Estudo da formação de bolhas em líquidos

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO INSTITIJTO DE FÍSICA Estudo da formação de bolhas em líquidos VISCOSOS (Uma abordagem usando a Teoria do Caos) Alberto Tufaile Orientador: PIOf. Dr. José Carlos Sartorelli Tese apresentada ao Instituto de· Física da Universidade de São Paulo para a obtenção do titulo de Doutor em Ciências 0" 6- <I;:"'c o '" I "'0 lJj ,.l- -o .,. := o SERViÇO DE BIBLIOTECA E Banca examinadora: \ INFORMAÇÁO Prof. Dr. José Carlos Sartorelli - IFUSP ;:) lf (, !3,/, Profa. Dra. Coraci Pereira Malta - IFUSP Prof. Dr. Jorge Manuel Sotomayor Tello - IME!USP Prof. Dr. Paulo Batista Gonçalves - PUC/RJO Prof. Dr. Thomas Braun - UFRGS São Paulo 2000

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Page 1: Estudo da formação de bolhas em líquidos

UNIVERSIDADE DE SAtildeO PAULO

INSTITIJTO DE FIacuteSICA

Estudo da formaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos bull

VISCOSOS

(Uma abordagem usando a Teoria do Caos)

Alberto Tufaile

Orientador PIOf Dr Joseacute Carlos Sartorelli

Tese apresentada ao Instituto demiddot Fiacutesica da Universidade de Satildeo Paulo para a obtenccedilatildeo do titulo de Doutor em Ciecircncias

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Banca examinadora INFORMACcedilAacuteO

Prof Dr Joseacute Carlos Sartorelli - IFUSP ~uacute ) lf ( 3 Profa Dra Coraci Pereira Malta - IFUSP ~IfirOD~ Prof Dr Jorge Manuel Sotomayor Tello - IMEUSP Prof Dr Paulo Batista Gonccedilalves - PUCRJO Prof Dr Thomas Braun - UFRGS

Satildeo Paulo 2000

SBI~FUSP

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FICHA CATALOGRAacuteFICA Preparada pelo Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo do Instituto de Fiacutesica da Universidade de Satildeo Paulo

Tulaile Alberto

Estudo da Formaccedilatildeo de Bolhas em Liquidos Viscosos (Uma Abordagem usando a Teoria de Caos) Satildeo Paulo 2000

Tese (Doutoramento) - Universidade de Satildeo Paulo Instituto de Fiacutesica - Departamento de Fiacutesica Geral

Orientador Prol Dr Joseacute Carlos Sartorelli Aacuterea de Concentraccedilatildeo Fiacutesica

Unitermos 1 Caos 2 Bolhas 3 Mapa do Circulo 4 Sistemas Dinacircmicos

USPIFSBI-0592000

I I

I euepPI1 esodsa epewe etjulw V I

I Ibull

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-

I I I I I I I I I

Agradecimentos

Nos anos em que realizeIacute este trabalho vaacuterias pessoas colaboraram de muitas

formas para que ele se realizasse Expresso aqui meus agradecimentos agravelgumas delas

Ao meu orientador Prof Joseacute Carlos Sartore1li pela orientaccedilatildeo e o aRoio que me

foram dados durante todos esses anos

Aos meus colegas do LFNL Whilk Reynaldo Marcelo Thiago e Ciro pelo

companheirismo de todas as horas

Agrave Comissatildeo de Poacutes-Graduaccedilatildeo do Instituto de Fisica de USP na pessoa do Prof

Annando Corbani Ferraz

Aos funcionaacuterios do Departamento de Fiacutesica Geral Dirce Ivone Alexandre Jairo

Rubens e Marcelino

Ao grupo de Mecacircnica Estatiacutestica nas pessoas do Prof Salinas e do ProL Maacuterio

Joseacute de Oliveira

Ao Prof Iberecirc Luiz Caldas e seu grupo Murilo BatistaKai Renecirc Elinei Anselmo

e Tomaacutes

Agrave secretaacuteria Maacutercia todo o pessoal de Bibliacutenteca aos teacutecnicos do Laboratoacuterio

Didaacutetico como o Claacuteudio Faacutebio Diorusio Maneacute Marcos e Canela

A todos do Departamento de Materiais e Mecacircnica principalmente ao lran Ivete

Eliane Taeko Seacutergio Marcelo e Toninho

Aos meus pais~ Jamil e Alaiacutede que me conduziram durante boa parte da vida e me

educaram com muito carinho aos meus irmatildeos Elysacircngela Aristoacuteteles Linda e Susy que

satildeo muito importantes para mim

Aos meus sogros Roberto e Cleu~ que me amparam com o seu apoio carinhoso

amizade e suas preces Aos meus cunhados Lincoln e Adriana Midod pessoas pelas quais

tenho profunda admlraccedil_atildeo que tambeacutem me ajudam e ao meu sobrinho Tiago

Agradeccedilo ao Conselho Nacional de Pesquisa (CNPq) e agrave FAPESP pelo

importantiacutessimo apoio financeiro

Finalmente agradeccedilo apaixonadamente agrave minha adorada esposa Adriana

I I Neste Instante gigantesco vi milhocirces de

I atos agradaacuteveis e arozes nenhum me assombrou

I mais que ( fato de todos ocuparem o mesmO ponto

sem superposiccedilatildeo e sem transparecircncia O que meus olhos viram foi simultacircneo o que transcreverei seraacute sucessivo pois a linguagem (J ecirc

Jorge Luiacutes Borges O Aleph

Abstract

We have constructed an experimental apparatus to study the dynamics of the

fonnatiacuteon of air bubbles in a nozzle subrnerged in a waterglycerin solution inside a

cy1indrical tuba The time delay between successive bubbles was measured with a

laserphotodiode system

The results were interpreted by meaus of Chaos Thecry and it was observed

biacutefurcations chaotic behavior and sudden changes in a periodic regime as a functron of

decreasing alf flow rate issued through the nozzle

Besides bubbling regime tragraveI1sitions we also observed dynamical effects by

applying a sound wave tuned to the fundamental frequcncy of the air colurrm above the

liquiacuted of the bubble fOffiiation As a function of the sound wave amplitude we obtained

Iimit cycle fHp blfurcatioo chaotic behavior and synchronization of the bubbling with the

sound wave frequency

Applying metricaJ as well as toacutepologiacuteeacuteal characterization to some chaotic attractors

we could establish relation with a Heacutenon-like dynamics The Heacutenon-like behaviacuteot j5 a

particular case of thc dissipative two-dimenslonal circle~rnap dynamics and by varying the

I amplitude of a sound Wave we have observed featutes present in the cIacutercJe map dynamics

I such as

I Chaos

i I

I 1

transition from quasiperiodic to chaotic behavior period doubling cascade and

Resumo

Construiacutemos um aparato experiacutemental para estudar a dinacircmica da formaccedilatildeo de

bolhas de ar em um bico submerso em uma soluccedilatildeo de aacuteguaglicerina dentro de um tubo

ciliacutendrico O tempo entre bolhas sucessivas foi medido com um sistema laierfotodiodo

Os resultados experimentaiacutes foram interpretados usando a Teoria do Caos Foram

observados bifurcaccedilotildees comportamento caoacutetico e saltos no regime perioacutedico em funccedilatildeo da

diminuiccedilatildeo da vazatildeo do ar soprado no bico

Aleacutem das transiacuteccedilotildees dos regimes do borbulhamento noacutes tambeacutem observamos

efeitos na dinacircmica do borbulhamento quando aplicamos uma onda sorrora sintonizada na

frequumlecircncia fundamentai da coluna de ar acima do liacutequido onde as bolhas eram formadas

Em funccedilatildeo da amplitude da onda sonora noacutes obtivemos ciclo fimite bifurcaccedilatildeo flip

comportamento caoacutetico e sincronizaccedilatildeo do borbulbamento com a frequumlecircncia da onda

sonora

UtiJizando caracterizaccedilotildees meacutetrica e topoloacutegica em alguns atratores pudemos

relacionaacute-los com uma dinacircmica tipo-Heacutenon cujo comportamento eacute tun caso particular da

dinacircmica do mapa do ciacuterculo bidimenslonaL Observamos caracteriacutesticas presentes na

dinacircmica do mapa do ciacuterculo na formaccedilatildeo das bolhas variando a amplitude da onda sonora

tais como transiccedilatildeo para o Caos via quase~periodiacutecidade cascata de duplicaccedilotildees de periacuteodo

e Caos

Iacutendice

Iacutendice

L Introduccedilatildeo 1

2 Aspectos teoacutericos 6

21 Buxos e recorrecircncias 6

22 Mapas de retorno 7

23 O Mapa quadraacutetico 8

24 Dimensotildees 12

25 Expoentes de Lyapunov 12

26 O mapa de Heacutenon 14

27 Reduccedilatildeo de rufdo 16

28 Espectro de Fourier 16

29 O Mapa do Ciacuterculo 18

210 Transformaccedilatildeo de ponto fixo 24

211 Plano Simboacutelico 25

3 Aparato experimental 27

3 L O tubo borbulhador 27

32 Sistema de aquisiccedilatildeo 28

33 Medidor de vazatildeo 29

34 Controlador de vazatildeo 30

35 Vaacutelvula solenoacuteide proporcional 31

3 6 O bico borbu Ihador 32

37 O sistema pneumaacutetico 33

38 O sistema sonoro 33

39 O liacutequido 37

310 magens 38

31 L O Experimento da Torneira Gotejante 40

4 Resultados e AnaacuteIise 41

Jlldfce

bull

41 A tornejra gotejante 41

42 Dinacircmica das bolhas 45

42 I Formaccedilatildeo quase-estaacutetica 45

422 Formaccedilatildeo de bolhas com vazatildeo constante 46

423 Bifurcaccedilotildees 48

424 Veias liacutequumlidas 52

425 A estabilidade de dois fluidos sobrepostos 54

426 lnstabiliacutedade da superfiacutecie da bolha 56

427 Frequumlecircncia de borbulhamento 59

428 Duplicaccedilotildees de periacuteodo 62

429 Salto e coalescecircncia 62

4210 Antibolhas 69

43 A onda sonora e as bolhas 72

431 A fonnaccedilatildeo de bolhas perturbadas pelas ondas sonoras 73

432 Atratores do tipo Heacutenon 78

432A Caracterizaccedilatildeo meacutetrica 80

432B Caracterizaccedilatildeo topoloacutegica 81

432C Plano Simboacutelico 83

44 Oscilaccedilotildees forccediladas 85

45 Comportamento geral 87

46 Comparaccedilatildeo entre atratores 92

47 Modulaccedilatildeo do Paracircmetro de Controle 94

5 Conclusotildees 97

6 Referecircncias 100I

ApecircndicesI 1 Simulations in a dripping faucet experiment

2 Chaotic behavior in bulgtble fonnation dynamics

I 3 Heacuteuon-like attractor in air bubble formation

I I

I

lnwod~u~ccedilao~-~____________________~________ ___ 1

1 Introduccedilatildeo

Com o advento da Teoria do Caos [Li e Yorke 1975] foi proposto que eos

sistemas natildeo-lineares com poucos graus de liberdade poderiam gerar uma dinacircmica

muito complexa como comportamento perioacutedico quase-perioacutedico e caoacutetico~ que

dependeriam dos paracircmetros de controle do sistema Tais sistemas no estado caoacutetico se

tornam imprevisiacuteveis enquanto o tempo avanccedila devido a uma propriedade baacutesica dos

siacutestemas caoacuteticos conhecida como sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais Podemos

encontrar exemplos destes sistemas ao nosso redor como nas oacuterbitas planetaacuterias

sistemas quacircnticos [Bertelsen el ai 1999J variaccedilotildees climaacuteticas [Lorenz 1980)

torneiras pingando [Shaw 1984 Martien ct al~ 1985 Sartor1li el 011994

Gonccedilalves1996 Pinto et aI 2000] reaccedilotildees qwmicas abalos siacutesmicos e circuitos

eleacutetricos [Jackson 1995] Podemos tambeacutem encontraacute-los dentro de noacutes mesmos nos

impulsos nervosos [Rapp et ai 1990] pulsaccedilotildees cardiacuteacas reproduccedilatildeo celular e muitos

outros ritmos bioloacutegicos [Jaclrson 1995)

Seguindo uma sugestatildeo de Rotildesller [RossIer 1977] de que uma torneira pingaodo

poderia ser um exemplo do sistema de equaccedilotildees diferenciais que exibe comportamento

caoacutetico~ Shaw [Shaw~ 1984] desenvolveu o experimento da torneira gotejante que se

mostrou mais complexo que O sistema proposto por Rotildesller No Laboratoacuterio de

Fenocircmenos Natildeo-Lineares (LFNL) do Instituto de Fisica da Universidade de Satildeo Paulo

foi construiacutedo um experimento semelhante ao experimento da torneira gotejante de

Shaw [SartoreUi et al~ 1994] e esta experiecircncia permitiu observar uma enormei

variedade de comportamentos dinacircmicos1 tais como CrIacuteses [Grebogi et ai~ 1982l

I intermitecircncias duplicaccedilotildees de penado e oacuterbitas homocliacutenicas Para explicar taisI comportamentos foram desenvolvidas algumas teacutecniacutecas para anaacutelise das seacuteriesI

temporais [Gonccedilalves 1996 Pinto 1999] Desta forma o conhecimento adquirido com o experimento da torneira gotejante

I nos permitiu propor e desenvolver um experimento para estudar a dinacircmica da

formaccedilatildeo de bolhas em um liacutequido onde medimos o tempo da fonnaccedilatildeo de bolhas de

ar sopradas em uma mistura de aacutegua e glicerina utilizando as teacutecnicas semelhantes agraves

utilizadas no experimento da torneira gotejante Este experimento) que chamamos de

tubo borbulhador [Tufalle e Sartorelli 2000a Apecircndice 2 Tufuile e Sartorelli 2000b

Apecircndice 3] eacute de interesse tanto no estudo dos sistemas dinacircmicos quanto nas

aplicaccedilotildees em fluxos com duas fases [Ruzicka el ai 2000] Aleacutem dos efeitos da vazatildeo

I

2 1lntroduccedilatildeq

do ar na formaccedilatildeo de bolhas~ -estudamos os efeitos de uma onda sonora nas intervalos de

tempo da formaccedilatildeo de bolhas

A geraccedilatildeo de bolhas eacute importante em uma vasta gama de fenocircmenos onde temos

a dispersatildeo de um gaacutes num liquido desde ocasiotildees corriqueiras corno no preparo de

uma maionese ateacute em Engenharia Quiacutemica nos chamados equipamentos de mistura de

fases Para citar apenas algumas situaccedilotildees temos a criaccedilatildeo de bolhas em colunas de

borbulhamento vasos de fermentaccedilatildeo~ equipamentos de limpeza e extraccedilatildeo cavitaccedilatildeo

acuacutestica em bombas hidraacuteulicas e vaacutelvulas de controle reatores caldeiras e fijiacutedo em

transmissotildees de ondas sonoras no oceano [Clift e ai 1978]

Basicamente podemos ter quatro formas de formaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos

a) Soprando um gaacutes atraveacutes de um liquido

b) Quando a alta velocidade do liquido diminui a pressatildeo de rorma draacutestica (abaixo d

pressatildeo de vapor do liquido) e uma cavidade preenchida com vapor do liquido se

forma ocorrendo o processo que eacute conhecido como cavitaccedilatildeo

c) Quando um aquecimento local faz com que a pressatildeo de vapor do liacutequido ultrapasse

a pressatildeo local do liquido e uma cavidade de vapor se furma por ebuliccedilatildeo

d) A diminuiccedilatildeo brusca da pressatildeo no liacutequido faz com que gases dissolvidos fotrnem

bolhas no seu interior que ocorre quando abrimos uma garrafa de refrigerante ou

em situaccedilotildees mais etais~ como aacutes bolhas que causam embolia em mergulhadores

que sofrem descompressatildeo

Neste trabalho focalIacute7aremos o primeiro caso da formaccedilatildeo de bolhas principalmente

em liacutequidos viscosos usando uma abordagem da Teoria do Caos

O estudo da formaccedilatildeo de bolhas eacute interdisciplinar devido agraves aplicaccedilotildees encontradas

em Engenhruia Fiacutesica Quiacutemica Ocolisica Matemaacutetica Aplicada e Medicina Clifl e

colaboradores [Clift e ai 1978] publicaram o livro intitulado Bubble Drops and

Particles no qual eles procuram dar uma revisatildeo dos trabalhos envolvendo o

movimento de partiacuteculas em fluidos e a criaccedilatildeo e movimento de bolhas e gotas em

fluidos Esta eacute urna referecircncia muito comum nos trabalhos envolvendo formaccedilatildeo de

bolhas Nesta obra sobre bolhas gotas e partiacuteculas podemos ver que os principais

obstaacuteculos no estudo dos fenocircmenos que envolvem a interaccedilatildeo do estado liquido com o

estado gasoso satildeo a compressibilidade dos gases e a natildeo-linearidade intriacutenseca dos

fluidos) que levam muitas vezes a modelos empiacutericos e com validade de aplicaccedilatildeo

limitada A ideacuteia central quando se aplica a Hidrodinacircmica tradicional eacute a de se

caracterizar diferentes regimes de gotejamento ou borbulhamento~ como transiccedilotildees de

3

lt

L IntroduccediltJQ

instabilidades [Chandraekbar 198 I] Tais transiccedilotildees OCOITem com o aumento de um

paracircmetro caracteriacutestico do sistema como por exemplo o IlUacutemera de Reynolds

Utilizando princiacutepios variacionais procura-se explicar como ocorre um tipo particular

de mudanccedila de regime como a transiccedilatildeo do regiacuteme laminar para a turbultncia

A aplicaccedilatildeo da Teoria do Caos a estes sistemas nos daacute novas perspectivas de

anaacutelise e aumenta nossa intuiccedilatildeo com relaccedilatildeo aos fenocircmenos complexos observados A

furmaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos viscosos e sua relaccedilatildeo com comportamento caoacutetico jaacute

foram relatados em trabalhos de Tritton [Tritton ot ai 1993] e Mittoni [Mittoni oi ai

1995] No primeiro trabalho um medidor de fluxo anemomeacutetrico que consiste de um

resistor sensiacutevel ao fluxo de um fluido que passa sobre ele~ foi colocado proacuteximo do

bico onde as bolhas eram fonnadas e infonnava sobre a fonnaccedilatildeo das mesmas_atraveacutes

da variaccedilatildeo da tensatildeo sobre o resistor Com este sinal de tensatildeor Tritton construiu seccedilotildees

de Poincareacute e atraveacutes delas ele observou duplicaccedilatildeo de penodo no tempo entre bolhas

e tambeacutem obteve algumas seacuteries de sinais com padrotildees nacirco-perioacutedicos Tritton

classificou os padrotildees de comportamento mais simples como Caos Fraco~ e os de

comportamento mais complexo como Caos Forte_ O trabalho eacute inovador no sentido de

que eacute a primeira vez que teacutecnicas deste tipo satildeo utilizadas para o estudo da formaccedilatildeo de

bolhas Mas as criticas com relaccedilatildeo a este trabalho levam em conta que o meacutetodo de

mediccedilatildeo eacute invasivo~ isto ~ a formaccedilatildeo das bolhas eacute afetada pelo medidor pois a

caracterizaccedilatildeo do comportamento caoacutetico fOI feita de modo subjetivo No segundo

trabalho Miltoni e colaboradores [Mittoni cl aL 1995J utilizaram como elemento

sensor da formaccedilatildeo de bolbas num tubo borbulhador um transdutor de pressatildeo obteve

seacuteries de sinais caoacuteticos atraveacutes de teacutecnicas natildeo-invasivas e aplicou a caracterizaccedilatildeo

meacutetrica sobre elas obtendo expoenles de Lyapllllov positivos (algoritmo de Wolf [Wolf

ct ai 1985D

Como exemplo do interesse da Engenharia Quiacutemi peJa formaccedilatildeo de bolhas

temos o grupo da Universidade do Tenessee [Finney 2000] nos Estados Unidos

denominado CRG abreviatura de Chaos Research Gr01lp que estuda desde 1992 entre

outros siste~ a dinacircmica de uma coluna de bolhas ascendente formada por um bico

Segundo eles o principal foco da pesquisa eacute explorar a rota de duplicaccedilatildeo de periacuteodo

ateacute o caos e a natureza espaccedilo-temporal das interaccedilotildees entre as bolbas aleacutem de

focalizar as aplicaccedilotildees de teacutecnicas de controle de Caos

Aleacutem deste grupo~ foram encontrados outros trabalhos envolvendo engenheiros

quiacutemicQs estudando formaccedilatildeo de bolhas atraveacutes anaacutelise de seacuteries temporais Li e

I

1

I _J__mmm__u~_________________~ 4

colaboradores [Li et aI 1997] estudaram a coalescencio entre bolhas atraveacutes do

espectro de potecircncias dos dados obtidos experimentalmente Ruzicka e colaboradores I

[Ruzicka et al~ 1997]~ focalizaram sua pesquisa na transiccedilatildeo do estado de

borbulhamento para o jateamento do ar em liacutequidos Eles encontraram um movimento

complexo das bolhas envolvendo disparos da vazatildeo do ar mudando do regime de

borbulhamento para o jateamento do ar no liacutequido Eles classificaram os disparos

utilizando a tcrnrinologia da Teoria do Caos como uma intermitecircncia do tipo lI

Os meacutetodos de anaacutelise das seacuteries temporaiacutes satildeo baseados na teacutecnica de

reconstruccedilatildeo do espaccedilo de reses a partir de uma coleccedilatildeo de dados conhecida como seacuterie

temporal e podemos c1assificaacute~los como meacutetodos meacutetricos e topoloacutegicos Basicamente

temos uma anaacutelise das propriedades meacutetricas desta reconstruccedilatildeo devido aos estudos

desenvolvidos por Pkanl [packard el 01 1980] Maliacutec [Maliacutee 198 I] e Takens

[Takens 1981J Aleacutem disso temos a caracterizaccedilatildeo atraveacutes de expoentes de Lyapunov

com um algoritmo muito popular desenvolvido por Wolf [Wolf el aI 1985] para o

caacutelculo destes expoentes para estas seacuteries Aleacutem do estudo da estabilidade das seacuteries

temporais~ tambeacutem eacute associado a elas o conceiacuteto de dimensatildeo Femat e colaboradores

[Fernat et ai 1998] acompanharam a evoluccedilatildeo de seacuteries temporais provenientes de

sensores capacitivos em um experimento de borbulhamento em uma coluna vertica1

eles obtiveram os expoentes de Lyapunov e fizeram anaacutelises espectrais dos dados

referentes agrave bolhas que se eJevavam na coluna A caracterizaccedilatildeo topoloacutegica de dados

experimentais de sistemas natildeo--lineares usando dinacircmica simboacutelica foi feita pOI

Gonccedilalves e colaboradores para o experimento da torneira gotejante [Gonccedilalves et aI

1998] Pinto [pinto ef al 2000) aplicou o estudo das variedades invariantes para

caracterizaccedilatildeo da Cataacutestrofe do Ceacuteu Azul tambeacutem no experimento da torneira

got~antegt assim como algoritmos de localizaccedilatildeo de Oacuterhitas Perioacutedicas Instaacuteveis (QP)

de So [So el ai 1996]

Neste trabalho observamos as condiccedilotildees que levam aos diferentes regimes de

borbulhamento e classificamos estes regimes de acordo com as teorias dos sistemas

dinacircmicos assim como registramos algumas observaccedilotildees intrigantes na evoluccedilatildeo destes

sistemas como por emplo o aparecimento de cmtibolhas [Stong 1986] que satildeo

basicamente cascas esfeacutericas de ar aprisionadas dentro do liacutequido Colocando oacuteleo junto

com aacutegua no sistema do tubo borbulhador~ tambeacutem registramos fi existecircncia de veias

liacutequidas que satildeo colunas daacutegua sustentadas por bolhas dentro do oacuteleo

5

I I i

1

I

I

J lntro50

Veremos tambeacutem o tubo borbulhador como um novo exemplo da classe dos

sistemas caoacuteticos devido agrave sua relaccedilatildeo com o mapa hidimensional do ciacuterculo (Argyris

et a~ 1994] Muitos sistemas fiacutesicos caracterizados por pelo menos duas frequumlecircncias

exibem um comportamento chamado de sincronizaccedilatildeo ou tambeacutem chamado de

travamento de frequumlecircncias Outro comportamento muito frequumlente na associaccedilatildeo de

osciladores eacute o comportamento quase-perioacutedico que pode ser representado pela

associaccedilatildeo de dois osciladores funcionando com a relaccedilatildeo entre as frequumlecircncias dada por

um nuacutemero irracional Todos esses comportamentos aparecem naturalmente no

experimento do tubo borbulhador e aleacutem disso~ este experimento nos permite explorar a

interaccedilatildeo entre os sistemas natildeo-linearesgt e como ocorrem as translccedilotildees entre os regimes

perioacutedico e ca6tico na emissatildeo de bolhas sujeitas agrave uma onda sonora

6

I I

I

I

2 Aspectos Teoacutericos

2 Aspectos teoacutericos

Seacuteries temporais nao-lineares podem ser analisadas com meacutetodos meacutetricos e

meacutetodos topoloacutegicos O meacutetodo meacutetrico eacute multo proacuteximo das noccedilotildees intuitivas de

distacircncia aacuterea volume e dimensatildeo que temos Por este meacutetodo podemos dimensionar e

comparar objetos num detenninado espaccedilo Tambeacutem podemos analisar a estabilidade

de um sistema com base no valor de meacutedias temporais da convergecircncia ou divergecircncia

da vizinhanccedila de um ponto destes objetos chamados de atratores

O meacutetodo de anaacutelise e carncterizoccedilatildeo topoloacutegica eacute um dos meios mais

importantes de investigar problemas natildeo lineares Este meacutetodo considera a seacuterie

temporal natildeo corno uma funccedilatildeo expliacutecita do tempo mas como curvas no espaccedilo de

falies que satildeo soluccedilotildees do sistema dinacircmico Descobertas consideraacuteveis nos aspectos

qualitativos e algumas infonnaccedilotildees quantitativas podem ser obtidas atraveacutes dos

atratores reconstruiacutedos

Os meacutetodos empregados neste trabalho foram obtidos da literatura ou

desenvolvidos noacute LFNL A finalidade da utiacuteliacutezaccedilatildeo de tais meacutetodos eacute testar e justificar

algumas hipoacuteteses feitas para os dados obtidos com tubo borbuIhador e para a torneira

gotejante Para evitar redundacircncia da derivaccedilatildeo dos meacutetodos amplamente encontrados

em livrostexto e artigos as derivaccedilotildees dos meacutetodos seratildeo simplificadas Para maiores

informaccedilotildees dos algoritmos empregados poderatildeo ser consultados os trabalhos de

Hegger Kantz e Schreiber [Hegger et aI 1999) Ellner [EIlner cf aI 1992) So [So Cf

aI 1996) e Gonccedilalves [Gonccedilalves ef aI 19981

21 Fluxos e recorrecircncias

Os sistemas dinacircmicos detenniniacutesticos satildeo descritos pela evoluccedilatildeo temporal de

um subconjunto A em um espaccedilo euclidiano d~djmensional Eles podem ser expressos

por exemplo por equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias [Sotomayor 1979]

X=f(f) (21)

ou com um tempo discreto t = n J t por mapas [Collet eacute Eckmann 1980]

x n+ =f(x) (22)

Uma seacuterie temporal eacute uma sequumlecircncia de observaccedilotildees igualmente espaccediladas no

tempo Uma seacuterie de eventos eacute uma sequumlecircncia de intervalos de tempos entre os quais

ocorreu um determinado evento

2 ~lectQsTeoacutericos 7 ~~~~~----

22 Mapas de retorno

Uma seacuterie de eventos da forma (x Xl ) natildeo eacute exatamente o espaccedilo

de fases do sistema dinacircmico sendo necessaacuterio empregar alguma teacutecnica de

reconstruccedilatildeo para revelar a estrutura muIti~dimensional desta seacuterie Um dos mais

importantes tipos de teacutecnica de reconstruccedilatildeo do espaccedilo de fases eacute o mapa de retomo ou

tambeacutem chamadQ de coordenadas de atraso Vetores no espaccedilo de imersacircn satildeo criados

a partir de atrasos na seacuterie O conjunto das duplas (llt XjH) forma o mapa de primeiro

retomo~ e o conjunto das duplas (Xj Xjt2) forma O mapa de segundo retomo e assim por

diante O nuacutemero de elementos destes vetores daacute a dimensatildeo de espaccedilo de imersatildeo O

teorema de imerslio de Talcens [Talcens 1981] estabelece que se uma medida eacute

dinamicamente importante para o sistema ela conteacutem toda informaccedilatildeo contida neste

sistema dinacircmico

Em modeIos matemaacuteticos de sistemas dinacircmico~ a evoluccedilatildeo do processo eacute

vIacutesualizada no espaccedilo de fases cuja dimensatildeo eacute dada pelo nuacutemero de variaacuteveis

independentes Em experimentos o espaccedilo de fases eacute usualmente desconhecido a

princiacutepio e frequumlentemente uma uacutenica variaacutevel escalar do sistema pode ser medida O

meacutetodo mais comum de reconstruccedilatildeo do espaccedilo de fase a partir de uma seacuterie temporal

foi proposto por Packard Crutchfield Farmer e Shaw [packard et aL 1980] para se

analisar os dados do experimento da torneira gotejante A dinlhnica de uma seacuterie

temporal x em sistemas dissipativos eacute completamente descrita pelo atrator em um

espaccedilo de fases d-diacutemensiona)~ lRd~ com D sendo a dimensatildeo do atrator Genericamente

qua1quer atrator eacute completamente envolvido no espaccedilo de fases por sua proacutepria hacia de

atraccedilagraveo~ consequentemente todos os movimentos transientes inicializados em uma

I pequena vizinhanccedila do attator~ movem-se assintoticamente na direccedilatildeo do atrator Os

I atratores podem ser perioacutediacutecos~ quase-perioacutedicos e caoacuteticos

Neste trabalho os dados experimentais obtidos satildeo apresentados em mapas de

primeiro retorno bjdimensionals cujos elementos das duplas (Tnbull Tnt1) satildeo intervalos de

tempo entre duas bolhas consecutivas Tambeacutem seratildeo apresentados mapas de primeiro

retorno tridimensionais atraveacutes das tripla (Tn Tn+ h Tn+2) Outras representaccedilotildees

necessaacuterias seratildeo especificadas no local onde estas forem utilizadas

8

I -

2 Aspectos Teoacutericos

23 O Mapa quadraacutetico

As princiacutepals caracteriacutesticas dos sistemas dinacircmicos satildeo observados e analisados em

mapas unidimensionais como no mapa quadraacutetico do tipo

f(x) x -a (23)

onde Xfl eacute a variaacuteveI iterada do mapa e a eacute o paracircmetro de controle O diagrama de

bifurcaccedilotildees deste mapa pode ser visto na Fig 21

X o

-1

~~~~~-~~~~----------F~---

-shy

1~ -05 00 05 10 15 20

a Figura 21 Bifurcaccedilacirco obtida com uma funccedilatildeo oonvcxa a linha tracejula eacute o primeiro ponto fixo inslaacutevel que surge numa bifurcaccedilatildeo tipO sela-noacute

Neste diagrama vemos os valores possiacuteveis de x para uma variaccedilatildeo do paracircmetro

de controle a entre -Q25 e 20 Os valores do mapa para a entre -025 e 125 podem ser

calculados analiticamente impondo a condiccedilatildeo de que o valor da variaacutevel iterada

anterior seja igual ao valor da variaacutevel iterada seguinte

xx 1 -a (2-4)

que nos fornece dois pontos fixos Xf

x = [l+(l+4a)1f2 (25)

lt = [1- (1 +4a)]I 2_ (25b)

9 2 Aspectos Teoacutericos

A estabilidade dos pontos fixos de qualquer mapa unidimensioual eacute obtida com

as condiccedilotildees

Ifl(Xr ~ lt 1gtxreacute um ponto fixo estagravevel (260)

If(xr)1 gt1gtxreacuteum ponto fixo instaacutevel (26b)

Deste modo para valores de a acima de -025 obtemos xJ1 instaacutevel~ enquanto xp

eacute estaacutevel ateacute o paracircmetro a chegar a 075 Para a igual a -025 no mapa da equaccedilatildeo (23)

experimenta uma bifurcaccedilatildeo sela-lIoacute A linha tracejada na Fig (21) eacute a trajetoacuteria

instaacutevel xfl e o ramo estaacutevel Xp estaacute simetricamente abaixo ateacute O valor de a igua1 a 075

Quando o paracircmetro de controle a atinge O~75 as trajetoacuterias do mapa sofrem

uma mudanccedila de oomportamento Nesse caso a partir deste valor do paracircmetro de

controle a oacuterbita oscila entre dois valores de x

X f(xf ) (270)

Xf4 fx) (27b)

I

x

2 2

1 1

bullbull

i

o 1lt gtrc zA

-1 I i--=

1

o

-1

t t Xp __

J

Xp l-shy

~t i~

tr~

-2+ordf b ~

-2 00 05 10 15 00 05 a 10 15 a

Figura 22 (a) Detalhe do diagrama de bifurcaccedilamps do mapa quadraacutetico a linha tracejada representa o poacutento

fum instaacutevel da bifurcaccedilatildeo selallOacute (b) Bacia de atraccedilatildeo mostrando a estabilidade de algumas regiotildees

mostradas em (al neste graacutefico as linhas vermelhas representam os pontos fixos instaacuteveis enquanto que as

- linhas pretaS os pontos fixos estaacuteveis Podemos emnparar a troca de estabilidade de xp mGSlrado em (b) para

a 075 oom o diagrnma mostrado cm (u) assim como- o mesmo tipo de troca para xp c xp pata a = 125

(linha pontilhada)

1

____________________________________ 102 Aspectos Teoacutericos

Para compreendermos o que ocorre agora utiacutelizando os criteacuterios de estabilidade

(26) e para calcular os novos pontos fixos temos que recorrer a uma composiccedilatildeo do

mapa com ele mesmo da seguinte forma

g(x) =f(f(x)) =x - 2ax + - a (28)

que possui quatro pontos fixos sendo dois deles os pontos fixos das equaccedilotildees 27(a)shy

(b) agora ambos instaacuteveis e dois outros estaacuteveis dados por

x =l+ll+4(a-I)2 (29)

x =l-[1+4(a-I)12 (29b)

Na Fig 22(a) vemos o diagrama de bifurcaccedilotildees no periacuteodo 2 e no graacutefico ao

lado (b) representamos as oacuterbitas jnstaacuteveis (ramos vermelhos) e os ramos estaacuteveis

(ramos pretos) As setas indicam a atraccedilatildeo ou a repulsatildeo dos pontos fixos Na Fig 22(a)

quando a=12S podemos notar que na sequumlecircnCIacutea de bifurcaccedilotildees aparece o periacuteodo 4

Quando estes quatro pontos fixos se tornam instaacuteveis um periacuteodo 8 aparece e o

processo de duplicaccedilatildeo de perfodo se repete indefinidamente para faixas de a cada vez

mais estreitas ateacute chegar no valor Umiacutete a = 140113bullbull que pode ser visto na Fig 23

A partir deste valor do paracircmetro de controle os pontos no mapa visitam bandas

perioacutedicas que se alargam e se sobrepotildeem aos pares diminuindo o nuacutemero de bandas

num processo chamado de bifurcaccedilatildeo reversa Nesta sobreposiccedilatildeo os valores de x

evoluem periodicamente com relaccedilatildeo agraves bandas mas de modo erraacutetico dentro de cada

uma delas e tal movimento eacute chamado de caoacutetico

No diagrama da Fig 23 apoacutes O encontro das duas bandas caoacuteticas

temos a ocorrecircncia de janelas perioacutedicas de periacuteodos iacutempares COm uma janela maior de

periacuteodo 3 (a l75) e outra menor de periacuteodo 5 relacionadas com bifurcaccedilotildees

tangentes A existecircncia do periacuteodo 3 eacute o principal argumento para se utiacutelizar um

teorema que estabelece a existecircncia de todos os outros periacuteodos maiores O Teorema de

Sharkovskii [Jackson 1995] nos daacute um esquema natildeo usual de ordenaccedilatildeo para os

nuacutemeros naturais tal que para cada nuacutemero natural n a exiacutestecircncia de um ponto de

penodo II implica na existecircncia de oacuterbitas perioacutedicas de todos os periacuteodos maiores na

ordenaccedilatildeo do que n Pelo teorema de Sharkovskii a existecircncia de uma oacuterbita de

periacuteodo 3 num mapa unidimensional natildeo-monotocircnico com apenas um maacuteximo impHca

na existecircncia de todos os periacuteodos_

2 Aspectos retiFicas __ ~___li

o teorema de Sharkoyskii explicitamente eacute [Jackson 1995J

Seja T o conjunto ordenado 3-oacuteltJ-lt lt23lt25-lt27lt lt213425-lt227-lt

-1Jlt4lt2-lt1 Seja lmiddot uma aplicaccedilatildeo suave do intervalo unitaacuterio nele mesmo tal que

f(O)=f( J)=0 que possui apenas um ponto critico Se m-lt1l relativo agrave ordem no conjunto

1 eftem a menor oacuterbita de periodo m entatildeo f tem uma oacuterbita de periacuteodo n

~----~--------------~~--~i BandIs atfaINas t PArimo Todosos perlodoo ~ bull 1 - - ~i I iacuteltJirrdnuirdon) I

Paf~S estlWeis Ilo(Mmenkl Caos penodos

l 2 __ I mi-pelloacutedlco rJlllllffls 3 bull

1

x O

-1

I Caos

I ~~-L-__~____~~~~plusmn==~~~~~~~~II

14 16 18 20

a

Figura 23 O comportumento dinacircmico geral do mupa quadraacutetico com a cascata de duplicaccedilotildees de periacuteodo (alt14) Pnrn a gt 140l1 ocorre Caos com a diminuiccedilatildeo das bandas atrativas Apoacutes ti janela de periacuteodo 3 temo tooos os periacuteodos como propotildee o teorema de SharkovskiL

l

12 2 Aspectos Teoacutericos

24 Dimensotildees

Um aspecto baacutesiacuteco de um atrator obtido a partir de um sistema dinacircmico eacute a sua

dimensatildeo pois O comportamento do sistema eacute caracterizado pejo atrator Apoacutes um

transiente alguns tipos de movimento desaparecem devido ao amortecimento e o

estado do sistema se aproxima de um atrator no qual o nuacutemero de variaacuteveis

independentes que detennjnam a dimensatildeo do atrator eacute reduzido consideravelmente

Os atratores podem ter a dimensatildeo de um ponto linha ou plano ou podem ser

extremamente complicados e frequumlentemente possuem estruturafractal [Alligood et al

1997] Podemos medir essafractalidade atraveacutes de dimensotildees generalizadas

Associamos a dimensatildeo de um objeto com o nuacutemero de vetores ortonormais que

podem ser sobrepostos ao objeto Embora seja muito importante esta associaccedilatildeo de

vetores nos restringe sempre a dimensotildees inteiras mas existem outros conceitos de

dimensatildeo entre eles a dimensatildeo de Hausdaif(Df ) [AlIigood et aI 1997] que eacute baseada

na ideacuteia de um comprimento caracteriacutestico R em um conjunto de N elementos

D =logN N_RDt (210)I JogR

A dimensatildeo de lnfonnaccedilatildeo (Di) [AUigood et ar 1997] leva em conta as

frequumlecircncias de visitaccedilatildeo relativas e por isto eacute mais interessante para slstemas fiacutesicos

Muitas outras definiccedilotildees de dimensatildeo existem mas para os objetivos deste trabalho

utilizaremos apenas as dimensotildees citadas anterlonnente e a dimensatildeo de Kaplan-Yorke

(DKy) [Argyris ct ai 1994]

Aleacutem disso a determinaccedilatildeo do valor de uma dimensatildeo a partir dos dados

experimentais de um processo dinacircmico indica qual eacute a dimensionalidade do espaccedilo de

fases do sistema dinacircmico matemaacutetico que deve ser usada para modelar o sistema

25 Expoentes de Lyapunov

Os sistemas caoacuteticos exibem sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais Esta afirmaccedilatildeo

tem sido utilizada para resumir uma das principais propriedades dos sistemas caoacuteticos

que pequenas diferenccedilas nas condiccedilotildees iniciais satildeo magnificadas devido agrave dinacircmica do 1

I

13 2 Aspectos TeoacuterirIJS

sistema de tal modo que em um tempo finito o sistema percorre estados totaJmente

diferentes A noccedilatildeo de sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais eacute feita de modo mais acurado

atraveacutes do expoente de Lyapunov amp[AHigood ef al 1997] Nonnalrnenre sistemas

contendo pelo menos um expoente de Lyapunov positivo satildeo considerados caoacuteticos Isto

significa que trajetoacuterias partindo de dois pontos muito proacuteximos natildeo importando quatildeo

pequena seja a distacircncia entre elas iratildeo evoluir de modo diferente e se afastaratildeo

exponencialmente uma da outra com o tempo

Podemos obter o expoente de Lyapunov maacuteximo [Wolf et aibull 1985] sem a

construccedilatildeo expliacutecita de um modelo para a seacuterie temporal Uma caracterizaccedilatildeo confiaacutevel

com expoente positivo exige que sejam garantidas a independecircncia dos paracircmetros de

imersatildeo e uma lei de crescimento exponenciaL

Existe tambeacutem o caacutelculo do espectro de expoentes de Lyapunov [Hegger e

Kantz 1999] onde o ingrediente essencial eacute a estimativa de Jacobianas locais ou seja

uma dinacircmica liacutencanzada que regula o crescimento das perturbnccedilocirces infinitesimais

Para uma melhor compreensatildeo dos sistemas dinacircmicos uma concHiaccedilatildeo entre

caracteriacutesticas relativas agraves meacutedias temporais e espaciais dos atratores foi feita atraveacutes da

teoria ergoacutedica [Argyris et aI 1994] Como o expoente de Lyapunov caracteriza a

dinacircmica do atrator atraveacutes de meacutedias temporais da divergecircncia ou convergecircncia de

uma vizinhanccedila com relaccedilatildeo a um ponto da oacuterbita o caacutelculo dos expoentes de

Lyapunov permite certas comparnccedilotildeei como a conjectura de Kaplan-Yorke [Argyris ct

al 1994] que estabelece que a dimensatildeo de Informaccedilatildeo deve coincidir com dimensatildeo

de Kaplan-Yorke DKy dada por

Lei ~Ik -- (211)

D Kf bull IEr+1

onde k eacute um inteiro maacuteximo tal que a soma dos k expoentes maacuteximos seja natildeo-negativa

e ti eacute uacute i- eacutesimo expoente de Lyapunov Tal conjectura foi verificada para uma boa parte

dos sistemas dinacircmicos dissipativos de baixa dimensacirco [Hegger e Kantz 1999]

2 Aiacuteipectos Teoacutericos 14

26 O mapa de Heacutenon

o mapa de Heacutenon eacute um mapa bidimensional do tipo

XH_I =l-ax+ Y1Igt (212)

Y-+l = bX1l

Os pontos fixos do mapa satildeo dois e podem ser obtidos por

x = [(b-I)plusmn~(1-b) +4a]2a ybx (213)

e para cada um desses pontos fixos temos dois autovalores associados Agrave

I Acirc =-axplusmn~(ax) +b (214)

desta forma com esses dois autovalores podemos estudar a estabilidade de cada ponto

I a=14 b=O31

bullbull 2

gt- ~oo

-04

middot10 -05 M M 10

x

Figura 24 Atrator de Heacutenon caoacutetico reconstruiacutedo nas variaacuteveis x~ e y para a=14 e b=O3

fixo como foi feito

para 0lt mapas

unidimensionais Um

atrator de Heacutenon

caoacutetico bem

conhecido eacute mostrado

na Fig 24 O

coeficiente a estaacute

relacionado com o

estiramento do mapa

e coeficiente b estaacute

relacionado com a

contraccedilatildeo da aacuterea do

mapa de Heacutenon e este

coeficiente eacute o

determinante da matrizjacobiana J do atrator de Heacutenon com o siacutenal negativo

- 2ax 11 deU = b q=-b (215)

1

15 2 ASlClOS TeoacuteriCC$

Na Fig 25 vemos as duas variaacuteveis do mapa nos graacuteficos de x liS a e y vs a~ onde

podemos notar a oontraccedilatildeo da variaacutevel y por b na Fig 25(b) em relaccedilatildeo agrave variatildevel que

aparece na Fig 25() onde temos tambeacutem os pontos fixosxJ2 da equaccedilatildeo (213)

(a)

gtlt

x

(b) J

~ Contraiacutedo pelo

1 fator b 1

04 06

a

Figura 25 Diagramas de blfunaccedilotildecs do atI3tor de Heacutenon para b=O3 em (a) a variaacutevel x e seus dois pontos lOO)S x na cor vente e xs na corverme1ba calculados pela equaccedilsecto (213) sobre a seacuterie e em (b) a variaacutevel y contraiacuteda pelo1ator b

Para o caso do diagrama de bifurcaccedilotildees da Fig 25 determinante de J eacute constante

e negativo det J = - 03 para todos os valores de a

Os expoentes de Lyapunov do mapa de Heacutenon 81 e amp1 estatildeo relacionados com a

matriz jaeobiana pela relaccedilatildeo de contraccedilatildeo [Argyris et ai 1994]

+lt ~ In Idet(J) I= In 03 ~ -12 (216)

Esta relaccedilatildeo representa as propriedade de estiramento Si e dobra E2 atuando

uniformemente Idet(J) I~ 03 dentro do espaccedilo de rases para estabelecer o atrator Para

a=lA e b=O)3 temostj ~ 042 eE1t -1~62 O valor SlgtO nos daacute um atrator caoacutetico

16 2 Aspectos Teoacutericos

27 Reduccedilatildeo de ruiacutedo

A filtragem de sinais obtidos a partir de sistemas natildeo~lineares exige o uso de

meacutetodos especiais [Hegger e Kantz 1999J jaacute que os filtros lineares podem interagir

desfavoravelmente com a estrutura natildeo-linear Sinais irregulares de fontes natildeo-lineares

exibem bandas de espectro realmente largas e natildeo existe justificativa para identificar

qualquer componente no espectro de frequumlecircncias como ruiacutedo Entretanto existem certas

dependecircnciacuteas geneacutericas entre as medidas x que criaratildeo vetores x para preencher o

espaccedilo de imersatildeo d~diacutemensionaJ de um modo natildeo homogecircneo Meacutetodos de filtragem

linear procuram identificar as direccedilotildees principais da distribuiccedilatildeo no espaccedilo de fases e

fazer projeccedilotildees sobre elas A reduccedilatildeo de ruiacutedo natildeo-linear leva em conta que sinais natildeo~

lineares formaratildeo estruturas curvas no mapa de retomo A principal suposiccedilatildeo do

algoritmo utilizado eacute que ele deve ser aplicado para sistemas de baixa dimensatildeo (D-3)

28 Espectro de Fourier

Outro criteacuterio para se analisar seacuteries temporais eacute atraveacutes da decomposiccedilatildeo da

seacuterie numa integral de Fourier [Argyds et aI 1994] Considerando um sinaljfO a

expressatildeo pode ser expressa na forma

+shy

(1)=_1 JF(fraquo)edW (217)2

onde

~

F(w) = Jf(t)e-iMdt (218)- eacute definida como a transfonnada de Fourier do sinal f(t)

O espectro de potecircncia P(m) do sinal eacute dado a partir de F(m)

P(m)= IF(m) I = F(m)P(m) (219)

COm fgt(m) sendo o complexo conjugado de F( (O)bull

17

1

Xj 10

1deg1 -I Igt1J 00 0$ IC

2 Aspectos T~6ricos

logo -shy

1() I P(

j 14J

X Q)

Figura 26 _(a) Periacuteodo 4 do mapa de Heacutenon e em (A) o seu espectro de potecircncias (b) atrator de Heacutenon lUl regiatildeo caoacutetica e em (B) seu respectivo espectro de potecircncias moslIatldo uma banda larga

Na Fjg 26 temos dois atratores obtidos a partir do mapa de Heacutenon em (a) o

comportamento de periacuteodo 4 e em (A) o espectro que nos mostra o comportamento

perioacutedico com os dois picos indicando uma duplicaccedilatildeo de periacuteodo caracteriacutestica do

atrator de Heacutenon Para os paracircmetros a=155 e b=Ol temos um atrator de Heacutenon no

regime caoacutetico em (b) e seu espectro de banda larga em (B)

Frequumlentemente atratores caoacuteticos apresentam banda larga por isso este eacute um

meacutetodo muito comum na identificaccedilatildeo do comportamento caoacutetico Aleacutem disso a anaacutelise

da evoluccedilatildeo dos sistemas dinacircmicos atraveacutes de seus espectros pennite definir a rota

[Argyris eJ ai 1994] que leva o sistema ao Caos poiacutes a evoluccedilatildeo das dupHcaccedilotildees de

periacuteodo vista no mapa quadraacutetico e que tambeacutem acontece no mapa de Heacutenon eacute apenas

uma dessas rotas Na proacutexima seccedilatildeo veremos um outro mapa que nos mostra esta e

outras rotas para o Caos

18

I I I

Capiacutetulo2 Aspectos Teoacutericos

29 O Mapa do Ciacuterculo

o mapa do CIacuterculo modela a interaccedilatildeo entre um oscilador IImestre quando aplicado

a um segundo oscilador natildeo-linear [Argyris et aI 1994 Jackson 1995J A dinacircmica eacute

governada por dois paracircmetros de controle a razatildeo entre as frequumlecircncias dos osciladores

desacoplados n e a intensidade de acoplamento K

K e +1 == BII +Q--sen2nBn +brn (mod I) n 2 (220)K

rn+l brn - 20 sen 2nBn middot

Aqui 01 eacute o acircngulo de um rotor riacutegido logo apoacutes o eneacutesirno impulso e rn eacute proporcional agrave

velocidade angular deste rotor sujeito a um impuiso externo do oscilador mestre e b estaacute

relacionado com o amortecimento

00 05 15K

~iacutegura 27 Diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo para b=Ol e =0725

01

-01

19 Capiacutetulo2 Aspectos Te6ricos

Na figura 27 podemos ver a seacuterie temporal do mapa do ciacuterculo Este tipo de mapa

nos daacute outro tipo de rota para o caos denominada de rota para o caos via quaseshy

periotlicidade Temos basicamente o aumento do raio de um ciclo limite quase-perioacutedico

intercalados com travamentos de frequumlecircncia e comportamento ca6tico

Para sistemas altamente diacutessipativos o termo b se anula e o mapa pode ser estudado

na forma puramente angular

K 0M =0 +0- 2JI seo(27l0) (221)

Um conceito importante para a anaacutelise do mapa do ciacuterculo que foi introduzido por Poincareacute

[Argyris el ai 1994 Alligood aI 1997] eacute nuacutemero de rotaccedilatildeo W

() - ()oW(KO) = lim n (222)

n~iOO n

que eacute a meacutedia da rotaccedilatildeo do oscilador forccedilado por ciclo

As propriedades de estabilidade para valores de Kltl para a equaccedilatildeo (221) seguem

a partir da teoria de estabilidade liacutenear para mapas como foi feito para o mapa quadraacutetJco

d~f(eo 10 =11- K cos(27lB)I (223)

que eacute menor do que um se fi lt114 e eacute maior do que 1 se 0gt114 ou se 8gt314 Para um ponto

fixo estaacutevel Os temos

lim~=es=gtw=o (221) nshy

Substituindo na equaccedilatildeo 221 obtemos a relaccedilatildeo entre K e n dada por

Q=+K (222)- 2JI

Estas relaccedilatildeo entre K e Q nos daacute o espaccedilo de paracircmetros do mapa do ciacuterculo onde podemos

ver para quais valores podem ocorrer a sincronizaccedilatildeo do oscilador forccedilado conhecida como

liacutengua de Arnold [Bai-lin 1989 para o nuacutemero de rotaccedilacirco W=OII

Na figura 28(a) temos o mapa de primeira iteraccedilatildeo da funccedilatildeo senoida1 do mapa do

ciacuterculo na regiatildeo onde ocorre uma bifurcaccedilatildeo do tipo sela-noacute Para um valor fixo de K entre

Oe 1 trecircs valores de Q foram escolhidos ParaQ gt nKtgt o ponto fixo alnda natildeo existe Para

Q = QICcedilo a funccedilatildeo tangencia a bissetriz e um ponto fixo aparece Diminuindo aiacutenda mais o

valor de Q o ponto fIXO se divide em dois um estaacutevel e outro instaacutevel situaccedilatildeo

20 CapiacuteUlo2Aspec~os Te6ricos

caractenstica de uma bifurcaccedilatildeo sela~n6 A figura 28(b) daacute o diagrama de bifurcaccedilatildeo para

W=Ol para os valores positivos de n da equaccedilatildeo 225

13) i 7 1

08 ~ a

(a)

n~ K=Ko

(b)

n~o n~

on KH

cri 06 ~- I

04 ordm -H bull

02 fi =+K12ffshy

00 )J j

00 e 05 10 00 n e

Figuro 28 (a) vraacuteficos do mapn do ciacuterculo em funccedilatildeo do paracircmetro Q na regiatildeo do ponto de bifurcaccedilatildeo elun6 Em (b) a representaccedilatildeo no espaccedilo de pnnimetros da liacutengua de Arnold correspondente a W=OJ que ocorre para valores de Ll menores que LlKII bull

Para diferentes valores de W quando Klt1 gt ocorrem outras regiotildees de travamento

de frequumlecircncias sem ocorrer sobreposiccedilatildeo entre elas como estaacute apresentado na Fig 29 que

mostra os limites de estabilidade dos domiacutenios perioacutedicos no plano (Kn) para alguns

nlIacutemeros de rotaccedilatildeo Para as regiotildees onde ocorrem a sincronizaccedilatildeo das frequumlecircncias entre os

dois osciladores o nuacutemero de rotaccedilatildeo

W eacute um nuacutemero racional pq Deste

modo para cada valor racional do eixo

0 uma janela perioacutedica surge e se

expaIlde quando aumentamos o valor

de K Com o aumento da natildeoshy

linearidade atraveacutes do paracircmetro K a

sincronizaccedilatildeo das frequumlecircncias a se

tornam mais dominantes

ir

v I I I 1 ~ li 1 raquo1lD J

Figura 29 Diagrama das Liacutenguas de Arnold para o mapa do Ciacuterculo

21 2 Aspecto Teoacutericos

Para valores de Kgt I ~ as liacutenguas de Arnold passam a se sobrepor~ e o nuacutemero de

rotaccedilatildeo natildeo eacute mais unicamente determinado~ mas trocado por um intervalo de rotaccedilatildeo

[WJbull Wl] e este embaraJhamento torna o comportamento aperioacutedico

Para mostrar algumas das caracteristicas gerais do mapa no ciacuterculo~ utilizaremos

o conceito de expoente de Lyapunov Lyapunov estudou urna vizinhanccedila abstrata x

de uma trajetoacuteria x com N pontos com o objetivo de verificar se estes pontos se

afastavam ou convergiam para a trajetoacuteria Tomando uma trajetoacuteria infinita e uma

vizinhanccedila tatildeo pequena quanto se possa imaginar ele associou um expoente que

caracteriza se a trajetoacuteria eacute perioacutedica indiferente ou caoacutetica Para o mapa do clrcuio na

sua fonna angular da equaccedilatildeo (221) com n = 025 o expoente foi calculado

numericamente com a expressatildeo

1 H-I

B = N ~ Inll-K cos(28 lI (226)

que estaacute representado na Fig 210(a) e seu respectivo diagrama de bifurcaccedilotildees na Fig

21 O(b) Inicialmente os expoentes satildeo ligeiramente negativos da ordem de _10-6~ ateacute o

valor de K=l onde divergem pare menos infinito Oacuterbitas com expoentes deste tipo

divergindo para menos infinito satildeo conhecidas como oacuterhitas super~estaacuteveis Ao

teacutennino desta janel~ o sistema jaacute possui comportamento caoacutetico e esta rota para o Caos

eacute classificada de rota via quase-periodicidade [Bai-lin 1989 Argyrls et al~ 1994

Jackson 1995 Alligood el ai 1997J onde os expoentes de Lyapunov positivos natildeo

ultrapassam o valor de O~3 Aumentando K o sistema trava em um periacuteodo l~ e inicia

outra rota para o Caos a rota via duplicaccedilotildees de periacuteodo ou rota de Feigenbaum jaacute

discutida para O caso do mapa quadraacutetico na qual os expoentes se anulam nos pontos

onde ocorrem as bifurcaccedilotilde~ neste caso temos o comportamento indiferente Para

K34 o sistema experimenta um alargamento abrupto do atrator e este alargamento eacute

classificado como uma crise Apoacutes a crise os expoentes de Lyapunov maacuteximos param

de crescer e tecircm valores na faixa entre O~7 e 093 Quando K atinge aproximadamente

4~7 o sistema volta a sofrer um travamento de frequumlecircncia em periacuteodo 1

Do mesmo modo que o atrator de Heacutenon o mapa do ciacuterculo bidiacutemensional da

equaccedilatildeo (220) contrai o espaccedilo de fases uniformemente como podemos ver atravoacutes do

detenninante da matriz jacobiana do mapa

09 rgt o

[lshy 03

~oo I c 03 O1~~1 I1middot1 q q nq fqll ir nnqlq qll

Lshy________~ ~

-

2 ApcJos Teoacutericos 22

o 1 2 K 3 4 5

Figura 210 (a) Expoentes de Lyapunov do mapa do circulo coro n =025 Em (b) o diagrama de bifurcaccedilotildees para o mesmo mapa Podemos obter a sequumlecircncia de duas rotas para o Caos com este sistema dinacircmico li rota de quaseperiodicidade e a rota de duplicaccedilotildees de periacuteodo

1- K cos2nJ ~ (227)detJ=I_KCOs2JfJ bl=b

i

Os pontos fixos r e (IIilt de periacuteodo 1 logo apoacutes a regiatildeo quase-peri6dica para

Kgt155 da Fig 27 satildeo dados por 1 r= -fl(mod I) se fl(modI) lt 05 ou r= I-fl(mod I) se fl(modI) gt 05

(228)I [2JlT 1f) = 2r areseo K(b - 1)_

assim podemos detenninar o ponto onde ocorre a primeira bifurcaccedilatildeo do tipo flip

usando os criteacuterios de estabilidade para a seguinte equaccedilatildeo caracteriacutestica

l-Keos2rf)-Agrave b J =0 (229)

-Kcos2Jff) b-Agrave

que nos dagrave dois autovalores para cada ponto fixo Para () ponto fixo r os autovalores

valem explicitamente

23 2 AspecQS1cocircricO$

-K cos2nL~arcsef (b-l))]+I+b - -plusmn- 2

(230)

+IKCOS27t[~arcsen(T(b-I))]+I+br -4b 2

como r eacute calculado pela equaccedilatildeo (228) para os pontos fixos a bifurcaccedilatildeo flip ocorreraacute

quando um dos valores de Acirc alcanccedila o valor -I

Para valores da constante b proacuteximos de zero deve ser feita urna correccedilatildeo em

primeira aproximaccedilatildeo nos valores das liacutenguas de Arnold Pata as Hnguas

correspondentes ao travamento de frequumlecircncias de periacuteodo 1 como a equaccedilatildeo (225) as

liacutenguas podem ser calculadas atraveacutes de

K (231)n= 21r(1- b)

o mapa do circulo eacute um sistema dinacircmico que parte de um sistema fisiacuteco bem

definido [Argyris cf ai 1994) que apresenta um comportamento muito rico com

relaccedilatildeo aos elementos da Teoria do Caos

Aleacutem do comportamento individual dos mapas vistos anterionnente~ como o

mapa quadraacutetico o mapa de Heacutenon e o mapa do cIacuterculo~ tambeacutem eacute desenvolvida a

pesquisa na aacuterea de sistemas dinacircmicos espaccedilo-temporais [Kaneko 1992 Vian~ 2000]

atraveacutes do acoplamento destes mapas fonnando uma rede Com estes estudos pretendeshy

se explicar rotas tiacutepicas para turbulecircncia1 como por exempJo a sequumlecircncia obtida com o

acoplamento de mapas quadraacuteticos duplicaccedilotildees de penado formaccedilatildeo de padrotildees

aleatoacuterios na rede de mapas seleccedilatildeo de alguns destes padrotildeesgt intermitecircncia espaccediloshy

temporal e no final observa-se turbulecircncia plenamente desenvolvida Um exemplo de

modelo de fluxo de um fluido usando mapas acoplados eacute dado por WilIeboordse

[Wiacutelleboordse 1992)

24 2 Aspectos Teoacutericos

210 Transformaccedilatildeo de ponto fixo

Para extrair as oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis (OPl) imersas em um atrator com uma

quantidade finita de dados ruidosos de um sIacutestema unidimensional~ So e colaboradores

[So el ai 1996] fizeram a suposiyatildeo de que todos os ponto que estatildeo em uma regiatildeo ao

redor do ponto fixo xf(x) podem ser transfonnados para (x) na vizinhanccedila de x A

funccedilatildeo densidade p(x) possui singularidades do tipo inverso da raiacutez quadrada nos

pontos fixos e um histograma para pX) teraacute um pico definido em x= x Alguns

picos espuacuterios podem aparecer em fi(x) tanto devido agrave singularidades natildeo relacionadas

aos pontos fixos quanto a zeros da derivada da funccedilatildeo detranformaccedilatildeo x=g(xk)

Os autores generalizaram este meacutetodo para um sistema com dimensatildeo de imersatildeo d para

obter as oacuterbitas perioacutediacutecas instaacuteveis atraveacutes da transformaccedilatildeo

i = (l-Srl(z~I-Snz) (232)

onde

I (d-I) ) _ ( aoo a I _ IIs - O +kRllz_1 Zn (233) 1

1

aI -1 (Zl _Z)t(z - Z )t l it -bull

(234)=

I)ta (Z_(d_l) - Z_d)t (Zn_(d_l) - Zitlaquod_lj bull

e os vetores z) foram reconstruidos a partir da seacuterie temporal x)

( I ) ( ) (235)z = zlpznzll~)z xnJx_x_z~-x_4_t

R eacute uma matriz aleatoacuteria d x d no intervalo [-l~1J e k estaacute relacionado com a

intensidade da geraccedilatildeo de nuacutemeros aietoacuterios Os pontos fixos satildeo dados por posiccedilotildees

dos picos de p(X) Como a localizaccedilatildeo dos picos espuacuterios dependem do paracircmetro k

eles satildeo eliminados levando em conta a meacutedia (PCz)) para vaacuterios valores tornados

aleatoriamente

Um ponto fixo instaacutevel do atralor do mapa do circulo com Q=O eacute o ponto (O O)

mostrado na Fig 211(a) que foi determinado com este algoritmo~ como estaacute mostrado

na Fig 2II(b) Outras aplicaccedilotildees desta teacutecnica podem ser encontradas no exparimento

da torneira gotejante [pinto 1999] para se mostrar a existecircncia de oacuterbitas homocliacutenicas

25 2 Aspectos Teoacutericos

OB~ (a) I IV +

~~ 1 00 bullbullbull-

bullbullbull ~ bullo n ltgt04 I

~bull I ~ ~ 00 Obullbull obull

r

Figura 2]] Atrator caoacutetico simeacutetrico em (a) do mapa bidimensional do ciacuterculo que possui um ponto de sela na origem Em (b) a oacuterbita- perioacutedica instaacutevel foi obtida munericamente utilizando-se o meacutetodo de detecccedilatildeo de oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis de So et ai

Como a reconstruccedilatildeo dos atratores em espaccedilos de imersatildeo bidimensionais eacute

suficiente noacutes aplicamos esta teacutecnica para d=2 com 05 e 1000 matrizes aleatoacuterias

Mais informaccedilotildees sobre este meacutetodo pode ser encontradas tambeacutem no trabalho de

Schemelcher e Diakonos [Schemelcher e Diakonos 1998]

211 Plano simboacutelico

A obtenccedilatildeo de planos simboacutelicos para a construccedilatildeo de maacutequinas topoloacutegicas

miacutenimas no experimento da torneira gotejante foi feita por Gonccedilalves [Gonccedilalves

1996] no experimento da torneira gotejante No experimento do tubo borbulhador a

geraccedilatildeo de planos simboacutelicos foi utilizada principalmente para se comparar modelos

com os dados experimentais

Para estudarmos o plano simboacutelico particionamos um atrator em duas regiotildees da

Fig 212 (L e R) e atribuiacutemos o valor I(ou -I) quando o sistema visita L (ou R)

obtendo um vetor sm bull S2SSSS2SmbullDeste modo um plano simboacutelico ap

caracteriacutestico de um atrator eacute definido atraveacutes do caacutelculo de a e f3 como

262 A2lcctos Teoacutericas

~

et=LfJi Z- i (236)

11

onde Pt eacute um valor binaacuterio

O +If p= lSC(-l)nSj_l (237)

I

e

~

p~ UZfL f (238)

onde VI eacute o valor binaacuterio

O -Itj = se D= l (239)

1 )tl +

N Fig 212 exemplificamos a obtenccedilatildeo do plano simboacutelico (b) par o atrator do

mapa do ciacuterculo bidimensional (a)~ com suas respectivas particcedilotildees L e R O paracircmetro b

eacute igual a 01 As regiotildees em branco no plano simboacutelico satildeo chamadas de regiotildees

proibidas

0 R (a)l (b) t08

~ I 00

O

1~ ll 06 + CUc

t - shy 04 bull ~ ~ ~ i li 1~ 1 ~~

- ~3~ bullbull l ~l f02-04

00 l- I -~----~

(j4 00 04 00 02 04 06 08 10 f an

Figura 212 (a) O atrator do mapa do circulo reconstruido com o mapa de primeiro retomo na variaacutevel r e sua particcedilatildeo e em (b) seu respectivo plano simboacutelico

I

27

3 A1(lrIUO xJrimclltal

3 Aparato experimental

Neste capiacutetulo descrevemos os aparatos do tubo borbulhado[ e da torneira

gotejante Tanto o experimento do tubo borbulhador assim como o experimento da

torneira gotejante foram inteiramente desenvolvidos no LFNL-USP Algumas das

princiacutepais atividades experimentais deste trabalho foram o desenvolvimento e

construccedilatildeo do tubo borbulhador a aquisiccedilatildeo e fi anaacutelise dos dados

31 O tubo borbulbador

Na Fig 31 ternos a representaccedilatildeo esquemaacutetica do aparato do experimento do

tubo borbulhador que consiste de um tubo acrflico transparente com uma tampa

(superior) e uma base de PVC onde estaacute conectada urna seringa hipodeacutermica pela qual

eacute soprado ar numa soluccedilatildeo de aacutegua com glicerina Dentro deste tubo ocorre a formaccedilatildeo

de bolhas que satildeo estudadas neste trabalho O experimento pode ser dividido em quatro

partes principais o tubo borbulhudor o circuito pneumaacutetico o sistema de aquisiccedilatildeo e o

sistema sonOrO

[ [ Alto-J ~ 1

falllnleGerador do Amplificador--= Funccedilotildees~I~ -l

Tubo

O

01 cJ

tasagraverCLp

controlador

Compressor Aesetvatoacuterio

Medidor de wllatildeo e vaacutelvulu d$ controla

Figura 31 Diagrama geral do aparato cKperimCfj(ul do tubo) borbulhador

28 3 Aparal0lerimental

Na Fig 32 podemos ver o tubo borbulbador que foi construido com tubo de

acriacutelico transparente de diacircmetro interno de 105 em e 10 em de altura Na base estatildeo

lixados o bico borbulhador e um termopar para monitorar a temperatura do liquido A

entrada e saiacuteda do liacutequido ocorrem atraveacutes de duas vaacutelvulas do tipo esfera

Clflp- drenagem

I ~ r

Sensorde I I j BiooOOrbulhid()l tempcrmlIU i t-l )~

FlgUla 32 O tubo borbulhador suportes o bico injetor sensor de tempemum e vaacutelvulas de drenagem e preenchimento do liquido

Este arranjo permite o

preenchimento do tubo e o seu

esvaziamento atraveacutes das

vaacutelvulas nas laterais da base

Todo o conjunto eacute preso ao

suporte atraveacutes de quatro

parafusos na base e quatro

parafusos na tampa Um

sistema de iluminaccedilatildeo

constituiacutedo de uma lacircmpada

fluorescente e uma placa

difusora de luz foi colocada

atraacutes do tubo borbulbador para

obtermos imagens das bolhas

utilizando uma cacircmara de

videoVHS

O tubo estaacute montado em uma bancada sobre quatro blocos de espuma para

amortecer vibraccedilotildees externas

32 Sistema de aquisiccedilatildeo

O sistema de detecccedilatildeo consiste de um laser He-Ne e um fotodiodo Quando uma

bolha atravessa o feiacutexe laser induz no fotodiodo um sinal anatocircgico e um pulso eacute

enviado a uma placa contadora de tempo inserida em um microcomputador O iniacutecio e o

fim do desvio do feixe laser induzidos peja passagem de uma bolha criam o sina] de

entrada da placa atraveacutes de pulsos de tensatildeo TIL gerados pelo futodiacuteodo Na Fig 33

temos o graacutefico que mostra o sinal ot devido a passagem de uma bolha e o sinal tn

relativo ao tempo entre bolhas Assim um par de dados constituiacutedo do tempo entre as

bolhas e o tempo de passagem da bolba eacute coletado pelo computador O intervalo de

tempo total entre a flNeacutesima e a (n+l)-eacutesiacutema gota eacute To que eacute a soma destes dos dois

intervaJos de tempo

29 3 Aparato experimental

T fltt t1I

Claro

SI 5

v (volts)

o

t ~-- I

J escuro~

tempo

Figura 33 Sinal gerado pelo fotodiacuteodo e induzido na placa contadora de tempO pela passagem das bolhas que desviam o feixe laser O feixe estaacute posicionado -5 rum acima cb extremidade do bico soprador

o sinal de vazatildeo obtido pelo medidor de vazatildeo eacute convertido em um sinal

proporcional de tensatildeo em milivolts e digitilizado em um osciloscoacutepio digital Tektronix

depois eacute transferido para o computador atraveacutes de uma interface General Purpose

Interface Board (GPffi)

33 Medidor de vazatildeo

o medidor de vazatildeo utilizado o modelo GFM47 fabricado pela AALBORG

lnstruments amp Contrais Neste equipamento o fluxo do ar entra em um transdutor de

vazatildeo e dentro dele uma pequena parte do fluxo do ar eacute separada por um sensor do tipo

tuho capilar de accedilo inoxidatildeveJ O restante do ar flui atraveacutes de um condutor de fluxo

primaacuterio A geometria do tubo primaacuterio e do tubo sensor foi projetada de modo a

garantir um fluxo laminar em cada ramo De acordo com os princiacutepios da

Fluidodinacircmica as vazotildees do ar nos dois condutores satildeo proporcionais entre si Deste

modo a vazatildeo medida no tubo sensor eacute diretamente proporcional atilde vazatildeo total atraveacutes

do transdutor

Para obter a vazatildeo no tubo SensoT eacute fcito um aquecimento do fluxo em duas

partes do tubo senSQr atraveacutes de resistecircncias sensoras de precisatildeo O calor eacute transferido

atraveacutes de uma parede fina para o ar O ar aquecido eacute levado pelo fluxo desde um

aquecedor agrave jusante ateacute um aquecedor agrave montante do tubo sensor O sinal eleacutetrico de

uma resistecircncia dependente de temperatura diferencial eacute detectada atraveacutes de um

circuito eletrocircnico de controle O gradiente de temperatura medido no sensor eacute

linearmente proporciona agrave vazatildeo atraveacutes do sensor

30 3 Apara1o experimental

o valor da vazatildeo eacute mostrado diretamente em um indicador digital e

simultaneamente em dois sinais eleacutetricos um de tensatildeo proporcional ao valor da vazatildeo

entre Oe 5 V e outro de corrente proporcional agrave vazatildeo entre 4 e 20 mA

34 Controlador de vazatildeo

o controlador de vazatildeo eacute da marca BTC modelo BTC-2220 e eacute um controlador

do tipo proporcional iacutentegral e diferencial (PID) Ele recebe o sinal de corrente do

medidor de vazatildeo (4-20 mA) com moacutedulo de saiacuteda linear (OM92-3) com a tensatildeo de

saiacuteda variando entre Oe 10 V com uma impedacircncia de saiacuteda de 500 ill Devido agrave alta

impedacircncia de saida um circuito amplificador de corrente foi adaptado na saiacuteda do

controlador para que ele pudesse enviar O sinal de controle para a vaacutelvula solenoacutejd~

como estaacute mostrado na Fig 34

2n3055

10 V I max 05 A I reg 200 nF Vaacutelvula

reg SolenoacuteideTSaldado ~

cornroradE ]200 nF -0 -

Figura 3A o Circuito que amplifica o sinal do controlador para a vaacutelvula

o controlador possui dois modos de operaccedilatildeo No primeiro modo ele manteacutem

uma vazatildeo fixa preestabelecida No segundo modo~ o controlador aumenta ou diminui a

vazatildeo linearmente entre dois valores distintos com uma velocidade preestabelecida pelo

usuaacuterio

31 $ Aparato eqerimental

35 Vaacutelvula solenoacuteide proporcional

o fabricante da vaacutelvula utilizada no experimento do tubo borbulhador eacute

MLBORG Instnnnenls amp Controls e o seu modelo eacute o PSV-5 Basicamente a vaacutelvula eacute

uma bobina que posiciona o atuador da vaacutelwla de modo contiacutenuo variando a vazatildeo

suavemente A vaacutelvula solenoacuteide proporcional foi projetada para responder a um sinal

de tensatildeo contiacutenua de entrada entre O e 30 volts para regular proporcionalmente ao

sinal de tensatildeo o fluxo de liquidos e gases Por medida de seguranccedila as vaacutelvulas satildeo

normalmente fechadas quando desernegizadas Na Fiacuteg 34 temos um diagrama desta

vaacutelvula

Devido agrave corrente na bobina da vaacutelvula O corpo da mesma sofre um pequeno

aquecimento que eacute dissipado por metas de alumiacutenio colocadas na vaacutelwla

Vaacutelvula Solenoacuteide Proporcional

f--I PSV5 AALBORGmiddot I

u-i J

conectores de 14m_Figura 35 Diagrama as ltlimensotildees carncteristicas da vaacutelvula de controle PSV5 da AALBORG

32 3 Aparato Experimental

36 O bico borbulhador

Na Fig 36 vemos o conjunto de agu1has e o cilindro de uma seringa

hipodeacutennica que furam utilizados CQmo bicos sopradores no experimento do tubo

borbulhador As bolhas satildeo formadas diacuteretamente no cilindro da seringa ou nas agulhas

hipodennieas que satildeo colocadas na seringa que estaacute ligada ao sistema de alimentaccedilatildeo de

ar

Figura 36 Bicos sopradores utilizados no eJ-perimento do tubo boIbulbador

Na tabela 31 temos as dimensotildees dos bicos mostrados na Fig 36 Para

verificarmos os efeitos do comprimento das agulhas utilizamos agulhas com o mesmo

diacircmetro mas que foram cortadas em comprimentos diferentes com uma serra

diamante como para as agulhas do grupo A e B A seringa e algumas agulhas possuem

dois valores na coluna relacionada com o dlacircmetro~ O primeiro valor corresponde ao

33 3 AparOfO Experimental

Bico Diacircmetro (mm) I Comprimento(mm) Internoexterno

Sltlrin PlaacuteStica I 08113 2 AI

A2 072128 0721l2amp

2 246

A3 072128 377

BI 072 2 B2 072 145 83 072 102

B4 072 51 CI 05 2

Tabela 31 Dimensotildees da seringa e das agulhas utilizadas como rocos sopradores no experimento do tubo boIbulhador

diacircmetro interno e o segundo valor estacirc relacionado com o diacircmetro externo Para as

demais agulhas temos apenas um valor corresponde apenas ao ctiacircmetro externo

37 O sistema pnenmaacutetico

o objetivo do sistema pneumaacutetico eacute fornecer o ar numa vazatildeo estabilizada para

ser soprado no liquido viscoso O ar eacute comprimido por um compressor com um

reservatoacuterio de 75 litros no qual um pressostato foi calibrado para manter o ar na faixa

de pressatildeo entre 70 e 100 psi (libra por polegada quadrada) A pressatildeo do ar eacute reduzida

para 60 psi em um segundo reservatoacuterio de 200 litros~ atravecircs de uma vacirclvula

reguladora de pressatildeo Uma segunda reguladora proacutexima do bico soprador reduz a

pressatildeo do ar para 10 psi e a vazatildeo eacute controlada pelo conjunta controlador fonnado

pelo medidor de vazatildeo~ controlador e vaacutelvula solenoacuteide Deste modo urna vazatildeo estaacutevel

chega atocirc o bico borbulhador

38 O sistema sonoro

A onda sonora eacute gerada no topo do tubo por um alto-falante de bobina moacutevel O

sinal eleacutetrico para o alto-falante eacute gerado num gerador de funccedilotildees Tektronix modelo

AFG 320 e amplificado em um amplificador de aacuteudio Nwa O gerador de funccedilotildees

34 3 Aparato Experimental

possui uma placa GPIB que permite o controle de todas as suas funccedilotildees atraveacutes do

microcomputador

A equaccedilatildeo de onda [Fletcher e Rossing 1991] dentro do tubo em coordenadas

ciliacutendricas eacute

L~(rq) +2-(OP~ + 8p __1 8p r1 (31 )ratilde a- ocircqz) fk2 - v atilde 1

onde p eacute a onda de pressatildeo na direccedilatildeo x e Vs eacute a velocidade do som no ar A soluccedilatildeo

desta equaccedilatildeo eacute

p(rfPx) = P (mfP)JJ1laquoIr) exp[iacute(-kx +ml)] (32) a

onde Jmeacute uma funccedilatildeo de Bessel e qmn eacute definido pela condiccedilatildeo de contorno ocircplocircr=O e r

= a (a li O raio do tubo) tal que a derivada Jm(7rqmn) eacute zero Se considerarmos em

primeira aproximaccedilatildeo o tubo borbulhador como um tubo com uma extremidade

v bull =3v v =5v v~ 41 3 4L 5 41

Agrave =41 ~= Agrave ~j-I1

TIA

I 1 I

JII N

jL 5 5

AI ~A

A

N N

Figuraacute 37 Os trecircs primeiros modos de um tubo com uma extremidade fechada

fechada podemos

estimar a frequumlecircncia de

urna onda em seu

interior Uma

propriedade geral de

ondas sonoras

confinadas em tubos eacute

que os valores de

amplitude maacutexima

ocorrem em valores

discretos da frequumlecircncia

da onda Na Fig 37

3 Aparato Experimental 35

podemos ver os trecircs primeiros modos de um tubo com a extremidade inferior fechada

A distacircncia do centro do tubo agraves linhas finas desenhadas dentro deste representa

a amplitude de deslocamento da onda em cada ponto N e A designam as posiccedilotildees dos

nodos e antinodos de deslocamento As frequumlecircncias VII de ressonacircncia do tubo satildeo dadas

por

v v =(2k + 1)- (33) 41 ~

onde I ecirc o comprimento do tubo e k = OJ23~ o que nos fornece apenas os 1

harmocircnicos iacutempares

O (a) AJllm

134

(d)

_-_ -__ I

I AIMcm~

M o~

H -8

00 Microfone015

ro (b) -= ~

j~

~ --~

-- AJm00

o (C) I

JI~m(JQegtn

L- m

Ia bull ~ d 1

1l _ _~ Ooo~ J

ftequumlecircnda da onda HZl

Figura 38 Resposta do microfone laquoJl0cad0 atilde uma distacircncia Alm dentro do ruoo borbulhador na sua parte superior para wna onda SOOOIa senoidal gerada pelo alto-falante Em (a) o microfone foi colocado a 2 em da superfieie do liacutequido (b) 34 em e (c) 60 em Em (d) vemos um cliagrarna que mostra a distacircncia Alm

36 3 AparaJ() Experimental

Foi verificada a frequumlecircncia de ressonacircncia do tubo borbulhador~ obtendo um

sinal proporcional ao deslocamento da onda sonora colocando um microfone dentro do

tubo A distacircnciacutea entre o microfone e a superfiacutecie do liacutequido eacute Alm O sinal obtido pelo

microfone) colocado em trecircs alturas distintas dentro do tubo borbulhador estaacute mostrado

na Fig 38 onde temos os valores obtidos para as alturas de 2 em 34 em e 60 em em

relaccedilatildeo ao niacutevel do liacutequido~ com um comprimento de coluna de ar total de 60 em

Variarulo a frequumlecircncia da onda entre 100amp e 160 Hz obteve-se que a frequumlecircncia de

ressonacircncia do tubo eacute de aproximadamente 134 Hz O sinal do microfone tem a mesma

furma que o sinal senoidal injetado no alto-falante

Depois de determinada a frequumlecircncia de ressonacircncia do tubo nas condiacuteccedilotildees do

paraacutegrafo anterior obtivemos o sinal do microfone colocado em vaacuterios pontos do tubo~

para os trecircs primeiros mnocircnicos 134gt 402 e 670 Hz como estaacute mostrado na Fiacuteg 39

de modo a verificar experimentalmente as posiccedilotildees dos nodos e antinodos de

deslocamento Na Fig 39 podemos ver que a tensatildeo natildeo se anula na origem portanto a

onda natildeo forma um nodo exatamente na superficie do liquido para os trecircs harmocircnicos

mas parte da onda refrata no liquido

08 bull - bullbullbullbullbullbull ~ 06 j freq 134Hz

o bull M ~c-o m 02 o ~

00 0-

gt 02 ~ c-~ o ~ 00

shyshy- _freq 402Hz ~~ ~

- - _ shy-

o

003 freq 670Hz -~ - 2 - ~

002 1 ~- -IHl ltshy bullbull 001bull bull ~

000 o O 30 0 50 60

Alm(cm)

Figura 39 Nados e antinodos deruro do tubo para OS trecircs primcitos harmocircnicos medidos em diferentes posiccedilotildees na parte de ar com as freqilecircncias de 134 Hz 402 Hz e 670 m Podemos notar nos trecircs graacuteficos que a onda sooorn natildeo forma exatamente um nodo na superficie do liacutequido

37 3 Aparato Expenmental

39 O liacutequido

o liacutequido utilizado foi preparado em soluccedilotildees utilizando-se diferentes

concentraccedilotildees de aacutegua e glicerina

A tensatildeo superficial foi obtida atraveacutes do meacutetodo do tensiocircmetro de anel [Ueta e

Tabacniks 1989] que consiste em se determinar a forccedila para se elevar um anel delgado

do liquido e relacionando-a com a tensatildeo superficial numa temperatura de 25()C Na

tabela 32 temos a tensatildeo superficial de alguns liacutequidos comuns obtidos com este

meacutetodo Para as diferentes concentraccedilotildees de glicerina obtivemos OS valores da Fig 310

Liacutequido

Tensatildeo superficial (diIlalcm) I

Aacutegua destilada

72

Agua de torneira 66

0100 20Wmiddot50 (Mobil) I 35

Glicerina 58

Alcool hidratado 30

Agua com detergente 36

Detergente 23

Cafeacute (soluccediliio) 42

I

~1------Tabela 32 Tensatildeo superficial de alguns liquidas comuns medidos pelo meacutetodo do tensiocircmc1TO dCanel

r------------------------------------- n

Ecirc ~66

i tM ~ ~

58

J

i

T ~ -

~

bull bull i J I bullbull 1 ~ -

bull +

1~ -~~~ o 20 40 00

deHp

Figura 310

Tensatildeo

superficial

medida COm oacute

meacutetodo do

tenSJocircmetro do

ane1rma cliacuteferenles

concentraccedilotildees

de aacutegua e

glicerina

38 $ Aparato ~mentaJ

A viscosidade das soluccedilotildees de aacutegua e glicerina foi estImada atraveacutes do meacutetodo

de Stokes [Veta e Tabacniks 1989] e a viscosidade varia como a funccedilatildeo exponencial

mostrada na Fig 311 para 25 C Para os valores da viscosidade da aacutegua pura e da

glicerina para diferentes temperaturas fui consultada uma tabela de viscosidades [Perry

e Clinton 1972 Weast e Selby 1996]

1500 r 1250

bull p shy1000 -shy

bull u- ~ ~ 750

~ J_ ampl 500

gt

- 250

u HH

o [ ===-==i I UUUU

O 10 20 30 40 50 60 10 80 90 100

de Glicerina na aacutegua

Figura 311 Variaccedilatildeo da viscosidade com a concentraccedilatildeo de glicerina na soluccedilatildeo

310 Imagens

Algumas imagens foram obtidas para esclarecer alguns aspectos da formaccedilatildeo

das bolhas As imagens da formaccedilatildeo das bolhas furam feitas atraveacutes de uma cacircmera

VHS Para iluminar o tubo borbulhador utilizou-se a teacutecniacuteca de iluminaccedilatildeo traseir~

com uma placa transluacutecida para difundir a luz proveniente de uma lacircmpada

fluorescente e o tubo borbulhador foi colocado entre a placa difusora de luz e a cacircmera

As imagens obtiacutedas foram digitalizadas e annazenadas

39 3 Aparato JxpflinJeacutentttl

Figura 31l Imagens obtidas partir do experimentn do tubo borbulhador Em (I) VCIlOS bolha se fonnando junto agrave seringa enquanto a bolha anterior emerge no liqujdo (2) a bolha aumenta de volume mas o empuxo natildeo eacute suficiente para retiraacute~la do bico 3 a bolha se-descola do bico mas eacute alimentada por um pescoccedilo~ (4) a bolha se destaea do bico e Cf perfil evolui para a fonna elipsoidal

Na Fig 312 temos a evoluccedilatildeo de uma bolha se formando junto ao bico

soprador numa soluccedilatildeo viscosa de aacutegua com glicerina em quatro instantes distintos A

forma final das bolhas depende de vaacuterios fatores entre eles o seu volume~ e isto pode

ser observado nas cinco imagens da Fiacuteg 313

11 1 Ilcml 1I em 1 11 I Ilcml

m ~jj O 4~~

ttif1id-gt0

(a) (b) (c) (d) (e)

F1gura 313 Exemplo do perfil das bolhas em relaccedilatildeo ao seu tamanho

3 Aparato Experimental 4iacuteJ

311 O Experimento da Torneira Gotejante

o experimento da torneira gotejante foi uma das primeiras tentatiyas de se criar

um sistema com o propoacutesito de se observar o Caos deterministiacuteco Este experimento

possui um extenso material produzido pelo LFNL que pode ser encontrado na fonua de

dissertaccedilotildees de mestrado e teses de doutorado [da Rocha 1995 da Silva 1996 Tufaile

1996 Gonccedilalves 1996 Pinto 1999J

O experimento consiste basicamente de um bico got~ador que eacute alimentado por

um grande reservatoacuterio~ como pode ser visto no diagrama do aparato experimental da

Fig 314 O tempo associado para cada gota eacute medido do mesmo modo que o descrito

na seccedilatildeo 33 para o tempo entre as bolhas~ mas para o experimento da torneira gotejante

o feixe laser estaacute posicionado - 9 em abaixo do bico

Noacutes controlamos a taxa de gotejamento (fgot=ltlTraquo mantendo o niacutevel do

reservatoacuterio intermediaacuterio constante e selecionando a frequumlecircncia de gotejamento atraveacutes

da abertura da vaacutelvula acionada por um motor de passo e controlada por um

microcomputador Para uma dada taxa de gotejamento noacutes construiacutemos os mapas de

primeiro retomo

Relervut6rio Foot

cmroJ_ denivcl

Fotodiodo o

Laa o Computador

o

Res~ -00

Figura 314 Diagrama -do experimento da torneira gotejante

4 Resultados e Anaacutelise 41

4 Resultados e Anaacutelise

A formaccedilatildeo das bolhas eacute frequumlentemente imaginada como () experimento da

torneira gotejante 1nvertido Esta analOgia eacute fraca e para podermOs verificaacute-la

estudaremos inicialmente a formaccedilatildeo de gotas e depois estudaremos a formaccedilatildeO das

bolhas

41 A torneira gotejante I

As equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem para a torneira gOtejante) propostasI no modelo de Shw [Shw 1984] com as modificaccedilotildees de DInnocenzo e Renna

[Dlnnocenzo e Relllll 1996] satildeo

t=V d(M=Mg_kx_bv (41)

dMrJI=Q

Onde x eacute a coordenada do centro de massa da gota ordmeacute O fluxo de aacutegua A tensatildeo

superficial e o atrito entre a aacutegua e a torneira satildeo dados pela constante de mola k e por b

respectivamente Uma gota ~ se desprende do bico com velocidade Vc com o fator

de reduccedilatildeo a quando o centro de massa alcanccedila o limiar xc

iAIJ aJyJ (V (42)

Figura U Seacuterie temporal obtida com o modelo da tomeira gotejante variandolaquo a vazatildeo Q k=475 dinalcm g=980 cm~ 1gt=1 g~ lt9114 em 09119 sim

42 4 ResultatWs e Anaacutelise

Na Fig 41 mostramos uma seacuterie temporal obtida a partir do modelo das

equaccedilotildees (41) com os paracircmetros k=475 dinalcm g=980 crnls b= 10 gls x=O 14 em e

a=O (9 sIm Na integraccedilatildeo do modelo foi utilizado um integrador Runge-Kutta de

-

0D75

(j) E 0050 ~

J

0025

0025 0050 0075 T

N (ms)

Fibllra 42 Atratores caoacuteticos reconstruiacutedos fixando~se a vazio em trecircs valores distintos de nzatildeo Q A dimensatildeo de Kaplatl~Y orkc Dy foi culculndn para cuumlda um destes tratores (n) DRY 12(1) (b) Drn 139(1) (c) DKy173(2)

(a)

lo

shy

(b)

7- iacute I

I 0

~

~ (e)

I rt j~1l~middott~i~i ~ v ) t ~ Amiddot shy ~ ~~ -1

[1 f ~ ~j bull

-) F ~-lt_ f4~-tgt 1- --~ 1

l yA- -~O __ _~ shy

~-~lt

quarta ordem com passo de

integraccedilatildeo de 10-6 e condiccedilotildees

iniciais x(O)=OO em e y(O)=O I

ems Nesta seacuterie temos uma

sequumlecircncia de dupliacutecaccedilotildees de

periacuteodo para 05ltQlt087 mls

caos e janelas perioacutedicas para Q

acima de 087 rnJls c um

alargamento abrupto do atrator

proacuteximo de Q102 mls

Na Fig 42 vemos trecircs

atratores para trecircs diferentelt

valores de vazatildeo Q do modelo

Pora cada um destes atratores

foi calculado os expoentes de

Lyapunov e sua respectiva

dimensatildeo de Lynpunov que os

caracterizaram como caoacuteticos

devido a existecircncia de

expoentes de Lyapunov

positivos Na Fig 42(a) temos

um atrator formado por quatro

bandas ca6ticas com vazatildeo Q=

0885 mlls Para uma vazatildeo

maior de 095 mlls Fig 42(b)

temos um atrator ca6tico com

duas bandas ca6ticas Na Fig

42c) um atrator caoacutetico mis

largo apoacutes a crise para

Q=I05 mlls

t RCSllfladQs e AtuUis 4

710 (b~f (a) 500 I

700 1 E g 400 1 iacute 300

200

1 jJ

670 ~ 100 670 680 690 700 710 100 200 300 400 500

T() T(ms)

Figura 43 (a) dados experimentais para uma frequumlecircncia de gotejamento de 146 gotass (b) atrator obtidQ ccedilom o modelo com de oscilador com relaxaccedilatildeo com uma frequumlecircncia de 315 gotass

(a) ltTgt=1146 me (b) ltTgt=1136 rns

Tn 2

120

110

11Cf

110120 T

120

Tnbull1

TM

120

90 9~ 12

120middot TM

T 90

Figura 4A (n) atrator experimental com um frequumlecircncia meacutedia de 8726 gotas Is (b) atrator obtido a partir da simulaccedilatildeo com uma frequumlecircncia mldia de 880 gotass

44 4 Rewlltados e AndUsc

Fizemos duas comparaccedilotildees entre os dados experimentais e o modelo Tufaite et

aI 1999 Apecircndice 1] Na Fig 43(a estaacute mostrado o mapa de primeiro retorno

experimental mantendo-se constante o niacutevel do reservatoacuterio intermediaacuterio com uma

frequumlecircncia de gotejamento de 146 gotass com o bico de vidrQ Uma estimativa para os

valores experimentais eacute dada por k=365 dinaicm xccedil -O6 em e Q no intervalo 012-015

gls As simulaccedilotildees do atrator usando estes valores para os paracircmetros natildeo convergiram

para vaacuterios valores de a e b Desta forma outro conjunto de valores foi procurado para a

reproduccedilatildeo do atrator experimental Os valores escolhidos foram k = 475 dinacm XI

13 em Q=015 gls a = 02 sem e b = 10 SI como estaacute mostrado na Fig 43(b) com

uma freguumlecircncia de gotejamento de 315 gotass

Na Fig 44(a) estaacute mostrado um atrator reccedilonstruiacutedo em um mapa

triacutedlmensional Tn+2 VS Tn1 vs Tnbull com a frequumlecircncia de gotejamento de 8726 gotass

O perfil do atrator foi simulado com os paracircmetros cOm os seguintes paracircmetros

Q=0141 gls x = 0251 em 051 sem b=O943 SI e k=120 diacutenalcm como estaacute

mostrado na Fig 44(b) A frequumlecircncia meacutedia de gotejamento eacute de 880 gotass pr6xima

do valor experimentaL Os dois atratores da Fig 44 apresentam expoentes de Lyapunov

positivos e dimensotildees de Kaplan-Yorke lOplusmnOl (atrator experimental) e 11plusmnO1

(modelo)

Outros atratores obtidos a partir de mapas criados baseados neste modelo podem

ser encontrados na literatura [Renna 1999] assim como comparaccedilotildees entre atratores

experimentaiacutes e simulados na mesma regiatildeo de vazotildees das Figs 43 e 44 IDInnocenzo

e Renna 1997] Em todas estas referecircncias o modelo apresenta problemas quando os

valores escolhidos para os paracircmetros satildeo os mesmos do experimento que nonnalmente

causam divergecircncia das soluccedilotildees durante a integraccedilatildeo Uma possiacutevel causa destes

problemas eacute fato de que a gota natildeo se rompe exatamente sempre na mesma posiccedilatildeo mas

em alturas diferentes com relaccedilatildeo ao bico Concluiacutemos que este modelo apresenta

Cuumlfilcteriacutesticas qualitativas interessantes mas que natildeo pode ser utiHzad9 para

comparaccedilotildees quantitativas com a experiecircncia Modificaccedilotildees neste modelo estatildeo sendo

feitas por Fuchiacutekami [Fuchikami el aI 1999] que compara este modela com outro

modela mais elaborado que utiliza por princiacutepio fiacutesico a minimizaccedilatildeo da energia com

relaccedilatildeo ao perfil da gota que cresce junto ao bico O modelo de Fuchikami utiliza uma

descriccedilatildeo Lagrangeana para calcuIar numericamente a evoJuccedilatildeo da formaccedilatildeo da gota

45 I i

i

4 Resultadltgts eAnaacutelise

42 Dinacircmica das bolhas Veremos nesta seccedilatildeo os diferentes regimes d borbulhamento causados pelo

aumento da vazatildeo do ar~ e como podemos esclarecer as transiccedilotildees destes regimes

atraveacutes de alguns modelos

421 Formaccedilatildeo quase-estaacutetica

Devido acirc complexidade do processo da formaccedilatildeo de bolhas os modelos

existentes satildeo adequados apenas em casos particulares [Clift e aI 1978) Para uma

bolha se formando em condiccedilotildees quasemiddotestaacuteticas o equillbrio de forccedilas na bolha eacute dado

por

f = (43)

onde f g eacute a forccedila da gravidade e f (J eacute a forccedila devido agrave tensatildeo superficial Para um

orifiacutecio do tipo bico circular a equaccedilatildeo (43) tem a forma

mg = 2R7Ilt7 (44)

onde m eacute a massa do liacutequido deslocado pelo volume da bolha g eacute aceleraccedilatildeo da

gravidade R eacute o raio do bico soprador e G eacute tensatildeo superficial entre o ar e liquido

Tomando um bico com Rb = OA mrn e criando-se uma bolha de ar na aacutegua nas

condiccedilotildees qua8e~estaacuteticas quandO a tensatildeo superficial do sistema eacute igual a O~07 Nm e g

eacute igual a 98 ms teremos uma massa de liacutequido deslocado de

m = 1810 kg (45)

Como temos a densidade da aacutegua igual a 1 gcm3bull o volume maacuteximo da bolha seraacute dado

por

m V=-=18mm (46)

p

Se considerarmos urna esfera de volume equivalente teremos um raio para a bolha r)

reacute 1~6mm (47)

Podemos tambeacutem estimar a pressatildeo do ar dentro de uma bolha atraveacutes da

relaccedilatildeo

2lt7 Pl-Pl ~-- (48)

Se a interface natildeo eacute esfeacuterica mas possui como raios principais de curvatura le e

r entatildeo equaccedilatildeo (48) teraacute forma

46 f Resultados cAnaacutelise

(49)p - p = 2~ lt) As diferenccedilas de pressatildeo das equaccedilotildees (48) e (49) fomece-nos a pressatildeo laplaciana

devido agrave tensatildeo superficiacuteal[Clift oi ai 1978]

Para uma bolha com o raio de 16 mm como calculado na equaccedilatildeo (47) bull

diferenccedila de pressatildeo entre o ar dentro da bolha e a aacutegua eacute

p - p = 175Pa (410)

Para uma bolha a 5 cm da superfiacutecie teremos Pl = 500 p~ entatildeo~ de acordo com a

equaccedilatildeo (410) a pressatildeo dentro da bolha seraacute de 675 Pa ou seja a pressatildeo dentro da

bolha eacute equivalente a uma oolunade aacutegua de 675 mm

Esta anaacutelise soacute eacute vaacutelida para sistemas em equiliacutebrio fora do equiliacutebrio outros

meacutetodos de anaacutelise satildeo empregados e seratildeo discutidos na proacutexima seccedilatildeo

422 Formaccedilatildeo de bolhas com vazatildeo constante

Podemos obter um modelo para baixas vazotildees fazendo algumas suposiccedilotildees

sobre a geometria da bolha [Daviacutedson e Schuumller 1960J O modelo segue as seguintes

consideraccedilotildees

1 A bolha eacute esfeacuterica durante sua formaccedilatildeo

2 Natildeo haacute cireulaccedilatildeo do liquido ao redor da bolha que estaacute se formando de tal

modo que o liacutequido estaacute em repouso quando a bolha comeccedila a se formar

3 O movimento de uma bolha natildeo eacute afetado pela presenccedila de urna bolha acima

ela

4 A bolha estaacute a todo instante movendo-se na velocidade de Stokes apropriada

para o seu tamanho

S Quando a bolha atinge o raio maacuteximo R ela se destaca

Considerando O movimento de uma bolha que se forma em um ponto longe das paredes

de um reservatoacuterio infinito nas condiccedilotildees acima a velocidade do centro da bolha v no

tempo t apoacutes o comeccedilo da sua fonnaccedilatildeo seraacute dada pela velocidade de Stokes

2rg v=-~ (411)

9v

onde v eacute a viscosidade cinemaacutetica do liacutequido dada pela razatildeo entre a viscosidade e a

densidade do liquido Aleacutem disso se Qeacute o fluxo do gaacutes entatildeo o volume da bolha V eacute

41 4 Resultados e Anaacutelise

V=QI= 4- (412)3

Deste modo definindo x como a distacircncia entre o centro da bolha e o ponto de

suprimento do gaacutes obtemos a equaccedilatildeo que define o movimento do centro da bolha

atraves do seu raio r como uma funccedilatildeo de Q e t dados pela equaccedilatildeo (412)

Substituindo r na equaccedilatildeo da velocidade d Stokes

v2g (3Q ) ( (413)9v 4Jr

e integrando a equaccedilatildeo (411) em relaccedilatildeo a t noacutes obtemos O deslocamento do centro da

bolha em funccedilatildeo do tempo

2 Ir (414)x=Jl-lt3QJ 15v 411

A bolha iraacute se destacar quando x = R o raio maacuteximo da bolha com o tempo para a

formaccedilatildeo completa da bolha T obtido partir da equaccedilatildeo (414)

ltT=ll~)() (415)

que nos daacute uma relaccedilatildeo hiperboacutelica entre o tempo T da formaccedilatildeo da bolha e a vazatildeo Q

como mostrado no graacutefico da Fig 45 Com isto obtemos que a relaccedilatildeo entre a

frequumlecircncia de borbulhamento F = (11) e a vazatildeo volumeacutetrica do ar Q eacute

F ltcQM (416)

Este eacute um modelo razoaacutevel para baixas vazotildees pois explica de modo simples as

principais caracteriacutesticas da variaccedilatildeo da frequumlecircncia do borbuJhamento com a vazatildeo do

ar Entretanto~ as cinco condiccedilotildees para fonnaccedilo das bolhas no iacuteniacutecio desta seccedilatildeo natildeo

satildeo rigidamente observadas isto fuz a equaccedilatildeo (416) ter um caraacuteter principalmente

qualitativo O trabalho de Ponter e Surati [ponter e Surati 1997] fuz um estudo

comparativo entre vaacuterios trabalhos que investigam a emissatildeo de bolhas a partir de

orifiacutecios submersos e apontam como principal causa da discrepacircncia entre os diferentes

resultados experimentais a influecircncia da superfrcie do biacuteco soprador e a falta de

padronizaccedilatildeo da geometria do equipamento Mesmo com as discrepatildencias~ O

comportamento hiperboacutelico com as bolhas se formando sequencialmente eacute observado

quandO se aumenta a vazatildeo [Sulliacutevan et aI 1964) No nosso trabalho soprando ar

diretamente na seringa para vazotildees acima de 200 rolmin ocorrem bifurcaccedilotildees no tempo

entre bolhas e isto eacute o tema da proacutexima seccedilatildeo

4 Resulfados eAnaacutelise 4amp

n 423 Biacutefurcaccedillies Tempo entre Dependendo bolluls

principalmente da

geometria do bico

soprador para vazotildees

acima de um determinado -shy ~m~~ valor ocorre uma

transiccedilatildeo de um regimeQ-vazatildeo de borbulhamento

igualmente espaccedilado noFigura 45 Esboccedilo da dependfulcia hiperboacute1ia entre o tempo do borbulhameniO c a vazatildeo de ar tempo para um regime ~----------------------~

no qual as bolhas se formam com dois tempos distintos e emergem aos pares formando

um dubleto [Davidson e Schuumller 1960 Marmur e Rubin 1975 Miyhara cl al 1983

Tritton e Egdell 1993 Mitoni ct al 1995 Kyriaides oi ai 1997] Este fagraveto pode ser

atribuiacutedo agrave transferecircncIacutea de momento do ~ poiacutes uma parte do liacutequido fica agregada agrave

superficie da bolha formando uma casca esfeacuterica liquida que eacute chamada de massa

virtual P [Davidon e Schuumller 1960 Miyhara el ai 1983] reduzindo o empuxo da

bolha para 1116 Aleacutem disso noacutes podemos fazer um modelo simplificado para a

formaccedilatildeo das bolhas Se considerarmos aacute presenccedila de uma forccedila restauradora de

coeficiente k devido agrave tensatildeo superficiaI~ usando as consideraccedilotildees 14 e 5 da seccedilatildeo 422

e considerando que existe uma forccedila dissipativa na formaccedilatildeo da bolha (que eacute

proporcional agrave velocidade bv) Utilizando a segunda lei de Newton chegamos agraves

equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem

dx _~=y

di d(Mv

di = (JMg - kx -lN) (417)

fiM di =Q

onde x eacute a posiccedilatildeo do centro da bolha M eacute a massa de liacutequido deslocada pela bolha

(M~Vp) Aleacutem destas equaccedilotildees uma quarta equaccedilatildeo define quando a bolha deve se

destacar No momento que a e1a atinge o ponto criacutetico xcgt a bolha se desprende do bico

soprador com a massa

49 4 Re$1lltatlos eAnaacutelise

M=aMve (418)

com M e V sendo a massa e a velocidade no ponto de rompimento Xc respectivamente

A constante de proporcionalidade de massa eacute a O diagrama do modelo pode ser visto

na Fig 46

AA1 X

p M

k oacute

Figura 46 O modelo de oscilador de massa variaacutevel para a formaccedilatildeo de bolhas

1

50 4 Resultados e Anaacutelise

Estas equaccedilotildees foram inspiradas em equaccedilotildees do mesmo tipo para o

experimento da torneira gotejante (Tufaile el ai 1999 Apecircndicel] mostradas na seccedilatildeo

41 Shaw [Shaw 1984] propocircs o primeiro modelo para a torneira gotejante inspirado

nas ideacuteia de Rayleiacutegh O modelo foi atualizado por Saacutenches-Ortiz e Salas-Brito

(Sacircnehes-Ortiz e Salas-Brito 1995a Saacutenches-Ortiz e Salas-Brito 1995b] e

independentemente por D~Innoncenzo e Renna [D~Innoncenzo e Re~ 1996] que~

atraveacutes da mudanccedila do mecanismo de rompimento mostraram uma vasta gama de

comportamento caoacutetico usando o modelo e o quanto ele pode ser comparado com dados

experimentais Eacute importante saliacuteentar que apesar da enonne simplificaccedilatildeo que se faz

quando se reduz um sistema fluido com muitos graus de liberdade para um modelo

unidimensional1 existem muitos resultados que podem ser compreendidos usando O

modelo de oscilador de massa variaacutevel~ como bifurcaccedilotildees comportamento caoacutetico e

janelas perioacutedicas Seguindo esta linha Kiyono e Fuchikami trabalham na construccedilatildeo de

modelos de oscilador de massa variaacutevel t utilizando resultados obtidos a partir de seu

modelo hidrodinacircmieo (Kyono e Fuchikarniacute 1999]

Na Fig 47 vemos espaccedilos de fuse para a formaccedilatildeo de bolhas para diferentes

vazotildees numa sequumlecircncia que evolui desde o penado 1 ateacute o comportamento caoacutetico

Para a vazatildeo de l~O mIIs obtivemos um ciclo limite com a velocidade crescendo

atingindo um valor rnacircximo e depois diminuindo retornando proacuteximo ao valor inicial

Neste instante ocorre o rompimento e a proacutexima bolha inicia o ciclo com a mesma

posiccedilatildeo da bolha anterior deste modo o sistema retoma abruptamente ao ponto inicial

(x-Ol em e v-l4 crnls) Para a vazatildeo de 18 mIIs O sistema atinge o ponto de

rompimento com duas condiccedilotildees de rompimento distintas a primeira com uma

velocidade ascendente e uma segunda com uma velocidade descendente Para 20 mVs

temos uma outra duplicaccedilatildeo de periacuteodo levando a um periacuteodo quatro e finalmente para

uma vazatildeo de 2~15 rn11s vemos O espaccedilo de fase do comportamento caoacutetico

A seacuterie temporal deste modelo estaacute na Fig 48 e mostra as variaccedilotildees da

dinacircmica com a variaccedilatildeo da vazatildeo na faixa de vazatildeo 08 lt Q lt 22 m1s Para uma

vazatildeo por volta de 155 mls ocorre uma duplicaccedilatildeo de periacuteodo Para l97 rnVs uma

descontinuidade na seacuterie~ seguida de novas duplicaccedilotildees e caos

bull bull bull bull

51 4 Resultados e Anaacutelise

f I ~ ~ bull ~

1gt gtligt

tobull o 0- o ~ ~

fmiccedil)o (em)

otltl_J l

j

(

11

r ( ~

(I

~ ~ m f I - _r

i__=---~1 ~ ia_t6tttll-

Ibulli ~

~ ccedilshyreg 11110 o~

PM~a ftm)

Ot1SINIo ~1 ~

li ~ I~

~ ~ bull

bull ~ lt - -- u bullbull~ ~

Figura 4~1Espaccedilos de fase obUaoscom o ruacuteOdelo de oscilador de tna$il vnveCg 10 mIlsPeriacuteodo 1 Q=l8 m1Is duplicaccedilatildeo de periacuteodo periacuteodo 4 para 20 m1Is e comportamento caoacutetico para 215 mlJs Os paracircmetros do sistema satildeo x=O19 em 0=025 b=25 em$ g980 ems k=480 dinalcnt

Deste modo podemos ter uma

visatildeo geral de como ocorre uma

duplicaccedilatildeo de periacuteodo do espaccedilo de

fases da [onnaccedilatildeo de bolhas aleacutem da])- ~1 lO regiatildeo da formaccedilatildeo quase~estaacutetic8shy

baseada em um modelo mecacircnico

simplificado OUlro modelo para a Q(mYl)

formaccedilatildeo de bolhas pode ser encontrado

Figura 48 Seacuterie temporal do modelo de oscilador I no trabalho de Marmur e Rubin de massa variaacutevel para o tubo boIbulhador

[Marmur eRubiacuten 1975] que do mesmo

modo que Fuchikami [Fuchikamiacute el ai 1998] utiliza o formalismo Lagrangeano

52 4 Resultados e Anaacutelise

424 Veias liacutequidas

Verificamos experimentalmente a ocorrecircncia da agregaccedilatildeo de liacutequido junto agrave

bolha que causa a reduccedilatildeo do empuxo sobre a bolha Utilizando um sistema de trecircs

fases (ar aacutegua e oacuteleo) observamos a fonnaccedilatildeo de veias liquidas Uma veia liacutequida

ocorre quando temos um canal de aacutegua dentro do oacuteleo que eacute sustentado pela

emergecircnciacutea das bolhas como pode ser visto no diagrama da Fig 49 Na literatura

existem classificaccedilotildees para padrotildees de fluxos de duas fases como o padratildeo de

borbulhammo padratildeo d jateamento e padratildeo anular [Sharpe 1994] O primeiro caso

borbulhameoto eacute o caso tratado neste trabalho o padratildeo de jateamonto [Ruzicka 1997]

ocorre quando o gaacutes possui velocidades maiores do que a do borbulhamento e eacute

espargido dentro do liacutequido o terceiro caso~ o padratildeo anular ocorre para velocidades

ainda maiores do gaacutes que passa pelo centro do liquido formando um tubo gasoso COm

gotiacuteculas do liacutequido subindo pelo centro junto com o gaacutes Devido bull propriedades

viscoelaacutesticas do ocircleo diferenccedila de cor entre o oacuteleo e a aacutegua e a refraccedilatildeo do sistema

aacutegua-ar podemos ver a fonnaccedilatildeo desse padratildeo anular a veia liacutequida num sistema de

trecircs fases ar aacutegua e oacuteleo e deste modo verificar o arrasto da aacutegua junto com as bccedillhas

Veia liacutequumlida induzida por bolhas

Ar

Figura 49 Um sistema de tns fases iroisciveis formado por aacutegua ar eacute oacuteTeo criando uma veia liquida A aacutegua forma uma coluna dentro do oacuteleo com um fluxo ascendente proacuteximo do centro e um fluxo descendente na parte ell1ema

4 Resullado$ e Anaacutelise 53

o liacutequido que envolve a bolha deve ter a mesma velocidade da superfiacutecie da

bolha formando uma casca esfeacuterica de liacutequido A casca esfeacuterica de aacutegua acompanha a

bolha ateacute o ponto em que ela atinge a superfiacutecie do sistema Hquido~ a partir deste ponto

este volume de aacutegua eacute afastado lateralmente e inicia a descida para a base da coluna Na

Fig 4 1O~ podemos ver uma imagem obtida no LFNL de uma veia liquida

a porte avermclhada eacute 6100 a coluna central eacute constituiacuteda de aacutegua com bolhas no seu interior

A existecircncia da m d Ilquiacutedo

agregada junto a bolha eacute um fato que

mostra que a experiecircncia do tubo

borbulhador natildeo eacute o experimento da

torneira gotejante invertiacutedo

Se aumentarmos a vazatildeo de ar

inicialmente ocorre uma acumulaccedilatildeo de

aacutegua sobre o oacuteleo que depois se precipita

na forma de uma bolsa de aacutegua como

podemos ver na seqililncia de imagens da

Fig 41 L Deste modo O fator de massa

agregada fJ das equaccedilotildees (417) eacute uma das

princjpais diferenccedilas entre os modelos de

oscilador para bolhas e gOlas

Figura 411 Aumefllandose a freqiacuteiWcia de bolhas a aacutegua se acumula no topo da ooluna (a) ( acuacutemulo de aacutegua se desestabiliza e comeccedila a descer agarrada agrave veia (b) e em (c) temosa bolsa de aacutegua jaacute na base da veia liacutequida

1

54

-i

4 Resultados eAmilise

425 A estabilidade de dois fluidos sobrepostos

O problema fiico fundamental na fonnaccedilatildeo de bolhas em liquidos ecirc a

superposiccedilatildeo de dois fluidos de densidades muito diferentes O estudo de instabilidades

hidrodinacircmicas aborda tal problema aleacutem de outras instabilidades que tambeacutem satildeo

tratadas de um ponto de vista matemaacutetico muito interessante no livro Hydrodyllamlc

and Hydr(J11agnetlc Stability de Chandrasekhar [Chandrasekhar 1981] onde foram

estudadas as soluccedilotildees das equaccedilotildees hidrodinacircmicas para dois casos nos quais ocorre a

superposiccedilatildeo de fluidos

a) A instabilidade de Raylelgh-Taylor que trata da instabilidade da interface plana

entre dois fluidos

b) A instabilidade de Kelvln-Helmholtz que surge quando camadas diferentes de

fluidos heterogecircneos estratificados estatildeo em movimento horizontal relativo

Os problemas de instabilidade hidrodinacircmica envolvem o reconhecimento de fluxos

estagraveveis e instaacuteveis que satildeo obtidos para determinados valores dos paracircmetros que

governam o sistema Como exemplos temos o nuacutemero de Rayleigh~ para a convecccedilatildeo de

calor num fluido entre duas pacas uma acima e outra abaixo do fluido ou o nuacutemero de

Taylor para o comportamento do fluido entre dois cilindros coaxiais girantes

Restringindo-se agrave instabilidade de Rayleiacutegh-Taylor temos um arranjo com dois fluidos

de densidade unifurme~ um com a densidade Pl sob outro com densidade P2 sendo que

P2 eacute maior que pJ~ num campo gravitacional g A superfiacutecie horizontal que separa os

dois fluidos tem a tensatildeo superficial a Este sistema possui um nuacutemero de onda critico

kc pata as oscilaccedilotildees entre os fluidos~ dado por

klt = J(p - p)g I CF bull (419)

Os sistemas com nuacutemeros de onda no intervalo Oltkltkc satildeo instaacuteveis quando kgtkcl

temOS um estado marginal ou limite De um modo geral~ a tensatildeo superficial estabiliza

arranjos potencialmente instaacuteveis Levando em conta que a unidade de medida de Ir eacute

lm~ obtemos um nuacutemero puro conhecido como nuacutemero de Rayleigh~Taylor RT que

determina a estabilidade do sistema de fluidos sobrepostos

RT = glOcircp (420) CF

onde I eacute um comprimento caractcristico do sistema Este nuacutemero estaacute relacionado

diretamente com o nuacutemero de Eocirctvocircs (Eo) [Clift el ai 1978] para particulas gotas e

bolhas dado por

554 Resultados e Anaacutelise

~ U)

~

60 40 aacutegua + 6G gliccedila 33 aacutegua + 67 glicerina ~

50

~

40E ~ z I- 30

20 r

(~) I (7) I o 300 NaDo 9000 300 600 9000

(g)

100 aacutegua 50 aacutegua i 50 glicerina

N

20 aacutegua + 60 gliacuteceflna

(f) 300 000 900

Figura 411 Graacuteficos da transiccedilatildeo de regime do bolbulhamenlO di_ a vazltlo do ar Oaumento da viscosidade causa uma definiccedilio da dupUccedilaccedilio de periodo no experimento do tubo borbulhador como pode ser visto nos graacuteficos mostrados de (a) ateacute (I) A duplicaccedilatildeo de perlode tambeacutem eacute visiacutevel espacialmente como esta mostrado em (g) que temos o periacuteodo 1 com as bolhas se elevando igualmente espaccediladas c em (h) onde temos o periacuteodo 2 vemos a fonnaccedilatildeo dos dubletof de bolhas (33 aacutegua + 6Ou glicerina)

56 4 Resultados e Anaacutelise

gdApE0 -- (42t)

U

onde d ecirc o diacircmetro de uma esfera de volume Vequivalentlt d t (6V I n)1f3 ~ da

particula gota ou bolha obtido pela meacutedia d seus raios principais

Medimos o nuacutemero Eo juntamente com o nuacutemero de Reynolds Re das bolhas

[Clift el ai 1978J (Re = udp I P onde ueacute velocidade d fomaccedilatildeo da bolha p eacute a

viscosidade e p ecirc a densidade do liacutequido) Quando o sistema passa do regime de

periodo I para uma bifurcaccedilatildeo ou alargamento abrupto do tempo entre bolhas

obtivemos que o nuacutemero de Eotildetvotildes vale aproximadamente 26 plusmn1 para nuacutemeros de

Reynolds entre 200 e 1500 Este resultado foi verificado para todos os bicos utilizados

neste trabalho

426 Instabilidade da superfiacutecie da bolha

Utilizando algumas concentraccedilotildees diferentes de glicerina e o bico de seringa

verificamos1 no experimento do tubo borbulhador que os tempos entre bolbas ocorrem

em periacuteodo 1 para baixas vazotildees (O a 100 m1Imin) e que para faixas maiores de vazatildeo

os tempos entre bolhas ocorrem dentro de uma faixa de valores para baixas

concentraccedilotildees de glicerina ou em dois valores de tempo caracterizando um periacuteodo 2

para concentraccedilotildees maiores que 50 ~ como pode ser visto na Fig 412 Podemos ver

que com o aumento da viscosidade do liquido os ramos que ocorrem no penodo 1

I assim como os ramos do periacuteodo 2 ficam com valores mais estaacuteveis Segundo Mittonl

I [Mittoni et ai 1993] o aumento da viscosidade atraveacutes da glicerina produz atratores

mais estruturados e reprodutiacuteveis~ pois O aumento da viscosidade aumenta tambeacutem a

estabilidade do envelope da bolha e atenua a circulaccedilatildeo do liacutequido proacuteximo do bico

Este fato pode ser visto nas imagens da Fig 413 onde temos um conjunto de imagens

antes (al e depois (b) da duplicaccedilatildeo para a aacutegua e duplicaccedilatildeo de periacuteodo para a glicerina

(c d) Deste modo a viscosidade suprime instabilidades que podem levar agrave variaccedilotildees no

tempo de formaccedilatildeo da bolha

A instabilidade na formaccedilatildeo devido agrave baixa viscosidade pode ser vista na Fiacuteg

414 onde temos uma comparaccedilatildeo entre a aacutegua e a soluccedilatildeo com 80010 de glicerina e 20010

de atildegua Na Fig 4 14(a) temos o mapa de primeiro retomo com 10000 pontos para o

57 4 Resultados e Anaacutelise

bico de seringa com uma altura de coluna de 3 cm e uma vazatildeo de ar mantida constante

em 50mVmin

Este regime de borbulhamento corresponde a um periacuteodo 1 para a aacutegua com os

pontos se espalbando num intervalo entre 75 925 ms e n Fiacuteg 414(A) vemos o

histograma correspondente agrave frequumlencia de visitaccedilatildeo dos tempos entre bolhas com um

valor meacutedio de 87 TIS Para o liquido com 8010 de glicerina e 2010 de aacutegua ternos o

atrator da Fig 414b)~ com as demaiacutes condiccedilotildees semelhantes ao caso anterior tambeacutem

com 10000 tempos entre bolhas e na Fig 414(B) temos o histograma para este atrator

Os pontos neste atrator estatildeo entre 827 e 835 rns muito mais concentrados do que o

caso anterior

cIIJtmiddotca

---shy(a) (b) (c) (d)

Fig 413lmagens pam duplicaccedilatildeo de periacuteodopam a aacutegua (a) periacuteodo 1 e (b) alar_ento de perlodo e no liquido viscoso 2000 aacutegua + 80 glicerina com perlodo i em (e) e perlodo 2 em (d) Nestas imagens podemos notar que a superficie das bolhas emergentes satildeo mais estaacuteveis para o liacutequido mais viscoso do que para a aacutegua

lIiI

Q

58 4 ResultadrueAnaacutelise

j (A)

j

I (6)(b)

8bull~ 1 ~

f-

75 00

T(ms) T (ms)

Figura 4~14 Mapas de primeiro retomo (a) para a aacutegua e em (b) para a soluccedilatildeo SOOAt glicerina e 20 aacutegua Em (A) temos o histograma para os 10000 tempos obtidos para a aacutegua e em (B) o mesmo para o liacutequido mais viscoso A baixa l viscosidade da aacutegua toma -iacute o sinal muito mais irregular corno pode ser comparado em 500 pontos da seacuterie (c) da aacutegua e (C) da soluccedilatildeo viscosa

93

n

59 4 Resultadose Anaacutelise

427 Frequumlecircncia de borbulhamento

A frequumlecircncia das bolhas dada pela equaccedilatildeo 416 tem uma validade limitada

pelas condiccedilotildees geomeacutetricas e dinacircmicas jaacute citadas anteriormente Fazendo outras

medidas com diferentes alturas de coluna observamos uma variaccedilatildeo na frequumlecircncia de

borbulhamento Basicamente o aumento da a1tura da coluna liacutequida causa a diminuiccedilatildeo

da frequumlecircncia de borbulhamento para a mesma vazatildeo Na Fig 415 eacute apresentada a

frequumlecircncia de borbulhamento em funccedilatildeo do logaritmo da vazatildeo com o sistema

predominantemente emitindo bolhas em periacuteodo I onde se utilizou a soluccedilatildeo 8000 de

glicerina e 20 acircgu~ o bico de seringa e trecircs alturas da co]una liquida Sem 12 em e 26

em Fazendo um ajuste linear para calcular os expoentes da frequumlecircncia de

borbuIbamento em funccedilatildeo da vazatildeo observamos um aumento no valor do expoente com

O aumento da altura da coluna e simultaneamente a diminuiccedilatildeo do coeficiente linear do

ajuste Deste modo a frequumlecircncia em bolhas diminui com o aumento da altura da coluna

mas temos um aumento na sua inclinaccedilatildeo com a vazatildeo volumeacutetrica O mesmo efeito

ocorre com um liacutequido menos viscoso (66 glicerina e 34 aacutegua) mostrado na Fig

416 Podemos ter uma variaccedilatildeo ainda maior quando usamos o bico AI isto ecirc

diminuiacutemos o orificio do bico borbuJhadoT como estaacute mostrado na Fig 417 com a

soluccedilatildeo 800 glicerina e 20 aacutegua com altura de coluna de 3 em acima do bico

Existem alguns fatores que podem causar estes efeitos Ruzicka que estudou

experimentalmente a transiccedilatildeo intermitente entre os regimes de borbulhamento e de

jateamento em um sistema aacutegua e nitrogecircnio~ mediu a velocidade da circulaccedilatildeo do

liacutequido com um anemocircmetro Danlec e observou que a circulaccedilatildeo do liacutequido aumenta

com a altura da coluna [Ruzicka ot aI 1997] Par a construccedilatildeo do modelo da equaccedilatildeo

(416) a segunda condiccedilatildeo eacute que natildeo baja circulaccedilatildeo do liquido proacuteximo do bico e deste

modo o aumento da coluna poderia afastar o sistema das condiccedilotildees de validade da lei de

frequumlecircncia de borbulhamento

Outros autores [Davidon et ai 1960 Marmur e Rubin 1976 Clift et al

1978] afirmam que a diminuiccedilatildeo do diacircmetro do bico afeta a frequecircncia de

borbulhamento causando o emparelhameno das bolhas (duplicaccedilatildeo de penodo) deviacutedo

ao aumento do nuacutemero de capacitacircncia Na dado por

4V (p - Pg)lt (422)N= miP

I

bull bull

60 4 Resultados e Anaacutelise

I [ A it

3

o ~0_ Uq 80 glic + 20 otildelQUa ~~ ~

oQ~-ogomiddot

o shyoi lIIIl

If-oI_og

bull c shy

o bull bullbull

bull o Iog fO4Obg 0+04 bull Iog f~O43bg 0+03

bull Iit 1og~OSSbgCKI12

-TrY

10 Log Q bull Vazatildeo (mllmin)

Figura 415 Frequumlecircncia de borbulhamento em funccedilatildeo da vatilo e altura da coluna liacutequida

Llq 6ocirc glie + 34 aacutegua

0deg ~ EI00 li

o o bullbull li o1 deg ~o bull bull bull

lt5

oA it 1 o bull bull bull

o log fUacute421og Q-+O4s 1 9

bull logft=O451og 0+028 li logf=O481ogQ+O12

bull o Iogf =O5BIogQ-O19

b

o _ 010 li 150m

~

10 100

Log Q - Vazatildeo (mVmin)

Figura 416 O mesmo que a figura anterior pOreacutem com um liquido menos viscoso

61 4 Resultados e Anaacutelise

lo 1=1

Biccedilo A1 o Lfq 80 glic + 20 aacutegua

amp90

OO~ r

o 0deg 0deg

Otilde 10 o o ~

o ~ ] f-O ov J

oOI o J o

o 1 10g fb 069109 Q-O25 1

10 100

Log Q - Vazatildeo (mllmin)

Figura 417 O mesmo liquido que foi utilizado paro os dados da Fig 416 mas agora com Q

bico A1 e uma altura de coluna acima do bico de 3 em

onde Vc eacute o volume da cacircmara que conteacutem o ar entre a vaacutelvula de controle de vazatildeo e o

bico Pi e pg satildeo as densidades do liacutequido e do gaacutes (ar) respectivamente do eacute o diacircmetro

do orifiacutecio (bico) eP a pressatildeo absoluta na bolha

Segundo Marmur e Rllbin orificios grandes (~1 mm) implicam em

baixa resistecircncia ao fluxo do gaacutes entre a cacircmara e a bolha e devido a isto a bolha e a

cacircmara funcionam corno um sistema unitaacuterio para o ar Jaacute com orifiacutecios menores o

nuacutemerO de capacitacircncia aumenta e a velocidade do ar nO bico aumenta causando

pequenas variaccedilotildees de pressatildeo na cacircmar~ que causam diferentes tempos de formaccedilatildeo

para as bolhas

Aleacutem destes fatores a temperatura eacute um paracircmetro fundamental a ser

monitorado Todas as medidas anteriores foram realizadas a 24 C

62 4 ResutatQs e Anaacutelise

428 DupUcaccedilotildees de periacuteodo

Com uma soluccedilatildeo de quatro partes de glicerina e um parte de aacutegua e usando a

seringa plaacutestica como bico obtivemos a seacuterie temporal d Fig 418 que mostra a

claacutessica sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo para o sistema do tubo borbulhador Nesta

figura temos uma diminuiccedilatildeo gradual da vazatildeo de ar atraveacutes do bico com uma evoluccedilatildeo

doade a regiatildeo caoacutetica (a) passando por comportamento de borbulhamento de penado 2

na parte (b) que passa a um periado 4 na regiatildeo (c) que passa para um novo

comportamento de penodo 2 regiatildeo (d) seguido por uma regiatildeo de formaccedilatildeo de bolhas

em periacuteodo 1 na regiatildeo (e) Na Fig 419(e) apresentamos uma imagem das bolhas se

formando periodicamente uma a uma e na Fig 4 19( d) eacute mostrado o comportamento de

periado 2 sem o efeito de coarescilnda entre as bolhas Na Fig 419(c) temos a imagem

para o penodo 4 enquanto que na Fig 419(b) temos um penodo 2 devido agrave

coalescecircncia de pares de bolhas que anteriormente formavam o periacuteodo 4 Finalmente

na Fig 4 1 9(a) temos a imagem das bolhas em regime caoacutetico

429 Salto e coalescecircncia

Obtivemos uma seacuterie temporal diferente com o mesmo aparato anterior~ mas

utilizando o bico A3~ Um capilar metaacutelico longo deixando a pressatildeo do reservatoacuterio

diminuir naturalmente atraveacutes do borbulhamento Esta seacuterie temporal eacute mostrada na Fig

420 O sistema estaacute evoluiacutendo em um movimento de periacuteodo 2~ regiatildeo (a) na Fig 420

onde a diferenccedila entre os dois ramos do atrator eacute de 55 ms A medida que a vazatildeo do ar

diminui Qcorre um encolhimento abrupto do atrator para outro periacuteodo 2 onde a

diferenccedila entre os famos passa o ser 1 nlS mostrando um salto na dinacircmica da fonnaccedilatildeo

de bolhas na regiatildeo (b) da Fig 420 Depois disC o sistema evolui para um periodo 1

mostrado na regiatildeo (c) Na Fig 421 estatildeo ilustrados cada perfil de borbulhamento nas

trecircs regiotildees Na Fig 421() temos duas imagens que mostram a formaccedilatildeo de uma

grande bolha em dois cstagravegios No priacutemeiro estaacutegio a bolha se forma com o tempo do

ramo superior do pedodo 2 da seacuterie temporal da Fig 420 (-25 ms) Logo que esta

bolha se destaca uma segunda bolha eacute criada durante a sua furmaccedilatildeo esta segunda

bolha toca bull bolha antenor e o fluxo de ar ascendente soprado dentro da bolha em

fonnaccedilatildeo vence a tensatildeo superficial fazendo a coalescecircncIacutea do par que eacute alimentado

4 Resultados e Anaacutelise 63

50~--------------------------------------~

(a)

~ ~ bull1o$ ~ bull bullbullbull u ~ gtbullbullbull

bull ~~ (b) -

~ ~ bull lt

(c)

~

bullbull _~_

~ (bullbullbullbull bulli~ ~~~I~~~~

1- W

40

7 ~3(l E ~

1-lt

20

~~~~~~ ~~~ 10

o I I o 500 1000 2000 2500 3000 3500 4000

n

Figura 418 Seacuterie temporal a partir do oomportatnento caoacutetico ateacute o penudo l Tneacuteo temJX) entre bolhas e n eacute a ordem da bolha coletada

~_ ~IV ~

l 1 _ 1 - 8~

~ ~ c bull

~~ G Q

gt middotcmiddot

C1r obull~ 8 ~ - -~

~

~ ~a o G

i~1bgt ~ ~ciacute1I ~

(a) (b) (c) (d) (e) Figura 419 Perfil das bolhas emitidas em cada um dos regimes mostrados na seacuterie da Fig 515 Em (a) vemos O oomportamentoca6tico (O) periacuteodo 2 com coal_neia (e) perlodo 4 (d) periacuteodo 2 e em (e) perlodo (1)

pelo bico soprador e se toma uma uacutenica grande bolha Com a diminuiccedilatildeo da vazatildeo de

ar O toque entre as bolhas deixa de ocorrer e o atrator diminui abruptamente

bull bull bull

__

64 4 Re$tlltados e Anaacutelise

25 _~r--~

bull bull bull

(b)Tn (ms)

20

15 bull

o 100 200 400 500 600 700 TI

Figura 420 Seacuterie temporal mostrando um salto na dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas o periacuteodo 2 se (X)otIai abruptamente em um periacuteodo 2 diminuindo o periacuteodo do borbulhamento

~~~~~ Blaquoltlt o

~~~~ ~ti~~ ~~~__o

$ 01lt- ~

~j3~~ ~ c ~lt _4B ~~~~ Oylt OImiddot

o

il~~ gt OI a~f~ omiddot~~ Omiddoti

~ltbullbull 01laquolt ~ deg -~ ~-

~- J~f~ 1ltlaquo O middot

~i ~~ltc 9~1 ~~~~ ~ ~~

~~I-~iJM ~1 l -gt

(a)

-ot

~~ ~~ -i)-~

-~jIi-J

(b) (c) Figura 421 Imagens das bolhas (a) antes do salto onde podemos ver as bolhas se tocando- e coalescendo (b) o- periacuteodo 2 apoacutes o salto onde as bolhas satildeo emitidas aos pares sem coalescecircnciacutell e (c) o periacuteodo 1

65 4 Resultados e AnacircJise

Uma mudanccedila abrupta de comportamento nos sistemas fiacutesicos pode ser

eAtilde-pHcada atraveacutes de mapas com descontinuidades como foi proposto por de Sousa

i Vieira el ai [Souza Vieira oi ai 1987] Par estudar assimetrias e descontinuidades eles

I utiacuteHzaram o mapa

I-e -alxX sexo gt0

x = f(x) (423)1-(e +8) =0

1-amp2 -a2Ix1 sex lt0londe S1 e EZ satildeo os coeficientes de descontinuidade z e Z2 satildeo os expoentes de

assimetria aJ e az satildeo os paragravemetros de controle do mapa x

~wa1rr~J

j(b)

ftlt 00 DS 110

X

~~_ shy h ~

ltgt01

raquo1111u

~ (a) bullbull

X

gtltt

bull a

Figura 422 Dois exemplos de mapas assimeacutetricos (a) omapa descontiacutenuo das equaccedilotildees 422 e os valores de cada puilmetro em (A) temos o seu diagrama de bifurcaccedilotildees Em (b) os jmagravemetros do mapa contiacutenuo e em (B) o respectivo diagrama de bifurcaccedilotildees

66 4 ResuitaikJse Anacirclise

Outro caso onde ocorre descontinuidades eacute atraveacutes do modelo de mapas

combinados em seacuterie [Tufaile 19 Tufaite si aibull 1999] no qual os sistemas interagem

aJtemadamente Este modelo pode ser exemplificado com os mapas unidimensionais

xbullbull = f4y) (424)

Yn+1 = g(~Xff+l)

cuja combinaccedilatildeo eacute a uniatildeo dos resultados dos dois mapas

S=fug (425)

Se considerarmos o mapa logistico com o paratildemetro de controle p~

Zn+l co PJVZn(l- In) com

(426a)[1+ (-l)JPr +[1 +(-l)]Py p~co

2

A recorrecircncia Zn pode ser rescrita em dois subsistemas independentes associados com a

paridade de 11

x =16pPr (I-x)[1-4p-x(1-xl] (42Gb)

y =16ppy(l-y)[1-4Pxy(I-y)] (4260)

Aleacutem disso os paracircmetros Px e py podem ser simultaneamente funccedilotildees de um

paracircmetro que acopla o sistema Devido agrave propriedade da formaccedilatildeo de bolhas de

diminuiccedilatildeo do tempo em funccedilatildeo do paracircmetro de controle~ pode-se utiliacutezar uma funccedilatildeo

convexa do tipo

zn+1 =z -a (427)

e fazer a combinaccedilatildeo em seacuterie deste mapa com o paracircmetro de controle assumindo dois

valores para a gt O8

0x =0 (428)

y =ltgt+01

O diagrama de bifu~o desta combinaccedilatildeo estaacute mostrado na Fig 423

Figura 423 00

A descontinuidade ~ obtida pela combinaccedilatildeo ~ 05 em seacuterie de dois tnaplS

quadraacuteticosshy-10

os 1006

a

67 4 Resultados eAnaacutelise

Interpretando o salto sob o ponto de vista dos mapas combinados em seacuterie

podemos considerar que antes do salto logo apoacutes a duplicaccedilatildeo de penado as duas

bolhas satildeo formadas atraveacutes da mesma funccedilatildeo de formaccedilatildeo Quando ocorre o toque a

primeira bolha do par possuIacute urna funccedilatildeo de formaccedilatildeo distinta da segunda bolha pois a

segunda bolha coalesce durante sua formaccedilatildeo com a primeira e o bico soprador passa a

encher o conjunto com quase o dobro do volume uma bolha

Outro tipo de combinaccedilatildeo de mapas eacute a combinaccedilatildeo paralela de dois mapas tt) e g(y) que resultam no mapa combinado s

x = - - p(I) y =y - py(I) (429)

Sn xlI +Yn

O6--------------------~

00shy

X -06shy P1

-12 shy

00

gt-bull -05shy ~ gt2 -10 00

gt- -05shy+Xt ~1Q gt 11 ~

(f ~15

-20 060 065 070 075 080 085

P

Figura4~24Acombinaccedilatildeo--j)am1e1a S de dois truiJX1S

onde x() e p(ccedil) satildeo paracircmetros de controle em funccedilatildeo de um paracircmetro comum ccedil

com cada mapa sendo iacuteterado separadamente Na Fig 424 temos dois mapas

bifurcando inversamente para diferentes valores do paracircmetro de controle p) enquanto

que a sua combinaccedilatildeo paralela possui uma bifurcaccedilatildeo flip do mapa da variaacutevel XII no

684 Resultados eAnaacutelise

ponto PIe que equivale a uma alteraccedilatildeo no periacuteodo dois do mapa Sh no ponto P2

devido agrave segunda bifurcaccedilatildeojlip do mapa Yn

A seacuterie da Fig 425() foi obtida utilizando-se o bico AI o mais curto dos bicos

da seacuterie A Nesta figura podemos ver que o salto foi nuacutenimizado Na Fig 425(b)

apresentamos a simulaccedilatildeo correspondente~ na qual utilizamos dois mapas combinados

em seacuterie

(a)

-70j lO ~

77 0 tle

U

E -z I- 50

40 2000

N -obull

-O~ (b)

0 (J) middot01 ~

middot1~

middot14

-16

10 11 1~ 1~ 1O a

Figura 425 Em (a) podemos ver uma seacuterie temporal obtida com a diminuiccedilatildeo da aZatildeo com o bico AI e uma soluccedilatildeo viscosa 80 glicerina e 20 aacutegua Em (b) a combinaccedilatildeo paralela de dois mapas A biftucaccedilatildeo flip que ocorre no mapa) quando levada agrave combinaccedilatildeo paralela ~ causa a diminuiccedilatildeo doperiacuteodo 2

4000

4 Resultados e Anaacutelise 69

4210 Antibolbas

Uma casca aproximadamente esfeacuterica de ar dentro de um liacutequido forma o que foi

chamado por J E Connetl de Gllliacutebolha segundo C L Stong [8tong 1974] Na Fig

426 estaacute esquematizada uma antiacutebolha

I

FJllUl1 426 Uma antibolba eacute uroa gota de um liquido envolvida por uma fina camada de ar dentro do liquido

Como o seu interior eacute preenchido pelo o mesmo liacutequido da parte externa as

antibolhas satildeo ligeiramente rnaiacutes leves que o fluido agrave sua vol~ mas satildeo mais pesadas

que as bolhas Deste modo correntes proacuteximas aacute antibolha podem deslocaacute-Ia facilmente

superando o seu empuxo Quando a casca esfeacuterica se desestabiliza a antibolha colapsa

em uma pequena bolha de ar esfeacuterica que emerge no liacutequido O tempo de existecircncia de

uma tibolha antes de sua desetabilizaccedilatildeo em uma pequena bolha de ar pode chegar a

ordem de minutos

No experimento do tubo borbulhador ocorre tambeacutem a formaccedilatildeo de antibolhas

para determinados regimes da formaccedilatildeo de bolhas As antibolhas seguem as correntes

do liquido dentro do tubo em movimentos ascendente e descendente Na Fig 427

podemos ver antibolhas ao reder de bolhas sendo sopradas no bico borbulhador Para o

liquido utilizado (2 partes de glicerina para I de aacutegua) bull ocorrecircncia de antibolhas

acontece a partir do estaacutegio onde aparece a coalescecircncia do par de bolhas chamado de

periacuteodo 2 antes do salto da Fig 421(a) A formaccedilatildeo das antibolhas eacute precedida pela

formaccedilatildeo de goticulas A formaccedilatildeo de gotiacuteculas estaacute esquematizada na Fig 428 onde

vemos em (a) que parte do liquido em movimento ascendente forma posteriormente um

capilar em (b) e uma goticula se desprende Nas imagens da Fig 428 podemos ver

I

70 4 Re5Ultadocircs e Anaacutelise

alguma imagens que mostram a formaccedilatildeo de gotiacuteculas dentro da bolha assim como

invaginaccedilatildees que podem levar a criaccedilatildeo de antibolhas

Assim como as bolhas as antibolhas desviam o feixe laser e podem ser

detectadas_ Verificamos isto colocando o sistema no regime de formaccedilatildeo de antibolhas

que corresponde a um periacuteodo 4 para as bolhas mostrado no mapa de retomo da Fig

429(a) O seu espectro de potecircncias estaacute na Fig 429(b) As antibolhas se deslocavam

dentro do tubo borbulhador seguindo as correntes internas do fluido COm

deslocamentos preferencialmente descendente proacuteximo agrave parede do tubo e ascendente e

altelerado proacutexiacutemo do bico soprador A quantidade de antibolbas dentro do tubo era

aproximadamente 30 e o feixe laser fui colocado num ponto em que as bolhas natildeo

passavam por eJt num ponto 2 cm acima do bico e 2 em deslocado do eixo do tubo

como o ponto PI da Figo 427 Nesta regiatildeo apenas as antiacutebolhas passavam pelo feixe

laser e noacutes obtivemos os dados mostrados no mapa de retorno da Fig 429(e) Nestes

dados satildeo apresentados 500 pontos correspondendo a 50 minutos de aquisiccedilatildeo com

intervalos de tempo entre 17 milissegundos ateacute 8S segundos

~~ ~ -0 -- O d

~ --- Arltibolhas

oO~f ltgt

figt O ~__ amobullbull -

7~

P1 9

middot0

-6

9

FIgUra 427lmagem das antibollw ao redor das bolhas que se formam no bico soprador Fazendo o Iascr incidir perpendiculannente ao plano da imagem no ponto Plfoi possiacutevel detectar algumas _bolhas se deslocando aleatoriamente dentro do tuoo borbulhador

71 -[ 4 Resultados e Anaacutelise

--~1

(d) itifit

~ Figura 428 Formaccedilatildeo de gotiacuteculas esquematizada em (a) (b) e (c) (d) Nas imagens podemos ver pagravedrotildees semelhantes nas bolhas

00 (c)(a)fi ] 25middot g ~

it shy

gt-

~1 ( ~~15 I

16 zo 2S 30 Tw(ms) TIlaquos

10 ~ $ 10

~ 10-e

bolha

Figura 429 Ca) Mapa de primeiro retorno do perlodo 4 e em (b) o seu ~ de potecircncias O mapa de retorno em (c) foi obtido com I) sistema nas mesmas condiccedilotildees daacute formaccedilatildeo das antibolhas mas posicionando o feixe laser e o fotodiodo de modo a detectar as antiacutebolbas que pa5Sa1Ul1 pelo ponto PI da Fig 427

(b)

00 01 02 1 03shy 04 06

72 4 Resultados e Anaacutelise 1

43 A onda sonora e as bolhas

Os efuitos de uma perturbaccedilatildeo externa a onda sonora na formaccedilatildeo das bolhas

satildeo apresentados e analisados neste capiacutetulo O problema das bolhas perturbadas por

ondas sonoras apresenta desafios muito interessantes do ponto de vista matemaacutetico) com

relaccedilatildeo a proposiccedilatildeo das equaccedilotildees que controlam o sistema e suas condiccedilotildees de

contorno pois1 aleacutem de um sistema de duas fas~ com uma das fases compressiacuteveJ

temos a accedilatildeo de uma onda sonora Do ponto de vista experimentai o tubo borbulhador

possui uma geometria que fagraveciacutelita a utilizaccedilatildeo da onda sonora devido aacute propriedade de

confinamento de ondas sonoras em tubos

Existem trabalhos que envolvem a accedilatildeo de ondas sonoras em bolhas ou gotas jaacute

formadas [MarstoIl 1980] ou quando bolhas ou cavidades satildeo criacuteadas dentro de um

liacutequido devido a uma onda sonora de alta intensiacutedade[Lauterbom 1986 Prosperetti)

1986J a chamada cavilaccedilatildeo acuacutestica Haacute ainda um caso conhecido como cavitaccedilatildeo

transiente no qual a temperatura no interior da bolha atinge mUhares de graus e a

pressatildeo chega a milhares de atmosferas Nestas condiccedilotildees ocorre o fenocircmeno conbecido

como sonoluminescecircncia que eacute a emissatildeo de luz por bolhas em um liacutequido excitado por

ondas sonoras [Putterman 1995 Moran el aI 2000] As frequumlecircncias das ondas sonoras

envolvidas com cavitaccedilatildeo satildeo da ordem de centenas de kHz Nestes trabalhos tambeacutem

se estuda como o campo sonoro emitido pelas bolhas~ devido aos efeitos da cavitaccedilatildeo~

afeta as proacuteprias bolhas Neste capiacutetulo veremos condiccedilotildees mais claacutessicas de interaccedilatildeo

entre bolhas e ondas sonoras do que as que ocorrem na sonoluminescecircncia Aqu~ neste

capiacutetulo a bolha eacute afetada pela onda sonora durante a sua furmaccedilatildeo no bico soprador

com frequumlecircncias da onda sonora variando no intervalo entre dezenas e centenas de hem

O tamanho das bolhas estudadas eacute da ordem de centimetros o que pcnnitiu registrar

suas imagens atraveacutes de uma cacircmara VHS comum Veremos tambeacutem como o sistema

onda sonora - bolhas nos levou ao estudo do mapa do ciacuterculo bidimensional onde

temos um oscilador sofrendo impulsos penoacutediacutecos de uma forccedila externa

73 4 Resultadoacutes e Anacirciise

431 A formaccedilatildeo de bolbas perturbadas pelas ondas sonoras

Nesta seccedilatildeo veremos os resultados que mostram a mudanccedila do tempo entre as

bolhas para uma onda sonora de frequumlecircncia fixa e valores de amplitude crescentes

[Tufagraveile e Sartarelliacute 2000a Apecircndice 2]

Mantendo fixa a vazatildeo do ar atraveacutes da vaacutelvula controladora e utilizando a

soluccedilatildeo de 66 de glicerina e 34 de acircgtll noacutes mudamos a dinacircmica da formaccedilatildeo de

bolhas aplicando ondas sonoras sintonizadas na frequumlecircncia fundamental da coluna de ar

acima do liquidO (138 Hz)

Na Fig 430 mostramos os mapas de primeira retorno em funccedilatildeo da amplitude

da onda sonora em regime de vazatildeo constante Estatildeo em destaque no canto superior

esquerdo de cada graacutefico a ampHtude do sinal senoidal e a frequecircncia meacutedia das bolhas

O sistema eacute colocado inicialmente borbulhando em periodo 1 com uma frequumlecircncia em

bolhas de 11282 bolhass como estaacute mostrado na Fig 430(a) Aplicando a onda

sonora o ponto fixo perde sua estabilidade e um ciclo limite aparece corno pode ser

visto na Fig 430(b) e 430(c) com um pequeno aumento da taxa de borbulhamento

meacutedio

Na Fiacuteg 430(c) o ciclo limite perde sua estabilidade e um ponto fixo proacuteximo

de (87ms 87ms) eacute visitado intermitentemente Este ponto fixo foi determinado atraveacutes

de um histograma do graacutefico de Tn As transfonnadas de Fourier dos dados relacionados

agrave Figs 43O(d-g) mostram um periacuteodo 2 ruidoso Mostramos na Fig 431 o espectro

de Fourier dos dados do atrator da Fig 430(1) Neste espectro vemos um grande pico

em O~5~ o que corresponde ao penado 2

Isto mostra que estaacute ocorrendo uma bifurcaccedilatildeo flip em funccedilatildeo da

amplitude da onda sonora Em uma bifurcaccedilatildeo flip existe um ponto fixo instaacutevel entre

os dois pontos fixos estaacuteveis Nossos dados mostram que a vizinhanccedila do ponto meacutedio

entre os dois pontos fixos eacute visitada devido ao ruiacutedo~ e consequentemente) nossos dados

satildeo adequados para se aplicar a teacutecnica de transfonnaccedilatildeo de ponto fixo desenvolvida

por So e aI [80 et al~ 1996] para se encontrar oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis em seacuteries de

eventos

bull bull bull

bullbull

74 4 Resultados e Anaacutelise

I 112921

I gt65 11lt196 I

bull---~~ --- ~ bull bullbullbull

11_

[

I (1145 11n41 I - 11470 I

4 ~~

- - - - - - iCcedil

(gtl middot bull AOlt 56

(raquo

~~~~----shy---~- - -shy middot bull middot bull bullbullbull )bull bulllt~ shy- 11461shy bull ~ bull

f ~ o loli ----- -~~ ----~- 1 ~- -~ -S - f~ ~ -~ bull middot bull

bullbull bull bull bullbull bull

- bull-bull

i)

T~(ms)

- r 11 ~1 09 1117111 05 1141 I 0-6 bullbull

-T ~~ j ~ - ~~~~

- ( [ f l~~lt bull l) ~ L_ bullbullbullbull IJI~f l ~ r ~ ~ ~ ~ _ _bull

t bull i i f~lO ~ O) bullI 00bull Tnms)

Figura 430 Mapas de retomo do Ciper1mcnto do tubo borbulhador Em cada graacutefico temos no cantO superior esquerdo o valor da tensatildeo aplicada no alto-falante e o valor da frequumlecircncia de boacuterbulbamento meacutedia O liacutequumlido utilizado eacute uma soluccedilatildeo de 66 glicerina e 34 aacutegua e as bolhas foram sopradas diretamente na seringa plaacutestica

4 Resultados e Anaacutelise 15

1

p

I 100~~______~~----~-----~~--1~~111ilIUlltill~

00 01 02 03 M 05

(bolhar1

Flgura 431 Espectro de Fourier dos dados da Fig 30(f) iodiacutecando bull existecircllCIacutetI de um periodo 2 ruidoso

Um exemplo dos nossos resultados estaacute mostrado na Fig 432(a) onde estaacute

representado o histograma para o caacutelculo do ponto fixo usando os dados mostrados na

Fig 43O(h) Para uma melhor visualizaccedilatildeo da posiccedilatildeo da oacuterbita perioacutedica instaacutevel um

graacutefico da intensidade para os mesmos dados eacute mostrado na Fig432(b) O maior pioo

define um periacuteodo I instaacutevel em (869l ms 8699 ms) proacuteximo do ponto fixo estaacutevel

mostrado na FigAlO(e)

Aumentando ainda mais a amplitude noacutes obserVamos o aparecimento da regiatildeo

caoacutetica com as caracteriacutesticas da dinacircmica de estiramento e dobra como estaacute mostrado

nas Figs 430(h-i) e oom pequena mudanccedila na frequumlecircncia meacutedia de borbulhamento Os

atratores na regiatildeo caoacutetica foram caracterizados pelo expoente de Lyapunov dominanre

[Ellner ti al 1912] e estes expoentes podem ser vistos na Fig 433

1

76 4 Resultados e Anaacutelise

(a) Contagens

iacutel00

(b)

Contagens~m (lJ ~337raquoj middotiIrmiddot = IIHI tgt ~ blHH

lIS1I eM elo IIU =JT(lM) 10bullbull

Figura 432 Histograma JXlffi a determinaccedilatildeo da oacuterbita perioacutedica instaacutevel (a) e graacutefico de contorno para os mesmos dados (b) localizando () ponto fixo instaacutevel um fX)UCO abaixo de amp7 ms

05

~--- -T

i I _ _ 1osoagrave rn eacute-

~- 025- I n o

0001 bull

03 04 05 06 07 08 09

Tensatildeo aplicada no alto-falante M

Figura 433 E potntes de Lyapunov dos atratores moStrados em 4JO(e) a (j) em funccedilio da tensatildeo aplicada no alto--falante

77 4 Resultados e Anaacutelise

Continuando a aumentar a amplitude da onda sonor~ com incrementos maiores

do que ante noacutes obtivemos os atratore mostrado na Fig 434 Na Fig 434(m) a taxa

de borbulhamento meacutedia eacute de 205 bolhasls para uma onda sonora gerada com um

tensatildeo de 314 V no alto-falante A posiccedilatildeo - (725 ms 725 ms) eacute visitada com um

comportamento intermitente O tempo de visitaccedilatildeo aumenta quando a amplitude do som

aumenta ateacute que o ponto - (725ms 725ms) torna-se um ponto fixo estacircvel~ como

mostrado na Fig 434(n) Nesta situaccedilatildeo a frequumlecircncia meacutedia de borbulhamento eacute

F=13797 plusmn 9 bolhass tem o mesmo valor da frequumlecircncia da onda sonora Na Fig 435

podemos ver a diferenccedila entre as imagens das bolhas para o primeiro ponto fixo dos

dados mostrados na Fig 434(a) e o ponto fixo na ressonacircncia do atrator da Fig

434(n)

100i 314 205 10 13797 I l

~

Ul

E ~

i

1

+ I ~ T gtt ~~

ao ~ -i )I~ L bullbullbull amiddot ~

bull ~f - bullbull ~ bull (~1iii2~_~~

middotmiddotmiddotmiddotmiddotvb-~middot

r-li ~ ~ ~ i f~ ~

w-i~ 1 _o - ~ -~ ~ 1 ~ ~~imiddot ~ 20-1shy ~ -r shy

~i i~ ~

1t middotmiddot middotlt~fO I i i j

(m) 1 bull

(n) I

ti 20 40 fD 80 100

T n

Figura 434 (In) O ponto - (725 ms 725 ms) eacute visitado em wn comportamento intemuacutetenle com os outros pontos espalhados pelo espaccedilo de fases Em (n) a formaccedilatildeo das bolhas sinaoniza-se com a frequumlecircncia fundamenla1 do tubo e temos apenas o ponto- (725 ms 725 ms)

4 Resultados e Anaacutelise 7amp

a b

432 Atratores do tipo Heacutenon

Os resultados da seccedilatildeo 431 nos mostraram uma grande evoluccedilatildeo da dinacircmica

da furmaccedilatildeo das bolhas com o aumento da tensatildeo aplicada no alto-filante A regiatildeo da

dinacircmica que apresenta a bifurcaccedilatildeo fip~ seguida por atratores caoacuteticos eacute semelhante

aos sistemas dinacircmicos que apresentam propriedades de estiramento e dohra como o

mapa de Heacutenon discutido na seccedilatildeo 27 Por este motivo veremos a comparaccedilatildeo entre

atratores experimentais nessa regiatildeo e o mapa de Heacutenon na tentativa de compreender a

dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas para uma regiatildeo do paracircmetro de controle

De modo a reduzir o ruiacutedo nos dados utilizamos uma soluccedilatildeo mais viscosa 80

glicerina e 20 aacutegu~ e utilizamos o bico A2 Para termos uma variaccedilatildeo mais fina do

paracircmetro d controle alteramos o fator de amplificaccedilatildeo do gerador de funccedilotildees cujo

sinal alimenta o aitcrfalante A vazatildeo de ar e a frequumlecircncia da onda sonora foram

mantidas constantes~ em -366 bolhass e 150 Hz respectivamente Noacutes alteramos a

dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas aumentando a tensatildeo no alto-falante como mostrado

~

sect 8 o

g g middot0 o

Figura 435 Imagem da sincroruzaccedilatildeo das bolhas com a onda sonora no tubo borbulhador Em (a) temos a im1lgem para o ponto lixo lMSU1ido na Fig 430(a) com Fe=11282 bolhasl$ (b) O uacutellimo ponto fixo mostrado na Fig 434(n) quando as bolhas estatildeo sincronizadas com a frequumlecircncia da onda sonora (138 Hz) Nos dois casos teOlQ$ a mesma vdZatildeo de ltIr

79

(f)

~

4 ResultmlcseAnaacuteJise

pelo diagrama de bifurcaccedilatildeo na Fig 436 num regime de vazatildeo constante Nesta figura

vemos uma dupliacutecaccedilatildeo de penado ocorrendo ao redor de 20 V com as bolhas sendo

emitidas aos pares ateacute aproximadamente 3~O V~ quando um penodo 4 ruidoso aparece

Apoacutes isto duas bandas caoacuteticas aparecem Para --3~5 V as duas bandas caoacuteticas se

encontram e se sobrepotildee~ com o aparecimento de um atrator caoacutetico maior

~

20 25 Tensatildeo no alto-falante M

Figura 436 Duplicaccedillo de perlodo em funccedilatildeo da amplitude da onda sonora A frequumlecircncia da onda sonora eacute 150 Hz e a ftequumlecircnciacutea de borbulhamento inicial eacute por volta de 31 bolhass

Para realizar a caracterizaccedilatildeo meacutetrica e topoloacutegica da dinacircmica da formaccedilatildeo de

bolbas sob a accedilatildeo da onda sonora noacutes coletamos seis seacuteries de eventos fixando a tensatildeo

em seis valores distintosgt cujos mapas de retomo (T+- vs T1I) satildeo mostrados na Fig

437

figurA 437 Uma l-Vi I v li I bull vll seqUecircncla de atratoresi reconstruiacutedos- i tmiddot mostrUdo uma rota

~ para o Caos atniveacutes de duplicaccedilotildees duto periacuteodo O valor emta) (b) (e) volts corresponde agrave tensatildeo mantida

t constante no altoshy falante durante a

32

~~ obtenccedilatildeo do atnltOf ~

(eI) bull I(e)

~I

32 Tms)

80 4 Resultados e Anaacutelise

432A Caracterizaccedilatildeo meacutetrica

Os alratores caoacuteticos reconstruidos Figs 437(d) ateacute 437(f) foram caracterizados

atraveacutes dos expoentes de Lyapunov pela dimensatildeo de Kaplan-Yorke aleacutem da dimensatildeo de

Infonnaccedilatildeo obtidos pelo pacote de programas TISEAN [Hegger aI ai 1999] A conjectura

de Kaplan-Yorke [Argyris o ai 1994) que relaciona a dimensatildeo de Infonnaccedilatildeo e a

dimensatildeo de Kaplan-Yorke (equaccedilatildeo (211 raquo mostra que elas se igualam para alratores do

tipo Heacutenan As dimensotildees foram obtidas para as lensotildees de 35 V 40 V e 45 V como

estaacute mostrado na tabela 41 As dimensotildees de InfOrmaccedilatildeo e Kaplan-Yorke coincidem para

os trecircs atratores caoacuteticos

I I

Figura nuacutemero

3d 3e 3

Tensatildeo llspeccediltro de Dimensatildeo de Dimensatildeo de LYaOUllnv Katgtlan-Yorle Informacatildec

35 +011-08 115 I 13 3 40 +012-06 1 23 1 143 ---

1)45 + 02 - O) - 09 168 18 3 Atrator de Heacutenon

o b I 55 01 +038-238 116 II~14 03 + 042 -162 117 119

Tabela 41 Expoentes de Lyapunov e dimensotildees dos atnitores caoacuteticos experimentais e de dois pares de valores do mapa de Heacutenon

Cada um dos dois primeiros atratores caoacuteticos possui espectro de Lyapunov com um

expoente positivo e o outro negativo~ enquanto que o uacuteltiacutemo atrator Fiacuteg 437(f) possui um

expoente positivo e dois expoentes negativos Na tabela 41 satildeo apresentados os resultados

para mapa de Heacutenon mostrado na equaccedilatildeo (212) para dois conjuntos de valores dos

paracircmetros (a b) e os atratores experimentaiacutes reconstruiacutedos

Os valores das dimensotildees dos atratores para amplitudes de 35 V e 40 V satildeo

proacuteximos dos valores das dimensotildees do mapa de Heacutenon sugerindo que eles podem ter

dinacircmica similar O atrator reconstruiacutedo para 45 V mostrado na Fig 437(1) tem a fonna

semelhante aos dois outros atratores anteriores Entretanto) comparando-se as dimensotildees

deste atrator com as dimensotildees dos atratores das Figs 437(d) bull 437(e) vemos que o valor

da sua dimensatildeo de Informaccedilatildeo eacute maior que a diacutemensatildeo dos dois outros atratores

experimentais assim como dos valores de dimensatildeo para o mapa de Heacuteno~ como pode ser

4 Resultados e Anaacutelise amp1

visto na tabela 41 Junto com o fato de que o atrator d Fig 437(1) tem trecircs componentes

no espectro de Lyapu~ov a dimensatildeo de Informaccedilatildeo proacutexima de dois eacute uma indicaccedilatildeo que

este atrator natildeo pode ser totalmente desdobrado em duas dimensotildees

432B Caracterizaccedilatildeo topoloacutegica

Para o mapa de Heacutenon com os paracircmetros ti =1~55 e b = 01 1 utilizando a equaccedilatildeo

(212) para calcular a posiccedilatildeo dos pontos fixos para a variaacutevel x do mapa de Heacutenon

encontra~se que o ponto fixo x estaacute localizado em aproximadamente 0~56 Este ponto

corresponde a um dos pontos de cruzamento da linha diagonal pontilhada com o atrator

reconstruido Xn+1 V$ X como pode ser visto na Fig 438(a) Neste atrator o ponto fixo

possui dois autovalores dados pela equaccedilatildeo (214) Agravel = 006 eM = -179 que caracterizam

este ponto fixo como um ponto de sela A variedade estaacutevel ecirc tangente agrave direccedilatildeo do

autovetor contraente relacionado ao autovalor positivo Agravel menor do que 1 e a variedade

instaacutevel eacute tangente ao autovetor de estiramento relacionado com Oautovetor 2 com valor

absoluto maior do que I Isto estabelece que o ponto fixo e um sela jlip [AIliacutegood el ai

1997]

Na Fig 438(a) podemos ver tambeacutem um exemplo d evoluccedilatildeo dos pontos no

atrator~ atraveacutes da alternacircncia dos pontos ao longo da direccedilatildeo instaacutevel ateacute a trajetoacuteria

alcanccedilar as extremidades do atrator Partindo de uma regiatildeo proacutexima do ponto de sela do

atrator de Heacutenon noacutes vemos os pontos iacutempares iniciais acima da linha diagonal pontilhada

(I 3 5 e 7) a os pontos pares abaixo desta linha (2 4 e 6) caracterizando bull variedade

instaacutevel Nos mapas de primeiro retorno exparimentais mostrados nas Figs 437(d) (e) e

(I) noacutes dividimos o atrator em duas partes com uma linha diagonal para determinar os

pontos que cruzam com o atrator Ocorreu o comportamento de alternacircncia da trajetoacuteria

para os trecircs casos do mesmo modo que o observado no atrator de Heacutenon como estaacute

exemplificado na Fig 438(b) para o atrator obtido com UIDa tensatildeo no alto-falante de 40

V Do mesmo modo que no atrator de Heacutenon noacutes comeccedilamos num ponto proacuteximo da

interseccedilatildeo do atrator com a linha diagonal (TN = TN+ l aproximadamente igual a 27 ms)

com as extremidades do atrator sendo visitadas pela oacuterbita Deste modo devido as

semelhanccedilas de evoluccedilatildeo dos atratores experimentais com a evoluccedilatildeo do atrator de Heacutenon

82

~

+ 1- 26

24

4 ResultlJdcs eAnuacute]se

noacutes podemos inferir a existSncia de um ponto de sela flip nos atratores experimentais

mesmo para o caso da tensatildeo de controle de 45 V cujo espectro de Lyapunov tem trecircs

componentes e dimensatildeo proacutexima de dois

lS

I I (a) 6

10-1 ~ Figura 438 (a) Vemos ao lado a trajetoacuteria sobre nove pontos da al13tOr de Heacuteoon para exemplificar o comportamentoosol I de um ponto de selajlip localizada proacutexima do ponto 1

I gt~ ) ) (x= 056)

) ooJ 8~

-Osol

7

-10 -10 -05 00 OS 10 15

XN

I - -

(b) O mesmo oomponamento de um Ixmto fIXO tipo selaflip pode

JO- 1 ~ gt ser observado pm1 o atrator experimental com os pontos pares uacuteuacuteciais (2 4 e 6 acima da

~ fi) diagonal e os pontos imparcs20i iniciais (I 3 5 e 7) abaixoE 1~t I~

22 22 24 26 28 JO

TN(ms)

32 ~ ~

4 Resultados e Anaacutelise $3

432C Plano simb6lico

Como os planos simboacutelicos satildeo representaccedilotildees graacuteficas da diacutenacircmica e urna poderosa

ferramenta para se comparar sistemas dinacircmicos noacutes aplicamos a teacutecnica de dinacircmica

simboacutelica para os atratores mostrados nas Figs 437(d) ateacute 437(1) assim como no atrator

de Heacutenon (0=155 e 1gt=01) para podennos comparar as semelhanccedilas e diferenccedilas entre eles

Definimos as particcedilotildees L(R) atraveacutes da linha tracejada Na Fig 439() mostramos o atrator

de Heacutenon para a=155 e b=O1 com a sua respectiva particcedilatildeo que separa a regiatildeo formada

por uma linha (L) da regiatildeo com uma dobra (R) que conteacutem o ponto fixo instaacutevel O plano

simboacutelico aJ3 deste atrator estaacute mostrado na Fig 4J9(A) Nas Figs 4AO(b) ateacute 440(d)

temos os atratores experimentais cujas particcedilotildees satildeo as linhas tracejadas que separam uma

regiatildeo com um ramo (L) de uma regiatildeo com dobra (R) Os respectivos planos simboacutelicos

aJ3 estatildeo mostrados nas Figs 440(B) (C) e (D)

Comparando--se a Fig 4J9(A) com as Figs 440(B) (C) e (D) percebe-se o padratildeo

de cada plano simboacutelico eacute semelhante ao plano simboacutelico do mapa de Heacutenon A maior

I

84

R

22 I I I I I I II I 22 24 26 28 30 32

4 Resultados e Anaacutelise

semelhanccedila ocorre entre o atrator de Heacutenon e o atrator experimental com a tensatildeo de

controle de 35 V da Fig 440(B) cujo plano simboacutelico possui as mesmas regiotildees permitida

e proibida Para valores maiores de amplitude da onda sonora algumas zonas deixam de ser

proibidas ~ ocorrendo uma invasatildeo nestas regiotildees como por exemplo a =O~8 e 1=04 na

Fig 4AO(D) mostrando que a formaccedilatildeo de bolhas estaacute se aiacuteagravestando da dinacircmica do tipo

Heacutenon e ficando muito semelhante ao plano simboacutelico do mapa do ciacuterculo~ como pode ser

visto na comparaccedilatildeo entre a Fig 4AO(C) e a Fig 212(A)

(b)1 (8) Ikll ti h u n u r

tII-q U bull

n-~ 1 n - ~

~ -shy-~

bull

(c~ I (~) lt

tll rt O 111 t

~2 t= - ~

iSlt iH tl t III n bull

bullbull

~~ bull ~~

~ lloe

(d)1 (D)~O8 ~ t t t t tE 30 06

Ccedil 28 ocircUL ua

= -t Ibull ~ _ ~O4 t (1-2

26 ~ H 1~ ~ m H)224 oh _fi rbull u d~

I I I I I r I I bull I I I I I 00 34 00 02 04 06 08 10

TN(ms) a

Figura 440 Mapas de retomo experimentais com particcedilotildees e respectivos planos simboacutelicos

85 4 Resultados e Anaacutelise

44 Oscilaccedilotildees forccediladas

Mapeamentos bidimensionais como o mapa de Heacutenon normalmente satildeo usados

como seccedilotildees de Poincareacute de osciladores forccedilados [Thompson e Stewart 1986] Se

considerarmos a existecircncia de um movimento oscilatoacuterio na formaccedilatildeo de bolhas e a onda

sonora como uma forccedila perioacutedica externa podemos compreender o sistema bolhasonda

b gt I I=1C

QP-gt

-AR I

)

) P

- Figura 4Al Representaccedilatildeo esquemaacutetica do sistema bolhasonda sonora como um oscilador forccedilado onde Po eacute O periodo de oscilaccedilatildeo associado agraves bolhas c PI eacute o periodo da onda sonora

sonOTa como um oscilador forccedilado como

estaacute diagramado na Fig 441

Deste modo podemos interpretar os

mapas de primeiro retorno observados

experimentalmente como seccedilotildees de Poincareacute

de um oscilador forccedilado Outro sistema

dinacircmico que representa um oscilador

forccedilado eacute o mapa bidimensional do ciacuterculo

discutido na seccedilatildeo 29

K Bn+1 =Bn +Q- 27 sen2nBn +brn (mod 1)

K TII+I = bTn - 27 sen 27Bn

(430)

As duas frequumlecircncias envolvidas no

experimento cuja razatildeo nos daacuteQ~ para o tubo

borbulhador satildeo a frequumlecircncia da onda sonora

e a frequumlecircncia de borbulhamento O tempo

entre bolhas estaacute relacionado com a variaacutevel

rri do mapa O paracircmetro K estaacute relacionado

com o experimento com a tensatildeo que eacute aplicada no alto-falante Para explorarmos a regiatildeo

inicial do mapa do ciacuterculo diminuiacutemos o fator de amplificaccedilatildeo do sinal do gerador de

funccedilotildees para o alto-falante Utilizamos o liacutequido 80 glicerina e 20 aacutegua e o bico A2

i

4 Resulodes Anaacutelise 86

I

Na Fig 442(a) temos os dados obtidos para um valor de EX = 37 e na Fig

4A2(b) o resultado da simulaccedilatildeo utilizando o mapa do circulo com b = - 01 Os dados

mostram que com o aumento da amplitude da onda sonora o ponto fixo inicial daacute lugar a

um ciclo limite cujo raio aumenta de maneira aproximadamente linear ateacute a tensatildeo de 44

V Apoacutes este valor de tensatildeo uma janela perioacutedica ocorre e o sistema entra numa regiatildeo

caoacutetica para varores de tensatildeo entre 54 V e 87 V A regiatildeo caocircttca eacute substituiacuteda por um

travamento frequumlecircncia de periacuteodo 1

27 ~ I n~=37 I 2ll

z gt-25

24 _- shy-~~~i ~ r O 2 4 Tensatildeo 1 6 8 10

030 l 0=37 i b=~O1015

C 000 ~

-015

-030 shyK 15 20

Figura 441 Em (a) vemos os dadoo obtidos com o experimento do tubQ borbulhador COm a razatildeo entre a freQUumlecircncia da onda sonora e a freqtiecircncia de borbulhamento igual a 37 Em (b) simulaccedilatildeo com o mapa do circulo bidimenslQnal

A comparaccedilatildeo com O mapa do ciacuterculo da Fig 442(b) mostra as mesmas

caracteriacutesticas O ruiacutedo experimentat tem a tendecircncia de mascarar as janelas perioacutedicas~

mas a janela perioacutedica central eacute bem visiacutevel nos dois casos

Diminuindo a frequumlecircncia de borbulhamento e repetindo o aumento da amplitude a

partir do zero temos os dados da Fig 443(a) com um valor de EX = 427 N Fig 443(b)

87 4 Resultados e Anaacutelise

bull simulaccedilatildeo com o mesmo valor de f e h = - 01 Esta regiatildeo triangular inicial para baixas

amplitudes da onda sonora e para estes valores de n~ ecirc uma rota para o Caos via quaseshy

periodicidade

o 2 Tensatildeo M 4 S 8

02 - I n=427

c (O ~

-1gt2

1 - I I

05 K 10 15 20

Figura 443 (a) Dagravedosexperimentais com a razatildeo entre as freqUecircnci3S-da onda sonora e do bottmIbamemo igual a 427 (b) Seacuterie obtida com o mapa doclrculo com Qr421 eb= ~O1

441 Comportamento geral

Agora veremos o travamento em penodo ] apoacutes a regiatildeo quase~perioacutedica triangular

seguida de duplicaccedilatildeo de penodo e Coos

Para obter a seacuterie temporal noacutes escolhemos um ponto fixo sem a onda sonora com

a taxa de borbulhamcnto Fb liacuteIfh onde To eacute o tempo meacutedio entre bolhas sucessivas e

apoacutes isto noacutes aumentamos a amplitude A do som continuamente

bull bull

bull bull bull

88 4 ResultadoscAnaacutelise

=f = j

T

E j T (a)fi ~

I I I 4 Aa u) 6

0381 b-O1

05

t

00

~lt

~~i (b) I K bull(~

bull4

Figura 4A4 (a) Djagmma de bifurcaccediltlo experimental Oponto 11xo experlmenW T oorresponde a 261 ms (b) diagrama obtido com o matn do ciacuterculo com y = 019

i

Na Fig 444(a) pode ser vista a seacuterie experimental~ Tn V$ A para urna taxa de

borbulhamento de F = 3937 bolhasls e QEX= FF = 381 Na Fig 444(b) temos o

diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo r vs K calculado com b = 01 e o mesmo

valor de razatildeo de frequumlecircncias ~h =381

Temos algumas similaridades entre OS dois diagramas PartindO deK=O e A==O cada

ponto fixo perde sua estabilidade quando aumentamos o respectivo paracircmetro de controle e

ocorre uma regiatildeo quase-perioacutedica Os pontos fixos 1 e r tomam~se estaacuteveis para A por

volta de 27 e K aproximadamente igual a 107 O ponto fixo T(r) eacute estaacutevel ateacute A 47 (K

= 2gt44)~ quando inicia~se uma cascata de duplicaccedilotildees de periacuteodo Deve ser notado que as

posiccedilotildees destes pontos fixos estatildeo na regiatildeo superior da banda triangular (gt0 e Tgt To)

89 4 Resultat1cs e Anaacutelise

As propriedades dos diagramas satildeo facilmente exp1icadas~ se analisarmos as

propriedades do mapa do ciacuterculo Segundo as equaccedilotildees (228) o ponto fixo r apoacutes a regiatildeo

quase-perioacutedica no mapa do circulo eacute dado por

r~- O (modi) s_O (mndl) lt 05 (431)

I - Q (mnd I) se Q (mnd I) gt 05

No atrator experimental O ponto fixo T ocorre quando a regiatildeo quase-perioacutedica

atinge uma frequumlecircncia de borbulhamento igual a um submuacuteltiplo da frequumlecircncia da onda

sonora de 150 Hz

T~ 41150= 267ms (432)

onde o nuacutemero 4 eacute o inteiro mais proacuteximo do valor de Oex = 381 Este fenocircmeno eacute

conhecido com travamento sub~harmocircnieo (subharmonic entrainment) (Hayashi 1985] e

ocorre em um oscilador forccedilado quando a razatildeo entre a frequumlecircncia da forccedila externa e a

frequumlecircncia natural do oscilador estaacute na vizinhanccedila de um inteiro diferente de I

f j 3D -I T

1 ____ +

QE(= filgt 415

J

______ u I aIl ~~~1~lt

(a ~ ~ ~~ 2 1bull bullI bullI ACa li) bull

u = 41$ b 01

middotmiddotl 0

-~~ru---- i ~~ (b

a 1 2 3 4 5K

Figura 445 (a) Diagrama de bifurcaccedilatildeo cxperimenlal com To -271 ID$ O JXlnto fixo experimentai T colTeacuteSpOllde a 267ms (b) diagrama obtido com o mapa do clrcuJo CQM r -015

4 Resultados e Anaacutelise 9(l

Com outra frequumlecircncia de borbulhamento F=3614 bolhas ms com a mesma

frequumlecircncia da onda sonora de 150 Hz obtivemos o diagrama experimental que estaacute

mostrado na Fig 445() com nEJ( = 415 Podemos notar as mesma similaridades

descritas anteriormente como O travamento sub-harmocircnico do borbulhamento dado pela

equaccedilatildeo (432) poreacutem o ponto fixo experimental (TltTo) estaacute agora no limite inferior da

regiatildeo quase-perioacutedica triangular Na Fig 4A5(b) temos o diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa

do circulo com nT = 415 e b = 01 O ponto fixo T(r) toma-se instaacutevel em A

aproximadamente igual 45 (K 236)

Noacutes podemos dividir a evoluccedilatildeo do borbulhamento em duas regiotildees urna regiatildeo

inicial relacionada com o comportamento quase-perioacutedico (A ~ 25) e a rota de duplicaccedilatildeo

de periacuteodo (A ~ 4)

Para valores inteiros de h natildeo observamos a regiatildeo quase-perioacutedica Ajustando a

0a f)f =40

3

T=T- - E 1-shyI s

J m (a)

I I

2bull A(a u bull bull n-=40 b=O1

~U1 ~ ~c

bl

bull 1 2 3 4 K

Fiboura 446 (a) BorbulhamentocomQn = 40 Nas condiccedilotildees acima natildeo baacute a regiatildeo quaseperioacutedjca e 1To eacute estivel na regiatildeo ineiaI deA (b) O mesmo eacute observado para o mapa do cIrculo com Ot=4O e b=Ol

-- -

91 4 Resultados e Anaacutelise

frequumleacutencia d borbulhamento para 375 bolhass tal que ordmX = 40 natildeo ocorre a regiatildeo

quase-perioacutedica como pode ser visto nos dois diagramas da Fig 446 O ponto fixo T ~ T

V = O) eacute estaacutevel ateacute A aproximadamente igual a 37 ( K 22 ) e o sistema evolui

diretamente par a caseata de duplicaccedilotildees de periodo

Na Fig 447 temos algumas liacutenguas de Arnold para o mapa do circulo

unidimensional (b = O) como uma aproximaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo bidimensional com

b=plusmnO1 Para um valor de n (mod 1) diferente de O o sistema inicialmente evoluiacute na regiatildeo

quase-perioacutedica mostrado pelas setas pontilhadas ateacute que O sistema alcanccedila o ponto fixo

estaacutevel dado pelos circulos cheios Mesmo para os casos dos dados mostrados nas Figs

442 e 443 podemos ver quando o sistema atinge as regiotildees das liacutenguas de Arnold relativas

ao penodo 4~ marcado pejas pequenas Unhas horizontais pontilhadas Para fi = O) o sistema

percorre a regiatildeo inicial de K no periacuteodo 1 relativo ao nuacutemero de rotaccedilatildeo W= 01

iacute 11) i2 fI- li I LeHHJ~~ I I I I In

11 ( K j~

I~ I

1I 1 II (lrl j

00 _ 05 gt0

n mod(1) shyFigura 447 As sete linguas de Arnoid mais largas com seus respectivos nuacutemeros de rotaccedilatildeo Os nuacutemeros entre parecircnteses coloridos no topo e na base oorrespondcm aos nuacutemeros das figuras mostradas neste eamtulo

92 4 Resultados eAlIaacuteJise

442 Comparaccedilatildeo dos atratores

Os atratores caoacuteticos do tipo Heacutenon que aparecem no mapa do circulo sofrem uma

rotaccedilatildeo ao redor do ponto do ponto de selaflip como pode ser visto nas comparaccedilotildees entre

atratores experimentais reconstruiacutedos da Figs 448(A) e 448(C) e entre os atratores

obtidos numericamente das Figg 448(a) (b) e (c) Usaremos o termo saxofone que foi

utiacutelizedo por R Shaw [Shaw 1984] para atratores obtidos no experimento da torneira

gotejante para designar os atratores das Figs 448(a)-(A) Experimentalmente e

numericamente~ as condiacuteccedilotildees de orientaccedilatildeo dos atratores saxofone satildeo as seguintes

n (mod 1)gt 05 formato de saxofone (433a)

n (mod 1) lt 05 formato de saxofone invertido (433b)

Quando a parte fracionaacuteria de n se anula temos a formaccedilatildeo de um atrator do tipo

duplo gancho como estaacute mostrado na Fig 448(b) e 4A8(B) Como foi discutido na seccedilatildeo

4J22 todos os atratores experimentais apresentam um ponto de sela jlip que estaacute

localizedo na interseccedilatildeo de cada linha diagonal com cada atrator das Fig 448 Em todos

os casos este ponto de sela substituiu o ponto fixo estaacutevel 1~ do travamento sub~

harmocircnico (equaccedilatildeo 432) Por isso no atrator experimental o ponto de sela jJip~ Tfo eacute

calculado do mesmo modo que o ponto fixo estaacutevel T

~ ~4150=267l11S (434)

onde o nuacutemero 4 eacute o inteiro mais proacuteXIacutemo do valores das razotildees de frequumlecircncias OEX (381

40 e 415) com a frequumlecircncia da onda sonora sendo de 150 Hz Para os atratores obtidos

rumericamente a posiccedilatildeo do ponto de selaflip rfi tambeacutem eacute calculada com equaccedilatildeo (431)

Em particular os trecircs pontos de selaflip dos atratores mostrado nas Figs 448 satildeo

rl(A) 019

~~-M ~~ rr(C) -015

93

4 Resultaoos eAnaacutejse

I_mlltQfl_ Figura 448 (a) O atratori ~ 1

1 saxofone obuacutedo com o experimento do tuboI I borbuIhador no pontoi ~ indicado por uma seta na seacuterie mostrada na FigI ~ I 444(a) (A) A simulaccedilatildeorJie) I 1 (A) bull com o mapa do drculo

bull laquo

gtJ_ ~(I _ (b) Atrator eJqgterimental do tipo gancho duplo

I

l Ki-i - obtido nas mesmasi condiccedilotildees indicadas pelai j j bull v1 ~I q seta sobre a seacuterie da Fig ji

446() (B) Alrl j obtido ltom o IIlltiJ(f do

gtJ (b) 1 -AJ I (a) ltV M circulo

raquo gtlt w raquo u ~~~ ~ c---------------

N111gtIgti_i -~ lt-U4I_ i (c) Rotaccedilatildeo do atmtor experimental obtido no

ponto indiacutecado pela seta- na seacuterie da Figt 445(a)g ~ bull ~ C A mesma fOtaccedilatildeona ~ simuJaccedilgo feita com oJ marm do circulo u(CI V laquo) ____

)o lO lO ~ Q

T(ms) ro

Quando a parte fracionaacuteria de QEgt vale

05 aumentando-se a amplitude~ temos tambeacutem o ponto fixo de periacuteodo 1 que se torna

finstaacutevel surge um periacuteodo quatro e depois - gt

disso surge um atrator caoacutetico com a forma de raquo

uma C7JZ que estaacute mostrado na Fig 449 raquo raquo raquo Aleacutem diacutesgo~ outros mais atratores J

experimentais mais complexos tambeacutem podem Figura 449 Atnltor caoacutetico obtido com nm igualaO5

ser simulados com o mapa do circulo como

pode ser visto na Fig 450(0) onde temos uma frequumlecircncia de borbulhamefito de 8 bolhass

94 4 ResultadoseAnoacuteliseuro

com uma frequuml~ncja da onda sonora de 150 Hz A simulaccedilatildeo com o mapa do ciacuterculo como

estaacute mostrada na Fig 450(b) foi feita com tlr= 1885 h = 01 eK = 83

~ f fi ro ~ ni il II~~~~jflitllt1I)j~ ~ ~ to fi lt ~i~~~rl ~iacute J ~1J li~4It IVtAl lt

IiV V (b)-

m M m m - Tn(ms) r

FIgUra 450 Atrator e~perlmcntalem (a)(lroc = 1amp75 b -= 01 Em (b) aacute simulaccedilatildeo COm o mapa do ciacuterculo n= 1885 b =01 e K= 83

gt

~~

I

~ ifA rl li Pf ~ fI 1 J ~ N11D Jl ~ci- ~1 bull

J -I

(a) ~

443 Modulaccedilatildeo do Paracircmetro de Controle

Quando utilizamos a Teoria do Caos para analisar resultados experimentais uma

das mais dificeis tarefas eacute associar os paracircmetros experimentais aos paracircmetros dos

modelos existentes como o mapa logiacutestico ou o sistema de equaccedilotildees de Rotildessler e outras

equaccedilotildees dos sistemas caoacuteticos Algumas vezes o paracircmetro de controle escolhido eacute

modulado por uma funccedilatildeo que natildeo permite a observaccedilatildeo direta dos sistemas caoacuteticos

claacutessicos atraveacutes da variaacutevel de medida [Tufaile 1996J Isto acontece no experimento do

tubo borbulhador caso utilizemos por exemplo a vazatildeo do ar como paracircmetro de controle

como estaacute mostrado na Fig 451 onde utilizamos a soluccedilatildeo de 66 glicerina e 34 aacutegua e

oacute bico de seringa A vazatildeo do ar) o paracircmetro de controle estaacute relacionado de uma forma

hiperboacutelica com o tempo de borbulhamenlo a variaacutevel de medida representada pela linha

95 4 Resultados e Anaacutelise

pontilhada Quando

sintonizamos uma onda

sonora no sistema com urna

frequumlecircncia de 126 Hz e uma

amplitude constante ocorre

uma composiccedilatildeo entre a

funccedilatildeo hiperboacutelica e o mapa

do ciacuterculo Os tempos

associados aos patamares T ~

satildeo bem definidos e podem

ser calculados com a equaccedilatildeo

(436) Os patamares se

alargam com o aumento da

vazatildeo e o valor do tempo

7

70

65 T(ms)

55

50 61j-shy shy

-~ shy 40 60 80 100 120 140 160 180

Vazatildeo (mlfmin)

Figura 451 A composiccedilatildeo de uma funccedilatildeo hiperboacutelica de borbulhamento com ) mapa do circu1o as fraccedilotildees ao lado de cada pagravetamar datildeo () valor do tempo do ponto fixo Tp devido ao trnvaJnento sub-harmocircnico

associado a cada um deles eacute calculado atraveacutes dos travamentos sub-harmocircnicos

Tp~jlf (436)

onde j eacute o inteiro mais proacuteximo da razatildeo entre a frequumlecircncia da onda sonora e a frequumlecircncia

de borbulhamento

Outra situaccedilatildeo na qual ocorre a modulaccedilatildeo do paracircmetro de controle eacute quando

(b) ~ ~~~l~~~ ~~ - 21)~~ir-- ~if~~e

2(1 I i i r 5 6 7 B

Q

Figura 452 (a Composiccedilatildeo do tnatXt do ciacuterculo com uma funccedilatildeo linear decrescente O paracircmetro de acoplamento nllo-linear K eacute uma funccedilatildeo decrescente do valor de n

(b) Dados do tempo de borbulhamento em funccedilatildeo de o A variaccedilatildeo de o ecirc obtida mantendo os demais paracircmetros constantes e aumentando linearmente a frequumlecircncia da onda sonol3

4 Resultados e Anaacutelise

variamos a frequumlecircncia da onda sonora mantendo constante a sua amplitude Medindo o

tempo de borbulhamento obtivemos os dados d Fig 451 (b) do tempo de borbulhamento

contra a razatildeo entre as frequumlecircncias Q para uma frequumlecircncia de borbuibamento inicial de 33

bolhass Devido agraves propriedades da acuacutestica do tubo a variaccedilatildeo da frequumlecircncia da onda

sonora afeta simultaneamente a amplitude da onda Isto pode ser simulado com o mapa do

circulo com h = Ol~ supondo que o paracircmetro de acoplamento natildeoM1inear~ ~ do mapa do

circulo seja uma funccedilatildeo linear decrescente com relaccedilatildeo agrave razatildeo de frequumlecircncias n que na

Fig 452() eacute o paratildemetro de controle

K(n) =40 - 047 n (437)

Os patamares d Fig 451 assim como as linhas diagonais da Fig 452(a)

correspondem agrave composiccedilotildees da frequumlecircncias de borbulhamento e da onda sonora que levam

o sistema dinacircmico nas regiotildees de liacutengua de Arnold com nuacutemero de rotaccedilatildeo W igual aI

97 5 ConclusiJes

) 5 Conclusotildees

CltJnstmiacutemos o aparato do tubo borbulhador e observamos que O principal

aspecto da fonnaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos viscosos eacute que este sistema eacute equivalente a

um oscilador natildeo-linear Esta afirmaccedilatildeo foi baseada inicialmente nos intervalos de

tempo da formaccedilatildeo das bolhas no experimento do tubo borbulhador quando a vazatildeo de

ar aumenta e na comparaccedilatildeo deste experimento com o experimento da torneira

gotejante A comparaccedilatildeo dos dados experimentais da formaccedilatildeo das bolhas influenciadas

pela onda sonora com os resultados teoacutericos do mapa bidimensional do circulo1

confirmou que o borbulhamento estaacute associado a um movimento oscilatoacuterio Na

comparaccedilatildeo do sistema bolhasonda sonora e o mapa do ciacuterculo o ponto mais

importante foi associar o tempo da formaccedilatildeo das bolhas T com a variaacutevel rlf do mapa

do ciacuterculo

A interpretaccedilatildeo da oscilaccedilatildeo na formaccedilatildeo das bolhas pode ser feita observandoshy

se o deslocamecto do Ifquido Durante a subida da bolha no liquido este eacute afastado para

dar passagem agrave bolha ateacute que a bolha passe e o liacutequido volta a preencher o espaccedilo que

antes era ocupado vela bolha Este processo se repete e assim temos o comportamento

oscilatoacuterio Entatildeo podemos entender o movimento do liacutequido induzido pela passagem

da bolha como um oscilador natildeo-linear O sistema de detecccedilatildeo mede apenas valores

maacuteximos deste comportamento oscilatoacuterlo~ por isso temos as seccedilotildees de Poincareacute do

borbulhamento e natildeo curvas continuas do espaccedilo de fases

A duplicaccedilatildeo de periacuteodo) que ocorre quando variamos a vazatildeo~ foi a primeira

observaccedilatildeo que indicou que urna abordagem utilizando a Teoria do Caos seria um

meacutetodo possivel para a compreensatildeo do fenocircmeno da formaccedilatildeo das bolhas Mesmo

assj~ uma abordagem utilizando os conceitos da Mecacircnica dos Fluidos foi feita ~ com

este ponto de vist~ observamos que a duplicaccedilatildeo de periacuteodo com a vazatildeo estaacute associada

com a instabilidade de Rayleigh-Taylor que representa a instabilidade da interface de

dois fluidos que natildeo se misturam A duplicaccedilatildeo de periacuteodo SOacute eacute evidente em fluidos

viscosos pois~ em liquidas pouco viscosos como a aacutegua a dinacircmica observada vai

diretamente do comportamento regular para um comportamento irregular Verificamos

que a instabilidade da superfiacutecie da bolha nos fluidos com baixa viscosidade eacute a resposta

para a questatildeo da transIccedilatildeo do movimento regular para o movimento irregular na

formaccedilatildeo das bolhas Esta instabilidade eacute causada pela interaccedilatildeo entre as bolhas que se

elevam dentro do liacutequido e a bolha que estaacute se formando junto ao bico Em fluidos

98 s COI1cfusr1es

viscosos e com baixas vazotildees do ar o deslocamento das bolhas que estatildeo emergindo

natildeo afeta a bolha que estaacute se formando pois natildeo haacute uma perturbaccedilatildeo significativa criada

pela circulaccedilatildeo do liacutequido e esta circulaccedilatildeo permanece laminar junto ao bico Poreacutem

para vazotildees mais e1evada~ mesmoS nos liacutequidos viscosos teremos todo o conjunto das

bolhas emergentes e da bolha que estaacute se formando interagindo pois as perturllaccedilotildee5 na

circulaccedilatildeo do liacutequido se propagam em todas as direccedilotildees dentro do tubo borbulhador

Deste modo a formaccedilatildeo das bolhas apresenta uma dependecircncia tanto do tempo quanto

das condiccedilotildees d contorno Neste aspecto o experiroento do tubo borbulhador eacute

diferente do experimento da torneira gotejante pois o deslocamento das gotas que estatildeo

caindo natildeo tem efeito significativo na gota que cresce junto ao bico

Utilizando diferentes tipos de bicos verificamos algumas das influecircncias da

geometria do bico na formaccedilatildeo das bolhas Emulamos as seacuteries temporais atraveacutes da

combinaccedilatildeo de mapas Isto permitiu o desenvolvimento de ideacuteias para tentar entender e

explicar os fenocircmenos observados como alargamentos suaves e abruptos nos tempos

entre as bolhas A combinaccedilatildeo de mapas jacirc havia sido utilizada no experimento da

torneira gotejante~ o que mostra a sua importacircncia como rerramenta na compreensatildeo de

sistemas caoacuteticos

Do mesmo modo as simulaccedilotildees com modelo unidimensional massa-mola

permitiram melhorar a nossa interpretaccedilatildeo dos dados tanto da torneira gotejante quanto

do tubo borbulhador O modelo natildeo eacute adequado para observaccedilotildees quantitativas mas

pode ser usado para a obtenccedilatildeo de resultados qualitativos Durante a verificaccedilatildeo da

hipoacutetese do fator de massa agregada fJ do modelo massa-mola para a formaccedilatildeo das

bolhas encontramos as estruturas das veiacuteas liacutequidas que satildeo colunas de aacutegua dentro do

oacuteleo sustentadas pela subida de bolhas de ar

Aleacutem disso durante a realizaccedilatildeo da experiecircnci~ foram encontradas algumas das

condiccedilotildees que fazem o aparecimento de antiboJhas que satildeo gotas envolvidas por uma

fina camada de ar dentro do liquido e que ficam aprisionadas na circulaccedilatildeo dentro do

liacutequido

Verificamos as condiccedilotildees de validade para a relaccedilatildeo entre a frequumlecircncia da

formaccedilatildeo das bolhas e a vazatildeo do ar para um modelo simplificado que estabeleccedile uma

frequumlecircncia para a formaccedilatildeo das bolhas proporcional agrave vazatildeo elevada a 04

Atraveacutes da associaccedilatildeo com o mapa do ciacutercuJo~ verificamos algumas

similaridades entre o mapa e o experimento como por exemplo a comparaccedilatildeo da

variaccedilatildeo da razatildeo entre as frequumlecircncias da onda sonora e do borbulhamento~ nEXo com a

s ConcluslJes 99

variaccedilatildeo do paracircmetro nr do mapa assim como fizemos a comparaccedilatildeo entre as fonnas

dos atratores reconstruiacutedos Deste modo encontramos algumas rotas para o Caos

quando eacute feita a variaccedilatildeo da amplitude da onda sonora A formaccedilatildeo das bolhas pode

evoluir inicialmente atraveacutes da rota de quase-periodicldade quando a amplitude do som

eacute aumentada linearment~ que pode ser reconhecida no iniacutecio das seacuteries temporais

devido agrave sua forma triangular para alguns valores d razatildeo entre as frequumlecircncias tEX

Outra rota observada fui a rota de duplicaccedilatildeo de periacuteodo com a formaccedilatildeo de atratores do

tipo~Heacutenon devido aos processos de estiramento e dobra

A dinacircmica do mapa do circulo ainda permitiu interpretar o comportamento mais

global da existecircncia de patamares no tempo da formaccedilatildeo das bolhas nas seacuteries

temporais sujeitas a uma onda sonora de frequumlecircncia bem definida Os patamares

OCOrrem quando a freqOecircncia do borbulhamento estaacute proacuteximo a um submuacuteltiplo d

frequumlecircncia da onda sono~ o que caracteriza um travamento subMharmocircnico O

travamento sub~hann8nico ocorre quando a frequumlecircncia de um oscilador fica travada em

um submuacuteltiplo da freqOecircncia de uma forccedila externa aplicada O caso limite d

sincronizaccedilatildeo entre a formaccedilatildeo das bolhas e a onda sonora eacute o travamento harmocircnico

quando as bolhas se formam com a mesma frequumlecircncia da onda sonora

I I I

I

100 6 Referecircncias

6 Referecircncias

Argyris J Fast Q e Haase M (1994) An Exploralion of Chaos North-Holland Arnsterdam

A1ligood K T Sauer T D e Yorke J A (1997) Chaos - (f1 introrillclion lo dynamical syslems Springer New Yerlc

Bai-lin H (1989) Elementary symbolic dyrtamics and Chaos in Dissipolive Systems World Scientific~ Singapura

Bertelseo p EUegaard C Guhr T Oxborrow M e Schaadt K (1999) Measuremenl of Parometric Correlations in Spectra of Resonating Quarlz Blacks Phys Rev Lett 83 2171-2174

Chandrasekhar S (1981) Hydrodynamic and Hydromagnetic Stabiacuteliacutety Dever New York

Cliacutefl R Orace J R e Weber M E (1978) Bubbles Draps and Partieles Academic Press~ New York

Collet p e Eckmann 1 (1980) lleraled maps ou lhe inlerval as dynamieal systems Birkhatildeuser New Yorlc

Davidson J F e Schuumller B 0 G (1960) BlIbble formaiion ai an orifice in a viscous liquid Trnns Inst Chem Eng 38 144-154

Dnnocenzo A e Renna L (1996) Dripping Faueet Int J Theor Phys 35 941-973

Dnnoeenzo A e Renna L (J 997) Morieling leaky fancei dynamics Phys Rev E 55 6776-6787

EUner S Nychka D W e Gallant A R (1992) LENNS a progrom lO estimale lhe dominant Lyapunov exponent cfnoisy nonlinear systemsfrom time series data (Institute of Statistios Mimeo Series n 2235 (EMA series n 39) Statistics Department North Carolina State University Raleigh

Femat R Alvarez-Ramiacuterez e Soria A (1998) ChaoticJlow slnentre in a verlical bllhble column Phys Let A 248 61-79

Finney C E A (2000) Bibliography of choos amp buhbling httpwwwshychaosengrutkedulbibBubblinghtml

Fletoher N H e Rossiog T D (1991) The Physies ofMusicalll1srnmenls Springer New York

Fuchikam~ N lshioka S Kiyono K (1999) Simulalions ofa Dripping Faucel J Phys Soe Jpo 68 1185-1I96

INSTITUTO DE FS1CA serviccedilo (iccedil albHotscamp e

lntgnllccedilatildeoTombo u ~ Co

-et [

101 6 ReJerecircneacuteiaacutes

Gonccedilalves W M (1996) A experiecircncia da Tomeira Golejante Tese de doutorado lFUSP

Gonccedilalves W M Pinto R D SartoreUi 1 C e de Oliveira M 1 (1998) Inferriacuteng staliacuteseal complexity in lhe dripplnglaueet experiment Physica A 257 385-389

Grebogi C Ott E e Yorkel A(1982) Chaote attraetors in crisis Phys Rev Lett 48 1507-1510

Hayshy C (1985) Nonliacutenear Oscilatiolls In Physicol Systems p 285 Princeton University Press Princeton

Hegger R Kantz H Sebreiber T (1999) Praticol implementaton of nonlnear time seres methads The l1SEAN paekage Chao 9 413-435

Jaekson E A (1995) Perxpectives 01 l1oninear dynamies Cambridge University Cambridge

Kaneko K (1992) Overview 01eoupledmap latliees Chaos 2 279

Kiyono K e Fuehikami N (1999) Dripping Paueel Dynamiacutecs Clarified by an Improved Mass-Spring Model 1 Phys Soe Jpn 68 3259-3270

Kyrialcides N K Kastrinalcis E G Nyehas g G e Goulas A (1997) Bubblingfrom Naues Submerged in Water Transiacutetions Between Bubbling ampgimes Can J Chem Eng 75684-691

Lantoroom W (I986) Acoustie Turbulence em Frontiers in Physiacutecal Acouslics p 124shy144 Nortb-Holland Amsterdam

L~ H Z Mouline Y Choplin L e Midoux N(1997) Chaotic bttbbe coalesconee in non-newlmriacuteanfluids lnt J Multiphas Flow 23713-723

Li T Y e yoke J A (1975) Period 3 iacutemplies ehaos Am MatlL Month 82 985-992

Lorenz E N (1980) Altraclar seis aml qttasi-geoslrophiacutec equlibrillm J Atmas Sei 37 1685-1699

MaJI R (1981) On lhe diacutemensiacuteon cf compacl invaria11l sei cf certain nall-lillear maps em Dynamical System and Turbulence 00 D A Rand e L S Young Spnnger Berlim

Marmur A e Rubin E (1915) A theoretieal modellor huboacuteleformation 01 ali orifice submerged in Im inviscid iquid Chem Eng Sei 31 453-463

6 Referecircncias 102

Marston P L (1980) Shape oscillotion aJ1d stalie deformalion of drops and bubbles drive by modulated radiation stresses-Theory J Acous Soe Am 67 15-26

Martian P Pope S C Scott P L e Shaw R S (1985) Ihe chaotic behavior ia eaky faucet Phys Let A 110 399-404

Mltoni L 1 Schwartz M P e La Nauze R J (1995) Determinislie chaos in lhe gas inel pressure ofgas-liquid bubbling systems Phys Pluids 7 891-893

Moran M I Haigh R E Lowry M E e Sweider D R (2000) ObservntiollS ofSingleshyPulse Sonoluminescence httpwww-physllnLgovlN_DivlsonoIurnlsonolumyaperhtrnl

Miyahara T Baga N Takahasbiacute T (19B3) Bubble formationfrom an oriftce ai high gas ftow rales Int Chem Eng 23 524-53 L

Nguycn K Daw C 5 Cheng M Bruns D D Pinney C E A e Kennel M B (1996) Spalio-temporal ~namics in a train ofrising hubbles Chom Eng J 64 191-197

Paclcard N H CrutehfieId J P Fanner J D e Shaw R S (198() Geometryfrom a time serles Phys Rev Lett 45 712-716

Perry R H e Clinton C H (1972) Chemcal Engineers HandbQok McGraw-HilI New York

Pinto R D (1999) Comportamento Complexo na Experiecircncia da Torneira Gotejante Tese de Doutorado lFUSP

Pinto R D e Sartorell~ J C (2000) Homoclinc tangency and ehaotic attractor disappearance in a drippingfaucet experiment Phys Rev E 61 342-347

Prosperetti A (1986) Physicsi Acoustic Cavitalion em Frontiers in Physical ACOllstics p 145-188 North-Holland Amsterdam

Ponter A B e Surati A l (1997) HuMI EmissiollSfrom SlIbmerged Orifices - A criticai Review Chem Eng Toelmo 2085-89

Putterman S 1 (1995) Sonoluminescence Salim l11to light Sei Am Fevereiro 33-37

Rapp P E Bashore T R Zimmermean L D Martinerie 1 M Albano A M e Mees A 1 (990) Dynomical CharacterizaJlon ofBrain EleerIacutewl Activity em 1he Ubiqulty of ChIlO AAAS Washington DC

Renoa L (1999) A discrele map for drippingfaucel dynamics Phys LeI A 261 162-168

da Rocha M S (1995) Determinaccedilatildeo da evoluccedilatildeo temporal da fonnaccedilatildeo de gotas Dissertaccedilatildeo de mestrado lFUSP

Rotildess1er O E (1977) Synergelies a workshap Haken H Springer Berlim 174-183

103 6 Refrencias

Ruzicka M C Drahos J Zabradnik J e Thomas N H (1997) Inermittt transition from bubbling to jetling regime in gas-liquid two phase fiows Int J Multiphase Flow 23 671--682

Sacircnches-Ortiz G 1 e SaIas-Brito A L (1995a) Strange attraclor in a relaxalion oscillator modelfor lhe drippingfaueet Phys Let A 203 300

Sacircnches-Ortiz G I e SaIas-Brito A L (1995b) Chaos in a variaMe mass relaxatiall oscilator modelfor lhe leaky tap Physica D 89 151

SartoreUi J C Gonccedilalves W M e Pinto R D (1994) Crisis 00 intermittenoo in a leaky-fauce experiment Phys Rev E 493963-3975

Scbemelcher P Diakonos F K (1998) A general approach lo lhe finding of unSlable periadie arhils in ehaotie dynamieal syslems Phys Rev E 57 2739

Sharpe G J (1994) Solving Probems in Flllid Dynamics p 203 Longman Essex

Shaw R (1984) The drippingfaucet as a model chaotic sySlem Aerial Pre Santa Cruz

da Silva J G M (1996) Caraelerizaccedilecircio da Dindmica da Formaccedilecircio de Goas Dissertaccedilatildeo de mestrado lFUSP

80 P Ott E Sehiff S F Kaplao D T Sauer T e Grebogi C (1996) Deleeting unstoble periodic orhits in chaotie experimentol daa Phys Rev Lett 76 4705-4708

Sotomayor J (1979) Liccedilotildees de equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias Projeto Euclides Rio de Janeiro

de Souza Vieira M C Lazo E e Tsallis C (1987) New road 0 ehoos Phys Rev A 35 945-948

Stons C L (1974) Th amate1f scientiSl Sei Am Ahri 116-121

Sulivao S L Hardy B W e Holland C D (1964) Formatioll ofAir Bubbles ai Orifiees Submerged Beneath Liquids AI Ch E Journll0 848-854

Takens F (1981) Deecling Srange atraclors inurhulenee em Dynamical Syslems aod Turbulence ed D A Rand e L S Young Springer Berlim

Thompson J M T e Stewart H B (1986) Nanlinea Dynamics aod Cnaos Geometrieal Methods for Engineers aod Seieniss p162 John Wiley and Sons Chichester

Tritton D I Egdell C (1993) Chaotic bubhling Phys Pluids A 5 503-505

Tufaile A (1996) Mapas combinados e o experimento da omeira gotejante Diacutesertaccedilatildeo de mestrado IFUSP

6 Referecircncias 104

Tufaile A Pinto R D Gonccedilalves W M e Sartorelli J C (1999) Simulations in a drippingfaucet experiment Phys Le A 25558-64 (Apecircndice 1)

Tufaile A e Sartorelli J C (2000a) Chaotic behavior in bubble formation dynamics Physica A 275 336-346 (Apecircndice 2)

Tufaile A e Sartorelli J C (2000b) Heacutenon-like attractor in air bubbleformation Phys Let A 275 211-217 (Apecircndice 3)

Veta N e Tabacniks MH (1994) Laboratoacuterio de Fiacutesica para Ciecircncias Bioloacutegicas IFUSP

Viana R L (2000) Introduccedilatildeo agraves Redes de Mapas Acoplados - Modelos para o estudo de Caos Espaccedilo-Temporal Notas de Aula IFUSP

Weast RC Selby S M (1996) Handbook of Chemistry and Physics p F33-F42 The Chemical Rubber Clevelnd

Willeboordse F (1992) Time-delayed map as a modelfor openjluidjlaw Chaos 2 423shy426

Wolf A Swift J B Swirmey H L e Vastano J A (1985) Determining Lyapunov exponentsfrom a time series Physica D 16 285-317

Apecircndice 1

Siacutemulations in a dripping faucet experiment

A Tufaile RD Pinto WM Gonccedilalves e JC Sartorelli

Physics Letters A 255 (1999) 58-64

3 May 1999

PHY$ICS lElTERS A

ElSIMER Physics Letters A 25S (1999) 58-64

Simulations in a dripping faucet experiment

A Tufaile RD Pinto W_M_ Gonccedilalves J_C Sartorelli 1

IluacuteillOO dcFJSfea UniDCrfidadc de Siio Paula CQixa Pmrtal oacute6JIlJ fJSJIJ97tJ Satildeo Pttdb Braacuteii

Recchcd29 SeptJllIb1r 1m laquooMdinpVised tbru 10 Febnwy 1m ~ 10 February Im Ogt~ hy cR Doering

Ab$tratt

The prafiles of two experimental attrletors were simll1ated by using a simple onc-dintensioacutenal spring-mass modct Some pccllliar bebuviors observed in experimental bifurcation diagrams (in short ranges ofdriwmg Iate variation) were emu1ated by combining two quadratie maps (a kiruI af coupUng) in twQ diacutefferellt ways~ parallel combination 1Eh non-interacting maps and series combination with nrongly intcrocting maps TIto ehoice ar cach kind af eacuteombinarion W3S suggcsud by thc own cbaracteristics of~eh experimCfllal bifureation diagramo copy 1999 EIlteviet Scieacuten(e SV All rigbts rewrved

PAC$ 054S+b

1~ lntroduction

The leaky faucet dynamks has beoo used as a paradigm of a chaotic sYSbm [I~1 since the liUggesshytion made by Ratildessler 13] in 1977 lha Ih fnou af water drops in bull tlp nipple oould sbow chaooacutec bebavior wbat was 1ater confirmed hy Sbaw and Marlien alo [451 Period doubling WlI Qlnrerved hy Marlien alo [451 Yeacutepez alo [61 Cabhm et ai [71 Wu and Schelly [891 Dreye alo [101 Sarshytore1li trt aJ UO Tangeot intermitttncies are Teshy

ported in Rofs [7111 quasi-periodicity and boondshyary coacutesis in Rof [11l and a Hopf biacutefurcanon in Refs [l213J Olher studies abou lha formadoo of drops or droplets of water can be found in Refs [14-231

E-mail sartorellilfUlipbr

Shaw and collaboratorn liUpposeuacute thut th~ water oolumn bangiog in a nipp1e faucet should oscillate as a mass-spring system with the mass increasing lin~ early until it reaches a criticaI point when a drop is ejected IacuteInposing the initial conditions ou the teshymaining water column This mudeI was modified by Simcbas-Ortiz and Salas-Brito [24] supposing Ih lhe mass of the ej~cted drop must depend ou tlte cummt yalue of the water co1umn mass DIn nocemo and Renna [25 have aiso carried ont thcir calcuJations assumlng lhat lhe remaining _ colshyUmtl shape can be cither a sphere Of a material point

hlspired hy au ining-Iike mode to find Ih water dIuacutep proacutefiJc rumging in a vertical waU Oliveira aad Ponna [26] studied lhe dymnni of lha drop furmashytton applymg Monte Carlu techniques Penna tt a1 [27J sbowed thut the time delllys between SU(teS)i~ drops display long-range anncorrelations cbarncter~ ized by the same exponcnts of the heartbeat~to~ heaItbeat interva]s of hea1thy subjects [28]

0375-Otj99S - see mlll maner Cll999 Elrevier Scicnee BV Ali rigltlS tesIlVed PU S037S960l(99)QOI19X

I

A TilfaiIe e1 aLIPllyJICS uacutetters Aacute 255 (1999) 58-64 Num uf thtSe modeJs are adequate to explam aU

lhe bebavio observed in lhe range from - Oup to 40 dmpss In this papeI we present two simula~ tions of experimental attractors whlch are lhe best emulations yet obtaiacutened by the one~dimensional spring-mass modelo It is also presented two experi~ mental bifurcation diagrams in short ranges of dripshyping rolte with llCW peculiar behavions nl-ver secn before Inspired by me behavlor of each experIacutelncnshytal diagmm we did a kind af siacutemple ooupling af maps [29-321 by combining two quadratic maps to emulare these experimental bifurcations Two ways or combinution are proposcd In the first case two non-interacting quadmtic maps are added (parallel combination) whuumle in the sccond onl- two tnJng1y inteltf-ting logistic maps (smcs combination) are combiacutened in a feedback way

2 Experimental apparatos

The measurements were dane with the faucet attaccedilmd lo a large reservou sccedilt Refi U121] for details The time delays between successive drops are measured with a time counter circuitry~ with a

nmiddotT--------------------~ (a)

r ishy700lt) ~

1 li ~

~ - -~ ~ bull-j- -~ -4 ~r -~

67 I ~

I 670 680 690 700 110

Tat$

T1molution of i ~~ iacutenserted in a PC 5101 The iacutenput signals are voltage pulses induced in a resistor definelt by the beginning (ending) af the scauring oI a laser beam fO(Usw on ltt photo~trdn$i$tor (in sents with 1he resistor) when thc drop tarts (ends) t(l CTOSS the laser beam The width of the pt1lse is the time interval t (where n is the drop number) and the time delay between two pulses is lhe crossing time (SI) of drop tbrougb the laser beam 50 lha the total time interval is 1 = 111 + 8t~

We can setup the drop rate (J~ 1(Traquo in two ways (a) by feeding back lhe Wuer reservoi to ke~ the height h af the water leveI md selet1ing the drop me by opening (closing a needle valve driven by a step motor which is coutrolled by a microcomputer

For a given drop late we have constructed first retum maps T I VS4~ (b) by fixing me opening of the ncedle va~ turning off1he water supply letting fue water levei decrease natunilly and so the drip~ ping Iate Therefore~ the contml PWffileter lhe heiacuteght h of the water leveI varies as ht ho - n8 VA where 8YA=2XlO- mm he 15 the initial height I) Y the mean volume of me drops and A i5 the area of the water reservoir surface In this case bifUrcatiou diagrams Tn V$ n were constructed We

~ ~

300

200

Ibl

()1

oI 100 2Q(l 300 400 500

1 figo L (a) experinwJrtal data for f 146 dIopss Experimental panuDlter vaues are Ir 365 dynjcm X-~tI a6 em R Ot2-0l5 ss and Q 01-0 14 sem (li) the attlactor profile obtaiDed witb R - 015 sls b - H) Si k 415 dfacrtJ xir - 13 em arul rt- 01 slem Tht ealllai~ drop me ia f 315 dropss wbich ~ two- times the expcrimcntll vale 3pll~lely G1w rupple

A TufoiJe cf aLIPhysfcs Lettcf A 255 (1999) 58-64

T11Ulitl$ltTgtlaquo146m~

T---r------T~~ t

12

12012~~11T 911 tMobull

T (l (Iraquo

Fig 2 a) experimetItaI T+l n 41 YS r (ms) tuap (h) simulatcd mBp wrtb R (U41 gJs xr O25i em a-1l51 sem b-Q94 s-land 1(20 dyncm Thc two maps wcre ~ from lhe samc angle 4f vUicn The calcuJted drop me is cloR 10 fue ~ vahIe l1ul similiuiacutel) bctwcen the two maps suggesls lhe salOO attwtor with ~ slzes of the basins ef ~ Htass nippk

have used one gJass nipple and other one or brass~ with both having t11e same intema1 diameter

3 Resolts

31 Mass~sprjng modal

Following Dnnocenzo and Renna (25] notation the set Clf autonomous differential equations for the mass-spring modol is [45)

dx d(Mv) IM-= =Mg-kx-budi 1 di di =R~

(I)

where x 15 the ooordinate af the ceuter af mass ar me hanging watet agravetld R the flow ate

fhe surfagraveoo tenskm and friction between the wa~ ter and lhe _ are respectively representelt by lhe spring eonstant k and by b A drop with mass

AM aMell( (2)

is shot wben the center of mass x exceeds a tbresh old xI where M and 11 are respectively the hangshy

(a)

~ i= 10a

bullbullbullbullbullnbullbullbullt

Il~_

bull o - shy (b)

C

ibull

m I ~

-10 i-shy i t

Fig 3 (ti) experinleflt2l hifilnmon diagram wilh tlJ~ drop Iate lIlllgingtrom -9ISdM1Hn 913 dtopsjs (b)paralkI combi~ natlOIl or two oolliDtctacting logime maps witb p~ecirc)- f +t and p(~) Px(~)-Ot IS Brass nipple

ing water mass and the speed at the thresbold paim g = 920 em51 and a is li parameter

For the remaining water DInnocenzo and Renna pmposed two models (PS) the point-spbere one lhe drop is spherical of radius r and the waterresldue is a point situated at Xo =Xr -rAMM (TS) twQ

sphere model lhe drop is spberical of radius r and the water residue is ti sphere ofradius r = [3(MrshyAM)j(4p)] cenrered at x ~ xlt - (r + r)AMjMlt Therefure lhe simulations reqm lhe adjuslment of fi _ (k x R aod b) but with an unknoacutewn dependence between them

fig 4 (a) 1X~rimenlal bifuttation diagram with lbe drop rale rungillg fmm 28$ doWn to 268 dropss Tbe circe SOOWl the sequerne cf tbc plotting colotslt sbould be noticed that in lhe ttginns otperiod-2 tbe colun ilIC supcrimposcd In (D) and (c)ate itSPtttlve1y sbown tbe odd ruld ~ bW1Ches On lhe right in W the cmuJation ofthc eltpelirncntl1 duta ming a scri~ combinltion oftwo intcmcting logistic maps in (8) and (C) are tespectivey slrown lhe anulated separaoon oi tIle odd aud eVelI bnmehtS The pammeters ()f control P1laquo(f) and P7lt-C) lU sItown in fig 5 9t-~ rupple

00

gt

so

i O I

o~xu

x

(v)

62 4 ThJaited aLIPhysi~LeIergtA 255 (J9)9) SlI-M

In Fig 1() is sbown me experimeand first return IIlllp obtaiacutened by keeping fixed me water levellreigh aI 1= 146 dropss (gIass nipple) An bullbullperlmeotal esrimarion for me pamm_ values are [2l k = 365 dynem x~Mem R =012-015 gjs The simshyulations of the attractor using these parameter va1ues did not converge for wide ranges of a and b villu~1i

We cou1d emulare the attractor profilc using the PS mudel by adjusting all the paIdmeter values The emulatioo wilh k-475 dynem x= 13Cn Rshy015 g -02 sem and b - 10 s is shown in Fig l(b) but me mean drop mte obtained (fshy315 dropss) is abou IWO times lh experimental valobullbull

In Fig 2(11) iacutes shown an attractor reconstructed in a fbreedimensiacuteorutl map T +1 vs T i i VIi Ta at f = 8726 drops I s The atttactor- profile was simtJ 1_ by me PS model wim me pammeter values R=O14 gs x= 0251 em a-OSI sem bshy094 and -120 dynem as aho in Fiacuteg 2(b) Despire the fagravect tllat these values are quite different uom the experimental ones we obtained by coinjdence a drop rate of f= 880 dropss close to the experimental value The similarity 1raquoshytween the two maps suggests mat we have the same atttactOt whnc the different time scales point out to dilferelt os ar lhe basiacutens af _ans with apshyproximataly lhe same mean time T

We could oot find in lhe titerature better _shytions af dripping faucet auractors than lhe examplos above This model is not enougb to expIa1n all the detalls of me eXjlOIIacutelMntal data but it can be useful to give a first sigltt (ar lhe general properties) of the drop formation dynamics 41 since the classical hyw drodynamiclll models are mo complicated to obtain large time series

We observed some peculiar behaviors ln me exshyperimentai bifUrcation diagnuns and ve attempted to construct empiacutericaJ models omulate suoh bebavshyiacuteors in a shnple way~ looking for relatiacuteons berween two qu_ IlIPS

32 Combined mtJps

321 Parallel comhinatton In Fig 3(a) is shown an experimental bifurcation

diagram T vs nf which was obtaiacutened by Jetting the wateiacute level go down 113turally and lhe dripping rate

rangiag from - 918 00 to - 913 dropss Beshylow 11 as the water leveI heigbt goes down the dynamical ampystem evolves in a period four m~ ment When the system reaebes lhe aitical point I1c (ar h) the initial rom stable fixed points are re~ placed by new four fixed points

We siacutetnulated this peculiar change of fixed points by adding two nonwiacutenteracting quadratic maps (paralw lei combinatioQ) 50 lhe global I S is given by

In+ =x ~pAt) Yn+l-Y -P)(~ x +y

S - bull (3)bull 2

where P(i) and p(lf) ate me OOIltrol PllIameters as functions of a common parnmeter sgt and each tnap is iterated sepamtely 2 We observed that the hoiee of P(i) = i- 14 py(V= pltel - 0115 IfE (16164) can emulJlte lhe experimental change of the fIXed points as shown in Fig 3(b) Tbe transition po-int g~ = 1615 corresponds to the secshyond ilip bifurcation in tbe y map and a period-4 movement in the x map but lhe global I S co~ondamp to a foor fixed points until the next fliacutep bifurcation which oours in the x map at ~= t6t8

Dilfetenl from an interior erisis [331 in whiacutech OCCUts a sudden change in the size of the attractor in Fig 3(a we have a smooth inereasing in the size of lhe period4 attracror Regarding lhe oscilJatory barshyaeter ofthe banging water~ these two period-4 behav~ lOIS suggests that we bave the same oscillation mode below and above (n) but with a little difference between their boundary conditions

322 Series combinalion For a Wgher drop- rate another experimental bifurshy

cstion diagnlm was observed with the dripping rate ranging from 288 down 268 dropss In F18 4(a) is shown lhe bifutcation diagnun 7 vs n

i

ohtaiacutened by plotting lhe pciacutents alteruately in blaellt (-159 ) ingreen (=2610 ) inred (n = 3711 ) and in blue (n - 4812 )

InitiaUy~ the system evolves in a period~2 attractor until lhe ches red + blk and green +blue colshy

-1- For a given value ofthe cmrttltll pammeter euro the seties xl tuld Y ete fUIlI1ltrlcllJy laquonained aftrr 11 ttnusltnt oi 10000 lIetations from 1he same initial cQlIdiOOm (xG )~ 06)

bullbull

63

7

A Tuaile et aL Pllysics leJters A 255 (1999) 58-64

10 i

os Py obull o

osL 07

Fig 5 P~ (cuntinuuus linel and Py (uacuteasheu ine) as fWHtions of

fmiddot

Iapses at point T After that the system continues to evolve in a period~2 movement but showing invershysion of phases (see tbe colors exchange) until point F where another bifurcation occurs on each braneb Therefore this diagram ean be split in an odd dia~ gmm (blaek + red) as shown in Fig 4(b) and in an even diagram (green + blue) as shown in Fig 4(e) The skcleton of eaeb branch 15 preserved even in the regions of superposition of the branches as in the chaotie region (n 25 X lOs and ~ 097 in Fig 4) The branebes in Fig 4(b) and 4(e) have similar behavior and structures (common bifurcation points and chaotic regions) but different sizes

Tbe similarity between each brancb and tbe logisshytic map suggests that this peculiar behavior could be interpreted by the combination of two strongly intershyacting logistic maps (series combination) as to say the feedback of one logistic map into another one

x+ -4p(Oy(I-y) oddbrnnch

Y+ -4p( Ox(l-x) evenbranch (4)

where PxltO and pig) are the control parameter ftmctions The choice of Px(g) and Py(g) shown in Fig 5 leads to a reasonable emulation of tbe experishymental diagram as sbown in Fig 4(A) (8) and (e)

Considering that each branch is visited altershynately and associating each branch to an oscillating mode of the water column it seems that the initial conditions imposed by one drop to the next one switches from one oscillating mode to another oneTherefore the combined maps models can give us a first sigbt about some Ioeal behaviors of the experimental diagram

4 Conclusions

We could reproduce tbe profile of some attractors by using the one-dimensional mass-spring model The parameters values obtained by this model are not realistic due to the drastic simplification of the water drop formation dynamics

To interpret some peculiar behaviors observed locally in bifurcation diagrams we proposed the emshypirical model of combined ma~ With the parillel combination we couId emulatc the peculiar replacing of four fixed points by four new ones Tbe feedback of one quadratic map into another one in the series combinatian aJlowed us to realize the collapse of branches and their further separation as well as the preservation of tbe skeJeton of each branch in the chaotic region

Acknowlcdgcmcnts

This work was partially financed by the Brazilian agencies FAPESP CNPq and FINEP

References

(U FC Moon Chaotic VibratiOM Wilcy N~ Yorlc 1987 [2) KT Alligood TD Sauer JA Yorlte Cbaos An Introducmiddot

tion 10 Dynamical Systcms Springer-Verlag N~ Ymk 1997

[3) OE Riiss1er Synergetics A Workshop SpringeroVedag 8erlin 1977

(4 R Sbaw The dripping faucet as a mudei chaotic systelll Aeria Press Santa Cruz 1984

(5) P Manien SC Popc PL Scott RS Shaw Phys Lett A lO (1985) 399

A T~oile ct DL I Phyfitf ieJlerlf A 255 (J1J99J $8-641 64

[6] HNN Yeacutepez ALS Brito CA Vargns LA Vicente Eur J Pbys Ui i989 99

[1] RF Cahllan H Lcidcr~hcr 00 Cahaian Comp Phys JulrjAugust 1990 p 368

(S X Wu ZA Scltelly Physicl D 40 (1989)433 191 X Wu B T_ zA sbltlly Rltv Sei IM 6) H9S9)

3119 lO] K Ote)ltr FR Hlckey AIraquo 1 PbyS $ 0(91) 619 [i t lC Sartmelli W_r1 Gonccedilalves RD_ Pinto Pbys Rcv li 49

(1994) 3963 (12) RD Pinto WM Gonccedilalves lC Sartotclli MJ de Olivcita

Phys Rev E 52 (1995) 6392 U31 JGM do Sil~ JC SartQrelli W_1 Oolccedilal~ amp0 Pinto

Phys Lett A 226 (1997) 269 (l4) XO Shl MP BmmtI ItR Nage1 Scienee 26) (1994) 219 (15) sDR Wilsoa J Fluiu Mech 19(1 i988 561 H6l D1L ~grine O Shokfr A SymGn J Fhtid Mtclt 212

099Ol25 [t1] OW DePDoll JQ Feng DA Basatan Te Scott Phys

Fluids 7 (I995) 1181 (18) X Zhlmg DA ampsarau Phys Auieis 7 (1995) 1184 [t9) A Laveron-Simavilla JM Pcrales Phys Fluids 7 (1995)

121)4 t20J Y Watanabe Jpn J Appl Phys14 (1985) 351

(21) MSF da Rocha JC Sm1orelli WM Gonccedilalves RD Pinto Phys Rev E 54 (996) 2378

[22] J Austin Pbys Lelt A 155 (t99I) 148 (23) JA fomecirc$ J ProcQpio le Sartoacuterelli J App Phys 80

(t9) 6(121 1241 Gt SaacutenchesOrtiz AL 5efusBrito Ph)-s Lctt A 203

(1995) 300 Ph)1IacuteOl D 89 H99S) 151 1Z5] A Dmiddot~ L Rtnna Ph)s Lctt A 220 UI)) 15 Uacutelt

l Theor Phys 35 (1996)941 fhyl Rev E 55(991) 66 126) PMC de Oliveira TJP Penna J Stzl Phi 13 1(93)

189 brt J Mod PIacutel)$ C 5 (1994) 997 tm TJ-P Petma PMc de Olivclla JC Saoorelli Wt

Gonccedilalves RD Pinto Phys Rtv E 52 (1995) RlI68 28] HE SlaulCY SV Buldyuv AL Goldcberger ZO Goldemiddot

beramplaquo S HavUn llN Mmtegna sM Ossadnik CK Peng M Simotls Pllyska A 205 (994) 214

129] K (mem Progr lbeor Pbys 69 0983) 1427 Pmgr Thecn PhY$ 7i (t9iacutef4) 202

l301 Y OU M Tuug l iuan D Fmg LM Naragravenccedili fbys R~ Lett 52 (l9f4) 10L

131] T Hogg BA HUbetman Phys Rt A 29 (19M) X1S 132) LA Bunimcvich Physica O 86 (i99S) 248 [33) C Grnbogi 11 ou JA YOde Phys Rtv Lctt 48 (1981)

151)1 Physica D 7 (19amp3) 1St

Apecircndice 2

Chaotic behavior in bubble formation dynamics

A Tufaile e JC SartorelU

Physica A 275 (2000) 336-346

I PHYSICA ill ELSEVIER Physica A 275 (2000) 336-346

wwwelseviercomllocatelpbysa

Chaotic behavior in bubble fonnation dynarnics A Tufaile IC Sartore1li

Instituto de Fisica Universidade de Satildeo Pauo Caixa Posla166318 05315-970 Satildeo Paulo SP BrQ2j

Received 25 June 1999 revised 19 August 1999

Abstract

We constructed ao experimental apparatus to study the dynamics af the formation of air bubbles in a submerged nozzle iacuten a waterglyccrin salution insidc a cylindrical tube The delay time bctween successive bubblcs was measured with a laser-photodiode system It was observed bifurcations chaotic bchavior and suddcn changcs in a pcriodic regime as a functioo of thc decreasing air pressure in a reservoir We also observed dynamical effects by applying a sound wave tuned to the fundamental frequency af the air column above thc solution AI a function of the sound wave amplitude we obtained a limit cycle a flip bifurcation chaotic behavior and the synchronization of the bubbliacuteng with sound wave frequency We related some of the diJferent dynamical behaviors to coalescent effects aud bubble sizes copy 2000 Elsevier Science BV Ali rigbts reserved

PAeS- 0545+b

Keywords Chaos Bubble dynamics Uostable periodic orbit Synchronization

1 Introduction

The formatioo of gas bubbIes in a nozzIe submerged in a liquid column has been studied by Davidson and Schuumller [I] Buyevich and Webbon [2] and Kyriakides ct aI [3] A criticaI review about the experimental and theoretical resuIts is presented by Ponter and Surati in Ref [4] Results of simulations of the motioo of gas bubbles in a liquid are presented by Krishna and van Baten in Rof [5] The bubbling dymiddot namics presents some features that resemble chaotic systems [6-8] Triton and Edgell [7] observed some attractors by detecting the bubblc passage by a transduccr (hotfilm anemometer) placed close to the nozzlc

The aim of this paper is to report the existence of dynamical properties of bubble fonnation with non~invasive techniques and report the effects of a sound wave 00 the

bull Corresponding autbor E-rrwil address sartorelliifuspbr (IC Sartanlli)

037843711OO1S~see front matter copy 2000 Elsevier Sciencc BV Ali rights reserved PII S03784371(99)00440middot9

--337 A Tuaile Jc SartorelliIPhy~iCD A 275 ((f)()) 336-3

FuncIioo gEIlatlIlaquoW_1-0-1~a

VHS o

Come o

D O O

--shy

~

~ Ai

Rbullbull

pshy

~cf2-~

Capac1liva aJr Reservolr

bull

Iltshy

shyi

VoJ

Fig I Dilsgmn or lhe erperimItlUil upparulus

bubb1e furmtalon dynamics Tho deJay time between _ivo bubbJcs was measurelt by using lhe same mehniques as in lhe dripping laUCOI experiments [9] _ides a route 10 chaos via period doubliacuteng we related some peculiar bebaviQrs observed in biftucanon diagrams to theacute coalescent effects (for a bubble penetrating roto another just aoove lhe nozzle and fonning a single-larger bubble ot when one bubble touches the proviacuteous one fonning a doublet)

2 Tho IlIlbbJ gun apparalUs

The experimental apparatus consists oi a glass IUbe paatially fiUed wilh bull viSC01lS

Julio (warer+glycerol) as schematiclly shown in Fig 1 The air bubbles are fonned blowing air through a nole aI lhe bultam of lhe tnbe The air iacutes supplied by ao aIacuter compressor whose reservoi is oonnected to another one (a capacitive reservoir) through apressure reducer The detection system is the same as in the dripprng faucet experiment [9] A horizontal He-Ne laser beam focwoed in a photodiode is placed a little above the nome The input signals are voltage pulses induced fi a mistor defined by lhe begiruuacuteng (encuumlng) of lhe scattering af a laser beam focuscd o lhe pholediode (in series with lhe resistor) when lhe buhble starts (ends) lo cross ibe laser beam The deJay lime between successiacuteve bubbles was measured with a time eounter circuitry inserted in a PC slol (time resolution =1 ps) The width af lhe pulse is lhe

A Tufuile JC Sartonlillhyrica A 275 (2(1())) 336-346318

time interval n (where n is lhe bubble number) and the delay time between two pulses is lhe crossing time (~In) of a bubble threugb lhe I heam so lhat lhe total time interval is T ~ I + otn We eao setup lhe bubble rate (f= I(T) in two ways (al by futing lhe ~ening oflhe ncedl valv turnlng oITlhe air supply to lhe capucitive reservo-ir and etting the ai pressure to dccrease llaturally~ SQ the bubbling rate 10 thls case we bave analyzed lhe data COnstrucling bifurcatioo digrams (Tn vs 11) Ihat are funcnons of lhe ir pressure deteltiSing (b) by keepiacuteng fix lhe air pressure in lhe capaciliv reserveir and seleeting lhe bubhle rate hy epening (elosiog) lha needl valv bull In lhis ClISe for a given bubhling rate we bave consbucted fust r_ mapa Tn+ vs Tn bull W aIso studied lhe cbanging of lhe bubbles formation dynamics with a sound wave tuned to the fundamental frequency of lhe air column above the solution The sound wves are generated by bull loudspeaker placed aiacute lhe top of lhe tube (see Fig 1) which is driven by an arbitmry function generatotilder The sound wave amplitude was used as a oontrol parameter

We Iso reeorded lhe bubble formation wilh a VHS eamera to illustrate how tbe profiles of tbe bubbles are in dlfferent dynamie1 bebeviors

3 ResuIts und discussion

31 Air pressure aJ a control parameter

Using a solution of fom parts of glyeerol nnd une part of water and a plasticj hypodermiacutec syringe wiacutethout the metaUic needte as a nozzte a bifurcation diagram was

ohtained Ietting the ampir pressure in the capaeiacutetive reservoir go down naturaUy with the bubbling as shown in Fig 2 The diagram shows the evolution ftom a chaotic behavior in region (a) to a periacuteodic window The pcriodic behavior starts with a perl002 region (b) lhereafter a bifurcation occurs giving rise to bull period4 regioo (e) wbieh again ovolves to anolher period-2 region (d) foUowed by a period-l movement rgioo () In Fig 3 lhe illustrations of lhe bubbles prefile in eaeh region as labeled above are shown In Fig 3() tbe 1gtu1gt1gtle are formed wiacutelhout lhe eoaleseent effeet in lhe period-2 bchavior shown in Fig 3(d) there is no coaIescence near tbe nozzle but a little far abav il in Fig 3( c) lhe eoaleseerne oeCUtS close to lhe nozzle but bubbles do oot toueh each olber and a period4 is ubserved in Fiacuteg 3(b) two sueccedilcssive hubbles eoalesee completely givrng rise to a bege single bubbl in a period-2 bebavior nnd in Fig 3() lhe eoalescent elTect in the ebaotic region

A different bifurcarion diagram was obtained in the same way as above using a iong metallic hypodermic needle as ti nozzle as shown in Fig 4 The system is cvolving in a period-2 movement region (a) in tbe Fig 4 with ao _cto size IT+I - T I~ 55 ms As the air pressure in the capacitive reservoir goes down suddenly a shortening of the period-2 occurs and a new penod-2 starts Vith tbe attractors size ITn+J ~ Tnl 1 ms region (b) in tbe Fig 4 Thereafter tbe system evolves to a period-l movement lllustrations af the bubbles profile obtained in each regioli descrihed in Fig 4 are

339 A Ttifailt JC $art(HllliPhysita Aacute 275 (2fJO()) 336-346

O~I----------------------------~

~

~

O I v

O 1000 2000 4000 n

Fiacuteg 2 Bifurcation diagmm obtaiacutened wilh lhe air pressure decreasing in lhe capacitive nservorr lUgion (a) chaotic bchaVior (b) periacuteod-2 (c) period4 (d) perioomiddot2 IUld Ce) period-L The same behaviar is obtained by increasiug tIie oir pressure HypodermJc syringe 1U)zzle

-O

o

0

() (b) (C) (d) ()

lig 3 mustmtions of thc bubb1cs profile and tbc eoalcscent efbts in a cbaotk behaviacuteor (b) periodm 2 with wmplete ooaesm1ce (c) period4 wilh single ooaIescettOO (4) pcriod-2 without cmt1eseenOO noar the llQZlk bul a liuIe flt ~bove il and (c) perioo1

shown in pjg 5 The shorteniog of lhe size af the atttactor is accomplisbed by the shortening oflhe size oflhe bubbles as il is shown in Fig 5() and (b) In lhe larger period-2 regioo close to the nozzle two bubbles coalesce completely fonnIacuteng a largo sing1e bubble as described in Ror [13]

32 SlJWld waue amplitude as a contrai parameter

By keeping fixed lhe air pressure in til eapaeitive reservoir we cbanged til bubble dynamics formalion by applying sound waves tuned to tIle fuedamental frequency j = 138 Hz of lhe air eolumn abave lhe Iiquid solutiou (two parts of glyeerolone pari of water)

340 A Turule JC $oNorellilPhyslco A 275 (2000) SJ6-J46

26 ~ ~-

bull bull

I20 gt

_JPmiddot -F- 15 f14

bull

o ltlO 600

n

Fig 4 Diagrmn bifurcntion as a function (lf air pnmure deCltlMing in lhe capacitic reservorr obtained with a meLallic needle Arowtd lhe region (a i me movement is the large perlodlaquo2 doe 10 lhe coolesoent effcct MOlmd the region (b) is shown a shortcr period-2 and in fuc rcginn te) is soown 11 fixcd point

Uacuteraquo Ib) le)

Fig S (a) Larse prloo2 and Iargc bubbtes due to a GOalescent effect in a peri0d-4 (b) perioacuted-2 without me coaIescent ciTect aud (o) the fixei porot

In Fig 6 lhe first retum maps as a function af the sound wave amplitude are shown lu eaeh fnune lho IOp iMo snows at lhe 10ft lhe sound wave amplitude and at the right lhe bubbling rale We started at a fixed poin at f = 11282 bubbless as showo in Fig 6(a) By applyiacuteng tho sound wave lhe fixod point 1000 its stability aud a Umit cyc1e appears as shown in Fig 6(b) and c) with a littIe increasing of thc mean bubbling mie as lhe amplitudo ls raised

341 A ThfaJJe JC SartoreUllPhysiCIJ A 27$ ()(()(J) 336-346

iamp

TJms)

4

(1)

001[ 1A I 11 31 I ] 99 J71

-- co ~~ gtamp ~ bull I

bull

J 90 100

G)

Trna)

l

t~~i~I i t S ~

lt

(I) (k)

Fig 6 FIacutelSl return maps TI1+1vs TI as a furution of lhe sotlOd wave emplirude (keeping 6)( lhe aiacuter pressure in lhe ccedilapacffive fIICIV)ir) In each fraae the insets sbow at lhe lcfi lhe amplitude and ai the righl the buhbllug rue (li) Tbe lnitial fixed point (b) li limit ccedilycle (c) an unslable limit cycle~ from (d) up to (g) li llip bifutcation III constant bubbling raie~ from (h) up ti) (J) clmotic attrnctnts In eaeh fmme the lfitenection of lhe dashed 100 defines lhe position of an unstable perlod~l orbiacutet (UPO)

342 Acirc Tufuile JC SttrionllilPhysica A 275 (1000) 336-346

In Fig 6(c) lhe limit cyele looses its stability and a fixed paim near (87 87 ms) is visited in 41n intermittent behavior This fixed point position was established by a hislogram pIot of Tn The Fourier transform applied to lhe data related to Figs 6(d)-(g) showed a noisy period-2 _vior aed wilhout any bubbling tato variacuteation Therefore as we are observjog a bifureadon per1od~1-+ period~2 (see In Fig 6(0)-(ampraquo as bull function of lhe sound wave amplitude a period doubling ls being hidden bY lhe noise In bull llip bifurcation lhe i an unslablc fixed peint helween lhe two stable fixed Our data sbows Uacutetat lhe viacutecinity of lhe middle point betweeo lhe stabJe fixed points is been visited due to noise Consequently our data are adequate to apply the fixed poil transformatioo rechniquc developed by 80 cl a [10-12] to finagrave unstable periodic orbits (UPO) in short sedes of events wiacutetb unstable control pararneter briefiy descnbed below

To extract the unstable periodic orbiacutet with a finite amount of noisy data of a o-dimensional system Se et 1 supposed Ihat ali points lyiacuteng in a regian around lhe fixed point x = f(x) can he transfonned to x in lhe vicinity Df x The denshysity function p( x) has IacuteI1verse square-root-type singularities at the fixed poiacutents and a bistogram approximation to Pi) will have a sharp peak at x=x Some spunous pcaks appear in fiO) eilher due to siacutengnlarities not relatelt to fixeagrave peiacutents ar lo zeshyros of lhe derivative of lhe traesformaoon funarion x= g(ltk) They generalizcd the mcthod for a system with an arbitrnty embedded dimension (d) to obtain the unstabl

l periodic oreits by doing the transfonnation

in = (1 - SJ-1(Zr+1 - SnZII) (I) I

where

I (d-l) d)aftolfmiddotmiddotmiddotan trS= (

1 O +lltRllz+-zII (2)

a I (zn - 211_1)t -1 ( ( I - Z)1Zn+l

=1 (3)

d (Z_(d_l) - Z_d) (Z_(d_2) ~ Z~_(d_1)t

Zn are the reconstructed vectors ftom scalar time senes xn

ZJj = (Z~ZZ~ _ ~z)t = (XnXn_hXn_2 Xn_d_)t (4)

R is a d xd randam matrix in the range [- I I] and 1C is the magnitude of me randomshyization The fixed pojnts are giacuteven by the peak positions of l(i) As the locariaM of lhe spurious peaks dopend ou the parameter Ihey are eliminated by taklng lhe vecage (pczraquo) for maey dilfrent values picked up randomly As lhe attractQrs reconstruelion in a Wo-dimensional embedded space are enougb unfolde~ we applied this technique for d =2 w Iso chobullbull Ilt =5 and 1000 random matrIacuteces

343

se se 00

1 ~(S)

A Tufoile IC SartorellilPhyslca A 275 (2())()) 336-346

rzg 7 (li) Tht hhWgJlim ap~JA 10 p(i ub(ained wi1h the fixed paim trunsfonnatitm ttdmique using the daia sbown in Fiacuteg 6(h (b) lhe eonlout gmpb around lhe unstable periodl orbit ($697 8697 ms)

An example of our results is shown in Fig 7(a) where is drawn the histogram approximation to p(x) using the data shown in Fig 6(h) For better visl3lization of the unstab1e period orbit position a contQUr graph of the same data is shown in Fig 7(b) The higbest peak defines ao unslable penod-1 orbit at (8699 amp699 ms) cIose to

tbe stabJe fixed point shown in Fig 6(0) In this way we fOWld au WlSlable periacuteodo orbit as shown by lhe intersection of the dashed lines in Fig 6

Wiacutetb furtber ampHtude inereasing we observed the appearance af a chaotic regjon with stretchiacuteng and folding dyoamics f bullbulltures as shown in Fig 6(h)-(il and with

2500

2000

1500 c

81000 ~ 500

(a)

1

~1 I I

I

(h)

ilf

92

_2275 - 2600 _1950 - 22S _l6a5 - 1950 _1300 - 1625 l1li9750 - 1300 l1li$51)0 - 015-(1 W7~~O - 6500

() _ 3250

Tn(msj

344 A Tufaic JC SurtoreliilPhydoo A 275 (2)()()) 336-346

81 114

075

1 gO50 ~ gt

1deg25 degOOr--middotmiddot---mm--mm--------m-----~~J 82

- -i

870 eI -~--=__------__----_-----___shy8

f ~

J ~

Q 111 1~

I I I J1 02 03 04 05 06 07 08 M 10

sound wave smplitudOV

Fig a As li ftmction of the sound wave amplitude (a) the dominant LyapunoacuteV exponent (1raquo the mean bubbling mte (left seale) and thc unstablc pccedilriodiccedil objt (right scalc) The ltonliDuous lines are guide$ to Yshy

little change in the bubbling frequency The reconstructed attractors in tbe chaotic region were characterlred by lhe domJnant Lyapunov exponet [13J as sbown in Fig 8() However lhe unstable periacuteod-l orbil remains in tbe ohaorie region wilh little cbang o its position as hoW in FIg 8(b) (rigbt soale)

Contiacutenuing to increase the sound wavc amplitude with larger amplitude increments lhan betor we obtained lhe atttactors shown in F4 9 In Fig 9(m) lhe mean bubbling mie is 205 bubbl for a sound wave amplitude 0014 V and lhe pasition (~72S 725 ms) is visited in an intermittent behavior The visitation time increases as we increase the sound wave amplitude until the point ( 725 -725 ms) beoomes a labla fixd pain as hown in Fig 9(n) In Ihi situarian til rnean bubbling rrequency is f = 13797 009 bubbles whiacutech iacutes tlul sound wave frequency valu bull Therefore the bubbliog hcome synehronlred with the sound wave In Flg 10 we ca 1IIe dilference betwee lhe bubbles prefile in lhe first fixed paint as shown in Fig 6() and lhe syncbronlzed iacutejed paint shown in Fig 9(0)

(XII arI Cf1) kmmlmlj Mllacirc puoosrrn q~ ~mAacuteS ~ (sfsgtIqqtq L6Lt = f) sliacuteqqtq nn unjA 1tfOd fXgt1I9 t1ilf )ql (q) (sjgllqnq un I f) c)9 1ik tI Ut01ls laOO tmJ lSty Iql JO ~ Slqnq lt)ltJ (v) 01 -RJJ

(q) (raquo

)IIJJM punes ~tI JO )wnbarj ~UllJ oql tj~ pozroorqIMS

1l0mIllOJ Ilqqnq nql (u) lOAmp~ lIl(lnftuJtlll W to PQl~ S (sm SZL CcedilZL ) 1Uod lU (01)6 ~iI

(SIUUL

bull 00 Oi o (UI)

i

346 A TulaiJ JC S(1r(orelli Physica A 275 (2(J()(J) 336-346

4 Coudusion

We observed bifurcations in a bubble gun expetiacutement as a funCIacuteon afhe aiacute preshy8Ure In one case j we observed in a period-2 movement ti sudden change in the attraacuteCrors

size related to the bubbles size In other case with a different nozzle geometry we observed a periacuteod-doubling easeade J -+ 2 -+ 4 fullowed by a eMotio hehavior In both cases we fclated some different dynamical behaviotS to coalescent effects

For a fixed air pressure we used as a second control parameter the amplitude af a sound wave tuned to the fundamental frequency of the air tube above lhe oolutioo We observed as aacute function of increasing sound wave amplitudes the appearance af a fixed paim a limit cycle~ which looses 11$ stability and a new flxed paint appears a lllp bifuration followed by bullbullIutou regiOll wih strerehing and foldiacuteng features Thereafter a new fixed paiot starts to be visited in an intemUttent behavior anti the bnhbling synchronizes with lhe sound wave freqnency

We applied the technique af the transformatioD af the tixed pomts to extract an unstable period~l orbiacutet embedded in noisy reconstructed attrnctors in the fiip bifurshyClltion region This unstable period-l orbit remains in the chaotic regime which was charatterized by the dominant Lyapunov exponent

AcknowledgemenJs

We ate gratefuJ to Professor AJ Liohrenberg RD Pinto and MS Baptista for heir suggestions FinanciaI support from lhe BrnziUan Agencies FAPESP CNPq and FlNEP iacutes gratefully acknowledged

Rcf

[1] JF Davidson BOa Shiller Trans lllst Chem Eng 38 (1960) 144 (2) YA Buyevfub BW Wcbbon Chem Eng Sei 51 (19 4M3 [3J NK Kyrlalddes EO Kaslriookls SG Nychas em j Chem Eng 75 (1997) 684 [4] AS Pontet AJ Surnli Cbem Eng TecltnaL 20 (1997) 85 [5] 11- Krisbna 1M _ Nottue 398 (1999) 208 [6) 11- F IA _lt= A Phys Leu A 243 (1)l8) 67 [7] DJ TriUltm C BSU Phys Fl A S (1993) 503 [a] LJ Milloni MP Scllwar~ RD Ut Nuuzc Phys Fluids 7 (1995) 891 (9) JC Snt1oreIuuml WM Gonccedilalves RD Pinto Phys Rev E 49 (1994) 3963

[10] P 50 al Ihys Rev -t 76 (1996) 4705 [11] P So et al PllS Rcv E 55 (1997) 5398 [12] P So Cf al Biophy$ J 74 Z776) 1998 fI3] S ElIner DW Nycbka AR GIlllant LENNS a progrmn lo estimntc lhe dominant Lysp1JlU)v cxponcnt

of noisy noulinear systcms from time series data (fustitute of Statistics Mimco Serlcs 00 2235 (BMA serias lO 39) Statis1ks Department North Carolina State Univcrsity Raleigh 1992)

I 1

I

Apecircndice 3

Heacutenon-like attractor in air bubble formation

A Tufaile e JC Sartorelli

Physics Letters A 275 (2000) 211-217

I

PHYSICS LETTfH~sA

ElSlMER Phys1cs Lctfln A 10152 (2000) 1Q(l

wwwelsevebullnllocalJpl3

Heacutenon-like attractor in air bubble formation

A Tufaile JC Sartorelli lflUacuteMd dI FistCil Untveridadc de Samp hIlJC Cooacutea Postal otilde6JJ8 flf31J-l70 Sim PauID SPl1roil

~ved 6 Junc 2000 rnceiVdl in revised furm 29 Augusi2000 aeccpted 29 Angusl2000 Communicated hy cR DocriDg

Ahstract

Wc studlod the formation ar air hubb1es in 11 submerged nozzle in a watcljglycerol solution inside- a cylindtical tubeacute submitted to a sound wave perturbation lt was obslttved a mute to elmos via periacuteod 40ubling as a funetion of thc- sound Wllve amplitude We applicd metriea1 as well as topological chtmleacuteterization t(J some ch~tic attraetorn Wt localizcd ti flip saddle and wc aIso could establish relalions to a Heacutenon-like dynamics with the oonstruction of symbolie planes C 2000 Publishcd by Flrevicr $ciCllCe RV

PACS OSAS+b KeywonJs Cblrol Bubbe dyruunics Heacutenl)lt map

1 IntrodoetiOJl

We npot1Jd [1l some dynamical elfects of o sound wave in a bubble fonnation dynamics such as a flip bifurcatioacuten as a fimction of the increasing smmd wave amplitude Lauterbom and Paditz [21 studied the main reatures of bubble 05cillator in which the size of a small bubble in wnter oscillates due to a _ field Tritton and Edgell [3J observed some atiroctors by detecting thc bubb1e passage neatby a tnulSducer Ototmiddotfilm onemomme) pUacutelced dose to a nome where the bubbles were issued and they repartelt the existeace of a chaotic bubhlmg

~ccedil tumor TeI +55 11 81S 691S fax gt$5 11 813 4334

verified by visual inspections OOt without any kind of characterizatiacuteon af the chaotic dynamics Mittoni et ai [4J observed chaotic behavior with positive Lyapunov expunents in bubbling systems using a pressure transducer Li et a1 [5J studied lhe chaotic behavior of bubb1e 1oalescence in non~newtonian Iuids Ruziclm et ui [6J observed raquopc m intemritshytency in the transinon ftom bubblmg to jetting regime in 11 nitrogen-water system

Characterizaticn ofexperimental data oinonlinear systems using symbolie dynamiacutecs has becn reported by Gonccedilalves et al [71 in whiacutecb lthaotie at1mctms

from me drlpping faucet experiment were approxishymated to mioimal nmchines and the topological analysis applicatioD by using symbolic dynamics was more suitable to cllaracterize experimental data due to jts robustness to nalse Letellier et al [8] npplied topo1ogieal cbaracterization to irregular pul-

037S-96ltI1jOOS - slaquo trolit mluer 02000 PubJishtd by E~lr Stienee av PU S031i-960l(OOgtOtl58S-5

2 A TufoileJC Sartcrelli Pb)$Ws Letie1$ A )fi (2001)) (1I)fJ-()(J()

sations cf a hydradynamical madel of nu pu1sating sUlr by constructiug symbolic planes

Wc have studied the air bubble fonnation dynam~ ics in a submerged nome in n waterglycerol somshytion illSicle cylindrical tube (see Ref [n for detaiIs) as a function af 11 sound wave amplitude tuned in the air column above the solutiou Using metrical and topologica1 cbaracterization we observed a flip bifurshyestion which is followed by a chaotic region wbere some reconstructcd attracrors resembfe Heacutenon~1ike attractors which esmbHsh a possib1e mure to chaos in bubbling dynamics

2 EJpcnmental apparatus

The experimental apparatus of the bubble gun experiment is sbown in Fig 1 The bubbles were generated by injecting mr under constant flow rate conditions through a metallic nozzle immersed at the bottom of a viscuus tluid column (20 watcr plus 80 glycerol) maintained nt a level of 12 ctn The inner diameter Df the cylindrical contaioer js 53 nun and 70 em in hcight and the innel diamcter of thl nozzle is 13 mm The nozzle is attached to a capacitive air reservoir and the air flux ean be set up

by a need1e valve and the capacitive air reservoir is supplied by aa air compressor through a pressure reducer

The detection system is the same as the drippiacuteng faucet experiments [9t lO] A horizontal He-Ne laser beam focused (10 a phorodioacuted~ is placed a little above the nozzie The delay times between succes sive bubblcs were measured with a time circuitry inserted in a PC slm With a time resoJution equals to I ps The input signals are voltage pulses induced in a rcalstQ defined by Ih beginniacuteng (endingl af scattering af a laser beam focused ou lhe photodiode (in senes with the reslstor) when the bubble starts (ends) to cross the laser beam The lidth of pulse is me time interval tIl (n 1S the bubble number) and the time delay between two pulses is the crossing time (dt) cf a bubhte through the laser beam 50 that the total time interval is Tft = tIlt + dI bullbull

Setting up Ih bubble rale (f- I(Traquo) keeping fiacutex the air pressure in the capacltive reservoir and selecting the bubble rating by openjng (closlng) me needle valve we changed the bubble fl)IIllAtion dyw ooooics applying a sound wave with a loudspeaker pIncelt at the top of tbe tube The sound wave was tuned to the fundamental frequency of the air column above lhe liquid and its amplitude was driven by a

Rmction genemlor

Jl22l + H

shy

I

Alr9lifier i

j -tgt ~bull

I

~

o

o

Fig I Diagram cfme ~nlal apparzrus

I A llifaile lC Sm10r01ll Phpics UdtersA ()( (2iJ1)(J) OOO-f()(

-iacute

f

~

Driven Voltaga (V)

Fig 2 Bifurcation diarccedilaln ofthe inte1bllbble iotavals ti a function ofthe londiipeaka driml volige Wc cstimated lhe exptlrimcntal noise laquo$ -100~ in lhe period I behaYIacuteor

i

function genenrtor A11 the measurernents were doneshy

I at room temperature

3 Results and discuasion ~ II

The air flow rale and tbe sound wave ftequency were ept conslant at - 366 bubble(s and 150 Hz respeetively We changed the Imool dynamios forshymation increasmg the driven voltage in the loudshyspeaker as shown by ilie biacutefurcation diagram in Fig

32

1

~ 24

2 A period doubling OCCUIS around 2 0 V and the bubbles are issued in pairs until 30 V~ when a noisily period fougt appears After then two-band hehavior takes place and each band presents chaotie behaVior At 35 V the chaotic bands start to overlap and a large- chaotie attractors emerges

To perform metrical and topological characteriacutezashytion of the bubbJe fonnatilt)D dynamics we collected S1x time series keepiacuteng fb six drlven voltages whose respective retum maps (T I versus T) are sbown in Fig 3

~r I

- 111

(a) (b)

35V

(d)

~

24

I 25 V I ~ bull

I -(c)

I 45V I

(f)

T(ms)

Fig 3 A gquencc cf rtconstructcd aUtaclors 5howing 11 period-doubling tome to clI3os In eacb tlanle thI iDsct shows the driven vo114se (a) peticd t (b) period (2)i (ccedil) a two-band aacutetttactru (d) te) and O are claotic aUietatS chmctmzcd by the 1atgest LapWlOV exponent ftlR IlJ9 IIl1d 024 ~ivcly nbtllned w11h tlle lRNNS j13Clcase [1lJ F~1eacuteh titl1( Ienes is 4fl()(I h1lbbles long

1

1 Thfoiacutele IC SarrorelJi I PhJir$ LdterH A fJ(J (2000) OOfJ-(JJ()4

31 MetricaJ characterization

The reconstructed attractors in the chaotic region (rrom Fig 3(d) through 3(t) were characterized by the Lyapunov exponent51 by the Kaplan-Y orke di~ mension and by the infonnation dimension obtained by the rlSEAN package (12) A cofiecture [13) relates the Lyapunov spectnun (A) and the informa~ tion dimcnsion by me Kaplan~Yorke dimension D1Cf

1gt1 i-i ( I) -k+ - IDK( - IAgrave I

H

where k i5 the maximum integer so tbat SUtn af the k-largest exponents is stiU llOn-negative This cotildenjecshy

middot mre iacutes valid for Heacutenon attractor and it is checked on teconstructed attIactots The paramerer va1ues obshytained for the driven voltages V 35 40 and 45V are shown in rable I (see Figs 3(d) 3(0) and 3(t) The Kaplan-Y orke dimensions agree with iacutenfatmashytion dimensiacuteOllS The two first chaotic attractors have a Lyapunov spectrum witb one positive exponent and one negative exponent while the last one Fiacuteg 3(0 bas one positiacuteve and two negative exponents In Table 1 we also present the results of Heacutenon maps (flr))~(y+ I-axoacutexraquo recolllitrUcted as _ retum maps XH 1 versus X (see Fig 4(a))

Ue attrnctQr dimenslons ror ooven voltages of 35 V and 40 V are close to the dimensions of the HecircnOll map suggesting that they couJd have similar dynamiC$ The reconstrultrted attIactor for 45 V see

Table 1 LyapUJlQV exp~ and dirrlensfuns for experimcntll ch30tlc a~ and for two pairo (Ir atues ar Heacutenon map pomnnctm

Fig Drlven L)aplmOv Kaplrut-Yorkt Infonnation voltage IIpcetrn ~oo dimensioo (V) (ermt) (mor)

3(d) 3 +oll -08 1IJlJ 1)J

3c) 4bull +012 -06 123(1) 141) 31 +01-03 L68m 18(3)bull

Heacutenon -09 b LS50f +038 -238 116) 116(9) 1403 +042 - L61 12i~) U9(9)

) Oilcuhted wltb Eq ti)

(o) __321 ~

31)

3 24 221lt ~

22 24 2amp 2fj 30 32

T(ms)

Flg 4 (3) A iacutelippins eXlUlllie in lhe Heacutenon mtmctot The flip sarldlc IS tbe eroll5lns point or lhe daIDed line and lhe atIractm (056 056) (b) A flipp1ng ~ in lU ~W at1lactor fuT 3 dtivcn foltage cf 40 V

Fig 3(0 has similar prorue of the other two as shown in Fig 3(d) and 3(e) However its informashytion dimensiacuteon value is quite different ftom me omer two attrnctors (3(d) and 3(eraquo as well as diacuteffimm from tbe Heacutenon map values as shown in Table L In addition to the three exponents of the LyapllllOV spectra the dimension information dose to two is a cue that the attractor 3(0 could not be untangled in MO dimensions

7 A Thjaile Jc ~iI Physia Leitos A (Jfl (1000) ())(JOOII

I

I

The partition is represented oo OOl by dashed lines In Fig 5(8) 15 shown the Heacutenon map for a = 155 and b - 01 lhe partition used is a vertical line that separates the single branch (L) from the foIded one (R) that contruns ao unstable fiacutexed point and tbe Heacutenon symbolic plane afl is shown in Fig 5(A) From Fig 5(h) tbrough 5d) lhe experimentll atttactors are shown In those aSes the partition can not be done with a vertical linct 50 we looked for C1]Ves that eould separare Ih single hranch (1) from the folded ODe (R) The respcctive symbolic planes laquo3 atbullbullhown in Figo 5(1l) 5(C) and 5(j)

The pauero of lhe three experimental _bli planes resembles tOO Heacutenon symbolic plane Tbe best similarity OCCllrs for the driven voltage of 35 V whose symbo1ic plane has the same allowed and forbidden zones as the Heacutenon ones For higher wave amplitude some forbidden regions in the symbolic planes start to be visited (for example ex = 08 and 3 - 04 in Fig 5(Draquo howiacuteng lha lhe bubble forshymadoraquo dynamiacutecs is running away from the Heacutenon~ like dynamics In Fig 6 it is shown lhe bubble trains raisiog through the fluid to ilIustrate the ditference between the bubble profiles in the periodiacutec regimes lllld the Heacutenon-1ike one shown in Fig 3

4 eocluslo

We have used metriatl and topologica1 lt1ethods to characterize lhe dynamics ofair bubble fonnation We have observed that a gradual increase in the soillld wave amplitude results in a route to ehaas via period doubling W bullbullharncterized some chaalie beshyhaviar with lhe LyapuMV spelttra the Kaplan-Yorke dimension and the infonnatiacuteon dimension which 1ed 11$ to relate some results to a Heacutel1on~1ike dynamics a low dimensional dissipative system with stretching and fo1ding 1teacuteeacutebanism The Hecircnon map parameter values) (1 155 and b=Ol cbrrcsp(l11d to a more dissiacutepative system trum the classical values a = IA and b - 03 coberently mIa h bigh liquid vi

ity tbat parares li less sttuctured attracror The establisbment ofa fljp saddlc and the oonstruction of -ymbolic planes reinfotced 0Ui assumptiODS UsushyalJy two dimensional mappings are used as mudels o forced oscilintms _ore me bnbble formatia can be seen as an oscillator driven by a sound wave

Acknowledgements

This work was partially supported by Bmziliao agencies FAPESP CNPq and FINEP

Refcrences

t] A Tufuilc JC Sanorelli Phy~ca A 275 (2000) 336 (2) W Latrtcrbom U Parlitz J Acollocirct $o= Ato 84 (l9S8)

1975 (3] DJ Tritlon C Edgen Phys Fluids A 5 (t 993) 561 (4) LJ Minoro MF Schwarz RD La Nauze Phy Fluds 1

(1995) 891 [5] lU Li Y Moulinc L Choplin N Midoux lnt J Mnliphase

Flow 21 (1997) 173 [61 Me Rnzicka J Druacutetos J Zahradnik N Thomas Inl J

Muuumlphase Flow 23 (1997) 671 (7J WM Gonccedilalves RD rinlo jccedil ~orelli fhy$iccedila o 257

(1998)385 [81 C LcteUier G Gouesbct F Soufi JR Iluchlcr z KtlI1acirclh

Choos 6 (]996) 466 [9 Jc Sartorelli WM Gonccedilalves aD PlnlQlbys Rcv E 49

(199003963 [10] A TllfiIile RD Pinto WM Gonccedilalves JC SattOtelli

Phys Let A 255 (1999) 53 [tI] s EUoI DW Nychka AR Gallam LENNS a JlfOJpW to

eSUacuteil1lfle the dominant L)llpWJOv txponent afnoisy nonliucar sy5tcm5 fmm time scrics data lnstitule af Sta1i$itli Miacutemeo Srnes n 2235 (B~iA series n 39) Statisties f)q)artltletrt North CaroHca Sbtc Uniwniiy Raeigh 1992

[I2] R Hegget fl KanIz T Schrciblaquo Chaos 9 (1999 413 [131 r Ftdtrlclson JL Kaplan ED Yorlte lA VNte J

Olff Equat 49 (1983) 185 1141 KT Alligood TD amputt JA Yooo Chaos an introduoshy

Uumltm ttl ~ systems SpringuBerlin J991 [151 iL Zhao WM ZbeIlS Ccum Theot Phys 19 (1993) 11

-1

  • 1
  • 2
Page 2: Estudo da formação de bolhas em líquidos

53D 55352shy

I ~ l-Y ~ Y ~x-l

FICHA CATALOGRAacuteFICA Preparada pelo Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo do Instituto de Fiacutesica da Universidade de Satildeo Paulo

Tulaile Alberto

Estudo da Formaccedilatildeo de Bolhas em Liquidos Viscosos (Uma Abordagem usando a Teoria de Caos) Satildeo Paulo 2000

Tese (Doutoramento) - Universidade de Satildeo Paulo Instituto de Fiacutesica - Departamento de Fiacutesica Geral

Orientador Prol Dr Joseacute Carlos Sartorelli Aacuterea de Concentraccedilatildeo Fiacutesica

Unitermos 1 Caos 2 Bolhas 3 Mapa do Circulo 4 Sistemas Dinacircmicos

USPIFSBI-0592000

I I

I euepPI1 esodsa epewe etjulw V I

I Ibull

~~

lh-~

-

I I I I I I I I I

Agradecimentos

Nos anos em que realizeIacute este trabalho vaacuterias pessoas colaboraram de muitas

formas para que ele se realizasse Expresso aqui meus agradecimentos agravelgumas delas

Ao meu orientador Prof Joseacute Carlos Sartore1li pela orientaccedilatildeo e o aRoio que me

foram dados durante todos esses anos

Aos meus colegas do LFNL Whilk Reynaldo Marcelo Thiago e Ciro pelo

companheirismo de todas as horas

Agrave Comissatildeo de Poacutes-Graduaccedilatildeo do Instituto de Fisica de USP na pessoa do Prof

Annando Corbani Ferraz

Aos funcionaacuterios do Departamento de Fiacutesica Geral Dirce Ivone Alexandre Jairo

Rubens e Marcelino

Ao grupo de Mecacircnica Estatiacutestica nas pessoas do Prof Salinas e do ProL Maacuterio

Joseacute de Oliveira

Ao Prof Iberecirc Luiz Caldas e seu grupo Murilo BatistaKai Renecirc Elinei Anselmo

e Tomaacutes

Agrave secretaacuteria Maacutercia todo o pessoal de Bibliacutenteca aos teacutecnicos do Laboratoacuterio

Didaacutetico como o Claacuteudio Faacutebio Diorusio Maneacute Marcos e Canela

A todos do Departamento de Materiais e Mecacircnica principalmente ao lran Ivete

Eliane Taeko Seacutergio Marcelo e Toninho

Aos meus pais~ Jamil e Alaiacutede que me conduziram durante boa parte da vida e me

educaram com muito carinho aos meus irmatildeos Elysacircngela Aristoacuteteles Linda e Susy que

satildeo muito importantes para mim

Aos meus sogros Roberto e Cleu~ que me amparam com o seu apoio carinhoso

amizade e suas preces Aos meus cunhados Lincoln e Adriana Midod pessoas pelas quais

tenho profunda admlraccedil_atildeo que tambeacutem me ajudam e ao meu sobrinho Tiago

Agradeccedilo ao Conselho Nacional de Pesquisa (CNPq) e agrave FAPESP pelo

importantiacutessimo apoio financeiro

Finalmente agradeccedilo apaixonadamente agrave minha adorada esposa Adriana

I I Neste Instante gigantesco vi milhocirces de

I atos agradaacuteveis e arozes nenhum me assombrou

I mais que ( fato de todos ocuparem o mesmO ponto

sem superposiccedilatildeo e sem transparecircncia O que meus olhos viram foi simultacircneo o que transcreverei seraacute sucessivo pois a linguagem (J ecirc

Jorge Luiacutes Borges O Aleph

Abstract

We have constructed an experimental apparatus to study the dynamics of the

fonnatiacuteon of air bubbles in a nozzle subrnerged in a waterglycerin solution inside a

cy1indrical tuba The time delay between successive bubbles was measured with a

laserphotodiode system

The results were interpreted by meaus of Chaos Thecry and it was observed

biacutefurcations chaotic behavior and sudden changes in a periodic regime as a functron of

decreasing alf flow rate issued through the nozzle

Besides bubbling regime tragraveI1sitions we also observed dynamical effects by

applying a sound wave tuned to the fundamental frequcncy of the air colurrm above the

liquiacuted of the bubble fOffiiation As a function of the sound wave amplitude we obtained

Iimit cycle fHp blfurcatioo chaotic behavior and synchronization of the bubbling with the

sound wave frequency

Applying metricaJ as well as toacutepologiacuteeacuteal characterization to some chaotic attractors

we could establish relation with a Heacutenon-like dynamics The Heacutenon-like behaviacuteot j5 a

particular case of thc dissipative two-dimenslonal circle~rnap dynamics and by varying the

I amplitude of a sound Wave we have observed featutes present in the cIacutercJe map dynamics

I such as

I Chaos

i I

I 1

transition from quasiperiodic to chaotic behavior period doubling cascade and

Resumo

Construiacutemos um aparato experiacutemental para estudar a dinacircmica da formaccedilatildeo de

bolhas de ar em um bico submerso em uma soluccedilatildeo de aacuteguaglicerina dentro de um tubo

ciliacutendrico O tempo entre bolhas sucessivas foi medido com um sistema laierfotodiodo

Os resultados experimentaiacutes foram interpretados usando a Teoria do Caos Foram

observados bifurcaccedilotildees comportamento caoacutetico e saltos no regime perioacutedico em funccedilatildeo da

diminuiccedilatildeo da vazatildeo do ar soprado no bico

Aleacutem das transiacuteccedilotildees dos regimes do borbulhamento noacutes tambeacutem observamos

efeitos na dinacircmica do borbulhamento quando aplicamos uma onda sorrora sintonizada na

frequumlecircncia fundamentai da coluna de ar acima do liacutequido onde as bolhas eram formadas

Em funccedilatildeo da amplitude da onda sonora noacutes obtivemos ciclo fimite bifurcaccedilatildeo flip

comportamento caoacutetico e sincronizaccedilatildeo do borbulbamento com a frequumlecircncia da onda

sonora

UtiJizando caracterizaccedilotildees meacutetrica e topoloacutegica em alguns atratores pudemos

relacionaacute-los com uma dinacircmica tipo-Heacutenon cujo comportamento eacute tun caso particular da

dinacircmica do mapa do ciacuterculo bidimenslonaL Observamos caracteriacutesticas presentes na

dinacircmica do mapa do ciacuterculo na formaccedilatildeo das bolhas variando a amplitude da onda sonora

tais como transiccedilatildeo para o Caos via quase~periodiacutecidade cascata de duplicaccedilotildees de periacuteodo

e Caos

Iacutendice

Iacutendice

L Introduccedilatildeo 1

2 Aspectos teoacutericos 6

21 Buxos e recorrecircncias 6

22 Mapas de retorno 7

23 O Mapa quadraacutetico 8

24 Dimensotildees 12

25 Expoentes de Lyapunov 12

26 O mapa de Heacutenon 14

27 Reduccedilatildeo de rufdo 16

28 Espectro de Fourier 16

29 O Mapa do Ciacuterculo 18

210 Transformaccedilatildeo de ponto fixo 24

211 Plano Simboacutelico 25

3 Aparato experimental 27

3 L O tubo borbulhador 27

32 Sistema de aquisiccedilatildeo 28

33 Medidor de vazatildeo 29

34 Controlador de vazatildeo 30

35 Vaacutelvula solenoacuteide proporcional 31

3 6 O bico borbu Ihador 32

37 O sistema pneumaacutetico 33

38 O sistema sonoro 33

39 O liacutequido 37

310 magens 38

31 L O Experimento da Torneira Gotejante 40

4 Resultados e AnaacuteIise 41

Jlldfce

bull

41 A tornejra gotejante 41

42 Dinacircmica das bolhas 45

42 I Formaccedilatildeo quase-estaacutetica 45

422 Formaccedilatildeo de bolhas com vazatildeo constante 46

423 Bifurcaccedilotildees 48

424 Veias liacutequumlidas 52

425 A estabilidade de dois fluidos sobrepostos 54

426 lnstabiliacutedade da superfiacutecie da bolha 56

427 Frequumlecircncia de borbulhamento 59

428 Duplicaccedilotildees de periacuteodo 62

429 Salto e coalescecircncia 62

4210 Antibolhas 69

43 A onda sonora e as bolhas 72

431 A fonnaccedilatildeo de bolhas perturbadas pelas ondas sonoras 73

432 Atratores do tipo Heacutenon 78

432A Caracterizaccedilatildeo meacutetrica 80

432B Caracterizaccedilatildeo topoloacutegica 81

432C Plano Simboacutelico 83

44 Oscilaccedilotildees forccediladas 85

45 Comportamento geral 87

46 Comparaccedilatildeo entre atratores 92

47 Modulaccedilatildeo do Paracircmetro de Controle 94

5 Conclusotildees 97

6 Referecircncias 100I

ApecircndicesI 1 Simulations in a dripping faucet experiment

2 Chaotic behavior in bulgtble fonnation dynamics

I 3 Heacuteuon-like attractor in air bubble formation

I I

I

lnwod~u~ccedilao~-~____________________~________ ___ 1

1 Introduccedilatildeo

Com o advento da Teoria do Caos [Li e Yorke 1975] foi proposto que eos

sistemas natildeo-lineares com poucos graus de liberdade poderiam gerar uma dinacircmica

muito complexa como comportamento perioacutedico quase-perioacutedico e caoacutetico~ que

dependeriam dos paracircmetros de controle do sistema Tais sistemas no estado caoacutetico se

tornam imprevisiacuteveis enquanto o tempo avanccedila devido a uma propriedade baacutesica dos

siacutestemas caoacuteticos conhecida como sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais Podemos

encontrar exemplos destes sistemas ao nosso redor como nas oacuterbitas planetaacuterias

sistemas quacircnticos [Bertelsen el ai 1999J variaccedilotildees climaacuteticas [Lorenz 1980)

torneiras pingando [Shaw 1984 Martien ct al~ 1985 Sartor1li el 011994

Gonccedilalves1996 Pinto et aI 2000] reaccedilotildees qwmicas abalos siacutesmicos e circuitos

eleacutetricos [Jackson 1995] Podemos tambeacutem encontraacute-los dentro de noacutes mesmos nos

impulsos nervosos [Rapp et ai 1990] pulsaccedilotildees cardiacuteacas reproduccedilatildeo celular e muitos

outros ritmos bioloacutegicos [Jaclrson 1995)

Seguindo uma sugestatildeo de Rotildesller [RossIer 1977] de que uma torneira pingaodo

poderia ser um exemplo do sistema de equaccedilotildees diferenciais que exibe comportamento

caoacutetico~ Shaw [Shaw~ 1984] desenvolveu o experimento da torneira gotejante que se

mostrou mais complexo que O sistema proposto por Rotildesller No Laboratoacuterio de

Fenocircmenos Natildeo-Lineares (LFNL) do Instituto de Fisica da Universidade de Satildeo Paulo

foi construiacutedo um experimento semelhante ao experimento da torneira gotejante de

Shaw [SartoreUi et al~ 1994] e esta experiecircncia permitiu observar uma enormei

variedade de comportamentos dinacircmicos1 tais como CrIacuteses [Grebogi et ai~ 1982l

I intermitecircncias duplicaccedilotildees de penado e oacuterbitas homocliacutenicas Para explicar taisI comportamentos foram desenvolvidas algumas teacutecniacutecas para anaacutelise das seacuteriesI

temporais [Gonccedilalves 1996 Pinto 1999] Desta forma o conhecimento adquirido com o experimento da torneira gotejante

I nos permitiu propor e desenvolver um experimento para estudar a dinacircmica da

formaccedilatildeo de bolhas em um liacutequido onde medimos o tempo da fonnaccedilatildeo de bolhas de

ar sopradas em uma mistura de aacutegua e glicerina utilizando as teacutecnicas semelhantes agraves

utilizadas no experimento da torneira gotejante Este experimento) que chamamos de

tubo borbulhador [Tufalle e Sartorelli 2000a Apecircndice 2 Tufuile e Sartorelli 2000b

Apecircndice 3] eacute de interesse tanto no estudo dos sistemas dinacircmicos quanto nas

aplicaccedilotildees em fluxos com duas fases [Ruzicka el ai 2000] Aleacutem dos efeitos da vazatildeo

I

2 1lntroduccedilatildeq

do ar na formaccedilatildeo de bolhas~ -estudamos os efeitos de uma onda sonora nas intervalos de

tempo da formaccedilatildeo de bolhas

A geraccedilatildeo de bolhas eacute importante em uma vasta gama de fenocircmenos onde temos

a dispersatildeo de um gaacutes num liquido desde ocasiotildees corriqueiras corno no preparo de

uma maionese ateacute em Engenharia Quiacutemica nos chamados equipamentos de mistura de

fases Para citar apenas algumas situaccedilotildees temos a criaccedilatildeo de bolhas em colunas de

borbulhamento vasos de fermentaccedilatildeo~ equipamentos de limpeza e extraccedilatildeo cavitaccedilatildeo

acuacutestica em bombas hidraacuteulicas e vaacutelvulas de controle reatores caldeiras e fijiacutedo em

transmissotildees de ondas sonoras no oceano [Clift e ai 1978]

Basicamente podemos ter quatro formas de formaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos

a) Soprando um gaacutes atraveacutes de um liquido

b) Quando a alta velocidade do liquido diminui a pressatildeo de rorma draacutestica (abaixo d

pressatildeo de vapor do liquido) e uma cavidade preenchida com vapor do liquido se

forma ocorrendo o processo que eacute conhecido como cavitaccedilatildeo

c) Quando um aquecimento local faz com que a pressatildeo de vapor do liacutequido ultrapasse

a pressatildeo local do liquido e uma cavidade de vapor se furma por ebuliccedilatildeo

d) A diminuiccedilatildeo brusca da pressatildeo no liacutequido faz com que gases dissolvidos fotrnem

bolhas no seu interior que ocorre quando abrimos uma garrafa de refrigerante ou

em situaccedilotildees mais etais~ como aacutes bolhas que causam embolia em mergulhadores

que sofrem descompressatildeo

Neste trabalho focalIacute7aremos o primeiro caso da formaccedilatildeo de bolhas principalmente

em liacutequidos viscosos usando uma abordagem da Teoria do Caos

O estudo da formaccedilatildeo de bolhas eacute interdisciplinar devido agraves aplicaccedilotildees encontradas

em Engenhruia Fiacutesica Quiacutemica Ocolisica Matemaacutetica Aplicada e Medicina Clifl e

colaboradores [Clift e ai 1978] publicaram o livro intitulado Bubble Drops and

Particles no qual eles procuram dar uma revisatildeo dos trabalhos envolvendo o

movimento de partiacuteculas em fluidos e a criaccedilatildeo e movimento de bolhas e gotas em

fluidos Esta eacute urna referecircncia muito comum nos trabalhos envolvendo formaccedilatildeo de

bolhas Nesta obra sobre bolhas gotas e partiacuteculas podemos ver que os principais

obstaacuteculos no estudo dos fenocircmenos que envolvem a interaccedilatildeo do estado liquido com o

estado gasoso satildeo a compressibilidade dos gases e a natildeo-linearidade intriacutenseca dos

fluidos) que levam muitas vezes a modelos empiacutericos e com validade de aplicaccedilatildeo

limitada A ideacuteia central quando se aplica a Hidrodinacircmica tradicional eacute a de se

caracterizar diferentes regimes de gotejamento ou borbulhamento~ como transiccedilotildees de

3

lt

L IntroduccediltJQ

instabilidades [Chandraekbar 198 I] Tais transiccedilotildees OCOITem com o aumento de um

paracircmetro caracteriacutestico do sistema como por exemplo o IlUacutemera de Reynolds

Utilizando princiacutepios variacionais procura-se explicar como ocorre um tipo particular

de mudanccedila de regime como a transiccedilatildeo do regiacuteme laminar para a turbultncia

A aplicaccedilatildeo da Teoria do Caos a estes sistemas nos daacute novas perspectivas de

anaacutelise e aumenta nossa intuiccedilatildeo com relaccedilatildeo aos fenocircmenos complexos observados A

furmaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos viscosos e sua relaccedilatildeo com comportamento caoacutetico jaacute

foram relatados em trabalhos de Tritton [Tritton ot ai 1993] e Mittoni [Mittoni oi ai

1995] No primeiro trabalho um medidor de fluxo anemomeacutetrico que consiste de um

resistor sensiacutevel ao fluxo de um fluido que passa sobre ele~ foi colocado proacuteximo do

bico onde as bolhas eram fonnadas e infonnava sobre a fonnaccedilatildeo das mesmas_atraveacutes

da variaccedilatildeo da tensatildeo sobre o resistor Com este sinal de tensatildeor Tritton construiu seccedilotildees

de Poincareacute e atraveacutes delas ele observou duplicaccedilatildeo de penodo no tempo entre bolhas

e tambeacutem obteve algumas seacuteries de sinais com padrotildees nacirco-perioacutedicos Tritton

classificou os padrotildees de comportamento mais simples como Caos Fraco~ e os de

comportamento mais complexo como Caos Forte_ O trabalho eacute inovador no sentido de

que eacute a primeira vez que teacutecnicas deste tipo satildeo utilizadas para o estudo da formaccedilatildeo de

bolhas Mas as criticas com relaccedilatildeo a este trabalho levam em conta que o meacutetodo de

mediccedilatildeo eacute invasivo~ isto ~ a formaccedilatildeo das bolhas eacute afetada pelo medidor pois a

caracterizaccedilatildeo do comportamento caoacutetico fOI feita de modo subjetivo No segundo

trabalho Miltoni e colaboradores [Mittoni cl aL 1995J utilizaram como elemento

sensor da formaccedilatildeo de bolbas num tubo borbulhador um transdutor de pressatildeo obteve

seacuteries de sinais caoacuteticos atraveacutes de teacutecnicas natildeo-invasivas e aplicou a caracterizaccedilatildeo

meacutetrica sobre elas obtendo expoenles de Lyapllllov positivos (algoritmo de Wolf [Wolf

ct ai 1985D

Como exemplo do interesse da Engenharia Quiacutemi peJa formaccedilatildeo de bolhas

temos o grupo da Universidade do Tenessee [Finney 2000] nos Estados Unidos

denominado CRG abreviatura de Chaos Research Gr01lp que estuda desde 1992 entre

outros siste~ a dinacircmica de uma coluna de bolhas ascendente formada por um bico

Segundo eles o principal foco da pesquisa eacute explorar a rota de duplicaccedilatildeo de periacuteodo

ateacute o caos e a natureza espaccedilo-temporal das interaccedilotildees entre as bolbas aleacutem de

focalizar as aplicaccedilotildees de teacutecnicas de controle de Caos

Aleacutem deste grupo~ foram encontrados outros trabalhos envolvendo engenheiros

quiacutemicQs estudando formaccedilatildeo de bolhas atraveacutes anaacutelise de seacuteries temporais Li e

I

1

I _J__mmm__u~_________________~ 4

colaboradores [Li et aI 1997] estudaram a coalescencio entre bolhas atraveacutes do

espectro de potecircncias dos dados obtidos experimentalmente Ruzicka e colaboradores I

[Ruzicka et al~ 1997]~ focalizaram sua pesquisa na transiccedilatildeo do estado de

borbulhamento para o jateamento do ar em liacutequidos Eles encontraram um movimento

complexo das bolhas envolvendo disparos da vazatildeo do ar mudando do regime de

borbulhamento para o jateamento do ar no liacutequido Eles classificaram os disparos

utilizando a tcrnrinologia da Teoria do Caos como uma intermitecircncia do tipo lI

Os meacutetodos de anaacutelise das seacuteries temporaiacutes satildeo baseados na teacutecnica de

reconstruccedilatildeo do espaccedilo de reses a partir de uma coleccedilatildeo de dados conhecida como seacuterie

temporal e podemos c1assificaacute~los como meacutetodos meacutetricos e topoloacutegicos Basicamente

temos uma anaacutelise das propriedades meacutetricas desta reconstruccedilatildeo devido aos estudos

desenvolvidos por Pkanl [packard el 01 1980] Maliacutec [Maliacutee 198 I] e Takens

[Takens 1981J Aleacutem disso temos a caracterizaccedilatildeo atraveacutes de expoentes de Lyapunov

com um algoritmo muito popular desenvolvido por Wolf [Wolf el aI 1985] para o

caacutelculo destes expoentes para estas seacuteries Aleacutem do estudo da estabilidade das seacuteries

temporais~ tambeacutem eacute associado a elas o conceiacuteto de dimensatildeo Femat e colaboradores

[Fernat et ai 1998] acompanharam a evoluccedilatildeo de seacuteries temporais provenientes de

sensores capacitivos em um experimento de borbulhamento em uma coluna vertica1

eles obtiveram os expoentes de Lyapunov e fizeram anaacutelises espectrais dos dados

referentes agrave bolhas que se eJevavam na coluna A caracterizaccedilatildeo topoloacutegica de dados

experimentais de sistemas natildeo--lineares usando dinacircmica simboacutelica foi feita pOI

Gonccedilalves e colaboradores para o experimento da torneira gotejante [Gonccedilalves et aI

1998] Pinto [pinto ef al 2000) aplicou o estudo das variedades invariantes para

caracterizaccedilatildeo da Cataacutestrofe do Ceacuteu Azul tambeacutem no experimento da torneira

got~antegt assim como algoritmos de localizaccedilatildeo de Oacuterhitas Perioacutedicas Instaacuteveis (QP)

de So [So el ai 1996]

Neste trabalho observamos as condiccedilotildees que levam aos diferentes regimes de

borbulhamento e classificamos estes regimes de acordo com as teorias dos sistemas

dinacircmicos assim como registramos algumas observaccedilotildees intrigantes na evoluccedilatildeo destes

sistemas como por emplo o aparecimento de cmtibolhas [Stong 1986] que satildeo

basicamente cascas esfeacutericas de ar aprisionadas dentro do liacutequido Colocando oacuteleo junto

com aacutegua no sistema do tubo borbulhador~ tambeacutem registramos fi existecircncia de veias

liacutequidas que satildeo colunas daacutegua sustentadas por bolhas dentro do oacuteleo

5

I I i

1

I

I

J lntro50

Veremos tambeacutem o tubo borbulhador como um novo exemplo da classe dos

sistemas caoacuteticos devido agrave sua relaccedilatildeo com o mapa hidimensional do ciacuterculo (Argyris

et a~ 1994] Muitos sistemas fiacutesicos caracterizados por pelo menos duas frequumlecircncias

exibem um comportamento chamado de sincronizaccedilatildeo ou tambeacutem chamado de

travamento de frequumlecircncias Outro comportamento muito frequumlente na associaccedilatildeo de

osciladores eacute o comportamento quase-perioacutedico que pode ser representado pela

associaccedilatildeo de dois osciladores funcionando com a relaccedilatildeo entre as frequumlecircncias dada por

um nuacutemero irracional Todos esses comportamentos aparecem naturalmente no

experimento do tubo borbulhador e aleacutem disso~ este experimento nos permite explorar a

interaccedilatildeo entre os sistemas natildeo-linearesgt e como ocorrem as translccedilotildees entre os regimes

perioacutedico e ca6tico na emissatildeo de bolhas sujeitas agrave uma onda sonora

6

I I

I

I

2 Aspectos Teoacutericos

2 Aspectos teoacutericos

Seacuteries temporais nao-lineares podem ser analisadas com meacutetodos meacutetricos e

meacutetodos topoloacutegicos O meacutetodo meacutetrico eacute multo proacuteximo das noccedilotildees intuitivas de

distacircncia aacuterea volume e dimensatildeo que temos Por este meacutetodo podemos dimensionar e

comparar objetos num detenninado espaccedilo Tambeacutem podemos analisar a estabilidade

de um sistema com base no valor de meacutedias temporais da convergecircncia ou divergecircncia

da vizinhanccedila de um ponto destes objetos chamados de atratores

O meacutetodo de anaacutelise e carncterizoccedilatildeo topoloacutegica eacute um dos meios mais

importantes de investigar problemas natildeo lineares Este meacutetodo considera a seacuterie

temporal natildeo corno uma funccedilatildeo expliacutecita do tempo mas como curvas no espaccedilo de

falies que satildeo soluccedilotildees do sistema dinacircmico Descobertas consideraacuteveis nos aspectos

qualitativos e algumas infonnaccedilotildees quantitativas podem ser obtidas atraveacutes dos

atratores reconstruiacutedos

Os meacutetodos empregados neste trabalho foram obtidos da literatura ou

desenvolvidos noacute LFNL A finalidade da utiacuteliacutezaccedilatildeo de tais meacutetodos eacute testar e justificar

algumas hipoacuteteses feitas para os dados obtidos com tubo borbuIhador e para a torneira

gotejante Para evitar redundacircncia da derivaccedilatildeo dos meacutetodos amplamente encontrados

em livrostexto e artigos as derivaccedilotildees dos meacutetodos seratildeo simplificadas Para maiores

informaccedilotildees dos algoritmos empregados poderatildeo ser consultados os trabalhos de

Hegger Kantz e Schreiber [Hegger et aI 1999) Ellner [EIlner cf aI 1992) So [So Cf

aI 1996) e Gonccedilalves [Gonccedilalves ef aI 19981

21 Fluxos e recorrecircncias

Os sistemas dinacircmicos detenniniacutesticos satildeo descritos pela evoluccedilatildeo temporal de

um subconjunto A em um espaccedilo euclidiano d~djmensional Eles podem ser expressos

por exemplo por equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias [Sotomayor 1979]

X=f(f) (21)

ou com um tempo discreto t = n J t por mapas [Collet eacute Eckmann 1980]

x n+ =f(x) (22)

Uma seacuterie temporal eacute uma sequumlecircncia de observaccedilotildees igualmente espaccediladas no

tempo Uma seacuterie de eventos eacute uma sequumlecircncia de intervalos de tempos entre os quais

ocorreu um determinado evento

2 ~lectQsTeoacutericos 7 ~~~~~----

22 Mapas de retorno

Uma seacuterie de eventos da forma (x Xl ) natildeo eacute exatamente o espaccedilo

de fases do sistema dinacircmico sendo necessaacuterio empregar alguma teacutecnica de

reconstruccedilatildeo para revelar a estrutura muIti~dimensional desta seacuterie Um dos mais

importantes tipos de teacutecnica de reconstruccedilatildeo do espaccedilo de fases eacute o mapa de retomo ou

tambeacutem chamadQ de coordenadas de atraso Vetores no espaccedilo de imersacircn satildeo criados

a partir de atrasos na seacuterie O conjunto das duplas (llt XjH) forma o mapa de primeiro

retomo~ e o conjunto das duplas (Xj Xjt2) forma O mapa de segundo retomo e assim por

diante O nuacutemero de elementos destes vetores daacute a dimensatildeo de espaccedilo de imersatildeo O

teorema de imerslio de Talcens [Talcens 1981] estabelece que se uma medida eacute

dinamicamente importante para o sistema ela conteacutem toda informaccedilatildeo contida neste

sistema dinacircmico

Em modeIos matemaacuteticos de sistemas dinacircmico~ a evoluccedilatildeo do processo eacute

vIacutesualizada no espaccedilo de fases cuja dimensatildeo eacute dada pelo nuacutemero de variaacuteveis

independentes Em experimentos o espaccedilo de fases eacute usualmente desconhecido a

princiacutepio e frequumlentemente uma uacutenica variaacutevel escalar do sistema pode ser medida O

meacutetodo mais comum de reconstruccedilatildeo do espaccedilo de fase a partir de uma seacuterie temporal

foi proposto por Packard Crutchfield Farmer e Shaw [packard et aL 1980] para se

analisar os dados do experimento da torneira gotejante A dinlhnica de uma seacuterie

temporal x em sistemas dissipativos eacute completamente descrita pelo atrator em um

espaccedilo de fases d-diacutemensiona)~ lRd~ com D sendo a dimensatildeo do atrator Genericamente

qua1quer atrator eacute completamente envolvido no espaccedilo de fases por sua proacutepria hacia de

atraccedilagraveo~ consequentemente todos os movimentos transientes inicializados em uma

I pequena vizinhanccedila do attator~ movem-se assintoticamente na direccedilatildeo do atrator Os

I atratores podem ser perioacutediacutecos~ quase-perioacutedicos e caoacuteticos

Neste trabalho os dados experimentais obtidos satildeo apresentados em mapas de

primeiro retorno bjdimensionals cujos elementos das duplas (Tnbull Tnt1) satildeo intervalos de

tempo entre duas bolhas consecutivas Tambeacutem seratildeo apresentados mapas de primeiro

retorno tridimensionais atraveacutes das tripla (Tn Tn+ h Tn+2) Outras representaccedilotildees

necessaacuterias seratildeo especificadas no local onde estas forem utilizadas

8

I -

2 Aspectos Teoacutericos

23 O Mapa quadraacutetico

As princiacutepals caracteriacutesticas dos sistemas dinacircmicos satildeo observados e analisados em

mapas unidimensionais como no mapa quadraacutetico do tipo

f(x) x -a (23)

onde Xfl eacute a variaacuteveI iterada do mapa e a eacute o paracircmetro de controle O diagrama de

bifurcaccedilotildees deste mapa pode ser visto na Fig 21

X o

-1

