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Estudo Analítico da Transferência de Calor num Escoamento Laminar de um Fluido de Bingham com Dissipação Viscosa Jorge Avelino Da Cunha Faria Relatório do Projecto Final – MIEM Orientador: Prof. Paulo José da Silva Martins Coelho Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Julho 2010

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Estudo Analítico da Transferência de Calor num Escoamento Laminar de um Fluido de Bingham com Dissipação Viscosa

Jorge Avelino Da Cunha Faria

Relatório do Projecto Final – MIEM

Orientador:

Prof. Paulo José da Silva Martins Coelho

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

Julho 2010

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Estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar de um fluido de Bingham com dissipação viscosa

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iii

Resumo

Neste trabalho realizou-se um estudo analítico da transferência de calor num

escoamento laminar, em tubos de secção circular, de um fluido de Bingham com dissipação

viscosa. Obteve-se assim, por integração da equação de energia, as equações de cálculo do

número Nusselt,Nu , e dos perfis de temperatura num escoamento laminar completamente

desenvolvido, com fluxo de calor constante na parede e dissipação viscosa. Posteriormente,

analisou-se o comportamento dos perfis de temperatura e do número de Nusselt e a influência

sobre estes do número de Brinkman generalizado, *Br , e das características do fluido.

Inicialmente, fez-se uma análise para um dado fluido de Bingham estudando-se o

efeito do número de Reynolds e do diâmetro da conduta sobre o número de Nusselt.

Posteriormente, realizou-se uma análise do efeito do número de Brinkman sobre o número de

Nusselt de uma forma genérica e que, portanto, é válida para qualquer fluido de Bingham, e

diâmetro de tubagem, em regime laminar. Seguidamente, efectuou-se uma análise dos perfis

de temperatura, para diferentes números de Brinkman e diferentes valores do parâmetro U + .

A correcta contabilização do calor gerado por efeitos viscosos por parte do número de

Brinkman é crucial para a correcta determinação posterior do número de Nusselt.

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iv

Analytical study about the heat transfer in a laminar flow, in circular cross section

tubes, of a Bingham fluid with viscous dissipation

Abstract

In this dissertation it was realized an analytical study about the heat transfer in a

laminar flow, in circular cross section tubes, of a Bingham fluid with viscous dissipation. The

mathematical expressions of Nusselt, Nu , and temperature profile were obtained from the

integration of the energy equation for a fully developed laminar flow, with constant heat flux

on the wall and viscous dissipation. The behavior of the temperature profiles and Nusselt

number and influence on these of the generalized Brinkman number,*Br , and the fluid

characteristics was then studied.

Initially, it was analyzed, for a certain Bingham fluid, the effect of the Reynolds

number and the tube diameter in Nusselt number. Afterwards, a generic analysis of the

Brinkman number effect upon the Nusselt number, valid for any Bingham fluid and pipe

diameter, in laminar flow conditions was elaborated. The temperature profiles were also

analyzed, for different Brinkman numbers and different values of U + .

The proper accounting, by the Brinkman number, of the heat generated by viscous

effects it’s crucial for the correct Nusselt number determination.

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v

Agradecimentos

Gostaria de agradecer ao Professor Paulo José da Silva Martins Coelho por toda a sua

disponibilidade, ajuda, paciência e presença constante em todos os momentos. Muito obrigado

por tudo.

Agradeço ao meu pai, Armindo, amigo de todas as horas, sempre disponível e

presente, que tanto lutou comigo para que este objectivo fosse concretizado. Um obrigado à

minha mãe, Arminda, por todo o apoio demonstrado, obrigado pela confiança que sempre

depositaste em mim. Agradeço a todos os meus irmãos.

Quero agradecer também à pessoa que me tem acompanhado e apoiado ao longo

destes anos para vencer esta luta, obrigada Marisa.

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vi

Índice de figuras

Figura 1.1 Variação da tensão de corte em função da taxa de deformação para os fluidos

puramente viscosos ..................................................................................................................... 2

Figura 1.2 Comparação das curvas de viscosidade do Modelo de Bingham e Lei de Potência,

1n < ............................................................................................................................................. 6

Figura 1.3 Comparação do perfil de velocidades dado pelo Modelo de Bingham, com o obtido

pela Lei de Potência. Equações (1.4) e (1.7) respectivamente ................................................... 7

Figura 1.4 Relação entre a viscosidade e a taxa de deformação................................................. 9

Figura 2.1 Escoamento laminar estacionário e as suas condições de fronteira ........................ 20

Figura 4.1 Análise do número de Nu relativamente ao número de Re' para diferentes

diâmetros .................................................................................................................................. 30

Figura 4.2 Perfis de velocidade adimensionalizados para vários diâmetros de conduta e

1000Re'= .................................................................................................................................... 31

Figura 4.3 Relação entre o parâmetroaeU + .............................................................................. 33

Figura 4.4 Análise para o caso de * 0Br > ................................................................................. 34

Figura 4.5 Inverso do Nu para * 0Br = ....................................................................................... 35

Figura 4.6 Análise para o caso de * 0Br ≤ ................................................................................. 37

Figura 4.7 Análise para o caso de 0Br > da literatura .............................................................. 38

Figura 5.1 Dissipação viscosa em função do raio .................................................................... 40

Figura 5.2 Perfis de temperatura em função de r* para 0,001U + = e *0 1Br≤ ≤ ........................... 41

Figura 5.3 Perfis de temperatura em função de r* para 0,001U + = e * 1Br ≥ ................................ 42

Figura 5.4 Perfis de temperatura em função de r* para 0,001U + = e *1 0Br− ≤ ≤ .......................... 43

Figura 5.5 Perfis de temperatura em função de r* para 0,001U + = e * 1Br ≤ − .............................. 43

Figura 5.6 Ampliação do perfil de temperaturas junto à parede para *1 0Br− ≤ ≤ ..................... 44

Figura 5.7 Perfis de temperatura para * 0,2Br = − e vários valores de U + ................................... 45

Figura B.1 Perfis de temperatura em função de r* para 0,2U + = e *0 1Br≤ ≤ ............................. 68

Figura B.2 Perfis de temperatura em função de r* para 0,2U + = e *1 0Br− ≤ ≤ .......................... 69

Figura B.3 Perfis de temperatura em função de r* para 100U + = e *0 1Br≤ ≤ ............................. 69

Figura B.4 Perfis de temperatura em função de r* para 100U + = e *1 0Br− ≤ ≤ ........................... 70

Figura B.5 Perfis de temperatura em função de r* para 0,2U + = e * 1Br ≥ ................................. 70

Figura B.6 Perfis de temperatura em função de r* para 0,2U + = e * 1Br ≤ − ................................. 71

Figura B.7 Perfis de temperatura em função de r* para 100U + = e * 1Br ≥ .................................. 71

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Figura B.8 Perfis de temperatura em função de r* para 100U + = e * 1Br ≤ − ............................... 72

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viii

Índice de tabelas

Tabela 1. Características do fluido ........................................................................................... 29

Tabela A.12. Relação entre o parâmetro U + e o Nu com variação do *Br ............................... 51

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Nomenclatura

*Br Número de Brinkman generalizado * 8w wBr U qτ=

Br Número de Brinkman 2

wBr U q Dη= ɺ

Cp Calor específico do fluido kJ/kgK

D Diâmetro do tubo m

ijD Tensor de deformação Pa

f Coeficiente de fricção de Darcy 16 'Ff Re= ou 64 'f Re=

h Coeficiente de convecção W/m2K

k Condutividade térmica W/mK

n Índice de potência (modelo lei de potência)

Nu Número de Nusselt

P Pressão N/m2

P Perímetro da tubagem m

Pe Número de Péclet

wqɺ Fluxo de calor constante na parede, positivo quando aquece o fluido W/m2

R Raio da conduta m

r Coordenada radial m

0r Posição radial na conduta onde 0rxτ τ= m

*r Coordenada radial adimensional *r r R=

Re Número de Reynolds

mT T≡ Temperatura da mistura K

wT Temperatura da parede K

0T Temperatura de entrada K

*T Temperatura adimensional

U Velocidade média de escoamento m/s

u Componente velocidade axial m/s

*u Componente velocidade axial adimensional *u u U=

v Componente velocidade radial m/s

*v Componente da velocidade radial adimensional *v v U=

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x

Vɺ Caudal volúmico m3/s

Wɺ Potência dissipada por fricção kW

wɺ Potência dissipada por fricção por unidade de área kW/m2

*x Coordenada axial adimensional *x x D=

x Coordenada axial m

α Difusividade térmica W/m2k

γɺ Taxa de deformação s-1

η Viscosidade de corte Ns/m2

0µ Viscosidade plástica (modelo de Bingham) Ns/m2

µ Viscosidade Ns/m2

ν Viscosidade cinemática Ns/m2

ρ Massa volúmica do fluido kg/m3

0τ Tensão de cedência (modelo de Bingham) Pa

rxτ Tensão de corte Pa

wτ Tensão de corte da parede Pa

*τ Tensão de corte adimensional *rx wτ τ τ=

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xi

Índice de conteúdos

1 Introdução............................................................................................................................ 1

1.1 Modelos Reológicos .................................................................................................... 1

1.2 Números adimensionais ............................................................................................... 7

1.2.1 Número de Reynolds e número de Prandtl ........................................................... 7

1.2.2 Número de Nusselt ............................................................................................. 10

1.2.3 Forma genérica do número de Brinkman ........................................................... 11

1.2.4 Número de Bingham ........................................................................................... 12

1.3 Revisão Bibliográfica ................................................................................................ 12

1.4 Objectivo .................................................................................................................... 14

2 Equação de Energia e condições fronteira ........................................................................ 15

2.1 Introdução .................................................................................................................. 15

2.2 Equações diferenciais ................................................................................................ 15

2.3 Adimensionalização das equações ............................................................................. 16

2.4 Apresentação das Condições de Fronteira ................................................................. 19

2.4.1 Adimensionalização das condições de fronteira ................................................. 21

2.5 Expressão de cálculo do número de Nusselt .............................................................. 21

3 Integração da Equação de Energia .................................................................................... 23

3.1 Introdução .................................................................................................................. 23

3.2 Integração da equação da energia .............................................................................. 23

3.3 Cálculo da temperatura da mistura ............................................................................ 25

3.4 Cálculo do número de Nusselt ................................................................................... 26

4 Análise do efeito da dissipação viscosa no Nu ................................................................ 29

4.1 Introdução .................................................................................................................. 29

4.2 Análise do número de Nu relativamente ao número de Re' ..................................... 29

4.3 Parâmetro U + ............................................................................................................ 31

4.4 Relação entre o número de Nusselt e o parâmetro U + .............................................. 33

4.4.1 Análise para caso de * 0Br > ............................................................................. 34

4.4.2 Análise para caso de * 0Br < ............................................................................. 35

4.4.3 Análise do caso de 0Br > usando a expressão da literatura ............................. 37

5 Análise do perfil de temperaturas e influência da dissipação viscosa ............................... 39

5.1 Introdução .................................................................................................................. 39

5.2 Dissipação viscosa em função do raio ....................................................................... 39

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xii

5.3 Análise do perfil de temperaturas .............................................................................. 41

5.3.1 Perfis de temperatura para 0,001U + = .............................................................. 41

5.3.2 Perfis de temperatura para * 0,2Br = − e vários valores de U + ......................... 44

6 Conclusões e sugestões para trabalhos futuros ................................................................. 47

6.1 Conclusões ................................................................................................................. 47

6.2 Sugestões para trabalhos futuros ................................................................................ 47

Referências Bibliográficas ........................................................................................................ 48

ANEXO A ................................................................................................................................ 50

ANEXO B ................................................................................................................................ 68

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1

1 Introdução

Neste capítulo, para além da revisão bibliográfica, será apresentada toda a informação

relevante para uma melhor compreensão da metodologia utilizada. Para tal, será feito

inicialmente uma apresentação dos modelos reológicos relevantes e dos perfis de velocidade

inerentes, bem como dos números adimensionais usados.

1.1 Modelos Reológicos

O estudo da transferência de calor dos fluidos não-Newtonianos é mais complicado do

que a dos fluidos Newtonianos devido à sua natureza não linear da relação

tensão/deformação. A principal razão da necessidade do estudo dos fluidos não-Newtonianos

deve-se, por um lado, à sua natureza complexa e às suas interacções complexas com o

escoamento, e por outro lado, à necessidade cada vez maior de melhorar os métodos de

dimensionamento de equipamentos, ao nível da transferência de calor e de perdas de carga,

onde sejam intervenientes fluidos não-Newtonianos.

Metzner A. B. (1965) classificou os fluidos em três grupos distintos:

• Fluidos puramente viscosos;

• Fluidos viscoelásticos;

• Fluidos dependentes do tempo.

Os fluidos Newtonianos são uma subclasse dos fluidos puramente viscosos.

Os fluidos não-Newtonianos puramente viscosos estão divididos em duas categorias,

fluidos espessantes regressivos (pseudoplásticos), onde existe uma diminuição de viscosidade

com a taxa de deformação e os fluidos dilatantes, em que existe o aumento da viscosidade

com o aumento da taxa de deformação. A figura 1.1 exibe de uma forma simples a evolução

da tensão de corte em função da velocidade de deformação para os fluidos puramente

viscosos.

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2

Figura 1.1 Variação da tensão de corte em função da taxa de deformação para os fluidos puramente viscosos

Os fluidos viscoelásticos, além de poderem possuir uma tensão de corte dependente da

taxa de deformação, idêntica às dos fluidos inelásticos, possuem memória, ou seja,

apresentam características elásticas.

De acordo com a literatura, a transferência de calor dos fluidos viscoelásticos numa

conduta de secção circular com escoamento laminar não difere significativamente da

transferência de calor dos fluidos inelásticos que possuam a mesma curva de viscosidade, pelo

menos em escoamentos onde o perfil de velocidades se encontra plenamente desenvolvido.

Num escoamento de fluidos Newtonianos dentro de um tubo a transição de laminar

para turbulento é tipicamente definida por 2100Re= .

Num escoamento para fluidos não-Newtonianos puramente viscosos, a literatura

apresenta um ligeiro aumento de Re na transição de laminar para turbulento, no entanto, o

valor de 2100 pode continuar a ser usado como critério de transição.

Num escoamento de fluidos viscoelásticos, o número Re de transição é

significativamente maior que 2100, sendo aproximadamente de 6000, o que torna o regime

laminar mais comum nestes fluidos.

1.1.1 Fluido de Bingham

Este tipo de fluido necessita ser sujeito a uma tensão inicial, superior à tensão de

cedência do modelo, 0τ , para haver escoamento.

A viscosidade plástica 0µ e a tensão de cedência 0τ são os parâmetros do modelo

reológico de um material de Bingham cuja curva de viscosidade é dada pela seguinte relação:

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3

0 0η µ τ γ= + ɺ para 0rxτ τ≥

(1.1)

0γ =ɺ para 0rxτ τ≤

Onde a variável η representa a viscosidade de corte que tende para o valor de

0µ quando a taxa de deformação, γɺ , tende para um valor muito elevado.

