ESTUDO DE SISTEMAS

MAGNÉTICOS UNIDIMENSIONAIS

VIA TEORIA DE CAMPO

Sérgio Luiz Talim

ESTUDO DE SISTEMAS MAGNÉTICOS UNIDIMENSIONAIS

VIA TEORIA DE CAMPO

Sérgio Luiz Talím

Tese apresentada â Universidade

Federal de Minas Gerais, como requisito

parcial para obtenção do Grau de DOUTOR EM

CIÊNCIAS.

Abril de 1988 UFMG

"Qualquer caminho é apenas um caminho e não cons

titui insulto algum - para si mesmo ou para os

outros - abandoná-lo quando assim ordena o seu

coração. (...) Olhe cada caminho com cuidado e

atenção. Tente-o tantas vezes quantas julgar ne

cessárias... Então, faça a si mesmo e apenas a

si mesmo uma pergunta: possui esse caminho um

coração? Em caso afirmativo, o caminho é bom.

Caso contrário, esse caminho não possui impor­

tância alguma".

Carlos Castafieda, "Os Ensinamentos de Dom Juan".

Agradecimentos

- Ao meu orientador ANTONIO SERGIO TEIXEIRA PIRES pela sua

orientação segura, e pela paciência com que suportou as inú

meras discussões que tivemos sobre este trabalho, sobre a

física, e sobre o trabalho de um pesquisador. Estas discus­

sões trouxeram luz onde antes haviam dúvidas e perplexidade.

- A MARIA ELISABETH GOUVEIA pelas discussões, pelos comentá­

rios e pela amizade.

- A BISMARK VAZ DA COSTA pela ajuda para "dominar" o computa­

dor, e as várias discussões sobre este trabalho.

- A SABINO JOSÉ FERREIRA e EDUARDO DE CAMPUS VALADARES, por

aguçarem minha consciência profissional.

A todas estas pessoas e a várias outras, o meu agrade

cimento por me ajudarem a encontrar o meu caminho.

RESUMO

Este trabalho apresenta um estudo de sistemas ma<j

néticos unidiroensionais utilizando métodos de Teoria de Campo.

Foi estudado o efeito da rede discreta no antife£

romagneto anisotrópico unidimensional clássico em campo magné­

tico, e concluiucs que, para o TMMC, este efeito é pequeno na

região de temperaturas e campos magnéticos utilizados nas expe

riências.

A M-cessidade das excitações tipo sóliton no anti

ferromagneto uniciiasnsional coro duas anisopropias foi estabe

lecida, e cale liamos a densidade de sólitons para este siste_

ma.

As jj*:rjções quânticas para mãgnons e sólitons no

antiferromagneto os duas anisotropias e para o sóliton no

ferromagneto com dujs anisotropias foram feitas. Embora as co£

reções quânticas pars os ntágnons sejam apreciáveis, para os só

litons elas são pequenas desde que as constantes de anisotro-

pia sejam renornalizadis.

COITO conseqüência deste trabalho e de outros,

o papel das exci .ações nãc-lineares em antiferromagnetos como

TMMC é hoje bem compreendi-Io.

ABSTRACT

_We present a study of one-dimensional magnetic

systems using Field Theory methods.

We studied the discreteness effects in a classical

anisotropic one dimensional antiferromagnet in an external

magnetic field. It is shown that for TMMC, at the temperatures

and magnetic fields where most experiments have been done, the

corrections are small and can be neglected."/

The necessity of soliton excitations in a

classical one-dimensional antiferromagnet with two aniso­

tropics has been established, and the soliton density for this

has been calculated.

The quantum corrections to the magnons and

solitons in an antiferromagnet with two anisotropics, and to

the solitons in a ferromagnet with two anisotropics have been

calculated. There is a considerable quantum correction for the

magnons, but the correction for the soliton are small if we use

renormalized anisotropics values.

As a consequence of this and others works, we may

claim that the role of non-linear excitation in a antiferromagnet

like TMMC is now well understood.

ÍNDICE

CAPITULO I - Introdução x CAPÍTULO II - Efeito da rede discreta no Antiferromagneto

Clássico Unidimensíonal 5

1 - Introdução 5

2 - Hamiltoniano e Equações de Movimento 5 3 - Solução das Equações de movimento não-corri-

gidas 12

i\ - Solução das Equações de movimento corrigidas.. 13 5 - Aplicação ao TMMC 18 6 - Conclusão .. .. 22

CAPÍTULO III - Sóiitons no Antiferromagneto Unidimensíonal com duas anisotropias 27

1 - Introdução 27

2 - Modelo e Equações de Movimento 27 3 - Mecânica Estatística e Densidade de Sólitons.,29 Í» - Conclusão 37

CAPÍTULO IV - Correções Quanticas no Antíferromagento Unidimensíonal - Mágnons. 40

1 - Introdução ....40

2 - Aproximação harmônica 41

2.1 Espectro de energia das ondas de spin 45

2.2 Valores médios de magnetização 46

2.3 Funções correlação estáticas 49

2.4 Funções correlação dinâmicas 50

3 - Renormalízaçâo do espectro de energia de onda de spin para H'= H^ 53

4 - Renormalízaçâo de função correlação estática para H' = H'2 59

5 - Conclusão 62

CAPÍTULO V - Correções quânticas no TMMC- Sólitons 74

5.1 Introdução 7 4

5.2 Aproximação semi-clãssica 75

5.3 Correção quântica da massa do sõliton . . . .78

5.4 Efeito da temperatura nas correções quãn

tíCaS 88

5.5 Densidade de sólitons 90

5.6 Conclusão 92

CAPÍTULO VI - Energia do sõliton no Ferromagneto Quantico com duas anisotropias 94

1 - Introdução 94

2 - Formalísmo semi-clássico para T = 0 95

3 - Temperatura finíta 104

4 - Conclusões 107

CONCLUSÕES GERAIS 109

APÊNDICE - Equação de sine-Gorden m

REFERÊNCIAS 115

1

CAPITULO I

Introdução

Grande tem sido o interesse nos últimos anos em sis

temas de matéria condensada descritos por um campo escalar uni-

dimensional e governados por uma Hamiltoniana que suporta exci

tações não lineares.As equações de movimento clássicas deriva­

das deste Hamiltoniano freqüentemente admitem soluções localiza

das de grande amplitude, que são fisicamente distintas das solu

ções obtidas pela superposição linear de ondas de pequena ampli

tude, encontradas pela linearização do Hamiltoniano.

Comumente estas excitações localizadas de grande am

plitude podem propagar-se pelo sistema sem distorcer sua forma,

quando então são chamadas de ondas solitárias, ou kinks. Se a-

lém disto mantém sua identidade após o choque entre elas, são

chamadas de sólitons (1'2) . Por causa de sua estabilidade e por

serem localizadas no espaço (propriedades de partículas), kinfcs

e sólitons têm sido usados como modelo de partículas em teoria

quântica de campos unidimensionais (3) , deslocamentos em cris­

tais (4) , paredes de domínios em sistemas magnéticos (5) , propa­

gação de fluxon em junções supercondutoras (6) , no superfluido 3He (7) , entre outros sistemas.

Os sistemas magnéticos unidimensionais, por apresen

tarem modelos teóricos tratáveis e pela facilidade de medidas

experimentais com parâmetros variáveis (o campo magnético, por

exemplo), são os sistemas ideais para o estudo destas excita­

ções não-lineares (8) . Um composto muito estudado é o

(CH3).NMnCl3 (chamado de TMMC), que é um antiferromagneto quase

-unidimensional (9) (tem temperatura de transição TN * 0,85K). + 2 m

Os íons Mn responsáveis pela magnetização do sistema estão ali

nhados em uma cadeia, estando as cadeias muito separadas uma

2

+2 das outras. O Mn tem spin S = 5/2 e momento angular orbital

L » 0, não tendo então interação spin-ôrbita. Isto significa

que a interação de exchange será isotrõpica do tipo JS .S ,,.

Existe no entanto, uma anisotropia dipolar provocada pela in

teração entre os dipolos magnéticos que tende a manter os

spins em um plano fácil perpendicular à linha dos ions magné

ticos (10) , e uma pequena anisotropia de campo cristalino que

quebra a simetria do plano fácil<n) .

0 Hamiltoniano para o TNMC na presença de um cam

po magnético externo perpendicular ã direção da cadeia, pode

ser escrito como (12>

H " "Çfè-^n+l + &(Sn>2+b(Sí>2] " *«BH¥'Sn>' '^

onde J = 6,5K,£ = 0,019 e b = 10~ . A anisotropia provoca

no sitema um cruzamento (crossover) do estado Heisenberg (i-

sotrópico) para o estado XY (planar) em temperaturas abaixo

de 20K , e o campo externo ou anisotropia b alinha os

spins antiparalelamente na direção Y.

Vários trabalhos publicados recentemente (Mikejs

ka (13) , Leung et ai (1*} , MaXi (15) ), mostraram que o Hamilto­

niano (1-1) devido ao alto valor de seu spin (S=5/2) pode

ser reduzido a um Hamiltoniano de sine-Gordon clássico (16), o

qual tem solitons como uma das soluções (veja apêndice). A

presença de solitons no TNMC foi comprovada por experiências

feitas por Boucher et ai <17) através de medidas de espalha-

mento de neutrons e NMR, encontrando resultados compatíveis

com a teoria proposta por Mikeska.

Certas discrepãncias entre o modelo teórico de

Mikeska e os dados das experiências feitas por Boucher, fo­

ram explicadas como sendo causadas pelo movimento dos spins

fora do plano fácil (plano XY) em um trabalho de Gouveia e

3

Pires • O efeito deste deslocaaento fora do plano fácil nas

equações de movimento do antiferromagneto foi estudada por Vaz

da Costa (19> , a partir de soluções numéricas.

Nosso trabalho está incluído no esforço para se en­

tender o papel destas excitações não-lineares no comportamento

de sistemas magnéticos unidimensionais, visando à aplicação ao

THHC. Ênfase será dada no estudo da adequação do modelo e das

aproximações usadas (aproximação do continuo, e aproximação

clássica), ao sistema real que é discreto e quãntico.

O capítulo II trata do efeito da rede discreta no

THHC. Mostramos que, para a faixa de temperaturas e campos mag­

néticos usados nas experiências, o efeito é pequeno e não preci_

sa ser considerado.

O capituloin mostra um tratamento fenomenológico pa

ra a densidade de sólitons em um antiferromagneto com duas ani-

sotropias. Os resultados encontrados são compatíveis com os cal

culados pelo método de matriz de transferência, apenas se consi_

derarmos o sóliton como uma outra excitação elementar do siste­

ma.

0 capítulo IV trata das correções quânticas dos má<j

nons no TMMC, e mostra que as flutuações fora do plano (provoca

das pelas flutuações do ponto zero) são importantes e devem ser

levadas em conta. Esta conclusão é importante para o cálculo da

correção quântica da massa de sóliton, que deperde das paquenas

oscilações em torno do sóliton.

No Capítulo V estudamos a mecânica estatística, em

baixas temperaturas, do Hamiltoniano (I'D para o caso H=0. No

limite de acoplamento fraco, determinamos a dependência com a

temperatura da massa do sóliton e da densidade de sólitons. Pa­

ra T»uJ 2 (onde^2 e a energia do mágnon de maior massa) a den

sidade de sólitons concorda com o resultado da mecânica estatis,

tica clássica, se a energia do sóliton na teoria clássica é

4

substituída pela energia renormalizada de nossa teoria.

No capitulo VI estudamos a correção quântica na ma£

sa do sóliton para o ferromagneto com duas anisotropias. Fomos

motivados a este estudo pelo fato de que do ponto de vista ter

modinâmico, o antiferromagneto com campo e anisotropia ê equi­

valente ao ferromagneto com duas anisotropias (20) . Podemos uti

lizar esta equivalência para estudarmos pelo menos em princí­

pio, os efeitos quânticos no TMMC com campo externo.

Finalmente devemos mencionar que apesar de nossos

esforços, fomos incapazes de calcular a densidade de sólitons

ou as correções quânticas para o sóliton do Hamiltoniano (1-1)

com todos os termos.

o

CAPÍTULO II

Efeito da rede no Antiferromagneto Clássico tridimensional

1 - Introdução

A maneira usada comumente para se estudar excita-

ções não lineares em ferromagnetos e antiferromagnetos com

spin grande, é considerar as coordenadas angulares dos spins

como campos clássicos.Estes campos no limite do contínuo satis

fazem equações diferenciais não lineares que tem soluções ti.

po sóliton. No entanto, os sistemas magnéticos unidimensionais

reais são discretos, e tratá-los como um contínuo é uma aproxji

mação cuja validade deve ser estudada com maior cuidado. Este

estudo será o objetivo deste capítulo para o caso do antiferro

magneto, já que o ferromagneto foi estudado por Riseborough et

ai (21> .

2 - Hamiltoníano e Equações de Movimento

Vamos considerar uma cadeia linear antiferromagné

tica clássica anisotrópica descrita pelo Hamiltoniano (1-1) .

A configuração clássica de menor energia será aquela onde os

spins estarão alinhados antiparalelos na direção Y.

Seguindo Mikeska(22) podemos escrever as coordena­

das de spin como

S* = <-l)nsen[0n+(-l)v 1 cos [*+(-l)n£ ]. n n n n n

sJJ = (-l)nsen|6 +(-l)Vf, ] sen [• +(-i)n£ ]. (2-1) n n n n p

Sn s <-l>ncos[0n+(-l)vn J,

6

onde © e • são as coordenadas de cada sub-rede e v e £ são n n n n os desvios do alinhamento antiparalelo perfeito, considerados

pequenos. Estes ângulos serão eliminados do Hamiltoniano usan­

do as equações de movimento clássicos na aproximação continua,

deixando-nos apenas com os ângulos 0 e • .

O procedimento padrão agora, seria levar as coor­

denadas de spin (2-1) no Hamiltoniano (1-1), derivar as equa

ções de movimento e fazer o limite do contínuo levando em con

ta agora termos de ordem superiores nas derivadas espaciais.

Isto levaria a correções nas equações obtidas por Kikeska(22), e

o efeito da rede poderia ser estudado. Existe no entanto, uma

maneira bem mais simples e direta de se conseguir estas equa­

ções, como será explicado abaixo.

As equações de movimento para o Hamiltoniano(1-1)

com H=0, são as mesmas da de uma cadeia de pêndulos esféricos

acoplados movendo-se em um potencial externo da forma(23)

V (9 * ) = 2JS2(bsen20 cos2* + Scos20J. (2-2) n, n n n n

0 termo de energia cinética é

T = J I m <0n + *n s e n 2 £n >' (2_3)

e a energia elástica é

ü = n í l ^ l - ^ n l 2 ' < 2" 4 )

2 "* onde temos m = X /$7, K • 2JS , |r | = 1, 0n»in indicam deri

vadas em relação ao tempo.

0 Hamiltoniano total é a soma destes 3 termos

7

H « T + 0 + S V(6 , • ) . (2-5) n n n

Agora o limite do continuo é feito a partir da sé rie de Taylor dos ângulos no sitio "n+1" em torno dos angu los no sitio "n". Sendo z=na ("a" é a constante de rede), te­mos que no limite do continuo © =6(z) e * = *(z) e,

^ n n

o - fií,4.*\ - AÍ,» + * 30<z> + »Í 32Q(z) , a3 330(z) en+l= 9(z+a) " eí2) + a li + T" a 2 .+ "T ~7T~

dz dZ

A - *!.*.» s *,.,» . a3*(z) . a2 32»(z) , a3 33<Hz) *n+l = *(2+a) *(z) +"—5T" + "T ~^2— + X -^3~ '

(2-6)

Levando (2-6) no Hamiltoniano (2-5) teremos

H-2JS2 í-1* í - 3 I »| + — T - P^ J + k *C9,*) ' S sen 0 v

bsen20cos2* + ÓCOB 20 } , (2-7)

onde

U(0,*)= a2[02 + sen20 <fr2]+a3(0„ fl + sen20 * * „ +sen0 cos0 0„ 4?) z z z z z z z z , z z

• fV HT + eí, - •! - 202*2 + 2cos20 02*2 + sen20*2

4 3 ZZ 3 Z Z Z Z Z ZZ

+2sen0cos0 0z^2+4sen0cos0 0zí>2O2Z+ 40zôzzz + 48 e n 2 0Vzzz ] '

(2-8)

8

• 2 e PA =m0 , P^= msen 0 • , e o índice "z* significa derivada

em relação a z (0 = —1~ , etc).

