EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade...
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EVM07
Aplicações de Grafos na
Sala de Aula
Marília Pires
Departamento de Matemática
Universidade do Algarve
![Page 2: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/2.jpg)
EVM07
Onde se ensina:
Estados-Unidos (alguns estados)
Holanda
Portugal
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EVM07
Porquê ensinar:
Necessita de poucos conhecimentos de outros temas de Matemática
Representação gráfica intuitiva Estrutura o raciocínio Exemplos da vida quotidiana Entusiasma os alunos …
![Page 4: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/4.jpg)
EVM07
A disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais:
30 aulas de 90 minutos:
Circuitos de Euler Circuitos de Hamilton Árvores Problemas Históricos
![Page 5: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/5.jpg)
EVM07
Porquê só em MACS?
? Porque não desde o básico?
? O que se pode ensinar?
? Como ensinar?
? Quando?
? “Receitas mágicas”?
![Page 6: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/6.jpg)
EVM07
RECEITA (não é mágica):
Exemplos Exemplos ……… Exercícios Exercícios ……… Problemas Problemas
![Page 7: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/7.jpg)
EVM07
Um bom exemplo:
Conduz o aluno à construção do conceito
Desperta o interesse
Facilita a reflexão
Induz a criatividade
...
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EVM07
A manhã de folga da mãe da Joana
Casa Finanças Correio Banco
Farmácia Sapateiro Florista Livraria
Seguro Emprego
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EVM07
Conceito: caminho
A manhã de folga da mãe da Joana…
Fin.Banco
Seg.
Far.Casa
Sap.
Emp.Flo.
Liv.CTT
![Page 10: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/10.jpg)
EVM07
A manhã de folga da mãe da Joana
Casa Finanças Correio Banco
Farmácia Sapateiro Florista Livraria
Seguro Emprego
Mas será esta a melhor ordem para tratar de
tudo na mesma manhã?
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EVM07
Conceito: caminho mais curto passando por todos os vértices
A manhã de folga da mãe da Joana…
Fin.Banco
Seg.
Far.Casa
Sap.
Emp.Flo.
Liv.CTT
1000
500
1500200
300
100
500
750200
100
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EVM07
Caminho mais curto de S a A:
A
B
D
F
C
E
G
S
5
8
2
6
2310
5
4
2
42
7
4
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EVM07
Primeira estratégia:
1. Pedir aos alunos para fazerem uma lista de todos os caminhos possíveis
2. Calcular o comprimento de cada caminho3. Escolher o mais curto
• Como saber que não esquecemos nenhum caminho?
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EVM07
Porque não ensinar um algoritmo?
• Os alunos gostam de algoritmos• (Quase não se ensinam algoritmos!)• A aplicação de um algoritmo ajuda a
perceber melhor a essência do problema• “Certeza” de obter a solução
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EVM07
Algoritmo de Dijkstra:
Fácil perceber porque funciona
Fácil de executar
Eficiente para problemas pequenos
Algoritmo exacto
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EVM07
Algoritmo de Dijkstra:
Princípio do algoritmo:
O caminho mais curto entre dois vértices
contém os caminhos mais curtos entre todos
os vértices desse caminho
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EVM07
Caminho mais curto de S a A:
A
B
D
F
C
E
G
S
5
8
2
6
2310
5
4
2
42
7
4
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EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -ABCDE 8 SFG 5 S
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EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -ABCDE 8 SFG 5 S
![Page 20: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/20.jpg)
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -ABCDE 8 SFG 5 5 S
![Page 21: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/21.jpg)
EVM07
A
B
D
F
C
E
G
S
5
8
2
6
2310
5
4
2
42
7
4
(0)
(5)
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EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -ABC 11 GDE 8 7 S GF 7 GG 5 5 S
