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Exercícios de exames e provas oficiais
1. Na figura, está representado, no plano complexo, um
quadrado cujo centro coincide com a origem e em que
cada lado é paralelo a um eixo.
Os vértices deste quadrado são as imagens geométricas
dos complexos 1z ,
2z , 3z e
4z .
Qual das afirmações seguintes é falsa?
(A) 3 1 4 2z z z z
(B) 1 4 12Rez z z
(C) 41
zz
i
(D) 1 2z z
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2015
2. Em , conjunto dos números complexos, seja 6
1 1z i e 2
8
6
5
iz
cis
.
Sabe-se que as imagens geométricas dos complexos 1z e
2z são vértices consecutivos de um
polígono regular de n lados, com centro na origem do referencial.
Determine, sem recorrer à calculadora, o valor de n.
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2015
3. Na figura, está representado, no plano complexo,
um triângulo equilátero [OAB].
Sabe-se que:
o ponto O é a origem do referencial;
o ponto A pertence ao eixo real e tem abcissa
igual a 1;
o ponto B pertence ao quarto quadrante e é a
imagem geométrica de um complexo z.
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) 11
36
z cis
(B) 11
6z cis
(C) 5
33
z cis
(D) 5
3z cis
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4. Em , conjunto dos números complexos, seja 1
1
212
iz
cis
.
Determine os números complexos z que são solução da equação 4
1z z , sem utilizar a
calculadora.
Apresente esses números na forma trigonométrica.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2015
5. Considere em , conjunto dos números complexos, a condição
3
4 4 3 arg2 4
z i z
No plano complexo, esta condição define uma linha.
Qual é o comprimento dessa linha?
(A) (B) 2 (C) 3 (D) 4
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2015
6. Em , conjunto dos números complexos, considere 192 2
2
iz
cis
.
Determine os valores de pertencentes ao intervalo 0,2 , para os quais z é um número
imaginário puro.
Na resolução deste item, não utilize a calculadora.
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7. Na figura abaixo, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco
números complexos: w, z1, z2, z3 e z4.
Qual é o número complexo que pode ser igual a 2 i w ?
(A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4 matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2014
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8. Seja o conjunto dos números complexos.
Resolva os dois itens seguintes sem utilizar a calculadora.
8.1. Considere 1
1
1
2
iz i
i
e 2
4z cis
.
Averigue se a imagem geométrica do complexo 4
1 2z z pertence à bissetriz dos
quadrantes ímpares.
8.2. Considere o número complexo 2sin 2 2 cosw i , com 0,2
.
Escreva w na forma trigonométrica.
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9. Na figura, estão representadas, no plano complexo,
duas semirretas OA e OB e uma circunferência de
centro C e raio BC .
Sabe-se que:
O é a origem do referencial;
o ponto A é a imagem geométrica do complexo
2 32
3i ;
o ponto B é a imagem geométrica do complexo
2 32
3i ;
o ponto C é a imagem geométrica do complexo 2i .
Considere como arg z a determinação que pertence ao intervalo , .
Qual das condições seguintes define a região sombreada, excluindo a fronteira?
(A) 2 3 3
2 arg3 4 4
z i z
(B) 2 3 2
2 arg3 3 3
z i z
(C) 2 3 2
2 arg3 3 3
z i z
(D) 2 3 3
2 arg3 4 4
z i z
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10. Seja o conjunto dos números complexos.
10.1. Considere 26
z cis
e
4
1
z iw
zi
.
No plano complexo, seja O a origem do referencial.
Seja A a imagem geométrica do número complexo z e seja B a imagem geométrica do
número complexo w.
Determine a área do triângulo [AOB], sem utilizar a calculadora.
10.2. Seja 0, .
Resolva, em , a equação 2 2cos 1 0z z .
Apresente as soluções, em função de , na forma trigonométrica.
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11. Na figura, está representado, no plano complexo, um polígono regular [ABCDEF]
Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das n raízes de índice n de um número
complexo z.
O vértice C tem coordenadas 2 2,2 2 .
Qual dos números complexos seguintes tem por imagem geométrica o vértice E?
(A) 13
2 212
cis
(B) 13
412
cis
(C) 17
2 212
cis
(D) 17
412
cis
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12. Seja o conjunto dos números complexos.
12.1. Considere
3
1
1 3
1
iz
i
e 2z cis , com 0, .
Determine os valores de , de modo que 2
1 2z z seja um número imaginário puro, sem
utilizar a calculadora.
12.2. Seja z um número complexo tal que 2 2
1 1 10z z .
Mostre que 2z
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13. Em , conjunto dos números complexos, considere 2013
1w i .
A qual dos conjuntos seguintes pertence w?
(A) : 1z z z (B) : 2z z
(C) :z z z (D) : Re Imz z z
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14. Na figura abaixo, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas dos
números complexos: z, z1, z2, z3, e z4.
Sabe-se que w é um número complexo tal que z i w .
Qual é o número complexo que pode ser igual a w?
