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Estudo da convergência de sequências e séries numéricas no Cálculo: uma
proposta utilizando o software GeoGebra
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Daila Silva Seabra de Moura Fonseca Regina Helena de Oliveira Lino Franchi
Estudo da convergência de sequências e séries numéricas no Cálculo: uma
proposta utilizando o software GeoGebra
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Ouro Preto | 2012
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© 2012 Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas | Departamento de Matemática Programa de Pós-Graduação | Mestrado Profissional em Educação Matemática
Reitor da UFOP | Prof. Dr. João Luiz Martins Vice-Reitor | Prof. Dr. Antenor Rodrigues Barbosa Junior
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Catalogação: [email protected]
Reprodução proibida Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de fevereiro de 1998.
Todos os direitos reservados.
F676e Fonseca, Daila Silva Seabra de Moura. Estudo da convergência de sequências e séries numéricas no Cálculo: uma
proposta utilizando o software GeoGebra / Daila Silva Seabra de Moura Fonseca, Regina Helena de Oliveira Lino Franchi - Ouro Preto : UFOP, 2012.
52p.: il. color.; grafs.; tabs. ISBN: 1. Matemática - Estudo e ensino. 2. Séries (Matemática). 3. Sequências
(Matemática). 4. Ciência cognitiva - Corporificação. I. Franchi, Regina Helena de Oliveira Lino. II. Título.
CDU: 517.521:165.194
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Epígrafe
A matemática é uma forma de raciocínio
e não uma coleção de truques.
Carl B. Boyer
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Expediente Técnico ________________________
Organização | Daila Silva Seabra de Moura Fonseca
Pesquisa e Redação | Daila Silva Seabra de Moura Fonseca e
Regina Helena de Oliveira Lino Franchi
Revisão | Mariane Reis Gomes
Projeto Gráfico e Capa | Editora UFOP
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Índice
________________________
Apresentação ............................................................................................................................................. 11
1 Os Três Mundos da Matemática ...................................................................................................... 13
2 O uso de software para a corporificação e a relação dos três mundos no Cálculo ... 17
O software GeoGebra ................................................................................................................ 19
3 Os Três Mundos da Matemática na convergência de sequências e séries ....................... 22
4 Apresentação das atividades exploratórias ................................................................................. 27
Atividade 1 ...................................................................................................................................... 28
Atividade 2 ...................................................................................................................................... 28
Atividade 3 ...................................................................................................................................... 30
Atividade 4 ...................................................................................................................................... 33
Atividade 5 ...................................................................................................................................... 34
Atividade 6 ...................................................................................................................................... 34
Atividade 7 ...................................................................................................................................... 35
Atividade 8 ...................................................................................................................................... 36
Atividade 9 ...................................................................................................................................... 40
Referências .................................................................................................................................................. 46
Apêndice ...................................................................................................................................................... 48
Minimanual de GeoGebra ......................................................................................................... 48
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Apresentação
_____________________________
Caro(a) professor(a),
Este material apresenta sugestões de atividades para o ensino de convergência de
sequências e séries infinitas a serem trabalhadas com alunos do ensino superior. Ele é um
recorte da pesquisa que realizamos no Programa de Mestrado Profissional em Educação
Matemática, intitulada “Convergência de sequências e séries numéricas no Cálculo: um
trabalho visando à corporificação dos conceitos”, disponível na página do Programa.
As atividades apresentadas neste material foram desenvolvidas com base em um quadro
teórico intitulado Três Mundos da Matemática. O principal objetivo das atividades é
desenvolver o conhecimento matemático do aluno, inicialmente por meio das percepções
e sentidos oriundos da visualização e manipulação, com o auxílio do software GeoGebra e,
posteriormente, pelo estímulo à formulação de conjecturas, bem como à busca pela
validação, que ocorrerá no momento em que o conteúdo for sistematizado.
Essas atividades não foram desenvolvidas com o intuito de servir como um manual para
ensinar convergência de sequências e séries numéricas, mas como um apoio aos
professores que desejarem trabalhar tais conteúdos de maneira diferenciada,
proporcionando ao aluno participar da construção da matemática. Elas servem como uma
ideia inicial para que você possa adaptá-las às suas necessidades.
A seguir, será feita uma breve exploração sobre os Três Mundos da Matemática. Também
serão apresentadas as atividades, com seus objetivos e algumas sugestões de aplicação.
Esperamos que esta proposta possa contribuir para suas aulas de Cálculo.
Daila e Regina
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1 Os Três Mundos da Matemática ________________________
O conhecimento matemático tem importância histórica na evolução da humanidade.
Segundo D’Ambrósio (1999) em “todos os momentos da história e em todas as civilizações,
as ideias matemáticas estão presentes em todas as formas de fazer e de saber” (p. 97). Ele
ainda ressalta que a Matemática é “a espinha dorsal do conhecimento científico,
tecnológico e sociológico” (p. 106).
Comparável à importância da Matemática como ciência está a importância de se pensar
em como a humanidade pode se apropriar desse conhecimento matemático e fazer uso
dele. A escola tem papel relevante nesse sentido, pois é no ambiente escolar que o saber
sistematizado é discutido.
Vários têm sido os esforços para tornar o ensino de Matemática mais eficiente. Igliori (2009,
p. 11) conta que a Educação Matemática é um campo de pesquisa que desenvolve
investigações em diversos ramos da Matemática na sociedade, tendo grande destaque as
discussões sobre seu ensino e aprendizagem. O interesse pela pesquisa resulta do papel
dela no desenvolvimento cognitivo das pessoas desde os níveis iniciais, bem como pelas
dificuldades de aprendizagem apresentadas pelos estudantes. Para Igliori, é alto o
“percentual de estudantes do nível superior cujo desempenho na aprendizagem da
Matemática, em especial de Cálculo, tem deixado muito a desejar” (IGLIORI, 2009, p. 12).
Um novo quadro teórico tem sido elaborado para contribuir nas reflexões sobre o ensino e
a aprendizagem de Matemática em nível superior. Esse quadro é chamado de Três Mundos
da Matemática, sendo o pesquisador David Orme Tall seu principal articulador.
Como parte do fundamento dessa nova teoria, Tall (2002) cita o ensaio “Patterns of
Growth” de Bruner (1966), no qual ele assinala três modos de representação mental: o
sensório-motor1, que se constitui através da ação; o icônico2, que depende do visual e de
1 No original: sensori-motor.
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uma organização sensorial do uso de imagens e síntese; e o simbólico3, que é a
representação do pensamento pelo uso de palavras (linguagem em sua forma natural) ou
linguagem (linguagem artificial de número e lógica). Bruner chama de encenado4 o
primeiro modo de representação, de icônico o segundo e de simbólico o terceiro.
Bruner considera que essas representações acontecem em sequência no desenvolvimento
cognitivo do indivíduo: primeiro, o modo encenado; em seguida, o icônico e, por fim, o
modo simbólico. Lima (2007) refere-se a essa forma hierárquica de desenvolvimento
iniciando
pelo sistema encenado, em que os indivíduos precisam das ações para compreender uma situação. Em seguida, o sistema icônico, em que imagens resumem as ações efetuadas sobre os objetos e, por fim, o sistema simbólico, para comunicação e raciocínio. Ainda, os três sistemas podem coexistir, isto é, um indivíduo pode fazer uso dos três sistemas para armazenar informações. (LIMA, 2007, p.s 72 e 73).
Diante do que foi exposto, Tall (2002) separa o desenvolvimento cognitivo da Matemática
em três mundos que interagem entre si, sendo que cada um possui maneiras diferenciadas
de argumentação e prova.
