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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Estudo da Variação das Frequências Naturais Torcionais de Árvores de Manivelas devido a Trincas Felipe da Costa Pascoal 2015
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Estudo da Variação das Frequências
Naturais Torcionais de Árvores de
Manivelas devido a Trincas
Felipe da Costa Pascoal
2015
ii
Estudo da Variação das Frequências
Naturais Torcionais de Árvores de
Manivelas devido a Trincas
Felipe da Costa Pascoal
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de
Engenharia Naval e Oceânica da Escola
Politécnica, Universidade Federal do Rio de
Janeiro, como parte dos requisitos necessários à
obtenção do título de Engenheiro.
Orientador:
Ulisses Admar Barbosa Vicente Monteiro
Coorientador:
Ricardo Homero Ramírez Gutiérrez
Rio de Janeiro
Março de 2015
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Estudo da Variação das Frequências
Naturais Torcionais de Árvores de
Manivelas devido a Trincas
Felipe da Costa Pascoal
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO
DE ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS
REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE
ENGENHEIRO NAVAL E OCEÂNICO.
Examinada por:
.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
MARÇO de 2015
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Pascoal, Felipe da Costa
Estudo da Variação das Frequências Naturais
Torcionais de Árvores de Manivelas Devido a Trincas/ Felipe
da Costa Pascoal. - Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica,
2015.
XI, 34 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Ulisses Admar Barbosa Vicente Monteiro
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/
Curso de Engenharia Naval e Oceânica, 2015
Referências Bibliográficas: p. 33-34.
1. Identificação de Trincas 2. Vibração Torcional.
3.Frequência Natural. 4. Modelo Discreto. I. Barbosa Vicente
Monteiro, Ulisses Admar. II. Universidade Federal do Rio de
Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Naval e
Oceânica. III. Estudo da Variação das Frequências Naturais
Torcionais de Árvores de Manivelas Devido a Trincas.
v
Dedicatória
Este trabalho é dedicado aos meus pais, irmãos e a todos que direta ou indiretamente me
ajudaram nessa jornada.
vi
Agradecimentos
Gostaria de prestar minha homenagem às pessoas que sem elas não conseguiria concluir
esse trabalho.
Aos meus orientador e coorientador, que sempre se dispuseram a me auxiliar
prontamente em qualquer dificuldade que aparecesse.
Aos professores que me ajudaram na construção do conhecimento.
Aos meus amigos pelas ajudas e dicas para superar as dificuldades do curso de
Engenharia Naval.
Aos meus familiares que sempre me deram o suporte mais do que necessário para que
eu conseguisse realizar meus sonhos.
vii
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval e Oceânico.
Estudo da Variação das Frequências Naturais Torcionais de Árvores de Manivelas
devido a Trincas.
Felipe da Costa Pascoal
Março/2015
Orientador: Ulisses Admar Barbosa Vicente Monteiro
Curso: Engenharia Naval e Oceânica
O estudo de vibrações é de suma importância para o projeto e manutenção de máquinas.
Afinal, a presença de tensões atuando continuamente e na presença de altas amplitudes
de vibração pode levar a estrutura a uma falha por fadiga, que pode ocorrer mesmo
quando o nível de tensões atuantes seja relativamente baixo.
Assim, percebe-se a necessidade de criar uma forma simples de identificar possíveis
problemas relacionados à vibração.
Ao averiguar diversas falhas ocorridas em árvores de manivela de motores de
combustão interna, notou-se que a região onde as trincas iniciavam eram praticamente
as mesmas, assim como a direção de seu crescimento.
O presente trabalho faz um estudo sobre a árvore de manivelas de um motor de
combustão interna para verificar de que maneira a sua frequência natural de vibração
torcional varia ao ser simulada a presença de trincas.
Portanto, admitindo-se o conhecimento da localização e da direção de crescimento da
trinca, foi possível criar um método para calcular a frequência natural com base na
influência que a trinca possui sobre a rigidez estrutural da árvore.
Palavras-chave: Vibração Torcional, Árvore de Manivela, Trinca, Rigidez.
viii
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of
the requirements for the degree of Engineer.
Torsional Natural Frequencies Behavior Study of Crankshafts due
to Cranks
Felipe da Costa Pascoal
March/2015
Advisor: Ulisses Admar Barbosa Vicente Monteiro
Course: Naval Engineering
The study of vibrations is of vital importance for the design and maintenance of
machinery. The presence of stress acting continuously along with the presence of high
vibration amplitudes can lead the structure to a fatigue failure, which may occur even if
the acting stress level is relatively low.
Thus, it is noticed the need to create a simple way to identify possible problems related
to vibration.
When investigating various failures in crankshafts of internal combustion engines, it
was noted that the region where the cracks were initiated were identical, as well as the
direction of its growth.
The present work is a study on the crankshaft of an internal combustion engine in order
to verify how its torsional vibration natural frequency varies according to presence of
cracks.
Therefore, assuming that it is known the location and the direction of crack growth, it
was possible to create a method to calculate the natural frequency based on the
influence that the crack has on the structural stiffness of the crankshaft.
