EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO...

36
EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS VIGAS PRINCIPAIS (adaptado TAGUTI 2002) ROTEIRO DE CÁLCULO I - DADOS Ponte rodoviária. classe TB 450 (NBR-7188) Planta, corte e vista longitudinal ( Anexo) Fôrma da superestrutura e da infra-estrutura Concreto : fck = 35 MPa Aço : CA-50 Pesos específicos : concreto simples : 24 kN/m3 concreto armado : 25 kN/m3 pavimentação : 24 kN/m3 recapeamento : 2 kN/m2 Viga principal - pré-dimensionamento: valores do índice de esbeltez l / h = vão / altura ( Martinelli - 1971) tipo de ponte concreto armado concreto protendido pedestres 15 a 20 20 a 25 rodoviária 10 a 15 15 a 20 ferroviária 8 a 10 10 a 15 II - CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS 1 - Cálculo dos esforços devidos à carga permanente (g) 1.1 - Cálculo da carga permanente g 1.2 - Cálculo do momento fletor devido a g 1.3 - Cálculo do esforço cortante devido a g 1.4 - Cálculo das reações de apoio devidas a g 2 - Cálculo dos esforços devidos à carga móvel (q) 2.1 - Determinação do trem-tipo para a viga principal 2.2 - Momentos fletores máximo e mínimo devido a q 2.3 - Cálculo dos esforços cortantes máximo e mínimo devidos a q 2.4 - Reações de apoio máxima e mínima devidas a q 3- Esforços totais 3.1 - Momentos fletores extremos 3.2 - Esforços cortantes extremos 3.3 - Reações de apoio extremas 4- Dimensionamento das armaduras 4.1 - Verificação do pré-dimensionamento da seção 4.2 - Cálculo da armadura de flexão 4.3 - Cálculo da armadura de cisalhamento 4.4 - Verificação da fadiga da armadura de flexão 4.5 - Verificação da fadiga da armadura de cisalhamento

Transcript of EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO...

Page 1: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS VIGAS PRINCIPAIS

(adaptado TAGUTI 2002)

ROTEIRO DE CÁLCULO

I - DADOS

Ponte rodoviária. classe TB 450 (NBR-7188)

Planta, corte e vista longitudinal (Anexo)

Fôrma da superestrutura e da infra-estrutura

Concreto : fck = 35 MPa

Aço : CA-50

Pesos específicos : concreto simples : 24 kN/m3

concreto armado : 25 kN/m3

pavimentação : 24 kN/m3

recapeamento : 2 kN/m2

Viga principal - pré-dimensionamento:

valores do índice de esbeltez l / h = vão / altura ( Martinelli - 1971)

tipo de ponte concreto armado concreto protendido

pedestres 15 a 20 20 a 25

rodoviária 10 a 15 15 a 20

ferroviária 8 a 10 10 a 15

II - CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS

1 - Cálculo dos esforços devidos à carga permanente (g)

1.1 - Cálculo da carga permanente g

1.2 - Cálculo do momento fletor devido a g

1.3 - Cálculo do esforço cortante devido a g

1.4 - Cálculo das reações de apoio devidas a g

2 - Cálculo dos esforços devidos à carga móvel (q)

2.1 - Determinação do trem-tipo para a viga principal

2.2 - Momentos fletores máximo e mínimo devido a q

2.3 - Cálculo dos esforços cortantes máximo e mínimo devidos a q

2.4 - Reações de apoio máxima e mínima devidas a q

3- Esforços totais

3.1 - Momentos fletores extremos

3.2 - Esforços cortantes extremos

3.3 - Reações de apoio extremas

4- Dimensionamento das armaduras

4.1 - Verificação do pré-dimensionamento da seção

4.2 - Cálculo da armadura de flexão

4.3 - Cálculo da armadura de cisalhamento

4.4 - Verificação da fadiga da armadura de flexão

4.5 - Verificação da fadiga da armadura de cisalhamento

Page 2: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Corte e Vista longitudinal da ponte

Page 3: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Seção Transversal no apoio e no meio do vão

Page 4: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Vista inferior e Locação da Fundação

Page 5: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

6) CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS

6.1) REPARTIÇÃO DAS CARGAS TRANSVERSALMENTE

No caso de pontes sobre duas vigas principais, há basicamente, três esquemas estáticos

de cálculo:

Obs.: NBR-6118 - seções transversais com três ou mais vigas principais devem ser calculadas

como grelha.

6.2 CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS

Page 6: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

6.2.1 CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO À CARGA PERMANENTE

A carga permanente pode ser considerada uniformemente distribuída, igualmente para cada

viga, inclusive o peso próprio das transversinas.

