Estruturas Placas

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as

Pedro V. Gamboa - 2009

Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior

PlacasPlacas

Placas e Cascas – 76413º Ano da Licenciatura em Engenharia Aeronáutica

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



• Uma placa é um corpo tridimensional com:– uma das suas dimensões muito menor do que as outras duas;– a curvatura da sua superfície média na configuração inicial é nula.

• Exemplos de placas:– Tampos de mesa;– Tampas de esgoto;– Painéis laterais e telhados de edifícios;– Discos de turbinas;– Fundos de tanques.

1. Teoria de Flexão de Placas1. Teoria de Flexão de Placas

superfície média

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



1.1. Introdução1.1. Introdução• As placas podem ser classificadas em 3 grupos:

– Placas finas com deflexões pequenas;– Placas finas com deflexões grandes;– Placas espessas.

• Consideram-se placas finas quando a razão da sua espessura pelo lado menor é inferior a 1/20;

• Interesse em conhecer a relação entre forças e momentos externos com as deformações, tensões e deslocamentos:– Forças da superfície:

• Forças concentradas quando actuam num ponto;• Forças distribuídas arbitrariamente por uma área finita.

– Forças do corpo:• Forças que actuam noselementos volumétricos da placa;• Resultam de campos gravíticos ou magnéticos e, no caso de haver

movimento, da inércia da placa.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



1.1. Introdução• O primeiro estudo significativo das placas deu-se nos anos 1800;• Desde então, foram resolvidos muitos problemas de flexão de

placas:– A teoria fundamental:

• Navier;• Kirchhoff;• Lévy.

– Resoluções numéricas:• Galerkin;• Wahl.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



1.2. Comportamento Geral de Placas1.2. Comportamento Geral de Placas

Considere uma placa não carregada onde o plano xy coincide com o plano médio sendo, assim, a defleção em z igual a zero.As componentes do deslocamento num ponto nas direcções x, y e z são u, v e w, respectivamente.Quando, devido a carregamentos laterais, existe deformação, a superfície média num ponto qualquer (xa,ya) tem defleção w.Os pressupostos fundamentais da teoria de flexão com deflexões pequenas (teoria clássica de placas isotrópicas, homogéneas e finas) baseia-se na geometria das deformações.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



1.2. Comportamento Geral de Placas

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



1.2. Comportamento Geral de PlacasHipótese de Kirchhoff (pressupostos fundamentais):

1. A deflexão da superfície média é pequena comparada com a espessura da placa. O declive da superfície deflectida é, portanto, muito pequeno e o quadrado do declive é desprezável comparado com a unidade;

2. O plano médio permanece sem extensão após a flexão;3. Secções planas inicialmente normais à superfície média permanecem

planas e normais à superfície após a flexão. Isto indica que as extensões de corte verticais, γxz e γyz, são desprezáveis. A deflexão da placa está, assim, principalmente associada às extensões de flexão. Conclui-se que a extensão normal εz resultante do carregamento transversal pode ser omitido.

4. A tensão normal ao plano médio, σz, é pequena comparada com as outras componentes e pode ser despresada. Esta suposição torna-se irrealista na proximidade de cargas concentradas elevadas.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



1.3. Relações Extensão-Curvatura1.3. Relações Extensão-Curvatura

Por forma a perceber o problema de flexão da placa considere-se a geometria de deformação.Como consequência do pressuposto (3), as relações de extensão-deslocamento são

0;; =∂∂

=∂∂

=∂∂

=zw

yv

xu

zyx εεε

onde γyx=γxy, γzx=γxz e γzy=γyz.Integrando a equação de εz, tem-se

( )yxww ,=

0;0; =∂∂

+∂∂

==∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

=zv

yw

zu

xw

xv

yu

yzxzxy γγγ

indicando que a deflexão lateral não varia na espessura da placa.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



1.3. Relações Extensão-Curvatura

Da mesma forma, integrando as expressões de γxz e γyz tem-se

( ) ( )yxvywzvyxu

xwzu ,;, 00 +

∂∂

−=+∂∂

−=

Estas equações estão de acordo com o pressuposto (3).Substituindo estas equações nas equações das extensões obtém-se

Torna-se claro que u0(x,y) e v0(x,y) representam, respectivamente, os valores de u e de v na superfície média.Com base no pressuposto (2) conclui-se que u0=v0=0. Assim,

ywzv

xwzu

∂∂

−=∂∂

−= ;

yxwz

ywz

xwz xyyx ∂∂

∂−=

∂∂

−=∂∂

−=2

2

2

2

2

2;; γεε

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




A curvatura de uma curva plana é definida como a taxa de variação do ângulo do declive da curva em relação à distância ao longo da curva.Devido ao pressuposto (1), o quadrado dum declive pode ser considerado desprezável e as derivadas parciais das equações anteriores representam as curvaturas da placa.Assim, as curvaturas κ na superfície média em planos paralelos ao plano xz, yz e xy são, respectivamente

Onde κxy=κyx.A última expressão também é conhecida como a torção do plano médio em relação aos eixos x e y.

xyxy

yy

xx y

wxry

wyrx

wxr

κκκ =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

=1;1;1

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Assim, as relações extensão-curvatura da placa podem representar-se na seguinte forma

xyxyyyxx zzz κγκεκε 2;; −=−=−=

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



1.4. Tensões e Resultantes de Tensões1.4. Tensões e Resultantes de Tensões

No caso de um estado de tensão tridimensional, as tensões e as extensões estão relacionadas pela lei de Hook generalizada, válida para um material isotrópico homogéneo:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]yxzzzxyyzyxx EEEσσνσεσσνσεσσνσε +−=+−=+−=

1;1;1

onde τyx=τxy, τzx=τxz e τzy=τyz.E é o módulo elástico longitudinal, ν é o coeficiente de Poisson e G é o módulo elástico transversal dado por

( )ν+=

12EG

GGGyz

yzxz

xzxy

xy

τγτγ

τγ === ;;

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



1.4. Tensões e Resultantes de Tensões

( ) ( ) xyxyxyyyxx GEE γτνεεν

σνεεν

σ =−−

=−−

= ;1

;1 22

Pode ver-se que a tensão desaparece na superfície média e varia linearmente ao longo da espessura da placa.

Substituindo εz=γyz=γxz=0, obtém-se as relações tensão-extensão da placa fina:

Introduzindo as curvaturas da placa, estas expressões ficam com a forma seguinte

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−−=+

−−= 2

2

2

2

22 11 yw

xwEzEz

yxx νν

νκκν

σ

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−−=+

−−= 2

2

2

2

22 11 xw

ywEzEz

xyy νν

νκκν

σ

yxwEzEz

xyxy ∂∂∂

−−=

−−=

2

11 νκ

ντ

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



As tensões distribuídas pela espessura da placa produzem momentos flectores, momentos torsores e forças de corte verticais.Estes momentos e forças por unidade de comprimento são conhecidas por resultantes de tensões.


Da figura, para a tensão σx, tem-se

dyMdzzdydydzz x

t

t x

t

t x == ∫∫ −−

2

2

2

2σσ

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



Da mesma forma, para as outras tensões obtêm-se as seguintes resultantes de tensão


É importante notar que apesar da teoria de placas finas omitir o efeito das deformações γxz=τxz/G e γyz=τyz/G na flexão, as forças verticais Qx e Qy não são desprezáveis.

∫− ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧2

2

t

t

xy

y

x

xy

y

x

zdzMMM

τσσ

onde Mxy=Myx.Para as forças de corte por unidade de comprimento, tem-se

∫− ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ 2

2

t

tyz

xz

y

x dzQQ

ττ

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



Substituindo as equações das tensões em função dos deslocamentos nas equações dos momentos podemos derivar as fórmulas dos momentos fletores e torsores em função das curvaturas e deflexões


onde D é a rigidez de flexção dada por

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−=+−= 2

2

2

2

yw

xwDDM yxx ννκκ

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−=+−= 2

2

2

2

xw

ywDDM xyy ννκκ

( ) ( )yx

wDDM xyxy ∂∂∂

−−=−−=2

11 νκν

( )2

3

112 ν−=

EtD

As forças de corte verticais Qx e Qy serão obtidas mais tarde.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



A tensão máxima ocorre nas superfícies superior e inferior (em z=±t/2) da placa.Desta análise pode observar-se que existe um correspondência directa entre os momentos e as tensões.Daqui se conclui que as equações de transformação das tensões e dos momentos são análogas.A análise do círculo de Mohr e todas as conclusões sobre as tensões também se aplicam aos momentos.A determinação das tensões σz, τxz e τyz através da lei de Hook não é possível porque não se relacionam com as extensões.

Substituindo as equações dos momentos nas equações das tensões pode obter-se as tensões em função dos momentos


333

12;

12;12

tzM

tzM

tzM xy

xyy

yx

x === τσσ

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



Das duas primeiras equações as tensões de corte τxz e τyz são, depois de integrar

As equações diferenciais de equilíbrio de um elemento de placa sujeito a um estado de tensão genérico podem ser usadas para


0

0

0

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

yxz

zxy

zyx

yzxzz

yzxyy

xzxyx

ττσ

ττσ

ττσ

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

= ∫ 2

2

2

22

2

2

2

412 yw

xw

xztEdz

yxt

z

xyxxz ν

τστ

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

= ∫ 2

2

2

22

2

2

2

412 yw

xw

yztEdz

xyt

z

xyxyz ν

τστ

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



A tensão normal σz varia na forma de uma parábola cúbica ao longo da espessura da placa.Esta tensão é desprezável de acordo com o pressuposto (4).As tensões de corte na direcção z também são consideradas muito pequenas quando comparadas com as outras tensões.

