Exercício resolvido

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Exerccio resolvido: O problema clssico das torneiras Uma torneira A enche sozinha um tanque em 10h, uma torneira B, enche o mesmo tanque sozinha em 15h. Em quanta horas as duas torneiras juntas enchero o tanque? Sendo V a capacidade do tanque em 1 hora: A enche V/10 do tanque; B enche V/15 do tanque A e B enchem juntas: V/10 + V/15 = V/6 Sendo t o tempo em que as duas juntas enchem o tanque: V/6.t = V Portanto t = 6horas 1) (Fuvest) O dobro de um nmero, mais a sua tera parte, mais a sua quarta parte somam 31. Determine o nmero. 2) (Vunesp) Uma certa importncia deve ser dividida entre 10 pessoas em partes iguais. Se a partilha fosse feita somente entre 8 dessas pessoas, cada uma destas receberia R$5.000,00 a mais. Calcule a importncia. 3) (Unicamp) Roberto disse a Valria: "pense um nmero, dobre esse nmero, some 12 ao resultado, divida o novo resultado por 2. Quanto deu?". Valria disse "15", ao Roberto que imediatamente revelou o nmero original que Valria havia pensado. Calcule esse nmero. 4) Obter dois nmeros consecutivos inteiros cuja soma seja igual a 57. 5) (F.C.CHAGAS) Por 2/3 de um lote de peas iguais, um comerciante pagou R$8.000,00 a naus do que pagaria pelos 2/5 do mesmo lote. Qual o preo do lote todo? 6) Uma torneira gasta sozinha 20 min para encher um tanque. Outra torneira sozinha gasta 5min para encher o mesmo tanque. Em quanto tempo, as duas torneiras juntas enchem esse tanque?

Respostas: 1)12; 2)R$200.000,00; 3)9; 4)28 e 29; 5) R$30.000,00; 6) 4min) Dividindo o ndice do radical e o expoente do radicando por um mesmo nmero diferente de 0, o valor do radical no se altera. 2) Multiplicando o ndice do radical e o expoente do radicando por um mesmo nmero diferente de 0, o valor do radical no se altera

3)

4) 5)

6) 7)

8) 9) xemplos: 1) 2) 3)

4) 5)

6)

7)

8)

9)

Quando comparamos dois nmeros reais a e b , somente uma das trs afirmaes verdadeira: a < b ou a = b ou a > b Se os nmeros a e b forem distintos, ento a < b ou a > b e dizemos que a e b so desiguais, isto , existe entre eles uma desigualdade. Vejamos alguns exemplos de desigualdades, todas verdadeiras: 4 menor que 7 4 11 - 12 menor que 0 - 12 < 0 7/2 maior que 2/3 7/2 > 2/3 Vejamos agora algumas sentenas abertas representadas por desigualdades: O dobro de um nmero maior que 8 2x > 8 3x + 1 < - 14

O consecutivo do triplo de um nmero menor que menos 14 A metade do triplo de um nmero no maior que 5

Se o nmero no maior que cinco, ele pode ser menor ou igual a cinco O qudruplo de um nmero adicionado a sua metade no menor que 0 Se a expresso no menor que zero, ela pode ser maior ou igual a zero

A essas sentenas abertas denominamos onsideremos, como exemplo, a inequao Se a expresso 3x + 7 precisa ser maior que 16 forma, x precisa ser maior que 3. 3x precisa ser maior que 9. E dessa

Se o Conjunto Universo dessa inequao for o conjunto dos naturais ou o conjunto dos nmeros inteiros, x poder ser qualquer inteiro maior que 3. { 4; 5; 6; 7; ... } Se o Conjunto Universo dessa inequao for o conjunto dos nmeros racionais, x poder ser qualquer racional maior que 3. { 3,01; ... 3,012;..., 3,333...;.... 4;... 4, 3; .... } Se o Conjunto Universo dessa inequao for o conjunto dos nmeros reais, x poder ser qualquer real maior que 3. { 3,01; ... 3,011 ;... 4;... ; ...7, 81; ... } As inequaes: 5x + 7 > 3 e 2 + 5x > 0 tm o mesmo sentido, pois possuem o mesmo sinal de desigualdade. As inequaes: 2x - 7 < - 2 e 4x < 7 tm o mesmo sentido, pois possuem o mesmo sinal de desigualdade. As inequaes: x + 11 > 1 e 1 - 7x < 1 tm sentidos contrrios, pois possuem sinais diferentes de desigualdade. As inequaes: 8 - x < - 3x e 6x > 11 tm sentidos contrrios, pois possuem sinais diferentes de desigualdade.

Propriedades das Desigualdades

ropriedade I - Uma desigualdade no se altera que quando adicionamos ou subtramos um mesmo nmero a ambos de seus membros.

