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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA

ESPECIALIZAÇÃO EM AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL

RICARDO HUMBERTO MORENO

ESTUDO PARA DISCRETIZAÇÃO DE CONTROLADORES PID’S INDUSTRIAIS

MONOGRAFIA - ESPECIALIZAÇÃO

CURITIBA 2011

RICARDO HUMBERTO MORENO

ESTUDO PARA DISCRETIZAÇÃO DE CONTROLADORES

PID’S INDUSTRIAIS

Monografia de conclusão do curso de Especialização em Automação Industrial da Universidade Tecnológica Federal do Paraná apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Especialista em Automação Industrial Orientador: Prof. MSc. Guilherme Alceu Schneider

CURITIBA 2011

Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Diretoria do Campus Curitiba Gerência de Pesquisa e Pós-Graduação

Departamento Acadêmico de Eletrônica _______________________________________________________________

TERMO DE APROVAÇÃO

Titulo da Monografia

ESTUDO PARA DISCRETIZAÇÃO DE CONTROLADORES PID’S IN DUSTRIAIS

Área de conhecimento : Automação Eletrônica de Processos Elétricos e Industriais

por

Ricardo Humberto Moreno

A presente monografia, requisito parcial para obtenção do título de ESPECIALISTA EM AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL, foi avaliada pela banca examinadora, constituída pelos docentes abaixo discriminados, que considerou o trabalho Aprovado .

____________________________________ ____________________________________

Prof. Dr. Carlos Raimundo Erig Prof. Dr. Gilson Yukio Sato

______________________________________

Prof. MSc. Guilherme Alceu Schneider

Orientador

Curitiba, 25 de março de 2011

Visto da coordenação

_____________________________________ Prof. Dr. Jean Marcelo Simão A Folha de Aprovação assinada encontra-se na Coordenação do Curso.

AGRADECIMENTOS

Agradeço a todos os amigos e colegas que de alguma forma me incentivaram a concluir

este estudo. Agradeço também ao meu orientador Prof. MSc. Guilherme Alceu Schneider por

me orientar na condução deste trabalho, estando sempre disposto e interessado em me ajudar

da melhor forma possível. Não posso deixar de mencionar também os demais mestres da

UTFPR que dispuseram de seu precioso tempo para me auxiliar com seus conhecimentos, em

especial a Profa. Dr. Faimara do Rocio Strauhs, ao Prof. MSc. Sérgio Stebel e o Prof. Dr.

Carlos Raimundo Erig. Finalmente agradeço a minha esposa Analu Cadore que se fez

presente acompanhando-me durante todo o curso de especialização e também na elaboração

deste trabalho me incentivando nos momentos de desânimo e, acima de tudo, agradeço a Deus

pelo amparo e por mais esta conquista na minha vida.

RESUMO

MORENO, Ricardo Humberto. Estudo para Discretização de Controladores PID’s Industriais. 2010. 100 f. Monografia (Especialização em Automação Industrial) – Departamento Acadêmico de Eletrônica, UTFPR, Curitiba. Este estudo aborda a discretização de controladores analógicos, apresentando de forma sucinta uma explanação sobre os conceitos envolvidos nos processos de discretização. Para tanto, são abordados alguns dos principais conjuntos de arranjos controladores industriais encontrados no mercado, os quais possuem configurações discretizadas e comparadas com suas respectivas versões analógicas. Palavras-Chaves: Discretização. Controlador PID. Arranjos estruturais de controladores PID.

ABSTRACT

MORENO, Ricardo Humberto. Estudo para Discretização de Controladores PID’s Industriais. 2010. 100 f. Monografia (Especialização em Automação Industrial) – Departamento Acadêmico de Eletrônica, UTFPR, Curitiba. This study presents the discretization of analog controllers. It also discusses some of the concepts involved in the discretization process. The main commercially adopted controllers have their settings made discrete and the results are compared with the results of their analog counterparts. Key Words: Discretization. PID controller. Structural arrangements of PID controllers. .

Índice de figuras

Figura 1-Exemplo de um sistema de controle em malha aberta..............................................11 Figura 2-Exemplo de um sistema de controle em malha fechada............................................12

Figura 3-Diagrama em blocos de um controlador analógico. ................................................14 Figura 4-Curvas para os pontos x(t), e(t), u(t) e y(t). ..............................................................14 Figura 5-Digitalização de um controlador analógico.............................................................15 Figura 6 - Curvas para os pontos e(t), e(k), u(k) e u(t)............................................................15 Figura 7-Representação gráfica da função y(t). ......................................................................16 Figura 8-Representação gráfica da função y(t). ......................................................................17 Figura 9-Representação gráfica da função e(t). ......................................................................19 Figura 10-Mapeamento no plano z da aproximação pelo método da diferença adiantada. ...20 Figura 11-Representação gráfica da função e(t). ....................................................................21 Figura 12- Mapeamento no plano z da aproximação pelo método da diferença atrasada. ....23

Figura 13-Representação gráfica da função e(t). ....................................................................23 Figura 14- Mapeamento no plano z da aproximação de Tustin ou transformação bilinear. ..25 Figura 15- Exemplo de sinal contínuo. ....................................................................................26 Figura 16- Exemplo de sinal amostrado. .................................................................................26 Figura 17-Diagrama em blocos do controlador PID paralelo ideal.......................................27 Figura 18-Resposta do controlador PID paralelo ideal ao estímulo degrau para kp=1, ti=1, td=0 e T=1ms. ..........................................................................................................................33 Figura 19-Diagrama em blocos do PID paralelo ideal para estímulo degrau........................34 Figura 20-Configuração dos blocos degrau. ...........................................................................34 Figura 21-Diagrama em blocos do PID paralelo ideal para estímulo rampa. .......................35 Figura 22-Configuração dos blocos rampa. ............................................................................35 Figura 23-Diagrama em blocos do controlador PID em série. ...............................................36 Figura 24-Diagrama em blocos do controlador PID paralelo ideal com filtro derivativo. ....39 Figura 25-Diagrama em blocos do controlador PI-D com filtro derivativo. ..........................42

Figura 26-Diagrama em blocos em malha fechada do controlador PI-D com filtro derivativo...................................................................................................................................................42 Figura 27-Diagrama em blocos do controlador PID em série com filtro derivativo. .............46 Figura 28-Resposta ao estímulo rampa do controlador P paralelo ideal para kp=1. ............50 Figura 29- Resposta ao estímulo rampa do controlador P paralelo ideal para kp=1,1. ........51 Figura 30- Resposta ao estímulo degrau do controlador PI paralelo ideal para ki=0,1........52

Figura 31- Detalhamento da resposta ao estímulo degrau do controlador PI paralelo ideal para ki=0,1. ..............................................................................................................................53

Figura 32- Resposta ao estímulo rampa do controlador PD paralelo ideal para kd=0,1. .....54 Figura 33- Detalhamento da resposta ao estímulo rampa do controlador PD paralelo ideal para kd=0,1 e T=0,001s...........................................................................................................55 Figura 34- Resposta ao estímulo rampa do controlador P paralelo ideal para T=0,2s. ........56 Figura 35- Resposta ao estímulo rampa do controlador P paralelo ideal para T=0,5s. ........57 Figura 36- Resposta ao estímulo rampa do controlador P paralelo ideal para T=1s. ...........58 Figura 37-Resposta do controlador PID paralelo ideal ao estímulo degrau para kp=1, ti=9999, td=0. ..........................................................................................................................61 Figura 38-Resposta do controlador PID paralelo ideal ao estímulo degrau para kp=1, ti=1, td=0. .........................................................................................................................................62 Figura 39-Resposta do controlador PID paralelo ideal ao estímulo degrau para kp=1, ti=9999, td=1. ..........................................................................................................................63

Figura 40-Resposta do controlador PID paralelo ideal ao estímulo degrau para kp=1, ti=1, td=1. .........................................................................................................................................64 Figura 41-Resposta do controlador PID paralelo ideal ao estímulo rampa para kp=1, ti=9999, td=0. ..........................................................................................................................65 Figura 42-Resposta do controlador PID paralelo ideal ao estímulo rampa para kp=1, ti=1, td=0. .........................................................................................................................................66 Figura 43-Resposta do controlador PID paralelo ideal ao estímulo rampa para kp=1, ti=9999, td=1. ..........................................................................................................................67

Figura 44-Resposta do controlador PID paralelo ideal ao estímulo rampa para kp=1, ti=1, td=1. .........................................................................................................................................68 Figura 45-Resposta do controlador PID em série ao estímulo degrau para kp=1, ti=9999, td=0. .........................................................................................................................................69 Figura 46-Resposta do controlador PID em série ao estímulo degrau para kp=1, ti=1, td=0...................................................................................................................................................70 Figura 47-Resposta do controlador PID em série ao estímulo degrau para kp=1, ti=9999, td=1. .........................................................................................................................................71 Figura 48-Resposta do controlador PID em série ao estímulo degrau para kp=1, ti=1, td=1...................................................................................................................................................72 Figura 49-Resposta do controlador PID em série ao estímulo rampa para kp=1, ti=9999, td=0. .........................................................................................................................................73 Figura 50-Resposta do controlador PID em série ao estímulo rampa para kp=1, ti=1, td=0...................................................................................................................................................74

Figura 51-Resposta do controlador PID em série ao estímulo rampa para kp=1, ti=9999, td=1. .........................................................................................................................................75 Figura 52-Resposta do controlador PID em série ao estímulo rampa para kp=1, ti=1, td=1...................................................................................................................................................76 Figura 53-Resposta do controlador PID paralelo ideal com filtro derivativo ao estímulo degrau para kp=1, ti=9999, td=0. ...........................................................................................77 Figura 54-Resposta do controlador PID paralelo ideal com filtro derivativo ao estímulo degrau para kp=1, ti=1, td=0. .................................................................................................78 Figura 55-Resposta do controlador PID paralelo ideal com filtro derivativo ao estímulo degrau para kp=1, ti=9999, td=1. ...........................................................................................79 Figura 56-Resposta do controlador PID paralelo ideal com filtro derivativo ao estímulo degrau para kp=1, ti=1, td=1. .................................................................................................80 Figura 57-Resposta do controlador PID paralelo ideal com filtro derivativo ao estímulo rampa para kp=1, ti=9999, td=0. ............................................................................................81 Figura 58-Resposta do controlador PID paralelo ideal com filtro derivativo ao estímulo rampa para kp=1, ti=1, td=0. ..................................................................................................82 Figura 59-Resposta do controlador PID paralelo ideal com filtro derivativo ao estímulo rampa para kp=1, ti=9999, td=1. ............................................................................................83 Figura 60-Resposta do controlador PID paralelo ideal com filtro derivativo ao estímulo rampa para kp=1, ti=1, td=1. ..................................................................................................84 Figura 61-Resposta do controlador PI-D com filtro derivativo ao estímulo degrau para kp=1, ti=9999, td=0. ..........................................................................................................................85