Keywords: Crankshaft, Stiffness, Cracks, Torsional Vibration.
ix
Índice
Nomenclatura ________________________________________________________________ x
1 Introdução ______________________________________________________________ 1
1.1 Justificativa _________________________________________________________ 2
1.2 Objetivo ____________________________________________________________ 2
2 Revisão da Literatura ______________________________________________________ 3
2.1 Embasamento Teórico _________________________________________________ 3
2.2 Identificação de Falhas Através da Análise Experimental ______________________ 5
3 Motores de Combustão Interna _____________________________________________ 11
3.1 Modelagem Torcional de Motores _______________________________________ 11
3.1.1 Análise Torcional de um Motor de n Cilindros _________________________ 12
4 Método para Identificação de Trincas ________________________________________ 15
5 Modelo de Parâmetros Concentrados _________________________________________ 18
5.1 Método de Cálculo do Sistema Massa-Mola-Amortecedor ____________________ 19
5.1.1 Inércias ________________________________________________________ 19
5.1.2 Rigidezes Torcionais _____________________________________________ 20
5.1.3 Amortecimentos _________________________________________________ 21
6 Estudo de Caso __________________________________________________________ 23
7 Resultados e Discussões ___________________________________________________ 26
8 Conclusão ______________________________________________________________ 32
9 Referência Bibliográfica __________________________________________________ 33
x
Nomenclatura
Letras Latinas
[C] – matriz de amortecimento [N.m.s/rad]
C – coeficiente de amortecimento total [N.m.s/rad]
Ca – coeficiente de amortecimento absoluto [N.m.s/rad]
Cr – coeficiente de amortecimento relativo [N.m.s/rad]
d – fator de perda [-]
fn – frequência natural de vibração torcional
I – momento de inércia [kg.m²]
Ialt – momento de inércia das massas alternativas [kg.m²]
Kt – rigidez torcional [N.m/rad]
[K} – matriz de rigidez torcional [N.m/rad]
L – comprimento da biela (distância entre centros) [m]
[M] – matriz de massa [kg]
Malt – massas alternativas [kg]
Mrb – massa rotativa da biela [kg]
r – raio da manivela ou meio curso do pistão [m]
s – curso do pistão [m]
xi
Letras Gregas
θ – amplitude das vibrações torcionais [rad]
λ – relação entre o raio da manivela e o comprimento da biela [-]
φ – ângulo de fase [rad]
ω – velocidade angular do virabrequim [rad/s]
ωn – freqüência natural do sistema [rad/s]
Abreviações
GL – graus de liberdade
CAD – Computer aided design
CAE – Computer aided engineering
FRF – Frequency response function
FEM – Finite element method
1
1 Introdução
O estudo de vibrações em máquinas e equipamentos sofreu um enorme avanço
nos últimos anos. Apesar dos conceitos teóricos já serem conhecidos há bastante tempo,
foi apenas no século XX, com o avanço da tecnologia computacional e a criação e o
desenvolvimento de programas de elementos finitos poderosos que se tornou possível a
análise de vibração de estruturas complexas.
Esse tipo de análise é bastante importante já que pode auxiliar projetistas no
momento de projetar uma máquina, buscando-se evitar condições de operação da
mesma em que haja ressonância ou que simplesmente sofra menos esforços durante sua
vida útil.
Além disso, na área de manutenção, pode ajudar a identificar possíveis
problemas na operação da máquina, como um desbalanceamento, o que pode ocasionar
a falha por fadiga do material. Não obstante, a vibração pode causar, ainda, um desgaste
excessivo de vários componentes de máquinas, como mancais e rolamentos, além de
excesso de ruído. Uma parada na produção de uma empresa devido a uma falha em um
equipamento pode representar um grande prejuízo à mesma. Por isso, torna-se desejável
ter um bom plano de manutenção preditiva através da realização de análises de vibração
nas máquinas, o que pode evitar ter de pará-las repentinamente.
Um motor de combustão interna é uma máquina bastante utilizada, seja em
carros, navios ou geradores de energia elétrica, e que vem sendo estudado
constantemente devido à ocorrência de falhas originadas pelo excesso de vibração. As
flutuações dinâmicas de torque e velocidade nos motores de combustão interna são uma
característica inevitável. Por consequência, essas máquinas terão sempre vibrações
angulares associadas ao seu funcionamento. Um dos elementos desses motores sujeitos
aos maiores tipos de esforços, é a árvore de manivelas, onde se notabilizam diversos
estudos relacionados a vibrações torcionais.
Assim, o presente trabalho busca identificar possíveis falhas em árvores de
manivelas de motores de combustão interna a partir da variação da frequência de
vibração medida, de modo a auxiliar na manutenção preditiva da máquina.
2
1.1 Justificativa
Ao analisar diversas árvores de manivelas que falharam durante suas operações
verificou-se que essas falhas aconteciam essencialmente nas regiões entre o moente e o
munhão [1]. O que se pode notar é que estas são regiões onde há o problema de
concentração de tensões. Assim, percebeu-se que as trincas surgiram nessas regiões.
Essas trincas alastraram-se e, consequentemente, provocaram falhas no componente.
Assim, buscou-se identificar de que maneira essas trincas alteram as
propriedades do eixo do motor para então se descobrir se há alguma irregularidade com
ele ao efetuar as medidas e compará-las com os resultados esperados para uma condição
normal.
1.2 Objetivo
Criar um modelo de parâmetros concentrados, identificando-se os parâmetros do
sistema a partir de um motor real e, em seguida, realizar a análise das frequências
naturais de vibração torcional da árvore de manivelas.
Desenvolver um modelo que possibilite identificar falhas existentes no motor
com base na diferença dos resultados encontrados entre a operação normal e a operação
quando a falha se encontra presente.
3
2 Revisão da Literatura
2.1 Embasamento Teórico
Qualquer movimento que se repita após um intervalo de tempo é considerado
uma vibração [2]. Normalmente um sistema vibratório possui um meio para armazenar
energia potencial (mola ou elasticidade) e cinética (massa ou inércia), além da perda
gradual de energia (amortecedor).
Para se analisar um sistema sujeito à vibração, considera-se a equação
diferencial abaixo como a equação geral de estudo cuja solução caracteriza o
comportamento do sistema.
