Estudos Paramétricos no Projecto Conceptual de...

Pla

cas

e C

asca

s

Pedro V. Gamboa - 2017

Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior

Cascas

Placas e Cascas – 10377

Mestrado Integrado em Engenharia Aeronáutica

Pla

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• Uma casca é um corpo tridimensional com:

– uma das suas dimensões muito menor do que as outras duas;

– a curvatura da sua superfície média na configuração inicial não é nula.

• Exemplos de cascas:

– Reservatórios de pressão;

– Asas de avião;

– Tubos;

– Exterior de foguetes;

– Pneus;

– Lâmpadas.

1. Tensões de Membrana em Cascas

superfície média

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1.1. Introdução

• As cascas consideram-se finas quando a razão da sua espessura pelo

raio de curvatura é inferior a 1/20;

• Cascas finas de interesse prático têm esta razão inferior a 1/1000;

• A análise de cascas inclui, normalmente, duas teorias distintas:

– Teoria de membra:

• Usualmente, aplica-se uma grande área da casca;

• Uma membrana não resiste a momentos ou forças de corte;

• Uma membrana suporta esforços de tração ou compressão.

– Teoria de flexão:

• Inclui os efeitos da flexão;

• Permite ter em conta descontinuidades na distribuição de tensão numa área

limitada da placa;

• Esta teoria, geralmente, engloba uma solução de membrana corrigida nas

áreas com efeitos de descontinuidade pronunciados e, por isso, permite ter

em conta forças nas arestas e forças concentradas.

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1.2. Comportamento geral de cascas

É importante notar que as forças de membrana são independentes da flexão e

são totalmente definidas pelas condições de equilíbrio estático.

Na derivação da teoria de membrana as propriedades do material não são usadas

e, por isso, ela é válida para todas as cascas independentemente do material

utilizado.

No caso da teoria de flexão isto já não é verdade.

É necessário considerar alguns pressupostos cinemáticos básicos associados à

deformação de cascas finas usados na análise de pequenas deflexões.

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1.2. Comportamento geral de cascas

Pressupostos:

1. A razão da espessura da casca pelo raio de curvatura da superfície

média é pequena comparada com a unidade.

2. A deflexão da superfície média é pequena comparada com a

espessura da casca.

3. Secções planas inicialmente normais à superfície média permanecem

planas e ficam normais à superfície deformada após a flexão. Isto

indica que as extensões de corte verticais, gxz e gyz, são desprezáveis.

Conclui-se que a extensão normal ez resultante do carregamento

transversal pode ser omitido.

4. A tensão normal à superfície média, sz, é pequena comparada com as

outras componentes e pode ser desprezada.

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1.3. Resistência da casca ao carregamento

O mecanismo de resistência a cargas nas cascas não é igual ao das vigas ou das

placas finas.

Por exemplo, uma casca de ovo ou uma lâmpada incandescente suportam

elevadas forças normais apesar da sua fragilidade (um ovo de galinha tem um

raio r=20mm e uma espessura t=0,4mm – t/r=1/50).

Este comportamento contrasta com o de materiais idênticos na forma de viga ou

placa.

Uma casca é curva e, assim, pode desenvolver forças no plano que formam a

ação primária de resistência para além das forças que existem numa viga ou

numa placa.

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1.3. Resistência da casca ao carregamento

Para descrever o fenómeno, considere-se parte de uma casca esférica de raio r e

espessura t sujeita a uma pressão uniforme p.

A condição das forças verticais ser igual a zero é

ou

0sin2 2

00 rpNr f

2sin2

0 prprN

f

onde N é a força no plano por unidade de circunferência.

Esta relação é válida em qualquer posição na casca, uma vez que N não varia

com f.

Ao contrário das placas, nas cascas o carregamento é suportado pela superfície

média.

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1.4. Geometria de cascas de revolução

Considere um tipo de casca particular descrito por uma superfície de revolução:

por exemplo a esfera, o cilindro ou o cone.

A superfície média de uma casca de revolução é gerada pela rotação do

meridiano em torno de um eixo no seu plano.

Um ponto na placa é localizado pelas coordenadas q, f e r0 e a superfície

elementar ABCD é definida por dois meridianos e dois paralelos.

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1.4. Geometria de cascas de revolução

Nesta descrição assume-se que os raios de curvatura principais r1 e r2 são

constantes conhecidas. No caso de os raios de cuvatura não serem constantes

usa-se a equação que define a forma da casca.

Os planos associados com os raios de curvatura principais r1 e r2 em qualquer

ponto na superfície média da casca são o plano meridiano e o plano paralelo no

ponto em questão, respetivamente.

Os raios de curvatura r1 e r2 estão, assim, relacionados com os lados CD e AC.

O raio principal r2 gera a superfície da casca na direcção perpendicular à

direção da tangente da curva meridiana.

Os dois raios r0 e r2 estão relacionados por

fsin20 rr

fqfq drLdrdrL CDAC 120 sin

Daqui vê-se que os comprimentos do elemento curvilíneo da casca são

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1.5. Carregamentos axi-simétricos (Cascas de Revolução)

Nos problemas axi-simétricos com cascas de revolução não existem forças de

corte e existem apenas duas forças de membrana por unidade de comprimento,

Nq e Nf.

As equações que governam estas forças são derivadas a partir de duas condições

de equilíbrio.

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Devido à condição de simetria tanto o carregamento como as forças de

membrana não variam com q.

As forças externas por unidade de área são representadas pelas componentes py

e pz nas direcções y e z, respetivamente.

O equilíbrio na direcção z requer que se considerem as componentes em z do

carregamento e as forças que atuam em cada aresta do elemento.

