MATEMÁTICA

MANUEL ALBERTO M. FERREIRA

EDIÇÕES SÍLABO

11

ColecçãoMatemática

COLECÇÃOM

ATEMÁTICA

11 COLECÇÃO MATEMÁTICA

11Outros livros Sílabo na área dos Métodos Quantitativos:

Estatística – Exercícios Vol. 1 – Probabilidade, Variáveis aleatóriasEstatística – Exercícios Vol. 2 – Distribuições, Inferência estatísticaEstatística Aplicada – Vol. 1Estatística Aplicada – Vol. 2Exercícios

Estatística Matemática – Vol. 1Estatística Matemática – Vol. 2Exercícios de Estatística – Vol. 1Exercícios de Estatística – Vol. 2Análise Estatística com utilização do SPSSEstatística Multivariada AplicadaEstatística DescritivaAnálise Multivariada de Dados Qualitativos – Utilização da HOMALSAnálise de Dados para Ciências SociaisMétodos Quantitativos para as Ciências SociaisExercícios de Métodos Quantitativos para as Ciências SociaisExercícios de Estatística Descritiva para as Ciências SociaisEstatística para Economia e GestãoMatemática para Economia e Gestão em 11 LiçõesInvestigação Operacional – Vol. 1Investigação Operacional – Vol. 2SondagensTabelas EstatísticasConvite à MatemáticaFormulário de EstatísticaFormulário de FísicaInvestigação por QuestionárioSPSS – Guia Prático de UtilizaçãoDescobrindo a Regressão – Com a Complementaridade do SPSS

Estatística Aplicada – Vol. 1

Exercícios Estatística Aplicada – Vol. 2

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LGEB

RA

LINEA

R–

Vol. 1EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS

ÁLGEBRALINEAR

Vol. 1MATRIZESE DETERMINANTES

MA

TR

IZE

SE

DE

TE

RM

INA

NT

ES

ISB

N 9

78-9

72-6

18-8

50-6

978

9726

1885

06

153

5ª Edição

PANTONE 320 C

COLEÇÃO MATEMÁTICA

11

COLEÇÃO MATEMÁTICA

1 – INTEGRAIS MÚLTIPLOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

2 – CÁLCULO DIFERENCIAL EM IR

n

3 – PRIMITIVAS E INTEGRAIS

4 – FORMULÁRIO DE MATEMÁTICA

5 – ÁLGEBRA LINEAR Vol. 1 – Matrizes e Determinantes

6 – ÁLGEBRA LINEAR Vol. 2 – Espaços Vectoriais e Geometria Analítica

7 – PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA

8 – CÁLCULO INTEGRAL EM IR – PRIMITIVAS

9 – PRIMITIVAS E INTEGRAIS – EXERCÍCIOS

10 – SUCESSÕES E SÉRIES

11 – ÁLGEBRA LINEAR – Exercícios Vol. 1 – Matrizes e Determinantes

12 – CÁLCULO DIFERENCIAL EM IR

13 – CÁLCULO DIFERENCIAL EM IR

n – EXERCÍCIOS

14 – ÁLGEBRA LINEAR – Exercícios Vol. 2 – Espaços Vectoriais e Geometria Analítica

15 – SUCESSÕES E SÉRIES – EXERCÍCIOS

16 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SÉRIES

17 – INTEGRAIS MÚLTIPLOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS – EXERCÍCIOS

18 – INTEGRAIS DUPLOS, TRIPLOS, DE LINHA E DE SUPERFÍCIE

19 – FUNDAMENTOS DE ANÁLISE NUMÉRICA

20 – MÉTODOS NUMÉRICOS – Introdução, Aplicação e Programação

21 – CÁLCULO INTEGRAL – Teoria e Aplicações

22 – PRIMITIVAS E INTEGRAIS – Exercícios Resolvidos

23 – TÓPICOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA EM IR

n

24 – EXERCÍCIOS SOBRE PRIMITIVAS E INTEGRAIS

25 – ÁLGEBRA LINEAR – Teoria e Prática

26 – PRIMITIVAS E INTEGRAIS – Com Aplicações às Ciências Empresariais

MANUEL ALBERTO M. FERREIRA

ÁLGEBRA LINEAR

Volume 1

MATRIZES E DETERMINANTES

EXERCÍCIOS

EDIÇÕES SÍLABO

É expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer forma ou meio, nomeadamente fotocópia, esta obra. As transgressões serão passíveis das penalizações previstas na legislação em vigor.

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Editor: Manuel Robalo

FICHA TÉCNICA:

Título: Álgebra Linear – Exercícios Vol. 1 – Matrizes e Determinantes Autor: Manuel Alberto M. Ferreira Capa: Pedro Mota © Edições Sílabo, Lda. 1ª Edição – Lisboa, 1992 5ª Edição – Lisboa, Novembro de 2016

Impressão e acabamentos: Cafilesa – Soluções Gráficas, Lda. Depósito Legal: 413346/16 ISBN: 978-972-618-850-6

EDIÇÕES SÍLABO, LDA.

