Estudandocaospormeiodemapase...

Universidade Estadual de MaringCentro de Cincias ExatasDepartamento de Fsica

Estudando caos por meio de mapas egrficos de recorrncia

Acadmico: Raul de Palma Aristides

Orientador: Prof. Dr. Breno Ferraz de Oliveira

Maring 2017

Universidade Estadual de MaringCentro de Cincias ExatasDepartamento de Fsica

Raul de Palma Aristides

Estudando caos por meio de mapas egrficos de recorrncia

Trabalho de Concluso de Curso apresentado aoDepartamento de Fsica da Universidade Esta-dual de Maring, realizado sob orientao daProf. Dr. Breno Ferraz de Oliveira como requi-sito parcial para a obteno do ttulo de Bacharelem Fsica.

Banca Examinadora:Prof. Dr. Breno Ferraz de Oliveira (Orientador)Profa. Dra. Hatsumi MukaiProf. Dr. Haroldo Valentin Ribeiro

Maring2017

Sumrio

Resumo ii

Introduo 1

1 Mapas unidimensionais 31.1 rbitas e Pontos fixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Cobwebs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Mapa Logstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Duplicao de perodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Expoente de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.3 Janela de periodicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Pndulo forado e amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Grficos de Recorrncia 182.1 Anlise Quantitativa de Recorrncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1 Grficos de recorrncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.2 O parmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.3 Estruturas nos grficos de recorrncia . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.4 Medidas de complexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Aplicao ao mapa logstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1 Parmetro r = 3, 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2 Parmetro r = 3, 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.3 Parmetro r = 3, 830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.4 Parmetro r = 4, 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.5 Medidas de complexidade do mapa logstico . . . . . . . . . . . . . 29

Concluses 30

A Diagrama de bifurcaes 31

Referncias Bibliogrficas 32

i

Resumo

Sistemas caticos podem evoluir de forma irregular e imprevisvel. Alm disso, apre-sentam forte dependncia nas condies iniciais, isto , pequenas mudanas nas condiesiniciais implicam em resultados completamente diferentes a longo prazo. Neste trabalhode concluso de curso, primeiramente, introduzimos os mapas unidimensionais. Que soos sistemas dinmicos mais simples que apresentam comportamento catico, e so apre-sentados os conceitos de rbitas e pontos fixos. Alm disso, estudamos o mapa logstico,que para certos valores do parmetro r, apresenta comportamento catico. Em um se-gundo momento, expe-se o estudo sobre os grficos de recorrncia, uma ferramenta deanlise de sistemas dinmicos que se baseia na recorrncia nestes sistemas. Em seguida,aplicamos a anlise quantitativa de recorrncia ao mapa logstico.

ii

Introduo

Jules Henri Poincar (1854-1912) iniciou no final do sculo XIX o que hoje conhecemoscomo Teoria do Caos [1]. Na poca, Poincar estudava o problema das rbitas de trs cor-pos celestiais submetidos a atrao gravitacional mtua. Considerando o comportamentodas rbitas a partir de condies iniciais, Poincar mostrou que as rbitas se tornavamcomplexas e irregulares, comportamento hoje conhecido como catico. Por seu trabalho,Poincar ganhou um prmio do rei Oscar II, tal prmio seria entregue para quem provassematematicamente a estabilidade do Sistema Solar [2].

Aps o trabalho de Poincar, os trabalhos de George. D. Birkhoff (1884-1944), An-drei Kolmogorov (1903-1987), Vladimr Arnold (1937-2010) e Jurgen Moser (1928-1999)contribuiram muito para o desenvolvimento da teoria de sistemas dinmicos [3]. O sur-gimento dos computadores permitiu um grande avano na anlise de sistemas dinmicosno-lineares [4], em especial Edward Lorenz (1917-2008) mostrou que um conjunto deequaes diferenciais no-lineares apresentava o mesmo comportamento cotico observadopor Poincar [5].

Na poca, a comunidade de meteorologistas desenvolvia modelos lineares de previso.Lorenz estudava um modelo meteorolgico de 12 equaes diferenciais, com o objetivo dedemonstrar que algum fator, ainda desconhecido, limitava o sucesso dos modelos lineares[4]. Ao longo de seu trabalho, Lorenz descobriu o que hoje chamado de dependncianas condies iniciais, ou seja, pequenas diferenas nas condies iniciaIs causam grandesdiferenas conforme o sistema evolui. No caso meteorolgico, pequenos erros nas medidasda atmosfera seriam ampliadOs rapidamente, levando a previses meteorolgicas erradas.Alm disso, por meio de um modelo simplificado, de 3 equaes diferenciaIs, Lorenzobservou um comportamento catico [3].

A dcada de 70 foi marcada por um grande fluxo de trabalhos na era da dinmicano-linear e caos. Em especial, podemos citar o trabalho do ecologista Robert May, quedescobriu um comportamento catico em processos iterativos presentes na biologia, e otrabalho do fsico-matemtico Mitchell Feigenbaum, que observou, apesar do comporta-mento complexo do caos, a existncia de padres na maneira com que certos sistemas setornam caticos, esse trabalho estabeleceu a base entre o caos e transies de fase. Hoje,sabemos que o comportamento catico pode ser observado em diversas reas da cincias:o movimento de Pluto, circuitos eletrnicos e reaes qumicas so exemplos de sistemasque apresentam tal comportamento.

No presente trabalho, estudaremos mapas unidimensionais, tais mapas so os sistemasmais simples capazes de apresentar comportamento catico [1]. Podemos definir um mapacomo uma funo ou regra matemtica que possui o seu domnio e imagem no mesmoespao. De forma genrica, podemos escrever a equao de recorrncia:

xn+1 = f(xn) , (1)

1

onde xn representa o estado da varivel x e f(xn) a funo que governa a evoluo dosistema. A rbita do mapa o conjunto de pontos x0, x1, x2, ..., xn, onde x0 o valorinicial da rbita. O estudo de mapas se faz importante uma vez que a abordagem discretatorna a anlise mais simples sem perder as propriedades do comportamento catico.

Tambm estudaremos grficos de recorrncia, que so ferramentas de anlise de siste-mas dinmicos, inclusive no-lineares e caticos. Jean-Pierre Eckmann, fsico-matemticosuio, introduziu os grficos de recorrncia em 1987, para visualizar recorrncias em sis-temas dinmicos, uma vez que essas so uma propriedade de sistemas no-lineares e ca-ticos [6]. A recorrncia de estados, no sentido que estados so prximos no espao de faseaps certo tempo, surge em processos naturais e foi introduzida por Poincar em 1890.O estudo da recorrncia sofreu um grande desenvolvimento com os avanos tecnolgicos,uma vez que esse depende em grande parte de mtodos numricos [6].

