Exercicios Estruturas I [FCTUNL]

1 Deformadas elsticas e deslocamentos

1 Deformadas elsticas e deslocamentos 1

Problema 1.1 Para a estrutura representada na figura:

MPa

m

m

kN

cm

a) Calcule os esforos nas barras;b) Determine as componentes do deslocamento do n B.

Problema 1.2 Para a estrutura mista representada na figura:

m

m

m

kN

kN/m

!#" $%

a) Determine os diagramas de esforos & , ' e ( ;b) Calcule os seguintes deslocamentos: )+*,- )+.,/-0213-0 *4%576 ;c) Trace a deformada aproximada.

Nota: para efeitos de deformabilidade, despreze a contribuio do esforotransverso.



98

:;



kN/m

E

m

m

m

L

kN

; !#" $%

H


Problema 1.7 A barra de alumnio ( [ Tkja` GPa e g Tl`_^Nm ) de seco circularde raio n

T]\Z`

mm, encastrada em A sujeito a uma fora inclinada, assim comose mostra na figura.

o

p

1 m

1 m

1.2 m

0.7 kN

q

Determine o deslocamento do ponto C na direco da fora de ì^sr kN. Para osefeitos de deformabilidade, considere os efeitos do momento flector, esforo axial,esforo de corte e momento torsor.

Problema 1.8 A estrutura representada sujeito a uma carga distribuda de10 kN/m e uma variao de temperatura t%u

Th\Zàv

C e t 5Txwyàv

C.

0.1 m

3 m

0.6 m

10 kN/m${z$}|

$

|

2 m0.4

Desprezando o esforo de corte para os efeitos de deformabilidade, calcule odeslocamento do ponto A.Considere o mdulo de elasticidade [

T~\HbcdM`2

MPa e o coeficiente de dilataotrmica

TdM`#

f

W2v

C.


Solues

Problema 1.1

b.))+

,

Th`_^s\2wyV

mm

)+

>

Thì^K`y\2w

mm

Problema 1.2

b.))

*

,

TYyW

[

m

)

.

,

TmyW

[

m

0

1

T]Ya`yW

[

rad (rotao horria)0

*

4%576

Twami^N`ZYaYyW

[

rad (abrir o ngulo relativo entre as barras) Problema 1.3

a.))

*

>

Thmamami^KmyW

[

m

0

1

4%576

TkdMV_da^dadW

[

rad (abrir o ngulo relativo entre as barras)0

*

4%576

TkdMVZYi^dadW

[

rad (fechar o ngulo relativo entre as barras) Problema 1.4

)2,

T]maì^NV2ZW

[

m

0

*

TdJw^N\ZidMr2aW

[

rad (rotao anti-horria) Problema 1.5

a.))+

>

ThaYa`yW

[

m

0

*

4%576

TkdJjaaji^KmamyW

[

rad (rotao anti-horria da barra C B ))

*

,

T]\2wrZm_^NmamaW

[

m

Problema 1.6

b.))+

,

Th`_^srar#d

mm

)

.

,

Tì^KàmyV

mm

0

*

Tì^dZdadbedM`##

rad (rotao anti-horria) d.)

)

,

Th`_^srZjZm

mm


)

.

,

Tì^Kàmid

mm

0

*

Tì^dZdMmcbedM` #

rad (rotao anti-horria) Problema 1.7

)*

Thì^dadM

m

Problema 1.8

)1

,

T]ì^N`_dV

m

)1

>

T]`_^Nàà\

m

2 Simetria e anti-simetria - Problemas Propostos

Problema 2.1 Considere as estruturas e as respectivas solicitaesrepresentadas nas figuras P1 P4. Considere constantes a EA e EIpara todas as barras. Para cada caso decomponha a solicitao indicadanum carregamento simtrico e anti-simtrico. Defina, para cada uma dasparcelas a subestrutura obtida por consideraes de simetria que reproduz ocomportamento da estrutura global.

