Estudo de funções com uso do software Geogebra de... · Função do primeiro grau Chama-se...

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[email protected] Estudo de funções com uso do software Geogebra Funções de primeiro e segundo graus Prof. Paulo Fernando Braga Carvalho [email protected] 2016

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Estudo de funções com uso do software Geogebra

Funções de primeiro e segundo graus

Prof. Paulo Fernando Braga Carvalho [email protected]

2016

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Sumário 1. Introdução ............................................................................................................ 2

1.1. Função do primeiro grau .............................................................................. 2

2. Recursos básicos do Geogebra e função do primeiro grau ............................. 4

2.1. Ampliação, redução e movimento de tela ................................................... 4

2.2. Inserção de função ....................................................................................... 5

2.3. Cálculo da imagem ....................................................................................... 6

2.4. Coeficiente Linear ......................................................................................... 6

2.5. Raiz (ou zero) da função .............................................................................. 7

2.6. Inserção de ponto ......................................................................................... 8

2.7. Uso da planilha ............................................................................................. 9

2.8. Função crescente ....................................................................................... 12

2.9. Imagem ........................................................................................................ 12

2.10. Estudo do sinal ....................................................................................... 13

2.11. Outra função ............................................................................................ 14

2.12. Exercícios ................................................................................................ 14

2.13. Resposta para o item 2.11 ...................................................................... 15

3. Função do 2o grau ............................................................................................. 15

3.1. Função do segundo grau ........................................................................... 15

3.2. Construção do gráfico................................................................................ 16

3.3. Alguns pontos especiais ............................................................................ 16

3.3.1. Onde a função corta o eixo y? ............................................................ 16

3.3.2. Onde a função corta o eixo x? ............................................................ 17

3.3.3. Vértice da parábola e crescimento/decrescimento ........................... 18

3.3.4. Estudo do sinal .................................................................................... 20

3.3.5. Sua vez!! ............................................................................................... 22

3.3.6. Exercícios ............................................................................................ 23

3.3.7. Aplicações ........................................................................................... 23

3.3.7.1. Problema de área ................................................................................. 23

3.3.7.2. Problema de lançamento de projétil................................................... 25

3.3.8. Desafio!!! .............................................................................................. 27

3.3.9. Respostas do item 3.3.5 ...................................................................... 27

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1. Introdução

Neste material apresentaremos uma ferramenta computacional muito útil para estudantes de Matemática: o software Geogebra. Faremos a apresentação do Geogebra discutindo conceitos importantes das funções do 1o e 2o graus. Veremos que este software nos ajuda a compreender os principais elementos das funções, por viabilizar as abordagens algébrica e gráfica.

1.1. Função do primeiro grau Chama-se função polinomial do 1o grau, ou função afim, a qualquer função f de

em dada por uma lei da forma f(x)= ax +b , onde a e b são números reais, com a ≠ 0. O número a é denominado coeficiente angular e o número b coeficiente linear. Veja uma situação real, representada por expressões do primeiro grau: a conversão entre unidades de medida de temperatura.

A Escala Celsius A água é o elemento mais importante para a vida na terra. A escala

Celsius possui o ponto zero na temperatura que a água congela e 100

na temperatura que a água ferve. As medidas, então, são feitas em

graus Celsius (°C).

A Escala Fahrenheit Daniel Gabriel Fahrenheit escolheu como ponto zero a temperatura de

congelamento de uma mistura de água e sal e o ponto máximo (96) a

temperatura de um homem sadio. Desta forma o congelamento da

água pura ocorre em 32° Fahrenheit (F) e a ebulição em 212°F.

A Escala Kelvin William Tomson (conhecido como Lord Kelvin), estudando o

comportamento dos gases, descobriu a menor temperatura que um

corpo poderia atingir, que seria equivalente a −273°C. A partir daí

determinou o ponto zero de sua escala. Criou assim o que chamamos

de escala absoluta, pois utiliza um fenômeno universal como

referência. Nela a água congela em 273 Kelvin (K) e ferve a 373 K -

repare que não utilizamos graus, pois esta é a escala absoluta e não

uma comparação entre fenômenos como as outras escalas.

