GEOMETRIA PLANA

Estudo das figuras planasProfª:Jaquicele Costa- Matemática

CONCEITOS PRIMITIVOSPonto ,reta e plano- Noções primitivas adotas sem definição.Note que:-Pontos são representados por letras maiúsculas. Retas são representadas por letras minúsculas. Planos são representados por letras do alfabeto grego.

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POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO

Concorrentes Coincidentes

r

s

rs

Paralelas

r

s

DUAS RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL

As cores correspondem a congruência dos ângulos.

TRIÂNGULO :UM POLÍGONO DE TRÊS LADOS

Classificação quanto aos lados:

EQUILATERO- 3 lados congruentes(=); ISOSCELES-2 lados congruentes(=); Teorema do triângulo isósceles- Se um

triângulo é isósceles, os ângulos da base são congruentes.

ESCALENO-3 lados não congruentes(≠).

Classificação quanto aos ângulos:RETÂNGULO- têm um ângulo reto;OBTUSÂNGULO- têm um ângulo obtuso;ACUTÂNGULO- têm todos os ângulos

agudos.

SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS DE UM TRIÂNGULO

Em qualquer triângulo a soma das medidas dos ângulos internos é 180° e dos ângulos externos é 360°.

Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos 2 ângulos internos não adjacentes.

CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

CASOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

Onde:L - lado.A - ângulo junto ao lado.Ao - ângulo oposto ao lado.Caso especial (CE).Dois triângulos retângulos são congruentes se têm as hipotenusas congruentes e um cateto de um triângulo é congruente a um cateto do outro triângulo

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Definição:Dois triângulos são semelhantes se têm os ângulos dois a dois congruentes e os lados correspondentes dois a dois proporcionais

A posição de cada elemento do triângulo (lado ou ângulo) no desenho é muito importante na caracterização do caso de congruência.

L.A.L. - dois lados e o ângulo entre eles. A.L.A. - dois ângulos e o lado entre eles.

CASOS DE SEMELHANÇA1)Caso AA- Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos (AA) de um deles são congruentes a dois ângulos do outro.

3)Caso LAL- Dois triângulos são semelhantes se têm um ângulo congruente e os dois lados de um triângulo adjacentes ao ângulo são proporcionais aos dois lados adjacentes ao ângulo do outro triângulo.

2)Caso LLL- Dois triângulos são semelhantes se têm os três lados dois a dois ordenadamente proporcionais.

Teorema Fundamental: Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro .

Se a reta paralela a um dos lados intercepta os outros dois nos respectivos pontos médios,qual a relação das bases paralelas

C

COMO APLICAR A SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Reconhecer a semelhança através dos "casos de semelhança".

Desenhar os dois triângulos separados. Chamar de a, b e g os três ângulos de cada

triângulo. Escolher um triângulo para ser o numerador

da proporção. Montar uma proporção entre segmentos

correspondentes, mantendo sempre o mesmo triângulo no numerador da proporção.

EXERCÍCIO 1 Na figura abaixo o segmento DE é paralelo à

base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a medida de DE é 8 cm. Determine as medidas dos segmentos AD e AE.

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

Circunferência é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano é igual a uma distância (não nula) dada. O Ponto dado é o centro e a distância dada é o raio da circunferência. Círculo (ou disco) é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano é menor ou igual a uma distância não nula dada.

Elementos:

Propriedade da secante: Se uma reta s, secante a uma circunferência, não passa pelo centro O, intercepta a circunferência nos pontos distintos A e B, e se M é o ponto médio da corda AB, então a reta OM é perpendicular á secante s(ou á corda AB).

. Uma reta secante a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em dois pontos distintos.

Propriedade da tangente: Toda tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência num ponto único.

Se de um ponto P conduzirmos os segmentos PA e PB, ambos tangentes a uma circunferência, com A e B na circunferência então PA=PB.

Um ângulo inscrito é a metade do ângulo central correspondente ou a medida de um ângulo inscrito é metade da medida do arco correspondente, assim na figura abaixo = /2 ou =arco (a, b) /2.