P3

30 kN

40 kNm

te=20 C

ti=+10 C1cm

2cm4 m

1.5m

3m

3m

1.5m

A

B

C

D

E

F

G

5 5 10 10 5 5

8m

4m

2m

P4

50 kN

20 kN

50 kN/m

k

A

B C

D

E F G

JI

H

2m 2m 4m

A B C

4cm ti=10 C

100kN te=+20 C

ti=5 C

20 kN/m

P220 kNm

2 kN/m20 kN

10 kN

10 kN/m

2m 2m 2m 2m

3m

1.5m

1.5mA B C

D

E F G

H I J

P1

2 Mtodo das ForasNota: para efeitos de deformabilidade, despreze a contribuio do esforotransverso, excepto quando expressamente indicado.

2 Mtodo das Foras 1

Problema 2.1 Para a estrutura e aco representadas na figura, determine adistribuio de esforos e trace a deformada aproximada:

kN/m

m

m

m

kN

"!#

m $

m

Nota: necessria a resoluo do Problema 1.5.

Problema 2.2 Para a estrutura e aco representadas na figura, determine:

% %

% %&

&

' '

' '(

(

) )

) )

) )

*

*

*

+ kN/m

,-

.

m

/

-

-

m

m

m

-

01 kN

a) a distribuio de esforos em todas as barras.b) os deslocamentos verticais em B e C e a rotao em A.

Nota: Para efeitos de deformabilidade considere a barra AD axialmenteindeformvel.

2 Mtodo das Foras 2

Problema 2.3 Considere a estrutura representadas na figura:

2

2

2

3

3

3

4 4 4

5 5 +

.

m

AB:

678 -

kNm $

9

BC:

:

6 -

kNm $

6#

.,

-

kN

b) ; 1,<

.1

m

.

m

a) =

c) > ? cm

@

+"ACB

a) BC: >6X <

m

Determine os diagramas de esforos na estrutura devido:

a) a uma variao da temperatura na barra BC constante ao longo do eixo dabarra e variao linear na altura da seco como mostra na figura a)

b) a um assentamento do apoio E horizontal igual a GJY , figura b);c) a um assentamento do apoio E vertical igual a GJY , figura c)

Nota 1: Resolver o problema tomando em conta a simetria.

2 Mtodo das Foras 4

Problema 2.6 Considere a estrutura atirantada e o carregamento representadana figura:

Z Z Z

Z Z Z

[ [ [

[ [ [

+

m+

m+

m+

m

, kN/m

?

m

K

m

$

$

]\\

^`_bac_

^Cdfegd

m $

Admita que os cabos esto pr-esforados com um valor suficiente, de modo queo seu esforo total nunca seja de compresso. Admita ainda que desprezvel adeformabilidade axial do tabuleiro e da torre.

a) Determine a parcela simtrica e anti-simtrica do carregamentob) Trace os diagramas de momento flector e de esforo axial para a parcela

assimtrica do carregamento indicado.

2 Mtodo das Foras 5

Solues

h Problema 2.1 Deslocamentos na deformada aproximada:

ikjl

EmGknpoqGkngrJsQt m u

i jv

EmGJIgrksQt m w

ikxl

Ezy{oq|C}JrJsQt m u

ikxv

E~"IC|CG{o|JgrJst m w

h Problema 2.2

i jv

E~"CI{ong|JrJsQt m w

i xv

EHG{~yponC|CrJsQt m w

k#EzJ`rJsQt rad (rotao horria)h Problema 2.3

a) i jv EHGoqGC|JrJsQt m w i j

l

EmI m

kjEHG{o|JgrksQt rad (rotao anti-horria)b) i jv Em{onJJ~"I m w

i jl

EmCI~"I m u

j Ez`Gon~"I` rad (rotao horria)c) i

j

v

EH}oq}C}~I m w

ij

l

EmI m

j EHG{oIgG~"I` rad (rotao horria)h Problema 2.4

c) ikxv Empo`G mm wh Problema 2.5 Esforo normal na barra BD:

a) j

EIpo~|CG~"IYsQt kN (traco)b)

j

Enpo|CG~"IY

l

st kN (traco)c)

j

EI kNh Problema 2.6 Esforo normal nos cabos (AS):

cb EmC}{oq}kn kN (compresso) cb Emg}{o}Jn kN (traco)

3 Mtodo das Foras - Problemas 1

3 Mtodo das Foras - ProblemasNota: para efeitos de deformabilidade, despreze a contribuio do esforotransverso, excepto quando expressamente indicado.