Pode observar-se que as distribuições de τxz e τyz na espessura da placa variam de acordo com uma lei parabólica.A componente σz pode calcular-se usando a terceira equação de equilíbrio, substituindo para τxz e τyz e integrando


( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−−= 2

2

2

2

2

2

2

2323

2 341212 yw

xw

yxzzttE

z νσ

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



1.5. Variação da Tensão Dentro da Placa1.5. Variação da Tensão Dentro da Placa

As componentes da tensão (e consequentemente as resultantes de tensão) variam, geralmente, de ponto para ponto numa placa carregada.Estas variações são governadas pelas condições de equilíbrio da estática.O cumprimento destas condições estabelece certas relações conhecidas por equações de equilíbrio.Considere um elemento dxdy da placa sujeito a um carregamento por unidade de área uniformemente distribuído, p.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



1.5. Variação da Tensão Dentro da Placa

Assume-se que a inclusão do peso da placa, sendo um valor pequeno, no carregamento p não afecta a precisão do resultado.Uma vez que o elemento da placa é muito pequeno, por simplicidade, assume-se que as componentes de força e de momento estão distribuídas uniformemente em cada uma das faces.Na figura elas estão representadas por um vector único, representando os valores médios, aplicado no centro de cada face.Com uma mudança de posição, por exemplo da face esquerda para a face direita, a componente do momento Mx que actua na face negativa de x varia em valor relativamente à face positiva de x. Esta variação pode ser representada por uma série de Taylor truncada

dxx

MM xx ∂

∂+

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Usa-se a derivada parcial pois Mx é função de x e y.Trantando todas as componentes de forma similar, obtém-se o estado das resultantes de tensão a partir da figura.Como o somatório das forças na direcção z tem que ser zero obtém-se

0=+∂∂

+∂∂ pdxdydxdy

yQ

dxdyx

Q yx

ou seja

0=+∂∂

+∂∂ p

yQ

xQ yx

O equilíbrio dos momentos em torno de x é governado por

0=−∂∂

+∂

∂dxdyQdxdy

yM

dxdyx

My

yxy

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




ou

Os produtos dos termos infinitesimais, como o momento de p, foram omitidos.Da mesma forma, do equilíbrio dos momentos em torno de y tem-se

0=−∂∂

+∂

∂x

xxy Qx

My

M

Finalmente, resolvendo as equações do equilíbrio dos momentos em ordem às forças por unidade de comprimento e substituíndo os resultados na equação do equilíbrio da força anterior resulta em

pyM

yxM

xM yxyx −=

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

2

22

2

2

2

0=−∂∂

+∂

∂y

yxy Qy

Mx

M

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Esta é a equação diferencial de equilíbrio para a flexão de placas finas.Agora podem escrever-se expressões para as forças de corte verticais Qx e Qyem função da deflexão w, usando as equações acima para Qx e Qy juntamente com o resultado dos momentos da secção 1.4:

onde

( )wx

Dyw

xw

xDQx

22

2

2

2

∇∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

−=

( )wy

Dyw

xw

yDQy

22

2

2

2

∇∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

−=

2

2

2

22

yx ∂∂

+∂∂

=∇

é o operador de Laplace.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Uma vez que a equação diferencial de equilíbrio da flexão de placas contém 3 incógnitas, Mx, My e Mxy, não é possível obter uma solução directamente.Os problemas de placas são, internamente, estaticamente indeterminados.Para reduzir o problema a uma incógnita é necessário usar as relações momento-deslocamento.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



1.6. A Equação da Placa1.6. A Equação da Placa

A equação diferencial básica para a deflexão de placas pode ser facilmente derivada com base nos resultados obtidos anteriormente.Introduzindo na equação diferencial de equilíbrio as expressões para Mx, My e Mxy tem-se

( ) pxw

yw

yD

yxw

yxD

yw

xw

xD −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂∂∂

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

− 2

2

2

2

2

222

2

2

2

2

2

2

12 ννν

Agrupando os termos

e, finalmente

Dp

yxw

yxw

yxw

yw

yxw

xw

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂+

∂∂∂

−∂∂

∂+

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

22

4

22

4

22

4

4

4

22

4

4

4

22 ν

0

Dp

yw

yxw

xw

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

4

4

22

4

4

4

2

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



1.6. A Equação da Placa

Esta equação, que foi derivada pela primeira vez por Lagrange em 1811, pode ser escrita numa forma compacta

Dp

yyxxyxyx =

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

2

22

2

2

2κκκ

Dpw =∇4

onde

( )22224 ∇=∇∇=∇

Esta equação é a equação diferencial para a deflexão de placas finas.Para determinar w, é necessário integrar esta equação com as constantes de integração dependentes das condições de fronteira apropriadas (ver secção seguinte).Esta equação também pode ser escrita em função das curvaturas:

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Quando não esxiste carregamento lateral na placa a equação reduz para

04 =∇ wou

Substituindo as equações das forças de corte verticais e a equação diferencial para a deflexão nas equações das tensões τzx, τyx e σz obtém-se para estas tensões

02 4

4

22

4

4

4

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

yw

yxw

xw

( )( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

2

32

2

221

23112

412 tz

tQ

EtQztE xx

xzν

ντ

( )( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−−=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−−=

3

3

2323

22

312

32

43112

341212 tz

tzp

EtpzzttE

zν

νσ

( )( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

2

32

2

221

23112

412 tz

tQ

EtQ

ztE yyyz

νν

τ

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




A tensão de corte máxima, à semelhança de uma viga com secção rectangular, ocorre em z=0, e pode ser representado pelas equações

Assim, a chave para determinar as componentes da tensão, usando as fórmulas derivadas, é a solução da equação diferencial da deflexão para w.Outra forma de obter a equação diferencial da deflexão é igualar a tensão normal à placa ao carregamento superfical por unidade de superfície na superfície superior da placa.Assim, com z=t/2 e σz=-p, e usando a equação de σz tem-se

tQ

tQ y

yzx

xz 23

;2

3max,max, == ττ

( ) pwEt=∇

−4

2

3

112 ν

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




É significativo notar que a soma das componentes do momento flector éinvariante.Isto é

Definindo M, a função momento ou a soma do momento, por

( ) ( ) wDyw

xwDMM yx

22

2

2

2

11 ∇+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+−=+ νν

wDMM

M yx 2

1∇−=

++

=ν

as expressões para as forças de corte podem ser reescritas na seguinte forma

yMQ

xMQ yx ∂

∂=

∂∂

= ;

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Desta forma pode escrever-se a equação da placa em duas equações.A primeira, usando a equação do equilíbrio das forças verticais e a função momento, é

pyM

xM

−=∂∂

+∂∂

2

2

2

2

Assim, reduz-se a equação da placa a duas equações diferenciais parciais de segunda ordem que é por vezes preferível, dependendo do método de solução usado.Sabendo o carregamento e as condições de fronteira, pode obter-se M da primeira equação e depois a segunda equação fornece w.

A segunda, usando a definição de função momento, é

DM

yw

xw

−=∂∂

+∂∂

2

2

2

2

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Pode ser demonstrado que as equações acima têm a mesma forma que as equações que descrevem a deflexão de uma membrana esticada uniformemente e carregada lateralmente.Desta forma, existe uma analogia entre a flexão de uma placa e problemas de membrana, o que permite derivar inúmeras técnicas experimentais e técnicas numéricas aproximadas.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



1.7. Condições de Fronteira1.7. Condições de Fronteira

A equação diferencial de equilíbrio derivada anteriormente tem que ser satisfeita dentro da placa.A distribuição de tensão na placa também tem que ser tal que acomode as condições de equilíbrio em relação às forças ou deslocamentos impostos na fronteira.A solução da equação da placa requer que duas condições de fronteira sejam satisfeitas em cada extremidade.Estas podem ser uma dada deflexão e declive, ou força e momento, ou uma combinação.A diferença básica entre as condições de fronteira aplicadas a placas e as das vigas é a existência de momentos torsores ao longo das extremidades da placa.Estes momentos podem ser substituídos por forças equivalentes.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



1.7. Condições de Fronteira

Vamos considerar as condições de fronteira de uma placa rectangular com extremidades a e b paralelas aos eixos x e y, respectivamente.Considerando dois comprimentos elementares sucessivos dy na extremidade x=a, pode ver-se que, no elemento do lado direito actua um momento de torção Mxydy, enquanto no do lado esquerdo actua um momento

. ( )[ ]dydyyMM xyxy ∂∂+

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Na figura os momentos estão representados como binários de forças estaticamente equivalentes.Assim, numa região infinitesimal da extremidade dentro da linha a traço interrompido, pode ver-se a força para cima Mxy e a força para baixo

.A soma algébrica destas forças pode ser adicionada à força de corte Qx para produzir uma força transversal efectiva, por unidade de comprimento, para uma extremidade paralela ao eixo y, Vx.Assim

( )dyyMM xyxy ∂∂+

( ) dyyxw

xwD

yM

QV xyxx ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂∂

−+∂∂

−=∂

∂+= 2

3

3

3

2 ν

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




De forma similar, pode obter-se, para uma extremidade paralela ao eixo x, que

( ) dyyx

wywD

xM

QV xyyy ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−+

∂∂

−=∂

∂+= 2

3

3

3

2 ν

As equações acima devem-se a Kirchhoff: uma distribuição de Mxy ao longo de uma extremidade é estaticamente equivalente a uma dsitribuição de forças de corte.Para além destas forças nas extremidades, também podem existir forças concentradas, Fc, produzidas nos cantos.Considerando, por exemplo, o caso de uma placa rectangular com carregamento uniforme e com apoios simples nas extremidades, a acção dos momentos torsores no canto (a,b) é, sabendo que Mxy=Myx,

( )yx

wDMF xyc ∂∂∂

−−==2

122 ν

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




O sinal negativo indica o sentido para cima.Devido à simetria do carregamento uniforme, esta força tem que ter a mesma magnitude e sentido em todos os cantos da placa.Assim, se estes não forem fixos, os cantos da placa descrita tendem a levantar.As forças adicionais dos cantos para placas com diferentes condições nas extremidades podem ser obtidas de maneira similar; por exemplo, quando duas extremidades adjacentes estão fixas ou livres, tem-se Fc=0, pois ao longo destas extremidades não existe momento torsor.Agora, pode formular-se uma variedade de situações normalmente encontradas.As consições de fronteira ao longo da extremidade x=a de uma placa retangular com extremidades paralelas aos eixos x e y são descritas em seguida.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Extremidade embutida ou encastrada:Neste caso, tanto a deflexão como o declive desaparecem na extremidade considerada, isto é

( )axxww ==∂∂

= ;0;0

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Extremidade com apoio simples:Neste caso, tem-se deflexão e momento flector igual a zero na extremidade em questão. Assim

( )axyw

xwMw x ==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

== ;0;0 2

2

2

2

ν

A primeira destas equações implica que ao longo da extremidade x=a

0;0 2

2

=∂∂

=∂∂

yw

yw

Desta forma as condições de fronteira podem ter a forma equivalente

( )axxww ==

∂∂

= ;0;0 2

2

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Extremidade livre:Neste caso, tem-se momento flector e força de corte vertical igual a zero na extremidade em questão. Isto é

( ) ( )axyxw

xw

yw

xw

==∂∂∂

−+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂ ;02;0 2

3

3

3

2

2

2

2

νν

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Extremidade deslisante:Neste caso, a extremidade é livre de se mover verticalmente, mas a rotação não é permitida. O apoio não é capaz de resistir a qualquer força de corte. Logo

( ) ( )axyxw

xw

xw

==∂∂∂

−+∂∂

=∂∂ ;02;0 2

3

3

3

ν

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Outros tipos de condições de fronteira podem ser analisados de forma idêntica.Pode observar-se que as condições de fronteira podem ser de dois tipos básicos:

-Uma condição de fronteira geométrica ou cinemática descreve constrangimentos das extremidades relacionados com deflexão ou declive;-Uma condição de fronteira estática iguala as forças internas (ou momentos) nas extremidades da placa às forças de corte externas (ou momentos) dadas.

