Não é a consciência do homem que lhe determina o ser, mas, ao contrário, o seu ser social que lhe determina a consciência. Karl Marx

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AEVASF - Autarquia Educacional do Vale do São Francisco

FACAPE- Faculdade de Ciências Aplicadas e Sociais de Petrolina

Coordenação de Ciência da Computação

Disciplina Probabilidade e Estatística

Prof. Pedro Macário de Moura

Aluno (a) ____________________________________________Matricula ____________

Exercícios: Variável Aleatória, Distribuições: Bernoulli, Binominal, Poisson e Contínua.

01. No lançamento e dois dados, a variável aleatória x anota a soma dos pontos das faces

superiores. Determine a função de probabilidade associada à variável aleatória x.

02. Um negociante espera vender um superchip para notebook até sexta-feira. A expectativa

que venda na segunda-feira é de 50%. Na terça-feira e de 30%, na quarta-feira e de 10%, na

quinta-feira é 5% e na sexta-feira é de 5%.

Seu lucro é de 30.000 u.m. se vender na segunda-feira e diminui 40% a cada dia.

a) Calcule o valor esperado de lucro deste negociante nesta venda.

b) Calcule a variância.

c) Calcule o desvio-padrão.

03. A função

, em que assume os valores 0, 1, 2 e 3, define uma função de

probabilidades? Justifique.

04. Encontre a média , a variância 2 e o desvio padrão de cada uma das seguintes

distribuições:

a) b)

2 3 8 -1 0 1 2 3

1/4 1/2 1/4 0,3 0,1 0,1 0,3 0,2

05. Dada à distribuição de probabilidades

1 2 3 4 5

A2 A

2 A A A

2

a) Ache . b) Calcule . C) Calcule . d) Calcule –

06. As probabilidades de que haja 1, 2, 3, 4 ou 5 pessoas em cada carro que vá ao litoral num

Sábado são, respectivamente 0,05; 0,20; 0,40; 0,25 e 0,10. Qual o número médio de pessoas

por carro? Se chegam ao litoral 4000 carros por hora, qual o número esperado de pessoas em

10 horas de contagem?

07. Um caixa contém 10 transistores dos quais 2 são defeituosos. Um homem seleciona 3

objetos. Encontre o valor esperado de objetos defeituosos selecionados.

08. Uma variável aleatória discreta tem distribuição de probabilidade dada por:

,

para a) Encontre o valor de . b) Calcule . c) Calcule .

Não é a consciência do homem que lhe determina o ser, mas, ao contrário, o seu ser social que lhe determina a consciência. Karl Marx

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09. Sabe-se que a chegada de clientes a uma loja de material computacional, durante

intervalos aleatoriamente escolhidos de 10 minutos, segue uma distribuição de probabilidade

dada na tabela abaixo. Calcule o número esperado de chegada de clientes por intervalo de 10

minutos, e calcule também o desvio padrão das chegadas.

Número de chegadas x 0 1 2 3 4 5

Probabilidade P(x) 0,15 0,25 0,25 0,2 0,1 0,05

10. As vendas de uma revista de tecnologia da informática mensal em uma banca segue uma

distribuição de probabilidade dada na tabela abaixo. Calcule o valor esperado e a variância.

Número de revistas em milhares x 15 16 17 18 19 20

Probabilidade P(x) 0,05 0,01 0,25 0,3 0,2 0,1

11. Dada à tabela

0 1 2 3 4 5

0

a) Encontre o valor de : b) Calcule

12. Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade de que

em dois minutos haja um chamado?

13. Uma amostra aleatória de 15 pessoas é obtida de uma população em que 40% têm uma

determinada posição política. Qual é a probabilidade de exatamente 6 indivíduos na amostra

ter essa determinada posição política? Resposta: 0,2066

14. Estima-se que cerca de 30% dos frangos congelados contenham suficiente número de

bactérias salmonelas causadoras de doenças, se forem assados inadequadamente. Um

consumidor compra 12 frangos congelados. Qual é a probabilidade do consumidor ter mais de

6 frangos contaminados? Resposta: 0,039

15. A probabilidade de uma máquina produzir um item defeituoso é 0,20. Se uma amostra

aleatória de 6 itens é obtida desta máquina, qual é a probabilidade de haver 5 ou mais em itens

defeituosos na amostra? Resposta: 0,0016

16. Um exame consta de 10 perguntas de igual dificuldade. Sendo 5 a nota de aprovação, qual

a probabilidade de que seja aprovado um aluno que sabe 40% da matéria? Resposta: 0,3670

17. Se numa certa massa de fósforo radiativo se desintegram, em media, 2,7 átomos por

minuto, qual a probabilidade de, numa contagem de 5 minutos, ocorrerem no máximo duas

desintegrações?

