EX-MatA635-F1-2015-V2

Prova 635.V2/1. F. Pgina 1/ 15

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EXAME FINAL NACIONAL DO ENSINO SECUNDRIO

Prova Escrita de Matemtica A

12. Ano de Escolaridade

Decreto-Lei n. 139/2012, de 5 de julho

Prova 635/1. Fase 15 Pginas

Durao da Prova: 150 minutos. Tolerncia: 30 minutos.

2015

VERSO 2


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Indique de forma legvel a verso da prova.

Utilize apenas caneta ou esferogrfica de tinta azul ou preta, exceto nas respostas que impliquem construes, desenhos ou outras representaes, que podem ser, primeiramente, elaborados a lpis e, a seguir, passados a tinta.

permitido o uso de rgua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora grfica.

No permitido o uso de corretor. Deve riscar aquilo que pretende que no seja classificado.

Para cada resposta, identifique o grupo e o item.

Apresente as suas respostas de forma legvel.

Apresente apenas uma resposta para cada item.

A prova inclui um formulrio.

As cotaes dos itens encontram-se no final do enunciado da prova.


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Formulrio

Geometria

Comprimento de um arco de circunferncia:

, , ;r amplitude em radianos do ngulo ao centro r raioa a- -^ hrea de um polgono regular: Semiper metro Ap tema#

rea de um sector circular:

, , ;r amplitude em radianos do ngulo ao centro r raio2

2a a- -^ h

rea lateral de um cone: ;r g r raio da base g geratrizr - -^ h rea de uma superfcie esfrica: 4 r raio2 -rr ] g Volume da pirmide: rea da base Altura

31 # #

Volume do cone: rea da base Altura31 # #

Volume da esfera: r r raio34 3r -] g

Progresses

Soma dos n primeiros termos de uma progresso un_ i:Progresso aritmtica: u u n

2n1 #

+

Progresso geomtrica: urr

11 n

1 # --

Trigonometria

a b a b b asen sen cos sen cos+ = +] ga b a b a bcos cos cos sen sen+ = -] g

a ba b

a b1

tg tg tgtg tg

+ =-

+] g

Complexos

cis cis nnt i t= n i^ ^h h, ,cis cis

nk k n n2 0 1 e Nn n f! !t i t i r= + -b ]l g! +

Probabilidades

, ,,

,

,

p x p x

p x p x

X N

P X

P X

P X

0 6827

2 2 0 9545

3 3 0 9973

:Se ent o

n n

n n

1 1

1 12 2

f

f

1 1

1 1

1 1

.

.

.

n

v n n

n v

n v n v

n v n v

n v n v

= + +

= - + + -

- +

- +

- +

] ^]

]]]

g hg

ggg

Regras de derivao

u

u

u

u

u

u

sen cos

cos sen

tgcos

ln

ln

logln

u v u v

u v u v u v

vu

vu v u v

u n u u n

u u u

u u

uu

e e

a a a a

uu

uu a

a

1

1

R

R

R

n n

u u

u u

a

2

1

2

!

!

!

+ = +

= +

= -

=

=

=-

=

=

=

=

=

-

+

+

l l l

l l l

l l l

l l

l l

l l

l l

l l

l l

l l

l l

^^`^ ^^^^^^ ^^^ ^

hhjh h

hh

hhh hh

h h

"

"

,

,

Limites notveis

3

lim

lim sen

lim

limln

lim ln

lim

ne n

xx

xe

xx

xx

xe p

1 1

1

1 1

11

0

N

R

n

x

x

x

x

x

x p

x

0

0

0

!

!

+ =

=

- =

+=

=

=+

"

"

"

"

"

3

3

+

+

b ^

^

^

l h

h

h


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GRUPO I

Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opo correta. Escreva, na folha de respostas, o nmero do item e a letra que identifica a opo escolhida.

1. Dois rapazes e quatro raparigas vo sentar-se num banco corrido com seis lugares.

De quantas maneiras o podem fazer, de modo que fique um rapaz em cada extremidade do banco?