Antes de falarmos com detalhe sobre cada um dos três mundos, é necessária uma ressalva.
Tall utiliza o termo corporificado para se referir ao pensamento construído,
fundamentalmente, a partir de percepções sensoriais, ações e experiências de pensamento
(Tall, 2008); ou seja, no sentido de ‘dar um corpo’ a uma ideia abstrata.
O primeiro mundo é o mundo conceitual-corporificado, ou somente mundo corporificado.
Ele está na base do pensamento matemático e está fundamentado na percepção e na
ação. Ele “se desenvolve a partir de nossas percepções do mundo e é composto de nosso
pensamento sobre as coisas que percebemos e sentimos, não só no mundo físico, mas em
nosso próprio mundo de significados mentais” (TALL, 2004, p. 2). Assim, o mundo
corporificado se baseia “na percepção e reflexão sobre propriedades de objetos,
inicialmente vistos e percebidos no mundo real, mas depois imaginados na mente” (TALL,
2 No original: iconic. 3 No original: symbolic. 4 O termo encenado é a tradução feita por Lima (2007) para termo enactive.
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2008, p.3). A prova no mundo corporificado se dá através da realização de um experimento
para verificar se o resultado esperado ocorre e, assim, a verdade fica estabelecida, pois é
possível ver essa verdade acontecer (TALL, 2004, p. 5).
O segundo mundo é o mundo proceitual-simbólico, ou somente mundo proceitual. Esse é
o “mundo dos símbolos que usamos para cálculo e manipulação na Aritmética, Álgebra,
Cálculo e assim por diante” (TALL, 2004, p. 3). O mundo simbólico inicia com ações que são
encapsuladas em conceitos por meio do uso de símbolos. Esses símbolos representam, ao
mesmo tempo, as ações e os conceitos formados em nossa mente (TALL e RAMOS, 2004). A
prova no mundo proceitual é estabelecida por meio do cálculo com números, da
manipulação de símbolos algébricos e da utilização desses símbolos para generalizar ideias
(TALL, 2002, 2004). A palavra “proceito” foi formulada por Gray e Tall (1994) para
representar a dualidade entre o processo (ação) e o conceito que constituem os símbolos
da Matemática. De acordo com Lima,
conceitos matemáticos são representados por símbolos que podem ser manipulados. Essa manipulação sintetiza as ações exercidas sobre os conceitos matemáticos. Assim, os símbolos representam não só os conceitos, mas também as ações exercidas sobre os objetos e o produto dessas ações. (LIMA, 2007, p. 57)
Tall (2004, p. 3) exemplifica o ato de encapsular as ações em conceitos a partir de uma
análise de símbolos usados em aritmética. O símbolo 3 + 2 tem dupla conotação: como
processo da adição de três com dois e como conceito da soma que se refere ao número 5.
Lima (2007) destaca que pode haver diferentes proceitos de um mesmo processo (como,
por exemplo, 1 + 4, 2 + 3) resultando num mesmo conceito (o número 5).
O terceiro e último mundo é o formal-axiomático, ou somente mundo formal, que é
“baseado em propriedades, expressas em termos de definições formais, que são usadas
como axiomas para especificar estruturas matemáticas (tais como ‘grupo’, ‘corpo’, ‘espaço
vetorial’, ‘espaço topológico’ e assim por diante)” (TALL, 2004, p. 3). Esse mundo é
caracterizado pelo uso de definições formais para os conceitos, a partir das quais deduções
são feitas, e pressupõe-se a construção de um sistema axiomático (TALL, 2002). A verdade
do mundo formal é constituída por meio de prova formal a partir da utilização de axiomas
e de definições formais para que as deduções sejam feitas.
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Na figura a seguir podemos visualizar como os critérios interagem de verdade em cada um
dos Três Mundos da Matemática, em uma sequência de desenvolvimento cognitivo como
proposta em TALL ( 2007).
Figura 1: Desenvolvimento cognitivo da argumentação.
Fonte: Tall, 2007, p. 10 (tradução nossa)
A esquematização da figura 01 nos mostra que, no mundo corporificado, há uma
construção das definições e deduções dos objetos devido ao uso cada vez mais sofisticado
da linguagem, o que pode levar a gerar uma teoria dedutiva. Já o desenvolvimento
cognitivo no mundo simbólico envolve uma compreensão cada vez mais sofisticada das
ações sobre a manipulação dos símbolos. Existe uma interface comum a esses dois
mundos, que permite tanto corporificar o simbolismo como simbolizar as corporificações.
Ao utilizar uma linguagem cada vez mais sofisticada, níveis mais avançados de
corporificação e simbolismo são desenvolvidos, surgindo definições e deduções que
interferem na fase de transição dos argumentos baseados na experiência para um sistema
cada vez mais axiomático, presente na prova formal. O uso de software pode contribuir na constituição de um ambiente que possibilite a passagem pelos três mundos, como veremos no capítulo 2.
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2 O uso de softwares como apoio para a corporificação e a relação entre
os três mundos no Cálculo ________________________
As publicações relativas ao uso de tecnologias em educação matemática indicam a
possibilidade de construção de ambientes virtuais que permitem ao indivíduo indagar
e/ou investigar objetos da Matemática. As situações colocadas podem estimular a
indagação, experimentação e formação de conjecturas, com participação ativa do
estudante em todo o processo (FRANCHI, 2002; BORBA e PENTEADO, 2001).
Segundo Kawasaki (2008) é comum encontrarmos em pesquisas que
uma das principais vantagens, ao incorporar as tecnologias computacionais nos processos de ensinar/aprender matemática, é a possibilidade de visualizar e manipular as ideias matemáticas (objetos virtuais matemáticos). Tal possibilidade decorre do fato de alguns softwares (ou aplicativos) matemáticos serem capazes de transformar situações algébrico-simbólicas em situações espaço-geométricas. Parece haver consenso entre educadores matemáticos sobre o valor pedagógico da visualização no ensinar, no aprender e, até mesmo, no ‘fazer’ matemática. Dessa forma, recursos visuais (não necessariamente, os computacionais) sempre foram utilizados, por professores, para introduzir ideias matemáticas abstratas e complexas. No caso do ensino de Cálculo, alguns educadores exaltam, no uso do computador, a possibilidade de visualizar e alterar uma representação gráfica, simultânea e continuamente articulando-a, de forma dinâmica, às suas representações numérica e algébrica. (KAWASAKI, 2008, p. 43, grifos da autora)
A mesma autora ainda nos conscientiza de que, ao utilizarmos o computador, é possível
admitir que a Matemática esteja sendo produzida de uma maneira diferenciada à
Matemática produzida através da utilização do lápis-e-papel. Isso ocorre porque, em geral,
as propostas educacionais para a construção da Matemática por meio do uso do
computador “não assumem a ideia tradicional de uma matemática ‘pronta’ ou ‘acabada’ a
ser ensinada, mas admitem também a possibilidade de se ‘fazer’ matemática em uma
atividade de aprendizagem” (KAWASAKI, 2008, p. 49). Isso vai ao encontro de
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considerações feitas por Tall ao incentivar uma abordagem corporificada do Cálculo, em
que trabalhamos as ideias a partir da percepção, antes de introduzirmos qualquer
simbolismo (TALL, 2002, p. 11).
