========================================================================= 1) Calcule o valor de cada determinante especificado a seguir: a) Determinante da matriz A = (aij)2X2, em que aij = -i2- j. b) Determinante da matriz B = (bij)2X2, em que bij = ( i – j)2. c) Determinante da matriz C = (cij)2X2, em que cij = i – j , se i for par e cij = i + j, se i for ímpar. d) Determinante da matriz I2 (identidade de ordem 2).

e) Determinante da matriz D = ��3 �45 3 � .

2) Se m = �2 41 5� e n = � 3 0�4 4�, calcule o valor da expressão m2 – n2.

3) Se p = �� 4� �� e q = � 3 4�3 3� , calcule x tal que p = q.

4) Se a = �2 11 0� , b = �2 41 5� e c = �2 71 5� , resolva a equação ax2 + bx + c = 0.

5) Se p = �8 44 4� e q = �3 ��5 1� , calcule log q p.

6) Use a Regra de Cramer para resolver cada sistema a seguir:

a) � 3� – � � 52� � 5� � 9� c) � 5� � 2� � 7� � 5� � �17�

b) � � – 4� � 32� � 2� � �4� d) � 3� – 7 � � � � 5� � �6� 7) Use a Regra de Cramer para resolver cada problema a seguir: a) Num quintal há porcos e patos, num total de 56 animais e 156 pés. Quantos são os patos e quantos são os porcos? b) Num estacionamento há 48 veículos (somente motos e carros) num total de 118 rodas. Quantos veículos de cada tipo há no estacionamento? c) Um caixa eletrônico só trabalha com notas de 10 e de 25 reais. Se alguém saca 260 reais e leva 11 notas, quantas notas de cada espécie ele leva? d) Um grupo de amigos foi comemorar o aniversário de um deles em um bar. Entre salgados e sucos, foram consumidos 96 itens e a conta ficou por R4 176,00. Se cada suco custa R$ 1,50 e cada salgado custa R$ 2,00, quantos sucos e quantos salgados foram consumidos? 8) Calcule o valor de cada determinante especificado a seguir:

EXERCÍCIOS DE REVISÃO – MATEMÁTICA 2a SÉRIE – ENSINO MÉDIO ASSUNTO : DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

a) Determinante da matriz A = (aij)3X3, em que aij = -2i2+ j. b) Determinante da matriz B = (bij)3X3, em que bij = - ( i + j)2. c) Determinante da matriz C = (cij)3X3, em que cij = 2i – j , se i for par e cij = i +2 j, se i for ímpar. d) Determinante da matriz I3 (identidade de ordem 3).

e) Determinante da matriz �2 �1 20 5 14 4 1�.

9) Se m = �3 �3 21 0 11 4 1�. e n = �5 1 24 5 10 4 1�., calcule o valor da expressão m + n2.

10) Se p = � � �� 60 0 ��4 4 4�. e q = �2 �1 20 5 14 �2 4�. , calcule x tal que p = q.

11) Se a = �1 0 00 5 14 4 1� , b = �1 �1 00 1 14 1 2� e c = �1 �1 20 5 15 �2 9� , resolva a equação ax2 + bx + c = 0.

12) Use a Regra de Cramer para resolver cada problema a seguir: a) Num cofre há apenas moedas de 10, 25 e 50 centavos totalizando 16 moedas e R$ 4,45. Se o número de moedas de 50 centavos é o dobro do número de moedas de 25 centavos, quantas moedas de cada espécie há no cofre? b) Num estacionamento, há 22 veículos, contando apenas com motos, triciclos e carros. Contando-se o número de rodas, encontra-se 69. Sabe-se ainda que o número de rodas de carros é o triplo do número de rodas de motos. Quantos veículos de cada tipo há no estacionamento? 13) No plano cartesiano, três pontos A(xA , yA), B(xB , yB) e C(xC , yC) estarão alinhados, ou seja, serão de uma mesma reta, se, e somente se

��� �� 1�� �� 1�� �� 1� = 0

a) Verifique se os pontos A(1, -3), B(5, 1) e C(0, -4) estão alinhados. b) Determine a coordenada k de modo que os pontos P(k, 3), Q(1, 5) e C(0, 1) pertençam a uma mesma reta. c) Determine o real m de modo que os pontos R(m, 5), S(-1, -2m) e T(0, -1) sejam vértices de um triângulo.

14) Se � ! "# $ %& ' ( � = 2, determine o valor de cada determinante a seguir:

a) � 2! "# 2$ %& 2' ( � b) �" ! % $ #( ' &� c) �3& 3' 3(# $ %� �! �"� d) �� �# �&! $ '" % ( � e) �2! 2" 2 �$ �% �#3' 3( 3&�

15) Sabendo que m = � ! "# $ %& ' ( �, d = 2a , e = 2b e f = 2c, determine os valores de x tais que m =

=�� 11� � �. 16) Calcule o valor de cada determinante a seguir:

a) �1 1 12 3 54 9 25� b) 231

14210

715

c)

2213

0352

0241

0218

−

−−

17) Sabendo-se que det A significa “determinante da matriz A”, At significa “transposta da matriz

A”e A-1 significa “inversa da matriz A” , calcule o valor da expressão E a seguir, sendo A = �2 11 2�. E =

*+,- �./0*+,- �01+,- �2+,- �1� .