Num escoamento genérico, a taxa de deformação é igual ao segundo invariante do

tensor taxa de deformação ( )ijD , que no caso de escoamento desenvolvido numa conduta de

secção circular fica reduzido a du dr .

Para qualquer fluido a escoar num tubo de secção circular, um balanço de forças a um

elemento de fluido cilíndrico num troço de conduta conduz à seguinte relação:

( ) 2rx dP dx rτ = (1.2)

onde rxτ é tensão de corte, P é a pressão e r é a coordenada radial. Como na parede a

coordenada r é igual ao raio do tubo, r R= , e a tensão de corte é igual à tensão de corte na

parede, wrxτ τ= − , a equação anterior toma a seguinte forma:

wrx r Rτ τ= − (1.3)

Combinando a equação anterior com a equação do modelo reológico em causa, neste

caso para o fluido de Bingham, e substituindo neste γɺ por du dr é possível obter por

integração a expressão do perfil de velocidades bem como da velocidade média, ver Khatyr et

al. (2002) e Coelho e Pinho (2008). O perfil de velocidades do fluido de Bingham em

escoamento laminar numa conduta de secção circular é pois dado por:

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4

( )( )

2

04

2

04

2 1 2 1

41

3 3

2 10

41

3 3

r ra

R RU se r r R

a au r

aU se r r

a a

− − − ≤ ≤

− +=

− ≤ ≤

− +

(1.4)

onde, a representa os quocientes *0 0 0w r R rτ τ = = , sendo 0r a posição radial abaixo do qual

a taxa de deformação é nula, onde 0τ é a tensão de cedência do fluido de Bingham e U

representa a velocidade média na conduta, sendo dada pela seguinte expressão:

4

40 0

0 0

4 1 4 11 1

8 3 3 8 3 3w w

w w

D DU a a

τ τ τ τµ τ τ µ

= − + = − +

(1.5)

1.1.2 Fluido Lei da Potência

Este modelo é aqui apresentado pois vai ser utilizado para definir o número de

Reynolds generalizado que vai caracterizar o escoamento, conforme se verá na próxima

secção. Este modelo é caracterizado pela seguinte relação entre a viscosidade de corte e a taxa

de deformação:

( ) 1nKη γ γ −=ɺ ɺ (1.6)

onde, n é o índice de potência e o K o índice de consistência, a taxa de deformação γɺ é

obtida pelo segundo invariante do tensor taxa de deformação ( )ijD , que, como se referiu

anteriormente, no caso de escoamento desenvolvido numa conduta de secção circular fica

reduzido a du drγ =ɺ .

Para 1n = obtém-se um fluido com viscosidade constante, Newtoniano. Quanto mais

pequeno for o n , maior é a redução da viscosidade com a taxa de deformação, fluido

pseudoplástico e para n>1 temos os fluidos dilatantes.

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5

De um modo análogo ao referido anteriormente para o modelo de Bingham é possível

obter o perfil de velocidades num escoamento laminar numa conduta de secção circular para

um fluido lei de potência. O referido perfil é dado pela seguinte equação:

( 1)

3 11

1

n

nu n r

n RU

+ + = − +

(1.7)

Sendo a velocidade média U dada pela seguinte equação, Byrd et al. (1987):

1

13

nwR

UK

n

τ = +

(1.8)

1.1.3 Comparação dos Modelos Bingham e Lei de Potência

Na figura 1.2 apresenta-se, de forma genérica, as curvas de viscosidade dos modelos

de Bingham, equação (1.1), e lei de potência, 1n < , equação (1.6). Como se pode ver o fluido

de Bingham apresenta também características pseudoplásticas com a viscosidade a tender para

um patamar de valor 0µ , para taxas de deformação mais elevadas. Como seria de esperar,

num gráfico Log-Log, a representação da viscosidade com a taxa de deformação, no modelo

lei de potência, adquire uma forma linear.

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6

Figura 1.2 Comparação das curvas de viscosidade do Modelo de Bingham e Lei de Potência, 1n <

Na figura 1.3, comparam-se vários perfis de velocidade adimensional, numa conduta

de secção circular, para os fluidos de Bingham, apenas função de a , equação (1.4), e lei de

potência, apenas função de n , equação (1.7). Como se pode ver, para 0a = o perfil de

velocidade é coincidente com o de 1n = , perfil este Newtoniano, o mesmo sucedendo no

extremo oposto, 1a = e 0n = , onde o perfil de velocidade tende para um perfil pistão.

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7

Figura 1.3 Comparação do perfil de velocidades dado pelo Modelo de Bingham, com o obtido pela Lei de Potência. Equações (1.4) e (1.7) respectivamente

1.2 Números adimensionais

Nesta secção vão ser apresentados todos os números adimensionais utilizados ou

referidos neste trabalho e o seu significado.

1.2.1 Número de Reynolds e número de Prandtl

O número de Reynolds, que é comum para os fluidos Newtonianos e não-

Newtonianos, representa o quociente entre as forças de inércia e as forças viscosas, e é

definido por:

UDRe

ρη

= (1.9)

onde, ρ é a massa volúmica do fluido, U a velocidade média na conduta, D o diâmetro da

conduta e η a viscosidade de corte.

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8

As forças viscosas têm grande importância para valores de Re baixos e as forças de

inércia assumem um papel preponderante para valores de Re superiores a 2100.

O número de Prandtl, também é utilizado em fluidos Newtonianos e não-Newtonianos,

representa a razão entre a difusividade da quantidade de movimento e a difusividade térmica:

p

v vPr

kC

αρ

= =

(1.10)

Onde, ν é a viscosidade cinemática e α é a difusividade térmica do fluido que é

definida por pk Cρ , onde k é condutividade térmica do fluido, ρ a massa volúmica do

fluido e pC o calor específico.

O produto entre o número de Reynolds e o número de Prandtl é chamado de número

de Péclet e é dado por:

pUDC UDPe RePr

k

ρα

= = = (1.11)

Este é independente da viscosidade do fluido, no entanto, continua a ser dependente de

outras propriedades do fluido.

Para fluidos não-Newtonianos que obedecem à lei de potência a escoar no interior de

condutas, é frequentemente utilizado um número de Reynolds e de Prandtl generalizado. O

número de Reynolds, 'Re , é calculado de forma a que o coeficiente de fricção de Fanning,

Ff , ou de Darcy, f , para fluidos Newtonianos e não-Newtonianos num escoamento laminar

tende a convergir numa só curva, que é dada por F 16 'f Re= ou 64 'f Re= .

( ) 1'1 2 '

' '' ' 1

88

, ,8

nn n n P

' ' Pn

Uk CDCU UD U DK Re Pr

D K k k

ηρ ρηη

−− −

= = = = =

(1.12)

O coeficiente 'K está relacionado com o índice de consistência( )K e o índice de

potência ( )n , sendo dado pela seguinte expressão:

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9

' 3 1

4

nK K

n

+ =

(1.13)

K’ surgiu na equação que calcula a tensão de corte na parede, wτ , para um escoamento

laminar completamente desenvolvido numa conduta de secção circular, ( )' 8n

w K U Dτ = e

'η não é mais que o quociente de τw por 8U Dγ =ɺ , sendo esta última a taxa de deformação

na parede num escoamento laminar de um fluido Newtoniano num tubo de secção circular.

Esta definição de número de Reynolds será também a definição que irá ser utilizada neste

trabalho, com o n e a viscosidade, sendo calculados para cada valor local da taxa de

deformação, 8U Dγ =ɺ , consoante a curva de viscosidade do modelo de Bingham utilizado,

conforme se esquematiza na figura 1.4:

log (µ)

log (γɺ )

µ

8u Dγ =ɺ

Modelo lei de potência, 1nKµ γ −= ɺ , que é tangente à curva de viscosidade no ponto

8u Dγ =ɺ , declive igual a n-1

Figura 1.4 Relação entre a viscosidade e a taxa de deformação

O cálculo do nlocal pode ser realizado facilmente através da expressão da derivada da

viscosidade em ordem à taxa de deformação do modelo lei de potência que é dada por:

( 2) 2( 1) ( 1)ndK n n

d

µ γ τ γγ

− −= − = −ɺ ɺ

ɺ (1.14)

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Estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar de um fluido de Bingham com dissipação viscosa

10

Ou seja, nlocal, para qualquer fluido, é dado pela seguinte expressão:

2

local 1d

nd

µ γγ τ

= +ɺ

ɺ (1.15)

que aplicada ao modelo de Bingham origina a seguinte expressão para nlocal:

( )2

0local 2

0 0 0 0

11 1

1n

τ γγ µ γ τ µ γ τ

= − + = − ++ +ɺ

ɺ ɺ ɺ (1.16)

Por sua vez ( ) ( ) ( ) ( )local local1 1' '

local local local local8 3 1 4 8 3 1 4n n

K U D n n K U D n nη µ− −

= = + = +

em que µ será a viscosidade no ponto da curva de viscosidade em que 8U Dγ =ɺ , ver figura

1.4. Para mais detalhes sobre esta metodologia, consultar o trabalho de Diogo Cruz (2010).

1.2.2 Número de Nusselt

A análise das condições de fronteira da equação da energia introduz o conceito do

coeficiente de convecção, h . Este é definido como o rácio entre o fluxo de calor por unidade

de área, wqɺ , e uma diferença de temperatura. O fluxo de calor na parede é positivo quando

está a entrar para o fluido. A diferença de temperaturas é a diferença entre a temperatura da

parede, wT , e a temperatura de mistura, T .

O número de Nusselt é definido pela equação Nu hD k= , normaliza o coeficiente de

convecção, h , definido pela equação w wh q T T= −ɺ com a condutibilidade térmica do fluido,

k , e o comprimento característico da conduta, neste caso é o diâmetro, D , e compara o calor

transferido por convecção com o calor transferido por condução para um mesmo ∆T.

Para um fluido lei de potência, o número de Nusselt num escoamento laminar num

tubo de secção circular com fluxo de calor constante na parede é dado, de acordo com Barleta

(1997), pela seguinte equação:

( ) ( )2

8 5 1 3 1

3l 12 1

n nNu

n n∞

+ +=

+ + (1.17)

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Estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar de um fluido de Bingham com dissipação viscosa

11

1.2.3 Forma genérica do número de Brinkman

Quando os efeitos de dissipação são importantes num escoamento, o número de

Brinkman( )Br é bastante usado para quantificar a relação entre o calor gerado por dissipação

viscosa e o calor trocado na parede. Este grupo adimensional foi chamado de Brinkman, no

seguimento do trabalho do mesmo autor de 1951, após este ter resolvido o problema de

transferência de calor num escoamento laminar Newtoniano num tubo com a dissipação

viscosa.

O número de Brinkman generalizado,*Br , foi introduzido por Coelho e Pinho (2009) e

destaca-se por contabilizar correctamente a potência dissipada por atrito viscoso,wɺ , com

ww Uτ=ɺ , independentemente do fluido ou secção da conduta. Embora este número

adimensional fosse mais correctamente apresentado pelo rácio ww qɺ ɺ , onde wqɺ representa o

calor transferido na parede da tubagem, foi introduzida uma pequena modificação para

assegurar uma equivalência com a anterior definição do número de Brinkman para fluidos

Newtonianos em regime laminar. Assim, foi introduzido o coeficiente 8, fazendo com que o

número de Brinkman generalizado seja definido por:

*

8 w

wBr

q=ɺ

ɺ (1.18)

Como o caso de estudo é efectuado para fluxo de calor constante na parede, temos

então:

*

8w

w

UBr

q

τ=ɺ

(1.19)

Normalmente, o número de Brinkman para fluidos Newtonianos é contabilizado

através da seguinte equação:

2

w

UBr

q D

η=ɺ

(1.20a)

2

*w8

8 8w w w

U U U UBr Br

q D D q q

η τη= = = =ɺ ɺ ɺ

(1.20b)

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Estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar de um fluido de Bingham com dissipação viscosa

12

Sendo o quociente 8U D a taxa de deformação na parede num escoamento laminar

dentro de uma conduta de secção circular de um fluido Newtoniano, o produto 8U Dη não é

mais que a tensão de corte na parede, τw, e assim se mostra que a definição Br* está implícita

na definição original do número de Brinkman. Num fluido cuja viscosidade varie com a taxa

de deformação, a utilização da definição patente na equação (1.20a), onde a viscosidade η é

frequentemente substituída por uma viscosidade característica do fluido em detrimento da

definição (1.20b), não traduz com rigor o quociente potência dissipada /potência na parede,

acarretando consequências nefastas quando se pretende contabilizar ou comparar o efeito da

dissipação viscosa em escoamentos de diferentes fluidos não-Newtonianos e, por vezes, para

o mesmo fluido em escoamentos com números de Reynolds distintos.

1.2.4 Número de Bingham

O número de Bingham surge quando se trabalha com fluidos de Bingham e serve para

quantificar a importância da tensão de cedência, Poole e Chhabra (2010), sendo definido da

seguinte forma:

0

0

DBn

U

τµ

= (1.21)

1.3 Revisão Bibliográfica

Dos diversos trabalhos realizados até à actualidade sobre soluções analíticas para

transferência de calor no interior de um tubo circular de um fluido de Bingham, serão apenas

mencionados os que estiveram na origem da realização do presente trabalho.

Ravindra Kumar (1964) efectuou um estudo analítico sobre os efeitos da dissipação e

da transferência de calor em escoamento laminar de um fluido de Bingham numa conduta de

secção circular, por integração directa da equação da energia para escoamento totalmente

desenvolvido e desprezando a condução axial. Contudo, no referido trabalho, o autor

negligenciou o efeito da dissipação no cálculo do gradiente de temperatura axial. Deste modo,

o resultado obtido só está correcto para a ausência da dissipação viscosa.

Num outro trabalho, mais recente, R. Khatyr et al. (2003), estudaram a transferência

de calor para três situações assimptóticas distintas de distribuição axial do fluxo de calor na

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13

parede e para os casos de temperatura de parede constante e escoamento exterior sobre o tubo

de um fluido isotérmico, tudo para um escoamento hidrodinâmicamente desenvolvido:

• No primeiro caso, quando a distribuição axial de calor wqɺ tende para zero, isto

é, o número local de Brinkman tende para infinito, os resultados mostraram

que o valor assimptótico de Nusselt é zero;

• No segundo caso, onde a distribuição axial de calor não tende para zero,

enquanto wdq dxɺ tende para zero, o valor assimptótico de Nusselt é diferente

de zero e depende unicamente do número de Brinkman assimptótico Br∞ e do

raio do núcleo a . Verificou-se que a dissipação viscosa e o esforço de corte

têm um papel importante na determinação das características da transferência

de calor de um escoamento completamente desenvolvido;

• No terceiro caso, a distribuição axial de calor wqɺ tende para infinito, enquanto

wdq dxɺ tende para uma constante positiva.

