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UFSCentro de Ciencias Exatas e da TerraDepartamento de FısicaNucleo de Pos-Graduacao em Fısica(NPGFI)

Estudo de sistemas magneticos desordenadosvia modelos classicos de spins por meio de

tecnicas analıticas

Augusto dos Santos FreitasOrientador: Prof. Douglas Ferreira de Albuquerque

Sao Cristovao, Sergipe, Brasil. 2014.

Augusto dos Santos Freitas

Estudo de sistemas magneticos desordenadosvia modelos classicos de spins por meio de

tecnicas analıticas

Tese apresentada ao Nucleo de Pos-graduacaoem Fısica da Universidade Federal de Sergipecomo requisito parcial para a obtencao do tıtulode doutor em Fısica.

Orientador: Prof. Douglas F. de Albuquerque

2014

Agradecimentos

Ao suporte financeiro parcial fornecido pela Capes.

Ao professor Douglas pela orientacao.

Aos membros da banca examinadora pela analise crıtica e sugestoes que melhoraram sig-

nificativamente este trabalho.

Aos diversos professores, colegas e amigos que, de alguma forma, ajudaram nas discussoes

sobre diversos temas relevantes associados a este trabalho, alem da secretaria do NPGFI na

figura do Alvaro.

A Hestia, pelo apoio, companheirismo e incentivo.

Aos meus familiares, em especial a minha mae, Maria de Fatima, e a minha avo materna,

Helena, por terem feito muito mais do que poderiam para que eu viesse a ter oportunidades que

muitos em nosso paıs nao conseguem alcancar.

Resumo

Neste trabalho, sao estudadas as propriedades magneticas de modelos classicos de spins, asaber os modelos de Ising de spin 2 com diluicao por sıtios e de spin 1/2 com interacoes mis-tas, por meio da Teoria de Campo Efetivo (EFT), com aplicacoes a descricao das propriedadesmagneticas de ligas Fe-Al, Fe-Mn e Fe-Mn-Al. Para tanto, foi obtida a identidade de Van derWaerden para um valor generico de spin S, para ser utilizada na descricao do modelo de Isingde spin 2, e foram utilizadas expressoes fenomenologicas para a descricao da dependencia dainteracao de troca, relativamente a concentracao de atomos de alumınio e manganes, para oestudo das propriedades das ligas consideradas. Os resultados obtidos indicam que os modelosclassicos utilizados, aliados a EFT, sao alternativas viaveis para a descricao fısica de sistemasmagneticos reais. Sao descritos os comportamentos da magnetizacao versus temperatura, tem-peratura crıtica como funcao da concentracao de atomos de alumınio e interacao de troca comofuncao da concentracao de atomos de alumınio, para as ligas Fe-Al. No caso do comporta-mento da magnetizacao, os resultados para o modelo de spin 2 com diluicao por sıtios saoqualitativamente identicos aos do modelo de Ising de spin 1/2, com a diferenca de que os va-lores obtidos para a magnetizacao por sıtio no estado fundamental diferem daqueles obtidospara o modelo de Ising de dois estados. Alem disso, tal modelo permite uma determinacaomais precisa dos valores da concentracao crıtica, qc, e da temperatura crıtica, Tc, para q = 0.Para as ligas Fe-Mn, foram descritos os comportamentos da magnetizacao, susceptibilidade acampo nulo como funcao da temperatura, temperatura crıtica versus concentracao de atomosde manganes e campo hiperfino medio como funcao da concentracao de atomos de manganes.No caso das ligas Fe-Mn-Al, foram estudadas a magnetizacao como funcao da temperatura,magnetizacao como funcao da concentracao de atomos de manganes, temperatura crıtica versusconcentracao de atomos de ferro e campo hiperfino medio como funcao da concentracao deatomos de alumınio. Neste trabalho, mostra-se que a EFT, aliada a Tecnica do Operador Dife-rencial, nao e somente uma tecnica robusta para a descricao das propriedades termodinamicasde modelos classicos de spins como tambem pode ser amplamente aplicada para obtencao dediagramas de fase de sistemas magneticos reais, com grande vantagem de custo computacionalem comparacao com outras tecnicas. Todos os diagramas de fase aqui descritos foram obtidospor meio da resolucao numerica das equacoes oriundas das aproximacoes feitas por meio daEFT. Ao final, sao descritas perspectivas de utilizacao de outros modelos, bem como de outrastecnicas analıticas, para a descricao de sistemas magneticos desordenados.

Abstract

In this work, we study the magnetic properties of classical spin models, namely spin-2 Isingmodel with site dilution and mixed-bond spin 1/2 Ising model by means of the Effective FieldTheory (EFT), with applications to describe of the magnetic properties of Fe-Al, Fe-Mn andFe-Mn-Al alloys. In here, we obtain the van der Waerden identity for a generic spin value S,for example, to be used in the description of spin-2 Ising model and expressions were used tophenomenological description of the dependence of exchange interaction on the concentrationof aluminum and manganese atoms. Behavior of magnetization versus temperature, criticaltemperature as a function of the concentration of aluminum atoms and exchange interaction asa function of the concentration of aluminum atoms to the Fe-Al alloys were studied. Further-more, this model allows for a more accurate determination of the critical values qc and Tc forq = 0. For the Fe-Mn alloys were described the M(T ), zero field susceptibility as a function oftemperature, critical temperature versus manganese concentration and average hyperfine fieldas a function of the manganese concentration. For the Fe-Mn-Al alloys, the magnetization asa function of temperature, magnetization as a function of the manganese concentration, criticaltemperature versus iron concentration and average hyperfine field as a function of the aluminumconcentration were studied. It is shown that the EFT technique is not only a robust technique forthe description of the thermodynamic properties of classical spin models and can also be widelyapplied to obtain phase diagrams of real magnetic systems, with the advantage of reduced com-putational cost compared to the other techniques. All phase diagrams described in this workwere obtained through the numerical solution of the equations arising from the approximationsmade by the EFT approach. Finally, prospects of use of the other models are described, as wellas other analytical techniques to the description of frustrated magnetic systems.

Sumario

Lista de Tabelas p. ix

Lista de Figuras p. x

1 Introducao p. 2

1.1 Proposta de trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 2

1.2 Objetivos gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 3

1.3 Estrutura e organizacao do texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 4

2 Fundamentacao teorica p. 6

2.1 Transicoes de fase: Consideracoes preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . p. 6

2.2 Transicao lıquido-gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 6

2.2.1 Escala de Widom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 11

2.3 Teoria de Landau das transicoes de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 13

2.4 Grupo de Renormalizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 18

2.4.1 Transformacao de grupo de renormalizacao: definicao . . . . . . . . p. 20

2.4.2 Teoria de Grupo de Renormalizacao aplicada ao modelo de Ising uni-

dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 21

2.5 Modelo de Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23

2.5.1 Solucao para o modelo de Ising em uma dimensao . . . . . . . . . . p. 26

2.6 Teoria de Campo Efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29

2.6.1 Consideracoes Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29

2.6.2 Tecnica do Operador Diferencial e EFT para aglomerados com 1 spin p. 31

2.6.3 EFT para aglomerados com dois spins . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36

2.7 Desordem magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38

3 Estado da arte p. 43

4 Metodologia p. 47

5 Modelo de Ising de spin 2 com aplicacoes p. 48

5.1 Modelo de Ising de spin 2 com diluicao por sıtios . . . . . . . . . . . . . . . p. 48

5.2 Identidade de Van der Waerden para sistemas envolvendo um valor de spin S

generico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 51

5.3 Diagramas de magnetizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53

5.3.1 Calculo da magnetizacao por sıtio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 54

5.3.2 Diagrama M -T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 58

5.4 Aplicacao do modelo ao estudo do diagrama T -q de ligas Fe(1−q)Alq . . . . . p. 59

6 Modelo de Ising com ligacoes mistas e aplicacoes p. 65

6.1 Modelo de Ising de spin 1/2 com ligacoes mistas . . . . . . . . . . . . . . . p. 65

6.2 Aplicacao do modelo ao estudo das ligas Fe-Mn . . . . . . . . . . . . . . . . p. 69

6.2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 69

6.2.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 70

6.3 Aplicacao do modelo ao estudo das ligas Fe-Mn-Al . . . . . . . . . . . . . . p. 76

6.3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 76

6.3.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 77

7 Consideracoes finais e perspectivas futuras p. 83

Referencias p. 86

Apendice A -- Artigos publicados p. 91

Apendice B -- Alguns coeficientes para o modelo de Ising de spin 2 puro em uma

rede bcc p. 92

Apendice C -- Alguns coeficientes para o modelo de Ising de spin 2 com diluicao

por sıtios em uma rede bcc p. 94

Apendice D -- Coeficientes para o modelo de Ising de spin 1/2 com ligacoes mistas

aplicado a uma rede bcc p. 96

Lista de Tabelas

2.1 Expoentes crıticos de grandezas tais como o calor especıfico (C), susceptibi-

lidade (χ), magnetizacao (m) e comprimento de correlacao (ξ), todas funcoes

da temperatura reduzida τ = |T − Tc|/Tc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 9

2.2 Valores experimentais de expoentes crıticos para algumas substancias puras.

Fonte: (OLIVEIRA, 2005). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 9

2.3 Valores experimentais de expoentes crıticos para algumas substancias puras

(Fonte: (OLIVEIRA, 2005)) em comparacao com aqueles obtidos por meio da

Teoria de Landau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 17

2.4 Comparacao entre os valores da temperatura crıtica reduzida, kBTc/J , ob-

tidos para redes diversas via EFT-2. Fonte dos dados (FITTIPALDI, 1994;

ALBUQUERQUE; FITTIPALDI, 1994; DIAS, 2009) e referencias dentro desses

textos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38

2.5 Concentracao crıtica para sistemas diluıdos por sıtios, psc, e ligacoes, plc, para

variadas estruturas de redes. Fonte: (ALBUQUERQUE, 1996; STAUFFER; AHA-

RONY, 1985). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 42

5.1 Comparacao entre os valores da temperatura crıtica, Tc, para Ising com spin

S = 2, obtidos para redes diversas atraves da solucao explıcita das equacoes

envolvendo os momentos 〈〈(Szi )n〉〉 por duas tecnicas, a saber, a utilizada

neste trabalho (FREITAS et al., 2013; ERTAS; DEVIREN; KESKIN, 2012), a utili-

zada por Kaneyoshi, Tucker e Jascur (1992) e campo medio (MFA) (BAHMAD

L. AND. BENYOUSSEF; KENZ, 2007; YGIT; ALBAYRAK, 2012). *Nao foram

encontradas referencias para spin S = 2, via MFA, com esse numero de

coordenacao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 57

Lista de Figuras

2.1 Diagrama p-v mostrando o comportamento de um gas real para valores fixos

da temperatura T (isotermas). Percebe-se comportamentos distintos da curva

p-v em temperaturas maiores, iguais ou menores que a temperatura crıtica, Tc. p. 7

2.2 Diagrama p-v para valores baixos de T , a saber T, Tc. . . . . . . . . . . . . . p. 8

2.3 Diagrama p-v que ilustra a chamada Construcao de Maxwell. . . . . . . . . . p. 11

2.4 Energia livre (densidade de energia livre) como funcao do parametro de or-

dem, no caso do ferromagneto de Ising. A quebra espontanea de simetria

caracteriza-se pela existencia de um parametro de ordem nao nulo abaixo de

certa temperatura Tc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 17

2.5 Representacao dos blocos de spins numa rede quadrada. . . . . . . . . . . . . p. 18

2.6 Representacao em duas dimensoes de N spins interagentes. As propriedades

fısicas dos spins do aglomerado Ω sao descritas por meio da hamiltonianaHΩ. p. 29

2.7 clusters com dois spins para quatro tipos diferentes de redes: a) rede kagome,

z = 4; a’) rede quadrada, z = 4; b) rede triangular, z = 6; b’) rede cubica

simples, z = 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 37

2.8 Representacao idealizada de duas configuracoes ordenadas de spins numa

rede regular, na qual os mesmos assumem uma so direcao espacial. . . . . . . p. 39

2.9 Variacao da magnetizacao reduzida como funcao da temperatura a campo

magnetico nulo. Observa-se que a magnetizacao mantem-se aproximada-

mente constante, caindo abruptamente a zero nas proximidades da tempera-

tura crıtica, Tc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 41

5.1 Variacao da magnetizacao em funcao da temperatura a campo magnetico

nulo. Pode-se observar comportamento qualitativamente analogo ao modelo

de Ising de spin 1/2 e o fato de que M → 2 quando kBT/J → 0 como e de

se esperar para um modelo de spin 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 58

5.2 Diagrama T -q convencional para o modelo de Ising de spin S = 2 com

diluicao por sıtios tracado para redes quadrada e cubica simples. Observa-se

do grafico da figura acima a variacao praticamente linear de T com q para

q < 0.2, resultado esse em clara discordancia com o obtido experimental-

mente para ligas Fe-Al (ver Figura 5.4). O procedimento para elaboracao

desses diagramas e identico ao realizado na Secao 5.3.1: a unica diferenca e

o numero de vizinhos mais proximos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 61

5.3 Grafico da interacao de troca como funcao da concentracao de atomos de

alumınio (vacancias na rede de spins). Nota-se que, na regiao anomala, 0 <

q < 0.2, ha um aumento de J/J0 com relacao a concentracao q. . . . . . . . p. 63

5.4 Diagrama T -q a campo nulo das liga Fe-Al desordenadas. A linha cheia

resulta no ajuste feito via EFT-1, Equacoes (5.27) e (5.32), e separa as fases

ferromagnetica e paramagnetica. Os dados experimentais sao do trabalho

de Yelsukov, Voronina e Barinov (1992). As linhas pontilhada e tracejada

resultam de ajustes feitos pelos trabalhos de Alcazar, Plascak e Silva (1986)

e Dias, Sousa e Plascak (2009), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . p. 64

6.1 Magnetizacao por sıtio em funcao da temperatura, para varias concentracoes

de Mn em ligas Fe-Mn. Pode-se observar que, no intervalo considerado, 0 ≤q ≤ 0.2, a magnetizacao em tais ligas e praticamente constante (e maxima)

em temperatura ambiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 72

6.2 Susceptibilidade em funcao da temperatura na abordagem da EFT 1. . . . . . p. 73

6.3 Diagrama de fases das ligas α-Fe-Mn. a) Ajuste feito no presente trabalho,

Equacao (6.14). d) Representa a Equacao (6.14) com γ = λ. c) Linha Tc(q)

com γ λ (γ/λ = 0.01). b) Sao os dados experimentais. . . . . . . . . . . p. 74

6.4 Campo hiperfino como funcao da concentracao de atomos de Mn em ligas

α-Fe-Mn, em T ambiente. Pode-se ver um comportamento um pouco dife-

rente da magnetizacao, pois ha um decrescimo praticamente linear de H ate

q ≈ 0.15 (15 % Mn), o que indica que a presenca de atomos de Mn afeta o

ordenamento ferromagnetico da liga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 75

6.5 Magnetizacao por sıtio em funcao da temperatura, para varias concentracoes

de Fe em ligas FepMnxAlq, com x = 0, 7 − p e q = 0, 3. Observa-se que,

acima de 45 % de atomo de Fe na liga, ha ordenamento em temperatura

ambiente. O comportamento da curva M − T , para p = 0.4, distoa das

demais e indica a possibilidade de existencia de uma fase vıtrea em baixas

temperaturas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 78

6.6 Magnetizacao por sıtio como funcao da concentracao de atomos de Mn. Percebe-

se que nao ha grande variacao da concentracao xc acima da qualM vai a zero,

mesmo em um relativamente grande intervalo de T (15 K< T < 300 K), re-

sultado que concorda com os trabalhos de Zamora et al. (1997). . . . . . . . p. 79

6.7 Diagrama de fases temperatura crıtica versus concentracao p em ligas FepMnxAlq,

com q = 0, 3 e x = 0, 7−p. Observa-se boa concordancia teoria-experimento

em todo o intervalo de p considerado. O comportamento da curva T − p des-

sas ligas ternarias e convencional e nao apresenta anomalias como no caso

das ligas Fe-Al. Fonte dos dados experimentais: (ZAMORA et al., 1997). . . . . p. 80

6.8 Campo hiperfino medio como funcao da concentracao de atomos de Al, em

temperatura ambiente e com x = 0.1. A variacao de H se assemelha muito a

da magnetizacao. Dados experimentais: (ALCAZAR; PLASCAK; SILVA, 1988). . p. 81

2

1 Introducao

1.1 Proposta de trabalho

Ha um numero nao muito extenso de trabalhos relacionados a modelos classicos de

spins, com variaveis discretas (spins) que assumam mais que dois estados, sendo escassos aque-

les em que ha aplicacao de tais modelos ao estudo de sistemas fısicos reais (LARA; DIOSA; LO-

ZANO, 2013; LARA et al., 2009). Um dos motivos para a escassez de estudos sobre tais sistemas

e a dificuldade matematica e computacional de lidar com o grande numero de equacoes resul-

tantes desses modelos (KANEYOSHI; TUCKER; JASCUR, 1992; COSTABILE et al., 2014), problema

que, com o avanco computacional surgido nas ultimas decadas, vem estimulando os teoricos da

area a estudar as diversas propriedades e possibilidades de aplicacoes.

Um dos modelos cujo potencial de aplicacao a diversos tipos de sistemas fısicos, com am-

pla possibilidade de exploracao das suas mais diversas caracterısticas, e o de Ising com spin

S > 1/2 (KANEYOSHI; JASCUR; FITTIPALDI, 1993; FREITAS et al., 2013). Ha alguns traba-

lhos teoricos envolvendo o estudo de algumas propriedades termodinamicas desses modelos

(KANEYOSHI; TUCKER; JASCUR, 1992; KANEYOSHI; JASCUR; FITTIPALDI, 1993; MIR; SABER;

TUCKER, 1994; KANEYOSHI; NAKAMURA; SHIN, 1998; NAKAMURA, 2000), porem nao havia

aplicacao do mesmo a nenhum sistema fısico real ate a descoberta de seu potencial para a

descricao do diagrama de fases das ligas Fe-Al desordenadas (ver, por exemplo, Freitas et al.

(2013)).

A descricao do diagrama de fases das ligas Fe1−qAlq e problematica por duas questoes

principais:

1. Os diversos modelos de spins utilizados para descrever os dados experimentais na regiao

cuja concentracao q de atomos de alumınio e inferior a 25 % (q < 0.25) preveem um

decrescimo aproximadamente linear da curva Tc(q), quando o que se obtem experimen-

talmente e que Tc(q) praticamente nao varia nessa regiao.

2. A concentracao crıtica, qc, acima da qual nao ha ordamento para qualquer valor finito de

3

temperatura, obtida experimentalmente, e diferente daquela prevista teoricamente para

uma rede cubica de corpo centrado, bcc (do ingles, body centered cubic) (STAUFFER;

AHARONY, 1985) e nao ha uma explicacao teorica para isso nem concordancia entre os

modelos utilizados e os dados experimentais.

Alem de tais questoes relativas ao estudo e descricao das propriedades de modelos de spins

mais altos e do diagrama de fases das ligas Fe-Al, existem questoes sobre a aplicabilidade de

outros tipos de modelos classicos, tais como o Ising de spin 1/2 com ligacoes mistas, ao estudo

das propriedades magneticas de sistemas reais, bem como a capacidade de tecnicas analıticas

de fornecerem resultados quantitivos aceitaveis para uma precisa descricao, por exemplo, de

diagramas de fases e valores de temperatura crıtica relativos a tais sistemas.

Com isso, para demonstrar a viabilidade tanto desses modelos quanto do emprego da Teoria

de Campo Efetivo (HONMURA; KANEYOSHI, 1979), diversos diagramas de fase de ligas Fe-Mn

e Fe-Mn-Al sao tambem objetos de descricao neste trabalho e os resultados indicam que tal

tecnica ainda pode ser utilizada como alternaiva, quando comparada a outros procedimentos, a

exemplo da simulacao Monte Carlo.

A partir dessas e de outras questoes, que serao postas ao longo deste texto, e que a utilizacao

desses modelos surgiu como possibilidade de, alem de descrever todo o diagrama de fases das

ligas Fe-Al, Fe-Mn e Fe-Mn-Al, responder ao que foi acima levantado. Alem disso, o estudo

de modelos classicos de Ising com S > 1/2, por exemplo, pode trazer luz para o surgimento

de diversas outras propriedades e caracterısticas antes nao descobertas nos modelos de spins

tradicionalmente estudados.

1.2 Objetivos gerais

Aplicar modelos classicos de spins, tais como o modelo de Ising de spin 2 com diluicao por

sıtios e de Ising de spin 1/2 com ligacoes mistas, ao estudo das propriedades fısicas de sistemas

magneticos reais, tais como as ligas Fe-Al, Fe-Mn e Fe-Mn-Al, utilizando-se a Teoria de Campo

Efetivo, por meio da analise tanto das equacoes resultantes das aproximacoes feitas quanto dos

diagramas de fase obtidos. Em paralelo, analises crıticas sao desenvolvidas no que diz respeito

as limitacoes tanto dos modelos quanto da tecnica utilizada.

A introducao do termo de anisotropia de campo cristalino no modelo de Ising de spin S = 2

nao foi feita pois, em trabalho anterior, Dias e Plascak (2011) utilizou o modelo de Ising de spin

S > 1/2 com termo de campo cristalino e nao obteve boa concordancia com os dados experi-

4

mentais do diagrama T -q das ligas Fe-Al, como evidencia o trabalho de Lara, Diosa e Lozano

(2013). Esse resultado, a princıpio, desencoraja a utilizacao de tal termo na hamiltoniana do

modelo, deixando como proposta de utilizacao em trabalhos futuros para a descricao de outros

sistemas magneticos.

1.3 Estrutura e organizacao do texto

No Capıtulo 2, sera descrita toda a fundamentacao teorica necessaria para a abordagem dos

sistemas que serao objetos da tese, desde uma breve introducao a desordem magnetica, escala

de Widom, passando por uma breve descricao da Teoria de Landau para as transicoes de fase,

breve descricao da Teoria de Grupo de Renormalizacao, do modelo de Ising e sua solucao em

uma dimensao, a descricao da Teoria de Campo Efetivo em seus pormenores e comparacoes

entre valores obtidos para a temperatura crıtica via Teoria de Campo Efetivo com aglomerados

de um e dois spins.

No Capıtulo 3 sera descrito o estado da arte, com os principais trabalhos publicados sobre

o tema, desde os artigos ditos “classicos” ate trabalhos mais recentes envolvendo o estudo e

aplicacao da Teoria de Campo Efetivo a descricao das propriedades magneticas de sistemas

fısicos. No Capıtulo 4 sera descrita toda a metodologia aqui empregada tanto para a obtencao e

resolucao das equacoes resultantes do modelo, quanto para o esboco dos diagramas de fase que

foram analisados.

No Capıtulo 5, os resultados obtidos por meio do modelo de Ising de spin 2 serao apresen-

tados: obtencao da identidade de Van der Waerden para um valor arbitrario de spin, equacao

exata envolvendo os spins que e de fundamental importancia para a solucao aproximada do mo-

delo de Ising via Teoria de Campo Efetivo; descricao das equacoes utilizadas para calculo da

temperatura crıtica como funcao da substituicao de ıons magneticos por ıons nao magneticos no

modelo com diluicao por sıtios, e analise dos diagramas de fase do modelo aplicado a uma rede

cubica de corpo centrado e aplicacao do modelo ao estudo do diagrama T − q de ligas Fe-Al.

No Capıtulo 6 serao descritas as propriedades do modelo de Ising de spin 1/2 com ligacoes

mistas e todas as equacoes obtidas serao aplicadas para o estudo de alguns diagramas de fase das

ligas Fe-Mn e Fe-Mn-Al, a exemplo do diagrama de magnetizacao como funcao de temperatura,

campo hiperfino medio como funcao da concentracao de atomos de alumınio e transicao ferro-

paramagnetica.

No Capıtulo 7 serao apresentadas as consideracoes finais e perspectivas para a confeccao

de trabalhos futuros, espcialmente visando a utilizacao de outros modelos classicos bem como

5

a descricao de outros tipos de sistemas magneticos.

6

2 Fundamentacao teorica

2.1 Transicoes de fase: Consideracoes preliminares

Uma transicao de fase e uma mudanca repentina do comportamento das proprieda-

des termodinamicas de um sistema fısico. Um classico exemplo de transicao de fase e a

condensacao da agua ou sua mudanca para o estado solido (congelamento). Varios sao os

modelos e/ou teorias que podem ser, com maior ou menor precisao, utilizadas para a descricao

das transicoes de fases em sistemas fısicos. Exemplos sao a transicao lıquido/gas em um gas

real, descrita por meio da analise da equacao de van der Waals; a teoria de Weiss para a transicao

ferro-paramgnetica; o estudo das propriedades crıticas de modelos como o de Ising; a teoria de

Landau para analise de transicoes contınuas, a Teoria de Grupo de Renormalizacao para des-

crever os fenomenos crıticos e transicoes de fase em sistemas fısicos em geral, dentre outras.

Neste capıtulo, serao descritas, em linhas gerais, algumas das hipoteses destinadas a des-

crever o que acontece num sistema que passa por uma transicao de fase, seja ela contınua (dita

de segunda ordem) ou de primeira ordem, em altas ou baixas temperaturas. Tal abordagem sera

de extrema importancia para a descricao das propriedades de sistemas magneticos desordena-

dos e, apesar de seu carater geral e introdutorio, nao deixara de lado questoes mais profundas

relacionadas ao tema em questao.

2.2 Transicao lıquido-gas

Um gas real (partıculas interagindo) tem um comportamento diferente de um gas ideal

(partıculas livres) e pode ser decrito por meio da equacao de Van der Waals, na forma:

p =kBT

v − b− a

v2, (2.1)

em que p (= P/N ) e a pressao, kB a constante de Boltzmann, T e a temperatura absoluta do

gas, v = V/N e o volume por partıcula, a , b sao constantes e N e o numero de partıculas no

7

gas. A Equacao (2.1) tambem, se necessario, pode ser escrita em termos da densidade reduzida,

ρ = 1/v do gas em questao.

Figura 2.1: Diagrama p-v mostrando o comportamento de um gas real para valores fixos datemperatura T (isotermas). Percebe-se comportamentos distintos da curva p-v em temperaturasmaiores, iguais ou menores que a temperatura crıtica, Tc.

A Figura 2.1 mostra um esboco do grafico de p versus v para varios valores fixos da tem-

peratura T , curvas essas determinadas pela equacao de van der Waals, sendo que tais curvas

sao chamadas de isotermas, ou seja sao curvas obtidas para valores fixos de T . A forma de tais

isotermas depende do valor da temperatura, de forma que, para valores altos de T , o segundo

termo −a/v2 na Equacao (2.1) pode ser desprezado (REICHL, 1998). Quando T e muita baixa,

o segundo termo na Equacao (2.1) nao pode ser desprezado, quando comparado ao primeiro,

e contribui para determinar a forma da curva p-v e, nesse caso, em certo valor de v, p tem um

mınimo local.

Em valores intermediarios de T , o mınimo local deixa de existir e a curva torna-se mais

plana em determinada regiao de v, como se pode notar no grafico da Figura 2.1, sendo que tal

ponto pode ser considerado como ponto de inflexao. Nesse ponto deve-se ter:

dp

dv=d2p

dv2= 0, com

d3p

dv36= 0, (2.2)

ou seja, o valor de T que satisfaz a Equacao (2.2) e a temperatura crıtica T = Tc. Abaixo

dessa temperatura, algumas propriedades termodinamicas, tais como a densidade, ρ, assumem

certo valor diferente de zero, ρ(T ≥ Tc) = 0, enquanto que em temperaturas T ≥ Tc, a

densidade se anula, ρ(T < Tc) 6= 0. Tal variavel, que caracteriza a ordem (ρ 6= 0 ou ρ = 0),

e conhecida como parametro de ordem (STANLEY, 1971; HUANG, 1987; REICHL, 1998), como

sera visto mais adiante, e o estudo de seu comportamento a medida em que a temperatura varia

pode determinar nao somente o valor da temperatura crıtica bem como o tipo de transicao de

fase associada a determinado sistema.

8

Figura 2.2: Diagrama p-v para valores baixos de T , a saber T, Tc.

A curva p-v, quando T < Tc, pode trazer algumas informacoes adicionais sobre as proprie-

dades termodinamicas do sistema sob consideracao. Do grafico da Figura 2.2, entre os pontos B

e C, pode-se ver que a derivada dp/dv > 0, sendo esse um indıcio de que ao aplicar uma forca

no recipiente que contem o gas (supondo pelo menos uma parede movel) a pressao ira diminuir.

Isso significa, na pratica, uma situacao nao observada na natureza: quanto mais se pressiona o

gas no interior do recipiente, mais facil se torna pressiona-lo (menor sera o gasto de energia),

da mesma forma, quanto mais se expande o gas, mais difıcil sera faze-lo retornar ao volume

inicial, ja que, nesse caso, a pressao ira aumentar. Nesses casos, o gas sera altamente instavel e

qualquer perturbacao em seu estado de equilıbrio podera provocar mudancas muito grandes em

sua densidade, ou seja, a regiao compreendida entre os pontos B e C no grafico da Figura 2.2 e

instavel.

O proximo passo e estudar o comportamento do gas na regiao a esquerda do ponto B, no

grafico da Figura 2.2. Nesse caso, o valor de |dp/dv| e muito grande, o que significa que

a compressao do gas e bem mais difıcil, ou seja, necessita-se que uma significativa pressao

adicional para provocar uma pequena mudanca no volume do sistema: na pratica, a substancia

encontra-se no estado lıquido.

Ja na regiao a direita do ponto C, tem-se que v b e |dp/dv| 1, ou seja pequena

variacao de pressao provoca uma relativamente grande mudanca no volume do sistema. Este e

o estado gasoso. O grande problema e entender o que acontece quando o sistema encontra-se

entre os estados lıquido e gasoso, regiao A - B do diagrama, que e a regiao de instabilidade do

sistema.

Um criterio para classificacao das transicoes envolve a descontinuidade das derivadas da

energia livre que, em geral, representam grandezas termodinamicas tais como a magnetizacao

ou calor especıfico. Este tema sera abordado mais adiante quando da descricao da formulacao

de Landau para descricao das transicoes de fase. A princıpio, se uma transicao envolve calor

latente, diz-se que e de primeira ordem; caso contrario, tem-se uma transicao contınua (ou

9

Tabela 2.1: Expoentes crıticos de grandezas tais como o calor especıfico (C), susceptibilidade(χ), magnetizacao (m) e comprimento de correlacao (ξ), todas funcoes da temperatura reduzidaτ = |T − Tc|/Tc.

Grandeza fısica Relacao de escala ExpoenteC ∝ τ−α αχ ∝ τ−γ γm ∝ τβ βξ ∝ τ−ν ν

Tabela 2.2: Valores experimentais de expoentes crıticos para algumas substancias puras. Fonte:(OLIVEIRA, 2005).