(A) z4 (B) z3 (C) z2 (D) z1
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15. Seja o conjunto dos números complexos, considere
1
1 3
51 2
6
iz
i cis
e 2 212
z cis
15.1. Seja z cis , com pertencente a 0,2 .
Determine de modo que 1
z
z seja um número real negativo, sem utilizar a calculadora.
15.2. As imagens geométricas de 2z e do seu conjugado, 2z , são vértices consecutivos de um
polígono regular. Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das raízes de
índice n de um certo número complexo w.
Determine w na forma algébrica, sem utilizar a calculadora.
Comece por calcular n.
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16. Considere, em , conjunto dos números complexos, 2z bi , com 0b .
Seja 0,2
.
Qual dos números complexos seguintes pode ser o conjugado de z?
(A) 3
2cis (B) 3cis (C) 3cis (D)
3
2cis
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17. Considere, em , conjunto dos números complexos, a condição
3 2
3 3 arg 32 3 3
z i z i
Considere como arg z a determinação que pertence ao intervalo , .
Qual das opções seguintes pode representar, no plano complexo, o conjunto de pontos
definido pela condição dada?
(A)
(B)
(C)
(D)
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18. Seja o conjunto dos números complexos.
18.1. Considere 22
1
1 3
2
iz i
e 2
1
2z
iz
Determine, sem utilizar a calculadora, o menor número natural n tal que 2
nz é um número
real negativo.
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18.2. Seja , .
Mostre que
cos cos2
2cos sin
i
cisi
.
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19. Na figura abaixo, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de quatro
números complexos: w1, w2, w3, e w4.
Qual é o número complexo que, com n , pode ser igual a 8 8 1 8 2n n ni i i ?
(A) w1 (B) w2 (C) w3 (D) w4
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20. Em , conjunto dos números complexos, considere 8 6z i e
2i zw
z
.
Seja um argumento do número complexo z.
Qual das opções seguintes é verdadeira?
(A) 10 32
w cis
(B) 2 32
w cis
(C) 102
w cis
(D) 22
w cis
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21. Seja o conjunto dos números complexos, considere 1
32 2
4z cis
e 2 1z i .
21.1. Sabe-se que 1
2
z
z é uma raiz quadrada de um certo número complexo w.
Determine w na forma algébrica, sem utilizar a calculadora.
21.2. Seja 3z cis
Determine o valor de pertencente ao intervalo 2 , , sabendo que 3 2z z é um
número real.
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22. Sejam k e p dois números reais tais que os números complexos 1z i e 111 2 w k p i
sejam inversos um do outro.
Qual é o valor de k p ?
(A) 1
4 (B)
1
2 (C)
5
4 (D)
7
4
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23. Na figura, estão representadas, no plano
complexo, uma circunferência, de centro
na origem e de raio 1, e uma reta r, definida
por 1
Re2
z .
Seja 1z o número complexo cuja imagem
geométrica está no 1º quadrante e é o ponto
de intersecção da com a reta r.
Qual das opções seguintes apresenta uma
equação de que 1z é solução?
(A) 1z z i (B) 3
Im2
z (C) 1
12
z (D) 1 2z
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24. Seja o conjunto dos números complexos.
Resolva os itens seguintes, sem recorrer à calculadora.
24.1. Considere o número complexo 8 3 8z i .
Determine as raízes de índice 4 de z.
Apresente as raízes na forma trigonométrica.
24.2. Seja w um número complexo não nulo.
Mostre que, se o conjugado de w é igual a metade do inverso de w, então a imagem
geométrica de w pertence à circunferência de centro na origem e de raio 2
2.
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25. Seja k um número real, e sejam 1 2z i e 2 3z ki dois números complexos.
Qual é o valor de k para o qual 1 2z z é um imaginário puro?
(A) 3
2 (B)
3
2 (C) 1 (D) 6
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26. Na figura, está representado, no plano
complexo, um polígono regular
[ABCDEFGHI].
Os vértices desse polígono são as imagens
geométricas das raízes de índice n de um
número complexo z.
O vértice A tem coordenadas 0, 3 .
Qual dos números complexos seguintes
tem por imagem geométrica o vértice F?
(A) 7
318
cis
(B) 11
318
cis
(C) 2
33
cis
(D) 5
39
cis
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27. Seja o conjunto dos números complexos.
27.1. Seja n um número natural.
Determine
4 63 26
25
ni cis
cis
, sem recorrer à calculadora.
Apresente o resultado na forma trigonométrica.
27.2. Seja ,4 2
.
Sejam 1z e
2z dois números complexos tais que 1z cis e 2
2z cis
.
Mostre, analiticamente, que a imagem geométrica de 1 2z z , no plano complexo, pertence
ao 2º quadrante.
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28. Na figura, estão representadas, no
plano complexo, as imagens
geométricas de cinco números
complexos: w, z1, z2, z3 e z4.
Qual é o número complexo que
pode ser igual a 3
w
i?