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Fonte: http://www.infoescola.com/fisica/conversao-de-escalas-termometricas/

Considere a temperatura dada em grau Celsius indicada por C, a temperatura em grau Fahrenheit indicada por F e a temperatura em Kelvin indicada por K. As expressões que relacionam estes valores são dadas por

32C5

9F e 273CK .

As expressões acima são do primeiro grau na incógnita C. Podemos

representa-las na forma de funções do primeiro grau: 32C5

9)C(F e

273C)C(K .

Veja uma situação cotidiana representada por uma expressão do primeiro grau: o valor a pagar em uma corrida de táxi. Suponha que em uma cidade os valores praticados para cobrança sejam:

Bandeirada R$ 4,20

Quilometro rodado o R$ 2,58 na Bandeira 1; o R$ 2,88 na Bandeira 2;

Observe que o valor a pagar para um percurso de x quilômetros na Bandeira 1

é dado pela função VP1(x) = 2,58x + 4,20, onde a = 2,58 e b = 4,20.

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No caso da Bandeira 2, temos VP2(x) = 3,10x + 4,20, onde a = 3,10 e b = 4,20. Não é difícil identificar VP1 e VP2 como funções do primeiro grau, apesar de seu domínio não ser todo o conjunto dos números reais, tendo em vista que, por exemplo, não podemos percorrer distâncias negativas, ou seja, que x não possa assumir valores negativos. 2. Recursos básicos do Geogebra e função do primeiro grau

Agora, abra o software Geogebra para que possamos representar e analisar algumas funções. Veremos que o Geogebra pode nos ajudar a entender os conceitos fundamentais relacionados às funções.

2.1. Ampliação, redução e movimento de tela No último ícone à direita da barra de ferramentas você encontra, dentre outras possibilidades, os recursos de

o Ampliar o Reduzir o Mover Janela de Visualização

Figura 1: Janela padrão do Geogebra

Estes mesmos recursos são obtidos com as setas direcionais do teclado

Figura 2: Teclas direcionais

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E o botão de scroll do mouse

Figura 3: Botão scroll do mouse

2.2. Inserção de função Vamos digitar a função f(x) = 2x + 6 no campo entrada e teclar enter. Veja as figuras abaixo:

Figura 4: Entrada de função

Imediatamente, surge a representação gráfica dessa função:

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Figura 5: Representação gráfica de uma função

2.3. Cálculo da imagem

Podemos calcular a imagem para qualquer valor de x. Por exemplo, basta digitar f(2) no campo de entrada. O resultado surge na Janela de Álgebra. Ou seja, f(2) = 10. Portanto, a imagem de x = 2 é y = 10.

2.4. Coeficiente Linear

Vamos identificar o ponto em que a função corta o eixo y. Para isso devemos verificar que todo ponto que está sobre o eixo y tem abscissa (a coordenada x) igual a zero. Confira!!! Assim, usando x = 0 na função encontramos y = 6. Digite f(0) no campo de entrada. Observe que este valor é igual ao coeficiente linear b

da função f(x) = 2x + 6, pois, f(0) = 20 + 6 f(0) = 6 e b = 6. Isto sempre acontecerá. De modo geral, se f(x) = ax + b e calcularmos a imagem de x = 0, ou seja, o valor de x que fará a função tocar o eixo das

ordenadas (dos valores de y), teremos f(0) = a0 + b f(0) = 0 + b f(0) = b. Assim, o valor de b, denominado coeficiente linear, indica onde a função do primeiro toca o eixo y.

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Figura 6: Coeficiente linear

2.5. Raiz (ou zero) da função

Define-se como raiz da função o valor de x em que a função é igual a zero (o valor de x que tem imagem igual a 0). Ou seja, o valor de x tal que f(x) = 0. Observe que, como y = 0, o ponto está sobre o eixo x. Para encontrar a raiz de uma função no Geogebra basta digitar raiz[f(x)] no campo de entrada.

Figura 7: Comando para determinação de raiz de uma função

Observe que o ponto criado, a raiz da função, realmente é o ponto onde a função corta o eixo das abscissas (eixo dos x). Usando a ferramenta Inserir Texto podemos inserir o texto RAIZ, para destacá-la no gráfico.

