EXERCÍCIO MOMENTOS

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Calcular o momento da fora A em relao um eixo que passa por OC. (distncia em metros)

A=

100

N

zB

w1 C O

4

1

y5 3

xCoordenadas dos pontos: xO = 0 yO = 0 O=(0;0;0) zO = 0 xA = 3 yA = 5 zA = 0

rA

A

A=(3;5;0)

xB = 0 yB = 5 zB = 4

B=(0;5;4)

xC = 0 yC = 1 zC = 1

C=(0;1;1)

Vetores Unitrios:

2 2 2 dAB = raiz[ (0-3) + (5-5) + (4-0) ]

=> => => =>

dAB = raiz[9+16] lAB = (-3;0;4) / 5 dOC = raiz[1+1] lOC = (0;1;1)/1,414

=> => => =>

dAB = raiz(25) => lAB = ( -0,6 ; 0 ; 0,8 ) dOC = raiz(2) =>

dAB = 5.000

AB lAB = [ (0-3) ; (5-5) ; (4-0) ] / 52 2 2 dOC = raiz[ (0-0) + (1-0) + (1-0) ]

dOC = 1.414

OC lOC = [ (0-0) ; (1-0) ; (1-0) ] / 1,414 Componentes da Fora (F): FxA = -0,6x100 => FyA = 0x100 => FzA = 0,8x100 => FxA = -60 FyA = 0 FzA = 80 lOC = ( 0 ; 0,707 ; 0,707 )

Componentes do "brao da alavanca" (vetor OA) xA-xO = ( 3 - 0 ) F = (-60i + 0j + 80k ) N yA-yO = ( 5 - 0 ) zA-zO = ( 0 - 0 ) => => => xA-xO = 3 yA-yO = 5 zA-zO = 0

rOA = ( 3 ; 5 ; 0 )

Momento da Fora em relao um ponto vetor (produto vetorial) i j k MAO = 3 5 0 -60 0 80

i => 400 j => 0 k => 0

0 240 -300

400 -240 300

MAO = 400 i + -240 j + 300 k 2 2 2] MAO = [ (400) + (-240) + (300) MAO = 554.617 N.m

Momento de uma fora em relao um eixo (mdulo = escalar => produto misto) mdulo = escalar => produto misto 0 MA(OC) = 3 -60 0.707 5 0 0.707 0 80 MAOW = [(400x0) + (-240x0,707) + (300x0,707) => MAOW = 42.42 N.m MAOW = { [ (5).(80) ] - [ (0).(0) ] } + { [ (0).(-60) ] - [ (3).(80) ] } 0,707 + { [ (3).(0) ] - [ (5).(-60) ] } 0,707

MA(OC) =

MA(OC) x lOC =>

=(42,32 x 0)i + (42,42 x 0,707)j + (42,42 x 0707)k

=>

MA(OC) = (0 ; 30 ;30)

zB

zB

w60X5=300 MAO 80X3=-240O 1 C1

w1 C 1

4

4

y5 3 A

30

y5 3 A

x

rA80X5=400

x

30 rA

My = ?

Uma fora F de mdulo, direo e sentido desconhecido, est aplicada no ponto no ponto C do sistema de tubos ABCD. Determine o momento My de F, em relao ao eixo y, sabendo que Mx = 150 N.m e Mz = 90 N.mB

yD F=? C 450

rCO 150 N.m

x

A

600

Coordenadas dos pontos: xO = 0 yO = 0 zO = 0

zxA = 0 yA = 0 zA = 400 xB = 0 yB = 450 zB = 400 xC = 600 yC = 450 zC = 400 xD = 600 yD = 450 zD = 0

Vetores Unitrios:

dOC = rC

[ (600)2 + (450)2 + (400)2 ]=>

dOC = 722,500 0.706 0.529

=> 0.471

dOC = 850 lOC = ( 0.706 ; 0.529 ; 0.471 )

lOC = [ 600 ; 450 ; 400 ] / 850

Momento da Fora em relao um ponto vetor (produto vetorial) Mx= 150 i 600 Fx My= ? j 450 Fy k 400 Fz Mz= 90 D1 MCO = i => j => k => 450 400 600 D2 400 600 450 450Fz - 400Fy = 150 400Fx - 600Fz = My 600Fy - 450Fx = 90 3 equaes e 4 incognitas

