Exercício 2

Setembro 2009

DADOS GERAIS

Concreto fck = 25MPa = 2,5kN/cm2

fcd =2,5/1,4 = 1,785kN/cm2

Aço CA50 fyd=50/1,15= 43,478kN/cm2

Projeto de vigas

Identificar os dados iniciais. :

• classes do concreto e do aço e o cobrimento;• forma estrutural do tabuleiro, com as dimensões preliminares em planta;• distância até o andar superior;• reações de apoio das lajes;• cargas das paredes por metro quadrado;• dimensões das seções transversais das vigas, obtidas num pré-dimensionamento.

Em seguida, devem ser considerados: esquema estático, vãos e dimensões da seção transversal.

600

15 585 15

450

250

100

15

435

15

235

92.5

V1

V2

V3

V4

V5

P1 P2

P3 P4

L1

L2

L3

Sistema estrutural proposto

600

15 585 15

450

250

100

15

435

15

235

92.5

V1

V2

V3

V4

V5

P1 P2

P3 P4

L1

L2

L3

7,6 kN/m

13,5kN/m

4,78kN/m 4,78kN/m

8,25kN/m

6,25kN/m

9,38kN/m

Reações das lajes nas vigas

Pré-dimensionamento

• Largura das vigas bw = 15 cm

• Altura das vigas ( h = l/10)

• V1, V2 e V3 15/60

• V4 e V5 15/70

• Pilares adotado 20/50

• Cobrimento = 2.5cm

Pré-dimensionamentoCalculo do peso próprio das vigas

• pp = bw . h. γc ( KN / m)

