ESTUDO DAS FUNÇÕES ELEMENTARES [Parte 1]julio.tomio/Calculo 1/Mat Ensino 02... · Uma função...

IFSC / Funções de 1º e 2º Grau Prof. Júlio César TOMIO

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ESTUDO DAS FUNÇÕES ELEMENTARES [Parte 1]

Função Polinomial do 1º Grau [ou Função Linear]

Introdução e Conceitos Básicos

Vamos analisar os casos considerados abaixo:

[Caso 1] Certo encanador cobra pelo seu serviço da seguinte forma:

Um valor fixo de R$ 50,00 [valor inicial] mais uma taxa de R$ 10,00 por hora trabalhada.

Assim, fazendo uma simulação de alguns trabalhos para termos uma noção melhor de valores, temos:

Valor cobrado por um encanador em função do tempo de serviço

Tempo de Serviço “x” [h] Valor Cobrado “V” [R$]

0 50 50 = 10.(0) + 50

1 60 60 = 10.(1) + 50

2 70 70 = 10.(2) + 50

3 80 80 = 10.(3) + 50

4 90 90 = 10.(4) + 50

Observe na tabela acima que para cada tempo de serviço realizado temos um acréscimo de R$ 10 [no valor inicial] para cada hora trabalhada. Dizemos assim que a função em questão tem uma taxa de variação constante de 10 reais/hora. Observamos ainda que o valor “V”, cobrado pelo serviço, aumenta quando o número de horas trabalhadas “x” aumenta. Para este comportamento, dizemos que V(x) é uma função crescente. Portanto a função pode ser assim definida: V = 50 + 10x ou ainda V(x) = 10x + 50

[Caso 2] Um recipiente com água, à temperatura de 15ºC é levado a uma câmara frigorífica [controlada] e observa-se que, a cada 1 minuto, a temperatura diminui 2ºC. De acordo com os dados, forneça a lei (fórmula) que representa a variação de temperatura em função do tempo.

Resolução: Tempo inicial [t0] : 0 min Temperatura inicial [T0] : 15ºC

15 = 15 – 2.(0)

13 = 15 – 2.(1)

11 = 15 – 2.(2)

09 = 15 – 2.(3)

Perceba que cada temperatura da tabela acima é dada pela temperatura inicial menos um decréscimo de 2ºC por minuto. Assim, podemos dizer que a taxa de variação da temperatura pelo tempo é constante e equivale a –2ºC/min. [O sinal negativo na taxa indica que a temperatura “T” diminui quando o tempo “t” aumenta]. Desta forma, como a temperatura decresce com o passar do tempo, dizemos que a temperatura é uma função decrescente do tempo. Por tudo isso, concluímos que a lei que relaciona o aumento de temperatura em função do tempo é:

T(t) = 15 – 2t , sendo esta, a solução do problema em questão.

Observação:

As funções apresentadas nos casos acima são funções que têm taxa constante de crescimento ou decrescimento. Uma função é dita do 1º grau (ou linear) se sua taxa de variação é a mesma em toda parte ou momento. O fato da taxa de variação ser constante faz com que a representação gráfica destas funções seja uma RETA*, com uma inclinação única, que depende diretamente da taxa de variação.

Comentário:

Quando se conhece a função (fórmula matemática) de um determinado fenômeno, torna-se possível compreendê-lo melhor e mais precisamente; construindo uma representação gráfica (caso não se tenha), fazendo estimativas futuras (dependendo da situação) e entendendo a relação existente entre as variáveis envolvidas, como a taxa de variação, entre outras informações.

[*] Dependendo do domínio da função do 1º grau, graficamente podemos ter: uma reta, um segmento de reta, uma semi-reta, ou ainda, um conjunto “discreto” [finito ou infinito] de pontos alinhados.

Tempo [min] Temperatura [ºC]

0 15

1 13

2 11

3 09

Valor Cobrado Parte Fixa [valor inicial] Parte Variável

Variável Dependente

Variável

Independente


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Formalização dos Conceitos

Uma função cuja lei de associação é do tipo f(x) = mx + n [ou y = mx + n] com m ℝ* e n ℝ é chamada de

função polinomial do 1º grau, sendo “m” o coeficiente angular e “n” o coeficiente linear da reta que representa esta

função graficamente no sistema cartesiano ortogonal. Veja os exemplos:

52)( xxf

5

2

n

m xxg 7)(

0

7

n

m

3

14)(x

xh

14

3

1

n

m )23()45()( xxL

23

45

n

m

xy

0

1

n

m

3

128)(

xxP

4

3

8

n

m

xxT 1)(

1

1

n

m 0

4

32 yx

8

3

2

1

n

m

Geometricamente, a função polinomial do 1º grau é representada por uma linha reta oblíqua aos eixos coordenados, cortando o eixo das ordenadas no ponto (0 , n).

Veja:

Se m > 0 f(x) é crescente Se m < 0 f(x) é decrescente

y y f(x) f(x)

0 x 0 x

Observações:

O valor da abscissa onde o gráfico corta o eixo “x” denomina-se raiz ou zero da função e indicaremos por x’. A raiz da

função pode ser determinada algebricamente fazendo f(x) = 0. Observe que o ponto de encontro da reta com o eixo das

abscissas tem a forma (x’, 0) e por isso podemos chamar também a raiz x’ de “intercepto x”.

O valor de n na função, denominado coeficiente linear, também é a ordenada do ponto (0 , n) onde o gráfico corta o

eixo “y” e por isso também podemos chamá-lo de “intercepto y”.

Veja: Substituindo x = 0 em f(x) = mx + n temos: f(0) = m(0) + n

f(0) = 0 + n f(0) = n ( 0 , n )

O gráfico de uma função polinomial do primeiro grau também pode ser representado por “variações” da reta, ou seja, por

uma semi-reta, por um segmento de reta ou ainda por um conjunto finito [ou infinito] de pontos colineares. Essas

configurações gráficas dependerão do domínio associado à referida função, como já estudado anteriormente.

Nos dois casos gráficos genéricos apresentados acima, temos que: D = ℝ e Im = ℝ.

Raiz ou zero

da função

n

x’

Raiz ou zero

da função

n

x’

coeficiente angular

ou

taxa de variação [constante]

coeficiente linear

ou

intercepto “y”

f(x) = mx + n


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Exemplos:

1) Uma barra de aço que se encontrava inicialmente a 30ºC foi resfriada [num ambiente “controlado”] durante 7 minutos. A função que descreve esse fenômeno linear é: f(x) = – 6x + 30. Abaixo, temos a sua representação gráfica, mostrando a variação da temperatura da barra em função do tempo, durante o resfriamento. Resposta (c): Analisando o gráfico acima, podemos escrever:

D = { x ℝ | 0 x 7 } e Im = { y ℝ | –12 y 30 }

Note que a função do problema em questão é decrescente. (observe que a taxa de variação [m] é negativa)

[O exemplo acima foi adaptado do livro: PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática: conceitos, linguagem e aplicações. v.1. 1.ed. São Paulo: Moderna, 2002]

2) Faça um “esboço” [representação simplificada] do gráfico das funções f : ℝ ℝ, definidas por:

a) f(x) = 2x b) f(x) = 3x c) f(x) = 4x

d) f(x) = –2x e) f(x) = –2x + 3 f) f(x) = –2x – 3

Pergunta-se:

a) A cada minuto decorrido, quanto varia a temperatura da barra? (trata-se da taxa de variação)

b) Depois de quanto tempo após o início do resfriamento, a temperatura da barra atingiu 0º C?

c) Qual o domínio e o conjunto imagem de tal situação?

