Estudo de funcoes reais devarias variaveis

Sofia Castro GothenFaculdade de Economia do Porto

Setembro de 2002

Introducao

Nestes apontamentos e feito o estudo de funcoes de varias variaveis. Sendoestas funcoes de difıcil representacao grafica, este estudo destina-se a co-nhecer melhor a funcao sem recurso ao grafico. No entanto, sao tratadosaspectos graficos, como as curvas de nıvel e, sempre que possıvel, e explicadoo significado geometrico dos objectos estudados.

Sendo um texto de apoio para disciplinas de matematica, nao se pretendeintroduzir nenhuma aplicacao de caracter economico. Estas aplicacoes seraocertamente muito melhor apresentadas nas disciplinas da area apropriada.Para os mais interessados em aplicacoes fica a referencia do livro de A.C.Chiang [2], em cujas seccoes 7.5, 8.6 e 11.6 se podem encontrar aplicacoes deassuntos como derivacao, funcoes implıcitas e extremos, respectivamente.

Em relacao ao livro de A.C. Chiang, uma chamada de atencao para osalunos, da licenciatura em Economia, que vao ser avaliados sobre os assuntosaqui tratados: a avaliacao e feita sobre este texto e nao sobre o livro de A.C.Chiang. Assim, quaisquer definicoes, resultados ou notacao de algum modoutilizados na avaliacao sao os que constam no presente texto.

Ao contrario da maior parte dos produtos dos dias de hoje, estas notas saooferecidas sem qualquer garantia. Por esse motivo, comentarios e correccoessao muito bem-vindos.

Finalmente, resta agradecer ao Senhor Professor Doutor Francisco Duraocujos apontamentos de aula foram preciosos para estruturar estas notas.Agradeco tambem aos Mestres Manuela Aguiar e Filipe Antunes o teremlido e comentado a versao original.

A presente versao beneficiou dos comentarios do meu colega Paulo Sousa,a quem eu muito agradeco.

1

Indice

1 O espaco vectorial Rn 3

2 Funcoes reais de varias variaveis reais 4

3 Limites e continuidade 6

4 Derivacao 124.1 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Derivada de uma funcao real de 2 variaveis reais . . . . . . . . 164.3 Derivadas direccionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Funcoes homogeneas 29

6 Funcoes Implıcitas 30

7 Extremos de funcoes de varias variaveis 377.1 Extremos livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.2 Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.3 Breve introducao as condicoes de Kuhn-Tucker . . . . . . . . . 45

8 Alguns exercıcios 46

9 Bibliografia 55

2

1 O espaco vectorial Rn

Definimos Rn como o conjunto seguinte

{(x1, . . . , xn) : xi ∈ R; i = 1, . . . , n},

ou seja, como o conjunto dos pontos com n coordenadas reais. Representamosos pontos de R

n da seguinte forma

X = (x1, . . . , xn)

ou, simplesmente como X ∈ Rn quando nao houver necessidade de usar

coordenadas explicitamente.E sabido que se trata de um espaco vectorial real com as operacoes de

• adicao ou composicao interna

X + Y = (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)

e

• multiplicacao ou composicao externa

λX = λ(x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn),

validas para todos osX, Y ∈ Rn e todos os λ ∈ R. Sendo um espaco vectorial,

utilizamos frequentemente a designacao de vectores para os elementos de Rn

e a de escalares para os elementos do corpo R.

Observacao. Se n = 1, as designacoes acima podem tornar-se confusas, umavez que, tanto os vectores como os escalares, sao elementos de um mesmoconjunto. No entanto, estas designacoes permitem distinguir as diferentespropriedades dos reais quando os consideramos um corpo ou um espaco vec-torial.

Dados dois vectores

X = (x1, . . . , xn) e Y = (y1, . . . , yn)

de Rn, definimos o produto escalar de X e Y como o numero real

X.Y = (x1, . . . , xn).(y1, . . . , yn) = x1y1 + . . .+ xnyn.

Definimos a norma de um vector X como sendo o numero real naonegativo associado a X da seguinte maneira

‖ X ‖=√X.X.

3

A distancia entre os dois pontos de Rn definidos por X e Y e dada por

‖ X − Y ‖=√

(X − Y ).(X − Y ).

Sendo a distancia definida a custa da norma, e evidente que esta vai sersempre positiva ou nula.

2 Funcoes reais de varias variaveis reais

Vamos agora fazer o estudo de funcoes reais de varias variaveis reais. Note-seque este estudo tem necessariamente que incluir todos os resultados relativosa funcoes reais de variavel real.

Definicao 2.1. Seja D ⊂ Rn um subconjunto. Uma funcao real de n

variaveis reais e uma lei que associa a cada X = (x1, . . . , xn) ∈ D ⊂ Rn

um unico numero real

f : D → R

(x1, . . . , xn) → f(x1, . . . , xn).

Ao conjunto D chamamos domınio de f e definimos o contradomıniode f como sendo o

{f(x1, . . . , xn) : (x1, . . . , xn) ∈ D}.♠

Exemplo 1. O domınio da funcao de duas variaveis definida por

f(x, y) = y√

2 + x

e D = {(x, y) ∈ R2 : x > −2} ⊂ R

2. ♣

Exercıcio 1. Represente graficamente o domınio da funcao do exemplo ante-rior. ./

Por vezes, utilizamos Df para representar o domınio de f e assim dis-

tinguir entre domınios de diferentes funcoes. E tambem frequente o uso danotacao

z = f(x1, . . . , xn)

para designar o valor que a funcao f toma no ponto (x1, . . . , xn). Neste caso,distinguimos entre as variaveis independentes (x1, . . . , xn) e a variavel depen-dente z. Utilizaremos as diferentes notacoes conforme for mais apropriado.

4

Observacao. Uma vez que apenas faz sentido estudar as funcoes em pontos doseu domınio, encontrar este domınio e o primeiro passo no estudo de funcoes.Mais adiante, deixaremos de fazer referencia explıcita a Df , referindo apenas

o espaco Rn em que este se encontra. E claro que qualquer resultado a seguir

mencionado apenas e valido em Df .

Definicao 2.2. O grafico de uma funcao f : D ⊂ Rn → R e o conjunto

dos pontos de Rn+1 da forma (x1, . . . , xn, z) tais que (x1, . . . , xn) ∈ D e

z = f(x1, . . . , xn), isto e,

{(x1, . . . , xn, z) ∈ Rn+1 : z = f(x1, . . . , xn) ∧ (x1, . . . , xn) ∈ D}.

♠

Todas estas definicoes sao conhecidas se n = 1. Neste caso, o graficoe uma curva em R

2 que sabemos desenhar. No caso de f ser uma funcaode duas variaveis, ja o grafico nao e tao facil de desenhar, uma vez que euma superfıcie em R

3. Para funcoes de mais variaveis torna-se impossıvel oseu esboco grafico. Para termos uma ideia de como e este grafico sem, noentanto, sermos capazes de o desenhar, recorremos as superfıcies de nıvel.

Definicao 2.3. A superfıcie de nıvel c, com c ∈ R constante, da funcaof : D ⊂ R

n → R e o conjunto dos pontos de D cuja imagem e igual ao valorconstante c, ou seja,

Nc = {(x1, . . . , xn) ∈ D : f(x1, . . . , xn) = c} ⊂ D.

♠

Assim, para uma funcao de duas variaveis, as superfıcies de nıvel saocurvas em R

2. Por este motivo, muitas vezes utilizamos a designacao curvade nıvel neste caso. Para estas funcoes, as curvas de nıvel equivalem a fazerum corte no grafico de f , em R

3, por um plano horizontal de altura c.

Exemplo 2. Seja f : R2 → R a funcao definida por

f(x, y) = x2 + y2.

As superfıcies de nıvel c de f sao vazias se c < 0, sao um ponto (a origem)se c = 0 e sao circunferencias de raio

√c para c > 0,

Nc = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = c}.

♣

5

Exemplo 3. Seja f : R2 → R a funcao definida por

f(x, y) = x2 − y2.

As superfıcies de nıvel c de f sao as rectas bissectrizes dos quatro quadrantesse c = 0 e sao hiperboles que intersectam o eixo horizontal se c > 0 e o eixovertical se c < 0,

Nc = {(x, y) ∈ R2 : x2 − y2 = c}.

♣

3 Limites e continuidade

Vamos estender as funcoes reais de n variaveis as nocoes ja conhecidas delimite e continuidade. De forma analoga ao que acontece com funcoes deuma variavel, temos a seguinte

Definicao 3.1. Dizemos que a funcao f : Rn → R tem limite igual a L no

ponto X0 ∈ Rn se f(X) esta arbitrariamente proximo de L para todos os

pontos X no domınio de f suficientemente proximos de X0, ou seja,

∀ε > 0 ∃δ > 0 : X ∈ Df \ {X0} ∧ ‖ X −X0 ‖< δ ⇒ |f(X) − L| < ε.

Escrevemos entao

limX→X0

f(X) = L.

♠

Uma observacao importante e a de que, na definicao acima, nao exigimosque o ponto X0 no qual estamos a calcular o limite seja um ponto do domınioda funcao. No entanto, se nao houver pontos do domınio de f a uma distanciade X0 menor que δ, nao faz sentido definir o limite da funcao neste pontoX0 desta maneira. Assim, falamos de limite no ponto X0 apenas quando,qualquer que seja δ, haja pontos do domınio de f , diferentes de X0, a umadistancia de X0 menor que δ, isto e,

∀δ > 0 ∃X ∈ Df \ {X0} : ‖ X −X0 ‖< δ.

6

Aos pontos X0 que verificam esta condicao chamamos pontos de acumulacao.Se, pelo contrario, X0 ∈ Df e tal que

∃δ > 0 : {X ∈ Df \ {X0} : ‖ X −X0 ‖< δ} = ∅,

isto e, nao ha pontos em Df tao proximos de X0 quanto se queira, dizemosque X0 e um ponto isolado. Ao seguinte conjunto

Vδ = {X ∈ Df : ‖ X −X0 ‖< δ}

chamamos vizinhanca de X0 de raio δ em Df , isto e, trata-se do conjuntodos pontos que distam menos de δ do ponto X0.

Para pontos isolados nos quais a funcao esta definida, definimos o limite,por convencao, como sendo

limX→X0

f(X) = f(X0).

Exemplo 4. No domınio da funcao real de duas variaveis definida por

f(x, y) = y√x

apenas existem pontos de acumulacao. Temos

Df = {(x, y) ∈ R2; x > 0}

e todos os pontos do eixo vertical tem pontos de Df tao proximos quanto sequeira.

O domınio da funcao real de variavel real g(x, y) = y log x e o conjunto

{(x, y) ∈ R2; x > 0}.

Todos os pontos do domınio sao pontos de acumulacao e, alem destes, todosos pontos do eixo vertical sao pontos de acumulacao do domınio.

No conjunto

{(x, y) ∈ R2 : x > 0} ∪ {(−1,−1)},

o ponto (−1,−1) e um ponto isolado. Todos os outros pontos do conjuntosao pontos de acumulacao. ♣

Definicao 3.2. Dizemos que a funcao f : Rn → R tem limite infinito no

ponto X0 ∈ Df se f(X) se torna arbitrariamente grande para todos os pontosX no domınio de f suficientemente proximos de X0, ou seja,

∀M > 0 ∃δ > 0 : X ∈ Df \ {X0} ∧ ‖ X −X0 ‖< δ ⇒ |f(X)| > M.

7

Escrevemos entao

limX→X0

f(X) = ∞.

♠

Assim como para funcoes reais de uma variavel podemos falar de limite aesquerda e limite a direita, tambem para funcoes de mais variaveis podemosfalar do limite restrito a uma direccao determinada ou a um qualquer caminhocontido no domınio de f . A estes limites chamamos limites trajectoriais oulimites ao longo de um caminho. Escrevemos

limX→X0

X∈C

f(X) = L,

sendo C o caminho ou a trajectoria que define a aproximacao ao ponto X0. Eclaro que, sendo a definicao de limite independente do modo como os pontosX ∈ Df estao proximos de X0, se existir limite L neste ponto, existem todosos limites trajectoriais e sao iguais a L. O inverso tambem e verdade, istoe, se existirem e forem iguais a L todos os limites trajectoriais em X0 entaotambem existe e e igual a L o limite em X0. Mas, sendo o numero de limitestrajectoriais num ponto em R

n, n > 2, infinito, nao podemos utilizar estefacto para estabelecer a existencia de limite. Os limites trajectoriais saouteis, em especial, para obter o resultado inverso, ou seja, a nao existenciade limite num ponto. Com efeito, se dois limites trajectoriais sao diferentesou, pelo menos um deles nao existe, num ponto X0 entao nao existe limitenesse ponto.