O carregamento distribuído na direção z na área do elemento é

fqddrrpz 10

A força que atua na aresta superior do elemento é Nfr0dq.

Desprezando os termos de ordem superior, a força na aresta inferior é também

Nfr0dq.

A componente destas forças na direção z é, assim, Nfr0dqsin(df/2).

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Esta força é quase igual a Nfr0dqdf/2, dando a força seguinte para a resultante

das duas arestas

fqf ddrN 0

Destas três forças, com

A força em cada um dos lados do elemento é Nqr1df.

A resultante na direção do raio do plano paralelo para as duas forças é Nqr1dfdq

que produz na direcção z

fqfq sin1 ddrN

0 zF

tem-se

0sin 1010 rrprNrN zfqf

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Esta expressão pode ser simplificada dividindo por r0r1 e substituindo r0 por

r2sinf.

Desta forma, uma das relações básicas para cascas com carregamentos axi-

simétricos é

O equilíbrio de forças na direção da tangente meridional, na direção y, é

0cos 0110 qffqfqff

qf drdrpddrNddrNd

dy

O primeiro termo representa a soma das forças normais nas arestas AC e BD.

O segundo termo é a componente, na direção y, da força radial resultante

Nqr1dfdq que atua nas faces AB e CD.

O terceiro termo é a componente do carregamento.

zpr

N

r

N

21

qf

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Dividindo esta equação por dqdf, a equação do equilíbrio das forças em y fica

Pode notar-se que outra equação de equilíbrio pode ser usada em vez desta

isolando a parte da casca intercetada pelo ângulo f.

Substituindo a resultante de todas as forças externas aplicadas neste corpo livre

por F e lembrando que, da simetria, as forças Nf são constantes em redor da

aresta, o equilibrio das forças verticais é

0110 cos rrprNrNd

dy f

fqf

0sin2 0 FNr f f

ou

ff

sin2 0r

FN

Pla

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Estas equações são suficientes para determinar a força de hoop Nq e a força

meridional Nf.

A partir destas forças as tensões são obtidas diretamente.

Valores negativos indicam tensões de compressão.

Devido à liberdade de movimento na direção z, para a casca de revolução com

carregamento axi-simétrico considerada, são produzidas extensões que

garantem a consistência com o campo de tensões e a compatibilidade entre as

extensões e as tensões.

Esta é a diferença base entre um problema de membrana da casca e um de

tensão plana. Neste último é preciso aplicar a equação de compatibilidade.

Também é claro que quanto a casca está sujeita a carregamentos de superfície

concentrados ou tem as extremidades constrangidas a teoria da membrana não

cumpre as condições de deformação em todos os lados.

A solução completa precisa da teoria de flexão.

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1.6. Casos típicos (Cascas de Revolução)

As tensões de membrana em qualquer casca de revolução com um carregamento

axi-simétrico podem ser determinadas pelas equações de equilíbrio obtidas

anteriormente.

Em seguida são apresentados alguns elementos estruturais comuns.

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Casca Esférica

Nas cascas esféricas pode considerar-se o raio médio a=r1=r2.

Assim, as equações de equilíbrio ficam

apNN z qf

ff 2sin2 a

FN

O caso mais simples é uma casca esférica sujeita a uma pressão interna

constante p, como um balão.

Temos p=-pz, f=90º e F=-a2p.

Como qualquer que seja a secção considerada obtém-se um corpo livre idêntico,

Nf=Nq=N.

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A tensão fica

t

pa

at

pa

t

N

22/sin2 2

2

s

onde t é a espessura da casca.

A expansão da esfera, aplicando a Lei de Hook,

yxxE

sse 1

é

d

1

2

2

Et

pa

t

N

t

N

E

as

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Casca Cónica

Neste caso típico o ângulo f é constante (r1=∞) e, por isso, não pode ser usado

como coordenada do meridiano.

Assim, introduz-se a coordenada s que é a distância de um ponto na superfície

média, normalmente medida desde o vértice, ao longo da geratriz.

Desta forma, o comprimento de um elemento meridional é ds=r1df e

ds

dr

d

d1

f

Também se tem

sNNsrsr fff cotcos 20

Introduzindo estas relações nas equações de equilíbrio

obtém-se

spNsNds

dys q

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e

onde r0 é o raio médio na base.

As cargas py e pz estão nas direcções s e radial, respetivamente.

A combinação das duas equações anteriores dá

A força meridional, depois da integração desta expressão, é

ff

fq

q

sincot

cot

0

1

rpspNp

s

N

r

N zzz

s

0

sppsNds

dzys fcot

dsspps

N zys fcot1

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Uma forma alternativa da primeira equação pode ser obtida usando a segunda

forma da segunda equação de equilíbrio.

As forças de membrana ficam

Pode ver-se que, dada uma distribuição de carregamento exterior, as tensões de

hoop e meridional podem ser calculadas independentemente.

f sin2 0r

FNs

fq

sin

0rpN z

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Casca Cilíndrica Circular

Para obter as tensões resultantes num cilindro circular pode começar-se com as

equações da casca cónica colocando f=/2, pz=pr e o raio médio

a=r0=constante.

Assim, as equações acima ficam

Para um cilindro com as extremidades fechadas sujeito a uma pressão interna

constante tem-se p=-pr e F=-a2p.

a

FNN xs

2

apN rq

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As tensões axial e de hoop ficam

Da Lei de Hooke, a extensão do raio do cilindro sujeito a estas tensões é

t

pax

2s

t

paqs

ssd q 22

2

Et

pa

E

axc

Soluções para outros casos de interesse podem ser derivadas usando um

procedimento idêntico.

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1.7. Deformação axi-simétrica

Vamos ver os deslocamentos numa casca de revolução com carregamento axi-

simétrico considerando um elemento AB com comprimento r1df no meridiano

duma casca sem extensão.