Desta forma, numa extremidade encastrada as duas condições são cinemáticas; numa extremidade livre as duas condições são estáticas; nas extremidades de apoio simples e deslizante as consições são mistas.Em vez de especificar consições de fronteira homogéneas, é possível especificar outros valores de corte, momento, rotação ou deslocamento.Nestes casos, condições de fronteira não homogénias são representadas substituindo os zeros das condições acima por valores especificados.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



1.8. Solução da Deflexão de Placas1.8. Solução da Deflexão de Placas

Com a equação fundamental da placa obtêm-se deflexões de placas apenas com dificuldade considerável.É comum obter uma solução usando o método inverso. Neste método, parte-se de uma solução assumida para w que satisfaça a equação fundamental e as condições de fronteira.Alguns casos podem ser analisados com a utilisação de polinómios para w em xe y com coeficientes indeterminados.Normalmente, não é trivial escolher séries com uma forma aceitável.O método deste tipo mais comum é o das séries de Fourier, em que, tendo obtido uma solução para o carregamento sinusoidal, qualquer outro carregamento pode ser analisado através de séries infinitas.Este método apresenta uma vantagem importante que consiste no facto de uma única expressão ser aplicada em toda a superfície da placa.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



1.8. Solução da Deflexão de Placas

Os métodos de energia devem ser usados na análise de casos gerais.Estes podem ser aplicados para a obtenção de uma solução, muitas vezes na forma de séries infinitas.Estes dois métodos têm duas funções:

-Podem fornecer soluções “exactas” quando as configurações do carregamento e geoemtria são simples;-Podem ser usadas como base para técnicas aproximadas através da análise numérica aplicada a problemas mais reais.

Outro método usado para resolver a equação da placa é o método das diferenças finitas. Neste caso as equações são substituídas por expressões de diferenças finitas que relacionam w (e M) em nós distanciados por um comprimento finito.As equações, neste caso, só podem ser resolvidas numericamente.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Exemplo 1.1Determine a deflexão e a tensão numa placa rectangular muito comprida e estreita (a>>b) que tem apoios simples nas extremidades y=0 e y=b nas seguintes condições:a) A placa suporta um carregamento não uniforme dado por

( )bypyp πsin0=

onde a constante p0 representa a intensidade do carregamento ao longo da linha y=b/2, paralela ao eixo x; b) A placa suporta um carregamento uniforme de p0.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Exemplo 1.2Uma placa rectangular de um poço de elevador está sujeita a momentos flectores uniformemente distribuídos Mx=Mb e My=Ma, aplicados ao longo das suas extremidades.Derive a equação que governa a deflexão da superfície nos seguintes casos:a) Ma=Mb;b) Ma=-Mb.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



1.9. Métodos de Energia de Extensão1.9. Métodos de Energia de Extensão

Como alternativa aos métodos de equilíbrio, a análise da deformação e da tensão num corpo elástico pode ser feita através de métodos de energia.Estas duas técnicas são, respectivamente, análises newtoniana e lagrangiana da mecânica.Esta última, é estimada devido ao facto de que a equação fundamental de um corpo elástico pode ser derivada através da minimização da energia associada àdeformação e ao carregamento.Os métodos de energia são úteis em situações que envolvem formas irregulares, carregamentos não uniformes, secções transversais variáveis e materiais anisotrópicos.Vamos começar por ver as técnicas de energia através do caso de placas finas.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



1.9. Métodos de Energia de Extensão

A energia de extensão guardada dentro de um corpo elástico, para um estado de tensão genérico, é dado por

( )∫∫∫ +++++=V

yzyzxzxzxyxyzzyyxx dxdydzU γτγτγτεσεσεσ21

A integração extende-se a todo o volume do corpo.Com base nos pressupostos da secção 1.2, para placas finas σz, γxz e γyz podem ser omitidos.Assim, introduzindo a lei de Hook, a expressão acima reduz à seguinte forma, que envolve apenas tensões e constantes elásticas,

( ) ( )∫∫∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+−=

V

xyxyxyyyxx dxdydz

GEEU

ττνσσσνσσσ 11

21

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




ou

Para uma placa com espessura constante, esta equação pode ser escrita em termos da deflexão w com a ajuda das equações que relacionam a tensão com a deflexão. Assim,

Integrando em z desde –t/2 a t/2 obtém-se

( )∫∫∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−=

Vxyxyxx dxdydz

GEU 222

212

21 τσσνσσ

( )∫∫∫⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=V

dxdydzzyx

wyw

yw

xw

xwEU 2

222

2

2

2

2

2

22

2

2

2 12212

1 ννν

( )∫∫⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=A

dxdyyx

wyw

xw

yw

xwDU

22

2

2

2

22

2

22

2

2

12221 νν

onde A representa a área da superfície da placa.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Alternativamente, a equação da energia pode ser escrita na forma

O segundo termo desta equação é conhecido como a curvatura gaussiana.Pode observar-se que a energia de extensão é uma função não linear (quadrática) da deformação ou tensão.Desta forma, o princípio da superposição não é válido para a energia de extensão.Estas equações são úteis na formulação de várias técnicas de energia e de vários métodos de elementos finitos.Em seguida vamos ver alguns métodos comuns de energia de extensão baseados na energia potencial e na variação da deformação dum corpo elástico.

( )∫∫⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=A

dxdyyx

wyw

xw

yw

xwDU

22

2

2

2

22

2

2

2

2

1221 ν

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Princípio do trabalho virtualSuponha-se que um corpo elástico sofre um deslocamento incremental arbitrário, ou seja, um deslocamento virtual.Este deslocamento não precisa de existir nem tão pouco ser infinitesimal.Quando se considera o deslocamento infinitesimal, como é prática comum, érazoável considerar que o sistema de forças que actua no corpo é constante.O trabalho virtual realizado pelas forças de superfície T por unidade de área no corpo no processo de levar o corpo do seu estado inicial para o estado de equilíbrio é

Aqui A é a área limite da superfície e δu, δv e δw são os deslocamentos virtuais nas direcções x, y e z, respectivamente.

( )∫ ++=A

zyx dAwTvTuTW δδδδ

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




A notação δ indica uma variação de um parâmetro.A energia de extensão δU adquirida por um corpo de volume V como resultado da extensão virtual

O trabalho total realizado durante o deslocamento virtual é zero, ou

0=− WU δδ

( )∫ +++++=V

yzyzxzxzxyxyzzyyxx dVU δγτδγτδγτδεσδεσδεσδ21

Assim, o princípio do trabalho virtual de um corpo elástico é

WU δδ =

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Princípio da energia potencial mínimaDesde que os deslocamentos virtuais não alterem a forma do corpo e que as forças de superfície sejam consideradas constantes a equação anterior pode ser escrita na seguinte forma:

representa a energia potencial do corpo.A primeira equação representa a condição de energia potencial estacionária do sistema.Para um equilíbrio estável a energia potencial tem que ser mínima.Para todos os deslocamentos que satisfaçam as condições de fronteira e as condições de equilíbrio, a energia potencial assume um valor mínimo.

( ) 0=−=Π WUδδ

Nesta expressão

WU −=Π

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Este princípio chame-se o princípio da energia potencial mínima.A energia potencial guardada numa placa sujeita a um carregamento lateral distribuído p(x,y) é

No caso da placa ter uma espessura constante, esta equação pode ser escrita

Pode explicar-se fisicamente os termos de U na expressão acima.Como ∂2w/∂x2=κx representa a curvatura da placa no plano xy, o ângulo que corresponde ao momento Mxdy é igual a –(∂2w/∂x2)dx.A energia de extensão ou o trabalho realizado pelo momento Mx é então -0.5Mxκxdxdy.

( ) ( )∫∫∫ ∫∫−++=ΠV A

xyxyyyxx dxdypwdxdydzγτεσεσ21

( ) ( )∫∫∫∫ −++−=ΠAA

xyxyyyxx dxdypwdxdyMMM κκκ21

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




A energia de extensão resultante dos momentos Mydx e Mxydy são interpretados da mesma forma.O princípio da energia potencial é expressa na seguinte forma:

( ) ( )∫∫∫∫ −++−=ΠAA

xyxyyyxx dxdywpdxdyMMM δδκδκδκδ21

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Método de RitzO método de Ritz é um procedimento conveniente para determinar soluções com o princípio da energia potencial mínima.Este método é descrito para o caso da flexão elástica de placas.Primeiro escolhe-se uma solução para a deflexão w na forma de uma série que contém os parâmetros indeterminados amn (m,n=1,2,...).A deflexão escolhida tem que satisfazer as condições de fronteira geométricas.As condições de fronteira estáticas não precisam de ser respeitadas.Obviamente, uma escolha apropriada para a expressão da deflexão é importante para que se obtenha uma solução precisa.Por isso, é desejável assumir uma expressão para w que seja quase idêntica àverdadeira superfície deflectida da placa.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Depois, usando a solução seleccionada, determina-se a energia potencial Π em termos de amn.Para que a energia potencial seja mínima no equilíbrio tem que se ter

0,,011

=∂Π∂

=∂Π∂

mnaaK

Desta forma tem-se um sistema de equações algébricas que são resolvidas para os parâmetros amn.Depois, introduzindo os valores obtidos na expressão assumida para a deflexão, obtém-se a solução para um dado problema.Geralmente, amn inclui um número finito de parâmetros e, por isso, os resultados finais são apenas aproximados.Obviamente, se o w assumido for “exacto”, a solução também será “exacta”.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




As vantagens do método de Ritz prendem-se com o facto de ser relativamente fácil tratar problemas com diferentes condições de fronteira nas extremidades da placa.Este método, é assim, um dos mais simples para resolver deflexões de placas e cascas através de uma calculadora.

