Eurekao-1-17-1998-2013

EUREKA! 1-37

Matemtica Olmpica Compilao Omegaleph da

Revista Eureka de 1998 a 2013

03 de Janeiro de 2014

CONTEDO APRESENTAO 2 A NOVA OLIMPADA BRASILEIRA DE MATEMTICA 5 Introduo OLIMPADA BRASILEIRA DE MATEMTICA 7 Problemas de treinamento OLIMPADA BRASILEIRA DE MATEMTICA 12 Problemas das provas das primeiras fases Jnior e Snior 1997 A OLIMPADA DE MAIO 22 Introduo III OLIMPADA DE MAIO 23 Primeiro nvel III OLIMPADA DE MAIO 29 Segundo nvel 9a. OLIMPADA DO CONE SUL 35 Introduo 8a. OLIMPADA DO CONE SUL 36 Problemas ARTIGOS

NMEROS MGICOS E CONTAS DE DIVIDIR 38 Carlos Gustavo Tamm de Arajo Moreira

COMO PERDER AMIGOS E ENGANAR PESSOAS 41 Nicolau C. Saldanha

DOIS PROBLEMAS SOBRE GRAFOS 51 Paulo Cezar Pinto Carvalho

PROBLEMAS PROPOSTOS 58 AGENDA OLMPICA 60 COORDENADORES REGIONAIS 61

Sociedade Brasileira de Matemtica

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APRESENTAO EUREKA!, a revista da Olimpada Brasileira de Matemtica faz par-

te de um grande projeto que tem como objetivo principal contribuir decisi-vamente para a melhoria de ensino de Matemtica em nosso pas.

O que planejamos realizar descrito (de forma resumida), nesta apresentao. DOS OBJETIVOS

O ensino de Matemtica hoje no Brasil difere pouco do ensino pra-ticado h 20 anos. A cada ano, livros novos so editados repetindo quase sempre o mesmo estilo e os mesmos contedos dos anteriores. Existem hoje no Brasil bons livros de Matemtica dedicados aos alunos tanto do ensino fundamental quanto do ensino mdio. Entretanto, o que lhes falta um ingrediente que, no mundo de hoje, fundamental: o estmulo criati-vidade. Entendemos que no suficiente para a formao do futuro cida-do um aprendizado burocrtico da Matemtica e percebemos a importn-cia de estimular os alunos desde tenra idade a resolver problemas novos e desafiantes, propiciando o desenvolvimento da imaginao e da criativida-de.

O programa de Olimpadas de Matemtica reconhecido em todos

os pases do mundo desenvolvido como o mais eficiente instrumento para atingir esse objetivo. Aproveitando o natural gosto dos jovens pelas com-peties, as Olimpadas de Matemtica tm conseguido estimular alunos a estudar contedos alm do currculo escolar e, tambm, por outro lado, aumentar e desenvolver a competncia dos professores. DO PROJETO

O programa de Olimpadas de Matemtica existe no pas h 19 a-nos. Sempre foi pequeno e dedicado a encontrar jovens talentos para a Ma-temtica ou para cincias afins e, neste aspecto, cumpriu sua finalidade. Temos hoje brilhantes matemticos e cientistas de renome mundial que tiveram origem nas Olimpadas de Matemtica. Entretanto, reconhecemos que, com esta atividade, pode-se fazer muito mais. Com parceria do IMPA


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(Instituto de Matemtica Pura e Aplicada) e com a SBM (Sociedade Brasi-leira de Matemtica), foi submetido ao CNPq um projeto que pretende con-tribuir para a melhoria do ensino de Matemtica no Brasil utilizando as Olimpadas de Matemtica como mecanismo propagador. Este projeto teve boa acolhida e neste momento estamos iniciando um trabalho de grandes dimenses que, para ter seus objetivos cumpridos, necessitar tambm (e principalmente) do apoio e da ajuda de diversos segmentos da sociedade: alunos, professores, escolas, universidades, secretarias de educao etc.

Nossa atividade estar centrada na resoluo de problemas e atin-

gir alunos desde a 5a. srie do ensino fundamental at a 3a. srie do ensino mdio e, naturalmente, seus professores. Para a divulgao deste material, utilizaremos esta revista, cartazes mensais com diversas informaes sobre atividades olmpicas e um site na Internet.

Para movimentar os jovens realizar-se- anualmente uma nova O-

limpada Brasileira de Matemtica, que estar dividida em nveis de acordo com a escolaridade do aluno. Alm disso, estaremos apoiando a realizao de competies de Matemtica em nvel regional.

Para os professores, esto sendo planejados cursos de aperfeioa-

mento em diversas regies do pas, tambm colocaremos disposio, a-travs do site da Internet, um vasto banco de problemas e uma biblioteca especializada localizados na nossa sede no IMPA. DA REVISTA

EUREKA!, a revista da Olimpada de Matemtica uma publicao dedicada principalmente aos alunos e professores da escola secundria a qual ser editada quatro vezes ao ano e ter basicamente a seguinte estrutu-ra: a) Seo de problemas de treinamento com solues, dividida, em

trs nveis: para os alunos de 5a. e 6a. sries, para os alunos de 7a. e 8a. sries e para os alunos de ensino mdio. Esta seo pretende fornecer aos alunos material para estudo e pesquisa dirigidos O-limpada Brasileira, que ser realizada nesses mesmos trs nveis.


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b) Seo de artigos de Matemtica elementar, tratando de assuntos que complementem o currculo escolar e que tambm abordem no-vos contedos. Estes artigos estaro classificados em iniciante, in-termedirio ou avanado, de acordo com o estgio de desenvolvi-mento dos leitores aos quais se destinem os artigos.

c) Seo de Problemas de diversos nveis, sem soluo, para que os

leitores possam pesquisar e enviar suas solues para a revista, sendo as melhores publicadas nos nmeros seguintes.

d) Seo de Cartas dos Leitores, em que alunos e professores tero

possibilidade de fazer quaisquer perguntas. Todas as cartas sero respondidas e as mais relevantes sero publicadas.

e) Agenda, para informarmos todas as atividades ligadas s Olimpa-

das de Matemtica no Brasil e no exterior. DOS CARTAZES

Para que nossa atividade permanea viva durante o ano, enviare-mos todos os meses para as escolas cadastradas um cartaz da Olimpada Brasileira de Matemtica. Esse cartaz conter todas as informaes sobre as atividades olmpicas e tambm o Problema do Ms, em cada um dos trs nveis. Contamos com que muitos alunos fiquem interessados nesse desafio e que nos enviem solues.

Todos os colgios cadastrados recebero gratuitamente a revista

EUREKA! e os cartazes mensais. Para cadastrar um colgio, basta entrar em contato conosco dando o nome do colgio, endereo completo e o nome de um professor responsvel para receber a correspondncia.

Rio de Janeiro, abril de 1998


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A NOVA OLIMPADA BRASILEIRA DE MATEMTICA A Olimpada Brasileira de Matemtica ser realizada a partir deste ano de 1998 de forma bastante diferente da que vinha sendo praticada nos ltimos anos. Isto porque agora passa a atingir os alunos desde a 5a. srie do ensino fundamental. Antes, a Olimpada Brasileira de Matemtica era principalmente um instrumento para detectar talentos e desenvolv-los, mas, agora, tem tambm por objetivo promover em mbito nacional a me-lhoria do ensino de Matemtica nas escolas, com o desenvolvimento con-junto de alunos e professores.

A Olimpada Brasileira de Matemtica, a partir deste ano, no ser apenas uma competio. Para a preparao dos alunos e para o aperfeioa-mento dos professores, a OBM distribuir aos colgios revistas e cartazes contendo farto material para estudo e pesquisa, dedicados a cada faixa de escolaridade e desenvolvimento dos alunos. A realizao das provas uma finalizao (sempre parcial) dessa atividade.

A Olimpada Brasileira de Matemtica ser realizada em trs fases e em trs nveis. So eles: Nvel 1 - para alunos da 5. e 6. sries do ensino fundamental. Nvel 2 - para alunos da 7. e 8. sries do ensino fundamental. Nvel 3 - para alunos do ensino mdio (antigo 2. grau). Para cada um dos nveis, a OBM ter trs fases. Na primeira, qual-quer aluno interessado poder participar. Para participar das outras, existir um critrio de promoo. - A prova da primeira fase ser de mltipla escolha, contendo de 20

a 25 questes sobre contedo adequado a cada um dos nveis de escolaridade. Nestas questes, sero includas algumas que depen-dam de alguma criatividade, porm no fugindo dos contedos tra-dicionais das escolas.

- A prova da segunda fase ser discursiva e constar de 6 problemas,

exigindo uma maior dose de iniciativa e criatividade. - A prova da terceira fase ser tambm discursiva. - As provas da primeira e segunda fases da OBM sero realizadas

nas escolas que desejarem participar dessa atividade. A correo


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das provas tambm ser realizada nas escolas, com o salutar en-volvimento de seus professores, de acordo com critrios determi-nados pela organizao. Os coordenadores oferecero locais alter-nativos aos alunos que desejarem participar da Olimpada, caso o colgio onde realizam seus estudos no venha a organizar a ativi-dade.

- A prova da terceira fase ser realizada em um local central desig-

nado pelo coordenador local e corrigida pelo comit organizador da OBM. Para tornar vivel a realizao de uma competio de Matemtica

em mbito nacional, foi criada uma estrutura operativa. As atividades de elaborao das provas, edio da revista, publicao dos cartazes etc. sero centralizadas na Secretaria da Olimpada Brasileira de Matemtica, locali-zada no IMPA (Rio de Janeiro). Para apoiar as atividades no pas, existem hoje cerca de 30 coordenadores regionais que daro assistncia s escolas de sua rea de atuao. Cada colgio participante da OBM ficar, portanto, ligado ao coordenador regional mais prximo, que fornecer toda a assis-tncia necessria.

Em 1998, a Olimpada Brasileira de Matemtica ser realizada nas seguintes datas: Primeira fase: Sbado, 6 de junho Segunda fase: Sbado, 12 de setembro Terceira fase: Sbado, 24 de outubro (nveis 1, 2 e 3) e Domingo, 25 de outubro (nvel 3) A Olimpada Brasileira de Matemtica no de forma alguma uma competio entre colgios. Ela pretende essencialmente despertar nos alu-nos o gosto pelo estudo da Matemtica atravs da resoluo de problemas novos, estimulando o desenvolvimento da imaginao e da criatividade. O aspecto da competio naturalmente existe, mas jamais estar ligado a gru-pos, equipes, colgios, cidades ou regies. Desejamos deixar bem claro que uma medalha oferecida pela Olimpada Brasileira de Matemtica um re-conhecimento ao esforo individual do aluno premiado, mas representa tambm o coroamento de um trabalho em que centenas ou milhares de a-nnimos alunos tambm se desenvolveram. E isto, no fundo, o que im-porta.


