Exame nacional mestrado matemárica PROFMAT 2012
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EXAME DE QUALIFICAC ¸ ˜ AO - 2012.2 - GABARITO Quest˜ ao 1. (a) Prove que, para quaisquer x, y, z, a, b, c ∈ R, tem-se (ax + by + cz) 2 ≤ (a 2 + b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) . (b) Excetuando o caso trivial em que a = b = c = 0, mostre que vale a igualdade se, e somente se, existe m ∈ R tal que x = ma, y = mb e z = mc. UMA SOLUC ¸ ˜ AO (a) Efetuando as opera¸ c˜ oes indicadas, vemos que (a 2 + b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) - (ax + by + cz) 2 =(ay - bx) 2 +(az - cx) 2 +(bz - cy) 2 . Como todo quadrado em R ´ e ≥ 0, segue-se a desigualdade proposta. (b) Quanto ` a igualdade, ela ´ e evidente no caso em que x = ma, y = mb e z = mc, para algum m ∈ R. Reciprocamente, se ela vale ent˜ ao, supondo, por exemplo, a 6= 0, pomos m = x a . Sabendo (pelo visto acima) que ay - bx = az - cx = bz - cy =, de x = ma resultam 0 = ay - bx = ay - mab e da´ ı (como a 6= 0) tiramos y = mb. Analogamente, obtemos z = mc.
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exame nacional de acesso ao mestrado do PROFMAT
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EXAMEDEQUALIFICAC AO-2012.2-GABARITOQuestao1.(a)Proveque,paraquaisquerx, y, z, a, b, c R,tem-se(ax +by +cz)2 (a2+b2+c2)(x2+y2+z2) .(b)Excetuandoocasotrivialemquea=b=c=0, mostrequevaleaigualdadese, esomentese, existem Rtalquex = ma,y= mbez= mc.UMASOLUC AO(a)Efetuandoasopera coesindicadas,vemosque(a2+b2+c2)(x2+y2+z2) (ax +by +cz)2= (ay bx)2+ (az cx)2+ (bz cy)2.Comotodoquadradoem R e 0,segue-seadesigualdadeproposta.(b)Quanto`aigualdade,ela eevidentenocasoemquex = ma,y= mbez= mc,paraalgumm R.Reciprocamente, seelavaleentao, supondo, porexemplo, a =0, pomosm=xa. Sabendo(pelovistoacima)queay bx=az cx=bz cy=, dex=maresultam0=ay bx=ay mabeda(comoa =0)tiramosy=mb.Analogamente,obtemosz= mc.EXAMEDEQUALIFICAC AO-2012.2-GABARITOQuestao2.(a)Usandoogracocomoqualsedenegeometricamenteologaritmonaturalln,mostrequeln(1 +x) < xparatodox > 0,edaln x < x.(b) Tomandox em vez de x nesta ultima desigualdade, prove que para todo x sucientemente grande o quocienteln xxpodetornar-setaopequenoquantodesejemos.(c)Proveaindaqueessaconclusao evalidaparalogaritmosemqualquerbase> 1.UMASOLUC AO(a) ln(1+x) e a area de uma faixa de hiperbole, contida no retangulo de altura 1 e base igual ao intervalo [1, 1+x]doeixodasabscissas. Da ln(1 + x)4
2.(c) Finalmente,se log x signicar o logaritmo de x na base a,entao tomando c = log e teremos log x = c ln x,e dalog xx= c ln xx,ouseja,osdoisquocientesdiferemapenasporumaconstante. Entaolog xx2cx ,que emenordoquesex >4c2
2.EXAMEDEQUALIFICAC AO-2012.2-GABARITOQuestao3.Umamoeda,comprobabilidade0, 6dedarcara, elan cada3vezes.(a)Qual eaprobabilidadedequesejamobservadasduascaraseumacoroa,emqualquerordem?(b) Dado que foram observadas duas caras e uma coroa, qual e a probabilidade de que tenha dado coroa no primeirolancamento?UMASOLUC AO(a)Parasaremduascaraseumacoroa, sohaas3possibilidades: coroa-cara-cara, cara-coroa-cara, ecara-cara-coroa. Cadaumadelastemprobabilidade0, 6 0, 6 (1 0, 6)=0, 36 0, 4=0, 144. Logoaprobabilidadedesaremduascaraseumacoroa ede3 0, 144 = 0, 432.(b) Dadoqueforamobservadasduascaraseumacoroa, ocorreapenasumadas3possibilidadesacima, todasequiprovaveis. Esoumadelascomecacomcoroa. Entaoaprobabilidadedeterdadocoroanoprimeirolancamentoede13.EXAMEDEQUALIFICAC AO-2012.2-GABARITOQuestao4.Considereasequenciaandenidacomoindicadoabaixo:a1= 1a2= 1 + 2a3= 2 + 3 + 4a4= 4 + 5 + 6 + 7...(a)Otermoa10easomade10inteirosconsecutivos. Qualeomenorequaleomaiordessesinteiros? Calculea10.(b)Forne caumaexpressaogeralparaotermoan.UMASOLUC AO(a)Umamaneiradefazer eirateadecimalinha,seguindoaregrasugerida,emqueo ultimotermodeumalinhaeoprimeirotermodaseguinte.a1= 1a2= 1 + 2a3= 2 + 3 + 4a4= 4 + 5 + 6 + 7a5= 7 + 8 + 9 + 10 + 11a6= 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16a7= 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22a8= 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29a9= 29 + 30 + 31 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37a10= 37 + 38 + 39 + 40 + 41 + 42 + 43 + 44 + 45 + 46Entaoa10easomadeumaP.A.comprimeirotermo37, ultimotermo46,erazao1. Portantoa10=37 + 462 10 = 415 .(b)Primeirovejamosqualealeiqueregeoprimeirotermodean. Chamemosdebnesseprimeirotermo. Temosb1= 1, b2= 1, b3= 2, b4= 4, b5= 7 etc. Da b2b1= 0, b3b2= 1, b4b3= 2, b5b4= 3, isto e, bnbn1= n2.Ouseja, bn bn1, n 2,eumaP.A.derazao1eprimeirotermoigualazero. Entaobneiguala1maisasomadessaP.A.ateotermon 2:bn= 1 +(n 2)(n 1)2.O ultimotermodeaneigualabn +n 1. Entao,sendoanasomadeumaP.A.dentermoscomoprimeiroigualabneo ultimoigualabn +n 1,resultaquean= n bn + (bn +n 1)2.Colocandoessaexpressaoexplicitamenteemfun c aoden,temosan= n
bn +n 12
= n
1 +12(n 1)(n 2 + 1)
= n
1 +12(n 1)2
,que eumpolinomioc ubicoemn.(Nessas horas, vale a pena conferir se a formula bate com o que esperamos, examinando os primeiros casos. Conra!)EXAMEDEQUALIFICAC AO-2012.2-GABARITOQuestao5.Seja ABCumtriangulo equilatero de lado 6 e ADumsegmento perpendicular ao plano desse triangulo decomprimento8.(a)LocalizeopontoPdoespa coqueeequidistantedosquatropontosA,B,CeDecalculeadistanciacomumR = PA = PB= PC= PD.(b)CalculeocossenodoanguloentreasretasreversasACeBD.UMASOLUC AO(a)OpontoPdeveestarnoplanoparaleloaABCa4unidadesdedistanciadeA,poisesse eoplanodospontosequidistantesdeAeD. Aomesmotempo,eledeveestarnaretaperpendicularaoplanodeterminadoporABCquepassapelocentroHdeABC,poisessareta eoconjuntodepontosqueequidistamdeA,BeC.AdistanciadeHaqualquerumdosverticesdotriangulo eiguala23(oquepodeserobtidodevariosmodos).Como AHPe triangulo-retangulo, de catetos AH= 23 e HP= 4, e hipotenusa AP= R, entao R2= 12+16 = 28,logoR = 27.(b) ChamedeQopontodoplanodeABCtal queAQBCeparalelogramo. Oanguloprocuradoeoangulo=Q
BD. TodososladosdotrianguloQBDsaoconhecidos: (i)BD=10, porqueBADeretangulocomcatetosiguaisa6(oladodotrianguloABC)e8(aalturadopontoD); (ii)BQ=AC=6; (iii)QD=10(pelamesmaraz aode(i)). Entao,pelaLeidosCossenos,102= 102+ 622 10 6 cos ,deondesaicos = 0, 3.EXAMEDEQUALIFICAC AO-2012.2-GABARITOQuestao6.No triangulo ABCassinale o ponto Pdo lado ACe o ponto Q do lado BCde forma que AP=13ACe BQ =23BC.SejaJopontodeintersecaodeAQeBP.(a)MostrequeJAJQ=34. Sugestao: TraceQLparaleloaBPeusesemelhan cadetriangulos.(b)CalculearazaoJBJP .