Com interesse para o presente trabalho está o resultado do segundo caso, fluxo de

calor constante na parede, onde a equação para o número de Nusselt obtida só foi testada

pelos autores para o caso limite do fluido Newtoniano, 0a = , mas falha quando testada para a

outra situação limite, 1a = , situação em que o perfil de velocidades é o mesmo do caso de um

fluido lei de potência para o qual 0n = , ver secção 1.1.3, perfil pistão, a que corresponde o

número de Nusselt de 8, mas que, pela equação apresentada no trabalho em questão resulta

num valor infinito. Tal facto pode ficar a dever-se a um erro tipográfico, mas o resultado é o

mesmo, i.e., uma equação inútil.

T.Min e J.Y. Yoo (1999) efectuaram um estudo analítico de um escoamento laminar

em desenvolvimento térmico de um fluido de Bingham num tubo circular com fluxo de calor

uniforme na parede.

Em particular, demonstraram que as características da transferência de calor na região

de entrada são afectadas significativamente pelo tensão de corte com a inclusão da dissipação

viscosa.

Quando o raio adimensional 0r =a é zero e o número de Peclet tende para um valor

infinito, as soluções coincidem exactamente com as soluções referidas em estudos anteriores

para fluidos Newtonianos. Verificaram também que o número de Nusselt, para o fluido de

Bingham, é menos afectado pelo número de Brinkman para elevadas tensões de corte. De

notar, que o Br utilizado por estes autores não foi o generalizado, pelo que, é de esperar que

os efeitos da dissipação viscosa não tenham sido correctamente contabilizados.

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14

A solução obtida por estes autores para o escoamento desenvolvido, na ausência de

dissipação, está aparentemente correcta pois verifica ambas as situações limite, fluido

Newtoniano e fluido lei de potência com 0n = equação (1.6).

P.M Coelho e F.T Pinho efectuaram um estudo, em 2008, onde apresentam uma nova

forma de cálculo do número de Brinkman, denominado de número de Brinkman generalizado,

que permite quantificar correctamente os efeitos de aquecimento por dissipação viscosa, de

maneira que com esta nova definição o mesmo valor numérico de Br significa exactamente a

mesma relação de potência gerada por dissipação e potência que atravessa a parede do tubo,

independentemente do fluido, algo que não sucedia até então. Com base neste novo Br , serão

realizadas análises, mais fiáveis que as actuais, sobre o efeito da dissipação na transferência

de calor em fluidos de Bingham.

1.4 Objectivo

Por integração da equação diferencial de energia para escoamento laminar totalmente

desenvolvido ir-se-á pois tentar comparar a solução assim obtida com a solução para o

número de Nusselt do artigo de Min e Yoo (1999), uma vez que mediante as análises referidas

anteriormente aos artigos de Ravindra Kumar e ao artigo R. Khatyr et al, as soluções nelas

apresentadas não estão, ao que tudo indica, totalmente correctas.

Tirando partido da definição do número de Brinkman generalizado, que contabiliza

correctamente a dissipação viscosa no escoamento, pretende-se neste trabalho estudar a

influência deste fenómeno na transferência de calor com fluxo de calor constante na parede

(arrefecimento e aquecimento), de uma forma nunca realizada até à data, já que nenhum

trabalho publicado utilizou a definição generalizada do número de Brinkman. Para tal, ir-se-á

estudar a influência da reologia e dos números de Reynolds, de Brinkman e de Bingham no

comportamento dos perfis de temperatura e do número de Nusselt.

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15

2 Equação de Energia e condições fronteira

2.1 Introdução

Neste capítulo serão adimensionalisadas e simplificadas as equações que vão ser

usadas no caso em estudo.

2.2 Equações diferenciais

A equação da energia (2.1) é válida para perfis de velocidade totalmente

desenvolvidos e em desenvolvimento em condutas circulares na ausência de rotação, 0w = .

No entanto, poderá ser simplificada para casos de perfis de velocidade totalmente

desenvolvidos em que 0, 0v v r= ∂ ∂ = . As simplificações são normalmente usadas na

obtenção de soluções analíticas em escoamentos totalmente desenvolvidos, as integrações da

equação da energia na sua forma mais abrangente, conforme se mostra na equação (2.1), só

são realizadas recorrendo a integrações numéricas.

1p p rx

T T T T u vC u C v kr k

x r r r r x x r rρ ρ τ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(2.1)

A primeira parcela do lado esquerdo da equação (2.1) está relacionada com a

convecção de calor na direcção axial e, a segunda parcela, com a convecção de calor na

direcção radial. A primeira parcela do lado direito da equação corresponde ao balanço de

calor transportado por condução na direcção radial. A segunda parcela do lado direito da

equação está relacionada com o balanço de calor transportado por condução na direcção axial.

Por fim, a última parcela no lado direito da equação corresponde ao importante efeito da

dissipação viscosa, que é bastante relevante para fluidos muito viscosos e que neste trabalho

irá ser considerado, visto estar associados com números de Pr elevados nos quais é lícito

assumir que o perfil de velocidades já está totalmente desenvolvido na entrada da conduta.

Uma vez que o perfil se encontra totalmente desenvolvido não vamos ter velocidade

segundo a direcção radial ( )v , podemos também desprezar a condução axial face à condução

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16

radial, prática usual quando o Pe é elevado, ( )50Pe> para fluidos Newtonianos, Özişik

(1985), e assim obtemos uma equação passível de ser integrada analiticamente:

1p rx

T T uC u kr

x r r r rρ τ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂

(2.2)

2.3 Adimensionalização das equações

O primeiro passo será adimensionalizar todas as variáveis da equação da energia, as

variáveis adimensionais serão assinaladas com um asterisco.

Começaremos então por adimensionalizar as seguintes variáveis: x, r e u como se pode

ver nas seguintes equações:

* xx

D= (2.3)

* rr

R= (2.4)

* uu

U= (2.5)

Aplicando as definições anteriores na equação (1.4), obtemos a seguinte equação

adimensionalizada para o perfil de velocidade:

( ) ( )

( )

2* *

*4

*

2

*4

2 1 2 11

41

3 3

2 10

41

3 3

r a rse a r

a a

ua

se r aa a

− − − ≤ ≤− +=

−≤ ≤

− +

(2.6)

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17

As adimensionalizações da temperatura e da tensão de corte serão apresentadas nas

equações (2.7) e (2.8) respectivamente:

* 0

w

T TT

q D

k

−=ɺ

(2.7)

* rx

w

τττ

= (2.8)

Substituindo a equação (1.3) na equação (2.8) obtemos a seguinte equação:

*xr r Rτ = − (2.9)

Ou seja, combinando a equação (2.4) com a equação (2.9) podemos dizer que:

* *

xrr τ− =

Introduzindo as adimensionalizações atrás referidas na equação de energia obtemos a

seguinte equação:

* * ** * *

* 2 * * * *

1 1w w wp xr

q D T q D T U uC Uu k r

k D x R k r r r R r

τρ τ ∂ ∂ ∂ ∂= + ∂ ∂ ∂ ∂

ɺ ɺ

(2.10)

Dividindo a equação (2.10) por wqɺ obtemos a seguinte equação:

* * * ** *

* 2 * * * *

2 1p wxr

w

C Uu T R T U ur

k x R r r r q R r

ρ τ τ ∂ ∂ ∂ ∂= + ∂ ∂ ∂ ∂ ɺ (2.11)

Atendendo às definições de Brinkman equação (1.19) e de Peclet equação (1.11),

obtemos uma equação ainda mais simplificada:

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18

* * ** * *

* * * * *

2 8

8w

p xrw

T k T U uC Uu r k

x R r r r q R r

τρ τ ∂ ∂ ∂ ∂= + ∂ ∂ ∂ ∂ ɺ (2.12)

A equação final fica:

* * ** * * *

* * * * *

14

4

Pe T T uu r r Br

x r r r r

∂ ∂ ∂ ∂⋅ = − ∂ ∂ ∂ ∂ (2.13)

Esta será pois a equação da energia adimensional, passível ainda de algumas

simplificações, conforme se verá seguidamente.

Considerando um balanço de energia num volume de controlo a um troço de conduta

teremos:

2

4w w p

Dq D dx UD dx U C dTπ πτ ρ π+ =ɺ (2.14)

Simplificando a equação (2.14):

( )4

pw w

U DC dTq U

dx

ρτ+ =ɺ (2.15)

Adimensionalizando a equação anterior obtém-se:

( )*

*4p w

w w

U DC q D dTq U

k Ddx

ρτ+ =

ɺɺ (2.16)

Atendendo às definições de Brinkman e de Péclet obtemos:

( )*

**

41 8

TBr

x Pe

∂ = +∂

(2.17)

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19

Substituindo a equação (2.17) na equação (2.13), verifica-se que para um escoamento

desenvolvido, 0v = , a equação da energia adimensional deixará de depender do número

Péclet:

* ** * * * *

* * * *

1(1 8 ) 4

T uu Br r r Br

r r r r

∂ ∂ ∂+ = − ∂ ∂ ∂ (2.18)

Sabendo que:

***

4*

*

12( )1

4 3

0 0

a rse a ru

a ar

se r a

− ≤ ≤∂ = − +∂ ≤ ≤

(2.19)

Para simplificar a forma das equações consideramos que

4 4 3,a aΩ = − + (2.20)

e atendendo à equação do perfil de velocidade, equação (2.6), obtém-se a seguinte equação de

energia para o caso concreto do fluido de Bingham.

( ) ( )

( )

2* ** *

* * * * ** * *

2 ** * *

* * *

6 1 2 1 1 12( )(1 8 ) 4 1

6 1 1(1 8 ) 0

r a r T a rBr r r Br se a r

r r r

a TBr r se r a

r r r

− − − ∂ ∂ − + = − ≤ ≤ Ω ∂ ∂ Ω − ∂ ∂+ = ≤ ≤ Ω ∂ ∂

(2.21)

As condições fronteira, que vão permitir integrar esta equação, são apresentadas

seguidamente.

2.4 Apresentação das Condições de Fronteira

Considerando o escoamento laminar estacionário de um fluido de Bingham através de

uma conduta rectilínea de secção circular como se pode ver na figura 2.1, a região I é a zona

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20

do perfil de velocidade onde há gradiente de velocidade e a região II é a zona onde a taxa de

deformação é nula, perfil de velocidade uniforme. As condições de fronteira do escoamento

são definidas pelas seguintes equações:

Figura 2.1 Escoamento laminar estacionário e as suas condições de fronteira

0r = , 0T

r

∂ =∂

(2.22)

Para

0r r= , I II

T T

r r

∂ ∂=∂ ∂

e (2.23)

0 0( , ) ( , )I IIT r x T r x=

E para

r R= , w

Tk q

r

∂ =∂

ɺ

e (2.24)

( )wT T x=

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21

2.4.1 Adimensionalização das condições de fronteira

Adimensionalizando as condições de fronteira vamos obter:

* 0r = ,

*

*0

T

r

∂ =∂

(2.25)

Para

*r a= ,

* *

* *I II

T T

r r

∂ ∂=∂ ∂

e * *

I IIT T= (2.26)

E para

* 1r = ,

*

*

1

2 2

T R R

r D R

∂ = = =∂

(2.27)

2.5 Expressão de cálculo do número de Nusselt

Partindo da equação que traduz a lei de Newton do arrefecimento,

( ),w wq h T T= −ɺ (2.28)

e adimensionalizando-a obtêm a seguinte equação:

* *( ) ww w

q Dq h T T

k= −

ɺɺ (2.29)

simplificando-a obtemos a equação de cálculo do número de Nusselt:

* *

1

( )w

hDNu

k T T= =

− (2.30)

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Estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar de um fluido de Bingham com dissipação viscosa

22

A temperatura de mistura, T , que vai ser usada no cálculo do número de Nusselt, é

obtida através da seguinte expressão:

0

2

2R

ruT dr

TR U

π

π=∫

(2.31)

Adimensionalizando a equação anterior obtemos:

1* * * * *

0

2T r u T dr= ∫ (2.32)

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23

3 Integração da Equação de Energia

3.1 Introdução

Neste capítulo ir-se-á integrar a equação da energia, para posteriormente obtermos as

equações da distribuição da temperatura, da temperatura de mistura e a equação do número de

Nusselt.

Vamos também fazer uma breve comparação com a solução apresenta no artigo de

Min e Yoo (1999).

3.2 Integração da equação da energia

Com a ajuda do programa de cálculo, Derive 5, procedeu-se à primeira integração da

equação da energia, obtendo a seguinte equação para as derivadas da temperatura em ordem

ao raio:

* *2 * *2 *2 * *2**1

* *

* *2 2 *2 2*2 *

* *

48 [2 ( 1) 1] 2 [4 (2 3) 3( 2)]1

2

24 ( 1) 3 ( 1)0

I

II

Br r a r r C r a r rTse a r

r r

Br r a C r aTse r a

r r

− − + + Ω + − − −∂ = ≤ ≤ ∂ Ω

− +Ω + − ∂ = ≤ ≤ ∂ Ω

(3.1)

Para a condição:

* 0r = ,

*

*0II

T

r

∂ =∂

(3.2)

2 0C =

Para a condição:

*r a= ,

* *

I II

T T

r r

∂ ∂=∂ ∂

(3.3)

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Estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar de um fluido de Bingham com dissipação viscosa

24

4

1 2

aC =

Ω

Mediante os resultados da constantes 1C e 2C verificamos a condição de fronteira:

* 1r = ,

*

*

1

2I

T

r

∂ =∂

(3.4)

Ficando a equação final com as constantes 1C e 2C substituídas:

* * *2 * *2 4 *2 * *2 *2*

* *

* * 2 * 2**

*

48 [2 ( 1) 1] 4 (2 3) 3 ( 2)1

2

24 ( 1) 3 ( 1)0

I

II

T Br r a r r a ar r r rse a r

r r

Br r a r aTse r a

r

∂ − − + + + − − −= ≤ ≤ ∂ Ω

− + − ∂ = ≤ ≤ ∂ Ω

(3.5)

2ª Integração da equação de * *dT dr :

4 * * * * *2 * *2* *

3

*2 ** *

4 2

ln( ) [48 (4 (2 3) 3( 2)) 8 (4 9) 9( 4)]1

2 243 (8 1)

02( 2 3)

I

II

a r r Br a r r a r rT C se a r

r BrT C se r a

a a

− − − + − − −= + + ≤ ≤ Ω Ω + = + ≤ ≤ + +

(3.6)

Para a condição de fronteira:

* 1r = e * *

I wT T=

**

3

48 (4 3) 40 27

24w

Br a aC T

− + −= +Ω

(3.7)

Para a condição de fronteira:

*r a= e * *

II IT T=

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25

* 3 2 3 2 4*

4 2 2 2

48 ( 3) 13 13 13 27 ln( )

24(1 )( 2 3) 2( 1) ( 2 3)w

Br a a a a a a a aC T

a a a a a a

+ + − + + + −= + +− + + − + +

(3.8)

Ficando a equação final com as constantes 3C e 4C substituídas:

( )

( )

*

4* * *

2 2

4 ** * *

*

1

ln( )0

2( 1) ( 2 3)

ln( )

