direções principais; KM é o coeficiente de correção relacionado à forma
geométrica da seção transversal da peça caracterizado no item referente à flexão
simples oblíqua.
11.1.2. Flexo-compressão
11.1.2.1. Condições de resistência
A segurança de barras submetidas à flexo-compressão oblíqua é assegurada
pelo atendimento de duas condições de resistências, aplicadas ao ponto mais
solicitado da borda mais comprimida, considerando-se uma função quadrática para a
influência das tensões devidas ao esforço normal:
1,0,0
2
,0
, , ≤⋅++
dc
MM
dc
M
dc
dNc
fk
ffyddx
σσσ e
(11.3)
1,0,0
2
,0
, , ≤+⋅+
dc
M
dc
MM
dc
dNc
ffk
fyddx
σσσ,
(11.4)
onde σNc,d é o valor de cálculo da parcela da tensão normal atuante em virtude apenas
dos esforços de compressão; fc0,d é a resistência de cálculo à compressão paralela às
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
131
fibras; σMx,d e σMy,d são as tensões máximas devido às componentes de flexão atuantes
segundo as direções principais; KM é o coeficiente de correção relacionado à forma
geométrica da seção transversal da peça caracterizada no item referente à flexão
simples oblíqua.
11.1.2.2. Condições de estabilidade
Além das condições de resistências estabelecidas acima, as barras submetidas
à flexão composta oblíqua devem atender duas condições de estabilidade:
1,0,0,0
, , ≤⋅++dc
MM
dc
M
dc
dNc
fk
ffyddx
σσσ e
(11.5)
1,0,0,0
, , ≤+⋅+dc
M
dc
MM
dc
dNc
ffk
fyddx
σσσ,
(11.6)
Com as tensões normais devidas aos momentos fletores Mx,d e My,d amplificadas
pelos efeitos de segunda ordem correspondentes as peças esbeltas e semiesbeltas, de
acordo com as definições estabelecidas no Capítulo 9 para o dimensionamento das
barras axialmente comprimidas. Considerando-se naquelas expressões que:
ai eee +=1 , para peças semiesbeltas, (11.7)
caief eeee ++=,1 , para peças esbeltas, (11.8) onde
sd
sdi N
Me = , (11.9)
sendo Msd o momento fletor de cálculo de primeira ordem, x ou y, dependendo do eixo
que esteja sendo verificado, e Nsd o esforço normal solicitante de cálculo.
Em cada uma das expressões acima, somente a parcela não minorada pelo fator
KM deve ser amplificada pelo efeito de segunda ordem. No caso das peças esbeltas, a
excentricidade de fluência é determinada pela expressão:
( ) ( )( )( )[ ]
−
Ψ+Ψ+−
Ψ+Ψ+Φ+= 1exp
21
21
qkgkE
qkgkaigc NNN
NNeee ,
(11.10)
com gd
gdig N
Me = e as demais exatamente como definidas no Capítulo 9.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
132
11.2. ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO
Resume-se nas limitações de deslocamentos, tal como visto no Capítulo 1
11.3. EXEMPLO 7
Um pilar biarticulado de 360 cm altura e seção quadrada de 12 cm x 12 cm foi
construído com madeira da classe C 60. Ele está localizado em ambiente de classe de
umidade 3, possui e está submetido a dois tipos de ação: uma ação permanente de
grande variabilidade de 1285 daN, a qual apresenta excentricidade de 3 cm sobre o
eixo y (como apresentado abaixo) e outra de 35 daN/m ação variável distribuída devida
ao vento (Figura 53). Verificar se a seção é suficiente para resistir às tensões atuantes.
Figura 53: Pilar em madeira
Devido às ações atuantes, surgem no pilar esforços solicitantes normal e de
flexão. A ação normal excêntrica produz esforço normal e flexão e a ação de vento
produz flexão e cisalhamento. Dessa forma, o pilar está submetido à flexo-compressão
e serão necessárias as verificaçãos para os estados limites últimos de tensões
normais, de cisalhamento, de estabilidade de peças comprimidas e estado limite de
utilização. A verificação do estado limite último de tensões normais é realizada pela Eq.
(10.3) e (10.4). A verificação do estado limite de estabilidade de peças comprimidas é
efetuada pelas Equações (10.5) a (10.8). A verificação para o estado limite último de
cisalhamento é dado pela Eq. (8.11), enquanto que a verificação para o estado limite
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
133
de deformação para construções correntes, cuja flecha máxima é 200
l , usando-se a
cobinação de ações dada pela Eq. (6.3).
Devido à excentricidade, há momento fletor somente em torno do eixo x. Logo,
as Equações (10.3) e (10.4), torna-se
1,0
2
,0
, , ≤+
dc
M
dc
dNc
ffdx
σσ,
(11.3)
as Equações (10.5) e (10.6) resultam
1,0,0
, , ≤+dc
M
dc
dNc
ffdx
σσ,
(11.5)
onde σNc,d é o valor de cálculo da parcela da tensão normal atuante em virtude apenas
dos esforços de compressão; fc0,d é a resistência de cálculo à compressão paralela às
fibras; σMx,d devido à componente de flexão atuantes segundo à direção principal x.
Os esforços de cálculo necessários para a verificação dos estados limites
últimos são:
( ) daNdaNNN GKGcd 180012854,1 === γ ,
wkxWGkxGxd MMM 75,0γγ += ,
sendo o momento resultante da excentricidade da carga axial é dado por
( )( ) cmdaNcmdaNeNM igGKGkx ⋅=== 385531285 ,
e o devido ao vento é dado por
( )( ) cmdaNcmcmdaNlwM y
wkx ⋅=== 56708
360/35,08
22
.
Logo
( ) ( )( ) cmdaNcmdaNcmdaNM Gxd ⋅=⋅+⋅= 5,11350567075,04,13855γ .
wkqd VV ⋅= 75,0γ .
( )( ) daNcmcmdaNlwV y
wk 632
360/35,02
===
( )( ) daNdaNVd 2,666375,04,1 ===
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
134
A resistência de cálculo à compressão paralela às fibras é dada por
c
kcdc
fkf
γ,0
mod,0 = ,
sendo kmod dado por
3mod,2mod,1mod,mod kkkk ⋅⋅= . kmod,1 é função da ação variável principal e classe de carregamento, kmod,2 é função da
classe de umidade e tipo de material e kmod,3 é devido à categoria da madeira. A classe
de carregamento para a combinação última normal é sempre considerada de longa
duração, portanto kmod,1 = 0,70. Para obras em madeira serrada e inseridas em locais
com classe de umidade 3, kmod,2 = 0,8. Madeira sem classificação visual é considerada
de 2ª categoria, portanto kmod,3 = 0,8.
( ) ( ) ( ) 45,0448,08,08,07,0mod ≅=⋅⋅=k .
Segundo a NBR 7190:1997, a madeira classe C 60 apresenta fc0,k = 60 MPa,
Eco,m = 24500 MPa e fv0,k = 8 MPa. Assim sendo,
2,0 1933,194,1
6045,0cmdaNMPaMPaf dc === ,
2,0 200,28,1
845,0cmdaNMPaMPaf dv === .
O módulo de elasticidade efetivo é dado por
mcoefc EkE ,mod,0 = ,
( ) 2,0 110250110252450045,0cmdaNMPaMPaE efc === .
A verificação da resistência ao estado limite de tensões normais é dado por
1,0
2
,0
, , ≤+
dc
M
dc
dNc
ffdx
σσ,
A tensão normal de cálculo devida ao esforço normal é dado
22 5,12144
1800cmdaN
cmdaN
ANd
Nd ===σ ,
enquanto que a tensão normal de cálculo devida à flexão é (8.1)
( )( )24 5,12
172865,11350
cmdaN
cmcmcmdaN
IyM
x
cxdMd =
⋅==σ .
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
135
( )( ) 433
172812
121212
cmcmcmbhI x === ,
( ) cmcmhyc 62
122
=== ,
( )( )24 4,39
172865,11350
cmdaN
cmcmcmdaN
Md =⋅
=σ .
1193
4,39
193
5,12
2
2
2
2
2≤+
cmdaNcmdaN
cmdaNcmdaN
,
12,0 ≤ .
Para a verificação do estado limite de estabilidade de peças comprimidas é necessário
saber a classificação da peça quanto à esbeltez em torno do eixo x, visto que somente
existe momento fletor em torno do eixo x. O índice de esbeltez é dado por:
rL fl=λ ,
AIr = .
O raio de giração em torno da direção x é dado por
cmcmcm
AI
r xx 46,3
1441728
2
4
=== ,
os índice de esbeltez é
10446,3
360==
cmcm
xλ .
Assim sendo, em torno do eixo x, a peça é considera esbelta, pois 80104 >=xλ .
Dessa forma, o momento fletor de cálculo é dado pela Eq. (11.12).
−
⋅=dE
Eefdd NN
NeNM ,1 ,
onde e1ef é a excentricidade efetiva de 1a ordem, expressa por
caief eeee ++=,1 , ea é a excentricidade acidental mínima com valor ≥ h/30 ou L0/300; ec é a
excentricidade suplementar de primeira ordem que representa a fluência da madeira.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
136
( )( )
daNcm
cmcmdaN
LE
F efcE 14508
360
1728110250
2
42
2
20
,0,2
=⋅
=Ι⋅⋅
=ππ
cmN
MMNMe
d
dqdg
d
di 3,6
180011351,1,11 ==
+==
cmcmhLea 4,030
1230300
0 ==≥= ,
cmcmLea 4,02,1300
0 ≥==
( )( )1eeee naigc −+=
Com ( )[ ]
( )[ ]qkgkE
qkgk
NNFNN
n⋅++−
⋅++=
21
21
ψψψψφ
( )( ) cm
daNcmdaN
NM
edg
dgig 0,3
12854,138554,1
,
,1 =⋅
==
( )[ ]( )[ ] 19,0
02,0012851450802,0012850,2
=⋅++−
⋅++⋅=
daNdaNdaNn
( ) ( ) cmeec 88,012,10,3 19,0 =−⋅+=
cme ef 38,888,02,13,6,1 =++=
−
=dE
Eefd NN
Nee ,1
( ) cmdaNdaN
daNcmed .6,9180014508
1450838,8 =
−
=
( ) ( ) cmdaNcmdaNM dx .172806,91800 =⋅=
( )( )24 60
17286.17280
cmdaN
cmcmcmdaN
Mdx ==σ
Esforço crítico na direção “x”
13,024054
240130,1
,0,0
<=+⇒≤+dc
Md
dc
Nd
ffσσ
1193
60
193
5,12
2
2
2
2≤+
cmdaNcmdaN
cmdaNcmdaN
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
137
131,0065,0 ≤+
138,0 ≤
A condição de segurança em relação às tensões cisalhantes em peças
submetidas à flexão com força cortante é expressa por
dvod f ,≤τ , )
onde dτ é a máxima tensão de cisalhamento atuando no ponto mais solicitado da
peça; dvof , é a resistência ao cisalhamento paralelo as fibras. Em barras com seção
retangular de largura b e altura h , dτ é expressa por
bhVd
d ⋅=23τ ,
onde dV é o esforço cortante de cálculo.
( )( ) 22 2069,01212
2,6623
cmdaN
cmdaN
cmcmdaN
d ≤=⋅=τ ,
A tensão de cisalhamento máxima também satisfaz a NBR 7190:1997.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
139
12. PEÇAS COMPOSTAS
As seções comercialmente disponíveis de peças de madeira possuem
dimensões limitadas. Esta limitação pode ser contornada com o uso de peças
compostas que, ao serem solicitadas, atuam como um elemento único. O uso de
peças compostas ou peças múltiplas, cuja seção é formada por duas ou mais peças,
é usual em treliças, pilares ou vigas. A união entre as peças pode ser feita pelo uso
de adesivo adequado ou por dispositivos de ligação tais como cavilhas, pinos
metálicos (parafusos ou pregos) e conectores (anéis metálicos).
Os critérios de segurança para verificação dos estados limites são os mesmos
apresentados anteriormente para elemento maciço, porém com redução da rigidez
do elemento em função da deformabilidade das ligações entre as peças que
compõem a seção transversal.
As peças compostas por elementos justapostos solidarizados continuamente
podem ser consideradas como se fossem peças maciças, com as restrições adiante
estabelecidas.
12.1. PEÇAS COMPOSTAS DE SEÇÃO T, I OU CAIXÃO LIGADAS POR PREGOS
As peças compostas por peças serradas formando seção T, I ou caixão
(Figura 54), solidarizadas permanentemente por ligações rígidas por pregos,
dimensionadas ao cisalhamento como se a viga fosse de seção maciça, solicitadas
a flexão simples ou composta, podem ser dimensionadas como peças maciças, com
seção transversal de área igual à soma das áreas das seções dos elementos
componentes, e momento de inércia efetivo dado por:
thref II α= , (12.1) onde Ith é o momento de inércia da seção total da peça como se ela fosse maciça,
sendo:
- para seções T: αr = 0,95 (Figura 54-a);
- para seções I ou caixão: αr = 0,85 (Figura 54-b);.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
140
(a) (b) (c) (d)
Figura 54: Secções compostas
Na falta de verificação específica da segurança em relação à estabilidade da
alma, recomenda-se o emprego de enrijecedores perpendiculares ao eixo da viga,
com espaçamento máximo de duas vezes a altura total da viga.
12.2. PEÇAS COMPOSTAS COM ALMA EM TRELIÇA OU DE CHAPA DE
MADEIRA COMPENSADA
As peças compostas com alma em treliça formada por tábuas diagonais, e as
peças compostas com alma formada por chapa de madeira compensada, devem ser
dimensionadas à flexão simples ou composta, considerando exclusivamente as
peças dos banzos tracionadas e comprimido, sem redução de suas dimensões.
A alma dessas vigas e as suas ligações com os respectivos banzos devem
ser dimensionadas a cisalhamento como se a viga fosse de seção maciça.
12.3. PEÇAS COMPOSTAS DE SEÇÃO RETANGULAR LIGADAS POR
CONECTORES METÁLICOS
As vigas compostas de seção retangular, ligadas por conectores metálicos,
solicitadas à flexão simples ou composta, suposta uma execução cuidadosa e a
existência de parafusos suplementares que solidarizem permanentemente o
sistema, podem ser dimensionadas à flexão, em estado limite último, como se
fossem peças maciças, reduzindo-se o momento de inércia da seção composta,
adotando
thref II α= (12.2)
é o valor efetivo e Ith o seu valor teórico. Para dois elementos superpostos: αr = 0,85
e para três elementos superpostos: αr = 0,70.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
141
Os conectores metálicos devem ser dimensionados para resistirem ao
cisalhamento que existiria nos planos de contato das diferentes peças como se a
peça fosse maciça.
12.4. ESTABILIDADE DE PEÇAS COMPOSTAS
12.4.1. Peças solidarizadas continuamente
A estabilidade das peças compostas por elementos justapostos solidarizados
continuamente pode ser verificada como se elas fossem maciças com as restrições
impostas anteriormente.
12.4.2. Peças solidarizadas descontinuamente
As peças compostas solidarizadas descontinuamente por espaçadores
interpostos ou por chapas laterais de fixação (Figura 55) devem ter sua segurança
verificada em relação ao estado limite último de instabilidade global.
Para as peças compostas por dois ou três elementos de seção transversal
retangular, permite-se a verificação da estabilidade, como se elas fossem de seção
maciça, nas condições adiante estabelecidas.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
142
<
<
<
<
Figura 55: Peças solidarizadas descontinuamente (NBR 7190:1997)
Os espaçadores devem estar igualmente afastados entre si ao longo do
comprimento L da peça. A sua fixação aos elementos componentes deve ser feita
por ligações rígidas com pregos ou parafusos.
Permite-se que estas ligações sejam feitas com apenas 2 parafusos ajustados
dispostos ao longo da direção do eixo longitudinal da peça, afastados entre si de no
mínimo 4d e das bordas do espaçador de pelo menos 7d, desde que o diâmetro de
pré-furação do seja feito igual ao diâmetro d do parafuso.