~~~~~-~~~~----------F~---

-shy

1~ -05 00 05 10 15 20

a Figura 21 Bifurcaccedilacirco obtida com uma funccedilatildeo oonvcxa a linha tracejula eacute o primeiro ponto fixo inslaacutevel que surge numa bifurcaccedilatildeo tipO sela-noacute

Neste diagrama vemos os valores possiacuteveis de x para uma variaccedilatildeo do paracircmetro

de controle a entre -Q25 e 20 Os valores do mapa para a entre -025 e 125 podem ser

calculados analiticamente impondo a condiccedilatildeo de que o valor da variaacutevel iterada

anterior seja igual ao valor da variaacutevel iterada seguinte

xx 1 -a (2-4)

que nos fornece dois pontos fixos Xf

x = [l+(l+4a)1f2 (25)

lt = [1- (1 +4a)]I 2_ (25b)

9 2 Aspectos Teoacutericos

A estabilidade dos pontos fixos de qualquer mapa unidimensioual eacute obtida com

as condiccedilotildees

Ifl(Xr ~ lt 1gtxreacute um ponto fixo estagravevel (260)

If(xr)1 gt1gtxreacuteum ponto fixo instaacutevel (26b)

Deste modo para valores de a acima de -025 obtemos xJ1 instaacutevel~ enquanto xp

eacute estaacutevel ateacute o paracircmetro a chegar a 075 Para a igual a -025 no mapa da equaccedilatildeo (23)

experimenta uma bifurcaccedilatildeo sela-lIoacute A linha tracejada na Fig (21) eacute a trajetoacuteria

instaacutevel xfl e o ramo estaacutevel Xp estaacute simetricamente abaixo ateacute O valor de a igua1 a 075

Quando o paracircmetro de controle a atinge O~75 as trajetoacuterias do mapa sofrem

uma mudanccedila de oomportamento Nesse caso a partir deste valor do paracircmetro de

controle a oacuterbita oscila entre dois valores de x

X f(xf ) (270)

Xf4 fx) (27b)

I

x

2 2

1 1

bullbull

i

o 1lt gtrc zA

-1 I i--=

1

o

-1

t t Xp __

J

Xp l-shy

~t i~

tr~

-2+ordf b ~

-2 00 05 10 15 00 05 a 10 15 a

Figura 22 (a) Detalhe do diagrama de bifurcaccedilamps do mapa quadraacutetico a linha tracejada representa o poacutento

fum instaacutevel da bifurcaccedilatildeo selallOacute (b) Bacia de atraccedilatildeo mostrando a estabilidade de algumas regiotildees

mostradas em (al neste graacutefico as linhas vermelhas representam os pontos fixos instaacuteveis enquanto que as

- linhas pretaS os pontos fixos estaacuteveis Podemos emnparar a troca de estabilidade de xp mGSlrado em (b) para

a 075 oom o diagrnma mostrado cm (u) assim como- o mesmo tipo de troca para xp c xp pata a = 125

(linha pontilhada)

1

____________________________________ 102 Aspectos Teoacutericos

Para compreendermos o que ocorre agora utiacutelizando os criteacuterios de estabilidade

(26) e para calcular os novos pontos fixos temos que recorrer a uma composiccedilatildeo do

mapa com ele mesmo da seguinte forma

g(x) =f(f(x)) =x - 2ax + - a (28)

que possui quatro pontos fixos sendo dois deles os pontos fixos das equaccedilotildees 27(a)shy

(b) agora ambos instaacuteveis e dois outros estaacuteveis dados por

x =l+ll+4(a-I)2 (29)

x =l-[1+4(a-I)12 (29b)

Na Fig 22(a) vemos o diagrama de bifurcaccedilotildees no periacuteodo 2 e no graacutefico ao

lado (b) representamos as oacuterbitas jnstaacuteveis (ramos vermelhos) e os ramos estaacuteveis

(ramos pretos) As setas indicam a atraccedilatildeo ou a repulsatildeo dos pontos fixos Na Fig 22(a)

quando a=12S podemos notar que na sequumlecircnCIacutea de bifurcaccedilotildees aparece o periacuteodo 4

Quando estes quatro pontos fixos se tornam instaacuteveis um periacuteodo 8 aparece e o

processo de duplicaccedilatildeo de perfodo se repete indefinidamente para faixas de a cada vez

mais estreitas ateacute chegar no valor Umiacutete a = 140113bullbull que pode ser visto na Fig 23

A partir deste valor do paracircmetro de controle os pontos no mapa visitam bandas

perioacutedicas que se alargam e se sobrepotildeem aos pares diminuindo o nuacutemero de bandas

num processo chamado de bifurcaccedilatildeo reversa Nesta sobreposiccedilatildeo os valores de x

evoluem periodicamente com relaccedilatildeo agraves bandas mas de modo erraacutetico dentro de cada

uma delas e tal movimento eacute chamado de caoacutetico

No diagrama da Fig 23 apoacutes O encontro das duas bandas caoacuteticas

temos a ocorrecircncia de janelas perioacutedicas de periacuteodos iacutempares COm uma janela maior de

periacuteodo 3 (a l75) e outra menor de periacuteodo 5 relacionadas com bifurcaccedilotildees

tangentes A existecircncia do periacuteodo 3 eacute o principal argumento para se utiacutelizar um

teorema que estabelece a existecircncia de todos os outros periacuteodos maiores O Teorema de

Sharkovskii [Jackson 1995] nos daacute um esquema natildeo usual de ordenaccedilatildeo para os

nuacutemeros naturais tal que para cada nuacutemero natural n a exiacutestecircncia de um ponto de

penodo II implica na existecircncia de oacuterbitas perioacutedicas de todos os periacuteodos maiores na

ordenaccedilatildeo do que n Pelo teorema de Sharkovskii a existecircncia de uma oacuterbita de

periacuteodo 3 num mapa unidimensional natildeo-monotocircnico com apenas um maacuteximo impHca

na existecircncia de todos os periacuteodos_

2 Aspectos retiFicas __ ~___li

o teorema de Sharkoyskii explicitamente eacute [Jackson 1995J

Seja T o conjunto ordenado 3-oacuteltJ-lt lt23lt25-lt27lt lt213425-lt227-lt

-1Jlt4lt2-lt1 Seja lmiddot uma aplicaccedilatildeo suave do intervalo unitaacuterio nele mesmo tal que

f(O)=f( J)=0 que possui apenas um ponto critico Se m-lt1l relativo agrave ordem no conjunto

1 eftem a menor oacuterbita de periodo m entatildeo f tem uma oacuterbita de periacuteodo n

~----~--------------~~--~i BandIs atfaINas t PArimo Todosos perlodoo ~ bull 1 - - ~i I iacuteltJirrdnuirdon) I

Paf~S estlWeis Ilo(Mmenkl Caos penodos

l 2 __ I mi-pelloacutedlco rJlllllffls 3 bull

1

x O

-1

I Caos

I ~~-L-__~____~~~~plusmn==~~~~~~~~II

14 16 18 20

a

Figura 23 O comportumento dinacircmico geral do mupa quadraacutetico com a cascata de duplicaccedilotildees de periacuteodo (alt14) Pnrn a gt 140l1 ocorre Caos com a diminuiccedilatildeo das bandas atrativas Apoacutes ti janela de periacuteodo 3 temo tooos os periacuteodos como propotildee o teorema de SharkovskiL

l

12 2 Aspectos Teoacutericos

24 Dimensotildees

Um aspecto baacutesiacuteco de um atrator obtido a partir de um sistema dinacircmico eacute a sua

dimensatildeo pois O comportamento do sistema eacute caracterizado pejo atrator Apoacutes um

transiente alguns tipos de movimento desaparecem devido ao amortecimento e o

estado do sistema se aproxima de um atrator no qual o nuacutemero de variaacuteveis

independentes que detennjnam a dimensatildeo do atrator eacute reduzido consideravelmente

Os atratores podem ter a dimensatildeo de um ponto linha ou plano ou podem ser

extremamente complicados e frequumlentemente possuem estruturafractal [Alligood et al

1997] Podemos medir essafractalidade atraveacutes de dimensotildees generalizadas

Associamos a dimensatildeo de um objeto com o nuacutemero de vetores ortonormais que

podem ser sobrepostos ao objeto Embora seja muito importante esta associaccedilatildeo de

vetores nos restringe sempre a dimensotildees inteiras mas existem outros conceitos de

dimensatildeo entre eles a dimensatildeo de Hausdaif(Df ) [AlIigood et aI 1997] que eacute baseada

na ideacuteia de um comprimento caracteriacutestico R em um conjunto de N elementos

D =logN N_RDt (210)I JogR

A dimensatildeo de lnfonnaccedilatildeo (Di) [AUigood et ar 1997] leva em conta as

frequumlecircncias de visitaccedilatildeo relativas e por isto eacute mais interessante para slstemas fiacutesicos

Muitas outras definiccedilotildees de dimensatildeo existem mas para os objetivos deste trabalho

utilizaremos apenas as dimensotildees citadas anterlonnente e a dimensatildeo de Kaplan-Yorke

(DKy) [Argyris ct ai 1994]

Aleacutem disso a determinaccedilatildeo do valor de uma dimensatildeo a partir dos dados

experimentais de um processo dinacircmico indica qual eacute a dimensionalidade do espaccedilo de

fases do sistema dinacircmico matemaacutetico que deve ser usada para modelar o sistema

25 Expoentes de Lyapunov

Os sistemas caoacuteticos exibem sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais Esta afirmaccedilatildeo

tem sido utilizada para resumir uma das principais propriedades dos sistemas caoacuteticos

que pequenas diferenccedilas nas condiccedilotildees iniciais satildeo magnificadas devido agrave dinacircmica do 1

I

13 2 Aspectos TeoacuterirIJS

sistema de tal modo que em um tempo finito o sistema percorre estados totaJmente

diferentes A noccedilatildeo de sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais eacute feita de modo mais acurado

atraveacutes do expoente de Lyapunov amp[AHigood ef al 1997] Nonnalrnenre sistemas

contendo pelo menos um expoente de Lyapunov positivo satildeo considerados caoacuteticos Isto

significa que trajetoacuterias partindo de dois pontos muito proacuteximos natildeo importando quatildeo

pequena seja a distacircncia entre elas iratildeo evoluir de modo diferente e se afastaratildeo

exponencialmente uma da outra com o tempo

Podemos obter o expoente de Lyapunov maacuteximo [Wolf et aibull 1985] sem a

construccedilatildeo expliacutecita de um modelo para a seacuterie temporal Uma caracterizaccedilatildeo confiaacutevel

com expoente positivo exige que sejam garantidas a independecircncia dos paracircmetros de

imersatildeo e uma lei de crescimento exponenciaL

Existe tambeacutem o caacutelculo do espectro de expoentes de Lyapunov [Hegger e

Kantz 1999] onde o ingrediente essencial eacute a estimativa de Jacobianas locais ou seja

uma dinacircmica liacutencanzada que regula o crescimento das perturbnccedilocirces infinitesimais

Para uma melhor compreensatildeo dos sistemas dinacircmicos uma concHiaccedilatildeo entre

caracteriacutesticas relativas agraves meacutedias temporais e espaciais dos atratores foi feita atraveacutes da

teoria ergoacutedica [Argyris et aI 1994] Como o expoente de Lyapunov caracteriza a

dinacircmica do atrator atraveacutes de meacutedias temporais da divergecircncia ou convergecircncia de

uma vizinhanccedila com relaccedilatildeo a um ponto da oacuterbita o caacutelculo dos expoentes de

Lyapunov permite certas comparnccedilotildeei como a conjectura de Kaplan-Yorke [Argyris ct

al 1994] que estabelece que a dimensatildeo de Informaccedilatildeo deve coincidir com dimensatildeo

de Kaplan-Yorke DKy dada por

Lei ~Ik -- (211)

D Kf bull IEr+1

onde k eacute um inteiro maacuteximo tal que a soma dos k expoentes maacuteximos seja natildeo-negativa

e ti eacute uacute i- eacutesimo expoente de Lyapunov Tal conjectura foi verificada para uma boa parte

dos sistemas dinacircmicos dissipativos de baixa dimensacirco [Hegger e Kantz 1999]

2 Aiacuteipectos Teoacutericos 14

26 O mapa de Heacutenon

o mapa de Heacutenon eacute um mapa bidimensional do tipo

XH_I =l-ax+ Y1Igt (212)

Y-+l = bX1l

Os pontos fixos do mapa satildeo dois e podem ser obtidos por

x = [(b-I)plusmn~(1-b) +4a]2a ybx (213)

e para cada um desses pontos fixos temos dois autovalores associados Agrave

I Acirc =-axplusmn~(ax) +b (214)

desta forma com esses dois autovalores podemos estudar a estabilidade de cada ponto

I a=14 b=O31

bullbull 2

gt- ~oo

-04

middot10 -05 M M 10

x

Figura 24 Atrator de Heacutenon caoacutetico reconstruiacutedo nas variaacuteveis x~ e y para a=14 e b=O3

fixo como foi feito

para 0lt mapas

unidimensionais Um

atrator de Heacutenon

caoacutetico bem

conhecido eacute mostrado

na Fig 24 O

coeficiente a estaacute

relacionado com o

estiramento do mapa

e coeficiente b estaacute

relacionado com a

contraccedilatildeo da aacuterea do

mapa de Heacutenon e este

coeficiente eacute o

determinante da matrizjacobiana J do atrator de Heacutenon com o siacutenal negativo

- 2ax 11 deU = b q=-b (215)

1

15 2 ASlClOS TeoacuteriCC$

Na Fig 25 vemos as duas variaacuteveis do mapa nos graacuteficos de x liS a e y vs a~ onde

podemos notar a oontraccedilatildeo da variaacutevel y por b na Fig 25(b) em relaccedilatildeo agrave variatildevel que

aparece na Fig 25() onde temos tambeacutem os pontos fixosxJ2 da equaccedilatildeo (213)

(a)

gtlt

x

(b) J

~ Contraiacutedo pelo

1 fator b 1

04 06

a

Figura 25 Diagramas de blfunaccedilotildecs do atI3tor de Heacutenon para b=O3 em (a) a variaacutevel x e seus dois pontos lOO)S x na cor vente e xs na corverme1ba calculados pela equaccedilsecto (213) sobre a seacuterie e em (b) a variaacutevel y contraiacuteda pelo1ator b

Para o caso do diagrama de bifurcaccedilotildees da Fig 25 determinante de J eacute constante

e negativo det J = - 03 para todos os valores de a

Os expoentes de Lyapunov do mapa de Heacutenon 81 e amp1 estatildeo relacionados com a

matriz jaeobiana pela relaccedilatildeo de contraccedilatildeo [Argyris et ai 1994]

+lt ~ In Idet(J) I= In 03 ~ -12 (216)

Esta relaccedilatildeo representa as propriedade de estiramento Si e dobra E2 atuando

uniformemente Idet(J) I~ 03 dentro do espaccedilo de rases para estabelecer o atrator Para

a=lA e b=O)3 temostj ~ 042 eE1t -1~62 O valor SlgtO nos daacute um atrator caoacutetico

16 2 Aspectos Teoacutericos

27 Reduccedilatildeo de ruiacutedo

A filtragem de sinais obtidos a partir de sistemas natildeo~lineares exige o uso de

meacutetodos especiais [Hegger e Kantz 1999J jaacute que os filtros lineares podem interagir

desfavoravelmente com a estrutura natildeo-linear Sinais irregulares de fontes natildeo-lineares

exibem bandas de espectro realmente largas e natildeo existe justificativa para identificar

qualquer componente no espectro de frequumlecircncias como ruiacutedo Entretanto existem certas

dependecircnciacuteas geneacutericas entre as medidas x que criaratildeo vetores x para preencher o

espaccedilo de imersatildeo d~diacutemensionaJ de um modo natildeo homogecircneo Meacutetodos de filtragem

linear procuram identificar as direccedilotildees principais da distribuiccedilatildeo no espaccedilo de fases e

fazer projeccedilotildees sobre elas A reduccedilatildeo de ruiacutedo natildeo-linear leva em conta que sinais natildeo~

lineares formaratildeo estruturas curvas no mapa de retomo A principal suposiccedilatildeo do

algoritmo utilizado eacute que ele deve ser aplicado para sistemas de baixa dimensatildeo (D-3)

28 Espectro de Fourier

Outro criteacuterio para se analisar seacuteries temporais eacute atraveacutes da decomposiccedilatildeo da

seacuterie numa integral de Fourier [Argyds et aI 1994] Considerando um sinaljfO a

expressatildeo pode ser expressa na forma

+shy

(1)=_1 JF(fraquo)edW (217)2

onde

~

F(w) = Jf(t)e-iMdt (218)- eacute definida como a transfonnada de Fourier do sinal f(t)

O espectro de potecircncia P(m) do sinal eacute dado a partir de F(m)

P(m)= IF(m) I = F(m)P(m) (219)

COm fgt(m) sendo o complexo conjugado de F( (O)bull

17

1

Xj 10

1deg1 -I Igt1J 00 0$ IC

2 Aspectos T~6ricos

logo -shy

1() I P(

j 14J

X Q)

Figura 26 _(a) Periacuteodo 4 do mapa de Heacutenon e em (A) o seu espectro de potecircncias (b) atrator de Heacutenon lUl regiatildeo caoacutetica e em (B) seu respectivo espectro de potecircncias moslIatldo uma banda larga

Na Fjg 26 temos dois atratores obtidos a partir do mapa de Heacutenon em (a) o

comportamento de periacuteodo 4 e em (A) o espectro que nos mostra o comportamento

perioacutedico com os dois picos indicando uma duplicaccedilatildeo de periacuteodo caracteriacutestica do

atrator de Heacutenon Para os paracircmetros a=155 e b=Ol temos um atrator de Heacutenon no

regime caoacutetico em (b) e seu espectro de banda larga em (B)

Frequumlentemente atratores caoacuteticos apresentam banda larga por isso este eacute um

meacutetodo muito comum na identificaccedilatildeo do comportamento caoacutetico Aleacutem disso a anaacutelise

da evoluccedilatildeo dos sistemas dinacircmicos atraveacutes de seus espectros pennite definir a rota

[Argyris eJ ai 1994] que leva o sistema ao Caos poiacutes a evoluccedilatildeo das dupHcaccedilotildees de

periacuteodo vista no mapa quadraacutetico e que tambeacutem acontece no mapa de Heacutenon eacute apenas

uma dessas rotas Na proacutexima seccedilatildeo veremos um outro mapa que nos mostra esta e

outras rotas para o Caos

18

I I I

Capiacutetulo2 Aspectos Teoacutericos

29 O Mapa do Ciacuterculo

o mapa do CIacuterculo modela a interaccedilatildeo entre um oscilador IImestre quando aplicado

a um segundo oscilador natildeo-linear [Argyris et aI 1994 Jackson 1995J A dinacircmica eacute

governada por dois paracircmetros de controle a razatildeo entre as frequumlecircncias dos osciladores

desacoplados n e a intensidade de acoplamento K

K e +1 == BII +Q--sen2nBn +brn (mod I) n 2 (220)K

rn+l brn - 20 sen 2nBn middot

Aqui 01 eacute o acircngulo de um rotor riacutegido logo apoacutes o eneacutesirno impulso e rn eacute proporcional agrave

velocidade angular deste rotor sujeito a um impuiso externo do oscilador mestre e b estaacute

relacionado com o amortecimento

00 05 15K

~iacutegura 27 Diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo para b=Ol e =0725

01

-01

19 Capiacutetulo2 Aspectos Te6ricos

Na figura 27 podemos ver a seacuterie temporal do mapa do ciacuterculo Este tipo de mapa

nos daacute outro tipo de rota para o caos denominada de rota para o caos via quaseshy

periotlicidade Temos basicamente o aumento do raio de um ciclo limite quase-perioacutedico

intercalados com travamentos de frequumlecircncia e comportamento ca6tico

Para sistemas altamente diacutessipativos o termo b se anula e o mapa pode ser estudado

na forma puramente angular

K 0M =0 +0- 2JI seo(27l0) (221)

Um conceito importante para a anaacutelise do mapa do ciacuterculo que foi introduzido por Poincareacute

[Argyris el ai 1994 Alligood aI 1997] eacute nuacutemero de rotaccedilatildeo W

() - ()oW(KO) = lim n (222)

n~iOO n

que eacute a meacutedia da rotaccedilatildeo do oscilador forccedilado por ciclo

As propriedades de estabilidade para valores de Kltl para a equaccedilatildeo (221) seguem

a partir da teoria de estabilidade liacutenear para mapas como foi feito para o mapa quadraacutetJco

d~f(eo 10 =11- K cos(27lB)I (223)

que eacute menor do que um se fi lt114 e eacute maior do que 1 se 0gt114 ou se 8gt314 Para um ponto

fixo estaacutevel Os temos

lim~=es=gtw=o (221) nshy

Substituindo na equaccedilatildeo 221 obtemos a relaccedilatildeo entre K e n dada por

Q=+K (222)- 2JI

Estas relaccedilatildeo entre K e Q nos daacute o espaccedilo de paracircmetros do mapa do ciacuterculo onde podemos

ver para quais valores podem ocorrer a sincronizaccedilatildeo do oscilador forccedilado conhecida como

liacutengua de Arnold [Bai-lin 1989 para o nuacutemero de rotaccedilacirco W=OII

Na figura 28(a) temos o mapa de primeira iteraccedilatildeo da funccedilatildeo senoida1 do mapa do

ciacuterculo na regiatildeo onde ocorre uma bifurcaccedilatildeo do tipo sela-noacute Para um valor fixo de K entre

Oe 1 trecircs valores de Q foram escolhidos ParaQ gt nKtgt o ponto fixo alnda natildeo existe Para

Q = QICcedilo a funccedilatildeo tangencia a bissetriz e um ponto fixo aparece Diminuindo aiacutenda mais o

valor de Q o ponto fIXO se divide em dois um estaacutevel e outro instaacutevel situaccedilatildeo

20 CapiacuteUlo2Aspec~os Te6ricos

caractenstica de uma bifurcaccedilatildeo sela~n6 A figura 28(b) daacute o diagrama de bifurcaccedilatildeo para

W=Ol para os valores positivos de n da equaccedilatildeo 225

13) i 7 1

08 ~ a

(a)

n~ K=Ko

(b)

n~o n~

on KH

cri 06 ~- I

04 ordm -H bull

02 fi =+K12ffshy

00 )J j

00 e 05 10 00 n e

Figuro 28 (a) vraacuteficos do mapn do ciacuterculo em funccedilatildeo do paracircmetro Q na regiatildeo do ponto de bifurcaccedilatildeo elun6 Em (b) a representaccedilatildeo no espaccedilo de pnnimetros da liacutengua de Arnold correspondente a W=OJ que ocorre para valores de Ll menores que LlKII bull

Para diferentes valores de W quando Klt1 gt ocorrem outras regiotildees de travamento

de frequumlecircncias sem ocorrer sobreposiccedilatildeo entre elas como estaacute apresentado na Fig 29 que

mostra os limites de estabilidade dos domiacutenios perioacutedicos no plano (Kn) para alguns

nlIacutemeros de rotaccedilatildeo Para as regiotildees onde ocorrem a sincronizaccedilatildeo das frequumlecircncias entre os

dois osciladores o nuacutemero de rotaccedilatildeo

W eacute um nuacutemero racional pq Deste

modo para cada valor racional do eixo

0 uma janela perioacutedica surge e se

expaIlde quando aumentamos o valor

de K Com o aumento da natildeoshy

linearidade atraveacutes do paracircmetro K a

sincronizaccedilatildeo das frequumlecircncias a se

tornam mais dominantes

ir

v I I I 1 ~ li 1 raquo1lD J

Figura 29 Diagrama das Liacutenguas de Arnold para o mapa do Ciacuterculo

21 2 Aspecto Teoacutericos

Para valores de Kgt I ~ as liacutenguas de Arnold passam a se sobrepor~ e o nuacutemero de

rotaccedilatildeo natildeo eacute mais unicamente determinado~ mas trocado por um intervalo de rotaccedilatildeo

[WJbull Wl] e este embaraJhamento torna o comportamento aperioacutedico

Para mostrar algumas das caracteristicas gerais do mapa no ciacuterculo~ utilizaremos

o conceito de expoente de Lyapunov Lyapunov estudou urna vizinhanccedila abstrata x

de uma trajetoacuteria x com N pontos com o objetivo de verificar se estes pontos se

afastavam ou convergiam para a trajetoacuteria Tomando uma trajetoacuteria infinita e uma

vizinhanccedila tatildeo pequena quanto se possa imaginar ele associou um expoente que

caracteriza se a trajetoacuteria eacute perioacutedica indiferente ou caoacutetica Para o mapa do clrcuio na

sua fonna angular da equaccedilatildeo (221) com n = 025 o expoente foi calculado

numericamente com a expressatildeo

1 H-I

B = N ~ Inll-K cos(28 lI (226)

que estaacute representado na Fig 210(a) e seu respectivo diagrama de bifurcaccedilotildees na Fig

21 O(b) Inicialmente os expoentes satildeo ligeiramente negativos da ordem de _10-6~ ateacute o

valor de K=l onde divergem pare menos infinito Oacuterbitas com expoentes deste tipo

divergindo para menos infinito satildeo conhecidas como oacuterhitas super~estaacuteveis Ao

teacutennino desta janel~ o sistema jaacute possui comportamento caoacutetico e esta rota para o Caos

eacute classificada de rota via quase-periodicidade [Bai-lin 1989 Argyrls et al~ 1994

Jackson 1995 Alligood el ai 1997J onde os expoentes de Lyapunov positivos natildeo

ultrapassam o valor de O~3 Aumentando K o sistema trava em um periacuteodo l~ e inicia

outra rota para o Caos a rota via duplicaccedilotildees de periacuteodo ou rota de Feigenbaum jaacute

discutida para O caso do mapa quadraacutetico na qual os expoentes se anulam nos pontos

onde ocorrem as bifurcaccedilotilde~ neste caso temos o comportamento indiferente Para

K34 o sistema experimenta um alargamento abrupto do atrator e este alargamento eacute

classificado como uma crise Apoacutes a crise os expoentes de Lyapunov maacuteximos param

de crescer e tecircm valores na faixa entre O~7 e 093 Quando K atinge aproximadamente

4~7 o sistema volta a sofrer um travamento de frequumlecircncia em periacuteodo 1

Do mesmo modo que o atrator de Heacutenon o mapa do ciacuterculo bidiacutemensional da

equaccedilatildeo (220) contrai o espaccedilo de fases uniformemente como podemos ver atravoacutes do

detenninante da matriz jacobiana do mapa

09 rgt o

[lshy 03

~oo I c 03 O1~~1 I1middot1 q q nq fqll ir nnqlq qll

Lshy________~ ~

-

2 ApcJos Teoacutericos 22

o 1 2 K 3 4 5

Figura 210 (a) Expoentes de Lyapunov do mapa do circulo coro n =025 Em (b) o diagrama de bifurcaccedilotildees para o mesmo mapa Podemos obter a sequumlecircncia de duas rotas para o Caos com este sistema dinacircmico li rota de quaseperiodicidade e a rota de duplicaccedilotildees de periacuteodo

1- K cos2nJ ~ (227)detJ=I_KCOs2JfJ bl=b

i

Os pontos fixos r e (IIilt de periacuteodo 1 logo apoacutes a regiatildeo quase-peri6dica para

Kgt155 da Fig 27 satildeo dados por 1 r= -fl(mod I) se fl(modI) lt 05 ou r= I-fl(mod I) se fl(modI) gt 05

(228)I [2JlT 1f) = 2r areseo K(b - 1)_

assim podemos detenninar o ponto onde ocorre a primeira bifurcaccedilatildeo do tipo flip

usando os criteacuterios de estabilidade para a seguinte equaccedilatildeo caracteriacutestica

l-Keos2rf)-Agrave b J =0 (229)

-Kcos2Jff) b-Agrave

que nos dagrave dois autovalores para cada ponto fixo Para () ponto fixo r os autovalores

valem explicitamente

23 2 AspecQS1cocircricO$

-K cos2nL~arcsef (b-l))]+I+b - -plusmn- 2

(230)

+IKCOS27t[~arcsen(T(b-I))]+I+br -4b 2

como r eacute calculado pela equaccedilatildeo (228) para os pontos fixos a bifurcaccedilatildeo flip ocorreraacute

quando um dos valores de Acirc alcanccedila o valor -I

Para valores da constante b proacuteximos de zero deve ser feita urna correccedilatildeo em

primeira aproximaccedilatildeo nos valores das liacutenguas de Arnold Pata as Hnguas

correspondentes ao travamento de frequumlecircncias de periacuteodo 1 como a equaccedilatildeo (225) as

liacutenguas podem ser calculadas atraveacutes de

K (231)n= 21r(1- b)

o mapa do circulo eacute um sistema dinacircmico que parte de um sistema fisiacuteco bem

definido [Argyris cf ai 1994) que apresenta um comportamento muito rico com

relaccedilatildeo aos elementos da Teoria do Caos

Aleacutem do comportamento individual dos mapas vistos anterionnente~ como o

mapa quadraacutetico o mapa de Heacutenon e o mapa do cIacuterculo~ tambeacutem eacute desenvolvida a

pesquisa na aacuterea de sistemas dinacircmicos espaccedilo-temporais [Kaneko 1992 Vian~ 2000]

atraveacutes do acoplamento destes mapas fonnando uma rede Com estes estudos pretendeshy

se explicar rotas tiacutepicas para turbulecircncia1 como por exempJo a sequumlecircncia obtida com o

acoplamento de mapas quadraacuteticos duplicaccedilotildees de penado formaccedilatildeo de padrotildees

aleatoacuterios na rede de mapas seleccedilatildeo de alguns destes padrotildeesgt intermitecircncia espaccediloshy

temporal e no final observa-se turbulecircncia plenamente desenvolvida Um exemplo de

modelo de fluxo de um fluido usando mapas acoplados eacute dado por WilIeboordse

[Wiacutelleboordse 1992)

24 2 Aspectos Teoacutericos

210 Transformaccedilatildeo de ponto fixo

Para extrair as oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis (OPl) imersas em um atrator com uma

quantidade finita de dados ruidosos de um sIacutestema unidimensional~ So e colaboradores

[So el ai 1996] fizeram a suposiyatildeo de que todos os ponto que estatildeo em uma regiatildeo ao

redor do ponto fixo xf(x) podem ser transfonnados para (x) na vizinhanccedila de x A

funccedilatildeo densidade p(x) possui singularidades do tipo inverso da raiacutez quadrada nos

pontos fixos e um histograma para pX) teraacute um pico definido em x= x Alguns

picos espuacuterios podem aparecer em fi(x) tanto devido agrave singularidades natildeo relacionadas

aos pontos fixos quanto a zeros da derivada da funccedilatildeo detranformaccedilatildeo x=g(xk)

Os autores generalizaram este meacutetodo para um sistema com dimensatildeo de imersatildeo d para

obter as oacuterbitas perioacutediacutecas instaacuteveis atraveacutes da transformaccedilatildeo

i = (l-Srl(z~I-Snz) (232)

onde

I (d-I) ) _ ( aoo a I _ IIs - O +kRllz_1 Zn (233) 1

1

aI -1 (Zl _Z)t(z - Z )t l it -bull

(234)=

I)ta (Z_(d_l) - Z_d)t (Zn_(d_l) - Zitlaquod_lj bull

e os vetores z) foram reconstruidos a partir da seacuterie temporal x)

( I ) ( ) (235)z = zlpznzll~)z xnJx_x_z~-x_4_t

R eacute uma matriz aleatoacuteria d x d no intervalo [-l~1J e k estaacute relacionado com a

intensidade da geraccedilatildeo de nuacutemeros aietoacuterios Os pontos fixos satildeo dados por posiccedilotildees

dos picos de p(X) Como a localizaccedilatildeo dos picos espuacuterios dependem do paracircmetro k

eles satildeo eliminados levando em conta a meacutedia (PCz)) para vaacuterios valores tornados

aleatoriamente

Um ponto fixo instaacutevel do atralor do mapa do circulo com Q=O eacute o ponto (O O)

mostrado na Fig 211(a) que foi determinado com este algoritmo~ como estaacute mostrado

na Fig 2II(b) Outras aplicaccedilotildees desta teacutecnica podem ser encontradas no exparimento

da torneira gotejante [pinto 1999] para se mostrar a existecircncia de oacuterbitas homocliacutenicas

25 2 Aspectos Teoacutericos

OB~ (a) I IV +

~~ 1 00 bullbullbull-

bullbullbull ~ bullo n ltgt04 I

~bull I ~ ~ 00 Obullbull obull

r

Figura 2]] Atrator caoacutetico simeacutetrico em (a) do mapa bidimensional do ciacuterculo que possui um ponto de sela na origem Em (b) a oacuterbita- perioacutedica instaacutevel foi obtida munericamente utilizando-se o meacutetodo de detecccedilatildeo de oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis de So et ai

Como a reconstruccedilatildeo dos atratores em espaccedilos de imersatildeo bidimensionais eacute

suficiente noacutes aplicamos esta teacutecnica para d=2 com 05 e 1000 matrizes aleatoacuterias

Mais informaccedilotildees sobre este meacutetodo pode ser encontradas tambeacutem no trabalho de

Schemelcher e Diakonos [Schemelcher e Diakonos 1998]

211 Plano simboacutelico

A obtenccedilatildeo de planos simboacutelicos para a construccedilatildeo de maacutequinas topoloacutegicas

miacutenimas no experimento da torneira gotejante foi feita por Gonccedilalves [Gonccedilalves

1996] no experimento da torneira gotejante No experimento do tubo borbulhador a

geraccedilatildeo de planos simboacutelicos foi utilizada principalmente para se comparar modelos

com os dados experimentais

Para estudarmos o plano simboacutelico particionamos um atrator em duas regiotildees da

Fig 212 (L e R) e atribuiacutemos o valor I(ou -I) quando o sistema visita L (ou R)

obtendo um vetor sm bull S2SSSS2SmbullDeste modo um plano simboacutelico ap

caracteriacutestico de um atrator eacute definido atraveacutes do caacutelculo de a e f3 como

262 A2lcctos Teoacutericas

~

et=LfJi Z- i (236)

11

onde Pt eacute um valor binaacuterio

O +If p= lSC(-l)nSj_l (237)

I

e

~

p~ UZfL f (238)

onde VI eacute o valor binaacuterio

O -Itj = se D= l (239)

1 )tl +

N Fig 212 exemplificamos a obtenccedilatildeo do plano simboacutelico (b) par o atrator do

mapa do ciacuterculo bidimensional (a)~ com suas respectivas particcedilotildees L e R O paracircmetro b

eacute igual a 01 As regiotildees em branco no plano simboacutelico satildeo chamadas de regiotildees

proibidas

0 R (a)l (b) t08

~ I 00

O

1~ ll 06 + CUc

t - shy 04 bull ~ ~ ~ i li 1~ 1 ~~

- ~3~ bullbull l ~l f02-04

00 l- I -~----~

(j4 00 04 00 02 04 06 08 10 f an

Figura 212 (a) O atrator do mapa do circulo reconstruido com o mapa de primeiro retomo na variaacutevel r e sua particcedilatildeo e em (b) seu respectivo plano simboacutelico

I

27

3 A1(lrIUO xJrimclltal

3 Aparato experimental

Neste capiacutetulo descrevemos os aparatos do tubo borbulhado[ e da torneira

gotejante Tanto o experimento do tubo borbulhador assim como o experimento da

torneira gotejante foram inteiramente desenvolvidos no LFNL-USP Algumas das

princiacutepais atividades experimentais deste trabalho foram o desenvolvimento e

construccedilatildeo do tubo borbulhador a aquisiccedilatildeo e fi anaacutelise dos dados

31 O tubo borbulbador

Na Fig 31 ternos a representaccedilatildeo esquemaacutetica do aparato do experimento do

tubo borbulhador que consiste de um tubo acrflico transparente com uma tampa

(superior) e uma base de PVC onde estaacute conectada urna seringa hipodeacutermica pela qual

eacute soprado ar numa soluccedilatildeo de aacutegua com glicerina Dentro deste tubo ocorre a formaccedilatildeo

de bolhas que satildeo estudadas neste trabalho O experimento pode ser dividido em quatro

partes principais o tubo borbulhudor o circuito pneumaacutetico o sistema de aquisiccedilatildeo e o

sistema sonOrO

[ [ Alto-J ~ 1

falllnleGerador do Amplificador--= Funccedilotildees~I~ -l

Tubo

O

01 cJ

tasagraverCLp

controlador

Compressor Aesetvatoacuterio

Medidor de wllatildeo e vaacutelvulu d$ controla

Figura 31 Diagrama geral do aparato cKperimCfj(ul do tubo) borbulhador

28 3 Aparal0lerimental

Na Fig 32 podemos ver o tubo borbulbador que foi construido com tubo de

acriacutelico transparente de diacircmetro interno de 105 em e 10 em de altura Na base estatildeo

lixados o bico borbulhador e um termopar para monitorar a temperatura do liquido A

entrada e saiacuteda do liacutequido ocorrem atraveacutes de duas vaacutelvulas do tipo esfera

Clflp- drenagem

I ~ r

Sensorde I I j BiooOOrbulhid()l tempcrmlIU i t-l )~

FlgUla 32 O tubo borbulhador suportes o bico injetor sensor de tempemum e vaacutelvulas de drenagem e preenchimento do liquido

Este arranjo permite o

preenchimento do tubo e o seu

esvaziamento atraveacutes das

vaacutelvulas nas laterais da base

Todo o conjunto eacute preso ao

suporte atraveacutes de quatro

parafusos na base e quatro

parafusos na tampa Um

sistema de iluminaccedilatildeo

constituiacutedo de uma lacircmpada

fluorescente e uma placa

difusora de luz foi colocada

atraacutes do tubo borbulbador para

obtermos imagens das bolhas

utilizando uma cacircmara de

videoVHS

O tubo estaacute montado em uma bancada sobre quatro blocos de espuma para

amortecer vibraccedilotildees externas

32 Sistema de aquisiccedilatildeo

O sistema de detecccedilatildeo consiste de um laser He-Ne e um fotodiodo Quando uma

bolha atravessa o feiacutexe laser induz no fotodiodo um sinal anatocircgico e um pulso eacute

enviado a uma placa contadora de tempo inserida em um microcomputador O iniacutecio e o

fim do desvio do feixe laser induzidos peja passagem de uma bolha criam o sina] de

entrada da placa atraveacutes de pulsos de tensatildeo TIL gerados pelo futodiacuteodo Na Fig 33

temos o graacutefico que mostra o sinal ot devido a passagem de uma bolha e o sinal tn

relativo ao tempo entre bolhas Assim um par de dados constituiacutedo do tempo entre as

bolhas e o tempo de passagem da bolba eacute coletado pelo computador O intervalo de

tempo total entre a flNeacutesima e a (n+l)-eacutesiacutema gota eacute To que eacute a soma destes dos dois

intervaJos de tempo

29 3 Aparato experimental

T fltt t1I

Claro

SI 5

v (volts)

o

t ~-- I

J escuro~

tempo

Figura 33 Sinal gerado pelo fotodiacuteodo e induzido na placa contadora de tempO pela passagem das bolhas que desviam o feixe laser O feixe estaacute posicionado -5 rum acima cb extremidade do bico soprador

o sinal de vazatildeo obtido pelo medidor de vazatildeo eacute convertido em um sinal

proporcional de tensatildeo em milivolts e digitilizado em um osciloscoacutepio digital Tektronix

depois eacute transferido para o computador atraveacutes de uma interface General Purpose

Interface Board (GPffi)

33 Medidor de vazatildeo

o medidor de vazatildeo utilizado o modelo GFM47 fabricado pela AALBORG

lnstruments amp Contrais Neste equipamento o fluxo do ar entra em um transdutor de

vazatildeo e dentro dele uma pequena parte do fluxo do ar eacute separada por um sensor do tipo

tuho capilar de accedilo inoxidatildeveJ O restante do ar flui atraveacutes de um condutor de fluxo

primaacuterio A geometria do tubo primaacuterio e do tubo sensor foi projetada de modo a

garantir um fluxo laminar em cada ramo De acordo com os princiacutepios da

Fluidodinacircmica as vazotildees do ar nos dois condutores satildeo proporcionais entre si Deste

modo a vazatildeo medida no tubo sensor eacute diretamente proporcional atilde vazatildeo total atraveacutes

do transdutor

Para obter a vazatildeo no tubo SensoT eacute fcito um aquecimento do fluxo em duas

partes do tubo senSQr atraveacutes de resistecircncias sensoras de precisatildeo O calor eacute transferido

atraveacutes de uma parede fina para o ar O ar aquecido eacute levado pelo fluxo desde um

aquecedor agrave jusante ateacute um aquecedor agrave montante do tubo sensor O sinal eleacutetrico de

uma resistecircncia dependente de temperatura diferencial eacute detectada atraveacutes de um

circuito eletrocircnico de controle O gradiente de temperatura medido no sensor eacute

linearmente proporciona agrave vazatildeo atraveacutes do sensor

30 3 Apara1o experimental

o valor da vazatildeo eacute mostrado diretamente em um indicador digital e

simultaneamente em dois sinais eleacutetricos um de tensatildeo proporcional ao valor da vazatildeo

entre Oe 5 V e outro de corrente proporcional agrave vazatildeo entre 4 e 20 mA

34 Controlador de vazatildeo

o controlador de vazatildeo eacute da marca BTC modelo BTC-2220 e eacute um controlador

do tipo proporcional iacutentegral e diferencial (PID) Ele recebe o sinal de corrente do

medidor de vazatildeo (4-20 mA) com moacutedulo de saiacuteda linear (OM92-3) com a tensatildeo de

saiacuteda variando entre Oe 10 V com uma impedacircncia de saiacuteda de 500 ill Devido agrave alta

impedacircncia de saida um circuito amplificador de corrente foi adaptado na saiacuteda do

controlador para que ele pudesse enviar O sinal de controle para a vaacutelvula solenoacutejd~

como estaacute mostrado na Fig 34

2n3055

10 V I max 05 A I reg 200 nF Vaacutelvula

reg SolenoacuteideTSaldado ~

cornroradE ]200 nF -0 -

Figura 3A o Circuito que amplifica o sinal do controlador para a vaacutelvula

o controlador possui dois modos de operaccedilatildeo No primeiro modo ele manteacutem

uma vazatildeo fixa preestabelecida No segundo modo~ o controlador aumenta ou diminui a

vazatildeo linearmente entre dois valores distintos com uma velocidade preestabelecida pelo

usuaacuterio

31 $ Aparato eqerimental

35 Vaacutelvula solenoacuteide proporcional

o fabricante da vaacutelvula utilizada no experimento do tubo borbulhador eacute

MLBORG Instnnnenls amp Controls e o seu modelo eacute o PSV-5 Basicamente a vaacutelvula eacute

uma bobina que posiciona o atuador da vaacutelwla de modo contiacutenuo variando a vazatildeo

suavemente A vaacutelvula solenoacuteide proporcional foi projetada para responder a um sinal

de tensatildeo contiacutenua de entrada entre O e 30 volts para regular proporcionalmente ao

sinal de tensatildeo o fluxo de liquidos e gases Por medida de seguranccedila as vaacutelvulas satildeo

normalmente fechadas quando desernegizadas Na Fiacuteg 34 temos um diagrama desta

vaacutelvula

Devido agrave corrente na bobina da vaacutelvula O corpo da mesma sofre um pequeno

aquecimento que eacute dissipado por metas de alumiacutenio colocadas na vaacutelwla

Vaacutelvula Solenoacuteide Proporcional

f--I PSV5 AALBORGmiddot I

u-i J

conectores de 14m_Figura 35 Diagrama as ltlimensotildees carncteristicas da vaacutelvula de controle PSV5 da AALBORG

32 3 Aparato Experimental

36 O bico borbulhador

Na Fig 36 vemos o conjunto de agu1has e o cilindro de uma seringa

hipodeacutennica que furam utilizados CQmo bicos sopradores no experimento do tubo

borbulhador As bolhas satildeo formadas diacuteretamente no cilindro da seringa ou nas agulhas

hipodennieas que satildeo colocadas na seringa que estaacute ligada ao sistema de alimentaccedilatildeo de

ar

Figura 36 Bicos sopradores utilizados no eJ-perimento do tubo boIbulbador

Na tabela 31 temos as dimensotildees dos bicos mostrados na Fig 36 Para

verificarmos os efeitos do comprimento das agulhas utilizamos agulhas com o mesmo

diacircmetro mas que foram cortadas em comprimentos diferentes com uma serra

diamante como para as agulhas do grupo A e B A seringa e algumas agulhas possuem

dois valores na coluna relacionada com o dlacircmetro~ O primeiro valor corresponde ao

33 3 AparOfO Experimental

Bico Diacircmetro (mm) I Comprimento(mm) Internoexterno

Sltlrin PlaacuteStica I 08113 2 AI

A2 072128 0721l2amp

2 246

A3 072128 377

BI 072 2 B2 072 145 83 072 102

B4 072 51 CI 05 2

Tabela 31 Dimensotildees da seringa e das agulhas utilizadas como rocos sopradores no experimento do tubo boIbulhador

diacircmetro interno e o segundo valor estacirc relacionado com o diacircmetro externo Para as

demais agulhas temos apenas um valor corresponde apenas ao ctiacircmetro externo

37 O sistema pnenmaacutetico

o objetivo do sistema pneumaacutetico eacute fornecer o ar numa vazatildeo estabilizada para

ser soprado no liquido viscoso O ar eacute comprimido por um compressor com um

reservatoacuterio de 75 litros no qual um pressostato foi calibrado para manter o ar na faixa

de pressatildeo entre 70 e 100 psi (libra por polegada quadrada) A pressatildeo do ar eacute reduzida

para 60 psi em um segundo reservatoacuterio de 200 litros~ atravecircs de uma vacirclvula

reguladora de pressatildeo Uma segunda reguladora proacutexima do bico soprador reduz a

pressatildeo do ar para 10 psi e a vazatildeo eacute controlada pelo conjunta controlador fonnado

pelo medidor de vazatildeo~ controlador e vaacutelvula solenoacuteide Deste modo urna vazatildeo estaacutevel

chega atocirc o bico borbulhador

38 O sistema sonoro

A onda sonora eacute gerada no topo do tubo por um alto-falante de bobina moacutevel O

sinal eleacutetrico para o alto-falante eacute gerado num gerador de funccedilotildees Tektronix modelo

AFG 320 e amplificado em um amplificador de aacuteudio Nwa O gerador de funccedilotildees

34 3 Aparato Experimental

possui uma placa GPIB que permite o controle de todas as suas funccedilotildees atraveacutes do

microcomputador

A equaccedilatildeo de onda [Fletcher e Rossing 1991] dentro do tubo em coordenadas

ciliacutendricas eacute

L~(rq) +2-(OP~ + 8p __1 8p r1 (31 )ratilde a- ocircqz) fk2 - v atilde 1

onde p eacute a onda de pressatildeo na direccedilatildeo x e Vs eacute a velocidade do som no ar A soluccedilatildeo

desta equaccedilatildeo eacute

p(rfPx) = P (mfP)JJ1laquoIr) exp[iacute(-kx +ml)] (32) a

onde Jmeacute uma funccedilatildeo de Bessel e qmn eacute definido pela condiccedilatildeo de contorno ocircplocircr=O e r

= a (a li O raio do tubo) tal que a derivada Jm(7rqmn) eacute zero Se considerarmos em

primeira aproximaccedilatildeo o tubo borbulhador como um tubo com uma extremidade

v bull =3v v =5v v~ 41 3 4L 5 41

Agrave =41 ~= Agrave ~j-I1

TIA

I 1 I

JII N

jL 5 5

AI ~A

A

N N

Figuraacute 37 Os trecircs primeiros modos de um tubo com uma extremidade fechada

fechada podemos

estimar a frequumlecircncia de

urna onda em seu

interior Uma

propriedade geral de

ondas sonoras

confinadas em tubos eacute

que os valores de

amplitude maacutexima

ocorrem em valores

discretos da frequumlecircncia

da onda Na Fig 37

3 Aparato Experimental 35

podemos ver os trecircs primeiros modos de um tubo com a extremidade inferior fechada

A distacircncia do centro do tubo agraves linhas finas desenhadas dentro deste representa

a amplitude de deslocamento da onda em cada ponto N e A designam as posiccedilotildees dos

nodos e antinodos de deslocamento As frequumlecircncias VII de ressonacircncia do tubo satildeo dadas

por

v v =(2k + 1)- (33) 41 ~

onde I ecirc o comprimento do tubo e k = OJ23~ o que nos fornece apenas os 1

harmocircnicos iacutempares

O (a) AJllm

134

(d)

_-_ -__ I

I AIMcm~

M o~

H -8

00 Microfone015

ro (b) -= ~

j~

~ --~

-- AJm00

o (C) I

JI~m(JQegtn

L- m

Ia bull ~ d 1

1l _ _~ Ooo~ J

ftequumlecircnda da onda HZl

Figura 38 Resposta do microfone laquoJl0cad0 atilde uma distacircncia Alm dentro do ruoo borbulhador na sua parte superior para wna onda SOOOIa senoidal gerada pelo alto-falante Em (a) o microfone foi colocado a 2 em da superfieie do liacutequido (b) 34 em e (c) 60 em Em (d) vemos um cliagrarna que mostra a distacircncia Alm

36 3 AparaJ() Experimental

Foi verificada a frequumlecircncia de ressonacircncia do tubo borbulhador~ obtendo um

sinal proporcional ao deslocamento da onda sonora colocando um microfone dentro do

tubo A distacircnciacutea entre o microfone e a superfiacutecie do liacutequido eacute Alm O sinal obtido pelo

microfone) colocado em trecircs alturas distintas dentro do tubo borbulhador estaacute mostrado

na Fig 38 onde temos os valores obtidos para as alturas de 2 em 34 em e 60 em em

relaccedilatildeo ao niacutevel do liacutequido~ com um comprimento de coluna de ar total de 60 em

Variarulo a frequumlecircncia da onda entre 100amp e 160 Hz obteve-se que a frequumlecircncia de

ressonacircncia do tubo eacute de aproximadamente 134 Hz O sinal do microfone tem a mesma

furma que o sinal senoidal injetado no alto-falante

Depois de determinada a frequumlecircncia de ressonacircncia do tubo nas condiacuteccedilotildees do

paraacutegrafo anterior obtivemos o sinal do microfone colocado em vaacuterios pontos do tubo~

para os trecircs primeiros mnocircnicos 134gt 402 e 670 Hz como estaacute mostrado na Fiacuteg 39

de modo a verificar experimentalmente as posiccedilotildees dos nodos e antinodos de

deslocamento Na Fig 39 podemos ver que a tensatildeo natildeo se anula na origem portanto a

onda natildeo forma um nodo exatamente na superficie do liquido para os trecircs harmocircnicos

mas parte da onda refrata no liquido

08 bull - bullbullbullbullbullbull ~ 06 j freq 134Hz

o bull M ~c-o m 02 o ~

00 0-

gt 02 ~ c-~ o ~ 00

shyshy- _freq 402Hz ~~ ~

- - _ shy-

o

003 freq 670Hz -~ - 2 - ~

002 1 ~- -IHl ltshy bullbull 001bull bull ~

000 o O 30 0 50 60

Alm(cm)

Figura 39 Nados e antinodos deruro do tubo para OS trecircs primcitos harmocircnicos medidos em diferentes posiccedilotildees na parte de ar com as freqilecircncias de 134 Hz 402 Hz e 670 m Podemos notar nos trecircs graacuteficos que a onda sooorn natildeo forma exatamente um nodo na superficie do liacutequido

37 3 Aparato Expenmental

39 O liacutequido

o liacutequido utilizado foi preparado em soluccedilotildees utilizando-se diferentes

concentraccedilotildees de aacutegua e glicerina

A tensatildeo superficial foi obtida atraveacutes do meacutetodo do tensiocircmetro de anel [Ueta e

Tabacniks 1989] que consiste em se determinar a forccedila para se elevar um anel delgado

do liquido e relacionando-a com a tensatildeo superficial numa temperatura de 25()C Na

tabela 32 temos a tensatildeo superficial de alguns liacutequidos comuns obtidos com este

meacutetodo Para as diferentes concentraccedilotildees de glicerina obtivemos OS valores da Fig 310

Liacutequido

Tensatildeo superficial (diIlalcm) I

Aacutegua destilada

72

Agua de torneira 66

0100 20Wmiddot50 (Mobil) I 35

Glicerina 58

Alcool hidratado 30

Agua com detergente 36

Detergente 23

Cafeacute (soluccediliio) 42

I

~1------Tabela 32 Tensatildeo superficial de alguns liquidas comuns medidos pelo meacutetodo do tensiocircmc1TO dCanel

r------------------------------------- n

Ecirc ~66

i tM ~ ~

58

J

i

T ~ -

~

bull bull i J I bullbull 1 ~ -

bull +

1~ -~~~ o 20 40 00

deHp

Figura 310

Tensatildeo

superficial

medida COm oacute

meacutetodo do

tenSJocircmetro do

ane1rma cliacuteferenles

concentraccedilotildees

de aacutegua e

glicerina

38 $ Aparato ~mentaJ

A viscosidade das soluccedilotildees de aacutegua e glicerina foi estImada atraveacutes do meacutetodo

de Stokes [Veta e Tabacniks 1989] e a viscosidade varia como a funccedilatildeo exponencial

mostrada na Fig 311 para 25 C Para os valores da viscosidade da aacutegua pura e da

glicerina para diferentes temperaturas fui consultada uma tabela de viscosidades [Perry

e Clinton 1972 Weast e Selby 1996]

1500 r 1250

bull p shy1000 -shy

bull u- ~ ~ 750

~ J_ ampl 500

gt

- 250

u HH

o [ ===-==i I UUUU

O 10 20 30 40 50 60 10 80 90 100

de Glicerina na aacutegua

Figura 311 Variaccedilatildeo da viscosidade com a concentraccedilatildeo de glicerina na soluccedilatildeo

310 Imagens

Algumas imagens foram obtidas para esclarecer alguns aspectos da formaccedilatildeo

das bolhas As imagens da formaccedilatildeo das bolhas furam feitas atraveacutes de uma cacircmera

VHS Para iluminar o tubo borbulhador utilizou-se a teacutecniacuteca de iluminaccedilatildeo traseir~

com uma placa transluacutecida para difundir a luz proveniente de uma lacircmpada

fluorescente e o tubo borbulhador foi colocado entre a placa difusora de luz e a cacircmera

As imagens obtiacutedas foram digitalizadas e annazenadas

39 3 Aparato JxpflinJeacutentttl

Figura 31l Imagens obtidas partir do experimentn do tubo borbulhador Em (I) VCIlOS bolha se fonnando junto agrave seringa enquanto a bolha anterior emerge no liqujdo (2) a bolha aumenta de volume mas o empuxo natildeo eacute suficiente para retiraacute~la do bico 3 a bolha se-descola do bico mas eacute alimentada por um pescoccedilo~ (4) a bolha se destaea do bico e Cf perfil evolui para a fonna elipsoidal

Na Fig 312 temos a evoluccedilatildeo de uma bolha se formando junto ao bico

soprador numa soluccedilatildeo viscosa de aacutegua com glicerina em quatro instantes distintos A

forma final das bolhas depende de vaacuterios fatores entre eles o seu volume~ e isto pode

ser observado nas cinco imagens da Fiacuteg 313

11 1 Ilcml 1I em 1 11 I Ilcml

m ~jj O 4~~

ttif1id-gt0

(a) (b) (c) (d) (e)

F1gura 313 Exemplo do perfil das bolhas em relaccedilatildeo ao seu tamanho

3 Aparato Experimental 4iacuteJ

311 O Experimento da Torneira Gotejante

o experimento da torneira gotejante foi uma das primeiras tentatiyas de se criar

um sistema com o propoacutesito de se observar o Caos deterministiacuteco Este experimento

possui um extenso material produzido pelo LFNL que pode ser encontrado na fonua de

dissertaccedilotildees de mestrado e teses de doutorado [da Rocha 1995 da Silva 1996 Tufaile

1996 Gonccedilalves 1996 Pinto 1999J

O experimento consiste basicamente de um bico got~ador que eacute alimentado por

um grande reservatoacuterio~ como pode ser visto no diagrama do aparato experimental da

Fig 314 O tempo associado para cada gota eacute medido do mesmo modo que o descrito

na seccedilatildeo 33 para o tempo entre as bolhas~ mas para o experimento da torneira gotejante

o feixe laser estaacute posicionado - 9 em abaixo do bico

Noacutes controlamos a taxa de gotejamento (fgot=ltlTraquo mantendo o niacutevel do

reservatoacuterio intermediaacuterio constante e selecionando a frequumlecircncia de gotejamento atraveacutes

da abertura da vaacutelvula acionada por um motor de passo e controlada por um

microcomputador Para uma dada taxa de gotejamento noacutes construiacutemos os mapas de

primeiro retomo

Relervut6rio Foot

cmroJ_ denivcl

Fotodiodo o

Laa o Computador

o

Res~ -00

Figura 314 Diagrama -do experimento da torneira gotejante

4 Resultados e Anaacutelise 41

4 Resultados e Anaacutelise

A formaccedilatildeo das bolhas eacute frequumlentemente imaginada como () experimento da

torneira gotejante 1nvertido Esta analOgia eacute fraca e para podermOs verificaacute-la

estudaremos inicialmente a formaccedilatildeo de gotas e depois estudaremos a formaccedilatildeO das

bolhas

41 A torneira gotejante I

As equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem para a torneira gOtejante) propostasI no modelo de Shw [Shw 1984] com as modificaccedilotildees de DInnocenzo e Renna

[Dlnnocenzo e Relllll 1996] satildeo

t=V d(M=Mg_kx_bv (41)

dMrJI=Q

Onde x eacute a coordenada do centro de massa da gota ordmeacute O fluxo de aacutegua A tensatildeo

superficial e o atrito entre a aacutegua e a torneira satildeo dados pela constante de mola k e por b

respectivamente Uma gota ~ se desprende do bico com velocidade Vc com o fator

de reduccedilatildeo a quando o centro de massa alcanccedila o limiar xc

iAIJ aJyJ (V (42)

Figura U Seacuterie temporal obtida com o modelo da tomeira gotejante variandolaquo a vazatildeo Q k=475 dinalcm g=980 cm~ 1gt=1 g~ lt9114 em 09119 sim

42 4 ResultatWs e Anaacutelise

Na Fig 41 mostramos uma seacuterie temporal obtida a partir do modelo das

equaccedilotildees (41) com os paracircmetros k=475 dinalcm g=980 crnls b= 10 gls x=O 14 em e

a=O (9 sIm Na integraccedilatildeo do modelo foi utilizado um integrador Runge-Kutta de

-

0D75

(j) E 0050 ~

J

0025

0025 0050 0075 T

N (ms)

Fibllra 42 Atratores caoacuteticos reconstruiacutedos fixando~se a vazio em trecircs valores distintos de nzatildeo Q A dimensatildeo de Kaplatl~Y orkc Dy foi culculndn para cuumlda um destes tratores (n) DRY 12(1) (b) Drn 139(1) (c) DKy173(2)

(a)

lo

shy

(b)

7- iacute I

I 0

~

~ (e)

I rt j~1l~middott~i~i ~ v ) t ~ Amiddot shy ~ ~~ -1

[1 f ~ ~j bull

-) F ~-lt_ f4~-tgt 1- --~ 1

l yA- -~O __ _~ shy

~-~lt

quarta ordem com passo de

integraccedilatildeo de 10-6 e condiccedilotildees

iniciais x(O)=OO em e y(O)=O I

ems Nesta seacuterie temos uma

sequumlecircncia de dupliacutecaccedilotildees de

periacuteodo para 05ltQlt087 mls

caos e janelas perioacutedicas para Q

acima de 087 rnJls c um

alargamento abrupto do atrator

proacuteximo de Q102 mls

Na Fig 42 vemos trecircs

atratores para trecircs diferentelt

valores de vazatildeo Q do modelo

Pora cada um destes atratores

foi calculado os expoentes de

Lyapunov e sua respectiva

dimensatildeo de Lynpunov que os

caracterizaram como caoacuteticos

devido a existecircncia de

expoentes de Lyapunov

positivos Na Fig 42(a) temos

um atrator formado por quatro

bandas ca6ticas com vazatildeo Q=

0885 mlls Para uma vazatildeo

maior de 095 mlls Fig 42(b)

temos um atrator ca6tico com

duas bandas ca6ticas Na Fig

42c) um atrator caoacutetico mis

largo apoacutes a crise para

Q=I05 mlls

t RCSllfladQs e AtuUis 4

710 (b~f (a) 500 I

700 1 E g 400 1 iacute 300

200

1 jJ

670 ~ 100 670 680 690 700 710 100 200 300 400 500

T() T(ms)

Figura 43 (a) dados experimentais para uma frequumlecircncia de gotejamento de 146 gotass (b) atrator obtidQ ccedilom o modelo com de oscilador com relaxaccedilatildeo com uma frequumlecircncia de 315 gotass

(a) ltTgt=1146 me (b) ltTgt=1136 rns

Tn 2

120

110

11Cf

110120 T

120

Tnbull1

TM

120

90 9~ 12

120middot TM

T 90

Figura 4A (n) atrator experimental com um frequumlecircncia meacutedia de 8726 gotas Is (b) atrator obtido a partir da simulaccedilatildeo com uma frequumlecircncia mldia de 880 gotass

44 4 Rewlltados e AndUsc

Fizemos duas comparaccedilotildees entre os dados experimentais e o modelo Tufaite et

aI 1999 Apecircndice 1] Na Fig 43(a estaacute mostrado o mapa de primeiro retorno

experimental mantendo-se constante o niacutevel do reservatoacuterio intermediaacuterio com uma

frequumlecircncia de gotejamento de 146 gotass com o bico de vidrQ Uma estimativa para os

valores experimentais eacute dada por k=365 dinaicm xccedil -O6 em e Q no intervalo 012-015

gls As simulaccedilotildees do atrator usando estes valores para os paracircmetros natildeo convergiram

para vaacuterios valores de a e b Desta forma outro conjunto de valores foi procurado para a

reproduccedilatildeo do atrator experimental Os valores escolhidos foram k = 475 dinacm XI

13 em Q=015 gls a = 02 sem e b = 10 SI como estaacute mostrado na Fig 43(b) com

uma freguumlecircncia de gotejamento de 315 gotass

Na Fig 44(a) estaacute mostrado um atrator reccedilonstruiacutedo em um mapa

triacutedlmensional Tn+2 VS Tn1 vs Tnbull com a frequumlecircncia de gotejamento de 8726 gotass

O perfil do atrator foi simulado com os paracircmetros cOm os seguintes paracircmetros

Q=0141 gls x = 0251 em 051 sem b=O943 SI e k=120 diacutenalcm como estaacute

mostrado na Fig 44(b) A frequumlecircncia meacutedia de gotejamento eacute de 880 gotass pr6xima

do valor experimentaL Os dois atratores da Fig 44 apresentam expoentes de Lyapunov

positivos e dimensotildees de Kaplan-Yorke lOplusmnOl (atrator experimental) e 11plusmnO1

(modelo)

Outros atratores obtidos a partir de mapas criados baseados neste modelo podem

ser encontrados na literatura [Renna 1999] assim como comparaccedilotildees entre atratores

experimentaiacutes e simulados na mesma regiatildeo de vazotildees das Figs 43 e 44 IDInnocenzo

e Renna 1997] Em todas estas referecircncias o modelo apresenta problemas quando os

valores escolhidos para os paracircmetros satildeo os mesmos do experimento que nonnalmente

causam divergecircncia das soluccedilotildees durante a integraccedilatildeo Uma possiacutevel causa destes

problemas eacute fato de que a gota natildeo se rompe exatamente sempre na mesma posiccedilatildeo mas

em alturas diferentes com relaccedilatildeo ao bico Concluiacutemos que este modelo apresenta

Cuumlfilcteriacutesticas qualitativas interessantes mas que natildeo pode ser utiHzad9 para

comparaccedilotildees quantitativas com a experiecircncia Modificaccedilotildees neste modelo estatildeo sendo

feitas por Fuchiacutekami [Fuchikami el aI 1999] que compara este modela com outro

modela mais elaborado que utiliza por princiacutepio fiacutesico a minimizaccedilatildeo da energia com

relaccedilatildeo ao perfil da gota que cresce junto ao bico O modelo de Fuchikami utiliza uma

descriccedilatildeo Lagrangeana para calcuIar numericamente a evoJuccedilatildeo da formaccedilatildeo da gota

45 I i

i

4 Resultadltgts eAnaacutelise

42 Dinacircmica das bolhas Veremos nesta seccedilatildeo os diferentes regimes d borbulhamento causados pelo

aumento da vazatildeo do ar~ e como podemos esclarecer as transiccedilotildees destes regimes

atraveacutes de alguns modelos

421 Formaccedilatildeo quase-estaacutetica

Devido acirc complexidade do processo da formaccedilatildeo de bolhas os modelos

existentes satildeo adequados apenas em casos particulares [Clift e aI 1978) Para uma

bolha se formando em condiccedilotildees quasemiddotestaacuteticas o equillbrio de forccedilas na bolha eacute dado

por

f = (43)

onde f g eacute a forccedila da gravidade e f (J eacute a forccedila devido agrave tensatildeo superficial Para um

orifiacutecio do tipo bico circular a equaccedilatildeo (43) tem a forma

mg = 2R7Ilt7 (44)

onde m eacute a massa do liacutequido deslocado pelo volume da bolha g eacute aceleraccedilatildeo da

gravidade R eacute o raio do bico soprador e G eacute tensatildeo superficial entre o ar e liquido

Tomando um bico com Rb = OA mrn e criando-se uma bolha de ar na aacutegua nas

condiccedilotildees qua8e~estaacuteticas quandO a tensatildeo superficial do sistema eacute igual a O~07 Nm e g

eacute igual a 98 ms teremos uma massa de liacutequido deslocado de

m = 1810 kg (45)

Como temos a densidade da aacutegua igual a 1 gcm3bull o volume maacuteximo da bolha seraacute dado

por

m V=-=18mm (46)

p

Se considerarmos urna esfera de volume equivalente teremos um raio para a bolha r)

reacute 1~6mm (47)

Podemos tambeacutem estimar a pressatildeo do ar dentro de uma bolha atraveacutes da

relaccedilatildeo

2lt7 Pl-Pl ~-- (48)

Se a interface natildeo eacute esfeacuterica mas possui como raios principais de curvatura le e

r entatildeo equaccedilatildeo (48) teraacute forma

46 f Resultados cAnaacutelise

(49)p - p = 2~ lt) As diferenccedilas de pressatildeo das equaccedilotildees (48) e (49) fomece-nos a pressatildeo laplaciana

devido agrave tensatildeo superficiacuteal[Clift oi ai 1978]

Para uma bolha com o raio de 16 mm como calculado na equaccedilatildeo (47) bull

diferenccedila de pressatildeo entre o ar dentro da bolha e a aacutegua eacute

p - p = 175Pa (410)

Para uma bolha a 5 cm da superfiacutecie teremos Pl = 500 p~ entatildeo~ de acordo com a

equaccedilatildeo (410) a pressatildeo dentro da bolha seraacute de 675 Pa ou seja a pressatildeo dentro da

bolha eacute equivalente a uma oolunade aacutegua de 675 mm

Esta anaacutelise soacute eacute vaacutelida para sistemas em equiliacutebrio fora do equiliacutebrio outros

meacutetodos de anaacutelise satildeo empregados e seratildeo discutidos na proacutexima seccedilatildeo

422 Formaccedilatildeo de bolhas com vazatildeo constante

Podemos obter um modelo para baixas vazotildees fazendo algumas suposiccedilotildees

sobre a geometria da bolha [Daviacutedson e Schuumller 1960J O modelo segue as seguintes

consideraccedilotildees

1 A bolha eacute esfeacuterica durante sua formaccedilatildeo

2 Natildeo haacute cireulaccedilatildeo do liquido ao redor da bolha que estaacute se formando de tal

modo que o liacutequido estaacute em repouso quando a bolha comeccedila a se formar

3 O movimento de uma bolha natildeo eacute afetado pela presenccedila de urna bolha acima

ela

4 A bolha estaacute a todo instante movendo-se na velocidade de Stokes apropriada

para o seu tamanho

S Quando a bolha atinge o raio maacuteximo R ela se destaca

Considerando O movimento de uma bolha que se forma em um ponto longe das paredes

de um reservatoacuterio infinito nas condiccedilotildees acima a velocidade do centro da bolha v no

tempo t apoacutes o comeccedilo da sua fonnaccedilatildeo seraacute dada pela velocidade de Stokes

2rg v=-~ (411)

9v

onde v eacute a viscosidade cinemaacutetica do liacutequido dada pela razatildeo entre a viscosidade e a

densidade do liquido Aleacutem disso se Qeacute o fluxo do gaacutes entatildeo o volume da bolha V eacute

41 4 Resultados e Anaacutelise

V=QI= 4- (412)3

Deste modo definindo x como a distacircncia entre o centro da bolha e o ponto de

suprimento do gaacutes obtemos a equaccedilatildeo que define o movimento do centro da bolha

atraves do seu raio r como uma funccedilatildeo de Q e t dados pela equaccedilatildeo (412)

Substituindo r na equaccedilatildeo da velocidade d Stokes

v2g (3Q ) ( (413)9v 4Jr

e integrando a equaccedilatildeo (411) em relaccedilatildeo a t noacutes obtemos O deslocamento do centro da

bolha em funccedilatildeo do tempo

2 Ir (414)x=Jl-lt3QJ 15v 411

A bolha iraacute se destacar quando x = R o raio maacuteximo da bolha com o tempo para a

formaccedilatildeo completa da bolha T obtido partir da equaccedilatildeo (414)

ltT=ll~)() (415)

que nos daacute uma relaccedilatildeo hiperboacutelica entre o tempo T da formaccedilatildeo da bolha e a vazatildeo Q

como mostrado no graacutefico da Fig 45 Com isto obtemos que a relaccedilatildeo entre a

frequumlecircncia de borbulhamento F = (11) e a vazatildeo volumeacutetrica do ar Q eacute

F ltcQM (416)

Este eacute um modelo razoaacutevel para baixas vazotildees pois explica de modo simples as

principais caracteriacutesticas da variaccedilatildeo da frequumlecircncia do borbuJhamento com a vazatildeo do

ar Entretanto~ as cinco condiccedilotildees para fonnaccedilo das bolhas no iacuteniacutecio desta seccedilatildeo natildeo

satildeo rigidamente observadas isto fuz a equaccedilatildeo (416) ter um caraacuteter principalmente

qualitativo O trabalho de Ponter e Surati [ponter e Surati 1997] fuz um estudo

comparativo entre vaacuterios trabalhos que investigam a emissatildeo de bolhas a partir de

orifiacutecios submersos e apontam como principal causa da discrepacircncia entre os diferentes

resultados experimentais a influecircncia da superfrcie do biacuteco soprador e a falta de

padronizaccedilatildeo da geometria do equipamento Mesmo com as discrepatildencias~ O

comportamento hiperboacutelico com as bolhas se formando sequencialmente eacute observado

quandO se aumenta a vazatildeo [Sulliacutevan et aI 1964) No nosso trabalho soprando ar

diretamente na seringa para vazotildees acima de 200 rolmin ocorrem bifurcaccedilotildees no tempo

entre bolhas e isto eacute o tema da proacutexima seccedilatildeo

4 Resulfados eAnaacutelise 4amp

n 423 Biacutefurcaccedillies Tempo entre Dependendo bolluls

principalmente da

geometria do bico

soprador para vazotildees

acima de um determinado -shy ~m~~ valor ocorre uma

transiccedilatildeo de um regimeQ-vazatildeo de borbulhamento

igualmente espaccedilado noFigura 45 Esboccedilo da dependfulcia hiperboacute1ia entre o tempo do borbulhameniO c a vazatildeo de ar tempo para um regime ~----------------------~

no qual as bolhas se formam com dois tempos distintos e emergem aos pares formando

um dubleto [Davidson e Schuumller 1960 Marmur e Rubin 1975 Miyhara cl al 1983

Tritton e Egdell 1993 Mitoni ct al 1995 Kyriaides oi ai 1997] Este fagraveto pode ser

atribuiacutedo agrave transferecircncIacutea de momento do ~ poiacutes uma parte do liacutequido fica agregada agrave

superficie da bolha formando uma casca esfeacuterica liquida que eacute chamada de massa

virtual P [Davidon e Schuumller 1960 Miyhara el ai 1983] reduzindo o empuxo da

bolha para 1116 Aleacutem disso noacutes podemos fazer um modelo simplificado para a

formaccedilatildeo das bolhas Se considerarmos aacute presenccedila de uma forccedila restauradora de

coeficiente k devido agrave tensatildeo superficiaI~ usando as consideraccedilotildees 14 e 5 da seccedilatildeo 422

e considerando que existe uma forccedila dissipativa na formaccedilatildeo da bolha (que eacute

proporcional agrave velocidade bv) Utilizando a segunda lei de Newton chegamos agraves

equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem

dx _~=y

di d(Mv

di = (JMg - kx -lN) (417)

fiM di =Q

onde x eacute a posiccedilatildeo do centro da bolha M eacute a massa de liacutequido deslocada pela bolha

(M~Vp) Aleacutem destas equaccedilotildees uma quarta equaccedilatildeo define quando a bolha deve se

destacar No momento que a e1a atinge o ponto criacutetico xcgt a bolha se desprende do bico

soprador com a massa

49 4 Re$1lltatlos eAnaacutelise

M=aMve (418)

com M e V sendo a massa e a velocidade no ponto de rompimento Xc respectivamente

A constante de proporcionalidade de massa eacute a O diagrama do modelo pode ser visto

na Fig 46

AA1 X

p M

k oacute

Figura 46 O modelo de oscilador de massa variaacutevel para a formaccedilatildeo de bolhas

1

50 4 Resultados e Anaacutelise

Estas equaccedilotildees foram inspiradas em equaccedilotildees do mesmo tipo para o

experimento da torneira gotejante (Tufaile el ai 1999 Apecircndicel] mostradas na seccedilatildeo

41 Shaw [Shaw 1984] propocircs o primeiro modelo para a torneira gotejante inspirado

nas ideacuteia de Rayleiacutegh O modelo foi atualizado por Saacutenches-Ortiz e Salas-Brito

(Sacircnehes-Ortiz e Salas-Brito 1995a Saacutenches-Ortiz e Salas-Brito 1995b] e

independentemente por D~Innoncenzo e Renna [D~Innoncenzo e Re~ 1996] que~

atraveacutes da mudanccedila do mecanismo de rompimento mostraram uma vasta gama de

comportamento caoacutetico usando o modelo e o quanto ele pode ser comparado com dados

experimentais Eacute importante saliacuteentar que apesar da enonne simplificaccedilatildeo que se faz

quando se reduz um sistema fluido com muitos graus de liberdade para um modelo

unidimensional1 existem muitos resultados que podem ser compreendidos usando O

modelo de oscilador de massa variaacutevel~ como bifurcaccedilotildees comportamento caoacutetico e

janelas perioacutedicas Seguindo esta linha Kiyono e Fuchikami trabalham na construccedilatildeo de

modelos de oscilador de massa variaacutevel t utilizando resultados obtidos a partir de seu

modelo hidrodinacircmieo (Kyono e Fuchikarniacute 1999]

Na Fig 47 vemos espaccedilos de fuse para a formaccedilatildeo de bolhas para diferentes

vazotildees numa sequumlecircncia que evolui desde o penado 1 ateacute o comportamento caoacutetico

Para a vazatildeo de l~O mIIs obtivemos um ciclo limite com a velocidade crescendo

atingindo um valor rnacircximo e depois diminuindo retornando proacuteximo ao valor inicial

Neste instante ocorre o rompimento e a proacutexima bolha inicia o ciclo com a mesma

posiccedilatildeo da bolha anterior deste modo o sistema retoma abruptamente ao ponto inicial

(x-Ol em e v-l4 crnls) Para a vazatildeo de 18 mIIs O sistema atinge o ponto de

rompimento com duas condiccedilotildees de rompimento distintas a primeira com uma

velocidade ascendente e uma segunda com uma velocidade descendente Para 20 mVs

temos uma outra duplicaccedilatildeo de periacuteodo levando a um periacuteodo quatro e finalmente para

uma vazatildeo de 2~15 rn11s vemos O espaccedilo de fase do comportamento caoacutetico

A seacuterie temporal deste modelo estaacute na Fig 48 e mostra as variaccedilotildees da

dinacircmica com a variaccedilatildeo da vazatildeo na faixa de vazatildeo 08 lt Q lt 22 m1s Para uma

vazatildeo por volta de 155 mls ocorre uma duplicaccedilatildeo de periacuteodo Para l97 rnVs uma

descontinuidade na seacuterie~ seguida de novas duplicaccedilotildees e caos

bull bull bull bull

51 4 Resultados e Anaacutelise

f I ~ ~ bull ~

1gt gtligt

tobull o 0- o ~ ~

fmiccedil)o (em)

otltl_J l

j

(

11

r ( ~

(I

~ ~ m f I - _r

i__=---~1 ~ ia_t6tttll-

Ibulli ~

~ ccedilshyreg 11110 o~

PM~a ftm)

Ot1SINIo ~1 ~

li ~ I~

~ ~ bull

bull ~ lt - -- u bullbull~ ~

Figura 4~1Espaccedilos de fase obUaoscom o ruacuteOdelo de oscilador de tna$il vnveCg 10 mIlsPeriacuteodo 1 Q=l8 m1Is duplicaccedilatildeo de periacuteodo periacuteodo 4 para 20 m1Is e comportamento caoacutetico para 215 mlJs Os paracircmetros do sistema satildeo x=O19 em 0=025 b=25 em$ g980 ems k=480 dinalcnt

Deste modo podemos ter uma

visatildeo geral de como ocorre uma

duplicaccedilatildeo de periacuteodo do espaccedilo de

fases da [onnaccedilatildeo de bolhas aleacutem da])- ~1 lO regiatildeo da formaccedilatildeo quase~estaacutetic8shy

baseada em um modelo mecacircnico

simplificado OUlro modelo para a Q(mYl)

formaccedilatildeo de bolhas pode ser encontrado

Figura 48 Seacuterie temporal do modelo de oscilador I no trabalho de Marmur e Rubin de massa variaacutevel para o tubo boIbulhador

[Marmur eRubiacuten 1975] que do mesmo

modo que Fuchikami [Fuchikamiacute el ai 1998] utiliza o formalismo Lagrangeano

52 4 Resultados e Anaacutelise

424 Veias liacutequidas

Verificamos experimentalmente a ocorrecircncia da agregaccedilatildeo de liacutequido junto agrave

bolha que causa a reduccedilatildeo do empuxo sobre a bolha Utilizando um sistema de trecircs

fases (ar aacutegua e oacuteleo) observamos a fonnaccedilatildeo de veias liquidas Uma veia liacutequida

ocorre quando temos um canal de aacutegua dentro do oacuteleo que eacute sustentado pela

emergecircnciacutea das bolhas como pode ser visto no diagrama da Fig 49 Na literatura

existem classificaccedilotildees para padrotildees de fluxos de duas fases como o padratildeo de

borbulhammo padratildeo d jateamento e padratildeo anular [Sharpe 1994] O primeiro caso

borbulhameoto eacute o caso tratado neste trabalho o padratildeo de jateamonto [Ruzicka 1997]

ocorre quando o gaacutes possui velocidades maiores do que a do borbulhamento e eacute

espargido dentro do liacutequido o terceiro caso~ o padratildeo anular ocorre para velocidades

ainda maiores do gaacutes que passa pelo centro do liquido formando um tubo gasoso COm

gotiacuteculas do liacutequido subindo pelo centro junto com o gaacutes Devido bull propriedades

viscoelaacutesticas do ocircleo diferenccedila de cor entre o oacuteleo e a aacutegua e a refraccedilatildeo do sistema

aacutegua-ar podemos ver a fonnaccedilatildeo desse padratildeo anular a veia liacutequida num sistema de

trecircs fases ar aacutegua e oacuteleo e deste modo verificar o arrasto da aacutegua junto com as bccedillhas

Veia liacutequumlida induzida por bolhas

Ar

Figura 49 Um sistema de tns fases iroisciveis formado por aacutegua ar eacute oacuteTeo criando uma veia liquida A aacutegua forma uma coluna dentro do oacuteleo com um fluxo ascendente proacuteximo do centro e um fluxo descendente na parte ell1ema

4 Resullado$ e Anaacutelise 53

o liacutequido que envolve a bolha deve ter a mesma velocidade da superfiacutecie da

bolha formando uma casca esfeacuterica de liacutequido A casca esfeacuterica de aacutegua acompanha a

bolha ateacute o ponto em que ela atinge a superfiacutecie do sistema Hquido~ a partir deste ponto

este volume de aacutegua eacute afastado lateralmente e inicia a descida para a base da coluna Na

Fig 4 1O~ podemos ver uma imagem obtida no LFNL de uma veia liquida

a porte avermclhada eacute 6100 a coluna central eacute constituiacuteda de aacutegua com bolhas no seu interior

A existecircncia da m d Ilquiacutedo

agregada junto a bolha eacute um fato que

mostra que a experiecircncia do tubo

borbulhador natildeo eacute o experimento da

torneira gotejante invertiacutedo

Se aumentarmos a vazatildeo de ar

inicialmente ocorre uma acumulaccedilatildeo de

aacutegua sobre o oacuteleo que depois se precipita

na forma de uma bolsa de aacutegua como

podemos ver na seqililncia de imagens da

Fig 41 L Deste modo O fator de massa

agregada fJ das equaccedilotildees (417) eacute uma das

princjpais diferenccedilas entre os modelos de

oscilador para bolhas e gOlas

Figura 411 Aumefllandose a freqiacuteiWcia de bolhas a aacutegua se acumula no topo da ooluna (a) ( acuacutemulo de aacutegua se desestabiliza e comeccedila a descer agarrada agrave veia (b) e em (c) temosa bolsa de aacutegua jaacute na base da veia liacutequida

1

54

-i

4 Resultados eAmilise

425 A estabilidade de dois fluidos sobrepostos

O problema fiico fundamental na fonnaccedilatildeo de bolhas em liquidos ecirc a

superposiccedilatildeo de dois fluidos de densidades muito diferentes O estudo de instabilidades

hidrodinacircmicas aborda tal problema aleacutem de outras instabilidades que tambeacutem satildeo

tratadas de um ponto de vista matemaacutetico muito interessante no livro Hydrodyllamlc

and Hydr(J11agnetlc Stability de Chandrasekhar [Chandrasekhar 1981] onde foram

estudadas as soluccedilotildees das equaccedilotildees hidrodinacircmicas para dois casos nos quais ocorre a

superposiccedilatildeo de fluidos

a) A instabilidade de Raylelgh-Taylor que trata da instabilidade da interface plana

entre dois fluidos

b) A instabilidade de Kelvln-Helmholtz que surge quando camadas diferentes de

fluidos heterogecircneos estratificados estatildeo em movimento horizontal relativo

Os problemas de instabilidade hidrodinacircmica envolvem o reconhecimento de fluxos

estagraveveis e instaacuteveis que satildeo obtidos para determinados valores dos paracircmetros que

governam o sistema Como exemplos temos o nuacutemero de Rayleigh~ para a convecccedilatildeo de

calor num fluido entre duas pacas uma acima e outra abaixo do fluido ou o nuacutemero de

Taylor para o comportamento do fluido entre dois cilindros coaxiais girantes

Restringindo-se agrave instabilidade de Rayleiacutegh-Taylor temos um arranjo com dois fluidos

de densidade unifurme~ um com a densidade Pl sob outro com densidade P2 sendo que

P2 eacute maior que pJ~ num campo gravitacional g A superfiacutecie horizontal que separa os

dois fluidos tem a tensatildeo superficial a Este sistema possui um nuacutemero de onda critico

kc pata as oscilaccedilotildees entre os fluidos~ dado por

klt = J(p - p)g I CF bull (419)

Os sistemas com nuacutemeros de onda no intervalo Oltkltkc satildeo instaacuteveis quando kgtkcl

temOS um estado marginal ou limite De um modo geral~ a tensatildeo superficial estabiliza

arranjos potencialmente instaacuteveis Levando em conta que a unidade de medida de Ir eacute

lm~ obtemos um nuacutemero puro conhecido como nuacutemero de Rayleigh~Taylor RT que

determina a estabilidade do sistema de fluidos sobrepostos

RT = glOcircp (420) CF

onde I eacute um comprimento caractcristico do sistema Este nuacutemero estaacute relacionado

diretamente com o nuacutemero de Eocirctvocircs (Eo) [Clift el ai 1978] para particulas gotas e

bolhas dado por

554 Resultados e Anaacutelise

~ U)

~

60 40 aacutegua + 6G gliccedila 33 aacutegua + 67 glicerina ~

50

~

40E ~ z I- 30

20 r

(~) I (7) I o 300 NaDo 9000 300 600 9000

(g)

100 aacutegua 50 aacutegua i 50 glicerina

N

20 aacutegua + 60 gliacuteceflna

(f) 300 000 900

Figura 411 Graacuteficos da transiccedilatildeo de regime do bolbulhamenlO di_ a vazltlo do ar Oaumento da viscosidade causa uma definiccedilio da dupUccedilaccedilio de periodo no experimento do tubo borbulhador como pode ser visto nos graacuteficos mostrados de (a) ateacute (I) A duplicaccedilatildeo de perlode tambeacutem eacute visiacutevel espacialmente como esta mostrado em (g) que temos o periacuteodo 1 com as bolhas se elevando igualmente espaccediladas c em (h) onde temos o periacuteodo 2 vemos a fonnaccedilatildeo dos dubletof de bolhas (33 aacutegua + 6Ou glicerina)

56 4 Resultados e Anaacutelise

gdApE0 -- (42t)

U

onde d ecirc o diacircmetro de uma esfera de volume Vequivalentlt d t (6V I n)1f3 ~ da

particula gota ou bolha obtido pela meacutedia d seus raios principais

Medimos o nuacutemero Eo juntamente com o nuacutemero de Reynolds Re das bolhas

[Clift el ai 1978J (Re = udp I P onde ueacute velocidade d fomaccedilatildeo da bolha p eacute a

viscosidade e p ecirc a densidade do liacutequido) Quando o sistema passa do regime de

periodo I para uma bifurcaccedilatildeo ou alargamento abrupto do tempo entre bolhas

obtivemos que o nuacutemero de Eotildetvotildes vale aproximadamente 26 plusmn1 para nuacutemeros de

Reynolds entre 200 e 1500 Este resultado foi verificado para todos os bicos utilizados

neste trabalho

426 Instabilidade da superfiacutecie da bolha

Utilizando algumas concentraccedilotildees diferentes de glicerina e o bico de seringa

verificamos1 no experimento do tubo borbulhador que os tempos entre bolbas ocorrem

em periacuteodo 1 para baixas vazotildees (O a 100 m1Imin) e que para faixas maiores de vazatildeo

os tempos entre bolhas ocorrem dentro de uma faixa de valores para baixas

concentraccedilotildees de glicerina ou em dois valores de tempo caracterizando um periacuteodo 2

para concentraccedilotildees maiores que 50 ~ como pode ser visto na Fig 412 Podemos ver

que com o aumento da viscosidade do liquido os ramos que ocorrem no penodo 1

I assim como os ramos do periacuteodo 2 ficam com valores mais estaacuteveis Segundo Mittonl

I [Mittoni et ai 1993] o aumento da viscosidade atraveacutes da glicerina produz atratores

mais estruturados e reprodutiacuteveis~ pois O aumento da viscosidade aumenta tambeacutem a

estabilidade do envelope da bolha e atenua a circulaccedilatildeo do liacutequido proacuteximo do bico

Este fato pode ser visto nas imagens da Fig 413 onde temos um conjunto de imagens

antes (al e depois (b) da duplicaccedilatildeo para a aacutegua e duplicaccedilatildeo de periacuteodo para a glicerina

(c d) Deste modo a viscosidade suprime instabilidades que podem levar agrave variaccedilotildees no

tempo de formaccedilatildeo da bolha

A instabilidade na formaccedilatildeo devido agrave baixa viscosidade pode ser vista na Fiacuteg

414 onde temos uma comparaccedilatildeo entre a aacutegua e a soluccedilatildeo com 80010 de glicerina e 20010

de atildegua Na Fig 4 14(a) temos o mapa de primeiro retomo com 10000 pontos para o

57 4 Resultados e Anaacutelise

bico de seringa com uma altura de coluna de 3 cm e uma vazatildeo de ar mantida constante

em 50mVmin

Este regime de borbulhamento corresponde a um periacuteodo 1 para a aacutegua com os

pontos se espalbando num intervalo entre 75 925 ms e n Fiacuteg 414(A) vemos o

histograma correspondente agrave frequumlencia de visitaccedilatildeo dos tempos entre bolhas com um

valor meacutedio de 87 TIS Para o liquido com 8010 de glicerina e 2010 de aacutegua ternos o

atrator da Fig 414b)~ com as demaiacutes condiccedilotildees semelhantes ao caso anterior tambeacutem

com 10000 tempos entre bolhas e na Fig 414(B) temos o histograma para este atrator

Os pontos neste atrator estatildeo entre 827 e 835 rns muito mais concentrados do que o

caso anterior

cIIJtmiddotca

---shy(a) (b) (c) (d)

Fig 413lmagens pam duplicaccedilatildeo de periacuteodopam a aacutegua (a) periacuteodo 1 e (b) alar_ento de perlodo e no liquido viscoso 2000 aacutegua + 80 glicerina com perlodo i em (e) e perlodo 2 em (d) Nestas imagens podemos notar que a superficie das bolhas emergentes satildeo mais estaacuteveis para o liacutequido mais viscoso do que para a aacutegua

lIiI

Q

58 4 ResultadrueAnaacutelise

j (A)

j

I (6)(b)

8bull~ 1 ~

f-

75 00

T(ms) T (ms)

Figura 4~14 Mapas de primeiro retomo (a) para a aacutegua e em (b) para a soluccedilatildeo SOOAt glicerina e 20 aacutegua Em (A) temos o histograma para os 10000 tempos obtidos para a aacutegua e em (B) o mesmo para o liacutequido mais viscoso A baixa l viscosidade da aacutegua toma -iacute o sinal muito mais irregular corno pode ser comparado em 500 pontos da seacuterie (c) da aacutegua e (C) da soluccedilatildeo viscosa

93

n

59 4 Resultadose Anaacutelise

427 Frequumlecircncia de borbulhamento

A frequumlecircncia das bolhas dada pela equaccedilatildeo 416 tem uma validade limitada

pelas condiccedilotildees geomeacutetricas e dinacircmicas jaacute citadas anteriormente Fazendo outras

medidas com diferentes alturas de coluna observamos uma variaccedilatildeo na frequumlecircncia de

borbulhamento Basicamente o aumento da a1tura da coluna liacutequida causa a diminuiccedilatildeo

da frequumlecircncia de borbulhamento para a mesma vazatildeo Na Fig 415 eacute apresentada a

frequumlecircncia de borbulhamento em funccedilatildeo do logaritmo da vazatildeo com o sistema

predominantemente emitindo bolhas em periacuteodo I onde se utilizou a soluccedilatildeo 8000 de

glicerina e 20 acircgu~ o bico de seringa e trecircs alturas da co]una liquida Sem 12 em e 26

em Fazendo um ajuste linear para calcular os expoentes da frequumlecircncia de

borbuIbamento em funccedilatildeo da vazatildeo observamos um aumento no valor do expoente com

O aumento da altura da coluna e simultaneamente a diminuiccedilatildeo do coeficiente linear do

ajuste Deste modo a frequumlecircncia em bolhas diminui com o aumento da altura da coluna

mas temos um aumento na sua inclinaccedilatildeo com a vazatildeo volumeacutetrica O mesmo efeito

ocorre com um liacutequido menos viscoso (66 glicerina e 34 aacutegua) mostrado na Fig

416 Podemos ter uma variaccedilatildeo ainda maior quando usamos o bico AI isto ecirc

diminuiacutemos o orificio do bico borbuJhadoT como estaacute mostrado na Fig 417 com a

soluccedilatildeo 800 glicerina e 20 aacutegua com altura de coluna de 3 em acima do bico

Existem alguns fatores que podem causar estes efeitos Ruzicka que estudou

experimentalmente a transiccedilatildeo intermitente entre os regimes de borbulhamento e de

jateamento em um sistema aacutegua e nitrogecircnio~ mediu a velocidade da circulaccedilatildeo do

liacutequido com um anemocircmetro Danlec e observou que a circulaccedilatildeo do liacutequido aumenta

com a altura da coluna [Ruzicka ot aI 1997] Par a construccedilatildeo do modelo da equaccedilatildeo

(416) a segunda condiccedilatildeo eacute que natildeo baja circulaccedilatildeo do liquido proacuteximo do bico e deste

modo o aumento da coluna poderia afastar o sistema das condiccedilotildees de validade da lei de

frequumlecircncia de borbulhamento

Outros autores [Davidon et ai 1960 Marmur e Rubin 1976 Clift et al

1978] afirmam que a diminuiccedilatildeo do diacircmetro do bico afeta a frequecircncia de

borbulhamento causando o emparelhameno das bolhas (duplicaccedilatildeo de penodo) deviacutedo

ao aumento do nuacutemero de capacitacircncia Na dado por

4V (p - Pg)lt (422)N= miP

I

bull bull

60 4 Resultados e Anaacutelise

I [ A it

3

o ~0_ Uq 80 glic + 20 otildelQUa ~~ ~

oQ~-ogomiddot

o shyoi lIIIl

If-oI_og

bull c shy

o bull bullbull

bull o Iog fO4Obg 0+04 bull Iog f~O43bg 0+03

bull Iit 1og~OSSbgCKI12

-TrY

10 Log Q bull Vazatildeo (mllmin)

Figura 415 Frequumlecircncia de borbulhamento em funccedilatildeo da vatilo e altura da coluna liacutequida

Llq 6ocirc glie + 34 aacutegua

0deg ~ EI00 li

o o bullbull li o1 deg ~o bull bull bull

lt5

oA it 1 o bull bull bull

o log fUacute421og Q-+O4s 1 9

bull logft=O451og 0+028 li logf=O481ogQ+O12

bull o Iogf =O5BIogQ-O19

b

o _ 010 li 150m

~

10 100

Log Q - Vazatildeo (mVmin)

Figura 416 O mesmo que a figura anterior pOreacutem com um liquido menos viscoso

61 4 Resultados e Anaacutelise

lo 1=1

Biccedilo A1 o Lfq 80 glic + 20 aacutegua

amp90

OO~ r

o 0deg 0deg

Otilde 10 o o ~

o ~ ] f-O ov J

oOI o J o

o 1 10g fb 069109 Q-O25 1

10 100

Log Q - Vazatildeo (mllmin)

Figura 417 O mesmo liquido que foi utilizado paro os dados da Fig 416 mas agora com Q

bico A1 e uma altura de coluna acima do bico de 3 em

onde Vc eacute o volume da cacircmara que conteacutem o ar entre a vaacutelvula de controle de vazatildeo e o

bico Pi e pg satildeo as densidades do liacutequido e do gaacutes (ar) respectivamente do eacute o diacircmetro

do orifiacutecio (bico) eP a pressatildeo absoluta na bolha

Segundo Marmur e Rllbin orificios grandes (~1 mm) implicam em

baixa resistecircncia ao fluxo do gaacutes entre a cacircmara e a bolha e devido a isto a bolha e a

cacircmara funcionam corno um sistema unitaacuterio para o ar Jaacute com orifiacutecios menores o

nuacutemerO de capacitacircncia aumenta e a velocidade do ar nO bico aumenta causando

pequenas variaccedilotildees de pressatildeo na cacircmar~ que causam diferentes tempos de formaccedilatildeo

para as bolhas

Aleacutem destes fatores a temperatura eacute um paracircmetro fundamental a ser

monitorado Todas as medidas anteriores foram realizadas a 24 C

62 4 ResutatQs e Anaacutelise

428 DupUcaccedilotildees de periacuteodo

Com uma soluccedilatildeo de quatro partes de glicerina e um parte de aacutegua e usando a

seringa plaacutestica como bico obtivemos a seacuterie temporal d Fig 418 que mostra a

claacutessica sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo para o sistema do tubo borbulhador Nesta

figura temos uma diminuiccedilatildeo gradual da vazatildeo de ar atraveacutes do bico com uma evoluccedilatildeo

doade a regiatildeo caoacutetica (a) passando por comportamento de borbulhamento de penado 2

na parte (b) que passa a um periado 4 na regiatildeo (c) que passa para um novo

comportamento de penodo 2 regiatildeo (d) seguido por uma regiatildeo de formaccedilatildeo de bolhas

em periacuteodo 1 na regiatildeo (e) Na Fig 419(e) apresentamos uma imagem das bolhas se

formando periodicamente uma a uma e na Fig 4 19( d) eacute mostrado o comportamento de

periado 2 sem o efeito de coarescilnda entre as bolhas Na Fig 419(c) temos a imagem

para o penodo 4 enquanto que na Fig 419(b) temos um penodo 2 devido agrave

coalescecircncia de pares de bolhas que anteriormente formavam o periacuteodo 4 Finalmente

na Fig 4 1 9(a) temos a imagem das bolhas em regime caoacutetico

429 Salto e coalescecircncia

Obtivemos uma seacuterie temporal diferente com o mesmo aparato anterior~ mas

utilizando o bico A3~ Um capilar metaacutelico longo deixando a pressatildeo do reservatoacuterio

diminuir naturalmente atraveacutes do borbulhamento Esta seacuterie temporal eacute mostrada na Fig

420 O sistema estaacute evoluiacutendo em um movimento de periacuteodo 2~ regiatildeo (a) na Fig 420

onde a diferenccedila entre os dois ramos do atrator eacute de 55 ms A medida que a vazatildeo do ar

diminui Qcorre um encolhimento abrupto do atrator para outro periacuteodo 2 onde a

diferenccedila entre os famos passa o ser 1 nlS mostrando um salto na dinacircmica da fonnaccedilatildeo

de bolhas na regiatildeo (b) da Fig 420 Depois disC o sistema evolui para um periodo 1

mostrado na regiatildeo (c) Na Fig 421 estatildeo ilustrados cada perfil de borbulhamento nas

trecircs regiotildees Na Fig 421() temos duas imagens que mostram a formaccedilatildeo de uma

grande bolha em dois cstagravegios No priacutemeiro estaacutegio a bolha se forma com o tempo do

ramo superior do pedodo 2 da seacuterie temporal da Fig 420 (-25 ms) Logo que esta

bolha se destaca uma segunda bolha eacute criada durante a sua furmaccedilatildeo esta segunda

bolha toca bull bolha antenor e o fluxo de ar ascendente soprado dentro da bolha em

fonnaccedilatildeo vence a tensatildeo superficial fazendo a coalescecircncIacutea do par que eacute alimentado

4 Resultados e Anaacutelise 63

50~--------------------------------------~

(a)

~ ~ bull1o$ ~ bull bullbullbull u ~ gtbullbullbull

bull ~~ (b) -

~ ~ bull lt

(c)

~

bullbull _~_

~ (bullbullbullbull bulli~ ~~~I~~~~

1- W

40

7 ~3(l E ~

1-lt

20

~~~~~~ ~~~ 10

o I I o 500 1000 2000 2500 3000 3500 4000

n

Figura 418 Seacuterie temporal a partir do oomportatnento caoacutetico ateacute o penudo l Tneacuteo temJX) entre bolhas e n eacute a ordem da bolha coletada

~_ ~IV ~

l 1 _ 1 - 8~

~ ~ c bull

~~ G Q

gt middotcmiddot

C1r obull~ 8 ~ - -~

~

~ ~a o G

i~1bgt ~ ~ciacute1I ~

(a) (b) (c) (d) (e) Figura 419 Perfil das bolhas emitidas em cada um dos regimes mostrados na seacuterie da Fig 515 Em (a) vemos O oomportamentoca6tico (O) periacuteodo 2 com coal_neia (e) perlodo 4 (d) periacuteodo 2 e em (e) perlodo (1)

pelo bico soprador e se toma uma uacutenica grande bolha Com a diminuiccedilatildeo da vazatildeo de

ar O toque entre as bolhas deixa de ocorrer e o atrator diminui abruptamente

bull bull bull

__

64 4 Re$tlltados e Anaacutelise

25 _~r--~

bull bull bull

(b)Tn (ms)

20

15 bull

o 100 200 400 500 600 700 TI

Figura 420 Seacuterie temporal mostrando um salto na dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas o periacuteodo 2 se (X)otIai abruptamente em um periacuteodo 2 diminuindo o periacuteodo do borbulhamento

~~~~~ Blaquoltlt o

~~~~ ~ti~~ ~~~__o

$ 01lt- ~

~j3~~ ~ c ~lt _4B ~~~~ Oylt OImiddot

o

il~~ gt OI a~f~ omiddot~~ Omiddoti

~ltbullbull 01laquolt ~ deg -~ ~-

~- J~f~ 1ltlaquo O middot

~i ~~ltc 9~1 ~~~~ ~ ~~

~~I-~iJM ~1 l -gt

(a)

-ot

~~ ~~ -i)-~

-~jIi-J

(b) (c) Figura 421 Imagens das bolhas (a) antes do salto onde podemos ver as bolhas se tocando- e coalescendo (b) o- periacuteodo 2 apoacutes o salto onde as bolhas satildeo emitidas aos pares sem coalescecircnciacutell e (c) o periacuteodo 1

65 4 Resultados e AnacircJise

Uma mudanccedila abrupta de comportamento nos sistemas fiacutesicos pode ser

eAtilde-pHcada atraveacutes de mapas com descontinuidades como foi proposto por de Sousa

i Vieira el ai [Souza Vieira oi ai 1987] Par estudar assimetrias e descontinuidades eles

I utiacuteHzaram o mapa

I-e -alxX sexo gt0

x = f(x) (423)1-(e +8) =0

1-amp2 -a2Ix1 sex lt0londe S1 e EZ satildeo os coeficientes de descontinuidade z e Z2 satildeo os expoentes de

assimetria aJ e az satildeo os paragravemetros de controle do mapa x

~wa1rr~J

j(b)

ftlt 00 DS 110

X

~~_ shy h ~

ltgt01

raquo1111u

~ (a) bullbull

X

gtltt

bull a

Figura 422 Dois exemplos de mapas assimeacutetricos (a) omapa descontiacutenuo das equaccedilotildees 422 e os valores de cada puilmetro em (A) temos o seu diagrama de bifurcaccedilotildees Em (b) os jmagravemetros do mapa contiacutenuo e em (B) o respectivo diagrama de bifurcaccedilotildees

66 4 ResuitaikJse Anacirclise

Outro caso onde ocorre descontinuidades eacute atraveacutes do modelo de mapas

combinados em seacuterie [Tufaile 19 Tufaite si aibull 1999] no qual os sistemas interagem

aJtemadamente Este modelo pode ser exemplificado com os mapas unidimensionais

xbullbull = f4y) (424)

Yn+1 = g(~Xff+l)

cuja combinaccedilatildeo eacute a uniatildeo dos resultados dos dois mapas

S=fug (425)

Se considerarmos o mapa logistico com o paratildemetro de controle p~

Zn+l co PJVZn(l- In) com

(426a)[1+ (-l)JPr +[1 +(-l)]Py p~co

2

A recorrecircncia Zn pode ser rescrita em dois subsistemas independentes associados com a

paridade de 11

x =16pPr (I-x)[1-4p-x(1-xl] (42Gb)

y =16ppy(l-y)[1-4Pxy(I-y)] (4260)

Aleacutem disso os paracircmetros Px e py podem ser simultaneamente funccedilotildees de um

paracircmetro que acopla o sistema Devido agrave propriedade da formaccedilatildeo de bolhas de

diminuiccedilatildeo do tempo em funccedilatildeo do paracircmetro de controle~ pode-se utiliacutezar uma funccedilatildeo

convexa do tipo

zn+1 =z -a (427)

e fazer a combinaccedilatildeo em seacuterie deste mapa com o paracircmetro de controle assumindo dois

valores para a gt O8

0x =0 (428)

y =ltgt+01

O diagrama de bifu~o desta combinaccedilatildeo estaacute mostrado na Fig 423

Figura 423 00

A descontinuidade ~ obtida pela combinaccedilatildeo ~ 05 em seacuterie de dois tnaplS

quadraacuteticosshy-10

os 1006

a

67 4 Resultados eAnaacutelise

Interpretando o salto sob o ponto de vista dos mapas combinados em seacuterie

podemos considerar que antes do salto logo apoacutes a duplicaccedilatildeo de penado as duas

bolhas satildeo formadas atraveacutes da mesma funccedilatildeo de formaccedilatildeo Quando ocorre o toque a

primeira bolha do par possuIacute urna funccedilatildeo de formaccedilatildeo distinta da segunda bolha pois a

segunda bolha coalesce durante sua formaccedilatildeo com a primeira e o bico soprador passa a

encher o conjunto com quase o dobro do volume uma bolha

Outro tipo de combinaccedilatildeo de mapas eacute a combinaccedilatildeo paralela de dois mapas tt) e g(y) que resultam no mapa combinado s

x = - - p(I) y =y - py(I) (429)

Sn xlI +Yn

O6--------------------~

00shy

X -06shy P1

-12 shy

00

gt-bull -05shy ~ gt2 -10 00

gt- -05shy+Xt ~1Q gt 11 ~

(f ~15

-20 060 065 070 075 080 085

P

Figura4~24Acombinaccedilatildeo--j)am1e1a S de dois truiJX1S

onde x() e p(ccedil) satildeo paracircmetros de controle em funccedilatildeo de um paracircmetro comum ccedil

com cada mapa sendo iacuteterado separadamente Na Fig 424 temos dois mapas

bifurcando inversamente para diferentes valores do paracircmetro de controle p) enquanto

que a sua combinaccedilatildeo paralela possui uma bifurcaccedilatildeo flip do mapa da variaacutevel XII no

684 Resultados eAnaacutelise

ponto PIe que equivale a uma alteraccedilatildeo no periacuteodo dois do mapa Sh no ponto P2

devido agrave segunda bifurcaccedilatildeojlip do mapa Yn

A seacuterie da Fig 425() foi obtida utilizando-se o bico AI o mais curto dos bicos

da seacuterie A Nesta figura podemos ver que o salto foi nuacutenimizado Na Fig 425(b)

apresentamos a simulaccedilatildeo correspondente~ na qual utilizamos dois mapas combinados

em seacuterie

(a)

-70j lO ~

77 0 tle

U

E -z I- 50

40 2000

N -obull

-O~ (b)

0 (J) middot01 ~

middot1~

middot14

-16

10 11 1~ 1~ 1O a

Figura 425 Em (a) podemos ver uma seacuterie temporal obtida com a diminuiccedilatildeo da aZatildeo com o bico AI e uma soluccedilatildeo viscosa 80 glicerina e 20 aacutegua Em (b) a combinaccedilatildeo paralela de dois mapas A biftucaccedilatildeo flip que ocorre no mapa) quando levada agrave combinaccedilatildeo paralela ~ causa a diminuiccedilatildeo doperiacuteodo 2

4000

4 Resultados e Anaacutelise 69

4210 Antibolbas

Uma casca aproximadamente esfeacuterica de ar dentro de um liacutequido forma o que foi

chamado por J E Connetl de Gllliacutebolha segundo C L Stong [8tong 1974] Na Fig

426 estaacute esquematizada uma antiacutebolha

I

FJllUl1 426 Uma antibolba eacute uroa gota de um liquido envolvida por uma fina camada de ar dentro do liquido

Como o seu interior eacute preenchido pelo o mesmo liacutequido da parte externa as

antibolhas satildeo ligeiramente rnaiacutes leves que o fluido agrave sua vol~ mas satildeo mais pesadas

que as bolhas Deste modo correntes proacuteximas aacute antibolha podem deslocaacute-Ia facilmente

superando o seu empuxo Quando a casca esfeacuterica se desestabiliza a antibolha colapsa

em uma pequena bolha de ar esfeacuterica que emerge no liacutequido O tempo de existecircncia de

uma tibolha antes de sua desetabilizaccedilatildeo em uma pequena bolha de ar pode chegar a

ordem de minutos

No experimento do tubo borbulhador ocorre tambeacutem a formaccedilatildeo de antibolhas

para determinados regimes da formaccedilatildeo de bolhas As antibolhas seguem as correntes

do liquido dentro do tubo em movimentos ascendente e descendente Na Fig 427

podemos ver antibolhas ao reder de bolhas sendo sopradas no bico borbulhador Para o

liquido utilizado (2 partes de glicerina para I de aacutegua) bull ocorrecircncia de antibolhas

acontece a partir do estaacutegio onde aparece a coalescecircncia do par de bolhas chamado de

periacuteodo 2 antes do salto da Fig 421(a) A formaccedilatildeo das antibolhas eacute precedida pela

formaccedilatildeo de goticulas A formaccedilatildeo de gotiacuteculas estaacute esquematizada na Fig 428 onde

vemos em (a) que parte do liquido em movimento ascendente forma posteriormente um

capilar em (b) e uma goticula se desprende Nas imagens da Fig 428 podemos ver

I

70 4 Re5Ultadocircs e Anaacutelise

alguma imagens que mostram a formaccedilatildeo de gotiacuteculas dentro da bolha assim como

invaginaccedilatildees que podem levar a criaccedilatildeo de antibolhas

Assim como as bolhas as antibolhas desviam o feixe laser e podem ser

detectadas_ Verificamos isto colocando o sistema no regime de formaccedilatildeo de antibolhas

que corresponde a um periacuteodo 4 para as bolhas mostrado no mapa de retomo da Fig

429(a) O seu espectro de potecircncias estaacute na Fig 429(b) As antibolhas se deslocavam

dentro do tubo borbulhador seguindo as correntes internas do fluido COm

deslocamentos preferencialmente descendente proacuteximo agrave parede do tubo e ascendente e

altelerado proacutexiacutemo do bico soprador A quantidade de antibolbas dentro do tubo era

aproximadamente 30 e o feixe laser fui colocado num ponto em que as bolhas natildeo

passavam por eJt num ponto 2 cm acima do bico e 2 em deslocado do eixo do tubo

como o ponto PI da Figo 427 Nesta regiatildeo apenas as antiacutebolhas passavam pelo feixe

laser e noacutes obtivemos os dados mostrados no mapa de retorno da Fig 429(e) Nestes

dados satildeo apresentados 500 pontos correspondendo a 50 minutos de aquisiccedilatildeo com

intervalos de tempo entre 17 milissegundos ateacute 8S segundos

~~ ~ -0 -- O d

~ --- Arltibolhas

oO~f ltgt

figt O ~__ amobullbull -

7~

P1 9

middot0

-6

9

FIgUra 427lmagem das antibollw ao redor das bolhas que se formam no bico soprador Fazendo o Iascr incidir perpendiculannente ao plano da imagem no ponto Plfoi possiacutevel detectar algumas _bolhas se deslocando aleatoriamente dentro do tuoo borbulhador

71 -[ 4 Resultados e Anaacutelise

--~1

(d) itifit

~ Figura 428 Formaccedilatildeo de gotiacuteculas esquematizada em (a) (b) e (c) (d) Nas imagens podemos ver pagravedrotildees semelhantes nas bolhas

00 (c)(a)fi ] 25middot g ~

it shy

gt-

~1 ( ~~15 I

16 zo 2S 30 Tw(ms) TIlaquos

10 ~ $ 10

~ 10-e

bolha

Figura 429 Ca) Mapa de primeiro retorno do perlodo 4 e em (b) o seu ~ de potecircncias O mapa de retorno em (c) foi obtido com I) sistema nas mesmas condiccedilotildees daacute formaccedilatildeo das antibolhas mas posicionando o feixe laser e o fotodiodo de modo a detectar as antiacutebolbas que pa5Sa1Ul1 pelo ponto PI da Fig 427

(b)

00 01 02 1 03shy 04 06

72 4 Resultados e Anaacutelise 1

43 A onda sonora e as bolhas

Os efuitos de uma perturbaccedilatildeo externa a onda sonora na formaccedilatildeo das bolhas

satildeo apresentados e analisados neste capiacutetulo O problema das bolhas perturbadas por

ondas sonoras apresenta desafios muito interessantes do ponto de vista matemaacutetico) com

relaccedilatildeo a proposiccedilatildeo das equaccedilotildees que controlam o sistema e suas condiccedilotildees de

contorno pois1 aleacutem de um sistema de duas fas~ com uma das fases compressiacuteveJ

temos a accedilatildeo de uma onda sonora Do ponto de vista experimentai o tubo borbulhador

possui uma geometria que fagraveciacutelita a utilizaccedilatildeo da onda sonora devido aacute propriedade de

confinamento de ondas sonoras em tubos

Existem trabalhos que envolvem a accedilatildeo de ondas sonoras em bolhas ou gotas jaacute

formadas [MarstoIl 1980] ou quando bolhas ou cavidades satildeo criacuteadas dentro de um

liacutequido devido a uma onda sonora de alta intensiacutedade[Lauterbom 1986 Prosperetti)

1986J a chamada cavilaccedilatildeo acuacutestica Haacute ainda um caso conhecido como cavitaccedilatildeo

transiente no qual a temperatura no interior da bolha atinge mUhares de graus e a

pressatildeo chega a milhares de atmosferas Nestas condiccedilotildees ocorre o fenocircmeno conbecido

como sonoluminescecircncia que eacute a emissatildeo de luz por bolhas em um liacutequido excitado por

ondas sonoras [Putterman 1995 Moran el aI 2000] As frequumlecircncias das ondas sonoras

envolvidas com cavitaccedilatildeo satildeo da ordem de centenas de kHz Nestes trabalhos tambeacutem

se estuda como o campo sonoro emitido pelas bolhas~ devido aos efeitos da cavitaccedilatildeo~

afeta as proacuteprias bolhas Neste capiacutetulo veremos condiccedilotildees mais claacutessicas de interaccedilatildeo

entre bolhas e ondas sonoras do que as que ocorrem na sonoluminescecircncia Aqu~ neste

capiacutetulo a bolha eacute afetada pela onda sonora durante a sua furmaccedilatildeo no bico soprador

com frequumlecircncias da onda sonora variando no intervalo entre dezenas e centenas de hem

O tamanho das bolhas estudadas eacute da ordem de centimetros o que pcnnitiu registrar

suas imagens atraveacutes de uma cacircmara VHS comum Veremos tambeacutem como o sistema

onda sonora - bolhas nos levou ao estudo do mapa do ciacuterculo bidimensional onde

temos um oscilador sofrendo impulsos penoacutediacutecos de uma forccedila externa

73 4 Resultadoacutes e Anacirciise

431 A formaccedilatildeo de bolbas perturbadas pelas ondas sonoras

Nesta seccedilatildeo veremos os resultados que mostram a mudanccedila do tempo entre as

bolhas para uma onda sonora de frequumlecircncia fixa e valores de amplitude crescentes

[Tufagraveile e Sartarelliacute 2000a Apecircndice 2]

Mantendo fixa a vazatildeo do ar atraveacutes da vaacutelvula controladora e utilizando a

soluccedilatildeo de 66 de glicerina e 34 de acircgtll noacutes mudamos a dinacircmica da formaccedilatildeo de

bolhas aplicando ondas sonoras sintonizadas na frequumlecircncia fundamental da coluna de ar

acima do liquidO (138 Hz)

Na Fig 430 mostramos os mapas de primeira retorno em funccedilatildeo da amplitude

da onda sonora em regime de vazatildeo constante Estatildeo em destaque no canto superior

esquerdo de cada graacutefico a ampHtude do sinal senoidal e a frequecircncia meacutedia das bolhas

O sistema eacute colocado inicialmente borbulhando em periodo 1 com uma frequumlecircncia em

bolhas de 11282 bolhass como estaacute mostrado na Fig 430(a) Aplicando a onda

sonora o ponto fixo perde sua estabilidade e um ciclo limite aparece corno pode ser

visto na Fig 430(b) e 430(c) com um pequeno aumento da taxa de borbulhamento

meacutedio

Na Fiacuteg 430(c) o ciclo limite perde sua estabilidade e um ponto fixo proacuteximo

de (87ms 87ms) eacute visitado intermitentemente Este ponto fixo foi determinado atraveacutes

de um histograma do graacutefico de Tn As transfonnadas de Fourier dos dados relacionados

agrave Figs 43O(d-g) mostram um periacuteodo 2 ruidoso Mostramos na Fig 431 o espectro

de Fourier dos dados do atrator da Fig 430(1) Neste espectro vemos um grande pico

em O~5~ o que corresponde ao penado 2

Isto mostra que estaacute ocorrendo uma bifurcaccedilatildeo flip em funccedilatildeo da

amplitude da onda sonora Em uma bifurcaccedilatildeo flip existe um ponto fixo instaacutevel entre

os dois pontos fixos estaacuteveis Nossos dados mostram que a vizinhanccedila do ponto meacutedio

entre os dois pontos fixos eacute visitada devido ao ruiacutedo~ e consequentemente) nossos dados

satildeo adequados para se aplicar a teacutecnica de transfonnaccedilatildeo de ponto fixo desenvolvida

por So e aI [80 et al~ 1996] para se encontrar oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis em seacuteries de

eventos

bull bull bull

bullbull

74 4 Resultados e Anaacutelise

I 112921

I gt65 11lt196 I

bull---~~ --- ~ bull bullbullbull

11_

[

I (1145 11n41 I - 11470 I

4 ~~

- - - - - - iCcedil

(gtl middot bull AOlt 56

(raquo

~~~~----shy---~- - -shy middot bull middot bull bullbullbull )bull bulllt~ shy- 11461shy bull ~ bull

f ~ o loli ----- -~~ ----~- 1 ~- -~ -S - f~ ~ -~ bull middot bull

bullbull bull bull bullbull bull

- bull-bull

i)

T~(ms)

- r 11 ~1 09 1117111 05 1141 I 0-6 bullbull

-T ~~ j ~ - ~~~~

- ( [ f l~~lt bull l) ~ L_ bullbullbullbull IJI~f l ~ r ~ ~ ~ ~ _ _bull

t bull i i f~lO ~ O) bullI 00bull Tnms)

Figura 430 Mapas de retomo do Ciper1mcnto do tubo borbulhador Em cada graacutefico temos no cantO superior esquerdo o valor da tensatildeo aplicada no alto-falante e o valor da frequumlecircncia de boacuterbulbamento meacutedia O liacutequumlido utilizado eacute uma soluccedilatildeo de 66 glicerina e 34 aacutegua e as bolhas foram sopradas diretamente na seringa plaacutestica

4 Resultados e Anaacutelise 15

1

p

I 100~~______~~----~-----~~--1~~111ilIUlltill~

00 01 02 03 M 05

(bolhar1

Flgura 431 Espectro de Fourier dos dados da Fig 30(f) iodiacutecando bull existecircllCIacutetI de um periodo 2 ruidoso

Um exemplo dos nossos resultados estaacute mostrado na Fig 432(a) onde estaacute

representado o histograma para o caacutelculo do ponto fixo usando os dados mostrados na

Fig 43O(h) Para uma melhor visualizaccedilatildeo da posiccedilatildeo da oacuterbita perioacutedica instaacutevel um

graacutefico da intensidade para os mesmos dados eacute mostrado na Fig432(b) O maior pioo

define um periacuteodo I instaacutevel em (869l ms 8699 ms) proacuteximo do ponto fixo estaacutevel

mostrado na FigAlO(e)

Aumentando ainda mais a amplitude noacutes obserVamos o aparecimento da regiatildeo

caoacutetica com as caracteriacutesticas da dinacircmica de estiramento e dobra como estaacute mostrado

nas Figs 430(h-i) e oom pequena mudanccedila na frequumlecircncia meacutedia de borbulhamento Os

atratores na regiatildeo caoacutetica foram caracterizados pelo expoente de Lyapunov dominanre

[Ellner ti al 1912] e estes expoentes podem ser vistos na Fig 433

1

76 4 Resultados e Anaacutelise

(a) Contagens

iacutel00

(b)

Contagens~m (lJ ~337raquoj middotiIrmiddot = IIHI tgt ~ blHH

lIS1I eM elo IIU =JT(lM) 10bullbull

Figura 432 Histograma JXlffi a determinaccedilatildeo da oacuterbita perioacutedica instaacutevel (a) e graacutefico de contorno para os mesmos dados (b) localizando () ponto fixo instaacutevel um fX)UCO abaixo de amp7 ms

05

~--- -T

i I _ _ 1osoagrave rn eacute-

~- 025- I n o

0001 bull

03 04 05 06 07 08 09

Tensatildeo aplicada no alto-falante M

Figura 433 E potntes de Lyapunov dos atratores moStrados em 4JO(e) a (j) em funccedilio da tensatildeo aplicada no alto--falante

77 4 Resultados e Anaacutelise

Continuando a aumentar a amplitude da onda sonor~ com incrementos maiores

do que ante noacutes obtivemos os atratore mostrado na Fig 434 Na Fig 434(m) a taxa

de borbulhamento meacutedia eacute de 205 bolhasls para uma onda sonora gerada com um

tensatildeo de 314 V no alto-falante A posiccedilatildeo - (725 ms 725 ms) eacute visitada com um

comportamento intermitente O tempo de visitaccedilatildeo aumenta quando a amplitude do som

aumenta ateacute que o ponto - (725ms 725ms) torna-se um ponto fixo estacircvel~ como

mostrado na Fig 434(n) Nesta situaccedilatildeo a frequumlecircncia meacutedia de borbulhamento eacute

F=13797 plusmn 9 bolhass tem o mesmo valor da frequumlecircncia da onda sonora Na Fig 435

podemos ver a diferenccedila entre as imagens das bolhas para o primeiro ponto fixo dos

dados mostrados na Fig 434(a) e o ponto fixo na ressonacircncia do atrator da Fig

434(n)

100i 314 205 10 13797 I l

~

Ul

E ~

i

1

+ I ~ T gtt ~~

ao ~ -i )I~ L bullbullbull amiddot ~

bull ~f - bullbull ~ bull (~1iii2~_~~

middotmiddotmiddotmiddotmiddotvb-~middot

r-li ~ ~ ~ i f~ ~

w-i~ 1 _o - ~ -~ ~ 1 ~ ~~imiddot ~ 20-1shy ~ -r shy

~i i~ ~

1t middotmiddot middotlt~fO I i i j

(m) 1 bull

(n) I

ti 20 40 fD 80 100

T n

Figura 434 (In) O ponto - (725 ms 725 ms) eacute visitado em wn comportamento intemuacutetenle com os outros pontos espalhados pelo espaccedilo de fases Em (n) a formaccedilatildeo das bolhas sinaoniza-se com a frequumlecircncia fundamenla1 do tubo e temos apenas o ponto- (725 ms 725 ms)

4 Resultados e Anaacutelise 7amp

a b

432 Atratores do tipo Heacutenon

Os resultados da seccedilatildeo 431 nos mostraram uma grande evoluccedilatildeo da dinacircmica

da furmaccedilatildeo das bolhas com o aumento da tensatildeo aplicada no alto-filante A regiatildeo da

dinacircmica que apresenta a bifurcaccedilatildeo fip~ seguida por atratores caoacuteticos eacute semelhante

aos sistemas dinacircmicos que apresentam propriedades de estiramento e dohra como o

mapa de Heacutenon discutido na seccedilatildeo 27 Por este motivo veremos a comparaccedilatildeo entre

atratores experimentais nessa regiatildeo e o mapa de Heacutenon na tentativa de compreender a

dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas para uma regiatildeo do paracircmetro de controle

De modo a reduzir o ruiacutedo nos dados utilizamos uma soluccedilatildeo mais viscosa 80

glicerina e 20 aacutegu~ e utilizamos o bico A2 Para termos uma variaccedilatildeo mais fina do

paracircmetro d controle alteramos o fator de amplificaccedilatildeo do gerador de funccedilotildees cujo

sinal alimenta o aitcrfalante A vazatildeo de ar e a frequumlecircncia da onda sonora foram

mantidas constantes~ em -366 bolhass e 150 Hz respectivamente Noacutes alteramos a

dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas aumentando a tensatildeo no alto-falante como mostrado

~

sect 8 o

g g middot0 o

Figura 435 Imagem da sincroruzaccedilatildeo das bolhas com a onda sonora no tubo borbulhador Em (a) temos a im1lgem para o ponto lixo lMSU1ido na Fig 430(a) com Fe=11282 bolhasl$ (b) O uacutellimo ponto fixo mostrado na Fig 434(n) quando as bolhas estatildeo sincronizadas com a frequumlecircncia da onda sonora (138 Hz) Nos dois casos teOlQ$ a mesma vdZatildeo de ltIr

79

(f)

~

4 ResultmlcseAnaacuteJise

pelo diagrama de bifurcaccedilatildeo na Fig 436 num regime de vazatildeo constante Nesta figura

vemos uma dupliacutecaccedilatildeo de penado ocorrendo ao redor de 20 V com as bolhas sendo

emitidas aos pares ateacute aproximadamente 3~O V~ quando um penodo 4 ruidoso aparece

Apoacutes isto duas bandas caoacuteticas aparecem Para --3~5 V as duas bandas caoacuteticas se

encontram e se sobrepotildee~ com o aparecimento de um atrator caoacutetico maior

~

20 25 Tensatildeo no alto-falante M

Figura 436 Duplicaccedillo de perlodo em funccedilatildeo da amplitude da onda sonora A frequumlecircncia da onda sonora eacute 150 Hz e a ftequumlecircnciacutea de borbulhamento inicial eacute por volta de 31 bolhass

Para realizar a caracterizaccedilatildeo meacutetrica e topoloacutegica da dinacircmica da formaccedilatildeo de

bolbas sob a accedilatildeo da onda sonora noacutes coletamos seis seacuteries de eventos fixando a tensatildeo

em seis valores distintosgt cujos mapas de retomo (T+- vs T1I) satildeo mostrados na Fig

437

figurA 437 Uma l-Vi I v li I bull vll seqUecircncla de atratoresi reconstruiacutedos- i tmiddot mostrUdo uma rota

~ para o Caos atniveacutes de duplicaccedilotildees duto periacuteodo O valor emta) (b) (e) volts corresponde agrave tensatildeo mantida

t constante no altoshy falante durante a

32

~~ obtenccedilatildeo do atnltOf ~

(eI) bull I(e)

~I

32 Tms)

80 4 Resultados e Anaacutelise

432A Caracterizaccedilatildeo meacutetrica

Os alratores caoacuteticos reconstruidos Figs 437(d) ateacute 437(f) foram caracterizados

atraveacutes dos expoentes de Lyapunov pela dimensatildeo de Kaplan-Yorke aleacutem da dimensatildeo de

Infonnaccedilatildeo obtidos pelo pacote de programas TISEAN [Hegger aI ai 1999] A conjectura

de Kaplan-Yorke [Argyris o ai 1994) que relaciona a dimensatildeo de Infonnaccedilatildeo e a

dimensatildeo de Kaplan-Yorke (equaccedilatildeo (211 raquo mostra que elas se igualam para alratores do

tipo Heacutenan As dimensotildees foram obtidas para as lensotildees de 35 V 40 V e 45 V como

estaacute mostrado na tabela 41 As dimensotildees de InfOrmaccedilatildeo e Kaplan-Yorke coincidem para

os trecircs atratores caoacuteticos

I I

Figura nuacutemero

3d 3e 3

Tensatildeo llspeccediltro de Dimensatildeo de Dimensatildeo de LYaOUllnv Katgtlan-Yorle Informacatildec

35 +011-08 115 I 13 3 40 +012-06 1 23 1 143 ---

1)45 + 02 - O) - 09 168 18 3 Atrator de Heacutenon

o b I 55 01 +038-238 116 II~14 03 + 042 -162 117 119

Tabela 41 Expoentes de Lyapunov e dimensotildees dos atnitores caoacuteticos experimentais e de dois pares de valores do mapa de Heacutenon

Cada um dos dois primeiros atratores caoacuteticos possui espectro de Lyapunov com um

expoente positivo e o outro negativo~ enquanto que o uacuteltiacutemo atrator Fiacuteg 437(f) possui um

expoente positivo e dois expoentes negativos Na tabela 41 satildeo apresentados os resultados

para mapa de Heacutenon mostrado na equaccedilatildeo (212) para dois conjuntos de valores dos

paracircmetros (a b) e os atratores experimentaiacutes reconstruiacutedos

Os valores das dimensotildees dos atratores para amplitudes de 35 V e 40 V satildeo

proacuteximos dos valores das dimensotildees do mapa de Heacutenon sugerindo que eles podem ter

dinacircmica similar O atrator reconstruiacutedo para 45 V mostrado na Fig 437(1) tem a fonna

semelhante aos dois outros atratores anteriores Entretanto) comparando-se as dimensotildees

deste atrator com as dimensotildees dos atratores das Figs 437(d) bull 437(e) vemos que o valor

da sua dimensatildeo de Informaccedilatildeo eacute maior que a diacutemensatildeo dos dois outros atratores

experimentais assim como dos valores de dimensatildeo para o mapa de Heacuteno~ como pode ser

4 Resultados e Anaacutelise amp1

visto na tabela 41 Junto com o fato de que o atrator d Fig 437(1) tem trecircs componentes

no espectro de Lyapu~ov a dimensatildeo de Informaccedilatildeo proacutexima de dois eacute uma indicaccedilatildeo que

este atrator natildeo pode ser totalmente desdobrado em duas dimensotildees

432B Caracterizaccedilatildeo topoloacutegica

Para o mapa de Heacutenon com os paracircmetros ti =1~55 e b = 01 1 utilizando a equaccedilatildeo

(212) para calcular a posiccedilatildeo dos pontos fixos para a variaacutevel x do mapa de Heacutenon

encontra~se que o ponto fixo x estaacute localizado em aproximadamente 0~56 Este ponto

corresponde a um dos pontos de cruzamento da linha diagonal pontilhada com o atrator

reconstruido Xn+1 V$ X como pode ser visto na Fig 438(a) Neste atrator o ponto fixo

possui dois autovalores dados pela equaccedilatildeo (214) Agravel = 006 eM = -179 que caracterizam

este ponto fixo como um ponto de sela A variedade estaacutevel ecirc tangente agrave direccedilatildeo do

autovetor contraente relacionado ao autovalor positivo Agravel menor do que 1 e a variedade

instaacutevel eacute tangente ao autovetor de estiramento relacionado com Oautovetor 2 com valor

absoluto maior do que I Isto estabelece que o ponto fixo e um sela jlip [AIliacutegood el ai

1997]

Na Fig 438(a) podemos ver tambeacutem um exemplo d evoluccedilatildeo dos pontos no

atrator~ atraveacutes da alternacircncia dos pontos ao longo da direccedilatildeo instaacutevel ateacute a trajetoacuteria

alcanccedilar as extremidades do atrator Partindo de uma regiatildeo proacutexima do ponto de sela do

atrator de Heacutenon noacutes vemos os pontos iacutempares iniciais acima da linha diagonal pontilhada

(I 3 5 e 7) a os pontos pares abaixo desta linha (2 4 e 6) caracterizando bull variedade

instaacutevel Nos mapas de primeiro retorno exparimentais mostrados nas Figs 437(d) (e) e

(I) noacutes dividimos o atrator em duas partes com uma linha diagonal para determinar os

pontos que cruzam com o atrator Ocorreu o comportamento de alternacircncia da trajetoacuteria

para os trecircs casos do mesmo modo que o observado no atrator de Heacutenon como estaacute

exemplificado na Fig 438(b) para o atrator obtido com UIDa tensatildeo no alto-falante de 40

V Do mesmo modo que no atrator de Heacutenon noacutes comeccedilamos num ponto proacuteximo da

interseccedilatildeo do atrator com a linha diagonal (TN = TN+ l aproximadamente igual a 27 ms)

com as extremidades do atrator sendo visitadas pela oacuterbita Deste modo devido as

semelhanccedilas de evoluccedilatildeo dos atratores experimentais com a evoluccedilatildeo do atrator de Heacutenon

82

~

+ 1- 26

24

4 ResultlJdcs eAnuacute]se

noacutes podemos inferir a existSncia de um ponto de sela flip nos atratores experimentais

mesmo para o caso da tensatildeo de controle de 45 V cujo espectro de Lyapunov tem trecircs

componentes e dimensatildeo proacutexima de dois

lS

I I (a) 6

10-1 ~ Figura 438 (a) Vemos ao lado a trajetoacuteria sobre nove pontos da al13tOr de Heacuteoon para exemplificar o comportamentoosol I de um ponto de selajlip localizada proacutexima do ponto 1

I gt~ ) ) (x= 056)

) ooJ 8~

-Osol

7

-10 -10 -05 00 OS 10 15

XN

I - -

(b) O mesmo oomponamento de um Ixmto fIXO tipo selaflip pode

JO- 1 ~ gt ser observado pm1 o atrator experimental com os pontos pares uacuteuacuteciais (2 4 e 6 acima da

~ fi) diagonal e os pontos imparcs20i iniciais (I 3 5 e 7) abaixoE 1~t I~

22 22 24 26 28 JO

TN(ms)

32 ~ ~

4 Resultados e Anaacutelise $3

432C Plano simb6lico

Como os planos simboacutelicos satildeo representaccedilotildees graacuteficas da diacutenacircmica e urna poderosa

ferramenta para se comparar sistemas dinacircmicos noacutes aplicamos a teacutecnica de dinacircmica

simboacutelica para os atratores mostrados nas Figs 437(d) ateacute 437(1) assim como no atrator

de Heacutenon (0=155 e 1gt=01) para podennos comparar as semelhanccedilas e diferenccedilas entre eles

Definimos as particcedilotildees L(R) atraveacutes da linha tracejada Na Fig 439() mostramos o atrator

de Heacutenon para a=155 e b=O1 com a sua respectiva particcedilatildeo que separa a regiatildeo formada

por uma linha (L) da regiatildeo com uma dobra (R) que conteacutem o ponto fixo instaacutevel O plano

simboacutelico aJ3 deste atrator estaacute mostrado na Fig 4J9(A) Nas Figs 4AO(b) ateacute 440(d)

temos os atratores experimentais cujas particcedilotildees satildeo as linhas tracejadas que separam uma

regiatildeo com um ramo (L) de uma regiatildeo com dobra (R) Os respectivos planos simboacutelicos

aJ3 estatildeo mostrados nas Figs 440(B) (C) e (D)

Comparando--se a Fig 4J9(A) com as Figs 440(B) (C) e (D) percebe-se o padratildeo

de cada plano simboacutelico eacute semelhante ao plano simboacutelico do mapa de Heacutenon A maior

I

84

R

22 I I I I I I II I 22 24 26 28 30 32

4 Resultados e Anaacutelise

semelhanccedila ocorre entre o atrator de Heacutenon e o atrator experimental com a tensatildeo de

controle de 35 V da Fig 440(B) cujo plano simboacutelico possui as mesmas regiotildees permitida

e proibida Para valores maiores de amplitude da onda sonora algumas zonas deixam de ser

proibidas ~ ocorrendo uma invasatildeo nestas regiotildees como por exemplo a =O~8 e 1=04 na

Fig 4AO(D) mostrando que a formaccedilatildeo de bolhas estaacute se aiacuteagravestando da dinacircmica do tipo

Heacutenon e ficando muito semelhante ao plano simboacutelico do mapa do ciacuterculo~ como pode ser

visto na comparaccedilatildeo entre a Fig 4AO(C) e a Fig 212(A)

(b)1 (8) Ikll ti h u n u r

tII-q U bull

n-~ 1 n - ~

~ -shy-~

bull

(c~ I (~) lt

tll rt O 111 t

~2 t= - ~

iSlt iH tl t III n bull

bullbull

~~ bull ~~

~ lloe

(d)1 (D)~O8 ~ t t t t tE 30 06

Ccedil 28 ocircUL ua

= -t Ibull ~ _ ~O4 t (1-2

26 ~ H 1~ ~ m H)224 oh _fi rbull u d~

I I I I I r I I bull I I I I I 00 34 00 02 04 06 08 10

TN(ms) a

Figura 440 Mapas de retomo experimentais com particcedilotildees e respectivos planos simboacutelicos

85 4 Resultados e Anaacutelise

44 Oscilaccedilotildees forccediladas

Mapeamentos bidimensionais como o mapa de Heacutenon normalmente satildeo usados

como seccedilotildees de Poincareacute de osciladores forccedilados [Thompson e Stewart 1986] Se

considerarmos a existecircncia de um movimento oscilatoacuterio na formaccedilatildeo de bolhas e a onda

sonora como uma forccedila perioacutedica externa podemos compreender o sistema bolhasonda

b gt I I=1C

QP-gt

-AR I

)

) P

- Figura 4Al Representaccedilatildeo esquemaacutetica do sistema bolhasonda sonora como um oscilador forccedilado onde Po eacute O periodo de oscilaccedilatildeo associado agraves bolhas c PI eacute o periodo da onda sonora

sonOTa como um oscilador forccedilado como

estaacute diagramado na Fig 441

Deste modo podemos interpretar os

mapas de primeiro retorno observados

experimentalmente como seccedilotildees de Poincareacute

de um oscilador forccedilado Outro sistema

dinacircmico que representa um oscilador

forccedilado eacute o mapa bidimensional do ciacuterculo

discutido na seccedilatildeo 29

K Bn+1 =Bn +Q- 27 sen2nBn +brn (mod 1)

K TII+I = bTn - 27 sen 27Bn

(430)

As duas frequumlecircncias envolvidas no

experimento cuja razatildeo nos daacuteQ~ para o tubo

borbulhador satildeo a frequumlecircncia da onda sonora

e a frequumlecircncia de borbulhamento O tempo

entre bolhas estaacute relacionado com a variaacutevel

rri do mapa O paracircmetro K estaacute relacionado

com o experimento com a tensatildeo que eacute aplicada no alto-falante Para explorarmos a regiatildeo

inicial do mapa do ciacuterculo diminuiacutemos o fator de amplificaccedilatildeo do sinal do gerador de

funccedilotildees para o alto-falante Utilizamos o liacutequido 80 glicerina e 20 aacutegua e o bico A2

i

4 Resulodes Anaacutelise 86

I

Na Fig 442(a) temos os dados obtidos para um valor de EX = 37 e na Fig

4A2(b) o resultado da simulaccedilatildeo utilizando o mapa do circulo com b = - 01 Os dados

mostram que com o aumento da amplitude da onda sonora o ponto fixo inicial daacute lugar a

um ciclo limite cujo raio aumenta de maneira aproximadamente linear ateacute a tensatildeo de 44

V Apoacutes este valor de tensatildeo uma janela perioacutedica ocorre e o sistema entra numa regiatildeo

caoacutetica para varores de tensatildeo entre 54 V e 87 V A regiatildeo caocircttca eacute substituiacuteda por um

travamento frequumlecircncia de periacuteodo 1

27 ~ I n~=37 I 2ll

z gt-25

24 _- shy-~~~i ~ r O 2 4 Tensatildeo 1 6 8 10

030 l 0=37 i b=~O1015

C 000 ~

-015

-030 shyK 15 20

Figura 441 Em (a) vemos os dadoo obtidos com o experimento do tubQ borbulhador COm a razatildeo entre a freQUumlecircncia da onda sonora e a freqtiecircncia de borbulhamento igual a 37 Em (b) simulaccedilatildeo com o mapa do circulo bidimenslQnal

A comparaccedilatildeo com O mapa do ciacuterculo da Fig 442(b) mostra as mesmas

caracteriacutesticas O ruiacutedo experimentat tem a tendecircncia de mascarar as janelas perioacutedicas~

mas a janela perioacutedica central eacute bem visiacutevel nos dois casos

Diminuindo a frequumlecircncia de borbulhamento e repetindo o aumento da amplitude a

partir do zero temos os dados da Fig 443(a) com um valor de EX = 427 N Fig 443(b)

87 4 Resultados e Anaacutelise

bull simulaccedilatildeo com o mesmo valor de f e h = - 01 Esta regiatildeo triangular inicial para baixas

amplitudes da onda sonora e para estes valores de n~ ecirc uma rota para o Caos via quaseshy

periodicidade

o 2 Tensatildeo M 4 S 8

02 - I n=427

c (O ~

-1gt2

1 - I I

05 K 10 15 20

Figura 443 (a) Dagravedosexperimentais com a razatildeo entre as freqUecircnci3S-da onda sonora e do bottmIbamemo igual a 427 (b) Seacuterie obtida com o mapa doclrculo com Qr421 eb= ~O1

441 Comportamento geral

Agora veremos o travamento em penodo ] apoacutes a regiatildeo quase~perioacutedica triangular

seguida de duplicaccedilatildeo de penodo e Coos

Para obter a seacuterie temporal noacutes escolhemos um ponto fixo sem a onda sonora com

a taxa de borbulhamcnto Fb liacuteIfh onde To eacute o tempo meacutedio entre bolhas sucessivas e

apoacutes isto noacutes aumentamos a amplitude A do som continuamente

bull bull

bull bull bull

88 4 ResultadoscAnaacutelise

=f = j

T

E j T (a)fi ~

I I I 4 Aa u) 6

0381 b-O1

05

t

00

~lt

~~i (b) I K bull(~

bull4

Figura 4A4 (a) Djagmma de bifurcaccediltlo experimental Oponto 11xo experlmenW T oorresponde a 261 ms (b) diagrama obtido com o matn do ciacuterculo com y = 019

i

Na Fig 444(a) pode ser vista a seacuterie experimental~ Tn V$ A para urna taxa de

borbulhamento de F = 3937 bolhasls e QEX= FF = 381 Na Fig 444(b) temos o

diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo r vs K calculado com b = 01 e o mesmo

valor de razatildeo de frequumlecircncias ~h =381

Temos algumas similaridades entre OS dois diagramas PartindO deK=O e A==O cada

ponto fixo perde sua estabilidade quando aumentamos o respectivo paracircmetro de controle e

ocorre uma regiatildeo quase-perioacutedica Os pontos fixos 1 e r tomam~se estaacuteveis para A por

volta de 27 e K aproximadamente igual a 107 O ponto fixo T(r) eacute estaacutevel ateacute A 47 (K

= 2gt44)~ quando inicia~se uma cascata de duplicaccedilotildees de periacuteodo Deve ser notado que as

posiccedilotildees destes pontos fixos estatildeo na regiatildeo superior da banda triangular (gt0 e Tgt To)

89 4 Resultat1cs e Anaacutelise

As propriedades dos diagramas satildeo facilmente exp1icadas~ se analisarmos as

propriedades do mapa do ciacuterculo Segundo as equaccedilotildees (228) o ponto fixo r apoacutes a regiatildeo

quase-perioacutedica no mapa do circulo eacute dado por

r~- O (modi) s_O (mndl) lt 05 (431)

I - Q (mnd I) se Q (mnd I) gt 05

No atrator experimental O ponto fixo T ocorre quando a regiatildeo quase-perioacutedica

atinge uma frequumlecircncia de borbulhamento igual a um submuacuteltiplo da frequumlecircncia da onda

sonora de 150 Hz

T~ 41150= 267ms (432)

onde o nuacutemero 4 eacute o inteiro mais proacuteximo do valor de Oex = 381 Este fenocircmeno eacute

conhecido com travamento sub~harmocircnieo (subharmonic entrainment) (Hayashi 1985] e

ocorre em um oscilador forccedilado quando a razatildeo entre a frequumlecircncia da forccedila externa e a

frequumlecircncia natural do oscilador estaacute na vizinhanccedila de um inteiro diferente de I

f j 3D -I T

1 ____ +

QE(= filgt 415

J

______ u I aIl ~~~1~lt

(a ~ ~ ~~ 2 1bull bullI bullI ACa li) bull

u = 41$ b 01

middotmiddotl 0

-~~ru---- i ~~ (b

a 1 2 3 4 5K

Figura 445 (a) Diagrama de bifurcaccedilatildeo cxperimenlal com To -271 ID$ O JXlnto fixo experimentai T colTeacuteSpOllde a 267ms (b) diagrama obtido com o mapa do clrcuJo CQM r -015

4 Resultados e Anaacutelise 9(l

Com outra frequumlecircncia de borbulhamento F=3614 bolhas ms com a mesma

frequumlecircncia da onda sonora de 150 Hz obtivemos o diagrama experimental que estaacute

mostrado na Fig 445() com nEJ( = 415 Podemos notar as mesma similaridades

descritas anteriormente como O travamento sub-harmocircnico do borbulhamento dado pela

equaccedilatildeo (432) poreacutem o ponto fixo experimental (TltTo) estaacute agora no limite inferior da

regiatildeo quase-perioacutedica triangular Na Fig 4A5(b) temos o diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa

do circulo com nT = 415 e b = 01 O ponto fixo T(r) toma-se instaacutevel em A

aproximadamente igual 45 (K 236)

Noacutes podemos dividir a evoluccedilatildeo do borbulhamento em duas regiotildees urna regiatildeo

inicial relacionada com o comportamento quase-perioacutedico (A ~ 25) e a rota de duplicaccedilatildeo

de periacuteodo (A ~ 4)

Para valores inteiros de h natildeo observamos a regiatildeo quase-perioacutedica Ajustando a

0a f)f =40

3

T=T- - E 1-shyI s

J m (a)

I I

2bull A(a u bull bull n-=40 b=O1

~U1 ~ ~c

bl

bull 1 2 3 4 K

Fiboura 446 (a) BorbulhamentocomQn = 40 Nas condiccedilotildees acima natildeo baacute a regiatildeo quaseperioacutedjca e 1To eacute estivel na regiatildeo ineiaI deA (b) O mesmo eacute observado para o mapa do cIrculo com Ot=4O e b=Ol

-- -

91 4 Resultados e Anaacutelise

frequumleacutencia d borbulhamento para 375 bolhass tal que ordmX = 40 natildeo ocorre a regiatildeo

quase-perioacutedica como pode ser visto nos dois diagramas da Fig 446 O ponto fixo T ~ T

V = O) eacute estaacutevel ateacute A aproximadamente igual a 37 ( K 22 ) e o sistema evolui

diretamente par a caseata de duplicaccedilotildees de periodo

Na Fig 447 temos algumas liacutenguas de Arnold para o mapa do circulo

unidimensional (b = O) como uma aproximaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo bidimensional com

b=plusmnO1 Para um valor de n (mod 1) diferente de O o sistema inicialmente evoluiacute na regiatildeo

quase-perioacutedica mostrado pelas setas pontilhadas ateacute que O sistema alcanccedila o ponto fixo

estaacutevel dado pelos circulos cheios Mesmo para os casos dos dados mostrados nas Figs

442 e 443 podemos ver quando o sistema atinge as regiotildees das liacutenguas de Arnold relativas

ao penodo 4~ marcado pejas pequenas Unhas horizontais pontilhadas Para fi = O) o sistema

percorre a regiatildeo inicial de K no periacuteodo 1 relativo ao nuacutemero de rotaccedilatildeo W= 01

iacute 11) i2 fI- li I LeHHJ~~ I I I I In

11 ( K j~

I~ I

1I 1 II (lrl j

00 _ 05 gt0

n mod(1) shyFigura 447 As sete linguas de Arnoid mais largas com seus respectivos nuacutemeros de rotaccedilatildeo Os nuacutemeros entre parecircnteses coloridos no topo e na base oorrespondcm aos nuacutemeros das figuras mostradas neste eamtulo

92 4 Resultados eAlIaacuteJise

442 Comparaccedilatildeo dos atratores

Os atratores caoacuteticos do tipo Heacutenon que aparecem no mapa do circulo sofrem uma

rotaccedilatildeo ao redor do ponto do ponto de selaflip como pode ser visto nas comparaccedilotildees entre

atratores experimentais reconstruiacutedos da Figs 448(A) e 448(C) e entre os atratores

obtidos numericamente das Figg 448(a) (b) e (c) Usaremos o termo saxofone que foi

utiacutelizedo por R Shaw [Shaw 1984] para atratores obtidos no experimento da torneira

gotejante para designar os atratores das Figs 448(a)-(A) Experimentalmente e

numericamente~ as condiacuteccedilotildees de orientaccedilatildeo dos atratores saxofone satildeo as seguintes

n (mod 1)gt 05 formato de saxofone (433a)

n (mod 1) lt 05 formato de saxofone invertido (433b)

Quando a parte fracionaacuteria de n se anula temos a formaccedilatildeo de um atrator do tipo

duplo gancho como estaacute mostrado na Fig 448(b) e 4A8(B) Como foi discutido na seccedilatildeo

4J22 todos os atratores experimentais apresentam um ponto de sela jlip que estaacute

localizedo na interseccedilatildeo de cada linha diagonal com cada atrator das Fig 448 Em todos

os casos este ponto de sela substituiu o ponto fixo estaacutevel 1~ do travamento sub~

harmocircnico (equaccedilatildeo 432) Por isso no atrator experimental o ponto de sela jJip~ Tfo eacute

calculado do mesmo modo que o ponto fixo estaacutevel T

~ ~4150=267l11S (434)

onde o nuacutemero 4 eacute o inteiro mais proacuteXIacutemo do valores das razotildees de frequumlecircncias OEX (381

40 e 415) com a frequumlecircncia da onda sonora sendo de 150 Hz Para os atratores obtidos

rumericamente a posiccedilatildeo do ponto de selaflip rfi tambeacutem eacute calculada com equaccedilatildeo (431)

Em particular os trecircs pontos de selaflip dos atratores mostrado nas Figs 448 satildeo

rl(A) 019

~~-M ~~ rr(C) -015

93

4 Resultaoos eAnaacutejse

I_mlltQfl_ Figura 448 (a) O atratori ~ 1

1 saxofone obuacutedo com o experimento do tuboI I borbuIhador no pontoi ~ indicado por uma seta na seacuterie mostrada na FigI ~ I 444(a) (A) A simulaccedilatildeorJie) I 1 (A) bull com o mapa do drculo

bull laquo

gtJ_ ~(I _ (b) Atrator eJqgterimental do tipo gancho duplo

I

l Ki-i - obtido nas mesmasi condiccedilotildees indicadas pelai j j bull v1 ~I q seta sobre a seacuterie da Fig ji

446() (B) Alrl j obtido ltom o IIlltiJ(f do

gtJ (b) 1 -AJ I (a) ltV M circulo

raquo gtlt w raquo u ~~~ ~ c---------------

N111gtIgti_i -~ lt-U4I_ i (c) Rotaccedilatildeo do atmtor experimental obtido no

ponto indiacutecado pela seta- na seacuterie da Figt 445(a)g ~ bull ~ C A mesma fOtaccedilatildeona ~ simuJaccedilgo feita com oJ marm do circulo u(CI V laquo) ____

)o lO lO ~ Q

T(ms) ro

Quando a parte fracionaacuteria de QEgt vale

05 aumentando-se a amplitude~ temos tambeacutem o ponto fixo de periacuteodo 1 que se torna

finstaacutevel surge um periacuteodo quatro e depois - gt

disso surge um atrator caoacutetico com a forma de raquo

uma C7JZ que estaacute mostrado na Fig 449 raquo raquo raquo Aleacutem diacutesgo~ outros mais atratores J

experimentais mais complexos tambeacutem podem Figura 449 Atnltor caoacutetico obtido com nm igualaO5

ser simulados com o mapa do circulo como

pode ser visto na Fig 450(0) onde temos uma frequumlecircncia de borbulhamefito de 8 bolhass

94 4 ResultadoseAnoacuteliseuro

com uma frequuml~ncja da onda sonora de 150 Hz A simulaccedilatildeo com o mapa do ciacuterculo como

estaacute mostrada na Fig 450(b) foi feita com tlr= 1885 h = 01 eK = 83

~ f fi ro ~ ni il II~~~~jflitllt1I)j~ ~ ~ to fi lt ~i~~~rl ~iacute J ~1J li~4It IVtAl lt

IiV V (b)-

m M m m - Tn(ms) r

FIgUra 450 Atrator e~perlmcntalem (a)(lroc = 1amp75 b -= 01 Em (b) aacute simulaccedilatildeo COm o mapa do ciacuterculo n= 1885 b =01 e K= 83

gt

~~

I

~ ifA rl li Pf ~ fI 1 J ~ N11D Jl ~ci- ~1 bull

J -I

(a) ~

443 Modulaccedilatildeo do Paracircmetro de Controle

Quando utilizamos a Teoria do Caos para analisar resultados experimentais uma

das mais dificeis tarefas eacute associar os paracircmetros experimentais aos paracircmetros dos

modelos existentes como o mapa logiacutestico ou o sistema de equaccedilotildees de Rotildessler e outras

equaccedilotildees dos sistemas caoacuteticos Algumas vezes o paracircmetro de controle escolhido eacute

modulado por uma funccedilatildeo que natildeo permite a observaccedilatildeo direta dos sistemas caoacuteticos

claacutessicos atraveacutes da variaacutevel de medida [Tufaile 1996J Isto acontece no experimento do

tubo borbulhador caso utilizemos por exemplo a vazatildeo do ar como paracircmetro de controle

como estaacute mostrado na Fig 451 onde utilizamos a soluccedilatildeo de 66 glicerina e 34 aacutegua e

oacute bico de seringa A vazatildeo do ar) o paracircmetro de controle estaacute relacionado de uma forma

hiperboacutelica com o tempo de borbulhamenlo a variaacutevel de medida representada pela linha

95 4 Resultados e Anaacutelise

pontilhada Quando

sintonizamos uma onda

sonora no sistema com urna

frequumlecircncia de 126 Hz e uma

amplitude constante ocorre

uma composiccedilatildeo entre a

funccedilatildeo hiperboacutelica e o mapa

do ciacuterculo Os tempos

associados aos patamares T ~

satildeo bem definidos e podem

ser calculados com a equaccedilatildeo

(436) Os patamares se

alargam com o aumento da

vazatildeo e o valor do tempo

7

70

65 T(ms)

55

50 61j-shy shy

-~ shy 40 60 80 100 120 140 160 180

Vazatildeo (mlfmin)

Figura 451 A composiccedilatildeo de uma funccedilatildeo hiperboacutelica de borbulhamento com ) mapa do circu1o as fraccedilotildees ao lado de cada pagravetamar datildeo () valor do tempo do ponto fixo Tp devido ao trnvaJnento sub-harmocircnico

associado a cada um deles eacute calculado atraveacutes dos travamentos sub-harmocircnicos

Tp~jlf (436)

onde j eacute o inteiro mais proacuteximo da razatildeo entre a frequumlecircncia da onda sonora e a frequumlecircncia

de borbulhamento

Outra situaccedilatildeo na qual ocorre a modulaccedilatildeo do paracircmetro de controle eacute quando

(b) ~ ~~~l~~~ ~~ - 21)~~ir-- ~if~~e

2(1 I i i r 5 6 7 B

Q

Figura 452 (a Composiccedilatildeo do tnatXt do ciacuterculo com uma funccedilatildeo linear decrescente O paracircmetro de acoplamento nllo-linear K eacute uma funccedilatildeo decrescente do valor de n

(b) Dados do tempo de borbulhamento em funccedilatildeo de o A variaccedilatildeo de o ecirc obtida mantendo os demais paracircmetros constantes e aumentando linearmente a frequumlecircncia da onda sonol3

4 Resultados e Anaacutelise

variamos a frequumlecircncia da onda sonora mantendo constante a sua amplitude Medindo o

tempo de borbulhamento obtivemos os dados d Fig 451 (b) do tempo de borbulhamento

contra a razatildeo entre as frequumlecircncias Q para uma frequumlecircncia de borbuibamento inicial de 33

bolhass Devido agraves propriedades da acuacutestica do tubo a variaccedilatildeo da frequumlecircncia da onda

sonora afeta simultaneamente a amplitude da onda Isto pode ser simulado com o mapa do

circulo com h = Ol~ supondo que o paracircmetro de acoplamento natildeoM1inear~ ~ do mapa do

circulo seja uma funccedilatildeo linear decrescente com relaccedilatildeo agrave razatildeo de frequumlecircncias n que na

Fig 452() eacute o paratildemetro de controle

K(n) =40 - 047 n (437)

Os patamares d Fig 451 assim como as linhas diagonais da Fig 452(a)

correspondem agrave composiccedilotildees da frequumlecircncias de borbulhamento e da onda sonora que levam

o sistema dinacircmico nas regiotildees de liacutengua de Arnold com nuacutemero de rotaccedilatildeo W igual aI

97 5 ConclusiJes

) 5 Conclusotildees

CltJnstmiacutemos o aparato do tubo borbulhador e observamos que O principal

aspecto da fonnaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos viscosos eacute que este sistema eacute equivalente a

um oscilador natildeo-linear Esta afirmaccedilatildeo foi baseada inicialmente nos intervalos de

tempo da formaccedilatildeo das bolhas no experimento do tubo borbulhador quando a vazatildeo de

ar aumenta e na comparaccedilatildeo deste experimento com o experimento da torneira

gotejante A comparaccedilatildeo dos dados experimentais da formaccedilatildeo das bolhas influenciadas

pela onda sonora com os resultados teoacutericos do mapa bidimensional do circulo1

confirmou que o borbulhamento estaacute associado a um movimento oscilatoacuterio Na

comparaccedilatildeo do sistema bolhasonda sonora e o mapa do ciacuterculo o ponto mais

importante foi associar o tempo da formaccedilatildeo das bolhas T com a variaacutevel rlf do mapa

do ciacuterculo

A interpretaccedilatildeo da oscilaccedilatildeo na formaccedilatildeo das bolhas pode ser feita observandoshy

se o deslocamecto do Ifquido Durante a subida da bolha no liquido este eacute afastado para

dar passagem agrave bolha ateacute que a bolha passe e o liacutequido volta a preencher o espaccedilo que

antes era ocupado vela bolha Este processo se repete e assim temos o comportamento

oscilatoacuterio Entatildeo podemos entender o movimento do liacutequido induzido pela passagem

da bolha como um oscilador natildeo-linear O sistema de detecccedilatildeo mede apenas valores

maacuteximos deste comportamento oscilatoacuterlo~ por isso temos as seccedilotildees de Poincareacute do

borbulhamento e natildeo curvas continuas do espaccedilo de fases

A duplicaccedilatildeo de periacuteodo) que ocorre quando variamos a vazatildeo~ foi a primeira

observaccedilatildeo que indicou que urna abordagem utilizando a Teoria do Caos seria um

meacutetodo possivel para a compreensatildeo do fenocircmeno da formaccedilatildeo das bolhas Mesmo

assj~ uma abordagem utilizando os conceitos da Mecacircnica dos Fluidos foi feita ~ com

este ponto de vist~ observamos que a duplicaccedilatildeo de periacuteodo com a vazatildeo estaacute associada

com a instabilidade de Rayleigh-Taylor que representa a instabilidade da interface de

dois fluidos que natildeo se misturam A duplicaccedilatildeo de periacuteodo SOacute eacute evidente em fluidos

viscosos pois~ em liquidas pouco viscosos como a aacutegua a dinacircmica observada vai

diretamente do comportamento regular para um comportamento irregular Verificamos

que a instabilidade da superfiacutecie da bolha nos fluidos com baixa viscosidade eacute a resposta

para a questatildeo da transIccedilatildeo do movimento regular para o movimento irregular na

formaccedilatildeo das bolhas Esta instabilidade eacute causada pela interaccedilatildeo entre as bolhas que se

elevam dentro do liacutequido e a bolha que estaacute se formando junto ao bico Em fluidos

98 s COI1cfusr1es

viscosos e com baixas vazotildees do ar o deslocamento das bolhas que estatildeo emergindo

natildeo afeta a bolha que estaacute se formando pois natildeo haacute uma perturbaccedilatildeo significativa criada

pela circulaccedilatildeo do liacutequido e esta circulaccedilatildeo permanece laminar junto ao bico Poreacutem

para vazotildees mais e1evada~ mesmoS nos liacutequidos viscosos teremos todo o conjunto das

bolhas emergentes e da bolha que estaacute se formando interagindo pois as perturllaccedilotildee5 na

circulaccedilatildeo do liacutequido se propagam em todas as direccedilotildees dentro do tubo borbulhador

Deste modo a formaccedilatildeo das bolhas apresenta uma dependecircncia tanto do tempo quanto

das condiccedilotildees d contorno Neste aspecto o experiroento do tubo borbulhador eacute

diferente do experimento da torneira gotejante pois o deslocamento das gotas que estatildeo

caindo natildeo tem efeito significativo na gota que cresce junto ao bico

Utilizando diferentes tipos de bicos verificamos algumas das influecircncias da

geometria do bico na formaccedilatildeo das bolhas Emulamos as seacuteries temporais atraveacutes da

combinaccedilatildeo de mapas Isto permitiu o desenvolvimento de ideacuteias para tentar entender e

explicar os fenocircmenos observados como alargamentos suaves e abruptos nos tempos

entre as bolhas A combinaccedilatildeo de mapas jacirc havia sido utilizada no experimento da

torneira gotejante~ o que mostra a sua importacircncia como rerramenta na compreensatildeo de

sistemas caoacuteticos

Do mesmo modo as simulaccedilotildees com modelo unidimensional massa-mola

permitiram melhorar a nossa interpretaccedilatildeo dos dados tanto da torneira gotejante quanto

do tubo borbulhador O modelo natildeo eacute adequado para observaccedilotildees quantitativas mas

pode ser usado para a obtenccedilatildeo de resultados qualitativos Durante a verificaccedilatildeo da

hipoacutetese do fator de massa agregada fJ do modelo massa-mola para a formaccedilatildeo das

bolhas encontramos as estruturas das veiacuteas liacutequidas que satildeo colunas de aacutegua dentro do

oacuteleo sustentadas pela subida de bolhas de ar

Aleacutem disso durante a realizaccedilatildeo da experiecircnci~ foram encontradas algumas das

condiccedilotildees que fazem o aparecimento de antiboJhas que satildeo gotas envolvidas por uma

fina camada de ar dentro do liquido e que ficam aprisionadas na circulaccedilatildeo dentro do

liacutequido

Verificamos as condiccedilotildees de validade para a relaccedilatildeo entre a frequumlecircncia da

formaccedilatildeo das bolhas e a vazatildeo do ar para um modelo simplificado que estabeleccedile uma

frequumlecircncia para a formaccedilatildeo das bolhas proporcional agrave vazatildeo elevada a 04

Atraveacutes da associaccedilatildeo com o mapa do ciacutercuJo~ verificamos algumas

similaridades entre o mapa e o experimento como por exemplo a comparaccedilatildeo da

variaccedilatildeo da razatildeo entre as frequumlecircncias da onda sonora e do borbulhamento~ nEXo com a

s ConcluslJes 99

variaccedilatildeo do paracircmetro nr do mapa assim como fizemos a comparaccedilatildeo entre as fonnas

dos atratores reconstruiacutedos Deste modo encontramos algumas rotas para o Caos

quando eacute feita a variaccedilatildeo da amplitude da onda sonora A formaccedilatildeo das bolhas pode

evoluir inicialmente atraveacutes da rota de quase-periodicldade quando a amplitude do som

eacute aumentada linearment~ que pode ser reconhecida no iniacutecio das seacuteries temporais

devido agrave sua forma triangular para alguns valores d razatildeo entre as frequumlecircncias tEX

Outra rota observada fui a rota de duplicaccedilatildeo de periacuteodo com a formaccedilatildeo de atratores do

tipo~Heacutenon devido aos processos de estiramento e dobra

A dinacircmica do mapa do circulo ainda permitiu interpretar o comportamento mais

global da existecircncia de patamares no tempo da formaccedilatildeo das bolhas nas seacuteries

temporais sujeitas a uma onda sonora de frequumlecircncia bem definida Os patamares

OCOrrem quando a freqOecircncia do borbulhamento estaacute proacuteximo a um submuacuteltiplo d

frequumlecircncia da onda sono~ o que caracteriza um travamento subMharmocircnico O

travamento sub~hann8nico ocorre quando a frequumlecircncia de um oscilador fica travada em

um submuacuteltiplo da freqOecircncia de uma forccedila externa aplicada O caso limite d

sincronizaccedilatildeo entre a formaccedilatildeo das bolhas e a onda sonora eacute o travamento harmocircnico

quando as bolhas se formam com a mesma frequumlecircncia da onda sonora

I I I

I

100 6 Referecircncias

6 Referecircncias

Argyris J Fast Q e Haase M (1994) An Exploralion of Chaos North-Holland Arnsterdam

A1ligood K T Sauer T D e Yorke J A (1997) Chaos - (f1 introrillclion lo dynamical syslems Springer New Yerlc

Bai-lin H (1989) Elementary symbolic dyrtamics and Chaos in Dissipolive Systems World Scientific~ Singapura

Bertelseo p EUegaard C Guhr T Oxborrow M e Schaadt K (1999) Measuremenl of Parometric Correlations in Spectra of Resonating Quarlz Blacks Phys Rev Lett 83 2171-2174

Chandrasekhar S (1981) Hydrodynamic and Hydromagnetic Stabiacuteliacutety Dever New York

Cliacutefl R Orace J R e Weber M E (1978) Bubbles Draps and Partieles Academic Press~ New York

Collet p e Eckmann 1 (1980) lleraled maps ou lhe inlerval as dynamieal systems Birkhatildeuser New Yorlc

Davidson J F e Schuumller B 0 G (1960) BlIbble formaiion ai an orifice in a viscous liquid Trnns Inst Chem Eng 38 144-154

Dnnocenzo A e Renna L (1996) Dripping Faueet Int J Theor Phys 35 941-973

Dnnoeenzo A e Renna L (J 997) Morieling leaky fancei dynamics Phys Rev E 55 6776-6787

EUner S Nychka D W e Gallant A R (1992) LENNS a progrom lO estimale lhe dominant Lyapunov exponent cfnoisy nonlinear systemsfrom time series data (Institute of Statistios Mimeo Series n 2235 (EMA series n 39) Statistics Department North Carolina State University Raleigh

Femat R Alvarez-Ramiacuterez e Soria A (1998) ChaoticJlow slnentre in a verlical bllhble column Phys Let A 248 61-79

Finney C E A (2000) Bibliography of choos amp buhbling httpwwwshychaosengrutkedulbibBubblinghtml

Fletoher N H e Rossiog T D (1991) The Physies ofMusicalll1srnmenls Springer New York

Fuchikam~ N lshioka S Kiyono K (1999) Simulalions ofa Dripping Faucel J Phys Soe Jpo 68 1185-1I96

INSTITUTO DE FS1CA serviccedilo (iccedil albHotscamp e

lntgnllccedilatildeoTombo u ~ Co

-et [

101 6 ReJerecircneacuteiaacutes

Gonccedilalves W M (1996) A experiecircncia da Tomeira Golejante Tese de doutorado lFUSP

Gonccedilalves W M Pinto R D SartoreUi 1 C e de Oliveira M 1 (1998) Inferriacuteng staliacuteseal complexity in lhe dripplnglaueet experiment Physica A 257 385-389

Grebogi C Ott E e Yorkel A(1982) Chaote attraetors in crisis Phys Rev Lett 48 1507-1510

Hayshy C (1985) Nonliacutenear Oscilatiolls In Physicol Systems p 285 Princeton University Press Princeton

Hegger R Kantz H Sebreiber T (1999) Praticol implementaton of nonlnear time seres methads The l1SEAN paekage Chao 9 413-435

Jaekson E A (1995) Perxpectives 01 l1oninear dynamies Cambridge University Cambridge

Kaneko K (1992) Overview 01eoupledmap latliees Chaos 2 279

Kiyono K e Fuehikami N (1999) Dripping Paueel Dynamiacutecs Clarified by an Improved Mass-Spring Model 1 Phys Soe Jpn 68 3259-3270

Kyrialcides N K Kastrinalcis E G Nyehas g G e Goulas A (1997) Bubblingfrom Naues Submerged in Water Transiacutetions Between Bubbling ampgimes Can J Chem Eng 75684-691

Lantoroom W (I986) Acoustie Turbulence em Frontiers in Physiacutecal Acouslics p 124shy144 Nortb-Holland Amsterdam

L~ H Z Mouline Y Choplin L e Midoux N(1997) Chaotic bttbbe coalesconee in non-newlmriacuteanfluids lnt J Multiphas Flow 23713-723

Li T Y e yoke J A (1975) Period 3 iacutemplies ehaos Am MatlL Month 82 985-992

Lorenz E N (1980) Altraclar seis aml qttasi-geoslrophiacutec equlibrillm J Atmas Sei 37 1685-1699

MaJI R (1981) On lhe diacutemensiacuteon cf compacl invaria11l sei cf certain nall-lillear maps em Dynamical System and Turbulence 00 D A Rand e L S Young Spnnger Berlim

Marmur A e Rubin E (1915) A theoretieal modellor huboacuteleformation 01 ali orifice submerged in Im inviscid iquid Chem Eng Sei 31 453-463

6 Referecircncias 102

Marston P L (1980) Shape oscillotion aJ1d stalie deformalion of drops and bubbles drive by modulated radiation stresses-Theory J Acous Soe Am 67 15-26

Martian P Pope S C Scott P L e Shaw R S (1985) Ihe chaotic behavior ia eaky faucet Phys Let A 110 399-404

Mltoni L 1 Schwartz M P e La Nauze R J (1995) Determinislie chaos in lhe gas inel pressure ofgas-liquid bubbling systems Phys Pluids 7 891-893

Moran M I Haigh R E Lowry M E e Sweider D R (2000) ObservntiollS ofSingleshyPulse Sonoluminescence httpwww-physllnLgovlN_DivlsonoIurnlsonolumyaperhtrnl

Miyahara T Baga N Takahasbiacute T (19B3) Bubble formationfrom an oriftce ai high gas ftow rales Int Chem Eng 23 524-53 L

Nguycn K Daw C 5 Cheng M Bruns D D Pinney C E A e Kennel M B (1996) Spalio-temporal ~namics in a train ofrising hubbles Chom Eng J 64 191-197

Paclcard N H CrutehfieId J P Fanner J D e Shaw R S (198() Geometryfrom a time serles Phys Rev Lett 45 712-716

Perry R H e Clinton C H (1972) Chemcal Engineers HandbQok McGraw-HilI New York

Pinto R D (1999) Comportamento Complexo na Experiecircncia da Torneira Gotejante Tese de Doutorado lFUSP

Pinto R D e Sartorell~ J C (2000) Homoclinc tangency and ehaotic attractor disappearance in a drippingfaucet experiment Phys Rev E 61 342-347

Prosperetti A (1986) Physicsi Acoustic Cavitalion em Frontiers in Physical ACOllstics p 145-188 North-Holland Amsterdam

Ponter A B e Surati A l (1997) HuMI EmissiollSfrom SlIbmerged Orifices - A criticai Review Chem Eng Toelmo 2085-89

Putterman S 1 (1995) Sonoluminescence Salim l11to light Sei Am Fevereiro 33-37

Rapp P E Bashore T R Zimmermean L D Martinerie 1 M Albano A M e Mees A 1 (990) Dynomical CharacterizaJlon ofBrain EleerIacutewl Activity em 1he Ubiqulty of ChIlO AAAS Washington DC

Renoa L (1999) A discrele map for drippingfaucel dynamics Phys LeI A 261 162-168

da Rocha M S (1995) Determinaccedilatildeo da evoluccedilatildeo temporal da fonnaccedilatildeo de gotas Dissertaccedilatildeo de mestrado lFUSP

Rotildess1er O E (1977) Synergelies a workshap Haken H Springer Berlim 174-183

103 6 Refrencias

Ruzicka M C Drahos J Zabradnik J e Thomas N H (1997) Inermittt transition from bubbling to jetling regime in gas-liquid two phase fiows Int J Multiphase Flow 23 671--682

Sacircnches-Ortiz G 1 e SaIas-Brito A L (1995a) Strange attraclor in a relaxalion oscillator modelfor lhe drippingfaueet Phys Let A 203 300

Sacircnches-Ortiz G I e SaIas-Brito A L (1995b) Chaos in a variaMe mass relaxatiall oscilator modelfor lhe leaky tap Physica D 89 151

SartoreUi J C Gonccedilalves W M e Pinto R D (1994) Crisis 00 intermittenoo in a leaky-fauce experiment Phys Rev E 493963-3975

Scbemelcher P Diakonos F K (1998) A general approach lo lhe finding of unSlable periadie arhils in ehaotie dynamieal syslems Phys Rev E 57 2739

Sharpe G J (1994) Solving Probems in Flllid Dynamics p 203 Longman Essex

Shaw R (1984) The drippingfaucet as a model chaotic sySlem Aerial Pre Santa Cruz

da Silva J G M (1996) Caraelerizaccedilecircio da Dindmica da Formaccedilecircio de Goas Dissertaccedilatildeo de mestrado lFUSP

80 P Ott E Sehiff S F Kaplao D T Sauer T e Grebogi C (1996) Deleeting unstoble periodic orhits in chaotie experimentol daa Phys Rev Lett 76 4705-4708

Sotomayor J (1979) Liccedilotildees de equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias Projeto Euclides Rio de Janeiro

de Souza Vieira M C Lazo E e Tsallis C (1987) New road 0 ehoos Phys Rev A 35 945-948

Stons C L (1974) Th amate1f scientiSl Sei Am Ahri 116-121

Sulivao S L Hardy B W e Holland C D (1964) Formatioll ofAir Bubbles ai Orifiees Submerged Beneath Liquids AI Ch E Journll0 848-854

Takens F (1981) Deecling Srange atraclors inurhulenee em Dynamical Syslems aod Turbulence ed D A Rand e L S Young Springer Berlim

Thompson J M T e Stewart H B (1986) Nanlinea Dynamics aod Cnaos Geometrieal Methods for Engineers aod Seieniss p162 John Wiley and Sons Chichester

Tritton D I Egdell C (1993) Chaotic bubhling Phys Pluids A 5 503-505

Tufaile A (1996) Mapas combinados e o experimento da omeira gotejante Diacutesertaccedilatildeo de mestrado IFUSP

6 Referecircncias 104

Tufaile A Pinto R D Gonccedilalves W M e Sartorelli J C (1999) Simulations in a drippingfaucet experiment Phys Le A 25558-64 (Apecircndice 1)

Tufaile A e Sartorelli J C (2000a) Chaotic behavior in bubble formation dynamics Physica A 275 336-346 (Apecircndice 2)

Tufaile A e Sartorelli J C (2000b) Heacutenon-like attractor in air bubbleformation Phys Let A 275 211-217 (Apecircndice 3)

Veta N e Tabacniks MH (1994) Laboratoacuterio de Fiacutesica para Ciecircncias Bioloacutegicas IFUSP

Viana R L (2000) Introduccedilatildeo agraves Redes de Mapas Acoplados - Modelos para o estudo de Caos Espaccedilo-Temporal Notas de Aula IFUSP

Weast RC Selby S M (1996) Handbook of Chemistry and Physics p F33-F42 The Chemical Rubber Clevelnd

Willeboordse F (1992) Time-delayed map as a modelfor openjluidjlaw Chaos 2 423shy426

Wolf A Swift J B Swirmey H L e Vastano J A (1985) Determining Lyapunov exponentsfrom a time series Physica D 16 285-317

Apecircndice 1

Siacutemulations in a dripping faucet experiment

A Tufaile RD Pinto WM Gonccedilalves e JC Sartorelli

Physics Letters A 255 (1999) 58-64

3 May 1999

PHY$ICS lElTERS A

ElSIMER Physics Letters A 25S (1999) 58-64

Simulations in a dripping faucet experiment

A Tufaile RD Pinto W_M_ Gonccedilalves J_C Sartorelli 1

IluacuteillOO dcFJSfea UniDCrfidadc de Siio Paula CQixa Pmrtal oacute6JIlJ fJSJIJ97tJ Satildeo Pttdb Braacuteii

Recchcd29 SeptJllIb1r 1m laquooMdinpVised tbru 10 Febnwy 1m ~ 10 February Im Ogt~ hy cR Doering

Ab$tratt

The prafiles of two experimental attrletors were simll1ated by using a simple onc-dintensioacutenal spring-mass modct Some pccllliar bebuviors observed in experimental bifurcation diagrams (in short ranges ofdriwmg Iate variation) were emu1ated by combining two quadratie maps (a kiruI af coupUng) in twQ diacutefferellt ways~ parallel combination 1Eh non-interacting maps and series combination with nrongly intcrocting maps TIto ehoice ar cach kind af eacuteombinarion W3S suggcsud by thc own cbaracteristics of~eh experimCfllal bifureation diagramo copy 1999 EIlteviet Scieacuten(e SV All rigbts rewrved

PAC$ 054S+b

1~ lntroduction

The leaky faucet dynamks has beoo used as a paradigm of a chaotic sYSbm [I~1 since the liUggesshytion made by Ratildessler 13] in 1977 lha Ih fnou af water drops in bull tlp nipple oould sbow chaooacutec bebavior wbat was 1ater confirmed hy Sbaw and Marlien alo [451 Period doubling WlI Qlnrerved hy Marlien alo [451 Yeacutepez alo [61 Cabhm et ai [71 Wu and Schelly [891 Dreye alo [101 Sarshytore1li trt aJ UO Tangeot intermitttncies are Teshy

ported in Rofs [7111 quasi-periodicity and boondshyary coacutesis in Rof [11l and a Hopf biacutefurcanon in Refs [l213J Olher studies abou lha formadoo of drops or droplets of water can be found in Refs [14-231

E-mail sartorellilfUlipbr

Shaw and collaboratorn liUpposeuacute thut th~ water oolumn bangiog in a nipp1e faucet should oscillate as a mass-spring system with the mass increasing lin~ early until it reaches a criticaI point when a drop is ejected IacuteInposing the initial conditions ou the teshymaining water column This mudeI was modified by Simcbas-Ortiz and Salas-Brito [24] supposing Ih lhe mass of the ej~cted drop must depend ou tlte cummt yalue of the water co1umn mass DIn nocemo and Renna [25 have aiso carried ont thcir calcuJations assumlng lhat lhe remaining _ colshyUmtl shape can be cither a sphere Of a material point

hlspired hy au ining-Iike mode to find Ih water dIuacutep proacutefiJc rumging in a vertical waU Oliveira aad Ponna [26] studied lhe dymnni of lha drop furmashytton applymg Monte Carlu techniques Penna tt a1 [27J sbowed thut the time delllys between SU(teS)i~ drops display long-range anncorrelations cbarncter~ ized by the same exponcnts of the heartbeat~to~ heaItbeat interva]s of hea1thy subjects [28]

0375-Otj99S - see mlll maner Cll999 Elrevier Scicnee BV Ali rigltlS tesIlVed PU S037S960l(99)QOI19X

I

A TilfaiIe e1 aLIPllyJICS uacutetters Aacute 255 (1999) 58-64 Num uf thtSe modeJs are adequate to explam aU

lhe bebavio observed in lhe range from - Oup to 40 dmpss In this papeI we present two simula~ tions of experimental attractors whlch are lhe best emulations yet obtaiacutened by the one~dimensional spring-mass modelo It is also presented two experi~ mental bifurcation diagrams in short ranges of dripshyping rolte with llCW peculiar behavions nl-ver secn before Inspired by me behavlor of each experIacutelncnshytal diagmm we did a kind af siacutemple ooupling af maps [29-321 by combining two quadratic maps to emulare these experimental bifurcations Two ways or combinution are proposcd In the first case two non-interacting quadmtic maps are added (parallel combination) whuumle in the sccond onl- two tnJng1y inteltf-ting logistic maps (smcs combination) are combiacutened in a feedback way

2 Experimental apparatos

The measurements were dane with the faucet attaccedilmd lo a large reservou sccedilt Refi U121] for details The time delays between successive drops are measured with a time counter circuitry~ with a

nmiddotT--------------------~ (a)

r ishy700lt) ~

1 li ~

~ - -~ ~ bull-j- -~ -4 ~r -~

67 I ~

I 670 680 690 700 110

Tat$

T1molution of i ~~ iacutenserted in a PC 5101 The iacutenput signals are voltage pulses induced in a resistor definelt by the beginning (ending) af the scauring oI a laser beam fO(Usw on ltt photo~trdn$i$tor (in sents with 1he resistor) when thc drop tarts (ends) t(l CTOSS the laser beam The width of the pt1lse is the time interval t (where n is the drop number) and the time delay between two pulses is lhe crossing time (SI) of drop tbrougb the laser beam 50 lha the total time interval is 1 = 111 + 8t~

We can setup the drop rate (J~ 1(Traquo in two ways (a) by feeding back lhe Wuer reservoi to ke~ the height h af the water leveI md selet1ing the drop me by opening (closing a needle valve driven by a step motor which is coutrolled by a microcomputer

For a given drop late we have constructed first retum maps T I VS4~ (b) by fixing me opening of the ncedle va~ turning off1he water supply letting fue water levei decrease natunilly and so the drip~ ping Iate Therefore~ the contml PWffileter lhe heiacuteght h of the water leveI varies as ht ho - n8 VA where 8YA=2XlO- mm he 15 the initial height I) Y the mean volume of me drops and A i5 the area of the water reservoir surface In this case bifUrcatiou diagrams Tn V$ n were constructed We

~ ~

300

200

Ibl

()1

oI 100 2Q(l 300 400 500

1 figo L (a) experinwJrtal data for f 146 dIopss Experimental panuDlter vaues are Ir 365 dynjcm X-~tI a6 em R Ot2-0l5 ss and Q 01-0 14 sem (li) the attlactor profile obtaiDed witb R - 015 sls b - H) Si k 415 dfacrtJ xir - 13 em arul rt- 01 slem Tht ealllai~ drop me ia f 315 dropss wbich ~ two- times the expcrimcntll vale 3pll~lely G1w rupple

A TufoiJe cf aLIPhysfcs Lettcf A 255 (1999) 58-64

T11Ulitl$ltTgtlaquo146m~

T---r------T~~ t

12

12012~~11T 911 tMobull

T (l (Iraquo

Fig 2 a) experimetItaI T+l n 41 YS r (ms) tuap (h) simulatcd mBp wrtb R (U41 gJs xr O25i em a-1l51 sem b-Q94 s-land 1(20 dyncm Thc two maps wcre ~ from lhe samc angle 4f vUicn The calcuJted drop me is cloR 10 fue ~ vahIe l1ul similiuiacutel) bctwcen the two maps suggesls lhe salOO attwtor with ~ slzes of the basins ef ~ Htass nippk

have used one gJass nipple and other one or brass~ with both having t11e same intema1 diameter

3 Resolts

31 Mass~sprjng modal

Following Dnnocenzo and Renna (25] notation the set Clf autonomous differential equations for the mass-spring modol is [45)

dx d(Mv) IM-= =Mg-kx-budi 1 di di =R~

(I)

where x 15 the ooordinate af the ceuter af mass ar me hanging watet agravetld R the flow ate

fhe surfagraveoo tenskm and friction between the wa~ ter and lhe _ are respectively representelt by lhe spring eonstant k and by b A drop with mass

AM aMell( (2)

is shot wben the center of mass x exceeds a tbresh old xI where M and 11 are respectively the hangshy

(a)

~ i= 10a

bullbullbullbullbullnbullbullbullt

Il~_

bull o - shy (b)

C

ibull

m I ~

-10 i-shy i t

Fig 3 (ti) experinleflt2l hifilnmon diagram wilh tlJ~ drop Iate lIlllgingtrom -9ISdM1Hn 913 dtopsjs (b)paralkI combi~ natlOIl or two oolliDtctacting logime maps witb p~ecirc)- f +t and p(~) Px(~)-Ot IS Brass nipple

ing water mass and the speed at the thresbold paim g = 920 em51 and a is li parameter

For the remaining water DInnocenzo and Renna pmposed two models (PS) the point-spbere one lhe drop is spherical of radius r and the waterresldue is a point situated at Xo =Xr -rAMM (TS) twQ

sphere model lhe drop is spberical of radius r and the water residue is ti sphere ofradius r = [3(MrshyAM)j(4p)] cenrered at x ~ xlt - (r + r)AMjMlt Therefure lhe simulations reqm lhe adjuslment of fi _ (k x R aod b) but with an unknoacutewn dependence between them

fig 4 (a) 1X~rimenlal bifuttation diagram with lbe drop rale rungillg fmm 28$ doWn to 268 dropss Tbe circe SOOWl the sequerne cf tbc plotting colotslt sbould be noticed that in lhe ttginns otperiod-2 tbe colun ilIC supcrimposcd In (D) and (c)ate itSPtttlve1y sbown tbe odd ruld ~ bW1Ches On lhe right in W the cmuJation ofthc eltpelirncntl1 duta ming a scri~ combinltion oftwo intcmcting logistic maps in (8) and (C) are tespectivey slrown lhe anulated separaoon oi tIle odd aud eVelI bnmehtS The pammeters ()f control P1laquo(f) and P7lt-C) lU sItown in fig 5 9t-~ rupple

00

gt

so

i O I

o~xu

x

(v)

62 4 ThJaited aLIPhysi~LeIergtA 255 (J9)9) SlI-M

In Fig 1() is sbown me experimeand first return IIlllp obtaiacutened by keeping fixed me water levellreigh aI 1= 146 dropss (gIass nipple) An bullbullperlmeotal esrimarion for me pamm_ values are [2l k = 365 dynem x~Mem R =012-015 gjs The simshyulations of the attractor using these parameter va1ues did not converge for wide ranges of a and b villu~1i

We cou1d emulare the attractor profilc using the PS mudel by adjusting all the paIdmeter values The emulatioo wilh k-475 dynem x= 13Cn Rshy015 g -02 sem and b - 10 s is shown in Fig l(b) but me mean drop mte obtained (fshy315 dropss) is abou IWO times lh experimental valobullbull

In Fig 2(11) iacutes shown an attractor reconstructed in a fbreedimensiacuteorutl map T +1 vs T i i VIi Ta at f = 8726 drops I s The atttactor- profile was simtJ 1_ by me PS model wim me pammeter values R=O14 gs x= 0251 em a-OSI sem bshy094 and -120 dynem as aho in Fiacuteg 2(b) Despire the fagravect tllat these values are quite different uom the experimental ones we obtained by coinjdence a drop rate of f= 880 dropss close to the experimental value The similarity 1raquoshytween the two maps suggests mat we have the same atttactOt whnc the different time scales point out to dilferelt os ar lhe basiacutens af _ans with apshyproximataly lhe same mean time T

We could oot find in lhe titerature better _shytions af dripping faucet auractors than lhe examplos above This model is not enougb to expIa1n all the detalls of me eXjlOIIacutelMntal data but it can be useful to give a first sigltt (ar lhe general properties) of the drop formation dynamics 41 since the classical hyw drodynamiclll models are mo complicated to obtain large time series

We observed some peculiar behaviors ln me exshyperimentai bifUrcation diagnuns and ve attempted to construct empiacutericaJ models omulate suoh bebavshyiacuteors in a shnple way~ looking for relatiacuteons berween two qu_ IlIPS

32 Combined mtJps

321 Parallel comhinatton In Fig 3(a) is shown an experimental bifurcation

diagram T vs nf which was obtaiacutened by Jetting the wateiacute level go down 113turally and lhe dripping rate

rangiag from - 918 00 to - 913 dropss Beshylow 11 as the water leveI heigbt goes down the dynamical ampystem evolves in a period four m~ ment When the system reaebes lhe aitical point I1c (ar h) the initial rom stable fixed points are re~ placed by new four fixed points

We siacutetnulated this peculiar change of fixed points by adding two nonwiacutenteracting quadratic maps (paralw lei combinatioQ) 50 lhe global I S is given by

In+ =x ~pAt) Yn+l-Y -P)(~ x +y

S - bull (3)bull 2

where P(i) and p(lf) ate me OOIltrol PllIameters as functions of a common parnmeter sgt and each tnap is iterated sepamtely 2 We observed that the hoiee of P(i) = i- 14 py(V= pltel - 0115 IfE (16164) can emulJlte lhe experimental change of the fIXed points as shown in Fig 3(b) Tbe transition po-int g~ = 1615 corresponds to the secshyond ilip bifurcation in tbe y map and a period-4 movement in the x map but lhe global I S co~ondamp to a foor fixed points until the next fliacutep bifurcation which oours in the x map at ~= t6t8

Dilfetenl from an interior erisis [331 in whiacutech OCCUts a sudden change in the size of the attractor in Fig 3(a we have a smooth inereasing in the size of lhe period4 attracror Regarding lhe oscilJatory barshyaeter ofthe banging water~ these two period-4 behav~ lOIS suggests that we bave the same oscillation mode below and above (n) but with a little difference between their boundary conditions

322 Series combinalion For a Wgher drop- rate another experimental bifurshy

cstion diagnlm was observed with the dripping rate ranging from 288 down 268 dropss In F18 4(a) is shown lhe bifutcation diagnun 7 vs n

i

ohtaiacutened by plotting lhe pciacutents alteruately in blaellt (-159 ) ingreen (=2610 ) inred (n = 3711 ) and in blue (n - 4812 )

InitiaUy~ the system evolves in a period~2 attractor until lhe ches red + blk and green +blue colshy

-1- For a given value ofthe cmrttltll pammeter euro the seties xl tuld Y ete fUIlI1ltrlcllJy laquonained aftrr 11 ttnusltnt oi 10000 lIetations from 1he same initial cQlIdiOOm (xG )~ 06)

bullbull

63

7

A Tuaile et aL Pllysics leJters A 255 (1999) 58-64

10 i

os Py obull o

osL 07

Fig 5 P~ (cuntinuuus linel and Py (uacuteasheu ine) as fWHtions of

fmiddot

Iapses at point T After that the system continues to evolve in a period~2 movement but showing invershysion of phases (see tbe colors exchange) until point F where another bifurcation occurs on each braneb Therefore this diagram ean be split in an odd dia~ gmm (blaek + red) as shown in Fig 4(b) and in an even diagram (green + blue) as shown in Fig 4(e) The skcleton of eaeb branch 15 preserved even in the regions of superposition of the branches as in the chaotie region (n 25 X lOs and ~ 097 in Fig 4) The branebes in Fig 4(b) and 4(e) have similar behavior and structures (common bifurcation points and chaotic regions) but different sizes

Tbe similarity between each brancb and tbe logisshytic map suggests that this peculiar behavior could be interpreted by the combination of two strongly intershyacting logistic maps (series combination) as to say the feedback of one logistic map into another one

x+ -4p(Oy(I-y) oddbrnnch

Y+ -4p( Ox(l-x) evenbranch (4)

where PxltO and pig) are the control parameter ftmctions The choice of Px(g) and Py(g) shown in Fig 5 leads to a reasonable emulation of tbe experishymental diagram as sbown in Fig 4(A) (8) and (e)

Considering that each branch is visited altershynately and associating each branch to an oscillating mode of the water column it seems that the initial conditions imposed by one drop to the next one switches from one oscillating mode to another oneTherefore the combined maps models can give us a first sigbt about some Ioeal behaviors of the experimental diagram

4 Conclusions

We could reproduce tbe profile of some attractors by using the one-dimensional mass-spring model The parameters values obtained by this model are not realistic due to the drastic simplification of the water drop formation dynamics

To interpret some peculiar behaviors observed locally in bifurcation diagrams we proposed the emshypirical model of combined ma~ With the parillel combination we couId emulatc the peculiar replacing of four fixed points by four new ones Tbe feedback of one quadratic map into another one in the series combinatian aJlowed us to realize the collapse of branches and their further separation as well as the preservation of tbe skeJeton of each branch in the chaotic region

Acknowlcdgcmcnts

This work was partially financed by the Brazilian agencies FAPESP CNPq and FINEP

References

(U FC Moon Chaotic VibratiOM Wilcy N~ Yorlc 1987 [2) KT Alligood TD Sauer JA Yorlte Cbaos An Introducmiddot

tion 10 Dynamical Systcms Springer-Verlag N~ Ymk 1997

[3) OE Riiss1er Synergetics A Workshop SpringeroVedag 8erlin 1977

(4 R Sbaw The dripping faucet as a mudei chaotic systelll Aeria Press Santa Cruz 1984

(5) P Manien SC Popc PL Scott RS Shaw Phys Lett A lO (1985) 399

A T~oile ct DL I Phyfitf ieJlerlf A 255 (J1J99J $8-641 64

[6] HNN Yeacutepez ALS Brito CA Vargns LA Vicente Eur J Pbys Ui i989 99

[1] RF Cahllan H Lcidcr~hcr 00 Cahaian Comp Phys JulrjAugust 1990 p 368

(S X Wu ZA Scltelly Physicl D 40 (1989)433 191 X Wu B T_ zA sbltlly Rltv Sei IM 6) H9S9)

3119 lO] K Ote)ltr FR Hlckey AIraquo 1 PbyS $ 0(91) 619 [i t lC Sartmelli W_r1 Gonccedilalves RD_ Pinto Pbys Rcv li 49

(1994) 3963 (12) RD Pinto WM Gonccedilalves lC Sartotclli MJ de Olivcita

Phys Rev E 52 (1995) 6392 U31 JGM do Sil~ JC SartQrelli W_1 Oolccedilal~ amp0 Pinto

Phys Lett A 226 (1997) 269 (l4) XO Shl MP BmmtI ItR Nage1 Scienee 26) (1994) 219 (15) sDR Wilsoa J Fluiu Mech 19(1 i988 561 H6l D1L ~grine O Shokfr A SymGn J Fhtid Mtclt 212

099Ol25 [t1] OW DePDoll JQ Feng DA Basatan Te Scott Phys

Fluids 7 (I995) 1181 (18) X Zhlmg DA ampsarau Phys Auieis 7 (1995) 1184 [t9) A Laveron-Simavilla JM Pcrales Phys Fluids 7 (1995)

121)4 t20J Y Watanabe Jpn J Appl Phys14 (1985) 351

(21) MSF da Rocha JC Sm1orelli WM Gonccedilalves RD Pinto Phys Rev E 54 (996) 2378

[22] J Austin Pbys Lelt A 155 (t99I) 148 (23) JA fomecirc$ J ProcQpio le Sartoacuterelli J App Phys 80

(t9) 6(121 1241 Gt SaacutenchesOrtiz AL 5efusBrito Ph)-s Lctt A 203

(1995) 300 Ph)1IacuteOl D 89 H99S) 151 1Z5] A Dmiddot~ L Rtnna Ph)s Lctt A 220 UI)) 15 Uacutelt

l Theor Phys 35 (1996)941 fhyl Rev E 55(991) 66 126) PMC de Oliveira TJP Penna J Stzl Phi 13 1(93)

189 brt J Mod PIacutel)$ C 5 (1994) 997 tm TJ-P Petma PMc de Olivclla JC Saoorelli Wt

Gonccedilalves RD Pinto Phys Rtv E 52 (1995) RlI68 28] HE SlaulCY SV Buldyuv AL Goldcberger ZO Goldemiddot

beramplaquo S HavUn llN Mmtegna sM Ossadnik CK Peng M Simotls Pllyska A 205 (994) 214

129] K (mem Progr lbeor Pbys 69 0983) 1427 Pmgr Thecn PhY$ 7i (t9iacutef4) 202

l301 Y OU M Tuug l iuan D Fmg LM Naragravenccedili fbys R~ Lett 52 (l9f4) 10L

131] T Hogg BA HUbetman Phys Rt A 29 (19M) X1S 132) LA Bunimcvich Physica O 86 (i99S) 248 [33) C Grnbogi 11 ou JA YOde Phys Rtv Lctt 48 (1981)

151)1 Physica D 7 (19amp3) 1St

Apecircndice 2

Chaotic behavior in bubble formation dynamics

A Tufaile e JC SartorelU

Physica A 275 (2000) 336-346

I PHYSICA ill ELSEVIER Physica A 275 (2000) 336-346

wwwelseviercomllocatelpbysa

Chaotic behavior in bubble fonnation dynarnics A Tufaile IC Sartore1li

Instituto de Fisica Universidade de Satildeo Pauo Caixa Posla166318 05315-970 Satildeo Paulo SP BrQ2j

Received 25 June 1999 revised 19 August 1999

Abstract

We constructed ao experimental apparatus to study the dynamics af the formation of air bubbles in a submerged nozzle iacuten a waterglyccrin salution insidc a cylindrical tube The delay time bctween successive bubblcs was measured with a laser-photodiode system It was observed bifurcations chaotic bchavior and suddcn changcs in a pcriodic regime as a functioo of thc decreasing air pressure in a reservoir We also observed dynamical effects by applying a sound wave tuned to the fundamental frequency af the air column above thc solution AI a function of the sound wave amplitude we obtained a limit cycle a flip bifurcation chaotic behavior and the synchronization of the bubbliacuteng with sound wave frequency We related some of the diJferent dynamical behaviors to coalescent effects aud bubble sizes copy 2000 Elsevier Science BV Ali rigbts reserved

PAeS- 0545+b

Keywords Chaos Bubble dynamics Uostable periodic orbit Synchronization

1 Introduction

The formatioo of gas bubbIes in a nozzIe submerged in a liquid column has been studied by Davidson and Schuumller [I] Buyevich and Webbon [2] and Kyriakides ct aI [3] A criticaI review about the experimental and theoretical resuIts is presented by Ponter and Surati in Ref [4] Results of simulations of the motioo of gas bubbles in a liquid are presented by Krishna and van Baten in Rof [5] The bubbling dymiddot namics presents some features that resemble chaotic systems [6-8] Triton and Edgell [7] observed some attractors by detecting the bubblc passage by a transduccr (hotfilm anemometer) placed close to the nozzlc

The aim of this paper is to report the existence of dynamical properties of bubble fonnation with non~invasive techniques and report the effects of a sound wave 00 the

bull Corresponding autbor E-rrwil address sartorelliifuspbr (IC Sartanlli)

037843711OO1S~see front matter copy 2000 Elsevier Sciencc BV Ali rights reserved PII S03784371(99)00440middot9

--337 A Tuaile Jc SartorelliIPhy~iCD A 275 ((f)()) 336-3

FuncIioo gEIlatlIlaquoW_1-0-1~a

VHS o

Come o

D O O

--shy

~

~ Ai

Rbullbull

pshy

~cf2-~

Capac1liva aJr Reservolr

bull

Iltshy

shyi

VoJ

Fig I Dilsgmn or lhe erperimItlUil upparulus

bubb1e furmtalon dynamics Tho deJay time between _ivo bubbJcs was measurelt by using lhe same mehniques as in lhe dripping laUCOI experiments [9] _ides a route 10 chaos via period doubliacuteng we related some peculiar bebaviQrs observed in biftucanon diagrams to theacute coalescent effects (for a bubble penetrating roto another just aoove lhe nozzle and fonning a single-larger bubble ot when one bubble touches the proviacuteous one fonning a doublet)

2 Tho IlIlbbJ gun apparalUs

The experimental apparatus consists oi a glass IUbe paatially fiUed wilh bull viSC01lS

Julio (warer+glycerol) as schematiclly shown in Fig 1 The air bubbles are fonned blowing air through a nole aI lhe bultam of lhe tnbe The air iacutes supplied by ao aIacuter compressor whose reservoi is oonnected to another one (a capacitive reservoir) through apressure reducer The detection system is the same as in the dripprng faucet experiment [9] A horizontal He-Ne laser beam focwoed in a photodiode is placed a little above the nome The input signals are voltage pulses induced fi a mistor defined by lhe begiruuacuteng (encuumlng) of lhe scattering af a laser beam focuscd o lhe pholediode (in series with lhe resistor) when lhe buhble starts (ends) lo cross ibe laser beam The deJay lime between successiacuteve bubbles was measured with a time eounter circuitry inserted in a PC slol (time resolution =1 ps) The width af lhe pulse is lhe

A Tufuile JC Sartonlillhyrica A 275 (2(1())) 336-346318

time interval n (where n is lhe bubble number) and the delay time between two pulses is lhe crossing time (~In) of a bubble threugb lhe I heam so lhat lhe total time interval is T ~ I + otn We eao setup lhe bubble rate (f= I(T) in two ways (al by futing lhe ~ening oflhe ncedl valv turnlng oITlhe air supply to lhe capucitive reservo-ir and etting the ai pressure to dccrease llaturally~ SQ the bubbling rate 10 thls case we bave analyzed lhe data COnstrucling bifurcatioo digrams (Tn vs 11) Ihat are funcnons of lhe ir pressure deteltiSing (b) by keepiacuteng fix lhe air pressure in lhe capaciliv reserveir and seleeting lhe bubhle rate hy epening (elosiog) lha needl valv bull In lhis ClISe for a given bubhling rate we bave consbucted fust r_ mapa Tn+ vs Tn bull W aIso studied lhe cbanging of lhe bubbles formation dynamics with a sound wave tuned to the fundamental frequency of lhe air column above the solution The sound wves are generated by bull loudspeaker placed aiacute lhe top of lhe tube (see Fig 1) which is driven by an arbitmry function generatotilder The sound wave amplitude was used as a oontrol parameter

We Iso reeorded lhe bubble formation wilh a VHS eamera to illustrate how tbe profiles of tbe bubbles are in dlfferent dynamie1 bebeviors

3 ResuIts und discussion

31 Air pressure aJ a control parameter

Using a solution of fom parts of glyeerol nnd une part of water and a plasticj hypodermiacutec syringe wiacutethout the metaUic needte as a nozzte a bifurcation diagram was

ohtained Ietting the ampir pressure in the capaeiacutetive reservoir go down naturaUy with the bubbling as shown in Fig 2 The diagram shows the evolution ftom a chaotic behavior in region (a) to a periacuteodic window The pcriodic behavior starts with a perl002 region (b) lhereafter a bifurcation occurs giving rise to bull period4 regioo (e) wbieh again ovolves to anolher period-2 region (d) foUowed by a period-l movement rgioo () In Fig 3 lhe illustrations of lhe bubbles prefile in eaeh region as labeled above are shown In Fig 3() tbe 1gtu1gt1gtle are formed wiacutelhout lhe eoaleseent effeet in lhe period-2 bchavior shown in Fig 3(d) there is no coaIescence near tbe nozzle but a little far abav il in Fig 3( c) lhe eoaleseerne oeCUtS close to lhe nozzle but bubbles do oot toueh each olber and a period4 is ubserved in Fiacuteg 3(b) two sueccedilcssive hubbles eoalesee completely givrng rise to a bege single bubbl in a period-2 bebavior nnd in Fig 3() lhe eoalescent elTect in the ebaotic region

A different bifurcarion diagram was obtained in the same way as above using a iong metallic hypodermic needle as ti nozzle as shown in Fig 4 The system is cvolving in a period-2 movement region (a) in tbe Fig 4 with ao _cto size IT+I - T I~ 55 ms As the air pressure in the capacitive reservoir goes down suddenly a shortening of the period-2 occurs and a new penod-2 starts Vith tbe attractors size ITn+J ~ Tnl 1 ms region (b) in tbe Fig 4 Thereafter tbe system evolves to a period-l movement lllustrations af the bubbles profile obtained in each regioli descrihed in Fig 4 are

339 A Ttifailt JC $art(HllliPhysita Aacute 275 (2fJO()) 336-346

O~I----------------------------~

~

~

O I v

O 1000 2000 4000 n

Fiacuteg 2 Bifurcation diagmm obtaiacutened wilh lhe air pressure decreasing in lhe capacitive nservorr lUgion (a) chaotic bchaVior (b) periacuteod-2 (c) period4 (d) perioomiddot2 IUld Ce) period-L The same behaviar is obtained by increasiug tIie oir pressure HypodermJc syringe 1U)zzle

-O

o

0

() (b) (C) (d) ()

lig 3 mustmtions of thc bubb1cs profile and tbc eoalcscent efbts in a cbaotk behaviacuteor (b) periodm 2 with wmplete ooaesm1ce (c) period4 wilh single ooaIescettOO (4) pcriod-2 without cmt1eseenOO noar the llQZlk bul a liuIe flt ~bove il and (c) perioo1

shown in pjg 5 The shorteniog of lhe size af the atttactor is accomplisbed by the shortening oflhe size oflhe bubbles as il is shown in Fig 5() and (b) In lhe larger period-2 regioo close to the nozzle two bubbles coalesce completely fonnIacuteng a largo sing1e bubble as described in Ror [13]

32 SlJWld waue amplitude as a contrai parameter

By keeping fixed lhe air pressure in til eapaeitive reservoir we cbanged til bubble dynamics formalion by applying sound waves tuned to tIle fuedamental frequency j = 138 Hz of lhe air eolumn abave lhe Iiquid solutiou (two parts of glyeerolone pari of water)

340 A Turule JC $oNorellilPhyslco A 275 (2000) SJ6-J46

26 ~ ~-

bull bull

I20 gt

_JPmiddot -F- 15 f14

bull

o ltlO 600

n

Fig 4 Diagrmn bifurcntion as a function (lf air pnmure deCltlMing in lhe capacitic reservorr obtained with a meLallic needle Arowtd lhe region (a i me movement is the large perlodlaquo2 doe 10 lhe coolesoent effcct MOlmd the region (b) is shown a shortcr period-2 and in fuc rcginn te) is soown 11 fixcd point

Uacuteraquo Ib) le)

Fig S (a) Larse prloo2 and Iargc bubbtes due to a GOalescent effect in a peri0d-4 (b) perioacuted-2 without me coaIescent ciTect aud (o) the fixei porot

In Fig 6 lhe first retum maps as a function af the sound wave amplitude are shown lu eaeh fnune lho IOp iMo snows at lhe 10ft lhe sound wave amplitude and at the right lhe bubbling rale We started at a fixed poin at f = 11282 bubbless as showo in Fig 6(a) By applyiacuteng tho sound wave lhe fixod point 1000 its stability aud a Umit cyc1e appears as shown in Fig 6(b) and c) with a littIe increasing of thc mean bubbling mie as lhe amplitudo ls raised

341 A ThfaJJe JC SartoreUllPhysiCIJ A 27$ ()(()(J) 336-346

iamp

TJms)

4

(1)

001[ 1A I 11 31 I ] 99 J71

-- co ~~ gtamp ~ bull I

bull

J 90 100

G)

Trna)

l

t~~i~I i t S ~

lt

(I) (k)

Fig 6 FIacutelSl return maps TI1+1vs TI as a furution of lhe sotlOd wave emplirude (keeping 6)( lhe aiacuter pressure in lhe ccedilapacffive fIICIV)ir) In each fraae the insets sbow at lhe lcfi lhe amplitude and ai the righl the buhbllug rue (li) Tbe lnitial fixed point (b) li limit ccedilycle (c) an unslable limit cycle~ from (d) up to (g) li llip bifutcation III constant bubbling raie~ from (h) up ti) (J) clmotic attrnctnts In eaeh fmme the lfitenection of lhe dashed 100 defines lhe position of an unstable perlod~l orbiacutet (UPO)

342 Acirc Tufuile JC SttrionllilPhysica A 275 (1000) 336-346

In Fig 6(c) lhe limit cyele looses its stability and a fixed paim near (87 87 ms) is visited in 41n intermittent behavior This fixed point position was established by a hislogram pIot of Tn The Fourier transform applied to lhe data related to Figs 6(d)-(g) showed a noisy period-2 _vior aed wilhout any bubbling tato variacuteation Therefore as we are observjog a bifureadon per1od~1-+ period~2 (see In Fig 6(0)-(ampraquo as bull function of lhe sound wave amplitude a period doubling ls being hidden bY lhe noise In bull llip bifurcation lhe i an unslablc fixed peint helween lhe two stable fixed Our data sbows Uacutetat lhe viacutecinity of lhe middle point betweeo lhe stabJe fixed points is been visited due to noise Consequently our data are adequate to apply the fixed poil transformatioo rechniquc developed by 80 cl a [10-12] to finagrave unstable periodic orbits (UPO) in short sedes of events wiacutetb unstable control pararneter briefiy descnbed below

To extract the unstable periodic orbiacutet with a finite amount of noisy data of a o-dimensional system Se et 1 supposed Ihat ali points lyiacuteng in a regian around lhe fixed point x = f(x) can he transfonned to x in lhe vicinity Df x The denshysity function p( x) has IacuteI1verse square-root-type singularities at the fixed poiacutents and a bistogram approximation to Pi) will have a sharp peak at x=x Some spunous pcaks appear in fiO) eilher due to siacutengnlarities not relatelt to fixeagrave peiacutents ar lo zeshyros of lhe derivative of lhe traesformaoon funarion x= g(ltk) They generalizcd the mcthod for a system with an arbitrnty embedded dimension (d) to obtain the unstabl

l periodic oreits by doing the transfonnation

in = (1 - SJ-1(Zr+1 - SnZII) (I) I

where

I (d-l) d)aftolfmiddotmiddotmiddotan trS= (

1 O +lltRllz+-zII (2)

a I (zn - 211_1)t -1 ( ( I - Z)1Zn+l

=1 (3)

d (Z_(d_l) - Z_d) (Z_(d_2) ~ Z~_(d_1)t

Zn are the reconstructed vectors ftom scalar time senes xn

ZJj = (Z~ZZ~ _ ~z)t = (XnXn_hXn_2 Xn_d_)t (4)

R is a d xd randam matrix in the range [- I I] and 1C is the magnitude of me randomshyization The fixed pojnts are giacuteven by the peak positions of l(i) As the locariaM of lhe spurious peaks dopend ou the parameter Ihey are eliminated by taklng lhe vecage (pczraquo) for maey dilfrent values picked up randomly As lhe attractQrs reconstruelion in a Wo-dimensional embedded space are enougb unfolde~ we applied this technique for d =2 w Iso chobullbull Ilt =5 and 1000 random matrIacuteces

343

se se 00

1 ~(S)

A Tufoile IC SartorellilPhyslca A 275 (2())()) 336-346

rzg 7 (li) Tht hhWgJlim ap~JA 10 p(i ub(ained wi1h the fixed paim trunsfonnatitm ttdmique using the daia sbown in Fiacuteg 6(h (b) lhe eonlout gmpb around lhe unstable periodl orbit ($697 8697 ms)

An example of our results is shown in Fig 7(a) where is drawn the histogram approximation to p(x) using the data shown in Fig 6(h) For better visl3lization of the unstab1e period orbit position a contQUr graph of the same data is shown in Fig 7(b) The higbest peak defines ao unslable penod-1 orbit at (8699 amp699 ms) cIose to

tbe stabJe fixed point shown in Fig 6(0) In this way we fOWld au WlSlable periacuteodo orbit as shown by lhe intersection of the dashed lines in Fig 6

Wiacutetb furtber ampHtude inereasing we observed the appearance af a chaotic regjon with stretchiacuteng and folding dyoamics f bullbulltures as shown in Fig 6(h)-(il and with

2500

2000

1500 c

81000 ~ 500

(a)

1

~1 I I

I

(h)

ilf

92

_2275 - 2600 _1950 - 22S _l6a5 - 1950 _1300 - 1625 l1li9750 - 1300 l1li$51)0 - 015-(1 W7~~O - 6500

() _ 3250

Tn(msj

344 A Tufaic JC SurtoreliilPhydoo A 275 (2)()()) 336-346

81 114

075

1 gO50 ~ gt

1deg25 degOOr--middotmiddot---mm--mm--------m-----~~J 82

- -i

870 eI -~--=__------__----_-----___shy8

f ~

J ~

Q 111 1~

I I I J1 02 03 04 05 06 07 08 M 10

sound wave smplitudOV

Fig a As li ftmction of the sound wave amplitude (a) the dominant LyapunoacuteV exponent (1raquo the mean bubbling mte (left seale) and thc unstablc pccedilriodiccedil objt (right scalc) The ltonliDuous lines are guide$ to Yshy

little change in the bubbling frequency The reconstructed attractors in tbe chaotic region were characterlred by lhe domJnant Lyapunov exponet [13J as sbown in Fig 8() However lhe unstable periacuteod-l orbil remains in tbe ohaorie region wilh little cbang o its position as hoW in FIg 8(b) (rigbt soale)

Contiacutenuing to increase the sound wavc amplitude with larger amplitude increments lhan betor we obtained lhe atttactors shown in F4 9 In Fig 9(m) lhe mean bubbling mie is 205 bubbl for a sound wave amplitude 0014 V and lhe pasition (~72S 725 ms) is visited in an intermittent behavior The visitation time increases as we increase the sound wave amplitude until the point ( 725 -725 ms) beoomes a labla fixd pain as hown in Fig 9(n) In Ihi situarian til rnean bubbling rrequency is f = 13797 009 bubbles whiacutech iacutes tlul sound wave frequency valu bull Therefore the bubbliog hcome synehronlred with the sound wave In Flg 10 we ca 1IIe dilference betwee lhe bubbles prefile in lhe first fixed paint as shown in Fig 6() and lhe syncbronlzed iacutejed paint shown in Fig 9(0)

(XII arI Cf1) kmmlmlj Mllacirc puoosrrn q~ ~mAacuteS ~ (sfsgtIqqtq L6Lt = f) sliacuteqqtq nn unjA 1tfOd fXgt1I9 t1ilf )ql (q) (sjgllqnq un I f) c)9 1ik tI Ut01ls laOO tmJ lSty Iql JO ~ Slqnq lt)ltJ (v) 01 -RJJ

(q) (raquo

)IIJJM punes ~tI JO )wnbarj ~UllJ oql tj~ pozroorqIMS

1l0mIllOJ Ilqqnq nql (u) lOAmp~ lIl(lnftuJtlll W to PQl~ S (sm SZL CcedilZL ) 1Uod lU (01)6 ~iI

(SIUUL

bull 00 Oi o (UI)

i

346 A TulaiJ JC S(1r(orelli Physica A 275 (2(J()(J) 336-346

4 Coudusion

We observed bifurcations in a bubble gun expetiacutement as a funCIacuteon afhe aiacute preshy8Ure In one case j we observed in a period-2 movement ti sudden change in the attraacuteCrors

size related to the bubbles size In other case with a different nozzle geometry we observed a periacuteod-doubling easeade J -+ 2 -+ 4 fullowed by a eMotio hehavior In both cases we fclated some different dynamical behaviotS to coalescent effects

For a fixed air pressure we used as a second control parameter the amplitude af a sound wave tuned to the fundamental frequency of the air tube above lhe oolutioo We observed as aacute function of increasing sound wave amplitudes the appearance af a fixed paim a limit cycle~ which looses 11$ stability and a new flxed paint appears a lllp bifuration followed by bullbullIutou regiOll wih strerehing and foldiacuteng features Thereafter a new fixed paiot starts to be visited in an intemUttent behavior anti the bnhbling synchronizes with lhe sound wave freqnency

We applied the technique af the transformatioD af the tixed pomts to extract an unstable period~l orbiacutet embedded in noisy reconstructed attrnctors in the fiip bifurshyClltion region This unstable period-l orbit remains in the chaotic regime which was charatterized by the dominant Lyapunov exponent

AcknowledgemenJs

We ate gratefuJ to Professor AJ Liohrenberg RD Pinto and MS Baptista for heir suggestions FinanciaI support from lhe BrnziUan Agencies FAPESP CNPq and FlNEP iacutes gratefully acknowledged

Rcf

[1] JF Davidson BOa Shiller Trans lllst Chem Eng 38 (1960) 144 (2) YA Buyevfub BW Wcbbon Chem Eng Sei 51 (19 4M3 [3J NK Kyrlalddes EO Kaslriookls SG Nychas em j Chem Eng 75 (1997) 684 [4] AS Pontet AJ Surnli Cbem Eng TecltnaL 20 (1997) 85 [5] 11- Krisbna 1M _ Nottue 398 (1999) 208 [6) 11- F IA _lt= A Phys Leu A 243 (1)l8) 67 [7] DJ TriUltm C BSU Phys Fl A S (1993) 503 [a] LJ Milloni MP Scllwar~ RD Ut Nuuzc Phys Fluids 7 (1995) 891 (9) JC Snt1oreIuuml WM Gonccedilalves RD Pinto Phys Rev E 49 (1994) 3963

[10] P 50 al Ihys Rev -t 76 (1996) 4705 [11] P So et al PllS Rcv E 55 (1997) 5398 [12] P So Cf al Biophy$ J 74 Z776) 1998 fI3] S ElIner DW Nycbka AR GIlllant LENNS a progrmn lo estimntc lhe dominant Lysp1JlU)v cxponcnt

of noisy noulinear systcms from time series data (fustitute of Statistics Mimco Serlcs 00 2235 (BMA serias lO 39) Statis1ks Department North Carolina State Univcrsity Raleigh 1992)

I 1

I

Apecircndice 3

Heacutenon-like attractor in air bubble formation

A Tufaile e JC Sartorelli

Physics Letters A 275 (2000) 211-217

I

PHYSICS LETTfH~sA

ElSlMER Phys1cs Lctfln A 10152 (2000) 1Q(l

wwwelsevebullnllocalJpl3

Heacutenon-like attractor in air bubble formation

A Tufaile JC Sartorelli lflUacuteMd dI FistCil Untveridadc de Samp hIlJC Cooacutea Postal otilde6JJ8 flf31J-l70 Sim PauID SPl1roil

~ved 6 Junc 2000 rnceiVdl in revised furm 29 Augusi2000 aeccpted 29 Angusl2000 Communicated hy cR DocriDg

Ahstract

Wc studlod the formation ar air hubb1es in 11 submerged nozzle in a watcljglycerol solution inside- a cylindtical tubeacute submitted to a sound wave perturbation lt was obslttved a mute to elmos via periacuteod 40ubling as a funetion of thc- sound Wllve amplitude We applicd metriea1 as well as topological chtmleacuteterization t(J some ch~tic attraetorn Wt localizcd ti flip saddle and wc aIso could establish relalions to a Heacutenon-like dynamics with the oonstruction of symbolie planes C 2000 Publishcd by Flrevicr $ciCllCe RV

PACS OSAS+b KeywonJs Cblrol Bubbe dyruunics Heacutenl)lt map

1 IntrodoetiOJl

We npot1Jd [1l some dynamical elfects of o sound wave in a bubble fonnation dynamics such as a flip bifurcatioacuten as a fimction of the increasing smmd wave amplitude Lauterbom and Paditz [21 studied the main reatures of bubble 05cillator in which the size of a small bubble in wnter oscillates due to a _ field Tritton and Edgell [3J observed some atiroctors by detecting thc bubb1e passage neatby a tnulSducer Ototmiddotfilm onemomme) pUacutelced dose to a nome where the bubbles were issued and they repartelt the existeace of a chaotic bubhlmg

~ccedil tumor TeI +55 11 81S 691S fax gt$5 11 813 4334

verified by visual inspections OOt without any kind of characterizatiacuteon af the chaotic dynamics Mittoni et ai [4J observed chaotic behavior with positive Lyapunov expunents in bubbling systems using a pressure transducer Li et a1 [5J studied lhe chaotic behavior of bubb1e 1oalescence in non~newtonian Iuids Ruziclm et ui [6J observed raquopc m intemritshytency in the transinon ftom bubblmg to jetting regime in 11 nitrogen-water system

Characterizaticn ofexperimental data oinonlinear systems using symbolie dynamiacutecs has becn reported by Gonccedilalves et al [71 in whiacutecb lthaotie at1mctms

from me drlpping faucet experiment were approxishymated to mioimal nmchines and the topological analysis applicatioD by using symbolic dynamics was more suitable to cllaracterize experimental data due to jts robustness to nalse Letellier et al [8] npplied topo1ogieal cbaracterization to irregular pul-

037S-96ltI1jOOS - slaquo trolit mluer 02000 PubJishtd by E~lr Stienee av PU S031i-960l(OOgtOtl58S-5

2 A TufoileJC Sartcrelli Pb)$Ws Letie1$ A )fi (2001)) (1I)fJ-()(J()

sations cf a hydradynamical madel of nu pu1sating sUlr by constructiug symbolic planes

Wc have studied the air bubble fonnation dynam~ ics in a submerged nome in n waterglycerol somshytion illSicle cylindrical tube (see Ref [n for detaiIs) as a function af 11 sound wave amplitude tuned in the air column above the solutiou Using metrical and topologica1 cbaracterization we observed a flip bifurshyestion which is followed by a chaotic region wbere some reconstructcd attracrors resembfe Heacutenon~1ike attractors which esmbHsh a possib1e mure to chaos in bubbling dynamics

2 EJpcnmental apparatus

The experimental apparatus of the bubble gun experiment is sbown in Fig 1 The bubbles were generated by injecting mr under constant flow rate conditions through a metallic nozzle immersed at the bottom of a viscuus tluid column (20 watcr plus 80 glycerol) maintained nt a level of 12 ctn The inner diameter Df the cylindrical contaioer js 53 nun and 70 em in hcight and the innel diamcter of thl nozzle is 13 mm The nozzle is attached to a capacitive air reservoir and the air flux ean be set up

by a need1e valve and the capacitive air reservoir is supplied by aa air compressor through a pressure reducer

The detection system is the same as the drippiacuteng faucet experiments [9t lO] A horizontal He-Ne laser beam focused (10 a phorodioacuted~ is placed a little above the nozzie The delay times between succes sive bubblcs were measured with a time circuitry inserted in a PC slm With a time resoJution equals to I ps The input signals are voltage pulses induced in a rcalstQ defined by Ih beginniacuteng (endingl af scattering af a laser beam focused ou lhe photodiode (in senes with the reslstor) when the bubble starts (ends) to cross the laser beam The lidth of pulse is me time interval tIl (n 1S the bubble number) and the time delay between two pulses is the crossing time (dt) cf a bubhte through the laser beam 50 that the total time interval is Tft = tIlt + dI bullbull

Setting up Ih bubble rale (f- I(Traquo) keeping fiacutex the air pressure in the capacltive reservoir and selecting the bubble rating by openjng (closlng) me needle valve we changed the bubble fl)IIllAtion dyw ooooics applying a sound wave with a loudspeaker pIncelt at the top of tbe tube The sound wave was tuned to the fundamental frequency of the air column above lhe liquid and its amplitude was driven by a

Rmction genemlor

Jl22l + H

shy

I

Alr9lifier i

j -tgt ~bull

I

~

o

o

Fig I Diagram cfme ~nlal apparzrus

I A llifaile lC Sm10r01ll Phpics UdtersA ()( (2iJ1)(J) OOO-f()(

-iacute

f

~

Driven Voltaga (V)

Fig 2 Bifurcation diarccedilaln ofthe inte1bllbble iotavals ti a function ofthe londiipeaka driml volige Wc cstimated lhe exptlrimcntal noise laquo$ -100~ in lhe period I behaYIacuteor

i

function genenrtor A11 the measurernents were doneshy

I at room temperature

3 Results and discuasion ~ II

The air flow rale and tbe sound wave ftequency were ept conslant at - 366 bubble(s and 150 Hz respeetively We changed the Imool dynamios forshymation increasmg the driven voltage in the loudshyspeaker as shown by ilie biacutefurcation diagram in Fig

32

1

~ 24

2 A period doubling OCCUIS around 2 0 V and the bubbles are issued in pairs until 30 V~ when a noisily period fougt appears After then two-band hehavior takes place and each band presents chaotie behaVior At 35 V the chaotic bands start to overlap and a large- chaotie attractors emerges

To perform metrical and topological characteriacutezashytion of the bubbJe fonnatilt)D dynamics we collected S1x time series keepiacuteng fb six drlven voltages whose respective retum maps (T I versus T) are sbown in Fig 3

~r I

- 111

(a) (b)

35V

(d)

~

24

I 25 V I ~ bull

I -(c)

I 45V I

(f)

T(ms)

Fig 3 A gquencc cf rtconstructcd aUtaclors 5howing 11 period-doubling tome to clI3os In eacb tlanle thI iDsct shows the driven vo114se (a) peticd t (b) period (2)i (ccedil) a two-band aacutetttactru (d) te) and O are claotic aUietatS chmctmzcd by the 1atgest LapWlOV exponent ftlR IlJ9 IIl1d 024 ~ivcly nbtllned w11h tlle lRNNS j13Clcase [1lJ F~1eacuteh titl1( Ienes is 4fl()(I h1lbbles long

1

1 Thfoiacutele IC SarrorelJi I PhJir$ LdterH A fJ(J (2000) OOfJ-(JJ()4

31 MetricaJ characterization

The reconstructed attractors in the chaotic region (rrom Fig 3(d) through 3(t) were characterized by the Lyapunov exponent51 by the Kaplan-Y orke di~ mension and by the infonnation dimension obtained by the rlSEAN package (12) A cofiecture [13) relates the Lyapunov spectnun (A) and the informa~ tion dimcnsion by me Kaplan~Yorke dimension D1Cf

1gt1 i-i ( I) -k+ - IDK( - IAgrave I

H

where k i5 the maximum integer so tbat SUtn af the k-largest exponents is stiU llOn-negative This cotildenjecshy

middot mre iacutes valid for Heacutenon attractor and it is checked on teconstructed attIactots The paramerer va1ues obshytained for the driven voltages V 35 40 and 45V are shown in rable I (see Figs 3(d) 3(0) and 3(t) The Kaplan-Y orke dimensions agree with iacutenfatmashytion dimensiacuteOllS The two first chaotic attractors have a Lyapunov spectrum witb one positive exponent and one negative exponent while the last one Fiacuteg 3(0 bas one positiacuteve and two negative exponents In Table 1 we also present the results of Heacutenon maps (flr))~(y+ I-axoacutexraquo recolllitrUcted as _ retum maps XH 1 versus X (see Fig 4(a))