Figura 62-Resposta do controlador PI-D com filtro derivativo ao estímulo degrau para kp=1, ti=1, td=0. ................................................................................................................................86 Figura 63-Resposta do controlador PI-D com filtro derivativo ao estímulo degrau para kp=1, ti=9999, td=1. ..........................................................................................................................87 Figura 64-Resposta do controlador PI-D com filtro derivativo ao estímulo degrau para kp=1, ti=1, td=1. ................................................................................................................................88

Figura 65-Resposta do controlador PI-D com filtro derivativo ao estímulo rampa para kp=1, ti=9999, td=0. ..........................................................................................................................89 Figura 66-Resposta do controlador PI-D com filtro derivativo ao estímulo rampa para kp=1, ti=1, td=0. ................................................................................................................................90 Figura 67-Resposta do controlador PI-D com filtro derivativo ao estímulo rampa para kp=1, ti=9999, td=1. ..........................................................................................................................91 Figura 68-Resposta do controlador PI-D com filtro derivativo ao estímulo rampa para kp=1, ti=1, td=1. ................................................................................................................................92

Figura 69-Resposta do controlador PID em série com filtro derivativo ao estímulo degrau para kp=1, ti=9999, td=0. .......................................................................................................93 Figura 70-Resposta do controlador PID em série com filtro derivativo ao estímulo degrau para kp=1, ti=1, td=0. .............................................................................................................94 Figura 71-Resposta do controlador PID em série com filtro derivativo ao estímulo degrau para kp=1, ti=9999, td=1. .......................................................................................................95 Figura 72-Resposta do controlador PID em série com filtro derivativo ao estímulo degrau para kp=1, ti=1, td=1. .............................................................................................................96 Figura 73-Resposta do controlador PID em série com filtro derivativo ao estímulo rampa para kp=1, ti=9999, td=0. .......................................................................................................97 Figura 74-Resposta do controlador PID em série com filtro derivativo ao estímulo rampa para kp=1, ti=1, td=0. .............................................................................................................98 Figura 75-Resposta do controlador PID em série com filtro derivativo ao estímulo rampa para kp=1, ti=9999, td=1. .......................................................................................................99 Figura 76-Resposta do controlador PID em série com filtro derivativo ao estímulo rampa para kp=1, ti=1, td=1. ...........................................................................................................100

SUMÁRIO

AGRADECIMENTOS.............................................................................................................4

RESUMO...................................................................................................................................5

ABSTRACT ..............................................................................................................................6

ÍNDICE DE FIGURAS ............................................................................................................7

SUMÁRIO...............................................................................................................................10

1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................8

1.1 TEMA.... ...........................................................................................................................8 1.2 PROBLEMA E PREMISSAS ...........................................................................................8 1.3 OBJETIVOS .....................................................................................................................8 1.3.1 Objetivo geral....................................................................................................................8 1.3.2 Objetivos específicos ........................................................................................................9 1.4 JUSTIFICATIVA..............................................................................................................9 1.5 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS......................................................................9 1.6 EMBASAMENTO TEÓRICO........................................................................................10 1.7 ESTRUTURA DO TRABALHO....................................................................................10

2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS......................................................................................11

2.1 SISTEMAS DE CONTROLE .........................................................................................11 2.2 SISTEMAS DE CONTROLE EM MALHA ABERTA ..................................................11 2.3 SISTEMAS DE CONTROLE EM MALHA FECHADA ...............................................12 2.4 TIPOS DE CONTROLADORES....................................................................................12

2.5 PROCESSAMENTO DIGITAL DO SINAL ..................................................................13 2.6 MÉTODOS PARA DISCRETIZAÇÃO DE SISTEMAS ...............................................16 2.6.1 Método da Diferença Adiantada (Forward Difference)..................................................18 2.6.2 Método da diferença atrasada (Backward Difference)....................................................21 2.6.3 Transformação Bilinear...................................................................................................23 2.6.4 Teoria da amostragem.....................................................................................................25

3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS .................................................................27

3.1 CONTROLADOR PID PARALELO IDEAL.................................................................27 3.2 CONTROLADOR PID EM SÉRIE.................................................................................36

3.3 CONTROLADOR PID PARALELO IDEAL COM FILTRO DERIVATIVO...............39 3.4 CONTROLADOR PI-D COM FILTRO DERIVATIVO................................................42 3.5 CONTROLADOR PID EM SÉRIE COM FILTRO DERIVATIVO. .............................46

4 EXPERIMENTOS...........................................................................................................50

5 CONCLUSÕES ...............................................................................................................59

8

1 INTRODUÇÃO

1.1 TEMA

Atualmente os sistemas de controle encontram aplicações em diversas áreas, sendo

utilizados em plantas industriais com a função de regular níveis em reservatórios,

concentrações químicas em tonéis, temperatura de caldeiras e espessura de chapas de aço em

processos de laminação. Com a evolução da eletrônica e a miniaturização de circuitos, muitos

dos sistemas de controle que anteriormente eram controlados exclusivamente de forma

mecânica, passaram a ter o computador digital como parte de seus sistemas trazendo diversas

vantagens, como por exemplo não necessitar alterações em hardware para se conseguir

alcançar uma determinada resposta na saída de um sistema (NISE, 2002).

Encontra-se na literatura disponível atualmente sobre o assunto, diversas referências

sobre controladores Proporcionais, Integrais e Derivativos (PID) e suas aplicações. Abordam-

se suas topologias em blocos, métodos de sintonia e suas combinações para que se possa

alcançar uma resposta satisfatória em um sistema controlado. Em uma época na qual os

computadores digitais fazem parte da maioria dos processos de controle encontrados na

indústria, pouco se fala claramente de como o processo de discretização de um controlador

PID pode ser realizado. O presente estudo apresenta uma das possíveis formas de se

discretizar um controlador analógico e como é implementado seu algoritmo de controle.

1.2 PROBLEMA E PREMISSAS

A dificuldade na obtenção de estudos que mostrem como proceder para discretizar

diferentes configurações de controladores analógicos aplicados no controle de processos

industriais automatizados.

1.3 OBJETIVOS

1.3.1 Objetivo geral

Discretizar os arranjos PID’s de alguns dos principais Controladores Lógicos

Programáveis (CLPs) industriais encontrados no mercado mostrando todo o processo

envolvido na digitalização de um controlador analógico.

9

1.3.2 Objetivos específicos

• Montar os diagramas em blocos dos arranjos dos PIDs, em análise;

• Obter as respostas em malha aberta dos arranjos propostos via simulações;

• Discretizar os arranjos dos controladores PIDs propostos;

• Obter as respostas dos arranjos discretizados por meio de simulações;

• Comparar as respostas obtidas.

1.4 JUSTIFICATIVA

Este estudo pretende montar uma referência para alunos interessados no assunto,

mostrando os procedimentos para discretizar um controlador analógico, e por meio de

simulações, apresentar quais modificações podem ser observadas nas respostas dos

controladores quando discretizados, averiguar a influência dos ganhos dos controlador em sua

resposta e como a variação da taxa de amostragem utilizada pode afetar o comportamento do

controlador.

Espera-se também que este estudo facilite a compreensão do processo de discretização e

forneça um ponto de partida para a implementação de, por exemplo, controladores digitais em

microcontroladores.

1.5 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Para se atingir os objetivos propostos, foi realizada uma pesquisa no intuito de encontrar

informações necessárias sobre o processo de discretização de sistemas. Para tanto foram

consultados livros, internet e o material disponibilizado durante o Curso de Especialização em

Automação Industrial ministrado na Universidade Tecnológica Federal do Paraná.

Obtidas as informações necessárias sobre o processo de discretização de sistemas, foram

discretizados arranjos PIDs de alguns dos principais CLPs industriais encontrados no

mercado. Para isso foram utilizadas as funções de transferência no domínio da freqüência de

cada um dos arranjos analisados.

Tendo-se a resposta contínua e discreta destes arranjos realizou-se uma comparação, por

meio de simulações, dos efeitos da discretização nos arranjos em questão.

10

Com base em todo o material obtido elaborou-se este estudo mostrando todo o processo

envolvido para se obter a digitalização de um controlador PID analógico.

1.6 EMBASAMENTO TEÓRICO

Neste estudo são abordadas as aproximações de Tustin, Backwards e Forwards no

processo de discretização de controladores PID e também a teoria de amostragem e seu efeito

no processo de discretização.

1.7 ESTRUTURA DO TRABALHO

Este trabalho compõe-se de cinco partes, com 4 capítulos, sendo;

• Parte 1 – Capítulo introdutório.

• Parte 2 – Fundamentos teóricos: Capítulos 2.

• Parte 3 – Procedimentos metodológicos: Capítulo 3.

• Parte 4 – Dados coletados, análises e conclusões: Capítulos 4.

• Parte 5 – Referências.

O Capítulo 1 que configura a introdução deste trabalho, apresenta o tema, define a

problemática e as premissas principais, o objetivo proposto, a justificativa e a metodologia de

pesquisa a ser adotada.

O Capítulo 2 aborda os fundamentos teóricos do trabalho, os conceitos envolvidos no

processo de digitalização de sistemas analógicos e a teoria de controle.

No Capítulo 3 coloca-se em prática os fundamentos teóricos apresentados no capítulo

anterior, discretizando-se os controladores analógicos e gerando os algoritmos para simulação

em software.

O Capitulo 4 apresenta a realização de experimentos visando analisar o comportamento

do controlador PID paralelo ideal para diferentes ganhos e taxas de amostragem. É também o

capítulo onde se apresentam as conclusões do presente estudo.

11

2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS

2.1 SISTEMAS DE CONTROLE

Um sistema de controle é composto de subsistemas que tem o propósito de controlar a

saída de um processo qualquer. Um exemplo de processo poderia ser o controle de

temperatura em uma caldeira. O calor obtido nesta caldeira é proveniente de uma chama

alimentada por um fluxo de combustível. As válvulas de combustível e seus respectivos

atuadores são os subsistemas deste sistema de controle de temperatura, e são usados para

regular a temperatura na caldeira, atuando sobre o fluxo de combustível que alimenta a chama

de aquecimento da mesma. Os termostatos, que também integram este subsistema, são os

sensores responsáveis por informar ao sistema qual a temperatura presente na caldeira. Em

resumo, um sistema de controle fornece uma resposta a um dado estímulo. (NISE, 2002).

2.2 SISTEMAS DE CONTROLE EM MALHA ABERTA

Sistemas de controle em malha aberta são sistemas nos quais a saída não tem efeito na

ação do controle, como pode ser visto na figura 1. Em um sistema de controle em malha

aberta, a saída nem é medida, nem é realimentada para comparação com a entrada

(OGATA,2003). Um exemplo é o uso do forno de microondas. Ao aquecer um alimento não

existe um sinal de erro que informe ao forno de microondas se o alimento já se encontra

aquecido ou não. O controle é feito por base de tempo, pois o sistema não possui informação

sobre a temperatura do alimento para saber se este já alcançou a temperatura desejada.