Momento de uma fora em relao um eixo mdulo = escalar => produto misto

MC(Y) =

0 600 Fx

1 450 Fy

0 400 Fz

MC(Y) = 400Fx - 600Fz

Determinine o valor da fora F, que ortogonal a reta AO, para que o somatrio dos momentos em relao "O" seja igual a zero.Soluo prtica (conceitos e geometria) MAO = -230A

OG = 80cos(45) OH = OG-20

OG = 56.56854 OH= 36.56854

MBO = (OH).400MAO + MBO = 0 =>

=>

MBC =

14627 -230A = 14627

30

MAO = - MBO

=>

A=

63.60 N

Soluo acadmica (clculo vetorial) Coordenadas dos pontos: xO = 0 yO = 0F

FA 60 A D E G C H 45

O=(0;0)

15B

xA = (80+150) cos(30 yA = (80+150) sen(30 xC = 80 cos(30 yC = 80 sen(30tringulo CDE

xA = yA = xC = yC =

199.186 115.000 69.282 40.000

A=(199,186 ; 115,000)30

O

C=(69,282 ; 40,000)DE= 154.5481 CE= 41.41105 DE= 5.176381 CE= 19.31852 xD = xC - (DE) yD = yC + (CE) xB = xD + (FD) yB = yD - (FB) xD = yD = xB = yB = -85.266 81.411 -90.442 62.093

hipotenusa CD =tringulo BDF

160

DE = 160 cos(15) CE = 160 sen(15) FD = 20 sen(15) FB = 20 cos(15)

D=(-85,266 ; 81,411)

hipotenusa DB =

20

B=(-90,442 ; 62,093)

Componentes das Foras: A= ? Ax = A cos(60) Ay = - A sen(60) Ax= 0,5A Ay= -0,866A N N B= 400 Bx = - 400 cos(15) By = 400 sen(15) Bx= By= -386.37 N 103.53 N

A = ( 0,5A i - 0,866A j ) N Componentes do "brao da alavanca" (vetor OA) xA-xO = 199.186 yA-yO = 115.000 xB-xO = -90.442 yB-yO = 62.093

B = ( -386,37 i + 103,53 j ) N

rOA = ( 199,186 ; 115,000 )

rOB = ( -90,442 ; 62,093 )

Momento da Fora em relao um ponto => vetor (produto vetorial) i MAO = 199.186 0,5A i MBO = -90.442 -386.37 j 115.000 -0,866A j 62.093 103.53 k 0 0 k 0 0 i => 0 j => 0 k => -172,5A 172.5 i => 0 j => 0 k => -9363.3 0 0 57,5A 57.5 0 0 -23991 0 0 -230A 230 0 0 14627.4 MBO = 14627.42 N.m MAO = -230A N.m MAO = 0 i + 0 j -230A k

MBO = 0 i + 0 j + 14627.42 k

Considerando-se a condio imposta de que a soma dos momento em "O" igual a zer:

Mo = 0 =>

MAO + MBO = 0 =>

-230A = -14627.42

=>

A=

63.6

N

Uma fora de 450N aplicada em A. Determine: (cotas em mm) a) o momento da fora "A" em relao ao ponto "D"Desprezando-se o pequeno tranlao do ponto "D"em relao margem da chapa Coordenadas dos pontos: xD = 0 D=(0;0) yD = 0

Vetores Unitrios:

rDA = ( 300 ; 125 ; 0 ) Componentes da Fora (F): FA = 450.(-0,5) i + 450.(0,866) j + 0 k

lA = ( -0,5 ; -0,866 ; 0)