Nessa verificação, para as seções mostradas na Figura 55, admitem-se as
seguintes relações:
Figura 56: Seções compostas por dois ou três elementos iguais (NBR 7190:1997)
Seção do elemento componente:
111 hbA = (12.3)
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
143
12
311
1hbI =
(12.4)
12
311
2bhI =
Seção composta:
yIefy
y
x
II
aAInIInIAnA
β=
+=
==
,
2112
1
1
2, com
(12.5)
yyI ImI
mIα
β+
= 22
22 ,
(12.6)
onde:
m = número de intervalos de comprimento L1 em que fica dividido o comprimento L
total da peça;
αy = 1,25 para espaçadores interpostos;
αy = 2,25 para chapas laterais de fixação.
1LLm =
A verificação deve ser feita como se a peça fosse maciça de seção
transversal com área A e momentos de inércia Ix e Iy,ef.
Nessa verificação, as condições de segurança especificadas com relação à
estabilidade são representadas por
codefy
d
efy
dd fIIn
AaM
WIIM
AN
≤
−++
,
2
112,
2 12
, (12.7)
sendo
2/1
22 b
IW = . (12.8)
A segurança dos espaçadores e de suas ligações com os elementos
componentes deve ser verificada para um esforço de cisalhamento cujo valor
convencional de cálculo é dado por
1
1,1 a
LfAV dvod = . (12.9)
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
144
Dispensa-se a verificação da estabilidade local dos trechos de comprimento
L1 dos elementos componentes, desde que respeitas as limitações:
.6;int3
;189
1
1
111
lateraischapascompeçasbaerpostaspeçasba
bLb
≤≤
≤≤
12.5. EXEMPLOS 12.5.1. Determinação da distância entre espaçadores de um pilar
Um pilar de comprimento L = 300 cm e seção transversal esquematizada
abaixo está submetido a um esforço normal de cálxulo de 2996 daN. Pede-se
determinar o posicionamento dos espaçadores.
Seção transversal do pilar Vista lateral
De acordo com a NBR 7190:1997, a distância entre as faces internas das
peças deve atender a especificação:
13ba ≤ para peças interpostas, resultando ( ) cmcma 1863 =≤
Assim,
cma 18≤ . Adota-se a = 12 cm.
Se a distância L1 entre espaçadores estiver dentro do intervalo 111 189 bLb ≤≤ ,
pode-se dispensar a verificação da estabilidade local dos trechos de comprimento L1.
Com isso, tem-se
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
145
( ) ( )cmLcm 61869 1 ≤≤ , cmLcm 10854 1 ≤≤ .
Portanto, adotando-se L1 = 100 cm, dispensa-se a verificação da estabilidade
local de cada trecho.
A verificação da estabilidade global do pilar deve ser feita nas direções x e y,
conforme os com os critérios apresentados no Capítulo 8 .
12.5.2. Verificação à compressão de barra de treliça
Para a situação normal de projeto, verificar se a barra de treliça de
comprimento L0 = 133 cm e de seção transversal composta por 2 peças de madeira
de 3 cm x 12 cm de classe C 60 (folhosa) é capaz de resistir a solicitação de - 675
daN referente à carga permanente de grande variabilidade e -294 daN relativa à
pressão de vento. Considera-se que a madeira usada possui classificação visual e
mecánica. A composição da seção transversal é ilustrada pela figura a seguir.
3 12 3
12
A combinação última normal é dada por
∑++=
==∑ kQjoj
n
jKQQkgigi
m
id FFFF ,
2,1,
1
ψγγ .
Para se efetuar a verificação da segurança é necessário efetuar a
combinação das ações atuantes. As ações atuantes são a ação permanente e a
pressão devida ao vento. Não existe ação variável secundária. Os coeficientes de
ponderação das ações permanente e variável para a combinação normal é 4,1=gγ e
4,1=Qγ , respectivamente. O vento é uma ação variável de curta duração, portanto
pode ser reduzida pelo coeficiente igual a 0,75. Assim
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
146
( ) ( ) daNdaNdaNFd 12542944,175,06754,1 =⋅+= .
A seguir, determinar-se-ão as resistências de cálculo madeira. A resistência
de cálculo é dada por
γk
d
fkf ,
mod, ⋅= , (4)
sendo kmod o produto de vários coeficientes modificativos determinados em função
da duração do carregamento, da classe de umidade do local e da categoria da
madeira utilizada.
3mod2mod1modmod kkkk ⋅⋅= . (5)
Para combinações últimas normais, a NBR 7190:1997 prescreve que as
ações variáveis devem ser consideradas de longa duração, mesmo sendo o vento
uma ação de curta duração. Portanto kmod1 = 0,7. Para classe de umidade 2, kmod2 =
1,0 e para madeira serrada com classificação visual e mecânica kmod3 = 1,0.
Substituindo esses valores na eq. (2), tem-se:
7,0mod =k . (6)
A madeira de classe C 60 apresenta resistência característica de 60 MPa.
Dessa forma, a resistência de cálculo é
2,0 300304,1
607,0
cmdaNMPaMPaf dc ==⋅= .
(8)
Se a distância L1 entre espaçadores estiver dentro do intervalo 111 189 bLb ≤≤
e 13ba ≤ para peças interpostas, pode-se dispensar a verificação da estabilidade
local dos trechos de comprimento L1. Com isso, tem-se
( ) ( )cmLcm 31839 1 ≤≤ , cmLcm 5427 1 ≤≤ .
Adota-se L1 = 33 cm. Porém a distância entre as faces internas das peças
deve atender a especificação
13ba ≤ , resultando ( ) cmcma 933 =≤
A distância entre as faces das peças é de 12 cm > 9 cm. Portanto é necessário
efetuar a verificação da segurança quanto à instabilidade local das peças.
As propriedades geométricas de apenas um elemento da seção transversal
são
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
147
21 36 cmA =
( )( ) 43
1 43212123 cmcmcmI == .
( )( ) 43
2 2712
312 cmcmcmI ==
O cálculo dos índices de esbeltez de uma peça em torno dos eixos 1 e 2 é
necessário para se determinar o critério de verificação da peça comprimida. Os raios
de giração em torno das direções 1 e 2 são dados por
cmcmcm
AI
r 48,336432
2
41
1 === e
cmcmcm
AI
r 85,03627
2
42
2 === .
Os índices de esbeltez são
55,948,325,33
11 ===
cmcm
rL flλ e
1,3985,025,44
22 ===
cmcm
rL flλ .
A peça de madeira localmente é considerada curta tanto em torno do eixo 1
quanto do eixo 2, portanto a condição de segurança para peças curtas especificada
pela norma deve ser atendida.
dcW
ddc f
AN
,0,0 ≤=σ .
A tensão de cálculo à compressão paralela às fibras para uma peça é dada
por
22,0 4,1736
21254
cmdaN
cm
daN
dc ==σ .
22,0 3004,17cmdaN
cmdaN
dc ≤=σ .
Localmente, a condição é atendica. Agora é necessária a verificação global
da condição, considerando a peça composta.
As propriedades geométricas da seção transversal composta são 272 cmA =
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
148
( )( ) 43
86412
1232 cmcmcmI x == .
( )( ) ( )( )( ) 423
1042212123212
3122 cmcmcmcmcmcmI y =+=
yefy II 1, β=
yy ImImI
αβ
+= 2
2
22
1
( ) ( ) 43
2 2712
123 cmcmcmI ==
25,102,344
133
1
==== yLLm α
( )( ) 023,0
10422327327
424
24
1 =+
=cmcm
cmβ .
( ) 44, 23710422023,0 cmcmI efy == .
O cálculo dos índices de esbeltez em torno dos eixos x e y é necessário para
se determinar o critério de verificação da peça comprimida. Os raios de giração em
torno das direções x e y são dados por
cmcmcm
AIr x
x 48,372
8642
4
=== e
cmcmcm
AI
r yy 95,1
72237
2
4
=== .
Os índices de esbeltez são
3848,3
133===
cmcm
rL
x
flxλ e
2,6895,1
133===
cmcm
rL
y
flyλ .
A peça é considerada esbelta em torno do eixo x e considerada
medianamente esbelta em torno do eixo y. A condição de segurança para peças
curtas especificada pela norma é
dcW
ddc f
AN
,0,0 ≤=σ .
A tensão de cálculo à compressão paralela às fibras é dada por
22,0 4,1772
1254cmdaN
cmdaN
dc ==σ .
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
149
22,0 3004,17cmdaN
cmdaN
dc ≤=σ .
Como será apresentado mais adiante, seria necessária alguma verificação
referente à peça composta.
12.5.3. Verificação do banzo da treliça
Verificar, para a combinação última normal, se a barra do banzo de treliça em
madeira de classe C60 composta por duas peças de seção transversal de 6 cm × 12
cm ilustrada na Figura 57, e comprimento de flambagem L0 = 169 cm, é suficiente
para resistir a uma carga de -7097 daN devida à ação permanente e -31148 daN
devida ao vento de pressão. Informa-se quanão existe ação variável secundária.
6 6 6
12
Figura 57: Seção transversal do banzo de treliça
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
151
13. LIGAÇÕES
As peças de madeira, em função da estrutura anatômica do material e das
limitações de comprimento, principalmente da madeira serrada, exigem o uso de
ligações para composição de elementos estruturais.
As ligações são todos os dispositivos aue permitem assegurar a ligação e a
transmissão de esforços entre os elementos de uma estrutura.
As ligações nas estruturas de podem ser feitas com o uso de conectores,
pinos metálicos, encaixes na madeira ou adesivos, que são utilizados de forma
simultânea ou individual. Considerando a forma pela qual os esforços são
transmitidos entre as ligações, essas são classificadas em três grupos (LE GOVIC,
1995):
Transmissão direta ou por contato direto: não possuem dispositivos
intermediários entre as peças de madeira. É o caso dos entalhes ou sambladuras.
Transmitem esforços normais ou cortantes, desde que a resultante possua a
tendência de aproximar as peças entre si (Figura 58a);
Transmissão por justaposição: Neste tipo existe uma superfície de
traspasse comum às peças ligadas (Figura 58b). São feitas com o uso de
conectores ou adesivos. Podem transmitir esforços normais (de tração ou
compressão), cortantes ou momentos;
Transmissão indireta: As peças não possuem superfície de traspasse e os
esforços são transmitidos por elementos intermediários (Figura 58c). Esses
elementos podem ser metálicos ou adesivos. Assim como na transmissão por
justaposição, podem transmitir esforços normais (de tração ou compressão),
cortantes ou momentos.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
152
(a) Transmissão direta ou por contato (b) Transmissão por
justaposição
(c) Transmissão indireta
Figura 58: Formas de transmissão de esforços nas ligações de estruturas de madeira (LE GOVIC,
1995)
Figura 59: Exemplos de ligações entre vigas e pilares classificadas segundo o tipo de transmissão de
esforços (LE GOVIC, 1995)
A Figura 60 apresenta vários diagramas força-deslocamento para ligações
com diferentes arranjos. A ligação colada (curva 8) possui comportamento mais
rígido, isto é, com menores deformações, quando comparadas às ligações
parafusadas (curvas 3, 4 e 5). As ligações pregadas (curva 1) apresentam rigidez
variável em função da concentração de pregos e do número de ciclos de carga na
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
153
ligação. Quanto mais concentrados os pregos, mais frágil, e quanto menos
concentrados, mais dúctil é seu comportamento. As ligações com cavilhas
apresentam certa ductilidade, conforme a posição do elemento de conexão (curvas 2
e 7), e as ligações com chapas metálicas (curva 6) apresentam deformações
significativas.
Figura 60: Comportamento de ligações por justaposição solicitadas à compressão (LE GOVIC, 1995)
As ligações com pinos metálicos são classificadas quanto à deformação em
deformáveis e rígidas.
Com 2 ou 3 pinos as ligações são consideradas deformáveis e só podem ser
empregadas em estruturas isostáticas, desde que se considere uma contra-flecha
compensatória maior ou igual que L/100, sendo L o vão teórico da estrutura.
As ligações com 4 ou mais pinos são consideradas rígidas quando atendidos
os limites de pré-furação estabelecidos pela norma.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
154
Neste capítulo serão apresentados os critérios de dimensionamento das
ligações por entalhe, por pinos metálicos.
13.1. LIGAÇÕES POR ENTALHE OU SAMBLADURA
Este tipo de ligação transmite esforços por contato (Figura 58-a), sendo o
mais utilizado em estruturas simples em madeira. Como a transmissão de esforços
se dá por contato, este tipo de ligação somente pode ser empregado em peças
comprimidas. Os deslocamentos laterais e os esforços devidos à montagem devem
ser restringidos por pinos, estribos ou talas pregadas, os quais não são
considerados nas ligações. O cisalhamento geralmente ocorre na região das
ligações, junto aos entalhes ou aos parafusos. O plano de maior enfraquecimento
coincide com a direção das fibras da madeira.
13.1.1. Verificação da segurança de ligação com dente único
A Figura 61-a ilustra uma ligação por entalhe com um dente. O dente pode
ser executado no esquadro ou segundo a bissetriz do ângulo formado entre a peça
comprimida. Nesta secção, considerar-se-á que o dente é cortado no esquadro,
possuído o comprimento mostrado na Figura 61-b.
Deve-se verificar as resistências das superfícies de esmagamento, ao
cisalhamento direto, à compressão e tração paralelas, inclinadas e perpendiculares
às fibras conforme o esforço nas peças. FA
he
β
f
FC
FB
b
FA
he
β
f
FC
FB
b
FA
βcose
FA
βcose
(a) (b)
Figura 61: Ligação por entalhe com um dente
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
155
Quando há solicitações de cisalhamento, a verificação a ser feita para o
estado limite último é expressa por
dvd f ,0≤τ , (1.1)
onde τd é a máxima tensão de cisalhamento atuando no ponto mais solicitado da
peça e dvf ,0 é a resistência de cálculo ao cisalhamento paralelo às fibras.
v
kvodv
fkf
γ,
mod,0 = , (1.2)
com γv = 1,8 caso exista o valorexperimental de fv0,k ou com fv0,d = 0,12 fc0,d
(coníferas) ou fv0,d = 0,10.fc0,d (folhosa).
A tensão cisalhante de cálculo é dada por:
ci
dd A
V=τ , (1.3)
bfAci ⋅= , (1.4)
sendo Vd esforço cortante de cálculo, Aci seção que resiste ao cisalhamento, que
deve coincidir com o plano na direção das fibras, b a largura da peça e f o
comprimento resistente ao cisalhamento (Figura 61-a).
O esforço cortante de cálculo (Vd) é dado por
βcos⋅= Ad FV , (1.5)
sendo FA e β a força de compressão na barra e o ângulo entre as duas peças
(Figura 61-a)
A solicitação de compressão normal às fibras geralmente ocorre em regiões
de apoio dos elementos estruturais de madeira e nos locais de introdução de forças
aplicadas com direção perpendicular às fibras. Como exemplo, citam-se os apoios
das vigas.
Na verificação de esforços de compressão normal às fibras, deve ser
considerada a extensão do carregamento, medida paralelamente à direção das
fibras.
A condição de segurança é dada por
dcdc f ,90,90 ≤σ , (1.6)
onde a tensão de cálculo de compressão normal às fibras é a relação
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
156
c
ddc A
F=,90σ ,
(1.7)
Fd: força de cálculo de compressão normal às fibras; Ac : área de contato que pode
estar submetida ao esmagamento. A resistência de cálculo normal às fibras é dada
por
ndcodc ff α⋅= ,,90 25,0 , (1.8)
sendo o coeficiente αn é igual a 1 (um) no caso de ser a extensão da carga “a”,
medida na direção das fibras, maior ou igual a 15 cm. Quando esta extensão for
menor que 15 cm, e a carga estiver afastada pelo menos de 7,5 cm da extremidade
da peça, esse coeficiente é fornecido pela Tabela 19. Essa tabela aplica-se também
ao caso de arruelas, tomando-se como extensão de carga “a” seu diâmetro ou lado.