Exemplo 5. Mostremos que nao existe

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = lim(x,y)→(0,0)

x2

x2 + y2.

Ao longo do eixo horizontal, isto e, da recta de equacao y = 0 temos

lim(x,0)→(0,0)

x2

x2 + y2= 1.

Mas, ao longo do eixo vertical, ou seja, da recta x = 0

lim(0,y)→(0,0)

x2

x2 + y2= 0.

Logo, o limite da funcao dada nao existe na origem.

8

Vejamos, a tıtulo de curiosidade, que podıamos ter utilizado qualquerrecta que passe pela origem. Calculemos o limite ao longo da recta genericade equacao y = ax com a ∈ R, isto e, da recta com a direccao do vectorU = (1, a). O

limx→0

f(x, ax) = limx→0

x2

x2 + a2x2=

1

1 + a2

varia com a ∈ R logo, o limite nao existe. ♣Este exemplo ilustra o caso mais simples de limite trajectorial que e aquele

em que o caminho e uma recta que passa por X0. Dado que a recta e deter-minada pela direccao de um vector, U , utiliza-se, neste caso, a designacao delimite direccional.

Apesar de nao servirem para provar a existencia de limite num ponto, ocalculo dos limites trajectoriais pode levar-nos a crer que tal limite existe ea encontrar o valor desse limite.

Exemplo 6. Para encontrar o valor do limite na origem de

f(x, y) =x2y2

x2 + y2,

comecemos por calcular este limite ao longo de rectas da forma y = ax coma ∈ R. Obtemos

limx→0

x2a2x2

x2 + a2x2= 0,

o que nos garante que, caso o limite exista, este e o seu valor. Vamos mostrarque assim e. Queremos encontrar δ > 0 tal que se

‖ (x, y) ‖< δ

entao

|f(x, y)| < ε.

Temos

|f(x, y)| = | x2y2

x2 + y2|

< |(x2 + y2)(x2 + y2)

x2 + y2|

= x2 + y2

=‖ (x, y) ‖2< δ2 < ε.

Logo, basta escolher δ <√ε, por exemplo, δ =

√ε

2. ♣

9

Lema 3.1 (Propriedades dos limites). As propriedades dos limites saoas mesmas que para funcoes reais de variavel real.

Exercıcio 2. Enuncie e demonstre as propriedades dos limites para funcoesreais de duas variaveis. [Sugestao: Procure na bibliografia.] ./

Definicao 3.3. Uma funcao f : Rn → R diz-se contınua no ponto X0 ∈

Df se

limX→X0

f(X) = f(X0),

ou seja,

∀ε > 0 ∃δ > 0 : X ∈ Df ∧ ‖ X −X0 ‖< δ ⇒ |f(X) − f(X0)| < ε.

Se f nao e contınua em X0, diz-se descontınua em X0 ou que tem umadescontinuidade em X0. ♠

Note-se que nesta definicao nao e necessario exigir a existencia de pontosdo domınio de f proximos de X0. Com efeito, a condicao da definicao decontinuidade verifica-se trivialmente em pontos isolados pelo que, qualquerfuncao e sempre contınua neste tipo de pontos.

Definicao 3.4. Uma funcao f : Rn → R diz-se contınua em D1, D1 ⊂ Df ,

se e contınua em todos os pontos de D1.Uma funcao f : R

n → R diz-se contınua se e contınua em todos ospontos do seu domınio, isto e, se

∀X0 ∈ Df ∀ε > 0 ∃δ > 0 :

X ∈ Df ∧ ‖ X −X0 ‖< δ ⇒ |f(X) − f(X0)| < ε.

♠

Exemplo 7. A funcao f : R2 → R definida por f(x, y) = x+ y2 e contınua.

Temos

|x− x0| 6√

(x− x0)2 + (y − y0)2 =‖ X −X0 ‖

e

|y − y0| 6√

(x− x0)2 + (y − y0)2 =‖ X −X0 ‖ .

10

Usando as desigualdades acima, obtemos

|f(X) − f(X0)| = |x+ y2 − x0 − y20| = |(x− x0) + y2 − y2

0| =

= |(x− x0) + (y − y0)2 + 2y0(y − y0)| 6

6 ‖ X −X0 ‖ + ‖ X −X0 ‖2 +2|y0| ‖ X −X0 ‖66 δ + δ2 + 2|y0|δ = δ(δ + 1 + 2|y0|).

Queremos escolher δ tal que δ(δ + 1 + 2|y0|) < ε. Se δ 6 1 entao δ2 6 δ eδ(δ + 1 + 2|y0|) < 2δ(1 + |y0|). Para esta ultima expressao ser menor que εescolhemos, por exemplo,

δ = min{1, ε

4(1 + |y0|)}.

♣

Observacao. Para estudar a continuidade num ponto X0, podemos fazer usotambem dos limites trajectoriais. Assim, se ao aproximarmos o ponto X0 porum dado caminho nao obtivermos como limite o valor f(X0), garantimos adescontinuidade da funcao nesse ponto.

Exercıcio 3. Mostrar que tem uma descontinuidade na origem a funcao defi-nida em R

2 por

f(x, y) =

{

x2

x2+y2 se (x, y) 6= (0, 0)

1 se (x, y) = (0, 0).

./

Teorema 3.1. Sejam f : Rn → R e g : R → R funcoes contınuas em X0

e f(X0), respectivamente. A funcao g ◦ f : Rn → R e tambem contınua no

ponto X0.

Demonstracao: Seja ε > 0. Como g e contınua em YX0= f(X0), existe

δg > 0 tal que

|Y − YX0| = |Y − f(X0)| < δg ⇒ |g(Y ) − g(YX0

)| = |g(Y ) − g(f(X0)| < ε.

Fixemos δg nas condicoes anteriores. Como f e contınua em X0, paraeste δg, existe δ > 0 tal que

‖ X −X0 ‖< δ ⇒ |f(X) − f(X0)| < δg.

11

Uma vez que a ultima desigualdade implica

|g(f(X))− g(f(X0)| < ε

fica provado o teorema. ♦Este resultado permite-nos concluir a continuidade, por exemplo, da fun-

cao h(x, y) = ln(x+ y2), usando o exemplo anterior e a continuidade, que jaconhecemos, da funcao logaritmo no seu domınio.

O teorema seguinte, apresentado sem demonstracao, permite concluir,por exemplo, que a funcao f(x, y) = x2/(x2 + y2) e contınua.

Teorema 3.2. Sejam f e g funcoes reais de variavel real, contınuas em x0

e y0, respectivamente. As funcoes h : R2 → R e k : R

2 → R definidas porh(x, y) = f(x)g(y) e k(x, y) = f(x) + g(y) sao contınuas no ponto (x0, y0).

4 Derivacao

Neste capıtulo, vamos estabelecer o conceito de derivada de uma funcao devarias variaveis. Convem ter sempre em mente a razao pela qual nos interessasaber derivar. Assim como nas funcoes reais de variavel real, a derivada dafuncao nos da informacao sobre o crescimento da funcao e pontos extremos,tambem aqui a derivada nos vai dar informacao sobre a forma do grafico dafuncao. Note-se que, sendo muito mais difıcil desenhar graficos de funcoes devarias variaveis, a derivada adquire aqui um papel ainda mais importante.Analogamente ao que acontece em funcoes de uma variavel, as funcoes dife-renciaveis ou derivaveis de mais variaveis sao aquelas cujo grafico nao temdobras nem cantos.

4.1 Derivadas parciais

Este conceito requer apenas conhecimentos relativos a funcoes de uma varia-vel. No que se segue, nao vamos explicitar o domınio das funcoes que consi-deramos. Assim, supomos que as funcoes tem domınio R

n. Caso tal naoaconteca, os resultados mantem-se validos em Df ⊂ R

n.

Definicao 4.1. Seja f : Rn → R uma funcao de n variaveis, x1, x2, . . . , xn.

A derivada parcial de f em ordem a xi e uma funcao das mesmas n

12

variaveis reais definida, no ponto (x01, x

02, . . . , x

0n), por

fxi(x0

1, x02, . . . , x

0n) =

∂f

∂xi

(x01, x

02, . . . , x

0n)

= limh→0

f(x01, x

02, . . . , x

0i + h, . . . , x0

n) − f(x01, x

02, . . . , x

0n)

h.

♠

E claro que a derivada parcial so existe se existir e for finito o limite dadefinicao.

Da definicao de derivada parcial, e imediato reconhecer que se trata decalcular a derivada de uma funcao real de variavel real xi, sendo as restantescomponentes consideradas constantes nesta nova funcao. Podemos, entao,utilizar todas as regras de derivacao em R para calcular derivadas parciais.

Exemplo 8. A funcao

f(x, y) = x2y + e(y sen (y5+log y6))

tem como derivada parcial em ordem a x a funcao

∂f

∂x(x, y) = 2xy.

♣

Para entendermos o significado geometrico desta definicao, consideremosa funcao de duas variaveis, f : R

2 → R tal que z = f(x, y). Utilizando oponto (x0, y0) ∈ R

2, definimos duas funcoes reais de uma variavel

g : R → R

x → f(x, y0)

e

h : R → R

y → f(x0, y).

Com esta notacao, temos

∂f

∂x(x0, y0) = fx(x0, y0) = g′(x0)

13

e

∂f

∂y(x0, y0) = fy(x0, y0) = h′(y0).

Fazendo variar o ponto (x0, y0), obtemos duas funcoes nas variaveis x e y, asaber

fx(x, y) =∂f

∂x(x, y) e fy(x, y) =

∂f

∂y(x, y).

Em termos do grafico das funcoes, a funcao g tem o grafico que resultada interseccao do grafico de f com o plano vertical y = y0. Analogamente,o grafico de h obtem-se intersectando o grafico de f com o plano verticalx = x0. Assim sendo, como as derivadas das funcoes g e h correspondem avariacao de cada uma das funcoes, as derivadas parciais indicam a variacaode f ao longo das curvas que constituem os graficos de g e h, nos planos queos contem.

Exemplo 9. Dada a funcao real de duas variaveis f(x, y) = x2y + y3, assuas derivadas parciais sao

fx(x, y) =∂f

∂x(x, y) = 2xy e fy(x, y) =

∂f

∂y(x, y) = x2 + 3y2.

Uma vez que a derivada parcial em ordem a y e sempre positiva, sabemosque a funcao f e sempre crescente em qualquer plano vertical x = a ∈ R.

As derivadas parciais foram obtidas por derivacao directa usando as regrasde derivacao de funcoes de uma variavel. Vejamos como calcular fx com adefinicao.

∂f

∂x(x0, y0) = lim

h→0

f(x0 + h, y0) − f(x0, y0)

h=

= limh→0

(x0 + h)2y0 + y30 − x2

0y0 − y30

h=

= limh→0

x20y0 + 2x0y0h + y0h

2 − x20y0

h=

= limh→0

(2x0y0 + y0h) = 2x0y0.

♣

Como nos diz a definicao de derivada parcial, esta e uma funcao real nasmesmas variaveis que a funcao f de que partimos. Podemos entao pensar emcalcular derivadas parciais para esta funcao derivada parcial, fxi

= ∂f/∂xi,

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obtendo novas funcoes reais nas mesmas variaveis. Chamamos a estas ultimasderivadas parciais, derivadas parciais de 2

a¯ ordem. Para uma funcao f de

duas variaveis existem 4 derivadas parciais de 2a¯ ordem, a saber

∂2f

∂x2=

∂

∂x(∂f

∂x) = (fx)x = fxx

∂2f

∂y∂x=

∂

∂y(∂f

∂x) = (fx)y = fxy

∂2f

∂x∂y=

∂

∂x(∂f

∂y) = (fy)x = fyx

∂2f

∂y2=

∂

∂y(∂f

∂y) = (fy)y = fyy.