2

II w

I w se a r

a aT T Z se r a

a a a

a rT T J r

r

≤ ≤

= + + ≤ ≤− + +

= + + Ω

(3.9)

sendo:

( )* * * * *2 * *2 * *3 *2 *

* ( 1)[48 ( 1)[4 (2 1) 3( 2 1)] 8 (4 5 5) 9( 3 3)]

24

r Br r a r r r a r r r r rJ r

− − + − + + + − − − + − −Ω

= (3.10)

e

( )* 3 2 *2 *2 3 2 *2 *2

2

* 48 [ (1 6 ) 3(2 1)] 13 13 (13 36 ) 9(4 3)

24(1 )( 2 3)

Br a a a r r a a a r r

a a aZ r

+ + − + − + + + − + −− + +

= (3.11)

3.3 Cálculo da temperatura da mistura

A temperatura da mistura será calculada através da seguinte equação (2.30),

apresentando-se desta forma:

1* * * * * * * * *

0

2 2a

II II I I

a

T r u T dr r u T dr= +∫ ∫ (3.12)

Substituindo e calculando obtemos para a temperatura da mistura a seguinte equação

final:

8* * *

2 2 2 2

ln( )

2( 2 3) ( 2 1)w

a aT T Br S

a a a a= + − +

+ + − + (3.13)

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26

sendo:

7 6 5 4 3 2

3 2 2

195 2211 1203 4397 617 617 6327 3465

1680(1 ) ( 2 3)

a a a a a a aS

a a a

+ + − − − + −=− + +

(3.14)

3.4 Cálculo do número de Nusselt

Para calcular o número de Nusselt utilizamos a equação (2.30), ficamos então com a

seguinte equação final:

8 7 6 5 4 3 2*

2 2 2 2 3 2 2

1

ln( ) 195 2211 1203 4397 617 617 6327 34652( 2 3) ( 2 1) 1680( 1) ( 2 3)

Nua a a a a a a a a

Bra a a a a a a

=+ + − − − + −− +

+ + − + − + +

(3.15)

Para testar a validade desta equação fez-se 0a = , situação equivalente ao caso de um

fluido Newtoniano, tendo-se obtido a solução esperada de *48 (48 11)Nu Br= + , Pinho e

Oliveira (2000), fazendo * 0Br = e a tender para 1, obtém-se 8Nu = , valor também

esperado já que para 1a = o perfil de velocidade do fluido de Bingham é igual ao do fluido

lei de potência para 0n = , figura 1.3, e para 0n = o valor do número de Nusselt dado pela

equação (1.17) é precisamente 8.

Equação para o número de Nusselt do artigo de Min e Yoo (1999) é a seguinte:

2 2 4 5 6 7 8 8

4 4

2

3 3 11 68 62 10 2 13 ln( )2

(3 4 ) (3 4 ) 48 105 135 4 27 15 15 1008 18

Nua a a a a a a a a

Bra a a a

= − − + − − + + − − + − + − +

(3.16)

Estes autores definiram a equação de Br da seguinte forma:

2

0

w

UBr

q R

µ=ɺ

(3.17)

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27

Como a definição de Br usada é diferente, as equações de Nu apresentam-se

algebricamente diferentes, no entanto, as equações são formalmente idênticas para o caso do

número de Brinkman ser igual a zero.

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28

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29

4 Análise do efeito da dissipação viscosa no Nu

4.1 Introdução

Neste capítulo ir-se-á fazer fundamentalmente uma análise do efeito da dissipação

viscosa no número de Nusselt. Inicialmente, far-se-á uma análise para um dado fluido de

Bingham analisando-se o efeito do número de Reynolds e do diâmetro da conduta sobre o

número de Nusselt. E posteriormente, realizar-se-á uma análise do efeito do número de

Brinkman sobre o número de Nusselt de uma forma genérica e que, portanto, é válida para

qualquer fluido de Bingham e quaisquer condições de escoamento em regime laminar. Esta

última maneira de apresentar os dados, por ter um carácter genérico, reveste-se de um grande

interesse prático.

4.2 Análise do número de Nu relativamente ao número de Re'

Em virtude do número de Reynolds ser um grupo adimensional relevante nos

escoamentos de fluidos e na transferência de calor, optou-se por iniciar esta análise com uma

avaliação da forma como o número Nusselt e o número de Reynolds podem representar os

dados da transferência de calor no interior de um tubo para um fluido de Bingham.

Recorrendo à equação (3.15) e à definição de número de Reynolds dada pela equação

(1.12), utilizando a metodologia proposta na equação (1.16) para o cálculo do índice de

potência, representou-se na figura 4.1, a evolução do número de Nusselt em função do

número de Reynolds para o caso do número de Brinkman ser igual a zero. As características

do fluido de Bingham utilizado nesta análise são dadas na tabela 1.

Tabela 1. Características do fluido

0τ 3 Pa

0µ 0,001 Ns/m2

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30

Figura 4.1 Análise do número de Nu relativamente ao número de Re' para diferentes diâmetros

O facto de se optar por realizar esta análise para números de Reynolds até 6000 está

relacionado com a constatação experimental de que o regime laminar pode existir a este valor

elevado de Re′ para fluidos viscoelásticos, Hartnett e Cho (1998), o que, embora não sendo o

caso do fluido em análise, permite apresentar dados que possam vir a ter interesse noutros

casos.

Como se pode ver pela figura 4.1 o Re', só por si, não é suficiente para caracterizar a

transferência de calor, ao contrário do que sucede com a perda de carga em tubos, ver Cruz

(2010). Esta característica deve-se à circunstância de embora para o mesmo Re' só existir um

coeficiente de atrito, f , o mesmo não ocorre com a tensão de corte na parede, wτ . Assim,

para os mesmos Re' e Br , é possível haver vários valores de wτ , como o Nusselt é apenas

função do quociente 0 wτ τ existe um número de Nusselt diferente para cada diâmetro de

tubagem em virtude da tensão de corte na parede ser também diferente para cada diâmetro.

O facto do número de Nusselt diminuir com o aumento do número de Reynolds e com

a diminuição do diâmetro, está relacionado com a inerente diminuição do quociente

0 wa τ τ= . À medida que este último diminui, o perfil de velocidade afasta-se do perfil pistão,

a velocidade junto à parede diminui e, consequentemente, o mesmo sucede com o coeficiente

de convecção e necessariamente com o número de Nusselt. Na figura 4.2 representam-se os

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31

perfis de velocidade adimensionalizados para os três diâmetros analisados e um número de

Reynolds igual a 1000, podendo-se observar o fenómeno anteriormente descrito.

Podemos pois concluir que a relação do número de Nusselt com o número de

Reynolds, 'Re não será a representação mais apropriada para a análise que se pretende fazer,

uma vez que Re' não congrega a totalidade dos efeitos que afectam a transferência de calor

num fluido de Bingham.

Figura 4.2 Perfis de velocidade adimensionalizados para vários diâmetros de conduta e 1000Re'=

4.3 Parâmetro U +

Como se viu anteriormente o número de Nusselt não é só função do número de

Reynolds, mas, para um dado Brinkman, depende exclusivamente do quociente 0 / wτ τ , ver

equação (3.15), que por sua vez depende univocamente do parâmetro

( )0 08 8U U D Bnµ τ+ = = em que Bn é o número de Bingham, Coelho e Pinho (2008).

Assim sendo, surgiu a ideia de realizar o estudo do número de Nusselt em função deste

parâmetro, tornando a análise simultaneamente genérica e com um grande carácter prático,

pois para um dado valor de U + , que só depende das características geométricas, de

escoamento e do próprio fluido, existe um e um só número de Nusselt.

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32

O rácio 0 wa τ τ= pode ser obtido através da resolução da seguinte equação, Coelho e

Pinho (2008):

( )

1 4

0 0 0

0 0 w w w

8 4 11

8 3 3

U

D Bn

τ τ ττ µ τ τ τ

− = = − +

(4.1)

cuja solução é a seguinte:

( ) ( )5 6

1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 322

4a B C B B C C B C

= + − − + − − (4.2)

com:

( ) ( )2 3 23 4 3 27 144 288 256B U U U U U+ + + + += + − + + + (4.3)

,

( ) ( )2 3 23 4 3 27 144 288 256C U U U U U+ + + + += + + + + + (4.4)

e

( )0 0

8

8

UU

D Bnτ µ+ = = (4.5)

Como se referiu anteriormente, dada a relação explícita entre o número de Nusselt e

parâmetro a e entre este último e o parâmetro U + , que simultaneamente congrega os dados

sobre o fluido, através de 0τ e 0µ , e do escoamento, através da velocidade média e do

diâmetro, é possível apresentar uma relação entre Nu e U + que é válida para qualquer fluido

de Bingham num dado escoamento laminar. Deste modo, o cálculo do número de Nusselt em

regime laminar resume-se ao cálculo do parâmetro U + e à posterior consulta de uma tabela,

gráfico ou equação que permita encontrar o Nu respectivo.

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33

Uma outra vantagem desta abordagem é que o efeito da dissipação viscosa sobre o

número de Nusselt pode, também ela, ser feita de uma forma genérica utilizando também para

o efeito o parâmetro U + . Esta análise irá ser realizada seguidamente.

Na figura 5 apresenta-se graficamente a função matemática (4.2) onde se pode ver que

com o aumento do parâmetro U + de zero até um valor muito elevado, o parâmetro 0 wa τ τ= ,

diminui desde um até zero.

Figura 4.3 Relação entre o parâmetroaeU +

4.4 Relação entre o número de Nusselt e o parâmetro U +

Recorrendo à equação (3.15) e à sua relação com o parâmetro U + , equações (4.1) a

(4.5) ir-se-á analisar nesta secção o comportamento do número de Nusselt em função do

parâmetro U + para vários números de Brinkman positivos, aquecimento, w 0q >ɺ , e negativos,

w 0q <ɺ .

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34

4.4.1 Análise para caso de * 0Br >

Na figura 4.4, representamos o número de Nusselt em função do parâmetro U + , tendo-

se variado o número de Brinkman generalizado. No anexo A encontram-se tabelados os

valores Nu em função de U + e *Br para facilitar a leitura e aumentar a precisão dos valores

que venham a ser necessários num caso prático.

Verificou-se que um aumento do número de Brinkman generalizado, para os mesmos

valores do parâmetro U + , provoca uma diminuição do número de Nusselt. Para *Br

superiores a um, o Nu praticamente deixa de ser função de U + , passando a depender apenas

do número de Brinkman. Esta dependência exclusiva do número de Brinkman deve-se ao

maior peso que este adquire no denominador da equação (3.15).

Figura 4.4 Análise para o caso de * 0Br >

Na figura 4.5 representa-se graficamente as parcelas que estão no denominador da

equação (3.15) e que só dependem do parâmetro a , em função de U + .

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35

Figura 4.5 Inverso do Nu para * 0Br =

Como se pode ver, esta parcela varia entre 1/8 e 11/48, um número de Brinkman igual

ou superior a um já é pois suficientemente grande, comparativamente com 11/48, para se

tornar predominante e fazer com que o número de Nusselt deixe de ser função de U + .

A diminuição do número de Nusselt com o aumento do número de Brinkman já era

expectável pois revendo a equação de cálculo do coeficiente de convecção, ( )w wh q T T= −ɺ ,

aumentando a dissipação viscosa a diferença de temperaturas wT T− também aumenta, o

calor gerado por dissipação viscosa é libertado junto à parede aumentando a temperatura

desta, diminuindo assim o coeficiente de convecção e, consequentemente, o número de

Nusselt. No capítulo seguinte ir-se-á realizar um estudo mais detalhado da evolução da

temperatura e da localização da potência dissipada por atrito.

4.4.2 Análise para caso de * 0Br <

Na figura 4.6 representamos a evolução dos mesmos grupos adimensionais da figura

4.4, mas desta vez para valores de *Br negativos, caso do arrefecimento.

Para números de Brinkman negativos e inferiores, em valor absoluto, a 1/8, ver figura

4.5, o número de Nusselt é sempre positivo e aumenta com o aumento de *Br em valor

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36

absoluto. O facto de Nu ser superior a zero deve-se ao facto de wT T− ser também negativo,

i.e., devido ao elevado valor de wqɺ retirado na parede, baixo valor de *Br , equação (1.19), e

ao facto da energia gerada por dissipação viscosa ser inferior ao calor retirado na parede,

* 1 8Br < , em valor absoluto, a temperatura da parede é inferior à temperatura de mistura o

que origina um 0Nu > . Um ligeiro aumento do número de Brinkman em valor absoluto, caso

de *Br passar de -0.01 para -0.1, figura 4.6, acarreta um aumento do Nu pois a dissipação

viscosa promove um aumento da temperatura da parede, a diferença de temperaturas, wT T− ,

diminui em valor absoluto e o coeficiente de convecção e, consequentemente, o número de

Nusselt, aumentam pois ( )w wh q T T= −ɺ .

Para valores de *1 8 11 48Br− < < − , o número de Nusselt começa por ser negativo,

ver figura 4.6, enquanto wT T> , tomando um valor infinito no instante em que wT T= , o

denominador na expressão de cálculo do coeficiente de convecção anula-se passando pois Nu

de menos infinito para mais infinito. A partir desse instante a temperatura da parede fica

inferior à temperatura da mistura, wT T< , e o Nu permanece sempre positivo.

O facto da temperatura da parede, para o mesmo Brinkman, deixar de ser superior à

temperatura da mistura para se tornar inferior com o aumento de U + e, consequentemente,

uma diminuição de a, está relacionada com o local, mais ou menos próximo da parede, onde

ocorre a libertação de calor em virtude da dissipação viscosa. Para valores de a próximos de

um, a referida libertação de calor ocorre junto à parede, zona de grandes gradientes de

velocidade, o que promove um aquecimento desta, ver figura 4.2, à medida que U + aumenta e

a diminui, o gradiente de velocidade junto à parede é menor, o que faz com que o local onde

se gera o calor por dissipação se afaste da parede e a temperatura desta diminua, ver secção

5.2, aumentando a temperatura da mistura.

Para valores * 11 48Br < − , o Nué sempre negativo e diminui com a diminuição de

*Br , isso deve-se ao facto de o calor gerado por dissipação ser agora 11/6 vezes, ou mais,

superior ao calor retirado na parede o que faz com que, independentemente, da forma do perfil

de velocidade a temperatura da parede seja sempre superior à temperatura da mistura.

No próximo capítulo tentar-se-á mostrar de forma mais detalhada alguns dos

fenómenos acima referidos afim de melhor se compreender os comportamentos observados.

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37

Figura 4.6 Análise para o caso de * 0Br ≤

4.4.3 Análise do caso de 0Br > usando a expressão da literatura

Na figura 4.7 efectuamos novamente a representação de Nu versus U+, mas desta vez

com a definição do número de Brinkman de Min e Yoo (1999), ou seja, 2

0 wBr U q Rµ= ɺ .