Tabela 19: Valores de αn Extensão da carga normal às fibras, medida paralelamente a estas “a” (cm)
αn
1 2 3 4 5
7,5 10 15
a > 15
2,00 1,70 1,55 1,40 1,30 1,15 1,10 1,00 1,00
A condição de segurança da tensão normal de compressão inclinada em
relação às fibras é dada por
f dcdc ,, ασ α ≤ , (1.9)
sendo fcα,d a resistência a tensões normais de compressão inclinadas em relação às
fibras.
Na avaliação da resistência a tensões normais de compressão inclinadas em
relação às fibras da madeira, a NBR 7190:1997 permite ignorar a influência da
inclinação β das tensões normais em relação às fibras da madeira até o ângulo β =6°
(arctg β = 0,10). Para inclinações maiores é preciso considerar a redução de
resistência, adotando-se a fórmula de Hankinson, expressa por
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
157
ααα cos, 2,90
2,0
,90,0
⋅+⋅
⋅=
fsenfff
f dcdcdc
dcdc , (1.10)
A tensão normal de cálculo é dada por
c
d
AN
dc =σ α , , (1.11)
αcosebcA ⋅= , (1.12)
sendo Nd a força de cálculo atuante na barra na barra comprimida, ou seja, FA
(Figura 61-b) e Ac é área comprimida.
13.1.2. Ligações por entalhe com dois dentes
As ligações por entalhe com dois dentes asseguram maior superfície de
contato, conseqüentemente maior capacidade de carga, porém este tipo de ligação
é de maior dificuldade de execução. Para NATTERER et al. (2004), o inconveniente
desta ligação é a complexidade de sua execução, a qual deve assegurar o contacto
das duas superfícies dos dentes previsto com este objetivo. Para evitar este
inconveniente, os autores aconselham deixar uma pequena folga no entalhe do
primeiro dente e assegurar unicamente o contacto com o segundo dente. O contacto
ótimo das duas superfícies é obtido por um ajuste final utilizando-se por exemplo
champas zincadas (Figura 62).
Segundo PFEIL e PFEIL (2003), os dentes podem ser cortados no esquadro
ou na bissetriz do ângulo e apresentar comprimentos de contato iguais ou diferentes.
O procedimento de cálculo para a verificação da segurança quanto às
tensões cisalhantes, normais às fibras e inclinadas em relação às fibras é similar ao
da Secção 13.1.1.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
158
FC
FA
he2
β
f FB
be1
≥ 1 cm
t/2 t/2
FC
FA
he2
β
f FB
be1
≥ 1 cm
t/2 t/2
Figura 62: Exemplo de entalhe com dente duplo
A condição de segurança é a mesma dada pelas Eq. 1.1 a 1.5, porém o
comprimento f deve ser considerado no entalhe do segundo dente (Figura 62)
13.1.3. Disposições construtivas das ligações por entalhe
Durante a execução das ligações por entalhe reduzir as imperfeições,
assegurando-se o perfeito encaixe entre as peças.
A NBR 7190:1997 determina que a profundidade mínima do entalhe do dente
seja de 2 cm e a máxima de 4h . NATTERER et al. (2004) recomendam que o
comprimento f que resiste ao cisalhamento nas extremidades dos elementos
estruturais tenham um comprimento mínimo de 15 cm.
Quando a ligação apresentar dois dentes, deve-se assegurar que os planos
de cisalhamento sejam suficientemente defasados. NATTERER et al. (2004)
determinam que sejam respeitados uma distância de, no mínimo, 1 cm entre os
planos de cisalhamento e que mmee 1021 −< e que 21 8,0 ee ⋅< .
13.2. CRITÉRIO DE DIMENSIONAMENTO DAS LIGAÇÕES POR PINOS
O dimensionamento dos elementos de ligação deve obedecer a condições de
segurança do tipo
dd RS ≤ (1.13)
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
159
onde Rd é o valor de cálculo da resistência dos elementos da ligação e Sd o valor de
cálculo das solicitações nela atuantes.
Em princípio, o estado limite último da ligação pode ser atingido por
deficiência de resistência da madeira da peça estrutural ou do elemento de ligação.
As ligações de diferentes peças estruturais podem ser feitas pelos meios usuais das
ligações de peças de madeira ou pelo emprego de elementos intermediários de aço.
Para o dimensionamento das ligações, considera-se a resistência da madeira à
tração, a compressão e ao embutimento e a tensão de escoamento do elemento
metálico. A segurança desses elementos intermediários de aço deve ser verificada
de acordo com a NBR 8800 - Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios.
13.3. RESISTÊNCIA DE EMBUTIMENTO DA MADEIRA
Na falta de determinação experimental, conforme determina o anexo B da
NBR 7190:1997, as relações a seguir podem ser usadas:
dcde ff ,0,0 = (1.14)
edcde ff α⋅= ,0,90 25,0 , (1.15)
αe dado pela Tabela 20.
Tabela 20: Valores do coeficiente αe
Diâmetro do pino (cm) ≤ 0,62 0,95 1,25 1,6 1,9 2,2 Coeficiente αe 2,5 1,95 1,68 1,52 1,41 1,33
Diâmetro do pino (cm) 2,5 3,1 3,8 4,4 5,0 ≥ 7,5 Coeficiente αe 1,27 1,19 1,14 1,1 1,07 1,0
13.4. RESISTÊNCIA DE CÁLCULO DOS PINOS
A resistência de um pino submetido a carregamento transversal é obtida pela
soma das resistências correspondentes às suas diferentes seções de corte é função
do tipo da falha. Ela é determinada por
1,vdvd RnR ⋅= , (1.16)
sendo n o número de planos de corte e 1,vdR a resistência de um plano de corte.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
160
O tipo de falha, embutimento da madeira ou flexão do pino, é indicado pelos
parâmetros:
dt=β e (1.17)
ed
yd
ff
25,1lim
=β , (1.18)
sendo t é a espessura convencional da madeira; d é o diâmetro do pino; fed é a
menor resistência de cálculo ao embutimento da madeira dentre as resistências dos
elementos de madeira que compõem a ligação; fyd é a resistência de cálculo ao
escoamento do pino metálico = fyk / γs ; γs = 1,10.
Se limββ ≤ , a falha ocorre por embutimento da madeira. Se
limββ> , a falha será
por flexão no pino.
13.4.1. Embutimento da madeira
Se for verificado que a falha na ligação for devida ao embutimento do pino na
madeira, a resistência de um plano de corte do pino submetido a carregamento
transversal é dada por:
ft
R edvd β
2
1, 40,0= , (1.19)
sendo t é a espessura convencional da madeira; d é o diâmetro do pino; fed é a
resistência de cálculo ao embutimento; fyd é a resistência de cálculo ao escoamento
do pino metálico.
13.4.2. Flexão do pino
Se for verificado que a falha na ligação for devida à flexão do pino na
madeira, a resistência de um plano de corte é dada por
( )lim
lim
2
1, 625,0 βββ
== comfdR ydvd , (1.20)
sendo d o diâmetro do pino; fyd a resistência de cálculo ao escoamento do pino
metálico, tomando-se s
ykyd
ff γ= e 1,1=sγ .
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
161
A espessura convencional t deve ser obtida segundo a configuração da
ligação. No caso de duas peças de madeira, correspondente a corte simples, t será
a menor das espessuras t1 e t2 das peças a serem unidas, de acordo com a Figura
63.
(
t1
(t 2d)t e t
≥2
(PARAFUSOS)
2
(PREGOS)
valor entret é o menor 1
d
t 2t
d
1t 4t
( 24t < t
≥4(t 12d) valor entre1t e t24t < t 2
(
4t = t
t é o menort e t21valor entret é o menor
t = t
t1 2t
4( 2
2
Figura 63: Pinos em corte simples (NBR 7190:1997).
No caso de três peças, correspondente a corte duplo, será adotado o menor
dos valores entre t1 , t2 /2 e t3 , conforme indica a Figura 64.
(PARAFUSOS)
1 2
22t
2t2
t t 3t 1t
(PREGOS)
2t2
2t2
t3
t <t 3 (
t4
4(
t t 3=4≥t 12d4 t21t 3t
((t t 3=4
Figura 64: Pinos em corte duplo (NBR 7190:1997).
13.4.3. Disposições construtivas das ligações por pinos
As ligações pregadas devem ser obrigatoriamente pré-furadas, com um
diâmetro df não maior que o diâmetro d do prego, atendendo aos valores:
df = 0,85 d → para as coníferas e
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
162
df = 0,98 d → para as folhosas.
As ligações parafusadas são consideradas rígidas quando o diâmetro de pré-
furação não ultrapassar o limite:
df ≤ d+0,5 mm (1.21)
Nas ligações com mais de oito (8) pinos, os pinos adicionais devem ser
considerados com apenas 2/3 de sua resistência individual.
( )8328 −+= nno (1.22)
Os pregos estruturais devem apresentar fyk ≥ 600 MPa e diâmetro d ≥ 3 mm.
Os parafusos estruturais devem ser de aço com resistência fyk ≥ 240 MPa e
diâmetro d ≥ 10 mm.
Nas ligações parafusadas o diâmetro dos parafusos devem ser menores que
t/2 e nas pregadas menor que t/5.
Para que seja garantida a durabilidade da ligação, recomenda-se especificar
pregos galvanizados ou, em ambientes agressivos, aço inoxidável.
O padrão de pregos para construções disponíveis no mercado brasileiro usa
uma especificação em escalas não muito amigáveis. Na prática são comuns os
critérios:
a) JP x LPP: JP é o diâmetro do prego em JDP (Jauge de Paris); LPP é o
comprimento do prego e significa Linha de Polegada Portuguesa,
equivalente a 2,30 mm.
b) IN BWG: IN é o comprimento do prego em polegadas (inches) e BWG
(Birmingham Wire Gauge) é o diâmetro do prego.
13.5. ESPAÇAMENTO ENTRE PINOS
Os espaçamentos mínimos entre pinos devem ser observados segundo a
descrição mostrada na Figura 65.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
163
1,5d
nd
1,5d1,5d 3d
1,5d
4dnd
7dndnd1,5d
1,5d3d
1,5d3d
1,5d
4dnd
parafusosn = 4
pregos,cavilhascavilhasparafusos ajustadosjaaaaaaaaaajustadosaf
4dnd1,5d
1,5d3d
n = 6
Figura 65: Espaçamentos em ligações com pinos (NBR 7190:1997).
13.6. DETALHAMENTO DAS LIGAÇÕES
As figuras a seguir ilustram o detalhamento de ligações para os diversos tipos
de conectores.
(a) Detalhes em elevação (b) Detalhes em planta
Figura 66: Ligações com pregos (NBR 7190:1997)
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
164
(a) Detalhes em elevação (b) Detalhes em planta
Figura 67: Ligação com parafuso «tirafond» e de rosca soberba (NBR 7190:1997)
(a) Detalhes em elevação (b) Detalhes em planta
Figura 68: Ligação com parafuso prisioneiro (NBR 7190:1997)
(a) Detalhes em elevação (b) Detalhes em planta
Figura 69: Ligação com parafuso passante (NBR 7190:1997)
(a) Detalhes em elevação (b) Detalhes em planta
Figura 70: Ligações com anéis (NBR 7190:1997)
(a) Detalhes em elevação (b) Detalhes em planta
Figura 71: Ligações com chapas de dentes estampados (NBR 7190:1997)
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
165
13.7. EXERCÍCIOS 13.7.1. Verificação de ligação por entalhe
Verificar se a ligação da Figura 72 na ligação de extremidade da treliça de
Jatobá satisfaz o critério de segurança de norma NBR 7190:1997. Considere que o
carregamento é de longa duração, a madeira é usual, a classe de umidade do local
da construção é 2 e as cargas permanentes são de grande variabilidade. fc0,m = 93,3
MPa; esforço de cálculo: N1-2,d = - 5.039 daN (compressão) N1-10,d= +4.637 daN
(tração); θ = 23º.
viga de concreto
N1-2
3 cm
11 cm
c=10 cm
12
6 cm N1-10
12
θ
6 cm
Figura 72: Ligação por entalhe de um nó de uma tesoura
Nesta ligação é necessária a verificação da segurança ao cisalhamento, à
tensão de compressão inclinada em relação às fibras, à tensão de compressão
perpendicular às fibras, às tensões de compressão e tração paralela às fibras. Para
isso, inicialmente, determinar-se-ão as resistências de cálculo.
Como não foram dados valores experimentais, das resistências ao
cisalhamento, da tração paralela às fibras e da compressão perpendicular às fibras,
estas serão determinadas em função da resistência de cálculo à compressão
paralela às fibras.
A resistência de cálculo à compressão paralela às fibras é dada por
c
kcàdcà
fkf
γ,
mod, ⋅= e
( ) MPaMPaff mcàkcà 31,653,937,07,0 ,, =⋅=⋅= .
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
166
A determinação do kmod se dá a partir da classe de carregamento, da classe
de umidade e da categoria da madeira. Para condições normais de projeto, segundo
a NBR 7190, o carregamento deve sempre ser considerado de longa duração,
portanto 7,01mod =k . A classe de umidade do local de construção é 2, portanto
0,12mod =k e madeira não é classificada, portanto considera-se de 2a categoria, logo
8,03mod =k . Dessa forma tem-se:
56,08,00,17,0mod =⋅⋅=k .
Sendo o fator de minoração à compressão da madeira ( cγ ) igual a 1,4, tem-se
2,0 24,261124,264,1
31,6556,0cmdaNMPaMPaf dc === .
Na ausência de dados experimentais, adotar-se-á a resistência de cálculo à
tração paralela às fibras igual à resistência de cálculo à compressão paralela às
fibras:
2,0,0 24,261cmdaNff dcdt == ,
e a resistência de cálculo ao cisalhamento paralelo às fibras, para as folhosas, igual
a:
22,0,0 12,2624,26110,010,0cmdaN
cmdaNff dcdv =
⋅=⋅= .
Na região do entalhe do dente da ligação tem-se compressão inclinada em
relação às fibras da madeira. A condição de segurança quanto à compressão
inclinada é dada pela expressão:
dcdc f ,23,23 ≤σ , sendo
°⋅+°⋅
⋅=
23cos23 2,90
2,0
,90,0,23
dcdc
dcdcdc fsenf
fff .
A resistência à compressão perpendicular às fibras é dada por:
ndcdc ff α⋅⋅= ,0,90 25,0 , com 0,1=nα .
22,90 2,650,12,26125,0cmdaN
cmdaNf dc =⋅
⋅= .
Assim
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
167
22
22
2
22
,23 1,17923cos2,65232,261
2,652,261
cmdaN
cmdaNsen
cmdaN
cmdaN
cmdaN
f dc =°⋅
+°⋅
⋅
= .
A tensão de cálculo à compressão inclinada às fibras é dada por:
c
ddc A
N ,21,23
−=σ , sendo
°=
23cosebAc . Logo
( )( ) .69,25726,36
5039
23cos36
50392,23 cm
daNcmcm
daNcmcm
daNdc ==
°
=σ
Como
22 1,17969,257cmdaN
cmdaN
≥ ,
a profundidade de 3 cm não proporciona uma superfície inclinada capaz de garantir
a condição de segurança para a tensão de cálculo à compressão inclinada. Deve-se
procurar uma outra solução. Segundo a NBR 7190:1997, a profundidade minima do
entalhe deve ser 2 cm e a máxima 4h , ou seja, 3 cm
cmcmhe 34
124
==≤ .
Dessa forma, a profundidade do entalhe não pode ser aumentada. A solução que se
apresenta é a utilização de dente duplo. Determinar-se-á, então, a área inclinada de
compressão inclinada às fibras que garanta a condição de segurança.
Sabe-se que:
2,21
,23 1,179cmdaN
AN
c
ddc ≤= −σ .
2,21 1,179
cmdaN
AN
c
d ≤− ,
cA
cmdaNdaN
≤
21,179
5039 ,
214,28 cmAc ≥ ,
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
168
214,2823cos
cmbe≥⋅
°,
( ) cmcm
cme 32,46
23cos14,28 2
=°
≥ .
