Estudo de funções com uso do software Geogebra de... · Função do primeiro grau Chama-se...
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Estudo de funes com uso do software Geogebra
Funes de primeiro e segundo graus
Prof. Paulo Fernando Braga Carvalho [email protected]
2016
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Sumrio 1. Introduo ............................................................................................................ 2
1.1. Funo do primeiro grau .............................................................................. 2
2. Recursos bsicos do Geogebra e funo do primeiro grau ............................. 4
2.1. Ampliao, reduo e movimento de tela ................................................... 4
2.2. Insero de funo ....................................................................................... 5
2.3. Clculo da imagem ....................................................................................... 6
2.4. Coeficiente Linear ......................................................................................... 6
2.5. Raiz (ou zero) da funo .............................................................................. 7
2.6. Insero de ponto ......................................................................................... 8
2.7. Uso da planilha ............................................................................................. 9
2.8. Funo crescente ....................................................................................... 12
2.9. Imagem ........................................................................................................ 12
2.10. Estudo do sinal ....................................................................................... 13
2.11. Outra funo ............................................................................................ 14
2.12. Exerccios ................................................................................................ 14
2.13. Resposta para o item 2.11 ...................................................................... 15
3. Funo do 2o grau ............................................................................................. 15
3.1. Funo do segundo grau ........................................................................... 15
3.2. Construo do grfico................................................................................ 16
3.3. Alguns pontos especiais ............................................................................ 16
3.3.1. Onde a funo corta o eixo y? ............................................................ 16
3.3.2. Onde a funo corta o eixo x? ............................................................ 17
3.3.3. Vrtice da parbola e crescimento/decrescimento ........................... 18
3.3.4. Estudo do sinal .................................................................................... 20
3.3.5. Sua vez!! ............................................................................................... 22
3.3.6. Exerccios ............................................................................................ 23
3.3.7. Aplicaes ........................................................................................... 23
3.3.7.1. Problema de rea ................................................................................. 23
3.3.7.2. Problema de lanamento de projtil................................................... 25
3.3.8. Desafio!!! .............................................................................................. 27
3.3.9. Respostas do item 3.3.5 ...................................................................... 27
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1. Introduo
Neste material apresentaremos uma ferramenta computacional muito til para estudantes de Matemtica: o software Geogebra. Faremos a apresentao do Geogebra discutindo conceitos importantes das funes do 1o e 2o graus. Veremos que este software nos ajuda a compreender os principais elementos das funes, por viabilizar as abordagens algbrica e grfica.
1.1. Funo do primeiro grau Chama-se funo polinomial do 1o grau, ou funo afim, a qualquer funo f de
em dada por uma lei da forma f(x)= ax +b , onde a e b so nmeros reais, com a 0. O nmero a denominado coeficiente angular e o nmero b coeficiente linear. Veja uma situao real, representada por expresses do primeiro grau: a converso entre unidades de medida de temperatura.
A Escala Celsius A gua o elemento mais importante para a vida na terra. A escala
Celsius possui o ponto zero na temperatura que a gua congela e 100
na temperatura que a gua ferve. As medidas, ento, so feitas em
graus Celsius (C).
A Escala Fahrenheit Daniel Gabriel Fahrenheit escolheu como ponto zero a temperatura de
congelamento de uma mistura de gua e sal e o ponto mximo (96) a
temperatura de um homem sadio. Desta forma o congelamento da
gua pura ocorre em 32 Fahrenheit (F) e a ebulio em 212F.
A Escala Kelvin William Tomson (conhecido como Lord Kelvin), estudando o
comportamento dos gases, descobriu a menor temperatura que um
corpo poderia atingir, que seria equivalente a 273C. A partir da
determinou o ponto zero de sua escala. Criou assim o que chamamos
de escala absoluta, pois utiliza um fenmeno universal como
referncia. Nela a gua congela em 273 Kelvin (K) e ferve a 373 K -
repare que no utilizamos graus, pois esta a escala absoluta e no
uma comparao entre fenmenos como as outras escalas.
mailto:[email protected]://www.infoescola.com/fisica/conversao-de-escalas-termometricas/http://www.infoescola.com/fisica/conversao-de-escalas-termometricas/
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Fonte: http://www.infoescola.com/fisica/conversao-de-escalas-termometricas/
Considere a temperatura dada em grau Celsius indicada por C, a temperatura em grau Fahrenheit indicada por F e a temperatura em Kelvin indicada por K. As expresses que relacionam estes valores so dadas por
32C5
9F e 273CK .