O ambiente informatizado parece oferecer um possível local para o desenvolvimento de
atividades que visam a transitar pelos Três Mundos da Matemática. De fato, muitas
pesquisas indicam que o uso de tecnologias é um meio favorável para o aluno desenvolver
hipóteses e/ou conjecturas, conforme nos diz Franchi (2007),
a Informática facilita as visualizações, possibilita testar mudanças relacionadas a características algébricas de conceitos matemáticos e observar as variações resultantes no aspecto gráfico. A comparação entre as representações gráficas, algébricas e numéricas, a observação e a reflexão sobre o observado podem levar à elaboração de conjecturas. Borba e Penteado (2001, p.39) afirmam que as conjecturas surgem com frequência em aulas utilizando tecnologias como o computador ou as calculadoras e que, se debatidas com a classe, podem levar a descobertas. (FRANCHI, 2007)
Para dar ao Cálculo um significado humano5 devemos tirar vantagens de softwares de
manipulação (TALL, 2002, p. 9). Os alunos podem manipular diferentes tipos de gráficos,
desde aqueles mais simples até os que possuem irregularidades, que exigiriam um
tratamento matemático em um sentido formal. Dessa forma, cria-se uma abordagem
corporificada, que pode dar fundamento significativo para as mais refinadas ideias da
Análise (TALL, 2002, p. 10).
O uso do computador com o software adequado, como os softwares de geometria
dinâmica, é um auxiliar para trabalharmos o mundo corporificado no Cálculo, pois ele
possibilita o trabalho com o modo de representação encenado (através da ação) e icônico
(visual), enquanto os livros trazem apenas a parte icônica. Segundo Tall (2002), o uso
adequado de um software nos permite organizar várias atividades que podem levar o
aluno a realizar experiências de pensamento, favorecendo a corporificação de conceitos de
Cálculo.
5 Em muitos de seus textos Tall usa a palavra “humano” ao se referir às bases estabelecidas no mundo corporificado e simbólico. Interpretamos que o uso da palavra busca enfatizar as características sensoriais, de percepção e de ação predominantes nesses mundos.
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Um software de geometria dinâmica dá ao aluno a possibilidade de explorar conceitos a
partir da mudança imediata em um gráfico quando os dados são modificados. Existem
alguns softwares que possibilitam a visualização dos dados, ao mesmo tempo, de maneira
algébrica e geométrica, sem deixar de lado a possibilidade de explorar o gráfico em uma
planilha, tudo em uma mesma interface.
Por fim, para a realização de atividades sobre o conteúdo de convergência de sequências e
séries, foi escolhido o software GeoGebra. A seguir, serão expostas algumas ferramentas do
GeoGebra, importantes na corporificação do conceito de convergência.
O software GeoGebra
O GeoGebra6 é um software livre de matemática dinâmica e de fácil interação. Devido ao
seu dinamismo, torna-se uma estratégia de ensino, da qual professores e alunos podem
fazer uso para explorar, conjecturar, testar hipóteses e investigar conteúdos diversos na
Matemática.
O GeoGebra reúne Geometria, Álgebra, Cálculo e Estatística. Em sua interface temos
disponíveis para utilização janela algébrica, janela geométrica, planilha e janela CAS
(Computer Algebric System). O interessante nesse software é o fato de as partes gráfica,
algébrica e de planilha estarem interconectadas, o que permite apresentar, ao mesmo
tempo, representações diferentes de um mesmo objeto e, ao fazermos à modificação em
uma delas, as demais acompanham à modificação realizada. Está disponível em 55
idiomas diferentes e é multiplataforma, o que torna possível instalá-lo em computadores
com Windows, Linux, Mac OS ou XO.
A figura 2 mostra a tela incial do GeoGebra, contendo as janelas de álgebra, de visualização
gráfica e a planilha.
6 Disponível para download na versão 4.0 em http://www.geogebra.org/cms/en/installers. Para a utilização do software é necessário que esteja instalado o plugin Java, disponível em http://www.java.com.
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Figura 2: Tela inicial do GeoGebra contendo as janelas de álgebra, visualização gráfica e planilha
No Campo de Entrada podemos inserir comandos com expressões algébricas ou pontos
cujos valores respectivos são criados na Janela de Álgebra e na Janela de Visualização,
após se pressionar a tecla Enter. No botão do canto inferior direito é possível encontrar
uma lista de comandos que podem ser inseridos no Campo de Entrada.
O GeoGebra possui várias ferramentas, dentre elas a de Controle Deslizante. Essa
ferramenta cria um intervalo de números livres (ou ângulos livres) de forma que quem a
estiver executando pode definir seu nome, valor mínimo e máximo do intervalo e o
tamanho de seu passo. Com essa ferramenta é possível verificar o que ocorre com alguma
função ou expressão algébrica, desde que relacionada ao Controle Deslizante, quando
fazemos o seu valor variar.
Em relação às atividades de sequências e séries, o Controle Deslizante é uma ferramenta
para o auxílio da corporificação da convergência de uma sequência, pois é possível associar
o valor de n de uma sequência ao Controle Deslizante e fazer o seu valor máximo aumentar
o tanto quanto for desejado. Com isso, o aluno passa a ter autonomia para conjecturar e
testar sua hipótese com relação aos valores dos termos da sequência ou série, à medida
que o valor de n aumenta.
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Outra importante ligação que o GeoGebra permite é a dos Rastros deixados pelos pontos e
funções (caso assim se deseje) com a Planilha. Os rastros nada mais são do que os valores
assumidos pelos pontos ou funções para cada valor dos números livres do Controle
Deslizante. Funcionam como uma memória dos cálculos e assim se pode analisar não
apenas o resultado final, como também o processo para se chegar àquele resultado. Com
as ferramentas Controle Deslizante e Rastro é possível representar graficamente os termos
de uma sequência (ou série) e colocar todas as coordenadas dos pontos na Planilha para
uma visualização numérica da convergência.
Havendo a interação entre as três janelas – algébrica, gráfica e planilha – é possível fazer
uma relação entre o que foi visualizado no gráfico e a parte numérica que está na Planilha e
na Janela Algébrica.
Ao elaborarmos as atividades exploratórias utilizando o software GeoGebra, focamos
principalmente nos mundos corporificado e proceitual, tentando uma possível abertura
para a exploração do mundo formal.
A seguir, será colocado o nosso entendimento dos Três Mundos da Matemática na
convergência de sequências e séries. É necessária a ressalva de que a convergência da série
é discutida por meio da convergência da sequência formada pelas somas parciais.
Portanto, só há distinção no trabalho de sequências e séries no que se refere à intersecção
entre os Três Mundos da Matemática.
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3 Os Três Mundos da Matemática na convergência de sequências e séries
________________________
No capítulo 1, os Três Mundos da Matemática foram caracterizados de acordo com Tall
(2002, 2004 e 2008). O desenvolvimento das atividades exploratórias se deu com base
nesse referencial; por isso trazemos também o nosso entendimento sobre os Três Mundos
da Matemática.
O mundo corporificado é o mundo composto dos modos encenado e icônico de Bruner.
Dessa forma a corporificação ocorre a partir da visualização, da ação sobre objetos
matemáticos e experiências de pensamento. Já o mundo proceitual é o mundo composto
do modo simbólico de Bruner. O que foi entendido nas ações é transformado em símbolos
que permitem a manipulação numérica, algébrica, entre outras. Um símbolo, no mundo
proceitual, pode ser utilizado tanto para representar um processo quanto para representar
um conceito, ou seja, ele é um proceito. Por fim, o mundo formal é onde se constrói uma
teoria com base em definições formais e propriedades provadas formalmente.
Como vimos nos textos de Tall, cada mundo possui a sua maneira de prova. Para
contextualização, apresentamos o nosso entendimento sobre as verdades nos Três
Mundos da Matemática, com relação à convergência de sequências. Exemplificamos essas
verdades por meio da convergência da sequência n
na
n
34 −= .