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OLIMPADA BRASILEIRA DE MATEMTICA Problemas de treinamento para a Primeira fase

Primeiro nvel 1) Num quadrado formado por 9 quadrados menores e do mesmo ta-

manho, queremos escrever um X e um O, de forma que eles no fiquem vizinhos, isto , os quadrados em que se encontram no podem ter um lado ou um vrtice comum. O desenho abaixo mos-tra uma dessas possibilidades:

De quantas maneiras podemos localizar os dois sinais, respeitadas as condies apresentadas?

a) 32 b) 20 c) 64 d) 18 e) 12

2) Jacira consegue datilografar 20 pginas de um manuscrito em 4

horas e Joana o faz em 5 horas. Ainda restam 900 pginas do ma-nuscrito para datilografar. Se as duas comearem a datilografar no mesmo instante essas pginas, quantas pginas dever pegar a mais lenta, de forma que ambas terminem juntas?

a) 225 b) 500 c) 400 d) 450 e) 180

3) O professor Epaminondas, no primeiro dia de aula, apostou que,

entre os alunos daquela classe, pelo menos dois fariam aniversrio no mesmo dia do ms. O professor tinha certeza de que ganharia a aposta, pois naquela classe o nmero de alunos era maior ou igual a:

a) 15 b) 32 c) 28 d) 31 e) 30


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4) Seu Pedro possui trs lotes quadrados: um deles tem lado de 10 metros, e os outros dois tm lados de 20 metros cada. Seu Pedro quer trocar os trs lotes por um outro lote quadrado, cuja rea seja a soma das reas daqueles trs lotes. O novo lote dever ter lado de medida:

a) impossvel de obter b) 24 metros c) 25 metros d) 40 metros e) 30 metros

5) Um jogo consiste em partir da casa 1 casa 36 numa trilha com

casas numeradas de 1 a 36. Os dois jogadores comeam na casa 1 e o avano de casas depende do lanamento de dois dados cbicos comuns.

- Se a soma dos pontos for par, o jogador avana 3 casas. - Se a soma dos pontos for mpar, o jogador avana 1 casa. - Se o jogador ultrapassar a ltima casa, retorna casa 1. - A ordem com que os jogadores iniciam suas jogadas definida por

alguma forma de sorteio.

Ganha quem parar primeiro na casa 36. O menor nmero de jogadas que algum pode fazer e ganhar

a) 37 b) 13 c) 12 d) 14 e) 17

Segundo nvel 1) A equao do 2. grau ax2 + bx 3 = 0 tem 1 como uma de suas

razes. Sabendo que os coeficientes a e b so nmeros primos posi-tivos, podemos afirmar que a2 + b2 igual a:

a) 29 b) 89 c) 17 d) 13 e) 53

2) Voc j conhece o quadrado mgico de ordem 3: a soma dos n-

meros das linhas, das colunas e das diagonais 15. A figura a se-


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guir mostra uma das oito possibilidades de escrever os nmeros no quadrado:

O nico nmero que no pode mudar de posio em todos esses quadrados mgicos :

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

3) No modo SP, o aparelho de videocassete grava exatamente duas

horas e, no modo EP, grava quatro horas de filme, com menor qua-lidade. Carlinhos quer gravar um filme de 136 minutos, com a me-lhor qualidade possvel. Ele decidiu comear no modo EP e termi-nar no modo SP. Aps quantos minutos de gravao no modo EP ele deve passar ao modo SP ?

a) 20 b) 16 c) 8 d) 32 e) 68

4) Os pontos A, B e C so vrtices de um tringulo cujos lados me-

dem 3, 4 e 5 cm e pertencem ao interior de uma circunferncia, da qual esto a uma distncia de 1 cm. O raio da circunferncia, em centmetros, :

a) 5 b) 7 c) 2,5 d) 4,2 e) 3,5

5) Um nmero de dois algarismos no nulos igual ao dobro do pro-

duto desses algarismos. Esse nmero pertence ao conjunto:

a){11,12,..., 30} b){31,32,..., 50} c){51,52,..., 70} d){71,72,..., 90} e){91,92,..., 99}


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Terceiro nvel 1) Considere trs circunferncias concntricas ( mesmo centro T ) de

raios 1, 2 e 3, respectivamente. Considere um tringulo cujos vrti-ces pertencem, um a cada uma das circunferncias. Sabendo que o tringulo tem rea mxima sob essas condices, podemos afirmar que, para este tringulo, o ponto T o:

a) baricentro b) incentro c) circuncentro d) ortocentro e) ex-incentro

2) Dada a funo f: Z Z ( Z o conjunto dos nmeros inteiros)

definida por x 1 se x mpar f(x) = e x + 1 se x par,

podemos afirmar que o nmero de solues da equao f(x) = f(2x) :

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

3) Na seqncia de inteiros positivos a1, a2,..., ak,, para 1 i k,o

termo ai o i-simo mpar positivo; para i > k, o termo ai a m-dia aritmtica dos termos anteriores. Podemos concluir que a2k igual a:

a) k2 b)k c)2k d) 0 e) k

4) Os vrtices de um tringulo tm coordenadas (0,0), (3,1) e (1,7),

respectivamente. As retas que passam pelos vrtices e por um pon-to T no interior do tringulo dividem-no em 6 tringulos de mesma rea. Ento:

a) T = (3,6) b) T = (2,4) c) T = (4/3, 8/3) d) T = (2,8) e) T = (2/3, 4/3)


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5) Para quantos valores reais de p a equao x3 px2 + px 1 = 0 tem todas as razes reais e inteiras ?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 ou mais

6) Considere o conjunto P dos pontos (x,y) do R2 tais que x e y sejam

inteiros. Por exemplo, (1,1) P. Tome agora uma circunferncia de dimetro igual a 5, de forma que em seu interior haja o maior nmero possvel de pontos de P. Esse nmero :

a) 10 b) 16 c) 20 d) 14 e) 21 Nota: Veja as respostas na pgina 21.

Voc sabia que os antigos egpcios no usavam fraes com numera-

dor maior que 1 nem somavam fraes iguais de numerador 1 ? Assim por exemplo, eles se referiam ao nmero 2/5 como 1/3 + 1/15.

Veja o problema 9 na pgina 60.

#OOO


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OLIMPADA BRASILEIRA DE MATEMTICA Provas Jnior e Snior 1997

At o ano passado a Olimpada Brasileira de Matemtica era realizada em apenas dois nveis.

PRIMEIRA FASE JNIOR

PROBLEMA 1 O nmero N tem trs algarismos. O produto dos algarismos de N 126 e a soma dos dois ltimos algarismos de N 11. O algarismo das centenas de N : a)2 b) 3 c)6 d)7 e)9 PROBLEMA 2 A fortuna de Joo foi dividida da seguinte forma: um quinto para seu irmo mais velho, um sexto do restante para seu irmo mais novo e partes iguais do restante para cada um de seus 12 filhos. Que frao da fortuna cada fi-lho recebeu?

a)201

b)181

c)161

d)151

e)141

PROBLEMA 3 No alvo abaixo, uma certa pontuao dada para a flecha que cai na regio A e outra para a flecha que cai na regio B. Alberto lanou 3 flechas: uma caiu em B e duas em A, e obteve 17 pontos. Carlos tambm lanou 3 fle-chas: uma caiu em A e duas em B, e obteve 22 pontos. Quantos pontos so atribudos para uma flecha que cai na regio A? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

A

B


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PROBLEMA 4 Seja f uma funo definida para todo x real, satisfazendo as condies:

f(3)f(x)=3)+f(x2=f(3)

Ento, f(3) vale:

a)6 b)0 c)21

d)2 e)1

PROBLEMA 5 Quatro carros, de cores amarela, verde, azul e preta, esto em fila. Sabe-se que o carro que est imediatamente antes do carro azul menor do que o que est imediatamente depois do carro azul; que o carro verde o menor de todos; que o carro verde est depois do carro azul; e que o carro amarelo est depois do preto. O primeiro carro da fila: a) amarelo. b) azul. c) preto. d) verde. e) no pode ser determinado apenas com esses dados. OBS: O primeiro da fila o que vem antes de todos os outros. PROBLEMA 6 64 jogadores de habilidades diferentes disputam um torneio de tnis. Na primeira rodada, so feitos 32 jogos (os emparelhamentos so por sorteio), e os perdedores so eliminados. Na segunda rodada, so feitos 16 jogos, os perdedores so eliminados, e assim por diante. Se os emparelhamentos so feitos por sorteio e no h surpresas ( se A melhor que B, A vence B), qual o nmero mximo de jogos que o dcimo melhor jogador consegue jogar? a)2 b)3 c)4 d)5 e)6


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PROBLEMA 7 O nmero de pares (x, y) de reais que satisfazem o sistema de equaes

=++=+

022230122

yxxyyxx

yxyx igual a:

a)0 b)1 c)2 d)3 e)4 PROBLEMA 8 Seja 3x 1x 2 x=y +++ . Se 1 x < 2, ento y igual a: a)x + 4 b)3x 2 c)x 4 d)3x + 2 e)x 2 PROBLEMA 9 Um gramado tem a forma de um quadrado com 10m de lado. Uma corda tem um dos extremos fixado em um dos vrtices, e no outro extremo est amarrado um bode. Se o bode consegue comer metade da grama, ento o comprimento da corda de aproximadamente: a)8m b)7,5m c)7m d)6,5m e)6m PROBLEMA 10

Se p e q so inteiros positivos tais que 1511

qp

107


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PROBLEMA 11 A equao xxx 313210 =++ : a) no tem soluo. b) tem uma nica soluo positiva. c) tem uma nica soluo negativa. d) tem duas solues, uma positiva e outra negativa. e) tem duas solues, ambas negativas. PROBLEMA 12 Como o mdico me recomendou caminhadas, todo dia de manh dou uma volta (com velocidade constante) na quadra em que resido. Minha mulher aproveita para correr (com velocidade constante) em volta do quarteiro. Samos juntos e chegamos juntos. Ela percorre a quadra no mesmo sentido que eu e me ultrapassa duas vezes durante o percurso. Se ela corresse no sentido contrrio ao meu, quantas vezes ela cruzaria comigo? a)2 b)3 c)4 d)5 e)6 PROBLEMA 13 Em uma urna h 28 bolas azuis, 20 bolas verdes, 12 bolas amarelas, 10 bo-las pretas e 8 bolas brancas. Qual o nmero mnimo de bolas que deve-mos sacar dessa urna para termos certeza de que sacaremos pelo menos 15 bolas da mesma cor? a)58 b)59 c)60 d)71 e)72 PROBLEMA 14 Um ladrilho, em forma de polgono regular, foi retirado do lugar que ocu-pava em um painel. Observou-se, ento, que esse ladrilho, se sofresse uma rotao de 40o ou de 600 em torno de seu centro, poderia ser encaixado per-


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feitamente no lugar que ficou vago no painel. O menor nmero de lados que pode ter esse ladrilho : a)6 b)9 c)12 d)15 e)18 PROBLEMA 15 No tringulo retngulo ABC da figura abaixo, est inscrito um quadrado. Se AB = 20 e AC = 5, que porcentagem a rea do quadrado representa da rea do tringulo ABC? a) 25% b) 30% c) 32% d) 36% e) 40% PROBLEMA 16 Em certo pas, a unidade monetria o pau. H notas de 1 pau e moedas de meio pau, um tero de pau, um quarto de pau e um quinto de pau. Qual a maior quantia, em paus, que um cidado pode ter em moedas sem que pos-sa juntar algumas delas para formar exatamente um pau?

a)1211

b)125

1 c)157

2 d)6013

2 e)6043

2

PROBLEMA 17 Joo e Pedro so vendedores e ganham R$ 1000,00 de salrio e comisso de 8% sobre as vendas. Em setembro, Joo ganhou R$ 2000,00 e Pedro ganhou R$ 2 500,00. Nesse ms, as vendas de Pedro superaram as de Joo em: a) 20% b) 25% c) 30% d) 40% e) 50%

A B

C


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PROBLEMA 18 Um tringulo ABC, de lados AB = c, AC = b e BC = a, tem permetro 2p. Uma circunferncia tangencia o lado BC e os prolongamentos dos lados AB e AC nos pontos P, Q e R, respectivamente. O comprimento AR igual a: a)p a b)p b c)p c d)p e) 2p PROBLEMA 19 P um ponto interior a um quadrado ABCD. As distncias de P aos vrti-ces A e D e ao lado BC so iguais a 10cm. O lado do quadrado mede: a)10cm b)12cm c)14cm d)16cm e)18cm PROBLEMA 20 A figura ao lado mostra trs dados iguais. O nmero da face que a base inferior da coluna de dados: a) 1. b) 2. c) 4. d) 6. e) pode ser 1 ou 4.

