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CAPTULO IIIESTRUTURAS ISOSTTICAS - NOES INICIAIS I. GRAUS DE LIBERDADE (GL) DEFINIO: Graus de liberdade so o nmero de movimentos rgidos possveis e independentes que um corpo pode excecutar. A. Caso espacial Estruturas submetidas a foras em todas as direes do espao. Estas foras podem ser reduzidas a trs direes ortogonais entre si (x,,y,z), escolhidas como referncia. Neste caso o corpo possui 6 graus de liberdade pois pode apresentar 3 translaes (na direo dos 3 eixos) e 3 rotaes (em torno dos 3 eixos). Exemplo:

B. CASO PLANO Estruturas submetidas a foras atuantes em um s plano, por exemplo x,y . Neste caso possuem 3 graus de liberdade pois podem apresentar 2 translaes (na direo dos dois eixos) e 1 rotao(em torno do eixo perpendicular ao plano que contm as foras externas). Exemplo:

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II. VNCULOS A. DEFINIO: todo o elemento de ligao entre as partes de uma estrutura ou entre a estrutura e o meio externo, cuja finalidade restringir um ou mais graus de liberdade de um corpo. A fim de que um vnculo possa cumprir esta funo, surgem, no mesmo, reaes exclusivamente na direo do movimento impedido. OBS 1: Um vnculo no precisa restringir todos os graus de liberdade de uma estrutura, quem o far ser o conjunto de vnculos. OBS 2 : As reaes desenvolvidas pelos vnculos formam o sistema de cargas externas reativas. OBS 3 : Somente haver reao se houver ao , sendo as cargas externas reativas dependentes das ativas, devendo ser calculadas. B. CLASSIFICAO Os vnculos podem ligar elementos de uma estrutura entre si ou ligar a estrutura ao meio externo e,portanto, se classificam em vnculos internos e externos. B.1. VNCULOS EXTERNOS: So vnculos que unem os elementos de uma estrutura ao meio externo e se classificam quanto ao nmero de graus de liberdade restringidos.. B.1.a. Caso espacial: Podem restringir at 6 graus de liberdade (GL) e portanto podem ser classificados em 6 espcies. No quadro abaixo so apresentados alguns exemplos de vnculos externos para o carregamento espacial


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Exemplo de vnculos espaciais:


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B.1.b. Caso plano Nestes casos o vnculo pode restringir at 3 graus de liberdade (GL) e portanto se classificam em 3 espcies.


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B.2. VNCULOS INTERNOS So aqueles que unem partes componentes de uma estrutura. No caso plano podem ser de 2a e 3a espcie. Ex 1 : Vnculo de 3a espcie Sejam duas barras livres no espao com carregamento plano:


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Cada barra tem 3 GL ,portanto, juntas somam 6 GL. Unindo-as rgidamente ,por exemplo, atravz de uma solda, o nmero de GL do conjunto passa a ser 3,portanto 3 GL restringidos. Se chamarmos de RT o nmero de movimentos restringidos de um sistema teremos neste caso RT = 3 (vnculo de 3a espcie) Ex 2 : Vnculo de 2a espcie (PINOS OU RTULAS)

Representao Estrutural : RTULAS : So vnculos que tem reaes internas verticais e horizontais podendo transmitir foras nestas direes que se anulam internamente. Permitem apenas o giro relativo entre as barras por ela unidas.

PARA QUE AS RTULAS DE UMA ESTRUTURA ESTEJAM EM EQUILBRIO NECESSRIO QUE O MOMENTO POLAR DAS CARGAS EXTERNAS EM RELAO ELAS SEJA NULO.EX: Sejam duas barras livres no espao e submetidas a um carregamento plano. Cada barra possui 3 GL e portanto o conjunto apresenta 6 GL.


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Se forem unidas por exemplo por uma rtula, o nmero de graus de liberdade do conjunto passa a ser 4 . Neste caso RT = 2 (vnculo de 2a espcie) (vnculo de 2 espcie)

III . CLASSIFICAO ESTRUTURAL De acordo com a sua estaticidade uma estrutura pode ser: A. HIPOSTTICAS: Quando o nmero de movimentos restringidos (RT) for menor do que o nmero de movimentos rgidos possveis e independentes (GL) . Uma estrutura hiposttica est em equilbrio instvel. B. ISOSTTICA: Quando o nmero de restries (RT) for igual ao nmero de movimentos possveis(GL). Uma estrutura isosttica est em equilbrio estvel. A eficcia da vinculao deve ser examinada. C. HIPERESTTICA: Quando o nmero de restries (RT) for maior do que o nmero de movimentos possveis(GL). Uma estrutura hiperesttica est em equilbrio estvel.