No mundo corporificado, a convergência pode ser provada por meio da visualização dos
termos da sequência, nas duas formas de representação: como pontos em uma reta e
como gráfico de uma função de domínio discreto. A figura 3 exemplifica essas
representações, sendo que os pontos no eixo vertical (pontos em uma reta) são as
projeções ortogonais dos pontos do gráfico da função sobre o referido eixo:
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Figura 3: Corporificação da convergência da sequência
n
na
n
34 −=
A figura anterior pode ser aceita como uma prova corporificada de que a sequência
n
na
n
34 −= converge e que o valor de convergência parece ser 4, pois, é possível
visualizar e perceber que, à medida que aumentamos o valor de n, com o auxílio do
Controle Deslizante do software GeoGebra, o valor de an também aumenta e se torna cada
vez mais próximo de 4, sem dar a entender que irá ultrapassá-lo.
Para verificarmos a mesma convergência no mundo simbólico, basta calcular o limite de an
quando n tende ao infinito e analisar o resultado final, ou seja,
( ).4
34lim
34lim
34lim =
−=
−=
−
∞→∞→∞→ nn
nn
n
n
nnn
Por fim, a verdade no mundo formal é verificada ao mostramos que, para cada ε > 0, existe
um inteiro correspondente N tal que, se n > N, então ε<−−
434
n
n.
Para verificar a corporificação dos conceitos de convergência e a relação com a
proceitualização e a axiomatização, utilizamos a figura 1 em que Tall (2007) trata do
desenvolvimento cognitivo da argumentação, caracterizando como se dá esse
desenvolvimento em cada um dos três mundos. Destacamos a importância das
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caracterizações feitas por Tall para as intersecções entre os mundos que, a nosso ver,
podem auxiliar a identificação da transição entre eles.
Lembramos que não existe um único caminho para a transição entre os Três Mundos da
Matemática. Entretanto, nossas atividades foram desenvolvidas na expectativa de
possibilitar ao aluno transitar pelos três mundos e por suas interseções, iniciando pelo
mundo corporificado; em seguida, simbolizando o que foi corporificado; passando pelo
mundo simbólico e objetivando alcançar as intersecções entre o mundo formal e/ou os
mundos corporificado e/ou simbólico, que chamaremos de base do mundo formal. De
acordo com o quadro de Tall, na base do mundo formal as definições e deduções de
propriedades são feitas com base em experiências corporificadas e simbólicas.
Nossa expectativa para um curso de Cálculo é alcançar a base do mundo formal. No
mundo formal devem ocorrer definições formais dos sistemas axiomáticos e construção de
propriedades por meio de provas formais o que, em nosso entendimento, deve ser feito
em um curso de Análise.
Explicitaremos, a partir do esquema do desenvolvimento cognitivo da argumentação, o
nosso entendimento a respeito de o aluno estar em cada um dos Três Mundos da
Matemática e nas suas intersecções, em relação à convergência de sequências e à
convergência de séries. Não definiremos o que significa estar no mundo formal por meio
de conceitos isolados, pois entendemos que esse mundo pressupõe a construção de uma
teoria axiomática.
Sendo assim, consideraremos que o aluno estará no mundo corporificado, ou seja, que ele
terá corporificado o conceito de convergência, a partir do momento em que, por meio da
manipulação no GeoGebra, ele conseguir ver e perceber (em uma, ou nas diferentes
representações) que os termos da sequência se aproximam de um determinado valor. A
manipulação no GeoGebra é possível pela alteração do valor máximo do Controle
Deslizante, o que corresponde a aumentar o número de termos da sequência. De modo
análogo, o aluno terá corporificado o conceito de divergência quando visualizar que os
termos da sequência não se aproximam de um valor fixo. Interpretamos que a visualização
do comportamento da sequência é a corporificação do conceito. Entendemos que
visualizar o comportamento é mais do que enxergar os termos que se apresentam; é
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realizar experiências de pensamento tentando interpretar o que enxergam para além do
número finito de termos apresentados.
Consideraremos também que o aluno estará na interseção dos mundos corporificado e
simbólico, ou seja, que haverá a simbolização do que foi corporificado, quando utilizar uma
linguagem simbólica ou oral para comunicar sua compreensão sobre a convergência da
sequência. Essa comunicação pode ser feita pelo uso de palavras que remetam ao conceito
de limite, como “tende”, “aproxima” ou “vai para”.
Em relação ao mundo simbólico, consideramos que o aluno estará nele quando calcular o
limite do termo geral e conseguir interpretar o resultado final para dizer se a sequência
converge ou não. O valor L, resultado do cálculo do limite Lan
n
=∞→
lim (ou Lan
→ quando
∞→n ) pode ser entendido como um processo (o cálculo do limite) ou como um conceito
(o valor para o qual a sequência converge).
Pelo esquema de Tall, apresentado na figura 1, na intersecção entre os mundos, que
chamamos de base do mundo formal, as definições e deduções de propriedades são feitas
com base em experiências corporificadas e simbólicas. Assim, tomando como referência as
experiências de visualização gráfica e numérica, que entendemos como corporificação da
convergência, e também as simbologias utilizadas, procuramos identificar quais
propriedades foram possíveis de se deduzir. Identificamos como possibilidade as
propriedades relativas às distâncias entre os pontos e o possível ponto para o qual a
sequência converge e também as relativas às distâncias entre os pontos da sequência (ou
diferenças entre termos). Com base nessas propriedades temos duas interpretações
possíveis para a convergência de sequências na base do mundo formal. No primeiro caso,
consideraremos que o aluno estará na base do mundo formal quando observar que as
diferenças entre os termos da sequência e o possível valor de convergência estão
diminuindo para as sequências convergentes ou que não existe um valor para o qual a
sequência converge e concluir que ela é divergente. No segundo caso, consideraremos que
o aluno estará na base do mundo formal quando observar que as diferenças entre os
termos da sequência deverão diminuir para que ela seja convergente ou que as diferenças
deverão aumentar ou tenderem a um valor constante e diferente de zero, para que ela seja
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divergente. Em ambos os casos o aluno também deverá ser capaz de expressar
simbolicamente o que foi deduzido.
Continuamos a observar a figura 1, porém, buscando identificar propriedades possíveis de
deduzir relativas à convergência de séries. Identificamos que o critério de divergência de
séries seria uma possibilidade de dedução a partir das experiências corporificadas acima
citadas. Consideraremos que o aluno estará na base do mundo formal ao chegar à
conclusão de que é necessário que a sequência do termo geral tenda a zero para a série ser
convergente. Consideraremos que ele estará com o desenvolvimento cognitivo da
argumentação mais avançado dentro da base do mundo formal caso ainda diga que essa
condição é necessária, mas que não é suficiente para garantir a convergência. Também
estará na base do mundo formal o aluno que observar que, se o limite do termo geral for
diferente de zero, então a série será divergente.
A seguir, no capítulo 4, serão apresentadas as atividades exploratórias, com seus objetivos
e alguns comentários e sugestões de aplicação.
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4 Apresentando as atividades exploratórias ________________________
Neste capítulo apresentamos as nove atividades exploratórias desenvolvidas para o estudo
da convergência de sequências e séries no contexto dos Três Mundos da Matemática,
sendo a convergência da série estudada por meio da sequência formada pelas somas
parcias.
