GEOMETRIA ANALITICA

Lista 3 - 15. Sejam A, B e C pontos nao-colineares, ~u =−→AB, ~v =

−→AC. Prove que, se ~a e ~u

sao de mesmo sentido e o mesmo ocorre com ~b e ~v, e se |~a| = |~b|, entao ~a +~b e paralelo a bis-

setriz de BAC. Em particular, o vetor soma dos versores de ~u e ~v e paralelo a bissetriz de BAC.~a e ~u tem mesmo sentido

~b e ~v tem mesmo sentido

|~a| = |~b|

=⇒ ~a+~b ‖ bissetriz de BAC

~a e ~u tem mesmo sentido, entao ~a = λ~u = λ−→AB

~b e ~v tem mesmo sentido, entao ~b = α~v = α−→AC

Os vetores ~a e ~b sao linearmente independentes, portanto

|~a+~b|2 = |~a|2 + |~b|2

Mas, |~a| = |~b|, entao:

|~a+~b|2 = |~a|2 + |~a|2 = 2|~a|2 ⇒ |~a+~b| =√

2|~a| =√

2λ|~u|

ou

|~a+~b|2 = |~b|2 + |~b|2 = 2|~b|2 ⇒ |~a+~b| =√

2|~b| =√

2α|~v|.

Pela hipotese ~a+~b = λ~u+ α~v, entao

1

|~a+~b|(~a+~b) =

=1

|~a+~b|(λ~u+ α~v) =

=1

|~a+~b|λ~u+

1

|~a+~b|α~v =

=1√

2λ|~u|λ~u+

1√2α|~v|

α~v =

=1√2|~u|

~u+1√2|~v|

~v =

=1√2

(1

|~u|~u+

1

|~v|~v

)

⇒ 1

|~a+~b|(~a+~b) =

1√2

(1

|~u|~u+

1

|~v|~v

)⇒

√2

|~a+~b|(~a+~b) =

(1

|~u|~u+

1

|~v|~v

)Definimos γ :=

√2

|~a+~b|∈ R+.

Entao, γ(~a+~b) =(

1|~u|~u+ 1

|~v|~v)

. Portanto, o vetor ~a+~b e paralelo a bissetriz BAC.

�

1

Lista 7 – Ex. 6) Considere o plano π : ax + by + cz + d = 0 e o vetor normal ~n = (a, b, c).

Mostre que se P = (x0, y0, z0) e um ponto localizado do lado do plano para o qual a normal

aponta entao ax0 + by0 + cz0 + d > 0.

Seja I o ponto que e projecao ortogonal do ponto P sobre o plano π, onde, em coordenadas

arbitrarias, I = (x1, y1, z1) ∈ π. Entao,

−→IP = P − I = (x0, y0, z0)− (x1, y1, z1) = (x0 − x1, y0 − y1, z0 − z1).

O vetor−→IP e paralelo ao vetor normal ~n do plano π, portanto

−→IP ‖ ~n⇒ λ

−→IP = ~n, λ ∈ R∗+ ∵ ~u e

−→IP devem ter o mesmo sentido.

Substituindo,

(a, b, c) = λ(x0 − x1, y0 − y1, z0 − z1).

Igualando as coordenadas, a = λx0 − λx1b = λy0 − λy1c = λz0 − λz1

=⇒

x0 = a+x1

λ

y0 = b+y1λ

x0 = c+z1λ

Substituindo as coordenadas do ponto P no plano π

ax0 + by0 + cz0 + d = a

(a+ x1λ

)+ b

(b+ y1λ

)+ c

(c+ z1λ

)+ d

=a2

λ+aλx1λ

+b2

λ+bλy1λ

+c2

λ+cλz1λ

+ d

=a2

λ+b2

λ+c2

λ+ ax1 + by1 + cz1 + d

Mas, por hipotese, I = (x1, y1, z1) ∈ π entao ax1 + by1 + cz1 + d = 0.

Tambem por hipotese sabemos que λ > 0, logo a2

λ> 0, b2

λ> 0 e c2

λ> 0.

Temos, entao

ax0 + by0 + cz0 + d =a2

λ+b2

λ+c2

λ> 0.

�

Lista 8 – Ex. 2) Dadas as retas r : X = (0, 1, 0) + λ(1, 0, 0) e s : X = (−1, 2, 7) + λ(2, 1,−3),

obtenha uma equacao vetorial da reta t, concorrente com r e s e paralela a ~u = (1,−5,−1).

Se ~u e paralelo a reta que queremos determinar a equacao, ~u e o vetor diretor da reta t.

A reta t intercepta as retas r e s, entao R ∈ r e S ∈ s sao pontos de t. Em coordenadas

genericas temos,

R = (λ, 1, 0) S = (−1 + 2t, 2 + t,−7− 3t)

2

daı−→RS = S −R = (2t− λ− 1, t+ 1,−7− 3t).