Problema 3.1 Determine, pelo Mtodo das Foras, os diagramas de esforosna estrutura indicada. Despreze a deformabilidade das barras por esforotransverso. Considere EA = 3.6 106 kN e EI = 48 103 kNm2.

10 kN/m

4 m2 m

2 m

3 m

16 kN

C D

B

A

E

Problema 3.2 Recorrendo ao Mtodo das Foras calcule a rotao relativaem C para o carregamento indicado na figura. Admita que desprezvel adeformabilidade axial das barras e que todas as barras tm a mesma inrcia flexo EI = 105 kNm2.

2 m1 m 1 m3 m 3 mA B

4 m

4 kN/m

C

10 kNm5 kN

D10 kNm

5 kN


Problema 3.3 Considere a estrutura representada na figura em que a rigidez flexo, EI , constante para todas as barras excepto a da barra CD de rigidezinfinita. Para as deformaes axiais adopte a rigidez EA = 10EI . RecorrendoaoMtodo das Foras determine a distribuio de esforos devido a aco isoladade cada uma das solicitaes indicadas:

10 kN

5 kN/m

3 m

4 m

A

C

D

B

a) solicitao representada na figura;b) variao da temperatura na barra CD constante na altura da barra e

com variao linear ao longo do eixo da barra, sendo o valor mximoem tC = +10

C e tD = 0C. Adopte um coeficiente de dilatao

trmica = 105/C.

c) assentamento vertical (para baixo) no apoio A de 5 cm.

Problema 3.4 Considere a estrutura representada na figura. Aplicando oMtodo das Foras determine os diagramas de esforos. Todas as barras tma mesma inrcia flexo EI = 4.0 102 kNm2 e k = 5EI kNm. Considereapenas as deformaes por flexo.


3 m 3 m

CD

F

E

G

B

3 m

3 m

Ak

8 kN/m8 kN/m

Problema 3.5 Considera a estrutura representada na figura, em que todas asbarras tm as mesmas caractersticas: seco rectangular de 0.4 m de altura,inrcia flexo EI e deformao axial EA = 10EI constantes.

3 m

3 m20 kN/m

AB

C D

Determine:

a) os diagramas de esforos e o deslocamento do n C para o carregamentorepresentado.

b) os diagramas de esforos para uma variao de temperatura uniformeao longo da barra CD e variao linear na seco sendo a temperaturainterior ti = 10C e exterior te = +5C. Adopte um coeficiente dedilatao trmica = 105/C.


Problemas Propostos - Mtodo das Foras


!!

!

!

!

!!

!!

4 m 3 m

a) 20 kN/m

D

A

4 m

B

EI = const.

AC axialmente indeformavelI/A = 0.1 m2

b) = 3 cm

C

c) = 2

Determine a distribuio de esforos na estrutura e o deslocamento do ponto Bdevido a:

a) uma carga uniformemente distribuda p = 20 kN/m;b) assentamento vertical no apoio D de 3 cm.b) uma rotao de = 2 em C representada na figura.

Problema 3.7 Considere a estrutura representada na figura:

+

0.20 m

tBim

= +20C

tBem = 20C

Seco B:

4 m

C

6 m 3 m

D

A

30

B10 kN/m

k

ABC:

= 105 /Ch = 0.2 m

BD: EA = 10EI0 kNk = 4EI0 kN/m

EI = EI0 kNm2EA

Determine a distribuio dos esforos na estrutura devido ao momento aplicadono n B e a variao de temperatura na barra AB, crescente ao longo de eixoda barra e diferencial na altura da seco com valor mximo na seco B deti = +20

C e te = 20 C (como mostra na figura).


Problema 3.8 Para a estrutura representada na figura, determine a distribuiode esforos na estrutura e os deslocamentos de ponto A, B e a rotao em Ddevido a:

4 m 2 m 2 m

B

CA

4 m

4 m

D

C

b) = 5 cm

= 105 /CBD: A = 10I0 m2AC,BC: EAEI0 = const.