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

7

tempo (min)

Temperatura (ºC)

–12

30

0


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g) f(x) = x – 1 h) f(x) = 2x – 3 i) f(x) = 3x + 4

3) Construa o gráfico das funções f : D ℝ, definidas por:

a) f(x) = 2x com D = ℝ

b) f(x) = 2x + 1 com D = ℝ

c) f(x) = –3x + 4 com D = ℝ [apresentando os interceptos “x” e “y”]

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y


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d) f(x) = 3x + 6 com D = ℝ [apresentando os interceptos]

e) f(x) = 3x – 6 com D = ℝ [apresentando os interceptos]

f) f(x) = –2x – 6 com D = [ –1 , 2 [

Neste caso temos que: Im = ] –10 , – 4 ]

g) f(x) = –2x – 6 com D = [ –1 , + [

Neste caso temos que: Im = ] – , – 4 ]

x f(x)

–1 – 4

2 –10

x f(x)

–1 – 4

2 –10

x

y

x

y

y

– 4

2

–1

–10

x

y

– 4

2

–1

–10

x


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h) f(x) = x com D = { –2 , 0 , 1 , 3 }

Neste caso temos que: Im = { –2 , 0 , 1 , 3 }

Nota: A função f(x) = x é conhecida como Função Identidade.

Além disso, ela representa a “bissetriz dos quadrantes ímpares” do plano cartesiano ortogonal, quando D = ℝ. Observações:

As funções do 1º grau do tipo f(x) = mx + n são chamadas de funções afins. [m 0 e n 0]

As funções do 1º grau do tipo f(x) = mx são chamadas de funções lineares. [m 0 e n = 0]

Vale relembrar que, numa função f(x) = mx + n,

O coeficiente angular da reta “m” pode ser chamado de declividade da reta, ou ainda, de taxa de variação.

O coeficiente linear da reta “n” pode ser chamado de intercepto y.

A raiz (ou zero) da função também pode ser chamada de intercepto x.

Determinação da função do 1º grau a partir do seu gráfico

Inicialmente vamos relembrar algumas relações associadas ao coeficiente angular da reta.

Calculando o coeficiente angular “m” através do gráfico:

Conhecendo o ângulo [inclinação] formado entre a reta “r” e o eixo “x” [no sentido anti-horário], usa-se: tgm

ou

Conhecendo dois pontos A(xA , yA) e B(xB , yB) pertencentes à reta “r”, usa-se: x

ytgm

x’ 0 xA xB

r Considerações Importantes:

Para escrevermos uma função do 1º grau [fórmula matemática] é necessário conhecer basicamente:

dois pontos quaisquer da reta “r”, ou

um ponto da reta “r” e o seu coeficiente angular (m), ou

os coeficientes angular (m) e linear (n) da reta “r”.

x f(x)

–2 –2

0 0

1 1

3 3

Observações:

Variação da inclinação da reta de uma função

do 1º grau: 1800 com º90 .

Se = 0 m = 0 tem-se neste caso uma

“função constante” [reta paralela ao eixo “x”].

AB

AB

xx

yym

n

yB

yA

y

x

B

A

Raiz ou zero da função

y

x

3

–2

1

0

1

3

x

y

–2


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De forma mais detalhada, temos: Para determinarmos uma função do 1º grau, conhecendo dois pontos A(xA , yA) e B(xB , yB) pertencentes à reta que a

representa graficamente, podemos utilizar dois métodos:

# Substituir as coordenadas dos pontos A e B sucessivamente na expressão y = mx + n e encontrar os valores de “m” e “n” resolvendo o sistema de equações assim gerado.

# Substituir as coordenadas dos pontos A e B em 0

1

1

1

BB

AA

yx

yx

yx

. Resolvendo esse determinante, teremos a função procurada.

Para determinarmos uma função do 1º grau, conhecendo um ponto P(xP , yP) e o coeficiente angular “m” da reta que a

representa graficamente, podemos utilizar:

)( PP xxmyy Daí, substituindo as coordenadas de P e o valor de “m”, teremos então a função procurada.

Para determinarmos uma função do 1º grau, conhecendo o coeficiente angular “m” e o coeficiente linear “n” da reta que

a representa graficamente, podemos simplesmente utilizar:

nmxy Daí, substituindo os valores de “m” e “n” nessa expressão, teremos então a função procurada.

Posições relativas entre duas retas Considerando duas funções representadas graficamente pelas retas r: y = mr x + nr e s: y = ms x + ns tem-se:

Retas Paralelas: Se r // s smrm

Retas Concorrentes: Se sr smrm

Observação: Retas Perpendiculares [Um Caso Particular de Retas Concorrentes]

Se sr

sr

mm

1 ou ainda 1 sr mm

Exemplos:

1) Determine a função geradora do gráfico abaixo:

Notas:

Analisando o gráfico acima, podemos escrever: D = ℝ e Im = ℝ

A função do 1º grau em questão pode ser classificada como crescente (observe que a taxa de variação [m] é positiva).

0 3

1

– 9

– 2

y

x


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2) O valor de uma máquina hoje é de US$ 10.000,00 e estima-se que daqui a 6 anos seja US$ 1.000,00. Pergunta-se:

a) Qual a função (fórmula matemática) que representa o fenômeno em questão, sabendo que a desvalorização é linear? b) Qual a taxa de depreciação (variação do valor “y” em relação ao tempo “x”) da referida máquina? c) Qual o valor da máquina após 4 anos? d) Qual o Domínio e o conjunto Imagem desta situação?

D = { x ℝ | 0 x 6 } Resposta (d):

Im = { y ℝ | 1.000 y 10.000 }

Observação:

A função do 1º grau em questão pode ser classificada como decrescente (observe que a taxa de variação [m] é negativa).

3) Sabe-se que uma reta, no sistema de coordenadas cartesianas, passa pelo ponto )4,3(P e tem inclinação de 150º.

a) Construa o gráfico desta função.

b) Determine o coeficiente angular da função. c) Escreva a função [fórmula matemática] em questão. d) Determine a raiz da função [intercepto “x”]. a)

Nota:

A raiz [ou zero] de uma função do 1º grau da forma nmxy também pode ser encontrada através da relação: m

nx .

y

x 0

tempo x (anos)

Valor y (US$)

10.000

1.000

6 0


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4) Certo encanador A cobra por serviço feito um valor fixo de R$ 60,00 mais R$ 10,00 por hora de trabalho. Um outro encanador B cobra um valor fixo de R$ 40,00 mais R$ 15,00 por hora de trabalho.

a) Construa o gráfico das duas funções (valor cobrado “y” em função do tempo “x”) num mesmo plano cartesiano. b) Considerando o menor custo para a realização de um trabalho, analise as vantagens na contratação do serviço dos encanadores.

5) Sabendo que reta “r” passa pelo ponto P(2, –8) e é paralela à reta “s”, que tem equação s: 6x + 2y = 18, determine a função que representa a reta “r”.

Exercícios – Função Polinomial do 1º grau 1) Construa, no sistema cartesiano ortogonal, os gráficos das funções dadas por:

a) 2

1 xy f) xxg 1)(

b) 52)( xxf g) 4

xy

c) 032 yx h) xy 3 com D = [ –2, + [

d) 325

9 CF i) 22)( xxh com D = [ –1, 2 [

e) 3)( xxf j) xy 31 com D = { x ℝ | x 0 }

y (R$)

x (horas) 0

r

0

y

x

2

–8 P

s


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2) Construa, num mesmo sistema cartesiano ortogonal, os gráficos das funções dadas por f(x) = x e g(x) = – x.

3) Construa, num mesmo plano cartesiano, os gráficos de xxf )( , xxg 2)( , xxh 3)( e xxj2

1)( considerando

para todos D = [–2 , 2] e ao final, observe o comportamento da posição das retas.