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EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -ABC 11 GDE 7 8 7 S GF 7 GG 5 5 S
![Page 24: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/24.jpg)
EVM07
A
B
D
F
C
E
G
S
5
8
2
6
2310
5
4
2
42
7
4
(0)
(5)
(7)
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EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -ABC 11 GD 14 EE 7 8 7 S GF 7 GG 5 5 S
![Page 26: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/26.jpg)
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -ABC 11 GD 14 EE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S
![Page 27: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/27.jpg)
EVM07
A
B
D
F
C
E
G
S
5
8
2
6
2310
5
4
2
42
7
4
(0)
(5)
(7)
(7)
![Page 28: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/28.jpg)
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -A 12 FB 11 FC 11 10 G FD 14 9 E FE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S
![Page 29: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/29.jpg)
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -A 12 FB 11 FC 11 10 G FD 9 14 9 E FE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S
![Page 30: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/30.jpg)
EVM07
A
B
D
F
C
E
G
S
5
8
2
6
2310
5
4
2
42
7
4
(0)
(5)
(7)
(7)
(9)
![Page 31: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/31.jpg)
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -A 12 FB 11 FC 11 10 G FD 9 14 9 E FE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S
![Page 32: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/32.jpg)
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -A 12 FB 11 FC 10 11 10 G FD 9 14 9 E FE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S
![Page 33: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/33.jpg)
EVM07
A
B
D
F
C
E
G
S
5
8
2
6
2310
5
4
2
42
7
4
(0)
(5)
(7)
(7)
(9)
(10)
![Page 34: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/34.jpg)
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -A 12 FB 11 11 FC 10 11 10 G FD 9 14 9 E FE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S
![Page 35: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/35.jpg)
EVM07
A
B
D
F
C
E
G
S
5
8
2
6
2310
5
4
2
42
7
4
(0)
(5)
(7)
(7)
(9)
(10)(11)
![Page 36: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/36.jpg)
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -A 12 12 FB 11 11 FC 10 11 10 G FD 9 14 9 E FE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S
![Page 37: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/37.jpg)
EVM07
Algoritmo de Dijkstra:Vértice Distância
mínimaDistânciaestimada
Antecedente
S 0 - -A 12 12 FB 11 11 FC 10 11 10 G FD 9 14 9 E FE 7 8 7 S GF 7 7 GG 5 5 S
S G F A
![Page 38: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/38.jpg)
EVM07
A
B
D
F
C
E
G
S
5
8
2
6
2310
5
4
2
42
7
4
![Page 39: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/39.jpg)
EVM07
Problema do Carteiro Chinês:
Correio
Mei Ko Kwan (1962)
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EVM07
Problema do Carteiro Chinês:
2
2
2
3
3
![Page 41: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/41.jpg)
EVM07
Problema do Carteiro Chinês:
2
2
2
3
34
4
![Page 42: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/42.jpg)
EVM07
Problema do Carteiro Chinês:
2
2
2
3
3
150
200
500400
300
180
![Page 43: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/43.jpg)
EVM07
Problema do Carteiro Chinês:
2
2
2
3
3
150
200
500
4
4
4
![Page 44: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/44.jpg)
EVM07
Algoritmo de Fleury:
1. Escolher um vértice qualquer para começar;2. Escolher uma qualquer aresta não marcada
incidente nesse vértice e marcá-la;3. Repetir 2 até chegar a um vértice onde todas as
arestas estão marcadas4. Se todas as arestas estão marcadas acabar5. Escolher um vértice com uma aresta não
marcada e recomeçar
![Page 45: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/45.jpg)
EVM07
Problema do Carteiro Chinês:
A I
B F
E D
G H
J
C
![Page 46: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/46.jpg)
EVM07
Problema do Carteiro Chinês:
A I
B F