Optamos por estruturar este trabalho em dois captulos, apresentando os mapas uni-dimensionais e o grficos de recorrncia da seguinte forma:

No Captulo 1 abordamos os mapas unidimensionais. Na seo 1.1 introduzimos osconceitos de rbitas e pontos fixos por meios de exemplos. Alm disso, discutimos a es-tabilidade dos pontos fixos em um mapa unidimensional e como determinar os mesmos,por meio algbricos e grficos, como pelo uso de cobwebs. Cobwebs so ferramentas gr-ficas capazes de determinar os pontos fixos de um mapa unidimensional. Na seo 1.2apresentamos o mapa logstico, em um primeiro momento discutimos sobre a estabilidadedos pontos fixos do mapa logstico e em seguida apresentamos o diagrama de bifurca-es do mapa, em tal diagrama possvel visualzar a dinmica do mapa em relao aoparmetro r. Ainda na seo 1.2, discutimos o mecanismo de duplicao de perodo,responsvel pelo surgimento do comportamento catico no mapa logstico [5], as janelasperidicas presentes no diagrama de bifurcaes do mapa e apresentamos o expoente deLyapunov, tal expoente utilizado para determinar a sensibilidade s condies iniciais,caracterstica de sistemas dinmicos caticos. Na seo 1.3 apresentamos um exemplo deaplicao do mapa logstico, onde vemos que a dinmica de um pndulo forado e amor-tecido pode apresentar caractersticas vistas no mapa logstico para determinados valoresdos parmetros envolvidos em sua equao de movimento.

O Captulo 2 foi dedicado a apresentao dos estudos dos grficos de recorrncia, umaferramenta numrica que explora o fato de sistemas dinmicos apresentarem recorrncia.Na seo 2.1 introduzimos os grficos de recorrncia e em seguida discutimos a importnciado parmetro . Esse parmetro, tambm conhecido por threshold responsvel pelaqualidade do grfico de recorrncia, uma vez que as estruturas nos grficos podem variarpara diferentes valores de [6]. Alm disso, discutimos as estruturas formadas nos grficosde recorrncia e apresentamos algumas medidas de complexidade. Por meio das medidasde complexidade possvel analisar quantitativamente as estruturas formadas nos grficosde recorrncia, permitindo identificar estados laminares e transies de estado [7]. Naseo 2.2, aplicamos a anlise quantitativa de recorrncia ao mapa logstico e discutimosos resultados comparando-os com os obtidos no captulo anterior.

A ltima parte do trabalho reservada s concluses.

2

Captulo 1

Mapas unidimensionais

Mapas unidimensionais so os sistemas dinmicos mais simples capazes de apresentarcomportamento catico [1]. Um sistema dinmico consiste em um conjunto de possveisestados, que juntamente com uma regra, determina o presente estado em termos dosestados anteriores [4]. Se a regra aplicada de forma discreta, chamamos o sistemadiscreto de mapa, que pode ser escrito como

xn+1 = f(xn) , (1.1)

sendo que xn+1 representa o prximo estado, xn o estado atual e f(xn) a regra, oufuno que governa a evoluo do sistema. Devido a sua simplicidade, os mapas oferecemdiversas vantagens em relao a equaes diferenciais, a partir deles podemos estudar asensibilidade s condies iniciais, evoluo de informao e outras propriedades que aju-dam a compreenso do comportamento catico [8]. Ao longo deste captulo, estudaremosmapas unidimensionais. Analisaremos as propriedades dos mapas que so encontradasem sistemas caticos e ao final do captulo apresentamos as aplicaes estudadas sobre dinmica de um pndulo.

1.1 rbitas e Pontos fixosMapas envolvem iterao, ou seja, calculamos o valor de uma funo f(xn) para um

dado xn, e ento usamos o resultado para calcular novamente f(xn). Por exemplo, seapertarmos o boto cos de uma calculadora para um dado x0 repetidamente, estaremosexecutando uma iterao, que pode ser escrita como o seguinte mapa

xn+1 = cos(xn). (1.2)

que um exemplo de mapa unidimensional, pois os pontos xn pertencem ao espao uni-dimensional dos nmeros reais. A rbita desse mapa a sequncia x0, f(x0),...,fn(x0).Podemos representar a rbita do mapa (1.1) graficamente, se tomarmos x0 = 0, 2, temoso resultado da Figura 1.1

3

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 5 10 15 20

cos(

x n)

n

cos(xn)

Figura 1.1: Representao da rbita do mapa xn = cos(xn) para x0 = 0, 2.

Na Figura 1.1, os resultados de cada iterao so representados pelos pontos vermelhos,enquanto a linha que os conecta apenas ilustrativa. Vemos que aps doze iteraes, osvalores tendem assintticamente para um valor fixo ao redor de 0, 7. Esse comportamentopode ser explicado se introduzirmos o conceito de ponto fixo. Um ponto fixo xn = xsatisfaz a seguinte propriedade:

f(x) = x. (1.3)Logo, se o valor de entrada da iterao for um ponto fixo x ento a sada tambm ser oponto fixo x. Podemos determinar o ponto fixo de um mapa analiticamente e determinara estabilidade do mesmo. Para isso, vamos considerar uma rbita prxima a x dada por

xn = x + n , (1.4)sendo n a diferena infinitesimal entre um ponto da rbita xn e o ponto fixo x. Podemosescrever

xn+1 = x + n+1 = f(x + n) (1.5)e expandir o termo f(x+n) em srie de Taylor, uma vez que o termo n muito pequeno,levando a

f(x + n) f(x) + f (x)n +O(2n) . (1.6)Substituindo esse resultado na equao (1.5), temos

x + n+1 f(x) + f (x)n +O(2n) . (1.7)Mas, pela equao (1.3), temos que f(x) = x, ento,

n+1 f (x)n +O(2n) . (1.8)Negligenciando os termos quadrticos da expanso, obtemos o mapa que descreve comoa diferena evolui a cada iterao,

n+1 = f (x)n . (1.9)Uma vez que 0 pode ser escolhido, o que determina se a distncia aumenta ou diminuiaps n iteraes o autovalor, no caso o fator f (x), que chamaremos de . Sendo assim,se || < 1, ento n 0 quando n e o ponto fixo x linearmente estvel. Se|| > 1, ento n quando n e o ponto x linearmente instvel. Aindaque essas concluses sejam baseados no mapa linear (1.9), elas so vlidas para mapasno-lineares [3]. Porm, no podemos concluir nada sobre o caso || = 1, nesse caso ostermos quadrticos determinam a estabilidade do ponto fixo.

4

1.1.1 CobwebsPodemos analisar os pontos fixos de ummapa utilizando a ferramenta grfica conhecida

como cobweb. Uma cobweb uma representao grfica da rbita de ummapa, que consisteem um grfico da funo f do mapa com a linha diagonal y = x [4]. Os pontos fixos domapa em questo esto localizados nas interseces de f com a linha y = x. Para ilustraro mecanismo da cobweb, vamos considerar o mapa xn+1 = 2xn, como ilustrado na Figura1.2.

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6

x n+1

xn

2(xn)

Figura 1.2: Cobweb correspondente ao mapa xn+1 = 2xn para x0 = 0, 3.