• bw - largura da viga

• h - altura da viga

• γc - peso específico do concreto

• γ c = 25,00 KN/m3

• Pp = 0,15 . 0,60 . 25 =2,25kN/m

• Pp = 0,15 . 0,70 . 25 = 2,625 kN/m

Pré-dimensionamentoCalculo do peso próprio das paredes

• P = esp . hp . γbloco

• esp - espessura da parede acabada

• hp - altura da parede

• γbloco - peso específico do bloco

• Tijolos furados gbloco = 13.00 KN / m3

• Pp = 0,15 . 2,8 . 13 = 5,46 kN/m

• Pp = 0,15 . (2,8 -0,6) . 13 = 4,29 kN/m

Calculo do carregamento das vigas

• Viga V1 15/60

Pp = 2,25 kN/m

Ppar = 5,46kN/m

Reação da laje = 7,6kN/m

5,95P1 P2

• Viga V1 15/60

• q = 7,6+5,46+2,25 =15,31kN/m

5,95

15,31kN/m

P1P2

Ra=Rb= 46kN Mmax=67,75kNm

• Viga V2 15/60

• q = 13,5+9,38+5,46+2,25 =30,6 kN/m

6,00m

30,6kN/m

V4 V5

Ra = Rb 91,8kN Mmax = 137,7kNm

• Viga V3 15/60

• q = 6,25+8,25+5,46+2,25 =22,21 kN/m

5,95m

22,21kN/m

P3 P4

Ra=Rb = 66,07kN Mmax= 98,3kNm

• Viga V4 15/70

• q1 = 5,46+2,625 =8,1 kN/m

• q2 = 4,78+5,46+2,625 = 12,9 kN/m

6,65m

8,1kN/m

P3 P1

RaV2 =91,8kN

12,9kN/m

2,325m

Ra = 93,4kNRb=73,02kNMmax=196kNm

• Viga V5 15/70

• q1 = 5,46+2,625 =8,1 kN/m

• q2 = 5,46+4,78+2,625 = 12,9 kN/m

6,65m

8,1kN/m

P4 P2

RbV2 =91,8kN

12,9kN/m

2,325m

Ra = 93,4kN Rb =73,02 kN

Mmax = 196kNm

Dimensionamento a flexão simples

• µ= Md/0,85.fcd.bw.d2 < µ lim

• KY=1-(1-2µ)1/2 < KYlim

• Para o aço CA 50 µ lim = 0,376

• KYlim= 0,503

• ρ = 0,85 .fcd .ky/fyd• As = ρ.bw .d

Forma da viga biapoiada

V5 15/70

P3 P1

50 50615

Esforços e diagramas

• Viga V5 15/70• Mk = 196 kNm

• Vk eixo=93,4 kN

• Md =1,4 . 19600 = 27440 kNcm

• Vdeixo = 1,4. 93,4= 130,8kN

• Vdface=130,8 -1,4.8,1.0,50/2 = 128kN

Diagramas

93,4 kN74,6

17,23 73

196 kN.m

305,4

Dimensionamento V5 15/70momento maximo com armadura simples

• µ = Md/0,85.fcd.bw.d2

• µ =27440/0,85.1,78.15 .632 =0,3046 < µ lim

• KY=1-(1-2µ)1/2 =1-(1-2.0,3046)1/2 =0,3748 < KYlim

• ρ = 0,85 .fcd .ky/fyd =0,85.1,78.0,3748/43,48 = 0,0130>0,0015

• As = ρ.bw .d = 0,0130.15.63 = 12,32cm2

• Usar 4 ø 20mm ou 7 ø 16

• Adotado 7 ø 16 Asef =14cm2

Detalhamento transversal

• Calculo de eh

• Adotado ev=2cm• Aspele=010%AC,alma (por face)• Aspele=010%.15.70 =

1,05cm2/por face • Usar 2x 6 ø 5mm

15 2,5 2,5 0,5 0,5 3 1,62,1 2,0;1,6;1,9

2eh cm

15

70

Força cortante VRd2

• VRd2= 0,27αv fcd bw d

• αv =(1-fck/250) MPa = (1-25/250) = 0,9

• VRd2 =0,27.0,9.1,78.15.63 =408,75kN

• VSd,face = 128kN < VRd2 = 408,75kN →

• Bielas resistem!

Força cortante VSd,min relativa a armadura transversal mínima

• VSd,mín = Vsw,mín + Vc• VSd,mín = ρswmin 0,9.bw. d fywdVSd,mín = 0,001026. 0,9.15. 63.43,48 =37,9kN• (ρwmin dado na Tabela) fctd = fctkinf/γcFctkinf =0.7fctmFctm= 0,3fck2/3

Fctm=0,3.252/3=2,56 MPaFctkinf = 0,7. 2,56 = 1,8MPaFctd = 0,18 /1,4 = 0,128kN/cm2

Vc = 0,6 fctd bw d = 0,6 0,1282 15 63 = 72,7kN⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅• Resulta:• VSd,mín = 37,9+ 72,7 = 110,60 kN

• VSd,face = 128kN > V = 110,6 kN asw > asw⇒ min

Trecho com armadura transversal maior que a mínima (a)

• 128 - 8,7 a =110,6 • a = 2m

130,8KN 104,38

24,1 102,2

φ5 c/ 25φ5 c/ 18

2,325 4,325

Armadura transversal junto ao apoio

• Força cortante a d/2 da face do apoio:• VSd,d / 2 = VSd,face – q.d/2• VSd,d / 2 = 128 –1,4 . 8,1 .0,63/2 = 124,4 kN• Vsw= VSd,d/2 – Vc = 124,4 – 72,7 = 51,7kN• asw = Asw/s = Vsw/0,9. d. fywd • = 51,7 / 0,9 . 63 . 43,48• = 0,0210cm2/cm = 2,10cm2/m• Asw/s = 2 . 0,196/s = 2,10 (estribos de 2 ramos)• S=0,18m• Pode-se adotar:• φ5 c/ 18 (2,17 cm2/m)

Armadura transversal mínima

asw,mín = Asw,min/s = ρsw,min . bw = 0,001026 . 0,15 =

asw,min = 0,0001539m2/m = 1,54cm2/m• Utilizando-se estribos de dois ramos, tem-se:• asw,min = Aswmin/s = 2 . 0,196/s =1,54 = 0,25m• Pode-se adotar:• φ5 c/ 25 (1,60 cm2/m)• Diâmetro dos estribos• φt,mín = 5mm• φt,máx = 0,1 bw = 15mm⋅• Adotando φt = 5 mm, são satisfeitas as duas

condições.

Espaçamento máximo longitudinal dos estribos

Se VSd ≤ 0,67 VRd2, então smáx= 0,6 d ≤ 300 mm.

• Se VSd > 0,67 VRd2, então smáx= 0,3 d ≤ 200 mm.

• VSd face/VRd2 = 128/408,75 = 0,31

• VSd face = 0,36 VRd2 < 0,67 VRd2

• Portanto, smax= 0,6 d = 0,6.63 = 37cm ≤ 30 cm

Número de ramos dos estribos

Se VSd ≤ 0,20 VRd2, então st,máx = d ≤ 800 mm.Se VSd > 0,20 VRd2, então st, máx = 0,6d ≤ 350 mm.VSd,face = 0,31 V⋅ Rd2 > 0,20 V⋅ Rd2

Portanto, smax = 0,6.d = 0,6. 63 = 37cm < 35cmPara estribos de dois ramos:st = bw - 2 c- øt = 15 – 2. 2,5 - 0,5 = 9,5cm <st max = 35cm 2 ramos

Comprimento de ancoragem• Resistência de aderência• fbd = η 1 η ⋅ 2 η ⋅ 3 fctd⋅• η 1 = 2,25 (CA 50 barras nervuradas)• η 2 = 1,0(situação de boa aderência)• η 3 = 1,0(para 32mm)• fctd =0,128kN/cm2

• fbd = 2,25 .1 .1 . 0,128 =0,288kN/cm2

• Comprimento de ancoragem básico• lb = φ fyd /4 fbd• lb = 1,6 . 43,48 / 4 . 0,288 = 60cm

Ancoragem no apoio• Dimensão mínima do apoio

• lbmin ≥ 60mm = 6cm

• ≥(r +5,5 φ)

• = 4 φ + 5,5 φ = 9,5 .1,6

• =16cm

• l b,disp = t - c = 50 - 2,5 = 47,5cm ≥ 16cm ok

• Na direção perpendicular ao gancho deve-se ter cobrimento c ≥ 7cm.

