MATEMÁTICA – 1ª Série Roteiro de Recuperação – 3ª Etapa 2012

Professora Helen Milene

Nome Turma Nota

Iniciamos hoje um processo de recuperação. Nosso objetivo é o de possibilitar o aprendizado de alguns conceitos que ainda não tenham sido

bem compreendidos por você e que serão necessários para os anos seguintes. Para isso, preparei esse roteiro, que auxiliará você a organizar-se de modo a rever os principais

assuntos trabalhados e relacioná-los de modo a aprimorar o seu conhecimento acerca deles. Saiba que você é o principal agente deste processo e que Professores, Sep e Coordenação

queremos ajudá-lo durante todo esse percurso. É de extrema importância que, ao perceber uma dificuldade, você pergunte até que tenha sanado

suas dúvidas, mesmo que sua dúvida esteja em “não saber o que não sabe” (entendeu?! rs) Por isso, o essencial não é tentar “decorar” procedimentos para resolver as questões, e sim,

compreender a essência de cada conteúdo, na busca de estabelecer relações entre esses e demais conceitos, não apenas da matemática, mas de outras disciplinas também. Aproveite esse processo de aprendizado!

Professora Helen Milene

Orientações 1º – Relembre os conceitos principais dos temas a serem abordados na recuperação. 2º – Refaça as duas provas e o simulado da Etapa e entregue junto com a lista do roteiro. 3º – Resolva a lista de exercícios desse roteiro.

• Não se limite, nas questões fechadas, em apenas marcar corretamente no gabarito, preocupe-se em refazer os cálculos como se a questão não apresentasse as alternativas.

• Solicite ajuda (aulas de 3+, reforço ou aula de recuperação) nas questões que você não conseguir resolver sozinho.

• Marque as questões que você conseguiu fazer apenas com ajuda (seja de colegas ou de professores) para tentar refazê-las depois, dessa vez sem auxílio. Esse procedimento é importante para que você diagnostique se realmente entendeu os

procedimentos de resolução. • No caso de dúvidas em momentos de estudos autônomos, busque exercícios similares no

livro e leia os tópicos da matéria que estejam relacionados à questão, buscando compreender os exercícios resolvidos.

3º – Anote as principais dúvidas e conclusões com as quais você se deparar durante o processo, ou seja, organize um material pessoal que servirá como apoio nas resoluções das questões.

4º – Entregue essa lista resolvida, com cálculos organizados (inclusive nas questões

fechadas) e respostas completas no dia ______/12/12, pois ela valerá 40% da sua nota de

recuperação.

Principais tópicos abordados:

o Trigonometria no Triângulo Retângulo (não está no livro, por isso deixei um resumo

abaixo); o Trigonometria em triângulos quaisquer (lei dos senos e lei dos cossenos); o Transformação de Unidades (graus/radianos); Determinação principal de um arco; o Ciclo trigonométrico; o Redução ao primeiro quadrante (números “amigos”); o Seno e cosseno de um arco trigonométrico; o Função seno e função cosseno; o Identidades trigonométricas; o Equações trigonométricas elementares. o Adição e subtração de arcos (seno, cosseno e tangente); Arco duplo.

Trigonometria no triângulo retângulo

SOH BC

AB

hipotenusadamedida

aopostocatetodomedidasen ==

αα

CAH BC

AC

hipotenusadamedida

aadjacentecatetodomedida==

ααcos

TOA AC

AB

aadjacentecatetomedida

aopostocatetodomedidatg ==

α

αα

α e β são ângulos complementares (α + β =90º) , ou seja, cuja soma das medidas é igual a 90º, por isso,

βα cos=sen e αβ cos=sen .

Desse modo, como xex −2

π são complementares, então

−= xxsen

2cos

π e

−= xsenx

2cos

π

30º 45º 60º

Seno

Cosseno

Tangente

1) Um avião levanta voo sob um ângulo de 30°. Então, depois que tiver percorrido 1000 m, conforme indicado na figura, sua altura h em relação ao solo, em metros, será igual a: a) 500 b) 600 c) 800 d) 870 e) 1000

2) (UFJF-02) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a 200 metros do edifício e mediu um ângulo de 30°, como indicado na figura a seguir. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 metros do solo, pode-se concluir que, dentre os valores adiante, o que MELHOR aproxima a altura do edifício, em metros, é:

(Se necessário, utilize 73,13 = ) a) 112. b) 115. c) 117. d) 120. e) 124.

