10

1. Introdução

O ensino de Cálculo Diferencial e Integral, presente em vários cursos de

nível superior, segundo Barbosa (2004), é considerado um dos conhecimentos

básicos de diversas profissões que se enquadram nos cursos de Ciências Exatas,

“devido a grande aplicabilidade, desempenhando papel importante como linguagem

na representação de fenômenos e como instrumentos para resolução de problemas”

(Catapani apud Barbosa, 2004, p.8). Essa disciplina, de acordo com o mesmo autor,

tem sido responsável por um grande número de reprovações e evasões de

estudantes universitários nas faculdades e universidades de todo o país.

A aquisição dos conhecimentos relacionados à disciplina de Cálculo

Diferencial e Integral muita vezes não ocorre de maneira satisfatória, entre estes, a

aprendizagem dos conteúdos volume dos sólidos de revolução e área das

superfícies de revolução. Vários fatores podem estar relacionados para que tal fato

ocorra. Entre estes fatores podemos destacar a metodologia utilizada pelos

docentes que, de acordo com Neto (1992), em sua maioria continuam usando em

sala de aula o livro texto, exposições orais e resumo de matérias, complementadas

com exercícios passados no quadro.

Neto (1992) aponta que um dos caminhos que enseja a possibilidade de

gerar maior produtividade no processo ensino-aprendizagem pode estar na

diversificação das formas de abordagem de cada tema a ser apresentado, a partir do

qual se adapta ao nível de aprofundamento desejado. Uma das formas de

diversificar é através da utilização dos softwares matemáticos que permitem uma

melhor visualização e interação de diversas disciplinas em torno de um axioma em

comum, o que caracteriza a interdisciplinaridade. Segundo Carlos (2002), o PCN

assinala que a interdisciplinaridade constitui um eixo integrador, que pode ser objeto

de conhecimento, um projeto de investigação, um plano de intervenção. Nesse

sentido ela deve partir da necessidade sentida pelos professores e alunos de

explicar, compreender, intervir, mudar, prever algo que desafia uma disciplina

isolada e atrai a atenção de mais um olhar talvez de vários.

11

Baseando-se em Balomenos et al (1994), certos conceitos do curso

tradicional de Cálculo, destacando volume dos sólidos de revolução e áreas das

superfícies de revolução, são introduzidos frequentemente através de

representações geométricas, o que mostra a importância da Geometria no Cálculo.

Deste modo, outra forma de diversificar está na elaboração de um estudo

interdisciplinar, interagindo estas duas áreas do conhecimento, utilizando como

suporte os recursos computacionais, dentre eles, os softwares educativos, como o

software Maple.

Mariani (2005?) coloca que o software Maple possui uma grande

potencialidade em relação ao ensino de tópicos do Cálculo, pois ele oferece vários

recursos como capacidade de computação algébrica, numérica e gráfica,

capacidade de manipulação de fórmulas e números e uma linguagem de

programação de alto nível. Utilizando o software Maple, os conceitos vistos em sala

de aula são apresentados de maneira computacional, tornando o processo de

aprendizagem mais prazeroso do que no ambiente que geralmente o professor

utiliza em sala de aula.

Mediante as dificuldades encontradas pelos discentes na aprendizagem

de Cálculo, enfatizando os conteúdos volume dos sólidos de revolução e área das

superfícies de revolução, surgiram indagações sobre o processo de ensino dos

assuntos abordados. Assim, esse estudo se orienta a partir da questão considerada

norteadora para o desenvolvimento do trabalho: Que fatores determinam as

dificuldades dos discentes no processo de aprendizagem dos conteúdos volume dos

sólidos de revolução e área das superfícies de revolução e quais os possíveis

caminhos para superá-las? Várias hipóteses podem ser levantadas, mas a presente

pesquisa considera que estas dificuldades podem está associada à metodologia

utilizada pelos docentes no ensino da disciplina de Cálculo.

Para tentar responder nosso questionamento, partimos para uma

investigação, no intuito de verificar as relações existentes entre os conhecimentos

geométricos, cálculo diferencial e integral e informática no estudo dos conteúdos e

analisar as metodologias utilizadas em sala de aula pelos docentes no ensino de

Cálculo. Além disso, propor aos docentes dessa área uma metodologia diferente a

12

partir da utilização do software Maple como uma nova ferramenta de ensino que

possibilita a integração de áreas do conhecimento.

A importância desse trabalho está no fato de tentar fazer os docentes de

Cálculo refletirem sobre a metodologia que empregam nesta disciplina e perceberem

que através da utilização de softwares, como o Maple, eles podem está relacionando

os conhecimentos geométricos e do cálculo diferencial e integral na construção do

conhecimento dos assuntos abordados, tornando assim, a aprendizagem mais

eficaz.

Para concretizar este estudo organizou-se o trabalho em quatro partes.

Na primeira parte definiu-se a metodologia a ser utilizada. Na segunda parte

realizou-se uma revisão de literatura, para embasamento sobre as dificuldades na

aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral, as novas tecnologias no processo

educacional, a importância da Geometria e da Informática no Cálculo e a teoria

aliada aos assuntos, ressaltando logo após, o processo de aprendizagem dos

mesmos. Na terceira parte apresentamos, analisamos e discutimos os dados

coletados. Na última parte foram feitas as observações finais, apresentando as

conclusões.

1.1 Metodologia

Definida a problemática central deste projeto, buscou-se por meio de uma

pesquisa exploratória, compreender o processo de ensino dos assuntos volume dos

sólidos de revolução e área das superfícies de revolução, analisando a metodologia

utilizada pelos docentes na disciplina Cálculo Diferencial e Integral.

Segundo Gil (2002), a pesquisa exploratória tem como objetivo

proporcionar maior familiaridade com o problema com vista a torná-lo mais explícito

ou construir hipóteses, tendo como objetivo principal o aprimoramento de idéias ou a

descoberta de intuições. O delineamento adotado, de acordo com o autor,

caracteriza-se pela interrogação direta das pessoas cujo comportamento se deseja

13

conhecer. Basicamente, procede-se a solicitação de informação a um grupo

significativo de pessoas acerca do problema estudado para, em seguida, mediante

análise qualitativa, obter-se as conclusões correspondentes aos dados coletados.

Os resultados obtidos com base na amostra são projetados para a totalidade do

universo. Assim, para caracterizar o presente estudo na abordagem exploratória

foram considerados os seguintes itens:

a) O objeto de estudo se concentra nos docentes de Cálculo Diferencial e

Integral do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade do Estado da

Bahia (UNEB), Campus II. É interessante ressaltar, que inicialmente pretendíamos

que nosso objeto fosse constituído por todos os docentes de Cálculo dos Campi II,

VI, VII, VIII e IX, pois são os que, desta instituição, tem o curso de Licenciatura em

Matemática. Mas, em conseqüência das dificuldades de comunicação, acabamos

por optar em realizar nossa pesquisa apenas no Campus II, pois, devido a nossa

graduação, tínhamos uma maior facilidade de interação com os professores.

b) Os sujeitos da pesquisa foram os professores que ministram a

disciplina de Cálculo no curso de Licenciatura em Matemática, da instituição citada

anteriormente, sendo a população composta de 5 (cinco) docentes.

c) A pesquisa utilizou-se de um questionário semi-estruturado para

obtermos informações acerca da metodologia utilizada pelos docentes no ensino da

disciplina. O instrumento continha 6 (seis) questões, sendo 1 (uma) questão objetiva

e 5 (cinco) subjetivas. Este foi aplicado via e-mail com todos os professores que

compôs a população. Mas, apenas 3 (três) enviaram a resposta ao e-mail solicitado.

Também foram feitos questionamentos no instrumento acerca do nível de

dificuldade dos alunos na aprendizagem dos conteúdos trabalhados e como

repercuti entre os alunos a metodologia destes, no intuito de adquirir mais subsídios

para a pesquisa.

d) Além do questionário, também foi realizada uma oficina, onde foi

explicado os conteúdos abordados utilizando o software Maple como suporte, com

objetivo de propor aos docentes da área, uma metodologia diferente a partir da

14

utilização do software como uma nova ferramenta de ensino que possibilita a

integração de áreas do conhecimento.

Os 5 (cinco) professores foram convidados via e-mail, confirmando a sua

presença enviando uma mensagem para o e-mail solicitado. Deste total apenas 4

(quatro) confirmaram a sua presença, dentre estes, os três que responderam o

questionário, constituindo a amostra.

A oficina foi realizada na própria instituição onde foi efetivado o estudo e

teve duração de duas horas. Para realização desta, foi necessário instalar o software

Maple em um dos laboratórios de informática, pois esta não disponibilizava o

mesmo.

Primeiramente, antes da realização, elaboramos um material didático

contendo alguns comandos e símbolos básicos para a utilização do Maple no

Cálculo Diferencial e Integral, enfatizando os métodos de integração e o cálculo do

volume dos sólidos de revolução e da área das superfícies de revolução. A oficina foi

ministrada baseada neste instrumento. Os docentes participaram ativamente

realizando todas as atividades propostas do material, que se encontrava nos

computadores utilizados.

Ao término, abrimos espaço para discussão, onde foram feitas perguntas

com a finalidade de adquirimos mais informações para alcançarmos nosso objetivo:

Através do que foi exposto, qual a opinião de vocês acerca do Maple como uma

nova ferramenta de ensino?; Para vocês, diante do que foi mostrado e de sua

experiência em sala de aula, é importante os alunos terem uma boa base na

geometria elementar para compreensão desses assuntos no Cálculo?;O software

Maple possibilita a integração de áreas do conhecimento, como a Informática, a

Geometria e o Cálculo?

Desse modo, o presente estudo procurou fazer uma análise

predominantemente qualitativa tendo em vista a compreensão do fenômeno

investigado.

15

Capítulo 2

Dificuldades na aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral.

Ao procuramos compreender as dificuldades dos alunos no entendimento

dos assuntos volume dos sólidos de revolução e área das superfícies de revolução

no Cálculo Diferencial e Integral, tomamos como ponto de partida as prováveis

causas que levam ao fracasso destes nessa disciplina, na tentativa de está

identificando os obstáculos que geram tais dificuldades. Além disso, inicialmente,

iremos refletir sobre os avanços tecnológicos na sociedade para entender as

mudanças que deve ocorrer na educação, destacando o ensino do Cálculo.

As constantes mudanças que ocorrem na sociedade, devido à

globalização, como os avanços tecnológicos e científicos, exigem cada vez mais que

nos tornemos seres pensantes, críticos, interligados com o conhecimento, de

maneira que venhamos a nos adequar a essas transformações. Deste modo, o

indivíduo deve desenvolver ao longo de sua vida novas habilidades e competências

em adquirir o saber, assim, faz-se necessário, o surgimento de mudanças no

processo de educação.

Educar para esta sociedade significa dominar e transcender os recursos tecnológicos, desenvolver a capacidade de questionar, de analisar criticamente e tomar decisões, desenvolver competências para enfrentar situações inesperadas e desenvolver valores éticos e morais “permitindo ao cidadão harmonizar os conteúdos aprendidos na escola com a cultura de um mundo globalizado” (Brasil, apud Morelatti, 2000?, p.1).

