ESTUDO E IMPLEMENTAÇÃO EM PLANTAS FÍSICAS DE UM ... · Não se turbe o vosso coração, credes...

Francisco Elvis Carvalho Souza

ESTUDO E IMPLEMENTAÇÃO EM PLANTAS

FÍSICAS DE UM CONTROLADOR PREDITIVO

GENERALIZADO COM RESTRIÇÕES

Natal-RN Janeiro de 2006

Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Tecnologia

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

Estudo e Implementação em Plantas Físicas de um Controlador Preditivo Generalizado

com Restrições


Orientador: Prof. Dr. André Laurindo Maitelli

Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisitos ne-cessários para obtenção do grau de Mestre em Ciências no domínio da En-genharia Elétrica.


Divisão de Serviços Técnicos

Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede

Souza, Francisco Elvis Carvalho. Estudo e implementação em plantas físicas de um controlador preditivo generalizado com restrições / Francisco Elvis Carvalho Souza. – Natal, RN, 2006. 87 f. : il.

Orientador : André Laurindo Maitelli.

Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica.

1. Sistemas de controle – Dissertação. 2. Controle preditivo – Dissertação. 3. GPC com restrições - Dissertação. 4. Programação não linear - Dissertação. 5. Método de Rosen – Dissertação. I. Maitelli, André Laurindo. II. Título.

RN/UF/BCZM CDU 621.316(043.3)

ii


ESTUDO E IMPLEMENTAÇÃO EM PLANTAS FÍSICAS DE UM CONTROLADOR PREDITIVO

GENERALIZADO COM RESTRIÇÕES

Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como parte dos requisitos necessários para obtenção do grau de Mestre em Ciências no Domínio da Engenharia Elétrica.

Aprovada por:

_____________________________________________Prof. D.Sc. André Laurindo Maitelli

Orientador/DCA-UFRN

_____________________________________________Prof. D.Sc. Gilbert Azevedo da Silva

Examinador externo/CEFET-RN

_____________________________________________Prof. D.Sc. Luiz Affonso Henderson Guedes de Oliveira

Examinador interno/DCA-UFRN


iii

Não se turbe o vosso coração, credes em Deus, crede também em mim. Na casa de meu Pai há muitas moradas. Se não fosse assim, eu vo-lo teria dito. Vou preparar-vos lugar. E se eu for e vos preparar lugar, virei outra vez e vos levarei para mim mesmo, para que onde eu estou estejais vós também.

Evangelho de João, 14:1-3

iv

Dedico:

A Deus, nosso Pai eterno, a Jesus Cristo, nosso Salvador e ao divino Espírito Santo, por me concederem fé no Seu amor e misericórdia e me possibilitarem

oportunidade de salvação.

Aos meus pais, pelo amor, incentivo, confiança e dedicação que sempre tiveram.

v

Agradecimentos

Agradeço:

A Jesus Cristo, nosso Deus e salvador, pelo dom da vida, saúde física e intelectual que me permitiram realizar este trabalho e pelas maravilhosas bênçãos recebidas.

Aos meus queridos pais: Plínio Leite de Souza e Maria Dalva de Carvalho Souza, pelo amor dedicado, apoio e confiança depositada, apesar da distância, saudade e lágrimas derramadas.

Ao meu irmão Anchieta e minhas irmãs: Jussara, Gersomara, Sara e Ana Mariza, pelo carinho, por acreditarem e torcerem coletivamente em meu favor, também pelos risos e descontrações que me proporcionaram quando estávamos juntos.

As minhas tias, tios, primos, primas e amigos, pelo carinho e por torcerem pelo meu sucesso nos estudos.

A minha querida Janaina pelo amor, pela paciência, incentivo e por ser minha conselheira nos momentos difíceis.

A Dona Lindalva, Lígia e Chagas, pela amizade fiel, carinho e atenção que sempre me prestaram desde que nos conhecemos.

Aos colegas moradores da Residência de Pós-Graduação pela companhia da moradia e bons momentos vividos juntos.

Ao meu orientador, o professor André Laurindo Maitelli, pelo voto de confiança concedido e pela atenção prestada com boa vontade sempre que o busquei.

A todos que fazem parte da SAE, especialmente as assistentes sociais que me contemplaram com uma vaga na Residência de Pós-Graduação, fato muito importante para a concretização desta conquista.

Ao CNPQ, pelo apoio financeiro concedido através da bolsa de pesquisa.

vi

Sumário

Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

Lista de Símbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Controle com Restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Proposta do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Introdução ao Controle Preditivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1 Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Modelos Monovariáveis Paramétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 Modelos Não Paramétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Preditores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Controlador Preditivo Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1 Caso Monovariável sem Restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Programação Não-Linear e Algoritmo de Rosen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1 Definições Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1.1 Variáveis de Projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1.2 Função Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1.3 Restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1.4 Domínio Viável e Inviável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Métodos para Solução de Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2.1 Métodos para Solução de Problemas Não-Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2.1.1 Problemas de Otimização sem Restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2.2 Definição de Problemas Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2.3 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2.4 Condições KT de Optimalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 Algoritmo de Rosen (Método da Projeção do Gradiente) . . . . . . . . . . . . . . 27

vii

4.3.1 Descrição do Método de Rosen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3.2 Formulação do Método de Rosen para Restrições Lineares . . . . . . . . . . . 28

4.3.3 Determinação do Passo (µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3.4 Ponto Inicial Possível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Controle Preditivo com Restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.1 Manipulação das Restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1.1 Restrições na Taxa de Variação do Sinal de Controle . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1.2 Restrições na Amplitude do Sinal de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1.3 Restrições no Sinal de Saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6 Modelagem da Planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.1 Análise do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.2 Modelo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7 Resultados de Simulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.1 Sistema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.2 Sistema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

8 Resultados dos Experimentos na Planta Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.1 Implementação do Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.2 Resultados dos Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.2.1 Sistema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.2.1.1 Restrição no Sinal de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.2.1.2 Restrição na Variação do Sinal de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.2.1.3 Restrições no Sinal de Saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.2.1.4 Perturbações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.2.2 Sistema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.2.2.1 Restrição na Variação do Sinal de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.2.2.2 Restrição no Sinal de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8.2.2.3 Restrição no Sinal de Saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9 Conclusões e Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Apêndice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Apêndice B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

viii

Lista de Figuras

Figura 2.1: Conceito de Horizonte de Predição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Figura 2.2: Estrutura Básica do MPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Figura 3.1: Diagrama de Blocos do Sistema de Controle Malha Fechada . . . . . . . . 19

Figura 4.1: Domínio Viável e Domínio Inviável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Figura 4.2: Ilustração de Domínio Convexo (a) e Domínio Côncavo (b) . . . . . . . . . 24

Figura 4.3: Fluxograma do Algoritmo de Rosen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Figura 6.1: Sistema de Controle de Nível da Quanser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Figura 6.2: Sistema de Tanques Acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Figura 6.3: Resposta dos Sistemas em Malha Aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Figura 6.4: Sistema de Controle de L1 com Realimentação Unitária . . . . . . . . . . . . 47

Figura 6.5: Sistema de Controle de L2 com Realimentação Unitária . . . . . . . . . . . . 47

Figura 6.6: Resposta dos Sistemas em Malha Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Figura 7.1: Resposta de L1 e Sinais de Controle sem Restrições . . . . . . . . . . . . . . . 51

Figura 7.2: Resposta de L1 com Restrições em du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Figura 7.3: Resposta de L1 Sujeito a Restrições em u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Figura 7.4: Resposta do Sistema Sujeito a Restrições em L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Figura 7.5: Comparação entre du Saturado e du com Restrições . . . . . . . . . . . . . . 55

Figura 7.6: Comparação entre u Saturado e u com Restrições . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Figura 7.7: Resposta de L2 e Sinais de Controle do GPC sem Restrições . . . . . . . . 57

Figura 7.8: Resposta de L2 com Restrições em du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Figura 7.9: Resposta de L2 Sujeito a Restrições em u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Figura 7.10: Resposta do Sistema Sujeito a Restrições em L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Figura 7.11: Restrições Impostas: L1 = Referencia e L1 < Referencia . . . . . . . . . . . 61

Figura 7.12: Comparação entre du Saturado e du com Restrições . . . . . . . . . . . . . 62

Figura 8.1: Sinal de Controle Restringido pelo GPCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Figura 8.2: Resposta da Planta para u Sujeito a Restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Figura 8.3: Sinal du Restringido pelo GPCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

ix

Figura 8.4: Resposta da Planta e Sinal de Controle para du Restrito em ±3 V . . . . . 67

Figura 8.5: Resposta do Sistema sem Restrições na Saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Figura 8.6: Sinais du e u para o Sistema sem Restrições na Saída . . . . . . . . . . . . . . 69

Figura 8.7: Resposta do GPCR com Restrição na Saída. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Figura 8.8: Sinais du e u do GPCR com Restrição na Saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Figura 8.9: Referência e Restrição Iguais a 16 cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Figura 8.10: Sinais du e u para o caso Referência = Restrição . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Figura 8.11: Mudança de Referência para um valor acima da Restrição . . . . . . . . . 72

Figura 8.12: Sinais du e u com Mudança de Referência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Figura 8.13: Perturbações na Resposta sem Restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Figura 8.14: Sinais du e u para Perturbações na Resposta sem Restrições . . . . . . . . 74

Figura 8.15: Perturbações na Resposta com Restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Figura 8.16: Sinais du e u para Perturbações na Resposta com Restrições . . . . . . . 75

Figura 8.17: Resposta do Sistema com Restrição versus Saturação em du . . . . . . . 77

Figura 8.18: Sinais du’s limitados por Restrição e por Saturação . . . . . . . . . . . . . . 77

Figura 8.19: Mesma Resposta para u com Restrição (GPCR) e u Saturado . . . . . . . 78

Figura 8.20: Sistema com e sem Restrição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Figura 8.21: Sinais du e u para Sistema com e sem Restrição . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Figura 8.22: Referência igual a Restrição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

x

Lista de Símbolos

ARIMAX Modelo Auto Regressivo, Integral Média Móvel com Sinal Exógeno;

ARX Modelo Auto-Regressivo com Sinal Exógeno;

C Restrições lineares de desigualdade;

C1 e C2 Restrições lineares de desigualdade ativas e inativas respectivamente;

d Retardo natural do sistema em múltiplos do períodos de amostragem

)0( ≥d ;

dk Direção possível dada por dk = –P∇J;

E Restrições lineares de igualdade;

e(k) Ruído “branco” com média zero e variância 2σ ;

FIR Finite Impulse Response ou Resposta ao Impulso Finito;

FSR Finite Step Response ou Resposta ao Degrau Finito;

GPC Generalized Predictive Control ou Controlador Preditivo Generalizado;

GPCR Controlador Preditivo Generalizado com Restrições;

I Matriz Identidade;

J Função Objetivo cuja minimização fornece o sinal de controle;

KT Condições de Khun Tucker;

L1 e L2 Níveis do tanque 1 e tanque 2 respectivamente;

M Dada por M = (CT, ET). Matriz composta por todas as restrições lineares

do sistema;

MPC Model Predictive Control ou Controlador Preditivo Baseado em Modelo;

N1 Horizonte mínimo de predição;

NU Horizonte de controle;

NY Horizonte de predição;

P Matriz de projeção;

1q− Operador de atraso unitário, de modo que );1()(1−=

− kykyq

r(k+i) Trajetória de referência futura;

xi

SISO Single Input - Single Output ou Entrada Simples –Saída Simples

u(k) Saída do controlador ou sinal de controle no instante k;

)(ky Saída do processo no instante k;

ˆ( )y k i+ Predição: ótimo i-passos à frente da saída do sistema, baseada em

informações disponíveis até o instante k;

yl Resposta natural do sistema a partir de condições atuais, ou seja,

considerando as ações futuras de controle nulas;

∆ Caso especial do polinômio 1 1 1( ) ( ) 1D q D q q− − −⇒ = − ;

λ Ponderação no sinal de controle;

µ Passo a ser dado na direção dk pelo algoritmo de otimizção;

∇J Gradiente da função J;

xii

Estudo e Implementação em Plantas Físicas de um Controlador Preditivo Generalizado com Restrições1

Autor: Francisco Elvis Carvalho Souza

Orientador: André Laurindo Maitelli

Resumo

Este trabalho apresenta um estudo sobre Controladores Preditivos Generalizados com Restrições e sua implementação em plantas físicas. Serão abordados três tipos de restrições: restrições na taxa de variação do sinal de controle, restrições na amplitude do sinal de controle e restrições na amplitude do sinal de saída (resposta da planta). No controle preditivo, a lei de controle é obtida pela minimização de uma função objetivo. Para poder levar em conta as restrições, esta minimização da função objetivo é feita pela utilização de um método para solução de problemas de otimização com restrições. O método escolhido foi o algoritmo de Rosen (baseado na projeção do gradiente). As plantas físicas em estudo são dois sistemas didáticos de controle de nível (d’água), um de primeira ordem (um tanque simples) e outro de segunda ordem, sendo formado por dois tanques acoplados em cascata. Os códigos são implementados em linguagem C++ e a comunicação com o sistema é feita por meio de uma placa de aquisição de dados fornecida pelo fabricando dos sistemas.

1 Dissertação de Mestrado em Engenharia Elétrica, UFRN, Natal, Janeiro de 2006.

xiii

Study and implementation in physical plants of a Generalized Predictive Controller with Restrictions2

Author: Francisco Elvis Carvalho Souza

Adviser: André Laurindo Maitelli

Abstract

This work shows a study about the Generalized Predictive Controllers with Restrictions and their implementation in physical plants. Three types of restrictions will be discussed: restrictions in the variation rate of the signal control, restrictions in the amplitude of the signal control and restrictions in the amplitude of the Out signal (plant response). At the predictive control, the control law is obtained by the minimization of an objective function. To consider the restrictions, this minimization of the objective function is done by the use of a method to solve optimizing problems with restrictions. The chosen method was the Rosen Algorithm (based on the Gradient-projection). The physical plants in this study are two didactical systems of water level control. The first order one (a simple tank) and another of second order, which is formed by two tanks connected in cascade. The codes are implemented in C++ language and the communication with the system to be done through using a data acquisition panel offered by the system producer.