Figura 8: Inserção de texto

Coeficiente linear

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Figura 9: Texto RAIZ inserido

2.6. Inserção de ponto Para visualizar estes pontos no gráfico, digite A=(2,f(2)). Veja que o ponto caiu sobre a reta que representa a função em estudo. Outra opção seria digitar as coordenadas do ponto conhecido, ou seja, A=(2,10).

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Figura 10: Inserção de ponto

Para visualizar o coeficiente linear digite B=(0,f(0)). Como previsto, o ponto está sobre o eixo y.

2.7. Uso da planilha

Se quisermos calcular as imagens de vários valores de x, podemos usar a planilha do Geogebra. Vá até o menu Exibir e selecione Planilha. Nessa planilha cada retângulo é chamado de célula. Na figura abaixo a célula B2 está destacada.

Figura 11: Planilha no Geogebra

As letras maiúsculas indicam as colunas da planilha e os números na margem esquerda indicam as linhas. Vamos inserir na coluna A uma sequência de valores de x:

Colunas

Linhas

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Figura 12: Uso da planilha para cálculo de imagem: entrada dos valores de x

Na célula B1, digite f(A1). Ou seja, calcule a imagem do valor que estiver na célula A1. O resultado é igual a 2. Clique e mantenha o cursor pressionado no quadradinho localizado no canto inferior direito da célula B2 e puxe-o para baixo, até a célula B14.

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Figura 13: Cálculo da imagem do primeiro ponto

Você deve ter encontrado estes resultados:

Figura 14: Imagens dos respectivos valores de x

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Os valores em destaque na figura acima são as imagens dos respectivos valores de x.

2.8. Função crescente

Olhando para os valores da tabela, podemos concluir que esta função é CRESCENTE, pois para x cada vez maior o resultado também é maior. Ou seja, o valor da imagem da função CRESCE à medida que x cresce. Para representar estes pontos no gráfico, selecione as colunas A e B, da linha 1 até a linha 17 e clique com o botão direito do mouse em qualquer uma dessas células:

Figura 15: Criação de uma lista de pontos

No menu que surgiu clique em Criar e, depois, em Lista de Pontos. Observe que os pontos são marcados na Janela de visualização e suas respectivas coordenadas aparecem na Janela de Álgebra. Agora podemos VER que esta função é CRESCENTE, pois, à medida que x cresce também vemos pontos cada vez mais altos, ou seja, o valor de y está subindo (crescendo).

2.9. Imagem

Ao substituir o valor de x na função o resultado encontrado é denominado imagem de x. O conjunto com as imagens de todos os valores de x que podem ser usados na função é denominado conjunto imagem. Ou seja, o conjunto imagem é formado pelos valores de y que a função pode assumir.

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No exemplo da função f(x) = 2x + 6, o conjunto imagem é IM = , ou seja, todo número real y é imagem de algum x.

2.10. Estudo do sinal Quando falamos em estudar o sinal de uma função, o que buscamos é descobrir quais valores de x, quando substituídos na função, deixam resultados positivos e quais valores de x, quando substituídos na função, deixam resultados negativos.

Por exemplo, se f(x) = 2x + 6, então, f(−1) = 2(−1) + 6 = 4, que é um resultado positivo. Logo, a função é positiva para x = −1.

Se x = −4, f(−4) = 2(−4) + 6 = −2, que é um resultado negativo. Logo, a função é negativa para x = −4. Para este estudo, devemos tomar a raiz como referência, pois f(raiz) = 0, ou seja, a imagem da função para x = raiz não é positiva nem negativa. Lembrando que a raiz é o ponto onde a função toca o eixo das abscissas (dos x), para nossa função mudar de sinal, obrigatoriamente terá que passar pela raiz. Lembre-se que na parte de cima o y é positivo e na parte debaixo o y é negativo. Assim, observando a figura abaixo, podemos constatar que a função é negativa para x < −3 e a função é positiva para x > −3.

Figura 16: Estudo do sinal da função

Também podemos fazer o estudo do sinal usando a planilha do Geogebra.

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Figura 17: Tabela com coordenadas para apoio ao estudo do sinal da função

Observe que, para x > −3, as imagens são todas positivas (veja destaque na tabela) e, para x < −3, as imagens são todas negativas.