Consideremos os deslocamentos na direção tangente ao meridiano v e os

deslocamentos na direcção normal à superfície média w.

Depois de sofrer extensão, AB desloca-se para A’B’.

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Nesta análise vamos utilizar a aproximação de deformações pequenas e

desprezar termos infinitesimais de ordem superior.

A deformação sofrida por um elemento de comprimento infinitesimal r1df pode

ser considerada como sendo composta de um aumento de comprimento

(dv/df)df devido aos deslocamentos tangenciais e uma redução do

comprimento wdf produzido pelo deslocamento radial.

A extensão meridional ef, a deformação total por unidade de comprimento do

elemento AB, é assim

11

1

r

w

d

dv

r

fef

A deformação de um elemento de um círculo paralelo pode ser obtida de forma

similar.

Pode ser mostrado que o aumento no raio r0 do círculo, produzido pelos

deslocamentos v e w é vcosf-wsinf.

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Como a circunferência do paralelo expande em proporção direta com o raio,

então

ffeq sincos1

0

wvr

Relembrando que r0=r2sinf, a extensão de hoop é

wvr

feq cot1

2

Eliminando w destas equações ficamos com a equação diferencial em v

qf eeff

21cot rrvd

dv

As extensões estão relacionadas com as tensões de membrana pela lei de Hooke

fqqqff ssesse EE

11

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Usando estas relações na equação diferencial obtém-se

Pode observar-se que as deformações simétricas da casca de revolução podem

ser obtidas integrando esta expressão quando as tensões de membrana são

conhecidas.

Colocamos

1221

1cot rrrr

Ev

d

dvssf

fqf

Esta equação tem a solução

ff

f

fsin

sin

cd

fv

fff

fvd

dv cot

onde a constante de integração c se obtém das condições de fronteira.

Conhecendo v, w pode ser facilmente calculado.

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Exemplo 3.1

Considere um telhado semi-esférico com apoios simples, raio a, espessura t e

sujeito ao seu peso p por unidade de área.

a) Determine as tensões no telhado;

b) Assumindo que o telhado é feito em betão de 70mm de espessura, com

densidade de 23kN/m3, e um diâmetro de 56m determine a capacidade do

telhado resistir à fratura. A tensão de rutura à compressão é su=21MPa e o

módulo de elasticidade é E=20GPa.

c) Verifique a existência de instabilidade.

d) Determine os deslocamentos no telhado.

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-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

f , graus

ten

são

no

rmal

/ (p

a/t

)


f

q

51,1º

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1.8. Carregamentos assimétricos (Cascas de Revolução)

Nas cascas de revolução com

carregamentos não simétricos, não

estão presentes apenas as forças

normais Nf e Nq nos lados de um

elemento mas também as forças de

corte Nfq e Nqf.

O equilíbrio de momentos implica que

Nqf=Nfq, o que acontece sempre numa

casca fina.

O carregamento na superfície tem

componentes px, py e pz.

dq

dq q

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Vamos ver as forças na direção x.

A força

fqq

q ddrN

1

deve-se à variação de Nq.

A componente horizontal das forças Nqfr1df que atuam nas faces AB e CD do

elemento faz um ângulo dq e, por isso, tem a seguinte resultante em x

qfffq ddrN cos1

A diferença das forças de corte que atuam nas faces AC e BD do elemento são

qqff

ff

qf

qf

qf drNddd

drrd

NN 0

00

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ou

Logo, o equilíbrio na direção x fica

fqf

qff

qff

qf

qf

qf ddNrddrN

ddd

drN 00

0

A componente da força externa é

fqddrrpx 10

0cos 10110

rrprNr

NNr xf

ffqf

qqf

À expressão do equilíbrio em y obtida na secção 1.5 é necessário adicionar a

força

fqq

qfddr

N1

devido à diferença das forças de corte nas faces AB e CD.

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Uma vez que a projeção das forças de corte no eixo z desaparece, as equações

de equilíbrio em y e z ficam, respetivamente,

Estas equações permitem determinar as forças de membrana numa casca de

revolução com carregamento não simétrico que pode, em geral, variar com q e

f.

Da mesma forma que para os carregamentos axi-simétricos se obtiveram

expressões para o equilíbrio de cascas esféricas, cónicas e cilíndricas, também

se podem obter expressões para carregamentos não simétricos.

0cos 01110

rrprNr

NrN

d

dyf

qfq

qf

f

zpr

N

r

N

21

qf

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1.9. Cascas cilíndricas

Uma casca cilíndrica é formada por um linha reta, a geratriz, que se desloca ao

longo de uma trajetória fechada paralela.

Um elemento de uma casca cilíndrica está compreendido por duas geratrizes e

dois planos normais ao eixo axial x, distanciadas de dx.

Este elemento é posicionado pelas coordenadas x e q.

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s




Vamos assumir que um carregamento não uniforme atua nesta casca cilíndrica.

Neste caso, um corpo livre de um elemento da membrana contém as forças

aplicadas (figura anterior).

As componentes em x e q das forças externas são px e pq com sentido positivo

no sentido positivo dos respetivos eixos.

A componente normal ou radial do carregamento, pr, atua no sentido positivo

para dentro.

O equilíbrio de forças nas direções x, q e z são, respetivamente,

0

qq

qq q dxrdpdxd

Ndxrd

x

Nx

xx

0

qqq

qq

qq dxrdpdxrdx

Ndxd

N x

0 qqq dxrdpdxdN r

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Dividindo estas expressões por dxrdq obtêm-se as equações de equilíbrio para

cascas cilíndricas.