Observe que a série (2-6) foi feita até termos

de terceira ordem, sendo os termos de ordem superior a primei­

ra a correção da rede discreta. No Hamiltoniano aparecem ter­

mos dependentes da segunda e terceira derivadas, e teremos en

tão uma densidade Hamiltoniana com as seguintes variáveis inde

pendentes

Hl*e»V 0,*1= í d z H(pQ'p<J>'e'*'0x' <t> 0 * 0 d) \ :, x, xx, yxx, uxxx,*xxx).

(2-9)

H é agora um funcional, e as equações de movimento podem ser

encontradas como no caso discreto'2*"

á,*> " - § 0 u > •

(2-10)

*(z)=-6PA(z) 9

\M~ftM '

ÔH onde -Tfii7\ etc, são as derivadas funcionais.

Derivadas funcionais podem ser compreendidas como

uma generalização das derivadas comuns de funções de varias va

riáveis. Por exemplo, para uma função F(0,,02,... © N), temos

9

Para um sistema continuo as variáveis 6 se tornam um campo n

9(x) e a somatória uma integral

«F = I £zr,„i 60(x)dx. (2-12) ( 6F

" J 5S(x)

A derivada funcional é definida como sendo a função 73" (x> e m

(2-12). Para calcularmos a derivada funcional basta calcular a

variação do funcional em questão, e coletar os termos que apa­

recem na integral.

0 cálculo áa variação H em (2-7) é direto, e te

mos

ia- ja* í-|f «e + -|f «•+ j|S «e, + -^Hz • <0„

+ jH, «<« + "TL. 5e- • -# «W + ^ Spe •

• #«V- (2-13)

Integrando por partes seguidamente temos

2 _ £ "z 3z" ~wzz az" v~zzz

6H= ídZ { l " i " T« < T8F , + ^ ^ " ^ 3 < # >J 60 I Z HZ 77 az 79T

. , 3H J L I ^ H I + J L _ /JJ i » a 3 ,3 H n 6 ò

+ ^ ) 6P© • ( gP) «Pd» ) . (2-14) •

10

Da equação (2-14) ê direto a identificação das derivadas fun­

cionais, e levando em (2-10) teremos

2 3

p0u> - - [-35- - -re <ifr) + —i {IQ- > " 73 ( w > J » z 3z zz 3z zzz

(2-15)

()> 3* 3z -3*2 3z2 3f2z 3z3 3»z2z

Nas equações (2-14) e (2-15) foi feita a mudança de variável

z/a •+• z, sendo z agora adimensional. Calculando explicitamen

te os termos das equações (2-15) ficamos com

2 0 - -4y 6 = senOcos© (<J>2 K> <J> )+2 (bcos2*-5) senScos©

ZZ _i Z _2 c c

+ 1 [ . sen Ocos 0 e4 + s e n Q c o s Q ( ^ . s e n 2 0 O2 ^ + 2 c o s 2 0 0 2 2 * 2

+ 4cos20 <f> <f> + - |sen20 <J> <t> - | 0 + 20 2 0 z r z z 3 z zzz 3 zzzz z zz

+ 4 0 z * z * z z - 2 c o s 2 0 < 2 W Z Z - 0 z z * z n ' ( 2 " 1 6 )

(<J> ^ "* ) s e n 2 0 =-2sen0cos0(0 * i = ê í ) -2bsen 2 ©senf cos$ c c

1 4 1 2 + 4 [ -2sen0cos© ©„„<!> - •? sen0cos0 ©„•,.„,. - 4 sen 0 •

4 ZZ ZZ 3 Z ZZZ J ZZZZ

1 1

• I sen20(4G3<„2 . ^ ^ ^ | senQcosQQ2^ + 2sen2^zz

-2sen2e9 • + 4 s e n - 0 0 0 * + 2sen^00f* , ] , (2-17) 22 Z Z ZZ Z 2 22

con c = 4JS.

Note que a correção mais importante da rede discre

ta para as equações vem do termo de exchange, que é o mesmo pa

ra o caso com ou sem o campo. Com isto or termos de correção

da rede não irão mudar com a presença do campo, e a mudança i-

rá ocorrer apenas na parte não corrigida das equações, que são

as mesmas encontradas por Mikeska (13'.

Então para H#0 temos as seguintes equações de mo

vimento

6 -1 0* sen0cos0(í2 ~ *2 ) + l(2b + h2)c^>s24»-26]sen0cos0

c2

- -^ sen20cos* * + -| (...], (2-18)

1 1 0 > i^ * =- 2cot0(0 * ^ 0<J>) - (2b + h ) sen*cos* ZZ 2 Z Z 2 c c

+ -^ cos* 0 + ^ — [...]. (2-19) c 4sen^0

Acima temos n=9XRH/^4JS ' e o s t e r m o s entre colchetes são os

mesmos das equações (2-16) e (2-17). Como normalmente b é mui­

to pequeno para os sistemas físicos de interesse como é o caso

do TMMC, vamos de agora em diante desprezá-lo.

12

3 - Solução das Equações de movimento não corrigidas

As equações (2-18) e (2-19) são muito complicadas

para se encontrar u:na solução geral, mas existem soluções par­

ticulares para vários casos. Por exemplo, desconsiderando os

termos de correção da rede discreta temos duas soluções sõli­

ton, sendo uma no plano yz com 4> = ir/_ e

0,, ^ 0 = - 26senGcos0. (2-20) zz QÍ

A equação (2-20) é conhecida como equação de sine-6ordon,e tem

como solução (veja apêndice)

éyz) = TT/2 + 2 tan1{expí»/2T y (z - vt)]} , (2-21)

com energia E = E v, onde E° = 4JS / 2 6 e ^ yz yz ' yz

2 2 - / 2 Y = (1-v /c ) .A outra solução e um soliton estático no

plano xy , com 0 = TT/2 e

* =-h senícos* . (2-22) zz

Observe que a equação (2-22) também é uma equação de sine-Gor-

don mas agora estática (todas as derivadas em relação ao tem­

po são por definição nulas), e tem como solução

^(xy) = 5 + 2 tan"1 {exp[hz]} , (2-23)

com energia Ex*y = 4JS h. 0 problema dinâmico não tem uma solu

ção analítica exata e será tratado de maneira aproximada na

próxima seção.

2 Dependendo do valor de A = 26/h , teremos os se­

guintes casos: l) A<1 o sõliton estático yz terá menor ene£ gia e teremos o plano yz como plano fácil; 2) X>1 o sõliton es_

13

tático xy terá menor energia e o plano xy será o plano fácil.

-1/2 Podemos tomar a largura do soliton como sendo Ç = k 2

(k = 26 para o soliton yz e k = h para o soliton xy). No li

mi te estático o campo magnético <? equivalente a um termo ani-

x 2 2 sotropico 2JbI (S ) com b = h /2. n n

H - Solução das Equações de Movimento Corrigidas

Estamos interessados no efeito dos termos de cor

reção da rede discreta em (2-18) e (2-19) nas soluções não

perturbadas encontradas na seção 3. Esperamos que a correção

seja pequena (não podemos esquecer que estes termos são de 0£ 4

dem a ).

Para isto é conveniente mudarmos o sistema de re

ferência, para um sistema que se move com o soliton. A trans­

formação é do tipo Lorentz com

x = Y (z - r -r ), T* » Y < T - rz) f (2-24)

onde T = et e r = v/c. Podemos agora supor para (2-18) e

(2-19) soluções do tipo,

* (X,T')=<MX) + Y(X,T'), 0(X,T') =0O(X) + n(X,T')r (2-25)

onde *o (x) e ©o(x) são as soluções não perturbadas encontradas

na seção 3.

Para o soliton xy temos que ©0 -it/2, <Mx)=4> *xv'

dado por (2-23). Linearizando as equações em V e n teremos

14

^-| = - h2f (cos2*, - sen2*,) + ^ [2 (,_!)2 <i-il) - \ — r 1 ] , 3x* * * 3XZ * 3x*

(2-26Í

2 a* 2 ~~2 =" n(7]T)2" n<h2cos2*« - 26) - ^ sech2(hx), (2-27)

onde as derivadas em relação ao tempo não aparecem porque es

tamos interessados em soluções que corrigem a soluções não pe£

turbada, e que por isto são estáticas em relação ao sóiiton.

Substituindo a solução de *o(2-23) em (2-26) e (2-27) temos.

*2 4 4 —£ = - h 2 ¥[2sech 2 (hx)- l ] + —^- [sech(hx) tanh3(hx) -3x^ 1Z

- 11 sech3(hx) tanh(hx)], (2-28)

2 "* 2-& = - n [2h2sech2(hx)-2ó] - 2 — sech2(hx). (2-29) 3x

Observe que as funções ¥(X,T') e n(x,-r*) são su 4

postas ser de ordem a , a mesma ordem das correções de rede

discreta nas equações (2-18) e (2-19). Por isto todos os ter­

mos em (2-28) tem a mesma ordem. Para a equação (2-29) a c&rre

ção de rede discreta é nula nesta ordem, mas consideramos

n(x,T') como sendo de ordem "v" para obter a correção dinâmica

(xv) do soliton XY (a solução anterior • ' encontrada na seção 3

é estática e n(x) neste caso nos dá solução dinâmica em ordem

v).

A equação (2-29) é a mesma obtida por Fluggen e

Mikeska <25), onde foi tratado apenas o caso com o campo. A solu

15

çao e,

n(x) = ^ sech2(hx) (26>>h2), (2-30)

onde

A. = — ^ (2-31) h c 26 -h2

A equação (2-28) pode ser escrita como:

ã_2 + T t l _ 2sech2(5)) = - ^ - [sech(x)tanh3(5)-dx

- 11 sech3(x)tanh(x)J , (2-32)

onde x = hx. Podemos desenvolver Y(x)em um conjunto completo de

funções f(x) que satisfazem a equação (26)

2 ^ (x) + (l-2sech2x)f(x) =XV.2f(x). (2-33) dir

As soluções normalizadas de (2-33) são

fbÜ) = -±r sech x , Si £ = 0 (2-34)

e

f. (x) = — - — exp (ikx) [k+i tanhx],ü2= 1+k2. (2-35)

Como f(x) forma um conjunto completo, podemos escrever fix) nes_

ta base como

Y(x) = *bfb (x) + fdk fk fk(x) , (2-36)

onde os coeficientes {¥. , Y. } devem ser determina

dos. Substituindo (2-36) em (2-32) e usando (2-33) junto com

16

as relações de ortonoraalidade

f fb(x) fb(x)dx=lr f fk(x) fk.(x) dx = ó(k-k') , - • -ao

Í fk ( x ) f b ( x ) d x = °' (2-37)

teremos

2 r-

^"b T b = ° = I fb ( í ) h<* ) d x ' (2-38)

2 r°°

~^k *k = j f^Cx)hCx)dãt , Í2-M) 3-3*5

onde h(x) é definido como a parte da direita da equação (2-32).

2 f" Como-A.. = 0 e f. (x) h(x)dx - 0, a equação (2-38) ê satis-—00

feita identicamente e ?. fica indeterminado. No entanto é fá

cil ver que ^(x) apenas provoca uma translação do sóliton, d* d*

pois * ( x +A) = • (x) + 4 T - e -s-p a sechx e ficamos com

• (x+A) = • (x)+Af. (x). Logo este termo não modifica a forma o o D

do sóliton e nenhuma de suas propriedades ( o sistema é homog£

neo), e portanto podemos escolher *b=0.

Usando a equação (2-39) em (2-36) temos

dk ,»'kfk(x) = J ^- fk(x)j dx'f*(x»)h(x»). (2-40) _<m _<«i «*"X

Resolvendo (2-10) encontramos

*(x) = Aa sech(hx) [3tanh (hx) - ^£ J , (2-41)

17

onde 2 4 4

1 = • = I •=• 1 -X— ( 2 - 4 2 1 Àa 12 l Ç ' 12 » u *Z|

Ç é a largura do sóliton definida antes.

Levando agora estas soluções na equação de ener­

gia (2-7) encontramos

Exy " Exy Yll+ J2y* ( 24 -» + 4 5* 4 (1" 4>1' <2~43> * c c c

onde E° = 4JS h é a energia do sóliton não perturbado» e foi 2

considerado o liai te h « 26.

Para o sóliton yz , conhecemos a solução dinâmica

(2-21) e não temos componente fora do plano,* ~%lo ' A corre~

ção de rede discreta é a única correção neste caso.

Fazendo agora

9 = 0O + A (x, T') , • = ir/2 , (2-44)

onde 6 = 0 yz'(x) dado por (2-21), e seguindo o mesmo procedi

mento anterior, obtemos

A(x) =Aa sech(/26 x) [3tanh(/2T x) - J 5 p h , (2-45)

onde &J^

e 2 Eyz " B5z TH + í Y4 < T * 1,] ' (2"47)

18

E = 4JS / 26' ê a energia do sóliton não perturbada e Ç é

a largura do sóliton.

5 - Aplicação ao TMMC

0 sistema real (TMMC) não se comporta como um

sistema sine-Gordon porque o movimento dos spins não está con

finado no plano, e o sistema é discreto. 0 efeito do movimen­

to dos spins fora do plano já foi estudado antes(25'27). 0 efe^

to da rede discreta no TMMC pode agora ser estudado usando os

resultados das seções anteriores.

Para o sóliton XY os resultados mais importantes

são a correção da solução tipo sóliton fix) e ri(x) equações

(2-30), (2-31), (2-41) e (2-42), e a correção para a energia

do sóliton,equação (2-43).

Como vimos na seção 3, apenas conseguimos resol­

ver exatamente as equações de movimento para o sóltion XY, se

considerarmos um sóliton estático. Para o sóliton em movimen­

to temos que 0 J4 n/2, e irá aparecer uma solução em que o sis

tema sai do plano XY. Em primeira ordem em v/c (sendo v a ve_

locidade do sóliton) esta solução é calculada para r\{x) equa

ção (2-30). Existem então duas correções para este sóliton:

(1) a correção da rede discreta 4*(x) que existe mesmo para ve

locidade do sóliton nula, e (2) a correção de componentes fo

ra do plano XY n(x), sendo esta correção nula para o sóliton

estático e com limite de validade para velocidade pequena

( <<1) onde a aproximação vale.

19

A figura (2-1) mostra a correção para a forma do

sõliton quando consideramos a rede discreta apenas, onde está

mostrado M como sendo a maior diferença entre a função corri­

gida e a não corrigida. Como podemos ver, a mudança na forma

do sóliton é pequena para pequenas velocidades (- 10~ para

v=0), mas cresce muito para velocidades grandes (v - c). isto

indica que no limite v- c, as correções são grandes e a solu­

ção aproximada encontrada aqui não pode mais ser usada. Este

efeito pode ser explicado qualitativamente percebendo-se que,

uma medida do efeito da rede discreta é a razão entre o tama­

nho do sõliton Ç e o parâmetro de rede "a" (nas nossas coorde­

nadas a = 1 ). Se Ç /a >>1 o efeito da rede é desprezível, mas

se Ç/a z 1 o efeito da rede é grande. Para o TMMC por exemplo

Uy) , Ç/a = T- e h = 0.19 para os maiores campos utilizados em

(vz) _L_ experiências, e £/' - /jr e 6 = 0.01 o que implica

que o efeito da rede discreta deve ser pequeno. Mas a medida

que o sóliton se movimenta a sua largura diminue por contração

de Lorentz (a equação de sine-Gordon tem "invariãncia relati-

vística"), e os efeitos da rede vão ficando cada vez mais im­

portantes. Por isto a correção da forma do sóliton ( Mx)) fi­

ca grande para v/ z 1. Resta saber se para os sistemas fís^

cos de interesse, a velocidade dos sólitons é grande na faixa

de temperatura em que são feitas as experiências. Esta pergun­

ta será respondida para o TMMC.

Para o TMMC pode-se esperar a presença do sóliton

de grande velocidade para temperaturas diferentes de zero. Va

ra pesquisar isto vamos considerar um modelo de gás de sóliton

relativístico. 0 modelo não relativístico, como feito por Mi-

20

keska(22) e outros, não pode ser utilizado neste caso onde se

espera a presença de sóliton de grande velocidade.

