1-1 Se

A 6= B ,

ento

AB 6= 0.

Como

AB BA,

(B, A)tem a mesma direo e o mesmo comprimento.

e como

AB = BA, (A, B)

e

Para mostrar que tem ambos

o sentido contrrio, basta usar o artifcio descrito no item (c) da denio 1.2.

1-3 (a)Este foi um pouco mais complicado. Veja Fig.(0.0.1) para compreendera resoluo.

(A, C) (B, D) esto na mesmareta suporte, ento AC k BD . Como

med AC = med AB med CB e med BD = med CD

med CB , e por hiptese, AB = CD, ento AC = BD. Quanto aFigura 0.0.1. Diagrama esquemtico da resoluo. Como

e

conrmao restante, basta averiguar da gura que; considerandoum representante

(E, F ) de (A, B) com origem em um ponto E noCE DF = . Logo, (A, C)

contido na reta suporte desenhada;

(B, D).(b) T tranquilo.

(A, B) (C, D) AB k CD AB = CD. BA k DC BA = DC .(B, A) (D, C).Ento

Como

AC BD = ,

ento

BD AC = .

Logo,

(A, B) (C, D) (A, C) (B, D)

(c) Fcil. Pela propriedade demonstrada na proposio 1.5,

(A, C) (B, D).(C, A) (D, B).Teorema.

Pela proposio demonstrada no item (b),

(A, B) (C, D) (A, C) (B, D)

Demonstrao. H de se fazer um registro de uma demonstrao muito im-

portante, no registrada pelo autor. O autor no registrou a demonstrao do casomais geral relativo ao exerccio 1-3(a), ou seja, o caso em que

A, B , C ,

e

D

so no

colineares.Ento, eu pensei no seguinte: o que haveria a ser demonstrado?

AC k BD,

que

AC = BD,

e que

Bom, e o que poderia ser usado como hiptese?Bem, todas as implicaes da equipolncia entre

CD, AB = CD,

e que

Bom, que

AB CD = .

AC BD = .1

(A, B) e (C, D); ou seja: AB k

2Sendo

AB k CD

ou seja, que as retas

e AC BD = , ento, pode-se concluir que AB CD = , AB e CD so no coincidentes. Certo. A veracidade de uma

das condies foi garantida.

BD

Vejamos as prximas etapas da demonstrao. Restaria demonstrar quee que

AC k

AB = CD.

Estes resultados so bastante fundamentais, e eu s consegui responder apsreler um pouco a respeito de geometria plana.Mas vejamos o que pensei.Primeiramente, z uma representao esquemtica do problema. Esta na gura0.0.2.

Figura 0.0.2. Representao dos segmentos orientados equipo-

lentes

(A, B)

e

(C, D). Repare queAB CD = .

pelas condies explanadas, j

ca implcito que

Certo, agora, considere alm dos elementos apresentados na gura 0.0.2, asretas

AC , BC

e

BD,

bem como as retas suportes de

(A, B)

e

(B, C)

Figura 0.0.3. Representao esquemtica das retas

BD,As retas

bem como as retas suportes de

AB

polentes. A reta

e CD so paralelas, poisBC transversal a elas.

(A, B)

e

(gura 0.0.3).

AC , BC

e

(B, C).

os segmentos

(A, B)

e

(B, C)

so equi-

3Considere os ngulos

e

formados na interseco de

BC

com

AB

e

CD,

conforme ilustrados na gura 0.0.4. Eles so alternos internos; e portanto congruentes.

Figura 0.0.4. Representao esquemtica dos ngulos

ternos pela reta

BC ,

e

,

al-

e portanto congruentes.

ABC e BDC . Como os segmentos orienAB = CD. O segmento BC comum aambos os tringulos. Logo, pelo critrio LAL, ABC = BDC . Se tais tringulos e DBC so correspondentes e portantoso congruentes, ento os ngulos ACBcongruentes. Ademais, os segmentos BD e AC tambm so congruentes por corConsidere agora os tringulos

tados

(A, B)

e

(B, C)

so equipolentes,

respondncia nos tringulos. A gura 0.0.5 evidencia estas concluses.

