Questo 1 da 2 lista

Mediana de um tringulo intercepta em um nico ponto no seu interior, dividindo a mediana no ponto 2=3 da vrtice correspondente.

Demonstrao. Seja dado ABC e considere os pontos mdios E e F dos lados AC e AB respectivamente. Seja G, a interseco das medianas BE e CF (exerccio 3). Agora considere AG e seja H, um ponto no prolongamento de AG de forma que AG = GH (Figura 3).Como F e G so pontos mdios dos lados AB e AH de 4ABH, temos que FG paralelo a BH e FG = 1/2BH. Da mesma forma, como G e E so ponto mdios dos lados AH e AC de 4AHC, GE paralelo a CH e GE = 1/2CH.Como GC e paralelo a BC e BG paralelo a CH, o quadriltero GBHC um paralelogramo e consequentemente, BH = GC e HC = BG. Logo, FG = 1/2BH = 1/2GC e GE = 1/2HC = 1/2BG.3Agora note que o prolongamento de AG passa no ponto mdio de BC, pois GBHC e paralelogramo e diagonais dos paralelogramos cortam outro no meio. Alm disso, GD = 1/2GH = 1/2AG.Logo, todas as medianas cruzam no mesmo ponto (que numa distncia 2/3 das vrtices correspondentes).

Questo 2 da 2 lista

(UNESP) Uma gangorra formada por uma haste rgida AB, apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C, como na figura. Quando a extremidade B da haste toca o cho, a altura da extremidade A em relao ao cho :

a) m

b) 3/ m

c) (6)/5 m

d) (5)/6 m

e) 2 m

EXERCCIO RESOLVIDO:(Fuvest SP) As bases de um tronco de cone circular reto so crculos de raio 6cm e 3cm. Sabendo-se que a rea lateral do tronco igual soma das reas das bases, calcule:a) a altura do tronco de cone. b) o volume do tronco de coneResoluo: a)Encontramos a rea das bases que somadas so a rea lateral e atravs da rea lateral temos a geratriz e na relao fundamental do tronco de cone achamos a altura: AB=RAB=6AB=36

Ab=rAb=3Ab=9

Alateral=36+9 = 45

Al = g(R+r)45 = g(6+3)45 = 9gg = 45 9g = 5

g = h + (R-r)5 = h + (6-3)25 = h+9h = 16h = 4cm

b)O volume dado por: V = h (R+ r + R.r) 3V = 4 (6+ 3 + 6.3) 3V = 4 (36+9 + 18) 3V = 4 (63) 3V = 4.21V = 84cm

Geometria planaA geratriz de um tronco de cone de bases paralelas med 5cm. Os raios das bases desse tronco medm 5cm e 2cm.?calcule o seu volume.Vtc = h (R1 + R1R2 + R2)Vtc = 5 (5 + 5 . 2 + 2)Vtc = 5 (25 + 10 + 4)Vtc = 5 (39)Vtc = 65 = 204,2Exemplos1) O raio da base de um cone equiltero mede 5 cm. Calcular a medida g da geratriz e a medida h da altura Resoluo: Se o cone equiltero temos:g = 2R -> g = 2 . 5g = 10 cm g2 = h2 + r2 -> 100 = h2 + 25h = 53 cm Resposta: g = 10cm e h = 53 cm 2) Desenvolvendo no plano a superfcie lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio 5cm e um ngulo central de 72. Calcular a rea lateral (Sl) a a rea total (St) do cone. Resoluo: Sabendo?se que 72 = 2p/5 rad, vem: l= 2pR = a . g -> 2pR = 2p/5 . 5 -> R = 1cm Clculo da rea lateral (Sl)Sl = p rg -> Sl = p . 1 . 5 -> Sl = 5p cm2Clculo da rea da base (Sb)Sb = p r2 -> Sb = p . 12 -> Sb = p cm2 Clculo da rea total(St)St = Sl + Sb -> St = 5p + p -> St = 6p cm2 Resposta: A rea lateral 5p cm2 e a rea total de 6p cm2 3) Um tronco tem bases de raios 6cm e 4cm. Sabendo que a geratriz do tronco mede 5cm, calcular a rea lateral e a rea total do cone. Resoluo: Clculo da rea lateral (Sl)Sl = p G (r + R) -> Sl = p 5 (6 + 4) -> Sl = 50p cm2 Clculo da rea total (St)SB = p R2 -> SB = p 62 -> SB = 36p cm2Sb = p r2 -> Sb = p 42 -> Sb = 16p cm2St = SB + Sb + Sl -> St = 36p + 16p + 50p -> St = 102p cm2 Resposta:A rea lateral 50 p cm2 e a rea total 102p cm2 4) Os raios de um tronco circular reto so 3 m e 2 m . Sabendo ? se que a altura do tronco 6m, calcular o volume do tronco. Resoluo V = kp/3 (R2 + Rr + r2)V = 6p (32 + 3.2 + 22) -> V = 38p m3 Resposta: V = 38p m3Exerccios resolvidosPirmides:

(Mackenzie - SP) Os ngulos externos de um polgono regular medem 20. Ento, o nmero de diagonais desse polgono :a) 90b) 104c) 119d) 135e) 152

Resoluo:Se o polgono regular, todos os lados so iguais e consequentemente todos os ngulos tambm sero iguais.Se a soma dos ngulos externos de qualquer polgono 360, temos o nmero de lados dividindo 360 por 20 que o valor de cada ngulo.n = 360 20n = 18

Com o nmero de lados basta encontrar as diagonais com a frmula:d = n(n-3) 2d = 18(18-3) 2d = 18.15 2d=9.15d = 120

Gabarito Letra: D

Semelhana de Tringulos Num tringulo ABC os lados medem AB = 9 cm, AC = 11 cm e BC = 15 cm, Um tringulo MNP, semelhante ao tringulo ABC, tem 105 cm de permetro. Determine as medidas dos lados do tringulo MNP.

Resoluo:Dois tringulos so semelhantes quando possuem os ngulos internos correspondentes com a mesma medida. So tringulos exatamente iguais com tamanhos diferentes, ou seja, so proporcionais.Entre os dois tringulos, os lados correspondentes sero proporcionais. Na questo 11 estar para y assim como 15 estar para z e 9 estar para x:11 = 15 = 9y z xComo no temos nenhum lado do tringulo MNP no d para encontrar nenhum lado com essa relao diretamente. Vamos usar o perimetro fornecido:x+y+z = 105x = 105-y-zAgora a relao anterior para encontrar z e y e fazer por substituio para encontrar x:15 = 9z x15x = 9zz = 15x 9

11 = 9y x9y = 11xy = 11x 9

x+y+z = 105x+15x+11x = 105 9 99x+26x = 94535x = 945x = 27cm

Agora com x encontramos tudo:11 = 9y x11.27 = 9yy = 297 9y = 33cm

x+y+z = 10527+33+z = 105z = 105-33-27z = 45cmResposta: 27cm; 33cm e 45cm.

reas de Figuras Planas 1 - Quadrilteros EXERCCIOS RESOLVIDOS:

1 - A diagonal de um quadrado mede 72cm . Qual a rea deste quadrado?

Resoluo: Em um quadrado qualquer, traando uma diagonal temos um tringulo retngulo formado com os lados e essa diagonal, como os lados so iguais:D=L+LD=2LD=2LD=L2

Portanto, em qualquer quadrado, a diagonal L2.Na questo, diagonal = 72, logo o lado do quadrado ser 7A=LA=7A=49cm

2 - Determine a rea do trapzio issceles de permetro 26cm, que possui a medida de suas bases iguais a 4cm e 12cm.

Resoluo:

Como o trapzio issceles, os dois lados so iguais, x. Se o permetro 26cm, a soma de todos os lados da figura 26cm:26=4+12+x+x

26-16=2x10=2xx=5cm

Agora falta a altura, na base maior, que 12, temos a parte que corresponde a base menor, de 4 cm, sobra um pedao em cada lado, como o trapzio issceles esse pedao igual:

y+4+y=122y=12-4 2y=8y=4

Agora temos um tringulo retngulo formado entre a altura, o lado e o pedao y da base maior. um tringulo retngulo notvel, 3,4 e 5. A altura 3, nossa representao est fora de escala, portanto nunca se baseamos pelo desenho.

A=(B+b).h2A=(12+4).32A=8.3A = 24 cm

1 - (UECE) Um prisma reto tem por base um tringulo retngulo cujos catetos medem 3m e 4m. Se a altura desse prisma igual hipotenusa do tringulo da base, ento seu volume, em m, igual a:a)60b)30c)24d)12e)18

Resoluo:Na questo, se os catetos medem 3m e 4m, a hipotenusa ser 5m, logo a altura tambm ser, basta efetuar rea da base vezes a altura:Na base temos um tringulo, rea do tringulo base.altura 23.421226J que as bases so iguais o volume ser:Vprisma=reabase.AlturaVprisma=6.5Vprisma=30m