FA = -225 i - 389,7 j + 0 k

Momento da Fora em relao um ponto vetor (produto vetorial)

i MAD = 300 -225

j 125 -389.7

k 0 0

i => 0 0 j => 0 0 k => -116910 -28125

0 0 -88785

MAD = 0 i + 0 j -88785 k (a) MAD = 88,785 N.mm

b) A menor fora aplicada em "B"que produz o mesmo momento da fora "A" em "D".Coordenadas dos pontos: xD = 0 D=(0;0) yD = 0MAD

Vetores Unitrios:

Menor fora em B que provoque o mesmo momento em D => rB ^ lBtan a = (225/300) => tan a = 0.75 a = 36.87 sen b = 0.800 rDB =( 300; -225 ; 0 ) b = 53.13 cos b = 0.600

a b FBComponentes da Fora (F):

lB = ( -0,6 ; -0,8 ; 0)FB = - 0,6.FB i - 0,8.FB j + 0 k

FB = - FB.(0,6) i - FB.(0,8) j + 0 k

Momento da Fora em relao um ponto vetor (produto vetorial)

i MBD = 300 -0,6 FB

j -225 -0,8 FB

k 0 0

i => 0 0 0 j => 0 0 0 k => (225.0,8)F B -(300.0,6)F B - 375FB -240 -135

MBD = 0 i + 0 j - 375FB k

(a)

MAD = 0 i + 0 j -88785 k

-375 FB = -88,785

=>

FB = 236.76 N

MAD

xA = 300 yA = 125 A=(300;125)

xB = 300 B=(300;-225) yB = -225

O poste AB de 6 metros de comprimento suportado por trs cabos (BC,BD e BE). A fora no cabo BE trativa e de 840N. Determine o momento que a fora do cabo BE produz relativamente ao ponto C.Coordenadas dos pontos: xO = 0 xA = 3 yO = 0 O=(0;0;0) yA = 0 zO = 0 zA = 0 xC = 0 yC = 2 zC = 3

xB = 3 A=(3;5;0) yB = 6 zB = 0

B=(3;6;0)

xD = 0 xE = 6 C=(0;2;3) yD = 0 D=(0;0;-5) yE = 0 zD = -5 zE = 2

E=(6;0;2)

Vetores Unitrios: 3 -6 2 0.429 -0.857 0.286

2 2 2 dBE = raiz[ (6-3) + (0-6) + (2-0) ]

=>dAB = raiz[9+36+4] => => lBE = (3;-6;2) / 7 =>

dAB = raiz(49) =>

dAB = 7.0

BE lBE = [ (6-3) ; (0-6) ; (2-0) ] / 7 Componentes da Fora (FB): lBE = ( 0.429 i ; -0.857 j ; 0.286 k ) Componentes do "brao da alavanca" (vetor OA) xB-xC = ( 3 - 0 ) => xB-xC =3 yB-yC = ( 6 - 2 ) => yB-yC =4 zB-zC = ( 0 - 3 ) => zB-zC =-3

840 N

FBx = 0,429x840 => FBx =360.36 FBy = - 0,857x840 => FBy =-719.88 FBz = 0,286x840 => FBz =240.24

FB = (360.36 i -719.88 j + 240.24 )

rCB = ( 3 ; 4 ; -3 )

Momento da Fora em relao um ponto vetor (produto vetorial) i MBC = 3 360.36 j 4 -719.88 k -3 240.24 i => 960.96 j => -1081.1 k => -2159.6 2159.64 720.72 1441.44 -1198.68 -1801.8 -3601.08 MBC = -1198.68 i + -1801.8 j + -3601.08 k 2 2 2] MBC = [ (Mi) + (Mj) + (Mk) MBC = 4201.321 N.m

A barra "ACD" articulada em "A" e "D", sendo suportada por um cabo que passa num anel em "B". Sabendo que a trao no cabo de 450N, determine o momento que a componente da fora BH do cabo exerce na diagonal "AD".