Sabe-se que
21 eee += e que
mmee 1021 −< e
21 8,0 ee ⋅< . Se se adotar o valor máximo possível para e2, tem-se e2 = 3 cm, logo
=−=⋅
<cmcmcm
cmcme
0,20,134,238,0
1 .
cme 0,21 = .
cmcmcmcme 32,450,20,3 ≥=+= .
Assim, adotando-se dois dentes: o primeiro de 2 cm e o segundo 3 cm,
atende-se a condição de segurança à tensão de compressão inclinada em relação
às fibras.
A condição de segurança ao cisalhamento paralelo às fibras é dada pela
expressão
dvd f ,0≤τ , sendo a tensão cisalhante de cálculo ( dτ ) causada pela componente horizontal da
força atuante na barra comprimida (Vd).
ci
dd A
V=τ .
Inicialmente, o comprimento cisalhado era 10 cm (medido a partir do vértice do único dente Figura
72). Como foi necessário adotar uma ligação com dois dentes, o detalhe do nó passa a ser aquele
ilustrado pela
Figura 73, onde a superfície de cisalhamento é aquela considerada a partir do
vértice do segundo dente até a ectremidade da peça. Assim sendo, o novo valor de f
passa a ser 26,63 cm.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
169
Figura 73: Nova configuração da ligação
Assim sendo:
daNdaNNV ood 4,463823cos503823cos21 === − ,
( )( ) 268,154678,25 cmcmcmAci ==
22 99,2968,1544,4638
cmdaN
cmdaN
d ==τ . Como
22 21,2699,29cmdaN
cmdaN
≥ ,
a ligação não atende a condição de segurança de cisalhamento. Dessa forma, tem-
se que determinar outro comprimento f que irá atender essa condição.
Sabe-se que a área cisalhada é dada por:
( )cmfAci 6⋅= e que
212,26cmdaN
AV
ci
dd ≤=τ . Logo
212,26cmdaN
VA dci ≥ ,
( )212,26
4,46386
cmdaNdaNcmf ≥⋅ ,
cmcmf
658,177 2
≥ ,
cmf 6,29≥ .
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
170
Adotar-se-á cmf 30= , contando a partir do vértice do 2o dente até a
extremidade (Figura 74).
15,36 cm
RV
N1-2,d
15,36 cm
6 cm
2 3
23°
N1-10,d
6 cm
12 cm30 cm
11 cm
13,37 cm 15,36 cm
RV
N1-2,d
15,36 cm
6 cm
2 3
23°
N1-10,d
6 cm
12 cm30 cm
11 cm
13,37 cm
Figura 74: Detalhe final do nó por entalhe
Tem-se, também, que se efetuar a verificação da segurança quanto à
compressão normal às fibras. A condição de segurança é dada pela expressão:
dcdc f ,90,90 ≤σ , sendo
c
ddc A
F=,90σ ,
Fd é a força de compressão e Ac é a área comprimida.
O valor da força de compressão normal às fibras é obtido por equilíbio de
forças no nó na direção vertical (Figura 75).
N1-10,d
N1-2,d
RV
23°N1-10,d
N1-2,d
RV
23°
Figura 75: Esquema estático do nó da ligação
∑ +↑= 0VF .
02321 =+°⋅− − VRsenN
daNsendaNRV 9,1968235039 =°⋅= .
A resistência de cálculo à compressão perpendicular às fibras é dada por:
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
171
ndcdc ff α⋅⋅= ,0,90 25,0 ,
sendo o coeficiente αn é igual 1,0 no caso da extensão de aplicação da carga,
medida na direção das fibras, ser maior ou igual a 15 cm. Como a largura do apoio
da treliça é 11 cm e a carga está a mais de 7,5 cm da extremidade da peça, o valor
de αn será dado por interpolação entre os valores de 1,1 e 1,0 da Tabela 19, como
segue:
1,11011
1,10,11015
−−
=−−
n
cmcmcmcmα
.
08,1=nα .
Dessa forma
22,90 53,7008,124,26125,0cmdaN
cmdaNf dc =⋅
⋅= .
( )( ) 2,90 8,29611
9,1968cmdaN
cmcmdaN
dc ==σ .
Como
22 53,708,29cmdaN
cmdaN
≤ .
A ligação atende o critério de segurança quanto à tensão de compressão
perpendicular às fibras.
Após a determinação da profundidade dos dentes empregados na ligação por
entalhe, é necessário fazer a verificação da tensão de tração paralela às fibras, visto
que a secção útil da peça tracionada sofreu uma redução devido ao entalhe. O
critério de segurança à tração paralela às fibras é dado por
uti
ddt A
N ,101,0
−=σ ,
( ) ( ) 22 546312 cmcmcmcmbehAuti =−=−= ,
22,0 87,8554
4637cmdaN
cmdaN
dt ==σ ,
22 24,26187,85cmdaN
cmdaN
≤ .
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
172
Portanto a peça satisfaz o critério de segurança de tensão de tração paralela às
fibras.
13.7.2. Dimensionamento de montante com ligação parafusada
Dimensionar o montante mais solicitado da treliça da Figura 76 para a
situação normal de projeto (carregamento de longa duração), considerando que a
madeira utilizada é uma folhosa 1ª categoria de classe C40 e que a obra está
inserida em local cuja classe de umidade é 2. Ligações de parafusos de 16 mm e
MPaf y 300= ; kNG 6= peso próprio,; kNQ 4= sobrecarga; kNW 6= sucção.
A
B
a
EMENDAS
J N
C
D
10 m
K ML
E
PO
H
G
F
2 m
1,25 m
Figura 76: Tesoura de cobertura
Aplicando-se qualquer método de resolução de treliças, encontram-se os
seguintes esforços internos para cada caso de carga em separado (Tabela 21).
Como a treliça e o carregamento são simétricos, basta calcular esforços para
metade das barras.
Examinando os valores dos esforços internos nos montantes (Tabela 21),
constata-se que o mais carregado é o montante E-M, para o qual se faz a
combinação última normal de ações. Há duas combinações de carregamento:
quando há sobrecarga, o montante está tracionado e, quando há vento, o montante
está comprimido. As duas precisariam ser verificadas para assegurar-se a
segurança do montante. Para a combinação dos esforços devidos ao peso próprio
com a sobre carga tem-se:
QGsd NNN ⋅+⋅= 4,14,1 kNkNkNN sd 42124,1184,1 =⋅+⋅=
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
173
Tabela 21 : Esforços internos
Posição Barra G (kN) Q (kN) W (kN)
Banzo
superior
A-B -56,6 -37,7 60,3 B-C -48,5 -32,3 53,9 C-D -40,4 -26,9 47,6 D-E -32,3 -21,5 41,2
Banzo inferior
A-J 52,5 35 -53,8 J-K 52,5 35 -53,8 K-L 45 30 -45,7 L-M 37,5 25 -37,6
Montantes
B-J 0 0 0 C-K 3 2 -3,2 D-L 6 4 -6,5 E-M 18 12 -19,4
Diagonais B-K -8,1 -5,4 8,7 C-L -9,6 -6,4 10,4 D-M -11,7 -7,8 12,7
Para a combinação dos esforços devidos ao peso próprio e o vento tem-se
WGsd NNN ⋅⋅+⋅= 75,04,19,0 kNkNkNN sd 2,44,1975,04,1189,0 −=⋅⋅−⋅=
É necessário determinar a resistência de cálculo da madeira utilizada.
3mod2mod1modmod KKKK ⋅⋅= 7,00,10,17,0mod =⋅⋅=K
4,1,
mod,,kco
dcodto
fKff ⋅==
MPaf dto 204,1
407,0, ===
A condição de segurança é
dtdt f ,0,0 ≤σ , sendo
w
sddt A
N=,0σ , assim sendo
2
,
212
42 cmfNA
dto
sdw ==≥
A espessura mínima especificada pela norma é cmt 5,2≥ e a área mínima
)(35 2min normatabelacmAw = . Esta será a área mínima da seção do montante
cmLt 350
150500min === , sendo L o comprimento da barra
17350max =→= máxtL λ
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
174
Seções comerciais: dimensões múltiplas de cm5,2 . Utilizada duas peças de
5x5: 250)55(2 cmx =⋅ OK!
Figura 77: Detalha da ligação da tesoura
Nova concepção: 2
1 50105 cmxAW == 2
2 50105 cmxAW == mmddf 5,165,0165,0 =+=+= 225,865,15 cmdtA ff =⋅=⋅=
( )fWWu AAA ⋅−⋅= 22 1 ( ) 26725,82502 cmAWu =⋅−⋅=
dtoWu
AdAd fMPa
cmkN
AN
,2 1,221,06714
<====τ
Parafusos:
34,26,12
5,7===
dtβ
MPaf dy 72,2721,1
300, ==
de
dy
ff
,90
,lim 25,1 ⋅=β
dcoede ff ,,90 25,0 ⋅⋅= α MPaf de 6,72052,125,0,90 =⋅⋅=
49,76,772,27225,1lim =⋅=β oembutimentlimlim ββ >
kNfetR devd 64,376,0
34,2)75,3(80,080,0
2
,90
2
=⋅⋅=⋅⋅=
mm161265,3
42RN
nvd
sdp φ===
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
175
Este número de parafusos precisa ser disposto na região da ligação
respeitando-se os espaçamentos mínimos de norma. Caso não seja possível dispor
os parafusos necessários, deve ser proposto outro tipo de arranjo para a ligação, por
exemplo, uso de chapas metálicas com parafusos.
Figura 78: Espaçamento mínimo para a ligação
13.7.3. Emenda de uma linha de tesoura (continuação do Exemplo 8.3.1)
A linha de uma tesoura está submetida ao esforço solicitante de cálculo Nsd =
50 kN, considerando uma situação duradoura de projeto, verifique se a quantidade
de parafusos é suficiente (Figura 36), considerando: conífera classe C-30;
carregamento de longa duração; classe 4 de umidade; peças de 2ª categoria;
parafusos de diâmetro 12,5 mm com tensão de escoamento fy = 250 MPa.
Nsd Nsd
2,5 cm
5 cm
10 5 5 5 10
2,5 cm
3,75 cm
3,75 cm
7,50 cm
Figura 79: Esquema da ligação
Para se efeturar a verificação do número de parafusos, inicialmente é
necessário determinar qual o tipo de falha que ocorrerá: plastificação da madeira ou
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
176
plastificação do parafuso. Se limββ ≤ ocorrerá plastificação da madeira, portanto o
determinação da resistência de cálculo ao cisalhamento do parafuso se dará pelo
critério do embutimento da madeira. Porém, se limββ > , ocorrerá a plastificação do
parafuso e a determinação da resistência de cálculo ao cisalhamento se dará pela
tensão de escoamento do pararafuso. Logo, precisa-se determinar limβ .
de
yd
ff
,lim 25,1=β ,
sendo fy,d a tensão de escoamento de cálculo do parafuso e fe,d a resistência ao
embutimento da madeira. A tensão de escoamento de cálculo do parafuso é dada
por
2,
, 21822,2181,1
240cmdaNMPaMPaf
fs
kydy ====
γ.
A NBR 7190:1997 especifíca que o diâmetro dos parafusos empregrados
deve estar situada entre
210 tdmm ≤≤ ,
onde t é definido como ilustrado na Figura 64:
==
=≤ cmcmt
cmtt 75,3
25,7
2
75,32
1,ou seja,
cmt 75,3= . Assim sendo o diâmetro do parafuso deve estar contido no intervalo
mmdmm 75,1810 ≤≤ , o que é verdadeiro, visto que o diâmetro adotado é de 1,25 cm.
Para se determinar o parâmetro βlim tem-se que determinar a resistência de
embutimento da madeira. Para este exemplo, a madeira está solicitada
paralelamente às fibras. Logo, a resistência ao embutimento paralelo às fibras (fe0,d)
precisa ser calculado. A NBR 7190:1997 permite que, na ausência de dados
experimentais, seja adotada
dcde ff ,0,0 = .e
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
177
c
kcdc
fkf
γ,0
mod,0 = ,
Como o carregamento é de longa duração kmod1 = 0,7. Sendo a classe de
umidade igual a 4 e as peças de madeira de 2a categoria, isso implica,
respectivamente, em kmod2 = 0,8 e kmod3 = 0,8.
( ) ( ) ( ) 448,08,08,07,0mod =⋅⋅=k ,
2,0 966,94,1
30448,0cmdaNMPaMPaf dc ===
2,0 96cmdaNf de =
O βlim é dado por
08,696
7,227225,1
2
2
lim ==
cmdaN
cmdaN
β .
e o β da ligação será dado por:
325,175,3
===cmcm
dtβ .
Como
08,63 ≤ , a resistência do pino vai ser determinada pela resistência ao embutimento da
madeira. O valor da resistência de cálculo ao cisalhamento de um plano de corte do
parafuso (Rvd,1) pelo critério do embutimento da madeira é dado por:
edvd ftRβ
2
1, 40,0= ,
( ) daNcmdaNcmRvd 18096
375,340,0 2
2
1, =
=
Os parafusos da ligação estão submetidos a dois planos de corte (Figura 80).
Então a resistência de um parafuso é dada por:
( ) daNdaNRR vdvd 36018022 1, =⋅=⋅= .
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
178
Planos de cortePlanos de cortePlanos de corte
Figura 80: Planos de corte da ligação
A resistência da ligação é
( ) ( ) daNdaNRparafnN vdRd 21603606 =⋅=⋅°= . Constata-se que a resistência de cálculo é menor que a solicitação de cálculo Nsd =
5000 daN. Portanto é necessário aumentar o número de parafusos da ligação.
O número de parafusos da ligação é dado por
149,13360
5000. ≈===°daNdaN
RNparafN
vd
sd .
Adotar-se-ão 14 parafusos de 12,5 mm (Figura 81).
52,5
2,510 5 5 5 5 5 5 5 5 10
14 Pf de 12,5 mm 14 Pf de 12,5 mm
52,5
2,510 5 5 5 5 5 5 5 5 10
14 Pf de 12,5 mm 14 Pf de 12,5 mm
Figura 81: Vista lateral da ligação
É necessário verificar a possibilidade de execução da emenda desse
comprimento (120,5mm). Pode-se optar por aumentar o diâmetro dos parafusos
para 16 mm.
13.7.4. Dimensionamento de montante com ligação parafusada
Dimensionar a ligação entre o montante e o banzo inferior de uma treliça de
tatajuba que será executada em local com classe de umidade 2 (Figura 82). Sabe-se
que a ação permanente é de grande variabilidade e que as ações variáveis são
causadas por sobrecargas acidentais. Tatajuba (fc0,k = 56 MPa, fc0,d = 22,4 MPa);
parafusos comuns com fyk = 240 MPa; esforços de cálculo: N1,d = 1.020 daN
(montante) e N2,d = N3,d =2.888 daN (banzo inferior)
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
179
N2,d
c = ?