Somente o peso próprio da cortina será considerado como concentrado na extremidade da viga,

porém, sem o momento fletor correspondente.

6.2.2 CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS

Os esforços serão obtidos através de cálculo como vigas independentes.

Fig. 6.2 - Esquema de cálculo - como vigas independentes

As cargas P e p' atuando sobre o tabuleiro, correspondem às cargas Pη + p'A sobre um

determinado ponto da viga 1 .

Considerando-se todas as seções transversais, ao longo da ponte, obtêm-se todas as

cargas sobre a viga 1, correspondentes àquelas atuantes sobre o tabuleiro. Esse

carregamento obtido sobre a viga 1 é denominado TREM-TIPO da viga principal.

P P p' p'

1 2

η

1

A LI de R 1 ( reação da viga )

1 1 R P = + p' η

1 R = P . + p' . A η

( parcelas das cargas P e p'

suportadas pela viga 1 )

Page 7: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS

PRINCIPAIS

Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das vigas

principais

OBS. Para se obterem os máximos valores de Q1, q1 e q2 , observando a LI, deve-se colocar o

veículo-tipo tão próximo quanto possível da viga 1 .

6.2.4 VALORES EXTREMOS DOS ESFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS

Determinado o TREM-TIPO da viga principal, pode-se obter, através das linhas de

influências, os valores máximos e mínimos dos esforços solicitantes (M e V)

Exemplo: Extremos de Mc

Page 8: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Fig.6.4 - Linha de influência do momento fletor na seção C e as posições

do trem-

6.3 ENVOLTÓRIA DE ESFORÇOS

São os valores máximos e mínimos dos esforços em cada seção transversal da viga. Esses

valores são determinados pela combinação das cargas permanentes e móveis.

O número de seções adotadas em cada tramo varia com o vão do mesmo, podendo adotar-

se:

vão dividido em 10 partes

Recomenda-se : 5 seções para vão L entre 5 e 10 m

10 seções para vão L entre 20

e 30 m

Fig. 6.5 - Número de seções para cada tramo da viga

6.4 CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS - RESOLUÇÃO DO PROJETO

6.4.1 CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO À CARGA PERMANENTE

6.4.1.1 Cálculo das cargas permanentes

L = 26 m

Page 9: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

- Peso próprio de meia seção transversal

Fig. 6.6 - Seção transversal da ponte

- Peso próprio das transversinas (considerando unif. distrib. ao longo da viga, l = 30m)

2

1

6

3

4

5 40

40 15

5 15 5 15

40 260 cm 40 80 230 cm cm

12 25

cm 200

10 cm

cm 5

Page 10: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Fig. 6.8 - Desconto nos apoios

- Peso próprio das cortinas

50 30 50 cm

200

10 25 cm

cm

laje já considerada

Fig.6.7 - Seção transversal da transversina

cm

,0 m 5

, 4 0 0 0 , 60

2 ,0 m transversina

viga principal

25 , 0 , 10 0

,0 m 2

, 25 2 25 , 0

0 25 ,

,50 m 0

,65 m 1

, 25 0

0 ,50 m

25 , 0

,50 m 12

5 2 , 0 0 ,25 m

laje já considerada

Ala

cortina Ala

cortina

Page 11: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Fig. 6.9 Dimensões das cortinas e alas

- CARGA PERMANENTE TOTAL - Vigas principais

Fig. 6.10 - Cargas permanentes da viga principal

- Seções para cálculo dos esforços solicitantes

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Fig. 6.11 - Fixação das seções ao longo da viga principal 6.4.1.2 -

REAÇÕES DE APOIO

Rg2 = Rg12 = 1.717,19 kN

6.4.1.3 - DIAGRAMA DE Mg (kN.m): (convenção: tração embaixo: positivo)

Fig. 6.12 - Diagrama de M devido às cargas permanentes

2 ,5 m 2 ,5 m 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 ,5 m 2 ,5 m

Page 12: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

6.4.1.4 - DIAGRAMA DE Vg (kN) (convenção: horário positivo)

Fig. 6.13 - Diagrama de V devido às cargas permanentes

6.4.2 - CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS

6.4.2.1 - Obtenção do TREM-TIPO das vigas principais (ver Fig. 6.15)

Esforços devido a carga móvel

Coeficiente de Impacto Vertical (CIV)

CIV=1+1,06.(20/(LIV+50))

1. Balanço = 2.5 = 10 m

CIV=1+1,06.(20/(10+50))=1,353

2. Vão Central = 20 m

CIV=1+1,06.(20/(20+50))=1,303

Coeficiente de número de faixas

CNF = 1 – 0,05.(n-2) = 1– 0,05.(2-2) = 1,00

Coeficiente de impacto adicional (somente para elementos < 5 m)