Vamos calcular a velocidade média quadrática de

um gás de sóliton ideal relativístico. Comecemos com

[ exp i-B&l + P2c2 ] p2dp J —CO

< D2 > = — . (2-48) P

r — 00

exp [-B»fe2 + p 2c 2 ] dp

onde 6 = l/„ e E é a energia de repouso do sóliton não 8 ~ 2

corrigido (E = 4JS h para o sóliton XY e E = 4JS / 26' para o sóliton YZ). Obtemos então

I „ / K?<eEo> ' v = < v

2 > 2 = — =- , (2-49) [0EoK1(6Eo) + K2(6Eo)p

onde Kn(^EQ) é a função de Bessel modificada de ordem n. No

limite T+ 0 0, v •*• c e para T -»• 0

v = — - — (2-50)

que é o resultado do gás de sólitons não relativístico.

Mostramos abaixo valores de v/c para

h - 0,08(H = 40 KOe) e 6= 0,01, para várias temperaturas.

T XY YZ H=0,08 6=0,01

2,5 4,2

5,0

10,0

0,44

0,56

0,65

0,79

0,34

0,43

0,47

0,65

TABELA - 2-1

21

Para h>>/2T (H > 68K0e) o sõliton YZ tem menor

energia, e a baixas temperaturas tem contribuição mais importan

te para a função partição. Então para qualquer valor do campo

H e temperaturas menores do que 10K vemos que a velocidade do

sóliton não é grande o suficiente para mudar de maneira apre­

ciável a forma do sõliton. Isto fica claro observando as figu

ras (2-1) e (2-2), onde estão mostradas as correções da forma

do sóliton provocadas pela rede discreta.

Para o sõliton YZ conhecemos a solução dinâmica,

e mesmo sólitons em movimento permanecem no plano <t> = ir/2 .

Temos apenas a correção de rede discreta dado por A(x) equa­

ção (2-44). A figura (2-1) mostra o efeito desta correção pa­

ra vários valores de velocidade e 6 = 0,01. A diferença máxi­

ma entre a forma corrigida e não corrigida para v = 0 não

passa de 0,05%.

A figura (2-3) mostra a razão E/E como função

de r = v/c para ambos os sólitons, com h = 0,08 e 6= 0,01 (e

quações (2-43) e (2-47)).

Em todos os casos as correções podem ser grandes

para temperaturas da ordem de 10K. Por exemplo a densidade de

sólitons em um gás de sine-Gordon relativístico para o sóli­

ton XY é dado por (28«29)

n - ^ = { 6 E o [ K o ( 6 E o ) " K l ( e E o , 1 + K l ( *Eo)f (2"51)

/TT

ou desenvolvendo as funções de Bessel modificadas

22

n * nnr ( X + ! -a- >' (2~52»

onde n„_ ê o resultado do modelo não-relatinístico. Para nr

T = 10K obtemos para o sóliton yz n/n =1,27. Embora o efei-nr

to da rede discreta seja grande para temperaturas maiores,deve_

mos considerar neste caso outros efeitos como a interação en

tre os sólitons. Observe ainda que para E equação (2-43), a cor-

xy.

reção da energia para velocidade pequena (v/c << 1) é dada priri

cipalmente pela correção da rede discreta que é o segundo ter­

mo entre colchetes. Este termo existe mesmo para v = 0, e não

pode ser desprezado como foi feito por Mikeska<25).

6 - Conclusão

Neste capítulo nós usamos uma teoria de perturba­

ção para estudar correções no modelo de sine-Gordon, em um an-

tiferromagneto unidimensional clássico anisotrópico em campo

magnético externo. Esta teoria só tem validade para sólitons

com pequena velocidade, e chegamos a conclusão que para o TMMC

nas temperaturas onde a maioria das experiências são fei­

ta s(17) , a correção da rede discreta é pequena e pode ser ães

prezada.

Comparando o nosso resultado com o encontrado pa

ra o ferromagneto(21) , vemos que o efeito da rede discreta no

ferromagneto é muito maior do que no antiferromagneto. Esta di

23

ferença pode ser entendida por um argumento físico simples. 0

sóliton em repouso no ferromagneto com plano fácil em um cam­

po transverso H consiste em uma rotação dos spins de 2 * . Se

existem N spins no sóliton, sua formação custa em energia de

Zeeman aproximadamente gy_HNS, e o custo em energia de exchan

2 2 -ge é 2JS N(A0) , comA0 sendo o ângulo entre spins adjacentes.

Sendo AG - 2 TT/N, a energia do sóliton será minimizada quando

1/2 N = 2 TT (2JS/ „) - No C NiF, com H = 5K0e, o soliton mede gpBM s j

aproximadamente cinco constantes de rede. No antiferromagneto

com JS >> gwBHf pares de spins adjacentes estão quase antipara

leio. O custo em energia de Zeeman por par de spins será ago­

ra gMBHS(gyBH/.JS). A energia de exchange por par será agora

2 2 4JS (VN) . Então o numero de pares de spins sera da ordem de

JS /gy H ; o sóliton no antiferromagneto é muito maior do que

no ferromagneto e portanto menos sensível aos efeitos da rede.

24

A f l x IO3)

<

FIGURA 2.1 - Mudança na forma do sólíton provocada pela correção discreta no de'svio máximo

em função da velocidade para alguns valores do campo magnético.

/

25

1

OI ro

i

i

i 00

05

-vk

- x .

^_

-

-

•

•

^ ^ ^ t \ >

•

eixf) 1 j 1 *

Oi

ro 4*

Oi x ro

O

FIGIJRA 2.2 - Forma do sóliton corrigida no sistema de referência em repouso

para 6 * 0,01.

26

FIGURA 2.3 - Energia do só liton como função da velocidade. A curva cheia

representa Exy/E para h xy 0,08(H = i»0K0e),e a curva tra-"J o x

cejada representa Evz/EyZ Para ° * 0,01. Estas energias

corrigidas não são corretas para grandes valores de v/c

onde a teoria de perturbação não é válida.

27

CAPÍTULO III

Solitons no antiferromagneto

unidimensional com duas anisotropias

1 - Introdução

Espera-se que as propriedades termodinâmicas de

muitos sistemas não-lineares unidimensionais a baixas tempera­

turas, como são obtidas pelo método de matriz de transferência,

sejam reproduzidas por uma teoria fenômeno lógica usando ma<£

nons e solitons. Seria interessante verificar se isto acontece

para sistemas magnéticos unidimensionais.

0 objetivo deste capitulo será estudar a mecânica

estatística do Hamiltoniano (1-1) com H = 0 a partir de suas

excitaçoes elementares tipo mágnons e solitons, e estabelecer

para este sistema a existência dos solitons como uma forma de

excitação elementar deste sistema.

2 - Modelo e Equações de Movimento

0 antiferromagneto com duas anisotropia pode ser

descrito pelo seguinte Hamiltoniano

H = 2J Ç i r n . 7 n + 1 + 6<sj)2 + b ( s y ) 2 ] , (3-1)

28

que é essencialmente o mesmo que o Bamiltoniano (1-1) com H=0.

Utilizando o mesmo procedimento do capitulo I I , podemos encon­

trar as equações de movimento do Bamiltoniano (3-1) que são

^ f - - 4 T& = s e n . c o s e [ < £ ) 2 - - l j ( ^ , 2 ] + "dz2 c 2 ^ t 2 ** c 2 **

+ 2sen0cos O ( b s e n \ - é ) , (3-2)

+ 2bsentcos^ , (3-3)

onde c = 4JS, e foi usada a mesma parametrização dos spins do

capitulo II, equação (2-1).

As soluções destas equações são parecidas com as

encontradas na seção 3 do capítulo II, e existem duas solu

ções sóliton de sine-Gordon dinâmica. Uma está confinada no

plano XZ com solução

0=T/ 2 + 2 tg"1 [exp(\/7r(z - vt)Y)], (3-4)

EXZ = E x z Y ' Exz - 4 JS* \f** ' (3-5)

A outra solução sóliton está confinada no plano XY e tem a

forma

29

-1 $ = 2 tg^Iexpív/^F» (z - vt)X)), (3-6)

Exy " Exy X '' Exy = ^S2\flb^ , (3-7)

2 2 — /2 com Y = (1-v /c ) • Vamos considerar o caso b<. & , e

Exy< Exz-

3 - Mecânica Estatística e Densidade de Sóiitons

Este modelo pode ser tratado pelo método de ma

triz de transferência e todas as suas propriedades termodinâmi

cas de equilíbrio são calculadas resolvendo numericamente as

equações. Este método no entanto, tem a desvantagem de "escon­

der" a física do problema e nâo fornecer informações sobre a

dinâmica do sistema. Ê conveniente então derivar a mecânica e_s

tatistica do modelo, partindo de suas excitações elementares

(magnons e sôlitons).

Vamos considerar o modelo de um gás ideal de mag­

nons e sôlitons, na região de temperaturas baixas tais que

K«T <S. E° , onde a densidade de sôlitons é pequena. Não se ob­

tém uma boa concordância com os resultados do método de matriz

de transferência a não ser que a interação entre magnons e só

litons seja levada em conta. Para fazer isto vamos considerar

o sistema com apenas um sóliton presente, e achar a mudança na

densidade de estados e energia livre dos magnons. Para uma den

sidade de sôlitons pequena a distância entre os sôlitons é mui

to grande, e podemos considerar que a mudança total na densida

30

de de estados e energia livre dos mâgnons ê a soma das mudan­

ças causada por cada sõliton.

Seguindo Currie et ai 28 estudaremos o comporta

mento das pequenas oscilações (mâgnons) na presença de um sóli

ton estático no plano XY. Vamos considerar que b«*, e então o

sõliton XZ tem um efeito desprezível para a função de partição

em temperaturas baixas. As soluções das equações (3-2) e (3-3)

serão do tipo

e(z,t) =tr/2 + é(2,t),- + (z,t) =4>Q(z)+ í(z,t) (3-8)

onde 4b (z) é a solução estática (v=0 em (3-7) e O ,Q são pe­

quenas oscilações. Linearizando as equações em O e • e procu

rando soluções como

6>(z,t) = s(z) expUt^t), $(z,t)= r(z)exp(iU>2t)r (3-9)

temos as seguintes equações de autovalores

dz" c

A2* W? o =-| • — | r - 2b (l-2sechz^lb' z)r, (3-10)

A2 {J>,s 0

5-| + -Ar- = 2b (l-2sech^\/2bl z) s . (3-11) dz* c*

.12 onde Ld* » U)* - 2(6 -b) c .

Observe que as equações (3-10) e (3-11) são análo

gas a uma equação de Schrodinger descrevendo partículas espa­

lhadas por potencial V(X),

31

2 - d Y* x ) + V(X)Y(X) « U)2Y(X) (3-12)

dX*

com V(X) = 1 - 2sech x,e x * yj2b* z . As soluções desta, e-

quação são conhecidas (J0) , sendo que existe um estado ligado

com solução

Yb(x) * -j^ sech x ; U)2, " °» (3-13)

e estados contínuos (espalhados) com solução

Y,.(x) = —± exp (ikx) [k + i tanhx];U)?= 1+k2 (3-14) * 2*U>k

Nos l imites de x—+±tx> o e f e i t o do só l i ton é desprezível , e

ficamos com

Y.(x) <X exp ( ikx+ÍA( lc ) )» (3-15)

onde A(k) - JTT ~ 2tan (k) é um desvio de fase. Temos então

que na presença de um sóliton, as pequenas oscilações (nagnons)

são espalhadas sem serem refletidas ' , e o efeito nas ondas

transmitidas é apenas mudar a fase das ondas.

Podemos agora calcular o efeito do sóliton na

densidade de estados e na energia livre dos mágnons. Para isto

vamos considerar uma cadeia linear de comprimento L , sujeita

a condições de contorno periódica nos estados contínuos. Esta

condição juntamente com (3-15) dão os seguintes valores permi

tidos para k

32

L k n + A ( k n ) = 2Hn (T>=0,+l,+2 ,...) . (3-16)

com isto a densidade de estados é mudada pela presença do sóli

ton

/>()c) = án = i_ + _L_ Mí*L /3-17)

sendo p (K) = ~~õrc a densidade de estados não perturbada. A mu

dança será então

4/>(k) =_/>(k) -/>0(k) = - 1 ^ ^ 1 * 1 (3-18)

A equação (3-18) descreve a mudança da densidade

de estados de mágnons pela presença de um sóliton estático. A

mudança na energia livre é simples de se calcular notando-se

que, cada grau de liberdade do magnon contribui com (Ç ln((iW.)

para a energia livre. Sem a presença do sóliton a energia li­

vre total por unidade de comprimento será

V T Ç[ln»W<knH ; k n = ^ (3-19)

A presença do só l t ion muda F para F onde

F = ¥ nT0 U n f c W V 1 ' 1»' kn " ^ ' ( 3 - 2 0 )

e teremos

33

K T ^ • AF = F-Fo= _B_ ^ tln<0W(qn)) - In <&U>(kn))]

K T - -jr- In (3W(ko) . (3-21)

Observe que na presença do sóliton, não existe o estado n=0.

Tomando o limite do contínuo, e usando o resultado

„ „ = . £ « , - 4!£i l«f|l temos

K T / °° AF(T) = -2- -±- I dkt |ê l n (^U)^))I- <3"32)

Além disto, existem estados ligados que contri

buem também para a energia livre. Com isto teremos que a varia

ção da energia livre dos mágnons, provocada pela presença de

um sóliton será

Z(T) = L4F(T) + K_T i- ln (&V ), (3-23) D n n, D

onde U) . é a energia dos estados ligados.

Para o nosso caso, equações (3-10) e (3-11) , te-

mos dois conjuntos de magnons com energias

UÜ2<k) - (2b + k 2 ) c 2 , U)|C'K)=(2& + k 2 ) c 2 , (3-24)

e dois estados l igados com energias

° ° 2 , b = ° ' ^ l , b = ° ^ U 1 b = 2 ( * - b ) c 2 . (3-25)

Com i s t o temos

jç «j> f CD

£(T) = -£- \ dkí ^ 1 * 1 In [^(k)U) 2 (k) ] j + KBT ln[0ü£ b J ,

O* (3-26)

onde A(k) = 2 t g _ 1 ( - ^ | ^ ) .

Estamos agora em condições de calcular a função

de partição grande canõnica para um número variável de só li

tons ( e antisolitons), sabendo que o efeito de interação en­

tre solitons e mágnons é provocar o aparecimento de uma corre­

ção Z.(T) na energia livre para cada sóliton. A função de parti

ção Z pode ser desacoplada em

Z = Z°Zc - , (3-27) m s, s

-ftLF onde Z = 6 é a função partição grande canõnica dos ma£

nons livres, e Z - é a função partição grande canõnica para S i S

um gás de solitons e antisolitons. No nosso caso de solitons

sine-Gordon, não existe restrição na ordem de criação de soli­

tons e anti-sólitons e portanto temos

Ze c = Z Z- , (3-28) s,s s s

onde

*s 4-_e zs (Ng) , (3-29)

N5»0

com

J 3

L ' " 2 Ü » « ^ fjdqsjdpsexp{-/>[(p; |« * -CD

V V - TitT I J dqs J dp* expl ^ I ( ps c + V

+ Z ( T ) ] I . (3-30)

Uma expressão similar existe para os antisólitons (Z-) com

N- ,M. - • Observe que Z (T) entra como uma correção na ener-s s

gia dos sólitons.

