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ESTUDO DA CONDUO DE CALOR

OBJETIVOS

- Determinar a distribuio de temperatura em um meio - Calcular o fluxo de calor usando a Lei de Fourier

Aplicaes: - Conhecer a integridade estrutural de um meio em alguns pontos e em determinados momentos: expanso trmica, estresse trmico, expanses e deflexes. - Otimizar a espessura de um material isolante

COMO CONHECER A DISTRIBUIO DE TEMPERATURA

1. Formulao matemtica do problema:

- definir um volume de controle - aplicar a balano de energia - identificar os processos de transmisso de calor no volume de controle - introduzir as equaes das taxas de calor - obter uma equao diferencial

2. Soluo geral da equao diferencial

3. Aplicao das condies de contorno

4. Soluo do problema: distribuio de temperatura

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A especificao da temperatura requer a definio de um sistema de coordenadas

A temperatura em um ponto no tempo expressa como:

T (x,y,z,t) ou T(r,z,, t) ou T(r, ,,t) - tridimensional e transiente T (x) unidimensional e permanente

1. FORMULAO MATEMTICA DO PROBLEMA

1) Definir um volume de controle 2) Identificar os processos de transferncia de energia no volume

de controle 3) Aplicar um Balano de Energia no volume de controle

Taxa de calor que entra no V.C.

Taxa de calor que sai do V.C.

-

Taxa de gerao de calor no V.C.

Taxa de variao de quantidade de energia n V.C.

+ =

Fenmenos de superfcie Fenmenos de volume

a) Retangulares (x,y,z)

b) Cilndricas (r,z,)

c) Esfricas (r,,)

3

acumgse Eqqq ====++++

Calor que entra ou sai do volume de controle: por conduo

Gerao de calor: transformao de energia mecnica, eltrica, qumica ou nuclear em calor no volume de controle

Taxa de alterao da quantidade de energia no volume de controle ou energia acumulada em funo da variao da energia interna, cintica ou potencial

Equao da conduo de calor unidimensional

A- Em uma extensa parede plana

qx qx+ x

elemento de volume

4

Para um elemento de espessura x:

tEqqq elemelem,gxxx

====++++ ++++

onde:

)TT(xcA)TT(mcEEE tttttttttelem ============ ++++++++++++ xAgVgq elemelem,g ======== &&

Substituindo:

tTT

xcAxAgqq tttxxx ====++++ ++++++++ &

A rea A=y z para superfcie plana constante

Dividindo por Ax e aplicando o limite quando x0 e t 0, resulta em:

tT

cgx

TkA

xA1 )t,x(

p)t,x(

====++++

&

5

Para A constante a equao da conduo de calor transiente unidimensional com condutividade trmica varivel :

tT

cgx

Tkx

)t,x(p

====++++

&

Casos especiais

1) k constante

tT1

kg

x

T2

2

====++++

&

sendo pc

k

==== a difusividade trmica do material (m2/s ou ft2/h)

Esta propriedade do material associada propagao do calor no meio durante as variaes de temperatura e tempo.

2) Transiente, k constante e sem gerao

tT1

x

T2

2

====

6

3) Regime permanente e k constante

0kg

x

T2

2====++++

&

4) Regime permanente, k constante e sem gerao de calor

0dx

Td2

2====

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Equao da conduo de calor para um cilindro longo (unidimensional)

Elemento: Camada fina de espessura r e rea A=2pirL

tTT

rcArAgqq tttrrr ====++++ ++++++++ &

Mostrar que:

tT

cgr

Trk

rr

1 )t,r(p

====++++

&

Casos especiais

1) 2) 3) 4)

8

Equao da conduo de calor para uma esfera (unidimensional)

Elemento: Fina camada esfrica de espessura r e rea A=4pir2

Mostrar que:

tT

cgr

Tkrrr

1 )t,r(p

22

====++++

&

Casos especiais

1) 2) 3) 4)

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EQUAO GERAL DA CONDUO DE CALOR

Aplicaes:

- Fluxo de calor nas proximidades de um canto onde 2 ou 3 paredes se encontram

- Calor conduzido atravs das paredes de um cilindro curto de parede espessa

- Calor perdido por um tubo enterrado

1) Coordenadas cartesianas

tT1

kg

z

TyT

x

T )t,z,y,x(2

2

2

2

2

2

====++++

++++

++++ &

1) Regime permanente Equao de Poisson

0kg

z

Ty

Tx

T2

2

2

2

2

2====++++

++++

++++ &

2) Transiente e sem gerao Equao da Difuso

tT1

z

Ty

Tx

T )t,z,y,x(2

2

2

2

2

2

====

++++

++++

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3) Permanente e sem gerao Equao de Laplace

0z

Ty

Tx

T2

2

2

2

2

2====

++++

++++

2) Coordenadas cilndricas

Componentes: r radial z axial - circunferencial

rea perpendicular a r: (dz r d)

rea perpendicular a z: (dr r d)

rea perpendicular a : (drdz)

Mostrar que:

tT1

kgT

r

1z

Tr

Tr

rr

1 )t,z,,r(2

2

22

2

====++++

++++

++++

&

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3) Coordenadas esfricas

rea perpendicular a r: ddrdrdr ..sen...sen 2====

rea perpendicular a : drdr ..sen

rea perpendicular a : drdr ..

