Estudo de funções com uso do software Geogebra de... · Função do primeiro grau Chama-se...

of 35 /35
[email protected] Estudo de funções com uso do software Geogebra Funções de primeiro e segundo graus Prof. Paulo Fernando Braga Carvalho [email protected] 2016

Embed Size (px)

Transcript of Estudo de funções com uso do software Geogebra de... · Função do primeiro grau Chama-se...

  • 0

    [email protected]

    Estudo de funes com uso do software Geogebra

    Funes de primeiro e segundo graus

    Prof. Paulo Fernando Braga Carvalho [email protected]

    2016

    mailto:[email protected]:[email protected]

  • 1

    [email protected]

    Sumrio 1. Introduo ............................................................................................................ 2

    1.1. Funo do primeiro grau .............................................................................. 2

    2. Recursos bsicos do Geogebra e funo do primeiro grau ............................. 4

    2.1. Ampliao, reduo e movimento de tela ................................................... 4

    2.2. Insero de funo ....................................................................................... 5

    2.3. Clculo da imagem ....................................................................................... 6

    2.4. Coeficiente Linear ......................................................................................... 6

    2.5. Raiz (ou zero) da funo .............................................................................. 7

    2.6. Insero de ponto ......................................................................................... 8

    2.7. Uso da planilha ............................................................................................. 9

    2.8. Funo crescente ....................................................................................... 12

    2.9. Imagem ........................................................................................................ 12

    2.10. Estudo do sinal ....................................................................................... 13

    2.11. Outra funo ............................................................................................ 14

    2.12. Exerccios ................................................................................................ 14

    2.13. Resposta para o item 2.11 ...................................................................... 15

    3. Funo do 2o grau ............................................................................................. 15

    3.1. Funo do segundo grau ........................................................................... 15

    3.2. Construo do grfico................................................................................ 16

    3.3. Alguns pontos especiais ............................................................................ 16

    3.3.1. Onde a funo corta o eixo y? ............................................................ 16

    3.3.2. Onde a funo corta o eixo x? ............................................................ 17

    3.3.3. Vrtice da parbola e crescimento/decrescimento ........................... 18

    3.3.4. Estudo do sinal .................................................................................... 20

    3.3.5. Sua vez!! ............................................................................................... 22

    3.3.6. Exerccios ............................................................................................ 23

    3.3.7. Aplicaes ........................................................................................... 23

    3.3.7.1. Problema de rea ................................................................................. 23

    3.3.7.2. Problema de lanamento de projtil................................................... 25

    3.3.8. Desafio!!! .............................................................................................. 27

    3.3.9. Respostas do item 3.3.5 ...................................................................... 27

    mailto:[email protected]

  • 2

    [email protected]

    1. Introduo

    Neste material apresentaremos uma ferramenta computacional muito til para estudantes de Matemtica: o software Geogebra. Faremos a apresentao do Geogebra discutindo conceitos importantes das funes do 1o e 2o graus. Veremos que este software nos ajuda a compreender os principais elementos das funes, por viabilizar as abordagens algbrica e grfica.

    1.1. Funo do primeiro grau Chama-se funo polinomial do 1o grau, ou funo afim, a qualquer funo f de

    em dada por uma lei da forma f(x)= ax +b , onde a e b so nmeros reais, com a 0. O nmero a denominado coeficiente angular e o nmero b coeficiente linear. Veja uma situao real, representada por expresses do primeiro grau: a converso entre unidades de medida de temperatura.

    A Escala Celsius A gua o elemento mais importante para a vida na terra. A escala

    Celsius possui o ponto zero na temperatura que a gua congela e 100

    na temperatura que a gua ferve. As medidas, ento, so feitas em

    graus Celsius (C).

    A Escala Fahrenheit Daniel Gabriel Fahrenheit escolheu como ponto zero a temperatura de

    congelamento de uma mistura de gua e sal e o ponto mximo (96) a

    temperatura de um homem sadio. Desta forma o congelamento da

    gua pura ocorre em 32 Fahrenheit (F) e a ebulio em 212F.