4) Construa, num mesmo plano, os gráficos das funções dadas por: xxf )( , 1)( xxg , 2)( xxh e 1)( xxj

considerando para todas D = ℝ e ao final, observe o comportamento da posição das retas.

5) Duas operadoras de telefonia celular apresentam planos similares para seus usuários. O plano da operadora “V” tem uma mensalidade no valor de R$ 25,00 e uma tarifa de R$ 0,70 por minuto em ligações locais. O plano da operadora “T” tem custo de R$ 0,50 por minuto para ligações locais e uma mensalidade no valor de R$ 30,00. Utilizando seus conhecimentos sobre função polinomial do 1º grau e considerando somente ligações locais, conclui-se que:

a) O plano da operadora T é melhor, independentemente do tempo de uso do telefone em um mês;

b) O plano da operadora V é mais vantajoso somente para um uso mensal maior que 25 min;

c) Para um uso mensal acima de 25 min, os dois planos têm um mesmo custo;

d) O plano da operadora V é mais vantajoso somente para um uso mensal menor que 25 min

e) Se nenhuma ligação for realizada no período de um mês, o plano da operadora T tem custo mensal inferior ao plano da operadora V.

6) Determine a função geradora de cada um dos gráficos a seguir. a) b) c) d) e)

7) [GIOVANNI] Determine o valor de p de modo que o gráfico da função f(x) = 3x + p – 2 intercepte o eixo y no ponto de ordenada 4.

8) Determine as funções do 1º grau que atendem as condições dadas:

a) Tem coeficiente angular igual a –2 e intercepto y igual a 4. b) A reta é paralela à reta y = 4x – 2 e o seu intercepto y é 7. c) A reta é paralela à reta 3x + 2y = 5 e passa pelo ponto (–1, 2). d) A reta é perpendicular à y = 5x + 9 e o seu intercepto y é 6. e) A reta é perpendicular à x – 4y = 7 e passa por (3 ,– 4). f) A reta passa pelos pontos (2, 4) e (1, –7). g) A reta passa por A(–3, 6) e por B(–2, 1). h) O intercepto y é 2 e o intercepto x é – 4. i) A reta tem coeficiente angular 2 e a raiz da função é 3. j) A reta é paralela ao eixo y, passando pelo ponto (–2, –3). k) A reta é perpendicular ao eixo y e passa pelo ponto (– 4, 1).

9) [GIOVANNI] Determine “m” de modo que o gráfico da função g(x) = –2x + 4m + 5 intercepte o eixo x no ponto de abscissa 3.

10) [GIOVANNI] Sabendo que a função y = mx + n admite 3 como raiz e f(1) = – 8, calcule os valores de m e n.

Observações:

Note que a reta em “j” NÃO é uma

função.

A reta em “k” é uma função que

chamamos de CONSTANTE.

0

y

x 3

2

–2 ●

●

y

x

●

●

4

2 0

0

6

2

●

y

x ●

30º

3 0

y

x ●

45º

y

x –2

● 1

0


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11) Dada as equações r: 2x – y – 1 = 0 e s: x – y = 2 , determine:

a) O ponto de intersecção das retas r e s;

b) Os pontos de encontro das retas com os eixos coordenados. 12) [GIOVANNI] Dadas as funções f(x) = ax + 4 e g(x) = bx + 1,

calcule os valores de “a” e “b” de modo que os gráficos dessas funções se interceptem no ponto (1 , 6).

13) Observando o gráfico ao lado, determine as equações das retas (funções); as coordenadas do ponto P e os zeros das funções.

14) [GIOVANNI] Considerando as funções f(x) = 8 – x e g(x) = 3x, determine:

a) as raízes das funções “f” e “g” dadas; b) as coordenadas do ponto P, que representa a interseção das retas em questão; c) qual a classificação [crescente ou decrescente] para cada uma das funções.

15) O custo C(x) de produção de “x” litros de certa substância é dado por uma função linear, cujo gráfico está representado ao lado. Nestas condições, pergunta-se:

a) O custo de R$ 700,00 corresponde à produção de quantos litros?

b) Qual a taxa de variação do custo em função da produção?

16) O gráfico ao lado apresenta uma situação de frenagem, onde a velocidade do veículo varia em função do tempo. Sendo assim, responda:

a) Qual a taxa de variação da velocidade em função do tempo? b) Qual a velocidade do veículo no instante 3s? c) O que acontece com o veículo após 5s de frenagem? d) Qual o Domínio e o Conjunto Imagem do problema? Nota: Para se ter uma melhor noção da velocidade (neste caso), podemos convertê-la de m/s para km/h, que é a unidade mais utilizada em nosso cotidiano. Para isto, basta multiplicar o valor da velocidade em m/s por 3,6 que teremos o resultado em km/h.

RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 1a) 1b) 1c) 1d) 1e)

1f) 1g) 1h) 1i) 1j)

y

x

●

●

5

5/2 0

y

x

0 3

–3/2 ●

●

y

x

●

●

1/2 1/2

0

y

x

0

6

–2 ●

y

x

– 4 ●

–1

0 –1

F

C

–160/9

●

0

32

●

y

x –3

● 3

0 ●

y

x –1 ●

●

0

–1

y

x 2 –1

6

2 ●

y

x

4

–1 ●

●

0

x

y P

–2

– 4

2

f

g

2

1

Custo (R$)

x (Litros) 0

400

8

520

v (m/s)

t (s) 0 5

20


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2) 3) 4)

5)

6a) 5

4

5

2xy 6b) y = –2x + 4 6c) y = 3x 6d) 3

3

x3y utilizando valores tabelados 6e) y = x + 3

7) p = 6 8a) f(x) = –2x + 4 8b) f(x) = 4x + 7 8c) 2

1

2

3xf(x) 8d) 6

5

xf(x) 8e) f(x) = – 4x + 8

8f) f(x) =11x – 18 8g) f(x) = – 5x – 9 8h) 22

xf(x) 8i) f(x) = 2x – 6 8j) x = – 2 [não é função, é apenas uma relação]

8k) f(x) = 1 [É uma função constante que pode ser considerada função do 1º grau] 9) m = ¼ 10) m = 4 e n = –12

11a) r s = (–1, –3) 11b) r eixo x = (1/2, 0) e r eixo y = (0, –1) 12) a = 2 e b = 5

s eixo x = (2 , 0) e s eixo y = (0, –2)

13) f(x) = 2x2

1 e g(x) = 2

2

3x / P(4 , 4) / raiz de f(x): x = – 4, raiz de g(x): x =

3

4

14a) raiz de f(x): x = 8, raiz de g(x): x = 0 14b) P(2 , 6) 14c) f(x) é decrescente e g(x) é crescente.

15a) 20 litros 15b) +15 reais/Litro (que é o coeficiente angular da função) 16a) – 4 m/s2 (que é o coef. angular) 16b) 8 m/s

16c) Sua velocidade torna-se “zero”, ou seja, o veículo para. 16d) D = { t ℝ | 0 t 5 } e Im = { v ℝ | 0 v 20 }

Para refletir: Não corrigir nossas faltas é o mesmo que cometer novos erros. [Confúcio]

Função Constante

A função constante é um caso particular da função de 1º grau. Vamos analisar os casos considerados abaixo:

[Caso 1] Em diversas áreas do conhecimento humano, podemos representar vários fenômenos graficamente. Na Física, temos como exemplo o movimento uniforme (MU) que é o movimento caracterizado por manter um móvel sempre com a mesma velocidade, ou seja, constante. No gráfico (v x t) ao lado, temos a representação de um veículo em MU, num intervalo de 5h e a uma velocidade constante de 30 km/h.

