Exercícios de Pesquisa Operacional

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Uma fbrica produz um determinado produto e o distribui atravs de 3 fornecedores para 4 consumidores. A disponibilidade deste produto no fornecedor 1 de 30, no 2 de 50 e no 3 de 40 unidades. A necessidade de cada consumidor de, respectivamente, 40, 30, 20 e 30 unidades. O custo unitrio para transportar este produto de um fornecedor para um consumidor dado pela seguinte tabela (numa certa unidade monetria). Consumidores1234

Fornecedores1101258

22571430

31520640

Modele matematicamente o problema de modo que a quantidade a ser transportada de um fornecedor para um consumidor tenha um custo de transporte o mnimo possvel.AMinZ = 10x11+ 12x12+ 5x13+ 8x14+ 25x21+ 7x22+14x23+ 30x24+ +15x31+ 20x32+ 6x33+ 40x34 S.a. x11+ x21+ x31=30 x12+ x22+x32= 50x13+ x23+ x33= 40x14+ x24+ x34= 40 x11+ x12+ x13 + x14 30 x21+ x22+x23 + x24 20 x31+ x32+x33 + x34 30xij 0, i = 1, 2 e 3 ej = 1, 2, 3 e 4.BMaxZ = 10x11+ 12x12+ 5x13+ 18x14+ 25x21+ 7x22+4x23+ 30x24++15x31+ 20x32+ 6x33+ 40x34S.a. x11+ x12+ x13+x14 30 x21+ x22+x23 + x24 50 x31+ x32+x33 + x34 40 x11+ x21+ x31=40 x12+ x22+x32= 30x13+ x23+ x33= 30x14+ x24+ x34= 20xij 0, i = 1, 2 e 3 ej = 1, 2, 3 e 4.CMinZ = 10x11+ 12x12+ 5x13+ 18x14+ 25x21+ 7x22+4x23+ 30x24+ +15x31+ 20x32+ 6x33+ 40x34S.a. x11+ x12+ x13+x14 = 30 x21+ x22+ x23+x24= 20 x31+ x32+ x33+x34= 40 x11+ x21+ x31=40 x12+ x22+x32 = 30x13+ x23+x33= 30x14+ x24+x34= 20xij 0, i = 1, 2, 3 e 4 e j = 1, 2, 3 e 4.DMinZ = 10x11+ 12x12+ 5x13+ 8x14+ 25x21+ 7x22+14x23+ 30x24++15x31+ 20x32+ 6x33+ 40x34S.a. x11+ x12+ x13+x14 30 x21+ x22+x23 + x24 50 x31+ x32+x33 + x34 40 x11+ x21+ x31=40 x12+ x22+x32= 30x13+ x23+ x33= 20x14+ x24+ x34= 30xij 0, i = 1, 2 e 3 ej = 1, 2, 3 e 4.EMaxZ = 10x11+ 12x12+ 5x13+ 18x14+ 25x21+ 7x22+4x23+ 30x24+ +15x31+ 20x32+ 6x33+ 40x34S.a. x11+ x12+ x13+x14 = 30 x21+ x22+ x23+x24= 50 x31+ x32+ x33+x34= 40 x11+ x21+ x31=40x12+ x22+x32 = 30x13+ x23+x33= 30 x14+ x24+x34= 20xij 0, i = 1, 2, e 3 ej = 1, 2, 3 e 4.

Exerccio 2

A LCL bicicletas Ltda. uma empresa fabricante de bicicletas que possui trs fbricas localizadas no Rio, em So Paulo e em Belo Horizonte. A produo da empresa deve ser entregue em Recife, Fortaleza e Manaus. Considerando os custos de transporte unitrios, a capacidade de produo das fbricas e a demanda dos centros consumidores ilustradas na tabela a seguir. Modele matematicamente o problema de forma a minimizar os custos de transportes na produo e entrega por fbricas em cada centro consumidor.ConsumidoresRecife(1)Fortaleza(2)Manaus(3)Capacidade

