Exercícios do Gave - 11.º Ano

T E S T E S I N T E R M É D I O S

MATEMÁTICA – 11.º ano

GAVE

Ano lectivo de 2011/2012

0

EXERCÍCIOS DO

GAVE 11.º ANO

Abílio Vitorino



GAVE


1

1. Na figura está representado, em referencial o.n. xOy , um arco de circunferência AB , de centro na

origem do referencial e raio igual a 1 .

A recta r tem equação 1y ;

O ponto C pertence ao arco AB ;

Seja a amplitude do ângulo AOC .

Qual das expressões seguintes dá a distância d do ponto C à recta r?

C) 1 cos

D) 1 cos

2. A Maria vai sempre de carro, com o pai, para a escola, saindo de casa entre as sete e meia e as oito

horas da manhã.

Admita que, quando a Maria sai de casa t minutos depois das sete e meia, a duração da viagem, em

minutos, é dada por:

2

560045 0,30

300d t t

t.

As aulas da Maria começam sempre às oito e meia.

X.1

Mostre que, se a Maria sair de casa às 7 h 40 m, chega à escola às 8 h 11 m, mas, se sair de casa às 7

h 55 m, já chega atrasada às aulas.

X.2

Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, resolva o seguinte problema: Até que horas pode

a Maria sair de casa, de modo a não chegar atrasada às aulas?

A sua resolução deve incluir:

uma explicação de que, para que a Maria não chegue atrasada às aulas, é necessário

que 60t d t .

o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora

a resposta ao problema em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).

A) 1 sin

B) 1 sin



GAVE


2

3. Na figura está representado o círculo trigonométrico e um triângulo OPR .

O ponto P desloca-se ao longo da circunferência, no primeiro quadrante.

O ponto R desloca-se ao longo do eixo Ox , de tal modo que o triângulo OPR é sempre isósceles.

Sendo a amplitude, em radianos, do ângulo ROP , qual das expressões seguintes dá a área do

triângulo OPR , em função de ?

C) 1 sin .cos

2

D) 1 cos .sin

2

4. Para um certo valor de a e para um certo valor de b , a expressão 1

f x ax b

, define a

função f cujo gráfico está parcialmente representado na figura.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

C) 0 0a b

D) 0 0a b

A) sin .cos

B) 2sin .cos

A) 0 0a b

B) 0 0a b



GAVE


3

5. De uma função quadrática f sabe-se que o conjunto solução da inequação 0f x é o intervalo

1,5 .

Qual é o contradomínio de f ?

C) 3 ,f

D) , 3f

6. Na figura estão representados dois vectores, AD e AE , de normas 12 e 15 , respectivamente.

No segmento de recta AD está assinalado um ponto B .

No segmento de recta AE está assinalado um ponto C.

O triângulo ABC é rectângulo e os seus lados têm 3,4 5e unidades de comprimento.

Indique o valor do produto escalar AD AE :

C) 134

D) 144

7. Durante os ensaios de um motor, a velocidade de rotação do seu eixo variou, ao longo dos primeiros

oito minutos da experiência, de acordo com a função: 3 215 63v t t t t , onde t designa o

tempo (medido em minutos), contado a partir do início da experiência, e v t designa a velocidade

de rotação do eixo do motor (medida em centenas de rotações por minuto).

X.1 Sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos, determine

qual foi a velocidade máxima atingida, nos primeiros oito minutos da experiência. Apresente o

resultado em centenas de rotações por minuto.

X.2 Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determine durante quanto tempo é que,

nos primeiros oito minutos da experiência, a velocidade de rotação do eixo do motor foi superior a

A) , 1f

B) 5 ,f

A) 108

B) 128



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4

6000 rotações por minuto. Escreva o resultado final em minutos e segundos (com o número de

segundos arredondado às unidades).

Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou

gráficos, obtidos, bem como as coordenadas dos pontos relevantes para a resolução do problema

(apresente as abcissas com duas casas decimais).

