Resolução lista FGV – Aula 8

1. (UFPB - 2012) Um produtor rural teve problema em sua lavoura devido à ação de uma praga. Para

tentar resolver esse problema, consultou um engenheiro agrônomo e foi orientado a pulverizar, uma

vez ao dia, um novo tipo de pesticida, de acordo com as seguintes recomendações:

• No primeiro dia, utilizar 3 litros desse pesticida.

• A partir do segundo dia, acrescentar 2 litros à dosagem anterior e, assim, sucessivamente.

Sabendo-se que, nesse processo, foram utilizados 483 litros de pesticida, conclui-se que esse produto

foi aplicado durante:

a. 18 dias b. 19 dias c. 20 dias d. 21 dias e. 22 dias

Resolução:

PA = (3, 5, 7, ..., an)

an = 3 + (n – 1).2

an = 3 + 2n – 2

an = 1 + 2n

(

)

( )

Mas, segundo o enunciado, S = 438, portanto

n² + 2n = 438 n² + 2n – 438 = 0 (n + 23).(n – 21) = 0 n = 21

Alternativa: d

2. (UEL - 2012) Para uma apresentação de dança, foram convidadas 312 bailarinas. Em uma de suas

coreografias, elas se posicionaram em círculos. No primeiro círculo, havia 15 bailarinas. Para cada um

dos círculos seguintes, havia K bailarinas a mais do que no círculo anterior.

Se

cosx sen xK 1

sen x cosx

, quantos círculos havia nesta coreografia?

Apresente os cálculos realizados na resolução da questão.

Resolução:

|

|

PA = (15, 17, 19, ..., an)

an = 15 + (n – 1).2

an = 13 + 2n

(

)

( )

624 = 28n + 2n² n² + 14n – 312 = 0 (n + 26).(n – 12) = 0 n = 12

Portanto, temos 12 círculos.

3. (UERJ - 2012) Um cliente, ao chegar a uma agência bancária, retirou a última senha de

atendimento do dia, com o número 49. Verificou que havia 12 pessoas à sua frente na fila, cujas

senhas representavam uma progressão aritmética de números naturais consecutivos, começando em

37.

Algum tempo depois, mais de 4 pessoas desistiram do atendimento e saíram do banco. Com isso, os

números das senhas daquelas que permaneceram na fila passaram a formar uma nova progressão

aritmética. Se os clientes com as senhas de números 37 e 49 não saíram do banco, o número máximo

de pessoas que pode ter permanecido na fila é:

a. 6 b. 7 c. 9 d. 12

Resolução:

Segundo o enunciado, temos a1 = 37, a

13 = 49 r = 1

Logo, PA = (37, 38, 39, ..., 49)

Após a desistência de algumas pessoas, temos uma nova PA = (37, a2, a

3, ..., 49)

Portanto,

49 = 37 + (n - 1).r 12 = (n – 1).r n – 1 =

n =

Como a PA tem menos de 13 elementos, temos que o valor máximo de n será quando r = 2.

Assim, n = 7

Alternativa: b

4. (FUVEST - 2012) Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por

21 2 3a 1 x, a 6x, a 2x 4 em que x é um número real.

a. Determine os possíveis valores de x.

b. Calcule a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor

de x encontrado no item a).

Resolução:

a.

PA = (1 + x, 6x, 2x² + 4)

b.

Para x =

, temos PA = (

)

a100

= a1 + 99r =

Assim

(

)

5. (UNICAMP - 2012) Uma curva em formato espiral, composta por arcos de circunferência, pode ser

construída a partir de dois pontos A e B, que se alternam como centros dos arcos. Esses arcos, por sua

vez, são semicircunferências que concordam sequencialmente nos pontos de transição, como ilustra a

figura abaixo, na qual supomos que a distância entre A e B mede 1 cm.

a. Determine a área da região destacada na figura.

b. Determine o comprimento da curva composta pelos primeiros 20 arcos de circunferência.

Resolução:

a.

Temos R1 = 1 cm, R

2 =2 cm, R

3 = 3 cm, R

4 = 4 cm

b.

Curva é composta por uma soma de circunferências.