2.11. Outra função Agora repita todos os passos acima para a função f(x) = −2x + 6.

a) Onde esta função corta o eixo y? Qual é o coeficiente linear? b) Onde esta função corta o eixo x? Qual é a raiz da função? c) Esta função é crescente ou decrescente? Confira isto na planilha e

observando o gráfico. O coeficiente angular é positivo ou negativo? d) Para quais valores de x a função é positiva? Para quais valores de x a

função é negativa? Depois de repetir os passos acima, confira as respostas abaixo.

2.12. Exercícios

Construa os gráficos das funções e repita as análises discutidas acima para as funções.

a) f(x) = 3x − 9 b) f(x) = −3x − 9 c) f(x) = 2x d) f(x) = 2x + 1 e) f(x) = 2x – 1 f) f(x) = −2x g) f(x) = −2x + 1 h) f(x) = −2x – 1

Raiz

N

e

g

a

t

i

v

a

P

o

s

i

t

i

v

a

f(x) é negativa para x < −3

f(x) é positiva para x> −3

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2.13. Resposta para o item 2.11 a) Em y = 6. c = 6. b) Em x = 3. c) Decrescente. Coeficiente angular negativo, a = −2. d) f(x) é positiva para x < −2 e f(x) é negativa para x > −2.

3. Função do 2o grau

Nesta segunda etapa, trabalharemos com funções do 2o grau e vamos explorar novos recursos do software Geogebra.

Tomemos como exemplo o movimento unidimensional (sobre o "eixo x") de uma partícula. A força F(x,v,t) que age sobre a partícula pode depender, em princípio, da sua posição x e velocidade v, assim com do tempo t. A equação de movimento é dada pela segunda lei de Newton

onde m é a massa e a a aceleração da partícula. Resolver esta equação significa encontrar como a posição e velocidade dependem do tempo, ou seja, determinar as funções x(t) e v(t). Por exemplo, no caso de uma força constante F temos

onde x0 e v0 são a posição e velocidade no instante t = 0.

Fonte: http://www.if.ufrj.br/~carlos/infoenci/projetos/projetil/projetil.html

Observe que a função posição x(t) é uma função do segundo grau na variável tempo, t.

3.1. Função do segundo grau Chama-se função polinomial do 2o grau, ou função quadrática, a qualquer

função f de em dada por uma lei da forma f(x)= ax2 +bx + c , onde a, b e c são números reais, com a ≠ 0. Exemplos:

f(x) = 3x2 +5x 4 , onde a = 3, b = 5 e c = 4

f(x) = 4x2 – 3, onde a = 4, b = 0 e c = 3 f(x) = 5x2 + 4x, onde a = 5, b = 4 e c = 0

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3.2. Construção do gráfico Vamos tomar como exemplo a função f(x) = x2 – 4x + 3. Assim, digite no campo de entrada a função f(x), como figura abaixo. Observe que, para indicar a potência usamos o sinal de circunflexo x^2:

Figura 18: Entrada de função

Teclando Enter e movimentando o gráfico com a ferramenta para melhor visualização, chegamos ao resultado abaixo.

Figura 19: Gráfico da função

Toda função do segundo grau é representada graficamente por uma parábola.

3.3. Alguns pontos especiais

3.3.1. Onde a função corta o eixo y?

Sabemos que todo ponto localizado sobre o eixo y tem abscissa (o valor de x)

igual a zero. Confira!!! Logo, em uma função do tipo f(x)= ax2 +bx + c, fazendo

x = 0, chegamos a:

f(0) = a02 +b0 + c

f(0) = c

Portanto, qualquer função do segundo grau tocará o eixo y na ordenada (valor

de y) igual a c.

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Assim, para f(x) = x2 – 4x + 3, temos f(0) = 3.

Vamos marcar o ponto (0,3) no gráfico. Digite C=(0,3).

Figura 20: Onde a função corta o eixo y

3.3.2. Onde a função corta o eixo x?

Já vimos que todo ponto localizado sobre o eixo x tem ordenada (valor de

y=f(x) ) igual a zero. Logo, fazendo f(x) = 0, chegamos a

x2 4x + 3 = 0

= b2 4ac

= 16 12

= 4

Logo, comoa2

bx

, temos:

112

4)4(x1

e 3

12

4)4(x2

.