8. Considere a função f , de domínio \ 1 , definida por 1

21

f xx

.

X.1 Sem recorrer à calculadora, determine o conjunto dos números reais x tais que 1f x .

Apresente a resposta final na forma de intervalo (ou união de intervalos).

X.2 O gráfico da função f tem duas assimptotas. Escreva as suas equações.

9. Na figura estão representadas:

parte do gráfico de uma função quadrática f ;

parte do gráfico de uma função afim g .

Qual dos seguintes conjuntos pode ser o conjunto solução da inequação 0f x

g x ?

C) 4, 2 0,

D) 4, 2 0,

10. Considere as seguintes funções:

: 1,2,3 1,2,3f definida pela tabela

:g definida por 2 1g x x e : 0,4 1,2,3h cujo gráfico é

Indique o valor de 1 2 2f g h .

C) 6

D) 7

A) , 4 2,0

B) , 4 2,0

A) 4

B) 5

x 1 2 3

f x 1 2 3



GAVE


5

11. Na figura está representada parte do gráfico de uma função g .

Seja f a função de domínio definida por f x x .

Qual é o valor de 3f g ?

C) 3

D) 4

12. Na figura está representada, em referencial o.n. xOy , parte do gráfico de uma função f , bem como

as duas assimptotas deste gráfico.

Tal como a figura sugere,

a origem do referencial pertence ao gráfico de f ;

uma das assimptotas é paralela ao eixo Ox ;

a outra assimptota é paralela ao eixo Oy e intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa 2 .

X.1 Seja g a função, de domínio , definida por 3 9g x x .

Tendo em conta o gráfico de f e a expressão analítica de g , resolva a inequação

0f x g x , completando a seguinte tabela de variação de sinal:

x

f x

g x

f x g x

A) 4

B) 0



GAVE


6

Apresente o conjunto solução da inequação utilizando a notação de intervalos de números reais.

X.2

Admita agora que:

a assimptota do gráfico de f paralela ao eixo das abcissas tem equação 3y ;

f é definida por uma expressão do tipo b

f x ax c

onde a , b , e c designam

números reais.

Indique os valores de a e de c e determine o valor de b .

13. Na figura estão representadas, em referencial o.n. xOy :

parte do gráfico de uma função h ;

uma recta t , tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa 1 .

Tal como a figura sugere, a recta t intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa 2 e o eixo Oy no

ponto de ordenada 1 .

Indique o valor de ' 1h , derivada da função h no ponto 1 :

C) 1

2

D) 2

14. Na figura 1 está representada graficamente a função f .

Na figura 2 está representada graficamente a função g .

A) 2

B) 1

2



GAVE


7

Qual das igualdades seguintes é verdadeira?

C) 1 1g x f x

D) 1 1g x f x

15. Considere a função f , de domínio , definida por 21f x x .

Seja t a recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1

2.

Qual é a inclinação da recta t ?

C) 135

D) 150

16. Num referencial o. n. Oxyz , sejam e os planos definidos pelas equações:

: 1x y z e : 2 2 2 1x y z

A intersecção dos planos e é:

C) uma recta

D) um plano

17. Seja 0,2

x .

Qual das expressões seguintes designa um número positivo?

C) 3

cos2

x

D) 3

2sen x

18. Seja um valor pertencente ao intervalo ,2

Qual das expressões seguintes designa um número real positivo?

C) sin tg

D) sin tg

A) 1 1g x f x

B) 1 1g x f x

A) 30

B) 45

A) o conjunto vazio

B) um ponto

A) cos x

B) sen x

A) sin cos

B) sin cos



GAVE


8

19. Na figura está representado, em referencial o. n. Oxyz , um cubo OPQRSTUV de aresta 5

O vértice O do cubo coincide com a origem do referencial.

Os vértices P , R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox , Oy e Oz , respectivamente.

O triângulo escaleno MNQ é a secção produzida no cubo pelo plano de equação

10 15 6 125x y z .