PRIMEIRA FASE SNIOR (*)

(*) Na prova da primeira fase snior apareceram os problemas 5, 6, 7, 10, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19 e 20 da primeira fase jnior. PROBLEMA 1 Quantos so os pares no-ordenados de inteiros positivos tais que, em cada par, a soma do produto dos nmeros do par com a soma dos nmeros do par com o mdulo da diferena dos nmeros do par seja igual a 20? a)1 b)2 c)3 d)4 e)5


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PROBLEMA 2 O nmero de pares (x, y) de inteiros que satisfazem a equao x + y + xy = 120 : a)1 b)2 c)3 d)4 e)6 PROBLEMA 3

O conjunto-soluo da inequao 1 1

1x x> o conjunto:

a) dos reais diferentes de 0 e de 1. b) dos reais positivos diferentes de 1. c) dos reais diferentes de zero e menores que 1. d) dos reais entre 0 e 1. e) vazio. PROBLEMA 4 O nmero de valores inteiros de m para os quais as razes da equao x2 (m + m2)x + m3 1 = 0 so inteiras igual a: a)0 b)1 c)2 d)3 e)4 PROBLEMA 5 Os vrtices de um decgono regular convexo ABC...J devem ser coloridos usando-se apenas as cores verde, amarela e azul. De quantos modos isso pode ser feito se vrtices adjacentes no podem receber a mesma cor? a)1022 b)1024 c)1026 d)1524 e)1536 PROBLEMA 6 Uma das solues inteiras e positivas da equao 19x + 97y = 1997 , evi-dentemente, (x0, y0) = (100,1). Alm desse, h apenas mais um par de n-meros inteiros e positivos, (x1, y1), satisfazendo a equao. O valor de x1+y1 : a)23 b)52 c)54 d)101 e)1997


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PROBLEMA 7 Selecionam-se 3 vrtices de um cubo. Qual a probabilidade de eles per-tencerem a uma mesma face?

a)51

b)61

c)71

d)72

e)73

PROBLEMA 8

Sendo k inteiro, o nmero de valores distintos de 9k

sen igual a:

a)5 b)8 c)9 d)10 e)18 PROBLEMA 9 Para cobrir um terrao em forma de um retngulo ABCD, usa-se uma placa plana de alumnio apoiada em quatro estacas verticais fixadas nos vrtices do retngulo. A placa fica inclinada em relao ao cho para escoar a gua das chuvas. Se as estacas que partem dos vrtices A, B e C tm comprimen-tos respectivamente iguais a 3, 4 e 5 metros, o comprimento da que parte de D : a)3m b)4m c)5m d)6m e)8m PROBLEMA 10 Se seu salrio sobe 26% e os preos sobem 20%, de quanto aumenta o seu poder aquisitivo? a)5% b)6% c)7% d)8% e)9% PROBLEMA 11 O reservatrio de um caminho-tanque tem a forma de um cilindro de re-

voluo com eixo horizontal e est cheio at 43

da altura. A frao da ca-

pacidade total do resevatrio que est ocupada de aproximadamente: a)80% b)75% c)68% d)60% e)56%


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PROBLEMA 12 O preo de um estacionamento formado por um valor fixo para as duas primeiras horas e um adicional por cada hora subseqente. Se o estaciona-mento por 3 horas custa R$ 5,00 e por 5 horas custa R$ 6,00, quanto custa o estacionamento por 8 horas? a)R$ 7,00 b)R$ 7,50 c)R$ 9,60 d)R$ 12,00 e)R$ 13,33 PROBLEMA 13 O nmero de solues reais da equao x2 = 2x : a)0 b)1 c)2 d)3 e)4

1Voc sabia que aproximadamente: 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066?


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Respostas dos problemas de treinamento Primeira fase da Olimpada Brasileira de Matemtica.

Primeiro nvel 1) a 2) c 3) b 4) e 5) b

Segundo nvel 1) a 2) c 3) d 4) e 5) b Terceiro nvel 1) d 2) a 3) b 4) c 5) b 6) e

RESPOSTAS DA PRIMEIRA FASE -OBM JNIOR- 1997

1) d 8) a 15) c 2) b 9) a 16) d 3) c 10) b 17) e 4) c 11) e 18) d 5) c 12) c 19) d 6) e 13) b 20) c 7) c 14) e

RESPOSTAS DA PRIMEIRA FASE -OBM SNIOR- 1997 1) b 6) a 11) a 2) e 7) e 12) b 3) d 8) c 13) d 4) c 9) b 5) c 10) a

Voc sabia que o erro da aproximao

de por 355/113 menor que 310-7?


EUREKA! N 1, 1998 22

A OLIMPADA DE MAIO Introduo

A Federao Iberoamericana de Competies de Matemtica orga-nizou pela primeira vez a Olimpada de Maio no ano de 1995. A competio est dividida em dois nveis: estudantes menores de 13 anos e estudantes menores de 15 anos. O concurso se realiza por corres-pondncia e est baseado no modelo que segue a Olimpada de Matemtica do Pacfico (APMO), concurso de longa distncia com grande tradio. En maio deste ano se realizar a IV Olimpada de maio, seguindo o calendrio seguinte: Limite para o envio dos problemas. 31 de janeiro Envio dos enunciados das provas aos delegados de cada pas: 11 de abril Prova: 09 de maio, 14h Limite da chegada dos listados e provas para cada pas: 13 de junho Envio dos resultados e diplomas 27 de junho de honra aos delegados de cada pas: A seguir apresentamos as provas da III Olimpada de Maio, realizada em maio de 1997, com as respectivas solues.


EUREKA! N 1, 1998 23

III OLIMPADA DE MAIO Primeiro nvel

Durao da prova: 3 horas. Cada problema vale 10 pontos. No se pode usar mquina de calcular. No se pode consultar livros nem notas. 1) Num tabuleiro quadrado de 9 casas (de trs por trs), deve-se colo-

car nove elementos do conjunto S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9 }, dis-tintos um do outro, de modo que cada um deles fique numa casa e se verifiquem as seguintes condies:

As somas dos nmeros da segunda e terceira fileira sejam, respec-

tivamente, o dobro e o triplo da soma dos nmeros da primeira fi-leira.

As somas dos nmeros da segunda e terceira coluna sejam, respec-tivamente, o dobro e o triplo da soma dos nmeros da primeira co-luna.

Mostre todas as formas possveis de colocar elementos de S no ta-buleiro,cumprindo com as condies indicadas.

2)

No retngulo ABCD, M, N, P e Q so os pontos mdios dos lados. Se a rea do tringulo sombreado 1, calcular a rea do retngulo ABCD.

A B

Q

D P C

N

M


EUREKA! N 1, 1998 24

3) Num tabuleiro de 8 por 8, colocam-se 10 fichas que ocupam, cada uma, uma casa. Em cada casa sem ficha est escrito um nmero entre 0 e 8, que igual quantidade de fichas colocadas nas casas vizinhas. Casas vizinhas so as que tm um lado ou um vrtice em comum.Mostre uma distribuio das fichas que faa que a soma dos nmeros escritos no tabuleiro seja a maior possvel.

4) Joaqun e seu irmo Andrs vo todos os dias para a aula no nibus da linha 62. Joaqun paga sempre as passagens.

Cada passagem tem impresso um nmero de 5 dgitos. Um dia, Jo-aqun observa que os nmeros das passagens, alm de consecuti-vos, so tais que a soma dos dez dgitos precisamente 62.

Andrs pergunta para ele se a soma dos dgitos de algum dos boletos 35 e, ao saber a resposta, pde dizer corretamente o nmero de cada boleto. Quais so estes nmeros? 5) Quando Pablo fez 15 anos, fez uma festa convidando 43 amigos.

Ele tem uma torta com forma de polgono regular de 15 lados e sobre ela coloca 15 velas.

As velas so colocadas de modo que entre velas e vrtices nunca h trs alinhados (trs velas quaisquer no esto alinhadas, nem duas velas quais-quer com um vrtice do polgono, nem dois vrtices quaisquer do polgono com uma vela). Logo depois, Pablo divide a torta em pedaos triangulares, mediante cortes que unem velas entre si ou velas e vrtices, mas nunca se cruzam com ou-tros j realizados. Por que, ao fazer isto, Pablo consegue distribuir um pe-dao para cada um de seus amigos mas ele fica sem comer?


EUREKA! N 1, 1998 25

SOLUES 1) Nas condies do problema, a soma de todos os elementos do qua-drado deve ser um mltiplo de 6. Como 0 + 1 +2 +3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, que deixa resto 3 quando dividido por 6, as nicas possibilidades para o conjunto dos nmeros que aparecem no quadrado so 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (note que retiramos respectivamente 3 e 9 que so os elementos que deixam resto 3 quando divididos por 6). No primeiro caso a soma dos elementos da primeira linha (e da primeira coluna) deve ser :

6945

6= E no segundo:

6345

7=

No primeiro caso, as possibilidades para o conjunto resp. C1 elementos da primeira linha (resp. da primeira coluna) so:{0,1,5}, {0,2,4} e {1,2,3} 1.a) Se L1 = {0,1,5} e C1 = {0,2,4}, temos a nica soluo

487236015

, e, por simetria, se L1 = {0,2,4} e C1 = {0,1,5}, temos

567138024

a) Se L1 {0,1,5} e C1 = {1,2,3} ou L1 = {1,2,3} e C1 = {0,1,5}, temos

387246105

ou

567048123

b) Se L1 = {0,2,4} e C1 = {1,2,3} ou L1 = {1,2,3} e C1 = {0,1,5}, temos


EUREKA! N 1, 1998 26

378156204

ou

468057213

No segundo caso, as possibilidades para L1 (ou C1) so {0,1,6}, {0,2,5} e {1,2,4} (no pode aparecer o 3). Para cada escolha de L1 e C1 temos uma nica possibilidade de soluo, e as solues so:

579068214

489167205

,678059124

,498257106

,687149025

,597248016

e

2)

Sejam O o centro do retngulo e T a interseo de ON com BP.

Os tringulos OTP e OTB so de reas iguais, pois tm a mesma base e igual altura (OP = NB). Como T o ponto mdio, os tringulos OTP e

NTB so iguais, ambos so de rea 1.Ento, a rea do OTP 2 e, como a metade da rea de ONB, a rea de ABCD 16.

3) Cada ficha soma 1 em cada uma das casas vizinhas que esto livres de fi-cha. Uma casa tem como mximo 8 vizinhas ( perde vizinhas se est numa borda do tabuleiro). Vejamos que impossvel colocar as 10 fichas em 10 casas isoladas, tais que nenhuma fique na borda do tabuleiro. Podemos pensar que temos um tabuleiro de 6 por 6 pois as casas das bordas no

A B

Q

D P C

N

M

O T


EUREKA! N 1, 1998 27

interessam ou dividimos em 9 setores 2 por 2, mediante paralelas aos la-dos. Se queremos selecionar casas isoladas, em cada setor podemos esco-lher ao mximo 1. So, em total, no mximo 9 casas isoladas. Se uma casa fica na borda do tabuleiro, ter como mximo 5 vizinhas. Ou seja ao colocar uma ficha ali, somar no mximo 5. Por outro lado, podem-se colocar 8 fichas isoladas mais 2 nas quais as casas se toquem num vrti-ce; neste caso se perde s uma casa vizinha por cada uma delas. A soma total : 8 8 + 2 7 = 78. Duas possveis distribuies so as seguintes: 1 1 2 1 2 1 1 0 1 * 2 * 2 * 1 0 2 2 4 2 4 2 2 0 1 * 2 * 2 * 1 0 2 2 4 2 4 2 2 0 1 * 2 * 2 * 2 1 1 1 2 1 2 2 * 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 2 1 2 1 1 0 1 * 2 * 2 * 1 1 2 3 3 3 3 2 1 1 * 2 * 2 * 1 0 1 2 3 3 3 3 2 1 1 2 * 2 * 2 * 1 1 * 2 2 1 2 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 4) Se o nmero menor abcde, e deve ser 9, pois caso contrrio o

maior seria abcd (e + 1), e a soma dos dez dgitos 2 ( a + b + c + d + e ) + 1, que mpar e no poderia ser nunca 62.