Substancia α β γ3He 0,11 0,36 1,194He 0,13 0,36 1,18Ar 0,13 0,34 1,21O2 0,12 0,35 1,25

anteriormente chamada de segunda ordem) (HUANG, 1987; REICHL, 1998).

As transicoes contınuas envolvem a existencia de uma temperatura crıtica, Tc, na qual al-

gumas grandezas fısicas variam conforme leis de potencia ou com base em expoentes crıticos,

como consta na Tabela 2.1. Os valores de tais expoentes, em uma determinada dimensao es-

pacial, independem da substancia sob consideracao, sendo universais. A Tabela 2.2 mostra

valores dos expoentes crıticos para algumas substancias. Essa caracterıstica permite, inclusive,

determinar a que classe de universalidade ou modelo tal sistema fısico pertence a depender dos

valores dos expoentes crıticos obtidos (STANLEY, 1971).

A partir do grafico da Figura 2.2, ve-se que o sistema em questao (devido a presenca de

duas solucoes) pode, em uma determinada temperatura, encontrar-se no estado lıquido ou no

estado gasoso. Essa possibilidade nao implica, entretanto, que a substancia sob consideracao,

necessariamente, coexista nos dois estados: um pode representar a configuracao mais estavel

(matematicamente, um pode representar um mınimo local enquanto que o estado mais estavel

representaria um mınimo global). Se dois sistemas estao em equilıbrio, isso significa que tem

a mesma temperatura e pressao (REICHL, 1998), por exemplo. Alem disso, uma condicao que

garante o equilıbrio de um sistema e aquela que relaciona os potenciais quımicos nos estados

gasoso e lıquido, de forma que:

µliq = µgas. (2.3)

Para encontrar, a partir da Equacao (2.3) uma expressao para µ = µ(p, T ) pode-se, a

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princıpio, tentar resolve-la a partir de um valor fixo da temperatura e encontrar µ = µ(p)

(REICHL, 1998). A energia livre de Gibbs pode ser escrita em termos do potencial quımico da

seguinte forma:

G(T, p,N) = µN. (2.4)

No isoterma, tal como mostrado na Figura 2.2, tem-se que a mudanca infinitesimal do

potencial quımico e dada pela equacao:

dµ =

(∂µ

∂p

)T

dp. (2.5)

Substituindo-se a Equacao (2.4) na Equacao (2.5), tem-se:(∂G

∂p

)N,T

=

(∂µ

∂p

)T

N. (2.6)

Porem, utilizando-se as relacoes de Maxwell (REICHL, 1998):(∂G

∂p

)N,T

= V(∂µ

∂p

)T

N = V. (2.7)

Integrando os dois lados da Equacao (2.7), do valor da pressao no estado lıquido, pliq, ate

um valor p qualquer, tem-se:

µ(p, T )− µliq =

∫ p

pliq

V (p′, T )

Ndp′,

µ(p, T ) = µliq +

∫ p

pliq

V (p′, T )

Ndp′, (2.8)

em que µliq = µ(pliq, T ). No estado em que coexistem as fases lıquida e gasosa, deve-se ter

pliq = pgas = p e a integral do lado direito da Equacao (2.8) se anula, pois:∫ p

pliq

V (p′, T )

Ndp′ =

∫ pliq

pliq

V (p′, T )

Ndp′ = 0.

Dessa forma, a Equacao (2.8) leva a Equacao (2.3), fazendo com que o sistema satisfaca

a condicao de equilıbrio. No diagrama p − v, tal situacao e descrita como segue: as duas

areas hachuradas, como mostra a Figura 2.3, sao iguais, fazendo com que a pressao na linha

11

de coexistencia entre as fases lıquida e gasosa seja a mesma. Essa e a chamada Construcao de

Maxwell.

Figura 2.3: Diagrama p-v que ilustra a chamada Construcao de Maxwell.

E importante salientar que todas as condicoes de equilıbrio envolvem quantidades inten-

sivas, a saber p, T e µ. Isto significa que em uma situacao em que lıquido e gas estao em

equilıbrio, entao deve-se ter um numero qualquerNliq de atomos no estado lıquido e um numero

qualquer Ngas de atomos no estado gasoso.

Algumas dessas principais caracterısticas das transicoes de fase podem ser muito bem ex-

plicadas por meio da teoria de Landau para descrever as transicoes de fase, como sera visto mais

adiante. O principal artifıcio ou “ingrediente” de tal formulacao e a suposicao de que a energia

livre do sistema pode ser expandida em series de Taylor como funcao de um dado parametro

de ordem. Esse tipo de expansao permite, como sera visto, descrever muito bem transicoes

contınuas, porem apresentam limitacoes e, por meio dessa teoria, nao se obtem valores corretos

para os expoentes crıticos.

Antes sera apresentada uma hipotese, conhecida como Hipotese da Escala de Widom, que

permite que se obtenha expoentes crıticos a partir do comportamento singular de grandezas ter-

modinamicas. Grandezas tais como a magnetizacao, na vizinhanca de Tc, obedecem a relacoes

de escala.

2.2.1 Escala de Widom

Quando ocorre uma transicao de fase, algumas grandezas termodinamicas apresentam

comportamento singular, ou seja, tais grandezas, a exemplo da susceptibilidade, divergem em

T = Tc, obedecendo a leis de potencia que sao caracterizadas por meio de expoentes crıticos,

a exemplo dos mostrados na Tabela 2.1. Resultados experimentais sugerem que os varios expo-

entes crıticos nao sao independentes, mas obedecem a certos vınculos, tal como o que relaciona

12

os expoentes da susceptibilidade, γ, magnetizacao, β, e calor especıfico, α. Esse vınculo e

chamado de Identidade de Rushbrooke (REICHL, 1998):

γ + 2β = 2− α. (2.9)

Uma proposta fenomenologica para explicar tais vınculos foi feita por Ben Widom (vence-

dor da Medalha Boltzmann em 1998) em 1965. Sua hipotese consiste em admitir que a energia

livre por unidade de volume, f , pode ser escrita em forma de escala:

f(ε,H) = |ε|2−αf(H/ε∆), (2.10)

em que ε ≡ (T − Tc)/Tc, H e o campo magnetico e ∆ e um expoente a ser determinado. A

partir da Equacao (2.10), pode-se obter o calor especıfico, a campo nulo, da seguinte forma:

C =∂

∂T 2f(ε, 0) =

∂

∂ε2|ε|2−αf(0) ∼ |ε|−α. (2.11)

Da mesma forma, a magnetizacao e obtida como:

m(ε,H) =∂f

∂H∼ |ε|2−α−∆f ′(H/|ε|∆). (2.12)

Dessa forma, o expoente β da magnetizacao, de acordo com a Equacao (2.12), e comporando-

se com a expressao para m dada pela Tabela 2.1, e:

β = 2− α−∆. (2.13)

A partir da Equacao (2.12), obtem-se a susceptibilidade a campo nulo da seguinte maneira:

χ ∼ ∂m

∂H

∣∣∣∣∣H=0

∼ |ε|2−α−2∆f ′′(0), (2.14)

e o expoente da susceptibilidade, γ, e, de acordo com a Equacao (2.14) e com a Tabela 2.1,

dado por:

γ = −2 + α + 2∆. (2.15)

Somando os dois lados das Equacoes (2.13) e (2.15), encontra-se a expressao para o expo-

ente ∆:

∆ = β + γ. (2.16)

13

Substituindo a Equacao (2.16) na Equacao (2.13), encontra-se a relacao de Rushbrooke,

Equacao (2.9).

Outra relacao que pode ser extraıda da hipotese de escala de Widom envolve o expoente

ν do comprimento de correlacao, ξ. O comprimento de correlacao e a medida da distancia na

qual as flutuacoes das grandezas termodinamicas em uma regiao do espaco influenciam aquelas

em outra regiao do espaco. Se dois spins, por exemplo, sao separados por distancias maiores

que o comprimento de correlacao, entao as as flutuacoes de grandezas medidas relativamente a

cada um serao indenpendentes. Na vizinhanca do ponto crıtico, o comprimento de correlacao

diverge de acordo com relacao descrita na Tabela 2.1, ou seja, ξ ∼ |ε|−ν .

Suponha que um sistema fısico possa ser dividido em regioes de tamanho igual ao do

comprimento de correlacao, ξ. Os spins alinhados no interior de cada uma dessas regioes

comportam-se como um grau de liberdade. Num sistema fısico cujo tamanho e L, o mesmo

pode ser dividido em regioes da ordem de (L/ξ)d, em que d e a dimensao de tal sistema. Dessa

forma, a energia livre por unidade de volume pode ser escrita como:

f ∼ ξ−d ∼ |ε|d ν , (2.17)

em que foi utilizada a expressao para o comprimento de correlacao, ξ ∼ |ε|−ν . Comparando a

Equacao (2.17) com a Equacao (2.10), tem-se mais uma relacao entre os expoentes crıticos:

d ν = 2− α. (2.18)

Outras relacoes podem ser obtidas por meio da hipotese de Widom (ver Reichl (1998)). O

mais importante a se notar e que tal hipotese nao somente confirma os resultados experimentais,

de que os expoentes guardam vınculos entre si, como tambem mostra que os mesmos nao sao

todos independentes.

Na proxima secao sera brevemente descrita a Teoria de Landau das transicoes de fase. Esta

teoria surgiu de um esforco para se tentar explicar o comportamento crıtico dos sistemas que

passam por transicoes de fase bem como para tentar encontrar valores e relacoes entre expoentes

crıticos.

2.3 Teoria de Landau das transicoes de fase

Transicoes de fase contınuas ocorrem quando um novo estado simetrico evolui continua-

mente de um estado desordenado em altas temperaturas. Tal mudanca de um estado simetrico,

14

em baixas temperaturas, para um estado desordenado, em altas temperaturas, e denominada de

quebra espontanea de simetria (STANLEY, 1971; HUANG, 1987). Tais estados sao macrosco-

picamente diferentes, dessa forma flutuacoes nao estarao conectadas umas as outras no limite

termodinamico. Para descrever tais estados ordenados e necessario introduzir uma grandeza

macroscopica denominada parametro de ordem que descreve nao somente o carater, mas qual a

“intensidade” da quebra de simetria.

Tais parametros de ordem sao grandezas que, numa transicao contınua, assumem um valor

nao nulo abaixo de certa temperatura, Tc, e se anulam para T ≥ Tc. Exemplos de parametros

de ordem sao listados abaixo:

• Ferromagneto de Ising: a hamiltoniana e invariante sob uma inversao de spin do tipo

σi → −σi. A fase ordenada apresenta magnetizacao espontanea, enquanto a fase de-

sordenada (em altas temperaturas) nao apresenta. Dessa forma, a magnetizacao e um

parametro de ordem conveniente para descrever tal transicao, a saber M = µS, em que

S =∑

i 〈σi〉 e µ e o momento magnetico. M vai a zero continuamente em Tc.

• Antiferromagneto de Ising: o parametro de ordem e a magnetizacao staggered, definida

como Ms =∑

n(−1)n 〈σi〉.

• Ferromagneto de Heisenberg: a hamiltoniana e invariante sob qualquer rotacao dos spins.

O ordenamento e caracterizado por um parametro de ordem vetorial. Tal parametro pode

ser convinientemente escolhido como o spin total, ~S =∑

i 〈~σi〉, ou a magnetizacao que

e proporcional ao mesmo.

• Solido cristalino: tem simetria de rotacao e translacao. Um parametro de ordem con-

veniente e sua densidade, que se altera continuamente acima do ponto crıtico. Em tres

dimensoes, a transicao solido-lıquido, em geral, e de primeira ordem (envolve calor la-

tente).

Como, numa transicao contınua, o parametro de ordem vai continuamente a zero na tem-

peratura de transicao, Landau sugeriu uma expansao da energia livre 1 em series de Taylor em

termos do parametro de ordem e, a partir de tal funcao, seria possıvel obter as propriedades

termodinamicas do sistema fısico sob consideracao, proximo ao ponto crıtico (STANLEY, 1971;

PARISI, 1988; CHIMOWITZ, 2005). Para tal expansao, a energia livre deve ter a mesma simetria

que a hamiltoniana sob consideracao, por exemplo no caso da hamiltoniana de Heisenberg, a

1Na verdade, e feita a expansao da Energia Livre de Landau, que e uma aproximacao da energia livre do sistemae nao a “propria”. A partir dessa aproximacao e que se obtem as grandezas termodinamicas de interesse, tambem,obviamente, grandezas fısicas aproximadas. Para maiores detalhes ver Parisi (1988).

15

energia livre deve ter simetria de rotacao de spins, ou no caso da hamiltoniana de Ising, a ener-

gia livre deve ter simetria de inversao de spins, isso na ausencia de campo magnetico externo,

que seria um fator de quebra dessa simetria apresentada pelas hamiltonianas citadas.

Em termos de um parametro de ordem ψ, a energia livre do sistema (energia livre de Lan-

dau) pode ser expandida em series como:

f(ψ, T ) = f0(T ) + f1ψ + f2ψ2 + f3ψ

3 + f4ψ4 + · · · , (2.19)

em que fn sao funcoes de T proporcionais as derivadas de f de ordem n.

Um caso particular de tal expansao se da para o ferromagneto de Ising, em que ψ = m(~r),

com m(~r) sendo a magnetizacao por sıtio da rede. Como a hamiltoniana de Ising (na ausencia

de campo magnetico externo ou termos de anisotropia) e invariante sob uma inversao de spin, a

expansao da energia livre deve conter somente termos pares das potencias de m, para preservar

tal simetria de inversao. Dessa forma, a energia livre e escrita como

f(m, T ) = f0(T ) + α(T )m2 + β(T )m4 + γ(T )~∇m · ~∇m. (2.20)

O ultimo termo da Equacao (2.20) fornece o custo energetico para o caso de uma magnetizacao

nao uniforme. Valores positivos de γ asseguram que estados espacialmente uniformes minimi-

zam a energia livre, enquanto que termos de ordem mais alta nao sao necessariamente impor-

tantes para a determinacao do comportamento do sistema nas vizinhancas de Tc. O termo de

quarta ordem e mantido porque, em T = Tc, o coeficiente do termo de segunda ordem, α(T ),

vai a zero, muito embora γ(Tc) 6= 0.

A Teoria de Landau para as transicoes de fase e uma teoria de campo medio no sentido

de que ignora por completo as flutuacoes em torno de valores medios de grandezas termo-

dinamicas. Para o ferromagneto de Ising, truncando a serie no termo de quarta ordem, a

condicao de extremo da energia livre, ∂ f/∂ m = 0 implica que

αm0 + 2β m30 = 0, (2.21)

As solucoes da Equacao (2.21) que correspondem a uma minimizacao da energia livre sao

m0 = ±√−α/2β para α < 0,

(2.22)

m0 = 0 para α > 0,

16

Ao redor da temperatura crıtica, os coeficientes α(T ), β(T ) e γ(T ) podem ser expandidos

em series de potencias na forma:

α ≈ a(T − Tc) + · · · ,

β(T ) ≈ b + · · · , (2.23)

γ(T ) ≈ γ + · · · ,

de forma que

f ' f0(T ) + a(T − Tc)m2 + bm4 + γ(~∇m)2. (2.24)

A partir dos coeficientes dados pelas Equacoes (2.24), da Equacao (2.23), com α < 0,

pode-se escrever a magnetizacao da seguinte forma:

m0 '(ab

)1/2

(Tc − T )1/2 para T < Tc. (2.25)

Um diagrama da energia livre relativamente ao parametro de ordem, m, para o caso do

ferromagneto de Ising, e mostrado no grafico da Figura 2.4. Para T > Tc, a energia livre

tem um mınimo apenas em m = 0, ou seja, o estado de minimizacao de energia e aquele em

que os spins da rede encontram-se numa configuracao desordenada. Abaixo de Tc, ha duas

configuracoes estaveis, a saber em m = ±m0, que sao os valores de m que o ferromagneto de

Ising assume na fase mais estavel. Nas vizinhancas de Tc, a curva e plana em m = 0, o que

caracteriza um ponto de inflexao: flutuacoes em torno do estado de equilıbrio sao importantes

neste ponto.

No caso da presenca de campo magnetico externo, a Equacao (2.24) pode ser reescrita

como:

f ' f0(T ) + a(T − Tc)m2 + bm4 + γ(~∇m)2 −mH. (2.26)

Tal campo quebra a simetria do sistema de forma que a hamiltoniana nao mais sera invari-

ante por uma inversao de spin. Dessa forma, a energia livre tem um mınimo em um valor nao

nulo do parametro de ordem, m. Por meio da minimizacao de f , na Equacao (2.26), relativa-

mente a m, obtem-se a susceptibilidade, acima de Tc, que diverge em T = Tc:

χ =m

H

∣∣∣∣∣H=0

=1

a(T − Tc)

−1, (2.27)

17

Figura 2.4: Energia livre (densidade de energia livre) como funcao do parametro de ordem, nocaso do ferromagneto de Ising. A quebra espontanea de simetria caracteriza-se pela existenciade um parametro de ordem nao nulo abaixo de certa temperatura Tc.

Tabela 2.3: Valores experimentais de expoentes crıticos para algumas substancias puras (Fonte:(OLIVEIRA, 2005)) em comparacao com aqueles obtidos por meio da Teoria de Landau.

Substancia/teoria α β γ3He 0,11 0,36 1,194He 0,13 0,36 1,18Ar 0,13 0,34 1,21O2 0,12 0,35 1,25Teoria de Landau 0 0,5 1

em que, para T ≈ Tc, com H 1

m =

(1

b

)1/3

H1/3, (2.28)

sendo que os expoentes obtidos por meio das Equacoes (2.27) e (2.28) sao os mesmos obtidos

pela aproximacao de campo medio.

Ve-se claramente, a partir dos dados fornecidos pela Tabela 2.3, que os valores obtidos pela

Teoria de Landau estao distantes daqueles experimentalmente obtidos. Desprezar as correlacoes

e uma das causas dessa discordancia. A teoria que efetivamente viria a descrever corretamente

os valores dos expoentes crıticos e justificar hipoteses tais como a de escala de Widom e a

Teoria de Grupo de Renormalizacao, que sera brevemente descrita na proxima secao.

18

2.4 Grupo de Renormalizacao

O entendimento fenomenologico relacionado as transicoes de fase e de fundamental

importancia para o estudo de diversos sistemas, porem existe um sistema unificado que trata da

descricao de transicoes de fase e fenomenos crıticos: e a Teoria de Grupo de Renormalizacao

(RG, do ingles Renormalization Group). As transicoes contınuas sao caracterizadas por ex-

poentes crıticos, como foi mostrado na Tabela 2.1 e a classe de universalidade de um sistema

fısico e determinada por tais expoentes. Em um certo valor de dimensao, denominada dimensao

crıtica superior, os expoentes encontrados sao os mesmos obtidos pela Teoria de Campo Medio

(STINCHCOMBE, 1983; YEOMANS, 1992).

Para descrever tais fenomenos, K. G. Wilson desenvolveu, no inıcio dos anos de 1970

(WILSON, 1971a; WILSON, 1971b), a RG, trabalho que lhe daria o Premio Nobel de Fısica

em 1982. O grupo de renormalizacao consiste em mudar a escala de comprimento de um sis-

tema removendo graus de liberdade, sendo que, na criticalidade, as propriedades do sistema sob

consideracao nao mudam por uma transformacao de escala e tal comportamento e descrito por

pontos denominados pontos crıticos da transformacao.

Numa dada rede regular de spins, a tecnica de renormalizacao consiste na ideia dos blocos

de spins. Divide-se a rede considerada em blocos, a depender de sua simetria. Um exemplo

classico e o da rede quadrada, como mostra a Figura 2.5, que pode ser divida em blocos de qua-

tro spins, de forma sucessiva, diminuindo-se assim o numero de graus de liberdade do sistema

e o numero de necessario de informacoes que devem ser obtidas para descreve-lo.

Figura 2.5: Representacao dos blocos de spins numa rede quadrada.

Ve-se claramente na Figura 2.5 que a reducao nos graus de liberdade de tal rede regular de

spins nao altera sua simetria: os blocos continuam formando uma rede quadrada. O valor do

spin de cada sıtio na nova rede reescalada pode ser escolhido como igual ao da maioria: por

exemplo, se ha, num bloco com quatro spins, tres no estado up e um no estado down, escolhe-se

19

como valor para o spin da rede escalada o valor up. Se ha um igual numero de spins up e down,

a escolha e aleatoria.

Fazendo tal procedimento para a rede quadrada em duas dimensoes (d = 2), como no

exemplo escolhido, a nova rede e reduzida por um fator n = 2 em cada direcao, para que a rede

renormalizada seja similar a original. Dessa forma, o numero de graus de liberdade do sistema

e reduzido por um fator nd = 4. Sucessivas transformacoes de escala seguem-se ate que se

encontra um ponto fixo. Tais pontos sao definidos pelo comportamento singular de grandezas

tais como o comprimento de correlacao (ALBUQUERQUE, 1996). Sucessivas transformacoes

fatisfazem propriedades de um grupo fechado, dessa forma o termo Grupo de Renormalizacao.

Para exemplificar o conceito de pontos fixos sera utilizado como exemplo um ferromagneto.

Os spins da rede podem apontar em qualquer direcao do espaco, mas por simplicidade, tal

discussao se restringira a uma rede bidimensional, a exemplo da rede quadrada. Tres situacoes

fısicas podem ser listadas para esse tipo de sistema fısico:

1. T = 0: Todos os spins da rede estao alinhados e, portanto, todas as renormalizacoes da

rede devem fornecer os mesmos resultados, devido a simetria do problema.

2. T → ∞: Todos os spins da rede estao aleatoriamente orientados, dessa forma, todas as

renormalizacao tambem devem fornecer os mesmos resultados, em qualquer escala.

3. T ≈ Tc, em que Tc e a temperatura crıtica do sistema. Quando as transformacoes

de grupo de renormalizacao alcancam tais pontos, tambem chamados de pontos fixos

crıticos, grandezas como o comprimento de correlacao divergem.

Os pontos fixos em altas e baixas temperaturas sao conhecidos como pontos fixos triviais

(HUANG, 1987), sendo que os pontos fixos crıticos sao os que apresentam interesse fısico. A

universalidade pode ser explicada em termos de tais pontos fixos.

Em Mecanica Estatıstica, no ponto crıtico, diversas substancias diferentes sao descritas

por grandezas termodinamicas (ver Tabela 2.1) que variam de acordo com leis de potencia

que sao descritas pelos mesmos expoentes crıticos. Isso e denominado universalidade (REICHL,

1998). A possibilidade de descrever, de forma unificada, o comportamento de tais grandezas nas

vizinhancas do ponto crıtico foi um dos grandes achados da Teoria de Grupo de Renormalizacao

(RG). Na proxima secao sera descrita a transformacao de RG e, em seguida, a RG sera aplicada

ao estudo do modelo de Ising unidimensional.

20

2.4.1 Transformacao de grupo de renormalizacao: definicao

Seja um modelo de spins, por exemplo, descrito por uma hamiltoniana reduzida, H ≡H/kBT , sendo kB a constante de Boltzmann e T a temperatura. Tal hamiltoniana e renormali-

zada da seguinte forma:

H′ = RH. (2.29)

O operador R reduz os graus de liberdade do sistema original, tal como exemplificado na

Figura 2.5, de N para N ′. No espaco real isso pode ser feito ao se remover ou reagrupar spins

numa rede regular. O fator de transformacao de escala, b, e definido por:

bd = N/N ′, (2.30)

em que d e a dimensao do sistema considerado. A condicao essencial a ser satisfeita por qual-

quer transformacao RG e manter a funcao de particao inalterada, ou seja:

ZN ′(H′) = ZN(H). (2.31)

A Eq. (2.31) faz com que a energia livre do sistema permaneca a mesma e, devido ao fato

de a energia livre ser extensiva, a energia livre reduzida por spin, f = f/kBT , se transforma

como:

f(H′) = bd f(H), (2.32)

ou seja, a energia livre do sistema obedece a uma relacao de escala. Distancias, que sao medidas,

numa rede regular, em termos do espacamento de rede, sao reduzidas por um fator b. O objetivo

agora e encontrar pontos fixos, K ′ = K = K∗ tais que facam com que:

H′ = H = H∗, (2.33)

em que o sistema e invariante sob uma transformacao de escala do tipo b = N/N ′. A invariancia

de escala e uma das principais caracterısticas de sistemas na vizinhanca da criticalidade. Na

proxima secao, as transformacoes RG serao exemplificadas utilizando-se um modelo didatico:

o Ising unidimensional.

21

2.4.2 Teoria de Grupo de Renormalizacao aplicada ao modelo de Isingunidimensional

O modelo de Ising 1D, na ausencia de campo magnetico externo, e descrito pela hamiltoni-

ana:

H = −JN∑〈i,j〉

σiσj, (2.34)

em que a soma 〈i, j〉 e feita para os vizinhos mais proximos, J e a interacao de troca entre o

spin i e seus vizinhos mais proximos e σi = ± 1. A funcao de particao e dada por:

Z =∑σ1=±1

· · ·∑

σN=±1

exp[J

N∑〈i,j〉

σiσj

]/kBT , (2.35)

em que kB e a constante de Boltzmann e T e a temperatura. Reescrevendo-se a Eq. (2.35) em

termos da constante de acoplamente K ≡ J/kBT , tem-se:

Z =∑σ1=±1

· · ·∑

σN=±1

exp[K

N∑〈i,j〉

σiσj

]=

∑σ1=±1

· · ·∑

σN=±1

∏〈i,j〉

exp[K σiσj

], (2.36)

sendo que, na equacao acima, foi utilizada a seguinte propriedade das funcoes exponenciais:

exp (a+ b+ c+ · · · ) = ea × eb × ec × · · · .

De forma mais compacta, pode-se escrever a Eq. (2.36):

Z =∑S

∏〈i,j〉

exp[K σiσj

], (2.37)

sendo S uma representacao de todos os estados possıveis para cada uma das variaveis de spins

σi. Para o modelo unidimensional, a funcao de particao, Eq.(2.37) pode ser simplificada, em

sua escrita, ainda mais, de forma que:

Z =∑S

∏〈i,j〉

exp[K σiσj

]=∑S

∏i

exp[K σiσi+1

], (2.38)

em que o segundo termo do lado direito da equacao e so uma outra forma de representar a

interacao entre o spin σi e seus vizinhos mais proximos (nesse caso, dois). Continuando, pode-

22

se reescrever a Eq. (2.38) da seguinte forma:

Z =∑S

∏i=2,4,6,···

exp[K σi(σi−1 + σi+1)

], (2.39)

ou seja, toda a soma e agora expressa em termos de spin pares agora, sendo que os vizinhos

mais proximos assumem os valores ımpares. Levando-se em conta que os spins pares (ou nao)

assumem dois estados, ou seja, considerando-se, para cada um dos i = 2, 4, 6, · · · spins pares,

σi = ± 1, a Eq. (2.39) pode ser simplificada ainda mais ao ser escrita em termos de cada um

desses dois possıveis estados da variavel σ:

Z ′ =∑

σ1,σ3,σ5,···

∏i=2,4,6,···

[exp

[K (σi−1 + σi+1)

]+ exp

[−K (σi−1 + σi+1)

]]. (2.40)

A Eq. (2.40) representa agora uma nova funcao de particao, Z ′, escrita para a rede renor-

malizada que tem, agora, N/2 spins, cuja funcao de particao, para i = 1, 2, 3, · · · , N/2, pode

agora ser reescrita como:

Z ′ =∑S

∏i

[exp

[K (σi−1 + σi+1)

]+ exp

[−K (σi−1 + σi+1)

]]=

∑S

∏i

f(K) exp[K ′ σiσi+1

]. (2.41)

A Eq. (2.41) e analoga a Eq. (2.35), so que com a diferenca que a constante de acoplamento

K foi substituıda pela constante K ′ e ha agora N/2 spins ao inves de N . Igualando-se as duas

funcoes de particao, Z = Z ′, tem-se:

exp[K (σi−1 + σi+1)

]+ exp

[−K (σi−1 + σi+1)

]= f(K) exp

[K ′ σiσi+1

]. (2.42)

O que se deseja agora e encontrar uma relacao entre as constantes de acoplamento no sis-

tema original,K, e no renormalizado,K ′, da mesma forma que se quer encontrar uma expressao

para f(K). Para tal, no modelo de Ising de dois estados, tem-se dois casos possıveis:

1. σi = σi+1 = ± 1: dessa forma a Eq. (2.42) torna-se:

exp (2K) + exp (−2K) = 2 cosh (2K) = f(K) exp (K ′). (2.43)

2. σi = −σi+1 = ± 1: dessa forma a Eq. (2.42) torna-se:

2 = f(K) exp (−K ′). (2.44)

23

Dividindo-se os dois lados das Eqs. (2.43) e (2.44), tem-se:

e2K′ = cosh (2K)

K ′ =1

2ln cosh (2K). (2.45)

Substituindo-se a Eq. (2.45) na Eq. (2.44), tem-se:

f(K) = 2 cosh1/2 (2K), (2.46)

ou seja, a Eq. (2.46) fornece uma expressao para se conhecer a forma da funcao f(K) com

base na qual a funcao de particao Z ′ do sistema renormalizado (agora so com metade dos

spins) e escrita. O mesmo procedimento pode ser adotado para reduzir ainda mais os graus

de liberdade do sistema com o objetivo de se ter uma expressao para a funcao de particao

com base na qual se escrevera a energia livre do sistema e serao obtidas as expressoes para

grandezas termodinamicas. Tais procedimentos contribuem para a mplificacao das equacoes

envolvidas e surge como ferramental de extrema utilidade para a obtencao de solucoes, mesmo

que aproximadas, de modelos tais como o de Ising.

2.5 Modelo de Ising

Com o objetivo de interpretar a origem do campo molecular em sistemas magneticos

(HEISENBERG, 1928) propos uma explicacao para o surgimento do mesmo atraves da introducao

do conceito de interacao de troca. A base para tal descricao e a aplicacao da mecanica quantica

a um sistema com dois eletrons, por exemplo (BUSCHOW; BOER, 2003).

A funcao de onda que descreve o par de eletrons (os resultados podem ser generalizado

para um sistema com N partıculas) e composta por uma parte espacial e outra referente ao spin

de cada eletron. Ao se calcular os autovalores de energia do par, encontra-se que os mesmos

dependem do potencial coulombiano, que descreve a interacao eletromagnetica dos mesmos.

Adicionado aos termos referentes a energia do sistema em seu estado fundamental e a ener-

gia referente a interacao coulombiana esta um termo associado a interacao de troca, referente

ao spin de cada eletron. O sinal dessa interacao, se positiva ou negativa, dependera da sime-

tria/assimetria da funcao de onda associada ao sistema. Tal interacao e definida a partir da

24

hamiltoniana de Heisenberg:

H = −J∑〈i,j〉

Si · Sj

= −J∑〈i,j〉

(Sxi Sxj + Syi S

yj + Szi S

zj ), (2.47)

em que J e a interacao de troca entre os spins Si e Sj, Sn sao as componentes dos spins nas

direcoes x, y, z, e a soma e feita sobre os vizinhos mais proximos. O modelo de Heisenberg,

definido pela Equacao (2.47) e isotropico. Para descrever um sistema com spins que apontam

para uma direcao privilegiada, direcao z por exemplo, ou que apresentam uma forte anisotropia,

a Equacao (2.47) reduz-se a:

H = −J∑〈i,j〉

Szi Szj , (2.48)

que e chamada de hamiltoniana Ising e e utilizada para descrever um grande numero de sistemas

fısicos.