Coordenadas dos pontos => unidade: m xO = 0 xA = 0 yO = 0 yA = 0 zO = 0 xC = 1 yC = 0 zC = 0 xH = 0.875 yH = 0.75 zH = -0.75 zA = 0 xD = 1 yD = 0 zD = -0.75

xB = 0.5 yB = 0 zB = 0 xG = 0 yG = 0.925 zG = -0.4

H0.875

B0.5 0 0

H-B0.375 0.75 -0.75

quadrados0.140625 0.5625 0.5625

soma1.265625

unitrios0.333333333 0.666666667 -0.666666667

Vetores Unitrios:

0.75 -0.75

dBH = raiz[(0.875-0.5)2+(0.75-0)2+(-0.75-0)2] dBH = raiz[(0.140625)+(0.5625)+(0.5625)] => dBH = raiz(1.265625) => dBH = 1.125 => BH

lBH = [(0.875-0.5)+(0.75-0)+(-0.75-0)] / 1.125 lBH = [(0.375)+(0.75)+(-0.75)] / 1.125 => =>450 N Componentes => vetor: B A xB - xA = (0.5 - 0) =>xB - xA = yB - yA = (0 - 0) =>yB - yA = zB - zA = (0 - 0) =>zB - zA =

lBH = ( 0.333 i ; 0.667 j ; -0.667 k )0.5 0 0 0.000 0 0

Componentes da Fora (BH):

Fy(BH) = 300.000 Fz(BH) = -0.667x450=> Fz(BH) = -300.000

0.5 0.000 0

F= (150) i ; (300) j ; (-300) k rAB = (0.5 ; 0 ; 0)

Momento da Fora em relao um ponto: vetor (produto vetorial)

A

M(BH)A = 0 i + 150 j + 150 k i M(BH)A = 0.5 150.000 j 0 300.000 k 0 -300.000 i => 0 j => 0 k => 150 0 -150 0 0 150 150 M(BH)A = M(BH)A = Momento de uma fora em relao um eixo mdulo = escalar => produto misto D1

(0)2 + (150)2 + (150)2212.132 N.m

A0 0 0

D-A1 0 -0.75

quadrados1 0 0.5625

soma1.5625

unitrios0.8 0 -0.6

Vetores Unitrios: eixo => AD dAD = raiz[(1-0)2+(0-0)2+(-0.75-0)2] AD

0 -0.75

=> dAD = raiz[(1)+(0)+(0.5625)]

=> dAD = raiz(1.5625) =>

dAD = 1.250

lAD = [(1-0)+(0-0)+(-0.75-0)] / 1.250.800 0.500 150.000 0.000 0.000 300.000 -0.600 0.000 -300.000

=> lAD = [(1)+(0)+(-0.75)] / 1.250 0 0 0 -150 150 150 0 150 0 0 -90

lAD = ( 0.8 i ; 0 j ; -0.6 k )

M(BH)[AD]=

M(BH)[AD]= #VALUE! M(BH)[AD]= {[0]x0.8} + {[150]x0} + {[150]x-0.6} M(BH)[AD]= {0}+{0}+{-90}

cv

M(BH)[AD]=

-90

N.m

cv

M(BH)[AD]= M(BH)[AD]-72 0

. lAD

=>54

M(BH)[AD]= [-90 x 0.8]i + [-90 x 0]j + [-90 x -0.6]k M(BH)[AD]= [ (-72) i ; (0) j ; (54) k ]

A barra "ACD" articulada em "A" e "D", sendo suportada por um cabo que passa num anel em "B". Sabendo que a trao no cabo de 450N, determine o momento que a componente da fora BH do cabo exerce na diagonal "AD".

