Universidade do Algarve

Departamento de Fısica

Exercıciosde Electromagnetismo

Compilados por

Robertus Potting, Paulo Seara de Sa

e Orlando Camargo Rodrıguez

Faro, 12 de Setembro de 2005

1 Calculo Vectorial Elementar

Ao longo desta seccao r representa o vector-posicao:

r = xex + yey + zez .

1.1 Gradiente, divergencia e rotacional

Exercıcio 1 Calcule:

a) o gradiente de r.

b) a divergencia de r.

c) o rotacional de r.

Exercıcio 2 Calcule a divergencia dos seguintes vectores:

a) r/r.

b) ex (x2 + yz) + ey (y2 + xz) + ez (z2 + xy).

c) r× (exy + eyz + ezx).

Exercıcio 3 Calcule o gradiente de uma funcao escalar Ψ, tal que Ψ(x, y, z) = Ψ(r).

Exercıcio 4 Calcule a divergencia do gradiente da funcao Ψ(x, y, z) = ex+y+z.

Exercıcio 5 Calcule o rotacional dos seguintes vectores:

a) (r ·A) r, onde A = ex + ey + ez.

b) (r ·A)B, onde A = ex + ey + ez e B = ex − ey − ez.

Exercıcio 6 Calcule (A ·∇) r, onde A = A(x, y, z).

1.2 Identidades

Exercıcio 7 Demonstre as seguintes identidades para quaisquer funcoes Ψ, Φ, A e B:

i. ∇ (ΨΦ) = Φ∇Ψ + Ψ∇Φ.

ii. ∇ · (ΨA) = Ψ∇ ·A + ∇Ψ ·A.

iii. ∇× (ΨA) = Ψ∇×A + ∇Ψ×A.

iv. ∇ · (A×B) = B · (∇×A)−A · (∇×B).

v. ∇× (A×B) = (B ·∇)A− (A ·∇)B−B(∇ ·A) + A(∇ ·B).

Exercıcio 8 Calcule ∇ · (rn−1r) (sugestao: aplique a identidade 7.ii).

Exercıcio 9 Calcule ∇× (Ψ(r)r) (sugestao: aplique a identidade 7.iii).

1

1.3 Aplicacoes sucessivas de ∇Exercıcio 10 Calcule ∇2Ψ(r).

Exercıcio 11 Calcule ∇× (Ψ∇Ψ) (sugestao: aplique a identidade 7.iii).

Exercıcio 12 Verifique as seguintes identidades:

a) ∇×∇Ψ = 0.

b) ∇ ·∇×A = 0.

c) A× (∇×A) = 12∇(A2)− (A ·∇)A.

d) ∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)− (∇ ·∇)A.

e) ∇2 (ΨΦ) = Φ∇2Ψ + Ψ∇2Φ + 2∇Ψ ·∇Φ.

1.4 Gradiente, divergencia e rotacional em coordenadas cilındricas

Exercıcio 13 Demonstre que em coordenadas cilındricas (r, φ, z)

ex = er cosφ − eφ sinφey = er sinφ + eφ cosφ

.

Exercıcio 14 Mostre que em coordenadas cilındricas

∇Ψ = er∂Ψ

∂r+ eφ

1

r

∂Ψ

∂φ+ ez

∂Ψ

∂z,

onde Ψ = Ψ(r, φ, z).

Exercıcio 15 Mostre que

∇ ·A =1

r

∂

∂r(rAr) +

1

r

∂Aφ

∂φ+∂Az

∂z,

onde A = Arer + Aφeφ + Azez.

Exercıcio 16 Calcule div A e rot A, onde A = rer + zez.

Exercıcio 17 Mostre que rot A so tem componente z se A(r, φ) = erAr(r, φ)+eφAφ(r, φ).

1.5 Gradiente, divergencia e rotacional em coordenadas esfericas

Exercıcio 18 Demonstre que em coordenadas esfericas (r, θ, φ)

ex = er sin θ cosφ − eφ sinφ + eθ cos θ cosφey = er sin θ sinφ + eφ cosφ + eθ cos θ sinφez = er cos θ − eθ sin θ

(sugestao: projecte os versores er, eφ e eθ sobre os versores ex, ey e ez, determine a matrizde projeccao e calcule a respectiva inversa).

2

Exercıcio 19 Mostre que

∇Ψ = er∂Ψ

∂r+ eθ

1

r

∂Ψ

∂θ+ eφ

1

r sin θ

∂Ψ

∂φ,

onde Ψ = Ψ(r, θ, φ).

Exercıcio 20 Calcule grad (rn).

Exercıcio 21 Calcule div (rner).

Exercıcio 22 Calcule ∆(rn).

1.6 Integrais de volume, de superfıcie e de linha

Exercıcio 23 Escreva em coordenadas cartesianas: (a) O elemento de volume dV ; (b) Oelemento de area nos planosXY , Y Z eXZ; (c) As normais correspondentes aos elementosde area, dS; (d) O elemento de comprimento, dl, ao longo dos eixos X, Y e Z.

Exercıcio 24 Demonstre que em coordenadas cilındricas (r, φ, z) o elemento de volumecorresponde a

dV = r dr dφ dz .