Essa hamiltoniana foi proposta por Wilhelm Lenz (1888-1957) ao seu aluno de doutorado,

Ernst Ising (1900-1998), no inıcio dos anos de 1920 (HUANG, 1987; SALINAS, 1997). Em 1925

(ISING, 1925), Ising publicou a solucao exata para este modelo um uma dimensao, chegando

a conclusao de que o mesmo nao apresenta transicao de fase para T > 0. Posteriormente,

Lars Onsager (1903-1976, laureado com o Premio Nobel de Quımica, em 1968) demonstrou

nao somente que tal modelo apresenta transicao de fase um duas dimensoes como resolveu

exatamente o modelo de Ising 2D na ausencia de campo magnetico externo numa rede quadrada

(ONSAGER, 1944).

De forma simplificada, para explicar o comportamento fısico de um sistema que passa

de um estado ferromagnetico (ou antiferromagnetico) para um estado paramagnetico, uma

transicao ordem-desordem, respectivamente, tal modelo lanca mao de variaveis estatısticas

denominadas genericamente de spins, que podem ser interpretadas como vetores classicos

unitarios na mesma direcao do momento magnetico de atomos que compoem uma rede regular,

e que sao colineares, podendo assumir apenas dois estados, por exemplo, +z ou −z, adotando,

dessa forma, a direcao z como a de orientacao dos momentos magneticos.

Nesta abordagem simples, o estado ordenado, ou como discutido na Secao 2.7, o estado

“mais simetrico”, e aquele no qual os spins alinham-se todos numa mesma direcao, daı tem-se

o ferromagnetismo; ou quando os spins alinham-se todos em direcoes antiparalelas, daı tem-

se o antiferromagnetismo. So que sabia-se, da experiencia, que, sob certas condicoes, como

25

aumento de temperatura, tais sistemas perdiam esse ordenamento alcancando um estado no

qual seus momentos magneticos estariam orientados de forma aleatoria (tal ordenamento ferro-

antiferromagnetico e exemplificado nas Figuras 2.8(a) e 2.8(b)). Uma das formas de incorporar

tal comportamento num modelo de variaveis discretas tais como os spins seria propor uma

interacao de curto alcance entre eles de forma, por meio de tal interacao, em baixas temperatu-

ras, o ordenamento, seja ele ferromagnetico ou antiferromagnetico, favorecesse a minimizacao

da energia do sistema. Tal interacao teria intensidade consideravel entre um spin num sıtio i

de rede regular e seus vizinhos mais proximos. Essa interacao de curto e alcance e conhecida

como interacao de troca.

Na pratica isso significa considerar que, se o objetivo e descrever o ferromagnetismo, todos

os spins alinhados numa so direcao e sentido (numa idealizacao), um arranjo no qual os spins

estivessem alinhados de forma antiparalela maximizaria a energia do sistema e seria, portanto,

altamente improvavel. Para o ferromagnetismo seria algo do tipo:

• ↓ ↑, energia maxima.

• ↑ ↓, energia maxima.

• ↑ ↑, energia mınima.

• ↓ ↓, energia mınima.

Matematicamente, uma construcao tal como a esbocada acima pode ser expressa, e assim o

foi, com uma hamiltoniana identica a definida pela Equacao (2.48), com Szi = σi:

H = −∑〈i,j〉

Jijσi · σj, (2.49)

em que Jij e a energia de troca, que pode variar de sıtio a sıtio, σi = ± 1 sao as variaveis de

spins e a soma 〈· · · 〉 estende-se pelos vizinhos mais proximos. Para o caso ferromagnetico, a

energia e minimizada se Jij > 0, sendo que para o caso antiferromagnetico, minimiza-se a

energia se Jij < 0.

A hamiltoniana da Equacao (2.49) foi construıda para a descricao de um sistema ferro-

magnetico na ausencia de campo magnetico externo e parte da analise fenomenologica do pro-

blema em questao, porem ela, por si, nao nos diz quais as propriedades termodinamicas do

sistema nem pode informar se o mesmo passa ou nao por uma transicao de fase em temperatura

finita. Essas informacoes podem ser extraıdas da funcao energia livre do sistema (STANLEY,

1971; HUANG, 1987; YEOMANS, 1992), que por sua vez, depende da funcao de particao, Z , de

26

forma que:

Z =∑σi=±1

e−βH , (2.50)

F = −kBT lnZ, (2.51)

em que β ≡ 1/kBT , kB e a constante de Boltzmann e T e a temperatura do sistema.

Numa rede regular de spins, ha uma infinidade deles, o que torna o trabalho de resolucao

das Equacoes (2.50) e (2.51) quase impraticavel. Algumas tecnicas de aproximacao sao ne-

cesssarias, mas ha outros artifıcios matematicos que foram uteis na busca de solucoes exatas

tanto para o modelo de Ising em uma dimensao (a “Cadeia de Ising”), quanto para o modelo

de Ising numa rede quadrada na ausencia de campo magnetico externo. Na proxima secao sera

mostrada a solucao exata obtida por Ising (ISING, 1925) para o modelo em uma dimensao.

2.5.1 Solucao para o modelo de Ising em uma dimensao

Para o modelo de Isnig 1D em presenca de campo magnetico externo h, a hamiltoniana

e descrita como:

H = −N∑i=1

Ji,i+1σiσi+1 − hN∑i=1

σi. (2.52)

Impondo-se condicoes de contorno periodicas, deve-se ter que σN+1 = σ1, considerando-

se que ha N spins dispostos numa circunferencia, por exemplo. Considerando-se que a energia

de troca e a mesma para cada par i, j, deve-se ter Jij ≡ J . Dessa forma, a hamiltoniana da

Equacao (2.52) pode ser reescrita da seguinte forma:

H = −JN∑i=1

σiσi+1 − hN∑i=1

σi. (2.53)

Dessa forma, a funcao de particao e escrita, de acordo com a Equacao (2.50) da seguinte

forma:

Z =∑σ1

· · ·∑σN

exp β[J∑i

σiσi+1 +1

2h

N∑i=1

(σi + σi+1)], (2.54)

em que β ≡ 1/kBT . A introducao de uma matriz, conhecida como matriz de transferencia,

e util para a obtencao dos valores de energia que serao utilizados para o calculo da funcao de

27

particao. Os elementos dessa matriz P sao dados por:

〈σ|P |σ′〉 = expβ[Jσσ′ + h(σ + σ′)/2], (2.55)

de forma que, para o modelo de Ising de spin 1/2, levando-se em conta as quatro configuracoes,

↑ ↑, ↓ ↓, ↑ ↓ e ↓ ↑, sendo que sera usada a notacao ↑= +1 e ↓= −1, tem-se, para cada

elemento da matriz P:

〈1|P |1〉 = eβ(J+h)

〈−1|P | − 1〉 = eβ(J−h)

〈1|P | − 1〉 = 〈−1|P |1〉 = e−βJ ,

sendo que a propria matriz P e dada por:

P =

(eβ(J+h) e−βJ

e−βJ eβ(J−h)

). (2.56)

Com base na Matriz (2.56), a Equacao (2.54) e reescrita como:

Z =∑σ1

· · ·∑σN

〈σ1|P |σ2〉〈σ2|P |σ3〉 · · · 〈σN−1|P |σN〉〈σN |P |σ1〉

=∑σ1

〈σ1|PN |σ1〉

= Tr(PN). (2.57)

Os autovalores de energia sao obtidos por meio da diagonalizacao da matriz PN , na forma:

det(P− λI) = 0, (2.58)

em que λ representa cada um dos dois autovalores de energia, a saber λ± e I e a matriz identi-

dade. Com base na Matriz (2.56), utilizando-se a Equacao (2.58), tem-se:

det(P− λI) = λ2 − λ (2eβJ cosh(βh)) + 2 sinh(2βJ) = 0. (2.59)

Resolvendo-se a Equacao (2.59) em termos de λ, tem-se

λ± = eβJ[

cosh(βh)±√

cosh2(βh)− 2e−2βJ sinh(2βJ)]. (2.60)

28

Dessa forma, em termos de λ±, o traco da matriz PN e dado por:

Tr(PN) = λN+ + λN− = λN+

(1 +

(λ−λ+

)N),

de modo que a funcao de particao do sistema e dada por:

Z = λN+

(1 +

(λ−λ+

)N). (2.61)

No limite termodinamico, (λ−/λ+)N → 0 de forma que:

Z = λN+ . (2.62)

Assim, a energia livre de Gibbs (reduzida), a partir da qual serao obtidas todas as outras

grandezas termodinamicas do sistema, e escrita da seguinte forma:

g(T, h) = −kBT limN→∞

1

NlnZ = −kBT ln(λ+), (2.63)

ou seja, substituindo-se a Equacao (2.60) na Equacao (2.63), tem-se:

g(T, h) = −J − kBT ln

[cosh(βh) +

√cosh2(βh)− 2e−2βJ sinh(2βJ)

]. (2.64)

Para obter a expressao para o parametro de ordem, a magnetizacao, m, deve-se derivar a

Equacao (2.64) em relacao a h, de forma que:

m = 〈σ〉 = −

(∂g(T, h)

∂h

)T=const

=sinh(βh)√

cosh2(βh)− 2e−2βJ sinh(2βJ), (2.65)

ou seja, se h = 0, m = 0, logo, na ausencia de campo magnetico externo o modelo de Ising

unidimensional nao apresenta magnetizacao espontanea em T > 0.

A solucao para o modelo de Ising em uma rede quadrada foi obtida por Onsager em 1944

(ONSAGER, 1944), porem seus detalhes nao serao mostrados neste trabalho, mas podem ser

encontrados em Huang (1987). Quanto ao modelo de Ising em tres ou mais dimensoes, ha di-

versas tecnicas analıticas e/ou computacionais que permitem, ao menos, um estudo aproximado

do comportamento das grandezas fısicas a ele associadas. Uma dessas e a Tecnica do Ope-

rador Diferencial, que e descrita e aplicada a tal modelo na proxima secao e cujos resultados

29

principais serao comparados aqueles obtidos por meio de outras aproximacoes.

2.6 Teoria de Campo Efetivo

2.6.1 Consideracoes Gerais

Introduzida por Honmura e Kaneyoshi (1979) para a descricao de modelos de spins, a

Teoria de Campo Efetivo (EFT, do ingles Effective Field Theory) vem se consolidando como

das principais tecnicas para a resolucao de problemas que envolvem a aplicacao de modelos tais

como o Ising. Aliada a Tecnica do Operador Diferencial, que sera explicitada na proxima secao,

essa tecnica consiste em levar em conta uma rede com N spins interagentes e separa-la em duas

partes diferentes: uma representando um cluster (aglomerado) com n spins, denominada Ω,

e outra com os spins restantes, que nao pertencem ao aglomerado Ω, denominada Ω′, como

mostra um esboco feito na Figura 2.6.

Figura 2.6: Representacao em duas dimensoes de N spins interagentes. As propriedades fısicasdos spins do aglomerado Ω sao descritas por meio da hamiltonianaHΩ.

A partir da teoria desenvolvida por Honmura e Kaneyoshi, pode-se escrever a hamiltoniana

total do sistema, H, como uma soma entre as hamiltonianas do cluster, HΩ, e a hamiltoniana

dos spins nao pertencentes ao cluster,H′Ω′:

H = HΩ +H′Ω′ . (2.66)

No ensemble canonico, a media de uma grandeza termodinamica Y qualquer e definida

como (REICHL, 1998; SALINAS, 1997):

〈Y 〉 =Tr[Y e−βH]

Z. (2.67)

A expressaoA(Ω) representa uma funcao de variaveis de spins pertencentes ao aglomerado

e O(Ω′) e uma funcao arbitraria de variaveis de spins externa ao aglomerado, definida para um

30

numero qualquer de spins. Em geral, media do produto entre as grandezas A e O e dada por

(HONMURA; KANEYOSHI, 1979; KANEYOSHI et al., 1981):

〈O(Ω′)A(Ω)〉 =Tr O(Ω′)A(Ω)e−βH

Tr e−βH. (2.68)

Levando-se em consideracao a hipotese de queHΩ eH′Ω′ comutem, o traco sobre a Equacao

(2.78) pode ser efetuado da seguinte forma: primeiro, considera-se o traco sobre os spins per-

tencentes ao aglomerado, TrΩ; em seguida, sobre os spins da vizinhanca nao pertencentes ao

aglomerado, TrΩ′ . Portanto, tem-se

〈O(Ω′)A(Ω)〉 =TrΩ′ [e

−βHΩ′O(Ω′)TrΩ(A(Ω)e−βHΩ)]

Tr e−βH, (2.69)

que ainda pode ser reescrita como

〈O(Ω′)A(Ω)〉 =TrΩ′ [e

−βHΩ′O(Ω′)TrΩ e−βHΩ TrΩ(A(Ω)e−βHΩ )

TrΩ e−βHΩ]

Tr e−βH. (2.70)

A aplicacao das propriedades do operador traco permite escrever a Equacao ((2.80)) como

〈O(Ω′)A(Ω)〉 =Tr[e−βHO(Ω′)TrΩ(A(Ω)e−βHΩ )

TrΩ e−βHΩ]

Tr e−βH. (2.71)

Da Equacao ((2.81)), tem-se que a media termica de A(Ω) em e escrita como:

〈A(Ω)〉 =

⟨TrΩ(A(Ω)e−βHΩ)

TrΩ e−βHΩ

⟩. (2.72)

TrΩ representa o traco parcial tomado sobre as variaveis de spins especificadas pela Ha-

miltoniana HΩ e 〈· · · 〉 a media termodinamica usual efetuada com a Hamiltoniana total H do

sistema. A Equacao ((2.82)) e valida para qualquer valor de spin-S (SUZUKI, 1965; KANEYOSHI

et al., 1981) e qualquer dependencia, com os spins localizados, do funcional A(Ω), desde que

a comutacao entre HΩ e HΩ′ se verifique. Particularmente, para os sistemas classicos de spins

tipo Ising essa condicao e satisfeita. Para modelos quanticos, generalizacoes de (2.82) podem

ser obtidas a exemplo do modelo de Ising na presenca de um campo transverso (KANEYOSHI;

JASCUR; FITTIPALDI, 1993).

A Equacao (2.82) e exata, porem ha dificulades na manipulacao analıtica da mesma. Pro-

postas para a solucao de tal problema surgiram de diversos trabalhos que propuseram outros

tipos de teorias de Campo Efetivo (HONMURA; KANEYOSHI, 1979; KANEYOSHI; JASCUR; FITTI-

PALDI, 1993; FITTIPALDI, 1994; FITTIPALDI; SARMENTO; KANEYOSHI, 1992) tendo como ponto

31

de partida a identidade de Callen-Suzuki (CALLEN, 1963; SUZUKI, 1965).

A Tecnica do Operador Diferencial, fundamental para o desenvolvimento das equacoes que

resultam da EFT sera apresentada na proxima secao. Seus resultados serao aplicados, como

exemplo, ao modelo de Ising de spin 1/2 via EFT com clusters com um e, na secao seguinte,

dois spins.

2.6.2 Tecnica do Operador Diferencial e EFT para aglomerados com 1spin

A Tecnica do Operador Diferencial (DOT, do ingles Differential Operator Technique)

foi inicialmente utilizada para resolver problemas com modelos de spins por Honmura e Ka-

neyoshi (1979) no modelo de Ising de spin 1/2. Posteriormente, tal tecnica foi generalizada

para sua utilizacao em modelos de spin S arbitrario (TUCKER, 1994). Essa tecnica consiste

na utilizacao de funcoes exponenciais escritas em termos de operadores diferenciais lineares

com o intuito de facilitar a resolucao das equacoes que surgem de modelos como o de Ising. Tal

tecnica e util pela facilidade de se manipular funcoes exponenciais em varios tipos de operacoes

matematicas.

Uma funcao exponencial escrita em termos de um produto entre uma variavel λ e um ope-

radorDx ≡ ∂/∂x, pode ser expandida em series de Taylor em torno do ponto λ = 0 da seguinte

forma:

eλDx =∞∑n=0

λn

n!

∂n

∂xn. (2.73)

Uma funcao f(x + λ) tambem pode ser escrita em termos de uma expansao em series de

potencias e, como sera visto logo abaixo, tal funcao tambem pode ser escrita em termos do

operador diferencial. Em series de Taylor, em torno do ponto λ = 0, f(x+ λ) e escrita como:

f(x+ λ) = f(x) +f ′(x)λ

1!+f ′′(x)λ2

2!+ · · ·

f(x+ λ) =∞∑n=0

λn

n!

(∂n

∂xnf(x)

)x=0

. (2.74)

Dessa forma, pode-se escrever f(x + λ), em x = 0, ao se comparar as Equacoes (2.73) e

(2.74), da seguinte forma:

f(x+ λ) = eλDx f(x). (2.75)

32

Uma manipulacao matematica como a feita na Equacao (2.75) foi utilizada por Honmura

e Kaneyoshi (1979) para obter algumas propriedades termodinamicas do modelo de Ising de

spin 1/2. Nesse texto, a utilizacao da tecnica em modelos de spins sera ilustrada por meio do

calculo da magnetizacao por sıtio no modelo de Ising puro de spin 1/2, considerando-se uma

aproximacao com aglomerado de um spin. Para esse aglomerado, a hamiltoniana do modelo,

na ausencia de campo magnetico externo, e escrita como:

H1 = −J σ1

Z∑j=1

σj, (2.76)

em que o somatorio e realizado sobre os vizinhos mais proximos do spin 1, numa rede cujo

numero de coordenacao e Z, e as variaveis de spins σi assumem os valores ±1. A hamiltoniana

que descreve todo o sistema pode ser dividida em duas partes:

H = Hi +H1, (2.77)

em que a hamiltoniana H1 descreve o aglomerado com um spin, enquanto que a hamiltoniana

Hi descreve toda a vizinhanca do spin pertencente ao aglomerado considerado. No emsemble

canonico, a media termica de um observavel O(1), pertencente ao aglomerado com um spin, e

escrita da seguinte forma:

〈O(1)〉 =Tr O(1)e−βH

Tr e−βH. (2.78)

Na hipotese de as hamiltonianas Hi e H1 comutarem, pode-se reescrever a Equacao (2.78)

da seguinte forma:

〈O(1)〉 =Tri[e

−βHiTr1(O(1)e−βH1)]

Tr e−βH, (2.79)

em que o operador Tr foi dividido em Tri e Tr1. A Equacao (2.79) pode, ainda, ser reescrita

como:

〈O(1)〉 =Tri[e

−βHiTr1 e−βH1 Tr1(O(1)e−βH1 )

Tr1 e−βH1]

Tr e−βH. (2.80)

A Equacao (2.80) pode ser reescrita, com base na aplicacao das propriedades do operador

traco, da seguinte forma:

〈O(1)〉 =Tr[e−βH Tr1(O(1)e−βH1 )

Tr1 e−βH1]

Tr e−βH, (2.81)

ou seja, da Equacao (2.81), ve-se que a media termica de um observavel O(1), relativamente a

33

um dado aglomerado de spins (nesse caso, um spin), pode ser escrita como:

〈O(1)〉 =

⟨Tr1(O(1)e−βH1)

Tr1 e−βH1

⟩. (2.82)

A Equacao (2.82) mostra que a expressao para calculo da media termica de um observavel

O(1) descrito relativamente a uma restrita amostra do sistema pode ser obtida conhecendo-se

apenas a hamiltoniana referente a essa amostra.

Quando o observavel e, por exemplo, a magnetizacao media por sıtio, 〈O(1)〉 = 〈σ1〉 =

m1, a mesma e calculada da seguinte forma:

m1 ≡ 〈σ1〉 =⟨Trσ1σ1 e

−βH1

Trσ1 e−βH1

⟩. (2.83)

Levando-se em conta os dois estados que o spin σ1 assume, tem-se:

m1 =⟨eK Z∑

j=1σj− e

−KZ∑j=1

σj

eK

Z∑j=1

σj+ e

−KZ∑j=1

σj

⟩,

m1 =⟨

tanh (KZ∑j=1

σj)⟩, (2.84)

sendo que K = β J e β ≡ 1/kBT , em que kB e a constante de Boltzmann. A Equacao (2.84) e

conhecida como identidade de Callen-Suzuki (CALLEN, 1962; CALLEN, 1963; SUZUKI, 1965).

De acordo com a Equacao (2.75), definida em termos do operador diferencial, a magnetizacao

media, m1, pode ser reescrita na forma:

m1 =⟨eK

Z∑j=1

σj Dxtanh (x)|x=0

⟩, (2.85)

em que, nesse caso, λ = KZ∑j=1

σj . Como e∑iλi

=∏i

eλi , e a media termica da funcao tanh (x)

da a propria funcao, a Equacao (2.85) e reescrita como:

m1 =⟨ Z∏

i

eKσj Dx⟩

tanh (x)|x=0. (2.86)

O calculo da magnetizacao por sıtio, nesse caso, e facilitado pela expansao do produtorio na

Equacao (2.86) somente em torno dos vizinhos mais proximos do spin σ1. Numa rede quadrada,

por exemplo, seriam quatro produtos (Z = 4) da funcao exponencial. Porem essa operacao e

ainda facilitada ao se escrever a funcao exponencial em termos de funcoes senos e cossenos

hiperbolicos. Isso e feito por meio da identidade de Van der Waerden para modelos de spins.

34

Abaixo sera deduzida a identidade para modelos de spin 1/2, no qual σ = ±1.

Ao se considerar uma exponencial escrita em termos de um parametro λ qualquer e uma

variavel de spin σi = ±1, tem-se que, por expansao em serie de Taylor em torno do ponto

λ = 0:

eλσi = 1 + λσi +(λσi)

2

2!+

(λσi)3

3!+

(λσi)4

4!+

(λσi)5

5!+ · · · (2.87)

Para sistemas de spin 1/2 tem-se que σni = 1, se n for par, e σni = σi, se n for ımpar, de

forma que, reagrupando-se os termos pares e ımpares na Equacao (2.87), tem-se:

eλσi =(

1 +λ2

2!+λ4

4!+ · · ·

)+ σi

(λ+

λ3

3!+λ5

5!+ · · ·

). (2.88)

O primeiro termo do lado direito da Equacao (2.88) corresponde a expansao em series da

funcao cosh (λ), enquanto que o segundo termo do lado direito corresponde a expansao em

series da funcao sinh (λ), de forma que, reescrevendo-se a Equacao (2.88), tem-se:

eλσi = cosh (λ) + σi sinh (λ). (2.89)

A Equacao (2.89) e conhecida como identidade de Van der Waerden para sistemas de spin

S = 1/2 (FITTIPALDI, 1994) e e geralmente utilizada para facilitar a expansao das equacoes

que surgem do calculo de grandezas termodinamicas em modelos como o de Ising. Com a

utilizacao dessa identidade, levando-se em conta que, no presente caso, λ = KDx, pode-se

reescrever a Equacao (2.86) como:

m1 =⟨ Z∏

i

[cosh (KDx) + σi sinh (KDx)

]⟩tanh (x)|x=0. (2.90)

A expansao do produtorio na Equacao (2.90) sobre os vizinhos mais proximos do spin i do

aglomerado e a posterior acao do operador diferencial sobre a funcao tanh (x)|x=0 determinam

a equacao para calculo da magnetizacao por sıtio para o sistema considerado. A pergunta que

se faz agora e: “Estando os operadores Dx no argumento das funcoes cosh e sinh, como eles

agem sobre uma tal funcao f(x) = tanh (x), por exemplo?”. A resposta encontra-se na propria

definicao da acao do operador diferencial por meio de funcoes exponenciais, Equacao (2.75) e,

levando-se em conta que pode-se escrever as funcoes hiperbolicas em termos de exponenciais,

35

tem-se:

cosh (KDx) tanh (x)|x=0 =eKDx + e−KDx

2tanh (x)|x=0

=tanh (K) + tanh (−K)

2= 0,

(2.91)

sinh (KDx) tanh (x)|x=0 =eKDx − e−KDx

2tanh (x)|x=0

=tanh (K)− tanh (−K)

2= tanh (K),

ou seja, funcoes pares, como cosh, cujo argumento contem operadores, agindo sobre tanh, dao

zero como resultado, enquanto funcoes ımpares, como o sinh, agindo sobre tanh, dao a propria

funcao (cujo argumento e o λ que multiplica o operador). Esse resultado pode ser generalizado

para qualquer funcao ımpar f(x) de forma que (ALBUQUERQUE; ALVES; ARRUDA, 2005):

Φ(λDx)par f(x)|x=0 = 0,

(2.92)

Φ(λDx)impar f(x)|x=0 = f(λ).

Usando-se as Equacoes (2.91) e o desacoplamento desenvolvido por Honmura e Kaneyoshi

(1979), equivalente ao desacoplamento de Zernike (ZERNIKE, 1940), de forma que

〈σiσjσk〉 ≈ 〈σi〉 · 〈σj〉 · 〈σk〉 ≈ m31, (2.93)

tem-se, para a magnetizacao m1:

m1 =Z−1∑

n=1, n impar

A1,n(K)mn1 . (2.94)

A partir da Equacao (2.94) pode-se tracar o diagrama M -T ou obter a temperatura crıtica,

da seguinte forma: quando T → Tc, m1 → 0, de forma que:

A1,1(K) = 1, (2.95)

em que o valor de Tc e obtido por meio da resolucao da Equacao (2.95).

Levar em conta a aproximacao de Honmura e Kaneyoshi significa desprezar as funcoes

correlacoes de ordens mais altas entre spins, fazendo com que que as flutuacoes em torno da

media sejam iguais a zero. Este tipo de aproximacao tambem e feita quando se considera a

abordagem de campo medio (HONMURA; KANEYOSHI, 1979), porem a grande difernca para a

36

abordagem adotada neste trabalho esta no fato de que sao calculadas aqui, de forma exata, as

interacoes entre o spin i pertencente ao aglomerado considerado e seus vizinhos mais proximos.

Uma outra possibilidade de refinar um pouco mais os resultados, para aglomerados com dois

ou mais spins no modelo de Ising de spin 1/2, foi desenvolvida por Taggart e Fittipaldi (1982),

onde os mesmos levaram em conta as correlacoes entre alguns dos vizinhos mais proximos dos

spins pertencentes ao aglomerado. Tais consideracoes possibilitaram melhores resultados ob-

tidos pelas aproximacoes envolvendo a EFT tanto para obtencao da temperatura crıtica quanto

para a obtencao dos expoentes crıticos (ver Jurcisin, Bobak e Jascur (1996) para maiores deta-

lhes). Neste trabalho essas correlacoes serao desprezadas e, mesmo com tal limitacao, obtemos

resultados muito bons tanto do ponto de vista qualitativo quanto do ponto de vista quantitativo

e o principal responsavel pela melhora desses resultados (em especial para o diagram T -q das

ligas Fe-Al) e a adocao de um modelo com S = 2.

A EFT para aglomerados com um spins (que sera denominada como EFT-1) pode ser uti-

lizada para estudo de sistemas magneticos com diluicao por sıtio (por exemplo, as ligas Fe-Al)

quanto para o estudo de sistemas magneticos com ligacoes mistas (tais como as ligas Fe-Mn

ou Fe-Cr). Neste trabalho sao apresentados resultados referentes a utilizacao da EFT no es-

tudo do modelo de Ising de spin 2, bem como e aplicada tambem ao modelo de Ising com

ligacoes mistas com o objetivo de descrever as propriedades magneticas das ligas Fe-Al, Fe-Mn

e Fe-Al-Mn.

2.6.3 EFT para aglomerados com dois spins

A utilizacao de aglomerados com um spin e de extrema utilidade para a descricao das

propriedades termodinamicas de sistemas magneticos e vem sendo aplicada com sucesso na

descricao de diagramas de fase de ligas tais como a Fe-Al (FREITAS, 2012; FREITAS; ALBUQUER-

QUE; MORENO, 2012; FREITAS et al., 2013; FREITAS; ALBUQUERQUE; MORENO, 2014). Porem,

para uma melhor descricao das propriedades fısicas de sistemas magneticos, especialmente de

valores da temperatura crıtica expoentes crıticos e concentracoes crıticas, a utilizacao de um

maior numero de spins no cluster e fundamental.

A grande vantagem da EFT relativamente a Teoria de Campo Medio, por exemplo, e que

pode-se distinguir a topologia de rede ja a partir da introducao de um aglomerado com dois

spins na EFT, como mostram as ilustracoes da Figura 2.7. Nesta secao serao descritas, de forma

breve, as equacoes relacionadas a aplicacao da EFT via Tecnica do Operador Diferencial para

aglomerados com dois spins no modelo de Ising na ausencia de campo magnetico externo. A

seguir, valores obtidos para a temperatura crıtica, em diversas redes, serao comparados, nos

37

casos de clusters com um (EFT-1) e dois (EFT-2) spins.

Figura 2.7: clusters com dois spins para quatro tipos diferentes de redes: a) rede kagome, z = 4;a’) rede quadrada, z = 4; b) rede triangular, z = 6; b’) rede cubica simples, z = 6.

Para cluster com dois spins, a hamiltoniana do sistema e descrita da seguinte forma:

H2 = −Jσ1σ2 − Jσ1

∑j′

σj′ − Jσ2

∑j′′

σj′′ . (2.96)

A magnetizacao por sıtio e dada pela equacao m2 = 12〈σ1 + σ2〉 e, utilizandos-e a Equacao

(2.82), m2 e dada por:

m2 =

⟨Trσ1+σ2[

12(σ1 + σ2)e−βH2 ]

Trσ1+σ2[e−βH2 ]

⟩. (2.97)

Resolvendo-se a Equacao (2.97), tem-se (FITTIPALDI, 1994; ALBUQUERQUE; FITTIPALDI,

1994):

m2 =

⟨senh (u+ v)

cosh(u+ v) + e−2K12 cosh(u− v)

⟩, (2.98)

em que u ≡ K∑

i′ σi′ , v ≡ K∑

i′′ σi′′ e K ≡ J/kBT . A Equacao (2.98) e exata, muito em-

bora a maior dificuldade em resolve-la esta na presenca das variaveis de spins nos argumentos

das funcoes hiperbolicas. Uma forma de resolver tal problema, e empregar a tecnica do ope-

rador diferencial introduzida na Secao 2.6.2. Expandindo-se a Equacao (2.98) em termos dos

operadores diferenciais, tem-se:

m2 =

⟨∏j 6=1

[cosh(KDx) + σjsenh (KDx)]∏j 6=2

[cosh(KDy) + σjsenh (KDy)]×

∏k 6=1,2

[cosh(KDx +KDy) + σksenh (KDx +KDy)]

⟩g(x, y)

∣∣∣∣x,y=0

, (2.99)

em que o produtorio e realizado sobre os vizinhos mais proximos dos spins pertencentes ao

cluster considerado, sendo que o ultimo termo a direita da equacao (2.99) surge somente quando

38

Tabela 2.4: Comparacao entre os valores da temperatura crıtica reduzida, kBTc/J , obtidos pararedes diversas via EFT-2. Fonte dos dados (FITTIPALDI, 1994; ALBUQUERQUE; FITTIPALDI,1994; DIAS, 2009) e referencias dentro desses textos.

Numero decoordenacao/rede

EFT-1 EFT-2 MFA exato/series

Kagome, z = 4 3,0898 2,083 2,882 2,143Quadrada, z = 4 3,0898 2,794 2,882 2,269Triangular, z = 6 5,0733 4,101 4,926 3,641Cubica simples,z = 6

5,0733 4,852 4,926 4,511

os dois spins do cluster tem vizinhos em comum. A funcao g(x, y) e dada por:

g(x, y) =senh (x+ y)

cosh(x+ y) + e−2K12 cosh(x− y),

sendo que ela satisfaz a seguinte propriedade: g(x, y) = −g(−x,−y). Devido as propriedades

do operador diferencial, conclui-se que apenas funcionais ımpares (Φ(D)ımpar), atuando sobre

uma funcao g(x, y), contribuem para a expressao (2.99), de forma que:

Φpar(Dx, Dy)g(x, y) |x=0,y=0 = 0. (2.100)

A Equacao (2.99) constitui a base do formalismo da EFT-2 e sua expansao permite obter a

expressao para m(T ) bem como, quando m → 0, obtem-se uma expressao analoga a Equacao

2.95 para calculo da temperatura crıtica, Tc, do sistema em questao. Na Tabela X sao mostrados

valores obtidos para a temperatura crıtica em diversos tipos de redes e os resultados da EFT-1,

EFT-2 e MFA-1 (Teoria de Campo Medio, do ingles Mean Field Approximation, com aglome-

rado com um spin) sao comparados. Ve-se que, aumentando-se o numero de spins para apenas

dois, ja ha um ganho consideravel nos resultados, tanto em comparacao com a EFT-1 quanto

com a MFA.

2.7 Desordem magnetica

O termo ordem geralmente esta associado a alguma simetria apresentada por um sis-

tema fısico, ou seja, alguma propriedade que permanece inalterada mesmo apos algum tipo

de transformacao a qual tal sistema seja submetido ou mudancas em algumas propriedades

do mesmo (KITTEL, 1996; ASHCROFT; MERMIN, 1976). No caso de sistemas magneticos, por

exemplo, a orientacao dos momentos magneticos dos atomos constituintes pode determinar a

ordem ou desordem do sistema. Duas exemplificacoes dessa caracterıstica sao explicitadas nas

39

Figuras 2.8(a) e 2.8(b). Percebe-se, intuitivamente, que ha um ordenamento desses momen-

(a) Estado fundamental de uma rede bidimensionalde spins numa configuracao ferromagnetica.

(b) Estado fundamental de uma rede bidimensionalde spins numa configuracao antiferromagnetica.

Figura 2.8: Representacao idealizada de duas configuracoes ordenadas de spins numa rederegular, na qual os mesmos assumem uma so direcao espacial.

tos magneticos (representados pelas setas) associados a cada sıtio da rede em relacao a uma

translacao espacial, tanto no caso ferro quanto no caso antiferromagnetico. Ha uma simetria

de orientacao dos momentos magneticos, que aqui serao denominados genericamente de spins,

mesmo quando ha uma translacao de eixo. Essa simetria se mantem ate certo valor de tempe-

ratura do sistema, a saber, temperatura de Curie (Tc), no caso ferromagnetico, e temperatura

de Neel (TN ), no caso antiferromagnetico (BUSCHOW; BOER, 2003; YEOMANS, 1992), ou seja,

mantem-se a simetria ate que uma variavel de estado assuma certo valor. Acima dos valores por

assim dizer “crıticos” (T > Tc ou T > TN ), o sistema passa a ser desordenado relativamente

a orientacao dos spins da rede, mesmo que mantenha certo ordenamento em relacao a outras

propriedades, tais como propriedades estruturais (mesmo que mantenha sua estrutura cristalina

inalterada, por exemplo).

Muito embora a presenca de ordenamento possa facilitar o estudo das propriedades fısicas

de diversos materiais, efeitos diversos e podem ocorrer quando tais sistemas apresentam de-

sordem, como e o caso dos sistemas magneticos desordenados (DOTSENKO, 2001; STAUFFER;

AHARONY, 1985). Diferentes fases e/ou tipos exoticos de ordenamento podem surgir especial-

mente quando uma simetria de translacao dos spins da rede e quebrada, dando lugar a um vasto

campo de pesquisa, e o estudo dessas propriedades pode ser de extrema utilidade principalmente

para aplicacoes tecnologicas (MALKINSKI, 2012). Desse grande conjunto de possibilidades e

que vem crescendo, especialmente nas ultimas quatro decadas, o estudo das propriedades dos

sistemas magneticos desordenados, sendo que formulacoes teoricas e/ou fenomenologicas sao

propostas para explicar o comportamento de tais sistemas principalmente nas vizinhancas da

temperatura acima da qual eles apresentam destruicao da ordem magnetica.

Em uma rede regular de spins, como mostram as figuras 2.8(a) e 2.8(b), a ordem surge

40

principalmente devido a interacao magnetica entre um spin num sıtio i e seus vizinhos mais

proximos. Essa interacao mantem o ordenamento onde, no caso ferromagnetico, por exemplo,

todos os spins apontam para cima. Se essas ligacoes sao “enfraquecidas” ou “quebradas”, a rede

tera uma configuracao em que os spins remanescentes podem apontar em qualquer direcao, a

princıpio (YEOMANS, 1992). Uma forma de levar o sistema a um estado desordenado e, como

escrito anteriormente, elevar a temperatura do sistema, de forma que a energia termica seja

maior que a energia relacionada a interacao magnetica entre os spins da rede. Outra forma de

induzir a desordem magnetica e, numa rede de spins do tipo A, inserir spins de outro tipo B,

por exemplo (KITTEL, 1996). Sendo A um atomo magnetico (com momento magnetico nao

nulo), e B um atomo nao magnetico (com momento magnetico nulo), a insercao de atomos

B ira quebrar ligacoes magneticas, rompendo a ordem de longo alcance. Sendo B um atomo

magnetico cuja interacao com A e mais fraca da que a interacao entre atomos do tipo A, tanto a

desordem como outros tipos de ordenamento poderao ser induzidos. No primeiro caso tem-se

o fenomeno conhecido como diluicao magnetica do sistema. No segundo caso tem-se a mistura

de ligacoes, que em geral pode resultar em efeitos mais interessantes que no caso da diluicao

magnetica (LARA; DIOSA; LOZANO, 2013).

Do ponto de vista matematico, o ordenamento magnetico e caracterizado por um parametro

de ordem, grandeza que assume um valor diferente de zero no estado ordenado e igual a zero

no estado desordenado (STANLEY, 1971; YEOMANS, 1992; CHIMOWITZ, 2005). No caso ferro-

magnetico, o parametro de ordem e a magnetizacao por sıtio que, acima da temperatura crıtica,

Tc, se anula, sendo diferente de zero para T < Tc. Essa magnetizacao espontanea permanece

aproximadamente constante ate, em T proximo de Tc, cai continuamente e anula-se em T = Tc,

como mostra a Figura 2.9. O valor da temperatura crıtica na qual o parametro de ordem se anula

pode ser modificado, por exemplo, no caso de rede com atomos de um tipo A, pela insercao de

atomos de um tipo B, os quais podem quebrar, reduzir ou aumentar a intensidade das ligacoes

magneticas entre os spins correspondentes. Dessa forma, a diluicao de uma rede de spins, ou a

mistura de ligacoes pode alterar o valor da temperatura crıtica, Tc, bem como modificar a forma

como nao somente o parametro de ordem bem como outras grandezas fısicas variam com a

temperatura.

Em um sistema fısico real, a desordem pode ser induzida pela insercao de atomos nao

magneticos na rede, caso das ligas Fe-Al (YELSUKOV; VORONINA; BARINOV, 1992), de tipos

diferentes de atomos magneticos, caso das ligas Fe-Mn (KULIKOV; DEMANGEAT, 1997; FREI-

TAS; ALBUQUERQUE; MORENO, 2014), ou as duas coisas associadas, caso das ligas Fe-Mn-Al

e Fe-Ni-Mn (LARA et al., 2009; LARA; DIOSA; LOZANO, 2013). A forma como sao preparadas

as amostras, experimentalmente, tambem induz desordem (ZAMORA et al., 1997; RESTREPO;

41

0 10

1

M/M 0

T / T c

Figura 2.9: Variacao da magnetizacao reduzida como funcao da temperatura a campo magneticonulo. Observa-se que a magnetizacao mantem-se aproximadamente constante, caindo abrupta-mente a zero nas proximidades da temperatura crıtica, Tc.

ALCAZAR; GONZALEZ, 2000; ALCAZAR; PLASCAK; SILVA, 1988), a saber, que pode ser classifi-

cada em dois tipos distintos: desordem temperada ou quenched, e desordem recozida ou annea-

led. Elevar a temperatura da amostra e resfria-la rapidamente induz a desordem tipo temperada

(YELSUKOV; VORONINA; BARINOV, 1992), enquanto que o resfriamento lento induz desordem

do tipo recozida (BESNUS; HERR; MEYER, 1975). No primeiro caso, quando se trata de ligas

Fe-Al, por exemplo, os atomos de ferro e alumınio distribuem-se de maneira completamente

aleatoria numa rede cubica de corpo centrado. No segundo caso, nesse mesmo tipo de liga,

atomos de ferro e alumınio encontram-se dispostos, cada tipo, em sub-redes cubicas simples

(cada tipo numa sub-rede diferente) que se interpenetram formando uma rede cubica de corpo

centraddo, sendo que, desta forma, a distribuicao nao se da de maneira aleatoria (RESTREPO;

GONZALEZ; ALCaZAR, 1997).

Do ponto de vista teorico, o estudo das ligas com desordem temperada ou recozida e dife-

rente a comecar pela forma como se obtem a media de grandezas fısicas tais como a energia

livre do sistema (ALBUQUERQUE, 1996). No caso do modelo recozido, a energia livre media

e obtida por meio do ln〈Z〉s,c, em que Z e a funcao de particao do sistema e s e c indicam as

medias termica e configuracional, respectivamente. No caso do modelo temperado, a energia

livre media e obtida atraves da media 〈ln〈Z〉s〉c. Alem disso, uma distribuicao aleatoria simples

do tipo:

P (εi) = p δ(εi − 1) + (1− p) δ(εi), (2.101)

42

Tabela 2.5: Concentracao crıtica para sistemas diluıdos por sıtios, psc, e ligacoes, plc, para varia-das estruturas de redes. Fonte: (ALBUQUERQUE, 1996; STAUFFER; AHARONY, 1985).

Numero de coordenacao psc plcz = 2 1 1z = 4 0,593 0,5z = 6 0,312 0,247z = 8 0,246 0,178

em que εi representa a existencia (εi = 1) ou nao (εi = 0) de atomos magneticos na rede, com

probabilidades p e 1 − p, respectivamente, pode representar a distribuicao num sistema com

desordem temperada, algo que nao pode ser feito no caso recozido, em que a distribuicao de

atomos magneticos nao se da de forma aleatoria.

Alem dessas particularidades que dependem do sistema fısico ou do modo como amostras

sao preparadas, ha um ligacao direta entre a desordem magnetica e o problema de percolacao

(STAUFFER; AHARONY, 1985). A ocupacao dos sıtios de uma rede regular com atomos magneticos

forma aglomerados que, acima de um certo valor, chamado de concentracao crıtica (psc), ira se

estender por toda a rede produzindo a ordem de longo alcance. Esse ordenamento (que tambem

depende da temperatura, como se pode ver no grafico da Figura 2.9) provoca a existencia de

magnetizacao espontanea. Tal concentracao, geralmente descrita por uma distribuicao de pro-

babilidades do tipo da Equacao (2.101), depende do tipo de rede e dimensao espacial conside-

rada, como mostra a Tabela 2.5. Tal modelo descreve um tipo de arranjo aleatorio em redes

regulares que se da por meio da chamada diluicao por sıtios, em que o os atomos num material

dividem-se em magneticos (sıtio ocupado por um spin) e nao magneticos (sıtio vazio). Quando

ha diferentes atomos magneticos ocupando sıtios distintos da rede, diz-se que existe uma mis-

tura de ligacoes (mixed-bond), sendo que o valor da concentracao de diferentes ligacoes abaixo

do qual o sistema perde a magnetizacao espontanea depende da estrutura de rede e dos tipos de

materiais magneticos. Quando ha quebra de ligacoes, existe um valor crıtico associado (plc), ou

seja, um numero maximo de ligacoes que podem ser quebradas abaixo do qual o sistema nao

apresenta magnetizacao espontanea (diluicao por quebra de ligacoes).

O modelo de Ising com diluicao por sıtios e prototipo para a descricao do problema de

percolacao em sistemas magneticos. Neste trabalho serao descritas, especialmente, as propri-

edades do modelo de Ising de spin 2 com diluicao por sıtios, bem como as propriedades do

modelo de Ising de spin 1/2 com ligacoes mistas e os resultados serao aplicados a descricao de

diagramas de fases de ligas Fe-Al, Fe-Mn e Fe-Mn-Al.

43

3 Estado da arte

A Teoria de Campo Efetivo teve teve seu inıcio com o trabalho de Honmura e Ka-

neyoshi (1979), que a aplicaram ao estudo das propriedades termodinamicas do modelo de

Ising de spin 1/2, levando-se em conta, de forma exata, as correlacoes entre os spins pertencen-

tes ao cluster e seus vizinhos mais proximos. Honmura e Kaneyoshi (1979) obtiveram valores

mais precisos para a temperatura crıtica de alguns tipos de redes em comparacao com aqueles

obtidos pela Teoria de Campo Medio (MFA) e explicitamente apontaram a possibilidade de a

EFT ser utilizada para determinar com precisao superior a MFA valores de concentracao crıtica

para modelos diluıdos.

Diversos outros trabalhos surgiram posteriormente com aplicacoes dessa tecnica ao estudo

de modelos variados sendo que um dos pioneiros na utilizacao da EFT para o modelo de Ising

com S > 1/2 e o de Siqueira e Fitipaldi (1985). Tal trabalho foi responsavel pela introducao

de um novo tipo de aproximacao de campo efetivo, baseado na introducao de interacoes quadru-

polares, e sinalizou a possibilidade de utilizar modelos de spins com S > 1/2 para a descricao

de sistemas magneticos reais que apresentam uma maior complexidade do que aquela que pode

ser descrita por modelos usuais de dois estados.

Outro trabalho pioneiro na utilizacao do modelo de Ising para valores mais altos das variaveis

de spin foi realizado por Kaneyoshi, Jascur e Fittipaldi (1993), com vistas a estudar algumas

das propriedades desses modelos ainda que na ausencia de diluicao ou interacoes competitivas.

Nesse trabalho, os autores buscavam caracterizar o modelo quando da aplicacao de um campo

transverso ao eixo de orientacao dos spins numa rede regular. O ponto de partida eram as

mesmas relacoes de Callen-Suzuki (CALLEN, 1962; CALLEN, 1963; SUZUKI, 1965) e a EFT

(ver Secao 2.6 para maiores detalhes) comumente utilizadas na descricao das propriedades

magneticas do modelo de Ising de spin 1/2.

O trabalho de Kaneyoshi, Jascur e Fittipaldi (1993) demonstrou que, do ponto de vista qua-

litativo, o comportamento de grandezas termodinamicas tais como a magnetizacao e o calor

especıfico eram identicos aos do modelo de Ising de spin 1/2, com diferencas quantitativas

44

nos valores da temperatura de transicao ferro-paramagnetica e magnetizacao por sıtio a bai-

xas temperaturas, porem, da mesma forma que para o modelo de spin 1/2, podia-se estimar a

temperatura crıtica do sistema por meio do pico do grafico do calor especıfico como funcao da

temperatura. Porem, em tal trabalho os autores nao levaram em conta nenhum tipo de aniso-

tropia ou termo adicional, incluindo o campo magnetico externo, para que pudessem estudar de

forma mais aprofundada quais seriam as consequencias da utilizacao de um modelo de variaveis

discretas com mais que dois estados na construcao dos diagramas de fase e no comportamento

das grandezas termodinamicas a medida em que a temperatura varia.

Tal consideracao foi feita, por exemplo, no trabalho de Cruz-Filho, Godoy e Arruda (2013),

onde a insercao de termos de anisotropia em hamiltoniana semelhante a Equacao (5.1) fez com

que surgissem linhas de transicao de primeira ordem e contınuas nos diagramas de fase (em

especial no diagrama temperatura versus termo de anisotropia), algo que nao ocorre quando

se considera apenas o modelo de Ising mesmo que na presenca de campo magnetico. Uma

das consideracoes feitas pelos autores e que, por exemplo, os dois primeiros termos do lado

direito da Equacao (5.1) sao aproximacoes de primeira ordem (modelo de Ising usual) de um

sistema ferromagnetico e que, em geral, descrevem em seus diagramas de fase apenas transicoes

contınuas, mas nao somente estas ocorrem em um material real e como exemplos podem ser

citados compostos magneticos tais como as jarositas de ferro (GROHOL et al., 2005; MATAN et al.,

2011). O “recado” que fica de tais estudos e que a utilizacao de um modelo de Ising de spin S >

1/2 usual e um bom comeco para que se possa descrever sistemas magneticos desordenados de

forma mais realista, porem outros termos devem ser adicionados a hamiltoniana se o que se

quer e obter, com certa precisao, todos os diagramas de fase possıveis para tais sistemas e

compara-los com os resultados experimentais obtidos.

Pela admissao de que, a princıpio, o comportamento das grandezas fısicas de modelos de

spin mais alto, como o de Ising de spin 2, era semelhante aos encontrados para o Ising de spin

1/2, a grande duvida que ficava era: “Por que entao utilizar modelos que implicam em um au-

mento consideravel no numero de equacoes envolvidas e, consequentemente, na complexidade

da abordagem, se nao ha melhoras ou novidades nos resultados relativamente ao modelo mais

simples?” Esse questionamento foi feito no trabalho de Lara, Diosa e Lozano (2013), quando os

mesmos compararam a descricao feita pelo modelo de Ising de spin 1/2 do diagrama de fases

das ligas Fe-Al desordenadas (FREITAS; ALBUQUERQUE; MORENO, 2012) com aquele feito por

modelos de spin 1 (DIAS; PLASCAK, 2011), que, efetivamente, trazem resultados bem inferiores

aqueles do modelo de spin 1/2 ja citado.

Essa questao e pertinente porque, ate entao, nao havia nenhuma aplicacao do modelo de

45

Ising de spin 2 na descricao de um sistema magnetico desordenado real para efetivamente de-

monstrar a utilidade e capacidade do mesmo em fornecer resultados melhores que os de spin

S 6 1. O, por assim dizer, “divisor de aguas” no que tange a aplicacao do modelo de Ising com

S > 1 com sucesso na descricao do diagrama de fases de sistemas magneticos desordenados e

o trabalho de Freitas et al. (2013), cujos resultados serao discutidos nesse texto.

Como citado por Costabile et al. (2014), o trabalho de Freitas et al. (2013) foi pioneiro

na aplicacao do modelo de Ising de spin 2 e, juntamente com outros trabalhos envolvendo

Ising de spin S > 1/2 (DIAS; PLASCAK, 2011), provocou novo interesse no estudo de tais

modelos. O principal motivo do surgimento de novos estudos sobre modelos com valores de

spins mais altos e a excelente concordancia entre teoria e experimento demonstrada pelo modelo

com S > 1, com escpecial atencao a descricao de todo o diagrama T − q das ligas Fe-Al,

incluindo a regiao q < 0.2, demonstrado pelo trabalho de Freitas et al. (2013). Tal estudo

parte do pressuposto de que a interacao de troca depende da concentracao de atomos de Al de

forma nao linear, algo ja anteriormente assumido em trabalhos envolvendo nao somente ligas

Fe-Al (DIAS; SOUSA; PLASCAK, 2009; DIAS; PLASCAK, 2011; PLASCAK; ZAMORA; ALCAZAR,

2000; FREITAS; ALBUQUERQUE; MORENO, 2012), como tambem outros tipos de ligas tais como

a Fe-Ni (KAUL, 1983). Essa suposicao e ratificada pela dependencia da interacao de troca com

a terceira potencia da concentracao de atomos de Al (YELSUKOV; VORONINA; BARINOV, 1992),

como foi mostrado no trabalho de Freitas, Albuquerque e Moreno (2012).

Inicialmente a grande dificuldade de se trabalhar com modelos como o de Ising de spin 2

eram computacionais, pois o numero de equacoes geradas por tais modelos e muito grande e

so com o relativo aumento da capacidade de computacao nos ultimos vinte anos que o numero

de novas pesquisas nesse campo aumentou (ERTAS; DEVIREN; KESKIN, 2012), porem ainda ha

poucos trabalhos envolvendo a aplicacao de tal modelo a sistemas reais, como o exemplo dos

sistemas magneticos desordenados. Isso se deve ao fato de que, apesar de todo esse desen-

volvimento computacional que permite a utilizacao de modelos cada vez mais complexos e

realısticos, a possibilidade de utilizacao desses recursos para a obtencao de solucoes analıticas,

mesmo que aproximadas, de modelos como o de Ising de spin 2 se faz de maneira muito dis-

pendiosa ainda. O que compensa todo esse trabalho teorico e computacional na busca dessas

solucoes analıticas e que, apesar do custo computacional, os recursos necessarios ainda sao

muito inferiores aqueles exigidos por simulacoes envolvendo a tecnica de Monte Carlo (LAN-

DAU; BINDER, 2000).

O trabalho de Ertas, Deviren e Keskin (2012) salienta que ha diversos estudos sobre mode-

los de Ising de spin 1/2, 1 e 3/2, porem ha poucos trabalhos que exploram as propriedades de

46

equilıbrio do modelo de Ising de spin 2, apesar de que alguns dos poucos existentes apontem

para uma riqueza de caracterısticas antes nao encontradas, por exemplo, em modelos de spin

1/2 (KANEYOSHI; TUCKER; JASCUR, 1992). Na falta de estudo envolvendo simulacao Monte

Carlo acerca do modelo de Ising de spin 2, Ertas, Deviren e Keskin (2012) sugerem que as pro-

priedades e diagramas de fase relacionados a tal modelo podem ser obtidas com boa precisao se

tecnicas mais precisas, tais como a EFT desenvolvida por Honmura e Kaneyoshi (1979), forem

utilizadas e ha uma tendencia de que tais resultados melhorem a medida que o numero de spins

pertencentes ao aglomerado sob consideracao aumente.

No estudo feito por Costabile et al. (2014) pode-se verificar que ha possibilidade de pre-

cisao nos resultados obtidos ao se utilizar tecnicas de aproximacao para obtencao de solucoes

analıticas de modelos com valor arbitrario para a variavel de spin S. Seguindo a abordagem de

Honmura e Kaneyoshi (1979), ao inves da convencional e ate certo ponto simplista abordagem

de campo medio, os autores obtiveram interessantes propriedades para um modelo de Ising de

spin arbitrario com a inclusao de termos de anisotropia a hamiltoniana do sistema: possibili-

dade de o sistema considerado exibir transicoes de primeira ordem e contınuas, em certa faixa

de temperatura; possıvel existencia de pontos multicrıticos, a depender do valor do spin S con-

siderado. Por exemplo, nessa abordagem, o modelo de Ising de spin 2 com termo adicional de

anisotropia acrescentado a hamiltoniana apresentava a existencia de ponto tricrıtico a partir de

certa temperatura, o que nao acontecia com o mesmo modelo para um outro valor de spin, por

exemplo S = 3/2.

Dessa forma, para uma melhor descricao das propriedades magneticas de diversos tipos de

sistemas desordenados reais, ha a necessidade de inclusao de termos adicionais a hamiltoni-

ana, sendo que somonte a inclusao do campo magnetico externo, alem da interacao de troca

associada a modelos como o de Ising, nao e capaz de descrever o comportamento fısico de

uma classe de sistemas magneticos que apresentam transicoes de fase outras que nao somente

a ferro-paramagnetica.

47

4 Metodologia

Todo o trabalho de construcao dos diagramas de fase partiu da resolucao numerica de

equacoes nao-lineares resultantes da aplicacao da Tecnica do Operador Diferencial ao modelo

de Ising de spin 2 e foi dividido em etapas, como segue:

• Obtencao das equacoes resultantes do modelo, como explicado nas Secoes 5.2 e 5.3.1.

• Solucao numerica das equacoes enolvidas por meio de softwares computacionais tais

como o Maxima e Maple©.

• Tratamento dos dados e criacao dos diagramas de fase por meio dos softwares Origin© e

QtiPlot.

• Analise e intepretacao dos resultados, via comparacoes com resultados experimentais.

48

5 Modelo de Ising de spin 2 comaplicacoes

5.1 Modelo de Ising de spin 2 com diluicao por sıtios

A maior diferenca entre os modelos de Ising de spin 1/2 e o de spin 2 e que, no primeiro

caso, as variaveis de spins assumem dois estados discretos, por exemplo ±1, enquanto que no

segundo caso, tem-se um modelo de variaveis discretas em que as mesmas assumem cinco

estados, a saber S = −2, −1, 0, 1, 2. Esse conjunto maior de estados que as variaveis de

spins podem assumir implica, em geral, em diagramas de fases mais ricos do ponto de vista da

quantidade de fases que o sistema fısico pode assumir (CRUZ-FILHO; GODOY; ARRUDA, 2013;

ERTAS; DEVIREN; KESKIN, 2012), dessa forma torna-se interessante descrever as propriedades

termodinamicas desses modelos com S > 1/2 com o intuito de obter resultados passıveis de

aplicacao a varios tipos de sistemas magneticos. O modelo de Ising de spin 2 e extremamente

util para a descricao de ligas Fe-Al devido ao fato de que os ıons de Fe+2, presentes em tal liga,

terem spin S = 2 (KITTEL, 1996; KOEBLER et al., 2003).

A hamiltoniana que descreve o modelo de Ising de spin 2 ferromagnetico, com campo

magnetico externo aplicado, e descrita da seguinte forma:

H = −∑〈i,j〉

JijSzi S

zj − µBH

∑i

εiSzi , (5.1)

em que Szi sao componentes de spins, S = 2, na direcao z, isotropicas, colineares, orientadas

na direcao z (daı o ındice z na variavel Si), localizadas num sıtio i de uma rede regular e o

somatario e feito sobre os vizinhos mais proximos; Jij ≡ Jεiεj , sendo que a variavel εi assume

o valor 1 se o sıtio for ocupado ou 0 se o sıtio nao for ocupado; µB e o magneton de Bohr

e H e campo magnetico externo. A utilizacao do modelo de Ising spin 2 com a presenca do

termo de campo cristalino na hamiltoniana, Equacao (5.1) nao e util porque, como ja citado por

Costabile et al. (2014) e Lara, Diosa e Lozano (2013), tal procedimento foi realizado no trabalho

de Dias e Plascak (2011), porem com resultados pifıos quando comparados com os obtidos por

49

modelos com S = 1/2. Dessa forma, a adocao de um modelo com campo cristalino apenas

iria complicar a solucao do problema e nao traria respostas satisfatorias para a correta descricao

do diagrama de fases das ligas Fe-Al.

As variaveis εi obedecem a seguinte distribuicao de probabilidades:

P (εi) = pδ(εi − 1) + qδ(εi), (5.2)

em que p e a concentracao de sıtios ocupados por spins e q e a concentracao de sıtios vazios, de

tal forma que p + q = 1. Dessa forma, dada uma grandeza fısica Q(Jij) que obedeca a uma

distribuicao de probabilidades como a da Equacao (5.2), para obter seu valor medio, deve-se

efetuar, alem da media termica sobre um determinado intervalo de temperatura, tambem uma

media configuracional, da seguinte forma:

〈Q(Jij) 〉c =

∫c

Q(Jij)∏ij

P (Jij) dJij, (5.3)

em que P (Jij) representa a distribuicao de probabilidades relacionada com a variavel Jij e∫c

denota a intregacao sobre todas as configuracoes possıveis dos spins na rede.

Em geral, a interacao de troca Jij pode variar de sıtio a sıtio. Neste trabalho, sera con-

siderado, a princıcpio, um Jij = J que e constante a menos que (e isso sera visto quando

da aplicacao do modelo as ligas Fe-Al) se considere a dependencia da mesma com relacao a

concentracao q de sıtios vazios na rede. O sinal de J tambem determina o tipo de sistema

magnetico que o modelo descreve, a saber:

• J > 0 na hamiltoniana (5.1), sistema ferromagnetico.

• J < 0 na hamiltoniana (5.1), sistema antiferromagnetico.

• J = 0, sistema de spins nao interagentes.

E importante salientar que o campo magnetico tambem pode variar de sıtio a sıtio, de forma

que poderia ser escrito, na Equacao (5.1), para o termo envolvendo o campo, µB∑

iHi ·Si. No

caso de spins nao interagentes, como anteriormente salientado, a presenca do campo magnetico

e de fundamental importancia para o ordenamento dos mesmos (em baixas ou altas temperatu-

ras). O sinal negativo adotado no segundo termo a direita da Equacao (5.1) indica que o sentido

de orientacao preferencial dos spins e o mesmo do campo aplicado, sendo esta a configuracao

que minimiza a energia do sistema (para spins interagentes ou nao).

A probabilidade de um spin i da rede encontrar-se num estado Si (Si = −2,−1, 0, 1, 2) e

50

dada pela distribuicao de Boltzmann (STANLEY, 1971; HUANG, 1987):

P (Si) =e−βH(Si)

Z, (5.4)

em que Z e funcao de particao do sistema, que sera descrita de forma sucinta mais adiante,

β ≡ 1/kBT , em que kB e a constante de Boltzmann e T e a temperatura, e H e a hamil-

toniana do sistema. Uma das questoes pertinentes a esse modelo e a seguinte: “Dada uma

configuracao para um spin localizado numa posicao i, qual a probabilidade de outro spin loca-

lizado na posicao j assumir a mesma configuracao?” Para responder a tal questionamento, e

necessario descrever o sistema por meio de sua funcao de particao, o que nem sempre e possıvel

de se fazer de forma exata.

Desse modo, a busca pela descricao das variaveis termodinamicas do sistema ao qual se

aplica esse modelo se da da mesma forma que no caso de spin 1/2, ou seja, procura-se descrever

a funcao de particao do sistema, porem tal procedimento nao e de facil execucao para sistemas

que apresentam um numero maior que dois estados, muito embora, em baixas temperaturas, os

estados favorecidos sao aqueles em que S = ±2 e o modelo de spin 2 reduz-se ao modelo de

Ising de spin 1/2 (COSTABILE et al., 2014).

A partir da hmailtoniana dada pela Eq. (5.1) pode-se escrever a funcao de particao do

sistema e, dela, a energia livre de Helmholtz, como definido abaixo:

Z =∑Si

e−βH(Si) , (5.5)

F = −kBT lnZ. (5.6)

O grande de problema para se chegar a uma solucao para as Eqs. (5.5) e (5.6) e a infini-

dade de graus de liberdade que existem em uma rede regular de spins, o que torna a resolucao

analıtica do problema muito difıcil. Encontrar a funcao de particao significa resolver o mo-

delo de Ising exatamente e, ate o momento, nao ha tal resolucao para o modelo de Ising em

tres dimensoes. A alternativa e buscar por solucoes aproximadas ou simulacao computacional

do modelo numa rede com um numero finito de spins. Essas solucoes podem trazer luz sobre

questoes tais como “Qual a configuracao tıpica dos spins da rede numa dada temperatura?”, ou

“Se houver variacao da temperatura, o sistema descrito passara por algum tipo de transicao de

fase? Se for o caso, qual sera o tipo de transicao?”.

Uma das tecnicas desenvolvidas para a busca de solucoes de equacoes relacionadas a mo-

delos como o de Ising e util para a resposta de muitas das questoes levantadas acima e a Tecnica

51

do Operador Diferencial, utilizada para esse fim pela primeira vez por Honmura e Kaneyoshi

(1979). Na proxima secao, serao descritas as caracterısticas gerais dessa tecnica, que posteri-

ormente sera utilizada para a obtencao de alguns dos diagramas de fase tıpicos do modelo de

Ising de spin 2.

5.2 Identidade de Van der Waerden para sistemas envolvendoum valor de spin S generico

Na Secao 2.6.2, foi derivada a identidade de Van der Waerden para sistemas de spin

1/2 pelo modo convencional com base nos trabalhos de Suzuki (1965), Callen (1963) e Tucker

(1994). Nesta secao, sera desenvolvido um metodo alternativo para derivar tal identidade, com

especial atencao ao caso de spin 2, ja que essa relacao sera util para o desenvolvimento do

trabalho. Tal derivacao toma como base os trabalhos de Kaneyoshi, Tucker e Jascur (1992) e

Kaneyoshi, Jascur e Fittipaldi (1993).

A derivacao da identidade de Van der Waerden para sistemas com spin S = 1/2 partiu de

uma expansao em series da funcao eλσi . Uma outra possibilidade de deriva-la, para um sistema

com dois estados, e pela suposicao de uma relacao do tipo:

eλσi = A + Bσi, (5.7)

em que A e B sao parametros (como sera visto, funcoes de λ) que devem ser derterminados.

Como a variavel σi assume dois valores, por exemplo, σi = ±1, pode-se montar, a partir da

Equaacao (5.7), um sistema de equacoes na forma:eλ = A + B, se σi = +1

e−λ = A − B, se σi = −1(5.8)

Somando e subtraindo o lado esquerdo das Equacoes (5.8), tem-se, em termos de A e B:eλ + e−λ = 2A → A = 1

2(eλ + e−λ) = cosh (λ)

eλ − e−λ = 2B → B = 12(eλ − e−λ) = sinh (λ).

(5.9)

Substituindo-se as Equacoes (5.9) na Equacao (5.7) tem-se:

eλσi = cosh (λ) + σi sinh (λ), (5.10)

ou seja, por um metodo simples foi possıvel deduzir a identidade de Van der Waerden para

sistemas de spin S = 1/2 com o intuito de utiliza-la na resolucao de equacoes resultantes de

52

aproximacoes em varios modelos de variaveis discretas que assumem dois estados (nao somente

no modelo de Ising). A questao que fica e: existe alguma justificativa matematica para impor

uma relacao do tipo da (5.7)? Ha e e bem simples: uma dada funcao F (Si) de variaveis de spins

Si que podem assumir um conjunto finito de estados (numero de estados e igual a 2S + 1, onde

S e o valor total do spin), pode ser expandida em termos de Si na forma (TUCKER, 1994):

F (Si) = a0 + a1Si + a2S2i + · · ·+ a2SS

2Si . (5.11)

Exemplificando: seja F (Si) = eλSi , dessa forma deve-se ter:

eλSi = a0 + a1Si, para S = 1/2,

eλSi = a0 + a1Si + a2S2i , para S = 1,

eλSi = a0 + a1Si + a2S2i + a3S

3i , para S = 3/2,

e assim por diante. Deve-se lembrar que, se S = 3/2, por exemplo, isso implica que Si =

−3/2, −1/2, 1/2, 3/2, e isso vale para qualquer outro valor de S. O objetivo principal dessa

secao e, a partir das ideias ate aqui desenvolvidas, deduzir a identidade de Van der Waerden para

sistemas de spin 2 e depois, nas proximas secoes, utiliza-la para obter algumas das grandezas

termodinamicas do modelo de Ising de spin 2 e aplicacoes.

Para spin S = 2, tem-se que:

eλSi = a0 + a1Si + a2S2i + a3S

3i + a4S

4i . (5.12)

Com os valores de Si no intervalo −2, −1, 0, 1, 2, monta-se, a partir da Equacao (5.12)

um sistema com cinco equacoes (para S = 2, ha cinco estados), como segue:

e2λ = a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 + 16a4, se Si = +2

eλ = a0 + a1 + a2 + a3 + a4, se Si = +1

1 = a0, se Si = 0

e−2λ = a0 − 2a1 + 4a2 − 8a3 + 16a4, se Si = −2

e−λ = a0 − a1 + a2 − a3 + a4, se Si = −1

(5.13)

Da terceira das Equacoes (5.13) ve-se que a0 = 1 e, resolvendo-se numericamente as

53

quatro equacoes restantes, tem-se, para os valores dos coeficientes:

a1 = 16

[8 sinh (λ) − sinh (2λ)

]a2 = 1

12

[16 cosh (λ) − cosh (2λ)− 15

]a3 = 1

6

[sinh (2λ) − 2 sinh (λ)

]a4 = 1

12

[3 + cosh (2λ) − 4 cosh (λ)

].

(5.14)

Logo a identidade de Van der Waerden para spin S = 2 e escrita da seguinte forma:

eλSi = 1 +1

6

[8 sinh (λ) − sinh (2λ)

]Si +

1

12

[16 cosh (λ) − cosh (2λ)− 15

]S2i

+1

6

[sinh (2λ) − 2 sinh (λ)

]S3i +

1

12

[3 + cosh (2λ) − 4 cosh (λ)

]S4i . (5.15)

E importante salientar que a Equacao (5.15) pode ser utilizada para qualquer modelo com

spin S = 2 e nao somente para o modelo de Ising, sendo que algumas das suas caracterısticas

facilitam a utilizacao da mesma por meio de tecnicas como a EFT (ver Secao 2.6). No caso

do modelo de Ising descrito pela EFT via Tecnica do Operador Diferencial, o λ seria igual a,

por exemplo, o termo KDx, e os termos que, a princıpio, iriam contribuir para a expansao das

equacoes envolvendo grandezas termodinamicas, tais como a Equacao (2.94), seriam os que

contem sinh ou produtos ımpares tais como sinh cosh, sinh3 cosh, etc.

Na proxima secao, a identidade de Van der Waerden sera de extrema importancia para

utilizacao do modelo de Ising de spin 2 na descricao de diagramas envolvendo a magnetizacao,

sendo que as semelhancas e diferencas entre os modelos de spin 2 e spin 1/2 serao discutidas

dentro da abordagem da EFT com aglomerado com um spin.

5.3 Diagramas de magnetizacao

Nesta secao serao apresentados resultados obtidos para os diagramas de magnetizacao

do modelo de Ising de spin 2 com diluicao por sıtios aplicado a uma rede cubica de corpo cen-

trado, com base nos calculos feitos via EFT-1. De inıcio, a expressao para magnetizacao como

funcao de grandezas tais como a temperatura e o campo magnetico aplicado sera apresentada e,

posteriormente, os diagramas de fase serao expostos e discutidos.

54

5.3.1 Calculo da magnetizacao por sıtio

Seguindo a abordagem desenvolvida na secao 2.6.2, a hamiltoniana para o modelo de

Ising de spin 2 ferromagnetico para aglomerado com um spin, na ausencia de campo magnetico

externo, e dada por:

H1 = −JSz1ε1∑j

εjSzj . (5.16)

Os detalhes referentes ao significado dos termos envolvidos na Hamiltoniana (5.16) foram

dados na secao 5.1 e, aqui, serao discutidos apenas aspectos peculiares a situacao em que ha

somente um spin no aglomerado considerado. No modelo de Ising com diluicao por sıtios, alem

do calculo da media termica e necessario fazer o calculo da media condiguracional, de acordo

com a Equacao (5.3), de forma que, para m = 〈〈Sz1〉〉c, tem-se:

m =⟨⟨TrSz1Sz1 e−βH1

TrSz1 e−βH1

⟩⟩c, (5.17)

em que os sımbolos 〈〈· · · 〉〉c denotam a media termica e configuracional. As variaveis εi obe-

decem a uma distribuicao de probabilidades dada pela Equacao (5.2):

P (εi) = pδ(εi − 1) + qδ(εi),

sendo que numa liga tipo a Fe-Al, p = 1 − q seria a concentracao de atomos de Fe e q seria

a concentracao de atomos de Al, por exemplo. Levando-se em conta os cinco estados que a

variavel Szi pode assumir, tem-se, usando-se a dependencia explıcita de Sz1 dada pela Equacao

(5.11) paraH1, tem-se, pela Equacao (5.17) (KANEYOSHI; TUCKER; JASCUR, 1992; KANEYOSHI;

JASCUR; FITTIPALDI, 1993):

m =

⟨⟨ 4 sinh(2Kε1∑j

εjSzj ) + 2 sinh(Kε1

∑j

εjSzj )

2 cosh(2Kε1∑j

εjSzj ) + 2 cosh(Kε1∑j

εjSzj ) + 1

⟩⟩c

, (5.18)

em que K ≡ J/kBT e a soma em j e realizada sobre os vizinhos mais proximos do spin Szi .

Por meio da introducao do operador diferencial, Equacao (2.86), a Equacao (5.18) pode ser

reescrita como:

m =⟨⟨ Z∏

j=1

eKε1εjSzjDx⟩⟩

cf(x)

∣∣x=0

, (5.19)

em que Z e o numero de vizinhos mais proximos (8 para a rede bcc) e a funcao f(x) e dada

55

por:

f(x) =4 sinh(2x) + 2 sinh(x)

2 cosh(2x) + 2 cosh(x) + 1. (5.20)

O proximo passo e expandir a Equacao (5.19) em termos da identidade de Van der Waerden

para sistemas de spin 2, de acordo com a Equacao (5.15), na forma:

m =⟨⟨ Z∏

j=1

[1 + A(Kε1εjDx)S

zj +B(Kε1εjDx)(S

zj )2

+ C(Kε1εjDx)(Szj )3 +D(Kε1εjDx)(S

zj )4]⟩⟩

cf(x)

∣∣x=0

, (5.21)

sendo que os coeficientes A, B, C e D sao dados por (ver Secao 5.2, Equacoes (5.14)):

A = 16

[8 sinh (Kε1εjDx) − sinh (2Kε1εjDx)

]B = 1

12

[16 cosh (Kε1εjDx) − cosh (2Kε1εjDx)− 15

]C = 1

6

[sinh (2Kε1εjDx) − 2 sinh (Kε1εjDx)

]C = 1

12

[3 + cosh (2Kε1εjDx) − 4 cosh (Kε1εjDx)

].

(5.22)

Para que se possa expandir os termos da Equacao (5.21), calculando-se, consequente-

mente, a media configuracional de acordo com uma distribuicao de probabilidades como a

(5.2), deve-se ter em mente como ficam as medias configuracionais das funcoes cosh(Kε1εjDx)

e sinh(Kε1εjDx) com base na Equacao (5.3), ja que todos os termos da Equacao (5.21) envol-

vem as seguintes equacoes:

〈cosh(Kε1εjDx)〉c =

∫cosh(Kε1εjDx)P (ε1)P (εj)dε1 dεj

=

∫cosh(Kε1εjDx)[pδ(ε1 − 1) + qδ(ε1)]P (εj)dε1 dεj

=

∫[p cosh(KεjDx) + q][pδ(εj − 1) + qδ(εj)]dεj

= p2 cosh(KDx) + 2pq + q2

= (1− q)2 cosh(KDx) + 1− (1− q)2, (5.23)

56

sendo que foi utilizada a relacao p = 1 − q. De forma analoga, para a funcao sinh:

〈sinh(Kε1εjDx)〉c =

∫sinh(Kε1εjDx)P (ε1)P (εj)dε1 dεj

=

∫sinh(Kε1εjDx)[pδ(ε1 − 1) + qδ(ε1)]P (εj)dε1 dεj

=

∫[p sinh(KεjDx)][pδ(εj − 1) + qδ(εj)]dεj

= p2 sinh(KDx)

= (1− q)2 sinh(KDx). (5.24)

Usando o desacoplamento desenvolvido por Honmura e Kaneyoshi (1979), o que equivale

a desprezar todas as correlacoes de spins em sıtios diferentes:

〈SiSi′ · · ·Sin〉 ∼= 〈Si〉〈Si′〉 · · · 〈Sin〉, (5.25)

para i 6= i′ 6= · · · 6= in, bem como a aproximacao (ERTAS; DEVIREN; KESKIN, 2012) 〈〈(Szi )n〉〉c ≡mn, e tirando a media configuracional da Equacao (5.21) com base nas Equacoes (5.3), (5.23)

e (5.24), tem-se:

m =∑

n ımparA1,n(K, q)mn, (5.26)

sendo que tal expansao e obtida para uma rede cubica de corpo centrado (bcc), cujo spin Sz1tem Z = 8 vizinhos mais proximos. Essa expansao, Equacao (5.26), foi obtida numericamente

por meio de softwares computacionais tais como o Maxima. Somente entram termos ımpares

devido a condicao (2.92) e, em geral, os coeficientes A1,n sao muito extensos e nao serao ex-

postos neste texto. Para o calculo da linha Tc(q), por exemplo, parte-se da condicao de que, em

T ≈ Tc, m→ 0 e, dessa forma, a partir da Equacao (5.26):

A1,1(K, q) = 1, (5.27)

sendo que A1,1 e dado por (FREITAS et al., 2013):

A1,1(K, q) =4

3(1− q)2

[8 sinh(KDx)− sinh(2KDx)

]f(x)

∣∣∣∣x=0

, (5.28)

com f(x) dada pela Equacao (5.20). As Equacoes (5.26) e (5.27) serao a base para a construcao

dos diagramas de magnetizacao como funcao da temperatura (M − T ) e temperatura crıtica

versus concentracao, para o caso das ligas Fe-Al. Esses diagramas serao discutidos em alguns

de seus principais detalhes nas proximas secoes.

57

Tabela 5.1: Comparacao entre os valores da temperatura crıtica, Tc, para Ising com spin S = 2,obtidos para redes diversas atraves da solucao explıcita das equacoes envolvendo os momentos〈〈(Szi )n〉〉 por duas tecnicas, a saber, a utilizada neste trabalho (FREITAS et al., 2013; ERTAS;DEVIREN; KESKIN, 2012), a utilizada por Kaneyoshi, Tucker e Jascur (1992) e campo medio(MFA) (BAHMAD L. AND. BENYOUSSEF; KENZ, 2007; YGIT; ALBAYRAK, 2012). *Nao foramencontradas referencias para spin S = 2, via MFA, com esse numero de coordenacao.

Numero decoordenacao, Z

kBTc/J , (KANEYOSHI; TUC-KER; JASCUR, 1992)

kBTc/J , este trabalho MFA

3 4,227 5,996 6,124 6,390 7,998 8,856 10,514 11,999 *

Desconsiderando de lado a aproximacao de Ertas, Deviren e Keskin (2012), o calculo da

media configuracional do momento de ordem n, 〈〈 (Szi )n 〉〉, e feito da seguinte forma:

〈〈 (Szi )n 〉〉 =⟨⟨ Z∏

j=1

[1 + A(Kε1εjDx)S

zj +B(Kε1εjDx)(S

zj )2

+ C(Kε1εjDx)(Szj )3 +D(Kε1εjDx)(S

zj )4]⟩⟩

cfn(x)

∣∣x=0

, (5.29)

em que os coeficientes A, B, etc., sao dados de acordo com as equacoes (5.22), e as funcoes

fn(x) sao dadas por: f1(x) = 4 sinh(2x)+2 sinh(x)

2 cosh(2x)+2 cosh(x)+1

f2(x) = 8 cosh(2x)+2 cosh(x)2 cosh(2x)+2 cosh(x)+1

f3(x) = 16 sinh(2x)+2 sinh(x)2 cosh(2x)+2 cosh(x)+1

f4(x) = 32 cosh(2x)+2 cosh(x)2 cosh(2x)+2 cosh(x)+1

.

(5.30)

Dessa forma, ha quatro equacoes acopladas para serem resolvidas, o que torna o trabalho

numerico complexo. Entretanto, alem da magnetizacao, m ≡ 〈〈 (Szi ) 〉〉, se nao ha necessidade

de se estudar os diagramas para os momentos de ordem mais alta, a saber, s ≡ 〈〈 (Szi )2 〉〉,r ≡ 〈〈 (Szi )3 〉〉 e u ≡ 〈〈 (Szi )4 〉〉, a aproximacao de Ertas, Deviren e Keskin (2012) nao somente

e util, como tambem fornece valores razoaveis, relativamente aqueles obtidos pela resolucao

explıcita das equacoes acopladas envolvendo m, s, r e u, como se pode ver pela comparacao

feita na Tabela 5.1.

A aproximacao de Ertas, Deviren e Keskin (2012) (EDK), utilizada neste trabalho, oferece

melhores resultados que aqueles fornecidos pela aproximacao de campo medio (MFA, do ingles

Mean Field Approximation), cuja precisao no valor de Tc aumenta a medida em que o numero

de coordenacao aumenta, porem a diferenca e que se consegue, por meio da EFT-1 combinada

com a aproximacao EDK, uma distincao entre tipos diferentes de redes que tenham mesmo

58

numero de coordenacao, tais como as redes tringular e cubica simples, por exemplo (ERTAS;

DEVIREN; KESKIN, 2012).

5.3.2 Diagrama M -T

A partir da curva da magnetizacao como funcao da temperatura, tracada a partir da

resolucao numerica da Equacao (5.26), pode-se obter, por exemplo, o estado fundamental do

sistema, ou seja, a configuracao segundo a qual o sistema encontra-se quando T → 0 (ERTAS;

DEVIREN; KESKIN, 2012). Evidentemente que os valores da temperatura crıtica, Tc, para o caso

do modelo de Ising de spin 2 sao diferentes daqueles obtidos para o modelo de spin 1/2 pelo

fato que tais modelos diferem (quanto a magnitude da magnetizacao reduzida, por exemplo)

no que diz respeito ao estado fundamental. A importancia de se estudar tais diagramas de fase

reside nao somente na obtencao do valor de Tc bem como saber, a princıpio, qual o carater da

transicao envolvida.

0 2 4 60 . 0

0 . 5

1 . 0

1 . 5

2 . 0

q = 0 . 6 q = 0 . 6 5 q = 0 . 7

Z = 8

k B T / J

M/M 0

Figura 5.1: Variacao da magnetizacao em funcao da temperatura a campo magnetico nulo.Pode-se observar comportamento qualitativamente analogo ao modelo de Ising de spin 1/2 e ofato de que M → 2 quando kBT/J → 0 como e de se esperar para um modelo de spin 2.

Como se pode ver no grafico da Figura 5.1, a variacao da magnetizacao com a temperatura

segue um padrao convencional, encontrado tambem no modelo de Ising de spin 1/2, o que sig-

nifica que a medida que a temperatura aumenta, aumenta a competicao entre energia termica e

59

energia magnetica (aqui representada pela interacao de troca ou exchange), o que promove uma

desordem na configuracao dos spins da rede regular ate que os mesmos irao assumir orientacoes

aleatorias de forma que o ordenamento magnetico e perdido acima de certa temperatura crıtica

Tc.

A escolha por estudar o diagrama M -T nas vizinhancas da concentracao crıtica qc ≈ 0.7

(ou seja, concentracao acima da qual a magnetizacao vai a zero mesmo em baixas temperaturas)

deu-se pela possibilidade de que, nessa vizinhanca, diferentes tipos de configuracoes fısicas pu-

dessem ser detectados, como bem salientam Barbosa, Raposo e Coutinho-Filho (2003) em seu

trabalho envolvendo o FepZn1−pF2, tambem com diluicao por sıtios. Entretanto, para o sistema

aqui estudado, o diagram M -T apresenta comportamento convencional, com a temperatura de

transicao diminuindo a medida que o numero q de vacancias da rede aumenta, o que e uma

caracterıstica comum aos sistemas magneticos diluıdos, mesmo aqueles com valores de spin S

mais alto (MIR; SABER; TUCKER, 1994).

Sera visto nas proximas secoes que as diferencas entre o modelo aqui tratado e os modelos

convencionais se sobressaem quando do estudo do diagrama temperatura versus concentracao q

de ıons nao-magneticos, resultados que evidenciam a possibilidade de utilizacao desse modelo

para a descricao de sistemas magneticos mais complexos e que exibem comportamento nao

convencional, sem necessariamente ter que apelar para hipoteses nao confirmadas experimen-

talmente.

5.4 Aplicacao do modelo ao estudo do diagrama T -q de ligasFe(1−q)Alq

O melhor teste para qualquer tipo de modelo fısico e sua utilizacao na descricao de

algumas caracterısticas de sistemas reais com o objetivo de estudar as vantagens e desvanta-

gens do mesmo bem como suas propriedades e limitacoes. No que concerne ao estudo de

sistemas magneticos desordenados, as ligas Fe-Al representam um bom e simples “laboratorio”

de testes de modelos de spins com diluicao e, em geral, desordem aleatoria (OUBELKACEM

et al., 2010). Seguindo essa linha, procura-se descrever, em especial, o diagrama T -q de tais

ligas, bem como corrgir resultados teoricos anteriormente obtidos na tentativa de resolver o

comportamento anomalo da curva Tc(q) para baixos valores de q, assim como determinar com

maior precisao a concentracao crıtica qc acima da qual a liga nao mais exibira magnetizacao

espontanea para T > 0.

O tratamento teorico tem como ponto de partida a descricao de tais ligas por meio de uma

60

hamiltoniana como a Equacao (5.16), que descreve uma amostra do sistema composta por um

spin mais seus primeiros vizinhos. Dentro do escopo da EFT, tal qual ferramental matematico

desenvolvido na Secao 5.3.1, parte-se da solucao numerica da Equacao (5.27) para a descricao

da linha de segunda ordem que separa as fases ferromagnetica e paramagnetica no diagrama

temperatura versus concentracao de atomos de Al (T -q). Porem, o problema de descrever tal

diagrama vai alem da pura e simples utilizacao da Equacao (5.28), sendo que, devido a com-

plexidade da total descricao do diagrama de fases das ligas Fe-Al, sao necessarias algumas

hipoteses adicionais, principalmente para que se obtenha concordancia teoria e experimento em

concentracoes q < 0.2 e q > 0.54 (FREITAS; ALBUQUERQUE; MORENO, 2012; DIAS; SOUSA;

PLASCAK, 2009; DIAS; PLASCAK, 2011; LARA; DIOSA; LOZANO, 2013; LARA et al., 2009).

Nessas regioes do diagrama de fases das ligas Fe-Al, as descricoes teoricas nao encontra-

vam suporte nos dados experimentais mesmo com a adocao de modelos que levam em conta

interacoes outras que nao somente as de primeiros vizinhos (FREITAS et al., 2013). A parte mais

crıtica de tal regiao compreende o intervalo de concentracao de atomos de alumınio entre q = 0

e q = 0.2, sendo que propostas distintas que incorporam a dependencia da interacao Fe-Fe com

a concentracao q de fato ainda nao haviam resolvido o problema (PLASCAK; ZAMORA; ALCA-

ZAR, 2000; DIAS; SOUSA; PLASCAK, 2009), mesmo com a adocao de modelos com spin S > 1/2

(DIAS; PLASCAK, 2011). Essa complicacao surge porque no modelo de Ising com diluicao por

sıtios com valor arbitrario de spin S (MIR; SABER; TUCKER, 1994) a variacao da temperatura

crıtica, Tc, com q se da de forma praticamente linear, para q < 0.2, como pode ser visto no

grafico da Figura 5.2. Dessa forma, faz-se necessaria a adocao de outros tipos de abordagens

teoricas com o objetivo de descrever todo o diagrama de fases dessas ligas. Uma dessas novas

abordagens e a exposta neste trabalho: a utilizacao do modelo de Ising de spin 2 com interacoes

nao lineares.

No modelo de Ising de spin 2 com interacao entre os primeiros vizinhos, os atomos de ferro

sao representados pelos spins da rede enquanto que os atomos de alumınio sao representados

pela ausencia de ıons magneticos, denominada diluicao. Em sua fase desordenada, tais ligas

sao ocupadas aleatoriamente por atomos de ferro ou alumınio (BESNUS; HERR; MEYER, 1975;

YELSUKOV; VORONINA; BARINOV, 1992; PLASCAK; ZAMORA; ALCAZAR, 2000), com probabi-

lidade descrita pela distribuicao (5.2) e com interacao de troca escrita em termos da distancia

entre dois sıtios da rede, de acordo com expressao utilizada por Kaul (1983) e Alcazar, Plascak

e Silva (1986), na forma:

J(r) = J0 exp [α(r/r0 − 1)], (5.31)

em que J0 e um valor de referencia de J , α e um parametro que depende do tipo de liga a

61

0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 80

4

8

1 2

q

k BTc/J

Figura 5.2: Diagrama T -q convencional para o modelo de Ising de spin S = 2 com diluicaopor sıtios tracado para redes quadrada e cubica simples. Observa-se do grafico da figura acima avariacao praticamente linear de T com q para q < 0.2, resultado esse em clara discordancia como obtido experimentalmente para ligas Fe-Al (ver Figura 5.4). O procedimento para elaboracaodesses diagramas e identico ao realizado na Secao 5.3.1: a unica diferenca e o numero devizinhos mais proximos.

ser estudada (KAUL, 1983), r e a distancia entre dois sıtios da rede e r0 e o valor para o qual o

J = J0 (ALCAZAR; PLASCAK; SILVA, 1986). Experimentalmente, Yelsukov, Voronina e Barinov

(1992), Besnus, Herr e Meyer (1975) e Alcazar e Silva (1987) mostraram que r varia com q,

sendo que o melhor ajuste teorico e o r dependendo de q ate a terceira potencia (FREITAS;

ALBUQUERQUE; MORENO, 2012; FREITAS, 2012). Dessa forma, J pode ser escrita como funcao

nao linear em q, na forma (FREITAS et al., 2013):

J(q) = J0 eMq+Nq2+Lq3

. (5.32)

Praticamente todos os trabalhos teoricos envolvendo a aplicacao de modelos de spins (de

Ising ou nao, como pode ser visto no trabalho de (SALAZAR et al., 2002)) ao estudo de ligas Fe-Al

utilizam um J que depende da concentracao q de atomos nao magneticos (atomos de alumınio)

(ALCAZAR; PLASCAK; SILVA, 1986; PLASCAK; ZAMORA; ALCAZAR, 2000; SALAZAR et al., 2002;

DIAS; SOUSA; PLASCAK, 2009; OUBELKACEM et al., 2010; DIAS; PLASCAK, 2011; FREITAS; AL-

BUQUERQUE; MORENO, 2012; FREITAS; ALBUQUERQUE; MORENO, 2012; FREITAS; ALBUQUER-

QUE; MORENO, 2013). Alem dessa hipotese, ha a possibilidade de inclusao de interacoes entre

segundos vizinhos na hamiltoniana, porem como tal procedimento nao tem produzido resulta-

dos teoricos melhores para o digrama de fases dessas ligas (LARA; DIOSA; LOZANO, 2013).

62

Os valores das constantes M , N e L sao determinados com base no valor experimental-

mente obtido para α. No trabalho de Kaul (1983), o valor de α, determinado tanto para ligas Fe-

Al quanto para outros tipos de ligas tais como a Fe-Ni, ficava no intervalo−5, 5 < α < −3, 3,

o que, para a Equacao (5.32) implica em M = 2, 38, N = −3, 60 e L = −7, 50, com

J0 = 5, 6 meV . A forma como tais valores sao encontrados sera exposta como segue: pri-

meiro, escreve-se r como funcao de q ate a terceira potencia:

r(q) = r0 + r1q + r2q2 + r3q

3, (5.33)

em que os coeficientes ri sao obtidos por meio de ajuste com os dados experimentais (FREITAS;

ALBUQUERQUE; MORENO, 2012). Dessa forma, substituindo-se a Equacao (5.33) na Equacao

(5.31) e usando a (5.32), tem-se:

J(r) = J0 exp α[(r0 + r1q + r2q2 + r3q

3)/r0 − 1],

= J0 exp (α + αr0q/r1 + αr0q2/r2 + αr0q

3/r3 − α),

= J0 exp (Mq +Nq2 + Lq3),

ou seja M = αr1/r0,

N = αr2/r0,

L = αr3/r0,

(5.34)

sendo que, dessa forma, os valores de α e dos parametros do ajuste para a curva r(q) determinam

os coeficientes presentes na expressao para a interacao de troca entre os atomos de ferro que sao

vizinhos mais proximos.

No grafico da Figura 5.3, ve-se a variacao de J/J0 como funcao de q em todo o intervalo

de concentracao das vacancias da rede. Nele, pode-se ver um crescimento abrupto do J ate

q = 0.2, como previsto em trabalhos anteriores (PLASCAK; ZAMORA; ALCAZAR, 2000; DIAS;

SOUSA; PLASCAK, 2009; FREITAS; ALBUQUERQUE; MORENO, 2012), sendo que nesta regiao o

comportamento se aproxima de uma funcao oscilante, algo comum em ligas (DIAS; SOUSA;

PLASCAK, 2009). Observa-se que, para q > 0.2, a intensidade cai de forma quase linear ate q ≈0.6, quando tem descrescimo suave ate o ponto em que a rede contem apenas vacancias (q = 1).

Do ponto de vista fısico, entende-se que uma alta concentracao de atomos de alumınio, por

exemplo q = 0.6 (60 % de atomos de Al) faz com que a intensidade da interacao de troca entre

dois atomos de ferro vizinhos diminua em cerca de 80 % de seu valor relativamente ao sistema

puro (q = 0). O grafico mostra tambem que em todo o intervalo da concentracao q de Al a

63

0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 00 . 00 . 20 . 40 . 60 . 81 . 01 . 21 . 4

q

J/J0

0 . 8 0 . 9 1 . 00 . 0 0

0 . 0 1

Figura 5.3: Grafico da interacao de troca como funcao da concentracao de atomos de alumınio(vacancias na rede de spins). Nota-se que, na regiao anomala, 0 < q < 0.2, ha um aumentode J/J0 com relacao a concentracao q.

interacao e ferromagnetica, resultado que esta de acordo com dados experimentais (YELSUKOV;

VORONINA; BARINOV, 1992) e representa uma melhora na descricao do comportamento de J(q).

O grafico da Figura 5.4 mostra o diagrama T -q das ligas Fe-Al desordenadas com os res-

pectivos dados experimentais, a curva teorica obtida pelo presente trabalho, Equacao (5.27), e

outros ajustes teoricos para comparacao. Pode-se ver que ha excelente concordancia entre o mo-

delo aqui proposto e os dados experimentais em todo o intervalo de concentracao de alumınio

em que T > 0, especialmente na regiao dita anomala, 0 < q . 0.25, algo que nao havia sido

obtido, com essa precisao, em ajustes previos, como se pode ver pela comparacao. E impor-

tante salientar que o trabalho de Freitas (2012) obteve excelente concordancia entre teoria e

experimento no intervalo 0.1 < q < 0.54, porem a temperatura do sistema puro (Tc = 1033 K)

ficou abaixo do valor experimental (T expc ≈ 1040 K), sendo que o valor da concentracao crıtica,

qc (qc = 0.54), ficou bem abaixo do experimental (qc = 0.7). Os valores obtidos pelo modelo

proposto no presente trabalho sao Tc(q = 0) = 1039.8 K e qc ≈ 0.7, a campo nulo. Esses

valores representam a melhor concordancia teoria versus experimento obtida na literatura.

O trabalho de (ALCAZAR; PLASCAK; SILVA, 1986), como base na utilizacao do modelo de

Ising de spin 1/2 via aproximacao de campo medio, utilizou uma dependencia linear de J com

q, porem somente encontrou concordancia com os dados experimentais numa regiao restrita,

0.25 < q < 0.45. A proposta de Plascak, Zamora e Alcazar (2000) e, mais recentemente, de

64

0 . 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 80

2 0 8

4 1 6

6 2 4

8 3 2

1 0 4 0

T C (K)

F e ( 1 - q ) A l q

"!Figura 5.4: Diagrama T -q a campo nulo das liga Fe-Al desordenadas. A linha cheia resultano ajuste feito via EFT-1, Equacoes (5.27) e (5.32), e separa as fases ferromagnetica e para-magnetica. Os dados experimentais sao do trabalho de Yelsukov, Voronina e Barinov (1992).As linhas pontilhada e tracejada resultam de ajustes feitos pelos trabalhos de Alcazar, Plascake Silva (1986) e Dias, Sousa e Plascak (2009), respectivamente.

Dias, Sousa e Plascak (2009), foi a utilizacao do modelo de Ising de spin 1/2 com interacoes

entre primeiros e segundos vizinhos, sendo que a interacao de troca entre os primeiros vizinhos

dependeria da primeira potencia da concentracao q enquanto que a interacao entre segundos

vizinhos dependeria da segunda potencia da concentracao q, porem tais esforcos, apesar de

resultarem numa significativa melhora dos resultados teoricos em comparacao com o trabalaho

de Alcazar, Plascak e Silva (1986), nao conseguiram resolver o problema da concordancia teoria

e experimento tanto na regiao anomala quanto no limiar da concentracao crıtica qc.

Dentro do esquema da EFT-1, ha diversas possibilidades nao somente de obtencao de um

melhor descricao de outros diagramas de fase das ligas Fe-Al, mas tambem para extensao de sua

aplicabilidade a descricao das propriedades magneticas de outras ligas, seja atraves do modelo

de Ising de spin 2 ou de outros modelos. Um dos caminhos que podem ser utilizados e a

extensao da abordagem supra citada para aglomerados com um grande numero de componentes,

recurso que, apesar do relativamente elevado custo computacional, pode-se revelar de grande

utilidade para a descricao analıtica de sistemas magneticos desordenados.

65

6 Modelo de Ising com ligacoes mistas eaplicacoes

6.1 Modelo de Ising de spin 1/2 com ligacoes mistas

Para descricao das propriedades magneticas das ligas Fe-Mn por meio da EFT (ver

Secao 2.6), sera utilizado o modelo de Ising com ligacoes mistas em aglomerado com um

spin, sendo que, a partir da expressao para magnetizacao, serao obtidas as outras proprieda-

des magneticas do sistema.

De uma forma geral, o modelo de Ising com ligacoes mistas e descrito pela hamiltoniana

(FREITAS; ALBUQUERQUE; MORENO, 2014)

H = −∑〈i,j〉

Jijσiσj − µBH∑i

σi, (6.1)

em que as variaveis de spins , σi, assumem os valores± 1, a integral de troca Jij varia par a par,

H e o campo magnetico externo aplicado ao sistema sob consideracao e µB e o magneton de

Bohr. As propriedades apresentadas pelo sistema fısico sob consideracao, bem como as fases

que tais sistemas assumem, dependem da expressao para a distribuicao a qual a integral de troca

Jij obedece (SANTOS-FILHO et al., 2007; LARA; DIOSA; LOZANO, 2013). Na abordagem one spin

cluster, a hamiltoniana da Equacao (6.1) assume a forma:

H1 = −σ1

∑j

J1jσj − µBHσ1. (6.2)

O calculo da magnetizacao por sıtio e, a partir dela, de grandezas tais como a susceptibili-

dade, se da da mesma forma que para o modelo de Ising de spin 2, como foi mostrado na Secao

5.3.1. A magnetizacao por sıtio (m = 〈〈σ1〉〉c) e dada por:

m =

⟨⟨Trσ1σ1 e

−βH1

Trσ1 e−βH1

⟩⟩c

, (6.3)

66

em que os detalhes sobre cada sımbolo envolvido na Equacao (6.3) ja foram explicados nas

Secoes 2.6.2 e 5.3.1. Usando a dependencia de H1 com σ1, dada pela Equacao (6.2), em (6.3)

tem-se que a magnetizacao media por sıtio e dada por:

m =

⟨⟨ sinh(K1j

∑j

σj + h)

cosh(K1j

∑j

σj + h)

⟩⟩c

,

m =

⟨⟨tanh(K1j

∑j

σj + h)

⟩⟩c

, (6.4)

em que K ≡ J/kBT , h = µBH/kBT e a soma em j e realizada sobre os vizinhos mais

proximos do spin σj . Por meio da DOT, pode-se reescrever a Equacao (6.4) acima na forma:

m =

⟨⟨Z∏j=1

eK1jσjDx

⟩⟩c

f(x+ h)∣∣x=0

, (6.5)

em que Z e numero de vizinhos mais proximos do spin j e a funcao f(x+ h) e escrita como:

f(x+ h) = tanh(x+ h). (6.6)

Seguindo a mesma abordagem desenvolvida para o modelo de Ising de spin 2, Secao 5.3.1,

pode-se reescrever a Equacao (6.5) em termos de funcoes sinh e cosh, atraves da identidade de

van der Waerden para sistemas de spin 1/2

m =

⟨⟨Z∏j

[cosh(K1jDx) + σj sinh (K1jDx )

]⟩⟩c

, f(x+ h)

∣∣∣∣x=0

, (6.7)

de forma que a expansao da Equacao (6.7) e posterior calculo das medias termica e configura-

cional resultam numa equacao do tipo

m =7∑

n=1

A1,n(K, p, h)mn, (6.8)

sendo que p pode ser a concentracao de ligacoes ferromagneticas na rede de spins, por exemplo,

e tal expansao foi obtida para uma rede bcc, com Z = 8, e os coeficientes A1,n sao obtidos por

meio do calculo das medias configuracionais das funcoes sinh e cosh separadamente, que para

o caso do modelo de Ising com ligacoes mistas, a partir de uma distribuicao de probabilidades

do tipo

P (Jij) = p δ(Jij − J1) + (1− p) δ(Jij − J2), (6.9)

67

podem ser obtidas na forma

〈cosh(KijDx)〉c =

∫cosh(KijDx)P (Jij)dJij,

= p cosh(K1Dx) + (1− p) cosh(K2Dx), (6.10)

〈sinh(KijDx)〉c =

∫sinh(KijDx)P (Jij)dJij,

= p sinh(K1Dx) + (1− p) sinh(K2Dx), (6.11)

em que Ki = Ji/kBT . A combinacao das Equacoes (6.10), (6.11) e (6.7) resulta na Equacao

(6.8).

As interacoes J1 e J2 podem representar, por exemplo, o conjunto de ligacoes existentes

numa liga binaria, de forma que atomos magneticos de um mesmo tipo possam ter uma interacao

do tipo J1, e atomos de tipos diferentes possam interagir com intensidade J2. A ultima pode ser

escrita em termos de J1 = J por meio de um parametro λ, na forma (LYRA; COUTINHO, 1989;

SANTOS-FILHO et al., 2007):

J2 = λ J, (6.12)

em que o paramtro λ e chamado de “parametro de competicao” (pois diz-se que as interacoes

J1 e J2 “competem” de forma a determinar o carater ordenado/desordenado do sistema), pois

o mesmo pode determinar a passagem da ordem para desordem em um sistema magnetico

devido uma possıvel diminuicao da intensidade das ligacoes ao se inserir um outro tipo de

atomo magnetico numa liga, ou mesmo mudar o carater de tal ligacao, por exemplo de ferro

para antiferromagnetica. O carater do modelo em questao pode ser determinado pelo λ da

seguinte forma:

• Se λ = 1, tem-se o modelo de Ising puro, qualquer que seja o valor de p.

• Se λ = 0, tem-se o modelo de Ising com diluicao por sıtios.

• Se λ < 0 e p = 0, tem-se o modelo de Ising puro antiferromagnetico.

• Se λ > 0 e p = 0 ou p = 1, tem-se o modelo de Ising puro ferromagnetico.

O calculo de outras grandezas termodinamicas pode ser feito a partir da Equacao (6.8), de

68

forma que a susceptibilidade, χ, a campo nulo, e dada por (YEOMANS, 1992):

χ0 =∂ m

∂ h

∣∣∣∣∣h=0

,

=∂

∂h

7∑n=1

A1,n(K, p, h)mn,

=7∑

n=1

mn∂A1,n

∂h

∣∣∣∣∣h=0

+7∑

n=1

nmn−1A1,n(K, p, h)∂m

∂h

∣∣∣∣∣h=0

,

=7∑

n=1

mn∂A1,n

∂h

∣∣∣∣∣h=0

+7∑

n=1

nmn−1A1,n(K, p, h)χ0,

ou seja:

χ0

[1−

7∑n=1

nmn−1A1,n(K, p, h)

]=

7∑n=1

mn∂A1,n

∂h

∣∣∣∣∣h=0

,

χ0 =

7∑n=1

mn ∂A1,n

∂h

∣∣∣∣∣h=0

1−7∑

n=1

nmn−1A1,n(K, p, h)

. (6.13)

Nas vizinhancas da temperatura crıtica, T ≈ Tc, m → 0, fazendo com que, desprezando-

se termos de ordem maior, a Equacao (6.8) seja reescrita como:

m = A1,1(K, p, h)m,

A1,1 = 1, (6.14)

ou seja, a partir da Equacao (6.14) pode-se determinar a temperatura de transicao do sistema

magnetico, dado um valor do campo e da concentracao de ligacoes, ou tracar o diagrama Tc(p),

com h = 0. A resolucao numerica das Equacoes (6.8), (6.13) e (6.14) sera utilizada nas

proximas secoes para a obtencao dos diagramas de fase pertinentes a cada sistema fısico estu-

dado.

69

6.2 Aplicacao do modelo ao estudo das ligas Fe-Mn

6.2.1 Introducao

As ligas Fe-Mn em sua fase α apresentam uma estrutura cubica de corpo centrado (bcc,

do ingles body centered cubic) que e observada no intervalo de concentracao 0 < q ≤ 0.2,

sendo q a concentracao de atomos de manganes (PADUANI; PLASCAK; SILVA, 1991; PADUANI;

SILVA; ALCAZAR, 1991; KULIKOV; DEMANGEAT, 1997; EKHOLM; ABRIKOSOV, 2011; MIZRAHI

et al., 2004). Quando o valor de q aumenta, a magnetizacao diminui de forma suave ate um

valor q = 0.11, de forma que o campo hiperfino medio, medido relativamente ao nucleo de

Fe, tambem diminui ate q = 0.2 (PADUANI; PLASCAK; SILVA, 1991; PADUANI; SILVA; ALCAZAR,

1991). As propriedades magneticas dessas ligas tem sido extensivamente estudadas nao so-

mente pelo interesse tecnologico como tambem por constituirem o mais simples e represen-

tativo sistema real a ser descrito pelo modelo de Ising de ligacoes mistas (mixed bond Ising

model). Ha outras caracterısticas interessantes que surgem do estudo de tal sistema quando

o mesmo encontra-se na chamada fase γ, cuja estrutura e a cubica de face centrada (fcc, do

ingles face centered cubic), sendo que uma dessas principais propriedades e o seu caracterıstico

comportamento vıtreo (EKHOLM; ABRIKOSOV, 2011; AEPPLI et al., 1983). Por apresentam tal

comportamente que essas ligas tem servido como base tanto para uma vasta gama de estudos

teoricos quanto experimentais (EKHOLM; ABRIKOSOV, 2011).

Uma das principais caracterısticas de tais ligas e apresentar um comportamento magnetico

que depende fundamentalmente de uma correta descricao das interacoes entre um determinado

momento magnetico da rede e seus vizinhos mais proximos. No trabalho de Lara, Diosa e

Lozano (2013), considerou-se uma distribuicao de probabilidades para a interacao de troca

Jij que depende das ligacoes Fe-Fe (J1), Fe-Mn (−γJ1) e Mn-Mn (−λJ1), de forma que os

parametros γ e λ sao dados por γ = |JFeMn|/|JFeFe| e λ = |JMnMn|/|JFeFe| e tem crucial

importancia, como sera visto adiante, na descricao do diagrama de fases dessas ligas. Em

trabalho recente, Lara et al. (2009) consideraram distribuicoes de probabilidades assimetricas

para descrever de forma correta a fase vidro de spin tanto das ligas Fe-Mn-Al quanto das ligas

Fe-Ni-Mn. E interessante notar que esse carater assimetrico das interacoes entre os momentos

magneticos nao e somente encontrado em ligas ternarias, mas tambem nas ligas Fe-Mn, como

foi evidenciado pelo trabalho de Freitas, Albuquerque e Moreno (2014).

Neste capıtulo, a EFT-1 sera utilizada para a descricao das propriedades magneticas das

ligas Fe-Mn, cujo modelo para descreve-las, Ising de interacoes mistas, foi descrito em seus

pormenores na Secao 6.1. Os diagramas de fase obtidos por meio da referida tecnica serao

70

mostrados e discutidos, com maior atencao a descricao do diagram T − q de tais ligas em

sua fase α, bem como semelhancas e diferencas entre o comportamento desse sistema e de

ligas ternarias serao discutidas, alem da descricao das limitacoes da EFT na modelagem das

propriedades magneticas desse tipo de liga.

6.2.2 Resultados

Para estudar o diagrama T − q das ligas Fe-Mn em sua fase α, segue-se o mesmo

procedimento adotada para as ligas Fe-Al, com a diferenca que o modelo utilizado e o Ising

de spin 1/2 com ligacoes mistas. A introducao de atomos de Mn na liga produz uma variacao

na interacao de troca (FREITAS; ALBUQUERQUE; MORENO, 2014; PADUANI; PLASCAK; SILVA,

1991), dessa forma sugere-se que a interacao ferromagnetica J1 obedece a seguinte distribuicao

de probabilidades:

P (J1) = (1− q)δ(J1 − J+) + qδ(J1 − J−). (6.15)

De acordo com a abordagem feita por Freitas, Albuquerque e Moreno (2012), e com base

nos dados experimentais obtidos em Paduani, Plascak e Silva (1991) e Paduani, Silva e Alcazar

(1991), sera considerado que a interacao entre primeiros vizinhos (Fe-Fe, Fe-Mn ou Mn-Mn),

sera dada pela seguinte expressao:

J± = J0 ·

(1± γ

λ(q + q2)

), (6.16)

em que J0 = 12.8meV e o acoplamento ferromagnetico para o Fe puro (PLASCAK; ZAMORA;

ALCAZAR, 2000; PADUANI; SILVA; ALCAZAR, 1991), e γ/λ = |JFeMn|/|JMnMn| ≈ 1.67,

com γ = 0.05 e λ = 0.03, que sao parametros obtidos experimentalmente (PADUANI; SILVA;

ALCAZAR, 1991). Esse resultado indica que a interacao Mn-Mn e maior que a interacao Fe-Mn e

tem significativa influencia sobre os resultados teoricos obtidos, como sera visto mais adiante. A

dependencia da interacao J± com a concentracao q de atomos de manganes de forma semelhante

a de um modelo para sistemas diluıdos (FREITAS; ALBUQUERQUE; MORENO, 2012) encontra su-

porte tambem em trabalhos experimentais feitos com ligas Fe-Ni, por exemplo (KAUL, 1983).

Com comportamento um pouco diferente daquele obtido para ligas Fe-Al, o parametro de rede,

r(q), para ligas Fe-Mn permanece aproximadamente constante para q < 0.11 e aumenta com o

quadrado da concentracao de Mn ate o intervalo considerado para a fase α, q − 0.2 (PADUANI;

PLASCAK; SILVA, 1991; PADUANI; SILVA; ALCAZAR, 1991). Esta variacao da curva r(q) implica,

como demonstrado no trabalho de Freitas, Albuquerque e Moreno (2012), em uma variacao no

71

parametro de troca J1, como evidenciado pela Equacao (6.16), sugerindo dois comportamentos

distintos: i) J1 aumenta (e mantem-se ferromagnetica), com probabilidade p = 1 − q, no in-

tervalo 0 < q < 0.11; ii) J1 diminui, com probabilidade q, no intervalo 0.11 < q < 0.2, com

possibilidade de tornar-se antiferromagnetica. Dessa forma, o acoplamento J1 aumenta para

baixas concentracoes de Mn e diminui para altas concentracoes ate o limite q = 0.2; quando ha

somente atomos de Fe na rede o comportamento e o esperado: J1 = J0.

A partir desse ponto, foi realizado o adequado tratamento numerico relativamente simples,

atraves de alguns programas computacionais, tais como o Maple© e o Maxima, para obtencao

dos diagramas de fase que serao mostrados a parti daqui, obtidos de acordo com o tratamento

teorico realizado na Secao 6.1. A partir da interacao de troca definida pela Equacao (6.16),

a concordancia da abordagem teorica com os dados experimentais que serao mostrados mais

adiante se da de forma bastante satisfatoria, principalmente para o diagrama T − q, em todo o

intervalo para o qual a liga Fe-Mn encontra-se na fase α, ou seja, 0 ≤ q < 0.2. Primeiro serao

discutidos os resultados referentes a outros diagramas de fase, como segue.

O primeiro passo para o entendimento do carater da transicao de fase de um determinado

sistema fısico em certo intervalo de temperatura e o estudo do comportamento do parametro

de ordem relacionado. No caso de sistemas ferromagneticos, o estudo do comportamento da

magnetizacao por sıtio fornece um bom panorama sobre as propriedades gerais de tais sistemas

fısicos.

Do grafico da Figura 6.1, pode-se perceber que o comportamento da magnetizacao por

sıtio como funcao da temperatura e tıpico de um ferromagneto e, a partir dessa consideracao,

pode-se inferir que a transicao envolvida, no intervalo de concentracao de atomos de Mn con-

siderado, e contınua. Ela mantem-se praticamente constante em temperaturas desde T ≈ 400

K ate T ≈ 800 K, o que mostra que, na fase α, tal liga pode ter aplicacoes em tecnologia, ja

que apresenta magnetizacao espontanea em temperatura ambiente. O efeito de acrescentar um

maior numero de atomos de Mn faz com que o valor da temperatura de transicao, Tc, diminua,

resultado consistente tanto com os dados experimentais (PADUANI; PLASCAK; SILVA, 1991; PA-

DUANI; SILVA; ALCAZAR, 1991) quanto com outras formulacoes teoricas envolvendo o modelo

de Ising com ligacoes mistas (SANTOS-FILHO et al., 2007; PADUANI; PLASCAK; SILVA, 1991).

Essa diminuicao caracterıstica de Tc com a insercao de outros atomos na liga pode ser, a

princıpio, “pensada” como exclusiva de sistemas que apresentam diluicao magnetica, tais como

as ligas Fe-Al, porem esta presente nao so em ligas nao diluıdas como as Fe-Mn, alem das ligas

Fe-Cr (JENA; SANYAL; MOOKERJEE, 2014), Fe-Ni ou Fe-Ni-Mn (KAUL, 1983; LARA et al., 2009),

por exemplo. Isso ocorre porque, no caso de ligas Fe-Mn, por exemplo, a insercao de atomos

72

0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0 1 2 0 00 . 0

0 . 5

1 . 0

q = 0 q = 0 . 0 5 q = 0 . 1 q = 0 . 1 5 q = 0 . 2

M/M 0

T ( K )Figura 6.1: Magnetizacao por sıtio em funcao da temperatura, para varias concentracoes de Mnem ligas Fe-Mn. Pode-se observar que, no intervalo considerado, 0 ≤ q ≤ 0.2, a magnetizacaoem tais ligas e praticamente constante (e maxima) em temperatura ambiente.

de manganes enfraquece as ligacoes magneticas da rede fazendo com que o ordenamento de

longo alcance seja um pouco mais facilmente quebrado com o aumento da temperatura, fa-

zendo o sistema chegar a desordem tambem pela competicao entre interacoes ferromagneticas

e antiferromagneticas presentes nestes tipos de ligas.

No grafico da Figura 6.2, ve-se a variacao da susceptibilidade, χ, como funcao de tempera-

tura reduzida, obtida a partir da Equacao (6.13). Todas as curvas, independente da concentracao

q considerada, divergem na vizinhanca de Tc, como seria esperado, mesmo para uma aproximacao

do tipo EFT-1. A medida em que os valores de q aumentam (ate o limite q = 0.2), os valores de

Tc (na verdade kBTc/J) diminuem de forma discreta. Essa caracterıstica esta de acordo com o

que geralmente se obtem para χ(T ) via tecnicas de tais como a EFT com variados tamanhos de

clusters ou mesmo a Aproximacao de Campo Medio (MFA).

Um sumario desses resultados pode ser visto no diagrama T − q para ligas Fe-Mn, no

grafico da Figura 6.3. A curva Tc(q) foi obtida por meio da resolucao numerica da Equacao

(6.14), com campo H = 0, conforme apresentado na Secao 6.1. Observa-se que ha bom acordo

entre o modelo aqui utilizado, com base especialmente nas Equacoes (6.15) e (6.16), a depender

dos parametros experimentalmente obtidos, γ e λ. Com base nos trabalhos de (PADUANI; SILVA;

73

0 2 4 6 80 . 0

0 . 1

0 . 2

0 . 3

q = 0 q = 0 . 0 5 q = 0 . 1 q = 0 . 1 5 q = 0 . 2

Susce

ptibili

dade

k B T / JFigura 6.2: Susceptibilidade em funcao da temperatura na abordagem da EFT 1.

ALCAZAR, 1991) e (PADUANI; PLASCAK; SILVA, 1991), os valores obtidos para γ e λ sao 0.05 e

0.03, respectivamente, de modo que a razao γ/λ ≡ |JMnMn|/|JFeMn| ≈ 1, 67. Tais parametros

sao importantes no presente trabalho e casos-limite dessa razao sao mostrados no grafico da Fi-

gura 6.3, sendo que os dados experimentais foram obtidos nas referencias (PADUANI; PLASCAK;

SILVA, 1991; PADUANI; SILVA; ALCAZAR, 1991; AEPPLI et al., 1983; NAS et al., 2006).

Nos casos-limite, γ λ e γ = λ, nao somente o comportamento da curva Tc(q) e linear

como os valores de q para os quais a temperatura crıtica alcanca os 800 K estao bem abaixo

daquele obtido experimentalmente. Por outro lado, espera-se que, para o modelo de Ising de

spin 1/2, a taxa de variacao dTc/dq diminua de forma mais “suave”, em particular para q < 0, 1,

como indicam os trabalhos de Plascak, Zamora e Alcazar (2000), Beutler et al. (2005) e Dias,

Sousa e Plascak (2009). Para q < 0, 2, os resultados obtidos indicam que o forte acoplamento

ferromagnetico J1 influencia bastante a magnetizacao espontanea das ligas Fe-Mn.

Uma questao interessante que esta diretamente relacionada ao comportamento magnetico

das ligas Fe-Mn e a probabilidade de se encontrar um atomo de Fe em um dado sıtio da rede.

Um modelo fenomenologico para discutir tal questao foi inicialmente proposto por Restrepo,

Alcazar e Gonzalez (2000), tomando como base o trabalho de Alcazar, Plascak e Silva (1986).

Nesse trabalho, Restrepo, Alcazar e Gonzalez (2000) consideram que esse e um problema

74

0 1 0 2 08 0 0

9 0 0

1 0 0 0

1 1 0 0

d )c )

b )

a ) E F T 1b ) D a d o s e x p .c ) γ < < λd ) γ = λ

% M n

T c (K)

F e ( 1 - q ) M n q

a )

Figura 6.3: Diagrama de fases das ligas α-Fe-Mn. a) Ajuste feito no presente trabalho, Equacao(6.14). d) Representa a Equacao (6.14) com γ = λ. c) Linha Tc(q) com γ λ (γ/λ = 0.01).b) Sao os dados experimentais.

identico aquele da percolacao e utilizaram uma lei de potencia do tipo

〈H〉 ∝

(1− p

pc

)β

, (6.17)

em que 〈H〉 e a probabilidade p de encontrar um atomo de Fe num sıtio i, pc e a concentracao

crıtica de atomos de Fe abaixo da qual nao ha ordenamento na rede e β e um expoente crıtico

determinado por meio de ajuste experimental. Em tal modelo, a probabilidade de encontrar de-

terminado atomo de Fe num sıtio coincide com o campo hiperfino medio medido relativamente

aos atomos de ferro, obtido por meio de espectroscopia Mossbauer. De fato, e o numero de

spins na vizinhanca de determinado sıtio que, devido as interacoes de curto alcance, faz com

que um sistema magnetico atinja a ordem de longo alcance. Sendo assim, com base no trabalho

de Alcazar, Plascak e Silva (1986), propoe-se nesta tese uma expressao para o campo hiperfino

medio na forma:

H

H0

= (1− q) z ·m, (6.18)

em que z e o numero de coordenacao (para ligas Fe-Mn, z = 8), m e a magnetizacao por sıtio

calculada por meio da Equacao (6.8), e H0 = 28.5 ± 0.6 T (RESTREPO; ALCAZAR; GONZALEZ,

2000). A Equacao 6.18 mostra que a medida em que a concentracao q de atomos de Mn cresce,

devido ao enfraquecimento das interacoes magneticas, ha (de forma analoga a magnetizacao)

uma reducao do campo hiperfino medio, resultado este que esta de acordo com os dados expe-

75

rimentais, como mostra o grafico da Figura 6.4.

0 1 0 2 00 . 8

0 . 9

1 . 0 F e ( 1 - q ) M n q E F T 1 D a d o s e x p .

% M n

H/H0

Figura 6.4: Campo hiperfino como funcao da concentracao de atomos de Mn em ligas α-Fe-Mn,em T ambiente. Pode-se ver um comportamento um pouco diferente da magnetizacao, pois haum decrescimo praticamente linear de H ate q ≈ 0.15 (15 % Mn), o que indica que a presencade atomos de Mn afeta o ordenamento ferromagnetico da liga.

Pode-se ver na Figura 6.4 que ha uma diminuicao linear do campo hiperfino medio como

funcao da concentracao de atomos de Mn, comportamento esse que difere fundamentalmente

do observado no caso do diagrama M(T ), Figura 6.1 (ver trabalho de Paduani, Silva e Alcazar

(1991)). Esse decrescimo linear ocorre ate q ≈ 0.15, sendo que a partir desse valor ha uma

queda um pouco mais suave do campo hiperfino medio como funcao de q. A concordancia

teoria-experimento nao e boa na regiao 0.1 < q . 0.18. A utilizacao de outras tecnicas, tais

como o metodo Monte Carlo, ou o aumento no numero de spins do aglomerado (via EFT)

poderiam vir a melhorar tal concordancia.

Em geral, os resultados obtidos ao se aplicar o modelo de Ising de spin 1/2 a ligas Fe-Mn

e satisfatorio, espcialmente quando se considera que a abordagem aqui utilizada leva em conta

apenas um componente do aglomerado considerado. Tal procedimento e computacionalmente

mais economico em relacao a outras tecnicas, tais como a simulacao Monte Carlo, e mais

preciso que a aproximacao de Campo Medio, o que torna a EFT uma tecnica viavel para possıvel

aplicacao em varios outros sistemas nao somente para a descricao de transicoes do tipo ferro-

paramagnetica como tambem para outros tipos de ordenamentos magneticos, tais como as fases

vidro de spin ou gelo de spin e redes que apresentam frustracao geometrica tais como as redes

76

kagome ou pirocloro (GARCIA-ADEVA; HUBER, 2001).

6.3 Aplicacao do modelo ao estudo das ligas Fe-Mn-Al

6.3.1 Introducao

As ligas Fe-Mn-Al constituem o que se pode considerar como mais simples e completo

sistema real a apresentar, de forma combinada, tanto a diluicao por sıtios quanto a mistura de

ligacoes, o que leva a um comportamento um pouco diferente daquele observado em ligas Fe-Al

e Fe-Mn. Esse comportamento diferenciado nao se limita as propriedades magneticas de tais

ligas, estendendo-se as suas propriedades estruturais fazendo com que sejam fortes candidatas

a utilizacao como substitutas ao aco inoxidavel, bem como aplicacoes que necessitem de mate-

riais com alta resistencia a corrosao (LARA; DIOSA; LOZANO, 2013), e isso tudo aliado ao baixo

custo de producao que tal classe de materiais apresenta.

No que diz respeito ao comportamento magnetico dessas ligas, o diagrama de fases por

elas apresentado e rico e sua configuracao depende fortemente da composicao de cada um dos

seus constituintes (LARA et al., 2009). As ligas Fe-Mn-Al em sua fase desordenada apresenta

estrutura bcc e pode, do ponto de vista magnetico, ser encontrada basicamente em cinco fases:

ferromagnetica (F), antiferromagnetica (AF), paramagnetica (P), vidro de spin (SG, do ingles

spin glass) e vidro de spin reentrante (RSG, do ingles reentrant spin glass). Concentracao

de atomos de Al e/ou Mn e campo magnetico aplicado sao fatores determinantes para que o

sistema apresente todas essas fases ou somente algumas delas em uma temperatura T (RIVERA;

ALCAZAR; PLASCAK, 1990; ZAMORA et al., 1997).

Outro fator de interesse no estudo de tais ligas e a possibilidade de que as mesmas venham a

servir de testes para modelos teoricos tais como os de Ising (RIVERA; ALCAZAR; PLASCAK, 1990;

ZAMORA et al., 1997) ou Blume-Capel (LARA et al., 2009; LARA; DIOSA; LOZANO, 2013), bem

como de tecnicas analıticas, como a Aproximacao de Campo Medio e EFT, ou computacionais,

tais como a simulacao Monte Carlo.