As atividades têm por objetivo fazer o aluno desenvolver o conhecimento matemático,
inicialmente por meio das percepções e sentimentos vindos da visualização e manipulação
com o auxílio do software GeoGebra. Buscam também estimular a formulação de
conjecturas e, posteriormente, a busca da validação auxiliada por testes e visualizações
com o GeoGebra. Ao solicitar aos alunos que escrevam as conjecturas por eles elaboradas,
justificando-as, almejamos fazer com que a passagem do mundo corporificado para o
proceitual ocorra de forma natural. As definições formais e as provas das conjecturas
deverão ser efetuadas nas aulas teóricas.
As aulas teóricas devem ser conduzidas de maneira que os conceitos adquiridos nos
mundos corporificado e proceitual sejam evocados para serem uma introdução ao mundo
axiomático.
Das nove atividades, as duas primeiras inciam pelo mundo simbólico por se tratarem de
atividades que têm como objetivo evocar o conhecimento prévio dos alunos em relação ao
conceito de sequência, bem como familiarizá-los com a expressão do termo geral e com a
obtenção dos termos da sequência. Já as outras sete atividades foram formuladas para se
trabalhar o conceito de convergência, a fim de que o desenvolvimento cognitivo se inicie
pelo mundo corporificado e transite pelos mundos simbólico e aximomático, com o auxílio
do software GeoGebra. Para facilitar a utilização desse software, foi elaborado um
Minimanual de GeoGebra que possui explicações de algumas ações e utilização de
algumas ferramenta do software, disponível no final do texto.
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Sugerimos que, antes de iniciar o trabalho com as atividades exploratórias, o professor
disponibilize um horário para a apresentação do GeoGebra, por meio de alguma atividade
introdutória7. No fim desse horário o professor pode aplicar a Atividade 1.
Atividade 1
Objetivo: Evocar o conhecimento prévio quanto ao conceito de sequência numérica.
Responda as questões abaixo com base em seu conhecimento prévio.
1 – O que você entende por sequência numérica?
2 – Dê, no mínimo, 5 (cinco) exemplos de sequências numéricas.
Comentário
Com esta atividade o professor poderá vislumbrar o conhecimento prévio dos alunos em
relação ao conceito de sequência numérica e enunciar a definição de sequência numérica
após discutir com os alunos as respostas dadas.
Sugestão
• Aplicar a Atividade 1 em aula anterior à aula selecionada para a Atividade 2, assim,
o professor poderá analisar as respostas dadas. Essa atividade também deverá ser
aplicada antes de o professor fazer qualquer referência à sequência.
Atividade 2
Objetivo: Trabalhar a definição de sequência numérica, a expressão do termo geral e a
obtenção dos termos de uma sequência a partir do termo geral.
7 Atividades introdutórias com software GeoGebra podem ser encontradas no trabalho de Marcos Dias da Rocha, intitulado “Atividades Computacionais para o Curso de Cálculo Diferencial e Integral usando o Software GeoGebra”, ou no trabalhdo de Davis Oliveira Alves, intitulado “Ensino de Funções, Limites e Continuidade em Ambientes Educacionais Informatizados: uma Proposta para Cursos de Introdução ao Cálculo”. Os dois trabalhos estão disponíveis no site do Programa, http://www.ppgedmat.ufop.br.
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1 – Para cada uma das sequências abaixo, complete-as com três termos seguintes aos que
estão indicados e explique o raciocínio empregado para determinar tais termos:
a)
K,,,5
5,
4
5,
3
5,
2
5,
1
5
b) { }K,,,,25,16,9,4,1
c)
−−− K,,,,6
5,
5
4,
4
3,
3
2,
2
1
2 – Determine o termo geral n
a de cada uma das sequências anteriores.
3 – Liste os cinco primeiros termos de cada uma das sequências, cujos termos gerais são
dados a seguir:
a) 12 +
=n
na
n
b) 1)2(
+−=
n
na
c) 43
32
+
−=
n
na
n
Comentário
O principal objetivo desta atividade é o de familiarizar o aluno com o conceito de
sequência numérica e com sua representação na forma algébrica. Ao manipularem os
termos da primeira questão para encontrar o termo geral pedido na segunda questão, o
aluno terá a possibilidade de corporificar o simbolismo de uma sequência numérica.
Sugestões
• Para a aplicação da Atividade 2 reserve uma aula de cinquenta minutos.
• Antes de iniciar a Atividade 2 retome as respostas dadas pelos alunos à Atividade 1
e, com base nessas respostas, defina sequência numérica como um conjunto
numérico e como uma função discreta com domínio nos inteiros positivos.
• Apresente exemplos mais simples de sequências numéricas, como a sequência
formada pelos números pares e a formada pelos números ímpares, e explique
como obter o termo geral.
• Peça aos alunos para resolverem a atividade.
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Da atividade 3 à atividade 7, o objetivo principal é trabalhar as diferentes formas de
representação de uma sequência e relacioná-las. Cada sequência selecionada tem um
objetivo específico, que será comentado por atividade. Sugerimos que essas atividades
sejam trabalhadas em conjunto, por isso reserve duas aulas de uma hora e meia cada para
a aplicação. Caso os alunos já estejam familiarizados com o GeoGebra, este tempo pode ser
reduzido. Observamos que, se os alunos não utilizarem os termos “converge” ou “diverge”
nas atividades, que esses conceitos sejam vistos somente após a aplicação da Atividade 7.
Atividade 3
Objetivo: Explorar diferentes possibilidades de representação dos termos de uma
sequência.
Observação: Todo número que estiver sobrescrito, como, por exemplo, “Mova o plano(1)
”,
indica que a respectiva ação está descrita no Minimanual de GeoGebra.
Considere a sequência de termo geral n
an
5=
Vamos explorar diferentes formas de representação dos valores dos termos dessa
sequência, com os recursos do Geogebra.
1 – Considerando que a sequência pode ser definida como uma função de domínio natural,
vamos representar no plano os pontos P = (n, 5/n). Da forma como definimos P, o valor da
primeira coordenada do ponto P representa a posição n do termo da sequência e o valor
da segunda coordenada do ponto P representa o valor numérico do termo de posição n da
sequência.
• Mova o plano(1) da Janela de Visualização de forma que o eixo vertical dos y’s fique
próximo da divisória entre a Janela de Álgebra e a Janela de Visualização e o eixo
dos x’s fique o mais baixo possível.
• Mude o sistema para 5 Casas Decimais(2).
• Peça para exibir Malha(3) e Planilha(4). Ajuste a Planilha para que apareçam as
colunas A e B.
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• Crie um Controle Deslizante(5) e ajuste suas configurações para que tenha o nome n
e esteja definido no intervalo de 1 até 12 com incremento 1.
• Entre com o ponto P = (n, 5/n)(6) e peça para Habilitar Rastro(7) e Gravar(8) para a
Planilha de Cálculos.
Para observar os valores assumidos por n
a , vamos variar n.
• Na Janela Algébrica, clique no valor de n de forma que ele fique selecionado.
• Varie o valor de n utilizando a seta do teclado e observe a distribuição do rastro do ponto P no plano.
1.1 – O que está acontecendo com os valores dos termos da sequência?
• Aumente a quantidade de rastro deixada pelo ponto P. Para isso, troque o valor
máximo(9) do Controle Deslizante.
• Caso deseje, diminua a escala do eixo dos x’s(10).
• Continue a variar o valor de n. 1.2 – O que acontece com a posição do ponto P no plano cartesiano? E com os valores
numéricos de n
an
5= representados na coluna B da planilha?
1.3 – É possível prever o que acontecerá com o valor do termo n
a da sequência quando o
n (posição do termo) for muito grande? Explique.
2 – Outra forma de visualização é a representação dos valores dos termos da sequência em
uma reta. Para isso vamos criar o ponto Q = (0, 5/n).