No caso geral podemos ter N =fc N- , mas para sis

temas em que a criação de sólitons e antisólitons é apenas ter

mica, não há razão para que N seja diferente de N- na média. s s

Então N = N- e M =M.- em nosso caso. A partir de (3-29) e s s s s

(3-30) temos

2L fc^s Z s , i * e x P l < T T H e ] ' ( 3 _ 3 1 )

onde •* vem da integração sobre p ; é escrito em termo de fun­

ções de Bessel K,(ÔE°. ) . No limite para (£E ) grande temos j . xy xy

E° OC= ~ F ( F c L ) 1 / 2 exp[-^(E° +Z(T))] . (3-32)

xy

O potencial grande canônico dado por

/K„T £1= - (KBT/L) In Z , (3-33)

ou usando as equações (3-27) , (3-31) e (3-32)

«T» -Jl= F - KBT - ^ - <-£-?-) e 6 7 . (3-34) o B he fiEo

xy

O número médio de sólitons e antisõlitons definido como

n = (N +N-)/L é dado por s s s

"s " - §Ç>T.L ' «3-35»

Sendo A = 0 (não existe nenhuma restrinção externa ao número

de sólitons) teremos

2Exv 2H 1/2 -»(Exv + r ( T , )

"s • -sF- <#-» e y (3-36' xy

Levando na equação (3-36) o valor E e Z (T) com (usando de xy

agora em diante h = 1):

f5l(T)=-ln[(/i/2B c)2]-JL ( lnü±2í!l d x - i f ^'* + * > ã x + l n &U » TTJ l + x2 TTJ i + x2 ^ ' b

(3-37)

onde X = k/^2i) e ^ 1 b = V^2(fi-b)' c , temos

n s - nsG 1 + N ^ 7 i ? 2 f ( 3 . 3 8 )

(1-b/S )

onde n ê a densidade de sõlitons para o modelo sine-Gorden pu sG

W (28) , K

B ro dado por (28) (K =1):

ns(, = 4v/|VjS2(2b) ( ^ ) 1 / 2 exp (-4JS2V2bVT). (3-39)

A densidade de sõlitons n i uma grandeza importante

porque pode ser medida por experiências de espalhamento de neu

trons.

4 - Conclusão

As propriedades termodinâmicas do Hamiltoniano (3-1)

podem ser obtidas usando o modelo equivalente do ferromagneto

com duas anisotropias .Em temperatura baixa este sistema

(32)

foi estudado por Sasaki , usando o método de matriz de trans­

ferência. Vamos agora comparar o resultado deste método, com os

resultados obtidos aqui. , ,

0 inverso fln fnnnnn correlação K , que está relacio­

nado com a densidade de sõliton por K^ =2n ê dado por(T<<E° ):

Kx = 8JS S2£o/T, (3-40)

onde

Zo= 4\|T A 3 / 4d+>/T) 1 / 2 exp(-E° /T) e~ I0(J), (3-41)

5 =[(l-V2T)/2tà*] (E°y/T), A = b/S (3-42)

38

I é a função de Bessel modificada.

Até ordem yb/S a equação (3-40) nos dá

n = n „ (1+/S), (3-43) S SG

que em ordem V 7 concorda com o resultado da equação (3-39) .Vemos

também que para A pequeno, a correção principal para densidade

de solitons do modelo sine-Gordon vem das flutuações fora do pia

no XY.

0 caso em que b » á é idêntico ao resultado anteri­

or apenas permutando b e &.

Para b = S as equações (3-2) e (3-3) têm uma degene-

rescência rotacional. Isto é, temos um sóliton sine-Gordon dinâ­

mico em um plano qualquer que passa pelo eixo x. Então, sendo T

o ângulo entre o plano do sóliton e o plano xy, a solução sóli­

ton serã

= I 1- sech usen I (3—44) sen© = | 1- sech'usen"!*T' ' '

^ = sechu cos^ ^ (3-45) sen-s sen©

s

onde u (z-vt). Para 0 temos o sóliton no plano XY

(equação 3-6), e para'C's' j ° sóliton no plano XZ (equação 3-4).

No caso de temperaturas baixas, como está sendo tratado aqui, a

maioria dos solitons estão parados e o efeito da velocidade pode

ser desprezado como na seção 2. O calculo da densidade de sõli

tons serã então idêntico ao feito antes, mas agora U). -U*? e

U). = 0. Com isto temos

J 7

n = (32 JS2b/T) exp( -4JS 2 \ / 2F /T) , (3-46) s

que concorda com a equação (3-40) para 4 = 1. A diferença na de­

pendência da temperatura nas equações (3-39) e (3-46) vem do fa­

to de que para b = * o sistema tem um comportamento "tipo Ising"

com um eixo fácil, e para b f 8 o sistema tem um comportamento

"tipo planar" com um plano fácil.

Então a mecânica estatlsitca do Hamiltoniano (3-1)

como obtido pelo método de matriz de transferência, é reproduzi­

do por um modelo fenomenologico usando sólitons emagnonsno liini

te de temperaturas baixas.

40

CAPÍTULO IV

Correções Quânticas no Antiferromagneto

Unidimensional - Mágnons

1 - Introdução

Grande parte dos trabalhos feitos sobre o TMMC

supõem que a aproximação clássica é válida para as condições

experimentais típicas; o caso quantico foi tratado por poucos

autores(33'3i*'35) . No entanto a solução exata (Beth ansatz) pre

diz uma sensível mudança no espectro de excitações magnéticas

para o antiferromagneto unidimensional com S = -= , provocada

por efeitos quanticos no sistema(36) . Não existe nenhuma solu

ção exata para S>-i mas mesmo a temperatura zero, devido às

flutuações de ponto zero, as flutuações fora do plano em um

sistema de plano fácil como o TMMC são grandes. Por isto o u

so da aproximação clássica é suspeita, já que os efeitos quãn

ticos podem ser grandes o suficiente para invalidarem os re­

sultados obtidos.

Para verificar a validade da aproximação clássi­

ca, será feito neste capítulo um estudo comparativo entre o

modelo clássico e modelo quantico para um antiferromagneto

unidimensional em temperaturas baixas. Ênfase será dada ao

cálculo das seguintes propriedades do sistema: valores médios

de magnetização, funções correlação estática e dinâmica e es­

pectro de energia das ondas de spin. A partir da comparação

entre os valores clássicos e quanticos destas propriedades,te

remos informações do limite de validade do modelo clássico pa

ra este sistema.

2 - Aproximação harmônica

De modo análogo ao que foi explicado na introdu­

ção, o Hamiltoniano do TNMC pode ser escrito como

H - 2J Ç T n.* n + 1 + D Ç (Sj)2 + H', (4-1)

onde temos para H' os seguintes casos:

H' • = H'x = B i (S*r , (4-2)

H' - H' = - g ^ B H Ç (S*> . (4-3)

Em comparação com (1-1) temos que D = 236 e B = 2Jb.

Para encontrar o espectro de energia das ondas de

spin, vamos escrever os operadores na representação de

Villain (37)

s* = e n [S(S+D-S^ (s* + D J 2 ,

(4-4)

1 z ,„z .,,,2 - i«>n

sn = [S(S+D - sj (s; +i)] e

onde A corresponde ao ângulo de orientação de spin no plano

fácil, e S* tem o papel de momento conjugado de é

*n. Sn. 1 - * * W - (4-5)

£ conveniente medir o ângulo no plano fácil a pair

tir da orientação dos spins no estado fundamental clássico, on

de S_ = (Sseim, Scos«C, 0) com n

«„..2£-S> . ««-6, 8JS 2

"2 e S =S(S+1). Com isto vamos escrever rib em cada subrede como

Í>n = (-Dn \ \ -<*] +-fn . (4-7)

É claro que se H' = H! no Hamiltoniano (4-1), °< = 0.

Segundo Riseborough e Reiter (33) consideramos o es

tado fundamental clássico (spin antiparalelos) como a aproxima

ção de ordem zero, e desenvolvemos o Hamiltoniano em potências de

^Sn^/S e ^ n * Para i s t o escrevemos os operadores de spin

S* e S* na representação de Villain usado (4-4), e levamos

estes operadores no Hamiltoniano (4-1). Com isto, obtemos:

H • E« + HA + H. + H0 + ... (4-8) O O 1 2

2 2

onde E = - 2JN.£ (1+2 senx ) é a energia do estado fundamen­

tal clássico, H tem termos de 2 operadores, H, três operado

res, H2 quatro operadores, etc.

43

Vastos considerar que H' * H! em (4-1). Neste caso

eu (4-8) Hx « 0 e

rs% W i t J - tnfn+1 *ci^i ^ J í - • DZí-J H * 2JS

° " l ' * S- S' (4-9)

onde £, = D/-, e 6- = B/?J * C o m o veremos logo mais este ter­

no nos dá as ondas de spin (magnons) do sistema.

O termo de quatro oeradores H_ é dado por

,z TI 2 „ z 2 J S T I n' w n '

4 n l § 4 "

, S n ^ + 1 + ^n- l> Sn 2i 2

w n * l ' . , 3 2 2 . l " n T . - n S« J " l S2

S n t n ^ n + 1 + <Pn-l>slí , - 2 2S^

• 6 2( V n ^ n Sn * Sn^n Sn n> 1

S2 J * (4-10)

Este termo junto com o termos de ordem superiores a ele são

responsáveis pela interação entre os magnons. Se desprezarmos

a interação entre os magnons (termo H, e ordem superiores) te­

remos a aproximação harmônica, em que H * E + H .

44

O Hamiltoniano H pode ser diagonalizado por uma

transformação de Fourier dos operadores "^ e S* n n

q /F n n ex q n . (4-11)

sq " "77^" n 5n e rfF

e usando uma transformação canônica

% - °<a << + a-a>• q q

Sq - &<* <aq " *-q> •

(4-12)

onde ©C A = -Õ . Observe que as equações(4-11) e (4-12) nos q q

permitem escrever os operadores de spin em operadores de cria

çâo e destruição (a , a ). Levando isto no Hamiltoniano H (e-

quação 4-9) obtemos

o q 2 q q q q (4-13)

onde

t \ t ü = 4JS | [ ( !+$ ! )+ cosq] [ ( l + S 2 ) - c o s q j l VZ (4-14)

<*?- A 2S

1 + &j + cosq

1 +Ò2 " c o s q

lV2 (4-15)

« 3

ai- ! 1 + 8 2 " cosq 1 + £ + cosq

l*k (4-16)

Para o Hamiltoniano com o campo (H* = HI), os cál

culos são parecidos com os feitos até agora. Este caso foi es­

tudado por Riseborugh P Reiter(33> usada uma transformada de

com constantes **i„ e a£Q'

Fourier como (4-11), e uma transformada canonica como (4-12)

!q

Teremos então

o q 2 q q q q (4-17)

com

KlO'q = 4JS í[ l+cosq + S^ [l-cos2<*Ccosq]J^2> (4.18)

« i > ^ -

<**

1 2S

S 2

X -r & , T L U S I j

1 - cos 2rçcosq

1 - cos2«l cosq; 1 + 5 , -(-cosq

] ' 1 2

(4-19)

(4 -20)

2.1 - Espectro de energia das ondas de spin.

A aproximação harmônica consiste em desprezar os

termos de ordem superior a H no Hamiltoniano (4-8). Com isto

temos um sistema de quase partículas (magnóns) como excitaçao

elementar do sistema, com espectro de energia dado por (4-13)

e (4-17).

O resultado da teoria clássica para o espectro de

energia das ondas de spins, é o mesmo encontrado para o caso

quântico com a única mudança de S para S nas equações (4-13) e

(4-17).

2.2 - Valores médios de magnetização

Vamos calcular vários valores médios do sistema pa_

ra H' = HI (caso com campo magnético). 0 caso com duas aniso-

tropias (H' = HJ) não será tratado.

A partir da equação (4-4) temos

Í-* cose -' n

S cos* S^ n Tn n -2 2S

(S*)2cosÒ (S*)2

n rn n -4 , (4-21)

Sn = "S sen$n -S*sené S* n Tn n

2S2

<S*)2sen4> (S*)2

n 'n n 8S4

+ .. (4-22)

A magnetização <S* é obtida da equação (4-21) sendo:

; X S ~* < S n > - S <cos* n > - < cos£ n > < ( S n } /

2S2 (4-23)

Usando agora a equação (4-7) temos que

< c o s * n > = <* exp [ - < t 2 > / 2 ] , (4-24)

e então obtemos

<S*> = *S [1 - X ° ' \ exp[-N "5 I . (4-25)

onde as médias sao termodinâmicas. Os valores médios <(S ) > e A n

C P n ^ podem ser calculados a partir das equações (4-19) e

(4-20), e são

<*n> " s Ç «q (2nq+1) ' (4"26)

< (sí )2> = è Ç w 2 ( 2 v l ) - (4"27)

K^'q/K^T B —1 onde n = ( e - 1) Cálculos similares podem ser fei-q

tos para outros valores médios, e temos

sic i V

<(sj)2> =^2 |1 I1+exp(-2<yn2) )] [!-< S2 > ]} , (4-28)

<(S nX) 2>=S 2{l fl-expí-^2))] [i.<Í^L>,J . (4-29)

O valores clássicos podem ser obtidos das médias

quãnticas, substituindo n_ + -x —* KQT/i^ . Isto quer dizer que q & D ' q

as médias quãnticas e clássicas tendem a um mesmo valor, no ljL

mite em que a temperatura é muito grande comparada ao valor

das energias dos mágnons U)'_• Como as médias quãnticas calcula,

das aqui só tem validade para temperatura baixa (aproximação

de ondas de spins), os valores clássicos obtidos desta maneira

também só tem validade para baixas temperaturas.

Os valores clássicos para 0 Sn* ^ e K,'n ^ são

então

< ^ n > c = — V ' (4-30)

^ n' c 4JS^h

^< sn> 2> „ = ^ S2 - (4-31)

^ n / c 4 VJF

A partir de (4-30) e (4-31) podemos calcular todas as médias

clássicas das equações (4-25), (4-28) e (4-29). Os valores

clássicos assim calculados concordam com os encontrados na

teoria clássica usando o método de matriz de transferên

cia , a menos da constante S que muda para S. Esta mudança

é uma importante correção ao resultado clássico.

A figura 4.-1 mostra < S^ e ^ S * \ como função da

temperatura para h = 0,05 (H=25KO para o TMMC) e

h = 0,15(H = 75KOe para o TMMC). Esta figura evidencia a ne

cessidade do modelo quãntico para o cálculo deste valor médio.

Isto pode ser visto mais claramente na figural-2 que mostra as

flutuações quânticas e clássica, (S^) / e>^ Sn^ se ' ®a~

serve que \ (S^) \ vai para zero em T=0, ao contrário de

^(S z) \ que é diferente de zero e se mantém quase constante

até 10K. 0 valor de ((Sz) ) em T=0 é próximo de 0,3, que é

comparável ao valor 0,5 para o modelo de Heisenberg isotrópi-

co. O nosso modelo está mais próximo do modelo de Heisenberg

isotrõpico do que do modelo XY, onde não há flutuação fora do

plano. Estes resultados mostram que o modelo planar não é bom

para o estudo do TMMC, mesmo a baixas temperaturas.

2.3 - Funções correlação estáticas

0 cálculo das funções correlação para o Hamiltoni

ano (4-1) com H' = HI (caso com o campo magnético)é simples ,

usando as equações (4-11) e (4-17) a (4-20) . Para a função

correlação z-z temos

S*z =/s ZS Z > =K2 (2n +1) , q \ q -q/ " q q ' ' (4-32)

e no l i m i t e c l á s s i c o

/s z s z > \ q - q / q * q / c

2 f t ' q T

(4-33)

Para q pequeno na equação (3-32) obtemos (h = 0)

zz c ->. 2\/jD"

\/D/J

(4+D/J ) -q ' • ! l /(4+D/J)-q^' ' (4-34)

e para q próximo de 7T temos ( q = l ^ - Q e h = 0)

Sq Z " 2 < ( S n ) 2 ) \/D/J"

D/J + 0/ * f 4-0/

D/J + Q" (4-35)

Os dois últimos temos nas equações (4-34) e (4-35) não exis­

tem no limite clássico.

A figura+4 mostra S como função de q para o ca_

so quãntico e clássico aplicado no TMMC. Observe que para T

abaixo de 10K a aproximação clássica não é boa para q próximo

de Tf , e melhora muito quando q é pequeno. Se h=0 (campo nu­

lo) , S z z = (S qZ Z) c em q = 0.

3 U

Para a função correlação x-x temos

slx= <"S«- í>* 5 2 <*««*-*»>• (4-36'

ou

S q X - ^ « ' q + T T < 2 n q + 1 r + 1 > - <4"3 7>

y y

A figura -5. mostra o gráfico de S em função de q. Neste caso

a aproximação clássica funciona bem mesmo a baixas temperatu­

ras.