X.1 Escreva uma condição que defina a recta que passa por U e é perpendicular ao plano .

X.2 Seja a amplitude, em graus, do ângulo MNQ . Determine .

Apresente o resultado arredondado às unidades.

Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.

Sugestão: comece por determinar as coordenadas dos pontos M e N .

20. Na figura estão representados:

um quadrado ABCD

uma semi-recta CD

Admita que um ponto P , partindo de B , se desloca, a velocidade constante, ao longo do percurso

sugerido pelas setas (primeiro percorre o segmento BC e seguidamente a semi-recta CD .

Qual dos gráficos seguintes dá a distância d , do ponto P ao ponto A , em função do tempo t ,

contado a partir do instante em que P inicia o seu movimento?



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9

C)

D)

21. Considere, em referencial o.n. Oxyz , o ponto 0,4,3P .

X.1 Seja o plano que contém o ponto P e é perpendicular à recta de equação

vectorial , , 0,1, 1 1,0,2 ,x y z K k .

Determine a área da secção produzida pelo plano na esfera definida pela condição

2 2 22 1 4 3x y z .

Sugere-se que:

Determine uma equação do plano ;

Mostre que o centro da esfera pertence ao plano ;

Atendendo ao ponto anterior, determine a área da secção.

X.2 Admita que um ponto Q se desloca ao longo do semieixo positivo Oz , nunca coincidindo com

a origem O do referencial.

Seja f a função que faz corresponder, à cota z do ponto Q , o perímetro do triângulo OPQ .

A. Mostre que 25 6 25f z z z z .

B. Sem recorrer à calculadora, determine a cota do ponto Q de modo que o perímetro do triângulo

OPQ seja igual a 16 .

A)

B)



GAVE


10

22. Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz , uma pirâmide quadrangular.

Admita que o vértice E se desloca no semieixo positivo Oz , entre a origem e o ponto de cota 6 ,

nunca coincidindo com qualquer um destes dois pontos.

Com o movimento do vértice E , os outros quatro vértices da pirâmide deslocam-se no plano xOy ,

de tal forma que:

a pirâmide permanece sempre regular;

o vértice A tem sempre abcissa igual à ordenada;

sendo a abcissa de A e sendo a cota de E , tem-se sempre 6x c .

X.1 Seja V x o volume da pirâmide, em função de 0,6x x .

Mostre que 2 34

83

V x x x .

X.2 Utilizando a função derivada de V e recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, estude a

função V quanto à monotonia, conclua qual é o valor de x para o qual é máximo o volume da

pirâmide e determine esse volume máximo.

X.3 Admita agora que 1x . Indique, para este caso, as coordenadas dos pontos A , B e E e

determine uma equação cartesiana do plano ABE .

23. Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz , uma pirâmide regular.

Sabe-se que:

a base RSTU é um quadrado de área 4 com centro na origem do referencial;

a aresta RS é paralela ao eixo Oy ;

o vértice V tem coordenadas 0,0,2 .

X.1 Mostre que a recta definida pela condição 0 2x y z é perpendicular ao plano STV e

escreva uma equação deste plano.



GAVE


11

X.2

Considere agora um ponto P que se desloca ao longo do segmento OV , nunca coincidindo com o

ponto O , nem com o ponto V .

Para cada posição do ponto P considere o cilindro tal que:

a base inferior do cilindro tem centro na origem do referencial e está contida no plano xOy ;

a base superior do cilindro tem centro no ponto P e está inscrita no quadrado que é a secção

produzida na pirâmide pelo plano paralelo ao plano xOy que passa no ponto P .

Seja z a cota do ponto P e seja f a função que dá o volume do cilindro, em função de z .

A. Justifique que o domínio da função f é o intervalo 0̀, 2 e que

32

4

zf z z z

B. Considere o seguinte problema:

Entre que valores deve variar a cota do ponto P de tal modo que o volume do cilindro seja

superior à quinta parte do volume da pirâmide?

Traduza o problema por meio de uma inequação e, utilizando a sua calculadora, resolva-a

graficamente.