Balanço = 1,353.1,00.1,00 = 1,353 (Versão Antiga da Norma = 1,33)

Vão Central = 1,303.1,00.1,00 = 1,303 (Versão Antiga da Norma = 1,26)

Page 13: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

TREM-TIPO - VIGA PRINCIPAL

Page 14: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Fig. 6.16 - TREM-TIPO da viga principal

Balanço = 1,35 Vão Central = 1,30

Q1 = 75 . (1,35 + 1,05) .

coef

243,00 KN 234,00 KN

q1 = 5 . (0,97 . 6,4)/2 . coef 20,95 KN/m 20,18 KN/m

Q2 = 5 . (1,42 . 9,4)/2 . coef 45,05 KN/m 43,38 KN/m

6.4.2.2 REAÇÕES DE APOIOS

Fig. 6.17 - Reações máxima e mínima da viga principal, causadas pelas cargas móveis

Page 15: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Rq2,mín =−243,00.(0,10 + 0,175 +0,25) – 20,95.((0,025+0,25)/2).4,5-45,05.((0,025+0,5)/2)= -

152,36KN

Rq2,máx = 243,00.(1,25 +1,175 +1,10) +20,95.((1,025+1,25)/2).4,5+45,05((1,025.20,5)/2)=

1.437,12KN

6.4.2.3 MOMENTOS FLETORES

Ponto 0/14 Mq0,mín =0,00

Mq0,máx = 0,00

Os valores são zero devido ao ponto 0 ser a extremidade da estrutura.

Ponto 1/13

Mq1,mín =−243,00.(2,5+1,00) – 20,95.(2,5.2,5)/2= - 915,97 KNm

Mq1,máx = 0,00

Page 16: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Ponto 2/12

Mq2,mín =−243,00.(5,00 + 3,5 + 2,00) – 20,95.[(5,0+0,5)/2.4,5] – 45,05.(0,5.0,5)/2 = - 2.816,39 KNm

Mq2,máx = 0,00

Ponto 3/11

Page 17: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Mq3,mín =−243,00.(4,50+3,15+1,80) – 20,95.[(4,50+0,45)/2.4,5] – 45,05.[(0,4.0,50)/2+0,50.5,00/2]= -

2.591,06 KNm

Mq3,máx = 243,00.(1,8+1,65+1,5) + 20,95.[(1,8+0,45)/2.1,5 + (1,80+1,35)/2.4,5] + 45,05.[(1,35.13,50)/2 + (0,45.0,50)/2] = 1.802,27 kN.m

Ponto 4/10

Mq4,mín =−243,00.(4,00+2,80+1,60) – 20,95.[(4,00+0,40)/2.4,5] – 45,05.[(0,4.0,50)/2+1,00.5,00/2]= -

2.365,74 KNm

Mq4,máx = 243,00.(3,2+2,9+2,6) + 20,95.[(3,2+2,00)/2.1,5 + (3,2+2,3)/2.4,5] + 45,05.[(2,30.11,50)/2 +

(2,50.2,00)/2] = 3.163,47 kN.m

Ponto 5/9

Page 18: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Mq5,mín =−243,00.(3,50+2,45+1,40) – 20,95.[(3,50+0,35)/2.4,5] – 45,05.[(0,35.0,50)/2+1,50.5,00/2]=

- 2.140,41 KNm

Mq5,máx = 243,00.(4,20+3,75+3,30) + 20,95.[(4,2+3,15)/2.1,5 + (4,2+2,85)/2.4,5] +

45,05.[(2,85.9,50)/2 + (3,15.4,50)/2] = 4.110,71 kN.m

Ponto 6/8

Page 19: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Mq6,mín =−243,00.(3,00 + 2,10 + 1,2) – 20,95.[(3,00 + 0,30)/2.4,5] – 45,05.[ (0,35.0,50)/2

+2,00.5,00/2] = - 1.915,08 KNm

Mq6,máx = 243,00.(4,80+4,20+3,60) + 20,95.[(4,8+3,90)/2.1,5 + (4,8+3,00)/2.4,5] + 45,05.[(3,00.7,5)/2 + (3,90+6,5)/2] = 4.643,99 kN.m

Ponto 7

Mq7,mín =−243,00.(2,50 + 1,75 + 1,00) – 20,95.[(2,5+0,25)/2.4,5] – 45,05.[ (0,25.0,50)/2 +2,50.5,00/2]