(A) z1
(B) z2
(C) z3
(D) z4
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29. Na figura, estão representadas, a sombreado, no
plano complexo, parte de uma coroa circular.
Sabe-se que:
O é a origem do referencial;
o ponto Q é a imagem geométrica do
complexo 1 i ;
a reta PQ é paralela ao eixo real;
as circunferências têm centro na origem;
os raios das circunferências são iguais a 3
e a 6.
Considere como arg z a determinação que pertence ao intervalo , .
Qual das condições seguintes pode definir, em , conjunto dos números complexos, a região
a sombreado, incluindo a fronteira?
(A) 3
3 6 arg 14
z z i
(B) 3
9 36 arg 14
z z i
(C) 3
3 6 arg 14
z z i
(D) 3
9 36 arg 14
z z i
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30. Seja o conjunto dos números complexos, considere 3
1 2z i e 2
1 28
2
iz
i
.
30.1. Resolva a equação 3
1 2z z z , sem recorrer à calculadora.
Apresente as soluções da equação na forma trigonométrica.
30.2. Seja w um número complexo não nulo.
Mostre que, se w e 1
w são raízes de índice n de um mesmo número complexo z, então 1z
ou 1z .
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31. Sejam k e p dois números reais e sejam 1 3 2z k pi e 2 3 4 2 5z p k i dois
números complexos.
Quais são os valores de k e de p para os quais 1z é igual ao conjugado de 2z ?
(A) 1k e 3p (B) 1k e 3p
(C) 0k e 2p (D) 1k e 3p
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32. Considere, em , um número complexo w.
No plano complexo, a imagem geométrica
de w é o vértice A do octógono
[ABCDEFGH], representado na figura.
Os vértices desse polígono são imagens
geométricas das raízes de índice 8 de um
certo número complexo.
Qual dos números complexos seguintes tem
como imagem geométrica o vértice C do
octógono [ABCDEFGH]?
(A) w (B) 1w (C) i w (D) 3i w
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33. Seja o conjunto dos números complexos.
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.
33.1. Considere 4 2014
1 2 3 , nz i i n .
Sabe-se que 1z é uma das raízes cúbicas de um certo complexo z. Determine z.
Apresente o resultado na forma algébrica.
33.2. Considere 24
z cis
.
No plano complexo, a região definida pela condição
2 21 arg 22
z z z z z z
está representada geometricamente numa das
opções I, II, III e IV, apresentadas na página seguinte.
(Considere como arg z a determinação que pertence ao intervalo 0,2 )
Sabe-se que em cada uma das opções:
O é a origem do referencial;
C é a imagem geométrica de 2z ;
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OC é o raio da circunferência.
Apenas uma das opções está correta.
I
II
III
IV
Elabore uma composição na qual:
indique a opção correta;
apresente as razões que lhe levam a rejeitar as restante opções.
Apresente três razões, uma por cada opção rejeitada.
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34. Na figura abaixo, está representado, no plano complexo, a sombreado, um setor circular.
Sabe-se que:
o ponto A é a imagem geométrica da número complexo 3 i ;
o ponto B tem abcissa negativa, ordenada nula, e pertence à circunferência de centro
na origem do referencial e raio igual a OA
Qual das condições seguintes define, em , a região sombreada, incluindo a fronteira?
(Considere como arg z a determinação que pertence ao intervalo 0,2 ).
(A) 2
2 arg3
z z
(B) 5
2 arg6
z z
(C) 2
4 arg3
z z
(D) 5
4 arg6
z z
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35. Na figura, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de seis números
complexos: z1, z2, z3, z4, z5 e z6.
Qual é o número complexo que pode ser igual a 2 4z z i ?
(A) z1 (B) z3 (C) z5 (D) z6
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36. Seja o conjunto dos números complexos.
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.
36.1. Considere 1 1 2z i e 4 3
1
52
4
nz i bw
cis
, com b e n .
Determine o valor de b para o qual w é um número real.
36.2. Seja z um número complexo tal que 1z
Mostre que 2 2
1 1 4z z .
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37. Na figura, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de quatro
números complexos: z1, z2, z3 e z4.
Qual é o número complexo que, com n , pode ser igual a 4 4 1 4 2n n ni i i ?
(A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4
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38. Na figura seguinte, está representado, no plano complexo, a sombreado, um setor circular.
Sabe-se que:
o ponto A está situado no 1º quadrante;
o ponto B está situado no 4º quadrante;
[AB] é um dos lados de um polígono regular cujos vértices são as imagens geométricas
das raízes de índice 5 do complexo 322
cis
;
o arco AB está contido na circunferência de centro na origem do referencial e raio igual
a OA .
Qual dos números seguintes é o valor da área do setor circular AOB?
(A) 5
(B)
4
5
(C)
2
5
(D)
8
5
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39. Seja , o conjunto dos números complexos, considere:
1 1z , 2 5z i e 340
nz cis
, n
Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.
