étodos uméricos - Universidade Federal de São João del-Rei · 3 –Regra de 3/8 de Simpson...

Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno

2016

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI

PRÓ-REITORIA DE PESQUISA

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO

TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS

DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

étodos

uméricos

Conteúdo

1. Fórmulas de Newton-Cotes.2. Quadratura de Gauss-Legendre.3. Comparação dos métodos de integ. simples.4. Integ. dupla pelas fórmulas de Newton-Cotes.5. Integ. dupla via fórmulas de Gauss-Legendre.6. Comparação dos métodos para integ. Dupla.

Seja uma função f(x) integrável no intervalo [a, b]:

Introdução

b

a

xfxFaFbFdxxf )()(),()()(

Quando a fórmula analítica for de difícil obtenção ou se foremconhecidos somente valores discretos de f(x), se faz necessário o usode métodos numéricos para avaliar a integral de f(x).

Esses métodos consistem em aproximar f(x) por um polinômiointerpolador e determinar analiticamente a integral desse polinômio nointervalo [a, b].

Formulas de Newton-Cotes• Seja uma função f(x) aproximada por um PI, por exemplo, um

polinômio de Gregory-Newton:Operador de Diferença Finita:

▪ Exemplo: Verificar a tabela de diferenças finitas:

Formulas de Newton-Cotes

• Para n = 1:

• Mudança de variável de x ux e simplificando a notação ux u:

Formulas de Newton-Cotes• Usando a notação yi = f(xi):

• Integrando, analiticamente, o polinômio:

Que é conhecida como regra do trapézio.


• Aproximação de uma função f(x) por um PI P(x) de grau 1:

Formulas de Newton-CotesExemplo: Calcular pela regra do trapézio a integral:

Polinômio de grau 1 passa pelos pontos a = x0 = 1 e b = x1 = 4

Formulas de Newton-Cotes• Aproximando f(x) por polinômio P2(x) de grau 2:

• Mudança de variável:

• Equação de integração:


• Integrando analiticamente o polinômio:

Que é a regra de 1/3 de Simpson ou primeira regra de Simpson.

Formulas de Newton-Cotes• Aproximação de uma função f(x) por um PI P(x) de grau 2:

Formulas de Newton-CotesExemplo: Calcular usando a regra do 1/3 de Simpson a integral:

Para construir um polinômio de grau 2 são necessários 3 pontos. Assim as abscissas por onde o polinômio irá passar são:

Formulas de Newton-Cotes• Aproximando f(x) por polinômio P3(x) de grau 3:

• Mudança de variável:

• Equação de integração:


• Integrando analiticamente o polinômio:

Que é a regra dos 3/8 de Simpson ou segunda regra de Simpson.

Formulas de Newton-Cotes• Aproximação de uma função f(x) por um PI P(x) de grau 3

Formulas de Newton-CotesExemplo: Calcular usando a regra do 3/8 de Simpson a integral:

São necessários 4 pontos para construir um polinômio de grau 3. Assim as abscissas são:

Sendo:

Formulas de Newton-CotesResultado da integração melhora à medida que o grau do PI aumenta:


• Formulas de Newton-Cotes são da forma geral:


• Na prática é difícil o uso de um polinômio de grau superior a 3 paraintegração numérica.

• O resultado é melhorado pela subdivisão do intervalo de integraçãoe aplicação de uma fórmula de Newton-Cotes em cada subintervalo.

Formulas de Newton-Cotes1 – Regra do Trapézio (composta):

• Integração baseada em polinômio de grau 1:

• Subdividir [a, b] em m subintervalos iguais e aplicar a equação acimaa cada 2 pontos:

• Aplicável a qualquer número de subintervalos m.

c0 = cm = 1

ci = 2, i = 1,2, ..., m-1


• Integração da função f(x) utilizando 6 PI P(x) de grau 1:

Formulas de Newton-CotesExemplo: Usando a regra do trapézio composta com m = 4subintervalos, calcular:

Valor de h:

Dispositivo prático formado por quatro colunas, o com i = 0, 1, ..., m, xi = a, a + h, a + 2h, ..., b, yi = f(xi) e ci sendo os coficientes de Cotes:

Formulas de Newton-CotesExemplo: Usando a regra do trapézio composta com m = 5subintervalos, calcular :

Valor de h:



• Subdividir [a, b] em m (múltiplo de 2) subintervalos iguais. Aplicar aequação acima a cada 3 pontos:

2 – Regra de 1/3 de Simpson (composta):

Número de subintervalos m deve ser múltiplo de 2, que é o grau do PI usado.

c0 = cm = 1

ci = 4 se i impar

ci = 2 se i par

Formulas de Newton-CotesExemplo: Usando a regra do 1/3 de Simpson composta com h = 0,25,verificar que:

Valor de m:

Dispositivo prático:

Formulas de Newton-CotesExemplo: Usando a regra do 1/3 de Simpson composta com m=6,calcular:

Valor de h:



• Subdividir [a, b] em m (múltiplo de 3) subintervalos iguais. Aplicar aequação acima a cada 4 pontos:

3 – Regra de 3/8 de Simpson (composta):

Número de subintervalos m deve ser múltiplo de 3, que é o grau do PI usado.

c0 = cm = 1

ci = 2 se i for múltiplo de 3

ci = 3 resto

Formulas de Newton-CotesExemplo: Usando a regra dos 3/8 de Simpson com m = 6subintervalos, calcular:

Valor de h:

Formulas de Newton-CotesExemplo: Usando usando a regra dos 3/8 de Simpson com passo deintegração h = 0,3, calcular:

Valor de m:


• Erro de truncamento de um polinômio de Gregory-Newton de grau n:

4 – Erro de Integração:

• Regra do trapézio (polinômio de grau n = 1)

• Erro de integração E1,1 cometido ao usar P1(x) no intervalo [x0, x1]

Formulas de Newton-Cotes• Mudança de variável de x para

• Erro de integração global considerando os m subintervalos é:

• i é determinado em cada um dos m subintervalos.

• Se f”(x) for contínua no intervalo [a, b], então existe algum valor dex = [a, b] para o qual o somatório é igual a mf”().

• Considerando o passo de integração:

Formulas de Newton-Cotes• Erro global de integração da regra do trapézio torna-se:

• Regra do 1/3 de Simpson:

• Regra do 3/8 de Simpson:

• Devido à dificuldade de determinar o valor de ele é tomado como oponto no intervalo [a, b], no qual a derivada de f(ii,iv)(x) apresenta omaior valor em módulo.

• As equações fornecem a cota máxima do erro de integração.

Formulas de Newton-CotesExemplo: Utilizando a regra do 1/3 de Simpson com m = 2subintervalos, calcular:

Valor de h:

Erro de integração:

Formulas de Newton-CotesResultado exato:

Formulas de Newton-CotesExemplo: Usando as três primeiras fórmulas de Newton Cotes com m= 6 subintervalos, calcular:

Formulas de Newton-CotesRegra do trapézio:

Regra do 1/3 de Simpson:

Regra dos 3/8 de Simpson :

Formulas de Newton-CotesDeterminação de :

Erro de integração da regra do trapézio:

Erro de integração da regra dos 3/8 de Simpson :

Erro de integração da regra dos 1/3 de Simpson :


Erros de integração máximo e real cometidos:

Regra do 1/3 de Simpson produziu os menores erros máximo e erroreal.

Sinal negativo do erro En indica que a integração numérica foi porexcesso: In > Iexata.

Formulas de Newton-CotesExemplo: Usando as três primeiras fórmulas de Newton-Cotes com E< 10-2, calcular:

Determinação do valor m para cada fórmula:

Regra do trapézio: = .

Regras de Simpson: = /2.

Formulas de Newton-CotesRegra do trapézio:

Regra do 1/3 de Simpson:

Regra dos 3/8 de Simpson :

Formulas de Newton-CotesPasso de integração:


Pela regra do 1/3 de Simpson:

Verificação da exatidão:

Formulas de Newton-CotesExemplo: Verificar o erro cometido no cálculo da integral a seguirusando as seis primeiras fórmulas de Newton-Cotes, com m = 60:

A medida que o grau n do PI aumenta, o erro diminui.