    A Escala Kelvin William Tomson (conhecido como Lord Kelvin), estudando o

    comportamento dos gases, descobriu a menor temperatura que um

    corpo poderia atingir, que seria equivalente a 273C. A partir da

    determinou o ponto zero de sua escala. Criou assim o que chamamos

    de escala absoluta, pois utiliza um fenmeno universal como

    referncia. Nela a gua congela em 273 Kelvin (K) e ferve a 373 K -

    repare que no utilizamos graus, pois esta a escala absoluta e no

    uma comparao entre fenmenos como as outras escalas.

    mailto:[email protected]://www.infoescola.com/fisica/conversao-de-escalas-termometricas/http://www.infoescola.com/fisica/conversao-de-escalas-termometricas/

  • 3

    [email protected]

    Fonte: http://www.infoescola.com/fisica/conversao-de-escalas-termometricas/

    Considere a temperatura dada em grau Celsius indicada por C, a temperatura em grau Fahrenheit indicada por F e a temperatura em Kelvin indicada por K. As expresses que relacionam estes valores so dadas por

    32C5

    9F e 273CK .

    As expresses acima so do primeiro grau na incgnita C. Podemos

    representa-las na forma de funes do primeiro grau: 32C5

    9)C(F e

    273C)C(K .

    Veja uma situao cotidiana representada por uma expresso do primeiro grau: o valor a pagar em uma corrida de txi. Suponha que em uma cidade os valores praticados para cobrana sejam:

    Bandeirada R$ 4,20

    Quilometro rodado o R$ 2,58 na Bandeira 1; o R$ 2,88 na Bandeira 2;

    Observe que o valor a pagar para um percurso de x quilmetros na Bandeira 1

    dado pela funo VP1(x) = 2,58x + 4,20, onde a = 2,58 e b = 4,20.

    mailto:[email protected]

  • 4

    [email protected]

    No caso da Bandeira 2, temos VP2(x) = 3,10x + 4,20, onde a = 3,10 e b = 4,20. No difcil identificar VP1 e VP2 como funes do primeiro grau, apesar de seu domnio no ser todo o conjunto dos nmeros reais, tendo em vista que, por exemplo, no podemos percorrer distncias negativas, ou seja, que x no possa assumir valores negativos. 2. Recursos bsicos do Geogebra e funo do primeiro grau

    Agora, abra o software Geogebra para que possamos representar e analisar algumas funes. Veremos que o Geogebra pode nos ajudar a entender os conceitos fundamentais relacionados s funes.

    2.1. Ampliao, reduo e movimento de tela No ltimo cone direita da barra de ferramentas voc encontra, dentre outras possibilidades, os recursos de

    o Ampliar o Reduzir o Mover Janela de Visualizao

    Figura 1: Janela padro do Geogebra

    Estes mesmos recursos so obtidos com as setas direcionais do teclado

    Figura 2: Teclas direcionais

    mailto:[email protected]

  • 5

    [email protected]

    E o boto de scroll do mouse

    Figura 3: Boto scroll do mouse

    2.2. Insero de funo Vamos digitar a funo f(x) = 2x + 6 no campo entrada e teclar enter. Veja as figuras abaixo:

    Figura 4: Entrada de funo

    Imediatamente, surge a representao grfica dessa funo:

    mailto:[email protected]

  • 6

    [email protected]

    Figura 5: Representao grfica de uma funo

    2.3. Clculo da imagem

    Podemos calcular a imagem para qualquer valor de x. Por exemplo, basta digitar f(2) no campo de entrada. O resultado surge na Janela de lgebra. Ou seja, f(2) = 10. Portanto, a imagem de x = 2 y = 10.

    2.4. Coeficiente Linear

    Vamos identificar o ponto em que a funo corta o eixo y. Para isso devemos verificar que todo ponto que est sobre o eixo y tem abscissa (a coordenada x) igual a zero. Confira!!! Assim, usando x = 0 na funo encontramos y = 6. Digite f(0) no campo de entrada. Observe que este valor igual ao coeficiente linear b

    da funo f(x) = 2x + 6, pois, f(0) = 20 + 6 f(0) = 6 e b = 6. Isto sempre acontecer. De modo geral, se f(x) = ax + b e calcularmos a imagem de x = 0, ou seja, o valor de x que far a funo tocar o eixo das

    ordenadas (dos valores de y), teremos f(0) = a0 + b f(0) = 0 + b f(0) = b. Assim, o valor de b, denominado coeficiente linear, indica onde a funo do primeiro toca o eixo y.

    mailto:[email protected]

  • 7

    [email protected]

    Figura 6: Coeficiente linear

    2.5. Raiz (ou zero) da funo

    Define-se como raiz da funo o valor de x em que a funo igual a zero (o valor de x que tem imagem igual a 0). Ou seja, o valor de x tal que f(x) = 0. Observe que, como y = 0, o ponto est sobre o eixo x. Para encontrar a raiz de uma funo no Geogebra basta digitar raiz[f(x)] no campo de entrada.