39.1. O complexo 1z é raiz do polinómio 3 2 16 16z z z .
Determine, em , as restantes raízes do polinómio.
Apresente as raízes na forma trigonométrica.
39.2. Determine o menor valor de n natural para o qual a imagem geométrica de 2 3z z , no plano
complexo, está no terceiro quadrante e pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.
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40. A figura representa um pentágono [ABCDE] no
plano complexo.
Os vértices do pentágono são as imagens
geométricas das raízes de índice n de um
número complexo w.
O vértice A tem coordenadas 1,0
Qual dos números complexos seguintes tem por
imagem geométrica o vértice D do pentágono?
(A) 6
55
cis
(B) 6
5cis
(C) 5
cis
(D) 5
cis
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2010
41. Seja w o número complexo cuja imagem geométrica está representada na figura abaixo.
A qual das retas seguintes pertence a imagem geométrica de 6w ?
(A) Eixo real
(B) Eixo imaginário
(C) Bissetriz dos quadrantes ímpares
(D) Bissetriz dos quadrantes pares
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2010
42. Seja , o conjunto dos números complexos, considere 1 24
z cis
e 2 3z .
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
42.1. Determine o número complexo 4
1 4z iw
i
.
Apresente o resultado na forma trigonométrica.
42.2. Escreva uma condição, em , que defina, no plano complexo, a circunferência que tem
centro na imagem geométrica de 2z e que passa na imagem geométrica de 1z .
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2010
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43. Em , conjunto dos números complexos, considere 38
z cis
, com .
Para qual dos valores seguintes de podemos afirmar que z é um número imaginário puro?
(A) 2
(B)
2
(C)
8
(D)
5
8
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2010
44. Na figura abaixo, está representada, no plano complexo, a sombreado, parte do semiplano
definido pela condição Re 3z .
Qual dos números complexos seguintes tem a sua imagem geométrica na região representada
a sombreado?
(A) 36
cis
(B) 3 36
cis
(C) 32
cis
(D) 3 32
cis
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2010
45. Em , conjunto dos números complexos, considere 17
z cis
e 2 2z i .
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
45.1. Determine o número complexo
7
1
2
3 i zw
z
.
(i designa a unidade imaginária, e 2z designa o conjugado de 2z ).
Apresente o resultado na forma trigonométrica.
45.2. Mostre que 2
1 2 6 4cos 2sin7 7
z z
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46. Seja k um número real, e 1 3 2z k i i um número complexo.
Qual é o valor de k, para que 1z seja um número imaginário puro?
(A) 3
2 (B)
2
3 (C)
2
3 (D)
3
2
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2009
47. Na figura, está representada uma região do plano complexo. O ponto A tem coordenadas
2, 1 .
Qual das condições seguintes define em , conjunto dos números complexos, a região
sombreada, incluindo a fronteira?
(A) 1 2 Re 2 Im 1z z i z z
(B) 1 2 Re 2 Im 1z z i z z
(C) 1 2 Re 2 Im 1z z i z z
(D) 1 2 Im 2 Re 1z z i z z
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2009
48. No conjunto dos números complexos, seja
7
32
7
34
2
cis i
z
cis
.
Determine z na forma algébrica, sem recorrer à calculadora.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2009
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49. Considere, em , um número complexo w, cuja imagem geométrica no plano complexo é
um ponto A, situado no 1º quadrante. Sejam os pontos B e C, respetivamente, as imagens
geométricas w (conjugado de w) e de ( w ).
Sabe-se que 8BC e que 5w .
Determine a área do triângulo [ABC].
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2009
50. Seja z um número complexo, em que um dos argumentos é 3
.
Qual dos valores seguintes é um argumento de 2i
z, sendo z o conjugado de z?
(A) 6
(B)
2
3 (C)
5
6 (D)
7
6
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2009
51. Seja b um número real positivo, e 1z bi um número complexo.
Em qual dos triângulos seguintes os vértices podem ser as imagens geométricas dos números
complexo 1z , 2
1z e 3
1z ?
(A)
(B)
(C)
(D)
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52. Em , conjunto dos números complexo, considere 18
11
iz i
i
e 2
5
6z cis
.
52.1. Determine 1z na forma trigonométrica, sem recorrer à calculadora.
52.2. Determine o menor valor de n , tal que 2 1n
i z .
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2009
53. Seja z um número complexo de argumento 6
.
Qual dos seguintes valores é um argumento de z ?
(A) 6
(B)
5
6 (C) (D)
7
6
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2008
54. Considere a figura abaixo, representada no plano complexo.
Qual é a condição, em , que define a região sombreada da figura, incluindo a fronteira?
(A) Re 3 arg 04
z z
(B) Re 3 0 arg4
z z
(C) Im 3 arg 04
z z
(D) Re 3 arg 04
z z
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2008
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55. Em , conjunto dos números complexos, considere 1 1z i (i designa a unidade
imaginária).
55.1. Sem recorrer à calculadora, determine o valor 18
12 3
1 2
z i
i
.
