Estudo e estado da arte dos provadores automáticos de teoremas

Provadores Automáticos de Teoremas

Everton Marquesegm2@cin.ufpe.br

Agenda Introdução Provadores automáticos de teoremas:

fundamentos teóricos Estado da arte: Provadores automáticos de

teoremas em lógica de primeira ordem Estado da arte: Outros tipos de provadores Conclusões

Introdução

As pesquisas direcionadas à área de teoria da prova estudam os conceitos de provas formais e os fundamentos relacionados

Provas formais podem ser classificadas como: Prova dirigida por humanos Prova automatizada

O uso de provadores é bastante difundido na área de construção de provas formais Diversas lógicas

Lógica de primeira ordem Lógica clássica proposicional ...

Introdução

Utilização de diversos métodos Resolução Tableaux Anéis booleanos Dedução Natural ...

Provador automática de teoremas: um programa computacional que mostra se a conjectura apresentada é uma conseqüência lógica de um conjunto de sentenças (os axiomas e hipóteses) Linguagem formal sem ambigüidades Sentença produzida: prova

Provadores automáticos de teoremas: fundamentos teóricos

Herbrand: desenvolveu a base dos provadores automáticos de teoremas em 1930. Seu método era impraticável de se aplicar até a invenção

do computador digital. Só após o artigo de Robinson em 1965, junto com o

desenvolvimento do princípio da resolução, foi possível o desenvolvimento dos provadores.

Fundamentos teóricos: Teorema de Herbrand

Por definição, uma fórmula válida é uma fórmula que é verdade sobre todas as interpretações. Herbrand desenvolveu um algoritmo para encontrar uma

interpretação que pode falsificar uma dada fórmula. Se a dada fórmula mantém-se válida, não pode existir

nenhuma interpretação e seu algoritmo irá parar depois de um número finito de tentativas.

Desta forma, ao invés de provar se uma fórmula é válida, o algoritmo de Herbrand prova que a negação da fórmula é inconsistente

Fundamentos teóricos: Teorema de Herbrand

Com base no teorema de Herbrand, Gilmore foi um dos primeiros a implementar o procedimento de Herbrand em um computador. Seu programa foi desenvolvido para detectar a

inconsistência da fórmula dada, mas encontrou dificuldades com fórmulas não simples.

Estudos do seu programa revelaram que o seu método era ineficiente. O seu método foi melhorado por Davis e Putnam (1960).

O procedimento de prova por resolução é muito mais eficiente que os outros métodos anteriores.

Estado da arte: Provadores em lógica de primeira ordem

CADE – Conference on Automated Deduction Principal fórum internacional para a apresentação de

pesquisas em todos os aspectos da dedução automática. 1ª vez em 1974. Era bienal até 1996, após anual Em 2001 uniu-se a outras conferências e virou

International Joint Conference on Automated Reasoning

CASC – CADE ATP System Competition Foi criada para estimular a pesquisa e desenvolvimento

de sistemas na área dos provadores Foi criada também para expor sistemas de provas para a

comunidade dos provadores e para fora dela

Estado da arte: Provadores em lógica de primeira ordem

Avalia o desempenho dos provadores em termos de: Número de problemas resolvidos com ou sem solução de sáida Média de tempo de execução dos problemas resolvidos

No contexto de: Um número limitado de problemas qualificados, escolhidos da “TPTP

Problem Library” um determinado tempo limite para cada tentativa de solução

A CASC divide-se em classes e na última edição foram 6: FOF – axiomática FOF com uma conjectura provável CNF – conjunto de cláusulas insatisfatíveis FNT – axiomas FOF com conjecturas que não podem ser provadas SAT – conjunto de cláusulas satisfatíveis EPR – conjunto de cláusulas finitas UEQ – cláusulas de unidade equitativas insatisfatíveis

Estado da arte: Vampire

Baseado na CASC é possível falar dos melhores provadores em lógica de primeira ordem: Vampire

Desenvolvido na universidade Uppsala pelo PhD Andrei Voronkov e pelo doutor Alexandre Riazanov

Utiliza métodos de resolução e paramodulação para encontrar bons resultados de prova

Ganhou muitos prêmios na CASC, e na última competição, a versão 8.1 venceu a divisão CNF e a versão 9.0 venceu a divisão FOF

Estado da arte: Paradox

Paradox Desenvolvido na Chalmers University of Technology por Koen

Lindström Claessen e Niklas Sörensson É um provador baseado no método MACE O método MACE basicamente transforma o conjunto de cláusulas e

um domínio em um conjunto de cláusulas em lógica proposicional através da introdução de variáveis proposicionais

Venceu a classe SAT do CASC de 2003 até 2006 Em 2007 venceu tanto a classe SAT quanto a FNT Foi desenvolvido na linguagem Haskell e é um software livre

Estado da arte: Darwin

Darwin O Darwin é a primeira implementação do cálculo de evolução de

modelos Possui algumas das técnicas mais eficazes de busca desenvolvidas

pela comunidade SAT A abordagem é semelhante a outros buscadores de modelos finitos

como o Paradox, mas, em vez de transformar um problema em lógica proposicional, ele é convertido em lógica de primeira ordem livre de função.