2.4 - Funções correlações dinâmicas

Vamos calcular agora a função correlação dinâmica

/S*. S (t)^ , para o Hamiltoniano (4-1) com H' = H' . Um estudo

deste tipo foi feito por Riseborough e Reiter(33), para H! e

sem a preocupação dos autores em comparar com o resultado clãs

sico.

Usando o mesmo procedimento anterior vamos usar a

representação de Villain para os operadores de spin (equação

4-4), e desenvolver em (Sn yS . Com isto obtemos:

<irn.irr<t)> -<s; sj(t)) + (-Dn + r{i 2< c o s [ , 9n-^r ( t ) 1 -

- <S^cos[fn-'9 r(t)]Snz> - <S^(t)cos[^n- 'f r(t)}S r

2(t)>

5 1

^ S z cos(fn)S^S rz(t) cos(1^r(t)-]sJ(t)4>

4 S 2

<s£sen(9n) SnZ S r

z ( t ) s e n n i t ) ) S rZ( t)>

4S2

^(S z ) 2 c o . [ f n - 9 r ( t ) l (SZ)2> -

8S 2

^ [ S ^ í t í l ^ o s ^ - ^ í t ) ] [SZ( t ) ] 2^7+. . .

flf1 J (4 -38)

Desacoplando as médias acima temos

(rn. ?r(t)> ^s nzs z(t)> + (-i)n+rs2<cos[^n-fr(t)]) x

f < szsz \ i x Í 1- S y ' + ....} (4-39)

Na aproximação harmônica obtemos para (4-39)

r)a + O n ' X : ( t , ) = Í * Ç # q f [2n(U>q)+l]cos (ü)qt)+isen(ü)qt)l cosq(n-

,2 + ( - l ) n + r S 2 e x p í - Ç ^ g - [2n(^'q)+l] [l-cosdOgticosqin-rJalj x

x í l - _ 1 _ ÍL-. # 2 [2n(U>q)+l] + . . . j (4-40)

3 1

A primeira parte da equação (4-40) é a função cor­

relação dinâmica z-z. A transformada de Fourier dela no espaço

e no tempo nos da a função correlação dinâmica S (q,U>) , que

descreve por exemplo o espalhamento de neutrons por criação ou

destruição de um mágnon.

A segunda parte da equação (4-40) é a função corre

lação dinâmica perpendicular ^SxSx(t) + S^S^(t) , cuja

transformada de Fourier no espaço e no tempo nós da a função

*- —• * X X V V

cor re lação dinâmica S^(q,u)) = S (q,v0) + SJI (q,«>). A e s t r u t u r a

de Sjjq,v0) e mais complicada do que S (q,U>), como pode ser

v i s t o desenvolvendo a exponencial em (4-40). 0 primeiro termo

da expansão (depois de (-1) S ) é

I x ( t ) = < - l ) n + r Í 2 e x p ^ - Ç í ^ _ [2n( t J )+ l ] l x

[* [2n(ü)') + l ] [ cosq( r -n )a costi>'t]\ . (4-41)

I,(t) descreve o espalhamento com criação ou destruição de um

mágnon, como se pode ver tomando a transformada de Fourier no

tempo de (4-41). 0 próximo termo no desenvolvemento será

I2(t) = (-l)n+r expí - £ * % - [2n(ü)q)+l]l

•2 ^'2 X<^7T" " ^ 5 a — cos[(q'+q")(r-n)a][l+2n(iO',)][l+2n(ü'w)] /^ q 2ir a — a —

x [cos(tt)' +U)'») t + cosiVAJq'-Vri'q-Jtll . (4-42)

I2(t) descreve o espalhamento com criação ou destruição de

dois mãgnons. Isto pode ser visto tomando a transformada de

Fourier no tempo de (4-42) (irá aparecer termos com

£(U+(fal'+»>,,)) e 6 (U>í(uJ,-vü ,,)). isto contribue para o apare­

cimento do pico central em Sj_(q,v»>). Os outros termos dão con­

tribuições de muiti-mãgnons para o espalhamento.

Os valores clássicos sao obtidos com a mudança » i

n( q) + ^—» KgTy., na equação (4-40). Os resultados obti-q

dos são análogos ao caso da função correlação estática já que,

/jq(2n(u)q)+l) = s " (equação 4-32) e <K* (2n(U)')+l) = S*_7 (equa

ção 4-37). Com isto a comparação entre os valores quânticos e

clássicos da função correlação dinâmica, leva às mesmas conclu

soes da seção 2-3.

3 - Renormalizaçao do espectro de energia de ondas de spin pa­

ra H' = H[.

Os termos de interação entre mágnons na equação

(4-10), provocam uma mudança no espectro de energia como calcu

lado na aproximação harmônica, equação (4-13). 0 nosso objeti­

vo nesta seção será calcular esta mudança (renormalizaçao) no

espectro de energia, a partir do uso da técnica da função de

(38)

Green e desenvolvimento em diagramas ate termos de 1 "loop"

Isto é equivalente a se ordenar normalmente o Hamiltoniano do

sistema(39) .

Seguindo Wright et ai vamos usar uma função de

Green de temperatura zero, na forma de matriz como

onde

D = W ^s Js* D s s

(4-43)

Dxv(q,t-f) = -i<T[<f£(t) ^ (f)J (4-44)

com H .V«4> OUS, *J-*q 'tq- S e T[A(t)B(t')] signi.

fica o produto ordenado no tempo(38). 0 valor médio (4-44) é

calculado no estado fundamental do Hamiltoniano total do siste_

ma (H=H +H-). As funções de Green não perturbadas são defini-

o das como as funções D^y calculadas com o Hamiltoniano nao per

turbado H , e são : o

lf(q,u» = <"l

- iu) *

i l l)

*£w, ytf - U)<J + i £ (4-45)

0 procedimento agora é calcular a função de Green

(4-43), a partir da função de Green não perturbada (4-45). Pa­

ra isto utilizamos a teoria de perturbação padrão, usando a re

presentação interação para H_, e temos (38)

fl> , <P

P a v í q f t - f ) - ^ d t 2 . . . • 00 ÍOP

] d t n < T [ < t > q U ) < t » - V O H 2 ( t l , H 2 ( t 2 > " - W f c o n ' 4 -46 )

55

onde H_(t) está na representação interação e a soma é apenas so

bre os diagramas conectados. Utilizando o teorema de Wick pode­

mos escrever o produto ordenado no tempo como uma soma de todas

as contrações possíveis entre os operadores, sendo cada contra­

ção uma função de Green não perturbada. Cada um destes termos

pode ser representado por um diagrama*

A soma de todos os termos contraídos de (4-46) pode

ser escrita de maneira compacta, utilizando a equação de Dyson

para a matriz da função de Green

fD(q,U»] _1 =[D°(q,vi>)|"1 - X ( q » (4-47)

onde D é a matriz da função de Green não perturbada (equação

4-45), e E é a matriz de auto-energia. £_uV é a soma de todos

os vértices irredutíveis com as funçêos de Green livres (não-

perturbadas) iniciais(M) e finais(V) fatoradas.

Invertendo a matriz em (4-47) temos

2«2[jJ_ +X_ Íu)-£iH

D (q,U>) = q q ss

2/^Uq + L f f (-do)

onde

(4-48)

(-A2) = «i>+iXts) (uM^s*) - Ut>q+ 2«* !+*) (U^ + 2/3q^-ss) , (4-49)

(36) e2_jc»são os elementos da matriz de auto energia0"'.

A energia renormalizada dos mâgnons são dadas pe­

los polos da função de Green D (q,U))

u> =uí 9sf~2**s + [ i+^ +ess ^»e s s ^s + es»)2| j , (4_50)

onde

T T ^q ^ q ^3 ^1

Para c a l c u l a r o s t e rmos de a u t o e n e r g i a Z_JUV vamos

e s c r e v e r o Hami l ton iano de i n t e r a ç ã o H_, usando a s e q u a ç õ e s

(4-11) como

H2= " qlIqÍqW «,,0 KW*,! V q j V ^ ^ f L ^ i ^ l

. y C , , , ' ^ ; ^ + vd(fqlSq2fq3Sq4 + S ql? q2Sq3 3 „ . , „

onde q = q l + q2 + q3 + q4 , e

"2 V2 í q ) = ^TTÍ~ í 2 + 6 c o s ( q 3

+ q 4 ) - 8cosq 4 +8$ 2 ] , (4-53)

-2 V 2 ( q ) = ^ Ü " H + cos(c 3 2 +q 3 ) - 2cosq 3 ] , ( 4 -5 4)

-2 V 2 ( q ) = 1 l Í - t l - c o s ( q 3 + q 4 ) ] , (4-55)

VÍ " TiTS2" (4"56)

O procedimento agora é levar o Hamiltoniano de inte

ração H_ (equação 4-52) em (4-46), e a partir do teorema de

Hick calcular todos os termos de auto energia de 1* ordem

Utilizamos agora a equação de Dyson

para somar sobre infinitos termos do tipo redutiveis ao termo

de 1 loop. Esta será a primeira contribuição para as auto-ener-

gias da equação de Dyson,

Teremos então:

t ^(p)=-JS2 j £S tcosp cosq+2sen2q/2 -cosq+2&2] <*q 0

j ÉS [2sen2p/2 + &21 Q>\ , (4-57) - 4J

o

•u) ' *

+ ^ \ ^ [1-cosq cospl/32 , (4-58)

er-U) _ ( 1 *-s4»= i-iàj i = 0. Termos de 2 "loops" contribuem para a auto-

energia com "»-j , e assim por diante. Utilizamos agora a equa

ção da energia renormalizada dos magnons (equação 4-50), e pode

mos calcular a correção de energia dos magnons em primeira or­

dem.

Observe que os ternos de "1 loop" como escritos

nas equações (4-57) e (4-58) e na equação da energia (4-50)

são termos de ordem l/S. Para manter a consistência então, va

mos expandir a equação da energia até termos de ordem l/S.

Teremos

A equação (4-59) nos permite agora calcular a cor­

reção em primeira ordem para a energia dos magnons, causada pe

Io termo de interação H_.

A figura^ mostra a renormalização da massa dos

magnons (ou seja, o valor da energia para p=0) em função da

anisotropia S~. Observe que a correção da massa é quase inde­

pendente da anisotropia £,. A figura4/7 mostra a correção de e

nergia para o magnon em p = " . Nas duas figuras o parâmetro Â

é definido como,

U)= Lü (1-A)

Observe também que o valor de V A cresce com o valor da anisotro

pia.

A figura+8 mostra a renormalização da energia do

mágnon em toda zona de Brillouin(relação de dispersão do mág

non). Junto está o valor da energia não corrigüaM » Como se

vê hâ uma diminuição da energia em toda zona de Brillouin,pro

vocada pelo acoplamento não-linear entre os mâgnons.

4 - Renormalização da função correlação estática para H'= HJ

Os resultados da seção 2-2 para as funções estãti

cas são válidas na aproximação harmônica, onde o termo de in­

teração entre os mâgnons é desprezado.

O efeito deste termo de interação pode ser calcu­

lado usando o formalismo de função de Green como o apresenta­

do na seção 3. Por exemplo, as funções de Green não perturba

da e a perturbada são

2(y2UV D L ^'^ - 2

S 2

q . <*-60> UÍ-V)'N-i€.

2fij2 <l+ô**)vií„ Ds íq») = — p _ 9- , (4-6D a» 2 — 2

^O-Vq + 3E

onde

ft'q-<SqS^>T=0=Gzz<9» • «"«>

••••-7J&-2* ' ô»= ^ - • « ! " * « • * ¥ »

O efeito da interação, então, é mudar a energia

dos mágnonsU)* , e o numerador da equação (4-60). Podemos en

tão aproximar o sistema com interação pela aproximação harmô­

nica dele, onde a energia do mágnon e a função correlação es^

tática a temperatura zero $ --(Ç) s^° renormalizadas. A fun-

ção correlação renormalziada será então

Gzz(q) = &°zz(q) [l+e**(q)l- (4-63)

Para a função correlação \¥a r^(J0 procedimento

é o mesmo e temos

2«c'2 U)' D%* = -5-9—=-3— , (4-64)

üf-u)q2+ i£

2oC U)'(l+0ss) D f = —2^2 (4-65)

U3 ~ u)q + i £

onde

*q 2=<* qf-q>T=0 &°tt(q). (4-66)

Então a função correlação renormalizada G^^(q) será

Q^(q) = <^>(q) [1+€>SS]. (4-67)

As expressões para2. » » e 2- foram calculadas s s

por Wright et ai para o caso em que H'=H1, e são

bl

^f^(p) = - • 2N S~ q 2[sen2< + 4cos (2«t) sen2 (q/2) sen2 (p/2) +

+ 2sen?»< (l+4sen2q/2) (l-4sen2 (p/2)) ] <*' 2+2 [sen* +2eo.s(2«c) sen2 (p/2)

A'2

- 4senit (l-4sen2(p/2))]—%=— +0(o?), (4-68)

ss(p) = ~Í^ q 2[senl< + 2cos(2cC)sen2(q/2)]^q2 -

,2

[3-cos(2»0 (l+2cosq)] f=3^- +0(<\2) . (4-69)

s2

Para h = O (campo nulo) temos

,2 6 ^ = - A I{2sen2(q/2Mq

2+-íÜ_] ,

o qual para 8^ = 0.019 (valor do TMMC) nós dá^»f= - 0.436 e,

G íq) = 0 .56G° (q) • (4-70) zz ^ v z z

Para ô não temos o l imi te em que h = 0, mas para cam

po pequeno (hCtO.l) temos

Ei2Sen2(q/2>«<q2- ,1-c°s<5 o « p ] ô q / g 2 j e ^ , P » " " 1 •** 11 , S l t co.pl < 4 - 7 »

e para é i= 0.019 (valor do TMMC) temos

Ç**(q) = 1,22 G ^ (q) . (4-72)

Note que, para h M , <S* Sxq )^i

2 < ^ q + A q + í » ) '

Na figura^9 mostramos G_„ (q) , G_, (q) a temperatura £* £* Z Z

zero e a função correlação clássica (em T=1K e T=4K) como fun

ção do vetor de onda q. Na figura4-10 fazemos o mesmo para a

função correção x-x. 0 efeito da renormalização para O (q) é zz aproximá-la do resutlado clássico^ (q) .

Z Z

5 - Conclusão

Vemos então que os efeitos das correções quânticas

no TMMC não são desprezíveis. Eles mudam a forma e os valores

das propriedades clássicas do sistema.

(34)

Do nosso trabalho e do trabalho de Osano et ai e Wright et al(35>, vemos que os efeitos quânticos importantes

2

sao a mudança nas equações clássica de S para S(S+1), e a re­

normalização da energia dos mágnons. Esta renormalização da í;

nergia pode ser interpretada como uma renormalização nos parâ­

metros do Hamiltoniano clássico, como mostraremos abaixo.

O valor de £, calculado para o TMMC, pela soma de

Ewald para a interação entre dipolos magnéticos clássicos é

£i - 0.019. Nos encontramos, para q=0, o valor renormalizado

S,= 0.0086, que concorda com o valor de Osano (34) e Wright (35)

e o valor experimental de EPR a baixa temepratura (40). Para §_

o valor experimental (11) é S? - 2,6xl0~ , e neste caso o va­

lor não renormalizado encontrado pelas nossas equações em q="

c -3 é Ô 2 * 10 (veja figuras 4-6, 4-7 e 4-8).

Podemos então obter os valores corretos da ene£

gia dos mãgnonsutilizando o modelo clássico, deste que utili­

zemos em nossas equações os valores renormalizados dos parâme

tros S i e^2'

Para grandezas que dependem da função correlação

estática, os efeitos quânticos não são tão importantes, e mes

~ ~ zz mo para a função correlação z-z (S ) a diferença entre as

funções clássicas e quânticas que é grande na aproximação har

mônica, tende a diminuir quando consideramos interações anar-

mônicas entre os mágnons (figuras 4-4 e 4-9).

As flutuações fora do plano são grandes, como foi

mostrado na seção 2-2. O mapeamento que é comumente leito do

TMMC para o modelo planar não tem então nenhuma justificativa,

e em particular o mapeamento do Hamiltoniano (3-1) no modelo

de sine-Gordon é suspeito. 0 efeito da flutuação fora do pla­

no em torno do sóliton no TMMC, deve ser levado em conta se

quisermos ter uma imagem verdadeira das propriedades deste

composto (veja figs. 4-1e 4-2). Correções quânticas para o só­

liton serão consideradas no capítulo V.

*4

1.0

(O

0Q

<* — « .

5 T(K)

10

FIGURA U.l - Magnetizaçao reduzida <(S*)>/(XS versus T, para dois valores

do campo magnético. A linha cheia é o resultado quantico, e a

tracejada o resutlado clássico.

65

Zx2\ /tf»2 <tsnzr>/s

FIGURA it.2 -Dependência na temperatura para a flutuação fora do plano < ( S Z ) 2 >

para h » 0. Linha cheia: resutlado quantico. Linha tracejada :

resultado clássico.

0.6-

0.3-

0.Q

.

,

/

/ / /

/ ' 1 / s

/ / '

y y i

h=0.05

^^^^^™y - ^ ^

* ^

^'h=0.05 s

*

0.10 '

• #» * , '

S ' ^ ' ^

,' *' 0.15 • ' * .

' ' * ' / • •

/ ' ' • X

/ • • f ' '

• < • •

• ' • •

• •

0 T(K)

10

FIGURA i*.3 - Flutuação no piano <(S^) 2 > versus T, para vários valores do

campo magnético. Linha cheia: resultado quãntlco. Linha trace

jada: resultado clássico. <(S*)2> « S2(l-y).

<s,2 sü>

FIGURA U.i* - Função correlação estática z-z como função do número de onda q (Q-TT-q),

linha cheia: resultado quantico. Linha tracejada: resultado clássico.

<SqXS-X

q)/S

FIGURA A.5 - Função correlaçio estática X-X como função do número de onda q (Q »H - q ) .

Linha cheia: resultado quantlco. Linha tracejada: resultado clássico.

FIGURA 4.6 - Massa do mágnon como função da anisçtropia 6-

70

O o o o

to

o. OJ

ro 8

FIGURA i*. 7 - Energia do mágnon en q « T como função da

anisotropia ô., para vários valores da

anisotropia Ó-.

71

1.0

*

l(/> "^

tf ^ 0.5 O.

5

no

-

_

È I»

ft II

It Ml

II II

II Jl

*

/ ' — ^ \

/ ' * \

/ ' ' x \ / ' A / / \ \

/ / %\

\

* \ iV^ \ %

» « p

TÍ/2 P

IT

FIGURA 4,8 - Relação de dispersão do mágnon para o caso en que ô 1 = 0,016,

6, * 0,001. Linha cheia: Aproximação harmônica. Linha trace-

' jada: Resultado renormalizado.

72

O \Sq S-q/

00 ^J

=í > .

-£

>^

m ' • y | 1 • 1

• : • ' /

- ' X - * ' •

y +

• / / •

: / / / <sqzs.zq>

: * / / o o — : • ' / é

* / '

i r / / § •

• . l i li 1 i

\ í -s ? / ' 1 ' ! i •

j [ i • T i f f i 1 ' ' ' 3

D ül O r i » • &

: \ \

:» \ x

• i \ x

•1 \ N

: ' . \ \

* • ' \

• 1 \ ». 1 1 \

1 ' ^ j I f

1 i

- , 7— +

ZT ii

o •

-

V X

o

ro FIGURA 4.9 Função correlação estática z-z como função do número de onda q. Linha cheia:

resultado quãntico renorealizado (em T » OK). Linha tracejada: resultado

quãntico harmônico (em T - OK). Linha pontilhada: resultado clássico em

T " IK, linha pontilhada e tracejada: resultado clássico em T » UK (Q » TT-q).

FICURft fc.10 - Função correlação estática X-X coao função do núarro de onda q. Linha cheia: resul

tado quãntico renoraalixado (ea T • OK). Linha tracejada: resultado quãntico haraõ

nico (en T « OK). Linha pontilhada: resultado clássico en T » IK. Linha pontilhada

e tracejada: resultado clássico en T • 4K (Q - W -q)'.

CM

CD ro

.

-

c c

-

0.1

II -C

«

X

V N

\ \ \ \

•

1

Q

<&h

•

+^*m ^ +'

'W CM ,

i í= r • *^ ii

i

i

< V •

; i r ' li.

II | ^ l i

V ,:

V r V ' V ! \i i:

C C

ii

P /' •:

/ / / :

- • " . " " " / • • • "

O)

<& ís>

I t

CAPÍTULO V

Correções quãnticas no

TMMC - SO li tons

5.1 - Introdução

Como aconteceu no capítulo IV, os efeitos quânticos

podem mudar a massa do sóliton como calculado na aproximação

clássica. Para o sóliton sine-Gordon o cálculo das correções

quãnticas é bem conhecido e foi feito para ter eratura zero

por Coleman e Dashen et il , e para temperaturas maiores

do que zero por Maki ' .

Um sistema antiferromagnetico anisotrópico como o

TMMC, não é um sistema sine-Gordon puro. Como vimo< no capitu

Io IV as flutuações fora do plano fánil não são desprezíveis,

e devem ser levadas em conta em um cálculo realista da corre­

ção quântica da massa dos tólitons deste sistema.

Este capítulo tem como objetivo calcular a correção

quântica da massa do sóliton e sua dependência com a tempera­

tura em um antiferromagneto com plano fácil, tendo em vista a

aplicação ao TMMC como descrito pelo Hamiloniano 1-1. As flu­

tuações fora do plano fácil serão consideradas e será ut:iiza

do o caso em que não há campo externo aplicado. 0 caso com o

campo não tem ainda solução conhecida.

/:>.

5.2 - Aproximação semi-clássica

O método de diagramas de Feynman utilizado no capítu

Io l\j, não pode ser aplicado para o cálculo da correção quânti-

ca da massa do sõliton. A razão ê que sendo o sõliton uma exci

tação topologicamente diferente das pequenas oscilações, não

se pode encontrar a solução sõliton a partir de uma série per-

turbativa nos propagadores de mágnons. A solução sõliton está

em um setor do espaço de Hilbert diferente das soluções de pe

quenas oscilações.

Existe no entanto, uma aproximação que parte das so-

luções clássicas para encontrar o valor dos autoestados quânti

cos. Este método é chamado de método WKB ou semi-clássico(2)

Uma maneira simples de se entender o método semi-

clássico é a seguinte . Considere um Hamiltoniano quântico

H(g,<í>) que descreve um sistema onde <f> é um operador de campo,

e g é um parâmetro que mede o acoplamento do sistema. Valores

de g<<l indicam um acoplamento fraco, e g>>l um acoplamento

forte. Escrevemos agora <J> ~ <í> (x)+n(x,t) onde ^(x) é a solu

ção estática da equação de movimento clássica do Hamiltoniano

H(g,<f> ), e n(x,t) é um novo campo quantizado. Levando agora es_

te <p no Hamiltoniano H(g,<J>) e considerando apenas os termos de

menor ordem em g(aproximação semi-clãssica) ficamos com um Ha

miltoniano H=E_ + H(g,n) que descreve pequenas oscilações em

torno da solução clássica <J> . 0 termo H(g,n) é a correção

quântica de primeira ordem ao estado clássico descrito pela so

lução • .

Como exemplo consideremos o Hamiltoniano de sine-

Gordon

H(g,0) = { dx{± (|*)2 + I(|i)2 - 2 ^ cosg*}. (5-1)

Observe que em (5-1) desenvolvendo em série cosg $ obteremos

- 4 o termo de interação, isto e, o termo em <j> :

nO n A 2 m

4r,2*4

(-) cosg 0 = 1 - —sp- + — 4 1 - / (5-2) 9

e vemos que g mede a interação (ou acoplamento) do sistema. 0

acoplamento é pequeno para g pequeno. Seja <Mx,t) = <{> (x) + Ti(x,t) ,

com <J> sendo uma solução estática da equação de movimento

clássica de (5-1). Com isto temos H = E + H onde c

H = dx 2 2 2

{ n [~ 1 A " 1 ~~2 ' T" cos^c^ } ' <5"3> Z 3tZ i 3xZ / C T

e E = H(g,<{> ) é a energia clássica da solução <j> . O Hamilto­

niano (5-3) descreve pequenas oscilações em torno da solução

$ , e nos diz que a primeira correção para a energia clássica

vem da energia destas pequenas oscilações. Como a energia das

pequenas oscilações podem ser calculadas trivialmente da ener

gia clássica <E q u a n t i c o = \ (n+ §)hüJn, sendo o>n as ener­

gias do sistema clássico), o problema se reduz ao problema

clássico análogo.

Resumindo, na aproximação semi-clássica utiliza­

mos as soluções clássicas <f> e das pequenas oscilações em tor

no de <j> , para encontrar os auto-estados quânticos aproximados

do sistema. Para a eq(5-l) è é a solução sóliton da equação

de movimento, e a energia do sóliton estático na aproximação

semi-clássica (válida para g<<l) será

Es * Ec + I n hwn ' (5"4)

sendo u as freqüências das pequenas oscilações em torno do só

liton.

0 resultado acima ainda não é o que procuramos po£

que em um sistema quântico com o descrito pelo Hamiltoniano

(5-1), não nos interessa o valor absoluto da energia mas sim

o valor da energia em relação ao estado fundamental do sistema

que tem energia infinita. Isto e mais o ordenamento normal do

Hamiltoniano, renormalizam as divergências que aparecem nos

cálculos, levando a uma correção finita da energia clássica.

Temos então

E = E + 6E,rt + ôEnn , (5-5) s e zp no

onde ôE = - £ (w - w ) sendo u as freqüências das pe-zp 2 n n n n

quenas oscilações no estado fundamental do sistema (energia do

ponto zero), e ^Eno é um termo que vem do ordenamento normal

do Hamiltoniano e será discutido na próxima seção.

5.3 - Correção quântica da massa do sóiiton

Estamos interessados na massa do sóliton em um an

tiferromagneto com duas anisotropias, descrito pelo Hamiltoni

ano 1-1 com campo externo nulo. Como foi feito nos capítulos

anteriores, para se estudar as excitaçoes tipo sóliton nestes

sistemas faremos a aproximação do contínuo. Partindo direta­

mente do Hamiltoniano 1-1 esta aproximação é difícil de ser

feita, mas este problema pode ser contornado. Primeiro encon­

tramos o limite clássico e contínuo do Hamiltoniano 1-1, e ãe

pois quantizamos este Hamiltoniano.

0 Hamiltoniano 3-1 estudado no capítulo III descre­

ve um antiferromagneto clássico com duas anisotropias, e pode

ser facilmente quantizado utilizando o método padrão de trans

formar as coordenadas canônicas em operadores.

Com isto temos o seguinte Hamiltoniano quântico

para o antiferromagneto ( x = z/a)

H = J S2 dx "GAF 2-cos 0 AF

+ 9êAF 2 2n ,HAF>2

2 2 2 + 26 sen ©._ + 2b cos §.„ sen 4> ,

(5-6)

©AP= 5 ' 6 AF lÔaP<X>' TT < * ' ) ] = ÍÔ(X-X»), [*AP(X) T U . p U ' ) ] = 'AF 2 VAF, l°AF 0AF AF' ' ,"4>AF

iô(x-x'),S = S(S+1) e todos os outros comutadores são nulos.

Ê conveniente transformar o Hamiltoniano (5-6) em um Hamiltoni­

ano equivalente em teoria de campo

H -oí- j i -M!'2*^*1 + ^ ' i ' 2

2 2

-4- (cos g© - 1) Y~ (cos2g* + cos2gecOJ2g* -2) 9 9

, (5-7)

com [0(x), Tr0(x')]= iô(x-x'), l*(x) , TT^ÍX' ) ] = iô(x-x'), e onde

°AF - *® ; *AF - g* ; *0AF - V g ' V " "f

(5-8)

g2 = 2/g ; Eo = 4JS ; ^ - / f - § ; «2 - / f -

Observe que o limite clássico de (5-6) quando os operadores ©,

• etc, se transformam em funções e S-*-S, é exatamente o Hamil­

toniano clássico do antiferromagneto com duas anisotropias, e-

quação 3-1.

Embora o sistema não esteja confinado no plano XY

sabemos, como resultado dos cálculos feitos no capítuloIIL que

as pequenas oscilações fora do plano fácil são mais importan­

tes do que o movimento do sóliton fora deste plano. Vamos su­

por que o sistema esteja no plano XY, e consideremos apenas pe

quenas oscilações fora deste plano. Com isto o Hamiltoniano do

sistema será

H = E o | dx ??_ + 1(30)2 + ÍÉÍ + 1 ( l i )2 2 2!3x' 2 + 2 l 8x '

2m-—=- (cos2g <J> -1 ) 9

+ [2mJ S 2 + 2m2 Cos<2g*) § 2 + g 2 ^ 0 2 - ^ (f£> 2 02] (5-9)

Observe que desprezando as flutuações fora do plano (§= 0 ) , te­

remos o Hamiltoniano de sine-Gordon.

Para pequenas oscilações onde 0 e <f> são pequenos fi_

cantos com o seguinte Hamiltoniano

r „ „ ! * Z5_ t i ( |g ,2+ -4_ + 1 , 3 1 , 2 ^

2 2 - 2 + 2(m1 + m2) 0 (5-10)

que descreve pequenas oscilações no plano e fora do plano desa-

coplados.

Como é feito normalmente em teoria de campos, pode

mos escrever os operadores de campos como

0(x) = í dK

2TT 2ÜJ1(K)

1 2

a 1(K)Ii K x + aJ-(K) e

Í K X

vx ) = i |S (^(K) 2E. [ai(KUiKx - aJ(K)e

iKX] ,

• (x) í È* J 2 *

E o 2(^(10

2

a 2 ( K ) i i K x + a*(K)e i K X

(5-11)

TTfix) = 1 f dK

2ir

u 2 ( K )

~~2Ê" a , ( K ) i i K x - a+(K) *Kx

onde a,(K), a~(K), a,(K) e a_(K) são operadores de destruição

e criação. Os operadores de campo como escritos em (5-11) dia-

gonalizam o Hamiltoniano (5-10) desde que, <*). (K) e w (K) se

jam as energias das pequenas oscilações no plano fácil e fora

do plano respectivamente, que são:

u^íK) = EQ / K2 + 4(m2 + m 2 ) , (5-12)

a»2(K) = E 0 /PT 8 m; (5-13)

Para utilizar a aproximação semi-clássica teremos

de encontrar as energias do sóliton, e das pequenas oscila

ções em torno do sóliton no limite clássico. As equações de

movimento clássicas do Hamiltoniano (5-9) são

3x2 2 2

2 " 2 4m, 0 + 4m~(cos 2g»)ê + T-^ (|f)

2- <H> 2V Õ-

(5-14)

32j>

3x2

1 _3_í 2 2

Eo 9 t

4m, (sen2g<t>) (5-15)

A equação acima tem uma solução tipo soliton no plano XY onde

0 = 0 que é (veja apêndice)

•B<*'t) = | tg"1 exp [2 /2m2, ' (x-vt)Y ] (5-16Í

onde Y = (1 -v /p2) 2 , sendo v a velocidade do soliton. A

sua energia sera:

xy E° Y xy '

xy

4E

~2

0 AZ (5-17)

Vamos precisar agora da energia das pequenas osci-

laçoes na presença do soliton. Considerando 0(x,t) = 0(x,t)

e 4>(x,t) = •..(x) + n (x,t) onde 0 e n são pequenos, e levan

do estas funções nas equações de movimento (5-14) e (5-15) te

mos

2~ 2" -M; - - 5 - 2-4 = 8 m 2 ( l - 2 s e c h 2 o x » 0 + 4(m? - a^)ê , (5-18) 3 X