    Figura 7: Comando para determinao de raiz de uma funo

    Observe que o ponto criado, a raiz da funo, realmente o ponto onde a funo corta o eixo das abscissas (eixo dos x). Usando a ferramenta Inserir Texto podemos inserir o texto RAIZ, para destac-la no grfico.

    Figura 8: Insero de texto

    Coeficiente linear

    mailto:[email protected]

  • 8

    [email protected]

    Figura 9: Texto RAIZ inserido

    2.6. Insero de ponto Para visualizar estes pontos no grfico, digite A=(2,f(2)). Veja que o ponto caiu sobre a reta que representa a funo em estudo. Outra opo seria digitar as coordenadas do ponto conhecido, ou seja, A=(2,10).

    mailto:[email protected]

  • 9

    [email protected]

    Figura 10: Insero de ponto

    Para visualizar o coeficiente linear digite B=(0,f(0)). Como previsto, o ponto est sobre o eixo y.

    2.7. Uso da planilha

    Se quisermos calcular as imagens de vrios valores de x, podemos usar a planilha do Geogebra. V at o menu Exibir e selecione Planilha. Nessa planilha cada retngulo chamado de clula. Na figura abaixo a clula B2 est destacada.

    Figura 11: Planilha no Geogebra

    As letras maisculas indicam as colunas da planilha e os nmeros na margem esquerda indicam as linhas. Vamos inserir na coluna A uma sequncia de valores de x:

    Colunas

    Linhas

    mailto:[email protected]

  • 10

    [email protected]

    Figura 12: Uso da planilha para clculo de imagem: entrada dos valores de x

    Na clula B1, digite f(A1). Ou seja, calcule a imagem do valor que estiver na clula A1. O resultado igual a 2. Clique e mantenha o cursor pressionado no quadradinho localizado no canto inferior direito da clula B2 e puxe-o para baixo, at a clula B14.

    mailto:[email protected]

  • 11

    [email protected]

    Figura 13: Clculo da imagem do primeiro ponto

    Voc deve ter encontrado estes resultados:

    Figura 14: Imagens dos respectivos valores de x

    mailto:p[email protected]

  • 12

    [email protected]

    Os valores em destaque na figura acima so as imagens dos respectivos valores de x.

    2.8. Funo crescente

    Olhando para os valores da tabela, podemos concluir que esta funo CRESCENTE, pois para x cada vez maior o resultado tambm maior. Ou seja, o valor da imagem da funo CRESCE medida que x cresce. Para representar estes pontos no grfico, selecione as colunas A e B, da linha 1 at a linha 17 e clique com o boto direito do mouse em qualquer uma dessas clulas:

    Figura 15: Criao de uma lista de pontos

    No menu que surgiu clique em Criar e, depois, em Lista de Pontos. Observe que os pontos so marcados na Janela de visualizao e suas respectivas coordenadas aparecem na Janela de lgebra. Agora podemos VER que esta funo CRESCENTE, pois, medida que x cresce tambm vemos pontos cada vez mais altos, ou seja, o valor de y est subindo (crescendo).

    2.9. Imagem

    Ao substituir o valor de x na funo o resultado encontrado denominado imagem de x. O conjunto com as imagens de todos os valores de x que podem ser usados na funo denominado conjunto imagem. Ou seja, o conjunto imagem formado pelos valores de y que a funo pode assumir.

    mailto:[email protected]

  • 13

    [email protected]

    No exemplo da funo f(x) = 2x + 6, o conjunto imagem IM = , ou seja, todo nmero real y imagem de algum x.

    2.10. Estudo do sinal Quando falamos em estudar o sinal de uma funo, o que buscamos descobrir quais valores de x, quando substitudos na funo, deixam resultados positivos e quais valores de x, quando substitudos na funo, deixam resultados negativos.

    Por exemplo, se f(x) = 2x + 6, ento, f(1) = 2(1) + 6 = 4, que um resultado positivo. Logo, a funo positiva para x = 1.

    Se x = 4, f(4) = 2(4) + 6 = 2, que um resultado negativo. Logo, a funo negativa para x = 4. Para este estudo, devemos tomar a raiz como referncia, pois f(raiz) = 0, ou seja, a imagem da funo para x = raiz no positiva nem negativa. Lembrando que a raiz o ponto onde a funo toca o eixo das abscissas (dos x), para nossa funo mudar de sinal, obrigatoriamente ter que passar pela raiz. Lembre-se que na parte de cima o y positivo e na parte debaixo o y negativo. Assim, observando a figura abaixo, podemos constatar que a funo negativa para x < 3 e a funo positiva para x > 3.