(2.1)
Onde [M] é a matriz de massa, que contém todos os elementos de massa do
sistema, [C] é a matriz de amortecimento e [K] é a matriz de rigidez. F(t) é a força
externa aplicada ao sistema. Já a variável x, juntamente com suas derivadas de primeira
e segunda ordem no tempo representam, respectivamente, o deslocamento, a velocidade
e a aceleração das massas.
Ao ser aplicada uma força inicial a um sistema vibratório, e logo em seguida ela
deixa de ser aplicada, faz com que o sistema vibre em uma determinada frequência.
Esse tipo de vibração é chamado de vibração livre e a frequência é conhecida como
frequência natural. Todo sistema possui suas próprias frequências naturais de vibração.
Sempre que a frequência natural de vibração de uma máquina ou estrutura
coincidir com a frequência de excitação externa, ocorre o fenômeno conhecido como
ressonância, que pode resultar em deformações excessivas e falhas. Assim, sistemas de
engenharia projetados atualmente passam por estudos de vibração para se saber como
será o seu comportamento.
Para sistemas que possuem 1 grau de liberdade, isto é, sistemas que realizam
apenas um tipo de movimento, e admitindo que o movimento é harmônico, a frequência
natural (ω) pode ser calculada pela expressão abaixo.
4
(2.2)
E a solução do sistema é admitida como sendo do tipo harmônica:
θ
(2.3)
Contudo, apenas modelos simples podem ser representados por apenas 1 grau de
liberdade. Na verdade, a maioria deles possui na prática infinitos graus de liberdade. No
entanto, como forma de facilitar suas análises e utilizá-los em modelos computacionais,
admite-se que eles possuem um número finito de graus de liberdade. Esses modelos são
os chamados modelos de parâmetros concentrados ou discretos. Apesar de serem
simplificações, as análises feitas geram resultados confiáveis.
Quanto maior o número de GL, mais complexos ficam os cálculos. Um exemplo
de sistema com 2 GL é mostrado seguir [2]).
Figura 1: Sistema com dois GL
Para se calcular sua frequência natural chegou-se, a partir da equação
governante, à seguinte expressão.
(2.4)
5
Percebe-se da expressão acima, a influência de um elemento de massa nos
demais. O sistema de coordenadas é chamado acoplado. Portanto, devido à
complexidade de sistemas maiores, modelos matemáticos com n graus de liberdade
costumam ser solucionados com o auxílio de ferramentas computacionais.
2.2 Identificação de Falhas Através da Análise Experimental
PANDEY [1] analisou virabrequins de motores diesel usados em tratores que
falharam após apenas poucas horas de operação. Por inspeção visual observou-se que
todas as falhas se localizavam nas regiões entre o moente e o munhão e que as marcas
vistas eram típicas de falha por fadiga. As trincas que originaram as falhas localizavam-
se na interface entre moente e o virabrequim. A superfície fatigada possui um ângulo de
cerca de 45º em relação ao eixo de rotação.
À mesma conclusão chegaram XU et al [3] e ESPADAFOR [4] ao analisarem
um motor diesel de caminhão com ruído estranho e um motor diesel de uma usina
elétrica, respectivamente. As falhas ocorreram devido a processos de fabricação feitos
de maneira deficiente, o que provocou mudanças inesperadas nas propriedades do
material, reduzindo assim sua resistência à fadiga.
6
Figura 2: Falha na árvore de manivela [4]
YU e XU [5] também estudaram a quebra de uma árvore de manivelas de um
motor diesel observando que a fratura iniciou, também, na região entre o moente e o
munhão. Em suas observações, a ausência parcial da camada de nitrogênio no local fez
com que a resistência à fadiga fosse reduzida, favorecendo o início a propagação da
trinca.
YUAN et al [6] tomaram como exemplo um virabrequim de um motor diesel
marítimo de baixa rotação, e a partir daí criaram um modelo de elementos finitos
tridimensional para investigar as tensões e as deformações que ocorrem no modelo com
o objetivo de servir como referência para a otimização de futuros projetos.
Chegou-se à conclusão de que as tensões atuantes, em geral, eram pequenas se
comparadas à de escoamento, gerando um alto fator de segurança. Notou-se, ainda, que
a região onde as maiores tensões foram medidas encontravam-se exatamente no mesmo
local dos outros casos estudados.
Foi feita também uma simulação para verificar como a distribuição de tensão se
comportava quando se variava a pressão na câmara de combustão. Percebeu-se que essa
relação era aproximadamente linear.
7
MITIANIEC [7] destaca que vibrações torcionais são uns dos maiores
problemas em motores de grandes diâmetros (D>90mm), já que as grande massas do
pistão e da biela aumentam o momento de inércia resultante. Dessa forma a frequência
natural diminui, podendo estar dentro da faixa de rotação em que o motor opera.
Dois modelos foram criados para representar uma árvore de manivelas de um
motor de 6 cilindros em linha: um modelo multi-massa e outro 3-D. O objetivo era
calcular as frequências naturais pelos dois modelos e compará-las. No final chegou-se a
um resultado bastante próximo entre os dois modelos para os dois primeiros modos de
vibração.
Afirmou ainda que a ordem de ignição adequada podia diminuir
consideravelmente o torque causado pela vibração torcional. Para isso, determinou o
trabalho das forças tangenciais através de uma análise de Fourier. Como havia
possibilidade de ressonância em um determinado harmônico, foi escolhida a ordem de
ignição cuja amplitude relativa resultante, que determina o trabalho da força tangencial,
fosse o menor possível durante a ressonância.