Alm disso, se o nmero menor acaba num nmero par de noves (99 ou 9999), a soma dos dez dgitos tambm seria um nmero m-par.

Assim, o nmero menor abcd9 (d no 9) ou ab999 (b no 9).

No primeiro caso, o outro nmero ser abc(d + 1)0, e a soma dos dez dgi-tos 2( a + b + c + d) + 10 = 62, ou seja, a + b + c + d = 26, e os dgitos


EUREKA! N 1, 1998 28

do nmero menor somam a + b + c + d +9 = 35. Haveria mais de um nmero de cinco dgitos nessas condies 85859, 77669, etc.,) pelo que a resposta que deu Joaqun pergunta do seu irmo foi "no". Assim, os n-meros sero: ab999 e a(b + 1)000, a soma dos dez dgitos 2(a + b) + 28 = 62; assim: a + b = 17, e como b no 9, a = 9 e b = 8. Os nmeros dos boletos so: 98999 e 99000 5) Seja n o nmero de tringulos em que se pode dividir a torta com as condies dadas.

Somaremos os ngulos interiores destes n tringulos de duas formas: (1) 180 n (2) 360 15 + 180 (15 2) Cada ponto interior (vela) contribui com 360, e a soma dos ngulos interi-ores de um polgono convexo de L lados, 180 (L 2). Portanto: 180 n = 360 15 + 180 13, onde n = 43. Tambm pode utilizar-se a relao de Euler de um mapa plano: R + V = L + 1 ( R = regies, V = vrtices e L = lados). Ento V = 30, 3R = 2L 15 ( Todos os lados so comuns a duas regies, exceto os 15 lados do contorno do polgono). Assim, pois:

1303

152 +=+ LL Portanto: L = 72 e R = 43 Voc sabi@ que a pgina web da Olimpada Brasileira de Matemtica http://www.obm.org.br


EUREKA! N 1, 1998 29

III OLIMPADA DE MAIO Segundo nvel

Durao da prova: 3 horas. Cada problema vale 10 pontos. No se pode usar mquina de calcular. No se pode consultar livros nem notas. 1) Quantos so os nmeros de sete algarismos que so mltiplos de

388 e terminam em 388? 2)

Em um quadrado ABCD de lado k, colo-cam-se os pontos P e Q sobre os lados BC e CD , respectivamente, de forma que PC = 3PB e QD = 2QC. Sendo M o ponto de interseo de AQ e PD, determine a rea do tringulo QMD em funo de k.

3) Temos 10000 fichas iguais com a forma de um tringulo equilte-

ro. Com esses pequenos tringulos se podem formar hexgonos re-gulares sem superposies de fichas ou vazios.

Considere agora o hexgono regular que desperdia a menor quan-tidade possvel de tringulos. Quantos tringulos sobram?

4) Nas figuras, assinalam-se os vrtices com um crculo. Chamam-se

caminhos aos segmentos que unem os vrtices. Distribuem-se n-meros inteiros no negativos nos vrtices, e nos caminhos se assi-nalam as diferenas entre os nmeros de seus extremos.

Diremos que uma distribuio elegante se aparecem nos caminhos todos os nmeros de 1 a n, em que n o nmero de caminhos.

A B

D C

M

P

Q


EUREKA! N 1, 1998 30

Veja um exemplo de distribuio elegante: Dar se possvel uma distribuio elegante para as seguintes figuras. Em caso de no ser possvel, mostrar por qu. 5) Quais so as possveis reas de um hexgono com todos os ngulos iguais e cujos lados medem 1,2,3,4,5 e 6 em alguma ordem? SOLUES 1) Soluo A O nmero se expressa como: n. 103 + 388, em que n um nmero de qua-tro cifras. n. 103 + 388 = k. 388. n. 103 = (k 1).388. Mas 388 = 22.97, ento o nmero n de quatro cifras deve ser mltiplo de 97.

9 5

2 0 2

3

4 6

1

7 11

9

12

10 12

8

1

11 7


EUREKA! N 1, 1998 31

N = t.97, com 11 t 103. So 93 nmeros. Soluo B Para que um nmero multiplicado por 388 termine em 388, as ltimas ci-fras devem ser 001, 501, 251 ou 751. O menor mltiplo de 388 que tem sete cifras 388 2578, e o maior 388 25773. Entre 2578 e 25773 temos: 23 nmeros terminados en 001, desde 3001 at 25001 23 nmeros terminados en 501, desde 3501 at 25501 23 nmeros terminados en 251, desde 3251 at 25251 24 nmeros terminados en 751, desde 2751 at 25751 So em total: 23 + 23 + 23 + 24 = 93

Voc sabia que o maior nmero primo conhecido 23021377-1, que tem 909529 dgitos e foi descoberto com a ajuda de um

computador pessoal? Consulte na Internet a pgina

http://www.mersenne.org/prime.htm


EUREKA! N 1, 1998 32

2) Sejam D = (0,0), C = (k,0), B = (k,k) e A = (0,k), temos

=4

3,

kkP e

= 0,

32k

Q

A equao de PD ,43

xy = e de AQ xky23= . Se M= (x0,y0), temos

3043

094

0049

023

043 kxykxkxxkx ===== , que a altu-

ra de M em relao a BQ, donde a rea do QMD ( ) ( )( )

923/3/2

23/ 2kkkkDQ ==

3) Um hexgono a unio de 6 tringulos equilteros iguais. Cada um destes tringulos, se tem lado n, decompe-se em n2 tringulos pequenos. Lado 1 1 tringulo pequeno Lado 2 4 tringulos pequenos Lado 3 9 tringulos pequenos Lado n n2 tringulos pequenos O hexgono de lado n contem 6n2 destes tringulos pequenos.

Busca-se o maior n tais que 6n2 10000 406

100 ==

n Usam-se 6 402 tringulos pequenos. Perdem-se 400 = (1000 6 402) tringulos.


EUREKA! N 1, 1998 33

4) No segundo caso, no possvel, pois devem aparecer nas arestas os nme-ros 1,2,3,,10 (5 pares e 5 mpares). Se quatro ou cinco vrtices recebem nmeros com a mesma paridade, te-mos pelo menos 6 arestas pares, portanto a numerao no ser elegante. Nos outros casos, teramos seis arestas mpares. 5) Sejam x, y, z, u, v, w os lados consecutivos do hexgono.

Prolongamos os lados y, u e w e obtemos um tringulo equiltero. A rea igual rea deste tringulo equiltero menos as reas de trs tringulos equilteros de lados x, z e v.

rea do hexgono: ( ) ++ 222243 zvxzyx Vejamos quais so os possveis valores de x, y, z, u, v, w. Seja x = 1, temos w + x + v = y + x + z w + x + v = v + u + z (pois o tringulo de fora equiltero) Donde temos w + v = y + z w + x = u + z E temos v + x = y u. No pode ser v x = 5, porque os nicos dois nmeros que tm diferena 5 so 1 e 6.

4 5 6 0

6

1

4

1

2

3


EUREKA! N 1, 1998 34

Se v x = 4, temos v = 5, y = 6, u = 2. De w + 6 = z + 7, resulta, alm disso, w = 4, z = 3. Se v x = 3, ento v = 4. Pode ser y = 5, u = 2 ou y = 6, u = 3.

O primeiro caso impossvel, porque no quedam valores de w, z tais que w + 5 = z + 7. O segundo tambm impossvel, pois no restam valores de w, z tais que w + 4 = z +6

Se v x = 2, temos v = 3 e pode ser y = 6, u = 4 ou y = 4, u = 2 No primeiro caso, w + 4 = z + 7, donde w = 5, z = 2. Se v x = 1, temos v = 2 e pode ser y = 4, u = 3 ou y = 5, u = 4 ou y = 6, u = 5.

O primeiro e terceiro casos so impossveis. No segundo caso, w + 3 = 6 + z, onde w = 6, z = 3.

Os possveis valores da rea so: ( ) =43

65925110043

( )43

679418143 =

Os hexgonos so:

1

6

4 5

2

3

1 4

2

3 5

6


EUREKA! N 1, 1998 35

9a. OLIMPADA DE MATEMTICA DO CONE SUL Salvador - BA, 13 a 21 de junho de 1998

A 9. Olimpada de Matemtica dos pases do Cone Sul ser reali-

zada em Salvador, BA, no perodo de 13 a 21 de junho de 1998. Esta O-limpada ser realizada pela segunda vez no pas (a primeira foi em 1993, em Petrpolis, RJ). Dela participam alunos de at 15 anos dos seguintes pases: Argentina, Brasil, Bolvia, Chile, Paraguai, Peru e Uruguai. A or-ganizao da Olimpada est a cargo da Professora Luzinalva Amorim, da Universidade Federal da Bahia.

A equipe brasileira ser selecionada atravs de provas realizadas em maro e maio deste ano e ser liderada pelos professores Paulo Cezar Pinto Carvalho, do IMPA, e Florncio Ferreira Guimares, da UFES.

A competio consta de duas provas, realizadas em dois dias, cada uma com trs problemas, valendo 10 pontos cada. Veja abaixo as provas da ltima Olimpada de Matemtica do Cone Sul, realizada em Assuno (Paraguai), em 1997, e os resultados obtidos pela equipe brasileira.

Voc sabi@ que a Olimpada Brasileira de Matemtica

j tem pgina web??

Visite-nos no endereo eletrnico http://www.obm.org.br


EUREKA! N 1, 1998 36

8a. OLIMPADA DO CONE SUL 21 a 25 de Abril de 1997. Assuno, Paraguai.