= - 1.689,76 KNm

Mq7,máx = 243,00.(5,00+4,25.2) + 20,95.[2.(5,00+4,25)/2.3,0] + 45,05.[2.(4,25.7,0)/2] = 4.918,45

kN.m

Seção Mk max Mk min

0 / 14 0 0

1 / 13 0 -915,97

2/12 0 -2816,39

3 / 11 1802,27 -2591,06

4 / 10 3163,37 -2365,74

5 / 9 4110,71 -2140,41

6/8 4711,47 -1915,08

7 4918,45 -1689,76

Page 20: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

6.4.2.4 - ESFORÇOS CORTANTES (Vq)

Ponto 0/-14

Vq0,mín =−243,00.(1,00) = - 243,00 KN

Vq0 máx = 0,00

Ponto 1 /-13

Vq1,mín =−243,00.(1,00 + 1,00) – 20,95.(1,00.2,5) = - 538,50 KN

Vq1 máx = 0,00

Page 21: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Ponto 2/-12 esq

Vq2,mín =−243,00.(1,00 + 1,00 + 1,00) – 20,95.(1,00.4,5) – 45,05.(0,5.1,00) = -845,80 KN

Vq2 máx = 0,00

Ponto 2/-12 dir

Page 22: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Vq2,mín =−243,00.(0,25+0,175+0,10) – 20,95.[(0,25+0,025)/2.4,5] – 45,05.[(0,5.0,025)/2] = -140,82

KN

Vq2 máx = 243,00.(1,00 + 0,925 + 0,85)+ 20,95[(1,00+0,775)/2.4,5] + 45,05.[(0,25.5,00)/2 + (0,775.15,50)/2] = 1.055,38 KN

Ponto 3 /- 11

Vq3,mín =−243,00.(0,25+0,175+0,10) – 20,95.[(0,25+0,025)/2.4,5] – 45,05.[(0,5.0,025)/2 +

(0,10.2,00)/2] = -145,32 KN

Vq3 máx = 243,00.(0,90 + 0,825 + 0,75)+ 20,95[(0,90+0,675)/2.4,5] + 45,05.[(0,25.5,00)/2 + (0,675.13,50)/2] = 909,08 KN

Ponto 4 / -10

Page 23: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Vq4,mín =−243,00.(0,25+0,175+0,10) – 20,95.[(0,25+0,025)/2.4,5] – 45,05.[(0,5.0,025)/2 +

(0,20.4,00)/2] = -158,84 KN

Vq4 máx = 243,00.(0,80 + 0,725 + 0,65)+ 20,95[(0,80+0,575)/2.4,5] + 45,05.[(0,25.5,00)/2 + (0,575.11,50)/2] = 770,44 KN

Ponto 5 /- 9

Vq5,mín =−243,00.(0,30+0,225+0,15) – 20,95.[(0,30+1,50)/2.4,5] – 45,05.[(0,075.1,50)/2 +

(0,25.5,00)/2] = -212,39 KN

Vq5 máx = 243,00.(0,70 + 0,625 + 0,55)+ 20,95[(0,70+0,475)/2.4,5] + 45,05.[(0,25.5,00)/2 + (0,475.9,50)/2] = 770,44 KN

Page 24: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Ponto 6/-8

Vq6,mín =−243,00.(0,40+0,325+0,25) – 20,95.[(0,40+0,175)/2.4,5] – 45,05.[(0,5.0,175)/2 +

(0,25.5,00)/2] = -305,98 KN

Vq6 máx = 243,00.(0,60 + 0,525 + 0,45)+ 20,95[(0,60+0,375)/2.4,5] + 45,05.[(0,25.5,00)/2 + (0,375.7,50)/2] = 520,19 KN

Ponto 7

Vq7,mín =−243,00.(0,50 + 0,425 + 0,35) – 20,95.[(0,50+0,275)/2.4,5] – .[(0,25.5,00)/2 + (0,25.5,00)/2]

= -408,58 KN

Vq7 máx = 243,00.(0,50 + 0,425 + 0,35)+ 20,95[(0,50+0,275)/2.4,5] + 45,05.[(0,25.5,00)/2 +

(0,275.5,50)/2] = 408,58 KN

Page 25: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Seção Vk máx Vk min

0 /- 14 0 -243

1 /-13 0 -538,5

2/-12 esq 0 -845,8

2/-12 dir 1055,38 -140,82

3 /- 11 909,08 -145,32

4 / -10 770,44 -158,84

5 /- 9 640,81 -212,39

6/-8 520,19 -305,98

7 408,58 -408,58

6.4.3 - ESFORÇOS TOTAIS (ver combinações de ações)

O peso próprio da estrutura > 75% do peso próprio total, então,

γg = 1,3, para efeitos desfavoráveis

γg = 1,0, para efeitos favoráveis

γq = 1,5, para cargas variáveis

6.4.3.1 - MOMENTOS FLETORES de CÁLCULO (Md)