Chegou à conclusão de que esse tipo de motor necessitava de amortecedores de
vibração torcional. Além disso, verificou que a ressonância dos harmônicos da força
tangencial é mais perigosa para o primeiro modo de vibração torcional. E, por fim,
observou que o torque causado por ressonância era muito maior do que aquele causado
por forças tangenciais.
BECERRA [8] buscou criar uma metodologia que conseguisse identificar trincas
em virabrequins, de modo a conseguir uma detecção prévia do problema e assim
melhorar a estratégia de manutenção preditiva em diesel-geradores.
No caso de trincas em uma estrutura rotativa, uma das abordagens para
identificá-las é a baseada no fato de que a presença de uma trinca reduz a rigidez da
estrutura, reduzindo, assim, a frequência natural do eixo que originalmente não possuía
trinca. Essa mudança nas propriedades modais, frequências naturais e nos modos de
vibração, pode ser útil para se detectar a trinca, assim como sua profundidade e
localização.
A ferramenta de detecção é baseada na comparação entre a velocidade angular
máxima de oscilação do volante do motor obtida do modelo de sistema discreto para
8
cada carga do motor, versus a velocidade instantânea medida no próprio volante do
motor.
O virabrequim escolhido para análise era de um diesel-gerador de 1.5 MW de 16
cilindros que operava a uma velocidade de 1500 rpm e que falhou após 20000 horas de
serviço contínuo.
A fratura estava localizada na região entre o moente e o munhão. As marcas na
superfície foram típicas de falha por fadiga. Pôde-se perceber, ainda, que o plano de
crescimento das trincas possuía um desvio angular de 45º ou 30º com relação ao eixo de
rotação e que a fratura normalmente ocorria em locais onde havia alta concentração de
tensões.
Um modelo do tipo parâmetros concentrados foi desenvolvido, onde utilizou-se
um sistema massa-mola-amortecedor. Para o cálculo das rigidezes torcionais e
momentos de inércia foram desenvolvidos modelos em elementos finitos.
Já para as cargas atuantes foi simulada a curva de pressão no interior dos
cilindros devido à combustão. Calcularam-se ainda as perdas por atrito e o torque do
alternador.
Em seguida, para o modelo de elementos finitos inicialmente considerado sem
trincas, foram obtidas suas propriedades. Estas foram inseridas no modelo de
parâmetros concentrados. A partir daí foram simuladas trincas no material
(considerando-se 30º e 45º o plano de crescimento das trincas) e dessa forma foram
calculadas novamente as propriedades e inseridas novamente no modelo numérico,
iterativamente.
Chegou-se à conclusão de que, quanto maior a trinca, menor a rigidez (tanto em
30º como em 45°). E notou-se, também, que o movimento angular relativo entre dois
graus de liberdade adjacentes aumentava conforme o crescimento da trinca, indicando
assim um aumento das tensões torcionais.
Além disso, notou-se que a amplitude da velocidade angular máxima era
consideravelmente maior para a árvore com trinca do que a sem trinca. E como pode-se
facilmente realizar essa medida em motores reais, essa metodologia se mostrou eficaz
para diagnosticar falhas no motor.
9
KANG et. al. [9], fizeram a análise modal e experimental de duas árvores de
manivelas: uma de um motor de 4 cilindros em linha e a outra de um motor de 6
cilindros em V com a intenção de identificar suas frequências naturais através da análise
experimental e da análise de um modelo de elementos finitos.
Para a análise experimental o eixo de manivelas foi pendurado utilizando-se
cordas de borracha, de modo a simular vibração livre, e foi excitado com martelo de
impacto numa posição específica. Contudo, a coleta da resposta de vibração foi em
outra posição. As frequências naturais de vibração foram obtidas através da análise da
função de resposta em frequência, FRF (Frequency Response Function), feita entre os
sinais de vibração e os sinais de excitação.
Na modelagem FEM (Finite Element Method), os resultados indicaram que o
modelo de vigas se afasta da realidade, devido à restrição de graus de liberdade (45% de
erro). Em contrapartida os resultados do modelo sólido se apresentam mais próximos
dos dados experimentais (0.19% de erro). Assim, buscou-se comparar os resultados de
modelos FEM com resultados experimentais para avaliar qual o modelo que retorna
resultados mais confiáveis e em menor tempo.
ESHLEMAN [10] detalha os princípios da vibração torcional de máquinas
rotativas e alternativas, dando ênfase ao fato de que esse fenômeno resulta do
movimento angular da árvore, causando esforços de torção que podem danificar ou
quebrar o equipamento.
O trabalho também considera que na modelagem deve ser feita a discretização
do sistema torcional (árvore de manivelas, bielas e pistões) através do uso de massas,
molas e amortecedores. Esses elementos devem manter os valores do momento polar de
inércia, rigidez e amortecimento torcional equivalentes da árvore de manivelas,
fornecendo correlações empíricas que permita o cálculo aproximado os quais dependem
da geometria e do material.
MENDES [11] estudou a vibração torcional da árvore de manivelas de motores
de combustão interna comparando os dados experimentais com os da metodologia
criada por ele. Assim, após validá-la, pôde utilizar a mesma metodologia em outros
motores semelhantes.
Primeiramente analisou o conjunto biela-manivela e separou os dois por suas
características de movimento: uma parte alternativa e outra rotativa. Além disso,
permitiu fez os cálculos dos esforços atuantes.
10
Levou em conta, ainda, as forças provenientes da queima do combustível dentro
da câmara de combustão. Essa variável é medida a partir da curva da pressão no interior
dos cilindros.
Após ter feito toda a análise, identificou as forças resultantes na biela,
reconhecendo que existiam duas parcelas: uma radialmente à árvore produzindo
esforços de flexão e outra exercida tangencialmente, produzindo esforços de torção.