FornecedoresRio (1)2520302000

So Paulo (2)3025253000

B. Horizonte (3)2015231500

Demanda200020001000

AMinZ = 25x11+ 20x12+ 30x13+ 30x21+ 25x22+ 25x23+ 20x31+ 15x32+23x33S.a. x11+ x12+ x13+x14 2000 x21+ x22+ x23+x24 3000 x31+ x32+ x33+x34 1000 x11+ x21+x31= 2000x12+ x22+x32= 2000x13+ x23+x33= 1000xij 0, i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3, 4.BMinZ = 25x11+ 30x12+ 20x13+ 20x21+ 25x22+ 15x23+ 30x31+ 25x32+23x33S.a. x11+ x12+ x13+x14 2000 x21+ x22+ x23+x24 2000 x31+ x32+ x33+x34 1000 x11+ x21+x31= 2000x12+ x22+x32= 3000 x13+ x23+x33= 1000 x14+ x24+x34= 1500x11, x12, x13, x21,x22, x23, x31, x32, x330CMinZ = 25x11+ 2x12+ 3x13+ 30x21+ 25x22+ 25x23+ 2x31+ 15x32+23x33S.a. x11+ x12+ x13+x14 2000 x21+ x22+ x23+x24 3000 x31+ x32+ x33+x34 1000x11+ x21+x31= 2000x12+ x22+x32= 2000 x13+ x23+x33= 1000 x11, x12, x13, x21,x22, x23, x31, x32, x330DMinZ = 25x11+ 20x12+ 30x13+ 30x21+ 25x22+ 25x23+ 20x31+ 15x32+23x33S.a. x11+ x12+ x13+x14 2000 x21+ x22+ x23+x24 3000 x31+ x32+ x33+x34 1500 x11+ x21+x31= 2000x12+ x22+x32= 2000x13+ x23+x33= 1000 x14+ x24+x34= 1500xij 0, i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3, 4.EMinZ = 25x11+ 20x12+ 30x13+ 30x21+ 25x22+ 25x23+ 20x31+ 15x32+23x33S.a. x11+ x12+ x132000 x21+ x22+ x233000 x31+ x32+ x331500 x11+ x21+x31= 2000x12+ x22+x32= 2000 x13+ x23+x33= 1000 x14+ x24+x34= 1500xij 0, i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3, 4.

Exerccio 3Seja a seguinte tabela de dados de um problema de transporte:Consumidores12Oferta

Fornecedores16350

22830

341040

Demanda4060

Formule o problema de modo que o custo de transporte seja o mnimo possvel.AMinZ = 6x11+ 3x12+ 0x13+ 2x21+ 8x22+ 0x23+ 4x31+ 10x32+0x33S.a. x11+ x12+ x13 50 x21+ x22+ x23 30 x31+ x32+ x33 40 x11+ x21+x31= 40x12+ x22+x32= 60x13+ x23+x33= 20x11, x12, x13, x21,x22, x23, x31, x32, x330BMinZ = 6x11+ 3x12+2x21+ 8x22+ 4x31+ 10x32 S.a. x11+ x12+ x13 50 x21+ x22+ x23 30 x31+ x32+ x33 40 x11+ x21+x31= 40x12+ x22+x32= 60x11, x12, x13, x21,x22, x230CMinZ = 6x11+ 3x12+ 0x13+ 2x21+ 8x22+ 0x23+ 4x31+ 10x32+0x33S.a. x11+ x12+x13 50 x21+ x22+ x23 30 x31+ x32+ x33 40 x11+ x21+x31 40x12+ x22 +x32 60x13+ x23+x33 10 xij 0,i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3DMaxZ = 6x11+ 3x12+ 2x21+ 8x22+ 4x31+ 10x32S.a. x11+ x12+ x13 50 x21+ x22+ x23 30 x31+ x32+ x33 40x11+ x21+x31 40x12+ x22+x32 60x13+ x23+x33 10 xij 0,i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3.EMaxZ = 6x11+ 3x12+ 0x13+ 2x21+ 8x22+ 0x23+ 4x31+ 10x32+0x33S.a. x11+ x12+ x13 50 x21+ x22+ x23 30 x31+ x32+ x33= 40x11+ x21+x31= 40x12+ x22+x32= 60 xij 0,i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3.