Podemos verificar que, para o caso de Brinkman igual a zero, o comportamento do

número de Nusselt é o mesmo que o anteriormente exibido na figura 4.4, mas com o aumento

do número de Brinkman ocorre uma diminuição acentuada do número de Nusselt, chegando

mesmo este último a anular-se, o que é totalmente irrealista. Esta diminuição deve-se ao

factor 43 (3 4 )a a− + que multiplica o número de Brinkman utilizado por estes autores,

equação (3.16), e que tende para infinito quando o parâmetro U+ tende para zero, fazendo com

Nu tenda irrealisticamente para zero.

Na realidade o quociente potência dissipada por atrito viscoso / calor trocado na

parede, não é 2

0 wU q Rµ ɺ , mas sim ( ) ( ) ( )240 w w3 3 4 4wa a U q R U qµ τ − + =

ɺ ɺ , ver equação

(4.1). Esta é a consequência de usar formalmente a mesma definição de número de Brinkman

dos fluidos Newtonianos, que nestes fluidos contabiliza correctamente o quociente potência

dissipada por atrito viscoso / calor trocado na parede, nos fluidos não-Newtonianos, sem se ter

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38

o cuidado de verificar se, neste caso, a potência dissipada por atrito viscoso continua a ser

correctamente quantificada, Coelho e Pinho (2008).

Os valores de Nu reais, no caso de números de Brinkman positivos, são aqueles

patentes na figura 4.4, uma vez que a equação (1.19) usada para definir o número de

Brinkman contabiliza de uma forma correcta a potência gerada por atrito viscoso e,

consequentemente, calcula correctamente o número de Nusselt.

Figura 4.7 Análise para o caso de 0Br > da literatura

As consequências para o projecto e dimensionamento de uma instalação poderão ser

nefastas já que ao se assumir, erradamente, um número de Nusselt baixo, próximo de zero,

este facto induziria um aumento desnecessário da potência de aquecimento ou do

comprimento da tubagem, caso se pretendesse aquecer um fluido nessa região de U + .

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39

5 Análise do perfil de temperaturas e influência da dissipação viscosa

5.1 Introdução

Neste capítulo ir-se-á fazer fundamentalmente uma análise do perfil de temperaturas

ao longo raio da tubagem, para diferentes números de Brinkman e diferentes valores do

parâmetro U + . Pretende-se assim fundamentar as explicações dadas no capítulo anterior sobre

o comportamento do número de Nusselt em função do parâmetro U+ e do número de

Brinkman.

De forma a que os perfis de temperatura representados, i.e., * *wT T− , não sejam contra

intuitivos, optou-se por adimensionalizar estes, utilizando o módulo do fluxo de calor imposto

na parede, ou seja,

* w

w

T TT

q D

k

−=ɺ

(5.1)

deste modo o sinal, positivo ou negativo, da diferença wT T− não sofre alterações em virtude

do sinal do fluxo de calor, wqɺ , que como foi referido anteriormente é positivo quando o calor

entra no tubo, aquecimento, e negativo quando o calor é removido das paredes do tubo,

arrefecimento. Em cada perfil de temperaturas será representado, por intermédio do símbolo

“”, o valor correspondente da temperatura média, * *wT T− .

Antes de analisar os perfis de temperatura ir-se-á analisar o comportamento da

potência dissipada por atrito viscoso em função do raio.

5.2 Dissipação viscosa em função do raio

De forma a se visualizar o local onde ocorre a geração de calor por dissipação viscosa

em função do quociente 0 wa τ τ= efectuou-se, na figura 5.1, uma análise gráfica da potência

dissipada, na forma adimensional e para um dado Brinkman mantido constante,

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40

** *

*4u

r Brr

∂− ∂ , ver equação (2.13), em função do raio adimensional, r*, e para diferentes

valores do parâmetro a .

Conforme foi referido no capítulo anterior, secção 4.4.1, verifica-se na figura 5.1 que

com o aumento do parâmetro a , menores valores de U+, maior é a intensificação e

concentração da dissipação viscosa junto à parede do tubo. Este comportamento é pois

responsável por um aumento da temperatura da parede wT e consequente diminuição do

número de Nusselt que, para um mesmo Br*>0, é tanto mais significativa quanto maior for o

valor de a, menor valor de U+, ver figura 4.4.

Figura 5.1 Dissipação viscosa em função do raio

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41

5.3 Análise do perfil de temperaturas

5.3.1 Perfis de temperatura para 0,001U + =

Nas figuras 5.2 a 5.5 representou-se o comportamento dos perfis de temperatura,

* *wT T− , em função do raio adimensional, r*, para diferentes números de Brinkman e para

0,001U + = .

Para * 0Br > , figuras 5.2 e 5.3, verificou-se que a temperatura da parede é sempre

superior à temperatura da mistura, isto deve-se ao facto de ambos, o aquecimento e a

dissipação viscosa, promoverem o aumento da temperatura da parede. Como seria de esperar,

à medida que nos aproximamos da parede, a diferença * *wT T− tende para zero pois a

temperatura do fluido tende para a temperatura da parede.

Figura 5.2 Perfis de temperatura em função de r* para 0,001U + = e *0 1Br≤ ≤

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42

Figura 5.3 Perfis de temperatura em função de r* para 0,001U + = e * 1Br >

Da análise destes dois gráficos é também notório o aumento da diferença de

temperaturas * *wT T− e * *

wT T− com o aumento do número de Brinkman. Para * 0Br = ,

como seria de esperar, é onde ocorre as menores diferenças de temperaturas * *wT T− e

* *wT T− .

Para * 0Br < , figuras 5.4 e 5.5 surgem comportamentos distintos dos perfis de

temperatura consoante o fluido esteja a arrefecer, * 1 8Br < , Br*=0, -0.01 e -0.1, figura 5.4,

em virtude do calor retirado na parede ser superior ao gerado por dissipação viscosa, ou então

o fluido esteja a aquecer, * 1 8Br > , Br*=-0.2, -1, -10 e -100, figuras 5.4 e 5.5, onde o calor

retirado na parede é inferior ao gerado por dissipação viscosa. No primeiro caso, o perfil de

temperaturas apresenta apenas um local onde a derivada * *dT dr é igual a zero, esse local é

no eixo da conduta. No segundo caso, além da derivada nula no eixo de simetria do perfil de

temperaturas, surge um outro local mais próximo da parede onde se verifica igualmente que

* * 0dT dr = .

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43

Figura 5.4 Perfis de temperatura em função de r* para 0,001U + = e *1 0Br− ≤ ≤

Figura 5.5 Perfis de temperatura em função de r* para 0,001U + = e * 1Br < −

Na figura 5.6 mostra-se uma ampliação do perfil de temperatura junto à parede, onde

para o número de Brinkman igual a -1 é notório este segundo local onde * * 0dT dr = . Esta

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44

segunda derivada igual a zero surge em virtude de, na parede, * * 0dT dr < pois qw<0,

independentemente do fluido estar a arrefecer ou a aquecer o que, nesta última situação,

* 1 8Br > , obriga a que exista uma derivada * *dT dr positiva algures no perfil de

temperatura, o que origina um máximo local onde a derivada é nula.

Figura 5.6 Ampliação do perfil de temperaturas junto à parede para *1 0Br− ≤ ≤

No Anexo B apresentam-se os gráficos de outros perfis de temperatura para valores

mais elevados do parâmetro U + , nomeadamente 0,2U + = e 100. Como se poderá constatar,

no geral, o comportamento dos perfis de temperatura não difere daquele aqui apresentado.

5.3.2 Perfis de temperatura para * 0,2Br = − e vários valores de U +

Nesta secção vão ser apresentados os perfis de temperatura para o caso em que o

número de Brinkman é igual a -0.2, situação em que o fluido está a aquecer pois o calor

retirado na parede é inferior ao calor gerado por dissipação, para vários valores de U + . O

gráfico do Nusselt para o caso em análise poderá ser visto na figura 4.6.

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45

Os valores de U + estudados são: 0,001U + = e 0,213, casos em que o Nu é negativo;

0,927U + = , caso em que a curva de Nu apresenta uma descontinuidade e finalmente

106,7U + = , caso em que o número de Nusselt é positivo, c.f. figura 4.6.

A figura 5.7 apresenta pois os perfis de temperatura para os casos referidos

anteriormente. Podendo-se observar claramente os dois locais do perfil onde existe uma

derivada nula como foi referido na secção 5.3.1. Também se pode constatar o aumento da

temperatura da mistura com o aumento de U + , chegando esta a ser superior à temperatura da

parede, 106,7U + = , Nu positivo na figura 4.6, apesar do fluido estar a aquecer.

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1r *

* *wT T−

U + =0,001

U + =0,213

U + =0,927

U + =106.7

Br * =-0,2

Figura 5.7 Perfis de temperatura para * 0,2Br = − e vários valores de U +

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Estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar de um fluido de Bingham com dissipação viscosa

47

6 Conclusões e sugestões para trabalhos futuros

6.1 Conclusões

Após a realização deste trabalho podemos tirar as seguintes conclusões:

O parâmetro ( )0 08 8U U D Bnµ τ+ = = é o mais adequado para representar as

evoluções do número de Nusselt, uma vez que congrega num único número os parâmetros

reológicos, 0µ e 0τ , e os parâmetros relativos ao escoamento, U e D, sendo que, para um

dado valor de U+ e um dado valor de Br* existe um e um só valor do número de Nusselt.

Quando a dissipação por efeitos viscosos está presente, é fundamental contabilizar

correctamente o número de Brinkman, * ( ) (8 )w wBr U qτ= ɺ , caso contrário o número de

Nusselt obtido fica, neste caso, desprovido de qualquer significado físico. Podendo até a sua

utilização ter consequências nefastas já que o Nu assim obtido dá valores até cerca de oitenta

vezes mais pequeno que o valor real.

Nos perfis de temperatura, e nos casos em que o calor gerado por dissipação viscosa é

superior ao retirado na parede, estes apresentam sempre dois pontos de derivada nula, além da

derivada nula no eixo de simetria do perfil de temperaturas surge um outro local mais

próximo da parede onde se verifica igualmente que * * 0dT dr = .

6.2 Sugestões para trabalhos futuros

Como trabalhos futuros poder-se-á pensar em estender esta análise aos casos de

temperatura de parede constante, ou outras secções de conduta que não a secção circular, e

também a outros fluidos não-Newtonianos.

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48

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1.

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Estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar de um fluido de Bingham com dissipação viscosa

50

ANEXO A

Neste anexo apresentam-se os valores numéricos do número de Nusselt para diferentes

números de Brinkman positivos, caso mais frequente que é o aquecimento do fluido, em

função do parâmetro genérico U+, que é dado por:

( )0 0

8

8

UU

D Bnτ µ+ = = (4.5)

Estes valores são válidos para fluxo de calor constante na parede e escoamento

laminar de um fluido de Bingham numa conduta de secção circular.