No Geogebra, basta digitar Raiz[f(x)] que as raízes estarão representadas no

gráfico e as coordenadas apresentadas na janela de Álgebra: A(1,0) e B(3,0).

Para colocar nomes mais sugestivos, como x1 e x2, basta clicar, na janela de

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Álgebra, com o botão direito sobre o ponto A, depois em propriedades e alterar

o nome.

Figura 21: Alterando nomes das raízes

Faça o mesmo com o ponto B e altere o nome para x2.

Figura 22:Gráfico com raízes e coeficiente linear

3.3.3. Vértice da parábola e crescimento/decrescimento

Botão direito sobre o ponto A. Escolher propriedades

Alterar o nome para x1

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Toda função do segundo grau, representada por uma parábola, tem um ponto

extremo (aquele que é o mais alto ou mais baixo no gráfico), chamado de

vértice. Para encontrar as coordenadas deste ponto usamos

a2

bxv

2

12

4xv

e

114

4y

a4y vv

Assim, as coordenadas do vértice da parábola são V(2,−1).

No Geogebra, basta digitar o comando Extremo[nome da função]:

Figura 23: Comando para cálculo do vértice

O ponto A(2,−1) foi registrado na Janela de Álgebra. Você pode renomear este

ponto para V, assim como fizemos com as raízes.

Figura 24: Vértice da parábola

Observando o gráfico acima e a tabela abaixo podemos identificar o vértice

como um ponto de máximo ou mínimo da função.

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Figura 25: Análise da variação da função

Observe, na tabela acima, que foram escolhidos três valores de x menores que

2 (o x do vértice) e três valores de x maiores que 2. Os valores de y, mostram

que os resultados diminuem até chegar no −1 e depois começam a crescer. Ou

seja, o menor valor da função é y = −1.

Portanto, neste caso, denominamos o vértice como ponto de valor mínimo da

função ou, simplesmente, ponto de mínimo da função.

A tabela também sugere que a função é decrescente para x < 2 e crescente

depois de x = 2 (f(x) é crescente para x>2). Compare os resultados da tabela

com a inclinação da função!!!!

3.3.4. Estudo do sinal

Outra vez, quando estudamos o sinal da função, estamos tentando identificar

quais valores de x que, quando substituídos na função, apresentam resultados

positivos e quais valores de x apresentam resultados negativos.

Quando estudamos a função do primeiro grau, vimos que a raiz da função pode

ser um ponto de mudança de sinal da função. Para a função f(x) = x2 – 4x + 3,

Vértice

Y D

ecresce

Y C

resce

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já vimos que as raízes são 1 e 3. Logo, nosso gráfico está dividido em três

regiões: uma antes do 1 (x<1), outra entre 1 e 3 ( 1<x<3) e, a última, depois do

3 (x>3).

Figura 26: Estudo do sinal da função

Assim, concluímos que:

f(x) é positiva para x < 1 ou x > 3. Por exemplo,

o x = −2, leva a f(−2) = (−2)2 −4(−2) + 3 = 15 (positivo)

o x = 4, leva a f(4) = (4)2 −4(4) + 3 = 3 (positivo)

f(x) é negativa para 1 < x < 3. Por exemplo,

o x = 2, leva a f(2) = (2)2 −4(2) + 3 = −1 (negativo)

A seguir, veja o estudo do sinal usando a planilha do Geogebra. A coluna A

registra os valores de x e a coluna B as respectivas imagens, valores de y:

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Figura 27: Tabela auxiliar para estudo do sinal da função

Observe que, para x < 1 ou x > 3 as imagens são todas positivas, enquanto

para 1 < x < 3 as imagens são todas negativas. Observe que, sendo f(x) uma

função contínua, para que sua imagem mude de sinal é preciso que a função

passe pela raiz.

3.3.5. Sua vez!!

Trabalhe com a função f(x) = −x2 + 3x + 10 e responda:

a) Onde esta função corta o eixo y? Qual o valor de c?

b) Onde esta função corta o eixo x? Quais são as raízes da função?

c) Monte uma tabela com os seguintes valores de x

{−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6,7,8} e suas respectivas imagens (valores

de y).

d) O vértice é um ponto de valor máximo ou mínimo da função?

e) Para qual intervalo de x a função é crescente?

f) Para qual intervalo de x a função é decrescente?

g) Para quais valores de x a função é negativa?

h) Para quais valores de x a função é positiva?