30

a) um aumento de temperatura uniforme ao longo das barras e na seco de+20 C nas barras BC e BD e variao uniforme ao longo da barra ediferencial na seco da barra AB (hAB = 0.40 m) de +30 C na fibrasuperior e de 30 C na fibra inferior;

b) um assentamento vertical de = 5 cm no apoio C;

Problema 3.9 Para a estrutura e aco representadas na figura, determine adistribuio de esforos e trace a deformada aproximada:

!!

!!

!!

10 kN/m

B D

C

4 m 1 m 1 m

20 kN

EA = const.EI = const.

I/A = 0.1 m2

4 m

A


Problema 3.10 Para a estrutura e aco representadas na figura, determine:

!

!

!

!

!

!!

!!

!!

10 kN/m

EA = 4EI0

A

3 m

D

Bk = EI0

CEI0

2 m 2 m 4 m

EI0

50 kN

a) a distribuio de esforos em todas as barras.b) os deslocamentos verticais em B e C e a rotao em A.

Nota: Para efeitos de deformabilidade considere a barra AD axialmenteindeformvel.Problema 3.11 Considere a estrutura representadas na figura:

!

!

!

!!!

+

3 m

AB: EI = 4EI0 kNm2EA =

BC: EI = 2EI0 kNm2EA = 30EI0 kN

b) +20C

0.30 m

3 m

A

B

C

a) p

c) = 6 cm

= 105 /C

Determine a distribuio de esforos na estrutura e os deslocamentos do ponto Bdevido a:

a) uma carga uniformemente distribuda p = 20 kN/m;b) uma variao de temperatura na barra AB, constante ao longo do eixo da

barra e com variao linear na altura da barra, representada na figura b)c) assentamento vertical no apoio C de 6 cm.


Problema 3.12 A viga do caminho de rolamento de uma grua de um caismartimo construda por vrios troos de 4 tramos apoiados em 5 estacasde beto trabalhando por resistncia de ponta. Utilizando o modelo declculo representada na figura e considerando um carregamento uniformementedistribudo nos 2 tramos centrais, determine os esforos finais na estrutura.

8 m 8 m 8 m 8 m

200 kN/m

A B C D E

E = 30.5 GPa

k

EI

I = 25 106 cm4

k = 16 105 N/cm

a) Resolver o problema tomando em conta a simetria;b) Resolver o mesmo problema substituindo as molas por 4 apoios simples e

um apoio fixo e comparar os resultados;c) Nas condies da alnea a) qual o deslocamento do ponto C?

Problema 3.13 Considere o prtico representada na figura:

!!!

!!!

!!!

+

3 m 3 m5 m 5 m

2 m

4 m

ABCDE: EI = const kNm2EA = = 105 /Ch = 0.40 m

BD: EA = 10EI kNB

C

D

EAc) 2

b) 2

a) BC: 2C

0.40 m

Determine os diagramas de esforos na estrutura devido:a) a uma variao da temperatura na barra BC constante ao longo do eixo da

barra e variao linear na altura da seco como mostra na figura a)b) a um assentamento do apoio E horizontal igual a 2, figura b);c) a um assentamento do apoio E vertical igual a 2, figura c)


Nota 1: Resolver o problema tomando em conta a simetria.


!!!

!!!

12 m 12 m 12 m 12 m

100 kN/m16 m

8 m

E2A2

E1I1

E1I1

E2A2= 2 m2

Admita que os cabos esto pr-esforados com um valor suficiente, de modo queo seu esforo total nunca seja de compresso. Admita ainda que desprezvel adeformabilidade axial do tabuleiro e da torre.

a) Determine a parcela simtrica e anti-simtrica do carregamentob) Trace os diagramas de momento flector e de esforo axial para a parcela

anti-simtrica do carregamento indicado.

3 Mtodos EnergticosNota: para efeitos de deformabilidade, despreze a contribuio do esforotransverso, excepto quando expressamente indicado.

3 Mtodos Energticos 1

Problema 3.1 Sabe-se que, para uma viga simplesmente apoiada de rigidez ,sujeita a um momento concentrado aplicado na uma das extremidades,o deslocamento e a rotao so dados por:

M=6EI

x

yL

!"

