MATEMÁTICA – 1ª Série Roteiro de Recuperação – 2ª Etapa 2012

Professora Helen Milene

Nome Turma

Querido (a) aluno (a) Durante a 2ª etapa trabalhamos diversos conteúdos, que podem não ter sido plenamente

compreendidos por você e, por isso, estaremos juntos nesse processo de recuperação. Nosso objetivo não se restringe à recuperação da sua nota, mas à recuperação de

conceitos e conteúdos abordados no decorrer da etapa e que são de extrema importância para darmos prosseguimento aos demais conteúdos do ensino médio.

Por isso, o essencial não é tentar “decorar” procedimentos para resolver as questões, e sim, compreender a essência de cada conteúdo, na busca de estabelecer relações entre esses e demais conceitos, não apenas da matemática, mas de outras disciplinas também. Aproveite esse processo de aprendizado!

Professora Helen Milene

Orientações 1º – Relembre os conceitos principais dos temas a serem abordados na recuperação. 2º – Refaça as duas provas e o simulado da Etapa (entregue junto com a lista do roteiro). 3º – Resolva a lista de exercícios desse roteiro.

• Não se limite, nas questões fechadas, em apenas marcar corretamente no gabarito, preocupe-se em refazer os cálculos como se a questão não apresentasse as alternativas.

• Solicite ajuda (aulas de 3+, reforço ou aula de recuperação) nas questões que você não conseguir resolver sozinho.

• Marque as questões que você conseguiu fazer apenas com ajuda (seja de colegas ou de professores) para tentar refazê-las depois, dessa vez sem auxílio. Esse procedimento é importante para que você diagnostique se realmente entendeu

os procedimentos de resolução. • No caso de dúvidas em momentos de estudos autônomos, busque exercícios

similares no livro e leia os tópicos da matéria que estejam relacionados à questão, buscando compreender os exercícios resolvidos.

3º – Anote as principais dúvidas e conclusões com as quais você se deparar durante o processo, ou seja, organize um material pessoal que servirá como apoio nas resoluções das questões.

4º – Entregue essa lista resolvida, com cálculos organizados (inclusive nas questões

fechadas) e respostas completas no dia ______/09/12, pois ela valerá ______% da sua nota

de recuperação.

Principais tópicos abordados:

• Potenciação. • Função exponencial. Igualdades e desigualdades exponenciais. • Juros compostos. • Logaritmos: Definição; Mudança de base e propriedades operatórias. • Função logarítmica. Igualdades e desigualdades logarítmicas. • Problemas de crescimento e decrescimento exponencial.

Revisando conceitos básicos:

Em problemas de crescimento exponencial, utilize: V = V0(1 + i)t e, em casos de decrescimento, utilize V = V0(1 – i)t. No caso de juros compostos, por se tratar de um crescimento exponencial, utilize M = C(1 + i)t.

(Resumo retirado do livro: Conexões com a Matemática – Editora Moderna – 2010)

1) Aplicando as propriedades gerais das potências, reduza a uma só potência: a) 34.35 b) (x³)² c) 79:74 d) 1012 : 10-5 e) an + 1. an – 2 f) (10–3)2 2) Resolva: a) 20,4 . 22,26 b) 51,2 : 50,8 c) 16–0,25 : 160,25 d) 810,32 : 810,07 3) Resolva as equações exponenciais:

a) 2x = 64 b) 9x = 243 c) (1/4)4x = 0,25 d) 9x = 3 e) 4x = 3 32 f) 2

1

2

253

24

=+

−

x

x

4) Considerando as aproximações log 2 = 0,3; log 3 = 0,48 e log 17 = 1,23, calcule: a) log 6 b) log 8 c) log 34 d) log 51 e) log 25,5 5) Os logaritmos possuem propriedades e fórmulas que permitem facilitar o cálculo, sem utilizar tábua ou calculadora. Supondo definidos os logaritmos apresentados, assinale V (verdadeira) ou F (falsa) em cada afirmação abaixo. a) ( ) logc (ab) = logc a + logc b b) ( ) logc (a/b) = logc a – logc b c) ( ) logc a

k = k. logc a

d) ( ) b

aa

c

cb

log

loglog =

e) ( ) logc (a+b) = logc a . logc b f) ( ) 49 é o número cujo logaritmo na base 7 é 2. g) ( ) Dado xab =log , para que esse logaritmo seja definido no conjunto dos números reais,

basta que b seja positivo. h) ( ) Se log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, então log 12 = 1,08. 6) (UFSM-2004-adaptada) Carros novos melhoram o escoamento do trânsito e causam menos poluição. Para adquirir um carro novo, um cidadão fez um investimento de R$10.000,00 na poupança, a juros mensais de 1%, o qual rende, ao final de n meses, o valor de C(n) = 10.000 (1,01)n reais. Supondo que (1,01)5 = 1,05, a quantia na poupança do cidadão citado ao final de 10 meses será de: a) R$ 25.500,00 b) R$ 10.001,10 c) R$ 11.025,00 d) R$ 10.500,00 e) R$ 11.045,00 7) (Ufsm-2006) Num raio de x km, marcado a partir de uma escola de periferia, o Sr. Jones constatou que o número de famílias que recebem menos de 4 salários mínimos é dado por N(x) = K . 22x, onde K é uma constante e x > 0. Se há 6.144 famílias nessa situação num raio de 5 km da escola, o número que você encontraria delas, num raio de 2 km da escola, seria a) 2.048 b) 1.229 c) 192 d) 96 e) 48 8) Chama-se meia-vida de uma substância radioativa o tempo necessário para que sua massa se reduza à metade. Tomemos hoje 16 gramas de uma substância radioativa, cuja meia-vida é de 5 anos. A massa dessa substância é função do tempo, contado a partir de hoje, dada por

5216)(

n

nM−

⋅= . Se daqui a n anos sua massa for 2–111 gramas, qual o valor de n?

9) Cada golpe de uma bomba extrai 10% de óleo de um tanque. A capacidade do tanque é de 2m³ e, inicialmente, está cheio. Determine a fórmula da função f que representa o volume que permanece no tanque após n golpes.

10) (Cesgranrio-RJ) Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem decrescendo em relação ao tempo t, contado em anos, aproximadamente segundo a relação P(t) = P0 . 2

– 0,25t. Sendo P0 uma constante que representa a população inicial dessa região e P(t) e população t anos após, determine quantos anos se passarão para que essa população fique reduzida à quarta parte da que era inicialmente. 11) O logaritmo de um número em certa base é 3. O logaritmo desse mesmo número numa base igual à metade da anterior é 6. Determine o número procurado. 12) Uma população de bactérias, em condições favoráveis, reproduz-se aumentando seu número em 25% a cada dia. Após quantos dias o número de bactérias será 200 vezes maior que o número inicial? (Dado: log 2 = 0,3) 13) Suponha que preço de um carro sofra uma desvalorização de 20% ao ano. Depois de quanto tempo, aproximadamente, seu preço cairá para cerca da metade do preço de um carro novo? (Dado: log 2 = 0,3) 14) O lucro mensal, em reais, de uma empresa é expresso pela lei L(t) = 3000 (1,5)t, sendo L(t) o lucro após t meses. a) Qual é o lucro da empresa após 2 meses? b) Daqui a quantos meses o lucro será de R$ 36000,00? (Dados: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48) 15) (Unisantos-SP) A população de um país cresce de acordo com a seguinte fórmula

niePP

.