Apresente os valores pedidos arredondados às milésimas.

Apresente na sua resposta os elementos recolhidos na utilização da calculadora: gráficos e

coordenadas relevantes de alguns pontos.

24. Na figura estão representadas, em referencial o. n. xOy , uma recta AB e uma circunferência com

centro na origem e raio igual a 5

Os pontos A e B pertencem à circunferência.



GAVE


12

O ponto A também pertence ao eixo das abcissas.

X.1 Admitindo que o declive da recta AB é igual a 1

2, resolva as três alíneas seguintes:

A. Mostre que uma equação da recta AB é 2 5 0x y ;

B. Mostre que o ponto B tem coordenadas 3,4 ;

C. Seja C o ponto de coordenadas 3,16 ;

D. Verifique que o triângulo ABC é rectângulo em B .

X.2 Admita agora que o ponto B se desloca ao longo da circunferência, no primeiro quadrante.

Para cada posição do ponto B , seja a amplitude do ângulo orientado cujo lado origem é o

semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade é a semi-recta OB .

Seja d o comprimento do segmento AB .

A. Mostre que 2 50 50cosd ;

B. Para uma certa posição do ponto B , tem-se 24tg ;

Sem recorrer à calculadora, determine, para este caso, o valor de d .

25. Na figura está representado um rectângulo ABCD .

X.1 Mostre que o produto escalar AB AC é igual a 2

AB .

26. Considere, num referencial o.n. Oxyz , a recta definida por

, , 1,2,3 0,0,1 ,x y z k k

Qual das condições seguintes define uma recta paralela à recta r ?

C) 2 1x y

D) 2 1x z

27. Na figura junta está representada a região admissível de um problema de Programação Linear. Esta

região corresponde ao sistema.

A) , , 1,2,3 0,1,0 ,x y z k k

B) , , 0,0,1 1,2,3 ,x y z k k



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13

Qual é o valor máximo que a função objectivo, definida por z x y , pode alcançar nesta região?

C) 11

D) 13

28. X.1 Na figura junta estão representados, em referencial o. n. xOy :

o círculo trigonométrico;

a recta r , de equação 1x ;

o ângulo, de amplitude , que tem por lado origem o semieixo positivo Ox e por lado

extremidade a semi-recta OA ;

o ponto B , intersecção do prolongamento da semi-recta OA com a recta r .

Como a figura sugere, a ordenada de B é 8

Sem recorrer à calculadora, determine o valor de:

5s n 2cos 32

e

X.2 Considere agora um ponto P , do primeiro quadrante (eixos não incluídos), pertencente à

circunferência de centro na origem e raio 1 .

Sejam ,r s as coordenadas do ponto P ;

Seja t a recta tangente à circunferência no ponto P ;

Seja Q o ponto de intersecção da recta t com o eixo Ox .

Prove que a abcissa do ponto Q é 1

r.

A) 7

B) 9



GAVE


14

29. Considere a equação 1 3 2 4tg x .

Qual dos seguintes valores é solução desta equação?

C) 5

8

D) 7

8

30.Sabe-se que é uma solução da equação 1

sin5

x .

Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação 1

cos5

x ?

C)

D) 2

31.Indique as soluções da equação 5 2cos 6x que pertencem ao intervalo 0,2 :

C) 7

6 6e

D) 11

6 6e

32.Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação

2 10

2

x

x:

C) , 2

D) 2,

33.Considere o seguinte problema:

Uma frutaria confecciona dois tipos de bebidas com sumo de laranja e sumo de manga.

Bebida X : com um litro de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga.

Bebida Y : com dois litros de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga.

Para confeccionar estas bebidas, a frutaria dispõe diariamente de 12 litros de sumo de laranja e

de 10 litros de sumo de manga. Cada litro de bebida X dá um lucro de 4 euros e cada litro de

bebida Y dá um lucro de 5 euros. Supondo que a frutaria vende diariamente toda a produção

destas bebidas, quantos litros de bebida X e quantos litros de bebida Y deve confeccionar por dia,

para maximizar o lucro?