Use dV para demonstrar que os volumes de um cilındro e de um cone, de raio R na basee altura h, correspondem respectivamente a

Vcilındro = π R2 h e Vcone =1

3π R2 h .

Exercıcio 25 Escreva em coordenadas cilındricas o elemento de area da base de umcilindro, cuja base esta apoiada na plano XY . Indique a normal correspondente.

Exercıcio 26 Escreva em coordenadas cilındricas o elemento de area da superfıcie lateralde um cilindro, cuja base esta apoiada na plano XY . Indique a normal correspondente.

Exercıcio 27 Escreva em coordenadas cilındricas o elemento de comprimento, dl, aolongo da coordenada r e ao longo do perımetro de um cırculo de raio r.

Exercıcio 28 Demonstre que em coordenadas esfericas (r, θ, φ) o elemento de volumecorresponde a

dV = r2 sin θ dr dθ dφ .

Use dV para demonstrar que o volume de uma esfera de raio R corresponde a

V =4

3π R3 .

Exercıcio 29 Escreva em coordenadas esfericas o elemento de area da superfıcie de umaesfera e a normal a esse elemento de area. Mostre que a area de uma esfera de raio Rcorresponde a 4πR2.

3

Exercıcio 30 Calcule o integral de volume∫V

rdV , onde V e o volume delimitado por

uma esfera de raio R.

Exercıcio 31 Calcule o integral de superfıcie∫S

F · dS, onde S e a superfıcie

(x, y, z)|x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0

e F = F0ez (F0 = constante).

Exercıcio 32 Calcule o integral de superfıcie1

3

∮S

r · dS, onde S corresponde a area do

cubo unitario definido pelos pontos (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).

Exercıcio 33 A forca que actua sobre um oscilador harmonico em duas dimensoes podeser descrita atraves da relacao

F(x, y) = −k (exx+ eyy) ,

onde k e uma constante. Compare o trabalho realizado por esta forca ao longo dospercursos (1, 1) → (4, 1) → (4, 4), (1, 1) → (1, 4) → (4, 4) e (1, 1) → (4, 4) ao longo darecta x = y. Resolva este exercıcio usando coordenadas cartesianas e coordenadas polares.

Exercıcio 34 Determine o trabalho realizado pelo campo de forca

F(x, y) = −exy

x2 + y2+ ey

x

x2 + y2

ao longo do cırculo unitario no plano XY :

a) no sentido contrario do ponteiro do relogio de 0 a π;

b) no sentido do ponteiro do relogio de 0 a −π.

4

2 Electrostatica

2.1 Lei de Coulomb, campo e potencial electrostaticos

Exercıcio 35 Duas cargas pontuais q1 = 2e e q2 = −5e encontram-se separadas por umadistancia a = 2 m. Determine o ponto (ou pontos) do plano onde o campo electrostaticoe o potencial sao nulos.

Exercıcio 36 Nos vertices de um quadrado de lado L encontram-se quatro cargas, Q1 =Q3 = + |q| e Q2 = Q4 = − |q|; cargas do mesmo sinal encontram-se em vertices opostos.Calcule:

a) a forca que as cargas Q1, Q2 e Q3 exercem sobre a carga Q4;

b) o campo electrostatico criado pelas quatro cargas no ponto medio de um dos lados doquadrado;

c) o potencial electrostatico no mesmo ponto da alınea anterior.

Exercıcio 37 Tres cargas electricas iguais sao colocadas nos vertices de um trianguloequilatero de lado l. Calcule:

a) a forca de cada carga como resultado das interaccoes com as outras;

b) o campo electrostatico no centro do triangulo;

c) o potencial electrostatico no centro do triangulo.

Exercıcio 38 Dois protoes estao separados por uma distancia 2a = 4 fm, como mostraa Fig.1 (os dois protoes encontram-se fixos nos pontos P1 e P2).

a) Qual e a direccao do campo electrostatico em qualquer ponto do plano a tracejadoindicado na figura?

b) Suponha que se substitui um dos protoes por um electrao.

1 - Qual seria agora a resposta a alınea a)?

2 - Qual o valor do potencial no plano a tracejado? Como se chama a esse plano?

3 - Qual e o trabalho que e necessario realizar para deslocar uma carga q de P3 paraP4?

Exercıcio 39 Mostre que a um campo electrostatico E0, uniforme numa regiao de espaco,corresponde o potencial Φ(r) = Φ(0)− E0 · r.

Exercıcio 40 Um fio, de comprimento l, esta uniformemente carregado com uma cargatotal q. Determine o campo electrostatico e o potencial, num ponto P situado ao longodo eixo do fio, a uma distancia a do seu extremo mais proximo (ver Fig.2).

5

+e +e

P1 P2

·

·

P3

P4

aa

Figura 1

l a

PX

Y

Figura 2

Exercıcio 41 Considere um fio de comprimento infinito, orientado ao longo do eixo Ze carregado com uma densidade linear de carga λ (ver Fig.3). Determine o campo e opotencial electrostaticos num ponto P de coordenadas (x, y, z). Qual e a simetria docampo?