#$%&'

onde (

Utilizando o Teorema de Betti, determine os momentos de fixao para:a.) a viga bi-encastrada sujeita a uma carga concentrada, representada;

P

a b

L

A B

b.) a mesma viga bi-encastrada sujeita a uma carga uniformementedistribuda, ) .

c.) utilizando os resultados obtidos na alnea * e + determine os esforosproduzidos na viga contnua:

D

100 kN 20 kN/m

2 m 2 m 4 m 4 m

ACB

Determine os momentos de fixao para alnea * e + por aplicao do Teoremade Manabrea.

Problema 3.2 Considere as duas estruturas representadas sujeitas a um sistemade foras ,.- . Admite que a deformada das estruturas, quando retirada a mola


e sujeitadas a uma fora / que provoca um deslocamento unitrio segunda adireco da mola, dada por uma funo conhecida, 0 "

. Utilizando o Teoremade Betti, mostre que, a reaco 1 que aparece na mola devida a carga aplicadapode ser calculada por:

a.)P1 P2 Pn

F

1

1 2n

k

132 ,.-.450#-

b.)P1 P2 Pn

F

1

1 2n

k

16

2

,.-7480#-

9

/ :

Problema 3.3 Determine a energia potencial de deformao acumulada na vigade rigidez ; representada. Utilizando os teoremas de Castigliano, determinetambm o deslocamento segundo a direco da fora concentrada.

P

L/2 L/2

Problema 3.4 Considerando as incgnitas hiperestticas indicadas na figura,

X1

X2

X3

L

A, I

(a)

X1

X3X2

L

A, I

(b)

determine os coeficientes da matriz de flexibilidade utilizando:


1. os teoremas de Castigliano;

2. o princpio dos trabalhos virtuais;

Problema 3.5 Para a barra bi-encastrada representada, determine:

L

2

13 6

5

4

A, I

a.) a expresso analtica da deformada;b.) a energia potencial de deformao acumulada na barra;c.) a rigidez segundo a direco 2;

provocadas por um deslocamento segundo a direco 3.


L

2

13 6

5

4

A, I

a.) a expresso analtica da deformada;b.) a energia potencial de deformao acumulada na barra;c.) a rigidez segundo a direco 2 e 5;

provocadas pelos deslocamentos e =?C segundo as direces 3 e 6, respectivamente.Representa tambm o diagrama de momento flector.


L

2

13 6

5

4

A, I

a.) a expresso analtica da deformada;b.) a energia potencial de deformao acumulada na barra;c.) a rigidez segundo todas as direces.

Com os elementos calculados, construa a matriz de rigidez deste tipo de barra.

Problema 3.10 Para a barra encastrada-rotulada representada, determine:

L

2

13

5

4

A, I

a.) a expresso analtica da deformada;b.) a energia potencial de deformao acumulada na barra;c.) a rigidez segundo a direco 2;

provocadas por um deslocamento segundo a direco 3.

Problema 3.12 Determine a matriz de rigidez para a barra encastrada-rotuladarepresentada.

L

2

13

5

4

A, I


Solues

D Problema 3.1

a.) FEGH',*I+J

; LKMN',*

+

J

b.) FEGLK5H%)A J

9

D Problema 3.3O

6,

>

J

QP

; RS6, >J

"TVU

;

D Problema 3.4

a.) W

XY

J

Z

[ [

[

>

J

;

J

[

J

;

J

\]

b.) W

X

Y

J

;Z

[ [

[

J

;

J

[

J

;

J

\

]

D Problema 3.5

a.) < "

6

J

>

b.) O 6

c.):

`

9

J

>

D Problema 3.6

a.) < "

=?> "

J

8

>

J

b.) O =

>

J

c.):

`

T

J

>

D Problema 3.7

a.) < "

6

`n

b.) O 6

c.):

`

6

J

>

D Problema 3.11

a.) < "

=?>m

&

J

>

J

an

b.) O 6 =

>

J

c.):

>`>h6

J

D Problema 3.12

i

X

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

Y

;Z

[ [

;Z

[

[

;

>

[

>

[

;

[

Z

[ [

Z

[

[

>

[

>

\

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

]

1 Mtodos Energticos

Problema 1.1 Para a estrutura representada na figura, determine ascomponentes do deslocamento do n C e B pelo PTV. Trace a deformadaaproximada da estrutura.