2 Master of Science dissertation in Electric Engineering , UFRN, Natal, January of 2006

Capítulo 1

Introdução

O Controle Preditivo se refere a uma classe de algoritmos ou técnicas de contro-

le cuja lei de controle é calculada baseada na predição da resposta do processo a ser

controlado, daí o nome “Controle Preditivo”. As ações de controle são obtidas de for-

ma a minimizar uma dada função de custo. A idéia original do controle preditivo era

atender às necessidades da indústria de refino de petróleo, mas vem se difundindo e

ganhando aceitabilidade em vários outros setores da indústria, tais como: química,

processamento de alimentos, automotiva, aeroespacial, metalúrgica e de papel, [1].

Este fato se deve ao desempenho eficaz desses controladores no controle de plantas

monovariáveis e multivariáveis, de fase não mínima, com retardo, que são característi-

cas comuns em processos industriais em geral.

Os controladores preditivos se baseiam na predição do comportamento futuro

da planta a ser controlada, e esta predição é feita através do modelo do processo, por-

tanto, este modelo é um elemento importante para a eficácia do controlador.

Há diversos algoritmos de controle preditivo já desenvolvidos e utilizados que,

apesar das muitas semelhanças, também apresentam peculiaridades. Eles podem diferir

no modelo do preditor, na função objetivo usada ou na forma de obtenção da lei de

controle. Alguns possuem até características indesejáveis que impossibilita a sua apli-

cação para alguns tipos de sistemas.

Dentre os diversos controladores preditivos, há o GPC (Generalized Predictive

Control) ou Controlador Preditivo Generalizado que surgiu como proposta de um al-

goritmo de controle preditivo genérico que pudesse resolver os problemas apresenta-

Capítulo 1 - Introdução 2

dos pelos demais controladores da família MPC (Model Predictive Control) [1]. Den-

tre as características importantes do GPC podemos citar a possibilidade de obtenção de

uma solução analítica da lei de controle para modelos lineares na ausência de restri-

ções, é aplicável a processos instáveis e de fase não mínima e ainda permite o trata-

mento fácil de restrições.

1.1 Controle com Restrições

Na maioria dos problemas de controle, o projeto dos controladores é feito con-

siderando que todos os sinais envolvidos podem variar ilimitadamente. Esta considera-

ção não traduz a realidade, visto que na prática todos os processos estão sujeitos a res-

trições, impostas pelos equipamentos, condições de operação ou segurança. Um exem-

plo típico de restrições são as impostas por atuadores que têm faixa de atuação e taxa

de variação limitadas, como é o caso de válvulas de controle. Estas são limitadas pelas

posições de completamente fechada ou completamente aberta, pode-se encontrar tam-

bém restrições na velocidade de abertura.

Outro aspecto que impõe restrições é o fator econômico, visto que na prática os

processos operam em pontos que estão na interseção de certas restrições. Conseqüen-

temente, o sistema de controle opera normalmente perto de limites e, portanto, violar

restrições é um fato fácil de ocorrer, [3].

Nos algoritmos de controle que não dispõem de tratamento de restrições, quan-

do a ação de controle calculada está fora da faixa admissível, o valor excedente do si-

nal é simplesmente limitado ou saturado, quer seja pelo transdutor, quer seja pelo atu-

ador ou ainda pelo próprio algoritmo de controle. No entanto, a simples eliminação do

valor excedente na ação de controle calculada, não se constitui a melhor estratégia.

Muitas vezes este procedimento conduz a um desempenho insatisfatório do sistema em

malha fechada [3], uma vez que este fenômeno não foi levado em consideração duran-

te o processo de projeto do controlador.

Os algoritmos de controle que tratam restrições procuram iterativamente solu-

ções que não violem estas restrições. A manipulação de restrições requer a utilização

de ferramentas de otimização mais elaboradas e, evidentemente, sua implementação

Capítulo 1 - Introdução 3

exige um maior esforço computacional. A flexibilidade e capacidade de tratar restri-

ções dos controladores preditivos em geral os tornam muito atrativos do ponto de vista

de aplicações práticas.

1.2 Proposta do Trabalho

Este trabalho se propõe ao estudo e implementação em plantas físicas de um

Controlador Preditivo Generalizado com Restrições. O cálculo das ações de controle é

feito com programação não-linear, através do método de Rosen [7], um algoritmo para

solução de problemas de otimização não-lineares com restrições. As plantas trabalha-

das são: um sistema de controle de nível simples (sistema linear de primeira ordem) e

um sistema de controle de nível de dois tanques acoplados em cascata, constituindo

um sistema linear de segunda ordem.

São abordados três tipos de restrições: restrições na taxa de variação do sinal de

controle, restrições no sinal de controle e restrições no sinal de saída da planta. Inici-

almente, o estudo e as implementações são feitos através de simulações utilizando os

modelos dos sistemas. Em seguida, os algoritmos são implementados em linguagem

C++ e aplicados às plantas físicas.

Também se pretende comparar o desempenho do GPC com restrições, isto é, do

GPC projetado levando em conta as restrições impostas ao sistema; com o desempe-

nho do GPC sem restrições.

Capítulo 2

Introdução ao Controle Preditivo

O Controle Preditivo Baseado em Modelo foi proposto no fim dos anos 70 e

tem-se desenvolvido desde então, [1]. O termo Controle Preditivo Baseado em Modelo

ou simplesmente Controle Preditivo, não designa uma estratégia de controle específi-

ca, mas um conjunto de métodos de controle que em uso explícito do modelo do pro-

cesso obtém o sinal de controle, pela minimização de uma função objetivo, consistindo

em uma técnica inerentemente discreta no tempo. A Figura 2.1 ilustra o conceito do

controle preditivo no qual uma seqüência de sinal de controle futura é calculada de

maneira que a saída predita siga uma determinada trajetória de referência.

Figura 2.1: Conceito de Horizonte de Predição.

Capítulo 2 - Introdução ao Controle Preditivo 5

As variáveis mostradas na Figura 2.1, u(k), y(k) e r(k), representam os valores

do sinal de controle, da variável controlada e do sinal de referência, respectivamente.

Os valores futuros dessas variáveis podem ser representados pelos vetores:

[ ]

[ ]

( ) ( 1)

( 1) ( )

( 1) ( )

T

T

T

u k u k NU

y k y k NY

r k r k NY

∧ ∧

= + −

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

= + +

L

L

L

u

Y

r

∧∧∧∧

(2.1)

Em que:

( )y k i∧

+ representa o valor estimado de )(ky i-passos à frente;

NY representa o horizonte de predição;

NU representa o horizonte de controle.

O comportamento futuro da saída do processo é calculado dentro do horizonte

de predição NY. Para isso, é usado um modelo previamente determinado e bem repre-

sentativo do processo, bem como um conjunto de NU ações de controle a serem

fornecidas ao mesmo.

Obtido o conjunto das ações de controle, apenas o primeiro sinal é aplicado ao

processo, sendo os demais descartados. No instante seguinte todo o processo é repeti-

do, utilizando as informações mais recentemente medidas do sistema. Tal princípio é

conhecido como “Princípio do Horizonte Móvel”, [1].

A lei de controle preditiva é obtida através da minimização de uma “Função

Objetivo” que relaciona as variáveis y, u e r. Esta função representa matematicamente

a qualidade do rastreamento da saída predita em relação à trajetória de referência. Um

exemplo típico de uma função objetivo pode ser visto em (2.2).

[ ]∑ ∑= =

+++−+=

NY

Nj

NU

i

ikujkrjkyJ1 1

22 )()()(ˆ λ (2.2)

Em que:

1N é o horizonte mínimo de predição;

NY é o horizonte de predição;

NU é o horizonte de controle;


λ é uma ponderação no sinal de controle.

A minimização da função (2.2) em relação a u gera uma seqüência de ações de

controle num certo horizonte de controle. A seqüência encontrada será ótima com re-

lação à função objetivo e para um determinado instante. Em conseqüência, os valores

futuros da diferença entre y e r são minimizados. Se o modelo for fiel ao processo e na

ausência de distúrbios ou restrições, a saída do sistema seguirá a trajetória de referên-

cia. A Figura 2.2 mostra a estrutura básica do controle preditivo. O modelo é usado

para predizer os valores futuros da saída da planta baseados em valores presentes e

passados e ainda nas futuras ações de controle ótimas propostas. As ações de controle

são calculadas por um otimizador a partir de uma função objetivo que considera o erro

de rastreamento futuro e restrições, caso existam.

Figura 2.2: Estrutura Básica do MPC.

O cálculo da seqüência de ações de controle se constitui em um problema de

minimização que normalmente requer um procedimento iterativo para se obter a solu-

ção. Algumas considerações são feitas para facilitar a solução deste problema, por

exemplo: para se ter uma solução analítica é necessário um modelo linear, uma função

de custo quadrática e ausência de restrições. Usar uma função de custo que leve em

conta todas as especificações de projeto tornaria a solução muito difícil.


2.1 Modelos

Existem diversas classes de modelos para representar matematicamente o com-

portamento dinâmico de um sistema, dentre eles podemos citar os modelos de entrada

e saída paramétricos, não paramétricos, mono e multivariáveis.

2.1.1 Modelos Paramétricos Monovariáveis

Os modelos paramétricos lineares para o caso SISO (Single Input - Single Out-

put) podem ser representados de forma genérica pela seguinte expressão polinomial:

ásticaParteEstocísticaDeterParte

keqAqD

qCku

qA

qBqky

d

min

)()()(

)()1(

)(

)()(

11

1

1

1

−−

−

−

−−

+−= (2.3)

Em que:

1−q representa o operador de atraso unitário, de modo que );1()(1−=

− kykyq

)(ky é a saída do processo;

d é o retardo natural do sistema, em múltiplos períodos de amostragem )0( ≥d ;

u(k) é a saída do controlador;

e(k) é um ruído “branco” com média zero e variância 2σ .

Os polinômios )( 1−qA , )( 1−qB , )( 1−qC e )( 1−qD são dados por:

ndnd

ncnc

nbnb

-

nana

q+ . . .+ dqdq+dD(q

q+ . . .+ cqcq+c)C(q

qb. . . qbq+bb)B(q

q. . .+ aq+aqa)A(q

−−−−

−−−−

−−−

−−−−

+=

+=

+++=

++=

22

11

1

22

11

1

22

110

1

22

11

1

1)

1

1

(2.4)

Os índices na, nb, nc e nd são os graus dos polinômios )( 1−qA , )( 1−qB , )( 1−qC

e )( 1−qD respectivamente.


Dependendo da ordem de cada um desses polinômios, podemos ter casos parti-

culares de modelos, por exemplo: no caso em que se tem: na = n, nb ≤ n, e nc = nd =

0, o modelo resultante será:

1

1 1

( ) 1( ) ( 1) ( )

( ) ( )

dq B qy k u k e k

A q A q

− −

− −= − + (2.5)

Este modelo é conhecido como: Modelo Auto-Regressivo com Sinal Exógeno

(ARX).

Outro exemplo tem-se quando na = n, nb ≤ n, nc > 0 e nd = 1. Para este mode-

lo temos o polinômio )( 1−qD como o operador de integração: 1 1( ) 1D q q− −= − = ∆ .

Neste caso, o modelo resultante é:

1 1

1 1 1

( ) ( )( ) ( 1) ( )

( ) ( ) ( )

dq B q C qy k u k e k

A q D q A q

− − −

− − −= − + (2.6)

Este modelo é chamado Auto Regressivo, Integral Média Móvel com Sinal

Exógeno (ARIMAX). Este é o modelo de interesse para nosso trabalho.

2.1.2 Modelos Não Paramétricos

Há basicamente dois tipos de modelos não-paramétricos utilizados em controle

preditivo: o modelo FIR (Finite Impulse Response) e o modelo FSR (Finite Step Res-

ponse). São ditos não-paramétricos porque não são obtidos por meio dos parâmetros

do processo. Baseiam-se no somatório de convolução para relacionar entrada e saída e

por isso são chamados de modelos convolucionais. Nesses modelos o ruído não é con-

siderado.

Para um sistema linear, causal, invariante no tempo e discreto, o somatório de

convolução que descreve o modelo FIR é dado pela equação (2.7), [1].


1

( ) ( ) ( )n

i

y k i u k iη

η

=

= −∑ (2.7)

A equação (2.7) trata de uma relação entre entrada e saída no domínio do tempo

em que η(i) é a resposta do sistema ao pulso unitário e nη é o número de elementos

considerados não nulos da resposta ao pulso.

Já para o modelo FSR a saída do processo é descrita por:

1

( ) ( )hn

ii

y k h u k i=

= ∆ −∑ (2.8)

No qual nh é o número de elementos hi da resposta do sistema ao degrau unitário que

são considerados.

2.2 Preditores

Em controle preditivo se faz necessário a predição da variável controlada para

que se possa fazer o cálculo das ações futuras de controle. Para tanto, se faz uso do

modelo do processo a ser controlado. Por isso é importante que o modelo represente

bem o processo. O objetivo do preditor (obtido a partir do modelo) é predizer a saída

do processo em t = k + i, tomando informações passadas, portanto conhecidas, das a-

ções de controle e saídas do processo bem como ações de controle a serem calculadas.

Aqui, será apresentado apenas o desenvolvimento do cálculo para obtenção do

preditor para o modelo paramétrico ARX com retardo, os preditores para os demais

modelos podem ser obtidos de maneira análoga. Para os sistemas que possuem retardo,

por exemplo de d instantes de amostragem, o efeito de uma entrada )(ku só aparecerá

na saída a partir do instante 1++= dkt . Considere o modelo ARX descrito anterior-

mente e apresentado em (2.5), a saída y(k) para i-passos à frente obtida a partir desta

equação será:

)()(

1)1(

)(

)()(

11

1

ikeqA

ikuqA

qBqiky d

++−+=+−−

−

− (2.9)


Observando (2.9), nota-se que o preditor depende de valores passados e/ou futu-

ros das variáveis envolvidas: y, u e e.

Com o objetivo de separar a dependência de )( iky + em relação aos valores

passados e futuros, será utilizada uma identidade polinomial chamada de equação dio-

fantina mostrada em (2.10).