A aplicação das técnicas de energia de extensão em problemas de flexão, de tracção e de instabilidade em placas e cascas serão apresentadas mais tarde.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



2.1. Introdução2.1. Introdução• Neste capítulo vão considerar-se as tensões e deflexões em placas

rectangulares finas.• Como visto no capítulo anterior o elemento de placa rectangular é

um modelo excelente para desenvolver relações básicas em coordenadas cartesianas.

• Por outro lado, vamos ver que placas sujeitas à flexão frequentemente levam a soluções na forma de séries que não são viáveis para cálculos manuais de valores numéricos.

• Isto é, as deflexões e momentos são, muitas vezes, descritos por séries infinitas complicadas.

• Estes cálculos são, obviamente, realizados com facilidade por um computador.

2. Placas Rectangulares2. Placas RectangularesPl

acas

e C

asca

sPl

acas



2.1. Introdução• As placas rectangulares são, geralmente, classificadas de acordo com

o tipo apoios usados:– Placas com apoios simples;– Placas encastradas ou embutidas;– Pacas com mistura de condições de apoio;– Placas em fundações elásticas;– Placas contínuas:

• Estas placas normalmente consistem em placas isoladas suportadas por vigas ou colunas intermédias.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



2.2. Solução de Navier (Placa Rectangular com Apoios Simples)2.2. Solução de Navier (Placa Rectangular com Apoios Simples)

Considere uma placa rectangular de lados a e b com apoios simples em todas as extremidades e sujeito a um carregamento p(x,y).A origem das coordenadas é colocada no canto superior esquerdo como mostra a figura.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



2.2. Solução de Navier (Placa Rectangular com Apoios Simples)

Em geral, a solução do problema de flexão faz uso das séries de Fourier seguintes para a carga e deflexão:

( ) ∑∑∞

=

∞

=

=1 1

sinsin,m n

mn byn

axmpyxp ππ

( ) ∑∑∞

=

∞

=

=1 1

sinsin,m n

mn byn

axmayxw ππ

onde pmn e amn representam os coeficientes a determinar.Este método foi introduzido por Navier em 1820.As deflexões têm que satisfazer a equação diferencial para a deflexão de placas com as seguintes condições de fronteira

( )

( )byyyww

axxxww

===∂∂

=

===∂∂

=

,000

,000

2

2

2

2

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Pode, facilmente, constatar-se que a equação da deflexão cumpre estes constrangimento e que os coeficientes amn têm que satisfazer a equação diferencial da deflexão.A solução correspondente ao carregamento p(x,y) requer, assim, que se determine pmn e amn.Para perceber melhor a equação de w considere que a superfície deflectida verdadeira da placa é uma superposição de curvas sinusoidais de m e nconfigurações diferentes nas direcções x e y, respectivamente.Os coeficientes amn da série são as coordenadas centrais máximas das curvas seno e os m’s e os n’s indicam o número de meias curvas seno nas direcções x e y, respectivamente.Por exemplo, o termo a12sin(πx/a)sin(2πy/b) está ilustrado na figura.Aumentando o número de termos na série aumenta-se a precisão do resultado.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Para um caso de carregamento genérico procede-se da seguinte forma.Para determinar os coeficientes pmn, cada lado da equação do carregamento émultiplicado por

dxdyb

yna

xm ππ ′′sinsin

e integrado entre os limites 0,a e 0,b:

( )

∑∑ ∫ ∫

∫ ∫∞

=

∞

=

′′=

′′

1 10 0

0 0

sinsinsinsin

sinsin,

m n

b a

mn

b a

dxdyb

yna

xmb

yna

xmp

dxdyb

yna

xmyxp

ππππ

ππ

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Pode mostrar-se por integração directa que

Então, os coeficientes da expansão de Fourier dupla são

( )( )( )( )nn

nnb

dyb

ymb

ym

mmmm

adx

axm

axm

b

a

′=

′≠

⎩⎨⎧

=′

′=

′≠

⎩⎨⎧

=′

∫

∫

20

sinsin

20

sinsin

0

0

ππ

ππ

( )∫ ∫=b a

mn dxdyb

yna

xmyxpab

p0 0

sinsin,4 ππ

O cálculo de amn na equação de w requer que se substituam as equações de p e de w na equação diferencial de deflexão da placa, o que dá

∑∑∞

=

∞

=

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

1 1

4224

0sinsin2m n

mnmn b

yna

xmD

pb

nb

na

ma

ma ππππππ

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Esta equação tem que ser válida para todos os x e y.Então conclui-se que

ou

Daqui, resolvendo em ordem a amn, tem-se

024224

4 =−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Dp

bn

bn

am

ama mn

mnπ

0222

4 =−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Dp

bn

ama mn

mnπ

2224

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

bn

amD

pa mnmn

π

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Finalmente, substituindo este resultado na equação do w, obtém-se a equação de superfície de deflexão da placa.

onde pmn já foi obtido anteriormente.Pode observar-se que, sendo |sin(mπx/a)|≤1 e |sin(nπy/b)|≤1 para todos os x e ye m e n, a série é convergente.Desta forma, esta equação é uma solução válida para a flexão de placas rectangulares com apoios simples sujeita a vários tipos de carregamento.Na próxima secção serão apresentadas várias aplicações do método de Navier para casos particulares.

∑∑∞

=

∞

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=1 1

2224 sinsin1m n

mn

byn

axm

bn

am

pD

w πππ

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



2.3. Solução de Navier (Vários Carregamentos)2.3. Solução de Navier (Vários Carregamentos)

Quando uma placa rectangular está sujeita a um carregamento uniformemente distribuído p(x,y)=p0, os resultados da secção anterior são um pouco simplificados.A equação do pmn depois da integração dá

( )( )πππ

nmmnppmn cos1cos14

20 −−=

ou

( )[ ] ( )[ ]nmmn mn

pp 111142

0 −−−−=π

ou aínda

( )K,3,1,162

0 == nmmnppmn π

Como pmn=0 para valores pares de m e n, estes só tomam valores ímpares.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



2.3. Solução de Navier (Vários Carregamentos)

Substituindo pmn na equação de amn, obtém-se

Em termos físicos, a placa carregada uniformemente tem que deflectir numa forma simétrica.Esta configuração resulta quando m e n são ímpares.A deflexão máxima ocorre no centro da placa (x=a/2,y=b/2) e o seu valor é

( )K,3,1,sinsin1162226

0 =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= ∑∑∞ ∞

nmb

yna

xm

bn

ammn

Dpw

m n

πππ

∑∑∞ ∞

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=m n

nm

bn

ammn

Dpw

2sin

2sin116

22260 ππ

π

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




ou

As componentes do momento obtém-se substituindo a equação acima nas equações dos momentos.Assim

( ) ( )∑∑∞ ∞

−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−=

m n

nm

bn

ammn

Dpw 222

21

21

60 1116

π

∑∑∞ ∞

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=m n

x byn

axm

bn

ammn

bn

am

pM ππν

πsinsin16

222

22

40

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Pode observar-se que os momentos flectores Mx e My são zero em (x=0,x=a) e (y=0,y=b), respectivamente.No entanto, o momento torsor Mxy não desaparece nas extremidades nem nos cantos da placa.

∑∑∞ ∞

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=m n

y byn

axm

bn

ammn

bn

am

pM ππν

πsinsin16

222

22

40

( )∑∑∞ ∞

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−=

m nxy b

yna

xm

bn

amab

M πππ

ν coscos11162224

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




A presença de Mxy causa uma alteração da distribuição das reacções nos suportes.Lembremos, no entanto, que o princípio de St. Venant permite considerar a distribuição de tensão inalterada em secções distantes das extremidades e cantos.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Exemplo 2.1Um painel de parede quadrado, sujeito a um diferencial de pressão p0, pode considerar-se que tem apoios simples em todas as suas extremidades.Determine:a) A deflexão máxima;b) O momento máximo;c) A tensão máxima.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Exemplo 2.2Um painel do chão de um armazém de lados a e b tem apoios simples em todas as extremidades.Determine as reacções nos apoios assumindo que o material está distribuído pelo chão todo por forma a criar o seguinte caregamento

( )by

axpyxp ππ sinsin, 0=

onde p0 representa a intensidade da carga no centro da placa, como mostra a figura.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Exemplo 2.3Determine as equações da superfície elástica de uma placa rectangular com apoios simples em duas situações:a) A placa está sujeita a uma carga P distribuída uniformemente numa área 4cd;b) A placa suporta uma carga pontual em x=x1,y=y1.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular)2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular)

Na secção anterior viu-se que o cálculo dos momentos flectores com o método de Navier tem um convergência lenta com o aumento do número de termos da série.Um método importante que resolve este problema foi desenvolvido por Lévy em 1900.Outra vantagem da solução de Lévy é que em vez de usar uma série dupla usa-se uma série única.Em geral, é mais fácil realizar cálculos numéricos com séries únicas do que com séries duplas.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



2.4. Solução de Lévy (Placa Rectangular)

O método de Lévy é aplicável à flexão de placas rectangulares com condições de fronteira particulares em duas axtremidades opostas (por exemplo, x=0 e x=a) e condições de fronteira arbitrárias nas restantes extremidades (y=±b/2).

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




A solução total consiste na solução homogénia wh da equação

e da solução particular wp da equação

02 4

4

22

4

4

4

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

yw

yxw

xw

Dp

yw

yxw

xw

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

4

4

22

4

4

4

2

com a seguinte forma

ph www +=

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Uma vez que

é independente do carregamento, pode derivar-se uma única expressão para whque seja válida para placas rectangulares com duas condições de fronteira particulares em dois lados opostos.Obviamente, para cada carga específica p(x,y) tem que se obter uma solução para wp.A solução homogénea é escolhida com a forma geral seguinte

04 =∇ hw

onde fm(y) tem que ser obtida de forma a satisfazer as condições nos apoios em y=±b/2 e satisfazer a equação acima.

( )∑∞

= ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=1 cos

sin

mmh

axm

axm

yfw π

π

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Vamos descrever o método assumindo que os lados opostos da placa rectangular em x=0 e x=a têm apoios simples como mostra a figura.

Neste caso a equação anterior fica

Esta equação cumpre as condições de fronteira para apoios simples nas extremidades ao longo de x.