ÂNGULO CENTRAL E ÂNGULO INSCRITO

DEMONSTRAÇÃO

CONSEQUENCIA:todo ângulo inscrito numa semicircunferência, com os lados passando pelas extremidades, é ângulo reto, consequentemente, se um triângulo inscrito numa semicircunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele é triângulo retângulo.

ÁREAS DE SUPERFÍCIES PLANAS

1-Qual o valor aproximado de π(PI):a)3,34...b)3,44...c)3,14...d)3,24...e)Não sei

2-Uma circunferência tem raio r ,qual o valor do comprimento:

a)Πrb) πr2

c)2Πrd)2πr2 e)não sei

3-Um prédio tem sombra, pela luz solar, projetada no solo horizontal com 70 m. Simultaneamente um poste de 8m de altura localizado nas proximidades deste prédio também tem sua sombra projetada no solo. Sabendo que neste instante os raios solares fazem um ângulo de 45° com o solo, calcule a altura do prédio e a sombra do poste que, respectivamente, são:

A) 70 m e 8 mB) 35 m e 8 mC) 70 m e 4 mD) 35 m e 4 mE) 20 m e 8 m

4-Um prédio tem sombra, pela luz solar, projetada no solo horizontal com 70 m. Simultaneamente um poste de 8m de altura localizado nas proximidades deste prédio tem sombra do mesmo tipo com 14 m. Calcule a altura do prédio.

A) 10 m B) 20 mC) 35 mD) 40 mE) 80 m

5-(UERJ) Se um polígono tem todos os lados com medidas iguais, então todos os seus ângulos internos têm medidas iguais. Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-seusar como exemplo a figura denominada:

a) triângulo equilátero;b) losango;c) trapézio;d) retângulo;e) quadrado.

6-(VUNESP-SP) Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de um setor circular com raio de 1 cm, como mostra a figura.

A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", eo ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do"monstro", em cm, é:a) π - 1b) π + 1c) 2 π - 1d) 2 πe) 2π + 1

7-(UCS-RS) A razão entre os comprimentos daLinha do Equador e do diâmetro da Terra é igual àrazão entre os comprimentos de uma circunferênciaqualquer e de seu diâmetro. Essa afirmação é:

a) verdadeira, e a razão referida vale π / 2.b) verdadeira, e a razão referida vale π.c) verdadeira, e a razão referida vale 3 π / 2.d) verdadeira, e a razão referida vale 2 π.e) falsa.

8-Qual a área da coroa circular abaixo :

a) 2 π cm2

b) 40π cm2

c) 20π cm2

d) 22 π cm2

e) Não sei

9-Na figura abaixo, a medida de a, em função de b, c, e d, é :

10-(UFLa-MG) Amarre um barbante, bem ajustado,em volta de uma bola de futebol. Agora amarre um barbante, bem ajustado, em volta de uma bola de gude. Se você aumentar 1 m no comprimento de cada um dos dois barbantes e fizer uma circunferência com cada um deles, haverá uma folga d1 entre a bola de futebol e o primeiro barbante e uma folga d2 entre a bola de gude e o segundo barbante.Assinale a alternativa correta.

GABARITO1)C2)C3)A4)D5)B6)E7)B8)B9)D10)D

(ENEM 2010) O jornal de certa cidade publicou em uma página inteira a segunda divulgação de seu caderno de classificados

Para que a propaganda seja fidedigna á porcentagem da área que aparece na divulgação ,a medida do lado do retângulo que representa os 4%,deve ser de aproximadamente:a)1 mmb)10 mmc)17 mmd)160 mme)167 mm

VERSO DA FOLHA

REFERÊNCIAS http://www.colegioweb.com.br/matemati

ca/criterios-de-congruencia-.html http://www.profcardy.com/exercicios/ass

unto.php?assunto=Semelhan%E7a%20de%20Tri%E2ngulos

http://www.fisicanaveia.com.br/geojeca/Geo_Jeca_Plana.pdf