)(

)()(

)(

11

11

1 −

−

−−

−+=

qA

qGqqF

qAii

i (2.10)

sendo que os polinômios )( 1−qFi e )( 1−qGi são dados por:

1 1 ( 1)1 1

1 1 ( 1)0 1 1

( ) 1

( )

ii i

nai n

F q f q f q

G q g g q g q

− − − −

−

− − − −

−

= + + +

= + + +

K

K (2.11)

Assim, substituindo a equação diofantina (2.10) em (2.9) teremos:

)()(

)()()1(

)(

)()(

1

11

1

1

ikeqA

qGqqFdiku

qA

qBiky ii

i +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−−+=+

−

−

−−

−

−

(2.12)

que se reescrevendo, fica:

)()()()(

)()1(

)(

)()( 1

1

1

1

1

ikeqFkeqA

qGdiku

qA

qBiky i

i+++−−+=+

−

−

−

−

−

(2.13)

Da equação do modelo mostrada em (2.5), tem-se:

)1()()()()( 11−−=

−−− kuqBqkyqAke d (2.14)

Então:

1 111

1 1

1

( ) ( )( )( ) ( 1) ( 1) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

ii

i

B q G qB qy k i u k i d u k d G q y k

A q A q

F q e k i

− −−

−

− −

−

+ = + − − − − − + +

+ +

(2.15)


Rearrumando, temos:

11 1

1 1

1

( )1( ) ( ) ( 1) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

ii

i

i

q G qy k i B q u k i d G q y k

A q A q

F q e k i

− −

− −

− −

−

⎡ ⎤+ = − + − − + +⎢ ⎥

⎣ ⎦

+ +

(2.16)

mas, como:

11

1 1

( )1( )

( ) ( )

ii

i

q G qF q

A q A q

− −

−

− −

⎡ ⎤− =⎢ ⎥

⎣ ⎦(2.17)

tem-se:

)()()()()1()()()( 1111 ikeqFkyqGdikuqFqBiky iii +++−−+=+−−−− (2.18)

Sabendo que 1 1 1 1 ( 1)0 1 1 1( ) e ( ) 1nb i

nb i iB q b b q b q F q f q f q− − − − − − −

−= + + + = + + +K K ,

teremos como produto dos polinômios Bi(q-1) e Fi(q

-1):

1 1 1 ( 1) 1 10 1 1 1 1

1 1 1 ( 1) 1 10 1 1 1 1

( ) ( )

( ) ( ) ( )

i i i i nbi i i i i nb i

i i nbi i i i i nb i

B q F q q q q q q

B q F q q q q q q

α α α α α α

α α α α α α

− − − − − − − − − − +

− + + −

− − − − − − − − +

− + + −

= + + + + + +

= + + + + + +

K K

K K

(2.19)

Definindo, 1 1 ( 1)

0 1 1

1 1 11 1

( )

( )

ii

nbi i nb i

q q q

q q q

α α α α

β α α α

− − − −

−

− − − +

+ + −

= + + +

= + +

K

K (2.20)

obtém-se:

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )iiB q F q q q qα β

− − − − −= + (2.21)

Substituindo-se este resultado na equação (2.18), tem-se:

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( )ii iy k i q q q u k i d G q y k F q e k iα β

− − − − −⎡ ⎤+ = + + − − + + +⎣ ⎦ (2.22)


Ou ainda:

1 1 1 1( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )i iy k i q u k d G q y k q u k i d F q e k iβ α− − − −

+ = − − + + + − − + + (2.23)

Lembrando que o horizonte de predição é NY = NU + d, sendo NU o número

de ações futuras de controle a serem calculadas, a predição de y i-passos a frente re-

quer i = NU + d. Com essa idéia podemos concluir em relação aos termos da equação

do preditor (2.23) que:

1 1

1 1

( ) ( 1) e ( ) ( ) Se referem a valores passados

( ) ( 1) e ( ) ( ) São referentes a valores futurosi

i

q u k d G q y k

q u k i d F q e k i

β

α

− −

− −

⎧⎪⎨⎪⎩

− −

+ − − +

Ainda analisando a equação (2.23), verifica-se que o termo e(k+i) se refere so-

mente a valores futuros. Considerando que e(k) é um ruído “branco“ e de média zero,

ou seja, { }( ) 0e k iε + = , então a equação (2.23) se torna:

1 1 1ˆ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1)iy k i q u k d G q y k q u k i dβ α− − −

+ = − − + + + − − (2.24)

Portanto, este é o preditor de y i-passos a frente para um modelo ARX com a-

traso d.

Capítulo 3

Controlador Preditivo Generalizado

Utilizando o conceito de horizonte móvel, o Controlador Preditivo Generalizado

ou GPC (Generalized Predictive Control) foi proposto por Clarke et al em 1987 e tem

se tornado um dos métodos mais populares na indústria e academia desde então [2].

O algoritmo GPC calcula uma seqüência de ações de controle de forma a mini-

mizar uma função objetivo multi-passo definida em um horizonte de predição e com

ponderação na ação de controle.

3.1. Caso Monovariável sem Restrições

Os processos de entrada e saída monovariáveis e lineares em geral podem ser

descritos por um modelo auto-regressivo, média móvel, com sinal exógeno (ARMAX)

conforme mostrado na equação (3.1).

)()()1()()()( 111 keqCkuqBqkyqA d −−−−+−= (3.1)

Em que:

1−q representa o operador atraso unitário;

)(ky é a saída do processo;

d é o retardo natural do sistema em múltiplos períodos de amostragem;

)(ke é um ruído “branco” com média zero e variância 2σ ;

Os polinômios A(q-1), B(q-1) e C(q-1) são os mesmos descritos em (2.4).

Capítulo 3 - Controlador Preditivo Generalizado 14

O ruído em muitas aplicações industriais é um processo estocástico não-

estacionário que pode desviar a saída do processo do valor de referência. Uma ação

integrativa pode ser incorporada ao modelo (3.1) de modo a garantir erro de regime

nulo, isto é, manter a saída do sistema na referência. O modelo passa a ser auto-

regressivo, integral, média móvel com sinal exógeno (ARIMAX) como mostra a equa-

ção (3.2).

∆+−=

−−−− )()()1()()()( 111 ke

qCkuqBqkyqA d (3.2)

Em que: 11 −−=∆ q

Assim, a equação (3.2) também pode ser escrita na seguinte forma:

1 1 1( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )dA q y k q B q u k C q e k− − − −∆ = ∆ − + (3.3)

A introdução do polinômio C(q-1) permite a modelagem do ruído, possibilitando

uma predição mais exata. Esta característica dá ao GPC uma grande vantagem sobre os

demais controladores preditivos.

A idéia do GPC como qualquer outro controlador preditivo é calcular uma se-

qüência de ações de controle de forma a minimizar uma função objetivo multi-passo

definida num horizonte de predição com ponderação na ação de controle. A equação

(3.4) mostra a função objetivo utilizada.

2 2

1 1

ˆ( )[ ( ) ( )] ( )[ ( 1)]NY NU

i N i

J i y k i r k i i u k iδ λ

= =

= + − + + ∆ + −∑ ∑ (3.4)

Em que:

)(ˆ iky + é uma predição ótimo i-passos à frente da saída do sistema, baseada

em informações disponíveis até o instante k;

1N é o horizonte inicial de predição;

NY é o horizonte máximo de predição;

NU é o horizonte de controle;


)(iδ e )(iλ são seqüências de ponderações no sinal de erro e de controle res-

pectivamente;

)( ikr + é a trajetória de referência futura.

Clarke et al (1987) consideraram a ponderação no sinal de erro em (3.4) igual a

1 e a ponderação no sinal de controle constante.

Uma vez que o modelo é linear e causal, podemos considerar o valor predito

como uma superposição de duas parcelas, a resposta livre e a resposta forçada, onde:

� A resposta livre consiste na resposta natural do sistema a partir das condi-

ções atuais do sistema, ou seja, considerando as ações futuras de controle

nulas;

� A resposta forçada é obtida a partir de uma seqüência de ações de controle

não-nulas e condições atuais nulas.

Tomando o modelo da equação (3.3), considerando 1)( 1=

−qC e fazendo

1 1( ) ( )A q Ã q− −∆ = , o modelo resultante será:

1 1( ) ( ) ( ) ( 1) ( )dÃ q y k q B q u k e k− − −= ∆ − + (3.5)

Que pode ser reescrito como:

1

1 1

( ) ( )( ) ( 1)

( ) ( )

B q e ky k u k d

Ã q Ã q

−

− −= ∆ − − + (3.6)

Então, considerando a equação (3.6) e o procedimento analisado no Capítulo 2

(Seção 2.2) e ainda utilizando a equação diofantina expressa para Ã(q-1) como mostra

(3.7):

)(~

)()(

)(~

11

11

1 −

−

−−

−+=

qA

qFqqE

qAii

i (3.7)

Em que:


)1(,

11,0,

1

)1(1,

11,0,

1

)(

)(−−−−

−−

−

−−

+++=

+++=

nanaiiii

iiiiii

qfqffqF

qeqeeqE

K

K (3.8)

O preditor para o modelo apresentado em (3.6) é dado por:

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( )i i iy k i B q E q u k i d F q y k E q e k i− − − −+ = ∆ + − − + + + (3.9)

Sabendo que o grau do polinômio )( 1−qEi é )1( −i , teremos que o termo refe-

rente ao ruído na equação (3.9) diz respeito ao futuro, de forma que a melhor predição

de ( )y k i+ é:

1 1ˆ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )i iy k i H q u k i d F q y k− −+ = ∆ + − − + (3.10)

Em que: )()()( 111 −−−= qEqBqH ii

Como o sistema possui um retardo natural de d períodos de amostragem, a saí-

da do sistema só será influenciada pela entrada )(ku após )1( +d períodos de amostra-

gem. Com isso, os valores dos parâmetros da função objetivo são definidos como:

11 += dN ; e NU NNY d N= + = .

O conjunto de predições ótimas dentro do intervalo de predição é:

)()1()(ˆ

)()1()2(ˆ

)()()1(ˆ

22

11

kyFNkuHNdky

kyFkuHdky

kyFkuHdky

NdNd

dd

dd

++

++

++

+−+∆=++

++∆=++

+∆=++

MMM (3.11)

As predições mostradas em (3.9) podem ser reescritas da seguinte forma:

1 1( ) ( ) ( ) ( 1)y Hu F q y k H q u k− −= + + ∆ − (3.12)

Em que:


11

11 2

1

10 1 0

11 0 2

1 2 0

ˆ( 1) ( ) ( )

ˆ( 2) ( 1) ( ); ; ( ) ;

ˆ( ) ( 1) ( )

0 0 [ ( ) ]

0 [ ( );

d

d

d N

d

d

N N

y k d u k F q

y k d u k F qy u F q

y k d N u k N F q

h H q h q

h h H q hH H

h h h

−

+

−

− +

−

+

−

+

−

+

− −

⎡ ⎤+ + ∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

+ + ∆ + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

+ + ∆ + − ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M M M

L

L

M M O M

K

1 20 1

1 1 ( 1)0 1 1

];

[ ( ) ]N Nd N N

h q q

H q h h q h q q

−

− − − −

+ −

⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

M

L

(3.13)

Como foi mencionado anteriormente, a resposta livre depende somente de valo-

res passados. É possível perceber, observando a equação (3.12), que a resposta livre

depende apenas das matrizes )( 1−qF e H , o que nos fornece a equação:

1( ) ( ) ( 1)ly F q y k H u k−= + ∆ − (3.14)

A resposta livre também pode ser calculada recursivamente através da equação

(3.15) [1].

)()()](~

1[ 1,

11, idkuqByqAqy ilil +−∆+−=

−−

+ (3.15)

Em que:

)(0

00)()(

,,

,,

0,

ikyyiy

yqy

iikuekyy

ilil

dild

il

l

−=⇒<∀

=

≥∀=+∆=

−

−

A resposta forçada é obtida a partir da seqüência futura de ações de controle, o

que corresponde à equação (3.16).

Hu

Nku

ku

ku

hhh

hh

h

y

NN

f =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+∆

+∆

∆

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

−−)1(

)1(

)(

0

00

021

01

0

M

K

MOMM

L

L

(3.16)


Desse modo a resposta completa do sistema será:

ly Hu y= + (3.17)

De posse da equação de predição ótima, juntamente com a função objetivo de-

finida, podemos determinar a lei de controle. Para tanto, é conveniente reescrever a

função objetivo na forma seguinte:

uuryHuryHuJ Tl

Tl λ+−+−+= )()( (3.18)

Em que: TNdkrdkrdkrr )]()2()1([ ++++++= L

A equação (3.18) pode ser reescrita ainda na forma:

02

1fubGuuJ TT

++= (3.19)

Em que:

)(2 IHHG Tλ+=

Hryb Tl

T )(2 −=

)()(0 ryryf lT

l −−=

O objetivo do GPC é, como já foi mencionado anteriormente, minimizar a fun-

ção objetivo. A minimização é obtida igualando a zero o gradiente de J em relação a

u , ou seja, fazendo 0=∂

∂

u

J.

Visto que J é quadrática, teremos uma solução analítica para o problema:

)()( 11l

TT yrHIHHbGu −+=−=−−

λ (3.20)

Como já foi destacado, o GPC obedece o princípio do horizonte móvel, ou seja,

somente o primeiro elemento do vetor de controle u calculado é aplicado à planta. Tal


elemento é dado por:

)()( lyrKku −=∆ (3.21)

Em que: K é a primeira linha da matriz TT HIHH 1)( −+ λ

O diagrama de blocos que pode definir fielmente o que foi descrito é mostrado

na Figura 3.1.

Figura 3.1: Diagrama de Blocos do Sistema de Controle Malha Fechada.

Nos controladores convencionais a ação de controle é obtida em função do erro

passado. Já no controle preditivo o sinal de controle é obtido a partir do erro futuro,

uma vez que o erro futuro se torna nulo, não haverá alteração no controle. O esforço

computacional do controlador preditivo é significativamente maior quando comparado

ao esforço computacional dos controladores convencionais. Isso se justifica pela gran-

de quantidade de manipulação de matrizes para chegar ao cálculo do vetor de controle.

Em aplicações industriais existem equipamentos dedicados para o controle do

processo, no entanto muitos processadores dedicados possuem uma capacidade de cál-

culo limitada, mas isto tem sido superado pela evolução tecnológica dos sistemas mi-

crocontrolados. Além do mais, a quantidade de parâmetros a serem sintonizados no

GPC é maior que nos controladores convencionais. Apesar dessas dificuldades, os

controladores preditivos vêm ganhando aplicabilidade acentuada na indústria, princi-

palmente na indústria petroquímica, devido a sua comprovada eficiência no controle

de processos complexos.