( )∑∞

=

=1

sinm

mh axmyfw π

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Para completar a solução, temos que aplicar as condições de fronteira nos dois lados arbitrários com y=±b/2.Substituíndo a equação de wh em ∇4w=0, tem-se

Para que esta equação seja válida em todos os x é preciso que

A solução geral desta equação é

0sin2,3,1

4

2

22

4

4

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−∑

∞

= Kmm

mm

axmf

am

dyfd

am

dyfd πππ

024

2

22

4

4

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− m

mm fa

mdy

fda

mdy

fd ππ

aym

ma

ym

ma

ym

ma

ym

mm yeDyeCeBeAfππππ

−−′+′+′+′=

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Ou usando identidades trigonométricas

A solução homogénea fica, assim,

Onde Am, Bm, Cm e Dm são constantes que serão determinadas mais tarde para casos especificados.Pode observar-se que as condições de fronteira para apoios simples são respeitados nas extremidades x=0 e x=a se a solução particular for expressa com a série de Fourier única

aymyD

aymyC

aymB

aymAf mmmmm

ππππ coshsinhcoshsinh +++=

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=

1sincoshsinhcoshsinh

mmmmmh a

xma

ymyDa

ymyCa

ymBa

ymAw πππππ

( )∑∞

=

=1

sinm

mp axmykw π

onde km(y) são funções de y apenas.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Vamos expandir p(x,y) também com um série de Fourier

onde

Substituindo para wp e p(x,y) na equação ∇4w=p(x,y)/D e notando a validade da expressão resultante para todos os valores de x entre 0 e a, obtém-se

( ) ( )∑∞

=

=1

sin,m

m axmypyxp π

( ) ( )∫=a

m dxa

xmyxpa

yp0

sin,2 π

Dpk

am

dykd

am

dykd m

mmm =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

4

2

22

4

4

2 ππ

Depois de determinar uma solução particular, km, desta equação diferencial ordinária, pode calcular-se wp.O método é ilustrado com o seguinte exemplo típico.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Placa Rectangular com Apoios Simples e Carregamento UniformeNeste caso p(x,y)=p0 pelo que a equação de pm(y) fica

Logo, a equação de km fica

A solução particular desta equação é

( )K,3,14 0 == mmppmπ

Dmpk

am

dykd

am

dykd

mmm

πππ 0

4

2

22

4

4 42 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

A solução para wp fica, então,Dm

apkm 55

404π

=

∑∞

=

=1

55

40 sin14

mp a

xmmD

apw ππ

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Esta solução representa a deflexão de uma tira com carregamento uniforme com apoios simples e paralela ao eixo x.Também pode ser escrita na seguinte forma

A condição que diz que a deflexão da placa tem que ser simétrica em relação ao eixo x (tem que ter os mesmos valores para –y e +y) é satisfeita pela equação de wh se Am=Dm=0.Depois, adicionando a contribuição de wp tem-se

( )xaaxxD

pwp3340 2

24+−=

Esta equação satisfaz a equação fundamental da flexão de placas e as condições de apoios simples em x=0 e x=a.

∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

K,3,155

40 sin4sinhcosh

mmm a

xmDm

apa

ymyCa

ymBw ππ

ππ

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




As condições de fronteira em falta são

Se aplicarmos estas condições à equação de w obtém-se duas expressões, que serão satisfeitas para todos os x se

onde

04sinh2

cosh 55

40 =++

DmapbCB mmmm π

αα

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±==

∂∂

=2

00 2

2 byyww

0sinhcosh2 =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + mmmmm

mm CCb

B αααα

abm

m 2πα =

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




A solução destas equações dá a seguintes constantes

A deflexão da superfície da placa pode, desta forma, ser escrita

m

mm Dm

bapmapBαπ

απcosh

tanh455

30

40 +

=

mm Dm

apCαπ cosh

244

30=

∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

=

K,3,15

5

40

sin2sinhcosh2

12coshcosh2

2tanh11

4

m

m

m

m

m

mm

axm

by

aym

by

m

Dapw

παπα

αααα

π

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




A deflexão máxima ocorre no centro da placa (x=a/2,y=0), tomando o valor de

Uma vez que

( )∑∞

=

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

−=

K,3,15

21

5

40

max cosh22tanh114

m m

mm

m

mDapw

ααα

π

( )32

519

5

,3,15

21

×=

−∑∞

=

−π

Km

m

m

a deflexão máxima da placa fica com a forma seguinte

( )∑∞

=

−+−

−=K,3,1

5

21

5

40

40

max cosh22tanh14

3845

m m

mm

m

mDap

Dapw

ααα

π

O primeiro termo representa a deflexão máxima wmax do meio de uma tira com apoios simples e carregamento uniforme.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




O segundo termo é uma série de convergência rápida.Por exemplo, no caso de uma placa quadrada (a=b e αm=mπ/2), a deflexão máxima é

Pode ver-se que, mesmo mantendo apenas o primeiro termo da série, a solução obtida é precisa até ao terceiro algarismo significativo.Introduzindo a notação na equação da deflexão máxima

( )Dap

Dap

Dapw

40

5

40

40

max 00406.000025.068562.043845

=+−−= Lπ

pode escrever-se

( )∑∞

=

−+−

−=K,3,1

5

21

51 cosh22tanh14

3845

m m

mm

m

m ααα

πδ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ === 0,

2

40

1max yaxDapw δ

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




De uma forma idêntica à secção anterior podem derivar-se expressões para os momentos, forças de corte e tensões da placa.Os momentos máximos na placa também se podem escrever na forma

Valores numéricos para os coeficientes δ1, δ2 e δ3 são mostrados na tebela para várias razões de aspecto b/a. Pode ver-se que, à medida que b/a aumenta, wmax e Mx,max aumentam enquanto My,max diminui.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ==== 0,

22

03max,2

02max, yaxapMapM yx δδ

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Exemplo 2.4Uma janela de um prédio alto, é aproximada por uma placa rectangular com 3 extremidades com apoios simples e 1 encastrada. A placa está sujeita a um carregamento uniforme devido ao vento de intensidade p0.Derive uma expressão para a deflexão da superfície.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Exemplo 2.5Um carregamento uniforme p0 actua numa varanda rectangular com apoios simples nos lados opostos x=0 e x=a, com o lado y=b livre e a extremidade y=0 encastrada.Descreva a derivação da expressão para a deflexão w.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Exemplo 2.6Derive uma expressão para a superfície deflectida de um painel de chão muito longo e estreito sujeito a um carregamento uniforme p0.Assumir que x=0, x=a e y=0 têm apoios simples.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



2.5. Solução de Lévy (Carregamentos Não Uniformes)2.5. Solução de Lévy (Carregamentos Não Uniformes)

Vamos aplicar o método de Lévy a casos de placas rectangulares com carregamentos não uniformes que são apenas função de x.Assumindo que as extremidades x=0 e x=a têm apoios simples, o carregamento é expresso com a série de Fourier

( ) ∑∞

=

=K,2,1

sinm

m axmpxp π

onde

( )∫=a

m dxa

xmxpa

p0

sin2 π

Usando o procedimento da secção 2.4 obtém-se

∑∞

=

=K,2,1

44

4

sinm

mp a

xmmp

Daw ππ

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



2.5. Solução de Lévy (Carregamentos Não Uniformes)

Esta expressão representa a deflexão de uma tira sujeita a um carregamento p(x) e satisfaz a equação ∇4w=p(x)/D bem como as condições de fronteira de apoios simples em x=0 e x=a.Assumindo que as duas extremidades arbitrárias y=±b/2 também têm apoios simples .A expressão total da deflexão fica

Onde as constantes Bm e Cm são determinadas com as condições em y=±b/2: w=0 e ∂2w/∂y2=0.Assim

∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

K,2,144

4

sinsinhcoshm

mmm a

xmDm

apa

ymyCa

ymBw ππ

ππ

∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−=

K,2,144

4

sinsinhcosh2

1coshcosh2

2tanh1m mm

mmm

axm

bym

aym

bym

mp

Daw πππ

απ

ααα

π

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




onde αm=mπb/2, como anteriormente.Introduzindo uma dada distribuição de p(x) pode obter-se pm e depois calcular-se w.Os momentos e tensões são determinadas pela forma usual.Valores de pm para alguns casos de distribução de p(x) estão mostrados na figura.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Por exemplo, considere-se a flexão de uma placa caregada hidrostaticamente:

Esta equação juntamente com a anterior representa a deflexão.Considerando uma placa quadrada (a=b), a deflexão no centro da placa (x=a/2,y=0) é

( ) ( )K,2,112sin2 100

0 =−== +∫ mm

pdxa

xma

xpa

p ma

m ππ

Dapw

4000203.0=

Este resultado é metade da deflexão de uma placa rectangular com apoios simples sujeita a um carrgamento uniforme.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



2.6. Momentos Distribuídos nas Arestas2.6. Momentos Distribuídos nas Arestas

Vamos considerar uma placa rectangular com apoios simples em todas as extremidades sujeita a momentos distribuídos simétricos em y=±b/2.Descrevendo os momentos pela série de Fourier

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±==∑

∞

= 2sin

1

bya

xmMxfm

mπ

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



2.6. Momentos Distribuídos nas Arestas

Nesta expressão, Mm representa os coeficientes a determinar

( )∫=a

m dxa

xmxfa

M0

sin2 π

As condições de fronteira são

( )

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±==

∂∂

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±==

===∂∂

=

2

20

,000

2

2

2

2

byxfywD

byw

axxxww

Para se obter a solução deste problema é necessário assumir que a superficie de deformação tem a forma já obtida anteriormente

∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

K,3,155

40 sin4sinhcosh

mmm a

xmDm

apa

ymyCa

ymBw ππ

ππ

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Com p0=0 e m=1,2,3,..., isto é

Esta equação cumpre a equação ∇4w=p/D e as primeiras condições de fronteira, como já foi visto.As segundas condições de fronteira são satisfeitas quando w=0.Colocando αm=mπb/2a, como anteriormente, tem-se

de onde se tira

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

1sinsinhcosh

mmm a

xma

ymyCa

ymBw πππ

0sinh2

cosh =+ mmmmbCB αα

mmmbCB αtanh2

−=

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Agora, a equação da deflexão fica

Substituindo esta equação, juntamente com a definição de f(x), na terceira condição de fronteira tem-se

Daqui obtém-se

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

1sincoshtanh

2sinh

mmm a

xma

ymba

ymyCw ππαπ

m

mm Dm

aMCαπ cosh2

=

∑∑∞

=

∞

=

=−11

sinsincosh2m

mm

mm axmM

axmC

amD ππαπ

A deflexão fica( )∑

∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

1sinhcoshtanh

2coshsin

2 mmm

m aymy

aymbM

maxm

Daw ππα

απ

π

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Os momentos e as tensões são obtidas a partir desta expressão.No caso de termos momentos uniformemente distribuídos f(x)=M0, logo

Substituindo esta equação, juntamente com a definição de f(x), na terceira condição de fronteira tem-se

πmMM m

04=

Para o caso de uma placa quadrada (a=b), a deflexão e momentos no centro da placa são

( )∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

12

0 sinhcoshtanh2cosh

sin2m

mm a

ymya

ymbm

axmDaMw ππα

απ

π

00

20 256.0394.00368.0 MMMMD

aMw yx ===

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




A deflexão ao longo do eixo de simetria é dada por

Quando a››b, pode colocar-se tanhαm≈αm e coshαm≈1, e a expressão acima reduz a

É curioso que este resultado é igual ao da deflexão no centro de uma tira de comprimento b sujeita a dois momentos iguais e opostos nas extremidades.No caso de uma placa com momentos anti-simétricos, (My)y=b/2=-(My)y=-b/2, pode derivar-se a expressão da deflexão de forma idêntica modificando a terceira condição de fronteira.