Assim, temos a soma = 1 + 2 + 3 + ...+ 20 (soma da PA com r = )

( )

6. (UEL - 2012) A figura a seguir representa um modelo plano do desenvolvimento vertical da raiz de

uma planta do mangue. A partir do caule, surgem duas ramificações da raiz e em cada uma delas

surgem mais duas ramificações e, assim, sucessivamente. O comprimento vertical de uma ramificação,

dado pela distância vertical reta do início ao fim da mesma, é sempre a metade do comprimento da

ramificação anterior.

Sabendo que o comprimento vertical da primeira ramificação é de 1h 1 m , qual o comprimento

vertical total da raiz, em metros, até 10h ?

a. 10

1 11

2 2

b.

9

1 11

2 2

c.

10

12 1

2

d.

10

12 1

10

e.

9

12 1

2

Resolução:

Temos uma PG = (

) de razão q =

( (

)

)

(

)

Alternativa: c

7. (UERJ - 2012) Um soldado fez n séries de flexões de braço, cada uma delas com 20 repetições. No

entanto, como consequência das alterações da contração muscular devidas ao acúmulo de ácido

lático, o tempo de duração de cada série, a partir da segunda, foi sempre 28% maior do que o tempo

gasto para fazer a série imediatamente anterior. A primeira série foi realizada em 25 segundos e a

última em 1 minuto e 40 segundos.

Considerando log 2 = 0,3, a soma do número de repetições realizadas nas n séries é igual a:

a. 100 b. 120 c. 140 d. 160

Resolução:

Temos a PG = (25; 1,28¹.25; 1,28².25; ... ; 1,28n -1

.25)

Por outro lado 1 minuto e 40 segundos = 60 + 40 seg = 100 seg

Portanto, 1,28n -1

.25 = 100

1,28n -1

= 4

-

( - )

( )

( )( )

(n – 1)(7.0,3 – 2) = 2.0,3

(n – 1). 0,1 = 0,6

n – 1 = 6

n = 7

Assim, a soma do número de repetições é 7.20 = 140 flexões.

Alternativa: c

8. (MACKENZIE - 2011) A média aritmética de 20 números em progressão aritmética é 40. Retirados o

primeiro e o último termos da progressão, a média aritmética dos restantes será

a. 20 b. 25 c. 30 d. 35 e. 40

Resolução:

PA = (a1, a

2, a

3, ..., a

20)

Mas

( )

(

)

Retirando o 1º e o 20º termo da progressão teremos a média aritmética:

(

)

Alternativa: e

9. (ENEM - 2011) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no

ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34

500; em março, 36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes.

Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?

a. 38 000 b. 40 500 c. 41 000 d. 42 000 e. 48 000

Resolução:

Janeiro: 33000

Fevereiro: 34500

Março: 36000

Temos a PA =(33000, 34500, 36000, ...) com r = 1500

Julho será o 7º mês da sequência.

Logo, a7 = a

1 + 6r a

7 = 33000 + 6.1500 a

7 = 42000

Alternativa: a

10. (UFRS - 2011) O quociente entre o último e o primeiro termo de uma sequência de números é

1.000. Os logaritmos decimais dos termos dessa sequência formam uma progressão aritmética de

razão 1

2.

Então, o número de termos da sequência é

a. 3. b. 4. c. 5. d. 6. e. 7.

Resolução:

Seja a sequência (a1, a

2, a

3, ..., a

n) e

Temos a PA = (

) com r =

Portanto,

( )

( )

(

) ( )

( )

( )

(n – 1) = 6 n = 7

Alternativa: e

11. (FGV - 2011) Seja 1 2 3a ,a ,a ,... uma sequência com as seguintes propriedades:

I. 1a 1 .

II. 2n na n a , para qualquer n inteiro positivo.

III. 2n 1a 2 , para qualquer n inteiro positivo.

a. Indique os 16 primeiros termos dessa sequência.

b. Calcule o valor de 250a .

Resolução

a.

(a1, a

2, a

3, ...)

a1 = 1

a2 = a

2.1 = 1.a

1 = 1

a3 = 2

a4 = a

2.2 = 2.a

2 = 2

a5 = 2

a6 = a

2.3 = 3.a

3 = 6

a7 = 2

a8 = a

2.4 = 4.a

4 = 8

a9 = 2

a10

= a2.5

= 5.a5 = 10

a11

= 2

a12

= a2.6

= 6.a6 = 36

a13

= 2

a14

= a2.7

= 7.a7 = 14

a15

= 2

a16

= a2.8

= 8.a8 = 64

Assim, a sequencia será (1, 1, 2, 2, 2, 6, 2, 8, 2, 10, 2, 36, 2, 14, 2, 64)

b.