Depois de responder a estas questões, veja as repostas ao final do texto.

f(x) é positiva para x < 1

f(x) é positiva para x > 3

f(x) é negativa para 1 < x < 3

P

o

s

i

t

i

v

a

P

o

s

i

t

i

v

a

N

e

g

a

t

i

v

a

Raiz 1

Raiz 2

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3.3.6. Exercícios

Repita os passos do item 3.3.5 para as funções:

a) f(x) = x2 + 3x – 4

b) f(x) = −x2 + 5x – 4

c) f(x) = x2 + x + 1

d) f(x) = 2x2 + 12x + 18

e) f(x) = −3x2 −6x – 3

3.3.7. Aplicações

3.3.7.1. Problema de área

Desejamos construir um canteiro, para plantações, em um grande terreno de

formato quadrado de 36 m² de área, como mostra a figura a seguir, com 0 < x <

3. Determinar o valor de x para que a área do canteiro seja a maior possível?

Qual é a área máxima?

Figura 28: Terreno

Devemos determinar a função A(x) que determina a área do canteiro em

função do valor de x adotado para fazer os cortes no terreno. Com a função

A(x) definida, tentaremos determinar seu máximo, ou seja, a área máxima para

o canteiro.

Como a área total do terreno é um quadrado de área 36m2, concluímos que o

lado deste quadrado é igual a 6m.

Mas, A(x) = ATotal – AJardim, onde AJardim é a área em branco na Figura 9. Ou

seja, AJardim = A1 + A2.

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Assim, A(x) = ATotal – A1 – A2

O valor de A1 é dado pela área de um retângulo de lados x e 6, enquanto o

valor de A2 é dado pela área de um quadrado de lado (6 – 2x).

Portanto, 22 x26x66)x(A .

Logo, 2x4x2436x636)x(A

x18x4)x(A 2 .

Ou seja, a área do canteiro é dado por uma função do segundo grau, cujo

coeficiente a é negativo (a = −4), logo representada por uma parábola côncava

para baixo. Portanto, o valor máximo da área do canteiro será indicado pelo

vértice desta parábola.

Calculando as coordenadas do vértice da função A(x), chegamos a:

xv = 2,25m e yv = 20,25, ou seja, a área máxima para o canteiro é de 20,25 m2,

obtida quando o valor de x é igual a 2,25m.

6 – 2x

6m

6m

6 – 2x

A1

A2

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Figura 29: Gráfico de A(x) no Geogebra

3.3.7.2. Problema de lançamento de projétil

O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela

equação t200t40)t(hy 2 , onde y = h(t) é a altura, em metros, atingida

pelo projétil t segundos após o lançamento. Vamos determinar a altura máxima

atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar

O movimento do projétil é representado graficamente, como se segue:

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Na equação do segundo grau que representa o

movimento, t200t40)t(hy 2 , os coeficientes são a = –40, b = 200 e c =

0.

Como o vértice desta função é um ponto de valor máximo da função y = h(t), a

altura máxima atingida pelo projétil é dada pela expressão a4

yv

:

250160

000.40

404

0404200y

2

v

metros.

Ou seja, o projétil atingiu a altura máxima de 250 metros.

No movimento vertical o tempo de subida é igual ao tempo de descida, assim,

para determinar o tempo que o projétil ficou no ar, vamos calcular o tempo

gasto para atingir a altura máxima e multiplicar por 2.

Para encontrar o tempo de subida, basta usar a expressão a2

bxv :

5,2

80

200

402

200xt vv

segundos.

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Portanto, o projétil gastou 2,5 segundos para alcançar a altura máxima e 2,5

segundos para retornar ao ponto de partida (o solo), assim, permanceu no ar

por 5 segundos.

3.3.8. Desafio!!!

Usando o Geogebra,

construa o gráfico da função f(x) = x3 – 4x2 + 3x;

determine suas raízes;

determine seus extremos;

faça o estudo do sinal;

determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento.