( )0sincoshtanh1

122

0 == ∑∞

=

ya

xmmD

abMwm m

m παα

π

DbM

axm

mDbMw

m

20

,3,1

20

21sin1

2== ∑

∞

=

ππ K

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Neste caso tem-se

O caso genérico pode ser derivado como uma combinação de situações simétricas e anti-simétricas.As soluções com momentos distribuídos simétricos e anti-simétricos são úteis para resolver problemas com variadas condições de fronteira nas extremidades.

( ) ( )2/

2/2

2

2/2/

2

2

byyby

byyby

MywDM

ywD

−==

==

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



2.7. Método da Superposição2.7. Método da Superposição

A deflexão e tensão numa placa rectangular com qualquer condição nas extremidades e carregamento arbitrário podem ser determinadas pelo método da superposição.De acordo com este método, um problema complexo pode ser primeiro substituído por várias situações mais simples em que cada uma pode ser resolvida pelo método de Navier ou pelo método de Lévy.As deflexões obtidas por cada caso simplificado são, depois, adicionadas de forma a que a equação fundamental ∇4w=p/D e as condições de fronteira sejam satisfeitas no problema original.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



2.7. Método da Superposição

Considere-se, por exemplo, a flexão de uma placa sujeita a um carregamentolateral com uma extremidade encastrada e as outras com apoios simples.A solução começa com o pressuposto de que todas as extremidades têm apoios simples.Depois, um momento flector ao longo da aresta y=0 é aplicado com uma magnitude adequada para eliminar as rotações devido ao carregamento lateral.O exemplo seguinte é usado para ilustrar o método.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



2.7. Método da Superposição

Exemplo 2.7Uma placa rectangular tem as arestas opostas x=0 e x=a com apoios simples e as outras duas y=±b/2 encastradas.A placa está sujeita a uma carga uniformemente distribuída com intensidade p0.Derive uma expressão para a superfície deflectida e para os momentos.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



2.8. Método de Ritz2.8. Método de Ritz

A energia de extensão U associada à flexão de uma placa é dada por

( )∫∫⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=A

dxdyyx

wyw

xw

yw

xwDU

22

2

2

2

22

2

2

2

2

1221 ν

O trabalho realizado pela força lateral na superfície p(x,y) pode ser representado por

∫∫=A

wpdxdyW

onde A é a área da superfície da placa.A energia potencial Π=U-W fica, então,

( )∫∫⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=ΠA

dxdywpDyx

wyw

xw

yw

xwD 212

2

22

2

2

2

22

2

2

2

2

ν

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



2.8. Método de Ritz

A aplicação deste método pode ser ilustrado através da flexão de uma placa rectangular com lados a e b encastrada em todas as extremidades e sujeita a um carregamento uniforme p0.As condições de fronteira são

( )

( )byyyww

axxxww

===∂∂

=

===∂∂

=

,000

,000

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Integrando por partes o último termo da equação da energia de extensão obtém-se

∫∫∫∫∫ ∂∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂∂

=∂∂

∂∂∂

∂

AS

A

dxdyyxw

xwdx

xw

yxwdxdy

yxw

yxw

2

3222

∫∫∫∫∫∫ ∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂∂

=∂∂

∂∂∂

∂

ASS

A

dxdyyw

xwdy

yw

xwdx

xw

yxwdxdy

yxw

yxw

2

2

2

2

2

2222

De acordo com as condições de fronteira, os dois primeiros integrais são idênticos.Assim

022

2

2

2

2

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂−

∂∂

∂∂

∫∫A

dxdyyx

wyw

xw

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Desta forma, a energia de extensão da flexão fica

Assumindo que a deflexão tem a seguinte forma

∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=A

dxdyyw

xwDU

2

2

2

2

2

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=∑∑

∞

=

∞

= byn

axmaw

m nmn

ππ 2cos12cos11 1

as condições de fronteira são cumpridas.Substituindo este resultado na equação da energia obtém-se

∫ ∫ ∑∑⎩⎨⎧

⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

∞

=

∞

=

b a

m nmn b

yna

xmamaDU

0 01 1

2

22 2cos12cos4

2πππ

dxdya

xmb

ynbn

2

2

2 2cos12cos⎭⎬⎫⎥⎦

⎤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

ππ

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




de onde

que é válida para r≠s.O trabalho realizado por p0 é

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑∑

∞

=

∞

=1 1

22244

4 2332m n

mnabn

am

bn

amabDU π

⎭⎬⎫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+ ∑∑∑∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

= 1 1 1

4

1 1 1

4

22r s n

smrnm r s

msmr aabnaa

am

dxdyb

yna

xmapWb a

m nmn∫ ∫ ∑∑ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

∞

=

∞

=0 0

1 10

2cos12cos1 ππ

abpW 0=

ou

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Das condições de minimização ∂Π/∂amn=0, tem-se

que é válida para r≠n e r≠m.Retirando todos os termos excepto o primeiro a11, esta equação dá

0222334 01

4

1

422444 =−

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∑∑

∞

=

∞

=

pabna

ama

bn

am

bn

amabD

rrn

rmrmnπ

244

40

11

233

14

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

ba

baD

apaπ

Dapw

40

max 00128.0=

No caso de uma placa quadrada (a=b), a11=p0a4/(32π4D).A deflexão máxima ocorre no centro da placa e é obtida através da substituição de a11 na equação da deflexão.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Este resultado é cerca de 1.5% maior do que o valor obtido usando o método da Secção 2.7 para uma placa encastrada, que é mais elaborado.É de notar que o resultado é muito preciso, tendo em conta que só foi usado um termo da série.De um modo geral, a utilização de tão poucos termos não resulta numa precisão tão grande no método de Ritz.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Calculando a deflexão da placa considerando sete parâmetros a11, a12, a21, a22, a13, a31 e a33 obtém-se o seguinte sistema de equações:

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




A solução deste sistema de equações lineares para uma placa quadrada (a=b) dá

4

40

33

4

40

31134

40

22

4

40

21124

40

11

400020.0

400268.0

400189.0

401184.0

411774.0

π

ππ

ππ

Dapa

Dapaa

Dapa

Dapaa

Dapa

=

===

===

Dapw

40

max 00126.0=

Substituindo estes valores na equação da deflexão a deflexão máxima é obtida no centro da placa com o valor

Este valor é exactamente igual ao que seria obtido com o método da Secção 2.7.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Exemplo 2.8Uma porção rectangular (a×b) do chão de uma oficina tem as suas extremidades encastradas e suporta uma carga P aplicada na posição x=x1, y=y1.Determinar a deflexão máxima da placa.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



3.1. Introdução3.1. Introdução• Nos capítulos anteriores foram usados métodos de equilíbrio e de

energia para problemas de flexão de placas.• Nalguns casos, estas soluções analíticas não são possíveis e é

necessário recorrer a métodos numéricos aproximados.• Estes métodos numéricos permitem ao engenheiro resolver

problemas práticos, com formas e carregamentos reais.• Os métodos numéricos mais importantes são:

– O método das diferenças finitas;– O método dos elementos finitos.

3. Métodos Numéricos3. Métodos Numéricos

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



3.2. Diferenças Finitas3.2. Diferenças Finitas

O método das diferenças finitas substitui a equação diferencial da placa e as expressões que definem as condições de fronteira com equações de diferenças equivalentes.A solução de um problema de flexão reduz-se, assim, à solução simultânea de um conjunto de equações algébricas escritas para todos os nós definidos dentro da placa.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



3.2. Diferenças Finitas

As expressões das diferenças finitas podem ser obtidas a partir da definição da primeira derivada da função y=f(x) com respeito a x:

xyy

dxdy nn

xn Δ−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

→Δ

10

lim

O índice n representa um ponto arbitrário na curva.Num intervalo Δx=h esta expressão representa uma aproximação à derivada

hyy

hy

dxdy nnn

n

−=

Δ≈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +1

Δyn é a primeira diferença avançada de y no ponto xn,

nnnn dx

dyhyyy ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≈−=Δ +1

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




A primeira diferença atrasada em n é

As diferenças centrais contêm nós colocados simetricamente em relação a xn.Assim, a primeira diferença central é

Um procedimento idêntico a este pode ser usado para se obterem as derivadas de ordem maior.Vamos, daqui para a frente, considerar apenas as diferencças centrais.

nnnn dx

dyhyyy ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≈−=∇ −1

( )n

nnn dxdyhyyy ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≈−= −+ 112

1δ

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




A segunda derivada pode ser escrita usando a representação de diferença da primeira derivada:

A segunda diferença central em xn, depois de substituir os resultados das primeiras diferenças na expressão acima, é

( ) ( ) nnnn

yyydx

ydh 22

22 δ=Δ∇=∇Δ≈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

( ) ( )n

nnnnnnnnnn dxydhyyyyyyyyyy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈+−=−−−=Δ−Δ= −+−+− 2

22

111112 2δ

A terceira diferença central é

( ) ( ) 111123 22 −+−+ +−=+−== nnnnnnnn yyyyyyyy δδδδδδδ

( ) ( ) ( ) ( )n

nnnnnnnnnn dxydhyyyyyyyyyy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈−+−=+++−−= −−++−−++ 3

33

21122112 2221

21

21

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




e a quarta diferença central é

( ) ( ) 122

12

112224 22 −+−+ +−=+−== nnnnnnnn yyyyyyyy δδδδδδδ

nnnnnn dx

ydhyyyyy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈+−+−= −−++ 4

44

2112 464

( ) ( ) ( )211112 2222 −−−+++ +−++−−+−= nnnnnnnnn yyyyyyyyy

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Vamos ver o caso da função de deflexão w(x,y) de duas variáveis.Considerando uma placa rectangular e colocando Δx=Δy=h, divide-se a placa numa malha quadrada.