Na Figura 1.2, dada uma condio inicial x0, foi traada uma linha vertical at quemesma tocasse o grfico de f (linha em vermelho), o valor de y nessa altura igual ovalor de x1. O prximo passo foi traar uma linha horizontal da altura x1 at a linhay = x, e ento traamos uma linha vertical a partir desse ponto at a o grfico de f paraobter x2. Esse processo pode ser repetetido n vezes para obter n pontos da rbita deum mapa. Vimos anteriormente na Figura 1.1 que o mapa xn+1 = cos(xn) tende a umvalor prximo de 0, 7 quando x . Se fizermos essa operao em uma calculadora,repetindo a operao cos, obteremos o valor 0, 739.... Esse nmero a soluo da equaotranscedental x = cos(x) [3] e vem a ser o ponto fixo do mapa (1.2), como podemos vercom clareza na cobweb do mapa na Figura 1.3:

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1

x n+1

xn

cos(x)

Figura 1.3: Cobweb correspondente ao mapa xn+1 = cos(xn) para x0 = 0, 3.

5

1.2 Mapa LogsticoO estudo do mapa logstico foi proposto pelo fsico terico e ecologista Robert May, em

1976, com o objetivo de mostrar que at mesmo mapas no-lineares simples so capazesde apresentar uma dinmica complexa [3]. O mapa logstico dado pela equao

xn+1 = rxn(1 xn) , (1.10)

que anloga a equao diferencial que descreve o crescimento logstico, proposta por P.F. Verhulst em 1845 [8]

d

dtx = rx(1 x) . (1.11)

O mapa logstico (1.10) pode ser interpretado como um modelo ecolgico das variaes deuma populao de insetos. Assumindo condies constantes todos os anos, como clima,predao, etc., podemos dizer que a populao no ano n determinar a populao no anon+ 1 [1]. Na anlise do mapa logstico, o valor de x fica limitado ao intervalo 0 x 1quando parmetro r est no intervalo 0 r 4. A seguir, temos o grfico do mapalogstico (1.10) para algumas possibilidades do parmetro r.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

r>1

r=1

r

e ento, como definido na seo anterior, o ponto x = 0 estvel quando r < 1 e instvelquando r > 1. Para o ponto fixo x = 1 1

r, temos

= r 2r(1 1r

) = 2 r , (1.16)

a estabilidade desse ponto limitada ao intervalo 1 < 2 r < 1, ou seja, 1 < r < 3.Para qualquer r > 3 o ponto instvel. Vamos observar como as rbitas do mapa diferempara diferentes valores de r na Figura 1.5.

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 5 10 15 20

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1 0 5 10 15 20 25 30 35 40

x n

n

r=2,8 r=3,58

Figura 1.5: rbitas do mapa logstico para diferentes valores de r. Os eixos inferior eesquerdo so referentes ao grfico de r = 2, 8, enquanto os eixos superior e direito soreferentes ao grfico de r = 3, 58.

Na Figura 1.5 vemos que as rbitas so completamente diferentes para diferentesvalores de r. Para o caso r = 2, 8 (curva azul na Figura 1.5) vemos que o mapa secomporta de maneira esperada, e aps 20 iteraes possvel identificar que o sistemase torna estvel. Porm, quando r = 3, 58 (curva vermelha na Figura 1.5) o mapa noapresenta equilbrio e assume diversos valores ao longo das iteraes. Dessa forma, nopodemos dizer nada sobre xn+1 se no conhecermos xn. Podemos ainda ver como o mapalogstico evolui para diferentes valores de r por meio de cobwebs, como nas figuras 1.6, 1.7e 1.8.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

r=2,8

x n+1

xn

Figura 1.6: Cobweb do mapa logstico para r = 2, 8 e x0 = 0, 3.

7

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

r=3,4

x n+1

xn


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

r=3,58

x n+1

xn


Na Figura 1.6 vemos que a cobweb evolui para o ponto fixo, como esperado. Parar = 3, 4, vemos na Figura 1.7 a formao de um retngulo na cobweb, o que indica umcomportamento peridico. Finalmente, na Figura 1.8 vemos que a cobweb se comporta demaneira diferente e ocupa grande parte do grfico, isso porque para r = 3, 58 o sistemaassume diversos valores, como visto na Figura 1.5. Para melhor analisarmos como o mapalogstico se comporta conforme o parmetro r variado, foi confeccionado um diagramade bifurcaes do mapa, como visto na Figura 1.9:

8

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4

x n

r

Figura 1.9: Diagrama de bifurcaes do mapa logstico.

O diagrama de bifurcaes na Figura 1.9 foi confeccionado a partir de dados geradospor um programa escrito em linguagem C++ disponvel no Apndice A. Nesse programa,o parmetro r foi variado de r = 2, 8 at r = 4 , primeiramente, para cada valor de r,iteramos o mapa logstico 1000 vezes, a fim de eliminar qualquer comportamento transi-ente. Aps isso, iteramos o mapa mais 1000 vezes salvando os resultados de cada iterao.Vemos na Figura 1.6, que de 2, 8 at 3, o sistema tende ao ponto fixo x = 1 1

r, como

visto anteriormente. No ponto r = 3 temos uma bifurcao do tipo pitchfork, que li-teralmente quer dizer forquilha, uma vez que graficamente essa bifurcao lembra umaforquilha. Nesse ponto o mapa passa a oscilar em dois valores, ou seja, ocorre uma du-plicao de perodo. Uma caracterstica do diagrama de bifurcaes do mapa logstico, seu comportamento fractal, isso , vemos uma miniatura do diagrama se ampliarmos umadeterminada regio [3], como mostrado na sequncia das Figuras 1.10-1.12.

9

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4

x n

n


0,8

0,82

0,84

0,86

0,88

0,9

3,4 3,45 3,5 3,55 3,6

x n

n


10

0,875

0,88

0,885

0,89

0,895

3,53 3,54 3,55 3,56 3,57

x n

r


Na Figura 1.10 temos o diagrama de bifurcaes do mapa logstico, vemos a reaampliada marcada pelo retngulo vermelho, o resultado visto na Figura 1.11, ondevemos uma srie de bifurcaes semelhantes da Figura 1.10. Ainda, o resultado daampliao na Figura 1.11 visto na Figura 1.12, onde vemos o mesmo comportamentodas figuras anteriores.

1.2.1 Duplicao de perodoPodemos observar na Figura 1.9 que no ponto r = 3 ocorre uma bifurcao pitchfork,

e ento o mapa passa a oscilar entre dois valores a cada iterao [8], por exemplo, parar = 3, 2, j para r = 3, 5 o mapa oscila entre quatro valores. Vemos na Figura 1.13 essecomportamento oscilatrio.

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25 30

x n

n

r=3,2r=3,5

Figura 1.13: Representaes de rbitas do mapa logstico para r = 3, 2 (vermelho) er = 3, 5 (azul).