Para obter derivadas parciais de ordem superior, basta calcular as deri-vadas parciais das funcoes obtidas acima e iterar o processo tantas vezesquantas as necessarias.

Exemplo 10. Dada a funcao real de duas variaveis f(x, y) = sen x sen2 y,temos as seguintes derivadas parciais

∂f

∂x(x, y) = cos x sen2 y e

∂f

∂y(x, y) = 2 sen x sen y cos y = sen x sen(2y).

Derivando cada uma destas funcoes em ordem a cada uma das variaveis,obtemos as derivadas parciais de 2

a¯ ordem

∂2f

∂x2(x, y) = − sen x sen2 y,

∂2f

∂y2(x, y) = 2 sen x cos(2y),

∂2f

∂x∂y(x, y) = cos x sen(2y)

e∂2f

∂y∂x(x, y) = 2 cos x sen y cos y = cos x sen(2y).

♣

Exercıcio 4. Calcule as derivadas parciais de 3a¯ ordem da funcao f do e-

xemplo anterior. ./

No exemplo acima, verificamos que as derivadas de 2a¯ ordem, em ordem

as duas variaveis sao iguais. Vejamos que isso nao acontece por acaso.

15

Teorema 4.1 (Teorema de Schwarz). Se f e uma funcao real de duasvariaveis reais de domınio Df , cujas derivadas parciais fx, fy e fxy existemnuma vizinhanca centrada num ponto (x0, y0) ∈ Df e sao contınuas nesteponto, entao existe tambem fyx(x0, y0) e

∂2f

∂x∂y(x0, y0) =

∂2f

∂y∂x(x0, y0).

A demonstracao deste teorema pode ser encontrada em A. A. Breda e J.N. Costa [1], p.46.

O Teorema de Schwarz aparece por vezes enunciado na seguinte forma:

Teorema 4.2. Se f e uma funcao real de duas variaveis reais de domınioDf , cujas derivadas parciais fyx e fxy existem numa vizinhanca centradanum ponto (x0, y0) ∈ Df e sao contınuas neste ponto, entao

∂2f

∂x∂y(x0, y0) =

∂2f

∂y∂x(x0, y0).

4.2 Derivada de uma funcao real de 2 variaveis reais

Por analogia com a derivada de funcoes de uma variavel, pretendemos quea derivada de uma funcao de duas variaveis num ponto de alguma indicacaosobre a variacao da funcao e, ao mesmo tempo constitua uma boa apro-ximacao da funcao em pontos proximos. Se para funcoes reais de variavelreal, a recta tangente a curva que constitui o grafico da funcao no ponto x0 euma boa aproximacao da funcao para pontos proximos de x0, vamos definirderivada de uma funcao de duas variaveis de modo a que o plano tangentea superfıcie que constitui o grafico da funcao seja a “boa aproximacao” queprocuramos.

Definicao 4.2. Seja f : R2 → R. Dizemos que f e derivavel ou dife-

renciavel no ponto (x0, y0) ∈ Df se ambas as derivadas parciais de 1a¯ ordem

existem em (x0, y0) e se

lim(x,y)→(x0,y0)

|f(x, y) − f(x0, y0) − ∂f

∂x(x0, y0)(x− x0) − ∂f

∂y(x0, y0)(y − y0)|

‖ (x, y) − (x0, y0) ‖= 0.

Por outras palavras, dizemos que f e derivavel se a expressao

f(x0, y0) +∂f

∂x(x0, y0)(x− x0) +

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0)

e uma boa aproximacao de f para pontos proximos de (x0, y0). ♠

16

Vejamos agora que

z = f(x0, y0) +∂f

∂x(x0, y0)(x− x0) +

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0)

nao e mais do que a equacao do plano tangente ao grafico de f no ponto(x0, y0, f(x0, y0)). Com efeito, a equacao de um plano em R

3 e da forma

z = a(x− x0) + b(y − y0) + c.

Se queremos que este plano seja tangente ao grafico de f , o declive das rectastangentes nos planos verticais x = x0 e y = y0 e dado pelo valor das derivadasparciais neste ponto. Assim,

a =∂f

∂x(x0, y0) e b =

∂f

∂y(x0, y0).

Como para (x, y) = (x0, y0) temos z = f(x0, y0), vem

c = f(x0, y0).

Podemos dizer que uma funcao e diferenciavel num ponto (x0, y0) se oplano tangente ao grafico da funcao neste ponto e uma boa aproximacao dafuncao. Neste caso, pode fazer sentido aproximar o valor que a funcao tomanum ponto proximo de (x0, y0) pela imagem desse ponto no plano tangenteconforme o exemplo a seguir.

Exemplo 11. Sabendo que f(x, y) = xy e diferenciavel em todo o domınio,podemos aproximar o valor que a funcao toma em (x, y) = (10.1, 5.2) usandoo plano tangente ao grafico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0) = (10, 5, 50). Esteplano tangente e descrito pela equacao

z = (10, 5) +∂f

∂x(10, 5)(x− 10) +

∂f

∂y(10, 5)(y − 5)

logo, f(10.1, 5.2) ' 50 + 5(10.1 − 10) + 10(5.2 − 5) = 52.5. ♣

Definicao 4.3. Seja f : R2 → R derivavel no ponto (x0, y0). Ao vector

grad f(x0, y0) = ∇f(x0, y0) = (∂f

∂x(x0, y0),

∂f

∂y(x0, y0))

chamamos vector gradiente de f . ♠

17

A equacao do plano tangente ao grafico de f no ponto (x0, y0) obtem-sea partir do produto escalar

z = f(x0, y0) + ∇f(x0, y0).(x− x0, y − y0).

Definicao 4.4. A derivada de f no ponto (x0, y0) e a aplicacao de R2

em R que a um vector (u, v) ∈ R2 associa

Df(x0, y0)(u, v) = ∇f(x0, y0).(u, v)

e a unica funcao linear que satisfaz a seguinte igualdade

lim(x,y)→(x0,y0)

|f(x, y)− f(x0, y0) −Df(x0, y0)(x− x0, y − y0)|‖ (x, y) − (x0, y0) ‖

= 0.

♠

Neste caso, a equacao do plano tangente obtem-se efectuando

z = f(x0, y0) +Df(x0, y0)(x− x0, y − y0).

Note-se que, sendo a derivada uma funcao das mesmas variaveis que afuncao original, podemos, em alguns casos, continuar o processo de derivacao.Nao vamos tratar este assunto neste curso.

Observacao. Se f e uma funcao de n variaveis, as definicoes de gradiente ederivada sao a generalizacao trivial das definicoes acima. Assim, se f : R

n →R temos

∇f(x01, . . . , x

0n) = (

∂f

∂x1(x0

1, . . . , x0n), . . . ,

∂f

∂xn

(x01, . . . , x

0n))

e

Df(x01, . . . , x

0n)(u1, . . . , un) = ∇f(x0

1, . . . , x0n).(u1, . . . , un).

Lema 4.1 (Propriedades da derivada). As propriedades da funcao deri-vada sao analogas as propriedades da derivada de uma funcao real de umavariavel real.

Exercıcio 5. Enuncie as propriedades da funcao derivada de uma funcao realde duas variaveis. ./

18

Exemplo 12. O plano tangente ao grafico de

f(x, y) = x2 + y4 + exy

no ponto (1, 0, f(1, 0)) e dado pela equacao

z = 2x + y.

Comecemos por calcular o valor da funcao no ponto em causa:

f(1, 0) = 1 + 0 + 1 = 2.

As derivadas parciais no ponto considerado sao

∂f

∂x(1, 0) = (2x + yexy)|(1,0) = 2 e

∂f

∂y(1, 0) = (4y3 + xexy)|(1,0) = 1,

donde a equacao do plano tangente e

z = 2(x− 1) + 1(y − 0) + 2.

♣

Exercıcio 6. Calcule a funcao derivada da funcao do exemplo anterior noponto (1, 0). ./

Exemplo 13. A funcao f(x, y) = x+ y e derivavel no ponto (1, 0) ja que

lim(x,y)→(1,0)

|f(x, y) − f(1, 0) − ∂f

∂x(1, 0)(x− 1) − ∂f

∂y(1, 0)(y − 0)|

‖ (x, y) − (1, 0) ‖ =

= lim(x,y)→(1,0)

|f(x, y) − 1 − 1(x− 1) − 1(y − 0)|√

(x− 1)2 + y2=

= lim(x,y)→(1,0)

0√

(x− 1)2 + y2= 0.

A derivada de f neste ponto e a funcao real de duas variaveis

Df(1, 0)(u, v) = (1, 1).(u, v) = u+ v.

De notar que a derivada e a propria funcao. Isto acontece com todas asfuncoes lineares. Geometricamente, o grafico da funcao f , quando esta e umafuncao linear de duas variaveis, e um plano. Logo, a melhor aproximacao aografico da funcao, isto e, o plano tangente ao grafico da funcao, e o propriografico. Assim, a derivada e a propria funcao. ♣

19

Exercıcio 7. Calcule a derivada da funcao f(x, y) = x+ y+1 no ponto (1, 0)e determine a equacao do plano tangente ao grafico da funcao neste ponto../

Este ultimo exemplo permite tambem concluir que a utilizacao da defini-cao para mostrar que uma funcao e derivavel pode conduzir a calculos muitocomplicados. Assim, vamos introduzir alguns resultados que permitem, emalguns casos, concluir da derivabilidade ou nao de uma funcao sem recorrera definicao.

Vejamos, antes de mais, que a existencia de derivadas parciais nao econdicao suficiente para a existencia de derivada de uma funcao. No entanto,e claro que se nao existirem derivadas parciais, a funcao nao e derivavel. Estaconclusao e imediata a partir da definicao.

Exemplo 14. A funcao f de duas variaveis definida por

f(x, y) =

{ xy

x2+y2 se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

Usando a definicao para calcular as derivadas parciais na origem obtemos

∂f

∂x(0, 0) = lim

h→0

h.0h2+02 − 0

h= 0

e analogamente, a derivada parcial em ordem a y e igual a zero. Caso afuncao seja diferenciavel na origem tem que ser igual a zero o seguinte

lim(x,y)→(0,0)

| xy

x2+y2 − 0|√

x2 + y2= lim

(x,y)→(0,0)

|xy|√

x2 + y2(x2 + y2).

Ora, ao longo da recta y = x este limite e infinito pelo que a funcao f nao ediferenciavel na origem. ♣

A funcao f do exemplo anterior nao e sequer contınua na origem. O factode uma funcao ser contınua nao nos permite concluir se ela e derivavel comosabemos de exemplos com uma variavel. No entanto, a descontinuidade deuma funcao num ponto permite-nos concluir que ela nao e derivavel nesseponto, como nos diz o seguinte

Teorema 4.3. Se f : R2 → R e derivavel em X0 ∈ Df entao f e contınua

em X0.

Este teorema e especialmente util para mostrar que uma funcao nao ederivavel. Note-se que se f nao e contınua num ponto, nao faz sentido falar

20

no plano tangente ao grafico da funcao nesse ponto. Uma vez que e maissimples testar a continuidade do que a derivabilidade, este teorema introduzalgumas simplificacoes. De referir, no entanto, que ha funcoes contınuas quenao sao derivaveis, como a do exercıcio seguinte.

Exercıcio 8. Considere a funcao real de duas variaveis reais definida por

f(x, y) =

{

xy√x2+y2

se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

(a) Mostre que f e contınua.(b) Mostre que as derivadas parciais sao nulas na origem.(c) Mostre que as derivadas parciais nao sao contınuas na origem.(d) Use a alınea (b) para concluir que, caso a derivada de f exista, ela vale0 na origem. Usando este valor, mostre que f nao e derivavel na origem. ./

Para concluirmos que uma funcao e derivavel temos que exigir algo maisdo que a existencia das derivadas parciais, como nos mostra o seguinte

Teorema 4.4. Se f : R2 → R e tal que as derivadas parciais de 1

a¯ ordem

existem e sao contınuas numa vizinhanca de um ponto X0 ∈ Df , entao f ederivavel em X0.

Este teorema nao sera demonstrado.

Corolario 4.1. Se f : Rn → R e tal que n − 1 das suas derivadas parciais

sao contınuas numa vizinhanca de X0 ∈ Df e a derivada parcial restanteexiste em X0 ∈ Df entao f e derivavel nesse ponto.