Fórmulas utilizando grau par é melhor do que a de grau ímpar seguinte.

Quadratura de Gauss-Legendre• Escolher pontos igualmente espaçados nas fórmulas de Newton-

Cotes simplifica os cálculos.

• Sem a imposição de espaçamento constante, podem ser obtidasfórmulas que fornecem uma maior exatidão, usando o mesmonúmero de pontos que Newton-Cotes.

Quadratura de Gauss-Legendre

• Com esse objetivo faz-se inicialmente a mudança de variável de xpara t, definida no intervalo [-1, 1]

• Derivando

• E definindo

• A integral

1 – Fórmula para dois pontos:

Quadratura de Gauss-Legendre• Então deseja-se que,

• Expressão análoga à regra do trapézio

• Então deve-se encontrar valores de t1, t2, A1 e A2 que tornem aexatidão a maior possível.

• Método construído de modo a ser exato para polinômios de grau até3. Fazendo

• e impondo

Quadratura de Gauss-Legendre• Para

• Para

• Para

• Para

Quadratura de Gauss-Legendre• Sistema de equações não lineares de ordem 4

• Solução

Quadratura de Gauss-LegendreExemplo: Calcular:

Mudança de variável.

Dispositivo prático:


Resultado exato:

Quadratura de Gauss-LegendreExemplo: Calcular:



Valor exato:

Erro cometido:

Mais exato que pela regra do trapézio com m = 6 subintervalos,equivalente a 7 pontos (30,8816).

Quadratura de Gauss-Legendre2 – Fórmula geral:

• Determinar os valores dos pesos Ai, e das abscissas

• De modo que esta seja exata para polinômios de grau menor ou iguala 2n - 1.

Quadratura de Gauss-Legendre• Sabendo que:

• Impondo:

• Sistema de equações não lineares de ordem 2n


• A solução desse sistema linear pode ser evitada utilizando umprocesso alternativo. Inicialmente sejam os polinômios de Legendredefinidos pela fórmula de recorrência:

• Solução fornece os n pesos Ai e as n abscissas ti.

• Com L0(x) = 1 e L1(x) = x.

• Por exemplo


• Para maior exatidão na fórmula de quadratura é suficiente que ti, i =1, 2, ... . n sejam os zeros do polinômio de Legendre de grau n.

• Conhecidas as abscissas ti, o sistema não linear se reduz a umsistema linear de ordem n

• Em vez de resolver este sistema via decomposição LU, os pesos Ai

podem ser obtidos por

Quadratura de Gauss-Legendre• L’n(ti): derivada de Ln(x) na abscissa ti.

Quadratura de Gauss-LegendreExemplo: Verificar com n=3 e n=4.que:


Para n = 3:

Quadratura de Gauss-LegendrePara n = 4:

Quadratura de Gauss-LegendreExemplo: Com n=5 calcular:



Resultado exato:

Gauss-Legendre com n = 5 é mais exato que a regra do 1/3 de Simpsoncom m = 6 (30,4337).

Quadratura de Gauss-Legendre3 – Erro de integração:

• Erro de integração da fórmula de Gauss-Legendre

• : abscissa, na qual a derivada f2n(x) apresenta o maior valor emmódulo no intervalo [a, b].

• Cota máxima do erro de integração da fórmula de Gauss-Legendre.

Quadratura de Gauss-LegendreExemplo: Com n = 2 e o respectivo erro de integração calcular:


Para n = 2:

Quadratura de Gauss-LegendreDeterminação de .

Cálculo do erro máximo:

Valor exato:

Erro real:

Comparação dos MétodosAs comparações são realizadas por meio dos exemplos a seguir:

Comparação dos Métodos

Foram utilizadas regras simples de Newton Cotes, isto é o grau dopolinômio é igual ao número de subintervalos. O número de ponto deGauss Legendre é igual a m+1, sendo m o número de intervalos deNewton-Cotes, de forma a ter o mesmo número de pontos avaliados.

Quadratura de Gauss-Legendre mais vantajosa !!!

Comparação dos Métodos

1. Frederico Ferreira Campos Filho, Algoritmos Numéricos.

Referencias Bibliográficas

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