Para esse caso, dizemos que o mapa logstico possui periodicidade 2 quando r = 3, 2.

11

Podemos observar ainda, que quando r = 3, 44, outras duas bifurcaes pitchfork ocorrem,e ento o mapa assume uma periodicidade 4, variando entre 4 valores diferentes, comopodemos ver na Figura 1.9 com r = 3, 5. Note que conforme r cresce, novas bifurcaessurgem at que para r = 3, 569946... o mapa se torna catico [3], esse ponto tambm chamado de ponto de bifurcao infinito. Esse efeito conhecido como period-doubling e um mecanismo que leva um sistema dinmico ao caos. Ainda, esse mecanismo pode sercaracterizado por constantes universais que no dependem de certa forma do mapa emquesto [8]. Uma delas a constante de Feigenbaum, que recebe esse nome em homenagem Mitchell Feigenbaum, um fsico-matemtico que a descobriu em 1975 [9]. A constante deFeigenbaum uma propriedade universal de period-doubling em mapas com um mximoquadrtico, como o mapa logstico. Se a primeira bifurcao ocorre em r1, a segunda emr2 e assim por diante, a constante de Feigenbaum escrita como

limk

rk rk1rk+1 rk

= = 4, 66920160910. (1.17)

Na Figura 1.14 apresenta-se uma representao grfica da constante de Feigenbaum:

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4

rn - rn-1rn+1 - rn

Figura 1.14: A constante de Feigeinbaum a razo entre os espaos entre as bifurcaesde um mapa.

1.2.2 Expoente de LyapunovEm 1892, Aleksandr Lyapunov (1857-1918), um grande matemtico russo, defendeu

sua tese de doutorado The general problem of the stability of motion, dentre vrios con-ceitos desenvolvidos por ele em sua tese, estava o nmero caracterstico de uma funo notempo, hoje conhecido por expoente de Lyapunov. O expoente de Lyapunov utilizadopara caracterizar a evoluo de um sistema dinmico, em especial, a sensibilidade as con-dies iniciais, que uma das caractersticas do comportamento catico [8]. Considereuma condio inicial x0 e outra muito prxima, separada por uma distncia infinitesimal0, x0 + 0. Se um sistema, no presente caso um mapa fn(x), evolui a partir dessas con-dies iniciais, vemos que a distncia entre as duas rbitas aps n iteraes dada pela

12

seguinte expresso [3],|n| |0|en , (1.18)

sendo o expoente de Lyapunov. Podemos ainda, escrever n como

|n| = fn(x0 + 0) fn(x0) (1.19)

assim, igualando as equaes (1.18) e (1.19), temos

|0|en fn(x0 + 0) fn(x0) . (1.20)

Aplicando a funo ln na equao (1.20) e resolvendo para , temos

1n

lnfn(x0 + 0) fn(x0)0

. (1.21)Como consideramos a distncia 0 infinitesimal, o logaritmando da equao (1.21) podeser escrito como a derivada do mapa fn(x), calculada no ponto x0

1n

ln ddxfn(x0)

. (1.22)Utilizando a regra da cadeia, podemos escrever a derivada de fn(x0) como

d

dxfn(x0) =

n1i=0

f (xi) , (1.23)

uma vez que fn a nsima iterao do mapa em questo, ou seja, fn(x0) = f(f(f(...(f(x0)))).Substituindo a equao (1.23) na equao (1.21), temos

= 1n

ln |n1i=0

f (xi)| . (1.24)

Lembrando da propriedade logartmica

log(a.b) = log(a) + log(b) , (1.25)

podemos reescrever o logaritmo na equao (1.24) como

= 1n

n1i=0

ln |f (xi)| . (1.26)

O expoente de Lyapunov fica definido quando tomamos o limite de n [3],

= limn

1n

( n1i=0

ln |f (xi)|). (1.27)

Portanto, o expoente de Lyapunov nos mostra como a distncia entre os pontos das rbitasevoluem. Temos trs possveis valores significativos para o expoente de Lyapunov:

< 0, o ponto em questo fixo ou peridico;

= 0, ocorre uma bifurcao no ponto;

13

> 0, o ponto instvel e catico.

Na Figura 1.15, temos uma representao do expoente de Lyapunov para o mapa logstico:

-1

-0,5

0

0,5

1

2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4

r

LogsticoLyapunov

Figura 1.15: Diagrama de bifurcaes e Expoente de Lyapunov do mapa logstico.

No grfico da Figura 1.15, vemos como o expoente de Lyapunov varia em funo doparmetro r, juntamente com o diagrama de bifurcaes do mapa logstico. Os dadospara o grfico do expoente de Lyapunov foram obtidos a partir de um programa escritoem linguagem C++. Vemos na Figura 1.15 que os valores do expoente de Lyapunov estode acordo com a anlise feita anteriormente. Em especial, podemos verificar que a regioonde r > 3, 5969946..., de comportamento instvel, tem carter catico. Porm, vemosque a regio catica interrompida por janelas de periodicidade, em tais regies vemosque o expoente de Lyapunov se torna negativo.

1.2.3 Janela de periodicidadeComo visto, as regies de comportamento catico so interrompidas por janelas de

periodicidade no diagrama de bifurcaes do mapa logstico. A maior delas ocorre nasproximidades de r 3, 83, como vemos na Figura 1.16.

14

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

3,81 3,815 3,82 3,825 3,83 3,835 3,84 3,845 3,85 3,855 3,86

x n

r

Figura 1.16: Janela peridica do mapa logstico ao redor de r = 3, 83.

O mecanismo responsvel pelo surgimento dessa janela peridica est ligado ao mapada terceira iterao. Se f(x) = rx(1x) , ento o mapa logstico dado por xn+1 = f(xn),e xn+2 = f(f(xn)), ou xn+2 = f 2(xn), e de forma anloga xn+3 = f 3(x). Como vistoanteriormente, em uma rbita de perodo 3, um ponto se repete a cada trs iteraes, epor definio, os pontos que satisfazem x = f 3(x) so pontos fixos do mapa da terceiraiterao [3]. Para encontrarmos tais pontos fixos, podemos utilizar o grfico de f 3(x),uma vez que no podemos encontrar as razes de f 3(x) explicitamente.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

f3(x

)

x

f3(x)

Figura 1.17: Grfico de f 3(x) para r = 3, 835.

As interseces entre f 3(x) e reta f(x) = x apresentadas na Figura 1.17 correspondema solues de f 3(x) = x, mas apenas seis so soluo de perodo 3, estas so marcadaspor pontos na Figura 1.17. Os pontos fechados correspondem perodos estveis, ou

15

seja, rbitas que oscilam em trs valores. A transio que ocorre no comeo da janelavista na Figura 1.16 devida a esses trs pontos, vemos que o diagrama de bifurcaessai de uma regio catica para uma de periodicidade definida, esse tipo de transio chamada de tangent bifurcation, ou seja, bifurcao tangente. J os pontos abertos sopontos instveis. Note que a inclinao de f 3(x) negativa nos pontos estveis e positivanos pontos instveis. O sistema permanece no perodo 3 at o parmetro r atingir umvalor prximo de 3, 842, nesse ponto vemos o mecanismo de duplicao de perodo, quecontinua at o surgimento de bandas caticas em r 3, 857. A seguir, apresentaremosuma aplicao desta teoria ao estudo do pndulo forado e amortecido.