As expresses acima so do primeiro grau na incgnita C. Podemos
representa-las na forma de funes do primeiro grau: 32C5
9)C(F e
273C)C(K .
Veja uma situao cotidiana representada por uma expresso do primeiro grau: o valor a pagar em uma corrida de txi. Suponha que em uma cidade os valores praticados para cobrana sejam:
Bandeirada R$ 4,20
Quilometro rodado o R$ 2,58 na Bandeira 1; o R$ 2,88 na Bandeira 2;
Observe que o valor a pagar para um percurso de x quilmetros na Bandeira 1
dado pela funo VP1(x) = 2,58x + 4,20, onde a = 2,58 e b = 4,20.
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No caso da Bandeira 2, temos VP2(x) = 3,10x + 4,20, onde a = 3,10 e b = 4,20. No difcil identificar VP1 e VP2 como funes do primeiro grau, apesar de seu domnio no ser todo o conjunto dos nmeros reais, tendo em vista que, por exemplo, no podemos percorrer distncias negativas, ou seja, que x no possa assumir valores negativos. 2. Recursos bsicos do Geogebra e funo do primeiro grau
Agora, abra o software Geogebra para que possamos representar e analisar algumas funes. Veremos que o Geogebra pode nos ajudar a entender os conceitos fundamentais relacionados s funes.
2.1. Ampliao, reduo e movimento de tela No ltimo cone direita da barra de ferramentas voc encontra, dentre outras possibilidades, os recursos de
o Ampliar o Reduzir o Mover Janela de Visualizao
Figura 1: Janela padro do Geogebra
Estes mesmos recursos so obtidos com as setas direcionais do teclado
Figura 2: Teclas direcionais
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E o boto de scroll do mouse
Figura 3: Boto scroll do mouse
2.2. Insero de funo Vamos digitar a funo f(x) = 2x + 6 no campo entrada e teclar enter. Veja as figuras abaixo:
Figura 4: Entrada de funo
Imediatamente, surge a representao grfica dessa funo:
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Figura 5: Representao grfica de uma funo
2.3. Clculo da imagem
Podemos calcular a imagem para qualquer valor de x. Por exemplo, basta digitar f(2) no campo de entrada. O resultado surge na Janela de lgebra. Ou seja, f(2) = 10. Portanto, a imagem de x = 2 y = 10.
2.4. Coeficiente Linear
Vamos identificar o ponto em que a funo corta o eixo y. Para isso devemos verificar que todo ponto que est sobre o eixo y tem abscissa (a coordenada x) igual a zero. Confira!!! Assim, usando x = 0 na funo encontramos y = 6. Digite f(0) no campo de entrada. Observe que este valor igual ao coeficiente linear b
da funo f(x) = 2x + 6, pois, f(0) = 20 + 6 f(0) = 6 e b = 6. Isto sempre acontecer. De modo geral, se f(x) = ax + b e calcularmos a imagem de x = 0, ou seja, o valor de x que far a funo tocar o eixo das
ordenadas (dos valores de y), teremos f(0) = a0 + b f(0) = 0 + b f(0) = b. Assim, o valor de b, denominado coeficiente linear, indica onde a funo do primeiro toca o eixo y.
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Figura 6: Coeficiente linear
2.5. Raiz (ou zero) da funo
Define-se como raiz da funo o valor de x em que a funo igual a zero (o valor de x que tem imagem igual a 0). Ou seja, o valor de x tal que f(x) = 0. Observe que, como y = 0, o ponto est sobre o eixo x. Para encontrar a raiz de uma funo no Geogebra basta digitar raiz[f(x)] no campo de entrada.
Figura 7: Comando para determinao de raiz de uma funo
Observe que o ponto criado, a raiz da funo, realmente o ponto onde a funo corta o eixo das abscissas (eixo dos x). Usando a ferramenta Inserir Texto podemos inserir o texto RAIZ, para destac-la no grfico.