Esforço a ancorar e armadura calculada para tensão fyd

Rs = (al/d).Vd,face

• al/d = Vd,face / 2( Vd,face - Vc)

• al/d= 128 / 2(128 - 72,7 ) = 1,15 > 0,5 OK!

• Rs = 1,15. 128 = 148 kN

• Ascal = Rs/fyd = 148/43,48 = 3,40cm2

Armadura necessária no apoio• Impondo lbnec=lbdisp e Asef=Asnec

• lbnec = α1 lb As,calc /As,ef ≥ lbmin

• 47,5 = 0,7 . 60. 3,40/Asnec

• Asnec= 3,01cm2

• Como Mapoio = 0 Asapoio ≥1/3 As vão = (1/3)12,32 = 4,11cm2

• É necessário prolongar duas barras até o apoio 3ø16mm

• Asapoio = 6,0cm2

Armadura necessária no apoio

• lbmin ≥ 0,3lb, 10ø e 100mm

• lbmin ≥ 0,3.60=18cm, 10.1,6 =16cm e 10cm

42,5cm

8.1,6=13cm

¶.8.1,6/4=10cm

Detalhe da armadura longitudinal

196 kN.m

3,5m

2,5m

1,5m

1,0m

0,45m

3ø16 - 760

2ø16 - 530

2ø16 - 680

2525

710

Decalagem da armadura longitudinal

• Como foi visto anteriormente, três barras devem ser prolongadas até os apoios.

• Portanto, deve ser calculado, somente, o comprimento das barras restantes

• Como As,ef = 14cm2 > As,calc = 12,32cm2 , o comprimento de ancoragem necessário é menor que lb, porém não pode ser menor que l b,mín , dado pelo maior dos valores:

• l b,mín ≥ 0,3lb = 0.3 .60 = 18 c m• ≥ 10ø =10 .1,6 = 16cm ≥ 100mm• lbnec = α1 lb Ascalc/As ef = 1. 60 . 12,32/14 = 55 cm >18cm

Decalagem da armadura longitudinal

• Deslocamento al

• Como al/d = 1,15

• al = 1,15 . 63 = 73 cm

• Comprimento da 4ª e 5ª barra

• L4e ≥ 150+al+10ø = 150 +73 +10.1,6 = 239

• ≥ 100+al+lbnec =100 + 73 + 55 = 228

• L4d ≥ 350+al+10ø = 350 +73 +10.1,6 = 439

• ≥ 250+al+lbnec =250 + 73 + 55 = 378

• L4= L4e+ L4d = 239 +439 = 678 = 680cm

Decalagem da armadura longitudinal

• Comprimento da 6ª e 7ª barra

• L6e ≥ 100+al+10ø = 100+73+10.1,6 = 189

• ≥ 0+al+lbnec =0 + 73+55 = 128

• L6d ≥ 250+al+10ø = 250+73+10.1,6 = 339

• ≥ 0+al+lbnec =0 + 73+55 = 128

• L6 = L6e+ L6d = 189+339 = 528 = 530cm

Distribuição transversalO espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais,

medido no plano da seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:

• a) na direção horizontal (ah):• 20mm• diâmetro da barra, do feixe ou da luva;• 1,2 vez a dimensão máxima característica do agregado

graúdo

• na direção vertical (av):• 20 mm;• diâmetro da barra, do feixe ou da luva• 0,5 vez a dimensão máxima característica do agregado

graúdo.

N3- 2φ 16 - 680

N4 - 3φ 16 -760

N1 – 2x7 φ 5 - 710

710

25

2,5

70

5N4 c/16 18N4 c/25 5 N4 c/16

10

65

N5Φ 5 -160cm

V5 15/70

P3 P1

50 50615

N2- 2φ 16 - 530

13φ c/18 18 φ c/25est φ 5

Lista de barras

Numero Φ (mm) Quant. Comp. Unitário (m)

Comp. Total

(m)

N1 5 14 7,10 99,4

N2 16 2 5,30 10,6

N3 16 2 6,80 13,6

N4 16 3 7,60 22,8

N5 5 31 1,60 49,6