1.3 Pndulo forado e amortecidoA no-linearidade embora no seja garantia de caos, essencia para que haja. Por

exemplo, a equao de movimento para o pndulo simples, de massa m e comprimento L, dada por

mL2 = mgL sen() (1.28)em que o ngulo que denota a amplitude do movimento. Note que no consideramosa aproximao sen() e mesmo para grandes amplitudes o pndulo simples nuncaapresenta comportamento catico [10]. Agora, se adicionarmos a fora de amortecimentobv = bL e uma fora de impulso F (t), temos a equao de movimento do pnduloforado e amortecido:

mL2 = mgL sen() bL2+ LF (t) . (1.29)

Vamos assumir que a fora de impulso F (t) senoidal e dada por F (t) = F0 cos(t).Onde a frequncia do impulso e F0 a amplitude do impulso. Dessa forma, podemosreescrever a equao (1.29) como

+ bm+ g

Lsen() = F0

mLcos(t) . (1.30)

Introduzimos agora, a constante de amortecimento , de forma queb

m= 2 , (1.31)

em que proporcional fora de amortecimento. Ainda, o coeficiente gL

igual a 20,

g

L= 20 , (1.32)

sendo 0 a frequncia natural do pndulo. Por ltimo, vamos introduzir o parmetroadimensional , tal que,

= F0mL20

= F0mg

, (1.33)

ou seja, a razo entre a amplitude de impulso F0 e o peso mg. O parmetro mede opoder da fora de impulso. Se < 1, a fora de impulso menor que a fora peso e poucoafeta o movimento do pndulo. Por outro lado, se 1, a fora de impulso maiorque o peso e induz movimentos significativos no pndulo. Substituindo os parmetrosapresentados, a equao de movimento do pndulo fica

+ 2+ 20 sen() = 20 cos(t) . (1.34)

16

Resolvendo numricamente a equao (1.33), obtemos a soluo (t) e podemos verificarcomo a dinmica do pndulo varia de acordo com o parmetro . A melhor forma deobservar essa variao por meio de um diagrama de bifurcaes. Com a soluo de(t) em mos, consideramos apenas a dinmica para valores de t tais que no existamtransientes, nesse caso, valores de t = 501 at t = 600. Ento, para cada valor de , ospontos (501), (502), ..., (600) correspondentes so calculados, formando o diagrama debifurcao que vemos na Figura 1.18.

Figura 1.18: Diagrama de bifurcaes de em funo de . Fonte: J. R. Taylor, ClassicalMechanics. University Science Books, 2005.

O diagrama de bifurcaes apresentado na Figura 1.18, retirado de [10] semelhanteao da Figura 1.9, o parmetro foi variado de 1, 06 at 1, 087. Vemos que de 1, 06 at1, 6603 o diagrama apresenta uma nica curva, o que fisicamente significa que para esseintervalo o sistema possui periodicidade 1 e, logo, os valores se repetem. Aps esse valor,vemos a duplicao de perodo, assim como no mapa logstico e, ento, para = 1, 0829vemos que o sistema assume diversos valores de forma catica [10]. No prximo captuloapresentamos o estudos do mapa logstico por meio dos grficos de recorrncia.

17

Captulo 2

Grficos de Recorrncia

Diversos sistemas, desde do movimento de galxias at a sinapse dos neurnios pos-suem algo em comum: eles se comportam de uma maneira determstica, no sentido emque podemos prever sua evoluo uma vez que sabemos suas condies iniciais [6]. En-tretanto, caos pode surgir em sistemas, como na dinmica populacional ou em um fludoturbulento, e em outros sistemas [11]. Tais sistemas, mesmo que determinsticos so sen-sveis s condies iniciais, como visto no captulo anterior, o que torna a predio a longotermo muito complicada. Ainda assim, predies de curto termo so possveis [6]. Umacaracterstica presente em diversos sistemas dinmicos, incluindo caticos, a recorrncia,ou seja, os sistemas voltam a estados iguais estados anteriores. O conceito de recor-rncia em sistemas dinmicos foi proposto por Henri Poincar, no fim do sculo XIX. Noentanto, o estudo da recorrncia, que depende em grande parte de mtodos numricos,se desenvolveu graas aos avans tecnolgicos na rea da computao. Nesse contexto,Jean-Pierre Eckmann introduziu em 1987 os grficos de recorrncia com o objetivo de ana-lisar sistemas dinmicos por meio de suas recorrncias [6]. Sendo [~xi]Ni=1 a trajetria deum sistema em seu espao de fase, os componentes dos vetores ~xi podem ser por exemplo,a posio e velocidade de um pndulo, logo, a evoluo do sistema pode ser descrita poruma srie desses vetores, representando uma trajetria. Assim, o grfico de recorrncia baseado na seguinte matriz de recorrncia:

Rij ={

1 se ~xi ~xj0 se ~xi 6= ~xj

onde i, j = 1, ..., N , em que N o nmero de estados. Ainda, xi xj significa que xi aproximadamente igual a xj considerando um erro , que conhecido como distncia delimiar ou threshold. Neste captulo estudaremos os grficos de recorrncia, apresentandomedidas de complexidade e aplicando essa ferramenta ao mapa logstico.

2.1 Anlise Quantitativa de Recorrncia

2.1.1 Grficos de recorrnciaA ferramenta utilizada para medir a recorrncia de estados em um sistema dinmico

o grfico de recorrncia [6]. O grfico de recorrncia expressa de forma eficiente asrecorrncias de um sistema, ele pode ser definido formalmente pela matriz:

Ri,j() = ( |~xi ~xj|), i, j = 1, ..., N (2.1)

18

em que N o nmero de pontos ~xi, a distncia de limiar e a funo de Heaviside((x) = 0 se x < 0, e (x) = 1 para x > 0). Sendo assim, para os estados na vizinhana temos:

~xi ~xj Ri,j . (2.2)

O grfico de recorrncia obtido por meio da matriz dada pela equao (2.1), usandocores diferentes para cada entrada. Se as coordenadas (i, j) so tais que Ri,j = 1, ento marcado um ponto preto, se Ri,j = 0 marcado um ponto branco. Uma vez que, pordefinio Ri,i = 1|Ni=1, o grfico de recorrncia sempre possui uma linha diagonal principalpreta, a linha de identidade. Ainda, o grfico de recorrncia simtrico em relao a linhadiagonal, ou seja, Ri,j = Rj,i.