Figura 8: Insero de texto
Coeficiente linear
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Figura 9: Texto RAIZ inserido
2.6. Insero de ponto Para visualizar estes pontos no grfico, digite A=(2,f(2)). Veja que o ponto caiu sobre a reta que representa a funo em estudo. Outra opo seria digitar as coordenadas do ponto conhecido, ou seja, A=(2,10).
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Figura 10: Insero de ponto
Para visualizar o coeficiente linear digite B=(0,f(0)). Como previsto, o ponto est sobre o eixo y.
2.7. Uso da planilha
Se quisermos calcular as imagens de vrios valores de x, podemos usar a planilha do Geogebra. V at o menu Exibir e selecione Planilha. Nessa planilha cada retngulo chamado de clula. Na figura abaixo a clula B2 est destacada.
Figura 11: Planilha no Geogebra
As letras maisculas indicam as colunas da planilha e os nmeros na margem esquerda indicam as linhas. Vamos inserir na coluna A uma sequncia de valores de x:
Colunas
Linhas
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Figura 12: Uso da planilha para clculo de imagem: entrada dos valores de x
Na clula B1, digite f(A1). Ou seja, calcule a imagem do valor que estiver na clula A1. O resultado igual a 2. Clique e mantenha o cursor pressionado no quadradinho localizado no canto inferior direito da clula B2 e puxe-o para baixo, at a clula B14.
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Figura 13: Clculo da imagem do primeiro ponto
Voc deve ter encontrado estes resultados:
Figura 14: Imagens dos respectivos valores de x
mailto:p[email protected]
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Os valores em destaque na figura acima so as imagens dos respectivos valores de x.
2.8. Funo crescente
Olhando para os valores da tabela, podemos concluir que esta funo CRESCENTE, pois para x cada vez maior o resultado tambm maior. Ou seja, o valor da imagem da funo CRESCE medida que x cresce. Para representar estes pontos no grfico, selecione as colunas A e B, da linha 1 at a linha 17 e clique com o boto direito do mouse em qualquer uma dessas clulas:
Figura 15: Criao de uma lista de pontos
No menu que surgiu clique em Criar e, depois, em Lista de Pontos. Observe que os pontos so marcados na Janela de visualizao e suas respectivas coordenadas aparecem na Janela de lgebra. Agora podemos VER que esta funo CRESCENTE, pois, medida que x cresce tambm vemos pontos cada vez mais altos, ou seja, o valor de y est subindo (crescendo).
2.9. Imagem
Ao substituir o valor de x na funo o resultado encontrado denominado imagem de x. O conjunto com as imagens de todos os valores de x que podem ser usados na funo denominado conjunto imagem. Ou seja, o conjunto imagem formado pelos valores de y que a funo pode assumir.
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No exemplo da funo f(x) = 2x + 6, o conjunto imagem IM = , ou seja, todo nmero real y imagem de algum x.
2.10. Estudo do sinal Quando falamos em estudar o sinal de uma funo, o que buscamos descobrir quais valores de x, quando substitudos na funo, deixam resultados positivos e quais valores de x, quando substitudos na funo, deixam resultados negativos.
Por exemplo, se f(x) = 2x + 6, ento, f(1) = 2(1) + 6 = 4, que um resultado positivo. Logo, a funo positiva para x = 1.
Se x = 4, f(4) = 2(4) + 6 = 2, que um resultado negativo. Logo, a funo negativa para x = 4. Para este estudo, devemos tomar a raiz como referncia, pois f(raiz) = 0, ou seja, a imagem da funo para x = raiz no positiva nem negativa. Lembrando que a raiz o ponto onde a funo toca o eixo das abscissas (dos x), para nossa funo mudar de sinal, obrigatoriamente ter que passar pela raiz. Lembre-se que na parte de cima o y positivo e na parte debaixo o y negativo. Assim, observando a figura abaixo, podemos constatar que a funo negativa para x < 3 e a funo positiva para x > 3.
