Exercício Viga Gerber

Isosttica - 2/2012 Universidade Nilton Lins 1

Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012

1800 kgf/m

C D

1200 kgf/m1800 kgf/m

A B C D E F

14400 x 4,010,0

5400 x (2,0 + 10,0)10,0

V = 4680 kgfA V = 15120 kgfB

5760 kgf=

6480 kgf=

14400 x 6,010,0 8640 kgf=

10800 x 3,06,0 5400 kgf=

6,0 x 1800 =10800 kgf

resultante

10800 x 3,06,0 5400 kgf=

3,0 m

12,0 x 1200 = 14400 kgf

resultante

Primeiro calcula-se esta viga CD,pois ela est apoiada nas outrasduas vigas ABC e DEF.

12,0 x 1800 = 21600 kgf

resultante

5400 x 2,010,0

1080 kgf=

6,0 m 4,0 m 2,0 m 2,0 m 4,0 m 6,0 m

6,0 m 2,0 m 10,0 m

V = 19440 kgfE V = 7560 kgfF

21600 x 6,010,0

5400 x 2,010,0

12960 kgf=

1080 kgf=

21600 x 4,010,0 8640 kgf=

5400 x (2,0 + 10,0)10,0

6480 kgf=

1200 kgf/m1800 kgf/m1800 kgf/m

A B C D E F

3,0 m

Como um dos apoiosda viga CD o pontoC da viga ABC, aplica-seesta reao como cargaconcentrada nesse pontoC da viga ABC

x1 x2 x3 x4

5400 kgf5400 kgf

Como um dos apoiosda viga CD o pontoD da viga DEF, aplica-seesta reao como cargaconcentrada nesse pontoD da viga DEF

10 m 2,0 m

1. Exerccio 01 Vigas Gerber

1.1 Reaes de apoio



1.2 Diagrama de Esforo cortante - DEC

Legenda:

, , Conveno:

, . , .

1.2.1 Trecho 1

, = ! = 4680 & (Positivo, pois gira no sentido horrio para dentro da viga) , = , '()*+,-./ = 4680 01200 104 = 7320 &

1.2.2 Trecho 2

,7 = , + 9 = 7320 + 15120 = 7800 & ,7 = ,7 '()*+,-./ 7 = 7800 01200 24 = 5400 &



1.2.3 Trecho 3

,; = ,7 = 5400 & ,; = ,; '()*+,-./ ; = 5400 01800 84 = 9000 &

1.2.4 Trecho 4

,= = ,; + > = 9000 + 19440 = 10440 & ,= = ,= '()*+,-./ = = 10440 01800 104 = 7560 &

1.2.5 Posio onde o cortante nulo (?@) O grfico de esforo cortante tem o valor nulo (zero) exatamente onde ele corta o eixo da viga, e isso ocorre nos trechos 1, 3 e 4

porque todos esses trs trechos tem um cortante inicial positivo e um cortante final negativo, ou seja, isso indica que o grfico corta o eixo da viga passando pela posio onde ele zero, pois para sair de um nmero positivo e chegar em um negativo, obrigatoriamente temos que passar pelo zero. Em resumo, quando o cortante inicial de um trecho for positivo e o final negativo, quer dizer, que nesse trecho que o grfico do cortante passa pela posio onde zero. E a equao desse trecho que devemos utilizar para encontrar o valor de AB. Geralmente o cortante se anula em trechos entre dois apoios, veja que no primeiro trecho onde ele se anula, est entre os apoios A e B, no segundo trecho, est entre os apoios B e E, e no terceiro trecho est entre os apoios E e F.

Sabendo disso, basta utilizarmos a equao de cortante dos trechos 1, 3 e 4 e igualarmos a zero cada uma delas, com isso encontraremos a posio onde ele nulo a partir do incio de cada um desses trechos.