Coordenadas dos pontos => unidade: m xO = 0 xA = 0 yO = 0 yA = 0 zO = 0 xC = 1 yC = 0 zC = 0.75 xH = 0.875 yH = 0.75 zH = 0 zA = 0.75 xD = 1 yD = 0 zD = 0

xB = 0.5 yB = 0 zB = 0.75 xG = 0 yG = 0.925 zG = 0.35

H0.875

B0.5 0 0.75

H-B0.375 0.75 -0.75

quadrados0.140625 0.5625 0.5625

soma1.265625

unitrios0.333333333 0.666666667 -0.666666667

Vetores Unitrios:

0.75 0

dBH = raiz[(0.875-0.5)2+(0.75-0)2+(0-0.75)2] dBH = raiz[(0.140625)+(0.5625)+(0.5625)] => dBH = raiz(1.265625) => dBH = 1.125 => BH

lBH = [(0.875-0.5)+(0.75-0)+(0-0.75)] / 1.125=> lBH = [(0.375)+(0.75)+(-0.75)] / 1.125 =>450 N Componentes => vetor: B O xB - xO = (0.5 - 0) =>xB - xO = yB - yO = (0 - 0) =>yB - yO = zB - zO = (0.75 - 0) =>zB - zO =

lBH = ( 0.333 i ; 0.667 j ; -0.667 k )0.5 0 0 0.000 0.75 0

Componentes da Fora (BH):

Fy(BH) = 300.000 Fz(BH) = -0.667x450=> Fz(BH) = -300.000

0.5 0.000 0.75

F= (150) i ; (300) j ; (-300) k rOB = (0.5 ; 0 ; 0.75)

Momento da Fora em relao um ponto: vetor (produto vetorial)

O

M(BH)O = -225 i + 262.5 j + 150 k i M(BH)O = 0.5 150.000 j 0 300.000 k 0.75 -300.000 i => 0 j => 112.5 k => 150 225 -150 0 -225 262.5 150 M(BH)O = M(BH)O = Momento de uma fora em relao um eixo mdulo = escalar => produto misto D1

(-225)2 + (262.5)2 + (150)2376.870 N.m

A0 0 0.75

D-A1 0 -0.75

quadrados1 0 0.5625

soma1.5625

unitrios0.888888889 0 -0.666666667

Vetores Unitrios: eixo => AD dAD = raiz[(1-0)2+(0-0)2+(0-0.75)2] AD => dAD = raiz[(1)+(0)+(0.5625)]

0 0

=> dAD = raiz(1.5625) =>

dAD = 1.250

lAD = [(1-0)+(0-0)+(0-0.75)] / 1.250.889 0.000 150.000 0.000 0.000 300.000 -0.667 0.750 -300.000

=> lAD = [(1)+(0)+(-0.75)] / 1.250 225 -225 112.5 0 112.5 0 0 0 -200.025 0 0

lAD = ( 0.889 i ; 0 j ; -0.667 k )

M(BH)[AD]=

M(BH)[AD]= #VALUE! M(BH)[AD]= {[-225]x0.889} + {[112.5]x0} + {[0]x-0.667} M(BH)[AD]= {-200.025}+{0}+{0} M(BH)[AD]= -200.025 N.m

M(BH)[AD]= M(BH)[AD]-177.8 0

. lAD

=>

133.35

M(BH)[AD]= [-200.025 x 0.889]i + [-200.025 x 0]j + [-200.025 x -0.667]k M(BH)[AD]= [ (-177.8) i ; (0) j ; (133.35) k ]

A viga "DA" encontra-se orientada segundo o eixo "x", A trao no cabo "AB" de 13KN. Determine o momento que a fora aplicada em "A", do cabo "AB", exerce no ponto "D".

Coordenadas dos pontos => unidade: m xO = 0 xA = 3.2 yO = 0 yA = 4.8 zO = 0 xC = 3.2 yC = 0 zC = 0 zA = 0 xD = 0 yD = 4.8 zD = 0

xB = 3.2 yB = 0 zB = 2

B3.2

A3.2 4.8 0

B-A0 -4.8 2

quadrados0 23.04 4

soma27.04

unitrios0 -0.923 0.385

Vetores Unitrios:

0 2

dAB = raiz[(3.2-3.2)2+(0-4.8)2+(2-0)2] AB

=> dAB = raiz[(0)+(23.04)+(4)]