Figura 1-Exemplo de um sistema de controle em malha aberta.

Fonte: Autor.

12

2.3 SISTEMAS DE CONTROLE EM MALHA FECHADA

Um sistema de controle em malha fechada é aquele no qual o sinal de saída possui um

efeito direto na ação de controle, como pode ser visto na figura 2. São sistemas de controle

realimentados. O sinal de erro atuante, que é a diferença entre o sinal de entrada e o sinal

realimentado, é aplicado ao controlador de modo a reduzir o erro e manter a saída do sistema

em um valor desejado (OGATA, 2002). Um exemplo é o controle de nível em uma caixa

d’água. Quando a caixa d’água está vazia, a válvula que controla a quantidade de água

entregue à caixa d’água, encontra-se totalmente aberta garantindo máxima vazão. Isto ocorre

por não existir água suficiente para modificar a posição da bóia que, por ação da aceleração da

gravidade, encontra-se na sua posição mais baixa, e atuando portanto com máxima amplitude

na abertura da válvula. Este é o ponto de erro máximo. À medida que o nível de água

aumenta, a água começa a deslocar a bóia, e o mecanismo válvula – bóia passa a atuar na

quantidade de água entregue à caixa. Quando a água atingir o nível máximo do tanque a força

proveniente do deslocamento da bóia, que atua sobre a válvula, interromperá o fluxo

impedindo que mais água continue sendo entregue a caixa.

Figura 2-Exemplo de um sistema de controle em malha fechada.

Fonte: Autor.

2.4 TIPOS DE CONTROLADORES

Os controladores, como o próprio nome diz, são responsáveis por realizar o controle de

algum tipo de sistema ou planta industrial. Sua função é manter o sistema operando dentro de

limites pré-definidos de forma a atender as exigências do processo ao qual o controle é

aplicado. Dentre algumas das possíveis formas de se realizar o controle podem ser citados os

controles proporcional (P), proporcional e integral (PI), proporcional e derivativo (PD),

proporcional, integral e derivativo (PID) e on/off. Cada um destes tipos de controladores

13

possui uma característica específica a qual define, de acordo com as necessidades de controle

ou características do sistema a ser controlado, qual a melhor opção a ser utilizada.

Em resumo, em um controle realimentado utiliza-se o controle proporcional para

aumentar o ganho do sistema e conseqüentemente diminuir o erro em regime permanente.

Este tipo de controle não possibilita anular completamente o erro de regime permanente. Para

corrigir este problema soma-se a esta ação a ação integral resultando no controlador PI, que

por sua vez, consegue anular o erro em regime permanente. Somando-se ao controlador

proporcional a ação derivativa, consegue-se fazer com que o sistema responda mais

rapidamente a variações no valor de referência do sistema. Juntando todas estas ações de

controle obtém-se o controlador PID, que possui todas as características particulares de cada

uma das ações de controle mencionadas. Este tipo de controlador é utilizado em sistemas mais

complexos nos quais se exige simultaneamente que o sistema responda rapidamente a

variações no valor de reverência do sistema, e que não seja permitida a existência de erro de

regime estacionário. Já o controlador on/off é aplicado à sistemas que admitem uma constante

variação em torno do valor de referência e portanto, é utilizado em sistemas mais simples.

Neste tipo de controle não existe nenhuma das ações de controle mencionadas anteriormente e

ao atuar sobre um sistema, este controlador sempre o fará sobre as capacidades ou limites

máximos e mínimos permitidos pelo sistema controlado, como mantendo, por exemplo, uma

válvula totalmente aberta ou totalmente fechada de acordo com a informação de erro que

chega até o controlador.

2.5 PROCESSAMENTO DIGITAL DO SINAL

Ao se falar de discretização de sistemas, é necessário entender como um computador ou

microcontrolador passa a fazer parte de um sistema ou planta analógica, e também como o

estímulo entregue na entrada do sistema se comporta ao logo do processo até alcançar a sua

saída. A figura 3 mostra o comportamento de um sinal para um sistema analógico:

14

Figura 3-Diagrama em blocos de um controlador analógico.

Fonte: Autor.

A representação gráfica para cada um dos pontos mostrados na figura 3 poderia ser:

Figura 4-Curvas para os pontos x(t), e(t), u(t) e y(t).

Fonte: Autor.

Na figura 4 observa-se que o sinal aplicado à entrada do sistema é continuo e permanece

assim por todas as etapas do processamento até alcançar à saída. Na figura 4, x(t) é o sinal de

entrada do sistema e informa a este qual o valor que se deseja obter na saída y(t). O sinal de

erro e(t) informa o quão longe o sinal de saída do sistema y(t) está do valor desejado x(t),

enquanto u(t) é a compensação que o controlador faz em x(t) para que a planta responda a

variação de x(t) o mais rápido possível. A figura 5 mostra o mesmo sistema, mas agora, com a

inclusão de um computador no lugar do controlador analógico.

15

Figura 5-Digitalização de um controlador analógico.

Fonte: Autor.

Na figura 5, a partir do sinal de erro e(t) acontece uma transformação do sinal. Esta

transformação é necessária para que x(t) possa ser processado pelo computador. Novamente,

ao deixar o computador, este sinal passa por outra transformação de forma a se tornar

adequado para a planta a ser controlada. Na figura 6 são mostrados estes sinais:

Figura 6 - Curvas para os pontos e(t), e(k), u(k) e u(t).

Fonte: Autor.

Dentro do bloco conversor analógico para digital (ADC), ocorre a discretização do sinal

e(t). Neste bloco o sinal é amostrado a uma taxa definida pelo bloco “SINCRONISMO” e

cada ponto amostrado é quantificado e traduzido em uma palavra binária que finalmente é

entregue ao computador para ser processada.

16

Após ser processado, o sinal novamente deve ser transformado em um sinal contínuo de

forma que a planta definida pelo bloco “PLANTA” possa utilizar este sinal. Esta

transformação ocorre no bloco conversor digital para analógico (DAC). Uma palavra binária

que chegue a este bloco é convertida em um sinal analógico. Como este sinal está presente na

saída do bloco “DAC” em instantes definidos pelo bloco “SINCRONISMO”, torna-se

necessário incluir neste bloco um segurador de ordem zero (ZOH). Este segurador então

mantém constante em sua saída o último valor recebido do bloco “DAC”, garantindo, desta

forma, que um sinal analógico seja entregue para a planta controlada.

2.6 MÉTODOS PARA DISCRETIZAÇÃO DE SISTEMAS

Todos os métodos aqui apresentados utilizam áreas de trapézios ou retângulos para

obter um valor aproximado para o termo integral. A descrição a seguir busca ilustrar como

são deduzidas estas aproximações.

Por definição, a integral de uma função corresponde à área limitada pela curva descrita

por esta função e o eixo de tempo, como mostrado na figura 7. Na figura 7 tem-se uma função

do tipo y(t)=A, onde A é uma constante.

Figura 7-Representação gráfica da função y(t).

Fonte: Autor.

A integral desta função para o intervalo de t1 a t2 seria:

Integral { t1, t2, A, dt } = A*t2 - A*t1 = A*(t2 – t1)

Por definição a área de um retângulo é igual a sua base vezes sua altura.

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Área do retângulo = Base*Altura = (t2 – t1)*Altura

Comparando-se estas duas equações verifica-se que a integral da função y(t), para o

intervalo considerado, realmente é igual à área de um retângulo que tem como base o mesmo

valor do intervalo de integração e como altura a amplitude de y(t). O mesmo pode ser

verificado para o trapézio. Na figura 8 está representada uma função do tipo y(t)=t.

Figura 8-Representação gráfica da função y(t).

Fonte: Autor.

A integração desta função resulta em:

Integral { t1, t2, t, dt } = (1/2)*(t2^2 – t1^2)

Por definição a equação da área de um trapézio é igual a sua base maior, mais sua base

menor vezes a sua altura dividido por dois.

Área do trapézio = Altura*(Base maior + Base menor)/2

Tomando-se os valores descritos na figura 10 e substituindo-os na equação do trapézio

tem-se:

Área do trapézio = (t2-t1)*(t2 + t1)/2

Área do trapézio = (t2^2 + t2*t1 - t1*t2 - t1^2)/2

Área do trapézio = (t2^2 - t1^2)/2

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Novamente fazendo a comparação do resultado obtido na integração com a área

calculada, confirma-se o que foi afirmado anteriormente.

Para se discretizar a função de transferência de um controlador PID, considerando-se

que esta função esteja no domínio da freqüência, utiliza-se a transformada z. Mas, para que

seja possível utilizar esta transformada, antes se deve obter uma expressão que represente a

função de transferência do controlador PID. Para isso utilizam-se métodos que representem,

de forma aproximada, o comportamento dos termos que compõem o controlador PID.

Observando-se a equação de um controlador PID no domínio da freqüência, verifica-se

a presença dos termos proporcional, integral e derivativo:

U(s)=E(s)*[kp + ki/s + kd*s]

kp: ganho proporcional

ki=kp/ti: ganho integral

kd=kp*td: ganho derivativo

1/s: termo integral

s: termo derivativo

ti: tempo integral

td: tempo derivativo

Utilizando os métodos de Tustin (Transformação Bilinear), Diferença Atrasada e

Diferença Adiantada é possível encontrar uma aproximação numérica que represente os

termos do controlador PID.

2.6.1 Método da Diferença Adiantada (Forward Difference).

Com base no que foi visto até agora analisar-se-á a aproximação pelo método da

diferença adiantada. “Nesta aproximação considera-se que o valor de e(t), no intervalo ((k −

1)T, kT), é constante e dado por e((k − 1)T) = e(k − 1)” (LAGES, 19/05/2010,p5). Isto implica

em tomar a área de um retângulo como aproximação para a integral definida entre os instantes

(k-1)T e (k)T como mostra a figura 9:

19

Figura 9-Representação gráfica da função e(t).

Fonte: Autor.

Logo, a integral para este intervalo será a área de um retângulo que tem por base o

intervalo de integração considerado e como altura e((k − 1)T) = e(k − 1).