Md,máx = γ gMg + γ qMq,máx

Md,mín = γ gMg + γ qMq,mín

Seção Mg Mq max Mq min Mdmax Mdmin

0 / 14 - - - - -

Combinações

Mdmáx

Combinação 1 1,30 - 1,50 - -

Combinação 2 1,30 - - - -

Combinação 3 1,00 - 1,50 - -

Combinação 4 1,00 - - - -

Mdmín

Combinação 1 1,30 - 1,50 - -

Combinação 2 1,30 - - - -

Combinação 3 1,00 - 1,50 - -

Combinação 4 1,00 - - - -

1 / 13 - 650,94 - - 915,97 - 650,94 - 2.220,18

Page 26: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Combinações

Mdmáx

Combinação 1 1,30 - 650,94 1,50 - - 846,22

Combinação 2 1,30 - 650,94 - - - 846,22

Combinação 3 1,00 - 650,94 1,50 - - 650,94

Combinação 4 1,00 - 650,94 - - - 650,94

Mdmín

Combinação 1 1,30 - 650,94 1,50 - 915,97 - 2.220,18

Combinação 2 1,30 - 650,94 - - 915,97 - 846,22

Combinação 3 1,00 - 650,94 1,50 - 915,97 - 2.024,90

Combinação 4 1,00 - 650,94 - - 915,97 - 650,94

2/12 - 1.964,08 - - 2.816,39 - 1.964,08 - 6.777,89

Combinações

Mdmáx

Combinação 1 1,30 - 1.964,08 1,50 - - 2.553,30

Combinação 2 1,30 - 1.964,08 - - - 2.553,30

Combinação 3 1,00 - 1.964,08 1,50 - - 1.964,08

Combinação 4 1,00 - 1.964,08 - - - 1.964,08

Mdmín

Combinação 1 1,30 - 1.964,08 1,50 - 2.816,39 - 6.777,89

Combinação 2 1,30 - 1.964,08 - - 2.816,39 - 2.553,30

Combinação 3 1,00 - 1.964,08 1,50 - 2.816,39 - 6.188,67

Combinação 4 1,00 - 1.964,08 - - 2.816,39 - 1.964,08

3 / 11 - 56,98 1.802,27 - 2.591,06 2.646,43 - 3.960,66

Combinações

Mdmáx

Combinação 1 1,30 - 56,98 1,50 1.802,27 2.629,33

Combinação 2 1,30 - 56,98 - 1.802,27 - 74,07

Combinação 3 1,00 - 56,98 1,50 1.802,27 2.646,43

Combinação 4 1,00 - 56,98 - 1.802,27 - 56,98

Mdmín

Combinação 1 1,30 - 56,98 1,50 - 2.591,06 - 3.960,66

Combinação 2 1,30 - 56,98 - - 2.591,06 - 74,07

Combinação 3 1,00 - 56,98 1,50 - 2.591,06 - 3.943,57

Combinação 4 1,00 - 56,98 - - 2.591,06 - 56,98

4 / 10 1.426,38 3.163,37 - 2.365,74 6.599,35 - 2.122,23

Combinações

Mdmáx

Combinação 1 1,30 1.426,38 1,50 3.163,37 6.599,35

Combinação 2 1,30 1.426,38 - 3.163,37 1.854,29

Combinação 3 1,00 1.426,38 1,50 3.163,37 6.171,44

Combinação 4 1,00 1.426,38 - 3.163,37 1.426,38

Mdmín

Combinação 1 1,30 1.426,38 1,50 - 2.365,74 - 1.694,32

Combinação 2 1,30 1.426,38 - - 2.365,74 1.854,29

Combinação 3 1,00 1.426,38 1,50 - 2.365,74 - 2.122,23

Combinação 4 1,00 1.426,38 - - 2.365,74 1.426,38

5 / 9 2.485,82 4.110,71 - 2.140,41 9.397,63 - 724,80

Combinações

Mdmáx

Combinação 1 1,30 2.485,82 1,50 4.110,71 9.397,63

Page 27: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Combinação 2 1,30 2.485,82 - 4.110,71 3.231,57