Primeiro dia. Tempo: trs horas. PROBLEMA 1 De cada nmero inteiro positivo n, n 99, subtramos a soma dos quadra-dos de seus algarismos. Para que valores de n esta diferena a maior pos-svel? PROBLEMA 2 Seja C uma circunferncia de centro O, AB um dimetro dela e R um ponto qualquer em C distinto de A e de B. Seja P a interseo da perpendicular traada por O a AR. Sobre a reta OP se marca o ponto Q, de maneira que QP a metade de PO e Q no pertence ao segmento OP. Por Q traamos a paralela a AB que corta a reta AR em T. Chamamos de H o ponto de interseo das retas AQ e OT. Provar que H, R e B so colineares. PROBLEMA 3 Demonstrar que existem infinitos ternos (a, b, c), com a, b, c nmeros na-turais, que satisfazem a relao: 2a2 + 3b2 5c2 = 1997. Segundo dia. Tempo: trs horas. PROBLEMA 4 Considere um tabuleiro de n linhas e 4 colunas. Na 1a. linha so escritos 4 zeros (um em cada casa). A seguir, cada linha obtida a partir da linha anterior realizando a seguinte operao: uma das casas, a escolher, mantida como na linha anterior; as outras trs so tro-


EUREKA! N 1, 1998 37

cadas: se na linha anterior havia um 0, coloca-se 1; se havia 1, coloca-se 2; e se havia 2, coloca-se 0. Construa o maior tabuleiro possvel com todas as suas linhas distintas e demonstre que impossvel construir um maior. PROBLEMA 5 Seja n um nmero natural, n > 3. Demonstrar que entre os mltiplos de 9 menores que 10n h mais nmeros com a soma de seus dgitos igual a 9(n-2) que nmeros com a soma de seus dgitos igual a 9(n-1). PROBLEMA 6 Considere un tringulo acutngulo ABC, e seja X um ponto do plano do tringulo. Sejam M, N e P as projees ortogonais de X sobre as retas que contm as alturas do tringulo ABC. Determinar para que posies de X o tringulo MNP congruente a ABC. Nota: a projeo ortogonal de um ponto X sobre uma reta l a interseo de l com a perpendicular a ela que passa por X. RESULTADOS OBTIDOS PELA EQUIPE BRASILEIRA BRA 1 Murali Srinivasan Vajapeyam OURO BRA 2 Rui Lopes Viana Filho OURO BRA 3 Christian Iveson BRONZE BRA 4 Daniele Vras de Andrade BRONZE


EUREKA! N 1, 1998 38

NMEROS MGICOS E CONTAS DE DIVIDIR Carlos Gustavo Tamm de Arajo Moreira

Nvel Iniciante. Temas muito inocentes de aritmtica bsica, como contas de multiplicar, podem gerar resultados bastante interessantes e surprendentes, como ao multiplicar o nmero 142857 por 2, 3, 4, 5, 6 e 7: 142857 2 = 285714 142857 3 = 428571 142857 4 = 571428 142857 5 = 714285 142857 6 = 857142 Por que razo acontece essa repetio dos dgitos de 142857 ao multiplic-lo por 2, 3, 4, 5 e 6, sempre com a mesma ordem circular? Ser mera coin-cidncia? Ser possvel obter outros exemplos desse tipo? A resposta tem a ver com o resultado de 142857 7, que 999999. Isso quer dizer que o perodo da representao decimal de 1/7 exatamente 142857. Vamos examinar com cuidado a conta de diviso de 1 por 7: 10 7 30 0,142857 20 60 40 50 1 repetindo o resto 1, o que quer dizer que todo o processo se repete e o re-sultado da diviso 1/7 = 0,142857142857142857 Podemos reescrever o processo assim: 1 = 0 7 + 1 10 = 1 7 + 3 30 = 4 7 + 2 20 = 2 7 + 6 60 = 8 7 + 4 40 = 5 7 + 5


EUREKA! N 1, 1998 39

50 = 7 7 + 1. Da temos: 10 7 1 = 3, e portanto 100-7 10 = 30, e como 30 7 4 = 2 temos: 100 7 (10 + 4) = 2, e analogamente obtemos: 1000 7 (100 + 40 + 2) = 6 10000 7 (1000 + 400 + 20 +8) = 4 100000 7 (10000 + 4000 + 200 + 80 + 5) = 5 1000000 7 (100000 + 40000 + 2000 + 800 + 50 + 7 ) = 1 ( A ltima igualdade diz que 142857 7 = 999999) Desta forma, os restos sucessivos que aparecem na diviso de 1 por 7, que so 3, 2, 6, 4, 5, 1 so, respectivamente, os restos na diviso por 7 de 10, 100, 1000, 10000, 100000 e 1000000. Estes restos assumem todos os valo-res possveis entre 1 e 6 e isso equivale ao fato de o perodo de 1/7 ter 6 casas. Desta forma, temos: 2 0,142857142857142857 = 2/7 = 100/714 = 100 0, 14285714 2857142857 14 = 0,285714285714285714, e, portanto, temos 2 142857 = 285714 Da mesma maneira temos que 3/7 = 10/7 1 implica 3 142857 = 428571, e as outras igualdades seguem de modo anlogo. Notemos agora que sempre que o perodo da representao decimal de 1/n tiver n 1 casas decimais (que o mximo possvel), o perodo (que ser igual a (10n-1 1) / n ) ter as mesmas propiedades de 142857. O primeiro valor de n maior que 7 para o qual isso acontece 17, e o perodo de 1/17 0588235294117647. Multiplique esse nmero por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 e 17 para conferir. Observe que, para que isso acontea, n deve ser um nmero primo, pois se n = p b, com b maior que 1 e p um nmero primo diferente de 2 e 5, ento p nunca aparecer como resto na diviso de 1 por n, pois em geral um fator primo comum de n e de um resto que aparece na diviso de 1 por n s pode ser 2 ou 5 ( de fato, um resto que aparece na diviso de 1 por n resto da diviso de alguma potncia de 10 por n ). Por outro lado, se os nicos fatores primos de n so 2 e 5, ento 1/n tem representao decimal finita.


EUREKA! N 1, 1998 40

Concluso: Se o perodo de 1/n tiver n1 casas decimais, ele ter propiedades anlogas s de 142857: os dgitos de seus produtos por 1, 2, 3, 4, , n1 sero sempre os mesmos, na mesma ordem circular. Para que isso acontea, n deve ser primo e a menor potncia de 10 que deixa resto 1 quando dividida por n deve ser 10n1. Dizemos que, nesse caso, 10 raiz primitiva mdulo n. No se sabe se existem infinitos primos n com essa propriedade. Isso seguiria de uma famosa conjectura de teoria dos nme-ros, a conjectura de Artin (vide [V]).

Os nmeros primos n menores que 100 tais que o perodo de 1/n

na base 10 tem n 1 casas so 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 e 97.

Por outro lado, para todo nmero primo n existem nmeros natu-rais B entre 2 e n 1 tais que o perodo de 1/n na base B tem exatamente n 1 casas (nesses casos B raiz primitiva mdulo n). Se um nmero B tem essa propriedade, todas as bases da forma kn + B com k natural tambm tm. Nesses casos, o perodo de 1/n na base B ( ou seja, o nmero (Bn-11)/n ), quando multiplicado por 1, 2, 3, , n 1 ter repre-sentaes na base B que sero permutaes uma da outra com a mesma ordem circular. Por exemplo, com n = 5 e B = 8, temos que a representao de 1/5 na base 8 0,146314631463 Na base 8 temos: 2 (1463)8 =(3146)8 , 3 (1463)8 = (4631)8 , 4 (1463)8 = (6314)8 , 5 (1463)8 = (7777)8 Referncias: [L] Lima, Elon L., Meu Professor de Matemtica e outras histrias, pp. 158-170 SBM, 1991. [T] Tahan, Malba, O homen que calculava, Ed. Record. [V] Voloch, Jos Felipe, Raizes Primitivas e a Conjectura de Artin, Revista Ma-temtica Universitria N9/10, dezembro de 1989, pp. 153-158.


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COMO PERDER AMIGOS E ENGANAR PESSOAS Nicolau C. Saldanha

Nvel Avanado.

Neste artigo apresentaremos quatro situaes simples em que pro-babilidades enganam. Em alguns casos a probabilidade de certos eventos tem um valor diferente daquele que a maioria das pessoas parece julgar razovel, pelo menos de incio; em um exemplo mostraremos como facil chegar a concluses absurdas. Para que o leitor possa pensar sozinho, apre-sentaremos primeiro quatro "enunciados", em que lanamos cada situao, e depois quatro "desenvolvimentos" em que voltamos a discutir as quatro situaes na mesma ordem. Qualquer um pode usar estes exemplos para divertir-se s custas de seus amigos, mas em nenhum caso o autor tem res-ponsabilidade pela integridade fsica daqueles que usarem a Matemtica para o mal.

ENUNCIADOS 1. Em um programa de auditrio, o convidado deve escolher uma dentre trs portas. Atrs de uma das portas h um carro e atrs de cada uma das outras duas h um bode. O convidado ganhar o que estiver atrs da porta; devemos supor neste problema que o convidado prefere ganhar o carro. O procedimento para escolha da porta o seguinte: o convidado escolhe ini-cialmente, em carter provisrio, uma das trs portas. O apresentador do programa, que sabe o que h atrs de cada porta, abre neste momento uma das outras duas portas, sempre revelando um dos dois bodes. O convidado agora tem a opo de ficar com a primeira porta que ele escolheu ou trocar pela outra porta fechada. Que estratgia deve o convidado adotar? Com uma boa estratgia, que probabilidade tem o convidado de ganhar o carro? 2. Um mvel tem trs gavetas iguais. Em uma gaveta h duas bolas bran-cas, em outra h duas bolas pretas, e na terceira h uma bola branca e outra preta. Abrimos uma gaveta ao acaso e tiramos uma bola ao acaso sem olhar a segunda bola que est na gaveta. A bola que tiramos branca. Qual a probabilidade de que a segunda bola que ficou sozinha na gaveta seja tam-bm branca?


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3. Dois amigos querem decidir quem pagar a conta do restaurante com uma aposta. Cada um deles escolhe uma seqncia de trs caras ou coroas, e eles jogam uma moeda at que saia uma das duas seqncias: aquele que tiver escolhido a primeira seqncia a sair ganhou a aposta. Por exemplo, Andr (por ser o primeiro em ordem alfabtica) o primeiro a escolher e fica com a seqncia ckc (em que c representa cara e k coroa) enquanto Bernardo responde com cck. Eles jogam a moeda obtendo kckkckkkkccck, e neste momento Bernardo declara-se o vencedor. Esta aposta justa? Andr leva vantagem ou desvantagem por ser o primeiro a escolher? Quais so as probabilidades de vitria de cada um? 4. Aqui novamente devemos nos imaginar em um programa de auditrio. Eugnio foi sorteado e tem direito a um prmio, mas ele deve escolher en-tre dois envelopes lacrados aparentemente iguais. O apresentador informa que cada envelope tem um cheque e que o valor de um cheque o dobro do outro, mas no diz nada sobre o valor dos cheques, nem indica qual enve-lope contm o cheque de maior valor. Eugnio escolhe e abre um envelope que contm um cheque de, digamos, R$ 100. Neste momento, o apresenta-dor sempre faz uma proposta ao convidado: ele pode trocar de envelope mediante uma multa de 5% do valor do cheque que ele tem em mos, no caso, R$ 5. Assim, se Eugnio aceitar, ele pode ganhar R$ 45 (se o cheque no segundo envelope for de R$ 50) ou R$ 195 (se o outro cheque for de R$ 200). Suponhamos que Eugnio (que fez um curso de Introduo Proba-bilidade no perodo anterior) queira maximizar o valor esperado de seu prmio. Deve ele aceitar a troca? E se o valor do primeiro cheque tivesse sido outro, de que forma deveria isto influenciar a deciso de Eugnio? Se Eugnio trocar de envelope independentemente do valor do cheque, no vale mais a pena para ele trocar de envelope antes de abrir, evitando, assim, a multa? DESENVOLVIMENTOS 1. A resposta correta que, trocando de porta, a probabilidade de ganhar o carro 2/3, enquanto no trocando a probabilidade apenas 1/3. Uma for-ma simples de ver isto a seguinte: trocando de porta, o convidado ganha, desde que a primeira porta que ele escolher esconda um dos dois bodes, como se pode facilmente perceber. A melhor estratgia para o convidado ,