Apresente o resultado na forma algébrica.
55.2. Considere 1z uma das raízes quartas de um certo número complexo z.
Determine uma outra raiz quarta de z, cuja imagem geométrica é um ponto pertence ao 3º
quadrante.
Apresente o resultado na forma trigonométrica. matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2008
56. Seja 3z i um número complexo.
Qual dos seguintes valores é um argumento de z?
(A) 0 (B) 1
2 (C) (D)
3
2
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2008
57. Considere, em , a condição 2z z .
Em qual das figuras seguintes pode estar representado, no plano complexo, o conjugado de
pontos definidos por esta condição?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2008
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58. Em , conjunto dos números complexos, considere 1 1 3 z i e 2 8 0z cis (i designa a
unidade imaginária).
58.1. Mostre, sem recorrer à calculadora, que 1z é uma raiz cúbica de 2z .
58.2. No plano complexo, sejam A e B as imagens geométricas de 1z e de 46
3 1. z z i ,
respetivamente.
Determine o comprimento do segmento [AB].
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2008
59. Em , conjunto dos números complexos, seja i a unidade imaginária.
Seja n um número natural tal que ni i .
Indique qual dos seguintes é o valor de 1ni .
(A) 1 (B) i (C) 1 (D) i
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2007
60. Em , conjunto dos números complexos, sejam:
1 3z yi e 2 14 z i z
(i é a unidade imaginária e y designa um número real).
60.1. Considere que, para qualquer número complexo z não nulo, Arg z designa o argumento
de z que pertence ao intervalo 0,2 .
Admitindo que 1Arg z e que 02
, determine o valor de 2Arg z em função
de .
60.2. Sabendo que 1 2Im Imz z , determine 2z .
Apresente o resultado na forma algébrica.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2007
61. Qual das opções seguintes apresenta duas raízes quadradas de um mesmo número complexo?
(A) 1 e i (B) 1 e i
(C) 1 i e 1 i (D) 1 i e 1 i
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2007
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62. Em , conjunto dos números complexos, considere z cis , 0,2
.
62.1. Na figura está representado, no plano complexo, o paralelogramo [AOBC].
A e B são as imagens geométricas de z e z , respetivamente.
C é a imagem geométrica de um número complexo w.
Justifique que 2cosw .
62.2. Determine o valor de 0,2
para o qual 3z
i é um número real.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2007
63. Na figura estão representadas, no plano complexo, duas circunferências, ambas com centro
no eixo real, tendo uma delas raio 1 e a outra raio 2.
A origem do referencial é o único ponto comum às duas circunferências.
Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira?
(A) 1 1 2 2z z (B) 1 2 2 1z z
(C) 1 1 2 2z z (D) 1 2 2 1z z
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2006
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64. Em o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária.
64.1. Considere 1 2 22
z i cis
e 2
1
5 7z cis
.
Sem recorrer à calculadora, escreva o número complexo 1
2
z
z na forma trigonométrica.
64.2. Seja z um número complexo cuja imagem geométrica, no plano complexo, é um ponto A
situado no primeiro quadrante.
Seja B a imagem geométrica de z , conjugado de z.
Seja O a origem do referencial.
Sabe-se que o triângulo [AOB] é equilátero e tem perímetro 6.
Represente o triângulo [AOB] e determine z na forma algébrica.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2006
65. Os pontoa A e B, representados na figura, são as imagens geométricas, no plano complexo,
das raízes quadradas de um certo número complexo z.
Qual dos números complexos seguintes pode ser z?
(A) 1 (B) i (C) 1 (D) i
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2006
66. Em o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária.
66.1. Sem recorrer à calculadora, determine
6
4 26
3
i cis
i
apresentando o resultado final na
forma trigonométrica.
66.2. Considere que, para qualquer número complexo z não nulo, arg z designa o argumento
de z que pertence ao intervalo 0,2 .
Represente a região do plano complexo pela condição, em ,
1 3 5
1 arg2 4 4
z z
e determine a sua área. matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2006
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67. Em qual das opções seguintes estão duas raízes de um mesmo números complexo?
(A) 6
cis
e 5
6cis
(B)
3cis
e
2
3cis
(C) 4
cis
e 3
4cis
(D)
2cis
e
3
2cis
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2005
68. Em o conjunto dos números complexos, considere
1 1w i , 2 212
w cis
e 3 32
w cis
68.1. Sem recorrer à calculadora, determine o valor de 1 2
3
2w w
w
.
Apresente o resultado na forma algébrica.
68.2. Represente, no plano complexo, a região definida pela condição
1 3Re Re 3z w z w
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2005
69. Em o conjunto dos números complexos, considere 1 24
z cis
e 2 2z i .
Sejam 1P e 2P as imagens geométricas, no plano complexo, de 1z e de 2z , respetivamente.
Sabe-se que o segmento de reta 1 2PP é um dos lados do polígono cujos vértices são as
imagens geométricas das raízes de índice n de um certo número complexo w.