No exemplo anterior, as derivadas parciais, que existem na origem, naosao contınuas nesse ponto. De facto,

∂f

∂x(0, ε) = lim

h→0

f(h, ε) − f(0, 0)

h=

= limh→0

−1

h= ∞.

Note-se que a existencia de derivadas parciais contınuas implica a dife-renciabilidade de f mas o inverso nao e verdade, como podemos ver noseguinte

Exemplo 15. A funcao

f(x) =

{

x2 sen 1x

se x 6= 00 se x = 0.

21

tem derivada parcial, que neste caso nao e mais do que a derivada total eportanto, f e derivavel na origem, mas a derivada nao e contınua em x = 0.De facto, calculando a derivada em x = 0 a partir da definicao temos

f ′(0) =∂f

∂x(0) = lim

h→0

f(h) − f(0)

h=

= limh→0

h2 sen 1h

h=

= limh→0

h sen1

h= 0

Por outro lado, se x 6= 0 entao

f ′(x) = 2x sen1

x+ x2(− 1

x2) cos

1

x= 2x sen

1

x− cos

1

x

e

limx→0

f ′(x) = 0 − limx→0

cos1

x

nao existe. ♣

Observacao. Mostramos que sao verdadeiras as seguintes implicacoes

• existencia de derivadas parciais contınuas ⇒ funcao derivavel;

• funcao derivavel ⇒ funcao contınua e existencia de derivadas parciais.

Mostramos tambem, por meio de contra-exemplos, que nenhuma das im-plicacoes contrarias as anteriores e verdadeira.

Um caso importante do calculo da derivada de uma funcao e o caso daderivacao de funcoes compostas. Os teoremas seguintes mostram que, for-malmente, este caso e muito semelhante ao que se passa com funcoes de umavariavel.

Teorema 4.5 (Derivada da funcao composta I). Sejam f : R2 → R e

Φ : R → R2 funcoes derivaveis em X0 = Φ(t0) e em t0, respectivamente,

e tais que o contradomınio de Φ esta contido no domınio de f . A funcaoF = f ◦ Φ e derivavel em t0 e

F ′(t0) = Df(x(t0), y(t0))(Φ′(t0)) = ∇f(x(t0), y(t0)).Φ

′(t0).

22

Observacao. Sendo Φ uma funcao de uma variavel e duas componentes, es-crevemos

Φ(t) = (Φ1(t),Φ2(t))

e a sua derivada e o vector

(dΦ1

dt(t),

dΦ2

dt(t)).

No caso particular do teorema anterior, temos

Φ1(t) = x(t) e Φ2(t) = y(t).

A funcao F do teorema anterior e uma funcao real de variavel real. Noentanto, como ela resulta da composicao de funcoes que o nao sao, o calculoda derivada requer uma tecnica diferente da de funcoes de uma variavel.Para calcular explicitamente a derivada de uma funcao como a funcao F ,reescrevemos frequentemente a expressao da derivada da seguinte maneira

dF

dt(t) =

∂f

∂x(x, y)

dx

dt(t) +

∂f

∂y(x, y)

dy

dt(t).

Exemplo 16. Calculo da derivada de F : R → R definida por F = f ◦ Φonde

Φ(t) = (t + 1, 2t) e f(x, y) = ex + xy2.

Temos

∇f(x, y) = (∂f

∂x(x, y),

∂f

∂y(x, y)) = (ex + y2, 2xy)

e

Φ′(t) = (1, 2).

Logo, pelo teorema anterior,

F ′(t) = ∇f(Φ(t)).Φ′(t)

= (ex + y2, 2xy)|(x,y)=Φ(t).(1, 2)

= e(t+ 1) + (2t)2 + 4(t+ 1)(2t) = et+1 + 12t2 + 8t.

Podıamos ter calculado directamente a derivada de F a partir da suaexpressao analıtica

F (t) = f(Φ(t)) = f(t+ 1, 2t) = et+1 + (t+ 1)(2t)2.

♣

23

Exercıcio 9. Seja f : R2 → R definida por f(x, y) = x3 + xy2. Mostre que

F = f ◦ Φ e crescente sendo Φ = (φ1, φ2) : R → R2 com φ1, φ2 funcoes

crescentes em R. ./

Esta versao do Teorema da Funcao Composta nao e a mais geral. Aversao mais geral deste teorema, que contempla aplicacoes R

n → Rm, requer

conhecimentos sobre matrizes e pode ser encontrada em Marsden e Tromba[3], p.102.

Teorema 4.6 (Derivada da funcao composta II). Sejam f : R → R,na variavel u, e Φ : R

2 → R, com Φ(x, y) = u, tais que o contradomıniode Φ esta contido no domınio de f e para as quais existe derivada de fem u0 = Φ(x0, y0) e derivadas parciais de Φ contınuas numa vizinhanca de(x0, y0). A funcao F = f ◦ Φ : R

2 → R tem derivadas parciais dadas por

∂F

∂x(x0, y0) =

df

du(u0)

∂Φ

∂x(x0, y0)

e por

∂F

∂y(x0, y0) =

df

du(u0)

∂Φ

∂y(x0, y0)

no ponto (x0, y0).

Exemplo 17. Calculo da derivada parcial em ordem a primeira variavel deF : R

2 → R definida por F = f ◦ Φ onde

f(u) = u2 + 2u e Φ(x, y) = x(y + 1).

Temos

∂F

∂x(x, y) =

df

du(u)

∂Φ

∂x(x, y) = (2u+ 2)(y + 1) = 2x(y + 1)2 + 2(y + 1).

♣

Exercıcio 10. Seja f : R → R uma funcao derivavel que atinge um maximoem u0 = Φ(x0, y0). Mostre que, qualquer que seja Φ : R

2 → R diferenciavel,F = f ◦ Φ tem gradiente nulo em (x0, y0). ./

Exemplo 18. De modo analogo, e facil entender que sendo f : R2 → R,

nas variaveis u e v, e Φ : R2 → R

2, com Φ(x, y) = (φ1(x, y), φ2(x, y)),tais que o contradomınio de Φ esta contido no domınio de f e para as quaisexistem derivadas parciais contınuas numa vizinhanca de (u0, v0) = Φ(x0, y0)

24

e de (x0, y0), respectivamente, a funcao F = f ◦ Φ : R2 → R tem derivadas

parciais dadas por

∂F

∂x(x0, y0) =

∂f

∂u(u0, v0)

∂φ1

∂x(x0, y0) +

∂f

∂v(u0, v0)

∂φ2

∂x(x0, y0)

e por

∂F

∂y(x0, y0) =

∂f

∂u(u0, v0)

∂φ1

∂y(x0, y0) +

∂f

∂v(u0, v0)

∂φ2

∂y(x0, y0)

no ponto (x0, y0).Este resultado nao e mais do que uma terceira versao do caso mais geral

do Teorema da Funcao Composta. ♣

O primeiro destes teoremas permite-nos entender melhor o significadogeometrico do vector ∇f . Seja f : R

2 → R uma funcao derivavel. A direccaodo vector gradiente diz-nos qual e a direccao em que ha maior variacao nosvalores da funcao. Suponhamos que o grafico de f representa o contorno deum monte, sendo as curvas de nıvel curvas de altura constante. Se queremospassar de uma curva de nıvel a outra com a maior variacao possıvel, isto e,se queremos passar de uma altitude a outra pela encosta de maior declive,devemos seguir a direccao do vector gradiente. Isto ilustra um resultadoimportante relativo ao gradiente de uma funcao.

Teorema 4.7. Seja f : R2 → R. O vector ∇f e normal as curvas de nıvel

Nc de f nos pontos em que a curva de nıvel e regular.

Demonstracao: Dizer que ∇f e normal a curva de nıvel Nc, e dizer quee ortogonal a um vector tangente a essa curva de nıvel. Tomemos F : I ⊂R → R

2 derivavel e tal que

F (t) ∈ Nc ∀ t ∈ I,

ou seja, temos f(F (t)) = c. Aplicando o teorema da derivada da funcaocomposta I, temos

[f(F (t))]′ = Df(F (t))(F ′(t)) = ∇ f.F ′(t),

resultando a ultima igualdade da definicao de derivada de uma funcao deduas variaveis. Mas, f ◦ F e uma funcao real de variavel real donde,

f(F (t)) = c ⇒ [f(F (t))]′ = 0.

25

Logo, temos

∇ f.F ′(t) = 0,

o que significa que os dois vectores sao ortogonais. ♦Este resultado permite calcular a equacao da recta tangente a curva de

nıvel Nc num ponto X0 = (x0, y0) ∈ Nc. Esta equacao e dada por

∇f(x0, y0).(x− x0, y − y0) = 0.

4.3 Derivadas direccionais

Sabemos ja que as derivadas parciais de uma funcao f : R2 → R correspon-

dem as derivadas da funcao segundo a direccao dos eixos coordenados. Assim,a partir das derivadas parciais podemos analisar a variacao de f segundo adireccao dos eixos. Interessa-nos agora obter informacao sobre a variacaoda funcao segundo outras direccoes, por exemplo, segundo a direccao de umvector U ∈ R

2 que vamos supor de norma unitaria.

Definicao 4.5. Seja f : R2 → R. A derivada direccional de f no ponto

X0 segundo o vector U , de norma unitaria, e dada por

DUf(X0) =d

dtf(X0 + tU)|t=0.

♠

Note-se que, para a definicao de derivada direccional consideramos a res-tricao de f a recta com a direccao de U que passa por X0, isto e, a recta deequacao

X = X0 + tU.

Da definicao de derivada de uma funcao de uma variavel vem que a derivadadireccional pode ser calculada de modo equivalente atraves do

limt→0

f(X0 + tU) − f(X0)

t.

Geometricamente, estamos a calcular o declive da recta tangente a curvaque resulta da interseccao do grafico de f com o plano vertical com a direccaodo vector U .

26

Teorema 4.8. Se f : R2 → R e diferenciavel entao existem derivadas

direccionais segundo todas as direccoes. A derivada direccional de f no pontoX0 = (x0, y0), segundo o vector U = (u1, u2) e dada pela expressao seguinte

DUf(x0, y0) = ∇f(x0, y0).U =∂f

∂x(x0, y0)u1 +

∂f

∂y(x0, y0)u2.

Demonstracao: Seja c : R → R2 definida por c(t) = X0 + tU de modo a

que

F (t) = f(X0 + tU) = f(c(t)).

Usando o teorema da derivada da funcao composta I, temos

d

dtF (0) =

d

dtf(X0 + tU)|t=0 = (∇f(c(t)).c′(t))|t=0 = ∇f(x0, y0).U,

ja que c(0) = X0 e c′(0) = U . ♦Um resultado importante e de grande aplicacao e o seguinte

Corolario 4.2. Se f e tal que ∇f(X) 6= 0 entao o vector ∇f aponta nadireccao de maior crescimento da funcao f .

Demonstracao: Para esta demonstracao precisamos de utilizar uma ex-pressao para o calculo do produto escalar que nao foi ainda referida. Dadosdois vectores U e V , o seu produto escalar pode ser calculado de formaequivalente por meio da expressao

U.V =‖ U ‖‖ V ‖ cos θ,

onde θ e o angulo formado pelos dois vectores.Seja entao U um vector unitario. A variacao de f na direccao de U e,

segundo o teorema anterior, dada por

∇f.U =‖ ∇f ‖ cos θ,

sendo θ o angulo formado por U e ∇f . Ora, o produto anterior e maximoquando cos θ = 1, ou seja, θ = 0, o que significa que os vectores tem a mesmadireccao. ♦

Vamos agora ver porque e que na definicao de derivada direccional exigi-mos que o vector que determina a direccao seja unitario uma vez que, doponto de vista do calculo, nao ha diferenca entre escolher um vector unitarioou um de norma qualquer. Em primeiro lugar, dado um inteiro qualquer

27

λ > 0, o vector V = λU tem a mesma direccao que U . No entanto, se usar-mos o Teorema 4.8 para obter a derivada segundo a direccao de V obtemos

∇f.V = ∇f.(λU) = λ(∇f.U),

ou seja, para λ 6= 1 obtemos um valor diferente conforme o vector que esco-lhemos para definir a direccao. Exigindo que o vector de direccao seja unitariotemos a derivada direccional definida de modo unico.