Exercıcio 42 Considere um arco circular de raio R no plano XY (ver Fig.4), definidopelas coordenadas polares φ1 e φ2, e carregado com uma densidade linear de carga λ.Determine o campo e o potencial electrostaticos no ponto de coordenadas (0, 0, 0). Indiqueo valor do campo e do potencial para φ1 = 0 e φ2 = π, e para φ1 = 0 e φ2 = 2π.

Exercıcio 43 Considere um cırculo de raio R no plano XY (ver Fig.5(a)), carregadocom uma densidade linear de carga λ. Determine o campo e o potencial electrostaticosno ponto P com coordenadas (0, 0, z). Considere igualmente o caso em que metade docırculo tem uma densidade de carga λ, enquanto que a outra metade tem uma densidadede carga −λ.

Exercıcio 44 Determine o campo e o potencial electrostaticos no ponto P com coor-denadas (0, 0, z), criados por dois cırculos concentricos de raios R1 e R2, localizados noplano XY (ver Fig.5(b)), e carregados com densidades lineares de carga λ1 e λ2, respec-tivamente.

6

X

Y

x

y

z

(x, y, z)r

λ

Figura 3

X

Y

φ1

φ2

R

λ

Figura 4

Exercıcio 45 Considere um disco circular de raio R no plano XY , e com densidadesuperficial de carga σ (ver Fig.6). Determine o campo e o potencial electrostaticos noponto P de coordenadas (0, 0, z). Determine igualmente o campo de um plano infinitoconsiderando um disco de raio infinito, assim como o campo criado por dois planos infinitosparalelos, com densidades de carga opostas e separados por uma distancia d .

Exercıcio 46 Mostre que o valor medio do potencial dentro de uma carga esferica comdistribuicao uniforme e

Φ =6

5

Q

4πε0R.

Exercıcio 47 Um cilindro longo de raio R esta orientado ao longo do eixo dos Z, per-pendicularmente a um campo electrico uniforme E0 = (E0, 0, 0). A superfıcie do cilindrotem uma carga −4πε0E0R por unidade de comprimento uniformemente distribuıda.

a) Mostre que no ponto (2R, 0) o campo electrostatico e nulo.

7

X Y

Z

R

·P

r

λ

X Y

Z

R1

R2

·P

λ1

λ2

(a) (b)

Figura 5

X Y

Z

R

x y

dq

·P

Figura 6

b) Mostre que o potencial fora do cilindro (negligenciando os efeitos dos extremos docilindro) e

Φ(x, y) = E0

[−x+ 2R ln

(√x2 + y2

R

)].

Exercıcio 48 A densidade da carga num atomo de hidrogenio no seu estado fundamentale

ρel =

(− e

πa30

)exp

(−2r

a0

),

onde r e a distancia ao protao e a0 o raio de Bohr. Mostre que o potencial electrostaticototal e dado por

Φ(r) =e

4πε0

(1

r+

1

a0

)exp

(−2r

a0

).

2.2 Lei de Gauss

Exercıcio 49 Use a lei de Gauss para calcular a intensidade do campo electrostatico deum fio de comprimento infinito.

Exercıcio 50 Uma superfıcie esferica de carga uniforme tem raio R e carga total Q.Utilizando a lei de Gauss, mostre que:

8

a) E = 0 no interior da superfıcie esferica;

b) no exterior da superfıcie esferica o campo electrico e igual aquele criado por uma cargapontual com carga Q situada no centro da esfera.

Exercıcio 51 Utilize a lei de Gauss para obter expressoes para o campo electrostaticonos pontos dentro e fora de uma distribuicao esferica e uniforme de carga (a carga totale Q).

Exercıcio 52 Uma esfera de raio R1, com carga q0 uniformemente distribuıda, estarodeada por uma camada esferica de raio interior R2 e raio exterior R3, com carga −2q0tambem uniformemente distribuıda (q0 > 0). Utilizando a lei de Gauss, obtenha ex-pressoes para o campo electrostatico em r < R1, R1 < r < R2, R2 < r < R3 e r > R3.

Exercıcio 53 Uma carga q encontra-se distribuıda no interior de uma esfera solida deraio R, de acordo com a distribuicao de densidade de carga volumica:

ρ(r) =C

r2,

onde C e uma constante. Determine o valor de C a partir da condicao

q =∫

VρdV .

Seguidamente aplique a lei de Gauss para determinar o campo electrostatico no interiore no exterior da esfera.

Exercıcio 54 Numa esfera, uniformemente carregada com densidade de carga volumicaρ, e feita uma cavidade esferica, o centro da qual se encontra a distancia d do centro daesfera (ver Fig.7). Determine o campo electrostatico no interior da cavidade.

d R1

R2

Figura 7

Exercıcio 55 Determine o potencial electrostatico dentro e fora de um cilindro infinitode raio R, uniformemente carregado com densidade de carga volumica ρ. O potencial nasuperfıcie do cilindro e Φ(R) = Φ0.