=> dAB = raiz(27.04) =>

dAB = 5.200

l AB = [(3.2-3.2)+(0-4.8)+(2-0)] / 5.2

=> l AB = [(0)+(-4.8)+(2)] / 5.2 =>13 KN Componentes => vetor: A D

l AB = ( 0 i ; -0.923 j ; 0.385 k )3.200 0.000 4.800 4.800 0.000 0.000

Componentes da Fora (AB): Fx(AB) = 0x13 => Fx(AB) = 0.000 Fy(AB) = -0.923x13 => Fy(AB) = -11.999 Fz(AB) = 0.385x13 => Fz(AB) = 5.005

yA - yD = 0.000 zA - zD = (0 - 0) =>zA - zD = 0

F= (0) i ; (-11.999) j ; (5.005) k rDA = (3.2 ; 0 ; 0)

Momento da Fora em relao um ponto: vetor (produto vetorial)

D

M(AB)D = 0 i + -16.02 j + -38.4 k i M(AB)D = 3.2 0.000 j 0 -11.999 k 0 5.005 i => 0 j => 0 k => -38.3968 0 16.016 0 0 -16.02 -38.4 M(AB)D = M(AB)D =

(0)2 + (-16.02)2 + (-38.4)241.608 KN.m

Substitua as trs foras por um sistema fora + binrio equivalente em B.Coordenadas dos pontos => unidade: m xA = -0.75 yA = 0 zA = 0 xC = 0 yC = 1.25 zC = 0 xE = 0.75 yE = 0.75 zE = 0 Vetores Unitrios: fora (N) ngulo (graus) C 650 28 D 375 302 E 450 2702 2 2

xB = 0 yB = 0 zB = 0 xD = 1.5 yD = 0.75 zD = 0

lC = lD = lE =

i 0.883 0.530 0.000 900.67 N

j 0.469 -0.848 -1.000

k

0 0 0

C= D= E= R=

Fx 573.92 198.72 0.00 772.64

Fy 305.16 -318.02 -450.00 -462.86

Fz 0.00 0.00 0.00 0.00

Fora Resultante: R = Fx + Fy + Fz => R =Clculo do Momento Resultante em B foras 573.92 198.72 0.00 305.16 318.02 450.00 braos ^ 1.25 0.75 0.75 0 1.5 0.75 sinal (-) (-) (-) 0 (-) (-)

qx = 30.92

FCx FDx F Ex FCy FDy F Ey

Momento 717.39 149.04 0.00 0.00 477.03 337.50 MRB = -1,680.96 N.m

Substitua as trs foras por um sistema fora + binrio equivalente em A.Coordenadas dos pontos => unidade: mm xA = 0 yA = 160 zA = 0 hipotenusa= (32)+(42) hipotenusa= cosa = 4/5 cos a = 0.8 25 xB = 360 yB = 0 zB = 0 hipotenusa= 5.00 sena = 0.6

a

sena = 3/5

Vetores Unitrios: fora (N) ngulo (graus) A 400 180 B 100 90 E 750 ?

lA = lB = lE =

i -1.000 0.000 0.800 585.23 N

j 0.000 1.000 0.600

k

0 0 0

A= B= E= R=

Fx -400.00 0.00 600.00 200.00

Fy 0.00 100.00 450.00 550.00

Fz 0.00 0.00 0.00 0.00

2 2 2 Fora Resultante: R = Fx + Fy + Fz => RO =

qx = 70.02

Clculo do Momento Resultante em A: foras -400.00 600.00 0.00 0.00 100.00 450.00 braos ^ 0 0.16 0.36 0 0.36 0 sinal (x) (+) (x) (x) (+) (x) Momento 0 96 0 0 36 0 MRA = 132 N.m

FAx F Ox FBx FAy FBy F Oy

M

Substitua as foras por um sistema fora + binrio equivalente em "O".Coordenadas dos pontos => unidade: m xO = 0 yO = 0 zO = 0 xA = 0.2 yA = 0 zA = 0 xB = 0.2 yB = 0 zB = 0.15

R B=(0,2;0;0,15) M

O=(0;0;0)