−→RS e vetor diretor da reta t, entao e paralelo a ~u:

−→RS ‖ ~u⇔

−→RS = k~u, k ∈ R∗

Igualando as coordenadas de−→RS com as de k~u,

2t− λ− 1 = k

t+ 1 = −5k

−3t− 7 = −k

Resolvendo o sistema encontramos k = 14, t = −9

4e λ = −23

4. Substituindo o valor de λ no

ponto R, encontramos um ponto pertencente a t. R =(−23

4, 1, 0

). Assim,

t : X = R + α~u =

(−23

4, 1, 0

)+ α(1,−5,−1)

�

Lista 8 – Ex. 14) Determine os valores de a e b de modo que os planos x + 2y + z = b e

3x− 5y + 3z = 1 e 2x+ 7y + az = 8 se interceptem:

(a) um ponto;

(b) uma reta;

(c) tres retas distintas e paralelas.

Devemos fazer a discussao do sistema formado pelas equacoes dos tres planos em funcao dos

parametros a e b. Temos o sistema x+ 2y + z = b

3x− 5y + 3z = 1

2x+ 7y + az = 8

Utilizando o metodo da eliminacao de Gauss, escrevemos a matriz aumentada e fazemos

operacoes nela objetivando deixa-la na forma escada.1 2 1 b

3 −5 3 1

2 7 a 8

L2←3L1−L2−−−−−−−→

1 2 1 b

0 11 0 3b− 1

2 7 a 8

L3←2L1−L3−−−−−−−→

1 2 1 b

0 11 0 3b− 1

0 −3 2− a 2b− 8

L3←2L2+11L3−−−−−−−−→

1 2 1 b

0 11 0 3b− 1

0 0 22− 11a 2b− 8

Reescrevendo o sistema teremos

x+ 2y + z = b

11y = 3b− 1

(22− 11a)z = 31b− 91

3

Analisando a ultima equacao:

(a) O sistema possui solucao unica se 22− 11a 6= 0, ou seja, se a 6= 2. Neste caso, a interseccao

sera um ponto.

(b) O sistema possui infinitas solucoes se 22−11a = 0⇒ a = 2 e 31b−91 = 0⇒ b = 9131

. Neste

caso, a interseccao sera uma reta.

(c) O sistema nao possui solucao real se 22− 11a = 0⇒ a = 2 e 31b− 91 6= 0⇒ b 6= 9131

. Neste

caso, nao interseccao entre os planos.

�

P2-GA-Turma E – Ex. 4) Escreva a equacao do cırculo de centro C = (1,−2) tangente a

reta r : y = −34x+ 5.

Resolucao:

Temos as coordenadas do centro do cırculo, logo precisamos apenas da medida do raio para

escrever sua equacao. O valor do raio e a distancia do centro do cırculo ao ponto de tangencia.

Mas, esta distancia e tambem a menor distancia entre o centro e a reta tangente, portanto, esta

distancia tambem e igual ao raio.

1) Primeira forma

Temos a equacao,

d(P, r) =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2(1)

onde ax+ by + c = 0 e a equacao geral da reta e P = (x0, y0).

r : y = −3

4x+ 5⇒ 4y = −3x+ 20 =⇒ r : 3x+ 4y − 20 = 0 (2)

Utilizando a equacao (1) para a equacao da reta r reescrita na forma geral em (2) e para o

ponto C = (1,−2), temos

d(r, C) =|3 · 1 + 4 · (−2)− 20|√

32 + 42⇒ d(r, C) =

| − 25|√25

=25

5⇒ d(r, C) = 5

2) Segunda forma

Podemos calcular a distancia entre um ponto e uma reta utilizando a equacao (3), onde A e

um ponto qualquer da reta e ~v e o vetor diretor de r.

d(P, r) =

∥∥∥−→AP × ~v∥∥∥‖~v‖

(3)

4

Escrevendo r na forma parametrica temos (com t ∈ R):

r :

x = t

y = 5− 34t

Para t = 0 encontramos o ponto A = (0, 5). E, de forma imediata, obtemos ~v =(1,−4

3

). Para

facilitar os calculos utilizaremos um vetor paralelo, ~v = (4,−3). O vetor−→AC e dado por

−→AC = C − A = (1,−2)− (0, 5) = (1,−7).

Calcula-se o produto vetorial:

−→AC × ~v =

∣∣∣∣∣∣∣i j k

4 −3 0

1 −7 0

∣∣∣∣∣∣∣ = −28k + 3k = −25k

Assim,∥∥∥−→AC × ~v∥∥∥ = | − 25|

∥∥∥k∥∥∥ = 25. A norma de ~v e dada por ‖~v‖ =√

42 + (−3)2 = 5.

Substituindo na equacao 3, temos

d(C, r) =25

5= 5.

3) Equacao do cırculo

Forma reduzida: (x− cx)2 + (y − cy)2 = r2, onde C = (cx, cy) e o centro e r e o raio.

Assim, a resposta do problema e:

(x− 1)2 + (y + 2)2 = 52

Ou, desenvolvendo os quadrados, temos, na forma geral

x2 + y2 − 2x+ 4y − 20 = 0

�

5