0 ⋅= , onde i = taxa de crescimento anual, n = número de anos, P0 é a população

num instante para o qual n = 0 e e = número que é a base do logaritmo neperiano, indicado por ln . Fazendo 7,02ln = , em quantos anos a população de um país, com taxa de crescimento anual

de 3,5%, duplicará? 16) (UFSM) Um piscicultor construiu uma represa para criar traíras. Inicialmente, colocou 1000 traíras na represa e, por descuido, soltou 8 lambaris. Suponha-se que o aumento das populações

de lambaris e traíras ocorre, respectivamente, segundo as leis tLtL 10)( 0= e t

TtT 2)( 0= , onde 0L

é a população inicial de lambaris, 0T , a população inicial de traíras e t, i número de anos que se

conta a partir do ano inicial. O número de lambaris será igual ao de traíras depois de quantos anos? a) 30 b) 18 c) 12 d) 6 e) 3 17) (ESPM) Se A=4log 20 e B=6log 20 , o valor de 5log 20 é:

a) BA . b) 2

BA + c)

2

. BA d) A−1 e) B−1

18) (Fuvest) A curva da figura ao lado representa o gráfico da função y = log x, para x > 0, Assim sendo, a área da região sombreada, formada pelos dois retângulos, é: a) log 2 b) log 3 c) log 4 d) log 5 e) log 6

19) (UFMG) Observe a figura ao lado:

Nela está representado o gráfico de xxf nlog)( = .

O valor de f(128) é:

a) 2

5 b) 3 c)

2

7 d) 7 e) 2

20) O valor C de um capital (empregado a uma taxa i de juros capitalizados periodicamente ao

fim do período) após t períodos, é dado por tiCC )1(0 += , em que 0C é o valor inicial.

Qual é o tempo necessário para que um capital empregado à taxa de 2% ao mês, com juros capitalizados mensalmente, dobre de valor? (se necessário, utilize: log 2 = 0,3; log 3 = 0,48; log 11 = 1,04; log 17 = 1,23) 21) O valor de um automóvel (em reais) sofre uma depreciação de 4% ao ano. Sabendo-se que o valor atual de um carro é de 40.000 reais, depois de quantos anos o valor desse carro será de 16.000 reais? 22) Um capital de R$12.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, determine o número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja igual ao dobro do capital inicial. 23) O volume de um líquido volátil diminui de 20% por hora. Após um tempo t, esse volume fica reduzido à décima parte. Qual é esse valor de t? 24) Uma aplicação financeira rende 2% ao mês a juros compostos. Determine o tempo necessário para que o capital dobre de valor. 25) A população de um país cresce 5% a cada ano. Em quantos anos ela ficará duas vezes maior? 26) Uma dívida aumenta 10% ao mês. Determine o tempo necessário para que a dívida quadruplique. 27) A energia nuclear, derivada de isótopos radiativos, pode ser usada em veículos espaciais para fornecer potência. Fontes de energia nuclear perdem potência gradualmente, no decorrer

do tempo. Isso pode ser descrito pela função exponencial 2500 .

t

ePP−

= ,na qual P é a potência

instantânea, em watts, de radioisótopos de um veículo espacial; P0 é a potência inicial do veículo; t é o intervalo de tempo, em dias, a partir de t0 = 0; e é a base do sistema de logaritmos neperianos. Nessas condições, quantos dias (inteiros) são necessários, aproximadamente, para que a potência de um veículo espacial se reduza à quarta parte da potência inicial? (Dado: In 2 = 0,693) 28) Quando um paciente ingere um medicamento, a droga entra na corrente sanguínea e, ao passar pelo fígado e pelos rins, é metabolizada e eliminada a uma taxa que é proporcional à quantidade presente no corpo. Suponha uma dose única de um medicamento cujo princípio ativo é de 250 mg. A quantidade desse princípio ativo que continua presente no organismo t horas após a ingestão é dada pela expressão q(t) = 250 . (0,6)t. Determine o tempo necessário para que a quantidade dessa droga presente no corpo do paciente seja de 50 mg. (Dados ln 2 = 0,7; ln 3 = 1,1; ln 5 = 1,6)