Capítulo 4

Programação Não-Linear e Algoritmo de Rosen

Otimização pode ser definida como sendo a determinação de um conjunto de pa-

râmetros que proporciona um máximo de benefício ou um mínimo de custo, medidos

por um critério de desempenho pré-estabelecido.

Em algumas aplicações em Engenharia de Controle é necessário resolver pro-

blemas de otimização com restrições: controle preditivo, controle adaptativo, etc. Em

geral, estes problemas são resolvidos por métodos numéricos, uma vez que não têm

solução analítica. Daí a importância de se conhecer métodos numéricos eficientes que

resolvam problemas de otimização.

4.1 Definições Básicas

Na formulação de um problema de otimização estão presentes os seguintes con-

ceitos: variáveis de projeto, função objetivo, restrições e domínio viável e inviável.

Antes de se falar em métodos de otimização é importante fazer uma descrição destes

conceitos para facilitar o entendimento dos métodos.

4.1.1 Variáveis de Projeto

Essencialmente, as variáveis de projeto são os parâmetros do problema que po-

dem ser alterados para otimizar o sistema.

Capítulo 4 - Programação Não-Linear e Algoritmo de Rosen 21

4.1.2 Função Objetivo

A função objetivo deve quantificar o que queremos otimizar e será função das

variáveis de projeto escolhidas. A função objetivo deve ser usada como uma medida

da eficiência do projeto.

O sucesso da otimização vai depender também da formulação da função objeti-

vo. Assim, é importante se perder um tempo para encontrar uma expressão matemática

adequada que quantifique corretamente a eficiência do projeto.

4.1.3 Restrições

Essencialmente, as restrições são limitações impostas para se obter a solução

otimizada. Podem ser classificadas em: igualdade e desigualdade. Considerando um

conjunto de variáveis de projeto x = {x1, x2, x3, ..., xn}, uma restrição de desigualdade é

uma equação do tipo:

gj(x) ≤ 0, j = 1, ..., ng, (4.1)

e uma restrição de igualdade é do tipo:

hk(x) = 0, k = 1, ..., nh. (4.2)

Com relação ao estado, uma restrição é classificada como ativa ou como inati-

va. Uma restrição está ativa quando: gj(x) = 0 e estará inativa quando: gj (x) < 0. Ob-

viamente todas as restrições de igualdade são restrições ativas.

Deve-se evitar, na medida do possível, um grande número de restrições no pro-

blema, pois isso encarece consideravelmente o custo computacional da otimização.

No final do processo de otimização, espera-se que todas as restrições estejam

ativas, caso contrário, as que estão inativas não seriam, a princípio, necessárias no pro-

blema de otimização, pois não influenciam o problema. Por outro lado, existem restri-

ções ativas que podem ser eliminadas, sem alterar o resultado final. No entanto, é mui-


muito difícil saber de antemão, quais as restrições que influenciam ou não o resultado

da otimização e assim, todas devem ser consideradas.

4.1.4 Domínio Viável e Inviável

É a região de localização da solução. A parte do domínio em que as restrições

são respeitadas é denominada domínio viável, enquanto que a parte do domínio em

que alguma restrição não é respeitada é chamada domínio inviável. A Figura 4.1 ilus-

tra esse conceito para um espaço bidimensional.

Figura 4.1: Domínio viável e domínio inviável.

Uma vez definidas as variáveis de projeto, função objetivo e restrições, um pro-

blema de otimização tem a seguinte formulação:

( ) ( )

( ) ( )

Minimizar ( )

0 :Sujeito a:

0 :

nf x xpng x g x

n lh x h x

⎧⎪⎨⎪⎩

∈ℜ

≤ ℜ → ℜ

= ℜ → ℜ

(4.3)


4.2 Métodos para Solução de Problemas de Otimização

Entre os principais métodos para solução de problemas de otimização temos os

métodos analíticos e os métodos numéricos.

Os métodos analíticos permitem, em geral, somente a solução de problemas

simples de otimização. No entanto, permitem analisar conceitos importantes de otimi-

zação como existência e unicidade da solução ótima ou condições necessárias e sufici-

entes da solução ótima, tendo por isso grande interesse acadêmico. Além disso permi-

tem validar a solução de métodos numéricos que são aplicados em problemas genéri-

cos, [11].

Os métodos numéricos são essencialmente classificados em métodos de pro-

gramação matemática e métodos probabilísticos.

Os métodos de programação matemática são classificados em métodos de pro-

gramação linear, programação não-linear e métodos baseados em teoria de aproxima-

ções, como programação linear seqüencial (PLS ou "SLP" em inglês) e programação

quadrática seqüencial (PQS ou "SQP" em inglês).

Entre os métodos probabilísticos temos os algoritimos genéticos e o "Simulated

Annealing" (ou recozimento simulado). Estes métodos se utilizam de um processo de

busca randômica, guiadas por decisões probabilísticas para obter o mínimo global.

4.2.1 Métodos Para Solução de Problemas Não-Lineares

Estes métodos se aplicam à solução de problemas em que a função objetivo e as

restrições não são lineares em relação às variáveis de projeto. Estão divididos em mé-

todos para a solução de problemas sem restrições e problemas com restrições. O nosso

interesse é pelos problemas de otimização com restrições.

4.2.1.1 Problemas de Otimização com Restrições

Existem essencialmente, dois tipos de métodos para solução desses problemas:

métodos diretos e indiretos. Os métodos diretos verificam as restrições após seguirem


o procedimento do algoritmo de otimização sem restrições. Já os métodos indiretos

transformam o problema com restrições em um problema sem restrições e resolvem,

[11].

A seguir serão descritos dois conceitos importantes para a formulação dos algo-

ritmos de solução dos problemas de otimização não lineares com restrições, são eles

problemas convexos e condições de Kuhn-Tucker.

4.2.2 Definição de Problemas Convexos

A definição de problema convexo é muito importante em otimização, pois está

relacionada com o conceito de mínimo local e mínimo global. Um problema é dito

convexo se a função objetivo e o domínio viável correspondentes são convexos.

Um domínio é convexo se ao escolhermos dois pontos quaisquer no interior

deste domínio e os unirmos por uma reta, todos os pontos dessa reta (entre os dois

pontos) estiverem no interior do domínio. Caso contrário será um domínio côncavo. A

Figura 4.2 ilustra este conceito.

Figura 4.2: Ilustração de domínio convexo (a) e domínio côncavo (b).

Se uma função é convexa, a sua matriz Hessiana (matriz quadrada das derivadas

parciais de segunda ordem de f(x) avaliada em xk) é positiva semi-definida.


4.2.3 Multiplicadores de Lagrange

Antes de apresentarmos as condições de Kuhn-Tucker, devemos entender o que

são os multiplicadores de Lagrange. Para isso consideremos um problema de minimi-

zação de uma função multivariável com restrição de igualdade como, por exemplo, o

problema:

Min ( )

tal que ( ) 0

nf x x

h x

∈ℜ

=

(4.4)

Uma idéia inteligente para tratar deste problema foi introduzida pelo matemáti-

co Lagrange (que viveu no século XVIII). Tal técnica é conhecida hoje como método

dos multiplicadores de Lagrange. A idéia básica deste método é substituir a função

original f(x) por uma função auxiliar F(x, λ) definida como:

( , ) ( ) ( )F x f x h xλ λ= + (4.5)

A nova função F(x, λ) é chamada de Lagrangeano (L) do problema de otimiza-

ção, e a constante λ é denominada Multiplicador de Lagrange associado à restrição de

igualdade.

Considerando ne restrições de igualdade teremos um multiplicador de Lagrange

λj associado a cada uma delas, e nesse caso o Lagrangeano fica:

1

( , ) ( ) ( )en

j jj

L x f x h xλ λ

=

= +∑ (4.6)

Se tomarmos as condições de estacionaridade (derivadas nulas em relação a ca-

da variável no ponto ótimo) teremos um sistema de equações com n + ne incógnitas a

ser resolvido. A solução deste problema nos fornece o ponto para o qual as derivadas

parciais de F(x, λ) são nulas, então este ponto será o ponto de máximo ou de mínimo

relativo que satisfaz as restrições.


0 1,...,

( ) 0 1,...,

i

j ej

Li n

x

Lh x j n

λ

∂⎧= =⎪

∂⎪⎨

∂⎪ = = =⎪∂⎩

(4.7)

Note que a derivada de L em relação ao multiplicador de Lagrange λj recupera a

equação da restrição de igualdade correspondente, isso mostra que as restrições são de

fato satisfeitas.

4.2.4 Condições KT de Optimalidade

As condições KT (Kuhn-Tucker) permitem verificar se uma solução x* obtida é

um mínimo local ou não, ou seja, a condição de optimalidade. O termo mínimo local

ao invés de global é usado por uma questão de generalidade. Para funções convexas o

mínimo local é também o mínimo global, [9].

Considerando um problema com nd restrições de desigualdade, o Lagrangeano

do problema é dado por:

1

( , ) ( ) ( )dn

j jj

L x f x g xλ λ

=

= +∑ (4.8)

onde as restrições são do tipo gj(x) ≤ 0.

As condições KT afirmam que se x* é um mínimo local, então:

1. x* é viável => gj(x*) ≤ 0

2. * * *

1

( ) ( ) 0dn

j jj

f x g xλ

=

∇ + ∇ =∑

3. λj* ≥ 0

4. * ( ) 0j jg xλ =


onde o superescrito * indica o ponto ótimo. A condição 1 exige que a solução seja viá-

vel, a condição 2 é a condição de estacionaridade da função Lagrangeana, a condição 3

indica que os multiplicadores de Lagrange não devem ser negativos no ponto ótimo, e

a condição 4 é chamada de condição de complementaridade.

4.3 Algoritmo de Rosen (Método da Projeção de Gradiente)

Há uma diversidade de métodos de otimização e não é propósito deste trabalho

descrever cada um deles. No entanto será descrito o método escolhido para nosso tra-

balho: o algoritmo de Rosen, que apresenta boa convergência, é simples de implemen-

tar e é um dos métodos indicados para o tratamento de restrições com o GPC, [1].

O método de Rosen pode resolver problemas de otimização não-lineares com res-

trições, desde que o problema seja convexo.

4.3.1 Descrição do Método de Rosen

O algoritmo de Rosen é baseado na obtenção de uma direção de melhoria possí-

vel. Direções de melhoria possíveis são aquelas que a partir de um ponto possível (que

satisfaz as restrições) se chega a um novo ponto possível sem violar as restrições. Es-

tas direções são ditas de melhoria se ao longo da mesma o valor de uma função que se

deseja otimizar se reduz (quando se quer o mínimo da função).

A idéia do método consiste em partir de um ponto inicial possível e a partir deste

obter sucessivos pontos seguindo determinadas direções de melhoria possíveis, até

alcançar o ponto ótimo do problema. Este ponto pode estar dentro da região delimitada

pelas restrições (ótimo sem restrições) ou na fronteira estabelecida pelas mesmas (óti-

mo com restrições).

De modo geral, o algoritmo de Rosen pode resolver os seguintes tipos de pro-

blemas de otimização:


( ) ( )

( ) ( )

Minimizar ( )

0 :Sujeito a:

0 :

nf x xpng x g x

n lh x h x

⎧⎪⎨⎪⎩

∈ℜ

≤ ℜ → ℜ

= ℜ → ℜ

(4.9)

A princípio, os pontos ótimos obtidos por este método são ótimos locais, (uma

característica dos métodos baseados no gradiente) para se garantir que estes pontos

sejam o ótimo global, f(x) tem que ser uma função convexa e a região estabelecida pe-

las restrições deve ser um conjunto convexo, [7].

4.3.2 Formulação do Método de Rosen para Restrições Lineares

Há um tipo particular de problema de otimização não-linear chamado de Progra-

mação Quadrática (QP) o qual consiste de função de custo quadrática e restrições line-

ares. Pode ser representado da seguinte forma:

Minimizar ( ),

Sujeito a ,p p

nf x xm n mCx b C e b

nEx g E e g

×

×

∈ℜ

≤ ∈ℜ ∈ℜ⎧⎨

= ∈ℜ ∈ℜ⎩

(4.10)

Cada linha da matriz C, juntamente com seu elemento correspondente em b, re-

presenta uma restrição de desigualdade. Chamaremos de C1 a matriz formada pelas

linhas de C que verificam a igualdade, isto é, satisfaz a C1x = b1, as restrições nela

contida são chamadas restrições ativas. Por outro, lado chamaremos de C2 a matriz

formada pelas restrições que satisfazem a C2x < b2, estas são chamadas de restrições

inativas, [9]. Obviamente temos CT = (C1T, C2

T) e bT = (b1T, b2

T). Quando não há res-

trições ativas, ou seja, quando o ponto está dentro da região restrita ao invés da frontei-

ra C1 é vazia e C2 = C.

Como já mencionado anteriormente, as restrições de igualdade podem ser con-

sideradas como restrições ativas, portanto podemos definir uma matriz M tal que MT =

(C1T, ET).


Em um dado ponto possível haverá um certo número de restrições ativas e um

outro número de restrições inativas. No ponto possível x, buscamos um vetor d que

satisfaça a ∇f(x)Td < 0, para que movendo-se na direção e sentido de d o valor da fun-

ção decresça.

A hipótese básica do método é que x se encontra no subespaço tangente às res-

trições ativas, dessa forma o método caminha na fronteira das restrições. Assim, se:

xk+1 = xk + µdk e ambos xk+1 e xk satisfazem a Mx = b então:

Mxk+1 = Mxk + µMdk => b = b + µMdk =>

Mdk = 0 (4.11)

Isto significa que o vetor d pertence ao subespaço nulo de M, isto é, d ∈ N (M),

então o subespaço formado pelos vetores que compõem as linhas de M chamado sub-

espaço linha de M ou R(MT), é ortogonal a N(M). Estes subespaços além de ortogonais

são também complementares e compõem o Rnxn. Portanto podemos representar um

vetor qualquer pela soma de vetores de cada um destes subespaços complementares.