Assim,

qqq

qp

N

rx

N x

1

xxx p

N

rx

N

qq1

rpN rq

Estas equações também podiam ser obtidas a partir das equações gerais.

Pode ver-se que estas equações são simples e que podem ser resolvidas uma de

cada vez.

Para um dado carregamento, Nq é obtido da primeira equação.

Nxq e Nx são, depois, obtidas integrando as outras duas.

Pla

cas

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s




Então,

qq

qqq 1

1fdx

N

rpN x

rpN rq

onde f1(q) e f2(q) são funções de integração arbitrárias que dependem das

condições nas arestas.

Estas funções resultam da integração das derivadas parciais.

qq

q2

1fdx

N

rpN x

xx

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Exemplo 3.2

Uma tubagem longa e cilíndrica está apoiada como mostra a figura e contém um

líquido com peso específico g.

Determinar as forças de membrana nas seguintes condições:

a) existem juntas de expansão nas duas extremidades;

b) ambas as extremidades estão rigidamente fixas.

Pla

cas

e C

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s



2. Tensões de Flexão em Cascas

2.1. Introdução

• Foi visto anteriormente que a teoria de membrana não consegue

fornecer soluções compatíveis com as condições reais de

deformação em todas as situações.

• Também nas fronteiras e em certas partes da casca esta teoria não

consegue prever o estado de tensões.

• Estas limitações são ultrapassadas pela introdução da teoria de

flexão que tem em conta forças de membrana, forças de corte e

momentos que atuam na estrutura da casca.

• Para desenvolver as equações diferenciais para os deslocamentos da

superfície média u, v e w que definem a geometria e a cinemática da

deformação procede-se da mesma forma que para as placas.

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s



• Primeiro derivam-se as relações básicas entre as tensões e as

deformações de cascas de geometria genérica.

• A teoria de flexão completa é matematicamente intrincada e as

primeiras soluções de tensões de flexão de cascas datam de 1920.

2.1. Introdução

Pla

cas

e C

asca

s



2.2. Resultantes das Tensões na Casca

Para derivar uma expressão para as resultantes das tensões, isto é, as forças e os

momentos resultantes que representam as tensões internas, considera-se um

elemento infinitesimal.

Este elemento é definido por dois pares de planos normais à superfície média da

casca.

A origem do sistema de eixos coordenados é localizada num canto do elemento

com os eixos x e y tangentes às linhas de curvatura principal e o z perpendicular

à superfície média.

Pla

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s




Devido à curvatura da casca, os comprimentos dos arcos afastados de uma

distância z da superfície média não são apenas dsx e dsy, os comprimentos

medidos na superfície média, mas sim

y

yy

yy

x

xx

xx dsr

z

r

zrdsds

r

z

r

zrds

11

onde rx e ry são os raios de curvatura principais nos planos xz e yz,

respetivamente.

As tensões que atuam nas faces planas do elemento são sx, sy, txy, txz e tyz.

Se Nx representar a força normal resultante que atua na face yz por unidade de

comprimento tem-se, usando o arco real,

2

21

t

ty

y

xyx dzdsr

zdsN s

Pla

cas

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asca

s




Dividindo pela distância arbitrária dsy tem-se

Da mesma forma, podem derivar-se expressões para as outras resultantes de

tensão.

Assim,

2

2

2

211

t

tyx

t

ty

xx dzzkdzr

zN ss

2

2

1

1

1

1

1

1

t

t

xyz

yxz

xyx

yxy

xy

yx

y

x

yx

xy

y

x

dz

zk

zk

zk

zk

zk

zk

Q

Q

N

N

N

N

t

t

t

t

s

s

Pla

cas

e C

asca

s




e

A convenção dos sinais é a mesma das placas.

Destas equações pode concluir-se que, apesar de txy=tyx, as forças de corte Nxy e

Nyx e os momentos torsores Mxy e Myx não são, geralmente, iguais.

Isto ocorre porque rx≠ry.

No entanto, para cascas finas (são estas que nos interessam) t é pequeno em

comparação com rx e ry e, por isso, z/rx e z/ry podem ser desprezados em

comparação com a unidade.

Neste caso Nxy=Nyx e Mxy=Myx.

2

2

1

1

1

1

t

t

xyx

yxy

xy

yx

yx

xy

y

x

zdz

zk

zk

zk

zk

M

M

M

M

t

t

s

s

Pla

cas

e C

asca

s




Assim, as resultantes de tensão são descritas com as mesmas expressões das

placas, isto é

2

2

t

t

xy

y

x

xy

y

x

zdz

M

M

M

t

s

s

2

2

t

t

yz

xz

xy

y

x

y

x

xy

y

x

dz

Q

Q

N

N

N

t

t

t

s

s

Pla

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s



2.3. Força, Momento e Deslocamento

Para relacionar as resultantes de tensão com as deformações da casca, as tensões

sx, sy e txy têm que ser calculadas em termos das extensões.

De acordo com os pressupostos, a tensão na direção z é desprezada, sz=0.

A lei de Hooke fica, então,

xyxyxyyyxx GEE

gtee

see

s

;1

;1 22

Temos que determinar as extensões que aparecem nestas expressões.

Pla

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e C

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s




O elemento deformado da casca da figura, tem os lados mn e m’n’ retos de

acordo com o pressuposto 3.

A superfície média está esticada e o lado mn está rodado em relação à

configuração original.

O alongamento unitário ex de uma fibra lf, posicionada no plano xz a uma

distância z da superfície média, é dado por

f

f

xl

le

Pla

cas

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asca

s




Aqui, lf é o alongamento sofrido por lf.

Assim,

f

x

xxfxxf lr

zdslzdsl

111 0e

onde ex0 representa a deformação unitária na superfície média, r’x é o raio de

curvatura depois da deformação e dsx é o comprimento da fibra na superfície

média.

Substituindo estas equação na equação da extensão tem-se

xxxxx

xx

rrrz

z

rz

1

1

1

11 0

0

e

ee

onde rx é a curvatura antes da deformação.

Uma vez que temos t«rx, z/rx pode ser omitido.

Por outro lado a influência de ex0 na curvatura é desprezável.

Pla

cas

e C

asca

s




Desta forma, a expressão acima fica

onde cx representa a variação da curvatura da superfície média.

O alongamento unitário em qualquer distância normal à superfície média está,

assim, relacionado com o esticar da superfície média e a mudança da curvatura

associada à deformação.

Para a direção y obtém-se uma expressão idêntica

xx

xx

xx zrr

z ceee

00

11

Falta determinar a distribuição da extensão de corte gxy.

yy

yy

yy zrr

z ceee

00

11

Pla

cas

e C

asca

s




Considera-se gxy0 a extensão de corte na superfície média.

Devido à rotação da aresta AB em torno do eixo x e a gxy0, e referindo à equação

das placas

tem-se

xyxyxy zcgg 20

Aqui, cxy designa a torção da superfície média.

Isto representa o efeito da rotação dos elementos da casca em torno da normal à

superfície média.

xyxy zg 2

Pla

cas

e C

asca

s




Finalmente, desprezando os termos z/rx e z/ry, como anteriormente, e

substituindo as tensões nas expressões das resultantes de tensão obtém-se

Substituindo estes resultados nas equações das tensões tem-se

yxyxx zE

ccee

s

0021

xyxyy zE

ccee

s

0021

xyxyxy zG cgt 20

0021yxx

EtN ee

0021xyy

EtN ee

012

xyyxxy

EtNN g

Pla

cas

e C

asca

s




D=Et3/[12(1-2)] define a rigidez de flexão da casca, à semelhança do obtido

para a placa.

Estas equações são as equações constitutivas para cascas.

Nas condições em que a flexão pode ser desprezada, a análise das tensões

simplifica-se bastante uma vez que Mx, My e Mxy=Myx desaparecem.

O que sobra são as forças de membrana Nx, Ny e Nxy=Nyx.

e

yxx DM cc

xyy DM cc

xyyxxy DMM c 1

Pla

cas

e C

asca

s



2.4. Tensões Compostas nas Cascas

Estamos, agora, em condições para escrever as tensões compostas numa casca

produzidas por forças e momentos.

Para isso, substitui-se as extensões e deformações obtidas das equações das

resultantes de tensão nas equações das tensões, o que dá

3

12

t

zM

t

N xxx s

Os primeiros termos nestas expressões representam as tensões de membrana e

os segundos as tensões de flexão.

Pode observar-se que a distribuição das componentes da tensão sx, sy e txy na

espessura é linear.

3

12

t

zM

t

N yy

y s

3

12

t

zM

t

N xyxy

xy t

Pla

cas

e C

asca

s



2.4. Tensões Compostas nas Cascas

Também pode ser verificado, à semelhança das placas, que as tensões de corte

vertical têm uma distribuição parabólica.

Estes valores são pequenos quando comparados com as outras tensões planas,

tal como eram no caso da placa.

Pode concluir-se que as relações de tensão fundamentais são idênticas para as

vigas, as placas e as cascas.

2

241

2

3

t

z

t

Qxxzt

2

241

2

3

t

z

t

Qy

yzt

Pla

cas

e C

asca

s



2.5. Carregamentos axi-simétricos (Cascas Cilíndricas)

Tubos, tanques e outros contentores sujeitos a pressão interna são alguns

exemplos de cascas cilíndricas com carregamentos axi-simétricos.

Devido à simetria, um elemento cortado de um cilindro de raio a terá as

resultantes de tensão Nq, Mq, Nx e Qx.

A força e o momento em torno da circunferência, Nq e Mq, não variam com q.

Assim, o deslocamento na circunferência v desaparece e só é necessário

considerar os deslocamentos em x e y, u e w, respetivamente.

Desta forma, apenas três das seis equações de equilíbrio do elemento da casca

têm que ser satisfeitas.

Pla

cas

e C

asca

s




Supondo que o carregamento externo é como mostrado na figura, os equilíbrios

nas direções x e z resultam em

0 dxadpaddxdx

dNx

x qq

0 qqq q addxpddxNaddxdx

dQr

x

Pla

cas

e C

asca

s




O equilíbrio de momentos em torno de y é dado por

0 dxadQaddxdx

dMx

x qq

0 xx p

dx

dN

Dividindo todas as equações por dx.adq obtém-se

01

rx pN

adx

dQq

0 xx Q

dx

dM

É interessante notar que a última equação é a relação básica das vigas: a força

de corte é a primeira derivada do momento fletor.

Pla

cas

e C

asca

s




Da primeira equação a força axial Nx é

cdxpN xx onde c é uma constante de integração.

Pode ver-se que as incógnitas Qx, Nq e Mx não podem ser determinadas das duas

últimas equações e, por isso, é necessário examinar os deslocamentos da

superfície média.

Uma vez que neste caso v=0, as relações extensão-deslocamento são, da

simetria,

dx

dux e

a

w

ad

addwa

q

qqeq

Pla

cas

e C

asca

s




Aplicando a lei de Hooke, tem-se

a

w

dx

duEtEtN xx

ee

q 22 11

de onde se tira

02

2

dy

wd

a

wN

Etdx

dux

21

Logo, da lei de Hooke

dx

du

a

wEtEtN x

ee

qq 22 11

As relações entre momento fletor e deslocamentos são as mesmas que para um

plano dobrado numa superfície cilíndrica.