Figura 16: Estudo do sinal da funo
Tambm podemos fazer o estudo do sinal usando a planilha do Geogebra.
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Figura 17: Tabela com coordenadas para apoio ao estudo do sinal da funo
Observe que, para x > 3, as imagens so todas positivas (veja destaque na tabela) e, para x < 3, as imagens so todas negativas.
2.11. Outra funo Agora repita todos os passos acima para a funo f(x) = 2x + 6.
a) Onde esta funo corta o eixo y? Qual o coeficiente linear? b) Onde esta funo corta o eixo x? Qual a raiz da funo? c) Esta funo crescente ou decrescente? Confira isto na planilha e
observando o grfico. O coeficiente angular positivo ou negativo? d) Para quais valores de x a funo positiva? Para quais valores de x a
funo negativa? Depois de repetir os passos acima, confira as respostas abaixo.
2.12. Exerccios
Construa os grficos das funes e repita as anlises discutidas acima para as funes.
a) f(x) = 3x 9 b) f(x) = 3x 9 c) f(x) = 2x d) f(x) = 2x + 1 e) f(x) = 2x 1 f) f(x) = 2x g) f(x) = 2x + 1 h) f(x) = 2x 1
Raiz
N
e
g
a
t
i
v
a
P
o
s
i
t
i
v
a
f(x) negativa para x < 3
f(x) positiva para x> 3
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2.13. Resposta para o item 2.11 a) Em y = 6. c = 6. b) Em x = 3. c) Decrescente. Coeficiente angular negativo, a = 2. d) f(x) positiva para x < 2 e f(x) negativa para x > 2.
3. Funo do 2o grau
Nesta segunda etapa, trabalharemos com funes do 2o grau e vamos explorar novos recursos do software Geogebra.
Tomemos como exemplo o movimento unidimensional (sobre o "eixo x") de uma partcula. A fora F(x,v,t) que age sobre a partcula pode depender, em princpio, da sua posio x e velocidade v, assim com do tempo t. A equao de movimento dada pela segunda lei de Newton
onde m a massa e a a acelerao da partcula. Resolver esta equao significa encontrar como a posio e velocidade dependem do tempo, ou seja, determinar as funes x(t) e v(t). Por exemplo, no caso de uma fora constante F temos
onde x0 e v0 so a posio e velocidade no instante t = 0.
Fonte: http://www.if.ufrj.br/~carlos/infoenci/projetos/projetil/projetil.html
Observe que a funo posio x(t) uma funo do segundo grau na varivel tempo, t.
3.1. Funo do segundo grau Chama-se funo polinomial do 2o grau, ou funo quadrtica, a qualquer
funo f de em dada por uma lei da forma f(x)= ax2 +bx + c , onde a, b e c so nmeros reais, com a 0. Exemplos:
f(x) = 3x2 +5x 4 , onde a = 3, b = 5 e c = 4
f(x) = 4x2 3, onde a = 4, b = 0 e c = 3 f(x) = 5x2 + 4x, onde a = 5, b = 4 e c = 0
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3.2. Construo do grfico Vamos tomar como exemplo a funo f(x) = x2 4x + 3. Assim, digite no campo de entrada a funo f(x), como figura abaixo. Observe que, para indicar a potncia usamos o sinal de circunflexo x^2:
Figura 18: Entrada de funo
Teclando Enter e movimentando o grfico com a ferramenta para melhor visualizao, chegamos ao resultado abaixo.
Figura 19: Grfico da funo
Toda funo do segundo grau representada graficamente por uma parbola.
3.3. Alguns pontos especiais
3.3.1. Onde a funo corta o eixo y?
Sabemos que todo ponto localizado sobre o eixo y tem abscissa (o valor de x)
igual a zero. Confira!!! Logo, em uma funo do tipo f(x)= ax2 +bx + c, fazendo
x = 0, chegamos a:
f(0) = a02 +b0 + c
f(0) = c
Portanto, qualquer funo do segundo grau tocar o eixo y na ordenada (valor
de y) igual a c.
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Assim, para f(x) = x2 4x + 3, temos f(0) = 3.
Vamos marcar o ponto (0,3) no grfico. Digite C=(0,3).