Um vetor do R(MT) é do tipo: MTw (combinação linear das linhas de M). Em particular

o vetor gradiente negativo de f(x) será:

( ) Tkf x d M w−∇ = + (4.12)

Multiplicando-se por M e fazendo as devidas manipulações, teremos:

( ) 0TkMd M f x MM w= − ∇ − =

1( ) ( )Tw MM M f x−= − ∇ (4.13)

Substituindo w em (4.12), obtemos dk conforme (4.14):


1

1

( ) ( )

( ) ( )

T Tk

T Tk

d f M MM M f x

d I M MM M f x

−

−

= −∇ + ∇

⎡ ⎤= − − ∇⎣ ⎦

( )kd P f x= − ∇ (4.14)

Sendo P conhecida como matriz de projeção e dada por:

1( )T TP I M MM M−= − (4.15)

Supondo que f(x) é diferenciável em x e 0)( ≠∇ xfP , então dk dado por (4.14) é

uma direção de melhoria possível para f(x) em x. O fato de ( ) 0P f x∇ ≠ implica em dk

≠ 0 mas se acontecer dk = 0, devemos analisar as condições de Kuhn-Tucker, o que

resume-se em verificar se os multiplicadores de Lagrange satisfazem a λj*

≥ 0 (uma

vez que as outras condições são satisfeitas pelas restrições ativas e por dk = –P∇f = 0).

O vetor w dado pela equação (4.13) é na verdade uma solução aproximada para

os multiplicadores de Lagrange, conforme demonstração no anexo B.

Vamos considerar que w é da seguinte forma: ( ),T T Tw u v= , então se 0≥u , x

satisfaz as condições de Kuhn-Tucker e o ponto ótimo do problema foi encontrado. Se

0<u , então uj é uma componente negativa de u, e teremos ( )1 ,T T TM C E= onde 1C é

obtido de 1C retirando a linha de 1C correspondente a uj. Neste caso, tem-se

MMMMIPTT 1−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

−= e ( )kd P f x= − ∇ , agora dk é uma direção de melhoria possível

[7].

Em outras palavras, o que foi dito é que ao se aplicar a expressão (4.14) ocorrer

dk = 0 e o vetor w tem todos os seus elementos não negativos então o ponto x atual é o

ótimo com restrições. No entanto se dk = 0 e w tem algum elemento negativo, o ótimo

ainda não foi alcançado e para se obter uma nova direção possível (dk ≠ 0) se define

uma matriz ( )1 ,T T TM C E= .


Os elementos de Tu correspondem às linhas de 1TC , enquanto os elementos de

Tv correspondem às linhas de TE . Por isso só u foi testado, pois só as linhas de 1TC

podem ser removidas. TE , caso exista, representa restrições de igualdade que devem

ser sempre satisfeitas. Portanto, deve estar sempre presente na matriz M. No caso em

que não houver restrições de igualdade, tem-se: 1T TM C= , e se ainda não houver res-

trições ativas, ocorre M = [ ], isto implica em P = I e conseqüentemente dk = –∇f(x).

Uma vez encontrada uma direção de melhoria possível, o próximo ponto da

busca é calculado com:

1k k kx x dµ+

= + (4.16)

O passo µ é obtido resolvendo um problema de otimização unidimensional

(tendo apenas µ como variável) conforme (4.17). O valor de µ pode ser constante, no

entanto um µ ótimo melhora a velocidade de convergência.

( )

( )

Minimizar ( )

Sujeito a:

0

k k

k k

k k

f x d

C x d b

E x d g

µ

µ

µ

µ

+

⎧ ⎫+ ≤

⎪ ⎪+ =⎨ ⎬

⎪ ⎪≥⎩ ⎭

(4.17)

A sentença (4.18) mostra uma forma equivalente para descrever as restrições

deste problema.

0 ≤ µ ≤ µmax (4.18)

4.3.3 Determinação do Passo ( µµµµ )

Para calcular o valor do passo µ é necessário resolver o problema indicado em

(4.17). O interesse aqui é pelo caso de funções ou índices de custo quadráticos como o

exemplo mostrado em (4.19), no qual Q é simétrica e positiva definida.


0

1( )

2T Tf x x Qx f x f= + + (4.19)

Esta função possibilita uma solução analítica direta para o ótimo, pelo fato de ter uma

forma fechada para o gradiente, calculado segundo (4.20).

( )f x Qx f∇ = + (4.20)

O ótimo de f(x) sem restrições é obtido, então, fazendo-se ∇f(x) = 0 e explicitando x

resultando em (4.21).

* 1x Q f−= (4.21)

Voltemos ao nosso problema que é determinar um µ ótimo que satisfaça à (4.17).

Inicialmente vamos determinar a solução sem restrições, ou seja, minimizar f(x+µdk)

em relação µ simplesmente. Então, tomando-se um ponto xk e substituindo f(xk+µdk)

na expressão (4.19), tem-se:

0

0

1( ) ( ) ( ) ( )

21

( )2

T Tk k k k k k k k

T T T T T Tk k k k k k k k k k k k

f x d x d Q x d f x d f

f x d x Qx x Q d d Qx d Q d f x f d f

µ µ µ µ

µ µ µ µ µ µ

+ = + + + + +

⎡ ⎤+ = + + + + + +⎣ ⎦

Considerando-se Q = QT e agrupando os termos semelhantes é possível obter a expres-

são (4.22).

21( ) ( ) ( )

2T T T

k k k k k k kf x d d Qd x Qd f d f xµ µ µ+ = + + + (4.22)

Derivando a função (4.22) em relação a µ e igualando-a a zero, o ótimo será dado por:

( )T Tk k k

otimo Tk k

x Qd f d

d Qdµ

+= − (4.23)


Ou ainda T

kotimo T

k k

f d

d Qdµ

∇= − (4.24)

Da expressão (4.24) é fácil observar que µotimo será sempre positivo, pois sendo Q posi-

tiva definida tem-se dkTQdk ≥ 0. Já ∇fT e dk são vetores opostos, portanto µotimo ≥ 0.

O valor de µ calculado em (4.24) representa o passo ótimo a ser dado na direção

de busca dk a fim de encontrar um novo ponto xk+1, ou seja, é o passo necessário para

chegar ao menor valor possível de x nesta direção. Mas esse ponto pode estar fora da

região restrita, isto é, pode violar as restrições. Portanto, deve-se calcular um µ máxi-

mo que permita garantir que as restrições propostas no problema (4.17) sejam sempre

respeitadas. Este problema pode ser resolvido da seguinte forma: considere as restri-

ções mostradas em (4.25)

( )2 k kC x d bµ+ ≤ (4.25)

O valor xk+µdk no máximo pode ficar sobre a restrição, essa condição satisfazer à:

( )2 k kC x d bµ+ = (4.26)

Daí, o µmax pode ser calculado por:

( )2 2 2k k k kC x d b C x C d bµ µ+ = ⇒ + =

max

se 0min

se 0

ii

i

i

ND

D

D

µ

⎧ ⎫>⎪ ⎪

= ⎨ ⎬⎪ ⎪

∞ ≤⎩ ⎭

(4.27)

Onde N e D são vetores de mesma dimensão dados por:

2

2 k

N b C x

D C d

= −

= (4.28)


A matriz C2 representa as restrições inativas, que satisfazem à C2x < b, já men-

cionadas. O parâmetro µmax garante que x jamais violará as restrições, deste que parta

de um ponto no interior da região possível, x no máximo, chegará a fronteira desta re-

gião.

Uma vez calculado µotimo e µmax pode-se finalmente determinar o valor de µ que

será usado para encontrar o novo ponto xk+1. O passo µk será então:

maxmin( , )k otimoµ µ µ= (4.29)

Este resultado satisfaz as restrições impostas em (4.28).

4.3.4 Ponto Inicial Possível

Conforme descrito na Seção 4.3.1, o algoritmo parte de um ponto inicial possí-

vel, isto é, que esteja dentro da região possível e portanto verifique as restrições. Caso

isto não ocorra não haverá garantia nenhuma de que o ponto final encontrado pelo al-

goritmo respeite as restrições, nem quer se haverá convergência. Portanto, é muito im-

portante garantir primeiramente um ponto inicial possível, para só então iniciar a bus-

ca. Uma sugestão para conseguir este objetivo é executar o seguinte procedimento:

1. Escolha um ponto inicial qualquer x0

2. Calcule r = Cx0 – b

3. Se r ≤ 0 PARE. (x0 é possível)

Senão

4. ρ0 = Max(r)

5. Resolver o seguinte problema expandido de otimização:

1

1

Minimize ( , )

1Sujeito a

0 1 0mx

xn

J x

C x b

ρ ρ

ρ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

=

−≤

−

(4.30)


o ponto de partida é 00

0

xx

ρ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

=

6. Se f(x, ρ) ≤ 0 uma solução possível foi encontrada para o problema original, ca-

so contrário, o problema original é impossível.

No passo 3, a expressão r ≤ 0 verifica se não há elementos positivos no vetor r.

Se todos os elementos de r forem não positivos o ponto é possível.

O fluxograma a seguir expressa de forma resumida os principais passos para

implementação do algoritmo de Rosen.


Figura 4.3: Fluxograma do Algoritmo de Rosen.

Início: ponto x0

Determinar Restrições Ativas

Calcular dk = –P∇f

dk Calcular w wi

KT é satisfeita

Calcular µ

Remover Restriçãocom wi negativo

Calcular: xk+1 = xk + µdk

Verificar se x0 é possível e faz a correção

Fim da otimização

Capítulo 5

Controle Preditivo com Restrições

Como já descrito no Capítulo 3, as ações de controle obtidas por um controlador

preditivo, ou em outras palavras, o cálculo do vetor de incrementos futuros do sinal de

controle u, é feito pela minimização de uma função objetivo quadrática dada por:

( ) 0

12

TGJ u u u bu f= + + (5.1)

A solução ótima deste problema é encontrada resolvendo a equação linear:

Gu b= − (5.2)

Se u(t) calculado desta forma violar as restrições, normalmente ele é saturado no

seu limite pelo programa de controle ou mesmo pelo atuador. Este modo de operar não

garante a aplicação de uma ação de controle ótima ao sistema quando as restrições são

violadas. Assim, o principal propósito do controle preditivo – aplicar o melhor sinal de

controle possível objetivando minimizar uma função objetivo – não será alcançado.

Além do mais a violação das restrições pelas ações de controle futuras u(k + 1), u(k +

2), ..., u(k + N) não é considerada ou em muitos casos nem é computada. Isto impede

que controladores preditivos especialmente os de horizonte de predição longo possam

antecipar a violação das restrições e corrigi-las de forma apropriada.

Capítulo 5 - Controle Preditivo com Restrições 38

As restrições normalmente impostas ao controle de processos são oriundas de li-

mitação da taxa de variação do sinal de controle, de limite da amplitude do sinal de

controle e limitação do sinal de saída. Estas restrições são descritas respectivamente

por:

( )

( )

( )

( 1)u u k u

U U

u k k

u k k

y y k y k

− −≤ ≤ ∀

≤ ≤ ∀

≤ ≤ ∀

(5.3)

Para um processo com m entradas e n saídas, com restrições atuando no horizon-

te de controle N, estas restrições pode ser expressas na forma:

( )1

u u

U k U

y y

u −

≤ ≤

≤ + ≤

≤ + ≤

1 1

1 1 1

1 1

u

Tu

Hu f

(5.4)

Em que: 1 representa uma matriz mnN ×× )( formada por N matrizes identidades

m m× ;

T é uma matriz bloco triangular inferior cujos elementos blocos não nulos

são matrizes identidades n n× .

Estas restrições - para um sistema SISO com horizonte de controle N - podem ser

expressas de forma condensada como:

Ru c≤ (5.5)

Onde:


( )

( )

1

1

N N

N N

N N

N N

N N

N N

U

U

u

u

u kR e c

u k

y f

y f

×

×

×

×

×

×

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

+⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

−−

− −

= =− + −−

−

− −

11

1 1

1 1

1

1

I

I

T

T

H

H

(5.6)

5.1. Manipulação das Restrições

É possível melhorar a eficiência do algoritmo de otimização através de uma for-

mulação adequada do problema, no nosso caso isso é conseguido em parte pela mani-

pulação adequada das restrições tentando obter vantagens da estrutura da matriz R.

5.1.1. Restrições na taxa de variação do sinal de controle

Considerando apenas as restrições na taxa de variação do sinal de controle tere-

mos:

N N

N N

IR e c

I×

×

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= =− −

u

u (5.7)

Resultando em:

N N

N N

×

×

⎡ ⎤⎡ ⎤≤ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦− −

I uu

I u (5.8)

5.1.2. Restrições na Amplitude do Sinal de Controle

Considerando apenas as restrições na amplitude do sinal de controle é possível

expressá-las como:

( 1)

( 1) ( 1)

U u k U

U u k U u k

≤ + − ≤

− − ≤ ≤ − −

1 1 1

1 1 1 1

Tu

Tu (5.9)

ou


( 1)

( 1)

N N

N N

U u k

U u k

×

×

⎡ ⎤⎡ ⎤ − −≤ ⎢ ⎥⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦−

1 1

1 +1

Tu

T (5.10)

com

( 1)

( 1)

N N

N N

U u k

U u kR e c×

×

⎡ ⎤⎡ ⎤ − −

⎢ ⎥⎢ ⎥− + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= =−

1 1

1 1

T

T (5.11)

A matriz T tem a seguinte forma:

1 0 0

1 1 0

1 1 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L

L

M M O M

L

T (5.12)

Esta matriz permite representar o vetor U (amplitude do sinal de controle) em

função de u e u(k-1), como por exemplo mostra (5.13) e (5.14) para o caso de N = 3.

( ) ( 1) ( )

( 1) ( 1) ( 1)

( 2) ( 1) ( 2)

( 1)

1 0 0 u k u k u k

1 1 0 u k u k u k

1 1 1 u k u k u k

u k U

∆ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

∆ + + − = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∆ + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−1T u

(5.13)

ou

( 1) ( )

( 1) ( ) ( 1)

( 1) ( ) ( 1) ( 2)

u k u k

u k u k u k

u k u k u k u k

− + ∆ =⎧⎪

− + ∆ + ∆ + =⎨⎪

− + ∆ + ∆ + + ∆ + =⎩

u(k)

u(k + 1)

u(k + 2)

(5.14)

5.1.3. Restrições no Sinal de Saída

No Capítulo 3, vimos que a predição da resposta de um sistema de controle pre-

ditivo generalizado é calculada por:

y = +uH f


Considerando apenas as restrições no sinal de saída teremos:

min maxy y≤ + ≤uH f (5.15)

Que pode ser expresso como:

max

min

y

y×

×

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−≤

− − +

N N

N N

ufH

H f (5.16)

Este tipo de restrição normalmente é imposto por razões de segurança.