Qual é o valor de n?
(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2005
70. Em o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária.
70.1. Considere 2
1
iw i
i
.
Sem recorrer à calculadora, escreva w na forma trigonométrica.
70.2. Considere 1z cis e 22
z cis
.
Mostre que a imagem geométrica, no plano complexo, de 1 2z z pertence à bissetriz dos
quadrantes ímpares.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2005
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71. Os quatro vértices de um dos quadriláteros seguintes são as imagens geométricas, no plano
complexo, das raízes quartas de um certo número complexo w.
Qual poderá ser esse quadrilátero?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2004
72. Em o conjunto dos números complexos, considere
4 3w i (i designa a unidade imaginária)
72.1. Sem recorrer à calculadora, calcule, na forma algébrica, 2
2w
ii
.
72.2. Seja um argumento do número complexo w.
Exprima, na forma trigonométrica, em função de , o produto de i pelo conjugado de w.
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2004
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73. Na figura abaixo está representado, no plano complexo, um triângulo retângulo isósceles.
Os catetos têm comprimento 1, estando um deles contido no eixo dos números reais.
Um dos vértices do triângulo coincide com a origem do referencial.
Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira?
(A) Re 0 Im 0 1z z z
(B) Re 0 Im 0 1z z z
(C) Re 1 Im 0 1z z z i z
(D) Re 1 Im 0 1z z z i z
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2004
74. Em , considere os números complexos: 1 6 3z i e 2 1 2z i .
Sem recorrer à calculadora, determine 23
1
2
z i
z
, apresentando o resultado final na forma
trigonométrica.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2004
75. Seja z um número complexo, cuja imagem geométrica pertence ao primeiro quadrante (eixos
não incluídos).
Justifique que a imagem geométrica de 3z , não pode pertencer ao quarto quadrante.
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76. Na figura abaixo, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco
números complexos: w, z1, z2, z3 e z4.
Qual é o número complexo que pode ser igual a 1 w ?
(A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2003
77.
é o conjunto dos números complexos;
i designa a unidade imaginária.
77.1. Sem recorrer à calculadora, calcule, na forma trigonométrica, as raízes quartas do
número complexo 1 3 i , simplificando o mais possível as expressões obtidas.
77.2. Seja z um número complexo cuja imagem geométrica, no plano complexo, é um ponto A
situado no segundo quadrante e pertencente à reta definida pela condição Re 2z .
Seja B a imagem geométrica de z , conjugado de z.
Seja O a origem do referencial.
Represente, no plano complexo, um triângulo [AOB], de acordo com as condições
enunciadas.
Sabendo que área do triângulo [AOB] é 8, determine, z, na forma algébrica.
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78. Considere, em , a condição:
3 0 arg Re 14
z z z
Em qual das figuras seguintes pode estar representado, no plano complexo, o conjunto de
pontos definidos por esta condição?
(A)
(B)
(C)
(D)
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79. é o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária.
79.1. Sem recorrer à calculadora, determine
3
2
3 2 29
3
2
i cis
cis
apresentando o resultado
na forma algébrica.
79.2. Seja um número real.
Sejam 1z e
2z dois números complexos tais que:
1z cis ;
2z cis .
Mostre que 1z e
2z não podem ser ambos raízes cúbicas de um mesmo número complexo.
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80. Seja w um número complexo diferente de zero, cuja imagem geométrica pertence à bissetriz
dos quadrantes ímpares.
A imagem geométrica de 4w pertence a uma das retas a seguir indicadas.
A qual delas?
(A) Eixo real. (B) Eixo imaginário.
(C) Bissetriz dos quadrantes pares. (D) Bissetriz dos quadrantes ímpares.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2003
81. Em , conjunto dos números complexos, considere
1 2 2z i , 2
52
4z cis
e
3 1z i
81.1. Sem recorrer à calculadora, determine 1
2
z
z apresentando o resultado na forma algébrica.
81.2. Escreva uma condição em que defina, no plano complexo, a circunferência que tem
centro na imagem geométrica de 1z e que passa na imagem geométrica de
3z .
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2003
82. Na figura está representado um retângulo, de
comprimentos 4 e largura 2, centrado na origem do
plano complexo.
Seja z um número complexo qualquer, cuja imagem
geométrica está situada no interior do retângulo.
Qual dos seguintes números complexos tem também,
necessariamente, a sua imagem geométrica no
interior do retângulo?
(A) 1z (B) z (C)
2z (D) 2z
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2002
83. Em , conjunto dos números complexos, considere
1 1z i (i designa a unidade imaginária).
83.1. Determine os números reais b e c para os quais 1z é raiz do polinómio
2x bx c .
83.2. Seja 2z cis .
Calcule o valor de , pertencente ao intervalo 0,2 , para o qual 1 2z z é um número
real negativo (2z designa o conjugado de
2z ).