Para avaliar a vibração torcional foi desenvolvido um modelo matemático
equivalente do motor, onde foram considerados massas, molas e amortecedores. Para o
estudo da redução da vibração torcional foram utilizados amortecedores torcionais do
tipo viscoso, que na maioria das vezes são fixados na parte frontal do eixo de manivelas
(lado oposto ao volante). Para o cálculo das inércias das manivelas e da rigidez torcional
entre manivelas foram feitos modelos CAD (Computer Aided Design). Assim, utilizou
o método das equações de estado para dar resolução ao modelo do sistema dinâmico.
Como resultados do modelo matemático, obteve os modos de vibração natural
torcional da árvore de manivelas. Identificou também a ordem de vibração que possuía
maior relevância na excitação da árvore de manivelas (traçando torciogramas para cada
ordem analisada).
Com relação aos amortecedores viscosos torcionais, obteve as curvas de
potência dissipada em cada modo de vibração, como também em cada condição de
operação do motor.
Todos os resultados obtidos pelo modelo matemático foram validados com
dados experimentais a fim de estabelecer uma metodologia para a análise de vibração
torcional para motores de especificações técnicas semelhantes.
11
3 Motores de Combustão Interna
O motor de combustão interna é uma máquina que transforma a energia química
presente nos combustíveis em energia mecânica, que pode ser usada tanto para acionar
um gerador elétrico, como para movimentar veículos, sejam carros, motos,
embarcações, etc.
Quanto ao tipo de movimento que realiza, o motor pode ser classificado
basicamente em dois tipos: rotativos e alternativos. O segundo, que está mais
relacionado com o objetivo deste trabalho, é o mais utilizado. Ele tem por característica
o movimento alternativo dos pistões, indo desde o ponto morto superior até o ponto
morto inferior. Esse movimento ocorre devido à alta pressão provocada pela queima de
combustível dentro da câmara de combustão. Além disso, o pistão está conectado a
biela, que realiza movimentos rotativos que, por sua vez, está ligada à árvore de
manivelas. Esta transmite o torque aos demais componentes acoplados nas
extremidades de seu eixo (polia da correia dentada, engrenagens e volante do motor).
3.1 Modelagem Torcional de Motores
Uma vez realizado o estudo daquilo que foi feito por outros e que servirão como
embasamento para o presente trabalho, a etapa seguinte consistiu em se entender os
conceitos teóricos que englobam o fenômeno estudado.
A vibração torcional é aquela que ocorre quando há um deslocamento angular
relativo oscilatório entre duas seções transversais quaisquer de um eixo. Esse
movimento oscilatório atua simultaneamente ao movimento de rotação de operação da
máquina, tornando difícil sua detecção se não houver equipamentos adequados para sua
medição. Portanto, a máquina pode estar sujeita a uma alta amplitude de vibração
torcional, e que pode provocar sua falha, e, mesmo assim, não ser possível detectá-la.
Uma árvore de manivelas é um sistema complexo, mas, ainda assim, possível
fazer-se um tratamento matemático, representando-o como um modelo – um sistema
simples que é dinamicamente equivalente. Esse sistema consiste de massas discretas
conectadas por molas torcionais elásticas onde suas massas são desprezadas.
12
A árvore possui vários modos de oscilação torcional livre. Cada modo é
caracterizado por uma frequência natural e por um padrão de amplitudes relativas de
partes do sistema quando oscilando em sua frequência natural.
3.1.1 Análise Torcional de um Motor de n Cilindros
A árvore de manivelas foi analisada por meio de um modelo discretizado. Para
uma árvore com “n” graus de liberdade, a figura (3) a seguir apresenta o esquema de
discretização com a representação das inércias, molas torcionais e amortecedores.
Figura 3: Árvore de manivelas com “n“ graus de liberdade
A equação do movimento para um motor de “n” cilindros foi obtida por meio
dos diagramas de corpo livre de cada inércia.
Para a inércia 1:
(3.1)
Para a inércia 2:
(3.2)
Para a inércia n-1:
(3.3)
Para a inércia n:
(3.4)
13
Onde:
Jc1, Jc2, Jc3,…, Jc(n-1), Jcn: Parcelas constantes dos momentos polares de
inércia;
c1, c2, c3,…, cn-1, cn: Coeficientes de amortecimento equivalentes;
k1, k2, k3,…, kn-1, kn: Rigidezes equivalentes dos elementos;
: Deslocamentos angulares dos elementos;
: Velocidades angulares dos elementos;
: Acelerações angulares dos elementos;
M1, M2, M3,..., Mn-1, Mn: Torques externos que atuam sobre o sistema;
A forma geral dessa equação contendo todos os graus de liberdade é apresentada
abaixo.
(3.5)
Onde:
[J]: Matriz de inércia;
[C]: Matriz de amortecimento torcional;
[K]: Matriz de rigidez torcional;
: Vetor de torques externos;
: Vetor de deslocamentos angulares;
: Vetor de velocidades angulares;
: Vetor de acelerações angulares;
A solução da equação do movimento consiste na análise de vibração livre do
sistema (para o cálculo das frequências e modos naturais de vibração), onde o
amortecimento é desconsiderado, e na análise amortecida, em que são calculadas as
frequências amortecidas.