Integral { (k − 1)T, kT, e(k-1),dt } = T*e(k-1)

Uma vez que o objetivo é encontrar uma expressão que represente o termo integral ao

longo do tempo, cria-se uma memória que armazenará o valor da integração do sinal. Dessa

forma, cada novo intervalo de tempo calculado é somado aos demais já armazenados na

memória. Isto equivale a ter uma expressão recursiva que soma seu valor anterior com o

calculado no intervalo de tempo atual, como mostrado na seguinte expressão:

u(k) = u(k-1) + T*e(k-1)

Esta expressão representa o termo integral para a aproximação pelo método da diferença

adiantada. Aplicando-se a transformada z a esta expressão tem-se:

U(z) = U(z)*z^(-1) + T*E(z)*z^(-1)

Ao se evidenciar z nesta expressão obtém-se:

U(z)/E(z) = T/(z - 1)

20

Ou

H(z) = T/(z - 1)

Disto resulta que a aproximação calculada para o termo integral pelo método da

diferença adiantada é igual a:

1/s ≈ T/(z - 1)

Ou para o termo derivativo:

s ≈ (z - 1)/T

Este método é de fácil aplicação já que se trata de simples substituição de variáveis, mas

o fato de H(s) ser estável não implica que H(z) também o seja. Este método tende a gerar

instabilidade e não preserva a resposta ao impulso e a resposta em freqüência de H(s) (LIMA,

2009).

Na figura 10 mostra-se o mapeamento no plano z deste método de discretização.

Figura 10-Mapeamento no plano z da aproximação pelo método da diferença adiantada.

Fonte: Autor.

21

2.6.2 Método da diferença atrasada (Backward Difference).

Este método também utiliza a área de um retângulo para calcular a aproximação do

termo integral. “Nesta aproximação considera-se que o valor de e(t) no intervalo ((k − 1)T,

kT) é constante e dado por e(kT) = e(k)” (LAGES, 19/05/2010,p5). Na figura 11 está

representado o significado desta aproximação:


Fonte: Autor.

Como demonstrado anteriormente, a equação da área do retângulo fornece a

aproximação do termo integral para o intervalo de integração considerado.

Integral{ (k − 1)T, kT, e(k),dt } = T*e(k)

Da mesma forma que para o método da diferença adiantada, apresenta-se a expressão

recursiva para a integral:

u(k) = u(k-1) + T*e(k)

Esta expressão representa o termo integral para a aproximação pelo método da diferença

atrasada. Aplicando-se a transformada z a esta expressão tem-se:

22

U(z) = U(z)* z^(-1) + T*E(z)

Ao se evidenciar z nesta expressão obtém-se:

U(z)/E(z) = (T*z)/(z - 1)

Ou

H(z) = (T*z)/(z - 1)

Disto resulta o termo integral obtido pelo método da diferença atrasada:

1/s ≈ (T*z)/(z - 1)


s ≈ (z - 1)/(T*z)

Este método é de fácil aplicação já que se trata de simples substituição de variáveis, e

ainda, o fato de H(s) ser estável, implica que H(z) também o seja. Este método não preserva a

resposta ao impulso e a resposta em freqüência de H(s) (LIMA, 2009).

Na figura 12 visualiza-se o mapeamento no plano z deste método de discretização.

23

Figura 12- Mapeamento no plano z da aproximação pelo método da diferença atrasada.

Fonte: Autor.

2.6.3 Transformação Bilinear

Este método utiliza a área de um trapézio para realizar a aproximação do termo integral.

“Nesta aproximação considera-se que o valor de e(t) no intervalo ((k − 1)T, kT) é constante e

dado pela média entre e ((k − 1)T) = e(k − 1) e e(kT) = e(k)” (LAGES,19/05/2010,p6).

Na figura 13 está representado o significado desta aproximação.


Fonte: Autor.

24

A equação da área do trapézio fornece a aproximação do termo integral para o intervalo

de integração considerado.

Integral{(k − 1)T, kT, [(e(k)+e(k-1)]/2,dt} = [e(k)+e(k-1)]*T/2

Da mesma forma que para Forward Difference e Backward Diference, apresenta-se a

expressão recursiva para a integral:

u(k) = u(k-1) + [e(k)+e(k-1)]*T/2

Esta expressão representa o termo integral para a transformação Bilinear. Aplicando-se

a transformada z tem-se:

U(z) = U(z)* z^(-1) + [E(z)+E(z)* z^(-1)]* T/2

Evidenciando-se z na expressão tem-se:

U(z)/E(z) = (T/2)* (z +1)/(z - 1)

Ou

H(z) = (T/2)* (z +1)/(z - 1)

Disto resulta que o termo integral calculado pela transformação bilinear é:

1/s ≈ (T/2)* (z +1)/(z - 1)


s ≈ (2/T)* (z - 1)/(z + 1)

Este método é fácil de se aplicar já que se trata de simples substituição de variáveis, e

H(s) ser estável, implica que H(z) também o seja. Este método tende a gerar instabilidade e

não preserva a resposta ao impulso e a resposta em freqüência de H(s) (LIMA, 2009).

25

Na figura14, o mapeamento no plano z deste método de discretização.

Figura 14- Mapeamento no plano z da aproximação de Tustin ou transformação bilinear.

Fonte: Autor.

Observa-se que, para todos os métodos analisados, sempre existirá um erro já que o

valor da área calculada pelas aproximações não é exatamente igual às obtidas pela integração

do sinal. Verifica-se também que o intervalo de tempo entre cada período de amostragem do

sinal pode modificar significativamente a resposta do sinal discretizado quando comparado

com seu equivalente analógico. Na prática, quanto menor o período utilizado na discretização

de um sinal mais ele se tornará parecido com sua versão analógica.

2.6.4 Teoria da amostragem

A teoria da amostragem determina que é necessário que o tempo de amostragem

utilizado na discretização de um sinal seja maior que duas vezes a maior freqüência presente

na banda passante para que nenhuma informação seja perdida.

Infelizmente, em aplicações em tempo real, esta condição não é suficiente para o

procedimento de reconstrução do sinal. Na realidade, amostra-se o sinal a uma taxa superior a

mínima sugerida pelo teorema de amostragem, mas não existe uma resposta exata de qual

taxa de amostragem deve ser utilizada. Se utilizada uma baixa taxa de amostragem, algumas

informações importantes podem ser perdidas nos intervalos de amostragem.

26

Se uma taxa elevada for utilizada, acaba-se por aumentar a carga do sistema que estará

processando a informação (MOUDGALYA, 2007).

Na figura 15 é apresentado um sinal qualquer no domínio do tempo e na figura 16 a

exemplificação de como ficaria este sinal após ser amostrado a uma taxa de amostragem Ts.

Figura 15- Exemplo de sinal contínuo.

Fonte: Autor.

Figura 16- Exemplo de sinal amostrado.

Fonte: Autor.

Em aplicações reais a seleção de tempo de amostragem a ser utilizada baseia-se nos

seguintes fatos:

• Aplicação de controle – banda passante, ruído.

• Técnica de design de controle empregada – exatidão.

• Capacidade computacional de hardware – velocidade, tamanho da palavra

(número de bits processados por instrução).

27

Na prática utiliza-se de 8 à 10 vezes a largura de banda ou 4 à 5 vezes a freqüência de

Nyquist (MOUDGALYA, 2007).

3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Com base nos assuntos abordados até o momento, estudar-se-á o processo de

discretização dos controladores PID. Serão discretizados os arranjos PID paralelo ideal, PID

em série, PID paralelo ideal com filtro derivativo, PI-D com filtro derivativo e PID em série

com filtro derivativo. Estes são os arranjos encontrados em alguns dos principais fabricantes

de CLPs encontrados no mercado (IWASSE, 2009).

3.1 CONTROLADOR PID PARALELO IDEAL

Na figura 17 está representado o diagrama em blocos de um controlador PID paralelo

ideal.

Figura 17-Diagrama em blocos do controlador PID paralelo ideal.

Fonte: Autor.

A função de transferência no domínio da freqüência para este controlador é:

U(s)=E(s)*[kp + ki/s + kd*s]

ou

U(s)=E(s)*kp*[1 + 1/(ti*s) + td*s]

Para obter a versão discreta deste controlador poderia se utilizar qualquer um dos

métodos apresentados no item 2.6. O método da diferença atrasada (backward difference) e a

28

aproximação por Tustin não tendem a gerar instabilidade, como pode ser verificado nas

figuras 12 e 14. Embora a aproximação por Tustin realize um mapeamento mais próximo do

ideal entre os planos s e z, preferiu-se utilizar o método da diferença atrasada (backward

difference), pois se consegue obter com este último um algoritmo mais simples do ponto de

vista computacional. Assim sendo, fazendo uso deste método, por substituição, a função de

transferência do controlador passa a ser:

u(z)=e(z)*[kp + ki/[(z - 1)/(T*z)] + kd*((z - 1)/(T*z))]

Reagrupando os termos da equação tem-se:

u(z) = e(z)*{kp + ki/[(z - 1)/(T*z)] + kd*((z - 1)/(T*z))}

u(z) = e(z)*[kp + ki*(T*z)/(z - 1) + kd*(z - 1)/(T*z)]

u(z)*[(T*z)*(z-1)] = e(z)*[(z-1)*(T*z)*kp + ki*(T*z )^(2) + kd*(z - 1)^(2)]

u(z)*[z^(2)*T – z*T] = e(z)*[kp*(T*z^(2) – T*z) + ki*T^(2)*z^(2)

+ kd*(z^(2) – 2*z +1)]

u(z)*[z^(2)*T – z*T] = e(z)*[z^(2)*( kp*T+ ki*T^2+kd) – z*(kp*T + 2*kd) + kd]

Para não trabalhar com termos futuros, divide-se a equação por z^k, e sendo k igual ao

maior coeficiente positivo de z presente na equação, que neste caso é 2.

u(z)*[T – T*z^(-1)] = e(z)*[ kp*T+ ki*T^(2)+kd – z (̂-1)*(kp*T + 2*kd) +

z^(-2)*kd]

Fazendo-se uso da identidade,

z^k*u(z)=u(n+k)

Obtém-se:

u(n)*T – u(n-1)*T = e(n)*( kp*T+ ki*T^(2)+kd ) – e(n-1)*(kp*T + 2*kd) + e(n-2)*kd

Isolando-se u(n):

29

u(n) = e(n)*( kp + ki*T + kd/T ) – e(n-1)*(kp + 2*kd/T) + e(n-2)*kd/T + u(n-1)

Esta é a equação a diferenças que representa o equivalente contínuo do PID paralelo

ideal. Para validar esta equação, compara-se sua resposta com a resposta do mesmo

controlador no domínio da freqüência para um mesmo estímulo. Deve-se então definir um

algoritmo que calcule os valores de resposta da expressão recursiva encontrada. Este

algoritmo será implementado na função pid_paralelo_ideal() que tem como parâmetros os

seguintes termos:

pid_paralelo_ideal(Estimulo,kp,Ti,Td,T)

• Estimulo: sinal de entrada (1:degrau 2: rampa) • kp: ganho proporcional • Ti: tempo integral • Td: tempo derivativo • T: taxa de amostragem

O tempo integral e o tempo derivativo são utilizados para se calcular o ganho integral e

o ganho derivativo, presentes na função de transferência do controlador PID. Estes ganhos são

expressos da seguinte forma:

ki=(kp/Ti);

kd=kp*Td;

Como o controlador discretizado trabalha com sinais amostrados, tanto sua entrada e(n)

quanto sua saída u(n), serão valores discretos que devem ser armazenados em um vetor com n

posições. O número de posições, ou a quantidade de pontos a serem apresentados no gráfico

de saída é definido pelo valor constante de 10000 pontos. Este valor é resultante de uma

simulação de 10s de duração divididos por 1ms de taxa de amostragem. Os 10s de simulação

são adotados tanto para simulação de tempo contínuo quanto para a de tempo discreto. Foi

adotada uma taxa de 1ms, pois com este valor obteve-se uma resposta discreta bastante

próxima do valor contínuo, o que pode ser visto nos gráficos apresentados no apêndice A. A

influência da taxa de amostragem na resposta do sistema é abordada no capítulo 4.