Figura 20: Onde a funo corta o eixo y
3.3.2. Onde a funo corta o eixo x?
J vimos que todo ponto localizado sobre o eixo x tem ordenada (valor de
y=f(x) ) igual a zero. Logo, fazendo f(x) = 0, chegamos a
x2 4x + 3 = 0
= b2 4ac
= 16 12
= 4
Logo, comoa2
bx
, temos:
112
4)4(x1
e 3
12
4)4(x2
.
No Geogebra, basta digitar Raiz[f(x)] que as razes estaro representadas no
grfico e as coordenadas apresentadas na janela de lgebra: A(1,0) e B(3,0).
Para colocar nomes mais sugestivos, como x1 e x2, basta clicar, na janela de
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lgebra, com o boto direito sobre o ponto A, depois em propriedades e alterar
o nome.
Figura 21: Alterando nomes das razes
Faa o mesmo com o ponto B e altere o nome para x2.
Figura 22:Grfico com razes e coeficiente linear
3.3.3. Vrtice da parbola e crescimento/decrescimento
Boto direito sobre o ponto A. Escolher propriedades
Alterar o nome para x1
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Toda funo do segundo grau, representada por uma parbola, tem um ponto
extremo (aquele que o mais alto ou mais baixo no grfico), chamado de
vrtice. Para encontrar as coordenadas deste ponto usamos
a2
bxv
2
12
4xv
e
114
4y
a4y vv
Assim, as coordenadas do vrtice da parbola so V(2,1).
No Geogebra, basta digitar o comando Extremo[nome da funo]:
Figura 23: Comando para clculo do vrtice
O ponto A(2,1) foi registrado na Janela de lgebra. Voc pode renomear este
ponto para V, assim como fizemos com as razes.
Figura 24: Vrtice da parbola
Observando o grfico acima e a tabela abaixo podemos identificar o vrtice
como um ponto de mximo ou mnimo da funo.
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Figura 25: Anlise da variao da funo
Observe, na tabela acima, que foram escolhidos trs valores de x menores que
2 (o x do vrtice) e trs valores de x maiores que 2. Os valores de y, mostram
que os resultados diminuem at chegar no 1 e depois comeam a crescer. Ou
seja, o menor valor da funo y = 1.
Portanto, neste caso, denominamos o vrtice como ponto de valor mnimo da
funo ou, simplesmente, ponto de mnimo da funo.
A tabela tambm sugere que a funo decrescente para x < 2 e crescente
depois de x = 2 (f(x) crescente para x>2). Compare os resultados da tabela
com a inclinao da funo!!!!
3.3.4. Estudo do sinal
Outra vez, quando estudamos o sinal da funo, estamos tentando identificar
quais valores de x que, quando substitudos na funo, apresentam resultados
positivos e quais valores de x apresentam resultados negativos.
Quando estudamos a funo do primeiro grau, vimos que a raiz da funo pode
ser um ponto de mudana de sinal da funo. Para a funo f(x) = x2 4x + 3,
Vrtice
Y D
ecresce
Y C
resce
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j vimos que as razes so 1 e 3. Logo, nosso grfico est dividido em trs
regies: uma antes do 1 (x
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Figura 27: Tabela auxiliar para estudo do sinal da funo
Observe que, para x < 1 ou x > 3 as imagens so todas positivas, enquanto
para 1 < x < 3 as imagens so todas negativas. Observe que, sendo f(x) uma
funo contnua, para que sua imagem mude de sinal preciso que a funo
passe pela raiz.
3.3.5. Sua vez!!
Trabalhe com a funo f(x) = x2 + 3x + 10 e responda:
a) Onde esta funo corta o eixo y? Qual o valor de c?
b) Onde esta funo corta o eixo x? Quais so as razes da funo?
c) Monte uma tabela com os seguintes valores de x
{5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,7,8} e suas respectivas imagens (valores
de y).
d) O vrtice um ponto de valor mximo ou mnimo da funo?
e) Para qual intervalo de x a funo crescente?
f) Para qual intervalo de x a funo decrescente?
g) Para quais valores de x a funo negativa?
h) Para quais valores de x a funo positiva?