Figura 0.0.5. Representao esquemtica das concluses extra-

das da gura 0.0.4.

BDC ,

Da congruncia dos tringulos

conclui-se que os ngulos

ACB

e

DBC

ABC

e

so congruen-

tes. Para ressaltar o fato, tais ngulos foram assinalados por doispequenos arcos. Analogamente, conclui-se que os segmentose

AC

BD

tem a mesma medida, fato indicado por um pequeno trao

transversal.Isto o suciente para garantir a demonstrao.Vejamos o porqu.Se os ngulos

ACB

e

DBC

so congruentes, ento as retas

AC

e

BD

podem

ser consideradas paralelas, um teorema bem conhecido da geometria plana. Alm

4

AC e BD so congruentes.(A, C) (B, D), qed.

disto, os segmentos

AC = BD,

ento

Como

AB CD = , AC k BD

e

1-4 (a) Fcil. Como o prprio autor sugeriu, basta por a culpa nos representantes. Segundo a proposio 1-5,

(A, B) (C, D) (A, C) (B, D),

ento as

classes de equipolncia de tais segmentos equipolentes gozam desta propriedade.Logo,

AB = CD AC = BD.

(b) Fcil. De acordo com o item (c) do exerccio 1-3, (A, B) (C, D) (C, A) (D, B). Devido a propriedade de simentria da relao de equipolncia, verdade que (C, A) (D, B) (D, B) (C, A). Logo, vale que

(A, B) (C, D) (D, B) (C, A) .Se tais segmentos equipolentes gozam desta propriedade, ento o mesmo pode serarmado de suas classes, e disto resulta que

AB = CD DB = CA.1-5 (a) Apesar da aparncia inocente, este exerccio pode pernicioso. Eu atagora no consegui conceber algo denitivo.Mas como sempre, vou registrar o que pensei.

Vejamos: seja AB o representante de ~u com origem em A. Ento, por denio,AB = BA. Ento, um representante de ~u BA. Bom, mas por denio tambm, BA = AB . Isto implica que um representante de (~u) AB . Ora,mas AB representante de ~u, e portanto, (~u) = ~u.(b) Difcil tambm. Eu s consegui resolver usando a reductio ad absurdum.Digamos que exista um representante representante de ~u no nulo, por exemplo,AB , de origem em A. Sendo no nulo, um representante de ~u com origem emA teria uma extremidade em um ponto distinto de B , por exemplo em C , poisAC tem que ter a mesma direo, porm sentido contrrio a AB . Como estesvetores no seriam iguais, tem-se uma reduo ao absurdo, de onde decorre que

~u = ~u ~u = ~0.1-6 Fcil. Este exerccio se torna quase que automtico quando se dene asoma e a subtrao de vetores.

Mas como no h esta ferramenta disposio

ainda, vou usar a que eu tenho em mos, segmentos equipolentes.Eu s preciso demonstrar um lema, o de que dado uma classe de equipolncia, hum nico representante desta classe cuja origem esteja em um ponto determinado,por exemplo, o ponto

A.

Da, segue como lema o item (b) da proposio 1-8 para

o teorema apresentado como exerccio resolvido 1-11. Este exerccio se torna umcorolrio deste teorema.Mas vejamos a demonstrao. Trata-se da demonstrao das Proposies 1-8(a) e (b), que o autor s enunciou.Vejamos a prova do item (a). Ele decorre do quinto postulado de Euclides.Seno, vejamos.Seja

(A, B)

~u com origem em A, e P um ponto qualquerAB , conforme ilustrado na Figura 0.0.6(a).Euclideana, haver uma nica reta paralela a AB

um representante de

do espao no pertencente a retaPelo quinto postulado dacom origem em

P,

o que est representado na Figura 0.0.6(b).