A análise da resposta do controlador é feita com os estímulos rampa e degrau, e o

estímulo a ser aplicado é especificado pelo parâmetro de entrada Estimulo. Estes acontecem

dentro do intervalo de tempo de 2s a 4s e são nulos fora deste intervalo. O estímulo rampa é

30

igual a um dentro deste intervalo e o estímulo rampa é uma rampa crescente de 2s a 3s e uma

rampa decrescente de 3s a 4s.

x=1; %posição inicial do vetor for i=0:T:10 % gera o estimulo a ser utilizado no calculo do pid p/ 10s

de simulação if ( (i<2) || (i>4)) %se fora dos limites de 2s a 4s de simulação vEntrada(x)=0; else if (Estimulo==1) %se for degrau vEntrada(x)=1; else %se for rampa if (i>3) %se rampa decrescente de 3s a 4s de simulação vEntrada(x)=4-i; else %se rampa crescente de 2s a 3s de simulação vEntrada(x)=i-2; end end end x=x+1; %proxima posição end

O vetor vEntrada é responsável por armazenar os pontos amostrados do sinal de

estímulo de acordo com a taxa de amostragem definida como parâmetro de entrada da função

pid_paralelo_ideal(). Ao se alterar T, altera-se a taxa de amostragem, e portanto o número de

ponto utilizados no cálculo da resposta do controlador.

Para facilitar a montagem da equação a diferenças seus termos são definidos

separadamente da seguinte forma:

tn1 = kp+(ki*T)+(kd/T); tn2 = kp+((2*kd)/T); tn3 = kd/T; tn4 = 1; Assim a equação a diferenças do controlador PID que antes era:

u(n) = e(n)*( kp + ki*T + kd/T ) – e(n-1)*(kp + 2*kd/T) + e(n-2)*kd/T + u(n-1)

Torna-se:

vSaida(i)= tn1*vEntrada(i)-tn2*vEntrada(i-1)+ tn3*vEntrada(i-2)+tn4*vSaida(i-1);

Ao se analisar esta equação a diferenças, alguns cuidados devem ser tomados. Como

esta é uma expressão recursiva a ser calculada pelo MATLAB, deve-se calcular

31

separadamente alguns dos valores iniciais do vetor vSaida para se evitar erros durante a

execução do algoritmo. Nos instantes i=1 e i=2 os valores do vetor vSaida são indefinidos,

pois dependem de valores vSaida(-1) e vSaida(0). Desta forma, o laço for, responsável por

calcular a resposta do controlador, inicia seus cálculos a partir do instante Np=3 e o vetor

vSaida tem seus termos iniciais definidos assim:

vSaida(1)= tn1*vEntrada(1); vSaida(2)= tn1*vEntrada(2)-tn2*vEntrada(1)+tn4*vSai da(1);

Note que os termos vSaída(Np) para Np<1 não fazem parte do cálculo do vetor vSaida

evitando-se assim os erros já mencionados. Uma vez que os instantes 1 e 2 de vSaida já foram

definidos, o algoritmo para o cálculo da resposta do controlador PID deve ser iniciado no

instante 3 como mostrado a seguir.

for i=3:1:(length(vEntrada))

vSaida(i)= tn1*vEntrada(i)-tn2*vEntrada(i-1)+

tn3*vEntrada(i-2)+tn4*vSaida(i-1);

end

Após a execução do laço for vSaida contém todos os valores da resposta do controlador

PID ao estímulo aplicado em sua entrada segundo a taxa de amostragem adotada. Aplica-se

então um segurador de ordem zero para preencher os intervalos de tempo entre amostragens e

fazer com que o sinal de saída do controlador discretizado seja contínuo.

delta=0; %intervalo de pontos de mesmo valor valor=0; %valor aplicado a cada ponto do gráfico x=1; y=1; %segurador de ordem zero for i=0:0.001:10 %percorre todos os 10.000 pontos do gráfico if i<delta vSaida2(y)=valor; else valor=vSaida(x); vSaida2(y)=valor; x=x+1; delta=delta+T; end y=y+1; end

32

Após a execução deste laço for o vetor vSaida2 conterá a resposta do controlador

referente ao estímulo aplicado e a taxa de amostragem escolhida. Para poder comparar a

resposta obtida em relação ao estímulo aplicado gera-se o vetor vEntrada2 que estará

representado o sinal de estímulo.

x=1; %posição inicial do vetor for i=0:0.001:10 % gera o estimulo a ser utilizado na plotagem p/ 10 s de

simulação if ( (i<2) || (i>4)) %se fora dos limites de 2s a 4s de simulação vEntrada2(x)=0; else if (Estimulo==1) %se for degrau vEntrada2(x)=1; else %se for rampa if (i>3) %se rampa decrescente de 3s a 4s de simulação vEntrada2(x)=4-i; else %se rampa crescente de 2s a 3s de simulação vEntrada2(x)=i-2; end end end x=x+1; %proxima posição end

De posse deste vetor, gera-se um gráfico para a visualização da resposta do controlador

ao estímulo aplicado. Isso é feito usando-se o comando plot do Matlab.

vEixox=0:1:10000; %pontos do eixo x(tempo em ms) plot(vEixox,vEntrada2, '-.g' , 'LineWidth' ,2.5); %estímulo hold on; plot(vEixox,vSaida2, ':r' , 'LineWidth' ,2.5); %resposta hold off ;

O comando plot é utilizado duas vezes. Na primeira vez, o sinal do estímulo é posto no

gráfico. Na segunda vez, a resposta do controlador PID é posta no gráfico. Entre estes

comandos utiliza-se o comando hold para que ambos os vetores vEntrada e vSaida possam ser

postos no mesmo gráfico. Na figura 18 apresenta-se a resposta gráfica do algoritmo para os

parâmetros Estimulo=1, kp=1, ti=1, td=0 e T=0.001.

33

Figura 18-Resposta do controlador PID paralelo ideal ao estímulo degrau para kp=1, ti=1, td=0 e T=1ms.

Fonte: Autor.

Os parâmetros foram escolhidos de forma a obter na resposta apenas a ação da parte

proporcional e integral do controlador PID.

De posse do algoritmo para gerar a resposta discreta do controlador, e também da

função de transferência no domínio da freqüência, é possível verificar se tais respostas são

equivalentes. Para simular a resposta contínua será utilizado o Simulink. Serão realizados 10

segundos de simulação para o diagrama em blocos do controlador PID paralelo ideal

apresentado na figura 19.

34

Figura 19-Diagrama em blocos do PID paralelo ideal para estímulo degrau.

Fonte: Autor.

Os dois blocos degrau unitário, que se somam gerando o sinal de entrada, foram

configurados, conforme mostrado na figura 20, de forma que o estímulo degrau unitário

exista apenas entre os intervalos 2 e 4 segundos da simulação, da mesma forma como foi

definido para o controlador discretizado.

Figura 20-Configuração dos blocos degrau.

Fonte: Autor.

Para o estímulo rampa, uma soma de rampas unitárias é utilizada para gerar um sinal

triangular entre os intervalos de 2 a 4 segundos da mesma maneira como foi definido para o

controlador discretizado. A figura 21 mostra o diagrama em blocos utilizado na simulação.

35

Figura 21-Diagrama em blocos do PID paralelo ideal para estímulo rampa.

Fonte: Autor.

A figura 22 mostra as configurações de cada uma das rampas.

Figura 22-Configuração dos blocos rampa.

Fonte: Autor.

Para comparar as respostas das versões contínua e discreta do controlador PID paralelo

ideal, serão gerados gráficos contendo o estímulo usado e a resposta para as duas versões. O

vetor pid, criado pelo bloco to workspace automaticamente após a simulação no Simulink,

conterá a resposta contínua e vSaida2 a resposta discreta. Os gráficos contendo as respostas

obtidas na simulação deste controlador encontram-se no apêndice A.

36

3.2 CONTROLADOR PID EM SÉRIE

Na figura 23 está representado o diagrama em blocos de um controlador PID em série.

Figura 23-Diagrama em blocos do controlador PID em série.

Fonte: Autor.


U(s)=E(s)*{kp*[1+ 1/(ti*s) + td*s + td/ti]}

Ou

U(s)=E(s)*[(kd*s + kp + ki/s + ki*td]

Utilizando-se o método da diferença atrasada (backward difference), obtêm-se, por

substituição, a função de transferência do controlador.

u(z)=e(z)*[ kd*(z-1)/(T*z) + kp + ki*(T*z)/(z-1) + ki*td]

Como feito anteriormente, a equação resultante em termos de u(n) para o este PID será:

u(n) = e(n)*( kp + ki*T + kd/T + kd/Ti)

– e(n-1)*( kp + ((2*kd)/T) + kd/Ti)

+ e(n-2)*(kd/T)

+ u(n-1)

37

A seguir é apresentada a função para gerar a resposta deste controlador.

function y=T_pid_3_2(Estimulo,kp,Ti,Td,T) %Estimulo: sinal de entrada 1:degrau 2: rampa %kp: ganho proporcional %ti: tempo integral %td: tempo derivativo %T: taxa de amostragem x=1; %posição inicial do vetor for i=0:T:10 % gera o estimulo a ser utilizado no calculo do pid p/ 10s

de simulação if ( (i<2) || (i>4)) %se fora dos limites de 2s a 4s de simulação vEntrada(x)=0; else if (Estimulo==1) %se for degrau vEntrada(x)=1; else %se for rampa if (i>3) %se rampa decrescente de 3s a 4s de simulação vEntrada(x)=4-i; else %se rampa crescente de 2s a 3s de simulação vEntrada(x)=i-2; end end end x=x+1; %proxima posição end tn1 = kp+((kp/Ti)*T)+((kp*Td)/T)+(kp*Td)/Ti; %termo1 calculado para o