E D
G H
J
C
2 54
4
6
5
4
4 33
![Page 47: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/47.jpg)
EVM07
Agrupamentos possíveis:
• A B C D• A C B D• A D B C
![Page 48: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/48.jpg)
EVM07
Problema do Carteiro Chinês:
A I
B F
E D
G H
J
C
6
3
4
5
4
31
12
2
2
1
3
4
1
3
1 2
2
3
![Page 49: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/49.jpg)
EVM07
Caminhos mais curtos:
• A B 3 (A G F B)• A C 4 (A H J C)• A D 4 (A G D)• B C 6 (B F G H J C)• B D 4 (B E D)• C D 4 (C J H D)
![Page 50: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/50.jpg)
EVM07
Custo de cada agrupamento:
• A B C D 3 + 4 = 7• A C B D 4 + 4 = 8• A D B C 4 + 6 = 10
![Page 51: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/51.jpg)
EVM07
Custo de cada agrupamento:
• A B C D 3 + 4 = 7• A C B D 4 + 4 = 8• A D B C 4 + 6 = 10
![Page 52: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/52.jpg)
EVM07
Problema do Carteiro Chinês:
A I
B F
E D
G H
J
C
6
3
4
5
4
31
12
2
2
1
3
4
1
3
1 2
2
3
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EVM07
Problema do Caixeiro Viajante:
Visitar Castelos
A B C D
A - 100 10 30
B 100 - 40 40
C 10 40 - 100
D 30 40 100 -
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EVM07
Problema do Caixeiro Viajante:
• A B C D A 100 + 40 + 100 + 30 = 270• A B D C A 100 + 40 + 100 + 10 = 250• A C B D A 10 + 40 + 40 + 30 = 120• A C D B A 10 + 100 + 40 + 100 = 250• A D B C A 30 + 40 + 40 + 10 = 120• A D C B A 30 + 100 + 40 + 100 = 270
![Page 55: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/55.jpg)
EVM07
Problema do Caixeiro Viajante:
• A B C D A 100 + 40 + 100 + 30 = 270• A B D C A 100 + 40 + 100 + 10 = 250• A C B D A 10 + 40 + 40 + 30 = 120• A C D B A 10 + 100 + 40 + 100 = 250• A D B C A 30 + 40 + 40 + 10 = 120• A D C B A 30 + 100 + 40 + 100 = 270
![Page 56: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/56.jpg)
EVM07
AD
C
B
100
10
40
100
40
30
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EVM07
AD
C
B
100
10
40
100
40
30
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EVM07
Heurística de inserção do vizinho mais próximo:
Construir o circuito escolhendo a aresta de menor custo saindo do vértice em que se está.
![Page 59: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/59.jpg)
EVM07
AD
C
B
100
10
40
100
40
30
![Page 60: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/60.jpg)
EVM07
AD
C
B
100
10
40
100
40
30
![Page 61: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/61.jpg)
EVM07
AD
C
B
100
10
40
100
40
30
![Page 62: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/62.jpg)
EVM07
AD
C
B
100
10
40
100
40
30
![Page 63: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/63.jpg)
EVM07
AD
C
B
100
10
40
100
40
30
![Page 64: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/64.jpg)
EVM07
Problema do Caixeiro Viajante:
A B C
A - 10 9
B 50 - 10
C 40 50 -
![Page 65: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/65.jpg)
EVM07
A
C
B
10
9
1050
40
50
![Page 66: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/66.jpg)
EVM07
A
C
B
10
9
1050
40
50
![Page 67: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/67.jpg)
EVM07
A
C
B
10
9
1050
40
50
![Page 68: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/68.jpg)
EVM07
A
C
B
10
9
1050
40
50
![Page 69: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/69.jpg)
EVM07
A
C
B
10
9
1050
40
50
A C B A 9 + 50 + 50 = 109
![Page 70: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/70.jpg)
EVM07
A
C
B
10
9
1050
40
50
A B C A 10 + 10 + 40 = 60
MAS:
A C B A 9 + 50 + 50 = 109
![Page 71: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/71.jpg)
EVM07
Um funcionário de uma empresa de parques de estacionamento tem que percorrer todas as ruas onde funciona estacionamento pago, para recolher o dinheiro das máquinas, uma vez por dia. As máquinas encontram-se a intervalos regulares ao longo das ruas cujo mapa se desenha a seguir. Os números sobre as arestas correspondem aos comprimentos das ruas, em centenas de metros. Determine o percurso a percorrer pelo funcionário, de modo a minimizar o espaço percorrido.