3 cm
12 cm 3
N1,d
N3,d
6 cm
12
3 cm 3 cm6 cm
N1,d
Figura 82: Ligação entre o montante e o banzo inferior de uma tesoura
Para se dimensionar a ligação da Figura 82, inicialmente é necessário
determinar o diâmetro do parafuso a ser empregado. Essa determinação é feita em
função da espessura das peças de madeira que compõem a ligação. A NBR
7190:1997 prescreve que o diâmetro mínimo dos parafusos é 10 mm e o máximo é
dado por:
2td ≤ ,
sendo
==
=≤ cmcmt
cmtt 3
26
2
32
1,ou seja,
cmt 3= . conforme ilustrado pela Figura 64. Logo o diâmetro máximo que se pode utilizar é
cmcmd 5,12
3=≤ ,
assim sendo
cmdcm 5,10,1 ≤≤ . Adotar-se-á, então, o diâmetro mínimo de 1,0 cm. Este diâmetro atende a relação
recomendada pela boa prática
3==dtβ ,
que assegura ligações pouco deformáveis.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
180
A fim de determinar a resistência do parafuso, deve-se saber qual é o tipo de
falha que irá ocorrer. A falha pode ocorre por plastificação da madeira ou do
parafuso. Se limββ ≤ ocorrerá plastificação da madeira, portanto a determinação da
resistência de cálculo ao cisalhamento do parafuso se dará pelo critério do
embutimento da madeira. Porém, se limββ > , ocorrerá a plastificação do parafuso e
a determinação da resistência de cálculo ao cisalhamento se dará pela tensão de
escoamento do pararafuso. Logo, precisa-se determinar limβ .
de
yd
ff
,lim 25,1=β ,
sendo fy,d a tensão de escoamento de cálculo do parafuso e fe,d a resistência ao
embutimento da madeira. A tensão de escoamento de cálculo do parafuso é dada
por
2,
, 21822,2181,1
240cmdaNMPaMPaf
fs
kydy ====
γ,
enquanto que a determinação da resistência ao embutimento da madeira merece
uma análise mais detalhada.
Nessa ligação, o parafuso está solicitando a resistência ao embutimento
paralelo às fibras no montante, e a resistência ao embutimento perpendicular às
fibras no banzo inferior. Para o cálculo da resistência do parafuso, deve-se
considerar o valor mais desfavorável de resistência ao embutimento, ou seja, o
menor valor.
No montante, tem-se resistência ao embutimento paralela às fibras, dada por
dcde ff ,0,0 = ,
.2244,22 2,0 cmdaNMPaf de ==
No banzo inferior, tem-se resistência ao embutimento perpendicular às fibras,
dada por
edcde ff α⋅⋅= ,0,90 25,0 , sendo αe determinado em função do diâmetro do parafuso adotado (Tabela 20).
Neste caso o diâmetro é 10 mm, então αe= 1,95. Então
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
181
( ) 22,90 2,10995,122425,0cmdaN
cmdaNf de =⋅
⋅= .
A situação mais desfavorável é a definida pela resistência ao embutimento
perpendicular às fibras. Dessa forma, calcular-se-á o limβ com ela.
6,52,109
218225,1
2
2
lim ==
cmdaNcmdaN
β .
Como
6,53 lim =≤= ββ , o dimensionamento vai ser realizado pelo critério do embutimento da madeira.
O valor da resistência de cálculo ao cisalhamento de um plano de corte do
parafuso (Rvd,1) pelo critério do embutimento da madeira é dado por:
edvd ftRβ
2
1, 40,0= ,
( ) .1312,1093
340,0 2
2
1, daNcmdaNcmRvd ==
Como o parafuso está submetido a dois planos de corte, a resistência de um
único parafuso é dada por:
( ) daNdaNRR vdvd 26213122 1, =⋅=⋅= . Portanto, o número de parafusos necessários para resisistir o esforço de tração no
montante é dado por
9,3262
1020===°
daNdaN
RtantemonnoEsforçoparafdeN
vd
.
Adotar-se-ão 4 parafusos de 10 mm.
A distribuição dos parafusos deve obedecer os quesitos de espaçamento
exigidos pela NBR 7190:1997, os quais são ilustrados pela Figura 65 e resumidos na
Figura 83-a. A partir dessas especificações, adotou-se a configuração ilustrada na
Figura 83-b.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
182
1,5d 3d
7d
1,5d
4d
4d
4d1,5d
1,5d 3d
7d
1,5d
4d
4d
4d1,5d
3
3
6
6
4 cm4 cm4 cm
3 36 cm
7 cm
12
12
4 Pf 10 mm
3
3
6
6
4 cm4 cm4 cm
3 36 cm
7 cm
12
12
4 Pf 10 mm
(a) Espaçamentos mínimos dos
parafusos (b) Espaçamentos adotados
Figura 83: Espaçamentos dos parafusos
O detalhamento apresentado na Figura 83-b atendo os espaçamentos
mínimos prescritos pela NBR 7190:1997, porém é necessário verificar se a distância
de 7 cm entre o último parafuso e a extremidade do montante atende o critério de
segurança quanto ao cisalhamento puro:
dvdv f ,0,0 ≤τ .
Para a tatajuba (folhosa), a resistência de cálculo ao cisalhamento paralelo às
fibras é dado por
22,0,0 4,2222410,010,0cmdaN
cmdaNff dcdv =
=⋅= .
A tensão de cálculo ao cisalhamento paralelo às fibras é causada pela força
exercida pelo parafuso sobre a madeira. Nesse caso, o seu valor corresponde ao
valor da força de cisalhamento que atua em cada plano de corte do parafuso.
A Figura 84 ilustra o esquema estático da ligação, onde Fd é o esforço em
cada plano de corte e é a força que vai solicitar ao cisalhamento a extremidade da
peça do montante. Fd é dado por
81020
,daNF d = ;
a área cisalhada é dada por
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
183
( )( ) 242372 cmcmcmAci =⋅= . Logo a tensão de cálculo ao cisalhamento paralelo às fibras é
22,0 04,342
5,127cmdaN
cmdaN
dv ==τ .
2,02 4,2204,3cmdaNf
cmdaN
dv =≤ .
A comprimento de 7 cm atende o critério de segurança ao cisalhamento.
4 cm4 cm4 cm
3 36 cm
7 cm
4 Pf 10 mm
daNpeçasN d 510
2,1 =
Fd
4 cm4 cm4 cm
3 36 cm
7 cm
4 Pf 10 mm
daNpeçasN d 510
2,1 =
Fd
Figura 84: Esquema estático da ligação de uma peça do montante
Como o montante sofreu uma redução de sua secção transversal devida aos
furos dos parafusos (Figura 85), é necessária a verificação da resistência à tração
paralela às fibras.
3 cm
3 cm
12 cm
df
3 cm
3 cm
12 cm
df
Figura 85: Secção transversal do montante
O critério de segurança é dado por:
dtdt f ,0,0 ≤σ .
uti
ddt A
N ,1,0 =σ
mmmmmmmmdd f 5,105,0105,0 =+=+=
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
184
( )( ) ( )( )[ ] 24,59305,123122 cmcmcmcmcmAuti =⋅−⋅=
22,0 17,174,59
1020cmdaN
cmdaN
dt ==σ
Na ausência de dados experimentais sobre a resistência característica à
tração paralela às fibras, a NBR 7190:1997 permite utilizar dcdt ff ,0,0 = . Assim
2,0 224cmdaNf dt = . Como
22 22417,17cmdaN
cmdaN
≤ ,
conclui-se que o montante atende o critério de segurança.
O mesmo procedimento deve ser efetuado para o banzo inferior, no qual
encontrar-se-ão
( )( ) ( )( ) 24,59605,12612 cmcmcmcmcmAuti =⋅−= ,
22,0 62,484,59
2888cmdaN
cmdaN
dt ==σ ,
22 22462,48cmdaN
cmdaN
≤ ,
concluindo-se que os banzo atende o critério de segurança de tração paralela às
fibras.
Uma vez todas as condições de segurança atendidas, a ligação pode ser
considerada segura de acordo com a NBR 7190:1997.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
185
14. MADEIRA LAMINADA-COLADA
14.1. DEFINIÇÃO DE MADEIRA LAMINADA-COLADA
Chama-se "madeira laminada-colada" peças de madeira reconstituídas a partir
de lâminas de madeira (tábuas), que são de dimensões relativamente reduzidas se
comparadas às dimensões da peça final assim constituída. Essas lâminas, que são
unidas por colagem, ficam dispostas de tal maneira que as suas fibras fiquem paralelas
entre si.
14.2. HISTÓRICO
Na realidade, a aplicação da madeira segundo o processo do laminado-colado
reúne duas técnicas bastante antigas. Como o próprio nome indica, a madeira
laminada-colada foi concebida a partir da técnica da colagem aliada à técnica da
laminação, ou seja, da reconstituição da madeira a partir de lâminas (tábuas).
No que diz respeito à colagem, pelo que se tem conhecimento é uma técnica
muito antiga, pois se pode citar como exemplo o de certos baús de madeira
encontrados nas pirâmides do Egito, onde os cantos foram unidos por colas orgânicas.
A descoberta desses baús mostra ainda, a eficiência e durabilidade, tanto da madeira
como da colagem.
Por outro lado, a técnica da laminação é bem mais recente, pois pelo que se tem
conhecimento a sua aplicação concreta teve início no século XIX. O exemplo mais
marcante que pode ser citado é o de arcos compostos por lâminas (tábuas) encurvadas
e sobrepostas, mantidas unidas por ligações mecânicas. Essa técnica foi, portanto
introduzida pelo coronel Emy no final do século passado.
No entanto, a junção das duas técnicas, para dar origem à madeira laminada-
colada (MLC) empregada na fabricação de elementos estruturais a serem utilizados na
construção civil, só foi possível, com o surgimento de colas de alta resistência. Foi,
portanto, em 1906, com o aparecimento da cola de caseína (derivada do leite) que o
mestre carpinteiro suíço Otto Hetzer teve a idéia de substituir pela cola, as ligações
metálicas de braçadeiras e parafusos, utilizadas pelo coronel Emy. Com isso, obteve-
se uma seção mais homogênea e sem a ocorrência de deslizamentos entre uma
lâmina e outra. Daí para frente, a MLC evoluiu em paralelo com o progresso ocorrido
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
186
com as colas, as quais foram se tornando cada vez mais eficientes. No entanto, foi em
1940, com o aparecimento das colas sintéticas que o sistema laminado-colado
conheceu o seu grande progresso.
Essa técnica, que de alguma maneira surgiu também da necessidade de
utilização da madeira de reflorestamento, basicamente formada por "pinus" e que se
apresentava em abundância em países principalmente europeus, teve nessa madeira
de fácil trabalhabilidade, a sua grande aliada.
Portanto, o emprego da madeira sob a técnica do laminado-colado, pouco
conhecida no Brasil, é marcante em países do hemisfério norte.
14.3. COMPOSIÇÃO DA MADEIRA LAMINADA-COLADA
Os elementos estruturais compostos de MLC compreendem, portanto a união
das lâminas de madeira pela cola.
Logo, sob o ponto de vista estritamente técnico, a cola age como um
aglomerante das lâminas. Sua função é a de realizar entre dois planos de fibras, uma
ligação mecânica o mais próximo possível da ligação existente naturalmente entre as
fibras do material de origem. Já, quimicamente, os grupos de oxidrilas livres das
cadeias de celulose da madeira se unem por pontes de hidrogênio com os grupos de
oxidrilas livres da cola, ou seja, exatamente como acontece na união entre as cadeias
de celulose da madeira, onde as oxidrilas livres de cadeias de celulose adjacentes se
unem diretamente umas às outras por pontes de hidrogênio, ou através de moléculas
d'água no caso da madeira estar com um certo teor de umidade (água de
impregnação).
14.4. OPÇÃO PELA TÉCNICA DA MADEIRA LAMINADA-COLADA
A escolha da MLC para as estruturas pode ser de fundamental importância
principalmente quando se tratar de estruturas que ficarão expostas a um meio
corrosivo, ou então, quando existir o risco de incêndio.
Primeiramente, porque a madeira devido à sua grande inércia química, não
apresenta problema de deterioração quando aplicada em meio corrosivo, logo, torna-se
o material ideal para tal finalidade.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
187
Por outro lado, quando se trata de construções sujeitas a riscos de incêndio, a
utilização da MLC na composição estrutural é a mais aconselhada, pois a madeira que
é um material de reação inflamável, queima rapidamente a camada superficial da peça
e em seguida diminui consideravelmente a velocidade de propagação do fogo para o
interior da mesma. Isto porque, com a formação de uma camada de carvão nessa parte
externa, o acesso do oxigênio para o interior da peça fica bastante dificultado e
conseqüentemente a propagação do fogo perde a sua velocidade. Com isso, o núcleo
interno que resta da peça, é muitas vezes suficiente par resistir mecanicamente por
cerca de 30 - 40 minutos. Tempo esse, suficiente para a evacuação da edificação e
retirada dos bens de maior valor. Em resumo, as estruturas de madeira são
consideradas de reação inflamável, mas que guarda "alta" resistência mecânica em
presença do fogo.
Por outro lado, em termos de comparação do comportamento mecânico da
madeira com outros materiais, temos que para elementos estruturais previstos para a
mesma finalidade de uso, como por exemplo, uma viga de madeira e uma de aço, com
massa que dê o mesmo peso para as duas, a viga de madeira possui o mesmo poder
de resistência da viga de aço. De outra maneira, se for feita a comparação entre uma
viga de madeira e uma de concreto, pode se dizer que uma viga de madeira com o
mesmo volume de uma viga de concreto armado comum, possui o mesmo poder de
resistência, sendo no entanto, aproximadamente cinco vezes mais leve. Isto significa
economia nas fundações.
14.5. VANTAGENS DAS ESTRUTURAS EM MADEIRA LAMINADA-COLADA
Como já foi dito inicialmente, além de todas essas vantagens do material
madeira, a técnica do laminado-colado confere ainda às estruturas de madeira, as
seguintes vantagens:
• Em comparação com as estruturas de madeira feitas com peças maciças,
os elementos concebidos em MLC exigem um número bem menor de ligações, uma
vez que são previstos para grandes dimensões;
• A possibilidade de realizar seções de peças, não limitadas pelas
dimensões e geometria do tronco das árvores;
• A possibilidade de fabricar peças de comprimento limitado apenas pelas
circunstâncias de transporte;
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
188
• A possibilidade de obter peças com raio de curvatura reduzido, variável e
até mesmo em planos diferentes;
• A possibilidade de vencer grandes vãos livres;
• A eliminação inicial de defeitos naturais, o que permite uma reconstituição
que conduz a uma distribuição aleatória dos defeitos residuais, no interior do produto
final;
• Uma melhoria das tensões médias de ruptura e uma redução na
dispersão estatística de seus valores;
• Sob o ponto de vista "normalização" permite ainda a atribuição aos
elementos estruturais de MLC, de uma tensão admissível ligeiramente superior às da
madeira maciça de qualidade equivalente (cerca de 10%);
• A vantagem da pré-fabricação, o que pode ser traduzido em
racionalização da construção e ganho de tempo na montagem e entrega da obra;
• É de uma qualidade estética indiscutível, o que pode ser largamente
explorado pelos arquitetos e engenheiros, na composição de um conjunto agradável e
perfeitamente integrado ao ambiente;
• A leveza dessas estruturas oferece também maior facilidade de
montagem, desmontagem e possibilidade de ampliação. Além disso, o peso morto
sendo menor, se comparado com outros materiais, pode significar economia nas
fundações.
14.6. ESCOLHA E COLAGEM DA MADEIRA
É praticamente possível colar todas as madeiras. Entretanto, algumas espécies
possuem características físicas e químicas que exigem o emprego de colas especiais
ou a modificação das colas normalmente comercializadas para a colagem das
madeiras.
Por outro lado, é recomendável colar apenas madeiras de mesma espécie. Isto,
para evitar problemas de retração diferente entre uma lâmina e outra, na superfície de
união pela cola. Caso contrário, poderá ocorrer o surgimento de tensões adicionais de
cisalhamento nessa região da junta colada.
Normalmente, as espécies mais aconselhadas para o emprego em MLC são as
das coníferas com massa volumétrica entre 0,40 e 0,75 g/cm3. De qualquer maneira,
devem ser evitadas as madeiras com alta taxa de resina ou gordura.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
189
As folhosas de baixa massa volumétrica também podem ser consideradas para
a aplicação em MLC, pois são facilmente coláveis.
Em todo caso, como o processo da MLC é pouco utilizado no Brasil, é evidente
que estudos devem ser realizados no sentido de se proceder em cada região ou
estado, uma investigação botânica, física e mecânica para a caracterização das
madeiras que melhor possam se adaptar a essa técnica. Devem ter destaque nessa
investigação, principalmente as madeiras de reflorestamento.