PID tn2 = kp+((2*(kp*Td))/T)+ (kp*Td)/Ti; %termo2 calculado para o PID tn3 = (kp*Td)/T; %termo3 calculado para o PID tn4 = 1; %termo4 calculado para o PID %calculo da resposta do controlador PID vSaida(1)= tn1*vEntrada(1); vSaida(2)= tn1*vEntrada(2)-tn2*vEntrada(1)+tn4*vSai da(1); for i=3:1:(length(vEntrada)) %calculo da resposta do controlador PID vSaida(i)= tn1*vEntrada(i)-tn2*vEntrada(i-1)+tn3 *vEntrada(i-

2)+tn4*vSaida(i-1); end %variaveis utilizadas para gerar a resposta em funç ão do tempo de %amostragem delta=0; %intervalo de pontos de mesmo valor valor=0; %valor aplicado a cada ponto do gráfico x=1; y=1; %segurador de ordem zero for i=0:0.001:10 %percorre todos os 10.000 pontos do grafico if i<delta vSaida2(y)=valor; else valor=vSaida(x);

38

vSaida2(y)=valor; x=x+1; delta=delta+T; end y=y+1; end x=1; %posição inicial do vetor for i=0:0.001:10 % gera o estimulo a ser utilizado na plotagem p/ 10 s de

simulação if ( (i<2) || (i>4)) %se fora dos limites de 2s a 4s de simulação vEntrada2(x)=0; else if (Estimulo==1) %se for degrau vEntrada2(x)=1; else %se for rampa if (i>3) %se rampa decrescente de 3s a 4s de simulação vEntrada2(x)=4-i; else %se rampa crescente de 2s a 3s de simulação vEntrada2(x)=i-2; end end end x=x+1; %proxima posição end %representação gráfica da resposta obtida vEixox=0:1:10000; %pontos do eixo x(tempo em ms) plot(vEixox,vEntrada2, '-.g' , 'LineWidth' ,2.5); %estimulo hold on; plot(vEixox,vSaida2, ':r' , 'LineWidth' ,2.5); hold off ;

Os gráficos contendo as respostas obtidas na simulação deste controlador encontram-se

no apêndice A.

39

3.3 CONTROLADOR PID PARALELO IDEAL COM FILTRO DERIVATIVO

Na figura 24 está representado o diagrama em blocos de um controlador PID paralelo

ideal com filtro derivativo.

Figura 24-Diagrama em blocos do controlador PID paralelo ideal com filtro derivativo.

Fonte: Autor.


U(s)=E(s)*{kp*[1+1/(ti*s)+(td*s)/(1+td*s/N)]}

Ou

U(s)=E(s)*{[kp + ki/s+ (kd*s)/(1+td*s/N)]}

Utilizando-se o método da diferença atrasada (backward difference), obtêm-se, por


u(z)=e(z)* {[kp + ki/((z-1)/(T*z)) + (kd*(z-1)/(T*z))/(1 + td*((z-1)/(T*z))/N)]}


u(n)= [(2*(td/N)+T)/(T+(td/N))]*u(n-1)

- [(td/N)/(T+(td/N))]*u(n-2)

+[( kp*T*(1 + (1/ti)*((td/N) + T)) + kp*(Td+(td/N)))/(T+ (td/N))]*e(n)

-[(2*kp*((td/N) + Td) + kp*T*(1+(1/ti)*(td/N)))/(T+(td/N))]*e(n-1)

+ [(kp*(Td+(td/N)))/(T+(td/N))]*e(i-2);

40


function y=T_pid_3_3(Estimulo,kp,Ti,Td,N,T) %Estimulo: sinal de entrada 1:degrau 2: rampa %kp: ganho proporcional %ti: tempo integral %td: tempo derivativo %N: índice do filtro derivativo %T: taxa de amostragem x=1; %posição inicial do vetor for i=0:T:10 % gera o estimulo a ser utilizado no calculo do pid p/ 10s

de simulação if ( (i<2) || (i>4)) %se fora dos limites de 2s a 4s de simulação vEntrada(x)=0; else if (Estimulo==1) %se for degrau vEntrada(x)=1; else %se for rampa if (i>3) %se rampa decrescente de 3s a 4s de simulação vEntrada(x)=4-i; else %se rampa crescente de 2s a 3s de simulação vEntrada(x)=i-2; end end end x=x+1; %proxima posição end N=2; A=kp; B=1/Ti; C=Td; D=Td/N; tn1 = (2*D+T)/(T+D); %termo1 calculado para o PID tn2 = D/(T+D); %termo2 calculado para o PID tn3 = (A*T*(1+B*(D+T))+A*(C+D))/(T+D); %termo3 calculado para o PID tn4 = (2*A*(D+C)+A*T*(1+B*D))/(T+D); %termo4 calculado para o PID tn5 = (A*(C+D))/(T+D); %termo5 calculado para o PID %calculo da resposta do controlador PID vSaida(1)= tn1*vEntrada(1); vSaida(2)= tn1*vEntrada(2)-tn2*vEntrada(1)+tn4*vSai da(1); for i=3:1:(length(vEntrada)) %calculo da resposta do controlador PID vSaida(i)= tn1*vSaida(i-1)-tn2*vSaida(i-2)+tn3*v Entrada(i)-

tn4*vEntrada(i-1) + tn5*vEntrada(i-2); end %variaveis utilizadas para gerar a resposta em funç ão do tempo de %amostragem delta=0; %intervalo de pontos de mesmo valor valor=0; %valor aplicado a cada ponto do gráfico x=1; y=1;

41

%segurador de ordem zero for i=0:0.001:10 %percorre todos os 10.000 pontos do grafico if i<delta vSaida2(y)=valor; else valor=vSaida(x); vSaida2(y)=valor; x=x+1; delta=delta+T; end y=y+1; end x=1; %posição inicial do vetor for i=0:0.001:10 % gera o estimulo a ser utilizado na plotagem p/ 10 s de



no apêndice A.

42

3.4 CONTROLADOR PI-D COM FILTRO DERIVATIVO

Na figura 25 está representado o diagrama em blocos de um controlador PI-D em série

com filtro derivativo.

Figura 25-Diagrama em blocos do controlador PI-D com filtro derivativo.

Fonte: Autor.

No arranjo da figura 25 o filtro derivativo está no elo de realimentação da malha de

controle, como pode ser visto mais claramente na figura 26 ao fechar-se a malha com o bloco

Transfer Fcn1 adicionado ao sistema. Em particular, a discretização deste controlador foi

realizada com a presença do bloco Transfer Fcn1, representando uma planta a ser controlada

por este arranjo de forma a se obter uma resposta mais realista da influência do filtro

derivativo neste arranjo analisado. Desta forma, o diagrama em blocos analisado ficará

estruturado como mostrado na figura 26.

Figura 26-Diagrama em blocos em malha fechada do controlador PI-D com filtro derivativo.

Fonte: Autor.

Definindo-se o bloco Transfer Fcn1 como C(s), o bloco Transfer Fcn2 como H(s) e

G(s) como sendo a parte PI deste controlador tem-se:

U(s)=E(s)*{[C(s)*G(s)]/[1+C(s)*G(s)*H(s)]}

Substituindo-se estes termos pelos apresentados no diagrama da figura 28 tem-se a

função de transferência no domínio da freqüência para este diagrama:

43

U(s)=E(s)*{ [kp*(1+ 1/(ti*s))*(1/(s+1))]

/ [1+ kp*(1+ 1/(ti*s))*(1/(s+1))*((td*s+1))/((td/N)*s+1)] }

Ou

U(s)=E(s)*{ [kp*(1+ ki/s)*(1/(s+1))]

/ [1+ kp*(1+ ki/s)*(1/(s+1))*((td*s+1))/((td/N)*s+1)] }

Utilizando o método da diferença atrasada (backward difference), obtêm-se, por


u(z)= e(z)*{ [kp*(1+ ki/((z-1)/(T*z)))*(1/(((z-1)/(T*z))+1))]

/ [1+ kp*(1+ ki/((z-1)/(T*z)))*(1/(((z-1)/(T*z))+1))

* ((td*((z-1)/(T*z))+1))/((td/N)*((z-1)/(T*z))+1)] }


u(n)= {

(3*(ti*(td/N))+2*(ti+ti*(td/N)+kp*ti*td)*T+(ti+kp*t i+kp*td)*(T^2))*u(n-1)

– ((ti+ti*(td/N)+kp*ti*td)*T+3*(ti*(td/N)))*u(n-2)

+ (ti*(td/N))*u(n-3)

+ ((kp*ti*(td/N))*T+(kp*ti+kp*(td/N))*(T^2)+kp*(T^3 ))*e(n)

– (2*(kp*ti*(td/N))*T+(kp*ti+kp*(td/N))*(T^2))*e(n- 1)

+ ((kp*ti*(td/N))*T)*e(n-2))

} / ((ti*(td/N))+(ti+ti*(td/N)+kp*ti*td)*T+(ti+kp*t i+kp*td)*(T^2)+kp*(T^3))

A seguir apresenta-se a função para gerar a resposta deste controlador.

function y=T_pid_3_5(Estimulo,kp,Ti,Td,N,T) %equação %Estimulo: sinal de entrada 1:degrau 2: rampa %kp: ganho proporcional %ti: tempo integral %td: tempo derivativo %N: índice do filtro derivativo %T: taxa de amostragem x=1; %posição inicial do vetor

44

for i=0:T:10 % gera o estimulo a ser utilizado no calculo do pid p/ 10s de simulação

if ( (i<2) || (i>4)) %se fora dos limites de 2s a 4s de simulação vEntrada(x)=0; else if (Estimulo==1) %se for degrau vEntrada(x)=1; else %se for rampa if (i>3) %se rampa decrescente de 3s a 4s de simulação vEntrada(x)=4-i; else %se rampa crescente de 2s a 3s de simulação vEntrada(x)=i-2; end end end x=x+1; %proxima posição end N=2; A=kp; B=Ti; C=Td; D=Td/N; tn1 = B*T+2*B*D; %termo1 calculado para o PID tn2 = B*D; %termo2 calculado para o PID tn3 = A*B*T+A*B*C+A*(T^2)+A*T*C; %termo3 calculado para o PID tn4 = A*B*T+2*A*B*C+A*C*T; %termo4 calculado para o PID tn5 = A*B*C; %termo5 calculado para o PID tn6 = B*T+B*D; %termo6 calculado para o PID vSaida(1)= (tn3*vEntrada(1))/(tn6); vSaida(2)= (tn1*vSaida(1) + tn3*vEntrada(2) - tn4*v Entrada(1) )/(tn6); for i=3:1:(length(vEntrada)) %calculo da resposta do controlador PID vSaida(i)= (tn1*vSaida(i-1) - tn2*vSaida(i-2) + tn3*vEntrada(i) -

tn4*vEntrada(i-1) + tn5*vEntrada(i-2))/(tn6); end %variaveis utilizadas para gerar a resposta em funç ão do tempo de %amostragem delta=0; %intervalo de pontos de mesmo valor valor=0; %valor aplicado a cada ponto do gráfico x=1; y=1; %segurador de ordem zero for i=0:0.001:10 %percorre todos os 10.000 pontos do grafico if i<delta vSaida2(y)=valor; else valor=vSaida(x); vSaida2(y)=valor; x=x+1; delta=delta+T; end y=y+1; end

45

x=1; %posição inicial do vetor for i=0:0.001:10 % gera o estimulo a ser utilizado na plotagem p/ 10 s de



no apêndice A.