Em segundo lugar, uma vez que queremos interpretar a derivada direc-cional como a variacao de f segundo a direccao de U , escolhendo U unitarioestamos a garantir que o ponto X+ tU se desloca de uma distancia s quandot aumenta essa quantidade s.

Exemplo 19. A derivada direccional da funcao f(x, y) = x + y segundo adireccao do vector U = (1, 2) e igual a 3/

√5.

Uma vez que o vector U nao tem norma igual a 1, vamos comecar porcalcular o vector unitario V com a direccao de U . Para isso, basta dividir Upelo valor da sua norma. Utilizando o Teorema 4.8, e com o vector V quevamos efectuar os calculos. Como ‖ U ‖=

√5, temos entao

DV f(x, y) = ∇f(x, y).V =1√5((1, 1).(1, 2)) =

3√5.

Note-se que, como a derivada direccional de f nao depende do ponto (x, y) emque e calculada, podemos dizer que f varia de modo constante em qualquerponto na direccao dada. ♣Exercıcio 11. Seja f : R

2 → R a funcao definida por f(x,y) = -xy.

1. Esboce graficamente as curvas de nıvel 0, 1 e −1 de f .

2. Encontre a curva de nıvel a que pertence o ponto X0 = (2, 1).

3. Determine ∇f(2, 1).

4. Faca um esboco da curva de nıvel e do vector gradiente encontradosnas duas alıneas anteriores.

5. Encontre e desenhe as rectas que melhor aproximam a curva de nıvelencontrada em 2. nos pontos X0 = (2, 1) e X1 = (−1,−2).

6. Encontre todos os pontos nos quais a funcao f tem maior crescimento

(a) na direccao do vector U = (1, 1).

(b) na vertical.

(c) na vertical do que na horizontal.

./

28

5 Funcoes homogeneas

Neste capıtulo, vamos estudar um tipo particular de funcao que tem comocaracterıstica principal o facto de, para efeitos de derivacao, se comportarcomo uma potencia.

Definicao 5.1. Uma funcao f : Rn → R diz-se homogenea de grau m

se verifica a condicao

f(tX) = tmf(X) ∀ t ∈ R, X ∈ Df tais que tX ∈ Df .

♠

O caso mais simples de funcoes homogeneas sao as funcoes polinomiaissem termo constante como, por exemplo,

f(x, y) = x2 + xy + y2,

para as quais o grau de homogeneidade m coincide com o grau do polinomio.

Exercıcio 12. Mostre que as funcoes da forma

f(x, y) = apxp + ap−1x

p−1y + ap−2xp−2y2 + . . .+ a2x

2yp−2 + a1xyp−1 + a0y

p

sao homogeneas de grau p. ./

O resultado com mais interesse sobre funcoes homogeneas e o seguinte

Teorema 5.1 (Teorema de Euler). Se f : Rn → R e homogenea de grau

m e diferenciavel entao

∇f(X).X = mf(X),

ou seja,

mf(x1, . . . , xn) =n

∑

i=1

xi

∂f

∂xi

(x1, . . . , xn).

Demonstracao: Seja f homogenea de grau m e definamos a funcao real devariavel real

g(t) = f(tX) = tmf(X).

A derivada de g e dada por

g′(t) =df

dt(tX) = mtm−1f(X).

29

Mas, fazendo Y = tX temos (usando o teorema da derivacao da funcaocomposta)

df

dt(tX) = ∇f(Y ).

dY

dt= ∇ f(tX).X.

Ora, para t = 1, temos

g′(1) = ∇f(X).X = m1m−1f(X) = mf(X).

♦Observacao. Se na definicao de funcao homogenea restringimos t a valorespositivos entao o teorema de Euler e uma equivalencia. As funcoes que satis-fazem esta definicao restrita chamam-se funcoes positivamente homogeneas.

Exercıcio 13. Encontre Df(1, 0)(1, 0) sabendo que f(1, 0) = 1 e f e ho-mogenea de grau 3. ./

6 Funcoes Implıcitas

Continuando a estudar apenas funcoes reais de duas variaveis, interessa-nosagora obter resultados sobre igualdades que permitem definir uma variavela custa da outra. Comecemos por ver um exemplo. A funcao F : R

2 → R

definida por F (x, y) = x2 + y2 − 1 e tal que F (x, y) = 0 nao tem solucaoem todos os pontos, isto e, nao e possıvel escrever y como funcao de x. Noentanto, ha pontos nos quais esta definida uma funcao real de uma variavel,f , tal que

y = f(x) e F (x, f(x)) = 0.

Dizemos que, nestes pontos, a equacao F (x, y) = 0 define y implicitamentecomo funcao de x. O resultado seguinte permite-nos decidir, em certos casos,quais sao os pontos em que uma variavel e uma funcao implıcita da outra etambem calcular a derivada dessa funcao implıcita.

Teorema 6.1 (Teorema da Funcao Implıcita - versao 1). Seja

F : R2 → R

tal que as derivadas parciais de 1a¯ ordem sao contınuas numa vizinhanca de

(x0, y0) ∈ DF . Se

F (x0, y0) = 0 e∂F

∂y(x0, y0) 6= 0,

30

entao existe uma funcao, f , real de variavel real, definida numa vizinhancade x0 tal que

y = f(x),

isto e, a equacao F (x, y) = 0 define implicitamente y como funcao de x numavizinhanca de (x0, y0) e a derivada de y em ordem a x no ponto x0 e dadapor

∂F

∂x(x0, y0) +

∂F

∂y(x0, y0)

dy

dx(x0) = 0,

ou seja,

df

dx(x0) ≡

dy

dx(x0) = −

∂F∂x

(x0, y0)∂F∂y

(x0, y0).

Nao vamos demonstrar este teorema porque a demonstracao exige tecni-cas que nao cabem neste curso. Vamos apenas mostrar como e que, dada aexistencia da funcao f , se deduz a expressao da derivada ja que se trata deum bom exercıcio sobre a derivada da funcao composta.

Temos

G(x) = F (x, f(x)) = (F ◦ Φ)(x),

onde

Φ : R → R2

x → (x, f(x)).

Logo,

G′(x) = ∇F (x, y).Φ′(x) = (∂F

∂x,∂F

∂y).(dΦ1

dx,dΦ2

dx) = (

∂F

∂x,∂F

∂y).(1,

df

dx).

Substituindo na equacao F ′(x, f(x)) = 0, vem imediatamente a expressao doteorema.

Em certas condicoes, podemos obter derivadas de ordem mais alta dafuncao implıcita y ≡ y(x), o que nos permite estudar a existencia de pontosextremos da funcao implıcita usando a teoria das funcoes reais de variavelreal.

31

Exemplo 20. A equacao F (x, y) = x2 + y2 − 1 = 0 define y implicitamentecomo funcao de x numa vizinhanca do ponto (0, 1) uma vez que F (0, 1) = 0,

∂F

∂x(x, y) = 2x e

∂F

∂y(x, y) = 2y

sao contınuas e

∂F

∂y(0, 1) = 2 6= 0.

Note-se que de

∂F

∂y(x, y) = 2y

podemos imediatamente concluir que, numa vizinhanca de todos os pontosque sao solucao da equacao acima e tais que y 6= 0, isto e, x 6= ±1, a equacaodada permite definir y como funcao implıcita de x.

A derivada de y em ordem a x no ponto considerado encontra-se resol-vendo

∂F

∂x(0, 1) +

∂F

∂y(0, 1)

dy

dx(0) = 0

em ordem a (dy/dx)(0). Obtemos

dy

dx(0) = 0.

Sendo y ≡ y(x) uma funcao real de uma variavel real numa vizinhancado ponto 0, o facto de a derivada se anular tem exactamente a interpretacaoconhecida para funcoes reais de variavel real. Ou seja, o grafico da funcao y ≡y(x) tem uma tangente horizontal nesse ponto. E entao legıtimo perguntarse se trata de um ponto extremo. Para isso temos que calcular a segundaderivada em ordem a x. De salientar que, com o estudo que foi feito ate aqui,nao podemos estudar a monotonia da funcao implıcita em pontos proximosde 0, uma vez que o teorema da funcao implıcita permite calcular a derivadano ponto em questao, mas nao em pontos proximos.

Derivando novamente ambos os membros da igualdade anterior, obtemos

∂2F

∂x2(0, 1) +

∂2F

∂y∂x(0, 1) +

+ [∂2F

∂x∂y(0, 1) +

∂2F

∂y2(0, 1)]

dy

dx(0) +

∂F

∂y(0, 1)

d2y

dx2(0) = 0.

Resolvendo vem (d2y/dx2)(0) = −1. Logo, y ≡ y(x) tem um maximo noponto x = 0. ♣

32

Exercıcio 14. Desenhe o lugar geometrico dos pontos que satisfazem a equa-cao do exemplo anterior e interprete geometricamente os resultados obtidosno mesmo exemplo. ./

Exercıcio 15. Mostre que a equacao do exemplo anterior define x implicita-mente como funcao de y numa vizinhanca do ponto (1, 0) mas nada se podeconcluir numa vizinhanca de (0, 1). ./

O teorema da funcao implıcita tem uma generalizacao trivial para funcoesreais de mais do que duas variaveis que passamos a enunciar

Teorema 6.2 (Teorema da Funcao Implıcita - versao 2). Sejam

F : Rn → R

tal que as derivadas parciais de 1a¯ ordem sao contınuas numa vizinhanca de

(x01, . . . , x

0n) ∈ DF . Se

F (x01, . . . , x

0n) = 0 e

∂F

∂xn

(x01, . . . , x

0n) 6= 0,

entao existe uma funcao, f , real de n − 1 variaveis reais, definida numavizinhanca de (x0

1, . . . , x0n−1) tal que

xn = f(x1, . . . , xn−1),

isto e, a equacao F (x1, . . . , xn) = 0 define implicitamente xn como funcao de(x1, . . . , xn−1) numa vizinhanca de (x0

1, . . . , x0n) e as derivadas parciais de xn

em ordem a xi no ponto (x01, . . . , x

0n−1) sao dadas por

∂F

∂xi

(x01, . . . , x

0n) +

∂F

∂xn

(x01, . . . , x

0n)∂xn

∂xi

(x01, . . . , x

0n−1) = 0,

ou seja,

∂xn

∂xi

(x01, . . . , x

0n−1) = −

∂F∂xi

(x01, . . . , x

0n)

∂F∂xn

(x01, . . . , x

0n).

Neste enunciado supomos ser a ultima variavel aquela que pode ser defini-da implicitamente a custa das outras. E claro que e indiferente qual dasvariaveis e definida a custa das restantes desde que a derivada parcial deF em ordem a essa variavel seja nao nula no ponto considerado. Paraobter o enunciado do teorema para qualquer outra variavel, basta trocaros ındices. Propositadamente, optamos por nao utilizar uma letra diferentepara a variavel que e definida implicitamente.

33

Exemplo 21. A equacao

F (x, y, z) = xyz − x+ 4y − z = 0

define z implicitamente como funcao de x e de y numa vizinhanca do ponto(1, 1

2, 2). De facto, temos

∂F

∂x(x, y, z) = yz − 1,

∂F

∂y(x, y, z) = xz + 4 e

∂F

∂z(x, y, z) = xy − 1

contınuas e

∂F

∂z(1,

1

2, 2) = −1

26= 0.

O Teorema da Funcao Implıcita garante a existencia de uma funcao dife-renciavel f : R

2 → R tal que z = f(x, y), em particular 2 = f(1, 12). As

derivadas parciais de z em ordem as outras variaveis sao

∂z

∂x(x, y) = −yf(x, y)− 1

xy − 1e

∂z

∂y(x, y) = −xf(x, y) + 4

xy − 1.

♣

Exercıcio 16. Mostre que a equacao do exemplo anterior define y implici-tamente como funcao de x e de z numa vizinhanca de (1, 1

2, 2) e calcule as

derivadas parciais da funcao implıcita.Mostre que a mesma equacao nao define necessariamente x implicitamente

como funcao das duas outras variaveis numa vizinhanca do mesmo ponto. ./

Finalmente, vejamos a versao geral do teorema da funcao implıcita quenos permite decidir quando e que um sistema de equacoes define implicita-mente uma ou mais variaveis a custa das restantes. Em rigor, o que consi-deramos sao funcoes F : R

n+m → Rm. Estas funcoes tem m componentes

em m+ n variaveis

F (x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = (F1(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym),

F2(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym), . . .