Assim, como,

Pla

cas

e C

asca

s




tem-se

xx MMdx

wdDM q

2

2

onde D é a rigidez de flexão da casca.

Usando as duas últimas equações de equilíbrio e eliminando Qx obtém-se

Finalmente, quando esta expressão é combinada com as equações anteriores,

tem-se

01

2

2

rx pN

adx

Mdq

01

1

1 2

22

2

2

2

rx p

a

wN

Eta

wEt

adx

wdD

dx

d

024

4

rx pNa

wa

Et

dx

wdD

Pla

cas

e C

asca

s




Uma forma mais conveniente desta expressão é

onde

e o parâmetro geométrico b tem dimensão L-1.

Esta equação e a equação de du/dx representam as condições de deslocamento

que governam uma casca cilíndrica com carregamento axi-simétrico.

Quando não existe carga axial, Nx=0, estas equações ficam

22

2

2

4 13

4 taDa

Et b

D

p

aD

Nw

dx

wd rx

b 4

4

4

4

D

pw

dx

wd r 4

4

4

4b

a

w

dx

du

Pla

cas

e C

asca

s




A primeira equação dá u depois da integração.

A segunda é uma equação diferencial ordinária com coeficientes constantes.

Ela também representa a equação de uma viga com rigidez de flexão D, sobre

apoios elásticos e sujeita a um carregamento pr.

A solução homogénia desta equação é dada por

em que c1, c2, c3 e c4 são constantes e m1, m2, m3 e m4 são raízes da expressão

xmxmxmxm

h ececececw 4321

4321

04 44 bm

Esta expressão pode ser escrita, somando e subtraindo 4m2b2, como

042 22222 bb mm

Daqui

bb mm 22 22

Pla

cas

e C

asca

s




cuja solução é

Daqui segue-se que

xixixxixix

h ececeececew bbbbbb 4321

Se f(x) representar a solução particular wp, a solução geral da equação em causa

é

onde C1, C2, C3 e C4 são constantes de integração arbitrárias, obtidas com base

nas condições de fronteira.

Pode notar-se que os resultados da teoria de membrana podem ser sempre

considerados como as soluções particulares das equações da teoria de flexão.

im 1b

xfxCxCexCxCew xx bbbb bb sincossincos 4321

Pla

cas

e C

asca

s



2.6. Casos típicos (Carregamentos axi-simétricos em cascas cilíndricas)

Consideremos um problema de flexão de um cilindro com o comprimento muito

grande comparado com o diâmetro, um cilindro infinito, sujeito a uma carga P

uniformemente distribuída em torno da secção circular.

Uma vez que não existe pressão pr distribuída sobre a superfície da casca Nx=0

e f(x)=0.

A solução deste problema fica

xCxCexCxCew xx bbbb bb sincossincos 4321

Devido à simetria da casca, as condições de fronteira para a metade direita são

deduzidas do facto de quando x→∞, a deflexão e todas as derivadas de w com

respeito a x desaparecem.

Pla

cas

e C

asca

s




Como Nx=0

a

EtwN q

Estas condições são cumpridas quando C3=C4=0.

Assim

xCxCew x bbb sincos 21

e

3

3

2

2

2

2

dx

wdD

dx

dMQ

dx

wdDM

dx

wdDM x

xx q

As condições aplicáveis imediatamente à direita da carga são

023

3

dx

dwp

dx

wdDQx

Pla

cas

e C

asca

s




D

pCC

3218b

A primeira condição indica que cada metade do cilindro suporta metade da

carga externa.

A segunda condição indica que o declive do deslocamento é zero ao centro do

cilindro devido à simetria.

Introduzindo estas condições na equação do deslocamento, com x=0, obtém-se

O deslocamento fica

xxD

pew

x

bbb

b

cossin8 3

Ou, noutra forma,

4sin2

8 3

b

b

b

xD

pew

x

Pla

cas

e C

asca

s




41

'''

132234

1223

12

1

1

4

1

2

1

2

1cos

2

11sincos

2

1sin

sincos

fxf

fffxexf

ffxxexf

fxexf

xxexf

x

x

x

x

bb

bbbbb

bbbbb

bbb

bbb

b

b

b

b

Pode observar-se que a defleção atenua com a distância como uma onda

sinusoidal amortecida exponencialmente.

As funções seguintes são usadas para representar de uma forma mais

conveniente as expressões da deflexão e resultantes de tensão:

Pla

cas

e C

asca

s




A tabela mostra valores numéricos destas funções para vários valores de bx.

O termo bx é adimensional.

Pla

cas

e C

asca

s




Substituindo a equação de w nas equações das resultantes de tensão tem-se

xfP

Q

xfP

M

xfP

M

xfDa

EtPN

xfD

Pw

x

x

b

bb

bb

bb

bb

q

q

4

3

3

13

13

2

4

4

8

8

As expressões são válidas para x≥0.

Para a metade esquerda do cilindro, toma-se o x na direção oposta à da figura.

Pla

cas

e C

asca

s




A deflexão máxima e momento máximo ocorrem em x=0:

b

b

b

4

8

max

2

3max

PM

eEt

Pa

D

Pw

Os valores máximos das tensões ocorrem em x=0 e z=t/2:

22max,

2max,

3

4

2

3

tt

aP

t

Px

b

bs

bs

q

que são as tensões máximas axiais e da circunferência, respetivamente.

Pla

cas

e C

asca

s




Da tabela anterior pode ver-se que cada função diminui à medida que bx

aumenta.

Assim, na maior parte das aplicações de engenharia, o efeito de cargas

concentradas pode ser desprezado em posições em que x>/b.

Conclui-se, desta forma, que a flexão tem um caráter local.

Uma casca com comprimento L=2/b, carregada ao meio, sofre uma deflexão

máxima e um momento máximo quase iguais aos existentes numa casca longa.

As equações anteriores usadas com o princípio da sobreposição permitem

determinar a deflexão e tensões em cilindros longos sujeitos a outros tipos de

carregamentos.

Pla

cas

e C

asca

s




Exemplo 3.3

Um cilindro muito longo de raio a está sujeito a um carregamento uniforme p ao

longo de uma distância L.

Derive uma expressão para a deflexão para um ponto arbitrário O dentro da

distância L.

Pla

cas

e C

asca

s



2.7. Carregamentos axi-simétricos (Cascas revolução)

Considere-se um corpo na forma geral de uma casca de revolução sujeito a

cargas axi-simétricas.

A esfera, o cone e o cilindro circular são geometrias simples nesta categoria.

Primeiro, é necessário definir o estado de tensão num ponto destas cascas,

representado pelo elemento infinitesimal da figura.

Pla

cas

e C

asca

s




As condições de simetria indicam que apenas as resultantes Qf, Mq, Mf, Nq e Nf

existem e que as forças normais Nq e os momentos fletores Mq não variam com

q.

A notação para os raios de curvatura é igual à usada na teoria de membrana.

A derivação das equações de equilíbrio num elemento ABCD da casca é idêntica

à realizada anteriormente.

A condição de que a soma das forças na direção y é igual a zero é dada por

O primeiro, segundo e quarto termos são os mesmos do caso da membrana.

O terceiro termo deve-se à força de corte Qfr0dq nas faces AC e BD do

elemento.

Estas faces formam um ângulo df entre elas.

0cos 01010 qffqffqfqf

fqf drdrpddrQddrNddrNd

dy

Pla

cas

e C

asca

s




A condição de equilíbrio na direcção z obtém-se da equação da membrana e

adicionando a força de corte Qfr0dq.

Assim,

A equação do equilíbrio de momentos em torno de x é

0sin 01010 qffqf

fqffq fqf drdrpddrQd

dddrNddrN z

0cos1100 qfffqfqf

qff ddrMdrdrQddrMd

d

Os termos desta equação são:

O primeiro é o incremento do momento Mfr0df:

O segundo representa o momento da força de corte Qfr0df;

O terceiro é a resultante dos momentos Mqr1df.

Pla

cas

e C

asca

s




Os dois momentos Mqr1df que atuam nas faces AB e CD do elemento não são

paralelos.

As suas componentes horizontais Mqr1dfcosf formam uma ângulo dq entre eles

resultando no último termo.

Dividinto todos os termos por dqdf obtêm-se as equações de equilíbrio.

0sin 01010 rrprQd

drNrN zfqf

ff

0cos1100 ff

qff rMrrQrMd

d

0cos 01010 rrprQrNrNd

dyfqf f

f

As equações que governam as cascas de revolução comuns sujeitas a

carregamentos axi-simétricos podem ser derivadas a partir destas expressões.

Pla

cas

e C

asca

s



Casca Esférica

Nas cascas esféricas pode considerar-se que o raio da superfície média é a=r1=r2

e que r0=a.sinf.

Assim, as equações de equilíbrio ficam


fff

ff fqf sinsinsinsin apQd

dNN z

0sincossin ffff

fqf aQMMd

d

fffff

fqf sinsincossin apQNNd

dy

Pla

cas

e C

asca

s




Casca Cónica

Neste caso o ângulo f é constante (r1=∞) e, por isso, não pode ser usado como

coordenada do meridiano.

Assim, introduz-se a coordenada s que é a distância de um ponto na superfície

média, normalmente medida desde o vértice, ao longo da geratriz.

Desta forma,

As equações de equilíbrio ficam

ss MMNNdsdrsr ffff 12 cot

ffq cotcot spsQds

dN zs

0 qMsQsMds

dss

spNsNds

dys q

Pla

cas

e C

asca

s




Casca Cilíndrica

Para obter as tensões resultantes num cilindro circular pode começar-se com as

equações da casca cónica colocando s=x=r2tanf, f=/2 e o raio médio

a=r2=constante.

Fazendo isto as equações ficam iguais a

Se nestas equações retirarmos os termos com forças de corte e momentos, elas

ficam iguais às equações obtidas pela teoria de membrana.

0 xx p

dx

dN

01

rx pN

adx

dQq

0 xx Q

dx

dM

Pla

cas

e C

asca

s



2.9. Elementos Finitos em Cascas

Os fatores que complicam a análise de problemas de cascas podem, geralmente,

ser reduzidos a irregularidades na forma ou espessura da casca e não

uniformidade na carga aplicada.

Substituindo a geometria real da estrutura e a configuração da carga por

aproximações de elementos finitos apropriados não se perde muito na precisão

do resultado.

Considere-se o caso de uma casca com espessura variável e forma arbitrária.

Existem várias formas de obter uma casca equivalente que não comprometa

significativamente a resposta elástica.

Por exemplo, pode substituir-se a casca por uma série de elementos triangulares

curvos ou planos, ou elementos finitos de outra forma, ligados nas suas arestas e

cantos.

Independentemente da configuração do carregamento, este é reduzido a uma

série de forças concentradas ou distribuídas aplicadas a cada elemento finito.

Pla

cas

e C

asca

s




Quando uma casca de revolução é sujeita a uma carga não uniforme, a forma de

elemento finito usual é substituir um elemento da casca por dois elementos

planos, um sujeito às resultantes de forças directas e o outro sujeito às

resultantes de momentos.

A carga aplicada pode ser convertida em forças uniformes ou concentradas que

também atuam nos elementos.

Os efeitos no plano e os de flexão podem, assim, ser analisados em separado e

sobrepostos.

Desta forma, um elemento de casca pode ser desenvolvido como uma

combinação de um elemento de membrana e um elemento de placa com a

mesma forma.

A casca fica, assim, idealizada como uma montagem de elementos planos.

Pla

cas

e C

asca

s




Já foram propostos elementos curvos para se obterem aproximações melhoradas

das cascas mas a análise na sua aplicação é mais complexa que no caso da

utilização de elementos planos.

No tratamento geral de cascas com carregamentos axi-simétricos que se

descreverá em seguida vão ser usados elementos planos.

Pla

cas

e C

asca

s



2.10. Elementos Finitos (Cascas c/ Carregamento Axi-Simétrico)

Uma casca com carregamento axi-simétrico pode ser representada por uma série

de troncos de cone.

Cada elemento é um anel gerado pelo segmento de reta compreendido entre dois

círculos paralelos ou “nós”, i e j.

A espessura pode variar de elemento para elemento.

Pla

cas

e C

asca

s




Como anteriormente, o deslocamento de um ponto na superfície média é

especificado por duas componentes v e w na direção meridional e normal,

respetivamente.

As relações extensão-deslocamento são dadas por

rdsdw

dswd

rvw

dsdv

s

s

f

ff

c

c

e

e

e

q

q

sin

sincos22

Pla

cas

e C

asca

s




As relações tensão-extensão são

q

q

q

q

c

c

e

e

s

s

s

s

tt

tt

Et

M

M

N

N

121200

121200

001

001

122

222

ou

e

q

qD

M

M

N

N

s

s

onde [D] é a matriz de elasticidade da casca com carregamento axi-simétrico.

Pla

cas

e C

asca

s




Para cada nó são escolhidos três deslocamentos.

Assim, os deslocamentos nodais são

Onde v, w e b representam o movimento axial, o movimento radial e a rotação,

respetivamente.

Os deslocamentos dentro do elemento, expressos na forma padrão, são

eNw

vf d

Estes são determinados a partir de {d}e e a posição s.

O declive e o deslocamento são mantidos ao longo de todo o elemento.

A matriz [N] é uma função da posição a definir mais à frente.

T

jjjiii

j

i

e wvwv bbd

dd

Pla

cas

e C

asca

s




Quando se avaliam v e w nos nós i e j, podemos relacioná-los com {d}e através

de uma matriz de transformação.

Por exemplo, no nó i tem-se

As expressões seguintes para {f} contêm seis constantes

Os deslocamentos dentro do elemento, expressos na forma padrão, são

3

6

2

543

21

sssw

sv

Para determinar os valores destas constantes, a coordenada s dos pontos nodais

é substituída nas funções do deslocamento.

i

i

i

i

i

i

i

w

v

dsdw

w

v

d

b

ff

ff

100

0cossin

0sincos

Pla

cas

e C

asca

s




Repesentando na forma matricial, tem-se

Isto vai gerar seis equações em que as únicas incógnitas são os coeficientes .

Lsss

s

w

v

6

5

4

3

2

1

32100

00001

C

ss

sss

s

ss

sss

s

dsdw

w

v

dsdw

w

v

jj

jjj

j

ii

iii

i

j

j

j

i

i

i

6

5

4

3

2

1

2

32

2

32

321000

100

00001

321000

100

00001

Pla

cas

e C

asca

s




Resolvendo em ordem a tem-se

Que substituindo nas equações de v e w dá

j

j

j

i

i

i

dsdw

w

v

dsdw

w

v

C1

j

j

j

i

i

i

dsdw

w

v

dsdw

w

v

CLw

v 1

Pla

cas

e C

asca

s




Assim, colocando si=0 e sj=h na matrix [C], pode resolver-se para 1 até 6 em

termos dos deslocamentos vi, ..., wi e obter-se finalmente

onde

10 11 sh

ss

j

j

j

i

i

i

dsdw

w

v

dsdw

w

v

hsssshsssss

ss

w

v

1

2

11

2

1

2

111

3

1

2

1

11

1230212310

00001

Pla

cas

e C

asca

s




Representando a matriz de 2x6 como [P]=[L][C]-1 pode escrever-se os

deslocamentos dentro do elemento, expressos na forma padrão, como sendo

A equação das extensões fica

onde

eejie PPPP

w

vddd

0

0

ejie BBB dde

rsshrss

hshs

rsshsrssrs

h

Bi

ff

fff

sin341sin160

3222160

cos21cos231sin1

001

2

1111

1

2

1

2

111

3

1

2

11

Pla

cas

e C

asca

s




e

A matriz de rigidez para o elemento é dada por

Aqui a área do elemento é

A

T

e dABDBk

rsshrss

hshs

rshsrssrs

h

B j

ff

fff

sin32sin160

3122160

cos1cos23sin

001

1111

1

2

1

1

2

11

2

11

122 rhdsrdsdA

E a matriz de rigidez fica

1

012 rdsBDBhk

T

e

Pla

cas

e C

asca

s




Nesta equação, r tem que ser expresso em função de s antes de se proceder à

integração.

Os passos 1 até 3 do processo geral da solução dos elementos finitos descrito

nas placas pode ser aplicado para se obterem os deslocamentos nodais da casca.

Depois determinam-se as extensões, as resultantes de tensão e as tensões com as

equações descritas acima.

Nas cascas de revolução com carregamento axi-simétrico, as forças

“concentradas” ou “nodais” são, de facto, cargas axi-simétricas distribuídas em

torno da casca.

Pode observar-se que, se apenas for desejada a solução de membrana, as

grandezas cs, cq, b, Ms e Mq são ignoradas e as expressões aqui descritas ficam

mais simplificadas.

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