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2002
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84. Qual das figuras seguintes pode ser a representação geométrica, no plano complexo, do
conjunto : 1 2 Im 4z z z i z ?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2002
85. De dois números complexos 1z e
2z sabe-se que:
um argumento de 1z é
3
;
o módulo de 2z é 4.
85.1. Seja 1 i
wi
.
Justifique que w diferente de 1z e de
2z .
85.2. 1z e
2z são duas das raízes quartas de um certo número complexo z.
Sabendo que, no plano complexo, a imagem geométrica de 2z pertence ao segundo
quadrante, determine 2z na forma algébrica.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2002
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86. Qual das seguintes condições define, no plano complexo, o eixo imaginário?
(A) 0z z (B) Im 1z (C) 0z (D) 0z z
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2002
87. Em , conjunto dos números complexos: 1 1z i e 2
32
4z cis
87.1. Verifique que 1z e
2z são raízes quartas de um mesmo número complexo.
Determine esse número, apresentando-o na forma algébrica.
87.2. Considere, no plano complexo, os pontos A, B e O em que:
A é a imagem geométrica de 1z ;
B é a imagem geométrica de 2z ;
O é a origem do referencial.
Determine o perímetro do triângulo [AOB].
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2002
88. Qual das seguintes regiões do plano complexo (indicadas a sombreado) contém as imagens
geométricas das raízes quadradas de 3 4i ?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2001
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89. Em , conjunto dos números complexos, considere
2w i (i designa a unidade imaginária).
89.1. Determine 11 2
2 1 3w i na forma algébrica.
89.2. Averigue se o inverso de w é, ou não, 3
24
cis
.
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2001
90. Na figura está representado, no plano complexo, um heptágono regulas inscrito numa
circunferência de centro na origem e raio 1. Um dos vértices do heptágono pertence ao eixo
imaginário.
Os vértices do heptágono são, para um certo número natural n, as imagens geométricas das
raízes de índice n de um número complexo z.
Qual é o valor de z?
(A) 1 i (B) 1 i (C) i (D) i
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2001
91. Em , conjunto dos números complexos, seja
1 4z i (i designa a unidade imaginária).
91.1. No plano complexo, a imagem geométrica de 1z é um dos quatro vértices de um losango
de perímetro 20, centrado na origem do referencial. Determine os números complexos cujas
imagens geométricas são os restantes vértices do losango.
91.2. Sem recorrer à calculadora, resolva a equação
2
12 24
cis z z
.
Apresente o resultado na forma algébrica.
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92. Seja w um número complexo diferente de 0, cuja
imagem geométrica, no plano complexo, está no
primeiro quadrante e pertence à bissetriz dos
quadrantes +impares.
Seja w o conjugado de w. Na figura estão
representadas, no plano complexo, as imagens
geométricas de quatro números complexos: z1, z2, z3 e
z4.
Qual deles pode ser igual a w
w?
(A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2001
93. Em , conjunto dos números complexos, seja 1 2
3z cis
.
93.1. Sem recorrer à calculadora, verifique que 3
1 2z
i
é um imaginário puro.
93.2. No plano complexo, a imagem geométrica de 1z é um dos cinco vértices do pentágono
regular representado na figura. Este pentágono está inscrito numa circunferência centrada
na origem do referencial.
Defina, por meio de uma condição em , a região sombreada, excluindo a fronteira.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2001
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94. Seja z yi , com \ 0y , um número complexo (i designa a unidade imaginária).
Qual dos quatro pontos representados na figura junta (A, B, C ou D) pode ser a imagem
geométrica de 4z ?
(A) O ponto A (B) O ponto B (C) O ponto C (D) O ponto D
matemática A – 12º ano, exame 435, prova modelo, 2001
95. Em , conjunto dos números complexos, considere 1 7 24z i (i designa a unidade
imaginária).
95.1. Um certo ponto P é a imagem geométrica, no plano complexo, de uma das raízes quadradas
de 1z . Sabendo que o ponto P tem abcissa 4, determine a sua ordenada.
95.2. Seja 2z cis com
3,
4
.
Indique, justificando, em que quadrante se situa a imagem geométrica de 1 2z z .
matemática A – 12º ano, exame 435, prova modelo, 2001
96. Qual das seguintes condições define uma reta no plano complexo?
(A) 1 4z (B) arg
2z
(C) 3 2 0z i (D) 1z z i
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2000
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97. Seja o conjunto dos números complexos, e sejam 1z
e 2z dois elementos de .
Sabe-se que:
1z tem argumento
6
;
4
2 1z z ;
1A e
2A são as imagens geométricas de 1z e
2z ,
respetivamente.
97.1. Justifique que o ângulo 1 2AOA é reto (O designa a origem do referencial).
97.2. Considere, no plano complexo, a circunferência C definida pela condição 1z z .
Sabendo que o perímetro de C é 4 , represente, na forma algébrica, o número complexo
1z .
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2000
98. Seja z um número complexo de argumento 5
.
Qual poderá ser um argumento do simétrico de z?