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portanto, trocar sempre, e assim sua probabilidade de ganhar fica sendo 2/3. O erro comum aqui achar que, aps a eliminao de uma porta (que foi aberta pelo apresentador, revelando um bode), h uma simetria entre as duas outras portas e a probabilidade de cada uma esconder o carro 1/2. No existe, entretanto, tal simetria, pois a porta escolhida pelo convidado no poderia, pelas regras, ser trocada pelo apresentador, enquanto a outra poderia ter sido aberta, mas no foi. Este processo de fato era seguido em um programa nos Estados Unidos. Uma longa e spera discusso ocorreu na imprensa quanto a qual era o va-lor correto da probabilidade, e pessoas que deveriam ser capazes de resol-ver um problema trivial como este passaram pela vergonha de publicar so-lues erradas. Julgamos melhor esquecer os detalhes deste episdio de-primente. 2. A resposta correta 2/3 (e no 1/2). As seis bolas seriam de incio i-gualmente provveis, mas sabemos que a primeira bola escolhida foi bran-ca: assim, as trs bolas brancas tm igual probabilidade. Estamos interessa-dos em saber a cor da companheira de gaveta de cada bola branca: em dois casos branca, em um caso preta. Assim, a probabilidade de que a se-gunda bola seja branca 2/3, como j afirmamos. Um raciocnio comum, mas errado, dizer: as gavetas so igualmente pro-vveis, mas obviamente no escolhemos a gaveta que contm duas bolas pretas. Portanto, teramos probabilidade 1/2 de termos escolhido a gaveta com duas bolas brancas e 1/2 de termos escolhido a gaveta com uma bola de cada cor; no primeiro caso, a segunda bola branca e, no segundo caso, a bola preta. Assim, a resposta seria 1/2. O que h de errado neste raciocnio? O erro est em dizer que as duas ga-vetas possveis so igualmente provveis. Inicialmente a probabilidade de cada gaveta de fato a mesma (inclusive para a gaveta com duas bolas pre-tas), mas, ao tirarmos uma bola e constatarmos que ela branca, isto deixa de ser verdade. Isto bem bvio para a gaveta com duas bolas pretas: pas-sou a ser impossvel termos escolhido esta gaveta. Entre as duas outras ga-vetas, entretanto, h uma diferena que est sendo ignorada no raciocnio do pargrafo anterior. Se pr-escolhermos a gaveta com duas bolas bran-


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cas, temos certeza de passar no teste: uma bola escolhida ao acaso nesta gaveta ser sempre branca. Por outro lado, se pr-escolhermos a gaveta com uma bola de cada cor, ainda temos probabilidade 1/2 de sacarmos uma bola preta, o que estaria em contradio com o enunciado. Assim, a proba-bilidade de termos escolhido cada uma destas duas gavetas 2/3 e 1/3, res-pectivamente. Podemos, a partir deste ponto facilmente deduzir a resposta correta de 2/3. fato emprico desencorajador que muitas pessoas teimam em dizer que a probabilidade 1/2 mesmo aps esta explicao. O seguinte exemplo serve como exerccio para aqueles que entenderam a explicao e uma espcie de reduo ao absurdo do raciocnio "rival". Temos novamente trs gave-tas, uma com vinte bolas brancas, uma com vinte bolas pretas e a terceira com dez bolas de cada cor. Abrimos uma gaveta e, sem olhar, retiramos ao acaso dez bolas: elas so todas brancas. Qual a probabilidade de que as dez bolas restantes sejam tambm brancas? 3. No nosso exemplo, Bernardo tinha probabilidade 2/3 de ganhar. Em ge-ral, o segundo a jogar leva uma vantagem considervel e, se escolher bem sua resposta, pode garantir uma probabilidade de vitria de pelo menos 2/3, mas s vezes at 7/8, dependendo da primeira jogada. A Tabela 1 d a pro-babilidade de vitria de Bernardo para cada par de jogadas (a coluna a jogada de Andr e a linha a de Bernardo).

ccc cck ckc ckk kcc kck kkc kkk ccc _ 1/2 2/5 2/5 1/8 5/12 3/10 1/2 ccc 1/2 _ 2/3 2/3 1/4 5/8 1/2 7/10 ckc 3/5 1/3 _ 1/2 1/2 1/2 3/8 7/12 ckk 3/5 1/3 1/2 _ 1/2 1/2 3/4 7/8 kcc 7/8 3/4 1/2 1/2 _ 1/2 1/3 3/5 kck 7/12 3/8 1/2 1/2 1/2 _ 1/3 3/5 kkc 7/10 1/2 5/8 1/4 2/3 2/3 _ 1/2 kkk 1/2 3/10 5/12 1/8 2/5 2/5 1/2 _

Tabela 1

No reconstruiremos aqui toda a tabela: apresentaremos apenas como e-xemplo a situao descrita no enunciado. O leitor que estiver interessado em aprender mais sobre este problema pode consultar nosso Precisa-se de algum para ganhar muito dinheiro, a ser publicado na Revista do Profes-


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sor de Matemtica do Chile, mas j disponvel na home page do autor: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/. O Diagrama 2 descreve bem a situa-o. Os seis vrtices indicam as seis situaes possveis durante o processo de jogar a moeda. O ponto indica que nenhum jogador tem como esperar fazer uso das jogadas j feitas, ou seja, ou nenhum lance ainda foi feito, ou foi lanado apenas um k, ou os dois ltimos lances foram kk; como o jogo sempre comea nesta situao, chamaremos este vrtice de inicial. O c in-dica que o ltimo lance foi um c mas o anterior ou no existiu ou foi um k. Os vrtices cc e ck indicam que estes foram os dois ltimos lances. Final-mente, os vrtices cck e ckc indicam que o jogo terminou; chamaremos estes vrtices de finais.

Diagrama 2 As duas setas partindo de cada vrtice (exceto os finais) indicam como a situao se modifica a cada lance de moeda: elas correspondem s possibi-lidades de tirar c ou k em um dado momento. Queremos agora calcular a probabilidade de vitria de Bernardo, dado que o jogo chegou a uma certa situao. Temos, assim, quatro probabilidades a serem calculadas: p., pc, pcc e pck; consideramos naturalmente pcck = 1 e pckc = 0. Como a par-tir de cada vrtice no final as probabilidades associadas s duas setas so iguais, temos as seguintes equaes:

p. = 1/2 (p. + pc) pc = 1/2 (pcc + pck) pcc= 1/2 (pcc + 1) pck= 1/2 p. .

Resolvendo o sistema, temos p. = 2/3, conforme afirmamos. O erro mais natural aqui achar que todas as seqncias so igualmente boas: isto no verdade, pois os dois ltimos lances em geral serviram,

ck

cc cck

ckc c


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sem sucesso, para tentar finalizar as seqncias e serviro agora para tentar inici-las. Mais surpreendente ainda o fato de que o segundo jogador sempre tem uma boa resposta: este jogo um pouco como jogar par-ou-mpar ou pedra-papel-tesoura com um dos jogadores tendo o direito de es-colher sua jogada s depois de ver a jogada do adversrio. 4. Antes de mais nada gostaramos de lembrar que Eugnio deseja, por hiptese, maximizar o valor esperado do prmio. Este critrio razovel em algumas situaes e em outras no. Outro convidado poderia precisar desesperadamente de uma certa quantia, talvez R$ 100, e gostaria, portan-to, de maximizar a probabilidade de ganhar pelo menos este valor crtico. Ainda outro convidado pode ser to curioso que deseja saber quanto h em cada envelope mais do maximizar seu prmio. O leitor, se fosse o convida-do, talvez julgasse interessante considerar ainda outros aspectos. Podemos imaginar inmeros critrios diferentes e em princpio cada critrio gera um novo problema. Ns nos propomos aqui a estudar o problema na forma em que foi proposto e no a discutir se Eugnio, com sua opo pelo valor es-perado, um homem verdadeiramente sbio. Neste problema, ao contrrio dos outros, apresentaremos inicialmente um raciocnio falho e vamos segui-lo at chegarmos a um absurdo deixando a anlise dos erros deste raciocnio para o final. Para tornar a discusso toda mais viva, acompanharemos o pensamento de Eugnio. Ao receber a proposta de troca, Eugnio pensa: Se ficar com este cheque, meu prmio ser de R$ 100. Se trocar de cheque, tenho probabilidade 1/2 de ganhar R$ 45 e probabilidade 1/2 de ganhar R$ 195: o valor esperado de (1/2) 45 + (1/2) 195 = 120 reais. Como 120 maior que 100, a troca vantajosa. Eugnio troca de cheque e fica felicssimo ao ver que o outro cheque de R$ 200: ele ganhou R$ 195! Ao voltar para seu lugar no auditrio, Eugnio continua pensando: Na ver-dade vale a pena trocar qualquer que seja o valor do primeiro cheque. Se chamarmos este valor de x, temos por um lado a opo de ficar com x e por outro lado a opo de arriscar, com probabilidade 1/2 de ganhar 0.45x e probabilidade 1/2 de ganhar 1.95x. No primeiro caso, o valor es-perado x e, no segundo caso, o valor esperado 1.2x. Assim, como x > 0,


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vale sempre a pena trocar. Eugnio fica feliz com sua concluso e pensa como seu curso de Probabilidade foi til. Mas um pouco mais tarde Eugnio comea a ter dvidas quanto a suas concluses: Se vale a pena trocar de envelope sempre, ento no neces-srio abrir o envelope e ler o valor do cheque para tomar a deciso de trocar. Neste caso, eu poderia ter trocado de envelope um minuto antes e ter evitado a multa. Eugnio fica irritado, pensando que poderia ter ganha-do 5 reais a mais se apenas tivesse pensado mais rpido. Mas ele continua pensando: Ei, espere, h algo errado! Um minuto antes os dois envelopes estavam lacrados e pareciam iguais para mim: trocar significaria apenas escolher o outro. Mas, ento, cada vez que eu penso em um envelope tenho que trocar e nunca posso escolher nada! Assim, ao invs de aproveitar seu prmio, Eugnio passa a noite angustia-do com seu paradoxo. Na manh seguinte, Eugnio procura seus colegas do curso de Probabilidade com a pergunta: o que exatamente h de errado com este raciocnio? O erro de Eugnio est logo no incio, quando aceita, sem alis sequer questionar, que a probabilidade do segundo cheque ser maior 1/2. O leitor deve estar muito surpreso: quase como se de repente dissssemos que cara e coroa tm probabilidades diferentes. Por isso daremos uma explica-o relativamente longa para tentar convencer. Comearemos fazendo algumas digresses considerando o que um outro convidado, o Joo, que nunca estudou probabilidade, mas que tem bom senso, faria em algumas situaes extremas. Joo no acompanha todos os sorteios, mas mesmo assim ele certamente tem alguma noo, por vaga que seja, de qual a faixa dos prmios. Assim, se o valor do primeiro cheque fosse muito baixo, Joo certamente pensaria: No possvel, ou pelo me-nos no provvel, que o segundo cheque seja ainda menor. Assim, quase certamente eu peguei o envelope com o cheque de menor valor (alm de ter tido o azar de vir em um dia em que os prmios foram baixos) e aposto que o outro cheque maior: vou trocar. Por outro lado, se o valor do primeiro cheque fosse muito alto, seu pensamento seria: Que sorte, hoje os prmios esto timos! E muito improvvel que o segundo cheque seja ainda mai-or! Vou ficar com este cheque mesmo! Assim, Joo no atribui probabili-dades iguais s duas possibilidades (o segundo cheque ser maior ou me-


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nor), e as probabilidades que ele atribui (inconscientemente) a estes dois eventos dependem do valor do primeiro cheque. Bem, este era o Joo e no o Eugnio: ao consider-lo, desviamo-nos tem-porariamente do problema original e do contexto que nos impusemos no primeiro pargrafo deste desenvolvimento, pois Joo nem sabe o que o valor esperado e seus critrios no so os de Eugnio. Joo atribuiu subje-tivamente probabilidades diferentes aos dois eventos; Eugnio (que alis no se defrontou com situaes extremas) atribuiu probabilidades iguais. Ser que em algum sentido errado atribuir sempre probabilidades iguais? Sim, atribuir probabilidades sempre iguais no apenas errado, mas con-traditrio com a Teoria da Probabilidade que Eugnio tenta usar. Para en-tender isto, vamos representar cada configurao inicial de envelopes por um par ordenado (x1, x2) de nmeros reais positivos: x1 o valor do cheque no primeiro envelope escolhido pelo convidado, e x2 o valor do segundo cheque. Assim, o espao amostral R2 a unio de duas semi-retas a-bertas partindo da origem, como mostrado na Figura 3. A histria que con-tamos envolvendo Eugnio corresponde ao ponto (100, 200), tambm indi-cado. Ao abrir o primeiro envelope, definimos o valor de x1 e ficamos res-tritos interseo de com uma reta vertical, ou seja, aos dois pontos (x1, x2 = 2x1) e (x1, x2 = x1/2). Eugnio implicitamente aceita que a probabilidade condicional a um valor qualquer fixo para x1 destes dois pontos 1/2. Assim, ele deve aceitar que:

P({(t, 2t); t [T, 2T)}) = P({(t, t/2); t [T, 2T)})

para qualquer nmero positivo T, em que P(C), C , denota a probabili-dade de que (x1, x2) esteja em C. Por outro lado, a simetria inicial entre os envelopes diz que

P({(t, 2t); t [T, 2T)}) = P({(2t, t); t [T, 2T)}).

Sejam

An = {(t, 2t); t [2n, 2n+1)}, Bn = {(2t, t); t [2n ,2n+1)},


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em que n um inteiro qualquer; as identidades acima nos do P(An) = P(Bn-1) e P(An) = P(Bn), respectivamente. Por induo, P(An) = P(Bn) = P(A0) para todo n. Observemos desde j que esta concluso no mnimo estranha: ela diz que a probabilidade de o valor de menor cheque estar en-tre 64 e 128 igual probabilidade de o menor cheque estar entre 264 e 265, ou entre 24199021 e 24199022; no prximo pargrafo veremos que esta conclu-so no apenas estranha, mas realmente absurda, mesmo ignorando o fato de que um prmio de R$ 24199021 uma impossibilidade prtica.

X2

300

200 (100,200)

100

(100,50) 100 200 300 X1 Figura 3 Observemos que os conjuntos An e Bn so dois a dois disjuntos e sua unio . Se P(A0)>0, podemos tomar N N tal que N P(A0)>1 e temos

,10

>


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0)( =


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DOIS PROBLEMAS SOBRE GRAFOS Paulo Cezar Pinto Carvalho

IMPA Nvel Intermediario.

INTRODUO

A figura abaixo mostra um mapa rodovirio de um pas fictcio. Neste artigo vamos examinar dois problemas relativos a este mapa: 1. Um funcionrio, encarregado de verificar, periodicamente, o estado das estradas, deseja planejar a sua rota de inspeo. Idealmente, esta rota deve-ria se iniciar na capital e percorrer cada estrada exatamente uma vez, vol-tando, ento, ao ponto de partida. Existe tal rota? 2. Um representante de vendas de uma companhia deseja planejar uma rota na qual ele visite cada cidade exatamente uma vez, voltando ao ponto de partida. Existe tal rota?

Fig. 1 - Mapa rodovirio de um pas fictcio

H vrios pontos em comum entre os dois problemas. Por exem-plo: em ambos se deseja verificar a existncia de um circuito (ou ciclo) no grafo determinado pelo mapa (um grafo um par (V, A), em que V o con-junto de vrtices do grafo, e A um conjunto de pares de vrtices os ar-cos do grafo). No primeiro problema, este circuito deve incluir exatamente uma vez cada arco do grafo. No segundo problema, o circuito deve incluir exatamente uma vez cada vrtice do grafo. Embora os dois problemas se-jam aparentemente semelhantes, h algumas diferenas fundamentais entre eles. Convidamos os leitores a refletir um pouco sobre cada um deles antes de prosseguir.


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CIRCUITOS EULERIANOS

O primeiro problema o do inspetor de estradas foi estudado pe-la primeira vez por Euler (1707-1783). Por esta razo, um circuito que percorre cada arco de um grafo exatamente uma vez chamado de circuito euleriano e um grafo que possui um tal circuito chamado de grafo eule-riano. A situao estudada por Euler ficou imortalizada como o Problema das Pontes de Knisberg, ilustrado na figura abaixo, e que possivelmente j conhecido por muitos dos leitores. O objetivo percorrer exatamente uma vez todas as sete pontes da cidade (hoje Kaliningrado), que conectam as duas ilhas entre si e com as margens do rio, voltando ao ponto de parti-da.

Fig. 2 O Problema das Pontes de Knisberg

Em linguagem de grafos, trata-se de encontrar um circuito euleriano

no grafo da figura acima, no qual os vrtices representam as ilhas e as mar-gens e os arcos so as pontes1. Euler mostrou a no-existncia de tal cir-cuito atravs de um argumento extremamente simples. Consideremos, por exemplo, a ilha da direita. Um circuito qualquer deve chegar ilha e sair dela o mesmo nmero de vezes. Logo, para que exista um circuito euleria-no, deve haver um nmero par de pontes com extremidade nesta ilha. Co-mo existem trs pontes nessas condies, conclumos que no possvel encontrar um circuito euleriano. De modo mais geral, temos o seguinte: Teorema: Existe um circuito euleriano em um grafo se e somente se o grafo conexo (isto , existe um caminho ligando qualquer par de vrti-ces) e cada vrtice tem grau par (ou seja, o nmero de arcos que nele in-cidem par).

1 A rigor, neste caso temos um multi-grafo, j que certos pares de vrtices so li-gados por mais de um arco.


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O argumento acima mostra a necessidade de se ter grau em cada vrtice para existir um circuito euleriano. tambm bvio que o grafo precisa ser conexo. A prova de que essas duas condies implicam na e-xistncia de um circuito euleriano pode ser feita por induo finita no n-mero de arcos do grafo e deixada como um exerccio para o leitor.

[Sugesto: suponha a propriedade verdadeira para grafos com menos de n arcos e considere um grafo com n arcos, satisfazendo s duas condies. Comeando em um vrtice qualquer, percorra arcos do grafo, at voltar a um vrtice j visitado (o caminho gerado possui, ento, um ciclo). Reti-rando do grafo os arcos desse ciclo, obtm-se um ou mais grafos satisfa-zendo as duas condies e com menor nmero de arcos (portanto, com cir-cuitos eulerianos, de acordo com a hiptese de induo). Basta explicar como costurar esses circuitos eulerianos ao ciclo descrito acima].

Podemos aplicar este teorema ao nosso problema de inspeo de es-tradas. Da mesma forma como no Problema das Pontes de Knisberg, no existe qualquer circuito euleriano no grafo determinado pelo mapa rodovi-rio, j que o vrtice correspondente capital tem grau 3. Assim, se o nosso inspetor de estradas recebesse de seu chefe a incumbncia de elaborar um trajeto nas condies do problema 1, ele poderia facilmente convenc-lo da impossibilidade de faz-lo. Como veremos a seguir, a situao do seu co-lega representante de vendas bem pior... CIRCUITOS HAMILTONIANOS Um circuito passando exatamente uma vez por cada vrtice de um grafo chamado de circuito hamiltoniano, em homenagem ao matemtico irlands William Rowan Hamilton (1805-1865), que estudou este problema no grafo determinado pelas arestas de um dodecaedro regular (existe ou no um circuito hamiltoniano neste caso?). Um grafo que possui um circui-to hamiltoniano chamado de grafo hamiltoniano.

A situao do problema de verificar se um grafo hamiltoniano bem diferente da do problema anterior. Apesar de terem sido estudados por vrios sculos, no h uma boa caracterizao dos grafos hamiltonia-nos. H diversas famlias de grafos para os quais existe um circuito hamil-toniano (um exemplo trivial um grafo completo, em que cada vrtice


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ligado a todos os outros); tambm possvel estabelecer certas condies que implicam na no-existncia de um circuito. Mas uma caracterizao geral no foi encontrada e, luz de certos avanos em teoria da computa-o das ltimas dcadas, parece improvvel que ela seja encontrada algum dia.

O problema de decidir se um grafo hamiltoniano est na compa-nhia de diversos problemas ilustres, com as seguintes caractersticas em comum: O problema possui uma assimetria fundamental: muito fcil conven-

cer algum da existncia de um circuito hamiltoniano em um grafo: basta exibir tal caminho. No entanto, difcil, em geral, convencer al-gum da no-existncia de um tal circuito. Por exemplo, o grafo da fi-gura abaixo (o leitor capaz de reconhec-lo?) tem um circuito hamil-toniano, de cuja existncia o leitor fica imediatamente convencido pela figura. J o grafo dado no incio do artigo no tem circuito hamiltonia-no, mas no existe um argumento simples e geral para demonstrar esse fato (assim, nosso amigo representante de vendas certamente ter mais trabalho para convencer seu chefe da impossibilidade de elaborar uma rota nas condies do problema 2 do que seu colega inspetor de estra-das).

Fig. 3 Um grafo hamiltoniano No se conhece um algoritmo eficiente para verificar se um grafo

hamiltoniano (por eficiente, entendemos aqui um algoritmo em que o nmero de passos seja limitado por um polinmio no nmero de vrti-ces do grafo). Alm disso, parece improvvel que um tal algoritmo possa algum dia ser encontrado, porque sua existncia implicaria na existncia de algoritmos eficientes para um grande nmero de outros


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problemas, para os quais tambm no se conhecem algoritmos eficien-tes. Estes problemas (incluindo o de verificar a existncia de circuito hamiltoniano) formam uma classe de problemas chamados de NP-completos. Um outro problema famoso da classe o de determinar o nmero mnimo de cores que podem ser usadas para colorir os vrtices de um grafo de modo que vrtices de mesma cor no sejam ligados por um arco.

O leitor poder estar pensando assim: mas ser que esta histria de

algoritmos eficientes tem relevncia, numa era de computadores cada vez mais velozes? Afinal de contas, existe um algoritmo extremamente simples para verificar se um grafo possui um circuito hamiltoniano. Se existir um tal circuito, ele corresponder a uma permutao (circular) dos vrtices com a propriedade de que vrtices consecutivos sejam ligados por um arco do grafo. Ora, para verificar a existncia de circuito hamiltoniano basta gerar todas as permutaes circulares dos vrtices e testar se uma delas cor-responde a um percurso no grafo.

claro que este algoritmo funciona para grafos de tamanho modera-do (ele poderia ser o recurso usado pelo nosso vendedor: como so apenas 9 cidades, ele teria que testar apenas 8! = 40.320 caminhos, o que seria feito com rapidez em um computador). Mas o que ocorre com grafos mai-ores? Vejamos, por exemplo, uma situao em que o nmero de cidades cresce para 50 (o que representaria um tamanho ainda bastante razovel para uma situao real). Neste caso, o computador deveria examinar 49! circuitos potenciais. Tentemos estimar a magnitude deste nmero. A forma mais simples usar a frmula de Stirling, que fornece a estimativa

n

ennn

2! . Mas, neste caso, podemos usar estimativas mais elemen-tares. Por exemplo, podemos usar apenas potncias de 2. Temos: 49! = 1 2 3 4 5 6 7 8 ... 15 16 ... 31 32

49 > 1 2 2 4 4 4 4 8 ... 8 16 ... 16 32 32 = 22 x 44 x 88 x 1616 x 3218 = 22+8+64+90 = 2164. Mas 210 = 1024 >103. Logo 49! > 16. 1048.

Ora, um computador moderno pode realizar cerca de 200 milhes de

operaes por segundo. Se em cada operao ele conseguir testar um cir-cuito, ele ainda assim precisar de mais de 16. 1048 / 2. 106 = 8 1042 se-


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gundos, o que corresponde a aproximadamente a 2 1035 anos. Assim, trata-se claramente de uma misso impossvel para o algoritmo de fora bruta baseado na anlise de cada permutao de vrtices. PROBLEMAS DIFCEIS QUE TAMBM SO TEIS

O resultado da discusso acima pode parecer bastante desanimador: no parece haver bons mtodos para verificar a existncia de um circuito hamiltoniano e algoritmos de fora bruta s funcionam para problemas com pequeno nmero de vrtices ( bom que se diga que existe um meio termo: h estratgias que permitem resolver o problema acima para valores razoveis de n, reduzindo substancialmente o nmero de possibilidades a serem examinadas; mesmo estes algoritmos, no entanto, tornam-se impr-ticos a partir de um certo ponto). O mesmo ocorre com todos os chamados problemas NP-completos.

No entanto, ao invs de ficarmos deprimidos com esta caracterstica

desses problemas, podemos explor-la para uma importante finalidade em criptografia, que a parte da Matemtica que estuda mtodos para criar e decifrar cdigos. Para tal, tambm muito importante a assimetria apon-tada acima (e que ocorre em todos os problemas NP-completos): difcil encontrar um circuito hamiltoniano (ou mostrar que no existe um), mas fcil testar se uma seqncia de vrtices forma um circuito hamiltoniano.

Suponhamos que voc seja cliente de um banco. Para ter acesso aos

servios, voc usa o nmero de sua conta (que pblico) e uma senha, que em princpio deve ser conhecida apenas por voc. O procedimento mais simples seria ter a sua senha armazenada no sistema do banco. Mas a vo-c correria o risco de que ela fosse descoberta, por exemplo, por um fun-cionrio desonesto. Em lugar disto, o sistema do banco armazena uma ver-so codificada da senha, que no precisa ficar em segredo. Esta codificao deve ser feita de tal forma que seja simples verificar se sua senha est cor-reta (para que voc seja autorizado a retirar dinheiro do caixa eletrnico), mas seja praticamente impossvel recuperar a senha a partir da verso codi-ficada.

Problemas NP-completos servem como uma luva para esta tarefa. Se quisssemos usar o problema do circuito hamiltoniano, poderamos agir mais ou menos da formadescrita a seguir. O cliente poderia escolher uma permutao dos nmeros de 1 a 50, conhecida apenas por ele. A partir des-


EUREKA! N 1, 1998 57

sa informao, seria gerado um grafo, contendo necessariamente os arcos correspondentes ao circuito (os demais poderiam, por exemplo, ser gerados por um mtodo aleatrio, em que cada um dos possveis arcos teria uma certa probabilidade de sere escolhido). Este grafo seria armazenado no sis-tema. A figura a seguir mostra uma representao de uma permutao dos nmeros de 1 a 50 e um grafo, gerado aleatoriamente, que possui um ciclo hamiltoniano dado por esta permutao.

Fig. 4 Um ciclo hamiltoniano e um grafo gerado a partir dele

Quando o cliente fosse utilizar sua conta, o sistema simplesmente

verificaria se a permutao apresentada corresponde a um caminho no gra-fo. Como improvvel que um tal ciclo pudesse ser encontrado para um grafo deste tamanho, dificilmente um impostor conseguiria se fazer passar pelo cliente, ainda que conhecesse o grafo-problema. Na prtica, so utili-zados outros problemas NP-completos para se fazer codificao de senhas, mas a idia exatamente a mesma acima. PALAVRAS FINAIS

Grafos so uma fonte inesgotvel de problemas com enunciado simples mas que escondem, muitas vezes, uma sofisticada estrutura mate-mtica. Neste artigo abordamos apenas alguns aspectos de dois desses pro-blemas. Certamente voltaremos a falar em grafos em outros artigos desta revista. Para o leitor que deseja saber mais sobre o assunto, recomendamos os livros a seguir: Jaime Luiz Szwarcfiter. Grafos e Algoritmos Computacionais. Edi-

tora Campus. Oynstein Ore. Graphs and Their Uses. The Mathematical Associa-

tion of America.


EUREKA! N 1, 1998 58

PROBLEMAS PROPOSTOS

Convidamos o leitor a enviar solues dos problemas propostos e sugestes de novos problemas para os prximos nmeros. 1) Mostre que, dado um conjunto de n pessoas, existem duas que pos-

suem o mesmo nmero de amigos entre as pessoas do conjunto. 2) Em uma pista circular h postos de gasolina, e o total de gasolina

que h nos postos exatamente o suficiente para um carro dar uma volta. Prove que existe um posto de onde um carro com o tanque inicialmente vazio pode partir e conseguir dar uma volta completa na pista (parando para reabastecer nos postos).

3) Prove que existe n N tal que os ltimos 1000 dgitos de n1998 so

iguais a 1. 4) Escreva 1998 como soma de (um nmero arbitrrio de ) parcelas

de modo que o produto das parcelas seja o maior possvel. 5) Sejam a > 0 e P1P2P3P4P5 uma poligonal aberta contida em um dos

semi-planos determinados pela reta 51PP . Prove que possvel es-

colher pontos P6 e P7 no plano com 65PP = a de modo que poss-vel ladrilhar o plano com infinitos ladrilhos congruentes ao hept-gono P1P2P3P4P5P6P7.

6) Mostre que toda seqncia com n2 + 1 elementos possui uma sub-

seqncia crescente com n + 1 elementos ou uma subseqncia decrescente com n + 1 elementos.

7) Prove que 1998...321 ++++ < 2 8) Considere um torneio de xadrez envolvendo brasileiros e argenti-

nos em que cada jogador joga contra todos os outros exatamente uma vez. Ao final do torneio, cada jogador obteve metade dos pon-


EUREKA! N 1, 1998 59

tos que conquistou jogando contra brasileiros e metade jogando contra argentinos. Prove que o nmero total de jogadores do tor-neio um quadrado perfeito (obs: cada vitria vale 1 ponto, empa-te 1/2 ponto e derrota 0 ponto).

9) Prove que todo nmero racional positivo pode ser escrito como

soma de um certo nmero de fraes distintas de numerador 1.

Voc sabia que

4

15

5

2cos

= e 4

16

1723421723417317217234171

17

2cos

+++++=

mas no possvel escrever 7

2cos

e

9

2cos

usando radicais reais ?


EUREKA! N 1, 1998 60

AGENDA OLMPICA

IV OLIMPADA DE MAIO

09 de maio, 14 h

OLIMPADA DO CONE SUL 13 a 21 de junho de 1998

Salvador BA.

OLIMPADA BRASILEIRA DE MATEMTICA Primeira Fase Sbado, 6 de junho

Segunda Fase Sbado, 12 de setembro Terceira Fase Sbado, 24 de outubro (nveis 1,2 e 3)

Domingo, 25 de outubro (nvel 3).

39 a. OLIMPADA INTERNACIONAL DE MATEMTICA 10 a 21 de julho

Taiwan.

OLIMPADA IBEROAMERICANA DE MATEMTICA 13 a 20 de setembro de 1998

Repblica Dominicana.


EUREKA! N 1, 1998 61

COORDENADORES REGIONAIS Alberto Hassen Raad (UFJF) Juiz de Fora-MG Antnio C. Rodrigues Monteiro (UFPE) Recife-PE Amarsio da Silva Arajo (UFV) Viosa-MG Angela Camargo (Esc. Tec. Hermann

Hering) Blumenau-SC Antnio C. do Patrocnio (IMECC/UNICAMP) Campinas-SP Benedito T. Vasconcelos Freire (UFRGDN) Natal-RN Carlos A. Bandeira Braga (UFPB) Joo Pessoa-PB Claudio Arconcher (Col. Leonardo da Vinci) Jundia-SP lio Mega (Col. ETAPA) So Paulo-SP Florncio F. Guimares F. (UFES) Vitria-ES Francisco Dutenhefner (UFMG ) BH-MG Gisele de A. Prateado G. (UFGO) Goinia-GO Joo B. de Melo Neto (UFPI) Teresina-PI Jos Carlos Pinto Leivas (URG) Rio Grande-RS Jos Paulo Carneiro (USU) Rio de Janeiro-RJ Jos Vieira Alves (UFPB) Campina Grande-PB Leonardo Matteo D'orio (Parque de Material

Aeronutico de Belm) Belm-PA Luzinalva M. de Amorim (UFBA) L. de Freitas-BA Marco Polo (Colgio Singular) Santo Andr-SP Marcondes Cavalcante Frana (UF Cear) Fortaleza-CE Mario Jorge Dias Carneiro (UFMG) BH-MG Ma-To-F (UEM) Maring-PR Pablo Rodrigo Ganassim (L. Albert Einstein) Rio das Pedras-SP Paulo H. Cruz Neiva de L. Jr. (Esc. Tec.Everardo

Passos) Piracicaba-SP Reinaldo Gen Ichiro Arakaki (INPE) S.J.Campos-SP Ricardo Amorim (Centro Educ. Logos) Nova Iguau-RJ Sergio Claudio Ramos (IM-UFRGS) Porto Alegre-RS

CONTEDO AOS LEITORES 2 OLIMPADA BRASILEIRA DE MATEMTICA 4 Problemas de treinamento para a Segunda Fase XIX OLIMPADA BRASILEIRA DE MATEMTICA 10 Problemas Jnior Segunda Fase e Solues IV OLIMPADA DE MAIO 16 Resultados IV OLIMPADA DE MAIO 17 Prova 9a. OLIMPADA DE MATEMTICA DO CONE SUL 21 9a. OLIMPADA DE MATEMTICA DO CONE SUL 22 Problemas e solues 39a. OLIMPADA INTERNACIONAL DE MATEMTICA 30 Resultados e problemas ARTIGOS

PARIDADE 32 Eduardo Wagner

OS PROBLEMAS DO VISITANTE MATEMTICO 39

DIVISIBILIDADE, CONGRUNCIAS E ARITMTICA MDULO n 41 Carlos Gustavo Moreira

SOLUES DE PROBLEMAS PROPOSTOS EUREKA N1 53 PROBLEMAS PROPOSTOS 59 AGENDA OLMPICA 61 COORDENADORES REGIONAIS 62


EUREKA! N 2, 1998 2

AOS LEITORES Iniciamos este segundo nmero da revista EUREKA! transmitindo aos leitores nossa satisfao pela acolhida do primeiro nmero por alunos e professores. A comunidade estudantil e os professores das escolas passam a ter, de forma que esperamos permanente, uma publicao especfica que, alm de fornecer material para tornar as aulas mais ricas e interessantes, um veculo de contato entre todos para expor experincias, dirimir dvidas e nos aproximarmos cada vez mais. J estamos recebendo correspondncia de muitos alunos e alguns professores com respeito s solues dos problemas propostos. Isto muito nos alegra e temos a certeza de que nos prximos nmeros essa correspondncia s tender a crescer. Entretanto, gostaramos de pedir aos professores que nos enviem tambm colaboraes para os nmeros seguintes da revista: problemas interessantes com solues, pequenos artigos, experincias em sala de aula, olimpadas ou torneios regionais, enfim, material que seja adequado aos alunos da 5 srie do ensino fundamental ltima srie do ensino mdio. Estas colaboraes sero fundamentais para que nossa revista permanea viva e seja sobretudo til a toda a comunidade. A Olimpada Brasileira de Matemtica de 1998 Realizamos a primeira fase da Olimpada Brasileira de Matemtica em mais de mil colgios do nosso pas. Em nosso projeto pretendamos atingir, nesta primeira etapa dessa nova atividade, cerca de 20 000 alunos mas, para nossa surpresa, esse nmero j superou o dobro do pretendido. Atravs dos relatrios enviados pelas escolas aos Coordenadores Regionais, estabelecemos as no

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