Sendo assim, a educação é de grande importância na formação do

cidadão, destacando que uma das mudanças que deve ocorrer, está relacionada ao

processo de ensino, em que o aluno deve deixar de ser um ser passivo, receptor

apenas de informações e passar a ser um ser ativo, inovador e construidor do seu

próprio saber.

E, o que dizer da aprendizagem da matemática? A matemática é uma

ciência que, assim como as outras, está em constante transformação e sua

16

compreensão é necessária para o sucesso do indivíduo nesta sociedade. Segundo

Barbosa (1994), cada vez menos o homem comum pode passar sem os

conhecimentos matemáticos, cada vez os técnicos precisam se infiltrar em

conteúdos matemáticos que só a especialistas interessam. Mas, apesar de sua

importância e de suas mudanças, a matemática é responsável, de acordo com o

autor, pelo elevado nível de fracasso nas instituições de ensino.

No ensino superior, a aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral tem

sido motivação para uma série de pesquisa e investigação, pois de acordo com

Barbosa (2004), esta disciplina tem sido responsável por um grande número de

reprovações e evasões de estudantes universitários nas faculdades e universidades

de todo país.

Através dos dados obtidos pela Secretária Acadêmica da Universidade do

Estado da Bahia (UNEB), Campus II, pode-se observar o insucesso dos discentes

na disciplina Cálculo Diferencial e Integral, do curso de Licenciatura em Matemática,

nos semestres 2008.1 e 2008.2, constatado pelo índice de insucesso, conforme

tabela abaixo:

Observando estes dados, referente ao semestre 2008.1 do total de quatro

turmas, 47,72% do número de alunos matriculados obtiveram aprovação, o restante,

52,28% não obtiveram êxito. Em relação ao semestre 2008.2, 27,5% dos alunos

obtiveram aprovação e 72,5% insucesso. Se levarmos em conta percentuais de

aprovação por turma, em determinados casos estes percentuais são baixíssimos,

2008.2

Componente Curricular

Alunos

matriculados

Alunos

aprovados

Cálculo I --- ----

Cálculo II 21 5

Cálculo III 11 2

Cálculo IV 8 4

Total 40 11

2008.1

Componente Curricular

Alunos

matriculados

Alunos

aprovados

Cálculo I 31 14

Cálculo II --- ---

Cálculo III 8 5

Cálculo IV 5 2

Total 44 21

Fonte: Secretária Acadêmica da Universidade do Estado da Bahia (UNEB), Campus II

17

como ocorre com a turma de Cálculo III do segundo semestre, com 18,2% de

aprovação apenas. Vale ressaltar, que as turmas que não constam os dados foi

devido a Secretária Acadêmica não ter fornecido os mesmos.

Castro e Melo (2003?) apontam que é importante observar que o Cálculo

é uma das disciplinas mais tradicionais do Ensino Superior de Ciências Exatas e,

também, base referencial para a compreensão do desenvolvimento científico e

tecnológico. Observa-se então a importância que esta disciplina tem para o

desenvolvimento da sociedade, sendo assim, quais são os fatores que levam os

discentes a obterem o insucesso nesta disciplina?

2.1 As prováveis causas das dificuldades de aprendi zagem no Cálculo.

Vários fatores podem está relacionados ao fracasso dos alunos na

disciplina de Cálculo. Abordaremos apenas algumas dessas causas, a saber: falta

de relacionamento entre os níveis de ensino, dificuldades em visualização e a

metodologia utilizada pelos professores na sala de aula.

2.1.1 Falta de relacionamento entre os níveis de en sino

Barbosa (1994) coloca que, a falta do elo, de um relacionamento maior

entre os níveis de ensino, principalmente entre o nível secundário e o universitário,

tem trazido grandes dificuldades na relação ensino-aprendizagem dos alunos que

fazem à disciplina Cálculo Diferencial e Integral, trazendo como conseqüência altos

índices de reprovação e evasão na disciplina.

Os alunos ao ingressarem na maioria das universidades, o primeiro

contato que têm com a matemática do 3º grau, segundo Neto (1992), é com o

Cálculo juntamente com a Álgebra Linear e a Geometria Analítica e nesse momento

18

deixam transparecer a fragilidade e a deficiência dos conhecimentos e habilidades

supostamente aprendidos na escola. Barbosa (1994), também aponta que os

assuntos tratados nas aulas de Cálculo parecem desconhecidos, chegando-se a

pensar que muitos alunos não tiveram ou não assimilaram o mínimo de

conhecimento dos conteúdos necessários. Sabe-se que, os conhecimentos

matemáticos estão interligados entre si, deste modo, a falha na compreensão de

alguns desses conteúdos acarretará dificuldades na construção da aprendizagem do

assunto que os sucedem.

2.1.2 Dificuldades em visualização

A matemática é uma disciplina que não só se utiliza da linguagem

simbólica, mas também, se utiliza da linguagem gráfica, sendo assim, a capacidade

de visualização é de fundamental importância para a compreensão de seus

conteúdos.

O pensamento matemático envolve diferentes processos de pensamento, sendo a visualização um processo importante no desenvolvimento do pensamento matemático (ARCAVI, apud Couy e Frota, 2007, p.4). “A visualização é um processo através do qual as representações mentais podem ganhar vida” (DREYFUS, apud Couy e Frota, 2007, p.4).

Em relação à aprendizagem do Cálculo, Couy e Frota (2007), colocam

que esta é altamente simbólica. Com isso, afirmam que, os estudantes se

especializam em manipular fórmulas e técnicas, não desenvolvendo um real

entendimento dos conceitos. Esse método de estudo quase sempre possibilita,

segundo Koirala apud Couy e Frota (2007), uma “compreensão processual”, mas

não uma “compreensão conceitual” dos tópicos de cálculo. A partir de tais idéias,

surgiu na década de 80, nos Estados Unidos, o Movimento de Reforma do Cálculo

que tinha como propósito discutir a forma de como o assunto era ensinado. Com

essas discussões, criaram a “Regra de Três” que, segundo Couy e Frota (2007),

estimula a interlocução das várias representações.

Um dos princípios que devem guiar o ensino de Cálculo é a “Regra de três”: quaisquer que sejam os possíveis tópicos, devem ser ensinados gráfica e numérica, como também analiticamente. A pontaria é produzir um curso

19

onde os três pontos de vista são equilibrados, e onde os estudantes vêem uma idéia principal sob vários ângulos (HUGHES-HALLETT, apud Couy e Frota, 2007, p.5).

Atualmente o ensino do Cálculo estimula o uso de gráficos, dando ênfase

primeiramente às idéias intuitivas dos conceitos. Apesar desse estímulo, os alunos

apresentam dificuldades no desenho de gráficos. Para Couy e Frota (2007), estas

dificuldades podem esta impedindo que os alunos lancem mãos das estratégias

gráficas como forma de resolver problemas.

Os mesmos autores defendem que promover o estudo de Cálculo através

da visualização gráfica, numa perspectiva que permita a comunicação entre as

várias formas de representação matemática e a passagem de um tipo de linguagem

a outro pode, com efeito, elevar a qualidade da aprendizagem nos cursos de cálculo.

Os professores, muitas vezes, engessados pelas “grades” curriculares, apressam-se em introduzir o instrumental simbólico, não dedicando o tempo necessário às reflexões que podem suscitar das conexões entre as várias linguagens matemáticas e que certamente contribuiriam para um entendimento “relacional” dos conceitos de Cálculo (BERRY e NYMAN, apud Couy e Frota, 2007, p.14).

2.1.3 Metodologia utilizada pelos professores na sa la de aula

Aprender implica atribuição de significados. Os significados que o aluno

constrói são o “resultado de uma complexa série de interações nas quais intervêm,

no mínimo, três elementos: o próprio aluno, os conteúdos de aprendizagem e o

professor” (Salvador, apud Morelatti, 2000?, p.3).

O aluno é o maior responsável por sua aprendizagem, uma vez que constrói seu conhecimento, atribuindo sentido e significado ao que está aprendendo, mas é o professor o responsável em orientar a construção em uma determinada direção, compartilhando significados, sentidos e intenções (Morelatti, 2000?, p.3).

As evidências de insucesso na aprendizagem de Cálculo Diferencial e

Integral podem está associada à ineficiência pedagógica. A prática atual utilizada

pelos docentes nas salas de aulas, segundo Barbosa (1994), é calcada no modelo

Herbatiano, que trata o conhecimento como pronto e acabado. Os alunos são

20

tratados como “depósito do saber”, sendo reduzidos a meros expectadores de aulas

expositivas, sujeitos a memorização de fórmulas e regras, como aponta Morelatti

(2000?):

Nas salas de aula de Cálculo Diferencial e Integral, a metodologia usada pela maioria dos professores prioriza exclusivamente a aula expositiva, centrada na fala do professor, com conteúdos apresentados como prontos e incontestáveis. Os alunos, após a aula, resolvem mecanicamente uma série de exercícios que enfatizam as técnicas de resolução em vez de conceitos e estratégias de resolução (Morelatti, 2000?, p.2).

O mesmo autor coloca que neste modelo, os alunos não são envolvidos

afetivamente com a disciplina e muitas vezes questionam a importância desta dentro

do curso por não entenderem seus objetivos e isto ocorre, na maioria das vezes,

pelo fato do conteúdo desta disciplina ser trabalhado de forma descontextualizada,

sem relação com situações reais. Além disso, assinala que:

Para poder contribuir no processo de construção do conhecimento, o professor deve compreender a idéia do aluno para poder intervir no momento certo, compreender o nível de desenvolvimento, ter um postura de mediador, de facilitador da aprendizagem, e para isto deve conhecer teorias educacionais que lhe dêem suporte para assumir esta mediação (Valente, apud Morelatti, 2000?, p.5). Deve ter saberes tanto sobre o conteúdo, como conhecimento didático destes conteúdos. Deve desafiar, desequilibrar, incentivar, acolher, ser parceiro e ousar (Morelatti, 2000?, p.5).

De acordo com Couy e Frota (2007), os professores contemporâneos não

estão condicionados à “camisa de força” do formalismo da Matemática Moderna,

mas têm como desafio diversificar estratégias de aprendizagem, possibilitando ao

estudante o estudo de um mesmo conceito sob várias perspectivas. Uma das formas

de diversificar é através do uso das novas tecnologias, que será abordada no

próximo capítulo.

21

Capítulo 3

As novas tecnologias no processo educacional

Neste capítulo apresentaremos o uso das novas tecnologias na

educação, baseando-se na teoria construcionista, no qual tem como princípio básico

que o conhecimento se constrói a partir das ações dos sujeitos. Faremos uma breve

descrição acerca dos recursos computacionais destacando, entre eles, a internet e

os softwares educacionais, dando ênfase ao software Maple.

O processo de aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral exige

domínio de conceitos matemáticos abstratos, ou seja, estes não têm suporte

materializado. Deste modo, segundo Gravina e Santarosa (1998), entra em jogo a

“concretização mental” que nem sempre é simples, mesmo para o matemático

profissional. Assim, a inserção das novas tecnologias, dentre elas o uso do

computador, pode a vir facilitar este processo.

De acordo com Morelatti (2000?), no Brasil, a utilização de computadores

em Cálculo foi influenciada por artigos, livros e softwares produzidos no exterior, e

se iniciou com experiências isoladas de professores de algumas universidades

brasileiras. Além disso, vários grupos ligados a universidades estão utilizando

computadores para enfrentar a problemática da aprendizagem em Cálculo.