(A) 60 (B) 48 (C) 24 (D) 12

2. Seja W , conjunto finito, o espao de resultados associado a uma certa experincia aleatria.

Sejam A e B dois acontecimentos (A W e B W).

Sabe-se que:

,P A 0 4=] g ,P B 0 7=] g ,P A B 0 5, =_ iQual o valor de P A B,_ i ?(A) 0,9 (B) 0,8 (C) 0,7 (D) 0,6

3. Qual das seguintes expresses , para qualquer nmero real k, igual a log 93k

3 e o ?

(A) k 2- (B) k2 (C) k 9- (D) k9

4. Considere a funo f , de domnio R+ , definida por lnf x xx1= +^ h

Considere a sucesso de termo geral u nn 2=

Qual o valor de lim f un_ i ?(A) 3+ (B) e (C) 1 (D) 0


5. Na Figura 1, est representado o crculo trigonomtrico.

Sabe-se que:

o ponto A pertence ao primeiro quadrante e circunferncia;

o ponto B pertence ao eixo Ox

o ponto C tem coordenadas (1, 0)

o ponto D pertence semirreta OAo

os segmentos de reta [ AB ] e [ DC ] so paralelos ao eixo Oy

Seja a a amplitude do ngulo ,COD 0 2!rae o;E

Qual das expresses seguintes d a rea do quadriltero ABCD6 @, representado a sombreado, em funo de a ?

(A) tg sen22

aa- ] g

(B) tg sen42

aa- ] g

(C) tg sen2 42a a- ] g

(D) tg sen2 22a a- ] g

6. Considere em C , conjunto dos nmeros complexos, a condio

argz i z4 4 3 2 43/ # #r r+ = ^ h

No plano complexo, esta condio define uma linha.

Qual o comprimento dessa linha?

(A) 4 r

(B) 3 r

(C) 2 r

(D) r

a


7. Na Figura 2, est representado, num referencial o.n. xOy , um tringulo equiltero [ ABC ]

O

A

B C x

y

Figura 2

Sabe-se que:

o ponto A tem ordenada positiva;

os pontos B e C pertencem ao eixo Ox

o ponto B tem abcissa 1 e o ponto C tem abcissa maior do que 1

Qual a equao reduzida da reta AB ?

(A) y x2 2= +

(B) y x2 2=

(C) y x3 3=

(D) y x3 3= +

8. Seja a um nmero real.

Considere a sucesso un_ i definida por

,

u a

u u n3 2 Nn n

1

1 6 !

=

= ++*

Qual o terceiro termo desta sucesso?

(A) 9a + 4

(B) 6a - 4

(C) 9a - 4

(D) 6a + 4

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GRUPO II

Na resposta aos itens deste grupo, apresente todos os clculos que tiver de efetuar e todas as justificaes necessrias.

Quando, para um resultado, no pedida a aproximao, apresente sempre o valor exato.

1. Em C, conjunto dos nmeros complexos, considere cis

z i22 2 19

i= +

Determine os valores de i pertencentes ao intervalo ,0 2r 6@ , para os quais z um nmero imaginrio puro.

Na resoluo deste item, no utilize a calculadora.

2. De uma empresa com sede em Coimbra, sabe-se que:

60% dos funcionrios residem fora de Coimbra;

os restantes funcionrios residem em Coimbra.

2.1. Relativamente aos funcionrios dessa empresa, sabe-se ainda que:

o nmero de homens igual ao nmero de mulheres;

30% dos homens residem fora de Coimbra.

Escolhe-se, ao acaso, um funcionrio dessa empresa.

Qual a probabilidade de o funcionrio escolhido ser mulher, sabendo que reside em Coimbra?

Apresente o resultado na forma de frao irredutvel.

2.2. Considere agora que a empresa tem oitenta funcionrios.

Escolhem-se, ao acaso, trs funcionrios dessa empresa.

A probabilidade de, entre esses funcionrios, haver no mximo dois a residir em Coimbra igual a

CC C80

3

803

323-

Elabore uma composio na qual explique a expresso apresentada.

Na sua resposta:

enuncie a regra de Laplace;

explique o nmero de casos possveis;

explique o nmero de casos favorveis.