46

3.5 CONTROLADOR PID EM SÉRIE COM FILTRO DERIVATIVO.

Na figura 27 está representado o diagrama em blocos de um controlador PID em série

com filtro derivativo.

Figura 27-Diagrama em blocos do controlador PID em série com filtro derivativo.

Fonte: Autor.


U(s)=E(s)*{kp*[(1+1/(ti*s))*((1+td*s)/(1+td*s/N))]}

Ou

U(s)=E(s)*[kp+ki/s]*[(kp+kd*s)/(1+td*s/N)]

Utilizando o método da diferença atrasada (backward difference), obtêm-se, por


u(z)=e(z)*[kp+ki/((z-1)/(T*z))]*[(kp+kd*(z-1)/(T*z))/(1+td*((z-1)/(T*z))/N)]


u(n)= { [T*(T^2+4*(td/N)*T+3*(td/N)^2)]*u(n-1)

–[T*(2*(td/N)*T+3*(td/N)^2)]*u(n-2)

+[T*(td/N)^2]*u(n-3)

+[T*(kp+k*T)*(T^2+(td/N)*T+Td*T+Td*(td/N))]*e(n)

–[ kp*T*(T^2+2*(td/N)*T+2*Td*T+3*Td*(td/N))

+k*T^2*(Td*T+2*Td*(td/N)+(td/N)*T) ]*e(n-1)

+[kp*T*((td/N)*T+3*(td/N)*Td+Td*T)+k*(T^2*Td*(td/N) )]*e(n-2)

47

– [kp*Td*(td/N)*T]*e(n-3) }

/ (T*(T^2+2*(td/N)*T+(td/N)^2))


function y=pid_3_61(Estimulo,kp,Ti,Td,N,T) %equação %Estimulo: sinal de entrada 1:degrau 2: rampa %kp: ganho proporcional %ti: tempo integral %td: tempo derivativo %N: índice do filtro derivativo %T: taxa de amostragem x=1; %posição inicial do vetor for i=0:T:10 % gera o estimulo a ser utilizado no calculo do pid p/ 10s

de simulação if ( (i<2) || (i>4)) %se fora dos limites de 2s a 4s de simulação vEntrada(x)=0; else if (Estimulo==1) %se for degrau vEntrada(x)=1; else %se for rampa if (i>3) %se rampa decrescente de 3s a 4s de simulação vEntrada(x)=4-i; else %se rampa crescente de 2s a 3s de simulação vEntrada(x)=i-2; end end end x=x+1; %proxima posição end N=2; A=kp; B=Ti; C=Td; D=Td/N; K=A*B*D; H=A*B+A*D; U=B*D; W=B+B*D+A*B*C; F=B+A*B+A*C; tn1 = 3*U+2*W*T+F*(T^2); %termo1 calculado para o PID tn2 = W*T+3*U; %termo2 calculado para o PID tn3 = U; %termo3 calculado para o PID tn4 = K*T+H*(T^2)+A*(T^3); %termo4 calculado para o PID tn5 = 2*K*T+H*(T^2); %termo5 calculado para o PID tn6 = K*T; %termo6 calculado para o PID tn7 = U+W*T+F*(T^2)+A*(T^3); %termo7 calculado para o PID

48

vSaida(1)= (tn4*vEntrada(1))/(tn7); vSaida(2)= (tn1*vSaida(1) + tn4*vEntrada(2) - tn5*v Entrada(1) )/(tn7); vSaida(3)= (tn1*vSaida(2) - tn2*vSaida(1) + tn4*vEn trada(3) -

tn5*vEntrada(2) + tn6*vEntrada(1) )/(tn7); for i=4:1:(length(vEntrada)) %calculo da resposta do controlador PID vSaida(i)= (tn1*vSaida(i-1) - tn2*vSaida(i-2) + tn3*vSaida(i-3) +

tn4*vEntrada(i) - tn5*vEntrada(i-1) + tn6*vEntrada( i-2) )/(tn7); end %variaveis utilizadas para gerar a resposta em funç ão do tempo de %amostragem delta=0; %intervalo de pontos de mesmo valor valor=0; %valor aplicado a cada ponto do gráfico x=1; y=1; %segurador de ordem zero for i=0:0.001:10 %percorre todos os 10.000 pontos do grafico if i<delta vSaida2(y)=valor; else valor=vSaida(x); vSaida2(y)=valor; x=x+1; delta=delta+T; end y=y+1; end x=1; %posição inicial do vetor for i=0:0.001:10 % gera o estimulo a ser utilizado na plotagem p/ 10 s de


49


no apêndice A.

50

4 EXPERIMENTOS

No capítulo 3 foi apresentado como se dá o processo de discretização, utilizando-se

como exemplos, arranjos estruturais de controladores PIDs industriais. No capítulo 4 utiliza-

se como exemplo o arranjo PID paralelo ideal, em malha aberta, para evidenciar o efeito da

discretização na resposta do controlador PID. A figura 28 apresenta a resposta do controlador

PID paralelo ideal para o estímulo rampa adotando kp=1, Ti=9999, Td=0 e T=0,1s na

simulação.

2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Controlador P(Arranjo paralelo ideal)

Tempo em ms

Re

spo

sta

Estímulo

PID discreto

Figura 28-Resposta ao estímulo rampa do controlador P paralelo ideal para kp=1.

Fonte: Autor.

A primeira coisa que se observa neste gráfico é que existe um intervalo de tempo de

0,1s na atualização da resposta do controlador PID. Este intervalo é composto pela taxa de

amostragem escolhida, somada ao tempo que o controlador PID leva para calcular a resposta

de saída. Por se tratar de simulações, o tempo de cálculo do controlador não está sendo

considerado. A segunda coisa a se observar é que para esta simulação apenas o ganho kp está

atuando na resposta, já que os ganhos ki e kd são nulos, pois ki=kp*1/ti=0,0001 e

51

kd=kp*1*td=0. Como kp=1, todas as amostras mantêm seus valores originais e a resposta do

controlador segue o estímulo aplicado. Na figura 29 pode-se observar a influência de kp na

resposta do controlador. Nesta simulação adotou-se o estímulo rampa, kp=1,1, Ti=9999, Td=0

e T=0,1s.

2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6


Tempo em ms

Re

spo

sta

Estímulo

PID discreto

Figura 29- Resposta ao estímulo rampa do controlador P paralelo ideal para kp=1,1.

Fonte: Autor.

Na figura 29 verifica-se então a influência de kp na resposta deste controlador. Como

kp=1,1 cada amostra do estímulo aplicado é multiplicada por este ganho. Olhando-se então

para o instante de tempo 2,5s em que o estímulo tem valor 0,5 verifica-se que a resposta do

controlador é igual a 0,5*1,1=0,55. O mesmo acontece para todas as demais amostras

presentes nesta figura.

Na figura 30 é observada a influência do ganho integral na resposta deste controlador.

Para esta simulação adotou-se o estímulo degrau, kp=1, Ti=10, Td=0 e T=0,1s.

52

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5Controlador PI(Arranjo paralelo ideal)

Tempo em ms

Re

spo

sta

Estímulo

PID discreto

Figura 30- Resposta ao estímulo degrau do controlador PI paralelo ideal para ki=0,1.

Fonte: Autor.

Na figura 30 verifica-se que mesmo que o estímulo passe a ser nulo o controlador

mantém um valor residual diferente de zero em sua saída. Isto é resultado da ação do termo

integral do controlador. Em malha fechada o termo integral busca eliminar o erro entre a

entrada e a saída do sistema ou planta na qual o controlador atua. Este erro é composto do

sinal de estímulo menos o a resposta obtida na saída do sistema. Como a simulação foi

realizada em malha aberta, não existe realimentação da ação tomada pelo controlador e

portanto o erro visto por ele torna-se o próprio estímulo. Para o controlador, tudo se passa

como se sua ação integral não tivesse surtido efeito, uma vez que o erro não diminui, e

portando durante todo o tempo em que o estímulo é igual a 1 a ação integral adiciona um erro

à resposta do controlador.

A partir do momento que o sinal de estímulo torna-se nulo cessa o aumento do erro

gerado pela ação integral, mas não se elimina o erro acumulado, pois o controlador entende

que finalmente sua ação integral corrigiu o erro entre o estímulo e a resposta. Na figura 31

apresenta-se esta mesma simulação mostrando em detalhes os incrementos realizados pela

ação integral.

53

2000 2500 3000 3500 4000 4500

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

1.12

1.14

1.16

1.18

1.2

Controlador PI(Arranjo paralelo ideal)

Tempo em ms

Re

spo

sta

Estímulo

PID discreto

Figura 31- Detalhamento da resposta ao estímulo degrau do controlador PI paralelo ideal para ki=0,1.

Fonte: Autor.

A ação integral sobre este estímulo constante gera uma rampa que terá amplitude 0,2 no

instante 4s. Isto resulta do tempo de (4s-2s)=2s em que a ação integral atuou na resposta, pois

ki=1/ti=0,1 e portanto 2s*ki=0,2. Somando-se a este o valor da ação do ganho proporcional

que é 1 tem-se no instante 4s da simulação a amplitude da resposta de 1,2. O valor do erro

gerado pela ação integral nesta simulação é igual 0,21, pois foram realizadas 21 amostras do

estímulo tendo valor igual a 1.

Na figura 32 é verificada a influência do ganho derivativo na resposta do controlador.

Para esta simulação adotou-se o estímulo rampa, kp=1, Ti=9999, Td=0,1 e T=0,1s. A ação

derivativa atua apenas quando existe variação na amplitude do sinal de estímulo. Como ki é

nulo, apenas o ganho proporcional kp e o ganho derivativo kd=kp*td=0,1 atuam na resposta

do controlador. A ação derivativa atua na resposta tentando prever o comportamento do

estímulo, e assim se antecipar a ele de forma a corrigir mais rapidamente o erro entre o

estímulo e a resposta do controlador. Como o estímulo é uma rampa unitária de equação y=t-

2, onde t é o tempo em segundos, para o intervalo de tempo compreendido entre 2s e 3s a ação

derivativa sobre esta rampa resulta em uma constante igual a y’=1. Logo, a parcela

54

proveniente do ganho derivativo na resposta do controlador será y’*kd=1*0,1=0,1. Somando-

se este valor à parcela proveniente do ganho proporcional, tem-se então para os instantes entre

2s e 3s a resposta do controlador sendo igual a uma equação de reta definida por yc = t-1,9.