• Volte com o valor do Controle Deslizante para n = 1.
• Selecione todos os valores que estão na tabela e apague-os. Mande Reinicializar
Coluna(11).
• Ajuste a planilha para que seja possível visualizar da coluna A até a coluna D.
• Entre com o ponto Q = (0, 5/n). Habilite seu rastro e selecione a opção Gravar para
a Planilha de Cálculos.
• Para melhor visualização, diminua a espessura(12) e mude a cor(12) do ponto Q.
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• Varie o valor de n utilizando a seta do teclado. Pare quando atingir o valor de n =
10.
2.1 – O que você percebe entre os pontos P e Q? Explique.
• Continue a movimentar o Controle Deslizante.
2.2 – O que você vê acontecer com a posição do ponto Q no eixo vertical?
3 – Com base em suas observações e respostas nos itens 1 e 2, o que você pode dizer sobre
os valores numéricos dos termos dessa sequência? O que acontece com o valor de n
a
quando n assume valores cada vez maiores?
Comentário
Esta atividade tem por objetivo introduzir aos alunos as diferentes representações de uma
sequência. No caso, temos três representações: como uma função discreta (rastros do
ponto P), como um conjunto de valores numéricos (valores descritos na Planilha) e como
pontos de uma reta (rastros do ponto Q). Inicialmente (questão 1.1) é pedida a observação
do comportamento da sequência considerando poucos termos para que o aluno possa
descrever a sua percepção inicial e sua intuição quanto à convergência da sequência.
Posteriormente é pedido para aumentar a quantidade de termos para que os alunos
possam verificar se a conjectura inicial é válida. Só então será inserida uma nova
visualização, como pontos de uma reta, com o objetivo de os alunos observarem se os
valores da sequência estão se aproximando ou se afastando uns dos outros.
A sequência n
an
5= foi escolhida para que os alunos pudessem formular suas conjecturas
e validá-las ao escolher o valor máximo do Controle Deslizante do GeoGreba. Vejamos na
figura 4 uma possível resolução para esta atividade.
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Figura 4: Representação da sequência
na
n
5= , com n variando de 1 até 15, como uma
função discreta, como pontos sobre uma reta e como sequência de valores numéricos
Atividade 4
Objetivo: Explorar diferentes possibilidades de representação dos termos de uma
sequência.
Considere a sequência de termo geral n
na
n
5
20+=
Explore o comportamento dessa sequência usando o GeoGebra. Sugestão: abra um novo
arquivo e utilize os recursos indicados na atividade 03, crie o ponto P(n, n
a ), Q(0, n
a ) e
uma planilha em que possam ser observados os valores numéricos de n
a . Observe que os
pontos deverão ser introduzidos no GeoGebra como P=(n, (n+20)/(5n)) e Q=(0,
(n+20)/(5n)).
O que você pode dizer sobre os valores numéricos dos termos dessa sequência? O que
acontece com o valor de n
a quando n assume valores cada vez maiores?
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Comentário
Esperamos que, a partir da visualização dos termos da sequência no GeoGebra, os alunos
conjecturem que a sequência é convergente para zero. Caso isso de fato ocorra, o
professor poderá chamar a atenção para a necessidade de se trabalhar a convergência de
maneira formal, pois, ao calcular o limite do termo geral conclui-se que a sequência
converge para 0,2.
Atividade 5
Objetivo: Explorar diferentes possibilidades de representação dos termos de uma
sequência. Considere a sequência de termo geral 2
nan
=
Explore o comportamento dessa sequência usando o GeoGebra. Sugestão: abra um novo
arquivo e utilize os recursos indicados na atividade 03, crie o ponto P(n, n
a ), Q(0, n
a ) e
uma planilha em que possam ser observados os valores numéricos de n
a . Observe que os
pontos deverão ser introduzidos no GeoGebra como P=(n, n^2) e Q= (0, n^2).
O que você pode dizer sobre os valores numéricos dos termos dessa sequência? O que
acontece com o valor de n
a quando n assume valores cada vez maiores?
Comentário
Com esta atividade buscamos a fácil visualização de que os valores não se aproximam de
um valor fixo e, por isso, a sequência não converge, e sim diverge.
Atividade 6
Objetivo: Explorar diferentes possibilidades de representação dos termos de uma
sequência.
Considere a sequência de termo geral 1+
=n
na
n
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Explore o comportamento dessa sequência usando o GeoGebra. Sugestão: abra um novo
arquivo e utilize os recursos indicados na atividade 3, crie o ponto P(n, n
a ), Q(0, n
a ) e uma
planilha em que possam ser observados os valores numéricos de n
a . Observe que os
pontos deverão ser introduzidos no GeoGebra como P=(n, n/(n+1)) e Q=(0, n/(n+1)).
O que você pode dizer sobre os valores numéricos dos termos dessa sequência? O que
acontece com o valor de n
a quando n assume valores cada vez maiores?
Comentário
A sequência 1+
=n
na
n foi escolhida para que os alunos possam ver que as sequências
podem convergir para outros valores reais, não deixando margem para um entendimento
errôneo de que, para uma sequência se aproximar de um valor, o seu limite deve tender a
zero.
Atividade 7
Objetivo: Explorar diferentes possibilidades de representação dos termos de uma
sequência.
Considere a sequência de termo geral n
n
n
na
2)1(
2
−=
Explore o comportamento dessa sequência usando o GeoGebra. Sugestão: abra um novo
arquivo e utilize os recursos indicados na atividade 3, crie o ponto P(n, n
a ), Q(0, n
a ) e uma
planilha em que possam ser observados os valores numéricos de n
a . Observe que os
pontos deverão ser introduzidos no GeoGebra como P=(n, (-1)^n*n^2/(2^n)) e Q=(0,
n/(n+1)).
O que você pode dizer sobre os valores numéricos dos termos dessa sequência? O que
acontece com o valor de n
a quando n assume valores cada vez maiores?
Comentário
Nesta atividade deseja-se explorar o fato de que uma sequência alternada também pode
convergir.
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Sugestão
• Futuramente, ao sistematizar a convergência de sequência alternada, utilize a
atividade 7 como exemplo de que a sequência alternada só pode ser convergente
se for para zero.
• Após a aplicação das atividades, até a de número 7, sugerimos que retome a aula
para discutir as conjecturas formuladas pelos alunos. Também deve ser discutida a
convergência e a divergência de sequência, sem mencionar o cálculo do limite e
sem a definição formal, observando apenas que uma sequência é convergente
quando ela se aproxima, ou tende, a um valor fixo; caso isso não ocorra, a
sequência será divergente.
Para a atividade 8 sugerimos que seja reservada uma aula de aproximadamente cinquenta
minutos.
Atividade 8
Objetivo: Explorar a convergência e a divergência de sequências por meio de distância.
Vamos explorar o que acontece com a distância entre os pontos de uma determinada
sequência e o ponto de acumulação quando a quantidade de termos aumenta. A distância
entre dois pontos pode ser medida através do cálculo do módulo da diferença entre os
valores numéricos correspondentes. Por exemplo: a distância entre os pontos 1 e 4 é 3,
pois 341 =− .
Para essa exploração vamos usar os recursos do Geogebra. Sugerimos a construção do
Controle Deslizante(5) e a construção de uma Planilha.
1 – Considere a sequência de termo geral 1+
=n
na
n.
• Construa o ponto(6) Q=(0, n/(n+1)).
• Habilite o rastro(7) de Q, faça n variar , e grave para a planilha de cálculos(8).
1.1 – Essa sequência parece ser convergente? Para qual valor?