Ue attrnctQr dimenslons ror ooven voltages of 35 V and 40 V are close to the dimensions of the HecircnOll map suggesting that they couJd have similar dynamiC$ The reconstrultrted attIactor for 45 V see

Table 1 LyapUJlQV exp~ and dirrlensfuns for experimcntll ch30tlc a~ and for two pairo (Ir atues ar Heacutenon map pomnnctm

Fig Drlven L)aplmOv Kaplrut-Yorkt Infonnation voltage IIpcetrn ~oo dimensioo (V) (ermt) (mor)

3(d) 3 +oll -08 1IJlJ 1)J

3c) 4bull +012 -06 123(1) 141) 31 +01-03 L68m 18(3)bull

Heacutenon -09 b LS50f +038 -238 116) 116(9) 1403 +042 - L61 12i~) U9(9)

) Oilcuhted wltb Eq ti)

(o) __321 ~

31)

3 24 221lt ~

22 24 2amp 2fj 30 32

T(ms)

Flg 4 (3) A iacutelippins eXlUlllie in lhe Heacutenon mtmctot The flip sarldlc IS tbe eroll5lns point or lhe daIDed line and lhe atIractm (056 056) (b) A flipp1ng ~ in lU ~W at1lactor fuT 3 dtivcn foltage cf 40 V

Fig 3(0 has similar prorue of the other two as shown in Fig 3(d) and 3(e) However its informashytion dimensiacuteon value is quite different ftom me omer two attrnctors (3(d) and 3(eraquo as well as diacuteffimm from tbe Heacutenon map values as shown in Table L In addition to the three exponents of the LyapllllOV spectra the dimension information dose to two is a cue that the attractor 3(0 could not be untangled in MO dimensions

7 A Thjaile Jc ~iI Physia Leitos A (Jfl (1000) ())(JOOII

I

I

The partition is represented oo OOl by dashed lines In Fig 5(8) 15 shown the Heacutenon map for a = 155 and b - 01 lhe partition used is a vertical line that separates the single branch (L) from the foIded one (R) that contruns ao unstable fiacutexed point and tbe Heacutenon symbolic plane afl is shown in Fig 5(A) From Fig 5(h) tbrough 5d) lhe experimentll atttactors are shown In those aSes the partition can not be done with a vertical linct 50 we looked for C1]Ves that eould separare Ih single hranch (1) from the folded ODe (R) The respcctive symbolic planes laquo3 atbullbullhown in Figo 5(1l) 5(C) and 5(j)

The pauero of lhe three experimental _bli planes resembles tOO Heacutenon symbolic plane Tbe best similarity OCCllrs for the driven voltage of 35 V whose symbo1ic plane has the same allowed and forbidden zones as the Heacutenon ones For higher wave amplitude some forbidden regions in the symbolic planes start to be visited (for example ex = 08 and 3 - 04 in Fig 5(Draquo howiacuteng lha lhe bubble forshymadoraquo dynamiacutecs is running away from the Heacutenon~ like dynamics In Fig 6 it is shown lhe bubble trains raisiog through the fluid to ilIustrate the ditference between the bubble profiles in the periodiacutec regimes lllld the Heacutenon-1ike one shown in Fig 3

4 eocluslo

We have used metriatl and topologica1 lt1ethods to characterize lhe dynamics ofair bubble fonnation We have observed that a gradual increase in the soillld wave amplitude results in a route to ehaas via period doubling W bullbullharncterized some chaalie beshyhaviar with lhe LyapuMV spelttra the Kaplan-Yorke dimension and the infonnatiacuteon dimension which 1ed 11$ to relate some results to a Heacutel1on~1ike dynamics a low dimensional dissipative system with stretching and fo1ding 1teacuteeacutebanism The Hecircnon map parameter values) (1 155 and b=Ol cbrrcsp(l11d to a more dissiacutepative system trum the classical values a = IA and b - 03 coberently mIa h bigh liquid vi

ity tbat parares li less sttuctured attracror The establisbment ofa fljp saddlc and the oonstruction of -ymbolic planes reinfotced 0Ui assumptiODS UsushyalJy two dimensional mappings are used as mudels o forced oscilintms _ore me bnbble formatia can be seen as an oscillator driven by a sound wave

Acknowledgements

This work was partially supported by Bmziliao agencies FAPESP CNPq and FINEP

Refcrences

t] A Tufuilc JC Sanorelli Phy~ca A 275 (2000) 336 (2) W Latrtcrbom U Parlitz J Acollocirct $o= Ato 84 (l9S8)

1975 (3] DJ Tritlon C Edgen Phys Fluids A 5 (t 993) 561 (4) LJ Minoro MF Schwarz RD La Nauze Phy Fluds 1

(1995) 891 [5] lU Li Y Moulinc L Choplin N Midoux lnt J Mnliphase

Flow 21 (1997) 173 [61 Me Rnzicka J Druacutetos J Zahradnik N Thomas Inl J

Muuumlphase Flow 23 (1997) 671 (7J WM Gonccedilalves RD rinlo jccedil ~orelli fhy$iccedila o 257

(1998)385 [81 C LcteUier G Gouesbct F Soufi JR Iluchlcr z KtlI1acirclh

Choos 6 (]996) 466 [9 Jc Sartorelli WM Gonccedilalves aD PlnlQlbys Rcv E 49

(199003963 [10] A TllfiIile RD Pinto WM Gonccedilalves JC SattOtelli

Phys Let A 255 (1999) 53 [tI] s EUoI DW Nychka AR Gallam LENNS a JlfOJpW to

eSUacuteil1lfle the dominant L)llpWJOv txponent afnoisy nonliucar sy5tcm5 fmm time scrics data lnstitule af Sta1i$itli Miacutemeo Srnes n 2235 (B~iA series n 39) Statisties f)q)artltletrt North CaroHca Sbtc Uniwniiy Raeigh 1992

[I2] R Hegget fl KanIz T Schrciblaquo Chaos 9 (1999 413 [131 r Ftdtrlclson JL Kaplan ED Yorlte lA VNte J

Olff Equat 49 (1983) 185 1141 KT Alligood TD amputt JA Yooo Chaos an introduoshy

Uumltm ttl ~ systems SpringuBerlin J991 [151 iL Zhao WM ZbeIlS Ccum Theot Phys 19 (1993) 11

-1

  • 1
  • 2
Page 3: Estudo da formação de bolhas em líquidos

I I

I euepPI1 esodsa epewe etjulw V I

I Ibull

~~

lh-~

-

I I I I I I I I I

Agradecimentos

Nos anos em que realizeIacute este trabalho vaacuterias pessoas colaboraram de muitas

formas para que ele se realizasse Expresso aqui meus agradecimentos agravelgumas delas

Ao meu orientador Prof Joseacute Carlos Sartore1li pela orientaccedilatildeo e o aRoio que me

foram dados durante todos esses anos

Aos meus colegas do LFNL Whilk Reynaldo Marcelo Thiago e Ciro pelo

companheirismo de todas as horas

Agrave Comissatildeo de Poacutes-Graduaccedilatildeo do Instituto de Fisica de USP na pessoa do Prof

Annando Corbani Ferraz

Aos funcionaacuterios do Departamento de Fiacutesica Geral Dirce Ivone Alexandre Jairo

Rubens e Marcelino

Ao grupo de Mecacircnica Estatiacutestica nas pessoas do Prof Salinas e do ProL Maacuterio

Joseacute de Oliveira

Ao Prof Iberecirc Luiz Caldas e seu grupo Murilo BatistaKai Renecirc Elinei Anselmo

e Tomaacutes

Agrave secretaacuteria Maacutercia todo o pessoal de Bibliacutenteca aos teacutecnicos do Laboratoacuterio

Didaacutetico como o Claacuteudio Faacutebio Diorusio Maneacute Marcos e Canela

A todos do Departamento de Materiais e Mecacircnica principalmente ao lran Ivete

Eliane Taeko Seacutergio Marcelo e Toninho

Aos meus pais~ Jamil e Alaiacutede que me conduziram durante boa parte da vida e me

educaram com muito carinho aos meus irmatildeos Elysacircngela Aristoacuteteles Linda e Susy que

satildeo muito importantes para mim

Aos meus sogros Roberto e Cleu~ que me amparam com o seu apoio carinhoso

amizade e suas preces Aos meus cunhados Lincoln e Adriana Midod pessoas pelas quais

tenho profunda admlraccedil_atildeo que tambeacutem me ajudam e ao meu sobrinho Tiago

Agradeccedilo ao Conselho Nacional de Pesquisa (CNPq) e agrave FAPESP pelo

importantiacutessimo apoio financeiro

Finalmente agradeccedilo apaixonadamente agrave minha adorada esposa Adriana

I I Neste Instante gigantesco vi milhocirces de

I atos agradaacuteveis e arozes nenhum me assombrou

I mais que ( fato de todos ocuparem o mesmO ponto

sem superposiccedilatildeo e sem transparecircncia O que meus olhos viram foi simultacircneo o que transcreverei seraacute sucessivo pois a linguagem (J ecirc

Jorge Luiacutes Borges O Aleph

Abstract

We have constructed an experimental apparatus to study the dynamics of the

fonnatiacuteon of air bubbles in a nozzle subrnerged in a waterglycerin solution inside a

cy1indrical tuba The time delay between successive bubbles was measured with a

laserphotodiode system

The results were interpreted by meaus of Chaos Thecry and it was observed

biacutefurcations chaotic behavior and sudden changes in a periodic regime as a functron of

decreasing alf flow rate issued through the nozzle

Besides bubbling regime tragraveI1sitions we also observed dynamical effects by

applying a sound wave tuned to the fundamental frequcncy of the air colurrm above the

liquiacuted of the bubble fOffiiation As a function of the sound wave amplitude we obtained

Iimit cycle fHp blfurcatioo chaotic behavior and synchronization of the bubbling with the

sound wave frequency

Applying metricaJ as well as toacutepologiacuteeacuteal characterization to some chaotic attractors

we could establish relation with a Heacutenon-like dynamics The Heacutenon-like behaviacuteot j5 a

particular case of thc dissipative two-dimenslonal circle~rnap dynamics and by varying the

I amplitude of a sound Wave we have observed featutes present in the cIacutercJe map dynamics

I such as

I Chaos

i I

I 1

transition from quasiperiodic to chaotic behavior period doubling cascade and

Resumo

Construiacutemos um aparato experiacutemental para estudar a dinacircmica da formaccedilatildeo de

bolhas de ar em um bico submerso em uma soluccedilatildeo de aacuteguaglicerina dentro de um tubo

ciliacutendrico O tempo entre bolhas sucessivas foi medido com um sistema laierfotodiodo

Os resultados experimentaiacutes foram interpretados usando a Teoria do Caos Foram

observados bifurcaccedilotildees comportamento caoacutetico e saltos no regime perioacutedico em funccedilatildeo da

diminuiccedilatildeo da vazatildeo do ar soprado no bico

Aleacutem das transiacuteccedilotildees dos regimes do borbulhamento noacutes tambeacutem observamos

efeitos na dinacircmica do borbulhamento quando aplicamos uma onda sorrora sintonizada na

frequumlecircncia fundamentai da coluna de ar acima do liacutequido onde as bolhas eram formadas

Em funccedilatildeo da amplitude da onda sonora noacutes obtivemos ciclo fimite bifurcaccedilatildeo flip

comportamento caoacutetico e sincronizaccedilatildeo do borbulbamento com a frequumlecircncia da onda

sonora

UtiJizando caracterizaccedilotildees meacutetrica e topoloacutegica em alguns atratores pudemos

relacionaacute-los com uma dinacircmica tipo-Heacutenon cujo comportamento eacute tun caso particular da

dinacircmica do mapa do ciacuterculo bidimenslonaL Observamos caracteriacutesticas presentes na

dinacircmica do mapa do ciacuterculo na formaccedilatildeo das bolhas variando a amplitude da onda sonora

tais como transiccedilatildeo para o Caos via quase~periodiacutecidade cascata de duplicaccedilotildees de periacuteodo

e Caos

Iacutendice

Iacutendice

L Introduccedilatildeo 1

2 Aspectos teoacutericos 6

21 Buxos e recorrecircncias 6

22 Mapas de retorno 7

23 O Mapa quadraacutetico 8

24 Dimensotildees 12

25 Expoentes de Lyapunov 12

26 O mapa de Heacutenon 14

27 Reduccedilatildeo de rufdo 16

28 Espectro de Fourier 16

29 O Mapa do Ciacuterculo 18

210 Transformaccedilatildeo de ponto fixo 24

211 Plano Simboacutelico 25

3 Aparato experimental 27

3 L O tubo borbulhador 27

32 Sistema de aquisiccedilatildeo 28

33 Medidor de vazatildeo 29

34 Controlador de vazatildeo 30

35 Vaacutelvula solenoacuteide proporcional 31

3 6 O bico borbu Ihador 32

37 O sistema pneumaacutetico 33

38 O sistema sonoro 33

39 O liacutequido 37

310 magens 38

31 L O Experimento da Torneira Gotejante 40

4 Resultados e AnaacuteIise 41

Jlldfce

bull

41 A tornejra gotejante 41

42 Dinacircmica das bolhas 45

42 I Formaccedilatildeo quase-estaacutetica 45

422 Formaccedilatildeo de bolhas com vazatildeo constante 46

423 Bifurcaccedilotildees 48

424 Veias liacutequumlidas 52

425 A estabilidade de dois fluidos sobrepostos 54

426 lnstabiliacutedade da superfiacutecie da bolha 56

427 Frequumlecircncia de borbulhamento 59

428 Duplicaccedilotildees de periacuteodo 62

429 Salto e coalescecircncia 62

4210 Antibolhas 69

43 A onda sonora e as bolhas 72

431 A fonnaccedilatildeo de bolhas perturbadas pelas ondas sonoras 73

432 Atratores do tipo Heacutenon 78

432A Caracterizaccedilatildeo meacutetrica 80

432B Caracterizaccedilatildeo topoloacutegica 81

432C Plano Simboacutelico 83

44 Oscilaccedilotildees forccediladas 85

45 Comportamento geral 87

46 Comparaccedilatildeo entre atratores 92

47 Modulaccedilatildeo do Paracircmetro de Controle 94

5 Conclusotildees 97

6 Referecircncias 100I

ApecircndicesI 1 Simulations in a dripping faucet experiment

2 Chaotic behavior in bulgtble fonnation dynamics

I 3 Heacuteuon-like attractor in air bubble formation

I I

I

lnwod~u~ccedilao~-~____________________~________ ___ 1

1 Introduccedilatildeo

Com o advento da Teoria do Caos [Li e Yorke 1975] foi proposto que eos

sistemas natildeo-lineares com poucos graus de liberdade poderiam gerar uma dinacircmica

muito complexa como comportamento perioacutedico quase-perioacutedico e caoacutetico~ que

dependeriam dos paracircmetros de controle do sistema Tais sistemas no estado caoacutetico se

tornam imprevisiacuteveis enquanto o tempo avanccedila devido a uma propriedade baacutesica dos

siacutestemas caoacuteticos conhecida como sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais Podemos

encontrar exemplos destes sistemas ao nosso redor como nas oacuterbitas planetaacuterias

sistemas quacircnticos [Bertelsen el ai 1999J variaccedilotildees climaacuteticas [Lorenz 1980)

torneiras pingando [Shaw 1984 Martien ct al~ 1985 Sartor1li el 011994

Gonccedilalves1996 Pinto et aI 2000] reaccedilotildees qwmicas abalos siacutesmicos e circuitos

eleacutetricos [Jackson 1995] Podemos tambeacutem encontraacute-los dentro de noacutes mesmos nos

impulsos nervosos [Rapp et ai 1990] pulsaccedilotildees cardiacuteacas reproduccedilatildeo celular e muitos

outros ritmos bioloacutegicos [Jaclrson 1995)

Seguindo uma sugestatildeo de Rotildesller [RossIer 1977] de que uma torneira pingaodo

poderia ser um exemplo do sistema de equaccedilotildees diferenciais que exibe comportamento

caoacutetico~ Shaw [Shaw~ 1984] desenvolveu o experimento da torneira gotejante que se

mostrou mais complexo que O sistema proposto por Rotildesller No Laboratoacuterio de

Fenocircmenos Natildeo-Lineares (LFNL) do Instituto de Fisica da Universidade de Satildeo Paulo

foi construiacutedo um experimento semelhante ao experimento da torneira gotejante de

Shaw [SartoreUi et al~ 1994] e esta experiecircncia permitiu observar uma enormei

variedade de comportamentos dinacircmicos1 tais como CrIacuteses [Grebogi et ai~ 1982l

I intermitecircncias duplicaccedilotildees de penado e oacuterbitas homocliacutenicas Para explicar taisI comportamentos foram desenvolvidas algumas teacutecniacutecas para anaacutelise das seacuteriesI

temporais [Gonccedilalves 1996 Pinto 1999] Desta forma o conhecimento adquirido com o experimento da torneira gotejante

I nos permitiu propor e desenvolver um experimento para estudar a dinacircmica da

formaccedilatildeo de bolhas em um liacutequido onde medimos o tempo da fonnaccedilatildeo de bolhas de

ar sopradas em uma mistura de aacutegua e glicerina utilizando as teacutecnicas semelhantes agraves

utilizadas no experimento da torneira gotejante Este experimento) que chamamos de

tubo borbulhador [Tufalle e Sartorelli 2000a Apecircndice 2 Tufuile e Sartorelli 2000b

Apecircndice 3] eacute de interesse tanto no estudo dos sistemas dinacircmicos quanto nas

aplicaccedilotildees em fluxos com duas fases [Ruzicka el ai 2000] Aleacutem dos efeitos da vazatildeo

I

2 1lntroduccedilatildeq

do ar na formaccedilatildeo de bolhas~ -estudamos os efeitos de uma onda sonora nas intervalos de

tempo da formaccedilatildeo de bolhas

A geraccedilatildeo de bolhas eacute importante em uma vasta gama de fenocircmenos onde temos

a dispersatildeo de um gaacutes num liquido desde ocasiotildees corriqueiras corno no preparo de

uma maionese ateacute em Engenharia Quiacutemica nos chamados equipamentos de mistura de

fases Para citar apenas algumas situaccedilotildees temos a criaccedilatildeo de bolhas em colunas de

borbulhamento vasos de fermentaccedilatildeo~ equipamentos de limpeza e extraccedilatildeo cavitaccedilatildeo

acuacutestica em bombas hidraacuteulicas e vaacutelvulas de controle reatores caldeiras e fijiacutedo em

transmissotildees de ondas sonoras no oceano [Clift e ai 1978]

Basicamente podemos ter quatro formas de formaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos

a) Soprando um gaacutes atraveacutes de um liquido

b) Quando a alta velocidade do liquido diminui a pressatildeo de rorma draacutestica (abaixo d

pressatildeo de vapor do liquido) e uma cavidade preenchida com vapor do liquido se

forma ocorrendo o processo que eacute conhecido como cavitaccedilatildeo

c) Quando um aquecimento local faz com que a pressatildeo de vapor do liacutequido ultrapasse

a pressatildeo local do liquido e uma cavidade de vapor se furma por ebuliccedilatildeo

d) A diminuiccedilatildeo brusca da pressatildeo no liacutequido faz com que gases dissolvidos fotrnem

bolhas no seu interior que ocorre quando abrimos uma garrafa de refrigerante ou

em situaccedilotildees mais etais~ como aacutes bolhas que causam embolia em mergulhadores

que sofrem descompressatildeo

Neste trabalho focalIacute7aremos o primeiro caso da formaccedilatildeo de bolhas principalmente

em liacutequidos viscosos usando uma abordagem da Teoria do Caos

O estudo da formaccedilatildeo de bolhas eacute interdisciplinar devido agraves aplicaccedilotildees encontradas

em Engenhruia Fiacutesica Quiacutemica Ocolisica Matemaacutetica Aplicada e Medicina Clifl e

colaboradores [Clift e ai 1978] publicaram o livro intitulado Bubble Drops and

Particles no qual eles procuram dar uma revisatildeo dos trabalhos envolvendo o

movimento de partiacuteculas em fluidos e a criaccedilatildeo e movimento de bolhas e gotas em

fluidos Esta eacute urna referecircncia muito comum nos trabalhos envolvendo formaccedilatildeo de

bolhas Nesta obra sobre bolhas gotas e partiacuteculas podemos ver que os principais

obstaacuteculos no estudo dos fenocircmenos que envolvem a interaccedilatildeo do estado liquido com o

estado gasoso satildeo a compressibilidade dos gases e a natildeo-linearidade intriacutenseca dos

fluidos) que levam muitas vezes a modelos empiacutericos e com validade de aplicaccedilatildeo

limitada A ideacuteia central quando se aplica a Hidrodinacircmica tradicional eacute a de se

caracterizar diferentes regimes de gotejamento ou borbulhamento~ como transiccedilotildees de

3

lt

L IntroduccediltJQ

instabilidades [Chandraekbar 198 I] Tais transiccedilotildees OCOITem com o aumento de um

paracircmetro caracteriacutestico do sistema como por exemplo o IlUacutemera de Reynolds

Utilizando princiacutepios variacionais procura-se explicar como ocorre um tipo particular

de mudanccedila de regime como a transiccedilatildeo do regiacuteme laminar para a turbultncia

A aplicaccedilatildeo da Teoria do Caos a estes sistemas nos daacute novas perspectivas de

anaacutelise e aumenta nossa intuiccedilatildeo com relaccedilatildeo aos fenocircmenos complexos observados A

furmaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos viscosos e sua relaccedilatildeo com comportamento caoacutetico jaacute

foram relatados em trabalhos de Tritton [Tritton ot ai 1993] e Mittoni [Mittoni oi ai

1995] No primeiro trabalho um medidor de fluxo anemomeacutetrico que consiste de um

resistor sensiacutevel ao fluxo de um fluido que passa sobre ele~ foi colocado proacuteximo do

bico onde as bolhas eram fonnadas e infonnava sobre a fonnaccedilatildeo das mesmas_atraveacutes

da variaccedilatildeo da tensatildeo sobre o resistor Com este sinal de tensatildeor Tritton construiu seccedilotildees

de Poincareacute e atraveacutes delas ele observou duplicaccedilatildeo de penodo no tempo entre bolhas

e tambeacutem obteve algumas seacuteries de sinais com padrotildees nacirco-perioacutedicos Tritton

classificou os padrotildees de comportamento mais simples como Caos Fraco~ e os de

comportamento mais complexo como Caos Forte_ O trabalho eacute inovador no sentido de

que eacute a primeira vez que teacutecnicas deste tipo satildeo utilizadas para o estudo da formaccedilatildeo de

bolhas Mas as criticas com relaccedilatildeo a este trabalho levam em conta que o meacutetodo de

mediccedilatildeo eacute invasivo~ isto ~ a formaccedilatildeo das bolhas eacute afetada pelo medidor pois a

caracterizaccedilatildeo do comportamento caoacutetico fOI feita de modo subjetivo No segundo

trabalho Miltoni e colaboradores [Mittoni cl aL 1995J utilizaram como elemento

sensor da formaccedilatildeo de bolbas num tubo borbulhador um transdutor de pressatildeo obteve

seacuteries de sinais caoacuteticos atraveacutes de teacutecnicas natildeo-invasivas e aplicou a caracterizaccedilatildeo

meacutetrica sobre elas obtendo expoenles de Lyapllllov positivos (algoritmo de Wolf [Wolf

ct ai 1985D

Como exemplo do interesse da Engenharia Quiacutemi peJa formaccedilatildeo de bolhas

temos o grupo da Universidade do Tenessee [Finney 2000] nos Estados Unidos

denominado CRG abreviatura de Chaos Research Gr01lp que estuda desde 1992 entre

outros siste~ a dinacircmica de uma coluna de bolhas ascendente formada por um bico

Segundo eles o principal foco da pesquisa eacute explorar a rota de duplicaccedilatildeo de periacuteodo

ateacute o caos e a natureza espaccedilo-temporal das interaccedilotildees entre as bolbas aleacutem de

focalizar as aplicaccedilotildees de teacutecnicas de controle de Caos

Aleacutem deste grupo~ foram encontrados outros trabalhos envolvendo engenheiros

quiacutemicQs estudando formaccedilatildeo de bolhas atraveacutes anaacutelise de seacuteries temporais Li e

I

1

I _J__mmm__u~_________________~ 4

colaboradores [Li et aI 1997] estudaram a coalescencio entre bolhas atraveacutes do

espectro de potecircncias dos dados obtidos experimentalmente Ruzicka e colaboradores I

[Ruzicka et al~ 1997]~ focalizaram sua pesquisa na transiccedilatildeo do estado de

borbulhamento para o jateamento do ar em liacutequidos Eles encontraram um movimento

complexo das bolhas envolvendo disparos da vazatildeo do ar mudando do regime de

borbulhamento para o jateamento do ar no liacutequido Eles classificaram os disparos

utilizando a tcrnrinologia da Teoria do Caos como uma intermitecircncia do tipo lI

Os meacutetodos de anaacutelise das seacuteries temporaiacutes satildeo baseados na teacutecnica de

reconstruccedilatildeo do espaccedilo de reses a partir de uma coleccedilatildeo de dados conhecida como seacuterie

temporal e podemos c1assificaacute~los como meacutetodos meacutetricos e topoloacutegicos Basicamente

temos uma anaacutelise das propriedades meacutetricas desta reconstruccedilatildeo devido aos estudos

desenvolvidos por Pkanl [packard el 01 1980] Maliacutec [Maliacutee 198 I] e Takens

[Takens 1981J Aleacutem disso temos a caracterizaccedilatildeo atraveacutes de expoentes de Lyapunov

com um algoritmo muito popular desenvolvido por Wolf [Wolf el aI 1985] para o

caacutelculo destes expoentes para estas seacuteries Aleacutem do estudo da estabilidade das seacuteries

temporais~ tambeacutem eacute associado a elas o conceiacuteto de dimensatildeo Femat e colaboradores

[Fernat et ai 1998] acompanharam a evoluccedilatildeo de seacuteries temporais provenientes de

sensores capacitivos em um experimento de borbulhamento em uma coluna vertica1

eles obtiveram os expoentes de Lyapunov e fizeram anaacutelises espectrais dos dados

referentes agrave bolhas que se eJevavam na coluna A caracterizaccedilatildeo topoloacutegica de dados

experimentais de sistemas natildeo--lineares usando dinacircmica simboacutelica foi feita pOI

Gonccedilalves e colaboradores para o experimento da torneira gotejante [Gonccedilalves et aI

1998] Pinto [pinto ef al 2000) aplicou o estudo das variedades invariantes para

caracterizaccedilatildeo da Cataacutestrofe do Ceacuteu Azul tambeacutem no experimento da torneira

got~antegt assim como algoritmos de localizaccedilatildeo de Oacuterhitas Perioacutedicas Instaacuteveis (QP)

de So [So el ai 1996]

Neste trabalho observamos as condiccedilotildees que levam aos diferentes regimes de

borbulhamento e classificamos estes regimes de acordo com as teorias dos sistemas

dinacircmicos assim como registramos algumas observaccedilotildees intrigantes na evoluccedilatildeo destes

sistemas como por emplo o aparecimento de cmtibolhas [Stong 1986] que satildeo

basicamente cascas esfeacutericas de ar aprisionadas dentro do liacutequido Colocando oacuteleo junto

com aacutegua no sistema do tubo borbulhador~ tambeacutem registramos fi existecircncia de veias

liacutequidas que satildeo colunas daacutegua sustentadas por bolhas dentro do oacuteleo

5

I I i

1

I

I

J lntro50

Veremos tambeacutem o tubo borbulhador como um novo exemplo da classe dos

sistemas caoacuteticos devido agrave sua relaccedilatildeo com o mapa hidimensional do ciacuterculo (Argyris

et a~ 1994] Muitos sistemas fiacutesicos caracterizados por pelo menos duas frequumlecircncias

exibem um comportamento chamado de sincronizaccedilatildeo ou tambeacutem chamado de

travamento de frequumlecircncias Outro comportamento muito frequumlente na associaccedilatildeo de

osciladores eacute o comportamento quase-perioacutedico que pode ser representado pela

associaccedilatildeo de dois osciladores funcionando com a relaccedilatildeo entre as frequumlecircncias dada por

um nuacutemero irracional Todos esses comportamentos aparecem naturalmente no

experimento do tubo borbulhador e aleacutem disso~ este experimento nos permite explorar a

interaccedilatildeo entre os sistemas natildeo-linearesgt e como ocorrem as translccedilotildees entre os regimes

perioacutedico e ca6tico na emissatildeo de bolhas sujeitas agrave uma onda sonora

6

I I

I

I

2 Aspectos Teoacutericos

2 Aspectos teoacutericos

Seacuteries temporais nao-lineares podem ser analisadas com meacutetodos meacutetricos e

meacutetodos topoloacutegicos O meacutetodo meacutetrico eacute multo proacuteximo das noccedilotildees intuitivas de

distacircncia aacuterea volume e dimensatildeo que temos Por este meacutetodo podemos dimensionar e

comparar objetos num detenninado espaccedilo Tambeacutem podemos analisar a estabilidade

de um sistema com base no valor de meacutedias temporais da convergecircncia ou divergecircncia

da vizinhanccedila de um ponto destes objetos chamados de atratores

O meacutetodo de anaacutelise e carncterizoccedilatildeo topoloacutegica eacute um dos meios mais

importantes de investigar problemas natildeo lineares Este meacutetodo considera a seacuterie

temporal natildeo corno uma funccedilatildeo expliacutecita do tempo mas como curvas no espaccedilo de

falies que satildeo soluccedilotildees do sistema dinacircmico Descobertas consideraacuteveis nos aspectos

qualitativos e algumas infonnaccedilotildees quantitativas podem ser obtidas atraveacutes dos

atratores reconstruiacutedos

Os meacutetodos empregados neste trabalho foram obtidos da literatura ou

desenvolvidos noacute LFNL A finalidade da utiacuteliacutezaccedilatildeo de tais meacutetodos eacute testar e justificar

algumas hipoacuteteses feitas para os dados obtidos com tubo borbuIhador e para a torneira

gotejante Para evitar redundacircncia da derivaccedilatildeo dos meacutetodos amplamente encontrados

em livrostexto e artigos as derivaccedilotildees dos meacutetodos seratildeo simplificadas Para maiores

informaccedilotildees dos algoritmos empregados poderatildeo ser consultados os trabalhos de

Hegger Kantz e Schreiber [Hegger et aI 1999) Ellner [EIlner cf aI 1992) So [So Cf

aI 1996) e Gonccedilalves [Gonccedilalves ef aI 19981

21 Fluxos e recorrecircncias

Os sistemas dinacircmicos detenniniacutesticos satildeo descritos pela evoluccedilatildeo temporal de

um subconjunto A em um espaccedilo euclidiano d~djmensional Eles podem ser expressos

por exemplo por equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias [Sotomayor 1979]

X=f(f) (21)

ou com um tempo discreto t = n J t por mapas [Collet eacute Eckmann 1980]

x n+ =f(x) (22)

Uma seacuterie temporal eacute uma sequumlecircncia de observaccedilotildees igualmente espaccediladas no

tempo Uma seacuterie de eventos eacute uma sequumlecircncia de intervalos de tempos entre os quais

ocorreu um determinado evento

2 ~lectQsTeoacutericos 7 ~~~~~----

22 Mapas de retorno

Uma seacuterie de eventos da forma (x Xl ) natildeo eacute exatamente o espaccedilo

de fases do sistema dinacircmico sendo necessaacuterio empregar alguma teacutecnica de

reconstruccedilatildeo para revelar a estrutura muIti~dimensional desta seacuterie Um dos mais

importantes tipos de teacutecnica de reconstruccedilatildeo do espaccedilo de fases eacute o mapa de retomo ou

tambeacutem chamadQ de coordenadas de atraso Vetores no espaccedilo de imersacircn satildeo criados

a partir de atrasos na seacuterie O conjunto das duplas (llt XjH) forma o mapa de primeiro

retomo~ e o conjunto das duplas (Xj Xjt2) forma O mapa de segundo retomo e assim por

diante O nuacutemero de elementos destes vetores daacute a dimensatildeo de espaccedilo de imersatildeo O

teorema de imerslio de Talcens [Talcens 1981] estabelece que se uma medida eacute

dinamicamente importante para o sistema ela conteacutem toda informaccedilatildeo contida neste

sistema dinacircmico

Em modeIos matemaacuteticos de sistemas dinacircmico~ a evoluccedilatildeo do processo eacute

vIacutesualizada no espaccedilo de fases cuja dimensatildeo eacute dada pelo nuacutemero de variaacuteveis

independentes Em experimentos o espaccedilo de fases eacute usualmente desconhecido a

princiacutepio e frequumlentemente uma uacutenica variaacutevel escalar do sistema pode ser medida O

meacutetodo mais comum de reconstruccedilatildeo do espaccedilo de fase a partir de uma seacuterie temporal

foi proposto por Packard Crutchfield Farmer e Shaw [packard et aL 1980] para se

analisar os dados do experimento da torneira gotejante A dinlhnica de uma seacuterie

temporal x em sistemas dissipativos eacute completamente descrita pelo atrator em um

espaccedilo de fases d-diacutemensiona)~ lRd~ com D sendo a dimensatildeo do atrator Genericamente

qua1quer atrator eacute completamente envolvido no espaccedilo de fases por sua proacutepria hacia de

atraccedilagraveo~ consequentemente todos os movimentos transientes inicializados em uma

I pequena vizinhanccedila do attator~ movem-se assintoticamente na direccedilatildeo do atrator Os

I atratores podem ser perioacutediacutecos~ quase-perioacutedicos e caoacuteticos

Neste trabalho os dados experimentais obtidos satildeo apresentados em mapas de

primeiro retorno bjdimensionals cujos elementos das duplas (Tnbull Tnt1) satildeo intervalos de

tempo entre duas bolhas consecutivas Tambeacutem seratildeo apresentados mapas de primeiro

retorno tridimensionais atraveacutes das tripla (Tn Tn+ h Tn+2) Outras representaccedilotildees

necessaacuterias seratildeo especificadas no local onde estas forem utilizadas

8

I -

2 Aspectos Teoacutericos

23 O Mapa quadraacutetico

As princiacutepals caracteriacutesticas dos sistemas dinacircmicos satildeo observados e analisados em

mapas unidimensionais como no mapa quadraacutetico do tipo

f(x) x -a (23)

onde Xfl eacute a variaacuteveI iterada do mapa e a eacute o paracircmetro de controle O diagrama de

bifurcaccedilotildees deste mapa pode ser visto na Fig 21

X o

-1

~~~~~-~~~~----------F~---

-shy

1~ -05 00 05 10 15 20

a Figura 21 Bifurcaccedilacirco obtida com uma funccedilatildeo oonvcxa a linha tracejula eacute o primeiro ponto fixo inslaacutevel que surge numa bifurcaccedilatildeo tipO sela-noacute

Neste diagrama vemos os valores possiacuteveis de x para uma variaccedilatildeo do paracircmetro

de controle a entre -Q25 e 20 Os valores do mapa para a entre -025 e 125 podem ser

calculados analiticamente impondo a condiccedilatildeo de que o valor da variaacutevel iterada

anterior seja igual ao valor da variaacutevel iterada seguinte

xx 1 -a (2-4)

que nos fornece dois pontos fixos Xf

x = [l+(l+4a)1f2 (25)

lt = [1- (1 +4a)]I 2_ (25b)

9 2 Aspectos Teoacutericos

A estabilidade dos pontos fixos de qualquer mapa unidimensioual eacute obtida com

as condiccedilotildees

Ifl(Xr ~ lt 1gtxreacute um ponto fixo estagravevel (260)

If(xr)1 gt1gtxreacuteum ponto fixo instaacutevel (26b)

Deste modo para valores de a acima de -025 obtemos xJ1 instaacutevel~ enquanto xp

eacute estaacutevel ateacute o paracircmetro a chegar a 075 Para a igual a -025 no mapa da equaccedilatildeo (23)

experimenta uma bifurcaccedilatildeo sela-lIoacute A linha tracejada na Fig (21) eacute a trajetoacuteria

instaacutevel xfl e o ramo estaacutevel Xp estaacute simetricamente abaixo ateacute O valor de a igua1 a 075

Quando o paracircmetro de controle a atinge O~75 as trajetoacuterias do mapa sofrem

uma mudanccedila de oomportamento Nesse caso a partir deste valor do paracircmetro de

controle a oacuterbita oscila entre dois valores de x

X f(xf ) (270)

Xf4 fx) (27b)

I

x

2 2

1 1

bullbull

i

o 1lt gtrc zA

-1 I i--=

1

o

-1

t t Xp __

J

Xp l-shy

~t i~

tr~

-2+ordf b ~

-2 00 05 10 15 00 05 a 10 15 a

Figura 22 (a) Detalhe do diagrama de bifurcaccedilamps do mapa quadraacutetico a linha tracejada representa o poacutento

fum instaacutevel da bifurcaccedilatildeo selallOacute (b) Bacia de atraccedilatildeo mostrando a estabilidade de algumas regiotildees

mostradas em (al neste graacutefico as linhas vermelhas representam os pontos fixos instaacuteveis enquanto que as

- linhas pretaS os pontos fixos estaacuteveis Podemos emnparar a troca de estabilidade de xp mGSlrado em (b) para

a 075 oom o diagrnma mostrado cm (u) assim como- o mesmo tipo de troca para xp c xp pata a = 125

(linha pontilhada)

1

____________________________________ 102 Aspectos Teoacutericos

Para compreendermos o que ocorre agora utiacutelizando os criteacuterios de estabilidade

(26) e para calcular os novos pontos fixos temos que recorrer a uma composiccedilatildeo do

mapa com ele mesmo da seguinte forma

g(x) =f(f(x)) =x - 2ax + - a (28)

que possui quatro pontos fixos sendo dois deles os pontos fixos das equaccedilotildees 27(a)shy

(b) agora ambos instaacuteveis e dois outros estaacuteveis dados por

x =l+ll+4(a-I)2 (29)

x =l-[1+4(a-I)12 (29b)

Na Fig 22(a) vemos o diagrama de bifurcaccedilotildees no periacuteodo 2 e no graacutefico ao

lado (b) representamos as oacuterbitas jnstaacuteveis (ramos vermelhos) e os ramos estaacuteveis

(ramos pretos) As setas indicam a atraccedilatildeo ou a repulsatildeo dos pontos fixos Na Fig 22(a)

quando a=12S podemos notar que na sequumlecircnCIacutea de bifurcaccedilotildees aparece o periacuteodo 4

Quando estes quatro pontos fixos se tornam instaacuteveis um periacuteodo 8 aparece e o

processo de duplicaccedilatildeo de perfodo se repete indefinidamente para faixas de a cada vez

mais estreitas ateacute chegar no valor Umiacutete a = 140113bullbull que pode ser visto na Fig 23

A partir deste valor do paracircmetro de controle os pontos no mapa visitam bandas

perioacutedicas que se alargam e se sobrepotildeem aos pares diminuindo o nuacutemero de bandas

num processo chamado de bifurcaccedilatildeo reversa Nesta sobreposiccedilatildeo os valores de x

evoluem periodicamente com relaccedilatildeo agraves bandas mas de modo erraacutetico dentro de cada

uma delas e tal movimento eacute chamado de caoacutetico

No diagrama da Fig 23 apoacutes O encontro das duas bandas caoacuteticas

temos a ocorrecircncia de janelas perioacutedicas de periacuteodos iacutempares COm uma janela maior de

periacuteodo 3 (a l75) e outra menor de periacuteodo 5 relacionadas com bifurcaccedilotildees

tangentes A existecircncia do periacuteodo 3 eacute o principal argumento para se utiacutelizar um

teorema que estabelece a existecircncia de todos os outros periacuteodos maiores O Teorema de

Sharkovskii [Jackson 1995] nos daacute um esquema natildeo usual de ordenaccedilatildeo para os

nuacutemeros naturais tal que para cada nuacutemero natural n a exiacutestecircncia de um ponto de

penodo II implica na existecircncia de oacuterbitas perioacutedicas de todos os periacuteodos maiores na

ordenaccedilatildeo do que n Pelo teorema de Sharkovskii a existecircncia de uma oacuterbita de

periacuteodo 3 num mapa unidimensional natildeo-monotocircnico com apenas um maacuteximo impHca

na existecircncia de todos os periacuteodos_

2 Aspectos retiFicas __ ~___li

o teorema de Sharkoyskii explicitamente eacute [Jackson 1995J

Seja T o conjunto ordenado 3-oacuteltJ-lt lt23lt25-lt27lt lt213425-lt227-lt

-1Jlt4lt2-lt1 Seja lmiddot uma aplicaccedilatildeo suave do intervalo unitaacuterio nele mesmo tal que

f(O)=f( J)=0 que possui apenas um ponto critico Se m-lt1l relativo agrave ordem no conjunto

1 eftem a menor oacuterbita de periodo m entatildeo f tem uma oacuterbita de periacuteodo n

~----~--------------~~--~i BandIs atfaINas t PArimo Todosos perlodoo ~ bull 1 - - ~i I iacuteltJirrdnuirdon) I

Paf~S estlWeis Ilo(Mmenkl Caos penodos

l 2 __ I mi-pelloacutedlco rJlllllffls 3 bull

1

x O

-1

I Caos

I ~~-L-__~____~~~~plusmn==~~~~~~~~II

14 16 18 20

a

Figura 23 O comportumento dinacircmico geral do mupa quadraacutetico com a cascata de duplicaccedilotildees de periacuteodo (alt14) Pnrn a gt 140l1 ocorre Caos com a diminuiccedilatildeo das bandas atrativas Apoacutes ti janela de periacuteodo 3 temo tooos os periacuteodos como propotildee o teorema de SharkovskiL

l

12 2 Aspectos Teoacutericos

24 Dimensotildees

Um aspecto baacutesiacuteco de um atrator obtido a partir de um sistema dinacircmico eacute a sua

dimensatildeo pois O comportamento do sistema eacute caracterizado pejo atrator Apoacutes um

transiente alguns tipos de movimento desaparecem devido ao amortecimento e o

estado do sistema se aproxima de um atrator no qual o nuacutemero de variaacuteveis

independentes que detennjnam a dimensatildeo do atrator eacute reduzido consideravelmente

Os atratores podem ter a dimensatildeo de um ponto linha ou plano ou podem ser

extremamente complicados e frequumlentemente possuem estruturafractal [Alligood et al

1997] Podemos medir essafractalidade atraveacutes de dimensotildees generalizadas

Associamos a dimensatildeo de um objeto com o nuacutemero de vetores ortonormais que

podem ser sobrepostos ao objeto Embora seja muito importante esta associaccedilatildeo de

vetores nos restringe sempre a dimensotildees inteiras mas existem outros conceitos de

dimensatildeo entre eles a dimensatildeo de Hausdaif(Df ) [AlIigood et aI 1997] que eacute baseada

na ideacuteia de um comprimento caracteriacutestico R em um conjunto de N elementos

D =logN N_RDt (210)I JogR

A dimensatildeo de lnfonnaccedilatildeo (Di) [AUigood et ar 1997] leva em conta as

frequumlecircncias de visitaccedilatildeo relativas e por isto eacute mais interessante para slstemas fiacutesicos

Muitas outras definiccedilotildees de dimensatildeo existem mas para os objetivos deste trabalho

utilizaremos apenas as dimensotildees citadas anterlonnente e a dimensatildeo de Kaplan-Yorke

(DKy) [Argyris ct ai 1994]

Aleacutem disso a determinaccedilatildeo do valor de uma dimensatildeo a partir dos dados

experimentais de um processo dinacircmico indica qual eacute a dimensionalidade do espaccedilo de

fases do sistema dinacircmico matemaacutetico que deve ser usada para modelar o sistema

25 Expoentes de Lyapunov

Os sistemas caoacuteticos exibem sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais Esta afirmaccedilatildeo

tem sido utilizada para resumir uma das principais propriedades dos sistemas caoacuteticos

que pequenas diferenccedilas nas condiccedilotildees iniciais satildeo magnificadas devido agrave dinacircmica do 1

I

13 2 Aspectos TeoacuterirIJS

sistema de tal modo que em um tempo finito o sistema percorre estados totaJmente

diferentes A noccedilatildeo de sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais eacute feita de modo mais acurado

atraveacutes do expoente de Lyapunov amp[AHigood ef al 1997] Nonnalrnenre sistemas

contendo pelo menos um expoente de Lyapunov positivo satildeo considerados caoacuteticos Isto

significa que trajetoacuterias partindo de dois pontos muito proacuteximos natildeo importando quatildeo

pequena seja a distacircncia entre elas iratildeo evoluir de modo diferente e se afastaratildeo

exponencialmente uma da outra com o tempo

Podemos obter o expoente de Lyapunov maacuteximo [Wolf et aibull 1985] sem a

construccedilatildeo expliacutecita de um modelo para a seacuterie temporal Uma caracterizaccedilatildeo confiaacutevel

com expoente positivo exige que sejam garantidas a independecircncia dos paracircmetros de

imersatildeo e uma lei de crescimento exponenciaL

Existe tambeacutem o caacutelculo do espectro de expoentes de Lyapunov [Hegger e

Kantz 1999] onde o ingrediente essencial eacute a estimativa de Jacobianas locais ou seja

uma dinacircmica liacutencanzada que regula o crescimento das perturbnccedilocirces infinitesimais

Para uma melhor compreensatildeo dos sistemas dinacircmicos uma concHiaccedilatildeo entre

caracteriacutesticas relativas agraves meacutedias temporais e espaciais dos atratores foi feita atraveacutes da

teoria ergoacutedica [Argyris et aI 1994] Como o expoente de Lyapunov caracteriza a

dinacircmica do atrator atraveacutes de meacutedias temporais da divergecircncia ou convergecircncia de

uma vizinhanccedila com relaccedilatildeo a um ponto da oacuterbita o caacutelculo dos expoentes de

Lyapunov permite certas comparnccedilotildeei como a conjectura de Kaplan-Yorke [Argyris ct

al 1994] que estabelece que a dimensatildeo de Informaccedilatildeo deve coincidir com dimensatildeo

de Kaplan-Yorke DKy dada por

Lei ~Ik -- (211)

D Kf bull IEr+1

onde k eacute um inteiro maacuteximo tal que a soma dos k expoentes maacuteximos seja natildeo-negativa

e ti eacute uacute i- eacutesimo expoente de Lyapunov Tal conjectura foi verificada para uma boa parte

dos sistemas dinacircmicos dissipativos de baixa dimensacirco [Hegger e Kantz 1999]

2 Aiacuteipectos Teoacutericos 14

26 O mapa de Heacutenon

o mapa de Heacutenon eacute um mapa bidimensional do tipo

XH_I =l-ax+ Y1Igt (212)

Y-+l = bX1l

Os pontos fixos do mapa satildeo dois e podem ser obtidos por

x = [(b-I)plusmn~(1-b) +4a]2a ybx (213)

e para cada um desses pontos fixos temos dois autovalores associados Agrave

I Acirc =-axplusmn~(ax) +b (214)

desta forma com esses dois autovalores podemos estudar a estabilidade de cada ponto

I a=14 b=O31

bullbull 2

gt- ~oo

-04

middot10 -05 M M 10

x

Figura 24 Atrator de Heacutenon caoacutetico reconstruiacutedo nas variaacuteveis x~ e y para a=14 e b=O3

fixo como foi feito

para 0lt mapas

unidimensionais Um

atrator de Heacutenon

caoacutetico bem

conhecido eacute mostrado

na Fig 24 O

coeficiente a estaacute

relacionado com o

estiramento do mapa

e coeficiente b estaacute

relacionado com a

contraccedilatildeo da aacuterea do

mapa de Heacutenon e este

coeficiente eacute o

determinante da matrizjacobiana J do atrator de Heacutenon com o siacutenal negativo

- 2ax 11 deU = b q=-b (215)

1

15 2 ASlClOS TeoacuteriCC$

Na Fig 25 vemos as duas variaacuteveis do mapa nos graacuteficos de x liS a e y vs a~ onde

podemos notar a oontraccedilatildeo da variaacutevel y por b na Fig 25(b) em relaccedilatildeo agrave variatildevel que

aparece na Fig 25() onde temos tambeacutem os pontos fixosxJ2 da equaccedilatildeo (213)

(a)

gtlt

x

(b) J

~ Contraiacutedo pelo

1 fator b 1

04 06

a

Figura 25 Diagramas de blfunaccedilotildecs do atI3tor de Heacutenon para b=O3 em (a) a variaacutevel x e seus dois pontos lOO)S x na cor vente e xs na corverme1ba calculados pela equaccedilsecto (213) sobre a seacuterie e em (b) a variaacutevel y contraiacuteda pelo1ator b

Para o caso do diagrama de bifurcaccedilotildees da Fig 25 determinante de J eacute constante

e negativo det J = - 03 para todos os valores de a

Os expoentes de Lyapunov do mapa de Heacutenon 81 e amp1 estatildeo relacionados com a

matriz jaeobiana pela relaccedilatildeo de contraccedilatildeo [Argyris et ai 1994]

+lt ~ In Idet(J) I= In 03 ~ -12 (216)

Esta relaccedilatildeo representa as propriedade de estiramento Si e dobra E2 atuando

uniformemente Idet(J) I~ 03 dentro do espaccedilo de rases para estabelecer o atrator Para

a=lA e b=O)3 temostj ~ 042 eE1t -1~62 O valor SlgtO nos daacute um atrator caoacutetico

16 2 Aspectos Teoacutericos

27 Reduccedilatildeo de ruiacutedo

A filtragem de sinais obtidos a partir de sistemas natildeo~lineares exige o uso de

meacutetodos especiais [Hegger e Kantz 1999J jaacute que os filtros lineares podem interagir

desfavoravelmente com a estrutura natildeo-linear Sinais irregulares de fontes natildeo-lineares

exibem bandas de espectro realmente largas e natildeo existe justificativa para identificar

qualquer componente no espectro de frequumlecircncias como ruiacutedo Entretanto existem certas

dependecircnciacuteas geneacutericas entre as medidas x que criaratildeo vetores x para preencher o

espaccedilo de imersatildeo d~diacutemensionaJ de um modo natildeo homogecircneo Meacutetodos de filtragem

linear procuram identificar as direccedilotildees principais da distribuiccedilatildeo no espaccedilo de fases e

fazer projeccedilotildees sobre elas A reduccedilatildeo de ruiacutedo natildeo-linear leva em conta que sinais natildeo~

lineares formaratildeo estruturas curvas no mapa de retomo A principal suposiccedilatildeo do

algoritmo utilizado eacute que ele deve ser aplicado para sistemas de baixa dimensatildeo (D-3)

28 Espectro de Fourier

Outro criteacuterio para se analisar seacuteries temporais eacute atraveacutes da decomposiccedilatildeo da

seacuterie numa integral de Fourier [Argyds et aI 1994] Considerando um sinaljfO a

expressatildeo pode ser expressa na forma

+shy

(1)=_1 JF(fraquo)edW (217)2

onde

~

F(w) = Jf(t)e-iMdt (218)- eacute definida como a transfonnada de Fourier do sinal f(t)

O espectro de potecircncia P(m) do sinal eacute dado a partir de F(m)

P(m)= IF(m) I = F(m)P(m) (219)

COm fgt(m) sendo o complexo conjugado de F( (O)bull

17

1

Xj 10

1deg1 -I Igt1J 00 0$ IC

2 Aspectos T~6ricos

logo -shy

1() I P(

j 14J

X Q)

Figura 26 _(a) Periacuteodo 4 do mapa de Heacutenon e em (A) o seu espectro de potecircncias (b) atrator de Heacutenon lUl regiatildeo caoacutetica e em (B) seu respectivo espectro de potecircncias moslIatldo uma banda larga

Na Fjg 26 temos dois atratores obtidos a partir do mapa de Heacutenon em (a) o

comportamento de periacuteodo 4 e em (A) o espectro que nos mostra o comportamento

perioacutedico com os dois picos indicando uma duplicaccedilatildeo de periacuteodo caracteriacutestica do

atrator de Heacutenon Para os paracircmetros a=155 e b=Ol temos um atrator de Heacutenon no

regime caoacutetico em (b) e seu espectro de banda larga em (B)

Frequumlentemente atratores caoacuteticos apresentam banda larga por isso este eacute um

meacutetodo muito comum na identificaccedilatildeo do comportamento caoacutetico Aleacutem disso a anaacutelise

da evoluccedilatildeo dos sistemas dinacircmicos atraveacutes de seus espectros pennite definir a rota

[Argyris eJ ai 1994] que leva o sistema ao Caos poiacutes a evoluccedilatildeo das dupHcaccedilotildees de

periacuteodo vista no mapa quadraacutetico e que tambeacutem acontece no mapa de Heacutenon eacute apenas

uma dessas rotas Na proacutexima seccedilatildeo veremos um outro mapa que nos mostra esta e

outras rotas para o Caos

18

I I I

Capiacutetulo2 Aspectos Teoacutericos

29 O Mapa do Ciacuterculo

o mapa do CIacuterculo modela a interaccedilatildeo entre um oscilador IImestre quando aplicado

a um segundo oscilador natildeo-linear [Argyris et aI 1994 Jackson 1995J A dinacircmica eacute

governada por dois paracircmetros de controle a razatildeo entre as frequumlecircncias dos osciladores

desacoplados n e a intensidade de acoplamento K

K e +1 == BII +Q--sen2nBn +brn (mod I) n 2 (220)K

rn+l brn - 20 sen 2nBn middot

Aqui 01 eacute o acircngulo de um rotor riacutegido logo apoacutes o eneacutesirno impulso e rn eacute proporcional agrave

velocidade angular deste rotor sujeito a um impuiso externo do oscilador mestre e b estaacute

relacionado com o amortecimento

00 05 15K

~iacutegura 27 Diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo para b=Ol e =0725

01

-01

19 Capiacutetulo2 Aspectos Te6ricos

Na figura 27 podemos ver a seacuterie temporal do mapa do ciacuterculo Este tipo de mapa

nos daacute outro tipo de rota para o caos denominada de rota para o caos via quaseshy

periotlicidade Temos basicamente o aumento do raio de um ciclo limite quase-perioacutedico

intercalados com travamentos de frequumlecircncia e comportamento ca6tico

Para sistemas altamente diacutessipativos o termo b se anula e o mapa pode ser estudado

na forma puramente angular

K 0M =0 +0- 2JI seo(27l0) (221)

Um conceito importante para a anaacutelise do mapa do ciacuterculo que foi introduzido por Poincareacute

[Argyris el ai 1994 Alligood aI 1997] eacute nuacutemero de rotaccedilatildeo W

() - ()oW(KO) = lim n (222)

n~iOO n

que eacute a meacutedia da rotaccedilatildeo do oscilador forccedilado por ciclo

As propriedades de estabilidade para valores de Kltl para a equaccedilatildeo (221) seguem

a partir da teoria de estabilidade liacutenear para mapas como foi feito para o mapa quadraacutetJco

d~f(eo 10 =11- K cos(27lB)I (223)

que eacute menor do que um se fi lt114 e eacute maior do que 1 se 0gt114 ou se 8gt314 Para um ponto

fixo estaacutevel Os temos

lim~=es=gtw=o (221) nshy

Substituindo na equaccedilatildeo 221 obtemos a relaccedilatildeo entre K e n dada por

Q=+K (222)- 2JI

Estas relaccedilatildeo entre K e Q nos daacute o espaccedilo de paracircmetros do mapa do ciacuterculo onde podemos

ver para quais valores podem ocorrer a sincronizaccedilatildeo do oscilador forccedilado conhecida como

liacutengua de Arnold [Bai-lin 1989 para o nuacutemero de rotaccedilacirco W=OII

Na figura 28(a) temos o mapa de primeira iteraccedilatildeo da funccedilatildeo senoida1 do mapa do

ciacuterculo na regiatildeo onde ocorre uma bifurcaccedilatildeo do tipo sela-noacute Para um valor fixo de K entre

Oe 1 trecircs valores de Q foram escolhidos ParaQ gt nKtgt o ponto fixo alnda natildeo existe Para

Q = QICcedilo a funccedilatildeo tangencia a bissetriz e um ponto fixo aparece Diminuindo aiacutenda mais o

valor de Q o ponto fIXO se divide em dois um estaacutevel e outro instaacutevel situaccedilatildeo

20 CapiacuteUlo2Aspec~os Te6ricos

caractenstica de uma bifurcaccedilatildeo sela~n6 A figura 28(b) daacute o diagrama de bifurcaccedilatildeo para

W=Ol para os valores positivos de n da equaccedilatildeo 225

13) i 7 1

08 ~ a

(a)

n~ K=Ko

(b)

n~o n~

on KH

cri 06 ~- I

04 ordm -H bull

02 fi =+K12ffshy

00 )J j

00 e 05 10 00 n e

Figuro 28 (a) vraacuteficos do mapn do ciacuterculo em funccedilatildeo do paracircmetro Q na regiatildeo do ponto de bifurcaccedilatildeo elun6 Em (b) a representaccedilatildeo no espaccedilo de pnnimetros da liacutengua de Arnold correspondente a W=OJ que ocorre para valores de Ll menores que LlKII bull

Para diferentes valores de W quando Klt1 gt ocorrem outras regiotildees de travamento

de frequumlecircncias sem ocorrer sobreposiccedilatildeo entre elas como estaacute apresentado na Fig 29 que

mostra os limites de estabilidade dos domiacutenios perioacutedicos no plano (Kn) para alguns

nlIacutemeros de rotaccedilatildeo Para as regiotildees onde ocorrem a sincronizaccedilatildeo das frequumlecircncias entre os

dois osciladores o nuacutemero de rotaccedilatildeo

W eacute um nuacutemero racional pq Deste

modo para cada valor racional do eixo

0 uma janela perioacutedica surge e se

expaIlde quando aumentamos o valor

de K Com o aumento da natildeoshy

linearidade atraveacutes do paracircmetro K a

sincronizaccedilatildeo das frequumlecircncias a se

tornam mais dominantes

ir

v I I I 1 ~ li 1 raquo1lD J

Figura 29 Diagrama das Liacutenguas de Arnold para o mapa do Ciacuterculo

21 2 Aspecto Teoacutericos

Para valores de Kgt I ~ as liacutenguas de Arnold passam a se sobrepor~ e o nuacutemero de

rotaccedilatildeo natildeo eacute mais unicamente determinado~ mas trocado por um intervalo de rotaccedilatildeo

[WJbull Wl] e este embaraJhamento torna o comportamento aperioacutedico

Para mostrar algumas das caracteristicas gerais do mapa no ciacuterculo~ utilizaremos

o conceito de expoente de Lyapunov Lyapunov estudou urna vizinhanccedila abstrata x

de uma trajetoacuteria x com N pontos com o objetivo de verificar se estes pontos se

afastavam ou convergiam para a trajetoacuteria Tomando uma trajetoacuteria infinita e uma

vizinhanccedila tatildeo pequena quanto se possa imaginar ele associou um expoente que

caracteriza se a trajetoacuteria eacute perioacutedica indiferente ou caoacutetica Para o mapa do clrcuio na

sua fonna angular da equaccedilatildeo (221) com n = 025 o expoente foi calculado

numericamente com a expressatildeo

1 H-I

B = N ~ Inll-K cos(28 lI (226)

que estaacute representado na Fig 210(a) e seu respectivo diagrama de bifurcaccedilotildees na Fig

21 O(b) Inicialmente os expoentes satildeo ligeiramente negativos da ordem de _10-6~ ateacute o

valor de K=l onde divergem pare menos infinito Oacuterbitas com expoentes deste tipo

divergindo para menos infinito satildeo conhecidas como oacuterhitas super~estaacuteveis Ao

teacutennino desta janel~ o sistema jaacute possui comportamento caoacutetico e esta rota para o Caos

eacute classificada de rota via quase-periodicidade [Bai-lin 1989 Argyrls et al~ 1994

Jackson 1995 Alligood el ai 1997J onde os expoentes de Lyapunov positivos natildeo

ultrapassam o valor de O~3 Aumentando K o sistema trava em um periacuteodo l~ e inicia

outra rota para o Caos a rota via duplicaccedilotildees de periacuteodo ou rota de Feigenbaum jaacute

discutida para O caso do mapa quadraacutetico na qual os expoentes se anulam nos pontos

onde ocorrem as bifurcaccedilotilde~ neste caso temos o comportamento indiferente Para

K34 o sistema experimenta um alargamento abrupto do atrator e este alargamento eacute

classificado como uma crise Apoacutes a crise os expoentes de Lyapunov maacuteximos param

de crescer e tecircm valores na faixa entre O~7 e 093 Quando K atinge aproximadamente

4~7 o sistema volta a sofrer um travamento de frequumlecircncia em periacuteodo 1

Do mesmo modo que o atrator de Heacutenon o mapa do ciacuterculo bidiacutemensional da

equaccedilatildeo (220) contrai o espaccedilo de fases uniformemente como podemos ver atravoacutes do

detenninante da matriz jacobiana do mapa

09 rgt o

[lshy 03

~oo I c 03 O1~~1 I1middot1 q q nq fqll ir nnqlq qll

Lshy________~ ~

-

2 ApcJos Teoacutericos 22

o 1 2 K 3 4 5

Figura 210 (a) Expoentes de Lyapunov do mapa do circulo coro n =025 Em (b) o diagrama de bifurcaccedilotildees para o mesmo mapa Podemos obter a sequumlecircncia de duas rotas para o Caos com este sistema dinacircmico li rota de quaseperiodicidade e a rota de duplicaccedilotildees de periacuteodo

1- K cos2nJ ~ (227)detJ=I_KCOs2JfJ bl=b

i

Os pontos fixos r e (IIilt de periacuteodo 1 logo apoacutes a regiatildeo quase-peri6dica para

Kgt155 da Fig 27 satildeo dados por 1 r= -fl(mod I) se fl(modI) lt 05 ou r= I-fl(mod I) se fl(modI) gt 05

(228)I [2JlT 1f) = 2r areseo K(b - 1)_

assim podemos detenninar o ponto onde ocorre a primeira bifurcaccedilatildeo do tipo flip

usando os criteacuterios de estabilidade para a seguinte equaccedilatildeo caracteriacutestica

l-Keos2rf)-Agrave b J =0 (229)

-Kcos2Jff) b-Agrave

que nos dagrave dois autovalores para cada ponto fixo Para () ponto fixo r os autovalores

valem explicitamente

23 2 AspecQS1cocircricO$

-K cos2nL~arcsef (b-l))]+I+b - -plusmn- 2

(230)

+IKCOS27t[~arcsen(T(b-I))]+I+br -4b 2

como r eacute calculado pela equaccedilatildeo (228) para os pontos fixos a bifurcaccedilatildeo flip ocorreraacute

quando um dos valores de Acirc alcanccedila o valor -I

Para valores da constante b proacuteximos de zero deve ser feita urna correccedilatildeo em

primeira aproximaccedilatildeo nos valores das liacutenguas de Arnold Pata as Hnguas

correspondentes ao travamento de frequumlecircncias de periacuteodo 1 como a equaccedilatildeo (225) as

liacutenguas podem ser calculadas atraveacutes de

K (231)n= 21r(1- b)

o mapa do circulo eacute um sistema dinacircmico que parte de um sistema fisiacuteco bem

definido [Argyris cf ai 1994) que apresenta um comportamento muito rico com

relaccedilatildeo aos elementos da Teoria do Caos

Aleacutem do comportamento individual dos mapas vistos anterionnente~ como o

mapa quadraacutetico o mapa de Heacutenon e o mapa do cIacuterculo~ tambeacutem eacute desenvolvida a

pesquisa na aacuterea de sistemas dinacircmicos espaccedilo-temporais [Kaneko 1992 Vian~ 2000]

atraveacutes do acoplamento destes mapas fonnando uma rede Com estes estudos pretendeshy

se explicar rotas tiacutepicas para turbulecircncia1 como por exempJo a sequumlecircncia obtida com o

acoplamento de mapas quadraacuteticos duplicaccedilotildees de penado formaccedilatildeo de padrotildees

aleatoacuterios na rede de mapas seleccedilatildeo de alguns destes padrotildeesgt intermitecircncia espaccediloshy

temporal e no final observa-se turbulecircncia plenamente desenvolvida Um exemplo de

modelo de fluxo de um fluido usando mapas acoplados eacute dado por WilIeboordse

[Wiacutelleboordse 1992)

24 2 Aspectos Teoacutericos

210 Transformaccedilatildeo de ponto fixo

Para extrair as oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis (OPl) imersas em um atrator com uma

quantidade finita de dados ruidosos de um sIacutestema unidimensional~ So e colaboradores

[So el ai 1996] fizeram a suposiyatildeo de que todos os ponto que estatildeo em uma regiatildeo ao

redor do ponto fixo xf(x) podem ser transfonnados para (x) na vizinhanccedila de x A

funccedilatildeo densidade p(x) possui singularidades do tipo inverso da raiacutez quadrada nos

pontos fixos e um histograma para pX) teraacute um pico definido em x= x Alguns

picos espuacuterios podem aparecer em fi(x) tanto devido agrave singularidades natildeo relacionadas

aos pontos fixos quanto a zeros da derivada da funccedilatildeo detranformaccedilatildeo x=g(xk)

Os autores generalizaram este meacutetodo para um sistema com dimensatildeo de imersatildeo d para

obter as oacuterbitas perioacutediacutecas instaacuteveis atraveacutes da transformaccedilatildeo

i = (l-Srl(z~I-Snz) (232)

onde

I (d-I) ) _ ( aoo a I _ IIs - O +kRllz_1 Zn (233) 1

1

aI -1 (Zl _Z)t(z - Z )t l it -bull

(234)=

I)ta (Z_(d_l) - Z_d)t (Zn_(d_l) - Zitlaquod_lj bull

e os vetores z) foram reconstruidos a partir da seacuterie temporal x)

( I ) ( ) (235)z = zlpznzll~)z xnJx_x_z~-x_4_t

R eacute uma matriz aleatoacuteria d x d no intervalo [-l~1J e k estaacute relacionado com a

intensidade da geraccedilatildeo de nuacutemeros aietoacuterios Os pontos fixos satildeo dados por posiccedilotildees

dos picos de p(X) Como a localizaccedilatildeo dos picos espuacuterios dependem do paracircmetro k

eles satildeo eliminados levando em conta a meacutedia (PCz)) para vaacuterios valores tornados

aleatoriamente

Um ponto fixo instaacutevel do atralor do mapa do circulo com Q=O eacute o ponto (O O)

mostrado na Fig 211(a) que foi determinado com este algoritmo~ como estaacute mostrado

na Fig 2II(b) Outras aplicaccedilotildees desta teacutecnica podem ser encontradas no exparimento

da torneira gotejante [pinto 1999] para se mostrar a existecircncia de oacuterbitas homocliacutenicas

25 2 Aspectos Teoacutericos

OB~ (a) I IV +

~~ 1 00 bullbullbull-

bullbullbull ~ bullo n ltgt04 I

~bull I ~ ~ 00 Obullbull obull

r

Figura 2]] Atrator caoacutetico simeacutetrico em (a) do mapa bidimensional do ciacuterculo que possui um ponto de sela na origem Em (b) a oacuterbita- perioacutedica instaacutevel foi obtida munericamente utilizando-se o meacutetodo de detecccedilatildeo de oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis de So et ai

Como a reconstruccedilatildeo dos atratores em espaccedilos de imersatildeo bidimensionais eacute

suficiente noacutes aplicamos esta teacutecnica para d=2 com 05 e 1000 matrizes aleatoacuterias

Mais informaccedilotildees sobre este meacutetodo pode ser encontradas tambeacutem no trabalho de

Schemelcher e Diakonos [Schemelcher e Diakonos 1998]

211 Plano simboacutelico

A obtenccedilatildeo de planos simboacutelicos para a construccedilatildeo de maacutequinas topoloacutegicas

miacutenimas no experimento da torneira gotejante foi feita por Gonccedilalves [Gonccedilalves

1996] no experimento da torneira gotejante No experimento do tubo borbulhador a

geraccedilatildeo de planos simboacutelicos foi utilizada principalmente para se comparar modelos

com os dados experimentais

Para estudarmos o plano simboacutelico particionamos um atrator em duas regiotildees da

Fig 212 (L e R) e atribuiacutemos o valor I(ou -I) quando o sistema visita L (ou R)

obtendo um vetor sm bull S2SSSS2SmbullDeste modo um plano simboacutelico ap

caracteriacutestico de um atrator eacute definido atraveacutes do caacutelculo de a e f3 como

262 A2lcctos Teoacutericas

~

et=LfJi Z- i (236)

11

onde Pt eacute um valor binaacuterio

O +If p= lSC(-l)nSj_l (237)

I

e

~

p~ UZfL f (238)

onde VI eacute o valor binaacuterio

O -Itj = se D= l (239)

1 )tl +

N Fig 212 exemplificamos a obtenccedilatildeo do plano simboacutelico (b) par o atrator do

mapa do ciacuterculo bidimensional (a)~ com suas respectivas particcedilotildees L e R O paracircmetro b

eacute igual a 01 As regiotildees em branco no plano simboacutelico satildeo chamadas de regiotildees

proibidas

0 R (a)l (b) t08

~ I 00

O

1~ ll 06 + CUc

t - shy 04 bull ~ ~ ~ i li 1~ 1 ~~

- ~3~ bullbull l ~l f02-04

00 l- I -~----~

(j4 00 04 00 02 04 06 08 10 f an

Figura 212 (a) O atrator do mapa do circulo reconstruido com o mapa de primeiro retomo na variaacutevel r e sua particcedilatildeo e em (b) seu respectivo plano simboacutelico

I

27

3 A1(lrIUO xJrimclltal

3 Aparato experimental

Neste capiacutetulo descrevemos os aparatos do tubo borbulhado[ e da torneira

gotejante Tanto o experimento do tubo borbulhador assim como o experimento da

torneira gotejante foram inteiramente desenvolvidos no LFNL-USP Algumas das

princiacutepais atividades experimentais deste trabalho foram o desenvolvimento e

construccedilatildeo do tubo borbulhador a aquisiccedilatildeo e fi anaacutelise dos dados

31 O tubo borbulbador

Na Fig 31 ternos a representaccedilatildeo esquemaacutetica do aparato do experimento do

tubo borbulhador que consiste de um tubo acrflico transparente com uma tampa

(superior) e uma base de PVC onde estaacute conectada urna seringa hipodeacutermica pela qual

eacute soprado ar numa soluccedilatildeo de aacutegua com glicerina Dentro deste tubo ocorre a formaccedilatildeo

de bolhas que satildeo estudadas neste trabalho O experimento pode ser dividido em quatro

partes principais o tubo borbulhudor o circuito pneumaacutetico o sistema de aquisiccedilatildeo e o

sistema sonOrO

[ [ Alto-J ~ 1

falllnleGerador do Amplificador--= Funccedilotildees~I~ -l

Tubo

O

01 cJ

tasagraverCLp

controlador

Compressor Aesetvatoacuterio

Medidor de wllatildeo e vaacutelvulu d$ controla

Figura 31 Diagrama geral do aparato cKperimCfj(ul do tubo) borbulhador

28 3 Aparal0lerimental

Na Fig 32 podemos ver o tubo borbulbador que foi construido com tubo de

acriacutelico transparente de diacircmetro interno de 105 em e 10 em de altura Na base estatildeo

lixados o bico borbulhador e um termopar para monitorar a temperatura do liquido A

entrada e saiacuteda do liacutequido ocorrem atraveacutes de duas vaacutelvulas do tipo esfera

Clflp- drenagem

I ~ r

Sensorde I I j BiooOOrbulhid()l tempcrmlIU i t-l )~

FlgUla 32 O tubo borbulhador suportes o bico injetor sensor de tempemum e vaacutelvulas de drenagem e preenchimento do liquido

Este arranjo permite o

preenchimento do tubo e o seu

esvaziamento atraveacutes das

vaacutelvulas nas laterais da base

Todo o conjunto eacute preso ao

suporte atraveacutes de quatro

parafusos na base e quatro

parafusos na tampa Um

sistema de iluminaccedilatildeo

constituiacutedo de uma lacircmpada

fluorescente e uma placa

difusora de luz foi colocada

atraacutes do tubo borbulbador para

obtermos imagens das bolhas

utilizando uma cacircmara de

videoVHS

O tubo estaacute montado em uma bancada sobre quatro blocos de espuma para

amortecer vibraccedilotildees externas

32 Sistema de aquisiccedilatildeo

O sistema de detecccedilatildeo consiste de um laser He-Ne e um fotodiodo Quando uma

bolha atravessa o feiacutexe laser induz no fotodiodo um sinal anatocircgico e um pulso eacute

enviado a uma placa contadora de tempo inserida em um microcomputador O iniacutecio e o

fim do desvio do feixe laser induzidos peja passagem de uma bolha criam o sina] de

entrada da placa atraveacutes de pulsos de tensatildeo TIL gerados pelo futodiacuteodo Na Fig 33

temos o graacutefico que mostra o sinal ot devido a passagem de uma bolha e o sinal tn

relativo ao tempo entre bolhas Assim um par de dados constituiacutedo do tempo entre as

bolhas e o tempo de passagem da bolba eacute coletado pelo computador O intervalo de

tempo total entre a flNeacutesima e a (n+l)-eacutesiacutema gota eacute To que eacute a soma destes dos dois

intervaJos de tempo

29 3 Aparato experimental

T fltt t1I

Claro

SI 5

v (volts)

o

t ~-- I

J escuro~

tempo

Figura 33 Sinal gerado pelo fotodiacuteodo e induzido na placa contadora de tempO pela passagem das bolhas que desviam o feixe laser O feixe estaacute posicionado -5 rum acima cb extremidade do bico soprador

o sinal de vazatildeo obtido pelo medidor de vazatildeo eacute convertido em um sinal

proporcional de tensatildeo em milivolts e digitilizado em um osciloscoacutepio digital Tektronix

depois eacute transferido para o computador atraveacutes de uma interface General Purpose

Interface Board (GPffi)

33 Medidor de vazatildeo

o medidor de vazatildeo utilizado o modelo GFM47 fabricado pela AALBORG

lnstruments amp Contrais Neste equipamento o fluxo do ar entra em um transdutor de

vazatildeo e dentro dele uma pequena parte do fluxo do ar eacute separada por um sensor do tipo

tuho capilar de accedilo inoxidatildeveJ O restante do ar flui atraveacutes de um condutor de fluxo

primaacuterio A geometria do tubo primaacuterio e do tubo sensor foi projetada de modo a

garantir um fluxo laminar em cada ramo De acordo com os princiacutepios da

Fluidodinacircmica as vazotildees do ar nos dois condutores satildeo proporcionais entre si Deste

modo a vazatildeo medida no tubo sensor eacute diretamente proporcional atilde vazatildeo total atraveacutes

do transdutor

Para obter a vazatildeo no tubo SensoT eacute fcito um aquecimento do fluxo em duas

partes do tubo senSQr atraveacutes de resistecircncias sensoras de precisatildeo O calor eacute transferido

atraveacutes de uma parede fina para o ar O ar aquecido eacute levado pelo fluxo desde um

aquecedor agrave jusante ateacute um aquecedor agrave montante do tubo sensor O sinal eleacutetrico de

uma resistecircncia dependente de temperatura diferencial eacute detectada atraveacutes de um

circuito eletrocircnico de controle O gradiente de temperatura medido no sensor eacute

linearmente proporciona agrave vazatildeo atraveacutes do sensor

30 3 Apara1o experimental

o valor da vazatildeo eacute mostrado diretamente em um indicador digital e

simultaneamente em dois sinais eleacutetricos um de tensatildeo proporcional ao valor da vazatildeo

entre Oe 5 V e outro de corrente proporcional agrave vazatildeo entre 4 e 20 mA

34 Controlador de vazatildeo

o controlador de vazatildeo eacute da marca BTC modelo BTC-2220 e eacute um controlador

do tipo proporcional iacutentegral e diferencial (PID) Ele recebe o sinal de corrente do

medidor de vazatildeo (4-20 mA) com moacutedulo de saiacuteda linear (OM92-3) com a tensatildeo de

saiacuteda variando entre Oe 10 V com uma impedacircncia de saiacuteda de 500 ill Devido agrave alta

impedacircncia de saida um circuito amplificador de corrente foi adaptado na saiacuteda do

controlador para que ele pudesse enviar O sinal de controle para a vaacutelvula solenoacutejd~

como estaacute mostrado na Fig 34

2n3055

10 V I max 05 A I reg 200 nF Vaacutelvula

reg SolenoacuteideTSaldado ~

cornroradE ]200 nF -0 -

Figura 3A o Circuito que amplifica o sinal do controlador para a vaacutelvula

o controlador possui dois modos de operaccedilatildeo No primeiro modo ele manteacutem

uma vazatildeo fixa preestabelecida No segundo modo~ o controlador aumenta ou diminui a

vazatildeo linearmente entre dois valores distintos com uma velocidade preestabelecida pelo

usuaacuterio

31 $ Aparato eqerimental

35 Vaacutelvula solenoacuteide proporcional

o fabricante da vaacutelvula utilizada no experimento do tubo borbulhador eacute

MLBORG Instnnnenls amp Controls e o seu modelo eacute o PSV-5 Basicamente a vaacutelvula eacute

uma bobina que posiciona o atuador da vaacutelwla de modo contiacutenuo variando a vazatildeo

suavemente A vaacutelvula solenoacuteide proporcional foi projetada para responder a um sinal

de tensatildeo contiacutenua de entrada entre O e 30 volts para regular proporcionalmente ao

sinal de tensatildeo o fluxo de liquidos e gases Por medida de seguranccedila as vaacutelvulas satildeo

normalmente fechadas quando desernegizadas Na Fiacuteg 34 temos um diagrama desta

vaacutelvula

Devido agrave corrente na bobina da vaacutelvula O corpo da mesma sofre um pequeno

aquecimento que eacute dissipado por metas de alumiacutenio colocadas na vaacutelwla

Vaacutelvula Solenoacuteide Proporcional

f--I PSV5 AALBORGmiddot I

u-i J

conectores de 14m_Figura 35 Diagrama as ltlimensotildees carncteristicas da vaacutelvula de controle PSV5 da AALBORG

32 3 Aparato Experimental

36 O bico borbulhador

Na Fig 36 vemos o conjunto de agu1has e o cilindro de uma seringa

hipodeacutennica que furam utilizados CQmo bicos sopradores no experimento do tubo

borbulhador As bolhas satildeo formadas diacuteretamente no cilindro da seringa ou nas agulhas

hipodennieas que satildeo colocadas na seringa que estaacute ligada ao sistema de alimentaccedilatildeo de

ar

Figura 36 Bicos sopradores utilizados no eJ-perimento do tubo boIbulbador

Na tabela 31 temos as dimensotildees dos bicos mostrados na Fig 36 Para

verificarmos os efeitos do comprimento das agulhas utilizamos agulhas com o mesmo

diacircmetro mas que foram cortadas em comprimentos diferentes com uma serra

diamante como para as agulhas do grupo A e B A seringa e algumas agulhas possuem

dois valores na coluna relacionada com o dlacircmetro~ O primeiro valor corresponde ao

33 3 AparOfO Experimental

Bico Diacircmetro (mm) I Comprimento(mm) Internoexterno

Sltlrin PlaacuteStica I 08113 2 AI

A2 072128 0721l2amp

2 246

A3 072128 377

BI 072 2 B2 072 145 83 072 102

B4 072 51 CI 05 2

Tabela 31 Dimensotildees da seringa e das agulhas utilizadas como rocos sopradores no experimento do tubo boIbulhador

diacircmetro interno e o segundo valor estacirc relacionado com o diacircmetro externo Para as

demais agulhas temos apenas um valor corresponde apenas ao ctiacircmetro externo

37 O sistema pnenmaacutetico

o objetivo do sistema pneumaacutetico eacute fornecer o ar numa vazatildeo estabilizada para

ser soprado no liquido viscoso O ar eacute comprimido por um compressor com um

reservatoacuterio de 75 litros no qual um pressostato foi calibrado para manter o ar na faixa

de pressatildeo entre 70 e 100 psi (libra por polegada quadrada) A pressatildeo do ar eacute reduzida

para 60 psi em um segundo reservatoacuterio de 200 litros~ atravecircs de uma vacirclvula

reguladora de pressatildeo Uma segunda reguladora proacutexima do bico soprador reduz a

pressatildeo do ar para 10 psi e a vazatildeo eacute controlada pelo conjunta controlador fonnado

pelo medidor de vazatildeo~ controlador e vaacutelvula solenoacuteide Deste modo urna vazatildeo estaacutevel

chega atocirc o bico borbulhador

38 O sistema sonoro

A onda sonora eacute gerada no topo do tubo por um alto-falante de bobina moacutevel O

sinal eleacutetrico para o alto-falante eacute gerado num gerador de funccedilotildees Tektronix modelo

AFG 320 e amplificado em um amplificador de aacuteudio Nwa O gerador de funccedilotildees

34 3 Aparato Experimental

possui uma placa GPIB que permite o controle de todas as suas funccedilotildees atraveacutes do

microcomputador

A equaccedilatildeo de onda [Fletcher e Rossing 1991] dentro do tubo em coordenadas

ciliacutendricas eacute

L~(rq) +2-(OP~ + 8p __1 8p r1 (31 )ratilde a- ocircqz) fk2 - v atilde 1

onde p eacute a onda de pressatildeo na direccedilatildeo x e Vs eacute a velocidade do som no ar A soluccedilatildeo

desta equaccedilatildeo eacute

p(rfPx) = P (mfP)JJ1laquoIr) exp[iacute(-kx +ml)] (32) a

onde Jmeacute uma funccedilatildeo de Bessel e qmn eacute definido pela condiccedilatildeo de contorno ocircplocircr=O e r

= a (a li O raio do tubo) tal que a derivada Jm(7rqmn) eacute zero Se considerarmos em

primeira aproximaccedilatildeo o tubo borbulhador como um tubo com uma extremidade

v bull =3v v =5v v~ 41 3 4L 5 41

Agrave =41 ~= Agrave ~j-I1

TIA

I 1 I

JII N

jL 5 5

AI ~A

A

N N

Figuraacute 37 Os trecircs primeiros modos de um tubo com uma extremidade fechada

fechada podemos

estimar a frequumlecircncia de

urna onda em seu

interior Uma

propriedade geral de

ondas sonoras

confinadas em tubos eacute

que os valores de

amplitude maacutexima

ocorrem em valores

discretos da frequumlecircncia

da onda Na Fig 37

3 Aparato Experimental 35

podemos ver os trecircs primeiros modos de um tubo com a extremidade inferior fechada

A distacircncia do centro do tubo agraves linhas finas desenhadas dentro deste representa

a amplitude de deslocamento da onda em cada ponto N e A designam as posiccedilotildees dos

nodos e antinodos de deslocamento As frequumlecircncias VII de ressonacircncia do tubo satildeo dadas

por

v v =(2k + 1)- (33) 41 ~

onde I ecirc o comprimento do tubo e k = OJ23~ o que nos fornece apenas os 1

harmocircnicos iacutempares

O (a) AJllm

134

(d)

_-_ -__ I

I AIMcm~

M o~

H -8

00 Microfone015

ro (b) -= ~

j~

~ --~

-- AJm00

o (C) I

JI~m(JQegtn

L- m

Ia bull ~ d 1

1l _ _~ Ooo~ J

ftequumlecircnda da onda HZl

Figura 38 Resposta do microfone laquoJl0cad0 atilde uma distacircncia Alm dentro do ruoo borbulhador na sua parte superior para wna onda SOOOIa senoidal gerada pelo alto-falante Em (a) o microfone foi colocado a 2 em da superfieie do liacutequido (b) 34 em e (c) 60 em Em (d) vemos um cliagrarna que mostra a distacircncia Alm

36 3 AparaJ() Experimental

Foi verificada a frequumlecircncia de ressonacircncia do tubo borbulhador~ obtendo um

sinal proporcional ao deslocamento da onda sonora colocando um microfone dentro do

tubo A distacircnciacutea entre o microfone e a superfiacutecie do liacutequido eacute Alm O sinal obtido pelo

microfone) colocado em trecircs alturas distintas dentro do tubo borbulhador estaacute mostrado

na Fig 38 onde temos os valores obtidos para as alturas de 2 em 34 em e 60 em em

relaccedilatildeo ao niacutevel do liacutequido~ com um comprimento de coluna de ar total de 60 em

Variarulo a frequumlecircncia da onda entre 100amp e 160 Hz obteve-se que a frequumlecircncia de

ressonacircncia do tubo eacute de aproximadamente 134 Hz O sinal do microfone tem a mesma

furma que o sinal senoidal injetado no alto-falante

Depois de determinada a frequumlecircncia de ressonacircncia do tubo nas condiacuteccedilotildees do

paraacutegrafo anterior obtivemos o sinal do microfone colocado em vaacuterios pontos do tubo~

para os trecircs primeiros mnocircnicos 134gt 402 e 670 Hz como estaacute mostrado na Fiacuteg 39

de modo a verificar experimentalmente as posiccedilotildees dos nodos e antinodos de

deslocamento Na Fig 39 podemos ver que a tensatildeo natildeo se anula na origem portanto a

onda natildeo forma um nodo exatamente na superficie do liquido para os trecircs harmocircnicos

mas parte da onda refrata no liquido

08 bull - bullbullbullbullbullbull ~ 06 j freq 134Hz

o bull M ~c-o m 02 o ~

00 0-

gt 02 ~ c-~ o ~ 00

shyshy- _freq 402Hz ~~ ~

- - _ shy-

o

003 freq 670Hz -~ - 2 - ~

002 1 ~- -IHl ltshy bullbull 001bull bull ~

000 o O 30 0 50 60

Alm(cm)

Figura 39 Nados e antinodos deruro do tubo para OS trecircs primcitos harmocircnicos medidos em diferentes posiccedilotildees na parte de ar com as freqilecircncias de 134 Hz 402 Hz e 670 m Podemos notar nos trecircs graacuteficos que a onda sooorn natildeo forma exatamente um nodo na superficie do liacutequido

37 3 Aparato Expenmental

39 O liacutequido

o liacutequido utilizado foi preparado em soluccedilotildees utilizando-se diferentes

concentraccedilotildees de aacutegua e glicerina

A tensatildeo superficial foi obtida atraveacutes do meacutetodo do tensiocircmetro de anel [Ueta e

Tabacniks 1989] que consiste em se determinar a forccedila para se elevar um anel delgado

do liquido e relacionando-a com a tensatildeo superficial numa temperatura de 25()C Na

tabela 32 temos a tensatildeo superficial de alguns liacutequidos comuns obtidos com este

meacutetodo Para as diferentes concentraccedilotildees de glicerina obtivemos OS valores da Fig 310

Liacutequido

Tensatildeo superficial (diIlalcm) I

Aacutegua destilada

72

Agua de torneira 66

0100 20Wmiddot50 (Mobil) I 35

Glicerina 58

Alcool hidratado 30

Agua com detergente 36

Detergente 23

Cafeacute (soluccediliio) 42

I

~1------Tabela 32 Tensatildeo superficial de alguns liquidas comuns medidos pelo meacutetodo do tensiocircmc1TO dCanel

r------------------------------------- n

Ecirc ~66

i tM ~ ~

58

J

i

T ~ -

~

bull bull i J I bullbull 1 ~ -

bull +

1~ -~~~ o 20 40 00

deHp

Figura 310

Tensatildeo

superficial

medida COm oacute

meacutetodo do

tenSJocircmetro do

ane1rma cliacuteferenles

concentraccedilotildees

de aacutegua e

glicerina

38 $ Aparato ~mentaJ

A viscosidade das soluccedilotildees de aacutegua e glicerina foi estImada atraveacutes do meacutetodo

de Stokes [Veta e Tabacniks 1989] e a viscosidade varia como a funccedilatildeo exponencial

mostrada na Fig 311 para 25 C Para os valores da viscosidade da aacutegua pura e da

glicerina para diferentes temperaturas fui consultada uma tabela de viscosidades [Perry

e Clinton 1972 Weast e Selby 1996]

1500 r 1250

bull p shy1000 -shy

bull u- ~ ~ 750

~ J_ ampl 500

gt

- 250

u HH

o [ ===-==i I UUUU

O 10 20 30 40 50 60 10 80 90 100

de Glicerina na aacutegua

Figura 311 Variaccedilatildeo da viscosidade com a concentraccedilatildeo de glicerina na soluccedilatildeo

310 Imagens

Algumas imagens foram obtidas para esclarecer alguns aspectos da formaccedilatildeo

das bolhas As imagens da formaccedilatildeo das bolhas furam feitas atraveacutes de uma cacircmera

VHS Para iluminar o tubo borbulhador utilizou-se a teacutecniacuteca de iluminaccedilatildeo traseir~

com uma placa transluacutecida para difundir a luz proveniente de uma lacircmpada

fluorescente e o tubo borbulhador foi colocado entre a placa difusora de luz e a cacircmera

As imagens obtiacutedas foram digitalizadas e annazenadas

39 3 Aparato JxpflinJeacutentttl

Figura 31l Imagens obtidas partir do experimentn do tubo borbulhador Em (I) VCIlOS bolha se fonnando junto agrave seringa enquanto a bolha anterior emerge no liqujdo (2) a bolha aumenta de volume mas o empuxo natildeo eacute suficiente para retiraacute~la do bico 3 a bolha se-descola do bico mas eacute alimentada por um pescoccedilo~ (4) a bolha se destaea do bico e Cf perfil evolui para a fonna elipsoidal

Na Fig 312 temos a evoluccedilatildeo de uma bolha se formando junto ao bico

soprador numa soluccedilatildeo viscosa de aacutegua com glicerina em quatro instantes distintos A

forma final das bolhas depende de vaacuterios fatores entre eles o seu volume~ e isto pode

ser observado nas cinco imagens da Fiacuteg 313

11 1 Ilcml 1I em 1 11 I Ilcml

m ~jj O 4~~

ttif1id-gt0

(a) (b) (c) (d) (e)

F1gura 313 Exemplo do perfil das bolhas em relaccedilatildeo ao seu tamanho

3 Aparato Experimental 4iacuteJ

311 O Experimento da Torneira Gotejante

o experimento da torneira gotejante foi uma das primeiras tentatiyas de se criar

um sistema com o propoacutesito de se observar o Caos deterministiacuteco Este experimento

possui um extenso material produzido pelo LFNL que pode ser encontrado na fonua de

dissertaccedilotildees de mestrado e teses de doutorado [da Rocha 1995 da Silva 1996 Tufaile

1996 Gonccedilalves 1996 Pinto 1999J

O experimento consiste basicamente de um bico got~ador que eacute alimentado por

um grande reservatoacuterio~ como pode ser visto no diagrama do aparato experimental da

Fig 314 O tempo associado para cada gota eacute medido do mesmo modo que o descrito

na seccedilatildeo 33 para o tempo entre as bolhas~ mas para o experimento da torneira gotejante

o feixe laser estaacute posicionado - 9 em abaixo do bico

Noacutes controlamos a taxa de gotejamento (fgot=ltlTraquo mantendo o niacutevel do

reservatoacuterio intermediaacuterio constante e selecionando a frequumlecircncia de gotejamento atraveacutes

da abertura da vaacutelvula acionada por um motor de passo e controlada por um

microcomputador Para uma dada taxa de gotejamento noacutes construiacutemos os mapas de

primeiro retomo

Relervut6rio Foot

cmroJ_ denivcl

Fotodiodo o

Laa o Computador

o

Res~ -00

Figura 314 Diagrama -do experimento da torneira gotejante

4 Resultados e Anaacutelise 41

4 Resultados e Anaacutelise

A formaccedilatildeo das bolhas eacute frequumlentemente imaginada como () experimento da

torneira gotejante 1nvertido Esta analOgia eacute fraca e para podermOs verificaacute-la

estudaremos inicialmente a formaccedilatildeo de gotas e depois estudaremos a formaccedilatildeO das

bolhas

41 A torneira gotejante I

As equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem para a torneira gOtejante) propostasI no modelo de Shw [Shw 1984] com as modificaccedilotildees de DInnocenzo e Renna

[Dlnnocenzo e Relllll 1996] satildeo

t=V d(M=Mg_kx_bv (41)

dMrJI=Q

Onde x eacute a coordenada do centro de massa da gota ordmeacute O fluxo de aacutegua A tensatildeo

superficial e o atrito entre a aacutegua e a torneira satildeo dados pela constante de mola k e por b

respectivamente Uma gota ~ se desprende do bico com velocidade Vc com o fator

de reduccedilatildeo a quando o centro de massa alcanccedila o limiar xc

iAIJ aJyJ (V (42)

Figura U Seacuterie temporal obtida com o modelo da tomeira gotejante variandolaquo a vazatildeo Q k=475 dinalcm g=980 cm~ 1gt=1 g~ lt9114 em 09119 sim

42 4 ResultatWs e Anaacutelise

Na Fig 41 mostramos uma seacuterie temporal obtida a partir do modelo das

equaccedilotildees (41) com os paracircmetros k=475 dinalcm g=980 crnls b= 10 gls x=O 14 em e

a=O (9 sIm Na integraccedilatildeo do modelo foi utilizado um integrador Runge-Kutta de

-

0D75

(j) E 0050 ~

J

0025

0025 0050 0075 T

N (ms)

Fibllra 42 Atratores caoacuteticos reconstruiacutedos fixando~se a vazio em trecircs valores distintos de nzatildeo Q A dimensatildeo de Kaplatl~Y orkc Dy foi culculndn para cuumlda um destes tratores (n) DRY 12(1) (b) Drn 139(1) (c) DKy173(2)

(a)

lo

shy

(b)

7- iacute I

I 0

~

~ (e)

I rt j~1l~middott~i~i ~ v ) t ~ Amiddot shy ~ ~~ -1

[1 f ~ ~j bull

-) F ~-lt_ f4~-tgt 1- --~ 1

l yA- -~O __ _~ shy

~-~lt

quarta ordem com passo de

integraccedilatildeo de 10-6 e condiccedilotildees

iniciais x(O)=OO em e y(O)=O I

ems Nesta seacuterie temos uma

sequumlecircncia de dupliacutecaccedilotildees de

periacuteodo para 05ltQlt087 mls

caos e janelas perioacutedicas para Q

acima de 087 rnJls c um

alargamento abrupto do atrator

proacuteximo de Q102 mls

Na Fig 42 vemos trecircs

atratores para trecircs diferentelt

valores de vazatildeo Q do modelo

Pora cada um destes atratores

foi calculado os expoentes de

Lyapunov e sua respectiva

dimensatildeo de Lynpunov que os

caracterizaram como caoacuteticos

devido a existecircncia de

expoentes de Lyapunov

positivos Na Fig 42(a) temos

um atrator formado por quatro

bandas ca6ticas com vazatildeo Q=

0885 mlls Para uma vazatildeo

maior de 095 mlls Fig 42(b)

temos um atrator ca6tico com

duas bandas ca6ticas Na Fig

42c) um atrator caoacutetico mis

largo apoacutes a crise para

Q=I05 mlls

t RCSllfladQs e AtuUis 4

710 (b~f (a) 500 I

700 1 E g 400 1 iacute 300

200

1 jJ

670 ~ 100 670 680 690 700 710 100 200 300 400 500

T() T(ms)

Figura 43 (a) dados experimentais para uma frequumlecircncia de gotejamento de 146 gotass (b) atrator obtidQ ccedilom o modelo com de oscilador com relaxaccedilatildeo com uma frequumlecircncia de 315 gotass

(a) ltTgt=1146 me (b) ltTgt=1136 rns

Tn 2

120

110

11Cf

110120 T

120

Tnbull1

TM

120

90 9~ 12

120middot TM

T 90

Figura 4A (n) atrator experimental com um frequumlecircncia meacutedia de 8726 gotas Is (b) atrator obtido a partir da simulaccedilatildeo com uma frequumlecircncia mldia de 880 gotass

44 4 Rewlltados e AndUsc

Fizemos duas comparaccedilotildees entre os dados experimentais e o modelo Tufaite et

aI 1999 Apecircndice 1] Na Fig 43(a estaacute mostrado o mapa de primeiro retorno

experimental mantendo-se constante o niacutevel do reservatoacuterio intermediaacuterio com uma

frequumlecircncia de gotejamento de 146 gotass com o bico de vidrQ Uma estimativa para os

valores experimentais eacute dada por k=365 dinaicm xccedil -O6 em e Q no intervalo 012-015

gls As simulaccedilotildees do atrator usando estes valores para os paracircmetros natildeo convergiram

para vaacuterios valores de a e b Desta forma outro conjunto de valores foi procurado para a

reproduccedilatildeo do atrator experimental Os valores escolhidos foram k = 475 dinacm XI

13 em Q=015 gls a = 02 sem e b = 10 SI como estaacute mostrado na Fig 43(b) com

uma freguumlecircncia de gotejamento de 315 gotass

Na Fig 44(a) estaacute mostrado um atrator reccedilonstruiacutedo em um mapa

triacutedlmensional Tn+2 VS Tn1 vs Tnbull com a frequumlecircncia de gotejamento de 8726 gotass

O perfil do atrator foi simulado com os paracircmetros cOm os seguintes paracircmetros

Q=0141 gls x = 0251 em 051 sem b=O943 SI e k=120 diacutenalcm como estaacute

mostrado na Fig 44(b) A frequumlecircncia meacutedia de gotejamento eacute de 880 gotass pr6xima

do valor experimentaL Os dois atratores da Fig 44 apresentam expoentes de Lyapunov

positivos e dimensotildees de Kaplan-Yorke lOplusmnOl (atrator experimental) e 11plusmnO1

(modelo)

Outros atratores obtidos a partir de mapas criados baseados neste modelo podem

ser encontrados na literatura [Renna 1999] assim como comparaccedilotildees entre atratores

experimentaiacutes e simulados na mesma regiatildeo de vazotildees das Figs 43 e 44 IDInnocenzo

e Renna 1997] Em todas estas referecircncias o modelo apresenta problemas quando os

valores escolhidos para os paracircmetros satildeo os mesmos do experimento que nonnalmente

causam divergecircncia das soluccedilotildees durante a integraccedilatildeo Uma possiacutevel causa destes

problemas eacute fato de que a gota natildeo se rompe exatamente sempre na mesma posiccedilatildeo mas

em alturas diferentes com relaccedilatildeo ao bico Concluiacutemos que este modelo apresenta

Cuumlfilcteriacutesticas qualitativas interessantes mas que natildeo pode ser utiHzad9 para

comparaccedilotildees quantitativas com a experiecircncia Modificaccedilotildees neste modelo estatildeo sendo

feitas por Fuchiacutekami [Fuchikami el aI 1999] que compara este modela com outro

modela mais elaborado que utiliza por princiacutepio fiacutesico a minimizaccedilatildeo da energia com

relaccedilatildeo ao perfil da gota que cresce junto ao bico O modelo de Fuchikami utiliza uma

descriccedilatildeo Lagrangeana para calcuIar numericamente a evoJuccedilatildeo da formaccedilatildeo da gota

45 I i

i

4 Resultadltgts eAnaacutelise

42 Dinacircmica das bolhas Veremos nesta seccedilatildeo os diferentes regimes d borbulhamento causados pelo

aumento da vazatildeo do ar~ e como podemos esclarecer as transiccedilotildees destes regimes

atraveacutes de alguns modelos

421 Formaccedilatildeo quase-estaacutetica

Devido acirc complexidade do processo da formaccedilatildeo de bolhas os modelos

existentes satildeo adequados apenas em casos particulares [Clift e aI 1978) Para uma

bolha se formando em condiccedilotildees quasemiddotestaacuteticas o equillbrio de forccedilas na bolha eacute dado

por

f = (43)

onde f g eacute a forccedila da gravidade e f (J eacute a forccedila devido agrave tensatildeo superficial Para um

orifiacutecio do tipo bico circular a equaccedilatildeo (43) tem a forma

mg = 2R7Ilt7 (44)

onde m eacute a massa do liacutequido deslocado pelo volume da bolha g eacute aceleraccedilatildeo da

gravidade R eacute o raio do bico soprador e G eacute tensatildeo superficial entre o ar e liquido

Tomando um bico com Rb = OA mrn e criando-se uma bolha de ar na aacutegua nas

condiccedilotildees qua8e~estaacuteticas quandO a tensatildeo superficial do sistema eacute igual a O~07 Nm e g

eacute igual a 98 ms teremos uma massa de liacutequido deslocado de

m = 1810 kg (45)

Como temos a densidade da aacutegua igual a 1 gcm3bull o volume maacuteximo da bolha seraacute dado

por

m V=-=18mm (46)

p

Se considerarmos urna esfera de volume equivalente teremos um raio para a bolha r)

reacute 1~6mm (47)

Podemos tambeacutem estimar a pressatildeo do ar dentro de uma bolha atraveacutes da

relaccedilatildeo

2lt7 Pl-Pl ~-- (48)

Se a interface natildeo eacute esfeacuterica mas possui como raios principais de curvatura le e

r entatildeo equaccedilatildeo (48) teraacute forma

46 f Resultados cAnaacutelise

(49)p - p = 2~ lt) As diferenccedilas de pressatildeo das equaccedilotildees (48) e (49) fomece-nos a pressatildeo laplaciana

devido agrave tensatildeo superficiacuteal[Clift oi ai 1978]

Para uma bolha com o raio de 16 mm como calculado na equaccedilatildeo (47) bull

diferenccedila de pressatildeo entre o ar dentro da bolha e a aacutegua eacute

p - p = 175Pa (410)

Para uma bolha a 5 cm da superfiacutecie teremos Pl = 500 p~ entatildeo~ de acordo com a

equaccedilatildeo (410) a pressatildeo dentro da bolha seraacute de 675 Pa ou seja a pressatildeo dentro da

bolha eacute equivalente a uma oolunade aacutegua de 675 mm

Esta anaacutelise soacute eacute vaacutelida para sistemas em equiliacutebrio fora do equiliacutebrio outros

meacutetodos de anaacutelise satildeo empregados e seratildeo discutidos na proacutexima seccedilatildeo

422 Formaccedilatildeo de bolhas com vazatildeo constante

Podemos obter um modelo para baixas vazotildees fazendo algumas suposiccedilotildees

sobre a geometria da bolha [Daviacutedson e Schuumller 1960J O modelo segue as seguintes

consideraccedilotildees

1 A bolha eacute esfeacuterica durante sua formaccedilatildeo

2 Natildeo haacute cireulaccedilatildeo do liquido ao redor da bolha que estaacute se formando de tal

modo que o liacutequido estaacute em repouso quando a bolha comeccedila a se formar

3 O movimento de uma bolha natildeo eacute afetado pela presenccedila de urna bolha acima

ela

4 A bolha estaacute a todo instante movendo-se na velocidade de Stokes apropriada

para o seu tamanho

S Quando a bolha atinge o raio maacuteximo R ela se destaca

Considerando O movimento de uma bolha que se forma em um ponto longe das paredes

de um reservatoacuterio infinito nas condiccedilotildees acima a velocidade do centro da bolha v no

tempo t apoacutes o comeccedilo da sua fonnaccedilatildeo seraacute dada pela velocidade de Stokes

2rg v=-~ (411)

9v

onde v eacute a viscosidade cinemaacutetica do liacutequido dada pela razatildeo entre a viscosidade e a

densidade do liquido Aleacutem disso se Qeacute o fluxo do gaacutes entatildeo o volume da bolha V eacute

41 4 Resultados e Anaacutelise

V=QI= 4- (412)3

Deste modo definindo x como a distacircncia entre o centro da bolha e o ponto de

suprimento do gaacutes obtemos a equaccedilatildeo que define o movimento do centro da bolha

atraves do seu raio r como uma funccedilatildeo de Q e t dados pela equaccedilatildeo (412)

Substituindo r na equaccedilatildeo da velocidade d Stokes

v2g (3Q ) ( (413)9v 4Jr

e integrando a equaccedilatildeo (411) em relaccedilatildeo a t noacutes obtemos O deslocamento do centro da

bolha em funccedilatildeo do tempo

2 Ir (414)x=Jl-lt3QJ 15v 411

A bolha iraacute se destacar quando x = R o raio maacuteximo da bolha com o tempo para a

formaccedilatildeo completa da bolha T obtido partir da equaccedilatildeo (414)

ltT=ll~)() (415)

que nos daacute uma relaccedilatildeo hiperboacutelica entre o tempo T da formaccedilatildeo da bolha e a vazatildeo Q

como mostrado no graacutefico da Fig 45 Com isto obtemos que a relaccedilatildeo entre a

frequumlecircncia de borbulhamento F = (11) e a vazatildeo volumeacutetrica do ar Q eacute

F ltcQM (416)

Este eacute um modelo razoaacutevel para baixas vazotildees pois explica de modo simples as

principais caracteriacutesticas da variaccedilatildeo da frequumlecircncia do borbuJhamento com a vazatildeo do

ar Entretanto~ as cinco condiccedilotildees para fonnaccedilo das bolhas no iacuteniacutecio desta seccedilatildeo natildeo

satildeo rigidamente observadas isto fuz a equaccedilatildeo (416) ter um caraacuteter principalmente

qualitativo O trabalho de Ponter e Surati [ponter e Surati 1997] fuz um estudo

comparativo entre vaacuterios trabalhos que investigam a emissatildeo de bolhas a partir de

orifiacutecios submersos e apontam como principal causa da discrepacircncia entre os diferentes

resultados experimentais a influecircncia da superfrcie do biacuteco soprador e a falta de

padronizaccedilatildeo da geometria do equipamento Mesmo com as discrepatildencias~ O

comportamento hiperboacutelico com as bolhas se formando sequencialmente eacute observado

quandO se aumenta a vazatildeo [Sulliacutevan et aI 1964) No nosso trabalho soprando ar

diretamente na seringa para vazotildees acima de 200 rolmin ocorrem bifurcaccedilotildees no tempo

entre bolhas e isto eacute o tema da proacutexima seccedilatildeo

4 Resulfados eAnaacutelise 4amp

n 423 Biacutefurcaccedillies Tempo entre Dependendo bolluls

principalmente da

geometria do bico

soprador para vazotildees

acima de um determinado -shy ~m~~ valor ocorre uma

transiccedilatildeo de um regimeQ-vazatildeo de borbulhamento

igualmente espaccedilado noFigura 45 Esboccedilo da dependfulcia hiperboacute1ia entre o tempo do borbulhameniO c a vazatildeo de ar tempo para um regime ~----------------------~

no qual as bolhas se formam com dois tempos distintos e emergem aos pares formando

um dubleto [Davidson e Schuumller 1960 Marmur e Rubin 1975 Miyhara cl al 1983

Tritton e Egdell 1993 Mitoni ct al 1995 Kyriaides oi ai 1997] Este fagraveto pode ser

atribuiacutedo agrave transferecircncIacutea de momento do ~ poiacutes uma parte do liacutequido fica agregada agrave

superficie da bolha formando uma casca esfeacuterica liquida que eacute chamada de massa

virtual P [Davidon e Schuumller 1960 Miyhara el ai 1983] reduzindo o empuxo da

bolha para 1116 Aleacutem disso noacutes podemos fazer um modelo simplificado para a

formaccedilatildeo das bolhas Se considerarmos aacute presenccedila de uma forccedila restauradora de

coeficiente k devido agrave tensatildeo superficiaI~ usando as consideraccedilotildees 14 e 5 da seccedilatildeo 422

e considerando que existe uma forccedila dissipativa na formaccedilatildeo da bolha (que eacute

proporcional agrave velocidade bv) Utilizando a segunda lei de Newton chegamos agraves

equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem

dx _~=y

di d(Mv

di = (JMg - kx -lN) (417)

fiM di =Q

onde x eacute a posiccedilatildeo do centro da bolha M eacute a massa de liacutequido deslocada pela bolha

(M~Vp) Aleacutem destas equaccedilotildees uma quarta equaccedilatildeo define quando a bolha deve se

destacar No momento que a e1a atinge o ponto criacutetico xcgt a bolha se desprende do bico

soprador com a massa

49 4 Re$1lltatlos eAnaacutelise

M=aMve (418)

com M e V sendo a massa e a velocidade no ponto de rompimento Xc respectivamente

A constante de proporcionalidade de massa eacute a O diagrama do modelo pode ser visto

na Fig 46

AA1 X

p M

k oacute

Figura 46 O modelo de oscilador de massa variaacutevel para a formaccedilatildeo de bolhas

1

50 4 Resultados e Anaacutelise

Estas equaccedilotildees foram inspiradas em equaccedilotildees do mesmo tipo para o

experimento da torneira gotejante (Tufaile el ai 1999 Apecircndicel] mostradas na seccedilatildeo

41 Shaw [Shaw 1984] propocircs o primeiro modelo para a torneira gotejante inspirado

nas ideacuteia de Rayleiacutegh O modelo foi atualizado por Saacutenches-Ortiz e Salas-Brito

(Sacircnehes-Ortiz e Salas-Brito 1995a Saacutenches-Ortiz e Salas-Brito 1995b] e

independentemente por D~Innoncenzo e Renna [D~Innoncenzo e Re~ 1996] que~

atraveacutes da mudanccedila do mecanismo de rompimento mostraram uma vasta gama de

comportamento caoacutetico usando o modelo e o quanto ele pode ser comparado com dados

experimentais Eacute importante saliacuteentar que apesar da enonne simplificaccedilatildeo que se faz

quando se reduz um sistema fluido com muitos graus de liberdade para um modelo

unidimensional1 existem muitos resultados que podem ser compreendidos usando O

modelo de oscilador de massa variaacutevel~ como bifurcaccedilotildees comportamento caoacutetico e

janelas perioacutedicas Seguindo esta linha Kiyono e Fuchikami trabalham na construccedilatildeo de

modelos de oscilador de massa variaacutevel t utilizando resultados obtidos a partir de seu

modelo hidrodinacircmieo (Kyono e Fuchikarniacute 1999]

Na Fig 47 vemos espaccedilos de fuse para a formaccedilatildeo de bolhas para diferentes

vazotildees numa sequumlecircncia que evolui desde o penado 1 ateacute o comportamento caoacutetico

Para a vazatildeo de l~O mIIs obtivemos um ciclo limite com a velocidade crescendo

atingindo um valor rnacircximo e depois diminuindo retornando proacuteximo ao valor inicial

Neste instante ocorre o rompimento e a proacutexima bolha inicia o ciclo com a mesma

posiccedilatildeo da bolha anterior deste modo o sistema retoma abruptamente ao ponto inicial

(x-Ol em e v-l4 crnls) Para a vazatildeo de 18 mIIs O sistema atinge o ponto de

rompimento com duas condiccedilotildees de rompimento distintas a primeira com uma

velocidade ascendente e uma segunda com uma velocidade descendente Para 20 mVs

temos uma outra duplicaccedilatildeo de periacuteodo levando a um periacuteodo quatro e finalmente para

uma vazatildeo de 2~15 rn11s vemos O espaccedilo de fase do comportamento caoacutetico

A seacuterie temporal deste modelo estaacute na Fig 48 e mostra as variaccedilotildees da

dinacircmica com a variaccedilatildeo da vazatildeo na faixa de vazatildeo 08 lt Q lt 22 m1s Para uma

vazatildeo por volta de 155 mls ocorre uma duplicaccedilatildeo de periacuteodo Para l97 rnVs uma

descontinuidade na seacuterie~ seguida de novas duplicaccedilotildees e caos

bull bull bull bull

51 4 Resultados e Anaacutelise

f I ~ ~ bull ~

1gt gtligt

tobull o 0- o ~ ~

fmiccedil)o (em)

otltl_J l

j

(

11

r ( ~

(I

~ ~ m f I - _r

i__=---~1 ~ ia_t6tttll-

Ibulli ~

~ ccedilshyreg 11110 o~

PM~a ftm)

Ot1SINIo ~1 ~

li ~ I~

~ ~ bull

bull ~ lt - -- u bullbull~ ~

Figura 4~1Espaccedilos de fase obUaoscom o ruacuteOdelo de oscilador de tna$il vnveCg 10 mIlsPeriacuteodo 1 Q=l8 m1Is duplicaccedilatildeo de periacuteodo periacuteodo 4 para 20 m1Is e comportamento caoacutetico para 215 mlJs Os paracircmetros do sistema satildeo x=O19 em 0=025 b=25 em$ g980 ems k=480 dinalcnt

Deste modo podemos ter uma

visatildeo geral de como ocorre uma

duplicaccedilatildeo de periacuteodo do espaccedilo de

fases da [onnaccedilatildeo de bolhas aleacutem da])- ~1 lO regiatildeo da formaccedilatildeo quase~estaacutetic8shy

baseada em um modelo mecacircnico

simplificado OUlro modelo para a Q(mYl)

formaccedilatildeo de bolhas pode ser encontrado

Figura 48 Seacuterie temporal do modelo de oscilador I no trabalho de Marmur e Rubin de massa variaacutevel para o tubo boIbulhador

[Marmur eRubiacuten 1975] que do mesmo

modo que Fuchikami [Fuchikamiacute el ai 1998] utiliza o formalismo Lagrangeano

52 4 Resultados e Anaacutelise

424 Veias liacutequidas

Verificamos experimentalmente a ocorrecircncia da agregaccedilatildeo de liacutequido junto agrave

bolha que causa a reduccedilatildeo do empuxo sobre a bolha Utilizando um sistema de trecircs

fases (ar aacutegua e oacuteleo) observamos a fonnaccedilatildeo de veias liquidas Uma veia liacutequida

ocorre quando temos um canal de aacutegua dentro do oacuteleo que eacute sustentado pela

emergecircnciacutea das bolhas como pode ser visto no diagrama da Fig 49 Na literatura

existem classificaccedilotildees para padrotildees de fluxos de duas fases como o padratildeo de

borbulhammo padratildeo d jateamento e padratildeo anular [Sharpe 1994] O primeiro caso

borbulhameoto eacute o caso tratado neste trabalho o padratildeo de jateamonto [Ruzicka 1997]

ocorre quando o gaacutes possui velocidades maiores do que a do borbulhamento e eacute

espargido dentro do liacutequido o terceiro caso~ o padratildeo anular ocorre para velocidades

ainda maiores do gaacutes que passa pelo centro do liquido formando um tubo gasoso COm

gotiacuteculas do liacutequido subindo pelo centro junto com o gaacutes Devido bull propriedades

viscoelaacutesticas do ocircleo diferenccedila de cor entre o oacuteleo e a aacutegua e a refraccedilatildeo do sistema

aacutegua-ar podemos ver a fonnaccedilatildeo desse padratildeo anular a veia liacutequida num sistema de

trecircs fases ar aacutegua e oacuteleo e deste modo verificar o arrasto da aacutegua junto com as bccedillhas

Veia liacutequumlida induzida por bolhas

Ar

Figura 49 Um sistema de tns fases iroisciveis formado por aacutegua ar eacute oacuteTeo criando uma veia liquida A aacutegua forma uma coluna dentro do oacuteleo com um fluxo ascendente proacuteximo do centro e um fluxo descendente na parte ell1ema

4 Resullado$ e Anaacutelise 53

o liacutequido que envolve a bolha deve ter a mesma velocidade da superfiacutecie da

bolha formando uma casca esfeacuterica de liacutequido A casca esfeacuterica de aacutegua acompanha a

bolha ateacute o ponto em que ela atinge a superfiacutecie do sistema Hquido~ a partir deste ponto

este volume de aacutegua eacute afastado lateralmente e inicia a descida para a base da coluna Na

Fig 4 1O~ podemos ver uma imagem obtida no LFNL de uma veia liquida

a porte avermclhada eacute 6100 a coluna central eacute constituiacuteda de aacutegua com bolhas no seu interior

A existecircncia da m d Ilquiacutedo

agregada junto a bolha eacute um fato que

mostra que a experiecircncia do tubo

borbulhador natildeo eacute o experimento da

torneira gotejante invertiacutedo

Se aumentarmos a vazatildeo de ar

inicialmente ocorre uma acumulaccedilatildeo de

aacutegua sobre o oacuteleo que depois se precipita

na forma de uma bolsa de aacutegua como

podemos ver na seqililncia de imagens da

Fig 41 L Deste modo O fator de massa

agregada fJ das equaccedilotildees (417) eacute uma das

princjpais diferenccedilas entre os modelos de

oscilador para bolhas e gOlas

Figura 411 Aumefllandose a freqiacuteiWcia de bolhas a aacutegua se acumula no topo da ooluna (a) ( acuacutemulo de aacutegua se desestabiliza e comeccedila a descer agarrada agrave veia (b) e em (c) temosa bolsa de aacutegua jaacute na base da veia liacutequida

1

54

-i

4 Resultados eAmilise

425 A estabilidade de dois fluidos sobrepostos

O problema fiico fundamental na fonnaccedilatildeo de bolhas em liquidos ecirc a

superposiccedilatildeo de dois fluidos de densidades muito diferentes O estudo de instabilidades

hidrodinacircmicas aborda tal problema aleacutem de outras instabilidades que tambeacutem satildeo

tratadas de um ponto de vista matemaacutetico muito interessante no livro Hydrodyllamlc

and Hydr(J11agnetlc Stability de Chandrasekhar [Chandrasekhar 1981] onde foram

estudadas as soluccedilotildees das equaccedilotildees hidrodinacircmicas para dois casos nos quais ocorre a

superposiccedilatildeo de fluidos

a) A instabilidade de Raylelgh-Taylor que trata da instabilidade da interface plana

entre dois fluidos

b) A instabilidade de Kelvln-Helmholtz que surge quando camadas diferentes de

fluidos heterogecircneos estratificados estatildeo em movimento horizontal relativo

Os problemas de instabilidade hidrodinacircmica envolvem o reconhecimento de fluxos

estagraveveis e instaacuteveis que satildeo obtidos para determinados valores dos paracircmetros que

governam o sistema Como exemplos temos o nuacutemero de Rayleigh~ para a convecccedilatildeo de

calor num fluido entre duas pacas uma acima e outra abaixo do fluido ou o nuacutemero de

Taylor para o comportamento do fluido entre dois cilindros coaxiais girantes

Restringindo-se agrave instabilidade de Rayleiacutegh-Taylor temos um arranjo com dois fluidos

de densidade unifurme~ um com a densidade Pl sob outro com densidade P2 sendo que

P2 eacute maior que pJ~ num campo gravitacional g A superfiacutecie horizontal que separa os

dois fluidos tem a tensatildeo superficial a Este sistema possui um nuacutemero de onda critico

kc pata as oscilaccedilotildees entre os fluidos~ dado por

klt = J(p - p)g I CF bull (419)

Os sistemas com nuacutemeros de onda no intervalo Oltkltkc satildeo instaacuteveis quando kgtkcl

temOS um estado marginal ou limite De um modo geral~ a tensatildeo superficial estabiliza

arranjos potencialmente instaacuteveis Levando em conta que a unidade de medida de Ir eacute

lm~ obtemos um nuacutemero puro conhecido como nuacutemero de Rayleigh~Taylor RT que

determina a estabilidade do sistema de fluidos sobrepostos

RT = glOcircp (420) CF

onde I eacute um comprimento caractcristico do sistema Este nuacutemero estaacute relacionado

diretamente com o nuacutemero de Eocirctvocircs (Eo) [Clift el ai 1978] para particulas gotas e

bolhas dado por

554 Resultados e Anaacutelise

~ U)

~

60 40 aacutegua + 6G gliccedila 33 aacutegua + 67 glicerina ~

50

~

40E ~ z I- 30

20 r

(~) I (7) I o 300 NaDo 9000 300 600 9000

(g)

100 aacutegua 50 aacutegua i 50 glicerina

N

20 aacutegua + 60 gliacuteceflna

(f) 300 000 900

Figura 411 Graacuteficos da transiccedilatildeo de regime do bolbulhamenlO di_ a vazltlo do ar Oaumento da viscosidade causa uma definiccedilio da dupUccedilaccedilio de periodo no experimento do tubo borbulhador como pode ser visto nos graacuteficos mostrados de (a) ateacute (I) A duplicaccedilatildeo de perlode tambeacutem eacute visiacutevel espacialmente como esta mostrado em (g) que temos o periacuteodo 1 com as bolhas se elevando igualmente espaccediladas c em (h) onde temos o periacuteodo 2 vemos a fonnaccedilatildeo dos dubletof de bolhas (33 aacutegua + 6Ou glicerina)

56 4 Resultados e Anaacutelise

gdApE0 -- (42t)

U

onde d ecirc o diacircmetro de uma esfera de volume Vequivalentlt d t (6V I n)1f3 ~ da

particula gota ou bolha obtido pela meacutedia d seus raios principais

Medimos o nuacutemero Eo juntamente com o nuacutemero de Reynolds Re das bolhas

[Clift el ai 1978J (Re = udp I P onde ueacute velocidade d fomaccedilatildeo da bolha p eacute a

viscosidade e p ecirc a densidade do liacutequido) Quando o sistema passa do regime de

periodo I para uma bifurcaccedilatildeo ou alargamento abrupto do tempo entre bolhas

obtivemos que o nuacutemero de Eotildetvotildes vale aproximadamente 26 plusmn1 para nuacutemeros de

Reynolds entre 200 e 1500 Este resultado foi verificado para todos os bicos utilizados

neste trabalho

426 Instabilidade da superfiacutecie da bolha

Utilizando algumas concentraccedilotildees diferentes de glicerina e o bico de seringa

verificamos1 no experimento do tubo borbulhador que os tempos entre bolbas ocorrem

em periacuteodo 1 para baixas vazotildees (O a 100 m1Imin) e que para faixas maiores de vazatildeo

os tempos entre bolhas ocorrem dentro de uma faixa de valores para baixas

concentraccedilotildees de glicerina ou em dois valores de tempo caracterizando um periacuteodo 2

para concentraccedilotildees maiores que 50 ~ como pode ser visto na Fig 412 Podemos ver

que com o aumento da viscosidade do liquido os ramos que ocorrem no penodo 1

I assim como os ramos do periacuteodo 2 ficam com valores mais estaacuteveis Segundo Mittonl

I [Mittoni et ai 1993] o aumento da viscosidade atraveacutes da glicerina produz atratores

mais estruturados e reprodutiacuteveis~ pois O aumento da viscosidade aumenta tambeacutem a

estabilidade do envelope da bolha e atenua a circulaccedilatildeo do liacutequido proacuteximo do bico

Este fato pode ser visto nas imagens da Fig 413 onde temos um conjunto de imagens

antes (al e depois (b) da duplicaccedilatildeo para a aacutegua e duplicaccedilatildeo de periacuteodo para a glicerina

(c d) Deste modo a viscosidade suprime instabilidades que podem levar agrave variaccedilotildees no

tempo de formaccedilatildeo da bolha

A instabilidade na formaccedilatildeo devido agrave baixa viscosidade pode ser vista na Fiacuteg

414 onde temos uma comparaccedilatildeo entre a aacutegua e a soluccedilatildeo com 80010 de glicerina e 20010

de atildegua Na Fig 4 14(a) temos o mapa de primeiro retomo com 10000 pontos para o

57 4 Resultados e Anaacutelise

bico de seringa com uma altura de coluna de 3 cm e uma vazatildeo de ar mantida constante

em 50mVmin

Este regime de borbulhamento corresponde a um periacuteodo 1 para a aacutegua com os

pontos se espalbando num intervalo entre 75 925 ms e n Fiacuteg 414(A) vemos o

histograma correspondente agrave frequumlencia de visitaccedilatildeo dos tempos entre bolhas com um

valor meacutedio de 87 TIS Para o liquido com 8010 de glicerina e 2010 de aacutegua ternos o

atrator da Fig 414b)~ com as demaiacutes condiccedilotildees semelhantes ao caso anterior tambeacutem

com 10000 tempos entre bolhas e na Fig 414(B) temos o histograma para este atrator

Os pontos neste atrator estatildeo entre 827 e 835 rns muito mais concentrados do que o

caso anterior

cIIJtmiddotca

---shy(a) (b) (c) (d)

Fig 413lmagens pam duplicaccedilatildeo de periacuteodopam a aacutegua (a) periacuteodo 1 e (b) alar_ento de perlodo e no liquido viscoso 2000 aacutegua + 80 glicerina com perlodo i em (e) e perlodo 2 em (d) Nestas imagens podemos notar que a superficie das bolhas emergentes satildeo mais estaacuteveis para o liacutequido mais viscoso do que para a aacutegua

lIiI

Q

58 4 ResultadrueAnaacutelise

j (A)

j

I (6)(b)

8bull~ 1 ~

f-

75 00

T(ms) T (ms)

Figura 4~14 Mapas de primeiro retomo (a) para a aacutegua e em (b) para a soluccedilatildeo SOOAt glicerina e 20 aacutegua Em (A) temos o histograma para os 10000 tempos obtidos para a aacutegua e em (B) o mesmo para o liacutequido mais viscoso A baixa l viscosidade da aacutegua toma -iacute o sinal muito mais irregular corno pode ser comparado em 500 pontos da seacuterie (c) da aacutegua e (C) da soluccedilatildeo viscosa

93

n

59 4 Resultadose Anaacutelise

427 Frequumlecircncia de borbulhamento

A frequumlecircncia das bolhas dada pela equaccedilatildeo 416 tem uma validade limitada

pelas condiccedilotildees geomeacutetricas e dinacircmicas jaacute citadas anteriormente Fazendo outras

medidas com diferentes alturas de coluna observamos uma variaccedilatildeo na frequumlecircncia de

borbulhamento Basicamente o aumento da a1tura da coluna liacutequida causa a diminuiccedilatildeo

da frequumlecircncia de borbulhamento para a mesma vazatildeo Na Fig 415 eacute apresentada a

frequumlecircncia de borbulhamento em funccedilatildeo do logaritmo da vazatildeo com o sistema

predominantemente emitindo bolhas em periacuteodo I onde se utilizou a soluccedilatildeo 8000 de

glicerina e 20 acircgu~ o bico de seringa e trecircs alturas da co]una liquida Sem 12 em e 26

em Fazendo um ajuste linear para calcular os expoentes da frequumlecircncia de

borbuIbamento em funccedilatildeo da vazatildeo observamos um aumento no valor do expoente com

O aumento da altura da coluna e simultaneamente a diminuiccedilatildeo do coeficiente linear do

ajuste Deste modo a frequumlecircncia em bolhas diminui com o aumento da altura da coluna

mas temos um aumento na sua inclinaccedilatildeo com a vazatildeo volumeacutetrica O mesmo efeito

ocorre com um liacutequido menos viscoso (66 glicerina e 34 aacutegua) mostrado na Fig

416 Podemos ter uma variaccedilatildeo ainda maior quando usamos o bico AI isto ecirc

diminuiacutemos o orificio do bico borbuJhadoT como estaacute mostrado na Fig 417 com a

soluccedilatildeo 800 glicerina e 20 aacutegua com altura de coluna de 3 em acima do bico

Existem alguns fatores que podem causar estes efeitos Ruzicka que estudou

experimentalmente a transiccedilatildeo intermitente entre os regimes de borbulhamento e de

jateamento em um sistema aacutegua e nitrogecircnio~ mediu a velocidade da circulaccedilatildeo do

liacutequido com um anemocircmetro Danlec e observou que a circulaccedilatildeo do liacutequido aumenta

com a altura da coluna [Ruzicka ot aI 1997] Par a construccedilatildeo do modelo da equaccedilatildeo

(416) a segunda condiccedilatildeo eacute que natildeo baja circulaccedilatildeo do liquido proacuteximo do bico e deste

modo o aumento da coluna poderia afastar o sistema das condiccedilotildees de validade da lei de

frequumlecircncia de borbulhamento

Outros autores [Davidon et ai 1960 Marmur e Rubin 1976 Clift et al

1978] afirmam que a diminuiccedilatildeo do diacircmetro do bico afeta a frequecircncia de

borbulhamento causando o emparelhameno das bolhas (duplicaccedilatildeo de penodo) deviacutedo

ao aumento do nuacutemero de capacitacircncia Na dado por

4V (p - Pg)lt (422)N= miP

I

bull bull

60 4 Resultados e Anaacutelise

I [ A it

3

o ~0_ Uq 80 glic + 20 otildelQUa ~~ ~

oQ~-ogomiddot

o shyoi lIIIl

If-oI_og

bull c shy

o bull bullbull

bull o Iog fO4Obg 0+04 bull Iog f~O43bg 0+03

bull Iit 1og~OSSbgCKI12

-TrY

10 Log Q bull Vazatildeo (mllmin)

Figura 415 Frequumlecircncia de borbulhamento em funccedilatildeo da vatilo e altura da coluna liacutequida

Llq 6ocirc glie + 34 aacutegua

0deg ~ EI00 li

o o bullbull li o1 deg ~o bull bull bull

lt5

oA it 1 o bull bull bull

o log fUacute421og Q-+O4s 1 9

bull logft=O451og 0+028 li logf=O481ogQ+O12

bull o Iogf =O5BIogQ-O19

b

o _ 010 li 150m

~

10 100

Log Q - Vazatildeo (mVmin)

Figura 416 O mesmo que a figura anterior pOreacutem com um liquido menos viscoso

61 4 Resultados e Anaacutelise

lo 1=1

Biccedilo A1 o Lfq 80 glic + 20 aacutegua

amp90

OO~ r

o 0deg 0deg

Otilde 10 o o ~

o ~ ] f-O ov J

oOI o J o

o 1 10g fb 069109 Q-O25 1

10 100

Log Q - Vazatildeo (mllmin)

Figura 417 O mesmo liquido que foi utilizado paro os dados da Fig 416 mas agora com Q

bico A1 e uma altura de coluna acima do bico de 3 em

onde Vc eacute o volume da cacircmara que conteacutem o ar entre a vaacutelvula de controle de vazatildeo e o

bico Pi e pg satildeo as densidades do liacutequido e do gaacutes (ar) respectivamente do eacute o diacircmetro

do orifiacutecio (bico) eP a pressatildeo absoluta na bolha

Segundo Marmur e Rllbin orificios grandes (~1 mm) implicam em

baixa resistecircncia ao fluxo do gaacutes entre a cacircmara e a bolha e devido a isto a bolha e a

cacircmara funcionam corno um sistema unitaacuterio para o ar Jaacute com orifiacutecios menores o

nuacutemerO de capacitacircncia aumenta e a velocidade do ar nO bico aumenta causando

pequenas variaccedilotildees de pressatildeo na cacircmar~ que causam diferentes tempos de formaccedilatildeo

para as bolhas

Aleacutem destes fatores a temperatura eacute um paracircmetro fundamental a ser

monitorado Todas as medidas anteriores foram realizadas a 24 C

62 4 ResutatQs e Anaacutelise

428 DupUcaccedilotildees de periacuteodo

Com uma soluccedilatildeo de quatro partes de glicerina e um parte de aacutegua e usando a

seringa plaacutestica como bico obtivemos a seacuterie temporal d Fig 418 que mostra a

claacutessica sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo para o sistema do tubo borbulhador Nesta

figura temos uma diminuiccedilatildeo gradual da vazatildeo de ar atraveacutes do bico com uma evoluccedilatildeo

doade a regiatildeo caoacutetica (a) passando por comportamento de borbulhamento de penado 2

na parte (b) que passa a um periado 4 na regiatildeo (c) que passa para um novo

comportamento de penodo 2 regiatildeo (d) seguido por uma regiatildeo de formaccedilatildeo de bolhas

em periacuteodo 1 na regiatildeo (e) Na Fig 419(e) apresentamos uma imagem das bolhas se

formando periodicamente uma a uma e na Fig 4 19( d) eacute mostrado o comportamento de

periado 2 sem o efeito de coarescilnda entre as bolhas Na Fig 419(c) temos a imagem

para o penodo 4 enquanto que na Fig 419(b) temos um penodo 2 devido agrave

coalescecircncia de pares de bolhas que anteriormente formavam o periacuteodo 4 Finalmente

na Fig 4 1 9(a) temos a imagem das bolhas em regime caoacutetico

429 Salto e coalescecircncia

Obtivemos uma seacuterie temporal diferente com o mesmo aparato anterior~ mas

utilizando o bico A3~ Um capilar metaacutelico longo deixando a pressatildeo do reservatoacuterio

diminuir naturalmente atraveacutes do borbulhamento Esta seacuterie temporal eacute mostrada na Fig

420 O sistema estaacute evoluiacutendo em um movimento de periacuteodo 2~ regiatildeo (a) na Fig 420

onde a diferenccedila entre os dois ramos do atrator eacute de 55 ms A medida que a vazatildeo do ar

diminui Qcorre um encolhimento abrupto do atrator para outro periacuteodo 2 onde a

diferenccedila entre os famos passa o ser 1 nlS mostrando um salto na dinacircmica da fonnaccedilatildeo

de bolhas na regiatildeo (b) da Fig 420 Depois disC o sistema evolui para um periodo 1

mostrado na regiatildeo (c) Na Fig 421 estatildeo ilustrados cada perfil de borbulhamento nas

trecircs regiotildees Na Fig 421() temos duas imagens que mostram a formaccedilatildeo de uma

grande bolha em dois cstagravegios No priacutemeiro estaacutegio a bolha se forma com o tempo do

ramo superior do pedodo 2 da seacuterie temporal da Fig 420 (-25 ms) Logo que esta

bolha se destaca uma segunda bolha eacute criada durante a sua furmaccedilatildeo esta segunda

bolha toca bull bolha antenor e o fluxo de ar ascendente soprado dentro da bolha em

fonnaccedilatildeo vence a tensatildeo superficial fazendo a coalescecircncIacutea do par que eacute alimentado

4 Resultados e Anaacutelise 63

50~--------------------------------------~

(a)

~ ~ bull1o$ ~ bull bullbullbull u ~ gtbullbullbull

bull ~~ (b) -

~ ~ bull lt

(c)

~

bullbull _~_

~ (bullbullbullbull bulli~ ~~~I~~~~

1- W

40

7 ~3(l E ~

1-lt

20

~~~~~~ ~~~ 10

o I I o 500 1000 2000 2500 3000 3500 4000

n

Figura 418 Seacuterie temporal a partir do oomportatnento caoacutetico ateacute o penudo l Tneacuteo temJX) entre bolhas e n eacute a ordem da bolha coletada

~_ ~IV ~

l 1 _ 1 - 8~

~ ~ c bull

~~ G Q

gt middotcmiddot

C1r obull~ 8 ~ - -~

~

~ ~a o G

i~1bgt ~ ~ciacute1I ~

(a) (b) (c) (d) (e) Figura 419 Perfil das bolhas emitidas em cada um dos regimes mostrados na seacuterie da Fig 515 Em (a) vemos O oomportamentoca6tico (O) periacuteodo 2 com coal_neia (e) perlodo 4 (d) periacuteodo 2 e em (e) perlodo (1)

pelo bico soprador e se toma uma uacutenica grande bolha Com a diminuiccedilatildeo da vazatildeo de

ar O toque entre as bolhas deixa de ocorrer e o atrator diminui abruptamente

bull bull bull

__

64 4 Re$tlltados e Anaacutelise

25 _~r--~

bull bull bull

(b)Tn (ms)

20

15 bull

o 100 200 400 500 600 700 TI

Figura 420 Seacuterie temporal mostrando um salto na dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas o periacuteodo 2 se (X)otIai abruptamente em um periacuteodo 2 diminuindo o periacuteodo do borbulhamento

~~~~~ Blaquoltlt o

~~~~ ~ti~~ ~~~__o

$ 01lt- ~

~j3~~ ~ c ~lt _4B ~~~~ Oylt OImiddot

o

il~~ gt OI a~f~ omiddot~~ Omiddoti

~ltbullbull 01laquolt ~ deg -~ ~-

~- J~f~ 1ltlaquo O middot

~i ~~ltc 9~1 ~~~~ ~ ~~

~~I-~iJM ~1 l -gt

(a)

-ot

~~ ~~ -i)-~

-~jIi-J

(b) (c) Figura 421 Imagens das bolhas (a) antes do salto onde podemos ver as bolhas se tocando- e coalescendo (b) o- periacuteodo 2 apoacutes o salto onde as bolhas satildeo emitidas aos pares sem coalescecircnciacutell e (c) o periacuteodo 1

65 4 Resultados e AnacircJise

Uma mudanccedila abrupta de comportamento nos sistemas fiacutesicos pode ser

eAtilde-pHcada atraveacutes de mapas com descontinuidades como foi proposto por de Sousa

i Vieira el ai [Souza Vieira oi ai 1987] Par estudar assimetrias e descontinuidades eles

I utiacuteHzaram o mapa

I-e -alxX sexo gt0

x = f(x) (423)1-(e +8) =0

1-amp2 -a2Ix1 sex lt0londe S1 e EZ satildeo os coeficientes de descontinuidade z e Z2 satildeo os expoentes de

assimetria aJ e az satildeo os paragravemetros de controle do mapa x

~wa1rr~J

j(b)

ftlt 00 DS 110

X

~~_ shy h ~

ltgt01

raquo1111u

~ (a) bullbull

X

gtltt

bull a

Figura 422 Dois exemplos de mapas assimeacutetricos (a) omapa descontiacutenuo das equaccedilotildees 422 e os valores de cada puilmetro em (A) temos o seu diagrama de bifurcaccedilotildees Em (b) os jmagravemetros do mapa contiacutenuo e em (B) o respectivo diagrama de bifurcaccedilotildees

66 4 ResuitaikJse Anacirclise

Outro caso onde ocorre descontinuidades eacute atraveacutes do modelo de mapas

combinados em seacuterie [Tufaile 19 Tufaite si aibull 1999] no qual os sistemas interagem

aJtemadamente Este modelo pode ser exemplificado com os mapas unidimensionais

xbullbull = f4y) (424)

Yn+1 = g(~Xff+l)

cuja combinaccedilatildeo eacute a uniatildeo dos resultados dos dois mapas

S=fug (425)

Se considerarmos o mapa logistico com o paratildemetro de controle p~

Zn+l co PJVZn(l- In) com

(426a)[1+ (-l)JPr +[1 +(-l)]Py p~co

2

A recorrecircncia Zn pode ser rescrita em dois subsistemas independentes associados com a

paridade de 11

x =16pPr (I-x)[1-4p-x(1-xl] (42Gb)

y =16ppy(l-y)[1-4Pxy(I-y)] (4260)

Aleacutem disso os paracircmetros Px e py podem ser simultaneamente funccedilotildees de um

paracircmetro que acopla o sistema Devido agrave propriedade da formaccedilatildeo de bolhas de

diminuiccedilatildeo do tempo em funccedilatildeo do paracircmetro de controle~ pode-se utiliacutezar uma funccedilatildeo

convexa do tipo

zn+1 =z -a (427)

e fazer a combinaccedilatildeo em seacuterie deste mapa com o paracircmetro de controle assumindo dois

valores para a gt O8

0x =0 (428)

y =ltgt+01

O diagrama de bifu~o desta combinaccedilatildeo estaacute mostrado na Fig 423

Figura 423 00

A descontinuidade ~ obtida pela combinaccedilatildeo ~ 05 em seacuterie de dois tnaplS

quadraacuteticosshy-10

os 1006

a

67 4 Resultados eAnaacutelise

Interpretando o salto sob o ponto de vista dos mapas combinados em seacuterie

podemos considerar que antes do salto logo apoacutes a duplicaccedilatildeo de penado as duas

bolhas satildeo formadas atraveacutes da mesma funccedilatildeo de formaccedilatildeo Quando ocorre o toque a

primeira bolha do par possuIacute urna funccedilatildeo de formaccedilatildeo distinta da segunda bolha pois a

segunda bolha coalesce durante sua formaccedilatildeo com a primeira e o bico soprador passa a

encher o conjunto com quase o dobro do volume uma bolha

Outro tipo de combinaccedilatildeo de mapas eacute a combinaccedilatildeo paralela de dois mapas tt) e g(y) que resultam no mapa combinado s

x = - - p(I) y =y - py(I) (429)

Sn xlI +Yn

O6--------------------~

00shy

X -06shy P1

-12 shy

00

gt-bull -05shy ~ gt2 -10 00

gt- -05shy+Xt ~1Q gt 11 ~

(f ~15

-20 060 065 070 075 080 085

P

Figura4~24Acombinaccedilatildeo--j)am1e1a S de dois truiJX1S

onde x() e p(ccedil) satildeo paracircmetros de controle em funccedilatildeo de um paracircmetro comum ccedil

com cada mapa sendo iacuteterado separadamente Na Fig 424 temos dois mapas

bifurcando inversamente para diferentes valores do paracircmetro de controle p) enquanto

que a sua combinaccedilatildeo paralela possui uma bifurcaccedilatildeo flip do mapa da variaacutevel XII no

684 Resultados eAnaacutelise

ponto PIe que equivale a uma alteraccedilatildeo no periacuteodo dois do mapa Sh no ponto P2

devido agrave segunda bifurcaccedilatildeojlip do mapa Yn

A seacuterie da Fig 425() foi obtida utilizando-se o bico AI o mais curto dos bicos

da seacuterie A Nesta figura podemos ver que o salto foi nuacutenimizado Na Fig 425(b)

apresentamos a simulaccedilatildeo correspondente~ na qual utilizamos dois mapas combinados

em seacuterie

(a)

-70j lO ~

77 0 tle

U

E -z I- 50

40 2000

N -obull

-O~ (b)

0 (J) middot01 ~

middot1~

middot14

-16

10 11 1~ 1~ 1O a

Figura 425 Em (a) podemos ver uma seacuterie temporal obtida com a diminuiccedilatildeo da aZatildeo com o bico AI e uma soluccedilatildeo viscosa 80 glicerina e 20 aacutegua Em (b) a combinaccedilatildeo paralela de dois mapas A biftucaccedilatildeo flip que ocorre no mapa) quando levada agrave combinaccedilatildeo paralela ~ causa a diminuiccedilatildeo doperiacuteodo 2

4000

4 Resultados e Anaacutelise 69

4210 Antibolbas

Uma casca aproximadamente esfeacuterica de ar dentro de um liacutequido forma o que foi

chamado por J E Connetl de Gllliacutebolha segundo C L Stong [8tong 1974] Na Fig

426 estaacute esquematizada uma antiacutebolha

I

FJllUl1 426 Uma antibolba eacute uroa gota de um liquido envolvida por uma fina camada de ar dentro do liquido

Como o seu interior eacute preenchido pelo o mesmo liacutequido da parte externa as

antibolhas satildeo ligeiramente rnaiacutes leves que o fluido agrave sua vol~ mas satildeo mais pesadas

que as bolhas Deste modo correntes proacuteximas aacute antibolha podem deslocaacute-Ia facilmente

superando o seu empuxo Quando a casca esfeacuterica se desestabiliza a antibolha colapsa

em uma pequena bolha de ar esfeacuterica que emerge no liacutequido O tempo de existecircncia de

uma tibolha antes de sua desetabilizaccedilatildeo em uma pequena bolha de ar pode chegar a

ordem de minutos

No experimento do tubo borbulhador ocorre tambeacutem a formaccedilatildeo de antibolhas

para determinados regimes da formaccedilatildeo de bolhas As antibolhas seguem as correntes

do liquido dentro do tubo em movimentos ascendente e descendente Na Fig 427

podemos ver antibolhas ao reder de bolhas sendo sopradas no bico borbulhador Para o

liquido utilizado (2 partes de glicerina para I de aacutegua) bull ocorrecircncia de antibolhas

acontece a partir do estaacutegio onde aparece a coalescecircncia do par de bolhas chamado de

periacuteodo 2 antes do salto da Fig 421(a) A formaccedilatildeo das antibolhas eacute precedida pela

formaccedilatildeo de goticulas A formaccedilatildeo de gotiacuteculas estaacute esquematizada na Fig 428 onde

vemos em (a) que parte do liquido em movimento ascendente forma posteriormente um

capilar em (b) e uma goticula se desprende Nas imagens da Fig 428 podemos ver

I

70 4 Re5Ultadocircs e Anaacutelise

alguma imagens que mostram a formaccedilatildeo de gotiacuteculas dentro da bolha assim como

invaginaccedilatildees que podem levar a criaccedilatildeo de antibolhas

Assim como as bolhas as antibolhas desviam o feixe laser e podem ser

detectadas_ Verificamos isto colocando o sistema no regime de formaccedilatildeo de antibolhas

que corresponde a um periacuteodo 4 para as bolhas mostrado no mapa de retomo da Fig

429(a) O seu espectro de potecircncias estaacute na Fig 429(b) As antibolhas se deslocavam

dentro do tubo borbulhador seguindo as correntes internas do fluido COm

deslocamentos preferencialmente descendente proacuteximo agrave parede do tubo e ascendente e

altelerado proacutexiacutemo do bico soprador A quantidade de antibolbas dentro do tubo era

aproximadamente 30 e o feixe laser fui colocado num ponto em que as bolhas natildeo

passavam por eJt num ponto 2 cm acima do bico e 2 em deslocado do eixo do tubo

como o ponto PI da Figo 427 Nesta regiatildeo apenas as antiacutebolhas passavam pelo feixe

laser e noacutes obtivemos os dados mostrados no mapa de retorno da Fig 429(e) Nestes

dados satildeo apresentados 500 pontos correspondendo a 50 minutos de aquisiccedilatildeo com

intervalos de tempo entre 17 milissegundos ateacute 8S segundos

~~ ~ -0 -- O d

~ --- Arltibolhas

oO~f ltgt

figt O ~__ amobullbull -

7~

P1 9

middot0

-6

9

FIgUra 427lmagem das antibollw ao redor das bolhas que se formam no bico soprador Fazendo o Iascr incidir perpendiculannente ao plano da imagem no ponto Plfoi possiacutevel detectar algumas _bolhas se deslocando aleatoriamente dentro do tuoo borbulhador

71 -[ 4 Resultados e Anaacutelise

--~1

(d) itifit

~ Figura 428 Formaccedilatildeo de gotiacuteculas esquematizada em (a) (b) e (c) (d) Nas imagens podemos ver pagravedrotildees semelhantes nas bolhas

00 (c)(a)fi ] 25middot g ~

it shy

gt-

~1 ( ~~15 I

16 zo 2S 30 Tw(ms) TIlaquos

10 ~ $ 10

~ 10-e

bolha

Figura 429 Ca) Mapa de primeiro retorno do perlodo 4 e em (b) o seu ~ de potecircncias O mapa de retorno em (c) foi obtido com I) sistema nas mesmas condiccedilotildees daacute formaccedilatildeo das antibolhas mas posicionando o feixe laser e o fotodiodo de modo a detectar as antiacutebolbas que pa5Sa1Ul1 pelo ponto PI da Fig 427

(b)

00 01 02 1 03shy 04 06

72 4 Resultados e Anaacutelise 1

43 A onda sonora e as bolhas

Os efuitos de uma perturbaccedilatildeo externa a onda sonora na formaccedilatildeo das bolhas

satildeo apresentados e analisados neste capiacutetulo O problema das bolhas perturbadas por

ondas sonoras apresenta desafios muito interessantes do ponto de vista matemaacutetico) com

relaccedilatildeo a proposiccedilatildeo das equaccedilotildees que controlam o sistema e suas condiccedilotildees de

contorno pois1 aleacutem de um sistema de duas fas~ com uma das fases compressiacuteveJ

temos a accedilatildeo de uma onda sonora Do ponto de vista experimentai o tubo borbulhador

possui uma geometria que fagraveciacutelita a utilizaccedilatildeo da onda sonora devido aacute propriedade de

confinamento de ondas sonoras em tubos

Existem trabalhos que envolvem a accedilatildeo de ondas sonoras em bolhas ou gotas jaacute

formadas [MarstoIl 1980] ou quando bolhas ou cavidades satildeo criacuteadas dentro de um

liacutequido devido a uma onda sonora de alta intensiacutedade[Lauterbom 1986 Prosperetti)

1986J a chamada cavilaccedilatildeo acuacutestica Haacute ainda um caso conhecido como cavitaccedilatildeo

transiente no qual a temperatura no interior da bolha atinge mUhares de graus e a

pressatildeo chega a milhares de atmosferas Nestas condiccedilotildees ocorre o fenocircmeno conbecido

como sonoluminescecircncia que eacute a emissatildeo de luz por bolhas em um liacutequido excitado por

ondas sonoras [Putterman 1995 Moran el aI 2000] As frequumlecircncias das ondas sonoras

envolvidas com cavitaccedilatildeo satildeo da ordem de centenas de kHz Nestes trabalhos tambeacutem

se estuda como o campo sonoro emitido pelas bolhas~ devido aos efeitos da cavitaccedilatildeo~

afeta as proacuteprias bolhas Neste capiacutetulo veremos condiccedilotildees mais claacutessicas de interaccedilatildeo

entre bolhas e ondas sonoras do que as que ocorrem na sonoluminescecircncia Aqu~ neste

capiacutetulo a bolha eacute afetada pela onda sonora durante a sua furmaccedilatildeo no bico soprador

com frequumlecircncias da onda sonora variando no intervalo entre dezenas e centenas de hem

O tamanho das bolhas estudadas eacute da ordem de centimetros o que pcnnitiu registrar

suas imagens atraveacutes de uma cacircmara VHS comum Veremos tambeacutem como o sistema

onda sonora - bolhas nos levou ao estudo do mapa do ciacuterculo bidimensional onde

temos um oscilador sofrendo impulsos penoacutediacutecos de uma forccedila externa

73 4 Resultadoacutes e Anacirciise

431 A formaccedilatildeo de bolbas perturbadas pelas ondas sonoras

Nesta seccedilatildeo veremos os resultados que mostram a mudanccedila do tempo entre as

bolhas para uma onda sonora de frequumlecircncia fixa e valores de amplitude crescentes

[Tufagraveile e Sartarelliacute 2000a Apecircndice 2]

Mantendo fixa a vazatildeo do ar atraveacutes da vaacutelvula controladora e utilizando a

soluccedilatildeo de 66 de glicerina e 34 de acircgtll noacutes mudamos a dinacircmica da formaccedilatildeo de

bolhas aplicando ondas sonoras sintonizadas na frequumlecircncia fundamental da coluna de ar

acima do liquidO (138 Hz)

Na Fig 430 mostramos os mapas de primeira retorno em funccedilatildeo da amplitude

da onda sonora em regime de vazatildeo constante Estatildeo em destaque no canto superior

esquerdo de cada graacutefico a ampHtude do sinal senoidal e a frequecircncia meacutedia das bolhas

O sistema eacute colocado inicialmente borbulhando em periodo 1 com uma frequumlecircncia em

bolhas de 11282 bolhass como estaacute mostrado na Fig 430(a) Aplicando a onda

sonora o ponto fixo perde sua estabilidade e um ciclo limite aparece corno pode ser

visto na Fig 430(b) e 430(c) com um pequeno aumento da taxa de borbulhamento

meacutedio

Na Fiacuteg 430(c) o ciclo limite perde sua estabilidade e um ponto fixo proacuteximo

de (87ms 87ms) eacute visitado intermitentemente Este ponto fixo foi determinado atraveacutes

de um histograma do graacutefico de Tn As transfonnadas de Fourier dos dados relacionados

agrave Figs 43O(d-g) mostram um periacuteodo 2 ruidoso Mostramos na Fig 431 o espectro

de Fourier dos dados do atrator da Fig 430(1) Neste espectro vemos um grande pico

em O~5~ o que corresponde ao penado 2

Isto mostra que estaacute ocorrendo uma bifurcaccedilatildeo flip em funccedilatildeo da

amplitude da onda sonora Em uma bifurcaccedilatildeo flip existe um ponto fixo instaacutevel entre

os dois pontos fixos estaacuteveis Nossos dados mostram que a vizinhanccedila do ponto meacutedio

entre os dois pontos fixos eacute visitada devido ao ruiacutedo~ e consequentemente) nossos dados

satildeo adequados para se aplicar a teacutecnica de transfonnaccedilatildeo de ponto fixo desenvolvida

por So e aI [80 et al~ 1996] para se encontrar oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis em seacuteries de

eventos

bull bull bull

bullbull

74 4 Resultados e Anaacutelise

I 112921

I gt65 11lt196 I

bull---~~ --- ~ bull bullbullbull

11_

[

I (1145 11n41 I - 11470 I

4 ~~

- - - - - - iCcedil

(gtl middot bull AOlt 56

(raquo

~~~~----shy---~- - -shy middot bull middot bull bullbullbull )bull bulllt~ shy- 11461shy bull ~ bull

f ~ o loli ----- -~~ ----~- 1 ~- -~ -S - f~ ~ -~ bull middot bull

bullbull bull bull bullbull bull

- bull-bull

i)

T~(ms)

- r 11 ~1 09 1117111 05 1141 I 0-6 bullbull

-T ~~ j ~ - ~~~~

- ( [ f l~~lt bull l) ~ L_ bullbullbullbull IJI~f l ~ r ~ ~ ~ ~ _ _bull

t bull i i f~lO ~ O) bullI 00bull Tnms)

Figura 430 Mapas de retomo do Ciper1mcnto do tubo borbulhador Em cada graacutefico temos no cantO superior esquerdo o valor da tensatildeo aplicada no alto-falante e o valor da frequumlecircncia de boacuterbulbamento meacutedia O liacutequumlido utilizado eacute uma soluccedilatildeo de 66 glicerina e 34 aacutegua e as bolhas foram sopradas diretamente na seringa plaacutestica

4 Resultados e Anaacutelise 15

1

p

I 100~~______~~----~-----~~--1~~111ilIUlltill~

00 01 02 03 M 05

(bolhar1

Flgura 431 Espectro de Fourier dos dados da Fig 30(f) iodiacutecando bull existecircllCIacutetI de um periodo 2 ruidoso

Um exemplo dos nossos resultados estaacute mostrado na Fig 432(a) onde estaacute

representado o histograma para o caacutelculo do ponto fixo usando os dados mostrados na

Fig 43O(h) Para uma melhor visualizaccedilatildeo da posiccedilatildeo da oacuterbita perioacutedica instaacutevel um

graacutefico da intensidade para os mesmos dados eacute mostrado na Fig432(b) O maior pioo

define um periacuteodo I instaacutevel em (869l ms 8699 ms) proacuteximo do ponto fixo estaacutevel

mostrado na FigAlO(e)

Aumentando ainda mais a amplitude noacutes obserVamos o aparecimento da regiatildeo

caoacutetica com as caracteriacutesticas da dinacircmica de estiramento e dobra como estaacute mostrado

nas Figs 430(h-i) e oom pequena mudanccedila na frequumlecircncia meacutedia de borbulhamento Os

atratores na regiatildeo caoacutetica foram caracterizados pelo expoente de Lyapunov dominanre

[Ellner ti al 1912] e estes expoentes podem ser vistos na Fig 433

1

76 4 Resultados e Anaacutelise

(a) Contagens

iacutel00

(b)

Contagens~m (lJ ~337raquoj middotiIrmiddot = IIHI tgt ~ blHH

lIS1I eM elo IIU =JT(lM) 10bullbull

Figura 432 Histograma JXlffi a determinaccedilatildeo da oacuterbita perioacutedica instaacutevel (a) e graacutefico de contorno para os mesmos dados (b) localizando () ponto fixo instaacutevel um fX)UCO abaixo de amp7 ms

05

~--- -T

i I _ _ 1osoagrave rn eacute-

~- 025- I n o

0001 bull

03 04 05 06 07 08 09

Tensatildeo aplicada no alto-falante M

Figura 433 E potntes de Lyapunov dos atratores moStrados em 4JO(e) a (j) em funccedilio da tensatildeo aplicada no alto--falante

77 4 Resultados e Anaacutelise

Continuando a aumentar a amplitude da onda sonor~ com incrementos maiores

do que ante noacutes obtivemos os atratore mostrado na Fig 434 Na Fig 434(m) a taxa

de borbulhamento meacutedia eacute de 205 bolhasls para uma onda sonora gerada com um

tensatildeo de 314 V no alto-falante A posiccedilatildeo - (725 ms 725 ms) eacute visitada com um

comportamento intermitente O tempo de visitaccedilatildeo aumenta quando a amplitude do som

aumenta ateacute que o ponto - (725ms 725ms) torna-se um ponto fixo estacircvel~ como

mostrado na Fig 434(n) Nesta situaccedilatildeo a frequumlecircncia meacutedia de borbulhamento eacute

F=13797 plusmn 9 bolhass tem o mesmo valor da frequumlecircncia da onda sonora Na Fig 435

podemos ver a diferenccedila entre as imagens das bolhas para o primeiro ponto fixo dos

dados mostrados na Fig 434(a) e o ponto fixo na ressonacircncia do atrator da Fig

434(n)

100i 314 205 10 13797 I l

~

Ul

E ~

i

1

+ I ~ T gtt ~~

ao ~ -i )I~ L bullbullbull amiddot ~

bull ~f - bullbull ~ bull (~1iii2~_~~

middotmiddotmiddotmiddotmiddotvb-~middot

r-li ~ ~ ~ i f~ ~

w-i~ 1 _o - ~ -~ ~ 1 ~ ~~imiddot ~ 20-1shy ~ -r shy

~i i~ ~

1t middotmiddot middotlt~fO I i i j

(m) 1 bull

(n) I

ti 20 40 fD 80 100

T n

Figura 434 (In) O ponto - (725 ms 725 ms) eacute visitado em wn comportamento intemuacutetenle com os outros pontos espalhados pelo espaccedilo de fases Em (n) a formaccedilatildeo das bolhas sinaoniza-se com a frequumlecircncia fundamenla1 do tubo e temos apenas o ponto- (725 ms 725 ms)

4 Resultados e Anaacutelise 7amp

a b

432 Atratores do tipo Heacutenon

Os resultados da seccedilatildeo 431 nos mostraram uma grande evoluccedilatildeo da dinacircmica

da furmaccedilatildeo das bolhas com o aumento da tensatildeo aplicada no alto-filante A regiatildeo da

dinacircmica que apresenta a bifurcaccedilatildeo fip~ seguida por atratores caoacuteticos eacute semelhante

aos sistemas dinacircmicos que apresentam propriedades de estiramento e dohra como o

mapa de Heacutenon discutido na seccedilatildeo 27 Por este motivo veremos a comparaccedilatildeo entre

atratores experimentais nessa regiatildeo e o mapa de Heacutenon na tentativa de compreender a

dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas para uma regiatildeo do paracircmetro de controle

De modo a reduzir o ruiacutedo nos dados utilizamos uma soluccedilatildeo mais viscosa 80

glicerina e 20 aacutegu~ e utilizamos o bico A2 Para termos uma variaccedilatildeo mais fina do

paracircmetro d controle alteramos o fator de amplificaccedilatildeo do gerador de funccedilotildees cujo

sinal alimenta o aitcrfalante A vazatildeo de ar e a frequumlecircncia da onda sonora foram

mantidas constantes~ em -366 bolhass e 150 Hz respectivamente Noacutes alteramos a

dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas aumentando a tensatildeo no alto-falante como mostrado

~

sect 8 o

g g middot0 o

Figura 435 Imagem da sincroruzaccedilatildeo das bolhas com a onda sonora no tubo borbulhador Em (a) temos a im1lgem para o ponto lixo lMSU1ido na Fig 430(a) com Fe=11282 bolhasl$ (b) O uacutellimo ponto fixo mostrado na Fig 434(n) quando as bolhas estatildeo sincronizadas com a frequumlecircncia da onda sonora (138 Hz) Nos dois casos teOlQ$ a mesma vdZatildeo de ltIr

79

(f)

~

4 ResultmlcseAnaacuteJise

pelo diagrama de bifurcaccedilatildeo na Fig 436 num regime de vazatildeo constante Nesta figura

vemos uma dupliacutecaccedilatildeo de penado ocorrendo ao redor de 20 V com as bolhas sendo

emitidas aos pares ateacute aproximadamente 3~O V~ quando um penodo 4 ruidoso aparece

Apoacutes isto duas bandas caoacuteticas aparecem Para --3~5 V as duas bandas caoacuteticas se

encontram e se sobrepotildee~ com o aparecimento de um atrator caoacutetico maior

~

20 25 Tensatildeo no alto-falante M

Figura 436 Duplicaccedillo de perlodo em funccedilatildeo da amplitude da onda sonora A frequumlecircncia da onda sonora eacute 150 Hz e a ftequumlecircnciacutea de borbulhamento inicial eacute por volta de 31 bolhass

Para realizar a caracterizaccedilatildeo meacutetrica e topoloacutegica da dinacircmica da formaccedilatildeo de

bolbas sob a accedilatildeo da onda sonora noacutes coletamos seis seacuteries de eventos fixando a tensatildeo

em seis valores distintosgt cujos mapas de retomo (T+- vs T1I) satildeo mostrados na Fig

437

figurA 437 Uma l-Vi I v li I bull vll seqUecircncla de atratoresi reconstruiacutedos- i tmiddot mostrUdo uma rota

~ para o Caos atniveacutes de duplicaccedilotildees duto periacuteodo O valor emta) (b) (e) volts corresponde agrave tensatildeo mantida

t constante no altoshy falante durante a

32

~~ obtenccedilatildeo do atnltOf ~

(eI) bull I(e)

~I

32 Tms)

80 4 Resultados e Anaacutelise

432A Caracterizaccedilatildeo meacutetrica

Os alratores caoacuteticos reconstruidos Figs 437(d) ateacute 437(f) foram caracterizados

atraveacutes dos expoentes de Lyapunov pela dimensatildeo de Kaplan-Yorke aleacutem da dimensatildeo de

Infonnaccedilatildeo obtidos pelo pacote de programas TISEAN [Hegger aI ai 1999] A conjectura

de Kaplan-Yorke [Argyris o ai 1994) que relaciona a dimensatildeo de Infonnaccedilatildeo e a

dimensatildeo de Kaplan-Yorke (equaccedilatildeo (211 raquo mostra que elas se igualam para alratores do

tipo Heacutenan As dimensotildees foram obtidas para as lensotildees de 35 V 40 V e 45 V como

estaacute mostrado na tabela 41 As dimensotildees de InfOrmaccedilatildeo e Kaplan-Yorke coincidem para

os trecircs atratores caoacuteticos

I I

Figura nuacutemero

3d 3e 3

Tensatildeo llspeccediltro de Dimensatildeo de Dimensatildeo de LYaOUllnv Katgtlan-Yorle Informacatildec

35 +011-08 115 I 13 3 40 +012-06 1 23 1 143 ---

1)45 + 02 - O) - 09 168 18 3 Atrator de Heacutenon

o b I 55 01 +038-238 116 II~14 03 + 042 -162 117 119

Tabela 41 Expoentes de Lyapunov e dimensotildees dos atnitores caoacuteticos experimentais e de dois pares de valores do mapa de Heacutenon

Cada um dos dois primeiros atratores caoacuteticos possui espectro de Lyapunov com um

expoente positivo e o outro negativo~ enquanto que o uacuteltiacutemo atrator Fiacuteg 437(f) possui um

expoente positivo e dois expoentes negativos Na tabela 41 satildeo apresentados os resultados

para mapa de Heacutenon mostrado na equaccedilatildeo (212) para dois conjuntos de valores dos

paracircmetros (a b) e os atratores experimentaiacutes reconstruiacutedos

Os valores das dimensotildees dos atratores para amplitudes de 35 V e 40 V satildeo

proacuteximos dos valores das dimensotildees do mapa de Heacutenon sugerindo que eles podem ter

dinacircmica similar O atrator reconstruiacutedo para 45 V mostrado na Fig 437(1) tem a fonna

semelhante aos dois outros atratores anteriores Entretanto) comparando-se as dimensotildees

deste atrator com as dimensotildees dos atratores das Figs 437(d) bull 437(e) vemos que o valor

da sua dimensatildeo de Informaccedilatildeo eacute maior que a diacutemensatildeo dos dois outros atratores

experimentais assim como dos valores de dimensatildeo para o mapa de Heacuteno~ como pode ser

4 Resultados e Anaacutelise amp1

visto na tabela 41 Junto com o fato de que o atrator d Fig 437(1) tem trecircs componentes

no espectro de Lyapu~ov a dimensatildeo de Informaccedilatildeo proacutexima de dois eacute uma indicaccedilatildeo que

este atrator natildeo pode ser totalmente desdobrado em duas dimensotildees

432B Caracterizaccedilatildeo topoloacutegica

Para o mapa de Heacutenon com os paracircmetros ti =1~55 e b = 01 1 utilizando a equaccedilatildeo

(212) para calcular a posiccedilatildeo dos pontos fixos para a variaacutevel x do mapa de Heacutenon

encontra~se que o ponto fixo x estaacute localizado em aproximadamente 0~56 Este ponto

corresponde a um dos pontos de cruzamento da linha diagonal pontilhada com o atrator

reconstruido Xn+1 V$ X como pode ser visto na Fig 438(a) Neste atrator o ponto fixo

possui dois autovalores dados pela equaccedilatildeo (214) Agravel = 006 eM = -179 que caracterizam

este ponto fixo como um ponto de sela A variedade estaacutevel ecirc tangente agrave direccedilatildeo do

autovetor contraente relacionado ao autovalor positivo Agravel menor do que 1 e a variedade

instaacutevel eacute tangente ao autovetor de estiramento relacionado com Oautovetor 2 com valor

absoluto maior do que I Isto estabelece que o ponto fixo e um sela jlip [AIliacutegood el ai

1997]

Na Fig 438(a) podemos ver tambeacutem um exemplo d evoluccedilatildeo dos pontos no

atrator~ atraveacutes da alternacircncia dos pontos ao longo da direccedilatildeo instaacutevel ateacute a trajetoacuteria

alcanccedilar as extremidades do atrator Partindo de uma regiatildeo proacutexima do ponto de sela do

atrator de Heacutenon noacutes vemos os pontos iacutempares iniciais acima da linha diagonal pontilhada

(I 3 5 e 7) a os pontos pares abaixo desta linha (2 4 e 6) caracterizando bull variedade

instaacutevel Nos mapas de primeiro retorno exparimentais mostrados nas Figs 437(d) (e) e

(I) noacutes dividimos o atrator em duas partes com uma linha diagonal para determinar os

pontos que cruzam com o atrator Ocorreu o comportamento de alternacircncia da trajetoacuteria

para os trecircs casos do mesmo modo que o observado no atrator de Heacutenon como estaacute

exemplificado na Fig 438(b) para o atrator obtido com UIDa tensatildeo no alto-falante de 40

V Do mesmo modo que no atrator de Heacutenon noacutes comeccedilamos num ponto proacuteximo da

interseccedilatildeo do atrator com a linha diagonal (TN = TN+ l aproximadamente igual a 27 ms)

com as extremidades do atrator sendo visitadas pela oacuterbita Deste modo devido as

semelhanccedilas de evoluccedilatildeo dos atratores experimentais com a evoluccedilatildeo do atrator de Heacutenon

82

~

+ 1- 26

24

4 ResultlJdcs eAnuacute]se

noacutes podemos inferir a existSncia de um ponto de sela flip nos atratores experimentais

mesmo para o caso da tensatildeo de controle de 45 V cujo espectro de Lyapunov tem trecircs

componentes e dimensatildeo proacutexima de dois

lS

I I (a) 6

10-1 ~ Figura 438 (a) Vemos ao lado a trajetoacuteria sobre nove pontos da al13tOr de Heacuteoon para exemplificar o comportamentoosol I de um ponto de selajlip localizada proacutexima do ponto 1

I gt~ ) ) (x= 056)

) ooJ 8~

-Osol

7

-10 -10 -05 00 OS 10 15

XN

I - -

(b) O mesmo oomponamento de um Ixmto fIXO tipo selaflip pode

JO- 1 ~ gt ser observado pm1 o atrator experimental com os pontos pares uacuteuacuteciais (2 4 e 6 acima da

~ fi) diagonal e os pontos imparcs20i iniciais (I 3 5 e 7) abaixoE 1~t I~

22 22 24 26 28 JO

TN(ms)

32 ~ ~

4 Resultados e Anaacutelise $3

432C Plano simb6lico

Como os planos simboacutelicos satildeo representaccedilotildees graacuteficas da diacutenacircmica e urna poderosa

ferramenta para se comparar sistemas dinacircmicos noacutes aplicamos a teacutecnica de dinacircmica

simboacutelica para os atratores mostrados nas Figs 437(d) ateacute 437(1) assim como no atrator

de Heacutenon (0=155 e 1gt=01) para podennos comparar as semelhanccedilas e diferenccedilas entre eles

Definimos as particcedilotildees L(R) atraveacutes da linha tracejada Na Fig 439() mostramos o atrator

de Heacutenon para a=155 e b=O1 com a sua respectiva particcedilatildeo que separa a regiatildeo formada

por uma linha (L) da regiatildeo com uma dobra (R) que conteacutem o ponto fixo instaacutevel O plano

simboacutelico aJ3 deste atrator estaacute mostrado na Fig 4J9(A) Nas Figs 4AO(b) ateacute 440(d)

temos os atratores experimentais cujas particcedilotildees satildeo as linhas tracejadas que separam uma

regiatildeo com um ramo (L) de uma regiatildeo com dobra (R) Os respectivos planos simboacutelicos

aJ3 estatildeo mostrados nas Figs 440(B) (C) e (D)

Comparando--se a Fig 4J9(A) com as Figs 440(B) (C) e (D) percebe-se o padratildeo

de cada plano simboacutelico eacute semelhante ao plano simboacutelico do mapa de Heacutenon A maior

I

84

R

22 I I I I I I II I 22 24 26 28 30 32

4 Resultados e Anaacutelise

semelhanccedila ocorre entre o atrator de Heacutenon e o atrator experimental com a tensatildeo de

controle de 35 V da Fig 440(B) cujo plano simboacutelico possui as mesmas regiotildees permitida

e proibida Para valores maiores de amplitude da onda sonora algumas zonas deixam de ser

proibidas ~ ocorrendo uma invasatildeo nestas regiotildees como por exemplo a =O~8 e 1=04 na

Fig 4AO(D) mostrando que a formaccedilatildeo de bolhas estaacute se aiacuteagravestando da dinacircmica do tipo

Heacutenon e ficando muito semelhante ao plano simboacutelico do mapa do ciacuterculo~ como pode ser

visto na comparaccedilatildeo entre a Fig 4AO(C) e a Fig 212(A)

(b)1 (8) Ikll ti h u n u r

tII-q U bull

n-~ 1 n - ~

~ -shy-~

bull

(c~ I (~) lt

tll rt O 111 t

~2 t= - ~

iSlt iH tl t III n bull

bullbull

~~ bull ~~

~ lloe

(d)1 (D)~O8 ~ t t t t tE 30 06

Ccedil 28 ocircUL ua

= -t Ibull ~ _ ~O4 t (1-2

26 ~ H 1~ ~ m H)224 oh _fi rbull u d~

I I I I I r I I bull I I I I I 00 34 00 02 04 06 08 10

TN(ms) a

Figura 440 Mapas de retomo experimentais com particcedilotildees e respectivos planos simboacutelicos

85 4 Resultados e Anaacutelise

44 Oscilaccedilotildees forccediladas

Mapeamentos bidimensionais como o mapa de Heacutenon normalmente satildeo usados

como seccedilotildees de Poincareacute de osciladores forccedilados [Thompson e Stewart 1986] Se

considerarmos a existecircncia de um movimento oscilatoacuterio na formaccedilatildeo de bolhas e a onda

sonora como uma forccedila perioacutedica externa podemos compreender o sistema bolhasonda

b gt I I=1C

QP-gt

-AR I

)

) P

- Figura 4Al Representaccedilatildeo esquemaacutetica do sistema bolhasonda sonora como um oscilador forccedilado onde Po eacute O periodo de oscilaccedilatildeo associado agraves bolhas c PI eacute o periodo da onda sonora

sonOTa como um oscilador forccedilado como

estaacute diagramado na Fig 441

Deste modo podemos interpretar os

mapas de primeiro retorno observados

experimentalmente como seccedilotildees de Poincareacute

de um oscilador forccedilado Outro sistema

dinacircmico que representa um oscilador

forccedilado eacute o mapa bidimensional do ciacuterculo

discutido na seccedilatildeo 29

K Bn+1 =Bn +Q- 27 sen2nBn +brn (mod 1)

K TII+I = bTn - 27 sen 27Bn

(430)

As duas frequumlecircncias envolvidas no

experimento cuja razatildeo nos daacuteQ~ para o tubo

borbulhador satildeo a frequumlecircncia da onda sonora

e a frequumlecircncia de borbulhamento O tempo

entre bolhas estaacute relacionado com a variaacutevel

rri do mapa O paracircmetro K estaacute relacionado

com o experimento com a tensatildeo que eacute aplicada no alto-falante Para explorarmos a regiatildeo

inicial do mapa do ciacuterculo diminuiacutemos o fator de amplificaccedilatildeo do sinal do gerador de

funccedilotildees para o alto-falante Utilizamos o liacutequido 80 glicerina e 20 aacutegua e o bico A2

i

4 Resulodes Anaacutelise 86

I

Na Fig 442(a) temos os dados obtidos para um valor de EX = 37 e na Fig

4A2(b) o resultado da simulaccedilatildeo utilizando o mapa do circulo com b = - 01 Os dados

mostram que com o aumento da amplitude da onda sonora o ponto fixo inicial daacute lugar a

um ciclo limite cujo raio aumenta de maneira aproximadamente linear ateacute a tensatildeo de 44

V Apoacutes este valor de tensatildeo uma janela perioacutedica ocorre e o sistema entra numa regiatildeo

caoacutetica para varores de tensatildeo entre 54 V e 87 V A regiatildeo caocircttca eacute substituiacuteda por um

travamento frequumlecircncia de periacuteodo 1

27 ~ I n~=37 I 2ll

z gt-25

24 _- shy-~~~i ~ r O 2 4 Tensatildeo 1 6 8 10

030 l 0=37 i b=~O1015

C 000 ~

-015

-030 shyK 15 20

Figura 441 Em (a) vemos os dadoo obtidos com o experimento do tubQ borbulhador COm a razatildeo entre a freQUumlecircncia da onda sonora e a freqtiecircncia de borbulhamento igual a 37 Em (b) simulaccedilatildeo com o mapa do circulo bidimenslQnal

A comparaccedilatildeo com O mapa do ciacuterculo da Fig 442(b) mostra as mesmas

caracteriacutesticas O ruiacutedo experimentat tem a tendecircncia de mascarar as janelas perioacutedicas~

mas a janela perioacutedica central eacute bem visiacutevel nos dois casos

Diminuindo a frequumlecircncia de borbulhamento e repetindo o aumento da amplitude a

partir do zero temos os dados da Fig 443(a) com um valor de EX = 427 N Fig 443(b)

87 4 Resultados e Anaacutelise

bull simulaccedilatildeo com o mesmo valor de f e h = - 01 Esta regiatildeo triangular inicial para baixas

amplitudes da onda sonora e para estes valores de n~ ecirc uma rota para o Caos via quaseshy

periodicidade

o 2 Tensatildeo M 4 S 8

02 - I n=427

c (O ~

-1gt2

1 - I I

05 K 10 15 20

Figura 443 (a) Dagravedosexperimentais com a razatildeo entre as freqUecircnci3S-da onda sonora e do bottmIbamemo igual a 427 (b) Seacuterie obtida com o mapa doclrculo com Qr421 eb= ~O1

441 Comportamento geral

Agora veremos o travamento em penodo ] apoacutes a regiatildeo quase~perioacutedica triangular

seguida de duplicaccedilatildeo de penodo e Coos

Para obter a seacuterie temporal noacutes escolhemos um ponto fixo sem a onda sonora com

a taxa de borbulhamcnto Fb liacuteIfh onde To eacute o tempo meacutedio entre bolhas sucessivas e

apoacutes isto noacutes aumentamos a amplitude A do som continuamente

bull bull

bull bull bull

88 4 ResultadoscAnaacutelise

=f = j

T

E j T (a)fi ~

I I I 4 Aa u) 6

0381 b-O1

05

t

00

~lt

~~i (b) I K bull(~

bull4

Figura 4A4 (a) Djagmma de bifurcaccediltlo experimental Oponto 11xo experlmenW T oorresponde a 261 ms (b) diagrama obtido com o matn do ciacuterculo com y = 019

i

Na Fig 444(a) pode ser vista a seacuterie experimental~ Tn V$ A para urna taxa de

borbulhamento de F = 3937 bolhasls e QEX= FF = 381 Na Fig 444(b) temos o

diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo r vs K calculado com b = 01 e o mesmo

valor de razatildeo de frequumlecircncias ~h =381

Temos algumas similaridades entre OS dois diagramas PartindO deK=O e A==O cada

ponto fixo perde sua estabilidade quando aumentamos o respectivo paracircmetro de controle e

ocorre uma regiatildeo quase-perioacutedica Os pontos fixos 1 e r tomam~se estaacuteveis para A por

volta de 27 e K aproximadamente igual a 107 O ponto fixo T(r) eacute estaacutevel ateacute A 47 (K

= 2gt44)~ quando inicia~se uma cascata de duplicaccedilotildees de periacuteodo Deve ser notado que as

posiccedilotildees destes pontos fixos estatildeo na regiatildeo superior da banda triangular (gt0 e Tgt To)

89 4 Resultat1cs e Anaacutelise

As propriedades dos diagramas satildeo facilmente exp1icadas~ se analisarmos as

propriedades do mapa do ciacuterculo Segundo as equaccedilotildees (228) o ponto fixo r apoacutes a regiatildeo

quase-perioacutedica no mapa do circulo eacute dado por

r~- O (modi) s_O (mndl) lt 05 (431)

I - Q (mnd I) se Q (mnd I) gt 05

No atrator experimental O ponto fixo T ocorre quando a regiatildeo quase-perioacutedica

atinge uma frequumlecircncia de borbulhamento igual a um submuacuteltiplo da frequumlecircncia da onda

sonora de 150 Hz

T~ 41150= 267ms (432)

onde o nuacutemero 4 eacute o inteiro mais proacuteximo do valor de Oex = 381 Este fenocircmeno eacute

conhecido com travamento sub~harmocircnieo (subharmonic entrainment) (Hayashi 1985] e

ocorre em um oscilador forccedilado quando a razatildeo entre a frequumlecircncia da forccedila externa e a

frequumlecircncia natural do oscilador estaacute na vizinhanccedila de um inteiro diferente de I

f j 3D -I T

1 ____ +

QE(= filgt 415

J

______ u I aIl ~~~1~lt

(a ~ ~ ~~ 2 1bull bullI bullI ACa li) bull

u = 41$ b 01

middotmiddotl 0

-~~ru---- i ~~ (b

a 1 2 3 4 5K

Figura 445 (a) Diagrama de bifurcaccedilatildeo cxperimenlal com To -271 ID$ O JXlnto fixo experimentai T colTeacuteSpOllde a 267ms (b) diagrama obtido com o mapa do clrcuJo CQM r -015

4 Resultados e Anaacutelise 9(l

Com outra frequumlecircncia de borbulhamento F=3614 bolhas ms com a mesma

frequumlecircncia da onda sonora de 150 Hz obtivemos o diagrama experimental que estaacute

mostrado na Fig 445() com nEJ( = 415 Podemos notar as mesma similaridades

descritas anteriormente como O travamento sub-harmocircnico do borbulhamento dado pela

equaccedilatildeo (432) poreacutem o ponto fixo experimental (TltTo) estaacute agora no limite inferior da

regiatildeo quase-perioacutedica triangular Na Fig 4A5(b) temos o diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa

do circulo com nT = 415 e b = 01 O ponto fixo T(r) toma-se instaacutevel em A

aproximadamente igual 45 (K 236)

Noacutes podemos dividir a evoluccedilatildeo do borbulhamento em duas regiotildees urna regiatildeo

inicial relacionada com o comportamento quase-perioacutedico (A ~ 25) e a rota de duplicaccedilatildeo

de periacuteodo (A ~ 4)

Para valores inteiros de h natildeo observamos a regiatildeo quase-perioacutedica Ajustando a

0a f)f =40

3

T=T- - E 1-shyI s

J m (a)

I I

2bull A(a u bull bull n-=40 b=O1

~U1 ~ ~c

bl

bull 1 2 3 4 K

Fiboura 446 (a) BorbulhamentocomQn = 40 Nas condiccedilotildees acima natildeo baacute a regiatildeo quaseperioacutedjca e 1To eacute estivel na regiatildeo ineiaI deA (b) O mesmo eacute observado para o mapa do cIrculo com Ot=4O e b=Ol

-- -

91 4 Resultados e Anaacutelise

frequumleacutencia d borbulhamento para 375 bolhass tal que ordmX = 40 natildeo ocorre a regiatildeo

quase-perioacutedica como pode ser visto nos dois diagramas da Fig 446 O ponto fixo T ~ T

V = O) eacute estaacutevel ateacute A aproximadamente igual a 37 ( K 22 ) e o sistema evolui

diretamente par a caseata de duplicaccedilotildees de periodo

Na Fig 447 temos algumas liacutenguas de Arnold para o mapa do circulo

unidimensional (b = O) como uma aproximaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo bidimensional com

b=plusmnO1 Para um valor de n (mod 1) diferente de O o sistema inicialmente evoluiacute na regiatildeo

quase-perioacutedica mostrado pelas setas pontilhadas ateacute que O sistema alcanccedila o ponto fixo

estaacutevel dado pelos circulos cheios Mesmo para os casos dos dados mostrados nas Figs

442 e 443 podemos ver quando o sistema atinge as regiotildees das liacutenguas de Arnold relativas

ao penodo 4~ marcado pejas pequenas Unhas horizontais pontilhadas Para fi = O) o sistema

percorre a regiatildeo inicial de K no periacuteodo 1 relativo ao nuacutemero de rotaccedilatildeo W= 01

iacute 11) i2 fI- li I LeHHJ~~ I I I I In

11 ( K j~

I~ I

1I 1 II (lrl j

00 _ 05 gt0

n mod(1) shyFigura 447 As sete linguas de Arnoid mais largas com seus respectivos nuacutemeros de rotaccedilatildeo Os nuacutemeros entre parecircnteses coloridos no topo e na base oorrespondcm aos nuacutemeros das figuras mostradas neste eamtulo

92 4 Resultados eAlIaacuteJise

442 Comparaccedilatildeo dos atratores

Os atratores caoacuteticos do tipo Heacutenon que aparecem no mapa do circulo sofrem uma

rotaccedilatildeo ao redor do ponto do ponto de selaflip como pode ser visto nas comparaccedilotildees entre

atratores experimentais reconstruiacutedos da Figs 448(A) e 448(C) e entre os atratores

obtidos numericamente das Figg 448(a) (b) e (c) Usaremos o termo saxofone que foi

utiacutelizedo por R Shaw [Shaw 1984] para atratores obtidos no experimento da torneira

gotejante para designar os atratores das Figs 448(a)-(A) Experimentalmente e

numericamente~ as condiacuteccedilotildees de orientaccedilatildeo dos atratores saxofone satildeo as seguintes

n (mod 1)gt 05 formato de saxofone (433a)

n (mod 1) lt 05 formato de saxofone invertido (433b)

Quando a parte fracionaacuteria de n se anula temos a formaccedilatildeo de um atrator do tipo

duplo gancho como estaacute mostrado na Fig 448(b) e 4A8(B) Como foi discutido na seccedilatildeo

4J22 todos os atratores experimentais apresentam um ponto de sela jlip que estaacute

localizedo na interseccedilatildeo de cada linha diagonal com cada atrator das Fig 448 Em todos

os casos este ponto de sela substituiu o ponto fixo estaacutevel 1~ do travamento sub~

harmocircnico (equaccedilatildeo 432) Por isso no atrator experimental o ponto de sela jJip~ Tfo eacute

calculado do mesmo modo que o ponto fixo estaacutevel T

~ ~4150=267l11S (434)

onde o nuacutemero 4 eacute o inteiro mais proacuteXIacutemo do valores das razotildees de frequumlecircncias OEX (381

40 e 415) com a frequumlecircncia da onda sonora sendo de 150 Hz Para os atratores obtidos

rumericamente a posiccedilatildeo do ponto de selaflip rfi tambeacutem eacute calculada com equaccedilatildeo (431)

Em particular os trecircs pontos de selaflip dos atratores mostrado nas Figs 448 satildeo

rl(A) 019

~~-M ~~ rr(C) -015

93

4 Resultaoos eAnaacutejse

I_mlltQfl_ Figura 448 (a) O atratori ~ 1

1 saxofone obuacutedo com o experimento do tuboI I borbuIhador no pontoi ~ indicado por uma seta na seacuterie mostrada na FigI ~ I 444(a) (A) A simulaccedilatildeorJie) I 1 (A) bull com o mapa do drculo

bull laquo

gtJ_ ~(I _ (b) Atrator eJqgterimental do tipo gancho duplo

I

l Ki-i - obtido nas mesmasi condiccedilotildees indicadas pelai j j bull v1 ~I q seta sobre a seacuterie da Fig ji

446() (B) Alrl j obtido ltom o IIlltiJ(f do

gtJ (b) 1 -AJ I (a) ltV M circulo

raquo gtlt w raquo u ~~~ ~ c---------------

N111gtIgti_i -~ lt-U4I_ i (c) Rotaccedilatildeo do atmtor experimental obtido no

ponto indiacutecado pela seta- na seacuterie da Figt 445(a)g ~ bull ~ C A mesma fOtaccedilatildeona ~ simuJaccedilgo feita com oJ marm do circulo u(CI V laquo) ____

)o lO lO ~ Q

T(ms) ro

Quando a parte fracionaacuteria de QEgt vale

05 aumentando-se a amplitude~ temos tambeacutem o ponto fixo de periacuteodo 1 que se torna

finstaacutevel surge um periacuteodo quatro e depois - gt

disso surge um atrator caoacutetico com a forma de raquo

uma C7JZ que estaacute mostrado na Fig 449 raquo raquo raquo Aleacutem diacutesgo~ outros mais atratores J

experimentais mais complexos tambeacutem podem Figura 449 Atnltor caoacutetico obtido com nm igualaO5

ser simulados com o mapa do circulo como

pode ser visto na Fig 450(0) onde temos uma frequumlecircncia de borbulhamefito de 8 bolhass

94 4 ResultadoseAnoacuteliseuro

com uma frequuml~ncja da onda sonora de 150 Hz A simulaccedilatildeo com o mapa do ciacuterculo como

estaacute mostrada na Fig 450(b) foi feita com tlr= 1885 h = 01 eK = 83

~ f fi ro ~ ni il II~~~~jflitllt1I)j~ ~ ~ to fi lt ~i~~~rl ~iacute J ~1J li~4It IVtAl lt

IiV V (b)-

m M m m - Tn(ms) r

FIgUra 450 Atrator e~perlmcntalem (a)(lroc = 1amp75 b -= 01 Em (b) aacute simulaccedilatildeo COm o mapa do ciacuterculo n= 1885 b =01 e K= 83

gt

~~

I

~ ifA rl li Pf ~ fI 1 J ~ N11D Jl ~ci- ~1 bull

J -I

(a) ~

443 Modulaccedilatildeo do Paracircmetro de Controle

Quando utilizamos a Teoria do Caos para analisar resultados experimentais uma

das mais dificeis tarefas eacute associar os paracircmetros experimentais aos paracircmetros dos

modelos existentes como o mapa logiacutestico ou o sistema de equaccedilotildees de Rotildessler e outras

equaccedilotildees dos sistemas caoacuteticos Algumas vezes o paracircmetro de controle escolhido eacute

modulado por uma funccedilatildeo que natildeo permite a observaccedilatildeo direta dos sistemas caoacuteticos

claacutessicos atraveacutes da variaacutevel de medida [Tufaile 1996J Isto acontece no experimento do

tubo borbulhador caso utilizemos por exemplo a vazatildeo do ar como paracircmetro de controle

como estaacute mostrado na Fig 451 onde utilizamos a soluccedilatildeo de 66 glicerina e 34 aacutegua e

oacute bico de seringa A vazatildeo do ar) o paracircmetro de controle estaacute relacionado de uma forma

hiperboacutelica com o tempo de borbulhamenlo a variaacutevel de medida representada pela linha

95 4 Resultados e Anaacutelise

pontilhada Quando

sintonizamos uma onda

sonora no sistema com urna

frequumlecircncia de 126 Hz e uma

amplitude constante ocorre

uma composiccedilatildeo entre a

funccedilatildeo hiperboacutelica e o mapa

do ciacuterculo Os tempos

associados aos patamares T ~

satildeo bem definidos e podem

ser calculados com a equaccedilatildeo

(436) Os patamares se

alargam com o aumento da

vazatildeo e o valor do tempo

7

70

65 T(ms)

55

50 61j-shy shy

-~ shy 40 60 80 100 120 140 160 180

Vazatildeo (mlfmin)

Figura 451 A composiccedilatildeo de uma funccedilatildeo hiperboacutelica de borbulhamento com ) mapa do circu1o as fraccedilotildees ao lado de cada pagravetamar datildeo () valor do tempo do ponto fixo Tp devido ao trnvaJnento sub-harmocircnico

associado a cada um deles eacute calculado atraveacutes dos travamentos sub-harmocircnicos

Tp~jlf (436)

onde j eacute o inteiro mais proacuteximo da razatildeo entre a frequumlecircncia da onda sonora e a frequumlecircncia

de borbulhamento

Outra situaccedilatildeo na qual ocorre a modulaccedilatildeo do paracircmetro de controle eacute quando

(b) ~ ~~~l~~~ ~~ - 21)~~ir-- ~if~~e

2(1 I i i r 5 6 7 B

Q

Figura 452 (a Composiccedilatildeo do tnatXt do ciacuterculo com uma funccedilatildeo linear decrescente O paracircmetro de acoplamento nllo-linear K eacute uma funccedilatildeo decrescente do valor de n

(b) Dados do tempo de borbulhamento em funccedilatildeo de o A variaccedilatildeo de o ecirc obtida mantendo os demais paracircmetros constantes e aumentando linearmente a frequumlecircncia da onda sonol3

4 Resultados e Anaacutelise

variamos a frequumlecircncia da onda sonora mantendo constante a sua amplitude Medindo o

tempo de borbulhamento obtivemos os dados d Fig 451 (b) do tempo de borbulhamento

contra a razatildeo entre as frequumlecircncias Q para uma frequumlecircncia de borbuibamento inicial de 33

bolhass Devido agraves propriedades da acuacutestica do tubo a variaccedilatildeo da frequumlecircncia da onda

sonora afeta simultaneamente a amplitude da onda Isto pode ser simulado com o mapa do

circulo com h = Ol~ supondo que o paracircmetro de acoplamento natildeoM1inear~ ~ do mapa do

circulo seja uma funccedilatildeo linear decrescente com relaccedilatildeo agrave razatildeo de frequumlecircncias n que na

Fig 452() eacute o paratildemetro de controle

K(n) =40 - 047 n (437)

Os patamares d Fig 451 assim como as linhas diagonais da Fig 452(a)

correspondem agrave composiccedilotildees da frequumlecircncias de borbulhamento e da onda sonora que levam

o sistema dinacircmico nas regiotildees de liacutengua de Arnold com nuacutemero de rotaccedilatildeo W igual aI

97 5 ConclusiJes

) 5 Conclusotildees

CltJnstmiacutemos o aparato do tubo borbulhador e observamos que O principal

aspecto da fonnaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos viscosos eacute que este sistema eacute equivalente a

um oscilador natildeo-linear Esta afirmaccedilatildeo foi baseada inicialmente nos intervalos de

tempo da formaccedilatildeo das bolhas no experimento do tubo borbulhador quando a vazatildeo de

ar aumenta e na comparaccedilatildeo deste experimento com o experimento da torneira

gotejante A comparaccedilatildeo dos dados experimentais da formaccedilatildeo das bolhas influenciadas

pela onda sonora com os resultados teoacutericos do mapa bidimensional do circulo1

confirmou que o borbulhamento estaacute associado a um movimento oscilatoacuterio Na

comparaccedilatildeo do sistema bolhasonda sonora e o mapa do ciacuterculo o ponto mais

importante foi associar o tempo da formaccedilatildeo das bolhas T com a variaacutevel rlf do mapa

do ciacuterculo

A interpretaccedilatildeo da oscilaccedilatildeo na formaccedilatildeo das bolhas pode ser feita observandoshy

se o deslocamecto do Ifquido Durante a subida da bolha no liquido este eacute afastado para

dar passagem agrave bolha ateacute que a bolha passe e o liacutequido volta a preencher o espaccedilo que

antes era ocupado vela bolha Este processo se repete e assim temos o comportamento

oscilatoacuterio Entatildeo podemos entender o movimento do liacutequido induzido pela passagem

da bolha como um oscilador natildeo-linear O sistema de detecccedilatildeo mede apenas valores

maacuteximos deste comportamento oscilatoacuterlo~ por isso temos as seccedilotildees de Poincareacute do

borbulhamento e natildeo curvas continuas do espaccedilo de fases

A duplicaccedilatildeo de periacuteodo) que ocorre quando variamos a vazatildeo~ foi a primeira

observaccedilatildeo que indicou que urna abordagem utilizando a Teoria do Caos seria um

meacutetodo possivel para a compreensatildeo do fenocircmeno da formaccedilatildeo das bolhas Mesmo

assj~ uma abordagem utilizando os conceitos da Mecacircnica dos Fluidos foi feita ~ com

este ponto de vist~ observamos que a duplicaccedilatildeo de periacuteodo com a vazatildeo estaacute associada

com a instabilidade de Rayleigh-Taylor que representa a instabilidade da interface de

dois fluidos que natildeo se misturam A duplicaccedilatildeo de periacuteodo SOacute eacute evidente em fluidos

viscosos pois~ em liquidas pouco viscosos como a aacutegua a dinacircmica observada vai

diretamente do comportamento regular para um comportamento irregular Verificamos

que a instabilidade da superfiacutecie da bolha nos fluidos com baixa viscosidade eacute a resposta

para a questatildeo da transIccedilatildeo do movimento regular para o movimento irregular na

formaccedilatildeo das bolhas Esta instabilidade eacute causada pela interaccedilatildeo entre as bolhas que se

elevam dentro do liacutequido e a bolha que estaacute se formando junto ao bico Em fluidos

98 s COI1cfusr1es

viscosos e com baixas vazotildees do ar o deslocamento das bolhas que estatildeo emergindo

natildeo afeta a bolha que estaacute se formando pois natildeo haacute uma perturbaccedilatildeo significativa criada

pela circulaccedilatildeo do liacutequido e esta circulaccedilatildeo permanece laminar junto ao bico Poreacutem

para vazotildees mais e1evada~ mesmoS nos liacutequidos viscosos teremos todo o conjunto das

bolhas emergentes e da bolha que estaacute se formando interagindo pois as perturllaccedilotildee5 na

circulaccedilatildeo do liacutequido se propagam em todas as direccedilotildees dentro do tubo borbulhador

Deste modo a formaccedilatildeo das bolhas apresenta uma dependecircncia tanto do tempo quanto

das condiccedilotildees d contorno Neste aspecto o experiroento do tubo borbulhador eacute

diferente do experimento da torneira gotejante pois o deslocamento das gotas que estatildeo

caindo natildeo tem efeito significativo na gota que cresce junto ao bico

Utilizando diferentes tipos de bicos verificamos algumas das influecircncias da

geometria do bico na formaccedilatildeo das bolhas Emulamos as seacuteries temporais atraveacutes da

combinaccedilatildeo de mapas Isto permitiu o desenvolvimento de ideacuteias para tentar entender e

explicar os fenocircmenos observados como alargamentos suaves e abruptos nos tempos

entre as bolhas A combinaccedilatildeo de mapas jacirc havia sido utilizada no experimento da

torneira gotejante~ o que mostra a sua importacircncia como rerramenta na compreensatildeo de

sistemas caoacuteticos

Do mesmo modo as simulaccedilotildees com modelo unidimensional massa-mola

permitiram melhorar a nossa interpretaccedilatildeo dos dados tanto da torneira gotejante quanto

do tubo borbulhador O modelo natildeo eacute adequado para observaccedilotildees quantitativas mas

pode ser usado para a obtenccedilatildeo de resultados qualitativos Durante a verificaccedilatildeo da

hipoacutetese do fator de massa agregada fJ do modelo massa-mola para a formaccedilatildeo das

bolhas encontramos as estruturas das veiacuteas liacutequidas que satildeo colunas de aacutegua dentro do

oacuteleo sustentadas pela subida de bolhas de ar

Aleacutem disso durante a realizaccedilatildeo da experiecircnci~ foram encontradas algumas das

condiccedilotildees que fazem o aparecimento de antiboJhas que satildeo gotas envolvidas por uma

fina camada de ar dentro do liquido e que ficam aprisionadas na circulaccedilatildeo dentro do

liacutequido

Verificamos as condiccedilotildees de validade para a relaccedilatildeo entre a frequumlecircncia da

formaccedilatildeo das bolhas e a vazatildeo do ar para um modelo simplificado que estabeleccedile uma

frequumlecircncia para a formaccedilatildeo das bolhas proporcional agrave vazatildeo elevada a 04

Atraveacutes da associaccedilatildeo com o mapa do ciacutercuJo~ verificamos algumas

similaridades entre o mapa e o experimento como por exemplo a comparaccedilatildeo da

variaccedilatildeo da razatildeo entre as frequumlecircncias da onda sonora e do borbulhamento~ nEXo com a

s ConcluslJes 99

variaccedilatildeo do paracircmetro nr do mapa assim como fizemos a comparaccedilatildeo entre as fonnas

dos atratores reconstruiacutedos Deste modo encontramos algumas rotas para o Caos

quando eacute feita a variaccedilatildeo da amplitude da onda sonora A formaccedilatildeo das bolhas pode

evoluir inicialmente atraveacutes da rota de quase-periodicldade quando a amplitude do som

eacute aumentada linearment~ que pode ser reconhecida no iniacutecio das seacuteries temporais

devido agrave sua forma triangular para alguns valores d razatildeo entre as frequumlecircncias tEX

Outra rota observada fui a rota de duplicaccedilatildeo de periacuteodo com a formaccedilatildeo de atratores do

tipo~Heacutenon devido aos processos de estiramento e dobra

A dinacircmica do mapa do circulo ainda permitiu interpretar o comportamento mais

global da existecircncia de patamares no tempo da formaccedilatildeo das bolhas nas seacuteries

temporais sujeitas a uma onda sonora de frequumlecircncia bem definida Os patamares

OCOrrem quando a freqOecircncia do borbulhamento estaacute proacuteximo a um submuacuteltiplo d

frequumlecircncia da onda sono~ o que caracteriza um travamento subMharmocircnico O

travamento sub~hann8nico ocorre quando a frequumlecircncia de um oscilador fica travada em

um submuacuteltiplo da freqOecircncia de uma forccedila externa aplicada O caso limite d

sincronizaccedilatildeo entre a formaccedilatildeo das bolhas e a onda sonora eacute o travamento harmocircnico

quando as bolhas se formam com a mesma frequumlecircncia da onda sonora

I I I

I

100 6 Referecircncias

6 Referecircncias

Argyris J Fast Q e Haase M (1994) An Exploralion of Chaos North-Holland Arnsterdam

A1ligood K T Sauer T D e Yorke J A (1997) Chaos - (f1 introrillclion lo dynamical syslems Springer New Yerlc

Bai-lin H (1989) Elementary symbolic dyrtamics and Chaos in Dissipolive Systems World Scientific~ Singapura

Bertelseo p EUegaard C Guhr T Oxborrow M e Schaadt K (1999) Measuremenl of Parometric Correlations in Spectra of Resonating Quarlz Blacks Phys Rev Lett 83 2171-2174

Chandrasekhar S (1981) Hydrodynamic and Hydromagnetic Stabiacuteliacutety Dever New York

Cliacutefl R Orace J R e Weber M E (1978) Bubbles Draps and Partieles Academic Press~ New York

Collet p e Eckmann 1 (1980) lleraled maps ou lhe inlerval as dynamieal systems Birkhatildeuser New Yorlc

Davidson J F e Schuumller B 0 G (1960) BlIbble formaiion ai an orifice in a viscous liquid Trnns Inst Chem Eng 38 144-154

Dnnocenzo A e Renna L (1996) Dripping Faueet Int J Theor Phys 35 941-973

Dnnoeenzo A e Renna L (J 997) Morieling leaky fancei dynamics Phys Rev E 55 6776-6787

EUner S Nychka D W e Gallant A R (1992) LENNS a progrom lO estimale lhe dominant Lyapunov exponent cfnoisy nonlinear systemsfrom time series data (Institute of Statistios Mimeo Series n 2235 (EMA series n 39) Statistics Department North Carolina State University Raleigh

Femat R Alvarez-Ramiacuterez e Soria A (1998) ChaoticJlow slnentre in a verlical bllhble column Phys Let A 248 61-79

Finney C E A (2000) Bibliography of choos amp buhbling httpwwwshychaosengrutkedulbibBubblinghtml

Fletoher N H e Rossiog T D (1991) The Physies ofMusicalll1srnmenls Springer New York

Fuchikam~ N lshioka S Kiyono K (1999) Simulalions ofa Dripping Faucel J Phys Soe Jpo 68 1185-1I96

INSTITUTO DE FS1CA serviccedilo (iccedil albHotscamp e

lntgnllccedilatildeoTombo u ~ Co

-et [

101 6 ReJerecircneacuteiaacutes

Gonccedilalves W M (1996) A experiecircncia da Tomeira Golejante Tese de doutorado lFUSP

Gonccedilalves W M Pinto R D SartoreUi 1 C e de Oliveira M 1 (1998) Inferriacuteng staliacuteseal complexity in lhe dripplnglaueet experiment Physica A 257 385-389

Grebogi C Ott E e Yorkel A(1982) Chaote attraetors in crisis Phys Rev Lett 48 1507-1510

Hayshy C (1985) Nonliacutenear Oscilatiolls In Physicol Systems p 285 Princeton University Press Princeton

Hegger R Kantz H Sebreiber T (1999) Praticol implementaton of nonlnear time seres methads The l1SEAN paekage Chao 9 413-435

Jaekson E A (1995) Perxpectives 01 l1oninear dynamies Cambridge University Cambridge

Kaneko K (1992) Overview 01eoupledmap latliees Chaos 2 279

Kiyono K e Fuehikami N (1999) Dripping Paueel Dynamiacutecs Clarified by an Improved Mass-Spring Model 1 Phys Soe Jpn 68 3259-3270

Kyrialcides N K Kastrinalcis E G Nyehas g G e Goulas A (1997) Bubblingfrom Naues Submerged in Water Transiacutetions Between Bubbling ampgimes Can J Chem Eng 75684-691

Lantoroom W (I986) Acoustie Turbulence em Frontiers in Physiacutecal Acouslics p 124shy144 Nortb-Holland Amsterdam

L~ H Z Mouline Y Choplin L e Midoux N(1997) Chaotic bttbbe coalesconee in non-newlmriacuteanfluids lnt J Multiphas Flow 23713-723

Li T Y e yoke J A (1975) Period 3 iacutemplies ehaos Am MatlL Month 82 985-992

Lorenz E N (1980) Altraclar seis aml qttasi-geoslrophiacutec equlibrillm J Atmas Sei 37 1685-1699

MaJI R (1981) On lhe diacutemensiacuteon cf compacl invaria11l sei cf certain nall-lillear maps em Dynamical System and Turbulence 00 D A Rand e L S Young Spnnger Berlim

Marmur A e Rubin E (1915) A theoretieal modellor huboacuteleformation 01 ali orifice submerged in Im inviscid iquid Chem Eng Sei 31 453-463

6 Referecircncias 102

Marston P L (1980) Shape oscillotion aJ1d stalie deformalion of drops and bubbles drive by modulated radiation stresses-Theory J Acous Soe Am 67 15-26

Martian P Pope S C Scott P L e Shaw R S (1985) Ihe chaotic behavior ia eaky faucet Phys Let A 110 399-404

Mltoni L 1 Schwartz M P e La Nauze R J (1995) Determinislie chaos in lhe gas inel pressure ofgas-liquid bubbling systems Phys Pluids 7 891-893

Moran M I Haigh R E Lowry M E e Sweider D R (2000) ObservntiollS ofSingleshyPulse Sonoluminescence httpwww-physllnLgovlN_DivlsonoIurnlsonolumyaperhtrnl

Miyahara T Baga N Takahasbiacute T (19B3) Bubble formationfrom an oriftce ai high gas ftow rales Int Chem Eng 23 524-53 L

Nguycn K Daw C 5 Cheng M Bruns D D Pinney C E A e Kennel M B (1996) Spalio-temporal ~namics in a train ofrising hubbles Chom Eng J 64 191-197

Paclcard N H CrutehfieId J P Fanner J D e Shaw R S (198() Geometryfrom a time serles Phys Rev Lett 45 712-716

Perry R H e Clinton C H (1972) Chemcal Engineers HandbQok McGraw-HilI New York

Pinto R D (1999) Comportamento Complexo na Experiecircncia da Torneira Gotejante Tese de Doutorado lFUSP

Pinto R D e Sartorell~ J C (2000) Homoclinc tangency and ehaotic attractor disappearance in a drippingfaucet experiment Phys Rev E 61 342-347

Prosperetti A (1986) Physicsi Acoustic Cavitalion em Frontiers in Physical ACOllstics p 145-188 North-Holland Amsterdam

Ponter A B e Surati A l (1997) HuMI EmissiollSfrom SlIbmerged Orifices - A criticai Review Chem Eng Toelmo 2085-89

Putterman S 1 (1995) Sonoluminescence Salim l11to light Sei Am Fevereiro 33-37

Rapp P E Bashore T R Zimmermean L D Martinerie 1 M Albano A M e Mees A 1 (990) Dynomical CharacterizaJlon ofBrain EleerIacutewl Activity em 1he Ubiqulty of ChIlO AAAS Washington DC

Renoa L (1999) A discrele map for drippingfaucel dynamics Phys LeI A 261 162-168

da Rocha M S (1995) Determinaccedilatildeo da evoluccedilatildeo temporal da fonnaccedilatildeo de gotas Dissertaccedilatildeo de mestrado lFUSP

Rotildess1er O E (1977) Synergelies a workshap Haken H Springer Berlim 174-183

103 6 Refrencias

Ruzicka M C Drahos J Zabradnik J e Thomas N H (1997) Inermittt transition from bubbling to jetling regime in gas-liquid two phase fiows Int J Multiphase Flow 23 671--682

Sacircnches-Ortiz G 1 e SaIas-Brito A L (1995a) Strange attraclor in a relaxalion oscillator modelfor lhe drippingfaueet Phys Let A 203 300

Sacircnches-Ortiz G I e SaIas-Brito A L (1995b) Chaos in a variaMe mass relaxatiall oscilator modelfor lhe leaky tap Physica D 89 151

SartoreUi J C Gonccedilalves W M e Pinto R D (1994) Crisis 00 intermittenoo in a leaky-fauce experiment Phys Rev E 493963-3975

Scbemelcher P Diakonos F K (1998) A general approach lo lhe finding of unSlable periadie arhils in ehaotie dynamieal syslems Phys Rev E 57 2739

Sharpe G J (1994) Solving Probems in Flllid Dynamics p 203 Longman Essex

Shaw R (1984) The drippingfaucet as a model chaotic sySlem Aerial Pre Santa Cruz

da Silva J G M (1996) Caraelerizaccedilecircio da Dindmica da Formaccedilecircio de Goas Dissertaccedilatildeo de mestrado lFUSP

80 P Ott E Sehiff S F Kaplao D T Sauer T e Grebogi C (1996) Deleeting unstoble periodic orhits in chaotie experimentol daa Phys Rev Lett 76 4705-4708

Sotomayor J (1979) Liccedilotildees de equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias Projeto Euclides Rio de Janeiro

de Souza Vieira M C Lazo E e Tsallis C (1987) New road 0 ehoos Phys Rev A 35 945-948

Stons C L (1974) Th amate1f scientiSl Sei Am Ahri 116-121

Sulivao S L Hardy B W e Holland C D (1964) Formatioll ofAir Bubbles ai Orifiees Submerged Beneath Liquids AI Ch E Journll0 848-854

Takens F (1981) Deecling Srange atraclors inurhulenee em Dynamical Syslems aod Turbulence ed D A Rand e L S Young Springer Berlim

Thompson J M T e Stewart H B (1986) Nanlinea Dynamics aod Cnaos Geometrieal Methods for Engineers aod Seieniss p162 John Wiley and Sons Chichester

Tritton D I Egdell C (1993) Chaotic bubhling Phys Pluids A 5 503-505

Tufaile A (1996) Mapas combinados e o experimento da omeira gotejante Diacutesertaccedilatildeo de mestrado IFUSP

6 Referecircncias 104

Tufaile A Pinto R D Gonccedilalves W M e Sartorelli J C (1999) Simulations in a drippingfaucet experiment Phys Le A 25558-64 (Apecircndice 1)

Tufaile A e Sartorelli J C (2000a) Chaotic behavior in bubble formation dynamics Physica A 275 336-346 (Apecircndice 2)

Tufaile A e Sartorelli J C (2000b) Heacutenon-like attractor in air bubbleformation Phys Let A 275 211-217 (Apecircndice 3)

Veta N e Tabacniks MH (1994) Laboratoacuterio de Fiacutesica para Ciecircncias Bioloacutegicas IFUSP

Viana R L (2000) Introduccedilatildeo agraves Redes de Mapas Acoplados - Modelos para o estudo de Caos Espaccedilo-Temporal Notas de Aula IFUSP

Weast RC Selby S M (1996) Handbook of Chemistry and Physics p F33-F42 The Chemical Rubber Clevelnd

Willeboordse F (1992) Time-delayed map as a modelfor openjluidjlaw Chaos 2 423shy426

Wolf A Swift J B Swirmey H L e Vastano J A (1985) Determining Lyapunov exponentsfrom a time series Physica D 16 285-317

Apecircndice 1

Siacutemulations in a dripping faucet experiment

A Tufaile RD Pinto WM Gonccedilalves e JC Sartorelli

Physics Letters A 255 (1999) 58-64

3 May 1999

PHY$ICS lElTERS A

ElSIMER Physics Letters A 25S (1999) 58-64

Simulations in a dripping faucet experiment

A Tufaile RD Pinto W_M_ Gonccedilalves J_C Sartorelli 1

IluacuteillOO dcFJSfea UniDCrfidadc de Siio Paula CQixa Pmrtal oacute6JIlJ fJSJIJ97tJ Satildeo Pttdb Braacuteii

Recchcd29 SeptJllIb1r 1m laquooMdinpVised tbru 10 Febnwy 1m ~ 10 February Im Ogt~ hy cR Doering

Ab$tratt

The prafiles of two experimental attrletors were simll1ated by using a simple onc-dintensioacutenal spring-mass modct Some pccllliar bebuviors observed in experimental bifurcation diagrams (in short ranges ofdriwmg Iate variation) were emu1ated by combining two quadratie maps (a kiruI af coupUng) in twQ diacutefferellt ways~ parallel combination 1Eh non-interacting maps and series combination with nrongly intcrocting maps TIto ehoice ar cach kind af eacuteombinarion W3S suggcsud by thc own cbaracteristics of~eh experimCfllal bifureation diagramo copy 1999 EIlteviet Scieacuten(e SV All rigbts rewrved

PAC$ 054S+b

1~ lntroduction

The leaky faucet dynamks has beoo used as a paradigm of a chaotic sYSbm [I~1 since the liUggesshytion made by Ratildessler 13] in 1977 lha Ih fnou af water drops in bull tlp nipple oould sbow chaooacutec bebavior wbat was 1ater confirmed hy Sbaw and Marlien alo [451 Period doubling WlI Qlnrerved hy Marlien alo [451 Yeacutepez alo [61 Cabhm et ai [71 Wu and Schelly [891 Dreye alo [101 Sarshytore1li trt aJ UO Tangeot intermitttncies are Teshy

ported in Rofs [7111 quasi-periodicity and boondshyary coacutesis in Rof [11l and a Hopf biacutefurcanon in Refs [l213J Olher studies abou lha formadoo of drops or droplets of water can be found in Refs [14-231

E-mail sartorellilfUlipbr

Shaw and collaboratorn liUpposeuacute thut th~ water oolumn bangiog in a nipp1e faucet should oscillate as a mass-spring system with the mass increasing lin~ early until it reaches a criticaI point when a drop is ejected IacuteInposing the initial conditions ou the teshymaining water column This mudeI was modified by Simcbas-Ortiz and Salas-Brito [24] supposing Ih lhe mass of the ej~cted drop must depend ou tlte cummt yalue of the water co1umn mass DIn nocemo and Renna [25 have aiso carried ont thcir calcuJations assumlng lhat lhe remaining _ colshyUmtl shape can be cither a sphere Of a material point

hlspired hy au ining-Iike mode to find Ih water dIuacutep proacutefiJc rumging in a vertical waU Oliveira aad Ponna [26] studied lhe dymnni of lha drop furmashytton applymg Monte Carlu techniques Penna tt a1 [27J sbowed thut the time delllys between SU(teS)i~ drops display long-range anncorrelations cbarncter~ ized by the same exponcnts of the heartbeat~to~ heaItbeat interva]s of hea1thy subjects [28]

0375-Otj99S - see mlll maner Cll999 Elrevier Scicnee BV Ali rigltlS tesIlVed PU S037S960l(99)QOI19X

I

A TilfaiIe e1 aLIPllyJICS uacutetters Aacute 255 (1999) 58-64 Num uf thtSe modeJs are adequate to explam aU

lhe bebavio observed in lhe range from - Oup to 40 dmpss In this papeI we present two simula~ tions of experimental attractors whlch are lhe best emulations yet obtaiacutened by the one~dimensional spring-mass modelo It is also presented two experi~ mental bifurcation diagrams in short ranges of dripshyping rolte with llCW peculiar behavions nl-ver secn before Inspired by me behavlor of each experIacutelncnshytal diagmm we did a kind af siacutemple ooupling af maps [29-321 by combining two quadratic maps to emulare these experimental bifurcations Two ways or combinution are proposcd In the first case two non-interacting quadmtic maps are added (parallel combination) whuumle in the sccond onl- two tnJng1y inteltf-ting logistic maps (smcs combination) are combiacutened in a feedback way

2 Experimental apparatos

The measurements were dane with the faucet attaccedilmd lo a large reservou sccedilt Refi U121] for details The time delays between successive drops are measured with a time counter circuitry~ with a

nmiddotT--------------------~ (a)

r ishy700lt) ~

1 li ~

~ - -~ ~ bull-j- -~ -4 ~r -~

67 I ~

I 670 680 690 700 110

Tat$

T1molution of i ~~ iacutenserted in a PC 5101 The iacutenput signals are voltage pulses induced in a resistor definelt by the beginning (ending) af the scauring oI a laser beam fO(Usw on ltt photo~trdn$i$tor (in sents with 1he resistor) when thc drop tarts (ends) t(l CTOSS the laser beam The width of the pt1lse is the time interval t (where n is the drop number) and the time delay between two pulses is lhe crossing time (SI) of drop tbrougb the laser beam 50 lha the total time interval is 1 = 111 + 8t~

We can setup the drop rate (J~ 1(Traquo in two ways (a) by feeding back lhe Wuer reservoi to ke~ the height h af the water leveI md selet1ing the drop me by opening (closing a needle valve driven by a step motor which is coutrolled by a microcomputer

For a given drop late we have constructed first retum maps T I VS4~ (b) by fixing me opening of the ncedle va~ turning off1he water supply letting fue water levei decrease natunilly and so the drip~ ping Iate Therefore~ the contml PWffileter lhe heiacuteght h of the water leveI varies as ht ho - n8 VA where 8YA=2XlO- mm he 15 the initial height I) Y the mean volume of me drops and A i5 the area of the water reservoir surface In this case bifUrcatiou diagrams Tn V$ n were constructed We

~ ~

300

200

Ibl

()1

oI 100 2Q(l 300 400 500

1 figo L (a) experinwJrtal data for f 146 dIopss Experimental panuDlter vaues are Ir 365 dynjcm X-~tI a6 em R Ot2-0l5 ss and Q 01-0 14 sem (li) the attlactor profile obtaiDed witb R - 015 sls b - H) Si k 415 dfacrtJ xir - 13 em arul rt- 01 slem Tht ealllai~ drop me ia f 315 dropss wbich ~ two- times the expcrimcntll vale 3pll~lely G1w rupple

A TufoiJe cf aLIPhysfcs Lettcf A 255 (1999) 58-64

T11Ulitl$ltTgtlaquo146m~

T---r------T~~ t

12

12012~~11T 911 tMobull

T (l (Iraquo

Fig 2 a) experimetItaI T+l n 41 YS r (ms) tuap (h) simulatcd mBp wrtb R (U41 gJs xr O25i em a-1l51 sem b-Q94 s-land 1(20 dyncm Thc two maps wcre ~ from lhe samc angle 4f vUicn The calcuJted drop me is cloR 10 fue ~ vahIe l1ul similiuiacutel) bctwcen the two maps suggesls lhe salOO attwtor with ~ slzes of the basins ef ~ Htass nippk

have used one gJass nipple and other one or brass~ with both having t11e same intema1 diameter

3 Resolts

31 Mass~sprjng modal

Following Dnnocenzo and Renna (25] notation the set Clf autonomous differential equations for the mass-spring modol is [45)

dx d(Mv) IM-= =Mg-kx-budi 1 di di =R~

(I)

where x 15 the ooordinate af the ceuter af mass ar me hanging watet agravetld R the flow ate

fhe surfagraveoo tenskm and friction between the wa~ ter and lhe _ are respectively representelt by lhe spring eonstant k and by b A drop with mass

AM aMell( (2)

is shot wben the center of mass x exceeds a tbresh old xI where M and 11 are respectively the hangshy

(a)

~ i= 10a

bullbullbullbullbullnbullbullbullt

Il~_

bull o - shy (b)

C

ibull

m I ~

-10 i-shy i t

Fig 3 (ti) experinleflt2l hifilnmon diagram wilh tlJ~ drop Iate lIlllgingtrom -9ISdM1Hn 913 dtopsjs (b)paralkI combi~ natlOIl or two oolliDtctacting logime maps witb p~ecirc)- f +t and p(~) Px(~)-Ot IS Brass nipple

ing water mass and the speed at the thresbold paim g = 920 em51 and a is li parameter

For the remaining water DInnocenzo and Renna pmposed two models (PS) the point-spbere one lhe drop is spherical of radius r and the waterresldue is a point situated at Xo =Xr -rAMM (TS) twQ

sphere model lhe drop is spberical of radius r and the water residue is ti sphere ofradius r = [3(MrshyAM)j(4p)] cenrered at x ~ xlt - (r + r)AMjMlt Therefure lhe simulations reqm lhe adjuslment of fi _ (k x R aod b) but with an unknoacutewn dependence between them

fig 4 (a) 1X~rimenlal bifuttation diagram with lbe drop rale rungillg fmm 28$ doWn to 268 dropss Tbe circe SOOWl the sequerne cf tbc plotting colotslt sbould be noticed that in lhe ttginns otperiod-2 tbe colun ilIC supcrimposcd In (D) and (c)ate itSPtttlve1y sbown tbe odd ruld ~ bW1Ches On lhe right in W the cmuJation ofthc eltpelirncntl1 duta ming a scri~ combinltion oftwo intcmcting logistic maps in (8) and (C) are tespectivey slrown lhe anulated separaoon oi tIle odd aud eVelI bnmehtS The pammeters ()f control P1laquo(f) and P7lt-C) lU sItown in fig 5 9t-~ rupple

00

gt

so

i O I

o~xu

x

(v)

62 4 ThJaited aLIPhysi~LeIergtA 255 (J9)9) SlI-M

In Fig 1() is sbown me experimeand first return IIlllp obtaiacutened by keeping fixed me water levellreigh aI 1= 146 dropss (gIass nipple) An bullbullperlmeotal esrimarion for me pamm_ values are [2l k = 365 dynem x~Mem R =012-015 gjs The simshyulations of the attractor using these parameter va1ues did not converge for wide ranges of a and b villu~1i

We cou1d emulare the attractor profilc using the PS mudel by adjusting all the paIdmeter values The emulatioo wilh k-475 dynem x= 13Cn Rshy015 g -02 sem and b - 10 s is shown in Fig l(b) but me mean drop mte obtained (fshy315 dropss) is abou IWO times lh experimental valobullbull

In Fig 2(11) iacutes shown an attractor reconstructed in a fbreedimensiacuteorutl map T +1 vs T i i VIi Ta at f = 8726 drops I s The atttactor- profile was simtJ 1_ by me PS model wim me pammeter values R=O14 gs x= 0251 em a-OSI sem bshy094 and -120 dynem as aho in Fiacuteg 2(b) Despire the fagravect tllat these values are quite different uom the experimental ones we obtained by coinjdence a drop rate of f= 880 dropss close to the experimental value The similarity 1raquoshytween the two maps suggests mat we have the same atttactOt whnc the different time scales point out to dilferelt os ar lhe basiacutens af _ans with apshyproximataly lhe same mean time T

We could oot find in lhe titerature better _shytions af dripping faucet auractors than lhe examplos above This model is not enougb to expIa1n all the detalls of me eXjlOIIacutelMntal data but it can be useful to give a first sigltt (ar lhe general properties) of the drop formation dynamics 41 since the classical hyw drodynamiclll models are mo complicated to obtain large time series

We observed some peculiar behaviors ln me exshyperimentai bifUrcation diagnuns and ve attempted to construct empiacutericaJ models omulate suoh bebavshyiacuteors in a shnple way~ looking for relatiacuteons berween two qu_ IlIPS

32 Combined mtJps

321 Parallel comhinatton In Fig 3(a) is shown an experimental bifurcation

diagram T vs nf which was obtaiacutened by Jetting the wateiacute level go down 113turally and lhe dripping rate

rangiag from - 918 00 to - 913 dropss Beshylow 11 as the water leveI heigbt goes down the dynamical ampystem evolves in a period four m~ ment When the system reaebes lhe aitical point I1c (ar h) the initial rom stable fixed points are re~ placed by new four fixed points

We siacutetnulated this peculiar change of fixed points by adding two nonwiacutenteracting quadratic maps (paralw lei combinatioQ) 50 lhe global I S is given by

In+ =x ~pAt) Yn+l-Y -P)(~ x +y

S - bull (3)bull 2

where P(i) and p(lf) ate me OOIltrol PllIameters as functions of a common parnmeter sgt and each tnap is iterated sepamtely 2 We observed that the hoiee of P(i) = i- 14 py(V= pltel - 0115 IfE (16164) can emulJlte lhe experimental change of the fIXed points as shown in Fig 3(b) Tbe transition po-int g~ = 1615 corresponds to the secshyond ilip bifurcation in tbe y map and a period-4 movement in the x map but lhe global I S co~ondamp to a foor fixed points until the next fliacutep bifurcation which oours in the x map at ~= t6t8

Dilfetenl from an interior erisis [331 in whiacutech OCCUts a sudden change in the size of the attractor in Fig 3(a we have a smooth inereasing in the size of lhe period4 attracror Regarding lhe oscilJatory barshyaeter ofthe banging water~ these two period-4 behav~ lOIS suggests that we bave the same oscillation mode below and above (n) but with a little difference between their boundary conditions

322 Series combinalion For a Wgher drop- rate another experimental bifurshy

cstion diagnlm was observed with the dripping rate ranging from 288 down 268 dropss In F18 4(a) is shown lhe bifutcation diagnun 7 vs n

i

ohtaiacutened by plotting lhe pciacutents alteruately in blaellt (-159 ) ingreen (=2610 ) inred (n = 3711 ) and in blue (n - 4812 )

InitiaUy~ the system evolves in a period~2 attractor until lhe ches red + blk and green +blue colshy

-1- For a given value ofthe cmrttltll pammeter euro the seties xl tuld Y ete fUIlI1ltrlcllJy laquonained aftrr 11 ttnusltnt oi 10000 lIetations from 1he same initial cQlIdiOOm (xG )~ 06)

bullbull

63

7

A Tuaile et aL Pllysics leJters A 255 (1999) 58-64

10 i

os Py obull o

osL 07

Fig 5 P~ (cuntinuuus linel and Py (uacuteasheu ine) as fWHtions of

fmiddot

Iapses at point T After that the system continues to evolve in a period~2 movement but showing invershysion of phases (see tbe colors exchange) until point F where another bifurcation occurs on each braneb Therefore this diagram ean be split in an odd dia~ gmm (blaek + red) as shown in Fig 4(b) and in an even diagram (green + blue) as shown in Fig 4(e) The skcleton of eaeb branch 15 preserved even in the regions of superposition of the branches as in the chaotie region (n 25 X lOs and ~ 097 in Fig 4) The branebes in Fig 4(b) and 4(e) have similar behavior and structures (common bifurcation points and chaotic regions) but different sizes

Tbe similarity between each brancb and tbe logisshytic map suggests that this peculiar behavior could be interpreted by the combination of two strongly intershyacting logistic maps (series combination) as to say the feedback of one logistic map into another one

x+ -4p(Oy(I-y) oddbrnnch

Y+ -4p( Ox(l-x) evenbranch (4)

where PxltO and pig) are the control parameter ftmctions The choice of Px(g) and Py(g) shown in Fig 5 leads to a reasonable emulation of tbe experishymental diagram as sbown in Fig 4(A) (8) and (e)

Considering that each branch is visited altershynately and associating each branch to an oscillating mode of the water column it seems that the initial conditions imposed by one drop to the next one switches from one oscillating mode to another oneTherefore the combined maps models can give us a first sigbt about some Ioeal behaviors of the experimental diagram

4 Conclusions

We could reproduce tbe profile of some attractors by using the one-dimensional mass-spring model The parameters values obtained by this model are not realistic due to the drastic simplification of the water drop formation dynamics

To interpret some peculiar behaviors observed locally in bifurcation diagrams we proposed the emshypirical model of combined ma~ With the parillel combination we couId emulatc the peculiar replacing of four fixed points by four new ones Tbe feedback of one quadratic map into another one in the series combinatian aJlowed us to realize the collapse of branches and their further separation as well as the preservation of tbe skeJeton of each branch in the chaotic region

Acknowlcdgcmcnts

This work was partially financed by the Brazilian agencies FAPESP CNPq and FINEP

References

(U FC Moon Chaotic VibratiOM Wilcy N~ Yorlc 1987 [2) KT Alligood TD Sauer JA Yorlte Cbaos An Introducmiddot

tion 10 Dynamical Systcms Springer-Verlag N~ Ymk 1997

[3) OE Riiss1er Synergetics A Workshop SpringeroVedag 8erlin 1977

(4 R Sbaw The dripping faucet as a mudei chaotic systelll Aeria Press Santa Cruz 1984

(5) P Manien SC Popc PL Scott RS Shaw Phys Lett A lO (1985) 399

A T~oile ct DL I Phyfitf ieJlerlf A 255 (J1J99J $8-641 64

[6] HNN Yeacutepez ALS Brito CA Vargns LA Vicente Eur J Pbys Ui i989 99

[1] RF Cahllan H Lcidcr~hcr 00 Cahaian Comp Phys JulrjAugust 1990 p 368

(S X Wu ZA Scltelly Physicl D 40 (1989)433 191 X Wu B T_ zA sbltlly Rltv Sei IM 6) H9S9)

3119 lO] K Ote)ltr FR Hlckey AIraquo 1 PbyS $ 0(91) 619 [i t lC Sartmelli W_r1 Gonccedilalves RD_ Pinto Pbys Rcv li 49

(1994) 3963 (12) RD Pinto WM Gonccedilalves lC Sartotclli MJ de Olivcita

Phys Rev E 52 (1995) 6392 U31 JGM do Sil~ JC SartQrelli W_1 Oolccedilal~ amp0 Pinto

Phys Lett A 226 (1997) 269 (l4) XO Shl MP BmmtI ItR Nage1 Scienee 26) (1994) 219 (15) sDR Wilsoa J Fluiu Mech 19(1 i988 561 H6l D1L ~grine O Shokfr A SymGn J Fhtid Mtclt 212

099Ol25 [t1] OW DePDoll JQ Feng DA Basatan Te Scott Phys

Fluids 7 (I995) 1181 (18) X Zhlmg DA ampsarau Phys Auieis 7 (1995) 1184 [t9) A Laveron-Simavilla JM Pcrales Phys Fluids 7 (1995)

121)4 t20J Y Watanabe Jpn J Appl Phys14 (1985) 351

(21) MSF da Rocha JC Sm1orelli WM Gonccedilalves RD Pinto Phys Rev E 54 (996) 2378

[22] J Austin Pbys Lelt A 155 (t99I) 148 (23) JA fomecirc$ J ProcQpio le Sartoacuterelli J App Phys 80

(t9) 6(121 1241 Gt SaacutenchesOrtiz AL 5efusBrito Ph)-s Lctt A 203

(1995) 300 Ph)1IacuteOl D 89 H99S) 151 1Z5] A Dmiddot~ L Rtnna Ph)s Lctt A 220 UI)) 15 Uacutelt

l Theor Phys 35 (1996)941 fhyl Rev E 55(991) 66 126) PMC de Oliveira TJP Penna J Stzl Phi 13 1(93)

189 brt J Mod PIacutel)$ C 5 (1994) 997 tm TJ-P Petma PMc de Olivclla JC Saoorelli Wt

Gonccedilalves RD Pinto Phys Rtv E 52 (1995) RlI68 28] HE SlaulCY SV Buldyuv AL Goldcberger ZO Goldemiddot

beramplaquo S HavUn llN Mmtegna sM Ossadnik CK Peng M Simotls Pllyska A 205 (994) 214

129] K (mem Progr lbeor Pbys 69 0983) 1427 Pmgr Thecn PhY$ 7i (t9iacutef4) 202

l301 Y OU M Tuug l iuan D Fmg LM Naragravenccedili fbys R~ Lett 52 (l9f4) 10L

131] T Hogg BA HUbetman Phys Rt A 29 (19M) X1S 132) LA Bunimcvich Physica O 86 (i99S) 248 [33) C Grnbogi 11 ou JA YOde Phys Rtv Lctt 48 (1981)

151)1 Physica D 7 (19amp3) 1St

Apecircndice 2

Chaotic behavior in bubble formation dynamics

A Tufaile e JC SartorelU

Physica A 275 (2000) 336-346

I PHYSICA ill ELSEVIER Physica A 275 (2000) 336-346

wwwelseviercomllocatelpbysa

Chaotic behavior in bubble fonnation dynarnics A Tufaile IC Sartore1li

Instituto de Fisica Universidade de Satildeo Pauo Caixa Posla166318 05315-970 Satildeo Paulo SP BrQ2j

Received 25 June 1999 revised 19 August 1999

Abstract

We constructed ao experimental apparatus to study the dynamics af the formation of air bubbles in a submerged nozzle iacuten a waterglyccrin salution insidc a cylindrical tube The delay time bctween successive bubblcs was measured with a laser-photodiode system It was observed bifurcations chaotic bchavior and suddcn changcs in a pcriodic regime as a functioo of thc decreasing air pressure in a reservoir We also observed dynamical effects by applying a sound wave tuned to the fundamental frequency af the air column above thc solution AI a function of the sound wave amplitude we obtained a limit cycle a flip bifurcation chaotic behavior and the synchronization of the bubbliacuteng with sound wave frequency We related some of the diJferent dynamical behaviors to coalescent effects aud bubble sizes copy 2000 Elsevier Science BV Ali rigbts reserved

PAeS- 0545+b

Keywords Chaos Bubble dynamics Uostable periodic orbit Synchronization

1 Introduction

The formatioo of gas bubbIes in a nozzIe submerged in a liquid column has been studied by Davidson and Schuumller [I] Buyevich and Webbon [2] and Kyriakides ct aI [3] A criticaI review about the experimental and theoretical resuIts is presented by Ponter and Surati in Ref [4] Results of simulations of the motioo of gas bubbles in a liquid are presented by Krishna and van Baten in Rof [5] The bubbling dymiddot namics presents some features that resemble chaotic systems [6-8] Triton and Edgell [7] observed some attractors by detecting the bubblc passage by a transduccr (hotfilm anemometer) placed close to the nozzlc

The aim of this paper is to report the existence of dynamical properties of bubble fonnation with non~invasive techniques and report the effects of a sound wave 00 the

bull Corresponding autbor E-rrwil address sartorelliifuspbr (IC Sartanlli)

037843711OO1S~see front matter copy 2000 Elsevier Sciencc BV Ali rights reserved PII S03784371(99)00440middot9

--337 A Tuaile Jc SartorelliIPhy~iCD A 275 ((f)()) 336-3

FuncIioo gEIlatlIlaquoW_1-0-1~a

VHS o

Come o

D O O

--shy

~

~ Ai

Rbullbull

pshy

~cf2-~

Capac1liva aJr Reservolr

bull

Iltshy

shyi

VoJ

Fig I Dilsgmn or lhe erperimItlUil upparulus

bubb1e furmtalon dynamics Tho deJay time between _ivo bubbJcs was measurelt by using lhe same mehniques as in lhe dripping laUCOI experiments [9] _ides a route 10 chaos via period doubliacuteng we related some peculiar bebaviQrs observed in biftucanon diagrams to theacute coalescent effects (for a bubble penetrating roto another just aoove lhe nozzle and fonning a single-larger bubble ot when one bubble touches the proviacuteous one fonning a doublet)

2 Tho IlIlbbJ gun apparalUs

The experimental apparatus consists oi a glass IUbe paatially fiUed wilh bull viSC01lS

Julio (warer+glycerol) as schematiclly shown in Fig 1 The air bubbles are fonned blowing air through a nole aI lhe bultam of lhe tnbe The air iacutes supplied by ao aIacuter compressor whose reservoi is oonnected to another one (a capacitive reservoir) through apressure reducer The detection system is the same as in the dripprng faucet experiment [9] A horizontal He-Ne laser beam focwoed in a photodiode is placed a little above the nome The input signals are voltage pulses induced fi a mistor defined by lhe begiruuacuteng (encuumlng) of lhe scattering af a laser beam focuscd o lhe pholediode (in series with lhe resistor) when lhe buhble starts (ends) lo cross ibe laser beam The deJay lime between successiacuteve bubbles was measured with a time eounter circuitry inserted in a PC slol (time resolution =1 ps) The width af lhe pulse is lhe

A Tufuile JC Sartonlillhyrica A 275 (2(1())) 336-346318

time interval n (where n is lhe bubble number) and the delay time between two pulses is lhe crossing time (~In) of a bubble threugb lhe I heam so lhat lhe total time interval is T ~ I + otn We eao setup lhe bubble rate (f= I(T) in two ways (al by futing lhe ~ening oflhe ncedl valv turnlng oITlhe air supply to lhe capucitive reservo-ir and etting the ai pressure to dccrease llaturally~ SQ the bubbling rate 10 thls case we bave analyzed lhe data COnstrucling bifurcatioo digrams (Tn vs 11) Ihat are funcnons of lhe ir pressure deteltiSing (b) by keepiacuteng fix lhe air pressure in lhe capaciliv reserveir and seleeting lhe bubhle rate hy epening (elosiog) lha needl valv bull In lhis ClISe for a given bubhling rate we bave consbucted fust r_ mapa Tn+ vs Tn bull W aIso studied lhe cbanging of lhe bubbles formation dynamics with a sound wave tuned to the fundamental frequency of lhe air column above the solution The sound wves are generated by bull loudspeaker placed aiacute lhe top of lhe tube (see Fig 1) which is driven by an arbitmry function generatotilder The sound wave amplitude was used as a oontrol parameter

We Iso reeorded lhe bubble formation wilh a VHS eamera to illustrate how tbe profiles of tbe bubbles are in dlfferent dynamie1 bebeviors

3 ResuIts und discussion

31 Air pressure aJ a control parameter

Using a solution of fom parts of glyeerol nnd une part of water and a plasticj hypodermiacutec syringe wiacutethout the metaUic needte as a nozzte a bifurcation diagram was

ohtained Ietting the ampir pressure in the capaeiacutetive reservoir go down naturaUy with the bubbling as shown in Fig 2 The diagram shows the evolution ftom a chaotic behavior in region (a) to a periacuteodic window The pcriodic behavior starts with a perl002 region (b) lhereafter a bifurcation occurs giving rise to bull period4 regioo (e) wbieh again ovolves to anolher period-2 region (d) foUowed by a period-l movement rgioo () In Fig 3 lhe illustrations of lhe bubbles prefile in eaeh region as labeled above are shown In Fig 3() tbe 1gtu1gt1gtle are formed wiacutelhout lhe eoaleseent effeet in lhe period-2 bchavior shown in Fig 3(d) there is no coaIescence near tbe nozzle but a little far abav il in Fig 3( c) lhe eoaleseerne oeCUtS close to lhe nozzle but bubbles do oot toueh each olber and a period4 is ubserved in Fiacuteg 3(b) two sueccedilcssive hubbles eoalesee completely givrng rise to a bege single bubbl in a period-2 bebavior nnd in Fig 3() lhe eoalescent elTect in the ebaotic region

A different bifurcarion diagram was obtained in the same way as above using a iong metallic hypodermic needle as ti nozzle as shown in Fig 4 The system is cvolving in a period-2 movement region (a) in tbe Fig 4 with ao _cto size IT+I - T I~ 55 ms As the air pressure in the capacitive reservoir goes down suddenly a shortening of the period-2 occurs and a new penod-2 starts Vith tbe attractors size ITn+J ~ Tnl 1 ms region (b) in tbe Fig 4 Thereafter tbe system evolves to a period-l movement lllustrations af the bubbles profile obtained in each regioli descrihed in Fig 4 are

339 A Ttifailt JC $art(HllliPhysita Aacute 275 (2fJO()) 336-346

O~I----------------------------~

~

~

O I v

O 1000 2000 4000 n

Fiacuteg 2 Bifurcation diagmm obtaiacutened wilh lhe air pressure decreasing in lhe capacitive nservorr lUgion (a) chaotic bchaVior (b) periacuteod-2 (c) period4 (d) perioomiddot2 IUld Ce) period-L The same behaviar is obtained by increasiug tIie oir pressure HypodermJc syringe 1U)zzle

-O

o

0

() (b) (C) (d) ()

lig 3 mustmtions of thc bubb1cs profile and tbc eoalcscent efbts in a cbaotk behaviacuteor (b) periodm 2 with wmplete ooaesm1ce (c) period4 wilh single ooaIescettOO (4) pcriod-2 without cmt1eseenOO noar the llQZlk bul a liuIe flt ~bove il and (c) perioo1

shown in pjg 5 The shorteniog of lhe size af the atttactor is accomplisbed by the shortening oflhe size oflhe bubbles as il is shown in Fig 5() and (b) In lhe larger period-2 regioo close to the nozzle two bubbles coalesce completely fonnIacuteng a largo sing1e bubble as described in Ror [13]

32 SlJWld waue amplitude as a contrai parameter

By keeping fixed lhe air pressure in til eapaeitive reservoir we cbanged til bubble dynamics formalion by applying sound waves tuned to tIle fuedamental frequency j = 138 Hz of lhe air eolumn abave lhe Iiquid solutiou (two parts of glyeerolone pari of water)

340 A Turule JC $oNorellilPhyslco A 275 (2000) SJ6-J46

26 ~ ~-

bull bull

I20 gt

_JPmiddot -F- 15 f14

bull

o ltlO 600

n

Fig 4 Diagrmn bifurcntion as a function (lf air pnmure deCltlMing in lhe capacitic reservorr obtained with a meLallic needle Arowtd lhe region (a i me movement is the large perlodlaquo2 doe 10 lhe coolesoent effcct MOlmd the region (b) is shown a shortcr period-2 and in fuc rcginn te) is soown 11 fixcd point

Uacuteraquo Ib) le)

Fig S (a) Larse prloo2 and Iargc bubbtes due to a GOalescent effect in a peri0d-4 (b) perioacuted-2 without me coaIescent ciTect aud (o) the fixei porot

In Fig 6 lhe first retum maps as a function af the sound wave amplitude are shown lu eaeh fnune lho IOp iMo snows at lhe 10ft lhe sound wave amplitude and at the right lhe bubbling rale We started at a fixed poin at f = 11282 bubbless as showo in Fig 6(a) By applyiacuteng tho sound wave lhe fixod point 1000 its stability aud a Umit cyc1e appears as shown in Fig 6(b) and c) with a littIe increasing of thc mean bubbling mie as lhe amplitudo ls raised

341 A ThfaJJe JC SartoreUllPhysiCIJ A 27$ ()(()(J) 336-346

iamp

TJms)

4

(1)

001[ 1A I 11 31 I ] 99 J71

-- co ~~ gtamp ~ bull I

bull

J 90 100

G)

Trna)

l

t~~i~I i t S ~

lt

(I) (k)

Fig 6 FIacutelSl return maps TI1+1vs TI as a furution of lhe sotlOd wave emplirude (keeping 6)( lhe aiacuter pressure in lhe ccedilapacffive fIICIV)ir) In each fraae the insets sbow at lhe lcfi lhe amplitude and ai the righl the buhbllug rue (li) Tbe lnitial fixed point (b) li limit ccedilycle (c) an unslable limit cycle~ from (d) up to (g) li llip bifutcation III constant bubbling raie~ from (h) up ti) (J) clmotic attrnctnts In eaeh fmme the lfitenection of lhe dashed 100 defines lhe position of an unstable perlod~l orbiacutet (UPO)

342 Acirc Tufuile JC SttrionllilPhysica A 275 (1000) 336-346

In Fig 6(c) lhe limit cyele looses its stability and a fixed paim near (87 87 ms) is visited in 41n intermittent behavior This fixed point position was established by a hislogram pIot of Tn The Fourier transform applied to lhe data related to Figs 6(d)-(g) showed a noisy period-2 _vior aed wilhout any bubbling tato variacuteation Therefore as we are observjog a bifureadon per1od~1-+ period~2 (see In Fig 6(0)-(ampraquo as bull function of lhe sound wave amplitude a period doubling ls being hidden bY lhe noise In bull llip bifurcation lhe i an unslablc fixed peint helween lhe two stable fixed Our data sbows Uacutetat lhe viacutecinity of lhe middle point betweeo lhe stabJe fixed points is been visited due to noise Consequently our data are adequate to apply the fixed poil transformatioo rechniquc developed by 80 cl a [10-12] to finagrave unstable periodic orbits (UPO) in short sedes of events wiacutetb unstable control pararneter briefiy descnbed below

To extract the unstable periodic orbiacutet with a finite amount of noisy data of a o-dimensional system Se et 1 supposed Ihat ali points lyiacuteng in a regian around lhe fixed point x = f(x) can he transfonned to x in lhe vicinity Df x The denshysity function p( x) has IacuteI1verse square-root-type singularities at the fixed poiacutents and a bistogram approximation to Pi) will have a sharp peak at x=x Some spunous pcaks appear in fiO) eilher due to siacutengnlarities not relatelt to fixeagrave peiacutents ar lo zeshyros of lhe derivative of lhe traesformaoon funarion x= g(ltk) They generalizcd the mcthod for a system with an arbitrnty embedded dimension (d) to obtain the unstabl

l periodic oreits by doing the transfonnation

in = (1 - SJ-1(Zr+1 - SnZII) (I) I

where

I (d-l) d)aftolfmiddotmiddotmiddotan trS= (

1 O +lltRllz+-zII (2)

a I (zn - 211_1)t -1 ( ( I - Z)1Zn+l

=1 (3)

d (Z_(d_l) - Z_d) (Z_(d_2) ~ Z~_(d_1)t

Zn are the reconstructed vectors ftom scalar time senes xn

ZJj = (Z~ZZ~ _ ~z)t = (XnXn_hXn_2 Xn_d_)t (4)

R is a d xd randam matrix in the range [- I I] and 1C is the magnitude of me randomshyization The fixed pojnts are giacuteven by the peak positions of l(i) As the locariaM of lhe spurious peaks dopend ou the parameter Ihey are eliminated by taklng lhe vecage (pczraquo) for maey dilfrent values picked up randomly As lhe attractQrs reconstruelion in a Wo-dimensional embedded space are enougb unfolde~ we applied this technique for d =2 w Iso chobullbull Ilt =5 and 1000 random matrIacuteces

343

se se 00

1 ~(S)

A Tufoile IC SartorellilPhyslca A 275 (2())()) 336-346

rzg 7 (li) Tht hhWgJlim ap~JA 10 p(i ub(ained wi1h the fixed paim trunsfonnatitm ttdmique using the daia sbown in Fiacuteg 6(h (b) lhe eonlout gmpb around lhe unstable periodl orbit ($697 8697 ms)

An example of our results is shown in Fig 7(a) where is drawn the histogram approximation to p(x) using the data shown in Fig 6(h) For better visl3lization of the unstab1e period orbit position a contQUr graph of the same data is shown in Fig 7(b) The higbest peak defines ao unslable penod-1 orbit at (8699 amp699 ms) cIose to

tbe stabJe fixed point shown in Fig 6(0) In this way we fOWld au WlSlable periacuteodo orbit as shown by lhe intersection of the dashed lines in Fig 6

Wiacutetb furtber ampHtude inereasing we observed the appearance af a chaotic regjon with stretchiacuteng and folding dyoamics f bullbulltures as shown in Fig 6(h)-(il and with

2500

2000

1500 c

81000 ~ 500

(a)

1

~1 I I

I

(h)

ilf

92

_2275 - 2600 _1950 - 22S _l6a5 - 1950 _1300 - 1625 l1li9750 - 1300 l1li$51)0 - 015-(1 W7~~O - 6500

() _ 3250

Tn(msj

344 A Tufaic JC SurtoreliilPhydoo A 275 (2)()()) 336-346

81 114

075

1 gO50 ~ gt

1deg25 degOOr--middotmiddot---mm--mm--------m-----~~J 82

- -i

870 eI -~--=__------__----_-----___shy8

f ~

J ~

Q 111 1~

I I I J1 02 03 04 05 06 07 08 M 10

sound wave smplitudOV

Fig a As li ftmction of the sound wave amplitude (a) the dominant LyapunoacuteV exponent (1raquo the mean bubbling mte (left seale) and thc unstablc pccedilriodiccedil objt (right scalc) The ltonliDuous lines are guide$ to Yshy

little change in the bubbling frequency The reconstructed attractors in tbe chaotic region were characterlred by lhe domJnant Lyapunov exponet [13J as sbown in Fig 8() However lhe unstable periacuteod-l orbil remains in tbe ohaorie region wilh little cbang o its position as hoW in FIg 8(b) (rigbt soale)

Contiacutenuing to increase the sound wavc amplitude with larger amplitude increments lhan betor we obtained lhe atttactors shown in F4 9 In Fig 9(m) lhe mean bubbling mie is 205 bubbl for a sound wave amplitude 0014 V and lhe pasition (~72S 725 ms) is visited in an intermittent behavior The visitation time increases as we increase the sound wave amplitude until the point ( 725 -725 ms) beoomes a labla fixd pain as hown in Fig 9(n) In Ihi situarian til rnean bubbling rrequency is f = 13797 009 bubbles whiacutech iacutes tlul sound wave frequency valu bull Therefore the bubbliog hcome synehronlred with the sound wave In Flg 10 we ca 1IIe dilference betwee lhe bubbles prefile in lhe first fixed paint as shown in Fig 6() and lhe syncbronlzed iacutejed paint shown in Fig 9(0)

(XII arI Cf1) kmmlmlj Mllacirc puoosrrn q~ ~mAacuteS ~ (sfsgtIqqtq L6Lt = f) sliacuteqqtq nn unjA 1tfOd fXgt1I9 t1ilf )ql (q) (sjgllqnq un I f) c)9 1ik tI Ut01ls laOO tmJ lSty Iql JO ~ Slqnq lt)ltJ (v) 01 -RJJ

(q) (raquo

)IIJJM punes ~tI JO )wnbarj ~UllJ oql tj~ pozroorqIMS

1l0mIllOJ Ilqqnq nql (u) lOAmp~ lIl(lnftuJtlll W to PQl~ S (sm SZL CcedilZL ) 1Uod lU (01)6 ~iI

(SIUUL

bull 00 Oi o (UI)

i

346 A TulaiJ JC S(1r(orelli Physica A 275 (2(J()(J) 336-346

4 Coudusion

We observed bifurcations in a bubble gun expetiacutement as a funCIacuteon afhe aiacute preshy8Ure In one case j we observed in a period-2 movement ti sudden change in the attraacuteCrors

size related to the bubbles size In other case with a different nozzle geometry we observed a periacuteod-doubling easeade J -+ 2 -+ 4 fullowed by a eMotio hehavior In both cases we fclated some different dynamical behaviotS to coalescent effects

For a fixed air pressure we used as a second control parameter the amplitude af a sound wave tuned to the fundamental frequency of the air tube above lhe oolutioo We observed as aacute function of increasing sound wave amplitudes the appearance af a fixed paim a limit cycle~ which looses 11$ stability and a new flxed paint appears a lllp bifuration followed by bullbullIutou regiOll wih strerehing and foldiacuteng features Thereafter a new fixed paiot starts to be visited in an intemUttent behavior anti the bnhbling synchronizes with lhe sound wave freqnency

We applied the technique af the transformatioD af the tixed pomts to extract an unstable period~l orbiacutet embedded in noisy reconstructed attrnctors in the fiip bifurshyClltion region This unstable period-l orbit remains in the chaotic regime which was charatterized by the dominant Lyapunov exponent

AcknowledgemenJs

We ate gratefuJ to Professor AJ Liohrenberg RD Pinto and MS Baptista for heir suggestions FinanciaI support from lhe BrnziUan Agencies FAPESP CNPq and FlNEP iacutes gratefully acknowledged

Rcf

[1] JF Davidson BOa Shiller Trans lllst Chem Eng 38 (1960) 144 (2) YA Buyevfub BW Wcbbon Chem Eng Sei 51 (19 4M3 [3J NK Kyrlalddes EO Kaslriookls SG Nychas em j Chem Eng 75 (1997) 684 [4] AS Pontet AJ Surnli Cbem Eng TecltnaL 20 (1997) 85 [5] 11- Krisbna 1M _ Nottue 398 (1999) 208 [6) 11- F IA _lt= A Phys Leu A 243 (1)l8) 67 [7] DJ TriUltm C BSU Phys Fl A S (1993) 503 [a] LJ Milloni MP Scllwar~ RD Ut Nuuzc Phys Fluids 7 (1995) 891 (9) JC Snt1oreIuuml WM Gonccedilalves RD Pinto Phys Rev E 49 (1994) 3963

[10] P 50 al Ihys Rev -t 76 (1996) 4705 [11] P So et al PllS Rcv E 55 (1997) 5398 [12] P So Cf al Biophy$ J 74 Z776) 1998 fI3] S ElIner DW Nycbka AR GIlllant LENNS a progrmn lo estimntc lhe dominant Lysp1JlU)v cxponcnt

of noisy noulinear systcms from time series data (fustitute of Statistics Mimco Serlcs 00 2235 (BMA serias lO 39) Statis1ks Department North Carolina State Univcrsity Raleigh 1992)

I 1

I

Apecircndice 3

Heacutenon-like attractor in air bubble formation

A Tufaile e JC Sartorelli

Physics Letters A 275 (2000) 211-217

I

PHYSICS LETTfH~sA

ElSlMER Phys1cs Lctfln A 10152 (2000) 1Q(l

wwwelsevebullnllocalJpl3

Heacutenon-like attractor in air bubble formation

A Tufaile JC Sartorelli lflUacuteMd dI FistCil Untveridadc de Samp hIlJC Cooacutea Postal otilde6JJ8 flf31J-l70 Sim PauID SPl1roil

~ved 6 Junc 2000 rnceiVdl in revised furm 29 Augusi2000 aeccpted 29 Angusl2000 Communicated hy cR DocriDg

Ahstract

Wc studlod the formation ar air hubb1es in 11 submerged nozzle in a watcljglycerol solution inside- a cylindtical tubeacute submitted to a sound wave perturbation lt was obslttved a mute to elmos via periacuteod 40ubling as a funetion of thc- sound Wllve amplitude We applicd metriea1 as well as topological chtmleacuteterization t(J some ch~tic attraetorn Wt localizcd ti flip saddle and wc aIso could establish relalions to a Heacutenon-like dynamics with the oonstruction of symbolie planes C 2000 Publishcd by Flrevicr $ciCllCe RV

PACS OSAS+b KeywonJs Cblrol Bubbe dyruunics Heacutenl)lt map

1 IntrodoetiOJl

We npot1Jd [1l some dynamical elfects of o sound wave in a bubble fonnation dynamics such as a flip bifurcatioacuten as a fimction of the increasing smmd wave amplitude Lauterbom and Paditz [21 studied the main reatures of bubble 05cillator in which the size of a small bubble in wnter oscillates due to a _ field Tritton and Edgell [3J observed some atiroctors by detecting thc bubb1e passage neatby a tnulSducer Ototmiddotfilm onemomme) pUacutelced dose to a nome where the bubbles were issued and they repartelt the existeace of a chaotic bubhlmg

~ccedil tumor TeI +55 11 81S 691S fax gt$5 11 813 4334

verified by visual inspections OOt without any kind of characterizatiacuteon af the chaotic dynamics Mittoni et ai [4J observed chaotic behavior with positive Lyapunov expunents in bubbling systems using a pressure transducer Li et a1 [5J studied lhe chaotic behavior of bubb1e 1oalescence in non~newtonian Iuids Ruziclm et ui [6J observed raquopc m intemritshytency in the transinon ftom bubblmg to jetting regime in 11 nitrogen-water system

Characterizaticn ofexperimental data oinonlinear systems using symbolie dynamiacutecs has becn reported by Gonccedilalves et al [71 in whiacutecb lthaotie at1mctms

from me drlpping faucet experiment were approxishymated to mioimal nmchines and the topological analysis applicatioD by using symbolic dynamics was more suitable to cllaracterize experimental data due to jts robustness to nalse Letellier et al [8] npplied topo1ogieal cbaracterization to irregular pul-

037S-96ltI1jOOS - slaquo trolit mluer 02000 PubJishtd by E~lr Stienee av PU S031i-960l(OOgtOtl58S-5

2 A TufoileJC Sartcrelli Pb)$Ws Letie1$ A )fi (2001)) (1I)fJ-()(J()

sations cf a hydradynamical madel of nu pu1sating sUlr by constructiug symbolic planes

Wc have studied the air bubble fonnation dynam~ ics in a submerged nome in n waterglycerol somshytion illSicle cylindrical tube (see Ref [n for detaiIs) as a function af 11 sound wave amplitude tuned in the air column above the solutiou Using metrical and topologica1 cbaracterization we observed a flip bifurshyestion which is followed by a chaotic region wbere some reconstructcd attracrors resembfe Heacutenon~1ike attractors which esmbHsh a possib1e mure to chaos in bubbling dynamics

2 EJpcnmental apparatus

The experimental apparatus of the bubble gun experiment is sbown in Fig 1 The bubbles were generated by injecting mr under constant flow rate conditions through a metallic nozzle immersed at the bottom of a viscuus tluid column (20 watcr plus 80 glycerol) maintained nt a level of 12 ctn The inner diameter Df the cylindrical contaioer js 53 nun and 70 em in hcight and the innel diamcter of thl nozzle is 13 mm The nozzle is attached to a capacitive air reservoir and the air flux ean be set up

by a need1e valve and the capacitive air reservoir is supplied by aa air compressor through a pressure reducer

The detection system is the same as the drippiacuteng faucet experiments [9t lO] A horizontal He-Ne laser beam focused (10 a phorodioacuted~ is placed a little above the nozzie The delay times between succes sive bubblcs were measured with a time circuitry inserted in a PC slm With a time resoJution equals to I ps The input signals are voltage pulses induced in a rcalstQ defined by Ih beginniacuteng (endingl af scattering af a laser beam focused ou lhe photodiode (in senes with the reslstor) when the bubble starts (ends) to cross the laser beam The lidth of pulse is me time interval tIl (n 1S the bubble number) and the time delay between two pulses is the crossing time (dt) cf a bubhte through the laser beam 50 that the total time interval is Tft = tIlt + dI bullbull

Setting up Ih bubble rale (f- I(Traquo) keeping fiacutex the air pressure in the capacltive reservoir and selecting the bubble rating by openjng (closlng) me needle valve we changed the bubble fl)IIllAtion dyw ooooics applying a sound wave with a loudspeaker pIncelt at the top of tbe tube The sound wave was tuned to the fundamental frequency of the air column above lhe liquid and its amplitude was driven by a

Rmction genemlor

Jl22l + H

shy

I

Alr9lifier i

j -tgt ~bull

I

~

o

o

Fig I Diagram cfme ~nlal apparzrus

I A llifaile lC Sm10r01ll Phpics UdtersA ()( (2iJ1)(J) OOO-f()(

-iacute

f

~

Driven Voltaga (V)

Fig 2 Bifurcation diarccedilaln ofthe inte1bllbble iotavals ti a function ofthe londiipeaka driml volige Wc cstimated lhe exptlrimcntal noise laquo$ -100~ in lhe period I behaYIacuteor

i

function genenrtor A11 the measurernents were doneshy

I at room temperature

3 Results and discuasion ~ II

The air flow rale and tbe sound wave ftequency were ept conslant at - 366 bubble(s and 150 Hz respeetively We changed the Imool dynamios forshymation increasmg the driven voltage in the loudshyspeaker as shown by ilie biacutefurcation diagram in Fig

32

1

~ 24

2 A period doubling OCCUIS around 2 0 V and the bubbles are issued in pairs until 30 V~ when a noisily period fougt appears After then two-band hehavior takes place and each band presents chaotie behaVior At 35 V the chaotic bands start to overlap and a large- chaotie attractors emerges

To perform metrical and topological characteriacutezashytion of the bubbJe fonnatilt)D dynamics we collected S1x time series keepiacuteng fb six drlven voltages whose respective retum maps (T I versus T) are sbown in Fig 3

~r I

- 111

(a) (b)

35V

(d)

~

24

I 25 V I ~ bull

I -(c)

I 45V I

(f)

T(ms)

Fig 3 A gquencc cf rtconstructcd aUtaclors 5howing 11 period-doubling tome to clI3os In eacb tlanle thI iDsct shows the driven vo114se (a) peticd t (b) period (2)i (ccedil) a two-band aacutetttactru (d) te) and O are claotic aUietatS chmctmzcd by the 1atgest LapWlOV exponent ftlR IlJ9 IIl1d 024 ~ivcly nbtllned w11h tlle lRNNS j13Clcase [1lJ F~1eacuteh titl1( Ienes is 4fl()(I h1lbbles long

1

1 Thfoiacutele IC SarrorelJi I PhJir$ LdterH A fJ(J (2000) OOfJ-(JJ()4

31 MetricaJ characterization

The reconstructed attractors in the chaotic region (rrom Fig 3(d) through 3(t) were characterized by the Lyapunov exponent51 by the Kaplan-Y orke di~ mension and by the infonnation dimension obtained by the rlSEAN package (12) A cofiecture [13) relates the Lyapunov spectnun (A) and the informa~ tion dimcnsion by me Kaplan~Yorke dimension D1Cf

1gt1 i-i ( I) -k+ - IDK( - IAgrave I

H

where k i5 the maximum integer so tbat SUtn af the k-largest exponents is stiU llOn-negative This cotildenjecshy

middot mre iacutes valid for Heacutenon attractor and it is checked on teconstructed attIactots The paramerer va1ues obshytained for the driven voltages V 35 40 and 45V are shown in rable I (see Figs 3(d) 3(0) and 3(t) The Kaplan-Y orke dimensions agree with iacutenfatmashytion dimensiacuteOllS The two first chaotic attractors have a Lyapunov spectrum witb one positive exponent and one negative exponent while the last one Fiacuteg 3(0 bas one positiacuteve and two negative exponents In Table 1 we also present the results of Heacutenon maps (flr))~(y+ I-axoacutexraquo recolllitrUcted as _ retum maps XH 1 versus X (see Fig 4(a))

Ue attrnctQr dimenslons ror ooven voltages of 35 V and 40 V are close to the dimensions of the HecircnOll map suggesting that they couJd have similar dynamiC$ The reconstrultrted attIactor for 45 V see

Table 1 LyapUJlQV exp~ and dirrlensfuns for experimcntll ch30tlc a~ and for two pairo (Ir atues ar Heacutenon map pomnnctm

Fig Drlven L)aplmOv Kaplrut-Yorkt Infonnation voltage IIpcetrn ~oo dimensioo (V) (ermt) (mor)

3(d) 3 +oll -08 1IJlJ 1)J

3c) 4bull +012 -06 123(1) 141) 31 +01-03 L68m 18(3)bull

Heacutenon -09 b LS50f +038 -238 116) 116(9) 1403 +042 - L61 12i~) U9(9)

) Oilcuhted wltb Eq ti)

(o) __321 ~

31)

3 24 221lt ~

22 24 2amp 2fj 30 32

T(ms)

Flg 4 (3) A iacutelippins eXlUlllie in lhe Heacutenon mtmctot The flip sarldlc IS tbe eroll5lns point or lhe daIDed line and lhe atIractm (056 056) (b) A flipp1ng ~ in lU ~W at1lactor fuT 3 dtivcn foltage cf 40 V

Fig 3(0 has similar prorue of the other two as shown in Fig 3(d) and 3(e) However its informashytion dimensiacuteon value is quite different ftom me omer two attrnctors (3(d) and 3(eraquo as well as diacuteffimm from tbe Heacutenon map values as shown in Table L In addition to the three exponents of the LyapllllOV spectra the dimension information dose to two is a cue that the attractor 3(0 could not be untangled in MO dimensions

7 A Thjaile Jc ~iI Physia Leitos A (Jfl (1000) ())(JOOII

I

I

The partition is represented oo OOl by dashed lines In Fig 5(8) 15 shown the Heacutenon map for a = 155 and b - 01 lhe partition used is a vertical line that separates the single branch (L) from the foIded one (R) that contruns ao unstable fiacutexed point and tbe Heacutenon symbolic plane afl is shown in Fig 5(A) From Fig 5(h) tbrough 5d) lhe experimentll atttactors are shown In those aSes the partition can not be done with a vertical linct 50 we looked for C1]Ves that eould separare Ih single hranch (1) from the folded ODe (R) The respcctive symbolic planes laquo3 atbullbullhown in Figo 5(1l) 5(C) and 5(j)

The pauero of lhe three experimental _bli planes resembles tOO Heacutenon symbolic plane Tbe best similarity OCCllrs for the driven voltage of 35 V whose symbo1ic plane has the same allowed and forbidden zones as the Heacutenon ones For higher wave amplitude some forbidden regions in the symbolic planes start to be visited (for example ex = 08 and 3 - 04 in Fig 5(Draquo howiacuteng lha lhe bubble forshymadoraquo dynamiacutecs is running away from the Heacutenon~ like dynamics In Fig 6 it is shown lhe bubble trains raisiog through the fluid to ilIustrate the ditference between the bubble profiles in the periodiacutec regimes lllld the Heacutenon-1ike one shown in Fig 3

4 eocluslo

We have used metriatl and topologica1 lt1ethods to characterize lhe dynamics ofair bubble fonnation We have observed that a gradual increase in the soillld wave amplitude results in a route to ehaas via period doubling W bullbullharncterized some chaalie beshyhaviar with lhe LyapuMV spelttra the Kaplan-Yorke dimension and the infonnatiacuteon dimension which 1ed 11$ to relate some results to a Heacutel1on~1ike dynamics a low dimensional dissipative system with stretching and fo1ding 1teacuteeacutebanism The Hecircnon map parameter values) (1 155 and b=Ol cbrrcsp(l11d to a more dissiacutepative system trum the classical values a = IA and b - 03 coberently mIa h bigh liquid vi

ity tbat parares li less sttuctured attracror The establisbment ofa fljp saddlc and the oonstruction of -ymbolic planes reinfotced 0Ui assumptiODS UsushyalJy two dimensional mappings are used as mudels o forced oscilintms _ore me bnbble formatia can be seen as an oscillator driven by a sound wave

Acknowledgements

This work was partially supported by Bmziliao agencies FAPESP CNPq and FINEP

Refcrences

t] A Tufuilc JC Sanorelli Phy~ca A 275 (2000) 336 (2) W Latrtcrbom U Parlitz J Acollocirct $o= Ato 84 (l9S8)

1975 (3] DJ Tritlon C Edgen Phys Fluids A 5 (t 993) 561 (4) LJ Minoro MF Schwarz RD La Nauze Phy Fluds 1

(1995) 891 [5] lU Li Y Moulinc L Choplin N Midoux lnt J Mnliphase

Flow 21 (1997) 173 [61 Me Rnzicka J Druacutetos J Zahradnik N Thomas Inl J

Muuumlphase Flow 23 (1997) 671 (7J WM Gonccedilalves RD rinlo jccedil ~orelli fhy$iccedila o 257

(1998)385 [81 C LcteUier G Gouesbct F Soufi JR Iluchlcr z KtlI1acirclh

Choos 6 (]996) 466 [9 Jc Sartorelli WM Gonccedilalves aD PlnlQlbys Rcv E 49

(199003963 [10] A TllfiIile RD Pinto WM Gonccedilalves JC SattOtelli

Phys Let A 255 (1999) 53 [tI] s EUoI DW Nychka AR Gallam LENNS a JlfOJpW to

eSUacuteil1lfle the dominant L)llpWJOv txponent afnoisy nonliucar sy5tcm5 fmm time scrics data lnstitule af Sta1i$itli Miacutemeo Srnes n 2235 (B~iA series n 39) Statisties f)q)artltletrt North CaroHca Sbtc Uniwniiy Raeigh 1992

[I2] R Hegget fl KanIz T Schrciblaquo Chaos 9 (1999 413 [131 r Ftdtrlclson JL Kaplan ED Yorlte lA VNte J

Olff Equat 49 (1983) 185 1141 KT Alligood TD amputt JA Yooo Chaos an introduoshy

Uumltm ttl ~ systems SpringuBerlin J991 [151 iL Zhao WM ZbeIlS Ccum Theot Phys 19 (1993) 11

-1

  • 1
  • 2
Page 4: Estudo da formação de bolhas em líquidos

-

I I I I I I I I I

Agradecimentos

Nos anos em que realizeIacute este trabalho vaacuterias pessoas colaboraram de muitas

formas para que ele se realizasse Expresso aqui meus agradecimentos agravelgumas delas

Ao meu orientador Prof Joseacute Carlos Sartore1li pela orientaccedilatildeo e o aRoio que me

foram dados durante todos esses anos

Aos meus colegas do LFNL Whilk Reynaldo Marcelo Thiago e Ciro pelo

companheirismo de todas as horas

Agrave Comissatildeo de Poacutes-Graduaccedilatildeo do Instituto de Fisica de USP na pessoa do Prof

Annando Corbani Ferraz

Aos funcionaacuterios do Departamento de Fiacutesica Geral Dirce Ivone Alexandre Jairo

Rubens e Marcelino

Ao grupo de Mecacircnica Estatiacutestica nas pessoas do Prof Salinas e do ProL Maacuterio

Joseacute de Oliveira

Ao Prof Iberecirc Luiz Caldas e seu grupo Murilo BatistaKai Renecirc Elinei Anselmo

e Tomaacutes

Agrave secretaacuteria Maacutercia todo o pessoal de Bibliacutenteca aos teacutecnicos do Laboratoacuterio

Didaacutetico como o Claacuteudio Faacutebio Diorusio Maneacute Marcos e Canela

A todos do Departamento de Materiais e Mecacircnica principalmente ao lran Ivete

Eliane Taeko Seacutergio Marcelo e Toninho

Aos meus pais~ Jamil e Alaiacutede que me conduziram durante boa parte da vida e me

educaram com muito carinho aos meus irmatildeos Elysacircngela Aristoacuteteles Linda e Susy que

satildeo muito importantes para mim

Aos meus sogros Roberto e Cleu~ que me amparam com o seu apoio carinhoso

amizade e suas preces Aos meus cunhados Lincoln e Adriana Midod pessoas pelas quais

tenho profunda admlraccedil_atildeo que tambeacutem me ajudam e ao meu sobrinho Tiago

Agradeccedilo ao Conselho Nacional de Pesquisa (CNPq) e agrave FAPESP pelo

importantiacutessimo apoio financeiro

Finalmente agradeccedilo apaixonadamente agrave minha adorada esposa Adriana

I I Neste Instante gigantesco vi milhocirces de

I atos agradaacuteveis e arozes nenhum me assombrou

I mais que ( fato de todos ocuparem o mesmO ponto

sem superposiccedilatildeo e sem transparecircncia O que meus olhos viram foi simultacircneo o que transcreverei seraacute sucessivo pois a linguagem (J ecirc

Jorge Luiacutes Borges O Aleph

Abstract

We have constructed an experimental apparatus to study the dynamics of the

fonnatiacuteon of air bubbles in a nozzle subrnerged in a waterglycerin solution inside a

cy1indrical tuba The time delay between successive bubbles was measured with a

laserphotodiode system

The results were interpreted by meaus of Chaos Thecry and it was observed

biacutefurcations chaotic behavior and sudden changes in a periodic regime as a functron of

decreasing alf flow rate issued through the nozzle

Besides bubbling regime tragraveI1sitions we also observed dynamical effects by

applying a sound wave tuned to the fundamental frequcncy of the air colurrm above the

liquiacuted of the bubble fOffiiation As a function of the sound wave amplitude we obtained

Iimit cycle fHp blfurcatioo chaotic behavior and synchronization of the bubbling with the

sound wave frequency

Applying metricaJ as well as toacutepologiacuteeacuteal characterization to some chaotic attractors

we could establish relation with a Heacutenon-like dynamics The Heacutenon-like behaviacuteot j5 a

particular case of thc dissipative two-dimenslonal circle~rnap dynamics and by varying the

I amplitude of a sound Wave we have observed featutes present in the cIacutercJe map dynamics

I such as

I Chaos

i I

I 1

transition from quasiperiodic to chaotic behavior period doubling cascade and

Resumo

Construiacutemos um aparato experiacutemental para estudar a dinacircmica da formaccedilatildeo de

bolhas de ar em um bico submerso em uma soluccedilatildeo de aacuteguaglicerina dentro de um tubo

ciliacutendrico O tempo entre bolhas sucessivas foi medido com um sistema laierfotodiodo

Os resultados experimentaiacutes foram interpretados usando a Teoria do Caos Foram

observados bifurcaccedilotildees comportamento caoacutetico e saltos no regime perioacutedico em funccedilatildeo da

diminuiccedilatildeo da vazatildeo do ar soprado no bico

Aleacutem das transiacuteccedilotildees dos regimes do borbulhamento noacutes tambeacutem observamos

efeitos na dinacircmica do borbulhamento quando aplicamos uma onda sorrora sintonizada na

frequumlecircncia fundamentai da coluna de ar acima do liacutequido onde as bolhas eram formadas

Em funccedilatildeo da amplitude da onda sonora noacutes obtivemos ciclo fimite bifurcaccedilatildeo flip

comportamento caoacutetico e sincronizaccedilatildeo do borbulbamento com a frequumlecircncia da onda

sonora

UtiJizando caracterizaccedilotildees meacutetrica e topoloacutegica em alguns atratores pudemos

relacionaacute-los com uma dinacircmica tipo-Heacutenon cujo comportamento eacute tun caso particular da

dinacircmica do mapa do ciacuterculo bidimenslonaL Observamos caracteriacutesticas presentes na

dinacircmica do mapa do ciacuterculo na formaccedilatildeo das bolhas variando a amplitude da onda sonora

tais como transiccedilatildeo para o Caos via quase~periodiacutecidade cascata de duplicaccedilotildees de periacuteodo

e Caos

Iacutendice

Iacutendice

L Introduccedilatildeo 1

2 Aspectos teoacutericos 6

21 Buxos e recorrecircncias 6

22 Mapas de retorno 7

23 O Mapa quadraacutetico 8

24 Dimensotildees 12

25 Expoentes de Lyapunov 12

26 O mapa de Heacutenon 14

27 Reduccedilatildeo de rufdo 16

28 Espectro de Fourier 16

29 O Mapa do Ciacuterculo 18

210 Transformaccedilatildeo de ponto fixo 24

211 Plano Simboacutelico 25

3 Aparato experimental 27

3 L O tubo borbulhador 27

32 Sistema de aquisiccedilatildeo 28

33 Medidor de vazatildeo 29

34 Controlador de vazatildeo 30

35 Vaacutelvula solenoacuteide proporcional 31

3 6 O bico borbu Ihador 32

37 O sistema pneumaacutetico 33

38 O sistema sonoro 33

39 O liacutequido 37

310 magens 38

31 L O Experimento da Torneira Gotejante 40

4 Resultados e AnaacuteIise 41

Jlldfce

bull

41 A tornejra gotejante 41

42 Dinacircmica das bolhas 45

42 I Formaccedilatildeo quase-estaacutetica 45

422 Formaccedilatildeo de bolhas com vazatildeo constante 46

423 Bifurcaccedilotildees 48

424 Veias liacutequumlidas 52

425 A estabilidade de dois fluidos sobrepostos 54

426 lnstabiliacutedade da superfiacutecie da bolha 56

427 Frequumlecircncia de borbulhamento 59

428 Duplicaccedilotildees de periacuteodo 62

429 Salto e coalescecircncia 62

4210 Antibolhas 69

43 A onda sonora e as bolhas 72

431 A fonnaccedilatildeo de bolhas perturbadas pelas ondas sonoras 73

432 Atratores do tipo Heacutenon 78

432A Caracterizaccedilatildeo meacutetrica 80

432B Caracterizaccedilatildeo topoloacutegica 81

432C Plano Simboacutelico 83

44 Oscilaccedilotildees forccediladas 85

45 Comportamento geral 87

46 Comparaccedilatildeo entre atratores 92

47 Modulaccedilatildeo do Paracircmetro de Controle 94

5 Conclusotildees 97

6 Referecircncias 100I

ApecircndicesI 1 Simulations in a dripping faucet experiment

2 Chaotic behavior in bulgtble fonnation dynamics

I 3 Heacuteuon-like attractor in air bubble formation

I I

I

lnwod~u~ccedilao~-~____________________~________ ___ 1

1 Introduccedilatildeo

Com o advento da Teoria do Caos [Li e Yorke 1975] foi proposto que eos

sistemas natildeo-lineares com poucos graus de liberdade poderiam gerar uma dinacircmica

muito complexa como comportamento perioacutedico quase-perioacutedico e caoacutetico~ que

dependeriam dos paracircmetros de controle do sistema Tais sistemas no estado caoacutetico se

tornam imprevisiacuteveis enquanto o tempo avanccedila devido a uma propriedade baacutesica dos

siacutestemas caoacuteticos conhecida como sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais Podemos

encontrar exemplos destes sistemas ao nosso redor como nas oacuterbitas planetaacuterias

sistemas quacircnticos [Bertelsen el ai 1999J variaccedilotildees climaacuteticas [Lorenz 1980)

torneiras pingando [Shaw 1984 Martien ct al~ 1985 Sartor1li el 011994

Gonccedilalves1996 Pinto et aI 2000] reaccedilotildees qwmicas abalos siacutesmicos e circuitos

eleacutetricos [Jackson 1995] Podemos tambeacutem encontraacute-los dentro de noacutes mesmos nos

impulsos nervosos [Rapp et ai 1990] pulsaccedilotildees cardiacuteacas reproduccedilatildeo celular e muitos

outros ritmos bioloacutegicos [Jaclrson 1995)

Seguindo uma sugestatildeo de Rotildesller [RossIer 1977] de que uma torneira pingaodo

poderia ser um exemplo do sistema de equaccedilotildees diferenciais que exibe comportamento

caoacutetico~ Shaw [Shaw~ 1984] desenvolveu o experimento da torneira gotejante que se

mostrou mais complexo que O sistema proposto por Rotildesller No Laboratoacuterio de

Fenocircmenos Natildeo-Lineares (LFNL) do Instituto de Fisica da Universidade de Satildeo Paulo

foi construiacutedo um experimento semelhante ao experimento da torneira gotejante de

Shaw [SartoreUi et al~ 1994] e esta experiecircncia permitiu observar uma enormei

variedade de comportamentos dinacircmicos1 tais como CrIacuteses [Grebogi et ai~ 1982l

I intermitecircncias duplicaccedilotildees de penado e oacuterbitas homocliacutenicas Para explicar taisI comportamentos foram desenvolvidas algumas teacutecniacutecas para anaacutelise das seacuteriesI

temporais [Gonccedilalves 1996 Pinto 1999] Desta forma o conhecimento adquirido com o experimento da torneira gotejante

I nos permitiu propor e desenvolver um experimento para estudar a dinacircmica da

formaccedilatildeo de bolhas em um liacutequido onde medimos o tempo da fonnaccedilatildeo de bolhas de

ar sopradas em uma mistura de aacutegua e glicerina utilizando as teacutecnicas semelhantes agraves

utilizadas no experimento da torneira gotejante Este experimento) que chamamos de

tubo borbulhador [Tufalle e Sartorelli 2000a Apecircndice 2 Tufuile e Sartorelli 2000b

Apecircndice 3] eacute de interesse tanto no estudo dos sistemas dinacircmicos quanto nas

aplicaccedilotildees em fluxos com duas fases [Ruzicka el ai 2000] Aleacutem dos efeitos da vazatildeo

I

2 1lntroduccedilatildeq

do ar na formaccedilatildeo de bolhas~ -estudamos os efeitos de uma onda sonora nas intervalos de

tempo da formaccedilatildeo de bolhas

A geraccedilatildeo de bolhas eacute importante em uma vasta gama de fenocircmenos onde temos

a dispersatildeo de um gaacutes num liquido desde ocasiotildees corriqueiras corno no preparo de

uma maionese ateacute em Engenharia Quiacutemica nos chamados equipamentos de mistura de

fases Para citar apenas algumas situaccedilotildees temos a criaccedilatildeo de bolhas em colunas de

borbulhamento vasos de fermentaccedilatildeo~ equipamentos de limpeza e extraccedilatildeo cavitaccedilatildeo

acuacutestica em bombas hidraacuteulicas e vaacutelvulas de controle reatores caldeiras e fijiacutedo em

transmissotildees de ondas sonoras no oceano [Clift e ai 1978]

Basicamente podemos ter quatro formas de formaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos

a) Soprando um gaacutes atraveacutes de um liquido

b) Quando a alta velocidade do liquido diminui a pressatildeo de rorma draacutestica (abaixo d

pressatildeo de vapor do liquido) e uma cavidade preenchida com vapor do liquido se

forma ocorrendo o processo que eacute conhecido como cavitaccedilatildeo

c) Quando um aquecimento local faz com que a pressatildeo de vapor do liacutequido ultrapasse

a pressatildeo local do liquido e uma cavidade de vapor se furma por ebuliccedilatildeo

d) A diminuiccedilatildeo brusca da pressatildeo no liacutequido faz com que gases dissolvidos fotrnem

bolhas no seu interior que ocorre quando abrimos uma garrafa de refrigerante ou

em situaccedilotildees mais etais~ como aacutes bolhas que causam embolia em mergulhadores

que sofrem descompressatildeo

Neste trabalho focalIacute7aremos o primeiro caso da formaccedilatildeo de bolhas principalmente

em liacutequidos viscosos usando uma abordagem da Teoria do Caos

O estudo da formaccedilatildeo de bolhas eacute interdisciplinar devido agraves aplicaccedilotildees encontradas

em Engenhruia Fiacutesica Quiacutemica Ocolisica Matemaacutetica Aplicada e Medicina Clifl e

colaboradores [Clift e ai 1978] publicaram o livro intitulado Bubble Drops and

Particles no qual eles procuram dar uma revisatildeo dos trabalhos envolvendo o

movimento de partiacuteculas em fluidos e a criaccedilatildeo e movimento de bolhas e gotas em

fluidos Esta eacute urna referecircncia muito comum nos trabalhos envolvendo formaccedilatildeo de

bolhas Nesta obra sobre bolhas gotas e partiacuteculas podemos ver que os principais

obstaacuteculos no estudo dos fenocircmenos que envolvem a interaccedilatildeo do estado liquido com o

estado gasoso satildeo a compressibilidade dos gases e a natildeo-linearidade intriacutenseca dos

fluidos) que levam muitas vezes a modelos empiacutericos e com validade de aplicaccedilatildeo

limitada A ideacuteia central quando se aplica a Hidrodinacircmica tradicional eacute a de se

caracterizar diferentes regimes de gotejamento ou borbulhamento~ como transiccedilotildees de

3

lt

L IntroduccediltJQ

instabilidades [Chandraekbar 198 I] Tais transiccedilotildees OCOITem com o aumento de um

paracircmetro caracteriacutestico do sistema como por exemplo o IlUacutemera de Reynolds

Utilizando princiacutepios variacionais procura-se explicar como ocorre um tipo particular

de mudanccedila de regime como a transiccedilatildeo do regiacuteme laminar para a turbultncia

A aplicaccedilatildeo da Teoria do Caos a estes sistemas nos daacute novas perspectivas de

anaacutelise e aumenta nossa intuiccedilatildeo com relaccedilatildeo aos fenocircmenos complexos observados A

furmaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos viscosos e sua relaccedilatildeo com comportamento caoacutetico jaacute

foram relatados em trabalhos de Tritton [Tritton ot ai 1993] e Mittoni [Mittoni oi ai

1995] No primeiro trabalho um medidor de fluxo anemomeacutetrico que consiste de um

resistor sensiacutevel ao fluxo de um fluido que passa sobre ele~ foi colocado proacuteximo do

bico onde as bolhas eram fonnadas e infonnava sobre a fonnaccedilatildeo das mesmas_atraveacutes

da variaccedilatildeo da tensatildeo sobre o resistor Com este sinal de tensatildeor Tritton construiu seccedilotildees

de Poincareacute e atraveacutes delas ele observou duplicaccedilatildeo de penodo no tempo entre bolhas

e tambeacutem obteve algumas seacuteries de sinais com padrotildees nacirco-perioacutedicos Tritton

classificou os padrotildees de comportamento mais simples como Caos Fraco~ e os de

comportamento mais complexo como Caos Forte_ O trabalho eacute inovador no sentido de

que eacute a primeira vez que teacutecnicas deste tipo satildeo utilizadas para o estudo da formaccedilatildeo de

bolhas Mas as criticas com relaccedilatildeo a este trabalho levam em conta que o meacutetodo de

mediccedilatildeo eacute invasivo~ isto ~ a formaccedilatildeo das bolhas eacute afetada pelo medidor pois a

caracterizaccedilatildeo do comportamento caoacutetico fOI feita de modo subjetivo No segundo

trabalho Miltoni e colaboradores [Mittoni cl aL 1995J utilizaram como elemento

sensor da formaccedilatildeo de bolbas num tubo borbulhador um transdutor de pressatildeo obteve

seacuteries de sinais caoacuteticos atraveacutes de teacutecnicas natildeo-invasivas e aplicou a caracterizaccedilatildeo

meacutetrica sobre elas obtendo expoenles de Lyapllllov positivos (algoritmo de Wolf [Wolf

ct ai 1985D

Como exemplo do interesse da Engenharia Quiacutemi peJa formaccedilatildeo de bolhas

temos o grupo da Universidade do Tenessee [Finney 2000] nos Estados Unidos

denominado CRG abreviatura de Chaos Research Gr01lp que estuda desde 1992 entre

outros siste~ a dinacircmica de uma coluna de bolhas ascendente formada por um bico

Segundo eles o principal foco da pesquisa eacute explorar a rota de duplicaccedilatildeo de periacuteodo

ateacute o caos e a natureza espaccedilo-temporal das interaccedilotildees entre as bolbas aleacutem de

focalizar as aplicaccedilotildees de teacutecnicas de controle de Caos

Aleacutem deste grupo~ foram encontrados outros trabalhos envolvendo engenheiros

quiacutemicQs estudando formaccedilatildeo de bolhas atraveacutes anaacutelise de seacuteries temporais Li e

I

1

I _J__mmm__u~_________________~ 4

colaboradores [Li et aI 1997] estudaram a coalescencio entre bolhas atraveacutes do

espectro de potecircncias dos dados obtidos experimentalmente Ruzicka e colaboradores I

[Ruzicka et al~ 1997]~ focalizaram sua pesquisa na transiccedilatildeo do estado de

borbulhamento para o jateamento do ar em liacutequidos Eles encontraram um movimento

complexo das bolhas envolvendo disparos da vazatildeo do ar mudando do regime de

borbulhamento para o jateamento do ar no liacutequido Eles classificaram os disparos

utilizando a tcrnrinologia da Teoria do Caos como uma intermitecircncia do tipo lI

Os meacutetodos de anaacutelise das seacuteries temporaiacutes satildeo baseados na teacutecnica de

reconstruccedilatildeo do espaccedilo de reses a partir de uma coleccedilatildeo de dados conhecida como seacuterie

temporal e podemos c1assificaacute~los como meacutetodos meacutetricos e topoloacutegicos Basicamente

temos uma anaacutelise das propriedades meacutetricas desta reconstruccedilatildeo devido aos estudos

desenvolvidos por Pkanl [packard el 01 1980] Maliacutec [Maliacutee 198 I] e Takens

[Takens 1981J Aleacutem disso temos a caracterizaccedilatildeo atraveacutes de expoentes de Lyapunov

com um algoritmo muito popular desenvolvido por Wolf [Wolf el aI 1985] para o

caacutelculo destes expoentes para estas seacuteries Aleacutem do estudo da estabilidade das seacuteries

temporais~ tambeacutem eacute associado a elas o conceiacuteto de dimensatildeo Femat e colaboradores

[Fernat et ai 1998] acompanharam a evoluccedilatildeo de seacuteries temporais provenientes de

sensores capacitivos em um experimento de borbulhamento em uma coluna vertica1

eles obtiveram os expoentes de Lyapunov e fizeram anaacutelises espectrais dos dados

referentes agrave bolhas que se eJevavam na coluna A caracterizaccedilatildeo topoloacutegica de dados

experimentais de sistemas natildeo--lineares usando dinacircmica simboacutelica foi feita pOI

Gonccedilalves e colaboradores para o experimento da torneira gotejante [Gonccedilalves et aI

1998] Pinto [pinto ef al 2000) aplicou o estudo das variedades invariantes para

caracterizaccedilatildeo da Cataacutestrofe do Ceacuteu Azul tambeacutem no experimento da torneira

got~antegt assim como algoritmos de localizaccedilatildeo de Oacuterhitas Perioacutedicas Instaacuteveis (QP)

de So [So el ai 1996]

Neste trabalho observamos as condiccedilotildees que levam aos diferentes regimes de

borbulhamento e classificamos estes regimes de acordo com as teorias dos sistemas

dinacircmicos assim como registramos algumas observaccedilotildees intrigantes na evoluccedilatildeo destes

sistemas como por emplo o aparecimento de cmtibolhas [Stong 1986] que satildeo

basicamente cascas esfeacutericas de ar aprisionadas dentro do liacutequido Colocando oacuteleo junto

com aacutegua no sistema do tubo borbulhador~ tambeacutem registramos fi existecircncia de veias

liacutequidas que satildeo colunas daacutegua sustentadas por bolhas dentro do oacuteleo

5

I I i

1

I

I

J lntro50

Veremos tambeacutem o tubo borbulhador como um novo exemplo da classe dos

sistemas caoacuteticos devido agrave sua relaccedilatildeo com o mapa hidimensional do ciacuterculo (Argyris

et a~ 1994] Muitos sistemas fiacutesicos caracterizados por pelo menos duas frequumlecircncias

exibem um comportamento chamado de sincronizaccedilatildeo ou tambeacutem chamado de

travamento de frequumlecircncias Outro comportamento muito frequumlente na associaccedilatildeo de

osciladores eacute o comportamento quase-perioacutedico que pode ser representado pela

associaccedilatildeo de dois osciladores funcionando com a relaccedilatildeo entre as frequumlecircncias dada por

um nuacutemero irracional Todos esses comportamentos aparecem naturalmente no

experimento do tubo borbulhador e aleacutem disso~ este experimento nos permite explorar a

interaccedilatildeo entre os sistemas natildeo-linearesgt e como ocorrem as translccedilotildees entre os regimes

perioacutedico e ca6tico na emissatildeo de bolhas sujeitas agrave uma onda sonora

6

I I

I

I

2 Aspectos Teoacutericos

2 Aspectos teoacutericos

Seacuteries temporais nao-lineares podem ser analisadas com meacutetodos meacutetricos e

meacutetodos topoloacutegicos O meacutetodo meacutetrico eacute multo proacuteximo das noccedilotildees intuitivas de

distacircncia aacuterea volume e dimensatildeo que temos Por este meacutetodo podemos dimensionar e

comparar objetos num detenninado espaccedilo Tambeacutem podemos analisar a estabilidade

de um sistema com base no valor de meacutedias temporais da convergecircncia ou divergecircncia

da vizinhanccedila de um ponto destes objetos chamados de atratores

O meacutetodo de anaacutelise e carncterizoccedilatildeo topoloacutegica eacute um dos meios mais

importantes de investigar problemas natildeo lineares Este meacutetodo considera a seacuterie

temporal natildeo corno uma funccedilatildeo expliacutecita do tempo mas como curvas no espaccedilo de

falies que satildeo soluccedilotildees do sistema dinacircmico Descobertas consideraacuteveis nos aspectos

qualitativos e algumas infonnaccedilotildees quantitativas podem ser obtidas atraveacutes dos

atratores reconstruiacutedos

Os meacutetodos empregados neste trabalho foram obtidos da literatura ou

desenvolvidos noacute LFNL A finalidade da utiacuteliacutezaccedilatildeo de tais meacutetodos eacute testar e justificar

algumas hipoacuteteses feitas para os dados obtidos com tubo borbuIhador e para a torneira

gotejante Para evitar redundacircncia da derivaccedilatildeo dos meacutetodos amplamente encontrados

em livrostexto e artigos as derivaccedilotildees dos meacutetodos seratildeo simplificadas Para maiores

informaccedilotildees dos algoritmos empregados poderatildeo ser consultados os trabalhos de

Hegger Kantz e Schreiber [Hegger et aI 1999) Ellner [EIlner cf aI 1992) So [So Cf

aI 1996) e Gonccedilalves [Gonccedilalves ef aI 19981

21 Fluxos e recorrecircncias

Os sistemas dinacircmicos detenniniacutesticos satildeo descritos pela evoluccedilatildeo temporal de

um subconjunto A em um espaccedilo euclidiano d~djmensional Eles podem ser expressos

por exemplo por equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias [Sotomayor 1979]

X=f(f) (21)

ou com um tempo discreto t = n J t por mapas [Collet eacute Eckmann 1980]

x n+ =f(x) (22)

Uma seacuterie temporal eacute uma sequumlecircncia de observaccedilotildees igualmente espaccediladas no

tempo Uma seacuterie de eventos eacute uma sequumlecircncia de intervalos de tempos entre os quais

ocorreu um determinado evento

2 ~lectQsTeoacutericos 7 ~~~~~----

22 Mapas de retorno

Uma seacuterie de eventos da forma (x Xl ) natildeo eacute exatamente o espaccedilo

de fases do sistema dinacircmico sendo necessaacuterio empregar alguma teacutecnica de

reconstruccedilatildeo para revelar a estrutura muIti~dimensional desta seacuterie Um dos mais

importantes tipos de teacutecnica de reconstruccedilatildeo do espaccedilo de fases eacute o mapa de retomo ou

tambeacutem chamadQ de coordenadas de atraso Vetores no espaccedilo de imersacircn satildeo criados

a partir de atrasos na seacuterie O conjunto das duplas (llt XjH) forma o mapa de primeiro

retomo~ e o conjunto das duplas (Xj Xjt2) forma O mapa de segundo retomo e assim por

diante O nuacutemero de elementos destes vetores daacute a dimensatildeo de espaccedilo de imersatildeo O

teorema de imerslio de Talcens [Talcens 1981] estabelece que se uma medida eacute

dinamicamente importante para o sistema ela conteacutem toda informaccedilatildeo contida neste

sistema dinacircmico

Em modeIos matemaacuteticos de sistemas dinacircmico~ a evoluccedilatildeo do processo eacute

vIacutesualizada no espaccedilo de fases cuja dimensatildeo eacute dada pelo nuacutemero de variaacuteveis

independentes Em experimentos o espaccedilo de fases eacute usualmente desconhecido a

princiacutepio e frequumlentemente uma uacutenica variaacutevel escalar do sistema pode ser medida O

meacutetodo mais comum de reconstruccedilatildeo do espaccedilo de fase a partir de uma seacuterie temporal

foi proposto por Packard Crutchfield Farmer e Shaw [packard et aL 1980] para se

analisar os dados do experimento da torneira gotejante A dinlhnica de uma seacuterie

temporal x em sistemas dissipativos eacute completamente descrita pelo atrator em um

espaccedilo de fases d-diacutemensiona)~ lRd~ com D sendo a dimensatildeo do atrator Genericamente

qua1quer atrator eacute completamente envolvido no espaccedilo de fases por sua proacutepria hacia de

atraccedilagraveo~ consequentemente todos os movimentos transientes inicializados em uma

I pequena vizinhanccedila do attator~ movem-se assintoticamente na direccedilatildeo do atrator Os

I atratores podem ser perioacutediacutecos~ quase-perioacutedicos e caoacuteticos

Neste trabalho os dados experimentais obtidos satildeo apresentados em mapas de

primeiro retorno bjdimensionals cujos elementos das duplas (Tnbull Tnt1) satildeo intervalos de

tempo entre duas bolhas consecutivas Tambeacutem seratildeo apresentados mapas de primeiro

retorno tridimensionais atraveacutes das tripla (Tn Tn+ h Tn+2) Outras representaccedilotildees

necessaacuterias seratildeo especificadas no local onde estas forem utilizadas

8

I -

2 Aspectos Teoacutericos

23 O Mapa quadraacutetico

As princiacutepals caracteriacutesticas dos sistemas dinacircmicos satildeo observados e analisados em

mapas unidimensionais como no mapa quadraacutetico do tipo

f(x) x -a (23)

onde Xfl eacute a variaacuteveI iterada do mapa e a eacute o paracircmetro de controle O diagrama de

bifurcaccedilotildees deste mapa pode ser visto na Fig 21

X o

-1