Pode-se escrever então a função: v(t) = 30 ou f(x) = 30.

Matematicamente se tem: D = [0 , 5] e Im = { 30 }.

V(x) = 0,7x + 25

T(x) = 0,5x + 30

Resposta: “d”

R$

min 25

● 42,50

0

30,00

25,00

V

T

y

x

–3

● 3

●

3

f(x)

g(x)

45º 45º

Observação [exercício 4]: As retas f, g, h e j são paralelas, pois têm o mesmo coeficiente angular.

●

y

x

1

● 2

● 1

h

j

g f

●

● ● ●

● –1

–2 –1

y

x

1

2

h

j

g

f

–1

–2

2

–2

– 4

– 6

j

f

g

h

4

6

v (km/h)

t (h) 5 0

30


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[Caso 2] Em um determinado ano, uma empresa em expansão contratou 100 funcionários em março e 100 em outubro. Em janeiro deste mesmo ano o número de funcionários era 200. Matematicamente, podemos equacionar esta situação como

sendo uma função f : D ℕ com D = {meses do ano} definida por:

Foi solicitada pelo setor de recursos humanos desta firma uma representação visual, de modo a relacionar os meses do ano com o número de funcionários empregados (meses X funcionários).

Assim temos:

[Caso 3] Vamos considerar que uma Litorina [Automotriz] fará uma pequena viagem partindo de uma estação A até uma estação B. Veja abaixo, a representação gráfica da velocidade pelo tempo de viagem.

Apenas para complementar, no caso acima temos: D = { t ℝ | 0 t 65 } e Im = { v ℝ | 0 v 55 }

Agora observe:

}dezembro,nov embro,outubro{xse400,

}setembro,agosto,julho,junho,maio,abril,março{xse300,

}fev ereiro,janeiro{xse200,

f(x)

v (km/h)

t (min) 65 0

55

10 50

A B

No esquema ao lado, podemos trocar a palavra velocidade por função, e assim identificamos as três partes da função que compõem o gráfico:

Para: 0 t 10 a função é crescente

Para: 10 t 50 a função é constante

Para: 50 t 65 a função é decrescente

Velocidade Constante

Velocidade Decrescente Velocidade Crescente

y g(x) = 2x + 3 [ com m > 0 ]

0

3

x

h(x) = –2x + 3 [ com m < 0 ]

f(x) = 0x + 3 [ com m = 0 ] e simplesmente escrevemos: f(x) = 3

Número de

Funcionários

200

300

400

J F M A M J J A S O N D Meses do ano (20XX)


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Formalizando, temos:

Uma função f : ℝ ℝ cuja lei de associação é do tipo f(x) = n , com n ℝ é chamada de função constante, pois para

qualquer valor atribuído à variável “x”, sua imagem será sempre a mesma, de valor “n”. Podemos acrescentar ainda, que se trata de uma função que não é crescente, nem decrescente, mas sim constante, pois o valor da função f(x) não cresce nem decresce, permanecendo o mesmo, ou seja, sem variar [constante]. Lembre-se que: y = f(x).

Graficamente, tem-se uma reta paralela ao eixo das abscissas, cortando o eixo das ordenadas no ponto (0 , n).

Se n > 0: Se n = 0: Se n < 0:

y y y

n

0 x 0 x 0 x

n

Observações:

Se n = 0, a reta é coincidente com o eixo das abscissas (x), tem-se então que a lei fica sendo f(x) = 0 ou mesmo y = 0.

Vale reforçar que nos casos acima, tem-se que D = ℝ e o conjunto Imagem sempre será do tipo: Im = { n }.

Exemplos:

1) Construa o gráfico da função f(x) = 6 e determine o seu conjunto imagem.

Im = { 6 }

2) Represente graficamente as funções de Domínio Real, indicadas a seguir. g(x) = 14 h(x) = –5 y = 7,2 3) Faça o gráfico de g(x) = – 3 com D = ] –1 , 5 ] e escreva o seu conjunto imagem.

Im = { –3 }

x f(x) f(x) = 0x + 6

–3 6 → f(–3) = 0(–3) + 6 = 0 + 6 = 6

0 6 → f(0) = 0(0) + 6 = 0 + 6 = 6

2 6 → f(2) = 0(2) + 6 = 0 + 6 = 6

Desnecessário fazer! Apenas por motivos didáticos!

y

x 0

y

x 0

y

x 0

y

x

y

x Calcule:

g(0) =

g(5) =

g(–1) =


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4) Construa o gráfico da função:

1xse,2

1xse,13xf(x)

Note que: D = ℝ e Im = { y ℝ | y = – 2 ou y 4 }

5) Uma linha de elevadores de carga é construída conforme as seguintes especificações técnicas:

Quando o elevador tiver capacidade de carga (x) menor ou igual a 1000 kg, será utilizado um conjunto de cabos de aço

de 20 mm de diâmetro para a sua sustentação.

Quando o elevador tiver capacidade de carga (x) maior que 1000 kg e menor que 3000 kg, será utilizado um conjunto

de cabos de aço com 50

xmm de diâmetro para a sua sustentação.

Assim, escreva a função D(x) que define o diâmetro dos

cabos de aço em função da capacidade de carga “x” e construa seu gráfico. [O exemplo acima foi adaptado do livro: PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática: conceitos, linguagem e aplicações. v.1. 1.ed. São Paulo: Moderna, 2002]

Exercícios – Função Constante 1) Construa os gráficos das funções dadas por:

a) f(x) = 4 e) y = 0 com D = { x ℝ | – 4 < x 3 }

b) g(x) = 3

40 com D = ℝ+ f) h(x) = 51

c) y = com D = ℝ g) y = – 7 com D = { x ℝ | x < 6 }

d) y = – 3 com D = [–5 , 2 [

2) Determine o conjunto imagem para cada uma das funções do exercício anterior.

D (mm)

x (kg) 0

Calcule:

f(1) =

f(5) =

f(–3) =

x

y


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3) [GIOVANNI] Em uma cidade, o departamento de água da prefeitura decidiu fazer uma experiência e passou a cobrar as contas de água dos consumidores com preços fixos para intervalos de consumo. Assim, por exemplo, para qualquer consumo inferior a 20m3, a conta será de R$ 18,50. Abaixo, você pode ver a lei de formação utilizada para determinar o valor “V” da conta, em reais, em função do consumo “c”, em metros cúbicos.

50cse59,00

50c20se47,50

20c0se18,50

V (c) Obs.: O consumo é medido mensalmente.

a) Construa o gráfico no plano cartesiano V x c (valor da conta por consumo) determinando o Domínio e o Conj. Imagem. b) Quanto pagará um morador que consumir 20m3 de água em um mês? E se consumir 36,4m3 num mês? c) Qual foi o consumo de uma casa cuja conta apresentou um valor de R$ 59,00? d) Quanto pagou um morador que supostamente não consumiu nenhuma quantidade de água num mês?

4) [PUCCAMP / Adaptada] Ao lado, pode-se ver parte de um gráfico que mostra o valor “y” a ser pago (em reais) pelo uso de um determinado estacionamento por um período de “x” horas. Suponha que o padrão

observado no gráfico não se altere quando “x” cresce. Nestas condições, pergunta-se:

a) Quanto deverá pagar uma pessoa, por utilizar o estacionamento durante meia hora? E durante duas horas?

b) Quanto deverá pagar alguém que estacionar das 8h e 46min até às 11h e 50min?

c) Quanto tempo ficou no estacionamento um carro se o proprietário pagou R$ 8,00?

d) Quanto pagará um indivíduo que estacionar seu veículo das 22h de um dia até às 8h e 30min do dia seguinte?