A=(0,2;0,0)

xC = 0.2 yC = -0.125 zC = 0.15

C=(0,2;-0,125;1,5)

Foras, Vetores Unitrios e Resultante fora (N) A B C 0 50 1002 2 2

lA = l B= l

i 1.00 0.00 -1.00 111.80 N

j 0.00 0.00 0.00

k

Fx A= B= C= R= 0.00 0.00 -100.00 -100.00

Fy 0.00 0.00 0.00 0.00

Fz 0.00 50.00 0.00 50.00

0.00 1.00 0.00

C=

Fora Resultante: R = Fx + Fy + Fz

=> R =

qx = 153.43

Momentos em relao um ponto: Momento da Fora B em relao ao ponto "O": Componentes => vetor: OB 0.2000.000

0.000 0.000

0.150 0.000

yB - yO = zB - zO = (0.15 - 0) =>zB - zO = i 0.200 0.0 j 0.000 0.0

0.200 0.000 0.150 k 0.150 50.0

rOB = (0.2 ; 0 ; 0.15) MB(O) = ( 0.00 ) i + (-10.00 ) j + ( 0.00 ) ki => 0.00 j => 0.00 k => 0.00 0.00 10.00 0.00 0.00 -10.00 0.00

MB(O) =

MB(O) = MB(O) =

(0)2 + (-10)2 + (0)210.00 N.m

Momento da Fora C em relao ao ponto "O": Componentes => vetor: OC 0.2000.000

-0.125 0.000

0.150 0.000

yC - yO = -0.125 zC - zO = (0.15 - 0) =>zC - zO = 0.150 i 0.200 -100.0 j -0.125 0.0 k 0.150 0.0

rOC = (0.2 ; -0.125 ; 0.15) MC(O) = ( 0.00 ) i + ( -15.00 ) j + ( -12.50 ) ki => 0.00 j => -15.00 k => 0.00 0.00 0.00 12.50 0.00 -15.00 -12.50

MC(O) =

MC(O) = MC(O) =

(0)2 + (-15)2 + (-12.5)219.53 N.m

Clculo do Momento Resultante em O i j k MB(O) = 0 -10 0 MC(O) = 0 -15 -12.5 MR(O) = 0 -25 -12.5

SMo = Mx2 + My2 + Mz2 => Mo = 27.95 N.m

Para a viga apresentada: a) substitua as foras por um sistema fora+binrio equivalente em A b) substitua as foras por um sistema fora+binrio em B c) substitua as foras por uma nica fora resultante Coordenadas dos pontos => unidade: m xA = 0 yA = 0 zA = 0 xB = 4.8 yB = 0 zB = 0 xC = 1.6 yC = 0 zC = 0 xD = 2.8 yD = 0 zD = 0

z

y

C

D

x

Foras, Vetores Unitrios e Resultante (vlido para qualquer ponto) fora (N) i j A B C D 150 250 600 100

k

Fx A= B= C= D= R= 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Fy 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Fz 150.00 -250.00 -600.00 100.00 -600.00

lA = lB = lC = lD =

0.00 0.00 0.00 0.00 600.00 N

0.00 0.00 0.00 0.00

1.00 -1.00 -1.00 1.00

2 2 2 Fora Resultante: R = Fx + Fy + Fz => R =

Momentos em relao um ponto: a) Momento da Fora A em relao ao ponto "A": Componentes => vetor: AA A A 0.000 0.000 xA - xA = 0.000 i j 0.000 0.000 yA - yA = 0.000 MA(A) = 0.000 0.000 0.000 0.000 zA - zA = 0.000 0.0 0.0 rAA = (0 ; 0 ; 0) MA(A) = ( 0 calculado somente para demonstrao k 0.000 150.0i => 0.00 j => 0.00 k => 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