Capítulo 6

Modelagem da Planta

O sistema que se pretende controlar é um sistema didático de controle de nível

produzido pela Quanser Innovate Educate. Trata-se de dois tanques acoplados em cas-

cata conforme mostrado na Figura 6.1.

Figura 6.1: Sistema de Controle de Nível da Quanser.

Capítulo 6 - Modelagem da Planta 43

Há uma bomba que fornece água diretamente para o tanque 1 e deste sai uma

vazão para o tanque 2. A Figura 6.2 ilustra o funcionamento do sistema. Os dois tan-

ques são geometricamente iguais, ou seja, possuem o mesmo formato e as mesmas

dimensões: área da seção transversal, altura e orifício de saída.

Figura 6.2: Sistema de Tanques Acoplados.

Este sistema permite trabalhar com duas configurações: a primeira é simples-

mente controlar o nível do tanque 1, este se comporta como um sistema de primeira

ordem; já a segunda configuração tem como objetivo controlar o nível do tanque 2,

neste caso o comportamento é de um sistema de segunda ordem.

Vamos agora apresentar o modelo matemático deste sistema para ambas as con-

figurações, [12]. Vamos começar modelando o controle de nível para o tanque 1.

A vazão ou fluxo de entrada do tanque 1 é dada por:

3[ / ]in m pF K V cm s= (6.1)

Onde Km é a constante da bomba e Vp é a tensão aplicada na bomba. A velocidade do

fluxo de saída para pequenos orifícios pode ser calculada pela equação de Bernoulli:


0 12 [ / ]V gL cm s= (6.2)

Sendo g a aceleração da gravidade em cm/s2 e L1 é a altura do nível em cm. Para obter

o fluxo de saída basta multiplicar esta velocidade pela área do orifício de saída a1 dado

em cm2, portanto:

31 12 [ / ]outF a gL cm s= (6.3)

A variação do volume de água dentro do tanque será:

31 12 [ / ]in out m pF F K V a g L cm s− = − (6.4)

Portanto, a variação do nível é dada por (6.5), onde A1 é a área da base do tanque dada

em cm2.

11 1

1 1

2 [ / ]mp

KaL g L V cm s

A A= − +& (6.5)

Linearizando em torno de um ponto de operação L10, obtém-se:

11 1

1 10 12[ / ]m

pLL

Ka gL V cm s

A A= − +& (6.6)

A equação (6.6) representa o modelo matemático para o controle de nível so-

mente do tanque 1. Para controlar L2 (Nível do tanque 2) deve-se levar em conta o sis-

tema acoplado, isto é, o sistema completo. Então vamos prosseguir com a modelagem

para o tanque 2, lembre-se que o tanque 1 alimenta o tanque 2, portanto o fluxo de en-

trada do tanque 2 é igual ao fluxo de saída do tanque 1:

32 1 12 [ / ]inF a g L cm s= (6.7)

De maneira similar, o fluxo de saída do segundo tanque é:


32 2 22 [ / ]outF a g L cm s= (6.8)

E daí a variação do nível L2 será:

1 22 1 2

2 2

2 2 [ / ]A A

a aL g L g L cm s−=& (6.9)

Após a linearização em torno de L10 e L20 temos:

2 12 2 1

2 20 2 102 2[ / ]

A A L

a ag gL L L cm s

L− +=& (6.10)

Agora resta substituir os valores dos parâmetros nas expressões (6.6) e (6.10)

para obter o modelo matemático para o controle dos níveis L1 e L2. Os valores adota-

dos para os parâmetros estão descritos na Tabela 6.1.

Tabela 6.1 – Valores dos Parâmetros

Parâmetros Valores A1 = A2 15.518 cm2

a1 = a2 0.178 cm2

L10 = L20 15 cm Km 4.6 cm3/s.V g 981 cm/s2

Portanto, a partir dos valores da Tabela 6.1 obtemos:

1 1

2 2 1

0.2964

0.0656 0.0656

0.0656 pV

L L L

L L +

= − +

= −

&

&

(6.11)

6.1 Análise do Sistema

Aplicando a transformada de Laplace em (6.11), obtemos as funções de transfe-

rência para L1 (6.12) e L2 (6.13).


Para L1:

1 1

1

( ) ( ) 0.2964 ( )

( ( ) 0.2964 ( )

0.0656

0.0656)p

p

SL S S V S

S S V S

L

L

= +

+ =

−

1( ) 0.2964

( ) 0.0656p

S

V S S

L=

+ (6.12)

Para L2:

2 1

2

( 0.0656) ( ) 0.0656 ( )

0.2964( 0.0656) ( ) 0.0656 ( )

0.0656 p

S L S L S

S L S V SS

+ =

+ =+

22

( ) 0.01945

( ) ( 0.0656)p

L S

V S S=

+ (6.13)

A equação (6.12) representa a função de transferência de malha aberta para L1.

Verifica-se facilmente que se trata de um sistema estável (pólo = –0.0656) com cons-

tante de tempo T = 1/0.0656 = 15.2 s e valor de estado estacionário para uma entrada

em degrau unitário igual a: L1(t=∞) = 0.2964/0.0656 = 4.52 cm. Já (6.13) é a função

de transferência de malha aberta para L2. Também é um sistema estável e tem 2 pólos

reais iguais, o que resulta numa resposta criticamente amortecida, [13]. A Figura 6.2

mostra a resposta ao degrau unitário de ambos os sistemas em malha aberta. A curva

superior representa o nível L1.

Figura 6.3: Resposta dos Sistemas em Malha Aberta


Agora vamos fazer uma breve análise em malha fechada. A Figura 6.3 (a) mos-

tra o sistema (6.12) com realimentação unitária, que pode ser representado equivalen-

temente pelo bloco da Figura 6.3 (b).

Figura 6.4: Sistema de Controle de L1 com Realimentação Unitária

A realimentação provocou um aumento no valor absoluto do pólo (de 0.0656

para 0.362), isso tornou o sistema mais rápido, uma vez que sua constante de tempo

diminui para T = 1/0.362 = 2.76 s. O valor da saída no estado estacionário foi para

L1(t=∞) = 0.819 cm, o que resultou em um erro de regime igual a 0.181 cm.

Na Figura 6.4 (a) temos o diagrama de blocos do sistema (6.13) com realimen-

tação unitária. O sistema equivalente está mostrado na Figura 6.4 (b). Este sistema tem

dois pólos complexos conjugados (–0.0656 ± j0.1396), portanto apresenta um pouco

de oscilação, o tempo de acomodação é de aproximadamente 61 s e o coeficiente de

amortecimento é ζζζζ = 0.426.

Figura 6.5: Sistema de Controle de L2 com Realimentação Unitária

A Figura 5 mostra a resposta ao degrau unitário de ambos os sistemas com rea-

limentação unitária. Ambos convergem para o mesmo valor de estado estacionário

apresentando o mesmo erro de regime permanente.


Figura 6.6: Resposta dos Sistemas em Malha Fechada

6.2 Modelo Discreto

Para se realizar um controle digital (via computador) é necessário conhecer o

modelo discreto do sistema. Este modelo é conseguido submetendo o modelo contínuo

a um processo de discretização. A discretização nada mais é que um procedimento de

cálculo envolvendo as transformadas de Laplace e Z, e ainda um parâmetro definido

como tempo de amostragem Ts (em segundos). O cálculo é dado pela expressão (6.14).

11 ( )( )

Z G SG Z L

Z S−⎧ ⎫− ⎡ ⎤

→ ⋅ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭ (6.14)

O valor do parâmetro Ts foi escolhido de forma experimental para ambos os sis-

temas. A idéia foi escolher um tempo suficiente para o algoritmo executar com folga,

os cálculos necessários para obtenção do sinal de controle dentro de um intervalo de

amostragem.

Então discretizando a expressão (6.12) para um tempo de amostragem Ts = 0.2s

temos:

1 1( ) ( )0.2964 0.0589

( ) ( ) 0.9870.0656P P

L S L Z

V S S V Z Z= ⇒ =

+ − (6.15)

ou

1 11

1 1

( ) 0.0589

( ) 1 0.987P

L Z Z

V Z Z

− −

− −=

− (6.16)


A Equação a diferenças correspondente a este sistema é:

0.987 0.0589= − + −1 1 pl (k) l (k 1) v (k 1) (6.17)

Analogamente, discretizando (6.13) para um tempo de amostragem Ts = 0.5 s

teremos:

2 22 2

( ) ( )0.01945 0.00238 0.002327

( ) 0.1313 0.00431 ( ) 1.9354 0.9365p p

L S L Z Z

V S S S V Z Z Z

+= ⇒ =

+ + − + (6.18)

ou

1 1 22

1 1 2

( ) 0.00238 0.002327

( ) 1 1.9354 0.9365p

L Z Z Z

V Z Z Z

− − −

− − −

+=

− + (6.19)

A Equação a diferenças correspondente ao sistema (6.19) é:

1.9354 0.9365 2 0.00238 0.002327 2= − − − + − + −2 2 2 p pl (k) l (k 1) l (k ) v (k 1) v (k ) (6.20)

As equações (6.17) e (6.20) descrevem o modelo discreto para obtenção de L1 e

L2 respectivamente, sujeitos a uma entrada em degrau.

Capítulo 7

Resultados de Simulações

Antes de tratar o problema de interesse que é aplicar um Controlador Preditivo

Generalizado com Restrições (GPCR) para controlar o nível do sistema de tanques

descrito no Capítulo 6, vamos estudar o comportamento das restrições utilizando o

modelo deste sistema.

Através de simulações podemos ter idéia dos resultados esperados na prática. Es-

te procedimento também nos ajuda a adquirir familiaridade com características peculi-

ares a cada tipo de restrição, além de descobrir características do próprio controlador.

Serão abordados os dois sistemas do Capítulo 6, um de primeira ordem represen-

tado pela equação 6.17 (Sistema 1), outro de segunda ordem conforme equação 6.20

(Sistema 2). Vamos abordá-los separadamente, começando pelo Sistema 1.

O modelo adotado para projetar o GPCR foi o ARIMAX mostrado na equação

3.2, na qual consideramos C(q-¹) = 1.

7.1 Sistema 1

Começamos verificando como se comporta o sistema com o controlador GPC

sem restrições, no entanto sujeito a uma ação de controle. Os parâmetros do controla-

dor são: horizonte de controle (NU) de 8 passos a frente e coeficiente de ponderação

(λ) igual a 0.5. A Figura 7.1 mostra a resposta de L1, além dos sinais du (incrementos

de u) e o sinal de controle u. A curva de L1 apresenta um sobre-sinal de 5.47%.

Capítulo 7 - Resultados de Simulações 51

Figura 7.1: Resposta de L1 e Sinais de Controle sem Restrições.

Agora vejamos o que acontece quando restringimos a variação ou incrementos de

u. A Figura 7.2 apresenta o resultado para -3 ≤ du ≤ 3. A escolha destes limites não se

baseia em nenhuma limitação do sistema real, sendo os limites, escolhidos unicamente

com o intuito de visualizar a eficiência do algoritmo. Como se pode ver o sinal du fi-

cou dentro da faixa requerida. A resposta do sistema ficou um pouco mais lenta em

conseqüência desta restrição.


Figura 7.2: Resposta de L1 com Restrições em du.

Na seqüência, analisamos o efeito das restrições no sinal de controle. Aqui, a es-

colha dos limites, ao contrário do caso anterior, foi baseada numa limitação da bomba

que eleva água para o tanque, esta bomba trabalha com valores de tensão dentro da

seguinte faixa -22 V ≤ Vp ≤ 22 V, [12]. Para tensões positivas, ocorre a entrada de á-

gua no tanque, já uma tensão negativa retira água do tanque. Tensões fora desta faixa

acarretam o risco de queimar a bomba, portanto existe uma preocupação com a tensão

Vp aplicada na bomba, sendo Vp o sinal de controle u da planta. A Figura 7.3 apresenta

o resultado da simulação da resposta de L1, juntamente com a seqüência de incremen-

tos du e o sinal de controle u, o qual está sujeito à restrições de ±±±± 20 V, que corres-

ponde a aproximadamente 91% do valor máximo admitido. Verificamos que u foi efi-

cientemente restringido a no máximo 20 V. Ainda é possível especular de forma lógica

a idéia de ação do algoritmo no tratamento desta restrição. Note que no intervalo de

tempo em que u está no limite, os incrementos du’s resultam em zero, ora se u é um

“acumulador” de du, em qualquer instante em que ocorrer du = 0 o valor de u não se

altera. Este raciocínio está de acordo com a equação 5.9 (Capítulo 5) que traz:

( 1)U u k≤ − −1 1Tdu , se ( 1)u k U− = então Tdu = 0 e portanto du = 0.


Figura 7.3: Resposta de L1 Sujeito a Restrições em u.

Finalmente vamos analisar o comportamento do sistema submetido a restrições

no sinal de saída. Aqui também podemos tomar limites baseados no sistema real, pois

o tanque tem uma altura igual 30 cm, portanto a saída L1 não pode ser maior do que

este valor. Também podemos usar esta restrição para limitar o sobre-sinal (overshoot).

Observando a Figura 7.1, vemos que sem restrições, a curva de L1 apresenta um pe-

queno sobre-sinal, vamos impor uma restrição igual a 15 cm, o mesmo valor da refe-

rência, e ver se o sobre-sinal é reduzido a zero. O resultado está na Figura 7.4, as ex-

pectativas foram atendidas satisfatoriamente. Ainda na Figura 7.4 são mostrados o

comportamento de du e u.


Figura 7.4: Resposta do Sistema Sujeito a Restrições em L1.

É interessante fazer uma comparação entre os sinais obtidos pelo método de oti-

mização com restrições e os sinais limitados por um saturador que simplesmente corta

o excesso de sinal. A Figura 7.5 nos permite fazer esta comparação para o caso em que

temos restrições em du. Uma análise rápida nesta figura nos faz perceber o efeito an-

tecipativo do GPCR e a conseqüente melhoria na resposta do sistema. A diferença de

desempenho aumenta a medida que se aumenta NU e/ou diminui λ. No exemplo da

Figura 7.5 temos NU = 15 e λ = 0.3.