5) Construa, no sistema cartesiano ortogonal, os gráficos das funções dadas por:

a)

2xse2,

2xse,xf(x) b)

0xse,1

0xse2x,g(x) c)

0xse,10

0xse,10y

d)

1xse3,x

1xse,2xh(x) e)

2xse4,

2x2sex,1

2xse,3

j(x)

RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS

1a) 1b) 1c) 1d)

1e) 1f) 1g) 2a) Im = { 4 }

2b) Im = { – 40/3 }

2c) Im = { }

2d) Im = { 3 }

2e) Im = { 0 }

2f) Im = { 51 }

2g) Im = { –7 }

R$

Horas

6,5

5

3,5

2

0 1 2 3 4

y

x

4

0

y

x 0

– 40/3

y

x 0

y

x

51

0

y

x

– 5 2

3

0

y

x

6

– 7

0

y

x

3

0

– 4


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3a) Valor conta (R$)

0 20 50 Consumo (m3) 5a) 5b) 5c) 5d) 5e)

Para descontrair....

Para refletir: É costume de um tolo, quando erra, queixar-se dos outros. [Sócrates]

3a) D = { c ℝ | c 0 } e

Im = { 18,50 ; 47,50 ; 59,00 }

3b) R$ 47,50 e R$ 47,50

3c) c 50 m3

3d) R$ 18,50

4a) R$ 2,00 e R$ 3,50

4b) R$ 6,50

4c) { x ℝ | 4 < x 5 }

4d) R$ 17,00 4c) { x

ℝ | 4 < x

5 } ) R$ 2,00 e R$ 3,50

3d) R$ 18,50) R$

y

x

–2

–3

–2 –3 0

–1

x

y

1

1

3

– 4

–2 0

2

x

y

2

–1

3

–2

– 4

–2

0

x

y

0

–10

10

x

y

0

–1

1

2

18,50

47,50

59,00


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Tópico Especial: Função do 1º Grau x Progressão Aritmética [PA]

Veja o comparativo:

nmxxf )(

rnaan )1(1

12)( xxf

2)1(1 nan

0x 1)0(2)0( f 1)0( f 1n 2)11(11 a 11 a

1x 1)1(2)1( f 3)1( f 2n 2)12(12 a 32 a

2x 1)2(2)2( f 5)2( f 3n 2)13(13 a 53 a

3x 1)3(2)3( f 7)3( f 4n 2)14(14 a 74 a

4x 1)4(2)4( f 9)4( f 5n 2)15(15 a 95 a

Podemos observar que os valores obtidos são os mesmos [indicados pelas setas verdes]. A diferença está na defasagem dos

valores de x em relação aos valores de n , pois na PA o termo inicial é o “primeiro termo” [ 1n ].

Podemos dizer que uma Progressão Aritmética [PA] é uma Função do 1º Grau com Domínio Natural, ou seja, D = ℕ.

Graficamente, temos:

12)( xxf

2)1(1 nan

Observe que a Função do 1º Grau, além de contínua, pode apresentar valores negativos em seu Domínio, enquanto a Progressão Aritmética sempre iniciará no “primeiro termo”.

Vale comentar ainda que quando quisermos usar o termo “linear” para indicar o crescimento [ou a variação] de uma grandeza em determinado fenômeno, o termo “aritmético” é uma opção de sinônimo [apesar de não ser muito comum]. Veja os exemplos abaixo: ... a quantidade de peças fabricadas por mês está crescendo linearmente...

... a quantidade de peças fabricadas por mês está progredindo aritmeticamente...

Para refletir: O que não se busca de maneira correta não se encontra. [Pensamento retirado de um biscoito da sorte chinês]

an

n

9

7

5

1

0 1 2 3 4

3

5

f(x)

x

9

7

5

1

0 1 2 3 4

3


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Função Polinomial do 2º Grau [Função Quadrática]

Introdução:

Veja a situação-problema abaixo:

Existem campeonatos de futebol onde cada clube joga 2 vezes com outro, em turno e returno. Assim, o número “P” de partidas do campeonato é dado em função do número “x” de clubes participantes. Para efeito de planejamento da competição, entre outros fatores, o número de partidas que serão realizadas é um dado muito importante. Desta forma, quantos jogos teremos num campeonato deste tipo, com 24 clubes?

Variáveis envolvidas: Número de partidas P Número de clubes x

Por dedução, montamos a tabela: Através da análise da tabela, temos que: P = x(x – 1)

Daí, podemos fazer: P = x2 – x ou P(x) = x2 – x

Então:

P(24) = (24)2 – 24 = 576 – 24 P(24) = 552

Logo, teremos 552 jogos numa competição desse formato.

Nota: Observe que a lei [fórmula matemática] que calcula a quantidade de jogos mediante o número de clubes participantes é um polinômio de 2º grau, que chamaremos de Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática. Definição:

Função Polinomial do 2º grau é toda função definida pela lei: f(x) = ax2 + bx + c , com a ℝ*, b ℝ e c ℝ.

Exemplos:

Na função 7x4x)x(f2

temos: a = 1 , b = – 4 e c = 7.

Na função x51x2)x(g2

temos: a = –2 , b = 5 e c = –1.

Na função x3x)x(h2 temos: a = –1 , b = 3 e c = 0.

Na função 9x)x(P2 temos: a = 1 , b = 0 e c = –9.

Na função 2

xy temos: a = 1 , b = 0 e c = 0.

Graficamente a função quadrática, com D = ℝ, é representada por uma figura “aberta” e “infinita” denominada parábola. A parábola pertence a uma família de figuras denominada CÔNICAS. Esta família é composta por figuras delineadas pela intersecção de um cone [circular reto de duas folhas] por um plano que não passe pelo vértice, chamado de plano secante. Fazem parte desta família, além da parábola, as figuras: Circunferência, Elipse e Hipérbole. Veja o esquema abaixo: O fator que determina a diferença para se obter uma das seções cônicas é a inclinação com que o plano secciona o cone.

Número de clubes Número de partidas

2 2(2 – 1) = 02

3 3(3 – 1) = 06

4 4(4 – 1) = 12

5 5(5 – 1) = 20

x x(x – 1) = P

Nota: A função quadrática tem inúmeras aplicações nas mais variadas áreas do conhecimento humano, tanto na sua forma algébrica (fórmula matemática) quanto na forma geométrica (parábola).


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Curiosidade: A Excentricidade das Cônicas

Apenas como curiosidade, podemos dizer que, para algumas das cônicas [elipse e hipérbole], a excentricidade é um número que mede o seu “achatamento”. Abaixo temos uma ilustração sobre a excentricidade como fator determinante do tipo de

cônica.

Como variam os valores de “f(x)” de uma Função Quadrática [a taxa de variação NÃO é constante]:

Veja abaixo um (exemplo) comparativo com uma função do 1º grau:

g(x) = 2x + 1 f(x) = x2 + 1

Taxa de Variação “Fixa”

Neste caso: m = 2

Taxa de Variação “Muda” para cada alteração no valor de “x”.

Note que, para uma função quadrática com DOMÍNIO REAL, haverá um intervalo CRESCENTE e outro DECRESCENTE. Particularidades:

O gráfico de uma função de 2o grau é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y.

Se o coeficiente de x2 for positivo [a > 0], a parábola tem a concavidade voltada para cima.

Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

A intersecção do eixo de simetria com a parábola determina um ponto chamado vértice [V].

Se a parábola interceptar o eixo x, então a intersecção define as raízes x1 e x2 da função [para isto, faz-se f(x) = 0].

A parábola intercepta o eixo das ordenadas [y] no ponto (0 , c) [para isto, faz-se: x = 0].

Neste último item, podemos destacar uma característica das funções polinomiais. O intercepto “y” sempre coincide com o termo independente. Veja: f(x) = ax2 + bx + c f(0) = a(0)2 + b(0) + c f(0) = 0 + 0 + c

f(0) = c ( 0 , c ) é o ponto em que o gráfico intercepta o eixo “y”.

x g(x)

–2 –3

–1 –1

0 1

1 3

2 5

3 7

x f(x)

–3 10

–2 5

–1 2

0 1

1 2

2 5

3 10

4 17

Cre

scente

D

ecr

esc

ente


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No esquema abaixo, caracterizamos as diversas possibilidades gráficas:

y y y

x x x y y y

x x x

As Coordenadas do Vértice da Parábola e o Conjunto Imagem da Função Quadrática:

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo: V(xV , yV).

O valor mínimo é o yV e seu conjunto Imagem é Im = { y ℝ | y yV }.

Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo: V(xV , yV).

O valor máximo é o yV e seu conjunto Imagem é Im = { y ℝ | y yV }. Veja: y y x x

As coordenadas do vértice V são VV y,x , podendo ser calculadas através de: 2a

bx V e

4a

ΔyV .

Nota: Se temos o XV de uma função quadrática (conhecida), então podemos calcular o YV fazendo a substituição do valor

numérico do XV na função em questão. Algebricamente, temos a relação:

YV = a(XV)2 + b(XV) + c

= b2 – 4ac > 0

a parábola intercepta o eixo x em dois pontos

distintos

= b2 – 4ac = 0

a parábola intercepta o eixo x em um único ponto

= b2 – 4ac < 0

a parábola não intercepta o eixo x

a > 0

x1 x2 x1 = x2 = xV

∄ x1 , x2 ∈ ℝ

c c

c

c c

c

∄ x1 , x2 ∈ ℝ

x1 = x2 = xV x1 x2

a < 0

V

V

V

V

V

V

2

xxx

21V

a > 0

valor mínimo yV

V [ponto de mínimo]

xV

V [ponto de máximo]

a < 0

xV

valor máximo yV


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Sobre a “abertura” da concavidade de uma parábola Observe as ilustrações a seguir e tire suas conclusões em relação ao coeficiente do termo com x2 da função quadrática.

Regra Prática para Construção “Otimizada” de Gráficos de Funções Quadráticas:

Considere a função f(x) = ax2 + bx + c sabendo que o seu gráfico é uma parábola. Assim, é só seguir os passos...

1. Calcule as coordenadas do vértice da parábola V(XV , YV).

Tem-se que: 2a

b

VX e 4a

Δ

VY sendo 4acbΔ2 Podemos usar também: YV = a(XV)

2 + b(XV) + c

2. Calcule as raízes [x’ e x”] da função f(x) = ax2 + bx + c , fazendo f(x) = 0 [caso seja necessário].

Para calcular as raízes, usa-se: 2a

Δbx

sendo 4acbΔ

2 [Fórmula de Bháskara]

As raízes identificam o(s) ponto(s) de encontro da parábola com o eixo x. Na resolução da equação do 2º grau, pode-se observar que:

Se > 0 existem 2 raízes reais diferentes. Assim sendo, a parábola “cortará” o eixo x em dois pontos: (x’, 0) e (x”, 0).

Se = 0 existem 2 raízes reais iguais (raiz dupla). Assim, a parábola “encostará” no eixo x em apenas um ponto: (x’ , 0) que coincide com o vértice V.

Se < 0 não existem raízes reais. Assim sendo, a parábola não “encontrará” o eixo x.

3. Identifique o ponto onde a parábola “corta” o eixo das ordenadas [eixo y].

Este ponto [pertencente ao eixo y] sempre terá o formato: (0 , c)

4. Identifique a direção da concavidade da parábola:

Concavidade para cima: a > 0 Concavidade para baixo: a < 0

5. Após marcar os pontos encontrados no plano cartesiano, trace então a parábola a partir do vértice.

Lembre-se que a parábola é uma figura simétrica, e que o vértice encontra-se sobre o eixo de simetria, que sempre é paralelo ao eixo y.

Nota: com um pouco de prática, você conseguirá construir gráficos de funções quadráticas facilmente.

V

V


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Exemplos:

1) Construa o gráfico das funções abaixo, com D = ℝ.

a) y = x2 – 4

Obs.: ● Im = { y ℝ | y – 4 } ● Quando temos na função b = 0, a parábola é simétrica em relação ao eixo “y”.

b) f(x) = – x2 + 2x + 3

Note que: Im = { y ℝ | y 4 }

c) g(x) = x2 + 6x + 9

Note que: Im = { y ℝ | y 0 }

y

x

y

x

y

x


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d) f(x) = x2 – 6x

Note que: Im = { y ℝ | y – 9 }

e) h(x) = – x2 – 4x – 9

Resolução:

= (– 4)2 – 4.(–1).(–9)

= 16 – 36

= – 20 não existem raízes reais [a parábola não “corta” o eixo x]

xV = 22

4

)1(2

)4(

yV = 54

20

)1(4

)20(

Note que: Im = { y ℝ | y – 5 }

2) Um pequeno foguete é lançado de uma base, como mostra o “esquema” ao lado, descrevendo uma trajetória parabólica de equação y = – 3x2 + 60x [sendo x e y medidos em metros]. Determinar:

a) a altura máxima atingida pelo foguete; b) o alcance do disparo; c) a que distância do lançamento [na horizontal] o foguete atingiu a

sua altura máxima; d) a que distância do lançamento, o foguete atingiu a altura máxima.

V(–2, –5) Ponto deduzido através do gráfico

Eixo de simetria da parábola

y

x

–2 – 4 0

–5

–9

V

y

x

y

x 0


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3) Determine a função quadrática que graficamente passa pelos pontos M(–1, 0), N(4, 5) e P(0, –3). Resolução: Substituindo inicialmente o ponto P(0, –3) na expressão y = ax2 + bx + c temos:

–3 = a(0)2 + b(0) + c c = –3

Agora, substituindo o ponto M(–1, 0) e o valor de c = –3 na expressão y = ax2 + bx + c temos:

0 = a(–1)2 + b(–1) – 3

0 = a – b – 3 a – b = 3 [I]

Analogamente, substituindo N(4, 5) e c = –3 na expressão y = ax2 + bx + c encontramos:

5 = a(4)2 + b(4) – 3

5 = 16a + 4b – 3 16a + 4b = 8 [II]

Assim, montando um sistema com as equações I e II, temos: a – b = 3 a – b = 3

16a + 4b = 8 [ 4] 4a + b = 2

5a = 5 a = 1

Finalmente, substituindo o valor de a = 1 na equação I, temos: a – b = 3 (1) – b = 3 b = –2

Logo, a função quadrática procurada é: f(x) = x2 – 2x – 3

4) [REBELLO] No desenho ao lado, temos a representação esquemática do sistema de sustentação de uma ponte pênsil. Assim, determine [em metros] a altura do tirante “h”.

Resposta: A altura do tirante é h = 22,5 m.

80 m

40 m

30 m

h

+


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Exercícios – Função Quadrática 1) Construa o gráfico das funções abaixo, determinando o valor máximo (ou mínimo), o ponto de máximo (ou de mínimo) e o conjunto imagem para cada item.