No instante 3s o estímulo passa a ser decrescente, o que muda a equação da reta do estímulo

para y=-x+4. Portanto, a parcela proveniente do ganho derivativo na resposta do controlador

será y’=-1 e a contribuição do termo derivativo na resposta do controlador é y’*kd=-1*0,1=-

0,1. Assim sendo, para o intervalo entre 3s e 4s somando-se a contribuição do ganho

proporcional ao ganho derivativo obtém-se a equação yd=-x+3,9.

2000 2500 3000 3500 4000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Controlador PD(Arranjo paralelo ideal)

Tempo em ms

Re

spo

sta

Estímulo

PID discreto

Figura 32- Resposta ao estímulo rampa do controlador PD paralelo ideal para kd=0,1.

Fonte: Autor.

Na figura 33 a mesma simulação foi realizada alterando-se apenas a taxa de amostragem

para melhor visualização de yc e yd. A taxa utilizada foi T=0,001s.

55

2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400 3600 3800 4000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Controlador PD(Arranjo paralelo ideal)

Tempo em ms

Re

spo

sta

Estímulo

PID discreto

Figura 33- Detalhamento da resposta ao estímulo rampa do controlador PD paralelo ideal para kd=0,1 e T=0,001s.

Fonte: Autor.

Na figura 33, a mesma simulação foi realizada alterando-se apenas a taxa de

amostragem para melhor visualização de yc e yd. Como mencionado no item 2.6.5, na prática

a taxa de amostragem utilizada para discretizar um sistema qualquer deve ser de 8 à 10 vezes

maior que a maior freqüência presente na banda passante. O teorema de Nyquist diz que a

freqüência de amostragem deve ser pelo menos duas vezes maior que a maior freqüência

presente na banda passante para que o sinal amostrado possa ser recuperado. A figura 34

mostra o estímulo rampa juntamente com a resposta do controlador adotando-se para

simulação os valores T=0,2s, kp=1 e os demais ganhos nulos.

56

2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400 3600 3800 40000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Tempo em ms

Re

spo

sta

Estímulo

PID discreto

Figura 34- Resposta ao estímulo rampa do controlador P paralelo ideal para T=0,2s.

Fonte: Autor.

Considerando que a figura 34 represente uma imagem de um período de sinal triangular

contínuo de amplitude 1 e freqüência f=0,5Hz, sendo aplicado ao controlador, então para

kp=1 e T=0,2s esta seria a resposta do controlador. Nesta situação a freqüência de

amostragem é 10 vezes maior que a freqüência do sinal de estímulo analisado e a resposta do

controlador ainda consegue reconstruir o estímulo aplicado.

Na figura 35 adotou-se kp=1, T=0,5s e os demais ganhos nulos. Nesta configuração a

freqüência de amostragem é 4 vezes maior que a freqüência do estímulo.

57

2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400 3600 3800 40000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Tempo em ms

Re

spo

sta

Estímulo

PID discreto

Figura 35- Resposta ao estímulo rampa do controlador P paralelo ideal para T=0,5s.

Fonte: Autor.

A partir do momento em que se diminui a freqüência de amostragem ao ponto que esta

se torne apenas duas vezes maior que a freqüência do sinal de estímulo, torna-se impossível

reconstruir o sinal de entrada. Isso pode ser visto na figura 36 em que kp=1 e T=1.

58

2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400 3600 3800 4000

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Tempo em ms

Re

spo

sta

Estímulo

PID discreto

Figura 36- Resposta ao estímulo rampa do controlador P paralelo ideal para T=1s.

Fonte: Autor.

59

5 CONCLUSÕES

Verificou-se com este estudo uma das possíveis abordagens utilizadas na discretização

de controladores PID. O método da diferença atrasada (backward difference) e a aproximação

por Tustin não tendem a gerar instabilidade, como pode ser verificado nas figuras 12 e 14.

Embora a aproximação por Tustin realize um mapeamento mais próximo do ideal entre os

planos s e z, preferiu-se utilizar o método da diferença atrasada (backward difference), pois se

consegue obter com este um algoritmo mais simples do ponto de vista computacional. O

presente estudo possibilitou aprimorar conhecimentos adquiridos durante a graduação e

colocar em prática os novos conhecimentos adquiridos durante o curso de especialização.

Os objetivos aqui propostos foram alcançados e comprovados por intermédio dos

gráficos obtidos por simulação, apresentados no Apêndice A. No capítulo 4 verificou-se a

influência da taxa de amostragem utilizada na resposta do controlador, bem como os

diferentes efeitos causados na resposta do controlador devido à ação dos ganhos proporcional,

derivativo e integral.

As respostas discretas obtidas por simulação são similares aos seus equivalentes

contínuos devido ao valor da taxa de amostragem de um milissegundo que foi escolhida para

realizar tais simulações, o que comprova que quanto maior a taxa de amostragem utilizada,

mais próximo se torna o modelo discreto do seu equivalente contínuo. O processo de

discretização apresentado, embora seja simples de se aplicar, exige bastante atenção, pois

qualquer equívoco durante os cálculos resulta em uma resposta incoerente, evento

comprovado exaustivamente na prática.

Interessante seria implementar os arranjos discretos aqui abordados em um

microcontrolador ou ainda fazer a análise de estabilidade dos mesmos, mas em virtude do

pouco tempo disponível, ficam como sugestão para trabalhos futuros, buscando dar

continuidade ao que até então foi resumido neste estudo.

60

REFERÊNCIAS

IWASSE, Felipe. Análise dos Arranjos Estruturais de Controladores Comerciais. 2009. 50f. Monografia (Especialização em Automação Industrial) – Programa de Pós-Fraduação em Automação Industrial, UTFPR, Curitiba.

LAGES, Walter Fetter. Modelagem de Sistemas Discretos. acessado 20:57 25/10/2010 http://www.ece.ufrgs.br/~fetter/eng04037/model.pdf

LIMA, Carlos Raimundo Erig. UTFPR- II Curso de Especialização em Automação Industrial -Tópicos em Controle-2009 PARTE 2. MOUDGALYA, Kannan M. Digital Control , EDITORA John Wiley & Sons,2007. NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3.ed. Rio de Janeiro: Editora Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2002. OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno . 4.ed. São Paulo: Editora Pearson Education do Brasil, 2003.

61

APENDICE A

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5Controlador P(Arranjo paralelo ideal)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto

Figura 37-Resposta do controlador PID paralelo ideal ao estímulo degrau para kp=1, ti=9999, td=0.

Fonte: Autor.

62

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5Controlador PI(Arranjo paralelo ideal)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

63

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5Controlador PD(Arranjo paralelo ideal)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

64

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5Controlador PID(Arranjo paralelo ideal)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

65

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5Controlador P(Arranjo paralelo ideal)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto

Figura 41-Resposta do controlador PID paralelo ideal ao estímulo rampa para kp=1, ti=9999, td=0.

Fonte: Autor.

66

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5

2Controlador PI(Arranjo paralelo ideal)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

67

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Controlador PD(Arranjo paralelo ideal)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

68

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3Controlador PID(Arranjo paralelo ideal)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

69

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5Controlador P(Arranjo série)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto

Figura 45-Resposta do controlador PID em série ao estímulo degrau para kp=1, ti=9999, td=0.

Fonte: Autor.

70

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5Controlador PI(Arranjo série)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

71

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5Controlador PD(Arranjo série)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

72

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5Controlador PID(Arranjo série)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

73

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5Controlador P(Arranjo série)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto

Figura 49-Resposta do controlador PID em série ao estímulo rampa para kp=1, ti=9999, td=0.

Fonte: Autor.

74

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5

2Controlador PI(Arranjo série)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

75

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Controlador PD(Arranjo série)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

76

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Controlador PID(Arranjo série)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

77

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5Controlador P(Arranjo paralelo ideal c/ F. D.)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto

Figura 53-Resposta do controlador PID paralelo ideal com filtro derivativo ao estímulo degrau para kp=1, ti=9999, td=0.

Fonte: Autor.

78

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5Controlador PI(Arranjo paralelo ideal c/ F. D.)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

79

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3Controlador PD(Arranjo paralelo ideal c/ F. D.)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

80

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5Controlador PID(Arranjo paralelo ideal c/ F. D.)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

81

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5Controlador P(Arranjo paralelo ideal c/ F. D.)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto

Figura 57-Resposta do controlador PID paralelo ideal com filtro derivativo ao estímulo rampa para kp=1, ti=9999, td=0.

Fonte: Autor.

82

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5

2Controlador PI(Arranjo paralelo ideal c/ F. D.)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

83

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Controlador PD(Arranjo paralelo ideal c/ F. D.)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

84

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3Controlador PID(Arranjo paralelo ideal c/ F. D.)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

85

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5Controlador P(Arranjo PI-D)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto

Figura 61-Resposta do controlador PI-D com filtro derivativo ao estímulo degrau para kp=1, ti=9999, td=0.

Fonte: Autor.

86

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5Controlador PI(Arranjo PI-D)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

87

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5Controlador PD(Arranjo PI-D)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

88

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5Controlador PID(Arranjo PI-D)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

89

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5Controlador P(Arranjo PI-D)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto

Figura 65-Resposta do controlador PI-D com filtro derivativo ao estímulo rampa para kp=1, ti=9999, td=0.

Fonte: Autor.

90

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5Controlador PI(Arranjo PI-D)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

91

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5Controlador PD(Arranjo PI-D)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

92

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5Controlador PID(Arranjo PI-D)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

93

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5Controlador P(Arranjo série c/ F. D.)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto

Figura 69-Resposta do controlador PID em série com filtro derivativo ao estímulo degrau para kp=1, ti=9999, td=0.

Fonte: Autor.

94

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5Controlador PI(Arranjo série c/ F. D.)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

95

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-1.5

-1

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0

0.5

1

1.5

2

2.5Controlador PD(Arranjo série c/ F. D.)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

96

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Controlador PID(Arranjo série c/ F. D.)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

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0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5Controlador P(Arranjo série c/ F. D.)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto

Figura 73-Resposta do controlador PID em série com filtro derivativo ao estímulo rampa para kp=1, ti=9999, td=0.

Fonte: Autor.

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0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

0

0.5

1

1.5

2Controlador PI(Arranjo série c/ F. D.)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

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0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-1

-0.5

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0.5

1

1.5

2Controlador PD(Arranjo série c/ F. D.)

Tempo em ms

Re

spo

sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

100

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-0.5

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1.5

2

2.5Controlador PID(Arranjo série c/ F. D.)

Tempo em ms

Re

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sta

PID contínuo

Estímulo

PID discreto


Fonte: Autor.

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