Exerccio 4

Considere 3 fbricas produzindo o mesmo produto e 4 depsitos onde estes produtos so estocados para posterior venda. As produes nas fbricas so: a1 = 40, a2 = 80, a3 = 110. Nos depsitos devem ser atendidas as seguintes demandas: b1 = 20, b2 = 30, b3 = 100, b4 = 80. Os custos unitrios de transporte do produto so dados por:D1D2D3D4

O1105124

O22019

O31311146

Achar um modelomatemtico para determinar o programa de entregas do produto com mnimo custo de transporte.AMinZ = 10x11+ 5x12+ 12x13+ 4x14+ 2x21+ 0x22+ 1x23+ 9x24+ 13x31+ + 11x32+ 41x33+ 6x34S.a. x11+ x12+ x13+ x14 40 x21+ x22+ x23 + x24 80 x31+ x32+ x33+ x34 110 x11+ x21+x31= 20x12+ x22+x32= 30x13+ x23+x33= 100 x14+ x24+x34= 80 xij 0,i = 1, 2, 3e j = 1, 2, 3, 4.BMinZ = 10x11+ 5x12+ 12x13+ 4x14+ 2x21+ 0x22+ 1x23+ 9x24+ 13x31+ + 11x32+ 41x33+ 6x34S.a. x11+ x12+ x13+ x14 20 x21+ x22+ x23 + x24 30 x31+ x32+ x33+ x34 100 x11+ x21+x31= 40x12+ x22+x32= 80x13+ x23+x33= 110xij 0,i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3, 4.CMinZ = 10x11+ 2x12+ 13x13+ 5x14+11x22+ 12x23+ 1x24+ 14x31S.a. x11+ x12+ x13+ x14= 40 x21+ x22+ x23 + x24= 80 x31+ x32+ x33+ x34= 110 x11+ x21+x31= 20x12+ x22+x32= 30x13+ x23+x33= 100 x14+ x24+x34= 80xij 0,i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3, 4.DMinZ = 10x11+ 5x12+ 12x13+ 4x14+ 2x21+ 0x22+ 1x23+ 9x24+ 13x31+ + 11x32+ 41x33+ 6x34S.a. x11+ x12+ x13= 40 x22+ x23+ x24 = 80 x31+ x32+ x33 = 110 x11+ x21+x31= 10 x12+ x22+x32= 30x13+ x23+x33= 100 x14+ x24+x34= 80 x11, x12, x13, x14, x21,x22, x23, x24, x31, x32, x33, x340EMinZ = 10x11+ 5x12+ 12x13+ 4x14+ 2x21+ 0x22+ 1x23+ 9x24+ 13x31+ + 11x32+ 41x33+ 9x34S.a. x11+ x12+ x13+ x14 40 x21+ x22+ x23 + x24 80 x31+ x32+ x33+ x34 110 x11+ x21+x31= 20x12+ x22+x32= 30 x14+ x24+x34= 80 x11, x12, x13, x14, x21,x22, x23, x24, x31, x32, x33, x340

Exerccio 5

Dado o seguinte quadro de custos de um problema de transporte, formule-o matematicamente.Consumidores(1)(2)(3)(4)Oferta