~~~~~-~~~~----------F~---

-shy

1~ -05 00 05 10 15 20

a Figura 21 Bifurcaccedilacirco obtida com uma funccedilatildeo oonvcxa a linha tracejula eacute o primeiro ponto fixo inslaacutevel que surge numa bifurcaccedilatildeo tipO sela-noacute

Neste diagrama vemos os valores possiacuteveis de x para uma variaccedilatildeo do paracircmetro

de controle a entre -Q25 e 20 Os valores do mapa para a entre -025 e 125 podem ser

calculados analiticamente impondo a condiccedilatildeo de que o valor da variaacutevel iterada

anterior seja igual ao valor da variaacutevel iterada seguinte

xx 1 -a (2-4)

que nos fornece dois pontos fixos Xf

x = [l+(l+4a)1f2 (25)

lt = [1- (1 +4a)]I 2_ (25b)

9 2 Aspectos Teoacutericos

A estabilidade dos pontos fixos de qualquer mapa unidimensioual eacute obtida com

as condiccedilotildees

Ifl(Xr ~ lt 1gtxreacute um ponto fixo estagravevel (260)

If(xr)1 gt1gtxreacuteum ponto fixo instaacutevel (26b)

Deste modo para valores de a acima de -025 obtemos xJ1 instaacutevel~ enquanto xp

eacute estaacutevel ateacute o paracircmetro a chegar a 075 Para a igual a -025 no mapa da equaccedilatildeo (23)

experimenta uma bifurcaccedilatildeo sela-lIoacute A linha tracejada na Fig (21) eacute a trajetoacuteria

instaacutevel xfl e o ramo estaacutevel Xp estaacute simetricamente abaixo ateacute O valor de a igua1 a 075

Quando o paracircmetro de controle a atinge O~75 as trajetoacuterias do mapa sofrem

uma mudanccedila de oomportamento Nesse caso a partir deste valor do paracircmetro de

controle a oacuterbita oscila entre dois valores de x

X f(xf ) (270)

Xf4 fx) (27b)

I

x

2 2

1 1

bullbull

i

o 1lt gtrc zA

-1 I i--=

1

o

-1

t t Xp __

J

Xp l-shy

~t i~

tr~

-2+ordf b ~

-2 00 05 10 15 00 05 a 10 15 a

Figura 22 (a) Detalhe do diagrama de bifurcaccedilamps do mapa quadraacutetico a linha tracejada representa o poacutento

fum instaacutevel da bifurcaccedilatildeo selallOacute (b) Bacia de atraccedilatildeo mostrando a estabilidade de algumas regiotildees

mostradas em (al neste graacutefico as linhas vermelhas representam os pontos fixos instaacuteveis enquanto que as

- linhas pretaS os pontos fixos estaacuteveis Podemos emnparar a troca de estabilidade de xp mGSlrado em (b) para

a 075 oom o diagrnma mostrado cm (u) assim como- o mesmo tipo de troca para xp c xp pata a = 125

(linha pontilhada)

1

____________________________________ 102 Aspectos Teoacutericos

Para compreendermos o que ocorre agora utiacutelizando os criteacuterios de estabilidade

(26) e para calcular os novos pontos fixos temos que recorrer a uma composiccedilatildeo do

mapa com ele mesmo da seguinte forma

g(x) =f(f(x)) =x - 2ax + - a (28)

que possui quatro pontos fixos sendo dois deles os pontos fixos das equaccedilotildees 27(a)shy

(b) agora ambos instaacuteveis e dois outros estaacuteveis dados por

x =l+ll+4(a-I)2 (29)

x =l-[1+4(a-I)12 (29b)

Na Fig 22(a) vemos o diagrama de bifurcaccedilotildees no periacuteodo 2 e no graacutefico ao

lado (b) representamos as oacuterbitas jnstaacuteveis (ramos vermelhos) e os ramos estaacuteveis

(ramos pretos) As setas indicam a atraccedilatildeo ou a repulsatildeo dos pontos fixos Na Fig 22(a)

quando a=12S podemos notar que na sequumlecircnCIacutea de bifurcaccedilotildees aparece o periacuteodo 4

Quando estes quatro pontos fixos se tornam instaacuteveis um periacuteodo 8 aparece e o

processo de duplicaccedilatildeo de perfodo se repete indefinidamente para faixas de a cada vez

mais estreitas ateacute chegar no valor Umiacutete a = 140113bullbull que pode ser visto na Fig 23

A partir deste valor do paracircmetro de controle os pontos no mapa visitam bandas

perioacutedicas que se alargam e se sobrepotildeem aos pares diminuindo o nuacutemero de bandas

num processo chamado de bifurcaccedilatildeo reversa Nesta sobreposiccedilatildeo os valores de x

evoluem periodicamente com relaccedilatildeo agraves bandas mas de modo erraacutetico dentro de cada

uma delas e tal movimento eacute chamado de caoacutetico

No diagrama da Fig 23 apoacutes O encontro das duas bandas caoacuteticas

temos a ocorrecircncia de janelas perioacutedicas de periacuteodos iacutempares COm uma janela maior de

periacuteodo 3 (a l75) e outra menor de periacuteodo 5 relacionadas com bifurcaccedilotildees

tangentes A existecircncia do periacuteodo 3 eacute o principal argumento para se utiacutelizar um

teorema que estabelece a existecircncia de todos os outros periacuteodos maiores O Teorema de

Sharkovskii [Jackson 1995] nos daacute um esquema natildeo usual de ordenaccedilatildeo para os

nuacutemeros naturais tal que para cada nuacutemero natural n a exiacutestecircncia de um ponto de

penodo II implica na existecircncia de oacuterbitas perioacutedicas de todos os periacuteodos maiores na

ordenaccedilatildeo do que n Pelo teorema de Sharkovskii a existecircncia de uma oacuterbita de

periacuteodo 3 num mapa unidimensional natildeo-monotocircnico com apenas um maacuteximo impHca

na existecircncia de todos os periacuteodos_

2 Aspectos retiFicas __ ~___li

o teorema de Sharkoyskii explicitamente eacute [Jackson 1995J

Seja T o conjunto ordenado 3-oacuteltJ-lt lt23lt25-lt27lt lt213425-lt227-lt

-1Jlt4lt2-lt1 Seja lmiddot uma aplicaccedilatildeo suave do intervalo unitaacuterio nele mesmo tal que

f(O)=f( J)=0 que possui apenas um ponto critico Se m-lt1l relativo agrave ordem no conjunto

1 eftem a menor oacuterbita de periodo m entatildeo f tem uma oacuterbita de periacuteodo n

~----~--------------~~--~i BandIs atfaINas t PArimo Todosos perlodoo ~ bull 1 - - ~i I iacuteltJirrdnuirdon) I

Paf~S estlWeis Ilo(Mmenkl Caos penodos

l 2 __ I mi-pelloacutedlco rJlllllffls 3 bull

1

x O

-1

I Caos

I ~~-L-__~____~~~~plusmn==~~~~~~~~II

14 16 18 20

a

Figura 23 O comportumento dinacircmico geral do mupa quadraacutetico com a cascata de duplicaccedilotildees de periacuteodo (alt14) Pnrn a gt 140l1 ocorre Caos com a diminuiccedilatildeo das bandas atrativas Apoacutes ti janela de periacuteodo 3 temo tooos os periacuteodos como propotildee o teorema de SharkovskiL

l

12 2 Aspectos Teoacutericos

24 Dimensotildees

Um aspecto baacutesiacuteco de um atrator obtido a partir de um sistema dinacircmico eacute a sua

dimensatildeo pois O comportamento do sistema eacute caracterizado pejo atrator Apoacutes um

transiente alguns tipos de movimento desaparecem devido ao amortecimento e o

estado do sistema se aproxima de um atrator no qual o nuacutemero de variaacuteveis

independentes que detennjnam a dimensatildeo do atrator eacute reduzido consideravelmente

Os atratores podem ter a dimensatildeo de um ponto linha ou plano ou podem ser

extremamente complicados e frequumlentemente possuem estruturafractal [Alligood et al

1997] Podemos medir essafractalidade atraveacutes de dimensotildees generalizadas

Associamos a dimensatildeo de um objeto com o nuacutemero de vetores ortonormais que

podem ser sobrepostos ao objeto Embora seja muito importante esta associaccedilatildeo de

vetores nos restringe sempre a dimensotildees inteiras mas existem outros conceitos de

dimensatildeo entre eles a dimensatildeo de Hausdaif(Df ) [AlIigood et aI 1997] que eacute baseada

na ideacuteia de um comprimento caracteriacutestico R em um conjunto de N elementos

D =logN N_RDt (210)I JogR

A dimensatildeo de lnfonnaccedilatildeo (Di) [AUigood et ar 1997] leva em conta as

frequumlecircncias de visitaccedilatildeo relativas e por isto eacute mais interessante para slstemas fiacutesicos

Muitas outras definiccedilotildees de dimensatildeo existem mas para os objetivos deste trabalho

utilizaremos apenas as dimensotildees citadas anterlonnente e a dimensatildeo de Kaplan-Yorke

(DKy) [Argyris ct ai 1994]

Aleacutem disso a determinaccedilatildeo do valor de uma dimensatildeo a partir dos dados

experimentais de um processo dinacircmico indica qual eacute a dimensionalidade do espaccedilo de

fases do sistema dinacircmico matemaacutetico que deve ser usada para modelar o sistema

25 Expoentes de Lyapunov

Os sistemas caoacuteticos exibem sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais Esta afirmaccedilatildeo

tem sido utilizada para resumir uma das principais propriedades dos sistemas caoacuteticos

que pequenas diferenccedilas nas condiccedilotildees iniciais satildeo magnificadas devido agrave dinacircmica do 1

I

13 2 Aspectos TeoacuterirIJS

sistema de tal modo que em um tempo finito o sistema percorre estados totaJmente

diferentes A noccedilatildeo de sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais eacute feita de modo mais acurado

atraveacutes do expoente de Lyapunov amp[AHigood ef al 1997] Nonnalrnenre sistemas

contendo pelo menos um expoente de Lyapunov positivo satildeo considerados caoacuteticos Isto

significa que trajetoacuterias partindo de dois pontos muito proacuteximos natildeo importando quatildeo

pequena seja a distacircncia entre elas iratildeo evoluir de modo diferente e se afastaratildeo

exponencialmente uma da outra com o tempo

Podemos obter o expoente de Lyapunov maacuteximo [Wolf et aibull 1985] sem a

construccedilatildeo expliacutecita de um modelo para a seacuterie temporal Uma caracterizaccedilatildeo confiaacutevel

com expoente positivo exige que sejam garantidas a independecircncia dos paracircmetros de

imersatildeo e uma lei de crescimento exponenciaL

Existe tambeacutem o caacutelculo do espectro de expoentes de Lyapunov [Hegger e

Kantz 1999] onde o ingrediente essencial eacute a estimativa de Jacobianas locais ou seja

uma dinacircmica liacutencanzada que regula o crescimento das perturbnccedilocirces infinitesimais

Para uma melhor compreensatildeo dos sistemas dinacircmicos uma concHiaccedilatildeo entre

caracteriacutesticas relativas agraves meacutedias temporais e espaciais dos atratores foi feita atraveacutes da

teoria ergoacutedica [Argyris et aI 1994] Como o expoente de Lyapunov caracteriza a

dinacircmica do atrator atraveacutes de meacutedias temporais da divergecircncia ou convergecircncia de

uma vizinhanccedila com relaccedilatildeo a um ponto da oacuterbita o caacutelculo dos expoentes de

Lyapunov permite certas comparnccedilotildeei como a conjectura de Kaplan-Yorke [Argyris ct

al 1994] que estabelece que a dimensatildeo de Informaccedilatildeo deve coincidir com dimensatildeo

de Kaplan-Yorke DKy dada por

Lei ~Ik -- (211)

D Kf bull IEr+1

onde k eacute um inteiro maacuteximo tal que a soma dos k expoentes maacuteximos seja natildeo-negativa

e ti eacute uacute i- eacutesimo expoente de Lyapunov Tal conjectura foi verificada para uma boa parte

dos sistemas dinacircmicos dissipativos de baixa dimensacirco [Hegger e Kantz 1999]

2 Aiacuteipectos Teoacutericos 14

26 O mapa de Heacutenon

o mapa de Heacutenon eacute um mapa bidimensional do tipo

XH_I =l-ax+ Y1Igt (212)

Y-+l = bX1l

Os pontos fixos do mapa satildeo dois e podem ser obtidos por

x = [(b-I)plusmn~(1-b) +4a]2a ybx (213)

e para cada um desses pontos fixos temos dois autovalores associados Agrave

I Acirc =-axplusmn~(ax) +b (214)

desta forma com esses dois autovalores podemos estudar a estabilidade de cada ponto

I a=14 b=O31

bullbull 2

gt- ~oo

-04

middot10 -05 M M 10

x

Figura 24 Atrator de Heacutenon caoacutetico reconstruiacutedo nas variaacuteveis x~ e y para a=14 e b=O3

fixo como foi feito

para 0lt mapas

unidimensionais Um

atrator de Heacutenon

caoacutetico bem

conhecido eacute mostrado

na Fig 24 O

coeficiente a estaacute

relacionado com o

estiramento do mapa

e coeficiente b estaacute

relacionado com a

contraccedilatildeo da aacuterea do

mapa de Heacutenon e este

coeficiente eacute o

determinante da matrizjacobiana J do atrator de Heacutenon com o siacutenal negativo

- 2ax 11 deU = b q=-b (215)

1

15 2 ASlClOS TeoacuteriCC$

Na Fig 25 vemos as duas variaacuteveis do mapa nos graacuteficos de x liS a e y vs a~ onde

podemos notar a oontraccedilatildeo da variaacutevel y por b na Fig 25(b) em relaccedilatildeo agrave variatildevel que

aparece na Fig 25() onde temos tambeacutem os pontos fixosxJ2 da equaccedilatildeo (213)

(a)

gtlt

x

(b) J

~ Contraiacutedo pelo

1 fator b 1

04 06

a

Figura 25 Diagramas de blfunaccedilotildecs do atI3tor de Heacutenon para b=O3 em (a) a variaacutevel x e seus dois pontos lOO)S x na cor vente e xs na corverme1ba calculados pela equaccedilsecto (213) sobre a seacuterie e em (b) a variaacutevel y contraiacuteda pelo1ator b

Para o caso do diagrama de bifurcaccedilotildees da Fig 25 determinante de J eacute constante

e negativo det J = - 03 para todos os valores de a

Os expoentes de Lyapunov do mapa de Heacutenon 81 e amp1 estatildeo relacionados com a

matriz jaeobiana pela relaccedilatildeo de contraccedilatildeo [Argyris et ai 1994]

+lt ~ In Idet(J) I= In 03 ~ -12 (216)

Esta relaccedilatildeo representa as propriedade de estiramento Si e dobra E2 atuando

uniformemente Idet(J) I~ 03 dentro do espaccedilo de rases para estabelecer o atrator Para

a=lA e b=O)3 temostj ~ 042 eE1t -1~62 O valor SlgtO nos daacute um atrator caoacutetico

16 2 Aspectos Teoacutericos

27 Reduccedilatildeo de ruiacutedo

A filtragem de sinais obtidos a partir de sistemas natildeo~lineares exige o uso de

meacutetodos especiais [Hegger e Kantz 1999J jaacute que os filtros lineares podem interagir

desfavoravelmente com a estrutura natildeo-linear Sinais irregulares de fontes natildeo-lineares

exibem bandas de espectro realmente largas e natildeo existe justificativa para identificar

qualquer componente no espectro de frequumlecircncias como ruiacutedo Entretanto existem certas

dependecircnciacuteas geneacutericas entre as medidas x que criaratildeo vetores x para preencher o

espaccedilo de imersatildeo d~diacutemensionaJ de um modo natildeo homogecircneo Meacutetodos de filtragem

linear procuram identificar as direccedilotildees principais da distribuiccedilatildeo no espaccedilo de fases e

fazer projeccedilotildees sobre elas A reduccedilatildeo de ruiacutedo natildeo-linear leva em conta que sinais natildeo~

lineares formaratildeo estruturas curvas no mapa de retomo A principal suposiccedilatildeo do

algoritmo utilizado eacute que ele deve ser aplicado para sistemas de baixa dimensatildeo (D-3)

28 Espectro de Fourier

Outro criteacuterio para se analisar seacuteries temporais eacute atraveacutes da decomposiccedilatildeo da

seacuterie numa integral de Fourier [Argyds et aI 1994] Considerando um sinaljfO a

expressatildeo pode ser expressa na forma

+shy

(1)=_1 JF(fraquo)edW (217)2

onde

~

F(w) = Jf(t)e-iMdt (218)- eacute definida como a transfonnada de Fourier do sinal f(t)

O espectro de potecircncia P(m) do sinal eacute dado a partir de F(m)

P(m)= IF(m) I = F(m)P(m) (219)

COm fgt(m) sendo o complexo conjugado de F( (O)bull

17

1

Xj 10

1deg1 -I Igt1J 00 0$ IC

2 Aspectos T~6ricos

logo -shy

1() I P(

j 14J

X Q)

Figura 26 _(a) Periacuteodo 4 do mapa de Heacutenon e em (A) o seu espectro de potecircncias (b) atrator de Heacutenon lUl regiatildeo caoacutetica e em (B) seu respectivo espectro de potecircncias moslIatldo uma banda larga

Na Fjg 26 temos dois atratores obtidos a partir do mapa de Heacutenon em (a) o

comportamento de periacuteodo 4 e em (A) o espectro que nos mostra o comportamento

perioacutedico com os dois picos indicando uma duplicaccedilatildeo de periacuteodo caracteriacutestica do

atrator de Heacutenon Para os paracircmetros a=155 e b=Ol temos um atrator de Heacutenon no

regime caoacutetico em (b) e seu espectro de banda larga em (B)

Frequumlentemente atratores caoacuteticos apresentam banda larga por isso este eacute um

meacutetodo muito comum na identificaccedilatildeo do comportamento caoacutetico Aleacutem disso a anaacutelise

da evoluccedilatildeo dos sistemas dinacircmicos atraveacutes de seus espectros pennite definir a rota

[Argyris eJ ai 1994] que leva o sistema ao Caos poiacutes a evoluccedilatildeo das dupHcaccedilotildees de

periacuteodo vista no mapa quadraacutetico e que tambeacutem acontece no mapa de Heacutenon eacute apenas

uma dessas rotas Na proacutexima seccedilatildeo veremos um outro mapa que nos mostra esta e

outras rotas para o Caos

18

I I I

Capiacutetulo2 Aspectos Teoacutericos

29 O Mapa do Ciacuterculo

o mapa do CIacuterculo modela a interaccedilatildeo entre um oscilador IImestre quando aplicado

a um segundo oscilador natildeo-linear [Argyris et aI 1994 Jackson 1995J A dinacircmica eacute

governada por dois paracircmetros de controle a razatildeo entre as frequumlecircncias dos osciladores

desacoplados n e a intensidade de acoplamento K

K e +1 == BII +Q--sen2nBn +brn (mod I) n 2 (220)K

rn+l brn - 20 sen 2nBn middot

Aqui 01 eacute o acircngulo de um rotor riacutegido logo apoacutes o eneacutesirno impulso e rn eacute proporcional agrave

velocidade angular deste rotor sujeito a um impuiso externo do oscilador mestre e b estaacute

relacionado com o amortecimento

00 05 15K

~iacutegura 27 Diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo para b=Ol e =0725

01

-01

19 Capiacutetulo2 Aspectos Te6ricos

Na figura 27 podemos ver a seacuterie temporal do mapa do ciacuterculo Este tipo de mapa

nos daacute outro tipo de rota para o caos denominada de rota para o caos via quaseshy

periotlicidade Temos basicamente o aumento do raio de um ciclo limite quase-perioacutedico

intercalados com travamentos de frequumlecircncia e comportamento ca6tico

Para sistemas altamente diacutessipativos o termo b se anula e o mapa pode ser estudado

na forma puramente angular

K 0M =0 +0- 2JI seo(27l0) (221)

Um conceito importante para a anaacutelise do mapa do ciacuterculo que foi introduzido por Poincareacute

[Argyris el ai 1994 Alligood aI 1997] eacute nuacutemero de rotaccedilatildeo W

() - ()oW(KO) = lim n (222)

n~iOO n

que eacute a meacutedia da rotaccedilatildeo do oscilador forccedilado por ciclo

As propriedades de estabilidade para valores de Kltl para a equaccedilatildeo (221) seguem

a partir da teoria de estabilidade liacutenear para mapas como foi feito para o mapa quadraacutetJco

d~f(eo 10 =11- K cos(27lB)I (223)

que eacute menor do que um se fi lt114 e eacute maior do que 1 se 0gt114 ou se 8gt314 Para um ponto

fixo estaacutevel Os temos

lim~=es=gtw=o (221) nshy

Substituindo na equaccedilatildeo 221 obtemos a relaccedilatildeo entre K e n dada por

Q=+K (222)- 2JI

Estas relaccedilatildeo entre K e Q nos daacute o espaccedilo de paracircmetros do mapa do ciacuterculo onde podemos

ver para quais valores podem ocorrer a sincronizaccedilatildeo do oscilador forccedilado conhecida como

liacutengua de Arnold [Bai-lin 1989 para o nuacutemero de rotaccedilacirco W=OII

Na figura 28(a) temos o mapa de primeira iteraccedilatildeo da funccedilatildeo senoida1 do mapa do

ciacuterculo na regiatildeo onde ocorre uma bifurcaccedilatildeo do tipo sela-noacute Para um valor fixo de K entre

Oe 1 trecircs valores de Q foram escolhidos ParaQ gt nKtgt o ponto fixo alnda natildeo existe Para

Q = QICcedilo a funccedilatildeo tangencia a bissetriz e um ponto fixo aparece Diminuindo aiacutenda mais o

valor de Q o ponto fIXO se divide em dois um estaacutevel e outro instaacutevel situaccedilatildeo

20 CapiacuteUlo2Aspec~os Te6ricos

caractenstica de uma bifurcaccedilatildeo sela~n6 A figura 28(b) daacute o diagrama de bifurcaccedilatildeo para

W=Ol para os valores positivos de n da equaccedilatildeo 225

13) i 7 1

08 ~ a

(a)

n~ K=Ko

(b)

n~o n~

on KH

cri 06 ~- I

04 ordm -H bull

02 fi =+K12ffshy

00 )J j

00 e 05 10 00 n e

Figuro 28 (a) vraacuteficos do mapn do ciacuterculo em funccedilatildeo do paracircmetro Q na regiatildeo do ponto de bifurcaccedilatildeo elun6 Em (b) a representaccedilatildeo no espaccedilo de pnnimetros da liacutengua de Arnold correspondente a W=OJ que ocorre para valores de Ll menores que LlKII bull

Para diferentes valores de W quando Klt1 gt ocorrem outras regiotildees de travamento

de frequumlecircncias sem ocorrer sobreposiccedilatildeo entre elas como estaacute apresentado na Fig 29 que

mostra os limites de estabilidade dos domiacutenios perioacutedicos no plano (Kn) para alguns

nlIacutemeros de rotaccedilatildeo Para as regiotildees onde ocorrem a sincronizaccedilatildeo das frequumlecircncias entre os

dois osciladores o nuacutemero de rotaccedilatildeo

W eacute um nuacutemero racional pq Deste

modo para cada valor racional do eixo

0 uma janela perioacutedica surge e se

expaIlde quando aumentamos o valor

de K Com o aumento da natildeoshy

linearidade atraveacutes do paracircmetro K a

sincronizaccedilatildeo das frequumlecircncias a se

tornam mais dominantes

ir

v I I I 1 ~ li 1 raquo1lD J

Figura 29 Diagrama das Liacutenguas de Arnold para o mapa do Ciacuterculo

21 2 Aspecto Teoacutericos

Para valores de Kgt I ~ as liacutenguas de Arnold passam a se sobrepor~ e o nuacutemero de

rotaccedilatildeo natildeo eacute mais unicamente determinado~ mas trocado por um intervalo de rotaccedilatildeo

[WJbull Wl] e este embaraJhamento torna o comportamento aperioacutedico

Para mostrar algumas das caracteristicas gerais do mapa no ciacuterculo~ utilizaremos

o conceito de expoente de Lyapunov Lyapunov estudou urna vizinhanccedila abstrata x

de uma trajetoacuteria x com N pontos com o objetivo de verificar se estes pontos se

afastavam ou convergiam para a trajetoacuteria Tomando uma trajetoacuteria infinita e uma

vizinhanccedila tatildeo pequena quanto se possa imaginar ele associou um expoente que

caracteriza se a trajetoacuteria eacute perioacutedica indiferente ou caoacutetica Para o mapa do clrcuio na

sua fonna angular da equaccedilatildeo (221) com n = 025 o expoente foi calculado

numericamente com a expressatildeo

1 H-I

B = N ~ Inll-K cos(28 lI (226)

que estaacute representado na Fig 210(a) e seu respectivo diagrama de bifurcaccedilotildees na Fig

21 O(b) Inicialmente os expoentes satildeo ligeiramente negativos da ordem de _10-6~ ateacute o

valor de K=l onde divergem pare menos infinito Oacuterbitas com expoentes deste tipo

divergindo para menos infinito satildeo conhecidas como oacuterhitas super~estaacuteveis Ao

teacutennino desta janel~ o sistema jaacute possui comportamento caoacutetico e esta rota para o Caos

eacute classificada de rota via quase-periodicidade [Bai-lin 1989 Argyrls et al~ 1994

Jackson 1995 Alligood el ai 1997J onde os expoentes de Lyapunov positivos natildeo

ultrapassam o valor de O~3 Aumentando K o sistema trava em um periacuteodo l~ e inicia

outra rota para o Caos a rota via duplicaccedilotildees de periacuteodo ou rota de Feigenbaum jaacute

discutida para O caso do mapa quadraacutetico na qual os expoentes se anulam nos pontos

onde ocorrem as bifurcaccedilotilde~ neste caso temos o comportamento indiferente Para

K34 o sistema experimenta um alargamento abrupto do atrator e este alargamento eacute

classificado como uma crise Apoacutes a crise os expoentes de Lyapunov maacuteximos param

de crescer e tecircm valores na faixa entre O~7 e 093 Quando K atinge aproximadamente

4~7 o sistema volta a sofrer um travamento de frequumlecircncia em periacuteodo 1

Do mesmo modo que o atrator de Heacutenon o mapa do ciacuterculo bidiacutemensional da

equaccedilatildeo (220) contrai o espaccedilo de fases uniformemente como podemos ver atravoacutes do

detenninante da matriz jacobiana do mapa

09 rgt o

[lshy 03

~oo I c 03 O1~~1 I1middot1 q q nq fqll ir nnqlq qll

Lshy________~ ~

-

2 ApcJos Teoacutericos 22

o 1 2 K 3 4 5

Figura 210 (a) Expoentes de Lyapunov do mapa do circulo coro n =025 Em (b) o diagrama de bifurcaccedilotildees para o mesmo mapa Podemos obter a sequumlecircncia de duas rotas para o Caos com este sistema dinacircmico li rota de quaseperiodicidade e a rota de duplicaccedilotildees de periacuteodo

1- K cos2nJ ~ (227)detJ=I_KCOs2JfJ bl=b

i

Os pontos fixos r e (IIilt de periacuteodo 1 logo apoacutes a regiatildeo quase-peri6dica para

Kgt155 da Fig 27 satildeo dados por 1 r= -fl(mod I) se fl(modI) lt 05 ou r= I-fl(mod I) se fl(modI) gt 05

(228)I [2JlT 1f) = 2r areseo K(b - 1)_

assim podemos detenninar o ponto onde ocorre a primeira bifurcaccedilatildeo do tipo flip

usando os criteacuterios de estabilidade para a seguinte equaccedilatildeo caracteriacutestica

l-Keos2rf)-Agrave b J =0 (229)

-Kcos2Jff) b-Agrave

que nos dagrave dois autovalores para cada ponto fixo Para () ponto fixo r os autovalores

valem explicitamente

23 2 AspecQS1cocircricO$

-K cos2nL~arcsef (b-l))]+I+b - -plusmn- 2

(230)

+IKCOS27t[~arcsen(T(b-I))]+I+br -4b 2

como r eacute calculado pela equaccedilatildeo (228) para os pontos fixos a bifurcaccedilatildeo flip ocorreraacute

quando um dos valores de Acirc alcanccedila o valor -I

Para valores da constante b proacuteximos de zero deve ser feita urna correccedilatildeo em

primeira aproximaccedilatildeo nos valores das liacutenguas de Arnold Pata as Hnguas

correspondentes ao travamento de frequumlecircncias de periacuteodo 1 como a equaccedilatildeo (225) as

liacutenguas podem ser calculadas atraveacutes de

K (231)n= 21r(1- b)

o mapa do circulo eacute um sistema dinacircmico que parte de um sistema fisiacuteco bem

definido [Argyris cf ai 1994) que apresenta um comportamento muito rico com

relaccedilatildeo aos elementos da Teoria do Caos

Aleacutem do comportamento individual dos mapas vistos anterionnente~ como o

mapa quadraacutetico o mapa de Heacutenon e o mapa do cIacuterculo~ tambeacutem eacute desenvolvida a

pesquisa na aacuterea de sistemas dinacircmicos espaccedilo-temporais [Kaneko 1992 Vian~ 2000]

atraveacutes do acoplamento destes mapas fonnando uma rede Com estes estudos pretendeshy

se explicar rotas tiacutepicas para turbulecircncia1 como por exempJo a sequumlecircncia obtida com o

acoplamento de mapas quadraacuteticos duplicaccedilotildees de penado formaccedilatildeo de padrotildees

aleatoacuterios na rede de mapas seleccedilatildeo de alguns destes padrotildeesgt intermitecircncia espaccediloshy

temporal e no final observa-se turbulecircncia plenamente desenvolvida Um exemplo de

modelo de fluxo de um fluido usando mapas acoplados eacute dado por WilIeboordse

[Wiacutelleboordse 1992)

24 2 Aspectos Teoacutericos

210 Transformaccedilatildeo de ponto fixo

Para extrair as oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis (OPl) imersas em um atrator com uma

quantidade finita de dados ruidosos de um sIacutestema unidimensional~ So e colaboradores

[So el ai 1996] fizeram a suposiyatildeo de que todos os ponto que estatildeo em uma regiatildeo ao

redor do ponto fixo xf(x) podem ser transfonnados para (x) na vizinhanccedila de x A

funccedilatildeo densidade p(x) possui singularidades do tipo inverso da raiacutez quadrada nos

pontos fixos e um histograma para pX) teraacute um pico definido em x= x Alguns

picos espuacuterios podem aparecer em fi(x) tanto devido agrave singularidades natildeo relacionadas

aos pontos fixos quanto a zeros da derivada da funccedilatildeo detranformaccedilatildeo x=g(xk)

Os autores generalizaram este meacutetodo para um sistema com dimensatildeo de imersatildeo d para

obter as oacuterbitas perioacutediacutecas instaacuteveis atraveacutes da transformaccedilatildeo

i = (l-Srl(z~I-Snz) (232)

onde

I (d-I) ) _ ( aoo a I _ IIs - O +kRllz_1 Zn (233) 1

1

aI -1 (Zl _Z)t(z - Z )t l it -bull

(234)=

I)ta (Z_(d_l) - Z_d)t (Zn_(d_l) - Zitlaquod_lj bull

e os vetores z) foram reconstruidos a partir da seacuterie temporal x)

( I ) ( ) (235)z = zlpznzll~)z xnJx_x_z~-x_4_t

R eacute uma matriz aleatoacuteria d x d no intervalo [-l~1J e k estaacute relacionado com a

intensidade da geraccedilatildeo de nuacutemeros aietoacuterios Os pontos fixos satildeo dados por posiccedilotildees

dos picos de p(X) Como a localizaccedilatildeo dos picos espuacuterios dependem do paracircmetro k

eles satildeo eliminados levando em conta a meacutedia (PCz)) para vaacuterios valores tornados

aleatoriamente

Um ponto fixo instaacutevel do atralor do mapa do circulo com Q=O eacute o ponto (O O)

mostrado na Fig 211(a) que foi determinado com este algoritmo~ como estaacute mostrado

na Fig 2II(b) Outras aplicaccedilotildees desta teacutecnica podem ser encontradas no exparimento

da torneira gotejante [pinto 1999] para se mostrar a existecircncia de oacuterbitas homocliacutenicas

25 2 Aspectos Teoacutericos

OB~ (a) I IV +

~~ 1 00 bullbullbull-

bullbullbull ~ bullo n ltgt04 I

~bull I ~ ~ 00 Obullbull obull

r

Figura 2]] Atrator caoacutetico simeacutetrico em (a) do mapa bidimensional do ciacuterculo que possui um ponto de sela na origem Em (b) a oacuterbita- perioacutedica instaacutevel foi obtida munericamente utilizando-se o meacutetodo de detecccedilatildeo de oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis de So et ai

Como a reconstruccedilatildeo dos atratores em espaccedilos de imersatildeo bidimensionais eacute

suficiente noacutes aplicamos esta teacutecnica para d=2 com 05 e 1000 matrizes aleatoacuterias

Mais informaccedilotildees sobre este meacutetodo pode ser encontradas tambeacutem no trabalho de

Schemelcher e Diakonos [Schemelcher e Diakonos 1998]

211 Plano simboacutelico

A obtenccedilatildeo de planos simboacutelicos para a construccedilatildeo de maacutequinas topoloacutegicas

miacutenimas no experimento da torneira gotejante foi feita por Gonccedilalves [Gonccedilalves

1996] no experimento da torneira gotejante No experimento do tubo borbulhador a

geraccedilatildeo de planos simboacutelicos foi utilizada principalmente para se comparar modelos

com os dados experimentais

Para estudarmos o plano simboacutelico particionamos um atrator em duas regiotildees da

Fig 212 (L e R) e atribuiacutemos o valor I(ou -I) quando o sistema visita L (ou R)

obtendo um vetor sm bull S2SSSS2SmbullDeste modo um plano simboacutelico ap

caracteriacutestico de um atrator eacute definido atraveacutes do caacutelculo de a e f3 como

262 A2lcctos Teoacutericas

~

et=LfJi Z- i (236)

11

onde Pt eacute um valor binaacuterio

O +If p= lSC(-l)nSj_l (237)

I

e

~

p~ UZfL f (238)

onde VI eacute o valor binaacuterio

O -Itj = se D= l (239)

1 )tl +

N Fig 212 exemplificamos a obtenccedilatildeo do plano simboacutelico (b) par o atrator do

mapa do ciacuterculo bidimensional (a)~ com suas respectivas particcedilotildees L e R O paracircmetro b

eacute igual a 01 As regiotildees em branco no plano simboacutelico satildeo chamadas de regiotildees

proibidas

0 R (a)l (b) t08

~ I 00

O

1~ ll 06 + CUc

t - shy 04 bull ~ ~ ~ i li 1~ 1 ~~

- ~3~ bullbull l ~l f02-04

00 l- I -~----~

(j4 00 04 00 02 04 06 08 10 f an

Figura 212 (a) O atrator do mapa do circulo reconstruido com o mapa de primeiro retomo na variaacutevel r e sua particcedilatildeo e em (b) seu respectivo plano simboacutelico

I

27

3 A1(lrIUO xJrimclltal

3 Aparato experimental

Neste capiacutetulo descrevemos os aparatos do tubo borbulhado[ e da torneira

gotejante Tanto o experimento do tubo borbulhador assim como o experimento da

torneira gotejante foram inteiramente desenvolvidos no LFNL-USP Algumas das

princiacutepais atividades experimentais deste trabalho foram o desenvolvimento e

construccedilatildeo do tubo borbulhador a aquisiccedilatildeo e fi anaacutelise dos dados

31 O tubo borbulbador

Na Fig 31 ternos a representaccedilatildeo esquemaacutetica do aparato do experimento do

tubo borbulhador que consiste de um tubo acrflico transparente com uma tampa

(superior) e uma base de PVC onde estaacute conectada urna seringa hipodeacutermica pela qual

eacute soprado ar numa soluccedilatildeo de aacutegua com glicerina Dentro deste tubo ocorre a formaccedilatildeo

de bolhas que satildeo estudadas neste trabalho O experimento pode ser dividido em quatro

partes principais o tubo borbulhudor o circuito pneumaacutetico o sistema de aquisiccedilatildeo e o

sistema sonOrO

[ [ Alto-J ~ 1

falllnleGerador do Amplificador--= Funccedilotildees~I~ -l

Tubo

O

01 cJ

tasagraverCLp

controlador

Compressor Aesetvatoacuterio

Medidor de wllatildeo e vaacutelvulu d$ controla

Figura 31 Diagrama geral do aparato cKperimCfj(ul do tubo) borbulhador

28 3 Aparal0lerimental

Na Fig 32 podemos ver o tubo borbulbador que foi construido com tubo de

acriacutelico transparente de diacircmetro interno de 105 em e 10 em de altura Na base estatildeo

lixados o bico borbulhador e um termopar para monitorar a temperatura do liquido A

entrada e saiacuteda do liacutequido ocorrem atraveacutes de duas vaacutelvulas do tipo esfera

Clflp- drenagem

I ~ r

Sensorde I I j BiooOOrbulhid()l tempcrmlIU i t-l )~

FlgUla 32 O tubo borbulhador suportes o bico injetor sensor de tempemum e vaacutelvulas de drenagem e preenchimento do liquido

Este arranjo permite o

preenchimento do tubo e o seu

esvaziamento atraveacutes das

vaacutelvulas nas laterais da base

Todo o conjunto eacute preso ao

suporte atraveacutes de quatro

parafusos na base e quatro

parafusos na tampa Um

sistema de iluminaccedilatildeo

constituiacutedo de uma lacircmpada

fluorescente e uma placa

difusora de luz foi colocada

atraacutes do tubo borbulbador para

obtermos imagens das bolhas

utilizando uma cacircmara de

videoVHS

O tubo estaacute montado em uma bancada sobre quatro blocos de espuma para

amortecer vibraccedilotildees externas

32 Sistema de aquisiccedilatildeo

O sistema de detecccedilatildeo consiste de um laser He-Ne e um fotodiodo Quando uma

bolha atravessa o feiacutexe laser induz no fotodiodo um sinal anatocircgico e um pulso eacute

enviado a uma placa contadora de tempo inserida em um microcomputador O iniacutecio e o

fim do desvio do feixe laser induzidos peja passagem de uma bolha criam o sina] de

entrada da placa atraveacutes de pulsos de tensatildeo TIL gerados pelo futodiacuteodo Na Fig 33

temos o graacutefico que mostra o sinal ot devido a passagem de uma bolha e o sinal tn

relativo ao tempo entre bolhas Assim um par de dados constituiacutedo do tempo entre as

bolhas e o tempo de passagem da bolba eacute coletado pelo computador O intervalo de

tempo total entre a flNeacutesima e a (n+l)-eacutesiacutema gota eacute To que eacute a soma destes dos dois

intervaJos de tempo

29 3 Aparato experimental

T fltt t1I

Claro

SI 5

v (volts)

o

t ~-- I

J escuro~

tempo

Figura 33 Sinal gerado pelo fotodiacuteodo e induzido na placa contadora de tempO pela passagem das bolhas que desviam o feixe laser O feixe estaacute posicionado -5 rum acima cb extremidade do bico soprador

o sinal de vazatildeo obtido pelo medidor de vazatildeo eacute convertido em um sinal

proporcional de tensatildeo em milivolts e digitilizado em um osciloscoacutepio digital Tektronix

depois eacute transferido para o computador atraveacutes de uma interface General Purpose

Interface Board (GPffi)

33 Medidor de vazatildeo

o medidor de vazatildeo utilizado o modelo GFM47 fabricado pela AALBORG

lnstruments amp Contrais Neste equipamento o fluxo do ar entra em um transdutor de

vazatildeo e dentro dele uma pequena parte do fluxo do ar eacute separada por um sensor do tipo

tuho capilar de accedilo inoxidatildeveJ O restante do ar flui atraveacutes de um condutor de fluxo

primaacuterio A geometria do tubo primaacuterio e do tubo sensor foi projetada de modo a

garantir um fluxo laminar em cada ramo De acordo com os princiacutepios da

Fluidodinacircmica as vazotildees do ar nos dois condutores satildeo proporcionais entre si Deste

modo a vazatildeo medida no tubo sensor eacute diretamente proporcional atilde vazatildeo total atraveacutes

do transdutor

Para obter a vazatildeo no tubo SensoT eacute fcito um aquecimento do fluxo em duas

partes do tubo senSQr atraveacutes de resistecircncias sensoras de precisatildeo O calor eacute transferido

atraveacutes de uma parede fina para o ar O ar aquecido eacute levado pelo fluxo desde um

aquecedor agrave jusante ateacute um aquecedor agrave montante do tubo sensor O sinal eleacutetrico de

uma resistecircncia dependente de temperatura diferencial eacute detectada atraveacutes de um

circuito eletrocircnico de controle O gradiente de temperatura medido no sensor eacute

linearmente proporciona agrave vazatildeo atraveacutes do sensor

30 3 Apara1o experimental

o valor da vazatildeo eacute mostrado diretamente em um indicador digital e

simultaneamente em dois sinais eleacutetricos um de tensatildeo proporcional ao valor da vazatildeo

entre Oe 5 V e outro de corrente proporcional agrave vazatildeo entre 4 e 20 mA

34 Controlador de vazatildeo

o controlador de vazatildeo eacute da marca BTC modelo BTC-2220 e eacute um controlador

do tipo proporcional iacutentegral e diferencial (PID) Ele recebe o sinal de corrente do

medidor de vazatildeo (4-20 mA) com moacutedulo de saiacuteda linear (OM92-3) com a tensatildeo de

saiacuteda variando entre Oe 10 V com uma impedacircncia de saiacuteda de 500 ill Devido agrave alta

impedacircncia de saida um circuito amplificador de corrente foi adaptado na saiacuteda do

controlador para que ele pudesse enviar O sinal de controle para a vaacutelvula solenoacutejd~

como estaacute mostrado na Fig 34

2n3055

10 V I max 05 A I reg 200 nF Vaacutelvula

reg SolenoacuteideTSaldado ~

cornroradE ]200 nF -0 -

Figura 3A o Circuito que amplifica o sinal do controlador para a vaacutelvula

o controlador possui dois modos de operaccedilatildeo No primeiro modo ele manteacutem

uma vazatildeo fixa preestabelecida No segundo modo~ o controlador aumenta ou diminui a

vazatildeo linearmente entre dois valores distintos com uma velocidade preestabelecida pelo

usuaacuterio

31 $ Aparato eqerimental

35 Vaacutelvula solenoacuteide proporcional

o fabricante da vaacutelvula utilizada no experimento do tubo borbulhador eacute

MLBORG Instnnnenls amp Controls e o seu modelo eacute o PSV-5 Basicamente a vaacutelvula eacute

uma bobina que posiciona o atuador da vaacutelwla de modo contiacutenuo variando a vazatildeo

suavemente A vaacutelvula solenoacuteide proporcional foi projetada para responder a um sinal

de tensatildeo contiacutenua de entrada entre O e 30 volts para regular proporcionalmente ao

sinal de tensatildeo o fluxo de liquidos e gases Por medida de seguranccedila as vaacutelvulas satildeo

normalmente fechadas quando desernegizadas Na Fiacuteg 34 temos um diagrama desta

vaacutelvula

Devido agrave corrente na bobina da vaacutelvula O corpo da mesma sofre um pequeno

aquecimento que eacute dissipado por metas de alumiacutenio colocadas na vaacutelwla

Vaacutelvula Solenoacuteide Proporcional

f--I PSV5 AALBORGmiddot I

u-i J

conectores de 14m_Figura 35 Diagrama as ltlimensotildees carncteristicas da vaacutelvula de controle PSV5 da AALBORG

32 3 Aparato Experimental

36 O bico borbulhador

Na Fig 36 vemos o conjunto de agu1has e o cilindro de uma seringa

hipodeacutennica que furam utilizados CQmo bicos sopradores no experimento do tubo

borbulhador As bolhas satildeo formadas diacuteretamente no cilindro da seringa ou nas agulhas

hipodennieas que satildeo colocadas na seringa que estaacute ligada ao sistema de alimentaccedilatildeo de

ar

Figura 36 Bicos sopradores utilizados no eJ-perimento do tubo boIbulbador

Na tabela 31 temos as dimensotildees dos bicos mostrados na Fig 36 Para

verificarmos os efeitos do comprimento das agulhas utilizamos agulhas com o mesmo

diacircmetro mas que foram cortadas em comprimentos diferentes com uma serra

diamante como para as agulhas do grupo A e B A seringa e algumas agulhas possuem

dois valores na coluna relacionada com o dlacircmetro~ O primeiro valor corresponde ao

33 3 AparOfO Experimental

Bico Diacircmetro (mm) I Comprimento(mm) Internoexterno

Sltlrin PlaacuteStica I 08113 2 AI

A2 072128 0721l2amp

2 246

A3 072128 377

BI 072 2 B2 072 145 83 072 102

B4 072 51 CI 05 2

Tabela 31 Dimensotildees da seringa e das agulhas utilizadas como rocos sopradores no experimento do tubo boIbulhador

diacircmetro interno e o segundo valor estacirc relacionado com o diacircmetro externo Para as

demais agulhas temos apenas um valor corresponde apenas ao ctiacircmetro externo

37 O sistema pnenmaacutetico

o objetivo do sistema pneumaacutetico eacute fornecer o ar numa vazatildeo estabilizada para

ser soprado no liquido viscoso O ar eacute comprimido por um compressor com um

reservatoacuterio de 75 litros no qual um pressostato foi calibrado para manter o ar na faixa

de pressatildeo entre 70 e 100 psi (libra por polegada quadrada) A pressatildeo do ar eacute reduzida

para 60 psi em um segundo reservatoacuterio de 200 litros~ atravecircs de uma vacirclvula

reguladora de pressatildeo Uma segunda reguladora proacutexima do bico soprador reduz a

pressatildeo do ar para 10 psi e a vazatildeo eacute controlada pelo conjunta controlador fonnado

pelo medidor de vazatildeo~ controlador e vaacutelvula solenoacuteide Deste modo urna vazatildeo estaacutevel

chega atocirc o bico borbulhador

38 O sistema sonoro

A onda sonora eacute gerada no topo do tubo por um alto-falante de bobina moacutevel O

sinal eleacutetrico para o alto-falante eacute gerado num gerador de funccedilotildees Tektronix modelo

AFG 320 e amplificado em um amplificador de aacuteudio Nwa O gerador de funccedilotildees

34 3 Aparato Experimental

possui uma placa GPIB que permite o controle de todas as suas funccedilotildees atraveacutes do

microcomputador

A equaccedilatildeo de onda [Fletcher e Rossing 1991] dentro do tubo em coordenadas

ciliacutendricas eacute

L~(rq) +2-(OP~ + 8p __1 8p r1 (31 )ratilde a- ocircqz) fk2 - v atilde 1

onde p eacute a onda de pressatildeo na direccedilatildeo x e Vs eacute a velocidade do som no ar A soluccedilatildeo

desta equaccedilatildeo eacute

p(rfPx) = P (mfP)JJ1laquoIr) exp[iacute(-kx +ml)] (32) a

onde Jmeacute uma funccedilatildeo de Bessel e qmn eacute definido pela condiccedilatildeo de contorno ocircplocircr=O e r

= a (a li O raio do tubo) tal que a derivada Jm(7rqmn) eacute zero Se considerarmos em

primeira aproximaccedilatildeo o tubo borbulhador como um tubo com uma extremidade

v bull =3v v =5v v~ 41 3 4L 5 41

Agrave =41 ~= Agrave ~j-I1

TIA

I 1 I

JII N

jL 5 5

AI ~A

A

N N

Figuraacute 37 Os trecircs primeiros modos de um tubo com uma extremidade fechada

fechada podemos

estimar a frequumlecircncia de

urna onda em seu

interior Uma

propriedade geral de

ondas sonoras

confinadas em tubos eacute

que os valores de

amplitude maacutexima

ocorrem em valores

discretos da frequumlecircncia

da onda Na Fig 37

3 Aparato Experimental 35

podemos ver os trecircs primeiros modos de um tubo com a extremidade inferior fechada

A distacircncia do centro do tubo agraves linhas finas desenhadas dentro deste representa

a amplitude de deslocamento da onda em cada ponto N e A designam as posiccedilotildees dos

nodos e antinodos de deslocamento As frequumlecircncias VII de ressonacircncia do tubo satildeo dadas

por

v v =(2k + 1)- (33) 41 ~

onde I ecirc o comprimento do tubo e k = OJ23~ o que nos fornece apenas os 1

harmocircnicos iacutempares

O (a) AJllm

134

(d)

_-_ -__ I

I AIMcm~

M o~

H -8

00 Microfone015

ro (b) -= ~

j~

~ --~

-- AJm00

o (C) I

JI~m(JQegtn

L- m

Ia bull ~ d 1

1l _ _~ Ooo~ J

ftequumlecircnda da onda HZl

Figura 38 Resposta do microfone laquoJl0cad0 atilde uma distacircncia Alm dentro do ruoo borbulhador na sua parte superior para wna onda SOOOIa senoidal gerada pelo alto-falante Em (a) o microfone foi colocado a 2 em da superfieie do liacutequido (b) 34 em e (c) 60 em Em (d) vemos um cliagrarna que mostra a distacircncia Alm

36 3 AparaJ() Experimental

Foi verificada a frequumlecircncia de ressonacircncia do tubo borbulhador~ obtendo um

sinal proporcional ao deslocamento da onda sonora colocando um microfone dentro do

tubo A distacircnciacutea entre o microfone e a superfiacutecie do liacutequido eacute Alm O sinal obtido pelo

microfone) colocado em trecircs alturas distintas dentro do tubo borbulhador estaacute mostrado

na Fig 38 onde temos os valores obtidos para as alturas de 2 em 34 em e 60 em em

relaccedilatildeo ao niacutevel do liacutequido~ com um comprimento de coluna de ar total de 60 em

Variarulo a frequumlecircncia da onda entre 100amp e 160 Hz obteve-se que a frequumlecircncia de

ressonacircncia do tubo eacute de aproximadamente 134 Hz O sinal do microfone tem a mesma

furma que o sinal senoidal injetado no alto-falante

Depois de determinada a frequumlecircncia de ressonacircncia do tubo nas condiacuteccedilotildees do

paraacutegrafo anterior obtivemos o sinal do microfone colocado em vaacuterios pontos do tubo~

para os trecircs primeiros mnocircnicos 134gt 402 e 670 Hz como estaacute mostrado na Fiacuteg 39

de modo a verificar experimentalmente as posiccedilotildees dos nodos e antinodos de

deslocamento Na Fig 39 podemos ver que a tensatildeo natildeo se anula na origem portanto a

onda natildeo forma um nodo exatamente na superficie do liquido para os trecircs harmocircnicos

mas parte da onda refrata no liquido

08 bull - bullbullbullbullbullbull ~ 06 j freq 134Hz

o bull M ~c-o m 02 o ~

00 0-

gt 02 ~ c-~ o ~ 00

shyshy- _freq 402Hz ~~ ~

- - _ shy-

o

003 freq 670Hz -~ - 2 - ~

002 1 ~- -IHl ltshy bullbull 001bull bull ~

000 o O 30 0 50 60

Alm(cm)

Figura 39 Nados e antinodos deruro do tubo para OS trecircs primcitos harmocircnicos medidos em diferentes posiccedilotildees na parte de ar com as freqilecircncias de 134 Hz 402 Hz e 670 m Podemos notar nos trecircs graacuteficos que a onda sooorn natildeo forma exatamente um nodo na superficie do liacutequido

37 3 Aparato Expenmental

39 O liacutequido

o liacutequido utilizado foi preparado em soluccedilotildees utilizando-se diferentes

concentraccedilotildees de aacutegua e glicerina

A tensatildeo superficial foi obtida atraveacutes do meacutetodo do tensiocircmetro de anel [Ueta e

Tabacniks 1989] que consiste em se determinar a forccedila para se elevar um anel delgado

do liquido e relacionando-a com a tensatildeo superficial numa temperatura de 25()C Na

tabela 32 temos a tensatildeo superficial de alguns liacutequidos comuns obtidos com este

meacutetodo Para as diferentes concentraccedilotildees de glicerina obtivemos OS valores da Fig 310

Liacutequido

Tensatildeo superficial (diIlalcm) I

Aacutegua destilada

72

Agua de torneira 66

0100 20Wmiddot50 (Mobil) I 35

Glicerina 58

Alcool hidratado 30

Agua com detergente 36

Detergente 23

Cafeacute (soluccediliio) 42

I

~1------Tabela 32 Tensatildeo superficial de alguns liquidas comuns medidos pelo meacutetodo do tensiocircmc1TO dCanel

r------------------------------------- n

Ecirc ~66

i tM ~ ~

58

J

i

T ~ -

~

bull bull i J I bullbull 1 ~ -

bull +

1~ -~~~ o 20 40 00

deHp

Figura 310

Tensatildeo

superficial

medida COm oacute

meacutetodo do

tenSJocircmetro do

ane1rma cliacuteferenles

concentraccedilotildees

de aacutegua e

glicerina

38 $ Aparato ~mentaJ

A viscosidade das soluccedilotildees de aacutegua e glicerina foi estImada atraveacutes do meacutetodo

de Stokes [Veta e Tabacniks 1989] e a viscosidade varia como a funccedilatildeo exponencial

mostrada na Fig 311 para 25 C Para os valores da viscosidade da aacutegua pura e da

glicerina para diferentes temperaturas fui consultada uma tabela de viscosidades [Perry

e Clinton 1972 Weast e Selby 1996]

1500 r 1250

bull p shy1000 -shy

bull u- ~ ~ 750

~ J_ ampl 500

gt

- 250

u HH

o [ ===-==i I UUUU

O 10 20 30 40 50 60 10 80 90 100

de Glicerina na aacutegua

Figura 311 Variaccedilatildeo da viscosidade com a concentraccedilatildeo de glicerina na soluccedilatildeo

310 Imagens

Algumas imagens foram obtidas para esclarecer alguns aspectos da formaccedilatildeo

das bolhas As imagens da formaccedilatildeo das bolhas furam feitas atraveacutes de uma cacircmera

VHS Para iluminar o tubo borbulhador utilizou-se a teacutecniacuteca de iluminaccedilatildeo traseir~

com uma placa transluacutecida para difundir a luz proveniente de uma lacircmpada

fluorescente e o tubo borbulhador foi colocado entre a placa difusora de luz e a cacircmera

As imagens obtiacutedas foram digitalizadas e annazenadas

39 3 Aparato JxpflinJeacutentttl

Figura 31l Imagens obtidas partir do experimentn do tubo borbulhador Em (I) VCIlOS bolha se fonnando junto agrave seringa enquanto a bolha anterior emerge no liqujdo (2) a bolha aumenta de volume mas o empuxo natildeo eacute suficiente para retiraacute~la do bico 3 a bolha se-descola do bico mas eacute alimentada por um pescoccedilo~ (4) a bolha se destaea do bico e Cf perfil evolui para a fonna elipsoidal

Na Fig 312 temos a evoluccedilatildeo de uma bolha se formando junto ao bico

soprador numa soluccedilatildeo viscosa de aacutegua com glicerina em quatro instantes distintos A

forma final das bolhas depende de vaacuterios fatores entre eles o seu volume~ e isto pode

ser observado nas cinco imagens da Fiacuteg 313

11 1 Ilcml 1I em 1 11 I Ilcml

m ~jj O 4~~

ttif1id-gt0

(a) (b) (c) (d) (e)

F1gura 313 Exemplo do perfil das bolhas em relaccedilatildeo ao seu tamanho

3 Aparato Experimental 4iacuteJ

311 O Experimento da Torneira Gotejante

o experimento da torneira gotejante foi uma das primeiras tentatiyas de se criar

um sistema com o propoacutesito de se observar o Caos deterministiacuteco Este experimento

possui um extenso material produzido pelo LFNL que pode ser encontrado na fonua de

dissertaccedilotildees de mestrado e teses de doutorado [da Rocha 1995 da Silva 1996 Tufaile

1996 Gonccedilalves 1996 Pinto 1999J

O experimento consiste basicamente de um bico got~ador que eacute alimentado por

um grande reservatoacuterio~ como pode ser visto no diagrama do aparato experimental da

Fig 314 O tempo associado para cada gota eacute medido do mesmo modo que o descrito

na seccedilatildeo 33 para o tempo entre as bolhas~ mas para o experimento da torneira gotejante

o feixe laser estaacute posicionado - 9 em abaixo do bico

Noacutes controlamos a taxa de gotejamento (fgot=ltlTraquo mantendo o niacutevel do

reservatoacuterio intermediaacuterio constante e selecionando a frequumlecircncia de gotejamento atraveacutes

da abertura da vaacutelvula acionada por um motor de passo e controlada por um

microcomputador Para uma dada taxa de gotejamento noacutes construiacutemos os mapas de

primeiro retomo

Relervut6rio Foot

cmroJ_ denivcl

Fotodiodo o

Laa o Computador

o

Res~ -00

Figura 314 Diagrama -do experimento da torneira gotejante

4 Resultados e Anaacutelise 41

4 Resultados e Anaacutelise

A formaccedilatildeo das bolhas eacute frequumlentemente imaginada como () experimento da

torneira gotejante 1nvertido Esta analOgia eacute fraca e para podermOs verificaacute-la

estudaremos inicialmente a formaccedilatildeo de gotas e depois estudaremos a formaccedilatildeO das

bolhas

41 A torneira gotejante I

As equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem para a torneira gOtejante) propostasI no modelo de Shw [Shw 1984] com as modificaccedilotildees de DInnocenzo e Renna

[Dlnnocenzo e Relllll 1996] satildeo

t=V d(M=Mg_kx_bv (41)

dMrJI=Q

Onde x eacute a coordenada do centro de massa da gota ordmeacute O fluxo de aacutegua A tensatildeo

superficial e o atrito entre a aacutegua e a torneira satildeo dados pela constante de mola k e por b

respectivamente Uma gota ~ se desprende do bico com velocidade Vc com o fator

de reduccedilatildeo a quando o centro de massa alcanccedila o limiar xc

iAIJ aJyJ (V (42)

Figura U Seacuterie temporal obtida com o modelo da tomeira gotejante variandolaquo a vazatildeo Q k=475 dinalcm g=980 cm~ 1gt=1 g~ lt9114 em 09119 sim

42 4 ResultatWs e Anaacutelise

Na Fig 41 mostramos uma seacuterie temporal obtida a partir do modelo das

equaccedilotildees (41) com os paracircmetros k=475 dinalcm g=980 crnls b= 10 gls x=O 14 em e

a=O (9 sIm Na integraccedilatildeo do modelo foi utilizado um integrador Runge-Kutta de

-

0D75

(j) E 0050 ~

J

0025

0025 0050 0075 T

N (ms)

Fibllra 42 Atratores caoacuteticos reconstruiacutedos fixando~se a vazio em trecircs valores distintos de nzatildeo Q A dimensatildeo de Kaplatl~Y orkc Dy foi culculndn para cuumlda um destes tratores (n) DRY 12(1) (b) Drn 139(1) (c) DKy173(2)

(a)

lo

shy

(b)

7- iacute I

I 0

~

~ (e)

I rt j~1l~middott~i~i ~ v ) t ~ Amiddot shy ~ ~~ -1

[1 f ~ ~j bull

-) F ~-lt_ f4~-tgt 1- --~ 1

l yA- -~O __ _~ shy

~-~lt

quarta ordem com passo de

integraccedilatildeo de 10-6 e condiccedilotildees

iniciais x(O)=OO em e y(O)=O I

ems Nesta seacuterie temos uma

sequumlecircncia de dupliacutecaccedilotildees de

periacuteodo para 05ltQlt087 mls

caos e janelas perioacutedicas para Q

acima de 087 rnJls c um

alargamento abrupto do atrator

proacuteximo de Q102 mls

Na Fig 42 vemos trecircs

atratores para trecircs diferentelt

valores de vazatildeo Q do modelo

Pora cada um destes atratores

foi calculado os expoentes de

Lyapunov e sua respectiva

dimensatildeo de Lynpunov que os

caracterizaram como caoacuteticos

devido a existecircncia de

expoentes de Lyapunov

positivos Na Fig 42(a) temos

um atrator formado por quatro

bandas ca6ticas com vazatildeo Q=

0885 mlls Para uma vazatildeo

maior de 095 mlls Fig 42(b)

temos um atrator ca6tico com

duas bandas ca6ticas Na Fig

42c) um atrator caoacutetico mis

largo apoacutes a crise para

Q=I05 mlls

t RCSllfladQs e AtuUis 4

710 (b~f (a) 500 I

700 1 E g 400 1 iacute 300

200

1 jJ

670 ~ 100 670 680 690 700 710 100 200 300 400 500

T() T(ms)

Figura 43 (a) dados experimentais para uma frequumlecircncia de gotejamento de 146 gotass (b) atrator obtidQ ccedilom o modelo com de oscilador com relaxaccedilatildeo com uma frequumlecircncia de 315 gotass

(a) ltTgt=1146 me (b) ltTgt=1136 rns

Tn 2

120

110

11Cf

110120 T

120

Tnbull1

TM

120

90 9~ 12

120middot TM

T 90

Figura 4A (n) atrator experimental com um frequumlecircncia meacutedia de 8726 gotas Is (b) atrator obtido a partir da simulaccedilatildeo com uma frequumlecircncia mldia de 880 gotass

44 4 Rewlltados e AndUsc

Fizemos duas comparaccedilotildees entre os dados experimentais e o modelo Tufaite et

aI 1999 Apecircndice 1] Na Fig 43(a estaacute mostrado o mapa de primeiro retorno

experimental mantendo-se constante o niacutevel do reservatoacuterio intermediaacuterio com uma

frequumlecircncia de gotejamento de 146 gotass com o bico de vidrQ Uma estimativa para os

valores experimentais eacute dada por k=365 dinaicm xccedil -O6 em e Q no intervalo 012-015

gls As simulaccedilotildees do atrator usando estes valores para os paracircmetros natildeo convergiram

para vaacuterios valores de a e b Desta forma outro conjunto de valores foi procurado para a

reproduccedilatildeo do atrator experimental Os valores escolhidos foram k = 475 dinacm XI

13 em Q=015 gls a = 02 sem e b = 10 SI como estaacute mostrado na Fig 43(b) com

uma freguumlecircncia de gotejamento de 315 gotass

Na Fig 44(a) estaacute mostrado um atrator reccedilonstruiacutedo em um mapa

triacutedlmensional Tn+2 VS Tn1 vs Tnbull com a frequumlecircncia de gotejamento de 8726 gotass

O perfil do atrator foi simulado com os paracircmetros cOm os seguintes paracircmetros

Q=0141 gls x = 0251 em 051 sem b=O943 SI e k=120 diacutenalcm como estaacute

mostrado na Fig 44(b) A frequumlecircncia meacutedia de gotejamento eacute de 880 gotass pr6xima

do valor experimentaL Os dois atratores da Fig 44 apresentam expoentes de Lyapunov

positivos e dimensotildees de Kaplan-Yorke lOplusmnOl (atrator experimental) e 11plusmnO1

(modelo)

Outros atratores obtidos a partir de mapas criados baseados neste modelo podem

ser encontrados na literatura [Renna 1999] assim como comparaccedilotildees entre atratores

experimentaiacutes e simulados na mesma regiatildeo de vazotildees das Figs 43 e 44 IDInnocenzo

e Renna 1997] Em todas estas referecircncias o modelo apresenta problemas quando os

valores escolhidos para os paracircmetros satildeo os mesmos do experimento que nonnalmente

causam divergecircncia das soluccedilotildees durante a integraccedilatildeo Uma possiacutevel causa destes

problemas eacute fato de que a gota natildeo se rompe exatamente sempre na mesma posiccedilatildeo mas

em alturas diferentes com relaccedilatildeo ao bico Concluiacutemos que este modelo apresenta

Cuumlfilcteriacutesticas qualitativas interessantes mas que natildeo pode ser utiHzad9 para

comparaccedilotildees quantitativas com a experiecircncia Modificaccedilotildees neste modelo estatildeo sendo

feitas por Fuchiacutekami [Fuchikami el aI 1999] que compara este modela com outro

modela mais elaborado que utiliza por princiacutepio fiacutesico a minimizaccedilatildeo da energia com

relaccedilatildeo ao perfil da gota que cresce junto ao bico O modelo de Fuchikami utiliza uma

descriccedilatildeo Lagrangeana para calcuIar numericamente a evoJuccedilatildeo da formaccedilatildeo da gota

45 I i

i

4 Resultadltgts eAnaacutelise

42 Dinacircmica das bolhas Veremos nesta seccedilatildeo os diferentes regimes d borbulhamento causados pelo

aumento da vazatildeo do ar~ e como podemos esclarecer as transiccedilotildees destes regimes

atraveacutes de alguns modelos

421 Formaccedilatildeo quase-estaacutetica

Devido acirc complexidade do processo da formaccedilatildeo de bolhas os modelos

existentes satildeo adequados apenas em casos particulares [Clift e aI 1978) Para uma

bolha se formando em condiccedilotildees quasemiddotestaacuteticas o equillbrio de forccedilas na bolha eacute dado

por

f = (43)

onde f g eacute a forccedila da gravidade e f (J eacute a forccedila devido agrave tensatildeo superficial Para um

orifiacutecio do tipo bico circular a equaccedilatildeo (43) tem a forma

mg = 2R7Ilt7 (44)

onde m eacute a massa do liacutequido deslocado pelo volume da bolha g eacute aceleraccedilatildeo da

gravidade R eacute o raio do bico soprador e G eacute tensatildeo superficial entre o ar e liquido

Tomando um bico com Rb = OA mrn e criando-se uma bolha de ar na aacutegua nas

condiccedilotildees qua8e~estaacuteticas quandO a tensatildeo superficial do sistema eacute igual a O~07 Nm e g

eacute igual a 98 ms teremos uma massa de liacutequido deslocado de

m = 1810 kg (45)

Como temos a densidade da aacutegua igual a 1 gcm3bull o volume maacuteximo da bolha seraacute dado

por

m V=-=18mm (46)

p

Se considerarmos urna esfera de volume equivalente teremos um raio para a bolha r)

reacute 1~6mm (47)

Podemos tambeacutem estimar a pressatildeo do ar dentro de uma bolha atraveacutes da

relaccedilatildeo

2lt7 Pl-Pl ~-- (48)

Se a interface natildeo eacute esfeacuterica mas possui como raios principais de curvatura le e

r entatildeo equaccedilatildeo (48) teraacute forma

46 f Resultados cAnaacutelise

(49)p - p = 2~ lt) As diferenccedilas de pressatildeo das equaccedilotildees (48) e (49) fomece-nos a pressatildeo laplaciana

devido agrave tensatildeo superficiacuteal[Clift oi ai 1978]

Para uma bolha com o raio de 16 mm como calculado na equaccedilatildeo (47) bull

diferenccedila de pressatildeo entre o ar dentro da bolha e a aacutegua eacute

p - p = 175Pa (410)

Para uma bolha a 5 cm da superfiacutecie teremos Pl = 500 p~ entatildeo~ de acordo com a

equaccedilatildeo (410) a pressatildeo dentro da bolha seraacute de 675 Pa ou seja a pressatildeo dentro da

bolha eacute equivalente a uma oolunade aacutegua de 675 mm

Esta anaacutelise soacute eacute vaacutelida para sistemas em equiliacutebrio fora do equiliacutebrio outros

meacutetodos de anaacutelise satildeo empregados e seratildeo discutidos na proacutexima seccedilatildeo

422 Formaccedilatildeo de bolhas com vazatildeo constante

Podemos obter um modelo para baixas vazotildees fazendo algumas suposiccedilotildees

sobre a geometria da bolha [Daviacutedson e Schuumller 1960J O modelo segue as seguintes

consideraccedilotildees

1 A bolha eacute esfeacuterica durante sua formaccedilatildeo

2 Natildeo haacute cireulaccedilatildeo do liquido ao redor da bolha que estaacute se formando de tal

modo que o liacutequido estaacute em repouso quando a bolha comeccedila a se formar

3 O movimento de uma bolha natildeo eacute afetado pela presenccedila de urna bolha acima

ela

4 A bolha estaacute a todo instante movendo-se na velocidade de Stokes apropriada

para o seu tamanho

S Quando a bolha atinge o raio maacuteximo R ela se destaca

Considerando O movimento de uma bolha que se forma em um ponto longe das paredes

de um reservatoacuterio infinito nas condiccedilotildees acima a velocidade do centro da bolha v no

tempo t apoacutes o comeccedilo da sua fonnaccedilatildeo seraacute dada pela velocidade de Stokes

2rg v=-~ (411)

9v

onde v eacute a viscosidade cinemaacutetica do liacutequido dada pela razatildeo entre a viscosidade e a

densidade do liquido Aleacutem disso se Qeacute o fluxo do gaacutes entatildeo o volume da bolha V eacute

41 4 Resultados e Anaacutelise

V=QI= 4- (412)3

Deste modo definindo x como a distacircncia entre o centro da bolha e o ponto de

suprimento do gaacutes obtemos a equaccedilatildeo que define o movimento do centro da bolha

atraves do seu raio r como uma funccedilatildeo de Q e t dados pela equaccedilatildeo (412)

Substituindo r na equaccedilatildeo da velocidade d Stokes

v2g (3Q ) ( (413)9v 4Jr

e integrando a equaccedilatildeo (411) em relaccedilatildeo a t noacutes obtemos O deslocamento do centro da

bolha em funccedilatildeo do tempo

2 Ir (414)x=Jl-lt3QJ 15v 411

A bolha iraacute se destacar quando x = R o raio maacuteximo da bolha com o tempo para a

formaccedilatildeo completa da bolha T obtido partir da equaccedilatildeo (414)

ltT=ll~)() (415)

que nos daacute uma relaccedilatildeo hiperboacutelica entre o tempo T da formaccedilatildeo da bolha e a vazatildeo Q

como mostrado no graacutefico da Fig 45 Com isto obtemos que a relaccedilatildeo entre a

frequumlecircncia de borbulhamento F = (11) e a vazatildeo volumeacutetrica do ar Q eacute

F ltcQM (416)

Este eacute um modelo razoaacutevel para baixas vazotildees pois explica de modo simples as

principais caracteriacutesticas da variaccedilatildeo da frequumlecircncia do borbuJhamento com a vazatildeo do

ar Entretanto~ as cinco condiccedilotildees para fonnaccedilo das bolhas no iacuteniacutecio desta seccedilatildeo natildeo

satildeo rigidamente observadas isto fuz a equaccedilatildeo (416) ter um caraacuteter principalmente

qualitativo O trabalho de Ponter e Surati [ponter e Surati 1997] fuz um estudo

comparativo entre vaacuterios trabalhos que investigam a emissatildeo de bolhas a partir de

orifiacutecios submersos e apontam como principal causa da discrepacircncia entre os diferentes

resultados experimentais a influecircncia da superfrcie do biacuteco soprador e a falta de

padronizaccedilatildeo da geometria do equipamento Mesmo com as discrepatildencias~ O

comportamento hiperboacutelico com as bolhas se formando sequencialmente eacute observado

quandO se aumenta a vazatildeo [Sulliacutevan et aI 1964) No nosso trabalho soprando ar

diretamente na seringa para vazotildees acima de 200 rolmin ocorrem bifurcaccedilotildees no tempo

entre bolhas e isto eacute o tema da proacutexima seccedilatildeo

4 Resulfados eAnaacutelise 4amp

n 423 Biacutefurcaccedillies Tempo entre Dependendo bolluls

principalmente da

geometria do bico

soprador para vazotildees

acima de um determinado -shy ~m~~ valor ocorre uma

transiccedilatildeo de um regimeQ-vazatildeo de borbulhamento

igualmente espaccedilado noFigura 45 Esboccedilo da dependfulcia hiperboacute1ia entre o tempo do borbulhameniO c a vazatildeo de ar tempo para um regime ~----------------------~

no qual as bolhas se formam com dois tempos distintos e emergem aos pares formando

um dubleto [Davidson e Schuumller 1960 Marmur e Rubin 1975 Miyhara cl al 1983

Tritton e Egdell 1993 Mitoni ct al 1995 Kyriaides oi ai 1997] Este fagraveto pode ser

atribuiacutedo agrave transferecircncIacutea de momento do ~ poiacutes uma parte do liacutequido fica agregada agrave

superficie da bolha formando uma casca esfeacuterica liquida que eacute chamada de massa

virtual P [Davidon e Schuumller 1960 Miyhara el ai 1983] reduzindo o empuxo da

bolha para 1116 Aleacutem disso noacutes podemos fazer um modelo simplificado para a

formaccedilatildeo das bolhas Se considerarmos aacute presenccedila de uma forccedila restauradora de

coeficiente k devido agrave tensatildeo superficiaI~ usando as consideraccedilotildees 14 e 5 da seccedilatildeo 422

e considerando que existe uma forccedila dissipativa na formaccedilatildeo da bolha (que eacute

proporcional agrave velocidade bv) Utilizando a segunda lei de Newton chegamos agraves

equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem

dx _~=y

di d(Mv

di = (JMg - kx -lN) (417)

fiM di =Q

onde x eacute a posiccedilatildeo do centro da bolha M eacute a massa de liacutequido deslocada pela bolha

(M~Vp) Aleacutem destas equaccedilotildees uma quarta equaccedilatildeo define quando a bolha deve se

destacar No momento que a e1a atinge o ponto criacutetico xcgt a bolha se desprende do bico

soprador com a massa

49 4 Re$1lltatlos eAnaacutelise

M=aMve (418)

com M e V sendo a massa e a velocidade no ponto de rompimento Xc respectivamente

A constante de proporcionalidade de massa eacute a O diagrama do modelo pode ser visto

na Fig 46

AA1 X

p M

k oacute

Figura 46 O modelo de oscilador de massa variaacutevel para a formaccedilatildeo de bolhas

1

50 4 Resultados e Anaacutelise

Estas equaccedilotildees foram inspiradas em equaccedilotildees do mesmo tipo para o

experimento da torneira gotejante (Tufaile el ai 1999 Apecircndicel] mostradas na seccedilatildeo

41 Shaw [Shaw 1984] propocircs o primeiro modelo para a torneira gotejante inspirado

nas ideacuteia de Rayleiacutegh O modelo foi atualizado por Saacutenches-Ortiz e Salas-Brito

(Sacircnehes-Ortiz e Salas-Brito 1995a Saacutenches-Ortiz e Salas-Brito 1995b] e

independentemente por D~Innoncenzo e Renna [D~Innoncenzo e Re~ 1996] que~

atraveacutes da mudanccedila do mecanismo de rompimento mostraram uma vasta gama de

comportamento caoacutetico usando o modelo e o quanto ele pode ser comparado com dados

experimentais Eacute importante saliacuteentar que apesar da enonne simplificaccedilatildeo que se faz

quando se reduz um sistema fluido com muitos graus de liberdade para um modelo

unidimensional1 existem muitos resultados que podem ser compreendidos usando O

modelo de oscilador de massa variaacutevel~ como bifurcaccedilotildees comportamento caoacutetico e

janelas perioacutedicas Seguindo esta linha Kiyono e Fuchikami trabalham na construccedilatildeo de

modelos de oscilador de massa variaacutevel t utilizando resultados obtidos a partir de seu

modelo hidrodinacircmieo (Kyono e Fuchikarniacute 1999]

Na Fig 47 vemos espaccedilos de fuse para a formaccedilatildeo de bolhas para diferentes

vazotildees numa sequumlecircncia que evolui desde o penado 1 ateacute o comportamento caoacutetico

Para a vazatildeo de l~O mIIs obtivemos um ciclo limite com a velocidade crescendo

atingindo um valor rnacircximo e depois diminuindo retornando proacuteximo ao valor inicial

Neste instante ocorre o rompimento e a proacutexima bolha inicia o ciclo com a mesma

posiccedilatildeo da bolha anterior deste modo o sistema retoma abruptamente ao ponto inicial

(x-Ol em e v-l4 crnls) Para a vazatildeo de 18 mIIs O sistema atinge o ponto de

rompimento com duas condiccedilotildees de rompimento distintas a primeira com uma

velocidade ascendente e uma segunda com uma velocidade descendente Para 20 mVs

temos uma outra duplicaccedilatildeo de periacuteodo levando a um periacuteodo quatro e finalmente para

uma vazatildeo de 2~15 rn11s vemos O espaccedilo de fase do comportamento caoacutetico

A seacuterie temporal deste modelo estaacute na Fig 48 e mostra as variaccedilotildees da

dinacircmica com a variaccedilatildeo da vazatildeo na faixa de vazatildeo 08 lt Q lt 22 m1s Para uma

vazatildeo por volta de 155 mls ocorre uma duplicaccedilatildeo de periacuteodo Para l97 rnVs uma

descontinuidade na seacuterie~ seguida de novas duplicaccedilotildees e caos

bull bull bull bull

51 4 Resultados e Anaacutelise

f I ~ ~ bull ~

1gt gtligt

tobull o 0- o ~ ~

fmiccedil)o (em)

otltl_J l

j

(

11

r ( ~

(I

~ ~ m f I - _r

i__=---~1 ~ ia_t6tttll-

Ibulli ~

~ ccedilshyreg 11110 o~

PM~a ftm)

Ot1SINIo ~1 ~

li ~ I~

~ ~ bull

bull ~ lt - -- u bullbull~ ~

Figura 4~1Espaccedilos de fase obUaoscom o ruacuteOdelo de oscilador de tna$il vnveCg 10 mIlsPeriacuteodo 1 Q=l8 m1Is duplicaccedilatildeo de periacuteodo periacuteodo 4 para 20 m1Is e comportamento caoacutetico para 215 mlJs Os paracircmetros do sistema satildeo x=O19 em 0=025 b=25 em$ g980 ems k=480 dinalcnt

Deste modo podemos ter uma

visatildeo geral de como ocorre uma

duplicaccedilatildeo de periacuteodo do espaccedilo de

fases da [onnaccedilatildeo de bolhas aleacutem da])- ~1 lO regiatildeo da formaccedilatildeo quase~estaacutetic8shy

baseada em um modelo mecacircnico

simplificado OUlro modelo para a Q(mYl)

formaccedilatildeo de bolhas pode ser encontrado

Figura 48 Seacuterie temporal do modelo de oscilador I no trabalho de Marmur e Rubin de massa variaacutevel para o tubo boIbulhador

[Marmur eRubiacuten 1975] que do mesmo

modo que Fuchikami [Fuchikamiacute el ai 1998] utiliza o formalismo Lagrangeano

52 4 Resultados e Anaacutelise

424 Veias liacutequidas

Verificamos experimentalmente a ocorrecircncia da agregaccedilatildeo de liacutequido junto agrave

bolha que causa a reduccedilatildeo do empuxo sobre a bolha Utilizando um sistema de trecircs

fases (ar aacutegua e oacuteleo) observamos a fonnaccedilatildeo de veias liquidas Uma veia liacutequida

ocorre quando temos um canal de aacutegua dentro do oacuteleo que eacute sustentado pela

emergecircnciacutea das bolhas como pode ser visto no diagrama da Fig 49 Na literatura

existem classificaccedilotildees para padrotildees de fluxos de duas fases como o padratildeo de

borbulhammo padratildeo d jateamento e padratildeo anular [Sharpe 1994] O primeiro caso

borbulhameoto eacute o caso tratado neste trabalho o padratildeo de jateamonto [Ruzicka 1997]

ocorre quando o gaacutes possui velocidades maiores do que a do borbulhamento e eacute

espargido dentro do liacutequido o terceiro caso~ o padratildeo anular ocorre para velocidades

ainda maiores do gaacutes que passa pelo centro do liquido formando um tubo gasoso COm

gotiacuteculas do liacutequido subindo pelo centro junto com o gaacutes Devido bull propriedades

viscoelaacutesticas do ocircleo diferenccedila de cor entre o oacuteleo e a aacutegua e a refraccedilatildeo do sistema

aacutegua-ar podemos ver a fonnaccedilatildeo desse padratildeo anular a veia liacutequida num sistema de

trecircs fases ar aacutegua e oacuteleo e deste modo verificar o arrasto da aacutegua junto com as bccedillhas

Veia liacutequumlida induzida por bolhas

Ar

Figura 49 Um sistema de tns fases iroisciveis formado por aacutegua ar eacute oacuteTeo criando uma veia liquida A aacutegua forma uma coluna dentro do oacuteleo com um fluxo ascendente proacuteximo do centro e um fluxo descendente na parte ell1ema

4 Resullado$ e Anaacutelise 53

o liacutequido que envolve a bolha deve ter a mesma velocidade da superfiacutecie da

bolha formando uma casca esfeacuterica de liacutequido A casca esfeacuterica de aacutegua acompanha a

bolha ateacute o ponto em que ela atinge a superfiacutecie do sistema Hquido~ a partir deste ponto

este volume de aacutegua eacute afastado lateralmente e inicia a descida para a base da coluna Na

Fig 4 1O~ podemos ver uma imagem obtida no LFNL de uma veia liquida

a porte avermclhada eacute 6100 a coluna central eacute constituiacuteda de aacutegua com bolhas no seu interior

A existecircncia da m d Ilquiacutedo

agregada junto a bolha eacute um fato que

mostra que a experiecircncia do tubo

borbulhador natildeo eacute o experimento da

torneira gotejante invertiacutedo

Se aumentarmos a vazatildeo de ar

inicialmente ocorre uma acumulaccedilatildeo de

aacutegua sobre o oacuteleo que depois se precipita

na forma de uma bolsa de aacutegua como

podemos ver na seqililncia de imagens da

Fig 41 L Deste modo O fator de massa

agregada fJ das equaccedilotildees (417) eacute uma das

princjpais diferenccedilas entre os modelos de

oscilador para bolhas e gOlas

Figura 411 Aumefllandose a freqiacuteiWcia de bolhas a aacutegua se acumula no topo da ooluna (a) ( acuacutemulo de aacutegua se desestabiliza e comeccedila a descer agarrada agrave veia (b) e em (c) temosa bolsa de aacutegua jaacute na base da veia liacutequida

1

54

-i

4 Resultados eAmilise

425 A estabilidade de dois fluidos sobrepostos

O problema fiico fundamental na fonnaccedilatildeo de bolhas em liquidos ecirc a

superposiccedilatildeo de dois fluidos de densidades muito diferentes O estudo de instabilidades

hidrodinacircmicas aborda tal problema aleacutem de outras instabilidades que tambeacutem satildeo

tratadas de um ponto de vista matemaacutetico muito interessante no livro Hydrodyllamlc

and Hydr(J11agnetlc Stability de Chandrasekhar [Chandrasekhar 1981] onde foram

estudadas as soluccedilotildees das equaccedilotildees hidrodinacircmicas para dois casos nos quais ocorre a

superposiccedilatildeo de fluidos

a) A instabilidade de Raylelgh-Taylor que trata da instabilidade da interface plana

entre dois fluidos

b) A instabilidade de Kelvln-Helmholtz que surge quando camadas diferentes de

fluidos heterogecircneos estratificados estatildeo em movimento horizontal relativo

Os problemas de instabilidade hidrodinacircmica envolvem o reconhecimento de fluxos

estagraveveis e instaacuteveis que satildeo obtidos para determinados valores dos paracircmetros que

governam o sistema Como exemplos temos o nuacutemero de Rayleigh~ para a convecccedilatildeo de

calor num fluido entre duas pacas uma acima e outra abaixo do fluido ou o nuacutemero de

Taylor para o comportamento do fluido entre dois cilindros coaxiais girantes

Restringindo-se agrave instabilidade de Rayleiacutegh-Taylor temos um arranjo com dois fluidos

de densidade unifurme~ um com a densidade Pl sob outro com densidade P2 sendo que

P2 eacute maior que pJ~ num campo gravitacional g A superfiacutecie horizontal que separa os

dois fluidos tem a tensatildeo superficial a Este sistema possui um nuacutemero de onda critico

kc pata as oscilaccedilotildees entre os fluidos~ dado por

klt = J(p - p)g I CF bull (419)

Os sistemas com nuacutemeros de onda no intervalo Oltkltkc satildeo instaacuteveis quando kgtkcl

temOS um estado marginal ou limite De um modo geral~ a tensatildeo superficial estabiliza

arranjos potencialmente instaacuteveis Levando em conta que a unidade de medida de Ir eacute

lm~ obtemos um nuacutemero puro conhecido como nuacutemero de Rayleigh~Taylor RT que

determina a estabilidade do sistema de fluidos sobrepostos

RT = glOcircp (420) CF

onde I eacute um comprimento caractcristico do sistema Este nuacutemero estaacute relacionado

diretamente com o nuacutemero de Eocirctvocircs (Eo) [Clift el ai 1978] para particulas gotas e

bolhas dado por

554 Resultados e Anaacutelise

~ U)

~

60 40 aacutegua + 6G gliccedila 33 aacutegua + 67 glicerina ~

50

~

40E ~ z I- 30

20 r

(~) I (7) I o 300 NaDo 9000 300 600 9000

(g)

100 aacutegua 50 aacutegua i 50 glicerina

N

20 aacutegua + 60 gliacuteceflna

(f) 300 000 900

Figura 411 Graacuteficos da transiccedilatildeo de regime do bolbulhamenlO di_ a vazltlo do ar Oaumento da viscosidade causa uma definiccedilio da dupUccedilaccedilio de periodo no experimento do tubo borbulhador como pode ser visto nos graacuteficos mostrados de (a) ateacute (I) A duplicaccedilatildeo de perlode tambeacutem eacute visiacutevel espacialmente como esta mostrado em (g) que temos o periacuteodo 1 com as bolhas se elevando igualmente espaccediladas c em (h) onde temos o periacuteodo 2 vemos a fonnaccedilatildeo dos dubletof de bolhas (33 aacutegua + 6Ou glicerina)

56 4 Resultados e Anaacutelise

gdApE0 -- (42t)

U

onde d ecirc o diacircmetro de uma esfera de volume Vequivalentlt d t (6V I n)1f3 ~ da

particula gota ou bolha obtido pela meacutedia d seus raios principais

Medimos o nuacutemero Eo juntamente com o nuacutemero de Reynolds Re das bolhas

[Clift el ai 1978J (Re = udp I P onde ueacute velocidade d fomaccedilatildeo da bolha p eacute a

viscosidade e p ecirc a densidade do liacutequido) Quando o sistema passa do regime de

periodo I para uma bifurcaccedilatildeo ou alargamento abrupto do tempo entre bolhas

obtivemos que o nuacutemero de Eotildetvotildes vale aproximadamente 26 plusmn1 para nuacutemeros de

Reynolds entre 200 e 1500 Este resultado foi verificado para todos os bicos utilizados

neste trabalho

426 Instabilidade da superfiacutecie da bolha

Utilizando algumas concentraccedilotildees diferentes de glicerina e o bico de seringa

verificamos1 no experimento do tubo borbulhador que os tempos entre bolbas ocorrem

em periacuteodo 1 para baixas vazotildees (O a 100 m1Imin) e que para faixas maiores de vazatildeo

os tempos entre bolhas ocorrem dentro de uma faixa de valores para baixas

concentraccedilotildees de glicerina ou em dois valores de tempo caracterizando um periacuteodo 2

para concentraccedilotildees maiores que 50 ~ como pode ser visto na Fig 412 Podemos ver

que com o aumento da viscosidade do liquido os ramos que ocorrem no penodo 1

I assim como os ramos do periacuteodo 2 ficam com valores mais estaacuteveis Segundo Mittonl

I [Mittoni et ai 1993] o aumento da viscosidade atraveacutes da glicerina produz atratores

mais estruturados e reprodutiacuteveis~ pois O aumento da viscosidade aumenta tambeacutem a

estabilidade do envelope da bolha e atenua a circulaccedilatildeo do liacutequido proacuteximo do bico

Este fato pode ser visto nas imagens da Fig 413 onde temos um conjunto de imagens

antes (al e depois (b) da duplicaccedilatildeo para a aacutegua e duplicaccedilatildeo de periacuteodo para a glicerina

(c d) Deste modo a viscosidade suprime instabilidades que podem levar agrave variaccedilotildees no

tempo de formaccedilatildeo da bolha

A instabilidade na formaccedilatildeo devido agrave baixa viscosidade pode ser vista na Fiacuteg

414 onde temos uma comparaccedilatildeo entre a aacutegua e a soluccedilatildeo com 80010 de glicerina e 20010

de atildegua Na Fig 4 14(a) temos o mapa de primeiro retomo com 10000 pontos para o

57 4 Resultados e Anaacutelise

bico de seringa com uma altura de coluna de 3 cm e uma vazatildeo de ar mantida constante

em 50mVmin

Este regime de borbulhamento corresponde a um periacuteodo 1 para a aacutegua com os

pontos se espalbando num intervalo entre 75 925 ms e n Fiacuteg 414(A) vemos o

histograma correspondente agrave frequumlencia de visitaccedilatildeo dos tempos entre bolhas com um

valor meacutedio de 87 TIS Para o liquido com 8010 de glicerina e 2010 de aacutegua ternos o

atrator da Fig 414b)~ com as demaiacutes condiccedilotildees semelhantes ao caso anterior tambeacutem

com 10000 tempos entre bolhas e na Fig 414(B) temos o histograma para este atrator

Os pontos neste atrator estatildeo entre 827 e 835 rns muito mais concentrados do que o

caso anterior

cIIJtmiddotca

---shy(a) (b) (c) (d)

Fig 413lmagens pam duplicaccedilatildeo de periacuteodopam a aacutegua (a) periacuteodo 1 e (b) alar_ento de perlodo e no liquido viscoso 2000 aacutegua + 80 glicerina com perlodo i em (e) e perlodo 2 em (d) Nestas imagens podemos notar que a superficie das bolhas emergentes satildeo mais estaacuteveis para o liacutequido mais viscoso do que para a aacutegua

lIiI

Q

58 4 ResultadrueAnaacutelise

j (A)

j

I (6)(b)

8bull~ 1 ~

f-

75 00

T(ms) T (ms)

Figura 4~14 Mapas de primeiro retomo (a) para a aacutegua e em (b) para a soluccedilatildeo SOOAt glicerina e 20 aacutegua Em (A) temos o histograma para os 10000 tempos obtidos para a aacutegua e em (B) o mesmo para o liacutequido mais viscoso A baixa l viscosidade da aacutegua toma -iacute o sinal muito mais irregular corno pode ser comparado em 500 pontos da seacuterie (c) da aacutegua e (C) da soluccedilatildeo viscosa

93

n

59 4 Resultadose Anaacutelise

427 Frequumlecircncia de borbulhamento

A frequumlecircncia das bolhas dada pela equaccedilatildeo 416 tem uma validade limitada

pelas condiccedilotildees geomeacutetricas e dinacircmicas jaacute citadas anteriormente Fazendo outras

medidas com diferentes alturas de coluna observamos uma variaccedilatildeo na frequumlecircncia de

borbulhamento Basicamente o aumento da a1tura da coluna liacutequida causa a diminuiccedilatildeo

da frequumlecircncia de borbulhamento para a mesma vazatildeo Na Fig 415 eacute apresentada a

frequumlecircncia de borbulhamento em funccedilatildeo do logaritmo da vazatildeo com o sistema

predominantemente emitindo bolhas em periacuteodo I onde se utilizou a soluccedilatildeo 8000 de

glicerina e 20 acircgu~ o bico de seringa e trecircs alturas da co]una liquida Sem 12 em e 26

em Fazendo um ajuste linear para calcular os expoentes da frequumlecircncia de

borbuIbamento em funccedilatildeo da vazatildeo observamos um aumento no valor do expoente com

O aumento da altura da coluna e simultaneamente a diminuiccedilatildeo do coeficiente linear do

ajuste Deste modo a frequumlecircncia em bolhas diminui com o aumento da altura da coluna

mas temos um aumento na sua inclinaccedilatildeo com a vazatildeo volumeacutetrica O mesmo efeito

ocorre com um liacutequido menos viscoso (66 glicerina e 34 aacutegua) mostrado na Fig

416 Podemos ter uma variaccedilatildeo ainda maior quando usamos o bico AI isto ecirc

diminuiacutemos o orificio do bico borbuJhadoT como estaacute mostrado na Fig 417 com a

soluccedilatildeo 800 glicerina e 20 aacutegua com altura de coluna de 3 em acima do bico

Existem alguns fatores que podem causar estes efeitos Ruzicka que estudou

experimentalmente a transiccedilatildeo intermitente entre os regimes de borbulhamento e de

jateamento em um sistema aacutegua e nitrogecircnio~ mediu a velocidade da circulaccedilatildeo do

liacutequido com um anemocircmetro Danlec e observou que a circulaccedilatildeo do liacutequido aumenta

com a altura da coluna [Ruzicka ot aI 1997] Par a construccedilatildeo do modelo da equaccedilatildeo

(416) a segunda condiccedilatildeo eacute que natildeo baja circulaccedilatildeo do liquido proacuteximo do bico e deste

modo o aumento da coluna poderia afastar o sistema das condiccedilotildees de validade da lei de

frequumlecircncia de borbulhamento

Outros autores [Davidon et ai 1960 Marmur e Rubin 1976 Clift et al

1978] afirmam que a diminuiccedilatildeo do diacircmetro do bico afeta a frequecircncia de

borbulhamento causando o emparelhameno das bolhas (duplicaccedilatildeo de penodo) deviacutedo

ao aumento do nuacutemero de capacitacircncia Na dado por

4V (p - Pg)lt (422)N= miP

I

bull bull

60 4 Resultados e Anaacutelise

I [ A it

3

o ~0_ Uq 80 glic + 20 otildelQUa ~~ ~

oQ~-ogomiddot

o shyoi lIIIl

If-oI_og

bull c shy

o bull bullbull

bull o Iog fO4Obg 0+04 bull Iog f~O43bg 0+03

bull Iit 1og~OSSbgCKI12

-TrY

10 Log Q bull Vazatildeo (mllmin)

Figura 415 Frequumlecircncia de borbulhamento em funccedilatildeo da vatilo e altura da coluna liacutequida

Llq 6ocirc glie + 34 aacutegua

0deg ~ EI00 li

o o bullbull li o1 deg ~o bull bull bull

lt5

oA it 1 o bull bull bull

o log fUacute421og Q-+O4s 1 9

bull logft=O451og 0+028 li logf=O481ogQ+O12

bull o Iogf =O5BIogQ-O19

b

o _ 010 li 150m

~

10 100

Log Q - Vazatildeo (mVmin)

Figura 416 O mesmo que a figura anterior pOreacutem com um liquido menos viscoso

61 4 Resultados e Anaacutelise

lo 1=1

Biccedilo A1 o Lfq 80 glic + 20 aacutegua

amp90

OO~ r

o 0deg 0deg

Otilde 10 o o ~

o ~ ] f-O ov J

oOI o J o

o 1 10g fb 069109 Q-O25 1

10 100

Log Q - Vazatildeo (mllmin)

Figura 417 O mesmo liquido que foi utilizado paro os dados da Fig 416 mas agora com Q

bico A1 e uma altura de coluna acima do bico de 3 em

onde Vc eacute o volume da cacircmara que conteacutem o ar entre a vaacutelvula de controle de vazatildeo e o

bico Pi e pg satildeo as densidades do liacutequido e do gaacutes (ar) respectivamente do eacute o diacircmetro

do orifiacutecio (bico) eP a pressatildeo absoluta na bolha

Segundo Marmur e Rllbin orificios grandes (~1 mm) implicam em

baixa resistecircncia ao fluxo do gaacutes entre a cacircmara e a bolha e devido a isto a bolha e a

cacircmara funcionam corno um sistema unitaacuterio para o ar Jaacute com orifiacutecios menores o

nuacutemerO de capacitacircncia aumenta e a velocidade do ar nO bico aumenta causando

pequenas variaccedilotildees de pressatildeo na cacircmar~ que causam diferentes tempos de formaccedilatildeo

para as bolhas

Aleacutem destes fatores a temperatura eacute um paracircmetro fundamental a ser

monitorado Todas as medidas anteriores foram realizadas a 24 C

62 4 ResutatQs e Anaacutelise

428 DupUcaccedilotildees de periacuteodo

Com uma soluccedilatildeo de quatro partes de glicerina e um parte de aacutegua e usando a

seringa plaacutestica como bico obtivemos a seacuterie temporal d Fig 418 que mostra a

claacutessica sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo para o sistema do tubo borbulhador Nesta

figura temos uma diminuiccedilatildeo gradual da vazatildeo de ar atraveacutes do bico com uma evoluccedilatildeo

doade a regiatildeo caoacutetica (a) passando por comportamento de borbulhamento de penado 2

na parte (b) que passa a um periado 4 na regiatildeo (c) que passa para um novo

comportamento de penodo 2 regiatildeo (d) seguido por uma regiatildeo de formaccedilatildeo de bolhas

em periacuteodo 1 na regiatildeo (e) Na Fig 419(e) apresentamos uma imagem das bolhas se

formando periodicamente uma a uma e na Fig 4 19( d) eacute mostrado o comportamento de

periado 2 sem o efeito de coarescilnda entre as bolhas Na Fig 419(c) temos a imagem

para o penodo 4 enquanto que na Fig 419(b) temos um penodo 2 devido agrave

coalescecircncia de pares de bolhas que anteriormente formavam o periacuteodo 4 Finalmente

na Fig 4 1 9(a) temos a imagem das bolhas em regime caoacutetico

429 Salto e coalescecircncia

Obtivemos uma seacuterie temporal diferente com o mesmo aparato anterior~ mas

utilizando o bico A3~ Um capilar metaacutelico longo deixando a pressatildeo do reservatoacuterio

diminuir naturalmente atraveacutes do borbulhamento Esta seacuterie temporal eacute mostrada na Fig

420 O sistema estaacute evoluiacutendo em um movimento de periacuteodo 2~ regiatildeo (a) na Fig 420

onde a diferenccedila entre os dois ramos do atrator eacute de 55 ms A medida que a vazatildeo do ar

diminui Qcorre um encolhimento abrupto do atrator para outro periacuteodo 2 onde a

diferenccedila entre os famos passa o ser 1 nlS mostrando um salto na dinacircmica da fonnaccedilatildeo

de bolhas na regiatildeo (b) da Fig 420 Depois disC o sistema evolui para um periodo 1

mostrado na regiatildeo (c) Na Fig 421 estatildeo ilustrados cada perfil de borbulhamento nas

trecircs regiotildees Na Fig 421() temos duas imagens que mostram a formaccedilatildeo de uma

grande bolha em dois cstagravegios No priacutemeiro estaacutegio a bolha se forma com o tempo do

ramo superior do pedodo 2 da seacuterie temporal da Fig 420 (-25 ms) Logo que esta

bolha se destaca uma segunda bolha eacute criada durante a sua furmaccedilatildeo esta segunda

bolha toca bull bolha antenor e o fluxo de ar ascendente soprado dentro da bolha em

fonnaccedilatildeo vence a tensatildeo superficial fazendo a coalescecircncIacutea do par que eacute alimentado

4 Resultados e Anaacutelise 63

50~--------------------------------------~

(a)

~ ~ bull1o$ ~ bull bullbullbull u ~ gtbullbullbull

bull ~~ (b) -

~ ~ bull lt

(c)

~

bullbull _~_

~ (bullbullbullbull bulli~ ~~~I~~~~

1- W

40

7 ~3(l E ~

1-lt

20

~~~~~~ ~~~ 10

o I I o 500 1000 2000 2500 3000 3500 4000

n

Figura 418 Seacuterie temporal a partir do oomportatnento caoacutetico ateacute o penudo l Tneacuteo temJX) entre bolhas e n eacute a ordem da bolha coletada

~_ ~IV ~

l 1 _ 1 - 8~

~ ~ c bull

~~ G Q

gt middotcmiddot

C1r obull~ 8 ~ - -~

~

~ ~a o G

i~1bgt ~ ~ciacute1I ~

(a) (b) (c) (d) (e) Figura 419 Perfil das bolhas emitidas em cada um dos regimes mostrados na seacuterie da Fig 515 Em (a) vemos O oomportamentoca6tico (O) periacuteodo 2 com coal_neia (e) perlodo 4 (d) periacuteodo 2 e em (e) perlodo (1)

pelo bico soprador e se toma uma uacutenica grande bolha Com a diminuiccedilatildeo da vazatildeo de

ar O toque entre as bolhas deixa de ocorrer e o atrator diminui abruptamente

bull bull bull

__

64 4 Re$tlltados e Anaacutelise

25 _~r--~

bull bull bull

(b)Tn (ms)

20

15 bull

o 100 200 400 500 600 700 TI

Figura 420 Seacuterie temporal mostrando um salto na dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas o periacuteodo 2 se (X)otIai abruptamente em um periacuteodo 2 diminuindo o periacuteodo do borbulhamento

~~~~~ Blaquoltlt o

~~~~ ~ti~~ ~~~__o

$ 01lt- ~

~j3~~ ~ c ~lt _4B ~~~~ Oylt OImiddot

o

il~~ gt OI a~f~ omiddot~~ Omiddoti

~ltbullbull 01laquolt ~ deg -~ ~-

~- J~f~ 1ltlaquo O middot

~i ~~ltc 9~1 ~~~~ ~ ~~

~~I-~iJM ~1 l -gt

(a)

-ot

~~ ~~ -i)-~

-~jIi-J

(b) (c) Figura 421 Imagens das bolhas (a) antes do salto onde podemos ver as bolhas se tocando- e coalescendo (b) o- periacuteodo 2 apoacutes o salto onde as bolhas satildeo emitidas aos pares sem coalescecircnciacutell e (c) o periacuteodo 1

65 4 Resultados e AnacircJise

Uma mudanccedila abrupta de comportamento nos sistemas fiacutesicos pode ser

eAtilde-pHcada atraveacutes de mapas com descontinuidades como foi proposto por de Sousa

i Vieira el ai [Souza Vieira oi ai 1987] Par estudar assimetrias e descontinuidades eles

I utiacuteHzaram o mapa

I-e -alxX sexo gt0

x = f(x) (423)1-(e +8) =0

1-amp2 -a2Ix1 sex lt0londe S1 e EZ satildeo os coeficientes de descontinuidade z e Z2 satildeo os expoentes de

assimetria aJ e az satildeo os paragravemetros de controle do mapa x

~wa1rr~J

j(b)

ftlt 00 DS 110

X

~~_ shy h ~

ltgt01

raquo1111u

~ (a) bullbull

X

gtltt

bull a

Figura 422 Dois exemplos de mapas assimeacutetricos (a) omapa descontiacutenuo das equaccedilotildees 422 e os valores de cada puilmetro em (A) temos o seu diagrama de bifurcaccedilotildees Em (b) os jmagravemetros do mapa contiacutenuo e em (B) o respectivo diagrama de bifurcaccedilotildees

66 4 ResuitaikJse Anacirclise

Outro caso onde ocorre descontinuidades eacute atraveacutes do modelo de mapas

combinados em seacuterie [Tufaile 19 Tufaite si aibull 1999] no qual os sistemas interagem

aJtemadamente Este modelo pode ser exemplificado com os mapas unidimensionais

xbullbull = f4y) (424)

Yn+1 = g(~Xff+l)

cuja combinaccedilatildeo eacute a uniatildeo dos resultados dos dois mapas

S=fug (425)

Se considerarmos o mapa logistico com o paratildemetro de controle p~

Zn+l co PJVZn(l- In) com

(426a)[1+ (-l)JPr +[1 +(-l)]Py p~co

2

A recorrecircncia Zn pode ser rescrita em dois subsistemas independentes associados com a

paridade de 11

x =16pPr (I-x)[1-4p-x(1-xl] (42Gb)

y =16ppy(l-y)[1-4Pxy(I-y)] (4260)

Aleacutem disso os paracircmetros Px e py podem ser simultaneamente funccedilotildees de um

paracircmetro que acopla o sistema Devido agrave propriedade da formaccedilatildeo de bolhas de

diminuiccedilatildeo do tempo em funccedilatildeo do paracircmetro de controle~ pode-se utiliacutezar uma funccedilatildeo

convexa do tipo

zn+1 =z -a (427)

e fazer a combinaccedilatildeo em seacuterie deste mapa com o paracircmetro de controle assumindo dois

valores para a gt O8

0x =0 (428)

y =ltgt+01

O diagrama de bifu~o desta combinaccedilatildeo estaacute mostrado na Fig 423

Figura 423 00

A descontinuidade ~ obtida pela combinaccedilatildeo ~ 05 em seacuterie de dois tnaplS

quadraacuteticosshy-10

os 1006

a

67 4 Resultados eAnaacutelise

Interpretando o salto sob o ponto de vista dos mapas combinados em seacuterie

podemos considerar que antes do salto logo apoacutes a duplicaccedilatildeo de penado as duas

bolhas satildeo formadas atraveacutes da mesma funccedilatildeo de formaccedilatildeo Quando ocorre o toque a

primeira bolha do par possuIacute urna funccedilatildeo de formaccedilatildeo distinta da segunda bolha pois a

segunda bolha coalesce durante sua formaccedilatildeo com a primeira e o bico soprador passa a

encher o conjunto com quase o dobro do volume uma bolha

Outro tipo de combinaccedilatildeo de mapas eacute a combinaccedilatildeo paralela de dois mapas tt) e g(y) que resultam no mapa combinado s

x = - - p(I) y =y - py(I) (429)

Sn xlI +Yn

O6--------------------~

00shy

X -06shy P1

-12 shy

00

gt-bull -05shy ~ gt2 -10 00

gt- -05shy+Xt ~1Q gt 11 ~

(f ~15

-20 060 065 070 075 080 085

P

Figura4~24Acombinaccedilatildeo--j)am1e1a S de dois truiJX1S

onde x() e p(ccedil) satildeo paracircmetros de controle em funccedilatildeo de um paracircmetro comum ccedil

com cada mapa sendo iacuteterado separadamente Na Fig 424 temos dois mapas

bifurcando inversamente para diferentes valores do paracircmetro de controle p) enquanto

que a sua combinaccedilatildeo paralela possui uma bifurcaccedilatildeo flip do mapa da variaacutevel XII no

684 Resultados eAnaacutelise

ponto PIe que equivale a uma alteraccedilatildeo no periacuteodo dois do mapa Sh no ponto P2

devido agrave segunda bifurcaccedilatildeojlip do mapa Yn

A seacuterie da Fig 425() foi obtida utilizando-se o bico AI o mais curto dos bicos

da seacuterie A Nesta figura podemos ver que o salto foi nuacutenimizado Na Fig 425(b)

apresentamos a simulaccedilatildeo correspondente~ na qual utilizamos dois mapas combinados

em seacuterie

(a)

-70j lO ~

77 0 tle

U

E -z I- 50

40 2000

N -obull

-O~ (b)

0 (J) middot01 ~

middot1~

middot14

-16

10 11 1~ 1~ 1O a

Figura 425 Em (a) podemos ver uma seacuterie temporal obtida com a diminuiccedilatildeo da aZatildeo com o bico AI e uma soluccedilatildeo viscosa 80 glicerina e 20 aacutegua Em (b) a combinaccedilatildeo paralela de dois mapas A biftucaccedilatildeo flip que ocorre no mapa) quando levada agrave combinaccedilatildeo paralela ~ causa a diminuiccedilatildeo doperiacuteodo 2

4000

4 Resultados e Anaacutelise 69

4210 Antibolbas

Uma casca aproximadamente esfeacuterica de ar dentro de um liacutequido forma o que foi

chamado por J E Connetl de Gllliacutebolha segundo C L Stong [8tong 1974] Na Fig

426 estaacute esquematizada uma antiacutebolha

I

FJllUl1 426 Uma antibolba eacute uroa gota de um liquido envolvida por uma fina camada de ar dentro do liquido

Como o seu interior eacute preenchido pelo o mesmo liacutequido da parte externa as

antibolhas satildeo ligeiramente rnaiacutes leves que o fluido agrave sua vol~ mas satildeo mais pesadas

que as bolhas Deste modo correntes proacuteximas aacute antibolha podem deslocaacute-Ia facilmente

superando o seu empuxo Quando a casca esfeacuterica se desestabiliza a antibolha colapsa

em uma pequena bolha de ar esfeacuterica que emerge no liacutequido O tempo de existecircncia de

uma tibolha antes de sua desetabilizaccedilatildeo em uma pequena bolha de ar pode chegar a

ordem de minutos

No experimento do tubo borbulhador ocorre tambeacutem a formaccedilatildeo de antibolhas

para determinados regimes da formaccedilatildeo de bolhas As antibolhas seguem as correntes

do liquido dentro do tubo em movimentos ascendente e descendente Na Fig 427

podemos ver antibolhas ao reder de bolhas sendo sopradas no bico borbulhador Para o

liquido utilizado (2 partes de glicerina para I de aacutegua) bull ocorrecircncia de antibolhas

acontece a partir do estaacutegio onde aparece a coalescecircncia do par de bolhas chamado de

periacuteodo 2 antes do salto da Fig 421(a) A formaccedilatildeo das antibolhas eacute precedida pela

formaccedilatildeo de goticulas A formaccedilatildeo de gotiacuteculas estaacute esquematizada na Fig 428 onde

vemos em (a) que parte do liquido em movimento ascendente forma posteriormente um

capilar em (b) e uma goticula se desprende Nas imagens da Fig 428 podemos ver

I

70 4 Re5Ultadocircs e Anaacutelise

alguma imagens que mostram a formaccedilatildeo de gotiacuteculas dentro da bolha assim como

invaginaccedilatildees que podem levar a criaccedilatildeo de antibolhas

Assim como as bolhas as antibolhas desviam o feixe laser e podem ser

detectadas_ Verificamos isto colocando o sistema no regime de formaccedilatildeo de antibolhas

que corresponde a um periacuteodo 4 para as bolhas mostrado no mapa de retomo da Fig

429(a) O seu espectro de potecircncias estaacute na Fig 429(b) As antibolhas se deslocavam

dentro do tubo borbulhador seguindo as correntes internas do fluido COm

deslocamentos preferencialmente descendente proacuteximo agrave parede do tubo e ascendente e

altelerado proacutexiacutemo do bico soprador A quantidade de antibolbas dentro do tubo era

aproximadamente 30 e o feixe laser fui colocado num ponto em que as bolhas natildeo

passavam por eJt num ponto 2 cm acima do bico e 2 em deslocado do eixo do tubo

como o ponto PI da Figo 427 Nesta regiatildeo apenas as antiacutebolhas passavam pelo feixe

laser e noacutes obtivemos os dados mostrados no mapa de retorno da Fig 429(e) Nestes

dados satildeo apresentados 500 pontos correspondendo a 50 minutos de aquisiccedilatildeo com

intervalos de tempo entre 17 milissegundos ateacute 8S segundos

~~ ~ -0 -- O d

~ --- Arltibolhas

oO~f ltgt

figt O ~__ amobullbull -

7~

P1 9

middot0

-6

9

FIgUra 427lmagem das antibollw ao redor das bolhas que se formam no bico soprador Fazendo o Iascr incidir perpendiculannente ao plano da imagem no ponto Plfoi possiacutevel detectar algumas _bolhas se deslocando aleatoriamente dentro do tuoo borbulhador

71 -[ 4 Resultados e Anaacutelise

--~1

(d) itifit

~ Figura 428 Formaccedilatildeo de gotiacuteculas esquematizada em (a) (b) e (c) (d) Nas imagens podemos ver pagravedrotildees semelhantes nas bolhas

00 (c)(a)fi ] 25middot g ~

it shy

gt-

~1 ( ~~15 I

16 zo 2S 30 Tw(ms) TIlaquos

10 ~ $ 10

~ 10-e

bolha

Figura 429 Ca) Mapa de primeiro retorno do perlodo 4 e em (b) o seu ~ de potecircncias O mapa de retorno em (c) foi obtido com I) sistema nas mesmas condiccedilotildees daacute formaccedilatildeo das antibolhas mas posicionando o feixe laser e o fotodiodo de modo a detectar as antiacutebolbas que pa5Sa1Ul1 pelo ponto PI da Fig 427

(b)

00 01 02 1 03shy 04 06

72 4 Resultados e Anaacutelise 1

43 A onda sonora e as bolhas

Os efuitos de uma perturbaccedilatildeo externa a onda sonora na formaccedilatildeo das bolhas

satildeo apresentados e analisados neste capiacutetulo O problema das bolhas perturbadas por

ondas sonoras apresenta desafios muito interessantes do ponto de vista matemaacutetico) com

relaccedilatildeo a proposiccedilatildeo das equaccedilotildees que controlam o sistema e suas condiccedilotildees de

contorno pois1 aleacutem de um sistema de duas fas~ com uma das fases compressiacuteveJ

temos a accedilatildeo de uma onda sonora Do ponto de vista experimentai o tubo borbulhador

possui uma geometria que fagraveciacutelita a utilizaccedilatildeo da onda sonora devido aacute propriedade de

confinamento de ondas sonoras em tubos

Existem trabalhos que envolvem a accedilatildeo de ondas sonoras em bolhas ou gotas jaacute

formadas [MarstoIl 1980] ou quando bolhas ou cavidades satildeo criacuteadas dentro de um

liacutequido devido a uma onda sonora de alta intensiacutedade[Lauterbom 1986 Prosperetti)

1986J a chamada cavilaccedilatildeo acuacutestica Haacute ainda um caso conhecido como cavitaccedilatildeo

transiente no qual a temperatura no interior da bolha atinge mUhares de graus e a

pressatildeo chega a milhares de atmosferas Nestas condiccedilotildees ocorre o fenocircmeno conbecido

como sonoluminescecircncia que eacute a emissatildeo de luz por bolhas em um liacutequido excitado por

ondas sonoras [Putterman 1995 Moran el aI 2000] As frequumlecircncias das ondas sonoras

envolvidas com cavitaccedilatildeo satildeo da ordem de centenas de kHz Nestes trabalhos tambeacutem

se estuda como o campo sonoro emitido pelas bolhas~ devido aos efeitos da cavitaccedilatildeo~

afeta as proacuteprias bolhas Neste capiacutetulo veremos condiccedilotildees mais claacutessicas de interaccedilatildeo

entre bolhas e ondas sonoras do que as que ocorrem na sonoluminescecircncia Aqu~ neste

capiacutetulo a bolha eacute afetada pela onda sonora durante a sua furmaccedilatildeo no bico soprador

com frequumlecircncias da onda sonora variando no intervalo entre dezenas e centenas de hem

O tamanho das bolhas estudadas eacute da ordem de centimetros o que pcnnitiu registrar

suas imagens atraveacutes de uma cacircmara VHS comum Veremos tambeacutem como o sistema

onda sonora - bolhas nos levou ao estudo do mapa do ciacuterculo bidimensional onde

temos um oscilador sofrendo impulsos penoacutediacutecos de uma forccedila externa

73 4 Resultadoacutes e Anacirciise

431 A formaccedilatildeo de bolbas perturbadas pelas ondas sonoras

Nesta seccedilatildeo veremos os resultados que mostram a mudanccedila do tempo entre as

bolhas para uma onda sonora de frequumlecircncia fixa e valores de amplitude crescentes

[Tufagraveile e Sartarelliacute 2000a Apecircndice 2]

Mantendo fixa a vazatildeo do ar atraveacutes da vaacutelvula controladora e utilizando a

soluccedilatildeo de 66 de glicerina e 34 de acircgtll noacutes mudamos a dinacircmica da formaccedilatildeo de

bolhas aplicando ondas sonoras sintonizadas na frequumlecircncia fundamental da coluna de ar

acima do liquidO (138 Hz)

Na Fig 430 mostramos os mapas de primeira retorno em funccedilatildeo da amplitude

da onda sonora em regime de vazatildeo constante Estatildeo em destaque no canto superior

esquerdo de cada graacutefico a ampHtude do sinal senoidal e a frequecircncia meacutedia das bolhas

O sistema eacute colocado inicialmente borbulhando em periodo 1 com uma frequumlecircncia em

bolhas de 11282 bolhass como estaacute mostrado na Fig 430(a) Aplicando a onda

sonora o ponto fixo perde sua estabilidade e um ciclo limite aparece corno pode ser

visto na Fig 430(b) e 430(c) com um pequeno aumento da taxa de borbulhamento

meacutedio

Na Fiacuteg 430(c) o ciclo limite perde sua estabilidade e um ponto fixo proacuteximo

de (87ms 87ms) eacute visitado intermitentemente Este ponto fixo foi determinado atraveacutes

de um histograma do graacutefico de Tn As transfonnadas de Fourier dos dados relacionados

agrave Figs 43O(d-g) mostram um periacuteodo 2 ruidoso Mostramos na Fig 431 o espectro

de Fourier dos dados do atrator da Fig 430(1) Neste espectro vemos um grande pico

em O~5~ o que corresponde ao penado 2

Isto mostra que estaacute ocorrendo uma bifurcaccedilatildeo flip em funccedilatildeo da

amplitude da onda sonora Em uma bifurcaccedilatildeo flip existe um ponto fixo instaacutevel entre

os dois pontos fixos estaacuteveis Nossos dados mostram que a vizinhanccedila do ponto meacutedio

entre os dois pontos fixos eacute visitada devido ao ruiacutedo~ e consequentemente) nossos dados

satildeo adequados para se aplicar a teacutecnica de transfonnaccedilatildeo de ponto fixo desenvolvida

por So e aI [80 et al~ 1996] para se encontrar oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis em seacuteries de

eventos

bull bull bull

bullbull

74 4 Resultados e Anaacutelise

I 112921

I gt65 11lt196 I

bull---~~ --- ~ bull bullbullbull

11_

[

I (1145 11n41 I - 11470 I

4 ~~

- - - - - - iCcedil

(gtl middot bull AOlt 56

(raquo

~~~~----shy---~- - -shy middot bull middot bull bullbullbull )bull bulllt~ shy- 11461shy bull ~ bull

f ~ o loli ----- -~~ ----~- 1 ~- -~ -S - f~ ~ -~ bull middot bull

bullbull bull bull bullbull bull

- bull-bull

i)

T~(ms)

- r 11 ~1 09 1117111 05 1141 I 0-6 bullbull

-T ~~ j ~ - ~~~~

- ( [ f l~~lt bull l) ~ L_ bullbullbullbull IJI~f l ~ r ~ ~ ~ ~ _ _bull

t bull i i f~lO ~ O) bullI 00bull Tnms)

Figura 430 Mapas de retomo do Ciper1mcnto do tubo borbulhador Em cada graacutefico temos no cantO superior esquerdo o valor da tensatildeo aplicada no alto-falante e o valor da frequumlecircncia de boacuterbulbamento meacutedia O liacutequumlido utilizado eacute uma soluccedilatildeo de 66 glicerina e 34 aacutegua e as bolhas foram sopradas diretamente na seringa plaacutestica

4 Resultados e Anaacutelise 15

1

p

I 100~~______~~----~-----~~--1~~111ilIUlltill~

00 01 02 03 M 05

(bolhar1

Flgura 431 Espectro de Fourier dos dados da Fig 30(f) iodiacutecando bull existecircllCIacutetI de um periodo 2 ruidoso

Um exemplo dos nossos resultados estaacute mostrado na Fig 432(a) onde estaacute

representado o histograma para o caacutelculo do ponto fixo usando os dados mostrados na

Fig 43O(h) Para uma melhor visualizaccedilatildeo da posiccedilatildeo da oacuterbita perioacutedica instaacutevel um

graacutefico da intensidade para os mesmos dados eacute mostrado na Fig432(b) O maior pioo

define um periacuteodo I instaacutevel em (869l ms 8699 ms) proacuteximo do ponto fixo estaacutevel

mostrado na FigAlO(e)

Aumentando ainda mais a amplitude noacutes obserVamos o aparecimento da regiatildeo

caoacutetica com as caracteriacutesticas da dinacircmica de estiramento e dobra como estaacute mostrado

nas Figs 430(h-i) e oom pequena mudanccedila na frequumlecircncia meacutedia de borbulhamento Os

atratores na regiatildeo caoacutetica foram caracterizados pelo expoente de Lyapunov dominanre

[Ellner ti al 1912] e estes expoentes podem ser vistos na Fig 433

1

76 4 Resultados e Anaacutelise

(a) Contagens

iacutel00

(b)

Contagens~m (lJ ~337raquoj middotiIrmiddot = IIHI tgt ~ blHH

lIS1I eM elo IIU =JT(lM) 10bullbull

Figura 432 Histograma JXlffi a determinaccedilatildeo da oacuterbita perioacutedica instaacutevel (a) e graacutefico de contorno para os mesmos dados (b) localizando () ponto fixo instaacutevel um fX)UCO abaixo de amp7 ms

05

~--- -T

i I _ _ 1osoagrave rn eacute-

~- 025- I n o

0001 bull

03 04 05 06 07 08 09

Tensatildeo aplicada no alto-falante M

Figura 433 E potntes de Lyapunov dos atratores moStrados em 4JO(e) a (j) em funccedilio da tensatildeo aplicada no alto--falante

77 4 Resultados e Anaacutelise

Continuando a aumentar a amplitude da onda sonor~ com incrementos maiores

do que ante noacutes obtivemos os atratore mostrado na Fig 434 Na Fig 434(m) a taxa

de borbulhamento meacutedia eacute de 205 bolhasls para uma onda sonora gerada com um

tensatildeo de 314 V no alto-falante A posiccedilatildeo - (725 ms 725 ms) eacute visitada com um

comportamento intermitente O tempo de visitaccedilatildeo aumenta quando a amplitude do som

aumenta ateacute que o ponto - (725ms 725ms) torna-se um ponto fixo estacircvel~ como

mostrado na Fig 434(n) Nesta situaccedilatildeo a frequumlecircncia meacutedia de borbulhamento eacute

F=13797 plusmn 9 bolhass tem o mesmo valor da frequumlecircncia da onda sonora Na Fig 435

podemos ver a diferenccedila entre as imagens das bolhas para o primeiro ponto fixo dos

dados mostrados na Fig 434(a) e o ponto fixo na ressonacircncia do atrator da Fig

434(n)

100i 314 205 10 13797 I l

~

Ul

E ~

i

1

+ I ~ T gtt ~~

ao ~ -i )I~ L bullbullbull amiddot ~

bull ~f - bullbull ~ bull (~1iii2~_~~

middotmiddotmiddotmiddotmiddotvb-~middot

r-li ~ ~ ~ i f~ ~

w-i~ 1 _o - ~ -~ ~ 1 ~ ~~imiddot ~ 20-1shy ~ -r shy

~i i~ ~

1t middotmiddot middotlt~fO I i i j

(m) 1 bull

(n) I

ti 20 40 fD 80 100

T n

Figura 434 (In) O ponto - (725 ms 725 ms) eacute visitado em wn comportamento intemuacutetenle com os outros pontos espalhados pelo espaccedilo de fases Em (n) a formaccedilatildeo das bolhas sinaoniza-se com a frequumlecircncia fundamenla1 do tubo e temos apenas o ponto- (725 ms 725 ms)

4 Resultados e Anaacutelise 7amp

a b

432 Atratores do tipo Heacutenon

Os resultados da seccedilatildeo 431 nos mostraram uma grande evoluccedilatildeo da dinacircmica

da furmaccedilatildeo das bolhas com o aumento da tensatildeo aplicada no alto-filante A regiatildeo da

dinacircmica que apresenta a bifurcaccedilatildeo fip~ seguida por atratores caoacuteticos eacute semelhante

aos sistemas dinacircmicos que apresentam propriedades de estiramento e dohra como o

mapa de Heacutenon discutido na seccedilatildeo 27 Por este motivo veremos a comparaccedilatildeo entre

atratores experimentais nessa regiatildeo e o mapa de Heacutenon na tentativa de compreender a

dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas para uma regiatildeo do paracircmetro de controle

De modo a reduzir o ruiacutedo nos dados utilizamos uma soluccedilatildeo mais viscosa 80

glicerina e 20 aacutegu~ e utilizamos o bico A2 Para termos uma variaccedilatildeo mais fina do

paracircmetro d controle alteramos o fator de amplificaccedilatildeo do gerador de funccedilotildees cujo

sinal alimenta o aitcrfalante A vazatildeo de ar e a frequumlecircncia da onda sonora foram

mantidas constantes~ em -366 bolhass e 150 Hz respectivamente Noacutes alteramos a

dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas aumentando a tensatildeo no alto-falante como mostrado

~

sect 8 o

g g middot0 o

Figura 435 Imagem da sincroruzaccedilatildeo das bolhas com a onda sonora no tubo borbulhador Em (a) temos a im1lgem para o ponto lixo lMSU1ido na Fig 430(a) com Fe=11282 bolhasl$ (b) O uacutellimo ponto fixo mostrado na Fig 434(n) quando as bolhas estatildeo sincronizadas com a frequumlecircncia da onda sonora (138 Hz) Nos dois casos teOlQ$ a mesma vdZatildeo de ltIr

79

(f)

~

4 ResultmlcseAnaacuteJise

pelo diagrama de bifurcaccedilatildeo na Fig 436 num regime de vazatildeo constante Nesta figura

vemos uma dupliacutecaccedilatildeo de penado ocorrendo ao redor de 20 V com as bolhas sendo

emitidas aos pares ateacute aproximadamente 3~O V~ quando um penodo 4 ruidoso aparece

Apoacutes isto duas bandas caoacuteticas aparecem Para --3~5 V as duas bandas caoacuteticas se

encontram e se sobrepotildee~ com o aparecimento de um atrator caoacutetico maior

~

20 25 Tensatildeo no alto-falante M

Figura 436 Duplicaccedillo de perlodo em funccedilatildeo da amplitude da onda sonora A frequumlecircncia da onda sonora eacute 150 Hz e a ftequumlecircnciacutea de borbulhamento inicial eacute por volta de 31 bolhass

Para realizar a caracterizaccedilatildeo meacutetrica e topoloacutegica da dinacircmica da formaccedilatildeo de

bolbas sob a accedilatildeo da onda sonora noacutes coletamos seis seacuteries de eventos fixando a tensatildeo

em seis valores distintosgt cujos mapas de retomo (T+- vs T1I) satildeo mostrados na Fig

437

figurA 437 Uma l-Vi I v li I bull vll seqUecircncla de atratoresi reconstruiacutedos- i tmiddot mostrUdo uma rota

~ para o Caos atniveacutes de duplicaccedilotildees duto periacuteodo O valor emta) (b) (e) volts corresponde agrave tensatildeo mantida

t constante no altoshy falante durante a

32

~~ obtenccedilatildeo do atnltOf ~

(eI) bull I(e)

~I

32 Tms)

80 4 Resultados e Anaacutelise

432A Caracterizaccedilatildeo meacutetrica

Os alratores caoacuteticos reconstruidos Figs 437(d) ateacute 437(f) foram caracterizados

atraveacutes dos expoentes de Lyapunov pela dimensatildeo de Kaplan-Yorke aleacutem da dimensatildeo de

Infonnaccedilatildeo obtidos pelo pacote de programas TISEAN [Hegger aI ai 1999] A conjectura

de Kaplan-Yorke [Argyris o ai 1994) que relaciona a dimensatildeo de Infonnaccedilatildeo e a

dimensatildeo de Kaplan-Yorke (equaccedilatildeo (211 raquo mostra que elas se igualam para alratores do

tipo Heacutenan As dimensotildees foram obtidas para as lensotildees de 35 V 40 V e 45 V como

estaacute mostrado na tabela 41 As dimensotildees de InfOrmaccedilatildeo e Kaplan-Yorke coincidem para

os trecircs atratores caoacuteticos

I I

Figura nuacutemero

3d 3e 3

Tensatildeo llspeccediltro de Dimensatildeo de Dimensatildeo de LYaOUllnv Katgtlan-Yorle Informacatildec

35 +011-08 115 I 13 3 40 +012-06 1 23 1 143 ---

1)45 + 02 - O) - 09 168 18 3 Atrator de Heacutenon

o b I 55 01 +038-238 116 II~14 03 + 042 -162 117 119

Tabela 41 Expoentes de Lyapunov e dimensotildees dos atnitores caoacuteticos experimentais e de dois pares de valores do mapa de Heacutenon

Cada um dos dois primeiros atratores caoacuteticos possui espectro de Lyapunov com um

expoente positivo e o outro negativo~ enquanto que o uacuteltiacutemo atrator Fiacuteg 437(f) possui um

expoente positivo e dois expoentes negativos Na tabela 41 satildeo apresentados os resultados

para mapa de Heacutenon mostrado na equaccedilatildeo (212) para dois conjuntos de valores dos

paracircmetros (a b) e os atratores experimentaiacutes reconstruiacutedos

Os valores das dimensotildees dos atratores para amplitudes de 35 V e 40 V satildeo

proacuteximos dos valores das dimensotildees do mapa de Heacutenon sugerindo que eles podem ter

dinacircmica similar O atrator reconstruiacutedo para 45 V mostrado na Fig 437(1) tem a fonna

semelhante aos dois outros atratores anteriores Entretanto) comparando-se as dimensotildees

deste atrator com as dimensotildees dos atratores das Figs 437(d) bull 437(e) vemos que o valor

da sua dimensatildeo de Informaccedilatildeo eacute maior que a diacutemensatildeo dos dois outros atratores

experimentais assim como dos valores de dimensatildeo para o mapa de Heacuteno~ como pode ser

4 Resultados e Anaacutelise amp1

visto na tabela 41 Junto com o fato de que o atrator d Fig 437(1) tem trecircs componentes

no espectro de Lyapu~ov a dimensatildeo de Informaccedilatildeo proacutexima de dois eacute uma indicaccedilatildeo que

este atrator natildeo pode ser totalmente desdobrado em duas dimensotildees

432B Caracterizaccedilatildeo topoloacutegica

Para o mapa de Heacutenon com os paracircmetros ti =1~55 e b = 01 1 utilizando a equaccedilatildeo

(212) para calcular a posiccedilatildeo dos pontos fixos para a variaacutevel x do mapa de Heacutenon

encontra~se que o ponto fixo x estaacute localizado em aproximadamente 0~56 Este ponto

corresponde a um dos pontos de cruzamento da linha diagonal pontilhada com o atrator

reconstruido Xn+1 V$ X como pode ser visto na Fig 438(a) Neste atrator o ponto fixo

possui dois autovalores dados pela equaccedilatildeo (214) Agravel = 006 eM = -179 que caracterizam

este ponto fixo como um ponto de sela A variedade estaacutevel ecirc tangente agrave direccedilatildeo do

autovetor contraente relacionado ao autovalor positivo Agravel menor do que 1 e a variedade

instaacutevel eacute tangente ao autovetor de estiramento relacionado com Oautovetor 2 com valor

absoluto maior do que I Isto estabelece que o ponto fixo e um sela jlip [AIliacutegood el ai

1997]

Na Fig 438(a) podemos ver tambeacutem um exemplo d evoluccedilatildeo dos pontos no

atrator~ atraveacutes da alternacircncia dos pontos ao longo da direccedilatildeo instaacutevel ateacute a trajetoacuteria

alcanccedilar as extremidades do atrator Partindo de uma regiatildeo proacutexima do ponto de sela do

atrator de Heacutenon noacutes vemos os pontos iacutempares iniciais acima da linha diagonal pontilhada

(I 3 5 e 7) a os pontos pares abaixo desta linha (2 4 e 6) caracterizando bull variedade

instaacutevel Nos mapas de primeiro retorno exparimentais mostrados nas Figs 437(d) (e) e

(I) noacutes dividimos o atrator em duas partes com uma linha diagonal para determinar os

pontos que cruzam com o atrator Ocorreu o comportamento de alternacircncia da trajetoacuteria

para os trecircs casos do mesmo modo que o observado no atrator de Heacutenon como estaacute

exemplificado na Fig 438(b) para o atrator obtido com UIDa tensatildeo no alto-falante de 40

V Do mesmo modo que no atrator de Heacutenon noacutes comeccedilamos num ponto proacuteximo da

interseccedilatildeo do atrator com a linha diagonal (TN = TN+ l aproximadamente igual a 27 ms)

com as extremidades do atrator sendo visitadas pela oacuterbita Deste modo devido as

semelhanccedilas de evoluccedilatildeo dos atratores experimentais com a evoluccedilatildeo do atrator de Heacutenon

82

~

+ 1- 26

24

4 ResultlJdcs eAnuacute]se

noacutes podemos inferir a existSncia de um ponto de sela flip nos atratores experimentais

mesmo para o caso da tensatildeo de controle de 45 V cujo espectro de Lyapunov tem trecircs

componentes e dimensatildeo proacutexima de dois

lS

I I (a) 6

10-1 ~ Figura 438 (a) Vemos ao lado a trajetoacuteria sobre nove pontos da al13tOr de Heacuteoon para exemplificar o comportamentoosol I de um ponto de selajlip localizada proacutexima do ponto 1

I gt~ ) ) (x= 056)

) ooJ 8~

-Osol

7

-10 -10 -05 00 OS 10 15

XN

I - -

(b) O mesmo oomponamento de um Ixmto fIXO tipo selaflip pode

JO- 1 ~ gt ser observado pm1 o atrator experimental com os pontos pares uacuteuacuteciais (2 4 e 6 acima da

~ fi) diagonal e os pontos imparcs20i iniciais (I 3 5 e 7) abaixoE 1~t I~

22 22 24 26 28 JO

TN(ms)

32 ~ ~

4 Resultados e Anaacutelise $3

432C Plano simb6lico

Como os planos simboacutelicos satildeo representaccedilotildees graacuteficas da diacutenacircmica e urna poderosa

ferramenta para se comparar sistemas dinacircmicos noacutes aplicamos a teacutecnica de dinacircmica

simboacutelica para os atratores mostrados nas Figs 437(d) ateacute 437(1) assim como no atrator

de Heacutenon (0=155 e 1gt=01) para podennos comparar as semelhanccedilas e diferenccedilas entre eles

Definimos as particcedilotildees L(R) atraveacutes da linha tracejada Na Fig 439() mostramos o atrator

de Heacutenon para a=155 e b=O1 com a sua respectiva particcedilatildeo que separa a regiatildeo formada

por uma linha (L) da regiatildeo com uma dobra (R) que conteacutem o ponto fixo instaacutevel O plano

simboacutelico aJ3 deste atrator estaacute mostrado na Fig 4J9(A) Nas Figs 4AO(b) ateacute 440(d)

temos os atratores experimentais cujas particcedilotildees satildeo as linhas tracejadas que separam uma

regiatildeo com um ramo (L) de uma regiatildeo com dobra (R) Os respectivos planos simboacutelicos

aJ3 estatildeo mostrados nas Figs 440(B) (C) e (D)

Comparando--se a Fig 4J9(A) com as Figs 440(B) (C) e (D) percebe-se o padratildeo

de cada plano simboacutelico eacute semelhante ao plano simboacutelico do mapa de Heacutenon A maior

I

84

R

22 I I I I I I II I 22 24 26 28 30 32

4 Resultados e Anaacutelise

semelhanccedila ocorre entre o atrator de Heacutenon e o atrator experimental com a tensatildeo de

controle de 35 V da Fig 440(B) cujo plano simboacutelico possui as mesmas regiotildees permitida

e proibida Para valores maiores de amplitude da onda sonora algumas zonas deixam de ser

proibidas ~ ocorrendo uma invasatildeo nestas regiotildees como por exemplo a =O~8 e 1=04 na

Fig 4AO(D) mostrando que a formaccedilatildeo de bolhas estaacute se aiacuteagravestando da dinacircmica do tipo

Heacutenon e ficando muito semelhante ao plano simboacutelico do mapa do ciacuterculo~ como pode ser

visto na comparaccedilatildeo entre a Fig 4AO(C) e a Fig 212(A)

(b)1 (8) Ikll ti h u n u r

tII-q U bull

n-~ 1 n - ~

~ -shy-~

bull

(c~ I (~) lt

tll rt O 111 t

~2 t= - ~

iSlt iH tl t III n bull

bullbull

~~ bull ~~

~ lloe

(d)1 (D)~O8 ~ t t t t tE 30 06

Ccedil 28 ocircUL ua

= -t Ibull ~ _ ~O4 t (1-2

26 ~ H 1~ ~ m H)224 oh _fi rbull u d~

I I I I I r I I bull I I I I I 00 34 00 02 04 06 08 10

TN(ms) a

Figura 440 Mapas de retomo experimentais com particcedilotildees e respectivos planos simboacutelicos

85 4 Resultados e Anaacutelise

44 Oscilaccedilotildees forccediladas

Mapeamentos bidimensionais como o mapa de Heacutenon normalmente satildeo usados

como seccedilotildees de Poincareacute de osciladores forccedilados [Thompson e Stewart 1986] Se

considerarmos a existecircncia de um movimento oscilatoacuterio na formaccedilatildeo de bolhas e a onda

sonora como uma forccedila perioacutedica externa podemos compreender o sistema bolhasonda

b gt I I=1C

QP-gt

-AR I

)

) P

- Figura 4Al Representaccedilatildeo esquemaacutetica do sistema bolhasonda sonora como um oscilador forccedilado onde Po eacute O periodo de oscilaccedilatildeo associado agraves bolhas c PI eacute o periodo da onda sonora

sonOTa como um oscilador forccedilado como

estaacute diagramado na Fig 441

Deste modo podemos interpretar os

mapas de primeiro retorno observados

experimentalmente como seccedilotildees de Poincareacute

de um oscilador forccedilado Outro sistema

dinacircmico que representa um oscilador

forccedilado eacute o mapa bidimensional do ciacuterculo

discutido na seccedilatildeo 29

K Bn+1 =Bn +Q- 27 sen2nBn +brn (mod 1)

K TII+I = bTn - 27 sen 27Bn

(430)

As duas frequumlecircncias envolvidas no

experimento cuja razatildeo nos daacuteQ~ para o tubo

borbulhador satildeo a frequumlecircncia da onda sonora

e a frequumlecircncia de borbulhamento O tempo

entre bolhas estaacute relacionado com a variaacutevel

rri do mapa O paracircmetro K estaacute relacionado

com o experimento com a tensatildeo que eacute aplicada no alto-falante Para explorarmos a regiatildeo

inicial do mapa do ciacuterculo diminuiacutemos o fator de amplificaccedilatildeo do sinal do gerador de

funccedilotildees para o alto-falante Utilizamos o liacutequido 80 glicerina e 20 aacutegua e o bico A2

i

4 Resulodes Anaacutelise 86

I

Na Fig 442(a) temos os dados obtidos para um valor de EX = 37 e na Fig

4A2(b) o resultado da simulaccedilatildeo utilizando o mapa do circulo com b = - 01 Os dados

mostram que com o aumento da amplitude da onda sonora o ponto fixo inicial daacute lugar a

um ciclo limite cujo raio aumenta de maneira aproximadamente linear ateacute a tensatildeo de 44

V Apoacutes este valor de tensatildeo uma janela perioacutedica ocorre e o sistema entra numa regiatildeo

caoacutetica para varores de tensatildeo entre 54 V e 87 V A regiatildeo caocircttca eacute substituiacuteda por um

travamento frequumlecircncia de periacuteodo 1

27 ~ I n~=37 I 2ll

z gt-25

24 _- shy-~~~i ~ r O 2 4 Tensatildeo 1 6 8 10

030 l 0=37 i b=~O1015

C 000 ~

-015

-030 shyK 15 20

Figura 441 Em (a) vemos os dadoo obtidos com o experimento do tubQ borbulhador COm a razatildeo entre a freQUumlecircncia da onda sonora e a freqtiecircncia de borbulhamento igual a 37 Em (b) simulaccedilatildeo com o mapa do circulo bidimenslQnal

A comparaccedilatildeo com O mapa do ciacuterculo da Fig 442(b) mostra as mesmas

caracteriacutesticas O ruiacutedo experimentat tem a tendecircncia de mascarar as janelas perioacutedicas~

mas a janela perioacutedica central eacute bem visiacutevel nos dois casos

Diminuindo a frequumlecircncia de borbulhamento e repetindo o aumento da amplitude a

partir do zero temos os dados da Fig 443(a) com um valor de EX = 427 N Fig 443(b)

87 4 Resultados e Anaacutelise

bull simulaccedilatildeo com o mesmo valor de f e h = - 01 Esta regiatildeo triangular inicial para baixas

amplitudes da onda sonora e para estes valores de n~ ecirc uma rota para o Caos via quaseshy

periodicidade

o 2 Tensatildeo M 4 S 8

02 - I n=427

c (O ~

-1gt2

1 - I I

05 K 10 15 20

Figura 443 (a) Dagravedosexperimentais com a razatildeo entre as freqUecircnci3S-da onda sonora e do bottmIbamemo igual a 427 (b) Seacuterie obtida com o mapa doclrculo com Qr421 eb= ~O1

441 Comportamento geral

Agora veremos o travamento em penodo ] apoacutes a regiatildeo quase~perioacutedica triangular

seguida de duplicaccedilatildeo de penodo e Coos

Para obter a seacuterie temporal noacutes escolhemos um ponto fixo sem a onda sonora com

a taxa de borbulhamcnto Fb liacuteIfh onde To eacute o tempo meacutedio entre bolhas sucessivas e

apoacutes isto noacutes aumentamos a amplitude A do som continuamente

bull bull

bull bull bull

88 4 ResultadoscAnaacutelise

=f = j

T

E j T (a)fi ~

I I I 4 Aa u) 6

0381 b-O1

05

t

00

~lt

~~i (b) I K bull(~

bull4

Figura 4A4 (a) Djagmma de bifurcaccediltlo experimental Oponto 11xo experlmenW T oorresponde a 261 ms (b) diagrama obtido com o matn do ciacuterculo com y = 019

i

Na Fig 444(a) pode ser vista a seacuterie experimental~ Tn V$ A para urna taxa de

borbulhamento de F = 3937 bolhasls e QEX= FF = 381 Na Fig 444(b) temos o

diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo r vs K calculado com b = 01 e o mesmo

valor de razatildeo de frequumlecircncias ~h =381

Temos algumas similaridades entre OS dois diagramas PartindO deK=O e A==O cada

ponto fixo perde sua estabilidade quando aumentamos o respectivo paracircmetro de controle e

ocorre uma regiatildeo quase-perioacutedica Os pontos fixos 1 e r tomam~se estaacuteveis para A por

volta de 27 e K aproximadamente igual a 107 O ponto fixo T(r) eacute estaacutevel ateacute A 47 (K

= 2gt44)~ quando inicia~se uma cascata de duplicaccedilotildees de periacuteodo Deve ser notado que as

posiccedilotildees destes pontos fixos estatildeo na regiatildeo superior da banda triangular (gt0 e Tgt To)

89 4 Resultat1cs e Anaacutelise

As propriedades dos diagramas satildeo facilmente exp1icadas~ se analisarmos as

propriedades do mapa do ciacuterculo Segundo as equaccedilotildees (228) o ponto fixo r apoacutes a regiatildeo

quase-perioacutedica no mapa do circulo eacute dado por

r~- O (modi) s_O (mndl) lt 05 (431)

I - Q (mnd I) se Q (mnd I) gt 05

No atrator experimental O ponto fixo T ocorre quando a regiatildeo quase-perioacutedica

atinge uma frequumlecircncia de borbulhamento igual a um submuacuteltiplo da frequumlecircncia da onda

sonora de 150 Hz

T~ 41150= 267ms (432)

onde o nuacutemero 4 eacute o inteiro mais proacuteximo do valor de Oex = 381 Este fenocircmeno eacute

conhecido com travamento sub~harmocircnieo (subharmonic entrainment) (Hayashi 1985] e

ocorre em um oscilador forccedilado quando a razatildeo entre a frequumlecircncia da forccedila externa e a

frequumlecircncia natural do oscilador estaacute na vizinhanccedila de um inteiro diferente de I

f j 3D -I T

1 ____ +

QE(= filgt 415

J

______ u I aIl ~~~1~lt

(a ~ ~ ~~ 2 1bull bullI bullI ACa li) bull

u = 41$ b 01

middotmiddotl 0

-~~ru---- i ~~ (b

a 1 2 3 4 5K

Figura 445 (a) Diagrama de bifurcaccedilatildeo cxperimenlal com To -271 ID$ O JXlnto fixo experimentai T colTeacuteSpOllde a 267ms (b) diagrama obtido com o mapa do clrcuJo CQM r -015

4 Resultados e Anaacutelise 9(l

Com outra frequumlecircncia de borbulhamento F=3614 bolhas ms com a mesma

frequumlecircncia da onda sonora de 150 Hz obtivemos o diagrama experimental que estaacute

mostrado na Fig 445() com nEJ( = 415 Podemos notar as mesma similaridades

descritas anteriormente como O travamento sub-harmocircnico do borbulhamento dado pela

equaccedilatildeo (432) poreacutem o ponto fixo experimental (TltTo) estaacute agora no limite inferior da

regiatildeo quase-perioacutedica triangular Na Fig 4A5(b) temos o diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa

do circulo com nT = 415 e b = 01 O ponto fixo T(r) toma-se instaacutevel em A

aproximadamente igual 45 (K 236)

Noacutes podemos dividir a evoluccedilatildeo do borbulhamento em duas regiotildees urna regiatildeo

inicial relacionada com o comportamento quase-perioacutedico (A ~ 25) e a rota de duplicaccedilatildeo

de periacuteodo (A ~ 4)

Para valores inteiros de h natildeo observamos a regiatildeo quase-perioacutedica Ajustando a

0a f)f =40

3

T=T- - E 1-shyI s

J m (a)

I I

2bull A(a u bull bull n-=40 b=O1

~U1 ~ ~c

bl

bull 1 2 3 4 K

Fiboura 446 (a) BorbulhamentocomQn = 40 Nas condiccedilotildees acima natildeo baacute a regiatildeo quaseperioacutedjca e 1To eacute estivel na regiatildeo ineiaI deA (b) O mesmo eacute observado para o mapa do cIrculo com Ot=4O e b=Ol

-- -

91 4 Resultados e Anaacutelise

frequumleacutencia d borbulhamento para 375 bolhass tal que ordmX = 40 natildeo ocorre a regiatildeo

quase-perioacutedica como pode ser visto nos dois diagramas da Fig 446 O ponto fixo T ~ T

V = O) eacute estaacutevel ateacute A aproximadamente igual a 37 ( K 22 ) e o sistema evolui

diretamente par a caseata de duplicaccedilotildees de periodo

Na Fig 447 temos algumas liacutenguas de Arnold para o mapa do circulo

unidimensional (b = O) como uma aproximaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo bidimensional com

b=plusmnO1 Para um valor de n (mod 1) diferente de O o sistema inicialmente evoluiacute na regiatildeo

quase-perioacutedica mostrado pelas setas pontilhadas ateacute que O sistema alcanccedila o ponto fixo

estaacutevel dado pelos circulos cheios Mesmo para os casos dos dados mostrados nas Figs

442 e 443 podemos ver quando o sistema atinge as regiotildees das liacutenguas de Arnold relativas

ao penodo 4~ marcado pejas pequenas Unhas horizontais pontilhadas Para fi = O) o sistema

percorre a regiatildeo inicial de K no periacuteodo 1 relativo ao nuacutemero de rotaccedilatildeo W= 01

iacute 11) i2 fI- li I LeHHJ~~ I I I I In

11 ( K j~

I~ I

1I 1 II (lrl j

00 _ 05 gt0

n mod(1) shyFigura 447 As sete linguas de Arnoid mais largas com seus respectivos nuacutemeros de rotaccedilatildeo Os nuacutemeros entre parecircnteses coloridos no topo e na base oorrespondcm aos nuacutemeros das figuras mostradas neste eamtulo

92 4 Resultados eAlIaacuteJise

442 Comparaccedilatildeo dos atratores

Os atratores caoacuteticos do tipo Heacutenon que aparecem no mapa do circulo sofrem uma

rotaccedilatildeo ao redor do ponto do ponto de selaflip como pode ser visto nas comparaccedilotildees entre

atratores experimentais reconstruiacutedos da Figs 448(A) e 448(C) e entre os atratores

obtidos numericamente das Figg 448(a) (b) e (c) Usaremos o termo saxofone que foi

utiacutelizedo por R Shaw [Shaw 1984] para atratores obtidos no experimento da torneira

gotejante para designar os atratores das Figs 448(a)-(A) Experimentalmente e

numericamente~ as condiacuteccedilotildees de orientaccedilatildeo dos atratores saxofone satildeo as seguintes

n (mod 1)gt 05 formato de saxofone (433a)

n (mod 1) lt 05 formato de saxofone invertido (433b)

Quando a parte fracionaacuteria de n se anula temos a formaccedilatildeo de um atrator do tipo

duplo gancho como estaacute mostrado na Fig 448(b) e 4A8(B) Como foi discutido na seccedilatildeo

4J22 todos os atratores experimentais apresentam um ponto de sela jlip que estaacute

localizedo na interseccedilatildeo de cada linha diagonal com cada atrator das Fig 448 Em todos

os casos este ponto de sela substituiu o ponto fixo estaacutevel 1~ do travamento sub~

harmocircnico (equaccedilatildeo 432) Por isso no atrator experimental o ponto de sela jJip~ Tfo eacute

calculado do mesmo modo que o ponto fixo estaacutevel T

~ ~4150=267l11S (434)

onde o nuacutemero 4 eacute o inteiro mais proacuteXIacutemo do valores das razotildees de frequumlecircncias OEX (381

40 e 415) com a frequumlecircncia da onda sonora sendo de 150 Hz Para os atratores obtidos

rumericamente a posiccedilatildeo do ponto de selaflip rfi tambeacutem eacute calculada com equaccedilatildeo (431)

Em particular os trecircs pontos de selaflip dos atratores mostrado nas Figs 448 satildeo

rl(A) 019

~~-M ~~ rr(C) -015

93

4 Resultaoos eAnaacutejse

I_mlltQfl_ Figura 448 (a) O atratori ~ 1

1 saxofone obuacutedo com o experimento do tuboI I borbuIhador no pontoi ~ indicado por uma seta na seacuterie mostrada na FigI ~ I 444(a) (A) A simulaccedilatildeorJie) I 1 (A) bull com o mapa do drculo

bull laquo

gtJ_ ~(I _ (b) Atrator eJqgterimental do tipo gancho duplo

I

l Ki-i - obtido nas mesmasi condiccedilotildees indicadas pelai j j bull v1 ~I q seta sobre a seacuterie da Fig ji

446() (B) Alrl j obtido ltom o IIlltiJ(f do

gtJ (b) 1 -AJ I (a) ltV M circulo

raquo gtlt w raquo u ~~~ ~ c---------------

N111gtIgti_i -~ lt-U4I_ i (c) Rotaccedilatildeo do atmtor experimental obtido no

ponto indiacutecado pela seta- na seacuterie da Figt 445(a)g ~ bull ~ C A mesma fOtaccedilatildeona ~ simuJaccedilgo feita com oJ marm do circulo u(CI V laquo) ____

)o lO lO ~ Q

T(ms) ro

Quando a parte fracionaacuteria de QEgt vale

05 aumentando-se a amplitude~ temos tambeacutem o ponto fixo de periacuteodo 1 que se torna

finstaacutevel surge um periacuteodo quatro e depois - gt

disso surge um atrator caoacutetico com a forma de raquo

uma C7JZ que estaacute mostrado na Fig 449 raquo raquo raquo Aleacutem diacutesgo~ outros mais atratores J

experimentais mais complexos tambeacutem podem Figura 449 Atnltor caoacutetico obtido com nm igualaO5

ser simulados com o mapa do circulo como

pode ser visto na Fig 450(0) onde temos uma frequumlecircncia de borbulhamefito de 8 bolhass

94 4 ResultadoseAnoacuteliseuro

com uma frequuml~ncja da onda sonora de 150 Hz A simulaccedilatildeo com o mapa do ciacuterculo como

estaacute mostrada na Fig 450(b) foi feita com tlr= 1885 h = 01 eK = 83

~ f fi ro ~ ni il II~~~~jflitllt1I)j~ ~ ~ to fi lt ~i~~~rl ~iacute J ~1J li~4It IVtAl lt

IiV V (b)-

m M m m - Tn(ms) r

FIgUra 450 Atrator e~perlmcntalem (a)(lroc = 1amp75 b -= 01 Em (b) aacute simulaccedilatildeo COm o mapa do ciacuterculo n= 1885 b =01 e K= 83

gt

~~

I

~ ifA rl li Pf ~ fI 1 J ~ N11D Jl ~ci- ~1 bull

J -I

(a) ~

443 Modulaccedilatildeo do Paracircmetro de Controle

Quando utilizamos a Teoria do Caos para analisar resultados experimentais uma

das mais dificeis tarefas eacute associar os paracircmetros experimentais aos paracircmetros dos

modelos existentes como o mapa logiacutestico ou o sistema de equaccedilotildees de Rotildessler e outras

equaccedilotildees dos sistemas caoacuteticos Algumas vezes o paracircmetro de controle escolhido eacute

modulado por uma funccedilatildeo que natildeo permite a observaccedilatildeo direta dos sistemas caoacuteticos

claacutessicos atraveacutes da variaacutevel de medida [Tufaile 1996J Isto acontece no experimento do

tubo borbulhador caso utilizemos por exemplo a vazatildeo do ar como paracircmetro de controle

como estaacute mostrado na Fig 451 onde utilizamos a soluccedilatildeo de 66 glicerina e 34 aacutegua e

oacute bico de seringa A vazatildeo do ar) o paracircmetro de controle estaacute relacionado de uma forma

hiperboacutelica com o tempo de borbulhamenlo a variaacutevel de medida representada pela linha

95 4 Resultados e Anaacutelise

pontilhada Quando

sintonizamos uma onda

sonora no sistema com urna

frequumlecircncia de 126 Hz e uma

amplitude constante ocorre

uma composiccedilatildeo entre a

funccedilatildeo hiperboacutelica e o mapa

do ciacuterculo Os tempos

associados aos patamares T ~

satildeo bem definidos e podem

ser calculados com a equaccedilatildeo

(436) Os patamares se

alargam com o aumento da

vazatildeo e o valor do tempo

7

70

65 T(ms)

55

50 61j-shy shy

-~ shy 40 60 80 100 120 140 160 180

Vazatildeo (mlfmin)

Figura 451 A composiccedilatildeo de uma funccedilatildeo hiperboacutelica de borbulhamento com ) mapa do circu1o as fraccedilotildees ao lado de cada pagravetamar datildeo () valor do tempo do ponto fixo Tp devido ao trnvaJnento sub-harmocircnico

associado a cada um deles eacute calculado atraveacutes dos travamentos sub-harmocircnicos

Tp~jlf (436)

onde j eacute o inteiro mais proacuteximo da razatildeo entre a frequumlecircncia da onda sonora e a frequumlecircncia

de borbulhamento

Outra situaccedilatildeo na qual ocorre a modulaccedilatildeo do paracircmetro de controle eacute quando

(b) ~ ~~~l~~~ ~~ - 21)~~ir-- ~if~~e

2(1 I i i r 5 6 7 B

Q

Figura 452 (a Composiccedilatildeo do tnatXt do ciacuterculo com uma funccedilatildeo linear decrescente O paracircmetro de acoplamento nllo-linear K eacute uma funccedilatildeo decrescente do valor de n

(b) Dados do tempo de borbulhamento em funccedilatildeo de o A variaccedilatildeo de o ecirc obtida mantendo os demais paracircmetros constantes e aumentando linearmente a frequumlecircncia da onda sonol3

4 Resultados e Anaacutelise

variamos a frequumlecircncia da onda sonora mantendo constante a sua amplitude Medindo o

tempo de borbulhamento obtivemos os dados d Fig 451 (b) do tempo de borbulhamento

contra a razatildeo entre as frequumlecircncias Q para uma frequumlecircncia de borbuibamento inicial de 33

bolhass Devido agraves propriedades da acuacutestica do tubo a variaccedilatildeo da frequumlecircncia da onda

sonora afeta simultaneamente a amplitude da onda Isto pode ser simulado com o mapa do

circulo com h = Ol~ supondo que o paracircmetro de acoplamento natildeoM1inear~ ~ do mapa do

circulo seja uma funccedilatildeo linear decrescente com relaccedilatildeo agrave razatildeo de frequumlecircncias n que na

Fig 452() eacute o paratildemetro de controle

K(n) =40 - 047 n (437)

Os patamares d Fig 451 assim como as linhas diagonais da Fig 452(a)

correspondem agrave composiccedilotildees da frequumlecircncias de borbulhamento e da onda sonora que levam

o sistema dinacircmico nas regiotildees de liacutengua de Arnold com nuacutemero de rotaccedilatildeo W igual aI

97 5 ConclusiJes

) 5 Conclusotildees

CltJnstmiacutemos o aparato do tubo borbulhador e observamos que O principal

aspecto da fonnaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos viscosos eacute que este sistema eacute equivalente a

um oscilador natildeo-linear Esta afirmaccedilatildeo foi baseada inicialmente nos intervalos de

tempo da formaccedilatildeo das bolhas no experimento do tubo borbulhador quando a vazatildeo de

ar aumenta e na comparaccedilatildeo deste experimento com o experimento da torneira

gotejante A comparaccedilatildeo dos dados experimentais da formaccedilatildeo das bolhas influenciadas

pela onda sonora com os resultados teoacutericos do mapa bidimensional do circulo1

confirmou que o borbulhamento estaacute associado a um movimento oscilatoacuterio Na

comparaccedilatildeo do sistema bolhasonda sonora e o mapa do ciacuterculo o ponto mais

importante foi associar o tempo da formaccedilatildeo das bolhas T com a variaacutevel rlf do mapa

do ciacuterculo

A interpretaccedilatildeo da oscilaccedilatildeo na formaccedilatildeo das bolhas pode ser feita observandoshy

se o deslocamecto do Ifquido Durante a subida da bolha no liquido este eacute afastado para

dar passagem agrave bolha ateacute que a bolha passe e o liacutequido volta a preencher o espaccedilo que

antes era ocupado vela bolha Este processo se repete e assim temos o comportamento

oscilatoacuterio Entatildeo podemos entender o movimento do liacutequido induzido pela passagem

da bolha como um oscilador natildeo-linear O sistema de detecccedilatildeo mede apenas valores

maacuteximos deste comportamento oscilatoacuterlo~ por isso temos as seccedilotildees de Poincareacute do

borbulhamento e natildeo curvas continuas do espaccedilo de fases

A duplicaccedilatildeo de periacuteodo) que ocorre quando variamos a vazatildeo~ foi a primeira

observaccedilatildeo que indicou que urna abordagem utilizando a Teoria do Caos seria um

meacutetodo possivel para a compreensatildeo do fenocircmeno da formaccedilatildeo das bolhas Mesmo

assj~ uma abordagem utilizando os conceitos da Mecacircnica dos Fluidos foi feita ~ com

este ponto de vist~ observamos que a duplicaccedilatildeo de periacuteodo com a vazatildeo estaacute associada

com a instabilidade de Rayleigh-Taylor que representa a instabilidade da interface de

dois fluidos que natildeo se misturam A duplicaccedilatildeo de periacuteodo SOacute eacute evidente em fluidos

viscosos pois~ em liquidas pouco viscosos como a aacutegua a dinacircmica observada vai

diretamente do comportamento regular para um comportamento irregular Verificamos

que a instabilidade da superfiacutecie da bolha nos fluidos com baixa viscosidade eacute a resposta

para a questatildeo da transIccedilatildeo do movimento regular para o movimento irregular na

formaccedilatildeo das bolhas Esta instabilidade eacute causada pela interaccedilatildeo entre as bolhas que se

elevam dentro do liacutequido e a bolha que estaacute se formando junto ao bico Em fluidos

98 s COI1cfusr1es

viscosos e com baixas vazotildees do ar o deslocamento das bolhas que estatildeo emergindo

natildeo afeta a bolha que estaacute se formando pois natildeo haacute uma perturbaccedilatildeo significativa criada

pela circulaccedilatildeo do liacutequido e esta circulaccedilatildeo permanece laminar junto ao bico Poreacutem

para vazotildees mais e1evada~ mesmoS nos liacutequidos viscosos teremos todo o conjunto das

bolhas emergentes e da bolha que estaacute se formando interagindo pois as perturllaccedilotildee5 na

circulaccedilatildeo do liacutequido se propagam em todas as direccedilotildees dentro do tubo borbulhador

Deste modo a formaccedilatildeo das bolhas apresenta uma dependecircncia tanto do tempo quanto

das condiccedilotildees d contorno Neste aspecto o experiroento do tubo borbulhador eacute

diferente do experimento da torneira gotejante pois o deslocamento das gotas que estatildeo

caindo natildeo tem efeito significativo na gota que cresce junto ao bico

Utilizando diferentes tipos de bicos verificamos algumas das influecircncias da

geometria do bico na formaccedilatildeo das bolhas Emulamos as seacuteries temporais atraveacutes da

combinaccedilatildeo de mapas Isto permitiu o desenvolvimento de ideacuteias para tentar entender e

explicar os fenocircmenos observados como alargamentos suaves e abruptos nos tempos

entre as bolhas A combinaccedilatildeo de mapas jacirc havia sido utilizada no experimento da

torneira gotejante~ o que mostra a sua importacircncia como rerramenta na compreensatildeo de

sistemas caoacuteticos

Do mesmo modo as simulaccedilotildees com modelo unidimensional massa-mola

permitiram melhorar a nossa interpretaccedilatildeo dos dados tanto da torneira gotejante quanto

do tubo borbulhador O modelo natildeo eacute adequado para observaccedilotildees quantitativas mas

pode ser usado para a obtenccedilatildeo de resultados qualitativos Durante a verificaccedilatildeo da

hipoacutetese do fator de massa agregada fJ do modelo massa-mola para a formaccedilatildeo das

bolhas encontramos as estruturas das veiacuteas liacutequidas que satildeo colunas de aacutegua dentro do

oacuteleo sustentadas pela subida de bolhas de ar

Aleacutem disso durante a realizaccedilatildeo da experiecircnci~ foram encontradas algumas das

condiccedilotildees que fazem o aparecimento de antiboJhas que satildeo gotas envolvidas por uma

fina camada de ar dentro do liquido e que ficam aprisionadas na circulaccedilatildeo dentro do

liacutequido

Verificamos as condiccedilotildees de validade para a relaccedilatildeo entre a frequumlecircncia da

formaccedilatildeo das bolhas e a vazatildeo do ar para um modelo simplificado que estabeleccedile uma

frequumlecircncia para a formaccedilatildeo das bolhas proporcional agrave vazatildeo elevada a 04

Atraveacutes da associaccedilatildeo com o mapa do ciacutercuJo~ verificamos algumas

similaridades entre o mapa e o experimento como por exemplo a comparaccedilatildeo da

variaccedilatildeo da razatildeo entre as frequumlecircncias da onda sonora e do borbulhamento~ nEXo com a

s ConcluslJes 99

variaccedilatildeo do paracircmetro nr do mapa assim como fizemos a comparaccedilatildeo entre as fonnas

dos atratores reconstruiacutedos Deste modo encontramos algumas rotas para o Caos

quando eacute feita a variaccedilatildeo da amplitude da onda sonora A formaccedilatildeo das bolhas pode

evoluir inicialmente atraveacutes da rota de quase-periodicldade quando a amplitude do som

eacute aumentada linearment~ que pode ser reconhecida no iniacutecio das seacuteries temporais

devido agrave sua forma triangular para alguns valores d razatildeo entre as frequumlecircncias tEX

Outra rota observada fui a rota de duplicaccedilatildeo de periacuteodo com a formaccedilatildeo de atratores do

tipo~Heacutenon devido aos processos de estiramento e dobra

A dinacircmica do mapa do circulo ainda permitiu interpretar o comportamento mais

global da existecircncia de patamares no tempo da formaccedilatildeo das bolhas nas seacuteries

temporais sujeitas a uma onda sonora de frequumlecircncia bem definida Os patamares

OCOrrem quando a freqOecircncia do borbulhamento estaacute proacuteximo a um submuacuteltiplo d

frequumlecircncia da onda sono~ o que caracteriza um travamento subMharmocircnico O

travamento sub~hann8nico ocorre quando a frequumlecircncia de um oscilador fica travada em

um submuacuteltiplo da freqOecircncia de uma forccedila externa aplicada O caso limite d

sincronizaccedilatildeo entre a formaccedilatildeo das bolhas e a onda sonora eacute o travamento harmocircnico

quando as bolhas se formam com a mesma frequumlecircncia da onda sonora

I I I

I

100 6 Referecircncias

6 Referecircncias

Argyris J Fast Q e Haase M (1994) An Exploralion of Chaos North-Holland Arnsterdam

A1ligood K T Sauer T D e Yorke J A (1997) Chaos - (f1 introrillclion lo dynamical syslems Springer New Yerlc

Bai-lin H (1989) Elementary symbolic dyrtamics and Chaos in Dissipolive Systems World Scientific~ Singapura

Bertelseo p EUegaard C Guhr T Oxborrow M e Schaadt K (1999) Measuremenl of Parometric Correlations in Spectra of Resonating Quarlz Blacks Phys Rev Lett 83 2171-2174

Chandrasekhar S (1981) Hydrodynamic and Hydromagnetic Stabiacuteliacutety Dever New York

Cliacutefl R Orace J R e Weber M E (1978) Bubbles Draps and Partieles Academic Press~ New York

Collet p e Eckmann 1 (1980) lleraled maps ou lhe inlerval as dynamieal systems Birkhatildeuser New Yorlc

Davidson J F e Schuumller B 0 G (1960) BlIbble formaiion ai an orifice in a viscous liquid Trnns Inst Chem Eng 38 144-154

Dnnocenzo A e Renna L (1996) Dripping Faueet Int J Theor Phys 35 941-973

Dnnoeenzo A e Renna L (J 997) Morieling leaky fancei dynamics Phys Rev E 55 6776-6787

EUner S Nychka D W e Gallant A R (1992) LENNS a progrom lO estimale lhe dominant Lyapunov exponent cfnoisy nonlinear systemsfrom time series data (Institute of Statistios Mimeo Series n 2235 (EMA series n 39) Statistics Department North Carolina State University Raleigh

Femat R Alvarez-Ramiacuterez e Soria A (1998) ChaoticJlow slnentre in a verlical bllhble column Phys Let A 248 61-79

Finney C E A (2000) Bibliography of choos amp buhbling httpwwwshychaosengrutkedulbibBubblinghtml

Fletoher N H e Rossiog T D (1991) The Physies ofMusicalll1srnmenls Springer New York

Fuchikam~ N lshioka S Kiyono K (1999) Simulalions ofa Dripping Faucel J Phys Soe Jpo 68 1185-1I96

INSTITUTO DE FS1CA serviccedilo (iccedil albHotscamp e

lntgnllccedilatildeoTombo u ~ Co

-et [

101 6 ReJerecircneacuteiaacutes

Gonccedilalves W M (1996) A experiecircncia da Tomeira Golejante Tese de doutorado lFUSP

Gonccedilalves W M Pinto R D SartoreUi 1 C e de Oliveira M 1 (1998) Inferriacuteng staliacuteseal complexity in lhe dripplnglaueet experiment Physica A 257 385-389

Grebogi C Ott E e Yorkel A(1982) Chaote attraetors in crisis Phys Rev Lett 48 1507-1510

Hayshy C (1985) Nonliacutenear Oscilatiolls In Physicol Systems p 285 Princeton University Press Princeton

Hegger R Kantz H Sebreiber T (1999) Praticol implementaton of nonlnear time seres methads The l1SEAN paekage Chao 9 413-435

Jaekson E A (1995) Perxpectives 01 l1oninear dynamies Cambridge University Cambridge

Kaneko K (1992) Overview 01eoupledmap latliees Chaos 2 279

Kiyono K e Fuehikami N (1999) Dripping Paueel Dynamiacutecs Clarified by an Improved Mass-Spring Model 1 Phys Soe Jpn 68 3259-3270

Kyrialcides N K Kastrinalcis E G Nyehas g G e Goulas A (1997) Bubblingfrom Naues Submerged in Water Transiacutetions Between Bubbling ampgimes Can J Chem Eng 75684-691

Lantoroom W (I986) Acoustie Turbulence em Frontiers in Physiacutecal Acouslics p 124shy144 Nortb-Holland Amsterdam

L~ H Z Mouline Y Choplin L e Midoux N(1997) Chaotic bttbbe coalesconee in non-newlmriacuteanfluids lnt J Multiphas Flow 23713-723

Li T Y e yoke J A (1975) Period 3 iacutemplies ehaos Am MatlL Month 82 985-992

Lorenz E N (1980) Altraclar seis aml qttasi-geoslrophiacutec equlibrillm J Atmas Sei 37 1685-1699

MaJI R (1981) On lhe diacutemensiacuteon cf compacl invaria11l sei cf certain nall-lillear maps em Dynamical System and Turbulence 00 D A Rand e L S Young Spnnger Berlim

Marmur A e Rubin E (1915) A theoretieal modellor huboacuteleformation 01 ali orifice submerged in Im inviscid iquid Chem Eng Sei 31 453-463

6 Referecircncias 102

Marston P L (1980) Shape oscillotion aJ1d stalie deformalion of drops and bubbles drive by modulated radiation stresses-Theory J Acous Soe Am 67 15-26

Martian P Pope S C Scott P L e Shaw R S (1985) Ihe chaotic behavior ia eaky faucet Phys Let A 110 399-404

Mltoni L 1 Schwartz M P e La Nauze R J (1995) Determinislie chaos in lhe gas inel pressure ofgas-liquid bubbling systems Phys Pluids 7 891-893

Moran M I Haigh R E Lowry M E e Sweider D R (2000) ObservntiollS ofSingleshyPulse Sonoluminescence httpwww-physllnLgovlN_DivlsonoIurnlsonolumyaperhtrnl

Miyahara T Baga N Takahasbiacute T (19B3) Bubble formationfrom an oriftce ai high gas ftow rales Int Chem Eng 23 524-53 L

Nguycn K Daw C 5 Cheng M Bruns D D Pinney C E A e Kennel M B (1996) Spalio-temporal ~namics in a train ofrising hubbles Chom Eng J 64 191-197

Paclcard N H CrutehfieId J P Fanner J D e Shaw R S (198() Geometryfrom a time serles Phys Rev Lett 45 712-716

Perry R H e Clinton C H (1972) Chemcal Engineers HandbQok McGraw-HilI New York

Pinto R D (1999) Comportamento Complexo na Experiecircncia da Torneira Gotejante Tese de Doutorado lFUSP

Pinto R D e Sartorell~ J C (2000) Homoclinc tangency and ehaotic attractor disappearance in a drippingfaucet experiment Phys Rev E 61 342-347

Prosperetti A (1986) Physicsi Acoustic Cavitalion em Frontiers in Physical ACOllstics p 145-188 North-Holland Amsterdam

Ponter A B e Surati A l (1997) HuMI EmissiollSfrom SlIbmerged Orifices - A criticai Review Chem Eng Toelmo 2085-89

Putterman S 1 (1995) Sonoluminescence Salim l11to light Sei Am Fevereiro 33-37

Rapp P E Bashore T R Zimmermean L D Martinerie 1 M Albano A M e Mees A 1 (990) Dynomical CharacterizaJlon ofBrain EleerIacutewl Activity em 1he Ubiqulty of ChIlO AAAS Washington DC

Renoa L (1999) A discrele map for drippingfaucel dynamics Phys LeI A 261 162-168

da Rocha M S (1995) Determinaccedilatildeo da evoluccedilatildeo temporal da fonnaccedilatildeo de gotas Dissertaccedilatildeo de mestrado lFUSP

Rotildess1er O E (1977) Synergelies a workshap Haken H Springer Berlim 174-183

103 6 Refrencias

Ruzicka M C Drahos J Zabradnik J e Thomas N H (1997) Inermittt transition from bubbling to jetling regime in gas-liquid two phase fiows Int J Multiphase Flow 23 671--682

Sacircnches-Ortiz G 1 e SaIas-Brito A L (1995a) Strange attraclor in a relaxalion oscillator modelfor lhe drippingfaueet Phys Let A 203 300

Sacircnches-Ortiz G I e SaIas-Brito A L (1995b) Chaos in a variaMe mass relaxatiall oscilator modelfor lhe leaky tap Physica D 89 151

SartoreUi J C Gonccedilalves W M e Pinto R D (1994) Crisis 00 intermittenoo in a leaky-fauce experiment Phys Rev E 493963-3975

Scbemelcher P Diakonos F K (1998) A general approach lo lhe finding of unSlable periadie arhils in ehaotie dynamieal syslems Phys Rev E 57 2739

Sharpe G J (1994) Solving Probems in Flllid Dynamics p 203 Longman Essex

Shaw R (1984) The drippingfaucet as a model chaotic sySlem Aerial Pre Santa Cruz

da Silva J G M (1996) Caraelerizaccedilecircio da Dindmica da Formaccedilecircio de Goas Dissertaccedilatildeo de mestrado lFUSP

80 P Ott E Sehiff S F Kaplao D T Sauer T e Grebogi C (1996) Deleeting unstoble periodic orhits in chaotie experimentol daa Phys Rev Lett 76 4705-4708

Sotomayor J (1979) Liccedilotildees de equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias Projeto Euclides Rio de Janeiro

de Souza Vieira M C Lazo E e Tsallis C (1987) New road 0 ehoos Phys Rev A 35 945-948

Stons C L (1974) Th amate1f scientiSl Sei Am Ahri 116-121

Sulivao S L Hardy B W e Holland C D (1964) Formatioll ofAir Bubbles ai Orifiees Submerged Beneath Liquids AI Ch E Journll0 848-854

Takens F (1981) Deecling Srange atraclors inurhulenee em Dynamical Syslems aod Turbulence ed D A Rand e L S Young Springer Berlim

Thompson J M T e Stewart H B (1986) Nanlinea Dynamics aod Cnaos Geometrieal Methods for Engineers aod Seieniss p162 John Wiley and Sons Chichester

Tritton D I Egdell C (1993) Chaotic bubhling Phys Pluids A 5 503-505

Tufaile A (1996) Mapas combinados e o experimento da omeira gotejante Diacutesertaccedilatildeo de mestrado IFUSP

6 Referecircncias 104

Tufaile A Pinto R D Gonccedilalves W M e Sartorelli J C (1999) Simulations in a drippingfaucet experiment Phys Le A 25558-64 (Apecircndice 1)

Tufaile A e Sartorelli J C (2000a) Chaotic behavior in bubble formation dynamics Physica A 275 336-346 (Apecircndice 2)

Tufaile A e Sartorelli J C (2000b) Heacutenon-like attractor in air bubbleformation Phys Let A 275 211-217 (Apecircndice 3)

Veta N e Tabacniks MH (1994) Laboratoacuterio de Fiacutesica para Ciecircncias Bioloacutegicas IFUSP

Viana R L (2000) Introduccedilatildeo agraves Redes de Mapas Acoplados - Modelos para o estudo de Caos Espaccedilo-Temporal Notas de Aula IFUSP

Weast RC Selby S M (1996) Handbook of Chemistry and Physics p F33-F42 The Chemical Rubber Clevelnd

Willeboordse F (1992) Time-delayed map as a modelfor openjluidjlaw Chaos 2 423shy426

Wolf A Swift J B Swirmey H L e Vastano J A (1985) Determining Lyapunov exponentsfrom a time series Physica D 16 285-317

Apecircndice 1

Siacutemulations in a dripping faucet experiment

A Tufaile RD Pinto WM Gonccedilalves e JC Sartorelli

Physics Letters A 255 (1999) 58-64

3 May 1999

PHY$ICS lElTERS A

ElSIMER Physics Letters A 25S (1999) 58-64

Simulations in a dripping faucet experiment

A Tufaile RD Pinto W_M_ Gonccedilalves J_C Sartorelli 1

IluacuteillOO dcFJSfea UniDCrfidadc de Siio Paula CQixa Pmrtal oacute6JIlJ fJSJIJ97tJ Satildeo Pttdb Braacuteii

Recchcd29 SeptJllIb1r 1m laquooMdinpVised tbru 10 Febnwy 1m ~ 10 February Im Ogt~ hy cR Doering

Ab$tratt

The prafiles of two experimental attrletors were simll1ated by using a simple onc-dintensioacutenal spring-mass modct Some pccllliar bebuviors observed in experimental bifurcation diagrams (in short ranges ofdriwmg Iate variation) were emu1ated by combining two quadratie maps (a kiruI af coupUng) in twQ diacutefferellt ways~ parallel combination 1Eh non-interacting maps and series combination with nrongly intcrocting maps TIto ehoice ar cach kind af eacuteombinarion W3S suggcsud by thc own cbaracteristics of~eh experimCfllal bifureation diagramo copy 1999 EIlteviet Scieacuten(e SV All rigbts rewrved

PAC$ 054S+b

1~ lntroduction

The leaky faucet dynamks has beoo used as a paradigm of a chaotic sYSbm [I~1 since the liUggesshytion made by Ratildessler 13] in 1977 lha Ih fnou af water drops in bull tlp nipple oould sbow chaooacutec bebavior wbat was 1ater confirmed hy Sbaw and Marlien alo [451 Period doubling WlI Qlnrerved hy Marlien alo [451 Yeacutepez alo [61 Cabhm et ai [71 Wu and Schelly [891 Dreye alo [101 Sarshytore1li trt aJ UO Tangeot intermitttncies are Teshy

ported in Rofs [7111 quasi-periodicity and boondshyary coacutesis in Rof [11l and a Hopf biacutefurcanon in Refs [l213J Olher studies abou lha formadoo of drops or droplets of water can be found in Refs [14-231

E-mail sartorellilfUlipbr

Shaw and collaboratorn liUpposeuacute thut th~ water oolumn bangiog in a nipp1e faucet should oscillate as a mass-spring system with the mass increasing lin~ early until it reaches a criticaI point when a drop is ejected IacuteInposing the initial conditions ou the teshymaining water column This mudeI was modified by Simcbas-Ortiz and Salas-Brito [24] supposing Ih lhe mass of the ej~cted drop must depend ou tlte cummt yalue of the water co1umn mass DIn nocemo and Renna [25 have aiso carried ont thcir calcuJations assumlng lhat lhe remaining _ colshyUmtl shape can be cither a sphere Of a material point

hlspired hy au ining-Iike mode to find Ih water dIuacutep proacutefiJc rumging in a vertical waU Oliveira aad Ponna [26] studied lhe dymnni of lha drop furmashytton applymg Monte Carlu techniques Penna tt a1 [27J sbowed thut the time delllys between SU(teS)i~ drops display long-range anncorrelations cbarncter~ ized by the same exponcnts of the heartbeat~to~ heaItbeat interva]s of hea1thy subjects [28]

0375-Otj99S - see mlll maner Cll999 Elrevier Scicnee BV Ali rigltlS tesIlVed PU S037S960l(99)QOI19X

I

A TilfaiIe e1 aLIPllyJICS uacutetters Aacute 255 (1999) 58-64 Num uf thtSe modeJs are adequate to explam aU

lhe bebavio observed in lhe range from - Oup to 40 dmpss In this papeI we present two simula~ tions of experimental attractors whlch are lhe best emulations yet obtaiacutened by the one~dimensional spring-mass modelo It is also presented two experi~ mental bifurcation diagrams in short ranges of dripshyping rolte with llCW peculiar behavions nl-ver secn before Inspired by me behavlor of each experIacutelncnshytal diagmm we did a kind af siacutemple ooupling af maps [29-321 by combining two quadratic maps to emulare these experimental bifurcations Two ways or combinution are proposcd In the first case two non-interacting quadmtic maps are added (parallel combination) whuumle in the sccond onl- two tnJng1y inteltf-ting logistic maps (smcs combination) are combiacutened in a feedback way

2 Experimental apparatos

The measurements were dane with the faucet attaccedilmd lo a large reservou sccedilt Refi U121] for details The time delays between successive drops are measured with a time counter circuitry~ with a

nmiddotT--------------------~ (a)

r ishy700lt) ~

1 li ~

~ - -~ ~ bull-j- -~ -4 ~r -~

67 I ~

I 670 680 690 700 110

Tat$

T1molution of i ~~ iacutenserted in a PC 5101 The iacutenput signals are voltage pulses induced in a resistor definelt by the beginning (ending) af the scauring oI a laser beam fO(Usw on ltt photo~trdn$i$tor (in sents with 1he resistor) when thc drop tarts (ends) t(l CTOSS the laser beam The width of the pt1lse is the time interval t (where n is the drop number) and the time delay between two pulses is lhe crossing time (SI) of drop tbrougb the laser beam 50 lha the total time interval is 1 = 111 + 8t~

We can setup the drop rate (J~ 1(Traquo in two ways (a) by feeding back lhe Wuer reservoi to ke~ the height h af the water leveI md selet1ing the drop me by opening (closing a needle valve driven by a step motor which is coutrolled by a microcomputer

For a given drop late we have constructed first retum maps T I VS4~ (b) by fixing me opening of the ncedle va~ turning off1he water supply letting fue water levei decrease natunilly and so the drip~ ping Iate Therefore~ the contml PWffileter lhe heiacuteght h of the water leveI varies as ht ho - n8 VA where 8YA=2XlO- mm he 15 the initial height I) Y the mean volume of me drops and A i5 the area of the water reservoir surface In this case bifUrcatiou diagrams Tn V$ n were constructed We

~ ~

300

200

Ibl

()1

oI 100 2Q(l 300 400 500

1 figo L (a) experinwJrtal data for f 146 dIopss Experimental panuDlter vaues are Ir 365 dynjcm X-~tI a6 em R Ot2-0l5 ss and Q 01-0 14 sem (li) the attlactor profile obtaiDed witb R - 015 sls b - H) Si k 415 dfacrtJ xir - 13 em arul rt- 01 slem Tht ealllai~ drop me ia f 315 dropss wbich ~ two- times the expcrimcntll vale 3pll~lely G1w rupple

A TufoiJe cf aLIPhysfcs Lettcf A 255 (1999) 58-64

T11Ulitl$ltTgtlaquo146m~

T---r------T~~ t

12

12012~~11T 911 tMobull

T (l (Iraquo

Fig 2 a) experimetItaI T+l n 41 YS r (ms) tuap (h) simulatcd mBp wrtb R (U41 gJs xr O25i em a-1l51 sem b-Q94 s-land 1(20 dyncm Thc two maps wcre ~ from lhe samc angle 4f vUicn The calcuJted drop me is cloR 10 fue ~ vahIe l1ul similiuiacutel) bctwcen the two maps suggesls lhe salOO attwtor with ~ slzes of the basins ef ~ Htass nippk

have used one gJass nipple and other one or brass~ with both having t11e same intema1 diameter

3 Resolts

31 Mass~sprjng modal

Following Dnnocenzo and Renna (25] notation the set Clf autonomous differential equations for the mass-spring modol is [45)

dx d(Mv) IM-= =Mg-kx-budi 1 di di =R~

(I)

where x 15 the ooordinate af the ceuter af mass ar me hanging watet agravetld R the flow ate

fhe surfagraveoo tenskm and friction between the wa~ ter and lhe _ are respectively representelt by lhe spring eonstant k and by b A drop with mass

AM aMell( (2)

is shot wben the center of mass x exceeds a tbresh old xI where M and 11 are respectively the hangshy

(a)

~ i= 10a

bullbullbullbullbullnbullbullbullt

Il~_

bull o - shy (b)

C

ibull

m I ~

-10 i-shy i t

Fig 3 (ti) experinleflt2l hifilnmon diagram wilh tlJ~ drop Iate lIlllgingtrom -9ISdM1Hn 913 dtopsjs (b)paralkI combi~ natlOIl or two oolliDtctacting logime maps witb p~ecirc)- f +t and p(~) Px(~)-Ot IS Brass nipple

ing water mass and the speed at the thresbold paim g = 920 em51 and a is li parameter

For the remaining water DInnocenzo and Renna pmposed two models (PS) the point-spbere one lhe drop is spherical of radius r and the waterresldue is a point situated at Xo =Xr -rAMM (TS) twQ

sphere model lhe drop is spberical of radius r and the water residue is ti sphere ofradius r = [3(MrshyAM)j(4p)] cenrered at x ~ xlt - (r + r)AMjMlt Therefure lhe simulations reqm lhe adjuslment of fi _ (k x R aod b) but with an unknoacutewn dependence between them

fig 4 (a) 1X~rimenlal bifuttation diagram with lbe drop rale rungillg fmm 28$ doWn to 268 dropss Tbe circe SOOWl the sequerne cf tbc plotting colotslt sbould be noticed that in lhe ttginns otperiod-2 tbe colun ilIC supcrimposcd In (D) and (c)ate itSPtttlve1y sbown tbe odd ruld ~ bW1Ches On lhe right in W the cmuJation ofthc eltpelirncntl1 duta ming a scri~ combinltion oftwo intcmcting logistic maps in (8) and (C) are tespectivey slrown lhe anulated separaoon oi tIle odd aud eVelI bnmehtS The pammeters ()f control P1laquo(f) and P7lt-C) lU sItown in fig 5 9t-~ rupple

00

gt

so

i O I

o~xu

x

(v)

62 4 ThJaited aLIPhysi~LeIergtA 255 (J9)9) SlI-M

In Fig 1() is sbown me experimeand first return IIlllp obtaiacutened by keeping fixed me water levellreigh aI 1= 146 dropss (gIass nipple) An bullbullperlmeotal esrimarion for me pamm_ values are [2l k = 365 dynem x~Mem R =012-015 gjs The simshyulations of the attractor using these parameter va1ues did not converge for wide ranges of a and b villu~1i

We cou1d emulare the attractor profilc using the PS mudel by adjusting all the paIdmeter values The emulatioo wilh k-475 dynem x= 13Cn Rshy015 g -02 sem and b - 10 s is shown in Fig l(b) but me mean drop mte obtained (fshy315 dropss) is abou IWO times lh experimental valobullbull

In Fig 2(11) iacutes shown an attractor reconstructed in a fbreedimensiacuteorutl map T +1 vs T i i VIi Ta at f = 8726 drops I s The atttactor- profile was simtJ 1_ by me PS model wim me pammeter values R=O14 gs x= 0251 em a-OSI sem bshy094 and -120 dynem as aho in Fiacuteg 2(b) Despire the fagravect tllat these values are quite different uom the experimental ones we obtained by coinjdence a drop rate of f= 880 dropss close to the experimental value The similarity 1raquoshytween the two maps suggests mat we have the same atttactOt whnc the different time scales point out to dilferelt os ar lhe basiacutens af _ans with apshyproximataly lhe same mean time T

We could oot find in lhe titerature better _shytions af dripping faucet auractors than lhe examplos above This model is not enougb to expIa1n all the detalls of me eXjlOIIacutelMntal data but it can be useful to give a first sigltt (ar lhe general properties) of the drop formation dynamics 41 since the classical hyw drodynamiclll models are mo complicated to obtain large time series

We observed some peculiar behaviors ln me exshyperimentai bifUrcation diagnuns and ve attempted to construct empiacutericaJ models omulate suoh bebavshyiacuteors in a shnple way~ looking for relatiacuteons berween two qu_ IlIPS

32 Combined mtJps

321 Parallel comhinatton In Fig 3(a) is shown an experimental bifurcation

diagram T vs nf which was obtaiacutened by Jetting the wateiacute level go down 113turally and lhe dripping rate

rangiag from - 918 00 to - 913 dropss Beshylow 11 as the water leveI heigbt goes down the dynamical ampystem evolves in a period four m~ ment When the system reaebes lhe aitical point I1c (ar h) the initial rom stable fixed points are re~ placed by new four fixed points

We siacutetnulated this peculiar change of fixed points by adding two nonwiacutenteracting quadratic maps (paralw lei combinatioQ) 50 lhe global I S is given by

In+ =x ~pAt) Yn+l-Y -P)(~ x +y

S - bull (3)bull 2

where P(i) and p(lf) ate me OOIltrol PllIameters as functions of a common parnmeter sgt and each tnap is iterated sepamtely 2 We observed that the hoiee of P(i) = i- 14 py(V= pltel - 0115 IfE (16164) can emulJlte lhe experimental change of the fIXed points as shown in Fig 3(b) Tbe transition po-int g~ = 1615 corresponds to the secshyond ilip bifurcation in tbe y map and a period-4 movement in the x map but lhe global I S co~ondamp to a foor fixed points until the next fliacutep bifurcation which oours in the x map at ~= t6t8

Dilfetenl from an interior erisis [331 in whiacutech OCCUts a sudden change in the size of the attractor in Fig 3(a we have a smooth inereasing in the size of lhe period4 attracror Regarding lhe oscilJatory barshyaeter ofthe banging water~ these two period-4 behav~ lOIS suggests that we bave the same oscillation mode below and above (n) but with a little difference between their boundary conditions

322 Series combinalion For a Wgher drop- rate another experimental bifurshy

cstion diagnlm was observed with the dripping rate ranging from 288 down 268 dropss In F18 4(a) is shown lhe bifutcation diagnun 7 vs n

i

ohtaiacutened by plotting lhe pciacutents alteruately in blaellt (-159 ) ingreen (=2610 ) inred (n = 3711 ) and in blue (n - 4812 )

InitiaUy~ the system evolves in a period~2 attractor until lhe ches red + blk and green +blue colshy

-1- For a given value ofthe cmrttltll pammeter euro the seties xl tuld Y ete fUIlI1ltrlcllJy laquonained aftrr 11 ttnusltnt oi 10000 lIetations from 1he same initial cQlIdiOOm (xG )~ 06)

bullbull

63

7

A Tuaile et aL Pllysics leJters A 255 (1999) 58-64

10 i

os Py obull o

osL 07

Fig 5 P~ (cuntinuuus linel and Py (uacuteasheu ine) as fWHtions of

fmiddot

Iapses at point T After that the system continues to evolve in a period~2 movement but showing invershysion of phases (see tbe colors exchange) until point F where another bifurcation occurs on each braneb Therefore this diagram ean be split in an odd dia~ gmm (blaek + red) as shown in Fig 4(b) and in an even diagram (green + blue) as shown in Fig 4(e) The skcleton of eaeb branch 15 preserved even in the regions of superposition of the branches as in the chaotie region (n 25 X lOs and ~ 097 in Fig 4) The branebes in Fig 4(b) and 4(e) have similar behavior and structures (common bifurcation points and chaotic regions) but different sizes

Tbe similarity between each brancb and tbe logisshytic map suggests that this peculiar behavior could be interpreted by the combination of two strongly intershyacting logistic maps (series combination) as to say the feedback of one logistic map into another one

x+ -4p(Oy(I-y) oddbrnnch

Y+ -4p( Ox(l-x) evenbranch (4)

where PxltO and pig) are the control parameter ftmctions The choice of Px(g) and Py(g) shown in Fig 5 leads to a reasonable emulation of tbe experishymental diagram as sbown in Fig 4(A) (8) and (e)

Considering that each branch is visited altershynately and associating each branch to an oscillating mode of the water column it seems that the initial conditions imposed by one drop to the next one switches from one oscillating mode to another oneTherefore the combined maps models can give us a first sigbt about some Ioeal behaviors of the experimental diagram

4 Conclusions

We could reproduce tbe profile of some attractors by using the one-dimensional mass-spring model The parameters values obtained by this model are not realistic due to the drastic simplification of the water drop formation dynamics

To interpret some peculiar behaviors observed locally in bifurcation diagrams we proposed the emshypirical model of combined ma~ With the parillel combination we couId emulatc the peculiar replacing of four fixed points by four new ones Tbe feedback of one quadratic map into another one in the series combinatian aJlowed us to realize the collapse of branches and their further separation as well as the preservation of tbe skeJeton of each branch in the chaotic region

Acknowlcdgcmcnts

This work was partially financed by the Brazilian agencies FAPESP CNPq and FINEP

References

(U FC Moon Chaotic VibratiOM Wilcy N~ Yorlc 1987 [2) KT Alligood TD Sauer JA Yorlte Cbaos An Introducmiddot

tion 10 Dynamical Systcms Springer-Verlag N~ Ymk 1997

[3) OE Riiss1er Synergetics A Workshop SpringeroVedag 8erlin 1977

(4 R Sbaw The dripping faucet as a mudei chaotic systelll Aeria Press Santa Cruz 1984

(5) P Manien SC Popc PL Scott RS Shaw Phys Lett A lO (1985) 399

A T~oile ct DL I Phyfitf ieJlerlf A 255 (J1J99J $8-641 64

[6] HNN Yeacutepez ALS Brito CA Vargns LA Vicente Eur J Pbys Ui i989 99

[1] RF Cahllan H Lcidcr~hcr 00 Cahaian Comp Phys JulrjAugust 1990 p 368

(S X Wu ZA Scltelly Physicl D 40 (1989)433 191 X Wu B T_ zA sbltlly Rltv Sei IM 6) H9S9)

3119 lO] K Ote)ltr FR Hlckey AIraquo 1 PbyS $ 0(91) 619 [i t lC Sartmelli W_r1 Gonccedilalves RD_ Pinto Pbys Rcv li 49

(1994) 3963 (12) RD Pinto WM Gonccedilalves lC Sartotclli MJ de Olivcita

Phys Rev E 52 (1995) 6392 U31 JGM do Sil~ JC SartQrelli W_1 Oolccedilal~ amp0 Pinto

Phys Lett A 226 (1997) 269 (l4) XO Shl MP BmmtI ItR Nage1 Scienee 26) (1994) 219 (15) sDR Wilsoa J Fluiu Mech 19(1 i988 561 H6l D1L ~grine O Shokfr A SymGn J Fhtid Mtclt 212

099Ol25 [t1] OW DePDoll JQ Feng DA Basatan Te Scott Phys

Fluids 7 (I995) 1181 (18) X Zhlmg DA ampsarau Phys Auieis 7 (1995) 1184 [t9) A Laveron-Simavilla JM Pcrales Phys Fluids 7 (1995)

121)4 t20J Y Watanabe Jpn J Appl Phys14 (1985) 351

(21) MSF da Rocha JC Sm1orelli WM Gonccedilalves RD Pinto Phys Rev E 54 (996) 2378

[22] J Austin Pbys Lelt A 155 (t99I) 148 (23) JA fomecirc$ J ProcQpio le Sartoacuterelli J App Phys 80

(t9) 6(121 1241 Gt SaacutenchesOrtiz AL 5efusBrito Ph)-s Lctt A 203

(1995) 300 Ph)1IacuteOl D 89 H99S) 151 1Z5] A Dmiddot~ L Rtnna Ph)s Lctt A 220 UI)) 15 Uacutelt

l Theor Phys 35 (1996)941 fhyl Rev E 55(991) 66 126) PMC de Oliveira TJP Penna J Stzl Phi 13 1(93)

189 brt J Mod PIacutel)$ C 5 (1994) 997 tm TJ-P Petma PMc de Olivclla JC Saoorelli Wt

Gonccedilalves RD Pinto Phys Rtv E 52 (1995) RlI68 28] HE SlaulCY SV Buldyuv AL Goldcberger ZO Goldemiddot

beramplaquo S HavUn llN Mmtegna sM Ossadnik CK Peng M Simotls Pllyska A 205 (994) 214

129] K (mem Progr lbeor Pbys 69 0983) 1427 Pmgr Thecn PhY$ 7i (t9iacutef4) 202

l301 Y OU M Tuug l iuan D Fmg LM Naragravenccedili fbys R~ Lett 52 (l9f4) 10L

131] T Hogg BA HUbetman Phys Rt A 29 (19M) X1S 132) LA Bunimcvich Physica O 86 (i99S) 248 [33) C Grnbogi 11 ou JA YOde Phys Rtv Lctt 48 (1981)

151)1 Physica D 7 (19amp3) 1St

Apecircndice 2

Chaotic behavior in bubble formation dynamics

A Tufaile e JC SartorelU

Physica A 275 (2000) 336-346

I PHYSICA ill ELSEVIER Physica A 275 (2000) 336-346

wwwelseviercomllocatelpbysa

Chaotic behavior in bubble fonnation dynarnics A Tufaile IC Sartore1li

Instituto de Fisica Universidade de Satildeo Pauo Caixa Posla166318 05315-970 Satildeo Paulo SP BrQ2j

Received 25 June 1999 revised 19 August 1999

Abstract

We constructed ao experimental apparatus to study the dynamics af the formation of air bubbles in a submerged nozzle iacuten a waterglyccrin salution insidc a cylindrical tube The delay time bctween successive bubblcs was measured with a laser-photodiode system It was observed bifurcations chaotic bchavior and suddcn changcs in a pcriodic regime as a functioo of thc decreasing air pressure in a reservoir We also observed dynamical effects by applying a sound wave tuned to the fundamental frequency af the air column above thc solution AI a function of the sound wave amplitude we obtained a limit cycle a flip bifurcation chaotic behavior and the synchronization of the bubbliacuteng with sound wave frequency We related some of the diJferent dynamical behaviors to coalescent effects aud bubble sizes copy 2000 Elsevier Science BV Ali rigbts reserved

PAeS- 0545+b

Keywords Chaos Bubble dynamics Uostable periodic orbit Synchronization

1 Introduction

The formatioo of gas bubbIes in a nozzIe submerged in a liquid column has been studied by Davidson and Schuumller [I] Buyevich and Webbon [2] and Kyriakides ct aI [3] A criticaI review about the experimental and theoretical resuIts is presented by Ponter and Surati in Ref [4] Results of simulations of the motioo of gas bubbles in a liquid are presented by Krishna and van Baten in Rof [5] The bubbling dymiddot namics presents some features that resemble chaotic systems [6-8] Triton and Edgell [7] observed some attractors by detecting the bubblc passage by a transduccr (hotfilm anemometer) placed close to the nozzlc

The aim of this paper is to report the existence of dynamical properties of bubble fonnation with non~invasive techniques and report the effects of a sound wave 00 the

bull Corresponding autbor E-rrwil address sartorelliifuspbr (IC Sartanlli)

037843711OO1S~see front matter copy 2000 Elsevier Sciencc BV Ali rights reserved PII S03784371(99)00440middot9

--337 A Tuaile Jc SartorelliIPhy~iCD A 275 ((f)()) 336-3

FuncIioo gEIlatlIlaquoW_1-0-1~a

VHS o

Come o

D O O

--shy

~

~ Ai

Rbullbull

pshy

~cf2-~

Capac1liva aJr Reservolr

bull

Iltshy

shyi

VoJ

Fig I Dilsgmn or lhe erperimItlUil upparulus

bubb1e furmtalon dynamics Tho deJay time between _ivo bubbJcs was measurelt by using lhe same mehniques as in lhe dripping laUCOI experiments [9] _ides a route 10 chaos via period doubliacuteng we related some peculiar bebaviQrs observed in biftucanon diagrams to theacute coalescent effects (for a bubble penetrating roto another just aoove lhe nozzle and fonning a single-larger bubble ot when one bubble touches the proviacuteous one fonning a doublet)

2 Tho IlIlbbJ gun apparalUs

The experimental apparatus consists oi a glass IUbe paatially fiUed wilh bull viSC01lS

Julio (warer+glycerol) as schematiclly shown in Fig 1 The air bubbles are fonned blowing air through a nole aI lhe bultam of lhe tnbe The air iacutes supplied by ao aIacuter compressor whose reservoi is oonnected to another one (a capacitive reservoir) through apressure reducer The detection system is the same as in the dripprng faucet experiment [9] A horizontal He-Ne laser beam focwoed in a photodiode is placed a little above the nome The input signals are voltage pulses induced fi a mistor defined by lhe begiruuacuteng (encuumlng) of lhe scattering af a laser beam focuscd o lhe pholediode (in series with lhe resistor) when lhe buhble starts (ends) lo cross ibe laser beam The deJay lime between successiacuteve bubbles was measured with a time eounter circuitry inserted in a PC slol (time resolution =1 ps) The width af lhe pulse is lhe

A Tufuile JC Sartonlillhyrica A 275 (2(1())) 336-346318

time interval n (where n is lhe bubble number) and the delay time between two pulses is lhe crossing time (~In) of a bubble threugb lhe I heam so lhat lhe total time interval is T ~ I + otn We eao setup lhe bubble rate (f= I(T) in two ways (al by futing lhe ~ening oflhe ncedl valv turnlng oITlhe air supply to lhe capucitive reservo-ir and etting the ai pressure to dccrease llaturally~ SQ the bubbling rate 10 thls case we bave analyzed lhe data COnstrucling bifurcatioo digrams (Tn vs 11) Ihat are funcnons of lhe ir pressure deteltiSing (b) by keepiacuteng fix lhe air pressure in lhe capaciliv reserveir and seleeting lhe bubhle rate hy epening (elosiog) lha needl valv bull In lhis ClISe for a given bubhling rate we bave consbucted fust r_ mapa Tn+ vs Tn bull W aIso studied lhe cbanging of lhe bubbles formation dynamics with a sound wave tuned to the fundamental frequency of lhe air column above the solution The sound wves are generated by bull loudspeaker placed aiacute lhe top of lhe tube (see Fig 1) which is driven by an arbitmry function generatotilder The sound wave amplitude was used as a oontrol parameter

We Iso reeorded lhe bubble formation wilh a VHS eamera to illustrate how tbe profiles of tbe bubbles are in dlfferent dynamie1 bebeviors

3 ResuIts und discussion

31 Air pressure aJ a control parameter

Using a solution of fom parts of glyeerol nnd une part of water and a plasticj hypodermiacutec syringe wiacutethout the metaUic needte as a nozzte a bifurcation diagram was

ohtained Ietting the ampir pressure in the capaeiacutetive reservoir go down naturaUy with the bubbling as shown in Fig 2 The diagram shows the evolution ftom a chaotic behavior in region (a) to a periacuteodic window The pcriodic behavior starts with a perl002 region (b) lhereafter a bifurcation occurs giving rise to bull period4 regioo (e) wbieh again ovolves to anolher period-2 region (d) foUowed by a period-l movement rgioo () In Fig 3 lhe illustrations of lhe bubbles prefile in eaeh region as labeled above are shown In Fig 3() tbe 1gtu1gt1gtle are formed wiacutelhout lhe eoaleseent effeet in lhe period-2 bchavior shown in Fig 3(d) there is no coaIescence near tbe nozzle but a little far abav il in Fig 3( c) lhe eoaleseerne oeCUtS close to lhe nozzle but bubbles do oot toueh each olber and a period4 is ubserved in Fiacuteg 3(b) two sueccedilcssive hubbles eoalesee completely givrng rise to a bege single bubbl in a period-2 bebavior nnd in Fig 3() lhe eoalescent elTect in the ebaotic region

A different bifurcarion diagram was obtained in the same way as above using a iong metallic hypodermic needle as ti nozzle as shown in Fig 4 The system is cvolving in a period-2 movement region (a) in tbe Fig 4 with ao _cto size IT+I - T I~ 55 ms As the air pressure in the capacitive reservoir goes down suddenly a shortening of the period-2 occurs and a new penod-2 starts Vith tbe attractors size ITn+J ~ Tnl 1 ms region (b) in tbe Fig 4 Thereafter tbe system evolves to a period-l movement lllustrations af the bubbles profile obtained in each regioli descrihed in Fig 4 are

339 A Ttifailt JC $art(HllliPhysita Aacute 275 (2fJO()) 336-346

O~I----------------------------~

~

~

O I v

O 1000 2000 4000 n

Fiacuteg 2 Bifurcation diagmm obtaiacutened wilh lhe air pressure decreasing in lhe capacitive nservorr lUgion (a) chaotic bchaVior (b) periacuteod-2 (c) period4 (d) perioomiddot2 IUld Ce) period-L The same behaviar is obtained by increasiug tIie oir pressure HypodermJc syringe 1U)zzle

-O

o

0

() (b) (C) (d) ()

lig 3 mustmtions of thc bubb1cs profile and tbc eoalcscent efbts in a cbaotk behaviacuteor (b) periodm 2 with wmplete ooaesm1ce (c) period4 wilh single ooaIescettOO (4) pcriod-2 without cmt1eseenOO noar the llQZlk bul a liuIe flt ~bove il and (c) perioo1

shown in pjg 5 The shorteniog of lhe size af the atttactor is accomplisbed by the shortening oflhe size oflhe bubbles as il is shown in Fig 5() and (b) In lhe larger period-2 regioo close to the nozzle two bubbles coalesce completely fonnIacuteng a largo sing1e bubble as described in Ror [13]

32 SlJWld waue amplitude as a contrai parameter

By keeping fixed lhe air pressure in til eapaeitive reservoir we cbanged til bubble dynamics formalion by applying sound waves tuned to tIle fuedamental frequency j = 138 Hz of lhe air eolumn abave lhe Iiquid solutiou (two parts of glyeerolone pari of water)

340 A Turule JC $oNorellilPhyslco A 275 (2000) SJ6-J46

26 ~ ~-

bull bull

I20 gt

_JPmiddot -F- 15 f14

bull

o ltlO 600

n

Fig 4 Diagrmn bifurcntion as a function (lf air pnmure deCltlMing in lhe capacitic reservorr obtained with a meLallic needle Arowtd lhe region (a i me movement is the large perlodlaquo2 doe 10 lhe coolesoent effcct MOlmd the region (b) is shown a shortcr period-2 and in fuc rcginn te) is soown 11 fixcd point

Uacuteraquo Ib) le)

Fig S (a) Larse prloo2 and Iargc bubbtes due to a GOalescent effect in a peri0d-4 (b) perioacuted-2 without me coaIescent ciTect aud (o) the fixei porot

In Fig 6 lhe first retum maps as a function af the sound wave amplitude are shown lu eaeh fnune lho IOp iMo snows at lhe 10ft lhe sound wave amplitude and at the right lhe bubbling rale We started at a fixed poin at f = 11282 bubbless as showo in Fig 6(a) By applyiacuteng tho sound wave lhe fixod point 1000 its stability aud a Umit cyc1e appears as shown in Fig 6(b) and c) with a littIe increasing of thc mean bubbling mie as lhe amplitudo ls raised

341 A ThfaJJe JC SartoreUllPhysiCIJ A 27$ ()(()(J) 336-346

iamp

TJms)

4

(1)

001[ 1A I 11 31 I ] 99 J71

-- co ~~ gtamp ~ bull I

bull

J 90 100

G)

Trna)

l

t~~i~I i t S ~

lt

(I) (k)

Fig 6 FIacutelSl return maps TI1+1vs TI as a furution of lhe sotlOd wave emplirude (keeping 6)( lhe aiacuter pressure in lhe ccedilapacffive fIICIV)ir) In each fraae the insets sbow at lhe lcfi lhe amplitude and ai the righl the buhbllug rue (li) Tbe lnitial fixed point (b) li limit ccedilycle (c) an unslable limit cycle~ from (d) up to (g) li llip bifutcation III constant bubbling raie~ from (h) up ti) (J) clmotic attrnctnts In eaeh fmme the lfitenection of lhe dashed 100 defines lhe position of an unstable perlod~l orbiacutet (UPO)

342 Acirc Tufuile JC SttrionllilPhysica A 275 (1000) 336-346

In Fig 6(c) lhe limit cyele looses its stability and a fixed paim near (87 87 ms) is visited in 41n intermittent behavior This fixed point position was established by a hislogram pIot of Tn The Fourier transform applied to lhe data related to Figs 6(d)-(g) showed a noisy period-2 _vior aed wilhout any bubbling tato variacuteation Therefore as we are observjog a bifureadon per1od~1-+ period~2 (see In Fig 6(0)-(ampraquo as bull function of lhe sound wave amplitude a period doubling ls being hidden bY lhe noise In bull llip bifurcation lhe i an unslablc fixed peint helween lhe two stable fixed Our data sbows Uacutetat lhe viacutecinity of lhe middle point betweeo lhe stabJe fixed points is been visited due to noise Consequently our data are adequate to apply the fixed poil transformatioo rechniquc developed by 80 cl a [10-12] to finagrave unstable periodic orbits (UPO) in short sedes of events wiacutetb unstable control pararneter briefiy descnbed below

To extract the unstable periodic orbiacutet with a finite amount of noisy data of a o-dimensional system Se et 1 supposed Ihat ali points lyiacuteng in a regian around lhe fixed point x = f(x) can he transfonned to x in lhe vicinity Df x The denshysity function p( x) has IacuteI1verse square-root-type singularities at the fixed poiacutents and a bistogram approximation to Pi) will have a sharp peak at x=x Some spunous pcaks appear in fiO) eilher due to siacutengnlarities not relatelt to fixeagrave peiacutents ar lo zeshyros of lhe derivative of lhe traesformaoon funarion x= g(ltk) They generalizcd the mcthod for a system with an arbitrnty embedded dimension (d) to obtain the unstabl

l periodic oreits by doing the transfonnation

in = (1 - SJ-1(Zr+1 - SnZII) (I) I

where

I (d-l) d)aftolfmiddotmiddotmiddotan trS= (

1 O +lltRllz+-zII (2)

a I (zn - 211_1)t -1 ( ( I - Z)1Zn+l

=1 (3)

d (Z_(d_l) - Z_d) (Z_(d_2) ~ Z~_(d_1)t

Zn are the reconstructed vectors ftom scalar time senes xn

ZJj = (Z~ZZ~ _ ~z)t = (XnXn_hXn_2 Xn_d_)t (4)

R is a d xd randam matrix in the range [- I I] and 1C is the magnitude of me randomshyization The fixed pojnts are giacuteven by the peak positions of l(i) As the locariaM of lhe spurious peaks dopend ou the parameter Ihey are eliminated by taklng lhe vecage (pczraquo) for maey dilfrent values picked up randomly As lhe attractQrs reconstruelion in a Wo-dimensional embedded space are enougb unfolde~ we applied this technique for d =2 w Iso chobullbull Ilt =5 and 1000 random matrIacuteces

343

se se 00

1 ~(S)

A Tufoile IC SartorellilPhyslca A 275 (2())()) 336-346

rzg 7 (li) Tht hhWgJlim ap~JA 10 p(i ub(ained wi1h the fixed paim trunsfonnatitm ttdmique using the daia sbown in Fiacuteg 6(h (b) lhe eonlout gmpb around lhe unstable periodl orbit ($697 8697 ms)

An example of our results is shown in Fig 7(a) where is drawn the histogram approximation to p(x) using the data shown in Fig 6(h) For better visl3lization of the unstab1e period orbit position a contQUr graph of the same data is shown in Fig 7(b) The higbest peak defines ao unslable penod-1 orbit at (8699 amp699 ms) cIose to

tbe stabJe fixed point shown in Fig 6(0) In this way we fOWld au WlSlable periacuteodo orbit as shown by lhe intersection of the dashed lines in Fig 6

Wiacutetb furtber ampHtude inereasing we observed the appearance af a chaotic regjon with stretchiacuteng and folding dyoamics f bullbulltures as shown in Fig 6(h)-(il and with

2500

2000

1500 c

81000 ~ 500

(a)

1

~1 I I

I

(h)

ilf

92

_2275 - 2600 _1950 - 22S _l6a5 - 1950 _1300 - 1625 l1li9750 - 1300 l1li$51)0 - 015-(1 W7~~O - 6500

() _ 3250

Tn(msj

344 A Tufaic JC SurtoreliilPhydoo A 275 (2)()()) 336-346

81 114

075

1 gO50 ~ gt

1deg25 degOOr--middotmiddot---mm--mm--------m-----~~J 82

- -i

870 eI -~--=__------__----_-----___shy8

f ~

J ~

Q 111 1~

I I I J1 02 03 04 05 06 07 08 M 10

sound wave smplitudOV

Fig a As li ftmction of the sound wave amplitude (a) the dominant LyapunoacuteV exponent (1raquo the mean bubbling mte (left seale) and thc unstablc pccedilriodiccedil objt (right scalc) The ltonliDuous lines are guide$ to Yshy

little change in the bubbling frequency The reconstructed attractors in tbe chaotic region were characterlred by lhe domJnant Lyapunov exponet [13J as sbown in Fig 8() However lhe unstable periacuteod-l orbil remains in tbe ohaorie region wilh little cbang o its position as hoW in FIg 8(b) (rigbt soale)

Contiacutenuing to increase the sound wavc amplitude with larger amplitude increments lhan betor we obtained lhe atttactors shown in F4 9 In Fig 9(m) lhe mean bubbling mie is 205 bubbl for a sound wave amplitude 0014 V and lhe pasition (~72S 725 ms) is visited in an intermittent behavior The visitation time increases as we increase the sound wave amplitude until the point ( 725 -725 ms) beoomes a labla fixd pain as hown in Fig 9(n) In Ihi situarian til rnean bubbling rrequency is f = 13797 009 bubbles whiacutech iacutes tlul sound wave frequency valu bull Therefore the bubbliog hcome synehronlred with the sound wave In Flg 10 we ca 1IIe dilference betwee lhe bubbles prefile in lhe first fixed paint as shown in Fig 6() and lhe syncbronlzed iacutejed paint shown in Fig 9(0)

(XII arI Cf1) kmmlmlj Mllacirc puoosrrn q~ ~mAacuteS ~ (sfsgtIqqtq L6Lt = f) sliacuteqqtq nn unjA 1tfOd fXgt1I9 t1ilf )ql (q) (sjgllqnq un I f) c)9 1ik tI Ut01ls laOO tmJ lSty Iql JO ~ Slqnq lt)ltJ (v) 01 -RJJ

(q) (raquo

)IIJJM punes ~tI JO )wnbarj ~UllJ oql tj~ pozroorqIMS

1l0mIllOJ Ilqqnq nql (u) lOAmp~ lIl(lnftuJtlll W to PQl~ S (sm SZL CcedilZL ) 1Uod lU (01)6 ~iI

(SIUUL

bull 00 Oi o (UI)

i

346 A TulaiJ JC S(1r(orelli Physica A 275 (2(J()(J) 336-346

4 Coudusion

We observed bifurcations in a bubble gun expetiacutement as a funCIacuteon afhe aiacute preshy8Ure In one case j we observed in a period-2 movement ti sudden change in the attraacuteCrors

size related to the bubbles size In other case with a different nozzle geometry we observed a periacuteod-doubling easeade J -+ 2 -+ 4 fullowed by a eMotio hehavior In both cases we fclated some different dynamical behaviotS to coalescent effects

For a fixed air pressure we used as a second control parameter the amplitude af a sound wave tuned to the fundamental frequency of the air tube above lhe oolutioo We observed as aacute function of increasing sound wave amplitudes the appearance af a fixed paim a limit cycle~ which looses 11$ stability and a new flxed paint appears a lllp bifuration followed by bullbullIutou regiOll wih strerehing and foldiacuteng features Thereafter a new fixed paiot starts to be visited in an intemUttent behavior anti the bnhbling synchronizes with lhe sound wave freqnency

We applied the technique af the transformatioD af the tixed pomts to extract an unstable period~l orbiacutet embedded in noisy reconstructed attrnctors in the fiip bifurshyClltion region This unstable period-l orbit remains in the chaotic regime which was charatterized by the dominant Lyapunov exponent

AcknowledgemenJs

We ate gratefuJ to Professor AJ Liohrenberg RD Pinto and MS Baptista for heir suggestions FinanciaI support from lhe BrnziUan Agencies FAPESP CNPq and FlNEP iacutes gratefully acknowledged

Rcf

[1] JF Davidson BOa Shiller Trans lllst Chem Eng 38 (1960) 144 (2) YA Buyevfub BW Wcbbon Chem Eng Sei 51 (19 4M3 [3J NK Kyrlalddes EO Kaslriookls SG Nychas em j Chem Eng 75 (1997) 684 [4] AS Pontet AJ Surnli Cbem Eng TecltnaL 20 (1997) 85 [5] 11- Krisbna 1M _ Nottue 398 (1999) 208 [6) 11- F IA _lt= A Phys Leu A 243 (1)l8) 67 [7] DJ TriUltm C BSU Phys Fl A S (1993) 503 [a] LJ Milloni MP Scllwar~ RD Ut Nuuzc Phys Fluids 7 (1995) 891 (9) JC Snt1oreIuuml WM Gonccedilalves RD Pinto Phys Rev E 49 (1994) 3963

[10] P 50 al Ihys Rev -t 76 (1996) 4705 [11] P So et al PllS Rcv E 55 (1997) 5398 [12] P So Cf al Biophy$ J 74 Z776) 1998 fI3] S ElIner DW Nycbka AR GIlllant LENNS a progrmn lo estimntc lhe dominant Lysp1JlU)v cxponcnt

of noisy noulinear systcms from time series data (fustitute of Statistics Mimco Serlcs 00 2235 (BMA serias lO 39) Statis1ks Department North Carolina State Univcrsity Raleigh 1992)

I 1

I

Apecircndice 3

Heacutenon-like attractor in air bubble formation

A Tufaile e JC Sartorelli

Physics Letters A 275 (2000) 211-217

I

PHYSICS LETTfH~sA

ElSlMER Phys1cs Lctfln A 10152 (2000) 1Q(l

wwwelsevebullnllocalJpl3

Heacutenon-like attractor in air bubble formation

A Tufaile JC Sartorelli lflUacuteMd dI FistCil Untveridadc de Samp hIlJC Cooacutea Postal otilde6JJ8 flf31J-l70 Sim PauID SPl1roil

~ved 6 Junc 2000 rnceiVdl in revised furm 29 Augusi2000 aeccpted 29 Angusl2000 Communicated hy cR DocriDg

Ahstract

Wc studlod the formation ar air hubb1es in 11 submerged nozzle in a watcljglycerol solution inside- a cylindtical tubeacute submitted to a sound wave perturbation lt was obslttved a mute to elmos via periacuteod 40ubling as a funetion of thc- sound Wllve amplitude We applicd metriea1 as well as topological chtmleacuteterization t(J some ch~tic attraetorn Wt localizcd ti flip saddle and wc aIso could establish relalions to a Heacutenon-like dynamics with the oonstruction of symbolie planes C 2000 Publishcd by Flrevicr $ciCllCe RV

PACS OSAS+b KeywonJs Cblrol Bubbe dyruunics Heacutenl)lt map

1 IntrodoetiOJl

We npot1Jd [1l some dynamical elfects of o sound wave in a bubble fonnation dynamics such as a flip bifurcatioacuten as a fimction of the increasing smmd wave amplitude Lauterbom and Paditz [21 studied the main reatures of bubble 05cillator in which the size of a small bubble in wnter oscillates due to a _ field Tritton and Edgell [3J observed some atiroctors by detecting thc bubb1e passage neatby a tnulSducer Ototmiddotfilm onemomme) pUacutelced dose to a nome where the bubbles were issued and they repartelt the existeace of a chaotic bubhlmg

~ccedil tumor TeI +55 11 81S 691S fax gt$5 11 813 4334

verified by visual inspections OOt without any kind of characterizatiacuteon af the chaotic dynamics Mittoni et ai [4J observed chaotic behavior with positive Lyapunov expunents in bubbling systems using a pressure transducer Li et a1 [5J studied lhe chaotic behavior of bubb1e 1oalescence in non~newtonian Iuids Ruziclm et ui [6J observed raquopc m intemritshytency in the transinon ftom bubblmg to jetting regime in 11 nitrogen-water system

Characterizaticn ofexperimental data oinonlinear systems using symbolie dynamiacutecs has becn reported by Gonccedilalves et al [71 in whiacutecb lthaotie at1mctms

from me drlpping faucet experiment were approxishymated to mioimal nmchines and the topological analysis applicatioD by using symbolic dynamics was more suitable to cllaracterize experimental data due to jts robustness to nalse Letellier et al [8] npplied topo1ogieal cbaracterization to irregular pul-

037S-96ltI1jOOS - slaquo trolit mluer 02000 PubJishtd by E~lr Stienee av PU S031i-960l(OOgtOtl58S-5

2 A TufoileJC Sartcrelli Pb)$Ws Letie1$ A )fi (2001)) (1I)fJ-()(J()

sations cf a hydradynamical madel of nu pu1sating sUlr by constructiug symbolic planes

Wc have studied the air bubble fonnation dynam~ ics in a submerged nome in n waterglycerol somshytion illSicle cylindrical tube (see Ref [n for detaiIs) as a function af 11 sound wave amplitude tuned in the air column above the solutiou Using metrical and topologica1 cbaracterization we observed a flip bifurshyestion which is followed by a chaotic region wbere some reconstructcd attracrors resembfe Heacutenon~1ike attractors which esmbHsh a possib1e mure to chaos in bubbling dynamics

2 EJpcnmental apparatus

The experimental apparatus of the bubble gun experiment is sbown in Fig 1 The bubbles were generated by injecting mr under constant flow rate conditions through a metallic nozzle immersed at the bottom of a viscuus tluid column (20 watcr plus 80 glycerol) maintained nt a level of 12 ctn The inner diameter Df the cylindrical contaioer js 53 nun and 70 em in hcight and the innel diamcter of thl nozzle is 13 mm The nozzle is attached to a capacitive air reservoir and the air flux ean be set up

by a need1e valve and the capacitive air reservoir is supplied by aa air compressor through a pressure reducer

The detection system is the same as the drippiacuteng faucet experiments [9t lO] A horizontal He-Ne laser beam focused (10 a phorodioacuted~ is placed a little above the nozzie The delay times between succes sive bubblcs were measured with a time circuitry inserted in a PC slm With a time resoJution equals to I ps The input signals are voltage pulses induced in a rcalstQ defined by Ih beginniacuteng (endingl af scattering af a laser beam focused ou lhe photodiode (in senes with the reslstor) when the bubble starts (ends) to cross the laser beam The lidth of pulse is me time interval tIl (n 1S the bubble number) and the time delay between two pulses is the crossing time (dt) cf a bubhte through the laser beam 50 that the total time interval is Tft = tIlt + dI bullbull

Setting up Ih bubble rale (f- I(Traquo) keeping fiacutex the air pressure in the capacltive reservoir and selecting the bubble rating by openjng (closlng) me needle valve we changed the bubble fl)IIllAtion dyw ooooics applying a sound wave with a loudspeaker pIncelt at the top of tbe tube The sound wave was tuned to the fundamental frequency of the air column above lhe liquid and its amplitude was driven by a

Rmction genemlor

Jl22l + H

shy

I

Alr9lifier i

j -tgt ~bull

I

~

o

o

Fig I Diagram cfme ~nlal apparzrus

I A llifaile lC Sm10r01ll Phpics UdtersA ()( (2iJ1)(J) OOO-f()(

-iacute

f

~

Driven Voltaga (V)

Fig 2 Bifurcation diarccedilaln ofthe inte1bllbble iotavals ti a function ofthe londiipeaka driml volige Wc cstimated lhe exptlrimcntal noise laquo$ -100~ in lhe period I behaYIacuteor

i

function genenrtor A11 the measurernents were doneshy

I at room temperature

3 Results and discuasion ~ II

The air flow rale and tbe sound wave ftequency were ept conslant at - 366 bubble(s and 150 Hz respeetively We changed the Imool dynamios forshymation increasmg the driven voltage in the loudshyspeaker as shown by ilie biacutefurcation diagram in Fig

32

1

~ 24

2 A period doubling OCCUIS around 2 0 V and the bubbles are issued in pairs until 30 V~ when a noisily period fougt appears After then two-band hehavior takes place and each band presents chaotie behaVior At 35 V the chaotic bands start to overlap and a large- chaotie attractors emerges

To perform metrical and topological characteriacutezashytion of the bubbJe fonnatilt)D dynamics we collected S1x time series keepiacuteng fb six drlven voltages whose respective retum maps (T I versus T) are sbown in Fig 3

~r I

- 111

(a) (b)

35V

(d)

~

24

I 25 V I ~ bull

I -(c)

I 45V I

(f)

T(ms)

Fig 3 A gquencc cf rtconstructcd aUtaclors 5howing 11 period-doubling tome to clI3os In eacb tlanle thI iDsct shows the driven vo114se (a) peticd t (b) period (2)i (ccedil) a two-band aacutetttactru (d) te) and O are claotic aUietatS chmctmzcd by the 1atgest LapWlOV exponent ftlR IlJ9 IIl1d 024 ~ivcly nbtllned w11h tlle lRNNS j13Clcase [1lJ F~1eacuteh titl1( Ienes is 4fl()(I h1lbbles long

1

1 Thfoiacutele IC SarrorelJi I PhJir$ LdterH A fJ(J (2000) OOfJ-(JJ()4

31 MetricaJ characterization

The reconstructed attractors in the chaotic region (rrom Fig 3(d) through 3(t) were characterized by the Lyapunov exponent51 by the Kaplan-Y orke di~ mension and by the infonnation dimension obtained by the rlSEAN package (12) A cofiecture [13) relates the Lyapunov spectnun (A) and the informa~ tion dimcnsion by me Kaplan~Yorke dimension D1Cf

1gt1 i-i ( I) -k+ - IDK( - IAgrave I

H

where k i5 the maximum integer so tbat SUtn af the k-largest exponents is stiU llOn-negative This cotildenjecshy

middot mre iacutes valid for Heacutenon attractor and it is checked on teconstructed attIactots The paramerer va1ues obshytained for the driven voltages V 35 40 and 45V are shown in rable I (see Figs 3(d) 3(0) and 3(t) The Kaplan-Y orke dimensions agree with iacutenfatmashytion dimensiacuteOllS The two first chaotic attractors have a Lyapunov spectrum witb one positive exponent and one negative exponent while the last one Fiacuteg 3(0 bas one positiacuteve and two negative exponents In Table 1 we also present the results of Heacutenon maps (flr))~(y+ I-axoacutexraquo recolllitrUcted as _ retum maps XH 1 versus X (see Fig 4(a))

Ue attrnctQr dimenslons ror ooven voltages of 35 V and 40 V are close to the dimensions of the HecircnOll map suggesting that they couJd have similar dynamiC$ The reconstrultrted attIactor for 45 V see

Table 1 LyapUJlQV exp~ and dirrlensfuns for experimcntll ch30tlc a~ and for two pairo (Ir atues ar Heacutenon map pomnnctm

Fig Drlven L)aplmOv Kaplrut-Yorkt Infonnation voltage IIpcetrn ~oo dimensioo (V) (ermt) (mor)

3(d) 3 +oll -08 1IJlJ 1)J

3c) 4bull +012 -06 123(1) 141) 31 +01-03 L68m 18(3)bull

Heacutenon -09 b LS50f +038 -238 116) 116(9) 1403 +042 - L61 12i~) U9(9)

) Oilcuhted wltb Eq ti)

(o) __321 ~

31)

3 24 221lt ~

22 24 2amp 2fj 30 32

T(ms)

Flg 4 (3) A iacutelippins eXlUlllie in lhe Heacutenon mtmctot The flip sarldlc IS tbe eroll5lns point or lhe daIDed line and lhe atIractm (056 056) (b) A flipp1ng ~ in lU ~W at1lactor fuT 3 dtivcn foltage cf 40 V

Fig 3(0 has similar prorue of the other two as shown in Fig 3(d) and 3(e) However its informashytion dimensiacuteon value is quite different ftom me omer two attrnctors (3(d) and 3(eraquo as well as diacuteffimm from tbe Heacutenon map values as shown in Table L In addition to the three exponents of the LyapllllOV spectra the dimension information dose to two is a cue that the attractor 3(0 could not be untangled in MO dimensions

7 A Thjaile Jc ~iI Physia Leitos A (Jfl (1000) ())(JOOII

I

I

The partition is represented oo OOl by dashed lines In Fig 5(8) 15 shown the Heacutenon map for a = 155 and b - 01 lhe partition used is a vertical line that separates the single branch (L) from the foIded one (R) that contruns ao unstable fiacutexed point and tbe Heacutenon symbolic plane afl is shown in Fig 5(A) From Fig 5(h) tbrough 5d) lhe experimentll atttactors are shown In those aSes the partition can not be done with a vertical linct 50 we looked for C1]Ves that eould separare Ih single hranch (1) from the folded ODe (R) The respcctive symbolic planes laquo3 atbullbullhown in Figo 5(1l) 5(C) and 5(j)

The pauero of lhe three experimental _bli planes resembles tOO Heacutenon symbolic plane Tbe best similarity OCCllrs for the driven voltage of 35 V whose symbo1ic plane has the same allowed and forbidden zones as the Heacutenon ones For higher wave amplitude some forbidden regions in the symbolic planes start to be visited (for example ex = 08 and 3 - 04 in Fig 5(Draquo howiacuteng lha lhe bubble forshymadoraquo dynamiacutecs is running away from the Heacutenon~ like dynamics In Fig 6 it is shown lhe bubble trains raisiog through the fluid to ilIustrate the ditference between the bubble profiles in the periodiacutec regimes lllld the Heacutenon-1ike one shown in Fig 3

4 eocluslo

We have used metriatl and topologica1 lt1ethods to characterize lhe dynamics ofair bubble fonnation We have observed that a gradual increase in the soillld wave amplitude results in a route to ehaas via period doubling W bullbullharncterized some chaalie beshyhaviar with lhe LyapuMV spelttra the Kaplan-Yorke dimension and the infonnatiacuteon dimension which 1ed 11$ to relate some results to a Heacutel1on~1ike dynamics a low dimensional dissipative system with stretching and fo1ding 1teacuteeacutebanism The Hecircnon map parameter values) (1 155 and b=Ol cbrrcsp(l11d to a more dissiacutepative system trum the classical values a = IA and b - 03 coberently mIa h bigh liquid vi

ity tbat parares li less sttuctured attracror The establisbment ofa fljp saddlc and the oonstruction of -ymbolic planes reinfotced 0Ui assumptiODS UsushyalJy two dimensional mappings are used as mudels o forced oscilintms _ore me bnbble formatia can be seen as an oscillator driven by a sound wave

Acknowledgements

This work was partially supported by Bmziliao agencies FAPESP CNPq and FINEP

Refcrences

t] A Tufuilc JC Sanorelli Phy~ca A 275 (2000) 336 (2) W Latrtcrbom U Parlitz J Acollocirct $o= Ato 84 (l9S8)

1975 (3] DJ Tritlon C Edgen Phys Fluids A 5 (t 993) 561 (4) LJ Minoro MF Schwarz RD La Nauze Phy Fluds 1

(1995) 891 [5] lU Li Y Moulinc L Choplin N Midoux lnt J Mnliphase

Flow 21 (1997) 173 [61 Me Rnzicka J Druacutetos J Zahradnik N Thomas Inl J

Muuumlphase Flow 23 (1997) 671 (7J WM Gonccedilalves RD rinlo jccedil ~orelli fhy$iccedila o 257

(1998)385 [81 C LcteUier G Gouesbct F Soufi JR Iluchlcr z KtlI1acirclh

Choos 6 (]996) 466 [9 Jc Sartorelli WM Gonccedilalves aD PlnlQlbys Rcv E 49

(199003963 [10] A TllfiIile RD Pinto WM Gonccedilalves JC SattOtelli

Phys Let A 255 (1999) 53 [tI] s EUoI DW Nychka AR Gallam LENNS a JlfOJpW to

eSUacuteil1lfle the dominant L)llpWJOv txponent afnoisy nonliucar sy5tcm5 fmm time scrics data lnstitule af Sta1i$itli Miacutemeo Srnes n 2235 (B~iA series n 39) Statisties f)q)artltletrt North CaroHca Sbtc Uniwniiy Raeigh 1992

[I2] R Hegget fl KanIz T Schrciblaquo Chaos 9 (1999 413 [131 r Ftdtrlclson JL Kaplan ED Yorlte lA VNte J

Olff Equat 49 (1983) 185 1141 KT Alligood TD amputt JA Yooo Chaos an introduoshy

Uumltm ttl ~ systems SpringuBerlin J991 [151 iL Zhao WM ZbeIlS Ccum Theot Phys 19 (1993) 11

-1

  • 1
  • 2
Page 5: Estudo da formação de bolhas em líquidos

I I Neste Instante gigantesco vi milhocirces de

I atos agradaacuteveis e arozes nenhum me assombrou

I mais que ( fato de todos ocuparem o mesmO ponto

sem superposiccedilatildeo e sem transparecircncia O que meus olhos viram foi simultacircneo o que transcreverei seraacute sucessivo pois a linguagem (J ecirc

Jorge Luiacutes Borges O Aleph

Abstract

We have constructed an experimental apparatus to study the dynamics of the

fonnatiacuteon of air bubbles in a nozzle subrnerged in a waterglycerin solution inside a

cy1indrical tuba The time delay between successive bubbles was measured with a

laserphotodiode system

The results were interpreted by meaus of Chaos Thecry and it was observed

biacutefurcations chaotic behavior and sudden changes in a periodic regime as a functron of

decreasing alf flow rate issued through the nozzle

Besides bubbling regime tragraveI1sitions we also observed dynamical effects by

applying a sound wave tuned to the fundamental frequcncy of the air colurrm above the

liquiacuted of the bubble fOffiiation As a function of the sound wave amplitude we obtained

Iimit cycle fHp blfurcatioo chaotic behavior and synchronization of the bubbling with the

sound wave frequency

Applying metricaJ as well as toacutepologiacuteeacuteal characterization to some chaotic attractors

we could establish relation with a Heacutenon-like dynamics The Heacutenon-like behaviacuteot j5 a

particular case of thc dissipative two-dimenslonal circle~rnap dynamics and by varying the

I amplitude of a sound Wave we have observed featutes present in the cIacutercJe map dynamics

I such as

I Chaos

i I

I 1

transition from quasiperiodic to chaotic behavior period doubling cascade and

Resumo

Construiacutemos um aparato experiacutemental para estudar a dinacircmica da formaccedilatildeo de

bolhas de ar em um bico submerso em uma soluccedilatildeo de aacuteguaglicerina dentro de um tubo

ciliacutendrico O tempo entre bolhas sucessivas foi medido com um sistema laierfotodiodo

Os resultados experimentaiacutes foram interpretados usando a Teoria do Caos Foram

observados bifurcaccedilotildees comportamento caoacutetico e saltos no regime perioacutedico em funccedilatildeo da

diminuiccedilatildeo da vazatildeo do ar soprado no bico

Aleacutem das transiacuteccedilotildees dos regimes do borbulhamento noacutes tambeacutem observamos

efeitos na dinacircmica do borbulhamento quando aplicamos uma onda sorrora sintonizada na

frequumlecircncia fundamentai da coluna de ar acima do liacutequido onde as bolhas eram formadas

Em funccedilatildeo da amplitude da onda sonora noacutes obtivemos ciclo fimite bifurcaccedilatildeo flip

comportamento caoacutetico e sincronizaccedilatildeo do borbulbamento com a frequumlecircncia da onda

sonora

UtiJizando caracterizaccedilotildees meacutetrica e topoloacutegica em alguns atratores pudemos

relacionaacute-los com uma dinacircmica tipo-Heacutenon cujo comportamento eacute tun caso particular da

dinacircmica do mapa do ciacuterculo bidimenslonaL Observamos caracteriacutesticas presentes na

dinacircmica do mapa do ciacuterculo na formaccedilatildeo das bolhas variando a amplitude da onda sonora

tais como transiccedilatildeo para o Caos via quase~periodiacutecidade cascata de duplicaccedilotildees de periacuteodo

e Caos

Iacutendice

Iacutendice

L Introduccedilatildeo 1

2 Aspectos teoacutericos 6

21 Buxos e recorrecircncias 6

22 Mapas de retorno 7

23 O Mapa quadraacutetico 8

24 Dimensotildees 12

25 Expoentes de Lyapunov 12

26 O mapa de Heacutenon 14

27 Reduccedilatildeo de rufdo 16

28 Espectro de Fourier 16

29 O Mapa do Ciacuterculo 18

210 Transformaccedilatildeo de ponto fixo 24

211 Plano Simboacutelico 25

3 Aparato experimental 27

3 L O tubo borbulhador 27

32 Sistema de aquisiccedilatildeo 28

33 Medidor de vazatildeo 29

34 Controlador de vazatildeo 30

35 Vaacutelvula solenoacuteide proporcional 31

3 6 O bico borbu Ihador 32

37 O sistema pneumaacutetico 33

38 O sistema sonoro 33

39 O liacutequido 37

310 magens 38

31 L O Experimento da Torneira Gotejante 40

4 Resultados e AnaacuteIise 41

Jlldfce

bull

41 A tornejra gotejante 41

42 Dinacircmica das bolhas 45

42 I Formaccedilatildeo quase-estaacutetica 45

422 Formaccedilatildeo de bolhas com vazatildeo constante 46

423 Bifurcaccedilotildees 48

424 Veias liacutequumlidas 52

425 A estabilidade de dois fluidos sobrepostos 54

426 lnstabiliacutedade da superfiacutecie da bolha 56

427 Frequumlecircncia de borbulhamento 59

428 Duplicaccedilotildees de periacuteodo 62

429 Salto e coalescecircncia 62

4210 Antibolhas 69

43 A onda sonora e as bolhas 72

431 A fonnaccedilatildeo de bolhas perturbadas pelas ondas sonoras 73

432 Atratores do tipo Heacutenon 78

432A Caracterizaccedilatildeo meacutetrica 80

432B Caracterizaccedilatildeo topoloacutegica 81

432C Plano Simboacutelico 83

44 Oscilaccedilotildees forccediladas 85

45 Comportamento geral 87

46 Comparaccedilatildeo entre atratores 92

47 Modulaccedilatildeo do Paracircmetro de Controle 94

5 Conclusotildees 97

6 Referecircncias 100I

ApecircndicesI 1 Simulations in a dripping faucet experiment

2 Chaotic behavior in bulgtble fonnation dynamics

I 3 Heacuteuon-like attractor in air bubble formation

I I

I

lnwod~u~ccedilao~-~____________________~________ ___ 1

1 Introduccedilatildeo

Com o advento da Teoria do Caos [Li e Yorke 1975] foi proposto que eos

sistemas natildeo-lineares com poucos graus de liberdade poderiam gerar uma dinacircmica

muito complexa como comportamento perioacutedico quase-perioacutedico e caoacutetico~ que

dependeriam dos paracircmetros de controle do sistema Tais sistemas no estado caoacutetico se

tornam imprevisiacuteveis enquanto o tempo avanccedila devido a uma propriedade baacutesica dos

siacutestemas caoacuteticos conhecida como sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais Podemos

encontrar exemplos destes sistemas ao nosso redor como nas oacuterbitas planetaacuterias

sistemas quacircnticos [Bertelsen el ai 1999J variaccedilotildees climaacuteticas [Lorenz 1980)

torneiras pingando [Shaw 1984 Martien ct al~ 1985 Sartor1li el 011994

Gonccedilalves1996 Pinto et aI 2000] reaccedilotildees qwmicas abalos siacutesmicos e circuitos

eleacutetricos [Jackson 1995] Podemos tambeacutem encontraacute-los dentro de noacutes mesmos nos

impulsos nervosos [Rapp et ai 1990] pulsaccedilotildees cardiacuteacas reproduccedilatildeo celular e muitos

outros ritmos bioloacutegicos [Jaclrson 1995)

Seguindo uma sugestatildeo de Rotildesller [RossIer 1977] de que uma torneira pingaodo

poderia ser um exemplo do sistema de equaccedilotildees diferenciais que exibe comportamento

caoacutetico~ Shaw [Shaw~ 1984] desenvolveu o experimento da torneira gotejante que se

mostrou mais complexo que O sistema proposto por Rotildesller No Laboratoacuterio de

Fenocircmenos Natildeo-Lineares (LFNL) do Instituto de Fisica da Universidade de Satildeo Paulo

foi construiacutedo um experimento semelhante ao experimento da torneira gotejante de

Shaw [SartoreUi et al~ 1994] e esta experiecircncia permitiu observar uma enormei

variedade de comportamentos dinacircmicos1 tais como CrIacuteses [Grebogi et ai~ 1982l

I intermitecircncias duplicaccedilotildees de penado e oacuterbitas homocliacutenicas Para explicar taisI comportamentos foram desenvolvidas algumas teacutecniacutecas para anaacutelise das seacuteriesI

temporais [Gonccedilalves 1996 Pinto 1999] Desta forma o conhecimento adquirido com o experimento da torneira gotejante

I nos permitiu propor e desenvolver um experimento para estudar a dinacircmica da

formaccedilatildeo de bolhas em um liacutequido onde medimos o tempo da fonnaccedilatildeo de bolhas de

ar sopradas em uma mistura de aacutegua e glicerina utilizando as teacutecnicas semelhantes agraves

utilizadas no experimento da torneira gotejante Este experimento) que chamamos de

tubo borbulhador [Tufalle e Sartorelli 2000a Apecircndice 2 Tufuile e Sartorelli 2000b

Apecircndice 3] eacute de interesse tanto no estudo dos sistemas dinacircmicos quanto nas

aplicaccedilotildees em fluxos com duas fases [Ruzicka el ai 2000] Aleacutem dos efeitos da vazatildeo

I

2 1lntroduccedilatildeq

do ar na formaccedilatildeo de bolhas~ -estudamos os efeitos de uma onda sonora nas intervalos de

tempo da formaccedilatildeo de bolhas

A geraccedilatildeo de bolhas eacute importante em uma vasta gama de fenocircmenos onde temos

a dispersatildeo de um gaacutes num liquido desde ocasiotildees corriqueiras corno no preparo de

uma maionese ateacute em Engenharia Quiacutemica nos chamados equipamentos de mistura de

fases Para citar apenas algumas situaccedilotildees temos a criaccedilatildeo de bolhas em colunas de

borbulhamento vasos de fermentaccedilatildeo~ equipamentos de limpeza e extraccedilatildeo cavitaccedilatildeo

acuacutestica em bombas hidraacuteulicas e vaacutelvulas de controle reatores caldeiras e fijiacutedo em

transmissotildees de ondas sonoras no oceano [Clift e ai 1978]

Basicamente podemos ter quatro formas de formaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos

a) Soprando um gaacutes atraveacutes de um liquido

b) Quando a alta velocidade do liquido diminui a pressatildeo de rorma draacutestica (abaixo d

pressatildeo de vapor do liquido) e uma cavidade preenchida com vapor do liquido se

forma ocorrendo o processo que eacute conhecido como cavitaccedilatildeo

c) Quando um aquecimento local faz com que a pressatildeo de vapor do liacutequido ultrapasse

a pressatildeo local do liquido e uma cavidade de vapor se furma por ebuliccedilatildeo

d) A diminuiccedilatildeo brusca da pressatildeo no liacutequido faz com que gases dissolvidos fotrnem

bolhas no seu interior que ocorre quando abrimos uma garrafa de refrigerante ou

em situaccedilotildees mais etais~ como aacutes bolhas que causam embolia em mergulhadores

que sofrem descompressatildeo

Neste trabalho focalIacute7aremos o primeiro caso da formaccedilatildeo de bolhas principalmente

em liacutequidos viscosos usando uma abordagem da Teoria do Caos

O estudo da formaccedilatildeo de bolhas eacute interdisciplinar devido agraves aplicaccedilotildees encontradas

em Engenhruia Fiacutesica Quiacutemica Ocolisica Matemaacutetica Aplicada e Medicina Clifl e

colaboradores [Clift e ai 1978] publicaram o livro intitulado Bubble Drops and

Particles no qual eles procuram dar uma revisatildeo dos trabalhos envolvendo o

movimento de partiacuteculas em fluidos e a criaccedilatildeo e movimento de bolhas e gotas em

fluidos Esta eacute urna referecircncia muito comum nos trabalhos envolvendo formaccedilatildeo de

bolhas Nesta obra sobre bolhas gotas e partiacuteculas podemos ver que os principais

obstaacuteculos no estudo dos fenocircmenos que envolvem a interaccedilatildeo do estado liquido com o

estado gasoso satildeo a compressibilidade dos gases e a natildeo-linearidade intriacutenseca dos

fluidos) que levam muitas vezes a modelos empiacutericos e com validade de aplicaccedilatildeo

limitada A ideacuteia central quando se aplica a Hidrodinacircmica tradicional eacute a de se

caracterizar diferentes regimes de gotejamento ou borbulhamento~ como transiccedilotildees de

3

lt

L IntroduccediltJQ

instabilidades [Chandraekbar 198 I] Tais transiccedilotildees OCOITem com o aumento de um

paracircmetro caracteriacutestico do sistema como por exemplo o IlUacutemera de Reynolds

Utilizando princiacutepios variacionais procura-se explicar como ocorre um tipo particular

de mudanccedila de regime como a transiccedilatildeo do regiacuteme laminar para a turbultncia

A aplicaccedilatildeo da Teoria do Caos a estes sistemas nos daacute novas perspectivas de

anaacutelise e aumenta nossa intuiccedilatildeo com relaccedilatildeo aos fenocircmenos complexos observados A

furmaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos viscosos e sua relaccedilatildeo com comportamento caoacutetico jaacute

foram relatados em trabalhos de Tritton [Tritton ot ai 1993] e Mittoni [Mittoni oi ai

1995] No primeiro trabalho um medidor de fluxo anemomeacutetrico que consiste de um

resistor sensiacutevel ao fluxo de um fluido que passa sobre ele~ foi colocado proacuteximo do

bico onde as bolhas eram fonnadas e infonnava sobre a fonnaccedilatildeo das mesmas_atraveacutes

da variaccedilatildeo da tensatildeo sobre o resistor Com este sinal de tensatildeor Tritton construiu seccedilotildees

de Poincareacute e atraveacutes delas ele observou duplicaccedilatildeo de penodo no tempo entre bolhas

e tambeacutem obteve algumas seacuteries de sinais com padrotildees nacirco-perioacutedicos Tritton

classificou os padrotildees de comportamento mais simples como Caos Fraco~ e os de

comportamento mais complexo como Caos Forte_ O trabalho eacute inovador no sentido de

que eacute a primeira vez que teacutecnicas deste tipo satildeo utilizadas para o estudo da formaccedilatildeo de

bolhas Mas as criticas com relaccedilatildeo a este trabalho levam em conta que o meacutetodo de

mediccedilatildeo eacute invasivo~ isto ~ a formaccedilatildeo das bolhas eacute afetada pelo medidor pois a

caracterizaccedilatildeo do comportamento caoacutetico fOI feita de modo subjetivo No segundo

trabalho Miltoni e colaboradores [Mittoni cl aL 1995J utilizaram como elemento

sensor da formaccedilatildeo de bolbas num tubo borbulhador um transdutor de pressatildeo obteve

seacuteries de sinais caoacuteticos atraveacutes de teacutecnicas natildeo-invasivas e aplicou a caracterizaccedilatildeo

meacutetrica sobre elas obtendo expoenles de Lyapllllov positivos (algoritmo de Wolf [Wolf

ct ai 1985D

Como exemplo do interesse da Engenharia Quiacutemi peJa formaccedilatildeo de bolhas

temos o grupo da Universidade do Tenessee [Finney 2000] nos Estados Unidos

denominado CRG abreviatura de Chaos Research Gr01lp que estuda desde 1992 entre

outros siste~ a dinacircmica de uma coluna de bolhas ascendente formada por um bico

Segundo eles o principal foco da pesquisa eacute explorar a rota de duplicaccedilatildeo de periacuteodo

ateacute o caos e a natureza espaccedilo-temporal das interaccedilotildees entre as bolbas aleacutem de

focalizar as aplicaccedilotildees de teacutecnicas de controle de Caos

Aleacutem deste grupo~ foram encontrados outros trabalhos envolvendo engenheiros

quiacutemicQs estudando formaccedilatildeo de bolhas atraveacutes anaacutelise de seacuteries temporais Li e

I

1

I _J__mmm__u~_________________~ 4

colaboradores [Li et aI 1997] estudaram a coalescencio entre bolhas atraveacutes do

espectro de potecircncias dos dados obtidos experimentalmente Ruzicka e colaboradores I

[Ruzicka et al~ 1997]~ focalizaram sua pesquisa na transiccedilatildeo do estado de

borbulhamento para o jateamento do ar em liacutequidos Eles encontraram um movimento

complexo das bolhas envolvendo disparos da vazatildeo do ar mudando do regime de

borbulhamento para o jateamento do ar no liacutequido Eles classificaram os disparos

utilizando a tcrnrinologia da Teoria do Caos como uma intermitecircncia do tipo lI

Os meacutetodos de anaacutelise das seacuteries temporaiacutes satildeo baseados na teacutecnica de

reconstruccedilatildeo do espaccedilo de reses a partir de uma coleccedilatildeo de dados conhecida como seacuterie

temporal e podemos c1assificaacute~los como meacutetodos meacutetricos e topoloacutegicos Basicamente

temos uma anaacutelise das propriedades meacutetricas desta reconstruccedilatildeo devido aos estudos

desenvolvidos por Pkanl [packard el 01 1980] Maliacutec [Maliacutee 198 I] e Takens

[Takens 1981J Aleacutem disso temos a caracterizaccedilatildeo atraveacutes de expoentes de Lyapunov

com um algoritmo muito popular desenvolvido por Wolf [Wolf el aI 1985] para o

caacutelculo destes expoentes para estas seacuteries Aleacutem do estudo da estabilidade das seacuteries

temporais~ tambeacutem eacute associado a elas o conceiacuteto de dimensatildeo Femat e colaboradores

[Fernat et ai 1998] acompanharam a evoluccedilatildeo de seacuteries temporais provenientes de

sensores capacitivos em um experimento de borbulhamento em uma coluna vertica1

eles obtiveram os expoentes de Lyapunov e fizeram anaacutelises espectrais dos dados

referentes agrave bolhas que se eJevavam na coluna A caracterizaccedilatildeo topoloacutegica de dados

experimentais de sistemas natildeo--lineares usando dinacircmica simboacutelica foi feita pOI

Gonccedilalves e colaboradores para o experimento da torneira gotejante [Gonccedilalves et aI

1998] Pinto [pinto ef al 2000) aplicou o estudo das variedades invariantes para

caracterizaccedilatildeo da Cataacutestrofe do Ceacuteu Azul tambeacutem no experimento da torneira

got~antegt assim como algoritmos de localizaccedilatildeo de Oacuterhitas Perioacutedicas Instaacuteveis (QP)

de So [So el ai 1996]

Neste trabalho observamos as condiccedilotildees que levam aos diferentes regimes de

borbulhamento e classificamos estes regimes de acordo com as teorias dos sistemas

dinacircmicos assim como registramos algumas observaccedilotildees intrigantes na evoluccedilatildeo destes

sistemas como por emplo o aparecimento de cmtibolhas [Stong 1986] que satildeo

basicamente cascas esfeacutericas de ar aprisionadas dentro do liacutequido Colocando oacuteleo junto

com aacutegua no sistema do tubo borbulhador~ tambeacutem registramos fi existecircncia de veias

liacutequidas que satildeo colunas daacutegua sustentadas por bolhas dentro do oacuteleo

5

I I i

1

I

I

J lntro50

Veremos tambeacutem o tubo borbulhador como um novo exemplo da classe dos

sistemas caoacuteticos devido agrave sua relaccedilatildeo com o mapa hidimensional do ciacuterculo (Argyris

et a~ 1994] Muitos sistemas fiacutesicos caracterizados por pelo menos duas frequumlecircncias

exibem um comportamento chamado de sincronizaccedilatildeo ou tambeacutem chamado de

travamento de frequumlecircncias Outro comportamento muito frequumlente na associaccedilatildeo de

osciladores eacute o comportamento quase-perioacutedico que pode ser representado pela

associaccedilatildeo de dois osciladores funcionando com a relaccedilatildeo entre as frequumlecircncias dada por

um nuacutemero irracional Todos esses comportamentos aparecem naturalmente no

experimento do tubo borbulhador e aleacutem disso~ este experimento nos permite explorar a

interaccedilatildeo entre os sistemas natildeo-linearesgt e como ocorrem as translccedilotildees entre os regimes

perioacutedico e ca6tico na emissatildeo de bolhas sujeitas agrave uma onda sonora

6

I I

I

I

2 Aspectos Teoacutericos

2 Aspectos teoacutericos

Seacuteries temporais nao-lineares podem ser analisadas com meacutetodos meacutetricos e

meacutetodos topoloacutegicos O meacutetodo meacutetrico eacute multo proacuteximo das noccedilotildees intuitivas de

distacircncia aacuterea volume e dimensatildeo que temos Por este meacutetodo podemos dimensionar e

comparar objetos num detenninado espaccedilo Tambeacutem podemos analisar a estabilidade

de um sistema com base no valor de meacutedias temporais da convergecircncia ou divergecircncia

da vizinhanccedila de um ponto destes objetos chamados de atratores

O meacutetodo de anaacutelise e carncterizoccedilatildeo topoloacutegica eacute um dos meios mais

importantes de investigar problemas natildeo lineares Este meacutetodo considera a seacuterie

temporal natildeo corno uma funccedilatildeo expliacutecita do tempo mas como curvas no espaccedilo de

falies que satildeo soluccedilotildees do sistema dinacircmico Descobertas consideraacuteveis nos aspectos

qualitativos e algumas infonnaccedilotildees quantitativas podem ser obtidas atraveacutes dos

atratores reconstruiacutedos

Os meacutetodos empregados neste trabalho foram obtidos da literatura ou

desenvolvidos noacute LFNL A finalidade da utiacuteliacutezaccedilatildeo de tais meacutetodos eacute testar e justificar

algumas hipoacuteteses feitas para os dados obtidos com tubo borbuIhador e para a torneira

gotejante Para evitar redundacircncia da derivaccedilatildeo dos meacutetodos amplamente encontrados

em livrostexto e artigos as derivaccedilotildees dos meacutetodos seratildeo simplificadas Para maiores

informaccedilotildees dos algoritmos empregados poderatildeo ser consultados os trabalhos de

Hegger Kantz e Schreiber [Hegger et aI 1999) Ellner [EIlner cf aI 1992) So [So Cf

aI 1996) e Gonccedilalves [Gonccedilalves ef aI 19981

21 Fluxos e recorrecircncias

Os sistemas dinacircmicos detenniniacutesticos satildeo descritos pela evoluccedilatildeo temporal de

um subconjunto A em um espaccedilo euclidiano d~djmensional Eles podem ser expressos

por exemplo por equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias [Sotomayor 1979]

X=f(f) (21)

ou com um tempo discreto t = n J t por mapas [Collet eacute Eckmann 1980]

x n+ =f(x) (22)

Uma seacuterie temporal eacute uma sequumlecircncia de observaccedilotildees igualmente espaccediladas no

tempo Uma seacuterie de eventos eacute uma sequumlecircncia de intervalos de tempos entre os quais

ocorreu um determinado evento

2 ~lectQsTeoacutericos 7 ~~~~~----

22 Mapas de retorno

Uma seacuterie de eventos da forma (x Xl ) natildeo eacute exatamente o espaccedilo

de fases do sistema dinacircmico sendo necessaacuterio empregar alguma teacutecnica de

reconstruccedilatildeo para revelar a estrutura muIti~dimensional desta seacuterie Um dos mais

importantes tipos de teacutecnica de reconstruccedilatildeo do espaccedilo de fases eacute o mapa de retomo ou

tambeacutem chamadQ de coordenadas de atraso Vetores no espaccedilo de imersacircn satildeo criados

a partir de atrasos na seacuterie O conjunto das duplas (llt XjH) forma o mapa de primeiro

retomo~ e o conjunto das duplas (Xj Xjt2) forma O mapa de segundo retomo e assim por

diante O nuacutemero de elementos destes vetores daacute a dimensatildeo de espaccedilo de imersatildeo O

teorema de imerslio de Talcens [Talcens 1981] estabelece que se uma medida eacute

dinamicamente importante para o sistema ela conteacutem toda informaccedilatildeo contida neste

sistema dinacircmico

Em modeIos matemaacuteticos de sistemas dinacircmico~ a evoluccedilatildeo do processo eacute

vIacutesualizada no espaccedilo de fases cuja dimensatildeo eacute dada pelo nuacutemero de variaacuteveis

independentes Em experimentos o espaccedilo de fases eacute usualmente desconhecido a

princiacutepio e frequumlentemente uma uacutenica variaacutevel escalar do sistema pode ser medida O

meacutetodo mais comum de reconstruccedilatildeo do espaccedilo de fase a partir de uma seacuterie temporal

foi proposto por Packard Crutchfield Farmer e Shaw [packard et aL 1980] para se

analisar os dados do experimento da torneira gotejante A dinlhnica de uma seacuterie

temporal x em sistemas dissipativos eacute completamente descrita pelo atrator em um

espaccedilo de fases d-diacutemensiona)~ lRd~ com D sendo a dimensatildeo do atrator Genericamente

qua1quer atrator eacute completamente envolvido no espaccedilo de fases por sua proacutepria hacia de

atraccedilagraveo~ consequentemente todos os movimentos transientes inicializados em uma

I pequena vizinhanccedila do attator~ movem-se assintoticamente na direccedilatildeo do atrator Os

I atratores podem ser perioacutediacutecos~ quase-perioacutedicos e caoacuteticos

Neste trabalho os dados experimentais obtidos satildeo apresentados em mapas de

primeiro retorno bjdimensionals cujos elementos das duplas (Tnbull Tnt1) satildeo intervalos de

tempo entre duas bolhas consecutivas Tambeacutem seratildeo apresentados mapas de primeiro

retorno tridimensionais atraveacutes das tripla (Tn Tn+ h Tn+2) Outras representaccedilotildees

necessaacuterias seratildeo especificadas no local onde estas forem utilizadas

8

I -

2 Aspectos Teoacutericos

23 O Mapa quadraacutetico

As princiacutepals caracteriacutesticas dos sistemas dinacircmicos satildeo observados e analisados em

mapas unidimensionais como no mapa quadraacutetico do tipo

f(x) x -a (23)

onde Xfl eacute a variaacuteveI iterada do mapa e a eacute o paracircmetro de controle O diagrama de

bifurcaccedilotildees deste mapa pode ser visto na Fig 21

X o

-1

~~~~~-~~~~----------F~---

-shy

1~ -05 00 05 10 15 20

a Figura 21 Bifurcaccedilacirco obtida com uma funccedilatildeo oonvcxa a linha tracejula eacute o primeiro ponto fixo inslaacutevel que surge numa bifurcaccedilatildeo tipO sela-noacute

Neste diagrama vemos os valores possiacuteveis de x para uma variaccedilatildeo do paracircmetro

de controle a entre -Q25 e 20 Os valores do mapa para a entre -025 e 125 podem ser

calculados analiticamente impondo a condiccedilatildeo de que o valor da variaacutevel iterada

anterior seja igual ao valor da variaacutevel iterada seguinte

xx 1 -a (2-4)

que nos fornece dois pontos fixos Xf

x = [l+(l+4a)1f2 (25)

lt = [1- (1 +4a)]I 2_ (25b)

9 2 Aspectos Teoacutericos

A estabilidade dos pontos fixos de qualquer mapa unidimensioual eacute obtida com

as condiccedilotildees

Ifl(Xr ~ lt 1gtxreacute um ponto fixo estagravevel (260)

If(xr)1 gt1gtxreacuteum ponto fixo instaacutevel (26b)

Deste modo para valores de a acima de -025 obtemos xJ1 instaacutevel~ enquanto xp

eacute estaacutevel ateacute o paracircmetro a chegar a 075 Para a igual a -025 no mapa da equaccedilatildeo (23)

experimenta uma bifurcaccedilatildeo sela-lIoacute A linha tracejada na Fig (21) eacute a trajetoacuteria

instaacutevel xfl e o ramo estaacutevel Xp estaacute simetricamente abaixo ateacute O valor de a igua1 a 075

Quando o paracircmetro de controle a atinge O~75 as trajetoacuterias do mapa sofrem

uma mudanccedila de oomportamento Nesse caso a partir deste valor do paracircmetro de

controle a oacuterbita oscila entre dois valores de x

X f(xf ) (270)

Xf4 fx) (27b)

I

x

2 2

1 1

bullbull

i

o 1lt gtrc zA

-1 I i--=

1

o

-1

t t Xp __

J

Xp l-shy

~t i~

tr~

-2+ordf b ~

-2 00 05 10 15 00 05 a 10 15 a

Figura 22 (a) Detalhe do diagrama de bifurcaccedilamps do mapa quadraacutetico a linha tracejada representa o poacutento

fum instaacutevel da bifurcaccedilatildeo selallOacute (b) Bacia de atraccedilatildeo mostrando a estabilidade de algumas regiotildees

mostradas em (al neste graacutefico as linhas vermelhas representam os pontos fixos instaacuteveis enquanto que as

- linhas pretaS os pontos fixos estaacuteveis Podemos emnparar a troca de estabilidade de xp mGSlrado em (b) para

a 075 oom o diagrnma mostrado cm (u) assim como- o mesmo tipo de troca para xp c xp pata a = 125

(linha pontilhada)

1

____________________________________ 102 Aspectos Teoacutericos

Para compreendermos o que ocorre agora utiacutelizando os criteacuterios de estabilidade

(26) e para calcular os novos pontos fixos temos que recorrer a uma composiccedilatildeo do

mapa com ele mesmo da seguinte forma

g(x) =f(f(x)) =x - 2ax + - a (28)

que possui quatro pontos fixos sendo dois deles os pontos fixos das equaccedilotildees 27(a)shy

(b) agora ambos instaacuteveis e dois outros estaacuteveis dados por

x =l+ll+4(a-I)2 (29)

x =l-[1+4(a-I)12 (29b)

Na Fig 22(a) vemos o diagrama de bifurcaccedilotildees no periacuteodo 2 e no graacutefico ao

lado (b) representamos as oacuterbitas jnstaacuteveis (ramos vermelhos) e os ramos estaacuteveis

(ramos pretos) As setas indicam a atraccedilatildeo ou a repulsatildeo dos pontos fixos Na Fig 22(a)

quando a=12S podemos notar que na sequumlecircnCIacutea de bifurcaccedilotildees aparece o periacuteodo 4

Quando estes quatro pontos fixos se tornam instaacuteveis um periacuteodo 8 aparece e o

processo de duplicaccedilatildeo de perfodo se repete indefinidamente para faixas de a cada vez

mais estreitas ateacute chegar no valor Umiacutete a = 140113bullbull que pode ser visto na Fig 23

A partir deste valor do paracircmetro de controle os pontos no mapa visitam bandas

perioacutedicas que se alargam e se sobrepotildeem aos pares diminuindo o nuacutemero de bandas

num processo chamado de bifurcaccedilatildeo reversa Nesta sobreposiccedilatildeo os valores de x

evoluem periodicamente com relaccedilatildeo agraves bandas mas de modo erraacutetico dentro de cada

uma delas e tal movimento eacute chamado de caoacutetico

No diagrama da Fig 23 apoacutes O encontro das duas bandas caoacuteticas

temos a ocorrecircncia de janelas perioacutedicas de periacuteodos iacutempares COm uma janela maior de

periacuteodo 3 (a l75) e outra menor de periacuteodo 5 relacionadas com bifurcaccedilotildees

tangentes A existecircncia do periacuteodo 3 eacute o principal argumento para se utiacutelizar um

teorema que estabelece a existecircncia de todos os outros periacuteodos maiores O Teorema de

Sharkovskii [Jackson 1995] nos daacute um esquema natildeo usual de ordenaccedilatildeo para os

nuacutemeros naturais tal que para cada nuacutemero natural n a exiacutestecircncia de um ponto de

penodo II implica na existecircncia de oacuterbitas perioacutedicas de todos os periacuteodos maiores na

ordenaccedilatildeo do que n Pelo teorema de Sharkovskii a existecircncia de uma oacuterbita de

periacuteodo 3 num mapa unidimensional natildeo-monotocircnico com apenas um maacuteximo impHca

na existecircncia de todos os periacuteodos_

2 Aspectos retiFicas __ ~___li

o teorema de Sharkoyskii explicitamente eacute [Jackson 1995J

Seja T o conjunto ordenado 3-oacuteltJ-lt lt23lt25-lt27lt lt213425-lt227-lt

-1Jlt4lt2-lt1 Seja lmiddot uma aplicaccedilatildeo suave do intervalo unitaacuterio nele mesmo tal que

f(O)=f( J)=0 que possui apenas um ponto critico Se m-lt1l relativo agrave ordem no conjunto

1 eftem a menor oacuterbita de periodo m entatildeo f tem uma oacuterbita de periacuteodo n

~----~--------------~~--~i BandIs atfaINas t PArimo Todosos perlodoo ~ bull 1 - - ~i I iacuteltJirrdnuirdon) I

Paf~S estlWeis Ilo(Mmenkl Caos penodos

l 2 __ I mi-pelloacutedlco rJlllllffls 3 bull

1

x O

-1

I Caos

I ~~-L-__~____~~~~plusmn==~~~~~~~~II

14 16 18 20

a

Figura 23 O comportumento dinacircmico geral do mupa quadraacutetico com a cascata de duplicaccedilotildees de periacuteodo (alt14) Pnrn a gt 140l1 ocorre Caos com a diminuiccedilatildeo das bandas atrativas Apoacutes ti janela de periacuteodo 3 temo tooos os periacuteodos como propotildee o teorema de SharkovskiL

l

12 2 Aspectos Teoacutericos

24 Dimensotildees

Um aspecto baacutesiacuteco de um atrator obtido a partir de um sistema dinacircmico eacute a sua

dimensatildeo pois O comportamento do sistema eacute caracterizado pejo atrator Apoacutes um

transiente alguns tipos de movimento desaparecem devido ao amortecimento e o

estado do sistema se aproxima de um atrator no qual o nuacutemero de variaacuteveis

independentes que detennjnam a dimensatildeo do atrator eacute reduzido consideravelmente

Os atratores podem ter a dimensatildeo de um ponto linha ou plano ou podem ser

extremamente complicados e frequumlentemente possuem estruturafractal [Alligood et al

1997] Podemos medir essafractalidade atraveacutes de dimensotildees generalizadas

Associamos a dimensatildeo de um objeto com o nuacutemero de vetores ortonormais que

podem ser sobrepostos ao objeto Embora seja muito importante esta associaccedilatildeo de

vetores nos restringe sempre a dimensotildees inteiras mas existem outros conceitos de

dimensatildeo entre eles a dimensatildeo de Hausdaif(Df ) [AlIigood et aI 1997] que eacute baseada

na ideacuteia de um comprimento caracteriacutestico R em um conjunto de N elementos

D =logN N_RDt (210)I JogR

A dimensatildeo de lnfonnaccedilatildeo (Di) [AUigood et ar 1997] leva em conta as

frequumlecircncias de visitaccedilatildeo relativas e por isto eacute mais interessante para slstemas fiacutesicos

Muitas outras definiccedilotildees de dimensatildeo existem mas para os objetivos deste trabalho

utilizaremos apenas as dimensotildees citadas anterlonnente e a dimensatildeo de Kaplan-Yorke

(DKy) [Argyris ct ai 1994]

Aleacutem disso a determinaccedilatildeo do valor de uma dimensatildeo a partir dos dados

experimentais de um processo dinacircmico indica qual eacute a dimensionalidade do espaccedilo de

fases do sistema dinacircmico matemaacutetico que deve ser usada para modelar o sistema

25 Expoentes de Lyapunov

Os sistemas caoacuteticos exibem sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais Esta afirmaccedilatildeo

tem sido utilizada para resumir uma das principais propriedades dos sistemas caoacuteticos

que pequenas diferenccedilas nas condiccedilotildees iniciais satildeo magnificadas devido agrave dinacircmica do 1

I

13 2 Aspectos TeoacuterirIJS

sistema de tal modo que em um tempo finito o sistema percorre estados totaJmente

diferentes A noccedilatildeo de sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais eacute feita de modo mais acurado

atraveacutes do expoente de Lyapunov amp[AHigood ef al 1997] Nonnalrnenre sistemas

contendo pelo menos um expoente de Lyapunov positivo satildeo considerados caoacuteticos Isto

significa que trajetoacuterias partindo de dois pontos muito proacuteximos natildeo importando quatildeo

pequena seja a distacircncia entre elas iratildeo evoluir de modo diferente e se afastaratildeo

exponencialmente uma da outra com o tempo

Podemos obter o expoente de Lyapunov maacuteximo [Wolf et aibull 1985] sem a

construccedilatildeo expliacutecita de um modelo para a seacuterie temporal Uma caracterizaccedilatildeo confiaacutevel

com expoente positivo exige que sejam garantidas a independecircncia dos paracircmetros de

imersatildeo e uma lei de crescimento exponenciaL

Existe tambeacutem o caacutelculo do espectro de expoentes de Lyapunov [Hegger e

Kantz 1999] onde o ingrediente essencial eacute a estimativa de Jacobianas locais ou seja

uma dinacircmica liacutencanzada que regula o crescimento das perturbnccedilocirces infinitesimais

Para uma melhor compreensatildeo dos sistemas dinacircmicos uma concHiaccedilatildeo entre

caracteriacutesticas relativas agraves meacutedias temporais e espaciais dos atratores foi feita atraveacutes da

teoria ergoacutedica [Argyris et aI 1994] Como o expoente de Lyapunov caracteriza a

dinacircmica do atrator atraveacutes de meacutedias temporais da divergecircncia ou convergecircncia de

uma vizinhanccedila com relaccedilatildeo a um ponto da oacuterbita o caacutelculo dos expoentes de

Lyapunov permite certas comparnccedilotildeei como a conjectura de Kaplan-Yorke [Argyris ct

al 1994] que estabelece que a dimensatildeo de Informaccedilatildeo deve coincidir com dimensatildeo

de Kaplan-Yorke DKy dada por

Lei ~Ik -- (211)

D Kf bull IEr+1

onde k eacute um inteiro maacuteximo tal que a soma dos k expoentes maacuteximos seja natildeo-negativa

e ti eacute uacute i- eacutesimo expoente de Lyapunov Tal conjectura foi verificada para uma boa parte

dos sistemas dinacircmicos dissipativos de baixa dimensacirco [Hegger e Kantz 1999]

2 Aiacuteipectos Teoacutericos 14

26 O mapa de Heacutenon

o mapa de Heacutenon eacute um mapa bidimensional do tipo

XH_I =l-ax+ Y1Igt (212)

Y-+l = bX1l

Os pontos fixos do mapa satildeo dois e podem ser obtidos por

x = [(b-I)plusmn~(1-b) +4a]2a ybx (213)

e para cada um desses pontos fixos temos dois autovalores associados Agrave

I Acirc =-axplusmn~(ax) +b (214)

desta forma com esses dois autovalores podemos estudar a estabilidade de cada ponto

I a=14 b=O31

bullbull 2

gt- ~oo

-04

middot10 -05 M M 10

x

Figura 24 Atrator de Heacutenon caoacutetico reconstruiacutedo nas variaacuteveis x~ e y para a=14 e b=O3

fixo como foi feito

para 0lt mapas

unidimensionais Um

atrator de Heacutenon

caoacutetico bem

conhecido eacute mostrado

na Fig 24 O

coeficiente a estaacute

relacionado com o

estiramento do mapa

e coeficiente b estaacute

relacionado com a

contraccedilatildeo da aacuterea do

mapa de Heacutenon e este

coeficiente eacute o

determinante da matrizjacobiana J do atrator de Heacutenon com o siacutenal negativo

- 2ax 11 deU = b q=-b (215)

1

15 2 ASlClOS TeoacuteriCC$

Na Fig 25 vemos as duas variaacuteveis do mapa nos graacuteficos de x liS a e y vs a~ onde

podemos notar a oontraccedilatildeo da variaacutevel y por b na Fig 25(b) em relaccedilatildeo agrave variatildevel que

aparece na Fig 25() onde temos tambeacutem os pontos fixosxJ2 da equaccedilatildeo (213)

(a)

gtlt

x

(b) J

~ Contraiacutedo pelo

1 fator b 1

04 06

a

Figura 25 Diagramas de blfunaccedilotildecs do atI3tor de Heacutenon para b=O3 em (a) a variaacutevel x e seus dois pontos lOO)S x na cor vente e xs na corverme1ba calculados pela equaccedilsecto (213) sobre a seacuterie e em (b) a variaacutevel y contraiacuteda pelo1ator b

Para o caso do diagrama de bifurcaccedilotildees da Fig 25 determinante de J eacute constante

e negativo det J = - 03 para todos os valores de a

Os expoentes de Lyapunov do mapa de Heacutenon 81 e amp1 estatildeo relacionados com a

matriz jaeobiana pela relaccedilatildeo de contraccedilatildeo [Argyris et ai 1994]

+lt ~ In Idet(J) I= In 03 ~ -12 (216)

Esta relaccedilatildeo representa as propriedade de estiramento Si e dobra E2 atuando

uniformemente Idet(J) I~ 03 dentro do espaccedilo de rases para estabelecer o atrator Para

a=lA e b=O)3 temostj ~ 042 eE1t -1~62 O valor SlgtO nos daacute um atrator caoacutetico

16 2 Aspectos Teoacutericos

27 Reduccedilatildeo de ruiacutedo

A filtragem de sinais obtidos a partir de sistemas natildeo~lineares exige o uso de

meacutetodos especiais [Hegger e Kantz 1999J jaacute que os filtros lineares podem interagir

desfavoravelmente com a estrutura natildeo-linear Sinais irregulares de fontes natildeo-lineares

exibem bandas de espectro realmente largas e natildeo existe justificativa para identificar

qualquer componente no espectro de frequumlecircncias como ruiacutedo Entretanto existem certas

dependecircnciacuteas geneacutericas entre as medidas x que criaratildeo vetores x para preencher o

espaccedilo de imersatildeo d~diacutemensionaJ de um modo natildeo homogecircneo Meacutetodos de filtragem

linear procuram identificar as direccedilotildees principais da distribuiccedilatildeo no espaccedilo de fases e

fazer projeccedilotildees sobre elas A reduccedilatildeo de ruiacutedo natildeo-linear leva em conta que sinais natildeo~

lineares formaratildeo estruturas curvas no mapa de retomo A principal suposiccedilatildeo do

algoritmo utilizado eacute que ele deve ser aplicado para sistemas de baixa dimensatildeo (D-3)

28 Espectro de Fourier

Outro criteacuterio para se analisar seacuteries temporais eacute atraveacutes da decomposiccedilatildeo da

seacuterie numa integral de Fourier [Argyds et aI 1994] Considerando um sinaljfO a

expressatildeo pode ser expressa na forma

+shy

(1)=_1 JF(fraquo)edW (217)2

onde

~

F(w) = Jf(t)e-iMdt (218)- eacute definida como a transfonnada de Fourier do sinal f(t)

O espectro de potecircncia P(m) do sinal eacute dado a partir de F(m)

P(m)= IF(m) I = F(m)P(m) (219)

COm fgt(m) sendo o complexo conjugado de F( (O)bull

17

1

Xj 10

1deg1 -I Igt1J 00 0$ IC

2 Aspectos T~6ricos

logo -shy

1() I P(

j 14J

X Q)

Figura 26 _(a) Periacuteodo 4 do mapa de Heacutenon e em (A) o seu espectro de potecircncias (b) atrator de Heacutenon lUl regiatildeo caoacutetica e em (B) seu respectivo espectro de potecircncias moslIatldo uma banda larga

Na Fjg 26 temos dois atratores obtidos a partir do mapa de Heacutenon em (a) o

comportamento de periacuteodo 4 e em (A) o espectro que nos mostra o comportamento

perioacutedico com os dois picos indicando uma duplicaccedilatildeo de periacuteodo caracteriacutestica do

atrator de Heacutenon Para os paracircmetros a=155 e b=Ol temos um atrator de Heacutenon no

regime caoacutetico em (b) e seu espectro de banda larga em (B)

Frequumlentemente atratores caoacuteticos apresentam banda larga por isso este eacute um

meacutetodo muito comum na identificaccedilatildeo do comportamento caoacutetico Aleacutem disso a anaacutelise

da evoluccedilatildeo dos sistemas dinacircmicos atraveacutes de seus espectros pennite definir a rota

[Argyris eJ ai 1994] que leva o sistema ao Caos poiacutes a evoluccedilatildeo das dupHcaccedilotildees de

periacuteodo vista no mapa quadraacutetico e que tambeacutem acontece no mapa de Heacutenon eacute apenas

uma dessas rotas Na proacutexima seccedilatildeo veremos um outro mapa que nos mostra esta e

outras rotas para o Caos

18

I I I

Capiacutetulo2 Aspectos Teoacutericos

29 O Mapa do Ciacuterculo

o mapa do CIacuterculo modela a interaccedilatildeo entre um oscilador IImestre quando aplicado

a um segundo oscilador natildeo-linear [Argyris et aI 1994 Jackson 1995J A dinacircmica eacute

governada por dois paracircmetros de controle a razatildeo entre as frequumlecircncias dos osciladores

desacoplados n e a intensidade de acoplamento K

K e +1 == BII +Q--sen2nBn +brn (mod I) n 2 (220)K

rn+l brn - 20 sen 2nBn middot

Aqui 01 eacute o acircngulo de um rotor riacutegido logo apoacutes o eneacutesirno impulso e rn eacute proporcional agrave

velocidade angular deste rotor sujeito a um impuiso externo do oscilador mestre e b estaacute

relacionado com o amortecimento

00 05 15K

~iacutegura 27 Diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo para b=Ol e =0725

01

-01

19 Capiacutetulo2 Aspectos Te6ricos

Na figura 27 podemos ver a seacuterie temporal do mapa do ciacuterculo Este tipo de mapa

nos daacute outro tipo de rota para o caos denominada de rota para o caos via quaseshy

periotlicidade Temos basicamente o aumento do raio de um ciclo limite quase-perioacutedico

intercalados com travamentos de frequumlecircncia e comportamento ca6tico

Para sistemas altamente diacutessipativos o termo b se anula e o mapa pode ser estudado

na forma puramente angular

K 0M =0 +0- 2JI seo(27l0) (221)

Um conceito importante para a anaacutelise do mapa do ciacuterculo que foi introduzido por Poincareacute

[Argyris el ai 1994 Alligood aI 1997] eacute nuacutemero de rotaccedilatildeo W

() - ()oW(KO) = lim n (222)

n~iOO n

que eacute a meacutedia da rotaccedilatildeo do oscilador forccedilado por ciclo

As propriedades de estabilidade para valores de Kltl para a equaccedilatildeo (221) seguem

a partir da teoria de estabilidade liacutenear para mapas como foi feito para o mapa quadraacutetJco

d~f(eo 10 =11- K cos(27lB)I (223)

que eacute menor do que um se fi lt114 e eacute maior do que 1 se 0gt114 ou se 8gt314 Para um ponto

fixo estaacutevel Os temos

lim~=es=gtw=o (221) nshy

Substituindo na equaccedilatildeo 221 obtemos a relaccedilatildeo entre K e n dada por

Q=+K (222)- 2JI

Estas relaccedilatildeo entre K e Q nos daacute o espaccedilo de paracircmetros do mapa do ciacuterculo onde podemos

ver para quais valores podem ocorrer a sincronizaccedilatildeo do oscilador forccedilado conhecida como

liacutengua de Arnold [Bai-lin 1989 para o nuacutemero de rotaccedilacirco W=OII

Na figura 28(a) temos o mapa de primeira iteraccedilatildeo da funccedilatildeo senoida1 do mapa do

ciacuterculo na regiatildeo onde ocorre uma bifurcaccedilatildeo do tipo sela-noacute Para um valor fixo de K entre

Oe 1 trecircs valores de Q foram escolhidos ParaQ gt nKtgt o ponto fixo alnda natildeo existe Para

Q = QICcedilo a funccedilatildeo tangencia a bissetriz e um ponto fixo aparece Diminuindo aiacutenda mais o

valor de Q o ponto fIXO se divide em dois um estaacutevel e outro instaacutevel situaccedilatildeo

20 CapiacuteUlo2Aspec~os Te6ricos

caractenstica de uma bifurcaccedilatildeo sela~n6 A figura 28(b) daacute o diagrama de bifurcaccedilatildeo para

W=Ol para os valores positivos de n da equaccedilatildeo 225

13) i 7 1

08 ~ a

(a)

n~ K=Ko

(b)

n~o n~

on KH

cri 06 ~- I

04 ordm -H bull

02 fi =+K12ffshy

00 )J j

00 e 05 10 00 n e

Figuro 28 (a) vraacuteficos do mapn do ciacuterculo em funccedilatildeo do paracircmetro Q na regiatildeo do ponto de bifurcaccedilatildeo elun6 Em (b) a representaccedilatildeo no espaccedilo de pnnimetros da liacutengua de Arnold correspondente a W=OJ que ocorre para valores de Ll menores que LlKII bull

Para diferentes valores de W quando Klt1 gt ocorrem outras regiotildees de travamento

de frequumlecircncias sem ocorrer sobreposiccedilatildeo entre elas como estaacute apresentado na Fig 29 que

mostra os limites de estabilidade dos domiacutenios perioacutedicos no plano (Kn) para alguns

nlIacutemeros de rotaccedilatildeo Para as regiotildees onde ocorrem a sincronizaccedilatildeo das frequumlecircncias entre os

dois osciladores o nuacutemero de rotaccedilatildeo

W eacute um nuacutemero racional pq Deste

modo para cada valor racional do eixo

0 uma janela perioacutedica surge e se

expaIlde quando aumentamos o valor

de K Com o aumento da natildeoshy

linearidade atraveacutes do paracircmetro K a

sincronizaccedilatildeo das frequumlecircncias a se

tornam mais dominantes

ir

v I I I 1 ~ li 1 raquo1lD J

Figura 29 Diagrama das Liacutenguas de Arnold para o mapa do Ciacuterculo

21 2 Aspecto Teoacutericos

Para valores de Kgt I ~ as liacutenguas de Arnold passam a se sobrepor~ e o nuacutemero de

rotaccedilatildeo natildeo eacute mais unicamente determinado~ mas trocado por um intervalo de rotaccedilatildeo

[WJbull Wl] e este embaraJhamento torna o comportamento aperioacutedico

Para mostrar algumas das caracteristicas gerais do mapa no ciacuterculo~ utilizaremos

o conceito de expoente de Lyapunov Lyapunov estudou urna vizinhanccedila abstrata x

de uma trajetoacuteria x com N pontos com o objetivo de verificar se estes pontos se

afastavam ou convergiam para a trajetoacuteria Tomando uma trajetoacuteria infinita e uma

vizinhanccedila tatildeo pequena quanto se possa imaginar ele associou um expoente que

caracteriza se a trajetoacuteria eacute perioacutedica indiferente ou caoacutetica Para o mapa do clrcuio na

sua fonna angular da equaccedilatildeo (221) com n = 025 o expoente foi calculado

numericamente com a expressatildeo

1 H-I

B = N ~ Inll-K cos(28 lI (226)

que estaacute representado na Fig 210(a) e seu respectivo diagrama de bifurcaccedilotildees na Fig

21 O(b) Inicialmente os expoentes satildeo ligeiramente negativos da ordem de _10-6~ ateacute o

valor de K=l onde divergem pare menos infinito Oacuterbitas com expoentes deste tipo

divergindo para menos infinito satildeo conhecidas como oacuterhitas super~estaacuteveis Ao

teacutennino desta janel~ o sistema jaacute possui comportamento caoacutetico e esta rota para o Caos

eacute classificada de rota via quase-periodicidade [Bai-lin 1989 Argyrls et al~ 1994

Jackson 1995 Alligood el ai 1997J onde os expoentes de Lyapunov positivos natildeo

ultrapassam o valor de O~3 Aumentando K o sistema trava em um periacuteodo l~ e inicia

outra rota para o Caos a rota via duplicaccedilotildees de periacuteodo ou rota de Feigenbaum jaacute

discutida para O caso do mapa quadraacutetico na qual os expoentes se anulam nos pontos

onde ocorrem as bifurcaccedilotilde~ neste caso temos o comportamento indiferente Para

K34 o sistema experimenta um alargamento abrupto do atrator e este alargamento eacute

classificado como uma crise Apoacutes a crise os expoentes de Lyapunov maacuteximos param

de crescer e tecircm valores na faixa entre O~7 e 093 Quando K atinge aproximadamente

4~7 o sistema volta a sofrer um travamento de frequumlecircncia em periacuteodo 1

Do mesmo modo que o atrator de Heacutenon o mapa do ciacuterculo bidiacutemensional da

equaccedilatildeo (220) contrai o espaccedilo de fases uniformemente como podemos ver atravoacutes do

detenninante da matriz jacobiana do mapa

09 rgt o

[lshy 03

~oo I c 03 O1~~1 I1middot1 q q nq fqll ir nnqlq qll

Lshy________~ ~

-

2 ApcJos Teoacutericos 22

o 1 2 K 3 4 5

Figura 210 (a) Expoentes de Lyapunov do mapa do circulo coro n =025 Em (b) o diagrama de bifurcaccedilotildees para o mesmo mapa Podemos obter a sequumlecircncia de duas rotas para o Caos com este sistema dinacircmico li rota de quaseperiodicidade e a rota de duplicaccedilotildees de periacuteodo

1- K cos2nJ ~ (227)detJ=I_KCOs2JfJ bl=b

i

Os pontos fixos r e (IIilt de periacuteodo 1 logo apoacutes a regiatildeo quase-peri6dica para

Kgt155 da Fig 27 satildeo dados por 1 r= -fl(mod I) se fl(modI) lt 05 ou r= I-fl(mod I) se fl(modI) gt 05

(228)I [2JlT 1f) = 2r areseo K(b - 1)_

assim podemos detenninar o ponto onde ocorre a primeira bifurcaccedilatildeo do tipo flip

usando os criteacuterios de estabilidade para a seguinte equaccedilatildeo caracteriacutestica

l-Keos2rf)-Agrave b J =0 (229)

-Kcos2Jff) b-Agrave

que nos dagrave dois autovalores para cada ponto fixo Para () ponto fixo r os autovalores

valem explicitamente

23 2 AspecQS1cocircricO$

-K cos2nL~arcsef (b-l))]+I+b - -plusmn- 2

(230)

+IKCOS27t[~arcsen(T(b-I))]+I+br -4b 2

como r eacute calculado pela equaccedilatildeo (228) para os pontos fixos a bifurcaccedilatildeo flip ocorreraacute

quando um dos valores de Acirc alcanccedila o valor -I

Para valores da constante b proacuteximos de zero deve ser feita urna correccedilatildeo em

primeira aproximaccedilatildeo nos valores das liacutenguas de Arnold Pata as Hnguas

correspondentes ao travamento de frequumlecircncias de periacuteodo 1 como a equaccedilatildeo (225) as

liacutenguas podem ser calculadas atraveacutes de

K (231)n= 21r(1- b)

o mapa do circulo eacute um sistema dinacircmico que parte de um sistema fisiacuteco bem

definido [Argyris cf ai 1994) que apresenta um comportamento muito rico com

relaccedilatildeo aos elementos da Teoria do Caos

Aleacutem do comportamento individual dos mapas vistos anterionnente~ como o

mapa quadraacutetico o mapa de Heacutenon e o mapa do cIacuterculo~ tambeacutem eacute desenvolvida a

pesquisa na aacuterea de sistemas dinacircmicos espaccedilo-temporais [Kaneko 1992 Vian~ 2000]

atraveacutes do acoplamento destes mapas fonnando uma rede Com estes estudos pretendeshy

se explicar rotas tiacutepicas para turbulecircncia1 como por exempJo a sequumlecircncia obtida com o

acoplamento de mapas quadraacuteticos duplicaccedilotildees de penado formaccedilatildeo de padrotildees

aleatoacuterios na rede de mapas seleccedilatildeo de alguns destes padrotildeesgt intermitecircncia espaccediloshy

temporal e no final observa-se turbulecircncia plenamente desenvolvida Um exemplo de

modelo de fluxo de um fluido usando mapas acoplados eacute dado por WilIeboordse

[Wiacutelleboordse 1992)

24 2 Aspectos Teoacutericos

210 Transformaccedilatildeo de ponto fixo

Para extrair as oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis (OPl) imersas em um atrator com uma

quantidade finita de dados ruidosos de um sIacutestema unidimensional~ So e colaboradores

[So el ai 1996] fizeram a suposiyatildeo de que todos os ponto que estatildeo em uma regiatildeo ao

redor do ponto fixo xf(x) podem ser transfonnados para (x) na vizinhanccedila de x A

funccedilatildeo densidade p(x) possui singularidades do tipo inverso da raiacutez quadrada nos

pontos fixos e um histograma para pX) teraacute um pico definido em x= x Alguns

picos espuacuterios podem aparecer em fi(x) tanto devido agrave singularidades natildeo relacionadas

aos pontos fixos quanto a zeros da derivada da funccedilatildeo detranformaccedilatildeo x=g(xk)

Os autores generalizaram este meacutetodo para um sistema com dimensatildeo de imersatildeo d para

obter as oacuterbitas perioacutediacutecas instaacuteveis atraveacutes da transformaccedilatildeo

i = (l-Srl(z~I-Snz) (232)

onde

I (d-I) ) _ ( aoo a I _ IIs - O +kRllz_1 Zn (233) 1

1

aI -1 (Zl _Z)t(z - Z )t l it -bull

(234)=

I)ta (Z_(d_l) - Z_d)t (Zn_(d_l) - Zitlaquod_lj bull

e os vetores z) foram reconstruidos a partir da seacuterie temporal x)

( I ) ( ) (235)z = zlpznzll~)z xnJx_x_z~-x_4_t

R eacute uma matriz aleatoacuteria d x d no intervalo [-l~1J e k estaacute relacionado com a

intensidade da geraccedilatildeo de nuacutemeros aietoacuterios Os pontos fixos satildeo dados por posiccedilotildees

dos picos de p(X) Como a localizaccedilatildeo dos picos espuacuterios dependem do paracircmetro k

eles satildeo eliminados levando em conta a meacutedia (PCz)) para vaacuterios valores tornados

aleatoriamente

Um ponto fixo instaacutevel do atralor do mapa do circulo com Q=O eacute o ponto (O O)

mostrado na Fig 211(a) que foi determinado com este algoritmo~ como estaacute mostrado

na Fig 2II(b) Outras aplicaccedilotildees desta teacutecnica podem ser encontradas no exparimento

da torneira gotejante [pinto 1999] para se mostrar a existecircncia de oacuterbitas homocliacutenicas

25 2 Aspectos Teoacutericos

OB~ (a) I IV +

~~ 1 00 bullbullbull-

bullbullbull ~ bullo n ltgt04 I

~bull I ~ ~ 00 Obullbull obull

r

Figura 2]] Atrator caoacutetico simeacutetrico em (a) do mapa bidimensional do ciacuterculo que possui um ponto de sela na origem Em (b) a oacuterbita- perioacutedica instaacutevel foi obtida munericamente utilizando-se o meacutetodo de detecccedilatildeo de oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis de So et ai

Como a reconstruccedilatildeo dos atratores em espaccedilos de imersatildeo bidimensionais eacute

suficiente noacutes aplicamos esta teacutecnica para d=2 com 05 e 1000 matrizes aleatoacuterias

Mais informaccedilotildees sobre este meacutetodo pode ser encontradas tambeacutem no trabalho de

Schemelcher e Diakonos [Schemelcher e Diakonos 1998]

211 Plano simboacutelico

A obtenccedilatildeo de planos simboacutelicos para a construccedilatildeo de maacutequinas topoloacutegicas

miacutenimas no experimento da torneira gotejante foi feita por Gonccedilalves [Gonccedilalves

1996] no experimento da torneira gotejante No experimento do tubo borbulhador a

geraccedilatildeo de planos simboacutelicos foi utilizada principalmente para se comparar modelos

com os dados experimentais

Para estudarmos o plano simboacutelico particionamos um atrator em duas regiotildees da

Fig 212 (L e R) e atribuiacutemos o valor I(ou -I) quando o sistema visita L (ou R)

obtendo um vetor sm bull S2SSSS2SmbullDeste modo um plano simboacutelico ap

caracteriacutestico de um atrator eacute definido atraveacutes do caacutelculo de a e f3 como

262 A2lcctos Teoacutericas

~

et=LfJi Z- i (236)

11

onde Pt eacute um valor binaacuterio

O +If p= lSC(-l)nSj_l (237)

I

e

~

p~ UZfL f (238)

onde VI eacute o valor binaacuterio

O -Itj = se D= l (239)

1 )tl +

N Fig 212 exemplificamos a obtenccedilatildeo do plano simboacutelico (b) par o atrator do

mapa do ciacuterculo bidimensional (a)~ com suas respectivas particcedilotildees L e R O paracircmetro b

eacute igual a 01 As regiotildees em branco no plano simboacutelico satildeo chamadas de regiotildees

proibidas

0 R (a)l (b) t08

~ I 00

O

1~ ll 06 + CUc

t - shy 04 bull ~ ~ ~ i li 1~ 1 ~~

- ~3~ bullbull l ~l f02-04

00 l- I -~----~

(j4 00 04 00 02 04 06 08 10 f an

Figura 212 (a) O atrator do mapa do circulo reconstruido com o mapa de primeiro retomo na variaacutevel r e sua particcedilatildeo e em (b) seu respectivo plano simboacutelico

I

27

3 A1(lrIUO xJrimclltal

3 Aparato experimental

Neste capiacutetulo descrevemos os aparatos do tubo borbulhado[ e da torneira

gotejante Tanto o experimento do tubo borbulhador assim como o experimento da

torneira gotejante foram inteiramente desenvolvidos no LFNL-USP Algumas das

princiacutepais atividades experimentais deste trabalho foram o desenvolvimento e

construccedilatildeo do tubo borbulhador a aquisiccedilatildeo e fi anaacutelise dos dados

31 O tubo borbulbador

Na Fig 31 ternos a representaccedilatildeo esquemaacutetica do aparato do experimento do

tubo borbulhador que consiste de um tubo acrflico transparente com uma tampa

(superior) e uma base de PVC onde estaacute conectada urna seringa hipodeacutermica pela qual

eacute soprado ar numa soluccedilatildeo de aacutegua com glicerina Dentro deste tubo ocorre a formaccedilatildeo

de bolhas que satildeo estudadas neste trabalho O experimento pode ser dividido em quatro

partes principais o tubo borbulhudor o circuito pneumaacutetico o sistema de aquisiccedilatildeo e o

sistema sonOrO

[ [ Alto-J ~ 1

falllnleGerador do Amplificador--= Funccedilotildees~I~ -l

Tubo

O

01 cJ

tasagraverCLp

controlador

Compressor Aesetvatoacuterio

Medidor de wllatildeo e vaacutelvulu d$ controla

Figura 31 Diagrama geral do aparato cKperimCfj(ul do tubo) borbulhador

28 3 Aparal0lerimental

Na Fig 32 podemos ver o tubo borbulbador que foi construido com tubo de

acriacutelico transparente de diacircmetro interno de 105 em e 10 em de altura Na base estatildeo

lixados o bico borbulhador e um termopar para monitorar a temperatura do liquido A

entrada e saiacuteda do liacutequido ocorrem atraveacutes de duas vaacutelvulas do tipo esfera

Clflp- drenagem

I ~ r

Sensorde I I j BiooOOrbulhid()l tempcrmlIU i t-l )~

FlgUla 32 O tubo borbulhador suportes o bico injetor sensor de tempemum e vaacutelvulas de drenagem e preenchimento do liquido

Este arranjo permite o

preenchimento do tubo e o seu

esvaziamento atraveacutes das

vaacutelvulas nas laterais da base

Todo o conjunto eacute preso ao

suporte atraveacutes de quatro

parafusos na base e quatro

parafusos na tampa Um

sistema de iluminaccedilatildeo

constituiacutedo de uma lacircmpada

fluorescente e uma placa

difusora de luz foi colocada

atraacutes do tubo borbulbador para

obtermos imagens das bolhas

utilizando uma cacircmara de

videoVHS

O tubo estaacute montado em uma bancada sobre quatro blocos de espuma para

amortecer vibraccedilotildees externas

32 Sistema de aquisiccedilatildeo

O sistema de detecccedilatildeo consiste de um laser He-Ne e um fotodiodo Quando uma

bolha atravessa o feiacutexe laser induz no fotodiodo um sinal anatocircgico e um pulso eacute

enviado a uma placa contadora de tempo inserida em um microcomputador O iniacutecio e o

fim do desvio do feixe laser induzidos peja passagem de uma bolha criam o sina] de

entrada da placa atraveacutes de pulsos de tensatildeo TIL gerados pelo futodiacuteodo Na Fig 33

temos o graacutefico que mostra o sinal ot devido a passagem de uma bolha e o sinal tn

relativo ao tempo entre bolhas Assim um par de dados constituiacutedo do tempo entre as

bolhas e o tempo de passagem da bolba eacute coletado pelo computador O intervalo de

tempo total entre a flNeacutesima e a (n+l)-eacutesiacutema gota eacute To que eacute a soma destes dos dois

intervaJos de tempo

29 3 Aparato experimental

T fltt t1I

Claro

SI 5

v (volts)

o

t ~-- I

J escuro~

tempo

Figura 33 Sinal gerado pelo fotodiacuteodo e induzido na placa contadora de tempO pela passagem das bolhas que desviam o feixe laser O feixe estaacute posicionado -5 rum acima cb extremidade do bico soprador

o sinal de vazatildeo obtido pelo medidor de vazatildeo eacute convertido em um sinal

proporcional de tensatildeo em milivolts e digitilizado em um osciloscoacutepio digital Tektronix

depois eacute transferido para o computador atraveacutes de uma interface General Purpose

Interface Board (GPffi)

33 Medidor de vazatildeo

o medidor de vazatildeo utilizado o modelo GFM47 fabricado pela AALBORG

lnstruments amp Contrais Neste equipamento o fluxo do ar entra em um transdutor de

vazatildeo e dentro dele uma pequena parte do fluxo do ar eacute separada por um sensor do tipo

tuho capilar de accedilo inoxidatildeveJ O restante do ar flui atraveacutes de um condutor de fluxo

primaacuterio A geometria do tubo primaacuterio e do tubo sensor foi projetada de modo a

garantir um fluxo laminar em cada ramo De acordo com os princiacutepios da

Fluidodinacircmica as vazotildees do ar nos dois condutores satildeo proporcionais entre si Deste

modo a vazatildeo medida no tubo sensor eacute diretamente proporcional atilde vazatildeo total atraveacutes

do transdutor

Para obter a vazatildeo no tubo SensoT eacute fcito um aquecimento do fluxo em duas

partes do tubo senSQr atraveacutes de resistecircncias sensoras de precisatildeo O calor eacute transferido

atraveacutes de uma parede fina para o ar O ar aquecido eacute levado pelo fluxo desde um

aquecedor agrave jusante ateacute um aquecedor agrave montante do tubo sensor O sinal eleacutetrico de

uma resistecircncia dependente de temperatura diferencial eacute detectada atraveacutes de um

circuito eletrocircnico de controle O gradiente de temperatura medido no sensor eacute

linearmente proporciona agrave vazatildeo atraveacutes do sensor

30 3 Apara1o experimental

o valor da vazatildeo eacute mostrado diretamente em um indicador digital e

simultaneamente em dois sinais eleacutetricos um de tensatildeo proporcional ao valor da vazatildeo

entre Oe 5 V e outro de corrente proporcional agrave vazatildeo entre 4 e 20 mA

34 Controlador de vazatildeo

o controlador de vazatildeo eacute da marca BTC modelo BTC-2220 e eacute um controlador

do tipo proporcional iacutentegral e diferencial (PID) Ele recebe o sinal de corrente do

medidor de vazatildeo (4-20 mA) com moacutedulo de saiacuteda linear (OM92-3) com a tensatildeo de

saiacuteda variando entre Oe 10 V com uma impedacircncia de saiacuteda de 500 ill Devido agrave alta

impedacircncia de saida um circuito amplificador de corrente foi adaptado na saiacuteda do

controlador para que ele pudesse enviar O sinal de controle para a vaacutelvula solenoacutejd~

como estaacute mostrado na Fig 34

2n3055

10 V I max 05 A I reg 200 nF Vaacutelvula

reg SolenoacuteideTSaldado ~

cornroradE ]200 nF -0 -

Figura 3A o Circuito que amplifica o sinal do controlador para a vaacutelvula

o controlador possui dois modos de operaccedilatildeo No primeiro modo ele manteacutem

uma vazatildeo fixa preestabelecida No segundo modo~ o controlador aumenta ou diminui a

vazatildeo linearmente entre dois valores distintos com uma velocidade preestabelecida pelo

usuaacuterio

31 $ Aparato eqerimental

35 Vaacutelvula solenoacuteide proporcional

o fabricante da vaacutelvula utilizada no experimento do tubo borbulhador eacute

MLBORG Instnnnenls amp Controls e o seu modelo eacute o PSV-5 Basicamente a vaacutelvula eacute

uma bobina que posiciona o atuador da vaacutelwla de modo contiacutenuo variando a vazatildeo

suavemente A vaacutelvula solenoacuteide proporcional foi projetada para responder a um sinal

de tensatildeo contiacutenua de entrada entre O e 30 volts para regular proporcionalmente ao

sinal de tensatildeo o fluxo de liquidos e gases Por medida de seguranccedila as vaacutelvulas satildeo

normalmente fechadas quando desernegizadas Na Fiacuteg 34 temos um diagrama desta

vaacutelvula

Devido agrave corrente na bobina da vaacutelvula O corpo da mesma sofre um pequeno

aquecimento que eacute dissipado por metas de alumiacutenio colocadas na vaacutelwla

Vaacutelvula Solenoacuteide Proporcional

f--I PSV5 AALBORGmiddot I

u-i J

conectores de 14m_Figura 35 Diagrama as ltlimensotildees carncteristicas da vaacutelvula de controle PSV5 da AALBORG

32 3 Aparato Experimental

36 O bico borbulhador

Na Fig 36 vemos o conjunto de agu1has e o cilindro de uma seringa

hipodeacutennica que furam utilizados CQmo bicos sopradores no experimento do tubo

borbulhador As bolhas satildeo formadas diacuteretamente no cilindro da seringa ou nas agulhas

hipodennieas que satildeo colocadas na seringa que estaacute ligada ao sistema de alimentaccedilatildeo de

ar

Figura 36 Bicos sopradores utilizados no eJ-perimento do tubo boIbulbador

Na tabela 31 temos as dimensotildees dos bicos mostrados na Fig 36 Para

verificarmos os efeitos do comprimento das agulhas utilizamos agulhas com o mesmo

diacircmetro mas que foram cortadas em comprimentos diferentes com uma serra

diamante como para as agulhas do grupo A e B A seringa e algumas agulhas possuem

dois valores na coluna relacionada com o dlacircmetro~ O primeiro valor corresponde ao

33 3 AparOfO Experimental

Bico Diacircmetro (mm) I Comprimento(mm) Internoexterno

Sltlrin PlaacuteStica I 08113 2 AI

A2 072128 0721l2amp

2 246

A3 072128 377

BI 072 2 B2 072 145 83 072 102

B4 072 51 CI 05 2

Tabela 31 Dimensotildees da seringa e das agulhas utilizadas como rocos sopradores no experimento do tubo boIbulhador

diacircmetro interno e o segundo valor estacirc relacionado com o diacircmetro externo Para as

demais agulhas temos apenas um valor corresponde apenas ao ctiacircmetro externo

37 O sistema pnenmaacutetico

o objetivo do sistema pneumaacutetico eacute fornecer o ar numa vazatildeo estabilizada para

ser soprado no liquido viscoso O ar eacute comprimido por um compressor com um

reservatoacuterio de 75 litros no qual um pressostato foi calibrado para manter o ar na faixa

de pressatildeo entre 70 e 100 psi (libra por polegada quadrada) A pressatildeo do ar eacute reduzida

para 60 psi em um segundo reservatoacuterio de 200 litros~ atravecircs de uma vacirclvula

reguladora de pressatildeo Uma segunda reguladora proacutexima do bico soprador reduz a

pressatildeo do ar para 10 psi e a vazatildeo eacute controlada pelo conjunta controlador fonnado

pelo medidor de vazatildeo~ controlador e vaacutelvula solenoacuteide Deste modo urna vazatildeo estaacutevel

chega atocirc o bico borbulhador

38 O sistema sonoro

A onda sonora eacute gerada no topo do tubo por um alto-falante de bobina moacutevel O

sinal eleacutetrico para o alto-falante eacute gerado num gerador de funccedilotildees Tektronix modelo

AFG 320 e amplificado em um amplificador de aacuteudio Nwa O gerador de funccedilotildees

34 3 Aparato Experimental

possui uma placa GPIB que permite o controle de todas as suas funccedilotildees atraveacutes do

microcomputador

A equaccedilatildeo de onda [Fletcher e Rossing 1991] dentro do tubo em coordenadas

ciliacutendricas eacute

L~(rq) +2-(OP~ + 8p __1 8p r1 (31 )ratilde a- ocircqz) fk2 - v atilde 1

onde p eacute a onda de pressatildeo na direccedilatildeo x e Vs eacute a velocidade do som no ar A soluccedilatildeo

desta equaccedilatildeo eacute

p(rfPx) = P (mfP)JJ1laquoIr) exp[iacute(-kx +ml)] (32) a

onde Jmeacute uma funccedilatildeo de Bessel e qmn eacute definido pela condiccedilatildeo de contorno ocircplocircr=O e r

= a (a li O raio do tubo) tal que a derivada Jm(7rqmn) eacute zero Se considerarmos em

primeira aproximaccedilatildeo o tubo borbulhador como um tubo com uma extremidade

v bull =3v v =5v v~ 41 3 4L 5 41

Agrave =41 ~= Agrave ~j-I1

TIA

I 1 I

JII N

jL 5 5

AI ~A

A

N N

Figuraacute 37 Os trecircs primeiros modos de um tubo com uma extremidade fechada

fechada podemos

estimar a frequumlecircncia de

urna onda em seu

interior Uma

propriedade geral de

ondas sonoras

confinadas em tubos eacute

que os valores de

amplitude maacutexima

ocorrem em valores

discretos da frequumlecircncia

da onda Na Fig 37

3 Aparato Experimental 35

podemos ver os trecircs primeiros modos de um tubo com a extremidade inferior fechada

A distacircncia do centro do tubo agraves linhas finas desenhadas dentro deste representa

a amplitude de deslocamento da onda em cada ponto N e A designam as posiccedilotildees dos

nodos e antinodos de deslocamento As frequumlecircncias VII de ressonacircncia do tubo satildeo dadas

por

v v =(2k + 1)- (33) 41 ~

onde I ecirc o comprimento do tubo e k = OJ23~ o que nos fornece apenas os 1

harmocircnicos iacutempares

O (a) AJllm

134

(d)

_-_ -__ I

I AIMcm~

M o~

H -8

00 Microfone015

ro (b) -= ~

j~

~ --~

-- AJm00

o (C) I

JI~m(JQegtn

L- m

Ia bull ~ d 1

1l _ _~ Ooo~ J

ftequumlecircnda da onda HZl

Figura 38 Resposta do microfone laquoJl0cad0 atilde uma distacircncia Alm dentro do ruoo borbulhador na sua parte superior para wna onda SOOOIa senoidal gerada pelo alto-falante Em (a) o microfone foi colocado a 2 em da superfieie do liacutequido (b) 34 em e (c) 60 em Em (d) vemos um cliagrarna que mostra a distacircncia Alm

36 3 AparaJ() Experimental

Foi verificada a frequumlecircncia de ressonacircncia do tubo borbulhador~ obtendo um

sinal proporcional ao deslocamento da onda sonora colocando um microfone dentro do

tubo A distacircnciacutea entre o microfone e a superfiacutecie do liacutequido eacute Alm O sinal obtido pelo

microfone) colocado em trecircs alturas distintas dentro do tubo borbulhador estaacute mostrado

na Fig 38 onde temos os valores obtidos para as alturas de 2 em 34 em e 60 em em

relaccedilatildeo ao niacutevel do liacutequido~ com um comprimento de coluna de ar total de 60 em

Variarulo a frequumlecircncia da onda entre 100amp e 160 Hz obteve-se que a frequumlecircncia de

ressonacircncia do tubo eacute de aproximadamente 134 Hz O sinal do microfone tem a mesma

furma que o sinal senoidal injetado no alto-falante

Depois de determinada a frequumlecircncia de ressonacircncia do tubo nas condiacuteccedilotildees do

paraacutegrafo anterior obtivemos o sinal do microfone colocado em vaacuterios pontos do tubo~

para os trecircs primeiros mnocircnicos 134gt 402 e 670 Hz como estaacute mostrado na Fiacuteg 39

de modo a verificar experimentalmente as posiccedilotildees dos nodos e antinodos de

deslocamento Na Fig 39 podemos ver que a tensatildeo natildeo se anula na origem portanto a

onda natildeo forma um nodo exatamente na superficie do liquido para os trecircs harmocircnicos

mas parte da onda refrata no liquido

08 bull - bullbullbullbullbullbull ~ 06 j freq 134Hz

o bull M ~c-o m 02 o ~

00 0-

gt 02 ~ c-~ o ~ 00

shyshy- _freq 402Hz ~~ ~

- - _ shy-

o

003 freq 670Hz -~ - 2 - ~

002 1 ~- -IHl ltshy bullbull 001bull bull ~

000 o O 30 0 50 60

Alm(cm)

Figura 39 Nados e antinodos deruro do tubo para OS trecircs primcitos harmocircnicos medidos em diferentes posiccedilotildees na parte de ar com as freqilecircncias de 134 Hz 402 Hz e 670 m Podemos notar nos trecircs graacuteficos que a onda sooorn natildeo forma exatamente um nodo na superficie do liacutequido

37 3 Aparato Expenmental

39 O liacutequido

o liacutequido utilizado foi preparado em soluccedilotildees utilizando-se diferentes

concentraccedilotildees de aacutegua e glicerina

A tensatildeo superficial foi obtida atraveacutes do meacutetodo do tensiocircmetro de anel [Ueta e

Tabacniks 1989] que consiste em se determinar a forccedila para se elevar um anel delgado

do liquido e relacionando-a com a tensatildeo superficial numa temperatura de 25()C Na

tabela 32 temos a tensatildeo superficial de alguns liacutequidos comuns obtidos com este

meacutetodo Para as diferentes concentraccedilotildees de glicerina obtivemos OS valores da Fig 310

Liacutequido

Tensatildeo superficial (diIlalcm) I

Aacutegua destilada

72

Agua de torneira 66

0100 20Wmiddot50 (Mobil) I 35

Glicerina 58

Alcool hidratado 30

Agua com detergente 36

Detergente 23

Cafeacute (soluccediliio) 42

I

~1------Tabela 32 Tensatildeo superficial de alguns liquidas comuns medidos pelo meacutetodo do tensiocircmc1TO dCanel

r------------------------------------- n

Ecirc ~66

i tM ~ ~

58

J

i

T ~ -

~

bull bull i J I bullbull 1 ~ -

bull +

1~ -~~~ o 20 40 00

deHp

Figura 310

Tensatildeo

superficial

medida COm oacute

meacutetodo do

tenSJocircmetro do

ane1rma cliacuteferenles

concentraccedilotildees

de aacutegua e

glicerina

38 $ Aparato ~mentaJ

A viscosidade das soluccedilotildees de aacutegua e glicerina foi estImada atraveacutes do meacutetodo

de Stokes [Veta e Tabacniks 1989] e a viscosidade varia como a funccedilatildeo exponencial

mostrada na Fig 311 para 25 C Para os valores da viscosidade da aacutegua pura e da

glicerina para diferentes temperaturas fui consultada uma tabela de viscosidades [Perry

e Clinton 1972 Weast e Selby 1996]

1500 r 1250

bull p shy1000 -shy

bull u- ~ ~ 750

~ J_ ampl 500

gt

- 250

u HH

o [ ===-==i I UUUU

O 10 20 30 40 50 60 10 80 90 100

de Glicerina na aacutegua

Figura 311 Variaccedilatildeo da viscosidade com a concentraccedilatildeo de glicerina na soluccedilatildeo

310 Imagens

Algumas imagens foram obtidas para esclarecer alguns aspectos da formaccedilatildeo

das bolhas As imagens da formaccedilatildeo das bolhas furam feitas atraveacutes de uma cacircmera

VHS Para iluminar o tubo borbulhador utilizou-se a teacutecniacuteca de iluminaccedilatildeo traseir~

com uma placa transluacutecida para difundir a luz proveniente de uma lacircmpada

fluorescente e o tubo borbulhador foi colocado entre a placa difusora de luz e a cacircmera

As imagens obtiacutedas foram digitalizadas e annazenadas

39 3 Aparato JxpflinJeacutentttl

Figura 31l Imagens obtidas partir do experimentn do tubo borbulhador Em (I) VCIlOS bolha se fonnando junto agrave seringa enquanto a bolha anterior emerge no liqujdo (2) a bolha aumenta de volume mas o empuxo natildeo eacute suficiente para retiraacute~la do bico 3 a bolha se-descola do bico mas eacute alimentada por um pescoccedilo~ (4) a bolha se destaea do bico e Cf perfil evolui para a fonna elipsoidal

Na Fig 312 temos a evoluccedilatildeo de uma bolha se formando junto ao bico

soprador numa soluccedilatildeo viscosa de aacutegua com glicerina em quatro instantes distintos A

forma final das bolhas depende de vaacuterios fatores entre eles o seu volume~ e isto pode

ser observado nas cinco imagens da Fiacuteg 313

11 1 Ilcml 1I em 1 11 I Ilcml

m ~jj O 4~~

ttif1id-gt0

(a) (b) (c) (d) (e)

F1gura 313 Exemplo do perfil das bolhas em relaccedilatildeo ao seu tamanho

3 Aparato Experimental 4iacuteJ

311 O Experimento da Torneira Gotejante

o experimento da torneira gotejante foi uma das primeiras tentatiyas de se criar

um sistema com o propoacutesito de se observar o Caos deterministiacuteco Este experimento

possui um extenso material produzido pelo LFNL que pode ser encontrado na fonua de

dissertaccedilotildees de mestrado e teses de doutorado [da Rocha 1995 da Silva 1996 Tufaile

1996 Gonccedilalves 1996 Pinto 1999J

O experimento consiste basicamente de um bico got~ador que eacute alimentado por

um grande reservatoacuterio~ como pode ser visto no diagrama do aparato experimental da

Fig 314 O tempo associado para cada gota eacute medido do mesmo modo que o descrito

na seccedilatildeo 33 para o tempo entre as bolhas~ mas para o experimento da torneira gotejante

o feixe laser estaacute posicionado - 9 em abaixo do bico

Noacutes controlamos a taxa de gotejamento (fgot=ltlTraquo mantendo o niacutevel do

reservatoacuterio intermediaacuterio constante e selecionando a frequumlecircncia de gotejamento atraveacutes

da abertura da vaacutelvula acionada por um motor de passo e controlada por um

microcomputador Para uma dada taxa de gotejamento noacutes construiacutemos os mapas de

primeiro retomo

Relervut6rio Foot

cmroJ_ denivcl

Fotodiodo o

Laa o Computador

o

Res~ -00

Figura 314 Diagrama -do experimento da torneira gotejante

4 Resultados e Anaacutelise 41

4 Resultados e Anaacutelise

A formaccedilatildeo das bolhas eacute frequumlentemente imaginada como () experimento da

torneira gotejante 1nvertido Esta analOgia eacute fraca e para podermOs verificaacute-la

estudaremos inicialmente a formaccedilatildeo de gotas e depois estudaremos a formaccedilatildeO das

bolhas

41 A torneira gotejante I

As equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem para a torneira gOtejante) propostasI no modelo de Shw [Shw 1984] com as modificaccedilotildees de DInnocenzo e Renna

[Dlnnocenzo e Relllll 1996] satildeo

t=V d(M=Mg_kx_bv (41)

dMrJI=Q

Onde x eacute a coordenada do centro de massa da gota ordmeacute O fluxo de aacutegua A tensatildeo

superficial e o atrito entre a aacutegua e a torneira satildeo dados pela constante de mola k e por b

respectivamente Uma gota ~ se desprende do bico com velocidade Vc com o fator

de reduccedilatildeo a quando o centro de massa alcanccedila o limiar xc

iAIJ aJyJ (V (42)

Figura U Seacuterie temporal obtida com o modelo da tomeira gotejante variandolaquo a vazatildeo Q k=475 dinalcm g=980 cm~ 1gt=1 g~ lt9114 em 09119 sim

42 4 ResultatWs e Anaacutelise

Na Fig 41 mostramos uma seacuterie temporal obtida a partir do modelo das

equaccedilotildees (41) com os paracircmetros k=475 dinalcm g=980 crnls b= 10 gls x=O 14 em e

a=O (9 sIm Na integraccedilatildeo do modelo foi utilizado um integrador Runge-Kutta de

-

0D75

(j) E 0050 ~

J

0025

0025 0050 0075 T

N (ms)

Fibllra 42 Atratores caoacuteticos reconstruiacutedos fixando~se a vazio em trecircs valores distintos de nzatildeo Q A dimensatildeo de Kaplatl~Y orkc Dy foi culculndn para cuumlda um destes tratores (n) DRY 12(1) (b) Drn 139(1) (c) DKy173(2)

(a)

lo

shy

(b)

7- iacute I

I 0

~

~ (e)

I rt j~1l~middott~i~i ~ v ) t ~ Amiddot shy ~ ~~ -1

[1 f ~ ~j bull

-) F ~-lt_ f4~-tgt 1- --~ 1

l yA- -~O __ _~ shy

~-~lt

quarta ordem com passo de

integraccedilatildeo de 10-6 e condiccedilotildees

iniciais x(O)=OO em e y(O)=O I

ems Nesta seacuterie temos uma

sequumlecircncia de dupliacutecaccedilotildees de

periacuteodo para 05ltQlt087 mls

caos e janelas perioacutedicas para Q

acima de 087 rnJls c um

alargamento abrupto do atrator

proacuteximo de Q102 mls

Na Fig 42 vemos trecircs

atratores para trecircs diferentelt

valores de vazatildeo Q do modelo

Pora cada um destes atratores

foi calculado os expoentes de

Lyapunov e sua respectiva

dimensatildeo de Lynpunov que os

caracterizaram como caoacuteticos

devido a existecircncia de

expoentes de Lyapunov

positivos Na Fig 42(a) temos

um atrator formado por quatro

bandas ca6ticas com vazatildeo Q=

0885 mlls Para uma vazatildeo

maior de 095 mlls Fig 42(b)

temos um atrator ca6tico com

duas bandas ca6ticas Na Fig

42c) um atrator caoacutetico mis

largo apoacutes a crise para

Q=I05 mlls

t RCSllfladQs e AtuUis 4

710 (b~f (a) 500 I

700 1 E g 400 1 iacute 300

200

1 jJ

670 ~ 100 670 680 690 700 710 100 200 300 400 500

T() T(ms)

Figura 43 (a) dados experimentais para uma frequumlecircncia de gotejamento de 146 gotass (b) atrator obtidQ ccedilom o modelo com de oscilador com relaxaccedilatildeo com uma frequumlecircncia de 315 gotass

(a) ltTgt=1146 me (b) ltTgt=1136 rns

Tn 2

120

110

11Cf

110120 T

120

Tnbull1

TM

120

90 9~ 12

120middot TM

T 90

Figura 4A (n) atrator experimental com um frequumlecircncia meacutedia de 8726 gotas Is (b) atrator obtido a partir da simulaccedilatildeo com uma frequumlecircncia mldia de 880 gotass

44 4 Rewlltados e AndUsc

Fizemos duas comparaccedilotildees entre os dados experimentais e o modelo Tufaite et

aI 1999 Apecircndice 1] Na Fig 43(a estaacute mostrado o mapa de primeiro retorno

experimental mantendo-se constante o niacutevel do reservatoacuterio intermediaacuterio com uma

frequumlecircncia de gotejamento de 146 gotass com o bico de vidrQ Uma estimativa para os

valores experimentais eacute dada por k=365 dinaicm xccedil -O6 em e Q no intervalo 012-015

gls As simulaccedilotildees do atrator usando estes valores para os paracircmetros natildeo convergiram

para vaacuterios valores de a e b Desta forma outro conjunto de valores foi procurado para a

reproduccedilatildeo do atrator experimental Os valores escolhidos foram k = 475 dinacm XI

13 em Q=015 gls a = 02 sem e b = 10 SI como estaacute mostrado na Fig 43(b) com

uma freguumlecircncia de gotejamento de 315 gotass

Na Fig 44(a) estaacute mostrado um atrator reccedilonstruiacutedo em um mapa

triacutedlmensional Tn+2 VS Tn1 vs Tnbull com a frequumlecircncia de gotejamento de 8726 gotass

O perfil do atrator foi simulado com os paracircmetros cOm os seguintes paracircmetros

Q=0141 gls x = 0251 em 051 sem b=O943 SI e k=120 diacutenalcm como estaacute

mostrado na Fig 44(b) A frequumlecircncia meacutedia de gotejamento eacute de 880 gotass pr6xima

do valor experimentaL Os dois atratores da Fig 44 apresentam expoentes de Lyapunov

positivos e dimensotildees de Kaplan-Yorke lOplusmnOl (atrator experimental) e 11plusmnO1

(modelo)

Outros atratores obtidos a partir de mapas criados baseados neste modelo podem

ser encontrados na literatura [Renna 1999] assim como comparaccedilotildees entre atratores

experimentaiacutes e simulados na mesma regiatildeo de vazotildees das Figs 43 e 44 IDInnocenzo

e Renna 1997] Em todas estas referecircncias o modelo apresenta problemas quando os

valores escolhidos para os paracircmetros satildeo os mesmos do experimento que nonnalmente

causam divergecircncia das soluccedilotildees durante a integraccedilatildeo Uma possiacutevel causa destes

problemas eacute fato de que a gota natildeo se rompe exatamente sempre na mesma posiccedilatildeo mas

em alturas diferentes com relaccedilatildeo ao bico Concluiacutemos que este modelo apresenta

Cuumlfilcteriacutesticas qualitativas interessantes mas que natildeo pode ser utiHzad9 para

comparaccedilotildees quantitativas com a experiecircncia Modificaccedilotildees neste modelo estatildeo sendo

feitas por Fuchiacutekami [Fuchikami el aI 1999] que compara este modela com outro

modela mais elaborado que utiliza por princiacutepio fiacutesico a minimizaccedilatildeo da energia com

relaccedilatildeo ao perfil da gota que cresce junto ao bico O modelo de Fuchikami utiliza uma

descriccedilatildeo Lagrangeana para calcuIar numericamente a evoJuccedilatildeo da formaccedilatildeo da gota

45 I i

i

4 Resultadltgts eAnaacutelise

42 Dinacircmica das bolhas Veremos nesta seccedilatildeo os diferentes regimes d borbulhamento causados pelo

aumento da vazatildeo do ar~ e como podemos esclarecer as transiccedilotildees destes regimes

atraveacutes de alguns modelos

421 Formaccedilatildeo quase-estaacutetica

Devido acirc complexidade do processo da formaccedilatildeo de bolhas os modelos

existentes satildeo adequados apenas em casos particulares [Clift e aI 1978) Para uma

bolha se formando em condiccedilotildees quasemiddotestaacuteticas o equillbrio de forccedilas na bolha eacute dado

por

f = (43)

onde f g eacute a forccedila da gravidade e f (J eacute a forccedila devido agrave tensatildeo superficial Para um

orifiacutecio do tipo bico circular a equaccedilatildeo (43) tem a forma

mg = 2R7Ilt7 (44)

onde m eacute a massa do liacutequido deslocado pelo volume da bolha g eacute aceleraccedilatildeo da

gravidade R eacute o raio do bico soprador e G eacute tensatildeo superficial entre o ar e liquido

Tomando um bico com Rb = OA mrn e criando-se uma bolha de ar na aacutegua nas

condiccedilotildees qua8e~estaacuteticas quandO a tensatildeo superficial do sistema eacute igual a O~07 Nm e g

eacute igual a 98 ms teremos uma massa de liacutequido deslocado de

m = 1810 kg (45)

Como temos a densidade da aacutegua igual a 1 gcm3bull o volume maacuteximo da bolha seraacute dado

por

m V=-=18mm (46)

p

Se considerarmos urna esfera de volume equivalente teremos um raio para a bolha r)

reacute 1~6mm (47)

Podemos tambeacutem estimar a pressatildeo do ar dentro de uma bolha atraveacutes da

relaccedilatildeo

2lt7 Pl-Pl ~-- (48)

Se a interface natildeo eacute esfeacuterica mas possui como raios principais de curvatura le e

r entatildeo equaccedilatildeo (48) teraacute forma

46 f Resultados cAnaacutelise

(49)p - p = 2~ lt) As diferenccedilas de pressatildeo das equaccedilotildees (48) e (49) fomece-nos a pressatildeo laplaciana

devido agrave tensatildeo superficiacuteal[Clift oi ai 1978]

Para uma bolha com o raio de 16 mm como calculado na equaccedilatildeo (47) bull

diferenccedila de pressatildeo entre o ar dentro da bolha e a aacutegua eacute

p - p = 175Pa (410)

Para uma bolha a 5 cm da superfiacutecie teremos Pl = 500 p~ entatildeo~ de acordo com a

equaccedilatildeo (410) a pressatildeo dentro da bolha seraacute de 675 Pa ou seja a pressatildeo dentro da

bolha eacute equivalente a uma oolunade aacutegua de 675 mm

Esta anaacutelise soacute eacute vaacutelida para sistemas em equiliacutebrio fora do equiliacutebrio outros

meacutetodos de anaacutelise satildeo empregados e seratildeo discutidos na proacutexima seccedilatildeo

422 Formaccedilatildeo de bolhas com vazatildeo constante

Podemos obter um modelo para baixas vazotildees fazendo algumas suposiccedilotildees

sobre a geometria da bolha [Daviacutedson e Schuumller 1960J O modelo segue as seguintes

consideraccedilotildees

1 A bolha eacute esfeacuterica durante sua formaccedilatildeo

2 Natildeo haacute cireulaccedilatildeo do liquido ao redor da bolha que estaacute se formando de tal

modo que o liacutequido estaacute em repouso quando a bolha comeccedila a se formar

3 O movimento de uma bolha natildeo eacute afetado pela presenccedila de urna bolha acima

ela

4 A bolha estaacute a todo instante movendo-se na velocidade de Stokes apropriada

para o seu tamanho

S Quando a bolha atinge o raio maacuteximo R ela se destaca

Considerando O movimento de uma bolha que se forma em um ponto longe das paredes

de um reservatoacuterio infinito nas condiccedilotildees acima a velocidade do centro da bolha v no

tempo t apoacutes o comeccedilo da sua fonnaccedilatildeo seraacute dada pela velocidade de Stokes

2rg v=-~ (411)

9v

onde v eacute a viscosidade cinemaacutetica do liacutequido dada pela razatildeo entre a viscosidade e a

densidade do liquido Aleacutem disso se Qeacute o fluxo do gaacutes entatildeo o volume da bolha V eacute

41 4 Resultados e Anaacutelise

V=QI= 4- (412)3

Deste modo definindo x como a distacircncia entre o centro da bolha e o ponto de

suprimento do gaacutes obtemos a equaccedilatildeo que define o movimento do centro da bolha

atraves do seu raio r como uma funccedilatildeo de Q e t dados pela equaccedilatildeo (412)

Substituindo r na equaccedilatildeo da velocidade d Stokes

v2g (3Q ) ( (413)9v 4Jr

e integrando a equaccedilatildeo (411) em relaccedilatildeo a t noacutes obtemos O deslocamento do centro da

bolha em funccedilatildeo do tempo

2 Ir (414)x=Jl-lt3QJ 15v 411

A bolha iraacute se destacar quando x = R o raio maacuteximo da bolha com o tempo para a

formaccedilatildeo completa da bolha T obtido partir da equaccedilatildeo (414)

ltT=ll~)() (415)

que nos daacute uma relaccedilatildeo hiperboacutelica entre o tempo T da formaccedilatildeo da bolha e a vazatildeo Q

como mostrado no graacutefico da Fig 45 Com isto obtemos que a relaccedilatildeo entre a

frequumlecircncia de borbulhamento F = (11) e a vazatildeo volumeacutetrica do ar Q eacute

F ltcQM (416)

Este eacute um modelo razoaacutevel para baixas vazotildees pois explica de modo simples as

principais caracteriacutesticas da variaccedilatildeo da frequumlecircncia do borbuJhamento com a vazatildeo do

ar Entretanto~ as cinco condiccedilotildees para fonnaccedilo das bolhas no iacuteniacutecio desta seccedilatildeo natildeo

satildeo rigidamente observadas isto fuz a equaccedilatildeo (416) ter um caraacuteter principalmente

qualitativo O trabalho de Ponter e Surati [ponter e Surati 1997] fuz um estudo

comparativo entre vaacuterios trabalhos que investigam a emissatildeo de bolhas a partir de

orifiacutecios submersos e apontam como principal causa da discrepacircncia entre os diferentes

resultados experimentais a influecircncia da superfrcie do biacuteco soprador e a falta de

padronizaccedilatildeo da geometria do equipamento Mesmo com as discrepatildencias~ O

comportamento hiperboacutelico com as bolhas se formando sequencialmente eacute observado

quandO se aumenta a vazatildeo [Sulliacutevan et aI 1964) No nosso trabalho soprando ar

diretamente na seringa para vazotildees acima de 200 rolmin ocorrem bifurcaccedilotildees no tempo

entre bolhas e isto eacute o tema da proacutexima seccedilatildeo

4 Resulfados eAnaacutelise 4amp

n 423 Biacutefurcaccedillies Tempo entre Dependendo bolluls

principalmente da

geometria do bico

soprador para vazotildees

acima de um determinado -shy ~m~~ valor ocorre uma

transiccedilatildeo de um regimeQ-vazatildeo de borbulhamento

igualmente espaccedilado noFigura 45 Esboccedilo da dependfulcia hiperboacute1ia entre o tempo do borbulhameniO c a vazatildeo de ar tempo para um regime ~----------------------~

no qual as bolhas se formam com dois tempos distintos e emergem aos pares formando

um dubleto [Davidson e Schuumller 1960 Marmur e Rubin 1975 Miyhara cl al 1983

Tritton e Egdell 1993 Mitoni ct al 1995 Kyriaides oi ai 1997] Este fagraveto pode ser

atribuiacutedo agrave transferecircncIacutea de momento do ~ poiacutes uma parte do liacutequido fica agregada agrave

superficie da bolha formando uma casca esfeacuterica liquida que eacute chamada de massa

virtual P [Davidon e Schuumller 1960 Miyhara el ai 1983] reduzindo o empuxo da

bolha para 1116 Aleacutem disso noacutes podemos fazer um modelo simplificado para a

formaccedilatildeo das bolhas Se considerarmos aacute presenccedila de uma forccedila restauradora de

coeficiente k devido agrave tensatildeo superficiaI~ usando as consideraccedilotildees 14 e 5 da seccedilatildeo 422

e considerando que existe uma forccedila dissipativa na formaccedilatildeo da bolha (que eacute

proporcional agrave velocidade bv) Utilizando a segunda lei de Newton chegamos agraves

equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem

dx _~=y

di d(Mv

di = (JMg - kx -lN) (417)

fiM di =Q

onde x eacute a posiccedilatildeo do centro da bolha M eacute a massa de liacutequido deslocada pela bolha

(M~Vp) Aleacutem destas equaccedilotildees uma quarta equaccedilatildeo define quando a bolha deve se

destacar No momento que a e1a atinge o ponto criacutetico xcgt a bolha se desprende do bico

soprador com a massa

49 4 Re$1lltatlos eAnaacutelise

M=aMve (418)

com M e V sendo a massa e a velocidade no ponto de rompimento Xc respectivamente

A constante de proporcionalidade de massa eacute a O diagrama do modelo pode ser visto

na Fig 46

AA1 X

p M

k oacute

Figura 46 O modelo de oscilador de massa variaacutevel para a formaccedilatildeo de bolhas

1

50 4 Resultados e Anaacutelise

Estas equaccedilotildees foram inspiradas em equaccedilotildees do mesmo tipo para o

experimento da torneira gotejante (Tufaile el ai 1999 Apecircndicel] mostradas na seccedilatildeo

41 Shaw [Shaw 1984] propocircs o primeiro modelo para a torneira gotejante inspirado

nas ideacuteia de Rayleiacutegh O modelo foi atualizado por Saacutenches-Ortiz e Salas-Brito

(Sacircnehes-Ortiz e Salas-Brito 1995a Saacutenches-Ortiz e Salas-Brito 1995b] e

independentemente por D~Innoncenzo e Renna [D~Innoncenzo e Re~ 1996] que~

atraveacutes da mudanccedila do mecanismo de rompimento mostraram uma vasta gama de

comportamento caoacutetico usando o modelo e o quanto ele pode ser comparado com dados

experimentais Eacute importante saliacuteentar que apesar da enonne simplificaccedilatildeo que se faz

quando se reduz um sistema fluido com muitos graus de liberdade para um modelo

unidimensional1 existem muitos resultados que podem ser compreendidos usando O

modelo de oscilador de massa variaacutevel~ como bifurcaccedilotildees comportamento caoacutetico e

janelas perioacutedicas Seguindo esta linha Kiyono e Fuchikami trabalham na construccedilatildeo de

modelos de oscilador de massa variaacutevel t utilizando resultados obtidos a partir de seu

modelo hidrodinacircmieo (Kyono e Fuchikarniacute 1999]

Na Fig 47 vemos espaccedilos de fuse para a formaccedilatildeo de bolhas para diferentes

vazotildees numa sequumlecircncia que evolui desde o penado 1 ateacute o comportamento caoacutetico

Para a vazatildeo de l~O mIIs obtivemos um ciclo limite com a velocidade crescendo

atingindo um valor rnacircximo e depois diminuindo retornando proacuteximo ao valor inicial

Neste instante ocorre o rompimento e a proacutexima bolha inicia o ciclo com a mesma

posiccedilatildeo da bolha anterior deste modo o sistema retoma abruptamente ao ponto inicial

(x-Ol em e v-l4 crnls) Para a vazatildeo de 18 mIIs O sistema atinge o ponto de

rompimento com duas condiccedilotildees de rompimento distintas a primeira com uma

velocidade ascendente e uma segunda com uma velocidade descendente Para 20 mVs

temos uma outra duplicaccedilatildeo de periacuteodo levando a um periacuteodo quatro e finalmente para

uma vazatildeo de 2~15 rn11s vemos O espaccedilo de fase do comportamento caoacutetico

A seacuterie temporal deste modelo estaacute na Fig 48 e mostra as variaccedilotildees da

dinacircmica com a variaccedilatildeo da vazatildeo na faixa de vazatildeo 08 lt Q lt 22 m1s Para uma

vazatildeo por volta de 155 mls ocorre uma duplicaccedilatildeo de periacuteodo Para l97 rnVs uma

descontinuidade na seacuterie~ seguida de novas duplicaccedilotildees e caos

bull bull bull bull

51 4 Resultados e Anaacutelise

f I ~ ~ bull ~

1gt gtligt

tobull o 0- o ~ ~

fmiccedil)o (em)

otltl_J l

j

(

11

r ( ~

(I

~ ~ m f I - _r

i__=---~1 ~ ia_t6tttll-

Ibulli ~

~ ccedilshyreg 11110 o~

PM~a ftm)

Ot1SINIo ~1 ~

li ~ I~

~ ~ bull

bull ~ lt - -- u bullbull~ ~

Figura 4~1Espaccedilos de fase obUaoscom o ruacuteOdelo de oscilador de tna$il vnveCg 10 mIlsPeriacuteodo 1 Q=l8 m1Is duplicaccedilatildeo de periacuteodo periacuteodo 4 para 20 m1Is e comportamento caoacutetico para 215 mlJs Os paracircmetros do sistema satildeo x=O19 em 0=025 b=25 em$ g980 ems k=480 dinalcnt

Deste modo podemos ter uma

visatildeo geral de como ocorre uma

duplicaccedilatildeo de periacuteodo do espaccedilo de

fases da [onnaccedilatildeo de bolhas aleacutem da])- ~1 lO regiatildeo da formaccedilatildeo quase~estaacutetic8shy

baseada em um modelo mecacircnico

simplificado OUlro modelo para a Q(mYl)

formaccedilatildeo de bolhas pode ser encontrado

Figura 48 Seacuterie temporal do modelo de oscilador I no trabalho de Marmur e Rubin de massa variaacutevel para o tubo boIbulhador

[Marmur eRubiacuten 1975] que do mesmo

modo que Fuchikami [Fuchikamiacute el ai 1998] utiliza o formalismo Lagrangeano

52 4 Resultados e Anaacutelise

424 Veias liacutequidas

Verificamos experimentalmente a ocorrecircncia da agregaccedilatildeo de liacutequido junto agrave

bolha que causa a reduccedilatildeo do empuxo sobre a bolha Utilizando um sistema de trecircs

fases (ar aacutegua e oacuteleo) observamos a fonnaccedilatildeo de veias liquidas Uma veia liacutequida

ocorre quando temos um canal de aacutegua dentro do oacuteleo que eacute sustentado pela

emergecircnciacutea das bolhas como pode ser visto no diagrama da Fig 49 Na literatura

existem classificaccedilotildees para padrotildees de fluxos de duas fases como o padratildeo de

borbulhammo padratildeo d jateamento e padratildeo anular [Sharpe 1994] O primeiro caso

borbulhameoto eacute o caso tratado neste trabalho o padratildeo de jateamonto [Ruzicka 1997]

ocorre quando o gaacutes possui velocidades maiores do que a do borbulhamento e eacute

espargido dentro do liacutequido o terceiro caso~ o padratildeo anular ocorre para velocidades

ainda maiores do gaacutes que passa pelo centro do liquido formando um tubo gasoso COm

gotiacuteculas do liacutequido subindo pelo centro junto com o gaacutes Devido bull propriedades

viscoelaacutesticas do ocircleo diferenccedila de cor entre o oacuteleo e a aacutegua e a refraccedilatildeo do sistema

aacutegua-ar podemos ver a fonnaccedilatildeo desse padratildeo anular a veia liacutequida num sistema de

trecircs fases ar aacutegua e oacuteleo e deste modo verificar o arrasto da aacutegua junto com as bccedillhas

Veia liacutequumlida induzida por bolhas

Ar

Figura 49 Um sistema de tns fases iroisciveis formado por aacutegua ar eacute oacuteTeo criando uma veia liquida A aacutegua forma uma coluna dentro do oacuteleo com um fluxo ascendente proacuteximo do centro e um fluxo descendente na parte ell1ema

4 Resullado$ e Anaacutelise 53

o liacutequido que envolve a bolha deve ter a mesma velocidade da superfiacutecie da

bolha formando uma casca esfeacuterica de liacutequido A casca esfeacuterica de aacutegua acompanha a

bolha ateacute o ponto em que ela atinge a superfiacutecie do sistema Hquido~ a partir deste ponto

este volume de aacutegua eacute afastado lateralmente e inicia a descida para a base da coluna Na

Fig 4 1O~ podemos ver uma imagem obtida no LFNL de uma veia liquida

a porte avermclhada eacute 6100 a coluna central eacute constituiacuteda de aacutegua com bolhas no seu interior

A existecircncia da m d Ilquiacutedo

agregada junto a bolha eacute um fato que

mostra que a experiecircncia do tubo

borbulhador natildeo eacute o experimento da

torneira gotejante invertiacutedo

Se aumentarmos a vazatildeo de ar

inicialmente ocorre uma acumulaccedilatildeo de

aacutegua sobre o oacuteleo que depois se precipita

na forma de uma bolsa de aacutegua como

podemos ver na seqililncia de imagens da

Fig 41 L Deste modo O fator de massa

agregada fJ das equaccedilotildees (417) eacute uma das

princjpais diferenccedilas entre os modelos de

oscilador para bolhas e gOlas

Figura 411 Aumefllandose a freqiacuteiWcia de bolhas a aacutegua se acumula no topo da ooluna (a) ( acuacutemulo de aacutegua se desestabiliza e comeccedila a descer agarrada agrave veia (b) e em (c) temosa bolsa de aacutegua jaacute na base da veia liacutequida

1

54

-i

4 Resultados eAmilise

425 A estabilidade de dois fluidos sobrepostos

O problema fiico fundamental na fonnaccedilatildeo de bolhas em liquidos ecirc a

superposiccedilatildeo de dois fluidos de densidades muito diferentes O estudo de instabilidades

hidrodinacircmicas aborda tal problema aleacutem de outras instabilidades que tambeacutem satildeo

tratadas de um ponto de vista matemaacutetico muito interessante no livro Hydrodyllamlc

and Hydr(J11agnetlc Stability de Chandrasekhar [Chandrasekhar 1981] onde foram

estudadas as soluccedilotildees das equaccedilotildees hidrodinacircmicas para dois casos nos quais ocorre a

superposiccedilatildeo de fluidos

a) A instabilidade de Raylelgh-Taylor que trata da instabilidade da interface plana

entre dois fluidos

b) A instabilidade de Kelvln-Helmholtz que surge quando camadas diferentes de

fluidos heterogecircneos estratificados estatildeo em movimento horizontal relativo

Os problemas de instabilidade hidrodinacircmica envolvem o reconhecimento de fluxos

estagraveveis e instaacuteveis que satildeo obtidos para determinados valores dos paracircmetros que

governam o sistema Como exemplos temos o nuacutemero de Rayleigh~ para a convecccedilatildeo de

calor num fluido entre duas pacas uma acima e outra abaixo do fluido ou o nuacutemero de

Taylor para o comportamento do fluido entre dois cilindros coaxiais girantes

Restringindo-se agrave instabilidade de Rayleiacutegh-Taylor temos um arranjo com dois fluidos

de densidade unifurme~ um com a densidade Pl sob outro com densidade P2 sendo que

P2 eacute maior que pJ~ num campo gravitacional g A superfiacutecie horizontal que separa os

dois fluidos tem a tensatildeo superficial a Este sistema possui um nuacutemero de onda critico

kc pata as oscilaccedilotildees entre os fluidos~ dado por

klt = J(p - p)g I CF bull (419)

Os sistemas com nuacutemeros de onda no intervalo Oltkltkc satildeo instaacuteveis quando kgtkcl

temOS um estado marginal ou limite De um modo geral~ a tensatildeo superficial estabiliza

arranjos potencialmente instaacuteveis Levando em conta que a unidade de medida de Ir eacute

lm~ obtemos um nuacutemero puro conhecido como nuacutemero de Rayleigh~Taylor RT que

determina a estabilidade do sistema de fluidos sobrepostos

RT = glOcircp (420) CF

onde I eacute um comprimento caractcristico do sistema Este nuacutemero estaacute relacionado

diretamente com o nuacutemero de Eocirctvocircs (Eo) [Clift el ai 1978] para particulas gotas e

bolhas dado por

554 Resultados e Anaacutelise

~ U)

~

60 40 aacutegua + 6G gliccedila 33 aacutegua + 67 glicerina ~

50

~

40E ~ z I- 30

20 r

(~) I (7) I o 300 NaDo 9000 300 600 9000

(g)

100 aacutegua 50 aacutegua i 50 glicerina

N

20 aacutegua + 60 gliacuteceflna

(f) 300 000 900

Figura 411 Graacuteficos da transiccedilatildeo de regime do bolbulhamenlO di_ a vazltlo do ar Oaumento da viscosidade causa uma definiccedilio da dupUccedilaccedilio de periodo no experimento do tubo borbulhador como pode ser visto nos graacuteficos mostrados de (a) ateacute (I) A duplicaccedilatildeo de perlode tambeacutem eacute visiacutevel espacialmente como esta mostrado em (g) que temos o periacuteodo 1 com as bolhas se elevando igualmente espaccediladas c em (h) onde temos o periacuteodo 2 vemos a fonnaccedilatildeo dos dubletof de bolhas (33 aacutegua + 6Ou glicerina)

56 4 Resultados e Anaacutelise

gdApE0 -- (42t)

U

onde d ecirc o diacircmetro de uma esfera de volume Vequivalentlt d t (6V I n)1f3 ~ da

particula gota ou bolha obtido pela meacutedia d seus raios principais

Medimos o nuacutemero Eo juntamente com o nuacutemero de Reynolds Re das bolhas

[Clift el ai 1978J (Re = udp I P onde ueacute velocidade d fomaccedilatildeo da bolha p eacute a

viscosidade e p ecirc a densidade do liacutequido) Quando o sistema passa do regime de

periodo I para uma bifurcaccedilatildeo ou alargamento abrupto do tempo entre bolhas

obtivemos que o nuacutemero de Eotildetvotildes vale aproximadamente 26 plusmn1 para nuacutemeros de

Reynolds entre 200 e 1500 Este resultado foi verificado para todos os bicos utilizados

neste trabalho

426 Instabilidade da superfiacutecie da bolha

Utilizando algumas concentraccedilotildees diferentes de glicerina e o bico de seringa

verificamos1 no experimento do tubo borbulhador que os tempos entre bolbas ocorrem

em periacuteodo 1 para baixas vazotildees (O a 100 m1Imin) e que para faixas maiores de vazatildeo

os tempos entre bolhas ocorrem dentro de uma faixa de valores para baixas

concentraccedilotildees de glicerina ou em dois valores de tempo caracterizando um periacuteodo 2

para concentraccedilotildees maiores que 50 ~ como pode ser visto na Fig 412 Podemos ver

que com o aumento da viscosidade do liquido os ramos que ocorrem no penodo 1

I assim como os ramos do periacuteodo 2 ficam com valores mais estaacuteveis Segundo Mittonl

I [Mittoni et ai 1993] o aumento da viscosidade atraveacutes da glicerina produz atratores

mais estruturados e reprodutiacuteveis~ pois O aumento da viscosidade aumenta tambeacutem a

estabilidade do envelope da bolha e atenua a circulaccedilatildeo do liacutequido proacuteximo do bico

Este fato pode ser visto nas imagens da Fig 413 onde temos um conjunto de imagens

antes (al e depois (b) da duplicaccedilatildeo para a aacutegua e duplicaccedilatildeo de periacuteodo para a glicerina

(c d) Deste modo a viscosidade suprime instabilidades que podem levar agrave variaccedilotildees no

tempo de formaccedilatildeo da bolha

A instabilidade na formaccedilatildeo devido agrave baixa viscosidade pode ser vista na Fiacuteg

414 onde temos uma comparaccedilatildeo entre a aacutegua e a soluccedilatildeo com 80010 de glicerina e 20010

de atildegua Na Fig 4 14(a) temos o mapa de primeiro retomo com 10000 pontos para o

57 4 Resultados e Anaacutelise

bico de seringa com uma altura de coluna de 3 cm e uma vazatildeo de ar mantida constante

em 50mVmin

Este regime de borbulhamento corresponde a um periacuteodo 1 para a aacutegua com os

pontos se espalbando num intervalo entre 75 925 ms e n Fiacuteg 414(A) vemos o

histograma correspondente agrave frequumlencia de visitaccedilatildeo dos tempos entre bolhas com um

valor meacutedio de 87 TIS Para o liquido com 8010 de glicerina e 2010 de aacutegua ternos o

atrator da Fig 414b)~ com as demaiacutes condiccedilotildees semelhantes ao caso anterior tambeacutem

com 10000 tempos entre bolhas e na Fig 414(B) temos o histograma para este atrator

Os pontos neste atrator estatildeo entre 827 e 835 rns muito mais concentrados do que o

caso anterior

cIIJtmiddotca

---shy(a) (b) (c) (d)

Fig 413lmagens pam duplicaccedilatildeo de periacuteodopam a aacutegua (a) periacuteodo 1 e (b) alar_ento de perlodo e no liquido viscoso 2000 aacutegua + 80 glicerina com perlodo i em (e) e perlodo 2 em (d) Nestas imagens podemos notar que a superficie das bolhas emergentes satildeo mais estaacuteveis para o liacutequido mais viscoso do que para a aacutegua

lIiI

Q

58 4 ResultadrueAnaacutelise

j (A)

j

I (6)(b)

8bull~ 1 ~

f-

75 00

T(ms) T (ms)

Figura 4~14 Mapas de primeiro retomo (a) para a aacutegua e em (b) para a soluccedilatildeo SOOAt glicerina e 20 aacutegua Em (A) temos o histograma para os 10000 tempos obtidos para a aacutegua e em (B) o mesmo para o liacutequido mais viscoso A baixa l viscosidade da aacutegua toma -iacute o sinal muito mais irregular corno pode ser comparado em 500 pontos da seacuterie (c) da aacutegua e (C) da soluccedilatildeo viscosa

93

n

59 4 Resultadose Anaacutelise

427 Frequumlecircncia de borbulhamento

A frequumlecircncia das bolhas dada pela equaccedilatildeo 416 tem uma validade limitada

pelas condiccedilotildees geomeacutetricas e dinacircmicas jaacute citadas anteriormente Fazendo outras

medidas com diferentes alturas de coluna observamos uma variaccedilatildeo na frequumlecircncia de

borbulhamento Basicamente o aumento da a1tura da coluna liacutequida causa a diminuiccedilatildeo

da frequumlecircncia de borbulhamento para a mesma vazatildeo Na Fig 415 eacute apresentada a

frequumlecircncia de borbulhamento em funccedilatildeo do logaritmo da vazatildeo com o sistema

predominantemente emitindo bolhas em periacuteodo I onde se utilizou a soluccedilatildeo 8000 de

glicerina e 20 acircgu~ o bico de seringa e trecircs alturas da co]una liquida Sem 12 em e 26

em Fazendo um ajuste linear para calcular os expoentes da frequumlecircncia de

borbuIbamento em funccedilatildeo da vazatildeo observamos um aumento no valor do expoente com

O aumento da altura da coluna e simultaneamente a diminuiccedilatildeo do coeficiente linear do

ajuste Deste modo a frequumlecircncia em bolhas diminui com o aumento da altura da coluna

mas temos um aumento na sua inclinaccedilatildeo com a vazatildeo volumeacutetrica O mesmo efeito

ocorre com um liacutequido menos viscoso (66 glicerina e 34 aacutegua) mostrado na Fig

416 Podemos ter uma variaccedilatildeo ainda maior quando usamos o bico AI isto ecirc

diminuiacutemos o orificio do bico borbuJhadoT como estaacute mostrado na Fig 417 com a

soluccedilatildeo 800 glicerina e 20 aacutegua com altura de coluna de 3 em acima do bico

Existem alguns fatores que podem causar estes efeitos Ruzicka que estudou

experimentalmente a transiccedilatildeo intermitente entre os regimes de borbulhamento e de

jateamento em um sistema aacutegua e nitrogecircnio~ mediu a velocidade da circulaccedilatildeo do

liacutequido com um anemocircmetro Danlec e observou que a circulaccedilatildeo do liacutequido aumenta

com a altura da coluna [Ruzicka ot aI 1997] Par a construccedilatildeo do modelo da equaccedilatildeo

(416) a segunda condiccedilatildeo eacute que natildeo baja circulaccedilatildeo do liquido proacuteximo do bico e deste

modo o aumento da coluna poderia afastar o sistema das condiccedilotildees de validade da lei de

frequumlecircncia de borbulhamento

Outros autores [Davidon et ai 1960 Marmur e Rubin 1976 Clift et al

1978] afirmam que a diminuiccedilatildeo do diacircmetro do bico afeta a frequecircncia de

borbulhamento causando o emparelhameno das bolhas (duplicaccedilatildeo de penodo) deviacutedo

ao aumento do nuacutemero de capacitacircncia Na dado por

4V (p - Pg)lt (422)N= miP

I

bull bull

60 4 Resultados e Anaacutelise

I [ A it

3

o ~0_ Uq 80 glic + 20 otildelQUa ~~ ~

oQ~-ogomiddot

o shyoi lIIIl

If-oI_og

bull c shy

o bull bullbull

bull o Iog fO4Obg 0+04 bull Iog f~O43bg 0+03

bull Iit 1og~OSSbgCKI12

-TrY

10 Log Q bull Vazatildeo (mllmin)

Figura 415 Frequumlecircncia de borbulhamento em funccedilatildeo da vatilo e altura da coluna liacutequida

Llq 6ocirc glie + 34 aacutegua

0deg ~ EI00 li

o o bullbull li o1 deg ~o bull bull bull

lt5

oA it 1 o bull bull bull

o log fUacute421og Q-+O4s 1 9

bull logft=O451og 0+028 li logf=O481ogQ+O12

bull o Iogf =O5BIogQ-O19

b

o _ 010 li 150m

~

10 100

Log Q - Vazatildeo (mVmin)

Figura 416 O mesmo que a figura anterior pOreacutem com um liquido menos viscoso

61 4 Resultados e Anaacutelise

lo 1=1

Biccedilo A1 o Lfq 80 glic + 20 aacutegua

amp90

OO~ r

o 0deg 0deg

Otilde 10 o o ~

o ~ ] f-O ov J

oOI o J o

o 1 10g fb 069109 Q-O25 1

10 100

Log Q - Vazatildeo (mllmin)

Figura 417 O mesmo liquido que foi utilizado paro os dados da Fig 416 mas agora com Q

bico A1 e uma altura de coluna acima do bico de 3 em

onde Vc eacute o volume da cacircmara que conteacutem o ar entre a vaacutelvula de controle de vazatildeo e o

bico Pi e pg satildeo as densidades do liacutequido e do gaacutes (ar) respectivamente do eacute o diacircmetro

do orifiacutecio (bico) eP a pressatildeo absoluta na bolha

Segundo Marmur e Rllbin orificios grandes (~1 mm) implicam em

baixa resistecircncia ao fluxo do gaacutes entre a cacircmara e a bolha e devido a isto a bolha e a

cacircmara funcionam corno um sistema unitaacuterio para o ar Jaacute com orifiacutecios menores o

nuacutemerO de capacitacircncia aumenta e a velocidade do ar nO bico aumenta causando

pequenas variaccedilotildees de pressatildeo na cacircmar~ que causam diferentes tempos de formaccedilatildeo

para as bolhas

Aleacutem destes fatores a temperatura eacute um paracircmetro fundamental a ser

monitorado Todas as medidas anteriores foram realizadas a 24 C

62 4 ResutatQs e Anaacutelise

428 DupUcaccedilotildees de periacuteodo

Com uma soluccedilatildeo de quatro partes de glicerina e um parte de aacutegua e usando a

seringa plaacutestica como bico obtivemos a seacuterie temporal d Fig 418 que mostra a

claacutessica sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo para o sistema do tubo borbulhador Nesta

figura temos uma diminuiccedilatildeo gradual da vazatildeo de ar atraveacutes do bico com uma evoluccedilatildeo

doade a regiatildeo caoacutetica (a) passando por comportamento de borbulhamento de penado 2

na parte (b) que passa a um periado 4 na regiatildeo (c) que passa para um novo

comportamento de penodo 2 regiatildeo (d) seguido por uma regiatildeo de formaccedilatildeo de bolhas

em periacuteodo 1 na regiatildeo (e) Na Fig 419(e) apresentamos uma imagem das bolhas se

formando periodicamente uma a uma e na Fig 4 19( d) eacute mostrado o comportamento de

periado 2 sem o efeito de coarescilnda entre as bolhas Na Fig 419(c) temos a imagem

para o penodo 4 enquanto que na Fig 419(b) temos um penodo 2 devido agrave

coalescecircncia de pares de bolhas que anteriormente formavam o periacuteodo 4 Finalmente

na Fig 4 1 9(a) temos a imagem das bolhas em regime caoacutetico

429 Salto e coalescecircncia

Obtivemos uma seacuterie temporal diferente com o mesmo aparato anterior~ mas

utilizando o bico A3~ Um capilar metaacutelico longo deixando a pressatildeo do reservatoacuterio

diminuir naturalmente atraveacutes do borbulhamento Esta seacuterie temporal eacute mostrada na Fig

420 O sistema estaacute evoluiacutendo em um movimento de periacuteodo 2~ regiatildeo (a) na Fig 420

onde a diferenccedila entre os dois ramos do atrator eacute de 55 ms A medida que a vazatildeo do ar

diminui Qcorre um encolhimento abrupto do atrator para outro periacuteodo 2 onde a

diferenccedila entre os famos passa o ser 1 nlS mostrando um salto na dinacircmica da fonnaccedilatildeo

de bolhas na regiatildeo (b) da Fig 420 Depois disC o sistema evolui para um periodo 1

mostrado na regiatildeo (c) Na Fig 421 estatildeo ilustrados cada perfil de borbulhamento nas

trecircs regiotildees Na Fig 421() temos duas imagens que mostram a formaccedilatildeo de uma

grande bolha em dois cstagravegios No priacutemeiro estaacutegio a bolha se forma com o tempo do

ramo superior do pedodo 2 da seacuterie temporal da Fig 420 (-25 ms) Logo que esta

bolha se destaca uma segunda bolha eacute criada durante a sua furmaccedilatildeo esta segunda

bolha toca bull bolha antenor e o fluxo de ar ascendente soprado dentro da bolha em

fonnaccedilatildeo vence a tensatildeo superficial fazendo a coalescecircncIacutea do par que eacute alimentado

4 Resultados e Anaacutelise 63

50~--------------------------------------~

(a)

~ ~ bull1o$ ~ bull bullbullbull u ~ gtbullbullbull

bull ~~ (b) -

~ ~ bull lt

(c)

~

bullbull _~_

~ (bullbullbullbull bulli~ ~~~I~~~~

1- W

40

7 ~3(l E ~

1-lt

20

~~~~~~ ~~~ 10

o I I o 500 1000 2000 2500 3000 3500 4000

n

Figura 418 Seacuterie temporal a partir do oomportatnento caoacutetico ateacute o penudo l Tneacuteo temJX) entre bolhas e n eacute a ordem da bolha coletada

~_ ~IV ~

l 1 _ 1 - 8~

~ ~ c bull

~~ G Q

gt middotcmiddot

C1r obull~ 8 ~ - -~

~

~ ~a o G

i~1bgt ~ ~ciacute1I ~

(a) (b) (c) (d) (e) Figura 419 Perfil das bolhas emitidas em cada um dos regimes mostrados na seacuterie da Fig 515 Em (a) vemos O oomportamentoca6tico (O) periacuteodo 2 com coal_neia (e) perlodo 4 (d) periacuteodo 2 e em (e) perlodo (1)

pelo bico soprador e se toma uma uacutenica grande bolha Com a diminuiccedilatildeo da vazatildeo de

ar O toque entre as bolhas deixa de ocorrer e o atrator diminui abruptamente

bull bull bull

__

64 4 Re$tlltados e Anaacutelise

25 _~r--~

bull bull bull

(b)Tn (ms)

20

15 bull

o 100 200 400 500 600 700 TI

Figura 420 Seacuterie temporal mostrando um salto na dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas o periacuteodo 2 se (X)otIai abruptamente em um periacuteodo 2 diminuindo o periacuteodo do borbulhamento

~~~~~ Blaquoltlt o

~~~~ ~ti~~ ~~~__o

$ 01lt- ~

~j3~~ ~ c ~lt _4B ~~~~ Oylt OImiddot

o

il~~ gt OI a~f~ omiddot~~ Omiddoti

~ltbullbull 01laquolt ~ deg -~ ~-

~- J~f~ 1ltlaquo O middot

~i ~~ltc 9~1 ~~~~ ~ ~~

~~I-~iJM ~1 l -gt

(a)

-ot

~~ ~~ -i)-~

-~jIi-J

(b) (c) Figura 421 Imagens das bolhas (a) antes do salto onde podemos ver as bolhas se tocando- e coalescendo (b) o- periacuteodo 2 apoacutes o salto onde as bolhas satildeo emitidas aos pares sem coalescecircnciacutell e (c) o periacuteodo 1

65 4 Resultados e AnacircJise

Uma mudanccedila abrupta de comportamento nos sistemas fiacutesicos pode ser

eAtilde-pHcada atraveacutes de mapas com descontinuidades como foi proposto por de Sousa

i Vieira el ai [Souza Vieira oi ai 1987] Par estudar assimetrias e descontinuidades eles

I utiacuteHzaram o mapa

I-e -alxX sexo gt0

x = f(x) (423)1-(e +8) =0

1-amp2 -a2Ix1 sex lt0londe S1 e EZ satildeo os coeficientes de descontinuidade z e Z2 satildeo os expoentes de

assimetria aJ e az satildeo os paragravemetros de controle do mapa x

~wa1rr~J

j(b)

ftlt 00 DS 110

X

~~_ shy h ~

ltgt01

raquo1111u

~ (a) bullbull

X

gtltt

bull a

Figura 422 Dois exemplos de mapas assimeacutetricos (a) omapa descontiacutenuo das equaccedilotildees 422 e os valores de cada puilmetro em (A) temos o seu diagrama de bifurcaccedilotildees Em (b) os jmagravemetros do mapa contiacutenuo e em (B) o respectivo diagrama de bifurcaccedilotildees

66 4 ResuitaikJse Anacirclise

Outro caso onde ocorre descontinuidades eacute atraveacutes do modelo de mapas

combinados em seacuterie [Tufaile 19 Tufaite si aibull 1999] no qual os sistemas interagem

aJtemadamente Este modelo pode ser exemplificado com os mapas unidimensionais

xbullbull = f4y) (424)

Yn+1 = g(~Xff+l)

cuja combinaccedilatildeo eacute a uniatildeo dos resultados dos dois mapas

S=fug (425)

Se considerarmos o mapa logistico com o paratildemetro de controle p~

Zn+l co PJVZn(l- In) com

(426a)[1+ (-l)JPr +[1 +(-l)]Py p~co

2

A recorrecircncia Zn pode ser rescrita em dois subsistemas independentes associados com a

paridade de 11

x =16pPr (I-x)[1-4p-x(1-xl] (42Gb)

y =16ppy(l-y)[1-4Pxy(I-y)] (4260)

Aleacutem disso os paracircmetros Px e py podem ser simultaneamente funccedilotildees de um

paracircmetro que acopla o sistema Devido agrave propriedade da formaccedilatildeo de bolhas de

diminuiccedilatildeo do tempo em funccedilatildeo do paracircmetro de controle~ pode-se utiliacutezar uma funccedilatildeo

convexa do tipo

zn+1 =z -a (427)

e fazer a combinaccedilatildeo em seacuterie deste mapa com o paracircmetro de controle assumindo dois

valores para a gt O8

0x =0 (428)

y =ltgt+01

O diagrama de bifu~o desta combinaccedilatildeo estaacute mostrado na Fig 423

Figura 423 00

A descontinuidade ~ obtida pela combinaccedilatildeo ~ 05 em seacuterie de dois tnaplS

quadraacuteticosshy-10

os 1006

a

67 4 Resultados eAnaacutelise

Interpretando o salto sob o ponto de vista dos mapas combinados em seacuterie

podemos considerar que antes do salto logo apoacutes a duplicaccedilatildeo de penado as duas

bolhas satildeo formadas atraveacutes da mesma funccedilatildeo de formaccedilatildeo Quando ocorre o toque a

primeira bolha do par possuIacute urna funccedilatildeo de formaccedilatildeo distinta da segunda bolha pois a

segunda bolha coalesce durante sua formaccedilatildeo com a primeira e o bico soprador passa a

encher o conjunto com quase o dobro do volume uma bolha

Outro tipo de combinaccedilatildeo de mapas eacute a combinaccedilatildeo paralela de dois mapas tt) e g(y) que resultam no mapa combinado s

x = - - p(I) y =y - py(I) (429)

Sn xlI +Yn

O6--------------------~

00shy

X -06shy P1

-12 shy

00

gt-bull -05shy ~ gt2 -10 00

gt- -05shy+Xt ~1Q gt 11 ~

(f ~15

-20 060 065 070 075 080 085

P

Figura4~24Acombinaccedilatildeo--j)am1e1a S de dois truiJX1S

onde x() e p(ccedil) satildeo paracircmetros de controle em funccedilatildeo de um paracircmetro comum ccedil

com cada mapa sendo iacuteterado separadamente Na Fig 424 temos dois mapas

bifurcando inversamente para diferentes valores do paracircmetro de controle p) enquanto

que a sua combinaccedilatildeo paralela possui uma bifurcaccedilatildeo flip do mapa da variaacutevel XII no

684 Resultados eAnaacutelise

ponto PIe que equivale a uma alteraccedilatildeo no periacuteodo dois do mapa Sh no ponto P2

devido agrave segunda bifurcaccedilatildeojlip do mapa Yn

A seacuterie da Fig 425() foi obtida utilizando-se o bico AI o mais curto dos bicos

da seacuterie A Nesta figura podemos ver que o salto foi nuacutenimizado Na Fig 425(b)

apresentamos a simulaccedilatildeo correspondente~ na qual utilizamos dois mapas combinados

em seacuterie

(a)

-70j lO ~

77 0 tle

U

E -z I- 50

40 2000

N -obull

-O~ (b)

0 (J) middot01 ~

middot1~

middot14

-16

10 11 1~ 1~ 1O a

Figura 425 Em (a) podemos ver uma seacuterie temporal obtida com a diminuiccedilatildeo da aZatildeo com o bico AI e uma soluccedilatildeo viscosa 80 glicerina e 20 aacutegua Em (b) a combinaccedilatildeo paralela de dois mapas A biftucaccedilatildeo flip que ocorre no mapa) quando levada agrave combinaccedilatildeo paralela ~ causa a diminuiccedilatildeo doperiacuteodo 2

4000

4 Resultados e Anaacutelise 69

4210 Antibolbas

Uma casca aproximadamente esfeacuterica de ar dentro de um liacutequido forma o que foi

chamado por J E Connetl de Gllliacutebolha segundo C L Stong [8tong 1974] Na Fig

426 estaacute esquematizada uma antiacutebolha

I

FJllUl1 426 Uma antibolba eacute uroa gota de um liquido envolvida por uma fina camada de ar dentro do liquido

Como o seu interior eacute preenchido pelo o mesmo liacutequido da parte externa as

antibolhas satildeo ligeiramente rnaiacutes leves que o fluido agrave sua vol~ mas satildeo mais pesadas

que as bolhas Deste modo correntes proacuteximas aacute antibolha podem deslocaacute-Ia facilmente

superando o seu empuxo Quando a casca esfeacuterica se desestabiliza a antibolha colapsa

em uma pequena bolha de ar esfeacuterica que emerge no liacutequido O tempo de existecircncia de

uma tibolha antes de sua desetabilizaccedilatildeo em uma pequena bolha de ar pode chegar a

ordem de minutos

No experimento do tubo borbulhador ocorre tambeacutem a formaccedilatildeo de antibolhas

para determinados regimes da formaccedilatildeo de bolhas As antibolhas seguem as correntes

do liquido dentro do tubo em movimentos ascendente e descendente Na Fig 427

podemos ver antibolhas ao reder de bolhas sendo sopradas no bico borbulhador Para o

liquido utilizado (2 partes de glicerina para I de aacutegua) bull ocorrecircncia de antibolhas

acontece a partir do estaacutegio onde aparece a coalescecircncia do par de bolhas chamado de

periacuteodo 2 antes do salto da Fig 421(a) A formaccedilatildeo das antibolhas eacute precedida pela

formaccedilatildeo de goticulas A formaccedilatildeo de gotiacuteculas estaacute esquematizada na Fig 428 onde

vemos em (a) que parte do liquido em movimento ascendente forma posteriormente um

capilar em (b) e uma goticula se desprende Nas imagens da Fig 428 podemos ver

I

70 4 Re5Ultadocircs e Anaacutelise

alguma imagens que mostram a formaccedilatildeo de gotiacuteculas dentro da bolha assim como

invaginaccedilatildees que podem levar a criaccedilatildeo de antibolhas

Assim como as bolhas as antibolhas desviam o feixe laser e podem ser

detectadas_ Verificamos isto colocando o sistema no regime de formaccedilatildeo de antibolhas

que corresponde a um periacuteodo 4 para as bolhas mostrado no mapa de retomo da Fig

429(a) O seu espectro de potecircncias estaacute na Fig 429(b) As antibolhas se deslocavam

dentro do tubo borbulhador seguindo as correntes internas do fluido COm

deslocamentos preferencialmente descendente proacuteximo agrave parede do tubo e ascendente e

altelerado proacutexiacutemo do bico soprador A quantidade de antibolbas dentro do tubo era

aproximadamente 30 e o feixe laser fui colocado num ponto em que as bolhas natildeo

passavam por eJt num ponto 2 cm acima do bico e 2 em deslocado do eixo do tubo

como o ponto PI da Figo 427 Nesta regiatildeo apenas as antiacutebolhas passavam pelo feixe

laser e noacutes obtivemos os dados mostrados no mapa de retorno da Fig 429(e) Nestes

dados satildeo apresentados 500 pontos correspondendo a 50 minutos de aquisiccedilatildeo com

intervalos de tempo entre 17 milissegundos ateacute 8S segundos

~~ ~ -0 -- O d

~ --- Arltibolhas

oO~f ltgt

figt O ~__ amobullbull -

7~

P1 9

middot0

-6

9

FIgUra 427lmagem das antibollw ao redor das bolhas que se formam no bico soprador Fazendo o Iascr incidir perpendiculannente ao plano da imagem no ponto Plfoi possiacutevel detectar algumas _bolhas se deslocando aleatoriamente dentro do tuoo borbulhador

71 -[ 4 Resultados e Anaacutelise

--~1

(d) itifit

~ Figura 428 Formaccedilatildeo de gotiacuteculas esquematizada em (a) (b) e (c) (d) Nas imagens podemos ver pagravedrotildees semelhantes nas bolhas

00 (c)(a)fi ] 25middot g ~

it shy

gt-

~1 ( ~~15 I

16 zo 2S 30 Tw(ms) TIlaquos

10 ~ $ 10

~ 10-e

bolha

Figura 429 Ca) Mapa de primeiro retorno do perlodo 4 e em (b) o seu ~ de potecircncias O mapa de retorno em (c) foi obtido com I) sistema nas mesmas condiccedilotildees daacute formaccedilatildeo das antibolhas mas posicionando o feixe laser e o fotodiodo de modo a detectar as antiacutebolbas que pa5Sa1Ul1 pelo ponto PI da Fig 427

(b)

00 01 02 1 03shy 04 06

72 4 Resultados e Anaacutelise 1

43 A onda sonora e as bolhas

Os efuitos de uma perturbaccedilatildeo externa a onda sonora na formaccedilatildeo das bolhas

satildeo apresentados e analisados neste capiacutetulo O problema das bolhas perturbadas por

ondas sonoras apresenta desafios muito interessantes do ponto de vista matemaacutetico) com

relaccedilatildeo a proposiccedilatildeo das equaccedilotildees que controlam o sistema e suas condiccedilotildees de

contorno pois1 aleacutem de um sistema de duas fas~ com uma das fases compressiacuteveJ

temos a accedilatildeo de uma onda sonora Do ponto de vista experimentai o tubo borbulhador

possui uma geometria que fagraveciacutelita a utilizaccedilatildeo da onda sonora devido aacute propriedade de

confinamento de ondas sonoras em tubos

Existem trabalhos que envolvem a accedilatildeo de ondas sonoras em bolhas ou gotas jaacute

formadas [MarstoIl 1980] ou quando bolhas ou cavidades satildeo criacuteadas dentro de um

liacutequido devido a uma onda sonora de alta intensiacutedade[Lauterbom 1986 Prosperetti)

1986J a chamada cavilaccedilatildeo acuacutestica Haacute ainda um caso conhecido como cavitaccedilatildeo

transiente no qual a temperatura no interior da bolha atinge mUhares de graus e a

pressatildeo chega a milhares de atmosferas Nestas condiccedilotildees ocorre o fenocircmeno conbecido

como sonoluminescecircncia que eacute a emissatildeo de luz por bolhas em um liacutequido excitado por

ondas sonoras [Putterman 1995 Moran el aI 2000] As frequumlecircncias das ondas sonoras

envolvidas com cavitaccedilatildeo satildeo da ordem de centenas de kHz Nestes trabalhos tambeacutem

se estuda como o campo sonoro emitido pelas bolhas~ devido aos efeitos da cavitaccedilatildeo~

afeta as proacuteprias bolhas Neste capiacutetulo veremos condiccedilotildees mais claacutessicas de interaccedilatildeo

entre bolhas e ondas sonoras do que as que ocorrem na sonoluminescecircncia Aqu~ neste

capiacutetulo a bolha eacute afetada pela onda sonora durante a sua furmaccedilatildeo no bico soprador

com frequumlecircncias da onda sonora variando no intervalo entre dezenas e centenas de hem

O tamanho das bolhas estudadas eacute da ordem de centimetros o que pcnnitiu registrar

suas imagens atraveacutes de uma cacircmara VHS comum Veremos tambeacutem como o sistema

onda sonora - bolhas nos levou ao estudo do mapa do ciacuterculo bidimensional onde

temos um oscilador sofrendo impulsos penoacutediacutecos de uma forccedila externa

73 4 Resultadoacutes e Anacirciise

431 A formaccedilatildeo de bolbas perturbadas pelas ondas sonoras

Nesta seccedilatildeo veremos os resultados que mostram a mudanccedila do tempo entre as

bolhas para uma onda sonora de frequumlecircncia fixa e valores de amplitude crescentes

[Tufagraveile e Sartarelliacute 2000a Apecircndice 2]

Mantendo fixa a vazatildeo do ar atraveacutes da vaacutelvula controladora e utilizando a

soluccedilatildeo de 66 de glicerina e 34 de acircgtll noacutes mudamos a dinacircmica da formaccedilatildeo de

bolhas aplicando ondas sonoras sintonizadas na frequumlecircncia fundamental da coluna de ar

acima do liquidO (138 Hz)

Na Fig 430 mostramos os mapas de primeira retorno em funccedilatildeo da amplitude

da onda sonora em regime de vazatildeo constante Estatildeo em destaque no canto superior

esquerdo de cada graacutefico a ampHtude do sinal senoidal e a frequecircncia meacutedia das bolhas

O sistema eacute colocado inicialmente borbulhando em periodo 1 com uma frequumlecircncia em

bolhas de 11282 bolhass como estaacute mostrado na Fig 430(a) Aplicando a onda

sonora o ponto fixo perde sua estabilidade e um ciclo limite aparece corno pode ser

visto na Fig 430(b) e 430(c) com um pequeno aumento da taxa de borbulhamento

meacutedio

Na Fiacuteg 430(c) o ciclo limite perde sua estabilidade e um ponto fixo proacuteximo

de (87ms 87ms) eacute visitado intermitentemente Este ponto fixo foi determinado atraveacutes

de um histograma do graacutefico de Tn As transfonnadas de Fourier dos dados relacionados

agrave Figs 43O(d-g) mostram um periacuteodo 2 ruidoso Mostramos na Fig 431 o espectro

de Fourier dos dados do atrator da Fig 430(1) Neste espectro vemos um grande pico

em O~5~ o que corresponde ao penado 2

Isto mostra que estaacute ocorrendo uma bifurcaccedilatildeo flip em funccedilatildeo da

amplitude da onda sonora Em uma bifurcaccedilatildeo flip existe um ponto fixo instaacutevel entre

os dois pontos fixos estaacuteveis Nossos dados mostram que a vizinhanccedila do ponto meacutedio

entre os dois pontos fixos eacute visitada devido ao ruiacutedo~ e consequentemente) nossos dados

satildeo adequados para se aplicar a teacutecnica de transfonnaccedilatildeo de ponto fixo desenvolvida

por So e aI [80 et al~ 1996] para se encontrar oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis em seacuteries de

eventos

bull bull bull

bullbull

74 4 Resultados e Anaacutelise

I 112921

I gt65 11lt196 I

bull---~~ --- ~ bull bullbullbull

11_

[

I (1145 11n41 I - 11470 I

4 ~~

- - - - - - iCcedil

(gtl middot bull AOlt 56

(raquo

~~~~----shy---~- - -shy middot bull middot bull bullbullbull )bull bulllt~ shy- 11461shy bull ~ bull

f ~ o loli ----- -~~ ----~- 1 ~- -~ -S - f~ ~ -~ bull middot bull

bullbull bull bull bullbull bull

- bull-bull

i)

T~(ms)

- r 11 ~1 09 1117111 05 1141 I 0-6 bullbull

-T ~~ j ~ - ~~~~

- ( [ f l~~lt bull l) ~ L_ bullbullbullbull IJI~f l ~ r ~ ~ ~ ~ _ _bull

t bull i i f~lO ~ O) bullI 00bull Tnms)

Figura 430 Mapas de retomo do Ciper1mcnto do tubo borbulhador Em cada graacutefico temos no cantO superior esquerdo o valor da tensatildeo aplicada no alto-falante e o valor da frequumlecircncia de boacuterbulbamento meacutedia O liacutequumlido utilizado eacute uma soluccedilatildeo de 66 glicerina e 34 aacutegua e as bolhas foram sopradas diretamente na seringa plaacutestica

4 Resultados e Anaacutelise 15

1

p

I 100~~______~~----~-----~~--1~~111ilIUlltill~

00 01 02 03 M 05

(bolhar1

Flgura 431 Espectro de Fourier dos dados da Fig 30(f) iodiacutecando bull existecircllCIacutetI de um periodo 2 ruidoso

Um exemplo dos nossos resultados estaacute mostrado na Fig 432(a) onde estaacute

representado o histograma para o caacutelculo do ponto fixo usando os dados mostrados na

Fig 43O(h) Para uma melhor visualizaccedilatildeo da posiccedilatildeo da oacuterbita perioacutedica instaacutevel um

graacutefico da intensidade para os mesmos dados eacute mostrado na Fig432(b) O maior pioo

define um periacuteodo I instaacutevel em (869l ms 8699 ms) proacuteximo do ponto fixo estaacutevel

mostrado na FigAlO(e)

Aumentando ainda mais a amplitude noacutes obserVamos o aparecimento da regiatildeo

caoacutetica com as caracteriacutesticas da dinacircmica de estiramento e dobra como estaacute mostrado

nas Figs 430(h-i) e oom pequena mudanccedila na frequumlecircncia meacutedia de borbulhamento Os

atratores na regiatildeo caoacutetica foram caracterizados pelo expoente de Lyapunov dominanre

[Ellner ti al 1912] e estes expoentes podem ser vistos na Fig 433

1

76 4 Resultados e Anaacutelise

(a) Contagens

iacutel00

(b)

Contagens~m (lJ ~337raquoj middotiIrmiddot = IIHI tgt ~ blHH

lIS1I eM elo IIU =JT(lM) 10bullbull

Figura 432 Histograma JXlffi a determinaccedilatildeo da oacuterbita perioacutedica instaacutevel (a) e graacutefico de contorno para os mesmos dados (b) localizando () ponto fixo instaacutevel um fX)UCO abaixo de amp7 ms

05

~--- -T

i I _ _ 1osoagrave rn eacute-

~- 025- I n o

0001 bull

03 04 05 06 07 08 09

Tensatildeo aplicada no alto-falante M

Figura 433 E potntes de Lyapunov dos atratores moStrados em 4JO(e) a (j) em funccedilio da tensatildeo aplicada no alto--falante

77 4 Resultados e Anaacutelise

Continuando a aumentar a amplitude da onda sonor~ com incrementos maiores

do que ante noacutes obtivemos os atratore mostrado na Fig 434 Na Fig 434(m) a taxa

de borbulhamento meacutedia eacute de 205 bolhasls para uma onda sonora gerada com um

tensatildeo de 314 V no alto-falante A posiccedilatildeo - (725 ms 725 ms) eacute visitada com um

comportamento intermitente O tempo de visitaccedilatildeo aumenta quando a amplitude do som

aumenta ateacute que o ponto - (725ms 725ms) torna-se um ponto fixo estacircvel~ como

mostrado na Fig 434(n) Nesta situaccedilatildeo a frequumlecircncia meacutedia de borbulhamento eacute

F=13797 plusmn 9 bolhass tem o mesmo valor da frequumlecircncia da onda sonora Na Fig 435

podemos ver a diferenccedila entre as imagens das bolhas para o primeiro ponto fixo dos

dados mostrados na Fig 434(a) e o ponto fixo na ressonacircncia do atrator da Fig

434(n)

100i 314 205 10 13797 I l

~

Ul

E ~

i

1

+ I ~ T gtt ~~

ao ~ -i )I~ L bullbullbull amiddot ~

bull ~f - bullbull ~ bull (~1iii2~_~~

middotmiddotmiddotmiddotmiddotvb-~middot

r-li ~ ~ ~ i f~ ~

w-i~ 1 _o - ~ -~ ~ 1 ~ ~~imiddot ~ 20-1shy ~ -r shy

~i i~ ~

1t middotmiddot middotlt~fO I i i j

(m) 1 bull

(n) I

ti 20 40 fD 80 100

T n

Figura 434 (In) O ponto - (725 ms 725 ms) eacute visitado em wn comportamento intemuacutetenle com os outros pontos espalhados pelo espaccedilo de fases Em (n) a formaccedilatildeo das bolhas sinaoniza-se com a frequumlecircncia fundamenla1 do tubo e temos apenas o ponto- (725 ms 725 ms)

4 Resultados e Anaacutelise 7amp

a b

432 Atratores do tipo Heacutenon

Os resultados da seccedilatildeo 431 nos mostraram uma grande evoluccedilatildeo da dinacircmica

da furmaccedilatildeo das bolhas com o aumento da tensatildeo aplicada no alto-filante A regiatildeo da

dinacircmica que apresenta a bifurcaccedilatildeo fip~ seguida por atratores caoacuteticos eacute semelhante

aos sistemas dinacircmicos que apresentam propriedades de estiramento e dohra como o

mapa de Heacutenon discutido na seccedilatildeo 27 Por este motivo veremos a comparaccedilatildeo entre

atratores experimentais nessa regiatildeo e o mapa de Heacutenon na tentativa de compreender a

dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas para uma regiatildeo do paracircmetro de controle

De modo a reduzir o ruiacutedo nos dados utilizamos uma soluccedilatildeo mais viscosa 80

glicerina e 20 aacutegu~ e utilizamos o bico A2 Para termos uma variaccedilatildeo mais fina do

paracircmetro d controle alteramos o fator de amplificaccedilatildeo do gerador de funccedilotildees cujo

sinal alimenta o aitcrfalante A vazatildeo de ar e a frequumlecircncia da onda sonora foram

mantidas constantes~ em -366 bolhass e 150 Hz respectivamente Noacutes alteramos a

dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas aumentando a tensatildeo no alto-falante como mostrado

~

sect 8 o

g g middot0 o

Figura 435 Imagem da sincroruzaccedilatildeo das bolhas com a onda sonora no tubo borbulhador Em (a) temos a im1lgem para o ponto lixo lMSU1ido na Fig 430(a) com Fe=11282 bolhasl$ (b) O uacutellimo ponto fixo mostrado na Fig 434(n) quando as bolhas estatildeo sincronizadas com a frequumlecircncia da onda sonora (138 Hz) Nos dois casos teOlQ$ a mesma vdZatildeo de ltIr

79

(f)

~

4 ResultmlcseAnaacuteJise

pelo diagrama de bifurcaccedilatildeo na Fig 436 num regime de vazatildeo constante Nesta figura

vemos uma dupliacutecaccedilatildeo de penado ocorrendo ao redor de 20 V com as bolhas sendo

emitidas aos pares ateacute aproximadamente 3~O V~ quando um penodo 4 ruidoso aparece

Apoacutes isto duas bandas caoacuteticas aparecem Para --3~5 V as duas bandas caoacuteticas se

encontram e se sobrepotildee~ com o aparecimento de um atrator caoacutetico maior

~

20 25 Tensatildeo no alto-falante M

Figura 436 Duplicaccedillo de perlodo em funccedilatildeo da amplitude da onda sonora A frequumlecircncia da onda sonora eacute 150 Hz e a ftequumlecircnciacutea de borbulhamento inicial eacute por volta de 31 bolhass

Para realizar a caracterizaccedilatildeo meacutetrica e topoloacutegica da dinacircmica da formaccedilatildeo de

bolbas sob a accedilatildeo da onda sonora noacutes coletamos seis seacuteries de eventos fixando a tensatildeo

em seis valores distintosgt cujos mapas de retomo (T+- vs T1I) satildeo mostrados na Fig

437

figurA 437 Uma l-Vi I v li I bull vll seqUecircncla de atratoresi reconstruiacutedos- i tmiddot mostrUdo uma rota

~ para o Caos atniveacutes de duplicaccedilotildees duto periacuteodo O valor emta) (b) (e) volts corresponde agrave tensatildeo mantida

t constante no altoshy falante durante a

32

~~ obtenccedilatildeo do atnltOf ~

(eI) bull I(e)

~I

32 Tms)

80 4 Resultados e Anaacutelise

432A Caracterizaccedilatildeo meacutetrica

Os alratores caoacuteticos reconstruidos Figs 437(d) ateacute 437(f) foram caracterizados

atraveacutes dos expoentes de Lyapunov pela dimensatildeo de Kaplan-Yorke aleacutem da dimensatildeo de

Infonnaccedilatildeo obtidos pelo pacote de programas TISEAN [Hegger aI ai 1999] A conjectura

de Kaplan-Yorke [Argyris o ai 1994) que relaciona a dimensatildeo de Infonnaccedilatildeo e a

dimensatildeo de Kaplan-Yorke (equaccedilatildeo (211 raquo mostra que elas se igualam para alratores do

tipo Heacutenan As dimensotildees foram obtidas para as lensotildees de 35 V 40 V e 45 V como

estaacute mostrado na tabela 41 As dimensotildees de InfOrmaccedilatildeo e Kaplan-Yorke coincidem para

os trecircs atratores caoacuteticos

I I

Figura nuacutemero

3d 3e 3

Tensatildeo llspeccediltro de Dimensatildeo de Dimensatildeo de LYaOUllnv Katgtlan-Yorle Informacatildec

35 +011-08 115 I 13 3 40 +012-06 1 23 1 143 ---

1)45 + 02 - O) - 09 168 18 3 Atrator de Heacutenon

o b I 55 01 +038-238 116 II~14 03 + 042 -162 117 119

Tabela 41 Expoentes de Lyapunov e dimensotildees dos atnitores caoacuteticos experimentais e de dois pares de valores do mapa de Heacutenon

Cada um dos dois primeiros atratores caoacuteticos possui espectro de Lyapunov com um

expoente positivo e o outro negativo~ enquanto que o uacuteltiacutemo atrator Fiacuteg 437(f) possui um

expoente positivo e dois expoentes negativos Na tabela 41 satildeo apresentados os resultados

para mapa de Heacutenon mostrado na equaccedilatildeo (212) para dois conjuntos de valores dos

paracircmetros (a b) e os atratores experimentaiacutes reconstruiacutedos

Os valores das dimensotildees dos atratores para amplitudes de 35 V e 40 V satildeo

proacuteximos dos valores das dimensotildees do mapa de Heacutenon sugerindo que eles podem ter

dinacircmica similar O atrator reconstruiacutedo para 45 V mostrado na Fig 437(1) tem a fonna

semelhante aos dois outros atratores anteriores Entretanto) comparando-se as dimensotildees

deste atrator com as dimensotildees dos atratores das Figs 437(d) bull 437(e) vemos que o valor

da sua dimensatildeo de Informaccedilatildeo eacute maior que a diacutemensatildeo dos dois outros atratores

experimentais assim como dos valores de dimensatildeo para o mapa de Heacuteno~ como pode ser

4 Resultados e Anaacutelise amp1

visto na tabela 41 Junto com o fato de que o atrator d Fig 437(1) tem trecircs componentes

no espectro de Lyapu~ov a dimensatildeo de Informaccedilatildeo proacutexima de dois eacute uma indicaccedilatildeo que

este atrator natildeo pode ser totalmente desdobrado em duas dimensotildees

432B Caracterizaccedilatildeo topoloacutegica

Para o mapa de Heacutenon com os paracircmetros ti =1~55 e b = 01 1 utilizando a equaccedilatildeo

(212) para calcular a posiccedilatildeo dos pontos fixos para a variaacutevel x do mapa de Heacutenon

encontra~se que o ponto fixo x estaacute localizado em aproximadamente 0~56 Este ponto

corresponde a um dos pontos de cruzamento da linha diagonal pontilhada com o atrator

reconstruido Xn+1 V$ X como pode ser visto na Fig 438(a) Neste atrator o ponto fixo

possui dois autovalores dados pela equaccedilatildeo (214) Agravel = 006 eM = -179 que caracterizam

este ponto fixo como um ponto de sela A variedade estaacutevel ecirc tangente agrave direccedilatildeo do

autovetor contraente relacionado ao autovalor positivo Agravel menor do que 1 e a variedade

instaacutevel eacute tangente ao autovetor de estiramento relacionado com Oautovetor 2 com valor

absoluto maior do que I Isto estabelece que o ponto fixo e um sela jlip [AIliacutegood el ai

1997]

Na Fig 438(a) podemos ver tambeacutem um exemplo d evoluccedilatildeo dos pontos no

atrator~ atraveacutes da alternacircncia dos pontos ao longo da direccedilatildeo instaacutevel ateacute a trajetoacuteria

alcanccedilar as extremidades do atrator Partindo de uma regiatildeo proacutexima do ponto de sela do

atrator de Heacutenon noacutes vemos os pontos iacutempares iniciais acima da linha diagonal pontilhada

(I 3 5 e 7) a os pontos pares abaixo desta linha (2 4 e 6) caracterizando bull variedade

instaacutevel Nos mapas de primeiro retorno exparimentais mostrados nas Figs 437(d) (e) e

(I) noacutes dividimos o atrator em duas partes com uma linha diagonal para determinar os

pontos que cruzam com o atrator Ocorreu o comportamento de alternacircncia da trajetoacuteria

para os trecircs casos do mesmo modo que o observado no atrator de Heacutenon como estaacute

exemplificado na Fig 438(b) para o atrator obtido com UIDa tensatildeo no alto-falante de 40

V Do mesmo modo que no atrator de Heacutenon noacutes comeccedilamos num ponto proacuteximo da

interseccedilatildeo do atrator com a linha diagonal (TN = TN+ l aproximadamente igual a 27 ms)

com as extremidades do atrator sendo visitadas pela oacuterbita Deste modo devido as

semelhanccedilas de evoluccedilatildeo dos atratores experimentais com a evoluccedilatildeo do atrator de Heacutenon

82

~

+ 1- 26

24

4 ResultlJdcs eAnuacute]se

noacutes podemos inferir a existSncia de um ponto de sela flip nos atratores experimentais

mesmo para o caso da tensatildeo de controle de 45 V cujo espectro de Lyapunov tem trecircs

componentes e dimensatildeo proacutexima de dois

lS

I I (a) 6

10-1 ~ Figura 438 (a) Vemos ao lado a trajetoacuteria sobre nove pontos da al13tOr de Heacuteoon para exemplificar o comportamentoosol I de um ponto de selajlip localizada proacutexima do ponto 1

I gt~ ) ) (x= 056)

) ooJ 8~

-Osol

7

-10 -10 -05 00 OS 10 15

XN

I - -

(b) O mesmo oomponamento de um Ixmto fIXO tipo selaflip pode

JO- 1 ~ gt ser observado pm1 o atrator experimental com os pontos pares uacuteuacuteciais (2 4 e 6 acima da

~ fi) diagonal e os pontos imparcs20i iniciais (I 3 5 e 7) abaixoE 1~t I~

22 22 24 26 28 JO

TN(ms)

32 ~ ~

4 Resultados e Anaacutelise $3

432C Plano simb6lico

Como os planos simboacutelicos satildeo representaccedilotildees graacuteficas da diacutenacircmica e urna poderosa

ferramenta para se comparar sistemas dinacircmicos noacutes aplicamos a teacutecnica de dinacircmica

simboacutelica para os atratores mostrados nas Figs 437(d) ateacute 437(1) assim como no atrator

de Heacutenon (0=155 e 1gt=01) para podennos comparar as semelhanccedilas e diferenccedilas entre eles

Definimos as particcedilotildees L(R) atraveacutes da linha tracejada Na Fig 439() mostramos o atrator

de Heacutenon para a=155 e b=O1 com a sua respectiva particcedilatildeo que separa a regiatildeo formada

por uma linha (L) da regiatildeo com uma dobra (R) que conteacutem o ponto fixo instaacutevel O plano

simboacutelico aJ3 deste atrator estaacute mostrado na Fig 4J9(A) Nas Figs 4AO(b) ateacute 440(d)

temos os atratores experimentais cujas particcedilotildees satildeo as linhas tracejadas que separam uma

regiatildeo com um ramo (L) de uma regiatildeo com dobra (R) Os respectivos planos simboacutelicos

aJ3 estatildeo mostrados nas Figs 440(B) (C) e (D)

Comparando--se a Fig 4J9(A) com as Figs 440(B) (C) e (D) percebe-se o padratildeo

de cada plano simboacutelico eacute semelhante ao plano simboacutelico do mapa de Heacutenon A maior

I

84

R

22 I I I I I I II I 22 24 26 28 30 32

4 Resultados e Anaacutelise

semelhanccedila ocorre entre o atrator de Heacutenon e o atrator experimental com a tensatildeo de

controle de 35 V da Fig 440(B) cujo plano simboacutelico possui as mesmas regiotildees permitida

e proibida Para valores maiores de amplitude da onda sonora algumas zonas deixam de ser

proibidas ~ ocorrendo uma invasatildeo nestas regiotildees como por exemplo a =O~8 e 1=04 na

Fig 4AO(D) mostrando que a formaccedilatildeo de bolhas estaacute se aiacuteagravestando da dinacircmica do tipo

Heacutenon e ficando muito semelhante ao plano simboacutelico do mapa do ciacuterculo~ como pode ser

visto na comparaccedilatildeo entre a Fig 4AO(C) e a Fig 212(A)

(b)1 (8) Ikll ti h u n u r

tII-q U bull

n-~ 1 n - ~

~ -shy-~

bull

(c~ I (~) lt

tll rt O 111 t

~2 t= - ~

iSlt iH tl t III n bull

bullbull

~~ bull ~~

~ lloe

(d)1 (D)~O8 ~ t t t t tE 30 06

Ccedil 28 ocircUL ua

= -t Ibull ~ _ ~O4 t (1-2

26 ~ H 1~ ~ m H)224 oh _fi rbull u d~

I I I I I r I I bull I I I I I 00 34 00 02 04 06 08 10

TN(ms) a

Figura 440 Mapas de retomo experimentais com particcedilotildees e respectivos planos simboacutelicos

85 4 Resultados e Anaacutelise

44 Oscilaccedilotildees forccediladas

Mapeamentos bidimensionais como o mapa de Heacutenon normalmente satildeo usados

como seccedilotildees de Poincareacute de osciladores forccedilados [Thompson e Stewart 1986] Se

considerarmos a existecircncia de um movimento oscilatoacuterio na formaccedilatildeo de bolhas e a onda

sonora como uma forccedila perioacutedica externa podemos compreender o sistema bolhasonda

b gt I I=1C

QP-gt

-AR I

)

) P

- Figura 4Al Representaccedilatildeo esquemaacutetica do sistema bolhasonda sonora como um oscilador forccedilado onde Po eacute O periodo de oscilaccedilatildeo associado agraves bolhas c PI eacute o periodo da onda sonora

sonOTa como um oscilador forccedilado como

estaacute diagramado na Fig 441

Deste modo podemos interpretar os

mapas de primeiro retorno observados

experimentalmente como seccedilotildees de Poincareacute

de um oscilador forccedilado Outro sistema

dinacircmico que representa um oscilador

forccedilado eacute o mapa bidimensional do ciacuterculo

discutido na seccedilatildeo 29

K Bn+1 =Bn +Q- 27 sen2nBn +brn (mod 1)

K TII+I = bTn - 27 sen 27Bn

(430)

As duas frequumlecircncias envolvidas no

experimento cuja razatildeo nos daacuteQ~ para o tubo

borbulhador satildeo a frequumlecircncia da onda sonora

e a frequumlecircncia de borbulhamento O tempo

entre bolhas estaacute relacionado com a variaacutevel

rri do mapa O paracircmetro K estaacute relacionado

com o experimento com a tensatildeo que eacute aplicada no alto-falante Para explorarmos a regiatildeo

inicial do mapa do ciacuterculo diminuiacutemos o fator de amplificaccedilatildeo do sinal do gerador de

funccedilotildees para o alto-falante Utilizamos o liacutequido 80 glicerina e 20 aacutegua e o bico A2

i

4 Resulodes Anaacutelise 86

I

Na Fig 442(a) temos os dados obtidos para um valor de EX = 37 e na Fig

4A2(b) o resultado da simulaccedilatildeo utilizando o mapa do circulo com b = - 01 Os dados

mostram que com o aumento da amplitude da onda sonora o ponto fixo inicial daacute lugar a

um ciclo limite cujo raio aumenta de maneira aproximadamente linear ateacute a tensatildeo de 44

V Apoacutes este valor de tensatildeo uma janela perioacutedica ocorre e o sistema entra numa regiatildeo

caoacutetica para varores de tensatildeo entre 54 V e 87 V A regiatildeo caocircttca eacute substituiacuteda por um

travamento frequumlecircncia de periacuteodo 1

27 ~ I n~=37 I 2ll

z gt-25

24 _- shy-~~~i ~ r O 2 4 Tensatildeo 1 6 8 10

030 l 0=37 i b=~O1015

C 000 ~

-015

-030 shyK 15 20

Figura 441 Em (a) vemos os dadoo obtidos com o experimento do tubQ borbulhador COm a razatildeo entre a freQUumlecircncia da onda sonora e a freqtiecircncia de borbulhamento igual a 37 Em (b) simulaccedilatildeo com o mapa do circulo bidimenslQnal

A comparaccedilatildeo com O mapa do ciacuterculo da Fig 442(b) mostra as mesmas

caracteriacutesticas O ruiacutedo experimentat tem a tendecircncia de mascarar as janelas perioacutedicas~

mas a janela perioacutedica central eacute bem visiacutevel nos dois casos

Diminuindo a frequumlecircncia de borbulhamento e repetindo o aumento da amplitude a

partir do zero temos os dados da Fig 443(a) com um valor de EX = 427 N Fig 443(b)

87 4 Resultados e Anaacutelise

bull simulaccedilatildeo com o mesmo valor de f e h = - 01 Esta regiatildeo triangular inicial para baixas

amplitudes da onda sonora e para estes valores de n~ ecirc uma rota para o Caos via quaseshy

periodicidade

o 2 Tensatildeo M 4 S 8

02 - I n=427

c (O ~

-1gt2

1 - I I

05 K 10 15 20

Figura 443 (a) Dagravedosexperimentais com a razatildeo entre as freqUecircnci3S-da onda sonora e do bottmIbamemo igual a 427 (b) Seacuterie obtida com o mapa doclrculo com Qr421 eb= ~O1

441 Comportamento geral

Agora veremos o travamento em penodo ] apoacutes a regiatildeo quase~perioacutedica triangular

seguida de duplicaccedilatildeo de penodo e Coos

Para obter a seacuterie temporal noacutes escolhemos um ponto fixo sem a onda sonora com

a taxa de borbulhamcnto Fb liacuteIfh onde To eacute o tempo meacutedio entre bolhas sucessivas e

apoacutes isto noacutes aumentamos a amplitude A do som continuamente

bull bull

bull bull bull

88 4 ResultadoscAnaacutelise

=f = j

T

E j T (a)fi ~

I I I 4 Aa u) 6

0381 b-O1

05

t

00

~lt

~~i (b) I K bull(~

bull4

Figura 4A4 (a) Djagmma de bifurcaccediltlo experimental Oponto 11xo experlmenW T oorresponde a 261 ms (b) diagrama obtido com o matn do ciacuterculo com y = 019

i

Na Fig 444(a) pode ser vista a seacuterie experimental~ Tn V$ A para urna taxa de

borbulhamento de F = 3937 bolhasls e QEX= FF = 381 Na Fig 444(b) temos o

diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo r vs K calculado com b = 01 e o mesmo

valor de razatildeo de frequumlecircncias ~h =381

Temos algumas similaridades entre OS dois diagramas PartindO deK=O e A==O cada

ponto fixo perde sua estabilidade quando aumentamos o respectivo paracircmetro de controle e

ocorre uma regiatildeo quase-perioacutedica Os pontos fixos 1 e r tomam~se estaacuteveis para A por

volta de 27 e K aproximadamente igual a 107 O ponto fixo T(r) eacute estaacutevel ateacute A 47 (K

= 2gt44)~ quando inicia~se uma cascata de duplicaccedilotildees de periacuteodo Deve ser notado que as

posiccedilotildees destes pontos fixos estatildeo na regiatildeo superior da banda triangular (gt0 e Tgt To)

89 4 Resultat1cs e Anaacutelise

As propriedades dos diagramas satildeo facilmente exp1icadas~ se analisarmos as

propriedades do mapa do ciacuterculo Segundo as equaccedilotildees (228) o ponto fixo r apoacutes a regiatildeo

quase-perioacutedica no mapa do circulo eacute dado por

r~- O (modi) s_O (mndl) lt 05 (431)

I - Q (mnd I) se Q (mnd I) gt 05

No atrator experimental O ponto fixo T ocorre quando a regiatildeo quase-perioacutedica

atinge uma frequumlecircncia de borbulhamento igual a um submuacuteltiplo da frequumlecircncia da onda

sonora de 150 Hz

T~ 41150= 267ms (432)

onde o nuacutemero 4 eacute o inteiro mais proacuteximo do valor de Oex = 381 Este fenocircmeno eacute

conhecido com travamento sub~harmocircnieo (subharmonic entrainment) (Hayashi 1985] e

ocorre em um oscilador forccedilado quando a razatildeo entre a frequumlecircncia da forccedila externa e a

frequumlecircncia natural do oscilador estaacute na vizinhanccedila de um inteiro diferente de I

f j 3D -I T

1 ____ +

QE(= filgt 415

J

______ u I aIl ~~~1~lt

(a ~ ~ ~~ 2 1bull bullI bullI ACa li) bull

u = 41$ b 01

middotmiddotl 0

-~~ru---- i ~~ (b

a 1 2 3 4 5K

Figura 445 (a) Diagrama de bifurcaccedilatildeo cxperimenlal com To -271 ID$ O JXlnto fixo experimentai T colTeacuteSpOllde a 267ms (b) diagrama obtido com o mapa do clrcuJo CQM r -015

4 Resultados e Anaacutelise 9(l

Com outra frequumlecircncia de borbulhamento F=3614 bolhas ms com a mesma

frequumlecircncia da onda sonora de 150 Hz obtivemos o diagrama experimental que estaacute

mostrado na Fig 445() com nEJ( = 415 Podemos notar as mesma similaridades

descritas anteriormente como O travamento sub-harmocircnico do borbulhamento dado pela

equaccedilatildeo (432) poreacutem o ponto fixo experimental (TltTo) estaacute agora no limite inferior da

regiatildeo quase-perioacutedica triangular Na Fig 4A5(b) temos o diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa

do circulo com nT = 415 e b = 01 O ponto fixo T(r) toma-se instaacutevel em A

aproximadamente igual 45 (K 236)

Noacutes podemos dividir a evoluccedilatildeo do borbulhamento em duas regiotildees urna regiatildeo

inicial relacionada com o comportamento quase-perioacutedico (A ~ 25) e a rota de duplicaccedilatildeo

de periacuteodo (A ~ 4)

Para valores inteiros de h natildeo observamos a regiatildeo quase-perioacutedica Ajustando a

0a f)f =40

3

T=T- - E 1-shyI s

J m (a)

I I

2bull A(a u bull bull n-=40 b=O1

~U1 ~ ~c

bl

bull 1 2 3 4 K

Fiboura 446 (a) BorbulhamentocomQn = 40 Nas condiccedilotildees acima natildeo baacute a regiatildeo quaseperioacutedjca e 1To eacute estivel na regiatildeo ineiaI deA (b) O mesmo eacute observado para o mapa do cIrculo com Ot=4O e b=Ol

-- -

91 4 Resultados e Anaacutelise

frequumleacutencia d borbulhamento para 375 bolhass tal que ordmX = 40 natildeo ocorre a regiatildeo

quase-perioacutedica como pode ser visto nos dois diagramas da Fig 446 O ponto fixo T ~ T

V = O) eacute estaacutevel ateacute A aproximadamente igual a 37 ( K 22 ) e o sistema evolui

diretamente par a caseata de duplicaccedilotildees de periodo

Na Fig 447 temos algumas liacutenguas de Arnold para o mapa do circulo

unidimensional (b = O) como uma aproximaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo bidimensional com

b=plusmnO1 Para um valor de n (mod 1) diferente de O o sistema inicialmente evoluiacute na regiatildeo

quase-perioacutedica mostrado pelas setas pontilhadas ateacute que O sistema alcanccedila o ponto fixo

estaacutevel dado pelos circulos cheios Mesmo para os casos dos dados mostrados nas Figs

442 e 443 podemos ver quando o sistema atinge as regiotildees das liacutenguas de Arnold relativas

ao penodo 4~ marcado pejas pequenas Unhas horizontais pontilhadas Para fi = O) o sistema

percorre a regiatildeo inicial de K no periacuteodo 1 relativo ao nuacutemero de rotaccedilatildeo W= 01

iacute 11) i2 fI- li I LeHHJ~~ I I I I In

11 ( K j~

I~ I

1I 1 II (lrl j

00 _ 05 gt0

n mod(1) shyFigura 447 As sete linguas de Arnoid mais largas com seus respectivos nuacutemeros de rotaccedilatildeo Os nuacutemeros entre parecircnteses coloridos no topo e na base oorrespondcm aos nuacutemeros das figuras mostradas neste eamtulo

92 4 Resultados eAlIaacuteJise

442 Comparaccedilatildeo dos atratores

Os atratores caoacuteticos do tipo Heacutenon que aparecem no mapa do circulo sofrem uma

rotaccedilatildeo ao redor do ponto do ponto de selaflip como pode ser visto nas comparaccedilotildees entre

atratores experimentais reconstruiacutedos da Figs 448(A) e 448(C) e entre os atratores

obtidos numericamente das Figg 448(a) (b) e (c) Usaremos o termo saxofone que foi

utiacutelizedo por R Shaw [Shaw 1984] para atratores obtidos no experimento da torneira

gotejante para designar os atratores das Figs 448(a)-(A) Experimentalmente e

numericamente~ as condiacuteccedilotildees de orientaccedilatildeo dos atratores saxofone satildeo as seguintes

n (mod 1)gt 05 formato de saxofone (433a)

n (mod 1) lt 05 formato de saxofone invertido (433b)

Quando a parte fracionaacuteria de n se anula temos a formaccedilatildeo de um atrator do tipo

duplo gancho como estaacute mostrado na Fig 448(b) e 4A8(B) Como foi discutido na seccedilatildeo

4J22 todos os atratores experimentais apresentam um ponto de sela jlip que estaacute

localizedo na interseccedilatildeo de cada linha diagonal com cada atrator das Fig 448 Em todos

os casos este ponto de sela substituiu o ponto fixo estaacutevel 1~ do travamento sub~

harmocircnico (equaccedilatildeo 432) Por isso no atrator experimental o ponto de sela jJip~ Tfo eacute

calculado do mesmo modo que o ponto fixo estaacutevel T

~ ~4150=267l11S (434)

onde o nuacutemero 4 eacute o inteiro mais proacuteXIacutemo do valores das razotildees de frequumlecircncias OEX (381

40 e 415) com a frequumlecircncia da onda sonora sendo de 150 Hz Para os atratores obtidos

rumericamente a posiccedilatildeo do ponto de selaflip rfi tambeacutem eacute calculada com equaccedilatildeo (431)

Em particular os trecircs pontos de selaflip dos atratores mostrado nas Figs 448 satildeo

rl(A) 019

~~-M ~~ rr(C) -015

93

4 Resultaoos eAnaacutejse

I_mlltQfl_ Figura 448 (a) O atratori ~ 1

1 saxofone obuacutedo com o experimento do tuboI I borbuIhador no pontoi ~ indicado por uma seta na seacuterie mostrada na FigI ~ I 444(a) (A) A simulaccedilatildeorJie) I 1 (A) bull com o mapa do drculo

bull laquo

gtJ_ ~(I _ (b) Atrator eJqgterimental do tipo gancho duplo

I

l Ki-i - obtido nas mesmasi condiccedilotildees indicadas pelai j j bull v1 ~I q seta sobre a seacuterie da Fig ji

446() (B) Alrl j obtido ltom o IIlltiJ(f do

gtJ (b) 1 -AJ I (a) ltV M circulo

raquo gtlt w raquo u ~~~ ~ c---------------

N111gtIgti_i -~ lt-U4I_ i (c) Rotaccedilatildeo do atmtor experimental obtido no

ponto indiacutecado pela seta- na seacuterie da Figt 445(a)g ~ bull ~ C A mesma fOtaccedilatildeona ~ simuJaccedilgo feita com oJ marm do circulo u(CI V laquo) ____

)o lO lO ~ Q

T(ms) ro

Quando a parte fracionaacuteria de QEgt vale

05 aumentando-se a amplitude~ temos tambeacutem o ponto fixo de periacuteodo 1 que se torna

finstaacutevel surge um periacuteodo quatro e depois - gt

disso surge um atrator caoacutetico com a forma de raquo

uma C7JZ que estaacute mostrado na Fig 449 raquo raquo raquo Aleacutem diacutesgo~ outros mais atratores J

experimentais mais complexos tambeacutem podem Figura 449 Atnltor caoacutetico obtido com nm igualaO5

ser simulados com o mapa do circulo como

pode ser visto na Fig 450(0) onde temos uma frequumlecircncia de borbulhamefito de 8 bolhass

94 4 ResultadoseAnoacuteliseuro

com uma frequuml~ncja da onda sonora de 150 Hz A simulaccedilatildeo com o mapa do ciacuterculo como

estaacute mostrada na Fig 450(b) foi feita com tlr= 1885 h = 01 eK = 83

~ f fi ro ~ ni il II~~~~jflitllt1I)j~ ~ ~ to fi lt ~i~~~rl ~iacute J ~1J li~4It IVtAl lt

IiV V (b)-

m M m m - Tn(ms) r

FIgUra 450 Atrator e~perlmcntalem (a)(lroc = 1amp75 b -= 01 Em (b) aacute simulaccedilatildeo COm o mapa do ciacuterculo n= 1885 b =01 e K= 83

gt

~~

I

~ ifA rl li Pf ~ fI 1 J ~ N11D Jl ~ci- ~1 bull

J -I

(a) ~

443 Modulaccedilatildeo do Paracircmetro de Controle

Quando utilizamos a Teoria do Caos para analisar resultados experimentais uma

das mais dificeis tarefas eacute associar os paracircmetros experimentais aos paracircmetros dos

modelos existentes como o mapa logiacutestico ou o sistema de equaccedilotildees de Rotildessler e outras

equaccedilotildees dos sistemas caoacuteticos Algumas vezes o paracircmetro de controle escolhido eacute

modulado por uma funccedilatildeo que natildeo permite a observaccedilatildeo direta dos sistemas caoacuteticos

claacutessicos atraveacutes da variaacutevel de medida [Tufaile 1996J Isto acontece no experimento do

tubo borbulhador caso utilizemos por exemplo a vazatildeo do ar como paracircmetro de controle

como estaacute mostrado na Fig 451 onde utilizamos a soluccedilatildeo de 66 glicerina e 34 aacutegua e

oacute bico de seringa A vazatildeo do ar) o paracircmetro de controle estaacute relacionado de uma forma

hiperboacutelica com o tempo de borbulhamenlo a variaacutevel de medida representada pela linha

95 4 Resultados e Anaacutelise

pontilhada Quando

sintonizamos uma onda

sonora no sistema com urna

frequumlecircncia de 126 Hz e uma

amplitude constante ocorre

uma composiccedilatildeo entre a

funccedilatildeo hiperboacutelica e o mapa

do ciacuterculo Os tempos

associados aos patamares T ~

satildeo bem definidos e podem

ser calculados com a equaccedilatildeo

(436) Os patamares se

alargam com o aumento da

vazatildeo e o valor do tempo

7

70

65 T(ms)

55

50 61j-shy shy

-~ shy 40 60 80 100 120 140 160 180

Vazatildeo (mlfmin)

Figura 451 A composiccedilatildeo de uma funccedilatildeo hiperboacutelica de borbulhamento com ) mapa do circu1o as fraccedilotildees ao lado de cada pagravetamar datildeo () valor do tempo do ponto fixo Tp devido ao trnvaJnento sub-harmocircnico

associado a cada um deles eacute calculado atraveacutes dos travamentos sub-harmocircnicos

Tp~jlf (436)

onde j eacute o inteiro mais proacuteximo da razatildeo entre a frequumlecircncia da onda sonora e a frequumlecircncia

de borbulhamento

Outra situaccedilatildeo na qual ocorre a modulaccedilatildeo do paracircmetro de controle eacute quando

(b) ~ ~~~l~~~ ~~ - 21)~~ir-- ~if~~e

2(1 I i i r 5 6 7 B

Q

Figura 452 (a Composiccedilatildeo do tnatXt do ciacuterculo com uma funccedilatildeo linear decrescente O paracircmetro de acoplamento nllo-linear K eacute uma funccedilatildeo decrescente do valor de n

(b) Dados do tempo de borbulhamento em funccedilatildeo de o A variaccedilatildeo de o ecirc obtida mantendo os demais paracircmetros constantes e aumentando linearmente a frequumlecircncia da onda sonol3

4 Resultados e Anaacutelise

variamos a frequumlecircncia da onda sonora mantendo constante a sua amplitude Medindo o

tempo de borbulhamento obtivemos os dados d Fig 451 (b) do tempo de borbulhamento

contra a razatildeo entre as frequumlecircncias Q para uma frequumlecircncia de borbuibamento inicial de 33

bolhass Devido agraves propriedades da acuacutestica do tubo a variaccedilatildeo da frequumlecircncia da onda

sonora afeta simultaneamente a amplitude da onda Isto pode ser simulado com o mapa do

circulo com h = Ol~ supondo que o paracircmetro de acoplamento natildeoM1inear~ ~ do mapa do

circulo seja uma funccedilatildeo linear decrescente com relaccedilatildeo agrave razatildeo de frequumlecircncias n que na

Fig 452() eacute o paratildemetro de controle

K(n) =40 - 047 n (437)

Os patamares d Fig 451 assim como as linhas diagonais da Fig 452(a)

correspondem agrave composiccedilotildees da frequumlecircncias de borbulhamento e da onda sonora que levam

o sistema dinacircmico nas regiotildees de liacutengua de Arnold com nuacutemero de rotaccedilatildeo W igual aI

97 5 ConclusiJes

) 5 Conclusotildees

CltJnstmiacutemos o aparato do tubo borbulhador e observamos que O principal

aspecto da fonnaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos viscosos eacute que este sistema eacute equivalente a

um oscilador natildeo-linear Esta afirmaccedilatildeo foi baseada inicialmente nos intervalos de

tempo da formaccedilatildeo das bolhas no experimento do tubo borbulhador quando a vazatildeo de

ar aumenta e na comparaccedilatildeo deste experimento com o experimento da torneira

gotejante A comparaccedilatildeo dos dados experimentais da formaccedilatildeo das bolhas influenciadas

pela onda sonora com os resultados teoacutericos do mapa bidimensional do circulo1

confirmou que o borbulhamento estaacute associado a um movimento oscilatoacuterio Na

comparaccedilatildeo do sistema bolhasonda sonora e o mapa do ciacuterculo o ponto mais

importante foi associar o tempo da formaccedilatildeo das bolhas T com a variaacutevel rlf do mapa

do ciacuterculo

A interpretaccedilatildeo da oscilaccedilatildeo na formaccedilatildeo das bolhas pode ser feita observandoshy

se o deslocamecto do Ifquido Durante a subida da bolha no liquido este eacute afastado para

dar passagem agrave bolha ateacute que a bolha passe e o liacutequido volta a preencher o espaccedilo que

antes era ocupado vela bolha Este processo se repete e assim temos o comportamento

oscilatoacuterio Entatildeo podemos entender o movimento do liacutequido induzido pela passagem

da bolha como um oscilador natildeo-linear O sistema de detecccedilatildeo mede apenas valores

maacuteximos deste comportamento oscilatoacuterlo~ por isso temos as seccedilotildees de Poincareacute do

borbulhamento e natildeo curvas continuas do espaccedilo de fases

A duplicaccedilatildeo de periacuteodo) que ocorre quando variamos a vazatildeo~ foi a primeira

observaccedilatildeo que indicou que urna abordagem utilizando a Teoria do Caos seria um

meacutetodo possivel para a compreensatildeo do fenocircmeno da formaccedilatildeo das bolhas Mesmo

assj~ uma abordagem utilizando os conceitos da Mecacircnica dos Fluidos foi feita ~ com

este ponto de vist~ observamos que a duplicaccedilatildeo de periacuteodo com a vazatildeo estaacute associada

com a instabilidade de Rayleigh-Taylor que representa a instabilidade da interface de

dois fluidos que natildeo se misturam A duplicaccedilatildeo de periacuteodo SOacute eacute evidente em fluidos

viscosos pois~ em liquidas pouco viscosos como a aacutegua a dinacircmica observada vai

diretamente do comportamento regular para um comportamento irregular Verificamos

que a instabilidade da superfiacutecie da bolha nos fluidos com baixa viscosidade eacute a resposta

para a questatildeo da transIccedilatildeo do movimento regular para o movimento irregular na

formaccedilatildeo das bolhas Esta instabilidade eacute causada pela interaccedilatildeo entre as bolhas que se

elevam dentro do liacutequido e a bolha que estaacute se formando junto ao bico Em fluidos

98 s COI1cfusr1es

viscosos e com baixas vazotildees do ar o deslocamento das bolhas que estatildeo emergindo

natildeo afeta a bolha que estaacute se formando pois natildeo haacute uma perturbaccedilatildeo significativa criada

pela circulaccedilatildeo do liacutequido e esta circulaccedilatildeo permanece laminar junto ao bico Poreacutem

para vazotildees mais e1evada~ mesmoS nos liacutequidos viscosos teremos todo o conjunto das

bolhas emergentes e da bolha que estaacute se formando interagindo pois as perturllaccedilotildee5 na

circulaccedilatildeo do liacutequido se propagam em todas as direccedilotildees dentro do tubo borbulhador

Deste modo a formaccedilatildeo das bolhas apresenta uma dependecircncia tanto do tempo quanto

das condiccedilotildees d contorno Neste aspecto o experiroento do tubo borbulhador eacute

diferente do experimento da torneira gotejante pois o deslocamento das gotas que estatildeo

caindo natildeo tem efeito significativo na gota que cresce junto ao bico

Utilizando diferentes tipos de bicos verificamos algumas das influecircncias da

geometria do bico na formaccedilatildeo das bolhas Emulamos as seacuteries temporais atraveacutes da

combinaccedilatildeo de mapas Isto permitiu o desenvolvimento de ideacuteias para tentar entender e

explicar os fenocircmenos observados como alargamentos suaves e abruptos nos tempos

entre as bolhas A combinaccedilatildeo de mapas jacirc havia sido utilizada no experimento da

torneira gotejante~ o que mostra a sua importacircncia como rerramenta na compreensatildeo de

sistemas caoacuteticos

Do mesmo modo as simulaccedilotildees com modelo unidimensional massa-mola

permitiram melhorar a nossa interpretaccedilatildeo dos dados tanto da torneira gotejante quanto

do tubo borbulhador O modelo natildeo eacute adequado para observaccedilotildees quantitativas mas

pode ser usado para a obtenccedilatildeo de resultados qualitativos Durante a verificaccedilatildeo da

hipoacutetese do fator de massa agregada fJ do modelo massa-mola para a formaccedilatildeo das

bolhas encontramos as estruturas das veiacuteas liacutequidas que satildeo colunas de aacutegua dentro do

oacuteleo sustentadas pela subida de bolhas de ar

Aleacutem disso durante a realizaccedilatildeo da experiecircnci~ foram encontradas algumas das

condiccedilotildees que fazem o aparecimento de antiboJhas que satildeo gotas envolvidas por uma

fina camada de ar dentro do liquido e que ficam aprisionadas na circulaccedilatildeo dentro do

liacutequido

Verificamos as condiccedilotildees de validade para a relaccedilatildeo entre a frequumlecircncia da

formaccedilatildeo das bolhas e a vazatildeo do ar para um modelo simplificado que estabeleccedile uma

frequumlecircncia para a formaccedilatildeo das bolhas proporcional agrave vazatildeo elevada a 04

Atraveacutes da associaccedilatildeo com o mapa do ciacutercuJo~ verificamos algumas

similaridades entre o mapa e o experimento como por exemplo a comparaccedilatildeo da

variaccedilatildeo da razatildeo entre as frequumlecircncias da onda sonora e do borbulhamento~ nEXo com a

s ConcluslJes 99

variaccedilatildeo do paracircmetro nr do mapa assim como fizemos a comparaccedilatildeo entre as fonnas

dos atratores reconstruiacutedos Deste modo encontramos algumas rotas para o Caos

quando eacute feita a variaccedilatildeo da amplitude da onda sonora A formaccedilatildeo das bolhas pode

evoluir inicialmente atraveacutes da rota de quase-periodicldade quando a amplitude do som

eacute aumentada linearment~ que pode ser reconhecida no iniacutecio das seacuteries temporais

devido agrave sua forma triangular para alguns valores d razatildeo entre as frequumlecircncias tEX

Outra rota observada fui a rota de duplicaccedilatildeo de periacuteodo com a formaccedilatildeo de atratores do

tipo~Heacutenon devido aos processos de estiramento e dobra

A dinacircmica do mapa do circulo ainda permitiu interpretar o comportamento mais

global da existecircncia de patamares no tempo da formaccedilatildeo das bolhas nas seacuteries

temporais sujeitas a uma onda sonora de frequumlecircncia bem definida Os patamares

OCOrrem quando a freqOecircncia do borbulhamento estaacute proacuteximo a um submuacuteltiplo d

frequumlecircncia da onda sono~ o que caracteriza um travamento subMharmocircnico O

travamento sub~hann8nico ocorre quando a frequumlecircncia de um oscilador fica travada em

um submuacuteltiplo da freqOecircncia de uma forccedila externa aplicada O caso limite d

sincronizaccedilatildeo entre a formaccedilatildeo das bolhas e a onda sonora eacute o travamento harmocircnico

quando as bolhas se formam com a mesma frequumlecircncia da onda sonora

I I I

I

100 6 Referecircncias

6 Referecircncias

Argyris J Fast Q e Haase M (1994) An Exploralion of Chaos North-Holland Arnsterdam

A1ligood K T Sauer T D e Yorke J A (1997) Chaos - (f1 introrillclion lo dynamical syslems Springer New Yerlc

Bai-lin H (1989) Elementary symbolic dyrtamics and Chaos in Dissipolive Systems World Scientific~ Singapura

Bertelseo p EUegaard C Guhr T Oxborrow M e Schaadt K (1999) Measuremenl of Parometric Correlations in Spectra of Resonating Quarlz Blacks Phys Rev Lett 83 2171-2174

Chandrasekhar S (1981) Hydrodynamic and Hydromagnetic Stabiacuteliacutety Dever New York

Cliacutefl R Orace J R e Weber M E (1978) Bubbles Draps and Partieles Academic Press~ New York

Collet p e Eckmann 1 (1980) lleraled maps ou lhe inlerval as dynamieal systems Birkhatildeuser New Yorlc

Davidson J F e Schuumller B 0 G (1960) BlIbble formaiion ai an orifice in a viscous liquid Trnns Inst Chem Eng 38 144-154

Dnnocenzo A e Renna L (1996) Dripping Faueet Int J Theor Phys 35 941-973

Dnnoeenzo A e Renna L (J 997) Morieling leaky fancei dynamics Phys Rev E 55 6776-6787

EUner S Nychka D W e Gallant A R (1992) LENNS a progrom lO estimale lhe dominant Lyapunov exponent cfnoisy nonlinear systemsfrom time series data (Institute of Statistios Mimeo Series n 2235 (EMA series n 39) Statistics Department North Carolina State University Raleigh

Femat R Alvarez-Ramiacuterez e Soria A (1998) ChaoticJlow slnentre in a verlical bllhble column Phys Let A 248 61-79

Finney C E A (2000) Bibliography of choos amp buhbling httpwwwshychaosengrutkedulbibBubblinghtml

Fletoher N H e Rossiog T D (1991) The Physies ofMusicalll1srnmenls Springer New York

Fuchikam~ N lshioka S Kiyono K (1999) Simulalions ofa Dripping Faucel J Phys Soe Jpo 68 1185-1I96

INSTITUTO DE FS1CA serviccedilo (iccedil albHotscamp e

lntgnllccedilatildeoTombo u ~ Co

-et [

101 6 ReJerecircneacuteiaacutes

Gonccedilalves W M (1996) A experiecircncia da Tomeira Golejante Tese de doutorado lFUSP

Gonccedilalves W M Pinto R D SartoreUi 1 C e de Oliveira M 1 (1998) Inferriacuteng staliacuteseal complexity in lhe dripplnglaueet experiment Physica A 257 385-389

Grebogi C Ott E e Yorkel A(1982) Chaote attraetors in crisis Phys Rev Lett 48 1507-1510

Hayshy C (1985) Nonliacutenear Oscilatiolls In Physicol Systems p 285 Princeton University Press Princeton

Hegger R Kantz H Sebreiber T (1999) Praticol implementaton of nonlnear time seres methads The l1SEAN paekage Chao 9 413-435

Jaekson E A (1995) Perxpectives 01 l1oninear dynamies Cambridge University Cambridge

Kaneko K (1992) Overview 01eoupledmap latliees Chaos 2 279

Kiyono K e Fuehikami N (1999) Dripping Paueel Dynamiacutecs Clarified by an Improved Mass-Spring Model 1 Phys Soe Jpn 68 3259-3270

Kyrialcides N K Kastrinalcis E G Nyehas g G e Goulas A (1997) Bubblingfrom Naues Submerged in Water Transiacutetions Between Bubbling ampgimes Can J Chem Eng 75684-691

Lantoroom W (I986) Acoustie Turbulence em Frontiers in Physiacutecal Acouslics p 124shy144 Nortb-Holland Amsterdam

L~ H Z Mouline Y Choplin L e Midoux N(1997) Chaotic bttbbe coalesconee in non-newlmriacuteanfluids lnt J Multiphas Flow 23713-723

Li T Y e yoke J A (1975) Period 3 iacutemplies ehaos Am MatlL Month 82 985-992

Lorenz E N (1980) Altraclar seis aml qttasi-geoslrophiacutec equlibrillm J Atmas Sei 37 1685-1699

MaJI R (1981) On lhe diacutemensiacuteon cf compacl invaria11l sei cf certain nall-lillear maps em Dynamical System and Turbulence 00 D A Rand e L S Young Spnnger Berlim

Marmur A e Rubin E (1915) A theoretieal modellor huboacuteleformation 01 ali orifice submerged in Im inviscid iquid Chem Eng Sei 31 453-463

6 Referecircncias 102

Marston P L (1980) Shape oscillotion aJ1d stalie deformalion of drops and bubbles drive by modulated radiation stresses-Theory J Acous Soe Am 67 15-26

Martian P Pope S C Scott P L e Shaw R S (1985) Ihe chaotic behavior ia eaky faucet Phys Let A 110 399-404

Mltoni L 1 Schwartz M P e La Nauze R J (1995) Determinislie chaos in lhe gas inel pressure ofgas-liquid bubbling systems Phys Pluids 7 891-893

Moran M I Haigh R E Lowry M E e Sweider D R (2000) ObservntiollS ofSingleshyPulse Sonoluminescence httpwww-physllnLgovlN_DivlsonoIurnlsonolumyaperhtrnl

Miyahara T Baga N Takahasbiacute T (19B3) Bubble formationfrom an oriftce ai high gas ftow rales Int Chem Eng 23 524-53 L

Nguycn K Daw C 5 Cheng M Bruns D D Pinney C E A e Kennel M B (1996) Spalio-temporal ~namics in a train ofrising hubbles Chom Eng J 64 191-197

Paclcard N H CrutehfieId J P Fanner J D e Shaw R S (198() Geometryfrom a time serles Phys Rev Lett 45 712-716

Perry R H e Clinton C H (1972) Chemcal Engineers HandbQok McGraw-HilI New York

Pinto R D (1999) Comportamento Complexo na Experiecircncia da Torneira Gotejante Tese de Doutorado lFUSP

Pinto R D e Sartorell~ J C (2000) Homoclinc tangency and ehaotic attractor disappearance in a drippingfaucet experiment Phys Rev E 61 342-347

Prosperetti A (1986) Physicsi Acoustic Cavitalion em Frontiers in Physical ACOllstics p 145-188 North-Holland Amsterdam

Ponter A B e Surati A l (1997) HuMI EmissiollSfrom SlIbmerged Orifices - A criticai Review Chem Eng Toelmo 2085-89

Putterman S 1 (1995) Sonoluminescence Salim l11to light Sei Am Fevereiro 33-37

Rapp P E Bashore T R Zimmermean L D Martinerie 1 M Albano A M e Mees A 1 (990) Dynomical CharacterizaJlon ofBrain EleerIacutewl Activity em 1he Ubiqulty of ChIlO AAAS Washington DC

Renoa L (1999) A discrele map for drippingfaucel dynamics Phys LeI A 261 162-168

da Rocha M S (1995) Determinaccedilatildeo da evoluccedilatildeo temporal da fonnaccedilatildeo de gotas Dissertaccedilatildeo de mestrado lFUSP

Rotildess1er O E (1977) Synergelies a workshap Haken H Springer Berlim 174-183

103 6 Refrencias

Ruzicka M C Drahos J Zabradnik J e Thomas N H (1997) Inermittt transition from bubbling to jetling regime in gas-liquid two phase fiows Int J Multiphase Flow 23 671--682

Sacircnches-Ortiz G 1 e SaIas-Brito A L (1995a) Strange attraclor in a relaxalion oscillator modelfor lhe drippingfaueet Phys Let A 203 300

Sacircnches-Ortiz G I e SaIas-Brito A L (1995b) Chaos in a variaMe mass relaxatiall oscilator modelfor lhe leaky tap Physica D 89 151

SartoreUi J C Gonccedilalves W M e Pinto R D (1994) Crisis 00 intermittenoo in a leaky-fauce experiment Phys Rev E 493963-3975

Scbemelcher P Diakonos F K (1998) A general approach lo lhe finding of unSlable periadie arhils in ehaotie dynamieal syslems Phys Rev E 57 2739

Sharpe G J (1994) Solving Probems in Flllid Dynamics p 203 Longman Essex

Shaw R (1984) The drippingfaucet as a model chaotic sySlem Aerial Pre Santa Cruz

da Silva J G M (1996) Caraelerizaccedilecircio da Dindmica da Formaccedilecircio de Goas Dissertaccedilatildeo de mestrado lFUSP

80 P Ott E Sehiff S F Kaplao D T Sauer T e Grebogi C (1996) Deleeting unstoble periodic orhits in chaotie experimentol daa Phys Rev Lett 76 4705-4708

Sotomayor J (1979) Liccedilotildees de equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias Projeto Euclides Rio de Janeiro

de Souza Vieira M C Lazo E e Tsallis C (1987) New road 0 ehoos Phys Rev A 35 945-948

Stons C L (1974) Th amate1f scientiSl Sei Am Ahri 116-121

Sulivao S L Hardy B W e Holland C D (1964) Formatioll ofAir Bubbles ai Orifiees Submerged Beneath Liquids AI Ch E Journll0 848-854

Takens F (1981) Deecling Srange atraclors inurhulenee em Dynamical Syslems aod Turbulence ed D A Rand e L S Young Springer Berlim

Thompson J M T e Stewart H B (1986) Nanlinea Dynamics aod Cnaos Geometrieal Methods for Engineers aod Seieniss p162 John Wiley and Sons Chichester

Tritton D I Egdell C (1993) Chaotic bubhling Phys Pluids A 5 503-505

Tufaile A (1996) Mapas combinados e o experimento da omeira gotejante Diacutesertaccedilatildeo de mestrado IFUSP

6 Referecircncias 104

Tufaile A Pinto R D Gonccedilalves W M e Sartorelli J C (1999) Simulations in a drippingfaucet experiment Phys Le A 25558-64 (Apecircndice 1)

Tufaile A e Sartorelli J C (2000a) Chaotic behavior in bubble formation dynamics Physica A 275 336-346 (Apecircndice 2)

Tufaile A e Sartorelli J C (2000b) Heacutenon-like attractor in air bubbleformation Phys Let A 275 211-217 (Apecircndice 3)

Veta N e Tabacniks MH (1994) Laboratoacuterio de Fiacutesica para Ciecircncias Bioloacutegicas IFUSP

Viana R L (2000) Introduccedilatildeo agraves Redes de Mapas Acoplados - Modelos para o estudo de Caos Espaccedilo-Temporal Notas de Aula IFUSP

Weast RC Selby S M (1996) Handbook of Chemistry and Physics p F33-F42 The Chemical Rubber Clevelnd

Willeboordse F (1992) Time-delayed map as a modelfor openjluidjlaw Chaos 2 423shy426

Wolf A Swift J B Swirmey H L e Vastano J A (1985) Determining Lyapunov exponentsfrom a time series Physica D 16 285-317

Apecircndice 1

Siacutemulations in a dripping faucet experiment

A Tufaile RD Pinto WM Gonccedilalves e JC Sartorelli

Physics Letters A 255 (1999) 58-64

3 May 1999

PHY$ICS lElTERS A

ElSIMER Physics Letters A 25S (1999) 58-64

Simulations in a dripping faucet experiment

A Tufaile RD Pinto W_M_ Gonccedilalves J_C Sartorelli 1

IluacuteillOO dcFJSfea UniDCrfidadc de Siio Paula CQixa Pmrtal oacute6JIlJ fJSJIJ97tJ Satildeo Pttdb Braacuteii

Recchcd29 SeptJllIb1r 1m laquooMdinpVised tbru 10 Febnwy 1m ~ 10 February Im Ogt~ hy cR Doering

Ab$tratt

The prafiles of two experimental attrletors were simll1ated by using a simple onc-dintensioacutenal spring-mass modct Some pccllliar bebuviors observed in experimental bifurcation diagrams (in short ranges ofdriwmg Iate variation) were emu1ated by combining two quadratie maps (a kiruI af coupUng) in twQ diacutefferellt ways~ parallel combination 1Eh non-interacting maps and series combination with nrongly intcrocting maps TIto ehoice ar cach kind af eacuteombinarion W3S suggcsud by thc own cbaracteristics of~eh experimCfllal bifureation diagramo copy 1999 EIlteviet Scieacuten(e SV All rigbts rewrved

PAC$ 054S+b

1~ lntroduction

The leaky faucet dynamks has beoo used as a paradigm of a chaotic sYSbm [I~1 since the liUggesshytion made by Ratildessler 13] in 1977 lha Ih fnou af water drops in bull tlp nipple oould sbow chaooacutec bebavior wbat was 1ater confirmed hy Sbaw and Marlien alo [451 Period doubling WlI Qlnrerved hy Marlien alo [451 Yeacutepez alo [61 Cabhm et ai [71 Wu and Schelly [891 Dreye alo [101 Sarshytore1li trt aJ UO Tangeot intermitttncies are Teshy

ported in Rofs [7111 quasi-periodicity and boondshyary coacutesis in Rof [11l and a Hopf biacutefurcanon in Refs [l213J Olher studies abou lha formadoo of drops or droplets of water can be found in Refs [14-231

E-mail sartorellilfUlipbr

Shaw and collaboratorn liUpposeuacute thut th~ water oolumn bangiog in a nipp1e faucet should oscillate as a mass-spring system with the mass increasing lin~ early until it reaches a criticaI point when a drop is ejected IacuteInposing the initial conditions ou the teshymaining water column This mudeI was modified by Simcbas-Ortiz and Salas-Brito [24] supposing Ih lhe mass of the ej~cted drop must depend ou tlte cummt yalue of the water co1umn mass DIn nocemo and Renna [25 have aiso carried ont thcir calcuJations assumlng lhat lhe remaining _ colshyUmtl shape can be cither a sphere Of a material point

hlspired hy au ining-Iike mode to find Ih water dIuacutep proacutefiJc rumging in a vertical waU Oliveira aad Ponna [26] studied lhe dymnni of lha drop furmashytton applymg Monte Carlu techniques Penna tt a1 [27J sbowed thut the time delllys between SU(teS)i~ drops display long-range anncorrelations cbarncter~ ized by the same exponcnts of the heartbeat~to~ heaItbeat interva]s of hea1thy subjects [28]

0375-Otj99S - see mlll maner Cll999 Elrevier Scicnee BV Ali rigltlS tesIlVed PU S037S960l(99)QOI19X

I

A TilfaiIe e1 aLIPllyJICS uacutetters Aacute 255 (1999) 58-64 Num uf thtSe modeJs are adequate to explam aU

lhe bebavio observed in lhe range from - Oup to 40 dmpss In this papeI we present two simula~ tions of experimental attractors whlch are lhe best emulations yet obtaiacutened by the one~dimensional spring-mass modelo It is also presented two experi~ mental bifurcation diagrams in short ranges of dripshyping rolte with llCW peculiar behavions nl-ver secn before Inspired by me behavlor of each experIacutelncnshytal diagmm we did a kind af siacutemple ooupling af maps [29-321 by combining two quadratic maps to emulare these experimental bifurcations Two ways or combinution are proposcd In the first case two non-interacting quadmtic maps are added (parallel combination) whuumle in the sccond onl- two tnJng1y inteltf-ting logistic maps (smcs combination) are combiacutened in a feedback way

2 Experimental apparatos

The measurements were dane with the faucet attaccedilmd lo a large reservou sccedilt Refi U121] for details The time delays between successive drops are measured with a time counter circuitry~ with a

nmiddotT--------------------~ (a)

r ishy700lt) ~

1 li ~

~ - -~ ~ bull-j- -~ -4 ~r -~

67 I ~

I 670 680 690 700 110

Tat$

T1molution of i ~~ iacutenserted in a PC 5101 The iacutenput signals are voltage pulses induced in a resistor definelt by the beginning (ending) af the scauring oI a laser beam fO(Usw on ltt photo~trdn$i$tor (in sents with 1he resistor) when thc drop tarts (ends) t(l CTOSS the laser beam The width of the pt1lse is the time interval t (where n is the drop number) and the time delay between two pulses is lhe crossing time (SI) of drop tbrougb the laser beam 50 lha the total time interval is 1 = 111 + 8t~

We can setup the drop rate (J~ 1(Traquo in two ways (a) by feeding back lhe Wuer reservoi to ke~ the height h af the water leveI md selet1ing the drop me by opening (closing a needle valve driven by a step motor which is coutrolled by a microcomputer

For a given drop late we have constructed first retum maps T I VS4~ (b) by fixing me opening of the ncedle va~ turning off1he water supply letting fue water levei decrease natunilly and so the drip~ ping Iate Therefore~ the contml PWffileter lhe heiacuteght h of the water leveI varies as ht ho - n8 VA where 8YA=2XlO- mm he 15 the initial height I) Y the mean volume of me drops and A i5 the area of the water reservoir surface In this case bifUrcatiou diagrams Tn V$ n were constructed We

~ ~

300

200

Ibl

()1

oI 100 2Q(l 300 400 500

1 figo L (a) experinwJrtal data for f 146 dIopss Experimental panuDlter vaues are Ir 365 dynjcm X-~tI a6 em R Ot2-0l5 ss and Q 01-0 14 sem (li) the attlactor profile obtaiDed witb R - 015 sls b - H) Si k 415 dfacrtJ xir - 13 em arul rt- 01 slem Tht ealllai~ drop me ia f 315 dropss wbich ~ two- times the expcrimcntll vale 3pll~lely G1w rupple

A TufoiJe cf aLIPhysfcs Lettcf A 255 (1999) 58-64

T11Ulitl$ltTgtlaquo146m~

T---r------T~~ t

12

12012~~11T 911 tMobull

T (l (Iraquo

Fig 2 a) experimetItaI T+l n 41 YS r (ms) tuap (h) simulatcd mBp wrtb R (U41 gJs xr O25i em a-1l51 sem b-Q94 s-land 1(20 dyncm Thc two maps wcre ~ from lhe samc angle 4f vUicn The calcuJted drop me is cloR 10 fue ~ vahIe l1ul similiuiacutel) bctwcen the two maps suggesls lhe salOO attwtor with ~ slzes of the basins ef ~ Htass nippk

have used one gJass nipple and other one or brass~ with both having t11e same intema1 diameter

3 Resolts

31 Mass~sprjng modal

Following Dnnocenzo and Renna (25] notation the set Clf autonomous differential equations for the mass-spring modol is [45)

dx d(Mv) IM-= =Mg-kx-budi 1 di di =R~

(I)

where x 15 the ooordinate af the ceuter af mass ar me hanging watet agravetld R the flow ate

fhe surfagraveoo tenskm and friction between the wa~ ter and lhe _ are respectively representelt by lhe spring eonstant k and by b A drop with mass

AM aMell( (2)

is shot wben the center of mass x exceeds a tbresh old xI where M and 11 are respectively the hangshy

(a)

~ i= 10a

bullbullbullbullbullnbullbullbullt

Il~_

bull o - shy (b)

C

ibull

m I ~

-10 i-shy i t

Fig 3 (ti) experinleflt2l hifilnmon diagram wilh tlJ~ drop Iate lIlllgingtrom -9ISdM1Hn 913 dtopsjs (b)paralkI combi~ natlOIl or two oolliDtctacting logime maps witb p~ecirc)- f +t and p(~) Px(~)-Ot IS Brass nipple

ing water mass and the speed at the thresbold paim g = 920 em51 and a is li parameter

For the remaining water DInnocenzo and Renna pmposed two models (PS) the point-spbere one lhe drop is spherical of radius r and the waterresldue is a point situated at Xo =Xr -rAMM (TS) twQ

sphere model lhe drop is spberical of radius r and the water residue is ti sphere ofradius r = [3(MrshyAM)j(4p)] cenrered at x ~ xlt - (r + r)AMjMlt Therefure lhe simulations reqm lhe adjuslment of fi _ (k x R aod b) but with an unknoacutewn dependence between them

fig 4 (a) 1X~rimenlal bifuttation diagram with lbe drop rale rungillg fmm 28$ doWn to 268 dropss Tbe circe SOOWl the sequerne cf tbc plotting colotslt sbould be noticed that in lhe ttginns otperiod-2 tbe colun ilIC supcrimposcd In (D) and (c)ate itSPtttlve1y sbown tbe odd ruld ~ bW1Ches On lhe right in W the cmuJation ofthc eltpelirncntl1 duta ming a scri~ combinltion oftwo intcmcting logistic maps in (8) and (C) are tespectivey slrown lhe anulated separaoon oi tIle odd aud eVelI bnmehtS The pammeters ()f control P1laquo(f) and P7lt-C) lU sItown in fig 5 9t-~ rupple

00

gt

so

i O I

o~xu

x

(v)

62 4 ThJaited aLIPhysi~LeIergtA 255 (J9)9) SlI-M

In Fig 1() is sbown me experimeand first return IIlllp obtaiacutened by keeping fixed me water levellreigh aI 1= 146 dropss (gIass nipple) An bullbullperlmeotal esrimarion for me pamm_ values are [2l k = 365 dynem x~Mem R =012-015 gjs The simshyulations of the attractor using these parameter va1ues did not converge for wide ranges of a and b villu~1i

We cou1d emulare the attractor profilc using the PS mudel by adjusting all the paIdmeter values The emulatioo wilh k-475 dynem x= 13Cn Rshy015 g -02 sem and b - 10 s is shown in Fig l(b) but me mean drop mte obtained (fshy315 dropss) is abou IWO times lh experimental valobullbull

In Fig 2(11) iacutes shown an attractor reconstructed in a fbreedimensiacuteorutl map T +1 vs T i i VIi Ta at f = 8726 drops I s The atttactor- profile was simtJ 1_ by me PS model wim me pammeter values R=O14 gs x= 0251 em a-OSI sem bshy094 and -120 dynem as aho in Fiacuteg 2(b) Despire the fagravect tllat these values are quite different uom the experimental ones we obtained by coinjdence a drop rate of f= 880 dropss close to the experimental value The similarity 1raquoshytween the two maps suggests mat we have the same atttactOt whnc the different time scales point out to dilferelt os ar lhe basiacutens af _ans with apshyproximataly lhe same mean time T

We could oot find in lhe titerature better _shytions af dripping faucet auractors than lhe examplos above This model is not enougb to expIa1n all the detalls of me eXjlOIIacutelMntal data but it can be useful to give a first sigltt (ar lhe general properties) of the drop formation dynamics 41 since the classical hyw drodynamiclll models are mo complicated to obtain large time series

We observed some peculiar behaviors ln me exshyperimentai bifUrcation diagnuns and ve attempted to construct empiacutericaJ models omulate suoh bebavshyiacuteors in a shnple way~ looking for relatiacuteons berween two qu_ IlIPS

32 Combined mtJps

321 Parallel comhinatton In Fig 3(a) is shown an experimental bifurcation

diagram T vs nf which was obtaiacutened by Jetting the wateiacute level go down 113turally and lhe dripping rate

rangiag from - 918 00 to - 913 dropss Beshylow 11 as the water leveI heigbt goes down the dynamical ampystem evolves in a period four m~ ment When the system reaebes lhe aitical point I1c (ar h) the initial rom stable fixed points are re~ placed by new four fixed points

We siacutetnulated this peculiar change of fixed points by adding two nonwiacutenteracting quadratic maps (paralw lei combinatioQ) 50 lhe global I S is given by

In+ =x ~pAt) Yn+l-Y -P)(~ x +y

S - bull (3)bull 2

where P(i) and p(lf) ate me OOIltrol PllIameters as functions of a common parnmeter sgt and each tnap is iterated sepamtely 2 We observed that the hoiee of P(i) = i- 14 py(V= pltel - 0115 IfE (16164) can emulJlte lhe experimental change of the fIXed points as shown in Fig 3(b) Tbe transition po-int g~ = 1615 corresponds to the secshyond ilip bifurcation in tbe y map and a period-4 movement in the x map but lhe global I S co~ondamp to a foor fixed points until the next fliacutep bifurcation which oours in the x map at ~= t6t8

Dilfetenl from an interior erisis [331 in whiacutech OCCUts a sudden change in the size of the attractor in Fig 3(a we have a smooth inereasing in the size of lhe period4 attracror Regarding lhe oscilJatory barshyaeter ofthe banging water~ these two period-4 behav~ lOIS suggests that we bave the same oscillation mode below and above (n) but with a little difference between their boundary conditions

322 Series combinalion For a Wgher drop- rate another experimental bifurshy

cstion diagnlm was observed with the dripping rate ranging from 288 down 268 dropss In F18 4(a) is shown lhe bifutcation diagnun 7 vs n

i

ohtaiacutened by plotting lhe pciacutents alteruately in blaellt (-159 ) ingreen (=2610 ) inred (n = 3711 ) and in blue (n - 4812 )

InitiaUy~ the system evolves in a period~2 attractor until lhe ches red + blk and green +blue colshy

-1- For a given value ofthe cmrttltll pammeter euro the seties xl tuld Y ete fUIlI1ltrlcllJy laquonained aftrr 11 ttnusltnt oi 10000 lIetations from 1he same initial cQlIdiOOm (xG )~ 06)

bullbull

63

7

A Tuaile et aL Pllysics leJters A 255 (1999) 58-64

10 i

os Py obull o

osL 07

Fig 5 P~ (cuntinuuus linel and Py (uacuteasheu ine) as fWHtions of

fmiddot

Iapses at point T After that the system continues to evolve in a period~2 movement but showing invershysion of phases (see tbe colors exchange) until point F where another bifurcation occurs on each braneb Therefore this diagram ean be split in an odd dia~ gmm (blaek + red) as shown in Fig 4(b) and in an even diagram (green + blue) as shown in Fig 4(e) The skcleton of eaeb branch 15 preserved even in the regions of superposition of the branches as in the chaotie region (n 25 X lOs and ~ 097 in Fig 4) The branebes in Fig 4(b) and 4(e) have similar behavior and structures (common bifurcation points and chaotic regions) but different sizes

Tbe similarity between each brancb and tbe logisshytic map suggests that this peculiar behavior could be interpreted by the combination of two strongly intershyacting logistic maps (series combination) as to say the feedback of one logistic map into another one

x+ -4p(Oy(I-y) oddbrnnch

Y+ -4p( Ox(l-x) evenbranch (4)

where PxltO and pig) are the control parameter ftmctions The choice of Px(g) and Py(g) shown in Fig 5 leads to a reasonable emulation of tbe experishymental diagram as sbown in Fig 4(A) (8) and (e)

Considering that each branch is visited altershynately and associating each branch to an oscillating mode of the water column it seems that the initial conditions imposed by one drop to the next one switches from one oscillating mode to another oneTherefore the combined maps models can give us a first sigbt about some Ioeal behaviors of the experimental diagram

4 Conclusions

We could reproduce tbe profile of some attractors by using the one-dimensional mass-spring model The parameters values obtained by this model are not realistic due to the drastic simplification of the water drop formation dynamics

To interpret some peculiar behaviors observed locally in bifurcation diagrams we proposed the emshypirical model of combined ma~ With the parillel combination we couId emulatc the peculiar replacing of four fixed points by four new ones Tbe feedback of one quadratic map into another one in the series combinatian aJlowed us to realize the collapse of branches and their further separation as well as the preservation of tbe skeJeton of each branch in the chaotic region

Acknowlcdgcmcnts

This work was partially financed by the Brazilian agencies FAPESP CNPq and FINEP

References

(U FC Moon Chaotic VibratiOM Wilcy N~ Yorlc 1987 [2) KT Alligood TD Sauer JA Yorlte Cbaos An Introducmiddot

tion 10 Dynamical Systcms Springer-Verlag N~ Ymk 1997

[3) OE Riiss1er Synergetics A Workshop SpringeroVedag 8erlin 1977

(4 R Sbaw The dripping faucet as a mudei chaotic systelll Aeria Press Santa Cruz 1984

(5) P Manien SC Popc PL Scott RS Shaw Phys Lett A lO (1985) 399

A T~oile ct DL I Phyfitf ieJlerlf A 255 (J1J99J $8-641 64

[6] HNN Yeacutepez ALS Brito CA Vargns LA Vicente Eur J Pbys Ui i989 99

[1] RF Cahllan H Lcidcr~hcr 00 Cahaian Comp Phys JulrjAugust 1990 p 368

(S X Wu ZA Scltelly Physicl D 40 (1989)433 191 X Wu B T_ zA sbltlly Rltv Sei IM 6) H9S9)

3119 lO] K Ote)ltr FR Hlckey AIraquo 1 PbyS $ 0(91) 619 [i t lC Sartmelli W_r1 Gonccedilalves RD_ Pinto Pbys Rcv li 49

(1994) 3963 (12) RD Pinto WM Gonccedilalves lC Sartotclli MJ de Olivcita

Phys Rev E 52 (1995) 6392 U31 JGM do Sil~ JC SartQrelli W_1 Oolccedilal~ amp0 Pinto

Phys Lett A 226 (1997) 269 (l4) XO Shl MP BmmtI ItR Nage1 Scienee 26) (1994) 219 (15) sDR Wilsoa J Fluiu Mech 19(1 i988 561 H6l D1L ~grine O Shokfr A SymGn J Fhtid Mtclt 212

099Ol25 [t1] OW DePDoll JQ Feng DA Basatan Te Scott Phys

Fluids 7 (I995) 1181 (18) X Zhlmg DA ampsarau Phys Auieis 7 (1995) 1184 [t9) A Laveron-Simavilla JM Pcrales Phys Fluids 7 (1995)

121)4 t20J Y Watanabe Jpn J Appl Phys14 (1985) 351

(21) MSF da Rocha JC Sm1orelli WM Gonccedilalves RD Pinto Phys Rev E 54 (996) 2378

[22] J Austin Pbys Lelt A 155 (t99I) 148 (23) JA fomecirc$ J ProcQpio le Sartoacuterelli J App Phys 80

(t9) 6(121 1241 Gt SaacutenchesOrtiz AL 5efusBrito Ph)-s Lctt A 203

(1995) 300 Ph)1IacuteOl D 89 H99S) 151 1Z5] A Dmiddot~ L Rtnna Ph)s Lctt A 220 UI)) 15 Uacutelt

l Theor Phys 35 (1996)941 fhyl Rev E 55(991) 66 126) PMC de Oliveira TJP Penna J Stzl Phi 13 1(93)

189 brt J Mod PIacutel)$ C 5 (1994) 997 tm TJ-P Petma PMc de Olivclla JC Saoorelli Wt

Gonccedilalves RD Pinto Phys Rtv E 52 (1995) RlI68 28] HE SlaulCY SV Buldyuv AL Goldcberger ZO Goldemiddot

beramplaquo S HavUn llN Mmtegna sM Ossadnik CK Peng M Simotls Pllyska A 205 (994) 214

129] K (mem Progr lbeor Pbys 69 0983) 1427 Pmgr Thecn PhY$ 7i (t9iacutef4) 202

l301 Y OU M Tuug l iuan D Fmg LM Naragravenccedili fbys R~ Lett 52 (l9f4) 10L

131] T Hogg BA HUbetman Phys Rt A 29 (19M) X1S 132) LA Bunimcvich Physica O 86 (i99S) 248 [33) C Grnbogi 11 ou JA YOde Phys Rtv Lctt 48 (1981)

151)1 Physica D 7 (19amp3) 1St

Apecircndice 2

Chaotic behavior in bubble formation dynamics

A Tufaile e JC SartorelU

Physica A 275 (2000) 336-346

I PHYSICA ill ELSEVIER Physica A 275 (2000) 336-346

wwwelseviercomllocatelpbysa

Chaotic behavior in bubble fonnation dynarnics A Tufaile IC Sartore1li

Instituto de Fisica Universidade de Satildeo Pauo Caixa Posla166318 05315-970 Satildeo Paulo SP BrQ2j

Received 25 June 1999 revised 19 August 1999

Abstract

We constructed ao experimental apparatus to study the dynamics af the formation of air bubbles in a submerged nozzle iacuten a waterglyccrin salution insidc a cylindrical tube The delay time bctween successive bubblcs was measured with a laser-photodiode system It was observed bifurcations chaotic bchavior and suddcn changcs in a pcriodic regime as a functioo of thc decreasing air pressure in a reservoir We also observed dynamical effects by applying a sound wave tuned to the fundamental frequency af the air column above thc solution AI a function of the sound wave amplitude we obtained a limit cycle a flip bifurcation chaotic behavior and the synchronization of the bubbliacuteng with sound wave frequency We related some of the diJferent dynamical behaviors to coalescent effects aud bubble sizes copy 2000 Elsevier Science BV Ali rigbts reserved

PAeS- 0545+b

Keywords Chaos Bubble dynamics Uostable periodic orbit Synchronization

1 Introduction

The formatioo of gas bubbIes in a nozzIe submerged in a liquid column has been studied by Davidson and Schuumller [I] Buyevich and Webbon [2] and Kyriakides ct aI [3] A criticaI review about the experimental and theoretical resuIts is presented by Ponter and Surati in Ref [4] Results of simulations of the motioo of gas bubbles in a liquid are presented by Krishna and van Baten in Rof [5] The bubbling dymiddot namics presents some features that resemble chaotic systems [6-8] Triton and Edgell [7] observed some attractors by detecting the bubblc passage by a transduccr (hotfilm anemometer) placed close to the nozzlc

The aim of this paper is to report the existence of dynamical properties of bubble fonnation with non~invasive techniques and report the effects of a sound wave 00 the

bull Corresponding autbor E-rrwil address sartorelliifuspbr (IC Sartanlli)

037843711OO1S~see front matter copy 2000 Elsevier Sciencc BV Ali rights reserved PII S03784371(99)00440middot9

--337 A Tuaile Jc SartorelliIPhy~iCD A 275 ((f)()) 336-3

FuncIioo gEIlatlIlaquoW_1-0-1~a

VHS o

Come o

D O O

--shy

~

~ Ai

Rbullbull

pshy

~cf2-~

Capac1liva aJr Reservolr

bull

Iltshy

shyi

VoJ

Fig I Dilsgmn or lhe erperimItlUil upparulus

bubb1e furmtalon dynamics Tho deJay time between _ivo bubbJcs was measurelt by using lhe same mehniques as in lhe dripping laUCOI experiments [9] _ides a route 10 chaos via period doubliacuteng we related some peculiar bebaviQrs observed in biftucanon diagrams to theacute coalescent effects (for a bubble penetrating roto another just aoove lhe nozzle and fonning a single-larger bubble ot when one bubble touches the proviacuteous one fonning a doublet)

2 Tho IlIlbbJ gun apparalUs

The experimental apparatus consists oi a glass IUbe paatially fiUed wilh bull viSC01lS

Julio (warer+glycerol) as schematiclly shown in Fig 1 The air bubbles are fonned blowing air through a nole aI lhe bultam of lhe tnbe The air iacutes supplied by ao aIacuter compressor whose reservoi is oonnected to another one (a capacitive reservoir) through apressure reducer The detection system is the same as in the dripprng faucet experiment [9] A horizontal He-Ne laser beam focwoed in a photodiode is placed a little above the nome The input signals are voltage pulses induced fi a mistor defined by lhe begiruuacuteng (encuumlng) of lhe scattering af a laser beam focuscd o lhe pholediode (in series with lhe resistor) when lhe buhble starts (ends) lo cross ibe laser beam The deJay lime between successiacuteve bubbles was measured with a time eounter circuitry inserted in a PC slol (time resolution =1 ps) The width af lhe pulse is lhe

A Tufuile JC Sartonlillhyrica A 275 (2(1())) 336-346318

time interval n (where n is lhe bubble number) and the delay time between two pulses is lhe crossing time (~In) of a bubble threugb lhe I heam so lhat lhe total time interval is T ~ I + otn We eao setup lhe bubble rate (f= I(T) in two ways (al by futing lhe ~ening oflhe ncedl valv turnlng oITlhe air supply to lhe capucitive reservo-ir and etting the ai pressure to dccrease llaturally~ SQ the bubbling rate 10 thls case we bave analyzed lhe data COnstrucling bifurcatioo digrams (Tn vs 11) Ihat are funcnons of lhe ir pressure deteltiSing (b) by keepiacuteng fix lhe air pressure in lhe capaciliv reserveir and seleeting lhe bubhle rate hy epening (elosiog) lha needl valv bull In lhis ClISe for a given bubhling rate we bave consbucted fust r_ mapa Tn+ vs Tn bull W aIso studied lhe cbanging of lhe bubbles formation dynamics with a sound wave tuned to the fundamental frequency of lhe air column above the solution The sound wves are generated by bull loudspeaker placed aiacute lhe top of lhe tube (see Fig 1) which is driven by an arbitmry function generatotilder The sound wave amplitude was used as a oontrol parameter

We Iso reeorded lhe bubble formation wilh a VHS eamera to illustrate how tbe profiles of tbe bubbles are in dlfferent dynamie1 bebeviors

3 ResuIts und discussion

31 Air pressure aJ a control parameter

Using a solution of fom parts of glyeerol nnd une part of water and a plasticj hypodermiacutec syringe wiacutethout the metaUic needte as a nozzte a bifurcation diagram was

ohtained Ietting the ampir pressure in the capaeiacutetive reservoir go down naturaUy with the bubbling as shown in Fig 2 The diagram shows the evolution ftom a chaotic behavior in region (a) to a periacuteodic window The pcriodic behavior starts with a perl002 region (b) lhereafter a bifurcation occurs giving rise to bull period4 regioo (e) wbieh again ovolves to anolher period-2 region (d) foUowed by a period-l movement rgioo () In Fig 3 lhe illustrations of lhe bubbles prefile in eaeh region as labeled above are shown In Fig 3() tbe 1gtu1gt1gtle are formed wiacutelhout lhe eoaleseent effeet in lhe period-2 bchavior shown in Fig 3(d) there is no coaIescence near tbe nozzle but a little far abav il in Fig 3( c) lhe eoaleseerne oeCUtS close to lhe nozzle but bubbles do oot toueh each olber and a period4 is ubserved in Fiacuteg 3(b) two sueccedilcssive hubbles eoalesee completely givrng rise to a bege single bubbl in a period-2 bebavior nnd in Fig 3() lhe eoalescent elTect in the ebaotic region

A different bifurcarion diagram was obtained in the same way as above using a iong metallic hypodermic needle as ti nozzle as shown in Fig 4 The system is cvolving in a period-2 movement region (a) in tbe Fig 4 with ao _cto size IT+I - T I~ 55 ms As the air pressure in the capacitive reservoir goes down suddenly a shortening of the period-2 occurs and a new penod-2 starts Vith tbe attractors size ITn+J ~ Tnl 1 ms region (b) in tbe Fig 4 Thereafter tbe system evolves to a period-l movement lllustrations af the bubbles profile obtained in each regioli descrihed in Fig 4 are

339 A Ttifailt JC $art(HllliPhysita Aacute 275 (2fJO()) 336-346

O~I----------------------------~

~

~

O I v

O 1000 2000 4000 n

Fiacuteg 2 Bifurcation diagmm obtaiacutened wilh lhe air pressure decreasing in lhe capacitive nservorr lUgion (a) chaotic bchaVior (b) periacuteod-2 (c) period4 (d) perioomiddot2 IUld Ce) period-L The same behaviar is obtained by increasiug tIie oir pressure HypodermJc syringe 1U)zzle

-O

o

0

() (b) (C) (d) ()

lig 3 mustmtions of thc bubb1cs profile and tbc eoalcscent efbts in a cbaotk behaviacuteor (b) periodm 2 with wmplete ooaesm1ce (c) period4 wilh single ooaIescettOO (4) pcriod-2 without cmt1eseenOO noar the llQZlk bul a liuIe flt ~bove il and (c) perioo1

shown in pjg 5 The shorteniog of lhe size af the atttactor is accomplisbed by the shortening oflhe size oflhe bubbles as il is shown in Fig 5() and (b) In lhe larger period-2 regioo close to the nozzle two bubbles coalesce completely fonnIacuteng a largo sing1e bubble as described in Ror [13]

32 SlJWld waue amplitude as a contrai parameter

By keeping fixed lhe air pressure in til eapaeitive reservoir we cbanged til bubble dynamics formalion by applying sound waves tuned to tIle fuedamental frequency j = 138 Hz of lhe air eolumn abave lhe Iiquid solutiou (two parts of glyeerolone pari of water)

340 A Turule JC $oNorellilPhyslco A 275 (2000) SJ6-J46

26 ~ ~-

bull bull

I20 gt

_JPmiddot -F- 15 f14

bull

o ltlO 600

n

Fig 4 Diagrmn bifurcntion as a function (lf air pnmure deCltlMing in lhe capacitic reservorr obtained with a meLallic needle Arowtd lhe region (a i me movement is the large perlodlaquo2 doe 10 lhe coolesoent effcct MOlmd the region (b) is shown a shortcr period-2 and in fuc rcginn te) is soown 11 fixcd point

Uacuteraquo Ib) le)

Fig S (a) Larse prloo2 and Iargc bubbtes due to a GOalescent effect in a peri0d-4 (b) perioacuted-2 without me coaIescent ciTect aud (o) the fixei porot

In Fig 6 lhe first retum maps as a function af the sound wave amplitude are shown lu eaeh fnune lho IOp iMo snows at lhe 10ft lhe sound wave amplitude and at the right lhe bubbling rale We started at a fixed poin at f = 11282 bubbless as showo in Fig 6(a) By applyiacuteng tho sound wave lhe fixod point 1000 its stability aud a Umit cyc1e appears as shown in Fig 6(b) and c) with a littIe increasing of thc mean bubbling mie as lhe amplitudo ls raised

341 A ThfaJJe JC SartoreUllPhysiCIJ A 27$ ()(()(J) 336-346

iamp

TJms)

4

(1)

001[ 1A I 11 31 I ] 99 J71

-- co ~~ gtamp ~ bull I

bull

J 90 100

G)

Trna)

l

t~~i~I i t S ~

lt

(I) (k)

Fig 6 FIacutelSl return maps TI1+1vs TI as a furution of lhe sotlOd wave emplirude (keeping 6)( lhe aiacuter pressure in lhe ccedilapacffive fIICIV)ir) In each fraae the insets sbow at lhe lcfi lhe amplitude and ai the righl the buhbllug rue (li) Tbe lnitial fixed point (b) li limit ccedilycle (c) an unslable limit cycle~ from (d) up to (g) li llip bifutcation III constant bubbling raie~ from (h) up ti) (J) clmotic attrnctnts In eaeh fmme the lfitenection of lhe dashed 100 defines lhe position of an unstable perlod~l orbiacutet (UPO)

342 Acirc Tufuile JC SttrionllilPhysica A 275 (1000) 336-346

In Fig 6(c) lhe limit cyele looses its stability and a fixed paim near (87 87 ms) is visited in 41n intermittent behavior This fixed point position was established by a hislogram pIot of Tn The Fourier transform applied to lhe data related to Figs 6(d)-(g) showed a noisy period-2 _vior aed wilhout any bubbling tato variacuteation Therefore as we are observjog a bifureadon per1od~1-+ period~2 (see In Fig 6(0)-(ampraquo as bull function of lhe sound wave amplitude a period doubling ls being hidden bY lhe noise In bull llip bifurcation lhe i an unslablc fixed peint helween lhe two stable fixed Our data sbows Uacutetat lhe viacutecinity of lhe middle point betweeo lhe stabJe fixed points is been visited due to noise Consequently our data are adequate to apply the fixed poil transformatioo rechniquc developed by 80 cl a [10-12] to finagrave unstable periodic orbits (UPO) in short sedes of events wiacutetb unstable control pararneter briefiy descnbed below

To extract the unstable periodic orbiacutet with a finite amount of noisy data of a o-dimensional system Se et 1 supposed Ihat ali points lyiacuteng in a regian around lhe fixed point x = f(x) can he transfonned to x in lhe vicinity Df x The denshysity function p( x) has IacuteI1verse square-root-type singularities at the fixed poiacutents and a bistogram approximation to Pi) will have a sharp peak at x=x Some spunous pcaks appear in fiO) eilher due to siacutengnlarities not relatelt to fixeagrave peiacutents ar lo zeshyros of lhe derivative of lhe traesformaoon funarion x= g(ltk) They generalizcd the mcthod for a system with an arbitrnty embedded dimension (d) to obtain the unstabl

l periodic oreits by doing the transfonnation

in = (1 - SJ-1(Zr+1 - SnZII) (I) I

where

I (d-l) d)aftolfmiddotmiddotmiddotan trS= (

1 O +lltRllz+-zII (2)

a I (zn - 211_1)t -1 ( ( I - Z)1Zn+l

=1 (3)

d (Z_(d_l) - Z_d) (Z_(d_2) ~ Z~_(d_1)t

Zn are the reconstructed vectors ftom scalar time senes xn

ZJj = (Z~ZZ~ _ ~z)t = (XnXn_hXn_2 Xn_d_)t (4)

R is a d xd randam matrix in the range [- I I] and 1C is the magnitude of me randomshyization The fixed pojnts are giacuteven by the peak positions of l(i) As the locariaM of lhe spurious peaks dopend ou the parameter Ihey are eliminated by taklng lhe vecage (pczraquo) for maey dilfrent values picked up randomly As lhe attractQrs reconstruelion in a Wo-dimensional embedded space are enougb unfolde~ we applied this technique for d =2 w Iso chobullbull Ilt =5 and 1000 random matrIacuteces

343

se se 00

1 ~(S)

A Tufoile IC SartorellilPhyslca A 275 (2())()) 336-346

rzg 7 (li) Tht hhWgJlim ap~JA 10 p(i ub(ained wi1h the fixed paim trunsfonnatitm ttdmique using the daia sbown in Fiacuteg 6(h (b) lhe eonlout gmpb around lhe unstable periodl orbit ($697 8697 ms)

An example of our results is shown in Fig 7(a) where is drawn the histogram approximation to p(x) using the data shown in Fig 6(h) For better visl3lization of the unstab1e period orbit position a contQUr graph of the same data is shown in Fig 7(b) The higbest peak defines ao unslable penod-1 orbit at (8699 amp699 ms) cIose to

tbe stabJe fixed point shown in Fig 6(0) In this way we fOWld au WlSlable periacuteodo orbit as shown by lhe intersection of the dashed lines in Fig 6

Wiacutetb furtber ampHtude inereasing we observed the appearance af a chaotic regjon with stretchiacuteng and folding dyoamics f bullbulltures as shown in Fig 6(h)-(il and with

2500

2000

1500 c

81000 ~ 500

(a)

1

~1 I I

I

(h)

ilf

92

_2275 - 2600 _1950 - 22S _l6a5 - 1950 _1300 - 1625 l1li9750 - 1300 l1li$51)0 - 015-(1 W7~~O - 6500

() _ 3250

Tn(msj

344 A Tufaic JC SurtoreliilPhydoo A 275 (2)()()) 336-346

81 114

075

1 gO50 ~ gt

1deg25 degOOr--middotmiddot---mm--mm--------m-----~~J 82

- -i

870 eI -~--=__------__----_-----___shy8

f ~

J ~

Q 111 1~

I I I J1 02 03 04 05 06 07 08 M 10

sound wave smplitudOV

Fig a As li ftmction of the sound wave amplitude (a) the dominant LyapunoacuteV exponent (1raquo the mean bubbling mte (left seale) and thc unstablc pccedilriodiccedil objt (right scalc) The ltonliDuous lines are guide$ to Yshy

little change in the bubbling frequency The reconstructed attractors in tbe chaotic region were characterlred by lhe domJnant Lyapunov exponet [13J as sbown in Fig 8() However lhe unstable periacuteod-l orbil remains in tbe ohaorie region wilh little cbang o its position as hoW in FIg 8(b) (rigbt soale)

Contiacutenuing to increase the sound wavc amplitude with larger amplitude increments lhan betor we obtained lhe atttactors shown in F4 9 In Fig 9(m) lhe mean bubbling mie is 205 bubbl for a sound wave amplitude 0014 V and lhe pasition (~72S 725 ms) is visited in an intermittent behavior The visitation time increases as we increase the sound wave amplitude until the point ( 725 -725 ms) beoomes a labla fixd pain as hown in Fig 9(n) In Ihi situarian til rnean bubbling rrequency is f = 13797 009 bubbles whiacutech iacutes tlul sound wave frequency valu bull Therefore the bubbliog hcome synehronlred with the sound wave In Flg 10 we ca 1IIe dilference betwee lhe bubbles prefile in lhe first fixed paint as shown in Fig 6() and lhe syncbronlzed iacutejed paint shown in Fig 9(0)

(XII arI Cf1) kmmlmlj Mllacirc puoosrrn q~ ~mAacuteS ~ (sfsgtIqqtq L6Lt = f) sliacuteqqtq nn unjA 1tfOd fXgt1I9 t1ilf )ql (q) (sjgllqnq un I f) c)9 1ik tI Ut01ls laOO tmJ lSty Iql JO ~ Slqnq lt)ltJ (v) 01 -RJJ

(q) (raquo

)IIJJM punes ~tI JO )wnbarj ~UllJ oql tj~ pozroorqIMS

1l0mIllOJ Ilqqnq nql (u) lOAmp~ lIl(lnftuJtlll W to PQl~ S (sm SZL CcedilZL ) 1Uod lU (01)6 ~iI

(SIUUL

bull 00 Oi o (UI)

i

346 A TulaiJ JC S(1r(orelli Physica A 275 (2(J()(J) 336-346

4 Coudusion

We observed bifurcations in a bubble gun expetiacutement as a funCIacuteon afhe aiacute preshy8Ure In one case j we observed in a period-2 movement ti sudden change in the attraacuteCrors

size related to the bubbles size In other case with a different nozzle geometry we observed a periacuteod-doubling easeade J -+ 2 -+ 4 fullowed by a eMotio hehavior In both cases we fclated some different dynamical behaviotS to coalescent effects

For a fixed air pressure we used as a second control parameter the amplitude af a sound wave tuned to the fundamental frequency of the air tube above lhe oolutioo We observed as aacute function of increasing sound wave amplitudes the appearance af a fixed paim a limit cycle~ which looses 11$ stability and a new flxed paint appears a lllp bifuration followed by bullbullIutou regiOll wih strerehing and foldiacuteng features Thereafter a new fixed paiot starts to be visited in an intemUttent behavior anti the bnhbling synchronizes with lhe sound wave freqnency

We applied the technique af the transformatioD af the tixed pomts to extract an unstable period~l orbiacutet embedded in noisy reconstructed attrnctors in the fiip bifurshyClltion region This unstable period-l orbit remains in the chaotic regime which was charatterized by the dominant Lyapunov exponent

AcknowledgemenJs

We ate gratefuJ to Professor AJ Liohrenberg RD Pinto and MS Baptista for heir suggestions FinanciaI support from lhe BrnziUan Agencies FAPESP CNPq and FlNEP iacutes gratefully acknowledged

Rcf

[1] JF Davidson BOa Shiller Trans lllst Chem Eng 38 (1960) 144 (2) YA Buyevfub BW Wcbbon Chem Eng Sei 51 (19 4M3 [3J NK Kyrlalddes EO Kaslriookls SG Nychas em j Chem Eng 75 (1997) 684 [4] AS Pontet AJ Surnli Cbem Eng TecltnaL 20 (1997) 85 [5] 11- Krisbna 1M _ Nottue 398 (1999) 208 [6) 11- F IA _lt= A Phys Leu A 243 (1)l8) 67 [7] DJ TriUltm C BSU Phys Fl A S (1993) 503 [a] LJ Milloni MP Scllwar~ RD Ut Nuuzc Phys Fluids 7 (1995) 891 (9) JC Snt1oreIuuml WM Gonccedilalves RD Pinto Phys Rev E 49 (1994) 3963

[10] P 50 al Ihys Rev -t 76 (1996) 4705 [11] P So et al PllS Rcv E 55 (1997) 5398 [12] P So Cf al Biophy$ J 74 Z776) 1998 fI3] S ElIner DW Nycbka AR GIlllant LENNS a progrmn lo estimntc lhe dominant Lysp1JlU)v cxponcnt

of noisy noulinear systcms from time series data (fustitute of Statistics Mimco Serlcs 00 2235 (BMA serias lO 39) Statis1ks Department North Carolina State Univcrsity Raleigh 1992)

I 1

I

Apecircndice 3

Heacutenon-like attractor in air bubble formation

A Tufaile e JC Sartorelli

Physics Letters A 275 (2000) 211-217

I

PHYSICS LETTfH~sA

ElSlMER Phys1cs Lctfln A 10152 (2000) 1Q(l

wwwelsevebullnllocalJpl3

Heacutenon-like attractor in air bubble formation

A Tufaile JC Sartorelli lflUacuteMd dI FistCil Untveridadc de Samp hIlJC Cooacutea Postal otilde6JJ8 flf31J-l70 Sim PauID SPl1roil

~ved 6 Junc 2000 rnceiVdl in revised furm 29 Augusi2000 aeccpted 29 Angusl2000 Communicated hy cR DocriDg

Ahstract

Wc studlod the formation ar air hubb1es in 11 submerged nozzle in a watcljglycerol solution inside- a cylindtical tubeacute submitted to a sound wave perturbation lt was obslttved a mute to elmos via periacuteod 40ubling as a funetion of thc- sound Wllve amplitude We applicd metriea1 as well as topological chtmleacuteterization t(J some ch~tic attraetorn Wt localizcd ti flip saddle and wc aIso could establish relalions to a Heacutenon-like dynamics with the oonstruction of symbolie planes C 2000 Publishcd by Flrevicr $ciCllCe RV

PACS OSAS+b KeywonJs Cblrol Bubbe dyruunics Heacutenl)lt map

1 IntrodoetiOJl

We npot1Jd [1l some dynamical elfects of o sound wave in a bubble fonnation dynamics such as a flip bifurcatioacuten as a fimction of the increasing smmd wave amplitude Lauterbom and Paditz [21 studied the main reatures of bubble 05cillator in which the size of a small bubble in wnter oscillates due to a _ field Tritton and Edgell [3J observed some atiroctors by detecting thc bubb1e passage neatby a tnulSducer Ototmiddotfilm onemomme) pUacutelced dose to a nome where the bubbles were issued and they repartelt the existeace of a chaotic bubhlmg

~ccedil tumor TeI +55 11 81S 691S fax gt$5 11 813 4334

verified by visual inspections OOt without any kind of characterizatiacuteon af the chaotic dynamics Mittoni et ai [4J observed chaotic behavior with positive Lyapunov expunents in bubbling systems using a pressure transducer Li et a1 [5J studied lhe chaotic behavior of bubb1e 1oalescence in non~newtonian Iuids Ruziclm et ui [6J observed raquopc m intemritshytency in the transinon ftom bubblmg to jetting regime in 11 nitrogen-water system

Characterizaticn ofexperimental data oinonlinear systems using symbolie dynamiacutecs has becn reported by Gonccedilalves et al [71 in whiacutecb lthaotie at1mctms

from me drlpping faucet experiment were approxishymated to mioimal nmchines and the topological analysis applicatioD by using symbolic dynamics was more suitable to cllaracterize experimental data due to jts robustness to nalse Letellier et al [8] npplied topo1ogieal cbaracterization to irregular pul-

037S-96ltI1jOOS - slaquo trolit mluer 02000 PubJishtd by E~lr Stienee av PU S031i-960l(OOgtOtl58S-5

2 A TufoileJC Sartcrelli Pb)$Ws Letie1$ A )fi (2001)) (1I)fJ-()(J()

sations cf a hydradynamical madel of nu pu1sating sUlr by constructiug symbolic planes

Wc have studied the air bubble fonnation dynam~ ics in a submerged nome in n waterglycerol somshytion illSicle cylindrical tube (see Ref [n for detaiIs) as a function af 11 sound wave amplitude tuned in the air column above the solutiou Using metrical and topologica1 cbaracterization we observed a flip bifurshyestion which is followed by a chaotic region wbere some reconstructcd attracrors resembfe Heacutenon~1ike attractors which esmbHsh a possib1e mure to chaos in bubbling dynamics

2 EJpcnmental apparatus

The experimental apparatus of the bubble gun experiment is sbown in Fig 1 The bubbles were generated by injecting mr under constant flow rate conditions through a metallic nozzle immersed at the bottom of a viscuus tluid column (20 watcr plus 80 glycerol) maintained nt a level of 12 ctn The inner diameter Df the cylindrical contaioer js 53 nun and 70 em in hcight and the innel diamcter of thl nozzle is 13 mm The nozzle is attached to a capacitive air reservoir and the air flux ean be set up

by a need1e valve and the capacitive air reservoir is supplied by aa air compressor through a pressure reducer

The detection system is the same as the drippiacuteng faucet experiments [9t lO] A horizontal He-Ne laser beam focused (10 a phorodioacuted~ is placed a little above the nozzie The delay times between succes sive bubblcs were measured with a time circuitry inserted in a PC slm With a time resoJution equals to I ps The input signals are voltage pulses induced in a rcalstQ defined by Ih beginniacuteng (endingl af scattering af a laser beam focused ou lhe photodiode (in senes with the reslstor) when the bubble starts (ends) to cross the laser beam The lidth of pulse is me time interval tIl (n 1S the bubble number) and the time delay between two pulses is the crossing time (dt) cf a bubhte through the laser beam 50 that the total time interval is Tft = tIlt + dI bullbull

Setting up Ih bubble rale (f- I(Traquo) keeping fiacutex the air pressure in the capacltive reservoir and selecting the bubble rating by openjng (closlng) me needle valve we changed the bubble fl)IIllAtion dyw ooooics applying a sound wave with a loudspeaker pIncelt at the top of tbe tube The sound wave was tuned to the fundamental frequency of the air column above lhe liquid and its amplitude was driven by a

Rmction genemlor

Jl22l + H

shy

I

Alr9lifier i

j -tgt ~bull

I

~

o

o

Fig I Diagram cfme ~nlal apparzrus

I A llifaile lC Sm10r01ll Phpics UdtersA ()( (2iJ1)(J) OOO-f()(

-iacute

f

~

Driven Voltaga (V)

Fig 2 Bifurcation diarccedilaln ofthe inte1bllbble iotavals ti a function ofthe londiipeaka driml volige Wc cstimated lhe exptlrimcntal noise laquo$ -100~ in lhe period I behaYIacuteor

i

function genenrtor A11 the measurernents were doneshy

I at room temperature

3 Results and discuasion ~ II

The air flow rale and tbe sound wave ftequency were ept conslant at - 366 bubble(s and 150 Hz respeetively We changed the Imool dynamios forshymation increasmg the driven voltage in the loudshyspeaker as shown by ilie biacutefurcation diagram in Fig

32

1

~ 24

2 A period doubling OCCUIS around 2 0 V and the bubbles are issued in pairs until 30 V~ when a noisily period fougt appears After then two-band hehavior takes place and each band presents chaotie behaVior At 35 V the chaotic bands start to overlap and a large- chaotie attractors emerges

To perform metrical and topological characteriacutezashytion of the bubbJe fonnatilt)D dynamics we collected S1x time series keepiacuteng fb six drlven voltages whose respective retum maps (T I versus T) are sbown in Fig 3

~r I

- 111

(a) (b)

35V

(d)

~

24

I 25 V I ~ bull

I -(c)

I 45V I

(f)

T(ms)

Fig 3 A gquencc cf rtconstructcd aUtaclors 5howing 11 period-doubling tome to clI3os In eacb tlanle thI iDsct shows the driven vo114se (a) peticd t (b) period (2)i (ccedil) a two-band aacutetttactru (d) te) and O are claotic aUietatS chmctmzcd by the 1atgest LapWlOV exponent ftlR IlJ9 IIl1d 024 ~ivcly nbtllned w11h tlle lRNNS j13Clcase [1lJ F~1eacuteh titl1( Ienes is 4fl()(I h1lbbles long

1

1 Thfoiacutele IC SarrorelJi I PhJir$ LdterH A fJ(J (2000) OOfJ-(JJ()4

31 MetricaJ characterization

The reconstructed attractors in the chaotic region (rrom Fig 3(d) through 3(t) were characterized by the Lyapunov exponent51 by the Kaplan-Y orke di~ mension and by the infonnation dimension obtained by the rlSEAN package (12) A cofiecture [13) relates the Lyapunov spectnun (A) and the informa~ tion dimcnsion by me Kaplan~Yorke dimension D1Cf

1gt1 i-i ( I) -k+ - IDK( - IAgrave I

H

where k i5 the maximum integer so tbat SUtn af the k-largest exponents is stiU llOn-negative This cotildenjecshy

middot mre iacutes valid for Heacutenon attractor and it is checked on teconstructed attIactots The paramerer va1ues obshytained for the driven voltages V 35 40 and 45V are shown in rable I (see Figs 3(d) 3(0) and 3(t) The Kaplan-Y orke dimensions agree with iacutenfatmashytion dimensiacuteOllS The two first chaotic attractors have a Lyapunov spectrum witb one positive exponent and one negative exponent while the last one Fiacuteg 3(0 bas one positiacuteve and two negative exponents In Table 1 we also present the results of Heacutenon maps (flr))~(y+ I-axoacutexraquo recolllitrUcted as _ retum maps XH 1 versus X (see Fig 4(a))

Ue attrnctQr dimenslons ror ooven voltages of 35 V and 40 V are close to the dimensions of the HecircnOll map suggesting that they couJd have similar dynamiC$ The reconstrultrted attIactor for 45 V see

Table 1 LyapUJlQV exp~ and dirrlensfuns for experimcntll ch30tlc a~ and for two pairo (Ir atues ar Heacutenon map pomnnctm

Fig Drlven L)aplmOv Kaplrut-Yorkt Infonnation voltage IIpcetrn ~oo dimensioo (V) (ermt) (mor)

3(d) 3 +oll -08 1IJlJ 1)J

3c) 4bull +012 -06 123(1) 141) 31 +01-03 L68m 18(3)bull

Heacutenon -09 b LS50f +038 -238 116) 116(9) 1403 +042 - L61 12i~) U9(9)

) Oilcuhted wltb Eq ti)

(o) __321 ~

31)

3 24 221lt ~

22 24 2amp 2fj 30 32

T(ms)

Flg 4 (3) A iacutelippins eXlUlllie in lhe Heacutenon mtmctot The flip sarldlc IS tbe eroll5lns point or lhe daIDed line and lhe atIractm (056 056) (b) A flipp1ng ~ in lU ~W at1lactor fuT 3 dtivcn foltage cf 40 V

Fig 3(0 has similar prorue of the other two as shown in Fig 3(d) and 3(e) However its informashytion dimensiacuteon value is quite different ftom me omer two attrnctors (3(d) and 3(eraquo as well as diacuteffimm from tbe Heacutenon map values as shown in Table L In addition to the three exponents of the LyapllllOV spectra the dimension information dose to two is a cue that the attractor 3(0 could not be untangled in MO dimensions

7 A Thjaile Jc ~iI Physia Leitos A (Jfl (1000) ())(JOOII

I

I

The partition is represented oo OOl by dashed lines In Fig 5(8) 15 shown the Heacutenon map for a = 155 and b - 01 lhe partition used is a vertical line that separates the single branch (L) from the foIded one (R) that contruns ao unstable fiacutexed point and tbe Heacutenon symbolic plane afl is shown in Fig 5(A) From Fig 5(h) tbrough 5d) lhe experimentll atttactors are shown In those aSes the partition can not be done with a vertical linct 50 we looked for C1]Ves that eould separare Ih single hranch (1) from the folded ODe (R) The respcctive symbolic planes laquo3 atbullbullhown in Figo 5(1l) 5(C) and 5(j)

The pauero of lhe three experimental _bli planes resembles tOO Heacutenon symbolic plane Tbe best similarity OCCllrs for the driven voltage of 35 V whose symbo1ic plane has the same allowed and forbidden zones as the Heacutenon ones For higher wave amplitude some forbidden regions in the symbolic planes start to be visited (for example ex = 08 and 3 - 04 in Fig 5(Draquo howiacuteng lha lhe bubble forshymadoraquo dynamiacutecs is running away from the Heacutenon~ like dynamics In Fig 6 it is shown lhe bubble trains raisiog through the fluid to ilIustrate the ditference between the bubble profiles in the periodiacutec regimes lllld the Heacutenon-1ike one shown in Fig 3

4 eocluslo

We have used metriatl and topologica1 lt1ethods to characterize lhe dynamics ofair bubble fonnation We have observed that a gradual increase in the soillld wave amplitude results in a route to ehaas via period doubling W bullbullharncterized some chaalie beshyhaviar with lhe LyapuMV spelttra the Kaplan-Yorke dimension and the infonnatiacuteon dimension which 1ed 11$ to relate some results to a Heacutel1on~1ike dynamics a low dimensional dissipative system with stretching and fo1ding 1teacuteeacutebanism The Hecircnon map parameter values) (1 155 and b=Ol cbrrcsp(l11d to a more dissiacutepative system trum the classical values a = IA and b - 03 coberently mIa h bigh liquid vi

ity tbat parares li less sttuctured attracror The establisbment ofa fljp saddlc and the oonstruction of -ymbolic planes reinfotced 0Ui assumptiODS UsushyalJy two dimensional mappings are used as mudels o forced oscilintms _ore me bnbble formatia can be seen as an oscillator driven by a sound wave

Acknowledgements

This work was partially supported by Bmziliao agencies FAPESP CNPq and FINEP

Refcrences

t] A Tufuilc JC Sanorelli Phy~ca A 275 (2000) 336 (2) W Latrtcrbom U Parlitz J Acollocirct $o= Ato 84 (l9S8)

1975 (3] DJ Tritlon C Edgen Phys Fluids A 5 (t 993) 561 (4) LJ Minoro MF Schwarz RD La Nauze Phy Fluds 1

(1995) 891 [5] lU Li Y Moulinc L Choplin N Midoux lnt J Mnliphase

Flow 21 (1997) 173 [61 Me Rnzicka J Druacutetos J Zahradnik N Thomas Inl J

Muuumlphase Flow 23 (1997) 671 (7J WM Gonccedilalves RD rinlo jccedil ~orelli fhy$iccedila o 257

(1998)385 [81 C LcteUier G Gouesbct F Soufi JR Iluchlcr z KtlI1acirclh

Choos 6 (]996) 466 [9 Jc Sartorelli WM Gonccedilalves aD PlnlQlbys Rcv E 49

(199003963 [10] A TllfiIile RD Pinto WM Gonccedilalves JC SattOtelli

Phys Let A 255 (1999) 53 [tI] s EUoI DW Nychka AR Gallam LENNS a JlfOJpW to

eSUacuteil1lfle the dominant L)llpWJOv txponent afnoisy nonliucar sy5tcm5 fmm time scrics data lnstitule af Sta1i$itli Miacutemeo Srnes n 2235 (B~iA series n 39) Statisties f)q)artltletrt North CaroHca Sbtc Uniwniiy Raeigh 1992

[I2] R Hegget fl KanIz T Schrciblaquo Chaos 9 (1999 413 [131 r Ftdtrlclson JL Kaplan ED Yorlte lA VNte J

Olff Equat 49 (1983) 185 1141 KT Alligood TD amputt JA Yooo Chaos an introduoshy

Uumltm ttl ~ systems SpringuBerlin J991 [151 iL Zhao WM ZbeIlS Ccum Theot Phys 19 (1993) 11

-1

  • 1
  • 2
Page 6: Estudo da formação de bolhas em líquidos

Abstract

We have constructed an experimental apparatus to study the dynamics of the

fonnatiacuteon of air bubbles in a nozzle subrnerged in a waterglycerin solution inside a

cy1indrical tuba The time delay between successive bubbles was measured with a

laserphotodiode system

The results were interpreted by meaus of Chaos Thecry and it was observed

biacutefurcations chaotic behavior and sudden changes in a periodic regime as a functron of

decreasing alf flow rate issued through the nozzle

Besides bubbling regime tragraveI1sitions we also observed dynamical effects by

applying a sound wave tuned to the fundamental frequcncy of the air colurrm above the

liquiacuted of the bubble fOffiiation As a function of the sound wave amplitude we obtained

Iimit cycle fHp blfurcatioo chaotic behavior and synchronization of the bubbling with the

sound wave frequency

Applying metricaJ as well as toacutepologiacuteeacuteal characterization to some chaotic attractors

we could establish relation with a Heacutenon-like dynamics The Heacutenon-like behaviacuteot j5 a

particular case of thc dissipative two-dimenslonal circle~rnap dynamics and by varying the

I amplitude of a sound Wave we have observed featutes present in the cIacutercJe map dynamics

I such as

I Chaos

i I

I 1

transition from quasiperiodic to chaotic behavior period doubling cascade and

Resumo

Construiacutemos um aparato experiacutemental para estudar a dinacircmica da formaccedilatildeo de

bolhas de ar em um bico submerso em uma soluccedilatildeo de aacuteguaglicerina dentro de um tubo

ciliacutendrico O tempo entre bolhas sucessivas foi medido com um sistema laierfotodiodo

Os resultados experimentaiacutes foram interpretados usando a Teoria do Caos Foram

observados bifurcaccedilotildees comportamento caoacutetico e saltos no regime perioacutedico em funccedilatildeo da

diminuiccedilatildeo da vazatildeo do ar soprado no bico

Aleacutem das transiacuteccedilotildees dos regimes do borbulhamento noacutes tambeacutem observamos

efeitos na dinacircmica do borbulhamento quando aplicamos uma onda sorrora sintonizada na

frequumlecircncia fundamentai da coluna de ar acima do liacutequido onde as bolhas eram formadas

Em funccedilatildeo da amplitude da onda sonora noacutes obtivemos ciclo fimite bifurcaccedilatildeo flip

comportamento caoacutetico e sincronizaccedilatildeo do borbulbamento com a frequumlecircncia da onda

sonora

UtiJizando caracterizaccedilotildees meacutetrica e topoloacutegica em alguns atratores pudemos

relacionaacute-los com uma dinacircmica tipo-Heacutenon cujo comportamento eacute tun caso particular da

dinacircmica do mapa do ciacuterculo bidimenslonaL Observamos caracteriacutesticas presentes na

dinacircmica do mapa do ciacuterculo na formaccedilatildeo das bolhas variando a amplitude da onda sonora

tais como transiccedilatildeo para o Caos via quase~periodiacutecidade cascata de duplicaccedilotildees de periacuteodo

e Caos

Iacutendice

Iacutendice

L Introduccedilatildeo 1

2 Aspectos teoacutericos 6

21 Buxos e recorrecircncias 6

22 Mapas de retorno 7

23 O Mapa quadraacutetico 8

24 Dimensotildees 12

25 Expoentes de Lyapunov 12

26 O mapa de Heacutenon 14

27 Reduccedilatildeo de rufdo 16

28 Espectro de Fourier 16

29 O Mapa do Ciacuterculo 18

210 Transformaccedilatildeo de ponto fixo 24

211 Plano Simboacutelico 25

3 Aparato experimental 27

3 L O tubo borbulhador 27

32 Sistema de aquisiccedilatildeo 28

33 Medidor de vazatildeo 29

34 Controlador de vazatildeo 30

35 Vaacutelvula solenoacuteide proporcional 31

3 6 O bico borbu Ihador 32

37 O sistema pneumaacutetico 33

38 O sistema sonoro 33

39 O liacutequido 37

310 magens 38

31 L O Experimento da Torneira Gotejante 40

4 Resultados e AnaacuteIise 41

Jlldfce

bull

41 A tornejra gotejante 41

42 Dinacircmica das bolhas 45

42 I Formaccedilatildeo quase-estaacutetica 45

422 Formaccedilatildeo de bolhas com vazatildeo constante 46

423 Bifurcaccedilotildees 48

424 Veias liacutequumlidas 52

425 A estabilidade de dois fluidos sobrepostos 54

426 lnstabiliacutedade da superfiacutecie da bolha 56

427 Frequumlecircncia de borbulhamento 59

428 Duplicaccedilotildees de periacuteodo 62

429 Salto e coalescecircncia 62

4210 Antibolhas 69

43 A onda sonora e as bolhas 72

431 A fonnaccedilatildeo de bolhas perturbadas pelas ondas sonoras 73

432 Atratores do tipo Heacutenon 78

432A Caracterizaccedilatildeo meacutetrica 80

432B Caracterizaccedilatildeo topoloacutegica 81

432C Plano Simboacutelico 83

44 Oscilaccedilotildees forccediladas 85

45 Comportamento geral 87

46 Comparaccedilatildeo entre atratores 92

47 Modulaccedilatildeo do Paracircmetro de Controle 94

5 Conclusotildees 97

6 Referecircncias 100I

ApecircndicesI 1 Simulations in a dripping faucet experiment

2 Chaotic behavior in bulgtble fonnation dynamics

I 3 Heacuteuon-like attractor in air bubble formation

I I

I

lnwod~u~ccedilao~-~____________________~________ ___ 1

1 Introduccedilatildeo

Com o advento da Teoria do Caos [Li e Yorke 1975] foi proposto que eos

sistemas natildeo-lineares com poucos graus de liberdade poderiam gerar uma dinacircmica

muito complexa como comportamento perioacutedico quase-perioacutedico e caoacutetico~ que

dependeriam dos paracircmetros de controle do sistema Tais sistemas no estado caoacutetico se

tornam imprevisiacuteveis enquanto o tempo avanccedila devido a uma propriedade baacutesica dos

siacutestemas caoacuteticos conhecida como sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais Podemos

encontrar exemplos destes sistemas ao nosso redor como nas oacuterbitas planetaacuterias

sistemas quacircnticos [Bertelsen el ai 1999J variaccedilotildees climaacuteticas [Lorenz 1980)

torneiras pingando [Shaw 1984 Martien ct al~ 1985 Sartor1li el 011994

Gonccedilalves1996 Pinto et aI 2000] reaccedilotildees qwmicas abalos siacutesmicos e circuitos

eleacutetricos [Jackson 1995] Podemos tambeacutem encontraacute-los dentro de noacutes mesmos nos

impulsos nervosos [Rapp et ai 1990] pulsaccedilotildees cardiacuteacas reproduccedilatildeo celular e muitos

outros ritmos bioloacutegicos [Jaclrson 1995)

Seguindo uma sugestatildeo de Rotildesller [RossIer 1977] de que uma torneira pingaodo

poderia ser um exemplo do sistema de equaccedilotildees diferenciais que exibe comportamento

caoacutetico~ Shaw [Shaw~ 1984] desenvolveu o experimento da torneira gotejante que se

mostrou mais complexo que O sistema proposto por Rotildesller No Laboratoacuterio de

Fenocircmenos Natildeo-Lineares (LFNL) do Instituto de Fisica da Universidade de Satildeo Paulo

foi construiacutedo um experimento semelhante ao experimento da torneira gotejante de

Shaw [SartoreUi et al~ 1994] e esta experiecircncia permitiu observar uma enormei

variedade de comportamentos dinacircmicos1 tais como CrIacuteses [Grebogi et ai~ 1982l

I intermitecircncias duplicaccedilotildees de penado e oacuterbitas homocliacutenicas Para explicar taisI comportamentos foram desenvolvidas algumas teacutecniacutecas para anaacutelise das seacuteriesI

temporais [Gonccedilalves 1996 Pinto 1999] Desta forma o conhecimento adquirido com o experimento da torneira gotejante

I nos permitiu propor e desenvolver um experimento para estudar a dinacircmica da

formaccedilatildeo de bolhas em um liacutequido onde medimos o tempo da fonnaccedilatildeo de bolhas de

ar sopradas em uma mistura de aacutegua e glicerina utilizando as teacutecnicas semelhantes agraves

utilizadas no experimento da torneira gotejante Este experimento) que chamamos de

tubo borbulhador [Tufalle e Sartorelli 2000a Apecircndice 2 Tufuile e Sartorelli 2000b

Apecircndice 3] eacute de interesse tanto no estudo dos sistemas dinacircmicos quanto nas

aplicaccedilotildees em fluxos com duas fases [Ruzicka el ai 2000] Aleacutem dos efeitos da vazatildeo

I

2 1lntroduccedilatildeq

do ar na formaccedilatildeo de bolhas~ -estudamos os efeitos de uma onda sonora nas intervalos de

tempo da formaccedilatildeo de bolhas

A geraccedilatildeo de bolhas eacute importante em uma vasta gama de fenocircmenos onde temos

a dispersatildeo de um gaacutes num liquido desde ocasiotildees corriqueiras corno no preparo de

uma maionese ateacute em Engenharia Quiacutemica nos chamados equipamentos de mistura de

fases Para citar apenas algumas situaccedilotildees temos a criaccedilatildeo de bolhas em colunas de

borbulhamento vasos de fermentaccedilatildeo~ equipamentos de limpeza e extraccedilatildeo cavitaccedilatildeo

acuacutestica em bombas hidraacuteulicas e vaacutelvulas de controle reatores caldeiras e fijiacutedo em

transmissotildees de ondas sonoras no oceano [Clift e ai 1978]

Basicamente podemos ter quatro formas de formaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos

a) Soprando um gaacutes atraveacutes de um liquido

b) Quando a alta velocidade do liquido diminui a pressatildeo de rorma draacutestica (abaixo d

pressatildeo de vapor do liquido) e uma cavidade preenchida com vapor do liquido se

forma ocorrendo o processo que eacute conhecido como cavitaccedilatildeo

c) Quando um aquecimento local faz com que a pressatildeo de vapor do liacutequido ultrapasse

a pressatildeo local do liquido e uma cavidade de vapor se furma por ebuliccedilatildeo

d) A diminuiccedilatildeo brusca da pressatildeo no liacutequido faz com que gases dissolvidos fotrnem

bolhas no seu interior que ocorre quando abrimos uma garrafa de refrigerante ou

em situaccedilotildees mais etais~ como aacutes bolhas que causam embolia em mergulhadores

que sofrem descompressatildeo

Neste trabalho focalIacute7aremos o primeiro caso da formaccedilatildeo de bolhas principalmente

em liacutequidos viscosos usando uma abordagem da Teoria do Caos

O estudo da formaccedilatildeo de bolhas eacute interdisciplinar devido agraves aplicaccedilotildees encontradas

em Engenhruia Fiacutesica Quiacutemica Ocolisica Matemaacutetica Aplicada e Medicina Clifl e

colaboradores [Clift e ai 1978] publicaram o livro intitulado Bubble Drops and

Particles no qual eles procuram dar uma revisatildeo dos trabalhos envolvendo o

movimento de partiacuteculas em fluidos e a criaccedilatildeo e movimento de bolhas e gotas em

fluidos Esta eacute urna referecircncia muito comum nos trabalhos envolvendo formaccedilatildeo de

bolhas Nesta obra sobre bolhas gotas e partiacuteculas podemos ver que os principais

obstaacuteculos no estudo dos fenocircmenos que envolvem a interaccedilatildeo do estado liquido com o

estado gasoso satildeo a compressibilidade dos gases e a natildeo-linearidade intriacutenseca dos

fluidos) que levam muitas vezes a modelos empiacutericos e com validade de aplicaccedilatildeo

limitada A ideacuteia central quando se aplica a Hidrodinacircmica tradicional eacute a de se

caracterizar diferentes regimes de gotejamento ou borbulhamento~ como transiccedilotildees de

3

lt

L IntroduccediltJQ

instabilidades [Chandraekbar 198 I] Tais transiccedilotildees OCOITem com o aumento de um

paracircmetro caracteriacutestico do sistema como por exemplo o IlUacutemera de Reynolds

Utilizando princiacutepios variacionais procura-se explicar como ocorre um tipo particular

de mudanccedila de regime como a transiccedilatildeo do regiacuteme laminar para a turbultncia

A aplicaccedilatildeo da Teoria do Caos a estes sistemas nos daacute novas perspectivas de

anaacutelise e aumenta nossa intuiccedilatildeo com relaccedilatildeo aos fenocircmenos complexos observados A

furmaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos viscosos e sua relaccedilatildeo com comportamento caoacutetico jaacute

foram relatados em trabalhos de Tritton [Tritton ot ai 1993] e Mittoni [Mittoni oi ai

1995] No primeiro trabalho um medidor de fluxo anemomeacutetrico que consiste de um

resistor sensiacutevel ao fluxo de um fluido que passa sobre ele~ foi colocado proacuteximo do

bico onde as bolhas eram fonnadas e infonnava sobre a fonnaccedilatildeo das mesmas_atraveacutes

da variaccedilatildeo da tensatildeo sobre o resistor Com este sinal de tensatildeor Tritton construiu seccedilotildees

de Poincareacute e atraveacutes delas ele observou duplicaccedilatildeo de penodo no tempo entre bolhas

e tambeacutem obteve algumas seacuteries de sinais com padrotildees nacirco-perioacutedicos Tritton

classificou os padrotildees de comportamento mais simples como Caos Fraco~ e os de

comportamento mais complexo como Caos Forte_ O trabalho eacute inovador no sentido de

que eacute a primeira vez que teacutecnicas deste tipo satildeo utilizadas para o estudo da formaccedilatildeo de

bolhas Mas as criticas com relaccedilatildeo a este trabalho levam em conta que o meacutetodo de

mediccedilatildeo eacute invasivo~ isto ~ a formaccedilatildeo das bolhas eacute afetada pelo medidor pois a

caracterizaccedilatildeo do comportamento caoacutetico fOI feita de modo subjetivo No segundo

trabalho Miltoni e colaboradores [Mittoni cl aL 1995J utilizaram como elemento

sensor da formaccedilatildeo de bolbas num tubo borbulhador um transdutor de pressatildeo obteve

seacuteries de sinais caoacuteticos atraveacutes de teacutecnicas natildeo-invasivas e aplicou a caracterizaccedilatildeo

meacutetrica sobre elas obtendo expoenles de Lyapllllov positivos (algoritmo de Wolf [Wolf

ct ai 1985D

Como exemplo do interesse da Engenharia Quiacutemi peJa formaccedilatildeo de bolhas

temos o grupo da Universidade do Tenessee [Finney 2000] nos Estados Unidos

denominado CRG abreviatura de Chaos Research Gr01lp que estuda desde 1992 entre

outros siste~ a dinacircmica de uma coluna de bolhas ascendente formada por um bico

Segundo eles o principal foco da pesquisa eacute explorar a rota de duplicaccedilatildeo de periacuteodo

ateacute o caos e a natureza espaccedilo-temporal das interaccedilotildees entre as bolbas aleacutem de

focalizar as aplicaccedilotildees de teacutecnicas de controle de Caos

Aleacutem deste grupo~ foram encontrados outros trabalhos envolvendo engenheiros

quiacutemicQs estudando formaccedilatildeo de bolhas atraveacutes anaacutelise de seacuteries temporais Li e

I

1

I _J__mmm__u~_________________~ 4

colaboradores [Li et aI 1997] estudaram a coalescencio entre bolhas atraveacutes do

espectro de potecircncias dos dados obtidos experimentalmente Ruzicka e colaboradores I

[Ruzicka et al~ 1997]~ focalizaram sua pesquisa na transiccedilatildeo do estado de

borbulhamento para o jateamento do ar em liacutequidos Eles encontraram um movimento

complexo das bolhas envolvendo disparos da vazatildeo do ar mudando do regime de

borbulhamento para o jateamento do ar no liacutequido Eles classificaram os disparos

utilizando a tcrnrinologia da Teoria do Caos como uma intermitecircncia do tipo lI

Os meacutetodos de anaacutelise das seacuteries temporaiacutes satildeo baseados na teacutecnica de

reconstruccedilatildeo do espaccedilo de reses a partir de uma coleccedilatildeo de dados conhecida como seacuterie

temporal e podemos c1assificaacute~los como meacutetodos meacutetricos e topoloacutegicos Basicamente

temos uma anaacutelise das propriedades meacutetricas desta reconstruccedilatildeo devido aos estudos

desenvolvidos por Pkanl [packard el 01 1980] Maliacutec [Maliacutee 198 I] e Takens

[Takens 1981J Aleacutem disso temos a caracterizaccedilatildeo atraveacutes de expoentes de Lyapunov

com um algoritmo muito popular desenvolvido por Wolf [Wolf el aI 1985] para o

caacutelculo destes expoentes para estas seacuteries Aleacutem do estudo da estabilidade das seacuteries

temporais~ tambeacutem eacute associado a elas o conceiacuteto de dimensatildeo Femat e colaboradores

[Fernat et ai 1998] acompanharam a evoluccedilatildeo de seacuteries temporais provenientes de

sensores capacitivos em um experimento de borbulhamento em uma coluna vertica1

eles obtiveram os expoentes de Lyapunov e fizeram anaacutelises espectrais dos dados

referentes agrave bolhas que se eJevavam na coluna A caracterizaccedilatildeo topoloacutegica de dados

experimentais de sistemas natildeo--lineares usando dinacircmica simboacutelica foi feita pOI

Gonccedilalves e colaboradores para o experimento da torneira gotejante [Gonccedilalves et aI

1998] Pinto [pinto ef al 2000) aplicou o estudo das variedades invariantes para

caracterizaccedilatildeo da Cataacutestrofe do Ceacuteu Azul tambeacutem no experimento da torneira

got~antegt assim como algoritmos de localizaccedilatildeo de Oacuterhitas Perioacutedicas Instaacuteveis (QP)

de So [So el ai 1996]

Neste trabalho observamos as condiccedilotildees que levam aos diferentes regimes de

borbulhamento e classificamos estes regimes de acordo com as teorias dos sistemas

dinacircmicos assim como registramos algumas observaccedilotildees intrigantes na evoluccedilatildeo destes

sistemas como por emplo o aparecimento de cmtibolhas [Stong 1986] que satildeo

basicamente cascas esfeacutericas de ar aprisionadas dentro do liacutequido Colocando oacuteleo junto

com aacutegua no sistema do tubo borbulhador~ tambeacutem registramos fi existecircncia de veias

liacutequidas que satildeo colunas daacutegua sustentadas por bolhas dentro do oacuteleo

5

I I i

1

I

I

J lntro50

Veremos tambeacutem o tubo borbulhador como um novo exemplo da classe dos

sistemas caoacuteticos devido agrave sua relaccedilatildeo com o mapa hidimensional do ciacuterculo (Argyris

et a~ 1994] Muitos sistemas fiacutesicos caracterizados por pelo menos duas frequumlecircncias

exibem um comportamento chamado de sincronizaccedilatildeo ou tambeacutem chamado de

travamento de frequumlecircncias Outro comportamento muito frequumlente na associaccedilatildeo de

osciladores eacute o comportamento quase-perioacutedico que pode ser representado pela

associaccedilatildeo de dois osciladores funcionando com a relaccedilatildeo entre as frequumlecircncias dada por

um nuacutemero irracional Todos esses comportamentos aparecem naturalmente no

experimento do tubo borbulhador e aleacutem disso~ este experimento nos permite explorar a

interaccedilatildeo entre os sistemas natildeo-linearesgt e como ocorrem as translccedilotildees entre os regimes

perioacutedico e ca6tico na emissatildeo de bolhas sujeitas agrave uma onda sonora

6

I I

I

I

2 Aspectos Teoacutericos

2 Aspectos teoacutericos

Seacuteries temporais nao-lineares podem ser analisadas com meacutetodos meacutetricos e

meacutetodos topoloacutegicos O meacutetodo meacutetrico eacute multo proacuteximo das noccedilotildees intuitivas de

distacircncia aacuterea volume e dimensatildeo que temos Por este meacutetodo podemos dimensionar e

comparar objetos num detenninado espaccedilo Tambeacutem podemos analisar a estabilidade

de um sistema com base no valor de meacutedias temporais da convergecircncia ou divergecircncia

da vizinhanccedila de um ponto destes objetos chamados de atratores

O meacutetodo de anaacutelise e carncterizoccedilatildeo topoloacutegica eacute um dos meios mais

importantes de investigar problemas natildeo lineares Este meacutetodo considera a seacuterie

temporal natildeo corno uma funccedilatildeo expliacutecita do tempo mas como curvas no espaccedilo de

falies que satildeo soluccedilotildees do sistema dinacircmico Descobertas consideraacuteveis nos aspectos

qualitativos e algumas infonnaccedilotildees quantitativas podem ser obtidas atraveacutes dos

atratores reconstruiacutedos

Os meacutetodos empregados neste trabalho foram obtidos da literatura ou

desenvolvidos noacute LFNL A finalidade da utiacuteliacutezaccedilatildeo de tais meacutetodos eacute testar e justificar

algumas hipoacuteteses feitas para os dados obtidos com tubo borbuIhador e para a torneira

gotejante Para evitar redundacircncia da derivaccedilatildeo dos meacutetodos amplamente encontrados

em livrostexto e artigos as derivaccedilotildees dos meacutetodos seratildeo simplificadas Para maiores

informaccedilotildees dos algoritmos empregados poderatildeo ser consultados os trabalhos de

Hegger Kantz e Schreiber [Hegger et aI 1999) Ellner [EIlner cf aI 1992) So [So Cf

aI 1996) e Gonccedilalves [Gonccedilalves ef aI 19981

21 Fluxos e recorrecircncias

Os sistemas dinacircmicos detenniniacutesticos satildeo descritos pela evoluccedilatildeo temporal de

um subconjunto A em um espaccedilo euclidiano d~djmensional Eles podem ser expressos

por exemplo por equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias [Sotomayor 1979]

X=f(f) (21)

ou com um tempo discreto t = n J t por mapas [Collet eacute Eckmann 1980]

x n+ =f(x) (22)

Uma seacuterie temporal eacute uma sequumlecircncia de observaccedilotildees igualmente espaccediladas no

tempo Uma seacuterie de eventos eacute uma sequumlecircncia de intervalos de tempos entre os quais

ocorreu um determinado evento

2 ~lectQsTeoacutericos 7 ~~~~~----

22 Mapas de retorno

Uma seacuterie de eventos da forma (x Xl ) natildeo eacute exatamente o espaccedilo

de fases do sistema dinacircmico sendo necessaacuterio empregar alguma teacutecnica de

reconstruccedilatildeo para revelar a estrutura muIti~dimensional desta seacuterie Um dos mais

importantes tipos de teacutecnica de reconstruccedilatildeo do espaccedilo de fases eacute o mapa de retomo ou

tambeacutem chamadQ de coordenadas de atraso Vetores no espaccedilo de imersacircn satildeo criados

a partir de atrasos na seacuterie O conjunto das duplas (llt XjH) forma o mapa de primeiro

retomo~ e o conjunto das duplas (Xj Xjt2) forma O mapa de segundo retomo e assim por

diante O nuacutemero de elementos destes vetores daacute a dimensatildeo de espaccedilo de imersatildeo O

teorema de imerslio de Talcens [Talcens 1981] estabelece que se uma medida eacute

dinamicamente importante para o sistema ela conteacutem toda informaccedilatildeo contida neste

sistema dinacircmico

Em modeIos matemaacuteticos de sistemas dinacircmico~ a evoluccedilatildeo do processo eacute

vIacutesualizada no espaccedilo de fases cuja dimensatildeo eacute dada pelo nuacutemero de variaacuteveis

independentes Em experimentos o espaccedilo de fases eacute usualmente desconhecido a

princiacutepio e frequumlentemente uma uacutenica variaacutevel escalar do sistema pode ser medida O

meacutetodo mais comum de reconstruccedilatildeo do espaccedilo de fase a partir de uma seacuterie temporal

foi proposto por Packard Crutchfield Farmer e Shaw [packard et aL 1980] para se

analisar os dados do experimento da torneira gotejante A dinlhnica de uma seacuterie

temporal x em sistemas dissipativos eacute completamente descrita pelo atrator em um

espaccedilo de fases d-diacutemensiona)~ lRd~ com D sendo a dimensatildeo do atrator Genericamente

qua1quer atrator eacute completamente envolvido no espaccedilo de fases por sua proacutepria hacia de

atraccedilagraveo~ consequentemente todos os movimentos transientes inicializados em uma

I pequena vizinhanccedila do attator~ movem-se assintoticamente na direccedilatildeo do atrator Os

I atratores podem ser perioacutediacutecos~ quase-perioacutedicos e caoacuteticos

Neste trabalho os dados experimentais obtidos satildeo apresentados em mapas de

primeiro retorno bjdimensionals cujos elementos das duplas (Tnbull Tnt1) satildeo intervalos de

tempo entre duas bolhas consecutivas Tambeacutem seratildeo apresentados mapas de primeiro

retorno tridimensionais atraveacutes das tripla (Tn Tn+ h Tn+2) Outras representaccedilotildees

necessaacuterias seratildeo especificadas no local onde estas forem utilizadas

8

I -

2 Aspectos Teoacutericos

23 O Mapa quadraacutetico

As princiacutepals caracteriacutesticas dos sistemas dinacircmicos satildeo observados e analisados em

mapas unidimensionais como no mapa quadraacutetico do tipo

f(x) x -a (23)

onde Xfl eacute a variaacuteveI iterada do mapa e a eacute o paracircmetro de controle O diagrama de

bifurcaccedilotildees deste mapa pode ser visto na Fig 21

X o

-1

~~~~~-~~~~----------F~---

-shy

1~ -05 00 05 10 15 20

a Figura 21 Bifurcaccedilacirco obtida com uma funccedilatildeo oonvcxa a linha tracejula eacute o primeiro ponto fixo inslaacutevel que surge numa bifurcaccedilatildeo tipO sela-noacute

Neste diagrama vemos os valores possiacuteveis de x para uma variaccedilatildeo do paracircmetro

de controle a entre -Q25 e 20 Os valores do mapa para a entre -025 e 125 podem ser

calculados analiticamente impondo a condiccedilatildeo de que o valor da variaacutevel iterada

anterior seja igual ao valor da variaacutevel iterada seguinte

xx 1 -a (2-4)

que nos fornece dois pontos fixos Xf

x = [l+(l+4a)1f2 (25)

lt = [1- (1 +4a)]I 2_ (25b)

9 2 Aspectos Teoacutericos

A estabilidade dos pontos fixos de qualquer mapa unidimensioual eacute obtida com

as condiccedilotildees

Ifl(Xr ~ lt 1gtxreacute um ponto fixo estagravevel (260)

If(xr)1 gt1gtxreacuteum ponto fixo instaacutevel (26b)

Deste modo para valores de a acima de -025 obtemos xJ1 instaacutevel~ enquanto xp

eacute estaacutevel ateacute o paracircmetro a chegar a 075 Para a igual a -025 no mapa da equaccedilatildeo (23)

experimenta uma bifurcaccedilatildeo sela-lIoacute A linha tracejada na Fig (21) eacute a trajetoacuteria

instaacutevel xfl e o ramo estaacutevel Xp estaacute simetricamente abaixo ateacute O valor de a igua1 a 075

Quando o paracircmetro de controle a atinge O~75 as trajetoacuterias do mapa sofrem

uma mudanccedila de oomportamento Nesse caso a partir deste valor do paracircmetro de

controle a oacuterbita oscila entre dois valores de x

X f(xf ) (270)

Xf4 fx) (27b)

I

x

2 2

1 1

bullbull

i

o 1lt gtrc zA

-1 I i--=

1

o

-1

t t Xp __

J

Xp l-shy

~t i~

tr~

-2+ordf b ~

-2 00 05 10 15 00 05 a 10 15 a

Figura 22 (a) Detalhe do diagrama de bifurcaccedilamps do mapa quadraacutetico a linha tracejada representa o poacutento

fum instaacutevel da bifurcaccedilatildeo selallOacute (b) Bacia de atraccedilatildeo mostrando a estabilidade de algumas regiotildees

mostradas em (al neste graacutefico as linhas vermelhas representam os pontos fixos instaacuteveis enquanto que as

- linhas pretaS os pontos fixos estaacuteveis Podemos emnparar a troca de estabilidade de xp mGSlrado em (b) para

a 075 oom o diagrnma mostrado cm (u) assim como- o mesmo tipo de troca para xp c xp pata a = 125

(linha pontilhada)

1

____________________________________ 102 Aspectos Teoacutericos

Para compreendermos o que ocorre agora utiacutelizando os criteacuterios de estabilidade

(26) e para calcular os novos pontos fixos temos que recorrer a uma composiccedilatildeo do

mapa com ele mesmo da seguinte forma

g(x) =f(f(x)) =x - 2ax + - a (28)

que possui quatro pontos fixos sendo dois deles os pontos fixos das equaccedilotildees 27(a)shy

(b) agora ambos instaacuteveis e dois outros estaacuteveis dados por

x =l+ll+4(a-I)2 (29)

x =l-[1+4(a-I)12 (29b)

Na Fig 22(a) vemos o diagrama de bifurcaccedilotildees no periacuteodo 2 e no graacutefico ao

lado (b) representamos as oacuterbitas jnstaacuteveis (ramos vermelhos) e os ramos estaacuteveis

(ramos pretos) As setas indicam a atraccedilatildeo ou a repulsatildeo dos pontos fixos Na Fig 22(a)

quando a=12S podemos notar que na sequumlecircnCIacutea de bifurcaccedilotildees aparece o periacuteodo 4

Quando estes quatro pontos fixos se tornam instaacuteveis um periacuteodo 8 aparece e o

processo de duplicaccedilatildeo de perfodo se repete indefinidamente para faixas de a cada vez

mais estreitas ateacute chegar no valor Umiacutete a = 140113bullbull que pode ser visto na Fig 23

A partir deste valor do paracircmetro de controle os pontos no mapa visitam bandas

perioacutedicas que se alargam e se sobrepotildeem aos pares diminuindo o nuacutemero de bandas

num processo chamado de bifurcaccedilatildeo reversa Nesta sobreposiccedilatildeo os valores de x

evoluem periodicamente com relaccedilatildeo agraves bandas mas de modo erraacutetico dentro de cada

uma delas e tal movimento eacute chamado de caoacutetico

No diagrama da Fig 23 apoacutes O encontro das duas bandas caoacuteticas

temos a ocorrecircncia de janelas perioacutedicas de periacuteodos iacutempares COm uma janela maior de

periacuteodo 3 (a l75) e outra menor de periacuteodo 5 relacionadas com bifurcaccedilotildees

tangentes A existecircncia do periacuteodo 3 eacute o principal argumento para se utiacutelizar um

teorema que estabelece a existecircncia de todos os outros periacuteodos maiores O Teorema de

Sharkovskii [Jackson 1995] nos daacute um esquema natildeo usual de ordenaccedilatildeo para os

nuacutemeros naturais tal que para cada nuacutemero natural n a exiacutestecircncia de um ponto de

penodo II implica na existecircncia de oacuterbitas perioacutedicas de todos os periacuteodos maiores na

ordenaccedilatildeo do que n Pelo teorema de Sharkovskii a existecircncia de uma oacuterbita de

periacuteodo 3 num mapa unidimensional natildeo-monotocircnico com apenas um maacuteximo impHca

na existecircncia de todos os periacuteodos_

2 Aspectos retiFicas __ ~___li

o teorema de Sharkoyskii explicitamente eacute [Jackson 1995J

Seja T o conjunto ordenado 3-oacuteltJ-lt lt23lt25-lt27lt lt213425-lt227-lt

-1Jlt4lt2-lt1 Seja lmiddot uma aplicaccedilatildeo suave do intervalo unitaacuterio nele mesmo tal que

f(O)=f( J)=0 que possui apenas um ponto critico Se m-lt1l relativo agrave ordem no conjunto

1 eftem a menor oacuterbita de periodo m entatildeo f tem uma oacuterbita de periacuteodo n

~----~--------------~~--~i BandIs atfaINas t PArimo Todosos perlodoo ~ bull 1 - - ~i I iacuteltJirrdnuirdon) I

Paf~S estlWeis Ilo(Mmenkl Caos penodos

l 2 __ I mi-pelloacutedlco rJlllllffls 3 bull

1

x O

-1

I Caos

I ~~-L-__~____~~~~plusmn==~~~~~~~~II

14 16 18 20

a

Figura 23 O comportumento dinacircmico geral do mupa quadraacutetico com a cascata de duplicaccedilotildees de periacuteodo (alt14) Pnrn a gt 140l1 ocorre Caos com a diminuiccedilatildeo das bandas atrativas Apoacutes ti janela de periacuteodo 3 temo tooos os periacuteodos como propotildee o teorema de SharkovskiL

l

12 2 Aspectos Teoacutericos

24 Dimensotildees

Um aspecto baacutesiacuteco de um atrator obtido a partir de um sistema dinacircmico eacute a sua

dimensatildeo pois O comportamento do sistema eacute caracterizado pejo atrator Apoacutes um

transiente alguns tipos de movimento desaparecem devido ao amortecimento e o

estado do sistema se aproxima de um atrator no qual o nuacutemero de variaacuteveis

independentes que detennjnam a dimensatildeo do atrator eacute reduzido consideravelmente

Os atratores podem ter a dimensatildeo de um ponto linha ou plano ou podem ser

extremamente complicados e frequumlentemente possuem estruturafractal [Alligood et al

1997] Podemos medir essafractalidade atraveacutes de dimensotildees generalizadas

Associamos a dimensatildeo de um objeto com o nuacutemero de vetores ortonormais que

podem ser sobrepostos ao objeto Embora seja muito importante esta associaccedilatildeo de

vetores nos restringe sempre a dimensotildees inteiras mas existem outros conceitos de

dimensatildeo entre eles a dimensatildeo de Hausdaif(Df ) [AlIigood et aI 1997] que eacute baseada

na ideacuteia de um comprimento caracteriacutestico R em um conjunto de N elementos

D =logN N_RDt (210)I JogR

A dimensatildeo de lnfonnaccedilatildeo (Di) [AUigood et ar 1997] leva em conta as

frequumlecircncias de visitaccedilatildeo relativas e por isto eacute mais interessante para slstemas fiacutesicos

Muitas outras definiccedilotildees de dimensatildeo existem mas para os objetivos deste trabalho

utilizaremos apenas as dimensotildees citadas anterlonnente e a dimensatildeo de Kaplan-Yorke

(DKy) [Argyris ct ai 1994]

Aleacutem disso a determinaccedilatildeo do valor de uma dimensatildeo a partir dos dados

experimentais de um processo dinacircmico indica qual eacute a dimensionalidade do espaccedilo de

fases do sistema dinacircmico matemaacutetico que deve ser usada para modelar o sistema

25 Expoentes de Lyapunov

Os sistemas caoacuteticos exibem sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais Esta afirmaccedilatildeo

tem sido utilizada para resumir uma das principais propriedades dos sistemas caoacuteticos

que pequenas diferenccedilas nas condiccedilotildees iniciais satildeo magnificadas devido agrave dinacircmica do 1

I

13 2 Aspectos TeoacuterirIJS

sistema de tal modo que em um tempo finito o sistema percorre estados totaJmente

diferentes A noccedilatildeo de sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais eacute feita de modo mais acurado

atraveacutes do expoente de Lyapunov amp[AHigood ef al 1997] Nonnalrnenre sistemas

contendo pelo menos um expoente de Lyapunov positivo satildeo considerados caoacuteticos Isto

significa que trajetoacuterias partindo de dois pontos muito proacuteximos natildeo importando quatildeo

pequena seja a distacircncia entre elas iratildeo evoluir de modo diferente e se afastaratildeo

exponencialmente uma da outra com o tempo

Podemos obter o expoente de Lyapunov maacuteximo [Wolf et aibull 1985] sem a

construccedilatildeo expliacutecita de um modelo para a seacuterie temporal Uma caracterizaccedilatildeo confiaacutevel

com expoente positivo exige que sejam garantidas a independecircncia dos paracircmetros de

imersatildeo e uma lei de crescimento exponenciaL

Existe tambeacutem o caacutelculo do espectro de expoentes de Lyapunov [Hegger e

Kantz 1999] onde o ingrediente essencial eacute a estimativa de Jacobianas locais ou seja

uma dinacircmica liacutencanzada que regula o crescimento das perturbnccedilocirces infinitesimais

Para uma melhor compreensatildeo dos sistemas dinacircmicos uma concHiaccedilatildeo entre

caracteriacutesticas relativas agraves meacutedias temporais e espaciais dos atratores foi feita atraveacutes da

teoria ergoacutedica [Argyris et aI 1994] Como o expoente de Lyapunov caracteriza a

dinacircmica do atrator atraveacutes de meacutedias temporais da divergecircncia ou convergecircncia de

uma vizinhanccedila com relaccedilatildeo a um ponto da oacuterbita o caacutelculo dos expoentes de

Lyapunov permite certas comparnccedilotildeei como a conjectura de Kaplan-Yorke [Argyris ct

al 1994] que estabelece que a dimensatildeo de Informaccedilatildeo deve coincidir com dimensatildeo

de Kaplan-Yorke DKy dada por

Lei ~Ik -- (211)

D Kf bull IEr+1

onde k eacute um inteiro maacuteximo tal que a soma dos k expoentes maacuteximos seja natildeo-negativa

e ti eacute uacute i- eacutesimo expoente de Lyapunov Tal conjectura foi verificada para uma boa parte

dos sistemas dinacircmicos dissipativos de baixa dimensacirco [Hegger e Kantz 1999]

2 Aiacuteipectos Teoacutericos 14

26 O mapa de Heacutenon

o mapa de Heacutenon eacute um mapa bidimensional do tipo

XH_I =l-ax+ Y1Igt (212)

Y-+l = bX1l

Os pontos fixos do mapa satildeo dois e podem ser obtidos por

x = [(b-I)plusmn~(1-b) +4a]2a ybx (213)

e para cada um desses pontos fixos temos dois autovalores associados Agrave

I Acirc =-axplusmn~(ax) +b (214)

desta forma com esses dois autovalores podemos estudar a estabilidade de cada ponto

I a=14 b=O31

bullbull 2

gt- ~oo

-04

middot10 -05 M M 10

x

Figura 24 Atrator de Heacutenon caoacutetico reconstruiacutedo nas variaacuteveis x~ e y para a=14 e b=O3

fixo como foi feito

para 0lt mapas

unidimensionais Um

atrator de Heacutenon

caoacutetico bem

conhecido eacute mostrado

na Fig 24 O

coeficiente a estaacute

relacionado com o

estiramento do mapa

e coeficiente b estaacute

relacionado com a

contraccedilatildeo da aacuterea do

mapa de Heacutenon e este

coeficiente eacute o

determinante da matrizjacobiana J do atrator de Heacutenon com o siacutenal negativo

- 2ax 11 deU = b q=-b (215)

1

15 2 ASlClOS TeoacuteriCC$

Na Fig 25 vemos as duas variaacuteveis do mapa nos graacuteficos de x liS a e y vs a~ onde

podemos notar a oontraccedilatildeo da variaacutevel y por b na Fig 25(b) em relaccedilatildeo agrave variatildevel que

aparece na Fig 25() onde temos tambeacutem os pontos fixosxJ2 da equaccedilatildeo (213)

(a)

gtlt

x

(b) J

~ Contraiacutedo pelo

1 fator b 1

04 06

a

Figura 25 Diagramas de blfunaccedilotildecs do atI3tor de Heacutenon para b=O3 em (a) a variaacutevel x e seus dois pontos lOO)S x na cor vente e xs na corverme1ba calculados pela equaccedilsecto (213) sobre a seacuterie e em (b) a variaacutevel y contraiacuteda pelo1ator b

Para o caso do diagrama de bifurcaccedilotildees da Fig 25 determinante de J eacute constante

e negativo det J = - 03 para todos os valores de a

Os expoentes de Lyapunov do mapa de Heacutenon 81 e amp1 estatildeo relacionados com a

matriz jaeobiana pela relaccedilatildeo de contraccedilatildeo [Argyris et ai 1994]

+lt ~ In Idet(J) I= In 03 ~ -12 (216)

Esta relaccedilatildeo representa as propriedade de estiramento Si e dobra E2 atuando

uniformemente Idet(J) I~ 03 dentro do espaccedilo de rases para estabelecer o atrator Para

a=lA e b=O)3 temostj ~ 042 eE1t -1~62 O valor SlgtO nos daacute um atrator caoacutetico

16 2 Aspectos Teoacutericos

27 Reduccedilatildeo de ruiacutedo

A filtragem de sinais obtidos a partir de sistemas natildeo~lineares exige o uso de

meacutetodos especiais [Hegger e Kantz 1999J jaacute que os filtros lineares podem interagir

desfavoravelmente com a estrutura natildeo-linear Sinais irregulares de fontes natildeo-lineares

exibem bandas de espectro realmente largas e natildeo existe justificativa para identificar

qualquer componente no espectro de frequumlecircncias como ruiacutedo Entretanto existem certas

dependecircnciacuteas geneacutericas entre as medidas x que criaratildeo vetores x para preencher o

espaccedilo de imersatildeo d~diacutemensionaJ de um modo natildeo homogecircneo Meacutetodos de filtragem

linear procuram identificar as direccedilotildees principais da distribuiccedilatildeo no espaccedilo de fases e

fazer projeccedilotildees sobre elas A reduccedilatildeo de ruiacutedo natildeo-linear leva em conta que sinais natildeo~

lineares formaratildeo estruturas curvas no mapa de retomo A principal suposiccedilatildeo do

algoritmo utilizado eacute que ele deve ser aplicado para sistemas de baixa dimensatildeo (D-3)

28 Espectro de Fourier

Outro criteacuterio para se analisar seacuteries temporais eacute atraveacutes da decomposiccedilatildeo da

seacuterie numa integral de Fourier [Argyds et aI 1994] Considerando um sinaljfO a

expressatildeo pode ser expressa na forma

+shy

(1)=_1 JF(fraquo)edW (217)2

onde

~

F(w) = Jf(t)e-iMdt (218)- eacute definida como a transfonnada de Fourier do sinal f(t)

O espectro de potecircncia P(m) do sinal eacute dado a partir de F(m)

P(m)= IF(m) I = F(m)P(m) (219)

COm fgt(m) sendo o complexo conjugado de F( (O)bull

17

1

Xj 10

1deg1 -I Igt1J 00 0$ IC

2 Aspectos T~6ricos

logo -shy

1() I P(

j 14J

X Q)

Figura 26 _(a) Periacuteodo 4 do mapa de Heacutenon e em (A) o seu espectro de potecircncias (b) atrator de Heacutenon lUl regiatildeo caoacutetica e em (B) seu respectivo espectro de potecircncias moslIatldo uma banda larga

Na Fjg 26 temos dois atratores obtidos a partir do mapa de Heacutenon em (a) o

comportamento de periacuteodo 4 e em (A) o espectro que nos mostra o comportamento

perioacutedico com os dois picos indicando uma duplicaccedilatildeo de periacuteodo caracteriacutestica do

atrator de Heacutenon Para os paracircmetros a=155 e b=Ol temos um atrator de Heacutenon no

regime caoacutetico em (b) e seu espectro de banda larga em (B)

Frequumlentemente atratores caoacuteticos apresentam banda larga por isso este eacute um

meacutetodo muito comum na identificaccedilatildeo do comportamento caoacutetico Aleacutem disso a anaacutelise

da evoluccedilatildeo dos sistemas dinacircmicos atraveacutes de seus espectros pennite definir a rota

[Argyris eJ ai 1994] que leva o sistema ao Caos poiacutes a evoluccedilatildeo das dupHcaccedilotildees de

periacuteodo vista no mapa quadraacutetico e que tambeacutem acontece no mapa de Heacutenon eacute apenas

uma dessas rotas Na proacutexima seccedilatildeo veremos um outro mapa que nos mostra esta e

outras rotas para o Caos

18

I I I

Capiacutetulo2 Aspectos Teoacutericos

29 O Mapa do Ciacuterculo

o mapa do CIacuterculo modela a interaccedilatildeo entre um oscilador IImestre quando aplicado

a um segundo oscilador natildeo-linear [Argyris et aI 1994 Jackson 1995J A dinacircmica eacute

governada por dois paracircmetros de controle a razatildeo entre as frequumlecircncias dos osciladores

desacoplados n e a intensidade de acoplamento K

K e +1 == BII +Q--sen2nBn +brn (mod I) n 2 (220)K

rn+l brn - 20 sen 2nBn middot

Aqui 01 eacute o acircngulo de um rotor riacutegido logo apoacutes o eneacutesirno impulso e rn eacute proporcional agrave

velocidade angular deste rotor sujeito a um impuiso externo do oscilador mestre e b estaacute

relacionado com o amortecimento

00 05 15K

~iacutegura 27 Diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo para b=Ol e =0725

01

-01

19 Capiacutetulo2 Aspectos Te6ricos

Na figura 27 podemos ver a seacuterie temporal do mapa do ciacuterculo Este tipo de mapa

nos daacute outro tipo de rota para o caos denominada de rota para o caos via quaseshy

periotlicidade Temos basicamente o aumento do raio de um ciclo limite quase-perioacutedico

intercalados com travamentos de frequumlecircncia e comportamento ca6tico

Para sistemas altamente diacutessipativos o termo b se anula e o mapa pode ser estudado

na forma puramente angular

K 0M =0 +0- 2JI seo(27l0) (221)

Um conceito importante para a anaacutelise do mapa do ciacuterculo que foi introduzido por Poincareacute

[Argyris el ai 1994 Alligood aI 1997] eacute nuacutemero de rotaccedilatildeo W

() - ()oW(KO) = lim n (222)

n~iOO n

que eacute a meacutedia da rotaccedilatildeo do oscilador forccedilado por ciclo

As propriedades de estabilidade para valores de Kltl para a equaccedilatildeo (221) seguem

a partir da teoria de estabilidade liacutenear para mapas como foi feito para o mapa quadraacutetJco

d~f(eo 10 =11- K cos(27lB)I (223)

que eacute menor do que um se fi lt114 e eacute maior do que 1 se 0gt114 ou se 8gt314 Para um ponto

fixo estaacutevel Os temos

lim~=es=gtw=o (221) nshy

Substituindo na equaccedilatildeo 221 obtemos a relaccedilatildeo entre K e n dada por

Q=+K (222)- 2JI

Estas relaccedilatildeo entre K e Q nos daacute o espaccedilo de paracircmetros do mapa do ciacuterculo onde podemos

ver para quais valores podem ocorrer a sincronizaccedilatildeo do oscilador forccedilado conhecida como

liacutengua de Arnold [Bai-lin 1989 para o nuacutemero de rotaccedilacirco W=OII

Na figura 28(a) temos o mapa de primeira iteraccedilatildeo da funccedilatildeo senoida1 do mapa do

ciacuterculo na regiatildeo onde ocorre uma bifurcaccedilatildeo do tipo sela-noacute Para um valor fixo de K entre

Oe 1 trecircs valores de Q foram escolhidos ParaQ gt nKtgt o ponto fixo alnda natildeo existe Para

Q = QICcedilo a funccedilatildeo tangencia a bissetriz e um ponto fixo aparece Diminuindo aiacutenda mais o

valor de Q o ponto fIXO se divide em dois um estaacutevel e outro instaacutevel situaccedilatildeo

20 CapiacuteUlo2Aspec~os Te6ricos

caractenstica de uma bifurcaccedilatildeo sela~n6 A figura 28(b) daacute o diagrama de bifurcaccedilatildeo para

W=Ol para os valores positivos de n da equaccedilatildeo 225

13) i 7 1

08 ~ a

(a)

n~ K=Ko

(b)

n~o n~

on KH

cri 06 ~- I

04 ordm -H bull

02 fi =+K12ffshy

00 )J j

00 e 05 10 00 n e

Figuro 28 (a) vraacuteficos do mapn do ciacuterculo em funccedilatildeo do paracircmetro Q na regiatildeo do ponto de bifurcaccedilatildeo elun6 Em (b) a representaccedilatildeo no espaccedilo de pnnimetros da liacutengua de Arnold correspondente a W=OJ que ocorre para valores de Ll menores que LlKII bull

Para diferentes valores de W quando Klt1 gt ocorrem outras regiotildees de travamento

de frequumlecircncias sem ocorrer sobreposiccedilatildeo entre elas como estaacute apresentado na Fig 29 que

mostra os limites de estabilidade dos domiacutenios perioacutedicos no plano (Kn) para alguns

nlIacutemeros de rotaccedilatildeo Para as regiotildees onde ocorrem a sincronizaccedilatildeo das frequumlecircncias entre os

dois osciladores o nuacutemero de rotaccedilatildeo

W eacute um nuacutemero racional pq Deste

modo para cada valor racional do eixo

0 uma janela perioacutedica surge e se

expaIlde quando aumentamos o valor

de K Com o aumento da natildeoshy

linearidade atraveacutes do paracircmetro K a

sincronizaccedilatildeo das frequumlecircncias a se

tornam mais dominantes

ir

v I I I 1 ~ li 1 raquo1lD J

Figura 29 Diagrama das Liacutenguas de Arnold para o mapa do Ciacuterculo

21 2 Aspecto Teoacutericos

Para valores de Kgt I ~ as liacutenguas de Arnold passam a se sobrepor~ e o nuacutemero de

rotaccedilatildeo natildeo eacute mais unicamente determinado~ mas trocado por um intervalo de rotaccedilatildeo

[WJbull Wl] e este embaraJhamento torna o comportamento aperioacutedico

Para mostrar algumas das caracteristicas gerais do mapa no ciacuterculo~ utilizaremos

o conceito de expoente de Lyapunov Lyapunov estudou urna vizinhanccedila abstrata x

de uma trajetoacuteria x com N pontos com o objetivo de verificar se estes pontos se

afastavam ou convergiam para a trajetoacuteria Tomando uma trajetoacuteria infinita e uma

vizinhanccedila tatildeo pequena quanto se possa imaginar ele associou um expoente que

caracteriza se a trajetoacuteria eacute perioacutedica indiferente ou caoacutetica Para o mapa do clrcuio na

sua fonna angular da equaccedilatildeo (221) com n = 025 o expoente foi calculado

numericamente com a expressatildeo

1 H-I

B = N ~ Inll-K cos(28 lI (226)

que estaacute representado na Fig 210(a) e seu respectivo diagrama de bifurcaccedilotildees na Fig

21 O(b) Inicialmente os expoentes satildeo ligeiramente negativos da ordem de _10-6~ ateacute o

valor de K=l onde divergem pare menos infinito Oacuterbitas com expoentes deste tipo

divergindo para menos infinito satildeo conhecidas como oacuterhitas super~estaacuteveis Ao

teacutennino desta janel~ o sistema jaacute possui comportamento caoacutetico e esta rota para o Caos

eacute classificada de rota via quase-periodicidade [Bai-lin 1989 Argyrls et al~ 1994

Jackson 1995 Alligood el ai 1997J onde os expoentes de Lyapunov positivos natildeo

ultrapassam o valor de O~3 Aumentando K o sistema trava em um periacuteodo l~ e inicia

outra rota para o Caos a rota via duplicaccedilotildees de periacuteodo ou rota de Feigenbaum jaacute

discutida para O caso do mapa quadraacutetico na qual os expoentes se anulam nos pontos

onde ocorrem as bifurcaccedilotilde~ neste caso temos o comportamento indiferente Para

K34 o sistema experimenta um alargamento abrupto do atrator e este alargamento eacute

classificado como uma crise Apoacutes a crise os expoentes de Lyapunov maacuteximos param

de crescer e tecircm valores na faixa entre O~7 e 093 Quando K atinge aproximadamente

4~7 o sistema volta a sofrer um travamento de frequumlecircncia em periacuteodo 1

Do mesmo modo que o atrator de Heacutenon o mapa do ciacuterculo bidiacutemensional da

equaccedilatildeo (220) contrai o espaccedilo de fases uniformemente como podemos ver atravoacutes do

detenninante da matriz jacobiana do mapa

09 rgt o

[lshy 03

~oo I c 03 O1~~1 I1middot1 q q nq fqll ir nnqlq qll

Lshy________~ ~

-

2 ApcJos Teoacutericos 22

o 1 2 K 3 4 5

Figura 210 (a) Expoentes de Lyapunov do mapa do circulo coro n =025 Em (b) o diagrama de bifurcaccedilotildees para o mesmo mapa Podemos obter a sequumlecircncia de duas rotas para o Caos com este sistema dinacircmico li rota de quaseperiodicidade e a rota de duplicaccedilotildees de periacuteodo

1- K cos2nJ ~ (227)detJ=I_KCOs2JfJ bl=b

i

Os pontos fixos r e (IIilt de periacuteodo 1 logo apoacutes a regiatildeo quase-peri6dica para

Kgt155 da Fig 27 satildeo dados por 1 r= -fl(mod I) se fl(modI) lt 05 ou r= I-fl(mod I) se fl(modI) gt 05

(228)I [2JlT 1f) = 2r areseo K(b - 1)_

assim podemos detenninar o ponto onde ocorre a primeira bifurcaccedilatildeo do tipo flip

usando os criteacuterios de estabilidade para a seguinte equaccedilatildeo caracteriacutestica

l-Keos2rf)-Agrave b J =0 (229)

-Kcos2Jff) b-Agrave

que nos dagrave dois autovalores para cada ponto fixo Para () ponto fixo r os autovalores

valem explicitamente

23 2 AspecQS1cocircricO$

-K cos2nL~arcsef (b-l))]+I+b - -plusmn- 2

(230)

+IKCOS27t[~arcsen(T(b-I))]+I+br -4b 2

como r eacute calculado pela equaccedilatildeo (228) para os pontos fixos a bifurcaccedilatildeo flip ocorreraacute

quando um dos valores de Acirc alcanccedila o valor -I

Para valores da constante b proacuteximos de zero deve ser feita urna correccedilatildeo em

primeira aproximaccedilatildeo nos valores das liacutenguas de Arnold Pata as Hnguas

correspondentes ao travamento de frequumlecircncias de periacuteodo 1 como a equaccedilatildeo (225) as

liacutenguas podem ser calculadas atraveacutes de

K (231)n= 21r(1- b)

o mapa do circulo eacute um sistema dinacircmico que parte de um sistema fisiacuteco bem

definido [Argyris cf ai 1994) que apresenta um comportamento muito rico com

relaccedilatildeo aos elementos da Teoria do Caos

Aleacutem do comportamento individual dos mapas vistos anterionnente~ como o

mapa quadraacutetico o mapa de Heacutenon e o mapa do cIacuterculo~ tambeacutem eacute desenvolvida a

pesquisa na aacuterea de sistemas dinacircmicos espaccedilo-temporais [Kaneko 1992 Vian~ 2000]

atraveacutes do acoplamento destes mapas fonnando uma rede Com estes estudos pretendeshy

se explicar rotas tiacutepicas para turbulecircncia1 como por exempJo a sequumlecircncia obtida com o

acoplamento de mapas quadraacuteticos duplicaccedilotildees de penado formaccedilatildeo de padrotildees

aleatoacuterios na rede de mapas seleccedilatildeo de alguns destes padrotildeesgt intermitecircncia espaccediloshy

temporal e no final observa-se turbulecircncia plenamente desenvolvida Um exemplo de

modelo de fluxo de um fluido usando mapas acoplados eacute dado por WilIeboordse

[Wiacutelleboordse 1992)

24 2 Aspectos Teoacutericos

210 Transformaccedilatildeo de ponto fixo

Para extrair as oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis (OPl) imersas em um atrator com uma

quantidade finita de dados ruidosos de um sIacutestema unidimensional~ So e colaboradores

[So el ai 1996] fizeram a suposiyatildeo de que todos os ponto que estatildeo em uma regiatildeo ao

redor do ponto fixo xf(x) podem ser transfonnados para (x) na vizinhanccedila de x A

funccedilatildeo densidade p(x) possui singularidades do tipo inverso da raiacutez quadrada nos

pontos fixos e um histograma para pX) teraacute um pico definido em x= x Alguns

picos espuacuterios podem aparecer em fi(x) tanto devido agrave singularidades natildeo relacionadas

aos pontos fixos quanto a zeros da derivada da funccedilatildeo detranformaccedilatildeo x=g(xk)

Os autores generalizaram este meacutetodo para um sistema com dimensatildeo de imersatildeo d para

obter as oacuterbitas perioacutediacutecas instaacuteveis atraveacutes da transformaccedilatildeo

i = (l-Srl(z~I-Snz) (232)

onde

I (d-I) ) _ ( aoo a I _ IIs - O +kRllz_1 Zn (233) 1

1

aI -1 (Zl _Z)t(z - Z )t l it -bull

(234)=

I)ta (Z_(d_l) - Z_d)t (Zn_(d_l) - Zitlaquod_lj bull

e os vetores z) foram reconstruidos a partir da seacuterie temporal x)

( I ) ( ) (235)z = zlpznzll~)z xnJx_x_z~-x_4_t

R eacute uma matriz aleatoacuteria d x d no intervalo [-l~1J e k estaacute relacionado com a

intensidade da geraccedilatildeo de nuacutemeros aietoacuterios Os pontos fixos satildeo dados por posiccedilotildees

dos picos de p(X) Como a localizaccedilatildeo dos picos espuacuterios dependem do paracircmetro k

eles satildeo eliminados levando em conta a meacutedia (PCz)) para vaacuterios valores tornados

aleatoriamente

Um ponto fixo instaacutevel do atralor do mapa do circulo com Q=O eacute o ponto (O O)

mostrado na Fig 211(a) que foi determinado com este algoritmo~ como estaacute mostrado

na Fig 2II(b) Outras aplicaccedilotildees desta teacutecnica podem ser encontradas no exparimento

da torneira gotejante [pinto 1999] para se mostrar a existecircncia de oacuterbitas homocliacutenicas

25 2 Aspectos Teoacutericos

OB~ (a) I IV +

~~ 1 00 bullbullbull-

bullbullbull ~ bullo n ltgt04 I

~bull I ~ ~ 00 Obullbull obull

r

Figura 2]] Atrator caoacutetico simeacutetrico em (a) do mapa bidimensional do ciacuterculo que possui um ponto de sela na origem Em (b) a oacuterbita- perioacutedica instaacutevel foi obtida munericamente utilizando-se o meacutetodo de detecccedilatildeo de oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis de So et ai

Como a reconstruccedilatildeo dos atratores em espaccedilos de imersatildeo bidimensionais eacute

suficiente noacutes aplicamos esta teacutecnica para d=2 com 05 e 1000 matrizes aleatoacuterias

Mais informaccedilotildees sobre este meacutetodo pode ser encontradas tambeacutem no trabalho de

Schemelcher e Diakonos [Schemelcher e Diakonos 1998]

211 Plano simboacutelico

A obtenccedilatildeo de planos simboacutelicos para a construccedilatildeo de maacutequinas topoloacutegicas

miacutenimas no experimento da torneira gotejante foi feita por Gonccedilalves [Gonccedilalves

1996] no experimento da torneira gotejante No experimento do tubo borbulhador a

geraccedilatildeo de planos simboacutelicos foi utilizada principalmente para se comparar modelos

com os dados experimentais

Para estudarmos o plano simboacutelico particionamos um atrator em duas regiotildees da

Fig 212 (L e R) e atribuiacutemos o valor I(ou -I) quando o sistema visita L (ou R)

obtendo um vetor sm bull S2SSSS2SmbullDeste modo um plano simboacutelico ap

caracteriacutestico de um atrator eacute definido atraveacutes do caacutelculo de a e f3 como

262 A2lcctos Teoacutericas

~

et=LfJi Z- i (236)

11

onde Pt eacute um valor binaacuterio

O +If p= lSC(-l)nSj_l (237)

I

e

~

p~ UZfL f (238)

onde VI eacute o valor binaacuterio

O -Itj = se D= l (239)

1 )tl +

N Fig 212 exemplificamos a obtenccedilatildeo do plano simboacutelico (b) par o atrator do

mapa do ciacuterculo bidimensional (a)~ com suas respectivas particcedilotildees L e R O paracircmetro b

eacute igual a 01 As regiotildees em branco no plano simboacutelico satildeo chamadas de regiotildees

proibidas

0 R (a)l (b) t08

~ I 00

O

1~ ll 06 + CUc

t - shy 04 bull ~ ~ ~ i li 1~ 1 ~~

- ~3~ bullbull l ~l f02-04

00 l- I -~----~

(j4 00 04 00 02 04 06 08 10 f an

Figura 212 (a) O atrator do mapa do circulo reconstruido com o mapa de primeiro retomo na variaacutevel r e sua particcedilatildeo e em (b) seu respectivo plano simboacutelico

I

27

3 A1(lrIUO xJrimclltal

3 Aparato experimental

Neste capiacutetulo descrevemos os aparatos do tubo borbulhado[ e da torneira

gotejante Tanto o experimento do tubo borbulhador assim como o experimento da

torneira gotejante foram inteiramente desenvolvidos no LFNL-USP Algumas das

princiacutepais atividades experimentais deste trabalho foram o desenvolvimento e

construccedilatildeo do tubo borbulhador a aquisiccedilatildeo e fi anaacutelise dos dados

31 O tubo borbulbador

Na Fig 31 ternos a representaccedilatildeo esquemaacutetica do aparato do experimento do

tubo borbulhador que consiste de um tubo acrflico transparente com uma tampa

(superior) e uma base de PVC onde estaacute conectada urna seringa hipodeacutermica pela qual

eacute soprado ar numa soluccedilatildeo de aacutegua com glicerina Dentro deste tubo ocorre a formaccedilatildeo

de bolhas que satildeo estudadas neste trabalho O experimento pode ser dividido em quatro

partes principais o tubo borbulhudor o circuito pneumaacutetico o sistema de aquisiccedilatildeo e o

sistema sonOrO

[ [ Alto-J ~ 1

falllnleGerador do Amplificador--= Funccedilotildees~I~ -l

Tubo

O

01 cJ

tasagraverCLp

controlador

Compressor Aesetvatoacuterio

Medidor de wllatildeo e vaacutelvulu d$ controla

Figura 31 Diagrama geral do aparato cKperimCfj(ul do tubo) borbulhador

28 3 Aparal0lerimental

Na Fig 32 podemos ver o tubo borbulbador que foi construido com tubo de

acriacutelico transparente de diacircmetro interno de 105 em e 10 em de altura Na base estatildeo

lixados o bico borbulhador e um termopar para monitorar a temperatura do liquido A

entrada e saiacuteda do liacutequido ocorrem atraveacutes de duas vaacutelvulas do tipo esfera

Clflp- drenagem

I ~ r

Sensorde I I j BiooOOrbulhid()l tempcrmlIU i t-l )~

FlgUla 32 O tubo borbulhador suportes o bico injetor sensor de tempemum e vaacutelvulas de drenagem e preenchimento do liquido

Este arranjo permite o

preenchimento do tubo e o seu

esvaziamento atraveacutes das

vaacutelvulas nas laterais da base

Todo o conjunto eacute preso ao

suporte atraveacutes de quatro

parafusos na base e quatro

parafusos na tampa Um

sistema de iluminaccedilatildeo

constituiacutedo de uma lacircmpada

fluorescente e uma placa

difusora de luz foi colocada

atraacutes do tubo borbulbador para

obtermos imagens das bolhas

utilizando uma cacircmara de

videoVHS

O tubo estaacute montado em uma bancada sobre quatro blocos de espuma para

amortecer vibraccedilotildees externas

32 Sistema de aquisiccedilatildeo

O sistema de detecccedilatildeo consiste de um laser He-Ne e um fotodiodo Quando uma

bolha atravessa o feiacutexe laser induz no fotodiodo um sinal anatocircgico e um pulso eacute

enviado a uma placa contadora de tempo inserida em um microcomputador O iniacutecio e o

fim do desvio do feixe laser induzidos peja passagem de uma bolha criam o sina] de

entrada da placa atraveacutes de pulsos de tensatildeo TIL gerados pelo futodiacuteodo Na Fig 33

temos o graacutefico que mostra o sinal ot devido a passagem de uma bolha e o sinal tn

relativo ao tempo entre bolhas Assim um par de dados constituiacutedo do tempo entre as

bolhas e o tempo de passagem da bolba eacute coletado pelo computador O intervalo de

tempo total entre a flNeacutesima e a (n+l)-eacutesiacutema gota eacute To que eacute a soma destes dos dois

intervaJos de tempo

29 3 Aparato experimental

T fltt t1I

Claro

SI 5

v (volts)

o

t ~-- I

J escuro~

tempo

Figura 33 Sinal gerado pelo fotodiacuteodo e induzido na placa contadora de tempO pela passagem das bolhas que desviam o feixe laser O feixe estaacute posicionado -5 rum acima cb extremidade do bico soprador

o sinal de vazatildeo obtido pelo medidor de vazatildeo eacute convertido em um sinal

proporcional de tensatildeo em milivolts e digitilizado em um osciloscoacutepio digital Tektronix

depois eacute transferido para o computador atraveacutes de uma interface General Purpose

Interface Board (GPffi)

33 Medidor de vazatildeo

o medidor de vazatildeo utilizado o modelo GFM47 fabricado pela AALBORG

lnstruments amp Contrais Neste equipamento o fluxo do ar entra em um transdutor de

vazatildeo e dentro dele uma pequena parte do fluxo do ar eacute separada por um sensor do tipo

tuho capilar de accedilo inoxidatildeveJ O restante do ar flui atraveacutes de um condutor de fluxo

primaacuterio A geometria do tubo primaacuterio e do tubo sensor foi projetada de modo a

garantir um fluxo laminar em cada ramo De acordo com os princiacutepios da

Fluidodinacircmica as vazotildees do ar nos dois condutores satildeo proporcionais entre si Deste

modo a vazatildeo medida no tubo sensor eacute diretamente proporcional atilde vazatildeo total atraveacutes

do transdutor

Para obter a vazatildeo no tubo SensoT eacute fcito um aquecimento do fluxo em duas

partes do tubo senSQr atraveacutes de resistecircncias sensoras de precisatildeo O calor eacute transferido

atraveacutes de uma parede fina para o ar O ar aquecido eacute levado pelo fluxo desde um

aquecedor agrave jusante ateacute um aquecedor agrave montante do tubo sensor O sinal eleacutetrico de

uma resistecircncia dependente de temperatura diferencial eacute detectada atraveacutes de um

circuito eletrocircnico de controle O gradiente de temperatura medido no sensor eacute

linearmente proporciona agrave vazatildeo atraveacutes do sensor

30 3 Apara1o experimental

o valor da vazatildeo eacute mostrado diretamente em um indicador digital e

simultaneamente em dois sinais eleacutetricos um de tensatildeo proporcional ao valor da vazatildeo

entre Oe 5 V e outro de corrente proporcional agrave vazatildeo entre 4 e 20 mA

34 Controlador de vazatildeo

o controlador de vazatildeo eacute da marca BTC modelo BTC-2220 e eacute um controlador

do tipo proporcional iacutentegral e diferencial (PID) Ele recebe o sinal de corrente do

medidor de vazatildeo (4-20 mA) com moacutedulo de saiacuteda linear (OM92-3) com a tensatildeo de

saiacuteda variando entre Oe 10 V com uma impedacircncia de saiacuteda de 500 ill Devido agrave alta

impedacircncia de saida um circuito amplificador de corrente foi adaptado na saiacuteda do

controlador para que ele pudesse enviar O sinal de controle para a vaacutelvula solenoacutejd~

como estaacute mostrado na Fig 34

2n3055

10 V I max 05 A I reg 200 nF Vaacutelvula

reg SolenoacuteideTSaldado ~

cornroradE ]200 nF -0 -

Figura 3A o Circuito que amplifica o sinal do controlador para a vaacutelvula

o controlador possui dois modos de operaccedilatildeo No primeiro modo ele manteacutem

uma vazatildeo fixa preestabelecida No segundo modo~ o controlador aumenta ou diminui a

vazatildeo linearmente entre dois valores distintos com uma velocidade preestabelecida pelo

usuaacuterio

31 $ Aparato eqerimental

35 Vaacutelvula solenoacuteide proporcional

o fabricante da vaacutelvula utilizada no experimento do tubo borbulhador eacute

MLBORG Instnnnenls amp Controls e o seu modelo eacute o PSV-5 Basicamente a vaacutelvula eacute

uma bobina que posiciona o atuador da vaacutelwla de modo contiacutenuo variando a vazatildeo

suavemente A vaacutelvula solenoacuteide proporcional foi projetada para responder a um sinal

de tensatildeo contiacutenua de entrada entre O e 30 volts para regular proporcionalmente ao

sinal de tensatildeo o fluxo de liquidos e gases Por medida de seguranccedila as vaacutelvulas satildeo

normalmente fechadas quando desernegizadas Na Fiacuteg 34 temos um diagrama desta

vaacutelvula

Devido agrave corrente na bobina da vaacutelvula O corpo da mesma sofre um pequeno

aquecimento que eacute dissipado por metas de alumiacutenio colocadas na vaacutelwla

Vaacutelvula Solenoacuteide Proporcional

f--I PSV5 AALBORGmiddot I

u-i J

conectores de 14m_Figura 35 Diagrama as ltlimensotildees carncteristicas da vaacutelvula de controle PSV5 da AALBORG

32 3 Aparato Experimental

36 O bico borbulhador

Na Fig 36 vemos o conjunto de agu1has e o cilindro de uma seringa

hipodeacutennica que furam utilizados CQmo bicos sopradores no experimento do tubo

borbulhador As bolhas satildeo formadas diacuteretamente no cilindro da seringa ou nas agulhas

hipodennieas que satildeo colocadas na seringa que estaacute ligada ao sistema de alimentaccedilatildeo de

ar

Figura 36 Bicos sopradores utilizados no eJ-perimento do tubo boIbulbador

Na tabela 31 temos as dimensotildees dos bicos mostrados na Fig 36 Para

verificarmos os efeitos do comprimento das agulhas utilizamos agulhas com o mesmo

diacircmetro mas que foram cortadas em comprimentos diferentes com uma serra

diamante como para as agulhas do grupo A e B A seringa e algumas agulhas possuem

dois valores na coluna relacionada com o dlacircmetro~ O primeiro valor corresponde ao

33 3 AparOfO Experimental

Bico Diacircmetro (mm) I Comprimento(mm) Internoexterno

Sltlrin PlaacuteStica I 08113 2 AI

A2 072128 0721l2amp

2 246

A3 072128 377

BI 072 2 B2 072 145 83 072 102

B4 072 51 CI 05 2

Tabela 31 Dimensotildees da seringa e das agulhas utilizadas como rocos sopradores no experimento do tubo boIbulhador

diacircmetro interno e o segundo valor estacirc relacionado com o diacircmetro externo Para as

demais agulhas temos apenas um valor corresponde apenas ao ctiacircmetro externo

37 O sistema pnenmaacutetico

o objetivo do sistema pneumaacutetico eacute fornecer o ar numa vazatildeo estabilizada para

ser soprado no liquido viscoso O ar eacute comprimido por um compressor com um

reservatoacuterio de 75 litros no qual um pressostato foi calibrado para manter o ar na faixa

de pressatildeo entre 70 e 100 psi (libra por polegada quadrada) A pressatildeo do ar eacute reduzida

para 60 psi em um segundo reservatoacuterio de 200 litros~ atravecircs de uma vacirclvula

reguladora de pressatildeo Uma segunda reguladora proacutexima do bico soprador reduz a

pressatildeo do ar para 10 psi e a vazatildeo eacute controlada pelo conjunta controlador fonnado

pelo medidor de vazatildeo~ controlador e vaacutelvula solenoacuteide Deste modo urna vazatildeo estaacutevel

chega atocirc o bico borbulhador

38 O sistema sonoro

A onda sonora eacute gerada no topo do tubo por um alto-falante de bobina moacutevel O

sinal eleacutetrico para o alto-falante eacute gerado num gerador de funccedilotildees Tektronix modelo

AFG 320 e amplificado em um amplificador de aacuteudio Nwa O gerador de funccedilotildees

34 3 Aparato Experimental

possui uma placa GPIB que permite o controle de todas as suas funccedilotildees atraveacutes do

microcomputador

A equaccedilatildeo de onda [Fletcher e Rossing 1991] dentro do tubo em coordenadas

ciliacutendricas eacute

L~(rq) +2-(OP~ + 8p __1 8p r1 (31 )ratilde a- ocircqz) fk2 - v atilde 1

onde p eacute a onda de pressatildeo na direccedilatildeo x e Vs eacute a velocidade do som no ar A soluccedilatildeo

desta equaccedilatildeo eacute

p(rfPx) = P (mfP)JJ1laquoIr) exp[iacute(-kx +ml)] (32) a

onde Jmeacute uma funccedilatildeo de Bessel e qmn eacute definido pela condiccedilatildeo de contorno ocircplocircr=O e r

= a (a li O raio do tubo) tal que a derivada Jm(7rqmn) eacute zero Se considerarmos em

primeira aproximaccedilatildeo o tubo borbulhador como um tubo com uma extremidade

v bull =3v v =5v v~ 41 3 4L 5 41

Agrave =41 ~= Agrave ~j-I1

TIA

I 1 I

JII N

jL 5 5

AI ~A

A

N N

Figuraacute 37 Os trecircs primeiros modos de um tubo com uma extremidade fechada

fechada podemos

estimar a frequumlecircncia de

urna onda em seu

interior Uma

propriedade geral de

ondas sonoras

confinadas em tubos eacute

que os valores de

amplitude maacutexima

ocorrem em valores

discretos da frequumlecircncia

da onda Na Fig 37

3 Aparato Experimental 35

podemos ver os trecircs primeiros modos de um tubo com a extremidade inferior fechada

A distacircncia do centro do tubo agraves linhas finas desenhadas dentro deste representa

a amplitude de deslocamento da onda em cada ponto N e A designam as posiccedilotildees dos

nodos e antinodos de deslocamento As frequumlecircncias VII de ressonacircncia do tubo satildeo dadas

por

v v =(2k + 1)- (33) 41 ~

onde I ecirc o comprimento do tubo e k = OJ23~ o que nos fornece apenas os 1

harmocircnicos iacutempares

O (a) AJllm

134

(d)

_-_ -__ I

I AIMcm~

M o~

H -8

00 Microfone015

ro (b) -= ~

j~

~ --~

-- AJm00

o (C) I

JI~m(JQegtn

L- m

Ia bull ~ d 1

1l _ _~ Ooo~ J

ftequumlecircnda da onda HZl

Figura 38 Resposta do microfone laquoJl0cad0 atilde uma distacircncia Alm dentro do ruoo borbulhador na sua parte superior para wna onda SOOOIa senoidal gerada pelo alto-falante Em (a) o microfone foi colocado a 2 em da superfieie do liacutequido (b) 34 em e (c) 60 em Em (d) vemos um cliagrarna que mostra a distacircncia Alm

36 3 AparaJ() Experimental

Foi verificada a frequumlecircncia de ressonacircncia do tubo borbulhador~ obtendo um

sinal proporcional ao deslocamento da onda sonora colocando um microfone dentro do

tubo A distacircnciacutea entre o microfone e a superfiacutecie do liacutequido eacute Alm O sinal obtido pelo

microfone) colocado em trecircs alturas distintas dentro do tubo borbulhador estaacute mostrado

na Fig 38 onde temos os valores obtidos para as alturas de 2 em 34 em e 60 em em

relaccedilatildeo ao niacutevel do liacutequido~ com um comprimento de coluna de ar total de 60 em

Variarulo a frequumlecircncia da onda entre 100amp e 160 Hz obteve-se que a frequumlecircncia de

ressonacircncia do tubo eacute de aproximadamente 134 Hz O sinal do microfone tem a mesma

furma que o sinal senoidal injetado no alto-falante

Depois de determinada a frequumlecircncia de ressonacircncia do tubo nas condiacuteccedilotildees do

paraacutegrafo anterior obtivemos o sinal do microfone colocado em vaacuterios pontos do tubo~

para os trecircs primeiros mnocircnicos 134gt 402 e 670 Hz como estaacute mostrado na Fiacuteg 39

de modo a verificar experimentalmente as posiccedilotildees dos nodos e antinodos de

deslocamento Na Fig 39 podemos ver que a tensatildeo natildeo se anula na origem portanto a

onda natildeo forma um nodo exatamente na superficie do liquido para os trecircs harmocircnicos

mas parte da onda refrata no liquido

08 bull - bullbullbullbullbullbull ~ 06 j freq 134Hz

o bull M ~c-o m 02 o ~

00 0-

gt 02 ~ c-~ o ~ 00

shyshy- _freq 402Hz ~~ ~

- - _ shy-

o

003 freq 670Hz -~ - 2 - ~

002 1 ~- -IHl ltshy bullbull 001bull bull ~

000 o O 30 0 50 60

Alm(cm)

Figura 39 Nados e antinodos deruro do tubo para OS trecircs primcitos harmocircnicos medidos em diferentes posiccedilotildees na parte de ar com as freqilecircncias de 134 Hz 402 Hz e 670 m Podemos notar nos trecircs graacuteficos que a onda sooorn natildeo forma exatamente um nodo na superficie do liacutequido

37 3 Aparato Expenmental

39 O liacutequido

o liacutequido utilizado foi preparado em soluccedilotildees utilizando-se diferentes

concentraccedilotildees de aacutegua e glicerina

A tensatildeo superficial foi obtida atraveacutes do meacutetodo do tensiocircmetro de anel [Ueta e

Tabacniks 1989] que consiste em se determinar a forccedila para se elevar um anel delgado

do liquido e relacionando-a com a tensatildeo superficial numa temperatura de 25()C Na

tabela 32 temos a tensatildeo superficial de alguns liacutequidos comuns obtidos com este

meacutetodo Para as diferentes concentraccedilotildees de glicerina obtivemos OS valores da Fig 310

Liacutequido

Tensatildeo superficial (diIlalcm) I

Aacutegua destilada

72

Agua de torneira 66

0100 20Wmiddot50 (Mobil) I 35

Glicerina 58

Alcool hidratado 30

Agua com detergente 36

Detergente 23

Cafeacute (soluccediliio) 42

I

~1------Tabela 32 Tensatildeo superficial de alguns liquidas comuns medidos pelo meacutetodo do tensiocircmc1TO dCanel

r------------------------------------- n

Ecirc ~66

i tM ~ ~

58

J

i

T ~ -

~

bull bull i J I bullbull 1 ~ -

bull +

1~ -~~~ o 20 40 00

deHp

Figura 310

Tensatildeo

superficial

medida COm oacute

meacutetodo do

tenSJocircmetro do

ane1rma cliacuteferenles

concentraccedilotildees

de aacutegua e

glicerina

38 $ Aparato ~mentaJ

A viscosidade das soluccedilotildees de aacutegua e glicerina foi estImada atraveacutes do meacutetodo

de Stokes [Veta e Tabacniks 1989] e a viscosidade varia como a funccedilatildeo exponencial

mostrada na Fig 311 para 25 C Para os valores da viscosidade da aacutegua pura e da

glicerina para diferentes temperaturas fui consultada uma tabela de viscosidades [Perry

e Clinton 1972 Weast e Selby 1996]

1500 r 1250

bull p shy1000 -shy

bull u- ~ ~ 750

~ J_ ampl 500

gt

- 250

u HH

o [ ===-==i I UUUU

O 10 20 30 40 50 60 10 80 90 100

de Glicerina na aacutegua

Figura 311 Variaccedilatildeo da viscosidade com a concentraccedilatildeo de glicerina na soluccedilatildeo

310 Imagens

Algumas imagens foram obtidas para esclarecer alguns aspectos da formaccedilatildeo

das bolhas As imagens da formaccedilatildeo das bolhas furam feitas atraveacutes de uma cacircmera

VHS Para iluminar o tubo borbulhador utilizou-se a teacutecniacuteca de iluminaccedilatildeo traseir~

com uma placa transluacutecida para difundir a luz proveniente de uma lacircmpada

fluorescente e o tubo borbulhador foi colocado entre a placa difusora de luz e a cacircmera

As imagens obtiacutedas foram digitalizadas e annazenadas

39 3 Aparato JxpflinJeacutentttl

Figura 31l Imagens obtidas partir do experimentn do tubo borbulhador Em (I) VCIlOS bolha se fonnando junto agrave seringa enquanto a bolha anterior emerge no liqujdo (2) a bolha aumenta de volume mas o empuxo natildeo eacute suficiente para retiraacute~la do bico 3 a bolha se-descola do bico mas eacute alimentada por um pescoccedilo~ (4) a bolha se destaea do bico e Cf perfil evolui para a fonna elipsoidal

Na Fig 312 temos a evoluccedilatildeo de uma bolha se formando junto ao bico

soprador numa soluccedilatildeo viscosa de aacutegua com glicerina em quatro instantes distintos A

forma final das bolhas depende de vaacuterios fatores entre eles o seu volume~ e isto pode

ser observado nas cinco imagens da Fiacuteg 313

11 1 Ilcml 1I em 1 11 I Ilcml

m ~jj O 4~~

ttif1id-gt0

(a) (b) (c) (d) (e)

F1gura 313 Exemplo do perfil das bolhas em relaccedilatildeo ao seu tamanho

3 Aparato Experimental 4iacuteJ

311 O Experimento da Torneira Gotejante

o experimento da torneira gotejante foi uma das primeiras tentatiyas de se criar

um sistema com o propoacutesito de se observar o Caos deterministiacuteco Este experimento

possui um extenso material produzido pelo LFNL que pode ser encontrado na fonua de

dissertaccedilotildees de mestrado e teses de doutorado [da Rocha 1995 da Silva 1996 Tufaile

1996 Gonccedilalves 1996 Pinto 1999J

O experimento consiste basicamente de um bico got~ador que eacute alimentado por

um grande reservatoacuterio~ como pode ser visto no diagrama do aparato experimental da

Fig 314 O tempo associado para cada gota eacute medido do mesmo modo que o descrito

na seccedilatildeo 33 para o tempo entre as bolhas~ mas para o experimento da torneira gotejante

o feixe laser estaacute posicionado - 9 em abaixo do bico

Noacutes controlamos a taxa de gotejamento (fgot=ltlTraquo mantendo o niacutevel do

reservatoacuterio intermediaacuterio constante e selecionando a frequumlecircncia de gotejamento atraveacutes

da abertura da vaacutelvula acionada por um motor de passo e controlada por um

microcomputador Para uma dada taxa de gotejamento noacutes construiacutemos os mapas de

primeiro retomo

Relervut6rio Foot

cmroJ_ denivcl

Fotodiodo o

Laa o Computador

o

Res~ -00

Figura 314 Diagrama -do experimento da torneira gotejante

4 Resultados e Anaacutelise 41

4 Resultados e Anaacutelise

A formaccedilatildeo das bolhas eacute frequumlentemente imaginada como () experimento da

torneira gotejante 1nvertido Esta analOgia eacute fraca e para podermOs verificaacute-la

estudaremos inicialmente a formaccedilatildeo de gotas e depois estudaremos a formaccedilatildeO das

bolhas

41 A torneira gotejante I

As equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem para a torneira gOtejante) propostasI no modelo de Shw [Shw 1984] com as modificaccedilotildees de DInnocenzo e Renna

[Dlnnocenzo e Relllll 1996] satildeo

t=V d(M=Mg_kx_bv (41)

dMrJI=Q

Onde x eacute a coordenada do centro de massa da gota ordmeacute O fluxo de aacutegua A tensatildeo

superficial e o atrito entre a aacutegua e a torneira satildeo dados pela constante de mola k e por b

respectivamente Uma gota ~ se desprende do bico com velocidade Vc com o fator

de reduccedilatildeo a quando o centro de massa alcanccedila o limiar xc

iAIJ aJyJ (V (42)

Figura U Seacuterie temporal obtida com o modelo da tomeira gotejante variandolaquo a vazatildeo Q k=475 dinalcm g=980 cm~ 1gt=1 g~ lt9114 em 09119 sim

42 4 ResultatWs e Anaacutelise

Na Fig 41 mostramos uma seacuterie temporal obtida a partir do modelo das

equaccedilotildees (41) com os paracircmetros k=475 dinalcm g=980 crnls b= 10 gls x=O 14 em e

a=O (9 sIm Na integraccedilatildeo do modelo foi utilizado um integrador Runge-Kutta de

-

0D75

(j) E 0050 ~

J

0025

0025 0050 0075 T

N (ms)

Fibllra 42 Atratores caoacuteticos reconstruiacutedos fixando~se a vazio em trecircs valores distintos de nzatildeo Q A dimensatildeo de Kaplatl~Y orkc Dy foi culculndn para cuumlda um destes tratores (n) DRY 12(1) (b) Drn 139(1) (c) DKy173(2)

(a)

lo

shy

(b)

7- iacute I

I 0

~

~ (e)

I rt j~1l~middott~i~i ~ v ) t ~ Amiddot shy ~ ~~ -1

[1 f ~ ~j bull

-) F ~-lt_ f4~-tgt 1- --~ 1

l yA- -~O __ _~ shy

~-~lt

quarta ordem com passo de

integraccedilatildeo de 10-6 e condiccedilotildees

iniciais x(O)=OO em e y(O)=O I

ems Nesta seacuterie temos uma

sequumlecircncia de dupliacutecaccedilotildees de

periacuteodo para 05ltQlt087 mls

caos e janelas perioacutedicas para Q

acima de 087 rnJls c um

alargamento abrupto do atrator

proacuteximo de Q102 mls

Na Fig 42 vemos trecircs

atratores para trecircs diferentelt

valores de vazatildeo Q do modelo

Pora cada um destes atratores

foi calculado os expoentes de

Lyapunov e sua respectiva

dimensatildeo de Lynpunov que os

caracterizaram como caoacuteticos

devido a existecircncia de

expoentes de Lyapunov

positivos Na Fig 42(a) temos

um atrator formado por quatro

bandas ca6ticas com vazatildeo Q=

0885 mlls Para uma vazatildeo

maior de 095 mlls Fig 42(b)

temos um atrator ca6tico com

duas bandas ca6ticas Na Fig

42c) um atrator caoacutetico mis

largo apoacutes a crise para

Q=I05 mlls

t RCSllfladQs e AtuUis 4

710 (b~f (a) 500 I

700 1 E g 400 1 iacute 300

200

1 jJ

670 ~ 100 670 680 690 700 710 100 200 300 400 500

T() T(ms)

Figura 43 (a) dados experimentais para uma frequumlecircncia de gotejamento de 146 gotass (b) atrator obtidQ ccedilom o modelo com de oscilador com relaxaccedilatildeo com uma frequumlecircncia de 315 gotass

(a) ltTgt=1146 me (b) ltTgt=1136 rns

Tn 2

120

110

11Cf

110120 T

120

Tnbull1

TM

120

90 9~ 12

120middot TM

T 90

Figura 4A (n) atrator experimental com um frequumlecircncia meacutedia de 8726 gotas Is (b) atrator obtido a partir da simulaccedilatildeo com uma frequumlecircncia mldia de 880 gotass

44 4 Rewlltados e AndUsc

Fizemos duas comparaccedilotildees entre os dados experimentais e o modelo Tufaite et

aI 1999 Apecircndice 1] Na Fig 43(a estaacute mostrado o mapa de primeiro retorno

experimental mantendo-se constante o niacutevel do reservatoacuterio intermediaacuterio com uma

frequumlecircncia de gotejamento de 146 gotass com o bico de vidrQ Uma estimativa para os

valores experimentais eacute dada por k=365 dinaicm xccedil -O6 em e Q no intervalo 012-015

gls As simulaccedilotildees do atrator usando estes valores para os paracircmetros natildeo convergiram

para vaacuterios valores de a e b Desta forma outro conjunto de valores foi procurado para a

reproduccedilatildeo do atrator experimental Os valores escolhidos foram k = 475 dinacm XI

13 em Q=015 gls a = 02 sem e b = 10 SI como estaacute mostrado na Fig 43(b) com

uma freguumlecircncia de gotejamento de 315 gotass

Na Fig 44(a) estaacute mostrado um atrator reccedilonstruiacutedo em um mapa

triacutedlmensional Tn+2 VS Tn1 vs Tnbull com a frequumlecircncia de gotejamento de 8726 gotass

O perfil do atrator foi simulado com os paracircmetros cOm os seguintes paracircmetros

Q=0141 gls x = 0251 em 051 sem b=O943 SI e k=120 diacutenalcm como estaacute

mostrado na Fig 44(b) A frequumlecircncia meacutedia de gotejamento eacute de 880 gotass pr6xima

do valor experimentaL Os dois atratores da Fig 44 apresentam expoentes de Lyapunov

positivos e dimensotildees de Kaplan-Yorke lOplusmnOl (atrator experimental) e 11plusmnO1

(modelo)

Outros atratores obtidos a partir de mapas criados baseados neste modelo podem

ser encontrados na literatura [Renna 1999] assim como comparaccedilotildees entre atratores

experimentaiacutes e simulados na mesma regiatildeo de vazotildees das Figs 43 e 44 IDInnocenzo

e Renna 1997] Em todas estas referecircncias o modelo apresenta problemas quando os

valores escolhidos para os paracircmetros satildeo os mesmos do experimento que nonnalmente

causam divergecircncia das soluccedilotildees durante a integraccedilatildeo Uma possiacutevel causa destes

problemas eacute fato de que a gota natildeo se rompe exatamente sempre na mesma posiccedilatildeo mas

em alturas diferentes com relaccedilatildeo ao bico Concluiacutemos que este modelo apresenta

Cuumlfilcteriacutesticas qualitativas interessantes mas que natildeo pode ser utiHzad9 para

comparaccedilotildees quantitativas com a experiecircncia Modificaccedilotildees neste modelo estatildeo sendo

feitas por Fuchiacutekami [Fuchikami el aI 1999] que compara este modela com outro

modela mais elaborado que utiliza por princiacutepio fiacutesico a minimizaccedilatildeo da energia com

relaccedilatildeo ao perfil da gota que cresce junto ao bico O modelo de Fuchikami utiliza uma

descriccedilatildeo Lagrangeana para calcuIar numericamente a evoJuccedilatildeo da formaccedilatildeo da gota

45 I i

i

4 Resultadltgts eAnaacutelise

42 Dinacircmica das bolhas Veremos nesta seccedilatildeo os diferentes regimes d borbulhamento causados pelo

aumento da vazatildeo do ar~ e como podemos esclarecer as transiccedilotildees destes regimes

atraveacutes de alguns modelos

421 Formaccedilatildeo quase-estaacutetica

Devido acirc complexidade do processo da formaccedilatildeo de bolhas os modelos

existentes satildeo adequados apenas em casos particulares [Clift e aI 1978) Para uma

bolha se formando em condiccedilotildees quasemiddotestaacuteticas o equillbrio de forccedilas na bolha eacute dado

por

f = (43)

onde f g eacute a forccedila da gravidade e f (J eacute a forccedila devido agrave tensatildeo superficial Para um

orifiacutecio do tipo bico circular a equaccedilatildeo (43) tem a forma

mg = 2R7Ilt7 (44)

onde m eacute a massa do liacutequido deslocado pelo volume da bolha g eacute aceleraccedilatildeo da

gravidade R eacute o raio do bico soprador e G eacute tensatildeo superficial entre o ar e liquido

Tomando um bico com Rb = OA mrn e criando-se uma bolha de ar na aacutegua nas

condiccedilotildees qua8e~estaacuteticas quandO a tensatildeo superficial do sistema eacute igual a O~07 Nm e g

eacute igual a 98 ms teremos uma massa de liacutequido deslocado de

m = 1810 kg (45)

Como temos a densidade da aacutegua igual a 1 gcm3bull o volume maacuteximo da bolha seraacute dado

por

m V=-=18mm (46)

p

Se considerarmos urna esfera de volume equivalente teremos um raio para a bolha r)

reacute 1~6mm (47)

Podemos tambeacutem estimar a pressatildeo do ar dentro de uma bolha atraveacutes da

relaccedilatildeo

2lt7 Pl-Pl ~-- (48)

Se a interface natildeo eacute esfeacuterica mas possui como raios principais de curvatura le e

r entatildeo equaccedilatildeo (48) teraacute forma

46 f Resultados cAnaacutelise

(49)p - p = 2~ lt) As diferenccedilas de pressatildeo das equaccedilotildees (48) e (49) fomece-nos a pressatildeo laplaciana

devido agrave tensatildeo superficiacuteal[Clift oi ai 1978]

Para uma bolha com o raio de 16 mm como calculado na equaccedilatildeo (47) bull

diferenccedila de pressatildeo entre o ar dentro da bolha e a aacutegua eacute

p - p = 175Pa (410)

Para uma bolha a 5 cm da superfiacutecie teremos Pl = 500 p~ entatildeo~ de acordo com a

equaccedilatildeo (410) a pressatildeo dentro da bolha seraacute de 675 Pa ou seja a pressatildeo dentro da

bolha eacute equivalente a uma oolunade aacutegua de 675 mm

Esta anaacutelise soacute eacute vaacutelida para sistemas em equiliacutebrio fora do equiliacutebrio outros

meacutetodos de anaacutelise satildeo empregados e seratildeo discutidos na proacutexima seccedilatildeo

422 Formaccedilatildeo de bolhas com vazatildeo constante

Podemos obter um modelo para baixas vazotildees fazendo algumas suposiccedilotildees

sobre a geometria da bolha [Daviacutedson e Schuumller 1960J O modelo segue as seguintes

consideraccedilotildees

1 A bolha eacute esfeacuterica durante sua formaccedilatildeo

2 Natildeo haacute cireulaccedilatildeo do liquido ao redor da bolha que estaacute se formando de tal

modo que o liacutequido estaacute em repouso quando a bolha comeccedila a se formar

3 O movimento de uma bolha natildeo eacute afetado pela presenccedila de urna bolha acima

ela

4 A bolha estaacute a todo instante movendo-se na velocidade de Stokes apropriada

para o seu tamanho

S Quando a bolha atinge o raio maacuteximo R ela se destaca

Considerando O movimento de uma bolha que se forma em um ponto longe das paredes

de um reservatoacuterio infinito nas condiccedilotildees acima a velocidade do centro da bolha v no

tempo t apoacutes o comeccedilo da sua fonnaccedilatildeo seraacute dada pela velocidade de Stokes

2rg v=-~ (411)

9v

onde v eacute a viscosidade cinemaacutetica do liacutequido dada pela razatildeo entre a viscosidade e a

densidade do liquido Aleacutem disso se Qeacute o fluxo do gaacutes entatildeo o volume da bolha V eacute

41 4 Resultados e Anaacutelise

V=QI= 4- (412)3

Deste modo definindo x como a distacircncia entre o centro da bolha e o ponto de

suprimento do gaacutes obtemos a equaccedilatildeo que define o movimento do centro da bolha

atraves do seu raio r como uma funccedilatildeo de Q e t dados pela equaccedilatildeo (412)

Substituindo r na equaccedilatildeo da velocidade d Stokes

v2g (3Q ) ( (413)9v 4Jr

e integrando a equaccedilatildeo (411) em relaccedilatildeo a t noacutes obtemos O deslocamento do centro da

bolha em funccedilatildeo do tempo

2 Ir (414)x=Jl-lt3QJ 15v 411

A bolha iraacute se destacar quando x = R o raio maacuteximo da bolha com o tempo para a

formaccedilatildeo completa da bolha T obtido partir da equaccedilatildeo (414)

ltT=ll~)() (415)

que nos daacute uma relaccedilatildeo hiperboacutelica entre o tempo T da formaccedilatildeo da bolha e a vazatildeo Q

como mostrado no graacutefico da Fig 45 Com isto obtemos que a relaccedilatildeo entre a

frequumlecircncia de borbulhamento F = (11) e a vazatildeo volumeacutetrica do ar Q eacute

F ltcQM (416)

Este eacute um modelo razoaacutevel para baixas vazotildees pois explica de modo simples as

principais caracteriacutesticas da variaccedilatildeo da frequumlecircncia do borbuJhamento com a vazatildeo do

ar Entretanto~ as cinco condiccedilotildees para fonnaccedilo das bolhas no iacuteniacutecio desta seccedilatildeo natildeo

satildeo rigidamente observadas isto fuz a equaccedilatildeo (416) ter um caraacuteter principalmente

qualitativo O trabalho de Ponter e Surati [ponter e Surati 1997] fuz um estudo

comparativo entre vaacuterios trabalhos que investigam a emissatildeo de bolhas a partir de

orifiacutecios submersos e apontam como principal causa da discrepacircncia entre os diferentes

resultados experimentais a influecircncia da superfrcie do biacuteco soprador e a falta de

padronizaccedilatildeo da geometria do equipamento Mesmo com as discrepatildencias~ O

comportamento hiperboacutelico com as bolhas se formando sequencialmente eacute observado

quandO se aumenta a vazatildeo [Sulliacutevan et aI 1964) No nosso trabalho soprando ar

diretamente na seringa para vazotildees acima de 200 rolmin ocorrem bifurcaccedilotildees no tempo

entre bolhas e isto eacute o tema da proacutexima seccedilatildeo

4 Resulfados eAnaacutelise 4amp

n 423 Biacutefurcaccedillies Tempo entre Dependendo bolluls

principalmente da

geometria do bico

soprador para vazotildees

acima de um determinado -shy ~m~~ valor ocorre uma

transiccedilatildeo de um regimeQ-vazatildeo de borbulhamento

igualmente espaccedilado noFigura 45 Esboccedilo da dependfulcia hiperboacute1ia entre o tempo do borbulhameniO c a vazatildeo de ar tempo para um regime ~----------------------~

no qual as bolhas se formam com dois tempos distintos e emergem aos pares formando

um dubleto [Davidson e Schuumller 1960 Marmur e Rubin 1975 Miyhara cl al 1983

Tritton e Egdell 1993 Mitoni ct al 1995 Kyriaides oi ai 1997] Este fagraveto pode ser

atribuiacutedo agrave transferecircncIacutea de momento do ~ poiacutes uma parte do liacutequido fica agregada agrave

superficie da bolha formando uma casca esfeacuterica liquida que eacute chamada de massa

virtual P [Davidon e Schuumller 1960 Miyhara el ai 1983] reduzindo o empuxo da

bolha para 1116 Aleacutem disso noacutes podemos fazer um modelo simplificado para a

formaccedilatildeo das bolhas Se considerarmos aacute presenccedila de uma forccedila restauradora de

coeficiente k devido agrave tensatildeo superficiaI~ usando as consideraccedilotildees 14 e 5 da seccedilatildeo 422

e considerando que existe uma forccedila dissipativa na formaccedilatildeo da bolha (que eacute

proporcional agrave velocidade bv) Utilizando a segunda lei de Newton chegamos agraves

equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem

dx _~=y

di d(Mv

di = (JMg - kx -lN) (417)

fiM di =Q

onde x eacute a posiccedilatildeo do centro da bolha M eacute a massa de liacutequido deslocada pela bolha

(M~Vp) Aleacutem destas equaccedilotildees uma quarta equaccedilatildeo define quando a bolha deve se

destacar No momento que a e1a atinge o ponto criacutetico xcgt a bolha se desprende do bico

soprador com a massa

49 4 Re$1lltatlos eAnaacutelise

M=aMve (418)

com M e V sendo a massa e a velocidade no ponto de rompimento Xc respectivamente

A constante de proporcionalidade de massa eacute a O diagrama do modelo pode ser visto

na Fig 46

AA1 X

p M

k oacute

Figura 46 O modelo de oscilador de massa variaacutevel para a formaccedilatildeo de bolhas

1

50 4 Resultados e Anaacutelise

Estas equaccedilotildees foram inspiradas em equaccedilotildees do mesmo tipo para o

experimento da torneira gotejante (Tufaile el ai 1999 Apecircndicel] mostradas na seccedilatildeo

41 Shaw [Shaw 1984] propocircs o primeiro modelo para a torneira gotejante inspirado

nas ideacuteia de Rayleiacutegh O modelo foi atualizado por Saacutenches-Ortiz e Salas-Brito

(Sacircnehes-Ortiz e Salas-Brito 1995a Saacutenches-Ortiz e Salas-Brito 1995b] e

independentemente por D~Innoncenzo e Renna [D~Innoncenzo e Re~ 1996] que~

atraveacutes da mudanccedila do mecanismo de rompimento mostraram uma vasta gama de

comportamento caoacutetico usando o modelo e o quanto ele pode ser comparado com dados

experimentais Eacute importante saliacuteentar que apesar da enonne simplificaccedilatildeo que se faz

quando se reduz um sistema fluido com muitos graus de liberdade para um modelo

unidimensional1 existem muitos resultados que podem ser compreendidos usando O

modelo de oscilador de massa variaacutevel~ como bifurcaccedilotildees comportamento caoacutetico e

janelas perioacutedicas Seguindo esta linha Kiyono e Fuchikami trabalham na construccedilatildeo de

modelos de oscilador de massa variaacutevel t utilizando resultados obtidos a partir de seu

modelo hidrodinacircmieo (Kyono e Fuchikarniacute 1999]

Na Fig 47 vemos espaccedilos de fuse para a formaccedilatildeo de bolhas para diferentes

vazotildees numa sequumlecircncia que evolui desde o penado 1 ateacute o comportamento caoacutetico

Para a vazatildeo de l~O mIIs obtivemos um ciclo limite com a velocidade crescendo

atingindo um valor rnacircximo e depois diminuindo retornando proacuteximo ao valor inicial

Neste instante ocorre o rompimento e a proacutexima bolha inicia o ciclo com a mesma

posiccedilatildeo da bolha anterior deste modo o sistema retoma abruptamente ao ponto inicial

(x-Ol em e v-l4 crnls) Para a vazatildeo de 18 mIIs O sistema atinge o ponto de

rompimento com duas condiccedilotildees de rompimento distintas a primeira com uma

velocidade ascendente e uma segunda com uma velocidade descendente Para 20 mVs

temos uma outra duplicaccedilatildeo de periacuteodo levando a um periacuteodo quatro e finalmente para

uma vazatildeo de 2~15 rn11s vemos O espaccedilo de fase do comportamento caoacutetico

A seacuterie temporal deste modelo estaacute na Fig 48 e mostra as variaccedilotildees da

dinacircmica com a variaccedilatildeo da vazatildeo na faixa de vazatildeo 08 lt Q lt 22 m1s Para uma

vazatildeo por volta de 155 mls ocorre uma duplicaccedilatildeo de periacuteodo Para l97 rnVs uma

descontinuidade na seacuterie~ seguida de novas duplicaccedilotildees e caos

bull bull bull bull

51 4 Resultados e Anaacutelise

f I ~ ~ bull ~

1gt gtligt

tobull o 0- o ~ ~

fmiccedil)o (em)

otltl_J l

j

(

11

r ( ~

(I

~ ~ m f I - _r

i__=---~1 ~ ia_t6tttll-

Ibulli ~

~ ccedilshyreg 11110 o~

PM~a ftm)

Ot1SINIo ~1 ~

li ~ I~

~ ~ bull

bull ~ lt - -- u bullbull~ ~

Figura 4~1Espaccedilos de fase obUaoscom o ruacuteOdelo de oscilador de tna$il vnveCg 10 mIlsPeriacuteodo 1 Q=l8 m1Is duplicaccedilatildeo de periacuteodo periacuteodo 4 para 20 m1Is e comportamento caoacutetico para 215 mlJs Os paracircmetros do sistema satildeo x=O19 em 0=025 b=25 em$ g980 ems k=480 dinalcnt

Deste modo podemos ter uma

visatildeo geral de como ocorre uma

duplicaccedilatildeo de periacuteodo do espaccedilo de

fases da [onnaccedilatildeo de bolhas aleacutem da])- ~1 lO regiatildeo da formaccedilatildeo quase~estaacutetic8shy

baseada em um modelo mecacircnico

simplificado OUlro modelo para a Q(mYl)

formaccedilatildeo de bolhas pode ser encontrado

Figura 48 Seacuterie temporal do modelo de oscilador I no trabalho de Marmur e Rubin de massa variaacutevel para o tubo boIbulhador

[Marmur eRubiacuten 1975] que do mesmo

modo que Fuchikami [Fuchikamiacute el ai 1998] utiliza o formalismo Lagrangeano

52 4 Resultados e Anaacutelise

424 Veias liacutequidas

Verificamos experimentalmente a ocorrecircncia da agregaccedilatildeo de liacutequido junto agrave

bolha que causa a reduccedilatildeo do empuxo sobre a bolha Utilizando um sistema de trecircs

fases (ar aacutegua e oacuteleo) observamos a fonnaccedilatildeo de veias liquidas Uma veia liacutequida

ocorre quando temos um canal de aacutegua dentro do oacuteleo que eacute sustentado pela

emergecircnciacutea das bolhas como pode ser visto no diagrama da Fig 49 Na literatura

existem classificaccedilotildees para padrotildees de fluxos de duas fases como o padratildeo de

borbulhammo padratildeo d jateamento e padratildeo anular [Sharpe 1994] O primeiro caso

borbulhameoto eacute o caso tratado neste trabalho o padratildeo de jateamonto [Ruzicka 1997]

ocorre quando o gaacutes possui velocidades maiores do que a do borbulhamento e eacute

espargido dentro do liacutequido o terceiro caso~ o padratildeo anular ocorre para velocidades

ainda maiores do gaacutes que passa pelo centro do liquido formando um tubo gasoso COm

gotiacuteculas do liacutequido subindo pelo centro junto com o gaacutes Devido bull propriedades

viscoelaacutesticas do ocircleo diferenccedila de cor entre o oacuteleo e a aacutegua e a refraccedilatildeo do sistema

aacutegua-ar podemos ver a fonnaccedilatildeo desse padratildeo anular a veia liacutequida num sistema de

trecircs fases ar aacutegua e oacuteleo e deste modo verificar o arrasto da aacutegua junto com as bccedillhas

Veia liacutequumlida induzida por bolhas

Ar

Figura 49 Um sistema de tns fases iroisciveis formado por aacutegua ar eacute oacuteTeo criando uma veia liquida A aacutegua forma uma coluna dentro do oacuteleo com um fluxo ascendente proacuteximo do centro e um fluxo descendente na parte ell1ema

4 Resullado$ e Anaacutelise 53

o liacutequido que envolve a bolha deve ter a mesma velocidade da superfiacutecie da

bolha formando uma casca esfeacuterica de liacutequido A casca esfeacuterica de aacutegua acompanha a

bolha ateacute o ponto em que ela atinge a superfiacutecie do sistema Hquido~ a partir deste ponto

este volume de aacutegua eacute afastado lateralmente e inicia a descida para a base da coluna Na

Fig 4 1O~ podemos ver uma imagem obtida no LFNL de uma veia liquida

a porte avermclhada eacute 6100 a coluna central eacute constituiacuteda de aacutegua com bolhas no seu interior

A existecircncia da m d Ilquiacutedo

agregada junto a bolha eacute um fato que

mostra que a experiecircncia do tubo

borbulhador natildeo eacute o experimento da

torneira gotejante invertiacutedo

Se aumentarmos a vazatildeo de ar

inicialmente ocorre uma acumulaccedilatildeo de

aacutegua sobre o oacuteleo que depois se precipita

na forma de uma bolsa de aacutegua como

podemos ver na seqililncia de imagens da

Fig 41 L Deste modo O fator de massa

agregada fJ das equaccedilotildees (417) eacute uma das

princjpais diferenccedilas entre os modelos de

oscilador para bolhas e gOlas

Figura 411 Aumefllandose a freqiacuteiWcia de bolhas a aacutegua se acumula no topo da ooluna (a) ( acuacutemulo de aacutegua se desestabiliza e comeccedila a descer agarrada agrave veia (b) e em (c) temosa bolsa de aacutegua jaacute na base da veia liacutequida

1

54

-i

4 Resultados eAmilise

425 A estabilidade de dois fluidos sobrepostos

O problema fiico fundamental na fonnaccedilatildeo de bolhas em liquidos ecirc a

superposiccedilatildeo de dois fluidos de densidades muito diferentes O estudo de instabilidades

hidrodinacircmicas aborda tal problema aleacutem de outras instabilidades que tambeacutem satildeo

tratadas de um ponto de vista matemaacutetico muito interessante no livro Hydrodyllamlc

and Hydr(J11agnetlc Stability de Chandrasekhar [Chandrasekhar 1981] onde foram

estudadas as soluccedilotildees das equaccedilotildees hidrodinacircmicas para dois casos nos quais ocorre a

superposiccedilatildeo de fluidos

a) A instabilidade de Raylelgh-Taylor que trata da instabilidade da interface plana

entre dois fluidos

b) A instabilidade de Kelvln-Helmholtz que surge quando camadas diferentes de

fluidos heterogecircneos estratificados estatildeo em movimento horizontal relativo

Os problemas de instabilidade hidrodinacircmica envolvem o reconhecimento de fluxos

estagraveveis e instaacuteveis que satildeo obtidos para determinados valores dos paracircmetros que

governam o sistema Como exemplos temos o nuacutemero de Rayleigh~ para a convecccedilatildeo de

calor num fluido entre duas pacas uma acima e outra abaixo do fluido ou o nuacutemero de

Taylor para o comportamento do fluido entre dois cilindros coaxiais girantes

Restringindo-se agrave instabilidade de Rayleiacutegh-Taylor temos um arranjo com dois fluidos

de densidade unifurme~ um com a densidade Pl sob outro com densidade P2 sendo que

P2 eacute maior que pJ~ num campo gravitacional g A superfiacutecie horizontal que separa os

dois fluidos tem a tensatildeo superficial a Este sistema possui um nuacutemero de onda critico

kc pata as oscilaccedilotildees entre os fluidos~ dado por

klt = J(p - p)g I CF bull (419)

Os sistemas com nuacutemeros de onda no intervalo Oltkltkc satildeo instaacuteveis quando kgtkcl

temOS um estado marginal ou limite De um modo geral~ a tensatildeo superficial estabiliza

arranjos potencialmente instaacuteveis Levando em conta que a unidade de medida de Ir eacute

lm~ obtemos um nuacutemero puro conhecido como nuacutemero de Rayleigh~Taylor RT que

determina a estabilidade do sistema de fluidos sobrepostos

RT = glOcircp (420) CF

onde I eacute um comprimento caractcristico do sistema Este nuacutemero estaacute relacionado

diretamente com o nuacutemero de Eocirctvocircs (Eo) [Clift el ai 1978] para particulas gotas e

bolhas dado por

554 Resultados e Anaacutelise

~ U)

~

60 40 aacutegua + 6G gliccedila 33 aacutegua + 67 glicerina ~

50

~

40E ~ z I- 30

20 r

(~) I (7) I o 300 NaDo 9000 300 600 9000

(g)

100 aacutegua 50 aacutegua i 50 glicerina

N

20 aacutegua + 60 gliacuteceflna

(f) 300 000 900

Figura 411 Graacuteficos da transiccedilatildeo de regime do bolbulhamenlO di_ a vazltlo do ar Oaumento da viscosidade causa uma definiccedilio da dupUccedilaccedilio de periodo no experimento do tubo borbulhador como pode ser visto nos graacuteficos mostrados de (a) ateacute (I) A duplicaccedilatildeo de perlode tambeacutem eacute visiacutevel espacialmente como esta mostrado em (g) que temos o periacuteodo 1 com as bolhas se elevando igualmente espaccediladas c em (h) onde temos o periacuteodo 2 vemos a fonnaccedilatildeo dos dubletof de bolhas (33 aacutegua + 6Ou glicerina)

56 4 Resultados e Anaacutelise

gdApE0 -- (42t)

U

onde d ecirc o diacircmetro de uma esfera de volume Vequivalentlt d t (6V I n)1f3 ~ da

particula gota ou bolha obtido pela meacutedia d seus raios principais

Medimos o nuacutemero Eo juntamente com o nuacutemero de Reynolds Re das bolhas

[Clift el ai 1978J (Re = udp I P onde ueacute velocidade d fomaccedilatildeo da bolha p eacute a

viscosidade e p ecirc a densidade do liacutequido) Quando o sistema passa do regime de

periodo I para uma bifurcaccedilatildeo ou alargamento abrupto do tempo entre bolhas

obtivemos que o nuacutemero de Eotildetvotildes vale aproximadamente 26 plusmn1 para nuacutemeros de

Reynolds entre 200 e 1500 Este resultado foi verificado para todos os bicos utilizados

neste trabalho

426 Instabilidade da superfiacutecie da bolha

Utilizando algumas concentraccedilotildees diferentes de glicerina e o bico de seringa

verificamos1 no experimento do tubo borbulhador que os tempos entre bolbas ocorrem

em periacuteodo 1 para baixas vazotildees (O a 100 m1Imin) e que para faixas maiores de vazatildeo

os tempos entre bolhas ocorrem dentro de uma faixa de valores para baixas

concentraccedilotildees de glicerina ou em dois valores de tempo caracterizando um periacuteodo 2

para concentraccedilotildees maiores que 50 ~ como pode ser visto na Fig 412 Podemos ver

que com o aumento da viscosidade do liquido os ramos que ocorrem no penodo 1

I assim como os ramos do periacuteodo 2 ficam com valores mais estaacuteveis Segundo Mittonl

I [Mittoni et ai 1993] o aumento da viscosidade atraveacutes da glicerina produz atratores

mais estruturados e reprodutiacuteveis~ pois O aumento da viscosidade aumenta tambeacutem a

estabilidade do envelope da bolha e atenua a circulaccedilatildeo do liacutequido proacuteximo do bico

Este fato pode ser visto nas imagens da Fig 413 onde temos um conjunto de imagens

antes (al e depois (b) da duplicaccedilatildeo para a aacutegua e duplicaccedilatildeo de periacuteodo para a glicerina

(c d) Deste modo a viscosidade suprime instabilidades que podem levar agrave variaccedilotildees no

tempo de formaccedilatildeo da bolha

A instabilidade na formaccedilatildeo devido agrave baixa viscosidade pode ser vista na Fiacuteg

414 onde temos uma comparaccedilatildeo entre a aacutegua e a soluccedilatildeo com 80010 de glicerina e 20010

de atildegua Na Fig 4 14(a) temos o mapa de primeiro retomo com 10000 pontos para o

57 4 Resultados e Anaacutelise

bico de seringa com uma altura de coluna de 3 cm e uma vazatildeo de ar mantida constante

em 50mVmin

Este regime de borbulhamento corresponde a um periacuteodo 1 para a aacutegua com os

pontos se espalbando num intervalo entre 75 925 ms e n Fiacuteg 414(A) vemos o

histograma correspondente agrave frequumlencia de visitaccedilatildeo dos tempos entre bolhas com um

valor meacutedio de 87 TIS Para o liquido com 8010 de glicerina e 2010 de aacutegua ternos o

atrator da Fig 414b)~ com as demaiacutes condiccedilotildees semelhantes ao caso anterior tambeacutem

com 10000 tempos entre bolhas e na Fig 414(B) temos o histograma para este atrator

Os pontos neste atrator estatildeo entre 827 e 835 rns muito mais concentrados do que o

caso anterior

cIIJtmiddotca

---shy(a) (b) (c) (d)

Fig 413lmagens pam duplicaccedilatildeo de periacuteodopam a aacutegua (a) periacuteodo 1 e (b) alar_ento de perlodo e no liquido viscoso 2000 aacutegua + 80 glicerina com perlodo i em (e) e perlodo 2 em (d) Nestas imagens podemos notar que a superficie das bolhas emergentes satildeo mais estaacuteveis para o liacutequido mais viscoso do que para a aacutegua

lIiI

Q

58 4 ResultadrueAnaacutelise

j (A)

j

I (6)(b)

8bull~ 1 ~

f-

75 00

T(ms) T (ms)

Figura 4~14 Mapas de primeiro retomo (a) para a aacutegua e em (b) para a soluccedilatildeo SOOAt glicerina e 20 aacutegua Em (A) temos o histograma para os 10000 tempos obtidos para a aacutegua e em (B) o mesmo para o liacutequido mais viscoso A baixa l viscosidade da aacutegua toma -iacute o sinal muito mais irregular corno pode ser comparado em 500 pontos da seacuterie (c) da aacutegua e (C) da soluccedilatildeo viscosa

93

n

59 4 Resultadose Anaacutelise

427 Frequumlecircncia de borbulhamento

A frequumlecircncia das bolhas dada pela equaccedilatildeo 416 tem uma validade limitada

pelas condiccedilotildees geomeacutetricas e dinacircmicas jaacute citadas anteriormente Fazendo outras

medidas com diferentes alturas de coluna observamos uma variaccedilatildeo na frequumlecircncia de

borbulhamento Basicamente o aumento da a1tura da coluna liacutequida causa a diminuiccedilatildeo

da frequumlecircncia de borbulhamento para a mesma vazatildeo Na Fig 415 eacute apresentada a

frequumlecircncia de borbulhamento em funccedilatildeo do logaritmo da vazatildeo com o sistema

predominantemente emitindo bolhas em periacuteodo I onde se utilizou a soluccedilatildeo 8000 de

glicerina e 20 acircgu~ o bico de seringa e trecircs alturas da co]una liquida Sem 12 em e 26

em Fazendo um ajuste linear para calcular os expoentes da frequumlecircncia de

borbuIbamento em funccedilatildeo da vazatildeo observamos um aumento no valor do expoente com

O aumento da altura da coluna e simultaneamente a diminuiccedilatildeo do coeficiente linear do

ajuste Deste modo a frequumlecircncia em bolhas diminui com o aumento da altura da coluna

mas temos um aumento na sua inclinaccedilatildeo com a vazatildeo volumeacutetrica O mesmo efeito

ocorre com um liacutequido menos viscoso (66 glicerina e 34 aacutegua) mostrado na Fig

416 Podemos ter uma variaccedilatildeo ainda maior quando usamos o bico AI isto ecirc

diminuiacutemos o orificio do bico borbuJhadoT como estaacute mostrado na Fig 417 com a

soluccedilatildeo 800 glicerina e 20 aacutegua com altura de coluna de 3 em acima do bico

Existem alguns fatores que podem causar estes efeitos Ruzicka que estudou

experimentalmente a transiccedilatildeo intermitente entre os regimes de borbulhamento e de

jateamento em um sistema aacutegua e nitrogecircnio~ mediu a velocidade da circulaccedilatildeo do

liacutequido com um anemocircmetro Danlec e observou que a circulaccedilatildeo do liacutequido aumenta

com a altura da coluna [Ruzicka ot aI 1997] Par a construccedilatildeo do modelo da equaccedilatildeo

(416) a segunda condiccedilatildeo eacute que natildeo baja circulaccedilatildeo do liquido proacuteximo do bico e deste

modo o aumento da coluna poderia afastar o sistema das condiccedilotildees de validade da lei de

frequumlecircncia de borbulhamento

Outros autores [Davidon et ai 1960 Marmur e Rubin 1976 Clift et al

1978] afirmam que a diminuiccedilatildeo do diacircmetro do bico afeta a frequecircncia de

borbulhamento causando o emparelhameno das bolhas (duplicaccedilatildeo de penodo) deviacutedo

ao aumento do nuacutemero de capacitacircncia Na dado por

4V (p - Pg)lt (422)N= miP

I

bull bull

60 4 Resultados e Anaacutelise

I [ A it

3

o ~0_ Uq 80 glic + 20 otildelQUa ~~ ~

oQ~-ogomiddot

o shyoi lIIIl

If-oI_og

bull c shy

o bull bullbull

bull o Iog fO4Obg 0+04 bull Iog f~O43bg 0+03

bull Iit 1og~OSSbgCKI12

-TrY

10 Log Q bull Vazatildeo (mllmin)

Figura 415 Frequumlecircncia de borbulhamento em funccedilatildeo da vatilo e altura da coluna liacutequida

Llq 6ocirc glie + 34 aacutegua

0deg ~ EI00 li

o o bullbull li o1 deg ~o bull bull bull

lt5

oA it 1 o bull bull bull

o log fUacute421og Q-+O4s 1 9

bull logft=O451og 0+028 li logf=O481ogQ+O12

bull o Iogf =O5BIogQ-O19

b

o _ 010 li 150m

~

10 100

Log Q - Vazatildeo (mVmin)

Figura 416 O mesmo que a figura anterior pOreacutem com um liquido menos viscoso

61 4 Resultados e Anaacutelise

lo 1=1

Biccedilo A1 o Lfq 80 glic + 20 aacutegua

amp90

OO~ r

o 0deg 0deg

Otilde 10 o o ~

o ~ ] f-O ov J

oOI o J o

o 1 10g fb 069109 Q-O25 1

10 100

Log Q - Vazatildeo (mllmin)

Figura 417 O mesmo liquido que foi utilizado paro os dados da Fig 416 mas agora com Q

bico A1 e uma altura de coluna acima do bico de 3 em

onde Vc eacute o volume da cacircmara que conteacutem o ar entre a vaacutelvula de controle de vazatildeo e o

bico Pi e pg satildeo as densidades do liacutequido e do gaacutes (ar) respectivamente do eacute o diacircmetro

do orifiacutecio (bico) eP a pressatildeo absoluta na bolha

Segundo Marmur e Rllbin orificios grandes (~1 mm) implicam em

baixa resistecircncia ao fluxo do gaacutes entre a cacircmara e a bolha e devido a isto a bolha e a

cacircmara funcionam corno um sistema unitaacuterio para o ar Jaacute com orifiacutecios menores o

nuacutemerO de capacitacircncia aumenta e a velocidade do ar nO bico aumenta causando

pequenas variaccedilotildees de pressatildeo na cacircmar~ que causam diferentes tempos de formaccedilatildeo

para as bolhas

Aleacutem destes fatores a temperatura eacute um paracircmetro fundamental a ser

monitorado Todas as medidas anteriores foram realizadas a 24 C

62 4 ResutatQs e Anaacutelise

428 DupUcaccedilotildees de periacuteodo

Com uma soluccedilatildeo de quatro partes de glicerina e um parte de aacutegua e usando a

seringa plaacutestica como bico obtivemos a seacuterie temporal d Fig 418 que mostra a

claacutessica sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo para o sistema do tubo borbulhador Nesta

figura temos uma diminuiccedilatildeo gradual da vazatildeo de ar atraveacutes do bico com uma evoluccedilatildeo

doade a regiatildeo caoacutetica (a) passando por comportamento de borbulhamento de penado 2

na parte (b) que passa a um periado 4 na regiatildeo (c) que passa para um novo

comportamento de penodo 2 regiatildeo (d) seguido por uma regiatildeo de formaccedilatildeo de bolhas

em periacuteodo 1 na regiatildeo (e) Na Fig 419(e) apresentamos uma imagem das bolhas se

formando periodicamente uma a uma e na Fig 4 19( d) eacute mostrado o comportamento de

periado 2 sem o efeito de coarescilnda entre as bolhas Na Fig 419(c) temos a imagem

para o penodo 4 enquanto que na Fig 419(b) temos um penodo 2 devido agrave

coalescecircncia de pares de bolhas que anteriormente formavam o periacuteodo 4 Finalmente

na Fig 4 1 9(a) temos a imagem das bolhas em regime caoacutetico

429 Salto e coalescecircncia

Obtivemos uma seacuterie temporal diferente com o mesmo aparato anterior~ mas

utilizando o bico A3~ Um capilar metaacutelico longo deixando a pressatildeo do reservatoacuterio

diminuir naturalmente atraveacutes do borbulhamento Esta seacuterie temporal eacute mostrada na Fig

420 O sistema estaacute evoluiacutendo em um movimento de periacuteodo 2~ regiatildeo (a) na Fig 420

onde a diferenccedila entre os dois ramos do atrator eacute de 55 ms A medida que a vazatildeo do ar

diminui Qcorre um encolhimento abrupto do atrator para outro periacuteodo 2 onde a

diferenccedila entre os famos passa o ser 1 nlS mostrando um salto na dinacircmica da fonnaccedilatildeo

de bolhas na regiatildeo (b) da Fig 420 Depois disC o sistema evolui para um periodo 1

mostrado na regiatildeo (c) Na Fig 421 estatildeo ilustrados cada perfil de borbulhamento nas

trecircs regiotildees Na Fig 421() temos duas imagens que mostram a formaccedilatildeo de uma

grande bolha em dois cstagravegios No priacutemeiro estaacutegio a bolha se forma com o tempo do

ramo superior do pedodo 2 da seacuterie temporal da Fig 420 (-25 ms) Logo que esta

bolha se destaca uma segunda bolha eacute criada durante a sua furmaccedilatildeo esta segunda

bolha toca bull bolha antenor e o fluxo de ar ascendente soprado dentro da bolha em

fonnaccedilatildeo vence a tensatildeo superficial fazendo a coalescecircncIacutea do par que eacute alimentado

4 Resultados e Anaacutelise 63

50~--------------------------------------~

(a)

~ ~ bull1o$ ~ bull bullbullbull u ~ gtbullbullbull

bull ~~ (b) -

~ ~ bull lt

(c)

~

bullbull _~_

~ (bullbullbullbull bulli~ ~~~I~~~~

1- W

40

7 ~3(l E ~

1-lt

20

~~~~~~ ~~~ 10

o I I o 500 1000 2000 2500 3000 3500 4000

n

Figura 418 Seacuterie temporal a partir do oomportatnento caoacutetico ateacute o penudo l Tneacuteo temJX) entre bolhas e n eacute a ordem da bolha coletada

~_ ~IV ~

l 1 _ 1 - 8~

~ ~ c bull

~~ G Q

gt middotcmiddot

C1r obull~ 8 ~ - -~

~

~ ~a o G

i~1bgt ~ ~ciacute1I ~

(a) (b) (c) (d) (e) Figura 419 Perfil das bolhas emitidas em cada um dos regimes mostrados na seacuterie da Fig 515 Em (a) vemos O oomportamentoca6tico (O) periacuteodo 2 com coal_neia (e) perlodo 4 (d) periacuteodo 2 e em (e) perlodo (1)

pelo bico soprador e se toma uma uacutenica grande bolha Com a diminuiccedilatildeo da vazatildeo de

ar O toque entre as bolhas deixa de ocorrer e o atrator diminui abruptamente

bull bull bull

__

64 4 Re$tlltados e Anaacutelise

25 _~r--~

bull bull bull

(b)Tn (ms)

20

15 bull

o 100 200 400 500 600 700 TI

Figura 420 Seacuterie temporal mostrando um salto na dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas o periacuteodo 2 se (X)otIai abruptamente em um periacuteodo 2 diminuindo o periacuteodo do borbulhamento

~~~~~ Blaquoltlt o

~~~~ ~ti~~ ~~~__o

$ 01lt- ~

~j3~~ ~ c ~lt _4B ~~~~ Oylt OImiddot

o

il~~ gt OI a~f~ omiddot~~ Omiddoti

~ltbullbull 01laquolt ~ deg -~ ~-

~- J~f~ 1ltlaquo O middot

~i ~~ltc 9~1 ~~~~ ~ ~~

~~I-~iJM ~1 l -gt

(a)

-ot

~~ ~~ -i)-~

-~jIi-J

(b) (c) Figura 421 Imagens das bolhas (a) antes do salto onde podemos ver as bolhas se tocando- e coalescendo (b) o- periacuteodo 2 apoacutes o salto onde as bolhas satildeo emitidas aos pares sem coalescecircnciacutell e (c) o periacuteodo 1

65 4 Resultados e AnacircJise

Uma mudanccedila abrupta de comportamento nos sistemas fiacutesicos pode ser

eAtilde-pHcada atraveacutes de mapas com descontinuidades como foi proposto por de Sousa

i Vieira el ai [Souza Vieira oi ai 1987] Par estudar assimetrias e descontinuidades eles

I utiacuteHzaram o mapa

I-e -alxX sexo gt0

x = f(x) (423)1-(e +8) =0

1-amp2 -a2Ix1 sex lt0londe S1 e EZ satildeo os coeficientes de descontinuidade z e Z2 satildeo os expoentes de

assimetria aJ e az satildeo os paragravemetros de controle do mapa x

~wa1rr~J

j(b)

ftlt 00 DS 110

X

~~_ shy h ~

ltgt01

raquo1111u

~ (a) bullbull

X

gtltt

bull a

Figura 422 Dois exemplos de mapas assimeacutetricos (a) omapa descontiacutenuo das equaccedilotildees 422 e os valores de cada puilmetro em (A) temos o seu diagrama de bifurcaccedilotildees Em (b) os jmagravemetros do mapa contiacutenuo e em (B) o respectivo diagrama de bifurcaccedilotildees

66 4 ResuitaikJse Anacirclise

Outro caso onde ocorre descontinuidades eacute atraveacutes do modelo de mapas

combinados em seacuterie [Tufaile 19 Tufaite si aibull 1999] no qual os sistemas interagem

aJtemadamente Este modelo pode ser exemplificado com os mapas unidimensionais

xbullbull = f4y) (424)

Yn+1 = g(~Xff+l)

cuja combinaccedilatildeo eacute a uniatildeo dos resultados dos dois mapas

S=fug (425)

Se considerarmos o mapa logistico com o paratildemetro de controle p~

Zn+l co PJVZn(l- In) com

(426a)[1+ (-l)JPr +[1 +(-l)]Py p~co

2

A recorrecircncia Zn pode ser rescrita em dois subsistemas independentes associados com a

paridade de 11

x =16pPr (I-x)[1-4p-x(1-xl] (42Gb)

y =16ppy(l-y)[1-4Pxy(I-y)] (4260)

Aleacutem disso os paracircmetros Px e py podem ser simultaneamente funccedilotildees de um

paracircmetro que acopla o sistema Devido agrave propriedade da formaccedilatildeo de bolhas de

diminuiccedilatildeo do tempo em funccedilatildeo do paracircmetro de controle~ pode-se utiliacutezar uma funccedilatildeo

convexa do tipo

zn+1 =z -a (427)

e fazer a combinaccedilatildeo em seacuterie deste mapa com o paracircmetro de controle assumindo dois

valores para a gt O8

0x =0 (428)

y =ltgt+01

O diagrama de bifu~o desta combinaccedilatildeo estaacute mostrado na Fig 423

Figura 423 00

A descontinuidade ~ obtida pela combinaccedilatildeo ~ 05 em seacuterie de dois tnaplS

quadraacuteticosshy-10

os 1006

a

67 4 Resultados eAnaacutelise

Interpretando o salto sob o ponto de vista dos mapas combinados em seacuterie

podemos considerar que antes do salto logo apoacutes a duplicaccedilatildeo de penado as duas

bolhas satildeo formadas atraveacutes da mesma funccedilatildeo de formaccedilatildeo Quando ocorre o toque a

primeira bolha do par possuIacute urna funccedilatildeo de formaccedilatildeo distinta da segunda bolha pois a

segunda bolha coalesce durante sua formaccedilatildeo com a primeira e o bico soprador passa a

encher o conjunto com quase o dobro do volume uma bolha

Outro tipo de combinaccedilatildeo de mapas eacute a combinaccedilatildeo paralela de dois mapas tt) e g(y) que resultam no mapa combinado s

x = - - p(I) y =y - py(I) (429)

Sn xlI +Yn

O6--------------------~

00shy

X -06shy P1

-12 shy

00

gt-bull -05shy ~ gt2 -10 00

gt- -05shy+Xt ~1Q gt 11 ~

(f ~15

-20 060 065 070 075 080 085

P

Figura4~24Acombinaccedilatildeo--j)am1e1a S de dois truiJX1S

onde x() e p(ccedil) satildeo paracircmetros de controle em funccedilatildeo de um paracircmetro comum ccedil

com cada mapa sendo iacuteterado separadamente Na Fig 424 temos dois mapas

bifurcando inversamente para diferentes valores do paracircmetro de controle p) enquanto

que a sua combinaccedilatildeo paralela possui uma bifurcaccedilatildeo flip do mapa da variaacutevel XII no

684 Resultados eAnaacutelise

ponto PIe que equivale a uma alteraccedilatildeo no periacuteodo dois do mapa Sh no ponto P2

devido agrave segunda bifurcaccedilatildeojlip do mapa Yn

A seacuterie da Fig 425() foi obtida utilizando-se o bico AI o mais curto dos bicos

da seacuterie A Nesta figura podemos ver que o salto foi nuacutenimizado Na Fig 425(b)

apresentamos a simulaccedilatildeo correspondente~ na qual utilizamos dois mapas combinados

em seacuterie

(a)

-70j lO ~

77 0 tle

U

E -z I- 50

40 2000

N -obull

-O~ (b)

0 (J) middot01 ~

middot1~

middot14

-16

10 11 1~ 1~ 1O a

Figura 425 Em (a) podemos ver uma seacuterie temporal obtida com a diminuiccedilatildeo da aZatildeo com o bico AI e uma soluccedilatildeo viscosa 80 glicerina e 20 aacutegua Em (b) a combinaccedilatildeo paralela de dois mapas A biftucaccedilatildeo flip que ocorre no mapa) quando levada agrave combinaccedilatildeo paralela ~ causa a diminuiccedilatildeo doperiacuteodo 2

4000

4 Resultados e Anaacutelise 69

4210 Antibolbas

Uma casca aproximadamente esfeacuterica de ar dentro de um liacutequido forma o que foi

chamado por J E Connetl de Gllliacutebolha segundo C L Stong [8tong 1974] Na Fig

426 estaacute esquematizada uma antiacutebolha

I

FJllUl1 426 Uma antibolba eacute uroa gota de um liquido envolvida por uma fina camada de ar dentro do liquido

Como o seu interior eacute preenchido pelo o mesmo liacutequido da parte externa as

antibolhas satildeo ligeiramente rnaiacutes leves que o fluido agrave sua vol~ mas satildeo mais pesadas

que as bolhas Deste modo correntes proacuteximas aacute antibolha podem deslocaacute-Ia facilmente

superando o seu empuxo Quando a casca esfeacuterica se desestabiliza a antibolha colapsa

em uma pequena bolha de ar esfeacuterica que emerge no liacutequido O tempo de existecircncia de

uma tibolha antes de sua desetabilizaccedilatildeo em uma pequena bolha de ar pode chegar a

ordem de minutos

No experimento do tubo borbulhador ocorre tambeacutem a formaccedilatildeo de antibolhas

para determinados regimes da formaccedilatildeo de bolhas As antibolhas seguem as correntes

do liquido dentro do tubo em movimentos ascendente e descendente Na Fig 427

podemos ver antibolhas ao reder de bolhas sendo sopradas no bico borbulhador Para o

liquido utilizado (2 partes de glicerina para I de aacutegua) bull ocorrecircncia de antibolhas

acontece a partir do estaacutegio onde aparece a coalescecircncia do par de bolhas chamado de

periacuteodo 2 antes do salto da Fig 421(a) A formaccedilatildeo das antibolhas eacute precedida pela

formaccedilatildeo de goticulas A formaccedilatildeo de gotiacuteculas estaacute esquematizada na Fig 428 onde

vemos em (a) que parte do liquido em movimento ascendente forma posteriormente um

capilar em (b) e uma goticula se desprende Nas imagens da Fig 428 podemos ver

I

70 4 Re5Ultadocircs e Anaacutelise

alguma imagens que mostram a formaccedilatildeo de gotiacuteculas dentro da bolha assim como

invaginaccedilatildees que podem levar a criaccedilatildeo de antibolhas

Assim como as bolhas as antibolhas desviam o feixe laser e podem ser

detectadas_ Verificamos isto colocando o sistema no regime de formaccedilatildeo de antibolhas

que corresponde a um periacuteodo 4 para as bolhas mostrado no mapa de retomo da Fig

429(a) O seu espectro de potecircncias estaacute na Fig 429(b) As antibolhas se deslocavam

dentro do tubo borbulhador seguindo as correntes internas do fluido COm

deslocamentos preferencialmente descendente proacuteximo agrave parede do tubo e ascendente e

altelerado proacutexiacutemo do bico soprador A quantidade de antibolbas dentro do tubo era

aproximadamente 30 e o feixe laser fui colocado num ponto em que as bolhas natildeo

passavam por eJt num ponto 2 cm acima do bico e 2 em deslocado do eixo do tubo

como o ponto PI da Figo 427 Nesta regiatildeo apenas as antiacutebolhas passavam pelo feixe

laser e noacutes obtivemos os dados mostrados no mapa de retorno da Fig 429(e) Nestes

dados satildeo apresentados 500 pontos correspondendo a 50 minutos de aquisiccedilatildeo com

intervalos de tempo entre 17 milissegundos ateacute 8S segundos

~~ ~ -0 -- O d

~ --- Arltibolhas

oO~f ltgt

figt O ~__ amobullbull -

7~

P1 9

middot0

-6

9

FIgUra 427lmagem das antibollw ao redor das bolhas que se formam no bico soprador Fazendo o Iascr incidir perpendiculannente ao plano da imagem no ponto Plfoi possiacutevel detectar algumas _bolhas se deslocando aleatoriamente dentro do tuoo borbulhador

71 -[ 4 Resultados e Anaacutelise

--~1

(d) itifit

~ Figura 428 Formaccedilatildeo de gotiacuteculas esquematizada em (a) (b) e (c) (d) Nas imagens podemos ver pagravedrotildees semelhantes nas bolhas

00 (c)(a)fi ] 25middot g ~

it shy

gt-

~1 ( ~~15 I

16 zo 2S 30 Tw(ms) TIlaquos

10 ~ $ 10

~ 10-e

bolha

Figura 429 Ca) Mapa de primeiro retorno do perlodo 4 e em (b) o seu ~ de potecircncias O mapa de retorno em (c) foi obtido com I) sistema nas mesmas condiccedilotildees daacute formaccedilatildeo das antibolhas mas posicionando o feixe laser e o fotodiodo de modo a detectar as antiacutebolbas que pa5Sa1Ul1 pelo ponto PI da Fig 427

(b)

00 01 02 1 03shy 04 06

72 4 Resultados e Anaacutelise 1

43 A onda sonora e as bolhas

Os efuitos de uma perturbaccedilatildeo externa a onda sonora na formaccedilatildeo das bolhas

satildeo apresentados e analisados neste capiacutetulo O problema das bolhas perturbadas por

ondas sonoras apresenta desafios muito interessantes do ponto de vista matemaacutetico) com

relaccedilatildeo a proposiccedilatildeo das equaccedilotildees que controlam o sistema e suas condiccedilotildees de

contorno pois1 aleacutem de um sistema de duas fas~ com uma das fases compressiacuteveJ

temos a accedilatildeo de uma onda sonora Do ponto de vista experimentai o tubo borbulhador

possui uma geometria que fagraveciacutelita a utilizaccedilatildeo da onda sonora devido aacute propriedade de

confinamento de ondas sonoras em tubos

Existem trabalhos que envolvem a accedilatildeo de ondas sonoras em bolhas ou gotas jaacute

formadas [MarstoIl 1980] ou quando bolhas ou cavidades satildeo criacuteadas dentro de um

liacutequido devido a uma onda sonora de alta intensiacutedade[Lauterbom 1986 Prosperetti)

1986J a chamada cavilaccedilatildeo acuacutestica Haacute ainda um caso conhecido como cavitaccedilatildeo

transiente no qual a temperatura no interior da bolha atinge mUhares de graus e a

pressatildeo chega a milhares de atmosferas Nestas condiccedilotildees ocorre o fenocircmeno conbecido

como sonoluminescecircncia que eacute a emissatildeo de luz por bolhas em um liacutequido excitado por

ondas sonoras [Putterman 1995 Moran el aI 2000] As frequumlecircncias das ondas sonoras

envolvidas com cavitaccedilatildeo satildeo da ordem de centenas de kHz Nestes trabalhos tambeacutem

se estuda como o campo sonoro emitido pelas bolhas~ devido aos efeitos da cavitaccedilatildeo~

afeta as proacuteprias bolhas Neste capiacutetulo veremos condiccedilotildees mais claacutessicas de interaccedilatildeo

entre bolhas e ondas sonoras do que as que ocorrem na sonoluminescecircncia Aqu~ neste

capiacutetulo a bolha eacute afetada pela onda sonora durante a sua furmaccedilatildeo no bico soprador

com frequumlecircncias da onda sonora variando no intervalo entre dezenas e centenas de hem

O tamanho das bolhas estudadas eacute da ordem de centimetros o que pcnnitiu registrar

suas imagens atraveacutes de uma cacircmara VHS comum Veremos tambeacutem como o sistema

onda sonora - bolhas nos levou ao estudo do mapa do ciacuterculo bidimensional onde

temos um oscilador sofrendo impulsos penoacutediacutecos de uma forccedila externa

73 4 Resultadoacutes e Anacirciise

431 A formaccedilatildeo de bolbas perturbadas pelas ondas sonoras

Nesta seccedilatildeo veremos os resultados que mostram a mudanccedila do tempo entre as

bolhas para uma onda sonora de frequumlecircncia fixa e valores de amplitude crescentes

[Tufagraveile e Sartarelliacute 2000a Apecircndice 2]

Mantendo fixa a vazatildeo do ar atraveacutes da vaacutelvula controladora e utilizando a

soluccedilatildeo de 66 de glicerina e 34 de acircgtll noacutes mudamos a dinacircmica da formaccedilatildeo de

bolhas aplicando ondas sonoras sintonizadas na frequumlecircncia fundamental da coluna de ar

acima do liquidO (138 Hz)

Na Fig 430 mostramos os mapas de primeira retorno em funccedilatildeo da amplitude

da onda sonora em regime de vazatildeo constante Estatildeo em destaque no canto superior

esquerdo de cada graacutefico a ampHtude do sinal senoidal e a frequecircncia meacutedia das bolhas

O sistema eacute colocado inicialmente borbulhando em periodo 1 com uma frequumlecircncia em

bolhas de 11282 bolhass como estaacute mostrado na Fig 430(a) Aplicando a onda

sonora o ponto fixo perde sua estabilidade e um ciclo limite aparece corno pode ser

visto na Fig 430(b) e 430(c) com um pequeno aumento da taxa de borbulhamento

meacutedio

Na Fiacuteg 430(c) o ciclo limite perde sua estabilidade e um ponto fixo proacuteximo

de (87ms 87ms) eacute visitado intermitentemente Este ponto fixo foi determinado atraveacutes

de um histograma do graacutefico de Tn As transfonnadas de Fourier dos dados relacionados

agrave Figs 43O(d-g) mostram um periacuteodo 2 ruidoso Mostramos na Fig 431 o espectro

de Fourier dos dados do atrator da Fig 430(1) Neste espectro vemos um grande pico

em O~5~ o que corresponde ao penado 2

Isto mostra que estaacute ocorrendo uma bifurcaccedilatildeo flip em funccedilatildeo da

amplitude da onda sonora Em uma bifurcaccedilatildeo flip existe um ponto fixo instaacutevel entre

os dois pontos fixos estaacuteveis Nossos dados mostram que a vizinhanccedila do ponto meacutedio

entre os dois pontos fixos eacute visitada devido ao ruiacutedo~ e consequentemente) nossos dados

satildeo adequados para se aplicar a teacutecnica de transfonnaccedilatildeo de ponto fixo desenvolvida

por So e aI [80 et al~ 1996] para se encontrar oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis em seacuteries de

eventos

bull bull bull

bullbull

74 4 Resultados e Anaacutelise

I 112921

I gt65 11lt196 I

bull---~~ --- ~ bull bullbullbull

11_

[

I (1145 11n41 I - 11470 I

4 ~~

- - - - - - iCcedil

(gtl middot bull AOlt 56

(raquo

~~~~----shy---~- - -shy middot bull middot bull bullbullbull )bull bulllt~ shy- 11461shy bull ~ bull

f ~ o loli ----- -~~ ----~- 1 ~- -~ -S - f~ ~ -~ bull middot bull

bullbull bull bull bullbull bull

- bull-bull

i)

T~(ms)

- r 11 ~1 09 1117111 05 1141 I 0-6 bullbull

-T ~~ j ~ - ~~~~

- ( [ f l~~lt bull l) ~ L_ bullbullbullbull IJI~f l ~ r ~ ~ ~ ~ _ _bull

t bull i i f~lO ~ O) bullI 00bull Tnms)

Figura 430 Mapas de retomo do Ciper1mcnto do tubo borbulhador Em cada graacutefico temos no cantO superior esquerdo o valor da tensatildeo aplicada no alto-falante e o valor da frequumlecircncia de boacuterbulbamento meacutedia O liacutequumlido utilizado eacute uma soluccedilatildeo de 66 glicerina e 34 aacutegua e as bolhas foram sopradas diretamente na seringa plaacutestica

4 Resultados e Anaacutelise 15

1

p

I 100~~______~~----~-----~~--1~~111ilIUlltill~

00 01 02 03 M 05

(bolhar1

Flgura 431 Espectro de Fourier dos dados da Fig 30(f) iodiacutecando bull existecircllCIacutetI de um periodo 2 ruidoso

Um exemplo dos nossos resultados estaacute mostrado na Fig 432(a) onde estaacute

representado o histograma para o caacutelculo do ponto fixo usando os dados mostrados na

Fig 43O(h) Para uma melhor visualizaccedilatildeo da posiccedilatildeo da oacuterbita perioacutedica instaacutevel um

graacutefico da intensidade para os mesmos dados eacute mostrado na Fig432(b) O maior pioo

define um periacuteodo I instaacutevel em (869l ms 8699 ms) proacuteximo do ponto fixo estaacutevel

mostrado na FigAlO(e)

Aumentando ainda mais a amplitude noacutes obserVamos o aparecimento da regiatildeo

caoacutetica com as caracteriacutesticas da dinacircmica de estiramento e dobra como estaacute mostrado

nas Figs 430(h-i) e oom pequena mudanccedila na frequumlecircncia meacutedia de borbulhamento Os

atratores na regiatildeo caoacutetica foram caracterizados pelo expoente de Lyapunov dominanre

[Ellner ti al 1912] e estes expoentes podem ser vistos na Fig 433

1

76 4 Resultados e Anaacutelise

(a) Contagens

iacutel00

(b)

Contagens~m (lJ ~337raquoj middotiIrmiddot = IIHI tgt ~ blHH

lIS1I eM elo IIU =JT(lM) 10bullbull

Figura 432 Histograma JXlffi a determinaccedilatildeo da oacuterbita perioacutedica instaacutevel (a) e graacutefico de contorno para os mesmos dados (b) localizando () ponto fixo instaacutevel um fX)UCO abaixo de amp7 ms

05

~--- -T

i I _ _ 1osoagrave rn eacute-

~- 025- I n o

0001 bull

03 04 05 06 07 08 09

Tensatildeo aplicada no alto-falante M

Figura 433 E potntes de Lyapunov dos atratores moStrados em 4JO(e) a (j) em funccedilio da tensatildeo aplicada no alto--falante

77 4 Resultados e Anaacutelise

Continuando a aumentar a amplitude da onda sonor~ com incrementos maiores

do que ante noacutes obtivemos os atratore mostrado na Fig 434 Na Fig 434(m) a taxa

de borbulhamento meacutedia eacute de 205 bolhasls para uma onda sonora gerada com um

tensatildeo de 314 V no alto-falante A posiccedilatildeo - (725 ms 725 ms) eacute visitada com um

comportamento intermitente O tempo de visitaccedilatildeo aumenta quando a amplitude do som

aumenta ateacute que o ponto - (725ms 725ms) torna-se um ponto fixo estacircvel~ como

mostrado na Fig 434(n) Nesta situaccedilatildeo a frequumlecircncia meacutedia de borbulhamento eacute

F=13797 plusmn 9 bolhass tem o mesmo valor da frequumlecircncia da onda sonora Na Fig 435

podemos ver a diferenccedila entre as imagens das bolhas para o primeiro ponto fixo dos

dados mostrados na Fig 434(a) e o ponto fixo na ressonacircncia do atrator da Fig

434(n)

100i 314 205 10 13797 I l

~

Ul

E ~

i

1

+ I ~ T gtt ~~

ao ~ -i )I~ L bullbullbull amiddot ~

bull ~f - bullbull ~ bull (~1iii2~_~~

middotmiddotmiddotmiddotmiddotvb-~middot

r-li ~ ~ ~ i f~ ~

w-i~ 1 _o - ~ -~ ~ 1 ~ ~~imiddot ~ 20-1shy ~ -r shy

~i i~ ~

1t middotmiddot middotlt~fO I i i j

(m) 1 bull

(n) I

ti 20 40 fD 80 100

T n

Figura 434 (In) O ponto - (725 ms 725 ms) eacute visitado em wn comportamento intemuacutetenle com os outros pontos espalhados pelo espaccedilo de fases Em (n) a formaccedilatildeo das bolhas sinaoniza-se com a frequumlecircncia fundamenla1 do tubo e temos apenas o ponto- (725 ms 725 ms)

4 Resultados e Anaacutelise 7amp

a b

432 Atratores do tipo Heacutenon

Os resultados da seccedilatildeo 431 nos mostraram uma grande evoluccedilatildeo da dinacircmica

da furmaccedilatildeo das bolhas com o aumento da tensatildeo aplicada no alto-filante A regiatildeo da

dinacircmica que apresenta a bifurcaccedilatildeo fip~ seguida por atratores caoacuteticos eacute semelhante

aos sistemas dinacircmicos que apresentam propriedades de estiramento e dohra como o

mapa de Heacutenon discutido na seccedilatildeo 27 Por este motivo veremos a comparaccedilatildeo entre

atratores experimentais nessa regiatildeo e o mapa de Heacutenon na tentativa de compreender a

dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas para uma regiatildeo do paracircmetro de controle

De modo a reduzir o ruiacutedo nos dados utilizamos uma soluccedilatildeo mais viscosa 80

glicerina e 20 aacutegu~ e utilizamos o bico A2 Para termos uma variaccedilatildeo mais fina do

paracircmetro d controle alteramos o fator de amplificaccedilatildeo do gerador de funccedilotildees cujo

sinal alimenta o aitcrfalante A vazatildeo de ar e a frequumlecircncia da onda sonora foram

mantidas constantes~ em -366 bolhass e 150 Hz respectivamente Noacutes alteramos a

dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas aumentando a tensatildeo no alto-falante como mostrado

~

sect 8 o

g g middot0 o

Figura 435 Imagem da sincroruzaccedilatildeo das bolhas com a onda sonora no tubo borbulhador Em (a) temos a im1lgem para o ponto lixo lMSU1ido na Fig 430(a) com Fe=11282 bolhasl$ (b) O uacutellimo ponto fixo mostrado na Fig 434(n) quando as bolhas estatildeo sincronizadas com a frequumlecircncia da onda sonora (138 Hz) Nos dois casos teOlQ$ a mesma vdZatildeo de ltIr

79

(f)

~

4 ResultmlcseAnaacuteJise

pelo diagrama de bifurcaccedilatildeo na Fig 436 num regime de vazatildeo constante Nesta figura

vemos uma dupliacutecaccedilatildeo de penado ocorrendo ao redor de 20 V com as bolhas sendo

emitidas aos pares ateacute aproximadamente 3~O V~ quando um penodo 4 ruidoso aparece

Apoacutes isto duas bandas caoacuteticas aparecem Para --3~5 V as duas bandas caoacuteticas se

encontram e se sobrepotildee~ com o aparecimento de um atrator caoacutetico maior

~

20 25 Tensatildeo no alto-falante M

Figura 436 Duplicaccedillo de perlodo em funccedilatildeo da amplitude da onda sonora A frequumlecircncia da onda sonora eacute 150 Hz e a ftequumlecircnciacutea de borbulhamento inicial eacute por volta de 31 bolhass

Para realizar a caracterizaccedilatildeo meacutetrica e topoloacutegica da dinacircmica da formaccedilatildeo de

bolbas sob a accedilatildeo da onda sonora noacutes coletamos seis seacuteries de eventos fixando a tensatildeo

em seis valores distintosgt cujos mapas de retomo (T+- vs T1I) satildeo mostrados na Fig

437

figurA 437 Uma l-Vi I v li I bull vll seqUecircncla de atratoresi reconstruiacutedos- i tmiddot mostrUdo uma rota

~ para o Caos atniveacutes de duplicaccedilotildees duto periacuteodo O valor emta) (b) (e) volts corresponde agrave tensatildeo mantida

t constante no altoshy falante durante a

32

~~ obtenccedilatildeo do atnltOf ~

(eI) bull I(e)

~I

32 Tms)

80 4 Resultados e Anaacutelise

432A Caracterizaccedilatildeo meacutetrica

Os alratores caoacuteticos reconstruidos Figs 437(d) ateacute 437(f) foram caracterizados

atraveacutes dos expoentes de Lyapunov pela dimensatildeo de Kaplan-Yorke aleacutem da dimensatildeo de

Infonnaccedilatildeo obtidos pelo pacote de programas TISEAN [Hegger aI ai 1999] A conjectura

de Kaplan-Yorke [Argyris o ai 1994) que relaciona a dimensatildeo de Infonnaccedilatildeo e a

dimensatildeo de Kaplan-Yorke (equaccedilatildeo (211 raquo mostra que elas se igualam para alratores do

tipo Heacutenan As dimensotildees foram obtidas para as lensotildees de 35 V 40 V e 45 V como

estaacute mostrado na tabela 41 As dimensotildees de InfOrmaccedilatildeo e Kaplan-Yorke coincidem para

os trecircs atratores caoacuteticos

I I

Figura nuacutemero

3d 3e 3

Tensatildeo llspeccediltro de Dimensatildeo de Dimensatildeo de LYaOUllnv Katgtlan-Yorle Informacatildec

35 +011-08 115 I 13 3 40 +012-06 1 23 1 143 ---

1)45 + 02 - O) - 09 168 18 3 Atrator de Heacutenon

o b I 55 01 +038-238 116 II~14 03 + 042 -162 117 119

Tabela 41 Expoentes de Lyapunov e dimensotildees dos atnitores caoacuteticos experimentais e de dois pares de valores do mapa de Heacutenon

Cada um dos dois primeiros atratores caoacuteticos possui espectro de Lyapunov com um

expoente positivo e o outro negativo~ enquanto que o uacuteltiacutemo atrator Fiacuteg 437(f) possui um

expoente positivo e dois expoentes negativos Na tabela 41 satildeo apresentados os resultados

para mapa de Heacutenon mostrado na equaccedilatildeo (212) para dois conjuntos de valores dos

paracircmetros (a b) e os atratores experimentaiacutes reconstruiacutedos

Os valores das dimensotildees dos atratores para amplitudes de 35 V e 40 V satildeo

proacuteximos dos valores das dimensotildees do mapa de Heacutenon sugerindo que eles podem ter

dinacircmica similar O atrator reconstruiacutedo para 45 V mostrado na Fig 437(1) tem a fonna

semelhante aos dois outros atratores anteriores Entretanto) comparando-se as dimensotildees

deste atrator com as dimensotildees dos atratores das Figs 437(d) bull 437(e) vemos que o valor

da sua dimensatildeo de Informaccedilatildeo eacute maior que a diacutemensatildeo dos dois outros atratores

experimentais assim como dos valores de dimensatildeo para o mapa de Heacuteno~ como pode ser

4 Resultados e Anaacutelise amp1

visto na tabela 41 Junto com o fato de que o atrator d Fig 437(1) tem trecircs componentes

no espectro de Lyapu~ov a dimensatildeo de Informaccedilatildeo proacutexima de dois eacute uma indicaccedilatildeo que

este atrator natildeo pode ser totalmente desdobrado em duas dimensotildees

432B Caracterizaccedilatildeo topoloacutegica

Para o mapa de Heacutenon com os paracircmetros ti =1~55 e b = 01 1 utilizando a equaccedilatildeo

(212) para calcular a posiccedilatildeo dos pontos fixos para a variaacutevel x do mapa de Heacutenon

encontra~se que o ponto fixo x estaacute localizado em aproximadamente 0~56 Este ponto

corresponde a um dos pontos de cruzamento da linha diagonal pontilhada com o atrator

reconstruido Xn+1 V$ X como pode ser visto na Fig 438(a) Neste atrator o ponto fixo

possui dois autovalores dados pela equaccedilatildeo (214) Agravel = 006 eM = -179 que caracterizam

este ponto fixo como um ponto de sela A variedade estaacutevel ecirc tangente agrave direccedilatildeo do

autovetor contraente relacionado ao autovalor positivo Agravel menor do que 1 e a variedade

instaacutevel eacute tangente ao autovetor de estiramento relacionado com Oautovetor 2 com valor

absoluto maior do que I Isto estabelece que o ponto fixo e um sela jlip [AIliacutegood el ai

1997]

Na Fig 438(a) podemos ver tambeacutem um exemplo d evoluccedilatildeo dos pontos no

atrator~ atraveacutes da alternacircncia dos pontos ao longo da direccedilatildeo instaacutevel ateacute a trajetoacuteria

alcanccedilar as extremidades do atrator Partindo de uma regiatildeo proacutexima do ponto de sela do

atrator de Heacutenon noacutes vemos os pontos iacutempares iniciais acima da linha diagonal pontilhada

(I 3 5 e 7) a os pontos pares abaixo desta linha (2 4 e 6) caracterizando bull variedade

instaacutevel Nos mapas de primeiro retorno exparimentais mostrados nas Figs 437(d) (e) e

(I) noacutes dividimos o atrator em duas partes com uma linha diagonal para determinar os

pontos que cruzam com o atrator Ocorreu o comportamento de alternacircncia da trajetoacuteria

para os trecircs casos do mesmo modo que o observado no atrator de Heacutenon como estaacute

exemplificado na Fig 438(b) para o atrator obtido com UIDa tensatildeo no alto-falante de 40

V Do mesmo modo que no atrator de Heacutenon noacutes comeccedilamos num ponto proacuteximo da

interseccedilatildeo do atrator com a linha diagonal (TN = TN+ l aproximadamente igual a 27 ms)

com as extremidades do atrator sendo visitadas pela oacuterbita Deste modo devido as

semelhanccedilas de evoluccedilatildeo dos atratores experimentais com a evoluccedilatildeo do atrator de Heacutenon

82

~

+ 1- 26

24

4 ResultlJdcs eAnuacute]se

noacutes podemos inferir a existSncia de um ponto de sela flip nos atratores experimentais

mesmo para o caso da tensatildeo de controle de 45 V cujo espectro de Lyapunov tem trecircs

componentes e dimensatildeo proacutexima de dois

lS

I I (a) 6

10-1 ~ Figura 438 (a) Vemos ao lado a trajetoacuteria sobre nove pontos da al13tOr de Heacuteoon para exemplificar o comportamentoosol I de um ponto de selajlip localizada proacutexima do ponto 1

I gt~ ) ) (x= 056)

) ooJ 8~

-Osol

7

-10 -10 -05 00 OS 10 15

XN

I - -

(b) O mesmo oomponamento de um Ixmto fIXO tipo selaflip pode

JO- 1 ~ gt ser observado pm1 o atrator experimental com os pontos pares uacuteuacuteciais (2 4 e 6 acima da

~ fi) diagonal e os pontos imparcs20i iniciais (I 3 5 e 7) abaixoE 1~t I~

22 22 24 26 28 JO

TN(ms)

32 ~ ~

4 Resultados e Anaacutelise $3

432C Plano simb6lico

Como os planos simboacutelicos satildeo representaccedilotildees graacuteficas da diacutenacircmica e urna poderosa

ferramenta para se comparar sistemas dinacircmicos noacutes aplicamos a teacutecnica de dinacircmica

simboacutelica para os atratores mostrados nas Figs 437(d) ateacute 437(1) assim como no atrator

de Heacutenon (0=155 e 1gt=01) para podennos comparar as semelhanccedilas e diferenccedilas entre eles

Definimos as particcedilotildees L(R) atraveacutes da linha tracejada Na Fig 439() mostramos o atrator

de Heacutenon para a=155 e b=O1 com a sua respectiva particcedilatildeo que separa a regiatildeo formada

por uma linha (L) da regiatildeo com uma dobra (R) que conteacutem o ponto fixo instaacutevel O plano

simboacutelico aJ3 deste atrator estaacute mostrado na Fig 4J9(A) Nas Figs 4AO(b) ateacute 440(d)

temos os atratores experimentais cujas particcedilotildees satildeo as linhas tracejadas que separam uma

regiatildeo com um ramo (L) de uma regiatildeo com dobra (R) Os respectivos planos simboacutelicos

aJ3 estatildeo mostrados nas Figs 440(B) (C) e (D)

Comparando--se a Fig 4J9(A) com as Figs 440(B) (C) e (D) percebe-se o padratildeo

de cada plano simboacutelico eacute semelhante ao plano simboacutelico do mapa de Heacutenon A maior

I

84

R

22 I I I I I I II I 22 24 26 28 30 32

4 Resultados e Anaacutelise

semelhanccedila ocorre entre o atrator de Heacutenon e o atrator experimental com a tensatildeo de

controle de 35 V da Fig 440(B) cujo plano simboacutelico possui as mesmas regiotildees permitida

e proibida Para valores maiores de amplitude da onda sonora algumas zonas deixam de ser

proibidas ~ ocorrendo uma invasatildeo nestas regiotildees como por exemplo a =O~8 e 1=04 na

Fig 4AO(D) mostrando que a formaccedilatildeo de bolhas estaacute se aiacuteagravestando da dinacircmica do tipo

Heacutenon e ficando muito semelhante ao plano simboacutelico do mapa do ciacuterculo~ como pode ser

visto na comparaccedilatildeo entre a Fig 4AO(C) e a Fig 212(A)

(b)1 (8) Ikll ti h u n u r

tII-q U bull

n-~ 1 n - ~

~ -shy-~

bull

(c~ I (~) lt

tll rt O 111 t

~2 t= - ~

iSlt iH tl t III n bull

bullbull

~~ bull ~~

~ lloe

(d)1 (D)~O8 ~ t t t t tE 30 06

Ccedil 28 ocircUL ua

= -t Ibull ~ _ ~O4 t (1-2

26 ~ H 1~ ~ m H)224 oh _fi rbull u d~

I I I I I r I I bull I I I I I 00 34 00 02 04 06 08 10

TN(ms) a

Figura 440 Mapas de retomo experimentais com particcedilotildees e respectivos planos simboacutelicos

85 4 Resultados e Anaacutelise

44 Oscilaccedilotildees forccediladas

Mapeamentos bidimensionais como o mapa de Heacutenon normalmente satildeo usados

como seccedilotildees de Poincareacute de osciladores forccedilados [Thompson e Stewart 1986] Se

considerarmos a existecircncia de um movimento oscilatoacuterio na formaccedilatildeo de bolhas e a onda

sonora como uma forccedila perioacutedica externa podemos compreender o sistema bolhasonda

b gt I I=1C

QP-gt

-AR I

)

) P

- Figura 4Al Representaccedilatildeo esquemaacutetica do sistema bolhasonda sonora como um oscilador forccedilado onde Po eacute O periodo de oscilaccedilatildeo associado agraves bolhas c PI eacute o periodo da onda sonora

sonOTa como um oscilador forccedilado como

estaacute diagramado na Fig 441

Deste modo podemos interpretar os

mapas de primeiro retorno observados

experimentalmente como seccedilotildees de Poincareacute

de um oscilador forccedilado Outro sistema

dinacircmico que representa um oscilador

forccedilado eacute o mapa bidimensional do ciacuterculo

discutido na seccedilatildeo 29

K Bn+1 =Bn +Q- 27 sen2nBn +brn (mod 1)

K TII+I = bTn - 27 sen 27Bn

(430)

As duas frequumlecircncias envolvidas no

experimento cuja razatildeo nos daacuteQ~ para o tubo

borbulhador satildeo a frequumlecircncia da onda sonora

e a frequumlecircncia de borbulhamento O tempo

entre bolhas estaacute relacionado com a variaacutevel

rri do mapa O paracircmetro K estaacute relacionado

com o experimento com a tensatildeo que eacute aplicada no alto-falante Para explorarmos a regiatildeo

inicial do mapa do ciacuterculo diminuiacutemos o fator de amplificaccedilatildeo do sinal do gerador de

funccedilotildees para o alto-falante Utilizamos o liacutequido 80 glicerina e 20 aacutegua e o bico A2

i

4 Resulodes Anaacutelise 86

I

Na Fig 442(a) temos os dados obtidos para um valor de EX = 37 e na Fig

4A2(b) o resultado da simulaccedilatildeo utilizando o mapa do circulo com b = - 01 Os dados

mostram que com o aumento da amplitude da onda sonora o ponto fixo inicial daacute lugar a

um ciclo limite cujo raio aumenta de maneira aproximadamente linear ateacute a tensatildeo de 44

V Apoacutes este valor de tensatildeo uma janela perioacutedica ocorre e o sistema entra numa regiatildeo

caoacutetica para varores de tensatildeo entre 54 V e 87 V A regiatildeo caocircttca eacute substituiacuteda por um

travamento frequumlecircncia de periacuteodo 1

27 ~ I n~=37 I 2ll

z gt-25

24 _- shy-~~~i ~ r O 2 4 Tensatildeo 1 6 8 10

030 l 0=37 i b=~O1015

C 000 ~

-015

-030 shyK 15 20

Figura 441 Em (a) vemos os dadoo obtidos com o experimento do tubQ borbulhador COm a razatildeo entre a freQUumlecircncia da onda sonora e a freqtiecircncia de borbulhamento igual a 37 Em (b) simulaccedilatildeo com o mapa do circulo bidimenslQnal

A comparaccedilatildeo com O mapa do ciacuterculo da Fig 442(b) mostra as mesmas

caracteriacutesticas O ruiacutedo experimentat tem a tendecircncia de mascarar as janelas perioacutedicas~

mas a janela perioacutedica central eacute bem visiacutevel nos dois casos

Diminuindo a frequumlecircncia de borbulhamento e repetindo o aumento da amplitude a

partir do zero temos os dados da Fig 443(a) com um valor de EX = 427 N Fig 443(b)

87 4 Resultados e Anaacutelise

bull simulaccedilatildeo com o mesmo valor de f e h = - 01 Esta regiatildeo triangular inicial para baixas

amplitudes da onda sonora e para estes valores de n~ ecirc uma rota para o Caos via quaseshy

periodicidade

o 2 Tensatildeo M 4 S 8

02 - I n=427

c (O ~

-1gt2

1 - I I

05 K 10 15 20

Figura 443 (a) Dagravedosexperimentais com a razatildeo entre as freqUecircnci3S-da onda sonora e do bottmIbamemo igual a 427 (b) Seacuterie obtida com o mapa doclrculo com Qr421 eb= ~O1

441 Comportamento geral

Agora veremos o travamento em penodo ] apoacutes a regiatildeo quase~perioacutedica triangular

seguida de duplicaccedilatildeo de penodo e Coos

Para obter a seacuterie temporal noacutes escolhemos um ponto fixo sem a onda sonora com

a taxa de borbulhamcnto Fb liacuteIfh onde To eacute o tempo meacutedio entre bolhas sucessivas e

apoacutes isto noacutes aumentamos a amplitude A do som continuamente

bull bull

bull bull bull

88 4 ResultadoscAnaacutelise

=f = j

T

E j T (a)fi ~

I I I 4 Aa u) 6

0381 b-O1

05

t

00

~lt

~~i (b) I K bull(~

bull4

Figura 4A4 (a) Djagmma de bifurcaccediltlo experimental Oponto 11xo experlmenW T oorresponde a 261 ms (b) diagrama obtido com o matn do ciacuterculo com y = 019

i

Na Fig 444(a) pode ser vista a seacuterie experimental~ Tn V$ A para urna taxa de

borbulhamento de F = 3937 bolhasls e QEX= FF = 381 Na Fig 444(b) temos o

diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo r vs K calculado com b = 01 e o mesmo

valor de razatildeo de frequumlecircncias ~h =381

Temos algumas similaridades entre OS dois diagramas PartindO deK=O e A==O cada

ponto fixo perde sua estabilidade quando aumentamos o respectivo paracircmetro de controle e

ocorre uma regiatildeo quase-perioacutedica Os pontos fixos 1 e r tomam~se estaacuteveis para A por

volta de 27 e K aproximadamente igual a 107 O ponto fixo T(r) eacute estaacutevel ateacute A 47 (K

= 2gt44)~ quando inicia~se uma cascata de duplicaccedilotildees de periacuteodo Deve ser notado que as

posiccedilotildees destes pontos fixos estatildeo na regiatildeo superior da banda triangular (gt0 e Tgt To)

89 4 Resultat1cs e Anaacutelise

As propriedades dos diagramas satildeo facilmente exp1icadas~ se analisarmos as

propriedades do mapa do ciacuterculo Segundo as equaccedilotildees (228) o ponto fixo r apoacutes a regiatildeo

quase-perioacutedica no mapa do circulo eacute dado por

r~- O (modi) s_O (mndl) lt 05 (431)

I - Q (mnd I) se Q (mnd I) gt 05

No atrator experimental O ponto fixo T ocorre quando a regiatildeo quase-perioacutedica

atinge uma frequumlecircncia de borbulhamento igual a um submuacuteltiplo da frequumlecircncia da onda

sonora de 150 Hz

T~ 41150= 267ms (432)

onde o nuacutemero 4 eacute o inteiro mais proacuteximo do valor de Oex = 381 Este fenocircmeno eacute

conhecido com travamento sub~harmocircnieo (subharmonic entrainment) (Hayashi 1985] e

ocorre em um oscilador forccedilado quando a razatildeo entre a frequumlecircncia da forccedila externa e a

frequumlecircncia natural do oscilador estaacute na vizinhanccedila de um inteiro diferente de I

f j 3D -I T

1 ____ +

QE(= filgt 415

J

______ u I aIl ~~~1~lt

(a ~ ~ ~~ 2 1bull bullI bullI ACa li) bull

u = 41$ b 01

middotmiddotl 0

-~~ru---- i ~~ (b

a 1 2 3 4 5K

Figura 445 (a) Diagrama de bifurcaccedilatildeo cxperimenlal com To -271 ID$ O JXlnto fixo experimentai T colTeacuteSpOllde a 267ms (b) diagrama obtido com o mapa do clrcuJo CQM r -015

4 Resultados e Anaacutelise 9(l

Com outra frequumlecircncia de borbulhamento F=3614 bolhas ms com a mesma

frequumlecircncia da onda sonora de 150 Hz obtivemos o diagrama experimental que estaacute

mostrado na Fig 445() com nEJ( = 415 Podemos notar as mesma similaridades

descritas anteriormente como O travamento sub-harmocircnico do borbulhamento dado pela

equaccedilatildeo (432) poreacutem o ponto fixo experimental (TltTo) estaacute agora no limite inferior da

regiatildeo quase-perioacutedica triangular Na Fig 4A5(b) temos o diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa

do circulo com nT = 415 e b = 01 O ponto fixo T(r) toma-se instaacutevel em A

aproximadamente igual 45 (K 236)

Noacutes podemos dividir a evoluccedilatildeo do borbulhamento em duas regiotildees urna regiatildeo

inicial relacionada com o comportamento quase-perioacutedico (A ~ 25) e a rota de duplicaccedilatildeo

de periacuteodo (A ~ 4)

Para valores inteiros de h natildeo observamos a regiatildeo quase-perioacutedica Ajustando a

0a f)f =40

3

T=T- - E 1-shyI s

J m (a)

I I

2bull A(a u bull bull n-=40 b=O1

~U1 ~ ~c

bl

bull 1 2 3 4 K

Fiboura 446 (a) BorbulhamentocomQn = 40 Nas condiccedilotildees acima natildeo baacute a regiatildeo quaseperioacutedjca e 1To eacute estivel na regiatildeo ineiaI deA (b) O mesmo eacute observado para o mapa do cIrculo com Ot=4O e b=Ol

-- -

91 4 Resultados e Anaacutelise

frequumleacutencia d borbulhamento para 375 bolhass tal que ordmX = 40 natildeo ocorre a regiatildeo

quase-perioacutedica como pode ser visto nos dois diagramas da Fig 446 O ponto fixo T ~ T

V = O) eacute estaacutevel ateacute A aproximadamente igual a 37 ( K 22 ) e o sistema evolui

diretamente par a caseata de duplicaccedilotildees de periodo

Na Fig 447 temos algumas liacutenguas de Arnold para o mapa do circulo

unidimensional (b = O) como uma aproximaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo bidimensional com

b=plusmnO1 Para um valor de n (mod 1) diferente de O o sistema inicialmente evoluiacute na regiatildeo

quase-perioacutedica mostrado pelas setas pontilhadas ateacute que O sistema alcanccedila o ponto fixo

estaacutevel dado pelos circulos cheios Mesmo para os casos dos dados mostrados nas Figs

442 e 443 podemos ver quando o sistema atinge as regiotildees das liacutenguas de Arnold relativas

ao penodo 4~ marcado pejas pequenas Unhas horizontais pontilhadas Para fi = O) o sistema

percorre a regiatildeo inicial de K no periacuteodo 1 relativo ao nuacutemero de rotaccedilatildeo W= 01

iacute 11) i2 fI- li I LeHHJ~~ I I I I In

11 ( K j~

I~ I

1I 1 II (lrl j

00 _ 05 gt0

n mod(1) shyFigura 447 As sete linguas de Arnoid mais largas com seus respectivos nuacutemeros de rotaccedilatildeo Os nuacutemeros entre parecircnteses coloridos no topo e na base oorrespondcm aos nuacutemeros das figuras mostradas neste eamtulo

92 4 Resultados eAlIaacuteJise

442 Comparaccedilatildeo dos atratores

Os atratores caoacuteticos do tipo Heacutenon que aparecem no mapa do circulo sofrem uma

rotaccedilatildeo ao redor do ponto do ponto de selaflip como pode ser visto nas comparaccedilotildees entre

atratores experimentais reconstruiacutedos da Figs 448(A) e 448(C) e entre os atratores

obtidos numericamente das Figg 448(a) (b) e (c) Usaremos o termo saxofone que foi

utiacutelizedo por R Shaw [Shaw 1984] para atratores obtidos no experimento da torneira

gotejante para designar os atratores das Figs 448(a)-(A) Experimentalmente e

numericamente~ as condiacuteccedilotildees de orientaccedilatildeo dos atratores saxofone satildeo as seguintes

n (mod 1)gt 05 formato de saxofone (433a)

n (mod 1) lt 05 formato de saxofone invertido (433b)

Quando a parte fracionaacuteria de n se anula temos a formaccedilatildeo de um atrator do tipo

duplo gancho como estaacute mostrado na Fig 448(b) e 4A8(B) Como foi discutido na seccedilatildeo

4J22 todos os atratores experimentais apresentam um ponto de sela jlip que estaacute

localizedo na interseccedilatildeo de cada linha diagonal com cada atrator das Fig 448 Em todos

os casos este ponto de sela substituiu o ponto fixo estaacutevel 1~ do travamento sub~

harmocircnico (equaccedilatildeo 432) Por isso no atrator experimental o ponto de sela jJip~ Tfo eacute

calculado do mesmo modo que o ponto fixo estaacutevel T

~ ~4150=267l11S (434)

onde o nuacutemero 4 eacute o inteiro mais proacuteXIacutemo do valores das razotildees de frequumlecircncias OEX (381

40 e 415) com a frequumlecircncia da onda sonora sendo de 150 Hz Para os atratores obtidos

rumericamente a posiccedilatildeo do ponto de selaflip rfi tambeacutem eacute calculada com equaccedilatildeo (431)

Em particular os trecircs pontos de selaflip dos atratores mostrado nas Figs 448 satildeo

rl(A) 019

~~-M ~~ rr(C) -015

93

4 Resultaoos eAnaacutejse

I_mlltQfl_ Figura 448 (a) O atratori ~ 1

1 saxofone obuacutedo com o experimento do tuboI I borbuIhador no pontoi ~ indicado por uma seta na seacuterie mostrada na FigI ~ I 444(a) (A) A simulaccedilatildeorJie) I 1 (A) bull com o mapa do drculo

bull laquo

gtJ_ ~(I _ (b) Atrator eJqgterimental do tipo gancho duplo

I

l Ki-i - obtido nas mesmasi condiccedilotildees indicadas pelai j j bull v1 ~I q seta sobre a seacuterie da Fig ji

446() (B) Alrl j obtido ltom o IIlltiJ(f do

gtJ (b) 1 -AJ I (a) ltV M circulo

raquo gtlt w raquo u ~~~ ~ c---------------

N111gtIgti_i -~ lt-U4I_ i (c) Rotaccedilatildeo do atmtor experimental obtido no

ponto indiacutecado pela seta- na seacuterie da Figt 445(a)g ~ bull ~ C A mesma fOtaccedilatildeona ~ simuJaccedilgo feita com oJ marm do circulo u(CI V laquo) ____

)o lO lO ~ Q

T(ms) ro

Quando a parte fracionaacuteria de QEgt vale

05 aumentando-se a amplitude~ temos tambeacutem o ponto fixo de periacuteodo 1 que se torna

finstaacutevel surge um periacuteodo quatro e depois - gt

disso surge um atrator caoacutetico com a forma de raquo

uma C7JZ que estaacute mostrado na Fig 449 raquo raquo raquo Aleacutem diacutesgo~ outros mais atratores J

experimentais mais complexos tambeacutem podem Figura 449 Atnltor caoacutetico obtido com nm igualaO5

ser simulados com o mapa do circulo como

pode ser visto na Fig 450(0) onde temos uma frequumlecircncia de borbulhamefito de 8 bolhass

94 4 ResultadoseAnoacuteliseuro

com uma frequuml~ncja da onda sonora de 150 Hz A simulaccedilatildeo com o mapa do ciacuterculo como

estaacute mostrada na Fig 450(b) foi feita com tlr= 1885 h = 01 eK = 83

~ f fi ro ~ ni il II~~~~jflitllt1I)j~ ~ ~ to fi lt ~i~~~rl ~iacute J ~1J li~4It IVtAl lt

IiV V (b)-

m M m m - Tn(ms) r

FIgUra 450 Atrator e~perlmcntalem (a)(lroc = 1amp75 b -= 01 Em (b) aacute simulaccedilatildeo COm o mapa do ciacuterculo n= 1885 b =01 e K= 83

gt

~~

I

~ ifA rl li Pf ~ fI 1 J ~ N11D Jl ~ci- ~1 bull

J -I

(a) ~

443 Modulaccedilatildeo do Paracircmetro de Controle

Quando utilizamos a Teoria do Caos para analisar resultados experimentais uma

das mais dificeis tarefas eacute associar os paracircmetros experimentais aos paracircmetros dos

modelos existentes como o mapa logiacutestico ou o sistema de equaccedilotildees de Rotildessler e outras

equaccedilotildees dos sistemas caoacuteticos Algumas vezes o paracircmetro de controle escolhido eacute

modulado por uma funccedilatildeo que natildeo permite a observaccedilatildeo direta dos sistemas caoacuteticos

claacutessicos atraveacutes da variaacutevel de medida [Tufaile 1996J Isto acontece no experimento do

tubo borbulhador caso utilizemos por exemplo a vazatildeo do ar como paracircmetro de controle

como estaacute mostrado na Fig 451 onde utilizamos a soluccedilatildeo de 66 glicerina e 34 aacutegua e

oacute bico de seringa A vazatildeo do ar) o paracircmetro de controle estaacute relacionado de uma forma

hiperboacutelica com o tempo de borbulhamenlo a variaacutevel de medida representada pela linha

95 4 Resultados e Anaacutelise

pontilhada Quando

sintonizamos uma onda

sonora no sistema com urna

frequumlecircncia de 126 Hz e uma

amplitude constante ocorre

uma composiccedilatildeo entre a

funccedilatildeo hiperboacutelica e o mapa

do ciacuterculo Os tempos

associados aos patamares T ~

satildeo bem definidos e podem

ser calculados com a equaccedilatildeo

(436) Os patamares se

alargam com o aumento da

vazatildeo e o valor do tempo

7

70

65 T(ms)

55

50 61j-shy shy

-~ shy 40 60 80 100 120 140 160 180

Vazatildeo (mlfmin)

Figura 451 A composiccedilatildeo de uma funccedilatildeo hiperboacutelica de borbulhamento com ) mapa do circu1o as fraccedilotildees ao lado de cada pagravetamar datildeo () valor do tempo do ponto fixo Tp devido ao trnvaJnento sub-harmocircnico

associado a cada um deles eacute calculado atraveacutes dos travamentos sub-harmocircnicos

Tp~jlf (436)

onde j eacute o inteiro mais proacuteximo da razatildeo entre a frequumlecircncia da onda sonora e a frequumlecircncia

de borbulhamento

Outra situaccedilatildeo na qual ocorre a modulaccedilatildeo do paracircmetro de controle eacute quando

(b) ~ ~~~l~~~ ~~ - 21)~~ir-- ~if~~e

2(1 I i i r 5 6 7 B

Q

Figura 452 (a Composiccedilatildeo do tnatXt do ciacuterculo com uma funccedilatildeo linear decrescente O paracircmetro de acoplamento nllo-linear K eacute uma funccedilatildeo decrescente do valor de n

(b) Dados do tempo de borbulhamento em funccedilatildeo de o A variaccedilatildeo de o ecirc obtida mantendo os demais paracircmetros constantes e aumentando linearmente a frequumlecircncia da onda sonol3

4 Resultados e Anaacutelise

variamos a frequumlecircncia da onda sonora mantendo constante a sua amplitude Medindo o

tempo de borbulhamento obtivemos os dados d Fig 451 (b) do tempo de borbulhamento

contra a razatildeo entre as frequumlecircncias Q para uma frequumlecircncia de borbuibamento inicial de 33

bolhass Devido agraves propriedades da acuacutestica do tubo a variaccedilatildeo da frequumlecircncia da onda

sonora afeta simultaneamente a amplitude da onda Isto pode ser simulado com o mapa do

circulo com h = Ol~ supondo que o paracircmetro de acoplamento natildeoM1inear~ ~ do mapa do

circulo seja uma funccedilatildeo linear decrescente com relaccedilatildeo agrave razatildeo de frequumlecircncias n que na

Fig 452() eacute o paratildemetro de controle

K(n) =40 - 047 n (437)

Os patamares d Fig 451 assim como as linhas diagonais da Fig 452(a)

correspondem agrave composiccedilotildees da frequumlecircncias de borbulhamento e da onda sonora que levam

o sistema dinacircmico nas regiotildees de liacutengua de Arnold com nuacutemero de rotaccedilatildeo W igual aI

97 5 ConclusiJes

) 5 Conclusotildees

CltJnstmiacutemos o aparato do tubo borbulhador e observamos que O principal

aspecto da fonnaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos viscosos eacute que este sistema eacute equivalente a

um oscilador natildeo-linear Esta afirmaccedilatildeo foi baseada inicialmente nos intervalos de

tempo da formaccedilatildeo das bolhas no experimento do tubo borbulhador quando a vazatildeo de

ar aumenta e na comparaccedilatildeo deste experimento com o experimento da torneira

gotejante A comparaccedilatildeo dos dados experimentais da formaccedilatildeo das bolhas influenciadas

pela onda sonora com os resultados teoacutericos do mapa bidimensional do circulo1

confirmou que o borbulhamento estaacute associado a um movimento oscilatoacuterio Na

comparaccedilatildeo do sistema bolhasonda sonora e o mapa do ciacuterculo o ponto mais

importante foi associar o tempo da formaccedilatildeo das bolhas T com a variaacutevel rlf do mapa

do ciacuterculo

A interpretaccedilatildeo da oscilaccedilatildeo na formaccedilatildeo das bolhas pode ser feita observandoshy

se o deslocamecto do Ifquido Durante a subida da bolha no liquido este eacute afastado para

dar passagem agrave bolha ateacute que a bolha passe e o liacutequido volta a preencher o espaccedilo que

antes era ocupado vela bolha Este processo se repete e assim temos o comportamento

oscilatoacuterio Entatildeo podemos entender o movimento do liacutequido induzido pela passagem

da bolha como um oscilador natildeo-linear O sistema de detecccedilatildeo mede apenas valores

maacuteximos deste comportamento oscilatoacuterlo~ por isso temos as seccedilotildees de Poincareacute do

borbulhamento e natildeo curvas continuas do espaccedilo de fases

A duplicaccedilatildeo de periacuteodo) que ocorre quando variamos a vazatildeo~ foi a primeira

observaccedilatildeo que indicou que urna abordagem utilizando a Teoria do Caos seria um

meacutetodo possivel para a compreensatildeo do fenocircmeno da formaccedilatildeo das bolhas Mesmo

assj~ uma abordagem utilizando os conceitos da Mecacircnica dos Fluidos foi feita ~ com

este ponto de vist~ observamos que a duplicaccedilatildeo de periacuteodo com a vazatildeo estaacute associada

com a instabilidade de Rayleigh-Taylor que representa a instabilidade da interface de

dois fluidos que natildeo se misturam A duplicaccedilatildeo de periacuteodo SOacute eacute evidente em fluidos

viscosos pois~ em liquidas pouco viscosos como a aacutegua a dinacircmica observada vai

diretamente do comportamento regular para um comportamento irregular Verificamos

que a instabilidade da superfiacutecie da bolha nos fluidos com baixa viscosidade eacute a resposta

para a questatildeo da transIccedilatildeo do movimento regular para o movimento irregular na

formaccedilatildeo das bolhas Esta instabilidade eacute causada pela interaccedilatildeo entre as bolhas que se

elevam dentro do liacutequido e a bolha que estaacute se formando junto ao bico Em fluidos

98 s COI1cfusr1es

viscosos e com baixas vazotildees do ar o deslocamento das bolhas que estatildeo emergindo

natildeo afeta a bolha que estaacute se formando pois natildeo haacute uma perturbaccedilatildeo significativa criada

pela circulaccedilatildeo do liacutequido e esta circulaccedilatildeo permanece laminar junto ao bico Poreacutem

para vazotildees mais e1evada~ mesmoS nos liacutequidos viscosos teremos todo o conjunto das

bolhas emergentes e da bolha que estaacute se formando interagindo pois as perturllaccedilotildee5 na

circulaccedilatildeo do liacutequido se propagam em todas as direccedilotildees dentro do tubo borbulhador

Deste modo a formaccedilatildeo das bolhas apresenta uma dependecircncia tanto do tempo quanto

das condiccedilotildees d contorno Neste aspecto o experiroento do tubo borbulhador eacute

diferente do experimento da torneira gotejante pois o deslocamento das gotas que estatildeo

caindo natildeo tem efeito significativo na gota que cresce junto ao bico

Utilizando diferentes tipos de bicos verificamos algumas das influecircncias da

geometria do bico na formaccedilatildeo das bolhas Emulamos as seacuteries temporais atraveacutes da

combinaccedilatildeo de mapas Isto permitiu o desenvolvimento de ideacuteias para tentar entender e

explicar os fenocircmenos observados como alargamentos suaves e abruptos nos tempos

entre as bolhas A combinaccedilatildeo de mapas jacirc havia sido utilizada no experimento da

torneira gotejante~ o que mostra a sua importacircncia como rerramenta na compreensatildeo de

sistemas caoacuteticos

Do mesmo modo as simulaccedilotildees com modelo unidimensional massa-mola

permitiram melhorar a nossa interpretaccedilatildeo dos dados tanto da torneira gotejante quanto

do tubo borbulhador O modelo natildeo eacute adequado para observaccedilotildees quantitativas mas

pode ser usado para a obtenccedilatildeo de resultados qualitativos Durante a verificaccedilatildeo da

hipoacutetese do fator de massa agregada fJ do modelo massa-mola para a formaccedilatildeo das

bolhas encontramos as estruturas das veiacuteas liacutequidas que satildeo colunas de aacutegua dentro do

oacuteleo sustentadas pela subida de bolhas de ar

Aleacutem disso durante a realizaccedilatildeo da experiecircnci~ foram encontradas algumas das

condiccedilotildees que fazem o aparecimento de antiboJhas que satildeo gotas envolvidas por uma

fina camada de ar dentro do liquido e que ficam aprisionadas na circulaccedilatildeo dentro do

liacutequido

Verificamos as condiccedilotildees de validade para a relaccedilatildeo entre a frequumlecircncia da

formaccedilatildeo das bolhas e a vazatildeo do ar para um modelo simplificado que estabeleccedile uma

frequumlecircncia para a formaccedilatildeo das bolhas proporcional agrave vazatildeo elevada a 04

Atraveacutes da associaccedilatildeo com o mapa do ciacutercuJo~ verificamos algumas

similaridades entre o mapa e o experimento como por exemplo a comparaccedilatildeo da

variaccedilatildeo da razatildeo entre as frequumlecircncias da onda sonora e do borbulhamento~ nEXo com a

s ConcluslJes 99

variaccedilatildeo do paracircmetro nr do mapa assim como fizemos a comparaccedilatildeo entre as fonnas

dos atratores reconstruiacutedos Deste modo encontramos algumas rotas para o Caos

quando eacute feita a variaccedilatildeo da amplitude da onda sonora A formaccedilatildeo das bolhas pode

evoluir inicialmente atraveacutes da rota de quase-periodicldade quando a amplitude do som

eacute aumentada linearment~ que pode ser reconhecida no iniacutecio das seacuteries temporais

devido agrave sua forma triangular para alguns valores d razatildeo entre as frequumlecircncias tEX

Outra rota observada fui a rota de duplicaccedilatildeo de periacuteodo com a formaccedilatildeo de atratores do

tipo~Heacutenon devido aos processos de estiramento e dobra

A dinacircmica do mapa do circulo ainda permitiu interpretar o comportamento mais

global da existecircncia de patamares no tempo da formaccedilatildeo das bolhas nas seacuteries

temporais sujeitas a uma onda sonora de frequumlecircncia bem definida Os patamares

OCOrrem quando a freqOecircncia do borbulhamento estaacute proacuteximo a um submuacuteltiplo d

frequumlecircncia da onda sono~ o que caracteriza um travamento subMharmocircnico O

travamento sub~hann8nico ocorre quando a frequumlecircncia de um oscilador fica travada em

um submuacuteltiplo da freqOecircncia de uma forccedila externa aplicada O caso limite d

sincronizaccedilatildeo entre a formaccedilatildeo das bolhas e a onda sonora eacute o travamento harmocircnico

quando as bolhas se formam com a mesma frequumlecircncia da onda sonora

I I I

I

100 6 Referecircncias

6 Referecircncias

Argyris J Fast Q e Haase M (1994) An Exploralion of Chaos North-Holland Arnsterdam

A1ligood K T Sauer T D e Yorke J A (1997) Chaos - (f1 introrillclion lo dynamical syslems Springer New Yerlc

Bai-lin H (1989) Elementary symbolic dyrtamics and Chaos in Dissipolive Systems World Scientific~ Singapura

Bertelseo p EUegaard C Guhr T Oxborrow M e Schaadt K (1999) Measuremenl of Parometric Correlations in Spectra of Resonating Quarlz Blacks Phys Rev Lett 83 2171-2174

Chandrasekhar S (1981) Hydrodynamic and Hydromagnetic Stabiacuteliacutety Dever New York

Cliacutefl R Orace J R e Weber M E (1978) Bubbles Draps and Partieles Academic Press~ New York

Collet p e Eckmann 1 (1980) lleraled maps ou lhe inlerval as dynamieal systems Birkhatildeuser New Yorlc

Davidson J F e Schuumller B 0 G (1960) BlIbble formaiion ai an orifice in a viscous liquid Trnns Inst Chem Eng 38 144-154

Dnnocenzo A e Renna L (1996) Dripping Faueet Int J Theor Phys 35 941-973

Dnnoeenzo A e Renna L (J 997) Morieling leaky fancei dynamics Phys Rev E 55 6776-6787

EUner S Nychka D W e Gallant A R (1992) LENNS a progrom lO estimale lhe dominant Lyapunov exponent cfnoisy nonlinear systemsfrom time series data (Institute of Statistios Mimeo Series n 2235 (EMA series n 39) Statistics Department North Carolina State University Raleigh

Femat R Alvarez-Ramiacuterez e Soria A (1998) ChaoticJlow slnentre in a verlical bllhble column Phys Let A 248 61-79

Finney C E A (2000) Bibliography of choos amp buhbling httpwwwshychaosengrutkedulbibBubblinghtml

Fletoher N H e Rossiog T D (1991) The Physies ofMusicalll1srnmenls Springer New York

Fuchikam~ N lshioka S Kiyono K (1999) Simulalions ofa Dripping Faucel J Phys Soe Jpo 68 1185-1I96

INSTITUTO DE FS1CA serviccedilo (iccedil albHotscamp e

lntgnllccedilatildeoTombo u ~ Co

-et [

101 6 ReJerecircneacuteiaacutes

Gonccedilalves W M (1996) A experiecircncia da Tomeira Golejante Tese de doutorado lFUSP

Gonccedilalves W M Pinto R D SartoreUi 1 C e de Oliveira M 1 (1998) Inferriacuteng staliacuteseal complexity in lhe dripplnglaueet experiment Physica A 257 385-389

Grebogi C Ott E e Yorkel A(1982) Chaote attraetors in crisis Phys Rev Lett 48 1507-1510

Hayshy C (1985) Nonliacutenear Oscilatiolls In Physicol Systems p 285 Princeton University Press Princeton

Hegger R Kantz H Sebreiber T (1999) Praticol implementaton of nonlnear time seres methads The l1SEAN paekage Chao 9 413-435

Jaekson E A (1995) Perxpectives 01 l1oninear dynamies Cambridge University Cambridge

Kaneko K (1992) Overview 01eoupledmap latliees Chaos 2 279

Kiyono K e Fuehikami N (1999) Dripping Paueel Dynamiacutecs Clarified by an Improved Mass-Spring Model 1 Phys Soe Jpn 68 3259-3270

Kyrialcides N K Kastrinalcis E G Nyehas g G e Goulas A (1997) Bubblingfrom Naues Submerged in Water Transiacutetions Between Bubbling ampgimes Can J Chem Eng 75684-691

Lantoroom W (I986) Acoustie Turbulence em Frontiers in Physiacutecal Acouslics p 124shy144 Nortb-Holland Amsterdam

L~ H Z Mouline Y Choplin L e Midoux N(1997) Chaotic bttbbe coalesconee in non-newlmriacuteanfluids lnt J Multiphas Flow 23713-723

Li T Y e yoke J A (1975) Period 3 iacutemplies ehaos Am MatlL Month 82 985-992

Lorenz E N (1980) Altraclar seis aml qttasi-geoslrophiacutec equlibrillm J Atmas Sei 37 1685-1699

MaJI R (1981) On lhe diacutemensiacuteon cf compacl invaria11l sei cf certain nall-lillear maps em Dynamical System and Turbulence 00 D A Rand e L S Young Spnnger Berlim

Marmur A e Rubin E (1915) A theoretieal modellor huboacuteleformation 01 ali orifice submerged in Im inviscid iquid Chem Eng Sei 31 453-463

6 Referecircncias 102

Marston P L (1980) Shape oscillotion aJ1d stalie deformalion of drops and bubbles drive by modulated radiation stresses-Theory J Acous Soe Am 67 15-26

Martian P Pope S C Scott P L e Shaw R S (1985) Ihe chaotic behavior ia eaky faucet Phys Let A 110 399-404

Mltoni L 1 Schwartz M P e La Nauze R J (1995) Determinislie chaos in lhe gas inel pressure ofgas-liquid bubbling systems Phys Pluids 7 891-893

Moran M I Haigh R E Lowry M E e Sweider D R (2000) ObservntiollS ofSingleshyPulse Sonoluminescence httpwww-physllnLgovlN_DivlsonoIurnlsonolumyaperhtrnl

Miyahara T Baga N Takahasbiacute T (19B3) Bubble formationfrom an oriftce ai high gas ftow rales Int Chem Eng 23 524-53 L

Nguycn K Daw C 5 Cheng M Bruns D D Pinney C E A e Kennel M B (1996) Spalio-temporal ~namics in a train ofrising hubbles Chom Eng J 64 191-197

Paclcard N H CrutehfieId J P Fanner J D e Shaw R S (198() Geometryfrom a time serles Phys Rev Lett 45 712-716

Perry R H e Clinton C H (1972) Chemcal Engineers HandbQok McGraw-HilI New York

Pinto R D (1999) Comportamento Complexo na Experiecircncia da Torneira Gotejante Tese de Doutorado lFUSP

Pinto R D e Sartorell~ J C (2000) Homoclinc tangency and ehaotic attractor disappearance in a drippingfaucet experiment Phys Rev E 61 342-347

Prosperetti A (1986) Physicsi Acoustic Cavitalion em Frontiers in Physical ACOllstics p 145-188 North-Holland Amsterdam

Ponter A B e Surati A l (1997) HuMI EmissiollSfrom SlIbmerged Orifices - A criticai Review Chem Eng Toelmo 2085-89

Putterman S 1 (1995) Sonoluminescence Salim l11to light Sei Am Fevereiro 33-37

Rapp P E Bashore T R Zimmermean L D Martinerie 1 M Albano A M e Mees A 1 (990) Dynomical CharacterizaJlon ofBrain EleerIacutewl Activity em 1he Ubiqulty of ChIlO AAAS Washington DC

Renoa L (1999) A discrele map for drippingfaucel dynamics Phys LeI A 261 162-168

da Rocha M S (1995) Determinaccedilatildeo da evoluccedilatildeo temporal da fonnaccedilatildeo de gotas Dissertaccedilatildeo de mestrado lFUSP

Rotildess1er O E (1977) Synergelies a workshap Haken H Springer Berlim 174-183

103 6 Refrencias

Ruzicka M C Drahos J Zabradnik J e Thomas N H (1997) Inermittt transition from bubbling to jetling regime in gas-liquid two phase fiows Int J Multiphase Flow 23 671--682

Sacircnches-Ortiz G 1 e SaIas-Brito A L (1995a) Strange attraclor in a relaxalion oscillator modelfor lhe drippingfaueet Phys Let A 203 300

Sacircnches-Ortiz G I e SaIas-Brito A L (1995b) Chaos in a variaMe mass relaxatiall oscilator modelfor lhe leaky tap Physica D 89 151

SartoreUi J C Gonccedilalves W M e Pinto R D (1994) Crisis 00 intermittenoo in a leaky-fauce experiment Phys Rev E 493963-3975

Scbemelcher P Diakonos F K (1998) A general approach lo lhe finding of unSlable periadie arhils in ehaotie dynamieal syslems Phys Rev E 57 2739

Sharpe G J (1994) Solving Probems in Flllid Dynamics p 203 Longman Essex

Shaw R (1984) The drippingfaucet as a model chaotic sySlem Aerial Pre Santa Cruz

da Silva J G M (1996) Caraelerizaccedilecircio da Dindmica da Formaccedilecircio de Goas Dissertaccedilatildeo de mestrado lFUSP

80 P Ott E Sehiff S F Kaplao D T Sauer T e Grebogi C (1996) Deleeting unstoble periodic orhits in chaotie experimentol daa Phys Rev Lett 76 4705-4708

Sotomayor J (1979) Liccedilotildees de equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias Projeto Euclides Rio de Janeiro

de Souza Vieira M C Lazo E e Tsallis C (1987) New road 0 ehoos Phys Rev A 35 945-948

Stons C L (1974) Th amate1f scientiSl Sei Am Ahri 116-121

Sulivao S L Hardy B W e Holland C D (1964) Formatioll ofAir Bubbles ai Orifiees Submerged Beneath Liquids AI Ch E Journll0 848-854

Takens F (1981) Deecling Srange atraclors inurhulenee em Dynamical Syslems aod Turbulence ed D A Rand e L S Young Springer Berlim

Thompson J M T e Stewart H B (1986) Nanlinea Dynamics aod Cnaos Geometrieal Methods for Engineers aod Seieniss p162 John Wiley and Sons Chichester

Tritton D I Egdell C (1993) Chaotic bubhling Phys Pluids A 5 503-505

Tufaile A (1996) Mapas combinados e o experimento da omeira gotejante Diacutesertaccedilatildeo de mestrado IFUSP

6 Referecircncias 104

Tufaile A Pinto R D Gonccedilalves W M e Sartorelli J C (1999) Simulations in a drippingfaucet experiment Phys Le A 25558-64 (Apecircndice 1)

Tufaile A e Sartorelli J C (2000a) Chaotic behavior in bubble formation dynamics Physica A 275 336-346 (Apecircndice 2)

Tufaile A e Sartorelli J C (2000b) Heacutenon-like attractor in air bubbleformation Phys Let A 275 211-217 (Apecircndice 3)

Veta N e Tabacniks MH (1994) Laboratoacuterio de Fiacutesica para Ciecircncias Bioloacutegicas IFUSP

Viana R L (2000) Introduccedilatildeo agraves Redes de Mapas Acoplados - Modelos para o estudo de Caos Espaccedilo-Temporal Notas de Aula IFUSP

Weast RC Selby S M (1996) Handbook of Chemistry and Physics p F33-F42 The Chemical Rubber Clevelnd

Willeboordse F (1992) Time-delayed map as a modelfor openjluidjlaw Chaos 2 423shy426

Wolf A Swift J B Swirmey H L e Vastano J A (1985) Determining Lyapunov exponentsfrom a time series Physica D 16 285-317

Apecircndice 1

Siacutemulations in a dripping faucet experiment

A Tufaile RD Pinto WM Gonccedilalves e JC Sartorelli

Physics Letters A 255 (1999) 58-64

3 May 1999

PHY$ICS lElTERS A

ElSIMER Physics Letters A 25S (1999) 58-64

Simulations in a dripping faucet experiment

A Tufaile RD Pinto W_M_ Gonccedilalves J_C Sartorelli 1

IluacuteillOO dcFJSfea UniDCrfidadc de Siio Paula CQixa Pmrtal oacute6JIlJ fJSJIJ97tJ Satildeo Pttdb Braacuteii

Recchcd29 SeptJllIb1r 1m laquooMdinpVised tbru 10 Febnwy 1m ~ 10 February Im Ogt~ hy cR Doering

Ab$tratt

The prafiles of two experimental attrletors were simll1ated by using a simple onc-dintensioacutenal spring-mass modct Some pccllliar bebuviors observed in experimental bifurcation diagrams (in short ranges ofdriwmg Iate variation) were emu1ated by combining two quadratie maps (a kiruI af coupUng) in twQ diacutefferellt ways~ parallel combination 1Eh non-interacting maps and series combination with nrongly intcrocting maps TIto ehoice ar cach kind af eacuteombinarion W3S suggcsud by thc own cbaracteristics of~eh experimCfllal bifureation diagramo copy 1999 EIlteviet Scieacuten(e SV All rigbts rewrved

PAC$ 054S+b

1~ lntroduction

The leaky faucet dynamks has beoo used as a paradigm of a chaotic sYSbm [I~1 since the liUggesshytion made by Ratildessler 13] in 1977 lha Ih fnou af water drops in bull tlp nipple oould sbow chaooacutec bebavior wbat was 1ater confirmed hy Sbaw and Marlien alo [451 Period doubling WlI Qlnrerved hy Marlien alo [451 Yeacutepez alo [61 Cabhm et ai [71 Wu and Schelly [891 Dreye alo [101 Sarshytore1li trt aJ UO Tangeot intermitttncies are Teshy

ported in Rofs [7111 quasi-periodicity and boondshyary coacutesis in Rof [11l and a Hopf biacutefurcanon in Refs [l213J Olher studies abou lha formadoo of drops or droplets of water can be found in Refs [14-231

E-mail sartorellilfUlipbr

Shaw and collaboratorn liUpposeuacute thut th~ water oolumn bangiog in a nipp1e faucet should oscillate as a mass-spring system with the mass increasing lin~ early until it reaches a criticaI point when a drop is ejected IacuteInposing the initial conditions ou the teshymaining water column This mudeI was modified by Simcbas-Ortiz and Salas-Brito [24] supposing Ih lhe mass of the ej~cted drop must depend ou tlte cummt yalue of the water co1umn mass DIn nocemo and Renna [25 have aiso carried ont thcir calcuJations assumlng lhat lhe remaining _ colshyUmtl shape can be cither a sphere Of a material point

hlspired hy au ining-Iike mode to find Ih water dIuacutep proacutefiJc rumging in a vertical waU Oliveira aad Ponna [26] studied lhe dymnni of lha drop furmashytton applymg Monte Carlu techniques Penna tt a1 [27J sbowed thut the time delllys between SU(teS)i~ drops display long-range anncorrelations cbarncter~ ized by the same exponcnts of the heartbeat~to~ heaItbeat interva]s of hea1thy subjects [28]

0375-Otj99S - see mlll maner Cll999 Elrevier Scicnee BV Ali rigltlS tesIlVed PU S037S960l(99)QOI19X

I

A TilfaiIe e1 aLIPllyJICS uacutetters Aacute 255 (1999) 58-64 Num uf thtSe modeJs are adequate to explam aU

lhe bebavio observed in lhe range from - Oup to 40 dmpss In this papeI we present two simula~ tions of experimental attractors whlch are lhe best emulations yet obtaiacutened by the one~dimensional spring-mass modelo It is also presented two experi~ mental bifurcation diagrams in short ranges of dripshyping rolte with llCW peculiar behavions nl-ver secn before Inspired by me behavlor of each experIacutelncnshytal diagmm we did a kind af siacutemple ooupling af maps [29-321 by combining two quadratic maps to emulare these experimental bifurcations Two ways or combinution are proposcd In the first case two non-interacting quadmtic maps are added (parallel combination) whuumle in the sccond onl- two tnJng1y inteltf-ting logistic maps (smcs combination) are combiacutened in a feedback way

2 Experimental apparatos

The measurements were dane with the faucet attaccedilmd lo a large reservou sccedilt Refi U121] for details The time delays between successive drops are measured with a time counter circuitry~ with a

nmiddotT--------------------~ (a)

r ishy700lt) ~

1 li ~

~ - -~ ~ bull-j- -~ -4 ~r -~

67 I ~

I 670 680 690 700 110

Tat$

T1molution of i ~~ iacutenserted in a PC 5101 The iacutenput signals are voltage pulses induced in a resistor definelt by the beginning (ending) af the scauring oI a laser beam fO(Usw on ltt photo~trdn$i$tor (in sents with 1he resistor) when thc drop tarts (ends) t(l CTOSS the laser beam The width of the pt1lse is the time interval t (where n is the drop number) and the time delay between two pulses is lhe crossing time (SI) of drop tbrougb the laser beam 50 lha the total time interval is 1 = 111 + 8t~

We can setup the drop rate (J~ 1(Traquo in two ways (a) by feeding back lhe Wuer reservoi to ke~ the height h af the water leveI md selet1ing the drop me by opening (closing a needle valve driven by a step motor which is coutrolled by a microcomputer

For a given drop late we have constructed first retum maps T I VS4~ (b) by fixing me opening of the ncedle va~ turning off1he water supply letting fue water levei decrease natunilly and so the drip~ ping Iate Therefore~ the contml PWffileter lhe heiacuteght h of the water leveI varies as ht ho - n8 VA where 8YA=2XlO- mm he 15 the initial height I) Y the mean volume of me drops and A i5 the area of the water reservoir surface In this case bifUrcatiou diagrams Tn V$ n were constructed We

~ ~

300

200

Ibl

()1

oI 100 2Q(l 300 400 500

1 figo L (a) experinwJrtal data for f 146 dIopss Experimental panuDlter vaues are Ir 365 dynjcm X-~tI a6 em R Ot2-0l5 ss and Q 01-0 14 sem (li) the attlactor profile obtaiDed witb R - 015 sls b - H) Si k 415 dfacrtJ xir - 13 em arul rt- 01 slem Tht ealllai~ drop me ia f 315 dropss wbich ~ two- times the expcrimcntll vale 3pll~lely G1w rupple

A TufoiJe cf aLIPhysfcs Lettcf A 255 (1999) 58-64

T11Ulitl$ltTgtlaquo146m~

T---r------T~~ t

12

12012~~11T 911 tMobull

T (l (Iraquo

Fig 2 a) experimetItaI T+l n 41 YS r (ms) tuap (h) simulatcd mBp wrtb R (U41 gJs xr O25i em a-1l51 sem b-Q94 s-land 1(20 dyncm Thc two maps wcre ~ from lhe samc angle 4f vUicn The calcuJted drop me is cloR 10 fue ~ vahIe l1ul similiuiacutel) bctwcen the two maps suggesls lhe salOO attwtor with ~ slzes of the basins ef ~ Htass nippk

have used one gJass nipple and other one or brass~ with both having t11e same intema1 diameter

3 Resolts

31 Mass~sprjng modal

Following Dnnocenzo and Renna (25] notation the set Clf autonomous differential equations for the mass-spring modol is [45)

dx d(Mv) IM-= =Mg-kx-budi 1 di di =R~

(I)

where x 15 the ooordinate af the ceuter af mass ar me hanging watet agravetld R the flow ate

fhe surfagraveoo tenskm and friction between the wa~ ter and lhe _ are respectively representelt by lhe spring eonstant k and by b A drop with mass

AM aMell( (2)

is shot wben the center of mass x exceeds a tbresh old xI where M and 11 are respectively the hangshy

(a)

~ i= 10a

bullbullbullbullbullnbullbullbullt

Il~_

bull o - shy (b)

C

ibull

m I ~

-10 i-shy i t

Fig 3 (ti) experinleflt2l hifilnmon diagram wilh tlJ~ drop Iate lIlllgingtrom -9ISdM1Hn 913 dtopsjs (b)paralkI combi~ natlOIl or two oolliDtctacting logime maps witb p~ecirc)- f +t and p(~) Px(~)-Ot IS Brass nipple

ing water mass and the speed at the thresbold paim g = 920 em51 and a is li parameter

For the remaining water DInnocenzo and Renna pmposed two models (PS) the point-spbere one lhe drop is spherical of radius r and the waterresldue is a point situated at Xo =Xr -rAMM (TS) twQ

sphere model lhe drop is spberical of radius r and the water residue is ti sphere ofradius r = [3(MrshyAM)j(4p)] cenrered at x ~ xlt - (r + r)AMjMlt Therefure lhe simulations reqm lhe adjuslment of fi _ (k x R aod b) but with an unknoacutewn dependence between them

fig 4 (a) 1X~rimenlal bifuttation diagram with lbe drop rale rungillg fmm 28$ doWn to 268 dropss Tbe circe SOOWl the sequerne cf tbc plotting colotslt sbould be noticed that in lhe ttginns otperiod-2 tbe colun ilIC supcrimposcd In (D) and (c)ate itSPtttlve1y sbown tbe odd ruld ~ bW1Ches On lhe right in W the cmuJation ofthc eltpelirncntl1 duta ming a scri~ combinltion oftwo intcmcting logistic maps in (8) and (C) are tespectivey slrown lhe anulated separaoon oi tIle odd aud eVelI bnmehtS The pammeters ()f control P1laquo(f) and P7lt-C) lU sItown in fig 5 9t-~ rupple

00

gt

so

i O I

o~xu

x

(v)

62 4 ThJaited aLIPhysi~LeIergtA 255 (J9)9) SlI-M

In Fig 1() is sbown me experimeand first return IIlllp obtaiacutened by keeping fixed me water levellreigh aI 1= 146 dropss (gIass nipple) An bullbullperlmeotal esrimarion for me pamm_ values are [2l k = 365 dynem x~Mem R =012-015 gjs The simshyulations of the attractor using these parameter va1ues did not converge for wide ranges of a and b villu~1i

We cou1d emulare the attractor profilc using the PS mudel by adjusting all the paIdmeter values The emulatioo wilh k-475 dynem x= 13Cn Rshy015 g -02 sem and b - 10 s is shown in Fig l(b) but me mean drop mte obtained (fshy315 dropss) is abou IWO times lh experimental valobullbull

In Fig 2(11) iacutes shown an attractor reconstructed in a fbreedimensiacuteorutl map T +1 vs T i i VIi Ta at f = 8726 drops I s The atttactor- profile was simtJ 1_ by me PS model wim me pammeter values R=O14 gs x= 0251 em a-OSI sem bshy094 and -120 dynem as aho in Fiacuteg 2(b) Despire the fagravect tllat these values are quite different uom the experimental ones we obtained by coinjdence a drop rate of f= 880 dropss close to the experimental value The similarity 1raquoshytween the two maps suggests mat we have the same atttactOt whnc the different time scales point out to dilferelt os ar lhe basiacutens af _ans with apshyproximataly lhe same mean time T

We could oot find in lhe titerature better _shytions af dripping faucet auractors than lhe examplos above This model is not enougb to expIa1n all the detalls of me eXjlOIIacutelMntal data but it can be useful to give a first sigltt (ar lhe general properties) of the drop formation dynamics 41 since the classical hyw drodynamiclll models are mo complicated to obtain large time series

We observed some peculiar behaviors ln me exshyperimentai bifUrcation diagnuns and ve attempted to construct empiacutericaJ models omulate suoh bebavshyiacuteors in a shnple way~ looking for relatiacuteons berween two qu_ IlIPS

32 Combined mtJps

321 Parallel comhinatton In Fig 3(a) is shown an experimental bifurcation

diagram T vs nf which was obtaiacutened by Jetting the wateiacute level go down 113turally and lhe dripping rate

rangiag from - 918 00 to - 913 dropss Beshylow 11 as the water leveI heigbt goes down the dynamical ampystem evolves in a period four m~ ment When the system reaebes lhe aitical point I1c (ar h) the initial rom stable fixed points are re~ placed by new four fixed points

We siacutetnulated this peculiar change of fixed points by adding two nonwiacutenteracting quadratic maps (paralw lei combinatioQ) 50 lhe global I S is given by

In+ =x ~pAt) Yn+l-Y -P)(~ x +y

S - bull (3)bull 2

where P(i) and p(lf) ate me OOIltrol PllIameters as functions of a common parnmeter sgt and each tnap is iterated sepamtely 2 We observed that the hoiee of P(i) = i- 14 py(V= pltel - 0115 IfE (16164) can emulJlte lhe experimental change of the fIXed points as shown in Fig 3(b) Tbe transition po-int g~ = 1615 corresponds to the secshyond ilip bifurcation in tbe y map and a period-4 movement in the x map but lhe global I S co~ondamp to a foor fixed points until the next fliacutep bifurcation which oours in the x map at ~= t6t8

Dilfetenl from an interior erisis [331 in whiacutech OCCUts a sudden change in the size of the attractor in Fig 3(a we have a smooth inereasing in the size of lhe period4 attracror Regarding lhe oscilJatory barshyaeter ofthe banging water~ these two period-4 behav~ lOIS suggests that we bave the same oscillation mode below and above (n) but with a little difference between their boundary conditions

322 Series combinalion For a Wgher drop- rate another experimental bifurshy

cstion diagnlm was observed with the dripping rate ranging from 288 down 268 dropss In F18 4(a) is shown lhe bifutcation diagnun 7 vs n

i

ohtaiacutened by plotting lhe pciacutents alteruately in blaellt (-159 ) ingreen (=2610 ) inred (n = 3711 ) and in blue (n - 4812 )

InitiaUy~ the system evolves in a period~2 attractor until lhe ches red + blk and green +blue colshy

-1- For a given value ofthe cmrttltll pammeter euro the seties xl tuld Y ete fUIlI1ltrlcllJy laquonained aftrr 11 ttnusltnt oi 10000 lIetations from 1he same initial cQlIdiOOm (xG )~ 06)

bullbull

63

7

A Tuaile et aL Pllysics leJters A 255 (1999) 58-64

10 i

os Py obull o

osL 07

Fig 5 P~ (cuntinuuus linel and Py (uacuteasheu ine) as fWHtions of

fmiddot

Iapses at point T After that the system continues to evolve in a period~2 movement but showing invershysion of phases (see tbe colors exchange) until point F where another bifurcation occurs on each braneb Therefore this diagram ean be split in an odd dia~ gmm (blaek + red) as shown in Fig 4(b) and in an even diagram (green + blue) as shown in Fig 4(e) The skcleton of eaeb branch 15 preserved even in the regions of superposition of the branches as in the chaotie region (n 25 X lOs and ~ 097 in Fig 4) The branebes in Fig 4(b) and 4(e) have similar behavior and structures (common bifurcation points and chaotic regions) but different sizes

Tbe similarity between each brancb and tbe logisshytic map suggests that this peculiar behavior could be interpreted by the combination of two strongly intershyacting logistic maps (series combination) as to say the feedback of one logistic map into another one

x+ -4p(Oy(I-y) oddbrnnch

Y+ -4p( Ox(l-x) evenbranch (4)

where PxltO and pig) are the control parameter ftmctions The choice of Px(g) and Py(g) shown in Fig 5 leads to a reasonable emulation of tbe experishymental diagram as sbown in Fig 4(A) (8) and (e)

Considering that each branch is visited altershynately and associating each branch to an oscillating mode of the water column it seems that the initial conditions imposed by one drop to the next one switches from one oscillating mode to another oneTherefore the combined maps models can give us a first sigbt about some Ioeal behaviors of the experimental diagram

4 Conclusions

We could reproduce tbe profile of some attractors by using the one-dimensional mass-spring model The parameters values obtained by this model are not realistic due to the drastic simplification of the water drop formation dynamics

To interpret some peculiar behaviors observed locally in bifurcation diagrams we proposed the emshypirical model of combined ma~ With the parillel combination we couId emulatc the peculiar replacing of four fixed points by four new ones Tbe feedback of one quadratic map into another one in the series combinatian aJlowed us to realize the collapse of branches and their further separation as well as the preservation of tbe skeJeton of each branch in the chaotic region

Acknowlcdgcmcnts

This work was partially financed by the Brazilian agencies FAPESP CNPq and FINEP

References

(U FC Moon Chaotic VibratiOM Wilcy N~ Yorlc 1987 [2) KT Alligood TD Sauer JA Yorlte Cbaos An Introducmiddot

tion 10 Dynamical Systcms Springer-Verlag N~ Ymk 1997

[3) OE Riiss1er Synergetics A Workshop SpringeroVedag 8erlin 1977

(4 R Sbaw The dripping faucet as a mudei chaotic systelll Aeria Press Santa Cruz 1984

(5) P Manien SC Popc PL Scott RS Shaw Phys Lett A lO (1985) 399

A T~oile ct DL I Phyfitf ieJlerlf A 255 (J1J99J $8-641 64

[6] HNN Yeacutepez ALS Brito CA Vargns LA Vicente Eur J Pbys Ui i989 99

[1] RF Cahllan H Lcidcr~hcr 00 Cahaian Comp Phys JulrjAugust 1990 p 368

(S X Wu ZA Scltelly Physicl D 40 (1989)433 191 X Wu B T_ zA sbltlly Rltv Sei IM 6) H9S9)

3119 lO] K Ote)ltr FR Hlckey AIraquo 1 PbyS $ 0(91) 619 [i t lC Sartmelli W_r1 Gonccedilalves RD_ Pinto Pbys Rcv li 49

(1994) 3963 (12) RD Pinto WM Gonccedilalves lC Sartotclli MJ de Olivcita

Phys Rev E 52 (1995) 6392 U31 JGM do Sil~ JC SartQrelli W_1 Oolccedilal~ amp0 Pinto

Phys Lett A 226 (1997) 269 (l4) XO Shl MP BmmtI ItR Nage1 Scienee 26) (1994) 219 (15) sDR Wilsoa J Fluiu Mech 19(1 i988 561 H6l D1L ~grine O Shokfr A SymGn J Fhtid Mtclt 212

099Ol25 [t1] OW DePDoll JQ Feng DA Basatan Te Scott Phys

Fluids 7 (I995) 1181 (18) X Zhlmg DA ampsarau Phys Auieis 7 (1995) 1184 [t9) A Laveron-Simavilla JM Pcrales Phys Fluids 7 (1995)

121)4 t20J Y Watanabe Jpn J Appl Phys14 (1985) 351

(21) MSF da Rocha JC Sm1orelli WM Gonccedilalves RD Pinto Phys Rev E 54 (996) 2378

[22] J Austin Pbys Lelt A 155 (t99I) 148 (23) JA fomecirc$ J ProcQpio le Sartoacuterelli J App Phys 80

(t9) 6(121 1241 Gt SaacutenchesOrtiz AL 5efusBrito Ph)-s Lctt A 203

(1995) 300 Ph)1IacuteOl D 89 H99S) 151 1Z5] A Dmiddot~ L Rtnna Ph)s Lctt A 220 UI)) 15 Uacutelt

l Theor Phys 35 (1996)941 fhyl Rev E 55(991) 66 126) PMC de Oliveira TJP Penna J Stzl Phi 13 1(93)

189 brt J Mod PIacutel)$ C 5 (1994) 997 tm TJ-P Petma PMc de Olivclla JC Saoorelli Wt

Gonccedilalves RD Pinto Phys Rtv E 52 (1995) RlI68 28] HE SlaulCY SV Buldyuv AL Goldcberger ZO Goldemiddot

beramplaquo S HavUn llN Mmtegna sM Ossadnik CK Peng M Simotls Pllyska A 205 (994) 214

129] K (mem Progr lbeor Pbys 69 0983) 1427 Pmgr Thecn PhY$ 7i (t9iacutef4) 202

l301 Y OU M Tuug l iuan D Fmg LM Naragravenccedili fbys R~ Lett 52 (l9f4) 10L

131] T Hogg BA HUbetman Phys Rt A 29 (19M) X1S 132) LA Bunimcvich Physica O 86 (i99S) 248 [33) C Grnbogi 11 ou JA YOde Phys Rtv Lctt 48 (1981)

151)1 Physica D 7 (19amp3) 1St

Apecircndice 2

Chaotic behavior in bubble formation dynamics

A Tufaile e JC SartorelU

Physica A 275 (2000) 336-346

I PHYSICA ill ELSEVIER Physica A 275 (2000) 336-346

wwwelseviercomllocatelpbysa

Chaotic behavior in bubble fonnation dynarnics A Tufaile IC Sartore1li

Instituto de Fisica Universidade de Satildeo Pauo Caixa Posla166318 05315-970 Satildeo Paulo SP BrQ2j

Received 25 June 1999 revised 19 August 1999

Abstract

We constructed ao experimental apparatus to study the dynamics af the formation of air bubbles in a submerged nozzle iacuten a waterglyccrin salution insidc a cylindrical tube The delay time bctween successive bubblcs was measured with a laser-photodiode system It was observed bifurcations chaotic bchavior and suddcn changcs in a pcriodic regime as a functioo of thc decreasing air pressure in a reservoir We also observed dynamical effects by applying a sound wave tuned to the fundamental frequency af the air column above thc solution AI a function of the sound wave amplitude we obtained a limit cycle a flip bifurcation chaotic behavior and the synchronization of the bubbliacuteng with sound wave frequency We related some of the diJferent dynamical behaviors to coalescent effects aud bubble sizes copy 2000 Elsevier Science BV Ali rigbts reserved

PAeS- 0545+b

Keywords Chaos Bubble dynamics Uostable periodic orbit Synchronization

1 Introduction

The formatioo of gas bubbIes in a nozzIe submerged in a liquid column has been studied by Davidson and Schuumller [I] Buyevich and Webbon [2] and Kyriakides ct aI [3] A criticaI review about the experimental and theoretical resuIts is presented by Ponter and Surati in Ref [4] Results of simulations of the motioo of gas bubbles in a liquid are presented by Krishna and van Baten in Rof [5] The bubbling dymiddot namics presents some features that resemble chaotic systems [6-8] Triton and Edgell [7] observed some attractors by detecting the bubblc passage by a transduccr (hotfilm anemometer) placed close to the nozzlc

The aim of this paper is to report the existence of dynamical properties of bubble fonnation with non~invasive techniques and report the effects of a sound wave 00 the

bull Corresponding autbor E-rrwil address sartorelliifuspbr (IC Sartanlli)

037843711OO1S~see front matter copy 2000 Elsevier Sciencc BV Ali rights reserved PII S03784371(99)00440middot9

--337 A Tuaile Jc SartorelliIPhy~iCD A 275 ((f)()) 336-3

FuncIioo gEIlatlIlaquoW_1-0-1~a

VHS o

Come o

D O O

--shy

~

~ Ai

Rbullbull

pshy

~cf2-~

Capac1liva aJr Reservolr

bull

Iltshy

shyi

VoJ

Fig I Dilsgmn or lhe erperimItlUil upparulus

bubb1e furmtalon dynamics Tho deJay time between _ivo bubbJcs was measurelt by using lhe same mehniques as in lhe dripping laUCOI experiments [9] _ides a route 10 chaos via period doubliacuteng we related some peculiar bebaviQrs observed in biftucanon diagrams to theacute coalescent effects (for a bubble penetrating roto another just aoove lhe nozzle and fonning a single-larger bubble ot when one bubble touches the proviacuteous one fonning a doublet)

2 Tho IlIlbbJ gun apparalUs

The experimental apparatus consists oi a glass IUbe paatially fiUed wilh bull viSC01lS

Julio (warer+glycerol) as schematiclly shown in Fig 1 The air bubbles are fonned blowing air through a nole aI lhe bultam of lhe tnbe The air iacutes supplied by ao aIacuter compressor whose reservoi is oonnected to another one (a capacitive reservoir) through apressure reducer The detection system is the same as in the dripprng faucet experiment [9] A horizontal He-Ne laser beam focwoed in a photodiode is placed a little above the nome The input signals are voltage pulses induced fi a mistor defined by lhe begiruuacuteng (encuumlng) of lhe scattering af a laser beam focuscd o lhe pholediode (in series with lhe resistor) when lhe buhble starts (ends) lo cross ibe laser beam The deJay lime between successiacuteve bubbles was measured with a time eounter circuitry inserted in a PC slol (time resolution =1 ps) The width af lhe pulse is lhe

A Tufuile JC Sartonlillhyrica A 275 (2(1())) 336-346318

time interval n (where n is lhe bubble number) and the delay time between two pulses is lhe crossing time (~In) of a bubble threugb lhe I heam so lhat lhe total time interval is T ~ I + otn We eao setup lhe bubble rate (f= I(T) in two ways (al by futing lhe ~ening oflhe ncedl valv turnlng oITlhe air supply to lhe capucitive reservo-ir and etting the ai pressure to dccrease llaturally~ SQ the bubbling rate 10 thls case we bave analyzed lhe data COnstrucling bifurcatioo digrams (Tn vs 11) Ihat are funcnons of lhe ir pressure deteltiSing (b) by keepiacuteng fix lhe air pressure in lhe capaciliv reserveir and seleeting lhe bubhle rate hy epening (elosiog) lha needl valv bull In lhis ClISe for a given bubhling rate we bave consbucted fust r_ mapa Tn+ vs Tn bull W aIso studied lhe cbanging of lhe bubbles formation dynamics with a sound wave tuned to the fundamental frequency of lhe air column above the solution The sound wves are generated by bull loudspeaker placed aiacute lhe top of lhe tube (see Fig 1) which is driven by an arbitmry function generatotilder The sound wave amplitude was used as a oontrol parameter

We Iso reeorded lhe bubble formation wilh a VHS eamera to illustrate how tbe profiles of tbe bubbles are in dlfferent dynamie1 bebeviors

3 ResuIts und discussion

31 Air pressure aJ a control parameter

Using a solution of fom parts of glyeerol nnd une part of water and a plasticj hypodermiacutec syringe wiacutethout the metaUic needte as a nozzte a bifurcation diagram was

ohtained Ietting the ampir pressure in the capaeiacutetive reservoir go down naturaUy with the bubbling as shown in Fig 2 The diagram shows the evolution ftom a chaotic behavior in region (a) to a periacuteodic window The pcriodic behavior starts with a perl002 region (b) lhereafter a bifurcation occurs giving rise to bull period4 regioo (e) wbieh again ovolves to anolher period-2 region (d) foUowed by a period-l movement rgioo () In Fig 3 lhe illustrations of lhe bubbles prefile in eaeh region as labeled above are shown In Fig 3() tbe 1gtu1gt1gtle are formed wiacutelhout lhe eoaleseent effeet in lhe period-2 bchavior shown in Fig 3(d) there is no coaIescence near tbe nozzle but a little far abav il in Fig 3( c) lhe eoaleseerne oeCUtS close to lhe nozzle but bubbles do oot toueh each olber and a period4 is ubserved in Fiacuteg 3(b) two sueccedilcssive hubbles eoalesee completely givrng rise to a bege single bubbl in a period-2 bebavior nnd in Fig 3() lhe eoalescent elTect in the ebaotic region

A different bifurcarion diagram was obtained in the same way as above using a iong metallic hypodermic needle as ti nozzle as shown in Fig 4 The system is cvolving in a period-2 movement region (a) in tbe Fig 4 with ao _cto size IT+I - T I~ 55 ms As the air pressure in the capacitive reservoir goes down suddenly a shortening of the period-2 occurs and a new penod-2 starts Vith tbe attractors size ITn+J ~ Tnl 1 ms region (b) in tbe Fig 4 Thereafter tbe system evolves to a period-l movement lllustrations af the bubbles profile obtained in each regioli descrihed in Fig 4 are

339 A Ttifailt JC $art(HllliPhysita Aacute 275 (2fJO()) 336-346

O~I----------------------------~

~

~

O I v

O 1000 2000 4000 n

Fiacuteg 2 Bifurcation diagmm obtaiacutened wilh lhe air pressure decreasing in lhe capacitive nservorr lUgion (a) chaotic bchaVior (b) periacuteod-2 (c) period4 (d) perioomiddot2 IUld Ce) period-L The same behaviar is obtained by increasiug tIie oir pressure HypodermJc syringe 1U)zzle

-O

o

0

() (b) (C) (d) ()

lig 3 mustmtions of thc bubb1cs profile and tbc eoalcscent efbts in a cbaotk behaviacuteor (b) periodm 2 with wmplete ooaesm1ce (c) period4 wilh single ooaIescettOO (4) pcriod-2 without cmt1eseenOO noar the llQZlk bul a liuIe flt ~bove il and (c) perioo1

shown in pjg 5 The shorteniog of lhe size af the atttactor is accomplisbed by the shortening oflhe size oflhe bubbles as il is shown in Fig 5() and (b) In lhe larger period-2 regioo close to the nozzle two bubbles coalesce completely fonnIacuteng a largo sing1e bubble as described in Ror [13]

32 SlJWld waue amplitude as a contrai parameter

By keeping fixed lhe air pressure in til eapaeitive reservoir we cbanged til bubble dynamics formalion by applying sound waves tuned to tIle fuedamental frequency j = 138 Hz of lhe air eolumn abave lhe Iiquid solutiou (two parts of glyeerolone pari of water)

340 A Turule JC $oNorellilPhyslco A 275 (2000) SJ6-J46

26 ~ ~-

bull bull

I20 gt

_JPmiddot -F- 15 f14

bull

o ltlO 600

n

Fig 4 Diagrmn bifurcntion as a function (lf air pnmure deCltlMing in lhe capacitic reservorr obtained with a meLallic needle Arowtd lhe region (a i me movement is the large perlodlaquo2 doe 10 lhe coolesoent effcct MOlmd the region (b) is shown a shortcr period-2 and in fuc rcginn te) is soown 11 fixcd point

Uacuteraquo Ib) le)

Fig S (a) Larse prloo2 and Iargc bubbtes due to a GOalescent effect in a peri0d-4 (b) perioacuted-2 without me coaIescent ciTect aud (o) the fixei porot

In Fig 6 lhe first retum maps as a function af the sound wave amplitude are shown lu eaeh fnune lho IOp iMo snows at lhe 10ft lhe sound wave amplitude and at the right lhe bubbling rale We started at a fixed poin at f = 11282 bubbless as showo in Fig 6(a) By applyiacuteng tho sound wave lhe fixod point 1000 its stability aud a Umit cyc1e appears as shown in Fig 6(b) and c) with a littIe increasing of thc mean bubbling mie as lhe amplitudo ls raised

341 A ThfaJJe JC SartoreUllPhysiCIJ A 27$ ()(()(J) 336-346

iamp

TJms)

4

(1)

001[ 1A I 11 31 I ] 99 J71

-- co ~~ gtamp ~ bull I

bull

J 90 100

G)

Trna)

l

t~~i~I i t S ~

lt

(I) (k)

Fig 6 FIacutelSl return maps TI1+1vs TI as a furution of lhe sotlOd wave emplirude (keeping 6)( lhe aiacuter pressure in lhe ccedilapacffive fIICIV)ir) In each fraae the insets sbow at lhe lcfi lhe amplitude and ai the righl the buhbllug rue (li) Tbe lnitial fixed point (b) li limit ccedilycle (c) an unslable limit cycle~ from (d) up to (g) li llip bifutcation III constant bubbling raie~ from (h) up ti) (J) clmotic attrnctnts In eaeh fmme the lfitenection of lhe dashed 100 defines lhe position of an unstable perlod~l orbiacutet (UPO)

342 Acirc Tufuile JC SttrionllilPhysica A 275 (1000) 336-346

In Fig 6(c) lhe limit cyele looses its stability and a fixed paim near (87 87 ms) is visited in 41n intermittent behavior This fixed point position was established by a hislogram pIot of Tn The Fourier transform applied to lhe data related to Figs 6(d)-(g) showed a noisy period-2 _vior aed wilhout any bubbling tato variacuteation Therefore as we are observjog a bifureadon per1od~1-+ period~2 (see In Fig 6(0)-(ampraquo as bull function of lhe sound wave amplitude a period doubling ls being hidden bY lhe noise In bull llip bifurcation lhe i an unslablc fixed peint helween lhe two stable fixed Our data sbows Uacutetat lhe viacutecinity of lhe middle point betweeo lhe stabJe fixed points is been visited due to noise Consequently our data are adequate to apply the fixed poil transformatioo rechniquc developed by 80 cl a [10-12] to finagrave unstable periodic orbits (UPO) in short sedes of events wiacutetb unstable control pararneter briefiy descnbed below

To extract the unstable periodic orbiacutet with a finite amount of noisy data of a o-dimensional system Se et 1 supposed Ihat ali points lyiacuteng in a regian around lhe fixed point x = f(x) can he transfonned to x in lhe vicinity Df x The denshysity function p( x) has IacuteI1verse square-root-type singularities at the fixed poiacutents and a bistogram approximation to Pi) will have a sharp peak at x=x Some spunous pcaks appear in fiO) eilher due to siacutengnlarities not relatelt to fixeagrave peiacutents ar lo zeshyros of lhe derivative of lhe traesformaoon funarion x= g(ltk) They generalizcd the mcthod for a system with an arbitrnty embedded dimension (d) to obtain the unstabl

l periodic oreits by doing the transfonnation

in = (1 - SJ-1(Zr+1 - SnZII) (I) I

where

I (d-l) d)aftolfmiddotmiddotmiddotan trS= (

1 O +lltRllz+-zII (2)

a I (zn - 211_1)t -1 ( ( I - Z)1Zn+l

=1 (3)

d (Z_(d_l) - Z_d) (Z_(d_2) ~ Z~_(d_1)t

Zn are the reconstructed vectors ftom scalar time senes xn

ZJj = (Z~ZZ~ _ ~z)t = (XnXn_hXn_2 Xn_d_)t (4)

R is a d xd randam matrix in the range [- I I] and 1C is the magnitude of me randomshyization The fixed pojnts are giacuteven by the peak positions of l(i) As the locariaM of lhe spurious peaks dopend ou the parameter Ihey are eliminated by taklng lhe vecage (pczraquo) for maey dilfrent values picked up randomly As lhe attractQrs reconstruelion in a Wo-dimensional embedded space are enougb unfolde~ we applied this technique for d =2 w Iso chobullbull Ilt =5 and 1000 random matrIacuteces

343

se se 00

1 ~(S)

A Tufoile IC SartorellilPhyslca A 275 (2())()) 336-346

rzg 7 (li) Tht hhWgJlim ap~JA 10 p(i ub(ained wi1h the fixed paim trunsfonnatitm ttdmique using the daia sbown in Fiacuteg 6(h (b) lhe eonlout gmpb around lhe unstable periodl orbit ($697 8697 ms)

An example of our results is shown in Fig 7(a) where is drawn the histogram approximation to p(x) using the data shown in Fig 6(h) For better visl3lization of the unstab1e period orbit position a contQUr graph of the same data is shown in Fig 7(b) The higbest peak defines ao unslable penod-1 orbit at (8699 amp699 ms) cIose to

tbe stabJe fixed point shown in Fig 6(0) In this way we fOWld au WlSlable periacuteodo orbit as shown by lhe intersection of the dashed lines in Fig 6

Wiacutetb furtber ampHtude inereasing we observed the appearance af a chaotic regjon with stretchiacuteng and folding dyoamics f bullbulltures as shown in Fig 6(h)-(il and with

2500

2000

1500 c

81000 ~ 500

(a)

1

~1 I I

I

(h)

ilf

92

_2275 - 2600 _1950 - 22S _l6a5 - 1950 _1300 - 1625 l1li9750 - 1300 l1li$51)0 - 015-(1 W7~~O - 6500

() _ 3250

Tn(msj

344 A Tufaic JC SurtoreliilPhydoo A 275 (2)()()) 336-346

81 114

075

1 gO50 ~ gt

1deg25 degOOr--middotmiddot---mm--mm--------m-----~~J 82

- -i

870 eI -~--=__------__----_-----___shy8

f ~

J ~

Q 111 1~

I I I J1 02 03 04 05 06 07 08 M 10

sound wave smplitudOV

Fig a As li ftmction of the sound wave amplitude (a) the dominant LyapunoacuteV exponent (1raquo the mean bubbling mte (left seale) and thc unstablc pccedilriodiccedil objt (right scalc) The ltonliDuous lines are guide$ to Yshy

little change in the bubbling frequency The reconstructed attractors in tbe chaotic region were characterlred by lhe domJnant Lyapunov exponet [13J as sbown in Fig 8() However lhe unstable periacuteod-l orbil remains in tbe ohaorie region wilh little cbang o its position as hoW in FIg 8(b) (rigbt soale)

Contiacutenuing to increase the sound wavc amplitude with larger amplitude increments lhan betor we obtained lhe atttactors shown in F4 9 In Fig 9(m) lhe mean bubbling mie is 205 bubbl for a sound wave amplitude 0014 V and lhe pasition (~72S 725 ms) is visited in an intermittent behavior The visitation time increases as we increase the sound wave amplitude until the point ( 725 -725 ms) beoomes a labla fixd pain as hown in Fig 9(n) In Ihi situarian til rnean bubbling rrequency is f = 13797 009 bubbles whiacutech iacutes tlul sound wave frequency valu bull Therefore the bubbliog hcome synehronlred with the sound wave In Flg 10 we ca 1IIe dilference betwee lhe bubbles prefile in lhe first fixed paint as shown in Fig 6() and lhe syncbronlzed iacutejed paint shown in Fig 9(0)

(XII arI Cf1) kmmlmlj Mllacirc puoosrrn q~ ~mAacuteS ~ (sfsgtIqqtq L6Lt = f) sliacuteqqtq nn unjA 1tfOd fXgt1I9 t1ilf )ql (q) (sjgllqnq un I f) c)9 1ik tI Ut01ls laOO tmJ lSty Iql JO ~ Slqnq lt)ltJ (v) 01 -RJJ

(q) (raquo

)IIJJM punes ~tI JO )wnbarj ~UllJ oql tj~ pozroorqIMS

1l0mIllOJ Ilqqnq nql (u) lOAmp~ lIl(lnftuJtlll W to PQl~ S (sm SZL CcedilZL ) 1Uod lU (01)6 ~iI

(SIUUL

bull 00 Oi o (UI)

i

346 A TulaiJ JC S(1r(orelli Physica A 275 (2(J()(J) 336-346

4 Coudusion

We observed bifurcations in a bubble gun expetiacutement as a funCIacuteon afhe aiacute preshy8Ure In one case j we observed in a period-2 movement ti sudden change in the attraacuteCrors

size related to the bubbles size In other case with a different nozzle geometry we observed a periacuteod-doubling easeade J -+ 2 -+ 4 fullowed by a eMotio hehavior In both cases we fclated some different dynamical behaviotS to coalescent effects

For a fixed air pressure we used as a second control parameter the amplitude af a sound wave tuned to the fundamental frequency of the air tube above lhe oolutioo We observed as aacute function of increasing sound wave amplitudes the appearance af a fixed paim a limit cycle~ which looses 11$ stability and a new flxed paint appears a lllp bifuration followed by bullbullIutou regiOll wih strerehing and foldiacuteng features Thereafter a new fixed paiot starts to be visited in an intemUttent behavior anti the bnhbling synchronizes with lhe sound wave freqnency

We applied the technique af the transformatioD af the tixed pomts to extract an unstable period~l orbiacutet embedded in noisy reconstructed attrnctors in the fiip bifurshyClltion region This unstable period-l orbit remains in the chaotic regime which was charatterized by the dominant Lyapunov exponent

AcknowledgemenJs

We ate gratefuJ to Professor AJ Liohrenberg RD Pinto and MS Baptista for heir suggestions FinanciaI support from lhe BrnziUan Agencies FAPESP CNPq and FlNEP iacutes gratefully acknowledged

Rcf

[1] JF Davidson BOa Shiller Trans lllst Chem Eng 38 (1960) 144 (2) YA Buyevfub BW Wcbbon Chem Eng Sei 51 (19 4M3 [3J NK Kyrlalddes EO Kaslriookls SG Nychas em j Chem Eng 75 (1997) 684 [4] AS Pontet AJ Surnli Cbem Eng TecltnaL 20 (1997) 85 [5] 11- Krisbna 1M _ Nottue 398 (1999) 208 [6) 11- F IA _lt= A Phys Leu A 243 (1)l8) 67 [7] DJ TriUltm C BSU Phys Fl A S (1993) 503 [a] LJ Milloni MP Scllwar~ RD Ut Nuuzc Phys Fluids 7 (1995) 891 (9) JC Snt1oreIuuml WM Gonccedilalves RD Pinto Phys Rev E 49 (1994) 3963

[10] P 50 al Ihys Rev -t 76 (1996) 4705 [11] P So et al PllS Rcv E 55 (1997) 5398 [12] P So Cf al Biophy$ J 74 Z776) 1998 fI3] S ElIner DW Nycbka AR GIlllant LENNS a progrmn lo estimntc lhe dominant Lysp1JlU)v cxponcnt

of noisy noulinear systcms from time series data (fustitute of Statistics Mimco Serlcs 00 2235 (BMA serias lO 39) Statis1ks Department North Carolina State Univcrsity Raleigh 1992)

I 1

I

Apecircndice 3

Heacutenon-like attractor in air bubble formation

A Tufaile e JC Sartorelli

Physics Letters A 275 (2000) 211-217

I

PHYSICS LETTfH~sA

ElSlMER Phys1cs Lctfln A 10152 (2000) 1Q(l

wwwelsevebullnllocalJpl3

Heacutenon-like attractor in air bubble formation

A Tufaile JC Sartorelli lflUacuteMd dI FistCil Untveridadc de Samp hIlJC Cooacutea Postal otilde6JJ8 flf31J-l70 Sim PauID SPl1roil

~ved 6 Junc 2000 rnceiVdl in revised furm 29 Augusi2000 aeccpted 29 Angusl2000 Communicated hy cR DocriDg

Ahstract

Wc studlod the formation ar air hubb1es in 11 submerged nozzle in a watcljglycerol solution inside- a cylindtical tubeacute submitted to a sound wave perturbation lt was obslttved a mute to elmos via periacuteod 40ubling as a funetion of thc- sound Wllve amplitude We applicd metriea1 as well as topological chtmleacuteterization t(J some ch~tic attraetorn Wt localizcd ti flip saddle and wc aIso could establish relalions to a Heacutenon-like dynamics with the oonstruction of symbolie planes C 2000 Publishcd by Flrevicr $ciCllCe RV

PACS OSAS+b KeywonJs Cblrol Bubbe dyruunics Heacutenl)lt map

1 IntrodoetiOJl

We npot1Jd [1l some dynamical elfects of o sound wave in a bubble fonnation dynamics such as a flip bifurcatioacuten as a fimction of the increasing smmd wave amplitude Lauterbom and Paditz [21 studied the main reatures of bubble 05cillator in which the size of a small bubble in wnter oscillates due to a _ field Tritton and Edgell [3J observed some atiroctors by detecting thc bubb1e passage neatby a tnulSducer Ototmiddotfilm onemomme) pUacutelced dose to a nome where the bubbles were issued and they repartelt the existeace of a chaotic bubhlmg

~ccedil tumor TeI +55 11 81S 691S fax gt$5 11 813 4334

verified by visual inspections OOt without any kind of characterizatiacuteon af the chaotic dynamics Mittoni et ai [4J observed chaotic behavior with positive Lyapunov expunents in bubbling systems using a pressure transducer Li et a1 [5J studied lhe chaotic behavior of bubb1e 1oalescence in non~newtonian Iuids Ruziclm et ui [6J observed raquopc m intemritshytency in the transinon ftom bubblmg to jetting regime in 11 nitrogen-water system

Characterizaticn ofexperimental data oinonlinear systems using symbolie dynamiacutecs has becn reported by Gonccedilalves et al [71 in whiacutecb lthaotie at1mctms

from me drlpping faucet experiment were approxishymated to mioimal nmchines and the topological analysis applicatioD by using symbolic dynamics was more suitable to cllaracterize experimental data due to jts robustness to nalse Letellier et al [8] npplied topo1ogieal cbaracterization to irregular pul-

037S-96ltI1jOOS - slaquo trolit mluer 02000 PubJishtd by E~lr Stienee av PU S031i-960l(OOgtOtl58S-5

2 A TufoileJC Sartcrelli Pb)$Ws Letie1$ A )fi (2001)) (1I)fJ-()(J()

sations cf a hydradynamical madel of nu pu1sating sUlr by constructiug symbolic planes

Wc have studied the air bubble fonnation dynam~ ics in a submerged nome in n waterglycerol somshytion illSicle cylindrical tube (see Ref [n for detaiIs) as a function af 11 sound wave amplitude tuned in the air column above the solutiou Using metrical and topologica1 cbaracterization we observed a flip bifurshyestion which is followed by a chaotic region wbere some reconstructcd attracrors resembfe Heacutenon~1ike attractors which esmbHsh a possib1e mure to chaos in bubbling dynamics

2 EJpcnmental apparatus

The experimental apparatus of the bubble gun experiment is sbown in Fig 1 The bubbles were generated by injecting mr under constant flow rate conditions through a metallic nozzle immersed at the bottom of a viscuus tluid column (20 watcr plus 80 glycerol) maintained nt a level of 12 ctn The inner diameter Df the cylindrical contaioer js 53 nun and 70 em in hcight and the innel diamcter of thl nozzle is 13 mm The nozzle is attached to a capacitive air reservoir and the air flux ean be set up

by a need1e valve and the capacitive air reservoir is supplied by aa air compressor through a pressure reducer

The detection system is the same as the drippiacuteng faucet experiments [9t lO] A horizontal He-Ne laser beam focused (10 a phorodioacuted~ is placed a little above the nozzie The delay times between succes sive bubblcs were measured with a time circuitry inserted in a PC slm With a time resoJution equals to I ps The input signals are voltage pulses induced in a rcalstQ defined by Ih beginniacuteng (endingl af scattering af a laser beam focused ou lhe photodiode (in senes with the reslstor) when the bubble starts (ends) to cross the laser beam The lidth of pulse is me time interval tIl (n 1S the bubble number) and the time delay between two pulses is the crossing time (dt) cf a bubhte through the laser beam 50 that the total time interval is Tft = tIlt + dI bullbull

Setting up Ih bubble rale (f- I(Traquo) keeping fiacutex the air pressure in the capacltive reservoir and selecting the bubble rating by openjng (closlng) me needle valve we changed the bubble fl)IIllAtion dyw ooooics applying a sound wave with a loudspeaker pIncelt at the top of tbe tube The sound wave was tuned to the fundamental frequency of the air column above lhe liquid and its amplitude was driven by a

Rmction genemlor

Jl22l + H

shy

I

Alr9lifier i

j -tgt ~bull

I

~

o

o

Fig I Diagram cfme ~nlal apparzrus

I A llifaile lC Sm10r01ll Phpics UdtersA ()( (2iJ1)(J) OOO-f()(

-iacute

f

~

Driven Voltaga (V)

Fig 2 Bifurcation diarccedilaln ofthe inte1bllbble iotavals ti a function ofthe londiipeaka driml volige Wc cstimated lhe exptlrimcntal noise laquo$ -100~ in lhe period I behaYIacuteor

i

function genenrtor A11 the measurernents were doneshy

I at room temperature

3 Results and discuasion ~ II

The air flow rale and tbe sound wave ftequency were ept conslant at - 366 bubble(s and 150 Hz respeetively We changed the Imool dynamios forshymation increasmg the driven voltage in the loudshyspeaker as shown by ilie biacutefurcation diagram in Fig

32

1

~ 24

2 A period doubling OCCUIS around 2 0 V and the bubbles are issued in pairs until 30 V~ when a noisily period fougt appears After then two-band hehavior takes place and each band presents chaotie behaVior At 35 V the chaotic bands start to overlap and a large- chaotie attractors emerges

To perform metrical and topological characteriacutezashytion of the bubbJe fonnatilt)D dynamics we collected S1x time series keepiacuteng fb six drlven voltages whose respective retum maps (T I versus T) are sbown in Fig 3

~r I

- 111

(a) (b)

35V

(d)

~

24

I 25 V I ~ bull

I -(c)

I 45V I

(f)

T(ms)

Fig 3 A gquencc cf rtconstructcd aUtaclors 5howing 11 period-doubling tome to clI3os In eacb tlanle thI iDsct shows the driven vo114se (a) peticd t (b) period (2)i (ccedil) a two-band aacutetttactru (d) te) and O are claotic aUietatS chmctmzcd by the 1atgest LapWlOV exponent ftlR IlJ9 IIl1d 024 ~ivcly nbtllned w11h tlle lRNNS j13Clcase [1lJ F~1eacuteh titl1( Ienes is 4fl()(I h1lbbles long

1

1 Thfoiacutele IC SarrorelJi I PhJir$ LdterH A fJ(J (2000) OOfJ-(JJ()4

31 MetricaJ characterization

The reconstructed attractors in the chaotic region (rrom Fig 3(d) through 3(t) were characterized by the Lyapunov exponent51 by the Kaplan-Y orke di~ mension and by the infonnation dimension obtained by the rlSEAN package (12) A cofiecture [13) relates the Lyapunov spectnun (A) and the informa~ tion dimcnsion by me Kaplan~Yorke dimension D1Cf

1gt1 i-i ( I) -k+ - IDK( - IAgrave I

H

where k i5 the maximum integer so tbat SUtn af the k-largest exponents is stiU llOn-negative This cotildenjecshy

middot mre iacutes valid for Heacutenon attractor and it is checked on teconstructed attIactots The paramerer va1ues obshytained for the driven voltages V 35 40 and 45V are shown in rable I (see Figs 3(d) 3(0) and 3(t) The Kaplan-Y orke dimensions agree with iacutenfatmashytion dimensiacuteOllS The two first chaotic attractors have a Lyapunov spectrum witb one positive exponent and one negative exponent while the last one Fiacuteg 3(0 bas one positiacuteve and two negative exponents In Table 1 we also present the results of Heacutenon maps (flr))~(y+ I-axoacutexraquo recolllitrUcted as _ retum maps XH 1 versus X (see Fig 4(a))

Ue attrnctQr dimenslons ror ooven voltages of 35 V and 40 V are close to the dimensions of the HecircnOll map suggesting that they couJd have similar dynamiC$ The reconstrultrted attIactor for 45 V see

Table 1 LyapUJlQV exp~ and dirrlensfuns for experimcntll ch30tlc a~ and for two pairo (Ir atues ar Heacutenon map pomnnctm

Fig Drlven L)aplmOv Kaplrut-Yorkt Infonnation voltage IIpcetrn ~oo dimensioo (V) (ermt) (mor)

3(d) 3 +oll -08 1IJlJ 1)J

3c) 4bull +012 -06 123(1) 141) 31 +01-03 L68m 18(3)bull

Heacutenon -09 b LS50f +038 -238 116) 116(9) 1403 +042 - L61 12i~) U9(9)

) Oilcuhted wltb Eq ti)

(o) __321 ~

31)

3 24 221lt ~

22 24 2amp 2fj 30 32

T(ms)

Flg 4 (3) A iacutelippins eXlUlllie in lhe Heacutenon mtmctot The flip sarldlc IS tbe eroll5lns point or lhe daIDed line and lhe atIractm (056 056) (b) A flipp1ng ~ in lU ~W at1lactor fuT 3 dtivcn foltage cf 40 V

Fig 3(0 has similar prorue of the other two as shown in Fig 3(d) and 3(e) However its informashytion dimensiacuteon value is quite different ftom me omer two attrnctors (3(d) and 3(eraquo as well as diacuteffimm from tbe Heacutenon map values as shown in Table L In addition to the three exponents of the LyapllllOV spectra the dimension information dose to two is a cue that the attractor 3(0 could not be untangled in MO dimensions

7 A Thjaile Jc ~iI Physia Leitos A (Jfl (1000) ())(JOOII

I

I

The partition is represented oo OOl by dashed lines In Fig 5(8) 15 shown the Heacutenon map for a = 155 and b - 01 lhe partition used is a vertical line that separates the single branch (L) from the foIded one (R) that contruns ao unstable fiacutexed point and tbe Heacutenon symbolic plane afl is shown in Fig 5(A) From Fig 5(h) tbrough 5d) lhe experimentll atttactors are shown In those aSes the partition can not be done with a vertical linct 50 we looked for C1]Ves that eould separare Ih single hranch (1) from the folded ODe (R) The respcctive symbolic planes laquo3 atbullbullhown in Figo 5(1l) 5(C) and 5(j)

The pauero of lhe three experimental _bli planes resembles tOO Heacutenon symbolic plane Tbe best similarity OCCllrs for the driven voltage of 35 V whose symbo1ic plane has the same allowed and forbidden zones as the Heacutenon ones For higher wave amplitude some forbidden regions in the symbolic planes start to be visited (for example ex = 08 and 3 - 04 in Fig 5(Draquo howiacuteng lha lhe bubble forshymadoraquo dynamiacutecs is running away from the Heacutenon~ like dynamics In Fig 6 it is shown lhe bubble trains raisiog through the fluid to ilIustrate the ditference between the bubble profiles in the periodiacutec regimes lllld the Heacutenon-1ike one shown in Fig 3

4 eocluslo

We have used metriatl and topologica1 lt1ethods to characterize lhe dynamics ofair bubble fonnation We have observed that a gradual increase in the soillld wave amplitude results in a route to ehaas via period doubling W bullbullharncterized some chaalie beshyhaviar with lhe LyapuMV spelttra the Kaplan-Yorke dimension and the infonnatiacuteon dimension which 1ed 11$ to relate some results to a Heacutel1on~1ike dynamics a low dimensional dissipative system with stretching and fo1ding 1teacuteeacutebanism The Hecircnon map parameter values) (1 155 and b=Ol cbrrcsp(l11d to a more dissiacutepative system trum the classical values a = IA and b - 03 coberently mIa h bigh liquid vi

ity tbat parares li less sttuctured attracror The establisbment ofa fljp saddlc and the oonstruction of -ymbolic planes reinfotced 0Ui assumptiODS UsushyalJy two dimensional mappings are used as mudels o forced oscilintms _ore me bnbble formatia can be seen as an oscillator driven by a sound wave

Acknowledgements

This work was partially supported by Bmziliao agencies FAPESP CNPq and FINEP

Refcrences

t] A Tufuilc JC Sanorelli Phy~ca A 275 (2000) 336 (2) W Latrtcrbom U Parlitz J Acollocirct $o= Ato 84 (l9S8)

1975 (3] DJ Tritlon C Edgen Phys Fluids A 5 (t 993) 561 (4) LJ Minoro MF Schwarz RD La Nauze Phy Fluds 1

(1995) 891 [5] lU Li Y Moulinc L Choplin N Midoux lnt J Mnliphase

Flow 21 (1997) 173 [61 Me Rnzicka J Druacutetos J Zahradnik N Thomas Inl J

Muuumlphase Flow 23 (1997) 671 (7J WM Gonccedilalves RD rinlo jccedil ~orelli fhy$iccedila o 257

(1998)385 [81 C LcteUier G Gouesbct F Soufi JR Iluchlcr z KtlI1acirclh

Choos 6 (]996) 466 [9 Jc Sartorelli WM Gonccedilalves aD PlnlQlbys Rcv E 49

(199003963 [10] A TllfiIile RD Pinto WM Gonccedilalves JC SattOtelli

Phys Let A 255 (1999) 53 [tI] s EUoI DW Nychka AR Gallam LENNS a JlfOJpW to

eSUacuteil1lfle the dominant L)llpWJOv txponent afnoisy nonliucar sy5tcm5 fmm time scrics data lnstitule af Sta1i$itli Miacutemeo Srnes n 2235 (B~iA series n 39) Statisties f)q)artltletrt North CaroHca Sbtc Uniwniiy Raeigh 1992

[I2] R Hegget fl KanIz T Schrciblaquo Chaos 9 (1999 413 [131 r Ftdtrlclson JL Kaplan ED Yorlte lA VNte J

Olff Equat 49 (1983) 185 1141 KT Alligood TD amputt JA Yooo Chaos an introduoshy

Uumltm ttl ~ systems SpringuBerlin J991 [151 iL Zhao WM ZbeIlS Ccum Theot Phys 19 (1993) 11

-1

  • 1
  • 2
Page 7: Estudo da formação de bolhas em líquidos

Resumo

Construiacutemos um aparato experiacutemental para estudar a dinacircmica da formaccedilatildeo de

bolhas de ar em um bico submerso em uma soluccedilatildeo de aacuteguaglicerina dentro de um tubo

ciliacutendrico O tempo entre bolhas sucessivas foi medido com um sistema laierfotodiodo

Os resultados experimentaiacutes foram interpretados usando a Teoria do Caos Foram

observados bifurcaccedilotildees comportamento caoacutetico e saltos no regime perioacutedico em funccedilatildeo da

diminuiccedilatildeo da vazatildeo do ar soprado no bico

Aleacutem das transiacuteccedilotildees dos regimes do borbulhamento noacutes tambeacutem observamos

efeitos na dinacircmica do borbulhamento quando aplicamos uma onda sorrora sintonizada na

frequumlecircncia fundamentai da coluna de ar acima do liacutequido onde as bolhas eram formadas

Em funccedilatildeo da amplitude da onda sonora noacutes obtivemos ciclo fimite bifurcaccedilatildeo flip

comportamento caoacutetico e sincronizaccedilatildeo do borbulbamento com a frequumlecircncia da onda

sonora

UtiJizando caracterizaccedilotildees meacutetrica e topoloacutegica em alguns atratores pudemos

relacionaacute-los com uma dinacircmica tipo-Heacutenon cujo comportamento eacute tun caso particular da

dinacircmica do mapa do ciacuterculo bidimenslonaL Observamos caracteriacutesticas presentes na

dinacircmica do mapa do ciacuterculo na formaccedilatildeo das bolhas variando a amplitude da onda sonora

tais como transiccedilatildeo para o Caos via quase~periodiacutecidade cascata de duplicaccedilotildees de periacuteodo

e Caos

Iacutendice

Iacutendice

L Introduccedilatildeo 1

2 Aspectos teoacutericos 6

21 Buxos e recorrecircncias 6

22 Mapas de retorno 7

23 O Mapa quadraacutetico 8

24 Dimensotildees 12

25 Expoentes de Lyapunov 12

26 O mapa de Heacutenon 14

27 Reduccedilatildeo de rufdo 16

28 Espectro de Fourier 16

29 O Mapa do Ciacuterculo 18

210 Transformaccedilatildeo de ponto fixo 24

211 Plano Simboacutelico 25

3 Aparato experimental 27

3 L O tubo borbulhador 27

32 Sistema de aquisiccedilatildeo 28

33 Medidor de vazatildeo 29

34 Controlador de vazatildeo 30

35 Vaacutelvula solenoacuteide proporcional 31

3 6 O bico borbu Ihador 32

37 O sistema pneumaacutetico 33

38 O sistema sonoro 33

39 O liacutequido 37

310 magens 38

31 L O Experimento da Torneira Gotejante 40

4 Resultados e AnaacuteIise 41

Jlldfce

bull

41 A tornejra gotejante 41

42 Dinacircmica das bolhas 45

42 I Formaccedilatildeo quase-estaacutetica 45

422 Formaccedilatildeo de bolhas com vazatildeo constante 46

423 Bifurcaccedilotildees 48

424 Veias liacutequumlidas 52

425 A estabilidade de dois fluidos sobrepostos 54

426 lnstabiliacutedade da superfiacutecie da bolha 56

427 Frequumlecircncia de borbulhamento 59

428 Duplicaccedilotildees de periacuteodo 62

429 Salto e coalescecircncia 62

4210 Antibolhas 69

43 A onda sonora e as bolhas 72

431 A fonnaccedilatildeo de bolhas perturbadas pelas ondas sonoras 73

432 Atratores do tipo Heacutenon 78

432A Caracterizaccedilatildeo meacutetrica 80

432B Caracterizaccedilatildeo topoloacutegica 81

432C Plano Simboacutelico 83

44 Oscilaccedilotildees forccediladas 85

45 Comportamento geral 87

46 Comparaccedilatildeo entre atratores 92

47 Modulaccedilatildeo do Paracircmetro de Controle 94

5 Conclusotildees 97

6 Referecircncias 100I

ApecircndicesI 1 Simulations in a dripping faucet experiment

2 Chaotic behavior in bulgtble fonnation dynamics

I 3 Heacuteuon-like attractor in air bubble formation

I I

I

lnwod~u~ccedilao~-~____________________~________ ___ 1

1 Introduccedilatildeo

Com o advento da Teoria do Caos [Li e Yorke 1975] foi proposto que eos

sistemas natildeo-lineares com poucos graus de liberdade poderiam gerar uma dinacircmica

muito complexa como comportamento perioacutedico quase-perioacutedico e caoacutetico~ que

dependeriam dos paracircmetros de controle do sistema Tais sistemas no estado caoacutetico se

tornam imprevisiacuteveis enquanto o tempo avanccedila devido a uma propriedade baacutesica dos

siacutestemas caoacuteticos conhecida como sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais Podemos

encontrar exemplos destes sistemas ao nosso redor como nas oacuterbitas planetaacuterias

sistemas quacircnticos [Bertelsen el ai 1999J variaccedilotildees climaacuteticas [Lorenz 1980)

torneiras pingando [Shaw 1984 Martien ct al~ 1985 Sartor1li el 011994

Gonccedilalves1996 Pinto et aI 2000] reaccedilotildees qwmicas abalos siacutesmicos e circuitos

eleacutetricos [Jackson 1995] Podemos tambeacutem encontraacute-los dentro de noacutes mesmos nos

impulsos nervosos [Rapp et ai 1990] pulsaccedilotildees cardiacuteacas reproduccedilatildeo celular e muitos

outros ritmos bioloacutegicos [Jaclrson 1995)

Seguindo uma sugestatildeo de Rotildesller [RossIer 1977] de que uma torneira pingaodo

poderia ser um exemplo do sistema de equaccedilotildees diferenciais que exibe comportamento

caoacutetico~ Shaw [Shaw~ 1984] desenvolveu o experimento da torneira gotejante que se

mostrou mais complexo que O sistema proposto por Rotildesller No Laboratoacuterio de

Fenocircmenos Natildeo-Lineares (LFNL) do Instituto de Fisica da Universidade de Satildeo Paulo

foi construiacutedo um experimento semelhante ao experimento da torneira gotejante de

Shaw [SartoreUi et al~ 1994] e esta experiecircncia permitiu observar uma enormei

variedade de comportamentos dinacircmicos1 tais como CrIacuteses [Grebogi et ai~ 1982l

I intermitecircncias duplicaccedilotildees de penado e oacuterbitas homocliacutenicas Para explicar taisI comportamentos foram desenvolvidas algumas teacutecniacutecas para anaacutelise das seacuteriesI

temporais [Gonccedilalves 1996 Pinto 1999] Desta forma o conhecimento adquirido com o experimento da torneira gotejante

I nos permitiu propor e desenvolver um experimento para estudar a dinacircmica da

formaccedilatildeo de bolhas em um liacutequido onde medimos o tempo da fonnaccedilatildeo de bolhas de

ar sopradas em uma mistura de aacutegua e glicerina utilizando as teacutecnicas semelhantes agraves

utilizadas no experimento da torneira gotejante Este experimento) que chamamos de

tubo borbulhador [Tufalle e Sartorelli 2000a Apecircndice 2 Tufuile e Sartorelli 2000b

Apecircndice 3] eacute de interesse tanto no estudo dos sistemas dinacircmicos quanto nas

aplicaccedilotildees em fluxos com duas fases [Ruzicka el ai 2000] Aleacutem dos efeitos da vazatildeo

I

2 1lntroduccedilatildeq

do ar na formaccedilatildeo de bolhas~ -estudamos os efeitos de uma onda sonora nas intervalos de

tempo da formaccedilatildeo de bolhas

A geraccedilatildeo de bolhas eacute importante em uma vasta gama de fenocircmenos onde temos

a dispersatildeo de um gaacutes num liquido desde ocasiotildees corriqueiras corno no preparo de

uma maionese ateacute em Engenharia Quiacutemica nos chamados equipamentos de mistura de

fases Para citar apenas algumas situaccedilotildees temos a criaccedilatildeo de bolhas em colunas de

borbulhamento vasos de fermentaccedilatildeo~ equipamentos de limpeza e extraccedilatildeo cavitaccedilatildeo

acuacutestica em bombas hidraacuteulicas e vaacutelvulas de controle reatores caldeiras e fijiacutedo em

transmissotildees de ondas sonoras no oceano [Clift e ai 1978]

Basicamente podemos ter quatro formas de formaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos

a) Soprando um gaacutes atraveacutes de um liquido

b) Quando a alta velocidade do liquido diminui a pressatildeo de rorma draacutestica (abaixo d

pressatildeo de vapor do liquido) e uma cavidade preenchida com vapor do liquido se

forma ocorrendo o processo que eacute conhecido como cavitaccedilatildeo

c) Quando um aquecimento local faz com que a pressatildeo de vapor do liacutequido ultrapasse

a pressatildeo local do liquido e uma cavidade de vapor se furma por ebuliccedilatildeo

d) A diminuiccedilatildeo brusca da pressatildeo no liacutequido faz com que gases dissolvidos fotrnem

bolhas no seu interior que ocorre quando abrimos uma garrafa de refrigerante ou

em situaccedilotildees mais etais~ como aacutes bolhas que causam embolia em mergulhadores

que sofrem descompressatildeo

Neste trabalho focalIacute7aremos o primeiro caso da formaccedilatildeo de bolhas principalmente

em liacutequidos viscosos usando uma abordagem da Teoria do Caos

O estudo da formaccedilatildeo de bolhas eacute interdisciplinar devido agraves aplicaccedilotildees encontradas

em Engenhruia Fiacutesica Quiacutemica Ocolisica Matemaacutetica Aplicada e Medicina Clifl e

colaboradores [Clift e ai 1978] publicaram o livro intitulado Bubble Drops and

Particles no qual eles procuram dar uma revisatildeo dos trabalhos envolvendo o

movimento de partiacuteculas em fluidos e a criaccedilatildeo e movimento de bolhas e gotas em

fluidos Esta eacute urna referecircncia muito comum nos trabalhos envolvendo formaccedilatildeo de

bolhas Nesta obra sobre bolhas gotas e partiacuteculas podemos ver que os principais

obstaacuteculos no estudo dos fenocircmenos que envolvem a interaccedilatildeo do estado liquido com o

estado gasoso satildeo a compressibilidade dos gases e a natildeo-linearidade intriacutenseca dos

fluidos) que levam muitas vezes a modelos empiacutericos e com validade de aplicaccedilatildeo

limitada A ideacuteia central quando se aplica a Hidrodinacircmica tradicional eacute a de se

caracterizar diferentes regimes de gotejamento ou borbulhamento~ como transiccedilotildees de

3

lt

L IntroduccediltJQ

instabilidades [Chandraekbar 198 I] Tais transiccedilotildees OCOITem com o aumento de um

paracircmetro caracteriacutestico do sistema como por exemplo o IlUacutemera de Reynolds

Utilizando princiacutepios variacionais procura-se explicar como ocorre um tipo particular

de mudanccedila de regime como a transiccedilatildeo do regiacuteme laminar para a turbultncia

A aplicaccedilatildeo da Teoria do Caos a estes sistemas nos daacute novas perspectivas de

anaacutelise e aumenta nossa intuiccedilatildeo com relaccedilatildeo aos fenocircmenos complexos observados A

furmaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos viscosos e sua relaccedilatildeo com comportamento caoacutetico jaacute

foram relatados em trabalhos de Tritton [Tritton ot ai 1993] e Mittoni [Mittoni oi ai

1995] No primeiro trabalho um medidor de fluxo anemomeacutetrico que consiste de um

resistor sensiacutevel ao fluxo de um fluido que passa sobre ele~ foi colocado proacuteximo do

bico onde as bolhas eram fonnadas e infonnava sobre a fonnaccedilatildeo das mesmas_atraveacutes

da variaccedilatildeo da tensatildeo sobre o resistor Com este sinal de tensatildeor Tritton construiu seccedilotildees

de Poincareacute e atraveacutes delas ele observou duplicaccedilatildeo de penodo no tempo entre bolhas

e tambeacutem obteve algumas seacuteries de sinais com padrotildees nacirco-perioacutedicos Tritton

classificou os padrotildees de comportamento mais simples como Caos Fraco~ e os de

comportamento mais complexo como Caos Forte_ O trabalho eacute inovador no sentido de

que eacute a primeira vez que teacutecnicas deste tipo satildeo utilizadas para o estudo da formaccedilatildeo de

bolhas Mas as criticas com relaccedilatildeo a este trabalho levam em conta que o meacutetodo de

mediccedilatildeo eacute invasivo~ isto ~ a formaccedilatildeo das bolhas eacute afetada pelo medidor pois a

caracterizaccedilatildeo do comportamento caoacutetico fOI feita de modo subjetivo No segundo

trabalho Miltoni e colaboradores [Mittoni cl aL 1995J utilizaram como elemento

sensor da formaccedilatildeo de bolbas num tubo borbulhador um transdutor de pressatildeo obteve

seacuteries de sinais caoacuteticos atraveacutes de teacutecnicas natildeo-invasivas e aplicou a caracterizaccedilatildeo

meacutetrica sobre elas obtendo expoenles de Lyapllllov positivos (algoritmo de Wolf [Wolf

ct ai 1985D

Como exemplo do interesse da Engenharia Quiacutemi peJa formaccedilatildeo de bolhas

temos o grupo da Universidade do Tenessee [Finney 2000] nos Estados Unidos

denominado CRG abreviatura de Chaos Research Gr01lp que estuda desde 1992 entre

outros siste~ a dinacircmica de uma coluna de bolhas ascendente formada por um bico

Segundo eles o principal foco da pesquisa eacute explorar a rota de duplicaccedilatildeo de periacuteodo

ateacute o caos e a natureza espaccedilo-temporal das interaccedilotildees entre as bolbas aleacutem de

focalizar as aplicaccedilotildees de teacutecnicas de controle de Caos

Aleacutem deste grupo~ foram encontrados outros trabalhos envolvendo engenheiros

quiacutemicQs estudando formaccedilatildeo de bolhas atraveacutes anaacutelise de seacuteries temporais Li e

I

1

I _J__mmm__u~_________________~ 4

colaboradores [Li et aI 1997] estudaram a coalescencio entre bolhas atraveacutes do

espectro de potecircncias dos dados obtidos experimentalmente Ruzicka e colaboradores I

[Ruzicka et al~ 1997]~ focalizaram sua pesquisa na transiccedilatildeo do estado de

borbulhamento para o jateamento do ar em liacutequidos Eles encontraram um movimento

complexo das bolhas envolvendo disparos da vazatildeo do ar mudando do regime de

borbulhamento para o jateamento do ar no liacutequido Eles classificaram os disparos

utilizando a tcrnrinologia da Teoria do Caos como uma intermitecircncia do tipo lI

Os meacutetodos de anaacutelise das seacuteries temporaiacutes satildeo baseados na teacutecnica de

reconstruccedilatildeo do espaccedilo de reses a partir de uma coleccedilatildeo de dados conhecida como seacuterie

temporal e podemos c1assificaacute~los como meacutetodos meacutetricos e topoloacutegicos Basicamente

temos uma anaacutelise das propriedades meacutetricas desta reconstruccedilatildeo devido aos estudos

desenvolvidos por Pkanl [packard el 01 1980] Maliacutec [Maliacutee 198 I] e Takens

[Takens 1981J Aleacutem disso temos a caracterizaccedilatildeo atraveacutes de expoentes de Lyapunov

com um algoritmo muito popular desenvolvido por Wolf [Wolf el aI 1985] para o

caacutelculo destes expoentes para estas seacuteries Aleacutem do estudo da estabilidade das seacuteries

temporais~ tambeacutem eacute associado a elas o conceiacuteto de dimensatildeo Femat e colaboradores

[Fernat et ai 1998] acompanharam a evoluccedilatildeo de seacuteries temporais provenientes de

sensores capacitivos em um experimento de borbulhamento em uma coluna vertica1

eles obtiveram os expoentes de Lyapunov e fizeram anaacutelises espectrais dos dados

referentes agrave bolhas que se eJevavam na coluna A caracterizaccedilatildeo topoloacutegica de dados

experimentais de sistemas natildeo--lineares usando dinacircmica simboacutelica foi feita pOI

Gonccedilalves e colaboradores para o experimento da torneira gotejante [Gonccedilalves et aI

1998] Pinto [pinto ef al 2000) aplicou o estudo das variedades invariantes para

caracterizaccedilatildeo da Cataacutestrofe do Ceacuteu Azul tambeacutem no experimento da torneira

got~antegt assim como algoritmos de localizaccedilatildeo de Oacuterhitas Perioacutedicas Instaacuteveis (QP)

de So [So el ai 1996]

Neste trabalho observamos as condiccedilotildees que levam aos diferentes regimes de

borbulhamento e classificamos estes regimes de acordo com as teorias dos sistemas

dinacircmicos assim como registramos algumas observaccedilotildees intrigantes na evoluccedilatildeo destes

sistemas como por emplo o aparecimento de cmtibolhas [Stong 1986] que satildeo

basicamente cascas esfeacutericas de ar aprisionadas dentro do liacutequido Colocando oacuteleo junto

com aacutegua no sistema do tubo borbulhador~ tambeacutem registramos fi existecircncia de veias

liacutequidas que satildeo colunas daacutegua sustentadas por bolhas dentro do oacuteleo

5

I I i

1

I

I

J lntro50

Veremos tambeacutem o tubo borbulhador como um novo exemplo da classe dos

sistemas caoacuteticos devido agrave sua relaccedilatildeo com o mapa hidimensional do ciacuterculo (Argyris

et a~ 1994] Muitos sistemas fiacutesicos caracterizados por pelo menos duas frequumlecircncias

exibem um comportamento chamado de sincronizaccedilatildeo ou tambeacutem chamado de

travamento de frequumlecircncias Outro comportamento muito frequumlente na associaccedilatildeo de

osciladores eacute o comportamento quase-perioacutedico que pode ser representado pela

associaccedilatildeo de dois osciladores funcionando com a relaccedilatildeo entre as frequumlecircncias dada por

um nuacutemero irracional Todos esses comportamentos aparecem naturalmente no

experimento do tubo borbulhador e aleacutem disso~ este experimento nos permite explorar a

interaccedilatildeo entre os sistemas natildeo-linearesgt e como ocorrem as translccedilotildees entre os regimes

perioacutedico e ca6tico na emissatildeo de bolhas sujeitas agrave uma onda sonora

6

I I

I

I

2 Aspectos Teoacutericos

2 Aspectos teoacutericos

Seacuteries temporais nao-lineares podem ser analisadas com meacutetodos meacutetricos e

meacutetodos topoloacutegicos O meacutetodo meacutetrico eacute multo proacuteximo das noccedilotildees intuitivas de

distacircncia aacuterea volume e dimensatildeo que temos Por este meacutetodo podemos dimensionar e

comparar objetos num detenninado espaccedilo Tambeacutem podemos analisar a estabilidade

de um sistema com base no valor de meacutedias temporais da convergecircncia ou divergecircncia

da vizinhanccedila de um ponto destes objetos chamados de atratores

O meacutetodo de anaacutelise e carncterizoccedilatildeo topoloacutegica eacute um dos meios mais

importantes de investigar problemas natildeo lineares Este meacutetodo considera a seacuterie

temporal natildeo corno uma funccedilatildeo expliacutecita do tempo mas como curvas no espaccedilo de

falies que satildeo soluccedilotildees do sistema dinacircmico Descobertas consideraacuteveis nos aspectos

qualitativos e algumas infonnaccedilotildees quantitativas podem ser obtidas atraveacutes dos

atratores reconstruiacutedos

Os meacutetodos empregados neste trabalho foram obtidos da literatura ou

desenvolvidos noacute LFNL A finalidade da utiacuteliacutezaccedilatildeo de tais meacutetodos eacute testar e justificar

algumas hipoacuteteses feitas para os dados obtidos com tubo borbuIhador e para a torneira

gotejante Para evitar redundacircncia da derivaccedilatildeo dos meacutetodos amplamente encontrados

em livrostexto e artigos as derivaccedilotildees dos meacutetodos seratildeo simplificadas Para maiores

informaccedilotildees dos algoritmos empregados poderatildeo ser consultados os trabalhos de

Hegger Kantz e Schreiber [Hegger et aI 1999) Ellner [EIlner cf aI 1992) So [So Cf

aI 1996) e Gonccedilalves [Gonccedilalves ef aI 19981

21 Fluxos e recorrecircncias

Os sistemas dinacircmicos detenniniacutesticos satildeo descritos pela evoluccedilatildeo temporal de

um subconjunto A em um espaccedilo euclidiano d~djmensional Eles podem ser expressos

por exemplo por equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias [Sotomayor 1979]

X=f(f) (21)

ou com um tempo discreto t = n J t por mapas [Collet eacute Eckmann 1980]

x n+ =f(x) (22)

Uma seacuterie temporal eacute uma sequumlecircncia de observaccedilotildees igualmente espaccediladas no

tempo Uma seacuterie de eventos eacute uma sequumlecircncia de intervalos de tempos entre os quais

ocorreu um determinado evento

2 ~lectQsTeoacutericos 7 ~~~~~----

22 Mapas de retorno

Uma seacuterie de eventos da forma (x Xl ) natildeo eacute exatamente o espaccedilo

de fases do sistema dinacircmico sendo necessaacuterio empregar alguma teacutecnica de

reconstruccedilatildeo para revelar a estrutura muIti~dimensional desta seacuterie Um dos mais

importantes tipos de teacutecnica de reconstruccedilatildeo do espaccedilo de fases eacute o mapa de retomo ou

tambeacutem chamadQ de coordenadas de atraso Vetores no espaccedilo de imersacircn satildeo criados

a partir de atrasos na seacuterie O conjunto das duplas (llt XjH) forma o mapa de primeiro

retomo~ e o conjunto das duplas (Xj Xjt2) forma O mapa de segundo retomo e assim por

diante O nuacutemero de elementos destes vetores daacute a dimensatildeo de espaccedilo de imersatildeo O

teorema de imerslio de Talcens [Talcens 1981] estabelece que se uma medida eacute

dinamicamente importante para o sistema ela conteacutem toda informaccedilatildeo contida neste

sistema dinacircmico

Em modeIos matemaacuteticos de sistemas dinacircmico~ a evoluccedilatildeo do processo eacute

vIacutesualizada no espaccedilo de fases cuja dimensatildeo eacute dada pelo nuacutemero de variaacuteveis

independentes Em experimentos o espaccedilo de fases eacute usualmente desconhecido a

princiacutepio e frequumlentemente uma uacutenica variaacutevel escalar do sistema pode ser medida O

meacutetodo mais comum de reconstruccedilatildeo do espaccedilo de fase a partir de uma seacuterie temporal

foi proposto por Packard Crutchfield Farmer e Shaw [packard et aL 1980] para se

analisar os dados do experimento da torneira gotejante A dinlhnica de uma seacuterie

temporal x em sistemas dissipativos eacute completamente descrita pelo atrator em um

espaccedilo de fases d-diacutemensiona)~ lRd~ com D sendo a dimensatildeo do atrator Genericamente

qua1quer atrator eacute completamente envolvido no espaccedilo de fases por sua proacutepria hacia de

atraccedilagraveo~ consequentemente todos os movimentos transientes inicializados em uma

I pequena vizinhanccedila do attator~ movem-se assintoticamente na direccedilatildeo do atrator Os

I atratores podem ser perioacutediacutecos~ quase-perioacutedicos e caoacuteticos

Neste trabalho os dados experimentais obtidos satildeo apresentados em mapas de

primeiro retorno bjdimensionals cujos elementos das duplas (Tnbull Tnt1) satildeo intervalos de

tempo entre duas bolhas consecutivas Tambeacutem seratildeo apresentados mapas de primeiro

retorno tridimensionais atraveacutes das tripla (Tn Tn+ h Tn+2) Outras representaccedilotildees

necessaacuterias seratildeo especificadas no local onde estas forem utilizadas

8

I -

2 Aspectos Teoacutericos

23 O Mapa quadraacutetico

As princiacutepals caracteriacutesticas dos sistemas dinacircmicos satildeo observados e analisados em

mapas unidimensionais como no mapa quadraacutetico do tipo

f(x) x -a (23)

onde Xfl eacute a variaacuteveI iterada do mapa e a eacute o paracircmetro de controle O diagrama de

bifurcaccedilotildees deste mapa pode ser visto na Fig 21

X o

-1

~~~~~-~~~~----------F~---

-shy

1~ -05 00 05 10 15 20

a Figura 21 Bifurcaccedilacirco obtida com uma funccedilatildeo oonvcxa a linha tracejula eacute o primeiro ponto fixo inslaacutevel que surge numa bifurcaccedilatildeo tipO sela-noacute

Neste diagrama vemos os valores possiacuteveis de x para uma variaccedilatildeo do paracircmetro

de controle a entre -Q25 e 20 Os valores do mapa para a entre -025 e 125 podem ser

calculados analiticamente impondo a condiccedilatildeo de que o valor da variaacutevel iterada

anterior seja igual ao valor da variaacutevel iterada seguinte

xx 1 -a (2-4)

que nos fornece dois pontos fixos Xf

x = [l+(l+4a)1f2 (25)

lt = [1- (1 +4a)]I 2_ (25b)

9 2 Aspectos Teoacutericos

A estabilidade dos pontos fixos de qualquer mapa unidimensioual eacute obtida com

as condiccedilotildees

Ifl(Xr ~ lt 1gtxreacute um ponto fixo estagravevel (260)

If(xr)1 gt1gtxreacuteum ponto fixo instaacutevel (26b)

Deste modo para valores de a acima de -025 obtemos xJ1 instaacutevel~ enquanto xp

eacute estaacutevel ateacute o paracircmetro a chegar a 075 Para a igual a -025 no mapa da equaccedilatildeo (23)

experimenta uma bifurcaccedilatildeo sela-lIoacute A linha tracejada na Fig (21) eacute a trajetoacuteria

instaacutevel xfl e o ramo estaacutevel Xp estaacute simetricamente abaixo ateacute O valor de a igua1 a 075

Quando o paracircmetro de controle a atinge O~75 as trajetoacuterias do mapa sofrem

uma mudanccedila de oomportamento Nesse caso a partir deste valor do paracircmetro de

controle a oacuterbita oscila entre dois valores de x

X f(xf ) (270)

Xf4 fx) (27b)

I

x

2 2

1 1

bullbull

i

o 1lt gtrc zA

-1 I i--=

1

o

-1

t t Xp __

J

Xp l-shy

~t i~

tr~

-2+ordf b ~

-2 00 05 10 15 00 05 a 10 15 a

Figura 22 (a) Detalhe do diagrama de bifurcaccedilamps do mapa quadraacutetico a linha tracejada representa o poacutento

fum instaacutevel da bifurcaccedilatildeo selallOacute (b) Bacia de atraccedilatildeo mostrando a estabilidade de algumas regiotildees

mostradas em (al neste graacutefico as linhas vermelhas representam os pontos fixos instaacuteveis enquanto que as

- linhas pretaS os pontos fixos estaacuteveis Podemos emnparar a troca de estabilidade de xp mGSlrado em (b) para

a 075 oom o diagrnma mostrado cm (u) assim como- o mesmo tipo de troca para xp c xp pata a = 125

(linha pontilhada)

1

____________________________________ 102 Aspectos Teoacutericos

Para compreendermos o que ocorre agora utiacutelizando os criteacuterios de estabilidade

(26) e para calcular os novos pontos fixos temos que recorrer a uma composiccedilatildeo do

mapa com ele mesmo da seguinte forma

g(x) =f(f(x)) =x - 2ax + - a (28)

que possui quatro pontos fixos sendo dois deles os pontos fixos das equaccedilotildees 27(a)shy

(b) agora ambos instaacuteveis e dois outros estaacuteveis dados por

x =l+ll+4(a-I)2 (29)

x =l-[1+4(a-I)12 (29b)

Na Fig 22(a) vemos o diagrama de bifurcaccedilotildees no periacuteodo 2 e no graacutefico ao

lado (b) representamos as oacuterbitas jnstaacuteveis (ramos vermelhos) e os ramos estaacuteveis

(ramos pretos) As setas indicam a atraccedilatildeo ou a repulsatildeo dos pontos fixos Na Fig 22(a)

quando a=12S podemos notar que na sequumlecircnCIacutea de bifurcaccedilotildees aparece o periacuteodo 4

Quando estes quatro pontos fixos se tornam instaacuteveis um periacuteodo 8 aparece e o

processo de duplicaccedilatildeo de perfodo se repete indefinidamente para faixas de a cada vez

mais estreitas ateacute chegar no valor Umiacutete a = 140113bullbull que pode ser visto na Fig 23

A partir deste valor do paracircmetro de controle os pontos no mapa visitam bandas

perioacutedicas que se alargam e se sobrepotildeem aos pares diminuindo o nuacutemero de bandas

num processo chamado de bifurcaccedilatildeo reversa Nesta sobreposiccedilatildeo os valores de x

evoluem periodicamente com relaccedilatildeo agraves bandas mas de modo erraacutetico dentro de cada

uma delas e tal movimento eacute chamado de caoacutetico

No diagrama da Fig 23 apoacutes O encontro das duas bandas caoacuteticas

temos a ocorrecircncia de janelas perioacutedicas de periacuteodos iacutempares COm uma janela maior de

periacuteodo 3 (a l75) e outra menor de periacuteodo 5 relacionadas com bifurcaccedilotildees

tangentes A existecircncia do periacuteodo 3 eacute o principal argumento para se utiacutelizar um

teorema que estabelece a existecircncia de todos os outros periacuteodos maiores O Teorema de

Sharkovskii [Jackson 1995] nos daacute um esquema natildeo usual de ordenaccedilatildeo para os

nuacutemeros naturais tal que para cada nuacutemero natural n a exiacutestecircncia de um ponto de

penodo II implica na existecircncia de oacuterbitas perioacutedicas de todos os periacuteodos maiores na

ordenaccedilatildeo do que n Pelo teorema de Sharkovskii a existecircncia de uma oacuterbita de

periacuteodo 3 num mapa unidimensional natildeo-monotocircnico com apenas um maacuteximo impHca

na existecircncia de todos os periacuteodos_

2 Aspectos retiFicas __ ~___li

o teorema de Sharkoyskii explicitamente eacute [Jackson 1995J

Seja T o conjunto ordenado 3-oacuteltJ-lt lt23lt25-lt27lt lt213425-lt227-lt

-1Jlt4lt2-lt1 Seja lmiddot uma aplicaccedilatildeo suave do intervalo unitaacuterio nele mesmo tal que

f(O)=f( J)=0 que possui apenas um ponto critico Se m-lt1l relativo agrave ordem no conjunto

1 eftem a menor oacuterbita de periodo m entatildeo f tem uma oacuterbita de periacuteodo n

~----~--------------~~--~i BandIs atfaINas t PArimo Todosos perlodoo ~ bull 1 - - ~i I iacuteltJirrdnuirdon) I

Paf~S estlWeis Ilo(Mmenkl Caos penodos

l 2 __ I mi-pelloacutedlco rJlllllffls 3 bull

1

x O

-1

I Caos

I ~~-L-__~____~~~~plusmn==~~~~~~~~II

14 16 18 20

a

Figura 23 O comportumento dinacircmico geral do mupa quadraacutetico com a cascata de duplicaccedilotildees de periacuteodo (alt14) Pnrn a gt 140l1 ocorre Caos com a diminuiccedilatildeo das bandas atrativas Apoacutes ti janela de periacuteodo 3 temo tooos os periacuteodos como propotildee o teorema de SharkovskiL

l

12 2 Aspectos Teoacutericos

24 Dimensotildees

Um aspecto baacutesiacuteco de um atrator obtido a partir de um sistema dinacircmico eacute a sua

dimensatildeo pois O comportamento do sistema eacute caracterizado pejo atrator Apoacutes um

transiente alguns tipos de movimento desaparecem devido ao amortecimento e o

estado do sistema se aproxima de um atrator no qual o nuacutemero de variaacuteveis

independentes que detennjnam a dimensatildeo do atrator eacute reduzido consideravelmente

Os atratores podem ter a dimensatildeo de um ponto linha ou plano ou podem ser

extremamente complicados e frequumlentemente possuem estruturafractal [Alligood et al

1997] Podemos medir essafractalidade atraveacutes de dimensotildees generalizadas

Associamos a dimensatildeo de um objeto com o nuacutemero de vetores ortonormais que

podem ser sobrepostos ao objeto Embora seja muito importante esta associaccedilatildeo de

vetores nos restringe sempre a dimensotildees inteiras mas existem outros conceitos de

dimensatildeo entre eles a dimensatildeo de Hausdaif(Df ) [AlIigood et aI 1997] que eacute baseada

na ideacuteia de um comprimento caracteriacutestico R em um conjunto de N elementos

D =logN N_RDt (210)I JogR

A dimensatildeo de lnfonnaccedilatildeo (Di) [AUigood et ar 1997] leva em conta as

frequumlecircncias de visitaccedilatildeo relativas e por isto eacute mais interessante para slstemas fiacutesicos

Muitas outras definiccedilotildees de dimensatildeo existem mas para os objetivos deste trabalho

utilizaremos apenas as dimensotildees citadas anterlonnente e a dimensatildeo de Kaplan-Yorke

(DKy) [Argyris ct ai 1994]

Aleacutem disso a determinaccedilatildeo do valor de uma dimensatildeo a partir dos dados

experimentais de um processo dinacircmico indica qual eacute a dimensionalidade do espaccedilo de

fases do sistema dinacircmico matemaacutetico que deve ser usada para modelar o sistema

25 Expoentes de Lyapunov

Os sistemas caoacuteticos exibem sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais Esta afirmaccedilatildeo

tem sido utilizada para resumir uma das principais propriedades dos sistemas caoacuteticos

que pequenas diferenccedilas nas condiccedilotildees iniciais satildeo magnificadas devido agrave dinacircmica do 1

I

13 2 Aspectos TeoacuterirIJS

sistema de tal modo que em um tempo finito o sistema percorre estados totaJmente

diferentes A noccedilatildeo de sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais eacute feita de modo mais acurado

atraveacutes do expoente de Lyapunov amp[AHigood ef al 1997] Nonnalrnenre sistemas

contendo pelo menos um expoente de Lyapunov positivo satildeo considerados caoacuteticos Isto

significa que trajetoacuterias partindo de dois pontos muito proacuteximos natildeo importando quatildeo

pequena seja a distacircncia entre elas iratildeo evoluir de modo diferente e se afastaratildeo

exponencialmente uma da outra com o tempo

Podemos obter o expoente de Lyapunov maacuteximo [Wolf et aibull 1985] sem a

construccedilatildeo expliacutecita de um modelo para a seacuterie temporal Uma caracterizaccedilatildeo confiaacutevel

com expoente positivo exige que sejam garantidas a independecircncia dos paracircmetros de

imersatildeo e uma lei de crescimento exponenciaL

Existe tambeacutem o caacutelculo do espectro de expoentes de Lyapunov [Hegger e

Kantz 1999] onde o ingrediente essencial eacute a estimativa de Jacobianas locais ou seja

uma dinacircmica liacutencanzada que regula o crescimento das perturbnccedilocirces infinitesimais

Para uma melhor compreensatildeo dos sistemas dinacircmicos uma concHiaccedilatildeo entre

caracteriacutesticas relativas agraves meacutedias temporais e espaciais dos atratores foi feita atraveacutes da

teoria ergoacutedica [Argyris et aI 1994] Como o expoente de Lyapunov caracteriza a

dinacircmica do atrator atraveacutes de meacutedias temporais da divergecircncia ou convergecircncia de

uma vizinhanccedila com relaccedilatildeo a um ponto da oacuterbita o caacutelculo dos expoentes de

Lyapunov permite certas comparnccedilotildeei como a conjectura de Kaplan-Yorke [Argyris ct

al 1994] que estabelece que a dimensatildeo de Informaccedilatildeo deve coincidir com dimensatildeo

de Kaplan-Yorke DKy dada por

Lei ~Ik -- (211)

D Kf bull IEr+1

onde k eacute um inteiro maacuteximo tal que a soma dos k expoentes maacuteximos seja natildeo-negativa

e ti eacute uacute i- eacutesimo expoente de Lyapunov Tal conjectura foi verificada para uma boa parte

dos sistemas dinacircmicos dissipativos de baixa dimensacirco [Hegger e Kantz 1999]

2 Aiacuteipectos Teoacutericos 14

26 O mapa de Heacutenon

o mapa de Heacutenon eacute um mapa bidimensional do tipo

XH_I =l-ax+ Y1Igt (212)

Y-+l = bX1l

Os pontos fixos do mapa satildeo dois e podem ser obtidos por

x = [(b-I)plusmn~(1-b) +4a]2a ybx (213)

e para cada um desses pontos fixos temos dois autovalores associados Agrave

I Acirc =-axplusmn~(ax) +b (214)

desta forma com esses dois autovalores podemos estudar a estabilidade de cada ponto

I a=14 b=O31

bullbull 2

gt- ~oo

-04

middot10 -05 M M 10

x

Figura 24 Atrator de Heacutenon caoacutetico reconstruiacutedo nas variaacuteveis x~ e y para a=14 e b=O3

fixo como foi feito

para 0lt mapas

unidimensionais Um

atrator de Heacutenon

caoacutetico bem

conhecido eacute mostrado

na Fig 24 O

coeficiente a estaacute

relacionado com o

estiramento do mapa

e coeficiente b estaacute

relacionado com a

contraccedilatildeo da aacuterea do

mapa de Heacutenon e este

coeficiente eacute o

determinante da matrizjacobiana J do atrator de Heacutenon com o siacutenal negativo

- 2ax 11 deU = b q=-b (215)

1

15 2 ASlClOS TeoacuteriCC$

Na Fig 25 vemos as duas variaacuteveis do mapa nos graacuteficos de x liS a e y vs a~ onde

podemos notar a oontraccedilatildeo da variaacutevel y por b na Fig 25(b) em relaccedilatildeo agrave variatildevel que

aparece na Fig 25() onde temos tambeacutem os pontos fixosxJ2 da equaccedilatildeo (213)

(a)

gtlt

x

(b) J

~ Contraiacutedo pelo

1 fator b 1

04 06

a

Figura 25 Diagramas de blfunaccedilotildecs do atI3tor de Heacutenon para b=O3 em (a) a variaacutevel x e seus dois pontos lOO)S x na cor vente e xs na corverme1ba calculados pela equaccedilsecto (213) sobre a seacuterie e em (b) a variaacutevel y contraiacuteda pelo1ator b

Para o caso do diagrama de bifurcaccedilotildees da Fig 25 determinante de J eacute constante

e negativo det J = - 03 para todos os valores de a

Os expoentes de Lyapunov do mapa de Heacutenon 81 e amp1 estatildeo relacionados com a

matriz jaeobiana pela relaccedilatildeo de contraccedilatildeo [Argyris et ai 1994]

+lt ~ In Idet(J) I= In 03 ~ -12 (216)

Esta relaccedilatildeo representa as propriedade de estiramento Si e dobra E2 atuando

uniformemente Idet(J) I~ 03 dentro do espaccedilo de rases para estabelecer o atrator Para

a=lA e b=O)3 temostj ~ 042 eE1t -1~62 O valor SlgtO nos daacute um atrator caoacutetico

16 2 Aspectos Teoacutericos

27 Reduccedilatildeo de ruiacutedo

A filtragem de sinais obtidos a partir de sistemas natildeo~lineares exige o uso de

meacutetodos especiais [Hegger e Kantz 1999J jaacute que os filtros lineares podem interagir

desfavoravelmente com a estrutura natildeo-linear Sinais irregulares de fontes natildeo-lineares

exibem bandas de espectro realmente largas e natildeo existe justificativa para identificar

qualquer componente no espectro de frequumlecircncias como ruiacutedo Entretanto existem certas

dependecircnciacuteas geneacutericas entre as medidas x que criaratildeo vetores x para preencher o

espaccedilo de imersatildeo d~diacutemensionaJ de um modo natildeo homogecircneo Meacutetodos de filtragem

linear procuram identificar as direccedilotildees principais da distribuiccedilatildeo no espaccedilo de fases e

fazer projeccedilotildees sobre elas A reduccedilatildeo de ruiacutedo natildeo-linear leva em conta que sinais natildeo~

lineares formaratildeo estruturas curvas no mapa de retomo A principal suposiccedilatildeo do

algoritmo utilizado eacute que ele deve ser aplicado para sistemas de baixa dimensatildeo (D-3)

28 Espectro de Fourier

Outro criteacuterio para se analisar seacuteries temporais eacute atraveacutes da decomposiccedilatildeo da

seacuterie numa integral de Fourier [Argyds et aI 1994] Considerando um sinaljfO a

expressatildeo pode ser expressa na forma

+shy

(1)=_1 JF(fraquo)edW (217)2

onde

~

F(w) = Jf(t)e-iMdt (218)- eacute definida como a transfonnada de Fourier do sinal f(t)

O espectro de potecircncia P(m) do sinal eacute dado a partir de F(m)

P(m)= IF(m) I = F(m)P(m) (219)

COm fgt(m) sendo o complexo conjugado de F( (O)bull

17

1

Xj 10

1deg1 -I Igt1J 00 0$ IC

2 Aspectos T~6ricos

logo -shy

1() I P(

j 14J

X Q)

Figura 26 _(a) Periacuteodo 4 do mapa de Heacutenon e em (A) o seu espectro de potecircncias (b) atrator de Heacutenon lUl regiatildeo caoacutetica e em (B) seu respectivo espectro de potecircncias moslIatldo uma banda larga

Na Fjg 26 temos dois atratores obtidos a partir do mapa de Heacutenon em (a) o

comportamento de periacuteodo 4 e em (A) o espectro que nos mostra o comportamento

perioacutedico com os dois picos indicando uma duplicaccedilatildeo de periacuteodo caracteriacutestica do

atrator de Heacutenon Para os paracircmetros a=155 e b=Ol temos um atrator de Heacutenon no

regime caoacutetico em (b) e seu espectro de banda larga em (B)

Frequumlentemente atratores caoacuteticos apresentam banda larga por isso este eacute um

meacutetodo muito comum na identificaccedilatildeo do comportamento caoacutetico Aleacutem disso a anaacutelise

da evoluccedilatildeo dos sistemas dinacircmicos atraveacutes de seus espectros pennite definir a rota

[Argyris eJ ai 1994] que leva o sistema ao Caos poiacutes a evoluccedilatildeo das dupHcaccedilotildees de

periacuteodo vista no mapa quadraacutetico e que tambeacutem acontece no mapa de Heacutenon eacute apenas

uma dessas rotas Na proacutexima seccedilatildeo veremos um outro mapa que nos mostra esta e

outras rotas para o Caos

18

I I I

Capiacutetulo2 Aspectos Teoacutericos

29 O Mapa do Ciacuterculo

o mapa do CIacuterculo modela a interaccedilatildeo entre um oscilador IImestre quando aplicado

a um segundo oscilador natildeo-linear [Argyris et aI 1994 Jackson 1995J A dinacircmica eacute

governada por dois paracircmetros de controle a razatildeo entre as frequumlecircncias dos osciladores

desacoplados n e a intensidade de acoplamento K

K e +1 == BII +Q--sen2nBn +brn (mod I) n 2 (220)K

rn+l brn - 20 sen 2nBn middot

Aqui 01 eacute o acircngulo de um rotor riacutegido logo apoacutes o eneacutesirno impulso e rn eacute proporcional agrave

velocidade angular deste rotor sujeito a um impuiso externo do oscilador mestre e b estaacute

relacionado com o amortecimento

00 05 15K

~iacutegura 27 Diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo para b=Ol e =0725

01

-01

19 Capiacutetulo2 Aspectos Te6ricos

Na figura 27 podemos ver a seacuterie temporal do mapa do ciacuterculo Este tipo de mapa

nos daacute outro tipo de rota para o caos denominada de rota para o caos via quaseshy

periotlicidade Temos basicamente o aumento do raio de um ciclo limite quase-perioacutedico

intercalados com travamentos de frequumlecircncia e comportamento ca6tico

Para sistemas altamente diacutessipativos o termo b se anula e o mapa pode ser estudado

na forma puramente angular

K 0M =0 +0- 2JI seo(27l0) (221)

Um conceito importante para a anaacutelise do mapa do ciacuterculo que foi introduzido por Poincareacute

[Argyris el ai 1994 Alligood aI 1997] eacute nuacutemero de rotaccedilatildeo W

() - ()oW(KO) = lim n (222)

n~iOO n

que eacute a meacutedia da rotaccedilatildeo do oscilador forccedilado por ciclo

As propriedades de estabilidade para valores de Kltl para a equaccedilatildeo (221) seguem

a partir da teoria de estabilidade liacutenear para mapas como foi feito para o mapa quadraacutetJco

d~f(eo 10 =11- K cos(27lB)I (223)

que eacute menor do que um se fi lt114 e eacute maior do que 1 se 0gt114 ou se 8gt314 Para um ponto

fixo estaacutevel Os temos

lim~=es=gtw=o (221) nshy

Substituindo na equaccedilatildeo 221 obtemos a relaccedilatildeo entre K e n dada por

Q=+K (222)- 2JI

Estas relaccedilatildeo entre K e Q nos daacute o espaccedilo de paracircmetros do mapa do ciacuterculo onde podemos

ver para quais valores podem ocorrer a sincronizaccedilatildeo do oscilador forccedilado conhecida como

liacutengua de Arnold [Bai-lin 1989 para o nuacutemero de rotaccedilacirco W=OII

Na figura 28(a) temos o mapa de primeira iteraccedilatildeo da funccedilatildeo senoida1 do mapa do

ciacuterculo na regiatildeo onde ocorre uma bifurcaccedilatildeo do tipo sela-noacute Para um valor fixo de K entre

Oe 1 trecircs valores de Q foram escolhidos ParaQ gt nKtgt o ponto fixo alnda natildeo existe Para

Q = QICcedilo a funccedilatildeo tangencia a bissetriz e um ponto fixo aparece Diminuindo aiacutenda mais o

valor de Q o ponto fIXO se divide em dois um estaacutevel e outro instaacutevel situaccedilatildeo

20 CapiacuteUlo2Aspec~os Te6ricos

caractenstica de uma bifurcaccedilatildeo sela~n6 A figura 28(b) daacute o diagrama de bifurcaccedilatildeo para

W=Ol para os valores positivos de n da equaccedilatildeo 225

13) i 7 1

08 ~ a

(a)

n~ K=Ko

(b)

n~o n~

on KH

cri 06 ~- I

04 ordm -H bull

02 fi =+K12ffshy

00 )J j

00 e 05 10 00 n e

Figuro 28 (a) vraacuteficos do mapn do ciacuterculo em funccedilatildeo do paracircmetro Q na regiatildeo do ponto de bifurcaccedilatildeo elun6 Em (b) a representaccedilatildeo no espaccedilo de pnnimetros da liacutengua de Arnold correspondente a W=OJ que ocorre para valores de Ll menores que LlKII bull

Para diferentes valores de W quando Klt1 gt ocorrem outras regiotildees de travamento

de frequumlecircncias sem ocorrer sobreposiccedilatildeo entre elas como estaacute apresentado na Fig 29 que

mostra os limites de estabilidade dos domiacutenios perioacutedicos no plano (Kn) para alguns

nlIacutemeros de rotaccedilatildeo Para as regiotildees onde ocorrem a sincronizaccedilatildeo das frequumlecircncias entre os

dois osciladores o nuacutemero de rotaccedilatildeo

W eacute um nuacutemero racional pq Deste

modo para cada valor racional do eixo

0 uma janela perioacutedica surge e se

expaIlde quando aumentamos o valor

de K Com o aumento da natildeoshy

linearidade atraveacutes do paracircmetro K a

sincronizaccedilatildeo das frequumlecircncias a se

tornam mais dominantes

ir

v I I I 1 ~ li 1 raquo1lD J

Figura 29 Diagrama das Liacutenguas de Arnold para o mapa do Ciacuterculo

21 2 Aspecto Teoacutericos

Para valores de Kgt I ~ as liacutenguas de Arnold passam a se sobrepor~ e o nuacutemero de

rotaccedilatildeo natildeo eacute mais unicamente determinado~ mas trocado por um intervalo de rotaccedilatildeo

[WJbull Wl] e este embaraJhamento torna o comportamento aperioacutedico

Para mostrar algumas das caracteristicas gerais do mapa no ciacuterculo~ utilizaremos

o conceito de expoente de Lyapunov Lyapunov estudou urna vizinhanccedila abstrata x

de uma trajetoacuteria x com N pontos com o objetivo de verificar se estes pontos se

afastavam ou convergiam para a trajetoacuteria Tomando uma trajetoacuteria infinita e uma

vizinhanccedila tatildeo pequena quanto se possa imaginar ele associou um expoente que

caracteriza se a trajetoacuteria eacute perioacutedica indiferente ou caoacutetica Para o mapa do clrcuio na

sua fonna angular da equaccedilatildeo (221) com n = 025 o expoente foi calculado

numericamente com a expressatildeo

1 H-I

B = N ~ Inll-K cos(28 lI (226)

que estaacute representado na Fig 210(a) e seu respectivo diagrama de bifurcaccedilotildees na Fig

21 O(b) Inicialmente os expoentes satildeo ligeiramente negativos da ordem de _10-6~ ateacute o

valor de K=l onde divergem pare menos infinito Oacuterbitas com expoentes deste tipo

divergindo para menos infinito satildeo conhecidas como oacuterhitas super~estaacuteveis Ao

teacutennino desta janel~ o sistema jaacute possui comportamento caoacutetico e esta rota para o Caos

eacute classificada de rota via quase-periodicidade [Bai-lin 1989 Argyrls et al~ 1994

Jackson 1995 Alligood el ai 1997J onde os expoentes de Lyapunov positivos natildeo

ultrapassam o valor de O~3 Aumentando K o sistema trava em um periacuteodo l~ e inicia

outra rota para o Caos a rota via duplicaccedilotildees de periacuteodo ou rota de Feigenbaum jaacute

discutida para O caso do mapa quadraacutetico na qual os expoentes se anulam nos pontos

onde ocorrem as bifurcaccedilotilde~ neste caso temos o comportamento indiferente Para

K34 o sistema experimenta um alargamento abrupto do atrator e este alargamento eacute

classificado como uma crise Apoacutes a crise os expoentes de Lyapunov maacuteximos param

de crescer e tecircm valores na faixa entre O~7 e 093 Quando K atinge aproximadamente

4~7 o sistema volta a sofrer um travamento de frequumlecircncia em periacuteodo 1

Do mesmo modo que o atrator de Heacutenon o mapa do ciacuterculo bidiacutemensional da

equaccedilatildeo (220) contrai o espaccedilo de fases uniformemente como podemos ver atravoacutes do

detenninante da matriz jacobiana do mapa

09 rgt o

[lshy 03

~oo I c 03 O1~~1 I1middot1 q q nq fqll ir nnqlq qll

Lshy________~ ~

-

2 ApcJos Teoacutericos 22

o 1 2 K 3 4 5

Figura 210 (a) Expoentes de Lyapunov do mapa do circulo coro n =025 Em (b) o diagrama de bifurcaccedilotildees para o mesmo mapa Podemos obter a sequumlecircncia de duas rotas para o Caos com este sistema dinacircmico li rota de quaseperiodicidade e a rota de duplicaccedilotildees de periacuteodo

1- K cos2nJ ~ (227)detJ=I_KCOs2JfJ bl=b

i

Os pontos fixos r e (IIilt de periacuteodo 1 logo apoacutes a regiatildeo quase-peri6dica para

Kgt155 da Fig 27 satildeo dados por 1 r= -fl(mod I) se fl(modI) lt 05 ou r= I-fl(mod I) se fl(modI) gt 05

(228)I [2JlT 1f) = 2r areseo K(b - 1)_

assim podemos detenninar o ponto onde ocorre a primeira bifurcaccedilatildeo do tipo flip

usando os criteacuterios de estabilidade para a seguinte equaccedilatildeo caracteriacutestica

l-Keos2rf)-Agrave b J =0 (229)

-Kcos2Jff) b-Agrave

que nos dagrave dois autovalores para cada ponto fixo Para () ponto fixo r os autovalores

valem explicitamente

23 2 AspecQS1cocircricO$

-K cos2nL~arcsef (b-l))]+I+b - -plusmn- 2

(230)

+IKCOS27t[~arcsen(T(b-I))]+I+br -4b 2

como r eacute calculado pela equaccedilatildeo (228) para os pontos fixos a bifurcaccedilatildeo flip ocorreraacute

quando um dos valores de Acirc alcanccedila o valor -I

Para valores da constante b proacuteximos de zero deve ser feita urna correccedilatildeo em

primeira aproximaccedilatildeo nos valores das liacutenguas de Arnold Pata as Hnguas

correspondentes ao travamento de frequumlecircncias de periacuteodo 1 como a equaccedilatildeo (225) as

liacutenguas podem ser calculadas atraveacutes de

K (231)n= 21r(1- b)

o mapa do circulo eacute um sistema dinacircmico que parte de um sistema fisiacuteco bem

definido [Argyris cf ai 1994) que apresenta um comportamento muito rico com

relaccedilatildeo aos elementos da Teoria do Caos

Aleacutem do comportamento individual dos mapas vistos anterionnente~ como o

mapa quadraacutetico o mapa de Heacutenon e o mapa do cIacuterculo~ tambeacutem eacute desenvolvida a

pesquisa na aacuterea de sistemas dinacircmicos espaccedilo-temporais [Kaneko 1992 Vian~ 2000]

atraveacutes do acoplamento destes mapas fonnando uma rede Com estes estudos pretendeshy

se explicar rotas tiacutepicas para turbulecircncia1 como por exempJo a sequumlecircncia obtida com o

acoplamento de mapas quadraacuteticos duplicaccedilotildees de penado formaccedilatildeo de padrotildees

aleatoacuterios na rede de mapas seleccedilatildeo de alguns destes padrotildeesgt intermitecircncia espaccediloshy

temporal e no final observa-se turbulecircncia plenamente desenvolvida Um exemplo de

modelo de fluxo de um fluido usando mapas acoplados eacute dado por WilIeboordse

[Wiacutelleboordse 1992)

24 2 Aspectos Teoacutericos

210 Transformaccedilatildeo de ponto fixo

Para extrair as oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis (OPl) imersas em um atrator com uma

quantidade finita de dados ruidosos de um sIacutestema unidimensional~ So e colaboradores

[So el ai 1996] fizeram a suposiyatildeo de que todos os ponto que estatildeo em uma regiatildeo ao

redor do ponto fixo xf(x) podem ser transfonnados para (x) na vizinhanccedila de x A

funccedilatildeo densidade p(x) possui singularidades do tipo inverso da raiacutez quadrada nos

pontos fixos e um histograma para pX) teraacute um pico definido em x= x Alguns

picos espuacuterios podem aparecer em fi(x) tanto devido agrave singularidades natildeo relacionadas

aos pontos fixos quanto a zeros da derivada da funccedilatildeo detranformaccedilatildeo x=g(xk)

Os autores generalizaram este meacutetodo para um sistema com dimensatildeo de imersatildeo d para

obter as oacuterbitas perioacutediacutecas instaacuteveis atraveacutes da transformaccedilatildeo

i = (l-Srl(z~I-Snz) (232)

onde

I (d-I) ) _ ( aoo a I _ IIs - O +kRllz_1 Zn (233) 1

1

aI -1 (Zl _Z)t(z - Z )t l it -bull

(234)=

I)ta (Z_(d_l) - Z_d)t (Zn_(d_l) - Zitlaquod_lj bull

e os vetores z) foram reconstruidos a partir da seacuterie temporal x)

( I ) ( ) (235)z = zlpznzll~)z xnJx_x_z~-x_4_t

R eacute uma matriz aleatoacuteria d x d no intervalo [-l~1J e k estaacute relacionado com a

intensidade da geraccedilatildeo de nuacutemeros aietoacuterios Os pontos fixos satildeo dados por posiccedilotildees

dos picos de p(X) Como a localizaccedilatildeo dos picos espuacuterios dependem do paracircmetro k

eles satildeo eliminados levando em conta a meacutedia (PCz)) para vaacuterios valores tornados

aleatoriamente

Um ponto fixo instaacutevel do atralor do mapa do circulo com Q=O eacute o ponto (O O)

mostrado na Fig 211(a) que foi determinado com este algoritmo~ como estaacute mostrado

na Fig 2II(b) Outras aplicaccedilotildees desta teacutecnica podem ser encontradas no exparimento

da torneira gotejante [pinto 1999] para se mostrar a existecircncia de oacuterbitas homocliacutenicas

25 2 Aspectos Teoacutericos

OB~ (a) I IV +

~~ 1 00 bullbullbull-

bullbullbull ~ bullo n ltgt04 I

~bull I ~ ~ 00 Obullbull obull

r

Figura 2]] Atrator caoacutetico simeacutetrico em (a) do mapa bidimensional do ciacuterculo que possui um ponto de sela na origem Em (b) a oacuterbita- perioacutedica instaacutevel foi obtida munericamente utilizando-se o meacutetodo de detecccedilatildeo de oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis de So et ai

Como a reconstruccedilatildeo dos atratores em espaccedilos de imersatildeo bidimensionais eacute

suficiente noacutes aplicamos esta teacutecnica para d=2 com 05 e 1000 matrizes aleatoacuterias

Mais informaccedilotildees sobre este meacutetodo pode ser encontradas tambeacutem no trabalho de

Schemelcher e Diakonos [Schemelcher e Diakonos 1998]

211 Plano simboacutelico

A obtenccedilatildeo de planos simboacutelicos para a construccedilatildeo de maacutequinas topoloacutegicas

miacutenimas no experimento da torneira gotejante foi feita por Gonccedilalves [Gonccedilalves

1996] no experimento da torneira gotejante No experimento do tubo borbulhador a

geraccedilatildeo de planos simboacutelicos foi utilizada principalmente para se comparar modelos

com os dados experimentais

Para estudarmos o plano simboacutelico particionamos um atrator em duas regiotildees da

Fig 212 (L e R) e atribuiacutemos o valor I(ou -I) quando o sistema visita L (ou R)

obtendo um vetor sm bull S2SSSS2SmbullDeste modo um plano simboacutelico ap

caracteriacutestico de um atrator eacute definido atraveacutes do caacutelculo de a e f3 como

262 A2lcctos Teoacutericas

~

et=LfJi Z- i (236)

11

onde Pt eacute um valor binaacuterio

O +If p= lSC(-l)nSj_l (237)

I

e

~

p~ UZfL f (238)

onde VI eacute o valor binaacuterio

O -Itj = se D= l (239)

1 )tl +

N Fig 212 exemplificamos a obtenccedilatildeo do plano simboacutelico (b) par o atrator do

mapa do ciacuterculo bidimensional (a)~ com suas respectivas particcedilotildees L e R O paracircmetro b

eacute igual a 01 As regiotildees em branco no plano simboacutelico satildeo chamadas de regiotildees

proibidas

0 R (a)l (b) t08

~ I 00

O

1~ ll 06 + CUc

t - shy 04 bull ~ ~ ~ i li 1~ 1 ~~

- ~3~ bullbull l ~l f02-04

00 l- I -~----~

(j4 00 04 00 02 04 06 08 10 f an

Figura 212 (a) O atrator do mapa do circulo reconstruido com o mapa de primeiro retomo na variaacutevel r e sua particcedilatildeo e em (b) seu respectivo plano simboacutelico

I

27

3 A1(lrIUO xJrimclltal

3 Aparato experimental

Neste capiacutetulo descrevemos os aparatos do tubo borbulhado[ e da torneira

gotejante Tanto o experimento do tubo borbulhador assim como o experimento da

torneira gotejante foram inteiramente desenvolvidos no LFNL-USP Algumas das

princiacutepais atividades experimentais deste trabalho foram o desenvolvimento e

construccedilatildeo do tubo borbulhador a aquisiccedilatildeo e fi anaacutelise dos dados

31 O tubo borbulbador

Na Fig 31 ternos a representaccedilatildeo esquemaacutetica do aparato do experimento do

tubo borbulhador que consiste de um tubo acrflico transparente com uma tampa

(superior) e uma base de PVC onde estaacute conectada urna seringa hipodeacutermica pela qual

eacute soprado ar numa soluccedilatildeo de aacutegua com glicerina Dentro deste tubo ocorre a formaccedilatildeo

de bolhas que satildeo estudadas neste trabalho O experimento pode ser dividido em quatro

partes principais o tubo borbulhudor o circuito pneumaacutetico o sistema de aquisiccedilatildeo e o

sistema sonOrO

[ [ Alto-J ~ 1

falllnleGerador do Amplificador--= Funccedilotildees~I~ -l

Tubo

O

01 cJ

tasagraverCLp

controlador

Compressor Aesetvatoacuterio

Medidor de wllatildeo e vaacutelvulu d$ controla

Figura 31 Diagrama geral do aparato cKperimCfj(ul do tubo) borbulhador

28 3 Aparal0lerimental

Na Fig 32 podemos ver o tubo borbulbador que foi construido com tubo de

acriacutelico transparente de diacircmetro interno de 105 em e 10 em de altura Na base estatildeo

lixados o bico borbulhador e um termopar para monitorar a temperatura do liquido A

entrada e saiacuteda do liacutequido ocorrem atraveacutes de duas vaacutelvulas do tipo esfera

Clflp- drenagem

I ~ r

Sensorde I I j BiooOOrbulhid()l tempcrmlIU i t-l )~

FlgUla 32 O tubo borbulhador suportes o bico injetor sensor de tempemum e vaacutelvulas de drenagem e preenchimento do liquido

Este arranjo permite o

preenchimento do tubo e o seu

esvaziamento atraveacutes das

vaacutelvulas nas laterais da base

Todo o conjunto eacute preso ao

suporte atraveacutes de quatro

parafusos na base e quatro

parafusos na tampa Um

sistema de iluminaccedilatildeo

constituiacutedo de uma lacircmpada

fluorescente e uma placa

difusora de luz foi colocada

atraacutes do tubo borbulbador para

obtermos imagens das bolhas

utilizando uma cacircmara de

videoVHS

O tubo estaacute montado em uma bancada sobre quatro blocos de espuma para

amortecer vibraccedilotildees externas

32 Sistema de aquisiccedilatildeo

O sistema de detecccedilatildeo consiste de um laser He-Ne e um fotodiodo Quando uma

bolha atravessa o feiacutexe laser induz no fotodiodo um sinal anatocircgico e um pulso eacute

enviado a uma placa contadora de tempo inserida em um microcomputador O iniacutecio e o

fim do desvio do feixe laser induzidos peja passagem de uma bolha criam o sina] de

entrada da placa atraveacutes de pulsos de tensatildeo TIL gerados pelo futodiacuteodo Na Fig 33

temos o graacutefico que mostra o sinal ot devido a passagem de uma bolha e o sinal tn

relativo ao tempo entre bolhas Assim um par de dados constituiacutedo do tempo entre as

bolhas e o tempo de passagem da bolba eacute coletado pelo computador O intervalo de

tempo total entre a flNeacutesima e a (n+l)-eacutesiacutema gota eacute To que eacute a soma destes dos dois

intervaJos de tempo

29 3 Aparato experimental

T fltt t1I

Claro

SI 5

v (volts)

o

t ~-- I

J escuro~

tempo

Figura 33 Sinal gerado pelo fotodiacuteodo e induzido na placa contadora de tempO pela passagem das bolhas que desviam o feixe laser O feixe estaacute posicionado -5 rum acima cb extremidade do bico soprador

o sinal de vazatildeo obtido pelo medidor de vazatildeo eacute convertido em um sinal

proporcional de tensatildeo em milivolts e digitilizado em um osciloscoacutepio digital Tektronix

depois eacute transferido para o computador atraveacutes de uma interface General Purpose

Interface Board (GPffi)

33 Medidor de vazatildeo

o medidor de vazatildeo utilizado o modelo GFM47 fabricado pela AALBORG

lnstruments amp Contrais Neste equipamento o fluxo do ar entra em um transdutor de

vazatildeo e dentro dele uma pequena parte do fluxo do ar eacute separada por um sensor do tipo

tuho capilar de accedilo inoxidatildeveJ O restante do ar flui atraveacutes de um condutor de fluxo

primaacuterio A geometria do tubo primaacuterio e do tubo sensor foi projetada de modo a

garantir um fluxo laminar em cada ramo De acordo com os princiacutepios da

Fluidodinacircmica as vazotildees do ar nos dois condutores satildeo proporcionais entre si Deste

modo a vazatildeo medida no tubo sensor eacute diretamente proporcional atilde vazatildeo total atraveacutes

do transdutor

Para obter a vazatildeo no tubo SensoT eacute fcito um aquecimento do fluxo em duas

partes do tubo senSQr atraveacutes de resistecircncias sensoras de precisatildeo O calor eacute transferido

atraveacutes de uma parede fina para o ar O ar aquecido eacute levado pelo fluxo desde um

aquecedor agrave jusante ateacute um aquecedor agrave montante do tubo sensor O sinal eleacutetrico de

uma resistecircncia dependente de temperatura diferencial eacute detectada atraveacutes de um

circuito eletrocircnico de controle O gradiente de temperatura medido no sensor eacute

linearmente proporciona agrave vazatildeo atraveacutes do sensor

30 3 Apara1o experimental

o valor da vazatildeo eacute mostrado diretamente em um indicador digital e

simultaneamente em dois sinais eleacutetricos um de tensatildeo proporcional ao valor da vazatildeo

entre Oe 5 V e outro de corrente proporcional agrave vazatildeo entre 4 e 20 mA

34 Controlador de vazatildeo

o controlador de vazatildeo eacute da marca BTC modelo BTC-2220 e eacute um controlador

do tipo proporcional iacutentegral e diferencial (PID) Ele recebe o sinal de corrente do

medidor de vazatildeo (4-20 mA) com moacutedulo de saiacuteda linear (OM92-3) com a tensatildeo de

saiacuteda variando entre Oe 10 V com uma impedacircncia de saiacuteda de 500 ill Devido agrave alta

impedacircncia de saida um circuito amplificador de corrente foi adaptado na saiacuteda do

controlador para que ele pudesse enviar O sinal de controle para a vaacutelvula solenoacutejd~

como estaacute mostrado na Fig 34

2n3055

10 V I max 05 A I reg 200 nF Vaacutelvula

reg SolenoacuteideTSaldado ~

cornroradE ]200 nF -0 -

Figura 3A o Circuito que amplifica o sinal do controlador para a vaacutelvula

o controlador possui dois modos de operaccedilatildeo No primeiro modo ele manteacutem

uma vazatildeo fixa preestabelecida No segundo modo~ o controlador aumenta ou diminui a

vazatildeo linearmente entre dois valores distintos com uma velocidade preestabelecida pelo

usuaacuterio

31 $ Aparato eqerimental

35 Vaacutelvula solenoacuteide proporcional

o fabricante da vaacutelvula utilizada no experimento do tubo borbulhador eacute

MLBORG Instnnnenls amp Controls e o seu modelo eacute o PSV-5 Basicamente a vaacutelvula eacute

uma bobina que posiciona o atuador da vaacutelwla de modo contiacutenuo variando a vazatildeo

suavemente A vaacutelvula solenoacuteide proporcional foi projetada para responder a um sinal

de tensatildeo contiacutenua de entrada entre O e 30 volts para regular proporcionalmente ao

sinal de tensatildeo o fluxo de liquidos e gases Por medida de seguranccedila as vaacutelvulas satildeo

normalmente fechadas quando desernegizadas Na Fiacuteg 34 temos um diagrama desta

vaacutelvula

Devido agrave corrente na bobina da vaacutelvula O corpo da mesma sofre um pequeno

aquecimento que eacute dissipado por metas de alumiacutenio colocadas na vaacutelwla

Vaacutelvula Solenoacuteide Proporcional

f--I PSV5 AALBORGmiddot I

u-i J

conectores de 14m_Figura 35 Diagrama as ltlimensotildees carncteristicas da vaacutelvula de controle PSV5 da AALBORG

32 3 Aparato Experimental

36 O bico borbulhador

Na Fig 36 vemos o conjunto de agu1has e o cilindro de uma seringa

hipodeacutennica que furam utilizados CQmo bicos sopradores no experimento do tubo

borbulhador As bolhas satildeo formadas diacuteretamente no cilindro da seringa ou nas agulhas

hipodennieas que satildeo colocadas na seringa que estaacute ligada ao sistema de alimentaccedilatildeo de

ar

Figura 36 Bicos sopradores utilizados no eJ-perimento do tubo boIbulbador

Na tabela 31 temos as dimensotildees dos bicos mostrados na Fig 36 Para

verificarmos os efeitos do comprimento das agulhas utilizamos agulhas com o mesmo

diacircmetro mas que foram cortadas em comprimentos diferentes com uma serra

diamante como para as agulhas do grupo A e B A seringa e algumas agulhas possuem

dois valores na coluna relacionada com o dlacircmetro~ O primeiro valor corresponde ao

33 3 AparOfO Experimental

Bico Diacircmetro (mm) I Comprimento(mm) Internoexterno

Sltlrin PlaacuteStica I 08113 2 AI

A2 072128 0721l2amp

2 246

A3 072128 377

BI 072 2 B2 072 145 83 072 102

B4 072 51 CI 05 2

Tabela 31 Dimensotildees da seringa e das agulhas utilizadas como rocos sopradores no experimento do tubo boIbulhador

diacircmetro interno e o segundo valor estacirc relacionado com o diacircmetro externo Para as

demais agulhas temos apenas um valor corresponde apenas ao ctiacircmetro externo

37 O sistema pnenmaacutetico

o objetivo do sistema pneumaacutetico eacute fornecer o ar numa vazatildeo estabilizada para

ser soprado no liquido viscoso O ar eacute comprimido por um compressor com um

reservatoacuterio de 75 litros no qual um pressostato foi calibrado para manter o ar na faixa

de pressatildeo entre 70 e 100 psi (libra por polegada quadrada) A pressatildeo do ar eacute reduzida

para 60 psi em um segundo reservatoacuterio de 200 litros~ atravecircs de uma vacirclvula

reguladora de pressatildeo Uma segunda reguladora proacutexima do bico soprador reduz a

pressatildeo do ar para 10 psi e a vazatildeo eacute controlada pelo conjunta controlador fonnado

pelo medidor de vazatildeo~ controlador e vaacutelvula solenoacuteide Deste modo urna vazatildeo estaacutevel

chega atocirc o bico borbulhador

38 O sistema sonoro

A onda sonora eacute gerada no topo do tubo por um alto-falante de bobina moacutevel O

sinal eleacutetrico para o alto-falante eacute gerado num gerador de funccedilotildees Tektronix modelo

AFG 320 e amplificado em um amplificador de aacuteudio Nwa O gerador de funccedilotildees

34 3 Aparato Experimental

possui uma placa GPIB que permite o controle de todas as suas funccedilotildees atraveacutes do

microcomputador

A equaccedilatildeo de onda [Fletcher e Rossing 1991] dentro do tubo em coordenadas

ciliacutendricas eacute

L~(rq) +2-(OP~ + 8p __1 8p r1 (31 )ratilde a- ocircqz) fk2 - v atilde 1

onde p eacute a onda de pressatildeo na direccedilatildeo x e Vs eacute a velocidade do som no ar A soluccedilatildeo

desta equaccedilatildeo eacute

p(rfPx) = P (mfP)JJ1laquoIr) exp[iacute(-kx +ml)] (32) a

onde Jmeacute uma funccedilatildeo de Bessel e qmn eacute definido pela condiccedilatildeo de contorno ocircplocircr=O e r

= a (a li O raio do tubo) tal que a derivada Jm(7rqmn) eacute zero Se considerarmos em

primeira aproximaccedilatildeo o tubo borbulhador como um tubo com uma extremidade

v bull =3v v =5v v~ 41 3 4L 5 41

Agrave =41 ~= Agrave ~j-I1

TIA

I 1 I

JII N

jL 5 5

AI ~A

A

N N

Figuraacute 37 Os trecircs primeiros modos de um tubo com uma extremidade fechada

fechada podemos

estimar a frequumlecircncia de

urna onda em seu

interior Uma

propriedade geral de

ondas sonoras

confinadas em tubos eacute

que os valores de

amplitude maacutexima

ocorrem em valores

discretos da frequumlecircncia

da onda Na Fig 37

3 Aparato Experimental 35

podemos ver os trecircs primeiros modos de um tubo com a extremidade inferior fechada

A distacircncia do centro do tubo agraves linhas finas desenhadas dentro deste representa

a amplitude de deslocamento da onda em cada ponto N e A designam as posiccedilotildees dos

nodos e antinodos de deslocamento As frequumlecircncias VII de ressonacircncia do tubo satildeo dadas

por

v v =(2k + 1)- (33) 41 ~

onde I ecirc o comprimento do tubo e k = OJ23~ o que nos fornece apenas os 1

harmocircnicos iacutempares

O (a) AJllm

134

(d)

_-_ -__ I

I AIMcm~

M o~

H -8

00 Microfone015

ro (b) -= ~

j~

~ --~

-- AJm00

o (C) I

JI~m(JQegtn

L- m

Ia bull ~ d 1

1l _ _~ Ooo~ J

ftequumlecircnda da onda HZl

Figura 38 Resposta do microfone laquoJl0cad0 atilde uma distacircncia Alm dentro do ruoo borbulhador na sua parte superior para wna onda SOOOIa senoidal gerada pelo alto-falante Em (a) o microfone foi colocado a 2 em da superfieie do liacutequido (b) 34 em e (c) 60 em Em (d) vemos um cliagrarna que mostra a distacircncia Alm

36 3 AparaJ() Experimental

Foi verificada a frequumlecircncia de ressonacircncia do tubo borbulhador~ obtendo um

sinal proporcional ao deslocamento da onda sonora colocando um microfone dentro do

tubo A distacircnciacutea entre o microfone e a superfiacutecie do liacutequido eacute Alm O sinal obtido pelo

microfone) colocado em trecircs alturas distintas dentro do tubo borbulhador estaacute mostrado

na Fig 38 onde temos os valores obtidos para as alturas de 2 em 34 em e 60 em em

relaccedilatildeo ao niacutevel do liacutequido~ com um comprimento de coluna de ar total de 60 em

Variarulo a frequumlecircncia da onda entre 100amp e 160 Hz obteve-se que a frequumlecircncia de

ressonacircncia do tubo eacute de aproximadamente 134 Hz O sinal do microfone tem a mesma

furma que o sinal senoidal injetado no alto-falante

Depois de determinada a frequumlecircncia de ressonacircncia do tubo nas condiacuteccedilotildees do

paraacutegrafo anterior obtivemos o sinal do microfone colocado em vaacuterios pontos do tubo~

para os trecircs primeiros mnocircnicos 134gt 402 e 670 Hz como estaacute mostrado na Fiacuteg 39

de modo a verificar experimentalmente as posiccedilotildees dos nodos e antinodos de

deslocamento Na Fig 39 podemos ver que a tensatildeo natildeo se anula na origem portanto a

onda natildeo forma um nodo exatamente na superficie do liquido para os trecircs harmocircnicos

mas parte da onda refrata no liquido

08 bull - bullbullbullbullbullbull ~ 06 j freq 134Hz

o bull M ~c-o m 02 o ~

00 0-

gt 02 ~ c-~ o ~ 00

shyshy- _freq 402Hz ~~ ~

- - _ shy-

o

003 freq 670Hz -~ - 2 - ~

002 1 ~- -IHl ltshy bullbull 001bull bull ~

000 o O 30 0 50 60

Alm(cm)

Figura 39 Nados e antinodos deruro do tubo para OS trecircs primcitos harmocircnicos medidos em diferentes posiccedilotildees na parte de ar com as freqilecircncias de 134 Hz 402 Hz e 670 m Podemos notar nos trecircs graacuteficos que a onda sooorn natildeo forma exatamente um nodo na superficie do liacutequido

37 3 Aparato Expenmental

39 O liacutequido

o liacutequido utilizado foi preparado em soluccedilotildees utilizando-se diferentes

concentraccedilotildees de aacutegua e glicerina

A tensatildeo superficial foi obtida atraveacutes do meacutetodo do tensiocircmetro de anel [Ueta e

Tabacniks 1989] que consiste em se determinar a forccedila para se elevar um anel delgado

do liquido e relacionando-a com a tensatildeo superficial numa temperatura de 25()C Na

tabela 32 temos a tensatildeo superficial de alguns liacutequidos comuns obtidos com este

meacutetodo Para as diferentes concentraccedilotildees de glicerina obtivemos OS valores da Fig 310

Liacutequido

Tensatildeo superficial (diIlalcm) I

Aacutegua destilada

72

Agua de torneira 66

0100 20Wmiddot50 (Mobil) I 35

Glicerina 58

Alcool hidratado 30

Agua com detergente 36

Detergente 23

Cafeacute (soluccediliio) 42

I

~1------Tabela 32 Tensatildeo superficial de alguns liquidas comuns medidos pelo meacutetodo do tensiocircmc1TO dCanel

r------------------------------------- n

Ecirc ~66

i tM ~ ~

58

J

i

T ~ -

~

bull bull i J I bullbull 1 ~ -

bull +

1~ -~~~ o 20 40 00

deHp

Figura 310

Tensatildeo

superficial

medida COm oacute

meacutetodo do

tenSJocircmetro do

ane1rma cliacuteferenles

concentraccedilotildees

de aacutegua e

glicerina

38 $ Aparato ~mentaJ

A viscosidade das soluccedilotildees de aacutegua e glicerina foi estImada atraveacutes do meacutetodo

de Stokes [Veta e Tabacniks 1989] e a viscosidade varia como a funccedilatildeo exponencial

mostrada na Fig 311 para 25 C Para os valores da viscosidade da aacutegua pura e da

glicerina para diferentes temperaturas fui consultada uma tabela de viscosidades [Perry

e Clinton 1972 Weast e Selby 1996]

1500 r 1250

bull p shy1000 -shy

bull u- ~ ~ 750

~ J_ ampl 500

gt

- 250

u HH

o [ ===-==i I UUUU

O 10 20 30 40 50 60 10 80 90 100

de Glicerina na aacutegua

Figura 311 Variaccedilatildeo da viscosidade com a concentraccedilatildeo de glicerina na soluccedilatildeo

310 Imagens

Algumas imagens foram obtidas para esclarecer alguns aspectos da formaccedilatildeo

das bolhas As imagens da formaccedilatildeo das bolhas furam feitas atraveacutes de uma cacircmera

VHS Para iluminar o tubo borbulhador utilizou-se a teacutecniacuteca de iluminaccedilatildeo traseir~

com uma placa transluacutecida para difundir a luz proveniente de uma lacircmpada

fluorescente e o tubo borbulhador foi colocado entre a placa difusora de luz e a cacircmera

As imagens obtiacutedas foram digitalizadas e annazenadas

39 3 Aparato JxpflinJeacutentttl

Figura 31l Imagens obtidas partir do experimentn do tubo borbulhador Em (I) VCIlOS bolha se fonnando junto agrave seringa enquanto a bolha anterior emerge no liqujdo (2) a bolha aumenta de volume mas o empuxo natildeo eacute suficiente para retiraacute~la do bico 3 a bolha se-descola do bico mas eacute alimentada por um pescoccedilo~ (4) a bolha se destaea do bico e Cf perfil evolui para a fonna elipsoidal

Na Fig 312 temos a evoluccedilatildeo de uma bolha se formando junto ao bico

soprador numa soluccedilatildeo viscosa de aacutegua com glicerina em quatro instantes distintos A

forma final das bolhas depende de vaacuterios fatores entre eles o seu volume~ e isto pode

ser observado nas cinco imagens da Fiacuteg 313

11 1 Ilcml 1I em 1 11 I Ilcml

m ~jj O 4~~

ttif1id-gt0

(a) (b) (c) (d) (e)

F1gura 313 Exemplo do perfil das bolhas em relaccedilatildeo ao seu tamanho

3 Aparato Experimental 4iacuteJ

311 O Experimento da Torneira Gotejante

o experimento da torneira gotejante foi uma das primeiras tentatiyas de se criar

um sistema com o propoacutesito de se observar o Caos deterministiacuteco Este experimento

possui um extenso material produzido pelo LFNL que pode ser encontrado na fonua de

dissertaccedilotildees de mestrado e teses de doutorado [da Rocha 1995 da Silva 1996 Tufaile

1996 Gonccedilalves 1996 Pinto 1999J

O experimento consiste basicamente de um bico got~ador que eacute alimentado por

um grande reservatoacuterio~ como pode ser visto no diagrama do aparato experimental da

Fig 314 O tempo associado para cada gota eacute medido do mesmo modo que o descrito

na seccedilatildeo 33 para o tempo entre as bolhas~ mas para o experimento da torneira gotejante

o feixe laser estaacute posicionado - 9 em abaixo do bico

Noacutes controlamos a taxa de gotejamento (fgot=ltlTraquo mantendo o niacutevel do

reservatoacuterio intermediaacuterio constante e selecionando a frequumlecircncia de gotejamento atraveacutes

da abertura da vaacutelvula acionada por um motor de passo e controlada por um

microcomputador Para uma dada taxa de gotejamento noacutes construiacutemos os mapas de

primeiro retomo

Relervut6rio Foot

cmroJ_ denivcl

Fotodiodo o

Laa o Computador

o

Res~ -00

Figura 314 Diagrama -do experimento da torneira gotejante

4 Resultados e Anaacutelise 41

4 Resultados e Anaacutelise

A formaccedilatildeo das bolhas eacute frequumlentemente imaginada como () experimento da

torneira gotejante 1nvertido Esta analOgia eacute fraca e para podermOs verificaacute-la

estudaremos inicialmente a formaccedilatildeo de gotas e depois estudaremos a formaccedilatildeO das

bolhas

41 A torneira gotejante I

As equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem para a torneira gOtejante) propostasI no modelo de Shw [Shw 1984] com as modificaccedilotildees de DInnocenzo e Renna

[Dlnnocenzo e Relllll 1996] satildeo

t=V d(M=Mg_kx_bv (41)

dMrJI=Q

Onde x eacute a coordenada do centro de massa da gota ordmeacute O fluxo de aacutegua A tensatildeo

superficial e o atrito entre a aacutegua e a torneira satildeo dados pela constante de mola k e por b

respectivamente Uma gota ~ se desprende do bico com velocidade Vc com o fator

de reduccedilatildeo a quando o centro de massa alcanccedila o limiar xc

iAIJ aJyJ (V (42)

Figura U Seacuterie temporal obtida com o modelo da tomeira gotejante variandolaquo a vazatildeo Q k=475 dinalcm g=980 cm~ 1gt=1 g~ lt9114 em 09119 sim

42 4 ResultatWs e Anaacutelise

Na Fig 41 mostramos uma seacuterie temporal obtida a partir do modelo das

equaccedilotildees (41) com os paracircmetros k=475 dinalcm g=980 crnls b= 10 gls x=O 14 em e

a=O (9 sIm Na integraccedilatildeo do modelo foi utilizado um integrador Runge-Kutta de

-

0D75

(j) E 0050 ~

J

0025

0025 0050 0075 T

N (ms)

Fibllra 42 Atratores caoacuteticos reconstruiacutedos fixando~se a vazio em trecircs valores distintos de nzatildeo Q A dimensatildeo de Kaplatl~Y orkc Dy foi culculndn para cuumlda um destes tratores (n) DRY 12(1) (b) Drn 139(1) (c) DKy173(2)

(a)

lo

shy

(b)

7- iacute I

I 0

~

~ (e)

I rt j~1l~middott~i~i ~ v ) t ~ Amiddot shy ~ ~~ -1

[1 f ~ ~j bull

-) F ~-lt_ f4~-tgt 1- --~ 1

l yA- -~O __ _~ shy

~-~lt

quarta ordem com passo de

integraccedilatildeo de 10-6 e condiccedilotildees

iniciais x(O)=OO em e y(O)=O I

ems Nesta seacuterie temos uma

sequumlecircncia de dupliacutecaccedilotildees de

periacuteodo para 05ltQlt087 mls

caos e janelas perioacutedicas para Q

acima de 087 rnJls c um

alargamento abrupto do atrator

proacuteximo de Q102 mls

Na Fig 42 vemos trecircs

atratores para trecircs diferentelt

valores de vazatildeo Q do modelo

Pora cada um destes atratores

foi calculado os expoentes de

Lyapunov e sua respectiva

dimensatildeo de Lynpunov que os

caracterizaram como caoacuteticos

devido a existecircncia de

expoentes de Lyapunov

positivos Na Fig 42(a) temos

um atrator formado por quatro

bandas ca6ticas com vazatildeo Q=

0885 mlls Para uma vazatildeo

maior de 095 mlls Fig 42(b)

temos um atrator ca6tico com

duas bandas ca6ticas Na Fig

42c) um atrator caoacutetico mis

largo apoacutes a crise para

Q=I05 mlls

t RCSllfladQs e AtuUis 4

710 (b~f (a) 500 I

700 1 E g 400 1 iacute 300

200

1 jJ

670 ~ 100 670 680 690 700 710 100 200 300 400 500

T() T(ms)

Figura 43 (a) dados experimentais para uma frequumlecircncia de gotejamento de 146 gotass (b) atrator obtidQ ccedilom o modelo com de oscilador com relaxaccedilatildeo com uma frequumlecircncia de 315 gotass

(a) ltTgt=1146 me (b) ltTgt=1136 rns

Tn 2

120

110

11Cf

110120 T

120

Tnbull1

TM

120

90 9~ 12

120middot TM

T 90

Figura 4A (n) atrator experimental com um frequumlecircncia meacutedia de 8726 gotas Is (b) atrator obtido a partir da simulaccedilatildeo com uma frequumlecircncia mldia de 880 gotass

44 4 Rewlltados e AndUsc

Fizemos duas comparaccedilotildees entre os dados experimentais e o modelo Tufaite et

aI 1999 Apecircndice 1] Na Fig 43(a estaacute mostrado o mapa de primeiro retorno

experimental mantendo-se constante o niacutevel do reservatoacuterio intermediaacuterio com uma

frequumlecircncia de gotejamento de 146 gotass com o bico de vidrQ Uma estimativa para os

valores experimentais eacute dada por k=365 dinaicm xccedil -O6 em e Q no intervalo 012-015

gls As simulaccedilotildees do atrator usando estes valores para os paracircmetros natildeo convergiram

para vaacuterios valores de a e b Desta forma outro conjunto de valores foi procurado para a

reproduccedilatildeo do atrator experimental Os valores escolhidos foram k = 475 dinacm XI

13 em Q=015 gls a = 02 sem e b = 10 SI como estaacute mostrado na Fig 43(b) com

uma freguumlecircncia de gotejamento de 315 gotass

Na Fig 44(a) estaacute mostrado um atrator reccedilonstruiacutedo em um mapa

triacutedlmensional Tn+2 VS Tn1 vs Tnbull com a frequumlecircncia de gotejamento de 8726 gotass

O perfil do atrator foi simulado com os paracircmetros cOm os seguintes paracircmetros

Q=0141 gls x = 0251 em 051 sem b=O943 SI e k=120 diacutenalcm como estaacute

mostrado na Fig 44(b) A frequumlecircncia meacutedia de gotejamento eacute de 880 gotass pr6xima

do valor experimentaL Os dois atratores da Fig 44 apresentam expoentes de Lyapunov

positivos e dimensotildees de Kaplan-Yorke lOplusmnOl (atrator experimental) e 11plusmnO1

(modelo)

Outros atratores obtidos a partir de mapas criados baseados neste modelo podem

ser encontrados na literatura [Renna 1999] assim como comparaccedilotildees entre atratores

experimentaiacutes e simulados na mesma regiatildeo de vazotildees das Figs 43 e 44 IDInnocenzo

e Renna 1997] Em todas estas referecircncias o modelo apresenta problemas quando os

valores escolhidos para os paracircmetros satildeo os mesmos do experimento que nonnalmente

causam divergecircncia das soluccedilotildees durante a integraccedilatildeo Uma possiacutevel causa destes

problemas eacute fato de que a gota natildeo se rompe exatamente sempre na mesma posiccedilatildeo mas

em alturas diferentes com relaccedilatildeo ao bico Concluiacutemos que este modelo apresenta

Cuumlfilcteriacutesticas qualitativas interessantes mas que natildeo pode ser utiHzad9 para

comparaccedilotildees quantitativas com a experiecircncia Modificaccedilotildees neste modelo estatildeo sendo

feitas por Fuchiacutekami [Fuchikami el aI 1999] que compara este modela com outro

modela mais elaborado que utiliza por princiacutepio fiacutesico a minimizaccedilatildeo da energia com

relaccedilatildeo ao perfil da gota que cresce junto ao bico O modelo de Fuchikami utiliza uma

descriccedilatildeo Lagrangeana para calcuIar numericamente a evoJuccedilatildeo da formaccedilatildeo da gota

45 I i

i

4 Resultadltgts eAnaacutelise

42 Dinacircmica das bolhas Veremos nesta seccedilatildeo os diferentes regimes d borbulhamento causados pelo

aumento da vazatildeo do ar~ e como podemos esclarecer as transiccedilotildees destes regimes

atraveacutes de alguns modelos

421 Formaccedilatildeo quase-estaacutetica

Devido acirc complexidade do processo da formaccedilatildeo de bolhas os modelos

existentes satildeo adequados apenas em casos particulares [Clift e aI 1978) Para uma

bolha se formando em condiccedilotildees quasemiddotestaacuteticas o equillbrio de forccedilas na bolha eacute dado

por

f = (43)

onde f g eacute a forccedila da gravidade e f (J eacute a forccedila devido agrave tensatildeo superficial Para um

orifiacutecio do tipo bico circular a equaccedilatildeo (43) tem a forma

mg = 2R7Ilt7 (44)

onde m eacute a massa do liacutequido deslocado pelo volume da bolha g eacute aceleraccedilatildeo da

gravidade R eacute o raio do bico soprador e G eacute tensatildeo superficial entre o ar e liquido

Tomando um bico com Rb = OA mrn e criando-se uma bolha de ar na aacutegua nas

condiccedilotildees qua8e~estaacuteticas quandO a tensatildeo superficial do sistema eacute igual a O~07 Nm e g

eacute igual a 98 ms teremos uma massa de liacutequido deslocado de

m = 1810 kg (45)

Como temos a densidade da aacutegua igual a 1 gcm3bull o volume maacuteximo da bolha seraacute dado

por

m V=-=18mm (46)

p

Se considerarmos urna esfera de volume equivalente teremos um raio para a bolha r)

reacute 1~6mm (47)

Podemos tambeacutem estimar a pressatildeo do ar dentro de uma bolha atraveacutes da

relaccedilatildeo

2lt7 Pl-Pl ~-- (48)

Se a interface natildeo eacute esfeacuterica mas possui como raios principais de curvatura le e

r entatildeo equaccedilatildeo (48) teraacute forma

46 f Resultados cAnaacutelise

(49)p - p = 2~ lt) As diferenccedilas de pressatildeo das equaccedilotildees (48) e (49) fomece-nos a pressatildeo laplaciana

devido agrave tensatildeo superficiacuteal[Clift oi ai 1978]

Para uma bolha com o raio de 16 mm como calculado na equaccedilatildeo (47) bull

diferenccedila de pressatildeo entre o ar dentro da bolha e a aacutegua eacute

p - p = 175Pa (410)

Para uma bolha a 5 cm da superfiacutecie teremos Pl = 500 p~ entatildeo~ de acordo com a

equaccedilatildeo (410) a pressatildeo dentro da bolha seraacute de 675 Pa ou seja a pressatildeo dentro da

bolha eacute equivalente a uma oolunade aacutegua de 675 mm

Esta anaacutelise soacute eacute vaacutelida para sistemas em equiliacutebrio fora do equiliacutebrio outros

meacutetodos de anaacutelise satildeo empregados e seratildeo discutidos na proacutexima seccedilatildeo

422 Formaccedilatildeo de bolhas com vazatildeo constante

Podemos obter um modelo para baixas vazotildees fazendo algumas suposiccedilotildees

sobre a geometria da bolha [Daviacutedson e Schuumller 1960J O modelo segue as seguintes

consideraccedilotildees

1 A bolha eacute esfeacuterica durante sua formaccedilatildeo

2 Natildeo haacute cireulaccedilatildeo do liquido ao redor da bolha que estaacute se formando de tal

modo que o liacutequido estaacute em repouso quando a bolha comeccedila a se formar

3 O movimento de uma bolha natildeo eacute afetado pela presenccedila de urna bolha acima

ela

4 A bolha estaacute a todo instante movendo-se na velocidade de Stokes apropriada

para o seu tamanho

S Quando a bolha atinge o raio maacuteximo R ela se destaca

Considerando O movimento de uma bolha que se forma em um ponto longe das paredes

de um reservatoacuterio infinito nas condiccedilotildees acima a velocidade do centro da bolha v no

tempo t apoacutes o comeccedilo da sua fonnaccedilatildeo seraacute dada pela velocidade de Stokes

2rg v=-~ (411)

9v

onde v eacute a viscosidade cinemaacutetica do liacutequido dada pela razatildeo entre a viscosidade e a

densidade do liquido Aleacutem disso se Qeacute o fluxo do gaacutes entatildeo o volume da bolha V eacute

41 4 Resultados e Anaacutelise

V=QI= 4- (412)3

Deste modo definindo x como a distacircncia entre o centro da bolha e o ponto de

suprimento do gaacutes obtemos a equaccedilatildeo que define o movimento do centro da bolha

atraves do seu raio r como uma funccedilatildeo de Q e t dados pela equaccedilatildeo (412)

Substituindo r na equaccedilatildeo da velocidade d Stokes

v2g (3Q ) ( (413)9v 4Jr

e integrando a equaccedilatildeo (411) em relaccedilatildeo a t noacutes obtemos O deslocamento do centro da

bolha em funccedilatildeo do tempo

2 Ir (414)x=Jl-lt3QJ 15v 411

A bolha iraacute se destacar quando x = R o raio maacuteximo da bolha com o tempo para a

formaccedilatildeo completa da bolha T obtido partir da equaccedilatildeo (414)

ltT=ll~)() (415)

que nos daacute uma relaccedilatildeo hiperboacutelica entre o tempo T da formaccedilatildeo da bolha e a vazatildeo Q

como mostrado no graacutefico da Fig 45 Com isto obtemos que a relaccedilatildeo entre a

frequumlecircncia de borbulhamento F = (11) e a vazatildeo volumeacutetrica do ar Q eacute

F ltcQM (416)

Este eacute um modelo razoaacutevel para baixas vazotildees pois explica de modo simples as

principais caracteriacutesticas da variaccedilatildeo da frequumlecircncia do borbuJhamento com a vazatildeo do

ar Entretanto~ as cinco condiccedilotildees para fonnaccedilo das bolhas no iacuteniacutecio desta seccedilatildeo natildeo

satildeo rigidamente observadas isto fuz a equaccedilatildeo (416) ter um caraacuteter principalmente

qualitativo O trabalho de Ponter e Surati [ponter e Surati 1997] fuz um estudo

comparativo entre vaacuterios trabalhos que investigam a emissatildeo de bolhas a partir de

orifiacutecios submersos e apontam como principal causa da discrepacircncia entre os diferentes

resultados experimentais a influecircncia da superfrcie do biacuteco soprador e a falta de

padronizaccedilatildeo da geometria do equipamento Mesmo com as discrepatildencias~ O

comportamento hiperboacutelico com as bolhas se formando sequencialmente eacute observado

quandO se aumenta a vazatildeo [Sulliacutevan et aI 1964) No nosso trabalho soprando ar

diretamente na seringa para vazotildees acima de 200 rolmin ocorrem bifurcaccedilotildees no tempo

entre bolhas e isto eacute o tema da proacutexima seccedilatildeo

4 Resulfados eAnaacutelise 4amp

n 423 Biacutefurcaccedillies Tempo entre Dependendo bolluls

principalmente da

geometria do bico

soprador para vazotildees

acima de um determinado -shy ~m~~ valor ocorre uma

transiccedilatildeo de um regimeQ-vazatildeo de borbulhamento

igualmente espaccedilado noFigura 45 Esboccedilo da dependfulcia hiperboacute1ia entre o tempo do borbulhameniO c a vazatildeo de ar tempo para um regime ~----------------------~

no qual as bolhas se formam com dois tempos distintos e emergem aos pares formando

um dubleto [Davidson e Schuumller 1960 Marmur e Rubin 1975 Miyhara cl al 1983

Tritton e Egdell 1993 Mitoni ct al 1995 Kyriaides oi ai 1997] Este fagraveto pode ser

atribuiacutedo agrave transferecircncIacutea de momento do ~ poiacutes uma parte do liacutequido fica agregada agrave

superficie da bolha formando uma casca esfeacuterica liquida que eacute chamada de massa

virtual P [Davidon e Schuumller 1960 Miyhara el ai 1983] reduzindo o empuxo da

bolha para 1116 Aleacutem disso noacutes podemos fazer um modelo simplificado para a

formaccedilatildeo das bolhas Se considerarmos aacute presenccedila de uma forccedila restauradora de

coeficiente k devido agrave tensatildeo superficiaI~ usando as consideraccedilotildees 14 e 5 da seccedilatildeo 422

e considerando que existe uma forccedila dissipativa na formaccedilatildeo da bolha (que eacute

proporcional agrave velocidade bv) Utilizando a segunda lei de Newton chegamos agraves

equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem

dx _~=y

di d(Mv

di = (JMg - kx -lN) (417)

fiM di =Q

onde x eacute a posiccedilatildeo do centro da bolha M eacute a massa de liacutequido deslocada pela bolha

(M~Vp) Aleacutem destas equaccedilotildees uma quarta equaccedilatildeo define quando a bolha deve se

destacar No momento que a e1a atinge o ponto criacutetico xcgt a bolha se desprende do bico

soprador com a massa

49 4 Re$1lltatlos eAnaacutelise

M=aMve (418)

com M e V sendo a massa e a velocidade no ponto de rompimento Xc respectivamente

A constante de proporcionalidade de massa eacute a O diagrama do modelo pode ser visto

na Fig 46

AA1 X

p M

k oacute

Figura 46 O modelo de oscilador de massa variaacutevel para a formaccedilatildeo de bolhas

1

50 4 Resultados e Anaacutelise

Estas equaccedilotildees foram inspiradas em equaccedilotildees do mesmo tipo para o

experimento da torneira gotejante (Tufaile el ai 1999 Apecircndicel] mostradas na seccedilatildeo

41 Shaw [Shaw 1984] propocircs o primeiro modelo para a torneira gotejante inspirado

nas ideacuteia de Rayleiacutegh O modelo foi atualizado por Saacutenches-Ortiz e Salas-Brito

(Sacircnehes-Ortiz e Salas-Brito 1995a Saacutenches-Ortiz e Salas-Brito 1995b] e

independentemente por D~Innoncenzo e Renna [D~Innoncenzo e Re~ 1996] que~

atraveacutes da mudanccedila do mecanismo de rompimento mostraram uma vasta gama de

comportamento caoacutetico usando o modelo e o quanto ele pode ser comparado com dados

experimentais Eacute importante saliacuteentar que apesar da enonne simplificaccedilatildeo que se faz

quando se reduz um sistema fluido com muitos graus de liberdade para um modelo

unidimensional1 existem muitos resultados que podem ser compreendidos usando O

modelo de oscilador de massa variaacutevel~ como bifurcaccedilotildees comportamento caoacutetico e

janelas perioacutedicas Seguindo esta linha Kiyono e Fuchikami trabalham na construccedilatildeo de

modelos de oscilador de massa variaacutevel t utilizando resultados obtidos a partir de seu

modelo hidrodinacircmieo (Kyono e Fuchikarniacute 1999]

Na Fig 47 vemos espaccedilos de fuse para a formaccedilatildeo de bolhas para diferentes

vazotildees numa sequumlecircncia que evolui desde o penado 1 ateacute o comportamento caoacutetico

Para a vazatildeo de l~O mIIs obtivemos um ciclo limite com a velocidade crescendo

atingindo um valor rnacircximo e depois diminuindo retornando proacuteximo ao valor inicial

Neste instante ocorre o rompimento e a proacutexima bolha inicia o ciclo com a mesma

posiccedilatildeo da bolha anterior deste modo o sistema retoma abruptamente ao ponto inicial

(x-Ol em e v-l4 crnls) Para a vazatildeo de 18 mIIs O sistema atinge o ponto de

rompimento com duas condiccedilotildees de rompimento distintas a primeira com uma

velocidade ascendente e uma segunda com uma velocidade descendente Para 20 mVs

temos uma outra duplicaccedilatildeo de periacuteodo levando a um periacuteodo quatro e finalmente para

uma vazatildeo de 2~15 rn11s vemos O espaccedilo de fase do comportamento caoacutetico

A seacuterie temporal deste modelo estaacute na Fig 48 e mostra as variaccedilotildees da

dinacircmica com a variaccedilatildeo da vazatildeo na faixa de vazatildeo 08 lt Q lt 22 m1s Para uma

vazatildeo por volta de 155 mls ocorre uma duplicaccedilatildeo de periacuteodo Para l97 rnVs uma

descontinuidade na seacuterie~ seguida de novas duplicaccedilotildees e caos

bull bull bull bull

51 4 Resultados e Anaacutelise

f I ~ ~ bull ~

1gt gtligt

tobull o 0- o ~ ~

fmiccedil)o (em)

otltl_J l

j

(

11

r ( ~

(I

~ ~ m f I - _r

i__=---~1 ~ ia_t6tttll-

Ibulli ~

~ ccedilshyreg 11110 o~

PM~a ftm)

Ot1SINIo ~1 ~

li ~ I~

~ ~ bull

bull ~ lt - -- u bullbull~ ~

Figura 4~1Espaccedilos de fase obUaoscom o ruacuteOdelo de oscilador de tna$il vnveCg 10 mIlsPeriacuteodo 1 Q=l8 m1Is duplicaccedilatildeo de periacuteodo periacuteodo 4 para 20 m1Is e comportamento caoacutetico para 215 mlJs Os paracircmetros do sistema satildeo x=O19 em 0=025 b=25 em$ g980 ems k=480 dinalcnt

Deste modo podemos ter uma

visatildeo geral de como ocorre uma

duplicaccedilatildeo de periacuteodo do espaccedilo de

fases da [onnaccedilatildeo de bolhas aleacutem da])- ~1 lO regiatildeo da formaccedilatildeo quase~estaacutetic8shy

baseada em um modelo mecacircnico

simplificado OUlro modelo para a Q(mYl)

formaccedilatildeo de bolhas pode ser encontrado

Figura 48 Seacuterie temporal do modelo de oscilador I no trabalho de Marmur e Rubin de massa variaacutevel para o tubo boIbulhador

[Marmur eRubiacuten 1975] que do mesmo

modo que Fuchikami [Fuchikamiacute el ai 1998] utiliza o formalismo Lagrangeano

52 4 Resultados e Anaacutelise

424 Veias liacutequidas

Verificamos experimentalmente a ocorrecircncia da agregaccedilatildeo de liacutequido junto agrave

bolha que causa a reduccedilatildeo do empuxo sobre a bolha Utilizando um sistema de trecircs

fases (ar aacutegua e oacuteleo) observamos a fonnaccedilatildeo de veias liquidas Uma veia liacutequida

ocorre quando temos um canal de aacutegua dentro do oacuteleo que eacute sustentado pela

emergecircnciacutea das bolhas como pode ser visto no diagrama da Fig 49 Na literatura

existem classificaccedilotildees para padrotildees de fluxos de duas fases como o padratildeo de

borbulhammo padratildeo d jateamento e padratildeo anular [Sharpe 1994] O primeiro caso

borbulhameoto eacute o caso tratado neste trabalho o padratildeo de jateamonto [Ruzicka 1997]

ocorre quando o gaacutes possui velocidades maiores do que a do borbulhamento e eacute

espargido dentro do liacutequido o terceiro caso~ o padratildeo anular ocorre para velocidades

ainda maiores do gaacutes que passa pelo centro do liquido formando um tubo gasoso COm

gotiacuteculas do liacutequido subindo pelo centro junto com o gaacutes Devido bull propriedades

viscoelaacutesticas do ocircleo diferenccedila de cor entre o oacuteleo e a aacutegua e a refraccedilatildeo do sistema

aacutegua-ar podemos ver a fonnaccedilatildeo desse padratildeo anular a veia liacutequida num sistema de

trecircs fases ar aacutegua e oacuteleo e deste modo verificar o arrasto da aacutegua junto com as bccedillhas

Veia liacutequumlida induzida por bolhas

Ar

Figura 49 Um sistema de tns fases iroisciveis formado por aacutegua ar eacute oacuteTeo criando uma veia liquida A aacutegua forma uma coluna dentro do oacuteleo com um fluxo ascendente proacuteximo do centro e um fluxo descendente na parte ell1ema

4 Resullado$ e Anaacutelise 53

o liacutequido que envolve a bolha deve ter a mesma velocidade da superfiacutecie da

bolha formando uma casca esfeacuterica de liacutequido A casca esfeacuterica de aacutegua acompanha a

bolha ateacute o ponto em que ela atinge a superfiacutecie do sistema Hquido~ a partir deste ponto

este volume de aacutegua eacute afastado lateralmente e inicia a descida para a base da coluna Na

Fig 4 1O~ podemos ver uma imagem obtida no LFNL de uma veia liquida

a porte avermclhada eacute 6100 a coluna central eacute constituiacuteda de aacutegua com bolhas no seu interior

A existecircncia da m d Ilquiacutedo

agregada junto a bolha eacute um fato que

mostra que a experiecircncia do tubo

borbulhador natildeo eacute o experimento da

torneira gotejante invertiacutedo

Se aumentarmos a vazatildeo de ar

inicialmente ocorre uma acumulaccedilatildeo de

aacutegua sobre o oacuteleo que depois se precipita

na forma de uma bolsa de aacutegua como

podemos ver na seqililncia de imagens da

Fig 41 L Deste modo O fator de massa

agregada fJ das equaccedilotildees (417) eacute uma das

princjpais diferenccedilas entre os modelos de

oscilador para bolhas e gOlas

Figura 411 Aumefllandose a freqiacuteiWcia de bolhas a aacutegua se acumula no topo da ooluna (a) ( acuacutemulo de aacutegua se desestabiliza e comeccedila a descer agarrada agrave veia (b) e em (c) temosa bolsa de aacutegua jaacute na base da veia liacutequida

1

54

-i

4 Resultados eAmilise

425 A estabilidade de dois fluidos sobrepostos

O problema fiico fundamental na fonnaccedilatildeo de bolhas em liquidos ecirc a

superposiccedilatildeo de dois fluidos de densidades muito diferentes O estudo de instabilidades

hidrodinacircmicas aborda tal problema aleacutem de outras instabilidades que tambeacutem satildeo

tratadas de um ponto de vista matemaacutetico muito interessante no livro Hydrodyllamlc

and Hydr(J11agnetlc Stability de Chandrasekhar [Chandrasekhar 1981] onde foram

estudadas as soluccedilotildees das equaccedilotildees hidrodinacircmicas para dois casos nos quais ocorre a

superposiccedilatildeo de fluidos

a) A instabilidade de Raylelgh-Taylor que trata da instabilidade da interface plana

entre dois fluidos

b) A instabilidade de Kelvln-Helmholtz que surge quando camadas diferentes de

fluidos heterogecircneos estratificados estatildeo em movimento horizontal relativo

Os problemas de instabilidade hidrodinacircmica envolvem o reconhecimento de fluxos

estagraveveis e instaacuteveis que satildeo obtidos para determinados valores dos paracircmetros que

governam o sistema Como exemplos temos o nuacutemero de Rayleigh~ para a convecccedilatildeo de

calor num fluido entre duas pacas uma acima e outra abaixo do fluido ou o nuacutemero de

Taylor para o comportamento do fluido entre dois cilindros coaxiais girantes

Restringindo-se agrave instabilidade de Rayleiacutegh-Taylor temos um arranjo com dois fluidos

de densidade unifurme~ um com a densidade Pl sob outro com densidade P2 sendo que

P2 eacute maior que pJ~ num campo gravitacional g A superfiacutecie horizontal que separa os

dois fluidos tem a tensatildeo superficial a Este sistema possui um nuacutemero de onda critico

kc pata as oscilaccedilotildees entre os fluidos~ dado por

klt = J(p - p)g I CF bull (419)

Os sistemas com nuacutemeros de onda no intervalo Oltkltkc satildeo instaacuteveis quando kgtkcl

temOS um estado marginal ou limite De um modo geral~ a tensatildeo superficial estabiliza

arranjos potencialmente instaacuteveis Levando em conta que a unidade de medida de Ir eacute

lm~ obtemos um nuacutemero puro conhecido como nuacutemero de Rayleigh~Taylor RT que

determina a estabilidade do sistema de fluidos sobrepostos

RT = glOcircp (420) CF

onde I eacute um comprimento caractcristico do sistema Este nuacutemero estaacute relacionado

diretamente com o nuacutemero de Eocirctvocircs (Eo) [Clift el ai 1978] para particulas gotas e

bolhas dado por

554 Resultados e Anaacutelise

~ U)

~

60 40 aacutegua + 6G gliccedila 33 aacutegua + 67 glicerina ~

50

~

40E ~ z I- 30

20 r

(~) I (7) I o 300 NaDo 9000 300 600 9000

(g)

100 aacutegua 50 aacutegua i 50 glicerina

N

20 aacutegua + 60 gliacuteceflna

(f) 300 000 900

Figura 411 Graacuteficos da transiccedilatildeo de regime do bolbulhamenlO di_ a vazltlo do ar Oaumento da viscosidade causa uma definiccedilio da dupUccedilaccedilio de periodo no experimento do tubo borbulhador como pode ser visto nos graacuteficos mostrados de (a) ateacute (I) A duplicaccedilatildeo de perlode tambeacutem eacute visiacutevel espacialmente como esta mostrado em (g) que temos o periacuteodo 1 com as bolhas se elevando igualmente espaccediladas c em (h) onde temos o periacuteodo 2 vemos a fonnaccedilatildeo dos dubletof de bolhas (33 aacutegua + 6Ou glicerina)

56 4 Resultados e Anaacutelise

gdApE0 -- (42t)

U

onde d ecirc o diacircmetro de uma esfera de volume Vequivalentlt d t (6V I n)1f3 ~ da

particula gota ou bolha obtido pela meacutedia d seus raios principais

Medimos o nuacutemero Eo juntamente com o nuacutemero de Reynolds Re das bolhas

[Clift el ai 1978J (Re = udp I P onde ueacute velocidade d fomaccedilatildeo da bolha p eacute a

viscosidade e p ecirc a densidade do liacutequido) Quando o sistema passa do regime de

periodo I para uma bifurcaccedilatildeo ou alargamento abrupto do tempo entre bolhas

obtivemos que o nuacutemero de Eotildetvotildes vale aproximadamente 26 plusmn1 para nuacutemeros de

Reynolds entre 200 e 1500 Este resultado foi verificado para todos os bicos utilizados

neste trabalho

426 Instabilidade da superfiacutecie da bolha

Utilizando algumas concentraccedilotildees diferentes de glicerina e o bico de seringa

verificamos1 no experimento do tubo borbulhador que os tempos entre bolbas ocorrem

em periacuteodo 1 para baixas vazotildees (O a 100 m1Imin) e que para faixas maiores de vazatildeo

os tempos entre bolhas ocorrem dentro de uma faixa de valores para baixas

concentraccedilotildees de glicerina ou em dois valores de tempo caracterizando um periacuteodo 2

para concentraccedilotildees maiores que 50 ~ como pode ser visto na Fig 412 Podemos ver

que com o aumento da viscosidade do liquido os ramos que ocorrem no penodo 1

I assim como os ramos do periacuteodo 2 ficam com valores mais estaacuteveis Segundo Mittonl

I [Mittoni et ai 1993] o aumento da viscosidade atraveacutes da glicerina produz atratores

mais estruturados e reprodutiacuteveis~ pois O aumento da viscosidade aumenta tambeacutem a

estabilidade do envelope da bolha e atenua a circulaccedilatildeo do liacutequido proacuteximo do bico

Este fato pode ser visto nas imagens da Fig 413 onde temos um conjunto de imagens

antes (al e depois (b) da duplicaccedilatildeo para a aacutegua e duplicaccedilatildeo de periacuteodo para a glicerina

(c d) Deste modo a viscosidade suprime instabilidades que podem levar agrave variaccedilotildees no

tempo de formaccedilatildeo da bolha

A instabilidade na formaccedilatildeo devido agrave baixa viscosidade pode ser vista na Fiacuteg

414 onde temos uma comparaccedilatildeo entre a aacutegua e a soluccedilatildeo com 80010 de glicerina e 20010

de atildegua Na Fig 4 14(a) temos o mapa de primeiro retomo com 10000 pontos para o

57 4 Resultados e Anaacutelise

bico de seringa com uma altura de coluna de 3 cm e uma vazatildeo de ar mantida constante

em 50mVmin

Este regime de borbulhamento corresponde a um periacuteodo 1 para a aacutegua com os

pontos se espalbando num intervalo entre 75 925 ms e n Fiacuteg 414(A) vemos o

histograma correspondente agrave frequumlencia de visitaccedilatildeo dos tempos entre bolhas com um

valor meacutedio de 87 TIS Para o liquido com 8010 de glicerina e 2010 de aacutegua ternos o

atrator da Fig 414b)~ com as demaiacutes condiccedilotildees semelhantes ao caso anterior tambeacutem

com 10000 tempos entre bolhas e na Fig 414(B) temos o histograma para este atrator

Os pontos neste atrator estatildeo entre 827 e 835 rns muito mais concentrados do que o

caso anterior

cIIJtmiddotca

---shy(a) (b) (c) (d)

Fig 413lmagens pam duplicaccedilatildeo de periacuteodopam a aacutegua (a) periacuteodo 1 e (b) alar_ento de perlodo e no liquido viscoso 2000 aacutegua + 80 glicerina com perlodo i em (e) e perlodo 2 em (d) Nestas imagens podemos notar que a superficie das bolhas emergentes satildeo mais estaacuteveis para o liacutequido mais viscoso do que para a aacutegua

lIiI

Q

58 4 ResultadrueAnaacutelise

j (A)

j

I (6)(b)

8bull~ 1 ~

f-

75 00

T(ms) T (ms)

Figura 4~14 Mapas de primeiro retomo (a) para a aacutegua e em (b) para a soluccedilatildeo SOOAt glicerina e 20 aacutegua Em (A) temos o histograma para os 10000 tempos obtidos para a aacutegua e em (B) o mesmo para o liacutequido mais viscoso A baixa l viscosidade da aacutegua toma -iacute o sinal muito mais irregular corno pode ser comparado em 500 pontos da seacuterie (c) da aacutegua e (C) da soluccedilatildeo viscosa

93

n

59 4 Resultadose Anaacutelise

427 Frequumlecircncia de borbulhamento

A frequumlecircncia das bolhas dada pela equaccedilatildeo 416 tem uma validade limitada

pelas condiccedilotildees geomeacutetricas e dinacircmicas jaacute citadas anteriormente Fazendo outras

medidas com diferentes alturas de coluna observamos uma variaccedilatildeo na frequumlecircncia de

borbulhamento Basicamente o aumento da a1tura da coluna liacutequida causa a diminuiccedilatildeo

da frequumlecircncia de borbulhamento para a mesma vazatildeo Na Fig 415 eacute apresentada a

frequumlecircncia de borbulhamento em funccedilatildeo do logaritmo da vazatildeo com o sistema

predominantemente emitindo bolhas em periacuteodo I onde se utilizou a soluccedilatildeo 8000 de

glicerina e 20 acircgu~ o bico de seringa e trecircs alturas da co]una liquida Sem 12 em e 26

em Fazendo um ajuste linear para calcular os expoentes da frequumlecircncia de

borbuIbamento em funccedilatildeo da vazatildeo observamos um aumento no valor do expoente com

O aumento da altura da coluna e simultaneamente a diminuiccedilatildeo do coeficiente linear do

ajuste Deste modo a frequumlecircncia em bolhas diminui com o aumento da altura da coluna

mas temos um aumento na sua inclinaccedilatildeo com a vazatildeo volumeacutetrica O mesmo efeito

ocorre com um liacutequido menos viscoso (66 glicerina e 34 aacutegua) mostrado na Fig

416 Podemos ter uma variaccedilatildeo ainda maior quando usamos o bico AI isto ecirc

diminuiacutemos o orificio do bico borbuJhadoT como estaacute mostrado na Fig 417 com a

soluccedilatildeo 800 glicerina e 20 aacutegua com altura de coluna de 3 em acima do bico

Existem alguns fatores que podem causar estes efeitos Ruzicka que estudou

experimentalmente a transiccedilatildeo intermitente entre os regimes de borbulhamento e de

jateamento em um sistema aacutegua e nitrogecircnio~ mediu a velocidade da circulaccedilatildeo do

liacutequido com um anemocircmetro Danlec e observou que a circulaccedilatildeo do liacutequido aumenta

com a altura da coluna [Ruzicka ot aI 1997] Par a construccedilatildeo do modelo da equaccedilatildeo

(416) a segunda condiccedilatildeo eacute que natildeo baja circulaccedilatildeo do liquido proacuteximo do bico e deste

modo o aumento da coluna poderia afastar o sistema das condiccedilotildees de validade da lei de

frequumlecircncia de borbulhamento

Outros autores [Davidon et ai 1960 Marmur e Rubin 1976 Clift et al

1978] afirmam que a diminuiccedilatildeo do diacircmetro do bico afeta a frequecircncia de

borbulhamento causando o emparelhameno das bolhas (duplicaccedilatildeo de penodo) deviacutedo

ao aumento do nuacutemero de capacitacircncia Na dado por

4V (p - Pg)lt (422)N= miP

I

bull bull

60 4 Resultados e Anaacutelise

I [ A it

3

o ~0_ Uq 80 glic + 20 otildelQUa ~~ ~

oQ~-ogomiddot

o shyoi lIIIl

If-oI_og

bull c shy

o bull bullbull

bull o Iog fO4Obg 0+04 bull Iog f~O43bg 0+03

bull Iit 1og~OSSbgCKI12

-TrY

10 Log Q bull Vazatildeo (mllmin)

Figura 415 Frequumlecircncia de borbulhamento em funccedilatildeo da vatilo e altura da coluna liacutequida

Llq 6ocirc glie + 34 aacutegua

0deg ~ EI00 li

o o bullbull li o1 deg ~o bull bull bull

lt5

oA it 1 o bull bull bull

o log fUacute421og Q-+O4s 1 9

bull logft=O451og 0+028 li logf=O481ogQ+O12

bull o Iogf =O5BIogQ-O19

b

o _ 010 li 150m

~

10 100

Log Q - Vazatildeo (mVmin)

Figura 416 O mesmo que a figura anterior pOreacutem com um liquido menos viscoso

61 4 Resultados e Anaacutelise

lo 1=1

Biccedilo A1 o Lfq 80 glic + 20 aacutegua

amp90

OO~ r

o 0deg 0deg

Otilde 10 o o ~

o ~ ] f-O ov J

oOI o J o

o 1 10g fb 069109 Q-O25 1

10 100

Log Q - Vazatildeo (mllmin)

Figura 417 O mesmo liquido que foi utilizado paro os dados da Fig 416 mas agora com Q

bico A1 e uma altura de coluna acima do bico de 3 em

onde Vc eacute o volume da cacircmara que conteacutem o ar entre a vaacutelvula de controle de vazatildeo e o

bico Pi e pg satildeo as densidades do liacutequido e do gaacutes (ar) respectivamente do eacute o diacircmetro

do orifiacutecio (bico) eP a pressatildeo absoluta na bolha

Segundo Marmur e Rllbin orificios grandes (~1 mm) implicam em

baixa resistecircncia ao fluxo do gaacutes entre a cacircmara e a bolha e devido a isto a bolha e a

cacircmara funcionam corno um sistema unitaacuterio para o ar Jaacute com orifiacutecios menores o

nuacutemerO de capacitacircncia aumenta e a velocidade do ar nO bico aumenta causando

pequenas variaccedilotildees de pressatildeo na cacircmar~ que causam diferentes tempos de formaccedilatildeo

para as bolhas

Aleacutem destes fatores a temperatura eacute um paracircmetro fundamental a ser

monitorado Todas as medidas anteriores foram realizadas a 24 C

62 4 ResutatQs e Anaacutelise

428 DupUcaccedilotildees de periacuteodo

Com uma soluccedilatildeo de quatro partes de glicerina e um parte de aacutegua e usando a

seringa plaacutestica como bico obtivemos a seacuterie temporal d Fig 418 que mostra a

claacutessica sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo para o sistema do tubo borbulhador Nesta

figura temos uma diminuiccedilatildeo gradual da vazatildeo de ar atraveacutes do bico com uma evoluccedilatildeo

doade a regiatildeo caoacutetica (a) passando por comportamento de borbulhamento de penado 2

na parte (b) que passa a um periado 4 na regiatildeo (c) que passa para um novo

comportamento de penodo 2 regiatildeo (d) seguido por uma regiatildeo de formaccedilatildeo de bolhas

em periacuteodo 1 na regiatildeo (e) Na Fig 419(e) apresentamos uma imagem das bolhas se

formando periodicamente uma a uma e na Fig 4 19( d) eacute mostrado o comportamento de

periado 2 sem o efeito de coarescilnda entre as bolhas Na Fig 419(c) temos a imagem

para o penodo 4 enquanto que na Fig 419(b) temos um penodo 2 devido agrave

coalescecircncia de pares de bolhas que anteriormente formavam o periacuteodo 4 Finalmente

na Fig 4 1 9(a) temos a imagem das bolhas em regime caoacutetico

429 Salto e coalescecircncia

Obtivemos uma seacuterie temporal diferente com o mesmo aparato anterior~ mas

utilizando o bico A3~ Um capilar metaacutelico longo deixando a pressatildeo do reservatoacuterio

diminuir naturalmente atraveacutes do borbulhamento Esta seacuterie temporal eacute mostrada na Fig

420 O sistema estaacute evoluiacutendo em um movimento de periacuteodo 2~ regiatildeo (a) na Fig 420

onde a diferenccedila entre os dois ramos do atrator eacute de 55 ms A medida que a vazatildeo do ar

diminui Qcorre um encolhimento abrupto do atrator para outro periacuteodo 2 onde a

diferenccedila entre os famos passa o ser 1 nlS mostrando um salto na dinacircmica da fonnaccedilatildeo

de bolhas na regiatildeo (b) da Fig 420 Depois disC o sistema evolui para um periodo 1

mostrado na regiatildeo (c) Na Fig 421 estatildeo ilustrados cada perfil de borbulhamento nas

trecircs regiotildees Na Fig 421() temos duas imagens que mostram a formaccedilatildeo de uma

grande bolha em dois cstagravegios No priacutemeiro estaacutegio a bolha se forma com o tempo do

ramo superior do pedodo 2 da seacuterie temporal da Fig 420 (-25 ms) Logo que esta

bolha se destaca uma segunda bolha eacute criada durante a sua furmaccedilatildeo esta segunda

bolha toca bull bolha antenor e o fluxo de ar ascendente soprado dentro da bolha em

fonnaccedilatildeo vence a tensatildeo superficial fazendo a coalescecircncIacutea do par que eacute alimentado

4 Resultados e Anaacutelise 63

50~--------------------------------------~

(a)

~ ~ bull1o$ ~ bull bullbullbull u ~ gtbullbullbull

bull ~~ (b) -

~ ~ bull lt

(c)

~

bullbull _~_

~ (bullbullbullbull bulli~ ~~~I~~~~

1- W

40

7 ~3(l E ~

1-lt

20

~~~~~~ ~~~ 10

o I I o 500 1000 2000 2500 3000 3500 4000

n

Figura 418 Seacuterie temporal a partir do oomportatnento caoacutetico ateacute o penudo l Tneacuteo temJX) entre bolhas e n eacute a ordem da bolha coletada

~_ ~IV ~

l 1 _ 1 - 8~

~ ~ c bull

~~ G Q

gt middotcmiddot

C1r obull~ 8 ~ - -~

~

~ ~a o G

i~1bgt ~ ~ciacute1I ~

(a) (b) (c) (d) (e) Figura 419 Perfil das bolhas emitidas em cada um dos regimes mostrados na seacuterie da Fig 515 Em (a) vemos O oomportamentoca6tico (O) periacuteodo 2 com coal_neia (e) perlodo 4 (d) periacuteodo 2 e em (e) perlodo (1)

pelo bico soprador e se toma uma uacutenica grande bolha Com a diminuiccedilatildeo da vazatildeo de

ar O toque entre as bolhas deixa de ocorrer e o atrator diminui abruptamente

bull bull bull

__

64 4 Re$tlltados e Anaacutelise

25 _~r--~

bull bull bull

(b)Tn (ms)

20

15 bull

o 100 200 400 500 600 700 TI

Figura 420 Seacuterie temporal mostrando um salto na dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas o periacuteodo 2 se (X)otIai abruptamente em um periacuteodo 2 diminuindo o periacuteodo do borbulhamento

~~~~~ Blaquoltlt o

~~~~ ~ti~~ ~~~__o

$ 01lt- ~

~j3~~ ~ c ~lt _4B ~~~~ Oylt OImiddot

o

il~~ gt OI a~f~ omiddot~~ Omiddoti

~ltbullbull 01laquolt ~ deg -~ ~-

~- J~f~ 1ltlaquo O middot

~i ~~ltc 9~1 ~~~~ ~ ~~

~~I-~iJM ~1 l -gt

(a)

-ot

~~ ~~ -i)-~

-~jIi-J

(b) (c) Figura 421 Imagens das bolhas (a) antes do salto onde podemos ver as bolhas se tocando- e coalescendo (b) o- periacuteodo 2 apoacutes o salto onde as bolhas satildeo emitidas aos pares sem coalescecircnciacutell e (c) o periacuteodo 1

65 4 Resultados e AnacircJise

Uma mudanccedila abrupta de comportamento nos sistemas fiacutesicos pode ser

eAtilde-pHcada atraveacutes de mapas com descontinuidades como foi proposto por de Sousa

i Vieira el ai [Souza Vieira oi ai 1987] Par estudar assimetrias e descontinuidades eles

I utiacuteHzaram o mapa

I-e -alxX sexo gt0

x = f(x) (423)1-(e +8) =0

1-amp2 -a2Ix1 sex lt0londe S1 e EZ satildeo os coeficientes de descontinuidade z e Z2 satildeo os expoentes de

assimetria aJ e az satildeo os paragravemetros de controle do mapa x

~wa1rr~J

j(b)

ftlt 00 DS 110

X

~~_ shy h ~

ltgt01

raquo1111u

~ (a) bullbull

X

gtltt

bull a

Figura 422 Dois exemplos de mapas assimeacutetricos (a) omapa descontiacutenuo das equaccedilotildees 422 e os valores de cada puilmetro em (A) temos o seu diagrama de bifurcaccedilotildees Em (b) os jmagravemetros do mapa contiacutenuo e em (B) o respectivo diagrama de bifurcaccedilotildees

66 4 ResuitaikJse Anacirclise

Outro caso onde ocorre descontinuidades eacute atraveacutes do modelo de mapas

combinados em seacuterie [Tufaile 19 Tufaite si aibull 1999] no qual os sistemas interagem

aJtemadamente Este modelo pode ser exemplificado com os mapas unidimensionais

xbullbull = f4y) (424)

Yn+1 = g(~Xff+l)

cuja combinaccedilatildeo eacute a uniatildeo dos resultados dos dois mapas

S=fug (425)

Se considerarmos o mapa logistico com o paratildemetro de controle p~

Zn+l co PJVZn(l- In) com

(426a)[1+ (-l)JPr +[1 +(-l)]Py p~co

2

A recorrecircncia Zn pode ser rescrita em dois subsistemas independentes associados com a

paridade de 11

x =16pPr (I-x)[1-4p-x(1-xl] (42Gb)

y =16ppy(l-y)[1-4Pxy(I-y)] (4260)

Aleacutem disso os paracircmetros Px e py podem ser simultaneamente funccedilotildees de um

paracircmetro que acopla o sistema Devido agrave propriedade da formaccedilatildeo de bolhas de

diminuiccedilatildeo do tempo em funccedilatildeo do paracircmetro de controle~ pode-se utiliacutezar uma funccedilatildeo

convexa do tipo

zn+1 =z -a (427)

e fazer a combinaccedilatildeo em seacuterie deste mapa com o paracircmetro de controle assumindo dois

valores para a gt O8

0x =0 (428)

y =ltgt+01

O diagrama de bifu~o desta combinaccedilatildeo estaacute mostrado na Fig 423

Figura 423 00

A descontinuidade ~ obtida pela combinaccedilatildeo ~ 05 em seacuterie de dois tnaplS

quadraacuteticosshy-10

os 1006

a

67 4 Resultados eAnaacutelise

Interpretando o salto sob o ponto de vista dos mapas combinados em seacuterie

podemos considerar que antes do salto logo apoacutes a duplicaccedilatildeo de penado as duas

bolhas satildeo formadas atraveacutes da mesma funccedilatildeo de formaccedilatildeo Quando ocorre o toque a

primeira bolha do par possuIacute urna funccedilatildeo de formaccedilatildeo distinta da segunda bolha pois a

segunda bolha coalesce durante sua formaccedilatildeo com a primeira e o bico soprador passa a

encher o conjunto com quase o dobro do volume uma bolha

Outro tipo de combinaccedilatildeo de mapas eacute a combinaccedilatildeo paralela de dois mapas tt) e g(y) que resultam no mapa combinado s

x = - - p(I) y =y - py(I) (429)

Sn xlI +Yn

O6--------------------~

00shy

X -06shy P1

-12 shy

00

gt-bull -05shy ~ gt2 -10 00

gt- -05shy+Xt ~1Q gt 11 ~

(f ~15

-20 060 065 070 075 080 085

P

Figura4~24Acombinaccedilatildeo--j)am1e1a S de dois truiJX1S

onde x() e p(ccedil) satildeo paracircmetros de controle em funccedilatildeo de um paracircmetro comum ccedil

com cada mapa sendo iacuteterado separadamente Na Fig 424 temos dois mapas

bifurcando inversamente para diferentes valores do paracircmetro de controle p) enquanto

que a sua combinaccedilatildeo paralela possui uma bifurcaccedilatildeo flip do mapa da variaacutevel XII no

684 Resultados eAnaacutelise

ponto PIe que equivale a uma alteraccedilatildeo no periacuteodo dois do mapa Sh no ponto P2

devido agrave segunda bifurcaccedilatildeojlip do mapa Yn

A seacuterie da Fig 425() foi obtida utilizando-se o bico AI o mais curto dos bicos

da seacuterie A Nesta figura podemos ver que o salto foi nuacutenimizado Na Fig 425(b)

apresentamos a simulaccedilatildeo correspondente~ na qual utilizamos dois mapas combinados

em seacuterie

(a)

-70j lO ~

77 0 tle

U

E -z I- 50

40 2000

N -obull

-O~ (b)

0 (J) middot01 ~

middot1~

middot14

-16

10 11 1~ 1~ 1O a

Figura 425 Em (a) podemos ver uma seacuterie temporal obtida com a diminuiccedilatildeo da aZatildeo com o bico AI e uma soluccedilatildeo viscosa 80 glicerina e 20 aacutegua Em (b) a combinaccedilatildeo paralela de dois mapas A biftucaccedilatildeo flip que ocorre no mapa) quando levada agrave combinaccedilatildeo paralela ~ causa a diminuiccedilatildeo doperiacuteodo 2

4000

4 Resultados e Anaacutelise 69

4210 Antibolbas

Uma casca aproximadamente esfeacuterica de ar dentro de um liacutequido forma o que foi

chamado por J E Connetl de Gllliacutebolha segundo C L Stong [8tong 1974] Na Fig

426 estaacute esquematizada uma antiacutebolha

I

FJllUl1 426 Uma antibolba eacute uroa gota de um liquido envolvida por uma fina camada de ar dentro do liquido

Como o seu interior eacute preenchido pelo o mesmo liacutequido da parte externa as

antibolhas satildeo ligeiramente rnaiacutes leves que o fluido agrave sua vol~ mas satildeo mais pesadas

que as bolhas Deste modo correntes proacuteximas aacute antibolha podem deslocaacute-Ia facilmente

superando o seu empuxo Quando a casca esfeacuterica se desestabiliza a antibolha colapsa

em uma pequena bolha de ar esfeacuterica que emerge no liacutequido O tempo de existecircncia de

uma tibolha antes de sua desetabilizaccedilatildeo em uma pequena bolha de ar pode chegar a

ordem de minutos

No experimento do tubo borbulhador ocorre tambeacutem a formaccedilatildeo de antibolhas

para determinados regimes da formaccedilatildeo de bolhas As antibolhas seguem as correntes

do liquido dentro do tubo em movimentos ascendente e descendente Na Fig 427

podemos ver antibolhas ao reder de bolhas sendo sopradas no bico borbulhador Para o

liquido utilizado (2 partes de glicerina para I de aacutegua) bull ocorrecircncia de antibolhas

acontece a partir do estaacutegio onde aparece a coalescecircncia do par de bolhas chamado de

periacuteodo 2 antes do salto da Fig 421(a) A formaccedilatildeo das antibolhas eacute precedida pela

formaccedilatildeo de goticulas A formaccedilatildeo de gotiacuteculas estaacute esquematizada na Fig 428 onde

vemos em (a) que parte do liquido em movimento ascendente forma posteriormente um

capilar em (b) e uma goticula se desprende Nas imagens da Fig 428 podemos ver

I

70 4 Re5Ultadocircs e Anaacutelise

alguma imagens que mostram a formaccedilatildeo de gotiacuteculas dentro da bolha assim como

invaginaccedilatildees que podem levar a criaccedilatildeo de antibolhas

Assim como as bolhas as antibolhas desviam o feixe laser e podem ser

detectadas_ Verificamos isto colocando o sistema no regime de formaccedilatildeo de antibolhas

que corresponde a um periacuteodo 4 para as bolhas mostrado no mapa de retomo da Fig

429(a) O seu espectro de potecircncias estaacute na Fig 429(b) As antibolhas se deslocavam

dentro do tubo borbulhador seguindo as correntes internas do fluido COm

deslocamentos preferencialmente descendente proacuteximo agrave parede do tubo e ascendente e

altelerado proacutexiacutemo do bico soprador A quantidade de antibolbas dentro do tubo era

aproximadamente 30 e o feixe laser fui colocado num ponto em que as bolhas natildeo

passavam por eJt num ponto 2 cm acima do bico e 2 em deslocado do eixo do tubo

como o ponto PI da Figo 427 Nesta regiatildeo apenas as antiacutebolhas passavam pelo feixe

laser e noacutes obtivemos os dados mostrados no mapa de retorno da Fig 429(e) Nestes

dados satildeo apresentados 500 pontos correspondendo a 50 minutos de aquisiccedilatildeo com

intervalos de tempo entre 17 milissegundos ateacute 8S segundos

~~ ~ -0 -- O d

~ --- Arltibolhas

oO~f ltgt

figt O ~__ amobullbull -

7~

P1 9

middot0

-6

9

FIgUra 427lmagem das antibollw ao redor das bolhas que se formam no bico soprador Fazendo o Iascr incidir perpendiculannente ao plano da imagem no ponto Plfoi possiacutevel detectar algumas _bolhas se deslocando aleatoriamente dentro do tuoo borbulhador

71 -[ 4 Resultados e Anaacutelise

--~1

(d) itifit

~ Figura 428 Formaccedilatildeo de gotiacuteculas esquematizada em (a) (b) e (c) (d) Nas imagens podemos ver pagravedrotildees semelhantes nas bolhas

00 (c)(a)fi ] 25middot g ~

it shy

gt-

~1 ( ~~15 I

16 zo 2S 30 Tw(ms) TIlaquos

10 ~ $ 10

~ 10-e

bolha

Figura 429 Ca) Mapa de primeiro retorno do perlodo 4 e em (b) o seu ~ de potecircncias O mapa de retorno em (c) foi obtido com I) sistema nas mesmas condiccedilotildees daacute formaccedilatildeo das antibolhas mas posicionando o feixe laser e o fotodiodo de modo a detectar as antiacutebolbas que pa5Sa1Ul1 pelo ponto PI da Fig 427

(b)

00 01 02 1 03shy 04 06

72 4 Resultados e Anaacutelise 1

43 A onda sonora e as bolhas

Os efuitos de uma perturbaccedilatildeo externa a onda sonora na formaccedilatildeo das bolhas

satildeo apresentados e analisados neste capiacutetulo O problema das bolhas perturbadas por

ondas sonoras apresenta desafios muito interessantes do ponto de vista matemaacutetico) com

relaccedilatildeo a proposiccedilatildeo das equaccedilotildees que controlam o sistema e suas condiccedilotildees de

contorno pois1 aleacutem de um sistema de duas fas~ com uma das fases compressiacuteveJ

temos a accedilatildeo de uma onda sonora Do ponto de vista experimentai o tubo borbulhador

possui uma geometria que fagraveciacutelita a utilizaccedilatildeo da onda sonora devido aacute propriedade de

confinamento de ondas sonoras em tubos

Existem trabalhos que envolvem a accedilatildeo de ondas sonoras em bolhas ou gotas jaacute

formadas [MarstoIl 1980] ou quando bolhas ou cavidades satildeo criacuteadas dentro de um

liacutequido devido a uma onda sonora de alta intensiacutedade[Lauterbom 1986 Prosperetti)

1986J a chamada cavilaccedilatildeo acuacutestica Haacute ainda um caso conhecido como cavitaccedilatildeo

transiente no qual a temperatura no interior da bolha atinge mUhares de graus e a

pressatildeo chega a milhares de atmosferas Nestas condiccedilotildees ocorre o fenocircmeno conbecido

como sonoluminescecircncia que eacute a emissatildeo de luz por bolhas em um liacutequido excitado por

ondas sonoras [Putterman 1995 Moran el aI 2000] As frequumlecircncias das ondas sonoras

envolvidas com cavitaccedilatildeo satildeo da ordem de centenas de kHz Nestes trabalhos tambeacutem

se estuda como o campo sonoro emitido pelas bolhas~ devido aos efeitos da cavitaccedilatildeo~

afeta as proacuteprias bolhas Neste capiacutetulo veremos condiccedilotildees mais claacutessicas de interaccedilatildeo

entre bolhas e ondas sonoras do que as que ocorrem na sonoluminescecircncia Aqu~ neste

capiacutetulo a bolha eacute afetada pela onda sonora durante a sua furmaccedilatildeo no bico soprador

com frequumlecircncias da onda sonora variando no intervalo entre dezenas e centenas de hem

O tamanho das bolhas estudadas eacute da ordem de centimetros o que pcnnitiu registrar

suas imagens atraveacutes de uma cacircmara VHS comum Veremos tambeacutem como o sistema

onda sonora - bolhas nos levou ao estudo do mapa do ciacuterculo bidimensional onde

temos um oscilador sofrendo impulsos penoacutediacutecos de uma forccedila externa

73 4 Resultadoacutes e Anacirciise

431 A formaccedilatildeo de bolbas perturbadas pelas ondas sonoras

Nesta seccedilatildeo veremos os resultados que mostram a mudanccedila do tempo entre as

bolhas para uma onda sonora de frequumlecircncia fixa e valores de amplitude crescentes

[Tufagraveile e Sartarelliacute 2000a Apecircndice 2]

Mantendo fixa a vazatildeo do ar atraveacutes da vaacutelvula controladora e utilizando a

soluccedilatildeo de 66 de glicerina e 34 de acircgtll noacutes mudamos a dinacircmica da formaccedilatildeo de

bolhas aplicando ondas sonoras sintonizadas na frequumlecircncia fundamental da coluna de ar

acima do liquidO (138 Hz)

Na Fig 430 mostramos os mapas de primeira retorno em funccedilatildeo da amplitude

da onda sonora em regime de vazatildeo constante Estatildeo em destaque no canto superior

esquerdo de cada graacutefico a ampHtude do sinal senoidal e a frequecircncia meacutedia das bolhas

O sistema eacute colocado inicialmente borbulhando em periodo 1 com uma frequumlecircncia em

bolhas de 11282 bolhass como estaacute mostrado na Fig 430(a) Aplicando a onda

sonora o ponto fixo perde sua estabilidade e um ciclo limite aparece corno pode ser

visto na Fig 430(b) e 430(c) com um pequeno aumento da taxa de borbulhamento

meacutedio

Na Fiacuteg 430(c) o ciclo limite perde sua estabilidade e um ponto fixo proacuteximo

de (87ms 87ms) eacute visitado intermitentemente Este ponto fixo foi determinado atraveacutes

de um histograma do graacutefico de Tn As transfonnadas de Fourier dos dados relacionados

agrave Figs 43O(d-g) mostram um periacuteodo 2 ruidoso Mostramos na Fig 431 o espectro

de Fourier dos dados do atrator da Fig 430(1) Neste espectro vemos um grande pico

em O~5~ o que corresponde ao penado 2

Isto mostra que estaacute ocorrendo uma bifurcaccedilatildeo flip em funccedilatildeo da

amplitude da onda sonora Em uma bifurcaccedilatildeo flip existe um ponto fixo instaacutevel entre

os dois pontos fixos estaacuteveis Nossos dados mostram que a vizinhanccedila do ponto meacutedio

entre os dois pontos fixos eacute visitada devido ao ruiacutedo~ e consequentemente) nossos dados

satildeo adequados para se aplicar a teacutecnica de transfonnaccedilatildeo de ponto fixo desenvolvida

por So e aI [80 et al~ 1996] para se encontrar oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis em seacuteries de

eventos

bull bull bull

bullbull

74 4 Resultados e Anaacutelise

I 112921

I gt65 11lt196 I

bull---~~ --- ~ bull bullbullbull

11_

[

I (1145 11n41 I - 11470 I

4 ~~

- - - - - - iCcedil

(gtl middot bull AOlt 56

(raquo

~~~~----shy---~- - -shy middot bull middot bull bullbullbull )bull bulllt~ shy- 11461shy bull ~ bull

f ~ o loli ----- -~~ ----~- 1 ~- -~ -S - f~ ~ -~ bull middot bull

bullbull bull bull bullbull bull

- bull-bull

i)

T~(ms)

- r 11 ~1 09 1117111 05 1141 I 0-6 bullbull

-T ~~ j ~ - ~~~~

- ( [ f l~~lt bull l) ~ L_ bullbullbullbull IJI~f l ~ r ~ ~ ~ ~ _ _bull

t bull i i f~lO ~ O) bullI 00bull Tnms)

Figura 430 Mapas de retomo do Ciper1mcnto do tubo borbulhador Em cada graacutefico temos no cantO superior esquerdo o valor da tensatildeo aplicada no alto-falante e o valor da frequumlecircncia de boacuterbulbamento meacutedia O liacutequumlido utilizado eacute uma soluccedilatildeo de 66 glicerina e 34 aacutegua e as bolhas foram sopradas diretamente na seringa plaacutestica

4 Resultados e Anaacutelise 15

1

p

I 100~~______~~----~-----~~--1~~111ilIUlltill~

00 01 02 03 M 05

(bolhar1

Flgura 431 Espectro de Fourier dos dados da Fig 30(f) iodiacutecando bull existecircllCIacutetI de um periodo 2 ruidoso

Um exemplo dos nossos resultados estaacute mostrado na Fig 432(a) onde estaacute

representado o histograma para o caacutelculo do ponto fixo usando os dados mostrados na

Fig 43O(h) Para uma melhor visualizaccedilatildeo da posiccedilatildeo da oacuterbita perioacutedica instaacutevel um

graacutefico da intensidade para os mesmos dados eacute mostrado na Fig432(b) O maior pioo

define um periacuteodo I instaacutevel em (869l ms 8699 ms) proacuteximo do ponto fixo estaacutevel

mostrado na FigAlO(e)

Aumentando ainda mais a amplitude noacutes obserVamos o aparecimento da regiatildeo

caoacutetica com as caracteriacutesticas da dinacircmica de estiramento e dobra como estaacute mostrado

nas Figs 430(h-i) e oom pequena mudanccedila na frequumlecircncia meacutedia de borbulhamento Os

atratores na regiatildeo caoacutetica foram caracterizados pelo expoente de Lyapunov dominanre

[Ellner ti al 1912] e estes expoentes podem ser vistos na Fig 433

1

76 4 Resultados e Anaacutelise

(a) Contagens

iacutel00

(b)

Contagens~m (lJ ~337raquoj middotiIrmiddot = IIHI tgt ~ blHH

lIS1I eM elo IIU =JT(lM) 10bullbull

Figura 432 Histograma JXlffi a determinaccedilatildeo da oacuterbita perioacutedica instaacutevel (a) e graacutefico de contorno para os mesmos dados (b) localizando () ponto fixo instaacutevel um fX)UCO abaixo de amp7 ms

05

~--- -T

i I _ _ 1osoagrave rn eacute-

~- 025- I n o

0001 bull

03 04 05 06 07 08 09

Tensatildeo aplicada no alto-falante M

Figura 433 E potntes de Lyapunov dos atratores moStrados em 4JO(e) a (j) em funccedilio da tensatildeo aplicada no alto--falante

77 4 Resultados e Anaacutelise

Continuando a aumentar a amplitude da onda sonor~ com incrementos maiores

do que ante noacutes obtivemos os atratore mostrado na Fig 434 Na Fig 434(m) a taxa

de borbulhamento meacutedia eacute de 205 bolhasls para uma onda sonora gerada com um

tensatildeo de 314 V no alto-falante A posiccedilatildeo - (725 ms 725 ms) eacute visitada com um

comportamento intermitente O tempo de visitaccedilatildeo aumenta quando a amplitude do som

aumenta ateacute que o ponto - (725ms 725ms) torna-se um ponto fixo estacircvel~ como

mostrado na Fig 434(n) Nesta situaccedilatildeo a frequumlecircncia meacutedia de borbulhamento eacute

F=13797 plusmn 9 bolhass tem o mesmo valor da frequumlecircncia da onda sonora Na Fig 435

podemos ver a diferenccedila entre as imagens das bolhas para o primeiro ponto fixo dos

dados mostrados na Fig 434(a) e o ponto fixo na ressonacircncia do atrator da Fig

434(n)

100i 314 205 10 13797 I l

~

Ul

E ~

i

1

+ I ~ T gtt ~~

ao ~ -i )I~ L bullbullbull amiddot ~

bull ~f - bullbull ~ bull (~1iii2~_~~

middotmiddotmiddotmiddotmiddotvb-~middot

r-li ~ ~ ~ i f~ ~

w-i~ 1 _o - ~ -~ ~ 1 ~ ~~imiddot ~ 20-1shy ~ -r shy

~i i~ ~

1t middotmiddot middotlt~fO I i i j

(m) 1 bull

(n) I

ti 20 40 fD 80 100

T n

Figura 434 (In) O ponto - (725 ms 725 ms) eacute visitado em wn comportamento intemuacutetenle com os outros pontos espalhados pelo espaccedilo de fases Em (n) a formaccedilatildeo das bolhas sinaoniza-se com a frequumlecircncia fundamenla1 do tubo e temos apenas o ponto- (725 ms 725 ms)

4 Resultados e Anaacutelise 7amp

a b

432 Atratores do tipo Heacutenon

Os resultados da seccedilatildeo 431 nos mostraram uma grande evoluccedilatildeo da dinacircmica

da furmaccedilatildeo das bolhas com o aumento da tensatildeo aplicada no alto-filante A regiatildeo da

dinacircmica que apresenta a bifurcaccedilatildeo fip~ seguida por atratores caoacuteticos eacute semelhante

aos sistemas dinacircmicos que apresentam propriedades de estiramento e dohra como o

mapa de Heacutenon discutido na seccedilatildeo 27 Por este motivo veremos a comparaccedilatildeo entre

atratores experimentais nessa regiatildeo e o mapa de Heacutenon na tentativa de compreender a

dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas para uma regiatildeo do paracircmetro de controle

De modo a reduzir o ruiacutedo nos dados utilizamos uma soluccedilatildeo mais viscosa 80

glicerina e 20 aacutegu~ e utilizamos o bico A2 Para termos uma variaccedilatildeo mais fina do

paracircmetro d controle alteramos o fator de amplificaccedilatildeo do gerador de funccedilotildees cujo

sinal alimenta o aitcrfalante A vazatildeo de ar e a frequumlecircncia da onda sonora foram

mantidas constantes~ em -366 bolhass e 150 Hz respectivamente Noacutes alteramos a

dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas aumentando a tensatildeo no alto-falante como mostrado

~

sect 8 o

g g middot0 o

Figura 435 Imagem da sincroruzaccedilatildeo das bolhas com a onda sonora no tubo borbulhador Em (a) temos a im1lgem para o ponto lixo lMSU1ido na Fig 430(a) com Fe=11282 bolhasl$ (b) O uacutellimo ponto fixo mostrado na Fig 434(n) quando as bolhas estatildeo sincronizadas com a frequumlecircncia da onda sonora (138 Hz) Nos dois casos teOlQ$ a mesma vdZatildeo de ltIr

79

(f)

~

4 ResultmlcseAnaacuteJise

pelo diagrama de bifurcaccedilatildeo na Fig 436 num regime de vazatildeo constante Nesta figura

vemos uma dupliacutecaccedilatildeo de penado ocorrendo ao redor de 20 V com as bolhas sendo

emitidas aos pares ateacute aproximadamente 3~O V~ quando um penodo 4 ruidoso aparece

Apoacutes isto duas bandas caoacuteticas aparecem Para --3~5 V as duas bandas caoacuteticas se

encontram e se sobrepotildee~ com o aparecimento de um atrator caoacutetico maior

~

20 25 Tensatildeo no alto-falante M

Figura 436 Duplicaccedillo de perlodo em funccedilatildeo da amplitude da onda sonora A frequumlecircncia da onda sonora eacute 150 Hz e a ftequumlecircnciacutea de borbulhamento inicial eacute por volta de 31 bolhass

Para realizar a caracterizaccedilatildeo meacutetrica e topoloacutegica da dinacircmica da formaccedilatildeo de

bolbas sob a accedilatildeo da onda sonora noacutes coletamos seis seacuteries de eventos fixando a tensatildeo

em seis valores distintosgt cujos mapas de retomo (T+- vs T1I) satildeo mostrados na Fig

437

figurA 437 Uma l-Vi I v li I bull vll seqUecircncla de atratoresi reconstruiacutedos- i tmiddot mostrUdo uma rota

~ para o Caos atniveacutes de duplicaccedilotildees duto periacuteodo O valor emta) (b) (e) volts corresponde agrave tensatildeo mantida

t constante no altoshy falante durante a

32

~~ obtenccedilatildeo do atnltOf ~

(eI) bull I(e)

~I

32 Tms)

80 4 Resultados e Anaacutelise

432A Caracterizaccedilatildeo meacutetrica

Os alratores caoacuteticos reconstruidos Figs 437(d) ateacute 437(f) foram caracterizados

atraveacutes dos expoentes de Lyapunov pela dimensatildeo de Kaplan-Yorke aleacutem da dimensatildeo de

Infonnaccedilatildeo obtidos pelo pacote de programas TISEAN [Hegger aI ai 1999] A conjectura

de Kaplan-Yorke [Argyris o ai 1994) que relaciona a dimensatildeo de Infonnaccedilatildeo e a

dimensatildeo de Kaplan-Yorke (equaccedilatildeo (211 raquo mostra que elas se igualam para alratores do

tipo Heacutenan As dimensotildees foram obtidas para as lensotildees de 35 V 40 V e 45 V como

estaacute mostrado na tabela 41 As dimensotildees de InfOrmaccedilatildeo e Kaplan-Yorke coincidem para

os trecircs atratores caoacuteticos

I I

Figura nuacutemero

3d 3e 3

Tensatildeo llspeccediltro de Dimensatildeo de Dimensatildeo de LYaOUllnv Katgtlan-Yorle Informacatildec

35 +011-08 115 I 13 3 40 +012-06 1 23 1 143 ---

1)45 + 02 - O) - 09 168 18 3 Atrator de Heacutenon

o b I 55 01 +038-238 116 II~14 03 + 042 -162 117 119

Tabela 41 Expoentes de Lyapunov e dimensotildees dos atnitores caoacuteticos experimentais e de dois pares de valores do mapa de Heacutenon

Cada um dos dois primeiros atratores caoacuteticos possui espectro de Lyapunov com um

expoente positivo e o outro negativo~ enquanto que o uacuteltiacutemo atrator Fiacuteg 437(f) possui um

expoente positivo e dois expoentes negativos Na tabela 41 satildeo apresentados os resultados

para mapa de Heacutenon mostrado na equaccedilatildeo (212) para dois conjuntos de valores dos

paracircmetros (a b) e os atratores experimentaiacutes reconstruiacutedos

Os valores das dimensotildees dos atratores para amplitudes de 35 V e 40 V satildeo

proacuteximos dos valores das dimensotildees do mapa de Heacutenon sugerindo que eles podem ter

dinacircmica similar O atrator reconstruiacutedo para 45 V mostrado na Fig 437(1) tem a fonna

semelhante aos dois outros atratores anteriores Entretanto) comparando-se as dimensotildees

deste atrator com as dimensotildees dos atratores das Figs 437(d) bull 437(e) vemos que o valor

da sua dimensatildeo de Informaccedilatildeo eacute maior que a diacutemensatildeo dos dois outros atratores

experimentais assim como dos valores de dimensatildeo para o mapa de Heacuteno~ como pode ser

4 Resultados e Anaacutelise amp1

visto na tabela 41 Junto com o fato de que o atrator d Fig 437(1) tem trecircs componentes

no espectro de Lyapu~ov a dimensatildeo de Informaccedilatildeo proacutexima de dois eacute uma indicaccedilatildeo que

este atrator natildeo pode ser totalmente desdobrado em duas dimensotildees

432B Caracterizaccedilatildeo topoloacutegica

Para o mapa de Heacutenon com os paracircmetros ti =1~55 e b = 01 1 utilizando a equaccedilatildeo

(212) para calcular a posiccedilatildeo dos pontos fixos para a variaacutevel x do mapa de Heacutenon

encontra~se que o ponto fixo x estaacute localizado em aproximadamente 0~56 Este ponto

corresponde a um dos pontos de cruzamento da linha diagonal pontilhada com o atrator

reconstruido Xn+1 V$ X como pode ser visto na Fig 438(a) Neste atrator o ponto fixo

possui dois autovalores dados pela equaccedilatildeo (214) Agravel = 006 eM = -179 que caracterizam

este ponto fixo como um ponto de sela A variedade estaacutevel ecirc tangente agrave direccedilatildeo do

autovetor contraente relacionado ao autovalor positivo Agravel menor do que 1 e a variedade

instaacutevel eacute tangente ao autovetor de estiramento relacionado com Oautovetor 2 com valor

absoluto maior do que I Isto estabelece que o ponto fixo e um sela jlip [AIliacutegood el ai

1997]

Na Fig 438(a) podemos ver tambeacutem um exemplo d evoluccedilatildeo dos pontos no

atrator~ atraveacutes da alternacircncia dos pontos ao longo da direccedilatildeo instaacutevel ateacute a trajetoacuteria

alcanccedilar as extremidades do atrator Partindo de uma regiatildeo proacutexima do ponto de sela do

atrator de Heacutenon noacutes vemos os pontos iacutempares iniciais acima da linha diagonal pontilhada

(I 3 5 e 7) a os pontos pares abaixo desta linha (2 4 e 6) caracterizando bull variedade

instaacutevel Nos mapas de primeiro retorno exparimentais mostrados nas Figs 437(d) (e) e

(I) noacutes dividimos o atrator em duas partes com uma linha diagonal para determinar os

pontos que cruzam com o atrator Ocorreu o comportamento de alternacircncia da trajetoacuteria

para os trecircs casos do mesmo modo que o observado no atrator de Heacutenon como estaacute

exemplificado na Fig 438(b) para o atrator obtido com UIDa tensatildeo no alto-falante de 40

V Do mesmo modo que no atrator de Heacutenon noacutes comeccedilamos num ponto proacuteximo da

interseccedilatildeo do atrator com a linha diagonal (TN = TN+ l aproximadamente igual a 27 ms)

com as extremidades do atrator sendo visitadas pela oacuterbita Deste modo devido as

semelhanccedilas de evoluccedilatildeo dos atratores experimentais com a evoluccedilatildeo do atrator de Heacutenon

82

~

+ 1- 26

24

4 ResultlJdcs eAnuacute]se

noacutes podemos inferir a existSncia de um ponto de sela flip nos atratores experimentais

mesmo para o caso da tensatildeo de controle de 45 V cujo espectro de Lyapunov tem trecircs

componentes e dimensatildeo proacutexima de dois

lS

I I (a) 6

10-1 ~ Figura 438 (a) Vemos ao lado a trajetoacuteria sobre nove pontos da al13tOr de Heacuteoon para exemplificar o comportamentoosol I de um ponto de selajlip localizada proacutexima do ponto 1

I gt~ ) ) (x= 056)

) ooJ 8~

-Osol

7

-10 -10 -05 00 OS 10 15

XN

I - -

(b) O mesmo oomponamento de um Ixmto fIXO tipo selaflip pode

JO- 1 ~ gt ser observado pm1 o atrator experimental com os pontos pares uacuteuacuteciais (2 4 e 6 acima da

~ fi) diagonal e os pontos imparcs20i iniciais (I 3 5 e 7) abaixoE 1~t I~

22 22 24 26 28 JO

TN(ms)

32 ~ ~

4 Resultados e Anaacutelise $3

432C Plano simb6lico

Como os planos simboacutelicos satildeo representaccedilotildees graacuteficas da diacutenacircmica e urna poderosa

ferramenta para se comparar sistemas dinacircmicos noacutes aplicamos a teacutecnica de dinacircmica

simboacutelica para os atratores mostrados nas Figs 437(d) ateacute 437(1) assim como no atrator

de Heacutenon (0=155 e 1gt=01) para podennos comparar as semelhanccedilas e diferenccedilas entre eles

Definimos as particcedilotildees L(R) atraveacutes da linha tracejada Na Fig 439() mostramos o atrator

de Heacutenon para a=155 e b=O1 com a sua respectiva particcedilatildeo que separa a regiatildeo formada

por uma linha (L) da regiatildeo com uma dobra (R) que conteacutem o ponto fixo instaacutevel O plano

simboacutelico aJ3 deste atrator estaacute mostrado na Fig 4J9(A) Nas Figs 4AO(b) ateacute 440(d)

temos os atratores experimentais cujas particcedilotildees satildeo as linhas tracejadas que separam uma

regiatildeo com um ramo (L) de uma regiatildeo com dobra (R) Os respectivos planos simboacutelicos

aJ3 estatildeo mostrados nas Figs 440(B) (C) e (D)

Comparando--se a Fig 4J9(A) com as Figs 440(B) (C) e (D) percebe-se o padratildeo

de cada plano simboacutelico eacute semelhante ao plano simboacutelico do mapa de Heacutenon A maior

I

84

R

22 I I I I I I II I 22 24 26 28 30 32

4 Resultados e Anaacutelise

semelhanccedila ocorre entre o atrator de Heacutenon e o atrator experimental com a tensatildeo de

controle de 35 V da Fig 440(B) cujo plano simboacutelico possui as mesmas regiotildees permitida

e proibida Para valores maiores de amplitude da onda sonora algumas zonas deixam de ser

proibidas ~ ocorrendo uma invasatildeo nestas regiotildees como por exemplo a =O~8 e 1=04 na

Fig 4AO(D) mostrando que a formaccedilatildeo de bolhas estaacute se aiacuteagravestando da dinacircmica do tipo

Heacutenon e ficando muito semelhante ao plano simboacutelico do mapa do ciacuterculo~ como pode ser

visto na comparaccedilatildeo entre a Fig 4AO(C) e a Fig 212(A)

(b)1 (8) Ikll ti h u n u r

tII-q U bull

n-~ 1 n - ~

~ -shy-~

bull

(c~ I (~) lt

tll rt O 111 t

~2 t= - ~

iSlt iH tl t III n bull

bullbull

~~ bull ~~

~ lloe

(d)1 (D)~O8 ~ t t t t tE 30 06

Ccedil 28 ocircUL ua

= -t Ibull ~ _ ~O4 t (1-2

26 ~ H 1~ ~ m H)224 oh _fi rbull u d~

I I I I I r I I bull I I I I I 00 34 00 02 04 06 08 10

TN(ms) a

Figura 440 Mapas de retomo experimentais com particcedilotildees e respectivos planos simboacutelicos

85 4 Resultados e Anaacutelise

44 Oscilaccedilotildees forccediladas

Mapeamentos bidimensionais como o mapa de Heacutenon normalmente satildeo usados

como seccedilotildees de Poincareacute de osciladores forccedilados [Thompson e Stewart 1986] Se

considerarmos a existecircncia de um movimento oscilatoacuterio na formaccedilatildeo de bolhas e a onda

sonora como uma forccedila perioacutedica externa podemos compreender o sistema bolhasonda

b gt I I=1C

QP-gt

-AR I

)

) P

- Figura 4Al Representaccedilatildeo esquemaacutetica do sistema bolhasonda sonora como um oscilador forccedilado onde Po eacute O periodo de oscilaccedilatildeo associado agraves bolhas c PI eacute o periodo da onda sonora

sonOTa como um oscilador forccedilado como

estaacute diagramado na Fig 441

Deste modo podemos interpretar os

mapas de primeiro retorno observados

experimentalmente como seccedilotildees de Poincareacute

de um oscilador forccedilado Outro sistema

dinacircmico que representa um oscilador

forccedilado eacute o mapa bidimensional do ciacuterculo

discutido na seccedilatildeo 29

K Bn+1 =Bn +Q- 27 sen2nBn +brn (mod 1)

K TII+I = bTn - 27 sen 27Bn

(430)

As duas frequumlecircncias envolvidas no

experimento cuja razatildeo nos daacuteQ~ para o tubo

borbulhador satildeo a frequumlecircncia da onda sonora

e a frequumlecircncia de borbulhamento O tempo

entre bolhas estaacute relacionado com a variaacutevel

rri do mapa O paracircmetro K estaacute relacionado

com o experimento com a tensatildeo que eacute aplicada no alto-falante Para explorarmos a regiatildeo

inicial do mapa do ciacuterculo diminuiacutemos o fator de amplificaccedilatildeo do sinal do gerador de

funccedilotildees para o alto-falante Utilizamos o liacutequido 80 glicerina e 20 aacutegua e o bico A2

i

4 Resulodes Anaacutelise 86

I

Na Fig 442(a) temos os dados obtidos para um valor de EX = 37 e na Fig

4A2(b) o resultado da simulaccedilatildeo utilizando o mapa do circulo com b = - 01 Os dados

mostram que com o aumento da amplitude da onda sonora o ponto fixo inicial daacute lugar a

um ciclo limite cujo raio aumenta de maneira aproximadamente linear ateacute a tensatildeo de 44

V Apoacutes este valor de tensatildeo uma janela perioacutedica ocorre e o sistema entra numa regiatildeo

caoacutetica para varores de tensatildeo entre 54 V e 87 V A regiatildeo caocircttca eacute substituiacuteda por um

travamento frequumlecircncia de periacuteodo 1

27 ~ I n~=37 I 2ll

z gt-25

24 _- shy-~~~i ~ r O 2 4 Tensatildeo 1 6 8 10

030 l 0=37 i b=~O1015

C 000 ~

-015

-030 shyK 15 20

Figura 441 Em (a) vemos os dadoo obtidos com o experimento do tubQ borbulhador COm a razatildeo entre a freQUumlecircncia da onda sonora e a freqtiecircncia de borbulhamento igual a 37 Em (b) simulaccedilatildeo com o mapa do circulo bidimenslQnal

A comparaccedilatildeo com O mapa do ciacuterculo da Fig 442(b) mostra as mesmas

caracteriacutesticas O ruiacutedo experimentat tem a tendecircncia de mascarar as janelas perioacutedicas~

mas a janela perioacutedica central eacute bem visiacutevel nos dois casos

Diminuindo a frequumlecircncia de borbulhamento e repetindo o aumento da amplitude a

partir do zero temos os dados da Fig 443(a) com um valor de EX = 427 N Fig 443(b)

87 4 Resultados e Anaacutelise

bull simulaccedilatildeo com o mesmo valor de f e h = - 01 Esta regiatildeo triangular inicial para baixas

amplitudes da onda sonora e para estes valores de n~ ecirc uma rota para o Caos via quaseshy

periodicidade

o 2 Tensatildeo M 4 S 8

02 - I n=427

c (O ~

-1gt2

1 - I I

05 K 10 15 20

Figura 443 (a) Dagravedosexperimentais com a razatildeo entre as freqUecircnci3S-da onda sonora e do bottmIbamemo igual a 427 (b) Seacuterie obtida com o mapa doclrculo com Qr421 eb= ~O1

441 Comportamento geral

Agora veremos o travamento em penodo ] apoacutes a regiatildeo quase~perioacutedica triangular

seguida de duplicaccedilatildeo de penodo e Coos

Para obter a seacuterie temporal noacutes escolhemos um ponto fixo sem a onda sonora com

a taxa de borbulhamcnto Fb liacuteIfh onde To eacute o tempo meacutedio entre bolhas sucessivas e

apoacutes isto noacutes aumentamos a amplitude A do som continuamente

bull bull

bull bull bull

88 4 ResultadoscAnaacutelise

=f = j

T

E j T (a)fi ~

I I I 4 Aa u) 6

0381 b-O1

05

t

00

~lt

~~i (b) I K bull(~

bull4

Figura 4A4 (a) Djagmma de bifurcaccediltlo experimental Oponto 11xo experlmenW T oorresponde a 261 ms (b) diagrama obtido com o matn do ciacuterculo com y = 019

i

Na Fig 444(a) pode ser vista a seacuterie experimental~ Tn V$ A para urna taxa de

borbulhamento de F = 3937 bolhasls e QEX= FF = 381 Na Fig 444(b) temos o

diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo r vs K calculado com b = 01 e o mesmo

valor de razatildeo de frequumlecircncias ~h =381

Temos algumas similaridades entre OS dois diagramas PartindO deK=O e A==O cada

ponto fixo perde sua estabilidade quando aumentamos o respectivo paracircmetro de controle e

ocorre uma regiatildeo quase-perioacutedica Os pontos fixos 1 e r tomam~se estaacuteveis para A por

volta de 27 e K aproximadamente igual a 107 O ponto fixo T(r) eacute estaacutevel ateacute A 47 (K

= 2gt44)~ quando inicia~se uma cascata de duplicaccedilotildees de periacuteodo Deve ser notado que as

posiccedilotildees destes pontos fixos estatildeo na regiatildeo superior da banda triangular (gt0 e Tgt To)

89 4 Resultat1cs e Anaacutelise

As propriedades dos diagramas satildeo facilmente exp1icadas~ se analisarmos as

propriedades do mapa do ciacuterculo Segundo as equaccedilotildees (228) o ponto fixo r apoacutes a regiatildeo

quase-perioacutedica no mapa do circulo eacute dado por

r~- O (modi) s_O (mndl) lt 05 (431)

I - Q (mnd I) se Q (mnd I) gt 05

No atrator experimental O ponto fixo T ocorre quando a regiatildeo quase-perioacutedica

atinge uma frequumlecircncia de borbulhamento igual a um submuacuteltiplo da frequumlecircncia da onda

sonora de 150 Hz

T~ 41150= 267ms (432)

onde o nuacutemero 4 eacute o inteiro mais proacuteximo do valor de Oex = 381 Este fenocircmeno eacute

conhecido com travamento sub~harmocircnieo (subharmonic entrainment) (Hayashi 1985] e

ocorre em um oscilador forccedilado quando a razatildeo entre a frequumlecircncia da forccedila externa e a

frequumlecircncia natural do oscilador estaacute na vizinhanccedila de um inteiro diferente de I

f j 3D -I T

1 ____ +

QE(= filgt 415

J

______ u I aIl ~~~1~lt

(a ~ ~ ~~ 2 1bull bullI bullI ACa li) bull

u = 41$ b 01

middotmiddotl 0

-~~ru---- i ~~ (b

a 1 2 3 4 5K

Figura 445 (a) Diagrama de bifurcaccedilatildeo cxperimenlal com To -271 ID$ O JXlnto fixo experimentai T colTeacuteSpOllde a 267ms (b) diagrama obtido com o mapa do clrcuJo CQM r -015

4 Resultados e Anaacutelise 9(l

Com outra frequumlecircncia de borbulhamento F=3614 bolhas ms com a mesma

frequumlecircncia da onda sonora de 150 Hz obtivemos o diagrama experimental que estaacute

mostrado na Fig 445() com nEJ( = 415 Podemos notar as mesma similaridades

descritas anteriormente como O travamento sub-harmocircnico do borbulhamento dado pela

equaccedilatildeo (432) poreacutem o ponto fixo experimental (TltTo) estaacute agora no limite inferior da

regiatildeo quase-perioacutedica triangular Na Fig 4A5(b) temos o diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa

do circulo com nT = 415 e b = 01 O ponto fixo T(r) toma-se instaacutevel em A

aproximadamente igual 45 (K 236)

Noacutes podemos dividir a evoluccedilatildeo do borbulhamento em duas regiotildees urna regiatildeo

inicial relacionada com o comportamento quase-perioacutedico (A ~ 25) e a rota de duplicaccedilatildeo

de periacuteodo (A ~ 4)

Para valores inteiros de h natildeo observamos a regiatildeo quase-perioacutedica Ajustando a

0a f)f =40

3

T=T- - E 1-shyI s

J m (a)

I I

2bull A(a u bull bull n-=40 b=O1

~U1 ~ ~c

bl

bull 1 2 3 4 K

Fiboura 446 (a) BorbulhamentocomQn = 40 Nas condiccedilotildees acima natildeo baacute a regiatildeo quaseperioacutedjca e 1To eacute estivel na regiatildeo ineiaI deA (b) O mesmo eacute observado para o mapa do cIrculo com Ot=4O e b=Ol

-- -

91 4 Resultados e Anaacutelise

frequumleacutencia d borbulhamento para 375 bolhass tal que ordmX = 40 natildeo ocorre a regiatildeo

quase-perioacutedica como pode ser visto nos dois diagramas da Fig 446 O ponto fixo T ~ T

V = O) eacute estaacutevel ateacute A aproximadamente igual a 37 ( K 22 ) e o sistema evolui

diretamente par a caseata de duplicaccedilotildees de periodo

Na Fig 447 temos algumas liacutenguas de Arnold para o mapa do circulo

unidimensional (b = O) como uma aproximaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo bidimensional com

b=plusmnO1 Para um valor de n (mod 1) diferente de O o sistema inicialmente evoluiacute na regiatildeo

quase-perioacutedica mostrado pelas setas pontilhadas ateacute que O sistema alcanccedila o ponto fixo

estaacutevel dado pelos circulos cheios Mesmo para os casos dos dados mostrados nas Figs

442 e 443 podemos ver quando o sistema atinge as regiotildees das liacutenguas de Arnold relativas

ao penodo 4~ marcado pejas pequenas Unhas horizontais pontilhadas Para fi = O) o sistema

percorre a regiatildeo inicial de K no periacuteodo 1 relativo ao nuacutemero de rotaccedilatildeo W= 01

iacute 11) i2 fI- li I LeHHJ~~ I I I I In

11 ( K j~

I~ I

1I 1 II (lrl j

00 _ 05 gt0

n mod(1) shyFigura 447 As sete linguas de Arnoid mais largas com seus respectivos nuacutemeros de rotaccedilatildeo Os nuacutemeros entre parecircnteses coloridos no topo e na base oorrespondcm aos nuacutemeros das figuras mostradas neste eamtulo

92 4 Resultados eAlIaacuteJise

442 Comparaccedilatildeo dos atratores

Os atratores caoacuteticos do tipo Heacutenon que aparecem no mapa do circulo sofrem uma

rotaccedilatildeo ao redor do ponto do ponto de selaflip como pode ser visto nas comparaccedilotildees entre

atratores experimentais reconstruiacutedos da Figs 448(A) e 448(C) e entre os atratores

obtidos numericamente das Figg 448(a) (b) e (c) Usaremos o termo saxofone que foi

utiacutelizedo por R Shaw [Shaw 1984] para atratores obtidos no experimento da torneira

gotejante para designar os atratores das Figs 448(a)-(A) Experimentalmente e

numericamente~ as condiacuteccedilotildees de orientaccedilatildeo dos atratores saxofone satildeo as seguintes

n (mod 1)gt 05 formato de saxofone (433a)

n (mod 1) lt 05 formato de saxofone invertido (433b)

Quando a parte fracionaacuteria de n se anula temos a formaccedilatildeo de um atrator do tipo

duplo gancho como estaacute mostrado na Fig 448(b) e 4A8(B) Como foi discutido na seccedilatildeo

4J22 todos os atratores experimentais apresentam um ponto de sela jlip que estaacute

localizedo na interseccedilatildeo de cada linha diagonal com cada atrator das Fig 448 Em todos

os casos este ponto de sela substituiu o ponto fixo estaacutevel 1~ do travamento sub~

harmocircnico (equaccedilatildeo 432) Por isso no atrator experimental o ponto de sela jJip~ Tfo eacute

calculado do mesmo modo que o ponto fixo estaacutevel T

~ ~4150=267l11S (434)

onde o nuacutemero 4 eacute o inteiro mais proacuteXIacutemo do valores das razotildees de frequumlecircncias OEX (381

40 e 415) com a frequumlecircncia da onda sonora sendo de 150 Hz Para os atratores obtidos

rumericamente a posiccedilatildeo do ponto de selaflip rfi tambeacutem eacute calculada com equaccedilatildeo (431)

Em particular os trecircs pontos de selaflip dos atratores mostrado nas Figs 448 satildeo

rl(A) 019

~~-M ~~ rr(C) -015

93

4 Resultaoos eAnaacutejse

I_mlltQfl_ Figura 448 (a) O atratori ~ 1

1 saxofone obuacutedo com o experimento do tuboI I borbuIhador no pontoi ~ indicado por uma seta na seacuterie mostrada na FigI ~ I 444(a) (A) A simulaccedilatildeorJie) I 1 (A) bull com o mapa do drculo

bull laquo

gtJ_ ~(I _ (b) Atrator eJqgterimental do tipo gancho duplo

I

l Ki-i - obtido nas mesmasi condiccedilotildees indicadas pelai j j bull v1 ~I q seta sobre a seacuterie da Fig ji

446() (B) Alrl j obtido ltom o IIlltiJ(f do

gtJ (b) 1 -AJ I (a) ltV M circulo

raquo gtlt w raquo u ~~~ ~ c---------------

N111gtIgti_i -~ lt-U4I_ i (c) Rotaccedilatildeo do atmtor experimental obtido no

ponto indiacutecado pela seta- na seacuterie da Figt 445(a)g ~ bull ~ C A mesma fOtaccedilatildeona ~ simuJaccedilgo feita com oJ marm do circulo u(CI V laquo) ____

)o lO lO ~ Q

T(ms) ro

Quando a parte fracionaacuteria de QEgt vale

05 aumentando-se a amplitude~ temos tambeacutem o ponto fixo de periacuteodo 1 que se torna

finstaacutevel surge um periacuteodo quatro e depois - gt

disso surge um atrator caoacutetico com a forma de raquo

uma C7JZ que estaacute mostrado na Fig 449 raquo raquo raquo Aleacutem diacutesgo~ outros mais atratores J

experimentais mais complexos tambeacutem podem Figura 449 Atnltor caoacutetico obtido com nm igualaO5

ser simulados com o mapa do circulo como

pode ser visto na Fig 450(0) onde temos uma frequumlecircncia de borbulhamefito de 8 bolhass

94 4 ResultadoseAnoacuteliseuro

com uma frequuml~ncja da onda sonora de 150 Hz A simulaccedilatildeo com o mapa do ciacuterculo como

estaacute mostrada na Fig 450(b) foi feita com tlr= 1885 h = 01 eK = 83

~ f fi ro ~ ni il II~~~~jflitllt1I)j~ ~ ~ to fi lt ~i~~~rl ~iacute J ~1J li~4It IVtAl lt

IiV V (b)-

m M m m - Tn(ms) r

FIgUra 450 Atrator e~perlmcntalem (a)(lroc = 1amp75 b -= 01 Em (b) aacute simulaccedilatildeo COm o mapa do ciacuterculo n= 1885 b =01 e K= 83

gt

~~

I

~ ifA rl li Pf ~ fI 1 J ~ N11D Jl ~ci- ~1 bull

J -I

(a) ~

443 Modulaccedilatildeo do Paracircmetro de Controle

Quando utilizamos a Teoria do Caos para analisar resultados experimentais uma

das mais dificeis tarefas eacute associar os paracircmetros experimentais aos paracircmetros dos

modelos existentes como o mapa logiacutestico ou o sistema de equaccedilotildees de Rotildessler e outras

equaccedilotildees dos sistemas caoacuteticos Algumas vezes o paracircmetro de controle escolhido eacute

modulado por uma funccedilatildeo que natildeo permite a observaccedilatildeo direta dos sistemas caoacuteticos

claacutessicos atraveacutes da variaacutevel de medida [Tufaile 1996J Isto acontece no experimento do

tubo borbulhador caso utilizemos por exemplo a vazatildeo do ar como paracircmetro de controle

como estaacute mostrado na Fig 451 onde utilizamos a soluccedilatildeo de 66 glicerina e 34 aacutegua e

oacute bico de seringa A vazatildeo do ar) o paracircmetro de controle estaacute relacionado de uma forma

hiperboacutelica com o tempo de borbulhamenlo a variaacutevel de medida representada pela linha

95 4 Resultados e Anaacutelise

pontilhada Quando

sintonizamos uma onda

sonora no sistema com urna

frequumlecircncia de 126 Hz e uma

amplitude constante ocorre

uma composiccedilatildeo entre a

funccedilatildeo hiperboacutelica e o mapa

do ciacuterculo Os tempos

associados aos patamares T ~

satildeo bem definidos e podem

ser calculados com a equaccedilatildeo

(436) Os patamares se

alargam com o aumento da

vazatildeo e o valor do tempo

7

70

65 T(ms)

55

50 61j-shy shy

-~ shy 40 60 80 100 120 140 160 180

Vazatildeo (mlfmin)

Figura 451 A composiccedilatildeo de uma funccedilatildeo hiperboacutelica de borbulhamento com ) mapa do circu1o as fraccedilotildees ao lado de cada pagravetamar datildeo () valor do tempo do ponto fixo Tp devido ao trnvaJnento sub-harmocircnico

associado a cada um deles eacute calculado atraveacutes dos travamentos sub-harmocircnicos

Tp~jlf (436)

onde j eacute o inteiro mais proacuteximo da razatildeo entre a frequumlecircncia da onda sonora e a frequumlecircncia

de borbulhamento

Outra situaccedilatildeo na qual ocorre a modulaccedilatildeo do paracircmetro de controle eacute quando

(b) ~ ~~~l~~~ ~~ - 21)~~ir-- ~if~~e

2(1 I i i r 5 6 7 B

Q

Figura 452 (a Composiccedilatildeo do tnatXt do ciacuterculo com uma funccedilatildeo linear decrescente O paracircmetro de acoplamento nllo-linear K eacute uma funccedilatildeo decrescente do valor de n

(b) Dados do tempo de borbulhamento em funccedilatildeo de o A variaccedilatildeo de o ecirc obtida mantendo os demais paracircmetros constantes e aumentando linearmente a frequumlecircncia da onda sonol3

4 Resultados e Anaacutelise

variamos a frequumlecircncia da onda sonora mantendo constante a sua amplitude Medindo o

tempo de borbulhamento obtivemos os dados d Fig 451 (b) do tempo de borbulhamento

contra a razatildeo entre as frequumlecircncias Q para uma frequumlecircncia de borbuibamento inicial de 33

bolhass Devido agraves propriedades da acuacutestica do tubo a variaccedilatildeo da frequumlecircncia da onda

sonora afeta simultaneamente a amplitude da onda Isto pode ser simulado com o mapa do

circulo com h = Ol~ supondo que o paracircmetro de acoplamento natildeoM1inear~ ~ do mapa do

circulo seja uma funccedilatildeo linear decrescente com relaccedilatildeo agrave razatildeo de frequumlecircncias n que na

Fig 452() eacute o paratildemetro de controle

K(n) =40 - 047 n (437)

Os patamares d Fig 451 assim como as linhas diagonais da Fig 452(a)

correspondem agrave composiccedilotildees da frequumlecircncias de borbulhamento e da onda sonora que levam

o sistema dinacircmico nas regiotildees de liacutengua de Arnold com nuacutemero de rotaccedilatildeo W igual aI

97 5 ConclusiJes

) 5 Conclusotildees

CltJnstmiacutemos o aparato do tubo borbulhador e observamos que O principal

aspecto da fonnaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos viscosos eacute que este sistema eacute equivalente a

um oscilador natildeo-linear Esta afirmaccedilatildeo foi baseada inicialmente nos intervalos de

tempo da formaccedilatildeo das bolhas no experimento do tubo borbulhador quando a vazatildeo de

ar aumenta e na comparaccedilatildeo deste experimento com o experimento da torneira

gotejante A comparaccedilatildeo dos dados experimentais da formaccedilatildeo das bolhas influenciadas

pela onda sonora com os resultados teoacutericos do mapa bidimensional do circulo1

confirmou que o borbulhamento estaacute associado a um movimento oscilatoacuterio Na

comparaccedilatildeo do sistema bolhasonda sonora e o mapa do ciacuterculo o ponto mais

importante foi associar o tempo da formaccedilatildeo das bolhas T com a variaacutevel rlf do mapa

do ciacuterculo

A interpretaccedilatildeo da oscilaccedilatildeo na formaccedilatildeo das bolhas pode ser feita observandoshy

se o deslocamecto do Ifquido Durante a subida da bolha no liquido este eacute afastado para

dar passagem agrave bolha ateacute que a bolha passe e o liacutequido volta a preencher o espaccedilo que

antes era ocupado vela bolha Este processo se repete e assim temos o comportamento

oscilatoacuterio Entatildeo podemos entender o movimento do liacutequido induzido pela passagem

da bolha como um oscilador natildeo-linear O sistema de detecccedilatildeo mede apenas valores

maacuteximos deste comportamento oscilatoacuterlo~ por isso temos as seccedilotildees de Poincareacute do

borbulhamento e natildeo curvas continuas do espaccedilo de fases

A duplicaccedilatildeo de periacuteodo) que ocorre quando variamos a vazatildeo~ foi a primeira

observaccedilatildeo que indicou que urna abordagem utilizando a Teoria do Caos seria um

meacutetodo possivel para a compreensatildeo do fenocircmeno da formaccedilatildeo das bolhas Mesmo

assj~ uma abordagem utilizando os conceitos da Mecacircnica dos Fluidos foi feita ~ com

este ponto de vist~ observamos que a duplicaccedilatildeo de periacuteodo com a vazatildeo estaacute associada

com a instabilidade de Rayleigh-Taylor que representa a instabilidade da interface de

dois fluidos que natildeo se misturam A duplicaccedilatildeo de periacuteodo SOacute eacute evidente em fluidos

viscosos pois~ em liquidas pouco viscosos como a aacutegua a dinacircmica observada vai

diretamente do comportamento regular para um comportamento irregular Verificamos

que a instabilidade da superfiacutecie da bolha nos fluidos com baixa viscosidade eacute a resposta

para a questatildeo da transIccedilatildeo do movimento regular para o movimento irregular na

formaccedilatildeo das bolhas Esta instabilidade eacute causada pela interaccedilatildeo entre as bolhas que se

elevam dentro do liacutequido e a bolha que estaacute se formando junto ao bico Em fluidos

98 s COI1cfusr1es

viscosos e com baixas vazotildees do ar o deslocamento das bolhas que estatildeo emergindo

natildeo afeta a bolha que estaacute se formando pois natildeo haacute uma perturbaccedilatildeo significativa criada

pela circulaccedilatildeo do liacutequido e esta circulaccedilatildeo permanece laminar junto ao bico Poreacutem

para vazotildees mais e1evada~ mesmoS nos liacutequidos viscosos teremos todo o conjunto das

bolhas emergentes e da bolha que estaacute se formando interagindo pois as perturllaccedilotildee5 na

circulaccedilatildeo do liacutequido se propagam em todas as direccedilotildees dentro do tubo borbulhador

Deste modo a formaccedilatildeo das bolhas apresenta uma dependecircncia tanto do tempo quanto

das condiccedilotildees d contorno Neste aspecto o experiroento do tubo borbulhador eacute

diferente do experimento da torneira gotejante pois o deslocamento das gotas que estatildeo

caindo natildeo tem efeito significativo na gota que cresce junto ao bico

Utilizando diferentes tipos de bicos verificamos algumas das influecircncias da

geometria do bico na formaccedilatildeo das bolhas Emulamos as seacuteries temporais atraveacutes da

combinaccedilatildeo de mapas Isto permitiu o desenvolvimento de ideacuteias para tentar entender e

explicar os fenocircmenos observados como alargamentos suaves e abruptos nos tempos

entre as bolhas A combinaccedilatildeo de mapas jacirc havia sido utilizada no experimento da

torneira gotejante~ o que mostra a sua importacircncia como rerramenta na compreensatildeo de

sistemas caoacuteticos

Do mesmo modo as simulaccedilotildees com modelo unidimensional massa-mola

permitiram melhorar a nossa interpretaccedilatildeo dos dados tanto da torneira gotejante quanto

do tubo borbulhador O modelo natildeo eacute adequado para observaccedilotildees quantitativas mas

pode ser usado para a obtenccedilatildeo de resultados qualitativos Durante a verificaccedilatildeo da

hipoacutetese do fator de massa agregada fJ do modelo massa-mola para a formaccedilatildeo das

bolhas encontramos as estruturas das veiacuteas liacutequidas que satildeo colunas de aacutegua dentro do

oacuteleo sustentadas pela subida de bolhas de ar

Aleacutem disso durante a realizaccedilatildeo da experiecircnci~ foram encontradas algumas das

condiccedilotildees que fazem o aparecimento de antiboJhas que satildeo gotas envolvidas por uma

fina camada de ar dentro do liquido e que ficam aprisionadas na circulaccedilatildeo dentro do

liacutequido

Verificamos as condiccedilotildees de validade para a relaccedilatildeo entre a frequumlecircncia da

formaccedilatildeo das bolhas e a vazatildeo do ar para um modelo simplificado que estabeleccedile uma

frequumlecircncia para a formaccedilatildeo das bolhas proporcional agrave vazatildeo elevada a 04

Atraveacutes da associaccedilatildeo com o mapa do ciacutercuJo~ verificamos algumas

similaridades entre o mapa e o experimento como por exemplo a comparaccedilatildeo da

variaccedilatildeo da razatildeo entre as frequumlecircncias da onda sonora e do borbulhamento~ nEXo com a

s ConcluslJes 99

variaccedilatildeo do paracircmetro nr do mapa assim como fizemos a comparaccedilatildeo entre as fonnas

dos atratores reconstruiacutedos Deste modo encontramos algumas rotas para o Caos

quando eacute feita a variaccedilatildeo da amplitude da onda sonora A formaccedilatildeo das bolhas pode

evoluir inicialmente atraveacutes da rota de quase-periodicldade quando a amplitude do som

eacute aumentada linearment~ que pode ser reconhecida no iniacutecio das seacuteries temporais

devido agrave sua forma triangular para alguns valores d razatildeo entre as frequumlecircncias tEX

Outra rota observada fui a rota de duplicaccedilatildeo de periacuteodo com a formaccedilatildeo de atratores do

tipo~Heacutenon devido aos processos de estiramento e dobra

A dinacircmica do mapa do circulo ainda permitiu interpretar o comportamento mais

global da existecircncia de patamares no tempo da formaccedilatildeo das bolhas nas seacuteries

temporais sujeitas a uma onda sonora de frequumlecircncia bem definida Os patamares

OCOrrem quando a freqOecircncia do borbulhamento estaacute proacuteximo a um submuacuteltiplo d

frequumlecircncia da onda sono~ o que caracteriza um travamento subMharmocircnico O

travamento sub~hann8nico ocorre quando a frequumlecircncia de um oscilador fica travada em

um submuacuteltiplo da freqOecircncia de uma forccedila externa aplicada O caso limite d

sincronizaccedilatildeo entre a formaccedilatildeo das bolhas e a onda sonora eacute o travamento harmocircnico

quando as bolhas se formam com a mesma frequumlecircncia da onda sonora

I I I

I

100 6 Referecircncias

6 Referecircncias

Argyris J Fast Q e Haase M (1994) An Exploralion of Chaos North-Holland Arnsterdam

A1ligood K T Sauer T D e Yorke J A (1997) Chaos - (f1 introrillclion lo dynamical syslems Springer New Yerlc

Bai-lin H (1989) Elementary symbolic dyrtamics and Chaos in Dissipolive Systems World Scientific~ Singapura

Bertelseo p EUegaard C Guhr T Oxborrow M e Schaadt K (1999) Measuremenl of Parometric Correlations in Spectra of Resonating Quarlz Blacks Phys Rev Lett 83 2171-2174

Chandrasekhar S (1981) Hydrodynamic and Hydromagnetic Stabiacuteliacutety Dever New York

Cliacutefl R Orace J R e Weber M E (1978) Bubbles Draps and Partieles Academic Press~ New York

Collet p e Eckmann 1 (1980) lleraled maps ou lhe inlerval as dynamieal systems Birkhatildeuser New Yorlc

Davidson J F e Schuumller B 0 G (1960) BlIbble formaiion ai an orifice in a viscous liquid Trnns Inst Chem Eng 38 144-154

Dnnocenzo A e Renna L (1996) Dripping Faueet Int J Theor Phys 35 941-973

Dnnoeenzo A e Renna L (J 997) Morieling leaky fancei dynamics Phys Rev E 55 6776-6787

EUner S Nychka D W e Gallant A R (1992) LENNS a progrom lO estimale lhe dominant Lyapunov exponent cfnoisy nonlinear systemsfrom time series data (Institute of Statistios Mimeo Series n 2235 (EMA series n 39) Statistics Department North Carolina State University Raleigh

Femat R Alvarez-Ramiacuterez e Soria A (1998) ChaoticJlow slnentre in a verlical bllhble column Phys Let A 248 61-79

Finney C E A (2000) Bibliography of choos amp buhbling httpwwwshychaosengrutkedulbibBubblinghtml

Fletoher N H e Rossiog T D (1991) The Physies ofMusicalll1srnmenls Springer New York

Fuchikam~ N lshioka S Kiyono K (1999) Simulalions ofa Dripping Faucel J Phys Soe Jpo 68 1185-1I96

INSTITUTO DE FS1CA serviccedilo (iccedil albHotscamp e

lntgnllccedilatildeoTombo u ~ Co

-et [

101 6 ReJerecircneacuteiaacutes

Gonccedilalves W M (1996) A experiecircncia da Tomeira Golejante Tese de doutorado lFUSP

Gonccedilalves W M Pinto R D SartoreUi 1 C e de Oliveira M 1 (1998) Inferriacuteng staliacuteseal complexity in lhe dripplnglaueet experiment Physica A 257 385-389

Grebogi C Ott E e Yorkel A(1982) Chaote attraetors in crisis Phys Rev Lett 48 1507-1510

Hayshy C (1985) Nonliacutenear Oscilatiolls In Physicol Systems p 285 Princeton University Press Princeton

Hegger R Kantz H Sebreiber T (1999) Praticol implementaton of nonlnear time seres methads The l1SEAN paekage Chao 9 413-435

Jaekson E A (1995) Perxpectives 01 l1oninear dynamies Cambridge University Cambridge

Kaneko K (1992) Overview 01eoupledmap latliees Chaos 2 279

Kiyono K e Fuehikami N (1999) Dripping Paueel Dynamiacutecs Clarified by an Improved Mass-Spring Model 1 Phys Soe Jpn 68 3259-3270

Kyrialcides N K Kastrinalcis E G Nyehas g G e Goulas A (1997) Bubblingfrom Naues Submerged in Water Transiacutetions Between Bubbling ampgimes Can J Chem Eng 75684-691

Lantoroom W (I986) Acoustie Turbulence em Frontiers in Physiacutecal Acouslics p 124shy144 Nortb-Holland Amsterdam

L~ H Z Mouline Y Choplin L e Midoux N(1997) Chaotic bttbbe coalesconee in non-newlmriacuteanfluids lnt J Multiphas Flow 23713-723

Li T Y e yoke J A (1975) Period 3 iacutemplies ehaos Am MatlL Month 82 985-992

Lorenz E N (1980) Altraclar seis aml qttasi-geoslrophiacutec equlibrillm J Atmas Sei 37 1685-1699

MaJI R (1981) On lhe diacutemensiacuteon cf compacl invaria11l sei cf certain nall-lillear maps em Dynamical System and Turbulence 00 D A Rand e L S Young Spnnger Berlim

Marmur A e Rubin E (1915) A theoretieal modellor huboacuteleformation 01 ali orifice submerged in Im inviscid iquid Chem Eng Sei 31 453-463

6 Referecircncias 102

Marston P L (1980) Shape oscillotion aJ1d stalie deformalion of drops and bubbles drive by modulated radiation stresses-Theory J Acous Soe Am 67 15-26

Martian P Pope S C Scott P L e Shaw R S (1985) Ihe chaotic behavior ia eaky faucet Phys Let A 110 399-404

Mltoni L 1 Schwartz M P e La Nauze R J (1995) Determinislie chaos in lhe gas inel pressure ofgas-liquid bubbling systems Phys Pluids 7 891-893

Moran M I Haigh R E Lowry M E e Sweider D R (2000) ObservntiollS ofSingleshyPulse Sonoluminescence httpwww-physllnLgovlN_DivlsonoIurnlsonolumyaperhtrnl

Miyahara T Baga N Takahasbiacute T (19B3) Bubble formationfrom an oriftce ai high gas ftow rales Int Chem Eng 23 524-53 L

Nguycn K Daw C 5 Cheng M Bruns D D Pinney C E A e Kennel M B (1996) Spalio-temporal ~namics in a train ofrising hubbles Chom Eng J 64 191-197

Paclcard N H CrutehfieId J P Fanner J D e Shaw R S (198() Geometryfrom a time serles Phys Rev Lett 45 712-716

Perry R H e Clinton C H (1972) Chemcal Engineers HandbQok McGraw-HilI New York

Pinto R D (1999) Comportamento Complexo na Experiecircncia da Torneira Gotejante Tese de Doutorado lFUSP

Pinto R D e Sartorell~ J C (2000) Homoclinc tangency and ehaotic attractor disappearance in a drippingfaucet experiment Phys Rev E 61 342-347

Prosperetti A (1986) Physicsi Acoustic Cavitalion em Frontiers in Physical ACOllstics p 145-188 North-Holland Amsterdam

Ponter A B e Surati A l (1997) HuMI EmissiollSfrom SlIbmerged Orifices - A criticai Review Chem Eng Toelmo 2085-89

Putterman S 1 (1995) Sonoluminescence Salim l11to light Sei Am Fevereiro 33-37

Rapp P E Bashore T R Zimmermean L D Martinerie 1 M Albano A M e Mees A 1 (990) Dynomical CharacterizaJlon ofBrain EleerIacutewl Activity em 1he Ubiqulty of ChIlO AAAS Washington DC

Renoa L (1999) A discrele map for drippingfaucel dynamics Phys LeI A 261 162-168

da Rocha M S (1995) Determinaccedilatildeo da evoluccedilatildeo temporal da fonnaccedilatildeo de gotas Dissertaccedilatildeo de mestrado lFUSP

Rotildess1er O E (1977) Synergelies a workshap Haken H Springer Berlim 174-183

103 6 Refrencias

Ruzicka M C Drahos J Zabradnik J e Thomas N H (1997) Inermittt transition from bubbling to jetling regime in gas-liquid two phase fiows Int J Multiphase Flow 23 671--682

Sacircnches-Ortiz G 1 e SaIas-Brito A L (1995a) Strange attraclor in a relaxalion oscillator modelfor lhe drippingfaueet Phys Let A 203 300

Sacircnches-Ortiz G I e SaIas-Brito A L (1995b) Chaos in a variaMe mass relaxatiall oscilator modelfor lhe leaky tap Physica D 89 151

SartoreUi J C Gonccedilalves W M e Pinto R D (1994) Crisis 00 intermittenoo in a leaky-fauce experiment Phys Rev E 493963-3975

Scbemelcher P Diakonos F K (1998) A general approach lo lhe finding of unSlable periadie arhils in ehaotie dynamieal syslems Phys Rev E 57 2739

Sharpe G J (1994) Solving Probems in Flllid Dynamics p 203 Longman Essex

Shaw R (1984) The drippingfaucet as a model chaotic sySlem Aerial Pre Santa Cruz

da Silva J G M (1996) Caraelerizaccedilecircio da Dindmica da Formaccedilecircio de Goas Dissertaccedilatildeo de mestrado lFUSP

80 P Ott E Sehiff S F Kaplao D T Sauer T e Grebogi C (1996) Deleeting unstoble periodic orhits in chaotie experimentol daa Phys Rev Lett 76 4705-4708

Sotomayor J (1979) Liccedilotildees de equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias Projeto Euclides Rio de Janeiro

de Souza Vieira M C Lazo E e Tsallis C (1987) New road 0 ehoos Phys Rev A 35 945-948

Stons C L (1974) Th amate1f scientiSl Sei Am Ahri 116-121

Sulivao S L Hardy B W e Holland C D (1964) Formatioll ofAir Bubbles ai Orifiees Submerged Beneath Liquids AI Ch E Journll0 848-854

Takens F (1981) Deecling Srange atraclors inurhulenee em Dynamical Syslems aod Turbulence ed D A Rand e L S Young Springer Berlim

Thompson J M T e Stewart H B (1986) Nanlinea Dynamics aod Cnaos Geometrieal Methods for Engineers aod Seieniss p162 John Wiley and Sons Chichester

Tritton D I Egdell C (1993) Chaotic bubhling Phys Pluids A 5 503-505

Tufaile A (1996) Mapas combinados e o experimento da omeira gotejante Diacutesertaccedilatildeo de mestrado IFUSP

6 Referecircncias 104

Tufaile A Pinto R D Gonccedilalves W M e Sartorelli J C (1999) Simulations in a drippingfaucet experiment Phys Le A 25558-64 (Apecircndice 1)

Tufaile A e Sartorelli J C (2000a) Chaotic behavior in bubble formation dynamics Physica A 275 336-346 (Apecircndice 2)

Tufaile A e Sartorelli J C (2000b) Heacutenon-like attractor in air bubbleformation Phys Let A 275 211-217 (Apecircndice 3)

Veta N e Tabacniks MH (1994) Laboratoacuterio de Fiacutesica para Ciecircncias Bioloacutegicas IFUSP

Viana R L (2000) Introduccedilatildeo agraves Redes de Mapas Acoplados - Modelos para o estudo de Caos Espaccedilo-Temporal Notas de Aula IFUSP

Weast RC Selby S M (1996) Handbook of Chemistry and Physics p F33-F42 The Chemical Rubber Clevelnd

Willeboordse F (1992) Time-delayed map as a modelfor openjluidjlaw Chaos 2 423shy426

Wolf A Swift J B Swirmey H L e Vastano J A (1985) Determining Lyapunov exponentsfrom a time series Physica D 16 285-317

Apecircndice 1

Siacutemulations in a dripping faucet experiment

A Tufaile RD Pinto WM Gonccedilalves e JC Sartorelli

Physics Letters A 255 (1999) 58-64

3 May 1999

PHY$ICS lElTERS A

ElSIMER Physics Letters A 25S (1999) 58-64

Simulations in a dripping faucet experiment

A Tufaile RD Pinto W_M_ Gonccedilalves J_C Sartorelli 1

IluacuteillOO dcFJSfea UniDCrfidadc de Siio Paula CQixa Pmrtal oacute6JIlJ fJSJIJ97tJ Satildeo Pttdb Braacuteii

Recchcd29 SeptJllIb1r 1m laquooMdinpVised tbru 10 Febnwy 1m ~ 10 February Im Ogt~ hy cR Doering

Ab$tratt

The prafiles of two experimental attrletors were simll1ated by using a simple onc-dintensioacutenal spring-mass modct Some pccllliar bebuviors observed in experimental bifurcation diagrams (in short ranges ofdriwmg Iate variation) were emu1ated by combining two quadratie maps (a kiruI af coupUng) in twQ diacutefferellt ways~ parallel combination 1Eh non-interacting maps and series combination with nrongly intcrocting maps TIto ehoice ar cach kind af eacuteombinarion W3S suggcsud by thc own cbaracteristics of~eh experimCfllal bifureation diagramo copy 1999 EIlteviet Scieacuten(e SV All rigbts rewrved

PAC$ 054S+b

1~ lntroduction

The leaky faucet dynamks has beoo used as a paradigm of a chaotic sYSbm [I~1 since the liUggesshytion made by Ratildessler 13] in 1977 lha Ih fnou af water drops in bull tlp nipple oould sbow chaooacutec bebavior wbat was 1ater confirmed hy Sbaw and Marlien alo [451 Period doubling WlI Qlnrerved hy Marlien alo [451 Yeacutepez alo [61 Cabhm et ai [71 Wu and Schelly [891 Dreye alo [101 Sarshytore1li trt aJ UO Tangeot intermitttncies are Teshy

ported in Rofs [7111 quasi-periodicity and boondshyary coacutesis in Rof [11l and a Hopf biacutefurcanon in Refs [l213J Olher studies abou lha formadoo of drops or droplets of water can be found in Refs [14-231

E-mail sartorellilfUlipbr

Shaw and collaboratorn liUpposeuacute thut th~ water oolumn bangiog in a nipp1e faucet should oscillate as a mass-spring system with the mass increasing lin~ early until it reaches a criticaI point when a drop is ejected IacuteInposing the initial conditions ou the teshymaining water column This mudeI was modified by Simcbas-Ortiz and Salas-Brito [24] supposing Ih lhe mass of the ej~cted drop must depend ou tlte cummt yalue of the water co1umn mass DIn nocemo and Renna [25 have aiso carried ont thcir calcuJations assumlng lhat lhe remaining _ colshyUmtl shape can be cither a sphere Of a material point

hlspired hy au ining-Iike mode to find Ih water dIuacutep proacutefiJc rumging in a vertical waU Oliveira aad Ponna [26] studied lhe dymnni of lha drop furmashytton applymg Monte Carlu techniques Penna tt a1 [27J sbowed thut the time delllys between SU(teS)i~ drops display long-range anncorrelations cbarncter~ ized by the same exponcnts of the heartbeat~to~ heaItbeat interva]s of hea1thy subjects [28]

0375-Otj99S - see mlll maner Cll999 Elrevier Scicnee BV Ali rigltlS tesIlVed PU S037S960l(99)QOI19X

I

A TilfaiIe e1 aLIPllyJICS uacutetters Aacute 255 (1999) 58-64 Num uf thtSe modeJs are adequate to explam aU

lhe bebavio observed in lhe range from - Oup to 40 dmpss In this papeI we present two simula~ tions of experimental attractors whlch are lhe best emulations yet obtaiacutened by the one~dimensional spring-mass modelo It is also presented two experi~ mental bifurcation diagrams in short ranges of dripshyping rolte with llCW peculiar behavions nl-ver secn before Inspired by me behavlor of each experIacutelncnshytal diagmm we did a kind af siacutemple ooupling af maps [29-321 by combining two quadratic maps to emulare these experimental bifurcations Two ways or combinution are proposcd In the first case two non-interacting quadmtic maps are added (parallel combination) whuumle in the sccond onl- two tnJng1y inteltf-ting logistic maps (smcs combination) are combiacutened in a feedback way

2 Experimental apparatos

The measurements were dane with the faucet attaccedilmd lo a large reservou sccedilt Refi U121] for details The time delays between successive drops are measured with a time counter circuitry~ with a

nmiddotT--------------------~ (a)

r ishy700lt) ~

1 li ~

~ - -~ ~ bull-j- -~ -4 ~r -~

67 I ~

I 670 680 690 700 110

Tat$

T1molution of i ~~ iacutenserted in a PC 5101 The iacutenput signals are voltage pulses induced in a resistor definelt by the beginning (ending) af the scauring oI a laser beam fO(Usw on ltt photo~trdn$i$tor (in sents with 1he resistor) when thc drop tarts (ends) t(l CTOSS the laser beam The width of the pt1lse is the time interval t (where n is the drop number) and the time delay between two pulses is lhe crossing time (SI) of drop tbrougb the laser beam 50 lha the total time interval is 1 = 111 + 8t~

We can setup the drop rate (J~ 1(Traquo in two ways (a) by feeding back lhe Wuer reservoi to ke~ the height h af the water leveI md selet1ing the drop me by opening (closing a needle valve driven by a step motor which is coutrolled by a microcomputer

For a given drop late we have constructed first retum maps T I VS4~ (b) by fixing me opening of the ncedle va~ turning off1he water supply letting fue water levei decrease natunilly and so the drip~ ping Iate Therefore~ the contml PWffileter lhe heiacuteght h of the water leveI varies as ht ho - n8 VA where 8YA=2XlO- mm he 15 the initial height I) Y the mean volume of me drops and A i5 the area of the water reservoir surface In this case bifUrcatiou diagrams Tn V$ n were constructed We

~ ~

300

200

Ibl

()1

oI 100 2Q(l 300 400 500

1 figo L (a) experinwJrtal data for f 146 dIopss Experimental panuDlter vaues are Ir 365 dynjcm X-~tI a6 em R Ot2-0l5 ss and Q 01-0 14 sem (li) the attlactor profile obtaiDed witb R - 015 sls b - H) Si k 415 dfacrtJ xir - 13 em arul rt- 01 slem Tht ealllai~ drop me ia f 315 dropss wbich ~ two- times the expcrimcntll vale 3pll~lely G1w rupple

A TufoiJe cf aLIPhysfcs Lettcf A 255 (1999) 58-64

T11Ulitl$ltTgtlaquo146m~

T---r------T~~ t

12

12012~~11T 911 tMobull

T (l (Iraquo

Fig 2 a) experimetItaI T+l n 41 YS r (ms) tuap (h) simulatcd mBp wrtb R (U41 gJs xr O25i em a-1l51 sem b-Q94 s-land 1(20 dyncm Thc two maps wcre ~ from lhe samc angle 4f vUicn The calcuJted drop me is cloR 10 fue ~ vahIe l1ul similiuiacutel) bctwcen the two maps suggesls lhe salOO attwtor with ~ slzes of the basins ef ~ Htass nippk

have used one gJass nipple and other one or brass~ with both having t11e same intema1 diameter

3 Resolts

31 Mass~sprjng modal

Following Dnnocenzo and Renna (25] notation the set Clf autonomous differential equations for the mass-spring modol is [45)

dx d(Mv) IM-= =Mg-kx-budi 1 di di =R~

(I)

where x 15 the ooordinate af the ceuter af mass ar me hanging watet agravetld R the flow ate

fhe surfagraveoo tenskm and friction between the wa~ ter and lhe _ are respectively representelt by lhe spring eonstant k and by b A drop with mass

AM aMell( (2)

is shot wben the center of mass x exceeds a tbresh old xI where M and 11 are respectively the hangshy

(a)

~ i= 10a

bullbullbullbullbullnbullbullbullt

Il~_

bull o - shy (b)

C

ibull

m I ~

-10 i-shy i t

Fig 3 (ti) experinleflt2l hifilnmon diagram wilh tlJ~ drop Iate lIlllgingtrom -9ISdM1Hn 913 dtopsjs (b)paralkI combi~ natlOIl or two oolliDtctacting logime maps witb p~ecirc)- f +t and p(~) Px(~)-Ot IS Brass nipple

ing water mass and the speed at the thresbold paim g = 920 em51 and a is li parameter

For the remaining water DInnocenzo and Renna pmposed two models (PS) the point-spbere one lhe drop is spherical of radius r and the waterresldue is a point situated at Xo =Xr -rAMM (TS) twQ

sphere model lhe drop is spberical of radius r and the water residue is ti sphere ofradius r = [3(MrshyAM)j(4p)] cenrered at x ~ xlt - (r + r)AMjMlt Therefure lhe simulations reqm lhe adjuslment of fi _ (k x R aod b) but with an unknoacutewn dependence between them

fig 4 (a) 1X~rimenlal bifuttation diagram with lbe drop rale rungillg fmm 28$ doWn to 268 dropss Tbe circe SOOWl the sequerne cf tbc plotting colotslt sbould be noticed that in lhe ttginns otperiod-2 tbe colun ilIC supcrimposcd In (D) and (c)ate itSPtttlve1y sbown tbe odd ruld ~ bW1Ches On lhe right in W the cmuJation ofthc eltpelirncntl1 duta ming a scri~ combinltion oftwo intcmcting logistic maps in (8) and (C) are tespectivey slrown lhe anulated separaoon oi tIle odd aud eVelI bnmehtS The pammeters ()f control P1laquo(f) and P7lt-C) lU sItown in fig 5 9t-~ rupple

00

gt

so

i O I

o~xu

x

(v)

62 4 ThJaited aLIPhysi~LeIergtA 255 (J9)9) SlI-M

In Fig 1() is sbown me experimeand first return IIlllp obtaiacutened by keeping fixed me water levellreigh aI 1= 146 dropss (gIass nipple) An bullbullperlmeotal esrimarion for me pamm_ values are [2l k = 365 dynem x~Mem R =012-015 gjs The simshyulations of the attractor using these parameter va1ues did not converge for wide ranges of a and b villu~1i

We cou1d emulare the attractor profilc using the PS mudel by adjusting all the paIdmeter values The emulatioo wilh k-475 dynem x= 13Cn Rshy015 g -02 sem and b - 10 s is shown in Fig l(b) but me mean drop mte obtained (fshy315 dropss) is abou IWO times lh experimental valobullbull

In Fig 2(11) iacutes shown an attractor reconstructed in a fbreedimensiacuteorutl map T +1 vs T i i VIi Ta at f = 8726 drops I s The atttactor- profile was simtJ 1_ by me PS model wim me pammeter values R=O14 gs x= 0251 em a-OSI sem bshy094 and -120 dynem as aho in Fiacuteg 2(b) Despire the fagravect tllat these values are quite different uom the experimental ones we obtained by coinjdence a drop rate of f= 880 dropss close to the experimental value The similarity 1raquoshytween the two maps suggests mat we have the same atttactOt whnc the different time scales point out to dilferelt os ar lhe basiacutens af _ans with apshyproximataly lhe same mean time T

We could oot find in lhe titerature better _shytions af dripping faucet auractors than lhe examplos above This model is not enougb to expIa1n all the detalls of me eXjlOIIacutelMntal data but it can be useful to give a first sigltt (ar lhe general properties) of the drop formation dynamics 41 since the classical hyw drodynamiclll models are mo complicated to obtain large time series

We observed some peculiar behaviors ln me exshyperimentai bifUrcation diagnuns and ve attempted to construct empiacutericaJ models omulate suoh bebavshyiacuteors in a shnple way~ looking for relatiacuteons berween two qu_ IlIPS

32 Combined mtJps

321 Parallel comhinatton In Fig 3(a) is shown an experimental bifurcation

diagram T vs nf which was obtaiacutened by Jetting the wateiacute level go down 113turally and lhe dripping rate

rangiag from - 918 00 to - 913 dropss Beshylow 11 as the water leveI heigbt goes down the dynamical ampystem evolves in a period four m~ ment When the system reaebes lhe aitical point I1c (ar h) the initial rom stable fixed points are re~ placed by new four fixed points

We siacutetnulated this peculiar change of fixed points by adding two nonwiacutenteracting quadratic maps (paralw lei combinatioQ) 50 lhe global I S is given by

In+ =x ~pAt) Yn+l-Y -P)(~ x +y

S - bull (3)bull 2

where P(i) and p(lf) ate me OOIltrol PllIameters as functions of a common parnmeter sgt and each tnap is iterated sepamtely 2 We observed that the hoiee of P(i) = i- 14 py(V= pltel - 0115 IfE (16164) can emulJlte lhe experimental change of the fIXed points as shown in Fig 3(b) Tbe transition po-int g~ = 1615 corresponds to the secshyond ilip bifurcation in tbe y map and a period-4 movement in the x map but lhe global I S co~ondamp to a foor fixed points until the next fliacutep bifurcation which oours in the x map at ~= t6t8

Dilfetenl from an interior erisis [331 in whiacutech OCCUts a sudden change in the size of the attractor in Fig 3(a we have a smooth inereasing in the size of lhe period4 attracror Regarding lhe oscilJatory barshyaeter ofthe banging water~ these two period-4 behav~ lOIS suggests that we bave the same oscillation mode below and above (n) but with a little difference between their boundary conditions

322 Series combinalion For a Wgher drop- rate another experimental bifurshy

cstion diagnlm was observed with the dripping rate ranging from 288 down 268 dropss In F18 4(a) is shown lhe bifutcation diagnun 7 vs n

i

ohtaiacutened by plotting lhe pciacutents alteruately in blaellt (-159 ) ingreen (=2610 ) inred (n = 3711 ) and in blue (n - 4812 )

InitiaUy~ the system evolves in a period~2 attractor until lhe ches red + blk and green +blue colshy

-1- For a given value ofthe cmrttltll pammeter euro the seties xl tuld Y ete fUIlI1ltrlcllJy laquonained aftrr 11 ttnusltnt oi 10000 lIetations from 1he same initial cQlIdiOOm (xG )~ 06)

bullbull

63

7

A Tuaile et aL Pllysics leJters A 255 (1999) 58-64

10 i

os Py obull o

osL 07

Fig 5 P~ (cuntinuuus linel and Py (uacuteasheu ine) as fWHtions of

fmiddot

Iapses at point T After that the system continues to evolve in a period~2 movement but showing invershysion of phases (see tbe colors exchange) until point F where another bifurcation occurs on each braneb Therefore this diagram ean be split in an odd dia~ gmm (blaek + red) as shown in Fig 4(b) and in an even diagram (green + blue) as shown in Fig 4(e) The skcleton of eaeb branch 15 preserved even in the regions of superposition of the branches as in the chaotie region (n 25 X lOs and ~ 097 in Fig 4) The branebes in Fig 4(b) and 4(e) have similar behavior and structures (common bifurcation points and chaotic regions) but different sizes

Tbe similarity between each brancb and tbe logisshytic map suggests that this peculiar behavior could be interpreted by the combination of two strongly intershyacting logistic maps (series combination) as to say the feedback of one logistic map into another one

x+ -4p(Oy(I-y) oddbrnnch

Y+ -4p( Ox(l-x) evenbranch (4)

where PxltO and pig) are the control parameter ftmctions The choice of Px(g) and Py(g) shown in Fig 5 leads to a reasonable emulation of tbe experishymental diagram as sbown in Fig 4(A) (8) and (e)

Considering that each branch is visited altershynately and associating each branch to an oscillating mode of the water column it seems that the initial conditions imposed by one drop to the next one switches from one oscillating mode to another oneTherefore the combined maps models can give us a first sigbt about some Ioeal behaviors of the experimental diagram

4 Conclusions

We could reproduce tbe profile of some attractors by using the one-dimensional mass-spring model The parameters values obtained by this model are not realistic due to the drastic simplification of the water drop formation dynamics

To interpret some peculiar behaviors observed locally in bifurcation diagrams we proposed the emshypirical model of combined ma~ With the parillel combination we couId emulatc the peculiar replacing of four fixed points by four new ones Tbe feedback of one quadratic map into another one in the series combinatian aJlowed us to realize the collapse of branches and their further separation as well as the preservation of tbe skeJeton of each branch in the chaotic region

Acknowlcdgcmcnts

This work was partially financed by the Brazilian agencies FAPESP CNPq and FINEP

References

(U FC Moon Chaotic VibratiOM Wilcy N~ Yorlc 1987 [2) KT Alligood TD Sauer JA Yorlte Cbaos An Introducmiddot

tion 10 Dynamical Systcms Springer-Verlag N~ Ymk 1997

[3) OE Riiss1er Synergetics A Workshop SpringeroVedag 8erlin 1977

(4 R Sbaw The dripping faucet as a mudei chaotic systelll Aeria Press Santa Cruz 1984

(5) P Manien SC Popc PL Scott RS Shaw Phys Lett A lO (1985) 399

A T~oile ct DL I Phyfitf ieJlerlf A 255 (J1J99J $8-641 64

[6] HNN Yeacutepez ALS Brito CA Vargns LA Vicente Eur J Pbys Ui i989 99

[1] RF Cahllan H Lcidcr~hcr 00 Cahaian Comp Phys JulrjAugust 1990 p 368

(S X Wu ZA Scltelly Physicl D 40 (1989)433 191 X Wu B T_ zA sbltlly Rltv Sei IM 6) H9S9)

3119 lO] K Ote)ltr FR Hlckey AIraquo 1 PbyS $ 0(91) 619 [i t lC Sartmelli W_r1 Gonccedilalves RD_ Pinto Pbys Rcv li 49

(1994) 3963 (12) RD Pinto WM Gonccedilalves lC Sartotclli MJ de Olivcita

Phys Rev E 52 (1995) 6392 U31 JGM do Sil~ JC SartQrelli W_1 Oolccedilal~ amp0 Pinto

Phys Lett A 226 (1997) 269 (l4) XO Shl MP BmmtI ItR Nage1 Scienee 26) (1994) 219 (15) sDR Wilsoa J Fluiu Mech 19(1 i988 561 H6l D1L ~grine O Shokfr A SymGn J Fhtid Mtclt 212

099Ol25 [t1] OW DePDoll JQ Feng DA Basatan Te Scott Phys

Fluids 7 (I995) 1181 (18) X Zhlmg DA ampsarau Phys Auieis 7 (1995) 1184 [t9) A Laveron-Simavilla JM Pcrales Phys Fluids 7 (1995)

121)4 t20J Y Watanabe Jpn J Appl Phys14 (1985) 351

(21) MSF da Rocha JC Sm1orelli WM Gonccedilalves RD Pinto Phys Rev E 54 (996) 2378

[22] J Austin Pbys Lelt A 155 (t99I) 148 (23) JA fomecirc$ J ProcQpio le Sartoacuterelli J App Phys 80

(t9) 6(121 1241 Gt SaacutenchesOrtiz AL 5efusBrito Ph)-s Lctt A 203

(1995) 300 Ph)1IacuteOl D 89 H99S) 151 1Z5] A Dmiddot~ L Rtnna Ph)s Lctt A 220 UI)) 15 Uacutelt

l Theor Phys 35 (1996)941 fhyl Rev E 55(991) 66 126) PMC de Oliveira TJP Penna J Stzl Phi 13 1(93)

189 brt J Mod PIacutel)$ C 5 (1994) 997 tm TJ-P Petma PMc de Olivclla JC Saoorelli Wt

Gonccedilalves RD Pinto Phys Rtv E 52 (1995) RlI68 28] HE SlaulCY SV Buldyuv AL Goldcberger ZO Goldemiddot

beramplaquo S HavUn llN Mmtegna sM Ossadnik CK Peng M Simotls Pllyska A 205 (994) 214

129] K (mem Progr lbeor Pbys 69 0983) 1427 Pmgr Thecn PhY$ 7i (t9iacutef4) 202

l301 Y OU M Tuug l iuan D Fmg LM Naragravenccedili fbys R~ Lett 52 (l9f4) 10L

131] T Hogg BA HUbetman Phys Rt A 29 (19M) X1S 132) LA Bunimcvich Physica O 86 (i99S) 248 [33) C Grnbogi 11 ou JA YOde Phys Rtv Lctt 48 (1981)

151)1 Physica D 7 (19amp3) 1St

Apecircndice 2

Chaotic behavior in bubble formation dynamics

A Tufaile e JC SartorelU

Physica A 275 (2000) 336-346

I PHYSICA ill ELSEVIER Physica A 275 (2000) 336-346

wwwelseviercomllocatelpbysa

Chaotic behavior in bubble fonnation dynarnics A Tufaile IC Sartore1li

Instituto de Fisica Universidade de Satildeo Pauo Caixa Posla166318 05315-970 Satildeo Paulo SP BrQ2j

Received 25 June 1999 revised 19 August 1999

Abstract

We constructed ao experimental apparatus to study the dynamics af the formation of air bubbles in a submerged nozzle iacuten a waterglyccrin salution insidc a cylindrical tube The delay time bctween successive bubblcs was measured with a laser-photodiode system It was observed bifurcations chaotic bchavior and suddcn changcs in a pcriodic regime as a functioo of thc decreasing air pressure in a reservoir We also observed dynamical effects by applying a sound wave tuned to the fundamental frequency af the air column above thc solution AI a function of the sound wave amplitude we obtained a limit cycle a flip bifurcation chaotic behavior and the synchronization of the bubbliacuteng with sound wave frequency We related some of the diJferent dynamical behaviors to coalescent effects aud bubble sizes copy 2000 Elsevier Science BV Ali rigbts reserved

PAeS- 0545+b

Keywords Chaos Bubble dynamics Uostable periodic orbit Synchronization

1 Introduction

The formatioo of gas bubbIes in a nozzIe submerged in a liquid column has been studied by Davidson and Schuumller [I] Buyevich and Webbon [2] and Kyriakides ct aI [3] A criticaI review about the experimental and theoretical resuIts is presented by Ponter and Surati in Ref [4] Results of simulations of the motioo of gas bubbles in a liquid are presented by Krishna and van Baten in Rof [5] The bubbling dymiddot namics presents some features that resemble chaotic systems [6-8] Triton and Edgell [7] observed some attractors by detecting the bubblc passage by a transduccr (hotfilm anemometer) placed close to the nozzlc

The aim of this paper is to report the existence of dynamical properties of bubble fonnation with non~invasive techniques and report the effects of a sound wave 00 the

bull Corresponding autbor E-rrwil address sartorelliifuspbr (IC Sartanlli)

037843711OO1S~see front matter copy 2000 Elsevier Sciencc BV Ali rights reserved PII S03784371(99)00440middot9

--337 A Tuaile Jc SartorelliIPhy~iCD A 275 ((f)()) 336-3

FuncIioo gEIlatlIlaquoW_1-0-1~a

VHS o

Come o

D O O

--shy

~

~ Ai

Rbullbull

pshy

~cf2-~

Capac1liva aJr Reservolr

bull

Iltshy

shyi

VoJ

Fig I Dilsgmn or lhe erperimItlUil upparulus

bubb1e furmtalon dynamics Tho deJay time between _ivo bubbJcs was measurelt by using lhe same mehniques as in lhe dripping laUCOI experiments [9] _ides a route 10 chaos via period doubliacuteng we related some peculiar bebaviQrs observed in biftucanon diagrams to theacute coalescent effects (for a bubble penetrating roto another just aoove lhe nozzle and fonning a single-larger bubble ot when one bubble touches the proviacuteous one fonning a doublet)

2 Tho IlIlbbJ gun apparalUs

The experimental apparatus consists oi a glass IUbe paatially fiUed wilh bull viSC01lS

Julio (warer+glycerol) as schematiclly shown in Fig 1 The air bubbles are fonned blowing air through a nole aI lhe bultam of lhe tnbe The air iacutes supplied by ao aIacuter compressor whose reservoi is oonnected to another one (a capacitive reservoir) through apressure reducer The detection system is the same as in the dripprng faucet experiment [9] A horizontal He-Ne laser beam focwoed in a photodiode is placed a little above the nome The input signals are voltage pulses induced fi a mistor defined by lhe begiruuacuteng (encuumlng) of lhe scattering af a laser beam focuscd o lhe pholediode (in series with lhe resistor) when lhe buhble starts (ends) lo cross ibe laser beam The deJay lime between successiacuteve bubbles was measured with a time eounter circuitry inserted in a PC slol (time resolution =1 ps) The width af lhe pulse is lhe

A Tufuile JC Sartonlillhyrica A 275 (2(1())) 336-346318

time interval n (where n is lhe bubble number) and the delay time between two pulses is lhe crossing time (~In) of a bubble threugb lhe I heam so lhat lhe total time interval is T ~ I + otn We eao setup lhe bubble rate (f= I(T) in two ways (al by futing lhe ~ening oflhe ncedl valv turnlng oITlhe air supply to lhe capucitive reservo-ir and etting the ai pressure to dccrease llaturally~ SQ the bubbling rate 10 thls case we bave analyzed lhe data COnstrucling bifurcatioo digrams (Tn vs 11) Ihat are funcnons of lhe ir pressure deteltiSing (b) by keepiacuteng fix lhe air pressure in lhe capaciliv reserveir and seleeting lhe bubhle rate hy epening (elosiog) lha needl valv bull In lhis ClISe for a given bubhling rate we bave consbucted fust r_ mapa Tn+ vs Tn bull W aIso studied lhe cbanging of lhe bubbles formation dynamics with a sound wave tuned to the fundamental frequency of lhe air column above the solution The sound wves are generated by bull loudspeaker placed aiacute lhe top of lhe tube (see Fig 1) which is driven by an arbitmry function generatotilder The sound wave amplitude was used as a oontrol parameter

We Iso reeorded lhe bubble formation wilh a VHS eamera to illustrate how tbe profiles of tbe bubbles are in dlfferent dynamie1 bebeviors

3 ResuIts und discussion

31 Air pressure aJ a control parameter

Using a solution of fom parts of glyeerol nnd une part of water and a plasticj hypodermiacutec syringe wiacutethout the metaUic needte as a nozzte a bifurcation diagram was

ohtained Ietting the ampir pressure in the capaeiacutetive reservoir go down naturaUy with the bubbling as shown in Fig 2 The diagram shows the evolution ftom a chaotic behavior in region (a) to a periacuteodic window The pcriodic behavior starts with a perl002 region (b) lhereafter a bifurcation occurs giving rise to bull period4 regioo (e) wbieh again ovolves to anolher period-2 region (d) foUowed by a period-l movement rgioo () In Fig 3 lhe illustrations of lhe bubbles prefile in eaeh region as labeled above are shown In Fig 3() tbe 1gtu1gt1gtle are formed wiacutelhout lhe eoaleseent effeet in lhe period-2 bchavior shown in Fig 3(d) there is no coaIescence near tbe nozzle but a little far abav il in Fig 3( c) lhe eoaleseerne oeCUtS close to lhe nozzle but bubbles do oot toueh each olber and a period4 is ubserved in Fiacuteg 3(b) two sueccedilcssive hubbles eoalesee completely givrng rise to a bege single bubbl in a period-2 bebavior nnd in Fig 3() lhe eoalescent elTect in the ebaotic region

A different bifurcarion diagram was obtained in the same way as above using a iong metallic hypodermic needle as ti nozzle as shown in Fig 4 The system is cvolving in a period-2 movement region (a) in tbe Fig 4 with ao _cto size IT+I - T I~ 55 ms As the air pressure in the capacitive reservoir goes down suddenly a shortening of the period-2 occurs and a new penod-2 starts Vith tbe attractors size ITn+J ~ Tnl 1 ms region (b) in tbe Fig 4 Thereafter tbe system evolves to a period-l movement lllustrations af the bubbles profile obtained in each regioli descrihed in Fig 4 are

339 A Ttifailt JC $art(HllliPhysita Aacute 275 (2fJO()) 336-346

O~I----------------------------~

~

~

O I v

O 1000 2000 4000 n

Fiacuteg 2 Bifurcation diagmm obtaiacutened wilh lhe air pressure decreasing in lhe capacitive nservorr lUgion (a) chaotic bchaVior (b) periacuteod-2 (c) period4 (d) perioomiddot2 IUld Ce) period-L The same behaviar is obtained by increasiug tIie oir pressure HypodermJc syringe 1U)zzle

-O

o

0

() (b) (C) (d) ()

lig 3 mustmtions of thc bubb1cs profile and tbc eoalcscent efbts in a cbaotk behaviacuteor (b) periodm 2 with wmplete ooaesm1ce (c) period4 wilh single ooaIescettOO (4) pcriod-2 without cmt1eseenOO noar the llQZlk bul a liuIe flt ~bove il and (c) perioo1

shown in pjg 5 The shorteniog of lhe size af the atttactor is accomplisbed by the shortening oflhe size oflhe bubbles as il is shown in Fig 5() and (b) In lhe larger period-2 regioo close to the nozzle two bubbles coalesce completely fonnIacuteng a largo sing1e bubble as described in Ror [13]

32 SlJWld waue amplitude as a contrai parameter

By keeping fixed lhe air pressure in til eapaeitive reservoir we cbanged til bubble dynamics formalion by applying sound waves tuned to tIle fuedamental frequency j = 138 Hz of lhe air eolumn abave lhe Iiquid solutiou (two parts of glyeerolone pari of water)

340 A Turule JC $oNorellilPhyslco A 275 (2000) SJ6-J46

26 ~ ~-

bull bull

I20 gt

_JPmiddot -F- 15 f14

bull

o ltlO 600

n

Fig 4 Diagrmn bifurcntion as a function (lf air pnmure deCltlMing in lhe capacitic reservorr obtained with a meLallic needle Arowtd lhe region (a i me movement is the large perlodlaquo2 doe 10 lhe coolesoent effcct MOlmd the region (b) is shown a shortcr period-2 and in fuc rcginn te) is soown 11 fixcd point

Uacuteraquo Ib) le)

Fig S (a) Larse prloo2 and Iargc bubbtes due to a GOalescent effect in a peri0d-4 (b) perioacuted-2 without me coaIescent ciTect aud (o) the fixei porot

In Fig 6 lhe first retum maps as a function af the sound wave amplitude are shown lu eaeh fnune lho IOp iMo snows at lhe 10ft lhe sound wave amplitude and at the right lhe bubbling rale We started at a fixed poin at f = 11282 bubbless as showo in Fig 6(a) By applyiacuteng tho sound wave lhe fixod point 1000 its stability aud a Umit cyc1e appears as shown in Fig 6(b) and c) with a littIe increasing of thc mean bubbling mie as lhe amplitudo ls raised

341 A ThfaJJe JC SartoreUllPhysiCIJ A 27$ ()(()(J) 336-346

iamp

TJms)

4

(1)

001[ 1A I 11 31 I ] 99 J71

-- co ~~ gtamp ~ bull I

bull

J 90 100

G)

Trna)

l

t~~i~I i t S ~

lt

(I) (k)

Fig 6 FIacutelSl return maps TI1+1vs TI as a furution of lhe sotlOd wave emplirude (keeping 6)( lhe aiacuter pressure in lhe ccedilapacffive fIICIV)ir) In each fraae the insets sbow at lhe lcfi lhe amplitude and ai the righl the buhbllug rue (li) Tbe lnitial fixed point (b) li limit ccedilycle (c) an unslable limit cycle~ from (d) up to (g) li llip bifutcation III constant bubbling raie~ from (h) up ti) (J) clmotic attrnctnts In eaeh fmme the lfitenection of lhe dashed 100 defines lhe position of an unstable perlod~l orbiacutet (UPO)

342 Acirc Tufuile JC SttrionllilPhysica A 275 (1000) 336-346

In Fig 6(c) lhe limit cyele looses its stability and a fixed paim near (87 87 ms) is visited in 41n intermittent behavior This fixed point position was established by a hislogram pIot of Tn The Fourier transform applied to lhe data related to Figs 6(d)-(g) showed a noisy period-2 _vior aed wilhout any bubbling tato variacuteation Therefore as we are observjog a bifureadon per1od~1-+ period~2 (see In Fig 6(0)-(ampraquo as bull function of lhe sound wave amplitude a period doubling ls being hidden bY lhe noise In bull llip bifurcation lhe i an unslablc fixed peint helween lhe two stable fixed Our data sbows Uacutetat lhe viacutecinity of lhe middle point betweeo lhe stabJe fixed points is been visited due to noise Consequently our data are adequate to apply the fixed poil transformatioo rechniquc developed by 80 cl a [10-12] to finagrave unstable periodic orbits (UPO) in short sedes of events wiacutetb unstable control pararneter briefiy descnbed below

To extract the unstable periodic orbiacutet with a finite amount of noisy data of a o-dimensional system Se et 1 supposed Ihat ali points lyiacuteng in a regian around lhe fixed point x = f(x) can he transfonned to x in lhe vicinity Df x The denshysity function p( x) has IacuteI1verse square-root-type singularities at the fixed poiacutents and a bistogram approximation to Pi) will have a sharp peak at x=x Some spunous pcaks appear in fiO) eilher due to siacutengnlarities not relatelt to fixeagrave peiacutents ar lo zeshyros of lhe derivative of lhe traesformaoon funarion x= g(ltk) They generalizcd the mcthod for a system with an arbitrnty embedded dimension (d) to obtain the unstabl

l periodic oreits by doing the transfonnation

in = (1 - SJ-1(Zr+1 - SnZII) (I) I

where

I (d-l) d)aftolfmiddotmiddotmiddotan trS= (

1 O +lltRllz+-zII (2)

a I (zn - 211_1)t -1 ( ( I - Z)1Zn+l

=1 (3)

d (Z_(d_l) - Z_d) (Z_(d_2) ~ Z~_(d_1)t

Zn are the reconstructed vectors ftom scalar time senes xn

ZJj = (Z~ZZ~ _ ~z)t = (XnXn_hXn_2 Xn_d_)t (4)

R is a d xd randam matrix in the range [- I I] and 1C is the magnitude of me randomshyization The fixed pojnts are giacuteven by the peak positions of l(i) As the locariaM of lhe spurious peaks dopend ou the parameter Ihey are eliminated by taklng lhe vecage (pczraquo) for maey dilfrent values picked up randomly As lhe attractQrs reconstruelion in a Wo-dimensional embedded space are enougb unfolde~ we applied this technique for d =2 w Iso chobullbull Ilt =5 and 1000 random matrIacuteces

343

se se 00

1 ~(S)

A Tufoile IC SartorellilPhyslca A 275 (2())()) 336-346

rzg 7 (li) Tht hhWgJlim ap~JA 10 p(i ub(ained wi1h the fixed paim trunsfonnatitm ttdmique using the daia sbown in Fiacuteg 6(h (b) lhe eonlout gmpb around lhe unstable periodl orbit ($697 8697 ms)

An example of our results is shown in Fig 7(a) where is drawn the histogram approximation to p(x) using the data shown in Fig 6(h) For better visl3lization of the unstab1e period orbit position a contQUr graph of the same data is shown in Fig 7(b) The higbest peak defines ao unslable penod-1 orbit at (8699 amp699 ms) cIose to

tbe stabJe fixed point shown in Fig 6(0) In this way we fOWld au WlSlable periacuteodo orbit as shown by lhe intersection of the dashed lines in Fig 6

Wiacutetb furtber ampHtude inereasing we observed the appearance af a chaotic regjon with stretchiacuteng and folding dyoamics f bullbulltures as shown in Fig 6(h)-(il and with

2500

2000

1500 c

81000 ~ 500

(a)

1

~1 I I

I

(h)

ilf

92

_2275 - 2600 _1950 - 22S _l6a5 - 1950 _1300 - 1625 l1li9750 - 1300 l1li$51)0 - 015-(1 W7~~O - 6500

() _ 3250

Tn(msj

344 A Tufaic JC SurtoreliilPhydoo A 275 (2)()()) 336-346

81 114

075

1 gO50 ~ gt

1deg25 degOOr--middotmiddot---mm--mm--------m-----~~J 82

- -i

870 eI -~--=__------__----_-----___shy8

f ~

J ~

Q 111 1~

I I I J1 02 03 04 05 06 07 08 M 10

sound wave smplitudOV

Fig a As li ftmction of the sound wave amplitude (a) the dominant LyapunoacuteV exponent (1raquo the mean bubbling mte (left seale) and thc unstablc pccedilriodiccedil objt (right scalc) The ltonliDuous lines are guide$ to Yshy

little change in the bubbling frequency The reconstructed attractors in tbe chaotic region were characterlred by lhe domJnant Lyapunov exponet [13J as sbown in Fig 8() However lhe unstable periacuteod-l orbil remains in tbe ohaorie region wilh little cbang o its position as hoW in FIg 8(b) (rigbt soale)

Contiacutenuing to increase the sound wavc amplitude with larger amplitude increments lhan betor we obtained lhe atttactors shown in F4 9 In Fig 9(m) lhe mean bubbling mie is 205 bubbl for a sound wave amplitude 0014 V and lhe pasition (~72S 725 ms) is visited in an intermittent behavior The visitation time increases as we increase the sound wave amplitude until the point ( 725 -725 ms) beoomes a labla fixd pain as hown in Fig 9(n) In Ihi situarian til rnean bubbling rrequency is f = 13797 009 bubbles whiacutech iacutes tlul sound wave frequency valu bull Therefore the bubbliog hcome synehronlred with the sound wave In Flg 10 we ca 1IIe dilference betwee lhe bubbles prefile in lhe first fixed paint as shown in Fig 6() and lhe syncbronlzed iacutejed paint shown in Fig 9(0)

(XII arI Cf1) kmmlmlj Mllacirc puoosrrn q~ ~mAacuteS ~ (sfsgtIqqtq L6Lt = f) sliacuteqqtq nn unjA 1tfOd fXgt1I9 t1ilf )ql (q) (sjgllqnq un I f) c)9 1ik tI Ut01ls laOO tmJ lSty Iql JO ~ Slqnq lt)ltJ (v) 01 -RJJ

(q) (raquo

)IIJJM punes ~tI JO )wnbarj ~UllJ oql tj~ pozroorqIMS

1l0mIllOJ Ilqqnq nql (u) lOAmp~ lIl(lnftuJtlll W to PQl~ S (sm SZL CcedilZL ) 1Uod lU (01)6 ~iI

(SIUUL

bull 00 Oi o (UI)

i

346 A TulaiJ JC S(1r(orelli Physica A 275 (2(J()(J) 336-346

4 Coudusion

We observed bifurcations in a bubble gun expetiacutement as a funCIacuteon afhe aiacute preshy8Ure In one case j we observed in a period-2 movement ti sudden change in the attraacuteCrors

size related to the bubbles size In other case with a different nozzle geometry we observed a periacuteod-doubling easeade J -+ 2 -+ 4 fullowed by a eMotio hehavior In both cases we fclated some different dynamical behaviotS to coalescent effects

For a fixed air pressure we used as a second control parameter the amplitude af a sound wave tuned to the fundamental frequency of the air tube above lhe oolutioo We observed as aacute function of increasing sound wave amplitudes the appearance af a fixed paim a limit cycle~ which looses 11$ stability and a new flxed paint appears a lllp bifuration followed by bullbullIutou regiOll wih strerehing and foldiacuteng features Thereafter a new fixed paiot starts to be visited in an intemUttent behavior anti the bnhbling synchronizes with lhe sound wave freqnency

We applied the technique af the transformatioD af the tixed pomts to extract an unstable period~l orbiacutet embedded in noisy reconstructed attrnctors in the fiip bifurshyClltion region This unstable period-l orbit remains in the chaotic regime which was charatterized by the dominant Lyapunov exponent

AcknowledgemenJs

We ate gratefuJ to Professor AJ Liohrenberg RD Pinto and MS Baptista for heir suggestions FinanciaI support from lhe BrnziUan Agencies FAPESP CNPq and FlNEP iacutes gratefully acknowledged

Rcf

[1] JF Davidson BOa Shiller Trans lllst Chem Eng 38 (1960) 144 (2) YA Buyevfub BW Wcbbon Chem Eng Sei 51 (19 4M3 [3J NK Kyrlalddes EO Kaslriookls SG Nychas em j Chem Eng 75 (1997) 684 [4] AS Pontet AJ Surnli Cbem Eng TecltnaL 20 (1997) 85 [5] 11- Krisbna 1M _ Nottue 398 (1999) 208 [6) 11- F IA _lt= A Phys Leu A 243 (1)l8) 67 [7] DJ TriUltm C BSU Phys Fl A S (1993) 503 [a] LJ Milloni MP Scllwar~ RD Ut Nuuzc Phys Fluids 7 (1995) 891 (9) JC Snt1oreIuuml WM Gonccedilalves RD Pinto Phys Rev E 49 (1994) 3963

[10] P 50 al Ihys Rev -t 76 (1996) 4705 [11] P So et al PllS Rcv E 55 (1997) 5398 [12] P So Cf al Biophy$ J 74 Z776) 1998 fI3] S ElIner DW Nycbka AR GIlllant LENNS a progrmn lo estimntc lhe dominant Lysp1JlU)v cxponcnt

of noisy noulinear systcms from time series data (fustitute of Statistics Mimco Serlcs 00 2235 (BMA serias lO 39) Statis1ks Department North Carolina State Univcrsity Raleigh 1992)

I 1

I

Apecircndice 3

Heacutenon-like attractor in air bubble formation

A Tufaile e JC Sartorelli

Physics Letters A 275 (2000) 211-217

I

PHYSICS LETTfH~sA

ElSlMER Phys1cs Lctfln A 10152 (2000) 1Q(l

wwwelsevebullnllocalJpl3

Heacutenon-like attractor in air bubble formation

A Tufaile JC Sartorelli lflUacuteMd dI FistCil Untveridadc de Samp hIlJC Cooacutea Postal otilde6JJ8 flf31J-l70 Sim PauID SPl1roil

~ved 6 Junc 2000 rnceiVdl in revised furm 29 Augusi2000 aeccpted 29 Angusl2000 Communicated hy cR DocriDg

Ahstract

Wc studlod the formation ar air hubb1es in 11 submerged nozzle in a watcljglycerol solution inside- a cylindtical tubeacute submitted to a sound wave perturbation lt was obslttved a mute to elmos via periacuteod 40ubling as a funetion of thc- sound Wllve amplitude We applicd metriea1 as well as topological chtmleacuteterization t(J some ch~tic attraetorn Wt localizcd ti flip saddle and wc aIso could establish relalions to a Heacutenon-like dynamics with the oonstruction of symbolie planes C 2000 Publishcd by Flrevicr $ciCllCe RV

PACS OSAS+b KeywonJs Cblrol Bubbe dyruunics Heacutenl)lt map

1 IntrodoetiOJl

We npot1Jd [1l some dynamical elfects of o sound wave in a bubble fonnation dynamics such as a flip bifurcatioacuten as a fimction of the increasing smmd wave amplitude Lauterbom and Paditz [21 studied the main reatures of bubble 05cillator in which the size of a small bubble in wnter oscillates due to a _ field Tritton and Edgell [3J observed some atiroctors by detecting thc bubb1e passage neatby a tnulSducer Ototmiddotfilm onemomme) pUacutelced dose to a nome where the bubbles were issued and they repartelt the existeace of a chaotic bubhlmg

~ccedil tumor TeI +55 11 81S 691S fax gt$5 11 813 4334

verified by visual inspections OOt without any kind of characterizatiacuteon af the chaotic dynamics Mittoni et ai [4J observed chaotic behavior with positive Lyapunov expunents in bubbling systems using a pressure transducer Li et a1 [5J studied lhe chaotic behavior of bubb1e 1oalescence in non~newtonian Iuids Ruziclm et ui [6J observed raquopc m intemritshytency in the transinon ftom bubblmg to jetting regime in 11 nitrogen-water system

Characterizaticn ofexperimental data oinonlinear systems using symbolie dynamiacutecs has becn reported by Gonccedilalves et al [71 in whiacutecb lthaotie at1mctms

from me drlpping faucet experiment were approxishymated to mioimal nmchines and the topological analysis applicatioD by using symbolic dynamics was more suitable to cllaracterize experimental data due to jts robustness to nalse Letellier et al [8] npplied topo1ogieal cbaracterization to irregular pul-

037S-96ltI1jOOS - slaquo trolit mluer 02000 PubJishtd by E~lr Stienee av PU S031i-960l(OOgtOtl58S-5

2 A TufoileJC Sartcrelli Pb)$Ws Letie1$ A )fi (2001)) (1I)fJ-()(J()

sations cf a hydradynamical madel of nu pu1sating sUlr by constructiug symbolic planes

Wc have studied the air bubble fonnation dynam~ ics in a submerged nome in n waterglycerol somshytion illSicle cylindrical tube (see Ref [n for detaiIs) as a function af 11 sound wave amplitude tuned in the air column above the solutiou Using metrical and topologica1 cbaracterization we observed a flip bifurshyestion which is followed by a chaotic region wbere some reconstructcd attracrors resembfe Heacutenon~1ike attractors which esmbHsh a possib1e mure to chaos in bubbling dynamics

2 EJpcnmental apparatus

The experimental apparatus of the bubble gun experiment is sbown in Fig 1 The bubbles were generated by injecting mr under constant flow rate conditions through a metallic nozzle immersed at the bottom of a viscuus tluid column (20 watcr plus 80 glycerol) maintained nt a level of 12 ctn The inner diameter Df the cylindrical contaioer js 53 nun and 70 em in hcight and the innel diamcter of thl nozzle is 13 mm The nozzle is attached to a capacitive air reservoir and the air flux ean be set up

by a need1e valve and the capacitive air reservoir is supplied by aa air compressor through a pressure reducer

The detection system is the same as the drippiacuteng faucet experiments [9t lO] A horizontal He-Ne laser beam focused (10 a phorodioacuted~ is placed a little above the nozzie The delay times between succes sive bubblcs were measured with a time circuitry inserted in a PC slm With a time resoJution equals to I ps The input signals are voltage pulses induced in a rcalstQ defined by Ih beginniacuteng (endingl af scattering af a laser beam focused ou lhe photodiode (in senes with the reslstor) when the bubble starts (ends) to cross the laser beam The lidth of pulse is me time interval tIl (n 1S the bubble number) and the time delay between two pulses is the crossing time (dt) cf a bubhte through the laser beam 50 that the total time interval is Tft = tIlt + dI bullbull

Setting up Ih bubble rale (f- I(Traquo) keeping fiacutex the air pressure in the capacltive reservoir and selecting the bubble rating by openjng (closlng) me needle valve we changed the bubble fl)IIllAtion dyw ooooics applying a sound wave with a loudspeaker pIncelt at the top of tbe tube The sound wave was tuned to the fundamental frequency of the air column above lhe liquid and its amplitude was driven by a

Rmction genemlor

Jl22l + H

shy

I

Alr9lifier i

j -tgt ~bull

I

~

o

o

Fig I Diagram cfme ~nlal apparzrus

I A llifaile lC Sm10r01ll Phpics UdtersA ()( (2iJ1)(J) OOO-f()(

-iacute

f

~

Driven Voltaga (V)

Fig 2 Bifurcation diarccedilaln ofthe inte1bllbble iotavals ti a function ofthe londiipeaka driml volige Wc cstimated lhe exptlrimcntal noise laquo$ -100~ in lhe period I behaYIacuteor

i

function genenrtor A11 the measurernents were doneshy

I at room temperature

3 Results and discuasion ~ II

The air flow rale and tbe sound wave ftequency were ept conslant at - 366 bubble(s and 150 Hz respeetively We changed the Imool dynamios forshymation increasmg the driven voltage in the loudshyspeaker as shown by ilie biacutefurcation diagram in Fig

32

1

~ 24

2 A period doubling OCCUIS around 2 0 V and the bubbles are issued in pairs until 30 V~ when a noisily period fougt appears After then two-band hehavior takes place and each band presents chaotie behaVior At 35 V the chaotic bands start to overlap and a large- chaotie attractors emerges

To perform metrical and topological characteriacutezashytion of the bubbJe fonnatilt)D dynamics we collected S1x time series keepiacuteng fb six drlven voltages whose respective retum maps (T I versus T) are sbown in Fig 3

~r I

- 111

(a) (b)

35V

(d)

~

24

I 25 V I ~ bull

I -(c)

I 45V I

(f)

T(ms)

Fig 3 A gquencc cf rtconstructcd aUtaclors 5howing 11 period-doubling tome to clI3os In eacb tlanle thI iDsct shows the driven vo114se (a) peticd t (b) period (2)i (ccedil) a two-band aacutetttactru (d) te) and O are claotic aUietatS chmctmzcd by the 1atgest LapWlOV exponent ftlR IlJ9 IIl1d 024 ~ivcly nbtllned w11h tlle lRNNS j13Clcase [1lJ F~1eacuteh titl1( Ienes is 4fl()(I h1lbbles long

1

1 Thfoiacutele IC SarrorelJi I PhJir$ LdterH A fJ(J (2000) OOfJ-(JJ()4

31 MetricaJ characterization

The reconstructed attractors in the chaotic region (rrom Fig 3(d) through 3(t) were characterized by the Lyapunov exponent51 by the Kaplan-Y orke di~ mension and by the infonnation dimension obtained by the rlSEAN package (12) A cofiecture [13) relates the Lyapunov spectnun (A) and the informa~ tion dimcnsion by me Kaplan~Yorke dimension D1Cf

1gt1 i-i ( I) -k+ - IDK( - IAgrave I

H

where k i5 the maximum integer so tbat SUtn af the k-largest exponents is stiU llOn-negative This cotildenjecshy

middot mre iacutes valid for Heacutenon attractor and it is checked on teconstructed attIactots The paramerer va1ues obshytained for the driven voltages V 35 40 and 45V are shown in rable I (see Figs 3(d) 3(0) and 3(t) The Kaplan-Y orke dimensions agree with iacutenfatmashytion dimensiacuteOllS The two first chaotic attractors have a Lyapunov spectrum witb one positive exponent and one negative exponent while the last one Fiacuteg 3(0 bas one positiacuteve and two negative exponents In Table 1 we also present the results of Heacutenon maps (flr))~(y+ I-axoacutexraquo recolllitrUcted as _ retum maps XH 1 versus X (see Fig 4(a))

Ue attrnctQr dimenslons ror ooven voltages of 35 V and 40 V are close to the dimensions of the HecircnOll map suggesting that they couJd have similar dynamiC$ The reconstrultrted attIactor for 45 V see

Table 1 LyapUJlQV exp~ and dirrlensfuns for experimcntll ch30tlc a~ and for two pairo (Ir atues ar Heacutenon map pomnnctm

Fig Drlven L)aplmOv Kaplrut-Yorkt Infonnation voltage IIpcetrn ~oo dimensioo (V) (ermt) (mor)

3(d) 3 +oll -08 1IJlJ 1)J

3c) 4bull +012 -06 123(1) 141) 31 +01-03 L68m 18(3)bull

Heacutenon -09 b LS50f +038 -238 116) 116(9) 1403 +042 - L61 12i~) U9(9)

) Oilcuhted wltb Eq ti)

(o) __321 ~

31)

3 24 221lt ~

22 24 2amp 2fj 30 32

T(ms)

Flg 4 (3) A iacutelippins eXlUlllie in lhe Heacutenon mtmctot The flip sarldlc IS tbe eroll5lns point or lhe daIDed line and lhe atIractm (056 056) (b) A flipp1ng ~ in lU ~W at1lactor fuT 3 dtivcn foltage cf 40 V

Fig 3(0 has similar prorue of the other two as shown in Fig 3(d) and 3(e) However its informashytion dimensiacuteon value is quite different ftom me omer two attrnctors (3(d) and 3(eraquo as well as diacuteffimm from tbe Heacutenon map values as shown in Table L In addition to the three exponents of the LyapllllOV spectra the dimension information dose to two is a cue that the attractor 3(0 could not be untangled in MO dimensions

7 A Thjaile Jc ~iI Physia Leitos A (Jfl (1000) ())(JOOII

I

I

The partition is represented oo OOl by dashed lines In Fig 5(8) 15 shown the Heacutenon map for a = 155 and b - 01 lhe partition used is a vertical line that separates the single branch (L) from the foIded one (R) that contruns ao unstable fiacutexed point and tbe Heacutenon symbolic plane afl is shown in Fig 5(A) From Fig 5(h) tbrough 5d) lhe experimentll atttactors are shown In those aSes the partition can not be done with a vertical linct 50 we looked for C1]Ves that eould separare Ih single hranch (1) from the folded ODe (R) The respcctive symbolic planes laquo3 atbullbullhown in Figo 5(1l) 5(C) and 5(j)

The pauero of lhe three experimental _bli planes resembles tOO Heacutenon symbolic plane Tbe best similarity OCCllrs for the driven voltage of 35 V whose symbo1ic plane has the same allowed and forbidden zones as the Heacutenon ones For higher wave amplitude some forbidden regions in the symbolic planes start to be visited (for example ex = 08 and 3 - 04 in Fig 5(Draquo howiacuteng lha lhe bubble forshymadoraquo dynamiacutecs is running away from the Heacutenon~ like dynamics In Fig 6 it is shown lhe bubble trains raisiog through the fluid to ilIustrate the ditference between the bubble profiles in the periodiacutec regimes lllld the Heacutenon-1ike one shown in Fig 3

4 eocluslo

We have used metriatl and topologica1 lt1ethods to characterize lhe dynamics ofair bubble fonnation We have observed that a gradual increase in the soillld wave amplitude results in a route to ehaas via period doubling W bullbullharncterized some chaalie beshyhaviar with lhe LyapuMV spelttra the Kaplan-Yorke dimension and the infonnatiacuteon dimension which 1ed 11$ to relate some results to a Heacutel1on~1ike dynamics a low dimensional dissipative system with stretching and fo1ding 1teacuteeacutebanism The Hecircnon map parameter values) (1 155 and b=Ol cbrrcsp(l11d to a more dissiacutepative system trum the classical values a = IA and b - 03 coberently mIa h bigh liquid vi

ity tbat parares li less sttuctured attracror The establisbment ofa fljp saddlc and the oonstruction of -ymbolic planes reinfotced 0Ui assumptiODS UsushyalJy two dimensional mappings are used as mudels o forced oscilintms _ore me bnbble formatia can be seen as an oscillator driven by a sound wave

Acknowledgements

This work was partially supported by Bmziliao agencies FAPESP CNPq and FINEP

Refcrences

t] A Tufuilc JC Sanorelli Phy~ca A 275 (2000) 336 (2) W Latrtcrbom U Parlitz J Acollocirct $o= Ato 84 (l9S8)

1975 (3] DJ Tritlon C Edgen Phys Fluids A 5 (t 993) 561 (4) LJ Minoro MF Schwarz RD La Nauze Phy Fluds 1

(1995) 891 [5] lU Li Y Moulinc L Choplin N Midoux lnt J Mnliphase

Flow 21 (1997) 173 [61 Me Rnzicka J Druacutetos J Zahradnik N Thomas Inl J

Muuumlphase Flow 23 (1997) 671 (7J WM Gonccedilalves RD rinlo jccedil ~orelli fhy$iccedila o 257

(1998)385 [81 C LcteUier G Gouesbct F Soufi JR Iluchlcr z KtlI1acirclh

Choos 6 (]996) 466 [9 Jc Sartorelli WM Gonccedilalves aD PlnlQlbys Rcv E 49

(199003963 [10] A TllfiIile RD Pinto WM Gonccedilalves JC SattOtelli

Phys Let A 255 (1999) 53 [tI] s EUoI DW Nychka AR Gallam LENNS a JlfOJpW to

eSUacuteil1lfle the dominant L)llpWJOv txponent afnoisy nonliucar sy5tcm5 fmm time scrics data lnstitule af Sta1i$itli Miacutemeo Srnes n 2235 (B~iA series n 39) Statisties f)q)artltletrt North CaroHca Sbtc Uniwniiy Raeigh 1992

[I2] R Hegget fl KanIz T Schrciblaquo Chaos 9 (1999 413 [131 r Ftdtrlclson JL Kaplan ED Yorlte lA VNte J

Olff Equat 49 (1983) 185 1141 KT Alligood TD amputt JA Yooo Chaos an introduoshy

Uumltm ttl ~ systems SpringuBerlin J991 [151 iL Zhao WM ZbeIlS Ccum Theot Phys 19 (1993) 11

-1

  • 1
  • 2
Page 8: Estudo da formação de bolhas em líquidos

Iacutendice

Iacutendice

L Introduccedilatildeo 1

2 Aspectos teoacutericos 6

21 Buxos e recorrecircncias 6

22 Mapas de retorno 7

23 O Mapa quadraacutetico 8

24 Dimensotildees 12

25 Expoentes de Lyapunov 12

26 O mapa de Heacutenon 14

27 Reduccedilatildeo de rufdo 16

28 Espectro de Fourier 16

29 O Mapa do Ciacuterculo 18

210 Transformaccedilatildeo de ponto fixo 24

211 Plano Simboacutelico 25

3 Aparato experimental 27

3 L O tubo borbulhador 27

32 Sistema de aquisiccedilatildeo 28

33 Medidor de vazatildeo 29

34 Controlador de vazatildeo 30

35 Vaacutelvula solenoacuteide proporcional 31

3 6 O bico borbu Ihador 32

37 O sistema pneumaacutetico 33

38 O sistema sonoro 33

39 O liacutequido 37

310 magens 38

31 L O Experimento da Torneira Gotejante 40

4 Resultados e AnaacuteIise 41

Jlldfce

bull

41 A tornejra gotejante 41

42 Dinacircmica das bolhas 45

42 I Formaccedilatildeo quase-estaacutetica 45

422 Formaccedilatildeo de bolhas com vazatildeo constante 46

423 Bifurcaccedilotildees 48

424 Veias liacutequumlidas 52

425 A estabilidade de dois fluidos sobrepostos 54

426 lnstabiliacutedade da superfiacutecie da bolha 56

427 Frequumlecircncia de borbulhamento 59

428 Duplicaccedilotildees de periacuteodo 62

429 Salto e coalescecircncia 62

4210 Antibolhas 69

43 A onda sonora e as bolhas 72

431 A fonnaccedilatildeo de bolhas perturbadas pelas ondas sonoras 73

432 Atratores do tipo Heacutenon 78

432A Caracterizaccedilatildeo meacutetrica 80

432B Caracterizaccedilatildeo topoloacutegica 81

432C Plano Simboacutelico 83

44 Oscilaccedilotildees forccediladas 85

45 Comportamento geral 87

46 Comparaccedilatildeo entre atratores 92

47 Modulaccedilatildeo do Paracircmetro de Controle 94

5 Conclusotildees 97

6 Referecircncias 100I

ApecircndicesI 1 Simulations in a dripping faucet experiment

2 Chaotic behavior in bulgtble fonnation dynamics

I 3 Heacuteuon-like attractor in air bubble formation

I I

I

lnwod~u~ccedilao~-~____________________~________ ___ 1

1 Introduccedilatildeo

Com o advento da Teoria do Caos [Li e Yorke 1975] foi proposto que eos

sistemas natildeo-lineares com poucos graus de liberdade poderiam gerar uma dinacircmica

muito complexa como comportamento perioacutedico quase-perioacutedico e caoacutetico~ que

dependeriam dos paracircmetros de controle do sistema Tais sistemas no estado caoacutetico se

tornam imprevisiacuteveis enquanto o tempo avanccedila devido a uma propriedade baacutesica dos

siacutestemas caoacuteticos conhecida como sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais Podemos

encontrar exemplos destes sistemas ao nosso redor como nas oacuterbitas planetaacuterias

sistemas quacircnticos [Bertelsen el ai 1999J variaccedilotildees climaacuteticas [Lorenz 1980)

torneiras pingando [Shaw 1984 Martien ct al~ 1985 Sartor1li el 011994

Gonccedilalves1996 Pinto et aI 2000] reaccedilotildees qwmicas abalos siacutesmicos e circuitos

eleacutetricos [Jackson 1995] Podemos tambeacutem encontraacute-los dentro de noacutes mesmos nos

impulsos nervosos [Rapp et ai 1990] pulsaccedilotildees cardiacuteacas reproduccedilatildeo celular e muitos

outros ritmos bioloacutegicos [Jaclrson 1995)

Seguindo uma sugestatildeo de Rotildesller [RossIer 1977] de que uma torneira pingaodo

poderia ser um exemplo do sistema de equaccedilotildees diferenciais que exibe comportamento

caoacutetico~ Shaw [Shaw~ 1984] desenvolveu o experimento da torneira gotejante que se

mostrou mais complexo que O sistema proposto por Rotildesller No Laboratoacuterio de

Fenocircmenos Natildeo-Lineares (LFNL) do Instituto de Fisica da Universidade de Satildeo Paulo

foi construiacutedo um experimento semelhante ao experimento da torneira gotejante de

Shaw [SartoreUi et al~ 1994] e esta experiecircncia permitiu observar uma enormei

variedade de comportamentos dinacircmicos1 tais como CrIacuteses [Grebogi et ai~ 1982l

I intermitecircncias duplicaccedilotildees de penado e oacuterbitas homocliacutenicas Para explicar taisI comportamentos foram desenvolvidas algumas teacutecniacutecas para anaacutelise das seacuteriesI

temporais [Gonccedilalves 1996 Pinto 1999] Desta forma o conhecimento adquirido com o experimento da torneira gotejante

I nos permitiu propor e desenvolver um experimento para estudar a dinacircmica da

formaccedilatildeo de bolhas em um liacutequido onde medimos o tempo da fonnaccedilatildeo de bolhas de

ar sopradas em uma mistura de aacutegua e glicerina utilizando as teacutecnicas semelhantes agraves

utilizadas no experimento da torneira gotejante Este experimento) que chamamos de

tubo borbulhador [Tufalle e Sartorelli 2000a Apecircndice 2 Tufuile e Sartorelli 2000b

Apecircndice 3] eacute de interesse tanto no estudo dos sistemas dinacircmicos quanto nas

aplicaccedilotildees em fluxos com duas fases [Ruzicka el ai 2000] Aleacutem dos efeitos da vazatildeo

I

2 1lntroduccedilatildeq

do ar na formaccedilatildeo de bolhas~ -estudamos os efeitos de uma onda sonora nas intervalos de

tempo da formaccedilatildeo de bolhas

A geraccedilatildeo de bolhas eacute importante em uma vasta gama de fenocircmenos onde temos

a dispersatildeo de um gaacutes num liquido desde ocasiotildees corriqueiras corno no preparo de

uma maionese ateacute em Engenharia Quiacutemica nos chamados equipamentos de mistura de

fases Para citar apenas algumas situaccedilotildees temos a criaccedilatildeo de bolhas em colunas de

borbulhamento vasos de fermentaccedilatildeo~ equipamentos de limpeza e extraccedilatildeo cavitaccedilatildeo

acuacutestica em bombas hidraacuteulicas e vaacutelvulas de controle reatores caldeiras e fijiacutedo em

transmissotildees de ondas sonoras no oceano [Clift e ai 1978]

Basicamente podemos ter quatro formas de formaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos

a) Soprando um gaacutes atraveacutes de um liquido

b) Quando a alta velocidade do liquido diminui a pressatildeo de rorma draacutestica (abaixo d

pressatildeo de vapor do liquido) e uma cavidade preenchida com vapor do liquido se

forma ocorrendo o processo que eacute conhecido como cavitaccedilatildeo

c) Quando um aquecimento local faz com que a pressatildeo de vapor do liacutequido ultrapasse

a pressatildeo local do liquido e uma cavidade de vapor se furma por ebuliccedilatildeo

d) A diminuiccedilatildeo brusca da pressatildeo no liacutequido faz com que gases dissolvidos fotrnem

bolhas no seu interior que ocorre quando abrimos uma garrafa de refrigerante ou

em situaccedilotildees mais etais~ como aacutes bolhas que causam embolia em mergulhadores

que sofrem descompressatildeo

Neste trabalho focalIacute7aremos o primeiro caso da formaccedilatildeo de bolhas principalmente

em liacutequidos viscosos usando uma abordagem da Teoria do Caos

O estudo da formaccedilatildeo de bolhas eacute interdisciplinar devido agraves aplicaccedilotildees encontradas

em Engenhruia Fiacutesica Quiacutemica Ocolisica Matemaacutetica Aplicada e Medicina Clifl e

colaboradores [Clift e ai 1978] publicaram o livro intitulado Bubble Drops and

Particles no qual eles procuram dar uma revisatildeo dos trabalhos envolvendo o

movimento de partiacuteculas em fluidos e a criaccedilatildeo e movimento de bolhas e gotas em

fluidos Esta eacute urna referecircncia muito comum nos trabalhos envolvendo formaccedilatildeo de

bolhas Nesta obra sobre bolhas gotas e partiacuteculas podemos ver que os principais

obstaacuteculos no estudo dos fenocircmenos que envolvem a interaccedilatildeo do estado liquido com o

estado gasoso satildeo a compressibilidade dos gases e a natildeo-linearidade intriacutenseca dos

fluidos) que levam muitas vezes a modelos empiacutericos e com validade de aplicaccedilatildeo

limitada A ideacuteia central quando se aplica a Hidrodinacircmica tradicional eacute a de se

caracterizar diferentes regimes de gotejamento ou borbulhamento~ como transiccedilotildees de

3

lt

L IntroduccediltJQ

instabilidades [Chandraekbar 198 I] Tais transiccedilotildees OCOITem com o aumento de um

paracircmetro caracteriacutestico do sistema como por exemplo o IlUacutemera de Reynolds

Utilizando princiacutepios variacionais procura-se explicar como ocorre um tipo particular

de mudanccedila de regime como a transiccedilatildeo do regiacuteme laminar para a turbultncia

A aplicaccedilatildeo da Teoria do Caos a estes sistemas nos daacute novas perspectivas de

anaacutelise e aumenta nossa intuiccedilatildeo com relaccedilatildeo aos fenocircmenos complexos observados A

furmaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos viscosos e sua relaccedilatildeo com comportamento caoacutetico jaacute

foram relatados em trabalhos de Tritton [Tritton ot ai 1993] e Mittoni [Mittoni oi ai

1995] No primeiro trabalho um medidor de fluxo anemomeacutetrico que consiste de um

resistor sensiacutevel ao fluxo de um fluido que passa sobre ele~ foi colocado proacuteximo do

bico onde as bolhas eram fonnadas e infonnava sobre a fonnaccedilatildeo das mesmas_atraveacutes

da variaccedilatildeo da tensatildeo sobre o resistor Com este sinal de tensatildeor Tritton construiu seccedilotildees

de Poincareacute e atraveacutes delas ele observou duplicaccedilatildeo de penodo no tempo entre bolhas

e tambeacutem obteve algumas seacuteries de sinais com padrotildees nacirco-perioacutedicos Tritton

classificou os padrotildees de comportamento mais simples como Caos Fraco~ e os de

comportamento mais complexo como Caos Forte_ O trabalho eacute inovador no sentido de

que eacute a primeira vez que teacutecnicas deste tipo satildeo utilizadas para o estudo da formaccedilatildeo de

bolhas Mas as criticas com relaccedilatildeo a este trabalho levam em conta que o meacutetodo de

mediccedilatildeo eacute invasivo~ isto ~ a formaccedilatildeo das bolhas eacute afetada pelo medidor pois a

caracterizaccedilatildeo do comportamento caoacutetico fOI feita de modo subjetivo No segundo

trabalho Miltoni e colaboradores [Mittoni cl aL 1995J utilizaram como elemento

sensor da formaccedilatildeo de bolbas num tubo borbulhador um transdutor de pressatildeo obteve

seacuteries de sinais caoacuteticos atraveacutes de teacutecnicas natildeo-invasivas e aplicou a caracterizaccedilatildeo

meacutetrica sobre elas obtendo expoenles de Lyapllllov positivos (algoritmo de Wolf [Wolf

ct ai 1985D

Como exemplo do interesse da Engenharia Quiacutemi peJa formaccedilatildeo de bolhas

temos o grupo da Universidade do Tenessee [Finney 2000] nos Estados Unidos

denominado CRG abreviatura de Chaos Research Gr01lp que estuda desde 1992 entre

outros siste~ a dinacircmica de uma coluna de bolhas ascendente formada por um bico

Segundo eles o principal foco da pesquisa eacute explorar a rota de duplicaccedilatildeo de periacuteodo

ateacute o caos e a natureza espaccedilo-temporal das interaccedilotildees entre as bolbas aleacutem de

focalizar as aplicaccedilotildees de teacutecnicas de controle de Caos

Aleacutem deste grupo~ foram encontrados outros trabalhos envolvendo engenheiros

quiacutemicQs estudando formaccedilatildeo de bolhas atraveacutes anaacutelise de seacuteries temporais Li e

I

1

I _J__mmm__u~_________________~ 4

colaboradores [Li et aI 1997] estudaram a coalescencio entre bolhas atraveacutes do

espectro de potecircncias dos dados obtidos experimentalmente Ruzicka e colaboradores I

[Ruzicka et al~ 1997]~ focalizaram sua pesquisa na transiccedilatildeo do estado de

borbulhamento para o jateamento do ar em liacutequidos Eles encontraram um movimento

complexo das bolhas envolvendo disparos da vazatildeo do ar mudando do regime de

borbulhamento para o jateamento do ar no liacutequido Eles classificaram os disparos

utilizando a tcrnrinologia da Teoria do Caos como uma intermitecircncia do tipo lI

Os meacutetodos de anaacutelise das seacuteries temporaiacutes satildeo baseados na teacutecnica de

reconstruccedilatildeo do espaccedilo de reses a partir de uma coleccedilatildeo de dados conhecida como seacuterie

temporal e podemos c1assificaacute~los como meacutetodos meacutetricos e topoloacutegicos Basicamente

temos uma anaacutelise das propriedades meacutetricas desta reconstruccedilatildeo devido aos estudos

desenvolvidos por Pkanl [packard el 01 1980] Maliacutec [Maliacutee 198 I] e Takens

[Takens 1981J Aleacutem disso temos a caracterizaccedilatildeo atraveacutes de expoentes de Lyapunov

com um algoritmo muito popular desenvolvido por Wolf [Wolf el aI 1985] para o

caacutelculo destes expoentes para estas seacuteries Aleacutem do estudo da estabilidade das seacuteries

temporais~ tambeacutem eacute associado a elas o conceiacuteto de dimensatildeo Femat e colaboradores

[Fernat et ai 1998] acompanharam a evoluccedilatildeo de seacuteries temporais provenientes de

sensores capacitivos em um experimento de borbulhamento em uma coluna vertica1

eles obtiveram os expoentes de Lyapunov e fizeram anaacutelises espectrais dos dados

referentes agrave bolhas que se eJevavam na coluna A caracterizaccedilatildeo topoloacutegica de dados

experimentais de sistemas natildeo--lineares usando dinacircmica simboacutelica foi feita pOI

Gonccedilalves e colaboradores para o experimento da torneira gotejante [Gonccedilalves et aI

1998] Pinto [pinto ef al 2000) aplicou o estudo das variedades invariantes para

caracterizaccedilatildeo da Cataacutestrofe do Ceacuteu Azul tambeacutem no experimento da torneira

got~antegt assim como algoritmos de localizaccedilatildeo de Oacuterhitas Perioacutedicas Instaacuteveis (QP)

de So [So el ai 1996]

Neste trabalho observamos as condiccedilotildees que levam aos diferentes regimes de

borbulhamento e classificamos estes regimes de acordo com as teorias dos sistemas

dinacircmicos assim como registramos algumas observaccedilotildees intrigantes na evoluccedilatildeo destes

sistemas como por emplo o aparecimento de cmtibolhas [Stong 1986] que satildeo

basicamente cascas esfeacutericas de ar aprisionadas dentro do liacutequido Colocando oacuteleo junto

com aacutegua no sistema do tubo borbulhador~ tambeacutem registramos fi existecircncia de veias

liacutequidas que satildeo colunas daacutegua sustentadas por bolhas dentro do oacuteleo

5

I I i

1

I

I

J lntro50

Veremos tambeacutem o tubo borbulhador como um novo exemplo da classe dos

sistemas caoacuteticos devido agrave sua relaccedilatildeo com o mapa hidimensional do ciacuterculo (Argyris

et a~ 1994] Muitos sistemas fiacutesicos caracterizados por pelo menos duas frequumlecircncias

exibem um comportamento chamado de sincronizaccedilatildeo ou tambeacutem chamado de

travamento de frequumlecircncias Outro comportamento muito frequumlente na associaccedilatildeo de

osciladores eacute o comportamento quase-perioacutedico que pode ser representado pela

associaccedilatildeo de dois osciladores funcionando com a relaccedilatildeo entre as frequumlecircncias dada por

um nuacutemero irracional Todos esses comportamentos aparecem naturalmente no

experimento do tubo borbulhador e aleacutem disso~ este experimento nos permite explorar a

interaccedilatildeo entre os sistemas natildeo-linearesgt e como ocorrem as translccedilotildees entre os regimes

perioacutedico e ca6tico na emissatildeo de bolhas sujeitas agrave uma onda sonora

6

I I

I

I

2 Aspectos Teoacutericos

2 Aspectos teoacutericos

Seacuteries temporais nao-lineares podem ser analisadas com meacutetodos meacutetricos e

meacutetodos topoloacutegicos O meacutetodo meacutetrico eacute multo proacuteximo das noccedilotildees intuitivas de

distacircncia aacuterea volume e dimensatildeo que temos Por este meacutetodo podemos dimensionar e

comparar objetos num detenninado espaccedilo Tambeacutem podemos analisar a estabilidade

de um sistema com base no valor de meacutedias temporais da convergecircncia ou divergecircncia

da vizinhanccedila de um ponto destes objetos chamados de atratores

O meacutetodo de anaacutelise e carncterizoccedilatildeo topoloacutegica eacute um dos meios mais

importantes de investigar problemas natildeo lineares Este meacutetodo considera a seacuterie

temporal natildeo corno uma funccedilatildeo expliacutecita do tempo mas como curvas no espaccedilo de

falies que satildeo soluccedilotildees do sistema dinacircmico Descobertas consideraacuteveis nos aspectos

qualitativos e algumas infonnaccedilotildees quantitativas podem ser obtidas atraveacutes dos

atratores reconstruiacutedos

Os meacutetodos empregados neste trabalho foram obtidos da literatura ou

desenvolvidos noacute LFNL A finalidade da utiacuteliacutezaccedilatildeo de tais meacutetodos eacute testar e justificar

algumas hipoacuteteses feitas para os dados obtidos com tubo borbuIhador e para a torneira

gotejante Para evitar redundacircncia da derivaccedilatildeo dos meacutetodos amplamente encontrados

em livrostexto e artigos as derivaccedilotildees dos meacutetodos seratildeo simplificadas Para maiores

informaccedilotildees dos algoritmos empregados poderatildeo ser consultados os trabalhos de

Hegger Kantz e Schreiber [Hegger et aI 1999) Ellner [EIlner cf aI 1992) So [So Cf

aI 1996) e Gonccedilalves [Gonccedilalves ef aI 19981

21 Fluxos e recorrecircncias

Os sistemas dinacircmicos detenniniacutesticos satildeo descritos pela evoluccedilatildeo temporal de

um subconjunto A em um espaccedilo euclidiano d~djmensional Eles podem ser expressos

por exemplo por equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias [Sotomayor 1979]

X=f(f) (21)

ou com um tempo discreto t = n J t por mapas [Collet eacute Eckmann 1980]

x n+ =f(x) (22)

Uma seacuterie temporal eacute uma sequumlecircncia de observaccedilotildees igualmente espaccediladas no

tempo Uma seacuterie de eventos eacute uma sequumlecircncia de intervalos de tempos entre os quais

ocorreu um determinado evento

2 ~lectQsTeoacutericos 7 ~~~~~----

22 Mapas de retorno

Uma seacuterie de eventos da forma (x Xl ) natildeo eacute exatamente o espaccedilo

de fases do sistema dinacircmico sendo necessaacuterio empregar alguma teacutecnica de

reconstruccedilatildeo para revelar a estrutura muIti~dimensional desta seacuterie Um dos mais

importantes tipos de teacutecnica de reconstruccedilatildeo do espaccedilo de fases eacute o mapa de retomo ou

tambeacutem chamadQ de coordenadas de atraso Vetores no espaccedilo de imersacircn satildeo criados

a partir de atrasos na seacuterie O conjunto das duplas (llt XjH) forma o mapa de primeiro

retomo~ e o conjunto das duplas (Xj Xjt2) forma O mapa de segundo retomo e assim por

diante O nuacutemero de elementos destes vetores daacute a dimensatildeo de espaccedilo de imersatildeo O

teorema de imerslio de Talcens [Talcens 1981] estabelece que se uma medida eacute

dinamicamente importante para o sistema ela conteacutem toda informaccedilatildeo contida neste

sistema dinacircmico

Em modeIos matemaacuteticos de sistemas dinacircmico~ a evoluccedilatildeo do processo eacute

vIacutesualizada no espaccedilo de fases cuja dimensatildeo eacute dada pelo nuacutemero de variaacuteveis

independentes Em experimentos o espaccedilo de fases eacute usualmente desconhecido a

princiacutepio e frequumlentemente uma uacutenica variaacutevel escalar do sistema pode ser medida O

meacutetodo mais comum de reconstruccedilatildeo do espaccedilo de fase a partir de uma seacuterie temporal

foi proposto por Packard Crutchfield Farmer e Shaw [packard et aL 1980] para se

analisar os dados do experimento da torneira gotejante A dinlhnica de uma seacuterie

temporal x em sistemas dissipativos eacute completamente descrita pelo atrator em um

espaccedilo de fases d-diacutemensiona)~ lRd~ com D sendo a dimensatildeo do atrator Genericamente

qua1quer atrator eacute completamente envolvido no espaccedilo de fases por sua proacutepria hacia de

atraccedilagraveo~ consequentemente todos os movimentos transientes inicializados em uma

I pequena vizinhanccedila do attator~ movem-se assintoticamente na direccedilatildeo do atrator Os

I atratores podem ser perioacutediacutecos~ quase-perioacutedicos e caoacuteticos

Neste trabalho os dados experimentais obtidos satildeo apresentados em mapas de

primeiro retorno bjdimensionals cujos elementos das duplas (Tnbull Tnt1) satildeo intervalos de

tempo entre duas bolhas consecutivas Tambeacutem seratildeo apresentados mapas de primeiro

retorno tridimensionais atraveacutes das tripla (Tn Tn+ h Tn+2) Outras representaccedilotildees

necessaacuterias seratildeo especificadas no local onde estas forem utilizadas

8

I -

2 Aspectos Teoacutericos

23 O Mapa quadraacutetico

As princiacutepals caracteriacutesticas dos sistemas dinacircmicos satildeo observados e analisados em

mapas unidimensionais como no mapa quadraacutetico do tipo

f(x) x -a (23)

onde Xfl eacute a variaacuteveI iterada do mapa e a eacute o paracircmetro de controle O diagrama de

bifurcaccedilotildees deste mapa pode ser visto na Fig 21

X o

-1

