INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO METROPOLITANO DE

ANGOLA

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LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL

FÍSICA DOS MEIOS CONTÍNUOS

EXERCÍCIOS DAS AULAS PRÁTICAS

DOCENTE:

Prof. Manuel Vieira

2014

Física dos Meios Contínuos – DTEC/IMETRO M. Vieira

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Tensores Cartesianos e tensor das tensões

PROBLEMA 1:

Para um campo tensorial [T] não-simétrico de segunda ordem em duas dimensões, cujas

componentes no referencial Oxy escrevem-se na forma matricial.

[T]= [

], determine:

a) As componentes do tensor [T] no ponto A[-2,1].

b) A parte simétrica e anti-simétrica do tensor [T] no ponto A.

c) A parte volumétrica e desviatórica do tensor simétrico no ponto A.

d) Calcule os valores principais.

e) Calcule as direcções principais e determine a base do referencial principal em

que a primeira componente do primeiro vector base é positiva.

f) Escreva a matriz de transformação (rotação) para o referencial principal e a

respectiva lei de transformação.

g) Determine o valor máximo (no valor absoluto) do valor fora de diagonal e os

valores que neste caso estão na diagonal principal.

h) Calcule as componentes no referencial rodado, quando o ângulo de rotação é -

35.

i) Verifique os invariantes e a propriedade de máximo e mínimo em todos os casos

de rotações.

j) Verifique os resultados no círculo de Mohr usando a rotação e usando o pólo

irradiante de facetas.

Física dos Meios Contínuos – DTEC/IMETRO M. Vieira

Problema 2

Para o tensor simétrico de 2ª ordem em três dimensões, cujas componentes no

referencial Oxyz escrevem-se na forma matricial.

[T]= [

], determine:

a) Calcule os valores principais.

b) Verifique os invariantes.

c) Define a base do referencial principal em que os primeiros 2 vectores têm a

primeira componente positiva e as componentes do tensor neste referencial.

d) Verifique a ortogonalidade das direcções principais.

e) Define a matriz de rotação para o referencial principal.

f) Determine o valor máximo fora de diagonal e as outras componentes para a

respectiva rotação do referencial, esquematize esta rotação.

Problema 3

Considere o estado o estado bidimensional de tensões indicado na figura. Determine:

a) hque o primeiro componente do primeiro vector é positiva).

b) Componentes intrínsecas no plano que faz o ângulo de 30º com o plano

horizontal.

c) Verifique os resultados das alíneas a) e b) no círculo de Mohr