Gabarito Letra: B

2 - (ITA SP) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3cm e que sua rea lateral o dobro da rea de sua base. O volume deste prisma, em cm, :a) 273b) 132c) 12d) 543e) 175

Resoluo:O volume do prisma a rea da base multiplicada pela altura, neste caso, a rea do hexgono regular que :6.L3 multiplicado por 3 que a altura. 4O problema que no temos o lado do hexgono regular para achar a rea. Porm, a rea lateral o dobro da rea da base.A rea lateral ser a base multiplicada pela altura, a base o lado do hexgono que chamamos de L:3L a rea de cada face, base vezes altura, e assim, toda a rea lateral do prisma ser:6.3L = 18L18L o dobro da rea da base, ento igualamos isso ao dobro da rea da base:18L = 2.6L3 418L = 3L318 = 3L3 L = 18. 3 183 = 23 33 3 9

Agora que temos o lado, a rea da base desse prisma ser:Ab = 6L3 4Ab = 6. (23)3 4Ab = 6.4.33 4Ab = 183cm

E finalmente o volume do prisma:V = Ab.hV = 183.3V = 543cm

Gabarito Letra: DUSF-SP) Um cilindro circular reto, de volume 20 cm, tem altura de 5cm. Sua rea lateral, em centmetros quadrados, igual a:a)10b)12c)15d)18e)20

Resoluo:

Na questo, podemos obter o raio do cilindro dessa forma:Vcilindro = R. hComo a questo fornece o volume e a altura:20=R.5 dos dois lados podemos cortar, ficando:20=5RR=4R=2Tendo o raio, temos tudo, basta encontrar a rea lateral:Alateral = 2RhAlateral=22.5Alateral=210Alateral=20cm

Gabarito Letra: E1 - (PUC Camp) Uma pirmide regular de base hexagonal tal que a altura mede 8cm e a aresta da base mede 23cm. O volume dessa pirmide, em centmetros cbicos, a) 243b) 363c) 483d) 723e) 1443

Resoluo:O volume da pirmide :Vp = Ab.h 3Precisamos da rea da base para achar o volume. Tmos na base um hexgono regular, j que a pirmide regular. O lado desse hexgono com todos os lados iguais 23cm e sua rea ser:A = 6.L3 4A = 6.(23)3 4A = 6.4.33 4A = 183cm

Agora fica fcil determinar o volume da pirmide:Vp = 183.8 3Vp = 483cm

Gabarito Letra: C

2 - (ITA - SP) A rea lateral de uma pirmide quadrangular regular de altura 4m e de rea da base 64m vale:a)128 mb)642 mc)135 md)605 me)32(2+1) m

Resoluo:Na questo, como a pirmide quadrangular regular, sua base um quadrado, com rea 64m, j que a rea do quadrado lado ao quadrado, esse lado ser 8:Perceba que a altura que a questo fornece na pergunta a altura da pirmide, para a rea lateral precisamos encontrar a altura da face, que a aptema da pirmide. Fazendo pitgoras entre a altura do tringulo, a aptema da base e a aptema da pirmide, encontramos a altura dessa face:Ap = 4+4Ap = 32Ap = 42

A rea de cada face lateral ser:A = b.h 2A = 8.42 2 A = 162 mA rea lateral ser a soma das reas de todas as quatro faces laterais, que so iguais. A = 4.162 m Alateral = 642 m

Gabarito Letra: BEXERCCIO RESOLVIDO:

(Fuvest SP) As bases de um tronco de cone circular reto so crculos de raio 6cm e 3cm. Sabendo-se que a rea lateral do tronco igual soma das reas das bases, calcule:a) a altura do tronco de cone. b) o volume do tronco de cone.

Resoluo: a)Encontramos a rea das bases que somadas so a rea lateral e atravs da rea lateral temos a geratriz e na relao fundamental do tronco de cone achamos a altura: AB=RAB=6AB=36

Ab=rAb=3Ab=9

Alateral=36+9 = 45

Al = g(R+r)45 = g(6+3)45 = 9gg = 45 9g = 5

g = h + (R-r)5 = h + (6-3)25 = h+9h = 16h = 4cm

b)O volume dado por: V = h (R+ r + R.r) 3V = 4 (6+ 3 + 6.3) 3V = 4 (36+9 + 18) 3V = 4 (63) 3V = 4.21V = 84cmProblema sobre tronco de piramides????Uma pirmide de base quadrada, feita de madeira macia, tem 675g e 12 cm de altura. Pretende-se fazer um corte paralelo base, para obter uma pirmide menor. Quantos gramas ter essa pirmide se o corte for feito a 4cm da base?