9

Exercıcio 56 Um cilindro oco, infinitamente longo, esta carregado uniformemente. Oraio interior e R e o raio exterior e 2R.

a) Determine o campo electrostatico em todo o espaco.

b) Sabendo que o potencial na superfıcie exterior do cilindro e Φ0, determine o potencialna superfıcie interior.

Exercıcio 57 Dois condutores longos, paralelos, situados a distancia L um do outro,encontram-se carregados uniformemente com carga por unidade de comprimento igual aq e −q. Por aplicacao da lei de Gauss para cada um dos condutoress, determine o campoelectrostatico no ponto P , situado a distancia H do plano que contem os dois condutores.

2.3 Energia electrostatica

Exercıcio 58 Um nucleo atomico contem N neutroes e Z protoes. Considere que onucleo e construıdo adicionando um nucleao apos outro e suponha ainda que os nucleossao distribuıdos uniformemente sobre uma esfera de raio R. Mostre que a contribuicaoelectroestatica para a energia do sistema e

3

5

Z (Z − 1) e2

4πε0R.

Exercıcio 59 Suponha que um electrao em repouso nao e pontual, mas uma camadaesferica de carga com raio a. Qual sera o valor de a, supondo que toda a massa doelectrao e electrostatica na origem, de modo a que a energia do campo possa ser igualadaa mc2?

2.4 Dipolos

Exercıcio 60 Mostre que o momento do dipolo electrico de uma distribuicao de cargaglobalmente neutra (Q = 0) e independente da origem do sistema de coordenadas.

Exercıcio 61 No interior de um cubo de aresta L esta distribuıda, uniformemente, umacarga Q. Escolhendo a origem do sistema de coordenadas no centro do cubo, mostre queo momento dipolar da distribuicao e nulo.

Exercıcio 62 Uma distribuicao de carga e dada, em coordenadas esfericas, pela seguintedensidade volumetrica:

ρ =

ρ0

R2sin2 θ , r < R

0 , r > R.

Calcule os momentos monopolar e dipolar da distribuicao.

Exercıcio 63 Mostre que a intensidade do campo electrico de um dipolo electrico e

E =p

4πε0r3

√1 + 3 cos2 θ ,

onde p e o momento do dipolo, R e θ sao, respectivamente, as coordenadas radial e polar.O centro do dipolo esta situado na origem do sistema de coordenadas e orientado nadireccao θ = 0. O potencial do dipolo e

Φ(r) =p · r

4πε0r3.

10

Exercıcio 64 Qual a energia potencial de dois dipolos p1 e p2 com distancia relativa r?

Exercıcio 65 Uma molecula de agua (considerada como um dipolo electrico com |p| =6, 17× 10−30 C.m) esta a distancia de 2,5 A de um catiao com carga +e.

a) Qual e a configuracao em que a energia potencial da molecula de agua no campo doiao e mınima?

b) Nessa configuracao, a forca e atractiva ou repulsiva?

c) Qual e a energia necessaria para inverter a orientacao da molecula?

2.5 Metodo das imagens

Exercıcio 66 Uma carga Q esta a distancia a da superfıcie de uma placa condutorainfinita (ver Fig.8).

a) Mostre que a densidade superficial de carga e

σ = − Q

2π

a

(a2 + r2)3/2.

b) Mostre que a carga total induzida na placa e igual a −Q.

c) Mostre que a forca de atraccao entre a carga Q e a placa e igual a forca de atraccaoentre duas cargas Q e −Q, situadas a distancia 2d uma da outra.

·

Q

a

r

Figura 8

Exercıcio 67 Determine a intensidade da forca que actua numa carga pontual Q, que seencontra situada sobre a bissectriz do angulo recto formado por dois planos condutores ea distancia a da aresta (ver Fig.9(a)).

Exercıcio 68 Duas cargas +Q e −Q estao a distancia a uma da outra e a distancia b deum plano condutor infinito (ver Fig.9(b)). Sabendo que a = 2b determine a intensidadeda forca que actua na carga −Q.

Exercıcio 69 Utilizando o metodo das imagens, determine a forca de atraccao entre umacarga Q e uma esfera metalica de raio R. A carga e o centro da esfera estao a distanciaL e a esfera esta ligada a terra (ver Fig.10).

11

·Q

θ

a

· ·

Q −Qa

b

(a) (b)

Figura 9

X

Y

R

L

·

Q

Figura 10

2.6 Condutores

Exercıcio 70 Uma esfera condutora de raio a e colocada num campo electrico uniformeE0. Mostre que

σ(θ) = 3ε0E0 cos θ e que pind = 4πε0a3E0 .

2.7 A equacao de Laplace

Exercıcio 71 Utilizando coordenadas cilındricas, (r, φ, z), verifique quais dos seguintescampos potenciais sao solucoes da equacao de Laplace:

a) Φ = ln r ; b) Φ = r2 tanφ ; c) Φ = r cosφ ; d) Φ = ln r/z ; e) Φ = (cosφ) /r .

Exercıcio 72 Um fio condutor longo de raio a, com carga por unidade de comprimentoigual a λ, e colocado ao longo do eixo Z num campo electrico uniforme E = E0ex. Mostreque o potencial resultante e

Φ(r, φ, z) = −E0

(r − a2

r

)cosφ− λ

2πε0ln r + constante (r ≥ a) .

12

2.8 Condensadores

Exercıcio 73 Um fio, de raio a e carga Q, e colocado ao longo do eixo de um condutorcilındrico oco, de raio interior b e raio exterior c, ligado a terra. Negligenciando os efeitosde fronteira, determine a capacidade do sistema.

Exercıcio 74 Dois fios condutores infinitos, de raio a, encontram-se a distancia d um dooutro. A carga por unidade de comprimento de um fio e Q, no outro e −Q. Sabendo qued a, obtenha uma expressao aproximada para a capacidade do sistema.

13

3 Magnetostatica

3.1 Densidade de corrente e campo magnetico

Exercıcio 75 A densidade de portadores de carga no cobre corresponde a 8,47×1028

m−3. Um fio de cobre, com um diametro de 1 mm, transporta uma corrente de 10 A.Determine a velocidade media dos portadores de carga.

Exercıcio 76 Suponha que entre duas placas condutoras com espessura ∆, colocadasparalelamente ao plano XY , uma entre z = 0 e z = ∆, a outra entre z = a e z = a+ ∆,existe um campo magnetico uniforme e constante (B0, 0, 0). Dentro das placas o campovaria linearmente:

B =

(zB0

∆, 0, 0

)se 0 < z < ∆(

B0 −(z − a)B0

∆, 0, 0

)se a < z < a+ ∆

.

Fora das placas (z < 0 e z > a+ ∆) o campo e nulo. Qual a distribuicao de corrente queproduz tal campo?

3.2 Propriedades do campo magnetico

Exercıcio 77 Mostre que um campo magnetico radial, B(r) = B(r)er, nao pode existir.

Exercıcio 78 Um campo magnetico B (r) e desprezavel a grandes distancias. Determineum potencial vector A(r), tal que Az(r) = 0 (gauge axial).

Exercıcio 79 Determine um potencial vector A(r) tal que B = ∇×A = B0ez, onde B0

e constante.

3.3 Forca de Lorentz

Exercıcio 80 Um electrao tem uma velocidade inicial perpendicular a um campo magneticouniforme B = (0, 0, B). Mostre que o electrao se move em cırculos com uma frequenciaangular ωc = eB/m. Mostre tambem que a trajectoria do electrao e helicoidal, no caso deuma orientacao arbitraria da velocidade inicial em relacao ao campo magnetico uniforme.

Exercıcio 81 Uma partıcula com carga e e massammove-se numa regiao com um campoelectrico uniforme E = (E, 0, 0) e um campo magnetico B = (0, 0, B). Qual a trajectoriada partıcula?

Exercıcio 82 A equacao do movimento para uma carga que se move num campo elec-tromagnetico estavel e

mdv

dt= Q (E + v ×B) .

Mostre que a equacao da energia se escreve

1

2mv2 +QΦ = constante ,

sendo Φ(r) o potencial electrostatico.

14

3.4 Lei de Biot-Savart

Exercıcio 83 Considere um fio condutor de comprimento infinito, orientado ao longo doeixo Z, e percorrido no sentido positivo do eixo por uma corrente I (ver Fig.11). Determineo campo magnetico num ponto P de coordenadas (x, y, z). Com base na solucao obtidaindique qual e o valor do campo no ponto de coordenadas (0, 0, z).

X

Y

x

y

z

(x, y, z)r

I

Figura 11

Exercıcio 84 Dois fios infinitos paralelos estao separados por uma distancia a (verFig.12). Determine o campo magnetico entre os dois condutores quando eles sao per-corridos por correntes no mesmo sentido (Fig.12.a) ou em sentidos opostos (Fig.12.b).

I Ia a

I Ia a

(a) (b)

Figura 12

Exercıcio 85 Usando a lei de Biot-Savart, determine o campo magnetico (intensidade edireccao) criado por um laco circular de raio R, percorrido por uma corrente I,

15

a) no centro do laco;

b) no ponto P com coordenadas (0, 0, z) (ver Fig.13).

X Y

Z

R

·P

r

I I

Figura 13

Exercıcio 86 Uma bobina cilındrica e composta por fios circulares de raio a, cada umatravessado por uma corrente I, havendo n fios por unidade de comprimento (ver Fig.14).Mostre que o modulo do campo magnetico no eixo da bobina e

B =1

2nIµ0 (sin θ2 − sin θ1) ,

com os angulos θ1 e θ2 indicados na figura. Qual o valor de B no limite quando ocomprimento da bobina tende para infinito?

×××××××× ×××× ××××

Zz0 z1 z2

a

a

θ1

θ2

Figura 14

16

Exercıcio 87 Dois lacos de raio a, com os centros sobre o eixo dos Z e contidos emplanos paralelos ao plano XY , estao situados a distancia a (ver Fig.15). Sabendo que oslacos sao percorridos por correntes com a mesma intensidade I e o mesmo sentido, mostreque o campo magnetico e aproximadamente constante na regiao entre os lacos.

X Y

Z

a

a

a/2

a/2

I

I

Figura 15

Exercıcio 88 Um condutor e enrolado em torno de uma esfera de madeira de raio R, detal modo que as espiras descrevem cırculos maximos que se intersectam nos extremos dodiametro AB (ver Fig.16). O numero de espiras e 6, e os planos que as contem formamangulos de 30 entre si. O condutor e percorrido por uma corrente de intensidade I.Determine a intensidade do campo magnetico no centro da esfera.

Exercıcio 89 Um condutor fino e enrolado em torno de uma esfera isoladora de raioR, de tal modo que N espiras cobrem metade da esfera, ficando paralelas e igualmenteespacadas entre si (ver Fig.16). Sabendo que o condutor e percorrido pela corrente I,determine a intensidade do campo magnetico no centro da esfera. Sugestao: Para valoresgrandes de N , as espiras podem ser consideradas, numa boa aproximacao, como tendo aforma de aneis.

3.5 Lei de Ampere

Exercıcio 90 Um condutor cilındrico, de comprimento infinito e de raio R, e percorridopor uma corrente electrica I. Sabendo que a densidade de corrente electrica e uniformeno condutor, determine o campo magnetico dentro e fora deste condutor.

Exercıcio 91 Um cabo coaxial consiste num condutor cilındrico de raio a, envolto numoutro cilindro condutor de raio interno b1 e de raio externo b2. O espaco entre os 2condutores e preenchido por um material isolante. Uma corrente de intensidade I fluiatraves do condutor interior e retorna pelo condutor exterior. Use a lei de Ampere paradeterminar o campo magnetico nos condutores e na regiao entre eles. Assuma que adensidade de corrente e constante.

17

A

B

1 2 3 4 5 6

R

1 2

N-1N

I

...

(a) (b)

Figura 16

Exercıcio 92 Um condutor cilındrico infinito, percorrido por uma corrente electrica I,e constituıdo por dois cilindros coaxiais: um cilindro central de raio r1, com resistividadeρ1, e outro cilindro oco de raio interior r1 e raio exterior r2, com resistividade ρ2 (verFig.17).

a) Mostre que que o cilindro interior e percorrido pela corrente

I1 = Iρ2r

21

ρ1 (r22 − r2

1) + ρ2r21

,

e o cilindro exterior e percorrido pela corrente

I2 = Iρ1r

21 (r2

2 − r21)

ρ1 (r22 − r2

1) + ρ2r21

.

b) Determine o campo magnetico para r ≤ r1, r1 ≤ r ≤ r2 e r ≤ r2.

r1

r2

ρ1

ρ2

Figura 17

18

3.6 Dipolos magneticos

Exercıcio 93 Mostre que o campo magnetico B(r) associado ao momento magnetico me dado pela expressao

B(r) =µ0

4πr3

[3 (m · r) r

r2−m

].

19

4 Campos dependentes do tempo

Exercıcio 94 Considere um laco plano com area S, rodando num campo magneticouniforme B em volta de um eixo no plano com velocidade angular ω, perpendicular a B.Supondo que no instante t = 0 o plano que contem o laco e perpendicular a B, mostreque o fluxo magnetico atraves do laco e BS cos(ωt) e que a f.e.m. e BSω sin(ωt).

Exercıcio 95 Uma esfera de raio 1 cm emite 1010 electroes por segundo, de tal modoque a densidade de corrente fora da esfera e radial e tem simetria esferica.

a) Ha campo magnetico?

b) Como e que a equacao de Maxwell que contem o termo e satisfeita neste caso?

Exercıcio 96 Um campo magnetico dependente do tempo, B = B(r, t)ez, tem simetriacilındrica em relacao ao eixo Z. Mostre que o campo electrico e dado por

E = − 1

2πr

dF

dteφ ,

onde F (r, t) e o fluxo magnetico.

Exercıcio 97 Considere o cabo coaxial do Exercıcio 91.

a) Mostre que a energia magnetica por unidade de comprimento na regiao entre os con-dutores e

µ0I2

4πln

(b1a

).

b) Se a b1 e b2−b1 b1, mostre que a indutancia propria por unidade de comprimentoe, aproximadamente

µ0

2πln

(b1a

).

Exercıcio 98 Dois solenoides longos, com raios a e b (a < b), tem cada um n espiras porunidade de comprimento. Uma parte (com comprimento L) do solenoide mais fino e in-troduzida dentro do outro solenoide. Mostre que a indutancia mutua e aproximadamente

L12 = µ0n2πa2L .

Exercıcio 99 Mostre que a indutancia mutua entre dois lacos circulares concentricos, deraios R1 e R2, e aproximadamente

µ0πR2

1R22

2 (R2 −R1)3 .

20

5 Propriedades electricas da materia

Exercıcio 100 Encontre a relacao entre os angulos com a normal para um campo electricoque passa pela superficie entre dois dielectricos com permitividades relativas ε1 e ε2, re-spectivamente.

Exercıcio 101 Um filme de meio dielectrico condutor (εr = 3,25, σ = 10−16Ω−1m−1),com espessura de 25µm, e envolvido entre dois filmes de alumınio de largura 1 cm e com-primento 1 m. Qual a capacidade do condensador assim constituıdo? Qual a resistenciaentre os filmes de alumınio? Quanto electroes passam entre os filmes de alumınio se adiferenca de potencial for 1 V?

Exercıcio 102 Um condensador de placas paralelas esta semi-preenchido com um lıquidoisolante cuja constante dielectrica e εr. Se Vh e Vv sao as diferencas de potencial entre asplacas quando elas estao na horizontal e na vertical, respectivamente, mostre que

Vh

Vv

=(1 + εr)

2

4εr

.

Exercıcio 103 Considere dois condensadores planos, contendo dois dielectricos entre assuas placas, tal como se mostra na figura Fig.18(a). A superfıcie e a espessura doscondensadores sao, respectivamente, S e d; as constantes dielectricas sao ε1 e ε2. Qualdos dois condensadores, A e B, tem maior capacidade?

Exercıcio 104 O espaco entre as placas de um condensador plano e preenchido com ummaterial dielectrico cuja permitividade relativa e dada por

εr =1

ε0

(ε1 + (ε2 − ε1)

x

D

)(ver Fig.18(b).) As placas do condensador, de area S, estao carregadas com as cargas Q e−Q, e encontram-se a distancia d uma da outra. Calcular a capacidade do condensador.

ε1

ε2

ε1

ε2

Condensador A Condensador B

D

-Q

+Q

X

(a) (b)

Figura 18

Exercıcio 105 Considere um condensador de placas paralelas quadradas de lado L, cujadistancia entre placas e d L. Um dielectrico tambem de lado L e espessura ligeiramenteinferior a d e inserido no condensador ate uma distancia b d. Se o condensador esta

21

isolado e contem uma carga Q, mostre que a energia electrica e aproximadamente dadapor

Q2

2ε0

d

L2 + (εr − 1) bL.

Qual a forca exercida sobre o dielectrico?

Exercıcio 106 Uma placa isoladora com constante dielectrica ε e espessura L2 e intro-duzida num condensador, cujas placas se encontram a distancia L1 + L2 uma da outra(ver Fig.19). A superfıcie da placa isoladora e das placas do condensador e S. A diferencade potencial entre as placas do condensador e V . Determine a forca de atraccao entre asplacas do condensador.

Figura 19

22

6 Constantes fısicas

Significado Sımbolo Valor Unidades

Aceleracao da gravidade g 9,80665 m/s2

Constante gravıtica G, γ 6, 67259× 10−11 m3/(kg·s2)Velocidade da luz no vacuo c 2, 99792458× 108 m/s

Carga elementar e 1, 6021892× 10−19 CConstante de Coulomb K 9× 109 N·m2/C2

(4πε0)−1 8,9876×109 N·m2/C2

Constante electrica ε0 8, 85418782× 10−12 F/mConstante magnetica µ0 12, 5663706144× 10−7 H/m

Constante da estructura fina α = e2/2hcε0 ≈ 1/137

Constante de Planck h 6, 6260755× 10−34 J·sConstante de Dirac h = h/2π 1, 0545727× 10−34 J·sMagnetao de Bohr µB = eh/2me 9, 2741× 10−24 Am2

Raio de Bohr a0 0, 52918 AConstante de Rydberg Ry 13,595 eV

Magnetao nuclear µN 5, 0508× 10−27 J/TMomento magnetico µe 9, 2847701× 10−24 A·m2

do electraoMomento magnetico µp 1, 41060761× 10−26 A·m2

do protaoc.d.o de Compton λCe = h/ (mec) 2, 2463× 10−12 mc.d.o de Compton λCp = h/ (mpc) 1, 3214× 10−15 m

para o protaoc.d.o de Compton λCn = h/ (mnc) 1, 3195909× 10−15 m

para o neutrao

Raio do electrao re 2, 817938× 10−15 mMassa do electrao me 9, 109534× 10−31 kgMassa do protao mp 1, 6726485× 10−27 kgMassa do neutrao mn 1, 674954× 10−27 kg

u.m.a. mu = 112m(12

6C) 1, 6605656× 10−27 kg

c.d.o = comprimento de onda

u.m.a = unidade de massa atomica, ou unidade elementar de massa

23

7 Apendice Matematico

7.1 Alfabeto grego

A α alfa N ν niuB β beta Ξ ξ csiΓ γ gama O o omicron∆ δ delta Π π, $ piE ε, ε epsilon P ρ, % roZ ζ zeta Σ σ, ς sigmaH η eta T τ tauΘ θ, ϑ teta Υ υ upsilonI ι iota Φ φ, ϕ fiK κ kapa X χ quiΛ λ lambda Ψ ψ, ϕ psiM µ miu Ω ω omega

7.2 Mudancas de Sistemas de Coordenadas

1. De coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas cilındricas (r, φ, z):

r =√x2 + y2 , tanφ = y/x .

2. De coordenadas cilındricas (r, φ, z) para coordenadas cartesianas (x, y, z):

x = r cosφ , y = r sinφ .

3. De coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas esfericas (r, θ, φ):

r =√x2 + y2 + z2 ,

tan θ =√x2 + y2/z

oucos θ = z/

√x2 + y2 + z2

, tanφ = y/x .