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51

Tabela A.12. Relação entre o parâmetro U + e o Nu com variação do *Br

* 0Br = * 0,01Br = * 0,1Br = * 1Br = * 10Br = * 100Br =

U + Nu Nu Nu Nu Nu Nu

8,9x10-06 7,97943 7,38977 4,43809 0,88863 0,09876 0,00999

3,6x10-05 7,95538 7,36914 4,43064 0,88833 0,09875 0,00999

6,2x10-05 7,94108 7,35687 4,42620 0,88815 0,09875 0,00999

8,9x10-05 7,92971 7,34711 4,42266 0,88801 0,09875 0,00999

1,2x10-04 7,91998 7,33875 4,41963 0,88789 0,09875 0,00999

1,4x10-04 7,91136 7,33135 4,41695 0,88778 0,09875 0,00999

1,7x10-04 7,90353 7,32463 4,41451 0,88768 0,09875 0,00999

2,0x10-04 7,89632 7,31843 4,41226 0,88759 0,09874 0,00999

2,5x10-04 7,88329 7,30724 4,40818 0,88742 0,09874 0,00999

3,0x10-04 7,87164 7,29723 4,40454 0,88728 0,09874 0,00999

3,6x10-04 7,86103 7,28811 4,40121 0,88714 0,09874 0,00999

3,9x10-04 7,85441 7,28241 4,39914 0,88706 0,09874 0,00999

4,5x10-04 7,84354 7,27307 4,39573 0,88692 0,09874 0,00999

5,0x10-04 7,83484 7,26559 4,39299 0,88681 0,09873 0,00999

5,8x10-04 7,82395 7,25623 4,38957 0,88667 0,09873 0,00999

6,5x10-04 7,81376 7,24746 4,38636 0,88654 0,09873 0,00999

7,2x10-04 7,80414 7,23919 4,38333 0,88641 0,09873 0,00999

8,0x10-04 7,79391 7,23038 4,38010 0,88628 0,09873 0,00999

8,8x10-04 7,78421 7,22203 4,37703 0,88615 0,09873 0,00999

9,6x10-04 7,77497 7,21408 4,37411 0,88603 0,09873 0,00999

1,1x10-03 7,76423 7,20483 4,37071 0,88589 0,09872 0,00999

1,2x10-03 7,75492 7,19681 4,36775 0,88577 0,09872 0,00999

1,3x10-03 7,74425 7,18762 4,36437 0,88563 0,09872 0,00999

1,4x10-03 7,73489 7,17956 4,36139 0,88551 0,09872 0,00999

1,5x10-03 7,72112 7,16770 4,35701 0,88533 0,09872 0,00999

1,6x10-03 7,71491 7,16234 4,35503 0,88525 0,09872 0,00999

1,7x10-03 7,70439 7,15328 4,35168 0,88511 0,09871 0,00999

1,8x10-03 7,69429 7,14457 4,34846 0,88498 0,09871 0,00999

2,0x10-03 7,68050 7,13268 4,34405 0,88479 0,09871 0,00999

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52

* 0Br = * 0,01Br = * 0,1Br = * 1Br = * 10Br = * 100Br =

U + Nu Nu Nu Nu Nu Nu

2,1x10-03 7,67321 7,12638 4,34171 0,88470 0,09871 0,00999

2,2x10-03 7,66610 7,12025 4,33944 0,88460 0,09871 0,00999

2,4x10-03 7,65178 7,10790 4,33485 0,88441 0,09870 0,00999

2,5x10-03 7,64517 7,10220 4,33272 0,88432 0,09870 0,00999

2,7x10-03 7,63181 7,09067 4,32843 0,88414 0,09870 0,00999

2,8x10-03 7,62562 7,08532 4,32644 0,88406 0,09870 0,00999

3,0x10-03 7,61360 7,07494 4,32257 0,88390 0,09870 0,00999

3,2x10-03 7,60150 7,06449 4,31866 0,88374 0,09870 0,00999

3,3x10-03 7,59586 7,05962 4,31684 0,88366 0,09870 0,00999

3,5x10-03 7,58438 7,04971 4,31313 0,88350 0,09869 0,00999

3,7x10-03 7,57376 7,04052 4,30969 0,88336 0,09869 0,00999

3,9x10-03 7,56298 7,03121 4,30620 0,88321 0,09869 0,00999

4,1x10-03 7,55298 7,02256 4,30296 0,88308 0,09869 0,00999

4,3x10-03 7,54281 7,01377 4,29965 0,88294 0,09869 0,00999

4,5x10-03 7,53334 7,00558 4,29658 0,88281 0,09868 0,00999

4,7x10-03 7,52369 6,99724 4,29344 0,88267 0,09868 0,00999

4,9x10-03 7,51469 6,98945 4,29050 0,88255 0,09868 0,00999

5,1x10-03 7,50549 6,98150 4,28750 0,88242 0,09868 0,00999

5,3x10-03 7,49690 6,97406 4,28470 0,88231 0,09868 0,00999

5,6x10-03 7,48398 6,96288 4,28047 0,88213 0,09868 0,00999

5,8x10-03 7,47584 6,95583 4,27781 0,88201 0,09868 0,00999

6,1x10-03 7,46356 6,94520 4,27379 0,88184 0,09867 0,00999

6,3x10-03 7,45546 6,93819 4,27113 0,88173 0,09867 0,00999

6,6x10-03 7,44377 6,92806 4,26729 0,88156 0,09867 0,00999

6,8x10-03 7,43637 6,92165 4,26486 0,88146 0,09867 0,00999

7,1x10-03 7,42519 6,91196 4,26118 0,88130 0,09867 0,00999

7,4x10-03 7,41460 6,90279 4,25769 0,88115 0,09866 0,00999

7,8x10-03 7,40056 6,89062 4,25306 0,88096 0,09866 0,00999

8,0x10-03 7,39355 6,88454 4,25074 0,88086 0,09866 0,00999

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53

* 0Br = * 0,01Br = * 0,1Br = * 1Br = * 10Br = * 100Br =

U + Nu Nu Nu Nu Nu Nu

8,3x10-03 7,38339 6,87573 4,24738 0,88072 0,09866 0,00999

8,6x10-03 7,37345 6,86711 4,24409 0,88057 0,09866 0,00999

8,9x10-03 7,36400 6,85891 4,24096 0,88044 0,09866 0,00999

9,2x10-03 7,35447 6,85064 4,23779 0,88030 0,09866 0,00999

9,5x10-03 7,34512 6,84253 4,23469 0,88017 0,09866 0,00999

9,8x10-03 7,33622 6,83480 4,23173 0,88004 0,09866 0,00999

1,0x10-02 7,33011 6,82950 4,22970 0,87995 0,09865 0,00999

1,1x10-02 7,30517 6,80785 4,22138 0,87959 0,09865 0,00999

1,2x10-02 7,28071 6,78660 4,21320 0,87924 0,09865 0,00999

1,8x10-02 7,13966 6,66388 4,16558 0,87714 0,09862 0,00999

2,2x10-02 7,05467 6,58978 4,13650 0,87585 0,09860 0,00999

2,7x10-02 6,98039 6,52493 4,11086 0,87469 0,09859 0,00999

3,1x10-02 6,91416 6,46702 4,08779 0,87364 0,09857 0,00999

3,6x10-02 6,85423 6,41456 4,06677 0,87268 0,09856 0,00999

4,0x10-02 6,79941 6,36652 4,04741 0,87179 0,09855 0,00999

4,4x10-02 6,74881 6,32214 4,02943 0,87095 0,09854 0,00999

4,9x10-02 6,70180 6,28087 4,01262 0,87016 0,09853 0,00999

5,3x10-02 6,65786 6,24226 3,99683 0,86942 0,09852 0,00999

5,8x10-02 6,61660 6,20597 3,98192 0,86871 0,09851 0,00998

6,2x10-02 6,57769 6,17173 3,96780 0,86803 0,09850 0,00998

6,7x10-02 6,54087 6,13930 3,95437 0,86739 0,09849 0,00998

7,1x10-02 6,50591 6,10850 3,94156 0,86677 0,09849 0,00998

7,6x10-02 6,47263 6,07915 3,92933 0,86618 0,09848 0,00998

8,0x10-02 6,44088 6,05114 3,91760 0,86561 0,09847 0,00998

8,4x10-02 6,41052 6,02433 3,90635 0,86506 0,09846 0,00998

8,9x10-02 6,38143 5,99863 3,89553 0,86452 0,09846 0,00998

1,1x10-01 6,27590 5,90529 3,85595 0,86256 0,09843 0,00998

1,2x10-01 6,18432 5,82414 3,82118 0,86081 0,09841 0,00998

1,4x10-01 6,10352 5,75242 3,79018 0,85922 0,09839 0,00998

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Estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar de um fluido de Bingham com dissipação viscosa

54

* 0Br = * 0,01Br = * 0,1Br = * 1Br = * 10Br = * 100Br =

U + Nu Nu Nu Nu Nu Nu

1,6x10-01 6,03130 5,68823 3,76220 0,85778 0,09837 0,00998

1,8x10-01 5,96610 5,63020 3,73673 0,85645 0,09835 0,00998

2,0x10-01 5,90675 5,57731 3,71336 0,85521 0,09834 0,00998

2,1x10-01 5,85236 5,52880 3,69179 0,85406 0,09832 0,00998

2,3x10-01 5,80224 5,48404 3,67178 0,85299 0,09831 0,00998

2,5x10-01 5,75581 5,44255 3,65313 0,85198 0,09829 0,00998

2,7x10-01 5,71262 5,40392 3,63569 0,85103 0,09828 0,00998

2,8x10-01 5,67230 5,36782 3,61932 0,85013 0,09827 0,00998

3,0x10-01 5,63454 5,33399 3,60390 0,84927 0,09826 0,00998

3,2x10-01 5,59906 5,30219 3,58936 0,84846 0,09825 0,00998

3,4x10-01 5,56564 5,27221 3,57559 0,84769 0,09823 0,00998

3,6x10-01 5,53409 5,24389 3,56254 0,84696 0,09823 0,00998

3,7x10-01 5,50423 5,21707 3,55015 0,84625 0,09822 0,00998

3,9x10-01 5,47593 5,19164 3,53835 0,84558 0,09821 0,00998

4,0x10-01 5,44905 5,16747 3,52711 0,84494 0,09820 0,00998

4,3x10-01 5,42348 5,14447 3,51638 0,84432 0,09819 0,00998

4,4x10-01 5,39911 5,12254 3,50612 0,84373 0,09818 0,00998

4,6x10-01 5,37586 5,10160 3,49630 0,84316 0,09817 0,00998

4,8x10-01 5,35364 5,08159 3,48689 0,84261 0,09817 0,00998

5,0x10-01 5,33239 5,06244 3,47786 0,84208 0,09816 0,00998

5,2x10-01 5,31204 5,04409 3,46919 0,84157 0,09815 0,00998

5,3x10-01 5,29252 5,02649 3,46086 0,84108 0,09815 0,00998

5,5x10-01 5,27379 5,00960 3,45284 0,84061 0,09814 0,00998

5,7x10-01 5,25580 4,99336 3,44512 0,84015 0,09813 0,00998

5,9x10-01 5,23850 4,97774 3,43767 0,83970 0,09813 0,00998

6,0x10-01 5,22184 4,96270 3,43049 0,83928 0,09812 0,00998

6,2x10-01 5,20580 4,94821 3,42356 0,83886 0,09812 0,00998

6,4x10-01 5,19034 4,93424 3,41687 0,83846 0,09811 0,00998

6,6x10-01 5,17543 4,92076 3,41040 0,83807 0,09810 0,00998

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Estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar de um fluido de Bingham com dissipação viscosa

55

* 0Br = * 0,01Br = * 0,1Br = * 1Br = * 10Br = * 100Br =

U + Nu Nu Nu Nu Nu Nu

6,8x10-01 5,16103 4,90774 3,40414 0,83769 0,09810 0,00998

6,9x10-01 5,14713 4,89517 3,39809 0,83732 0,09809 0,00998

7,1x10-01 5,13368 4,88300 3,39222 0,83697 0,09809 0,00998

7,3x10-01 5,12068 4,87124 3,38654 0,83662 0,09808 0,00998

7,5x10-01 5,10810 4,85985 3,38103 0,83628 0,09808 0,00998

7,6x10-01 5,09591 4,84882 3,37569 0,83596 0,09808 0,00998

7,8x10-01 5,08411 4,83813 3,37051 0,83564 0,09807 0,00998

8,0x10-01 5,07267 4,82777 3,36547 0,83533 0,09807 0,00998

8,2x10-01 5,06157 4,81772 3,36059 0,83503 0,09806 0,00998

8,4x10-01 5,05080 4,80796 3,35584 0,83473 0,09806 0,00998

8,5x10-01 5,04035 4,79849 3,35122 0,83445 0,09805 0,00998

8,7x10-01 5,03020 4,78929 3,34673 0,83417 0,09805 0,00998

8,9x10-01 5,02034 4,78035 3,34236 0,83390 0,09805 0,00998

1,8 4,73636 4,52218 3,21407 0,82567 0,09793 0,00998

2,8 4,62059 4,41652 3,16033 0,82208 0,09788 0,00998

3,6 4,55867 4,35992 3,13124 0,82010 0,09785 0,00998

4,4 4,52042 4,32492 3,11315 0,81885 0,09784 0,00998

5,3 4,49457 4,30124 3,10086 0,81800 0,09782 0,00998

6,2 4,47596 4,28420 3,09200 0,81738 0,09781 0,00998

7,1 4,46195 4,27136 3,08530 0,81692 0,09781 0,00998

8,0 4,45103 4,26135 3,08008 0,81655 0,09780 0,00998

8,9 4,44228 4,25334 3,07589 0,81625 0,09780 0,00998

9,8 4,43512 4,24677 3,07245 0,81601 0,09779 0,00998

1,0x1001 4,42915 4,24129 3,06958 0,81581 0,09779 0,00998

1,2x1001 4,42410 4,23666 3,06716 0,81564 0,09779 0,00998

1,24x1001 4,41976 4,23269 3,06507 0,81549 0,09779 0,00998

1,3x1001 4,41601 4,22925 3,06327 0,81536 0,09779 0,00998

1,4x1001 4,41273 4,22624 3,06169 0,81525 0,09778 0,00998

1,5x1001 4,40983 4,22358 3,06029 0,81515 0,09778 0,00998

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Estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar de um fluido de Bingham com dissipação viscosa

56

* 0Br = * 0,01Br = * 0,1Br = * 1Br = * 10Br = * 100Br =

U + Nu Nu Nu Nu Nu Nu

1,60x10+01 4,40726 4,22122 3,05905 0,81506 0,09778 0,00998

1,69x10+01 4,40495 4,21911 3,05794 0,81498 0,09778 0,00998

1,78x10+01 4,40288 4,21720 3,05695 0,81491 0,09778 0,00998

1,87x10+01 4,40101 4,21548 3,05604 0,81485 0,09778 0,00998

1,96x10+01 4,39931 4,21392 3,05522 0,81479 0,09778 0,00998

2,0x10+01 4,39775 4,21250 3,05447 0,81474 0,09778 0,00998

2,1x10+01 4,39632 4,21119 3,05378 0,81469 0,09778 0,00998

2,2x10+01 4,39501 4,20998 3,05315 0,81464 0,09778 0,00998

2,3x10+01 4,39380 4,20887 3,05257 0,81460 0,09777 0,00998

2,4x10E+01 4,39268 4,20785 3,05203 0,81456 0,09777 0,00998

2,49x10+01 4,39164 4,20689 3,05152 0,81453 0,09777 0,00998

2,58x10+01 4,39068 4,20600 3,05106 0,81449 0,09777 0,00998

2,67x10+01 4,38977 4,20517 3,05062 0,81446 0,09777 0,00998

2,76x10+01 4,38893 4,20440 3,05021 0,81443 0,09777 0,00998

2,8x10+01 4,38814 4,20367 3,04983 0,81441 0,09777 0,00998

2,9x10+01 4,38739 4,20299 3,04947 0,81438 0,09777 0,00998

3,0x10+01 4,38669 4,20235 3,04913 0,81436 0,09777 0,00998

3,1x10+01 4,38603 4,20174 3,04881 0,81433 0,09777 0,00998

3,2x10+01 4,38541 4,20117 3,04851 0,81431 0,09777 0,00998

3,29x10+01 4,38482 4,20063 3,04823 0,81429 0,09777 0,00998

3,38x10+01 4,38426 4,20012 3,04796 0,81427 0,09777 0,00998

1,6x10E+01 4,38373 4,19963 3,04770 0,81426 0,09777 0,00998

1,69x10+01 4,38323 4,19917 3,04746 0,81424 0,09777 0,00998

1,78x10+01 4,38275 4,19873 3,04723 0,81422 0,09777 0,00998

1,87x10+01 4,38229 4,19831 3,04701 0,81421 0,09777 0,00998

1,96x10+01 4,38186 4,19791 3,04680 0,81419 0,09777 0,00998

2,0x10+01 4,38144 4,19753 3,04659 0,81418 0,09777 0,00998

2,1x10+01 4,38105 4,19717 3,04640 0,81416 0,09777 0,00998

2,2x10+01 4,38067 4,19682 3,04622 0,81415 0,09777 0,00998

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Estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar de um fluido de Bingham com dissipação viscosa

57

* 0Br = * 0,01Br = * 0,1Br = * 1Br = * 10Br = * 100Br =

U + Nu Nu Nu Nu Nu Nu

2,3x10+01 4,39380 4,20887 3,05257 0,81460 0,09777 0,00998

2,4x10+01 4,39268 4,20785 3,05203 0,81456 0,09777 0,00998

2,49x10+01 4,39164 4,20689 3,05152 0,81453 0,09777 0,00998

2,58x10+01 4,39068 4,20600 3,05106 0,81449 0,09777 0,00998

2,67x10+01 4,38977 4,20517 3,05062 0,81446 0,09777 0,00998

2,76x10+01 4,38893 4,20440 3,05021 0,81443 0,09777 0,00998

2,8x10+01 4,38814 4,20367 3,04983 0,81441 0,09777 0,00998

2,9x10+01 4,38739 4,20299 3,04947 0,81438 0,09777 0,00998

3,0x10+01 4,38669 4,20235 3,04913 0,81436 0,09777 0,00998

3,1x10+01 4,38603 4,20174 3,04881 0,81433 0,09777 0,00998

3,2x10+01 4,38541 4,20117 3,04851 0,81431 0,09777 0,00998

3,29x10+01 4,38482 4,20063 3,04823 0,81429 0,09777 0,00998

3,38x10+01 4,38426 4,20012 3,04796 0,81427 0,09777 0,00998

3,47x10+01 4,38373 4,19963 3,04770 0,81426 0,09777 0,00998

3,56x10+01 4,38323 4,19917 3,04746 0,81424 0,09777 0,00998

3,64x10+01 4,38275 4,19873 3,04723 0,81422 0,09777 0,00998

3,7x10+01 4,38229 4,19831 3,04701 0,81421 0,09777 0,00998

3,8x10+01 4,38186 4,19791 3,04680 0,81419 0,09777 0,00998

3,9x10+01 4,38144 4,19753 3,04659 0,81418 0,09777 0,00998

4,0x10+01 4,38105 4,19717 3,04640 0,81416 0,09777 0,00998

4,0x10+01 4,38067 4,19682 3,04622 0,81415 0,09777 0,00998

4,2x10+01 4,38030 4,19649 3,04604 0,81414 0,09777 0,00998

4,27x10+01 4,37996 4,19617 3,04588 0,81412 0,09777 0,00998

4,36x10+01 4,37962 4,19586 3,04571 0,81411 0,09777 0,00998

4,4x10+01 4,37930 4,19557 3,04556 0,81410 0,09777 0,00998

4,5x10+01 4,37899 4,19528 3,04541 0,81409 0,09777 0,00998

4,6x10+01 4,37870 4,19501 3,04527 0,81408 0,09777 0,00998

4,7x10+01 4,37841 4,19475 3,04513 0,81407 0,09777 0,00998

4,8x10+01 4,37814 4,19450 3,04500 0,81406 0,09777 0,00998

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Estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar de um fluido de Bingham com dissipação viscosa

58

* 0Br = * 0,01Br = * 0,1Br = * 1Br = * 10Br = * 100Br =

U + Nu Nu Nu Nu Nu Nu

4,9x10+01 4,37788 4,19426 3,04487 0,81405 0,09777 0,00998

5,0x10+01 4,37762 4,19402 3,04475 0,81404 0,09777 0,00998

5,07x10+01 4,37738 4,19380 3,04463 0,81404 0,09777 0,00998

5,16x10+01 4,37714 4,19358 3,04451 0,81403 0,09777 0,00998

5,24x10+01 4,37691 4,19337 3,04440 0,81402 0,09777 0,00998

5,33x10+01 4,37669 4,19317 3,04430 0,81401 0,09777 0,00998

5,42x10+01 4,37647 4,19297 3,04419 0,81400 0,09777 0,00998

5,51x10+01 4,37627 4,19278 3,04409 0,81400 0,09777 0,00998

5,60x10+01 4,37607 4,19260 3,04399 0,81399 0,09777 0,00998

5,69x10+01 4,37587 4,19242 3,04390 0,81398 0,09777 0,00998

5,78x10+01 4,37568 4,19224 3,04381 0,81398 0,09777 0,00998

5,87x10+01 4,37550 4,19208 3,04372 0,81397 0,09777 0,00998

5,96x10+01 4,37532 4,19191 3,04363 0,81396 0,09777 0,00998

6,04x10+01 4,37515 4,19176 3,04355 0,81396 0,09777 0,00998

6,13x10+01 4,37498 4,19160 3,04347 0,81395 0,09777 0,00998

6,22x10+01 4,37482 4,19145 3,04339 0,81395 0,09777 0,00998

6,31x10+01 4,37466 4,19131 3,04332 0,81394 0,09777 0,00998

6,40x10+01 4,37451 4,19117 3,04324 0,81394 0,09777 0,00998

6,49x10+01 4,37436 4,19103 3,04317 0,81393 0,09777 0,00998

6,58x10+01 4,37422 4,19090 3,04310 0,81393 0,09776 0,00998

6,67x10+01 4,37407 4,19077 3,04303 0,81392 0,09776 0,00998

6,76x10+01 4,37394 4,19064 3,04296 0,81392 0,09776 0,00998

6,84x10+01 4,37380 4,19052 3,04290 0,81391 0,09776 0,00998

6,93x10+01 4,37367 4,19040 3,04284 0,81391 0,09776 0,00998

7,02x10+01 4,37355 4,19028 3,04277 0,81390 0,09776 0,00998

7,11x10+01 4,37342 4,19017 3,04271 0,81390 0,09776 0,00998

7,20x10+01 4,37330 4,19006 3,04266 0,81389 0,09776 0,00998

7,29x10+01 4,37318 4,18995 3,04260 0,81389 0,09776 0,00998

7,38x10+01 4,37307 4,18984 3,04254 0,81389 0,09776 0,00998

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Estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar de um fluido de Bingham com dissipação viscosa

59

* 0Br = * 0,01Br = * 0,1Br = * 1Br = * 10Br = * 100Br =

U + Nu Nu Nu Nu Nu Nu

7,47x10+01 4,37296 4,18974 3,04249 0,81388 0,09776 0,00998

7,56x10+01 4,37285 4,18964 3,04244 0,81388 0,09776 0,00998

7,64x10+01 4,37274 4,18954 3,04238 0,81388 0,09776 0,00998

7,73x10+01 4,37263 4,18944 3,04233 0,81387 0,09776 0,00998

7,82x10+01 4,37253 4,18935 3,04228 0,81387 0,09776 0,00998

7,91x10+01 4,37243 4,18926 3,04224 0,81386 0,09776 0,00998

8,0x10+01 4,37233 4,18917 3,04219 0,81386 0,09776 0,00998

8,09x10+01 4,37224 4,18908 3,04214 0,81386 0,09776 0,00998

8,18x10+01 4,37214 4,18900 3,04210 0,81385 0,09776 0,00998

8,27x10+01 4,37205 4,18891 3,04205 0,81385 0,09776 0,00998

8,36x10+01 4,37196 4,18883 3,04201 0,81385 0,09776 0,00998

8,44x10+01 4,37188 4,18875 3,04197 0,81385 0,09776 0,00998

8,53x10+01 4,37179 4,18867 3,04192 0,81384 0,09776 0,00998

8,62x10+01 4,37171 4,18859 3,04188 0,81384 0,09776 0,00998

8,71x10+01 4,37162 4,18852 3,04184 0,81384 0,09776 0,00998

8,80x10+01 4,37154 4,18844 3,04180 0,81383 0,09776 0,00998

8,89x10+01 4,37146 4,18837 3,04177 0,81383 0,09776 0,00998

1,07x10+02 4,37016 4,18717 3,04113 0,81379 0,09776 0,00998

1,24x10+02 4,36923 4,18632 3,04068 0,81375 0,09776 0,00998

1,42x10+02 4,36853 4,18567 3,04034 0,81373 0,09776 0,00998

1,60x10+02 4,36798 4,18518 3,04008 0,81371 0,09776 0,00998

1,78x10+02 4,36755 4,18478 3,03987 0,81370 0,09776 0,00998

1,96x10+02 4,36719 4,18445 3,03970 0,81368 0,09776 0,00998

2,13x10+02 4,36690 4,18418 3,03955 0,81367 0,09776 0,00998

2,31x10+02 4,36665 4,18395 3,03943 0,81366 0,09776 0,00998

2,49x10+02 4,36643 4,18375 3,03933 0,81366 0,09776 0,00998

2,67x10+02 4,36624 4,18358 3,03924 0,81365 0,09776 0,00998

2,84x10+02 4,36608 4,18343 3,03916 0,81364 0,09776 0,00998

3,02x10+02 4,36594 4,18330 3,03909 0,81364 0,09776 0,00998

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Estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar de um fluido de Bingham com dissipação viscosa

60

* 0Br = * 0,01Br = * 0,1Br = * 1Br = * 10Br = * 100Br =

U + Nu Nu Nu Nu Nu Nu

3,20x10+02 4,36581 4,18318 3,03903 0,81363 0,09776 0,00998

3,38x10+02 4,36569 4,18307 3,03897 0,81363 0,09776 0,00998

3,56x10+02 4,36559 4,18298 3,03892 0,81363 0,09776 0,00998

3,73x10+02 4,36550 4,18289 3,03888 0,81362 0,09776 0,00998

3,91x10+02 4,36541 4,18282 3,03884 0,81362 0,09776 0,00998

4,09x10+02 4,36534 4,18275 3,03880 0,81362 0,09776 0,00998

4,27x10+02 4,36527 4,18268 3,03876 0,81362 0,09776 0,00998

4,44x10+02 4,36520 4,18262 3,03873 0,81361 0,09776 0,00998

4,62x10+02 4,36514 4,18257 3,03870 0,81361 0,09776 0,00998

4,80x10+02 4,36508 4,18251 3,03868 0,81361 0,09776 0,00998

4,98x10+02 4,36503 4,18247 3,03865 0,81361 0,09776 0,00998

5,16x10+02 4,36498 4,18242 3,03863 0,81361 0,09776 0,00998

5,33x10+02 4,36494 4,18238 3,03861 0,81360 0,09776 0,00998

5,51x10+02 4,36490 4,18234 3,03859 0,81360 0,09776 0,00998

5,69x10+02 4,36486 4,18231 3,03857 0,81360 0,09776 0,00998

5,87x10+02 4,36482 4,18227 3,03855 0,81360 0,09776 0,00998

6,04x10+02 4,36479 4,18224 3,03853 0,81360 0,09776 0,00998

6,22x10+02 4,36475 4,18221 3,03852 0,81360 0,09776 0,00998

6,40x10+02 4,36472 4,18218 3,03850 0,81360 0,09776 0,00998

6,58x10+02 4,36469 4,18216 3,03849 0,81360 0,09776 0,00998

6,76x10+02 4,36467 4,18213 3,03847 0,81360 0,09776 0,00998

6,93x10+02 4,36464 4,18211 3,03846 0,81359 0,09776 0,00998

7,11x10+02 4,36461 4,18208 3,03845 0,81359 0,09776 0,00998

7,29x10+02 4,36459 4,18206 3,03844 0,81359 0,09776 0,00998

7,47x10+02 4,36457 4,18204 3,03843 0,81359 0,09776 0,00998

7,64x10+02 4,36455 4,18202 3,03842 0,81359 0,09776 0,00998

7,82x10+02 4,36453 4,18200 3,03841 0,81359 0,09776 0,00998

8,00x10+02 4,36451 4,18198 3,03840 0,81359 0,09776 0,00998

8,18x10+02 4,36449 4,18197 3,03839 0,81359 0,09776 0,00998

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Estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar de um fluido de Bingham com dissipação viscosa

61

* 0Br = * 0,01Br = * 0,1Br = * 1Br = * 10Br = * 100Br =

U + Nu Nu Nu Nu Nu Nu

8,36x10+02 4,36447 4,18195 3,03838 0,81359 0,09776 0,00998

8,53x10+02 4,36445 4,18193 3,03837 0,81359 0,09776 0,00998

8,71x10+02 4,36443 4,18192 3,03836 0,81359 0,09776 0,00998

8,89x10+02 4,36442 4,18190 3,03835 0,81359 0,09776 0,00998

9,07x10+02 4,36440 4,18189 3,03835 0,81359 0,09776 0,00998

9,24x10+02 4,36439 4,18188 3,03834 0,81359 0,09776 0,00998

9,42x10+02 4,36437 4,18186 3,03833 0,81358 0,09776 0,00998

9,60x10+02 4,36436 4,18185 3,03833 0,81358 0,09776 0,00998

9,78x10+02 4,36435 4,18184 3,03832 0,81358 0,09776 0,00998

9,96x10+02 4,36433 4,18183 3,03831 0,81358 0,09776 0,00998

1,01x10+03 4,36432 4,18181 3,03831 0,81358 0,09776 0,00998

1,03x10+03 4,36431 4,18180 3,03830 0,81358 0,09776 0,00998

1,05x10+03 4,36430 4,18179 3,03830 0,81358 0,09776 0,00998

1,07x10+03 4,36429 4,18178 3,03829 0,81358 0,09776 0,00998

1,08x10+03 4,36428 4,18177 3,03829 0,81358 0,09776 0,00998

1,10x10+03 4,36427 4,18176 3,03828 0,81358 0,09776 0,00998

1,12x10+03 4,36426 4,18175 3,03828 0,81358 0,09776 0,00998

1,14x10+03 4,36425 4,18175 3,03827 0,81358 0,09776 0,00998

1,16x10+03 4,36424 4,18174 3,03827 0,81358 0,09776 0,00998

1,17x10+03 4,36423 4,18173 3,03826 0,81358 0,09776 0,00998

1,19x10+03 4,36422 4,18172 3,03826 0,81358 0,09776 0,00998

1,21x10+03 4,36421 4,18171 3,03825 0,81358 0,09776 0,00998

1,23x10+03 4,36420 4,18170 3,03825 0,81358 0,09776 0,00998

1,24x10+03 4,36420 4,18170 3,03825 0,81358 0,09776 0,00998

1,26x10+03 4,36419 4,18169 3,03824 0,81358 0,09776 0,00998

1,28x10+03 4,36418 4,18168 3,03824 0,81358 0,09776 0,00998

1,30x10+03 4,36417 4,18168 3,03823 0,81358 0,09776 0,00998

1,32x10+03 4,36416 4,18167 3,03823 0,81358 0,09776 0,00998

1,33x10+03 4,36416 4,18166 3,03823 0,81358 0,09776 0,00998

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Estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar de um fluido de Bingham com dissipação viscosa

62

* 0Br = * 0,01Br = * 0,1Br = * 1Br = * 10Br = * 100Br =

U + Nu Nu Nu Nu Nu Nu

1,35x10+03 4,36415 4,18166 3,03822 0,81358 0,09776 0,00998

1,37x10+03 4,36414 4,18165 3,03822 0,81358 0,09776 0,00998

1,39x10+03 4,36414 4,18164 3,03822 0,81358 0,09776 0,00998

1,40x10+03 4,36413 4,18164 3,03821 0,81358 0,09776 0,00998

1,42x10+03 4,36413 4,18163 3,03821 0,81358 0,09776 0,00998

1,44x10+03 4,36412 4,18163 3,03821 0,81358 0,09776 0,00998

1,46x10+03 4,36411 4,18162 3,03821 0,81358 0,09776 0,00998

1,48x10+03 4,36411 4,18162 3,03820 0,81358 0,09776 0,00998

1,49x10+03 4,36410 4,18161 3,03820 0,81358 0,09776 0,00998

1,51x10+03 4,36410 4,18161 3,03820 0,81358 0,09776 0,00998

1,53x10+03 4,36409 4,18160 3,03820 0,81358 0,09776 0,00998

1,55x10+03 4,36409 4,18160 3,03819 0,81357 0,09776 0,00998

1,56x10+03 4,36408 4,18159 3,03819 0,81357 0,09776 0,00998

1,58x10+03 4,36408 4,18159 3,03819 0,81357 0,09776 0,00998

1,60x10+03 4,36407 4,18158 3,03819 0,81357 0,09776 0,00998

1,62x10+03 4,36407 4,18158 3,03818 0,81357 0,09776 0,00998

1,64x10+03 4,36406 4,18158 3,03818 0,81357 0,09776 0,00998

1,65x10+03 4,36406 4,18157 3,03818 0,81357 0,09776 0,00998

1,67x10+03 4,36405 4,18157 3,03818 0,81357 0,09776 0,00998

1,69x10+03 4,36405 4,18156 3,03817 0,81357 0,09776 0,00998

1,71x10+03 4,36404 4,18156 3,03817 0,81357 0,09776 0,00998

1,72x10+03 4,36404 4,18155 3,03817 0,81357 0,09776 0,00998

1,74x10+03 4,36404 4,18155 3,03817 0,81357 0,09776 0,00998

1,76x10+03 4,36403 4,18155 3,03817 0,81357 0,09776 0,00998

1,78x10+03 4,36403 4,18154 3,03816 0,81357 0,09776 0,00998

1,80x10+03 4,36402 4,18154 3,03816 0,81357 0,09776 0,00998

1,81x10+03 4,36402 4,18154 3,03816 0,81357 0,09776 0,00998

1,83x10+03 4,36402 4,18153 3,03816 0,81357 0,09776 0,00998

1,85x10+03 4,36401 4,18153 3,03816 0,81357 0,09776 0,00998

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Estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar de um fluido de Bingham com dissipação viscosa

