Estudo dos angulos de um triangulo

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Dados 3 pontos A, B e C, não colineares, isto é, não alinhados, chama-se Triângulo à região do plano limitada pelos segmentos AB, AC e BC, denominados lados, sendo A, B e C os seus vértices. Os ângulos internos são representados por A, B e C, ou simplesmente A, B e C.

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Dados 3 pontos A, B e C, não

colineares, isto é, não

alinhados, chama-se

Triângulo à região do plano

limitada pelos segmentos

AB, AC e BC, denominados

lados, sendo A, B e C os seus

vértices. Os ângulos internos

são representados por A, B e

C, ou simplesmente A, B e C.

Na figura acima, teremos então:

Soma dos ângulos internos: x + y + z = 180º

Soma do ângulos externos: E1 + E2 + E3 = 360º

Em todo triângulo, um ângulo externo é igual à

soma dos ângulos internos não adjacentes, ou

seja:

E1 = y + z

E2 = x + y

E3 = x + z

Vamos provar as três propriedades

acima: A primeira é imediata, a partir da observação

atenta da figura abaixo, se lembrarmos que os

ângulos alternos internos possuem a mesma

medida. Assim, x = m e y = n. E como sabemos

que z + m + n = 180º, vem finalmente: x + y + z

= 180º

Para provar a segunda, basta observar que x + E1 = z + E2

= y + E3 = 180º.

Logo, podemos escrever: (x + E1 ) + ( z + E2 ) + ( y + E3 ) =

180º + 180º + 180º

Arrumando convenientemente, vem:

x + y + z + E1 + E2 + E3 = 540º

E como x + y + z = 180º , substituindo, vem:

180º + E1 + E2 + E3 = 540º

De onde finalmente tiramos: E1 + E2 + E3 = 360º

Para provar a terceira, observe que podemos escrever:

x + y + z = 180º = x + E1, de onde tiramos: E1 = y + z. Os

outros casos, são análogos.

Outra propriedade importante dos triângulos é que a

medida de qualquer lado é menor que a soma das medidas

dos outros dois.

Sendo a , b e c as medidas dos lados de um triângulo

qualquer, teremos sempre:

a < b + c

b < a + c

c < a + b

conhecidas como Desigualdades Triangulares.

DICA: se um triângulo possui dois lados medindo a e b, o

terceiro lado estará compreendido entre |a - b| e (a + b).

Assim, por exemplo, se um triângulo possui dois lados de

medidas 10 e 30, o terceiro lado estará compreendido

entre 30-10 e 30+10, ou seja, entre 20 e 40.

Os triângulos podem ser classificados

quanto à medida dos lados em:

EQUILÁTEROS: medidas

dos lados iguais; como

consequência disto , os

3 ângulos internos de

um triângulo

equilátero são

congruentes, isto é,

possuem a mesma

medida e, portanto

cada ângulo mede 60°.

ISÓSCELES: possuem

dois lados com medidas

iguais. O terceiro lado

chama se base.

Verifica-se facilmente,

que os ângulos da base

de um triângulo

isósceles possuem

medidas iguais, ou seja,

são congruentes.

ESCALENO: possui os três

lados desiguais.

Infere-se , portanto, que

todo triângulo equilátero

é isósceles, o que

significa que o conjunto

de todos os triângulos

equiláteros é um

subconjunto do conjunto

de todos os triângulos

isósceles

Os triângulos podem ser classificados

quanto às medidas dos ângulos internos,

em:

RETÂNGULO: possuem um ângulo reto ( 90° ).

O lado oposto ao ângulo reto é chamado

hipotenusa e os outros 2 lados, são chamados

catetos.

ACUTÂNGULO: todos os ângulos são agudos

OBTUSÂNGULO: possui um ângulo obtuso

Elementos lineares de um triângulo

Mediana - é o segmento que une um vértice ao ponto

médio do lado oposto. Conclui-se que todo triângulo

possui 3 medianas; o ponto de interseção das 3

medianas de um triângulo, encontram-se em um

ponto denominado BARICENTRO ou CENTRO DE

GRAVIDADE do triângulo.

Altura - é o segmento que une um vértice ao

lado oposto (ou ao prolongamento deste),

sendo perpendicular a esse lado. As 3 alturas

de um triângulo passam por um mesmo ponto,

chamado ORTOCENTRO do triângulo.

Bissectriz interna - é o segmento que divide cada

ângulo interno do triângulo, em 2 ângulos iguais. As 3

bissectrizes internas de um triângulo passam por um

ponto chamado INCENTRO do triângulo. O incentro é

o centro da circunferência inscrita no triângulo, isto

é , da circunferência que tangencia os 3 lados do

triângulo.

Mediatriz - é a reta perpendicular ao lado, passando

pelo ponto médio do mesmo. As 3 mediatrizes de

qualquer triângulo passam por um mesmo ponto,

chamado CIRCUNCENTRO, que é o centro da

circunferência circunscrita ao triângulo, isto é, da

circunferência que passa pelos 3 vértices do

triângulo.