Combinação 3 1,00 2.485,82 1,50 4.110,71 8.651,89

Combinação 4 1,00 2.485,82 - 4.110,71 2.485,82

Mdmín

Combinação 1 1,30 2.485,82 1,50 - 2.140,41 20,95

Combinação 2 1,30 2.485,82 - - 2.140,41 3.231,57

Combinação 3 1,00 2.485,82 1,50 - 2.140,41 - 724,80

Combinação 4 1,00 2.485,82 - - 2.140,41 2.485,82

6/8 3.121,52 4.711,47 - 1.915,08 11.125,18 248,90

Combinações

Mdmáx

Combinação 1 1,30 3.121,52 1,50 4.711,47 11.125,18

Combinação 2 1,30 3.121,52 - 4.711,47 4.057,98

Combinação 3 1,00 3.121,52 1,50 4.711,47 10.188,73

Combinação 4 1,00 3.121,52 - 4.711,47 3.121,52

Mdmín

Combinação 1 1,30 3.121,52 1,50 - 1.915,08 1.185,36

Combinação 2 1,30 3.121,52 - - 1.915,08 4.057,98

Combinação 3 1,00 3.121,52 1,50 - 1.915,08 248,90

Combinação 4 1,00 3.121,52 - - 1.915,08 3.121,52

7 3.333,42 4.918,45 - 1.689,76 11.711,12 798,78

Combinações

Mdmáx

Combinação 1 1,30 3.333,42 1,50 4.918,45 11.711,12

Combinação 2 1,30 3.333,42 - 4.918,45 4.333,45

Combinação 3 1,00 3.333,42 1,50 4.918,45 10.711,10

Combinação 4 1,00 3.333,42 - 4.918,45 3.333,42

Mdmín

Combinação 1 1,30 3.333,42 1,50 - 1.689,76 1.798,81

Combinação 2 1,30 3.333,42 - - 1.689,76 4.333,45

Combinação 3 1,00 3.333,42 1,50 - 1.689,76 798,78

Combinação 4 1,00 3.333,42 - - 1.689,76 3.333,42

Resumo

Seção Mg Mq max Mq min Mdmax Mdmin

0 / 14 - - - - -

1 / 13 - 650,94 - - 915,97 - 650,94 - 2.220,18

2/12 - 1.964,08 - - 2.816,39 - 1.964,08 - 6.777,89

3 / 11 - 56,98 1.802,27 - 2.591,06 2.646,43 - 3.960,66

4 / 10 1.426,38 3.163,37 - 2.365,74 6.599,35 - 2.122,23

5 / 9 2.485,82 4.110,71 - 2.140,41 9.397,63 - 724,80

6/8 3.121,52 4.711,47 - 1.915,08 11.125,18 248,90

7 3.333,42 4.918,45 - 1.689,76 11.711,12 798,78

6.4.3.2 - ESFORÇOS CORTANTES (Vd)

Vd,máx = γ gVg + γ qVq,máx

Vd,mín = γ gVg + γ qVq,mín

Page 28: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Seção Vg Vk máx Vk min Vdmax Vdmin