Observando os resultados do item (a), temos:

Assim,

Mas 1 +2 + 3 + ... + 49 = ( )

Então,

12. (UNICAMP SIMULADO - 2011) Considere a sucessão de figuras apresentada a seguir, em que cada

figura é formada por um conjunto de palitos de fósforo.

Suponha que essas figuras representam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras que

seguem a mesma lei de formação. Nesse caso, o número de fósforos necessários para que seja possível

exibir todas as primeiras 50 figuras ao mesmo tempo é igual a

a. 200. b. 1000. c. 2000. d. 10000.

Resolução

De acordo com os desenhos, temos PA = (4, 12, 20, 28, ...) com r = 8

Assim, a50

= a1 + 49.r a

50 = 4 + 49.8 a

50 = 396

Portanto,

(

)

( )

Alternativa: d

13. (UFPR - 2011) Atribui-se ao matemático De Moivre uma lenda sobre um homem que previu sua

própria morte. As condições da previsão estão dentro de uma narrativa que modela grosseiramente

vários aspectos da realidade. Por exemplo, dormir 24 horas seguidas equivale a morrer, e assim por

diante. A lenda é a seguinte: um homem observou que cada dia dormia 15 minutos a mais que no dia

anterior. Se ele fez essa observação exatamente após ter dormido 8 horas, quanto tempo levará para

que ele durma 24 horas seguidas, não mais acordando?

Resolução:

Observe a PA = (

)

Portanto,

14. (FGV - 2011) A sequência de termos positivos (a1, a

2, a

3,... a

n, ...) é uma progressão geométrica de

razão igual a q .

Podemos afirmar que a sequência (loga1 , loga

2 , loga

3 , ... loga

n ...) é:

a. Uma progressão aritmética de razão q .

b. Uma progressão geométrica de razão q .

c. Uma progressão aritmética de razão log q .

d. Uma progressão geométrica de razão log q .

e. Uma progressão aritmética de razão (loga1 - log

q ).

Resolução:

Temos a PG = (a1, a

2, a

3, ..., a

n, ...) (a

1, a

1.q, a

1.q², a

1.q³, ... , a

1.q

n-1

, ...)

Assim, temos a sequência

(

)

(

( ) )

Observe que S é uma PA com

e

Alternativa: c

15. (FGV - 2010) Roberto obtém um financiamento na compra de um apartamento.

O empréstimo deverá ser pago em 100 prestações mensais, de modo que uma parte de cada

prestação e o juro pago.

Junto com a 1ª prestação, o juro pago é de R$ 2 000,00; com a 2ª prestação, o juro pago é R$ 1

980,00 e, genericamente, em cada mês, o juro pago é R$ 20,00 inferior ao juro pago na prestação

anterior.

Nessas condições, a soma dos juros pagos desde a 1ª até a 100º prestação vale:

a. R$ 100 000,00

b. R$ 101 000,00

c. R$ 102 000,00

d. R$ 103 000,00

e. R$ 104 000,00

Resolução:

O valor dos juros decrescem como uma PA com a1 = 2000 e r = -20.

Assim, temos a PA = (2000, 1980, 1960, ...)

Neste caso, a100

= a1 + 99r a

100 = 2000 + 99.(-20) a

100 = 20

Portanto, a soma dos juros pagos será:

(

)

( )

S100

= 101000

Alternativa: b

16. (FGV - 2010) A soma dos 100 primeiros termos de uma progressão aritmética é 100, e a soma dos

100 termos seguintes dessa progressão é 200. A diferença entre o segundo e o primeiro termos dessa

progressão, nessa ordem, é

a. 10–4

. b. 10–3

. c. 10–2

. d. 10–1

. e. 1.

Resolução:

{

(

)

(

)

{

{

{

( )

{

Como a2 – a

1 = r a

2 – a

1 = 10

-2

Alternativa: c

17. (FGV - 2010) Um capital de R$ 1 000,00 é aplicado a juro simples, à taxa de 10% ao ano; os

montantes, daqui a 1, 2, 3, ... n anos, formam a sequência (a1, a

2, a

3

n).

