Evoluo temporal de um pacote de onda Gaussiano em uma dimenso Carlos A. Escanhoela Jr.

Resumo Neste trabalho iremos utilizar as propriedades da transformada de Fourier para descrever o

comportamento ondulatrio de uma partcula livre, assim como uma breve demonstrao da evoluo temporal de um pacote de onda e as definies de velocidade de fase e de grupo.

1. Introduo A Mecnica Quntica fornece-nos a

compreenso de fenmenos que a Mecnica Clssica no capaz de descrever, tais como: radiao de corpo negro, difrao de eltrons, efeito Compton e efeito fotoeltrico. Sendo estes indispensveis na descrio de tomos, molculas, ncleos atmicos e de seus aglomerados.

difcil conceber configuraes de partculas que, de alguma maneira, simulem comportamento ondulatrio, e por isso que as experincias de difrao de Fresnel e de Young levaram aceitao unnime da teoria ondulatria da luz [1]. Por outro lado, possvel imaginar configuraes extremamente localizadas de ondas (o estampido do trovo um exemplo de uma superposio de ondas que conduzem a um efeito localizado no tempo). Tais pacotes de onda localizados podem ser conseguidos pela superposio de ondas de diferentes freqncias, de modo que elas interfiram destrutivamente em uma regio do espao e construtivamente fora de certa regio. Um ferramental tcnico para conseguir isto envolve integrais de Fourier.

2. Pacote de Onda Como as partculas qunticas precisam

apresentar comportamento de partculas e caractersticas de onda, nos necessitaremos de um aparato matemtico que envolva as duas situaes simultaneamente.

Na fsica clssica, uma partcula pode ser localizada pela sua velocidade e posio, medidas simultaneamente com suas respectivas precises. Na mecnica quntica, uma partcula descrita por uma funo de onda que corresponde matria associada a um comprimento de onda atravs da hiptese DeBroglie (p=h/). Funes de onda, no entanto, dependem de todo o espao, portanto, no podem ser localizadas. Se a funo de

onda feita para desaparecer em todo o espao, exceto na vizinhana da partcula ou na vizinhana da trajetria clssica, isto tambm pode ser usado para descrever a dinmica da partcula. Ou seja, uma partcula pode ser localizada em certa regio do espao por uma onda de matria onde a amplitude e a larga da onda no zero.

Uma funo de onda localizada chamada de pacote de onda (wave packet). Um pacote de onda consiste em um grupo de ondas com diferentes comprimentos de onda, com fases e amplitudes que interagem construtivamente em pequenas regies do espao e destrutivamente nos demais espaos.

Figura 1 Esquema de trs diferentes ondas, que somadas

pode interagem construtivamente em x=0 e destrutivamente

em x = x/2.

O conceito de pacotes de onda, portanto, representa um instrumento matemtico unificador do comportamento corpuscular e ondulatrio. 2.1 Partcula livre e pacotes de onda.

Para introduzir os conceitos fundamentais da descrio quntica de uma partcula iremos estudar o caso mais simples, o caso de uma partcula sujeita a um potencial nulo em uma dimenso. Neste caso, a equao de Schrdinger para o V(x,t) = 0 temos:

),(2

),( 2tx

mt

txi =

hh

(1)

uma soluo para essa equao diferencial pode ser escrita, por uma equao de onda plana, da seguinte maneira:

)(),( tkxiAetx = (2) onde A a constante de normalizao, que pode ser determinada atravs da condio de normalizao (|(x,t)|2=|A|2=1). As constantes k e que satisfazem a equao (2) so dados por:

m

k2

2h

= (3)

A equao acima (3) est de acordo com a relao de DeBrolie (p=h/) e a quantizao de Planck (E = ) que expressa a energia em funo do momento p de uma partcula livre clssica [2]:

h==m

pE2

2

m

km

p22

22h

h==

(4)

De acordo com o principio da superposio, a soma de varias dessas ondas com diferentes frequncias e amplitudes tambm deve satisfazer a equao. Esta nova equao deve ser escrita pela superposio de varias ondas de maneira que elas interajam construtivamente em uma determinada regio do espao e destrutivamente no resto do espao, Figura 1. Matematicamente, podemos realizar essa superposio por meio da transformada de Fourier. Construmos ento um pacote de onda (x,t) pela superposio de onda planas (se propagando no eixo x) com diferentes frequncias (ou comprimento de onda):

+

= dkektx tkxi )()(21),( pi

(5)

Onde (k) a amplitude do pacote de onda. Substituindo t=0 na eq. (5) e abreviando (x,0) para 0(x), a equao fica:

+

= dkekx ikx)(21)(0 pi

(6)

Onde (k) dada pela transformada de Fourier de 0(x):

+

= dxexk ikx)(21)( 0pi

(7) As equaes (6) e (7) mostram que podemos determinar (k) atravs de 0, e vice e versa. Como o objetivo deste trabalho determinar a um pacote Gaussiano, se escolhermos um pacote de onda Gaussiano do tipo (k)=A exp[-a

2(k-k0)2/4], onde A a constante de

normalizao e pode ser determinada atravs de |(k)|2=|A|2=1. Temos ento que 0 pode ser escrita:

xikax eea

x 022 /

4/1

202)(

=

pi (8) Onde eik0x a fase de 0; 0 uma onda oscilante com nmero de onda k0 modulada por uma Gaussiana centrada na origem. 2.2 Movimento de um pacote de onda.