14.7. ESCOLHA DA COLA
Na maioria dos casos a escolha da cola, entre as de caseína, resorcina,
resorcina-fenol-formol, uréa-formol, etc, depende mais das condições de uso da
estrutura do que do tipo da madeira. Logo, é preciso levar em consideração
principalmente o meio a que a estrutura vai estar submetida, ou seja, temperatura e
teor de umidade.
Isto posto, é necessário se observar também que a durabilidade da cola seja de
no mínimo o mesmo tempo previsto para a durabilidade do elemento estrutural
concebido em MLC.
Portanto, se a estrutura vai estar abrigada no interior da edificação ou exposta à
variação das condições atmosféricas, como, alternância de sol e chuva, são fatores
determinantes na escolha da cola.
Logo, tomando por base estudos realizados em laboratórios de países europeus
e também norte-americanos, vemos no quadro da Tabela 22 que a escolha da cola
deve ser feita em função do tipo de uso previsto para a estrutura.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
190
Tabela 22: Escolha da cola em função do tipo de uso previsto para a estrutura
boas condições atmosféricas
más condições atmosféricas
umidade da madeira exposição em atmosfera contendo < 18 % ? 18 %
produtos químicos ou exposição direta às intempéries
temperatura elevada
resorcina caseina
resorcina resorcina
temperatura normal
resorcina caseina
uréa-formol
resorcina uréa-formol resorcina
obs: As colas de resorcina-fenol devem oferecer as mesmas condições das colas de resorcina pura. Na dúvida, devem ser realizados ensaios de laboratório.
14.8. PROCESSO DE FABRICAÇÃO
A produção de elementos de MLC de alta qualidade necessita de uma indústria
especialmente organizada para tal finalidade. Por outro lado, desde que não sejam
muitos os elementos a serem fabricados e que não sejam de grandes dimensões, é
também possível a sua composição no próprio canteiro de obras.
Em se tratando, no entanto, de uma fabricação industrial, três grandes etapas
devem ser observadas no processo de fabricação das estruturas em MLC.
1ª etapa • A preparação da madeira antes da colagem compreende a
recepção, a classificação visual, a eliminação dos grandes defeitos, a estocagem, a
secagem, a união longitudinal entre as tábuas e a estocagem antes da colagem, se for
o caso.
2ª etapa • Essa etapa compreende a aplicação da cola, a composição do
elemento, a conformação do elemento sobre um gabarito (também chamado berço) e a
aplicação da pressão de colagem.
3ª etapa • É a fase do acabamento que compreende, aplainar lateralmente,
recortar as extremidades do elemento estrutural, executar certos furos e encaixes
previstos nas ligações e a aplicação final de um preservativo ou simplesmente um
selador ou verniz.
Um esquema visando o cumprimento dessas três etapas é mostrado na Figura
86.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
191
estufa/seca- gem
æche
gada
da
mad
eira
å
A B C
pressão de colagem dos elementos retos
pressão de colagem dos elementos curvos
área de acabamento
estocagem
emba
rque
ba
B - sala de projetosA - escritório
C - oficina / ferramentas
a - estocagem da colab - preparação da cola
esta
biliz
ação
da
cola
gem
1
2
3
4
1 - usinagem dos entalhes múltiplos e aplicação da cola2 - pressão de colagem das emendas longitudinais3 - plaina de 4 faces e aplicação da cola nas lâminas4 - plaina de 2 faces para o elemento pronto
AE
AE
AE - área de estabilização
Figura 86: Esquema do processo de fabricação de elementos de MLC.
14.9. CUIDADOS QUE DEVEM SER OBSERVADOS NA FABRICAÇÃO
A classificação inicial, que em alguns países é feita em observância às normas
específicas para a fabricação da MLC, deve compreender a verificação da espessura
dos anéis de crescimento da madeira, a inclinação das fibras com relação às arestas
laterais da tábua e o diâmetro dos nós. Esse trabalho é realizado geralmente na saída
da estufa, onde as tábuas encontram-se nas mesmas condições de teor de umidade, o
que favorece a comparação entre as resistências mecânicas das mesmas, que deve
também ser verificada nessa etapa de classificação do material de base.
A espessura de cada lâmina depende do raio de curvatura a ser empregado, ou
seja, quanto maior o raio de curvatura menor é a necessidade de se ter uma lâmina de
pequena espessura. No entanto, é evidente que existe um limite em termos de
espessura máxima para cada lâmina. Essa observação deve ser feita mesmo no caso
da composição de vigas retas.
Segundo as recomendações de normas como, por exemplo, a do Canadá, a
espessura máxima das lâminas deve ser de 50 mm. Já, a normalização norte-
americana e suíça, recomendam uma espessura máxima de 20 a 25 mm. Por outro
lado, a recomendação da norma francesa leva em consideração, não só a espessura,
mas também a área máxima que deve ter a seção transversal de cada lâmina. Neste
caso, além de se considerar uma espessura máxima, existe igualmente uma limitação
em termos da largura da seção transversal. A norma francesa recomenda então uma
espessura máxima de 50 mm, desde que se observe simultaneamente uma área
máxima de 60 cm2 para a seção transversal da lâmina de madeira de baixa densidade,
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
192
ou seja, menor ou igual a 0,5 e de 40 cm2 no caso de madeira com densidade mais
elevada, ou seja, acima de 0,5 e inferior a 0,75. Esse limite superior da densidade se
deve à dificuldade da colagem de madeiras de alta densidade. Já, a recomendação de
não ultrapassar a espessura de 50 mm, além do fato de lâminas espessas
apresentarem rigidez elevada, está ligada também ao problema da secagem, pois
acima desse valor torna-se mais difícil uma secagem uniforme, sem a ocorrência de
certos defeitos.
No caso da composição de elementos curvos, a determinação da espessura das
lâminas "e" está diretamente ligada ao raio de curvatura "R" a ser empregado. Neste
caso deve-se observar o seguinte:
•madeiras com massa volumétrica de até 0,5 g/cm3, utilizar e ≤ R160
•madeiras com massa volumétrica acima de 0,5 g/cm3, utilizar e ≤ R200 , onde
"R" deve ser considerado em "cm" para se obter "e" em "cm".
No entanto, muitas vezes torna-se um quebra-cabeça a definição da espessura
das lâminas, pois se sabe que quanto maior o número de lâminas utilizadas na
composição de um elemento estrutural, maior será o custo do produto final, uma vez
que necessita de mais mão-de-obra, mais uso de máquinas e maior número de
superfície colada. É preciso, portanto, saber conciliar a espessura da lâmina com o raio
de curvatura, mas também com a espécie de madeira a ser empregada, pois umas são
mais elásticas que outras e conseqüentemente proporcionam uma maior facilidade no
encurvamento.
A secagem das tábuas é necessária, para se conseguir um melhor efeito na
etapa da colagem. Nesse sentido, é preciso que as tábuas estejam com um teor de
umidade entre 7 e 14%. No caso de se ter um ambiente não climatizado no local onde
será realizada a colagem, esse teor de umidade da madeira pode estar compreendido
entre 12 e 16%. De qualquer maneira, é importante que não haja uma diferença entre
teor de umidade de tábuas adjacentes, de mais de 5%, por exemplo, uma tábua com
10% e outra com 15%.
O mais aconselhável, no entanto, é, após a saída da estufa, deixar as tábuas
empilhadas e airadas, no próprio ambiente onde vai ocorrer a colagem. Isto, para que
haja uma estabilização do teor de umidade da madeira com o ar atmosférico. Feito isto,
é normalmente suficiente esperar um período de quatro dias, antes de se proceder a
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
193
colagem, para que as tábuas atinjam uma boa uniformidade entre seus teores de
umidade.
A preparação da superfície das tábuas deve ser feita de maneira correta para se
obter um bom resultado na colagem. Isto significa que as tábuas devem ser passadas
na desempenadeira de dupla face de ação, para uniformizar a espessura das mesmas.
É necessário se obter uma superfície suficientemente lisa, sem deixar "pelugens",
queimas, ondulações, marcas oleosas de dedos (é aconselhável o uso de luvas), etc. É
necessário também se observar um período de no máximo 48 horas entre a
preparação das lâminas e a aplicação da cola.
No caso da composição dos elementos estruturais de MLC, uma das grandes
vantagens, é trabalhar com lâminas cujo comprimento não está limitado pelas
dimensões do tronco da árvore.
No entanto, para se conseguir grandes comprimentos, é necessária a execução
de emendas longitudinais entre as tábuas, que sejam extremamente eficientes.
Essas emendas, que na época do surgimento da técnica da MLC eram
executadas apenas de topo, sem nenhuma garantia de continuidade, evoluíram para as
emendas em diagonal, depois em cunha e atualmente as mais eficientes, que são as
realizadas por entalhes múltiplos. A representação das mesmas é mostrada na Figura
87.
α α
perda de madeira
b ) emenda em diagonal c ) emenda de um dente
face colada face colada
face colada
perda de madeira
a ) emenda simplesmente de topo
d ) emenda por entalhes múltiplos
α
s
t b
l
g
Figura 87: Evolução ocorrida nas emendas longitudinais entre as tábuas.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
194
A emenda por entalhes múltiplos, que aparece na Figura 87-d tem as seguintes
características geométricas, definidas pela norma DIN 68 140 :
• l = comprimento dos entalhes.
• g = largura total da emenda.
• t = passo dos dentes.
• b = espessura da extremidade de um dente.
• s = folga do fundo da emenda.
• α inclinação da face do dente.
• e = s/1 ; folga relativa no comprimento da emenda
• v = b/t ; grau de enfraquecimento.
Como a usinagem desses entalhes onera bastante o custo final do elemento
estrutural fabricado em MLC, é possível se pensar em utilizar emendas simplesmente
de topo nas regiões onde se sabe que os esforços são praticamente nulos. Como
exemplo, pode-se citar a região da linha neutra de uma viga a ser submetida ao esforço
de flexão simples.
Outra alternativa é a utilização das emendas em diagonal, que são menos
onerosas. Neste caso, é preciso guardar a proporção entre o comprimento da emenda
e a espessura da lâmina, na ordem de 10 vezes.
No caso do emprego das emendas por entalhes múltiplos é preciso ainda se
obter um bom equilíbrio geométrico, conseguido através da proporção entre as
dimensões da base dos dentes e os comprimentos dos mesmos. Essa definição das
dimensões dos entalhes depende do grau de eficiência que se deseja para a emenda.
Nesse particular, a norma DIN 68 140 prevê, através do grau de enfraquecimento "v", o
emprego dos entalhes múltiplos para aplicação de esforços elevados (elementos
estruturais de grande porte) e de esforços compatíveis com a utilização sob esforços
menores como no exemplo de ligações empregadas em mobiliários.
Na Tabela 23, são apresentados de forma resumida os valores recomendados
para a geometria dos entalhes múltiplos, compatíveis com esforços elevados (categoria
I). Notar que neste caso a norma considera em média, um grau de enfraquecimento "v"
da ordem de 18%. No caso de esforços compreendidos na categoria II o grau de
enfraquecimento passaria para 25%.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
195
Ainda no caso dos entalhes múltiplos, existe uma outra grande vantagem que é
a de serem autopressionados lateralmente no momento da colagem. Isto, devido o
efeito de cunha imprimido pela forma dos dentes.
A usinagem dos entalhes é feita com uma ferramenta especial e que deve
proporcionar a geometria compatível com as características geométricas mostrada no
quadro da Tabela 23. Um exemplo dessa ferramenta é apresentado na Figura 88.
Tabela 23: Características geométricas dos entalhes múltiplos
CATEGORIA l l α T b v v
≤ 10
7,5 ≤ 7,5°
2,5 0,2 0,08
10 3,7 0,6 0,16
I 20 6,2 1 0,16 ≤ 0,18
> 10 50 ≤ 7,1° 12 2 0,17
60 15 2,7 0,18
Figura 88: Ferramenta utilizada para a usinagem dos entalhes múltiplos.
Essa ferramenta é instalada em uma tupia de alta rotação e deve estar sempre
com um bom corte para evitar superaquecimento ou até mesmo a queima da madeira
durante o processo de usinagem.
Uma vez usinados os entalhes múltiplos, é necessário se proceder a colagem
dessa emenda longitudinal quase que imediatamente após a usinagem. Isto, para
evitar variações na geometria dos dentes devido o movimento de retração ou
inchamento da madeira.
A cola empregada é a mesma da colagem entre as lâminas.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
196
A pressão de colagem a ser empregada na emenda por entalhes múltiplos,
também é definida pela DIN 68 140 e está apresentada no gráfico da Figura 89. Este
gráfico foi estabelecido pelo Centre Technique du Bois e de l'Ameublement - CTBA
(França), com base na norma alemã.
16141210
8642
0 10 20 30 40 50 60
N / mm2
mmComprimento dos dentes
Pres
são
de c
olag
em
Figura 89: Pressão de colagem em função do comprimento dos entalhes.
No que diz respeito à composição de um elemento estrutural concebido em
laminado-colado, deve-se observar que apesar da grande eficiência das emendas
realizadas por entalhes múltiplos, é recomendável se respeitar a seguinte distribuição
das mesmas no interior da peça:
• considerando as lâminas mais externas, ou seja, que se encontram na
quarta parte externa da altura da seção transversal da peça, deve-se espaçar as
emendas de lâminas vizinhas de no mínimo 20 vezes a espessura da lâmina.
• na metade central da peça o espaçamento entre emendas de lâminas
vizinhas deve ser de no mínimo 12 vezes a espessura da lâmina.
• num comprimento de 305 mm o número de emendas não deve ser
superior ao número total de lâminas, dividido por 4.
No caso de utilização da cola de resorcina, o consumo é de aproximadamente
300 a 500 g/m2 com aplicação nas duas faces das lâminas.
Uma vez as lâminas estando coladas e justapostas, dando, portanto a
composição e conformação do elemento estrutural, a aplicação da pressão de colagem
deve seguir o que recomenda o fabricante da cola.
No entanto, estudos realizados em alguns países, mostram que para a cola de
caseína, a França e a Suíça recomendam uma pressão entre 5 e 8 kg/cm2. Para a cola
de uréa-formol, a França recomenda 7 a 10 kg/cm2 no caso de junta fina e 3 a 5 kg/cm2
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
197
no caso de junta espessa. Para a cola de resorcina, os norte-americanos recomendam
uma pressão de 13 kg/cm2 e os franceses entre 15 e 17 kg/cm2. Já, o Canadá
recomenda a aplicação de 7 kg/cm2 em todos os casos.
No que diz respeito à fabricação de elementos estruturais de MLC, no próprio
canteiro de obra, é possível se empregar uma pressão de colagem através de pregos.
Neste caso, é preciso observar que a madeira esteja seca, ou seja, entre 12 e 15% de
teor de umidade e que os pregos tenham um comprimento de duas vezes a espessura
das lâminas. A pressão deve se dar na base de um prego para cada 20 cm2 de
superfície colada.
Durante o processo de colagem, é necessário se observar também o tempo de
"colagem aberta" e o tempo de "colagem fechada".
• tempo de colagem aberta, é o tempo entre a aplicação da cola na lâmina
e a sua colocação em contato com a lâmina adjacente.
• tempo de colagem fechada, é o tempo entre a colocação da lâmina em
contato com a adjacente e a aplicação da pressão de colagem.
• tempo total, compreende o tempo decorrido desde a aplicação da cola na
primeira lâmina até o momento da aplicação da pressão de colagem.
O tempo de colagem aberta deve ser reduzido ao mínimo uma vez que nessas
condições a cola seca rapidamente devido a evaporação do solvente.
O tempo total, que depende evidentemente da cola empregada, não deve, por
exemplo, no caso da resorcina, ultrapassar uma hora. Isto, considerando um tempo
máximo de colagem fechada, da ordem de 45 minutos.
Uma vez aplicada a pressão de colagem, deve-se aguardar um período de 16 a
24 horas, para a retirada da pressão.
Essa retirada da pressão deve ser feita de forma gradual em toda a extensão do
elemento estrutural, ou seja, não deve ser brusca e nem localizada.