20 kN

AB

C

1 m

2 m

A = 10 cm2

E = 2.06 105 MPa


D

4 m

EA = const.EI = const.

I/A = 0.1 m2

4 m

A

B

5 kN/m

C

20 kN

2 m

a) Determine o deslocamento horizontal do ponto D, a rotao relativa em Be as componentes do deslocamento do n C, pelo mtodo de PTV.

b) Trace a deformada aproximada.Nota: para efeitos de deformabilidade, despreze a contribuio do esforotransverso.

Problema 1.3 Considere estrutura representada na figura a) em que todas asbarras so deformveis axialmente e por flexo, sendo EI = const., EA = 5EI .Para P = 30 kN , responda as seguintes questes:

a) Determine o deslocamento vertical do ponto B utilizando os Teoremas deCastigliano.

b) Calcule a rotao em A utilizando o princpio dos trabalhos virtuais e osTeoremas de Castigliano;

c) Considere agora a estrutura representada na figura b). Obtenha osdiagramas de esforo normal e do momento flector na estrutura utilizandoo Teorema de Menabrea;

1.5 m 3 m1.5 m

A

D

C

2 m

P

B

1.5 m 3 m1.5 m

A

D

C

2 m

P

B

Problema 1.4 Sabe-se que, para uma viga simplesmente apoiada de rigidez EI ,sujeita a um momento concentradoM = 6EI aplicado na uma das extremidades,o deslocamento e a rotao so dados por:

M=6EI

x

yL

y(x) = L2(2 3 + 2); y(x) = L(32 6 + 2); onde xL

Determine, utilizando o Teorema de Betti, os momentos de fixao para a vigabi-encastrada sujeito a uma carga concentrada, representada.

6 m

4 m 2 m

20 kN

Problema 1.5 Para as vigas representadas e aplicando os Teoremas deCastigliano determine as flexibilidades para uma aco simultnea das forasX1, X2 e X3:

2

X1

X2

X3

L

A, I

(a)

X1

X3X2

L

A, I

(b)

Problema 1.6 Para a barra bi-encastrada representada e recorrendo aosteoremas de Castigliano determine os coeficientes de rigidez segundo as direces3 e 5 provocadas pelos deslocamentos 3 e u5:

L

2

13 6

5

4

A, I

Problema 1.7 Determine os ceficientes de rigidez k11, k12, k15, k21, k22, k25,k51, k52 e k55 para a barra encastrada-rotulada representada provocadas pelosdeslocamentos u1, u2 e u5 utilizando os teoremas de Castigliano. Considereu2 > u5

L

2

13

5

4

A, I

3

Problemas Propostos

Problema 1.8 Considere as duas estruturas representadas sujeitas a um sistemade foras Pi. Admite que a deformada das estruturas, quando retirada a molae sujeitadas a uma fora F que provoca um deslocamento unitrio segunda adireco da mola, dada por uma funo conhecida, (x). Utilizando o Teoremade Betti, mostre que, a reaco R que aparece na mola devida a carga aplicadapode ser calculada por:

a.)P1 P2 Pn

F

1

1 2n

k

R =

Pi i

b.)P1 P2 Pn

F

1

1 2n

k

R =

Pi i

1 +F

k

4

4 Mtodo dos DeslocamentosProblema 4.1 Para a estrutura e aco representadas na figura, determine a

distribuio de esforos:

EI

2EI

C 2EI D

20kNm10 kN/m

A

B

E

EA

8 m 3 m

5 m

2 m

Problema 4.2 Considere a estrutura representada na figura em que EI constante em todas as barras e as deformaes devidas ao esforo axial sodesprezveis.