18) Se A = �4 �12 �3� , calcule o valor da expressão det(At) + 2. det(A-1) – det A.

19) Usando o escalonamento resolva cada sistema a seguir :

a)

=−

−=+

523

242

yx

yx b)

=−

−=+−

457

435

yx

yx c)

=−

=−

1852

307

yx

yx d)

−=−

=+

115

232

yx

yx

e)

=+−

=+−

=++

12325

52

1

zyx

zyx

zyx

f)

=+−

=+−

=−+

2625

33

832

zyx

zyx

zyx

g)

−=−+

−=+−

−=+−

237

932

833

zyx

zyx

zyx

h)

=+−

=++−

=++

0323

72

825

zyx

zyx

zyx

20) Qual é o valor de m para que o sistema

=−

=+

104

123

yx

ymx tenha solução única ?

21) Classificar e resolver cada sistema a seguir:

a)

=+

=+

13y5x3

5y2x

b)

=+−

=+−

=++

1zy3x

10z4y2x3

9z3yx2

c)

=++

=++

=++

4z6y4x2

3z5y4x2

2z3y2x

d)

−=+−

=−

1246

623

yx

yx

22) Discuta cada sistema a seguir, em função dos parâmetros a e b:

a)

=+

=+

1353

52

yax

byx

b)

=+

=−

1332

55

byx

yax

c)

−=+−

=−+

=++

243

323

2

bzyx

zyx

zayx

23) Determine os valores de m e n para os quais o sistema abaixo é impossível.

24) Quais são as relações entre os parâmetros m, n e p que tornam o sistema abaixo a) possível determinado? b) possível indeterminado? c) impossível?

=++

=++

=++

453

545

22

nzyx

pzyx

zmyx

25) Usando a Regra de Cramer ou o Escalonamento, resolva cada Problema a seguir: a) Um consumidor dispõe de certa importância para fazer compras. Se comprar 1 blusa, 1 tênis e 1 calça, faltarão R$ 30,00. Se comprar 1 tênis e 1 calça, sobrarão R$ 10,00 e se comprar 1 blusa e 1 calça, sobrarão R$ 20,00. Com base nessas informações, determine o preço da blusa, em reais b) Uma herança de R$ 165.000,00 deve ser dividida entre três herdeiros: Álvaro, Beatriz e Carmem. O valor que caberá a Beatriz corresponde à metade da soma do que receberão Álvaro e Carmem. Além disso, a diferença entre o que receberá Carmem e o que receberá Álvaro é de R$ 20.000,00. Quanto receberá Carmem? c) Em três tipos de temperos verificou-se que , para cada tablete de 10 gramas , a) O tempero I tem 2 gramas de sal , 2 gramas de pimenta e 8 gramas de essência de carne. b) O tempero II tem 2 gramas de sal , 1 grama de pimenta e 5 gramas de essência de carne. c) O tempero III tem 3 gramas de sal , não contém pimenta e tem 3 gramas de essência de carne. Ache todas as possíveis quantidades dos temperos I , II e III que contenham , simultaneamente , 11 gramas de sal , 3 gramas de pimenta e 20 gramas de essência de carne. .

QUESTÕES DE VESTIBULARES :

1) (CEFET– MG) – Sendo = � "34� � 4$5 �64$5 � 6 � = = �4$5 � 0�1 2"34 ��, então, para todo x ≠ π7 � 8. π� ,

k∈Z, o valor de α é a) tg 2 x b) sec 2 x c) cos 2 x d) sen 2 x e) 2.sen x

2) (CEFET– MG) – Considere a matriz A = �6 36 2� e o sistema linear � :� � 5� � 76� – 10 � � 14�. Se det A =

= m + 1 e o sistema possui infinitas soluções, então o valor de α é a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

3) (CEFET– MG) – O(s) valor(es) de x para que �1 2 �� 0 �1� �2 �3� = -8 é (são)

a) -1 b) 1 c) 3 d) -1 e 1 e) -1 e 3

4) (CEFET– MG) – Para que o sistema ; � – � � 3< � 22� – � � 4< � 5�� � :� � 5< � 0�tenha infinitas soluções, o valor de

m + n é igual a a) –2 b) 0 c) 2 d) 4 e) 8

5) (CEFET– MG) – Sendo x, y ∈ [0 , π�= e � 0 1 1"34 � 4$5 � 04$5 � "34 � �1� = 0, a relação entre x e y é

a) x + y = 0

b) x + y =

π�

c) x – y =

π�

d) 2x – y = π e) 2x + y = π 6) (CEFET– MG) – Sendo A = (aij), uma matriz quadrada de ordem 3 onde aij = i2 – 2ij + j2, então, o determinante de A é a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