~~~~~-~~~~----------F~---

-shy

1~ -05 00 05 10 15 20

a Figura 21 Bifurcaccedilacirco obtida com uma funccedilatildeo oonvcxa a linha tracejula eacute o primeiro ponto fixo inslaacutevel que surge numa bifurcaccedilatildeo tipO sela-noacute

Neste diagrama vemos os valores possiacuteveis de x para uma variaccedilatildeo do paracircmetro

de controle a entre -Q25 e 20 Os valores do mapa para a entre -025 e 125 podem ser

calculados analiticamente impondo a condiccedilatildeo de que o valor da variaacutevel iterada

anterior seja igual ao valor da variaacutevel iterada seguinte

xx 1 -a (2-4)

que nos fornece dois pontos fixos Xf

x = [l+(l+4a)1f2 (25)

lt = [1- (1 +4a)]I 2_ (25b)

9 2 Aspectos Teoacutericos

A estabilidade dos pontos fixos de qualquer mapa unidimensioual eacute obtida com

as condiccedilotildees

Ifl(Xr ~ lt 1gtxreacute um ponto fixo estagravevel (260)

If(xr)1 gt1gtxreacuteum ponto fixo instaacutevel (26b)

Deste modo para valores de a acima de -025 obtemos xJ1 instaacutevel~ enquanto xp

eacute estaacutevel ateacute o paracircmetro a chegar a 075 Para a igual a -025 no mapa da equaccedilatildeo (23)

experimenta uma bifurcaccedilatildeo sela-lIoacute A linha tracejada na Fig (21) eacute a trajetoacuteria

instaacutevel xfl e o ramo estaacutevel Xp estaacute simetricamente abaixo ateacute O valor de a igua1 a 075

Quando o paracircmetro de controle a atinge O~75 as trajetoacuterias do mapa sofrem

uma mudanccedila de oomportamento Nesse caso a partir deste valor do paracircmetro de

controle a oacuterbita oscila entre dois valores de x

X f(xf ) (270)

Xf4 fx) (27b)

I

x

2 2

1 1

bullbull

i

o 1lt gtrc zA

-1 I i--=

1

o

-1

t t Xp __

J

Xp l-shy

~t i~

tr~

-2+ordf b ~

-2 00 05 10 15 00 05 a 10 15 a

Figura 22 (a) Detalhe do diagrama de bifurcaccedilamps do mapa quadraacutetico a linha tracejada representa o poacutento

fum instaacutevel da bifurcaccedilatildeo selallOacute (b) Bacia de atraccedilatildeo mostrando a estabilidade de algumas regiotildees

mostradas em (al neste graacutefico as linhas vermelhas representam os pontos fixos instaacuteveis enquanto que as

- linhas pretaS os pontos fixos estaacuteveis Podemos emnparar a troca de estabilidade de xp mGSlrado em (b) para

a 075 oom o diagrnma mostrado cm (u) assim como- o mesmo tipo de troca para xp c xp pata a = 125

(linha pontilhada)

1

____________________________________ 102 Aspectos Teoacutericos

Para compreendermos o que ocorre agora utiacutelizando os criteacuterios de estabilidade

(26) e para calcular os novos pontos fixos temos que recorrer a uma composiccedilatildeo do

mapa com ele mesmo da seguinte forma

g(x) =f(f(x)) =x - 2ax + - a (28)

que possui quatro pontos fixos sendo dois deles os pontos fixos das equaccedilotildees 27(a)shy

(b) agora ambos instaacuteveis e dois outros estaacuteveis dados por

x =l+ll+4(a-I)2 (29)

x =l-[1+4(a-I)12 (29b)

Na Fig 22(a) vemos o diagrama de bifurcaccedilotildees no periacuteodo 2 e no graacutefico ao

lado (b) representamos as oacuterbitas jnstaacuteveis (ramos vermelhos) e os ramos estaacuteveis

(ramos pretos) As setas indicam a atraccedilatildeo ou a repulsatildeo dos pontos fixos Na Fig 22(a)

quando a=12S podemos notar que na sequumlecircnCIacutea de bifurcaccedilotildees aparece o periacuteodo 4

Quando estes quatro pontos fixos se tornam instaacuteveis um periacuteodo 8 aparece e o

processo de duplicaccedilatildeo de perfodo se repete indefinidamente para faixas de a cada vez

mais estreitas ateacute chegar no valor Umiacutete a = 140113bullbull que pode ser visto na Fig 23

A partir deste valor do paracircmetro de controle os pontos no mapa visitam bandas

perioacutedicas que se alargam e se sobrepotildeem aos pares diminuindo o nuacutemero de bandas

num processo chamado de bifurcaccedilatildeo reversa Nesta sobreposiccedilatildeo os valores de x

evoluem periodicamente com relaccedilatildeo agraves bandas mas de modo erraacutetico dentro de cada

uma delas e tal movimento eacute chamado de caoacutetico

No diagrama da Fig 23 apoacutes O encontro das duas bandas caoacuteticas

temos a ocorrecircncia de janelas perioacutedicas de periacuteodos iacutempares COm uma janela maior de

periacuteodo 3 (a l75) e outra menor de periacuteodo 5 relacionadas com bifurcaccedilotildees

tangentes A existecircncia do periacuteodo 3 eacute o principal argumento para se utiacutelizar um

teorema que estabelece a existecircncia de todos os outros periacuteodos maiores O Teorema de

Sharkovskii [Jackson 1995] nos daacute um esquema natildeo usual de ordenaccedilatildeo para os

nuacutemeros naturais tal que para cada nuacutemero natural n a exiacutestecircncia de um ponto de

penodo II implica na existecircncia de oacuterbitas perioacutedicas de todos os periacuteodos maiores na

ordenaccedilatildeo do que n Pelo teorema de Sharkovskii a existecircncia de uma oacuterbita de

periacuteodo 3 num mapa unidimensional natildeo-monotocircnico com apenas um maacuteximo impHca

na existecircncia de todos os periacuteodos_

2 Aspectos retiFicas __ ~___li

o teorema de Sharkoyskii explicitamente eacute [Jackson 1995J

Seja T o conjunto ordenado 3-oacuteltJ-lt lt23lt25-lt27lt lt213425-lt227-lt

-1Jlt4lt2-lt1 Seja lmiddot uma aplicaccedilatildeo suave do intervalo unitaacuterio nele mesmo tal que

f(O)=f( J)=0 que possui apenas um ponto critico Se m-lt1l relativo agrave ordem no conjunto

1 eftem a menor oacuterbita de periodo m entatildeo f tem uma oacuterbita de periacuteodo n

~----~--------------~~--~i BandIs atfaINas t PArimo Todosos perlodoo ~ bull 1 - - ~i I iacuteltJirrdnuirdon) I

Paf~S estlWeis Ilo(Mmenkl Caos penodos

l 2 __ I mi-pelloacutedlco rJlllllffls 3 bull

1

x O

-1

I Caos

I ~~-L-__~____~~~~plusmn==~~~~~~~~II

14 16 18 20

a

Figura 23 O comportumento dinacircmico geral do mupa quadraacutetico com a cascata de duplicaccedilotildees de periacuteodo (alt14) Pnrn a gt 140l1 ocorre Caos com a diminuiccedilatildeo das bandas atrativas Apoacutes ti janela de periacuteodo 3 temo tooos os periacuteodos como propotildee o teorema de SharkovskiL

l

12 2 Aspectos Teoacutericos

24 Dimensotildees

Um aspecto baacutesiacuteco de um atrator obtido a partir de um sistema dinacircmico eacute a sua

dimensatildeo pois O comportamento do sistema eacute caracterizado pejo atrator Apoacutes um

transiente alguns tipos de movimento desaparecem devido ao amortecimento e o

estado do sistema se aproxima de um atrator no qual o nuacutemero de variaacuteveis

independentes que detennjnam a dimensatildeo do atrator eacute reduzido consideravelmente

Os atratores podem ter a dimensatildeo de um ponto linha ou plano ou podem ser

extremamente complicados e frequumlentemente possuem estruturafractal [Alligood et al

1997] Podemos medir essafractalidade atraveacutes de dimensotildees generalizadas

Associamos a dimensatildeo de um objeto com o nuacutemero de vetores ortonormais que

podem ser sobrepostos ao objeto Embora seja muito importante esta associaccedilatildeo de

vetores nos restringe sempre a dimensotildees inteiras mas existem outros conceitos de

dimensatildeo entre eles a dimensatildeo de Hausdaif(Df ) [AlIigood et aI 1997] que eacute baseada

na ideacuteia de um comprimento caracteriacutestico R em um conjunto de N elementos

D =logN N_RDt (210)I JogR

A dimensatildeo de lnfonnaccedilatildeo (Di) [AUigood et ar 1997] leva em conta as

frequumlecircncias de visitaccedilatildeo relativas e por isto eacute mais interessante para slstemas fiacutesicos

Muitas outras definiccedilotildees de dimensatildeo existem mas para os objetivos deste trabalho

utilizaremos apenas as dimensotildees citadas anterlonnente e a dimensatildeo de Kaplan-Yorke

(DKy) [Argyris ct ai 1994]

Aleacutem disso a determinaccedilatildeo do valor de uma dimensatildeo a partir dos dados

experimentais de um processo dinacircmico indica qual eacute a dimensionalidade do espaccedilo de

fases do sistema dinacircmico matemaacutetico que deve ser usada para modelar o sistema

25 Expoentes de Lyapunov

Os sistemas caoacuteticos exibem sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais Esta afirmaccedilatildeo

tem sido utilizada para resumir uma das principais propriedades dos sistemas caoacuteticos

que pequenas diferenccedilas nas condiccedilotildees iniciais satildeo magnificadas devido agrave dinacircmica do 1

I

13 2 Aspectos TeoacuterirIJS

sistema de tal modo que em um tempo finito o sistema percorre estados totaJmente

diferentes A noccedilatildeo de sensibilidade agraves condiccedilotildees iniciais eacute feita de modo mais acurado

atraveacutes do expoente de Lyapunov amp[AHigood ef al 1997] Nonnalrnenre sistemas

contendo pelo menos um expoente de Lyapunov positivo satildeo considerados caoacuteticos Isto

significa que trajetoacuterias partindo de dois pontos muito proacuteximos natildeo importando quatildeo

pequena seja a distacircncia entre elas iratildeo evoluir de modo diferente e se afastaratildeo

exponencialmente uma da outra com o tempo

Podemos obter o expoente de Lyapunov maacuteximo [Wolf et aibull 1985] sem a

construccedilatildeo expliacutecita de um modelo para a seacuterie temporal Uma caracterizaccedilatildeo confiaacutevel

com expoente positivo exige que sejam garantidas a independecircncia dos paracircmetros de

imersatildeo e uma lei de crescimento exponenciaL

Existe tambeacutem o caacutelculo do espectro de expoentes de Lyapunov [Hegger e

Kantz 1999] onde o ingrediente essencial eacute a estimativa de Jacobianas locais ou seja

uma dinacircmica liacutencanzada que regula o crescimento das perturbnccedilocirces infinitesimais

Para uma melhor compreensatildeo dos sistemas dinacircmicos uma concHiaccedilatildeo entre

caracteriacutesticas relativas agraves meacutedias temporais e espaciais dos atratores foi feita atraveacutes da

teoria ergoacutedica [Argyris et aI 1994] Como o expoente de Lyapunov caracteriza a

dinacircmica do atrator atraveacutes de meacutedias temporais da divergecircncia ou convergecircncia de

uma vizinhanccedila com relaccedilatildeo a um ponto da oacuterbita o caacutelculo dos expoentes de

Lyapunov permite certas comparnccedilotildeei como a conjectura de Kaplan-Yorke [Argyris ct

al 1994] que estabelece que a dimensatildeo de Informaccedilatildeo deve coincidir com dimensatildeo

de Kaplan-Yorke DKy dada por

Lei ~Ik -- (211)

D Kf bull IEr+1

onde k eacute um inteiro maacuteximo tal que a soma dos k expoentes maacuteximos seja natildeo-negativa

e ti eacute uacute i- eacutesimo expoente de Lyapunov Tal conjectura foi verificada para uma boa parte

dos sistemas dinacircmicos dissipativos de baixa dimensacirco [Hegger e Kantz 1999]

2 Aiacuteipectos Teoacutericos 14

26 O mapa de Heacutenon

o mapa de Heacutenon eacute um mapa bidimensional do tipo

XH_I =l-ax+ Y1Igt (212)

Y-+l = bX1l

Os pontos fixos do mapa satildeo dois e podem ser obtidos por

x = [(b-I)plusmn~(1-b) +4a]2a ybx (213)

e para cada um desses pontos fixos temos dois autovalores associados Agrave

I Acirc =-axplusmn~(ax) +b (214)

desta forma com esses dois autovalores podemos estudar a estabilidade de cada ponto

I a=14 b=O31

bullbull 2

gt- ~oo

-04

middot10 -05 M M 10

x

Figura 24 Atrator de Heacutenon caoacutetico reconstruiacutedo nas variaacuteveis x~ e y para a=14 e b=O3

fixo como foi feito

para 0lt mapas

unidimensionais Um

atrator de Heacutenon

caoacutetico bem

conhecido eacute mostrado

na Fig 24 O

coeficiente a estaacute

relacionado com o

estiramento do mapa

e coeficiente b estaacute

relacionado com a

contraccedilatildeo da aacuterea do

mapa de Heacutenon e este

coeficiente eacute o

determinante da matrizjacobiana J do atrator de Heacutenon com o siacutenal negativo

- 2ax 11 deU = b q=-b (215)

1

15 2 ASlClOS TeoacuteriCC$

Na Fig 25 vemos as duas variaacuteveis do mapa nos graacuteficos de x liS a e y vs a~ onde

podemos notar a oontraccedilatildeo da variaacutevel y por b na Fig 25(b) em relaccedilatildeo agrave variatildevel que

aparece na Fig 25() onde temos tambeacutem os pontos fixosxJ2 da equaccedilatildeo (213)

(a)

gtlt

x

(b) J

~ Contraiacutedo pelo

1 fator b 1

04 06

a

Figura 25 Diagramas de blfunaccedilotildecs do atI3tor de Heacutenon para b=O3 em (a) a variaacutevel x e seus dois pontos lOO)S x na cor vente e xs na corverme1ba calculados pela equaccedilsecto (213) sobre a seacuterie e em (b) a variaacutevel y contraiacuteda pelo1ator b

Para o caso do diagrama de bifurcaccedilotildees da Fig 25 determinante de J eacute constante

e negativo det J = - 03 para todos os valores de a

Os expoentes de Lyapunov do mapa de Heacutenon 81 e amp1 estatildeo relacionados com a

matriz jaeobiana pela relaccedilatildeo de contraccedilatildeo [Argyris et ai 1994]

+lt ~ In Idet(J) I= In 03 ~ -12 (216)

Esta relaccedilatildeo representa as propriedade de estiramento Si e dobra E2 atuando

uniformemente Idet(J) I~ 03 dentro do espaccedilo de rases para estabelecer o atrator Para

a=lA e b=O)3 temostj ~ 042 eE1t -1~62 O valor SlgtO nos daacute um atrator caoacutetico

16 2 Aspectos Teoacutericos

27 Reduccedilatildeo de ruiacutedo

A filtragem de sinais obtidos a partir de sistemas natildeo~lineares exige o uso de

meacutetodos especiais [Hegger e Kantz 1999J jaacute que os filtros lineares podem interagir

desfavoravelmente com a estrutura natildeo-linear Sinais irregulares de fontes natildeo-lineares

exibem bandas de espectro realmente largas e natildeo existe justificativa para identificar

qualquer componente no espectro de frequumlecircncias como ruiacutedo Entretanto existem certas

dependecircnciacuteas geneacutericas entre as medidas x que criaratildeo vetores x para preencher o

espaccedilo de imersatildeo d~diacutemensionaJ de um modo natildeo homogecircneo Meacutetodos de filtragem

linear procuram identificar as direccedilotildees principais da distribuiccedilatildeo no espaccedilo de fases e

fazer projeccedilotildees sobre elas A reduccedilatildeo de ruiacutedo natildeo-linear leva em conta que sinais natildeo~

lineares formaratildeo estruturas curvas no mapa de retomo A principal suposiccedilatildeo do

algoritmo utilizado eacute que ele deve ser aplicado para sistemas de baixa dimensatildeo (D-3)

28 Espectro de Fourier

Outro criteacuterio para se analisar seacuteries temporais eacute atraveacutes da decomposiccedilatildeo da

seacuterie numa integral de Fourier [Argyds et aI 1994] Considerando um sinaljfO a

expressatildeo pode ser expressa na forma

+shy

(1)=_1 JF(fraquo)edW (217)2

onde

~

F(w) = Jf(t)e-iMdt (218)- eacute definida como a transfonnada de Fourier do sinal f(t)

O espectro de potecircncia P(m) do sinal eacute dado a partir de F(m)

P(m)= IF(m) I = F(m)P(m) (219)

COm fgt(m) sendo o complexo conjugado de F( (O)bull

17

1

Xj 10

1deg1 -I Igt1J 00 0$ IC

2 Aspectos T~6ricos

logo -shy

1() I P(

j 14J

X Q)

Figura 26 _(a) Periacuteodo 4 do mapa de Heacutenon e em (A) o seu espectro de potecircncias (b) atrator de Heacutenon lUl regiatildeo caoacutetica e em (B) seu respectivo espectro de potecircncias moslIatldo uma banda larga

Na Fjg 26 temos dois atratores obtidos a partir do mapa de Heacutenon em (a) o

comportamento de periacuteodo 4 e em (A) o espectro que nos mostra o comportamento

perioacutedico com os dois picos indicando uma duplicaccedilatildeo de periacuteodo caracteriacutestica do

atrator de Heacutenon Para os paracircmetros a=155 e b=Ol temos um atrator de Heacutenon no

regime caoacutetico em (b) e seu espectro de banda larga em (B)

Frequumlentemente atratores caoacuteticos apresentam banda larga por isso este eacute um

meacutetodo muito comum na identificaccedilatildeo do comportamento caoacutetico Aleacutem disso a anaacutelise

da evoluccedilatildeo dos sistemas dinacircmicos atraveacutes de seus espectros pennite definir a rota

[Argyris eJ ai 1994] que leva o sistema ao Caos poiacutes a evoluccedilatildeo das dupHcaccedilotildees de

periacuteodo vista no mapa quadraacutetico e que tambeacutem acontece no mapa de Heacutenon eacute apenas

uma dessas rotas Na proacutexima seccedilatildeo veremos um outro mapa que nos mostra esta e

outras rotas para o Caos

18

I I I

Capiacutetulo2 Aspectos Teoacutericos

29 O Mapa do Ciacuterculo

o mapa do CIacuterculo modela a interaccedilatildeo entre um oscilador IImestre quando aplicado

a um segundo oscilador natildeo-linear [Argyris et aI 1994 Jackson 1995J A dinacircmica eacute

governada por dois paracircmetros de controle a razatildeo entre as frequumlecircncias dos osciladores

desacoplados n e a intensidade de acoplamento K

K e +1 == BII +Q--sen2nBn +brn (mod I) n 2 (220)K

rn+l brn - 20 sen 2nBn middot

Aqui 01 eacute o acircngulo de um rotor riacutegido logo apoacutes o eneacutesirno impulso e rn eacute proporcional agrave

velocidade angular deste rotor sujeito a um impuiso externo do oscilador mestre e b estaacute

relacionado com o amortecimento

00 05 15K

~iacutegura 27 Diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo para b=Ol e =0725

01

-01

19 Capiacutetulo2 Aspectos Te6ricos

Na figura 27 podemos ver a seacuterie temporal do mapa do ciacuterculo Este tipo de mapa

nos daacute outro tipo de rota para o caos denominada de rota para o caos via quaseshy

periotlicidade Temos basicamente o aumento do raio de um ciclo limite quase-perioacutedico

intercalados com travamentos de frequumlecircncia e comportamento ca6tico

Para sistemas altamente diacutessipativos o termo b se anula e o mapa pode ser estudado

na forma puramente angular

K 0M =0 +0- 2JI seo(27l0) (221)

Um conceito importante para a anaacutelise do mapa do ciacuterculo que foi introduzido por Poincareacute

[Argyris el ai 1994 Alligood aI 1997] eacute nuacutemero de rotaccedilatildeo W

() - ()oW(KO) = lim n (222)

n~iOO n

que eacute a meacutedia da rotaccedilatildeo do oscilador forccedilado por ciclo

As propriedades de estabilidade para valores de Kltl para a equaccedilatildeo (221) seguem

a partir da teoria de estabilidade liacutenear para mapas como foi feito para o mapa quadraacutetJco

d~f(eo 10 =11- K cos(27lB)I (223)

que eacute menor do que um se fi lt114 e eacute maior do que 1 se 0gt114 ou se 8gt314 Para um ponto

fixo estaacutevel Os temos

lim~=es=gtw=o (221) nshy

Substituindo na equaccedilatildeo 221 obtemos a relaccedilatildeo entre K e n dada por

Q=+K (222)- 2JI

Estas relaccedilatildeo entre K e Q nos daacute o espaccedilo de paracircmetros do mapa do ciacuterculo onde podemos

ver para quais valores podem ocorrer a sincronizaccedilatildeo do oscilador forccedilado conhecida como

liacutengua de Arnold [Bai-lin 1989 para o nuacutemero de rotaccedilacirco W=OII

Na figura 28(a) temos o mapa de primeira iteraccedilatildeo da funccedilatildeo senoida1 do mapa do

ciacuterculo na regiatildeo onde ocorre uma bifurcaccedilatildeo do tipo sela-noacute Para um valor fixo de K entre

Oe 1 trecircs valores de Q foram escolhidos ParaQ gt nKtgt o ponto fixo alnda natildeo existe Para

Q = QICcedilo a funccedilatildeo tangencia a bissetriz e um ponto fixo aparece Diminuindo aiacutenda mais o

valor de Q o ponto fIXO se divide em dois um estaacutevel e outro instaacutevel situaccedilatildeo

20 CapiacuteUlo2Aspec~os Te6ricos

caractenstica de uma bifurcaccedilatildeo sela~n6 A figura 28(b) daacute o diagrama de bifurcaccedilatildeo para

W=Ol para os valores positivos de n da equaccedilatildeo 225

13) i 7 1

08 ~ a

(a)

n~ K=Ko

(b)

n~o n~

on KH

cri 06 ~- I

04 ordm -H bull

02 fi =+K12ffshy

00 )J j

00 e 05 10 00 n e

Figuro 28 (a) vraacuteficos do mapn do ciacuterculo em funccedilatildeo do paracircmetro Q na regiatildeo do ponto de bifurcaccedilatildeo elun6 Em (b) a representaccedilatildeo no espaccedilo de pnnimetros da liacutengua de Arnold correspondente a W=OJ que ocorre para valores de Ll menores que LlKII bull

Para diferentes valores de W quando Klt1 gt ocorrem outras regiotildees de travamento

de frequumlecircncias sem ocorrer sobreposiccedilatildeo entre elas como estaacute apresentado na Fig 29 que

mostra os limites de estabilidade dos domiacutenios perioacutedicos no plano (Kn) para alguns

nlIacutemeros de rotaccedilatildeo Para as regiotildees onde ocorrem a sincronizaccedilatildeo das frequumlecircncias entre os

dois osciladores o nuacutemero de rotaccedilatildeo

W eacute um nuacutemero racional pq Deste

modo para cada valor racional do eixo

0 uma janela perioacutedica surge e se

expaIlde quando aumentamos o valor

de K Com o aumento da natildeoshy

linearidade atraveacutes do paracircmetro K a

sincronizaccedilatildeo das frequumlecircncias a se

tornam mais dominantes

ir

v I I I 1 ~ li 1 raquo1lD J

Figura 29 Diagrama das Liacutenguas de Arnold para o mapa do Ciacuterculo

21 2 Aspecto Teoacutericos

Para valores de Kgt I ~ as liacutenguas de Arnold passam a se sobrepor~ e o nuacutemero de

rotaccedilatildeo natildeo eacute mais unicamente determinado~ mas trocado por um intervalo de rotaccedilatildeo

[WJbull Wl] e este embaraJhamento torna o comportamento aperioacutedico

Para mostrar algumas das caracteristicas gerais do mapa no ciacuterculo~ utilizaremos

o conceito de expoente de Lyapunov Lyapunov estudou urna vizinhanccedila abstrata x

de uma trajetoacuteria x com N pontos com o objetivo de verificar se estes pontos se

afastavam ou convergiam para a trajetoacuteria Tomando uma trajetoacuteria infinita e uma

vizinhanccedila tatildeo pequena quanto se possa imaginar ele associou um expoente que

caracteriza se a trajetoacuteria eacute perioacutedica indiferente ou caoacutetica Para o mapa do clrcuio na

sua fonna angular da equaccedilatildeo (221) com n = 025 o expoente foi calculado

numericamente com a expressatildeo

1 H-I

B = N ~ Inll-K cos(28 lI (226)

que estaacute representado na Fig 210(a) e seu respectivo diagrama de bifurcaccedilotildees na Fig

21 O(b) Inicialmente os expoentes satildeo ligeiramente negativos da ordem de _10-6~ ateacute o

valor de K=l onde divergem pare menos infinito Oacuterbitas com expoentes deste tipo

divergindo para menos infinito satildeo conhecidas como oacuterhitas super~estaacuteveis Ao

teacutennino desta janel~ o sistema jaacute possui comportamento caoacutetico e esta rota para o Caos

eacute classificada de rota via quase-periodicidade [Bai-lin 1989 Argyrls et al~ 1994

Jackson 1995 Alligood el ai 1997J onde os expoentes de Lyapunov positivos natildeo

ultrapassam o valor de O~3 Aumentando K o sistema trava em um periacuteodo l~ e inicia

outra rota para o Caos a rota via duplicaccedilotildees de periacuteodo ou rota de Feigenbaum jaacute

discutida para O caso do mapa quadraacutetico na qual os expoentes se anulam nos pontos

onde ocorrem as bifurcaccedilotilde~ neste caso temos o comportamento indiferente Para

K34 o sistema experimenta um alargamento abrupto do atrator e este alargamento eacute

classificado como uma crise Apoacutes a crise os expoentes de Lyapunov maacuteximos param

de crescer e tecircm valores na faixa entre O~7 e 093 Quando K atinge aproximadamente

4~7 o sistema volta a sofrer um travamento de frequumlecircncia em periacuteodo 1

Do mesmo modo que o atrator de Heacutenon o mapa do ciacuterculo bidiacutemensional da

equaccedilatildeo (220) contrai o espaccedilo de fases uniformemente como podemos ver atravoacutes do

detenninante da matriz jacobiana do mapa

09 rgt o

[lshy 03

~oo I c 03 O1~~1 I1middot1 q q nq fqll ir nnqlq qll

Lshy________~ ~

-

2 ApcJos Teoacutericos 22

o 1 2 K 3 4 5

Figura 210 (a) Expoentes de Lyapunov do mapa do circulo coro n =025 Em (b) o diagrama de bifurcaccedilotildees para o mesmo mapa Podemos obter a sequumlecircncia de duas rotas para o Caos com este sistema dinacircmico li rota de quaseperiodicidade e a rota de duplicaccedilotildees de periacuteodo

1- K cos2nJ ~ (227)detJ=I_KCOs2JfJ bl=b

i

Os pontos fixos r e (IIilt de periacuteodo 1 logo apoacutes a regiatildeo quase-peri6dica para

Kgt155 da Fig 27 satildeo dados por 1 r= -fl(mod I) se fl(modI) lt 05 ou r= I-fl(mod I) se fl(modI) gt 05

(228)I [2JlT 1f) = 2r areseo K(b - 1)_

assim podemos detenninar o ponto onde ocorre a primeira bifurcaccedilatildeo do tipo flip

usando os criteacuterios de estabilidade para a seguinte equaccedilatildeo caracteriacutestica

l-Keos2rf)-Agrave b J =0 (229)

-Kcos2Jff) b-Agrave

que nos dagrave dois autovalores para cada ponto fixo Para () ponto fixo r os autovalores

valem explicitamente

23 2 AspecQS1cocircricO$

-K cos2nL~arcsef (b-l))]+I+b - -plusmn- 2

(230)

+IKCOS27t[~arcsen(T(b-I))]+I+br -4b 2

como r eacute calculado pela equaccedilatildeo (228) para os pontos fixos a bifurcaccedilatildeo flip ocorreraacute

quando um dos valores de Acirc alcanccedila o valor -I

Para valores da constante b proacuteximos de zero deve ser feita urna correccedilatildeo em

primeira aproximaccedilatildeo nos valores das liacutenguas de Arnold Pata as Hnguas

correspondentes ao travamento de frequumlecircncias de periacuteodo 1 como a equaccedilatildeo (225) as

liacutenguas podem ser calculadas atraveacutes de

K (231)n= 21r(1- b)

o mapa do circulo eacute um sistema dinacircmico que parte de um sistema fisiacuteco bem

definido [Argyris cf ai 1994) que apresenta um comportamento muito rico com

relaccedilatildeo aos elementos da Teoria do Caos

Aleacutem do comportamento individual dos mapas vistos anterionnente~ como o

mapa quadraacutetico o mapa de Heacutenon e o mapa do cIacuterculo~ tambeacutem eacute desenvolvida a

pesquisa na aacuterea de sistemas dinacircmicos espaccedilo-temporais [Kaneko 1992 Vian~ 2000]

atraveacutes do acoplamento destes mapas fonnando uma rede Com estes estudos pretendeshy

se explicar rotas tiacutepicas para turbulecircncia1 como por exempJo a sequumlecircncia obtida com o

acoplamento de mapas quadraacuteticos duplicaccedilotildees de penado formaccedilatildeo de padrotildees

aleatoacuterios na rede de mapas seleccedilatildeo de alguns destes padrotildeesgt intermitecircncia espaccediloshy

temporal e no final observa-se turbulecircncia plenamente desenvolvida Um exemplo de

modelo de fluxo de um fluido usando mapas acoplados eacute dado por WilIeboordse

[Wiacutelleboordse 1992)

24 2 Aspectos Teoacutericos

210 Transformaccedilatildeo de ponto fixo

Para extrair as oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis (OPl) imersas em um atrator com uma

quantidade finita de dados ruidosos de um sIacutestema unidimensional~ So e colaboradores

[So el ai 1996] fizeram a suposiyatildeo de que todos os ponto que estatildeo em uma regiatildeo ao

redor do ponto fixo xf(x) podem ser transfonnados para (x) na vizinhanccedila de x A

funccedilatildeo densidade p(x) possui singularidades do tipo inverso da raiacutez quadrada nos

pontos fixos e um histograma para pX) teraacute um pico definido em x= x Alguns

picos espuacuterios podem aparecer em fi(x) tanto devido agrave singularidades natildeo relacionadas

aos pontos fixos quanto a zeros da derivada da funccedilatildeo detranformaccedilatildeo x=g(xk)

Os autores generalizaram este meacutetodo para um sistema com dimensatildeo de imersatildeo d para

obter as oacuterbitas perioacutediacutecas instaacuteveis atraveacutes da transformaccedilatildeo

i = (l-Srl(z~I-Snz) (232)

onde

I (d-I) ) _ ( aoo a I _ IIs - O +kRllz_1 Zn (233) 1

1

aI -1 (Zl _Z)t(z - Z )t l it -bull

(234)=

I)ta (Z_(d_l) - Z_d)t (Zn_(d_l) - Zitlaquod_lj bull

e os vetores z) foram reconstruidos a partir da seacuterie temporal x)

( I ) ( ) (235)z = zlpznzll~)z xnJx_x_z~-x_4_t

R eacute uma matriz aleatoacuteria d x d no intervalo [-l~1J e k estaacute relacionado com a

intensidade da geraccedilatildeo de nuacutemeros aietoacuterios Os pontos fixos satildeo dados por posiccedilotildees

dos picos de p(X) Como a localizaccedilatildeo dos picos espuacuterios dependem do paracircmetro k

eles satildeo eliminados levando em conta a meacutedia (PCz)) para vaacuterios valores tornados

aleatoriamente

Um ponto fixo instaacutevel do atralor do mapa do circulo com Q=O eacute o ponto (O O)

mostrado na Fig 211(a) que foi determinado com este algoritmo~ como estaacute mostrado

na Fig 2II(b) Outras aplicaccedilotildees desta teacutecnica podem ser encontradas no exparimento

da torneira gotejante [pinto 1999] para se mostrar a existecircncia de oacuterbitas homocliacutenicas

25 2 Aspectos Teoacutericos

OB~ (a) I IV +

~~ 1 00 bullbullbull-

bullbullbull ~ bullo n ltgt04 I

~bull I ~ ~ 00 Obullbull obull

r

Figura 2]] Atrator caoacutetico simeacutetrico em (a) do mapa bidimensional do ciacuterculo que possui um ponto de sela na origem Em (b) a oacuterbita- perioacutedica instaacutevel foi obtida munericamente utilizando-se o meacutetodo de detecccedilatildeo de oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis de So et ai

Como a reconstruccedilatildeo dos atratores em espaccedilos de imersatildeo bidimensionais eacute

suficiente noacutes aplicamos esta teacutecnica para d=2 com 05 e 1000 matrizes aleatoacuterias

Mais informaccedilotildees sobre este meacutetodo pode ser encontradas tambeacutem no trabalho de

Schemelcher e Diakonos [Schemelcher e Diakonos 1998]

211 Plano simboacutelico

A obtenccedilatildeo de planos simboacutelicos para a construccedilatildeo de maacutequinas topoloacutegicas

miacutenimas no experimento da torneira gotejante foi feita por Gonccedilalves [Gonccedilalves

1996] no experimento da torneira gotejante No experimento do tubo borbulhador a

geraccedilatildeo de planos simboacutelicos foi utilizada principalmente para se comparar modelos

com os dados experimentais

Para estudarmos o plano simboacutelico particionamos um atrator em duas regiotildees da

Fig 212 (L e R) e atribuiacutemos o valor I(ou -I) quando o sistema visita L (ou R)

obtendo um vetor sm bull S2SSSS2SmbullDeste modo um plano simboacutelico ap

caracteriacutestico de um atrator eacute definido atraveacutes do caacutelculo de a e f3 como

262 A2lcctos Teoacutericas

~

et=LfJi Z- i (236)

11

onde Pt eacute um valor binaacuterio

O +If p= lSC(-l)nSj_l (237)

I

e

~

p~ UZfL f (238)

onde VI eacute o valor binaacuterio

O -Itj = se D= l (239)

1 )tl +

N Fig 212 exemplificamos a obtenccedilatildeo do plano simboacutelico (b) par o atrator do

mapa do ciacuterculo bidimensional (a)~ com suas respectivas particcedilotildees L e R O paracircmetro b

eacute igual a 01 As regiotildees em branco no plano simboacutelico satildeo chamadas de regiotildees

proibidas

0 R (a)l (b) t08

~ I 00

O

1~ ll 06 + CUc

t - shy 04 bull ~ ~ ~ i li 1~ 1 ~~

- ~3~ bullbull l ~l f02-04

00 l- I -~----~

(j4 00 04 00 02 04 06 08 10 f an

Figura 212 (a) O atrator do mapa do circulo reconstruido com o mapa de primeiro retomo na variaacutevel r e sua particcedilatildeo e em (b) seu respectivo plano simboacutelico

I

27

3 A1(lrIUO xJrimclltal

3 Aparato experimental

Neste capiacutetulo descrevemos os aparatos do tubo borbulhado[ e da torneira

gotejante Tanto o experimento do tubo borbulhador assim como o experimento da

torneira gotejante foram inteiramente desenvolvidos no LFNL-USP Algumas das

princiacutepais atividades experimentais deste trabalho foram o desenvolvimento e

construccedilatildeo do tubo borbulhador a aquisiccedilatildeo e fi anaacutelise dos dados

31 O tubo borbulbador

Na Fig 31 ternos a representaccedilatildeo esquemaacutetica do aparato do experimento do

tubo borbulhador que consiste de um tubo acrflico transparente com uma tampa

(superior) e uma base de PVC onde estaacute conectada urna seringa hipodeacutermica pela qual

eacute soprado ar numa soluccedilatildeo de aacutegua com glicerina Dentro deste tubo ocorre a formaccedilatildeo

de bolhas que satildeo estudadas neste trabalho O experimento pode ser dividido em quatro

partes principais o tubo borbulhudor o circuito pneumaacutetico o sistema de aquisiccedilatildeo e o

sistema sonOrO

[ [ Alto-J ~ 1

falllnleGerador do Amplificador--= Funccedilotildees~I~ -l

Tubo

O

01 cJ

tasagraverCLp

controlador

Compressor Aesetvatoacuterio

Medidor de wllatildeo e vaacutelvulu d$ controla

Figura 31 Diagrama geral do aparato cKperimCfj(ul do tubo) borbulhador

28 3 Aparal0lerimental

Na Fig 32 podemos ver o tubo borbulbador que foi construido com tubo de

acriacutelico transparente de diacircmetro interno de 105 em e 10 em de altura Na base estatildeo

lixados o bico borbulhador e um termopar para monitorar a temperatura do liquido A

entrada e saiacuteda do liacutequido ocorrem atraveacutes de duas vaacutelvulas do tipo esfera

Clflp- drenagem

I ~ r

Sensorde I I j BiooOOrbulhid()l tempcrmlIU i t-l )~

FlgUla 32 O tubo borbulhador suportes o bico injetor sensor de tempemum e vaacutelvulas de drenagem e preenchimento do liquido

Este arranjo permite o

preenchimento do tubo e o seu

esvaziamento atraveacutes das

vaacutelvulas nas laterais da base

Todo o conjunto eacute preso ao

suporte atraveacutes de quatro

parafusos na base e quatro

parafusos na tampa Um

sistema de iluminaccedilatildeo

constituiacutedo de uma lacircmpada

fluorescente e uma placa

difusora de luz foi colocada

atraacutes do tubo borbulbador para

obtermos imagens das bolhas

utilizando uma cacircmara de

videoVHS

O tubo estaacute montado em uma bancada sobre quatro blocos de espuma para

amortecer vibraccedilotildees externas

32 Sistema de aquisiccedilatildeo

O sistema de detecccedilatildeo consiste de um laser He-Ne e um fotodiodo Quando uma

bolha atravessa o feiacutexe laser induz no fotodiodo um sinal anatocircgico e um pulso eacute

enviado a uma placa contadora de tempo inserida em um microcomputador O iniacutecio e o

fim do desvio do feixe laser induzidos peja passagem de uma bolha criam o sina] de

entrada da placa atraveacutes de pulsos de tensatildeo TIL gerados pelo futodiacuteodo Na Fig 33

temos o graacutefico que mostra o sinal ot devido a passagem de uma bolha e o sinal tn

relativo ao tempo entre bolhas Assim um par de dados constituiacutedo do tempo entre as

bolhas e o tempo de passagem da bolba eacute coletado pelo computador O intervalo de

tempo total entre a flNeacutesima e a (n+l)-eacutesiacutema gota eacute To que eacute a soma destes dos dois

intervaJos de tempo

29 3 Aparato experimental

T fltt t1I

Claro

SI 5

v (volts)

o

t ~-- I

J escuro~

tempo

Figura 33 Sinal gerado pelo fotodiacuteodo e induzido na placa contadora de tempO pela passagem das bolhas que desviam o feixe laser O feixe estaacute posicionado -5 rum acima cb extremidade do bico soprador

o sinal de vazatildeo obtido pelo medidor de vazatildeo eacute convertido em um sinal

proporcional de tensatildeo em milivolts e digitilizado em um osciloscoacutepio digital Tektronix

depois eacute transferido para o computador atraveacutes de uma interface General Purpose

Interface Board (GPffi)

33 Medidor de vazatildeo

o medidor de vazatildeo utilizado o modelo GFM47 fabricado pela AALBORG

lnstruments amp Contrais Neste equipamento o fluxo do ar entra em um transdutor de

vazatildeo e dentro dele uma pequena parte do fluxo do ar eacute separada por um sensor do tipo

tuho capilar de accedilo inoxidatildeveJ O restante do ar flui atraveacutes de um condutor de fluxo

primaacuterio A geometria do tubo primaacuterio e do tubo sensor foi projetada de modo a

garantir um fluxo laminar em cada ramo De acordo com os princiacutepios da

Fluidodinacircmica as vazotildees do ar nos dois condutores satildeo proporcionais entre si Deste

modo a vazatildeo medida no tubo sensor eacute diretamente proporcional atilde vazatildeo total atraveacutes

do transdutor

Para obter a vazatildeo no tubo SensoT eacute fcito um aquecimento do fluxo em duas

partes do tubo senSQr atraveacutes de resistecircncias sensoras de precisatildeo O calor eacute transferido

atraveacutes de uma parede fina para o ar O ar aquecido eacute levado pelo fluxo desde um

aquecedor agrave jusante ateacute um aquecedor agrave montante do tubo sensor O sinal eleacutetrico de

uma resistecircncia dependente de temperatura diferencial eacute detectada atraveacutes de um

circuito eletrocircnico de controle O gradiente de temperatura medido no sensor eacute

linearmente proporciona agrave vazatildeo atraveacutes do sensor

30 3 Apara1o experimental

o valor da vazatildeo eacute mostrado diretamente em um indicador digital e

simultaneamente em dois sinais eleacutetricos um de tensatildeo proporcional ao valor da vazatildeo

entre Oe 5 V e outro de corrente proporcional agrave vazatildeo entre 4 e 20 mA

34 Controlador de vazatildeo

o controlador de vazatildeo eacute da marca BTC modelo BTC-2220 e eacute um controlador

do tipo proporcional iacutentegral e diferencial (PID) Ele recebe o sinal de corrente do

medidor de vazatildeo (4-20 mA) com moacutedulo de saiacuteda linear (OM92-3) com a tensatildeo de

saiacuteda variando entre Oe 10 V com uma impedacircncia de saiacuteda de 500 ill Devido agrave alta

impedacircncia de saida um circuito amplificador de corrente foi adaptado na saiacuteda do

controlador para que ele pudesse enviar O sinal de controle para a vaacutelvula solenoacutejd~

como estaacute mostrado na Fig 34

2n3055

10 V I max 05 A I reg 200 nF Vaacutelvula

reg SolenoacuteideTSaldado ~

cornroradE ]200 nF -0 -

Figura 3A o Circuito que amplifica o sinal do controlador para a vaacutelvula

o controlador possui dois modos de operaccedilatildeo No primeiro modo ele manteacutem

uma vazatildeo fixa preestabelecida No segundo modo~ o controlador aumenta ou diminui a

vazatildeo linearmente entre dois valores distintos com uma velocidade preestabelecida pelo

usuaacuterio

31 $ Aparato eqerimental

35 Vaacutelvula solenoacuteide proporcional

o fabricante da vaacutelvula utilizada no experimento do tubo borbulhador eacute

MLBORG Instnnnenls amp Controls e o seu modelo eacute o PSV-5 Basicamente a vaacutelvula eacute

uma bobina que posiciona o atuador da vaacutelwla de modo contiacutenuo variando a vazatildeo

suavemente A vaacutelvula solenoacuteide proporcional foi projetada para responder a um sinal

de tensatildeo contiacutenua de entrada entre O e 30 volts para regular proporcionalmente ao

sinal de tensatildeo o fluxo de liquidos e gases Por medida de seguranccedila as vaacutelvulas satildeo

normalmente fechadas quando desernegizadas Na Fiacuteg 34 temos um diagrama desta

vaacutelvula

Devido agrave corrente na bobina da vaacutelvula O corpo da mesma sofre um pequeno

aquecimento que eacute dissipado por metas de alumiacutenio colocadas na vaacutelwla

Vaacutelvula Solenoacuteide Proporcional

f--I PSV5 AALBORGmiddot I

u-i J

conectores de 14m_Figura 35 Diagrama as ltlimensotildees carncteristicas da vaacutelvula de controle PSV5 da AALBORG

32 3 Aparato Experimental

36 O bico borbulhador

Na Fig 36 vemos o conjunto de agu1has e o cilindro de uma seringa

hipodeacutennica que furam utilizados CQmo bicos sopradores no experimento do tubo

borbulhador As bolhas satildeo formadas diacuteretamente no cilindro da seringa ou nas agulhas

hipodennieas que satildeo colocadas na seringa que estaacute ligada ao sistema de alimentaccedilatildeo de

ar

Figura 36 Bicos sopradores utilizados no eJ-perimento do tubo boIbulbador

Na tabela 31 temos as dimensotildees dos bicos mostrados na Fig 36 Para

verificarmos os efeitos do comprimento das agulhas utilizamos agulhas com o mesmo

diacircmetro mas que foram cortadas em comprimentos diferentes com uma serra

diamante como para as agulhas do grupo A e B A seringa e algumas agulhas possuem

dois valores na coluna relacionada com o dlacircmetro~ O primeiro valor corresponde ao

33 3 AparOfO Experimental

Bico Diacircmetro (mm) I Comprimento(mm) Internoexterno

Sltlrin PlaacuteStica I 08113 2 AI

A2 072128 0721l2amp

2 246

A3 072128 377

BI 072 2 B2 072 145 83 072 102

B4 072 51 CI 05 2

Tabela 31 Dimensotildees da seringa e das agulhas utilizadas como rocos sopradores no experimento do tubo boIbulhador

diacircmetro interno e o segundo valor estacirc relacionado com o diacircmetro externo Para as

demais agulhas temos apenas um valor corresponde apenas ao ctiacircmetro externo

37 O sistema pnenmaacutetico

o objetivo do sistema pneumaacutetico eacute fornecer o ar numa vazatildeo estabilizada para

ser soprado no liquido viscoso O ar eacute comprimido por um compressor com um

reservatoacuterio de 75 litros no qual um pressostato foi calibrado para manter o ar na faixa

de pressatildeo entre 70 e 100 psi (libra por polegada quadrada) A pressatildeo do ar eacute reduzida

para 60 psi em um segundo reservatoacuterio de 200 litros~ atravecircs de uma vacirclvula

reguladora de pressatildeo Uma segunda reguladora proacutexima do bico soprador reduz a

pressatildeo do ar para 10 psi e a vazatildeo eacute controlada pelo conjunta controlador fonnado

pelo medidor de vazatildeo~ controlador e vaacutelvula solenoacuteide Deste modo urna vazatildeo estaacutevel

chega atocirc o bico borbulhador

38 O sistema sonoro

A onda sonora eacute gerada no topo do tubo por um alto-falante de bobina moacutevel O

sinal eleacutetrico para o alto-falante eacute gerado num gerador de funccedilotildees Tektronix modelo

AFG 320 e amplificado em um amplificador de aacuteudio Nwa O gerador de funccedilotildees

34 3 Aparato Experimental

possui uma placa GPIB que permite o controle de todas as suas funccedilotildees atraveacutes do

microcomputador

A equaccedilatildeo de onda [Fletcher e Rossing 1991] dentro do tubo em coordenadas

ciliacutendricas eacute

L~(rq) +2-(OP~ + 8p __1 8p r1 (31 )ratilde a- ocircqz) fk2 - v atilde 1

onde p eacute a onda de pressatildeo na direccedilatildeo x e Vs eacute a velocidade do som no ar A soluccedilatildeo

desta equaccedilatildeo eacute

p(rfPx) = P (mfP)JJ1laquoIr) exp[iacute(-kx +ml)] (32) a

onde Jmeacute uma funccedilatildeo de Bessel e qmn eacute definido pela condiccedilatildeo de contorno ocircplocircr=O e r

= a (a li O raio do tubo) tal que a derivada Jm(7rqmn) eacute zero Se considerarmos em

primeira aproximaccedilatildeo o tubo borbulhador como um tubo com uma extremidade

v bull =3v v =5v v~ 41 3 4L 5 41

Agrave =41 ~= Agrave ~j-I1

TIA

I 1 I

JII N

jL 5 5

AI ~A

A

N N

Figuraacute 37 Os trecircs primeiros modos de um tubo com uma extremidade fechada

fechada podemos

estimar a frequumlecircncia de

urna onda em seu

interior Uma

propriedade geral de

ondas sonoras

confinadas em tubos eacute

que os valores de

amplitude maacutexima

ocorrem em valores

discretos da frequumlecircncia

da onda Na Fig 37

3 Aparato Experimental 35

podemos ver os trecircs primeiros modos de um tubo com a extremidade inferior fechada

A distacircncia do centro do tubo agraves linhas finas desenhadas dentro deste representa

a amplitude de deslocamento da onda em cada ponto N e A designam as posiccedilotildees dos

nodos e antinodos de deslocamento As frequumlecircncias VII de ressonacircncia do tubo satildeo dadas

por

v v =(2k + 1)- (33) 41 ~

onde I ecirc o comprimento do tubo e k = OJ23~ o que nos fornece apenas os 1

harmocircnicos iacutempares

O (a) AJllm

134

(d)

_-_ -__ I

I AIMcm~

M o~

H -8

00 Microfone015

ro (b) -= ~

j~

~ --~

-- AJm00

o (C) I

JI~m(JQegtn

L- m

Ia bull ~ d 1

1l _ _~ Ooo~ J

ftequumlecircnda da onda HZl

Figura 38 Resposta do microfone laquoJl0cad0 atilde uma distacircncia Alm dentro do ruoo borbulhador na sua parte superior para wna onda SOOOIa senoidal gerada pelo alto-falante Em (a) o microfone foi colocado a 2 em da superfieie do liacutequido (b) 34 em e (c) 60 em Em (d) vemos um cliagrarna que mostra a distacircncia Alm

36 3 AparaJ() Experimental

Foi verificada a frequumlecircncia de ressonacircncia do tubo borbulhador~ obtendo um

sinal proporcional ao deslocamento da onda sonora colocando um microfone dentro do

tubo A distacircnciacutea entre o microfone e a superfiacutecie do liacutequido eacute Alm O sinal obtido pelo

microfone) colocado em trecircs alturas distintas dentro do tubo borbulhador estaacute mostrado

na Fig 38 onde temos os valores obtidos para as alturas de 2 em 34 em e 60 em em

relaccedilatildeo ao niacutevel do liacutequido~ com um comprimento de coluna de ar total de 60 em

Variarulo a frequumlecircncia da onda entre 100amp e 160 Hz obteve-se que a frequumlecircncia de

ressonacircncia do tubo eacute de aproximadamente 134 Hz O sinal do microfone tem a mesma

furma que o sinal senoidal injetado no alto-falante

Depois de determinada a frequumlecircncia de ressonacircncia do tubo nas condiacuteccedilotildees do

paraacutegrafo anterior obtivemos o sinal do microfone colocado em vaacuterios pontos do tubo~

para os trecircs primeiros mnocircnicos 134gt 402 e 670 Hz como estaacute mostrado na Fiacuteg 39

de modo a verificar experimentalmente as posiccedilotildees dos nodos e antinodos de

deslocamento Na Fig 39 podemos ver que a tensatildeo natildeo se anula na origem portanto a

onda natildeo forma um nodo exatamente na superficie do liquido para os trecircs harmocircnicos

mas parte da onda refrata no liquido

08 bull - bullbullbullbullbullbull ~ 06 j freq 134Hz

o bull M ~c-o m 02 o ~

00 0-

gt 02 ~ c-~ o ~ 00

shyshy- _freq 402Hz ~~ ~

- - _ shy-

o

003 freq 670Hz -~ - 2 - ~

002 1 ~- -IHl ltshy bullbull 001bull bull ~

000 o O 30 0 50 60

Alm(cm)

Figura 39 Nados e antinodos deruro do tubo para OS trecircs primcitos harmocircnicos medidos em diferentes posiccedilotildees na parte de ar com as freqilecircncias de 134 Hz 402 Hz e 670 m Podemos notar nos trecircs graacuteficos que a onda sooorn natildeo forma exatamente um nodo na superficie do liacutequido

37 3 Aparato Expenmental

39 O liacutequido

o liacutequido utilizado foi preparado em soluccedilotildees utilizando-se diferentes

concentraccedilotildees de aacutegua e glicerina

A tensatildeo superficial foi obtida atraveacutes do meacutetodo do tensiocircmetro de anel [Ueta e

Tabacniks 1989] que consiste em se determinar a forccedila para se elevar um anel delgado

do liquido e relacionando-a com a tensatildeo superficial numa temperatura de 25()C Na

tabela 32 temos a tensatildeo superficial de alguns liacutequidos comuns obtidos com este

meacutetodo Para as diferentes concentraccedilotildees de glicerina obtivemos OS valores da Fig 310

Liacutequido

Tensatildeo superficial (diIlalcm) I

Aacutegua destilada

72

Agua de torneira 66

0100 20Wmiddot50 (Mobil) I 35

Glicerina 58

Alcool hidratado 30

Agua com detergente 36

Detergente 23

Cafeacute (soluccediliio) 42

I

~1------Tabela 32 Tensatildeo superficial de alguns liquidas comuns medidos pelo meacutetodo do tensiocircmc1TO dCanel

r------------------------------------- n

Ecirc ~66

i tM ~ ~

58

J

i

T ~ -

~

bull bull i J I bullbull 1 ~ -

bull +

1~ -~~~ o 20 40 00

deHp

Figura 310

Tensatildeo

superficial

medida COm oacute

meacutetodo do

tenSJocircmetro do

ane1rma cliacuteferenles

concentraccedilotildees

de aacutegua e

glicerina

38 $ Aparato ~mentaJ

A viscosidade das soluccedilotildees de aacutegua e glicerina foi estImada atraveacutes do meacutetodo

de Stokes [Veta e Tabacniks 1989] e a viscosidade varia como a funccedilatildeo exponencial

mostrada na Fig 311 para 25 C Para os valores da viscosidade da aacutegua pura e da

glicerina para diferentes temperaturas fui consultada uma tabela de viscosidades [Perry

e Clinton 1972 Weast e Selby 1996]

1500 r 1250

bull p shy1000 -shy

bull u- ~ ~ 750

~ J_ ampl 500

gt

- 250

u HH

o [ ===-==i I UUUU

O 10 20 30 40 50 60 10 80 90 100

de Glicerina na aacutegua

Figura 311 Variaccedilatildeo da viscosidade com a concentraccedilatildeo de glicerina na soluccedilatildeo

310 Imagens

Algumas imagens foram obtidas para esclarecer alguns aspectos da formaccedilatildeo

das bolhas As imagens da formaccedilatildeo das bolhas furam feitas atraveacutes de uma cacircmera

VHS Para iluminar o tubo borbulhador utilizou-se a teacutecniacuteca de iluminaccedilatildeo traseir~

com uma placa transluacutecida para difundir a luz proveniente de uma lacircmpada

fluorescente e o tubo borbulhador foi colocado entre a placa difusora de luz e a cacircmera

As imagens obtiacutedas foram digitalizadas e annazenadas

39 3 Aparato JxpflinJeacutentttl

Figura 31l Imagens obtidas partir do experimentn do tubo borbulhador Em (I) VCIlOS bolha se fonnando junto agrave seringa enquanto a bolha anterior emerge no liqujdo (2) a bolha aumenta de volume mas o empuxo natildeo eacute suficiente para retiraacute~la do bico 3 a bolha se-descola do bico mas eacute alimentada por um pescoccedilo~ (4) a bolha se destaea do bico e Cf perfil evolui para a fonna elipsoidal

Na Fig 312 temos a evoluccedilatildeo de uma bolha se formando junto ao bico

soprador numa soluccedilatildeo viscosa de aacutegua com glicerina em quatro instantes distintos A

forma final das bolhas depende de vaacuterios fatores entre eles o seu volume~ e isto pode

ser observado nas cinco imagens da Fiacuteg 313

11 1 Ilcml 1I em 1 11 I Ilcml

m ~jj O 4~~

ttif1id-gt0

(a) (b) (c) (d) (e)

F1gura 313 Exemplo do perfil das bolhas em relaccedilatildeo ao seu tamanho

3 Aparato Experimental 4iacuteJ

311 O Experimento da Torneira Gotejante

o experimento da torneira gotejante foi uma das primeiras tentatiyas de se criar

um sistema com o propoacutesito de se observar o Caos deterministiacuteco Este experimento

possui um extenso material produzido pelo LFNL que pode ser encontrado na fonua de

dissertaccedilotildees de mestrado e teses de doutorado [da Rocha 1995 da Silva 1996 Tufaile

1996 Gonccedilalves 1996 Pinto 1999J

O experimento consiste basicamente de um bico got~ador que eacute alimentado por

um grande reservatoacuterio~ como pode ser visto no diagrama do aparato experimental da

Fig 314 O tempo associado para cada gota eacute medido do mesmo modo que o descrito

na seccedilatildeo 33 para o tempo entre as bolhas~ mas para o experimento da torneira gotejante

o feixe laser estaacute posicionado - 9 em abaixo do bico

Noacutes controlamos a taxa de gotejamento (fgot=ltlTraquo mantendo o niacutevel do

reservatoacuterio intermediaacuterio constante e selecionando a frequumlecircncia de gotejamento atraveacutes

da abertura da vaacutelvula acionada por um motor de passo e controlada por um

microcomputador Para uma dada taxa de gotejamento noacutes construiacutemos os mapas de

primeiro retomo

Relervut6rio Foot

cmroJ_ denivcl

Fotodiodo o

Laa o Computador

o

Res~ -00

Figura 314 Diagrama -do experimento da torneira gotejante

4 Resultados e Anaacutelise 41

4 Resultados e Anaacutelise

A formaccedilatildeo das bolhas eacute frequumlentemente imaginada como () experimento da

torneira gotejante 1nvertido Esta analOgia eacute fraca e para podermOs verificaacute-la

estudaremos inicialmente a formaccedilatildeo de gotas e depois estudaremos a formaccedilatildeO das

bolhas

41 A torneira gotejante I

As equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem para a torneira gOtejante) propostasI no modelo de Shw [Shw 1984] com as modificaccedilotildees de DInnocenzo e Renna

[Dlnnocenzo e Relllll 1996] satildeo

t=V d(M=Mg_kx_bv (41)

dMrJI=Q

Onde x eacute a coordenada do centro de massa da gota ordmeacute O fluxo de aacutegua A tensatildeo

superficial e o atrito entre a aacutegua e a torneira satildeo dados pela constante de mola k e por b

respectivamente Uma gota ~ se desprende do bico com velocidade Vc com o fator

de reduccedilatildeo a quando o centro de massa alcanccedila o limiar xc

iAIJ aJyJ (V (42)

Figura U Seacuterie temporal obtida com o modelo da tomeira gotejante variandolaquo a vazatildeo Q k=475 dinalcm g=980 cm~ 1gt=1 g~ lt9114 em 09119 sim

42 4 ResultatWs e Anaacutelise

Na Fig 41 mostramos uma seacuterie temporal obtida a partir do modelo das

equaccedilotildees (41) com os paracircmetros k=475 dinalcm g=980 crnls b= 10 gls x=O 14 em e

a=O (9 sIm Na integraccedilatildeo do modelo foi utilizado um integrador Runge-Kutta de

-

0D75

(j) E 0050 ~

J

0025

0025 0050 0075 T

N (ms)

Fibllra 42 Atratores caoacuteticos reconstruiacutedos fixando~se a vazio em trecircs valores distintos de nzatildeo Q A dimensatildeo de Kaplatl~Y orkc Dy foi culculndn para cuumlda um destes tratores (n) DRY 12(1) (b) Drn 139(1) (c) DKy173(2)

(a)

lo

shy

(b)

7- iacute I

I 0

~

~ (e)

I rt j~1l~middott~i~i ~ v ) t ~ Amiddot shy ~ ~~ -1

[1 f ~ ~j bull

-) F ~-lt_ f4~-tgt 1- --~ 1

l yA- -~O __ _~ shy

~-~lt

quarta ordem com passo de

integraccedilatildeo de 10-6 e condiccedilotildees

iniciais x(O)=OO em e y(O)=O I

ems Nesta seacuterie temos uma

sequumlecircncia de dupliacutecaccedilotildees de

periacuteodo para 05ltQlt087 mls

caos e janelas perioacutedicas para Q

acima de 087 rnJls c um

alargamento abrupto do atrator

proacuteximo de Q102 mls

Na Fig 42 vemos trecircs

atratores para trecircs diferentelt

valores de vazatildeo Q do modelo

Pora cada um destes atratores

foi calculado os expoentes de

Lyapunov e sua respectiva

dimensatildeo de Lynpunov que os

caracterizaram como caoacuteticos

devido a existecircncia de

expoentes de Lyapunov

positivos Na Fig 42(a) temos

um atrator formado por quatro

bandas ca6ticas com vazatildeo Q=

0885 mlls Para uma vazatildeo

maior de 095 mlls Fig 42(b)

temos um atrator ca6tico com

duas bandas ca6ticas Na Fig

42c) um atrator caoacutetico mis

largo apoacutes a crise para

Q=I05 mlls

t RCSllfladQs e AtuUis 4

710 (b~f (a) 500 I

700 1 E g 400 1 iacute 300

200

1 jJ

670 ~ 100 670 680 690 700 710 100 200 300 400 500

T() T(ms)

Figura 43 (a) dados experimentais para uma frequumlecircncia de gotejamento de 146 gotass (b) atrator obtidQ ccedilom o modelo com de oscilador com relaxaccedilatildeo com uma frequumlecircncia de 315 gotass

(a) ltTgt=1146 me (b) ltTgt=1136 rns

Tn 2

120

110

11Cf

110120 T

120

Tnbull1

TM

120

90 9~ 12

120middot TM

T 90

Figura 4A (n) atrator experimental com um frequumlecircncia meacutedia de 8726 gotas Is (b) atrator obtido a partir da simulaccedilatildeo com uma frequumlecircncia mldia de 880 gotass

44 4 Rewlltados e AndUsc

Fizemos duas comparaccedilotildees entre os dados experimentais e o modelo Tufaite et

aI 1999 Apecircndice 1] Na Fig 43(a estaacute mostrado o mapa de primeiro retorno

experimental mantendo-se constante o niacutevel do reservatoacuterio intermediaacuterio com uma

frequumlecircncia de gotejamento de 146 gotass com o bico de vidrQ Uma estimativa para os

valores experimentais eacute dada por k=365 dinaicm xccedil -O6 em e Q no intervalo 012-015

gls As simulaccedilotildees do atrator usando estes valores para os paracircmetros natildeo convergiram

para vaacuterios valores de a e b Desta forma outro conjunto de valores foi procurado para a

reproduccedilatildeo do atrator experimental Os valores escolhidos foram k = 475 dinacm XI

13 em Q=015 gls a = 02 sem e b = 10 SI como estaacute mostrado na Fig 43(b) com

uma freguumlecircncia de gotejamento de 315 gotass

Na Fig 44(a) estaacute mostrado um atrator reccedilonstruiacutedo em um mapa

triacutedlmensional Tn+2 VS Tn1 vs Tnbull com a frequumlecircncia de gotejamento de 8726 gotass

O perfil do atrator foi simulado com os paracircmetros cOm os seguintes paracircmetros

Q=0141 gls x = 0251 em 051 sem b=O943 SI e k=120 diacutenalcm como estaacute

mostrado na Fig 44(b) A frequumlecircncia meacutedia de gotejamento eacute de 880 gotass pr6xima

do valor experimentaL Os dois atratores da Fig 44 apresentam expoentes de Lyapunov

positivos e dimensotildees de Kaplan-Yorke lOplusmnOl (atrator experimental) e 11plusmnO1

(modelo)

Outros atratores obtidos a partir de mapas criados baseados neste modelo podem

ser encontrados na literatura [Renna 1999] assim como comparaccedilotildees entre atratores

experimentaiacutes e simulados na mesma regiatildeo de vazotildees das Figs 43 e 44 IDInnocenzo

e Renna 1997] Em todas estas referecircncias o modelo apresenta problemas quando os

valores escolhidos para os paracircmetros satildeo os mesmos do experimento que nonnalmente

causam divergecircncia das soluccedilotildees durante a integraccedilatildeo Uma possiacutevel causa destes

problemas eacute fato de que a gota natildeo se rompe exatamente sempre na mesma posiccedilatildeo mas

em alturas diferentes com relaccedilatildeo ao bico Concluiacutemos que este modelo apresenta

Cuumlfilcteriacutesticas qualitativas interessantes mas que natildeo pode ser utiHzad9 para

comparaccedilotildees quantitativas com a experiecircncia Modificaccedilotildees neste modelo estatildeo sendo

feitas por Fuchiacutekami [Fuchikami el aI 1999] que compara este modela com outro

modela mais elaborado que utiliza por princiacutepio fiacutesico a minimizaccedilatildeo da energia com

relaccedilatildeo ao perfil da gota que cresce junto ao bico O modelo de Fuchikami utiliza uma

descriccedilatildeo Lagrangeana para calcuIar numericamente a evoJuccedilatildeo da formaccedilatildeo da gota

45 I i

i

4 Resultadltgts eAnaacutelise

42 Dinacircmica das bolhas Veremos nesta seccedilatildeo os diferentes regimes d borbulhamento causados pelo

aumento da vazatildeo do ar~ e como podemos esclarecer as transiccedilotildees destes regimes

atraveacutes de alguns modelos

421 Formaccedilatildeo quase-estaacutetica

Devido acirc complexidade do processo da formaccedilatildeo de bolhas os modelos

existentes satildeo adequados apenas em casos particulares [Clift e aI 1978) Para uma

bolha se formando em condiccedilotildees quasemiddotestaacuteticas o equillbrio de forccedilas na bolha eacute dado

por

f = (43)

onde f g eacute a forccedila da gravidade e f (J eacute a forccedila devido agrave tensatildeo superficial Para um

orifiacutecio do tipo bico circular a equaccedilatildeo (43) tem a forma

mg = 2R7Ilt7 (44)

onde m eacute a massa do liacutequido deslocado pelo volume da bolha g eacute aceleraccedilatildeo da

gravidade R eacute o raio do bico soprador e G eacute tensatildeo superficial entre o ar e liquido

Tomando um bico com Rb = OA mrn e criando-se uma bolha de ar na aacutegua nas

condiccedilotildees qua8e~estaacuteticas quandO a tensatildeo superficial do sistema eacute igual a O~07 Nm e g

eacute igual a 98 ms teremos uma massa de liacutequido deslocado de

m = 1810 kg (45)

Como temos a densidade da aacutegua igual a 1 gcm3bull o volume maacuteximo da bolha seraacute dado

por

m V=-=18mm (46)

p

Se considerarmos urna esfera de volume equivalente teremos um raio para a bolha r)

reacute 1~6mm (47)

Podemos tambeacutem estimar a pressatildeo do ar dentro de uma bolha atraveacutes da

relaccedilatildeo

2lt7 Pl-Pl ~-- (48)

Se a interface natildeo eacute esfeacuterica mas possui como raios principais de curvatura le e

r entatildeo equaccedilatildeo (48) teraacute forma

46 f Resultados cAnaacutelise

(49)p - p = 2~ lt) As diferenccedilas de pressatildeo das equaccedilotildees (48) e (49) fomece-nos a pressatildeo laplaciana

devido agrave tensatildeo superficiacuteal[Clift oi ai 1978]

Para uma bolha com o raio de 16 mm como calculado na equaccedilatildeo (47) bull

diferenccedila de pressatildeo entre o ar dentro da bolha e a aacutegua eacute

p - p = 175Pa (410)

Para uma bolha a 5 cm da superfiacutecie teremos Pl = 500 p~ entatildeo~ de acordo com a

equaccedilatildeo (410) a pressatildeo dentro da bolha seraacute de 675 Pa ou seja a pressatildeo dentro da

bolha eacute equivalente a uma oolunade aacutegua de 675 mm

Esta anaacutelise soacute eacute vaacutelida para sistemas em equiliacutebrio fora do equiliacutebrio outros

meacutetodos de anaacutelise satildeo empregados e seratildeo discutidos na proacutexima seccedilatildeo

422 Formaccedilatildeo de bolhas com vazatildeo constante

Podemos obter um modelo para baixas vazotildees fazendo algumas suposiccedilotildees

sobre a geometria da bolha [Daviacutedson e Schuumller 1960J O modelo segue as seguintes

consideraccedilotildees

1 A bolha eacute esfeacuterica durante sua formaccedilatildeo

2 Natildeo haacute cireulaccedilatildeo do liquido ao redor da bolha que estaacute se formando de tal

modo que o liacutequido estaacute em repouso quando a bolha comeccedila a se formar

3 O movimento de uma bolha natildeo eacute afetado pela presenccedila de urna bolha acima

ela

4 A bolha estaacute a todo instante movendo-se na velocidade de Stokes apropriada

para o seu tamanho

S Quando a bolha atinge o raio maacuteximo R ela se destaca

Considerando O movimento de uma bolha que se forma em um ponto longe das paredes

de um reservatoacuterio infinito nas condiccedilotildees acima a velocidade do centro da bolha v no

tempo t apoacutes o comeccedilo da sua fonnaccedilatildeo seraacute dada pela velocidade de Stokes

2rg v=-~ (411)

9v

onde v eacute a viscosidade cinemaacutetica do liacutequido dada pela razatildeo entre a viscosidade e a

densidade do liquido Aleacutem disso se Qeacute o fluxo do gaacutes entatildeo o volume da bolha V eacute

41 4 Resultados e Anaacutelise

V=QI= 4- (412)3

Deste modo definindo x como a distacircncia entre o centro da bolha e o ponto de

suprimento do gaacutes obtemos a equaccedilatildeo que define o movimento do centro da bolha

atraves do seu raio r como uma funccedilatildeo de Q e t dados pela equaccedilatildeo (412)

Substituindo r na equaccedilatildeo da velocidade d Stokes

v2g (3Q ) ( (413)9v 4Jr

e integrando a equaccedilatildeo (411) em relaccedilatildeo a t noacutes obtemos O deslocamento do centro da

bolha em funccedilatildeo do tempo

2 Ir (414)x=Jl-lt3QJ 15v 411

A bolha iraacute se destacar quando x = R o raio maacuteximo da bolha com o tempo para a

formaccedilatildeo completa da bolha T obtido partir da equaccedilatildeo (414)

ltT=ll~)() (415)

que nos daacute uma relaccedilatildeo hiperboacutelica entre o tempo T da formaccedilatildeo da bolha e a vazatildeo Q

como mostrado no graacutefico da Fig 45 Com isto obtemos que a relaccedilatildeo entre a

frequumlecircncia de borbulhamento F = (11) e a vazatildeo volumeacutetrica do ar Q eacute

F ltcQM (416)

Este eacute um modelo razoaacutevel para baixas vazotildees pois explica de modo simples as

principais caracteriacutesticas da variaccedilatildeo da frequumlecircncia do borbuJhamento com a vazatildeo do

ar Entretanto~ as cinco condiccedilotildees para fonnaccedilo das bolhas no iacuteniacutecio desta seccedilatildeo natildeo

satildeo rigidamente observadas isto fuz a equaccedilatildeo (416) ter um caraacuteter principalmente

qualitativo O trabalho de Ponter e Surati [ponter e Surati 1997] fuz um estudo

comparativo entre vaacuterios trabalhos que investigam a emissatildeo de bolhas a partir de

orifiacutecios submersos e apontam como principal causa da discrepacircncia entre os diferentes

resultados experimentais a influecircncia da superfrcie do biacuteco soprador e a falta de

padronizaccedilatildeo da geometria do equipamento Mesmo com as discrepatildencias~ O

comportamento hiperboacutelico com as bolhas se formando sequencialmente eacute observado

quandO se aumenta a vazatildeo [Sulliacutevan et aI 1964) No nosso trabalho soprando ar

diretamente na seringa para vazotildees acima de 200 rolmin ocorrem bifurcaccedilotildees no tempo

entre bolhas e isto eacute o tema da proacutexima seccedilatildeo

4 Resulfados eAnaacutelise 4amp

n 423 Biacutefurcaccedillies Tempo entre Dependendo bolluls

principalmente da

geometria do bico

soprador para vazotildees

acima de um determinado -shy ~m~~ valor ocorre uma

transiccedilatildeo de um regimeQ-vazatildeo de borbulhamento

igualmente espaccedilado noFigura 45 Esboccedilo da dependfulcia hiperboacute1ia entre o tempo do borbulhameniO c a vazatildeo de ar tempo para um regime ~----------------------~

no qual as bolhas se formam com dois tempos distintos e emergem aos pares formando

um dubleto [Davidson e Schuumller 1960 Marmur e Rubin 1975 Miyhara cl al 1983

Tritton e Egdell 1993 Mitoni ct al 1995 Kyriaides oi ai 1997] Este fagraveto pode ser

atribuiacutedo agrave transferecircncIacutea de momento do ~ poiacutes uma parte do liacutequido fica agregada agrave

superficie da bolha formando uma casca esfeacuterica liquida que eacute chamada de massa

virtual P [Davidon e Schuumller 1960 Miyhara el ai 1983] reduzindo o empuxo da

bolha para 1116 Aleacutem disso noacutes podemos fazer um modelo simplificado para a

formaccedilatildeo das bolhas Se considerarmos aacute presenccedila de uma forccedila restauradora de

coeficiente k devido agrave tensatildeo superficiaI~ usando as consideraccedilotildees 14 e 5 da seccedilatildeo 422

e considerando que existe uma forccedila dissipativa na formaccedilatildeo da bolha (que eacute

proporcional agrave velocidade bv) Utilizando a segunda lei de Newton chegamos agraves

equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem

dx _~=y

di d(Mv

di = (JMg - kx -lN) (417)

fiM di =Q

onde x eacute a posiccedilatildeo do centro da bolha M eacute a massa de liacutequido deslocada pela bolha

(M~Vp) Aleacutem destas equaccedilotildees uma quarta equaccedilatildeo define quando a bolha deve se

destacar No momento que a e1a atinge o ponto criacutetico xcgt a bolha se desprende do bico

soprador com a massa

49 4 Re$1lltatlos eAnaacutelise

M=aMve (418)

com M e V sendo a massa e a velocidade no ponto de rompimento Xc respectivamente

A constante de proporcionalidade de massa eacute a O diagrama do modelo pode ser visto

na Fig 46

AA1 X

p M

k oacute

Figura 46 O modelo de oscilador de massa variaacutevel para a formaccedilatildeo de bolhas

1

50 4 Resultados e Anaacutelise

Estas equaccedilotildees foram inspiradas em equaccedilotildees do mesmo tipo para o

experimento da torneira gotejante (Tufaile el ai 1999 Apecircndicel] mostradas na seccedilatildeo

41 Shaw [Shaw 1984] propocircs o primeiro modelo para a torneira gotejante inspirado

nas ideacuteia de Rayleiacutegh O modelo foi atualizado por Saacutenches-Ortiz e Salas-Brito

(Sacircnehes-Ortiz e Salas-Brito 1995a Saacutenches-Ortiz e Salas-Brito 1995b] e

independentemente por D~Innoncenzo e Renna [D~Innoncenzo e Re~ 1996] que~

atraveacutes da mudanccedila do mecanismo de rompimento mostraram uma vasta gama de

comportamento caoacutetico usando o modelo e o quanto ele pode ser comparado com dados

experimentais Eacute importante saliacuteentar que apesar da enonne simplificaccedilatildeo que se faz

quando se reduz um sistema fluido com muitos graus de liberdade para um modelo

unidimensional1 existem muitos resultados que podem ser compreendidos usando O

modelo de oscilador de massa variaacutevel~ como bifurcaccedilotildees comportamento caoacutetico e

janelas perioacutedicas Seguindo esta linha Kiyono e Fuchikami trabalham na construccedilatildeo de

modelos de oscilador de massa variaacutevel t utilizando resultados obtidos a partir de seu

modelo hidrodinacircmieo (Kyono e Fuchikarniacute 1999]

Na Fig 47 vemos espaccedilos de fuse para a formaccedilatildeo de bolhas para diferentes

vazotildees numa sequumlecircncia que evolui desde o penado 1 ateacute o comportamento caoacutetico

Para a vazatildeo de l~O mIIs obtivemos um ciclo limite com a velocidade crescendo

atingindo um valor rnacircximo e depois diminuindo retornando proacuteximo ao valor inicial

Neste instante ocorre o rompimento e a proacutexima bolha inicia o ciclo com a mesma

posiccedilatildeo da bolha anterior deste modo o sistema retoma abruptamente ao ponto inicial

(x-Ol em e v-l4 crnls) Para a vazatildeo de 18 mIIs O sistema atinge o ponto de

rompimento com duas condiccedilotildees de rompimento distintas a primeira com uma

velocidade ascendente e uma segunda com uma velocidade descendente Para 20 mVs

temos uma outra duplicaccedilatildeo de periacuteodo levando a um periacuteodo quatro e finalmente para

uma vazatildeo de 2~15 rn11s vemos O espaccedilo de fase do comportamento caoacutetico

A seacuterie temporal deste modelo estaacute na Fig 48 e mostra as variaccedilotildees da

dinacircmica com a variaccedilatildeo da vazatildeo na faixa de vazatildeo 08 lt Q lt 22 m1s Para uma

vazatildeo por volta de 155 mls ocorre uma duplicaccedilatildeo de periacuteodo Para l97 rnVs uma

descontinuidade na seacuterie~ seguida de novas duplicaccedilotildees e caos

bull bull bull bull

51 4 Resultados e Anaacutelise

f I ~ ~ bull ~

1gt gtligt

tobull o 0- o ~ ~

fmiccedil)o (em)

otltl_J l

j

(

11

r ( ~

(I

~ ~ m f I - _r

i__=---~1 ~ ia_t6tttll-

Ibulli ~

~ ccedilshyreg 11110 o~

PM~a ftm)

Ot1SINIo ~1 ~

li ~ I~

~ ~ bull

bull ~ lt - -- u bullbull~ ~

Figura 4~1Espaccedilos de fase obUaoscom o ruacuteOdelo de oscilador de tna$il vnveCg 10 mIlsPeriacuteodo 1 Q=l8 m1Is duplicaccedilatildeo de periacuteodo periacuteodo 4 para 20 m1Is e comportamento caoacutetico para 215 mlJs Os paracircmetros do sistema satildeo x=O19 em 0=025 b=25 em$ g980 ems k=480 dinalcnt

Deste modo podemos ter uma

visatildeo geral de como ocorre uma

duplicaccedilatildeo de periacuteodo do espaccedilo de

fases da [onnaccedilatildeo de bolhas aleacutem da])- ~1 lO regiatildeo da formaccedilatildeo quase~estaacutetic8shy

baseada em um modelo mecacircnico

simplificado OUlro modelo para a Q(mYl)

formaccedilatildeo de bolhas pode ser encontrado

Figura 48 Seacuterie temporal do modelo de oscilador I no trabalho de Marmur e Rubin de massa variaacutevel para o tubo boIbulhador

[Marmur eRubiacuten 1975] que do mesmo

modo que Fuchikami [Fuchikamiacute el ai 1998] utiliza o formalismo Lagrangeano

52 4 Resultados e Anaacutelise

424 Veias liacutequidas

Verificamos experimentalmente a ocorrecircncia da agregaccedilatildeo de liacutequido junto agrave

bolha que causa a reduccedilatildeo do empuxo sobre a bolha Utilizando um sistema de trecircs

fases (ar aacutegua e oacuteleo) observamos a fonnaccedilatildeo de veias liquidas Uma veia liacutequida

ocorre quando temos um canal de aacutegua dentro do oacuteleo que eacute sustentado pela

emergecircnciacutea das bolhas como pode ser visto no diagrama da Fig 49 Na literatura

existem classificaccedilotildees para padrotildees de fluxos de duas fases como o padratildeo de

borbulhammo padratildeo d jateamento e padratildeo anular [Sharpe 1994] O primeiro caso

borbulhameoto eacute o caso tratado neste trabalho o padratildeo de jateamonto [Ruzicka 1997]

ocorre quando o gaacutes possui velocidades maiores do que a do borbulhamento e eacute

espargido dentro do liacutequido o terceiro caso~ o padratildeo anular ocorre para velocidades

ainda maiores do gaacutes que passa pelo centro do liquido formando um tubo gasoso COm

gotiacuteculas do liacutequido subindo pelo centro junto com o gaacutes Devido bull propriedades

viscoelaacutesticas do ocircleo diferenccedila de cor entre o oacuteleo e a aacutegua e a refraccedilatildeo do sistema

aacutegua-ar podemos ver a fonnaccedilatildeo desse padratildeo anular a veia liacutequida num sistema de

trecircs fases ar aacutegua e oacuteleo e deste modo verificar o arrasto da aacutegua junto com as bccedillhas

Veia liacutequumlida induzida por bolhas

Ar

Figura 49 Um sistema de tns fases iroisciveis formado por aacutegua ar eacute oacuteTeo criando uma veia liquida A aacutegua forma uma coluna dentro do oacuteleo com um fluxo ascendente proacuteximo do centro e um fluxo descendente na parte ell1ema

4 Resullado$ e Anaacutelise 53

o liacutequido que envolve a bolha deve ter a mesma velocidade da superfiacutecie da

bolha formando uma casca esfeacuterica de liacutequido A casca esfeacuterica de aacutegua acompanha a

bolha ateacute o ponto em que ela atinge a superfiacutecie do sistema Hquido~ a partir deste ponto

este volume de aacutegua eacute afastado lateralmente e inicia a descida para a base da coluna Na

Fig 4 1O~ podemos ver uma imagem obtida no LFNL de uma veia liquida

a porte avermclhada eacute 6100 a coluna central eacute constituiacuteda de aacutegua com bolhas no seu interior

A existecircncia da m d Ilquiacutedo

agregada junto a bolha eacute um fato que

mostra que a experiecircncia do tubo

borbulhador natildeo eacute o experimento da

torneira gotejante invertiacutedo

Se aumentarmos a vazatildeo de ar

inicialmente ocorre uma acumulaccedilatildeo de

aacutegua sobre o oacuteleo que depois se precipita

na forma de uma bolsa de aacutegua como

podemos ver na seqililncia de imagens da

Fig 41 L Deste modo O fator de massa

agregada fJ das equaccedilotildees (417) eacute uma das

princjpais diferenccedilas entre os modelos de

oscilador para bolhas e gOlas

Figura 411 Aumefllandose a freqiacuteiWcia de bolhas a aacutegua se acumula no topo da ooluna (a) ( acuacutemulo de aacutegua se desestabiliza e comeccedila a descer agarrada agrave veia (b) e em (c) temosa bolsa de aacutegua jaacute na base da veia liacutequida

1

54

-i

4 Resultados eAmilise

425 A estabilidade de dois fluidos sobrepostos

O problema fiico fundamental na fonnaccedilatildeo de bolhas em liquidos ecirc a

superposiccedilatildeo de dois fluidos de densidades muito diferentes O estudo de instabilidades

hidrodinacircmicas aborda tal problema aleacutem de outras instabilidades que tambeacutem satildeo

tratadas de um ponto de vista matemaacutetico muito interessante no livro Hydrodyllamlc

and Hydr(J11agnetlc Stability de Chandrasekhar [Chandrasekhar 1981] onde foram

estudadas as soluccedilotildees das equaccedilotildees hidrodinacircmicas para dois casos nos quais ocorre a

superposiccedilatildeo de fluidos

a) A instabilidade de Raylelgh-Taylor que trata da instabilidade da interface plana

entre dois fluidos

b) A instabilidade de Kelvln-Helmholtz que surge quando camadas diferentes de

fluidos heterogecircneos estratificados estatildeo em movimento horizontal relativo

Os problemas de instabilidade hidrodinacircmica envolvem o reconhecimento de fluxos

estagraveveis e instaacuteveis que satildeo obtidos para determinados valores dos paracircmetros que

governam o sistema Como exemplos temos o nuacutemero de Rayleigh~ para a convecccedilatildeo de

calor num fluido entre duas pacas uma acima e outra abaixo do fluido ou o nuacutemero de

Taylor para o comportamento do fluido entre dois cilindros coaxiais girantes

Restringindo-se agrave instabilidade de Rayleiacutegh-Taylor temos um arranjo com dois fluidos

de densidade unifurme~ um com a densidade Pl sob outro com densidade P2 sendo que

P2 eacute maior que pJ~ num campo gravitacional g A superfiacutecie horizontal que separa os

dois fluidos tem a tensatildeo superficial a Este sistema possui um nuacutemero de onda critico

kc pata as oscilaccedilotildees entre os fluidos~ dado por

klt = J(p - p)g I CF bull (419)

Os sistemas com nuacutemeros de onda no intervalo Oltkltkc satildeo instaacuteveis quando kgtkcl

temOS um estado marginal ou limite De um modo geral~ a tensatildeo superficial estabiliza

arranjos potencialmente instaacuteveis Levando em conta que a unidade de medida de Ir eacute

lm~ obtemos um nuacutemero puro conhecido como nuacutemero de Rayleigh~Taylor RT que

determina a estabilidade do sistema de fluidos sobrepostos

RT = glOcircp (420) CF

onde I eacute um comprimento caractcristico do sistema Este nuacutemero estaacute relacionado

diretamente com o nuacutemero de Eocirctvocircs (Eo) [Clift el ai 1978] para particulas gotas e

bolhas dado por

554 Resultados e Anaacutelise

~ U)

~

60 40 aacutegua + 6G gliccedila 33 aacutegua + 67 glicerina ~

50

~

40E ~ z I- 30

20 r

(~) I (7) I o 300 NaDo 9000 300 600 9000

(g)

100 aacutegua 50 aacutegua i 50 glicerina

N

20 aacutegua + 60 gliacuteceflna

(f) 300 000 900

Figura 411 Graacuteficos da transiccedilatildeo de regime do bolbulhamenlO di_ a vazltlo do ar Oaumento da viscosidade causa uma definiccedilio da dupUccedilaccedilio de periodo no experimento do tubo borbulhador como pode ser visto nos graacuteficos mostrados de (a) ateacute (I) A duplicaccedilatildeo de perlode tambeacutem eacute visiacutevel espacialmente como esta mostrado em (g) que temos o periacuteodo 1 com as bolhas se elevando igualmente espaccediladas c em (h) onde temos o periacuteodo 2 vemos a fonnaccedilatildeo dos dubletof de bolhas (33 aacutegua + 6Ou glicerina)

56 4 Resultados e Anaacutelise

gdApE0 -- (42t)

U

onde d ecirc o diacircmetro de uma esfera de volume Vequivalentlt d t (6V I n)1f3 ~ da

particula gota ou bolha obtido pela meacutedia d seus raios principais

Medimos o nuacutemero Eo juntamente com o nuacutemero de Reynolds Re das bolhas

[Clift el ai 1978J (Re = udp I P onde ueacute velocidade d fomaccedilatildeo da bolha p eacute a

viscosidade e p ecirc a densidade do liacutequido) Quando o sistema passa do regime de

periodo I para uma bifurcaccedilatildeo ou alargamento abrupto do tempo entre bolhas

obtivemos que o nuacutemero de Eotildetvotildes vale aproximadamente 26 plusmn1 para nuacutemeros de

Reynolds entre 200 e 1500 Este resultado foi verificado para todos os bicos utilizados

neste trabalho

426 Instabilidade da superfiacutecie da bolha

Utilizando algumas concentraccedilotildees diferentes de glicerina e o bico de seringa

verificamos1 no experimento do tubo borbulhador que os tempos entre bolbas ocorrem

em periacuteodo 1 para baixas vazotildees (O a 100 m1Imin) e que para faixas maiores de vazatildeo

os tempos entre bolhas ocorrem dentro de uma faixa de valores para baixas

concentraccedilotildees de glicerina ou em dois valores de tempo caracterizando um periacuteodo 2

para concentraccedilotildees maiores que 50 ~ como pode ser visto na Fig 412 Podemos ver

que com o aumento da viscosidade do liquido os ramos que ocorrem no penodo 1

I assim como os ramos do periacuteodo 2 ficam com valores mais estaacuteveis Segundo Mittonl

I [Mittoni et ai 1993] o aumento da viscosidade atraveacutes da glicerina produz atratores

mais estruturados e reprodutiacuteveis~ pois O aumento da viscosidade aumenta tambeacutem a

estabilidade do envelope da bolha e atenua a circulaccedilatildeo do liacutequido proacuteximo do bico

Este fato pode ser visto nas imagens da Fig 413 onde temos um conjunto de imagens

antes (al e depois (b) da duplicaccedilatildeo para a aacutegua e duplicaccedilatildeo de periacuteodo para a glicerina

(c d) Deste modo a viscosidade suprime instabilidades que podem levar agrave variaccedilotildees no

tempo de formaccedilatildeo da bolha

A instabilidade na formaccedilatildeo devido agrave baixa viscosidade pode ser vista na Fiacuteg

414 onde temos uma comparaccedilatildeo entre a aacutegua e a soluccedilatildeo com 80010 de glicerina e 20010

de atildegua Na Fig 4 14(a) temos o mapa de primeiro retomo com 10000 pontos para o

57 4 Resultados e Anaacutelise

bico de seringa com uma altura de coluna de 3 cm e uma vazatildeo de ar mantida constante

em 50mVmin

Este regime de borbulhamento corresponde a um periacuteodo 1 para a aacutegua com os

pontos se espalbando num intervalo entre 75 925 ms e n Fiacuteg 414(A) vemos o

histograma correspondente agrave frequumlencia de visitaccedilatildeo dos tempos entre bolhas com um

valor meacutedio de 87 TIS Para o liquido com 8010 de glicerina e 2010 de aacutegua ternos o

atrator da Fig 414b)~ com as demaiacutes condiccedilotildees semelhantes ao caso anterior tambeacutem

com 10000 tempos entre bolhas e na Fig 414(B) temos o histograma para este atrator

Os pontos neste atrator estatildeo entre 827 e 835 rns muito mais concentrados do que o

caso anterior

cIIJtmiddotca

---shy(a) (b) (c) (d)

Fig 413lmagens pam duplicaccedilatildeo de periacuteodopam a aacutegua (a) periacuteodo 1 e (b) alar_ento de perlodo e no liquido viscoso 2000 aacutegua + 80 glicerina com perlodo i em (e) e perlodo 2 em (d) Nestas imagens podemos notar que a superficie das bolhas emergentes satildeo mais estaacuteveis para o liacutequido mais viscoso do que para a aacutegua

lIiI

Q

58 4 ResultadrueAnaacutelise

j (A)

j

I (6)(b)

8bull~ 1 ~

f-

75 00

T(ms) T (ms)

Figura 4~14 Mapas de primeiro retomo (a) para a aacutegua e em (b) para a soluccedilatildeo SOOAt glicerina e 20 aacutegua Em (A) temos o histograma para os 10000 tempos obtidos para a aacutegua e em (B) o mesmo para o liacutequido mais viscoso A baixa l viscosidade da aacutegua toma -iacute o sinal muito mais irregular corno pode ser comparado em 500 pontos da seacuterie (c) da aacutegua e (C) da soluccedilatildeo viscosa

93

n

59 4 Resultadose Anaacutelise

427 Frequumlecircncia de borbulhamento

A frequumlecircncia das bolhas dada pela equaccedilatildeo 416 tem uma validade limitada

pelas condiccedilotildees geomeacutetricas e dinacircmicas jaacute citadas anteriormente Fazendo outras

medidas com diferentes alturas de coluna observamos uma variaccedilatildeo na frequumlecircncia de

borbulhamento Basicamente o aumento da a1tura da coluna liacutequida causa a diminuiccedilatildeo

da frequumlecircncia de borbulhamento para a mesma vazatildeo Na Fig 415 eacute apresentada a

frequumlecircncia de borbulhamento em funccedilatildeo do logaritmo da vazatildeo com o sistema

predominantemente emitindo bolhas em periacuteodo I onde se utilizou a soluccedilatildeo 8000 de

glicerina e 20 acircgu~ o bico de seringa e trecircs alturas da co]una liquida Sem 12 em e 26

em Fazendo um ajuste linear para calcular os expoentes da frequumlecircncia de

borbuIbamento em funccedilatildeo da vazatildeo observamos um aumento no valor do expoente com

O aumento da altura da coluna e simultaneamente a diminuiccedilatildeo do coeficiente linear do

ajuste Deste modo a frequumlecircncia em bolhas diminui com o aumento da altura da coluna

mas temos um aumento na sua inclinaccedilatildeo com a vazatildeo volumeacutetrica O mesmo efeito

ocorre com um liacutequido menos viscoso (66 glicerina e 34 aacutegua) mostrado na Fig

416 Podemos ter uma variaccedilatildeo ainda maior quando usamos o bico AI isto ecirc

diminuiacutemos o orificio do bico borbuJhadoT como estaacute mostrado na Fig 417 com a

soluccedilatildeo 800 glicerina e 20 aacutegua com altura de coluna de 3 em acima do bico

Existem alguns fatores que podem causar estes efeitos Ruzicka que estudou

experimentalmente a transiccedilatildeo intermitente entre os regimes de borbulhamento e de

jateamento em um sistema aacutegua e nitrogecircnio~ mediu a velocidade da circulaccedilatildeo do

liacutequido com um anemocircmetro Danlec e observou que a circulaccedilatildeo do liacutequido aumenta

com a altura da coluna [Ruzicka ot aI 1997] Par a construccedilatildeo do modelo da equaccedilatildeo

(416) a segunda condiccedilatildeo eacute que natildeo baja circulaccedilatildeo do liquido proacuteximo do bico e deste

modo o aumento da coluna poderia afastar o sistema das condiccedilotildees de validade da lei de

frequumlecircncia de borbulhamento

Outros autores [Davidon et ai 1960 Marmur e Rubin 1976 Clift et al

1978] afirmam que a diminuiccedilatildeo do diacircmetro do bico afeta a frequecircncia de

borbulhamento causando o emparelhameno das bolhas (duplicaccedilatildeo de penodo) deviacutedo

ao aumento do nuacutemero de capacitacircncia Na dado por

4V (p - Pg)lt (422)N= miP

I

bull bull

60 4 Resultados e Anaacutelise

I [ A it

3

o ~0_ Uq 80 glic + 20 otildelQUa ~~ ~

oQ~-ogomiddot

o shyoi lIIIl

If-oI_og

bull c shy

o bull bullbull

bull o Iog fO4Obg 0+04 bull Iog f~O43bg 0+03

bull Iit 1og~OSSbgCKI12

-TrY

10 Log Q bull Vazatildeo (mllmin)

Figura 415 Frequumlecircncia de borbulhamento em funccedilatildeo da vatilo e altura da coluna liacutequida

Llq 6ocirc glie + 34 aacutegua

0deg ~ EI00 li

o o bullbull li o1 deg ~o bull bull bull

lt5

oA it 1 o bull bull bull

o log fUacute421og Q-+O4s 1 9

bull logft=O451og 0+028 li logf=O481ogQ+O12

bull o Iogf =O5BIogQ-O19

b

o _ 010 li 150m

~

10 100

Log Q - Vazatildeo (mVmin)

Figura 416 O mesmo que a figura anterior pOreacutem com um liquido menos viscoso

61 4 Resultados e Anaacutelise

lo 1=1

Biccedilo A1 o Lfq 80 glic + 20 aacutegua

amp90

OO~ r

o 0deg 0deg

Otilde 10 o o ~

o ~ ] f-O ov J

oOI o J o

o 1 10g fb 069109 Q-O25 1

10 100

Log Q - Vazatildeo (mllmin)

Figura 417 O mesmo liquido que foi utilizado paro os dados da Fig 416 mas agora com Q

bico A1 e uma altura de coluna acima do bico de 3 em

onde Vc eacute o volume da cacircmara que conteacutem o ar entre a vaacutelvula de controle de vazatildeo e o

bico Pi e pg satildeo as densidades do liacutequido e do gaacutes (ar) respectivamente do eacute o diacircmetro

do orifiacutecio (bico) eP a pressatildeo absoluta na bolha

Segundo Marmur e Rllbin orificios grandes (~1 mm) implicam em

baixa resistecircncia ao fluxo do gaacutes entre a cacircmara e a bolha e devido a isto a bolha e a

cacircmara funcionam corno um sistema unitaacuterio para o ar Jaacute com orifiacutecios menores o

nuacutemerO de capacitacircncia aumenta e a velocidade do ar nO bico aumenta causando

pequenas variaccedilotildees de pressatildeo na cacircmar~ que causam diferentes tempos de formaccedilatildeo

para as bolhas

Aleacutem destes fatores a temperatura eacute um paracircmetro fundamental a ser

monitorado Todas as medidas anteriores foram realizadas a 24 C

62 4 ResutatQs e Anaacutelise

428 DupUcaccedilotildees de periacuteodo

Com uma soluccedilatildeo de quatro partes de glicerina e um parte de aacutegua e usando a

seringa plaacutestica como bico obtivemos a seacuterie temporal d Fig 418 que mostra a

claacutessica sequumlecircncia de duplicaccedilatildeo de periacuteodo para o sistema do tubo borbulhador Nesta

figura temos uma diminuiccedilatildeo gradual da vazatildeo de ar atraveacutes do bico com uma evoluccedilatildeo

doade a regiatildeo caoacutetica (a) passando por comportamento de borbulhamento de penado 2

na parte (b) que passa a um periado 4 na regiatildeo (c) que passa para um novo

comportamento de penodo 2 regiatildeo (d) seguido por uma regiatildeo de formaccedilatildeo de bolhas

em periacuteodo 1 na regiatildeo (e) Na Fig 419(e) apresentamos uma imagem das bolhas se

formando periodicamente uma a uma e na Fig 4 19( d) eacute mostrado o comportamento de

periado 2 sem o efeito de coarescilnda entre as bolhas Na Fig 419(c) temos a imagem

para o penodo 4 enquanto que na Fig 419(b) temos um penodo 2 devido agrave

coalescecircncia de pares de bolhas que anteriormente formavam o periacuteodo 4 Finalmente

na Fig 4 1 9(a) temos a imagem das bolhas em regime caoacutetico

429 Salto e coalescecircncia

Obtivemos uma seacuterie temporal diferente com o mesmo aparato anterior~ mas

utilizando o bico A3~ Um capilar metaacutelico longo deixando a pressatildeo do reservatoacuterio

diminuir naturalmente atraveacutes do borbulhamento Esta seacuterie temporal eacute mostrada na Fig

420 O sistema estaacute evoluiacutendo em um movimento de periacuteodo 2~ regiatildeo (a) na Fig 420

onde a diferenccedila entre os dois ramos do atrator eacute de 55 ms A medida que a vazatildeo do ar

diminui Qcorre um encolhimento abrupto do atrator para outro periacuteodo 2 onde a

diferenccedila entre os famos passa o ser 1 nlS mostrando um salto na dinacircmica da fonnaccedilatildeo

de bolhas na regiatildeo (b) da Fig 420 Depois disC o sistema evolui para um periodo 1

mostrado na regiatildeo (c) Na Fig 421 estatildeo ilustrados cada perfil de borbulhamento nas

trecircs regiotildees Na Fig 421() temos duas imagens que mostram a formaccedilatildeo de uma

grande bolha em dois cstagravegios No priacutemeiro estaacutegio a bolha se forma com o tempo do

ramo superior do pedodo 2 da seacuterie temporal da Fig 420 (-25 ms) Logo que esta

bolha se destaca uma segunda bolha eacute criada durante a sua furmaccedilatildeo esta segunda

bolha toca bull bolha antenor e o fluxo de ar ascendente soprado dentro da bolha em

fonnaccedilatildeo vence a tensatildeo superficial fazendo a coalescecircncIacutea do par que eacute alimentado

4 Resultados e Anaacutelise 63

50~--------------------------------------~

(a)

~ ~ bull1o$ ~ bull bullbullbull u ~ gtbullbullbull

bull ~~ (b) -

~ ~ bull lt

(c)

~

bullbull _~_

~ (bullbullbullbull bulli~ ~~~I~~~~

1- W

40

7 ~3(l E ~

1-lt

20

~~~~~~ ~~~ 10

o I I o 500 1000 2000 2500 3000 3500 4000

n

Figura 418 Seacuterie temporal a partir do oomportatnento caoacutetico ateacute o penudo l Tneacuteo temJX) entre bolhas e n eacute a ordem da bolha coletada

~_ ~IV ~

l 1 _ 1 - 8~

~ ~ c bull

~~ G Q

gt middotcmiddot

C1r obull~ 8 ~ - -~

~

~ ~a o G

i~1bgt ~ ~ciacute1I ~

(a) (b) (c) (d) (e) Figura 419 Perfil das bolhas emitidas em cada um dos regimes mostrados na seacuterie da Fig 515 Em (a) vemos O oomportamentoca6tico (O) periacuteodo 2 com coal_neia (e) perlodo 4 (d) periacuteodo 2 e em (e) perlodo (1)

pelo bico soprador e se toma uma uacutenica grande bolha Com a diminuiccedilatildeo da vazatildeo de

ar O toque entre as bolhas deixa de ocorrer e o atrator diminui abruptamente

bull bull bull

__

64 4 Re$tlltados e Anaacutelise

25 _~r--~

bull bull bull

(b)Tn (ms)

20

15 bull

o 100 200 400 500 600 700 TI

Figura 420 Seacuterie temporal mostrando um salto na dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas o periacuteodo 2 se (X)otIai abruptamente em um periacuteodo 2 diminuindo o periacuteodo do borbulhamento

~~~~~ Blaquoltlt o

~~~~ ~ti~~ ~~~__o

$ 01lt- ~

~j3~~ ~ c ~lt _4B ~~~~ Oylt OImiddot

o

il~~ gt OI a~f~ omiddot~~ Omiddoti

~ltbullbull 01laquolt ~ deg -~ ~-

~- J~f~ 1ltlaquo O middot

~i ~~ltc 9~1 ~~~~ ~ ~~

~~I-~iJM ~1 l -gt

(a)

-ot

~~ ~~ -i)-~

-~jIi-J

(b) (c) Figura 421 Imagens das bolhas (a) antes do salto onde podemos ver as bolhas se tocando- e coalescendo (b) o- periacuteodo 2 apoacutes o salto onde as bolhas satildeo emitidas aos pares sem coalescecircnciacutell e (c) o periacuteodo 1

65 4 Resultados e AnacircJise

Uma mudanccedila abrupta de comportamento nos sistemas fiacutesicos pode ser

eAtilde-pHcada atraveacutes de mapas com descontinuidades como foi proposto por de Sousa

i Vieira el ai [Souza Vieira oi ai 1987] Par estudar assimetrias e descontinuidades eles

I utiacuteHzaram o mapa

I-e -alxX sexo gt0

x = f(x) (423)1-(e +8) =0

1-amp2 -a2Ix1 sex lt0londe S1 e EZ satildeo os coeficientes de descontinuidade z e Z2 satildeo os expoentes de

assimetria aJ e az satildeo os paragravemetros de controle do mapa x

~wa1rr~J

j(b)

ftlt 00 DS 110

X

~~_ shy h ~

ltgt01

raquo1111u

~ (a) bullbull

X

gtltt

bull a

Figura 422 Dois exemplos de mapas assimeacutetricos (a) omapa descontiacutenuo das equaccedilotildees 422 e os valores de cada puilmetro em (A) temos o seu diagrama de bifurcaccedilotildees Em (b) os jmagravemetros do mapa contiacutenuo e em (B) o respectivo diagrama de bifurcaccedilotildees

66 4 ResuitaikJse Anacirclise

Outro caso onde ocorre descontinuidades eacute atraveacutes do modelo de mapas

combinados em seacuterie [Tufaile 19 Tufaite si aibull 1999] no qual os sistemas interagem

aJtemadamente Este modelo pode ser exemplificado com os mapas unidimensionais

xbullbull = f4y) (424)

Yn+1 = g(~Xff+l)

cuja combinaccedilatildeo eacute a uniatildeo dos resultados dos dois mapas

S=fug (425)

Se considerarmos o mapa logistico com o paratildemetro de controle p~

Zn+l co PJVZn(l- In) com

(426a)[1+ (-l)JPr +[1 +(-l)]Py p~co

2

A recorrecircncia Zn pode ser rescrita em dois subsistemas independentes associados com a

paridade de 11

x =16pPr (I-x)[1-4p-x(1-xl] (42Gb)

y =16ppy(l-y)[1-4Pxy(I-y)] (4260)

Aleacutem disso os paracircmetros Px e py podem ser simultaneamente funccedilotildees de um

paracircmetro que acopla o sistema Devido agrave propriedade da formaccedilatildeo de bolhas de

diminuiccedilatildeo do tempo em funccedilatildeo do paracircmetro de controle~ pode-se utiliacutezar uma funccedilatildeo

convexa do tipo

zn+1 =z -a (427)

e fazer a combinaccedilatildeo em seacuterie deste mapa com o paracircmetro de controle assumindo dois

valores para a gt O8

0x =0 (428)

y =ltgt+01

O diagrama de bifu~o desta combinaccedilatildeo estaacute mostrado na Fig 423

Figura 423 00

A descontinuidade ~ obtida pela combinaccedilatildeo ~ 05 em seacuterie de dois tnaplS

quadraacuteticosshy-10

os 1006

a

67 4 Resultados eAnaacutelise

Interpretando o salto sob o ponto de vista dos mapas combinados em seacuterie

podemos considerar que antes do salto logo apoacutes a duplicaccedilatildeo de penado as duas

bolhas satildeo formadas atraveacutes da mesma funccedilatildeo de formaccedilatildeo Quando ocorre o toque a

primeira bolha do par possuIacute urna funccedilatildeo de formaccedilatildeo distinta da segunda bolha pois a

segunda bolha coalesce durante sua formaccedilatildeo com a primeira e o bico soprador passa a

encher o conjunto com quase o dobro do volume uma bolha

Outro tipo de combinaccedilatildeo de mapas eacute a combinaccedilatildeo paralela de dois mapas tt) e g(y) que resultam no mapa combinado s

x = - - p(I) y =y - py(I) (429)

Sn xlI +Yn

O6--------------------~

00shy

X -06shy P1

-12 shy

00

gt-bull -05shy ~ gt2 -10 00

gt- -05shy+Xt ~1Q gt 11 ~

(f ~15

-20 060 065 070 075 080 085

P

Figura4~24Acombinaccedilatildeo--j)am1e1a S de dois truiJX1S

onde x() e p(ccedil) satildeo paracircmetros de controle em funccedilatildeo de um paracircmetro comum ccedil

com cada mapa sendo iacuteterado separadamente Na Fig 424 temos dois mapas

bifurcando inversamente para diferentes valores do paracircmetro de controle p) enquanto

que a sua combinaccedilatildeo paralela possui uma bifurcaccedilatildeo flip do mapa da variaacutevel XII no

684 Resultados eAnaacutelise

ponto PIe que equivale a uma alteraccedilatildeo no periacuteodo dois do mapa Sh no ponto P2

devido agrave segunda bifurcaccedilatildeojlip do mapa Yn

A seacuterie da Fig 425() foi obtida utilizando-se o bico AI o mais curto dos bicos

da seacuterie A Nesta figura podemos ver que o salto foi nuacutenimizado Na Fig 425(b)

apresentamos a simulaccedilatildeo correspondente~ na qual utilizamos dois mapas combinados

em seacuterie

(a)

-70j lO ~

77 0 tle

U

E -z I- 50

40 2000

N -obull

-O~ (b)

0 (J) middot01 ~

middot1~

middot14

-16

10 11 1~ 1~ 1O a

Figura 425 Em (a) podemos ver uma seacuterie temporal obtida com a diminuiccedilatildeo da aZatildeo com o bico AI e uma soluccedilatildeo viscosa 80 glicerina e 20 aacutegua Em (b) a combinaccedilatildeo paralela de dois mapas A biftucaccedilatildeo flip que ocorre no mapa) quando levada agrave combinaccedilatildeo paralela ~ causa a diminuiccedilatildeo doperiacuteodo 2

4000

4 Resultados e Anaacutelise 69

4210 Antibolbas

Uma casca aproximadamente esfeacuterica de ar dentro de um liacutequido forma o que foi

chamado por J E Connetl de Gllliacutebolha segundo C L Stong [8tong 1974] Na Fig

426 estaacute esquematizada uma antiacutebolha

I

FJllUl1 426 Uma antibolba eacute uroa gota de um liquido envolvida por uma fina camada de ar dentro do liquido

Como o seu interior eacute preenchido pelo o mesmo liacutequido da parte externa as

antibolhas satildeo ligeiramente rnaiacutes leves que o fluido agrave sua vol~ mas satildeo mais pesadas

que as bolhas Deste modo correntes proacuteximas aacute antibolha podem deslocaacute-Ia facilmente

superando o seu empuxo Quando a casca esfeacuterica se desestabiliza a antibolha colapsa

em uma pequena bolha de ar esfeacuterica que emerge no liacutequido O tempo de existecircncia de

uma tibolha antes de sua desetabilizaccedilatildeo em uma pequena bolha de ar pode chegar a

ordem de minutos

No experimento do tubo borbulhador ocorre tambeacutem a formaccedilatildeo de antibolhas

para determinados regimes da formaccedilatildeo de bolhas As antibolhas seguem as correntes

do liquido dentro do tubo em movimentos ascendente e descendente Na Fig 427

podemos ver antibolhas ao reder de bolhas sendo sopradas no bico borbulhador Para o

liquido utilizado (2 partes de glicerina para I de aacutegua) bull ocorrecircncia de antibolhas

acontece a partir do estaacutegio onde aparece a coalescecircncia do par de bolhas chamado de

periacuteodo 2 antes do salto da Fig 421(a) A formaccedilatildeo das antibolhas eacute precedida pela

formaccedilatildeo de goticulas A formaccedilatildeo de gotiacuteculas estaacute esquematizada na Fig 428 onde

vemos em (a) que parte do liquido em movimento ascendente forma posteriormente um

capilar em (b) e uma goticula se desprende Nas imagens da Fig 428 podemos ver

I

70 4 Re5Ultadocircs e Anaacutelise

alguma imagens que mostram a formaccedilatildeo de gotiacuteculas dentro da bolha assim como

invaginaccedilatildees que podem levar a criaccedilatildeo de antibolhas

Assim como as bolhas as antibolhas desviam o feixe laser e podem ser

detectadas_ Verificamos isto colocando o sistema no regime de formaccedilatildeo de antibolhas

que corresponde a um periacuteodo 4 para as bolhas mostrado no mapa de retomo da Fig

429(a) O seu espectro de potecircncias estaacute na Fig 429(b) As antibolhas se deslocavam

dentro do tubo borbulhador seguindo as correntes internas do fluido COm

deslocamentos preferencialmente descendente proacuteximo agrave parede do tubo e ascendente e

altelerado proacutexiacutemo do bico soprador A quantidade de antibolbas dentro do tubo era

aproximadamente 30 e o feixe laser fui colocado num ponto em que as bolhas natildeo

passavam por eJt num ponto 2 cm acima do bico e 2 em deslocado do eixo do tubo

como o ponto PI da Figo 427 Nesta regiatildeo apenas as antiacutebolhas passavam pelo feixe

laser e noacutes obtivemos os dados mostrados no mapa de retorno da Fig 429(e) Nestes

dados satildeo apresentados 500 pontos correspondendo a 50 minutos de aquisiccedilatildeo com

intervalos de tempo entre 17 milissegundos ateacute 8S segundos

~~ ~ -0 -- O d

~ --- Arltibolhas

oO~f ltgt

figt O ~__ amobullbull -

7~

P1 9

middot0

-6

9

FIgUra 427lmagem das antibollw ao redor das bolhas que se formam no bico soprador Fazendo o Iascr incidir perpendiculannente ao plano da imagem no ponto Plfoi possiacutevel detectar algumas _bolhas se deslocando aleatoriamente dentro do tuoo borbulhador

71 -[ 4 Resultados e Anaacutelise

--~1

(d) itifit

~ Figura 428 Formaccedilatildeo de gotiacuteculas esquematizada em (a) (b) e (c) (d) Nas imagens podemos ver pagravedrotildees semelhantes nas bolhas

00 (c)(a)fi ] 25middot g ~

it shy

gt-

~1 ( ~~15 I

16 zo 2S 30 Tw(ms) TIlaquos

10 ~ $ 10

~ 10-e

bolha

Figura 429 Ca) Mapa de primeiro retorno do perlodo 4 e em (b) o seu ~ de potecircncias O mapa de retorno em (c) foi obtido com I) sistema nas mesmas condiccedilotildees daacute formaccedilatildeo das antibolhas mas posicionando o feixe laser e o fotodiodo de modo a detectar as antiacutebolbas que pa5Sa1Ul1 pelo ponto PI da Fig 427

(b)

00 01 02 1 03shy 04 06

72 4 Resultados e Anaacutelise 1

43 A onda sonora e as bolhas

Os efuitos de uma perturbaccedilatildeo externa a onda sonora na formaccedilatildeo das bolhas

satildeo apresentados e analisados neste capiacutetulo O problema das bolhas perturbadas por

ondas sonoras apresenta desafios muito interessantes do ponto de vista matemaacutetico) com

relaccedilatildeo a proposiccedilatildeo das equaccedilotildees que controlam o sistema e suas condiccedilotildees de

contorno pois1 aleacutem de um sistema de duas fas~ com uma das fases compressiacuteveJ

temos a accedilatildeo de uma onda sonora Do ponto de vista experimentai o tubo borbulhador

possui uma geometria que fagraveciacutelita a utilizaccedilatildeo da onda sonora devido aacute propriedade de

confinamento de ondas sonoras em tubos

Existem trabalhos que envolvem a accedilatildeo de ondas sonoras em bolhas ou gotas jaacute

formadas [MarstoIl 1980] ou quando bolhas ou cavidades satildeo criacuteadas dentro de um

liacutequido devido a uma onda sonora de alta intensiacutedade[Lauterbom 1986 Prosperetti)

1986J a chamada cavilaccedilatildeo acuacutestica Haacute ainda um caso conhecido como cavitaccedilatildeo

transiente no qual a temperatura no interior da bolha atinge mUhares de graus e a

pressatildeo chega a milhares de atmosferas Nestas condiccedilotildees ocorre o fenocircmeno conbecido

como sonoluminescecircncia que eacute a emissatildeo de luz por bolhas em um liacutequido excitado por

ondas sonoras [Putterman 1995 Moran el aI 2000] As frequumlecircncias das ondas sonoras

envolvidas com cavitaccedilatildeo satildeo da ordem de centenas de kHz Nestes trabalhos tambeacutem

se estuda como o campo sonoro emitido pelas bolhas~ devido aos efeitos da cavitaccedilatildeo~

afeta as proacuteprias bolhas Neste capiacutetulo veremos condiccedilotildees mais claacutessicas de interaccedilatildeo

entre bolhas e ondas sonoras do que as que ocorrem na sonoluminescecircncia Aqu~ neste

capiacutetulo a bolha eacute afetada pela onda sonora durante a sua furmaccedilatildeo no bico soprador

com frequumlecircncias da onda sonora variando no intervalo entre dezenas e centenas de hem

O tamanho das bolhas estudadas eacute da ordem de centimetros o que pcnnitiu registrar

suas imagens atraveacutes de uma cacircmara VHS comum Veremos tambeacutem como o sistema

onda sonora - bolhas nos levou ao estudo do mapa do ciacuterculo bidimensional onde

temos um oscilador sofrendo impulsos penoacutediacutecos de uma forccedila externa

73 4 Resultadoacutes e Anacirciise

431 A formaccedilatildeo de bolbas perturbadas pelas ondas sonoras

Nesta seccedilatildeo veremos os resultados que mostram a mudanccedila do tempo entre as

bolhas para uma onda sonora de frequumlecircncia fixa e valores de amplitude crescentes

[Tufagraveile e Sartarelliacute 2000a Apecircndice 2]

Mantendo fixa a vazatildeo do ar atraveacutes da vaacutelvula controladora e utilizando a

soluccedilatildeo de 66 de glicerina e 34 de acircgtll noacutes mudamos a dinacircmica da formaccedilatildeo de

bolhas aplicando ondas sonoras sintonizadas na frequumlecircncia fundamental da coluna de ar

acima do liquidO (138 Hz)

Na Fig 430 mostramos os mapas de primeira retorno em funccedilatildeo da amplitude

da onda sonora em regime de vazatildeo constante Estatildeo em destaque no canto superior

esquerdo de cada graacutefico a ampHtude do sinal senoidal e a frequecircncia meacutedia das bolhas

O sistema eacute colocado inicialmente borbulhando em periodo 1 com uma frequumlecircncia em

bolhas de 11282 bolhass como estaacute mostrado na Fig 430(a) Aplicando a onda

sonora o ponto fixo perde sua estabilidade e um ciclo limite aparece corno pode ser

visto na Fig 430(b) e 430(c) com um pequeno aumento da taxa de borbulhamento

meacutedio

Na Fiacuteg 430(c) o ciclo limite perde sua estabilidade e um ponto fixo proacuteximo

de (87ms 87ms) eacute visitado intermitentemente Este ponto fixo foi determinado atraveacutes

de um histograma do graacutefico de Tn As transfonnadas de Fourier dos dados relacionados

agrave Figs 43O(d-g) mostram um periacuteodo 2 ruidoso Mostramos na Fig 431 o espectro

de Fourier dos dados do atrator da Fig 430(1) Neste espectro vemos um grande pico

em O~5~ o que corresponde ao penado 2

Isto mostra que estaacute ocorrendo uma bifurcaccedilatildeo flip em funccedilatildeo da

amplitude da onda sonora Em uma bifurcaccedilatildeo flip existe um ponto fixo instaacutevel entre

os dois pontos fixos estaacuteveis Nossos dados mostram que a vizinhanccedila do ponto meacutedio

entre os dois pontos fixos eacute visitada devido ao ruiacutedo~ e consequentemente) nossos dados

satildeo adequados para se aplicar a teacutecnica de transfonnaccedilatildeo de ponto fixo desenvolvida

por So e aI [80 et al~ 1996] para se encontrar oacuterbitas perioacutedicas instaacuteveis em seacuteries de

eventos

bull bull bull

bullbull

74 4 Resultados e Anaacutelise

I 112921

I gt65 11lt196 I

bull---~~ --- ~ bull bullbullbull

11_

[

I (1145 11n41 I - 11470 I

4 ~~

- - - - - - iCcedil

(gtl middot bull AOlt 56

(raquo

~~~~----shy---~- - -shy middot bull middot bull bullbullbull )bull bulllt~ shy- 11461shy bull ~ bull

f ~ o loli ----- -~~ ----~- 1 ~- -~ -S - f~ ~ -~ bull middot bull

bullbull bull bull bullbull bull

- bull-bull

i)

T~(ms)

- r 11 ~1 09 1117111 05 1141 I 0-6 bullbull

-T ~~ j ~ - ~~~~

- ( [ f l~~lt bull l) ~ L_ bullbullbullbull IJI~f l ~ r ~ ~ ~ ~ _ _bull

t bull i i f~lO ~ O) bullI 00bull Tnms)

Figura 430 Mapas de retomo do Ciper1mcnto do tubo borbulhador Em cada graacutefico temos no cantO superior esquerdo o valor da tensatildeo aplicada no alto-falante e o valor da frequumlecircncia de boacuterbulbamento meacutedia O liacutequumlido utilizado eacute uma soluccedilatildeo de 66 glicerina e 34 aacutegua e as bolhas foram sopradas diretamente na seringa plaacutestica

4 Resultados e Anaacutelise 15

1

p

I 100~~______~~----~-----~~--1~~111ilIUlltill~

00 01 02 03 M 05

(bolhar1

Flgura 431 Espectro de Fourier dos dados da Fig 30(f) iodiacutecando bull existecircllCIacutetI de um periodo 2 ruidoso

Um exemplo dos nossos resultados estaacute mostrado na Fig 432(a) onde estaacute

representado o histograma para o caacutelculo do ponto fixo usando os dados mostrados na

Fig 43O(h) Para uma melhor visualizaccedilatildeo da posiccedilatildeo da oacuterbita perioacutedica instaacutevel um

graacutefico da intensidade para os mesmos dados eacute mostrado na Fig432(b) O maior pioo

define um periacuteodo I instaacutevel em (869l ms 8699 ms) proacuteximo do ponto fixo estaacutevel

mostrado na FigAlO(e)

Aumentando ainda mais a amplitude noacutes obserVamos o aparecimento da regiatildeo

caoacutetica com as caracteriacutesticas da dinacircmica de estiramento e dobra como estaacute mostrado

nas Figs 430(h-i) e oom pequena mudanccedila na frequumlecircncia meacutedia de borbulhamento Os

atratores na regiatildeo caoacutetica foram caracterizados pelo expoente de Lyapunov dominanre

[Ellner ti al 1912] e estes expoentes podem ser vistos na Fig 433

1

76 4 Resultados e Anaacutelise

(a) Contagens

iacutel00

(b)

Contagens~m (lJ ~337raquoj middotiIrmiddot = IIHI tgt ~ blHH

lIS1I eM elo IIU =JT(lM) 10bullbull

Figura 432 Histograma JXlffi a determinaccedilatildeo da oacuterbita perioacutedica instaacutevel (a) e graacutefico de contorno para os mesmos dados (b) localizando () ponto fixo instaacutevel um fX)UCO abaixo de amp7 ms

05

~--- -T

i I _ _ 1osoagrave rn eacute-

~- 025- I n o

0001 bull

03 04 05 06 07 08 09

Tensatildeo aplicada no alto-falante M

Figura 433 E potntes de Lyapunov dos atratores moStrados em 4JO(e) a (j) em funccedilio da tensatildeo aplicada no alto--falante

77 4 Resultados e Anaacutelise

Continuando a aumentar a amplitude da onda sonor~ com incrementos maiores

do que ante noacutes obtivemos os atratore mostrado na Fig 434 Na Fig 434(m) a taxa

de borbulhamento meacutedia eacute de 205 bolhasls para uma onda sonora gerada com um

tensatildeo de 314 V no alto-falante A posiccedilatildeo - (725 ms 725 ms) eacute visitada com um

comportamento intermitente O tempo de visitaccedilatildeo aumenta quando a amplitude do som

aumenta ateacute que o ponto - (725ms 725ms) torna-se um ponto fixo estacircvel~ como

mostrado na Fig 434(n) Nesta situaccedilatildeo a frequumlecircncia meacutedia de borbulhamento eacute

F=13797 plusmn 9 bolhass tem o mesmo valor da frequumlecircncia da onda sonora Na Fig 435

podemos ver a diferenccedila entre as imagens das bolhas para o primeiro ponto fixo dos

dados mostrados na Fig 434(a) e o ponto fixo na ressonacircncia do atrator da Fig

434(n)

100i 314 205 10 13797 I l

~

Ul

E ~

i

1

+ I ~ T gtt ~~

ao ~ -i )I~ L bullbullbull amiddot ~

bull ~f - bullbull ~ bull (~1iii2~_~~

middotmiddotmiddotmiddotmiddotvb-~middot

r-li ~ ~ ~ i f~ ~

w-i~ 1 _o - ~ -~ ~ 1 ~ ~~imiddot ~ 20-1shy ~ -r shy

~i i~ ~

1t middotmiddot middotlt~fO I i i j

(m) 1 bull

(n) I

ti 20 40 fD 80 100

T n

Figura 434 (In) O ponto - (725 ms 725 ms) eacute visitado em wn comportamento intemuacutetenle com os outros pontos espalhados pelo espaccedilo de fases Em (n) a formaccedilatildeo das bolhas sinaoniza-se com a frequumlecircncia fundamenla1 do tubo e temos apenas o ponto- (725 ms 725 ms)

4 Resultados e Anaacutelise 7amp

a b

432 Atratores do tipo Heacutenon

Os resultados da seccedilatildeo 431 nos mostraram uma grande evoluccedilatildeo da dinacircmica

da furmaccedilatildeo das bolhas com o aumento da tensatildeo aplicada no alto-filante A regiatildeo da

dinacircmica que apresenta a bifurcaccedilatildeo fip~ seguida por atratores caoacuteticos eacute semelhante

aos sistemas dinacircmicos que apresentam propriedades de estiramento e dohra como o

mapa de Heacutenon discutido na seccedilatildeo 27 Por este motivo veremos a comparaccedilatildeo entre

atratores experimentais nessa regiatildeo e o mapa de Heacutenon na tentativa de compreender a

dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas para uma regiatildeo do paracircmetro de controle

De modo a reduzir o ruiacutedo nos dados utilizamos uma soluccedilatildeo mais viscosa 80

glicerina e 20 aacutegu~ e utilizamos o bico A2 Para termos uma variaccedilatildeo mais fina do

paracircmetro d controle alteramos o fator de amplificaccedilatildeo do gerador de funccedilotildees cujo

sinal alimenta o aitcrfalante A vazatildeo de ar e a frequumlecircncia da onda sonora foram

mantidas constantes~ em -366 bolhass e 150 Hz respectivamente Noacutes alteramos a

dinacircmica da formaccedilatildeo das bolhas aumentando a tensatildeo no alto-falante como mostrado

~

sect 8 o

g g middot0 o

Figura 435 Imagem da sincroruzaccedilatildeo das bolhas com a onda sonora no tubo borbulhador Em (a) temos a im1lgem para o ponto lixo lMSU1ido na Fig 430(a) com Fe=11282 bolhasl$ (b) O uacutellimo ponto fixo mostrado na Fig 434(n) quando as bolhas estatildeo sincronizadas com a frequumlecircncia da onda sonora (138 Hz) Nos dois casos teOlQ$ a mesma vdZatildeo de ltIr

79

(f)

~

4 ResultmlcseAnaacuteJise

pelo diagrama de bifurcaccedilatildeo na Fig 436 num regime de vazatildeo constante Nesta figura

vemos uma dupliacutecaccedilatildeo de penado ocorrendo ao redor de 20 V com as bolhas sendo

emitidas aos pares ateacute aproximadamente 3~O V~ quando um penodo 4 ruidoso aparece

Apoacutes isto duas bandas caoacuteticas aparecem Para --3~5 V as duas bandas caoacuteticas se

encontram e se sobrepotildee~ com o aparecimento de um atrator caoacutetico maior

~

20 25 Tensatildeo no alto-falante M

Figura 436 Duplicaccedillo de perlodo em funccedilatildeo da amplitude da onda sonora A frequumlecircncia da onda sonora eacute 150 Hz e a ftequumlecircnciacutea de borbulhamento inicial eacute por volta de 31 bolhass

Para realizar a caracterizaccedilatildeo meacutetrica e topoloacutegica da dinacircmica da formaccedilatildeo de

bolbas sob a accedilatildeo da onda sonora noacutes coletamos seis seacuteries de eventos fixando a tensatildeo

em seis valores distintosgt cujos mapas de retomo (T+- vs T1I) satildeo mostrados na Fig

437

figurA 437 Uma l-Vi I v li I bull vll seqUecircncla de atratoresi reconstruiacutedos- i tmiddot mostrUdo uma rota

~ para o Caos atniveacutes de duplicaccedilotildees duto periacuteodo O valor emta) (b) (e) volts corresponde agrave tensatildeo mantida

t constante no altoshy falante durante a

32

~~ obtenccedilatildeo do atnltOf ~

(eI) bull I(e)

~I

32 Tms)

80 4 Resultados e Anaacutelise

432A Caracterizaccedilatildeo meacutetrica

Os alratores caoacuteticos reconstruidos Figs 437(d) ateacute 437(f) foram caracterizados

atraveacutes dos expoentes de Lyapunov pela dimensatildeo de Kaplan-Yorke aleacutem da dimensatildeo de

Infonnaccedilatildeo obtidos pelo pacote de programas TISEAN [Hegger aI ai 1999] A conjectura

de Kaplan-Yorke [Argyris o ai 1994) que relaciona a dimensatildeo de Infonnaccedilatildeo e a

dimensatildeo de Kaplan-Yorke (equaccedilatildeo (211 raquo mostra que elas se igualam para alratores do

tipo Heacutenan As dimensotildees foram obtidas para as lensotildees de 35 V 40 V e 45 V como

estaacute mostrado na tabela 41 As dimensotildees de InfOrmaccedilatildeo e Kaplan-Yorke coincidem para

os trecircs atratores caoacuteticos

I I

Figura nuacutemero

3d 3e 3

Tensatildeo llspeccediltro de Dimensatildeo de Dimensatildeo de LYaOUllnv Katgtlan-Yorle Informacatildec

35 +011-08 115 I 13 3 40 +012-06 1 23 1 143 ---

1)45 + 02 - O) - 09 168 18 3 Atrator de Heacutenon

o b I 55 01 +038-238 116 II~14 03 + 042 -162 117 119

Tabela 41 Expoentes de Lyapunov e dimensotildees dos atnitores caoacuteticos experimentais e de dois pares de valores do mapa de Heacutenon

Cada um dos dois primeiros atratores caoacuteticos possui espectro de Lyapunov com um

expoente positivo e o outro negativo~ enquanto que o uacuteltiacutemo atrator Fiacuteg 437(f) possui um

expoente positivo e dois expoentes negativos Na tabela 41 satildeo apresentados os resultados

para mapa de Heacutenon mostrado na equaccedilatildeo (212) para dois conjuntos de valores dos

paracircmetros (a b) e os atratores experimentaiacutes reconstruiacutedos

Os valores das dimensotildees dos atratores para amplitudes de 35 V e 40 V satildeo

proacuteximos dos valores das dimensotildees do mapa de Heacutenon sugerindo que eles podem ter

dinacircmica similar O atrator reconstruiacutedo para 45 V mostrado na Fig 437(1) tem a fonna

semelhante aos dois outros atratores anteriores Entretanto) comparando-se as dimensotildees

deste atrator com as dimensotildees dos atratores das Figs 437(d) bull 437(e) vemos que o valor

da sua dimensatildeo de Informaccedilatildeo eacute maior que a diacutemensatildeo dos dois outros atratores

experimentais assim como dos valores de dimensatildeo para o mapa de Heacuteno~ como pode ser

4 Resultados e Anaacutelise amp1

visto na tabela 41 Junto com o fato de que o atrator d Fig 437(1) tem trecircs componentes

no espectro de Lyapu~ov a dimensatildeo de Informaccedilatildeo proacutexima de dois eacute uma indicaccedilatildeo que

este atrator natildeo pode ser totalmente desdobrado em duas dimensotildees

432B Caracterizaccedilatildeo topoloacutegica

Para o mapa de Heacutenon com os paracircmetros ti =1~55 e b = 01 1 utilizando a equaccedilatildeo

(212) para calcular a posiccedilatildeo dos pontos fixos para a variaacutevel x do mapa de Heacutenon

encontra~se que o ponto fixo x estaacute localizado em aproximadamente 0~56 Este ponto

corresponde a um dos pontos de cruzamento da linha diagonal pontilhada com o atrator

reconstruido Xn+1 V$ X como pode ser visto na Fig 438(a) Neste atrator o ponto fixo

possui dois autovalores dados pela equaccedilatildeo (214) Agravel = 006 eM = -179 que caracterizam

este ponto fixo como um ponto de sela A variedade estaacutevel ecirc tangente agrave direccedilatildeo do

autovetor contraente relacionado ao autovalor positivo Agravel menor do que 1 e a variedade

instaacutevel eacute tangente ao autovetor de estiramento relacionado com Oautovetor 2 com valor

absoluto maior do que I Isto estabelece que o ponto fixo e um sela jlip [AIliacutegood el ai

1997]

Na Fig 438(a) podemos ver tambeacutem um exemplo d evoluccedilatildeo dos pontos no

atrator~ atraveacutes da alternacircncia dos pontos ao longo da direccedilatildeo instaacutevel ateacute a trajetoacuteria

alcanccedilar as extremidades do atrator Partindo de uma regiatildeo proacutexima do ponto de sela do

atrator de Heacutenon noacutes vemos os pontos iacutempares iniciais acima da linha diagonal pontilhada

(I 3 5 e 7) a os pontos pares abaixo desta linha (2 4 e 6) caracterizando bull variedade

instaacutevel Nos mapas de primeiro retorno exparimentais mostrados nas Figs 437(d) (e) e

(I) noacutes dividimos o atrator em duas partes com uma linha diagonal para determinar os

pontos que cruzam com o atrator Ocorreu o comportamento de alternacircncia da trajetoacuteria

para os trecircs casos do mesmo modo que o observado no atrator de Heacutenon como estaacute

exemplificado na Fig 438(b) para o atrator obtido com UIDa tensatildeo no alto-falante de 40

V Do mesmo modo que no atrator de Heacutenon noacutes comeccedilamos num ponto proacuteximo da

interseccedilatildeo do atrator com a linha diagonal (TN = TN+ l aproximadamente igual a 27 ms)

com as extremidades do atrator sendo visitadas pela oacuterbita Deste modo devido as

semelhanccedilas de evoluccedilatildeo dos atratores experimentais com a evoluccedilatildeo do atrator de Heacutenon

82

~

+ 1- 26

24

4 ResultlJdcs eAnuacute]se

noacutes podemos inferir a existSncia de um ponto de sela flip nos atratores experimentais

mesmo para o caso da tensatildeo de controle de 45 V cujo espectro de Lyapunov tem trecircs

componentes e dimensatildeo proacutexima de dois

lS

I I (a) 6

10-1 ~ Figura 438 (a) Vemos ao lado a trajetoacuteria sobre nove pontos da al13tOr de Heacuteoon para exemplificar o comportamentoosol I de um ponto de selajlip localizada proacutexima do ponto 1

I gt~ ) ) (x= 056)

) ooJ 8~

-Osol

7

-10 -10 -05 00 OS 10 15

XN

I - -

(b) O mesmo oomponamento de um Ixmto fIXO tipo selaflip pode

JO- 1 ~ gt ser observado pm1 o atrator experimental com os pontos pares uacuteuacuteciais (2 4 e 6 acima da

~ fi) diagonal e os pontos imparcs20i iniciais (I 3 5 e 7) abaixoE 1~t I~

22 22 24 26 28 JO

TN(ms)

32 ~ ~

4 Resultados e Anaacutelise $3

432C Plano simb6lico

Como os planos simboacutelicos satildeo representaccedilotildees graacuteficas da diacutenacircmica e urna poderosa

ferramenta para se comparar sistemas dinacircmicos noacutes aplicamos a teacutecnica de dinacircmica

simboacutelica para os atratores mostrados nas Figs 437(d) ateacute 437(1) assim como no atrator

de Heacutenon (0=155 e 1gt=01) para podennos comparar as semelhanccedilas e diferenccedilas entre eles

Definimos as particcedilotildees L(R) atraveacutes da linha tracejada Na Fig 439() mostramos o atrator

de Heacutenon para a=155 e b=O1 com a sua respectiva particcedilatildeo que separa a regiatildeo formada

por uma linha (L) da regiatildeo com uma dobra (R) que conteacutem o ponto fixo instaacutevel O plano

simboacutelico aJ3 deste atrator estaacute mostrado na Fig 4J9(A) Nas Figs 4AO(b) ateacute 440(d)

temos os atratores experimentais cujas particcedilotildees satildeo as linhas tracejadas que separam uma

regiatildeo com um ramo (L) de uma regiatildeo com dobra (R) Os respectivos planos simboacutelicos

aJ3 estatildeo mostrados nas Figs 440(B) (C) e (D)

Comparando--se a Fig 4J9(A) com as Figs 440(B) (C) e (D) percebe-se o padratildeo

de cada plano simboacutelico eacute semelhante ao plano simboacutelico do mapa de Heacutenon A maior

I

84

R

22 I I I I I I II I 22 24 26 28 30 32

4 Resultados e Anaacutelise

semelhanccedila ocorre entre o atrator de Heacutenon e o atrator experimental com a tensatildeo de

controle de 35 V da Fig 440(B) cujo plano simboacutelico possui as mesmas regiotildees permitida

e proibida Para valores maiores de amplitude da onda sonora algumas zonas deixam de ser

proibidas ~ ocorrendo uma invasatildeo nestas regiotildees como por exemplo a =O~8 e 1=04 na

Fig 4AO(D) mostrando que a formaccedilatildeo de bolhas estaacute se aiacuteagravestando da dinacircmica do tipo

Heacutenon e ficando muito semelhante ao plano simboacutelico do mapa do ciacuterculo~ como pode ser

visto na comparaccedilatildeo entre a Fig 4AO(C) e a Fig 212(A)

(b)1 (8) Ikll ti h u n u r

tII-q U bull

n-~ 1 n - ~

~ -shy-~

bull

(c~ I (~) lt

tll rt O 111 t

~2 t= - ~

iSlt iH tl t III n bull

bullbull

~~ bull ~~

~ lloe

(d)1 (D)~O8 ~ t t t t tE 30 06

Ccedil 28 ocircUL ua

= -t Ibull ~ _ ~O4 t (1-2

26 ~ H 1~ ~ m H)224 oh _fi rbull u d~

I I I I I r I I bull I I I I I 00 34 00 02 04 06 08 10

TN(ms) a

Figura 440 Mapas de retomo experimentais com particcedilotildees e respectivos planos simboacutelicos

85 4 Resultados e Anaacutelise

44 Oscilaccedilotildees forccediladas

Mapeamentos bidimensionais como o mapa de Heacutenon normalmente satildeo usados

como seccedilotildees de Poincareacute de osciladores forccedilados [Thompson e Stewart 1986] Se

considerarmos a existecircncia de um movimento oscilatoacuterio na formaccedilatildeo de bolhas e a onda

sonora como uma forccedila perioacutedica externa podemos compreender o sistema bolhasonda

b gt I I=1C

QP-gt

-AR I

)

) P

- Figura 4Al Representaccedilatildeo esquemaacutetica do sistema bolhasonda sonora como um oscilador forccedilado onde Po eacute O periodo de oscilaccedilatildeo associado agraves bolhas c PI eacute o periodo da onda sonora

sonOTa como um oscilador forccedilado como

estaacute diagramado na Fig 441

Deste modo podemos interpretar os

mapas de primeiro retorno observados

experimentalmente como seccedilotildees de Poincareacute

de um oscilador forccedilado Outro sistema

dinacircmico que representa um oscilador

forccedilado eacute o mapa bidimensional do ciacuterculo

discutido na seccedilatildeo 29

K Bn+1 =Bn +Q- 27 sen2nBn +brn (mod 1)

K TII+I = bTn - 27 sen 27Bn

(430)

As duas frequumlecircncias envolvidas no

experimento cuja razatildeo nos daacuteQ~ para o tubo

borbulhador satildeo a frequumlecircncia da onda sonora

e a frequumlecircncia de borbulhamento O tempo

entre bolhas estaacute relacionado com a variaacutevel

rri do mapa O paracircmetro K estaacute relacionado

com o experimento com a tensatildeo que eacute aplicada no alto-falante Para explorarmos a regiatildeo

inicial do mapa do ciacuterculo diminuiacutemos o fator de amplificaccedilatildeo do sinal do gerador de

funccedilotildees para o alto-falante Utilizamos o liacutequido 80 glicerina e 20 aacutegua e o bico A2

i

4 Resulodes Anaacutelise 86

I

Na Fig 442(a) temos os dados obtidos para um valor de EX = 37 e na Fig

4A2(b) o resultado da simulaccedilatildeo utilizando o mapa do circulo com b = - 01 Os dados

mostram que com o aumento da amplitude da onda sonora o ponto fixo inicial daacute lugar a

um ciclo limite cujo raio aumenta de maneira aproximadamente linear ateacute a tensatildeo de 44

V Apoacutes este valor de tensatildeo uma janela perioacutedica ocorre e o sistema entra numa regiatildeo

caoacutetica para varores de tensatildeo entre 54 V e 87 V A regiatildeo caocircttca eacute substituiacuteda por um

travamento frequumlecircncia de periacuteodo 1

27 ~ I n~=37 I 2ll

z gt-25

24 _- shy-~~~i ~ r O 2 4 Tensatildeo 1 6 8 10

030 l 0=37 i b=~O1015

C 000 ~

-015

-030 shyK 15 20

Figura 441 Em (a) vemos os dadoo obtidos com o experimento do tubQ borbulhador COm a razatildeo entre a freQUumlecircncia da onda sonora e a freqtiecircncia de borbulhamento igual a 37 Em (b) simulaccedilatildeo com o mapa do circulo bidimenslQnal

A comparaccedilatildeo com O mapa do ciacuterculo da Fig 442(b) mostra as mesmas

caracteriacutesticas O ruiacutedo experimentat tem a tendecircncia de mascarar as janelas perioacutedicas~

mas a janela perioacutedica central eacute bem visiacutevel nos dois casos

Diminuindo a frequumlecircncia de borbulhamento e repetindo o aumento da amplitude a

partir do zero temos os dados da Fig 443(a) com um valor de EX = 427 N Fig 443(b)

87 4 Resultados e Anaacutelise

bull simulaccedilatildeo com o mesmo valor de f e h = - 01 Esta regiatildeo triangular inicial para baixas

amplitudes da onda sonora e para estes valores de n~ ecirc uma rota para o Caos via quaseshy

periodicidade

o 2 Tensatildeo M 4 S 8

02 - I n=427

c (O ~

-1gt2

1 - I I

05 K 10 15 20

Figura 443 (a) Dagravedosexperimentais com a razatildeo entre as freqUecircnci3S-da onda sonora e do bottmIbamemo igual a 427 (b) Seacuterie obtida com o mapa doclrculo com Qr421 eb= ~O1

441 Comportamento geral

Agora veremos o travamento em penodo ] apoacutes a regiatildeo quase~perioacutedica triangular

seguida de duplicaccedilatildeo de penodo e Coos

Para obter a seacuterie temporal noacutes escolhemos um ponto fixo sem a onda sonora com

a taxa de borbulhamcnto Fb liacuteIfh onde To eacute o tempo meacutedio entre bolhas sucessivas e

apoacutes isto noacutes aumentamos a amplitude A do som continuamente

bull bull

bull bull bull

88 4 ResultadoscAnaacutelise

=f = j

T

E j T (a)fi ~

I I I 4 Aa u) 6

0381 b-O1

05

t

00

~lt

~~i (b) I K bull(~

bull4

Figura 4A4 (a) Djagmma de bifurcaccediltlo experimental Oponto 11xo experlmenW T oorresponde a 261 ms (b) diagrama obtido com o matn do ciacuterculo com y = 019

i

Na Fig 444(a) pode ser vista a seacuterie experimental~ Tn V$ A para urna taxa de

borbulhamento de F = 3937 bolhasls e QEX= FF = 381 Na Fig 444(b) temos o

diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo r vs K calculado com b = 01 e o mesmo

valor de razatildeo de frequumlecircncias ~h =381

Temos algumas similaridades entre OS dois diagramas PartindO deK=O e A==O cada

ponto fixo perde sua estabilidade quando aumentamos o respectivo paracircmetro de controle e

ocorre uma regiatildeo quase-perioacutedica Os pontos fixos 1 e r tomam~se estaacuteveis para A por

volta de 27 e K aproximadamente igual a 107 O ponto fixo T(r) eacute estaacutevel ateacute A 47 (K

= 2gt44)~ quando inicia~se uma cascata de duplicaccedilotildees de periacuteodo Deve ser notado que as

posiccedilotildees destes pontos fixos estatildeo na regiatildeo superior da banda triangular (gt0 e Tgt To)

89 4 Resultat1cs e Anaacutelise

As propriedades dos diagramas satildeo facilmente exp1icadas~ se analisarmos as

propriedades do mapa do ciacuterculo Segundo as equaccedilotildees (228) o ponto fixo r apoacutes a regiatildeo

quase-perioacutedica no mapa do circulo eacute dado por

r~- O (modi) s_O (mndl) lt 05 (431)

I - Q (mnd I) se Q (mnd I) gt 05

No atrator experimental O ponto fixo T ocorre quando a regiatildeo quase-perioacutedica

atinge uma frequumlecircncia de borbulhamento igual a um submuacuteltiplo da frequumlecircncia da onda

sonora de 150 Hz

T~ 41150= 267ms (432)

onde o nuacutemero 4 eacute o inteiro mais proacuteximo do valor de Oex = 381 Este fenocircmeno eacute

conhecido com travamento sub~harmocircnieo (subharmonic entrainment) (Hayashi 1985] e

ocorre em um oscilador forccedilado quando a razatildeo entre a frequumlecircncia da forccedila externa e a

frequumlecircncia natural do oscilador estaacute na vizinhanccedila de um inteiro diferente de I

f j 3D -I T

1 ____ +

QE(= filgt 415

J

______ u I aIl ~~~1~lt

(a ~ ~ ~~ 2 1bull bullI bullI ACa li) bull

u = 41$ b 01

middotmiddotl 0

-~~ru---- i ~~ (b

a 1 2 3 4 5K

Figura 445 (a) Diagrama de bifurcaccedilatildeo cxperimenlal com To -271 ID$ O JXlnto fixo experimentai T colTeacuteSpOllde a 267ms (b) diagrama obtido com o mapa do clrcuJo CQM r -015

4 Resultados e Anaacutelise 9(l

Com outra frequumlecircncia de borbulhamento F=3614 bolhas ms com a mesma

frequumlecircncia da onda sonora de 150 Hz obtivemos o diagrama experimental que estaacute

mostrado na Fig 445() com nEJ( = 415 Podemos notar as mesma similaridades

descritas anteriormente como O travamento sub-harmocircnico do borbulhamento dado pela

equaccedilatildeo (432) poreacutem o ponto fixo experimental (TltTo) estaacute agora no limite inferior da

regiatildeo quase-perioacutedica triangular Na Fig 4A5(b) temos o diagrama de bifurcaccedilatildeo do mapa

do circulo com nT = 415 e b = 01 O ponto fixo T(r) toma-se instaacutevel em A

aproximadamente igual 45 (K 236)

Noacutes podemos dividir a evoluccedilatildeo do borbulhamento em duas regiotildees urna regiatildeo

inicial relacionada com o comportamento quase-perioacutedico (A ~ 25) e a rota de duplicaccedilatildeo

de periacuteodo (A ~ 4)

Para valores inteiros de h natildeo observamos a regiatildeo quase-perioacutedica Ajustando a

0a f)f =40

3

T=T- - E 1-shyI s

J m (a)

I I

2bull A(a u bull bull n-=40 b=O1

~U1 ~ ~c

bl

bull 1 2 3 4 K

Fiboura 446 (a) BorbulhamentocomQn = 40 Nas condiccedilotildees acima natildeo baacute a regiatildeo quaseperioacutedjca e 1To eacute estivel na regiatildeo ineiaI deA (b) O mesmo eacute observado para o mapa do cIrculo com Ot=4O e b=Ol

-- -

91 4 Resultados e Anaacutelise

frequumleacutencia d borbulhamento para 375 bolhass tal que ordmX = 40 natildeo ocorre a regiatildeo

quase-perioacutedica como pode ser visto nos dois diagramas da Fig 446 O ponto fixo T ~ T

V = O) eacute estaacutevel ateacute A aproximadamente igual a 37 ( K 22 ) e o sistema evolui

diretamente par a caseata de duplicaccedilotildees de periodo

Na Fig 447 temos algumas liacutenguas de Arnold para o mapa do circulo

unidimensional (b = O) como uma aproximaccedilatildeo do mapa do ciacuterculo bidimensional com

b=plusmnO1 Para um valor de n (mod 1) diferente de O o sistema inicialmente evoluiacute na regiatildeo

quase-perioacutedica mostrado pelas setas pontilhadas ateacute que O sistema alcanccedila o ponto fixo

estaacutevel dado pelos circulos cheios Mesmo para os casos dos dados mostrados nas Figs

442 e 443 podemos ver quando o sistema atinge as regiotildees das liacutenguas de Arnold relativas

ao penodo 4~ marcado pejas pequenas Unhas horizontais pontilhadas Para fi = O) o sistema

percorre a regiatildeo inicial de K no periacuteodo 1 relativo ao nuacutemero de rotaccedilatildeo W= 01

iacute 11) i2 fI- li I LeHHJ~~ I I I I In

11 ( K j~

I~ I

1I 1 II (lrl j

00 _ 05 gt0

n mod(1) shyFigura 447 As sete linguas de Arnoid mais largas com seus respectivos nuacutemeros de rotaccedilatildeo Os nuacutemeros entre parecircnteses coloridos no topo e na base oorrespondcm aos nuacutemeros das figuras mostradas neste eamtulo

92 4 Resultados eAlIaacuteJise

442 Comparaccedilatildeo dos atratores

Os atratores caoacuteticos do tipo Heacutenon que aparecem no mapa do circulo sofrem uma

rotaccedilatildeo ao redor do ponto do ponto de selaflip como pode ser visto nas comparaccedilotildees entre

atratores experimentais reconstruiacutedos da Figs 448(A) e 448(C) e entre os atratores

obtidos numericamente das Figg 448(a) (b) e (c) Usaremos o termo saxofone que foi

utiacutelizedo por R Shaw [Shaw 1984] para atratores obtidos no experimento da torneira

gotejante para designar os atratores das Figs 448(a)-(A) Experimentalmente e

numericamente~ as condiacuteccedilotildees de orientaccedilatildeo dos atratores saxofone satildeo as seguintes

n (mod 1)gt 05 formato de saxofone (433a)

n (mod 1) lt 05 formato de saxofone invertido (433b)

Quando a parte fracionaacuteria de n se anula temos a formaccedilatildeo de um atrator do tipo

duplo gancho como estaacute mostrado na Fig 448(b) e 4A8(B) Como foi discutido na seccedilatildeo

4J22 todos os atratores experimentais apresentam um ponto de sela jlip que estaacute

localizedo na interseccedilatildeo de cada linha diagonal com cada atrator das Fig 448 Em todos

os casos este ponto de sela substituiu o ponto fixo estaacutevel 1~ do travamento sub~

harmocircnico (equaccedilatildeo 432) Por isso no atrator experimental o ponto de sela jJip~ Tfo eacute

calculado do mesmo modo que o ponto fixo estaacutevel T

~ ~4150=267l11S (434)

onde o nuacutemero 4 eacute o inteiro mais proacuteXIacutemo do valores das razotildees de frequumlecircncias OEX (381

40 e 415) com a frequumlecircncia da onda sonora sendo de 150 Hz Para os atratores obtidos

rumericamente a posiccedilatildeo do ponto de selaflip rfi tambeacutem eacute calculada com equaccedilatildeo (431)

Em particular os trecircs pontos de selaflip dos atratores mostrado nas Figs 448 satildeo

rl(A) 019

~~-M ~~ rr(C) -015

93

4 Resultaoos eAnaacutejse

I_mlltQfl_ Figura 448 (a) O atratori ~ 1

1 saxofone obuacutedo com o experimento do tuboI I borbuIhador no pontoi ~ indicado por uma seta na seacuterie mostrada na FigI ~ I 444(a) (A) A simulaccedilatildeorJie) I 1 (A) bull com o mapa do drculo

bull laquo

gtJ_ ~(I _ (b) Atrator eJqgterimental do tipo gancho duplo

I

l Ki-i - obtido nas mesmasi condiccedilotildees indicadas pelai j j bull v1 ~I q seta sobre a seacuterie da Fig ji

446() (B) Alrl j obtido ltom o IIlltiJ(f do

gtJ (b) 1 -AJ I (a) ltV M circulo

raquo gtlt w raquo u ~~~ ~ c---------------

N111gtIgti_i -~ lt-U4I_ i (c) Rotaccedilatildeo do atmtor experimental obtido no

ponto indiacutecado pela seta- na seacuterie da Figt 445(a)g ~ bull ~ C A mesma fOtaccedilatildeona ~ simuJaccedilgo feita com oJ marm do circulo u(CI V laquo) ____

)o lO lO ~ Q

T(ms) ro

Quando a parte fracionaacuteria de QEgt vale

05 aumentando-se a amplitude~ temos tambeacutem o ponto fixo de periacuteodo 1 que se torna

finstaacutevel surge um periacuteodo quatro e depois - gt

disso surge um atrator caoacutetico com a forma de raquo

uma C7JZ que estaacute mostrado na Fig 449 raquo raquo raquo Aleacutem diacutesgo~ outros mais atratores J

experimentais mais complexos tambeacutem podem Figura 449 Atnltor caoacutetico obtido com nm igualaO5

ser simulados com o mapa do circulo como

pode ser visto na Fig 450(0) onde temos uma frequumlecircncia de borbulhamefito de 8 bolhass

94 4 ResultadoseAnoacuteliseuro

com uma frequuml~ncja da onda sonora de 150 Hz A simulaccedilatildeo com o mapa do ciacuterculo como

estaacute mostrada na Fig 450(b) foi feita com tlr= 1885 h = 01 eK = 83

~ f fi ro ~ ni il II~~~~jflitllt1I)j~ ~ ~ to fi lt ~i~~~rl ~iacute J ~1J li~4It IVtAl lt

IiV V (b)-

m M m m - Tn(ms) r

FIgUra 450 Atrator e~perlmcntalem (a)(lroc = 1amp75 b -= 01 Em (b) aacute simulaccedilatildeo COm o mapa do ciacuterculo n= 1885 b =01 e K= 83

gt

~~

I

~ ifA rl li Pf ~ fI 1 J ~ N11D Jl ~ci- ~1 bull

J -I

(a) ~

443 Modulaccedilatildeo do Paracircmetro de Controle

Quando utilizamos a Teoria do Caos para analisar resultados experimentais uma

das mais dificeis tarefas eacute associar os paracircmetros experimentais aos paracircmetros dos

modelos existentes como o mapa logiacutestico ou o sistema de equaccedilotildees de Rotildessler e outras

equaccedilotildees dos sistemas caoacuteticos Algumas vezes o paracircmetro de controle escolhido eacute

modulado por uma funccedilatildeo que natildeo permite a observaccedilatildeo direta dos sistemas caoacuteticos

claacutessicos atraveacutes da variaacutevel de medida [Tufaile 1996J Isto acontece no experimento do

tubo borbulhador caso utilizemos por exemplo a vazatildeo do ar como paracircmetro de controle

como estaacute mostrado na Fig 451 onde utilizamos a soluccedilatildeo de 66 glicerina e 34 aacutegua e

oacute bico de seringa A vazatildeo do ar) o paracircmetro de controle estaacute relacionado de uma forma

hiperboacutelica com o tempo de borbulhamenlo a variaacutevel de medida representada pela linha

95 4 Resultados e Anaacutelise

pontilhada Quando

sintonizamos uma onda

sonora no sistema com urna

frequumlecircncia de 126 Hz e uma

amplitude constante ocorre

uma composiccedilatildeo entre a

funccedilatildeo hiperboacutelica e o mapa

do ciacuterculo Os tempos

associados aos patamares T ~

satildeo bem definidos e podem

ser calculados com a equaccedilatildeo

(436) Os patamares se

alargam com o aumento da

vazatildeo e o valor do tempo

7

70

65 T(ms)

55

50 61j-shy shy

-~ shy 40 60 80 100 120 140 160 180

Vazatildeo (mlfmin)

Figura 451 A composiccedilatildeo de uma funccedilatildeo hiperboacutelica de borbulhamento com ) mapa do circu1o as fraccedilotildees ao lado de cada pagravetamar datildeo () valor do tempo do ponto fixo Tp devido ao trnvaJnento sub-harmocircnico

associado a cada um deles eacute calculado atraveacutes dos travamentos sub-harmocircnicos

Tp~jlf (436)

onde j eacute o inteiro mais proacuteximo da razatildeo entre a frequumlecircncia da onda sonora e a frequumlecircncia

de borbulhamento

Outra situaccedilatildeo na qual ocorre a modulaccedilatildeo do paracircmetro de controle eacute quando

(b) ~ ~~~l~~~ ~~ - 21)~~ir-- ~if~~e

2(1 I i i r 5 6 7 B

Q

Figura 452 (a Composiccedilatildeo do tnatXt do ciacuterculo com uma funccedilatildeo linear decrescente O paracircmetro de acoplamento nllo-linear K eacute uma funccedilatildeo decrescente do valor de n

(b) Dados do tempo de borbulhamento em funccedilatildeo de o A variaccedilatildeo de o ecirc obtida mantendo os demais paracircmetros constantes e aumentando linearmente a frequumlecircncia da onda sonol3

4 Resultados e Anaacutelise

variamos a frequumlecircncia da onda sonora mantendo constante a sua amplitude Medindo o

tempo de borbulhamento obtivemos os dados d Fig 451 (b) do tempo de borbulhamento

contra a razatildeo entre as frequumlecircncias Q para uma frequumlecircncia de borbuibamento inicial de 33

bolhass Devido agraves propriedades da acuacutestica do tubo a variaccedilatildeo da frequumlecircncia da onda

sonora afeta simultaneamente a amplitude da onda Isto pode ser simulado com o mapa do

circulo com h = Ol~ supondo que o paracircmetro de acoplamento natildeoM1inear~ ~ do mapa do

circulo seja uma funccedilatildeo linear decrescente com relaccedilatildeo agrave razatildeo de frequumlecircncias n que na

Fig 452() eacute o paratildemetro de controle

K(n) =40 - 047 n (437)

Os patamares d Fig 451 assim como as linhas diagonais da Fig 452(a)

correspondem agrave composiccedilotildees da frequumlecircncias de borbulhamento e da onda sonora que levam

o sistema dinacircmico nas regiotildees de liacutengua de Arnold com nuacutemero de rotaccedilatildeo W igual aI

97 5 ConclusiJes

) 5 Conclusotildees

CltJnstmiacutemos o aparato do tubo borbulhador e observamos que O principal

aspecto da fonnaccedilatildeo de bolhas em liacutequidos viscosos eacute que este sistema eacute equivalente a

um oscilador natildeo-linear Esta afirmaccedilatildeo foi baseada inicialmente nos intervalos de

tempo da formaccedilatildeo das bolhas no experimento do tubo borbulhador quando a vazatildeo de

ar aumenta e na comparaccedilatildeo deste experimento com o experimento da torneira

gotejante A comparaccedilatildeo dos dados experimentais da formaccedilatildeo das bolhas influenciadas

pela onda sonora com os resultados teoacutericos do mapa bidimensional do circulo1

confirmou que o borbulhamento estaacute associado a um movimento oscilatoacuterio Na

comparaccedilatildeo do sistema bolhasonda sonora e o mapa do ciacuterculo o ponto mais

importante foi associar o tempo da formaccedilatildeo das bolhas T com a variaacutevel rlf do mapa

do ciacuterculo

A interpretaccedilatildeo da oscilaccedilatildeo na formaccedilatildeo das bolhas pode ser feita observandoshy

se o deslocamecto do Ifquido Durante a subida da bolha no liquido este eacute afastado para

dar passagem agrave bolha ateacute que a bolha passe e o liacutequido volta a preencher o espaccedilo que

antes era ocupado vela bolha Este processo se repete e assim temos o comportamento

oscilatoacuterio Entatildeo podemos entender o movimento do liacutequido induzido pela passagem

da bolha como um oscilador natildeo-linear O sistema de detecccedilatildeo mede apenas valores

maacuteximos deste comportamento oscilatoacuterlo~ por isso temos as seccedilotildees de Poincareacute do

borbulhamento e natildeo curvas continuas do espaccedilo de fases

A duplicaccedilatildeo de periacuteodo) que ocorre quando variamos a vazatildeo~ foi a primeira

observaccedilatildeo que indicou que urna abordagem utilizando a Teoria do Caos seria um

meacutetodo possivel para a compreensatildeo do fenocircmeno da formaccedilatildeo das bolhas Mesmo

assj~ uma abordagem utilizando os conceitos da Mecacircnica dos Fluidos foi feita ~ com

este ponto de vist~ observamos que a duplicaccedilatildeo de periacuteodo com a vazatildeo estaacute associada

com a instabilidade de Rayleigh-Taylor que representa a instabilidade da interface de

dois fluidos que natildeo se misturam A duplicaccedilatildeo de periacuteodo SOacute eacute evidente em fluidos

viscosos pois~ em liquidas pouco viscosos como a aacutegua a dinacircmica observada vai

diretamente do comportamento regular para um comportamento irregular Verificamos

que a instabilidade da superfiacutecie da bolha nos fluidos com baixa viscosidade eacute a resposta

para a questatildeo da transIccedilatildeo do movimento regular para o movimento irregular na

formaccedilatildeo das bolhas Esta instabilidade eacute causada pela interaccedilatildeo entre as bolhas que se

elevam dentro do liacutequido e a bolha que estaacute se formando junto ao bico Em fluidos

98 s COI1cfusr1es

viscosos e com baixas vazotildees do ar o deslocamento das bolhas que estatildeo emergindo

natildeo afeta a bolha que estaacute se formando pois natildeo haacute uma perturbaccedilatildeo significativa criada

pela circulaccedilatildeo do liacutequido e esta circulaccedilatildeo permanece laminar junto ao bico Poreacutem

para vazotildees mais e1evada~ mesmoS nos liacutequidos viscosos teremos todo o conjunto das

bolhas emergentes e da bolha que estaacute se formando interagindo pois as perturllaccedilotildee5 na

circulaccedilatildeo do liacutequido se propagam em todas as direccedilotildees dentro do tubo borbulhador

Deste modo a formaccedilatildeo das bolhas apresenta uma dependecircncia tanto do tempo quanto

das condiccedilotildees d contorno Neste aspecto o experiroento do tubo borbulhador eacute

diferente do experimento da torneira gotejante pois o deslocamento das gotas que estatildeo

caindo natildeo tem efeito significativo na gota que cresce junto ao bico

Utilizando diferentes tipos de bicos verificamos algumas das influecircncias da

geometria do bico na formaccedilatildeo das bolhas Emulamos as seacuteries temporais atraveacutes da

combinaccedilatildeo de mapas Isto permitiu o desenvolvimento de ideacuteias para tentar entender e

explicar os fenocircmenos observados como alargamentos suaves e abruptos nos tempos

entre as bolhas A combinaccedilatildeo de mapas jacirc havia sido utilizada no experimento da

torneira gotejante~ o que mostra a sua importacircncia como rerramenta na compreensatildeo de

sistemas caoacuteticos

Do mesmo modo as simulaccedilotildees com modelo unidimensional massa-mola

permitiram melhorar a nossa interpretaccedilatildeo dos dados tanto da torneira gotejante quanto

do tubo borbulhador O modelo natildeo eacute adequado para observaccedilotildees quantitativas mas

pode ser usado para a obtenccedilatildeo de resultados qualitativos Durante a verificaccedilatildeo da

hipoacutetese do fator de massa agregada fJ do modelo massa-mola para a formaccedilatildeo das

bolhas encontramos as estruturas das veiacuteas liacutequidas que satildeo colunas de aacutegua dentro do

oacuteleo sustentadas pela subida de bolhas de ar

Aleacutem disso durante a realizaccedilatildeo da experiecircnci~ foram encontradas algumas das

condiccedilotildees que fazem o aparecimento de antiboJhas que satildeo gotas envolvidas por uma

fina camada de ar dentro do liquido e que ficam aprisionadas na circulaccedilatildeo dentro do

liacutequido

Verificamos as condiccedilotildees de validade para a relaccedilatildeo entre a frequumlecircncia da

formaccedilatildeo das bolhas e a vazatildeo do ar para um modelo simplificado que estabeleccedile uma

frequumlecircncia para a formaccedilatildeo das bolhas proporcional agrave vazatildeo elevada a 04

Atraveacutes da associaccedilatildeo com o mapa do ciacutercuJo~ verificamos algumas

similaridades entre o mapa e o experimento como por exemplo a comparaccedilatildeo da

variaccedilatildeo da razatildeo entre as frequumlecircncias da onda sonora e do borbulhamento~ nEXo com a

s ConcluslJes 99

variaccedilatildeo do paracircmetro nr do mapa assim como fizemos a comparaccedilatildeo entre as fonnas

dos atratores reconstruiacutedos Deste modo encontramos algumas rotas para o Caos

quando eacute feita a variaccedilatildeo da amplitude da onda sonora A formaccedilatildeo das bolhas pode

evoluir inicialmente atraveacutes da rota de quase-periodicldade quando a amplitude do som

eacute aumentada linearment~ que pode ser reconhecida no iniacutecio das seacuteries temporais

devido agrave sua forma triangular para alguns valores d razatildeo entre as frequumlecircncias tEX

Outra rota observada fui a rota de duplicaccedilatildeo de periacuteodo com a formaccedilatildeo de atratores do

tipo~Heacutenon devido aos processos de estiramento e dobra

A dinacircmica do mapa do circulo ainda permitiu interpretar o comportamento mais

global da existecircncia de patamares no tempo da formaccedilatildeo das bolhas nas seacuteries

temporais sujeitas a uma onda sonora de frequumlecircncia bem definida Os patamares

OCOrrem quando a freqOecircncia do borbulhamento estaacute proacuteximo a um submuacuteltiplo d

frequumlecircncia da onda sono~ o que caracteriza um travamento subMharmocircnico O

travamento sub~hann8nico ocorre quando a frequumlecircncia de um oscilador fica travada em

um submuacuteltiplo da freqOecircncia de uma forccedila externa aplicada O caso limite d

sincronizaccedilatildeo entre a formaccedilatildeo das bolhas e a onda sonora eacute o travamento harmocircnico

quando as bolhas se formam com a mesma frequumlecircncia da onda sonora

I I I

I

100 6 Referecircncias

6 Referecircncias

Argyris J Fast Q e Haase M (1994) An Exploralion of Chaos North-Holland Arnsterdam

A1ligood K T Sauer T D e Yorke J A (1997) Chaos - (f1 introrillclion lo dynamical syslems Springer New Yerlc

Bai-lin H (1989) Elementary symbolic dyrtamics and Chaos in Dissipolive Systems World Scientific~ Singapura

Bertelseo p EUegaard C Guhr T Oxborrow M e Schaadt K (1999) Measuremenl of Parometric Correlations in Spectra of Resonating Quarlz Blacks Phys Rev Lett 83 2171-2174

Chandrasekhar S (1981) Hydrodynamic and Hydromagnetic Stabiacuteliacutety Dever New York

Cliacutefl R Orace J R e Weber M E (1978) Bubbles Draps and Partieles Academic Press~ New York

Collet p e Eckmann 1 (1980) lleraled maps ou lhe inlerval as dynamieal systems Birkhatildeuser New Yorlc

Davidson J F e Schuumller B 0 G (1960) BlIbble formaiion ai an orifice in a viscous liquid Trnns Inst Chem Eng 38 144-154

Dnnocenzo A e Renna L (1996) Dripping Faueet Int J Theor Phys 35 941-973

Dnnoeenzo A e Renna L (J 997) Morieling leaky fancei dynamics Phys Rev E 55 6776-6787

EUner S Nychka D W e Gallant A R (1992) LENNS a progrom lO estimale lhe dominant Lyapunov exponent cfnoisy nonlinear systemsfrom time series data (Institute of Statistios Mimeo Series n 2235 (EMA series n 39) Statistics Department North Carolina State University Raleigh

Femat R Alvarez-Ramiacuterez e Soria A (1998) ChaoticJlow slnentre in a verlical bllhble column Phys Let A 248 61-79

Finney C E A (2000) Bibliography of choos amp buhbling httpwwwshychaosengrutkedulbibBubblinghtml

Fletoher N H e Rossiog T D (1991) The Physies ofMusicalll1srnmenls Springer New York

Fuchikam~ N lshioka S Kiyono K (1999) Simulalions ofa Dripping Faucel J Phys Soe Jpo 68 1185-1I96

INSTITUTO DE FS1CA serviccedilo (iccedil albHotscamp e

lntgnllccedilatildeoTombo u ~ Co

-et [

101 6 ReJerecircneacuteiaacutes

Gonccedilalves W M (1996) A experiecircncia da Tomeira Golejante Tese de doutorado lFUSP

Gonccedilalves W M Pinto R D SartoreUi 1 C e de Oliveira M 1 (1998) Inferriacuteng staliacuteseal complexity in lhe dripplnglaueet experiment Physica A 257 385-389

Grebogi C Ott E e Yorkel A(1982) Chaote attraetors in crisis Phys Rev Lett 48 1507-1510

Hayshy C (1985) Nonliacutenear Oscilatiolls In Physicol Systems p 285 Princeton University Press Princeton

Hegger R Kantz H Sebreiber T (1999) Praticol implementaton of nonlnear time seres methads The l1SEAN paekage Chao 9 413-435

Jaekson E A (1995) Perxpectives 01 l1oninear dynamies Cambridge University Cambridge

Kaneko K (1992) Overview 01eoupledmap latliees Chaos 2 279

Kiyono K e Fuehikami N (1999) Dripping Paueel Dynamiacutecs Clarified by an Improved Mass-Spring Model 1 Phys Soe Jpn 68 3259-3270

Kyrialcides N K Kastrinalcis E G Nyehas g G e Goulas A (1997) Bubblingfrom Naues Submerged in Water Transiacutetions Between Bubbling ampgimes Can J Chem Eng 75684-691

Lantoroom W (I986) Acoustie Turbulence em Frontiers in Physiacutecal Acouslics p 124shy144 Nortb-Holland Amsterdam

L~ H Z Mouline Y Choplin L e Midoux N(1997) Chaotic bttbbe coalesconee in non-newlmriacuteanfluids lnt J Multiphas Flow 23713-723

Li T Y e yoke J A (1975) Period 3 iacutemplies ehaos Am MatlL Month 82 985-992

Lorenz E N (1980) Altraclar seis aml qttasi-geoslrophiacutec equlibrillm J Atmas Sei 37 1685-1699

MaJI R (1981) On lhe diacutemensiacuteon cf compacl invaria11l sei cf certain nall-lillear maps em Dynamical System and Turbulence 00 D A Rand e L S Young Spnnger Berlim

Marmur A e Rubin E (1915) A theoretieal modellor huboacuteleformation 01 ali orifice submerged in Im inviscid iquid Chem Eng Sei 31 453-463

6 Referecircncias 102

Marston P L (1980) Shape oscillotion aJ1d stalie deformalion of drops and bubbles drive by modulated radiation stresses-Theory J Acous Soe Am 67 15-26

Martian P Pope S C Scott P L e Shaw R S (1985) Ihe chaotic behavior ia eaky faucet Phys Let A 110 399-404

Mltoni L 1 Schwartz M P e La Nauze R J (1995) Determinislie chaos in lhe gas inel pressure ofgas-liquid bubbling systems Phys Pluids 7 891-893

Moran M I Haigh R E Lowry M E e Sweider D R (2000) ObservntiollS ofSingleshyPulse Sonoluminescence httpwww-physllnLgovlN_DivlsonoIurnlsonolumyaperhtrnl

Miyahara T Baga N Takahasbiacute T (19B3) Bubble formationfrom an oriftce ai high gas ftow rales Int Chem Eng 23 524-53 L

Nguycn K Daw C 5 Cheng M Bruns D D Pinney C E A e Kennel M B (1996) Spalio-temporal ~namics in a train ofrising hubbles Chom Eng J 64 191-197

Paclcard N H CrutehfieId J P Fanner J D e Shaw R S (198() Geometryfrom a time serles Phys Rev Lett 45 712-716

Perry R H e Clinton C H (1972) Chemcal Engineers HandbQok McGraw-HilI New York

Pinto R D (1999) Comportamento Complexo na Experiecircncia da Torneira Gotejante Tese de Doutorado lFUSP

Pinto R D e Sartorell~ J C (2000) Homoclinc tangency and ehaotic attractor disappearance in a drippingfaucet experiment Phys Rev E 61 342-347

Prosperetti A (1986) Physicsi Acoustic Cavitalion em Frontiers in Physical ACOllstics p 145-188 North-Holland Amsterdam

Ponter A B e Surati A l (1997) HuMI EmissiollSfrom SlIbmerged Orifices - A criticai Review Chem Eng Toelmo 2085-89

Putterman S 1 (1995) Sonoluminescence Salim l11to light Sei Am Fevereiro 33-37

Rapp P E Bashore T R Zimmermean L D Martinerie 1 M Albano A M e Mees A 1 (990) Dynomical CharacterizaJlon ofBrain EleerIacutewl Activity em 1he Ubiqulty of ChIlO AAAS Washington DC

Renoa L (1999) A discrele map for drippingfaucel dynamics Phys LeI A 261 162-168

da Rocha M S (1995) Determinaccedilatildeo da evoluccedilatildeo temporal da fonnaccedilatildeo de gotas Dissertaccedilatildeo de mestrado lFUSP

Rotildess1er O E (1977) Synergelies a workshap Haken H Springer Berlim 174-183

103 6 Refrencias

Ruzicka M C Drahos J Zabradnik J e Thomas N H (1997) Inermittt transition from bubbling to jetling regime in gas-liquid two phase fiows Int J Multiphase Flow 23 671--682

Sacircnches-Ortiz G 1 e SaIas-Brito A L (1995a) Strange attraclor in a relaxalion oscillator modelfor lhe drippingfaueet Phys Let A 203 300

Sacircnches-Ortiz G I e SaIas-Brito A L (1995b) Chaos in a variaMe mass relaxatiall oscilator modelfor lhe leaky tap Physica D 89 151

SartoreUi J C Gonccedilalves W M e Pinto R D (1994) Crisis 00 intermittenoo in a leaky-fauce experiment Phys Rev E 493963-3975

Scbemelcher P Diakonos F K (1998) A general approach lo lhe finding of unSlable periadie arhils in ehaotie dynamieal syslems Phys Rev E 57 2739

Sharpe G J (1994) Solving Probems in Flllid Dynamics p 203 Longman Essex

Shaw R (1984) The drippingfaucet as a model chaotic sySlem Aerial Pre Santa Cruz

da Silva J G M (1996) Caraelerizaccedilecircio da Dindmica da Formaccedilecircio de Goas Dissertaccedilatildeo de mestrado lFUSP

80 P Ott E Sehiff S F Kaplao D T Sauer T e Grebogi C (1996) Deleeting unstoble periodic orhits in chaotie experimentol daa Phys Rev Lett 76 4705-4708

Sotomayor J (1979) Liccedilotildees de equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias Projeto Euclides Rio de Janeiro

de Souza Vieira M C Lazo E e Tsallis C (1987) New road 0 ehoos Phys Rev A 35 945-948

Stons C L (1974) Th amate1f scientiSl Sei Am Ahri 116-121

Sulivao S L Hardy B W e Holland C D (1964) Formatioll ofAir Bubbles ai Orifiees Submerged Beneath Liquids AI Ch E Journll0 848-854

Takens F (1981) Deecling Srange atraclors inurhulenee em Dynamical Syslems aod Turbulence ed D A Rand e L S Young Springer Berlim

Thompson J M T e Stewart H B (1986) Nanlinea Dynamics aod Cnaos Geometrieal Methods for Engineers aod Seieniss p162 John Wiley and Sons Chichester

Tritton D I Egdell C (1993) Chaotic bubhling Phys Pluids A 5 503-505

Tufaile A (1996) Mapas combinados e o experimento da omeira gotejante Diacutesertaccedilatildeo de mestrado IFUSP

6 Referecircncias 104

Tufaile A Pinto R D Gonccedilalves W M e Sartorelli J C (1999) Simulations in a drippingfaucet experiment Phys Le A 25558-64 (Apecircndice 1)

Tufaile A e Sartorelli J C (2000a) Chaotic behavior in bubble formation dynamics Physica A 275 336-346 (Apecircndice 2)

Tufaile A e Sartorelli J C (2000b) Heacutenon-like attractor in air bubbleformation Phys Let A 275 211-217 (Apecircndice 3)

Veta N e Tabacniks MH (1994) Laboratoacuterio de Fiacutesica para Ciecircncias Bioloacutegicas IFUSP

Viana R L (2000) Introduccedilatildeo agraves Redes de Mapas Acoplados - Modelos para o estudo de Caos Espaccedilo-Temporal Notas de Aula IFUSP

Weast RC Selby S M (1996) Handbook of Chemistry and Physics p F33-F42 The Chemical Rubber Clevelnd

Willeboordse F (1992) Time-delayed map as a modelfor openjluidjlaw Chaos 2 423shy426

Wolf A Swift J B Swirmey H L e Vastano J A (1985) Determining Lyapunov exponentsfrom a time series Physica D 16 285-317

Apecircndice 1

Siacutemulations in a dripping faucet experiment

A Tufaile RD Pinto WM Gonccedilalves e JC Sartorelli

Physics Letters A 255 (1999) 58-64

3 May 1999

PHY$ICS lElTERS A

ElSIMER Physics Letters A 25S (1999) 58-64

Simulations in a dripping faucet experiment

A Tufaile RD Pinto W_M_ Gonccedilalves J_C Sartorelli 1

IluacuteillOO dcFJSfea UniDCrfidadc de Siio Paula CQixa Pmrtal oacute6JIlJ fJSJIJ97tJ Satildeo Pttdb Braacuteii

Recchcd29 SeptJllIb1r 1m laquooMdinpVised tbru 10 Febnwy 1m ~ 10 February Im Ogt~ hy cR Doering

Ab$tratt

The prafiles of two experimental attrletors were simll1ated by using a simple onc-dintensioacutenal spring-mass modct Some pccllliar bebuviors observed in experimental bifurcation diagrams (in short ranges ofdriwmg Iate variation) were emu1ated by combining two quadratie maps (a kiruI af coupUng) in twQ diacutefferellt ways~ parallel combination 1Eh non-interacting maps and series combination with nrongly intcrocting maps TIto ehoice ar cach kind af eacuteombinarion W3S suggcsud by thc own cbaracteristics of~eh experimCfllal bifureation diagramo copy 1999 EIlteviet Scieacuten(e SV All rigbts rewrved

PAC$ 054S+b

1~ lntroduction

The leaky faucet dynamks has beoo used as a paradigm of a chaotic sYSbm [I~1 since the liUggesshytion made by Ratildessler 13] in 1977 lha Ih fnou af water drops in bull tlp nipple oould sbow chaooacutec bebavior wbat was 1ater confirmed hy Sbaw and Marlien alo [451 Period doubling WlI Qlnrerved hy Marlien alo [451 Yeacutepez alo [61 Cabhm et ai [71 Wu and Schelly [891 Dreye alo [101 Sarshytore1li trt aJ UO Tangeot intermitttncies are Teshy

ported in Rofs [7111 quasi-periodicity and boondshyary coacutesis in Rof [11l and a Hopf biacutefurcanon in Refs [l213J Olher studies abou lha formadoo of drops or droplets of water can be found in Refs [14-231

E-mail sartorellilfUlipbr

Shaw and collaboratorn liUpposeuacute thut th~ water oolumn bangiog in a nipp1e faucet should oscillate as a mass-spring system with the mass increasing lin~ early until it reaches a criticaI point when a drop is ejected IacuteInposing the initial conditions ou the teshymaining water column This mudeI was modified by Simcbas-Ortiz and Salas-Brito [24] supposing Ih lhe mass of the ej~cted drop must depend ou tlte cummt yalue of the water co1umn mass DIn nocemo and Renna [25 have aiso carried ont thcir calcuJations assumlng lhat lhe remaining _ colshyUmtl shape can be cither a sphere Of a material point

hlspired hy au ining-Iike mode to find Ih water dIuacutep proacutefiJc rumging in a vertical waU Oliveira aad Ponna [26] studied lhe dymnni of lha drop furmashytton applymg Monte Carlu techniques Penna tt a1 [27J sbowed thut the time delllys between SU(teS)i~ drops display long-range anncorrelations cbarncter~ ized by the same exponcnts of the heartbeat~to~ heaItbeat interva]s of hea1thy subjects [28]

0375-Otj99S - see mlll maner Cll999 Elrevier Scicnee BV Ali rigltlS tesIlVed PU S037S960l(99)QOI19X

I

A TilfaiIe e1 aLIPllyJICS uacutetters Aacute 255 (1999) 58-64 Num uf thtSe modeJs are adequate to explam aU

lhe bebavio observed in lhe range from - Oup to 40 dmpss In this papeI we present two simula~ tions of experimental attractors whlch are lhe best emulations yet obtaiacutened by the one~dimensional spring-mass modelo It is also presented two experi~ mental bifurcation diagrams in short ranges of dripshyping rolte with llCW peculiar behavions nl-ver secn before Inspired by me behavlor of each experIacutelncnshytal diagmm we did a kind af siacutemple ooupling af maps [29-321 by combining two quadratic maps to emulare these experimental bifurcations Two ways or combinution are proposcd In the first case two non-interacting quadmtic maps are added (parallel combination) whuumle in the sccond onl- two tnJng1y inteltf-ting logistic maps (smcs combination) are combiacutened in a feedback way

2 Experimental apparatos

The measurements were dane with the faucet attaccedilmd lo a large reservou sccedilt Refi U121] for details The time delays between successive drops are measured with a time counter circuitry~ with a

nmiddotT--------------------~ (a)

r ishy700lt) ~

1 li ~

~ - -~ ~ bull-j- -~ -4 ~r -~

67 I ~

I 670 680 690 700 110

Tat$

T1molution of i ~~ iacutenserted in a PC 5101 The iacutenput signals are voltage pulses induced in a resistor definelt by the beginning (ending) af the scauring oI a laser beam fO(Usw on ltt photo~trdn$i$tor (in sents with 1he resistor) when thc drop tarts (ends) t(l CTOSS the laser beam The width of the pt1lse is the time interval t (where n is the drop number) and the time delay between two pulses is lhe crossing time (SI) of drop tbrougb the laser beam 50 lha the total time interval is 1 = 111 + 8t~

We can setup the drop rate (J~ 1(Traquo in two ways (a) by feeding back lhe Wuer reservoi to ke~ the height h af the water leveI md selet1ing the drop me by opening (closing a needle valve driven by a step motor which is coutrolled by a microcomputer

For a given drop late we have constructed first retum maps T I VS4~ (b) by fixing me opening of the ncedle va~ turning off1he water supply letting fue water levei decrease natunilly and so the drip~ ping Iate Therefore~ the contml PWffileter lhe heiacuteght h of the water leveI varies as ht ho - n8 VA where 8YA=2XlO- mm he 15 the initial height I) Y the mean volume of me drops and A i5 the area of the water reservoir surface In this case bifUrcatiou diagrams Tn V$ n were constructed We

~ ~

300

200

Ibl

()1

oI 100 2Q(l 300 400 500

1 figo L (a) experinwJrtal data for f 146 dIopss Experimental panuDlter vaues are Ir 365 dynjcm X-~tI a6 em R Ot2-0l5 ss and Q 01-0 14 sem (li) the attlactor profile obtaiDed witb R - 015 sls b - H) Si k 415 dfacrtJ xir - 13 em arul rt- 01 slem Tht ealllai~ drop me ia f 315 dropss wbich ~ two- times the expcrimcntll vale 3pll~lely G1w rupple

A TufoiJe cf aLIPhysfcs Lettcf A 255 (1999) 58-64

T11Ulitl$ltTgtlaquo146m~

T---r------T~~ t

12

12012~~11T 911 tMobull

T (l (Iraquo

Fig 2 a) experimetItaI T+l n 41 YS r (ms) tuap (h) simulatcd mBp wrtb R (U41 gJs xr O25i em a-1l51 sem b-Q94 s-land 1(20 dyncm Thc two maps wcre ~ from lhe samc angle 4f vUicn The calcuJted drop me is cloR 10 fue ~ vahIe l1ul similiuiacutel) bctwcen the two maps suggesls lhe salOO attwtor with ~ slzes of the basins ef ~ Htass nippk

have used one gJass nipple and other one or brass~ with both having t11e same intema1 diameter

3 Resolts

31 Mass~sprjng modal

Following Dnnocenzo and Renna (25] notation the set Clf autonomous differential equations for the mass-spring modol is [45)

dx d(Mv) IM-= =Mg-kx-budi 1 di di =R~

(I)

where x 15 the ooordinate af the ceuter af mass ar me hanging watet agravetld R the flow ate

fhe surfagraveoo tenskm and friction between the wa~ ter and lhe _ are respectively representelt by lhe spring eonstant k and by b A drop with mass

AM aMell( (2)

is shot wben the center of mass x exceeds a tbresh old xI where M and 11 are respectively the hangshy

(a)

~ i= 10a

bullbullbullbullbullnbullbullbullt

Il~_

bull o - shy (b)

C

ibull

m I ~

-10 i-shy i t

Fig 3 (ti) experinleflt2l hifilnmon diagram wilh tlJ~ drop Iate lIlllgingtrom -9ISdM1Hn 913 dtopsjs (b)paralkI combi~ natlOIl or two oolliDtctacting logime maps witb p~ecirc)- f +t and p(~) Px(~)-Ot IS Brass nipple

ing water mass and the speed at the thresbold paim g = 920 em51 and a is li parameter

For the remaining water DInnocenzo and Renna pmposed two models (PS) the point-spbere one lhe drop is spherical of radius r and the waterresldue is a point situated at Xo =Xr -rAMM (TS) twQ

sphere model lhe drop is spberical of radius r and the water residue is ti sphere ofradius r = [3(MrshyAM)j(4p)] cenrered at x ~ xlt - (r + r)AMjMlt Therefure lhe simulations reqm lhe adjuslment of fi _ (k x R aod b) but with an unknoacutewn dependence between them

fig 4 (a) 1X~rimenlal bifuttation diagram with lbe drop rale rungillg fmm 28$ doWn to 268 dropss Tbe circe SOOWl the sequerne cf tbc plotting colotslt sbould be noticed that in lhe ttginns otperiod-2 tbe colun ilIC supcrimposcd In (D) and (c)ate itSPtttlve1y sbown tbe odd ruld ~ bW1Ches On lhe right in W the cmuJation ofthc eltpelirncntl1 duta ming a scri~ combinltion oftwo intcmcting logistic maps in (8) and (C) are tespectivey slrown lhe anulated separaoon oi tIle odd aud eVelI bnmehtS The pammeters ()f control P1laquo(f) and P7lt-C) lU sItown in fig 5 9t-~ rupple

00

gt

so

i O I

o~xu

x

(v)

62 4 ThJaited aLIPhysi~LeIergtA 255 (J9)9) SlI-M

In Fig 1() is sbown me experimeand first return IIlllp obtaiacutened by keeping fixed me water levellreigh aI 1= 146 dropss (gIass nipple) An bullbullperlmeotal esrimarion for me pamm_ values are [2l k = 365 dynem x~Mem R =012-015 gjs The simshyulations of the attractor using these parameter va1ues did not converge for wide ranges of a and b villu~1i

We cou1d emulare the attractor profilc using the PS mudel by adjusting all the paIdmeter values The emulatioo wilh k-475 dynem x= 13Cn Rshy015 g -02 sem and b - 10 s is shown in Fig l(b) but me mean drop mte obtained (fshy315 dropss) is abou IWO times lh experimental valobullbull

In Fig 2(11) iacutes shown an attractor reconstructed in a fbreedimensiacuteorutl map T +1 vs T i i VIi Ta at f = 8726 drops I s The atttactor- profile was simtJ 1_ by me PS model wim me pammeter values R=O14 gs x= 0251 em a-OSI sem bshy094 and -120 dynem as aho in Fiacuteg 2(b) Despire the fagravect tllat these values are quite different uom the experimental ones we obtained by coinjdence a drop rate of f= 880 dropss close to the experimental value The similarity 1raquoshytween the two maps suggests mat we have the same atttactOt whnc the different time scales point out to dilferelt os ar lhe basiacutens af _ans with apshyproximataly lhe same mean time T

We could oot find in lhe titerature better _shytions af dripping faucet auractors than lhe examplos above This model is not enougb to expIa1n all the detalls of me eXjlOIIacutelMntal data but it can be useful to give a first sigltt (ar lhe general properties) of the drop formation dynamics 41 since the classical hyw drodynamiclll models are mo complicated to obtain large time series

We observed some peculiar behaviors ln me exshyperimentai bifUrcation diagnuns and ve attempted to construct empiacutericaJ models omulate suoh bebavshyiacuteors in a shnple way~ looking for relatiacuteons berween two qu_ IlIPS

32 Combined mtJps

321 Parallel comhinatton In Fig 3(a) is shown an experimental bifurcation

diagram T vs nf which was obtaiacutened by Jetting the wateiacute level go down 113turally and lhe dripping rate

rangiag from - 918 00 to - 913 dropss Beshylow 11 as the water leveI heigbt goes down the dynamical ampystem evolves in a period four m~ ment When the system reaebes lhe aitical point I1c (ar h) the initial rom stable fixed points are re~ placed by new four fixed points

We siacutetnulated this peculiar change of fixed points by adding two nonwiacutenteracting quadratic maps (paralw lei combinatioQ) 50 lhe global I S is given by

In+ =x ~pAt) Yn+l-Y -P)(~ x +y

S - bull (3)bull 2

where P(i) and p(lf) ate me OOIltrol PllIameters as functions of a common parnmeter sgt and each tnap is iterated sepamtely 2 We observed that the hoiee of P(i) = i- 14 py(V= pltel - 0115 IfE (16164) can emulJlte lhe experimental change of the fIXed points as shown in Fig 3(b) Tbe transition po-int g~ = 1615 corresponds to the secshyond ilip bifurcation in tbe y map and a period-4 movement in the x map but lhe global I S co~ondamp to a foor fixed points until the next fliacutep bifurcation which oours in the x map at ~= t6t8

Dilfetenl from an interior erisis [331 in whiacutech OCCUts a sudden change in the size of the attractor in Fig 3(a we have a smooth inereasing in the size of lhe period4 attracror Regarding lhe oscilJatory barshyaeter ofthe banging water~ these two period-4 behav~ lOIS suggests that we bave the same oscillation mode below and above (n) but with a little difference between their boundary conditions

322 Series combinalion For a Wgher drop- rate another experimental bifurshy

cstion diagnlm was observed with the dripping rate ranging from 288 down 268 dropss In F18 4(a) is shown lhe bifutcation diagnun 7 vs n

i

ohtaiacutened by plotting lhe pciacutents alteruately in blaellt (-159 ) ingreen (=2610 ) inred (n = 3711 ) and in blue (n - 4812 )

InitiaUy~ the system evolves in a period~2 attractor until lhe ches red + blk and green +blue colshy

-1- For a given value ofthe cmrttltll pammeter euro the seties xl tuld Y ete fUIlI1ltrlcllJy laquonained aftrr 11 ttnusltnt oi 10000 lIetations from 1he same initial cQlIdiOOm (xG )~ 06)

bullbull

63

7

A Tuaile et aL Pllysics leJters A 255 (1999) 58-64

10 i

os Py obull o

osL 07

Fig 5 P~ (cuntinuuus linel and Py (uacuteasheu ine) as fWHtions of

fmiddot

Iapses at point T After that the system continues to evolve in a period~2 movement but showing invershysion of phases (see tbe colors exchange) until point F where another bifurcation occurs on each braneb Therefore this diagram ean be split in an odd dia~ gmm (blaek + red) as shown in Fig 4(b) and in an even diagram (green + blue) as shown in Fig 4(e) The skcleton of eaeb branch 15 preserved even in the regions of superposition of the branches as in the chaotie region (n 25 X lOs and ~ 097 in Fig 4) The branebes in Fig 4(b) and 4(e) have similar behavior and structures (common bifurcation points and chaotic regions) but different sizes

Tbe similarity between each brancb and tbe logisshytic map suggests that this peculiar behavior could be interpreted by the combination of two strongly intershyacting logistic maps (series combination) as to say the feedback of one logistic map into another one

x+ -4p(Oy(I-y) oddbrnnch

Y+ -4p( Ox(l-x) evenbranch (4)

where PxltO and pig) are the control parameter ftmctions The choice of Px(g) and Py(g) shown in Fig 5 leads to a reasonable emulation of tbe experishymental diagram as sbown in Fig 4(A) (8) and (e)

Considering that each branch is visited altershynately and associating each branch to an oscillating mode of the water column it seems that the initial conditions imposed by one drop to the next one switches from one oscillating mode to another oneTherefore the combined maps models can give us a first sigbt about some Ioeal behaviors of the experimental diagram

4 Conclusions

We could reproduce tbe profile of some attractors by using the one-dimensional mass-spring model The parameters values obtained by this model are not realistic due to the drastic simplification of the water drop formation dynamics

To interpret some peculiar behaviors observed locally in bifurcation diagrams we proposed the emshypirical model of combined ma~ With the parillel combination we couId emulatc the peculiar replacing of four fixed points by four new ones Tbe feedback of one quadratic map into another one in the series combinatian aJlowed us to realize the collapse of branches and their further separation as well as the preservation of tbe skeJeton of each branch in the chaotic region

Acknowlcdgcmcnts

This work was partially financed by the Brazilian agencies FAPESP CNPq and FINEP

References

(U FC Moon Chaotic VibratiOM Wilcy N~ Yorlc 1987 [2) KT Alligood TD Sauer JA Yorlte Cbaos An Introducmiddot

tion 10 Dynamical Systcms Springer-Verlag N~ Ymk 1997

[3) OE Riiss1er Synergetics A Workshop SpringeroVedag 8erlin 1977

(4 R Sbaw The dripping faucet as a mudei chaotic systelll Aeria Press Santa Cruz 1984

(5) P Manien SC Popc PL Scott RS Shaw Phys Lett A lO (1985) 399

A T~oile ct DL I Phyfitf ieJlerlf A 255 (J1J99J $8-641 64

[6] HNN Yeacutepez ALS Brito CA Vargns LA Vicente Eur J Pbys Ui i989 99

[1] RF Cahllan H Lcidcr~hcr 00 Cahaian Comp Phys JulrjAugust 1990 p 368

(S X Wu ZA Scltelly Physicl D 40 (1989)433 191 X Wu B T_ zA sbltlly Rltv Sei IM 6) H9S9)

3119 lO] K Ote)ltr FR Hlckey AIraquo 1 PbyS $ 0(91) 619 [i t lC Sartmelli W_r1 Gonccedilalves RD_ Pinto Pbys Rcv li 49

(1994) 3963 (12) RD Pinto WM Gonccedilalves lC Sartotclli MJ de Olivcita

Phys Rev E 52 (1995) 6392 U31 JGM do Sil~ JC SartQrelli W_1 Oolccedilal~ amp0 Pinto

Phys Lett A 226 (1997) 269 (l4) XO Shl MP BmmtI ItR Nage1 Scienee 26) (1994) 219 (15) sDR Wilsoa J Fluiu Mech 19(1 i988 561 H6l D1L ~grine O Shokfr A SymGn J Fhtid Mtclt 212

099Ol25 [t1] OW DePDoll JQ Feng DA Basatan Te Scott Phys

Fluids 7 (I995) 1181 (18) X Zhlmg DA ampsarau Phys Auieis 7 (1995) 1184 [t9) A Laveron-Simavilla JM Pcrales Phys Fluids 7 (1995)

121)4 t20J Y Watanabe Jpn J Appl Phys14 (1985) 351

(21) MSF da Rocha JC Sm1orelli WM Gonccedilalves RD Pinto Phys Rev E 54 (996) 2378

[22] J Austin Pbys Lelt A 155 (t99I) 148 (23) JA fomecirc$ J ProcQpio le Sartoacuterelli J App Phys 80

(t9) 6(121 1241 Gt SaacutenchesOrtiz AL 5efusBrito Ph)-s Lctt A 203

(1995) 300 Ph)1IacuteOl D 89 H99S) 151 1Z5] A Dmiddot~ L Rtnna Ph)s Lctt A 220 UI)) 15 Uacutelt

l Theor Phys 35 (1996)941 fhyl Rev E 55(991) 66 126) PMC de Oliveira TJP Penna J Stzl Phi 13 1(93)

189 brt J Mod PIacutel)$ C 5 (1994) 997 tm TJ-P Petma PMc de Olivclla JC Saoorelli Wt

Gonccedilalves RD Pinto Phys Rtv E 52 (1995) RlI68 28] HE SlaulCY SV Buldyuv AL Goldcberger ZO Goldemiddot

beramplaquo S HavUn llN Mmtegna sM Ossadnik CK Peng M Simotls Pllyska A 205 (994) 214

129] K (mem Progr lbeor Pbys 69 0983) 1427 Pmgr Thecn PhY$ 7i (t9iacutef4) 202

l301 Y OU M Tuug l iuan D Fmg LM Naragravenccedili fbys R~ Lett 52 (l9f4) 10L

131] T Hogg BA HUbetman Phys Rt A 29 (19M) X1S 132) LA Bunimcvich Physica O 86 (i99S) 248 [33) C Grnbogi 11 ou JA YOde Phys Rtv Lctt 48 (1981)

151)1 Physica D 7 (19amp3) 1St

Apecircndice 2

Chaotic behavior in bubble formation dynamics

A Tufaile e JC SartorelU

Physica A 275 (2000) 336-346

I PHYSICA ill ELSEVIER Physica A 275 (2000) 336-346

wwwelseviercomllocatelpbysa

Chaotic behavior in bubble fonnation dynarnics A Tufaile IC Sartore1li

Instituto de Fisica Universidade de Satildeo Pauo Caixa Posla166318 05315-970 Satildeo Paulo SP BrQ2j

Received 25 June 1999 revised 19 August 1999

Abstract

We constructed ao experimental apparatus to study the dynamics af the formation of air bubbles in a submerged nozzle iacuten a waterglyccrin salution insidc a cylindrical tube The delay time bctween successive bubblcs was measured with a laser-photodiode system It was observed bifurcations chaotic bchavior and suddcn changcs in a pcriodic regime as a functioo of thc decreasing air pressure in a reservoir We also observed dynamical effects by applying a sound wave tuned to the fundamental frequency af the air column above thc solution AI a function of the sound wave amplitude we obtained a limit cycle a flip bifurcation chaotic behavior and the synchronization of the bubbliacuteng with sound wave frequency We related some of the diJferent dynamical behaviors to coalescent effects aud bubble sizes copy 2000 Elsevier Science BV Ali rigbts reserved

PAeS- 0545+b

Keywords Chaos Bubble dynamics Uostable periodic orbit Synchronization

1 Introduction

The formatioo of gas bubbIes in a nozzIe submerged in a liquid column has been studied by Davidson and Schuumller [I] Buyevich and Webbon [2] and Kyriakides ct aI [3] A criticaI review about the experimental and theoretical resuIts is presented by Ponter and Surati in Ref [4] Results of simulations of the motioo of gas bubbles in a liquid are presented by Krishna and van Baten in Rof [5] The bubbling dymiddot namics presents some features that resemble chaotic systems [6-8] Triton and Edgell [7] observed some attractors by detecting the bubblc passage by a transduccr (hotfilm anemometer) placed close to the nozzlc

The aim of this paper is to report the existence of dynamical properties of bubble fonnation with non~invasive techniques and report the effects of a sound wave 00 the

bull Corresponding autbor E-rrwil address sartorelliifuspbr (IC Sartanlli)

037843711OO1S~see front matter copy 2000 Elsevier Sciencc BV Ali rights reserved PII S03784371(99)00440middot9

--337 A Tuaile Jc SartorelliIPhy~iCD A 275 ((f)()) 336-3

FuncIioo gEIlatlIlaquoW_1-0-1~a

VHS o

Come o

D O O

--shy

~

~ Ai

Rbullbull

pshy

~cf2-~

Capac1liva aJr Reservolr

bull

Iltshy

shyi

VoJ

Fig I Dilsgmn or lhe erperimItlUil upparulus

bubb1e furmtalon dynamics Tho deJay time between _ivo bubbJcs was measurelt by using lhe same mehniques as in lhe dripping laUCOI experiments [9] _ides a route 10 chaos via period doubliacuteng we related some peculiar bebaviQrs observed in biftucanon diagrams to theacute coalescent effects (for a bubble penetrating roto another just aoove lhe nozzle and fonning a single-larger bubble ot when one bubble touches the proviacuteous one fonning a doublet)

2 Tho IlIlbbJ gun apparalUs

The experimental apparatus consists oi a glass IUbe paatially fiUed wilh bull viSC01lS

Julio (warer+glycerol) as schematiclly shown in Fig 1 The air bubbles are fonned blowing air through a nole aI lhe bultam of lhe tnbe The air iacutes supplied by ao aIacuter compressor whose reservoi is oonnected to another one (a capacitive reservoir) through apressure reducer The detection system is the same as in the dripprng faucet experiment [9] A horizontal He-Ne laser beam focwoed in a photodiode is placed a little above the nome The input signals are voltage pulses induced fi a mistor defined by lhe begiruuacuteng (encuumlng) of lhe scattering af a laser beam focuscd o lhe pholediode (in series with lhe resistor) when lhe buhble starts (ends) lo cross ibe laser beam The deJay lime between successiacuteve bubbles was measured with a time eounter circuitry inserted in a PC slol (time resolution =1 ps) The width af lhe pulse is lhe

A Tufuile JC Sartonlillhyrica A 275 (2(1())) 336-346318

time interval n (where n is lhe bubble number) and the delay time between two pulses is lhe crossing time (~In) of a bubble threugb lhe I heam so lhat lhe total time interval is T ~ I + otn We eao setup lhe bubble rate (f= I(T) in two ways (al by futing lhe ~ening oflhe ncedl valv turnlng oITlhe air supply to lhe capucitive reservo-ir and etting the ai pressure to dccrease llaturally~ SQ the bubbling rate 10 thls case we bave analyzed lhe data COnstrucling bifurcatioo digrams (Tn vs 11) Ihat are funcnons of lhe ir pressure deteltiSing (b) by keepiacuteng fix lhe air pressure in lhe capaciliv reserveir and seleeting lhe bubhle rate hy epening (elosiog) lha needl valv bull In lhis ClISe for a given bubhling rate we bave consbucted fust r_ mapa Tn+ vs Tn bull W aIso studied lhe cbanging of lhe bubbles formation dynamics with a sound wave tuned to the fundamental frequency of lhe air column above the solution The sound wves are generated by bull loudspeaker placed aiacute lhe top of lhe tube (see Fig 1) which is driven by an arbitmry function generatotilder The sound wave amplitude was used as a oontrol parameter

We Iso reeorded lhe bubble formation wilh a VHS eamera to illustrate how tbe profiles of tbe bubbles are in dlfferent dynamie1 bebeviors

3 ResuIts und discussion

31 Air pressure aJ a control parameter

Using a solution of fom parts of glyeerol nnd une part of water and a plasticj hypodermiacutec syringe wiacutethout the metaUic needte as a nozzte a bifurcation diagram was

ohtained Ietting the ampir pressure in the capaeiacutetive reservoir go down naturaUy with the bubbling as shown in Fig 2 The diagram shows the evolution ftom a chaotic behavior in region (a) to a periacuteodic window The pcriodic behavior starts with a perl002 region (b) lhereafter a bifurcation occurs giving rise to bull period4 regioo (e) wbieh again ovolves to anolher period-2 region (d) foUowed by a period-l movement rgioo () In Fig 3 lhe illustrations of lhe bubbles prefile in eaeh region as labeled above are shown In Fig 3() tbe 1gtu1gt1gtle are formed wiacutelhout lhe eoaleseent effeet in lhe period-2 bchavior shown in Fig 3(d) there is no coaIescence near tbe nozzle but a little far abav il in Fig 3( c) lhe eoaleseerne oeCUtS close to lhe nozzle but bubbles do oot toueh each olber and a period4 is ubserved in Fiacuteg 3(b) two sueccedilcssive hubbles eoalesee completely givrng rise to a bege single bubbl in a period-2 bebavior nnd in Fig 3() lhe eoalescent elTect in the ebaotic region

A different bifurcarion diagram was obtained in the same way as above using a iong metallic hypodermic needle as ti nozzle as shown in Fig 4 The system is cvolving in a period-2 movement region (a) in tbe Fig 4 with ao _cto size IT+I - T I~ 55 ms As the air pressure in the capacitive reservoir goes down suddenly a shortening of the period-2 occurs and a new penod-2 starts Vith tbe attractors size ITn+J ~ Tnl 1 ms region (b) in tbe Fig 4 Thereafter tbe system evolves to a period-l movement lllustrations af the bubbles profile obtained in each regioli descrihed in Fig 4 are

339 A Ttifailt JC $art(HllliPhysita Aacute 275 (2fJO()) 336-346

O~I----------------------------~

~

~

O I v

O 1000 2000 4000 n

Fiacuteg 2 Bifurcation diagmm obtaiacutened wilh lhe air pressure decreasing in lhe capacitive nservorr lUgion (a) chaotic bchaVior (b) periacuteod-2 (c) period4 (d) perioomiddot2 IUld Ce) period-L The same behaviar is obtained by increasiug tIie oir pressure HypodermJc syringe 1U)zzle

-O

o

0

() (b) (C) (d) ()

lig 3 mustmtions of thc bubb1cs profile and tbc eoalcscent efbts in a cbaotk behaviacuteor (b) periodm 2 with wmplete ooaesm1ce (c) period4 wilh single ooaIescettOO (4) pcriod-2 without cmt1eseenOO noar the llQZlk bul a liuIe flt ~bove il and (c) perioo1

shown in pjg 5 The shorteniog of lhe size af the atttactor is accomplisbed by the shortening oflhe size oflhe bubbles as il is shown in Fig 5() and (b) In lhe larger period-2 regioo close to the nozzle two bubbles coalesce completely fonnIacuteng a largo sing1e bubble as described in Ror [13]

32 SlJWld waue amplitude as a contrai parameter

By keeping fixed lhe air pressure in til eapaeitive reservoir we cbanged til bubble dynamics formalion by applying sound waves tuned to tIle fuedamental frequency j = 138 Hz of lhe air eolumn abave lhe Iiquid solutiou (two parts of glyeerolone pari of water)

340 A Turule JC $oNorellilPhyslco A 275 (2000) SJ6-J46

26 ~ ~-

bull bull

I20 gt

_JPmiddot -F- 15 f14

bull

o ltlO 600

n

Fig 4 Diagrmn bifurcntion as a function (lf air pnmure deCltlMing in lhe capacitic reservorr obtained with a meLallic needle Arowtd lhe region (a i me movement is the large perlodlaquo2 doe 10 lhe coolesoent effcct MOlmd the region (b) is shown a shortcr period-2 and in fuc rcginn te) is soown 11 fixcd point

Uacuteraquo Ib) le)

Fig S (a) Larse prloo2 and Iargc bubbtes due to a GOalescent effect in a peri0d-4 (b) perioacuted-2 without me coaIescent ciTect aud (o) the fixei porot

In Fig 6 lhe first retum maps as a function af the sound wave amplitude are shown lu eaeh fnune lho IOp iMo snows at lhe 10ft lhe sound wave amplitude and at the right lhe bubbling rale We started at a fixed poin at f = 11282 bubbless as showo in Fig 6(a) By applyiacuteng tho sound wave lhe fixod point 1000 its stability aud a Umit cyc1e appears as shown in Fig 6(b) and c) with a littIe increasing of thc mean bubbling mie as lhe amplitudo ls raised

341 A ThfaJJe JC SartoreUllPhysiCIJ A 27$ ()(()(J) 336-346

iamp

TJms)

4

(1)

001[ 1A I 11 31 I ] 99 J71

-- co ~~ gtamp ~ bull I

bull

J 90 100

G)

Trna)

l

t~~i~I i t S ~

lt

(I) (k)

Fig 6 FIacutelSl return maps TI1+1vs TI as a furution of lhe sotlOd wave emplirude (keeping 6)( lhe aiacuter pressure in lhe ccedilapacffive fIICIV)ir) In each fraae the insets sbow at lhe lcfi lhe amplitude and ai the righl the buhbllug rue (li) Tbe lnitial fixed point (b) li limit ccedilycle (c) an unslable limit cycle~ from (d) up to (g) li llip bifutcation III constant bubbling raie~ from (h) up ti) (J) clmotic attrnctnts In eaeh fmme the lfitenection of lhe dashed 100 defines lhe position of an unstable perlod~l orbiacutet (UPO)

342 Acirc Tufuile JC SttrionllilPhysica A 275 (1000) 336-346

In Fig 6(c) lhe limit cyele looses its stability and a fixed paim near (87 87 ms) is visited in 41n intermittent behavior This fixed point position was established by a hislogram pIot of Tn The Fourier transform applied to lhe data related to Figs 6(d)-(g) showed a noisy period-2 _vior aed wilhout any bubbling tato variacuteation Therefore as we are observjog a bifureadon per1od~1-+ period~2 (see In Fig 6(0)-(ampraquo as bull function of lhe sound wave amplitude a period doubling ls being hidden bY lhe noise In bull llip bifurcation lhe i an unslablc fixed peint helween lhe two stable fixed Our data sbows Uacutetat lhe viacutecinity of lhe middle point betweeo lhe stabJe fixed points is been visited due to noise Consequently our data are adequate to apply the fixed poil transformatioo rechniquc developed by 80 cl a [10-12] to finagrave unstable periodic orbits (UPO) in short sedes of events wiacutetb unstable control pararneter briefiy descnbed below

To extract the unstable periodic orbiacutet with a finite amount of noisy data of a o-dimensional system Se et 1 supposed Ihat ali points lyiacuteng in a regian around lhe fixed point x = f(x) can he transfonned to x in lhe vicinity Df x The denshysity function p( x) has IacuteI1verse square-root-type singularities at the fixed poiacutents and a bistogram approximation to Pi) will have a sharp peak at x=x Some spunous pcaks appear in fiO) eilher due to siacutengnlarities not relatelt to fixeagrave peiacutents ar lo zeshyros of lhe derivative of lhe traesformaoon funarion x= g(ltk) They generalizcd the mcthod for a system with an arbitrnty embedded dimension (d) to obtain the unstabl

l periodic oreits by doing the transfonnation

in = (1 - SJ-1(Zr+1 - SnZII) (I) I

where

I (d-l) d)aftolfmiddotmiddotmiddotan trS= (

1 O +lltRllz+-zII (2)

a I (zn - 211_1)t -1 ( ( I - Z)1Zn+l

=1 (3)

d (Z_(d_l) - Z_d) (Z_(d_2) ~ Z~_(d_1)t

Zn are the reconstructed vectors ftom scalar time senes xn

ZJj = (Z~ZZ~ _ ~z)t = (XnXn_hXn_2 Xn_d_)t (4)

R is a d xd randam matrix in the range [- I I] and 1C is the magnitude of me randomshyization The fixed pojnts are giacuteven by the peak positions of l(i) As the locariaM of lhe spurious peaks dopend ou the parameter Ihey are eliminated by taklng lhe vecage (pczraquo) for maey dilfrent values picked up randomly As lhe attractQrs reconstruelion in a Wo-dimensional embedded space are enougb unfolde~ we applied this technique for d =2 w Iso chobullbull Ilt =5 and 1000 random matrIacuteces

343

se se 00

1 ~(S)

A Tufoile IC SartorellilPhyslca A 275 (2())()) 336-346

rzg 7 (li) Tht hhWgJlim ap~JA 10 p(i ub(ained wi1h the fixed paim trunsfonnatitm ttdmique using the daia sbown in Fiacuteg 6(h (b) lhe eonlout gmpb around lhe unstable periodl orbit ($697 8697 ms)

An example of our results is shown in Fig 7(a) where is drawn the histogram approximation to p(x) using the data shown in Fig 6(h) For better visl3lization of the unstab1e period orbit position a contQUr graph of the same data is shown in Fig 7(b) The higbest peak defines ao unslable penod-1 orbit at (8699 amp699 ms) cIose to

tbe stabJe fixed point shown in Fig 6(0) In this way we fOWld au WlSlable periacuteodo orbit as shown by lhe intersection of the dashed lines in Fig 6

Wiacutetb furtber ampHtude inereasing we observed the appearance af a chaotic regjon with stretchiacuteng and folding dyoamics f bullbulltures as shown in Fig 6(h)-(il and with

2500

2000

1500 c

81000 ~ 500

(a)

1

~1 I I

I

(h)

ilf

92

_2275 - 2600 _1950 - 22S _l6a5 - 1950 _1300 - 1625 l1li9750 - 1300 l1li$51)0 - 015-(1 W7~~O - 6500

() _ 3250

Tn(msj

344 A Tufaic JC SurtoreliilPhydoo A 275 (2)()()) 336-346

81 114

075

1 gO50 ~ gt

1deg25 degOOr--middotmiddot---mm--mm--------m-----~~J 82

- -i

870 eI -~--=__------__----_-----___shy8

f ~

J ~

Q 111 1~

I I I J1 02 03 04 05 06 07 08 M 10

sound wave smplitudOV

Fig a As li ftmction of the sound wave amplitude (a) the dominant LyapunoacuteV exponent (1raquo the mean bubbling mte (left seale) and thc unstablc pccedilriodiccedil objt (right scalc) The ltonliDuous lines are guide$ to Yshy

little change in the bubbling frequency The reconstructed attractors in tbe chaotic region were characterlred by lhe domJnant Lyapunov exponet [13J as sbown in Fig 8() However lhe unstable periacuteod-l orbil remains in tbe ohaorie region wilh little cbang o its position as hoW in FIg 8(b) (rigbt soale)

Contiacutenuing to increase the sound wavc amplitude with larger amplitude increments lhan betor we obtained lhe atttactors shown in F4 9 In Fig 9(m) lhe mean bubbling mie is 205 bubbl for a sound wave amplitude 0014 V and lhe pasition (~72S 725 ms) is visited in an intermittent behavior The visitation time increases as we increase the sound wave amplitude until the point ( 725 -725 ms) beoomes a labla fixd pain as hown in Fig 9(n) In Ihi situarian til rnean bubbling rrequency is f = 13797 009 bubbles whiacutech iacutes tlul sound wave frequency valu bull Therefore the bubbliog hcome synehronlred with the sound wave In Flg 10 we ca 1IIe dilference betwee lhe bubbles prefile in lhe first fixed paint as shown in Fig 6() and lhe syncbronlzed iacutejed paint shown in Fig 9(0)

(XII arI Cf1) kmmlmlj Mllacirc puoosrrn q~ ~mAacuteS ~ (sfsgtIqqtq L6Lt = f) sliacuteqqtq nn unjA 1tfOd fXgt1I9 t1ilf )ql (q) (sjgllqnq un I f) c)9 1ik tI Ut01ls laOO tmJ lSty Iql JO ~ Slqnq lt)ltJ (v) 01 -RJJ

(q) (raquo

)IIJJM punes ~tI JO )wnbarj ~UllJ oql tj~ pozroorqIMS

1l0mIllOJ Ilqqnq nql (u) lOAmp~ lIl(lnftuJtlll W to PQl~ S (sm SZL CcedilZL ) 1Uod lU (01)6 ~iI

(SIUUL

bull 00 Oi o (UI)

i

346 A TulaiJ JC S(1r(orelli Physica A 275 (2(J()(J) 336-346

4 Coudusion

We observed bifurcations in a bubble gun expetiacutement as a funCIacuteon afhe aiacute preshy8Ure In one case j we observed in a period-2 movement ti sudden change in the attraacuteCrors

size related to the bubbles size In other case with a different nozzle geometry we observed a periacuteod-doubling easeade J -+ 2 -+ 4 fullowed by a eMotio hehavior In both cases we fclated some different dynamical behaviotS to coalescent effects

For a fixed air pressure we used as a second control parameter the amplitude af a sound wave tuned to the fundamental frequency of the air tube above lhe oolutioo We observed as aacute function of increasing sound wave amplitudes the appearance af a fixed paim a limit cycle~ which looses 11$ stability and a new flxed paint appears a lllp bifuration followed by bullbullIutou regiOll wih strerehing and foldiacuteng features Thereafter a new fixed paiot starts to be visited in an intemUttent behavior anti the bnhbling synchronizes with lhe sound wave freqnency

We applied the technique af the transformatioD af the tixed pomts to extract an unstable period~l orbiacutet embedded in noisy reconstructed attrnctors in the fiip bifurshyClltion region This unstable period-l orbit remains in the chaotic regime which was charatterized by the dominant Lyapunov exponent

AcknowledgemenJs

We ate gratefuJ to Professor AJ Liohrenberg RD Pinto and MS Baptista for heir suggestions FinanciaI support from lhe BrnziUan Agencies FAPESP CNPq and FlNEP iacutes gratefully acknowledged

Rcf

[1] JF Davidson BOa Shiller Trans lllst Chem Eng 38 (1960) 144 (2) YA Buyevfub BW Wcbbon Chem Eng Sei 51 (19 4M3 [3J NK Kyrlalddes EO Kaslriookls SG Nychas em j Chem Eng 75 (1997) 684 [4] AS Pontet AJ Surnli Cbem Eng TecltnaL 20 (1997) 85 [5] 11- Krisbna 1M _ Nottue 398 (1999) 208 [6) 11- F IA _lt= A Phys Leu A 243 (1)l8) 67 [7] DJ TriUltm C BSU Phys Fl A S (1993) 503 [a] LJ Milloni MP Scllwar~ RD Ut Nuuzc Phys Fluids 7 (1995) 891 (9) JC Snt1oreIuuml WM Gonccedilalves RD Pinto Phys Rev E 49 (1994) 3963

[10] P 50 al Ihys Rev -t 76 (1996) 4705 [11] P So et al PllS Rcv E 55 (1997) 5398 [12] P So Cf al Biophy$ J 74 Z776) 1998 fI3] S ElIner DW Nycbka AR GIlllant LENNS a progrmn lo estimntc lhe dominant Lysp1JlU)v cxponcnt

of noisy noulinear systcms from time series data (fustitute of Statistics Mimco Serlcs 00 2235 (BMA serias lO 39) Statis1ks Department North Carolina State Univcrsity Raleigh 1992)

I 1

I

Apecircndice 3

Heacutenon-like attractor in air bubble formation

A Tufaile e JC Sartorelli

Physics Letters A 275 (2000) 211-217

I

PHYSICS LETTfH~sA

ElSlMER Phys1cs Lctfln A 10152 (2000) 1Q(l

wwwelsevebullnllocalJpl3

Heacutenon-like attractor in air bubble formation

A Tufaile JC Sartorelli lflUacuteMd dI FistCil Untveridadc de Samp hIlJC Cooacutea Postal otilde6JJ8 flf31J-l70 Sim PauID SPl1roil

~ved 6 Junc 2000 rnceiVdl in revised furm 29 Augusi2000 aeccpted 29 Angusl2000 Communicated hy cR DocriDg

Ahstract

Wc studlod the formation ar air hubb1es in 11 submerged nozzle in a watcljglycerol solution inside- a cylindtical tubeacute submitted to a sound wave perturbation lt was obslttved a mute to elmos via periacuteod 40ubling as a funetion of thc- sound Wllve amplitude We applicd metriea1 as well as topological chtmleacuteterization t(J some ch~tic attraetorn Wt localizcd ti flip saddle and wc aIso could establish relalions to a Heacutenon-like dynamics with the oonstruction of symbolie planes C 2000 Publishcd by Flrevicr $ciCllCe RV

PACS OSAS+b KeywonJs Cblrol Bubbe dyruunics Heacutenl)lt map

1 IntrodoetiOJl

We npot1Jd [1l some dynamical elfects of o sound wave in a bubble fonnation dynamics such as a flip bifurcatioacuten as a fimction of the increasing smmd wave amplitude Lauterbom and Paditz [21 studied the main reatures of bubble 05cillator in which the size of a small bubble in wnter oscillates due to a _ field Tritton and Edgell [3J observed some atiroctors by detecting thc bubb1e passage neatby a tnulSducer Ototmiddotfilm onemomme) pUacutelced dose to a nome where the bubbles were issued and they repartelt the existeace of a chaotic bubhlmg

~ccedil tumor TeI +55 11 81S 691S fax gt$5 11 813 4334

verified by visual inspections OOt without any kind of characterizatiacuteon af the chaotic dynamics Mittoni et ai [4J observed chaotic behavior with positive Lyapunov expunents in bubbling systems using a pressure transducer Li et a1 [5J studied lhe chaotic behavior of bubb1e 1oalescence in non~newtonian Iuids Ruziclm et ui [6J observed raquopc m intemritshytency in the transinon ftom bubblmg to jetting regime in 11 nitrogen-water system

Characterizaticn ofexperimental data oinonlinear systems using symbolie dynamiacutecs has becn reported by Gonccedilalves et al [71 in whiacutecb lthaotie at1mctms

from me drlpping faucet experiment were approxishymated to mioimal nmchines and the topological analysis applicatioD by using symbolic dynamics was more suitable to cllaracterize experimental data due to jts robustness to nalse Letellier et al [8] npplied topo1ogieal cbaracterization to irregular pul-

037S-96ltI1jOOS - slaquo trolit mluer 02000 PubJishtd by E~lr Stienee av PU S031i-960l(OOgtOtl58S-5

2 A TufoileJC Sartcrelli Pb)$Ws Letie1$ A )fi (2001)) (1I)fJ-()(J()

sations cf a hydradynamical madel of nu pu1sating sUlr by constructiug symbolic planes

Wc have studied the air bubble fonnation dynam~ ics in a submerged nome in n waterglycerol somshytion illSicle cylindrical tube (see Ref [n for detaiIs) as a function af 11 sound wave amplitude tuned in the air column above the solutiou Using metrical and topologica1 cbaracterization we observed a flip bifurshyestion which is followed by a chaotic region wbere some reconstructcd attracrors resembfe Heacutenon~1ike attractors which esmbHsh a possib1e mure to chaos in bubbling dynamics

2 EJpcnmental apparatus

The experimental apparatus of the bubble gun experiment is sbown in Fig 1 The bubbles were generated by injecting mr under constant flow rate conditions through a metallic nozzle immersed at the bottom of a viscuus tluid column (20 watcr plus 80 glycerol) maintained nt a level of 12 ctn The inner diameter Df the cylindrical contaioer js 53 nun and 70 em in hcight and the innel diamcter of thl nozzle is 13 mm The nozzle is attached to a capacitive air reservoir and the air flux ean be set up

by a need1e valve and the capacitive air reservoir is supplied by aa air compressor through a pressure reducer

The detection system is the same as the drippiacuteng faucet experiments [9t lO] A horizontal He-Ne laser beam focused (10 a phorodioacuted~ is placed a little above the nozzie The delay times between succes sive bubblcs were measured with a time circuitry inserted in a PC slm With a time resoJution equals to I ps The input signals are voltage pulses induced in a rcalstQ defined by Ih beginniacuteng (endingl af scattering af a laser beam focused ou lhe photodiode (in senes with the reslstor) when the bubble starts (ends) to cross the laser beam The lidth of pulse is me time interval tIl (n 1S the bubble number) and the time delay between two pulses is the crossing time (dt) cf a bubhte through the laser beam 50 that the total time interval is Tft = tIlt + dI bullbull

Setting up Ih bubble rale (f- I(Traquo) keeping fiacutex the air pressure in the capacltive reservoir and selecting the bubble rating by openjng (closlng) me needle valve we changed the bubble fl)IIllAtion dyw ooooics applying a sound wave with a loudspeaker pIncelt at the top of tbe tube The sound wave was tuned to the fundamental frequency of the air column above lhe liquid and its amplitude was driven by a

Rmction genemlor

Jl22l + H

shy

I

Alr9lifier i

j -tgt ~bull

I

~

o

o

Fig I Diagram cfme ~nlal apparzrus

I A llifaile lC Sm10r01ll Phpics UdtersA ()( (2iJ1)(J) OOO-f()(

-iacute

f

~

Driven Voltaga (V)

Fig 2 Bifurcation diarccedilaln ofthe inte1bllbble iotavals ti a function ofthe londiipeaka driml volige Wc cstimated lhe exptlrimcntal noise laquo$ -100~ in lhe period I behaYIacuteor

i

function genenrtor A11 the measurernents were doneshy

I at room temperature

3 Results and discuasion ~ II

The air flow rale and tbe sound wave ftequency were ept conslant at - 366 bubble(s and 150 Hz respeetively We changed the Imool dynamios forshymation increasmg the driven voltage in the loudshyspeaker as shown by ilie biacutefurcation diagram in Fig

32

1

~ 24

2 A period doubling OCCUIS around 2 0 V and the bubbles are issued in pairs until 30 V~ when a noisily period fougt appears After then two-band hehavior takes place and each band presents chaotie behaVior At 35 V the chaotic bands start to overlap and a large- chaotie attractors emerges

To perform metrical and topological characteriacutezashytion of the bubbJe fonnatilt)D dynamics we collected S1x time series keepiacuteng fb six drlven voltages whose respective retum maps (T I versus T) are sbown in Fig 3

~r I

- 111

(a) (b)

35V

(d)

~

24

I 25 V I ~ bull

I -(c)

I 45V I

(f)

T(ms)

Fig 3 A gquencc cf rtconstructcd aUtaclors 5howing 11 period-doubling tome to clI3os In eacb tlanle thI iDsct shows the driven vo114se (a) peticd t (b) period (2)i (ccedil) a two-band aacutetttactru (d) te) and O are claotic aUietatS chmctmzcd by the 1atgest LapWlOV exponent ftlR IlJ9 IIl1d 024 ~ivcly nbtllned w11h tlle lRNNS j13Clcase [1lJ F~1eacuteh titl1( Ienes is 4fl()(I h1lbbles long

1

1 Thfoiacutele IC SarrorelJi I PhJir$ LdterH A fJ(J (2000) OOfJ-(JJ()4

31 MetricaJ characterization

The reconstructed attractors in the chaotic region (rrom Fig 3(d) through 3(t) were characterized by the Lyapunov exponent51 by the Kaplan-Y orke di~ mension and by the infonnation dimension obtained by the rlSEAN package (12) A cofiecture [13) relates the Lyapunov spectnun (A) and the informa~ tion dimcnsion by me Kaplan~Yorke dimension D1Cf

1gt1 i-i ( I) -k+ - IDK( - IAgrave I

H

where k i5 the maximum integer so tbat SUtn af the k-largest exponents is stiU llOn-negative This cotildenjecshy

middot mre iacutes valid for Heacutenon attractor and it is checked on teconstructed attIactots The paramerer va1ues obshytained for the driven voltages V 35 40 and 45V are shown in rable I (see Figs 3(d) 3(0) and 3(t) The Kaplan-Y orke dimensions agree with iacutenfatmashytion dimensiacuteOllS The two first chaotic attractors have a Lyapunov spectrum witb one positive exponent and one negative exponent while the last one Fiacuteg 3(0 bas one positiacuteve and two negative exponents In Table 1 we also present the results of Heacutenon maps (flr))~(y+ I-axoacutexraquo recolllitrUcted as _ retum maps XH 1 versus X (see Fig 4(a))

Ue attrnctQr dimenslons ror ooven voltages of 35 V and 40 V are close to the dimensions of the HecircnOll map suggesting that they couJd have similar dynamiC$ The reconstrultrted attIactor for 45 V see

Table 1 LyapUJlQV exp~ and dirrlensfuns for experimcntll ch30tlc a~ and for two pairo (Ir atues ar Heacutenon map pomnnctm

Fig Drlven L)aplmOv Kaplrut-Yorkt Infonnation voltage IIpcetrn ~oo dimensioo (V) (ermt) (mor)

3(d) 3 +oll -08 1IJlJ 1)J

3c) 4bull +012 -06 123(1) 141) 31 +01-03 L68m 18(3)bull

Heacutenon -09 b LS50f +038 -238 116) 116(9) 1403 +042 - L61 12i~) U9(9)

) Oilcuhted wltb Eq ti)

(o) __321 ~

31)

3 24 221lt ~

22 24 2amp 2fj 30 32

T(ms)

Flg 4 (3) A iacutelippins eXlUlllie in lhe Heacutenon mtmctot The flip sarldlc IS tbe eroll5lns point or lhe daIDed line and lhe atIractm (056 056) (b) A flipp1ng ~ in lU ~W at1lactor fuT 3 dtivcn foltage cf 40 V

Fig 3(0 has similar prorue of the other two as shown in Fig 3(d) and 3(e) However its informashytion dimensiacuteon value is quite different ftom me omer two attrnctors (3(d) and 3(eraquo as well as diacuteffimm from tbe Heacutenon map values as shown in Table L In addition to the three exponents of the LyapllllOV spectra the dimension information dose to two is a cue that the attractor 3(0 could not be untangled in MO dimensions

7 A Thjaile Jc ~iI Physia Leitos A (Jfl (1000) ())(JOOII

I

I

The partition is represented oo OOl by dashed lines In Fig 5(8) 15 shown the Heacutenon map for a = 155 and b - 01 lhe partition used is a vertical line that separates the single branch (L) from the foIded one (R) that contruns ao unstable fiacutexed point and tbe Heacutenon symbolic plane afl is shown in Fig 5(A) From Fig 5(h) tbrough 5d) lhe experimentll atttactors are shown In those aSes the partition can not be done with a vertical linct 50 we looked for C1]Ves that eould separare Ih single hranch (1) from the folded ODe (R) The respcctive symbolic planes laquo3 atbullbullhown in Figo 5(1l) 5(C) and 5(j)

The pauero of lhe three experimental _bli planes resembles tOO Heacutenon symbolic plane Tbe best similarity OCCllrs for the driven voltage of 35 V whose symbo1ic plane has the same allowed and forbidden zones as the Heacutenon ones For higher wave amplitude some forbidden regions in the symbolic planes start to be visited (for example ex = 08 and 3 - 04 in Fig 5(Draquo howiacuteng lha lhe bubble forshymadoraquo dynamiacutecs is running away from the Heacutenon~ like dynamics In Fig 6 it is shown lhe bubble trains raisiog through the fluid to ilIustrate the ditference between the bubble profiles in the periodiacutec regimes lllld the Heacutenon-1ike one shown in Fig 3

4 eocluslo

We have used metriatl and topologica1 lt1ethods to characterize lhe dynamics ofair bubble fonnation We have observed that a gradual increase in the soillld wave amplitude results in a route to ehaas via period doubling W bullbullharncterized some chaalie beshyhaviar with lhe LyapuMV spelttra the Kaplan-Yorke dimension and the infonnatiacuteon dimension which 1ed 11$ to relate some results to a Heacutel1on~1ike dynamics a low dimensional dissipative system with stretching and fo1ding 1teacuteeacutebanism The Hecircnon map parameter values) (1 155 and b=Ol cbrrcsp(l11d to a more dissiacutepative system trum the classical values a = IA and b - 03 coberently mIa h bigh liquid vi

ity tbat parares li less sttuctured attracror The establisbment ofa fljp saddlc and the oonstruction of -ymbolic planes reinfotced 0Ui assumptiODS UsushyalJy two dimensional mappings are used as mudels o forced oscilintms _ore me bnbble formatia can be seen as an oscillator driven by a sound wave

Acknowledgements

This work was partially supported by Bmziliao agencies FAPESP CNPq and FINEP

Refcrences

t] A Tufuilc JC Sanorelli Phy~ca A 275 (2000) 336 (2) W Latrtcrbom U Parlitz J Acollocirct $o= Ato 84 (l9S8)

1975 (3] DJ Tritlon C Edgen Phys Fluids A 5 (t 993) 561 (4) LJ Minoro MF Schwarz RD La Nauze Phy Fluds 1

(1995) 891 [5] lU Li Y Moulinc L Choplin N Midoux lnt J Mnliphase

Flow 21 (1997) 173 [61 Me Rnzicka J Druacutetos J Zahradnik N Thomas Inl J

Muuumlphase Flow 23 (1997) 671 (7J WM Gonccedilalves RD rinlo jccedil ~orelli fhy$iccedila o 257

(1998)385 [81 C LcteUier G Gouesbct F Soufi JR Iluchlcr z KtlI1acirclh

Choos 6 (]996) 466 [9 Jc Sartorelli WM Gonccedilalves aD PlnlQlbys Rcv E 49

(199003963 [10] A TllfiIile RD Pinto WM Gonccedilalves JC SattOtelli

Phys Let A 255 (1999) 53 [tI] s EUoI DW Nychka AR Gallam LENNS a JlfOJpW to

eSUacuteil1lfle the dominant L)llpWJOv txponent afnoisy nonliucar sy5tcm5 fmm time scrics data lnstitule af Sta1i$itli Miacutemeo Srnes n 2235 (B~iA series n 39) Statisties f)q)artltletrt North CaroHca Sbtc Uniwniiy Raeigh 1992

[I2] R Hegget fl KanIz T Schrciblaquo Chaos 9 (1999 413 [131 r Ftdtrlclson JL Kaplan ED Yorlte lA VNte J

Olff Equat 49 (1983) 185 1141 KT Alligood TD amputt JA Yooo Chaos an introduoshy

Uumltm ttl ~ systems SpringuBerlin J991 [151 iL Zhao WM ZbeIlS Ccum Theot Phys 19 (1993) 11

-1

  • 1
  • 2
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