![Page 72: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/72.jpg)
EVM07
C
A
BD
H
I
E
F
G
6
7
35
10
3
7
7
8
4
34
4
6
5
![Page 73: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/73.jpg)
EVM07
C
A
BD
H
I
E
F
G
6
7
35
10
3
7
7
8
4
34
4
6
5
![Page 74: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/74.jpg)
EVM07
Agrupamentos possíveis:
• (B,C) + (D,H) → 9 + 7 =16• (B,D) + (C,H) → 7 + 15 = 22• (B,H) + (C,D) → 11 + 8 = 19
![Page 75: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/75.jpg)
EVM07
Agrupamentos possíveis:
• (B,C) + (D,H) → 9 + 7 =16• (B,D) + (C,H) → 7 + 15 = 22• (B,H) + (C,D) → 11 + 8 = 19
![Page 76: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/76.jpg)
EVM07
C
A
BD
H
I
E
F
G
6
7
35
10
3
7
7
8
4
34
4
6
5
![Page 77: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/77.jpg)
EVM07
ab
cde
f
g
Graphs: An Introductory approach
Wilson & Watkins
![Page 78: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/78.jpg)
EVM07
d
e
a
g
b
f
c
Grafo de compatibilidades
![Page 79: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/79.jpg)
EVM07
d
e
a
g
b
f
c
Encontrar subgrafos completos
cde abc gf
![Page 80: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/80.jpg)
EVM07
d
e
a
g
b
f
c
Subgrafos completos
abf cde gf
![Page 81: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/81.jpg)
EVM07
Alternativa 1: abc cde gf
0 20 40 60
abc
gf
de
Tempo de espera: Total:
a, b, d, e, f, g : 40 segundos 260 segundos
c: 20 segundos
![Page 82: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/82.jpg)
EVM07
Vamos escolher a roupa da Joana
A Joana leu numa revista de moda que não se deve misturar mais do que 3 cores. Ela quer vestir-se de modo a que peças que se toquem não tenham a mesma cor. Será possível?
![Page 83: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/83.jpg)
EVM07
Sapatos Meias
Saia
Cinto
Blusa
Mala
Lenço
Laços
![Page 84: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/84.jpg)
EVM07
Sapatos Meias
Saia
Cinto
Blusa
Mala
Lenço
Laços
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EVM07
Expedição a Marte:
10 candidatos
Escolher duas tripulações
Não pôr na mesma tripulação pessoas que não se
dão bem
Problemas divertidos de Teoria de GrafosO.I. Melnikov – Minsk 2001
![Page 86: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/86.jpg)
EVM07
Resultado dos testes psicológicos:
***10**9
***8***7**6
**5**4
**3**2
***110987654321
![Page 87: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/87.jpg)
EVM07
1
4
3
5 8
97
10
2
6
![Page 88: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/88.jpg)
EVM07
1
4
3
5 8
97
10
2
6
![Page 89: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/89.jpg)
EVM07
Bactérias:
Há uma bactéria que se divide inicialmente em 3. As bactérias seguintes ou não se dividem ou se dividem em 2 ou em 4.
Observa-se a cultura e há 102 bactérias.
Quais os números máximos e mínimos de divisões em 4 e em 2 bactérias?
![Page 90: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/90.jpg)
EVM07
Só as bactérias representadas a castanho serão observadas
![Page 91: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/91.jpg)
EVM07
Nó inicial: grau 3
Nós finais: grau 1
Nós intermédios: grau 3 ou grau 5
1 vértice de grau 3
k vértices de grau 3
p vértices de grau 5
102 vértices de grau 1número de vértices:
1 + k + p + 102
soma dos graus dos vértices:
3 + 3k + 5p + 102
número de arestas:
k + p + 102
![Page 92: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/92.jpg)
EVM07
Lema dos apertos de mão:
A soma dos graus dos vértices é o dobro do número de arestas
3 + 3k + 5p + 102 = 2 ( k + p + 102 )
k + 3p = 99
k = 0 p = 33
k = 99 p = 0 0 divisões em 2 e 33 em 4
99 divisões em 2 e 0 em 4
![Page 93: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/93.jpg)
EVM07
Arquitectura: elaboração de plantas
• Entrada principal – ligação ao hall• Entrada pelo jardim• Hall – ligado a escritório, sala de estar, sala
de jantar e escada• Escritório perto de WC• Sala de jantar ligada à zona de serviço
(cozinha, copa, wc serviço, lavandaria)• Zona de serviço com acesso directo à
entrada
![Page 94: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/94.jpg)
EVM07
escritório
WC
hall
entrada
jardim
estar
jantar
lavagens cozinha copa
wc
![Page 95: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/95.jpg)
EVM07
escritórioWC
Sala de estar sala de jantar
jardim
entradalavagens
cozinha
copawchall
![Page 96: EVM07 Aplicações de Grafos na Sala de Aula Marília Pires Departamento de Matemática Universidade do Algarve.](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022070507/5706384c1a28abb8238f6260/html5/thumbnails/96.jpg)
EVM07
Espaço de manobra ilimitado
Exemplos devem requerer trabalho
intelectual