3) Na figura ao lado, a medida do segmento BD é:

a) 3

)33(10 −

b) 2

310

c) 3

310

d) 1

4) A figura mostra um trecho de um rio, onde deve ser construída uma ponte AB. De um ponto C, a 200 m de B, o topógrafo mediu o ângulo

º45ˆ =BCA e, do ponto A, mediu o ângulo º30ˆ =CAB . Qual é o comprimento da ponte? 5) Um terreno de forma triangular tem frentes de 10 m e 20 m, em ruas que formam, entre si, um ângulo de 120º. A medida do terceiro lado do terreno, em metros, é: (faça a ilustração da situação)

a) 510 b) 610 c) 710 d) 26 e) 220 6) (UNESP 2011) Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro,

avalia que os ângulos CAB ˆ e DCB ˆ valem 30º, e

o ângulo BCA ˆ vale 105º, como mostra a figura. A altura h do mastro da bandeira, em metros, é

a) 5,12 b) 25,12 c) 25 d) 225 e) 35 . 7) Assinale V (verdadeira) ou F (falsa) para as afirmações abaixo:

a) ( ) Se M é a extremidade de um arco de medida x no ciclo trigonométrico a abscissa e a ordenada de M são, respectivamente, sen x e cos x.

b) ( ) sen 30º = sen 150º = –sen 210º = –sen 330º.

c) ( ) 4

7cos

4

3

44cos

ππππ=== sensen

d) ( ) A determinação principal de 2340º é 140º.

e) ( ) A expressão geral 3

2ππ +k representa dois pontos no ciclo trigonométrico, um no segundo e

um no terceiro quadrante. f) ( ) O seno de um arco de medida 2340º é igual a 0.

g) ( ) 6

5

63

5cos

3cos

ππππsensene ==

h) ( ) sen 1620º = 0. i) ( ) sen 1890º = 0.

j) ( ) 12

=π

sen

k) ( ) 12

cos =π

l) ( ) A determinação principal de 6

137π é

6

7π.

m) A determinação principal de 3

442π− é

3

4π.

8) Determine o período, o máximo, o mínimo e o conjunto imagem das funções reais a seguir: a) y = 5 cos x b) y = sen 5x c) y = 2 sen 3x d) y = 1+ 3 sen 2x e) y = – 2 + 3 cos π x

f) y = 3 – 7 cos5

x

9) Estima-se que, em 2009, a receita mensal de um hotel seja dada (em milhares de reais) por

+=

6cos15003000)(

ttR

π, em que t = 1 representa o mês de janeiro, t = 2 o mês de fevereiro e

assim por diante. Determine: a) a receita do mês de fevereiro. b) a receita do mês de março. c) a receita máxima. d) a receita mínima. 10) Numa aula de matemática no laboratório de informática, Laura fez algumas investigações acerca de algumas funções trigonométricas. A figura abaixo se refere à primeira função que Hugo observou, a função f(x) = y = cos x.

Assinale V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações falsas de Hugo acerca da função cosseno e reescreva as afirmações falsas de modo a torná-las verdadeiras.

a) ( ) O domínio da função cosseno é R . b) ( ) O período da função cosseno é 4π. c) ( ) O conjunto imagem da função cosseno é [ –3π, 5π/2]. d) ( ) A função cosseno é crescente quando x cresce de 0 a π/2. e) ( ) f(π) = f(–π) = f(3π) = –1 f) ( ) O máximo e o mínimo da função cosseno são, respectivamente, 1 e –1.

11) (FGV-2005) Um supermercado, que fica aberto 24 horas por dia, faz a contagem do número de clientes na loja a cada 3 horas. Com base nos dados observados, estima-se que o número de clientes

possa ser calculado pela função trigonométrica f(x) = 900 – 800 sen 12

πx, onde f(x) é o número de clientes

e x, a hora da observação (x é um inteiro tal que 0 ≤ x ≤ 24). Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o número máximo e o número mínimo de clientes dentro do supermercado, em um dia completo, é igual a a) 600. b) 800. c) 900. d) 1500. e) 1600. 12) (Cesgranrio) No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30°. O seno do ângulo B vale: a) 2/3 b) 1/2 c) 3/4 d) 4/5 e) 5/6

13) Uma máquina produz diariamente x dezenas de certo tipo de peças. Sabe-se que o custo de produção C(x) e o valor de venda V(x) são dados, aproximadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas

funções

−=

6cos2)(

xxC

π e

=

12.23)(

xsenxV

π , 0 ≤ x ≤ 6.

O custo da produção e o valor de venda na produção de 3 dezenas de peças são respectivamente: a) R$ 2000,00 e R$ 3000,00. b) R$ 3000,00 e R$ 2000,00. c) R$ 3000,00 e R$ 3000,00. d) R$ 1000,00 e R$ 2000,00. e) R$ 1570,00 e R$ 3570,00.

14) (ENEM 2010) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por

)06,0cos(.15,01

5865)(

ttr

+= .

Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de a) 12 765 km. b) 12 000 km. c) 11 730 km. d) 10 965 km. e) 5 865 km. 15) Assinale V(verdadeira) ou F(falsa) para as afirmações abaixo: a) ( ) A função f definida por f(x) = cos(–x) é impar. b) ( ) O período da função f definida por f(x) = sen(2x) é 4π .

b) ( ) Considerando que 2

1)cos( =x então, π

πkx 2

3+= , Zk ∈ .

d) ( ) Em um triângulo ABC, onde a medida do lado AB é 4, a medida do lado BC é 5 e a medida do