Por causa dos avanços tecnológicos da sociedade, o computador tornou-

se um instrumento necessário para realização de nossas atividades, devido a sua

agilidade e exatidão em processar informações. Faz-se necessário então educar

para uma sociedade informatizada, porém, as instituições de ensino utilizam o

computador para dizer que são adeptas da modernidade, mas apenas instrui os

alunos a operacionalizar a máquina não atribuindo significado ao seu uso.

A capacidade de armazenamento de informações, a velocidade de operação e a precisão, fazem do uso do computador uma ferramenta indispensável em todas as nossas atividades acadêmicas, profissionais e

22

domésticas. Porém, ensinar o aluno somente a operar um computador não garante a melhoria da qualidade de ensino (Taneja, 1997, p.13).

Nessa abordagem de ensino, o uso do computador, segundo Morelatti

(2000?), reforça as práticas pedagógicas tradicionais, sendo utilizado para transmitir

informações e conteúdos, mantendo o aluno passivo no processo de aprendizagem.

Deste modo, de acordo com Valente (1993), nesta concepção, o computador acaba

sendo uma “máquina de ensinar”. Em contrapartida, o mesmo autor diz que o

computador, aliado a uma abordagem construcionista contextualizada, pode ser

usado como ferramenta educacional, não sendo mais um instrumento que ensina o

aprendiz, mas uma ferramenta com o qual este desenvolve algo. Percebe-se então

que o conhecimento é adquirido pelo aluno por está realizando uma atividade

mediada pelo computador.

3.1 A concepção construcionista

No fim da década de 60 o educador norte-americano Seymour Papert,

que foi discípulo de Jean Piaget no centro de Epistemologia Genética de Genebra,

começou a pesquisar o uso do computador como recurso pedagógico de acordo

com a concepção construcionista de educação, segundo Cazaux (1995). Nesta

percepção, que originalmente utiliza a linguagem de programação Logo, Castro e

Melo (2003?) colocam que, o aprendizado é um processo em que os alunos

constroem ativamente seu conhecimento, experimentando-o e participando do seu

processo de síntese.

Os estudos de Piaget demonstram que o desenvolvimento das funções cognitivas se dá numa contínua evolução das estruturas mentais; resultante de um processo de interação, no qual o sujeito procura compreender o mundo que o cerca, e busca resolver as interrogações que esse mundo provoca. Através de suas próprias ações, ele constrói suas categorias de pensamento ao mesmo tempo em que organiza seu mundo (Castro e Melo, 2003?, p.2).

O aluno ao desempenhar uma atividade do seu interesse se sente mais

estimulado, tornando a aprendizagem mais agradável e significativa.

23

Conforme Morelatti (2000?), apesar do construcionismo estar relacionado,

originalmente, com a linguagem de programação Logo, este termo já está sendo

utilizado em ações com outros tipos de software, tais como planilhas eletrônicas,

software de autoria, editores de texto, etc. O termo se expandiu e hoje remete a uma

abordagem pedagógica de utilização de computadores na educação.

O processo de ensino e aprendizagem tradicional se difere do

construcionismo. No primeiro o professor assume um papel de transmissor de

conteúdos e o aluno receptor passivo de informações; já no construcionismo, como

afirma Morelatti (2000?), o professor age como facilitador, mediador da

aprendizagem do aluno, respeitando o ritmo e o estilo de cada um.

É necessário que o professor de matemática organize um trabalho estruturado através de atividades que propiciem o desenvolvimento de exploração informal e investigação reflexiva e que não privem os alunos nas suas iniciativas e controle da situação. O professor deve projetar desafios que estimulem o questionamento, a colocação de problemas e a busca de solução. Os alunos não se tornam ativos aprendizes por acaso, mais por desafios projetados e estruturados, que visem a exploração e a investigação (Richards, apud Santarosa e Gravina, 1998, p.6).

Aprender implica atribuição de significados, deste modo, como coloca

Morelatti (2000?), na abordagem construcionista, o aluno constrói o seu

conhecimento por meio de resoluções de um problema ou através do

desenvolvimento de um projeto significativo e contextualizado, em um trabalho

participativo e colaborativo. “Quando o aluno resolve um problema por meio do

computador, usando uma linguagem de programação, ele está metaforicamente

“ensinando o computador” a resolver este problema” (Morelatti, 2000?, p.5).

Para Valente apud Melo (2002), a utilização do computador na

aprendizagem descreve o seguinte ciclo: descrição-execução-reflexão-depuração. A

descrição significa utilizar toda a estrutura do conhecimento para representar e

explicitar os passos da resolução do problema no computador. O processo de

solução do problema por meio do computador é através da execução. Obtida a

resposta o aluno passa a refletir repensando aquilo que foi realizado, observando se

o resultado condiz com as suas hipóteses. Quando o resultado do problema é

diferente de sua intenção este realiza o processo de depuração, onde o mesmo irá

repensar, procurando os possíveis erros para construir novos conhecimentos.

24

É importante salientar que “tanto a representação da solução do problema

como a sua depuração são muito difíceis de serem conseguidas através dos meios

tradicionais de ensino” (Valente, apud Morelatti, 2000?, p.5).

O computador serve como uma ferramenta que auxilia o processo de

aprendizagem, ou seja, o ciclo descrição-execução-reflexão-depuração não se dá de

forma a colocar o aprendiz diante do computador, pois a abstração do conhecimento

não está limitada ao software, mas, na relação docente-discente-software, como

afirma Valente apud Melo (2002):

O ciclo não acontece simplesmente colocando o individuo diante do computador. A interação computador-indivíduo precisa ser medida por um profissional-agente que tenha conhecimento do significado do processo de aprender por intermédio da construção do conhecimento (Valente apud Melo, 2002, p.19).

Assim, uma concepção educativa que emprega o computador como

instrumento de aprendizagem no ponto de vista construcionista conjectura a

resolução de problemas ou o desenvolvimento de projetos significativos vivenciados

pelos alunos.

3.2 Recursos computacionais de ensino e aprendizage m

Os recursos computacionais de ensino e aprendizagem surgiram,

segundo Castro e Melo (2000?), através de indagações sobre os subsídios e limites

dos ambientes tecnológicos no processo de interação entre os indivíduos. Com base

na abordagem sócio-construtivista de Vygotshy, em que o desenvolvimento cognitivo

é um processo contínuo que se dá ao longo da história social do homem, em sua

relação com o mundo, os mesmos autores colocam que, o desenvolvimento do ser

humano é um produto desta interação.

Flemming apud Castro e Melo (2003?) aborda três maneiras diferentes de

interação nos processos pedagógicos: interação social entre indivíduos face a face;

interação entre indivíduos, máquina e informação; interação entre indivíduos

25

mediada pela tecnologia. A primeira interação constitui o contato professor-aluno

nas aulas presenciais. A segunda se edifica a partir das interconexões digitais,

como por exemplo, o software educativo. A última ocorre por meio do uso dos

espaços virtuais que são as salas de bate-papo, os fóruns e as listas de discussões.

Deste modo, os ambientes informatizados vêm a ser um instrumento que

auxilia os processos cognitivos e o ensino-aprendizagem dos conceitos matemáticos

apresenta-se como um espaço produtivo para o uso desses recursos, como por

exemplo, a internet e os softwares matemáticos.

3.2.1 A internet no processo educacional

Na contemporaneidade o uso da internet como espaço virtual transmissor

de informação, tem contribuído para melhoria das relações humanas na

aprendizagem. O aprendiz ao se utilizar desse recurso tem ao seu alcance uma

abundante fonte de informação e de possibilidade de interação.

Ela [a Internet] abriu as portas para o Mundo, tal como os nossos navegadores o fizeram há quinhentos anos quando venceram inúmeras barreiras e deram a conhecer novos mundos ao Mundo. A Internet tem hoje uma função semelhante – não só derruba barreiras de sexo, idade, cor, distância, tempo, cultura e educação, entre outras, como permanentemente disponibiliza novos mundos (de conhecimento) ao mundo. Falar de Internet é falar de uma sala de aula sem paredes, de uma gigantesca biblioteca, de uma gigantesca base de dados, de um gigantesco museu, de um incomensurável volume de informações, de uma interação sem precedentes de computadores e pessoas, acessível vinte e quatro horas por dia (D’ Eça, apud Castro e Melo, 2003?, p.4).

O aluno durante seus estudos ao surgir questionamentos a cerca do

conteúdo, utilizando-se da internet, pode interagir com algum grupo de estudo,

adquirindo, deste modo, respostas que venham a sanar suas dúvidas. Constrói-se,

portanto, segundo Castro e Melo (2003?), um processo cooperativo não

hierarquizado onde todos podem levantar dúvidas e também respondê-las,

democratizando, assim, o processo de ensino-aprendizagem.

26

3.2.2 Softwares educativos

Segundo Lucena apud Frescki (2008), o software educacional, (S.E.), é

todo aquele software que possa ser usado com algum objetivo educacional,

pedagogicamente defensável, por professores e alunos, qualquer que seja o objetivo

para o qual ele foi criado. “O objetivo geral dos softwares educacionais é auxiliar no

processo ensino aprendizagem de uma dada disciplina” (Gamez, apud Frescki,

2008, p. 8). Para que isso ocorra, Frescki (2008) coloca que o software deve possuir

uma série de características, dentre elas, ser fácil de utilizar, de compreender,

favorecer a assimilação de conteúdos e possuir aspectos motivacionais.

Taylor apud Valente (1993) classifica os softwares educativos em tutor (o

software que instrue o aluno), tutorado (software que permite o aluno instruir o

computador) e ferramenta (software com o qual o aluno manipula a informação). O

tutor equivale aos programas onde o computador ensina o aluno. Os softwares do

tipo tutorado e ferramenta equivalem aos programas onde o aluno "ensina" o

computador.

É interessante ressaltar, como apontam Batista et al (2000), que os

softwares educacionais necessitam de uma avaliação quanto a sua qualidade, pois

nem sempre possuem características adequadas, no que se refere aos aspectos

técnicos e pedagógicos. Colocam que para avaliar um software educacional é

preciso levar em consideração a sua documentação, características pedagógicas e

da interface, facilidade de uso, adaptabilidade, portabilidade e retorno de

investimento.

Os obstáculos que venham ocorrer na aprendizagem da matemática,

devido ao seu caráter abstrato, podem ser atenuados através dos softwares

matemáticos, dando um caráter dinâmico aos conteúdos, auxiliando, deste modo, as

construções mentais dos objetos abstratos. De acordo Hebenstreint apud Gravina e

Santarosa (1998, p.7): “O computador permite criar um novo tipo de objeto – os

objetos ‘concreto-abstratos’. Concretos porque existem na tela do computador;

abstratos por se tratarem de realizações feitas a partir de construções mentais”.

27

Segundo Cazaux (1995), os softwares educacionais, destinados as

ciências exatas, facilita a construção de conceitos geométricos e matemáticos e

desenvolve o raciocínio lógico matemático, aprendendo a matemática como uma

“língua viva”. Atendendo as características citadas anteriormente, podemos destacar

o software Maple que será abordado no tópico a seguir.

