Estudando com o MATLAB - SINAL DIGITAL · Docentes: > Fabiano Araujo Soares > Marcelino M. de...

Docentes:> Fabiano Araujo Soares> Marcelino M. de AndradeMonitor:>Luan Felipe

Estudando com oMATLAB

Curso de Extensão

Aula 4: Aplicações - Parte II

1ª Parte - Estatística

Aula 4 - 1ª Parte: Estatística


Comandos Básicos para Estatística:

1 - Gerando números aleatórios:

a) rand(n,m): Esse comando gera uma matriz npor m de números aleatórios seguindo umadistribuição uniforme com valores entre o intervalo[0,1].


O comando rand(n,m) pode ser usado para gerarvalores de uma distribuição uniforme com umintervalo [a, b] da seguinte forma:

r = a + (b-a).*rand(n,m);


Exemplo 1:


Exemplo 1:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

80

100

120

140Histograma da Amostra

Valores

Fre

quên

cia



1 - Gerando números aleatórios:

b) randn(n,m): Esse comando gera uma matriz npor m de números aleatórios seguindo umadistribuição normal com média 0 e desvio padrão1.


O comando randn(n,m) pode ser usado paragerar valores de uma distribuição normal com umamédia a e um desvio padrão b da seguinte forma:

r = a + b.*randn(n,m);


Exemplo 2:


Exemplo 2:

-10 -5 0 5 10 15 20 25 300

50

100

150

200

250

300Histograma da Amostra

Valores

Fre

quên

cia



2 – Média e mediana

a) mean(a): Esse comando é utilizado paracalcular a média de um vetor a ou das colunasde uma matriz numérica a.


Exemplo 3:



2 – Média e mediana

a) median(a): Esse comando é utilizado paracalcular a mediana de um vetor a ou dascolunas de uma matriz numérica a.


Exemplo 4:



3 – Desvio padrão, Variância, Valor Máximo eValor Mínimo ;

a) std(a): Esse comando é utilizado para calcularo desvio padrão (Standard Deviation) de umvetor a ou das colunas de uma matriz numéricaa.




b) var(a): Esse comando é utilizado para calculara variância de um vetor a ou das colunas deuma matriz numérica a.




c) max(a): Esse comando é utilizado paraencontrar o maior valor de um vetor a ou dascolunas de uma matriz numérica a.




c) min(a): Esse comando é utilizado paraencontrar o menor valor de um vetor a ou dascolunas de uma matriz numérica a.


Exemplo 5:


Exemplo 5:

-5 0 5 10 15 20 250

50

100

150

200

250

Histograma da Amostraµ=10.0529, S.D.=4.8641, σ=23.659, Max=23.9662, Min=-4.0183

Valores

Fre

quên

cia


4 – Correlação :

No uso estatístico geral, correlação se refere amedida da relação entre duas variáveis, emboracorrelação não implique causalidade.


4 – Correlação :

a) corrcoef(x):O comando R = corrcoef(X) retornaa matriz de correlação R dos coeficientes decorrelação calculados da matriz de entrada X cujaslinhas são observações e as colunas variáveisaleatórias;


Problema exemplo : Deseja-se estudas asvariáveis peso (y) e altura (x) em uma amostra de12 homens adultos. Os valores são apresentadosna tabela 1.

1ª Parte - EstatísticaSujeito Altura (cm) Peso (Kg)

1 182 95

2 174 72

3 170 64

4 180 95

5 183 79

6 160 72

7 156 64

8 157 62

9 168 67

10 175 75

11 176 75

12 190 96


Primeiramente vamos inserir esses dados em umarquivo .m no Matlab e traça-los em um gráficopara visualizar uma possível relação.


150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 2000

20

40

60

80

100

120Gráfico da altura vs peso

Altura (cm)

Pes

o (K

g)


Em seguida vamos calcular a correlação entre asvariáveis altura e peso.

A resposta encontrada é:


Coeficientes de correlação variam entre -1 e 1.Quanto mais próximo de 1 ou de -1 o coeficientede correlação estiver maior é a relação entre asduas variáveis. O sinal apenas representa umacorrelação positiva (y cresce a medida que xcresce) ou negativa (y decresce a medida que xcresce ou vice versa). Quanto mais próximo de 0 ocoeficiente de correlação estiver menoscorrelacionadas as variáveis são.

2ª Parte – Sinais

2ª Parte: Processamento de Sinais


A disciplina Processamento de Sinais é umadisciplina avançada no curso de engenharia eexige conhecimentos de transformadas e séries,convolução, correlação, filtragem, etc...

Por esse motivo vamos nos ater apenas a umaintrodução do assunto sem nos aprofundarmosnas explicações.


O que é um sinal?

� Em geral, entende-se por sinal uma sequênciade estados que codifica uma mensagem.


Exemplo de um sinal de voz:


Exemplo de um sinal de voz:

� Podemos verificas nos exemplos anteriores quea voz humana tem uma frequência máxima deaproximadamente 4 kHz.


Teorema da amostragem (teorema de Nyquist):

� Dado um sinal contínuo com largura de bandaFmax, se amostrarmos esse sinal a umafrequência maior ou igual a duas vezes Fmax,então o sinal amostrado contém toda ainformação do sinal contínuo e é possívelrecuperar exatamente o sinal original a partirdas amostras.


Teorema da amostragem (teorema de Nyquist):

� Ou seja, se amostrarmos a voz humana a umafrequência maior que 8 kHz é possívelrecuperar o sinal de voz gravado exatamente.


Exemplo 7:


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-3

-1

-0.5

0

0.5

1Senoide de 2kHz

Am

plitu

de

Tempo (s)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-3

-1

-0.5

0

0.5

1Senoide de 2kHz amostrada a 20 kHz

Am

plitu

de

Tempo (s)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-3

-1

-0.5

0

0.5

1Senoide de 2kHz amostrada a 3 kHz

Am

plitu

de

Tempo (s)


O problema da filtragem:

� Um dos maiores problemas na transmissão deum sinal é o ruído que contamina este;

� O ruído tem origem nos instrumentos utilizadospara transmissão e recepção do sinal, fatoresnaturais, contaminação eletromagnética, etc.


Vamos ver agora um exemplo de filtragem:

� Um sinal é contaminado por ruído de 60 Hz(proveniente da rede elétrica);

� Como esse sinal ruidoso pode ser filtrado erecuperado?


Exemplo 8:


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5

0

5Sinal Senoidal de 20 Hz (Domínio do Tempo)

Am

plitu

de (

V)

Tempo (s)0 20 40 60 80 100 120

0

200

400

600

800Espectro do Sinal Senoidal de 2 Hz (Domínio da Freq uência)

DE

P (

V)

Frequência (Hz)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5

0

5Ruído de 60 Hz (Domínio do Tempo)

Am

plitu

de (

V)

Tempo (s)0 20 40 60 80 100 120

0

200

400

600

800

1000

1200

1400Espectro do Ruído de 60 Hz (Domínio da Frequência)

DE

P (

V)

Frequência (Hz)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5

0

5Sinal Ruidoso (Domínio do Tempo)

Am

plitu

de (

V)

Tempo (s)0 20 40 60 80 100 120

0

200

400

600

800

1000

1200

1400Espectro do Sinal Ruidoso (Domínio da Frequência)

DE

P (

V)

Frequência (Hz)


Exemplo 8:


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2000

-1500

-1000

-500

0

Normalized Frequency (×π rad/sample)

Pha

se (

degr

ees)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-100

-50

0

50

Normalized Frequency (×π rad/sample)

Mag

nitu

de (

dB)


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5

0

5Sinal Filtrado (Domínio do Tempo)

Am

plitu

de (

V)

Tempo (s)

0 20 40 60 80 100 1200

200

400

600Espectro do Sinal Filtrado (Domínio da Frequência)

DE

P (

V)

Frequência (Hz)

3ª Parte – Imagens

3ª Parte: Processamento de Imagens


A disciplina Processamento de Imagens é umadisciplina que deriva do processamento de sinais(Se pensarmos a respeito, uma imagem nada maisé que um sinal de duas dimensões) e tambémexige conhecimentos avançados do curso deengenharia;

Por esse motivo vamos nos ater apenas a algunsexemplos de uso sem nos aprofundarmos nasexplicações.


1 – Aprendendo como importar uma imagem eentendendo como ela é representada.

Para importar uma imagem utilizamos o comando:

I=imread(‘filename’,format);

Onde filename é o nome do arquivo de imagem eformat é o nome do formato do arquivo (exemplo:tif);


Para mostrar uma imagem importada utilizamos ocomando:

Imshow(nome_variavel);

Onde nome_variavel é o nome da variável onde afigura foi armazenada;


Lena : É uma imagem muito utilizada emprocessamento de imagens. uma imagempadronizada é importante para a comparação dealgoritmos.


Exemplo 9:


Exemplo 9:

Observe que a figuratem 512 x 512 pixels eque ela é armazenadaem três matrizes de 8bits;


Cada matriz de 8 bits apresenta a intensidade deuma das três cores básicas: Vermelho (R), Verde(G) e Azul (B);

Vamos plotar cada matriz de corindependentemente com o seguinte comando(onde n varia entre 1 e 3):

imshow(Image(:,:,n));

3ª Parte – Imagensimshow(Image(:,:,1));


É possível ver então que, em processamento deimagens, trabalhamos ou com cada matriz de corindependentemente como se fosse uma imagempreto e branca (técnicas clássicas), outrabalhamos com as três componentes de corjuntas (técnicas avançadas).


Exemplo 10: Reamostrando uma imagem:

� A imagem que temos utiliza 8 bits para cadacor, ou seja, cada cor possui 256 tonalidadespossíveis (0 a 255) o que nos dá um total demais de 16 milhões de tons possíveis;

� E se, por motivo de espaço, quisermosreamostrar essa imagem para apenas 64tonalidades possíveis?


Exemplo 10: Reamostrando uma imagem:

� Nesse caso usaremos apenas 4 bits para cadacor. ( )6443 =


Exemplo 10:

3ª Parte – ImagensImagem original:

3ª Parte – ImagensImagem Reamostrada:


Em processamento de imagem o histograma detons de uma imagem é muito útil;

Para visualizarmos o histograma de tons de umaimagem em tons de cinza utilizamos o comando:

imhist(nome_imagem)

Onde nome_imagem é o nome da variável ondea imagem está armazenada.

3ª Parte – ImagensUma das utilidades do histograma é a equalização domesmo de forma a tornar a imagem mais nítida.

O comando de equalização de um histograma de imagemé:

ImageEq = histeq(Image);

Onde ImageEq é o nome da variável onde a nova imagemserá armazenada e Image é o nome da variável onde aimagem original está armazenada.

3ª Parte – ImagensExemplo 11:

3ª Parte – ImagensFigura original e seu histograma de tons de cinza:

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 50 100 150 200 250

3ª Parte – ImagensFigura equalizada e seu histograma de tons de cinza:

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

0 50 100 150 200 250

3ª Parte – ImagensPor fim, um último método a ser explorado por esse cursoé a filtragem de imagens.

� Assim como os sinais, as imagens também possuemespectro de frequência (esse assunto não seráabordado devido a complexidade do assunto paraalunos iniciantes no curso de engenharia);

� Sendo assim existem inúmeros métodos de filtragempara imagens. Tanto no domínio do espaço quanto nodomínio da frequência.

3ª Parte – ImagensUm tipo de ruído comum encontrado em imagens é o saltand pepper.

3ª Parte – ImagensÉ possível verificar que a imagem mantem sua formaapesar de alguns pixels contaminados. Se utilizarmos umquadro, digamos de 3 x 3 pixels vemos que as coresnesse pequeno quadro é quase a mesma.

Se fizermos a mediana desse quadro e substituirmos umdado pixel pelo valor da mediana, possivelmenteeliminaremos os pixels preto e branco ruidosos (já queesses são tons extremas, 0 ou 255);

3ª Parte – ImagensExemplo 12:

3ª Parte – ImagensImagem Filtrada:

FinalEsperamos que o curso tenha sido útil e tenha alcançadoo objetivo de familiarizar os alunos com a ferramentaMatlab.

Obrigado!

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