    Figura 16: Estudo do sinal da funo

    Tambm podemos fazer o estudo do sinal usando a planilha do Geogebra.

    mailto:[email protected]

  • 14

    [email protected]

    Figura 17: Tabela com coordenadas para apoio ao estudo do sinal da funo

    Observe que, para x > 3, as imagens so todas positivas (veja destaque na tabela) e, para x < 3, as imagens so todas negativas.

    2.11. Outra funo Agora repita todos os passos acima para a funo f(x) = 2x + 6.

    a) Onde esta funo corta o eixo y? Qual o coeficiente linear? b) Onde esta funo corta o eixo x? Qual a raiz da funo? c) Esta funo crescente ou decrescente? Confira isto na planilha e

    observando o grfico. O coeficiente angular positivo ou negativo? d) Para quais valores de x a funo positiva? Para quais valores de x a

    funo negativa? Depois de repetir os passos acima, confira as respostas abaixo.

    2.12. Exerccios

    Construa os grficos das funes e repita as anlises discutidas acima para as funes.

    a) f(x) = 3x 9 b) f(x) = 3x 9 c) f(x) = 2x d) f(x) = 2x + 1 e) f(x) = 2x 1 f) f(x) = 2x g) f(x) = 2x + 1 h) f(x) = 2x 1

    Raiz

    N

    e

    g

    a

    t

    i

    v

    a

    P

    o

    s

    i

    t

    i

    v

    a

    f(x) negativa para x < 3

    f(x) positiva para x> 3

    mailto:[email protected]

  • 15

    [email protected]

    2.13. Resposta para o item 2.11 a) Em y = 6. c = 6. b) Em x = 3. c) Decrescente. Coeficiente angular negativo, a = 2. d) f(x) positiva para x < 2 e f(x) negativa para x > 2.

    3. Funo do 2o grau

    Nesta segunda etapa, trabalharemos com funes do 2o grau e vamos explorar novos recursos do software Geogebra.

    Tomemos como exemplo o movimento unidimensional (sobre o "eixo x") de uma partcula. A fora F(x,v,t) que age sobre a partcula pode depender, em princpio, da sua posio x e velocidade v, assim com do tempo t. A equao de movimento dada pela segunda lei de Newton

    onde m a massa e a a acelerao da partcula. Resolver esta equao significa encontrar como a posio e velocidade dependem do tempo, ou seja, determinar as funes x(t) e v(t). Por exemplo, no caso de uma fora constante F temos

    onde x0 e v0 so a posio e velocidade no instante t = 0.

    Fonte: http://www.if.ufrj.br/~carlos/infoenci/projetos/projetil/projetil.html

    Observe que a funo posio x(t) uma funo do segundo grau na varivel tempo, t.

    3.1. Funo do segundo grau Chama-se funo polinomial do 2o grau, ou funo quadrtica, a qualquer

    funo f de em dada por uma lei da forma f(x)= ax2 +bx + c , onde a, b e c so nmeros reais, com a 0. Exemplos:

    f(x) = 3x2 +5x 4 , onde a = 3, b = 5 e c = 4

    f(x) = 4x2 3, onde a = 4, b = 0 e c = 3 f(x) = 5x2 + 4x, onde a = 5, b = 4 e c = 0

    mailto:[email protected]

  • 16

    [email protected]

    3.2. Construo do grfico Vamos tomar como exemplo a funo f(x) = x2 4x + 3. Assim, digite no campo de entrada a funo f(x), como figura abaixo. Observe que, para indicar a potncia usamos o sinal de circunflexo x^2:

    Figura 18: Entrada de funo

    Teclando Enter e movimentando o grfico com a ferramenta para melhor visualizao, chegamos ao resultado abaixo.

    Figura 19: Grfico da funo

    Toda funo do segundo grau representada graficamente por uma parbola.

    3.3. Alguns pontos especiais

    3.3.1. Onde a funo corta o eixo y?

    Sabemos que todo ponto localizado sobre o eixo y tem abscissa (o valor de x)

    igual a zero. Confira!!! Logo, em uma funo do tipo f(x)= ax2 +bx + c, fazendo

    x = 0, chegamos a:

    f(0) = a02 +b0 + c

    f(0) = c

    Portanto, qualquer funo do segundo grau tocar o eixo y na ordenada (valor

    de y) igual a c.

    mailto:[email protected]

  • 17

    [email protected]

    Assim, para f(x) = x2 4x + 3, temos f(0) = 3.