(c) Decida se a area do triangulo BPQ e maior do que, menor do que ou igual `a metade da area do triangulo ABC.UMASOLUC AO(a)Parafacilitar,sejamBC= 3aeAC= 3b. TracamosQLparalelaaBP. TemosAP= bePC= 2b.DasemelhancadostriangulosBPCeQLCvemLCPC=QCBC=13 .Logo,LC=2b3ePL =4b3.Assim,JAJQ=PAPL=b4b/3=34 .(b)SejaJP= x. Dasemelhan caentreAJPeAQLvemJPQL=AJAQ=37 .Da,QL =7x3.DasemelhancadostriangulosBPCeQLCtemosBPQL=BCQC=31 .Da,BP= 7xeBJ= 6x. Assim,JBJP= 6 .(c)Seja3hadistanciadeA`aretaBC. AareadotrianguloABCeS=3a 3h2=9ah2.O tri angulo BPQ tem base BQ = 2a e altura igual `a distancia de P`a reta BC, que e igual a 2h. A area do trianguloBPQ eS1=2a 2h2=4ah2.Assim,S1=49S 1)eoquadradoouasomadedoisquadradosden umerosnaturais.UMASOLUC AO(a) Suponhamos por absurdo que existam x, y, z N tais que z2= 4n+3 ou que x2+y2= 4n+3. Teramos entaoquez2 3 mod 4ouquex2+y2 3 mod 4.Sendo,paratodoa N,a 0 mod 4,a 1 mod 4,a 2 mod 4,oua 3 mod 4,seguequea2 0 mod 4 ou a2 1 mod 4.Portanto,z2 3 mod 4ex2+y2 3 mod 4,oque eumacontradicao.(b)Paraa=11, porinspecao, oresultadoeobvio. Agorasuponhamosn 2eponhamosa=100b + 11, ondeb 0. Portanto,temosa = 25 4b + 4 2 + 3 = 4(25b + 2) + 3 ,oquenosdizquea edaforma4n + 3,logonao enemumquadradonemumasomadedoisquadradosden umerosnaturais.EXAMEDEQUALIFICAC AO-2012.2-GABARITOQuestao8.Considereosistemadecongruencias:
x c1mod n1x c2mod n2Denotamoscomodecostumeomdceommcden1en2por(n1, n2)e[n1, n2],respectivamente.(a)Mostrequeaea
saosolucoesdosistemase,esomentese,a a
mod [n1, n2]. Oenunciado,daformacomoesta,eincorreto. Ocertoseria: Mostreque,sea esolucao,entaoa
esolucaose,esomentese,a a
mod [n1, n2].(b)Mostrequeosistemaadmitesolucaose,esomentese,c2 c1mod (n1, n2).(c)Dadasasprogressoesaritmeticas(an)deprimeirotermo5erazao14e(bn)deprimeirotermo12erazao21,mostrequeelaspossuemtermoscomuns(istoe, existemrestaisquear=bs). MostrequeessestermoscomunsformamumaPAedetermineseuprimeirotermoesuarazao.UMASOLUC AO(a)Obs. Seosistemaadmiteumasolucaoa,entaotodon umerodaformaa +kn1n2etambemumasolucao. Emoutraspalavras, sea
a mod n1n2, entaoa
eumasolucao. Masissonaodatodasassolucoes, comooproprioenunciadodeixaevidente,amenosquen1en2sejamprimosentresi.Suponhaque asejaumasolu cao. Se a
e outrasolucaodosistema, subtraindoumadaoutraobtemos quea
a mod n1ea
a mod n2. Poroutrolado, essasduascondicoesjuntasimplicamquea
esolu caodosistema.Ouseja: a
esolucaodosistemase, esomentese, a
a mod n1ea
a mod n2. Masdizerquea
a mod n1ea
a mod n2equivaleaarmarquea
a mod [n1, n2].(b) Peloque acabamos de mostrar, osistemaadmite umasolucaose, e somente se, ele admite umasolu caoa>max{c1, c2}. Portanto, osistemaadmitesolucaose, esomentese, existemx, y Ntaisquea c1=xn1ea c2=yn2. Semperdadegeneralidade, podemossuporc2 c1. Assim, aexistenciadesolucoesdosistemaeequivalente `a existenciadesolu coesda equacao diofantina xn1yn2= c2c1. Porsua vez,essa equacao diofantinapossuisolucaose,esomentese,(n1, n2)dividec2c1,oqueequivaleac2 c1mod (n1, n2).(c)OstermoscomunsaambasasPAssaosoluc oesdosistema
x 5 mod 14x 12 mod 21,oqualpossuisolu coesdadoque12 5 mod (14, 21),por(b).ListemososprimeirostermosdeambasasPAs:an: 5, 19, 33, . . .bn: 12, 33, 54, . . .Assim,33 e o menor termo comum a ambas as PAs e pela parte (a) temos que os termos comuns a ambas PAs saodadosporcn= 33 +n[14, 21] = 33 + 42n,osquaisformamumaPAdeprimeirotermo33erazao42.