why

wwhx

wyx δδ 11

≈∂∂

≈∂∂

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

≈∂∂

∂≈

∂∂

≈∂∂

yw

hyxww

hyww

hxw

xyx δδδ 2

22

22

22

22

2 111

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Aqui, os índices x e y indicam a direcção em que as diferenças são calculadas.Com base na definição de derivada parcial, as expressões acima podem escrever-se para um ponto 0 da seguinte forma

e

( ) ( )[ ] ( )3121,,

21 ww

hyhxwyhxw

hxw

−=−−+≈∂∂

( ) ( )[ ] ( )4221,,

21 ww

hhyxwhyxw

hyw

−=−−+≈∂∂

( ) ( ) ( )[ ] ( )301222

2

21,,2,1 wwwh

yhxwyxwyhxwhx

w+−=−+−+≈

∂∂

( ) ( ) ( )876524222

2

41

211 wwww

hww

hw

hyxw

xxyx −+−=−=≈∂∂

∂ δδδδ

( ) ( ) ( )[ ] ( )402222

2

21,,2,1 wwwh

hyxwyxwhyxwhy

w+−=−+−+≈

∂∂

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




As derivadas mistas são

( ) ( ) ( )402340232

32

3

21211 wwwh

wwwh

whyx

wxxxxyx δδδδδδ +−=+−=≈

∂∂∂

( ) ( )78426532

32

3

22211 wwwwwwh

whyx

wxy −−+−+=≈

∂∂∂ δδ

( )7831653 2221 wwwwwwh

−++−−=

( ) ( )4022

422

422

4

211 wwwh

whyx

wxyx +−=≈

∂∂∂ δδδ

( )[ ]4321087654 241 wwwwwwwwwh

+++−++++=

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Tendo à disposição as várias derivadas na forma de aproximações de diferenças, pode facilmente obter-se as equações de diferenças finitas equivalentes às equações da placa.Para referência alguns operadores de diferenças finitas estão representados em esquema na figura seguinte.O ponto central em cada esquema é o ponto de referência de cada operador.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Fórmulas similares podem ser derivadas quando os nós não estão espaçados uniformemente.No caso de uma malha rectangular com Δx=h e Δy=k, pode substituir-se o h por k nas derivadas de w em relação a y anteriores.Por exemplo,

( ) ( )4231 21

21 ww

kywww

hxw

−≈∂∂

−≈∂∂

( ) ( )876542

2

21

2111 wwww

hkww

hkw

khyxw

xxyx −+−=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≈

∂∂∂ δδδδ

( ) ( )40222

2

30122

2

2121 wwwky

wwwwhx

w+−≈

∂∂

+−≈∂∂

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




O operador ∇2w fica

( ) ( )402230122 2121 www

kwww

hw +−++−≈∇

A menos que seja especificado, daqui para a frente serão considerados apenas nós equidistantes (Δx=Δy=h).Os operadores de diferenças em coordenadas cartesianas x e y estão bem adaptadas para resolver problemas com domínios rectangulares.Quando a placa tem contornos irregulares são necessários operadores especiais junto à fronteira.Uma das malhas não cartesianas para estas condições são as malhas triangulares.Se a placa tiver a forma de um paralelogramo, é conveniente e mais preciso usar coordenadas paralelas às arestas da placa.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




A malha polar é usada em situações em que existem formas axi-simétricas.Os operadores de diferenças finitas em qualquer sistema coordenado são obtidos através da transformação das equações que relacionam as coordenadas x e ynesse sistema.Em todos os casos, o procedimento para determinar as deflexões e momentos éo mostrado a seguir.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas)3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas)

Podemos, agora, transformar a equação diferencial da placa flectida numa equação algébrica.Vamos escrever esta equação para um nó interior; o ponto 0 por exemplo.

Referindo ao operador ∇4, a equação de diferenças correspondente à equação fundamental da placa é

( ) ( )[ ]Dp

hwwwwwwwwwwwww 0

4043218765121110912082 =++++−+++++++

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



3.3. Solução das Equações (Diferenças Finitas)

Expressões idênticas são escritas para todos os nós dentro da placa.Ao mesmo tempo, as condições de fronteira têm que ser convertidas para a forma de diferenças finitas.O conjunto de equações de diferenças é, depois, resolvido para se obterem as deflexões.Como método alternativo ao problema da flexão da placa, a equação fundamental da placa pode ser substituída por duas equações de segunda ordem, como já foi visto anteriormente.A aplicação do operador ∇2 a estas equações no ponto 0 dá

( ) 020432114 ph

MMMMM −=−+++

( )D

Mh

wwwww 0204321

14 −=−+++

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Outras equações idênticas são escritas para o resto dos nós dentro da placa.A solução do problema requer que se determine os valores de M e w de forma a satisfazer as equações algébricas e as condições de fronteira.No caso de uma placa com apoios simples em todas as arestas, M e w são zero nessas arestas e, por isso, pode resolver-se o primeiro grupo de equações independentemente do segundo para determinar todos os valores de M dentro da fronteira.O segundo conjunto é resolvido depois.Para placas com outras condições de fronteira (encastramento, livre, combinações, etc..) é necessário resolver todas as equações em simultâneo.Em placas com condições de fronteira mistas os valores de M podem ser diferentes nas arestas.A deflexão w, neste caso, obtém-se mais facilmente através do primeiro método.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Tendo os valores de M e w disponíveis nos nós, podem derivar-se as expressões dos momentos e forças de corte.No ponto 0, estes são

( )[ ]4203102 22 wwwwwwhDM x −−+−−= ν

( )[ ]3104202 22 wwwwwwhDM y −−+−−= ν

( )( )8765241 wwwwh

DM xy +−+−−

=ν

e

( )3121 MMh

Qx −=

( )4221 MMh

Qy −=

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




As tensões são facilmente obtidas como anteriormente.O método das diferenças finitas é melhor compreendido através de alguns exemplos numéricos.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Exemplo 3.1Use a técnica das diferenças finitas para analisar a flexão de uma placa quadrada (a×a) em que todas as arestas têm apoios simples e que está sujeita a um carregamento uniformemente distribuído p0.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Exemplo 3.2Determine a deflexão e os momentos em vários pontos de uma placa quadrada de lado a com todas as arestas encastradas sujeita a um carregamento uniformemente distribuído p0.Considere h=a/4 e utilize duas formas de solução:a) Aplicação das duas equações de segunda ordem;b) Aplicação da equação fundamental.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Exemplo 3.3Um chão, em que metade suporta um carregaemtno uniforme, é representado por uma placa contínua com as arestas opostas (y=±a/2) encastradas e as outras (x=0,x=2a) com apoios simples. O meio da placa (x=a) também tem um apoio simples.Obter as deflexões nos pontos 1, 2 e 3.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Exemplo 3.4Considere o caso de uma placa rectangular carregada uniformemente com duas arestas contíguas com apoios simples, a terceira livre e a quarta encastrada.Use o método das diferenças finitas com h=a/4 para determinar w em vários pontos.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Exemplo 3.4

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Exemplo 3.4

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



3.4. Propriedades do Elemento Finito3.4. Propriedades do Elemento Finito

O método dos elementos finitos tem-se desenvolvido em simultâneo com os computadores digitais e o aumento do interesse nos métodos numéricos.Este método permite a estimativa das tensões e deflexões numa placa com um grau de facilidade e de precisão nunca antes possível.No método dos elementos finitos, a placa é discretizada num número finito de elementos (normalmente com forma triangular ou rectangular) ligados nos nós e em fronteiras inter-elemento hipotéticas.Assim, o equilíbrio e a compatibilidade têm que ser verificadas em cada nó e ao longo das fronteiras entre elementos.Existem vários métodos de elementos finitos.Vamos, apenas, ver o método comum de deslocamentos finitos onde o conjunto das equações algébricas fundamentais é expresso em termos dos deslocamentos nodais indeterminados.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



3.4. Propriedades do Elemento Finito

Vamos, primeiro, definir uma série de parâmetros relevantes para um elemento finito de uma placa isotrópica.As derivações baseiam-se no pressuposto da teoria de pequenas deflexões.Em geral, a placa pode ter qualquer forma e qualquer carregamento.Considere-se uma placa fina que é substituída por um conjunto de elementos finitos triangulares.As propriedades de um elemento discreto vão designar-se de e.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Matriz de deslocamentosOs deslocamentos nodais {δ}e estão relacionados com os deslocamentos dentro do elemento através da função de deslocamento {w}e dada por

{ } [ ]{ }ee Pw δ=

onde a matriz [P] é uma função da posição a determinar posteriormente para um elemento específico.Esta matriz é, muitas vezes, referida como a função de forma.É conveniente que a função de forma seja escolhida de forma a que o campo de deslocamentos reais seja representado com a maior precisão possível.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Matrizes de extensão, de tensão e de elasticidadeFazendo uso da definição de extensão, define-se a matriz de extensão generalizada-deformação da seguinte forma

T

exy

x

x

yxw

yw

xw

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂∂

−∂∂

−∂∂

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧2

2

2

2

2

γεε

ou

{ } [ ]{ }ee B δε =

onde a matriz [B] terá que ser calculada.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




A relação tensão-extensão generalizada, das relações de Hook, é

( )exy

x

x

exy

x

x Ez

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

γεε

νν

ν

ντσσ

21000101

1 2

ou

{ } [ ]{ }ee Dz εσ *=

Os momentos estão relacionados com as tensões da seguinte forma,

{ }∫−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧2

2

t

t

xy

y

x

dzzMMM

σ

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Substituíndo o resultado da tensão nesta expressão tem-se a relação momento-extensão generalizada

ou

{ } [ ]{ }ee DM ε=

A matriz de elasticidade para uma placa isotrópica é, então,

{ } [ ] { }e

t

te dzDzM ε⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= ∫−

2

2

*2

[ ] [ ] ( ) ( ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

==2100

0101

112*

12 2

33

νν

ν

νEtDtD

As relações tensão-extensão e, consequentemente, a matriz de elasticidade são diferentes para materiais anisotrópicos.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Devido a variadas causas (contração, variações de temperatura, etc.) podem existir extensões iniciais dentro da placa.No caso de uma placa com carregamento transversal e aquecida as matrizes de tensão e momento ficam, respectivamente,

e

onde {ε0}e é a matriz de extensão térmica.