Uma vez retirada a pressão de colagem, é necessário aguardar um período de
sete dias, antes de se proceder o acabamento final do elemento estrutural. Este
período é necessário para que a cola atinja a sua resistência máxima, após a
polimerização.
A etapa final de preparação do elemento estrutural compreende o acabamento.
Nessa etapa, a peça é aplainada lateralmente, tem as extremidades recortadas para
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
198
dar a sua forma final, assim como, são realizados os furos e entalhes necessários para
as ligações entre peças e também entre a peça e o apoio.
O aspecto final depende do produto empregado como proteção fungicida e
inseticida, assim como, da aplicação de produtos de impregnação decorativa.
14.10. POSSIBILIDADES DE UTILIZAÇÃO DA MADEIRA LAMINADA-COLADA
São inúmeras as possibilidades arquitetônicas de aplicação da MLC. No entanto,
em termos de Brasil, devemos reconhecer que a forma mais conhecida está apenas na
composição de arcos.
Por outro lado, pode-se dizer que de uma maneira geral, em países onde o
emprego dessa técnica é bastante difundido, as estruturas de MLC são bastante
conhecidas pela sua característica de vencer grandes vãos.
No que diz respeito à fabricação industrial, vemos que em termos de Brasil são
bem poucas as indústrias que trabalham na fabricação de estruturas de MLC. No
entanto, é vasto o campo de aplicação e imensa as possibilidades dos projetistas
explorarem esteticamente a sua composição no conjunto estrutural.
Em outros países, a técnica da MLC tem sido empregada sob as mais variadas
formas. A sua aplicação em edificações, cuja finalidade de uso é das mais
diversificadas, tem sido enorme. Existem estruturas na forma de suporte de viadutos,
localizados sobre auto-estradas, coberturas de grande vãos na forma de cascas finas,
estádios olímpicos, arquibancadas de grandes dimensões, além de edificações onde o
projetista procura explorar ao máximo as formas estéticas possíveis de serem
realizadas, como no caso de projetos de igrejas, escolas e teatros.
De uma forma geral, pode-se dizer que a solução de aplicação de elementos
estruturais em MLC nas edificações deve ser adotada em função da solicitação a que o
elemento vai estar submetido.
Neste caso, observa-se que para vigas simplesmente apoiadas é possível se
prever em geral, um vão da ordem de 15 m. No entanto, se a viga for contínua ou do
tipo "Gerber", os vãos livres podem chegar a 20 m.
Na função de arco, cujo funcionamento é bastante favorável ao emprego da
MLC, pode-se atingir vãos de 100 m ou mais. Isto, em soluções isostáticas com tri-
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
199
articulado ou hipóteses de duas articulações. Neste último, é possível ainda a
composição de arcos com vigas retas.
Na hipótese de ser necessário deixar um dos lados da estrutura, totalmente livre,
como nos casos de coberturas de arquibancada, é possível se atingir vãos de 15 a 20
m em balanço. Isto, na forma de arcos fixos ao nível do solo ou na forma de vigas retas
apoiadas sobre pilares de concreto.
No caso de "Sheds", pode-se vencer vãos de 8 a 12 m repousando sobre
pórticos também de MLC que cobrem vãos de até 20 m na direção em que os mesmos
estão posicionados.
Enfim, cada concepção estrutural pode ser solucionada de forma adequada com
o emprego da técnica da MLC.
14.11. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Tendo em vista o indiscutível potencial da madeira aplicada sob a técnica do
laminado-colado, é preciso que desapertemos no Brasil o interesse por essas
estruturas.
Devemos desde já, iniciar o estudo e caracterização das madeiras que melhor
possam se adequar a essa forma de emprego desse material nobre e que é de fonte
renovável.
O campo de pesquisa é enorme, e pode incluir desde a parte botânica e de
manejo florestal, até a fase de desdobro da madeira de forma racional no sentido da
fabricação de peças de MLC.
Não se pode ignorar também as pesquisas que podem correr paralelamente, no
sentido de se conceber elementos de ligações visando facilitar a composição do
conjunto estrutural.
Enfim, não podemos deixar passar desapercebido que o uso do material
madeira como elemento estrutural, concebido sob a forma de MLC, vem ganhando
lugar de destaque em diversos países e que a indústria das madeiras laminadas-
coladas estão com um mercado bastante próspero.
O que é preciso, em termos de Brasil, é antes de tudo mudar a mentalidade a
respeito da madeira como material de emprego estrutural, mas acima de tudo, deixar
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
200
de continuar empregando a madeira sem o menor cuidado ou até mesmo, sem o
menor conhecimento da potencialidade de suas características físicas e mecânicas.
É sem dúvida, o mau emprego de um material, o que mais contribui para a sua
depreciação.
Figura 90: Pavilhão de exposições de Avignon, França – 112 m de diâmetro.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
201
15. LISTA DE EXERCICIOS
15.1. RECOMENDAÇÕES NA HORA DE FAZER OS EXERCÍCIOS
Responder os exercícios sempre mostrando de onde foram retirados os valores
de coeficientes e porque eles possuem o valor especificado.
Nem sempre, nas respostas em anexos a estes exercícios, vai estar explícita a
origem dos coeficientes, mas na avaliação será cobrada esta recomendação.
15.2. DETERMINAÇÃO DE ESFORÇO DE CÁLCULO
15.2.1. Esforço de cálculo para situação duradoura
Determinar os esforços de cálculo para as barras da treliça da Figura 91 para a
situação normal de projeto, considerando situação duradoura de projeto. Dados
esforços na barra: GBC = 10 kN; QBC = 5 kN (sobrecargas); WBC = -20 kN (vento de
sucção). As dimensões estão em cm.
G, Q, W G, Q, W G, Q, W G, Q, W G, Q, W F G H I J A
B C D E 200 200 200 200
800
100
Figura 91:
Resposta: NBC = 21 kN, -12 kN.
15.2.2. Carregamento de cálculo
Determine o carregamento de cálculo (Qd) de longa duração a ser aplicado na
treliça da Figura 92, para atender a capacidade resistente dos montantes. A estrutura é
construída em sucupira de 2ª categoria, cuja resistência média à compressão paralela
às fibras é 95,2 MPa. O local de inserção da obra: Belém, PA, cuja classe de umidade
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
202
é 4. Os banzos superior e inferior serão consituídos por duas peças de 7,5 cm × 10
cm e os montantes e as diagonais por peças simples de 7,5 cm × 7,5 cm.
Qd Qd Qd Qd Qd Qd Qd Qd Qd Qd Qd Qd Qd
A B C D E F G H I J L M N
7,5 cm
50
100 100 100100100100100100100100100100 Figura 92
Resposta: Qd < 18,54 kN
15.2.3. Carregamento de cálculo
Determinar o carregamento de cálculo Qd a ser aplicado na treliça da Figura 93.
Dados: classe 4, 1ª categoria; dicotiledônia C-60; diâmetro dos parafusos = 16 mm.
200 200 200 200 200
Qd
200
Qd Qd Qd Qd Qd Qd
120
Figura 93
510 5 5 510 10 10
2,5
55
2,5
57,55
t2t1 t1 (a) Ligação aparafusada (b) Secção transversal da barra
Figura 94: Detalhes Resposta: Qdmáx < 8,65 kN
15.3. TRELIÇA
15.3.1. Verificação de montante de treliça
Verificar o montante mais solicitado da treliça (Figura 95). Dados: folhosa; C 40,
classe 2, 1ª categoria; ligações com parafusos de 16 mm; fy = 300 MPa; cargas
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
203
permanentes de grande variabilidade (G = 6 kN); sobrecarga (Q = 4 kN); vento de
sucção (W = 3 kN); ss dimensões estão em cm. Seção simples.
Figura 95: Treliça
Resposta: ( 5 x 10 ) = 50 cm², OK!
15.3.2. Verificação de banzo de treliça 1
Verifique o banzo inferior da treliça (Figura 92). Dados: contraventamentos a
cada 3,0 m; seção composta 2x(7,5x10 cm); cargas permanentes de grande
variabilidade (G = 5 kN); sobrecarga (Q = 6 kN), onde não há equipamentos fixos nem
multidões; Eco,m = 21724 MPa.
Resposta: OK ! A seção 2(7,5 x 10) cm, L1 = 100 cm verifica.
15.3.3. Verificação de banzo de treliça 2
Verificar se o banzo inferior da treliça está adequadamente dimensionado
(Figura 96). Dados: folhosa, C 60, classe 4, 2ª categoria; cargas permanentes de
grande variabilidade (G = 5 kN); sobrecarga (Q = 4 kN); vento de sucção (W = 3 kN);
Eco,m = 24500 Mpa;contraventamento a cada 2,0m.
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
204
G, Q, W G, Q, W G, Q, W G, Q, W
100
200 200 200 200
1020
A B C D E
Figura 96
Resposta: 0,63 < 1, OK!
15.3.4. Dimensionamento de diagonal de treliça
Dimensionar a diagonal mais solicitada da treliça (Figura 96).
Resposta: seção (10 x 12) cm, 0,73 < 1, OK!
15.3.5. Dimensionamento de linha de tesoura
Dimensionar a linha da tesoura entre o nó K e L da Figura 95, considerando as
duas ligações indicadas na Figura 97. Diâmetro dos parafusos = 16mm. Lembre-se que
40,2 hacm ≤≤ .
h
a
(a) Ligação aparafusada (b) Ligação por entalhe
Figura 97
Resposta: np = 14 φ 16 mm
15.3.6. Treliça de ponte
A treliça da Figura 98 é a estrutura de uma pequena ponte. A espécie de
madeira empregada é a ANGELIM PEDRA. As cargas atuantes na treliça são
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
205
transmitidas pelas transversinas apoiadas nos nós do banzo superior (nós A, B, D, F,
H). A força P é composta por uma parcela permanente (Pper) e por uma parcela
acidental (Paci), que corresponde ao efeito de passagem de veículos. Calcular a
resistência de cálculo para cisalhamento direto do angelim pedra, sabendo que a
resistência média ao cisalhamento, para teor de umidade U% = 12%, vale 8,8 MPa.
Considerar classe de carregamento de longa duração. Força P: Pper = 4 kN parcela
permanente (peso próprio e revestimento); Paci = 5 kN parcela acidental (veículos).
Seções transversais: 10 cm x 12 cm.
Para a barra AB, pede-se:
a) determinar o esforço normal de cálculo na barra AB resultante da combinação
última normal das ações para verificação do estado limite último;
b) o tipo de solicitação estrutural atuante para verificação da seção transversal
(10 cm x 12 cm) da barra AB (tração paralela, compressão paralela, cisalhamento
direto, compressão normal etc.);
c) a verificação da seção transversal da barra AC (10 cm x 12 cm) para o esforço
de cálculo NAC igual a 29,48 kN, sabendo fco,d = 16,7 MPa (Figura 98-b).
As perguntas a , b e c devem ser respondidas com base na estrutura aqui
descrita e de acordo com os critérios de segurança recomendados pela NBR
7190:1997.
3 m
12 m
3 m 3 mC E
A
P
BD
P P
2,5
m
3 mG
F
P
H
P
NAC
c = 10 cm3 cm
α
12 cm
10 cm
10 cm
12 cm
(a) Esquema estrutural (b) Detalhe do nó A
Figura 98: Treliça de ponte
15.3.7. Treliça de cobertura
A treliça da Figura 99 é parte da estrutura de cobertura. A espécie de madeira
empregada é o ipê. As cargas atuantes na treliça são transmitidas pelas terças
apoiadas nos nós do banzo superior (nós A,J,K,L,M,N,O,P,I). A força P é composta por
uma parcela permanente (Pper) e por uma parcela acidental (Paci). A construção está
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
206
localizada em Florianópolis e a madeira é de 2a categoria e que será usada sob a
forma serrada. Resistência de cálculo do Ipê na compressão paralela às fibras: fco,d =
27,1 MPa para U% = 12%. Força P: Pper = 5 kN parcela permanente (peso próprio e
telhas); Paci = 6 kN parcela acidental (sobrecarga de manutenção do telhado). Seções
transversais: banzo superior, inferior e diagonais 5 cm x 10 cm; montantes 2x(2,5cm x
10 cm).
As perguntas 1, 2 e 3 devem ser respondidas com base na estrutura aqui
descrita e de acordo com os critérios de segurança recomendados pela NBR
7190:1997.
1.4 m1.4 m0.7 m
A B
1.4 m
C D
25oP
P
PP
1.4 m 1.4 m 0.7 m1.4 m
25o P
P
PP
P
G H IF
K
L
M
N
O
P
9.8 m
E
J
c = ?e = ?
2 5
5 cm
10 c
m
10 cm
5 cm°
(a) Esquema estrutural (b) Detalhe do nó A Figura 99: Estrutura de cobertura
1) Dimensionar a altura do dente “e” na ligação entre a barra AJ e a barra AB,
arredondando para múltiplo de 1,0 cm (Figura 99-b);
Resposta: 2 dentes de e = 2 cm
2) Dimensionar o comprimento “c” da extremidade da barra AJ (5 cm x 10 cm),
considerando o resultado da questão anterior. Arredondar para múltiplo de 1,0 cm
(Figura 99-b); Resposta: comprimento c = 12 cm no 1o dente
3) Classificar o montante central da treliça EM quanto à esbeltez (curta, med.
esbelta ou esbelta), sabendo que sua seção é composta por 2 peças de seção 2,5 cm x
10 cm, sem ligações intermediárias. Sabe-se que para peças tracionadas, o λ não deve
ultrapassar 173. Caso esta condição não seja satisfeita, dimensionar o número de
espaçadores interpostos para satisfazê-la. Resposta: são necessários 4 espaços L1 =
57 cm
15.4. VIGAS
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
207
15.4.1. Verificação de viga bi-apoiada
Verificar se a viga da Figura 100 (dimensões em cm) atende a norma NBR-7190.
Dados: folhosa, C 60, classe 1, 1ª categoria; cargas de longa duração; cargas
permanentes de grande variabilidade (g = 1 kN/m); sobrecarga (Q = 2 kN); Eco,m =
24500 MPa.
Figura 100
Resposta: σc1,d = 8,4 MPa < fco,d = 30 MPa OK!
ζd = 0,32 MPa < fvo,d = 3 MPa OK!
Ud,uti = 0,338 cm < 2 cm, OK!
15.4.2. Dimensionamento de viga engastada
Dimensionar a viga da Figura 101. Dados: C 60, classe 4, 2ª categoria; cargas
de longa duração; cargas permanentes de grande variabilidade (g = 2 kN/m);
sobrecarga (Q = 1 kN); madeira serrada; viga do piso da varanda.
Q
200
g
Figura 101
Carga pontual Carga distribuida
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
208
EIlQf
3
3
max⋅
= EIlgf
8
4
max⋅
=
Resposta: σt2,d = 15,75 MPa < fto,d = 19,2 MPa OK!
ζd = 0,66MPa < fvo,d = 1,92 MPa OK!
Uef = 0,864 cm OK!
15.4.3. Dimensionamento de viga com dois balanços
Dimensionar a viga da Figura 102, com a = 100cm. Dados: C 40, classe 1, 1ª
categoria; carga de longa duração; cargas permanentes de grande variabilidade (g = 3
kN/m); sobrecarga (q = 2 kN/m); seção retangular atendendo a relação h=2b; viga do
piso da biblioteca.
g, q
2aa a Figura 102
Flecha máxima no vão bi-apoiado Flecha máxima no vão em balanç
EIapf
24
4
max⋅
= EIapf
247 4
max⋅
=
Resposta: σc1,d = 10,3 MPa < fco,d = 20 MPa OK!
ζd = 0,82 MPa < fvo,d = 2 MPa OK!
fd = 0,33cm < flim = 1 cm OK!
fv = 0,74cm < flim = 1 cm OK!
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
209
15.4.4. Dimensionamento de viga e pilar
A viga e os pilares compostos da Figura 103 são da espécie catiúba. Sabe-se
que o peso próprio da viga é 0,2 kN/m (g = 0,2 kN/m) e que a carga uniformemente
distribuída q possui caráter possui caráter acidental (q = 2,5 kN/m) de longa duração.