3.2.2.1 Software Maple

O Maple, desenvolvido por Waterloo Inc (Ontário, Canadá), é um “sistema

de computação algébrica”, pois este permite aos seus usuários fazer cálculos não

somente com números, mas também com símbolos, fórmulas, expressões,

equações e assim por diante, ou seja, é uma poderosa ferramenta para todos

aqueles que necessitam de respostas rápidas e precisas para determinados

problemas matemáticos. Convém destacar, segundo Mariani (2005?), que esse

sistema não é desenhado especialmente para atingir objetivos pedagógicos, mas é

projetado para atender às necessidades do profissional na resolução de problemas.

Uma vez iniciado o Maple, tem-se então a tela inicial, worksheet, no qual

podemos por em ação as funções do aplicativo, produzir textos, cálculos, obter

gráficos e animações. Na parte superior tem-se três barras de menu, e na parte

inferior uma barra contendo informações sobre o estado atual do sistema. Os

procedimentos de abrir um novo documento ou um já existente, salvar um

documento, imprimir, recortar, copiar e colar são análogos à maioria dos programas

do Windows e podem ser acionados através dos ícones que se encontram na barra

superior do menu, ou ainda, através dos menus File e Edit , selecionando os

comandos new, open, save, print, cut, copy e paste, respectivamente. Cada um

desses comandos também possuem uma combinação de teclas de atalho que

também podem ser utilizadas.

28

Figura 1 - Tela inicial do Maple versão 8

Para executar um comando basta digitá-lo, e então pressionar a tecla

“ENTER”. Neste momento, o texto digitado é considerado como uma entrada, e será

então dada uma saída, que aparecerá imediatamente abaixo da entrada. Caso

ocorra algum erro de execução ou de sintaxe, uma mensagem apropriada será dada

como saída. Deve-se tomar muito cuidado na hora de digitar um comando, pois são

consideradas as diferenças entre letras maiúsculas e minúsculas, sendo que muitas

vezes, este é o motivo de vários erros na hora de sua execução.

Após a digitação de qualquer comando no Maple é obrigatória a

colocação de “; (sinal de ponto e vírgula)” no final da expressão escrita, para que o

comando seja executado. Nas versões mais recentes, como por exemplo, a versão

11, este sinal é optativo. Em alguns casos é utilizado o “: (sinal de dois pontos)” para

reconhecimento do comando, porém não é apresentado uma saída.

Este software é altamente indicado para o estudo nos tópicos do Cálculo.

Como ilustração utilizaremos o Maple no cálculo da integral definida π

0cosxdx∫ .

29

O comando “Int” nos dá como saída à expressão da integral. Por outro

lado, o comando “int” (observe que o “i” é minúsculo) nos dá o valor da integral,

como podemos ver na figura abaixo:

Figura 2 - Cálculo da integral definida 0

cos xdxπ

∫ no Maple.

É importante ressaltar, como coloca Kaiber e Renz (2008), que o Maple

utilizado como uma ferramenta deve ser enfocado não só na verificação da teoria

que geralmente foi apresentada a prioiri em sala de aula, mas como um instrumento

capaz de viabilizar a construção de novas conjecturas e o estabelecimento de

estratégias de resolução de problemas e entendimento, além da construção de

conceitos pelo próprio educando.

30

Capítulo 4

Uma abordagem interdisciplinar no Cálculo: a import ância da Geometria e da

Informática nesta disciplina

Para verificar as relações existentes entre os conhecimentos geométricos,

cálculo e informática no estudo do volume dos sólidos de revolução e da área das

superfícies de revolução, que será abordada no próximo capítulo, faz-se necessário,

compreender a importância do estudo interdisciplinar na disciplina de Cálculo. Deste

modo, inicialmente exploraremos o que vêm a ser interdisciplinaridade.

Segundo Ivani Fazenda apud Carlos (2002), a interdisciplinaridade surgiu

na França e na Itália em meados da década de 60, num período marcado pelos

movimentos estudantis que, dentre outras coisas, reivindicavam um ensino mais

sintonizado com as grandes questões de ordem social, política e econômica da

época. A interdisciplinaridade teria sido uma resposta a tal reivindicação, na medida

em que os grandes problemas da época não poderiam ser resolvidos por uma única

disciplina ou área do saber.

No final da década de 60, a interdisciplinaridade chegou ao Brasil e logo

exerceu influência na elaboração da Lei de Diretrizes e Bases Nº 5.692/71. Desde

então, sua presença no cenário educacional brasileiro tem se intensificado e,

recentemente, mais ainda, com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). Além

de sua forte influência na legislação e nas propostas curriculares, a

interdisciplinaridade ganhou força nas escolas, principalmente no discurso e na

prática de professores dos diversos níveis de ensino. Apesar disso, estudos têm

revelado que a interdisciplinaridade ainda é pouco conhecida.

A interdisciplinaridade ocorre quando as disciplinas se integram e

colaboram entre si e, como afirma Fazenda (2001): “para que haja

interdisciplinaridade é necessário, intercâmbio entre os saberes, em que cada um

traz para o grupo seu conhecimento interagindo com os demais”.

31

De acordo com Ferreira apud Silva (2003?):

A apreensão da atitude interdisciplinar garante para aqueles que a praticam um grau elevado de maturidade. Isso ocorre devido ao exercício de uma certa forma de encarar e pensar os acontecimentos. Aprende-se com a interdisciplinaridade que um fato ou solução nunca é isolado, mas sim conseqüência da relação entre muitos (Ferreira apud Silva, 2003?, p.5).

Silva (2003?) considera que a prática interdisciplinar nos envolve no

processo de aprender a aprender. Pretendendo-se abolir os reducionismos que

estão arraigados nas práticas fragmentadas do ensino disciplinarizado.

Uma postura interdisciplinar redimensiona o pensamento pedagógico em direção ao enfrentamento de problemas que se criam durante o seu processo de aplicação, o que possibilita a superação de dicotomias tradicionais da visão de mundo mecanicista do ensino aprendizagem (Silva, 2003?, p.11).

A partir desse momento, abordaremos a importância da geometria e da

informática no Cálculo para adentrar na necessidade de um estudo interdisciplinar

nessa disciplina.

Segundo Balomenos et al (1994), certos conceitos do curso tradicional de

Cálculo na Universidade são introduzidos frequentemente através de

representações geométricas. Além disso, afirmam que, muitas das idéias

necessárias para a compreensão do Cálculo na Universidade baseiam-se no curso

tradicional de geometria do segundo grau, mas os alunos ás vezes se surpreendem

quando, no meio de um problema difícil ou de uma explicação de um conceito, se

faz referência a triângulos semelhantes, ao teorema de Pitágoras ou ao volume de

um cilindro. Destacam que na resolução de muitos dos problemas de aplicação

tradicionalmente incluídos no cálculo, é essencial a habilidade para construir uma

representação pictórica de uma configuração geométrica com base numa descrição

verbal complicada.

A utilização da informática no Cálculo pode promover o estudo dessa

disciplina através da visualização gráfica, como foi abordado no Capítulo 2, numa

perspectiva, que permite a comunicação entre várias formas de representação

matemática . Além disso, esta possibilita a interação de diversas disciplinas em torno

de um axioma em comum, que pode ser um objeto de conhecimento do Cálculo, o

que caracteriza a interdisciplinaridade.

32

Deste modo, a estruturação de um estudo interdisciplinar, integrando

estas três áreas do conhecimento pode possibilitar, baseando-se em Pires (2000), o

enriquecimento do ensino de Cálculo por meio de novos enfoques e perspectivas

diferentes, buscando assim, caminhos alternativos que venham facilitar o processo

de ensino e aprendizagem.

33

Capítulo 5

Sólidos e Superfícies de Revolução

Neste capítulo iremos apresentar a definição de sólidos de revolução e

superfícies de revolução, em seguida, mostraremos o cálculo do volume e da área

destes respectivamente. Por fim, abordaremos o processo de aprendizagem dos

conteúdos, mostrando as relações existentes entre os conhecimentos geométricos,

cálculo e informática.

Definição (Sólido de Revolução): Fazendo uma região plana girar em torno de

uma reta no plano, obtemos um sólido, que é chamado sólido de revolução. A reta

ao redor da qual a região gira é chamada eixo de revolução.

Por exemplo, fazendo a região limitada pelas retas 0y = , y x= e 4x =

girar em torno do eixo-x, o sólido de revolução obtido é um cone.

Figura 3 - Região limitada pelas retas 0y = , y x= e 4x = e sólido de revolução, cone, obtido pela

rotação dessa região em torno do eixo-x.

Definição (Superfície de Revolução): Uma superfície gerada pela rotação de uma

curva plana (geratriz) em torno de uma linha reta fixa dada (eixo de revolução) é

chamada de Superfície de Revolução.

34

Geratriz

Figura 4 - Superfície de Revolução

5.1 Volume de um sólido de revolução

Consideremos o problema de definir o volume de um sólido T , gerado

pela rotação em torno do eixo-x, da região R vista na figura abaixo:

Figura 5 - Região R e sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo-x. Fonte: Flemming (2007).

Suponhamos que f(x) é contínua e não negativa em [ ],a b . Consideremos

uma partição P de [ ],a b , dada por 0 1 1... ..i i na x x x x x b−= < < < < < = . Seja

1i i ix x x −∆ = − o comprimento do intervalo [ 1,i ix x− ]. Em cada intervalo [ 1,i ix x− ],

escolhemos um ponto ic . Para cada i, 1,..,i n= , construímos um retângulo iR de

base ix∆ e altura ( )if c . Fazendo cada retângulo iR girar em torno do eixo-x, o

35

sólido de revolução obtido é um cilindro, cujo volume é dado por [ ]2( )i if c xπ ∆ . A

soma dos volumes dos n cilindros, que é representado por nV , é dada por

[ ] [ ] [ ] [ ]2 2 2 2

1 1 2 21

( ) ( ) ... ( ) ( )n

n n n i ii

V f c x f c x f c x f c xπ π π π=

= ∆ + ∆ + + ∆ = ∆∑ , e nos dá uma

aproximação do volume do sólido T .

Figura 6 - Retângulo Ri e sólido de revolução, cilindro, obtido girando o retângulo em torno do eixo-x. Fonte: Flemming (2007).

Podemos observar que à medida que n cresce muito e cada ix∆ ,

1,..,i n= , torna-se muito pequeno, a soma dos n cilindros aproxima-se do que

intuitivamente entendemos como volume do sólido T .

Figura 7 - Fonte: Flemming (2007).

Definição : Seja ( )y f x= uma função contínua e não negativa em [ ],a b . Seja R a

região sob o gráfico de f de a até b. O volume do sólidoT , gerado pela revolução de

R em torno do eixo-x, é definido por

36

[ ]2

max 01

lim ( )i

n

i ixi

V f c xπ∆ → =

= ∆∑ (1)

A soma que aparece em (1) é a soma de Riemann da função [ ]2( )if c .

Como f é contínua, o limite em (1) existe, e então, pela definição da integral

definida, temos

( )( )2b

a

V f x dxπ= ∫

Do mesmo modo, temos o volume de um sólido obtido por revolução da

região R em torno do eixo-y.

Figura 8 - Sólido obtido pela revolução da região R em torno do eixo-y. Fonte: Flemming (2007).

Neste caso, temos

( )( )2d

c

V g y dyπ= ∫

Exemplo : Encontrar o volume do sólido gerado pela rotação em torno do

eixo-x, da região limitada pela curva 2 3y x x= + − , o eixo-x e as retas 3x = e

3x = − .