2 E^ 3t^ *

2 2 Í - 5 - - 5 - -^-5 = 8m2 (1 - 2 s e c h 2 a x ) n f (5-19) 3x^ E^ 3t^ *

/ T ~ - l w l t

com 0= K8m2 . Escrevendo 9 ( x , t ) = 5(x) e e

iu>_t n ( x , t ) = r (x) e , e levando em (5-18) e (5-19) obtemos

2 - 2

-2-f + ^ ~ s = a 2 [ l - 2 s e c h 2 o x ] s , (5-20) 3xz E^ o

2 Ü) 2

-Mf + — I r = a2 [ l - 2 s e c h 2 a x] r , (5-21) 3x2 E2

- 2 o 2 2 2 com w, = ai, - 4E (nu - m»). As equações (5-20) e (5-21)

são i d ê n t i c a s as equações (3-10) e ( 3 - 1 1 ) , tendo então as me£

mas s o l u ç õ e s . Existem d o i s e s tados l i gados com e n e r g i a s

ua = 0 ,

w. • 2E„ / m ? - m2 . (5-22) D O 1 2

Os outros estados são contínuos com a mesma energia das peque

nas oscilações sem o sóiiton, ou seja:

<•>, = E Q / K2 + 4(m2 + m2) ,

u< = E f*~l 8m„ (5-23)

sendo que para estes estados existe uma diferença de fase nas

soluções assintóticas em relação ãs soluções sem o sóiiton,que

tem o valor

Mq> = j|3- - 2 tg'1 (q/a) (5-24)

Vamos agora calcular o termo óE que nos dá a zp

diferença entre as energias das oscilações de ponto zero com

e sem o sõliton (h = 1):

6EzP=è | [vq>+Vq>]- i í [ V K , + V K ) ] + u (5-25)

sendo u. (q) os estados de energia com o sõliton e u (K) os es­

tados de energia sem o sõliton. Como feito no capítulo m utili

zamos condições de contorno periódicas, e então KnL=2Trn e

q L + A (q ) = 2 fln sendo L o tamanho do sistema. Com isto ob-^n *n

temos (observe que não existe o estado q = 0):

6E = I £ ÔEzp 2 q=« u (q)+ (q) '2 k=0 W;L(K)+ÜJ2(K) H o)1(0)+u2(0)

1 u •»• j b . (5-26)

dtall Afk)

Desenvolvendo u.(q) = w (k) + -y^ ( —~) e tomando o limi­

te do continuo em (5-26) temos

6E = E° 2p xy

í

j-g^-g2©^) «•if

2 '

o dk 00

tó2,0O (A^OC)

(5-27)

com

D, = 4ir

rir

-IT

dk Ujik) (5-28)

rH

D2 = T* dk

V*> -ir

(5-29)

Os termos D. e D 2 em (5-27) seriam divergentes em

uma teoria de campos. No caso da rede discreta, no entanto,não

temos problemas com divergências pois temos um corte natural

A= T"/a, onde a é o parâmetro da rede. Estes termos "divergen­

tes" podem ser eliminados fazendo o ordenamento normal do Ha-

miltoniano (5-9).

Ordenar normalmente um Hamiltoniano significa es­

crevê-lo com todos os operadores de criação ã esquerda dos ope

radores de destruição, e isto elimina os termos divergentes

que aparecem no desenvolvimento dos diagramas de Feynman deste

Hamiltoniano. Como vimos no capitulo IV, correções de "1 loop"

para a massa do mágnon ê equivalente ao ordenamento normal do

Hamiltoniano. Isto é, o efeito do ordenamento normal ê o de mu

dar as freqüências dos mágnons reais, para os valores renorma-

lixados ou os valores medidos (por exemplo em uma experiência

de EPR).

Ordenando normalmente o Bamiltoniano (5-9), obte-

mos

N[H]= E * [4 *Hf '2 •* <w2V *? • W»1><£>2

- 2 J-(l + g'D^g'D ) (cos2g *-1) + e (2*T -,2,. 2 * S2 g R,

1 2

2 2 - 2 2 + 2m0(l+2g D,)0 cos 2g$ + g A *• §2- <£>2 s (5-30)

onde

So =

R, =

E O 17

E O

4 ir

u)2(k) dk ,

-TI (5-31)

K u2(k)

dk

-Tf

O valor de 6E é calculado levando-se em N[H] , que é agora no

o Bamiltoniano que descreve o sistema, o valor do campo clássi

c o • = * e 0= 0. Teremos então s

6En =3dlHl-H no (5-32)

calculado com os campos clássicos. O seu valor será

ÔE = E° (g2D. + g2D0) no xy ' 1 ^ 2 (5-33)

»/

A energia do sôliton (equação 5-5) será então

E = E" s xy i - í - - 2ir

f TT

dk u>,(k) 1

2 ,., ~ w. (k) u)2(k) 1

uib

2

(5-34)

Nos parâmetros do antiferromagneto obtemos

r ir

E = E° s xy 1 -TTS

1

ITS

2(6-b)

(k2+2b)/k2+2S dk +

2 S / b

(5-35)

onde 6 e b são os valores renormalizados como calculados no ca

pítuloft/.

Se desconsideramos as flutuações fora do plano, te

remos um modelo sine-Gordon com a seguinte energia para o sõli

ton:

ES& = E° s xy 1 -

TTS (5-36)

b

0,0005

0,0001

0,003

0,005

0,008

0,009

A

0,11

0,11

0,12

0,14

0,14

0,17

TABELA 51 - Cooreção quãntica para a energia do sôliton

88

A tabela 5-1 mostra o valor da correção quantica

para 6 = 0,01 (valor do TMMC) e b variando de 0,0005 a 0,009,

sendo A definido de maneira que E = E (1 - A) . Observe

que a medida que b se aproxima de 6 , aumenta-se a correção

quantica da massa do sôliton, e para b << ô o resultado se a-

proxima do resultado do modelo de sine-Gordon, equação (5-36),

que ê A =0,11

5.4 - Efeito da temperatura nas correções quânticas

Os efeitos quânticos também modificam as proprieda

des termodinâmicas do antiferromagneto.

Para estudar este efeito partimos do potencial ter

modinâmico para o sôliton dado por

" ^ = E C l + Ã M - A M + 6E no b (5-37)

, - 1 . onde Ecl é a e n e r g i a c l á s s i c a do s ô l i t o n , I"t = 6 ln^2senh

sendo <*> a e n e r g i a do e s t a d o l i g a d o (equação 5 - 2 2 ) , e

|3(*

* M -e " 1 ,z ln< 2senh k

PCi (k) /

'+ 6 - 1 i ta< 2senh £G>2(k)

>/

(5-38)

vy

n„ = B"1 E In q

< 2senh F (j\(q)

B"1 2 In q

2senh 'Boijíq) -5

(5-39)

Acima ilM e ü M são os potenciais termodinâmicos para os mãgnons

(ou pequenas oscilações) com e sem o sõliton respectivamente, e

ÔE é o termo de ordenamento normal definido em (5-33). no

Seguindo um procedimento similar ao da seção ante­

rior onde transformamos as somatórias em integrais, obtemos

2 cxE

A = E - -5-° s s TTBY

dk _6ul _ÍJü>2

ln(l-e ) + In (1-e ) u_ (u> + vkj

Bwv ,-1 + B In (1 - e ) . (5-40)

Podemos definir uma massa térmica para o soliton ,

que pode ser calculada como

E =Jl - T s s

d s dT

8ils - • " . • ' [ n ] (5-41)

Utilizando a equação (5-40) temos que

T 2 a E o S S 7TY

2 .ir

dk

b

u)-,n(u).)+ o>2 ntojj) + ubn(ü)b) , (5-42)

onde n(<»y<) = ( 3 ^-1) . Observe que para T = 0 temos E g = E g.

90

5.5 - Densidade de sõlitons

Para T = 0 a energia de um sóliton em movimento

é dado pela transformação de Lorentz (c = E ):

V v> =Es ( 1 - ^ > " 2 =Es ( 1 + ^ > (5^3)

Para temperaturas finitas isto não é necessaria­

mente verdade pois os mágnons térmicos estabelecem um sistema

preferencial (i.e., v = 0). Aqui seguiremos Mikeska e Frahm

escrevendo para o potencial termodinâmico de um sóliton movendo

-se com velocidade v, a seguinte expressão:

Bils(v) = 0Eg(v) + Z (T) (5-<ft)

com

2a E' I(T) dk

_Bw -Bw lT)(l-e 1) + ln(l-e 2)

(JÜ-

-Bw + ln(l - e b) . (5-45)

Usamos os desvios de fase e as freqüências dos mágnons em

v = 0, embora elas pudessem ser calculadas para v ? 0 usando

a transformação de Lorentz. A diferença é de ordem superior

em E°/T. s

A probabilidade de encontrar um sóliton com velo-

91

cidade v é dado por

ng(v) = e -pJVv)

(5-46)

no limite do gás de solitons diluído. A probabilidade total de

encontrarmos um sóliton (i.e. a densidade de solitons) é então

dada por

S 2TT dp ng (v)

Das equações (5-49), (5-^5) e (5-?í») obtemos

(5-47)

» . = * dp exp -6E° ( 1 - 4 4 >2 Z (T) (5-48)

que pode ser escrita como

-

s - e MT) *s

c 1 TT exp[-BE°( 1 + x 2 ) 2 ] dx. (5-49)

A integral pode ser calculada dando

- £(T) n s - - r < 6 E s [ K o ( B v - K i ( B E s ) ] + K i ( B S «» r e > (5-S0)

onde K e k. são funções de Bessel modificadas. No limite não

relativístico (B E° >>1) a equação (5-50) fica

í n- =

_ IB E^ + E(T)J

e

m (5-51)

92

Para altas temperaturas T >> w.. e T >><*>_, podemos tomar

1 - e = Bua em (5-^5) e ficamos com o limite clássico:

2 2a E *- t

rcl(T, = - 2 - < dk

rin(|A;1a).

Levando (5-5Z) em (5-51) obtemos

+ lnBiDv.

(5-52)

n =, s

2*8

exp[- BE° - Zcl(T)] (5-53)

que é o resultado calculado no capítulo]H.

_ &u>i Para temperaturas baixas (T <<w,), tomando

(1 - ê ) 0 tal que Z(T) = 0, a equação (5-51) fica sen

do:

n = s

2 TTB

. BE,

Í5-5D

5.6 - Conclusão

Calculamos a correção quãntica da massa do sóliton

em temperaturas nula e diferente de zero, para o antiferromag-

neto com duas anisotropias. Para temperatura nula chegamos à

conclusão que as flutuações fora do plano aumentam a correção

quãntica como calculada na aproximação de sine-Gordon, e que

para b < < 6 temos correção idêntica ao modelo planar. A maior

correção vem da renormalizaçao dos parâmetros do Hamiltoniano.

93

O cálculo do potencial termodinâmico quântico foi

feito na seção 5-4, e a densidade de solitons concorda com o re

sultado da mecânica estatística clássica, se a energia do soli-

ton na teoria clássica é substituída pela energia renormalizada

encontrada na seção 5-3.

94

CAPITULO VI

Energia do Sóiiton no Ferromagneto

Quântico com duas Anisotropias

1. Introdução

Neste capítulo iremos estudar as correções quãnti-

cas para a energia do sóliton em uni ferromagneto unidimensional

com plano fácil, descrito pelo seguinte Hamiltoniano

H =-2j2Is*, .~s + A 2 L ( S * ) 2 + B Z Z ( S * ) 2 . (6-1) n n n+l n n n n

Na aproximação c l á s s i c a e continua as equações de

movimento do Hamiltoniano (6-1) são dadas por (A6'35'Zf7)

^ | = c o s © ^ - | - 2 s e n e ( | | ) ( | f ) - cosesen4>cos<|> , (6-2)

| ^ = ( c o s © ) ' 1 ^ _ | . í ( | f ) 2 - | + s e n ^ l s e n © , (6-3) Q7.

com soluções

c o s 0 g = Í c o s $0 + sen $Q tanh t u ( z - v t ) ] l , (6-4)

c o s ^ s = t a n h [ u ( z - v t ) ] / c o s d , (6-5)

95

onde j

u = (1 + Xsen2* ) 2 , (6-6)

e X = A/ -i . Nós parametrizamos o vetor de spin como

S - S (cos*cos^ , cos0sen^ , sen©), onde 6 e • são os ângu­

los dos vetores de spin clássicos em coordenadas esféricas, e

A é uma constante.

A mecância estatística clássica do Hamiltoniano

(6-1) foi estudada em detalhes por Sasaki(33) e Etrich e Mike£

ka . Aqui iremos estudar os aspectos quãnticos da energia das

excitações tipo sóliton, usando o método semiclássico de

Dashen, Hasslacher, e Neveu( . Vamos seguir de perto o traba-

lho de Mikeska , que estudou o ferromagneto unidimensional

com plano fácil com campo magneto externo.

Na seção 2 vamos aplicar a aproximação semiclássi-

ca ao Hamiltoniano (6-1) e obter a correção do modelo planar ,

feita pelas flutuações fora do plano, em ordem J/A (B«A). Ire

mos calcular também a correção da energia do sóliton a tempera

tura zero (T=0). Na seção 3 estudaremos a mecânica estatísti

ca quântica do nosso modelo.

2 . Formalismo semiclássico para T = 0

Usando a representação de operadores de Villain

(veja cap.]V)

96

s ; = c * 0 [ i2 - s* <s2 + 1 ) ] ^

Jn = ^2 " Sl ( Sn + "l^

(6-7)

com S = S(S+1), e fazendo uso das seguintes aproximações ('*> :

a) desenvolvendo o Hamiltoniano na constante de cede a e man­

tendo apenas termos finitos no limite a —• 0 (aproximação contí

nua);

b) desenvolvendo em S/S e mantendo apenas termos até segunda

ordem (aproximação planar ou XY) ;

c) desenvolvendo em S e mantendo termos até segunda ordem (a

próximação semi-clássica), podemos escrever o Hamiltoniano

(6-1) como:

H=-2JS2N + 2JS2 ( dz ( a 2 .> i*) 2 +

2§2 ,3sV S2T

* faz 2 <*z'

B

S! + _A_ <S 2) 2 + _B_

g 2J -2 + 2J sen

4JS2

2 < * .

sen($)Szsen ($) S2 + S2 sen($)Szsen($) )

(6-8)

Para calcular a correção quântica da energia do só

liton para o hamiltoniano (6-1), devemos notar que (6-1) é d£

finido na rede discreta, e portanto a sua versão contínua tem

um corte natural no momentum A = lT/a. Seguindo Mikeska <5) po

demos mapear a equação (6-8) diretamente na seguinte teoria de

campo:

97

"í g 2* (S , 2 i r ~ ~fj <sen^>^sen(gt)ir+Tsen(gt)Tsen(g*))] I ,

onde

(6-9)

I ?- = 9(x)2ir ; *=gi ) ; x = z/a, (6-10) s A

1

92 - <§> i ' Eo = 2ji2 ' (6.11)

rf(X>' 1f(x')] • i S (x-x«). (6-12)

No limite h—%00, o último termo em (6-9) pode ser desprezado e

obtemos o Hamiltoniano de sine-Gordon.

De (6-9) obtemos as equações de movimento clássi­

cas do Hamiltoniano

g - Eo92{ir - u \0 • ,2ir ig»2 • ^ ( r f n j j , .6-13)

«H 3 • ^ -«"» -f^gfr^B1 • 22 . E „*í Ü? ">t O

- m2g2lT sen(g?)cos(çrf»)l 1 , (6-14)

onde X = J/A e m2 = B/J.

Vamos agora calcular a energia da solução do sõli­

ton estático das equações (6-13)e (6-14) para **C pequeno. Para

» = 0 temos a teoria de sine-Gordon. O sõliton s& estático

continua a ser uma solução exata de (6-13) e (6-14), com

*^s " | tg"1 [exp(mx)] , (6-15)

tT = 0, (6-16)

, 8mE E c l = s

mE _ j-2 » 4Í2 \JJB . (6-17)

Como vimos no capítulo V, para calcularmos a cor­

reção quântica devemos antes estudar o comportamento das pequ£

nas oscilações na presença de um sõliton estático "^ (x). Con

siderando

• - ^ s • <P , V - Hs • »l , (6-18)

subs t i t u indo nas equações (6-13) e (6-14) e l i nea r i zando em

e temos

I 2 Í = _ >( l k + m2Y|l-2sech2inxJ«n • (l-m2Y)"l , (6-19) c »* }x 2

I £ L . 2?4 - m 2 ^ [i-2sech2mx] , (6-20) c " 7 t > x 2

99

2 onde c = E a o

As soluções de (6-19) e (6-20) sio bem conheci

das(w). Existe uma solução de estado ligado com freqüência ze­

ro, relacionada com a invariância translacional que é

"itX't) = D sech(mx) (6-21)

ip(x,t) « [E + D(bct)] sech(mx)

onde D e E são constantes. Os estados restantes são contínuos

V~~~~2 2 J""1 (m +k )(1+Vk ) e desvio de fase a£

sintótico

Á(K) = 2 tg"1 <£) , (6-22)

com soluções

«lkC*,t> = £k(«) lPMt ' (6~23)

c? k (x , t ) = gk(mx) e " 3 ^ ^ '

onde fk(mx) = [Jj + i t a n h ( m x ) ] e

l K X » (6-24)

9k(mx) = £ fk(mx) , (6-25)

Como discutimos antes para as correções quânticas,

devemos ter muito cuidado para contar corretamente os estados

e subtrair a energia do vácuo para cada estado. Nós calculamos

a diferença entre o estado fundamental do vácuo normal, e o es

tado fundamental do sistema com o sóliton. Na ausência de sõli_

tons, a energia do vácuo vem dos estados contínuos (mágnons) .