Nessa reta, pode-se determinar um nico ponto

C

tal que

PC = AB ,

pois

caso existisse outro ponto distinto a ele com essa propriedade, por construo, eles

5

Figura 0.0.6. Demonstrao da Proposio 1-18(a). Em (a), so

ilustrados

P

(A, B), representante de ~u com origem em A, e um pontoAB . Em (b), pelo quinto postulado

qualquer no pertencente a

de Euclides, est ilustrada alm das entidades de (a), a nica retaparalela a

AB

que passa por

P.

Em (c), a concluso da prova.

seriam coincidentes, o que torna absurda a hiptese da existncia de outro pontodistinto a

C

tal que o segmento formado por ele e

Existe um nico ponto

(A, B),

C

assim. Como

(P, C)

P

seja congruente a

AB .

Logo,

assim deteminado equipolente a

pode-se concluir que esse o nico representante de

~u

com origem em

P.

Com relao ao item (b), s me restou uma reduo ao absurdo mesmo.

~u uma classe de equipolncia tal que (A, B) seu representanteA. Seja (A, C) um outro representante hipottico desta classe comorigem em A. importante ressaltar que nesta hiptese, (A, C) um representantedistinto de (A, B), da mesma classe de equipolncia, com origem em A.Sendo representantes da mesma classe de equipolncia, segue que AB = AC .Mas sendo assim, ocorre que B C . Isto contraria a hiptese. Por reduo aoabsurdo, o ponto B nico, e (A, B) o nico representante de ~u com origem emA. Da, s seguir a sequncia que eu havia estipulado.1-7 Fcil. Como ~u 6= ~0, ento um representante (A, B) qualquer deste vetor temuma extremidade distinta de sua origem; B 6=A. Logo, tais pontos esto afastados,e determinam uma distncia. Isto implica que AB 6= 0. Portanto, k~uk =6 0.Ento, seja

com origem em

1-8 Intermedirio. Tal demonstrao consiste em mostrar a veracidade tantoda implicao direta como da reversa, e por meios independentes.A implicao direta decorre instantaneamene da negao do teorema expostono exerccio anterior.J a demonstrao da implicao reversa decorre da prpria denio do vetornulo: ele a classe de equipolncia dos segmentos orientados nulos. Um representante de tal classe do tipo

(A, A), ou seja, com origem e extremidades coincidentes;

um nico ponto. Conforme o postulado de Euclides, o ponto no tem dimenso, e

k~uk = 0.(A, B) o representante de ~u com origem em A. Ento, (B, A) orepresentante de ~u. Como AB = BA, ento suas classes de equipolncia tambmguardam tal relao, e decorre disto que k~uk = k~uk.portanto

AA = 0,

de onde se conclui que

1-9 Fcil. Seja

Como exerccio nal o autor props que se demonstrasse a proposio 1-15.Vejamos o que consigo fazer.

6

~u = ABCD AB = CD AC BD = .Proposio. Sejam

Demonstrao. Se

~u

e

~v

e

~v = CD

no nulos.

Ento

~u = ~v AB k

so dois vetores no nulos, ento so classes de

equipolncia de vetores no nulos. Para que sejam considerados iguais, ento suasclasses de equipolncias tem que ter representantes equipolentes entre si.Para que isto ocorra, o segmento orientado de uma das classes tem que ter amesma direo de um segmento orientado representante da outra. Sendo assim, osdois vetores tem a mesma direo. Alm disto, os dois segmentos orientados temque ter o mesmo sentido, o que implica na igualdade dos sentidos dos dois vetores.E por m, tais segmentos orientados tem que ter o mesmo comprimento, o queimplica que seus vetores tem o mesmo mdulo.Eu acho que isto.

Talvez os autores tenham uma forma mais elegante de

chegar a esta concluso. Isto foi apenas o melhor que pude fazer. Nada alm.