37

Figura 9 - Gráfico de ( ) 2 3f x x x= + − e da sua revolução em torno do eixo-x.

( )3

22

3

3063

5V x x dx

ππ−

= + − =∫

5.2 Área de uma superfície de revolução

Vamos considerar o problema de determinar a área da superfície de

revolução S, obtida quando uma curva C, de equação ( )y f x= , [ ],x a b∈ , gira em

torno do eixo-x.

Figura 10 – Curva C e superfície gerada pela revolução de C em torno do eixo-x. Fonte: Flemming (2007).

Vamos supor que ( )f x ≥ 0, para todo [ ],x a b∈ e que f é uma função

derivável em [ ],a b . Como fizemos para o cálculo do volume de um sólido de

revolução, dividimos o intervalo [ ],a b em n subintervalos através dos pontos

0 1 1... ..i i na x x x x x b−= < < < < < = . Sejam 0, 1,..., nQ Q Q os correspondentes pontos

38

sobre a curva C. Unindo os pontos 0, 1,..., nQ Q Q , obtemos uma linha poligonal que

aproxima a curva C.

A figura abaixo ilustra esta poligonal para n=7.

Figura 11 - Poligonal para n=7. Fonte: Flemming (2007).

Fazendo cada segmento de reta desta linha poligonal girar em torno do

eixo-x, a superfície de revolução obtida é um tronco de cone, como mostra a figura

abaixo.

Figura 12 – Tronco de cone obtido pela rotação de um segmento de reta da linha poligonal em torno do eixo-x. Fonte: Flemming (2007).

Da geometria elementar, sabemos que a área lateral do tronco de cone é

dada por 1 2( )A r r Lπ= + , onde r1 é o raio da base menor, r2 é o raio da base maior e

L é o comprimento da geratriz do tronco de cone.

39

Figura 13 – Tronco de cone. Fonte: Flemming (2007).

Portanto, a área lateral do tronco de cone que visualizamos na figura 12,

é dada por

[ ] 11

( ) ( )( ) ( ) 2 2 ( )

2i i

i i i i i i if x f x

A f x f x s s f c sπ π π−−

+ = + ∆ = ∆ = ∆ (1)

onde is∆ é o comprimento do segmento 1i iQ Q− e ic é um ponto no

intervalo [ 1,i ix x− ] tal que 1( ) ( )( )

2i i

if x f x

f c − += (*).

Podemos garantir a existência de ic [ ]1,i ix x−∈ que satisfaz (*), pelo

Teorema do Valor Intermediário, já que f é contínua em [ ],a b .

Analisando o triângulo retângulo 1i iQ AQ− da figura 12, vemos que

( ) ( ) ( )( )221 1i i i i is x x f x f x− −∆ = − + − (2).

Como f é derivável no intervalo [ ],a b , podemos aplicar o Teorema do

Valor Médio em cada [ ]1,i ix x− , 1,...,i n= . Então, para cada 1,2,...,i n= , existe um

ponto id ( )1,i ix x−∈ tal que 1 1( ) ( ) '( )( ) '( )i i i i i i if x f x f d x x f d x− −− = − = ∆ onde

1i i ix x x −∆ = − .

Substituindo em (2), vem

40

( ) ( ) ( ) [ ]2 22 2' 1 '( )i i i i i is x f d x f d x ∆ = ∆ + ∆ = + ∆

Substituindo agora, este resultado em (1), obtemos

[ ]22 ( ) 1 '( )i i i iA f c f d xπ= + ∆ .

Esta expressão nos dá a área lateral do tronco de cone gerado pela

rotação em torno do eixo-x, do segmento de reta 1i iQ Q− .

Somando as áreas laterais de todos os troncos de cone gerados pela

rotação dos segmentos que compõem a linha poligonal, obtemos uma aproximação

da área da superfície S, dada por [ ]2

1 1

2 ( ) 1 '( )n n

i i i i

i i

A f c f d xπ= =

= + ∆∑ ∑ .

Podemos observar que quando n cresce muito e cada ix∆ torna-se muito

pequeno, a soma das áreas laterais dos n troncos de cone, aproxima-se do que

intuitivamente entendemos como a área da superfície S.

Definição : Seja C uma curva de equação ( )y f x= , onde f e 'f são funções

contínuas em [ ],a b e ( ) 0f x ≥ , [ ],x a b∀ ∈ . A área da superfície de revolução S ,

gerada pela rotação da curva C ao redor do eixo-x, é definida por

[ ]2

01

lim 2 ( ) 1 '( )i

n

i i imax x

i

A f c f d xπ∆ →

=

= + ∆∑ (3)

A soma que aprece em (3) não é exatamente uma soma de Riemann da

função [ ]2( ) 1 '( )f x f x+ , pois aparecem dos pontos distintos ic e id . No entanto, é

possível mostrar que o limite em (3) é a integral desta função. Temos, então

( )22 ( ) 1 '( )

b

a

A f x f x dxπ= +∫

41

Observamos que, se ao invés de considerarmos uma curva ( )y f x=

girando em torno do eixo-x, considerarmos uma curva ( ), [ , ]x g y y c d= ∈ girando em

torno do eixo-y, a área será dada por

( )22 ( ) 1 '( )

d

c

A g y g y dyπ= +∫

Exemplo : Encontrar a área da superfície gerada pela rotação do arco da

curva 216y x= − , com 3 3x− ≤ ≤ em torno do eixo-x.

Figura 4 - Gráfico de 2( ) 16 -=f x x e da sua revolução em torno do eixo-x.

Sabendo que a derivada de y é igual a 216 x

x

−−

temos:

3 22

23

2 16 1 4816

xA x dx

xπ π

−

= − + = −

∫

5.3 O processo de aprendizagem dos conteúdos: volum e dos sólidos de

revolução e área das superfícies de revolução.

Segundo Balomenos et al (1994), os alunos de Cálculo costumam ter

muita dificuldade com os problemas sobre volume dos sólidos de revolução, o

mesmo acontece com os problemas envolvendo área das superfícies de revolução.

Diante da análise de uma pesquisa, apontou alguns erros cometidos por calouros:

42

girar a região em torno de um eixo que não era o correto e tentar um esboço do

sólido de revolução usando uma reflexão incorreta da região através do eixo.

No Brasil, segundo Kaiber e Renz (2008), o ensino do Cálculo Diferencial

e Integral, historicamente, caracteriza-se pela prevalência de processos algébricos

seguidos de exercícios, via de regra, de caráter repetitivo e com pouca, ou quase

nenhuma interdisciplinaridade.

Balomenos et al (1994) mencionam que para compreender como se

chega às técnicas de volume de sólido de revolução e resolver problemas pela

aplicação dessas regras mobiliza várias habilidades geométricas espaciais, o

mesmo se aplica à compreensão das técnicas da área das superfícies de revolução.

Os autores consideram a título de exemplo um problema típico que se

encontra nos livros de Cálculo fazendo em seguida uma análise dos conhecimentos

necessários para o aluno resolver a questão:

Esboce a região R limitada pelos gráficos das equações dadas e

determine o volume do sólido gerado ao se girar R em torno do eixo indicado:

3x y= , 2 0x y+ = ; em torno do eixo x.

Para conseguir resolver este problema, o aluno deve:

• representar graficamente a informação fornecida e determinar a região a ser

girada;

• esboçar ou visualizar o sólido de revolução e escolher o método apropriado.

• esboçar ou visualizar a secção transversal do sólido, girar uma “fatia

representativa” para formar uma seção transversal.

• expressar o volume representativo em termos das relações dadas e

finalmente desenvolver a integral para calcular o volume.

Assinalam que os passos que envolvem questões de Cálculo neste

conteúdo requerem visualização e representação gráfica que são provenientes do

curso de geometria.

43

O estudo destes conteúdos pode ser introduzido no contexto

interdisciplinar, interagindo a Geometria, o Cálculo e também a Informática. A última

entra como um suporte na visualização do sólido à medida que vai sendo gerado e

na verificação da validade do resultado de um problema proposto.

44

Capítulo 6

Apresentação, análise e discussão dos dados

Com o objetivo de investigar o processo de ensino dos conteúdos volume

dos sólidos de revolução e área das superfícies de revolução na disciplina de

Cálculo Diferencial e Integral, buscou-se por meio de uma pesquisa exploratória

levantar dados para compreensão da metodologia utilizada pelos docentes nesta

disciplina. A coleta de dados ocorreu na Universidade do Estado da Bahia-UNEB,

Campus II, com os professores que ensinam esta disciplina no curso de Licenciatura

em Matemática. Segundo Gil (2002), na investigação exploratória o levantamento é

obtido através da interrogação direta das pessoas cujo comportamento se deseja

conhecer. Nesse sentido, na coleta dos dados, foi aplicado um questionário com os

professores que ministram a disciplina Cálculo Diferencial e Integral, na instituição e

no curso citado e, além disso, foi realizada uma oficina, com os mesmos, utilizando o

software Maple com a finalidade já descrita anteriormente.

6.1 Análise do questionário

Para conhecer a metodologia dos professores foi aplicado um

questionário, que continha 6 perguntas, sendo 1 objetiva e 5 subjetivas. Aplicação

deste ocorreu via e-mail, sendo este enviado aos professores de Cálculo da

instituição citada e do curso selecionado, abordado anteriormente. O universo dos

sujeitos selecionados correspondeu a uma população de 5 componentes, mas,

apenas 3 enviaram a resposta ao e-mail solicitado. Na análise estes docentes foram

designados de professores A, B e C.

Os dados coletados e a respectiva análise das respostas revelam, não

somente, a metodologia de ensino desses docentes, sobretudo se estes conheciam

45

o software Maple, o nível de dificuldade dos alunos na compreensão dos conteúdos

abordados e como repercuti entre os discentes a sua metodologia.

O professor A, mestre em matemática desde 2003, relatou a metodologia

utilizada do seguinte modo: “Basicamente, as aulas são expositivas onde procuro

abordar aspectos da teoria evidenciando a importância do formalismo matemático e

aplicando através de exercícios que envolvam os conceitos de forma mais abstrata.

Procuro no curso de Matemática trabalhar detalhes da teoria, o que possibilita o

entendimento da essência do conteúdo. Até o presente momento, nos cursos

ministrados na UNEB, apliquei uma única vez o WinPlot para visualização de

gráficos de funções de duas variáveis”. Observa-se que sua metodologia de ensino

segue uma abordagem tradicional. Este conhece os softwares educativos Maple e

Geogebra, mas nunca utilizou estes em sala de aula nessa instituição. Para o

docente “os alunos são pragmáticos, objetivam os exercícios e avaliações, o que é

natural, isso dificulta a compreensão de um curso mais teórico, devido à resistência

ao estudo da teoria”. Este possui certa dificuldade em aplicar sua metodologia, que

enfatiza essencialmente a teoria, pois seus discentes priorizam a prática de

exercícios preocupados com a avaliação. Na escala de 0 à 10 considerou o nível de

dificuldade dos alunos na aprendizagem dos conteúdos abordados 6 (seis), um valor

considerado significativo.