Considerar ações permanentes de grande variabilidade e carga acidental aplicada a
ambientes nos quais não há predominância de altas concentrações de pessoas ou de
equipamentos fixos. Local de construção é Lages, SC. Na Figura 103, a viga está
apoiada em dois pilares de catiúba. Cada um deles é composto por duas peças de
dimensões 5 cm x 12 cm, ligadas por espaçadores interpostos. Propriedades da
madeira catiúba: fco,d = 23,5 MPa; Eco,ef = 10.879 MPa. Pede-se:
a) a verificação das condições de segurança da viga em catiúba da Figura 103 quanto
às verificações de flexão simples de acordo com os critérios da NBR 7190:1997;
b) a verificação do estado limite último de estabilidade do pilar de acordo com o critério
da NBR 7190:1997 para compressão paralela de peças compostas (Figura 104-b);
c) a verificação da segurança quanto ao esmagamento da madeira na região de apoio
da viga no elemento interposto do pilar, também de catiúba, de acordo com o critério da
NBR 7190:1997. Considerar combinação de reação de apoio última normal.
g = 0,2 kN/m
2,8
m L1=1
,4 m
4 m
q = 2,5 kN/m
seção transversaldos pilares
y
65
x 12 c
m
5 cm
20 cm
seção transversalda viga
10 cm
Figura 103
Estruturas de madeira ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
210
q
L
R viga
L =
2,8
m
(a) Esquema estático da viga (a) Esquema estático do pilar
Figura 104: Esquema estático dos elementos estruturais da Figura 103
Estruturas de Madeira 211 ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
16. BIBLIOGRAFIA
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR-7190:1997, Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Projeto de Estruturas de Madeira. NBR-7190:1997. Rio de Janeiro: ABNT, 1997. 107p. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8681:2004, Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Ações e segurança nas estruturas – procedimento. NBR 8681:2004. Rio de Janeiro: ABNT, 2004. 18p. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8800:2008, Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios. NBR 8800. Rio de Janeiro: ABNT, 2008. 237p. ALMEIDA, Pedro A. O. Estruturas em madeira. São Paulo: USP – Departamento de Fundações e Estruturas,. 1998 ALVIN, R.C. Projeto de esturutas de madeira : peças compostas comprimidas. São Paulo. Blücher Acadêmico. 2009 ÁRVORES DO BRASIL. Disponível em: < http://www.arvore.hpg.ig.com.br/jatoba1/index.htm>. Acesso em: 09 abr. 2003. BRUGER, L.M. ; RICHTER, H.G. Anatomia da madeira. São Paulo: Ed. Nobel. 1991. CALIL JÚNIOR, C. Et al. Estruturas de madeira. São Carlos: USP – Departamento de Engenharia de Estruturas, 2000. 101p. CONÍFERAS e Folhosas – Madeiras. <http://www.mundoflorestal.com.br/mediawiki/index.php/Con%C3%ADferas_e_Folhosas>. Acesso em: 11 março 2015. CRUZ, H.; MACHADO, J. S. e NUNES, L. Problemas de conservação de madeira em edifícios. II Encontro de Conservadores e restauradores (ENCORE). Lisboa, Portugal, 1994. 11 p. HELLMEISTER, J. C. Madeiras e suas características. Anais: CARACTERÍSTICAS do I Encontro Brasileiro de Madeiras e Estruturas de Madeiras (I EBRAMEM). São Carlos, SP. Julho 1983. p.1-37 JUNTA DEL ACUERDO DE CARTAGENA. Cartilla de construccion con madera. Talleres Gráficos de Carjal. Colômbia: Cali, 1980. 280 p. LE GOVIC, C. Les assemblages dans la construction en bois. Centre Technique du Bois et de l’Ameublement, 1995. LEPAGE, Ennio Silva et al. Manual de preservação de madeiras. São Paulo: IPT – Divisão de Madeiras, 1986. Vol. 1. 341p.
Estruturas de Madeira 212 ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
MONOCOTILEDONEAS e Dicotiledôneas – Só Biologia. Grupo Virtuous. Disponível em: <http://www.sobiologia.com.br/conteudos/Reinos4/angiospermas2.php>. Acesso em: 11 março 2015. NATTERER, J. et al. (2005) Construction en bois: matériau, technologie et dimensionnement. 2a ed. Presses Polytechniaues et Universitaires Romandes; Lausanne. PFEIL, W. ; PFEIL, M. Estruturas de Madeira. Rio de Janeiro. Livros Técnicos e Científicos Editora. 6ª ed. 2003. REPRODUÇÃO da plantas. Disponível em: <http://www.m12.hpg.ig.com.br/repro.htm>. Acesso em: 09 abr. 2003. RODRIGUES, Manoel Santinho. Estruturas de madeiras I. Cuiabá: UFMG – Departamento de Engenharia Civil, 2000. 119p. ROSA, José Perilo. Estruturas de madeira I. Notas de aula. Belém do Pará: UFPA – Departamento de Estruturas, 1999. 63p SZÜCS, Carlos Alberto. Madeira Laminada-Colada: aplicação estrutural da madeira sob a técnica do laminado-colado. Florianópolis: UFSC – Departamento de Engenharia Civil, 1992. 13p. TEREZO, Rodrigo F. Patologia em edificações de madeira. Florianópolis: UFSC – Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil, trabalho de classe, 2002. 50 p. WILCOX, W. W.; BOTSAI, E. E. e KUBLER, H. Wood as a building material: a guide for designers and builders. John Wiley & Sons. New York, EUA, 1991. 215 p. ISBN: 0-471-52722-10.
Estruturas de Madeira 213 ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
ANEXO A
Valores médios de Resistência de
algumas madeiras – NBR 7190:1997 (Anexo E)
Estruturas de Madeira 214 ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Reprodução das Tabelas E.1, E.2 e E.3 (Anexo E, NBR 7190:1997)
Tabela 24: Tabela de Valores médios de madeiras folhosas nativas e de florestamento (valores
médios para u = 12%)
Nome comum (folhosas) Nome científico ρap(12%)
(kg/m3) fc0
(MPa) ft0
(Mpa) ft90
(MPa) fv
(MPa) Ec0
(MPa) n
Angelim Araroba Votaireopsis araroba 688 50,5 69,2 3,1 7,1 12876 15 Angelim Ferro Hymenolobium spp 1170 79,5 117,8 3,7 11,8 20827 20 Angelim Pedra Hymenolobium petraeum 694 59,8 75,5 3,5 8,8 12912 39 Angelim Pedra Verdadeiro
Dinizia excelsa 1170 76,7 104,9 4,8 11,3 16694 12
Branquilho Termilalia spp 803 48,1 87,9 3,2 9,8 13481 10 Cafearana Andira spp 677 59,1 79,7 3,0 5,9 14098 11 Canafístula Cassia ferruginea 871 52,0 84,9 6,2 11,1 14613 12 Casca Grossa Vochysia spp 801 56,0 120,2 4,1 8,2 16224 31 Castelo Gossypiospermum
praecox 759 54,8 99,5 7,5 12,8 11105 12
Cedro Amargo Cedrella odorata 504 39,0 58,1 3,0 6,1 9839 21 Cedro Doce Cedrella spp 500 31,5 71,4 3,0 5,6 8058 10 Champagne Dipterys odorata 1090 93,2 133,5 2,9 10,7 23002 12 Cupiúba Goupia glabra 838 54,4 62,1 3,3 10,4 13627 33 Catiúba Qualea paraensis 1221 83,8 86,2 3,3 11,1 19426 13 E. Alba Eucalyptus alba 705 47,3 69,4 4,6 9,5 13409 24 E. Camaldulensis Eucalyptus
camaldulensis 899 48,0 78,1 4,6 9,0 13286 18
E. Citriodora Eucalyptus citriodora 999 62,0 123,6 3,9 10,7 18421 68 E. Cloeziana Eucalyptus cloeziana 822 51,8 90,8 4,0 10,5 13963 21 E. Dunnii Eucalyptus dunnii 690 48,9 139,2 6,9 9,8 18029 15 E. Grandis Eucalyptus grandis 640 40,3 70,2 2,6 7,0 12813 103 E. Maculata Eucalyptus maculata 931 63,5 115,6 4,1 10,6 18099 53 E. Maidene Eucaliptus maidene 924 48,3 83,7 4,8 10,3 14431 10 E. Microcorys Eucalyptus microcorys 929 54,9 118,6 4,5 10,3 16782 31 E. Paniculata Eucalyptus paniculata 1087 72,7 147,4 4,7 12,4 19881 29 E. Propinqua Eucalyptus propinqua 952 51,6 89,1 4,7 9,7 15561 63 E. Punctata Eucalyptus punctata 948 78,5 125,6 6,0 12,9 19360 70 E. Saligna Eucalyptus saligna 731 46,8 95,5 4,0 8,2 14933 67
Estruturas de Madeira 215 ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Tabela 25: Tabela de Valores médios de madeiras folhosas nativas e de florestamento (valores
médios para u = 12%)
Nome comum
(folhosas) Nome científico ρap(12%)
(kg/m3) fc0
(MPa) ft0
(MPa) ft90
(MPa) fv
(MPa) Ec0
(MPa) n
E. Tereticornis Eucalyptus tereticornis 899 57,7 115,9 4,6 9,7 17198 29 E. Triantha Eucalyptus triantha 755 53,9 100,9 2,7 9,2 14617 08 E. Umbra Eucalyptus umbra 889 42,7 90,4 3,0 9,4 14577 08 E. Urophylla Eucalyptus urophylla 739 46,0 85,1 4,1 8,3 13166 86 Garapa Roraima Apuleia leiocarpa 892 78,4 108,0 6,9 11,9 18359 12 Guaiçara Luetzelburgia spp 825 71,4 115,6 4,2 12,5 14624 11 Guarucaia Peltophorum vogelianum 919 62,4 70,9 5,5 15,5 17212 13 Ipê Tabebuia serratifolia 1068 76,0 96,8 3,1 13,1 18011 22 Jatobá Hymenaea spp 1074 93,3 157,5 3,2 15,7 23607 20 Louro Preto Ocotea spp 684 56,5 111,9 3,3 9,0 14185 24 Maçaranduba Manilkara spp 1143 82,9 138,5 5,4 14,9 22733 12 Mandioqueira Qualea spp 856 71,4 89,1 2,7 10,6 18971 16 Oiticica Amarela Clarisia racemosa 756 69,9 82,5 3,9 10,6 14719 12 Quarubarana Erisma uncinatum 544 37,8 58,1 2,6 5,8 9067 11 Sucupira Diplotropis spp 1106 95,2 123,4 3,4 11,8 21724 12 Tatajuba Bagassa guianensis 940 79,5 78,8 3,9 12,2 19583 10
As propriedades de resistência rigidez apresentadas neste anexo foram determinadas pelos ensaios realizados no Laboratório de Madeiras e de Estruturas de Madeiras (LaMEM) da Escola de Engenharia de São Carlos (EESC) da Universidade de São Paulo ρap(12%) = massa específica aparente a 12% de umidade fc0 = resistência à compressão paralela às fibras ft0 = resistência à tração paralela às fibras ft90 = resistência à tração normal às fibras fv = resistência ao cisalhamento Ec0 = módulo de elasticidade longitudinal obtido no ensaio de compressão paralela às fibras n = número de corpos de prova ensaiados Coeficiente de variação para resistências a solicitações normais δ = 18% Coeficiente de variação para resistências a solicitações tangenciais δ=28%
Estruturas de Madeira 216 ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
ANEXO B
Neste anexo são apresentadas fórmulas para o dimensionamento de peças
tracionadas e comprimidas desenvolvidas pelo acadêmico Rômulo Ceretta.
1. Tração
dtNd f ,0≤σ
2. Compressão de peças curtas dcNd f ,0≤σ
3. Compressão de peças medianamente esbeltas
ANd
Nd =σ qkqgkgd NNN ⋅+⋅= γγ
1,0,0
≤+dc
Md
dc
Nd
ffσσ
ddd eNM ⋅=
IyM d
Md⋅
=σ
c
kcdc
fKfγ
0mod,0 ⋅=
−
=dE
Ed NF
Fee 1
02
,02
LIE
F efcE
⋅⋅=
π
mcefc EKE ,0mod,0 ⋅=
aI eee +=1 300o
aLe ≥
d
dI N
Me 1=
30heI ≥
mckc ff ,0,0 7,0 ×=
4,1=cγ
NO CASO DE ESTADOLIMITE ÚLTIMO.
NO CASO DE FORÇA APLICADA NO CENTRO
SA SEÇÃO (Md1=0)
MPammmm
Newton=
×ANd
Nd =σ qkqgkgd NNN ⋅+⋅= γγ
1,0,0
≤+dc
Md
dc
Nd
ffσσ
ddd eNM ⋅=
IyM d
Md⋅
=σ
c
kcdc
fKfγ
0mod,0 ⋅=
−
=dE
Ed NF
Fee 1
02
,02
LIE
F efcE
⋅⋅=
π
mcefc EKE ,0mod,0 ⋅=
aI eee +=1 300o
aLe ≥
d
dI N
Me 1=
30heI ≥
mckc ff ,0,0 7,0 ×=
4,1=cγ
NO CASO DE ESTADOLIMITE ÚLTIMO.
NO CASO DE FORÇA APLICADA NO CENTRO
SA SEÇÃO (Md1=0)
MPammmm
Newton=
×
Estruturas de Madeira 217 ___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
4. Compressão de peças esbeltas
ANd
Nd =σ qkqgkgd NNN ⋅+⋅= γγ
1,0,0
≤+dc
Md
dc
Nd
ffσσ
ddd eNM ⋅=
IyM d
Md⋅
=σ
c
kcdc
fKf
γ,0
mod,0 ⋅=
−
=dE
Eefd NF
Fee 1
02
,02
LIE
F efcE
⋅⋅=
π
mcefc EKE ,0mod,0 ⋅=
caIef eeee ++=1
300o
aLe ≥
d
dI N
Me 1=
30heI ≥
mckc ff ,0,0 7,0 ×=
4,1=cγ
MPammmm
Newton=
×
NO CASO DE ESTADOLIMITE ÚLTIMO.
NO CASO DE FORÇA APLICADA NO CENTRO
SA SEÇÃO (Md1=0)
ANd
Nd =σ qkqgkgd NNN ⋅+⋅= γγ
1,0,0
≤+dc
Md
dc
Nd
ffσσ
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IyM d
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Eefd NF
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02
,02
LIE
F efcE
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caIef eeee ++=1
300o
aLe ≥
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dI N
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30heI ≥
mckc ff ,0,0 7,0 ×=
4,1=cγ
MPammmm
Newton=
×
NO CASO DE ESTADOLIMITE ÚLTIMO.
NO CASO DE FORÇA APLICADA NO CENTRO
SA SEÇÃO (Md1=0)
Estruturas de Madeira 218 ___________________________________________________________________________
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ANEXO C – Tabelas de pregos comercializados Fonte de consulta: PFEIL, WALTER & PFEIL, MICHÈLE - Estruturas de Madeira - Rio de Janeiro - Livros Técnicos e Científicos Editora – 6ª ed., 2003, p. 60 e 61.
Fig. 4.12(a) Tabela de pregos com bitolas comerciais. Os números ao lado das figuras representam diâmetro (fieira francesa) x comprimento de corte do arame (linhas de polegada portuguesa). Os números entre parênteses representam diâmetro (em décimos de milímetros) x comprimento total nominal do prego (milímetros). Obs.: a relação entre o comprimento de corte do arame em linhas de polegada portuguesa e o comprimento total nominal do prego em milímetros varia de acordo com o fabricante.
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Fig. 4.12(b) Tabela de pregos com bitolas métricas (padronização da ABNT PB58). Os números ao lado das figuras representam comprimento total do prego (milímetros) x diâmetro (em décimos de milímetros). Os comprimentos totais dos pregos apresentam algumas variações, dependendo do fabricante.