)i +(

0

)j + ( 0

)k

Momento da Fora B em relao ao ponto "A": Componentes => vetor: AB B A 4.800 0.000 xB - xA = 4.800 i j 0.000 0.000 yB - yA = 0.000 MB(A) = 4.800 0.000 0.000 0.000 zB - zA = 0.000 0.0 0.0 rAB = (4.8 ; 0 ; 0) MB(A) = ( 0

k 0.000 -250.0

i => 0.00 j => 0.00 k => 0.00

0.00 -1200.00 0.00

0.00 1200.00 0.00

) i + ( 1200 ) j + ( 0

)k

Momento da Fora C em relao ao ponto "A": Componentes => vetor: AC C A 1.600 0.000 xC - xA = 1.600 i j 0.000 0.000 yC - yA = 0.000 MC(A) = 1.600 0.000 0.000 0.000 zC - zA = 0.000 0.0 0.0 rAC = (1.6 ; 0 ; 0) MC(A) = ( 0

k 0.000 -600.0

i => 0.00 j => 0.00 k => 0.00

0.00 -960.00 0.00

0.00 960.00 0.00

) i + ( 960 ) j + ( 0

)k

Momento da Fora D em relao ao ponto "A": Componentes => vetor: AD D A 2.800 0.000 xD - xA = 2.800 i j 0.000 0.000 yD - yA = 0.000 MD(A) = 2.800 0.000 0.000 0.000 zD - zA = 0.000 0.0 0.0 rAD = (2.8 ; 0 ; 0) Clculo do Momento Resultante em A: MD(A) = ( 0

k 0.000 100.0

i => 0.00 j => 0.00 k => 0.00

0.00 280.00 0.00

0.00 -280.00 0.00

) i + ( -280 ) j + ( 0

)k

z M

yMA = (

0

) i + ( 1880 ) j + ( 0

)k

N.m

C

D

x

C R

D

x

b) Momento da Fora A em relao ao ponto "B": Componentes => vetor: BA A B 0.000 4.800 xA - xB = -4.800 i j 0.000 0.000 yA - yB = 0.000 MA(B) = -4.800 0.000 0.000 0.000 zA - zB = 0.000 0.0 0.0 rBA = (-4.8 ; 0 ; 0) MA(B) = ( 0

k 0.000 150.0

i => 0.00 j => 0.00 k => 0.00

0.00 -720.00 0.00

0.00 720.00 0.00

) i + ( 720 ) j + ( 0

)k

Momento da Fora B em relao ao ponto "B": Componentes => vetor: BB B B 4.800 4.800 xB - xB = 0.000 i j 0.000 0.000 yB - yB = 0.000 MB(B) = 0.000 0.000 0.000 0.000 zB - zB = 0.000 0.0 0.0 rBB = (0 ; 0 ; 0) MB(B) = ( 0

calculado somente para demonstrao k 0.000 0.0i => 0.00 j => 0.00 k => 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

)i +(

0

)j + ( 0

)k

Momento da Fora C em relao ao ponto "B": Componentes => vetor: BC C B 1.600 4.800 xC - xB = -3.200 i j 0.000 0.000 yC - yB = 0.000 MC(B) = -3.200 0.000 0.000 0.000 zC - zB = 0.000 0.0 0.0 rBC = (-3.2 ; 0 ; 0) MC(B) = ( 0

k 0.000 -600.0

i => 0.00 j => 0.00 k => 0.00

0.00 1920.00 0.00

0.00 -1920.00 0.00

) i + ( -1920 ) j + ( 0

)k

Momento da Fora D em relao ao ponto "B": Componentes => vetor: BD D B 2.800 4.800 xD - xB = -2.000 i j 0.000 0.000 yD - yB = 0.000 MD(B) = -2.000 0.000 0.000 0.000 zD - zB = 0.000 0.0 0.0 rBD = (-2 ; 0 ; 0) Clculo do Momento Resultante em B: MD(B) = ( 0

k 0.000 100.0

i => 0.00 j => 0.00 k => 0.00

0.00 -200.00 0.00

0.00 200.00 0.00

) i + ( 200 ) j + ( 0

)k

z

yMA = (

0

) i + ( -1000 ) j + ( 0

)k

N.m

C

D

x M R