MAT-27Exemplos e Motivação

Exemplos Motivação

◦ Problemas de Engenharia◦ Trabalho de Pesquisa

Tópicos

Obtenha a solução geral de

Exemplos

0,)(')('')4(

0)()(''2)()3(

0)(2)('2)('')2(

0)()('3)(''3)(''')1(

)4(

tttytty

tututu

tytyty

txtxtxtx

Resposta

Exemplos

BtAt

ty

tDttCtBttAtu

etBtAty

eCtBtAtxt

t

ln4

)()4(

sinsincoscos)()3(

)sincos()()2(

)()()1(

2

2

Obtenha a forma geral do wronskiano de um conjunto fundamental de soluções da EDO

Exemplos

0)()(')('' xyxyxxy

Resposta

Exemplos

*21 )](,[ RC

xC

xyyW

Obtenha a solução geral de

Exemplos

10

11)3(

01

10)2(

01

10)1(

A

A

A

AXdtdX

Resposta

Exemplos

tt

tt

et

CeCtX

t

tC

t

tCtX

eCeCtX

10

1)()3(

cos

sin

sin

cos)()2(

1

1

1

1)()1(

21

21

21

Álgebra linear no “dia-a-dia” Problemas de Engenharia

◦ Estabilidade◦ Matriz de controlabilidade◦ Matriz de observabilidade◦ Problema da viga◦ Autovalores e Mecânica Quântica

Motivação

Sistema físico

Exemplo: pêndulo simples

Motivação

CXy

BuAXX

m

Um pouco de Física…

2sinmll

g

Modelo matemáticodo sistema

Pêndulo simples◦ Linearização

◦ Espaço de estados

Motivação

2mllg

2

1

x

x

2

1

x

xX

2/1

0

0/

10

mlX

lgX

Xy 01

Resposta do sistema a um sinal de entrada

Motivação

Como melhorar a resposta do sistema ?

É possível melhorar ?

Sensores

Motivação

KXu Projetar K

BAABBM n 1... Matriz de controlabilidade

CA

AC

C

P

n 1

Matriz de observabilidade

Ruído no sensor

Motivação

Filtro

Soluções da homogênea

Motivação

BuAXX

tn

tt neeeX ...2121

Se todos 0)Re(

Todas as soluções convergem para origem

Estável

Se um 0)Re(

Haverá soluções que divergem

Instável

Linha neutra

Motivação

)()('' xMxvEI zz

Estados de tensão de uma viga

Motivação

x

xx

yy

xy

yyxy

xyxx

Estados de máxima tensão

Autovalores e autovetores

Mecânica Quântica

Motivação

Grandezas Físicas = Operadores Hermiteanos

Espaço de Hilbert

iP

Medida

Motivação

Autovalor do operador(com uma certa probabilidade)

Equação de Schrödinger

Problema de autovalores

EH ),,(2

ˆ 22

zyxVm

H

Visão geral Quantum wells Quantum dots

Trabalho de Pesquisa

Visão Geral◦ Spintrônica

Trabalho de Pesquisa

Quantum wells

Trabalho de Pesquisa

A AB

)(xV

x

)()()()(2 2

22

xExxVxdxd

m

Equação de Schrödinger

0)()0( L

)(x

x

Quantum dots◦ Átomos “artificiais”◦ Estrutura de camadas

Trabalho de Pesquisa

Confinamento

Redução dimensionalidade

Mudança drástica nas propriedades

confN

libN3 libconf NN

Direções de confinamento

Graus de liberdade

Quantum dots

Trabalho de Pesquisa

It has long been an axiom of mine that the little things are infinitely the most important.

Sir Arthur Conan Doyle