A) 8

B) 3

8

A)

B) 2

A) 4

3 3e

B) 5

3 3e

A) 1, 2

B) 1,2



GAVE


15

Sendo x o número de litros de bebida X e sendo y o número de litros de bebida Y , qual das

opções seguintes traduz correctamente este problema?

C) Maximizar 4 5x y sujeito a

0

0

2 12

10

x

y

x y

x y

D) Maximizar 12 10x y sujeito a

0

0

2 5

4

x

y

x y

x y

34.Na figura está representado um triângulo ABC com dois ângulos de amplitude e um ângulo

de amplitude .

Qual das igualdades seguintes é verdadeira, para qualquer triângulo nestas condições?

C) cos 2sen

D) cos cos 2

35.Um agricultor deseja semear trigo e milho numa área não superior a 160 hectares.

Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho.

Sabe-se que:

o custo de produção de um hectare de trigo é 1 500 euros,

o custo de produção de um hectare de milho é 1 000 euros, e que:

A) Maximizar 4 5x y sujeito a

0

0

212

2 3

102 3

x

y

x y

x y

B) Maximizar 12 10x y sujeito a

0

0

25

2 3

42 3

x

y

x y

x y

A) cos sin 2

B) cos cos 2



GAVE


16

cada hectare de trigo dá um lucro de 600 euros,

cada hectare de milho dá um lucro de 500 euros.

X.1 Sabendo ainda que o agricultor não pode investir mais do que 200 000 euros nesta produção,

quantos hectares de trigo e quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que

tenha um lucro máximo?

36.Da amplitude de um certo ângulo orientado sabe-se que cos 0 e 0tg .

Qual das expressões seguintes dá o valor de sin ?

C) 21 cos

D) 21 cos

37.Pretende-se construir um filtro de forma cónica, com uma capacidade superior a meio litro.

Para o efeito, dispõe-se de uma folha de papel de filtro, de forma rectangular, de 32 cm de

comprimento e 18 cm de largura.

Na figura, está representado um esquema de uma possível planificação do filtro. Como se pode

observar, essa planificação é um sector circular, de raio igual à largura da folha de papel.

X.1

Averigúe se o filtro construído de acordo com esta planificação tem, ou não, uma capacidade

superior a meio litro.

Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo,

quatro casas decimais.

Percorra sucessivamente as seguintes etapas:

• Determine a amplitude, em radianos, do ângulo , representado na figura junta;

• Determine o perímetro da base do cone;

• Determine o raio da base do cone.

• Determine a altura do cone.

• Determine o volume do cone e responda à questão colocada (recorde que 1 litro = 1000 cm3).

A) 21 cos

B) 21 cos



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17

38.Na figura, está representado um projecto de uma escultura em cimento para o jardim de uma

escola, constituída por uma esfera colocada sobre um cubo.

Pretende-se que a escultura tenha uma altura total de 2 metros.

Apresentam-se, a seguir, as vistas de frente de três possíveis concretizações desse projecto.

X.1

Designemos por x o raio da esfera (em metros).

1. Indique, na forma de intervalo de números reais, o conjunto dos valores que a variável x pode

assumir.

2. Mostre que o volume total, V , em metros cúbicos, da escultura é dado, em função de x , por

3 24 2424 24 8

3V x x x x .

3. Determine o raio da esfera e a aresta do cubo de modo que o volume total da escultura seja

mínimo. Apresente os resultados em metros, arredondados às centésimas.

X.2 Admita agora que o raio da esfera é metade da aresta do cubo.

Pretende-se pintar toda a superfície da escultura, excepto, naturalmente, a face do cubo que está



GAVE


18

assente no chão.

Cada litro da tinta que vai ser utilizada permite pintar uma superfície de 2,5 m2.

Admitindo que esta tinta só é vendida em latas de 1 litro, quantas latas será necessário comprar?