Fornecedores(1)22213

(2)108547

(3)76685

Demanda4341

AMaxZ = 2x11+ 2x12+ 2x13+ x14+ 0x15+ 10x21+ 8x22+ 5x23+ 4x24+ 0x25+7x31+6x32+ 6x33+ 8x34+ 0x35S.a. x11+ x22+ x13+ x14+ x15 3 x21+ x22+ x23 + x24+ x25 7 x31+ x22+ x33+ x34+ x35 5 x11+ x22+x31= 4x12+ x22+x32= 3x13+ x23+x33= 4 x14+ x24+x34= 1 xij 0,i = 1, ..., 3 e j = 1, ..., 5.BMinZ = 2x11+ 2x12+ 2x13+ x14+ 10x21+ 8x22+ 5x23+ 4x24+ 7x31+6x32 + 6x33+ 8x34S.a. x11+ x12+ x13+ x14= 3 x21+ x22+ x23 + x24 = 7 x31+ x32+ x33+ x34 = 5 x11+ x21+x33= 4x12+ x22+x32= 3x13+ x23+x33= 4 x14+ x24+x34= 1 x15+ x25+x35= 3 x11, x12, x13, x14, x15,x21,x22, x23, x24, x25,x31, x32, x33, x34,x350CMinZ = 2x11+ 2x12+ 2x13+ x14+ 0x15+ 10x21+ 8x22+ 5x23+ 4x24+ 0x25+7x31+6x32+ 6x33+ 8x34+ 0x35S.a. x11+ x12+ x13+ x14+ x15 3 x21+ x22+ x23 + x24+ x25 7 x31+ x32+ x33+ x34+ x35 5 x11+ x21+x31= 4x12+ x22+x32= 3x13+ x23+x33= 4 x14+ x24+x34= 1 x15+ x25+x35= 3 x11, x12, x13, x14, x15,x21,x22, x23, x24, x25,x31, x32, x33, x34,x350DMinZ = 2x11+ 2x12+ 2x13+ x14+ 0x15+ 10x21+ 8x22+ 5x23+ 4x24+ 0x25+7x31+6x32+ 6x33+ 8x34+ 0x35S.a. x11+ x12+ x13+ x14 3 x21+ x22+ x23 + x24 7x31+ x32+ x33+ x34 5 x11+ x21+x31= 4x12+ x22+x32= 3x13+ x23+x33= 4 x14+ x24+x34= 1 x15+ x25+x35= 0 xij 0,i = 1, ..., 3 e j = 1, ..., 5.EMaxZ = 2x11+ 2x12+ 2x13+ x14+ 0x15+ 10x21+ 8x22+ 5x23+ 4x24+ 0x25+7x31+6x32+ 6x33+ 8x34+ 0x35S.a. x11+ x12+ x13+ x14+ x15 3 x21+ x22+ x23 + x24+ x25 7 x31+ x32+ x33+ x34+ x355 x11+ x21+x31= 4x12+ x22+x32= 3x13+ x23+x33= 4 x14+ x24+x34= 1 x15+ x25+x35= 3 xij 0,i = 1, ..., 3 e j = 1, ..., 5

MDULO 4 ALGORITMO E TRANSPORTE

EXERCCIO 1O problema de transportes consiste em determinar as quantidades de um determinado produto que devero ser transportados de m origens para n destinos, dadas as restries de oferta mxima associadas a cada origem e as restries de demanda associadas a cada destino. De acordo com a tabela a seguir, determine o custo mnimo para o transporte de produtos, utilizando Mtodo de Vogel.D1D2D3Oferta

015,006,008,00120

024,007,009,0080

036,008,007,0090

Demanda9011070

A1350,00

B1680,00

C1600,00

D1520,00

E1670,00

Justifique:

Exerccio 2Uma companhia locadora de automveis se defronta com um problema de alocao resultante dos contratos de locao que permitem sejam os automveis devolvidos em localidades outras que aquelas onde foram originalmente alugados. No presente momento h duas agncias de locao com, respectivamente, 15 e 13 carros excedentes e quatro outras agncias necessitando de 9, 6, 7 e 9 carros, respectivamente. Os custos unitrios de transportes, em dlares, entre as locadoras so os seguintes:Destino 1Destino 2Destino 3Destino 4

Origem 145172130

Origem 214181931

Utilize o mtodo de Vogel para obter a alocao de carros a um custo total mnimo.

A$544

B$304

C$462

D$580

E$547

Justifique:

Exerc