2.1.2 O parmetro Um parmetro essencial na confeco do grfico de recorrncia o limiar , uma vez

que a partir dele analisamos se h ou no recorrncia. Se muito pequeno, ento(x < 0) = 0 e quase no temos pontos de recorrncia, e assim no podemos analisar asestruturas formadas no grfico de recorrncia. Por outro lado, se muito grande, ento(x > 0) = 1 e temos muitos pontos nas vizinhanas de outros pontos. O resultado soestruturas diagonais, mais longas e mais espessas no grfico de recorrncia. Devemos levarem conta, que rudos podem distorcer as estruturas formadas no grfico de recorrncia,mas que para limiares maiores, as estruturas so preservadas [6]. Algumas das regraspara determinar o valor de incluem tomar de forma que ele no exceda 10 por centodo dimetro mximo do espao de fase. Outra sugere escolher a partir da densidadede pontos de recorrncia do grfico de recorrncia. Para processos quasi-peridicos, asestruturas diagonais do grfico de recorrncia podem ser usadas para otimizar o valor dolimiar . Consideramos a densidade de distribuio de pontos de recorrncia ao longodas linhas diagonais paralelas a linha de identidade. Dessa densidade, o nmero de picossignificativos N contado. Em seguida, o nmero mdio de vizinhos Nn que cada pontopossui calculado. O limiar escolhido de forma que N mximo e Nn se aproximado valor de N. Assim, uma boa escolha para deve minimizar o parmetro :

() = |Nn()N()|Nn()

.

Existem diversas formas de encontrar um valor adequado para o limiar , porm a escolhadepende do sistema dinmico considerado.

2.1.3 Estruturas nos grficos de recorrnciaGrficos de recorrncia apresentam padres tpicos que esto ligados ao comporta-

mento sistema dinmico. Padres de larga escala, so classificados em homogneo, peri-dico, drift e interrompido.

Homogneo: esse padro surge em grficos de recorrncia referentes a sistemas es-tacionrios, nos quais o tempo de relaxamento pequeno quando comparado com otempo que o grfico de recorrncia abrange.

Peridico e quasi-peridico: esses sistemas apresentam estruturas peridicas no gr-fico de recorrncia. A complexidade das estruturas depende da frequncia do sistema

19

em questo e mesmo em sistema onde as oscilaes no so identificadas facilmenteos grficos de recorrncia podem ser teis.

Drift: esse padro surge em sistemas com parmetros que variam lentamente, comosistemas no-estacionrios. A caracterstica desse padro a intensidade do grficode recorrncia, que inversamente proporcional a distncia da linha de identidade.

Interrompido: esse padro causado por mudanas abruptas na dinmica do sis-tema, o resultado so bandas brancas no grfico de recorrncia. Por meio do grficode recorrncia possvel identificar os eventos que esto associados a tais mudanasna dinmica do sistema.

Existem tambm estruturas especficas em pequena escala nos grficos de recorrncia:

Pontos de recorrncia isolados: podem ocorrer se o estado associado raro, ou existepor um perodo curto de tempo ou se oscila fortemente.

Linhas diagonais: linhas diagonais Ri+k,j+k = 1|l1k=0 ocorrem quando um segmentoda trajetria no espao de fase quase paralela a outro segmento, para l unidadesde tempo:

~xi ~xj, ~xi+1 ~xj+1, ..., ~xi+l1 ~xj+l1 (2.3)a linha diagonal de largura l definida como:

(1Ri1,j1)(1Ri+l,j+l)l1k=0

Ri+k,j+k = 1 (2.4)

O comprimento da linha diagonal determinado pela durao desse comportamento.

Linhas verticais: uma linha vertical Ri,j+k = 1|v1k=0 marca um intervalo de tempo noqual um estado no seu altera ou se altera lentamente, tal que:

~xi ~xj, ~xi ~xj+1, ..., ~xi ~xj+v1 (2.5)

a definio formal da linha vertical ,

(1Ri,j1)(1Ri,j+v)v1k=0

Ri,j+k = 1 (2.6)

Linhas curvas: tais linhas no possuem inclinao constante. A forma de tais li-nhas depende da relao de tempo local entre trajetrias prximas. Elas podemrepresentar uma mudana no sistema.

2.1.4 Medidas de complexidadeVemos nas sees anteriores as estruturas formadas nos grficos de recorrncia. Para

analisar essas estruturas, temos medidas de complexidade, tais medidas so baseadasdensidade de recorrncia e nas estruturas de linhas dos grficos de recorrncia. Estudosmostram que essa anlise quantitativa de recorrncia capaz de identificar pontos debifurcao, inclusive pontos de transio de caos e ordem [6]. A medida mais simples daanlise quantitativa de recorrncia a taxa de recorrncia (RR), definida como

RR() = 1N2

Ni,j=1

Ri,j() . (2.7)

20

A taxa de recorrncia a medida de pontos de recorrncia no grfico de recorrncia. Noteque no limite N , a taxa de recorrncia a probabilidade de um estado voltar a suavizinhana dentro do limite . Temos tambm, medidas baseadas nas linhas diagonaisdo grfico recorrncia, elas so baseadas no histograma P (, l) de linhas diagonais decomprimento l, o histograma definido como

P (, l) =N

i,j=1(1Ri1,j1())(1Ri+l,j+l())

l1k=0

Ri+k,j+k() . (2.8)

Processos estocsticos e caticos, resultam diagonais curtas, ou nenhuma diagonal no gr-fico de recorrncia, por outro lado, processos determinsticos resultam em longas diagonaise poucos pontos de recorrncia isolados. Dessa forma, a taxa de pontos de recorrnciaque formam diagonais, de um comprimento mnimo lmin em relao a todos os pontos derecorrncia dada por

DET =Nl=lmin lP (l)Nl=1 lP (l)

. (2.9)

Tal taxa pode ser interpretada como uma medida de predicabilidade do sistema. Para umsistema peridico, temosDET = 1 e para um puramente estocstico temos queDET 0.Uma linha diagonal de comprimento l significa que um segmento da trajetria no espaode fase est mais prximo de outro segmento durante l unidades de tempo em um tempodiferente. Logo, as diagonais esto relacionadas divergncia de tais segmentos. Ocomprimento mdio das linhas diagonais,

L =Nl=lmin lP (l)Nl=lmin P (l)

(2.10)

o tempo mdio que dois segmentos da trajetria ficam prximos um do outro e podeser interpretado como o tempo mdio de predicabilidade, ainda sobre as linhas diagonaispresentes no grfico de recorrncia, temos a medida da maior diagonal,

Lmx = max([li]Nli=1

)(2.11)

e ainda a divergncia DIV ,DIV = 1

Lmx(2.12)

que pode ser utilizada para calcular o maior expoente de Lyapunov do sistema [11].Podemos tambm, calcular a entropia de Shannon da frequncia de distribuio das linhasdiagonais do grfico,

ENTR = N

l=lminp(l) ln p(l) (2.13)

onde p(l) = P (l)/Nl=lmin P (l). A entropia ENTR quantifica a complexidade da estruturadeterminstica do sistema [11]. Temos ainda uma medida que indica transies entrediferentes estados, onde RR muda mas DET no, tal medida definida como RATIO