4. De coordenadas esfericas (r, θ, φ) para coordenadas cartesianas (x, y, z):

x = r cosφ sin θ , y = r sinφ sin θ , z = r cos θ .

24

8 Sistemas de coordenadas

X

Y

Z

x

y

z

(x, y, z)

ex

ey

ez

Coordenadas cartesianas(x, y, z)

X

Y

Z

r

φ

z

(r, φ, z)

er

eφ

ez

X

Y

Z

r

φ

θ

(r, θ, φ)

er

eφ

eθ

Coordenadas cilındricas Coordenadas esfericas(r, φ, z) (r, θ, φ)

25

9 Limites notaveis

1. limx→0

ln (1 + x)

x= 1 .

10 Series

N∑i=1

i =N (N + 1)

2,

N∑i=1

i2 =N (N + 1) (2N + 1)

6,

N∑i=1

i3 =N2 (N + 1)2

4,

N∑i=1

im =1

m+ 1

(N + 1)m+1 − 1−

N∑i=1

[(i+ 1)m−1 − im+1 − (m+ 1) im

].

11 Integrais indefinidas

1.∫ dx

(x2 + a2)3/2=

x

a2√x2 + a2

+ C 2.∫ x

(x2 + a2)3/2dx = − 1√

x2 + a2+ C

3.∫ dx√

x2 + a2= ln

(x+

√x2 + a2

)+ C

26

12 Gradiente, divergencia e rotacional

1. Em coordenadas cartesianas:

grad Ψ ≡ ∇Ψ = ex∂Ψ

∂x+ ey

∂Ψ

∂y+ ez

∂Ψ

∂z, (1)

divA ≡ ∇ ·A =∂Ax

∂x+∂Ay

∂y+∂Az

∂z, (2)

rotA ≡ ∇×A =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ex ey ez

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

Ax Ay Az

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, (3)

onde Ψ = Ψ(x, y, z) e A(x, y, z) = Ax(x, y, z)ex + Ay(x, y, z)ey + Az(x, y, z)ez.

2. Em coordenadas cilındricas:

∇Ψ = er∂Ψ

∂r+ eφ

1

r

∂Ψ

∂φ+ ez

∂Ψ

∂z, (4)

∇ ·A =1

r

∂

∂r(rAr) +

1

r

∂Aφ

∂φ+∂Az

∂z, (5)

∇×A =1

r

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

er reφ ez

∂

∂r

∂

∂φ

∂

∂z

Ar rAφ Az

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, (6)

onde Ψ = Ψ(r, φ, z) e A(r, φ, z) = Ar(r, φ, z)er + Aφ(r, φ, z)eφ + Az(r, φ, z)ez.

3. Em coordenadas esfericas:

∇Ψ = er∂Ψ

∂r+ eθ

1

r

∂Ψ

∂θ+ eφ

1

r sin θ

∂Ψ

∂φ, (7)

∇ ·A =1

r2 sin θ

[∂

∂r

(r2 sin θAr

)+

∂

∂θ(r sin θAθ) +

∂

∂φ(rAφ)

], (8)

∇×A =1

r2 sin θ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

er reθ r sin θeφ

∂

∂r

∂

∂θ

∂

∂φ

Ar rAθ r sin θAφ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, (9)

onde Ψ = Ψ(r, θ, φ) e A(r, θ, φ) = Ar(r, θ, φ)er + Aθ(r, θ, φ)eθ + Aφ(r, θ, φ)eφ.

27

13 O Laplaciano

Para funcoes escalares Ψ:

div grad Ψ ≡ ∆Ψ = ∇ ·∇Ψ = ∇2Ψ . (10)

1. Em coordenadas cartesianas (Ψ = Ψ(x, y, z)):

∆Ψ =∂2Ψ

∂x2+∂2Ψ

∂y2+∂2Ψ

∂z2. (11)

2. Em coordenadas cilındricas (Ψ = Ψ(r, φ, z)):

∆Ψ =1

r

∂

∂r

(r∂Ψ

∂r

)+

1

r2

∂2Ψ

∂φ2+∂2Ψ

∂z2. (12)

3. Em coordenadas esfericas (Ψ = Ψ(r, θ, φ)):

∆Ψ =1

r2

∂

∂r

(r2∂Ψ

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Ψ

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2Ψ

∂φ2. (13)

Para funcoes vectoriais A:

∆A = grad div A− rot rot A = ∇ (∇ ·A)−∇× (∇×A) . (14)

14 O teorema de Stokes

∫S

(∇×A) · dS =∮L

A · dl ,

onde L corresponde a fronteira da area S, dS representa a normal a superfıcie S e dl eo vector de deslocamento elementar ao longo da curva fechada L. A direccao de dl deveestar relacionada com a direccao de dS pela regra da mao direita.

15 O teorema da divergencia

∫V

(∇ ·A) dV =∮S

A · dS ,

onde S corresponde a area exterior do volume V . A normal a superfıcie, dS, dever estarorientada para o exterior da superfıcie fechada S.

28