Depois de responder a estas questes, veja as repostas ao final do texto.
f(x) positiva para x < 1
f(x) positiva para x > 3
f(x) negativa para 1 < x < 3
P
o
s
i
t
i
v
a
P
o
s
i
t
i
v
a
N
e
g
a
t
i
v
a
Raiz 1
Raiz 2
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3.3.6. Exerccios
Repita os passos do item 3.3.5 para as funes:
a) f(x) = x2 + 3x 4
b) f(x) = x2 + 5x 4
c) f(x) = x2 + x + 1
d) f(x) = 2x2 + 12x + 18
e) f(x) = 3x2 6x 3
3.3.7. Aplicaes
3.3.7.1. Problema de rea
Desejamos construir um canteiro, para plantaes, em um grande terreno de
formato quadrado de 36 m de rea, como mostra a figura a seguir, com 0 < x <
3. Determinar o valor de x para que a rea do canteiro seja a maior possvel?
Qual a rea mxima?
Figura 28: Terreno
Devemos determinar a funo A(x) que determina a rea do canteiro em
funo do valor de x adotado para fazer os cortes no terreno. Com a funo
A(x) definida, tentaremos determinar seu mximo, ou seja, a rea mxima para
o canteiro.
Como a rea total do terreno um quadrado de rea 36m2, conclumos que o
lado deste quadrado igual a 6m.
Mas, A(x) = ATotal AJardim, onde AJardim a rea em branco na Figura 9. Ou
seja, AJardim = A1 + A2.
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Assim, A(x) = ATotal A1 A2
O valor de A1 dado pela rea de um retngulo de lados x e 6, enquanto o
valor de A2 dado pela rea de um quadrado de lado (6 2x).
Portanto, 22 x26x66)x(A .
Logo, 2x4x2436x636)x(A
x18x4)x(A 2 .
Ou seja, a rea do canteiro dado por uma funo do segundo grau, cujo
coeficiente a negativo (a = 4), logo representada por uma parbola cncava
para baixo. Portanto, o valor mximo da rea do canteiro ser indicado pelo
vrtice desta parbola.
Calculando as coordenadas do vrtice da funo A(x), chegamos a:
xv = 2,25m e yv = 20,25, ou seja, a rea mxima para o canteiro de 20,25 m2,
obtida quando o valor de x igual a 2,25m.
6 2x
6m
6m
6 2x
A1
A2
mailto:[email protected]
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Figura 29: Grfico de A(x) no Geogebra
3.3.7.2. Problema de lanamento de projtil
O movimento de um projtil, lanado para cima verticalmente, descrito pela
equao t200t40)t(hy 2 , onde y = h(t) a altura, em metros, atingida
pelo projtil t segundos aps o lanamento. Vamos determinar a altura mxima
atingida e o tempo que esse projtil permanece no ar
O movimento do projtil representado graficamente, como se segue:
mailto:[email protected]
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Na equao do segundo grau que representa o
movimento, t200t40)t(hy 2 , os coeficientes so a = 40, b = 200 e c =
0.
Como o vrtice desta funo um ponto de valor mximo da funo y = h(t), a
altura mxima atingida pelo projtil dada pela expresso a4
yv
:
250160
000.40
404
0404200y
2
v
metros.
Ou seja, o projtil atingiu a altura mxima de 250 metros.
No movimento vertical o tempo de subida igual ao tempo de descida, assim,
para determinar o tempo que o projtil ficou no ar, vamos calcular o tempo
gasto para atingir a altura mxima e multiplicar por 2.
Para encontrar o tempo de subida, basta usar a expresso a2
bxv :
5,2
80
200
402
200xt vv
segundos.
mailto:[email protected]
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Portanto, o projtil gastou 2,5 segundos para alcanar a altura mxima e 2,5
segundos para retornar ao ponto de partida (o solo), assim, permanceu no ar
por 5 segundos.
3.3.8. Desafio!!!
Usando o Geogebra,
construa o grfico da funo f(x) = x3 4x2 + 3x;
determine suas razes;
determine seus extremos;
faa o estudo do sinal;
determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento.