3.3.9. Respostas do item 3.3.5

a) y=10 c=10

b) x= 2 e x = 5

c)

d) Máximo

e) Para x < 1,5

f) Para x > 1,5

g) Para x< 2 ou x > 5

h) Para 2 < x < 5

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Referências complementares

PIsquisa: https://sites.google.com/a/paulofernando.mat.br/professor-paulo-fernando/matematica-em-videos Brasil Escola: http://www.brasilescola.com/matematica/problemas-envolvendo-funcoes-2-grau.htm Instituto de Física da Universidade Federal do Rio de Janeiro http://www.if.ufrj.br/~carlos/infoenci/projetos/projetil/projetil.html Infoescola- http://www.infoescola.com/fisica/conversao-de-escalas-termometricas/

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Máximo de uma função

Parte 1 – Apresentação do problema

Você atribui a algumas pessoas a tarefa de construir (cercar) um viveiro retangular com 80 metros de tela e uma parede de tijolos.

Aparentemente elas não precisarão de nenhum conhecimento para executar esta empreitada, pois é simples. Verifiquemos:

___________

___________

Realmente os viveiros foram feitos independentemente da existência de técnicas matemáticas. Não foi necessário, para cumprir a tarefa, resolver nenhuma equação do segundo grau, derivar uma função, calcular o determinante de uma matriz ou extrair o "bendito" mínimo múltiplo comum.

Se, porém, levarmos em conta que um BOM PROJETO deve proporcionar o MÁXIMO, com o MÍNIMO de recursos, teremos uma surpresa: as áreas cercadas variaram de pessoa para pessoa.

Configuração A: Paulo Chutão: _____ m² Configuração B: Sônia Desperdício: _____ m² Configuração C : José Otimizado : _____ m² Configuração D : Antônio Boaventura : _____ m²

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Supondo poder confinar uma ave em cada metro quadrado de cercado, obtemos:

Configuração A : Capacidade para _____ aves Configuração B : Capacidade para _____ aves Configuração C : Capacidade para _____ aves Configuração D : Capacidade para _____ aves

Se considerarmos a configuração C, realizada por José Otimizado, como ideal - a mais econômica -, pois foi o que melhor aproveitou o pedaço de tela, teremos uma comparação muito interessante:

Paulo Chutão, autor da Configuração A, cometeu um erro de 25%; enquanto a arquiteta do viveiro B errou 16%. Quanto a Antônio Boaventura, só mesmo estudando Matemática, pois cometeu um desperdício de 36%. Mas tudo bem! Até que eles tiveram sorte! Poderia ter sido muito pior, como foi o caso do Zé Azarado, que fez o seguinte projeto:

Coitado! Perdeu muito!

É exatamente neste ponto que entenderemos o porquê da Matemática. Imaginem Paulo Chutão dono de uma confecção que produz dez mil camisas por mês.

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Caso Paulo também "chutasse" a geometria da grade de corte das suas camisas e cometesse o mesmo erro de aproveitamento, como aconteceu no seu projeto do viveiro, o resultado seria desastroso: perderia 25% de tecido, isto é, perderia 2.500 camisas (todo santo mês).

PARECE-ME, ENTÃO, QUE O PAULO CHUTÃO PRECISA CONHECER A MATEMÁTICA.

Vamos supor que, agora, Sônia Desperdício seja fazendeira. Sua fazenda, Ponderoça, possui 900 alqueires de terra cultivável, nos quais ela pode plantar trigo, soja e arroz.

Antes de Sônia Desperdício fazer o plantio, recomendam-se alguns estudos para determinar quanto deverá ser semeado de cada cultura, para que o lucro do plantio seja o maior possível. No entanto, caso plante de modo aleatório, isto é, de acordo com sua "intuição de construtora de viveiros", e cometa o mesmo erro de 16%, estará desperdiçando uma quantia em dinheiro equivalente a 144 alqueires de terra plantada.

E NÃO É QUE A SÔNIA DESPERDÍCIO PRECISA DE MATEMÁTICA!

Agora Antônio Boaventura é proprietário de uma fábrica de joias. Este ano deverá produzir, sob encomenda, dois mil brincos de ouro com o mesmo desenho e formato.