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1.2 – Caso ela seja convergente, o que está acontecendo com a distância entre os pontos
da sequência e o ponto para o qual ela parece convergir?
• Podemos saber a medida da distância entre dois pontos, através do valor absoluto
da diferença entre o valor de convergência s (intuído por você no item 1.1) e o
valor numérico de posição n (|s – an|). Isso pode ser feito através do comando abs
na planilha. Por exemplo, na célula de que pertencem a linha 1 e coluna C, digite
=(abs(s – B1)). Faça o mesmo em todas as linhas(13).
1.3 – O que está acontecendo com o valor absoluto da diferença entre o valor intuído por
você no item 1.1 e os termos da sequência (valores da coluna C)?
2 – Considere a sequência de termo geral n
na
n
5
20+=
• Em um novo arquivo, construa o ponto(6) Q=(0, (n+20)/(5n)).
• Habilite o rastro(7) de Q, faça n variar , e grave para a planilha de cálculos(8).
2.1 – Essa sequência parece ser convergente? Para qual valor?
2.2 – Caso ela seja convergente, o que está acontecendo com a distância entre os pontos
da sequência e o ponto para o qual ela parece convergir?
2.3 – O que está acontecendo com o valor absoluto da diferença entre o valor intuído por
você no item 2.1 e o os termos da sequência?
3 – Considere a sequência de termo geral n
a
n
n
3
2=
• Em um novo arquivo, construa o ponto(6) Q=(0, (2^n)/(3n)).
• Habilite o rastro(7) de Q, faça n variar , e grave para a planilha de cálculos(8).
3.1 – Essa sequência parece ser convergente? Para qual valor?
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3.2 – O que está acontecendo com a distância entre dois pontos consecutivos dos termos
da sequência?
• Indique na planilha a distância entre dois pontos consecutivos da sequência (valor
absoluto da diferença entre dois valores numéricos consecutivos). Na célula de que
pertencem a linha 3 e coluna C, digite =(abs(B3 – B2)). Faça o mesmo em todas as
linhas(13).
3.3 – O que está acontecendo com o valor absoluto da diferença entre os valores
numéricos de dois termos consecutivos da sequência?
4 – Considere a sequência de termo geral 1
)1(1
+−=
+
n
na
n
n.
• Em um novo arquivo, construa o ponto(6) Q=(0, (–1)^(n+1)*n/(n+1)).
• Habilite o rastro(7) de Q, faça n variar , e grave para a planilha de cálculos(8).
4.1 – Essa sequência parece ser convergente? Para qual valor?
4.2 – O que está acontecendo com a distância entre dois pontos consecutivos da
sequência?
4.3 – O que está acontecendo com o valor absoluto da diferença entre os valores
numéricos de dois termos consecutivos da sequência?
Comentário
As sequências 1+
=n
na
n e
n
na
n
5
20+= são convergentes para 1 e 0,2, respectivamente.
Portanto exploramos a distância entre os termos da sequência e o valor para o qual ela
converge. Além disso, nenhuma das duas sequências converge para zero, o que gera a
discussão de que as sequências convergem para valores diferentes de zero, mas a distância
entre os termos e o ponto de acumulação tende a zero. A partir dessas duas sequências é
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possível introduzir o conceito formal de limite e assim discutir a convergência da sequência
por meio do cálculo do limite do termo geral.
As sequências n
a
n
n
3
2= e
1)1(
1
+−=
+
n
na
n
n são divergentes. Na primeira, é possível discutir a
divergência, pois a mesma tende para o infinito e com isso a distância entre dois termos
consecutivos é crescente. Já a segunda é divergente, pois o limite não existe. Também é
possível discutir a divergência por meio da distância entre dois termos consecutivos, já que
a mesma tende a se tornar constante e diferente de zero.
Na figura 5 temos a tela do GeoGebra com uma possível resolução para a sequência
1+=
n
na
n . Nela observamos que o ponto Q está cada vez mais próximo de um, o que
também é possível observar pela coluna B da Planilha. Consequentemente, a distância
entre os termos da sequência e o valor um está cada vez menor, o que pode ser
comprovado pelos valores apresentados na coluna C.
Figura 5: Distância entre os termos da sequência e o valor de convergência
Depois da atividade 8 volte trabalhar o restante do conteúdo de sequências. Neste
momento considere o cálculo simbólico.
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Antes de iniciar a atividade 9, sugerimos que trabalhe de modo teórico os conceitos
iniciais, como séries e somas parciais. Além disso, discuta com o aluno que uma forma de
verificar a convergência ou a divergência de uma série é verificar o comportamento da
sequência formada pelas somas parciais.
Atividade 9
Objetivo: Explorar a convergência ou divergência de diferentes séries.
Vamos explorar o que acontece com algumas séries. Para essa exploração vamos usar os
recursos do GeoGebra.
Inicie habilitando a Planilha(4), fechando a janela algébrica e passando o arredondamento
para 15 casas decimais(2).
Na célula A1 digite 1. Na célula A2 digite = A1+1. Selecione a célula A2 e arraste até a
célula A30. Com isso criamos o valores de n de 1 até 30.
Criaremos cada termo da série na coluna B.
Sendo assim, vamos iniciar analisando a série ∑ −12
1n
.
Na célula B1, digite =1/(2^(A1-1)). Selecione a célula B1e arraste até a célula B30.
Na coluna C, criaremos as somas parciais.
Na célula C1, temos a primeira soma parcial s1=a1, para isso digite C1=B1. Na célula C2,
teremos a soma parcial dos dois primeiros termos, ou seja, s2 =s1+a2. Para isso, digite
C2=C1+B2. Para encontrar as demais somas parciais, selecione a célula C2 e arraste.
1 – Analisando a planilha, o que está acontecendo com o termo geral an? O que está
acontecendo com os valores sn das somas parciais?
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Vamos criar dois gráficos de pontos. Sendo um definido pelo termo an da série na posição
n e o outro definido pelo valor sn da soma parcial na posição n.
Para isso digite na célula D1, (A1, B1) e na célula E1 digite (A1,C1).
Troque as cores de cada célula (clique com o botão direito sobre cada uma, selecione
propriedades e depois cores). Selecione as células D1 e E1 e arraste.
2 – Observando os gráficos, o que acontece com o termo geral an e com os valores sn das
somas parciais? Isso é coerente com o que você havia concluído na questão 1? Justifique.
3 – Vamos fazer agora um estudo semelhante para outras séries. Em cada item discuta a
converência/divergência do termo geral an e das somas parciais da série, com os valores sn
(para fazer esse estudo basta trocar a equação de todas(13) as células da coluna B).
a) ∑+2
21
n
n
b) ∑+ )1(
1
nn
c) ∑
+
n
n 1
1
d) ∑−
+
n
n
21
1
e) ∑ +−
2
1 1)1(
n
n
f) ∑n
1
4 – Quais séries da questão 3 são convergentes? Você identifica alguma relação existente
entre elas? Qual?
5 – Quais séries da questão 3 são divergentes? Você identifica alguma relação existente
entre elas? Qual?
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6 – Podemos chegar a alguma conclusão geral sobre a convergência ou divergência de
uma série?
Comentário
O objetivo principal desta atividade é a corporificação das idéias básicas da convergência
de séries com vista a facilitar a exploração téorica da condição de convergência e dos
critérios de convergência de séries. Com as séries apresentadas também desejamos
verificar que, se o limite do termo geral das séries for diferente de zero, a série será
divergente, e que nas séries convergentes a sequência do termo geral converge para zero.