Consideremos a desigualdade 7 > 4. Se adicionarmos 3 unidades a cada membro, teremos : 7 + 3 > 4 + 3 Se diminuirmos 4 unidades de cada membro, teremos : 7 - 4 > 4 - 4 Em ambos os casos as desigualdades mantm o mesmo sentido. Consideremos a desigualdade - 5 < 2. Se adicionarmos 1 unidade a cada membro, teremos : - 5 + 1 < 2 + 1 Se diminuirmos 2 unidades de cada membro, teremos : - 5 - 2 < 2 - 2 Em ambos os casos as desigualdades mantm o mesmo sentido.

10 > 7 3>0

-4 4 x 8 48 > 32 Se dividirmos cada membro por 2, teremos : 6 : 2 > 4 : 2 3>2 Em ambos os casos as desigualdades mantm o mesmo sentido. Consideremos a desigualdade - 8 < 10. Se multiplicarmos cada membro por 3, teremos : - 8 x 3 < 10 x 3 - 24 < 30 Se dividirmos cada membro por 4, teremos : - 8 : 4 < 10 : 4 - 2 < 2,5 Em ambos os casos as desigualdades mantm o mesmo sentido.

Propriedade III - Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos ambos de seus membros por um mesmo nmero negativo.

Consideremos a desigualdade 12 > 5. Se multiplicarmos cada membro por - 7 , teremos : 12 x (- 7) > 5 x (- 7) - 84 < - 35 Se dividirmos cada membro por - 2, teremos : 12 : (- 2) > 5 : (- 2) - 6 < - 2,5 Em ambos os casos as desigualdades mudaram de sentido. Se multiplicarmos cada membro por - 2, teremos : - 4 x ( - 2 ) < 12 x ( - 2 ) 8 > - 24 Se dividirmos cada membro por - 1 , teremos : - 4 : ( - 1 ) < 10 : ( - 1 ) 4 > - 10 Em ambos os casos as desigualdades mudaram de sentido.

Resoluo de uma Inequao do Primeiro Grau.

presses numricas Uma expresso numrica uma seqncia de nmeros associados por operaes. Essas operaes devem ser efetuadas respeitando-se a seguinte ordem: 1) Potenciaes e radiciaes, se houver. 2) Multiplicaes e divises, se houver. 3) Adies e subtraes Exemplo:

Em expresses numricas com sinais de associao ( parnteses, colchetes e chaves) efetuam-se, primeiro as operaes dentro dos parnteses, depois as que esto dentro dos colchetes e, por ltimo, as interiores as chaves, respeitando-se ainda, a prioridade das operaes. Exemplo: 36 + 2.{25 + [ 18 (5 2).3]} == 36 + 2.{ 25 + [18 3.3]} = = 36 + 2.{25 + [18 9]} = = 36 + 2.{25 + 9} = = 36 +2.34 = = 36 + 68 = 104 Outro exemplo: [(5 - 6.2).3 + (13 7) : 3] : 5 = = [(25 6.4).3 + 6 : 3] : 5 = =[(25 24).3 + 36 : 3 ] : 5 = = [1.3 + 12] : 5 = = [3 + 12 ] : 5 = = 15 : 5 = 3 Efetue: 11 + 32 + 4.9 15 : 3 =

11 + 32 + 36 5 = 74 109 15.4 + 26 : 13 = 109 60 + 2 = 51 10 + 3502 : 17 100 : 25 = 10 + 206 4 = 212 25 + 25 : 25 25.1 = 25 + 1 25 = 1

(7.6 32 : 2) : 13 = (42 16 ) :13 = 26 : 13 = 2

Calcule o valor numrico das expresses:

(0,5) : 5 2.(0,3.1,2 - 0,72 : 2,4) = 0,25 : 5 2. (0,36 0,3) = 0,05 2.(0,06) = 0,05 0,12 = - 0,07

(- 3,5 + 2.1,45) ( -1,2 : 5 3,5) = (-3,5 + 2,9 ) (-0,24 3,5) = -0,6 (-3,74) = -0,6 + 3,74 = 3,14

Considere a expresso

Efetuando as operaes indicadas e simplificando, temos: a) 9/10 b) 7/3 c) 19/10 Soluo: d) 15/9 e) 1

Alternativa correta: (b) Simplifique:

presses numricas Uma expresso numrica uma seqncia de nmeros associados por operaes. Essas operaes devem ser efetuadas respeitando-se a seguinte ordem: 1) Potenciaes e radiciaes, se houver. 2) Multiplicaes e divises, se houver. 3) Adies e subtraes Exemplo:

Em expresses numricas com sinais de associao ( parnteses, colchetes e chaves) efetuam se, primeiro as operaes dentro dos parnteses, depois as que esto dentro dos colchetes e, por ltimo, as interiores as chaves, respeitando-se ainda, a prioridade das operaes. Exemplo:

36 + 2.{25 + [ 18 (5 2).3]} =

= 36 + 2.{ 25 + [18 3.3]} = = 36 + 2.{25 + [18 9]} = = 36 + 2.{25 + 9} = = 36 +2.34 = = 36 + 68 = 104

Outro exemplo:

[(5 - 6.2).3 + (13 7) : 3] : 5 = = [(25 6.4).3 + 6 : 3] : 5 = =[(25 24).3 + 36 : 3 ] : 5 = = [1.3 + 12] : 5 = = [3 + 12 ] : 5 = = 15 : 5 = 3

Efetue:

11 + 32 + 4.9 15 : 3 = 11 + 32 + 36 5 = 74

109 15.4 + 26 : 13 = 109 60 + 2 = 51

10 + 3502 : 17 100 : 25 = 10 + 206 4 = 212

25 + 25 : 25 25.1 = 25 + 1 25 = 1

(7.6 32 : 2) : 13 = (42 16 ) :13 = 26 : 13 = 2

Calcule o valor numrico das expresses:

(0,5) : 5 2.(0,3.1,2 - 0,72 : 2,4) = 0,25 : 5 2. (0,36 0,3) = 0,05 2.(0,06) = 0,05 0,12 = - 0,07

(- 3,5 + 2.1,45) ( -1,2 : 5 3,5) = (-3,5 + 2,9 ) (-0,24 3,5) = -0,6 (-3,74) = -0,6 + 3,74 = 3,14

Considere a expresso

Efetuando as operaes indicadas e simplificando, temos:

a) 9/10

d) 15/9

b) 7/3

e) 1

c) 19/10

Soluo:

Alternativa correta: (b)

Simplifique:

Mximo divisor comum*:

O mximo divisor comum (m.d.c.) de dois ou mais nmeros decompostos em factores primos (tanto para o m.d.c. como para o m.m.c. temos de decompor os nmeros em factores primos) igual ao produto dos factores comuns cada um elevado ao menor dos expoentes.

Mnimo mltiplo comum*:

O mnimo mltiplo comum (m.m.c.) de dois ou mais nmeros decompostos em factores primos o produto dos factores comuns e no comuns elevado cada um ao maior expoente.

Ex: m.d.c.(24;90):

24 2 12 2

90 45

2 3

m.d.c= 2x3=6

6 2 3 3 1 24=2x3

15 3 5 1 90=3x2x5 5

m.m.c.(24;90)= 2x3x5=360

Potncias*:

Potncias de expoente inteiro:

N Base Exp. Potncia

= 2 -

8

2

3

2

(1/d)=d -, d 0

4

2

2

2

=1/2=2 -

2

2

1

2

1

2

0

2

2

-1

2-

Potncias com a mesma base:

O produto de 2 potncias de igual base uma potncia com a mesma

base e expoente igual soma dos expoentes dos factores.

dxd=a+

O quociente de 2 potncias de igual base uma potncia com a mesma base e expoente igual diferena entre o expoente do divisor e o expoente do dividendo.

dd=d-

Potncias com o mesmo expoente:

O produto de 2 potncias de igual expoente uma potncia com o mesmo expoente e a base igual ao produto das bases dos factores.

dxt=(dxt)

O quociente de 2 potncias de igual expoente uma potncia com o mesmo expoente e a base igual ao quociente entre a base do divisor e a base do dividendo. dt=(d/t)

Potncia de potncia:

Uma potncia de potncia igual a uma potncia com a mesma base e o expoente o produto dos expoentes.

(d)=d

Casos Notveis*: Quadrado da soma: (a+b)=a+2ab+b

Quadrado da diferena: (a-b)=a-2ab+bDiferena de quadrados: (a+b)(a-b)=a-b

Lei do anulamento do produto*: ab=0 = a=0 ou b=0

Teorema de Pitgoras*: h=c+c; e c=h-c

*- S para no esquecer, porque pode ser preciso.

Probabilidades: Experincia aleatria: so aquelas em que no se consegue prever com exactido o resultado mesmo que seja realizada sempre nas mesmas condies. Acontecimentos equiprovveis: so aqueles que tm a mesma probabilidade de acontecer. Por exemplo: no lanamento de um dado equilibrado todas as faces tm a mesma probabilidade de sair.

LEI DE LAPLACE: P(A)=n de casos favorveis/n de casos possveis Propriedade: A probabilidade de qualquer acontecimento sempre 1 valor entre 0 e 1 inclusive. Se a probabilidade for zero o acontecimento diz-se impossvel. Se a probabilidade for um um acontecimento certo. Para se resolverem experincias complexas, normalmente utilizamos um diagrama em rvore ou os diagramas de Benn.

Nmeros reais: N={nmeros naturais}

Z={nmeros inteiros relativos} Q={nmeros racionais}= Z U {nmeros fraccionrios}= ou so dizimas finitas ou so dizimas infinitas peridicas. 1/3= 0,33333...=0,(3)-dizima infinita peridica 0,123412341234...=0,(1234) = 0,5- dizima finita R={nmeros reais}=Q U {nmeros irracionais} e (n de neper) Ex: etc. 5; 3;

Inequaes e intervalos de nmeros reais:

Condio

Intervalo de n reais

x>3 x