Um resultado semelhante foi apresentado por Martínez e Salcedo em uma publi-

cação de 1999, [5]. Eles Trabalharam com um sistema de primeira ordem e impuseram

restrições simultaneamente em du e u. Adotaram como método de otimização com

restrições o método de Rosen, o mesmo abordado neste trabalho.


Figura 7.5: Comparação entre du Saturado e du com Rrestrições.

O mesmo efeito não foi possível observar para restrição no sinal de controle.

Curiosamente ambos os métodos, otimização com restrições e simples saturação do

excesso de sinal, apresentaram o mesmo resultado, a mesma resposta conforme mostra

a Figura 7.6. Observe como as duas curvas de L1 estão sobrepostas, o mesmo ocorren-

do com as curvas de u. Isso acontece para quaisquer combinação de parâmetros do

controlador, isto é, quaisquer escolha de NU e/ou λ.


Figura 7.6: Comparação entre u Saturado e u com Restrições.

7.2 Sistema 2

Este é um sistema de segunda ordem, portanto um pouco mais complexo. Serão

realizados os mesmos ensaios feitos no sistema 1, com o GPC sem e com restrições.

As restrições estudadas serão as mesmas: restrições na variação do sinal de con-

trole du, restrições no sinal de controle u e restrições no sinal de saída, neste caso, L2.

Para conseguir um bom desempenho do controlador, foram adotados os seguintes

parâmetros: horizonte de controle de 15 passos à frente, e coeficiente de ponderação λ

= 0.5. A Figura 7.7 apresenta a resposta do sistema L2 sob a ação do controlador GPC


sem restrições, também são mostrados: a variação do sinal de controle du e o sinal de

controle u. A resposta de L2 chega a um valor máximo de 16.7 cm, o que equivale a

11.3% de sobre-sinal.

Figura 7.7: Resposta de L2 e Sinais de Controle do GPC sem Restrições.

Vamos testar o sistema sujeito a restrições na variação do sinal de controle, para

tanto, vamos supor que du esteja restrito a seguinte faixa de variação: -4 ≤ du ≤ 4, o

algoritmo deve calcular todos os incrementos de u ao longo do tempo sem violar esta

restrição. A Figura 7.8 mostra o resultado da simulação do sistema sob estas condi-

ções, podemos observar que as restrições foram satisfeitas com eficiência. O resultado

é muito parecido ao obtido fazendo um “corte” ou saturando o sinal, isso porque o


primeiro incremento du calculado já estaria acima do limite, portanto não houve tem-

po para antecipar qualquer ação.

Figura 7.8: Resposta de L2 com Restrições em du.

A próxima restrição a ser estudada é a restrição no sinal de controle, lembrando

que a bomba só admite tensões entre ±±±± 22 V, vamos impor a seguinte restrição ao sinal

de controle: -20 V ≤ u ≤ 20 V. O resultado desta simulação se encontra na Figura 7.9.

Mais uma vez, pode-se observar a eficiência do algoritmo, pois em nenhum instante u

assumiu valores acima de 20 V.


Figura 7.9: Resposta de L2 Sujeito a Restrições em u.

Só nos resta analisar o sistema sujeito a restrições no sinal de saída. Como já foi

citado, L2 atinge um sobre-sinal de 11.3%, vamos então reduzi-lo para 5%. Isso equi-

vale a restringir o nível L2 a 15.75 cm. O resultado se encontra na Figura 7.10 a qual

também mostra os sinais du e u. Vale salientar que nesta simulação a única restrição

imposta ao sistema foi em relação a saída, isto é, sobre o valor de L2, ficando du e u

sem qualquer restrição.


Figura 7.10: Resposta do Sistema Sujeito a Restrições em L2.

Outras situações que podem ser verificadas é considerar o valor da restrição igual

a referência ou ainda menor do que esta. Estes resultados podem ser verificados na

Figura 7.11 onde temos referência igual a 15 cm nos dois casos.


Figura 7.11: Restrições Impostas: L1 = Referencia e L1 < Referencia.

Resta agora fazer a comparação que foi feita para o sistema 1, comparar restri-

ções obtidas pelo método de otimização e por saturação. A Figura 7.12 nos permite

acompanhar a comparação para L2 submetido à restrição do sinal du. Observe o mes-

mo efeito antecipativo do GPCR já apresentado na Figura 7.5. Os parâmetros neste

caso são: NU = 20 e λ = 0.5.

Esta comparação para restrições no sinal de controle u, leva aos mesmos resulta-

dos obtidos para o sistema 1, ou seja, ambas as abordagens apresentam a mesma res-

posta conforme Figura 7.6.


Figura 7.12: Comparação entre du Saturado e du com Restrições.

Capítulo 8

Resultados dos Experimentos na Planta Física

Depois de uma série de resultados obtidos através de simulações, partimos para

os ensaios na planta física. Para isso, foi necessário implementar os códigos em

linguagem C++. A comunicação do programa com a planta se fez por meio de uma

placa de aquisição da própria Quanser (o fabricante dos tanques), cujos drivers estão

disponíveis em linguagem C.

Como mencionado no Capítulo 7, o GPCR foi implementado baseado no

modelo ARIMAX conforme equação 3.2, considerando C(q-¹) = 1.

Os modelos das plantas são aqueles determinados no Capítulo 6, (equações 6.17

e 6.20).

8.1 Implementação do Controlador

A estrutura do programa foi organizada basicamente em três códigos:

O primeiro é uma função responsável pela determinação do preditor. Esta

recebe como entrada o modelo do sistema e o horizonte de predição e gera como saída,

duas matrizes, a matriz H (associada a resposta forçada) e uma matriz Q composta

pelos parâmetros da resposta livre. Para chamar a função usa-se a seguinte sintaxe:

HQ = geraHQ(A, B, NU);

Capítulo 8 - Resultados dos Ensaios na planta Física 64

A e B são os respectivos polinômios do denominador e numerador que compõe

o modelo, NU é o horizonte de controle e a matriz HQ condensa duas matrizes na qual

as NU’s primeiras colunas compõe H e as demais compõe Q. Ambas as matrizes

foram determinadas pela solução da identidade polinomial de Diophantine.

O segundo código é o otimizador, também implementado na forma de função,

que tem como entradas: o sistema, as restrições, um ponto inicial e uma tolerância. A

saída é o ponto ótimo do sistema sujeito às restrições. A chamada desta função se dar

por:

du = rosen(G, f, C, b, x0,1e-3);

G e f representam o sistema, C e b as restrições, x0 é o ponto inicial de busca e

1e-3 é um exemplo para a tolerância.

Finalmente, o terceiro é o código principal, no qual se encontram o modelo do

sistema, parâmetros básicos do controlador – essencialmente horizonte de controle

(NU) e fator de ponderação (λ) –, configuração e manipulação das restrições,

inicialização das diversas variáveis, comunicação com a planta, além de chamar os

outros códigos através de chamadas de funções.

8.2 Resultados dos Experimentos

Como já sabemos, há dois sistemas para controlarmos. Ambos tratam de

controle de nível, porém um de primeira ordem (mais simples) e outro de segunda

ordem.

Durante as simulações, podíamos estudar cada restrição separadamente sem se

preocupar com as demais; normalmente se restringia uma variável e as outras ficavam

livres para assumirem qualquer valor. No sistema real isso não é possível; há uma

preocupação constante com os valores máximos admissíveis. Lembre-se que a bomba

suporta no máximo 22 V e a altura máxima do tanque é 30 cm. Uma tensão acima de

22 V queimaria a bomba e um nível acima de 30 cm provocaria o transbordamento do


tanque. Portanto, uma restrição sempre presente é a do sinal de controle (tensão na

bomba).

8.2.1 Sistema 1

Vamos começar apresentando os resultados obtidos no sistema mais simples:

controle de nível do tanque 1 (L1).

8.2.1.1 Restrição no Sinal de Controle

O primeiro resultado que vamos mostrar é a resposta do controlador (GPCR)

tratando restrições no sinal de controle u. Escolhemos para tanto os seguintes limites

para a variável u: –20 ≤ u ≤ 20, em V (Volts), uma vez que a bomba suporta até 22 V,

20 V nos dá uma margem de segurança.

Na Figura 8.1, temos o sinal de controle u e a variação de u (du), apenas u está

sendo restringido. Observe que nos instantes em que u está no valor máximo, du é

nulo, isto se dar pelo fato de u ser formado por incremento de du, portanto se u já

chegou no máximo o incremento deve ser zero.

A Figura 8.2 mostra o comportamento de L1 correspondente deste ensaio. Para

este controlador adotamos: NU = 10 e λ = 0.5.

Figura 8.1: Sinal de Controle Restringido pelo GPCR.


Figura 8.2: Resposta da Planta para u Sujeito a Restrições.

8.2.1.2 Restrição na Variação do Sinal de Controle

Agora mostraremos o desempenho do controlador no tratamento das restrições

na variação do sinal de controle.

A princípio não há uma restrição física associada a variação do sinal de

controle, ou seja, não se conhece o limite para esta variável no nosso sistema, no

entanto se estipulou um limite arbitrário para efeito de teste do controlador. Assim,

impomos a seguinte restrição: –3 ≤ du ≤ 3, estes limites são dados em V/s (Volts por

segundo).

A Figura 8.3 apresenta a resposta do controlador para este ensaio. Observe

como o sinal du ficou restrito na faixa determinada. A Figura 8.4 apresenta a resposta

da planta e o sinal de controle correspondentes.

Os parâmetros usados neste controlador são: horizonte de controle (NU) igual a

8 e fator de ponderação (λ) igual a 0.5.


Figura 8.3: Sinal du Restringido pelo GPCR.

Figura 8.4: Resposta da Planta e Sinal de Controle para du Restrito em ±3 V.


8.2.1.3 Restrições no Sinal de Saída

Na seqüência será apresentada uma série de ensaios explorando as restrições do

sinal de saída (resposta da planta) para avaliarmos o desempenho do controlador em

diferentes situações.

Inicialmente vamos ver como fica o sistema sem restrições na saída, na verdade

a única restrição presente é a do sinal de controle (Figura 8.6) para proteção da bomba.

Analisando a resposta do sistema na Figura 8.5, vemos que o controlador foi

bem projetado, uma vez que para uma referência de 16 cm o valor máximo atingido

pelo nível foi 16.35 cm, o que equivale a 2.2% de sobre-sinal.

Os parâmetros do controlador são: NU = 10 e λ = 0.5.

Figura 8.5: Resposta do Sistema sem Restrições na Saída.


Figura 8.6: Sinais du e u para o Sistema sem Restrições na Saída.

Mas, como nosso objetivo é testar o controlador, vamos supor que o nível não

pode passar de 16.2 cm (1.25% de sobre sinal). O resultado está mostrado na Figura

8.7 na qual também se encontra o “Zoom” do instante em que o nível atinge a

referência. Observe como a restrição foi respeitada rigorosamente.

A Figura 8.8 mostra os sinais u e du correspondentes. Os parâmetros do

controlador neste caso são: NU = 15 e λ = 0.5.

Figura 8.7: Resposta do GPCR com Restrição na Saída.


Figura 8.8: Sinais du e u do GPCR com Restrição na Saída.

Imaginemos agora a seguinte situação: o nível do tanque está limitado a 16 cm,

isto é, impomos uma restrição para a saída da planta de 16 cm, e ao mesmo tempo

queremos que a referência seja também 16 cm. A Figura 8.9 mostra o desempenho do

controlador com NU = 10 e λ = 0.5.

Na Figura 8.10 notamos que o sinal de controle ficou mais oscilatório,

certamente devido ao fato da saída estar muito próxima da restrição e o sistema

apresentar muito ruído. E então, quando o ruído tende a mover a saída um pouco

acima da restrição surge um sinal restaurador, representado pelos pequenos pulsos

negativos no sinal du.


Figura 8.9: Referência e Restrição Iguais a 16 cm.

Figura 8.10: Sinais du e u para o caso Referência = Restrição.

Finalmente vamos verificar o caso em que temos uma referência acima do valor

máximo, isto é, acima da restrição. Esta situação é a que temos na Figura 8.11.

Foi imposta uma restrição de 18 cm. A referência inicial é de 16 cm, depois de

algum tempo foi alterada para 20 cm. Apesar da referência ser 20 cm o nível só

aumentou até 18 cm para não violar a restrição.


Analisando a Figura 8.12, vemos que quando o nível alcançou os 18 cm os

sinais u e du se tornam muito oscilatórios, a explicação é que há um erro permanente

(20 cm – 18 cm) e o controlador tende zerar este erro, em contra partida, há uma ação

responsável pela não violação da restrição e as duas ações ficam se contrapondo o

tempo todo gerando as oscilações, mas não o suficiente para desestabilizar o sistema.

Figura 8.11: Mudança de Referência para um valor acima da Restrição.

Figura 8.12: Sinais du e u com Mudança de Referência.


8.2.1.4 Perturbações

Também foram feitos testes para analisar o comportamento do GPCR diante de

uma perturbação. Então analisamos duas situações, na primeira temos um controlador

sem restrições de saída, já na segunda situação temos restrições na saída da planta, a

intenção é fazer uma comparação entre os dois casos.

O primeiro caso está mostrado nas Figuras 8.13 e 8.14. As perturbações foram

ocasionadas primeiramente obstruindo o orifício de saída no fundo do tanque tapando-

o totalmente, depois que o nível foi restabelecido ao valor de referência, se fez a

desobstrução, ou seja, o orifício foi liberado permitindo a água fluir normalmente. Os

dois momentos, obstrução e desobstrução, podem ser vistos na Figura 8.13.

Figura 8.13: Perturbações na Resposta sem Restrições.


Figura 8.14: Sinais du e u para Perturbações na Resposta sem Restrições.

O mesmo procedimento foi feito para o caso com restrições, para tanto

arbitramos uma restrição de 16.3 cm, isto é, o nível está limitado a no máximo 16.3 cm

ou 1,87% de sobre-sinal (no caso anterior alcançou 16.6 cm ou 3.75% de sobre-sinal).

Observe a resposta nas Figuras 8.15 e 8.16.