Outro capital de R$ 2 000,00 é aplicado a juro composto, à taxa de 10% ao ano gerando a sequência

de montantes (b1, b

2, b

3 b

n) daqui a 1, 2, 3, ... n anos.

As sequências (a1, a

2, a

3

n) e (b

1, b

2, b

3 b

n) formam, respectivamente,

a. uma progressão aritmética de razão 1,1 e uma progressão geométrica de razão 10%.

b. uma progressão aritmética de razão 100 e uma progressão geométrica de razão 0,1.

c. uma progressão aritmética de razão 10% e uma progressão geométrica de razão 1,10.

d. uma progressão aritmética de razão 1,10 e uma progressão geométrica de razão 1,10.

e. uma progressão aritmética de razão 100 e uma progressão geométrica de razão 1,10.

Resolução:

Um capital aplicado a um juros simples de 10% ao ano sobre o montante de 1000 reais produz um

acréscimo de 100 reais ao ano, ou seja, gera a sequência S1 = (1000, 1100, 1200, ...)

Um capital aplicado a um juros composto de 10% ao ano sobre o montante produz um acréscimo de

10% ao valor do ano anterior, ou seja, gera a sequência S2 = (2000, 2200, 2420, ...)

Observe que S1 é uma PA de razão r = 100 e S

2 é uma PG de razão q = 1,1

Alternativa: e

18. (FUVEST - 2010) Os números a1, a

2, a

3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo

que 1α + 3, 2α - 3, 3α

– 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que 1α > 0 e 2α = 2,

conclui-se que r é igual a

a. 3 + 3 b. 3

32

c. 3 +3

4 d. 3 -

3

2 e. 3 - 3

Resolução:

Se (a1, a

2, a

3) é uma PA de razão r, com a

2 = 2, temos (2 – r, 2, 2 + r).

Por outro lado, se S = (a1 + 3, a

2 – 3, a

3 – 3) é uma PG então, S = (2 - r + 3, 2 – 3, 2 + r – 3) =

= (5 – r, -1, r – 1) é uma PG.

Logo (-1)² = (5 – r) (r – 1) 1 = 5r – 5 – r² + r r² - 6r + 6 = 0

’ √ ” - √

Como a1 > 0 r < 2, portanto r = – √

Alternativa: e

19. (FGV - 2009) Chamamos de falsa espiral de dois centros aquela construída da seguinte forma: os

dois centros são os pontos A e B. Traçam-se semicircunferências no sentido anti-horário, a primeira

com o centro em A e raio AB, a segunda com centro em B e raio BC, a terceira com centro em A e raio

AD, repetindo esse procedimento em que os centros se alternam entre A e B, como mostrado na

figura a seguir.

Determine a distância entre A e B se, ao completar duzentas semicircunferências, o comprimento total

dessa falsa espiral for 100500π metros.

Resolução:

Sendo AB = x, note que o raio de cada circunferência aumenta x metros.

Assim sendo, o comprimento da falsa espiral será:

(soma da PA com 200 elementos e r = 1)

( )

20. (FGV - 2009) Carlos tem oito anos de idade. É um aluno brilhante, porém comportou-se mal na

aula, e a professora mandou-o calcular a soma dos mil primeiros números ímpares. Carlos resolveu o

problema em dois minutos, deixando a professora impressionada. A resposta correta encontrada por

Carlos foi:

a. 512.000

b. 780.324

c. 1.000.00

d. 1.210.020

e. 2.048.000

Resolução:

A soma dos 1000 primeiros números ímpares positivos é uma PA com a1 = 1 e r = 2, ou seja,

PA = (1, 3, 5, 7, ..., a1000

)

a1000

= a1 + 999r = 1 + 999.2 = 1999

Logo,

( )

Alternativa: c

21. (FUVEST - 2009) A soma dos cinco primeiros termos de uma PG, de razão negativa, é 1

.2

Além

disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3. Nessas condições,

determine:

a. A razão da PG.

b. A soma dos três primeiros termos da PG.

Resolução:

a.

a7 – a

2 = 3 a

1.q

6

– a1.q = 3 a

1.q(q

5

– 1) = 3 (

- )

(I)

-

-

(II)

Substituindo (I) em (II) vem:

( )

b.

(( ) )

( )

Portanto,

-