39.Como sabe, a Terra descreve uma órbita elíptica em torno do Sol.

Na figura está representado um esquema dessa órbita. Está assinalado o periélio, o ponto da órbita

da Terra mais próximo do Sol.

Na figura está assinalado um ângulo de amplitude x radianos 0,2x .

Este ângulo tem o seu vértice no Sol, o seu lado origem passa no periélio e o seu lado

extremidade passa na Terra.

A distância d , em milhões de quilómetros, da Terra ao Sol, é (aproximadamente) dada, em

função de x por: 149,6 1 0,0167cosd x

X.1 Determine a distância máxima e a distância mínima da Terra ao Sol.

Apresente os valores pedidos em milhões de quilómetros, arredondados às décimas.

X.2 Sabe-se que x verifica a relação 2

0,0167sint

x xT

, em que:

• t é o tempo, em dias, que decorre desde a passagem da Terra pelo periélio até ao instante em

que atinge a posição correspondente ao ângulo x ;

• T é o tempo que a Terra demora a descrever uma órbita completa (365,24 dias).

1. Mostre que, para x , se tem 2

Tt . Interprete este resultado no contexto da situação

descrita.

2. Sabe-se que a última passagem da Terra pelo periélio ocorreu a uma certa hora do dia 4 de

Janeiro. Determine a distância a que a Terra se encontrava do Sol, à mesma hora do dia 14 de

Fevereiro. Apresente o resultado em milhões de quilómetros, arredondado às décimas. Nos

valores intermédios, utilize, no mínimo, quatro casas decimais.

Nota: a resolução desta questão envolve uma equação que deve ser resolvida graficamente,

com recurso à calculadora.

40.Uma autarquia pondera o abastecimento anual de energia eléctrica para iluminação da via pública.

Para o efeito, a rede nacional pode fornecer-lhe dois tipos de energia: energia de origem

convencional, maioritariamente resultante da combustão de fuel, ou, em alternativa, energia

eólica.

Para uma cobertura razoável de iluminação, no período nocturno, o consumo anual de energia não

poderá ser inferior a 40 MWh.

Por razões ambientais, a autarquia pretende que a quantidade de energia de origem convencional

não exceda a quantidade de energia eólica fornecida.



GAVE


19

Relativamente à energia de origem convencional, tem-se:

• o preço por cada MWh é de 80 euros.

Relativamente à energia eólica, tem-se:

• o preço por cada MWh é de 90 euros;

• o fornecimento de energia, nesse ano, não poderá ultrapassar os 40 MWh.

X.1

Represente por x a quantidade de energia de origem convencional e por y a quantidade de

energia eólica consumidas pela autarquia.

Determine que quantidade de energia de cada tipo deve ser consumida, por ano, de modo que

possam ser minimizados os custos, tendo em conta as condicionantes referidas.

Percorra, sucessivamente, as seguintes etapas:

• indique as restrições do problema;

• indique a função objectivo;

• represente graficamente a região admissível (referente ao sistema das restrições);

• indique os valores de x e y para os quais é mínima a função objectivo.

41.Um farol (ponto F ), situado numa ilha, encontra-se a 10 Km da costa. Nesta, sobre a

perpendicular tirada do farol, está um observador (ponto A ).

A luz do farol descreve sucessivos círculos e tem um alcance de 10 Km. Em cada instante, o farol

ilumina segundo uma trajectória rectilínea, com extremidade num ponto P , que percorre a

circunferência representada na figura seguinte.

Sejam:

• a amplitude, em graus, do ângulo orientado cujo lado origem é a semi-recta FA e cujo lado

extremidade é a semi-recta FA ;

• M o ponto médio de AP ;

• PB a distância do ponto P à costa .

Mostre que, para 0 180 :

X.1 a distância, AP , expressa em quilómetros, do observador ao ponto P é dada, em função de

, por 20sin2

AP .

X.2 a distância, d , expressa em quilómetros, do ponto P à costa é dada, em função de , por

220sin

2d .



GAVE


20

Percorra, sucessivamente, as seguintes etapas:

• escreva ˆFAP , em função de .

• escreva ˆPAB , em função de .

• escreva BP , em função de .

42.Numa determinada localidade, o responsável pelo planeamento urbanístico apresentou uma

proposta para a construção de uma rotunda com 10 metros de diâmetro. No centro da rotunda,

pretende-se construir um jardim em forma de losango, com 20 metros de perímetro, como sugere

a figura. À volta do jardim, serão colocados calçada e outros elementos decorativos.

Relativamente à figura, considere que:

• os pontos A , B , C e D são os vértices do losango;

• o ponto O é o centro da circunferência;

• o ângulo ADO tem de amplitude , 02

.

X.1 Mostre que a área, em m2, da zona destinada ao jardim é dada, em função de , por:

50cos sinA , 02

.

X.2 Determine 4

A .

Interprete geometricamente o resultado obtido, indicando qual a forma particular do losango, para

4.

43.Para vedar três canteiros circulares, com 4 metros de raio cada, um agricultor decidiu colocar uma

rede em forma de triângulo equilátero, ABC como a figura sugere.



GAVE


21

Relativamente à figura, considere que:

• as circunferências são tangentes entre si;

• os lados do triângulo são tangentes às circunferências;

• os pontos H , I e J são os centros das circunferências;

• G é o ponto médio de BC ;

• D é ponto do lado AC tangente à circunferência de centro H ;

• L é ponto de tangência das circunferências de centros I e J , respectivamente;

• é a amplitude do ângulo DAH .

X.1 Quantos metros da rede mencionada necessita, aproximadamente, o agricultor para vedar os

três canteiros?

Apresente o resultado final arredondado às unidades.

Nota: Sempre que, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve três casas

decimais.

Sugere-se que:

• determine a altura do triângulo HIJ ;

• determine a altura do triângulo ABC ;

• determine o lado do triângulo ABC .

44.Os vetores au bv e au bv ( com 0v e 0a ) são perpendiculares se e só se:

A) u b

v a C)

u b

v a

B) v b

u a D)

u b

v a

45. Uma condição necessária e suficiente para que as rectas:

: , 2,5 ,r x y k k e : 5 1 0,s ax y a

A) 2a C) 25

2a

B) 2a D) 25

2a

46. Considere a família de funções: :af : 1

axx

x com \ 0a .

X.1 Determine os valores que a pode tomar de modo que todas as funções desta família sejam

decrescentes.



GAVE


22

X.2 Determine os valores que a que fazem com que as funções da família admitam como

assimptotas dos seus gráficos as rectas de equações 1x e 2y .

47. Num referencial ortonormado Oxyz considere os pontos 2,3,1A e 0,1,4B e o plano

: 2 2 0x y z .

X.1 Determine uma equação cartesiana de um plano que satisfaz as condições

A B .

X.2 Indique as coordenadas de dois pontos que pertençam à recta de intersecção de com .

X.3 Verifique que a origem do referencial pertence ao plano mediador de AB .

X.4 Indique uma condição que defina a esfera de diâmetro AB .

48. I intersecção da esfera definida por 2 223 2 4x y z com o plano xOy é:

A) um círculo de centro 3,0, 2 assente no plano xOy

B) o conjunto vazio

C) o ponto 3,0,0

D) o ponto 3,0, 2

49. Sendo : , , 1,0,0 ,r x y z k k e : 5 4 0x y z respetivamente uma reta e um

plano num referencial ortonormado, então:

A) r C) 4,0,0r

B) 4,0,0r D) 1, 5,1r

50. Seja f a função real de variável real definida por

21 xf x

x.

X.1 Prove que o eixo das ordenadas e a bissetriz dos quadrantes pares são assimptotas do gráfico de

f .

X.2 Estude o sinal de f .

X.3 Verifique, analiticamente, que f é sempre decrescente.

Exercícios do Gave - 11.º Ano

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