. . . , Fm(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym))

permitindo construir um sistema de m equacoes com m+ n incognitas comose segue

F1(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0

. . .

Fm(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0.

A questao e a de saber se estas equacoes nos permitem definir implicitamenteas variaveis y1, . . . , ym a custa das variaveis x1, . . . , xn.

34

Observacao. A existencia de funcoes implıcitas obriga a que o sistema tenhauma infinidade de solucoes.

Consideremos o seguinte sistema de 2 equacoes e 3 incognitas{

x2 + y − z = 0x− 2ey + z = 0.

Queremos saber se existem pontos perto dos quais estas equacoes permitemescrever, por exemplo, x e y como funcao de z. Em primeiro lugar, os pon-tos para os quais a definicao de uma funcao implıcita faz sentido tem quesatisfazer o sistema de equacoes. O ponto (x0, y0, z0) = (1, 0, 1) e um pontono qual as equacoes do sistema se anulam. Podemos dizer entao que, nesteponto, o valor atribuıdo a z determina o valor de x e de y. Para ver se estadependencia de x e y com z e verdadeira nao so no ponto (x0, y0, z0) mas empontos proximos temos o seguinte

Teorema 6.3 (Teorema da Funcao Implıcita). Seja F : Rn+m → R

m

com componentes

F1(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym), . . . , Fm(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym)

contınuas e com todas as derivadas parciais de 1a¯ ordem contınuas numa vi-

zinhanca de um ponto (x01, . . . , x

0n, y

01, . . . , y

0m) do seu domınio. Consideremos

o sistema de m equacoes satisfeitas por (x01, . . . , x

0n, y

01, . . . , y

0m)

F1(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0. . .Fm(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0

.

Se∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∂F1

∂y1

∂F1

∂y2

. . . ∂F1

∂ym

∂F2

∂y1

∂F2

∂y2

. . . ∂F2

∂ym

. . . . . . . . . . . .∂Fm

∂y1

∂Fm

∂y2

. . . ∂Fm

∂ym

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

6= 0

no ponto (x01, . . . , x

0n, y

01, . . . , y

0m) entao o sistema de equacoes permite definir

as variaveis y1, . . . , ym implicitamente a custa das restantes numa vizinhancado ponto considerado, isto e, existem funcoes φi : R

n → R tais que

yi = φi(x1, . . . , xn).

As derivadas parciais de cada yi em ordem a xj no ponto (x01, . . . , x

0n) obtem-

se por derivacao das equacoes do sistema associado a F em ordem a xj.

35

Consideremos entao o exemplo com que comecamos esta generalizacao{

x2 + y − z = 0x− 2ey + z = 0.

Para sabermos os pontos na vizinhanca dos quais o sistema de equacoes definex e y como funcoes de z, aplicamos o teorema da funcao implıcita. Para talcalculamos

∣

∣

∣

∣

∣

∂F1

∂x(x, y, z) ∂F1

∂y(x, y, z)

∂F2

∂x(x, y, z) ∂F2

∂y(x, y, z)

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

2x 11 −2ey

∣

∣

∣

∣

= −4xey − 1.

O conjunto de pontos nos quais podemos aplicar o teorema da funcaoimplıcita sao entao aqueles que satisfazem as equacoes do sistemas e para osquais −4xey − 1 6= 0. Por exemplo, em (1, 0, 1) as equacoes sao satisfeitas e

∣

∣

∣

∣

∣

∂F1

∂x∂F1

∂y∂F2

∂x∂F2

∂y

∣

∣

∣

∣

∣

|(1,0,1)

= −5 6= 0.

Logo, o teorema da funcao implıcita garante que x e y se podem definirimplicitamente como funcoes de z. A derivada (total, uma vez que x e y saofuncoes de uma so variavel) destas funcoes em ordem a z encontra-se a partirde

{

2xdxdz

(z) + dy

dz(z) − 1 = 0

dxdz

(z) − 2ey dy

dz(z) + 1 = 0.

Exemplo 22. Seja F (x, y, u, v) = (x+ y+ u+ v, ln (x)− ln (−y)). Vejamosque as equacoes associadas a esta funcao definem implicitamente x e u comofuncoes de y e de v numa vizinhanca do ponto (e,−e, 1,−1). A primeiracoisa a verificar e que

F (e,−e, 1,−1) = (0, 0).

Tendo verificado isto vamos calcular, no ponto (e,−e, 1,−1), o valor de∣

∣

∣

∣

∂F1

∂x∂F1

∂u∂F2

∂x∂F2

∂u

∣

∣

∣

∣

|(e,−e,1,−1)

=

∣

∣

∣

∣

1 11x

0

∣

∣

∣

∣

|(e,−e,1,−1)

= −1

e6= 0.

♣

Exercıcio 17. Encontre as derivadas parciais de x e de u em ordem a y e vdo exemplo anterior no ponto (−e,−1). ./

36

7 Extremos de funcoes de varias variaveis

Continuando a procurar ter uma ideia de como e o grafico de uma funcaof : R

n → R, vamos procurar pontos extremos. Estes sao pontos em quea funcao toma o seu valor maximo ou mınimo. Do ponto de vista pratico,e por vezes suficiente saber se um determinado valor e maximo ou mınimorelativamente a pontos proximos daquele onde o valor extremo e atingido.Assim, vamos distinguir entre extremos relativos (estes ultimos) e extremosabsolutos. Vamos tambem procurar extremos condicionados. Trata-se deencontrar os extremos de uma funcao sabendo que as variaveis estao sujeitas arestricoes, isto e, que tem que satisfazer condicoes adicionais. Este problemae de particular interesse em Economia uma vez que qualquer problema demaximizacao de lucros ou minimizacao de custos esta sujeito a restricoesorcamentais ou de investimento.

No caso das funcoes reais de variavel real, os pontos que podem ser ex-tremos sao aqueles onde a primeira derivada se anula. Veremos que no casodas funcoes de mais do que uma variavel, ha resultados semelhantes. Notexto que se segue, a nao ser que seja explicitamente dito o contrario, todasas funcoes que vamos considerar sao funcoes reais de n variaveis reais.

7.1 Extremos livres

Definicao 7.1. Seja f diferenciavel e X0 = (x01, . . . , x

0n) ∈ Df . O ponto X0

diz-se um ponto crıtico de f se

Df(X0) ≡ 0.

♠

Resulta imediatamente da definicao de derivada de uma funcao que umponto crıtico e aquele em que todas as derivadas parciais de 1

a¯ ordem se

anulam, ou seja,

∇f(X0) = (0, . . . , 0).

Note-se que e precisamente em pontos onde o gradiente e nulo, que ovector gradiente nao determina a direccao de maior variacao da funcao.

Exercıcio 18. Determine os pontos crıticos das seguintes funcoes reais de tresvariaveis reais

(a) f(x, y, z) = x2 + xy + y2 − yz + z2;(b) g(x, y, z) = x2 + y − yz. ./

37

Definicao 7.2. Seja f uma funcao de n variaveis reais e X0 ∈ Df . Dizemosque X0 e um mınimo local ou relativo se existe uma vizinhanca V de X0

tal que

∀ X ∈ V f(X) > f(X0).

Dizemos que X0 e um maximo local ou relativo se existe uma vizi-nhanca V de X0 tal que

∀ X ∈ V f(X) 6 f(X0).

Dizemos que X0 e um extremo local ou relativo se e um mınimo ouum maximo relativo.

Se as condicoes acima se verificam nao so numa vizinhanca V de X0 masem todo o domınio Df entao os extremos dizem-se absolutos.

Os extremos dizem-se estritos se as desigualdades que os definem saoestritas para X 6= X0. ♠

Para encontrarmos os extremos de uma funcao usamos o seguinte

Teorema 7.1. Se f e diferenciavel e X0 ∈ Df e um extremo local entao X0

e um ponto crıtico, isto e,

Df(X0) ≡ 0,

ou ainda,

∂f

∂xi

(X0) = 0 ∀ i ∈ {1, . . . , n}.

Demonstracao: Fazemos a demonstracao para o caso em que X0 e ummaximo. O outro caso e analogo.

Seja U ∈ Rn um vector qualquer. Se X0 e maximo relativo, a funcao real

de variavel real

g(t) = f(X0 + tU)

tem um maximo relativo quando t = 0.Sabemos que, quando uma funcao real de variavel real e derivavel e atinge

um maximo temosg′(0) = 0.

Utilizando o Teorema da Funcao Composta para derivar g a custa de f ,temos

g′(0) = Df(X0)(U) = 0.

38

Como esta igualdade se verifica para qualquer vector U temos que

Df(X0) ≡ 0.

♦Este teorema da uma condicao necessaria para um ponto ser extremo.

Infelizmente, a condicao nao e suficiente como sabemos do estudo de funcoesde uma variavel. A funcao real de variavel real f(x) = x3 e derivavel, temderivada nula na origem mas, a origem nao e nem maximo nem mınimo local.Outro ponto fraco do teorema e o facto de apenas ser valido para funcoesdiferenciaveis. Por exemplo, a funcao real de variavel real definida por

f(x) =

−x se x < 0−1 se x = 0x se x > 0

nao e sequer contınua na origem mas atinge um mınimo para x = 0.

Exemplo 23. Seja f : R2 → R a funcao definida por f(x, y) = x2 + y2. Os

pontos crıticos de f sao aqueles que verificam

∂f

∂x(x, y) = 2x = 0

∂f

∂y(x, y) = 2y = 0.

Logo, ha um unico ponto crıtico que e a origem. E facil ver que este pontoe um mınimo (absoluto) ja que a funcao toma valores estritamente positivosem todos os outros pontos. ♣

Exemplo 24. Seja f : R2 → R a funcao definida por f(x, y) = x2 − y2. Os

pontos crıticos de f sao aqueles que verificam

∂f

∂x(x, y) = 2x = 0

∂f

∂y(x, y) = −2y = 0.

Logo, ha um unico ponto crıtico que e a origem. No entanto, a origem nao eponto extremo de f . De facto, pontos da forma (x, 0) tomam valores semprepositivos o que garante que (0, 0) nao e um maximo. Por outro lado, pontosda forma (0, y) tomam valores sempre negativos, ou seja, (0, 0) nao e ummınimo. ♣

39

Estes dois exemplos mostram que e necessario encontrar mais condicoespara determinar se um ponto crıtico de f e um ponto extremo. Nas funcoesde uma variavel recorre-se a derivada de 2

a¯ ordem da funcao. No caso de

funcoes de mais variaveis, a 2a¯ derivada e substituıda pela matriz descrita a

seguir.

Definicao 7.3. Seja f uma funcao com derivadas parciais de 2a¯ ordem

∂2f

∂xi∂xj

(X0) ∀ i, j = 1, . . . , n

num ponto X0 ∈ Df . O Hessiano de f no ponto X0 e a forma quadraticaHX0

de Rn definida por

HX0(u1, . . . , un) =

n∑

i,j=1

∂2f

∂xi∂xj

(X0)uiuj.

A matriz desta forma quadratica chama-se matriz Hessiana de f . ♠

E o estudo desta forma quadratica que nos permite determinar se umponto crıtico de f e um extremo relativo. Fazendo a classificacao da formaquadratica podemos, em alguns casos, determinar a existencia de extremos.Portanto, este estudo pode ser feito calculando os valores proprios da matrizHessiana. Note-se que pontos crıticos onde nao existem derivadas parciais de2

a¯ ordem tem que ser estudados por outro processo.

Teorema 7.2. Se f tem derivadas parciais de 3a¯ ordem contınuas e X0 e um

ponto crıtico de f , X0 e um mınimo relativo se HX0e definida positiva. Se

HX0e definida negativa entao X0 e um maximo relativo. Se HX0

e indefinidanao ha extremo. Se HX0

e semi-definida, mas nao definida, positiva ounegativa, nada se pode concluir por este processo.

Note-se que estas condicoes sao muito semelhantes as condicoes que garan-tem a existencia de extremos de funcoes de uma variavel.

Os pontos crıticos aos quais corresponde uma forma quadratica semi-definida dizem-se pontos crıticos degenerados. Da classificacao das formasquadraticas, podemos concluir que nestes pontos a matriz Hessiana de f temdeterminante zero. No entanto, nem todos os pontos nos quais o determi-nante da matriz Hessiana e zero sao pontos crıticos degenerados se f e funcaode 3 ou mais variaveis. Neste caso, a forma quadratica pode ser indefinida.

Para funcoes de duas variaveis, uma vez que a matriz Hessiana apenastem dois valores proprios, os pontos crıticos sao degenerados se e so se odeterminante de HX se anula nesses pontos. Os pontos nos quais o Hessianoe uma forma quadratica indefinida chamam-se pontos-sela.

40

Exemplo 25. O ponto crıtico do Exemplo 24 e um ponto-sela. O Hessianode f na origem e a forma quadratica

H(0,0)(u1, u2) = 2u21 − 2u2

2,

cuja matriz e diagonal com valores proprios 2 e −2. Logo, a forma quadraticae indefinida. ♣

Exemplo 26. Consideremos novamente a funcao de duas variaveis definidapor f(x, y) = x2 + y2. Sabemos que a origem e um ponto crıtico. A matrizHessiana de f na origem e

H(0,0) =

[

∂2f

∂x2

∂2f

∂y∂x∂2f

∂x∂y

∂2f

∂y2

]

=

[

2 00 2

]

.

Sendo os valores proprios desta matriz estritamente positivos (ambos iguaisa 2), a forma quadratica que ela define e definida positiva. Logo, a origem eum mınimo local da funcao. ♣

Exercıcio 19. Considere as funcoes de duas variaveis definidas por

f(x, y) = x2 e g(x, y) = x2 + xy2.

(a) Mostre que a origem e ponto crıtico de f e de g.(b) Mostre que o Hessiano na origem e igual para f e g e e dado por

H(0,0)(u, v) = 2u2.(c) Mostre que f tem um mınimo (nao estrito) na origem e g nao tem

extremo na origem. ./

7.2 Extremos condicionados

Vamos agora estudar o problema de encontrar os extremos de uma funcaof de n variaveis, sabendo que as variaveis tem que satisfazer uma equacaoadicional

g(X) = c0 ∈ R.

Dizemos que esta equacao condiciona os extremos de f ou e uma restricaopara os extremos de f . Para resolver este problema temos a seguinte condicaonecessaria

41

Teorema 7.3 (Metodo dos multiplicadores de Lagrange). Sejam f eg funcoes reais de n variaveis, derivaveis e X0 ∈ Df ∩Dg tal que g(X0) = c0.Seja S a superfıcie de nıvel c0 de g, isto e,

S = {X ∈ Rn : g(X) = c0}.

Seja ∇g(X0) 6= 0. Se f restrita ao conjunto S tem em X0 um extremo entao

∃ λ ∈ R ∇f(X0) = λ∇g(X0).

Ao factor λ chamamos multiplicador de Lagrange.Geometricamente, estamos a dizer que se f tem um extremo entao o seu

vector gradiente tem a mesma direccao do gradiente de g. Mas, sabemos queo gradiente de g e normal as superfıcies de nıvel de g. Logo, se f tem umextremo em X0 restrito a um conjunto S entao o gradiente de f e normal aesse conjunto em X0.

Note-se ainda que este metodo nao permite distinguir pontos mınimos demaximos. Esta distincao tem que ser feita por inspeccao directa dos valoresda funcao f .

Observacao. E importante entender que o metodo dos multiplicadores de La-grange fornece uma condicao necessaria mas nao suficiente para a existenciade extremos. Assim, os pontos que encontramos por este metodo sao candi-datos a extremos. Fica por demonstrar que sao, de facto, extremos. Esteultimo problema e resolvido caso a caso. Terao de ser tratados tambem casoa caso os pontos nos quais o gradiente de g se anula.

Exemplo 27. Seja f(x, y) = x2 − y2 e g(x, y) = x2 + y2. Os candidatos aextremos de f condicionados a

g(x, y) = 1

sao tais que

∇f(x, y) = λ∇g(x, y)⇔ (2x,−2y) = λ(2x, 2y)

onde x e y verificam ainda a equacao

x2 + y2 = 1.

Resolvendo 2x = λ2x concluımos que x = 0 ou λ = 1.Se x = 0 entao y = ±1 e, de

−2y = λ2y

42

resulta que λ = −1.Se λ = 1 entao y = 0 e x = ±1.Temos entao 4 possıveis extremos, (0,±1) e (±1, 0). Para ver se estes

pontos sao maximos ou mınimos vamos olhar para as curvas de nıvel de f .Os pontos (0,±1) pertencem a N f

−1 e os pontos (±1, 0) pertencem a N f1 .

As restantes superfıcies de nıvel que intersectam o conjunto dos pontos quesatisfazem g(x, y) = 1 sao superfıcies de nıvel a ∈] − 1, 1[ logo, (±1, 0) saomaximos relativos e (0,±1) sao mınimos relativos.

Este metodo (grafico) nem sempre pode ser utilizado. Em alternativa, oproblema pode ser resolvido por via analıtica como se segue.

Consideremos o candidato X0 = (1, 0) (o estudo e analogo para os restan-tes candidatos e fica como exercıcio). Aplicando o Teorema da FuncaoImplıcita a equacao que define a restricao, podemos garantir que, numa viz-inhanca de X0, podemos definir a variavel x como funcao de y. Seja x = φ(y).Pelo Teorema da Funcao Implıcita, sabemos que φ e diferenciavel em 0, que1 = φ(0) e que g(φ(y), y) = 1 para y perto de 0.

Vamos usar esta funcao φ para incluir a restricao na funcao f e reduziro problema a um de extremos livres. Para isso, definimos F : R → R comoF (y) = f(φ(y), y). O problema de decidir se X0 e extremo de f restrita ag(x, y) = 1 e equivalente ao de decidir se 0 e extremo de F .

Sendo F uma funcao real de variavel real calculamos as primeira e segundaderivadas e estudamos os seus sinais. Para derivar F , que e uma funcaocomposta, usamos o Teorema da Derivada da Funcao Composta.

Pelo Teorema da Derivada da Funcao Composta, sendo Φ(y) = (φ(y), y)temos

F ′(y) = ∇f(φ(y), y).Φ′(y) = 2φ(y)φ′(y) − 2y

e, por derivacao directa da expressao acima,

F ′′(y) = 2(φ′(y))2 + 2φ(y)φ′′(y) − 2.

Para calcular as derivadas de φ em 0 usamos o Teorema da FuncaoImplıcita e obtemos, de g(φ(y), y) = 1,

φ′(0) = 0 e φ′′(0) = −1.

Substituindo nas expressoes para as derivadas de F obtemos

F ′(0) = 0 e F ′′(0) = −6 < 0.

logo, y = 0 e maximo de F e portanto, X0 e maximo de f com a restricaoindicada. ♣

43

Exercıcio 20. Encontre os possıveis extremos de g(x, y) = x2+y2 condiciona-dos a

f(x, y) = x2 − y2 = 1.

./

O metodo dos multiplicadores de Lagrange tem uma generalizacao triviala casos em que o condicionamento e feito por mais do que uma equacao.Supondo que a restricao imposta as variaveis e

g1(x1, . . . , xn) = c1

g2(x1, . . . , xn) = c2...

gk(x1, . . . , xn) = ck

entao se X0 e um extremo de f , no qual o gradiente de g nao se anula, existemconstantes λ1, . . . , λk tais que

∇f(X0) = λ1∇g1(X0) + . . .+ λk∇gk(X0).

Exercıcio 21. Encontrar os extremos de

f(x, y, z) = x+ y + z

satisfazendo a

g1(x, y, z) = x2 + y2 − 2 = 0

g2(x, y, z) = x + z − 1 = 0.

./

O problema de encontrar extremos de uma funcao sujeitos a restricoes epor vezes resolvido usando uma terceira funcao construıda como se segue:

Definicao 7.4. Sejam f e g funcoes como no Metodo dos Multiplicadores deLagrange. Chamamos funcao de Lagrange ou Lagrangeano de f sujeitaa restricao g(X) = c0 a funcao real de n+ 1 variaveis definida por

L(X, λ) = f(X) + λ(c0 − g(X)).

♠

44

Observacao. A variavel λ que aparece na definicao acima e o multiplicadorde Lagrange.

Por vezes, a funcao de Lagrange e definida usando g(X)−c0. Uma vez quetodos os candidatos a extremos que queremos estudar verificam c0 − g(X) =g(X)− c0 = 0 as definicoes sao equivalentes mas o significado economico naoe o mesmo.

Podemos utilizar o Lagrangeano na resolucao do problema de extremoscondicionados gracas ao seguinte

Teorema 7.4. Supondo ∇g(X0) 6= 0, se o ponto X0 e um extremo para oproblema de extremos condicionados entao existe λ ∈ R tal que (X0, λ) eponto crıtico de L.

7.3 Breve introducao as condicoes de Kuhn-Tucker

No caso em que a restricao imposta as variaveis toma a forma de uma de-sigualdade, seja do tipo xi > 0 ou mais complicada como g(X0) > 0, oMetodo dos Multiplicadores de Lagrange nao e aplicavel. O problema podeser resolvido usando as condicoes de Kuhn-Tucker. O texto que se segue pre-tende alertar para este tipo de problemas, sem a preocupacao de ser exaustivoou aprfundado.

Consideremos o problema de encontrar o maximo de uma funcao real den variaveis reais

f(x1, . . . , xn)

no domınio xi > 0, i = 1, . . . , n.

Teorema 7.5 (Condicoes necessarias de Kuhn-Tucker). As condicoes(necessarias) de Kuhn-Tucker para a existencia de maximo para o problemaanterior sao

∂f

∂xi

6 0, xi > 0 e xi

∂f

∂xi

= 0,

para i = 1, . . . , n.

A primeira condicao inclui o caso em que a derivada se anula. O factode se permitir que ela seja negativa, inclui apenas o caso em que a funcao edecrescente na direccao correspondente a derivada parcial e permite incluirpontos da fronteira. A segunda condicao e a repeticao da condicao que defineo domınio. Finalmente, a terceira condicao diz que, ou o ponto e um ponto

45

da fronteira (xi = 0), ou a derivada da funcao e nula, isto e, o problema podeser resolvido sem recurso as condicoes de Kuhn-Tucker.

Para encontrar o mınimo, basta inverter a primeira desigualdade dascondicoes de Kuhn-Tucker.

Exercıcio 22. Escreva as condicoes necessarias de Kuhn-Tucker para o pro-blema de encontrar o maximo de uma funcao real de uma variavel com arestricao x 6 0. ./

Exemplo 28. Usando o Teorema 7.5, encontrar os candidatos a maximo dafuncao f(x) = 6−x2−4x para valores de x > 0 equivale a resolver o seguintesistema

−2x− 4 6 0

−2x(x + 2) = 0

x > 0,

que corresponde as tres condicoes do Teorema 7.5. A equacao tem duassolucoes, a saber x = 0 e x = −2. Como x = −2 nao satisfaz a ultima de-sigualdade, temos apenas que verificar se x = 0 satisfaz a primeira desigual-dade. Sendo verdade que −4 6 0, esta encontrado o candidato a maximo.Note que, sem a restricao a funcao f atinge um maximo em x = −2, naotendo nenhum extremo em x = 0. ♣

Exercıcio 23. Considere a funcao f(x) = x2 e a restricao x 6 1. Mostre quef tem um candidato a maximo local em x = 1 com a restricao dada. Mostreque x = 1 nao e maximo global. Mostre que, com ou sem restricao, f temum mınimo na origem. ./

O exercıcio anterior cabe numa outra classe de restricao do tipo

g(X) > 0.

Trata-se de um problema de programacao nao linear que vamos tratar apenaspara funcoes de duas variaveis e uma restricao.

Teorema 7.6. Sejam f, g : R2 → R diferenciaveis. Se X0 e extremo de f

sujeito a g(X) > 0 e ∇g(X) 6= (0, 0) em pontos onde g(X) = 0 entao existeλ ∈ R tal que

∂f

∂xi

(X0) + λ ∂f

∂xi

(X0) = 0, i = 1, 2

λg(X0) = 0g(X0) > 0.

46

Este teorema e um corolario do Teorema 7.5 e do Metodo dos Multipli-cadores de Lagrange.

Exercıcio 24. Encontre os candidatos a extremo de f(x, y) = x2 − y2 quesatisfazem g(x, y) = x2 + y2 − 1 > 0. ./

8 Alguns exercıcios

Nao pretende este capıtulo fornecer uma lista completa de exercıcios sobre osassuntos tratados. Trata-se apenas de uma coleccao de exercıcios considera-dos interessantes. E natural que os tipos de problemas aqui enunciados sejam(tenham sido), na totalidade ou em parte, abordados em aulas praticas.

1. Estude a continuidade de f : R3 → R definida por

f(x, y, z) =

{ xyz

x2+y2+z2 se (x, y, z) 6= (0, 0, 0)

0 se (x, y, z) = (0, 0, 0)

2. Estude a continuidade das funcoes reais de duas variaveis, f e g defini-das por

f(x, y) =

{

4xy(x2−y2)x2+y2 se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

e

g(x, y) =

{ 4xy(x−y)x2+y2 se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

3. Considere a funcao f : R2 → R definida por

f(x, y) =

{ 4xy

x2+y2 se (x, y) 6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

(a) Mostre que f e descontınua na origem.

(b) Diga se e verdadeira a afirmacao: “Dada uma funcao f real deduas variaveis reais, se

g1 : R → R

x → f(x, 0)

eg2 : R → R

y → f(0, y)

sao contınuas em 0 entao f e contınua em (0, 0)”.

47

4. Diga se e possıvel definir extensoes contınuas a R2 das seguintes funcoes

(a) f(x, y) = x2y2

x2y2+(x−y)2se (x, y) 6= (0, 0);

(b) f(x, y) = x2y2

x2+y2 se (x, y) 6= (0, 0).

5. Considere a funcao

f(x, y) =

{

x + y se x = 0 ou y = 01 se x 6= 0 e y 6= 0

.

Verifique se existem e, em caso afirmativo, calcule:

(a) a derivada de f em (0,0) segundo a direccao (1, 0);

(b) a derivada de f em (0,0) segundo a direccao (0, 1);

(c) a derivada de f em (0,0) segundo a direccao (a, b), com a 6= 0 eb 6= 0.

6. Seja f : R2 → R a funcao definida por f(x, y) = axy2+bx3. Determine

a, b ∈ R de modo a que

D(1,−1)f(1, 2) > 0.

7. Considere a funcao f : R2 → R definida por f(x, y) = (x2 +y2)2. Diga

em que pontos a funcao e derivavel e nesses pontos defina a derivadada funcao f .

8. Considere a funcao f definida por

f(x, y) =

{

0 se (x, y) = (−2, 0)xy+2y

x2+xy+y+y2 (x, y) 6= (−2, 0).

(a) Diga se f e contınua em (−2, 0).

(b) Calcule as derivadas parciais de f em (−2, 0) e diga se f e dife-renciavel neste ponto.

9. Determine o plano tangente ao grafico das seguintes funcoes nos pontosindicados:

(a) f(x, y) = x2+y2

xyse xy 6= 0, no ponto (1, 2, f(1, 2));

(b) f(x, y) = exy no ponto (−1, 1, f(−1, 1)).

48

10. Sejam g : R → R e φ : R2 → R funcoes derivaveis. Calcule as

derivadas parciais e a derivada de G = g ◦ φ onde

(a) φ(x, y) = x2 − y2 e g(u) = u− 1;

(b) φ(x, y) = xy e g(u) = eu;

(c) φ(x, y) = x2 + y2 + 1 e g(u) = 1u.

11. Sejam f : R2 → R e ψ : R → R

2 funcoes derivaveis. Calcule aderivada de F = f ◦ ψ onde

(a) ψ(t) = (et sen t, e2t cos t) e f(x, y) = x2 + y;

(b) ψ(t) = (R sen t, R cos t) e f(x, y) = 1√x2+y2

; R 6= 0;

(c) ψ(t) = (t, t2) e f(x, y) = x2 + y2;

(d) ψ(t) = (cos t, sen t) e f(x, y) = exy cos (xy2).

12. Sejam g : R → R e φ : R2 → R funcoes tais que as derivadas

parciais de φ sao positivas e g e definida por g(u) = e−u. Mostre queas derivadas parciais de G = g ◦ φ sao negativas.

13. Sejam f : R2 → R e ψ : R → R

2 funcoes derivaveis tais que ψ(t) =(t, 1) e

∂f

∂x(x0, y0) > 0 ∀ (x0, y0).

Mostre que F = f ◦ ψ e crescente em R.

14. Calcule as derivadas direccionais das funcoes que se seguem, nos pon-tos e segundo as direccoes indicadas, e diga qual a direccao de maiorcrescimento a partir do ponto dado:

(a) f(x, y) = x+ 2x2 − 3xy; (x0, y0) = (1, 1); U = (3, 4);

(b) f(x, y) = log√

x2 + y2; (x0, y0) = (1, 0); U = (2, 1);

(c) f(x, y, z) = xyz; (x0, y0, z0) = (1, 1, 1); U = (1, 0, 1);

(d) f(x, y, z) = ex + yz; (x0, y0, z0) = (1, 1, 1); U = (1,−1, 1).

49

15. Mostre que a funcao real de duas variaveis definida por

f(x, y) = x+ y2 − 4

cresce de modo constante em planos paralelos ao plano vertical con-tendo o eixo dos xx. Estude a variacao da funcao nos planos verticaisparalelos ao eixo dos yy.

16. Sejam f : R2 → R e ψ : R

2 → R2 definidas por

ψ(x, y) = (ex2−2y2

, log (x2 + y2))

e por

f(u, v) = log u+ ev.

Mostre que a funcao real de duas variaveis F = f ◦ ψ e homogenea degrau 2.

17. Sejam f : R → R e ψ : R2 → R tais que f(x) = xn e ψ e homogenea

de grau m. Mostre que F = f ◦ ψ e homogenea de grau nm.

18. Mostre que numa vizinhanca de (1,√

3) a equacao

x(x2 + y2) − 3(x2 − y2) = 10

define implicitamente y como funcao de x. Calcule as primeira e se-gunda derivadas de y em ordem a x no ponto x = 1.

19. Seja F : R3 → R dada por

F (x, y, z) = x+ y + z − sen (xyz).

Mostre que numa vizinhanca de (0, 0, 0) a curva de nıvel 0 de F definez como funcao de x e y. Calcule as primeiras derivadas parciais de zem ordem a x e a y no ponto (0, 0).

20. Seja f : R3 → R dada por

f(x, y, z) = y − xz − ez.

Diga em que pontos pode garantir que existe uma vizinhanca na quala equacao f(x, y, z) = 0 define z como funcao de x e de y. Mostre quea equacao f(x, y, z) = 0 define, numa vizinhanca de (1, 1, 0), z comofuncao de x e de y.

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21. Mostre que a equacao

x2 + 3xz + y2z − 4z2 = 0

define z como funcao implıcita de x e de y numa vizinhanca de (2, 0, 2).Determine a direccao de maior crescimento da funcao implıcita noponto (2, 0).

22. Seja f : R2 → R definida por

f(x, y) = 2x3 − 2y3 + 6x2y − 3x2.

(a) Verifique se alguma curva de nıvel da funcao f tem pontos ondea tangente a curva e horizontal.

(b) Diga se a curva de nıvel −2 e concava ou convexa em x = 0.

23. Considere o sistema nas incognitas reais x, y e z{

x2 − y2 + z3 = 9x + 2y + 2z = 5

.

Mostre que, numa vizinhanca de (1, 0, 2), o sistema define implicita-mente y e z como funcoes de x. Calcule as derivadas das funcoesimplıcitas no ponto x = 1.

24. Mostre que o sistema de equacoes

{

x2 + 3xz + y2z − 4z2 = 0xyz = 0

define y e z como funcao de x numa vizinhanca de (2, 0, 2). Estude amonotonia de z como funcao de x no ponto x = 2.

25. Considere o sistema{

2x2 − zy + 1 = 03x2 + y2 − z2 = 0

.

(a) Encontre os pontos em que que o sistema e localmente resoluvelem ordem a y e a z.

(b) Considere as funcoes implıcitas y(x) e z(x) definidas pelo sistemanuma vizinhanca de (0, 1, 1).

i. Calcule y′(0) e z′(0).

51

ii. Verifique se existem solucoes (x0, y0, z0) do sistema tais queas funcoes implıcitas y(x) e z(x) definidas pelo sistema numavizinhanca da solucao satisfazem y′′(x0) = 0 e z′′(x0) = 0.

26. Considere a funcaof : R

2 → R

(u, y) → f(u, y)

tal que

∂2f

∂u∂y6= 0.

Considere o sistema nas variaveis x, y, u e v{

x− ∂f

∂y= 0

v − ∂f

∂u= 0

.

Mostre que o sistema e localmente resoluvel em ordem a u e a v.

27. Relativamente a cada uma das funcoes seguintes, determine e classifiqueos respectivos pontos crıticos:

(a) f(x, y) = x2 + (y − 1)2

(b) f(x, y) = (x− y + 1)2;

(c) f(x, y) = 2x2 − xy − 3y2 − 3x+ 7y;

(d) f(x, y) = x2y3(6 − x− y);

(e) f(x, y) = x3 + y3 − 3xy; [Nota: x3 − 1 = (x− 1)(x2 + x+ 1)]

(f) f(x, y, z) = x2 + y2 − z2;

(g) f(x, y, z) = xy + yz + xz;

(h) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + xy.

28. Seja f : R2 → R definida por

f(x, y) = 2x3 − 2y3 + 6x2y − 3x2.

(a) Determine os pontos extremos de f .

(b) Considere a funcao φ : R → R2 definida por

φ(t) = (αt, βt), α, β ∈ R, α 6= 0.

Mostre que a funcao composta f ◦ φ tem um maximo local emt = 0.

52

29. Calcule os extremos da funcao definida por

f(x, y) = x2 + y2

quando as variaveis verificam a equacao

x2 + y = 1.

30. Calcule os extremos da funcao real de 3 variaveis reais definida por

f(x, y, z) = x+ y + z

restrita a

x2 + 2y2 + 3z2 = 1.

31. Considere a funcao que define a distancia de um ponto a origem emR

2,

d(x, y) =√

x2 + y2,

e determine as distancias maxima e mınima da origem a elipse deequacao

5x2 + 6xy + 5y2 = 8.

32. Considere em R2 a elipse de equacao

5x2 + 5y2 + 6xy − 4x+ 4y = 0.

Determine o ponto da elipse que esta a distancia maxima da origem deR

2.

33. Mostre que o sistema

{

x− u3 − 3uy2 − 3u = 0v − y3 − 3yu2 − 3y = 0

e localmente resoluvel em ordem a u e a v. Verifique se existe algumasolucao (x0, y0, u0, v0) do sistema tal que (x0, y0) seja ponto crıtico dafuncao u = f(x, y), definida implicitamente pelo sistema numa vizi-nhanca da solucao.

53

34. Mostre que a equacao

xy − x2 − y3 − z + log (1 + z2) = 0

define z = f(x, y) numa vizinhanca da origem. Determine e classifiqueo Hessiano de f em (0, 0).

35. Considere a funcao real de duas variaveis definida por

f(x, y) = xy2 − x2y.

(a) Verifique que numa vizinhanca de (2, 4) a curva de nıvel 16 de fdefine y = g(x).

(b) Verifique que 2 e ponto crıtico de g e classifique-o.

36. Considere a elipse de equacao

5x2 + 5y2 + 6xy − 4x+ 4y = 0.

Determine o ponto de ordenada maxima e o ponto de ordenada mınima.

37. Relativamente a cada uma das funcoes que se seguem, determine arespectiva formula de Taylor de ordem 2, em cada um dos pontos indi-cados:

(a) f(x, y) = ex cos y, no ponto (0, 0);

(b) f(x, y) = x3 + y2 + xy2, no ponto (1, 2);

(c) f(x, y) = log (x+ y), x > 0 e y > 0, no ponto (1, 1).

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9 Bibliografia

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[2] A.C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Mc-Graw-Hill, Singapore, 1984.

[3] J.E. Marsden e A.J. Tromba, Vector Calculus, W.H. Freeman and Com-pany, San Francisco, 1976.

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