6m 5m

4m

B

5 kN/m

5m

20kN

C

4m

DA

80kN

Determine a distribuio de esforos na estrutura o deslocamento do ponto Bdevido a aco isolada das seguintes solicitaes:

a) solicitao representada na figura;b) assentamento vertical (para baixo) no apoio D de 4 cm.c) uma rotao do apoio A no sentido horrio = 3.

4 Mtodo dos Deslocamentos 2

Problema 4.3 Considere a estrutura representada na figura com barras deseco transversal rectangular de dimenses 0.4 0.6 m, sujeita a acosimultnea das solicitaes indicadas. A variao da temperatura nas barrasBC e GF constante ao longo do eixo e na altura da seco.Desprezando a deformabilidade axial de todas as barras com excepo das barrasAB e FH , determine os diagramas de esforos e a deformada aproximada daestrutura. Adopte E = 25 GPa e = 105/C.

4 kN/m4 kN/m6kNm

10 kN

t0 = +30C

t0 = 30C

A

B

C

D

EG H

F

3 m 3 m4 m 4 m

4 m

10 kN = 8 cm

Problema 4.4 Considere a estrutura representadas na figura em que asdeformaes devidas ao esforo normal so desprezveis e todas as barras tmrigidez flexo EI constante.

3 m

20 kN/m

D

B

C

A

3 m

Determine a distribuio de esforos na estrutura devido a aco isolada dasseguintes solicitaes:

a) a carregamento representado. Determine ainda a rotao relativa em C ;


b) um aumento de temperatura de 40C na barra AB (uniforme aolongo da barra e na seco). Considere um coeficiente de dilataotrmica = 105/C;

Problema 4.5 Determine a distribuio de esforos na estrutura e acesrepresentadas na figura. Considere a rigidez da mola k = 5EI , a rigidez flexo EI para todas as barras e a deformabilidade axial desprezvel paratodas as barras excepto a da barra AB de rigidez EA = 10EI .

10 kN

50 kND

4m

C

B

A

2m

3m 2m 2m

k


+

tim = 40C

tem = +20C

Seco A:

0.2 m4 m

C

6 m 3 m

D

ABC:

= 105 /Ch = 0.2 m


EA20 kN EI = EI0 kNm2

k

B

10 kN/m30A

Determine a distribuio dos esforos na estrutura devido a aco isolada dasseguintes solicitaes:

a) solicitao representvel por foras;b) variao de temperatura na barra AB, decrescente ao longo de eixo da

barra e diferencial na altura da seco com valor mximo na seco Ade ti = 40 C na face inferior e te = +20C na face superior daviga (como mostra na figura b). Considere um coeficiente de dilataotrmica = 105/C.


Problema 4.7 Considere o prtico de pisos rgidos representada na figura emque deformabilidade axial de todas barras desprezvel e os pilar tm rigidez aflexo EI constante.

4m

4m

3m 3m

B

A

E

F

DC

Determine o deslocamento horizontal do n D para a aco isolada das seguintessolicitaes:

a) um assentamento vertical (para baixo) do apoio A de = 8cm;b) um aumento da temperatura (uniforme ao longo do eixo e na altura da

seco) de t0 = +30C em todas as barras. Considere um coeficiente dedilatao trmica = 105/C.

Problema 4.8 Considere a estrutura representada na figura, em que todas asbarras so de seco transversal rectangular de 0.4 0.6 m e k = 5EI kN/m.

A

CB

ti

te

k

A

CB

10kNm

k

1 m

2 m

2 m

1.5 m 1.5 m

b)a)

20 kN10 kN


Desprezando a deformabilidade axial das barras e considerando EI constante,determine a distribuio dos esforos na estrutura devido a aco isolada dasseguintes solicitaes:

a) solicitao representvel por foras (figura a);b) variao de temperatura na barra AB, decrescente ao longo de eixo da

barra e diferencial na altura da seco com valor mximo na seco Ade ti = +20 C e te = 20C (como mostra na figura b). Considere umcoeficiente de dilatao trmica = 105/C.


12 m 12 m 12 m 12 m

100 kN/m16 m

8 m

E2A2

E1I1

E1I1

E2A2= 2 m2

Admita que os cabos esto pr-esforados com um valor suficiente, de modo queo seu esforo total nunca seja de compresso. Admita ainda que desprezvel adeformabilidade axial do tabuleiro e da torre. Trace os diagramas de momentoflector e de esforo axial para a parcela simtrica do carregamento indicado.