RATIO = DETRR

. (2.14)

As medidas apresentadas at agora se baseiam na distribuio das linhas diagonais, exis-tem ainda medidas que se baseiam nas estruturas verticais, como a laminaridade LAM ,

LAM =Nv=vmin vPv(l)Nv=1 vPv(l)

(2.15)

21

em que Pv(l) nmero de linhas verticais de comprimento v encontradas no grfico derecorrncia dado pelo histograma

P (v) =N

i,j=1(1Ri,j)(1Ri,j+v)

v1k=0

Ri,j+k . (2.16)

Ainda podemos calcular o comprimento mdio das linhas verticais,

TT =Nv=vmin vP (v)Nv=vmin P (v)

, (2.17)

chamado de trapping time, que a estimativa do tempo mdio que o sistema pode ficarpreso em um determinado estado. Por ltimo, temos o comprimento da maior linhavertical, que analogamente a Lmx dado por:

Vmx = max([vl]Nvl=1

). (2.18)

Na qual Nv o nmero absoluto de linhas verticais. As medidas baseadas em linhasverticais so capazes de identificar transies caos-ordem. Para sistemas peridicos asmedidas baseadas em linhas verticais so iguais zero.

2.2 Aplicao ao mapa logsticoPodemos calcular as medidas de complexidade apresentadas na ltima seo ao mapa

logstico estudado no captulo anterior, dado pela equao (1.10)

xn+1 = rxn(1 xn) . (2.19)

Os grficos de recorrncia do mapa logstico foram confeccionados a partir das sriestemporais para os valores de r iguas a 3, 679, 3, 720, 3, 830 e 4, 0. Dado o valor doparmetro r, evoluimos o sistema 1000 vezes para eliminar possveis transientes, entoevoluimos o sistema mais 1000 vezes. O valor do parmetro foi definido como

= 16

1(n 1)

ni=1

(xi x)2 (2.20)

Os valores obtidos foram utilizados para a confeco dos grficos de recorrncia. A linhade identidade foi excluda dos grficos de recorrncia uma vez que ela no interfere nasanlises. Os resultados obtidos podem ser vistos a seguir.

22

2.2.1 Parmetro r = 3, 679Quando o parmetro assume o valor r = 3, 679, sabemos ao observar o grfico do

expoente de Lyapunov da Figura 2.1, que sistema evolui de forma catica, uma vez o queo expoente de Lyapunov positivo para esse valor.

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

3,6 3,65 3,7 3,75 3,8 3,85 3,9 3,95 4

Lyap

unov

r

Lyapunov

Figura 2.1: Grfico do expoente de Lyapunov.

Na Figura 2.2 abaixo a srie temporal do sistema limitada as 100 primeiras unididadesde tempo, para uma melhor visualizao.

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

1

0 20 40 60 80 100

x n

n

Figura 2.2: Srie temporal do mapa logstico para r = 3, 679.

No possvel identificar nenhum comportamento peridico na srie temporal da Fi-gura 2.2, uma vez que se trata de uma regio catica. Na Figura 2.3, temos o grfico derecorrncia para a srie temporal mostrada na Figura 2.2, considerando a srie temporalinteira.

23

Figura 2.3: Grfico de recorrncia do mapa logstico para r = 3, 679.

Podemos observar no grfico de recorrncia 2.3 reas retangulares negras, que soaglomerados de linhas verticais e horizontais [6]. Tais estruturas representam estadoslaminares, ou seja, estados que no mudam ou mudam de forma lenta [7]. Alm disso,vemos bandas brancas ao longo do grfico, essas estruturas indicam a estados raros oufora do normal, que podem ser consequncia de transies.

2.2.2 Parmetro r = 3, 720Para r = 3, 720 , o mapa logstico evolui de forma catica novamente, como podemos

verificar pelo valor do expoente de Lyapunov na Figura 2.1. Ainda, vemos abaixo a srietemporal do sistema limitada as 100 primeiras unididades de tempo, mostrada na Figura2.4.

24

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

1

0 20 40 60 80 100

x nn


Como esperado, a srie temporal vista na Figura 2.4 no apresenta nenhuma periodi-cidade. Com base nos dados dessa srie peridica, foi confeccionado o grfico da Figura2.5.


De forma semelhante ao grfico de recorrncia para r = 3, 679, vemos no grficoda Figura 2.5 aglomerados de linhas verticais e horizontais e bandas brancas. Porm,vemos que elas so menos intensas, o que pode indicar menos estados laminares e menostransies de estados.

25

2.2.3 Parmetro r = 3, 830No caso onde r = 3, 830 o sistema evolui de forma peridica, como podemos ver na

Figura do expoente de Lyapunov (2.1) e na Figura da janela peridica (1.16), ou na srietemporal da Figura 2.6.

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

1

0 20 40 60 80 100


Vemos na Figura 2.6 que o sistema possui um perodo bem definido, nesse caso igual a3, como esperado. A partir dos dados dessa srie foi confeccionado o grfico de recorrnciamostrado na Figura 2.7.


26

Diferente dos grficos vistos at agora, o grfico da Figura 2.7 apresenta uma homoge-neidade, que como visto anteriormente, est relacionada a estados estacionrios. Vemosainda que o grfico formado por linhas diagonais paralelas a linha de identidade, o queindica que o sistema determinstico [6].

2.2.4 Parmetro r = 4, 0Quando o parmetro r igual a 4, vemos no diagrama de bifurcaes 1.9 que o sistema

catico e tem acesso a mais valores do que para qualquer outro valor de r, alm depossuir o maior valor para o expoente de Lyapunov, como podemos ver na Figura 2.1.Na Figura 2.8 temos a srie temporal do sistema para esse valor de r, na qual observamosum comportamento catico.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 20 40 60 80 100

x n

n


A partir dessa srie temporal foi confeccionado o grfico de recorrncia que vemos aseguir.

27


Na Figura 2.9 vemos poucas linhas diagonais e verticais, por outro lado, podemos verdiversos pontos singulares ao lado de linhas diagonais. Tais pontos esto relacionados afortes flutuaes de estados e o fato de estarem ao lado de linhas diagonais indica que osistema catico [6].

28

2.2.5 Medidas de complexidade do mapa logsticoPara cada um dos quatro grficos de recorrncia, foram tomadas as suas medidas de

complexidade. Os resultados so apresentados na Tabela 2.1.

r = 3, 679 r = 3, 720 r = 3, 830 r = 4, 0RR 0,128 0,1172 0,3323 0,1247DET 0,7941 0,7518 1 0,6996RATIO 6,204 6,414 3,009 5,61Lmx 36 33 997 15Lmean 4,327 4,278 500,5 3,071Lentr 1,947 1,999 5,805 1,434DIV 0,02778 0,0303 0,0001 0,066LAM 0,3182 0,08641 0 0,215LAM/DET 0,4008 0,1149 0 0,308Vmx 12 9 0 11Ventr 2,095 1,654 0 1,322TT 4,862 3,553 0 2,97

Tabela 2.1: Tabela com medidas de complexidade dos grficos de recorrncia.