O professor B, mestre em matemática desde 2004, descreveu a sua

metodologia da seguinte forma: ”Geralmente minhas aulas são expositivas, com

aplicações práticas de cada conteúdo trabalhado, usando quando possível recurso

computacional para uma melhor visualização, de principalmente, elementos

tridimensionais.(...). Para um melhor aprendizado, costumo indicar listas de

exercícios, que são resolvidas pelos alunos e as possíveis dúvidas são tiradas

individualmente, em momentos anteriores e posteriores as aulas, e em aulas

específicas para este fim”. Percebe-se que o docente já incorpora em sua

metodologia novas práticas de ensino, como o uso dos recursos computacionais,

para auxiliar na visualização gráfica. O mesmo ressalta que “(...) o aluno deve saber

identificar elementos gráficos através de suas equações e descrições sem

necessariamente ter que recorrer aos recursos computacionais”. O recurso

computacional que utiliza em sala de aula é o software Winplot, apesar de conhecer

46

outro software educativo, o Maple. Em relação como repercuti a sua metodologia

entre os alunos o mestre relatou que: “Inicialmente não é muito aceita, pois não

costumo ficar resolvendo exercícios em quadro, nas vésperas de provas. Argumento

que a melhor forma de aprendizado é a prática, e com o tempo eles vão percebendo

que realmente isto funciona!”. Observa-se que o mesmo encontra obstáculo ao

aplicar a sua metodologia de ensino no momento das avaliações e, além disso, há

uma valorização na prática de exercícios. Em relação à escala proposta, referente

ao nível de dificuldade dos alunos na aprendizagem dos conteúdos abordados na

pesquisa, considerou o valor 4 (quatro), uma estimativa aceitável.

O professor C tem o título de mestre em matemática adquirido no ano de

1998. Trabalha em sala de aula com “lista de atividade direcionada para que os

discentes construam o conhecimento”. É um docente adepto dos recursos

computacionais no processo de ensino, trabalha, por exemplo, com o software

Maple nas superfícies e animações de curvas. Aponta que “O uso do software é

bastante estimulante para os discentes”. Acerca da dificuldade da aprendizagem dos

conteúdos não quantificou, mas ressalta que na disciplina Cálculo II nunca utilizou o

software Maple.

Na análise do questionário pode-se perceber que esses professores

tentam ou já tentaram aliar os métodos tradicionais as novas tendências de ensino,

como a utilização de softwares educativos.

6.2 Análise da oficina

Outra decisão metodológica da pesquisa foi à realização de uma oficina,

onde foi explicado os conteúdos abordados utilizando o software Maple como

suporte, com os professores que ministram a disciplina de Cálculo no curso

apontado anteriormente. A amostra foi composta de 4 docentes. É interessante

mencionar que todos os participantes conheciam o software. A oficina foi realizada

na própria instituição onde os docentes trabalham, com duração de duas horas. A

análise da oficina foi configurada a partir dos pontos considerados relevantes para o

47

atendimento do objetivo proposto: qual a opinião dos professores acerca do software

Maple como uma nova ferramenta de ensino; a visão dos mesmos acerca da

importância dos alunos terem uma boa base na geometria elementar para

compreensão dos conteúdos explanados; a concepção acerca do software Maple

como uma ferramenta que possibilita a integração de áreas do conhecimento.

Iniciamos a oficina explicando alguns comandos básicos utilizados no

Maple. Em seguida, passamos a explicar como calcular integrais indefinidas e

definidas utilizando o software. Nesse momento, um professor mencionou que este

instrumento era interessante para os alunos verificarem o resultado encontrado na

resolução de uma questão acerca do assunto.

Logo após, passamos a explanar o conteúdo volume de um sólido de

revolução. O material continha uma sequência didática de como abordar o conteúdo

utilizando o software Maple como ferramenta. Em vários momentos, os professores

discutiam entre si, colocando principalmente que este recurso facilitaria a

visualização gráfica, que é de fundamental importância na compreensão da teoria do

conteúdo. No momento das atividades solicitadas os professores participavam

entusiasmados, adaptando, até mesmo, outras situações nas questões propostas.

Em seguida, explicamos como calcular a área de uma superfície de

revolução utilizando o software, lançando um desafio para que os docentes

elaborassem uma sequência didática utilizando o software como uma ferramenta, da

mesma forma que foi feito com a teoria do outro conteúdo. É interessante ressaltar,

que os professores, antes mesmo do término da oficina, solicitaram o material

didático com os conteúdos abordados para futura utilização deste em sala de aula.

Ao término da oficina, foi aberto um espaço para discussão, onde foram

feitos questionamentos no intuito de adquirir subsídios para alcançarmos nosso

objetivo. A seguir, transcrevemos as questões tratadas e as discussões dos

docentes.

Através do que foi exposto, qual a opinião de vocês acerca do Maple

como uma nova ferramenta de ensino?

48

Opinaram que este software é excelente não somente na disciplina de

Cálculo, como também na Álgebra, pois este possibilita uma melhor visualização da

teoria. Mas, apontaram alguns fatores que dificultam a sua utilização: esse software

não é gratuito; a carga horária destinada às disciplinas de Cálculo não é suficiente

para explicar o conteúdo e, além disso, ensinar o aluno a manusear o software.

Apontaram que seria interessante se os alunos tivessem uma disciplina que

ensinasse o uso de softwares matemáticos.

Para vocês, diante do que foi mostrado e de sua experiência em sala de

aula, é importante os alunos terem uma boa base na geometria elementar para

compreensão desses assuntos no Cálculo?

Os professores foram bem objetivos e unânimes, responderam que com

certeza os alunos precisam ter esse conhecimento.

O software Maple possibilita a integração de áreas do conhecimento,

como a Informática, a Geometria e o Cálculo?

Disseram apenas que possibilita.

A análise da oficina nos permite apontar que os professores perceberam

que software Maple é uma ferramenta eficaz no processo de ensino da disciplina

Cálculo Diferencial e Integral, além disso, é um instrumento que permite trabalhar a

disciplina de forma mais contextualizada propiciando a integração de áreas do

conhecimento.

6.3 Discussão dos resultados

A análise desse estudo possibilitou mostrar como está ocorrendo o

processo de ensino, por parte de alguns professores, da disciplina de Cálculo na

universidade citada e, deste modo, podemos compreender o mesmo processo em

relação aos conteúdos volume dos sólidos de revolução e área das superfícies de

revolução, pois estes são assuntos ensinados nesta disciplina.

49

Em relação à metodologia utilizada em sala de aula pode-se perceber que

os professores que responderam o questionário tentam incorporar o uso das novas

tecnologias em suas práticas de ensino, apesar suas estratégias de ensino se

desenvolverem a partir da exposição formal e discursiva dos conteúdos. Os mesmos

quando se utilizaram dos softwares como recurso, foi apenas para facilitar o

processo de visualização gráfica. De acordo com as Orientações para o Ensino

Médio apud Kaiber e Renz (2008), há softwares que provocam o processo que

caracteriza o “pensar matematicamente”, ou seja, os alunos podem fazer

experimentos, testar hipóteses, esboçar conjecturas, criar estratégias para resolução

de problemas, além de possibilitar a construção do conceito pelo próprio educando.

Ao analisarmos a oficina evidenciamos que os professores perceberam a

eficácia do uso de um software educativo no ensino dos conteúdos referentes à

disciplina de Cálculo. Isso foi constatado através do entusiasmo apresentado por

eles no momento da explanação, na realização das atividades e quando foram

questionados acerca da utilização do Maple como ferramenta de ensino, apontando

que este era excelente. Como afirma Mariani (2005, p.1) “o software Maple possui

uma grande potencialidade em relação ao ensino de tópicos de Cálculo, e quando

utilizado torna o processo de aprendizagem mais prazeroso”.

Quando os professores responderam que com certeza os alunos

precisam ter uma boa base na geometria elementar para compreensão dos

conteúdos, podemos afirmar a importância desta disciplina na aprendizagem de

Cálculo. “O estudo da geometria propícia a prontidão para o Cálculo (...)”

(Balomenos et al ,1994, p.257).

Baseando-se no que os professores mencionaram sobre a importância da

Geometria para o Cálculo e da utilização do Maple como um instrumento que

possibilita a integração de áreas do conhecimento, pode-se mostrar que é possível a

elaboração de um projeto interdisciplinar para o ensino desta disciplina.

O que fizemos, aqui, foi introduzir uma discussão que acerca do

processo de ensino da disciplina Cálculo Diferencial e Integral, destacando o uso do

software como uma ferramenta.

50

Conclusão

Baseado na revisão de literatura podemos enfatizar que a dificuldade de

aprendizagem no Cálculo, destacando a compreensão dos conteúdos volume dos

sólidos de revolução e área das superfícies de revolução, pode está associada à

metodologia utilizada pelos professores em sala de aula. Os conhecimentos que

compõe essa disciplina exigem certo nível de abstração. O uso dos softwares

possibilita o aluno a desenvolver a capacidade de criatividade, observação,

questionamentos e reflexão. Afinal, conforme afirma Valente apud Frescki (2008), os

indivíduos têm sua aprendizagem acentuada em ambientes ricos, desafiadores e

estimuladores, o uso de softwares educacionais possibilita a construção desses

espaços. Os professores que participaram da pesquisa demonstraram o interesse na

utilização desses recursos, o que pode vir a melhorar o processo de aprendizagem.

Os softwares educacionais também possibilitam a integração de áreas do

conhecimento. A aprendizagem de certos conceitos de Cálculo dependem de

informações provenientes de outras disciplinas, como por exemplo, a Geometria.

Isso foi perceptível através da revisão de literatura e nos dados coletados na

investigação, onde os professores confirmaram a importância dessa disciplina para o

Cálculo. Deste modo, a elaboração de um estudo interdisciplinar interagindo essas

duas áreas do conhecimento, utilizando softwares como ferramentas, dentre eles o

Maple, pode vir a facilitar a aprendizagem nesta disciplina, salientando o

entendimento dos conteúdos volume dos sólidos de revolução e área das superfícies

de revolução.

Nunca ousaremos afirmar que as dificuldades apresentadas pelos alunos

na aprendizagem dos conteúdos estão relacionadas apenas a metodologia utilizada

pelos docentes no ensino da disciplina de Cálculo. Nem afirmaríamos que é

suficiente a utilização dos softwares educacionais para melhoria da aprendizagem.

Nossa expectativa é que a busca de novos meios de ensino possa vir a facilitar a

construção do conhecimento. Cabe ressaltar que a continuidade dessa pesquisa é

de grande importância, pois se constitui um estudo necessário para que a

aprendizagem dessa disciplina se torne mais eficaz.

51

REFERÊNCIAS

BALOMENOS, Richard H. et al. Geometria: prontidão para o cálculo. In: LINDQUIST, Mary Montgomery; SHULTE, Alberto P, organizadores. Aprendendo e ensinando geometria . Tradução de Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994.

BARBOSA, Geraldo Oliveira. Raciocínio Lógico Formal e Aprendizagem em Cálculo Diferencial e Integral: O Caso da Universid ade Federal do Ceará . Fortaleza, 1994. Disponível em: <http: www.multmeios.ufc.br/arquivos/pc/teses-dissertacoes/dissertacoes-geraldo.pdf>. Acesso em: 23 abr. 2009.

BARBOSA, Marco Antônio. O insucesso no ensino e aprendizagem na disciplina de Cálculo Diferencial e integral . Curitiba, 2004. Disponível em: <http: www.bibliot eca.pucpr.br/tede//tde_busca/arquivo.php?cadArquivo=291>. Acesso em 23 abr 2009.