Como o pacote de onda evolui no tempo? Este problema se reduz a calcular a integral da equao (5). Para calcular essa integral, preciso especificar a (freqncia angular) e a (k), amplitude do pacote de onda. O caso mais simples, do movimento sem disperso, quando a freqncia angular proporcional ao nmero de onda k, ou seja, = v0k [3]. A constante de proporcionalidade v0 tem dimenso de velocidade. Acrescentando esta informao na equao (5) obtemos:

+

= dkektx tvxik )( 0)(21),( pi

(9)

esta relao tem a mesma estrutura da equao (6) quando t=0 o que sugere que (x,t) idntico a 0(x-v0t):

( ) ( )tt 00 v-x x, = (10) A forma do pacote de onda num dado tempo t idntica a forma inicial. Portanto, quando proporcional a k (=v0k), o pacote de onda viaja para a direita com velocidade constante v0 sem distoro.

No entanto, uma vez que estamos interessados em pacotes de onda que descrevem partculas, preciso considerar o caso mais geral de meios dispersivos, que transmitem ondas harmnicas de diferentes freqncias em diferentes velocidades. Isto significa que a funo de k: =(k). A forma de determinada pela exigncia de que o pacote de ondas (x,t) descreve a partcula. Assumindo que o pico da amplitude (k) ocorra em k=k0 e que (k)=g(k-k0) diferente de zero numa regio prxima do pico com largura de k=k-k0, ento realizando a expanso de Taylor de (k) em torno de k0:

...

)()(21)()()()(

00

2

22

000 +++=== kkkk dk

kdkkdk

kdkkkk (11)

Reescrevendo a equao (11) com:

0)(kk

g dkkd

v=

=

0

2

2 )(21

kkdkkd

=

=

(12)

Logo a equao (11) se torna: ...)(

21)()()( 2000 +++= kkvkkkk g (13)

Agora, para determinar (x,t) precisamos simplesmente substituir (13) em (5) com (k) = g(k-k0). Ento obtemos:

dkeekkgetx tkkitvxkkitvxik gph ....)())((0)( 2000 )(

21),( +

+

=

pi (14)

onde,

dkkd

vg)(

=

kk

v ph)(

= (15)

vph e vg so respectivamente a velocidade de fase e a de grupo. A velocidade de fase indica a velocidade de propagao para a fase de uma nica onda harmnica, eik0(x-vpht), e a velocidade de grupo representam a velocidade de movimento para o grupo de ondas que compem o pacote. No se deve confundir a velocidade de fase e velocidade de grupo, em geral elas so diferentes. Somente quando proporcional ao k elas so iguais, como pode ser inferida a partir de (15).

Uma breve explicao do significado de vph e vg, um pacote de onda ou pulso que viaja a uma velocidade de grupo vg, as ondas individuais que constituem o pacote, no entanto, se movem com diferentes velocidades, e cada onda se move com a sua prpria fase de velocidade vph. Na Figura 2 apresentada uma ilustrao qualitativa onde a velocidade de grupo e a velocidade de fase.

Figura 2 - A funo Re (x,t) do representa o pacote de onda. A curva pontilhada representa o pacote, com velocidade vg e a linha slida as ondas do interior do pacote com velocidade vph.

Tambm observado na Figura 2 que o pacote de onda tem uma magnitude significativa apenas sobre uma pequena regio e cai rapidamente fora dela. A diferena entre a velocidade de grupo e a velocidade de fase pode ser escrita qualitativamente atravs da relao entre elas. A diferenciao de = vphk

em relao a k temos d/dk=vph +k(dvph/dk), e uma vez que k = 2/ e k=p/h, nos podemos escrever vg como:

,

dpdv

pvddv

vdk

dvkv

dkd

vph

phph

phph

phg +==+==

(16) A equao (16) mostra que a velocidade de grupo pode ser: maior, menor ou igual a velocidade de fase, dependendo do meio. Em meios dispersivos as velocidades de grupo e fase so iguais, pois dvph/d = 0. Mas se vph depende do comprimento de onda (meios dispersivos), ou seja, dvph/d 0, da a velocidade do grupo pode ser menor ou maior que a velocidade de fase.

Consideremos agora o caso de uma partcula viajando num potencial constante V; com energia total E = p2/2m + V. Onde as caractersticas corpuscular (Energia e momento) de uma partcula esto conectadas s suas caractersticas de ondas (freqncia de onda e nmero), atravs das equaes E = e relaes p = k, podemos re-escrever as equaes (15) da seguinte maneira:

,

2

22

particulag vm

pm

kdk

Vm

kd

dkd

v ===

+

==

hhh

h

(17)

.

221 2

pV

m

pVm

pkk

v ph +=

+==

(18)

A velocidade de grupo do pacote de onda igual a velocidade clssica de uma partcula, vg = vparticula. Isso sugere que o centro do pacote de ondas viaja como uma partcula clssica que obedece s leis da mecnica clssica, ou seja, o centro do pacote segue a trajetria clssica de uma partcula. O conceito de pacote de onda fornece uma clara conexo entre a descrio clssica e quntica de uma partcula. No caso de uma partcula livre (V=0) temos,

,

m

pvg = ,2

12 gph

vm

pv == (19)

mostrando que a velocidade de grupo do pacote de ondas corresponde a velocidade de uma partcula livre, p/m, Enquanto a velocidade de fase a metade da velocidade do grupo. A expresso vg = (1/2)vph no tem sentido fsico [3], pois afirma que funo de onda viaja na metade da velocidade da partcula que se pretende representar.

Retornando ao calculo do pacote de onda (x,t) na equao (5). Para isto, precisamos determinar at qual termo da expanso (eq. 11) devemos considerar na

integrao. Vamos considerar dois casos, um com apenas os termos lineares de (11) e o outro considerando at o termo quadrtico da expanso.

Na aproximao linear, quando g (k-k0) estreito o suficiente para negligenciar o termo quadrtico k2, (k-k0)2t