Quando o sóliton é introduzido, o primeiro estado contínuo de­

saparece para se tornar um estado ligado com freqüência zero

(modo translacional do sóliton). A contribuição deste estado

para a energia do sóliton será então

Eb = I ( 0 -^(^=0)) (6-27)

A contribuição dos outros estados, que continuam a ser contí­

nuos na presença do sóliotn, será

;cont=I £ 1 (^qn)-U)(kn)), (6-28) E

onde q é o número de onda do modo n do estado contínuo na n

presença do sóliton e ]< é o número de onda do estado de vácuo.

Numa caixa Deriódica de comprimento L, q e \ estão relaciona n n ~~

dos pela condições de contorno periódica

Lqn + (qn) - 2n «KnL. (6-29)

Da eq (6-29) oLuemos

u ) ( q , =u)<K) -AJÜLL ^

101

No l im i t e a soma em (6-28) se torna uma i n t e g r a l . In tegran

do por p a r t e s , adicionando (6-27) e fazendo algumas manipula­

ções encontramos

W(q)||dq |. (6-30)

(42)

Seguindo Dashen et ai , a energia do soliton na a-

proximação semi-clássica pode ser escrita como

Es = K1 + * Ezp + * Eno' (6"31)

$E é a diferença das flutuações de ponto zero como calcula­

das em (6-30), e £E é a diferença da energia vinda do orde­

namento normal do Hamiltoniano (6-9). 0 ordenamento normal evi

ta as divergências ultravioletas que vem dos termos de um "loop"

nos diagramas de Feynman, e o seu efeito é renormalizar os pa­

râmetros do Hamiltoniano(z>8) (isto é, os parâmetros reais são

substituídos pelos parâmetros experimentais como os obtidos em

uma experiência de EPR, por exemplo).

2 0 ordenamento normal de (6-9) em ordem g sera

N[H]= E o g 2 j d x U [ l + g 2 U í 7 2 > ] < | | ) 2 + l [ i + g 2Y<( | f ) 2 ) ] l I 2 -

2 2 _ 2» [1+ 2g2/<92>]cos(2gt) + " * ^ (2g2<1I2>)sen2 (g<P) +

4gz 4gz

+ V < I < Ü ) 2 - b 2 ^ ) 2 7 ' 4 <sen(g*)l7sen(g1»)ir+

+1Tsen(g1')tfsen<çtf) - 2 g 2 f l 2 ^ 2 > ) ] \ . (6-32)

J.02

Agora obtemos $ E inserindo as soluções clássicas (6-15) e

(6-16) em N[H]-H, e subtraindo a contribuição do estado funda­

mental :

+ Yg2<*2>] (l-cos2g?sA , (6-33)

ou

SEnn = E a 2 2m [<*2> + Y<V2» . (6-34) no o

Os valores esperados são

<•*> " T E ¥ < "Ri > • <6-35'

<ff2> - -k ¥ <V • (6-36»

onde

2 2 — = [m + * ] 2 . (6-37) ^ K = l — k

Finalmente a energia do sóliton na aproximação se-

mi-clássica é dado por

Es = E^1 (1-A) (6-38)

onde

103

t-&*7{* - r « ^ 4 - , * } . u-3„

A figura 6.1 mostra A como função da anisotropia B,

para dois valores de A. Note que a presença das flutuações fo­

ra do plano diminuem a correção quântica da energia, e para

B/j-*0 obtemos o resultado do modelo de sine-Gordon (planar).

A correção quântica para a energia do sóliton na

fig. 6.1 é pequena porque nós usamos os parâmetros renormaliza

dos (como os obtidos de valores experimentais). Se usarmos os

parâmetros reais podemos mostrar, como foi feito por Mikeska

que, as correções vindas do ordenamento normal não irão ocor

rer. A correção quântica irá consistir apenas do termo de flu­

tuação de ponto zero, e a energia do sóliton será dada por

E = E c l + ÍE ou E c l (1-i') com 4'=+ g , + q24.V2>. Por S S Zp, S £ '

exemplo, para A/_ = 0,2 e B,j = 0,05 obtemos

A' = 0,76,

que é uma correção muito grande.

cl Observe também que a energia do sóliton E na eq.

(6-38) é o valor renormalizado, e em termos da energia real e-

la pode ser escrita usando (6-32), como

Ecl = Ebare (1 _ g 2 < ^ . q2i<a?) ) . (6-40)

104

3 - Temperatura Finita

Para calcular a termodinâmica do Hamiltoniano (6-1)

na aproximação semi-clássica, seguimos o mesmo procedimento do

capítulo V, isto é, começamos com o potencial termodinâmico no

setor do sõliton dado por

,C1 ,_t . „-lf V „ ,„ ^ V Sls(v) = E ^ (v) + (b'M ^ [ln(2senh'--y"T1-- ) -

- InUsenh — - y ^ )] - ln(2senh^^-)] + éEnQ(/i) , (6-41)

onde nos já subtraímos o potencial termodinâmico do setor dos

cl magnons, e E (v) e a energia <

limite de sine-Gordon (Y=0):

cl -magnons, e E (v) e a energia clássica do soliton calculado no

E^ív) = E^1 (1- v2/c2) 2 . (6-42) 5 5

cl O termo de ordenamento normal SE (ft) e E sao os mesmos cal no s —

culados antes nas equações (6-34) e (6-49), mas agora os valo­

res esperados são dependentes da temperatura:

<*2>/> " I Ç ST [1 + 2n (k)], (6-43)

onde n(k) = (Ê W(k)- l)"1-

105

(28)

Como no trabalho de Currie et ai , nós usamos o

desvio de fase para o sóiiton estático. Seguindo então um pro

cedimento semelhante ao usado na seção 2, obtemos

ils(v) = Ef (v) - Bj1 A + _L. Ç ma.*"»*, 5 % l dk • f(ft).

(6-45)

onde A foi definido em (6-38), A(k) ê o desvio de fase, e

A

(k)dk] . (6-46)

o

Em temperaturas finitas, podemos extrair aenergia

do sóliton deJl^ por

Es • -*. - «TH 8» • «6-47>

Então das equações (6-45) e (6-46) temos

E = EC

s s i r1 „2v fA

(vJ-E^lA - 2__i_ \ «K. k n(k) dk]. (6-48)

No limite de sine-Gordon (Y=0), este resultado concorda com o

de Maki^3).

Como vimos no capítulo V, a densidade de sólitons

no limite de gás diluido é dado por

ns = Tf") dp ns ( v ) ' (6"49)

106

onde n (v) e s

n Iv) = e _ r i J l í í v ) (6-50)

Partindo das equações (6-42) , (6-45) e (6-49) obtemos

n s = k \ d p e xPÍ"^Es<1 + P 2 C 2 / ( E ° ) 2 , 2 ~*3 ' ( 6 " 5 1 )

onde E° = E^ÍO) , e

= - / J E f ü + A f l n ( l - e f t U ) ( k ) ) §£ dk + / i f ( / i ) . (6-52)

A i n t e g r a l (6-51) pode ser e s c r i t a como 1

-* Es 1 (°° -^Ej(l+x2)2

ns = e 7 JJo e dx- (6-53)

(29)

Esta integral pode ser calculada extamente dando

E° 1 2-ns - - % { K [ko^Es> - ki^)l + *1<K>J« ' <6"54>

onde K e K, são funções de Bessel modificadas.

No limite não-relativístico (ftE°y)l) a equação

(6-54) se torna

s*t f+e ] nB = \ f ^ , H ^ ? • <6"55'

107

2 No limite clássico de (6-55) (g-*0, ou 5"*°°) # a densidade de

sólitons pode ser escrita como

"S1 - n f (1 + \ ff > ' (6"56)

st -onde n_ e a densidade de sólitons no limite de sine-Gordon .

IB

Este resutlado concorda até ordem W— , com o encontrado por

Sasaki*33' v.sando o método de matriz de transferência.

4 - Conclusões

Os resultados da seção 2 mostram que usando os pa

rametros renormalizados (como os encontrados pelo ordenamento

normal do Hamiltoniano), a correção quântica da energia do só­

litons será pequena. O efeito das flutuações fora do plano é

diminuir a correção quântica.

Mostramos também que para o cálculo da densidade

de sólitons, a correção das flutuações fora do plano para a me

cânica estatística clássica é mais importante do que a corre­

ção feita pela solução sóliton fora do plano. Podemos então no

limite B£<A usar a solução dinâmica do sóliton do modelo pia-

B" nar, e o resultado sera exato ate ordem

A

108

FIGURA 6.1 - Correção quãntica da energia do sóliton como função do parâmetro

de anisotropia.

109

Conclusões Gerais

O nosso objetivo neste trabalho foi estudar siste

mas magnéticos unidimensionais como o TMMC, do ponto de vista

da Teoria de Campo. A adequação das várias aproximações então

utilizadas no estudo destes sistemas, como a aproximação do

contínuo e a aproximação clássica, pode então ser verificada.

O efeito da rede discreta para o TMMC calculado

no capitulo II é desprezível na faixa de temperaturas e cam­

pos magnéticos utilizados nas experiências. Este efeito no en

tanto, é maior do que o provocado pelo movimento dos sólitons

fora do plano fácil como calculado na aproximação de pequenas

velocidades.

As propriedades termodinâmicas do antiferromagne-

to com duas anisotropias como calculadas pelo método da ma

triz de transferência, podem ser reproduzidas por uma teoria

fenomenológica usando mágnons,sólitons e interação entre e-

les. 0 capítulo III mostrou ainda que as flutuações fora do

plano fácil são as responsáveis pela primeira correção na den

sidade de sólitons calculada utilizando a aproximação planar.

Os efeitos quânticos calculados nos capítulos IV,

V, e VI são grandes para os mágnons. Mas para os sólitons e-

les são pequenos desde que os valores das anisotropias sejam

renormalizados. Como o caso do antiferromagneto com campo

magnético externo não pode ser resolvido, as conclusões ante­

riores sobre a correção quãntica do sóliton talvez não sejam

válidas neste caso. Existem, no entanto, evidências de que es_

ta correção deve ser pequena para o TMMC com campo, como mos­

traremos abaixo,

Como conseqüência dos inúmeros trabalhos feitos

sobre excitações não lineares em sistemas magnéticos unidimen

sionais, e em particular sobre o TMMC, o papel dos sólitons no

comportamento deste composto está agora bem entendido. Entre

estes trabalhos, gostaríamos de salientar os realizados por Ma li») ti»

ria Elisabeth Gouvea e Bismark Vaz da Costa que juntamen

te com o nosso trabalho estudaram um amplo espectro das pro

priedades do sõliton no TMMC.

Vaz da Costa estudou várias das propriedades do

TMMC do ponto de vista numérico estabelecendo a relação de dis

persão para o sólitons neste sistema. Gouvea estudou a termo

dinâmica clássica do TMMC com campo externo considerando as

flutuações fora do plano fácil. A inclusão destas flutuações é

suficiente para se obter um excelente acordo com os resultados

experimentais, sendo esta uma evidência forte do valor despre­

zível das correções quânticas para o sõliton neste composto.

Para o TMMC então, o efeito dos sólitons pode ser

bem compreendido a partir de uma teoria clássica que use os va

lores renormalizados para as anisotropias. A inclusão das pe­

quenas oscilações fora do plano fácil é essencial, mas todos

os outros efeitos (rede discreta, correção quantica do sóliton,

etc) não precisam ser considerados. Embora o problema do efei­

to das pequenas oscilações fora do plano fácil para o TMMC com

campo não tenha sido resolvido ainda,não se espera que isto mo

difique de maneira acentuada a compreensão que temos hoje dos

sólitons neste composto.

Ill

Apêndice Equação de sine-Gordon

Como foi dito nos capítulos anteriores, o Hamilto

niano de um sistema antiferromagnético pode ser mapeado em um

Hamiltoniano de sine-Gordon, que é do tipo

H r. = sG dx4 1 , 3 ^ 2 2 (3Tt) + ± <-g>2 • 2 m 2 s e n 2 ( ^ > (A-l)

onde m é um parâmetro.

Este Hamiltoniano tem a seguinte equação de movi­

mento

2 2 — í - -2—i - m sen $ , 3x^ 3t^

(A-2)

queéconhecida como equação de sine-Gordon.

A equação de cine-Gordon tem três tipos de solu­

ções (2)-A solução de pequena amplitude obtida pela lineariza-

ção da equação de movimento, a solução sóliton, e a solução

breather.

A solução de pequena amplitude é obtida da equa­

ção

Sx^ 3t^ (A-3)

sendo do tipo exp [i (wt-kx)] com

2 - v2 * «2 u = k + m (A-4)

Em um sistema magnético estas soluções descrevem mágnons com

relação de dispersão dada por (A-4).

A solução sóliton da equação (A-2) é facilmente encon

trada, e é

• = 4 tg"1^ exp [i mY (x-ut • xQ)] ^ , (A-5)

2 --com Y = (1-u ) 2 , e os sinais + descrevem o soliton ou o

antisoliton. Esta é uma solução localizada em torno x-ut, com

largura de orden l/mY . Substituindo (A-5) em (A-l) encontra­

mos a energia deste sóliton como sendo

E = 8m Y (A-6)

Esta solução representa uma torção dos spins em torno da ca­

deia magnética, ligando dois estados de mínimo degenerados em

um sistema magnético unidimensional.

? Q

Figura 1 " Sóliton sine-Cordon CM uma cadeia ferrowagnetica

113

Figura 2 - Sóliton sine-Gordon em uma cadeia antiferromagnética.

Existem também soluções de vários sólitons,e as ca

racterísticas mais importantes destas soluções são: i) sóli-

ton mantém sua forma mesmo depois da colisão com outros sóli­

tons, ii) existe uma interação entre dois sólitons dada por

-d e

Vd

, d

, d +0

(A-7)

onde d é a distância entre os sólitons. A interação é repuls_i

va neste caso, mas será atrativa e terá a mesma forma para o

par sóliton-antisóliton. Vemos então que quando dois sólitons

estão bem separados , a interação entre eles é pequena e po

de ser desprezada.

Por últimos temos as soluções de breathers,

tema seguinte forma:

, sen[w Y(t - ux - to ) ] <Mx,t) = 4 tg'x J tgO D

cosh[mYsen0 (x-ut-x ) ]

Ela

(A-8)

114

onde w. = ÜJ cos0 , u> = m, tg0 = (1 wv/u) ) 2 . A solução D O O D o

breather tem energia

E = 16msenG y . (A-9)

Existem dois limites interessantes para esta solução. No linti

te io. + iii , a largura do breather tende para infinito e sua

energia tende para zero, sendo que a solução (A-8) torna-se

uma onda plana. No limite w_+ 0, E-»-2(8mY) que é a energia

de dois solitons, e a solução (A-8) torna-se a solução de um

par sóliton-antisÓliton(19).

Devemos salientar que do ponto de vista clássico

não se conhece o papel dos breathers nos sistemas magnéticos

unidimensionais. Uma descrição completa destes sistemas compa

tível com o método de matriz de transferência, pode ser obti­

da considerando-se apenas solitons, mágnons, e interações en

tre estes modos.

Do ponto de vista quântico os breather podem ser

interpretados como estados ligados de mágnons, e são estados

do mesmo setor dos estados de mágnons (51).

115

REFERÊNCIAS

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