3.3.9. Respostas do item 3.3.5
a) y=10 c=10
b) x= 2 e x = 5
c)
d) Mximo
e) Para x < 1,5
f) Para x > 1,5
g) Para x< 2 ou x > 5
h) Para 2 < x < 5
mailto:[email protected]
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Referncias complementares
PIsquisa: https://sites.google.com/a/paulofernando.mat.br/professor-paulo-fernando/matematica-em-videos Brasil Escola: http://www.brasilescola.com/matematica/problemas-envolvendo-funcoes-2-grau.htm Instituto de Fsica da Universidade Federal do Rio de Janeiro http://www.if.ufrj.br/~carlos/infoenci/projetos/projetil/projetil.html Infoescola- http://www.infoescola.com/fisica/conversao-de-escalas-termometricas/
mailto:[email protected]://sites.google.com/a/paulofernando.mat.br/professor-paulo-fernando/matematica-em-videoshttps://sites.google.com/a/paulofernando.mat.br/professor-paulo-fernando/matematica-em-videoshttp://www.brasilescola.com/matematica/problemas-envolvendo-funcoes-2-grau.htmhttp://www.brasilescola.com/matematica/problemas-envolvendo-funcoes-2-grau.htmhttp://www.if.ufrj.br/~carlos/infoenci/projetos/projetil/projetil.htmlhttp://www.infoescola.com/fisica/conversao-de-escalas-termometricas/http://www.infoescola.com/fisica/conversao-de-escalas-termometricas/
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Mximo de uma funo
Parte 1 Apresentao do problema
Voc atribui a algumas pessoas a tarefa de construir (cercar) um viveiro retangular com 80 metros de tela e uma parede de tijolos.
Aparentemente elas no precisaro de nenhum conhecimento para executar esta empreitada, pois simples. Verifiquemos:
___________
___________
Realmente os viveiros foram feitos independentemente da existncia de tcnicas matemticas. No foi necessrio, para cumprir a tarefa, resolver nenhuma equao do segundo grau, derivar uma funo, calcular o determinante de uma matriz ou extrair o "bendito" mnimo mltiplo comum.
Se, porm, levarmos em conta que um BOM PROJETO deve proporcionar o MXIMO, com o MNIMO de recursos, teremos uma surpresa: as reas cercadas variaram de pessoa para pessoa.
Configurao A: Paulo Chuto: _____ m Configurao B: Snia Desperdcio: _____ m Configurao C : Jos Otimizado : _____ m Configurao D : Antnio Boaventura : _____ m
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Supondo poder confinar uma ave em cada metro quadrado de cercado, obtemos:
Configurao A : Capacidade para _____ aves Configurao B : Capacidade para _____ aves Configurao C : Capacidade para _____ aves Configurao D : Capacidade para _____ aves
Se considerarmos a configurao C, realizada por Jos Otimizado, como ideal - a mais econmica -, pois foi o que melhor aproveitou o pedao de tela, teremos uma comparao muito interessante:
Paulo Chuto, autor da Configurao A, cometeu um erro de 25%; enquanto a arquiteta do viveiro B errou 16%. Quanto a Antnio Boaventura, s mesmo estudando Matemtica, pois cometeu um desperdcio de 36%. Mas tudo bem! At que eles tiveram sorte! Poderia ter sido muito pior, como foi o caso do Z Azarado, que fez o seguinte projeto:
Coitado! Perdeu muito!
exatamente neste ponto que entenderemos o porqu da Matemtica. Imaginem Paulo Chuto dono de uma confeco que produz dez mil camisas por ms.
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Caso Paulo tambm "chutasse" a geometria da grade de corte das suas camisas e cometesse o mesmo erro de aproveitamento, como aconteceu no seu projeto do viveiro, o resultado seria desastroso: perderia 25% de tecido, isto , perderia 2.500 camisas (todo santo ms).
PARECE-ME, ENTO, QUE O PAULO CHUTO PRECISA CONHECER A MATEMTICA.
Vamos supor que, agora, Snia Desperdcio seja fazendeira. Sua fazenda, Ponderoa, possui 900 alqueires de terra cultivvel, nos quais ela pode plantar trigo, soja e arroz.