Problema 4.10 Para a estrutura representada na figura, determine a distribuiode esforos na estrutura e os deslocamentos de ponto A, B e a rotao em Ddevido a:

4 m 2 m 2 m

B

CA

4 m

4 m

D

C

b) = 5 cm

= 105 /CBD: A = 10I0 m2AC,BC: EAEI0 = const.

30


a) um aumento de temperatura uniforme ao longo das barras e na seco de+20 C nas barras BC e BD e variao uniforme ao longo da barra ediferencial na seco da barra AB (hAB = 0.40 m) de +30 C na fibrasuperior e de 30 C na fibra inferior;

b) um assentamento vertical de = 5 cm no apoio C;

Problema 4.11 Considere a estrutura representada na figura em que todas asbarras so axialmente indeformveis:

DA

B

2 m 2 m 2 m

3 m

C

20 kN/m

EI = const.EA

= 105 /C

Determine a distribuio de esforos na estrutura devido a:a) a carregamento uniformemente distribuda q = 20 kN/m na barra BC;b) um aumento de temperatura de 20 C em todas as barras (com variao

uniforme ao longo da barra e na seco);Problema 4.12 Para a estrutura e aco representadas na figura, determine a

distribuio de esforos. Despreze a deformabilidade axial de todas as barras.

D

B

10 kN/m

8 m 3 m3 m

A

4 m

4 m

20 kNm

EC Caractersticas das barrasBarras EI[kNm2]AB 1.5EI0BC,CE 2EI0CD EI0



4 m 3 m

a) 20 kN/m

D

A

4 m

B

EI = const.

AC axialmente indeformvelI/A = 0.1 m2

b) = 3 cm

C

c) = 2

Determine a distribuio de esforos na estrutura e os deslocamentos do ponto Bdevido a:

a) uma carga uniformemente distribuda p = 20 kN/m;b) assentamento vertical no apoio D de 3 cm.c) uma rotao em apoio C = 2 representada na figura.

Problema 4.14 Para a viga de inrcia constante, submetida ao carregamentoindicado na figura determine os diagramas de esforos na estrutura e odeslocamento do ponto B.

20 kN/m

B

5 m

20 kN

5 m5 m

AC D

EI = 5 104 kNm2

EAk = 5 103 kN/m

Problema 4.15 Escreva a equao do Mtodo dos Deslocamentos para aestrutura e aco representadas na figura.

Pilares: EI = EI0, EAVigas: EI = 2EI0, EA

50 kN

50 kN

20 kNm

20 kNm4 m

4 m

E

A

B

C D

3 m 3 m

F



B

C

Da) 15 kN/ma) 30 kN

60

4545

EI

EI

2EIlAC = lBC = lCD = 4 m

a) 50 kNm

EAA

Determine a distribuio de esforos na estrutura devido a:a) a carregamento representado a) ;b) um aumento de temperatura de 40 C na barraCD (com variao uniforme

ao longo da barra e na seco);


+

0.2 m

tBim = +20C

tBem = 20C

Seco B:

4 m

C

6 m 3 m

D

A

30

B10 kN/m

k

ABC:

= 105 /Ch = 0.2 m


EI = EI0 kNm2EA

Determine a distribuio dos esforos na estrutura devido ao momento aplicadono n B e a variao de temperatura na barra AB, crescente ao longo de eixoda barra e diferencial na altura da seco com valor mximo na seco B deti = +20

C e te = 20 C (como mostra na figura).

Problema 4.18 Considere a estrutura representada na figura em que as barrastm rigidez flexo EI e a rigidez a esforo axial de 10EI .


4.0 m

a) 50 kN

b) = 0.04 rad

a) 10 kN

2.0 m 2.0 m

A C

B

D

3.0 m

3.0 m

Determine a distribuio de esforos na estrutura a:a) a carregamento representado a) ;b) uma rotao de = 0.04 rad no apoio C;

Exercicios Estruturas I [FCTUNL]

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