(A) 5
(B)
5
(C)
5
(D) 2
5
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 2ª chamada, 2000
99. Considere, no plano complexo, o quadrado [ABCD].
Os pontos A e C pertencem ao eixo imaginário, e os pontos B
e D pertencem ao eixo real.
Estes quatro pontos encontram-se à distância de uma unidade
da origem do referencial.
99.1. Seja 1w i e 3
22
z cis
.
Sem recorrer à calculadora, mostre que as raízes quartas do
complexo 2w
z têm por imagens geométricas os pontos A, B,
C e D.
99.2. Defina, por meio de uma condição em , a circunferência inscrita no quadrado [ABCD].
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100. Na figura está representado um hexágono
cujos vértices são as imagens geométricas,
no plano complexo, das raízes de índice 6 de
um certo número complexo.
O vértice C é a imagem geométrica do
número complexo 3
24
cis
.
Qual dos seguintes números complexos tem
por imagem geométrica o vértice D?
(A) 7
26
cis
(B) 13
212
cis
(C) 6 72
6cis
(D) 6 13
212
cis
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2000
101. Seja A o conjunto dos números complexos cuja imagem, no plano complexo, é o interior do
círculo de centro na origem do referencial e raio 1.
101.1. Define, por meio de uma condição em , a parte de A contida no segundo quadrante
(excluindo os eixos do referencial).
101.2. Sem recorrer à calculadora, mostre que o número complexo 1 3
46
i
cis
pertence ao conjunto
A.
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2000
Bom trabalho!!
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Principais soluções
1. (C)
2. 10
3. (D)
4. 6
cis
, 3
cis
, 5
6cis
, 4
3cis
5. (C)
6. 3
4
e
7
4
7. (D)
8.
8.1. Pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.
8.2. 2cos .2
w cis
9. (C)
10.
10.1.
9
2AOB
A
10.2. z cis z cis
11. (D)
12.
12.1. 8
e
5
8
12.2.
13. (D)
14. (C)
15. 15.1.
15.2. 64
16. (C)
17. (A)
18. 18.1. 6n
18.2.
19. (C)
20. (A)
21. 21.1. 1w
21.2. 3
2
22. (D)
23. (B)
24.
24.1. 11 23
2 ; 224 24
cis cis
35 472 ; 2
24 24cis cis
24.2.
25. (D)
26. (B)
27.
27.1. 1 13
2 10cis
27.2.
28. (A)
29. (C)
30.
30.1. 2 0z cis , 2
23
z cis
42
3z cis
30.2.
31. (B)
32. (C)
33. 33.1. 8z
33.2. IV
34. (B)
35. (C)
36. 36.1. 3b
36.2.
37. (B)
38. (B)
39.
39.1. 1 0cis ; 4 42
i cis
;
4 42
i cis
39.2. 30n
40. (B)
41. (A)
42.
42.1. 4 24
w cis
42.2. 3 5z
43. (D)
44. (B)
45.
45.1. 24
w cis
45.2.
46. (C)
47. (A)
48. 11 1
4 4z i
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49. 24 . .ABC
A u a
50. (C)
51. (C)
52.
52.1. 1
2
2 4z cis
52.2. 3n
53. (D)
54. (A)
55.
55.1. 4 2
5 5i
55.2. 5
24
cis
56. (B)
57. (B)
58. 58.1.
58.2. 4AB
59. (A)
60.
60.1. 2
3Arg
2z
60.2. 2 48 12z i
61. (D)
62. 62.1.
62.2. 6
63. (A)
64.
64.1. 157
cis
64.2. 3z i
65. (D)
66.
66.1. 24
cis
66.2. 3
. .16
A u a
67. (A)
68.
68.1. 3
13
i
68.2.
69. (C)
70.
70.1. 2
2 4cis
70.2.
71. (B)
72. 72.1. 12 11i
72.2. 52
cis
73. (C)
74. 5
2 24
cis
75. 76. (C)
77.
77.1. 4 4 72 ; 2 ;
12 12cis cis
4 413 192 ; 2
12 12cis cis
77.2. 2 4i
78. (B)
79. 79.1. 3i
79.2.
80. (A)
81. 81.1. 2i
81.2. 1 1 3z z z z
82. (B)
83. 83.1. 2 2b c
83.2. 5
4
84. (B)
85. 85.1.
85.2. 2 2 3 2z i
86. (A)
87. 87.1. 4
87.2. 2 2 2P
88. (A)
89. 89.1. 6 8i
89.2. Não.
90. (D)
91. 91.1. 4 ; 3 ; 3i
91.2. 2z i
92. (B)
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93. 93.1.
93.2. 11
2 arg3 15
z z
94. (A)
95. 95.1. Ordenada é 3.
95.2. Terceiro quadrante.
96. (D)
97. 97.1.
97.2. 1 3z i
98. (B)
99. 99.1.
99.2. 2
2z
100. (B)
101.
101.1. 1 Re 0 Im 0z z z
101.2.