BATISTA, Silvia Cristina Freitas et al. Avaliar é Preciso: O caso de softwares educacionais para Matemática do Ensino Médio . Rio de Janeiro, 2000. Disponível em: <http: www.sbem.com.br/files/ixenem/comunicaçãoCientifica/Trabalhos/cc70390 258687T.doc>. Acesso em: 18 dez. 2009.

CARLOS, Jairo Gonçalves. Interdisciplinaridade: O que é isso? São Paulo, 2002. Disponível em: <http: www.unb.br/ppgec/dissertacoes/proposicoes/proposicao-jairocarlos.pdf.2002>. Acesso em: 20 maio 2008.

CASTRO, Armando Antonio Monteiro de; MELO, Silvana Faria de. Uma Proposta Pedagógica no Ensino do Cálculo Diferencial e Integ ral I . São Paulo, [2003?]. Disponível em: <http: www.alb.com.br/anais14/sem04/C04003.doc>. Acesso em: 23 abr. 2009.

COUY, Lais; FROTA, Maria Clara Rezende. Representação e Visualização no Estudo de Funções. Minas Gerais, 2007. Disponível em: <http://fernoud.com.br/ manager/noticias/arquivos/lais.pdf>. Acesso em: 23 abr. 2009.

CAZAUX, Regina Célia. A Informática na Educação. In: Curso de didática geral . Editora: Ática. pg 268-280. 1995.

FAZENDA, Ivani. Práticas interdisciplinares na escola . 8º ed. São Paulo: Cortez, 2001.

FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limites, derivação, integração . 6º ed. reve anpl. São Paulo: Peasson Prentice Hall, 2007.

FRESCKI, Franciele Buss. Avaliação da qualidade de softwares educacionais para o ensino de Álgebra . Cascavel, 2008. Disponível em: <http: www. matematica.campus2.uneb.br>. Acesso em: 14 maio 2009.

52

GRAVINA, Maria Alice; SANTAROSA, Lucila Maria. A aprendizagem da matemática em ambientes informatizados. Brasília, 1998. Disponível em: <http: //www.miniweb.com.br/ciencias/artigos/aprendizagem_mat.pdf>. Acesso em: 18 dez. 2008.

GIL, Antônio Carlos. Como Elaborar projetos de pesquisa . 4 ed.São Paulo : Atlas, 2002.

KAIBER, Carmen Teresa; Renz, Sandra Pacheco. Cálculo Diferencial e Integral: Uma abordagem utilizando o software Maple . [S.I.], 2008. Disponível em: <http: www.Sciclo.org.Ve/pdf/pdg/V29n1/art07.pdf>. Acesso em: 23 abr. 2009.

MELO, José Manuel Ribeiro. Conceito de integral: Uma proposta computacional para seu ensino e aprendizagem . São Paulo, 2002. Disponível em: <http:// www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao_jose_manuel_melo.pdf 2002>. Acesso em: 05 maio 2008.

MARIANI, Vanessa. Utilização do software Maple no ensino e aprendizag em de Cálculo . Brasília, [2005?]. Disponível em: <http: www.matematica.ucb.br/sites/000/6 8/00000040.pdf>. Acesso em: 23 abr. 2009.

MORELATTI, M. R. M.. A Abordagem Construcionista no Processo de Ensinar e Aprender Cálculo Diferencial e Integral . São Paulo, [2000?]. Disponível em: <http: Ism.dei.uc.pt/ribie/docfiles/txt2003729173959paper-258.pdf>. Acesso em: 23 abr 2009.

NETO, Hermínio Borges. O uso de interface computacional no ensino de matemática . Ceará, 1992. Disponível em: <http: www.multimeios.ufc.br/arquivos/pc/ pre-print/O_uso_de_interface.pdf>. Acesso em: 05 maio 2008.

PIRES, Célia Maria Carolino. Currículos de Matemática: da organização linear à idéia da rede . São Paulo: FTD, 2000.

SILVA, José Evilázio. Interdisciplinaridade na área de ciências da nature za, matemática e suas tecnologias . [S.I.], [2003?]. Disponível em: < http://mail.falnatal .com.br:8080/revista_nova/a3_v3/artigo_11.pdf>. Acesso em: 06 jun. 2009.

TANEJA, Inder Jeet. Maple V: Uma abordagem computacional no ensino de cálculo . Florianópolis: Ed. Da UFSC, 1997.

VALENTE, José Armando. Diferentes usos do Computador na Educação . São Paulo, 1993. Disponível em:< http://www.nied.unicamp.br/publicacoes/separatas/Se p1.pdf>. Acesso em: 23 abr. 2009.

53

APÊNDICE A

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA – DECT CAMPUS II DISCENTE(S): EDPAULA MOITINHO E LAISE LIMA ORIENTADOR: ADRIANO CATTAI

QUESTIONÁRIO

Este questionário visa fornecer subsídios para o desenvolvimento de uma pesquisa

na área de Cálculo, cuja discussão resultará em um trabalho monográfico.

1. Dados:

1.1 Formação: 1.2 Ano de Formação:

2. Você tem alguma experiência na utilização do software Maple em sala de aula?

Não Sim Não conheço

3. Se a questão anterior for afirmativa, em qual (quais) conteúdo(s) foi utilizado o

software? Se negativo você utiliza algum outro recurso didático além do quadro?

4. Faça uma síntese da metodologia utilizada por você em sala de aula (Não se

esquecer de colocar os recursos e procedimentos utilizados)

5. Numa escala de 0 a 10, qual o nível de dificuldade dos discentes na

aprendizagem dos conteúdos volume e área de sólidos de revolução?

6. Como repercuti, entre os alunos, sua metodologia utilizada, seja ela com

software ou não?

54

APÊNDICE B

Material didático

Apresentação

Neste material vamos apresentar alguns comandos e símbolos básicos

para a utilização do Maple no Cálculo Diferencial e integral, enfatizando os métodos

de integração, o cálculo do volume dos sólidos de revolução e da área de uma

superfície de revolução.

È importante colocar que para executar um comando no software Maple

basta digita-lo, e então pressionar a tecla “ENTER” . Ressaltando que após a

digitação do comando é obrigatório a colocação de “; (sinal de ponto e vírgula)” ou o

“: (sinal de dois pontos)” no final da expressão escrita, para que o comando seja

executado.

Capítulo 1: Integral

1.1 Integral indefinida

Iniciamos esta seção com a computação de integrais indefinidas. O

comando “int” calcula a integral indefinida d⌠⌡

( )f x x , para tanto, digite no Maple

int(f(x),x).

55

No caso em que o comando “int” não consegui produzir o resultado

exato ou desejado da expressão, numa forma adequada, usamos “evalf” . O

comando “Int” escreve a expressão na forma da integral.

Exemplo 1: A integral 3 25 3 5x x x dx+ + −∫ é resolvida, com o Maple,

utilizando os seguintes comandos:

> Int(x^3+5*x^2+3*x-5,x);

d⌠⌡ + + − x3 5x2 3x 5 x

> int(x^3+5*x^2+3*x-5,x);

+ + − 14

x4 53

x3 32

x2 5x

Obs: Pode-se digitar apenas em uma entrada, da seguinte forma:

> Int(x^3+5*x^2+3*x-5,x) = int(x^3+5*x^2+3*x-5,x);

Exemplo 2: Para a integral ∫ senxdxe x , temos:

> Int(exp(x)*sin(x),x) = int(exp(x)*sin(x),x);

1 1sin( ) cos( ) sin( )

2 2x x xe x dx e x e x= − +∫

Exercício 1 : Resolva as seguintes integrais utilizando o Maple.

(a) ( )( )22 31 5 3x x x dx+ + +∫

(b) 2

29x

dxx+∫

(c) ( )8 33 cosx x dx∫

1.2 Integral definida

56

Apresentaremos alguns exemplos de cálculo de integrais definidas. A

integral definida ( )b

a

f x dx∫ é calculada com o comando “int” , fazendo uso da sintaxe

int(f(x),x=a..b) .

Exemplo 3: A integral ∫π

0cos xdx é calculada assim:

> Int(cos(x),x=0..Pi)= int(cos(x),x=0..Pi);

0

cos( ) 0x dxπ

=∫

Exemplo 4: Para a integral1

20 1x

dxx +∫ , digitamos:

> Int(x/(x^2+1),x=0..1) = int(x/(x^2+1),x=0..1);

1

20

1ln(2)

1 2x

dxx

=+∫

> evalf(int(x/(x^2+1),x=0..1));

0.3465735903

Observação : O comando “evalf” é utilizado para obter valores em

aproximação decimal. Por exemplo, evalf(Pi,20) nos dá uma aproximação para π

em vinte casas decimais.

Exercício 2 : Resolva a integral 7

4( 3)x dx− +∫ utilizando o Maple.

1.3 Integração por substituição

Nesta subseção apresentaremos alguns exemplos de cálculo de integrais

pelo método da substituição. Resolveremos, como exemplo, a seguinte integral pelo

método da substituição:

57

( )( )5

sen

cos

xdx

x∫

Inicialmente, necessitamos carregar o pacote student :

> with(student);

Em seguida, denotaremos esta integral por I1, veja:

> I1:=Int(sin(x)/cos(x)^5,x);

:= I1 d⌠

⌡

( )sin x

( )cos x 5 x

> I1a:=changevar(cos(x)=u,I1);

:= I1a d⌠

⌡

−

1

u5 u

> I1b:=value(I1a);

:= I1b1

4u4

> subs(u=cos(x),I1b);

14

1

( )cos x 4

Assim concluímos que ( )( )5 4

sen 1cos 4cos( )

xdx

x x=∫ .

Agora tente resolver a integral 1

2

xedx

x

−

∫ , pelo método da substituição,

utilizando o Maple.

1.4 Integração por partes

58

A fórmula geral de integração por partes é dada por ∫ ∫−= vduuvudv

em que u e v são funções da mesma variável x.

Utilizamos o comando, do pacote student, “intparts” para calcular

integrais por partes. A sintaxe deste comando é intparts(f, u) , em que f é a

expressão da forma Int(u*dv, x) e u o fator do integrando que será diferenciado.

Vejamos, como exemplo, a utilização deste comando com a integral ( )lnx x dx∫ .

Inicialmente, adotaremos ( )lnu x= .

> with(student);

> I1:=Int(sqrt(x)*log(x),x);

:= I1 d⌠⌡ x ( )ln x x

> I2:= intparts(I1,log(x));

− 23

( )ln x x( )/32

d⌠

⌡

2 x3

x

> simplify(value(I2)); 322(3ln( ) 2)

9x x −

Agora, fazendo “u x= ” temos:

> I3:=intparts(I1,sqrt(x));

− x ( ) − x ( )ln x x d⌠

⌡

12

− x ( )ln x x

xx

> simplify(value(I3)); 29

x( )/32

( ) − 3 ( )ln x 2

Observação (Cálculo direto): Podemos calcular diretamente o valor da integral

dando o seguinte comando:

> simplify(value(I1));

59

29

x( )/32

( ) − 3 ( )ln x 2

Exercício 3 : Resolva, por partes, a integral ( )senx x dx⋅∫ . Considere primeiro “u =

sen(x)” e depois “u = x”. Logo após discuta o resultado. Em seguida use o cálculo

direto para achar o valor da integral.

Capítulo 2

Volume de um sólido de revolução

Um sólido de revolução é obtido fazendo uma região plana girar em torno

de uma reta no plano que contém a curva. A reta ao redor da qual a região gira é

chamado de eixo de revolução. Nesta seção vamos abordar como calcular volume

de tais sólidos.

Vamos considerar sólidos de revolução obtidos girando-se, em torno do

eixo x, a região limitada por uma função f contínua, positiva e definida em um

intervalo fechado [a, b]. Por exemplo, vamos considerar a região limitada pela curva 3( ) (2 ) 2f x x= − + pelo eixo-x e pelas retas 1x = e 3x = , como é mostrado na figura

abaixo:

60

Segue os comandos para construção no Maple.

> with(plots): > f:=x->((2-x)^3+2); >regiao := plot( {f(x), [[1,0],[1,f(1)]], [[3,0], [3 ,f(3)]]},

x=1..3, color=red):

> display(regiao,view = [0..4,-0.5..4]);

Girando-se esta região em torno do eixo-x, obtemos o sólido mostrado na

figura abaixo:

Abaixo, comandos do Maple capaz da animação da curva.

> var_teta:=[seq(0.01+i*2*Pi/10,i=0..10)]: > curva:=teta->plot3d([f(x)*sin(u),x,f(x)*cos(u)],x=1..3,u=0..teta,style=hidden,grid=[35,35],color=red): > d:=teta->plot3d([r*sin(v),3,r*cos(v)],r=0..f(3),v=0..teta,color=blue): > env:=seq(display([curva(teta),d(teta)]),teta=var_te ta): > display(env,insequence=true,axes=normal,orientation =[20,60]);

O problema que se coloca é: como calcular o volume desse sólido? Se a

curva ( )y f x= fosse uma reta, teríamos um cilindro do qual conhecemos o volume

através da geometria elementar.

> f:=x->3; := f 3

> curva:=teta->plot3d([f(x)*sin(u),x,f(x)*cos(u)],x=1..3,u=0..2*teta,style=hidden,grid=[35,35],color=red): > d:=teta->plot3d([r*sin(v),3,r*cos(v)],r=0..f(3),v=0..2*teta,color=blue): > env:=seq(display([curva(teta),d(teta)]),teta=var_te ta): > display(env,insequence=true,axes=normal,orientation =[20,60]);

61

Para visualizar copie os comandos a seguir e cole no Maple.

A idéia é então dividir o sólido de revolução em pequenas fatias por

planos perpendiculares ao eixo dos x. Para isso, consideremos uma partição de [a,

b], dada por a=x0<x1<...<xi-1<xi<...<xn=b. Seja ∆xi= xi - xi-1 o comprimento do intervalo

[xi-1, xi].

> a:=1: b:=3: > n:=10: > f:=x->((2-x)^3+2): > curva:=teta->plot3d([f(x)*sin(u),x,f(x)*cos(u)],x=1..3,u=0..teta,style=hidden,grid=[35,35],color=red): > fatia:=seq(spacecurve([f(1+i*(b-a)/n)*sin(v),1+i*(b-a)/n,f(1+i*(b-a)/n)*cos(v)],v=0..2*Pi,color=black,thickness=3),i=0..n-1): > display([curva(2*Pi),fatia],axes=normal,orientation =[20,60]);

Em cada intervalo [xi-1, xi], escolhemos um ponto ci qualquer. Para cada i,

i=1...n, construímos um retângulo, de base ∆xi e altura f(ci). Fazendo girar em torno

do eixo dos x, o sólido de revolução obtido é um cilindro, cujo volume é dado por

( ) 2

i if c xπ ∆ . A soma dos volumes dos n cilindros que representamos por Vn, é

dada por [ ]2

1

( )n

n i ii

V f c xπ=

= ∆∑ , e nos dá uma aproximação do volume do sólido.

Para visualizar copie e cole os comandos a seguir no Maple.

> f:=x->((2-x)^3+2): > curva:=teta->plot3d([f(x)*sin(u),x,f(x)*cos(u)],x=1..3,u=0..teta,style=hidden,grid=[35,35],color=red): > cilindro:=teta->plot3d([f(2.5)*sin(u),x,f(2.5)*cos(u)],x=2.5..2.8,u=0..teta,style=wireframe,color=black): > d:=teta->plot3d([r*sin(v),2.8,r*cos(v)],r=0..f(2.5),v=0..teta,color=green): > env:=seq(display([curva(teta),cilindro(teta),d(teta)]),teta=var_teta): > display(env,insequence=true,axes=normal,orientation =[20,60]);

62

Podemos observar que a medida que n cresce muito e cada ∆xi, i=1,..,n,

torna-se muito pequeno, a soma dos n cilindros aproxima-se do que intuitivamente

entendemos como volume do sólido.

> ###WARNING:semantics of type 'string' have changed > cilin:=n->seq(plot3d([f(1+j*(b-a)/n)*cos(u),x,f(1+j*(b-a)/n)*sin(u)],u=0..2*Pi,x=1+j*(b-a)/n..1+(j+1)* (b-a)/n,style=PATCHCONTOUR,grid=[35,35],title=convert(evalf(sum(Pi*(f(a+k*(b-a)/n))^2*(b-a)/n,k=0..n-1)),string)),j=0..n-1): > cilindros:=seq(display([curva(2*Pi),cilin(m)]),m=1. 5): > display(cilindros,insequence=true,axes=normal,orientation=[20,60]);

Assim, temos que o volume do sólido é ∑=→∆

∆=n

iiix

xcfvi 1

2

0)]([limπ .Observa-

se que a soma que aparece em V é uma soma de Riemann da função [f(x)]2 . Como

f é continua temos que o volume do sólido é:

7

58)2)2(()]([

3

1

232 πππ ∫ ∫ =+−==b

a

dxxdxxfv

Generalizando o resultado

O volume de um sólido de revolução obtido por revolução da região

limitada pelo gráfico de ( )y f x= , x a= , x b= , e o eixo- x em torno do eixo-x é dado

por:

63

= V π d⌠⌡

a

b

( )f x 2 x

A fórmula para o cálculo de volume de um sólido de revolução em torno

do eixo-x utilizando o Maple é dada por:

> V=Pi*Int(f(x)^2,x=a..b);

O volume de um sólido de revolução obtido por revolução da região

limitada pelo gráfico de ( )x g y= , y c= , y d= , e o eixo-y em torno do eixo-y é dado

por:

= V π d⌠⌡

c

d

( )g y 2 y

A fórmula para o cálculo de volume de um sólido de revolução em torno

do eixo-y utilizando o Maple é dada por:

> V=Pi*Int(g(y)^2,y=c..d);

Podemos obter a figura tridimensional de um sólido de revolução da

função ( )y f x= , a ≤ x ≤ b em torno do eixo-x utilizando o comando “plot3d”.

> plot3d([x,f(x)*cos(theta),f(x)*sin(theta)],x=a..b,t heta=0..2*Pi);

Quando a revolução é em torno do eixo-y da função ( )y f x= , a ≤ x ≤ b, o

comando utilizado é o seguinte:

> plot3d([x*cos(theta),x*sin(theta), f(x)],x=a..b,the ta=0..2*Pi);

Exemplo 5: Encontrar o volume do sólido gerado pela rotação em torno

do eixo dos x, da região limitada pela curva y= 32 −+ xx , o eixo-x e as retas x=-3 e

x=3.

Resolução;

> f:=(x)->x^2+x-3;

64

:= f → x + − x2 x 3

> plot(f(x),x=-3..3);

A seguir construímos o gráfico de revolução em torno do eixo-x dando o

seguinte comando:

> plot3d([x,f(x)*cos(theta),f(x)*sin(theta)],x=-3..3, theta=0..2*Pi);

A seguir, calculamos o volume do gráfico obtido acima dando o seguinte

comando:

> Pi*Int((x^2+x-3)^2,x=-3..3)=Pi*int((x^2+x-3)^2,x=-3 ..3);

= π d⌠

⌡

-3

3

( ) + − x2 x 32

x306π

5

Exercício 4 : Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo-x da

região entre o gráfico da função y=sen(x) e o eixo-x, de 0 a 2π .

65

Capítulo 3

Área de uma superfície de revolução

Quando uma curva plana gira em torno de uma reta no plano, obtemos

uma superfície de revolução. Nesta seção abordaremos como calcular a área desta

superfície.

A área de uma superfície de revolução obtida por revolução da região

limitada pelo gráfico de ( )y f x= , x a= , x b= , e o eixo-x em torno do eixo-x é dada

por:

= A 2π d⌠

⌡

a

b

( )f x + 1

d

dx

( )f x2

x

A fórmula para o cálculo de área de uma superfície de revolução em torno

do eixo x utilizando o software Maple é dada por

> A=2*Pi*Int(f(x)*sqrt(1+(Diff(f(x),x))^2),x=a..b);

A fórmula para o cálculo de área de uma superfície de revolução obtida

por revolução da região limitada pelo gráfico de ( )x g y= , y c= , y d= , e o eixo-y em

torno do eixo-y é dada por:

= A 2π d⌠

⌡

c

d

( )g y + 1

d

dy

( )g y2

y

A fórmula para o cálculo de área de uma superfície de revolução em torno

do eixo-y utilizando o software Maple é dada por

> A=2*Pi*Int(g(y)*sqrt(1+(Diff(g(y),y))^2),y=c..d);

66

Exemplo 6: Encontrar a área da superfície gerada pela rotação do arco

da curva y= 216 x− , com -3 ≤ x ≤ 3 em torno do eixo-x.

Resolução:

Inicialmente definimos a função y= 216 x− , depois traçamos seu gráfico

e a superfície de revolução, e finalmente calculamos sua área. Veja os comandos a

seguir:

> f:=(x)->sqrt (16-x^2); := f → x − 16 x2

> plot(f(x),x=-3..3);

O comando a seguir constrói o gráfico da função fazendo a revolução em

torno do eixo-x.

> plot3d([x,f(x)*cos(theta),f(x)*sin(theta)],x=-3..3, theta=0..2*Pi);

Os comandos a seguir dão o cálculo da área superfície.

> D(f)(x);

−x

− 16 x2

67

Obs: O comando D serve para calcular o valor da derivada da função

> 2*Pi*Int(sqrt(16-x^2)*sqrt(1+(D(f)(x))^2),x=-3..3);

2π d⌠

⌡

-3

3

− 16 x2 + 1x2

− 16 x2 x

> evalf(2*Pi*Int(sqrt(16-x^2)*sqrt(1+(D(f)(x))^2),x=- 3..3));

150.7964474

Exercício 5 : Encontre a área da superfície gerada pela rotação do arco da curva

x y= , com 1 ≤ y ≤ 4 em torno do eixo-y.

Referências

FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limites, derivação, integração . 6 ed. reve anpl. São Paulo: Peasson Prentice Hall, 2007.

TANEJA, Inder Jeet. Maple V: Uma abordagem computacional no ensino de cálculo . Florianópolis: Ed. Da UFSC, 1997.

BIANCHINI, Waldecir; SANTOS, Angela Rocha dos. Aplicações da Integral Definida: Volume dos Sólidos de Revolução. In: Aprendendo Cálculo com o Maple . Disponível em: wwww.dmm.im.ufr.br/projeto/calculo1/cap3-51.html. Acesso em: 27 abr. 2009.

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