14
3.1.1.1 Análise de Vibração Livre não amortecida
Ao se analisar a vibração livre do sistema podem ser desprezados o
amortecimento e as cargas externas ao sistema. Desse modo a equação (3.5) fica da
seguinte forma:
(3.6)
Esse sistema de equações tem uma solução do tipo:
θ ω ω
(3.7)
Em que A e B são vetores de constantes que dependem das condições iniciais do
problema e representam a amplitude do movimento harmônico. A substituição da
equação acima (3.7) e sua respectiva derivada segunda na equação (3.6) conduzem a um
sistema de equações algébricas lineares homogêneas da seguinte forma:
ω θ
(3.8)
Onde K é a rigidez torcional e J é a inércia.
A equação (3.8) é conhecida como equação característica do problema de
autovalor.
As raízes da equação característica são os autovalores, que representam as
frequências naturais do sistema (ω). A cada autovalor corresponde um autovetor, que
representa o modo de vibração associado a cada frequência natural. Para um sistema
com n graus de liberdade obtém-se portanto, n autovalores e n autovetores. Ou seja, n
modos de vibração, cada um com sua respectiva frequência natural.
15
4 Método para Identificação de Trincas
Certamente o virabrequim (ou árvore de manivelas) é um dos elementos do
motor mais complexos de se fabricar além de ser um dos mais caros. E ainda por cima é
um dos mais exigidos quanto às forças que atuam sobre ele. Eles operam com uma
torção harmônica combinada com tensões de flexão cíclicas devido às forças radiais da
pressão na câmara de combustão, em que forças inerciais devem ser adicionadas.
O problema mais comum que pode levar à falha do virabrequim ocorre devido à
fadiga, onde essa falha pode acontecer em tensões mais baixas que as tensões críticas do
material. Problemas como o desbalanceamento e a amplitude de deslocamento
excessiva do eixo podem levar ao surgimento de trincas no elemento, em especial em
locais sujeitos à concentração de tensões. De modo geral elas se localizam na parte do
virabrequim entre o moente e o munhão.
Assim, buscou-se um método onde fosse possível identificar a presença de
trincas nas regiões mais suscetíveis à ocorrência das mesmas. BECERRA [8] estudou
esse tipo de falha e criou um modelo de elementos finitos que simulasse a iniciação e a
expansão de trincas para 30º e 45º em relação ao eixo da árvore, ângulos típicos de
crescimento observados em árvores que falharam.
Figura 4: Modelo de elementos finitos que simula trincas em um ângulo de 30° em
relação ao eixo. [8]
16
A cada alteração no modelo, um novo valor era obtido para a rigidez. Esse
processo iterativo foi repetido até que a quebra da árvore acontecesse. O que se notou é
que a presença de trincas acarreta numa diminuição da rigidez da estrutura. Foi
observado que, para um virabrequim de um motor de 6 cilindros, a simulação do
crescimento de trincas para os planos com ângulos de 30° e 45º em relação ao eixo
levava a uma relação inversa entre a área desconectada devido a trinca e a rigidez local.
Como conclusão, BECERRA [8] chegou à seguinte variação da rigidez em função da
área desconectada da trinca para os dois planos de crescimento (30° e 45°, figuras 5 e 6,
respectivamente).
Figura 5: Porcentagem da área desconecta no plano de crescimento da trinca (30°)
[8]
17
Figura 6: Porcentagem da área desconecta no plano de crescimento da trinca (45°)
[8]
Desse modo, para reconhecer possíveis problemas de trincas, um modelo de
parâmetros concentrados foi criado para calcular as frequências naturais torcionais do
virabrequim. Assim, ao se considerar a presença de trinca em um determinado ponto da
árvore, a rigidez desse local é alterada considerando a mesma variação relativa da
rigidez observada na figura 5. Esse processo repetitivo é feito para todos os graus de
liberdade dos cilindros do motor até que o percentual de área da trinca seja igual àquele
no qual a falha aconteceu. Essas rigidezes são inseridas no modelo de parâmetros
concentrados e as frequências são calculadas.
Essas frequências auxiliarão na identificação de possíveis condições de
ressonância no sistema ou em condições em que as forças que atuam no virabrequim
tenham uma frequência bastante próxima da natural de ressonância. Nessa condição a
estrutura estará sujeita a uma amplitude de deslocamento angular bastante elevada, o
que aumentará a tensão torcional sobre a mesma.
18
5 Modelo de Parâmetros Concentrados
O modelo de parâmetros concentrados foi composto pelo sistema massa-mola-
amortecedor. Apesar de sua simplificação em relação a um modelo de elementos finitos,
pode-se obter resultados confiáveis para o que se propõe a fazer. Para modelá-lo foi
utilizado o programa ANSYS.
No modelo criado as massas são substituídas pelas inércias dos elementos, já que
se trata de uma análise de uma vibração torcional. Assim como as massas, as molas e os
amortecedores também devem ser obtidos em unidades angulares, pois o movimento é
torcional.
Há um total de 11 graus de liberdade no sistema, representado por 11 inércias.
São considerados os anéis do amortecedor, as engrenagens, as polias, o volante do
motor e o conjunto pistão-biela-manivela.
Por se tratar de um estudo apenas torcional, o único tipo de movimento que
ocorre é a rotação em torno do próprio eixo da árvore. Todas as outras direções de
movimento são restringidas. Além disso, considera-se a o seu comportamento estrutural
apenas no regime elástico para o presente caso.
Neste trabalho não foram consideradas as forças externas sobre o modelo, que
essencialmente são as forças nos pistões, devido à queima do combustível, e às forças
de inércias rotativas e alternativas. Assim, analisa-se apenas a vibração livre do sistema.
Desse modo, o modelo de parâmetros concentrados considerado para representar
da melhor forma possível o virabrequim é mostrado a seguir.