A equao do trecho 1 :

0A4 = , CDEFG 0A4 = 4680 1200A 0 = 4680 1200AB, 1200AB, = 4680 AB, = 46801200 ?@,H = I, J@ K (a partir do incio do trecho 1, ou seja, a partir do apoio em A)


;0A;4 = ,; CDEFG ;0A;4 = 5400 1800A; 0 = 5400 1800AB,; 1800AB,; = 5400 AB,; = 54001800 ?@,I = I, @@ K (a partir do incio do trecho 3, ou seja, a partir da rtula em C. Lembrar que rtula no separa trecho, a

separao neste caso, foi devido a diferena de cargas distribudas)




=0A=4 = ,= CDEFG =0A=4 = 10440 1800A= 0 = 10440 1800AB,= 1800AB,= = 10440 AB,= = 104401800 ?@,L = M, N@ K (a partir do incio do trecho 4, ou seja, a partir do apoio em E)



x1 x2 x3 x4

A B CD

E F

DEC [kgf] 4680= 2,34 cm

7800= 3,90 cm

7320= 3,66 cm

10440= 5,22 cm

9000= 4,50 cm

7560= 3,78 cm

5400= 2,70 cm

5400= 2,70 cm

x = 3,90 m x = 3,00 m x = 5,80 m0,1 0,3 0,4

Escala horizontal (eixo da viga):1 cm = 1,0 m(Dica: Com esta escala escolhida, todocomprimento de viga dever ser dividopor 1,0 para ser transformado para cmna "escala do papel milimetrado")

Escala vertical (esforo cortante):1 cm = 2000 kgf(Dica: Com esta escala escolhida, todoesforo cortante dever ser dividido por2000 para ser transformado para cm na"escala do papel milimetrado")

1.2.6 Traado do diagrama de esforo cortante - DEC



1.3 Diagrama de Momento fletor - DMF

Legenda:

O, O O, O Reao de apoio Resultante de um carregamento distribudo Fora concentrada Distncia, lembrar que momento o produto de uma fora pela distncia. Momento

Conveno, percorrendo a viga da esquerda para a direita:

, . , .

1.3.1 Trecho 1

1.3.1.1 Momento no incio do trecho 1

O, = 0 (pois no existe engaste e nem momento aplicado)



1.3.1.2 Momento no fim do trecho 1

O, = ! 10 1200 10 102 O, = 4680 10 12000 5 O, = 13200 . &

1.3.2 Trecho 2


O,7 = O, (pois no existe momento aplicado) O,7 = 13200 . &


O,7 = ! 010 + 24 01200 124 122 + 9 2 O,7 = 4680 12 14400 6 + 15120 2 O,7 = 56160 86400 + 30240 O,7 = 0 (deveria ser zero mesmo, pois uma rtula, e nela sempre o momento zero)



1.3.3 Trecho 3


O,; = O,7 (pois no existe momento aplicado) O,; = 0


O,; = ! 010 + 2 + 6 + 24 1200 010 + 24 P010 + 242 + 6 + 2Q + 9 02 + 6 + 24 1800 06 + 24 06 + 24

2 O,; = 4680 20 14400 14 + 15120 10 14400 4 O,; = 14400 . &

1.3.4 Trecho 4


O,= = O,; (pois no existe momento aplicado) O,= = 14400 . &




O,= = ! 010 + 2 + 6 + 2 + 104 1200 010 + 24 P010 + 242 + 6 + 2 + 10Q + 9 02 + 6 + 2 + 104 1800 06 + 2 + 104 06 + 2 + 104

2 + > 10

O,= = 4680 30 14400 24 + 15120 20 32400 9 + 19440 10 O,= = 0 (deveria ser zero mesmo, pois no fim do trecho 4 no existe momento aplicado e um apoio do 1 gnero)

1.3.5 Clculo dos momentos mximos

1.3.5.1 Trecho 1

Da esquerda pra direita, + :

OST, = ! 3,9 1200 3,9 3,92 OST, = 4680 3,9 4680 1,95 UK?,H = JHVW K. XYZ



Da direita pra esquerda, + : Sabemos que AB, = 3,90 a partir de A, como a anlise ser da direita para a esquerda, precisamos saber qual a distncia do

cortante nulo para o apoio B, essa distncia 10,0 3,90 = 6,10 . Dessa maneira, tem-se:

OST, = \ 010 + 2 + 6 + 2 + 6,14 1800 010 + 2 + 64 P010 + 2 + 642 + 2 + 6,1Q + > 02 + 6 + 2 + 6,14 1200 02 + 6,14 02 + 6,14

2 + 9 6,1

OST, = 7560 26,1 32400 17,1 + 19440 16,1 9720 4,05 + 15120 6,1 OST, = 197316 554040 + 312984 39366 + 92232 UK?,H = JHVW K. XYZ

1.3.5.2 Trecho 3


OST,; = ! 010 + 2 + 34 1200 010 + 24 P010 + 242 + 3Q + 9 02 + 34 1800 3 32

OST,; = 4680 15 14400 9 + 15120 5 5400 1,5 UK?,I = NH@@ K. XYZ



Da direita pra esquerda, + : Sabemos que AB,; = 3,0 a partir de C, como a anlise ser da direita para a esquerda, precisamos saber qual a distncia do

cortante nulo para a rtula D, essa distncia 6,0 3,0 = 3,0 . Dessa maneira, tem-se:

OST,; = \ 010 + 2 + 34 1800 010 + 2 + 34 P010 + 2 + 342 Q + > 02 + 34 OST,; = 7560 15 27000 7,5 + 19440 5 OST,; = 113400 202500 + 97200 UK?,I = NH@@ K. XYZ

1.3.5.3 Trecho 4


OST,= = ! 010 + 2 + 6 + 2 + 5,84 1200 010 + 24 P010 + 242 + 6 + 2 + 5,8Q + 9 02 + 6 + 2 + 5,84 1800 06 + 2 + 5,84 06 + 2 + 5,84

2 + > 5,8

OST,= = 4680 25,8 14400 19,8 + 15120 15,8 24840 6,9 + 19440 5,8 OST,= = 120744 285120 + 238896 171396 + 112752 UK?,L = HMN]W K. XYZ



Da direita pra esquerda, + : Sabemos que AB,= = 5,8 a partir de E, como a anlise ser da direita para a esquerda, precisamos saber qual a distncia do

cortante nulo para o apoio F, essa distncia 10,0 5,8 = 4,2 . Dessa maneira, tem-se:

OST,= = \ 4,2 1800 4,2 4,22 OST,= = 7560 4,2 7560 2,1 OST,= = 31752 15876 UK?,L = HMN]W K. XYZ



Escala horizontal (eixo da viga):1 cm = 1,0 m(Dica: Com esta escala escolhida, todocomprimento de viga dever ser dividopor 1,0 para ser transformado para cmna "escala do papel milimetrado")

Escala vertical (momento fletor):1 cm = 3000 m.kgf(Dica: Com esta escala escolhida, todomomento fletor dever ser dividido por3000 para ser transformado para cm na"escala do papel milimetrado")

DMF [m.kgf]

x1 x2 x3 x4

A B C D E F

13200= 4,40 cm

9126= 3,04 cm 15876

= 5,29 cm

14400= 4,80 cm

x = 3,90 m x = 3,00 m

x = 5,80 m

0,1 0,3

0,4

8100= 2,70 cm

q.L2

8 =1200 x 10,0

2

8= 15000 m.kgf= 5,0 cm q.L

2

8 =1800 x 8,0

2

8 = 14400 m.kgf= 4,80 cm

M

m

x

M

m

x

M

m

x

q.L2

8 =1800 x 10,0

2

8= 22500 m.kgf= 7,50 cm

Mmx MmxMmx

Parbola trecho 1

Parbola trecho 3

q.L2

8 =1200 x 2,0

2

8 = 600 m.kgf= 0,20 cm

Parbola trecho 2Parbola trecho 4

Parbolado 2 Grau

Parbolado 2 Grau

Parbolado 2 Grau

Parbolado 2 Grau

1.3.6 Traado do diagrama de momento fletor - DMF

Exercício Viga Gerber

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