    Vamos marcar o ponto (0,3) no grfico. Digite C=(0,3).

    Figura 20: Onde a funo corta o eixo y

    3.3.2. Onde a funo corta o eixo x?

    J vimos que todo ponto localizado sobre o eixo x tem ordenada (valor de

    y=f(x) ) igual a zero. Logo, fazendo f(x) = 0, chegamos a

    x2 4x + 3 = 0

    = b2 4ac

    = 16 12

    = 4

    Logo, comoa2

    bx

    , temos:

    112

    4)4(x1

    e 3

    12

    4)4(x2

    .

    No Geogebra, basta digitar Raiz[f(x)] que as razes estaro representadas no

    grfico e as coordenadas apresentadas na janela de lgebra: A(1,0) e B(3,0).

    Para colocar nomes mais sugestivos, como x1 e x2, basta clicar, na janela de

    mailto:[email protected]

  • 18

    [email protected]

    lgebra, com o boto direito sobre o ponto A, depois em propriedades e alterar

    o nome.

    Figura 21: Alterando nomes das razes

    Faa o mesmo com o ponto B e altere o nome para x2.

    Figura 22:Grfico com razes e coeficiente linear

    3.3.3. Vrtice da parbola e crescimento/decrescimento

    Boto direito sobre o ponto A. Escolher propriedades

    Alterar o nome para x1

    mailto:[email protected]

  • 19

    [email protected]

    Toda funo do segundo grau, representada por uma parbola, tem um ponto

    extremo (aquele que o mais alto ou mais baixo no grfico), chamado de

    vrtice. Para encontrar as coordenadas deste ponto usamos

    a2

    bxv

    2

    12

    4xv

    e

    114

    4y

    a4y vv

    Assim, as coordenadas do vrtice da parbola so V(2,1).

    No Geogebra, basta digitar o comando Extremo[nome da funo]:

    Figura 23: Comando para clculo do vrtice

    O ponto A(2,1) foi registrado na Janela de lgebra. Voc pode renomear este

    ponto para V, assim como fizemos com as razes.

    Figura 24: Vrtice da parbola

    Observando o grfico acima e a tabela abaixo podemos identificar o vrtice

    como um ponto de mximo ou mnimo da funo.

    mailto:[email protected]

  • 20

    [email protected]

    Figura 25: Anlise da variao da funo

    Observe, na tabela acima, que foram escolhidos trs valores de x menores que

    2 (o x do vrtice) e trs valores de x maiores que 2. Os valores de y, mostram

    que os resultados diminuem at chegar no 1 e depois comeam a crescer. Ou

    seja, o menor valor da funo y = 1.

    Portanto, neste caso, denominamos o vrtice como ponto de valor mnimo da

    funo ou, simplesmente, ponto de mnimo da funo.

    A tabela tambm sugere que a funo decrescente para x < 2 e crescente

    depois de x = 2 (f(x) crescente para x>2). Compare os resultados da tabela

    com a inclinao da funo!!!!

    3.3.4. Estudo do sinal

    Outra vez, quando estudamos o sinal da funo, estamos tentando identificar

    quais valores de x que, quando substitudos na funo, apresentam resultados

    positivos e quais valores de x apresentam resultados negativos.

    Quando estudamos a funo do primeiro grau, vimos que a raiz da funo pode

    ser um ponto de mudana de sinal da funo. Para a funo f(x) = x2 4x + 3,

    Vrtice

    Y D

    ecresce

    Y C

    resce

    mailto:[email protected]

  • 21

    [email protected]

    j vimos que as razes so 1 e 3. Logo, nosso grfico est dividido em trs

    regies: uma antes do 1 (x

  • 22

    [email protected]

    Figura 27: Tabela auxiliar para estudo do sinal da funo

    Observe que, para x < 1 ou x > 3 as imagens so todas positivas, enquanto

    para 1 < x < 3 as imagens so todas negativas. Observe que, sendo f(x) uma

    funo contnua, para que sua imagem mude de sinal preciso que a funo

    passe pela raiz.

    3.3.5. Sua vez!!

    Trabalhe com a funo f(x) = x2 + 3x + 10 e responda:

    a) Onde esta funo corta o eixo y? Qual o valor de c?

    b) Onde esta funo corta o eixo x? Quais so as razes da funo?

    c) Monte uma tabela com os seguintes valores de x

    {5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,7,8} e suas respectivas imagens (valores

    de y).

    d) O vrtice um ponto de valor mximo ou mnimo da funo?

    e) Para qual intervalo de x a funo crescente?

    f) Para qual intervalo de x a funo decrescente?

    g) Para quais valores de x a funo negativa?

    h) Para quais valores de x a funo positiva?

    Depois de responder a estas questes, veja as repostas ao final do texto.

    f(x) positiva para x < 1

    f(x) positiva para x > 3

    f(x) negativa para 1 < x < 3

    P

    o

    s

    i

    t

    i

    v

    a

    P

    o

    s

    i

    t

    i

    v

    a

    N

    e

    g

    a

    t

    i

    v

    a

    Raiz 1

    Raiz 2

    mailto:[email protected]

  • 23

    [email protected]

    3.3.6. Exerccios

    Repita os passos do item 3.3.5 para as funes:

    a) f(x) = x2 + 3x 4

    b) f(x) = x2 + 5x 4

    c) f(x) = x2 + x + 1

    d) f(x) = 2x2 + 12x + 18

    e) f(x) = 3x2 6x 3

    3.3.7. Aplicaes

    3.3.7.1. Problema de rea

    Desejamos construir um canteiro, para plantaes, em um grande terreno de

    formato quadrado de 36 m de rea, como mostra a figura a seguir, com 0 < x <

    3. Determinar o valor de x para que a rea do canteiro seja a maior possvel?

    Qual a rea mxima?

    Figura 28: Terreno

    Devemos determinar a funo A(x) que determina a rea do canteiro em

    funo do valor de x adotado para fazer os cortes no terreno. Com a funo

    A(x) definida, tentaremos determinar seu mximo, ou seja, a rea mxima para

    o canteiro.

    Como a rea total do terreno um quadrado de rea 36m2, conclumos que o

    lado deste quadrado igual a 6m.

    Mas, A(x) = ATotal AJardim, onde AJardim a rea em branco na Figura 9. Ou

    seja, AJardim = A1 + A2.

    mailto:[email protected]

  • 24

    [email protected]

    Assim, A(x) = ATotal A1 A2

    O valor de A1 dado pela rea de um retngulo de lados x e 6, enquanto o

    valor de A2 dado pela rea de um quadrado de lado (6 2x).

    Portanto, 22 x26x66)x(A .

    Logo, 2x4x2436x636)x(A

    x18x4)x(A 2 .

    Ou seja, a rea do canteiro dado por uma funo do segundo grau, cujo

    coeficiente a negativo (a = 4), logo representada por uma parbola cncava

    para baixo. Portanto, o valor mximo da rea do canteiro ser indicado pelo

    vrtice desta parbola.

    Calculando as coordenadas do vrtice da funo A(x), chegamos a:

    xv = 2,25m e yv = 20,25, ou seja, a rea mxima para o canteiro de 20,25 m2,

    obtida quando o valor de x igual a 2,25m.

    6 2x

    6m

    6m

    6 2x

    A1

    A2

    mailto:[email protected]

  • 25

    [email protected]

    Figura 29: Grfico de A(x) no Geogebra

    3.3.7.2. Problema de lanamento de projtil

    O movimento de um projtil, lanado para cima verticalmente, descrito pela

    equao t200t40)t(hy 2 , onde y = h(t) a altura, em metros, atingida

    pelo projtil t segundos aps o lanamento. Vamos determinar a altura mxima

    atingida e o tempo que esse projtil permanece no ar

    O movimento do projtil representado graficamente, como se segue:

    mailto:[email protected]

  • 26

    [email protected]

    Na equao do segundo grau que representa o

    movimento, t200t40)t(hy 2 , os coeficientes so a = 40, b = 200 e c =

    0.

    Como o vrtice desta funo um ponto de valor mximo da funo y = h(t), a

    altura mxima atingida pelo projtil dada pela expresso a4

    yv

    :

    250160

    000.40

    404

    0404200y

    2

    v

    metros.

    Ou seja, o projtil atingiu a altura mxima de 250 metros.

    No movimento vertical o tempo de subida igual ao tempo de descida, assim,

    para determinar o tempo que o projtil ficou no ar, vamos calcular o tempo

    gasto para atingir a altura mxima e multiplicar por 2.

    Para encontrar o tempo de subida, basta usar a expresso a2

    bxv :

    5,2

    80

    200

    402

    200xt vv

    segundos.

    mailto:[email protected]

  • 27

    [email protected]

    Portanto, o projtil gastou 2,5 segundos para alcanar a altura mxima e 2,5

    segundos para retornar ao ponto de partida (o solo), assim, permanceu no ar

    por 5 segundos.

    3.3.8. Desafio!!!

    Usando o Geogebra,

    construa o grfico da funo f(x) = x3 4x2 + 3x;

    determine suas razes;

    determine seus extremos;

    faa o estudo do sinal;

    determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento.

    3.3.9. Respostas do item 3.3.5

    a) y=10 c=10

    b) x= 2 e x = 5

    c)

    d) Mximo

    e) Para x < 1,5

    f) Para x > 1,5

    g) Para x< 2 ou x > 5

    h) Para 2 < x < 5

    mailto:[email protected]

  • 28

    [email protected]

    Referncias complementares

    PIsquisa: https://sites.google.com/a/paulofernando.mat.br/professor-paulo-fernando/matematica-em-videos Brasil Escola: http://www.brasilescola.com/matematica/problemas-envolvendo-funcoes-2-grau.htm Instituto de Fsica da Universidade Federal do Rio de Janeiro http://www.if.ufrj.br/~carlos/infoenci/projetos/projetil/projetil.html Infoescola- http://www.infoescola.com/fisica/conversao-de-escalas-termometricas/

    mailto:[email protected]://sites.google.com/a/paulofernando.mat.br/professor-paulo-fernando/matematica-em-videoshttps://sites.google.com/a/paulofernando.mat.br/professor-paulo-fernando/matematica-em-videoshttp://www.brasilescola.com/matematica/problemas-envolvendo-funcoes-2-grau.htmhttp://www.brasilescola.com/matematica/problemas-envolvendo-funcoes-2-grau.htmhttp://www.if.ufrj.br/~carlos/infoenci/projetos/projetil/projetil.htmlhttp://www.infoescola.com/fisica/conversao-de-escalas-termometricas/http://www.infoescola.com/fisica/conversao-de-escalas-termometricas/

  • [email protected]

    Mximo de uma funo

    Parte 1 Apresentao do problema

    Voc atribui a algumas pessoas a tarefa de construir (cercar) um viveiro retangular com 80 metros de tela e uma parede de tijolos.

    Aparentemente elas no precisaro de nenhum conhecimento para executar esta empreitada, pois simples. Verifiquemos:

    ___________

    ___________

    Realmente os viveiros foram feitos independentemente da existncia de tcnicas matemticas. No foi necessrio, para cumprir a tarefa, resolver nenhuma equao do segundo grau, derivar uma funo, calcular o determinante de uma matriz ou extrair o "bendito" mnimo mltiplo comum.

    Se, porm, levarmos em conta que um BOM PROJETO deve proporcionar o MXIMO, com o MNIMO de recursos, teremos uma surpresa: as reas cercadas variaram de pessoa para pessoa.

    Configurao A: Paulo Chuto: _____ m Configurao B: Snia Desperdcio: _____ m Configurao C : Jos Otimizado : _____ m Configurao D : Antnio Boaventura : _____ m

  • [email protected]

    Supondo poder confinar uma ave em cada metro quadrado de cercado, obtemos:

    Configurao A : Capacidade para _____ aves Configurao B : Capacidade para _____ aves Configurao C : Capacidade para _____ aves Configurao D : Capacidade para _____ aves

    Se considerarmos a configurao C, realizada por Jos Otimizado, como ideal - a mais econmica -, pois foi o que melhor aproveitou o pedao de tela, teremos uma comparao muito interessante:

    Paulo Chuto, autor da Configurao A, cometeu um erro de 25%; enquanto a arquiteta do viveiro B errou 16%. Quanto a Antnio Boaventura, s mesmo estudando Matemtica, pois cometeu um desperdcio de 36%. Mas tudo bem! At que eles tiveram sorte! Poderia ter sido muito pior, como foi o caso do Z Azarado, que fez o seguinte projeto:

    Coitado! Perdeu muito!

    exatamente neste ponto que entenderemos o porqu da Matemtica. Imaginem Paulo Chuto dono de uma confeco que produz dez mil camisas por ms.

  • [email protected]

    Caso Paulo tambm "chutasse" a geometria da grade de corte das suas camisas e cometesse o mesmo erro de aproveitamento, como aconteceu no seu projeto do viveiro, o resultado seria desastroso: perderia 25% de tecido, isto , perderia 2.500 camisas (todo santo ms).

    PARECE-ME, ENTO, QUE O PAULO CHUTO PRECISA CONHECER A MATEMTICA.