63

* 0Br = * 0,01Br = * 0,1Br = * 1Br = * 10Br = * 100Br =

U + Nu Nu Nu Nu Nu Nu

1,87x10+03 4,36401 4,18153 3,03816 0,81357 0,09776 0,00998

1,88x10+03 4,36401 4,18152 3,03815 0,81357 0,09776 0,00998

1,90x10+03 4,36400 4,18152 3,03815 0,81357 0,09776 0,00998

1,92x10+03 4,36400 4,18152 3,03815 0,81357 0,09776 0,00998

1,94x10+03 4,36400 4,18151 3,03815 0,81357 0,09776 0,00998

1,96x10+03 4,36399 4,18151 3,03815 0,81357 0,09776 0,00998

1,97x10+03 4,36399 4,18151 3,03815 0,81357 0,09776 0,00998

1,99x10+03 4,36399 4,18151 3,03814 0,81357 0,09776 0,00998

2,01x10+03 4,36398 4,18150 3,03814 0,81357 0,09776 0,00998

2,03x10+03 4,36398 4,18150 3,03814 0,81357 0,09776 0,00998

2,04x10+03 4,36398 4,18150 3,03814 0,81357 0,09776 0,00998

2,06x10+03 4,36397 4,18149 3,03814 0,81357 0,09776 0,00998

2,08x10+03 4,36397 4,18149 3,03814 0,81357 0,09776 0,00998

2,10x10+03 4,36397 4,18149 3,03814 0,81357 0,09776 0,00998

2,12x10+03 4,36396 4,18149 3,03813 0,81357 0,09776 0,00998

2,13x10+03 4,36396 4,18148 3,03813 0,81357 0,09776 0,00998

2,15x10+03 4,36396 4,18148 3,03813 0,81357 0,09776 0,00998

2,17x10+03 4,36396 4,18148 3,03813 0,81357 0,09776 0,00998

2,19x10+03 4,36395 4,18148 3,03813 0,81357 0,09776 0,00998

2,20x10+03 4,36395 4,18147 3,03813 0,81357 0,09776 0,00998

2,22x10+03 4,36395 4,18147 3,03813 0,81357 0,09776 0,00998

2,24x10+03 4,36395 4,18147 3,03813 0,81357 0,09776 0,00998

2,26x10+03 4,36394 4,18147 3,03812 0,81357 0,09776 0,00998

2,28x10+03 4,36394 4,18146 3,03812 0,81357 0,09776 0,00998

2,29x10+03 4,36394 4,18146 3,03812 0,81357 0,09776 0,00998

2,31x10+03 4,36394 4,18146 3,03812 0,81357 0,09776 0,00998

2,33x10+03 4,36393 4,18146 3,03812 0,81357 0,09776 0,00998

2,35x10+03 4,36393 4,18146 3,03812 0,81357 0,09776 0,00998

2,36x10+03 4,36393 4,18145 3,03812 0,81357 0,09776 0,00998

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Estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar de um fluido de Bingham com dissipação viscosa

64

* 0Br = * 0,01Br = * 0,1Br = * 1Br = * 10Br = * 100Br =

U + Nu Nu Nu Nu Nu Nu

2,38x10+03 4,36393 4,18145 3,03812 0,81357 0,09776 0,00998

2,40x10+03 4,36393 4,18145 3,03812 0,81357 0,09776 0,00998

2,42x10+03 4,36392 4,18145 3,03811 0,81357 0,09776 0,00998

2,44x10+03 4,36392 4,18145 3,03811 0,81357 0,09776 0,00998

2,45x10+03 4,36392 4,18144 3,03811 0,81357 0,09776 0,00998

2,47x10+03 4,36392 4,18144 3,03811 0,81357 0,09776 0,00998

2,49x10+03 4,36392 4,18144 3,03811 0,81357 0,09776 0,00998

2,51x10+03 4,36391 4,18144 3,03811 0,81357 0,09776 0,00998

2,52x10+03 4,36391 4,18144 3,03811 0,81357 0,09776 0,00998

2,54x10+03 4,36391 4,18144 3,03811 0,81357 0,09776 0,00998

2,56x10+03 4,36391 4,18143 3,03811 0,81357 0,09776 0,00998

2,58x10+03 4,36391 4,18143 3,03811 0,81357 0,09776 0,00998

2,60x10+03 4,36390 4,18143 3,03810 0,81357 0,09776 0,00998

2,61x10+03 4,36390 4,18143 3,03810 0,81357 0,09776 0,00998

2,63x10+03 4,36390 4,18143 3,03810 0,81357 0,09776 0,00998

2,65x10+03 4,36390 4,18143 3,03810 0,81357 0,09776 0,00998

2,67x10+03 4,36390 4,18142 3,03810 0,81357 0,09776 0,00998

2,68x10+03 4,36390 4,18142 3,03810 0,81357 0,09776 0,00998

2,70x10+03 4,36389 4,18142 3,03810 0,81357 0,09776 0,00998

2,72x10+03 4,36389 4,18142 3,03810 0,81357 0,09776 0,00998

2,74x10+03 4,36389 4,18142 3,03810 0,81357 0,09776 0,00998

2,76x10+03 4,36389 4,18142 3,03810 0,81357 0,09776 0,00998

2,77x10+03 4,36389 4,18141 3,03810 0,81357 0,09776 0,00998

2,79x10+03 4,36389 4,18141 3,03810 0,81357 0,09776 0,00998

2,81x10+03 4,36388 4,18141 3,03809 0,81357 0,09776 0,00998

2,83x10+03 4,36388 4,18141 3,03809 0,81357 0,09776 0,00998

2,84x10+03 4,36388 4,18141 3,03809 0,81357 0,09776 0,00998

2,86x10+03 4,36388 4,18141 3,03809 0,81357 0,09776 0,00998

2,88x10+03 4,36388 4,18141 3,03809 0,81357 0,09776 0,00998

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Estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar de um fluido de Bingham com dissipação viscosa

65

* 0Br = * 0,01Br = * 0,1Br = * 1Br = * 10Br = * 100Br =

U + Nu Nu Nu Nu Nu Nu

2,90x10+03 4,36388 4,18141 3,03809 0,81357 0,09776 0,00998

2,92x10+03 4,36388 4,18140 3,03809 0,81357 0,09776 0,00998

2,93x10+03 4,36387 4,18140 3,03809 0,81357 0,09776 0,00998

2,95x10+03 4,36387 4,18140 3,03809 0,81357 0,09776 0,00998

2,97x10+03 4,36387 4,18140 3,03809 0,81357 0,09776 0,00998

2,99x10+03 4,36387 4,18140 3,03809 0,81357 0,09776 0,00998

3,0x10+03 4,36387 4,18140 3,03809 0,81357 0,09776 0,00998

3,02x10+03 4,36387 4,18140 3,03809 0,81357 0,09776 0,00998

3,04x10+03 4,36386 4,18139 3,03809 0,81357 0,09776 0,00998

3,06x10+03 4,36386 4,18139 3,03809 0,81357 0,09776 0,00998

3,08x10+03 4,36386 4,18139 3,03808 0,81357 0,09776 0,00998

3,09x10+03 4,36386 4,18139 3,03808 0,81357 0,09776 0,00998

3,11x10+03 4,36386 4,18139 3,03808 0,81357 0,09776 0,00998

3,13x10+03 4,36386 4,18139 3,03808 0,81357 0,09776 0,00998

3,15x10+03 4,36386 4,18139 3,03808 0,81357 0,09776 0,00998

3,16x10+03 4,36386 4,18139 3,03808 0,81357 0,09776 0,00998

3,18x10+03 4,36385 4,18138 3,03808 0,81357 0,09776 0,00998

3,20x10+03 4,36385 4,18138 3,03808 0,81357 0,09776 0,00998

3,22x10+03 4,36385 4,18138 3,03808 0,81357 0,09776 0,00998

3,24x10+03 4,36385 4,18138 3,03808 0,81357 0,09776 0,00998

3,25x10+03 4,36385 4,18138 3,03808 0,81357 0,09776 0,00998

3,27x10+03 4,36385 4,18138 3,03808 0,81357 0,09776 0,00998

3,29x10+03 4,36385 4,18138 3,03808 0,81357 0,09776 0,00998

3,31x10+03 4,36385 4,18138 3,03808 0,81357 0,09776 0,00998

3,32x10+03 4,36384 4,18138 3,03808 0,81357 0,09776 0,00998

3,34x10+03 4,36384 4,18138 3,03808 0,81357 0,09776 0,00998

3,36x10+03 4,36384 4,18137 3,03807 0,81357 0,09776 0,00998

3,38x10+03 4,36384 4,18137 3,03807 0,81357 0,09776 0,00998

3,40x10+03 4,36384 4,18137 3,03807 0,81357 0,09776 0,00998

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Estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar de um fluido de Bingham com dissipação viscosa

66

* 0Br = * 0,01Br = * 0,1Br = * 1Br = * 10Br = * 100Br =

U + Nu Nu Nu Nu Nu Nu

3,41x10+03 4,36384 4,18137 3,03807 0,81357 0,09776 0,00998

3,43x10+03 4,36384 4,18137 3,03807 0,81357 0,09776 0,00998

3,45x10+03 4,36384 4,18137 3,03807 0,81357 0,09776 0,00998

3,47x10+03 4,36384 4,18137 3,03807 0,81357 0,09776 0,00998

3,48x10+03 4,36384 4,18137 3,03807 0,81357 0,09776 0,00998

3,5x10+03 4,36383 4,18137 3,03807 0,81357 0,09776 0,00998

3,52x10+03 4,36383 4,18137 3,03807 0,81357 0,09776 0,00998

3,54x10+03 4,36383 4,18136 3,03807 0,81357 0,09776 0,00998

3,56x10+03 4,36383 4,18137 3,03807 0,81357 0,09776 0,00998

3,57x10+03 4,36383 4,18136 3,03807 0,81357 0,09776 0,00998

3,59x10+03 4,36383 4,18136 3,03807 0,81357 0,09776 0,00998

3,61x10+03 4,36383 4,18136 3,03807 0,81357 0,09776 0,00998

3,63x10+03 4,36383 4,18136 3,03807 0,81357 0,09776 0,00998

3,64x10+03 4,36383 4,18136 3,03807 0,81357 0,09776 0,00998

3,66x10+03 4,36383 4,18136 3,03807 0,81357 0,09776 0,00998

3,68x10+03 4,36382 4,18136 3,03807 0,81357 0,09776 0,00998

3,7x10+03 4,36383 4,18136 3,03807 0,81357 0,09776 0,00998

3,72x10+03 4,36382 4,18136 3,03807 0,81357 0,09776 0,00998

3,73x10+03 4,36382 4,18136 3,03806 0,81357 0,09776 0,00998

3,75x10+03 4,36382 4,18135 3,03806 0,81357 0,09776 0,00998

3,77x10+03 4,36382 4,18135 3,03806 0,81357 0,09776 0,00998

3,79x10+03 4,36382 4,18135 3,03806 0,81357 0,09776 0,00998

3,8x10+03 4,36382 4,18135 3,03806 0,81357 0,09776 0,00998

3,82x10+03 4,36382 4,18135 3,03806 0,81357 0,09776 0,00998

3,84x10+03 4,36382 4,18135 3,03806 0,81357 0,09776 0,00998

3,86x10+03 4,36382 4,18135 3,03806 0,81357 0,09776 0,00998

3,88x10+03 4,36382 4,18135 3,03806 0,81357 0,09776 0,00998

3,89x10+03 4,36381 4,18135 3,03806 0,81357 0,09776 0,00998

3,91x10+03 4,36381 4,18135 3,03806 0,81357 0,09776 0,00998

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Estudo analítico da transferência de calor num escoamento laminar de um fluido de Bingham com dissipação viscosa

67

* 0Br = * 0,01Br = * 0,1Br = * 1Br = * 10Br = * 100Br =

U + Nu Nu Nu Nu Nu Nu

4,92x10+03 4,36378 4,18131 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

4,94x10+03 4,36378 4,18131 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

4,96x10+03 4,36378 4,18131 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

4,98x10+03 4,36378 4,18131 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,0x10+03 4,36378 4,18131 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,01x10+03 4,36378 4,18131 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,03x10+03 4,36377 4,18131 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,05x10+03 4,36377 4,18131 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,07x10+03 4,36377 4,18131 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,08x10+03 4,36377 4,18131 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,10x10+03 4,36377 4,18131 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,12x10+03 4,36377 4,18131 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,14x10+03 4,36377 4,18131 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,16x10+03 4,36377 4,18131 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,17x10+03 4,36377 4,18131 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,19x10+03 4,36377 4,18131 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,21x10+03 4,36377 4,18131 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,23x10+03 4,36377 4,18130 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,24x10+03 4,36377 4,18131 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,26x10+03 4,36377 4,18131 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,28x10+03 4,36377 4,18131 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,30x10+03 4,36377 4,18131 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,32x10+03 4,36377 4,18131 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,33x10+03 4,36377 4,18131 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,35x10+03 4,36377 4,18130 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,37x10+03 4,36376 4,18130 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,39x10+03 4,36376 4,18130 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,40x10+03 4,36377 4,18130 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

5,42x10+03 4,36376 4,18130 3,03804 0,81356 0,09776 0,00998

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68

ANEXO B

Nas figuras B.1 a B.8 mostram-se as curvas dos perfis de temperatura, para números

de Brinkman positivos e negativos, mas agora em casos onde a região em que o fluido tem um

comportamento de sólido indeformável tem um peso mais reduzido, valores maiores de U+.

Como se pode verificar, o comportamento dos perfis de temperatura é semelhante ao

analisado no capítulo 5 para 0,001U + = , variando apenas os valores numéricos homólogos.

Figura B.1 Perfis de temperatura em função de r* para 0,2U + = e *0 1Br≤ ≤

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Figura B.2 Perfis de temperatura em função de r* para 0,2U + = e *1 0Br− ≤ ≤

Figura B.3 Perfis de temperatura em função de r* para 100U + = e *0 1Br≤ ≤

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70

Figura B.4 Perfis de temperatura em função de r* para 100U + = e *1 0Br− ≤ ≤

Figura B.5 Perfis de temperatura em função de r* para 0,2U + = e * 1Br >

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71

Figura B.6 Perfis de temperatura em função de r* para 0,2U + = e * 1Br < −

Figura B.7 Perfis de temperatura em função de r*para 100U + = e * 1Br >

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Figura B.8 Perfis de temperatura em função de r* para 100U + = e * 1Br < −