0 /- 14 - 127,94 - - 243,00 - 127,94 - 530,82

Combinações

Mdmáx

Combinação 1 1,30 - 127,94 1,50 - - 166,32

Combinação 2 1,30 - 127,94 - - - 166,32

Combinação 3 1,00 - 127,94 1,50 - - 127,94

Combinação 4 1,00 - 127,94 - - - 127,94

Mdmín

Combinação 1 1,30 - 127,94 1,50 - 243,00 - 530,82

Combinação 2 1,30 - 127,94 - - 243,00 - 166,32

Combinação 3 1,00 - 127,94 1,50 - 243,00 - 492,44

Combinação 4 1,00 - 127,94 - - 243,00 - 127,94

1 /-13 - 392,82 - - 538,50 - 392,82 - 1.318,42

Combinações

Mdmáx

Combinação 1 1,30 - 392,82 1,50 - - 510,67

Combinação 2 1,30 - 392,82 - - - 510,67

Combinação 3 1,00 - 392,82 1,50 - - 392,82

Combinação 4 1,00 - 392,82 - - - 392,82

Mdmín

Combinação 1 1,30 - 392,82 1,50 - 538,50 - 1.318,42

Combinação 2 1,30 - 392,82 - - 538,50 - 510,67

Combinação 3 1,00 - 392,82 1,50 - 538,50 - 1.200,57

Combinação 4 1,00 - 392,82 - - 538,50 - 392,82

2/-12 - esq - 657,69 - - 845,80 - 657,69 - 2.123,70

Combinações

Mdmáx

Combinação 1 1,30 - 657,69 1,50 - - 855,00

Combinação 2 1,30 - 657,69 - - - 855,00

Combinação 3 1,00 - 657,69 1,50 - - 657,69

Combinação 4 1,00 - 657,69 - - - 657,69

Mdmín

Combinação 1 1,30 - 657,69 1,50 - 845,80 - 2.123,70

Combinação 2 1,30 - 657,69 - - 845,80 - 855,00

Combinação 3 1,00 - 657,69 1,50 - 845,80 - 1.926,39

Combinação 4 1,00 - 657,69 - - 845,80 - 657,69

2/-12 - dir 1.059,50 1.055,38 - 140,82 2.960,42 1.377,35

Combinações

Mdmáx

Combinação 1 1,30 1.059,50 1,50 1.055,38 2.960,42

Combinação 2 1,30 1.059,50 - 1.055,38 1.377,35

Combinação 3 1,00 1.059,50 1,50 1.055,38 2.642,57

Combinação 4 1,00 1.059,50 - 1.055,38 1.059,50

Mdmín

Combinação 1 1,30 1.059,50 1,50 - 140,82 1.166,12

Combinação 2 1,30 1.059,50 - - 140,82 1.377,35

Combinação 3 1,00 1.059,50 1,50 - 140,82 848,27

Combinação 4 1,00 1.059,50 - - 140,82 1.059,50

3 /- 11 847,60 909,08 - 145,32 2.465,50 1.101,88

Combinações

Page 29: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Mdmáx

Combinação 1 1,30 847,60 1,50 909,08 2.465,50

Combinação 2 1,30 847,60 - 909,08 1.101,88

Combinação 3 1,00 847,60 1,50 909,08 2.211,22

Combinação 4 1,00 847,60 - 909,08 847,60

Mdmín

Combinação 1 1,30 847,60 1,50 - 145,32 883,90

Combinação 2 1,30 847,60 - - 145,32 1.101,88

Combinação 3 1,00 847,60 1,50 - 145,32 629,62

Combinação 4 1,00 847,60 - - 145,32 847,60

4 / -10 635,70 770,44 - 158,84 1.982,07 826,41

Combinações

Mdmáx

Combinação 1 1,30 635,70 1,50 770,44 1.982,07

Combinação 2 1,30 635,70 - 770,44 826,41

Combinação 3 1,00 635,70 1,50 770,44 1.791,36

Combinação 4 1,00 635,70 - 770,44 635,70

Mdmín

Combinação 1 1,30 635,70 1,50 - 158,84 588,15

Combinação 2 1,30 635,70 - - 158,84 826,41

Combinação 3 1,00 635,70 1,50 - 158,84 397,44

Combinação 4 1,00 635,70 - - 158,84 635,70

5 /- 9 423,80 640,81 - 212,39 1.512,16 550,94

Combinações

Mdmáx

Combinação 1 1,30 423,80 1,50 640,81 1.512,16

Combinação 2 1,30 423,80 - 640,81 550,94

Combinação 3 1,00 423,80 1,50 640,81 1.385,02

Combinação 4 1,00 423,80 - 640,81 423,80

Mdmín

Combinação 1 1,30 423,80 1,50 - 212,39 232,36

Combinação 2 1,30 423,80 - - 212,39 550,94

Combinação 3 1,00 423,80 1,50 - 212,39 105,22

Combinação 4 1,00 423,80 - - 212,39 423,80

6/-8 211,90 520,19 - 305,98 1.055,76 275,47

Combinações

Mdmáx

Combinação 1 1,30 211,90 1,50 520,19 1.055,76

Combinação 2 1,30 211,90 - 520,19 275,47

Combinação 3 1,00 211,90 1,50 520,19 992,19

Combinação 4 1,00 211,90 - 520,19 211,90

Mdmín

Combinação 1 1,30 211,90 1,50 - 305,98 - 183,50

Combinação 2 1,30 211,90 - - 305,98 275,47

Combinação 3 1,00 211,90 1,50 - 305,98 - 247,07

Combinação 4 1,00 211,90 - - 305,98 211,90

7 - 408,58 - 408,58 612,87 - 612,87

Resumo

Page 30: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Seção Vg Vk máx Vk min Vdmax Vdmin

0 /- 14 - 127,94 - - 243,00 - 127,94 - 530,82

1 /-13 - 392,82 - - 538,50 - 392,82 - 1.318,42

2/-12 - esq - 657,69 - - 845,80 - 657,69 - 2.123,70

2/-12 - dir 1.059,50 1.055,38 - 140,82 2.960,42 1.377,35

3 /- 11 847,60 909,08 - 145,32 2.465,50 1.101,88

4 / -10 635,70 770,44 - 158,84 1.982,07 826,41

5 /- 9 423,80 640,81 - 212,39 1.512,16 550,94

6/-8 211,90 520,19 - 305,98 1.055,76 275,47

7 - 408,58 - 408,58 612,87 - 612,87

6.4.3.3 - REAÇÕES DE APOIO (Rd)

Rd2,máx = Rd12,máx =1,3x1.717,19 +1,4x1.437,12= 4.357,33kN

Rd2,mín = Rd12,mín =1,0x1.717,19 +1,4(−152,36) = 1.494,12kN

6.4.4 - DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS

Page 31: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Fig. 6.21 - Largura colaborante das lajes