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Este brinco, escolhido por um cliente atacadista, tem em sua superfície no formato de gota, uma flor incrustada com brilhantes. Antes de Antônio autorizar seus funcionários a produzirem as joias, seria interessante e prudente estudar qual deverá ser o traçado da flor, de modo que proporcione o maior desenho com o mínimo de material, pois se o Antônio Boaventura cometer o mesmo erro de 36% do viveiro, ele estará "jogando fora" um bocado de brilhantes.

O EMPRESÁRIO ANTÔNIO BOAVENTURA TAMBÉM PRECISA DE MATEMÁTICA. E MUITO!

E VOCÊ, PRECISA DE MATEMÁTICA?

Parte 2 – Resolução do problema proposto

Voltando ao problema original:

Você atribui a algumas pessoas a tarefa de construir (cercar) um viveiro retangular com 80 metros de tela e uma parede de tijolos.

Vamos indicar as medidas das laterais do retângulo pela incógnita x (em metros) e a base do retângulo pela incógnita y (em metros), conforme a figura a seguir:

Como queremos encontrar o viveiro com maior área possível, pois, assim, poderemos explorar melhor o espaço disponível, determinamos a função área:

𝐴𝑟𝑒𝑡â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑏 ∙ ℎ

𝐴(𝑥, 𝑦) = 𝑥 ∙ 𝑦

Observe que a área do viveiro depende de duas incógnitas, x e y. A dependência é indicada pela notação A(x,y).

Sabemos que o total de tela disponível é de 80m. Assim, conseguimos identificar a relação entre as incógnitas x e y como:

𝑥 + 𝑦 + 𝑥 = 80

Somando as parcelas de x, chegamos a:

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2𝑥 + 𝑦 = 80

Isolando a incógnita y, temos:

𝑦 = 80 − 2𝑥

Substituindo o resultado obtido para y na função área obtida anteriormente, encontramos:

𝐴(𝑥, 𝑦) = 𝑥 ∙ 𝑦

𝐴(𝑥) = 𝑥 ∙ (80 − 2𝑥)

Chegamos a uma expressão com apenas uma incógnita e, portanto, mais simples de ser trabalhada.

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação, chegamos a:

𝐴(𝑥) = 80𝑥 − 2𝑥2

Que é uma função do segundo grau côncava para baixo, pois o coeficiente do

termo 𝑥2 é negativo, cujo gráfico é dado por:

Observe que, neste caso, o vértice dessa parábola é o ponto em que a função Área alcança seu valor máximo. Assim, para resolver o problema, precisamos encontrar o valor de x que leva a este máximo, ou seja, o x do vértice, dado por:

𝑥𝑣 = −𝑏

2𝑎

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Portanto, temos:

𝑥𝑣 = −80

2 ∙ (−2)= 20𝑚

Finalmente, chegamos à conclusão que o viveiro terá área máxima se as medidas das laterais forem iguais a 20m e a medida da base do retângulo, dada pelo valor de y, for igual a 40m, pois:

𝑦 = 80 − 2𝑥

𝑦 = 80 − 2 ∙ 20

𝑦 = 40𝑚

E finalmente, podemos encontrar a área máxima do retângulo de, pelo menos, duas maneiras diferentes:

i) Substituindo o valor de x na função área:

𝐴(20) = 80 ∙ 20 − 2 ∙ 202

𝐴(20) = 800𝑚2

ii) Calculando a ordenada y do vértice, yv:

𝑦𝑣 = −∆

4𝑎= −

802 − 4 ∙ (−2) ∙ 0

4 ∙ (−2)

𝑦𝑣 = −6400

−8

𝑦𝑣 = 800𝑚2

Portanto, apresentando os resultados finais, concluímos que o projeto apresentado por José Otimizado não só é o melhor projeto dentre os apresentados por Paulo Chutão, José Otimizado, Sônia Desperdício, Antônia Boaventura e Zé Azarado, mas é o melhor projeto possível, dentro deste contexto.

Atividade adaptada e ampliada baseada no texto Para que serve? Veja link abaixo:

Prandiano Matemática Aplicada à Vida.

http://www.prandiano.com.br/html/fr_paraque.htm Acesso em: 22/10/2015