{ } [ ] { } { }( )ee D 0* εεσ −=

{ } [ ] { } { }( )ee DM 0εε −=

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



3.5. Método dos Elementos Finitos3.5. Método dos Elementos Finitos

Uma forma conveniente de derivar as expressões que governam o elemento finito e as suas caraterísticas baseia-se no princípio da energia potencial.A variação da energia potencia ΔΠ da placa completa é

( ) ( ) 011

=Δ−Δ+Δ+Δ=ΔΠ ∑∫∫∑∫∫n

A

n

Axyxyyyxx dxdywpdxdyMMM γεε

onde n é o número de elementos de espessura uniforme que constitúem a placa, A é a área da superfície de um elemento e p a carga lateral por unidade de área.Esta expressão pode reescrever-se da seguinte forma

{ } { }( ) 01

=Δ−Δ∑∫∫n

Ae

Te dxdywpMε

ou

{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ]{ }( ) 01

=Δ−Δ∑∫∫n

Aee

TTe dxdyPpBDB δδδ

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



3.5. Método dos Elementos Finitos

ou ainda

Colocando a matriz de rigidez do elemento

ou, se considerarmos extensões iniciais,

{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ]( ) 01

=−Δ∑∫∫n

A

Te

TTe dxdypPBDB δδ

[ ] [ ] [ ][ ]∫∫=A

Te dxdyBDBK

e a matriz das forças nodais do elemento devido à carga transversal

{ } [ ]∫∫=A

Te pdxdyPQ

{ } [ ] [ ]{ } [ ]∫∫∫∫ +=A

T

A

Te pdxdyPdxdyDBQ 0ε

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




a equação fica

Uma vez que as mudanças em {δ}e são independentes e arbitrárias esta equação pode reduzir a

para o equilíbrio de forças nodais do elemento.Para a placa completa é necessário juntar todas as contribuições dos elementos e obtém-se

{ } [ ] { } { }( ) 01

=−Δ∑∫∫n

Aeee

Te dxdyQK δδ

[ ] { } { }eee QK =δ

{ } [ ]{ } { }( ) 0=−Δ QKT δδ

Esta equação tem que ser válida para todos os {Δδ}.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Daqui, as equações que governam a placa completa são

onde

Pode ver-se que a a matriz de rigidez da placa [K] e a matriz das forças nodais {Q} são obtidas pela superposição de todas a matrizes de rigidez e de forças nodais do elemento, respectivamente.

[ ]{ } { }QK =δ

[ ] [ ]∑=n

eKK1

{ } { }∑=n

eQQ1

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




O procedimento genérico para resolver o problema de flexão da placa com o método dos elementos finitos é:1. Determinar [K]e para cada elemento de acordo com as suas propriedades.

Gerar a matriz global [K].2. Determinar {Q}e para cada elemento de acordo com a carga aplicada.

Gerar a matriz global {Q}.3. Determinar os deslocamentos nodais satisfazendo as condições de fronteira:

{δ}=[K]-1{Q}4. Determinar as extensões no elemento:

{ε}e=[B]{δ}e

4. Determinar os momentos e as tensões no elemento:{M}e=[D]{ε}e

{σ}e=z[D*]{ε}e

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




O procedimento fica mais claro quando as características de um dado elemento forem derivadas.Os elementos mais comuns na flexão de placas, cada um necessitando de tipos diferentes de função de deslocamento, são apresentados em seguida.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



3.6. Elemento Finito Triangular3.6. Elemento Finito Triangular

O elemento triangular pode facilmente acomodar fronteiras irregulares.Também pode ter dimensão variável para permitir elementos pequenos em regiões com concentração de tensão.Por isso, ele é usado extensivamente no método dos elementos finitos.Considere-se um elemento da placa triangular ijm coincidente com o plano xy.Os nós são numerados no sentido anti-horário.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



3.6. Elemento Finito Triangular

Cada deslocamento nodal do elemento tem três componentes:- uma deflexão na direcção z (w);- uma rotação em torno do eixo x (θx);- uma rotação em torno do eixo y (θy).As rotações estão relacionadas com as derivadas da deflexão da seguinte forma

xw

yw

yx ∂∂

=∂∂

= θθ

O sentido positivo das rotações é determinado pela regra da mão direita.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Função de deslocamentoA matriz de deslocamento nodal para um elemento é

{ } { }Tymxmmyjxjjyixii

m

j

i

e www θθθθθθδδδ

δ =⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

A função de deslocamento, que define o deslocamento em qualquer ponto dentro do elemento ijm, é escolhida como sendo um polinómio do terceiro grau modificado com a seguinte forma

( ) 39

228

37

265

24321 yaxyyxaxayaxyaxayaxaawe +++++++++=

o que permite um tratamento teórico relativamente simples.O número de termos é igual ao número de deslocamentos nodais do elemento.Esta função mantém continuidade dos deslocamentos mas não das derivadas.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




No entanto, para casos práticos de engenharia a solução com base nesta função é aceitável na maior parte dos casos.Uma função de deslocamento de décima oitava ordem, corespondente a um triângulo de 6 nós, permite melhores resultados, mas a análise é mais extensa.Quando os coeficientes a são conhecidos, a função dá o deslocamento em todas as posições da placa.Os deslocamentos nodais podem escrever-se:

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




ou

{ } [ ]{ }aCe =δ

Daqui, a solução para as constantes a é

{ } [ ] { }eCa δ1−=

Pode ver-se que a matriz [C] depende do valor das coordenadas dos pontos nodais.A função de deslocamento pode, agora, escrever-se

{ } [ ]{ } [ ][ ] { }eee CLPw δδ 1−==

onde

[ ] ( )[ ]322322 ,,,,,,,,1 yxyyxxyxyxyxL +=

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Substituindo a função de deslocamento nas extensões tem-se

{ }( )

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−−−

−−−=

9

2

1

040020000620200000026002000

a

aa

yxyx

yx

e Mε

ou

A matriz extensão-deslocamento generalizada fica

{ } [ ]{ }aHe =ε

{ } [ ]{ } [ ][ ] { }eee CHB δδε 1−==

sendo que

[ ] [ ][ ] 1−= CHB

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Matriz de rigidezSubstituindo a matriz [B] na equção de [K]e obtém-se

onde as matrizes [H], [D] e [C] já são conhecidas.Depois de multiplicar as matrizes dentro do integral, calcula-se o integral para obter a matriz de rigidez do elemento.

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] 11 −−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫∫ CdxdyHDHCK

A

TTe

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Forças nodais externasAs forças nodais resultantes do carregamento transversal na superfície podem ser obtidas da expressão para {Q}e ou usando intuição física.A matriz das forças nodais do elemento é

onde Qz, Qθx e Qθy representam a força lateral na direção z, o momento por unidade de comprimento em torno de x e o momento por unidade de comprimento em torno de y, respectivamente.A determinação das forças nodais do elemento édemonstrada no exemplo seguinte.

{ } { }Tymxmzmyjxjzjyixizi

m

j

i

e QQQQQQQQQQQQ

Q θθθθθθ=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Exemplo 3.5O elemento 123 representa uma porção de uma placa elástica fina sujeita a uma carga uniforme de intensidade p0.Determine a matriz de forças nodais.Assuma que o peso do elemento é desprezável.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Exemplo 3.5

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



3.7. Elemento Finito Rectagular3.7. Elemento Finito Rectagular

Vamos ver, agora, o elemento rectangular.Para garantir, pelo menos, o cumprimento aproximado da continuidade das derivadas, são usadas três componentes do deslocamento nodal como anteriormente.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as



3.7. Elemento Finito Rectangular

Função de deslocamentoA matriz de deslocamento nodal para um elemento é

{ } { }Tynxnnymxmmyjxjjyixii

n

m

j

i

e wwww θθθθθθθθ

δδδδ

δ =

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

A função de deslocamento, que define o deslocamento em qualquer ponto dentro do elemento ijmn, é escolhida como sendo um polinómio do terceiro grau com a seguinte forma

312

311

310

29

28

37

265

24321

xyayxayaxya

yxaxayaxyaxayaxaawe

++++

+++++++=

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Os deslocamentos nodais são dados por

{ } [ ]{ }aCe =δ

onde [C], uma matriz de 12 x 12, depende das coordenadas nodais e é obtida da mesma forma que para o elemento triangular.Daqui, a solução para as constantes a é

{ } [ ] { }eCa δ1−=

A função de deslocamento pode, como anteriormente, escrever-se

{ } [ ]{ } [ ][ ] { }eee CLPw δδ 1−==

onde, agora,

[ ] [ ]33322322 ,,,,,,,,,,,1 xyyxyxyyxxyxyxyxL =

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Substituindo a função de deslocamento nas extensões tem-se

{ }

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−

−−−−=

9

2

1

22 660440020000606200200000060026002000

a

aa

yxyxxyyx

xyyx

e Mε

ou

A matriz extensão generalizada-deslocamento fica

{ } [ ]{ }aHe =ε

{ } [ ]{ } [ ][ ] { }eee CHB δδε 1−==

com

[ ] [ ][ ] 1−= CHB

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Matriz de rigidezSubstituindo a matriz [B] na equção de [K]e obtém-se

onde as matrizes [H], [D] e [C] já são conhecidas.Depois de multiplicar as matrizes dentro do integral, calcula-se o integral para obter a matriz de rigidez do elemento.No caso de os lados a e b do elemento serem paralelos aos eixos x e y, respectivamente, o integral pode ser calculado directamente, pois os limites de integração são independentes.Assim, tem-se

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] 11 −−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫∫ CdxdyHDHCK

A

TTe

[ ] ( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]RkkkkRabEtK e

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

+++−

= 43212

3

21

1180νν

ν

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Os coefficientes [k1], [k2], [k3] e [k4] e a matriz [R] estão mostrados abaixo.

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Forças nodais externasAs forças nodais resultantes do carregamento transversal na superfície podem ser obtidas da expressão para {Q}e.A matriz das forças nodais do elemento é

onde Qz, Qθx e Qθy representam a força lateral na direção z, o momento por unidade de comprimento em torno de x e o momento por unidade de comprimento em torno de y, respectivamente.Os deslocamentos, as extensões e as tensões são obtidas usando o procedimento descrito em 3.4.

{ }

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

n

m

j

i

e

QQQQ

Q

Plac

as e

Cas

cas

Plac

as




Exemplo 3.6Considere uma placa quadrada de lado a com duas arestas opostas (y=0 e y=a) com apoios simples e as outras duas arestas encastradas.Determine o valor máximo de w sabendo que a placa está sujeita a um carregamento uniforme de intensidade p0.Considere a=2m e ν=0,3.

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