Estudos de Controle – Modelagem (1)

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Modelos Matemáticos

• Modelagem matemática de sistemas dinâmicos:

• Analisar características dinâmicas.

• São conjuntos de equações que representam com precisão ou razoavelmente bem a dinâmica do sistema.

• Não é único. Geralmente utilizam-se equações diferenciais.

• É considerada a parte mais importante da análise de sistemas de controle.

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Propriedades

• Sistemas lineares:

• Definição: um sistema é dito linear se o princípio da superposição se aplicar a ele. Ou seja, a resposta produzida pela aplicação simultânea de duas funções diversas é a soma das duas respostas individuais.

• Nesses sistemas, a resposta para cada entrada pode ser calculada tratando uma de cada vez e somando o resultado.

• Geralmente, se causa e efeito são proporcionais, o sistema é linear.

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Propriedades

• Sistemas lineares invariantes no tempo:

• Os sistemas dinâmicos cujos coeficientes das equações diferenciais são constantes são chamados de sistemas lineares invariantes no tempo.

• Exemplo: termostato.

• Sistemas lineares variantes no tempo:

• São os sistemas cujos coeficientes das equações diferenciais variam no tempo.

• Exemplo: veículo espacial (massa).

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Função de transferência

• Caracterizam as relações de entrada e saída dos sistemas.

• Geralmente escritas por equações diferenciais lineares invariantes no tempo.

• Definição: relação entre a transformada de Laplace da saída (função de resposta) e a transformada de Laplace da entrada (função de excitação), admitindo-se as condições iniciais nulas.

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Função de transferência

• Dada a equação diferencial de um sistema linear invariante no tempo:

𝑎0𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑡𝑛+ 𝑎1

𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑡𝑛−1+ …+ 𝑎𝑛−1

𝑑𝑦

𝑑𝑡+ 𝑎𝑛𝑦 =

𝑏0𝑑𝑚𝑥

𝑑𝑡𝑚+ 𝑏1

𝑑𝑚−1𝑥

𝑑𝑡𝑚−1+⋯+ 𝑏𝑚−1

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑏𝑚𝑥

onde 𝑛 ≥ 𝑚, y é a saída do sistema e x é a entrada. Então, a função de transferência é

𝐺 𝑠 =𝑌(𝑠)

𝑋(𝑠)=𝑏0𝑠

𝑚 + 𝑏1𝑠𝑚−1 +⋯𝑏𝑚−1𝑠 + 𝑏𝑚

𝑎0𝑠𝑛 + 𝑎1𝑠

𝑛−1 +⋯𝑎𝑛−1𝑠 + 𝑎𝑛

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Função de transferência

• Muito utilizada na análise e projeto de sistemas lineares invariantes no tempo.

• É um método operacional para expressar a equação diferencial que relaciona a variável de saída à variável de entrada.

• É uma propriedade inerente ao sistema, independentemente da magnitude e da natureza da função de entrada.

• Não fornece nenhuma informação relativa à estrutura física do sistema. 7

Função de transferência

• Permite estudar a saída do sistema para várias maneiras de entrada, fornecendo informações da natureza do sistema.

• Se a função de transferência não é conhecida, ela pode ser determinada experimentalmente com o auxílio de entradas conhecidas e análise das respectivas respostas do sistema.

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Função de transferência

• Exemplo:

• Sistema de controle de posição de um satélite, considerando apenas um eixo. Dois jatos localizados em A e B aplicam força de reação

para girar o corpo, com empuxo igual a 𝐹

2 e o

torque resultante seja T=Fl.

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Função de transferência

• Exemplo:

• Como os jatos são aplicados por um certo tempo, o torque é uma função do tempo 𝑇 𝑡 .

• O momento de inércia em relação ao eixo de rotação no centro da massa é J.

• Obtenha a função de transferência admitindo que a entrada é o torque 𝑇 𝑡 e o deslocamento angular 𝜃(𝑡) é a saída.

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Função de transferência

• Exemplo:

• Aplicando a segunda lei de Newton:

𝑇 𝑡 = 𝐽𝑑2𝜃(𝑡)

𝑑𝑡2

• Transformada de Laplace: 𝑇 𝑠 = 𝐽𝑠2𝜃(𝑠)

• Função de transferência:

𝐺 𝑠 =𝜃(𝑠)

𝑇 (𝑠)=1

𝐽𝑠2

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Função de transferência

• Integral de Convolução

• Dada a função de transferência, podemos escrevê-la também da seguinte forma

𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑋(𝑠)

• Que equivale no domínio do tempo a integral de convolução

𝑦 𝑡 = 𝑔 𝑡 − 𝜏 𝑥 𝜏 𝑑𝜏𝑡

0

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Função de transferência

• Função de resposta impulsiva:

• A saída de um sistema a um impulso unitário com condições iniciais nula é dado por

𝑌 𝑠 = 𝐺(𝑠)

• No domínio do tempo g(t) é chamada de função de resposta impulsiva, que também é chamada de função característica do sistema.

• Logo, é possível obter informações sobre as características dinâmicas do sistema por meio da excitação por um impulso de entrada. 13

Função de transferência

• Diagrama de blocos:

• Representação gráfica das funções desempenhadas por cada componente e o fluxo de sinais entre eles.

• Blocos funcionais – símbolo da operação matemática aplicada ao sinal de entrada do bloco, produzindo uma saída.

• Somador e ponto de ramificação. 14

G(s)

Função de transferência

• Diagrama de blocos de um sistema de malha fechada:

• Quando a saída é realimentada para comparação com a entrada, é necessário converter a forma do sinal de saída à do sinal de entrada.

• Elemento de realimentação, cuja função de transferência é H(s).

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Função de transferência

• Função de transferência de malha aberta:

• Relação entre o sinal de realimentação e o sinal de erro atuante.

𝐵(𝑠)

𝐸(𝑠)= 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)

• Função de transferência do ramo direto:

• Relação entre o sinal de saída e o sinal de erro atuante.

𝐶(𝑠)

𝐸(𝑠)= 𝐺 𝑠

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Função de transferência

• Malha fechada

• Relaciona o sinal de saída e o sinal de entrada. 𝐶(𝑠)

𝑅(𝑠)=

𝐺(𝑠)

1 + 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)

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