Como visto anteriormente, os grficos de recorrncia das figuras 2.3 e 2.5 apresentamestruturas semelhantes. Podemos verificar a partir das medidas referentes a r = 3, 679e r = 3, 720 na 2.1, que laminaridade discutida a partir das estruturas de ambos osgrficos de fato menor para r = 3, 720. Ainda, as medidas de DET que est ligada aodeterminismo do sistema e Lmean que ligado ao tempo de predicabilidade do sistema,tambm so menores para r = 3, 720. Vemos na Tabela 2.1 que o grfico de recorrnciano apresenta as medidas baseadas em linhas verticais, como o TT . Tal medida estrelacionada ao tempo que o sistema permanece em um dado estado. Nesse caso essamedida no existe pois o sistema peridico e oscila entre trs valores diferentes. Podemoscomparar os resultados de r = 4, 0 com r = 3, 679 e r = 3, 720 uma vez que para essesvalores de r o mapa logstico apresenta comportamento catico. Comparando os valoresde DET e Lmean, que esto ligados ao determinismo e predicabilidade do sistema, vemosque quando r = 4, 0 tais medidas so menores, ou seja, o sistema mais catico, comoprevisto.

29

Concluses

Na primeira parte deste trabalho abordamos mapas unidimensionais. Estudamos ini-cialmente os conceitos de rbitas e pontos fixos. Que apesar de bsicos, se mostramessenciais na anlise dos mapas. Alm disso, discutimos as estabilidade dos pontos fixos eformas de identific-los em um mapa unidimensional, como por meio de cobwebs. Aindano primeiro captulo, apresentamos o mapa logstico, um mapa proposto por Robert Maycomo uma ferramenta para o estudo de sistemas no-lineares. Em um primeiro momento,estudamos as rbitas do mapa logstico para diferentes valores do parmetro r e, ento,para uma anlise mais abrangente, apresentamos o diagrama de bifurcaes. A partir dodiagrama de bifurcaes apresentamos o estudo do o mecanismo que leva o mapa logsticoao caos, a duplicao de perodo, e ainda vimos que esse mecanismo est ligado a umaconstante universal, a constante de Feigenbaum. O fato da constante de Feigenbaum seruniversal nos diz que esse mecanismo est presente em mapas com um mximo quadrtico.Em seguida, estudamos o expoente de Lyapunov, que est relacionado sensibilidade queum sistema apresenta as suas condies iniciais, onde vimos quais regies do diagrama debifurcaes so caticas. Ainda, estudamos as janelas peridicas que surgem no diagramade bifurcaes, onde vimos que a raz delas pode ser encontrada estudando os pontos fixosdo mapa. Finalizando o primeiro captulo, estudamos o pndulo amortecido e forado,onde vimos que para certos valores do parmetro , que relacionado a fora de impulso,o pndulo apresenta um diagrama de bifurcaes semelhante ao do mapa logstico. Nasegunda parte do trabalho estudamos, de forma introdutria, os grficos de recorrncia,uma ferramenta numrica que permite analisar sistemas dinmicos a partir da recorrn-cia dos mesmos. Em um primeiro momento apresentamos as estruturas que surgem nosgrficos de recorrncia e as medidas de complexidade. Em seguida, estudamos os grficosde recorrncia do mapa logstico para valores distintos do parmetro r. Analisando asestruturas formadas nos grficos obtidos e as medidas de complexidade, vemos que osgrficos de recorrncia proporcionam informaes de acordo com as anlises feitas previa-mente por outros mtodos. Em um trabalho futuro, a confeco de grficos de recorrnciapara todos so valores de no intervalo aqui estudado pode gerar anlises mais completas eprecisas.

30

Apndice A

Diagrama de bifurcaes

Listing A.1: Programa C++ para diagrama de bifurcaes1 #inc lude 2 #inc lude 3 #inc lude 45 #de f i n e a_i 2 .86 #de f i n e a_f 47 #de f i n e x_0 0 .48 #de f i n e s tep ( a_fa_i )/1000 .09 #de f i n e t rans 100010 #de f i n e N 10001112 i n t main ( i n t argc , char argv ){13 i n t i ;14 double x , a , t e s t ;15 FILE out ;16 out= fopen ( "map . dat " , "w" ) ;1718 f o r ( a= a_i ; a< a_f ; a+= step ){19 x= x_0 ;2021 f o r ( i= 0 ; i< trans ; i++){22 x= ax(1x ) ;23 }24 f o r ( i= 0 ; i< N; i++){2526 x= ax(1x ) ;2728 f p r i n t f ( out , "%e %e\n " , a , x ) ;29 }30 }31 f c l o s e ( out ) ;32 }

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Referncias Bibliogrficas

[1] E. Ott, Chaos in dynamical systems. Cambridge University Press, 1993.

[2] L. H. A. Monteiro, Sistemas dinmicos. Editora Livraria da Fsica, 2006.

[3] S. H. Strogatz, Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology,chemistry, and engineering. Perseus Book Publishing, L.L.C., 1994.

[4] J. A. Y. Kathleen T. Alligood, Tim Sauer, Chaos: an introduction to dynamicalsystems. Springer-Verlag New York, 1996.

[5] R. L. Devaney, A first course in chaotic dynamical systems: theory and experiment.Perseus Book Publishing, L.L.C., 1992.

[6] N. Marwan, M. C. Romano, M. THIEL, and J. Kurths, Recurrence plots for theanalysis of complex systems, Physics Reports, vol. 438, pp. 237329, jan 2007.

[7] N. Marwan, N. Wessel, U. Meyerfeldt, A. Schirdewan, and J. Kurths, Recurrence-plot-based measures of complexity and their application to heart-rate-variabilitydata, Phys. Rev. E, vol. 66, p. 026702, Aug 2002.

[8] J. P. G. Gregory L. Baker, Chaotic Dynamics - An Introduction. Cambridge Univer-sity Press, 1996.

[9] J. J. OConnor and E. F. Robertson, Mitchell jay feigenbaum, 2009.

[10] J. R. Taylor, Classical Mechanics. University Science Books, 2005.

[11] M. Thiel, Recurrences: Exploiting naturally occurring analogues, 2004.

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ResumoIntroduoMapas unidimensionaisrbitas e Pontos fixosCobwebsMapa LogsticoDuplicao de perodoExpoente de LyapunovJanela de periodicidadePndulo forado e amortecidoGrficos de RecorrnciaAnlise Quantitativa de RecorrnciaGrficos de recorrnciaO parmetro Estruturas nos grficos de recorrnciaMedidas de complexidadeAplicao ao mapa logsticoParmetro r=3,679Parmetro r=3,720Parmetro r=3,830Parmetro r=4,0Medidas de complexidade do mapa logsticoConclusesDiagrama de bifurcaesReferncias Bibliogrficas

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