Antes de Snia Desperdcio fazer o plantio, recomendam-se alguns estudos para determinar quanto dever ser semeado de cada cultura, para que o lucro do plantio seja o maior possvel. No entanto, caso plante de modo aleatrio, isto , de acordo com sua "intuio de construtora de viveiros", e cometa o mesmo erro de 16%, estar desperdiando uma quantia em dinheiro equivalente a 144 alqueires de terra plantada.
E NO QUE A SNIA DESPERDCIO PRECISA DE MATEMTICA!
Agora Antnio Boaventura proprietrio de uma fbrica de joias. Este ano dever produzir, sob encomenda, dois mil brincos de ouro com o mesmo desenho e formato.
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Este brinco, escolhido por um cliente atacadista, tem em sua superfcie no formato de gota, uma flor incrustada com brilhantes. Antes de Antnio autorizar seus funcionrios a produzirem as joias, seria interessante e prudente estudar qual dever ser o traado da flor, de modo que proporcione o maior desenho com o mnimo de material, pois se o Antnio Boaventura cometer o mesmo erro de 36% do viveiro, ele estar "jogando fora" um bocado de brilhantes.
O EMPRESRIO ANTNIO BOAVENTURA TAMBM PRECISA DE MATEMTICA. E MUITO!
E VOC, PRECISA DE MATEMTICA?
Parte 2 Resoluo do problema proposto
Voltando ao problema original:
Voc atribui a algumas pessoas a tarefa de construir (cercar) um viveiro retangular com 80 metros de tela e uma parede de tijolos.
Vamos indicar as medidas das laterais do retngulo pela incgnita x (em metros) e a base do retngulo pela incgnita y (em metros), conforme a figura a seguir:
Como queremos encontrar o viveiro com maior rea possvel, pois, assim, poderemos explorar melhor o espao disponvel, determinamos a funo rea:
=
(, ) =
Observe que a rea do viveiro depende de duas incgnitas, x e y. A dependncia indicada pela notao A(x,y).
Sabemos que o total de tela disponvel de 80m. Assim, conseguimos identificar a relao entre as incgnitas x e y como:
+ + = 80
Somando as parcelas de x, chegamos a:
-
2 + = 80
Isolando a incgnita y, temos:
= 80 2
Substituindo o resultado obtido para y na funo rea obtida anteriormente, encontramos:
(, ) =
() = (80 2)
Chegamos a uma expresso com apenas uma incgnita e, portanto, mais simples de ser trabalhada.
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicao, chegamos a:
() = 80 22
Que uma funo do segundo grau cncava para baixo, pois o coeficiente do
termo 2 negativo, cujo grfico dado por:
Observe que, neste caso, o vrtice dessa parbola o ponto em que a funo rea alcana seu valor mximo. Assim, para resolver o problema, precisamos encontrar o valor de x que leva a este mximo, ou seja, o x do vrtice, dado por:
=
2
-
Portanto, temos:
= 80
2 (2)= 20
Finalmente, chegamos concluso que o viveiro ter rea mxima se as medidas das laterais forem iguais a 20m e a medida da base do retngulo, dada pelo valor de y, for igual a 40m, pois:
= 80 2
= 80 2 20
= 40
E finalmente, podemos encontrar a rea mxima do retngulo de, pelo menos, duas maneiras diferentes:
i) Substituindo o valor de x na funo rea:
(20) = 80 20 2 202 (20) = 8002
ii) Calculando a ordenada y do vrtice, yv:
=
4=
802 4 (2) 0
4 (2)
= 6400
8
= 8002
Portanto, apresentando os resultados finais, conclumos que o projeto apresentado por Jos Otimizado no s o melhor projeto dentre os apresentados por Paulo Chuto, Jos Otimizado, Snia Desperdcio, Antnia Boaventura e Z Azarado, mas o melhor projeto possvel, dentro deste contexto.
Atividade adaptada e ampliada baseada no texto Para que serve? Veja link abaixo:
Prandiano Matemtica Aplicada Vida.
http://www.prandiano.com.br/html/fr_paraque.htm Acesso em: 22/10/2015
http://www.prandiano.com.br/html/fr_paraque.htm