A versão 1.3 venceu a classe EPR em 2006 e uma variante do Darwin conseguiu o terceiro lugar na classe SAT

No CASC-21 venceu a classe EPR

Estado da arte: WALDMEISTER

WALDMEISTER Foi desenvolvido na University of Kaiserslautern por Buch e

Hillenbrand e foi implementado em C É um provador de teoremas para lógica equacional de primeira

ordem Tem como objetivo principal ser eficiente em todo o processo de

busca da prova É dividido em 3 níveis lógicos: nível mais alto corresponde à

escolha dos parâmetros redução ordenada e heurística de busca, nível intermediário corresponde à uma máquina de inferência e o nível mais baixo fornece algoritmos e estruturas de dados para a execução das operações básicas

Vem vencendo a classe UEQ do CASC desde 1997 e a sua última versão é a WALDMEISTER 806

Estado da arte: E-SETHEO

E-SETHEO É um provador composicional com estratégia paralela. Combina uma variedade de provadores de alto desempenho e

procedimentos de decisão especializados Deixa diferentes procedimentos de busca de provas competirem por

recursos para resolver um determinado problema Seu sucesso é parcialmente explicado pelo uso de estratégias

paralelas e pela fácil adaptação a um determinado domínio exigido. Outra importante razão é o uso de excelentes máquinas de

inferência para as diferentes estratégias. Usa estratégias de cooperação baseadas no lema de intercâmbio

entre os diferentes sistemas Venceu o CASC-17 nas classes MIX e SEM. Já no CASC-JC

venceu nas classes FOF, MIX e EPR.

Estado da arte: Outros tipos de provadores

Um Provador Automático de Teoremas para a Lógica Modal, Baseado em Anéis Booleanos Desenvolvido no IME-SP por Fabio Campos Tisovec Tem como objetivo principal ser um provador com um bom grau de

eficiência na prova de problemas SAT Usa a teoria de anéis booleanos para apoiar a resolução de

problemas de satisfatibilidade Basicamente pega a expressão trabalhada e subdividi-a em

inúmeras mini-expressões, compara-as duas a duas, e verifica a existência de contradições entre elas. Caso encontre contradição, sabe-se que a expressão não é válida, caso contrário ela é aceita

Possui uma estrutura dividida em módulos A linguagem de programação utilizada foi a C++

Estado da arte: Outros tipos de provadores

Kems – Um provador de teoremas multi-estratégia Foi desenvolvido na USP como tese de doutorado de Adolfo Neto. É um provador multi-estratégia baseado no método de tableaux KE. É capaz de provar teoremas em três sistemas lógicos: lógica

clássica proposicional, mbC e mCi Pode ser utilizado com 3 objetivos: educacional, exploratório e

adaptativo Possui uma arquitetura modularizada

Estado da arte: Outros tipos de provadores

Dada a entrada, retorna uma prova de saída que contêm: O status do tableau A árvore tableau de prova O tamanho do problema O tempo gasto para construir a prova O tamanho da prova

A versão atual é implementada em Java 1.5 e na linguagem AspectJ

Foi avaliado com várias instâncias de famílias de problemas e nenhuma configuração do KEMS obteve resultados incorretos.

Estado da arte: Outros tipos de provadores

Estado da arte: Outros tipos de provadores

Isabelle Desenvolvido pela “University of Cambridge” (PhD Larry Paulson) e

“Technical University of Munich” (PhD Tobias Nipkow) A principal aplicação é a formalização de provas matemáticas e em

particular verificação formal, incluindo provar propriedades de protocolos e linguagens computacionais

Boa interface visual para o usuário Ampla documentação, incluindo um tutorial de como usar o sistema Várias interfaces com outros sistemas Vem com uma grande biblioteca teórica de matemáticas Foi utilizado para formalizar muitos teoremas da matemática e da

ciência da computação, como o teorema da completude de Gödel É um software livre

Estado da arte: Outros tipos de provadores

Estado da arte: Outros tipos de provadores

Ergo Começou o seu desenvolvimento em 2006 na Universidade de Paris É um provador dedicado a verificação de programas É baseado no CC(X), um algoritmo de conclusão de congruência e

no cálculo de seqüentes É implementado em Qu-Prolog Sua arquitetura é modular É um software livre

ARA É um provador para vários tipos de relações algébricas Pode provar muitos teoremas em diversas álgebras Foi implementado em Haskell

Estado da arte: Outros tipos de provadores

PLLIC - Provador para as Lógicas Linear, Intuicionista e Clássica Foi desenvolvido no ano de 2006 na universidade UFMG Foi desenvolvido com a linguagem de programação Java e λ-Prolog Analisa quando seqüentes do tipo Γ├ L Δ tem resposta: sim ou não,

e caso positivo exibe a prova Trabalha com 3 tipos de lógica: linear, intuicionista e clássica É acessado via web e é em português Possui tutoriais, exemplos e fundamentação teórica também em

português É fácil de usar e possui uma interface com o usuário agradável Tem como objetivo principal ser uma ferramenta de fácil manuseio,

podendo ser acessado remotamente para o ensino de lógica em cursos de graduação

Estado da arte: Outros tipos de provadores

~((~ A)/\(~B)) |- A\/B

A |- ~(~A)  - Dupla negação

Conclusões

Considerações finais Embasamento teórico Estado da arte dos provadores Estudo de muitos provadores

Dificuldades Encontradas Escolha de escopo Dificuldade em encontrar bibliografia Dificuldade na execução dos programas

Conclusões

Trabalhos Futuros Implementar um provador automático de

teorema Uma tese de mestrado na área Desenvolver um provador para competir na

CASC

Referências

MARQUES, Everton. Estudo e estado da arte dos provadores automáticos de teoremas. Trabalho de Graduação, Bacharelado em Ciência da Computação, Universidade Federal de Pernambuco. 2008.

Estudo e estado da arte dos provadores automáticos de teoremas

Provadores Automáticos de Teoremas

Everton Marquesegm2@cin.ufpe.br