21. Uma lote contém 50 peças boas e 5 defeituosas. Uma peça é selecionada deste lote e a

variável aleatória X anota o número de peças defeituosas obtidas. Calcule a média e a

variância de X.

Não é a consciência do homem que lhe determina o ser, mas, ao contrário, o seu ser social que lhe determina a consciência. Karl Marx

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18. Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indústria

siderúrgica tem alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este percentual de

alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham

alergia entre 13 selecionados ao acaso.

19. (RESOLVIDA) Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes

de prestar vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que:

a) Pelo menos 12 tenham feito cursinho?

Seja X o número de alunos que fizeram cursinho

p: probabilidade de um aluno, selecionado ao acaso, ter feito cursinho; p = 0,75.

X ~b (16; 0,75),

ou seja, a variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros n = 16 e p = 0,75.

Assim, a probabilidade de que pelo menos 12 tenham feito cursinho é dada por:

b) No máximo 13 tenham feito cursinho?

Utilizando a função de distribuição apresentada no item (a) temos,

P(X 13) = P(X=0) + P(X =1) + … + P(X=13) = 0,0000 + … + 0,2079 = 0,8029 ou

P(X 13) = 1 - P(X 14) = 1 – (P(X =14) + P(X =15) + P(X =16) = 0,8029

c) (0,5) Exatamente 12 tenham feito cursinho?

Utilizando a função de probabilidade apresentada no item (a) temos

d) Em um grupo de 80 alunos selecionados ao acaso, qual é o número esperado de alunos que

fizeram cursinho? E a variância?

Y: número de alunos que fizeram cursinho entre os 80 selecionados.

Y~B(80; 0,75)

O número esperado de alunos que fizeram cursinho é dado por:

= E(X) = n*p = 80 * 0,75 = 60

A variância é dada por:

2

= Var(x) = n * p * (1-p) = 15

20. Sabe-se que a chegada de clientes a uma loja de material computacional, durante

intervalos aleatoriamente escolhidos de 10 minutos, segue uma distribuição de probabilidade

dada na tabela abaixo. Calcule o número esperado de chegada de clientes por intervalo de 10

minutos, e calcule também o desvio padrão das chegadas.

21. Verifique se a função é uma legítima f.d.p.

22. Para um período recente de 100 anos, houve 93 terremotos maiores (de, pelo menos 6,0 na

escala Richter) no mundo (com base em dados do World Almanac and f Facts). Suponha que

a distribuição de Poisson seja modelo adequada.

a) Ache o número médio de terremotos maiores por ano.

b) Se P(x) é a probabilidade de x terremotos em um ano selecionado aleatoriamente, ache

P(0), P(0), P(2), P(3), P(4), P(5), P(6) e P(7).

Não é a consciência do homem que lhe determina o ser, mas, ao contrário, o seu ser social que lhe determina a consciência. Karl Marx

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23. A função f dada por:

é uma função densidade de

probabilidade, com a) Encontre o valor de e de .

b) Construa o gráfico de .

24. Num estudo dos custos de um certo tipo de tubo fluorescente, uma empresa determinou

que a função de frequência para a dimensão da encomenda , e o custo total para a

encomneda , é aproximadamente

Onde é dado em milhares de tubos fluorescentes e é dado em milhares de reais. Se a

empresa estabelece um preço de por tubo, qual deve ser a proporção das encomendas

para que a companhia se mantenha em equilíbrio ou obtenha lucro?

25. Mostre que é uma função de frequência conjunta.

26. O tempo de vida útil dos chips produzidos por um certo fabricante pode ser representado

por uma variável aleatória X cuja função densidade de probabilidade é

Onde é o tempo de vida útil (em minutos) de um chip escolhido ao acaso.

a) Qual é a probabilidade de que um chip escolhida ao acaso dure entre 50.000 e 60.000

minutos?

b) Qual é a probabilidade de que um chip escolhida ao acaso não dure mais que 60.000

minutos?

c) Qual é a probabilidade de que um chip escolhida ao acaso dure mais que 60.000 minutos?

27. Verifique se a função a seguir é uma função densidade de probabilidade:

28. Um certo sinal de transito permanece fechado durante 40 segundos. Um motorista chega

ao cruzamento onde está o sinal e o encontra fechado. Seja X a variável aleatória que

representa o tempo em segundos que o motorista tem que esperar até o sinal abrir. Suponha

que a distribuição de X é uniforme, com uma função de densidade de probabilidade.

Determine à média e o desvio-padrão, para um motorista que tem que espera até o sinal abril?

Bom Estudo! Sucesso!