Comprimento : r

Comprimento : .senr

Mostrar que:

tT1

kgT

senr

1Tsen

senr

1r

Tr

rr

1 )t,,,r(2

2

2222

2

====++++

++++

++++

&

Equao geral para qualquer sistema de coordenadas

tT1

kgT2

====++++ & T2 - Laplaciano da temperatura

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Exemplo: Um pequeno lingote metlico de formato cilndrico de raio R e altura h aquecido em forno at 600 F, retirado do forno e deixado para resfriar a temperatura ambiente de 65 F por conveco e radiao. Assumindo que o lingote resfriado uniformemente por toda sua superfcie externa e que a variao da condutividade trmica do material em funo da temperatura desprezvel, obtenha a equao diferencial que descreve a variao de temperatura do lingote durante o processo de resfriamento.

Condies de contorno e iniciais

A soluo da equao da equao diferencial passa por um processo de integrao que envolve constantes. A soluo s vai ser nica quando forem especificadas as condies existentes nas fronteiras do sistema com o meio, ou as condies de contorno.

Exemplo: Considere a variao de temperatura em uma parede de tijolos de uma casa durante o inverno. A temperatura em qualquer ponto da parede depende: das condies nas duas superfcies da parede, tais como a temperatura do ar dentro da casa, a velocidade e a direo do vento e a incidncia de energia solar na superfcie externa.

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Condies de contorno: So expresses matemticas das condies trmicas nas fronteiras do sistema.

Duas condies de contorno devem ser fornecidas para cada direo do sistema de coordenadas, na qual a transferncia de calor significativa.

Condio inicial: Expresso matemtica da distribuio inicial da temperatura no meio.

A temperatura em qualquer ponto em um determinado momento depende da condio no incio do processo de conduo de calor (t=0).

Uma s condio inicial deve ser especificada (primeira ordem em relao ao tempo).

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Tipos de condio de contorno:

- 1 espcie: Temperatura especificada

- 2 espcie: Fluxo de calor conhecido

Casos especiais:

- fronteira isolada

x = 0 T(0,t) = T1

x = L T(L,t) = T2

x = 0 x

)t,0(Tk=q _o"

x = L L"_ q=x

)t,L(Tk

x = 0 x

)t,0(Tk=0=q _o" ou 0=

x)t,0(T

x = L T(L,t)=T

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- simetria trmica Imposta pelas condies trmicas nas superfcies Distribuio de temperatura em uma metade da placa a mesma na outra metade (em relao ao plano central x=L/2). No h fluxo de calor no plano central (superfcie isolada).

- 3 espcie: Troca de calor por conveco na superfcie Condio mais comum encontrada na prtica. Baseada no balano de energia na superfcie.

x = L/2 0=x

)t,2/L(T

Conduo de calor na superfcie em uma direo escolhida

Conveco na superfcie na mesma direo

=

x = 0 ))t,0(TT(h=x

)t,0(Tk _11_

x = L )T)t,L(T(h=x

)t,L(Tk 2_2_

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- Troca de calor por radiao na superfcie

- Condies de contorno generalizadas

Exemplos:

1. Vapor flui atravs de uma tubulao a uma temperatura mdia de 200C. Os raios interno e externo so 8 e 8,5 cm, respectivamente, e a superfcie externa da tubulao est bem isolada. Se o coeficiente de transferncia de calor convectivo na superfcie interna da tubulao de 65 W/m2C, expresse as condies de contorno nas superfcies interna e externa da tubulao durante os perodos transiente.

x = 0 ))t,0(TT(=x

)t,0(Tk 4_4viz1

_

x = L )T)t,L(T(=x

)t,L(Tk 4viz

_42

_

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2. Uma bola metlica de raio ro aquecida em um forno at alcanar 600F, sendo ento retirada do forno e colocada para resfriar a temperatura ambiente de 78F. A condutividade trmica da bola de 8,3 Btu/(hftF) e o coeficiente convectivo mdio na superfcie externa de 4,5 Btu/(hft2F). A emissividade da superfcie externa de 0,6 e a temperatura mdia da vizinhana 525 R. Considerando que a bola resfriada uniformemente a partir de sua superfcie externa, expresse as condies inicial e de contorno para o processo de resfriamento.

3.

Fazer exemplos 2.11 a 2.16 engel