Figura 7: Modelo de parâmetros concentrados
19
5.1 Método de Cálculo do Sistema Massa-Mola-Amortecedor
5.1.1 Inércias
5.1.1.1 Inércias rotativas
Como já foi dito, no motor existem os movimentos rotativos e alternativos. As
inércias associadas ao primeiro correspondem à manivela e à parte rotativa da biela.
Cerca de 1/3 do comprimento desta pode ser considerada como a parte rotativa. Além
disso, há ainda o volante do motor, as engrenagens, as polias e os dois anéis
absorvedores localizados na extremidade da árvore. Todas essas inércias são possíveis
de serem calculadas por meio de programas de CAD (Computer Aided Design) através
da modelação de sua geometria.
Figura 8: Modelo da manivela mais parte rotativa da biela para obter sua inércia
5.1.1.2 Inércias alternativas
Já no movimento alternativo consideram-se as massas do pistão e da parte
alternativa da biela. Essas massas são transformadas em inércias equivalentes para se
adequarem ao sistema torcional e são somadas às inércias da manivela (de I(5) à I(10)).
De acordo com Wakabyashi [12] pode-se calcular a inércia média desses
elementos de acordo com a expressão a seguir.
20
Onde:
(5.1)
Ialt – momento de inércia das massas alternativas [kg.m²]
Malt – massas alternativas [kg]
r – raio da manivela ou meio curso do pistão [m]
λ – relação entre o raio da manivela e o comprimento da biela
Assim sendo, a matriz de inércia contendo tanto os elementos alternativos como
rotativos segue abaixo.
5.1.2 Rigidezes Torcionais
As rigidezes torcionais (Kt) foram calculadas a partir de softwares do tipo CAE
(Computer Aided Engineering), oferecendo boa precisão [11].
21
Figura 9: Modelo para obtenção da rigidez torcional entre as manivelas do
virabrequim
A matriz de rigidez possui a seguinte configuração.
5.1.3 Amortecimentos
No modelo matemático foi considerado que o sistema possui dois tipos de
amortecimento: o absoluto (Ca(i)) e o relativo (Cr(i)). O primeiro acontece devido ao
contato direto entre a parede do pistão e o cilindro do motor. De acordo com Mendes
[11], motores semelhantes ao considerado possuem um amortecimento absoluto de 6
N.m.s/rad. Portanto este será o valor aqui utilizado.
O amortecimento relativo ocorre nas manivelas do virabrequim e pôde ser
calculado por meio da seguinte fórmula [13]:
22
(5.1)
Onde Kt e Cr são respectivamente a rigidez dinâmica e o coeficiente de amortecimento
relativo. Já d é o fator de perda e ωn a frequência natural do sistema. Esse fator de perda
para o motor foi estimado por [14] como sendo d=0,035.
Além dos amortecimentos relativos e absolutos, existem, ainda, dois anéis
amortecedores (Cr(1) e Cr(2)) localizados na extremidade oposta ao volante do motor
cuja principal função é reduzir a amplitude de vibração no eixo. O cálculo de sua
constante de amortecimento é análogo ao visto na fórmula anterior. Seu fator de perda
utilizado é d=0,25.
Desse modo, a matriz de amortecimento relativo possui a seguinte configuração.
Ela deve ser adicionada à matriz absoluta, que pode ser vista baixo.
Assim, os parâmetros do sistema discreto puderam ser calculados.
23
6 Estudo de Caso
Para análise de um virabrequim que serviu como modelo escolheu-se um motor
diesel de 6 cilindros em linha, com 191 kW a 2500 rpm com as seguintes informações
[11].
Sequência de ignição: 1-5-3-6-2-4;
Sentido de rotação: Anti-horário, visto pelo volante;
Comprimento da biela: 207 mm;
Diâmetro do pistão: 105 mm;
Meio curso do pistão: 68,5 mm;
Torque máximo: 900 Nm a 1300 rpm;
Potência máxima: 191 kW a 2500 rpm;
Rotação máxima do motor: 2850 rpm;
Fator de perda da borracha do amortecedor: 0,25
Fator de perda do motor: 0,035
Já os parâmetros do modelo que caracterizam a equação (3.6) foram calculados
conforme o estudo teórico realizado na seção (5.1).
Inércias [Kg.m2]:
I(1): 0,123
I(2): 0,0273
I(3): 0,035
I(4): 0,014
I(5): 0,0468
I(6): 0,0328
I(7): 0,0468
I(8): 0,0468
I(9): 0,0328
I(10): 0,0488
I(11): 1,699
24
Esses valores representam a inércia total do sistema, ou seja, a inércia da parte
rotativa mais a alternativa.
Rigidez torcional [N.m/rad]:
Kt1: 105000
Kt2: 150000
Kt3: 1064000
Kt4: 1510000
Kt5: 1254000
Kt6: 1254000
Kt7: 1254000
Kt8: 1254000
kt9: 1254000
Kt10: 2089000
Coeficientes de amortecimento absoluto [N.m.s/rad]:
Ca(1): 6
Ca(2): 6
Ca(3): 6
Ca(4): 6
Ca(5): 6
Ca(6): 6
Coeficientes de amortecimento relativo [N.m.s/rad]:
Cr(1): 43,741
Cr(2): 30,116
Cr(3): 62,054
Cr(4): 88,065
Cr(5): 73,135
Cr(6): 73,135
Cr(7): 73,135
Cr(8): 73,135
Cr(9): 73,135
Cr(10): 121,833
25
Definidas a metodologia e os parâmetros do modelo, pôde-se realizar os cálculos
para descobrir o comportamento da vibração torcional da árvore de manivelas.
26
7 Resultados e Discussões
O cálculo da frequência natural do sistema pôde então ser feito a partir da
equação (3.6) com base nos parâmetros calculados na seção 6. A figura a seguir ilustra a
sequência dos procedimentos.