9xf(x)2a) 25x2xg(x)

2b)

92xxh(x)

2c)

5x2xy2d) 12x3xf(x)

2e) 16xy

2f)

2

xf(x) g) 2

2xy h) 168xxg(x)2

i)

0 xse , 3

0 xse , xT(x)

2

j)

2 xse , 5

2x2 se , 4x

2 xse , 1x

y 2k)

3 xse , 12x

3x1 se , 6xx

1 xse , 4

y 2l)

2) Através de uma pesquisa estatística, visando um planejamento estratégico, estima-se que, daqui a x anos, o número de pessoas que visitarão um determinado museu será dado pela lei N(x) = 30x2 – 120x + 3000, sendo que 0 ≤ x ≤ 20 anos. Sabendo disso, responda as questões:

a) Atualmente, qual é o número de pessoas que visitam o museu? b) Quantas pessoas visitarão o museu no 10o ano? c) Daqui a quantos anos será registrado o menor número de visitantes? d) Qual será o menor número de visitantes? e) Faça uma representação gráfica do modelo matemático em questão.

3) O custo diário de produção de uma indústria de aparelhos telefônicos é dado por C(x) = x2 – 86x + 2500, onde C(x) é o custo em dólares e x é o número de unidades fabricadas. Quantos aparelhos devem ser produzidos diariamente para que o custo seja mínimo?

4) Um corpo lançado verticalmente do solo para cima, tem as suas posições no decorrer do tempo, dadas pela função

horária S = 40t – 5t2 [“t” em segundos e “S” em metros]. Pergunta-se:

a) Qual o tempo gasto para atingir a altura máxima? b) Qual a altura máxima atingida?

5) Sabe-se que o lucro total “L” de uma empresa é dado pela fórmula L = R – C, em que, “R” é a receita total e “C” é o custo total da produção (em reais). Numa certa empresa que produziu “p” unidades em determinado período, verificou-se que R(p) = 1000p – p2 e C(p) = 300 + 40p + p2. Nestas condições, determine:

a) a função L(p); b) a produção “p” para que o lucro da empresa seja o máximo possível para esta situação; c) o lucro máximo; d) o lucro obtido para uma produção de 300 unidades.

6) Um pintor de quadros de uma feira de artesanato calculou que o custo total de uma tela pequena é de R$30,00. Ele acredita que se vender cada tela por “x” reais, venderá, por mês, (90 – x) telas. [Considere que: 0 < x < 90].

a) O lucro L obtido pelo pintor é função do preço de venda x. Escreva a lei que define L(x). b) Qual será o lucro mensal se o preço de venda de cada tela for de R$ 40,00? c) Para que valor de x o pintor terá lucro máximo? Qual será esse lucro?

7) Determinar dois números cuja soma seja 70 e o produto seja o maior possível.

Para a Resolução do Exercício 6: Você viu no exercício anterior que Lucro = Receita Total – Custo Total, ou seja, L = R – C.

Num contexto bem simples [onde tudo que é produzido é vendido], podemos dizer que a Receita Total [R] é determinada pela

multiplicação do Preço de Venda do produto [PV] pela quantidade de Unidades vendidas [U] desse produto. O Custo Total [C]

pode ser determinado multiplicando-se o Custo de uma unidade [C1] pela quantidade de produtos ou Unidades fabricadas [U].

Ou seja:

Lucro = [PV]U – [C1]U


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8) Qual a área máxima que pode ter uma superfície retangular de perímetro igual a 40 cm?

9) Em uma fazenda, o seu proprietário precisa construir um galinheiro de forma retangular. Dispondo de apenas 30 metros de tela, o homem decide aproveitar um velho muro como uma das laterais do galinheiro. Pergunta-se:

a) Qual será a área máxima desse cercado?

b) Quais as dimensões deste galinheiro de maior área?

10) [UFOP – MG] Certo dia, numa praia, a temperatura atingiu o seu valor máximo às 14 h. Suponhamos que, neste dia, a temperatura f(t) em graus Celsius era uma função do tempo t, medido em horas, dada por f(t) = – t2 + bt – 160, quando 8 t 20. Obtenha:

a) o valor de b; b) a temperatura máxima atingida nesse dia; c) o gráfico de f.

11) O gráfico da função f(x) = 3x – 2 intercepta o gráfico da função g(x) = x2 em dois pontos. Quais são estes pontos?

12) [VUNESP / Adaptada] Duas plantas de mesma espécie A e B, que nasceram no mesmo dia, foram tratadas desde o início com adubos diferentes. Um botânico mediu todos os dias o crescimento (em centímetros) destas plantas. Após 10 dias de observação, ele notou que o gráfico que representa o crescimento da planta A é uma reta e o que representa o crescimento da planta B pode ser

descrito pela função 12

242

xxy

. Um esquema

desta situação está apresentado ao lado. Calcule:

a) a “lei” que descreve o crescimento da planta A; b) o dia em que as plantas A e B atingiram a mesma altura e qual foi essa altura.

13) [GIOVANNI] Determine a função quadrática y = ax2 + bx + 5 correspondente ao gráfico abaixo:

Lembre-se que: 2a

bx V

14) Determine a função quadrática que passa pelos pontos A(0, 18), B(2, 10) e C(–3, 0).

15) Sabendo que f(1) = 4 e que a função f(x) = ax2 + bx + c passa pelos pontos (2, 0) e C(3, –2), determine o valor de S = a.b.c. 16) [REBELLO] Para retificar um rio, foi construído um canal de formato parabólico, conforme a figura ao lado. Sabendo que a profundidade máxima do canal é de 12 m, determine a largura do canal a cada 4 m de profundidade.

Planta A

Planta B

Tempo x (dias)

Altura y (cm)

2

3

0

x

9

y

2

V

40 m


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17) [REBELLO] O centro de gravidade de um golfinho saltador descreve uma trajetória parabólica, conforme a figura ao lado. Considerando as medidas apresentadas no desenho, determine a altura máxima atingida pelo golfinho na situação em questão.

18) [REBELLO] Um foguete experimental é disparado do topo de uma colina, toca a extremidade superior de uma árvore, sem mudar sua trajetória e atinge o solo, conforme a figura a seguir. Determine:

a) a altura máxima atingida; b) a distância do ponto em que o foguete passa pela altura máxima até o

topo da árvore.

Reflita sobre isto: O mundo é um lugar perigoso de se viver, não por causa daqueles que fazem o mal, mas sim por causa daqueles que

observam e deixam o mal acontecer. [Albert Einstein]

RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS

1a) f(x) = x2 – 9 1e) f(x) = –3x2 + 12x

= 36 = 144

1b) f(x) = 2x2 – 5x + 2

= 9

1f) y = –x2 – 16

= – 64

1c) f(x) = –x2 + x – 2/9

= 1/9

1g) f(x) = x2

= 0

1d) y = 2x2 + 5x

= 25

Valor mínimo = –9

Ponto de mínimo (0, –9)

Im = { y ℝ | y –9 } Valor máximo = 12

Ponto de máximo (2, 12)

Im = { y ℝ | y 12 }

Valor máximo = –16

Ponto de máximo (0, –16)

Im = { y ℝ | y –16 }

Valor mínimo = 0

Ponto de mínimo (0, 0)

Im = { y ℝ | y 0 }

Valor mínimo = –9/8

Ponto de mínimo (5/4, –9/8)

Im = { y ℝ | y –9/8 }

Valor máximo = 1/36

Ponto de máximo (1/2, 1/36)

Im = { y ℝ | y 1/36 }


Ponto de mínimo (–5/4, –25/8)

Im = { y ℝ | y –25/8 }

x

V

–3

y

0

3

–9

x

2

–9/8

y

½

V

2

5/4 0

x

4

–2

y

–1 1 2

1

x –2/9

1/36

y

1/3 2/3

V

½

V

x –5/2

y

–5/4

0

–25/8

x

y

–1 1

–16 V

–17

x

4

12

y

2

0

V


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anos 2 20

12600

Visitantes

0

2880

3000 Grá

fico

fora

de p

roporç

ão!