ângulo A é 120º, a medida do lado AC é ( )213 − . 16) Uma partícula executa um movimento oscilatório sobre um eixo. No instante t (em segundos), ele ocupa a posição x (em metros) dada por tsenx π23 += . a) Qual é a sua posição nos instantes t = 0, t = 0,25 e t = 0,5? b) Quais são os valores máximo e mínimo de x, ou seja, entre que posições oscila a partícula? c) Qual é o período de uma oscilação completa? 17) Obtenha a solução geral e as soluções particulares no intervalo [ ]π2,0 das equações abaixo:

a) 2

1cos =x

b) 022 =−xsen

c) 32cos2 −=x 18) Cada expressão a seguir equivale, no domínio da variável x, a uma função trigonométrica. Simplificando as expressões, identifique essa função. a) cos x + sen x . tg x b) (1 + sen x) ( 1 – sen x) . sec x

c) xsenxgxsen

xtgxxec .cot

²

.coscos +−

d) )(cot

)sec(2

xg

xxtg

−

+

− π

π

19) Simplifique as expressões seguintes, usando como referência o arco x. (Suponha que os denominadores não se anulem).

a) )º90cos(

)º180()º180(

x

xsenxsen

−

+−−

b) )2cos()cos(

)7cos()12cos(

xx

xx

+−

+−

ππ

ππ

c)

−

−+

x

xxsen

2cos

)5cos()(

π

ππ

d) xxsenxsen

xxx

cos)()(

)cos()cos()cos(

+−+−

−+−++

π

ππ

20) Sendo 5

3=xsen (x do 2º quadrante), calcule:

a)

+ xsen

3

π

b) )º45cos( x+

c)

−

6cos

πx

d) xsen 2

e) x2cos

f) )2º30( xsen − 21) Faça o que se pede: a) Escreva a determinação principal dos arcos de extremidade nos pontos L, C e S indicados no ciclo trigonométrico ao lado: L � C � S � b) Calcule:

a) a determinação principal do número 6

41π.

b) 6

41πsen =

c) 6

41cos

π =

22) (Insper 2012) O professor de Matemática de Artur e Bia pediu aos alunos que colocassem

suas calculadoras científicas no modo “radianos” e calculassem o valor de 2

πsen . Tomando um

valor aproximado, Artur digitou em sua calculadora o número 1,6 e, em seguida, calculou o seu seno, encontrando o valor A. Já Bia calculou o seno de 1,5, obtendo o valor B. Considerando que

2

π vale aproximadamente 1,5708 assinale a alternativa que traz a correta ordenação dos valores

A, B e 2

πsen .

a) BAsen <<2

π b) BsenA <<

2

π c)

2

πsenBA << d) AsenB <<

2

π e)

2

πsenAB <<

23) (Unesp 2003-adaptada) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra a figura. A rodovia AC tem 40km, a rodovia AB tem 50km, os ângulos x, entre AC e

AB, e y, entre AB e BC, são tais que sen x = 3/4 e sen y = 3/7. Deseja-se

construir uma nova rodovia ligando as cidades D e E que, dada a

disposição destas cidades, será paralela a BC.

Quantos quilômetros tem a rodovia BC?

24) (Uftm 2012-adaptada) Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, B e C, que são ligadas por estradas em linha reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância entre A e C é de 24 km, e entre A e B é de 36 km. Nesse caso, determine a distância entre B e C: 25) (Ufal 2000) Analise as afirmativas abaixo, nas quais x é um número real, assinalando V

(verdadeira) e F (falsa):

a) ( ) sen 495° = sen 4

π

b) ( ) tg 7

8π< 0

c) ( ) sen 5

π+ sen

5

π= sen

5

2π

d) ( ) A equação tg x = 1000 não tem solução

e) ( ) Para 4

0π

<< x tem-se cos x > sen x

26) (Unb 2000-adaptada) O volume total de ar, em litros, contido nos dois pulmões de um adulto em condições físicas normais e em repouso pode ser descrito como função do tempo t, em segundos, por

V(t) = π

π

2

))4,0cos(1(3 t−

O fluxo de ar nos pulmões, em litros por segundo, é dado por v(t) = )4,0(6,0 tsen π . Os gráficos dessas funções estão representados na figura adiante.

Com base nas informações do texto assinale a soma dos valores das afirmações corretas.

(1) O gráfico I representa V(t) e o gráfico II, v(t).

(2) O volume máximo de ar nos dois pulmões é maior que um litro.

(4) O período de um ciclo respiratório completo (inspiração e expiração) é de 6 segundos.

(8) O fluxo máximo de ar nos pulmões é menor que 0,5 litro por segundo.

SOMA: ___________

27) Simplificando a expressão )(

)2(3)5().4cos(

xsen

xsenxtgxA

+

−−+−=

π

πππ

com 0≠xsen , obtemos: a) 1=A b) 2=A c) xsenA = d) 1−=A e) 4−=A 28) (Ufpe 2004) O PIB (Produto Interno Bruto, que representa a soma das riquezas e dos

serviços produzidos por uma nação) de certo país, no ano 2000+x, é dado, em bilhões de

dólares, por 6

cos205,0500)(x

xxPπ

++= , onde x é um inteiro não negativo.

Determine, em bilhões de dólares, o valor do PIB do país em 2004.