Para cada série escolhida apresentamos suas características e uma forma possível de
trabalho teórico a partir delas:
- ∑ −12
1n
: é possível visualizar por meio de gráfico ou de tabela que a sequência do termo
geral aparenta convergir para zero e que a série pode convergir para dois. A convergência
da sequência pode ser verificada pelo cálculo do limite e a convergência da série pelo uso
do teste de série geométrica ou do teste da razão;
- ∑+2
21
n
n: é possível visualizar por meio de gráfico ou de tabela que a sequência do
termo geral aparenta convergir para um, no entanto, a série é divergente. A divergência da
série pode ser verificada com o uso do teste da divergência;
- ∑+ )1(
1
nn: a visualização gráfica e da tabela pode levar à conclusão de que a sequência
do termo geral parece convergir para zero, enquanto a série aparenta convergir para um. A
comprovação da convergência da sequência pode ser verificada com o cálculo do limite e
a convergência da série é comprovada utilizando-se série telescópica e o valor de
convergência pelo cálculo do limite do termo geral das somas parciais;
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- ∑
+
n
n 1
1: por meio da visualização gráfica ou da tabela é possível perceber que a
sequência do termo geral converge para zero e que a série é convergente; entretanto, não
é possível saber o valor para o qual a série converge. O software é limitado a quinze casas
decimais, por isso, a partir de um certo termo o valor do termo geral na planilha aparece
como sendo zero e, consequentemente, não ocorre alteração no valor da soma parcial. No
entanto, é possível, a partir da expressão do termo geral, saber que ele não pode assumir o
valor zero; embora não seja possível saber o valor para o qual a série converge. A
convergência da sequência pode ser calculada pelo limite e a convergência da série pode
ser comprovada com o uso do teste da raiz;
- ∑−
+
n
n
21
1: é possível visualizar por meio de gráfico ou de tabela que a sequência do
termo geral aparenta convergir para –0,5, no entanto, a série é divergente. A divergência
da série pode ser verificada com o uso do teste da divergência;
- ∑ +−
2
1 1)1(
n
n : é possível visualizar por meio de gráfico ou de tabela que a sequência do
termo geral aparenta convergir para zero e que a série pode ser convergente. A
convergência da sequência pode ser calculada pelo limite do valor absoluto do termo geral
e a convergência da série pode ser comprovada com o uso do teste da série alternada;
- ∑n
1: utilizando apenas os primeiros trinta termos da série harmônica para construção
do gráfico e da tabela, o aluno poderá concluir que a série é divergente ou que a série
converge para quatro, apesar de a série ser divergente. Essa série foi colocada para servir
de contra exemplo, pois não basta a sequência do termo geral convergir para zero para
que a série seja convergente. O que acontece com essa série é contrário à ideia intuitiva
que se tem dela. É possível provar a divergência utilizando o teste da integral ou p-série.
A figura 6 nos mostra como seria a visualização das sequências formadas pela série
∑ −12
1n
. Os pontos representados em azul são os termos da série e os pontos em
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vermelho são os termos da sequência de somas parciais. Tanto os gráficos como os valores
numéricos apresentados na planilha permitem uma visualização de que a sequência de
valores do termo geral aparenta tender a zero e a sequência de valores das somas parciais
parece tender a dois.
Figura 6: Sequências do termo geral e das somas parciais da série ∑ −1
2
1n
As questões 4 e 5 têm por objetivo estimular a conjectura de critérios para a convergência ou divergência de uma série. Em nossa pesquisa uma aluna chegou à seguinte conjectura (figura 7):
Figura 7: Conclusão da aluna A20 sobre a convergência de séries
Para nós, essa aluna alcançou a base do mundo formal, pois foi capaz de inferir o critério de divergência com base em experiências corporificadas.
Sugestões
• Reserve uma aula de cinquenta minutos para a aplicação desta atividade.
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• Depois que os alunos resolverem até a questão 2, discuta o que representa os
valores de cada coluna da Planilha, o que representam os dois gráficos de pontos, a
relação entre os valores da Planilha e os pontos do gráfico. Mostre que a sequência
do termo geral converge para zero, mas que a série parece convergir para dois,
segundo a convergência da sequência formada pelas somas parciais.
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FONSECA, Daila Silva Seabra de Moura. Convergência de sequências e séries numéricas no
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KAWASAKI, T. F. Tecnologias na sala de aula de matemática: resistência e mudanças na
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LIMA, Rosana Nogueira de. Equações Algébricas no Ensino Médio: uma jornada por
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Apêndice ________________________
Minimanual de GeoGebra
(1) Movendo o plano da Janela de Visualização
Clique no botão , depois, na tela branca, clique, segure e arraste.
(2) Mudando as Casas Decimais
Na barra de ferramentas, clique em Opções, em seguida em Arredondamento e
escolha as Casas Decimais desejadas.
(3) Exibindo Malha
Na barra de ferramentas, clique em Exibir e em seguida em Malha.
(4) Exibindo Planilha
Na barra de ferramentas, clique em Exibir e em seguida em Planilha.
(5) Criando um Controle Deslizante
Clique no botão e depois clique na tela branca. Ajuste as informações conforme o desejado. Feche a caixa. Observação: sempre antes de clicar no seletor para movimentá-lo, clique no botão
.
(6) Entrando com um ponto
Na caixa de Entrada , na parte inferior da tela, digite as coordenadas do ponto desejado. Por exemplo, A=(1,2) nos dará o ponto A(1,2).
(7) Habilitando Rastro
Clique com o botão direito no ponto desejado e selecione Habilitar Rastro.
(8) Gravando para a Planilha de Cálculos
Clique com o botão direito no ponto desejado e selecione Gravar para a Planilha de
Cálculos.
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(9) Alterando as propriedades do Controle Deslizante
Clique com o botão direito no valor do Controle Deslizante na Janela Algébrica e
selecione Propriedades.
Dentro de Propriedades, na aba Controle Deslizante, modifique o que for desejado.
Em seguida, mande fechar.
(10) Modificando a escala de um eixo
Clique no botão , depois vá até a marcação de um número, em um dos eixos que deseja modificar, clique, segure e arraste.
Se desejar voltar a visualizar a tela como estava inicialmente, clique com o botão
direito em qualquer parte branca da Janela de Visualização e selecione Visualização
Padrão.
(11) Reinicializando Coluna
Sempre que desejar que os dados voltem a ser exibidos a partir da primeira linha da
planilha será necessário marcar ou desmarcar a opção Reinicializar Coluna.
Para isso, clique em , na planilha. Na caixa que irá abrir, passe para a janela de Opções e marque ou desmarque Reinicializar Coluna. Em seguida feixe a caixa.
Caso precise fazer isso com mais de um ponto, quando a caixa estiver aberta,
selecione um ponto de cada vez e marque ou desmarque Reinicializar Coluna. Só
depois feixe a caixa.
(12) Alterando as propriedades de um Ponto
Clique com o botão direito no Ponto desejado e selecione Propriedades.
Dentro de Propriedades, na aba Estilo, modifique a espessura do ponto. Na aba Cor,
troque a cor do ponto por uma cor mais vibrante.
Em seguida, mande fechar.
(13) Aplicando uma equação a várias células
Clique na célula em que você inseriu a equação para que ela fique selecionada.
Clique no canto direito inferior da célula, segure e arraste para as células restantes.
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Este trabalho foi composto na fonte Myriad Pro e Ottawa. Impresso na Coordenadoria de Imprensa e Editora | CIED
da Universidade Federal de Ouro Preto, em Agosto de 2012
sobre papel 100% reciclato (miolo) 90g/m2 e (capa) 300 g/m2