1h)

1i)

1j) 1k)

1l)

2a) 3000 pessoas 2e) 2b) 4800 pessoas 2c) Daqui a 2 anos 2d) 2880 visitantes 3) 43 aparelhos 4a) 4 s 4b) 80 m

5a) L(p) = – 2p2 + 960p – 300

5b) p = 240 unidades (XV)

5c) Lucro máximo = 114.900 reais (YV)

5d) L(300) = 107.700 reais

6a) L(x) = – x2 + 120x – 2700 6b) R$ 500,00

6c) x = 60 reais e L(60) = 900 reais

7) 35 e 35 8) 100 cm2

9a) 112,5 m2 9b) 15 x 7,5 m

10a) b = 28 10b) temper. máxima = 36 ºC (YV) 10c)

11) Os pontos são: (1, 1) e (2, 4)

12a) 2

3xy

12b) Atingiram a mesma altura, de 9 cm, no 6º dia.

13) y = – x2 + 4x + 5

14) f(x) = – 2x2 + 18 15) S = –70

16) profundidade “zero” largura do canal = 40 m

profundidade 04 m largura do canal 32,7 m

profundidade 08 m largura do canal 23,1 m

profundidade 12 m largura do canal = “zero”

17) 3,2 m 18a) 29,3 m 18b) 28,9 m

tempo (h) 8 14 20

36

temperatura (ºC)

0

V

Valor mínimo = 0

Ponto de mínimo (0, 0)

Im = { y ℝ | y 0 }

Valor máximo = 0

Ponto de máximo (– 4, 0)

Im = { y ℝ | y 0 }

g(x) = – x2 – 8x – 16

= 0

y = 2x2

= 0

x

–16

– 8

y

– 4 0

V

x

8

–2

y

–1 1 2

2

Ponto de mínimo infinitos pontos: (x , –3) com x < 0

Im = { y ℝ | y 0 ou y = –3 }

Valor mínimo = –3

Valor máximo = 5

Ponto de máximo infinitos pontos: (x , 5) com x > 2

Im = { y ℝ | y < –3 ou 0 y 4 ou y = 5 }

x

4

y

0 2

–3

V

x

– 4

–3

y

–2

5

V

0

4

2

– 3

Im = { y ℝ | –25/4 y < 0 ou y 5 }

Ponto de mínimo (1/2 , –25/4)


x

–6

–1

y

– 4

5

V

0 3

–25/4

1/2


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Curiosidade: A Catenária Existem duas formas geométricas que são muito parecidas: a parábola e a catenária. As curvas representadas nas figuras [1] e [2] ao lado, têm a mesma longitude, no entanto, as primeiras são catenárias e as segundas, parábolas. A diferença é perceptível, embora sutil. Veja que na segunda figura, as curvas são mais pontiagudas. Quando a curva não é muito pronunciada, a única forma de distinguir uma catenária de uma parábola é através das respectivas equações. Assim, em situações digamos “simples”, podemos modelar um problema matematicamente fazendo uso de uma parábola e não de uma catenária, obviamente considerando uma aproximação razoável. Faríamos isso, pois a catenária necessita de uma função “transcendente” para representá-la analiticamente e a parábola, na posição em que aparece na figura ao lado, pode ser representada analiticamente por uma função quadrática, como acabamos de estudar. Matematicamente falando, a catenária descreve uma família de curvas planas semelhantes às que seriam geradas por uma corda [ou cabo] suspensa pelas suas extremidades e sujeita à ação da gravidade. A palavra catena significa “corrente”. A figura ao lado apresenta uma catenária [ou cabo pendente] como um cabo telefônico [ou de tv, por exemplo] estendido entre as duas torres, e pendendo livremente devido ao seu peso. Note que a figura está posicionada num sistema de coordeandas cartesianas. Figura: THOMAS, George B. Cálculo. v.1. Pearson, 2009.

Agora, veja abaixo que a equação da curva catenária é dada por uma função hiperbólica:

a

xa.coshy [onde “cosh” é o cosseno hiperbólico]

Sendo que a sua equivalente forma exponencial é: x/ax/a ee2

ay [onde “e” é o número de Euler]

Abaixo temos catenárias para diferentes valores de “a”.


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Aspectos Históricos: O problema de descrever matematicamente a forma da curva formada por um fio suspenso entre dois pontos e sob a ação exclusiva da gravidade foi proposto por Galileu Galilei, que propôs a conjectura de que a curva fosse uma parábola. Aos 17 anos de idade, Huygens mostrou em 1646 de que a conjectura era falsa. Em 1690, Johann Bernoulli relançou o problema à comunidade científica. A resolução do problema foi publicada independentemente em 1691 por John Bernoulli, Leibniz e Huygens.

Referências [acessadas em 17/08/2011]: http://pt.wikipedia.org/wiki/Caten%C3%A1ria

http://sosmatematica.com.sapo.pt/mundomatematico/catenaria.htm Interessou? Procure saber mais!

Tópico Extra: Soma e Produto das Raízes de uma Equação do 2º grau

Para toda equação quadrática do tipo: 02

cbxax [ com a ℝ* e b , c ℝ ] podemos encontrar as suas

raízes x e x através da fórmula: a

bx

2

[com acb 4

2 ] conhecida no Brasil como Fórmula de Bhaskara.

Entretanto, é fácil de encontrar duas relações existentes entre as raízes x e x [experimente!]. Elas são conhecidas como:

SOMA das raízes: a

bxx e PRODUTO das raízes:

a

cxx .

Sabendo disso, podemos resolver mentalmente [“DKBÇA”] um grande número de equações do 2º grau, principalmente aquelas em que as raízes são números inteiros.

Assim, vamos considerar SOMENTE as equações do 2º grau em que 1a . Desta forma, a equação fica: 02

cbxx .

Isso implica que a Soma [ S ] e o Produto [ P ] entre as raízes ficarão simplificados: bxx e cxx .

E assim, para facilitar o processo de resolução, podemos escrever a equação quadrática na forma: 02

PSxx

Vejamos alguns exemplos:

0652

xx

3

2

x

x

0652

xx

3

2

x

x

02142

xx

7

3

x

x 04

2 xx

4

0

x

x

0652

xx

6

1

x

x

0652

xx

6

1

x

x

025102

xx

5

5

x

x

092

x

3

3

x

x

Agora, experimente você!

01272

xx

..........

..........

x

x

0122

xx

..........

..........

x

x

01282

xx

..........

..........

x

x

Observações: Para resolver equações quadráticas pelo processo sugerido aqui [DKBÇA], obviamente se torna necessária uma “boa” prática.

Caso você não consiga resolver mentalmente uma equação do 2º grau em menos de 20 segundos [aproximadamente], aplique a Fórmula de Bhaskara, pois se lembre que as raízes podem não ser números inteiros [e podem ser até números complexos].


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Curiosidade: A Fórmula que utilizamos para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau! Existem várias maneiras de deduzir a fórmula que conhecemos como “Fórmula de Bhaskara”.

Veja abaixo uma destas maneiras e veja se você é capaz de compreender cada um dos passos!

02 cbxax

cbxax 2

a

cx

a

bx 2

22

2

22

a

b

a

c

a

bx

a

bx

2

22

42 a

b

a

c

a

bx

2

22

4

4

2 a

bac

a

bx

2

2

4

4

2 a

acb

a

bx

2

2

4

4

2 a

acb

a

bx

a

acb

a

bx

2

4

2

2

a

acbbx

2

42

Curta se puder...

Não é quem eu sou por dentro e sim, o que eu faço é que me define. [Do filme: Batman Begins]

ESTUDO DAS FUNÇÕES ELEMENTARES [Parte 1]julio.tomio/Calculo 1/Mat Ensino 02... · Uma função...

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