IV . VERIFICAO DO EQUILBRIO A. ESTATICIDADEEstruturas Isostticas DECivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini / Slvia Baptista Kalil

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De acordo com a classificao j vista podemos dizer que uma estrutura ser: hipostticas: isostticas: hiperestticas: . . RT < GL RT = GL RT > GL

B. GRAU DE CONEXO E RETENO TOTAL DE UMA ESTRUTURA (RT) Sejam duas barras livres no espao com carregamento plano. O nmero de GL deste conjunto 6. Se estas barras forem unidas rgidamente por um vnculo interno de 3a espcie o nmero de GL passa a ser 3. O nmero de movimentos restringidos foi 3 . RT = 3

Se possuirmos mais de duas barras podemos executar raciocnio idntico ao anterior,ou seja, se tivermos 3 barras livres o nmero de GL do conjunto 9. Ligando-as rgidamente (vnculo de 3a espcie) o nmero de GL passa a ser 3, portanto RT = 6.

ou


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Por outro lado, se tivermos ligado as barras por pinos ou rtulas ( vnculos de 2a espcie) , teremos: caso de 2 barras:

caso de 3 barras:

ou no caso de 4 barras

Podemos resumir e generalizar da seguinte maneira:


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Barras concorrentes em um vnculo 2 3 4 2 3 4

classe do vnculo 2 2 2 3 3 3

RT 2x1 2x2 2x3 3x1 3x2 3x3

n

r

r.(n-1)

O nmero de movimentos impedidos em um vnculo de classe r onde concorrem n barras : r.(n-1) n - nmero de barras que concorrem em um vnculo (n-1) - grau de conexo de um vnculo r - nmero de movimentos impedidos por este vnculo(classe do vnculo) Chamando: C1 = ###(n-1) - Soma dos graus de conexo dos vnculos de primeira espcie. C2 = ###(n-1) - Soma dos graus de conexo dos vnculos de segunda espcie. C3 = ###(n-1) - Soma dos graus de conexo dos vnculos de terceira espcie Assim teremos: 1x C1 - nmero de movimentos impedidos pelos vnculos de primeira espcie 2x C2 - nmero de movimentos impedidos pelos vnculos de segunda espcie 3x C3 - nmero de movimentos impedidos pelos vnculos de terceira espcie Podemos ento definir Reteno Total (RT) ou nmero de movimentos restringidos por todos os vnculos de uma estrutura como: RT = 1 x C1 + 2 x C2 + 3 x C3

C. GRAU DE ESTATICIDADE OU GRAU DE HIPERESTATICIDADE ( gh) Podemos definir grau de estaticidade total de uma estrutura como a diferena entre a reteno total e o nmero de graus de liberdade que ela pode apresentar. gh = RT - GLEstruturas Isostticas DECivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini / Slvia Baptista Kalil

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No caso plano cada barra livre possui 3 GL logo, se tivermos m barras o nmero de GL do conjunto ser 3 x m. Resulta: gh = RT - 3m ou gh = ( C1 + 2.C2 + 3.C3) - 3.m Ento: gh < 0 Hiposttica gh = 0 Isosttica gh > 0 Hiperesttica OBS: O exposto acima serve apenas para casos de carregamentos planos e a eficcia vincular deve ser tambm examinada. Por exemplo, a estrutura abaixo apresenta gh = 0 porm pode se movimentar na direo x.

D. ESTATICIDADE EXTERNA Quando quisermos verificar a estaticidade externa de uma estrutura, consideramos a estrutura como um conjunto monoltico, portanto com 3 GL e consideramos apenas as restries dos vnculos externos, ou seja: gext = RText - 3 onde Rtext a reteno total somente dos vnculos externos (soma da classe dos vnculos) E . ESTATICIDADE INTERNA A estaticidade interna a diferena entre a estaticidade total e a estaticidade externa. gint = gh - gext


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EXEMPLOS: Determine o grau de estaticidade total , interno e externo das estruturas abaixo. 1. R: gh = 0 (isosttica) gext = 0 gint = 0

2.R: gh = 0 (hiposttica) ineficcia vincular gext = 0 gint = 0 3. R: gh = -2 (hiposttica) gext = 0 gint = -2

4. R: gh = 0 (isosttica) gext = 1 gint = -1 5.

R: gh = 0 (hipo- inef vincular) gext = 2 gint = -2 6.Estruturas Isostticas DECivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini / Slvia Baptista Kalil

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7.

R: gh = 1 (inef. vinc) gext = 5 gint = -4

R : gh = 4 (hiperesttica) gext = 1 gint = 3 8.

R: gh = 0(isosttica) gext = 0 gint = 0

9.

R : gh = 3 (hiperesttica) gext = 3 gint = 0


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10.

R: gh = 0 (isosttica) gext = 1 gint = -1


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