Na proxima secao, serao mostrados resultados, por meio de diagramas de fase, obtidos

atraves da aplicacao da EFT-1 para o modelo de Ising com ligacoes mistas, desenvolvido na

Secao 6.1. Toda a analise vai se concentrar no estudo das ligas Fe-Mn-Al desordenadas (na

qual os atomos aleatoriamente se distribuem numa rede bcc) na transicao ferro-paramagnetica,

sendo que, mesmo assim, alguns resultados obtidos apontam indiretamente para a existencia

da fase vidro de spin (ou vidro de spin reentrante), buscando sempre focar no comportamento

77

de tal sistema fısico em “temperatura ambiente”, sinalizando a possibilidade de aplicacoes tec-

nologicas dessas ligas em magnetismo.

6.3.2 Resultados

O estudo das propriedades magneticas de sistemas fısicos que toma por base o conceito

de ordem-desordem deve, inicialmente, se dar pela analise do comportamento do parametro de

ordem do sistema, que no caso da transicao ferro-paramagnetica em ligas ternarias tais como

a Fe-Mn-Al (FepMnxAlq), e a magnetizacao. Em sua fase desordenada (ALCAZAR; PLASCAK;

SILVA, 1988; LARA et al., 2009; LARA; DIOSA; LOZANO, 2013), a distribuicao de atomos de Fe,

com probabilidade p, Mn, com probabilidade x, e Al, com probabilidade q, se da forma aleatoria

e pode ser representada por uma distribuicao de probabilidades do tipo (ALCAZAR; PLASCAK;

SILVA, 1988; LYRA; COUTINHO, 1989; RIVERA; ALCAZAR; PLASCAK, 1990)

P (Jij) = pδ(Jij − J) + xδ(Jij + αJ) + qδ(Jij), (6.19)

em que p + x + q = 1, J representa as ligacoes entre atomos Fe-Fe e α representa o parametro

de competicao (α > 0), de forma que as ligacoes antiferromagneticas Fe-Mn e Mn-Mn sao des-

critas em termos de αJ (para o caso das ligas Fe-Mn-Al, sera utilizado o valor JFeFe = J0 = 19

meV, ver referencia Lara et al. (2009)). A escolha do parametro de competicao e de extrema im-

portancia para a determinacao correta das propriedades termodinamicas do sistema em questao

e, em geral, e determinada empiricamente, nao sendo apenas uma suposicao teorica sem emba-

samento nos dados experimentais (ALCAZAR; PLASCAK; SILVA, 1988; LARA et al., 2009). Como

bem descrito nas secoes 6.1 e 6.2.2, e a relacao entre as interacoes dos diversos componentes

magneticos do sistema que determina seu comportamento fısico.

O comportamento do diagrama M -T , mostrado no grafico da Figura 6.5, para p = 0, 5,

segue o padrao convencional, tambem encontrado para outras ligas binarias tais como a Fe-Al

e Fe-Mn, como se pode ver nas secoes 5.4 e 6.2.2, variando continuamente desde um valor

aproximadamente constante, em baixas temperaturas, para a diminuicao a zero em T = Tc.

A diferenca fica por conta dos diagramas obtidos para p = 0, 45 e, principalmente, para p =

0, 4. Nessas concentracoes, a magnetizacao por sıtio apresenta uma queda abrupta em baixas

temperaturas, para depois variar conituamente em valores intermediarios de T , ate que vai a

zero em T = Tc. Essa queda abrupta em baixas temperaturas, segundo Zamora et al. (1997),

e um indıcio do surgimento, em baixas temperaturas, de uma fase vıtrea (vidro de spin ou

vidro de spin reentrante, a depender da concentracao de Al na liga). A explicacao dada por

tais autores e a que segue: em altas temperaturas, a maior parte dos spins da rede se mantem

78

0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 00 . 0

0 . 5

1 . 0 p = 0 . 5 p = 0 . 4 5 p = 0 . 4

T ( K )

F e p M n ( 0 . 7 - p ) A l 0 . 3

Figura 6.5: Magnetizacao por sıtio em funcao da temperatura, para varias concentracoes de Feem ligas FepMnxAlq, com x = 0, 7− p e q = 0, 3. Observa-se que, acima de 45 % de atomo deFe na liga, ha ordenamento em temperatura ambiente. O comportamento da curva M − T , parap = 0.4, distoa das demais e indica a possibilidade de existencia de uma fase vıtrea em baixastemperaturas.

desalinhada. Abaixo da temperatura crıtica, Tc, o forte acoplamento ferromagnetico tenderia

a alinhar a maior parte dos spins numa liga Fe-Mn-Al com concentracao media p < 0, 5 de

atomos de Fe, porem outro percentual de spins da rede “resistiria” a esse ordenamento devido,

principalmente, a desordem estrutural, diluicao por sıtios e interacoes mistas. Com as interacoes

mistas e a desordem, surgiria a frustracao magnetica e ocorreria o “congelamento” desses spins,

caracterizando, assim, a fase vıtrea. No mesmo trabalho, os autores confirmam tal suposicao

por meio da analise do diagrama T -p das ligas Fe-Mn-Al, em que p e a concentracao de atomos

de ferro (ZAMORA et al., 1997).

A construcao dos diagramas de fase foi feita com base num parametro de competicao

α = 1, 25, tomado com base nos trabalhos de (LARA et al., 2009) e (LARA; DIOSA; LOZANO,

2013). O modelo considerado, Ising de spin 1/2 em presenca de campo magnetico externo, vem

ha muito sendo usado como padrao para descricao das propriedades magneticas dessas ligas.

Praticamente todos os trabalhos envolvendo tal modelo aplicado a ligas Fe-Mn-Al lidam com

a Aproximacao de Campo Medio ou suas variantes (por exemplo, a extended MFRG, (LARA;

DIOSA; LOZANO, 2013)). A proposta de utilizacao da EFT-1 para descricao de ligas ternarias e

79

nova e sua concordancia com os dados experimentais demonstra que a mesma e uma simples e

poderosa ferramenta para descricao de tais sistemas.

0 . 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 50 . 0

0 . 5

1 . 0 T = 1 5 K T = 3 0 0 K

F e ( 1 - x - 0 . 3 ) M n x A l 0 . 3

Figura 6.6: Magnetizacao por sıtio como funcao da concentracao de atomos de Mn. Percebe-seque nao ha grande variacao da concentracao xc acima da qual M vai a zero, mesmo em umrelativamente grande intervalo de T (15 K< T < 300 K), resultado que concorda com ostrabalhos de Zamora et al. (1997).

O grafico da Figura 6.6 mostra que a influencia da temperatura na determinacao da concentra-

cao crıtica xc de atomos de Mn e relativamente pequena. Foram tracadas duas curvas para va-

lores bem distantes de T , a saber T = 15 K e T = 300 K. Os valores encontrados para xcforam, respectivamente, xc = 0.319 e xc = 0.253, o que mostra baixa influencia de T nos

valores de xc e que um diagrama T versus xc teria baixa declividade. Fisicamente, isso indica

que os papeis da energia termica e das interacoes competitivas sao distintos para a determinacao

do estado de ordem-desordem do sistema: para formacao de uma fase vıtrea, por exemplo, e

necessario nao somente estar em baixas temperaturas como, tambem, apresentar frustracao por

meio da competicao (interacoes mistas), por exemplo (OSORIO et al., 2003; CONTRERAS et al.,

2005; LARA et al., 2009; LARA; DIOSA; LOZANO, 2013).

Os diagramas das Figuras 6.5 e 6.6 foram obtidos com base na media termica e configura-

cional da Equacao (6.7), utilizando-se a Equacao (6.19), sua posterior expansao numa equacao

do tipo da (6.8) e resolucao numerica da mesma. A resolucao da Equacao (6.14) fornece um

resumo, tal qual o mostrado nas Figuras 5.4 e 6.3, do estudo da transicao ferro-paramagnetica

80

0 . 4 0 . 5 0 . 61 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0F e p M n ( 0 . 7 - p ) A l 0 . 3

P

D a d o s e x p . E F T - 1

T c (K)

F

Figura 6.7: Diagrama de fases temperatura crıtica versus concentracao p em ligas FepMnxAlq,com q = 0, 3 e x = 0, 7 − p. Observa-se boa concordancia teoria-experimento em todo ointervalo de p considerado. O comportamento da curva T − p dessas ligas ternarias e convenci-onal e nao apresenta anomalias como no caso das ligas Fe-Al. Fonte dos dados experimentais:(ZAMORA et al., 1997).

no caso das ligas Fe-Mn-Al.

O grafico da Figura 6.7 mostra que ha uma variacao praticamente linear de Tc com p, espci-

almente em p > 0.45, ou seja, na regiao acima da qual a magnetizacao nao apresenta comporta-

mento anomalo, fora da fase vıtrea. Esse comportamento e o convencional obtido por meio de

modelos de spins tais como o de Heisenberg (SALAZAR et al., 2002; ALCAZAR; PLASCAK; SILVA,

1986). Verifica-se desse grafico que, a medida que a concentracao de atomos de Fe cresce, o

valor da temperatura de transicao tambem cresce, mesmo com a presenca de 30 % de atomos de

Al, que sao os diluidores, e de ligacoes competitivas, provenientes da insercao de uma fracao

de atomos de Mn (10% de atomos de manganes para 60% de atomos de ferro), que mesmo

sendo inferior a 20 %, podem modificar de forma significativa o comportamento magnetico da

liga, provocando a existencia de uma fase vıtrea em baixas temperaturas (ZAMORA et al., 1997;

LARA; DIOSA; LOZANO, 2013).

Comparativamente ao caso das ligas Fe-Mn, e utilizando a Equacao (6.18), foi feita uma

analise do campo hiperfino medio, medido relativamente ao atomo de Fe, para o caso das ligas

Fe-Mn-Al. Como ja explicado na secao 6.2.2, o objetivo aqui e estudar a probabilidade de se

81

0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 50 . 0

0 . 5

1 . 0 J = 1 9 m e VT = 3 0 0 K

α = 1 . 2 5x = 0 . 1

E F T 1 D a d o s e x p .

F e ( 1 - x - q ) M n x A l q

Figura 6.8: Campo hiperfino medio como funcao da concentracao de atomos de Al, em tempe-ratura ambiente e com x = 0.1. A variacao de H se assemelha muito a da magnetizacao. Dadosexperimentais: (ALCAZAR; PLASCAK; SILVA, 1988).

encontrar um componente magnetico num sıtio i da rede. Desta vez, tal componente magnetico

pode ser um atomo de Fe ou de Mn. A queda no valor de H nao e tao abrupta como no

caso das ligas Fe-Mn e uma explicacao plausıvel para a diferenca nesse comportamento e a

propria interpretacao de qual tipo de probabilidade se quer determinar agora: nao e somente a

probabilidade de encontrar um atomo de Fe num determinado sıtio da rede, mas sim determinar

a probabilidade de se encontrar qualquer atomo magnetico, seja ele Fe ou Mn, ou seja, ha,

mesmo em pequenas concentracoes de Al, uma probabilidade que chega proxima dos cem por

cento de encontrar-se um atomo de Fe ou Mn num determinado sıtio da rede.

No mais, o grafico da Figura 6.8 mostra excelente acordo entre o modelo teorico pro-

posto na Secao 6.1, juntamente com a tecnica utilizada, a EFT-1, e os dados experimentais.

Mesmo estudo que utilizaram outros modelos, tais com o de Blume-Capel (LARA et al., 2009;

LARA; DIOSA; LOZANO, 2013), ou tecnicas mais apuradas, tais como a tecnica de Monte Carlo

(RESTREPO; GRENECHE, 2005) nao obtiveram resultados muito superiores aos aqui encontra-

dos, havendo ate maior discordancia teoria-experimento. Tais comparativos demonstram tanto

a eficacia do modelo de Ising em descrever sistemas magneticos desordenados como o poder e

aplicabilidade da EFT. Outras possibilidades tais como a descricao da fase vıtrea das ligas Fe-

Mn-Al bem como de outros tipos de sistemas magneticos desordenados entram nas perspectivas

82

e serao propostos na proxima secao.

83

7 Consideracoes finais e perspectivasfuturas

Neste trabalho, estudou-se a aplicabilidade dos modelos de Ising de spin 2 com diluicao

por sıtios, e spin 1/2 com ligacoes mistas, por meio da Teoria de Campo Efetivo (EFT), a

descricao de varios diagramas de fase de ligas Fe-Al, Fe-Mn e Fe-Mn-Al. A identidade de

Van der Waerden para sistemas de spin 2 foi obtida e todo o diagrama de fases das ligas Fe-Al

foi descrito, com enfase na utilizacao de uma expressao fenomenologica para a interacao de

troca como funcao da concentracao de atomos de alumınio. Demonstrou-se tambem que as

aproximacoes utilizadas para resolucao das equacoes oriundas do modelo de Ising de spin 2

conduzem a resultados satisfatorios, tanto do ponto de vista qualitativo como quantitativo.

No Capıtulo 2, foi descrita a fundamentacao teorica que da embasamento ao trabalho. Bre-

ves textos sobre transicoes de fase, escala de Widom, teoria de Landau e Grupo de Renormalizacao

foram escritos com base nas referencias citadas. A Teoria de Grupo de Renormalizacao foi

exemplificada atraves de sua aplicacao ao modelo de Ising em uma dimensao. Este mesmo

modelo foi resolvido analiticamente e, nas secoes seguintes, foram discutidas com um maior

numero de detalhes a EFT, com exemplos de sua aplicacao a aglomerados com um e dois spins,

alem de uma descricao dos principai conceitos utilizados em desordem magnetica.

No Capıtulo 5, foram descritas algumas das principais propriedades do modelo de Ising de

spin 2 com diluicao por sıtios, bem como a identidade de Van der Waerden para spin S = 2. Os

valores obtidos para a temperatura crıtica do modelo puro foram comparados com os obtidos por

outras tecnicas. Esse modelo foi aplicado ao estudo do diagrama T -q das ligas Fe-Al, principal

objetivo de se estudar tal modelo.

O modelo de Ising de spin 1/2 com ligacoes mistas foi analisado no Capıtulo 6, sendo que

todos os resultados foram obtidos por meio da EFT-1. Uma expressao fenomenologica para

a interacao de troca em ligas Fe-Mn tambem foi proposta, com base em expressoes obtidas

para ligas Fe-Al, Fe-Ni e Fe-Ni-Mn. Os diagramas descritos, a saber, magnetizacao e suscep-

tibilidade como funcoes da temperatura, temperatura crıtica como funcao da concentracao de

84

atomos de manganes, alem do campo hiperfino medio como funcao da concentracao de atomos

de manganes, foram descritos com boa concordancia com os dados experimentais.

Por meio da mesma tecnica e do modelo de Ising com ligacoes mistas, agora aplicado

ao estudo de ligas Fe-Mn-Al, foram descritos os diagramas de magnetizacao como funcao da

temperatura; magnetizacao como funcao da concentracao de atomos de alumınio; magnetizacao

como funcao da concentracao de atomos de manganes; campo hiperfino medio como funcao da

concentracao de atomos de alumınio e o diagrama da transicao ferro-paramagnetica para essas

ligas. Tambem foi encontrada boa concordancia teoria-experimento nesse caso.

Tais resultados indicam que existe grande potencial para aplicacao de modelos classicos,

tal como o de Ising, para o estudo das propriedades magneticas de sistemas reais, especialmente

com a utilizacao da EFT. Tal tecnica continua servindo como alternativa viavel a outras tambem

muito utilizadas, a exemplo da tecnica Monte Carlo e da Aproximacao de Campo Medio, com

a vantagem do relativamente reduzido custo computacional empregado para a obtencao dos

diagramas de fase e os bons resultados quantitativos alcancados atraves da mesma.

Como perspectivas de trabalhos futuros, pode-se elencar alguns problemas relacionados a

sistemas magneticos desordenados cujas solucoes podem ser obtidas por meio de apllicacoes de

modelos classicos via tecnicas analıticas. Um desses problemas consiste na completa descricao

do diagrama H-T das jarositas de ferro, compostos da famılia MFe3(OH)6(SO4)2, em que o

ıon M pode ser K, Ag ou Rb, por exemplo (GROHOL et al., 2005; MATAN et al., 2011; FUJITA et

al., 2012). Esse diagrama apresenta um ponto tricrıtico e, em trabalho ainda nao publicado, de

acordo com Freitas e Albuquerque (2014), pode ser previsto atraves do modelo XY. Para descre-

ver tal sistema por meio do modelo anteriormente citado, os autores utilizaram a Aproximacao

de Campo Medio via Metodo Variacional.

Tambem nao foi explorado, neste trabalho, a dependencia das grandezas fısicas estudadas

com relacao ao campo magnetico externo aplicado. Pretende-se, em trabalhos futuros, des-

crever a dependencia do diagrama M -q com o campo aplicado tanto para ligas Fe-Mn quanto

para ligas Fe-Mn-Al. A aplicacao de um campo magnetico pode alterar significativamente o

comportamento da funcao M(q), como evidencia o trabalho de Restrepo, Alcazar e Gonzalez

(2000). Outros diagramas, a exemplo do M -H , tambem podem ser descritos por meio da EFT

em trabalhos futuros.

Outra possibilidade e estudar o efeito da aplicacao de um campo aleatorio nas propriedades

magneticas descritas por meio do modelo de Ising de spin S = 2. Pode-se citar como exemplo

(sabe-se que existem outros trabalhos) o artigo de Albuquerque, Alves e Arruda (2005), que

mostra que o modelo de Heisenberg de spin 1/2 com campo aleatorio apresenta propriedades

85

de reentrancia e pontos tricrıticos, comportamento distinto do modelo na ausencia de campo

aplicado. A possibilidade de que o modelo de Ising de spin 2 com campo aleatorio venha a

apresentar propriedades semelhantes, ou mesmo outras ainda nao descritas na literatura, motiva

a utilizacao de tal abordagem para o mesmo.

Recentemente, Kaneyoshi (2014) estudou a aplicacao da EFT a filmes finos que apresentam

diluicao por sıtios ou ligacoes mistas. Tal estudo ficou restrito, a princıpio, a aplicacao do

modelo de Ising a filmes com duas camadas. Uma possibilidade e aplicar o modelo de Ising

com spin s > 1/2 via EFT a filmes com mais que duas camadas, ou ate mesmo utilizar a

Tecnica de Monte Carlo para simular tais sistemas.

Aumentar o numero de spins no cluster e uma alternativa para melhorar os resultados ob-

tidos, especialmente dos valores encontrados tanto para a temperatura crıtica quanto para a

concentracao crıtica, qc, no caso do modelo com diluicao por sıtios. O trabalho de Ricardo de

Sousa (2014) evidencia que tal procedimento pode ser efetuado, inclusive, em modelos com

spin S > 1/2, melhorando consideravelmente os resultados obtidos.

A utilizacao do termo de campo cristalino na hamiltoniana do modelo de Ising de spin

S = 2, Equacao (5.1), pode ser de extrema utilidade para a descricao de outros sistemas

que apresentam diluicao magnetica, a exemplo do Rb2Co1−xMgxF4 (BINEK; KLEEMANN, 1998)

e do FexZn1−xF2 (BARBOSA; RAPOSO; COUTINHO-FILHO, 2003; LIMA et al., 2012). Tais sis-

temas apresentam forte anisotropia e a correta descricao de seus diagramas de fase passa pela

incorporacao do termo de campo cristalino. A diluicao, nesses sistemas, em especial no FexZn1−xF2,

pode, inclusive, combinada com a interacao entre segundos vizinhos, leva ao aparecimento de

uma fase vıtrea em baixas temperaturas (BARBOSA; RAPOSO; COUTINHO-FILHO, 2003).

Por fim, outros planos futuros incluem o estudo e desenvolvimento de novas tecnicas dentro

do escopo da Teoria de Grupo de Renormalizacao para determinacao de valores da temperatura

crıtica e expoentes crıticos para diversos tipos de redes, a exemplo do que foi feito nos trabalhos

de Fittipaldi (1994) e Jurcisin, Bobak e Jascur (1996). O principal objetivo e redefinir o tama-

nho dos clusters considerados, bem como levar em conta correlacoes entre os vizinhos mais

proximos.

86

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91

APENDICE A -- Artigos publicados

•FREITAS, A. S., ALBUQUERQUE, D. F. de, FITIPALDI, I. P., MORENO, N. O. J.

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•FREITAS, A. S., ALBUQUERQUE, D. F. de, MORENO, N. O. J. Mag. Magn. Mater.,

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•FREITAS, A. S., ALBUQUERQUE, D. F. de, MORENO, N. O. J. Mag. Magn. Mater.,

v. 362, p. 226, 2014.

92

APENDICE B -- Alguns coeficientes para o modelode Ising de spin 2 puro em uma redebcc

•A1,3 = − 7108

f (6 k) + 316336

f (2 k) + 149f (5 k)− 1816

9f (k) + 602

27f (3 k)− 217

18f (4 k).

•A1,5 = −74464397776

f (2 k) + 11806981

f (k) − 43603972

f (3 k) − 483715552

f (6 k) + 8192593888

f (4 k) −50351972

f (5 k)− 21357776

f (8 k)− 715552

f (10 k) + 33951944

f (7 k) + 351944

f (9 k).

•A1,7 = 1351279936

f (11 k)− 12239488

f (14 k)+ 7279936

f (13 k)+105574427632239488

f (2 k)−19849150334992

f (k)−64358735

93312f (3 k) − 45839003

746496f (6 k) − 352050223

373248f (4 k) + 47095153

93312f (5 k) + 802039

139968f (8 k) +

269152239488

f (10 k)− 203373248

f (12 k)− 341002187

f (7 k)− 25693888

f (9 k).

•A1,9 = 70492239488

f (11 k)+ 2896718464

f (14 k)− 187248832

f (13 k)−896624494856718464

f (2 k)+920443094276718464

f (k)+9305334353

2239488f (3 k)+592101935

1119744f (6 k)+44317776209

26873856f (4 k)−12075991481

6718464f (5 k)−738853625

26873856f (8 k)−

570857839808

f (10 k) + 579598957952

f (12 k) − 1746496

f (15 k) − 878437936718464

f (7 k) + 5144219746496

f (9 k) +1

53747712f (16 k).

•A1,11 = − 6602891679616

f (11 k) − 9415971968

f (14 k) + 90416718464

f (13 k) + 130062146209153747712

f (2 k) −9286203115

419904f (k)−24447232103

2239488f (3 k)−9226615687

5971968f (6 k)−46873520575

107495424f (4 k)+10356781691

3359232f (5 k)+

2078868553107495424

f (8 k)+22286246553747712

f (10 k)+ 1200757107495424

f (12 k)+ 233359232

f (15 k)+19740655616718464

f (7 k)−15175681746496

f (9 k)− 25214990848

f (16 k).

•A1,13 = 7100330353747712

f (11 k) + 5621107495424

f (14 k) + 23746153747712

f (13 k)− 3201844169195107495424

f (2 k) +1338549334969

53747712f (k)+303861488791

17915904f (3 k)+79380900613

35831808f (6 k)−1279460217133

429981696f (4 k)−142044619465

53747712f (5 k)+

93

42134980993429981696

f (8 k)−826076209107495424

f (10 k)− 16500043143327232

f (12 k)− 7663552

f (15 k)−4020731239753747712

f (7 k)+839903475971968

f (9 k) + 77286654464

f (16 k).

94

APENDICE C -- Alguns coeficientes para o modelode Ising de spin 2 com diluicao porsıtios em uma rede bcc

Modelo de Ising de spin 2 com diluicao por sıtios com distribuicao de probabilidades

semelhante a Equacao (5.2), para ligas FepAl1−p.

A1,1 = −4/3 pf (2 k) + 323pf (k).

A1,3 = −8/3 pf (k)+ 718p2f (4 k)+ 553

9p2f (2 k)+ 854

27p3f (3 k)− 308

3p3f (k)− 7

108p3f (6 k)+

30112p3f (2 k)− 28

3p2f (3 k)− 868

9p2f (k) + 4/3 pf (2 k)− 112

9p3f (4 k) + 14

9p3f (5 k).

A1,5 = −3509p2f (2 k)+448

3p3f (3 k)+1666

3p3f (k)+ 7

48p3f (6 k)−7679

16p3f (2 k)+35

3p2f (3 k)+

4139p2f (k) − 329

36p3f (4 k) − 14

9p3f (5 k) + 17185

108p5f (k) + 225925

324p4f (k) − 175

324p4f (7 k) +

3773486

p5f (5 k)−34685486

p5f (3 k)−14525108

p4f (3 k)− 70243

p5f (8 k)−3718757776

p5f (2 k)−13436515552

p5f (6 k)+9100243

p5f (4 k)−6265108

p4f (5 k)+79135432

p4f (4 k)−5066951296

p4f (2 k)+ 352592

p4f (8 k)+44451944

p5f (7 k)+35

1944p5f (9 k) + 3535

432p4f (6 k)− 7

15552p5f (10 k)− 7

9p2f (4 k).

A1,7 = −37404593312

p7f (5 k)+17575397776

p6f (3 k)+1925355184

p6f (5 k)−260269169984

p7f (k)+183049393312

p7f (3 k)−85067139968

p7f (7 k)+ 499p2f (2 k)− 12593

72p3f (3 k)− 4333

12p3f (k)− 7

144p3f (6 k)+ 17983

48p3f (2 k)−

7/3 p2f (3 k) − 499p2f (k) + 147

4p3f (4 k) − 49

24p3f (5 k) − 3125605

1296p5f (k) − 473795

216p4f (k) +

1015648

p4f (7 k)+8015351944

p5f (5 k)+59255648

p5f (3 k)−183505216

p4f (3 k)−33257776

p5f (8 k)+2816187515552

p5f (2 k)−100964510368

p5f (6 k) − 29489953888

p5f (4 k) + 39725648

p4f (5 k) + 2628855184

p4f (4 k) + 112014355184

p4f (2 k) −1753456

p4f (8 k)+843857776

p5f (7 k)− 352592

p5f (9 k)−285951728

p4f (6 k)+ 3531104

p5f (10 k)+ 2233279936

p7f (11 k)+440315552

p7f (9 k)− 1406652239488

p7f (10 k)−13981111664

p7f (4 k)−49078748

p7f (8 k)+3522169746496

p7f (6 k)+277240672239488

p7f (2 k)+7

279936p7f (13 k)− 7

11664p7f (12 k) + 7

124416p6f (12 k) + 10891405

31104p6f (2 k) + 4585

62208p6f (10 k)−

1080694341472

p6f (4 k)− 42616715552

p6f (7 k)− 12239488

p7f (14 k) + 21055331104

p6f (8 k) + 297688362208

p6f (6 k)−48235184

p6f (9 k)− 4915552

p6f (11 k)− 51596657776

p6f (k) + 718p2f (4 k).

95

A1,9 = −36104159186624

p7f (5 k)+4452819793312

p6f (3 k)−82625836912

p6f (5 k)+3840967934992

p7f (k)+3518688116718464

p8f (k)+247675316718464

p8f (7 k)−42117056718464

p8f (5 k)−504835872239488

p8f (3 k)+ 153747712

p8f (16 k)−71727338926873856

p8f (2 k)+1135

26873856p8f (14 k)+663148409

26873856p8f (4 k)+ 77951

8957952p8f (12 k)−75717623

8957952p8f (6 k)+ 7953911

26873856p8f (10 k)+

781363926873856

p8f (8 k)− 1434232239488

p8f (11 k)− 555937746496

p8f (9 k)− 17112239488

p8f (13 k)− 1746496

p8f (15 k)−478778320736

p7f (3 k)+10154879139968

p7f (7 k)+5971108

p3f (3 k)+4976p3f (k)− 35

432p3f (6 k)−1533

16p3f (2 k)−

62336p3f (4 k)+91

36p3f (5 k)+91685755

15552p5f (k)+8775305

5184p4f (k)−7315

5184p4f (7 k)−3400145

7776p5f (5 k)+

802235288

p5f (3 k) + 628145576

p4f (3 k) + 119353456

p5f (8 k) − 779352455124416

p5f (2 k) + 6086153072

p5f (6 k) −189479515552

p5f (4 k)+1388455184

p4f (5 k)−4046351296

p4f (4 k)−628705324

p4f (2 k)+ 1752592

p4f (8 k)−117918531104

p5f (7 k)−4553456

p5f (9 k)+24536p4f (6 k)+ 245

248832p5f (10 k)+ 30247

559872p7f (11 k)+10339

1728p7f (9 k)−6692441

8957952p7f (10 k)+

384692147746496

p7f (4 k)−15864709559872

p7f (8 k)−17995327331776

p7f (6 k)−67260821818957952

p7f (2 k)+ 7559872

p7f (13 k)−161

82944p7f (12 k)− 217

746496p6f (12 k)− 88496905

20736p6f (2 k)− 28567

124416p6f (10 k)+ 14381171

9216p6f (4 k)−

103660920736

p6f (7 k) + 78957952

p7f (14 k)− 18468162208

p6f (8 k) + 144310313373248

p6f (6 k) + 11099962208

p6f (9 k) +91

6912p6f (11 k) + 151760315

31104p6f (k).

A1,11 = 470882335279936

p7f (5 k) − 693572803124416

p6f (3 k) + 10984998582944

p6f (5 k) − 3085533479559872

p7f (k) −2304690899

3359232p8f (k)−11446577

209952p8f (7 k)+1297565557

6718464p8f (5 k)+134662969

2239488p8f (3 k)− 25

214990848p8f (16 k)+

58765238623107495424

p8f (2 k)− 586335831808

p8f (14 k)−36651595897107495424

p8f (4 k)− 804029107495424

p8f (12 k)+2334307111943936

p8f (6 k)+141170435107495424

p8f (10 k)+3301696369107495424

p8f (8 k)− 5326516718464

p8f (11 k)−1607059186624

p8f (9 k)+ 127796718464

p8f (13 k)+23

3359232p8f (15 k)−429328963

373248p7f (3 k)+107834363

1119744p7f (7 k)−385

72p3f (3 k)−77

12p3f (k)+ 7

144p3f (6 k)+

38548p3f (2 k)+ 77

36p3f (4 k)− 35

72p3f (5 k)− 313610885

62208p5f (k)− 2880955

5184p4f (k)+ 1225

5184p4f (7 k)−

77178510368

p5f (5 k)− 11761662531104

p5f (3 k)− 8034251728

p4f (3 k)− 15081531104

p5f (8 k) + 25364706541472

p5f (2 k)−22799035248832

p5f (6 k) + 63183055184

p5f (4 k) − 23975576

p4f (5 k) + 160685864

p4f (4 k) + 18037252592

p4f (2 k) −1755184

p4f (8 k)+139926541472

p5f (7 k)+ 37205124416

p5f (9 k)+3115864

p4f (6 k)− 1505248832

p5f (10 k)−165613559872

p7f (11 k)−1651951124416

p7f (9 k)+9659534535831808

p7f (10 k)−75830331434478976

p7f (4 k)+261317771119744

p7f (8 k)−803776180911943936

p7f (6 k)+189836653013

35831808p7f (2 k)− 623

1119744p7f (13 k)+ 26999

1492992p7f (12 k)+ 1127

1990656p6f (12 k)+5740038185

497664p6f (2 k)+

142765995328

p6f (10 k)+126745633663552

p6f (4 k)+54262271248832

p6f (7 k)+ 21735831808

p7f (14 k)−14845523497664

p6f (8 k)−782341777

995328p6f (6 k) + 34853

27648p6f (9 k)− 4487

248832p6f (11 k)− 1283271535

124416p6f (k).