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3. Na Figura 3, est representado um recipiente cheio de um lquido viscoso.

Tal como a figura ilustra, dentro do recipiente, presa sua base, encontra-se uma esfera. Essa esfera est ligada a um ponto P por uma mola esticada.

Num certo instante, a esfera desprendida da base do recipiente e inicia um movimento vertical. Admita que, t segundos aps esse instante, a distncia, em centmetros, do centro da esfera ao ponto P dada por

d t t e t10 5 0, t0 05 $= + ] ^ ^g h h3.1. Sabe-se que a distncia do ponto P base do recipiente 16 cm

Determine o volume da esfera.

Apresente o resultado em cm3, arredondado s centsimas.

3.2. Determine o instante em que a distncia do centro da esfera ao ponto P mnima, recorrendo a mtodos analticos, sem utilizar a calculadora.

4. Seja f a funo, de domnio R, definida por

lnf x

xe e x

x x x

2 1 21

1 21

se

se

x1

$

=

+^

^h

h

Z

[

\

]]

]]

Resolva os itens 4.1. e 4.2. recorrendo a mtodos analticos, sem utilizar a calculadora.

4.1. Averigue da existncia de assntotas verticais do grfico da funo f

4.2. Estude a funo f quanto ao sentido das concavidades do seu grfico e quanto existncia de

pontos de inflexo, no intervalo ,21 3+ :D

Na sua resposta, apresente:

o(s) intervalo(s) em que o grfico de f tem concavidade voltada para baixo; o(s) intervalo(s) em que o grfico de f tem concavidade voltada para cima; as coordenadas do(s) ponto(s) de inflexo do grfico de f

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4.3. Mostre que a equao f x 3=^ h possvel em , e1 6@ e, utilizando a calculadora grfica, determine a nica soluo desta equao, neste intervalo, arredondada s centsimas.

Na sua resposta:

recorra ao teorema de Bolzano para provar que a equao f x 3=^ h tem, pelo menos, uma soluo no intervalo , e1 6@

reproduza, num referencial, o(s) grfico(s) da(s) funo(es) que visualizar na calculadora, devidamente identificado(s);

apresente a soluo pedida.

5. Considere, num referencial o.n. Oxyz, os pontos , , , ,A B0 0 2 4 0 0e^ ^h h

5.1. Considere o plano a de equao x y z2 3 0 + + =

Escreva uma equao do plano que passa no ponto A e paralelo ao plano a

5.2. Determine uma equao cartesiana que defina a superfcie esfrica da qual o segmento de reta AB5 ? um dimetro.

5.3. Seja P o ponto pertencente ao plano xOy tal que: a sua abcissa igual abcissa do ponto B a sua ordenada positiva;

BAP 3r=t

Determine a ordenada do ponto P

6. Sejam f e g as funes, de domnio R, definidas, respetivamente, por

cosf x x1 3= ^ ^h h e seng x x3=^ ^h hSeja a um nmero real pertencente ao intervalo ,3 2

r r ;EConsidere as retas r e s tais que: a reta r tangente ao grfico da funo f no ponto de abcissa a a reta s tangente ao grfico da funo g no ponto de abcissa a 6

r+

Sabe-se que as retas r e s so perpendiculares.

Mostre que sen a3 31= ^ h

FIM

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COTAES

GRUPO I

1. a 8.................................................. (8 5 pontos) ............................. 40 pontos

40 pontos

GRUPO II

1. ........................................................................................................... 15 pontos

2. 2.1. ................................................................................................... 15 pontos2.2. ................................................................................................... 15 pontos

3. 3.1. ................................................................................................... 10 pontos3.2. ................................................................................................... 15 pontos

4.4.1. ................................................................................................... 15 pontos4.2. ................................................................................................... 15 pontos4.3. ................................................................................................... 15 pontos

5. 5.1. ................................................................................................... 5 pontos5.2. ................................................................................................... 10 pontos5.3. ................................................................................................... 15 pontos

6. ........................................................................................................... 15 pontos

160 pontos

TOTAL .............................................. 200 pontos

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