Figura 10: Sequência de procedimentos
Obtenção dos
Parâmetros de entrada
Cálculo das frequências
naturais (sem trinca)
Kt = f(Área da trinca)
Cálculo das frequências
naturais (com trinca)
Atualização do modelo
27
Para o cálculo da frequência natural, todos os amortecimentos foram
desprezados. Foram consideradas apenas as inércias e as rigidezes torcionais, vide
figura abaixo.
Figura 11: Modelo sem amortecimento para o cálculo da frequência natural
Figura 12: Modelo computacional utilizado no programa ANSYS
As seguintes frequências naturais foram obtidas:
Tabela 1: Frequência natural sem trinca
Modo 1 2 3 4 5 6
Frequência [Hz] 95,513 198,18 303,87 568,17 876,16 1088,5
Os valores para os dois primeiros modos de vibração mostraram-se um pouco
distantes daqueles obtidos por MENDES [11], com cerca de 15% de discrepância para
menos. Não se sabe o motivo de tamanha variação de resultados. No entanto, devido à
falta de tempo hábil, foi decidido por dar prosseguimento ao projeto mesmo assim.
28
Ao ser simulada a ocorrência de trinca, a rigidez se comporta de acordo com a
figura abaixo.
Figura 13: Rigidez x % Área da trinca [1º Modo]
Desse modo, sabendo-se como a rigidez torcional varia em função da área da
trinca, o modelo de parâmetros concentrados pôde ser atualizado, fornecendo, como
dados de saída as frequências naturais para essa condição. Esse processo é iterativo e foi
realizado para todos os cilindros do motor.
Portanto, agora é possível entender como que a presença de uma trinca afeta a
frequência natural de vibração torcional do sistema. Ao simular a presença de trinca no
1º cilindro, que fica ao lado das engrenagens do motor, o seguinte comportamento foi
observado.
11,6
11,8
12
12,2
12,4
12,6
12,8
13
13,2
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Rig
ide
z to
rcio
nal
[M
N.m
/rad
]
% área de trinca
K x Área (30°)
29
Figura 14: Frequência natural x % Área de trinca [1º Modo]
Figura 15: Frequência natural x Rigidez [1 modo]
Percebe-se que o comportamento da curva na figura (14) é semelhante ao
comportamento da figura (13). Com isso, é fácil observar que a relação entre fn e Kt é
aproximadamente linear (figura 15).
Para o primeiro modo de vibração livre as frequências naturais foram calculadas,
e mostradas a seguir, para todos os graus de liberdade em que se simulou a existência de
trinca.
95,250
95,300
95,350
95,400
95,450
95,500
95,550
0 10 20 30 40 50
Fre
qu
ên
cia
Nat
ura
l [H
z]
% Área da trinca
1º modo
95,250
95,300
95,350
95,400
95,450
95,500
95,550
1.120.000 1.160.000 1.200.000 1.240.000 1.280.000
Fre
qu
ên
cia
nat
ura
l [H
z]
Rigidez [N.m/rad]
1º modo
30
Figura 16: Frequência natural x Rigidez do 1º modo de vibração, para todos os
cilindros
Figura 17: Frequência natural: 1º modo
95,250
95,300
95,350
95,400
95,450
95,500
95,550
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Fre
qu
ên
cia
nat
ura
l - 1
º m
od
o [
Hz]
% Área de trinca
1º Modo
Kt(5)
Kt(6)
Kt(7)
Kt(9)
Kt(8)
31
No gráfico da figura (16), percebe-se a baixa variação de fn para todos os graus
de liberdade analisados. Todos possum comportamento indêntico. No entanto, é curioso
observar que os GL posicionados mais próximos do amortecedor 1 foram os que
apresentaram menor mudança de fn. Isso ocorre porque nesse modo de vibração, o
amortecedor (que também possui inércia) é o grau de liberdade deslocado (figura 17).
À mesma conclusão pode-se chegar no 2º modo de vibração (figura 18). A
diferença é que no 2º modo quem atua é o anel amortecedor 2.
Figura 18: Frequência natural x %Área de trinca
196,600
196,800
197,000
197,200
197,400
197,600
197,800
198,000
198,200
0 10 20 30 40 50
Fre
qu
ên
cia
nat
ura
l - 2
º m
od
o [
Hz]
% Área de trinca
2º Modo
Kt(5)
Kt(6)
Kt(7)
Kt(9)
Kt(8)
Polinômio (Kt(7))
32
8 Conclusão
A pesquisa bibliográfica permitiu entender problemas e falhas relacionados a
vibrações torcionais em árvores de manivelas e os métodos aplicados por outros para se
chegar a soluções que reduzissem o nível de vibrações no sistema. Esse estudo criou
também a base necessária para a utilização da própria metodologia.
De acordo com os resultados analisados, pode-se verificar que a metodologia
utilizada atendeu às expectativas, ao relacionar a possibilidade de existência de trincas
na árvore de manivelas com a variação da frequência natural de vibração torcional.
Notou-se uma relação aproximadamente quadrática entre as grandezas.
A frequência natural é muito importante de ser calculada já que permite
identificar condições de ressonância. Um motor, ao ter sua frequência natural alterada
pode passar a operar em condições de ressonância ou próximas a ela, gerando grandes
amplitudes de movimento.
As hipóteses e simplificações adotadas foram consideradas satisfatórias, como a
utilização de modelo de parâmetros concentrados para representar um sistema contínuo.
Assim, o método aqui apresentado pode ser estendido a outros casos de estudo e
pode servir como base para sistemas mais complexos que considerem condições
forçantes.
33
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