    Vamos supor que, agora, Snia Desperdcio seja fazendeira. Sua fazenda, Ponderoa, possui 900 alqueires de terra cultivvel, nos quais ela pode plantar trigo, soja e arroz.

    Antes de Snia Desperdcio fazer o plantio, recomendam-se alguns estudos para determinar quanto dever ser semeado de cada cultura, para que o lucro do plantio seja o maior possvel. No entanto, caso plante de modo aleatrio, isto , de acordo com sua "intuio de construtora de viveiros", e cometa o mesmo erro de 16%, estar desperdiando uma quantia em dinheiro equivalente a 144 alqueires de terra plantada.

    E NO QUE A SNIA DESPERDCIO PRECISA DE MATEMTICA!

    Agora Antnio Boaventura proprietrio de uma fbrica de joias. Este ano dever produzir, sob encomenda, dois mil brincos de ouro com o mesmo desenho e formato.

  • [email protected]

    Este brinco, escolhido por um cliente atacadista, tem em sua superfcie no formato de gota, uma flor incrustada com brilhantes. Antes de Antnio autorizar seus funcionrios a produzirem as joias, seria interessante e prudente estudar qual dever ser o traado da flor, de modo que proporcione o maior desenho com o mnimo de material, pois se o Antnio Boaventura cometer o mesmo erro de 36% do viveiro, ele estar "jogando fora" um bocado de brilhantes.

    O EMPRESRIO ANTNIO BOAVENTURA TAMBM PRECISA DE MATEMTICA. E MUITO!

    E VOC, PRECISA DE MATEMTICA?

    Parte 2 Resoluo do problema proposto

    Voltando ao problema original:

    Voc atribui a algumas pessoas a tarefa de construir (cercar) um viveiro retangular com 80 metros de tela e uma parede de tijolos.

    Vamos indicar as medidas das laterais do retngulo pela incgnita x (em metros) e a base do retngulo pela incgnita y (em metros), conforme a figura a seguir:

    Como queremos encontrar o viveiro com maior rea possvel, pois, assim, poderemos explorar melhor o espao disponvel, determinamos a funo rea:

    =

    (, ) =

    Observe que a rea do viveiro depende de duas incgnitas, x e y. A dependncia indicada pela notao A(x,y).

    Sabemos que o total de tela disponvel de 80m. Assim, conseguimos identificar a relao entre as incgnitas x e y como:

    + + = 80

    Somando as parcelas de x, chegamos a:

  • [email protected]

    2 + = 80

    Isolando a incgnita y, temos:

    = 80 2

    Substituindo o resultado obtido para y na funo rea obtida anteriormente, encontramos:

    (, ) =

    () = (80 2)

    Chegamos a uma expresso com apenas uma incgnita e, portanto, mais simples de ser trabalhada.

    Aplicando a propriedade distributiva da multiplicao, chegamos a:

    () = 80 22

    Que uma funo do segundo grau cncava para baixo, pois o coeficiente do

    termo 2 negativo, cujo grfico dado por:

    Observe que, neste caso, o vrtice dessa parbola o ponto em que a funo rea alcana seu valor mximo. Assim, para resolver o problema, precisamos encontrar o valor de x que leva a este mximo, ou seja, o x do vrtice, dado por:

    =

    2

  • [email protected]

    Portanto, temos:

    = 80

    2 (2)= 20

    Finalmente, chegamos concluso que o viveiro ter rea mxima se as medidas das laterais forem iguais a 20m e a medida da base do retngulo, dada pelo valor de y, for igual a 40m, pois:

    = 80 2

    = 80 2 20

    = 40

    E finalmente, podemos encontrar a rea mxima do retngulo de, pelo menos, duas maneiras diferentes:

    i) Substituindo o valor de x na funo rea:

    (20) = 80 20 2 202 (20) = 8002

    ii) Calculando a ordenada y do vrtice, yv:

    =

    4=

    802 4 (2) 0

    4 (2)

    = 6400

    8

    = 8002

    Portanto, apresentando os resultados finais, conclumos que o projeto apresentado por Jos Otimizado no s o melhor projeto dentre os apresentados por Paulo Chuto, Jos Otimizado, Snia Desperdcio, Antnia Boaventura e Z Azarado, mas o melhor projeto possvel, dentro deste contexto.

    Atividade adaptada e ampliada baseada no texto Para que serve? Veja link abaixo:

    Prandiano Matemtica Aplicada Vida.

    http://www.prandiano.com.br/html/fr_paraque.htm Acesso em: 22/10/2015

    http://www.prandiano.com.br/html/fr_paraque.htm