R. Cidade de Manchester, 2 1170-100 LISBOA Telf.: 218130345 Fax: 218166719 e-mail: silabo@silabo.pt www.silabo.pt

ÍNDICE

MATRIZES

ENUNCIADOS 9

RESOLUÇÕES 37

DETERMINANTES

ENUNCIADOS 111

RESOLUÇÕES 133

MATRIZES

ENUNCIADOS

1

Considere as seguintes matrizes:

A = ⎡⎢⎣

1−1

34

⎤⎥⎦ B = ⎡⎢

⎣10 3

1 2

7⎤⎥⎦

C =

⎡

⎢

⎣

⎢⎢⎢⎢

1497

2310

1−121

⎤

⎥

⎦

⎥⎥⎥⎥

D = [1 2 3 4]

E = ⎡⎢⎣

⎢⎢ 125 ⎤⎥⎦

⎥⎥ F =

⎡⎢⎣

⎢⎢

120

231

017

⎤⎥⎦

⎥⎥

a) Classifique-as quanto ao tipo.

b) Identifique os seguintes elementos

a11 , a12 , b23 , b21 , b13 , c42 , c32 ,

c41 , c22 , d12 , d14 , e11 , e31 , f22 ,

f33 , f13 .

c) Se algumas delas tiverem designações especiais indique-as.

2

Dadas as matrizes

A = ⎡⎢⎣

⎢⎢

100

220

13

−1

⎤⎥⎦

⎥⎥ B =

⎡⎢⎣

⎢⎢

1−10

012

001

⎤⎥⎦

⎥⎥

MATRIZES – ENUNCIADOS

11

C = ⎡⎢⎣

⎢⎢

100

020

00

−1

⎤⎥⎦

⎥⎥ D =

⎡⎢⎣

⎢⎢

200

020

002

⎤⎥⎦

⎥⎥

E =

⎡

⎢

⎣

⎢

⎢

1000

0100

0010

0001

⎤

⎥

⎦

⎥

⎥ F =

⎡⎢⎣

⎢⎢

112

1−10

202

⎤⎥⎦

⎥⎥

a) Que designação especial tem cada uma delas?

b) Para cada uma delas determine a matriz transposta e a simétrica.

3

Dadas as matrizes

A = ⎡⎢⎣11 2

1 52

⎤⎥⎦ B = ⎡⎢

⎣

−12 0

5 27⎤⎥⎦

C = ⎡⎢⎣

01 −1

3 25

⎤⎥⎦

Calcule:

a) A + B + C

b) A + B - C

c) A + 2B - 3C

d) −5A + 3B − 1 2

C

e) AT − BT + CT

ÁLGEBRA LINEAR – EXERCÍCIOS

12

4

Sendo A =

⎡

⎢

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

1

4

1

3

5

1 2

⎤

⎥

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

calcule √⎯⎯⎯ 2 . A .

5

Sendo A = ⎡⎢⎣12 1

1 13⎤⎥⎦ B = ⎡⎢

⎣50 1

2 04⎤⎥⎦

C = ⎡⎢⎣01 0

3 04⎤⎥⎦

Determine o resultado das seguintes operações:

a) 2A − B + C

b) 2 (A − B + C)

c) 3A + B − C

d) 3 ⎛⎜⎝A −

1 2

B⎞⎟⎠ + C

MATRIZES – ENUNCIADOS

13

6

Dadas as matrizes:

A =

⎡

⎢

⎣

⎢

⎢

1 2

2

1 3

− 1 5

4

1

⎤

⎥

⎦

⎥

⎥ B =

⎡

⎢

⎣

⎢

⎢

−1

1 2

3

2 3

4 5

−1

⎤

⎥

⎦

⎥

⎥

C =

⎡

⎢

⎣

⎢

⎢

1

0

1

0

1 2

−1

⎤

⎥

⎦

⎥

⎥

a) Calcular A + B

2 − 3C

b) Calcular X do tipo 2 × 3 tal que

2X − A

2 −

B + C 2

= 0

7

Dadas as matrizes

A = ⎡⎢⎣

⎢⎢

135

024

⎤⎥⎦

⎥⎥ B =

⎡⎢⎣

21

−13

04

⎤⎥⎦

a) Calcule AB e BA

b) Calcule 2A − 3BT

c) Calcule (A + BT ) (AT − B )

ÁLGEBRA LINEAR – EXERCÍCIOS

14

8

Dadas as matrizes

A =

⎡

⎢

⎣

⎢⎢⎢⎢

−1102

23

−11

0535

⎤

⎥

⎦

⎥⎥⎥⎥

BT =

⎡

⎢

⎣

⎢⎢⎢⎢

1250

−1012

1379

⎤

⎥

⎦

⎥⎥⎥⎥

C = ⎡⎢⎣

⎢⎢

−112

035

257

⎤⎥⎦

⎥⎥

Determine:

a) A . B

b) A . C

c) C . B

d) A . CT

e) C2

f) B . A + CT

g) [BA − 4I + 2C ]T

h) ⎡⎣(A . B )2 − 4I⎤⎦T

9

Dadas as matrizes

A = ⎡⎢⎣

⎢⎢

105

−21

−3

320

⎤⎥⎦

⎥⎥ B =

⎡⎢⎣

⎢⎢

100

03

−1

−252

⎤⎥⎦

⎥⎥

MATRIZES – ENUNCIADOS

15

C = ⎡⎢⎣

⎢⎢

020

136

−1−5−2

⎤⎥⎦

⎥⎥

Mostre que:

a) (A + B ) . C = A . C + B . C

b) (A . B )T = BT . AT

10

Dadas as matrizes

A = [1 0 − 1 2] B =

⎡

⎢

⎣

⎢

⎢

20

−13

⎤

⎥

⎦

⎥

⎥

Determine:

a) A . B

b) B . A

c) Das alíneas anteriores que pode concluir quanto a certa propriedade noproduto de matrizes?

11

Mostre que se A = ⎡⎢⎣21 3

4⎤⎥⎦

A2 − 6A + 5I = 0

ÁLGEBRA LINEAR – EXERCÍCIOS

16

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IZE

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DE

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NT

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