96

APENDICE D -- Coeficientes para o modelo de Isingde spin 1/2 com ligacoes mistasaplicado a uma rede bcc

Modelo de Ising de ligacoes mistas com distribuicao de probabilidades semelhante a

Equacao (6.19), para ligas FepMnxAlq.

A1,1 = 78p8f (2 k) + 105x3q3p2f (α k + 2 k) + 42 p3q5f (3 k)− 175x3q3p2f (3α k − 2 k)−

352p3x5f (α k − 3 k)−1/2 px7f (−k + 7α k)+70 p3q4xf (α k + 3 k)−140 p3q4xf (α k − 3 k)−

210x2q4p2f (2α k)− 1052pq3x4f (4α k + k)− 175

2pq3x4f (4α k − k)−70 pq3x4f (2α k + k)−

210 pq3x4f (2α k − k)+35 p3q3x2f (2α k + 3 k)−175 p3q3x2f (2α k − 3 k)−105 p3q3x2f (2α k + k)−315 p3q3x2f (2α k − k)+210 p3q3x2f (3 k)−210x3f (α k) q3p2+35

2pf (k) qx6+105 pf (k) q3x4−

210x3q3p2f (3α k) − 35x3q3p2f (3α k + 2 k) − 315x3q3p2f (α k − 2 k) + 42 p3f (k) q5 +1058x2p6f (2 k)−63

8p3x5f (−k + 5α k)−35

4x2p6f (2α k)−21

8p2x6f (6α k)−21

8p2x6f (2 k + 4α k)+

214p6q2f (6 k)−35

8px7f (α k − k)−7

8p3x5f (5α k + 3 k)−7/2 p3x5f (5α k − 3 k)−105

8p4x4f (4α k)+

218xp7f (α k + 3 k)−21

4xp7f (α k − 3 k)−35

8xp7f (α k − k)+105

8p4x4f (4 k)+28 p2q6f (2 k)+

638p7qf (3 k)−7/4 p2x6f (−2 k + 6α k)+3/8xp7f (α k + 7 k)−1/2xp7f (α k − 7 k)+7/4xp7f (α k + 5 k)−

218xp7f (α k − 5 k)+35 p5f (k) q3−42x3q5f (3α k)− 105

8p2x6f (2α k)− 105

4x6q2f (2α k)−

35x5f (α k) q3−35x4q4f (4α k)−70x4q4f (2α k)+634p6qxf (α k + 4 k)−315

8p6qxf (α k − 2 k)+

1058p6qxf (α k + 2 k)+105

2p5f (k) qx2+105

4x2qp5f (5 k)+315

4x2qp5f (3 k)+35

8p4qx3f (3α k + 4 k)−

2458p4qx3f (3α k − 4 k)− 35

2p4qx3f (3α k + 2 k)− 175

2p4qx3f (3α k − 2 k)− 35

2xf (α k) qp6+

3158p4qx3f (α k + 4 k)−315

2p4qx3f (α k − 2 k)+105

2p4qx3f (α k + 2 k)−525

8p4qx3f (α k − 4 k)−

3154x3f (α k) qp4−315

4p4qx3f (3α k)−210 p3q4xf (α k − k)−210 pq4x3f (α k − k)+84 pf (k) q5x2−

42 pq5x2f (2α k + k)−126 pq5x2f (2α k − k)−498p6qxf (−6 k + α k)−315 p3q2x3f (α k − k)−

210 p3q2x3f (α k − 3 k)−105 p3q2x3f (3α k − 3 k)−105 p3q2x3f (k + 3α k)−210 p3q2x3f (−k + 3α k)−78x7qf (7α k)−35

8x7qf (5α k)−28x2q6f (2α k)−105

4p3x5f (α k − k)+35

8p4x4f (2α k + 4 k)−

1058p3x5f (3α k − 3 k) − 105

8p2x6f (−2 k + 2α k) − 63

8x3p5f (α k − 5 k) + 21 p6q2f (4 k) −

218px7f (k + 3α k)+35

4p2x6f (2 k)+7

8p7qf (7 k)+21

8x2p6f (2α k + 4 k)−63

8x2p6f (2α k − 4 k)−

97

1058x2p6f (−2 k + 2α k)− 35

4x3p5f (k + 3α k)−21x6q2f (4α k)−7/2x3p5f (3α k − 5 k)−

7/4x2p6f (2α k − 6 k)− 1054p4x4f (2α k)− 105

4x3p5f (α k − 3 k)− 35

8p4x4f (4α k − 4 k)−

21/2 p2x6f (4α k)+35 p4q4f (4 k)+1058x3p5f (α k + 3 k)−105

8p3x5f (k + 3α k)−63

8x7qf (3α k)−

8xf (α k) q7 + 8 pf (k) q7 − 1054x3p5f (α k − k) − 42x3f (α k) q5 + 21

4x3p5f (α k + 5 k) −

352x3p5f (−k + 3α k)−105

4p3x5f (−k + 3α k)−105

8p4x4f (−2 k + 4α k)−7

8p2x6f (2 k + 6α k)+

1054p6q2f (2 k)+35

2p5q3f (5 k)+35

8p7f (k) q+70 p4q4f (2 k)−105

2x5q3f (3α k)−35

8x7f (α k) q−

358p4x4f (2 k + 4α k) − 63

8p2x6f (−2 k + 4α k) + 105

4p4x4f (2 k) + 7

8x3p5f (3α k + 5 k) +

78x2p6f (2α k + 6 k)+35

4p3x5f (α k + 3 k)−21

4p3x5f (k + 5α k)+35

8p7qf (5 k)−21

4px7f (−k + 3α k)−

352x5q3f (5α k)−21

4x6q2f (6α k)−35 p4x4f (−2 k + 2α k)+21

8x2p6f (6 k)−105

8x3p5f (3α k − 3 k)−

1058p4x4f (2α k − 4 k)−315

4p2q2x4f (−2 k + 4α k)−210 p2q2x4f (−2 k + 2α k)+315

2p2q2x4f (2 k)+

1054p4q2x2f (2α k + 4 k)−315

4p4q2x2f (2α k − 4 k)−105 p5q2xf (α k − k)+21 p5q2xf (α k + 5 k)−

105 p5q2xf (α k − 3 k)+1052p5q2xf (α k + 3 k)−63

2p5q2xf (α k − 5 k)−21x5q2pf (k + 5α k)−

105x5q2pf (−k + 3α k)−632x5q2pf (−k + 5α k)−105

2x5q2pf (k + 3α k)−105 p2q2x4f (4α k)−

210 p2q2x4f (2α k)−105x5q2pf (α k − k)−70 pq4x3f (k + 3α k)−140 pq4x3f (−k + 3α k)+1052xq3p4f (α k + 4 k)− 105

2x5f (α k) qp2− 63

8x5qp2f (5α k + 2 k)− 525

8x5qp2f (3α k − 2 k)−

1478x5qp2f (5α k − 2 k)−105

8x5qp2f (3α k + 2 k)−315

4x5qp2f (α k − 2 k)+105

4x5qp2f (α k + 2 k)−

1054x5qp2f (5α k)−315

4x5qp2f (3α k)−105

8x6qpf (2α k + k)−35

8x6qpf (6α k + k)−105

4x6qpf (4α k − k)−

498x6qpf (6α k − k)− 63

4x6qpf (4α k + k)− 315

8x6qpf (2α k − k)+105 p3q2x3f (α k + 3 k)+

21/2x2p6f (4 k)− 3158p3qx4f (4α k + k)+ 35

2p3qx4f (2α k + 3 k)− 175

2p3qx4f (2α k − 3 k)−

1052p3qx4f (2α k + k)− 315

2p3qx4f (2α k − k) + 315

4p3qx4f (3 k) + 63

8x2qp5f (2α k + 5 k)−

1478x2qp5f (2α k − 5 k)+105

8x2qp5f (2α k + 3 k)−525

8x2qp5f (2α k − 3 k)−105

4x2qp5f (2α k + k)−

3154x2qp5f (2α k − k)−210 p4q2x2f (−2 k + 2α k)+105 p4q2x2f (4 k)+210 p4q2x2f (2 k)−

3152x2q2p4f (2α k) − 105

4p2q2x4f (2 k + 4α k) − 525

8p3qx4f (4α k − k) − 84xf (α k) q5p2 +

42xq5p2f (α k + 2 k)−126xq5p2f (α k − 2 k)−56xq6pf (α k − k)−210 p2q4x2f (−2 k + 2α k)+

210 p2q4x2f (2 k)−105xf (α k) q3p4−1752xq3p4f (α k − 4 k)+70xq3p4f (α k + 2 k)−210xq3p4f (α k − 2 k)+

210 p3f (k) q3x2+3154p3f (k) qx4−35

8p3qx4f (4α k + 3 k)−245

8p3qx4f (4α k − 3 k)+105

2p5q3f (3 k)+

3/8 p8f (6 k)−78x8f (2α k)−7

8x8f (4α k)+1/16 p8f (8 k)−1/16x8f (8α k)−3/8x8f (6α k)−

3/8 px7f (k + 7α k)+78p8f (4 k)−105

4p6qxf (α k − 4 k)−7/4 px7f (k + 5α k)+35

8p6qxf (6 k + α k)−

218px7f (−k + 5α k).

A1,3 = −218p8f (2 k)−210x3q3p2f (α k + 2 k)+14 p3q5f (3 k)−350x3q3p2f (3α k − 2 k)+

352p3x5f (α k − 3 k)−7/2 px7f (−k + 7α k)−70 p3q4xf (α k + 3 k)−140 p3q4xf (α k − 3 k)+

210x2q4p2f (2α k)+35 pq3x4f (4α k + k)−175 pq3x4f (4α k − k)+140 pq3x4f (2α k + k)+

140 pq3x4f (2α k − k)−70 p3q3x2f (2α k + 3 k)−350 p3q3x2f (2α k − 3 k)+210 p3q3x2f (2α k + k)+

210 p3q3x2f (2α k − k)−140 p3q3x2f (3 k)+420x3f (α k) q3p2−1052pf (k) qx6−210 pf (k) q3x4+

98

140x3q3p2f (3α k) + 70x3q3p2f (3α k + 2 k) + 210x3q3p2f (α k − 2 k) − 42 p3f (k) q5 −3158x2p6f (2 k)−147

8p3x5f (−k + 5α k)+105

4x2p6f (2α k)−49

8p2x6f (6α k)+63

8p2x6f (2 k + 4α k)+

352p6q2f (6 k)+105

8px7f (α k − k)+21

8p3x5f (5α k + 3 k)−49

2p3x5f (5α k − 3 k)+105

8p4x4f (4α k)−

638xp7f (α k + 3 k)+21

4xp7f (α k − 3 k)+105

8xp7f (α k − k)−105

8p4x4f (4 k)−105

8p7qf (3 k)−

494p2x6f (−2 k + 6α k) + 7

8xp7f (α k + 7 k)− 7/2xp7f (α k − 7 k)− 7/4xp7f (α k + 5 k)−

498xp7f (α k − 5 k)−70 p5f (k) q3−14x3q5f (3α k)+ 315

8p2x6f (2α k)+ 105

2x6q2f (2α k)+

70x5f (α k) q3−35x4q4f (4α k)+70x4q4f (2α k)−1054p6qxf (α k + 4 k)+525

8p6qxf (α k − 2 k)−

3158p6qxf (α k + 2 k)−315

2p5f (k) qx2+105

4x2qp5f (5 k)−525

4x2qp5f (3 k)−105

8p4qx3f (3α k + 4 k)−

12258p4qx3f (3α k − 4 k)+105

2p4qx3f (3α k + 2 k)−175

2p4qx3f (3α k − 2 k)+105

2xf (α k) qp6−

5258p4qx3f (α k + 4 k)+525

2p4qx3f (α k − 2 k)−315

2p4qx3f (α k + 2 k)−525

8p4qx3f (α k − 4 k)+

9454x3f (α k) qp4+525

4p4qx3f (3α k)+210 p3q4xf (α k − k)+210 pq4x3f (α k − k)−84 pf (k) q5x2+

42 pq5x2f (2α k + k)−42 pq5x2f (2α k − k)−2458p6qxf (−6 k + α k)+630 p3q2x3f (α k − k)−

350 p3q2x3f (3α k − 3 k)+210 p3q2x3f (k + 3α k)−358x7qf (7α k)−35

8x7qf (5α k)+315

4p3x5f (α k − k)−

1058p4x4f (2α k + 4 k)−245

8p3x5f (3α k − 3 k)+105

8p2x6f (−2 k + 2α k)−147

8x3p5f (α k − 5 k)+

638px7f (k + 3α k)−105

4p2x6f (2 k)+35

8p7qf (7 k)−63

8x2p6f (2α k + 4 k)−147

8x2p6f (2α k − 4 k)+

1058x2p6f (−2 k + 2α k)+105

4x3p5f (k + 3α k)−49

2x3p5f (3α k − 5 k)−49

4x2p6f (2α k − 6 k)+

3154p4x4f (2α k)+105

4x3p5f (α k − 3 k)−245

8p4x4f (4α k − 4 k)+21/2 p2x6f (4α k)+35 p4q4f (4 k)−

3158x3p5f (α k + 3 k)+315

8p3x5f (k + 3α k)+105

8x7qf (3α k)+315

4x3p5f (α k − k)+42x3f (α k) q5−

214x3p5f (α k + 5 k)+35

2x3p5f (−k + 3α k)+105

4p3x5f (−k + 3α k)−245

8p4x4f (−2 k + 4α k)+

78p2x6f (2 k + 6α k)−105

2p6q2f (2 k)+35 p5q3f (5 k)−105

8p7f (k) q−70 p4q4f (2 k)+35x5q3f (3α k)+

1058x7f (α k) q+105

8p4x4f (2 k + 4α k)−147

8p2x6f (−2 k + 4α k)−315

4p4x4f (2 k)−21

8x3p5f (3α k + 5 k)−

78x2p6f (2α k + 6 k)−105

4p3x5f (α k + 3 k)+21

4p3x5f (k + 5α k)+35

8p7qf (5 k)+21

4px7f (−k + 3α k)−

35x5q3f (5α k)−352x6q2f (6α k)+35 p4x4f (−2 k + 2α k)+49

8x2p6f (6 k)−245

8x3p5f (3α k − 3 k)−

2458p4x4f (2α k − 4 k)−525

2p2q2x4f (−2 k + 4α k)−315 p2q2x4f (2 k)−105

2p4q2x2f (2α k + 4 k)−

5252p4q2x2f (2α k − 4 k)+210 p5q2xf (α k − k)−105 p5q2xf (α k + 3 k)−105 p5q2xf (α k − 5 k)−

105x5q2pf (−k + 5α k)+105x5q2pf (k + 3α k)+420 p2q2x4f (2α k)+210x5q2pf (α k − k)+

70 pq4x3f (k + 3α k)−140 pq4x3f (−k + 3α k)−35xq3p4f (α k + 4 k)+ 3152x5f (α k) qp2 +

1058x5qp2f (5α k + 2 k)−525

8x5qp2f (3α k − 2 k)−735

8x5qp2f (5α k − 2 k)+315

8x5qp2f (3α k + 2 k)+

5254x5qp2f (α k − 2 k) − 315

4x5qp2f (α k + 2 k) − 105

4x5qp2f (5α k) + 525

4x5qp2f (3α k) +

3158x6qpf (2α k + k)− 35

8x6qpf (6α k + k)− 105

4x6qpf (4α k − k)− 245

8x6qpf (6α k − k)+

1054x6qpf (4α k + k) + 525

8x6qpf (2α k − k)− 210 p3q2x3f (α k + 3 k)− 21/2x2p6f (4 k) +

5258p3qx4f (4α k + k)−105

2p3qx4f (2α k + 3 k)−175

2p3qx4f (2α k − 3 k)+315

2p3qx4f (2α k + k)+

5252p3qx4f (2α k − k)−525

4p3qx4f (3 k)−105

8x2qp5f (2α k + 5 k)−735

8x2qp5f (2α k − 5 k)−

3158x2qp5f (2α k + 3 k)−525

8x2qp5f (2α k − 3 k)+315

4x2qp5f (2α k + k)+525

4x2qp5f (2α k − k)−

420 p4q2x2f (2 k)+315x2q2p4f (2α k)+ 1052p2q2x4f (2 k + 4α k)− 525

8p3qx4f (4α k − k)+

99

84xf (α k) q5p2−42xq5p2f (α k + 2 k)−42xq5p2f (α k − 2 k)−210 p2q4x2f (−2 k + 2α k)−210 p2q4x2f (2 k) + 210xf (α k) q3p4 − 175xq3p4f (α k − 4 k) − 140xq3p4f (α k + 2 k) +

140xq3p4f (α k − 2 k)−420 p3f (k) q3x2−9454p3f (k) qx4+105

8p3qx4f (4α k + 3 k)−1225

8p3qx4f (4α k − 3 k)−

35 p5q3f (3 k) + 78p8f (6 k) + 21

8x8f (2α k) + 7

8x8f (4α k) + 7

16p8f (8 k)− 7

16x8f (8α k)−

78x8f (6α k)− 7

8px7f (k + 7α k)− 7

8p8f (4 k)− 105

4p6qxf (α k − 4 k)+7/4 px7f (k + 5α k)+

358p6qxf (6 k + α k)− 49

8px7f (−k + 5α k).

A1,5 = 218p8f (2 k)+105x3q3p2f (α k + 2 k)−35x3q3p2f (3α k − 2 k)+35

2p3x5f (α k − 3 k)−

7/2 px7f (−k + 7α k)+352pq3x4f (4α k + k)−35

2pq3x4f (4α k − k)−70 pq3x4f (2α k + k)+

70 pq3x4f (2α k − k)+35 p3q3x2f (2α k + 3 k)−35 p3q3x2f (2α k − 3 k)−105 p3q3x2f (2α k + k)+

105 p3q3x2f (2α k − k)−70 p3q3x2f (3 k)−210x3f (α k) q3p2+1052pf (k) qx6+105 pf (k) q3x4+

70x3q3p2f (3α k) − 35x3q3p2f (3α k + 2 k) + 105x3q3p2f (α k − 2 k) + 3158x2p6f (2 k) +

1478p3x5f (−k + 5α k)−105

4x2p6f (2α k)+49

8p2x6f (6α k)−63

8p2x6f (2 k + 4α k)+21

4p6q2f (6 k)−

1058px7f (α k − k)−21

8p3x5f (5α k + 3 k)−49

2p3x5f (5α k − 3 k)+105

8p4x4f (4α k)+63

8xp7f (α k + 3 k)+

214xp7f (α k − 3 k)−105

8xp7f (α k − k)−105

8p4x4f (4 k)+21

8p7qf (3 k)−49

4p2x6f (−2 k + 6α k)−

78xp7f (α k + 7 k)−7/2xp7f (α k − 7 k)−7/4xp7f (α k + 5 k)+49

8xp7f (α k − 5 k)+35 p5f (k) q3−

3158p2x6f (2α k)−105

4x6q2f (2α k)−35x5f (α k) q3+21

4p6qxf (α k + 4 k)−105

8p6qxf (α k − 2 k)+

3158p6qxf (α k + 2 k)+315

2p5f (k) qx2−189

4x2qp5f (5 k)+105

4x2qp5f (3 k)+105

8p4qx3f (3α k + 4 k)−

7358p4qx3f (3α k − 4 k)−105

2p4qx3f (3α k + 2 k)+315

2p4qx3f (3α k − 2 k)−105

2xf (α k) qp6+

1058p4qx3f (α k + 4 k)−105

2p4qx3f (α k − 2 k)+315

2p4qx3f (α k + 2 k)+945

8p4qx3f (α k − 4 k)−

9454x3f (α k) qp4 − 105

4p4qx3f (3α k) − 147

8p6qxf (−6 k + α k) − 315 p3q2x3f (α k − k) +

210 p3q2x3f (α k − 3 k)−105 p3q2x3f (3α k − 3 k)−105 p3q2x3f (k + 3α k)+210 p3q2x3f (−k + 3α k)−218x7qf (7α k)+63

8x7qf (5α k)−315

4p3x5f (α k − k)+105

8p4x4f (2α k + 4 k)+245

8p3x5f (3α k − 3 k)+

1058p2x6f (−2 k + 2α k)+147

8x3p5f (α k − 5 k)−21 p6q2f (4 k)−63

8px7f (k + 3α k)+105

4p2x6f (2 k)+

218p7qf (7 k) + 63

8x2p6f (2α k + 4 k) + 147

8x2p6f (2α k − 4 k) + 105

8x2p6f (−2 k + 2α k) −

1054x3p5f (k + 3α k) + 21x6q2f (4α k) − 49

2x3p5f (3α k − 5 k) − 49

4x2p6f (2α k − 6 k) −

3154p4x4f (2α k)+105

4x3p5f (α k − 3 k)−245

8p4x4f (4α k − 4 k)+21/2 p2x6f (4α k)+315

8x3p5f (α k + 3 k)−

3158p3x5f (k + 3α k)−21

8x7qf (3α k)−315

4x3p5f (α k − k)−21

4x3p5f (α k + 5 k)+35

2x3p5f (−k + 3α k)+

1054p3x5f (−k + 3α k) + 245

8p4x4f (−2 k + 4α k) + 7

8p2x6f (2 k + 6α k) + 105

4p6q2f (2 k) +

7/2 p5q3f (5 k) + 1058p7f (k) q+ 35

2x5q3f (3α k)− 105

8x7f (α k) q− 105

8p4x4f (2 k + 4α k) +

1478p2x6f (−2 k + 4α k) + 315

4p4x4f (2 k) + 21

8x3p5f (3α k + 5 k)− 7

8x2p6f (2α k + 6 k) +

1054p3x5f (α k + 3 k)+21

4p3x5f (k + 5α k)−63

8p7qf (5 k)+21

4px7f (−k + 3α k)−7/2x5q3f (5α k)−

214x6q2f (6α k)+35 p4x4f (−2 k + 2α k)−49

8x2p6f (6 k)+245

8x3p5f (3α k − 3 k)+245

8p4x4f (2α k − 4 k)−

3154p2q2x4f (−2 k + 4α k)+210 p2q2x4f (−2 k + 2α k)+315

2p2q2x4f (2 k)+105

4p4q2x2f (2α k + 4 k)−

3154p4q2x2f (2α k − 4 k)−105 p5q2xf (α k − k)−21 p5q2xf (α k + 5 k)+105 p5q2xf (α k − 3 k)+

100

1052p5q2xf (α k + 3 k)−63

2p5q2xf (α k − 5 k)+21x5q2pf (k + 5α k)+105x5q2pf (−k + 3α k)−

632x5q2pf (−k + 5α k)− 105

2x5q2pf (k + 3α k)+105 p2q2x4f (4α k)−210 p2q2x4f (2α k)−

105x5q2pf (α k − k)− 352xq3p4f (α k + 4 k)− 315

2x5f (α k) qp2 − 21

8x5qp2f (5α k + 2 k) +

9458x5qp2f (3α k − 2 k)−441

8x5qp2f (5α k − 2 k)−315

8x5qp2f (3α k + 2 k)−105

4x5qp2f (α k − 2 k)+

3154x5qp2f (α k + 2 k)+189

4x5qp2f (5α k)−105

4x5qp2f (3α k)−315

8x6qpf (2α k + k)+63

8x6qpf (6α k + k)+

1894x6qpf (4α k − k)− 147

8x6qpf (6α k − k)− 21

4x6qpf (4α k + k)− 105

8x6qpf (2α k − k)+

105 p3q2x3f (α k + 3 k)−21/2x2p6f (4 k)−1058p3qx4f (4α k + k)+105

2p3qx4f (2α k + 3 k)+

3152p3qx4f (2α k − 3 k)− 315

2p3qx4f (2α k + k)− 105

2p3qx4f (2α k − k)+ 105

4p3qx4f (3 k)+

218x2qp5f (2α k + 5 k)−441

8x2qp5f (2α k − 5 k)+315

8x2qp5f (2α k + 3 k)+945

8x2qp5f (2α k − 3 k)−

3154x2qp5f (2α k + k)−105

4x2qp5f (2α k − k)+210 p4q2x2f (−2 k + 2α k)−105 p4q2x2f (4 k)+

210 p4q2x2f (2 k)− 3152x2q2p4f (2α k)− 105

4p2q2x4f (2 k + 4α k) + 945

8p3qx4f (4α k − k)−

105xf (α k) q3p4 − 352xq3p4f (α k − 4 k) + 70xq3p4f (α k + 2 k) + 70xq3p4f (α k − 2 k) +

210 p3f (k) q3x2+9454p3f (k) qx4−105

8p3qx4f (4α k + 3 k)−735

8p3qx4f (4α k − 3 k)−35

2p5q3f (3 k)−

78p8f (6 k) − 21

8x8f (2α k) + 7

8x8f (4α k) + 7

16p8f (8 k) − 7

16x8f (8α k) + 7

8x8f (6α k) +

78px7f (k + 7α k)−7

8p8f (4 k)+189

4p6qxf (α k − 4 k)+7/4 px7f (k + 5α k)−63

8p6qxf (6 k + α k)+

498px7f (−k + 5α k).

A1,7 = −78p8f (2 k)−35

2p3x5f (α k − 3 k)−1/2 px7f (−k + 7α k)−35

2pf (k) qx6−105

8x2p6f (2 k)+

638p3x5f (−k + 5α k)+35

4x2p6f (2α k)+21

8p2x6f (6α k)+21

8p2x6f (2 k + 4α k)+35

8px7f (α k − k)+

78p3x5f (5α k + 3 k) − 7/2 p3x5f (5α k − 3 k) − 105

8p4x4f (4α k) − 21

8xp7f (α k + 3 k) −

214xp7f (α k − 3 k)+35

8xp7f (α k − k)+105

8p4x4f (4 k)+21

8p7qf (3 k)−7/4 p2x6f (−2 k + 6α k)−

3/8xp7f (α k + 7 k) − 1/2xp7f (α k − 7 k) + 7/4xp7f (α k + 5 k) + 218xp7f (α k − 5 k) +

1058p2x6f (2α k)+21

4p6qxf (α k + 4 k)−105

8p6qxf (α k − 2 k)−105

8p6qxf (α k + 2 k)−105

2p5f (k) qx2−

214x2qp5f (5 k)+105

4x2qp5f (3 k)−35

8p4qx3f (3α k + 4 k)−35

8p4qx3f (3α k − 4 k)+35

2p4qx3f (3α k + 2 k)+

352p4qx3f (3α k − 2 k) + 35

2xf (α k) qp6 + 105

8p4qx3f (α k + 4 k)− 105

2p4qx3f (α k − 2 k)−

1052p4qx3f (α k + 2 k)+105

8p4qx3f (α k − 4 k)+315

4x3f (α k) qp4−105

4p4qx3f (3α k)−7

8p6qxf (−6 k + α k)−

1/8x7qf (7α k)+78x7qf (5α k)+105

4p3x5f (α k − k)−35

8p4x4f (2α k + 4 k)+105

8p3x5f (3α k − 3 k)−

1058p2x6f (−2 k + 2α k)+63

8x3p5f (α k − 5 k)+21

8px7f (k + 3α k)−35

4p2x6f (2 k)+1/8 p7qf (7 k)−

218x2p6f (2α k + 4 k)+63

8x2p6f (2α k − 4 k)−105

8x2p6f (−2 k + 2α k)+35

4x3p5f (k + 3α k)−

7/2x3p5f (3α k − 5 k)−7/4x2p6f (2α k − 6 k)+ 1054p4x4f (2α k)− 105

4x3p5f (α k − 3 k)−

358p4x4f (4α k − 4 k)− 21/2 p2x6f (4α k)− 105

8x3p5f (α k + 3 k) + 105

8p3x5f (k + 3α k)−

218x7qf (3α k)+105

4x3p5f (α k − k)+21

4x3p5f (α k + 5 k)−35

2x3p5f (−k + 3α k)−105

4p3x5f (−k + 3α k)+

1058p4x4f (−2 k + 4α k)−7

8p2x6f (2 k + 6α k)−35

8p7f (k) q+35

8x7f (α k) q+35

8p4x4f (2 k + 4α k)+

638p2x6f (−2 k + 4α k) − 105

4p4x4f (2 k) − 7

8x3p5f (3α k + 5 k) + 7

8x2p6f (2α k + 6 k) −

354p3x5f (α k + 3 k)−21

4p3x5f (k + 5α k)−7

8p7qf (5 k)−21

4px7f (−k + 3α k)−35 p4x4f (−2 k + 2α k)−

101

218x2p6f (6 k)+105

8x3p5f (3α k − 3 k)+105

8p4x4f (2α k − 4 k)+105

2x5f (α k) qp2−21

8x5qp2f (5α k + 2 k)+

1058x5qp2f (3α k − 2 k)−21

8x5qp2f (5α k − 2 k)+105

8x5qp2f (3α k + 2 k)−105

4x5qp2f (α k − 2 k)−

1054x5qp2f (α k + 2 k)+21

4x5qp2f (5α k)−105

4x5qp2f (3α k)+105

8x6qpf (2α k + k)+7

8x6qpf (6α k + k)+

214x6qpf (4α k − k) − 7

8x6qpf (6α k − k) − 21

4x6qpf (4α k + k) − 105

8x6qpf (2α k − k) +

21/2x2p6f (4 k)− 1058p3qx4f (4α k + k)− 35

2p3qx4f (2α k + 3 k)+ 35

2p3qx4f (2α k − 3 k)+

1052p3qx4f (2α k + k)− 105

2p3qx4f (2α k − k) + 105

4p3qx4f (3 k) + 21

8x2qp5f (2α k + 5 k)−

218x2qp5f (2α k − 5 k)−105

8x2qp5f (2α k + 3 k)+105

8x2qp5f (2α k − 3 k)+105

4x2qp5f (2α k + k)−

1054x2qp5f (2α k − k) + 105

8p3qx4f (4α k − k)− 315

4p3f (k) qx4 + 35

8p3qx4f (4α k + 3 k)−

358p3qx4f (4α k − 3 k)−3/8 p8f (6 k)+7

8x8f (2α k)−7

8x8f (4α k)+1/16 p8f (8 k)−1/16x8f (8α k)+

3/8x8f (6α k)+3/8 px7f (k + 7α k)+78p8f (4 k)+21

4p6qxf (α k − 4 k)−7/4 px7f (k + 5α k)−

78p6qxf (6 k + α k) + 21

8px7f (−k + 5α k).

Estudo de sistemas magneticos desordenados´ via …...tas, por meio da Teoria de Campo Efetivo...

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