A obstrução foi provocada no instante 23.5 segundos, veja que seu efeito ficou

quase imperceptível. A desobstrução ocorreu segundos depois e é perceptível, pois não

está sujeita a restrição.

Os parâmetros do controlador são: NU = 8 e λ = 0.5; tanto no caso sem

restrições como no caso com restrições.


Figura 8.15: Perturbações na Resposta com Restrições.

Figura 8.16: Sinais du e u para Perturbações na Resposta com Restrições.

Instante da perturbação


8.2.2 Sistema 2

Este sistema apresentou muitas dificuldades para ser controlado, sendo a pior a

presença intensa de ruído cuja origem vinha de duas fontes principais: a primeira era

devido a queda da água vinda do tanque 1, que ao cair provocava ondulação na

superfície e produzia bolhas no interior do tanque. A outra fonte era o sensor de nível,

muito sensível a temperatura e outras interferências, havendo muita oscilação nos

valores medidos e o offset do sensor variava continuamente.

Algumas medidas foram tomadas, uma delas foi colocar na boca do tanque um

aparato para diminuir o impacto da queda d’água e assim diminuir as ondulações e as

bolhas, outra medida foi a utilização de um filtro digital de primeira ordem para filtrar

o sinal recebido da placa de aquisição.

Estas medidas tornaram o sistema controlável, mas o filtro alterou a dinâmica

do sistema, portanto teve que ser incorporado ao modelo. Esta operação transformou o

sistema em um de terceira ordem, tornando-o mais difícil de controlar.

8.2.2.1 Restrição na Variação do Sinal de Controle

Vamos agora mostrar os resultados dos ensaios, começando pelas restrições na

variação do sinal de controle. Neste ensaio aproveitamos para fazer uma comparação

entre a resposta obtida pelo GPC com restrições e a resposta do GPC sem restrições

cujo sinal em questão é limitado por saturação.

O resultado está mostrado nas Figuras 8.17 e 8.18, claramente se percebe a

vantagem do GPCR sobre a saturação.

Observe na Figura 8.18 como ainda é expressiva a presença do ruído. Em

ambos os controladores foram usados: NU = 30 e λ = 0.3.


Figura 8.17: Resposta do Sistema com Restrição (GPCR) versus Saturação em du.

Figura 8.18: Sinais du’s Limitados por Restrição (GPCR) e por Saturação.


8.2.2.2 Restrição no Sinal de Controle

Como já discutido anteriormente durante as simulações, o tratamento das

restrições pelo algoritmo de Rosen não apresentou vantagens práticas em relação à

saturação, este fato também pode ser comprovado por este ensaio, onde comparamos

as duas situações, isto é, o sinal de controle limitado pelo algoritmo (GPCR) e por

simples saturação. Veja na Figura 8.19 as duas respostas quase idênticas.

Figura 8.19: Mesma Resposta para u com Restrição (GPCR) e u Saturado.


8.2.2.3 Restrição no Sinal de Saída

Também fizemos alguns ensaios para testar o GPC com restrições de saída, o

resultado não foi tão bom quanto o obtido no sistema 1, mas as restrições foram

atendidas.

Na Figura 8.20 temos duas curvas, uma é a resposta do controlador sem

restrições, esta alcançou um valor máximo de 10.85 cm (8.5% de sobre-sinal). A

segunda curva é a resposta do GPC com restrições de saída igual a 10.5 cm, esta

restrição foi satisfeita, pois o valor máximo não chegou nem a 10.2 cm, no entanto

apresentou um “undershoot” alto. Na Figura 8.21 vemos como se comportaram os

sinais u e du em ambos os casos.

Os parâmetros de ambos os controladores são: NU = 35 e λ = 0.5.

Figura 8.20: Sistema com e sem Restrição.


Figura 8.21: Sinais du e u para Sistema com e sem Restrição.

Por último, vamos ver o caso em que temos a referência igual a restrição que

por sua vez é igual a 8 cm. A resposta do sistema para esta situação está na Figura

8.22. O nível ficou oscilando próximo, mas abaixo da restrição.

O controlador tem NU = 30 e λ = 0.5.

Figura 8.22: Referência Igual a Restrição.

Capítulo 9

Conclusões e Perspectivas

O Controlador Preditivo Generalizado mostrou-se eficaz no tratamento de res-

trições, oferecendo facilidade na implementação e possibilitando a escolha de diferen-

tes métodos de otimização.

Todas as restrições estudadas foram atendidas satisfatoriamente, principalmente

para o sistema 1 que estava sujeito a menos ruído. Neste podemos destacar o resultado

das restrições de saída, com as quais pudemos “zerar” o sobre-sinal (overshoot) e me-

lhorar o comportamento do sistema diante de perturbações, como pode ser comprova-

do comparando as Figuras 8.13 e 8.15.

Com relação às comparações de desempenho em que comparamos a resposta do

GPC com restrições (GPCR) e a do GPC comum, cuja limitação dos sinais era feita

por saturação, tivemos vantagem do GPCR para restrições na taxa de variação do sinal

de controle (du), sendo que a diferença de desempenho é tanto maior quanto: menor

fator de ponderação (λ), maior horizonte de controle (NU) e menor o valor da restri-

ção.

No caso da restrição na amplitude do sinal de controle (u), ocorreu um resultado

curioso, que foi a mesma resposta para ambos os controladores, com diferentes combi-

nações de parâmetros (λ e NU). Lembrando que isso ocorre quando u é a única variá-

vel restrita. Uma explicação possível para este fato é a estratégia de controle, ou seja, o

modo como as restrições são representadas e manipuladas. Outra explicação seria as

próprias plantas abordadas, que tratam-se de sistemas estáveis e pouco sensíveis aos

efeitos da saturação. Talvez um sistema instável e com não-linearidades acentuadas

82

seria bem mais beneficiado com o tratamento das restrições em u por um algoritmo de

otimização.

Fica como perspectiva para outros trabalhos, investigar outras estratégias de

tratamento de restrições com o GPC para estes sistemas. Ou usar esta estratégia em

outros sistemas com as características que acabamos de descrever.

Também podemos deixar como desafio, investigar o porquê do GPCR com res-

trição no sinal de controle u, apresentar a mesma resposta que o GPC com u simples-

mente saturado como foi observado no capítulo 7.

Ainda podemos sugerir dentro de um âmbito mais geral, os seguintes temas: in-

vestigar a robustez do GPC em relação a rejeição de ruídos e imprecisões do modelo

da planta; otimização dos parâmetros NU e λ; usar múltiplos modelos, um para cada

ponto de operação, para sistemas ligeiramente não lineares; implementar identificação

dinâmica da planta a ser controlada e fornecer em tempo real o modelo ao GPC.

83

Referências Bibliográficas

[1] Camacho E. F. and Bordons C. Model Predictive Control. Springer-Verlag, New

York, 1998.

[2] Clarke D. W., Mohtadi C. And Tuffs P. S. Generalized Predictive Control –

Parts 1 and 2. Automatica: Vol. 23, n.º2, 1987.

[3] Fontes A. B. Desenvolvimento e Avaliação de Controladores Preditivos

Baseados em Modelos Bilineares. Tese de Doutorado, PPgEE/UFRN, 2002.

[4] Cavalcanti A. L. O. Estudo e Implementação de Controlador Preditivo

Generalizado Bilinear Compensado Adaptativo. Tese de Mestrado,

PPgEE/UFRN, 2003.

[5] Martínez M. e Salcedo J. V. Control predictivo experimental con restricciones.

In Seminario Anual de Automática, Electrónica Industrial e Instrumentación,

Madrid (Spain), Septiembre 1999.

(encontrado em: http://ctl-predictivo.upv.es/congresos.htm).

[6] Clarke D. W. e Scattolini R. Constrained receding-horizon predictive control.

IEE PROCEEDINGS-D, Vol. 138, Nº 4, JULY 1991.

[7] Salcedo J. V. Martínez M., Ramos C., and Herrero J.M. Computer

implementation of rosen algorithm: application to control engineering. In

International Conference on Computational and Mathematical Methods in

Science and Engineering, Alicante (Spain), Septiembre 2002.

(encontrado em: http://ctl-predictivo.upv.es/congresos.htm).

[8] Salcedo J. V. and Martínez M. Algoritmo de optimización del gradiente

proyectado de Rosen. In III Congreso de Usuarios de MATLAB, Madrid (Spain),

Noviembre 1999.

(encontrado em: http://ctl-predictivo.upv.es/congresos.htm)

[9] Luenberger D. G. Introduction to Linear and Nonlinear Programming. Addison-

Wesley Publishing Company, 1973.

84

[10] Himmelblau D. M. Applied Nonlinear Programming. McGraw-Hill Book

Company, 1972.

[11] Vanderplaats G. N. Numerical Optimization Techniques for Engineering Design

With Applications. McGraw-Hill, Inc., NY, USA, 1984.

[12] Manual de sistemas didáticos da Quanser. Coupled Water Tank Experiments.

Quanser Consulting Inc.

[13] OGATA K. Engenharia de Controle Moderno. 4a Edição, Pearson Education do

Brasil, São Paulo, 2003.

85

Apêndice A

A.1 Solução Recursiva da Equação Diofatina

Considere a seguinte identidade polinomial:

111

1 1

( )( )( )

( ) ( )i i

iG qC q

F q qA q A q

−−

− −

− −= + (A.1)

Isto é:

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )ii iC q A q F q q G q− − − − −

= + (A.2)

Sendo:

1 1 21 2

1 1 21 2

1 1 2 ( 1)1 2 1

1 1 2 ( 1)0 1 2 1

( ) 1

( ) 1

( ) 1

( )

nn

nn

ii i

ni n

C q c q c q c q

A q a q a q a q

F q f q f q f q

G q g g q g q g q

− − − −

− − − −

− − − − −

−

− − − − −

−

= + + + +

= + + + +

= + + + +

= + + + +

L

L

L

L

(A.3)

Substituindo tem-se que:

1 11 1

1 ( 1)1 1

( 1) ( 1)0 1 1

(1 ) (1 )

(1 )

n nn n

ii

i i i nn

c q c q a q a q

f q f q

g q g q g q

− − − −

− − −

−

− − + − + −

−

+ + + = + + +

+ + + +

+ + + +

L L

L

L

(A.4)

ou ainda,

1

1 11 1

1 2 ( 1)1 1 1

( 1) 11 1 1 1.

1 10 1 1

(1 ) (1 )

( )

( )

n nn n

nn

i i n ii i n i

i i i nn

c q c q a q a q

f q a f q a f q

f q a f q a f q

g q g q g q

− − − −

− − − +

− − − − − +

− − −

− − − − − +

−

+ + + = + + +

+ + + + +

+ + + + +

+ + + +

L L

L L

L

L

(A.5)

Igualando-se os coeficientes dos polinômios, obtém-se os coeficientes dos

diversos termos da identidade polinomial:

86

Grau 1: 1 1 1 1 1 1c a f f c a= + ⇒ = −

Grau 2: 2 2 1 1 2 2 2 1 1c a a f f f c a f= + + ⇒ = −

Grau 3: 3 3 2 1 1 2 3 3 3 2 1 1 2c a a f a f f f c a f a f= + + + ⇒ = − −

Grau 4: 4 4 3 1 2 2 1 3 4 4 4 3 1 2 2 1 3c a a f a f a f f f c a f a f a f= + + + + ⇒ = − − −

Grau (i-1): 2 2

1 1 1 1 1 1 1 11 1

i i

i i j i j i i i i j i jj j

c a a f f f c a a f− −

− − − − − − − − − −

= =

= + + ⇒ = − −∑ ∑

Análise de 1 até nq q− − . Calculo dos (n-i+1) coeficientes de Gi(q-1):

1 1 2 2 1 1 0

1

0 1 1 1 11

Grau i:

i i i i i

i

i i i i i i i j jj

c a a f a f a f g

g c a a f a f c a a f

− − −

−

− − −

=

= + + + + +

⇒ = − − − − = − −∑

L

L

1 1 1 1 2 2 1 1

1

1 1 1 11

Grau (i+1):

i i i i i

i

i i i j jj

c a a f a f a f g

g c a a f

+ + − −

−

+ + + −

=

= + + + + +

⇒ = − −∑

L

M M M

1 1 2 2 1 1

1

1

Grau n:

n n n n i i n i

i

n i n n n j jj

c a f a f a f g

g c a a f

− − − + − −

−

− −

=

= + + + +

⇒ = − −∑

L

A lei de recorrência, nesta faixa, para o cálculo de coeficientes de Gi(q-1), pode

ser escrita como: 1

1

i

j i j i j i j q qq

g c a a f−

+ + + −

=

= − −∑ (A.6)

Análise de q-(n+1) até q-(n+i-1) => cálculo dos (i-1) coeficientes de Gi(q-1):

1

1 1 2 2 1 1 ( 1) 11

Grau (i+1): 0i

n n n i i n i n i n j jj

a f a f a f g g a f−

− − + − − + − + − +

=

+ + + + = ⇒ = −∑L

1

2 3 1 2 2 22

Grau (i+2): 0

i

n n d i n i n i n j jj

a f a f g g a f−

− + − − + − + − +

=

+ + + = ⇒ = −∑L

M M M

1 1 1 1G ra u (n + i-1 ) : 0n i n n n ia f g g a f− − − −

+ = ⇒ = −

87

Apêndice B

B.1 Cálculo dos Multiplicadores de Lagrange

Vejamos como calcular numericamente os multiplicadores de Lagrange

associados a um ponto que foi calculado como sendo o ponto mínimo. Consideremos

novamente a condição de estacionaridade do Lagrangeano usando notação matricial:

0f Mλ∇ − = (B.1)

onde M = (C1T, ET).

Assim q é o número de incógnitas (λ - multiplicadores de Lagrange associados

às restrições ativas) na equação matricial de estacionaridade e n o número de equações.

Se q = n a equação de estacionaridade apresenta solução única. Se q < n (caso típico) o

número de incógnitas é menor do que o número de equações. Nesse último caso, uma

solução aproximada de λ pode ser obtida pelo método dos mínimos quadrados, como

descrito abaixo:

2( ) ( )

2 2 0

T T T T

T

u M f Min u M f M f

MM M f

λ λ λ

λ

= − ∇ ⇒ = − ∇ − ∇

⇒ − ∇ = ⇒

1( )TMM M fλ−

= ∇ (B.2)

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