6.4.4.1 - VERIFICAÇÃO DO PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO

Verificam-se as seções onde ocorrem os máximos esforços solicitantes. No projeto, essas

seções são as seguintes:

momento máximo positivo: seção 7 ; Md,máx = 11.711,12 kN.m

momento máximo negativo: seção 2 ou 12; Md,máx = -6.777,89 kNm

cortante máxima : seção 2d ou 12e: Vd,máx = 2960,42kN

a) Seção 7 Md,máx = 11.711,12 kN.m; tração embaixo → T

h = 225 cm

h f = 25 cm 10

40 cm

10 cm 10 cm

cm 120 120 cm 60 cm

b 2 620 - 20 = 600 cm =

h f 25 cm = 10 cm

10 cm 10 cm 40 cm

cm 120 60 cm 120 cm

Fig. 6.22 - Cálculo da largura coraborante

viga V 1 viga V 2

Page 32: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das
Page 33: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das
Page 34: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Supondo-se d = 0,9h = 202,5 cm, tem-se:

𝑘𝑐 = 𝑏𝑓. 𝑑²

𝑀𝑑=

300. (202,5)²

1.171.112,00 = 10,50

Fck = 35 MPa → βc = 0,06 → x = 0,06.202,5 = 12,15 < hf = 25 cm

∴ L.N.na laje

b) Seção 2: Md,máx = -6.777,89 kNm

tração em cima ∴seção retangular

verificação inicial : bw = 40 cm (sem alargamento no apoio)

𝑀𝑑𝑙𝑖𝑚 = 𝑏. 𝑑²

𝑘𝑐=

40. (202,5)²

1,3= 1261730,77 𝐾𝑁𝑐𝑚 = 12.617,31 𝐾𝑁𝑚

Ou seja, não é necessário alargar a base em virtude do momento fletor

c) cortante máxima: Vd,máx = 2960,42kN

𝛼𝑣2 = (1 −35

250) = 0,86

𝑉𝑅𝑑2 = 0,27.0,86. (3,5

1,4) . 40.202,5 = 4.702,05𝐾𝑁

A dimensão resiste!

6.4.4.2 - CÁLCULO DA ARMADURA DE FLEXÃO

Page 35: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Para cada seção preestabelecida, calcular-se-ão as armaduras. Note-se que, caso os

momentos Md,máx e Md,mín forem de sinais contrários, determinar-se-ão duas áreas de

armaduras.

Seção Mdmax Mdmin Kc máx Kc mín Ks máx Ks mín As máx As mín

0 / 14 - - 0 0 0 0 0 0

1 / 13 -650,94 -2.220,18 25,19817 7,387914 0,023 0,024 7,393393 26,31324

2/12 -1.964,08 -6.777,89 8,351238 2,420001 0,024 0,026 23,27799 87,02476

3 / 11 2.646,43 -3.960,66 46,48479 4,141355 0,023 0,024 30,05822 46,94116

4 / 10 6.599,35 -2.122,23 18,64104 7,728898 0,023 0,024 74,95558 25,15236

5 / 9 9.397,63 -724,8 13,0904 22,63038 0,023 0,023 106,7385 8,232296

6/8 11.125,18 248,9 11,05769 494,2497 0,024 0,023 131,854 2,827012

7 11.711,12 798,78 10,50444 154,0083 0,024 0,023 138,7985 9,072563

6.4.4.3 - CÁLCULO DA ARMADURA DE CISALHAMENTO

Page 36: EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS … · 6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS PRINCIPAIS Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das

Seção Vdmax Vdmin VRD2

Vsd, mín Asw (cm²/m)

Vdmax Vdmin Vdmax Vdmin

0 /- 14 -127,94 -530,82 4698 OK! Arm. Mín Arm. Mín 4,99 4,99

1 /-13 -392,82 -1.318,42 4698 OK! Arm. Mín -1318,42 4,99 6,60

2/-12 -657,69 -2.123,70 4698 OK! Arm. Mín -2123,7 4,99 16,74

2/-12 2.960,42 1.377,35 4698 OK! 2960,42 1377,35 27,28 7,34

3 /- 11 2.465,50 1.101,88 4698 OK! 2465,5 Arm. Mín 21,05 4,99

4 / -10 1.982,07 826,41 4698 OK! 1982,07 Arm. Mín 14,96 4,99

5 /- 9 1.512,16 550,94 4698 OK! 1512,16 Arm. Mín 9,04 4,99

6/-8 1.055,76 275,47 4698 OK! Arm. Mín Arm. Mín 4,99 4,99

7 612,87 -612,87 4698 OK! Arm. Mín Arm. Mín 4,99 4,99