7) (CEFET– MG) – Seja A = (aij), a matriz quadrada de ordem 3 onde aij = ;21 – 3 4$ ( > ?( – ? 4$ ( � ?( � ? 4$ ( @ ? �. O

valor do determinante de A é igual a a) -57 b) -19 c) 0 d) 19 e) 57

8) (UF – PI) – Sejam M e N matrizes quadradas tais que M.N = ��1 �4 00 �1 0�4 �12 �1� e M = -N.. Se

det M < 0, o valor do det N é igual a a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

9) (UE – CE) – Se o determinante da matriz A = A 3 √:�√:� √2 C é √�� , então o determinante da matriz

B = �1 �1 21 :� � 1 21 �1 :� � 2� é

a) D7

b) D�

c) �E7

d) �E�

10) (UFV – MG) – Seja A uma matriz inversível de ordem 2. Se det(2A) = det (A2), então o valor de det A é a) 3 b) 4 c) 2 d) 0 e) 1 11) (U.F.MG) – Determine todos os valores de a e b de modo que o sistema linear a seguir tenha

a) solução única ; b) infinitas soluções ; c) nenhuma solução .

=−+

=++

=++

132

243

2

zyx

bzyx

azyx

12) (U.F.MG) - Determine todos os valores de x , y e z que satisfazem o sistema

=

=

=

−

4

1 4.16.4

42.2

2

1 3.3.3

zyx

zy

x

zyx

. 13) (U.F.MG) – Ache os valores de m para os quais o sistema

=−+

=+−

=−+

2626

2343

132

mzyx

mzyx

zyx

tenha soluções.

14) (U.F.MG) - Em três tipos de alimentos verificou-se que , para cada grama , a) O alimento I tem 2 unidades de vitamina A , 2 unidades de vitamina B e 8 unidades de vitami- na C . b) O alimento II tem 2 unidades de vitamina A , 1 unidade de vitamina B e 5 unidades de vitami- na C .

c) O alimento III tem 3 unidades de vitamina A , não contém vitamina B e tem 3 unidades de vitamina C . Ache todas as possíveis quantidades dos alimentos I , II e III que forneçam , simultaneamente , 11 unidades de vitamina A , 3 de vitamina B e 20 de vitamina C .

15) (U.F.BA) – No sistema

=+

=+−

=++

0z2x

833

132

zyx

zyx

, determine o valor de z – xy .

16) (U.F.PA) – Qual é o valor de m para que o sistema

=−

=+

104

123

yx

ymx tenha solução única ?

17) (PUC-SP) – Determine a relação entre a e b para que o sistema

=+

=−

54

12

ybx

yax tenha solução

determinada .

18) (CESCEM) – Determine os valores de a e b que tornam o sistema

=+−

=−

byx

ayx

46

23 indetermi –

nado .

19) (PUC-RS) – Determine a relação entre a e b de modo que o sistema

=−

=−

24

12

ybx

yax seja inde-

terminado .

20) (PUC-SP) – Determine os valores de k de modo que o sistema

=++

=++

=−

13

03

1

zkyx

zykx

zx

tenha solução

única .

21) (U.F.PE) – Determine todos os valores de λ de modo que o sistema

=++

=++

=++

033

02

02

zyx

zyx

zyx

λ

λ tenha

solução única. 22) (PUC-SP) – Verifique quantas soluções tem o sistema abaixo .

=+−

=+−−

=−+

22

1

04

zyx

zyx

zyx

23) (U.F.BA) - Discutir o sistema

=+

=+

54

132

ayx

yx em função do parâmetro a .

24) (CESCEA) – Discutir o sistema

=++

=++

=++

333

2222

1

mzyx

zyx

zyx

em função do parâmetro m .

25) (F.G.V. –SP) – Discutir o sistema

=−+

=−−

=++

kzyx

kzyx

kzyx

em função do parâmetro k .

26) (MACK –SP) – Discutir o sistema

=−

=+

=+

myx

ymx

yx

1

2

em função do parâmetro m .

27) (PUC – SP) – Para que valores de b o sistema

=+

=+

=+

bbyx

yx

yx

0

534

tem solução ?

28) (ITA – SP) - Qual deve ser a relação que a , b e c devem satisfazer para que o sistema abaixo tenha pelo menos uma solução ?

=++

=−+

=−+

czyx

bzyx

azyx

72

1162

32

29) (CESGRANRIO) – Se o sistema

=+

=+−

=−+

byx

zayx

zyax

1

0

tem uma infinidade de soluções , determine

a e b .

30) (U.F.CE) – Se o sistema

=++

=++

=++

1

122

12

mzyx

zyx

zyx

não admite solução , calcule o valor de 32 log 2m .

31) (CESGRANRIO) - Que condição deve satisfazer os parâmetros α e β para que o sistema

=+

=++

=+

βα

αα

zx

zyx

zx

3

443

12

não tenha solução ?