RE: 200como o corte ser paralelo a base,a pirmide obtida ser semelhante primeira.A primeira tem um altura de 12 cm e a segunda ,de12-4=8cm.Logo a razo de semelhana ser 8/12=2/3.A razo entre volumes de slidos semelhantes o cubo da razo de semelhana.Porntanto o volume da segunda piramide (2/3)=8/27da primeira.Como volume e massa so proporcionais e o corte no mudar o tipo da madeira obviamente,temos que a massa da segunda ser 8/27 da massa da primeira.Assim a massa da segunda de 8/27*675=200 gramas...Ok?

1) Um prisma triangular tem todas as arestas congruentes e 48m de rea lateral. Seu volume vale:Resoluo:

2) Calcular em litros o volume de uma caixa dgua em forma de prisma reto, de aresta lateral 6m, sabendo-se que sua base um losango cujas diagonais medem 7m e 10m.Resoluo:

3) Petrleo matou 270 mil aves no Alasca em 1989Da redaoO primeiro e mais grave acidente ecolgico ocorrido no Alasca foi provocado pelo vazamento de 42 milhes de litros de petrleo do navio tanque Exxon Valdez, no dia 24 de maro de 1989. O petroleiro comeou a vazar aps chocar-se com recifes na baia Principe Willian. Uma semana depois , 1300km da superfcie do mar j estavam cobertos de petrleo.Supondo que o petrleo derramada se espalhasse uniformemente nos 1300km da superfcie do mar, a espessura da camada de leo teria aproximadamente:Resoluo:

4) Qual a distncia entre os centros de duas faces adjacentes de um cubo de aresta 4?Resoluo:

5) Diminuindo-se de 1 unidade de comprimento a aresta de um cubo, o seu volume diminui 61 unidades de volume. A rea total desse cubo, em unidades de rea igual a:Resoluo:

6) Se um cubo tem suas arestas aumentadas em 20% cada uma, ento seu volume fica aumentado em:Resoluo:

7) Uma caixa dgua tem forma cbica com 1metro de aresta. De quanto baixa o nvel da gua ao retirarmos 1 litro de gua da caixa?Resoluo:

8 ) Um paraleleppedo retngulo tem 142 cm de rea total e a soma dos comprimentos de suas arestas vale 60 cm. Sabendo que os seus lados esto em progresso aritmtica, eles valem:Resoluo:

9) O volume de um paraleleppedo retngulo 1620 m. Calcular as arestas sabendo que estas so proporcionais aos nmeros 3, 4 e 5.Resoluo:

10) Um tanque em forma de paraleleppedo tem por base um retngulo horizontal de lados 0,8 m e 1,2 m. Um individuo, ao mergulhar completamente no tanque, faz o nvel da gua subir 0,075m. Ento o volume do individuo , em litros, :Resoluo:

11) Se o aptema de uma pirmide mede 17m e o aptema da base mede 8m, qual a altura da pirmide?Resoluo:

12) Calcular a rea lateral de uma pirmide quadrangular regular que tem 12cm de altura e 40cm de permetro da base.Resoluo:

13) Qual a rea total de uma pirmide quadrangular regular, sabendo-se que sua altura mede 24cm e que o aptema da pirmide mede 26cm?Resoluo:

14) A rea lateral de uma pirmide quadrangular regular de altura 4m e de rea da base 64m vale:Resoluo:

15) Uma pirmide quadrada tem todas as arestas medindo 2. A altura mede:Resoluo:

16) As arestas laterais de uma pirmide reta medem 15cm, e a sua base um quadrado cujos lados medem 18cm. A altura dessa pirmide, em cm, igual a:Resoluo:

17) As projees ortogonais de um cilindro sobre dois planos perpendiculares so, respectivamente, um circulo e um quadrado. Se o lado do quadrado 10, qual o volume do cilindro?Resoluo:

18) Uma fbrica de tintas est estudando novas embalagens para o seu produto, comercializado em latas cilndricas cuja circunferncia mede 10cm. As latas sero distribudas em caixas de papelo ondulado, dispostas verticalmente sobre a base da caixa, numa nica camada. Numa caixa de base retangular medindo 25cm por 45cm, quantas latas caberiam?Resoluo:

19) Sabe-se que um cilindro de revoluo de raio igual a 10cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo, a uma distncia de 6cm desse eixo, apresenta seco retangular equivalente base. O volume desse cilindro, em centmetros cbicos, :Resoluo:

20) Um retngulo girando em torno de cada um dos seus lados gera dois slidos, cujos volumes medem 360 m e 600m. Calcular a medida dos lados do retngulo.Resoluo: